manuel de l’élève volume
Le 3e volume de la collection Visions 3e année du 2e cycle du secondaire, séquence Culture, société et technique, a été conçu dans l’esprit du Programme de formation de l’école québécoise et répond à la mise à jour de cette séquence. Manuel de l’élève, volume 3
• Supplément Vision 1, incluant notamment les inéquations • Supplément Vision 2, incluant notamment la loi des cosinus • Vision 5, un chapitre sur les mathématiques financières, incluant notamment
les logarithmes, les intérêts simples et les intérêts composés dans différents contextes financiers
• Vision 6, un chapitre sur les probabilités, incluant notamment les probabilités subjectives, les chances pour, les chances contre et l’espérance mathématique
Dominique Boivin • Richard Cadieux • Claude Boivin • Antoine Ledoux Étienne Meyer • Dominic Paul • Nathalie Ricard • Vincent Roy
Culture, société et technique
Guide d’enseignement, volume 3
• Notes pédagogiques pour chacun des chapitres, incluant la planification détaillée • Nombreuses fiches reproductibles et leurs corrigés (Soutien, Consolidation, Enrichissement, Portrait)
• SAÉ incluant les carnets et les grilles d’évaluation • Tests et leurs corrigés
CODE DE PRODUIT : 216912
9001, boul. Louis-H.-La Fontaine, Anjou (Québec) Canada H1J 2C5 Téléphone : 514 351-6010 • Télécopieur : 514 351-3534
9 782761 791083
Culture, société et technique
• Manuel de l’élève, volume 1 • Manuel de l’élève, volume 2 • Manuel de l’élève, volume 3 • Guide d’enseignement, volumes 1 et 2 • Guide d’enseignement, volume 3
volume
Les composantes de la collection Visions
mathématique 3 e année du 2 e cycle du secondaire Dominique Boivin Richard Cadieux Claude Boivin Antoine Ledoux Étienne Meyer Dominic Paul Nathalie Ricard Vincent Roy
volume
3 SECTION 5.4
SUPPLÉMENT Les systèmes d’équations et d’inéquations . . . IV Arithmétique et algèbre
SECTION 1.0 Les demi-plans dans le plan cartésien . . . . . . . . . 1 • Inéquation du premier degré à deux variables • Demi-plan
Les autres contextes financiers . . . . . . . . . . . . . 61 • Valeur finale, valeur initiale, durée et taux
CHRONIQUE DU PASSÉ Quelques mathématiciens de la finance . . . . . . 70
LE MONDE DU TRAVAIL Les gestionnaires de portefeuille . . . . . . . . . . . . 72
VUE D’ENSEMBLE . . . . . . . . . . . . . . . . 74 SUPPLÉMENT Les figures équivalentes et la loi des cosinus . 12
BANQUE DE PROBLÈMES . . . . . 82
Géométrie
SECTION 2.5 La loi des cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 • Relation trigonométrique dans le triangle : loi des cosinus
Des expériences aléatoires aux probabilités . . 84 Probabilités
RÉVISION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Les logarithmes et les mathématiques financières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Arithmétique et algèbre
RÉVISION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 • Exposants • Fonction exponentielle • Réciproque
• Expérience aléatoire • Événements compatibles, incompatibles et complémentaires • Probabilité d’un événement • Expérience aléatoire à plusieurs étapes
SECTION 6.1 Les méthodes de dénombrement . . . . . . . . . . . 92 • Factorielle • Expérience aléatoire avec ordre ou sans ordre • Permutation, arrangement et combinaison
SECTION 5.1
SECTION 6.2
Les logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
La probabilité subjective et les chances . . . . . . 104
• Logarithme • Équivalence entre forme exponentielle et forme logarithmique • Logarithmes particuliers • Logarithme décimal, logarithme naturel et changement de base • Résolution d’une équation exponentielle ou logarithmique
SECTION 5.2 Les intérêts simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 • Vocabulaire financier • Capitalisation, actualisation, durée d’un placement ou d’un emprunt à intérêts simples • Taux d’intérêt simple
SECTION 5.3 Les intérêts composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 • Capitalisation, actualisation, durée d’un placement ou d’un emprunt à intérêts composés • Taux d’intérêt composé • Période d’intérêt incomplète
• Probabilités théorique, fréquentielle et subjective • Chances pour et chances contre • Distinction entre chance et probabilité
SECTION 6.3 L’espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . 116 • Espérance mathématique • Équité
CHRONIQUE DU PASSÉ Pierre-Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
LE MONDE DU TRAVAIL Les analystes financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
VUE D’ENSEMBLE . . . . . . . . . . . . . . . 130 BANQUE DE PROBLÈMES . . . . 137 INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Table des matières
III
Les systèmes d’équations et d’inéquations Quelle est la quantité minimale de véhicules à réserver pour un voyage afin de minimiser les coûts ? Comment détermine-t-on les valeurs qui optimisent les ventes d’un commerce ? Quelles contraintes influencent une décision et comment les traduire mathématiquement ? Dans Vision 1, vous apprendrez à traduire une situation par une inéquation pour ensuite être capable de préciser les contraintes applicables à un cas particulier. Ainsi, vous obtiendrez un système d’inéquations et vous serez en mesure d’en déterminer la ou les solutions optimales tenant compte du contexte.
Arithmétique et algèbre • Inéquation du premier degré à deux variables • Système d’inéquations du premier degré à deux variables • Polygone de contraintes • Fonction à optimiser • Optimisation d’une situation et prise de décision à l’aide de la programmation linéaire
Géométrie
Graphes
Probabilités
1.0
Les demi-plans dans le plan cartésien
problème La consommation d’électricité Pour une famille moyenne, la facture d’électricité représente une part importante du budget. Cependant, la modification de certaines habitudes de vie liées à la consommation d’électricité peut entraîner des économies substantielles. On utilise principalement le kilowattheure (kWh) pour mesurer la consommation d’électricité. Un kilowattheure correspond à 1000 watts consommés pendant une heure. Voici des renseignements sur la consommation d’électricité de la famille Tremblay : Consommation du mois de juillet
Appareil
Puissance (W)
Temps d’utilisation (h)
3500
120
Éclairage
15
280
Réfrigérateur
300
744
Cuisinière
4500
30
Appareils de lavage
2650
15
Téléviseur
300
95
Autres
350
100,75
Chauffe-eau
La règle C 5 0,0824k 1 17 indique le coût C (en $) de l’électricité en fonction du nombre k de kilowattheures consommés au mois de juillet.
Les Tremblay ont-ils respecté leur budget s’ils ont alloué moins de 90 $/mois pour l’électricité ?
La quantité d’énergie produite par une éolienne dépend principalement de la force du vent, de la surface balayée par les pales et de la densité de l’air. Pour commencer à produire de l’électricité, il faut un apport minimal de vent de 12 à 14 km / h. Des vents de 50 à 60 km / h permettent de produire à pleine puissance, mais au-delà de 90 km / h, la production doit être interrompue sous peine de bris d’équipement.
Section 1.0
1
Les figures équivalentes et la loi des cosinus Comment peut-on maximiser l’espace habitable d’une tente tout en utilisant le moins de toile possible pour la fabriquer ? De quelle façon calcule-t-on les mesures d’une pièce d’aluminium triangulaire ? Comment détermine-t-on la forme idéale d’un contenant ? Comment mesure-t-on la longueur d’un cadre de vélo ? Un très grand nombre d’activités font appel aux relations trigonométriques et à l’optimisation de surface et de l’espace. Dans Vision 2, vous concevrez des objets dans une perspective d’économie de matériaux et d’optimisation de l’espace occupé. Vous étudierez aussi une loi qui met en relation les mesures des angles et celles des côtés d’un triangle.
Arithmétique et algèbre
Géométrie • Figures équivalentes • Optimisation de surfaces et de l’espace • Relation trigonométrique dans le triangle : loi des cosinus
Graphes
Probabilités
2.5
La loi des cosinus
problème Les chutes Della Situées sur l’île de Vancouver, les chutes Della sont les plus hautes du Canada. Elles sont accessibles par hydravion ou au terme d’une randonnée pédestre relativement difficile. Située à une certaine distance du pied des chutes, Tamara regarde leur sommet selon un angle d’élévation de 59°. Guillaume, placé entre Tamara et le pied des chutes, regarde leur sommet selon un angle d’élévation de 62°.
Chutes Della
59°
62°
30,36 m Tamara
Guillaume
Quelle est la hauteur des chutes Della ?
Formées par les eaux du lac Della dans le parc provincial Strathcona, les chutes Della sont huit fois plus hautes que les chutes du Niagara.
Section 2.5
13
Les logarithmes et les mathématiques financières Comment peut-on déterminer la valeur d’un REER dans quelques années ? De quelle façon calcule-t-on la variation du prix des biens au fil du temps ? Comment peut-on déterminer la durée d’un prêt ou d’un placement ? Par quel moyen peut-on déterminer le taux d’intérêt dans des situations où s’appliquent les mathématiques financières ? Un très grand nombre de contextes financiers peuvent être modélisés au moyen de formules exponentielles. Dans Vision 5, vous aurez à résoudre des équations exponentielles et logarithmiques. Vous aborderez également les concepts d’intérêts simples et d’intérêts composés afin de calculer la capitalisation et l’actualisation des placements ou des emprunts.
Arithmétique et algèbre • Puissance et logarithme • Résolution d’équations expo- nentielle ou logarithmique • Calcul, interprétation et analyse de situations financières • Intérêts simple et composé • Période d’intérêt • Actualisation (valeur actuelle) • Capitalisation (valeur future)
Géométrie
Graphes
Probabilités
La planification financière
Quelques mathématiciens de la finance
Les gestionnaires de portefeuille
réactivation 1 Le virus Zika Le virus Zika a été signalé pour la première fois chez l’être humain dans les années 1950 en Afrique et en Asie. En 2015, ce virus est apparu en Amérique du Sud et plus particulièrement au Brésil où de vastes éclosions ont été signalées. À la fin de l’année 2015, 1 500 000 Brésiliens étaient infectés par le virus Zika. En effet, dans ce pays, la propagation du virus a suivi un modèle où le nombre de personnes infectées a augmenté de 50 % par mois depuis le 1er janvier 2015. Le graphique suivant illustre le nombre de Brésiliens infectés par le virus Zika selon le temps écoulé depuis le 1er janvier 2015 (en mois). Nombre de Brésiliens infectés
Propagation du virus Zika au Brésil en 2015
1 600 000 1 400 000 1 200 000 1 000 000 800 000 600 000 400 000 200 000 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a.
Quel modèle fonctionnel la propagation du virus a-t-elle suivi ?
b.
Déterminez la règle de la fonction qui permet de connaître le nombre N de Brésiliens infectés par le virus Zika selon le temps m écoulé (en mois) depuis le 1er janvier 2015.
c.
Combien de Brésiliens étaient déjà infectés le 1er janvier 2015 ?
d.
Combien de Brésiliens étaient infectés :
e.
22
1)
à la fin de juin 2015 ?
2)
à la fin de septembre 2015 ?
En 2016, le Brésil comptait environ 206 millions d’habitants. Est-il vrai de dire que, si la propagation du virus avait continué à progresser de la même façon, plus de 90 % de la population aurait été infectée à la fin de l’année 2016 ? Justifiez votre réponse.
Vision 5
11 12 Temps écoulé depuis le 1er janvier 2015 (mois)
Le virus Zika a été détecté pour la première fois en Ouganda en 1947 chez un singe. Zika est le nom d’une forêt située au sud de la capitale Kampala. Comme d’autres infections tropicales, le virus Zika se transmet par une piqûre de moustique. La plupart des personnes infectées ignorent qu’elles sont porteuses du virus. Le virus Zika est à l’origine de malformations congénitales comme la microcéphalie. Le bébé naît alors avec une petite boîte crânienne qui altère son développement intellectuel.
réactivation 2 L’aéroport Montréal-Trudeau L’aéroport international Pierre-Elliot-Trudeau de Montréal joue un rôle important dans l’économie de la grande région de Montréal et du Québec. En 2003, cet aéroport a accueilli 9 millions de passagers. Depuis, ce nombre a augmenté chaque année de façon exponentielle de sorte qu’en 2015, pour la première fois de son histoire, l’aéroport a accueilli 15,5 millions de passagers.
a.
Déterminez la règle de la fonction exponentielle permettant de connaître le nombre de passagers annuels (en millions) selon le temps écoulé (en années) depuis 2003.
b. Représentez graphiquement cette fonction pour la période de 2003 à 2015. c.
Déterminez les propriétés de la fonction représentée en b et ce qu’elles représentent dans ce contexte. 1)
Le domaine.
2)
Le codomaine.
3)
L’abscisse à l’origine.
4)
L’ordonnée à l’origine.
5)
La variation.
6)
Le signe.
d.
La réciproque de cette fonction est-elle une fonction ? Justifiez votre réponse.
e.
Quel était le nombre de passagers à l’aéroport Montréal-Trudeau :
f.
1)
en 2010 ?
2)
en 2013 ?
Si la tendance se maintient, est-il vrai de dire que le nombre de passagers à l’aéroport Montréal-Trudeau dépassera : 1)
20 millions en 2020 ?
2)
30 millions en 2030 ?
L’aéroport Montréal-Trudeau est une infrastructure essentielle pour les affaires, le commerce et le tourisme. Environ 200 entreprises et organismes sont établis sur le site de l’aéroport offrant 27 000 emplois directs auxquels s’ajoutent 28 000 emplois indirects, soit un total de 55 000. Les activités économiques de ces entreprises représentent 5,5 milliards de dollars annuellement. L’aéroport Montréal-Trudeau est le deuxième aéroport canadien pour la richesse de sa desserte aérienne : 140 destinations avec des vols directs, dont 80 internationales.
Révision
23
Exposants Puissance L’égalité a n 5 p signifie que a n est la n e puissance de a et que cette puissance est égale à p. a n 5 a 3 a 3 … 3 a si n ∈ N et n 2 n fois
Voici quelques cas particuliers de puissances : Cas particulier
Exemple
a 0 5 1 si a 0
90 5 1
a1 5 a
71 5 7
a m 5 1 n
1 si a 0 am
53 5 1 4
n
a 5 a si a 0 et n 0
1 1 5 53 125 4
16 5 16 5 2
Lois des exposants Les lois des exposants permettent d’effectuer des opérations sur des expressions écrites sous la forme exponentielle. Loi
Exemple
Produit de puissances de même base a m 3 a n 5 a m 1 n si a 0
83 3 84 5 83 1 4 5 87 5 2 097 152
Quotient de puissances de même base am 5 a m 2 n si a 0 an
67 5 67 2 3 5 64 5 1296 63
Puissance d’un produit (ab)m 5 a mb m si a 0 et b 0
(4 3 3)2 5 42 3 32 5 16 3 9 5 144
Puissance d’une puissance (a m )n 5 a mn si a 0 Puissance d’un quotient
() a b
24
m
am 5 m si a 0 et b 0 b
Vision 5
(23 )5 5 23 3 5 5 215 5 32 768
()5 24 5
24 16 5 5 0,0256 54 625
fonction exponentielle • Une fonction exponentielle est une fonction définie par une règle dans laquelle la variable indépendante est un exposant. • Graphiquement, la courbe associée à une fonction exponentielle se rapproche de plus en plus d’une asymptote horizontale. • La règle d’une fonction exponentielle de base peut s’écrire sous la forme f(x) 5 cx, où c 0 et c 1. Graphiquement, la courbe qui lui est associée passe par le point de coordonnées (0, 1). Ex. : f(x) 5 4x
Table de valeurs x
f (x )
2
0,0625
1
0,25
0
1
1
4
2
16
Graphique
Propriétés Domaine : R
f(x ) 16
Codomaine : ]0, 1[ Abscisse à l’origine : Aucune.
12
Ordonnée à l’origine : 1
8 Asymptote
4 4
2
Signe : Positif sur R. Variation : Croissante sur R.
0
2
Extremum : Aucun.
x
4
• La règle d’une fonction exponentielle transformée peut s’écrire sous la forme f(x) 5 acx, où a 0, c 0 et c 1. Graphiquement, la courbe qui lui est associée passe par le point de coordonnées (0, a). Ex. : f(x) 5 3(4)x
Table de valeurs
Graphique
f (x )
2
0,1875
1
0,75
10
0
3
20
1
12 48
Domaine : R
f(x )
x
2
Propriétés
4
2
0
2
x
4
Codomaine : ]2, 0[ Abscisse à l’origine : Aucune.
Asymptote
Ordonnée à l’origine : 3 Signe : Négatif sur R.
30
Variation : Décroissante sur R.
40
Extremum : Aucun.
• Pour déterminer la règle d’une fonction exponentielle f (x) 5 acx, on remplace a par la valeur initiale et on détermine la valeur de c en substituant à x et à f (x) les coordonnées d’un point appartenant à la fonction. Ex. : f(x) 5 3x et sa réciproque y
réciproque • Une réciproque s’obtient en intervertissant les valeurs de chacun des couples d’une relation entre deux variables. • Les courbes d’une relation et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d’équation y 5 x. • La réciproque peut être ou non une fonction. Si la réciproque de la fonction f est une fonction, alors on la note f 1.
f (x ) 3x
4
Axe de symétrie
2 4
2
0 2
x
f 1(x ) 3
2
4
x
Réciproque
4
Révision
25
1 Évaluez chacune des expressions. b) 82
a) 73 1
c) 6,23
d) 90
e) 07
27 g) 13 h) 56 i) 45 j) 29
f)
4
2
1
3
2 Dans chacun des cas, déterminez la valeur de x. 1 9
a) x 3 5 8
b) x 5 5 1024
c) x 4 5 1296
d) x 2 5
e) 3x 5 27
f) 8x 5 64
g) 9 x 5 3
h) 8x 5 2
12
i)
x
5
1 1 x 5 27 j) 16 3
k)
161
x
1 4
1 25
x
5 l) 55
3 Déterminez si chacun des énoncés est vrai ou faux. a8 a
4 a) a 2 3 a 7 5 a 9 b) 2 5 a , où a 0.
d) (a 2a 9)3 5 a 33 g)
a 6 3 a 3 a 4 3 a 2
5 a 5, où a 0.
c) (a 3)3 5 a 6 a5 b
5
a b
e) (a 6)0 5 a 6 f ) 5 5 , où b 0. h) ((a 4a 5)2)3 5 a 14 i) a 5 3 b 5 5 (ab)5
4 Récrivez chacune des expressions sous la forme d’une base affectée d’un exposant positif. a) 3 3 35 3 33
b) 74 3 7 2 3 70
c) (52)4 3 (53)1
d)
90(9)894 27 5 50 3 5 2 e) 3 f ) 9(9) (9) 2 54
g)
95
3 8
3 8
4
h)
4
6
i) 3
36 32
1
5 Récrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la plus petite base possible. a) 274
b) 4 3 83 3 162
c) 812 3 34 3 93
3433 49
642 8
5122 2
43n 1 2 2
93a 3
274a 81
d) 362 3 65 3 2161 e) 3 f ) 5 3 9 g) 252a 1 5 3 1254a 2 3 h) n 1 4 i) 2a 3 a
6 Simplifiez chacune des expressions algébriques. Exprimez votre réponse à l’aide d’exposants positifs. c 0 3 (c 4)2 a) b 4 3 b 3 b 3 b) a5 a
a0 a
d) (a 3b 4)5 e) 3 3 2 , où a 0. g)
26
e5 f3
2
, où e 0 et f 0.
Vision 5
h)
n4 3 n1 3 n0 , n6 3 n4 3 n2
c) 32n 1 3 3 3n 1 5 3
dc , où d 0.
i)
m
2 3
où n 0.
5
f )
m4 1 4
8
, où m 0.
7 Dans chaque cas : 1)
représentez la réciproque de la fonction ;
2)
indiquez si la réciproque est une fonction. y
a)
10 8
6
4
2
y
b)
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0 2
2
4
6
8
10 x
10 8
6
4
2
0 2
4
4
6
6
8
8
10
10
2
4
6
10 x
8
8 Pour chacune des fonctions exponentielles : 1) calculez
f (5) et f(22) ;
2)
représentez la fonction f ;
3)
représentez la réciproque de la fonction f ;
4)
déterminez si la réciproque est une fonction. Expliquez votre réponse. 1 4
x
f(x) 5 a) f(x) 5 4x b)
9 Dans chaque cas : 1)
représentez la fonction ;
2)
déterminez les propriétés de la fonction : • domaine ;
• codomaine ;
• abscisse à l’origine ;
• ordonnée à l’origine ;
• signe ;
• variation ;
b) g(x) 5 4
a) f(x) 5 2(3)x
2 3
x
h(x) 5 3,4(0,6)x c)
• extremum. d) i(x) 5 3(2,5)x
10 Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction exponentielle associée à la table de valeurs. a) b) c) x f (x ) x g(x)
x
h(x )
1
7 12
1
0,4
1
4
0
3,5
0
2
0
3
1
21
1
10
1
2,25
2
126
2
50
2
1,6875
Révision
27
11 Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction exponentielle. a) b) c) g(x) f (x) 0 (0, 3,2)
x
h(x ) ( 1, 10)
(2, 45,9)
0
(0, 4)
x
(1, 19,2)
(0, 5,1) 0
x
12 MALADIE D’ALZHEIMER La maladie d’Alzheimer est une pathologie neurodégénérative. Progressive, elle peut se révéler mortelle à plus ou moins long terme. L’âge est le plus grand facteur de risque de cette maladie. Au Canada, on considère que le risque de développer la maladie à 65 ans est de 2 %. À partir de ce moment, le risque augmente de 15 % par an jusqu’à l’âge de 90 ans. a) Déterminez la règle de la fonction permettant de connaître le risque R (en %) de développer la maladie d’Alzheimer selon le temps écoulé t (en années) depuis l’âge de 65 ans. b) Déterminez le risque de développer la maladie à l’âge de : 1)
75 ans ;
2)
85 ans.
c) Représentez graphiquement la fonction déterminée en a) pour des âges allant de 65 à 90 ans. d) Est-il juste de dire que le risque de développer la maladie double environ tous les 5 ans pour des âges allant de 65 à 90 ans ? Justifiez votre réponse. e) Au Canada, en 2016, il y avait environ 305 000 personnes âgées de 71 ans. Combien de ces personnes ont probablement développé la maladie d’Alzheimer ?
13 INDUSTRIE DU JEU VIDÉO L’industrie québécoise du jeu vidéo a pris naissance dans les années 1980. De 2002 à 2012, le nombre d’emplois dans ce secteur a connu une croissance exponentielle. En 2002, 1200 personnes y occupaient un emploi et 10 ans plus tard, soit en 2012, 9000 personnes travaillaient dans ce domaine au Québec. a) Déterminez la règle de la fonction permettant de connaître le nombre d’emplois N dans l’industrie du jeu vidéo selon le temps écoulé t (en années) depuis 2002. b) Représentez graphiquement la fonction déterminée en a) pour les années 2002 à 2012. c) Est-il vrai de dire que le nombre d’emplois a triplé de 2005 à 2010 ? d) Si la croissance du nombre d’emplois dans l’industrie du jeu vidéo avait continué de la même façon, combien d’emplois aurait-on comptés au Québec en 2016 ?
28
Vision 5
En 2016, le Québec comptait 230 entreprises dans le domaine du jeu vidéo. La plupart d’entre elles sont situées dans la grande région de Montréal. La métropole possède une excellente réputation mondiale dans le domaine du multimédia. En effet, Montréal est le cinquième pôle du jeu vidéo après Tokyo, Londres, San Francisco et Austin. Au Québec, depuis 2012, le nombre d’emplois dans ce secteur s’est stabilisé autour de 10 000.
14 Une ville comptait 80 000 habitants en 2006. Depuis cette date, la population a augmenté en moyenne de 2,4 % par an. En 2016, quelle était la population de cette ville ?
15 Voici des renseignements concernant trois modèles de motocyclettes : Modèle A
Modèle B
Modèle C
• Coût d’achat : 16 000 $
• Coût d’achat : 31 000 $
• Coût d’achat : 24 000 $
• Taux de dépréciation annuel moyen : 12 %
• Taux de dépréciation annuel moyen : 16 %
• Taux de dépréciation annuel moyen : 14 %
Quel modèle aura la meilleure valeur de revente 15 ans après son achat ?
16 CONCENTRATION PLASMATIQUE Au moment de la prise d’un médicament par voie intraveineuse, sa concentration dans le sang, appelée concentration plasmatique, est aussitôt optimale. Ensuite, elle diminue selon un modèle exponentiel. Le graphique ci-contre illustre la concentration plasmatique (en mg/L) d’un médicament selon le temps écoulé (en h) après une injection par voie intraveineuse.
Concentration plasmatique d'un médicament
Concentration plasmatique (mg/L) 10
9 (0, 8) 8 7 (7, 5,6529)
6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Lorsque la concentration d’un Temps écoulé (h) médicament diminue de moitié au cours d’une période de temps donnée, celle-ci est appelée demi-vie. Est-il vrai de dire que la demi-vie de ce médicament est de 12 h ? Sinon, déterminez sa demi-vie.
17 FACTEUR D’ÉLASTICITÉ Les différents ballons utilisés dans les sports ont la capacité de rebondir grâce à leur élasticité. Voici des renseignements concernant trois types de ballons dont la capacité de rebondir suit un modèle exponentiel : Ballon de type A
On laisse tomber ce ballon d’une hauteur de 25 m. Il rebondit 3 aux 4 de la hauteur du rebond précédent.
Ballon de type B
Ballon de type C
Nombre de rebonds
Hauteur du rebond (m)
0
28
1
19,6
15
2
13,72
10
3
9,604
5
Le 6e rebond de quel ballon est-il le plus haut ?
Hauteur du rebond 25 (m) (0, 22) 20
0
(2, 12,7072)
1
2
3
4
5 Nombre de rebonds
Révision
29
5.3
Les intérêts composés
Cette section est en lien avec les SAÉ 9 et 10.
problème Les trois propositions Plusieurs facteurs influencent la valeur à échéance d’un placement financier, dont la fréquence de calcul des intérêts. Voici une conversation entre un épargnant et une conseillère financière : Voici trois propositions. Sachez que les intérêts générés au cours de chaque période sont, à la fin de celle-ci, ajoutés au capital pour le prochain calcul des intérêts.
Je désire placer un montant de 5000 $ pendant 2 ans.
Proposition A
Proposition B
On place le montant à un taux d’intérêt annuel de 6 % et les intérêts sont calculés à la fin de chaque période de 1 an.
On place le montant à un taux d’intérêt semestriel de 2 % et les intérêts sont calculés à la fin de chaque période de 6 mois.
Je vais accepter la proposition C . Selon moi, pour une période donnée, plus la fréquence de calcul des intérêts est élevée, plus la valeur à échéance du placement est élevée.
Que pensez-vous de cette affirmation ?
48
Vision 5
Proposition C On place le montant à un taux d’intérêt trimestriel de 0,5 % et les intérêts sont calculés à la fin de chaque période de 3 mois.
activité 1 Des intérêts qui génèrent des intérêts On place un montant de 10 000 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 4 %. La démarche ci-dessous permet de calculer le capital accumulé à la fin de chacune des quatre premières années.
a.
1
Capital accumulé dans 1 an : 10 000 3 1,04 5 10 400 Donc, 10 400 $.
2
Capital accumulé dans 2 ans : 10 000 3 1,04 3 1,04 5 10 816 Donc, 10 816 $.
3
Capital accumulé dans 3 ans : 10 000 3 1,04 3 1,04 3 1,04 5 11 248,64 Donc, 11 248,64 $.
4
Capital accumulé dans 4 ans : 10 000 3 1,04 3 1,04 3 1,04 3 1,04 11 698,59 Donc, 11 698,59 $.
À quel montant correspond le calcul écrit en bleu de l’étape : 1)
2
?
2)
3
?
3)
4
?
b.
À quoi correspond chaque montant décrit en a ?
c.
Sachant que l’expression 10 000(1,04)4 permet de calculer le capital accumulé dans 4 ans, déterminez une expression pour calculer le capital accumulé dans : 1)
1 an ou après 1 période de capitalisation ;
2)
2 ans ou après 2 périodes de capitalisation ;
3)
3 ans ou après 3 périodes de capitalisation.
d. Quel lien faites-vous entre le nombre de périodes de capitalisation et l’exposant de chaque expression déterminée en c ?
e.
Déterminez le capital accumulé de ce placement dans : 1)
8 ans ;
2)
12 ans ;
3)
25 ans.
Section 5.3
49
activité 2 De retour à la case départ Il y a 25 ans, pour démarrer son entreprise, Philippe a contracté un prêt à un taux d’intérêt composé semestriel de 1,45 %. La démarche suivante permet de déterminer le montant emprunté.
2
513 502,52 5 C0(1 1 1,45 %)50
3
C0 5
4
C0 5 513 502,52(1,0145)50
5
C0 250 000
a.
Cn 5 C0(1 1 i )n
1
Donc, 250 000 $.
Selon le contexte, dans l’équation
b.
c.
513 502,52 1,014550
2
, à quoi correspond :
1)
le montant associé au membre de gauche ?
2)
l’exposant 50 ?
Indiquez le plus précisément possible comment obtenir : 1) l’équation 3
à partir de l’équation
2
;
2) l’équation 4
à partir de l’équation
3
.
Quel est le montant emprunté par Philippe il y a 25 ans ?
Pour financer l’achat de nouveaux équipements, Philippe contracte un nouveau prêt à un taux d’intérêt composé trimestriel de 0,9 %.
d.
En utilisant l’équation 4 comme modèle, déterminez la somme empruntée s’il est prévu un remboursement dans 10 ans de : 1)
71 551,16 $ ;
2)
97 309,57 $ ;
3)
264 739,28 $.
D’après l’Institut de la statistique du Québec, en 2014, environ 17 % des propriétaires de petites ou moyennes entreprises (PME) du Québec étaient âgés de moins de 40 ans. Ces jeunes entrepeneurs recourent souvent au financement pour favoriser la croissance de leur entreprise. Parmi les types de financement, l’emprunt est le plus utilisé devant le crédit commercial et le crédit-bail. En outre, le gouvernement peut accorder des subventions aux PME répondant à certains critères.
50
Vision 5
Certaines calculatrices comportent une application pour calculer différentes valeurs financières. Écran 1 Ces écrans permettent de sélectionner l’application Finance… et de calculer différentes valeurs.
Écran 2
Écran 3
Écran 4
Cet écran donne le capital accumulé d’un placement de 2500 $ pour 5 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 3,5 %.
Cet écran donne la durée d’un placement de 3000 $ qui génère un capital accumulé de 3312,24 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 2 %. Écran 5
Cet écran donne le taux d’intérêt composé annuel d’un placement de 5600 $ qui rapporte 7085,79 $ après 6 ans.
a.
b.
c.
D’après l’écran 3, déterminez : 1)
le capital accumulé ;
2)
les trois nombres à utiliser dans l’ordre avec la fonction vat_Vacq pour calculer le capital accumulé d’un placement de 6900 $ pendant 9 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 1,75 % et la valeur de ce capital accumulé.
D’après l’écran 4, déterminez : 1)
la durée du placement ;
2)
les quatre nombres à utiliser dans l’ordre avec la fonction vat_N pour calculer la durée d’un placement de 5000 $ qui génère un capital accumulé de 6948,83 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 4,2 % et cette durée.
D’après l’écran 5, déterminez : 1)
le taux d’intérêt ;
2)
les quatre nombres à utiliser dans l’ordre avec la fonction vat_I% pour calculer le taux d’intérêt composé annuel d’un placement de 25 000 $ qui rapporte 38 106,97 $ après 15 ans et ce taux d’intérêt.
Section 5.3
51
5.3
INTÉRÊTS COMPOSÉS Les intérêts sont dits composés si, à la fin de chaque période, les intérêts générés au cours de celle-ci sont ajoutés au capital pour un prochain calcul d’intérêts. Les intérêts générés rapportent alors eux-mêmes des intérêts.
Capitalisation à intérêts composés La capitalisation à intérêts composés s’obtient de la façon suivante. C1 5 C0(1 1 i ) 5 C0(1 1 i )1
Après une durée d’une période :
Après une durée de deux périodes : C2 5 C0(1 1 i )(1 1 i ) 5 C0(1 1 i )2 Après une durée de trois périodes : C3 5 C0(1 1 i )(1 1 i )(1 1 i ) 5 C0(1 1 i )3 ...
...
Cn 5 C0(1 1 i )(1 1 i ) … (1 1 i ) 5 C0(1 1 i )n
Après une durée de n périodes :
n fois
On obtient alors la formule suivante. – Cn est le capital accumulé ; – C0 est le capital initial ; Cn 5 C0(1 1 i )n , où :
– i est le taux d’intérêt composé ; – n est la durée (c’est-à-dire le nombre de périodes). Note : Au besoin, on transforme la durée n de façon à obtenir la même unité de temps que le taux d’intérêt i.
Ex. : On emprunte un capital initial de 700 $ à un taux d’intérêt composé mensuel de 1,5 %. On veut déterminer à combien s’élèvera le capital accumulé dans 2 ans.
Ici, i 5 1,5 % et C0 5 700 $. n 5 2 3 12 5 24 mois Cn 5 C0(1 1 i )n C24 5 700(1 1 1,5 %)24 C24 5 700(1,015)24 C24 1000,65 Donc, 1000,65 $. Dans 2 ans, le capital accumulé sera de 1000,65 $.
52
Vision 5
Actualisation à intérêts composés L’actualisation à intérêts composés s’obtient de la formule de capitalisation à intérêts composés. Cn 5 C0(1 1 i )n
Cn 5 C0 (1 1 i )n
Cn(1 1 i )n 5 C0
On obtient alors la formule suivante. – C0 est le capital initial ; – Cn est le capital accumulé ; C0 5 Cn(1 1 i )n , où :
– i est le taux d’intérêt composé ; – n est la durée (c’est-à-dire le nombre de périodes). Note : Au besoin, on transforme la durée n de façon à obtenir la même unité de temps que le taux d’intérêt i.
Ex. : On contracte une dette que l’on rembourse 3 ans plus tard avec 5436,28 $. Sachant que le taux d’intérêt composé annuel était de 4 %, on veut déterminer le capital initial emprunté.
Ici, n 5 3 ans, i 5 4 % et C3 5 5436,28 $. C0 5 Cn(1 1 i )n C0 5 5436,28(1 1 4 %)3 C0 5 5436,28(1,04)3 C0 4832,83 Donc, 4832,83 $. Le capital initial était de 4832,83 $.
Durée D’UN PLACEMENT ou d’un emprunt à intérêts composés Il est possible de déterminer la durée d’un placement ou d’un emprunt à intérêts composés en isolant, à l’aide des logarithmes, la variable n dans la formule de capitalisation à intérêts composés. Ex. : On place 1200 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 1,75 %. On veut déterminer dans combien d’années le capital accumulé sera de 1264,11 $.
Ici, C0 5 1200 $, i 5 1,75 % et Cn 5 1264,11 $. Cn 5 C0(1 1 i )n 1264,11 5 1200(1 1 1,75 %)n 1264,11 5 1200(1,0175)n
1264,11 5 1200
1,0175n
1,0534 1,0175n n log1,0175 1,0534 log1,0534 log1,0175
n n 3 Donc, 3 ans.
Le capital accumulé sera de 1264,11 $ dans 3 ans.
Section 5.3
53
Taux d’intérêt composé Il est possible de déterminer le taux d’intérêt composé d’un placement ou d’un emprunt en isolant la variable i dans la formule de capitalisation à intérêts composés. Ex. : On a emprunté 108 000 $ et, après 5 ans, le capital accumulé s’élève à 135 880,51 $. On veut déterminer à quel taux d’intérêt composé annuel cet emprunt a été contracté.
Ici, n 5 5 ans, C0 5 108 000 $ et C5 5 135 880,51 $. Cn 5 C0(1 1 i )n 135 880,51 5 108 000(1 1 i )5 135 880,51 5 108 000 1 135 880,51 5 5 108 000
(1 1 i )5 11i
135108880,51 000
i 5
1 5
21
i 0,047 i 4,7 % Donc, 4,7 %. Le taux d’intérêt composé annuel est de 4,7 %.
Période d’intérêt incomplète Si la durée d’un placement ou d’un emprunt à intérêts composés correspond à une ou plusieurs périodes d’intérêt complètes et à une période d’intérêt incomplète, il est possible de déterminer le capital accumulé à l’aide de la démarche suivante.
Démarche 1. Calculer le capital accumulé à intérêts composés pour les périodes d’intérêt complètes à l’aide de la formule Cn 5 C0(1 1 i )n.
Ex. : On place un capital initial de 11 500 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 2 %. On veut calculer le capital accumulé dans 5 ans et 9 mois. Ici, n 5 5 ans, i 5 2 % et C0 5 11 500 $. Cn 5 C0(1 1 i )n C5 5 11 500(1 1 2 %)5 C5 5 11 500(1,02)5 C5 12 696,93 Donc, 12 696,93 $. Après 5 ans, le capital accumulé sera de 12 696,93 $.
2. À partir du résultat obtenu à l’étape précédente, calculer le capital accumulé à intérêts simples pour la période d’intérêt incomplète à l’aide de la formule Cn 5 C0(1 1 n 3 i ).
Les intérêts simples s’appliquent durant 9 mois. 9 n5 5 0,75 an 12
Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) C0,75 5 12 696,93(1 1 0,75 3 2 %) C0,75 5 12 696,93(1,015) C0,75 12 887,38 Donc, 12 887,38 $. Après 5 ans et 9 mois, le capital accumulé sera de 12 887,38 $.
54
Vision 5
5.3
1 Dans chaque cas, calculez le capital accumulé. a) On emprunte 4500 $ pendant 2 ans à
un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,15 %.
c) On investit 7000 $ pendant 10 ans à
un taux d’intérêt composé mensuel de 0,2 %.
e) On investit 21 000 $ pendant 11 ans à
un taux d’intérêt composé trimestriel de 1,3 %.
b) On emprunte 12 000 $ pendant 4 ans
à un taux d’intérêt composé semestriel de 3 %.
d) On place un capital initial de 2000 $
pendant 7 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 3,75 %.
f) On place un capital initial de 6500 $
pendant 9 ans à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,15 %.
2 Dans chaque cas, calculez le capital initial. a) À un taux d’intérêt composé semestriel de
3,5 %, le remboursement d’une dette sera de 10 559,92 $ après 3,5 ans.
c) À un taux d’intérêt composé trimestriel
de 2,75 %, le capital accumulé d’un prêt atteindra 14 115,01 $ dans 4 ans et 3 mois.
e) À un taux d’intérêt composé
hebdomadaire de 0,08 %, le remboursement d’une dette sera de 10 341,34 $ après 5 ans.
b) Dans 4 ans, le remboursement d’un
emprunt à un taux d’intérêt composé annuel de 5 % s’élèvera à 6563,73 $.
d) Dans 8 ans, le capital accumulé d’un
placement à taux d’intérêt composé annuel de 2 % aura une valeur de 7029,96 $.
f) Dans 20 ans, le remboursement
d’un emprunt à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,4 % s’élèvera à 625 608,04 $.
3 Dans chaque cas, déterminez la durée du placement ou de l’emprunt. a) Un capital initial de 3000 $ génère un
capital accumulé de 3312,24 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 2 %.
c) Le remboursement d’une dette de 500 $ à
un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,15 % est de 727,29 $.
e) Un capital initial de 7600 $ génère un
capital accumulé de 10 610,23 $ à un taux d’intérêt composé trimestriel de 1,4 %.
b) Un placement de 1400 $ rapporte
2691,50 $ à un taux d’intérêt composé mensuel de 3,5 %.
d) Le remboursement d’un emprunt de
13 500 $ à un taux d’intérêt composé quotidien de 0,024 % est de 18 665,01 $.
f) Le remboursement d’une dette de
13 000 $ à un taux d’intérêt composé semestriel de 2,4 % est de 18 999,53$.
Section 5.3
55
4 Dans chaque cas, calculez le taux d’intérêt composé. a) Le remboursement d’un capital initial de
25 300 $ à un taux d’intérêt composé semestriel est de 35 035,03 $ après 6 ans.
b) Le remboursement d’un capital initial de
c) Le remboursement d’un emprunt de
7100 $ à un taux d’intérêt composé trimestriel est de 8729,90 $ après 4 ans.
d) Un placement de 4700 $ à un taux
e) Un capital initial de 7800 $ à un taux
d’intérêt composé hebdomadaire génère un capital accumulé de 13 045,74 $ après 5,5 ans.
17 546 $ à un taux d’intérêt composé annuel est de 25 950,21 $ après 7 ans.
d’intérêt composé annuel rapporte 8699,37 $ après 8 ans.
f) Un capital initial de 3500 $ à un taux
d’intérêt composé mensuel génère un capital accumulé de 4064,90 $ après 2,5 ans.
5 Dans chaque cas, calculez le capital accumulé. a) On place un capital de 10 100 $ pendant
4 ans et 6 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 2 %.
c) On investit 12 000 $ pendant 10 ans
et 3 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 4,25 %.
e) On place un capital de 11 800 $ pendant
7 ans et 3 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 2,4 %.
b) On emprunte 17 800 $ pendant 6 ans
et 9 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 3,55 %.
d) On place un capital initial de 40 000 $
pendant 17 ans et 5 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 5,75 %.
f) On emprunte 200 000 $ pendant 25 ans
et 4 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 4,15 %.
6 En prévision des rénovations qu’elle veut faire dans quelques années, Emmanuelle estime avoir besoin de 15 000 $. a) Quelle somme doit-elle placer maintenant afin d’amasser l’argent nécessaire pour des rénovations dans 2 ans si le taux d’intérêt composé annuel est de : 1)
2,5 % ?
2)
3,5 % ?
3)
5 % ?
b) Quelle somme doit-elle placer maintenant à un taux d’intérêt composé annuel de 4,55 % afin d’amasser l’argent nécessaire pour des rénovations dans :
56
1)
3 ans ?
2)
7 ans ?
3)
10 ans ?
Vision 5
7 Léonie emprunte 24 500 $ pour acheter une voiture. Sachant que le taux d’intérêt composé mensuel est de 0,9 %, quelle est la durée de l’emprunt si la dette de Léonie s’élève à 33 825,80 $ ?
8 FONDS D’ACTIONS Un fonds d’actions est un type de placement financier dont l’actif est composé d’actions de différentes sociétés. Un épargnant investit 6700 $ dans un fonds d’actions. a) Déterminez le taux d’intérêt composé annuel moyen de ce fonds si, dans 8 ans, la valeur de son placement est de : 1)
9528,07 $ ;
2)
8055,62 $ ;
3)
10 050,81 $.
b) Si le taux d’intérêt composé trimestriel moyen de ce fonds est de 0,9 %, déterminez la valeur de son placement dans : 1)
3 ans ;
2)
5 ans ;
3)
10 ans.
Un fonds d’actions est destiné aux épargnants ayant une tolérance au risque relativement élevée et à la recherche d’une croissance à long terme.
9 Au travail, une personne reçoit une gratification de 500 $, qu’elle place à un taux d’intérêt composé annuel de 3 %. Quelle sera la valeur de ce placement dans 4 ans ?
10 La table de valeurs suivante indique la valeur d’un placement à intérêts composés annuels selon le temps. Valeur d’un placement Temps (années) Valeur ($)
0
2
4
6
15 000
16 380,38
17 887,78
19 533,90
Sachant que la valeur V de ce placement (en $) varie selon une règle de la forme V 5 C0(1 1 i )t , où C0 est la valeur initiale et t, le temps (en années), déterminez le taux d’intérêt composé annuel i de ce placement.
Section 5.3
57
11 CERTIFICAT DE PLACEMENT GARANTI (CPG) Le CPG est un placement sûr dans lequel le montant investi et le versement des intérêts sont garantis. Sophie investit 12 000 $ dans un CPG à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,58 %. a) Quelle sera la valeur de ce placement dans : 1)
9 mois ?
2)
5 ans ?
3)
10 ans ?
b) La différence de valeur de ce placement entre la 4e et la 6e année sera-t-elle la même qu’entre la 8e et la 10e année ? Expliquez votre réponse.
Le CPG, généralement offert pour différentes durées, est destiné aux épargnants ayant une faible tolérance au risque.
12 David et Anaïs aiment le plein air et le camping. Ils décident donc d’emprunter 12 000 $ pour l’achat d’une caravane. On leur offre un taux d’intérêt composé annuel de 4,5 %. À combien s’élèvera leur dette s’ils la remboursent dans 2 ans et 9 mois ?
13 Julien a hérité de 35 000 $. Il place cette somme durant 9 ans à un taux d’intérêt composé trimestriel de 1,25 %. Après ces 9 ans, il a l’intention de réinvestir son capital accumulé pour 9 ans de plus à un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,2 %. À combien s’élèveront les intérêts générés après ces 18 années ?
14 Olivier place 2000 $ dans une institution financière pour permettre à son fils de 5 ans d’acheter une voiture à sa majorité. Quel doit être le taux d’intérêt composé trimestriel du placement pour que cette somme soit triplée au 18e anniversaire de son fils ?
15 Myriam contracte un prêt à un taux d’intérêt composé semestriel de 2,66 %. S’il est prévu qu’elle remboursera son prêt en 14 ans et qu’elle versera un montant de 252 000 $, quelle somme a-t-elle empruntée ?
16 Amina veut cotiser à un REER pour un maximum de 3000 $. Voici l’offre de deux banques : À la banque A , on lui suggère de placer 3000 $ afin d’obtenir 5800 $ dans 5 ans.
À la banque B , on lui offre un taux d’intérêt composé mensuel de 0,35 % pour une durée de 5 ans.
Quelle offre Amina devrait-elle accepter ? Expliquez votre réponse.
58
Vision 5
Le Régime de rentes du Québec (RRQ) est un régime d’assurance public obligatoire pour la plupart des travailleurs. Il leur permet d’obtenir une prestation financière à la retraite. Si une personne veut constituer un capital supplémentaire en vue de la retraite, elle peut placer son épargne dans un régime enregistré d’épargne-retraite (REER).
17 Âgée de 18 ans, Florence rêve de faire un voyage autour du monde pour son 30e anniversaire. Afin d’amasser 20 000 $ pour son voyage, elle effectue un premier placement pendant 8 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 4,65 % grâce auquel elle compte atteindre 35 % de son objectif. Elle investira ensuite son capital accumulé dans un deuxième placement pour les années restantes. Déterminez : a) le capital initial placé par Florence ; b) le taux d’intérêt composé mensuel du deuxième placement qui lui permettra d’atteindre son objectif.
Cette illustration représente des monuments parmi les plus célèbres au monde.
18 Félix fait l’achat d’un bateau. Pour ce faire, il emprunte 7700 $ à un taux d’intérêt composé semestriel de 3 %. Au moment de rembourser son emprunt, Félix devra verser 10 658,60 $. Dans combien de temps Félix remboursera-t-il son emprunt ?
19 Alex emprunte 23 000 $ à sa mère à un taux d’intérêt composé annuel de 5,5 %. Il a l’intention de rembourser son prêt dans 5 ans et 6 mois. À ce moment, combien devra-t-il verser à sa mère ?
20 Afin de payer ses impôts, Christophe emprunte 8000 $ pour une période de 6 ans. On lui offre les deux options suivantes. Option A
Option B
Taux d’intérêt composé mensuel de 0,9 %
Taux d’intérêt composé annuel de 11,350 96 %
Quelle option Christophe doit-il choisir ? Justifiez votre réponse.
21 À la naissance de sa fille, Valérie investit 4800 $ dans des Obligations d’épargne du Québec dont le taux d’intérêt composé quotidien est de 0,04 %. Si on considère que chaque année compte 365 jours, quel âge aura l’enfant lorsque cette somme aura quadruplé ?
Section 5.3
59
Quelques mathématiciens de la finance Louis Bachelier (1870-1946) Louis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier est un mathématicien français. Ce précurseur de la théorie moderne des probabilités est reconnu comme étant le fondateur des mathématiques financières appliquées aux marchés financiers. En 1900, dans sa thèse de doctorat intitulée Théorie de la spéculation, il introduit l’utilisation en finance d’un modèle mathématique appliqué à la biologie : le mouvement brownien. Ses travaux ont été sous-estimés pendant de longues années, mais ils ont fini par être appréciés à une plus juste valeur à la fin de sa vie. Valeur
Le mouvement brownien est la description mathématique de la trajectoire d’une grosse particule heurtant de plus petites dans un fluide. Louis Bachelier est le premier à l’utiliser pour modéliser la dynamique des cours de la Bourse.
Mouvement brownien
24 20
Cours des actions de l’entreprise A
Valeur de l’action ($) 55
16
50
12
45
8 4 0
40 0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Temps
50
100
Benoît Mandelbrot (1924-2010)
H
B
20
G
10
A 0
70
F
D
30
E
C 2
4
Vision 5
6
8
10 Temps écoulé depuis l’achat (années)
Cours des actions de l’entreprise C
Valeur de l’action ($) 70 60 50 40 30 20 10
0
20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 20 10
Cours des actions de l’entreprise B
Temps écoulé depuis l’achat (jours)
Les fractales sont des objets géométriques ayant la propriété d’être décomposables en fragments, chacun ayant la même forme que le tout. Par exemple, au lieu de suivre le prix d’une action durant 5 ans, on peut le suivre un an, quelques mois, voire quelques jours. Que l’on considère un cours boursier pendant une longue ou courte période, les fractales montrent que l’allure générale est semblable.
Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-américain. Après un postdoctorat à Princeton, il s’installe définitivement aux États-Unis en 1958 pour travailler au centre de recherche d’IBM. Il invente une nouvelle classe d’objets mathématiques : les fractales. Mandelbrot s’est intéressé à modéliser l’évolution des cours de la Bourse en analysant le cours du coton. Selon lui, l’amplitude des variations du marché peut rester indépendante d’un jour à l’autre tout en étant corrélée sur de très longues périodes de temps. Valeur de l’action ($) 40
150
Années
Cours des actions de l’entreprise D
Valeur de l’action ($) 140 120 100 80 60 40 20
0
2
4
6
8
10 12 14 16 Temps écoulé depuis l’achat (années)
Fischer Black (1938-1995) Fischer Black est américain. En 1964, il obtient un doctorat en mathématiques appliquées de l’université Harvard. Il devient ensuite professeur de finance à l’université de Chicago en 1971, puis en 1975 au Massachusetts Institute of Technology (MIT).
Myron Scholes (1941- ) Myron Samuel Scholes est un économiste canadien. En 1964, il obtient une maîtrise en administration des affaires à l’université de Chicago, puis un doctorat en 1969. Il est reconnu pour ses travaux sur la valorisation des produits dérivés, notamment les options.
1. Répondez aux questions à partir du mouvement brownien.
a) Dans le graphique du cours des actions de l’entreprise A , quel intervalle de temps correspond à la partie généralement décroissante allant de 0,18 à 0,38 du mouvement brownien ? b) Décrivez l’allure générale du cours des actions de l’entreprise A du 200e jour au 230e jour.
Le modèle Black-Scholes S’appuyant sur des travaux de Robert Merton, Fischer Black et Myron Scholes sont les auteurs de l’article qui allait, en 1973, révolutionner les mathématiques financières et le mode de fonctionnement des marchés financiers : The Pricing of Options and Corporate Liabilities, connu sous le nom de modèle Black-Scholes. La découverte de ce modèle, qui utilise entre autres le mouvement brownien, sera récompensée par le prix Nobel d’économie en 1997. Le prix n’étant pas attribué à titre posthume, seuls Scholes et Merton sont récipiendaires du prix, Black étant alors décédé depuis deux ans. Contexte d’utilisation du modèle BlackScholes : « Un acheteur propose à un vendeur une option d’achat sur des actions pour une date ultérieure. Le vendeur demande une prime à l’acheteur pour exercer un tel privilège. » Le modèle Black-Scholes permet au vendeur de déterminer la prime nécessaire pour ne pas perdre d’argent.
2. Répondez aux questions à partir de la théorie de Mandelbrot.
a) Les cours des actions de l’entreprise B montrent un cycle fractal de 10 ans indiqué par les segments de droite joignant les points A-D-E-H. Pour cette entreprise, nommez deux cycles ayant la même forme pour des périodes plus courtes. b) Que devrait faire un investisseur avec les actions de l’entreprise C : 1) en 2008 ? 2) en 2010 ? c) Que deviendra la valeur des actions de l’entreprise D , de 17 à 22 ans après leur achat ?
3. Un acheteur propose à un vendeur une option
d’achat de 15 $ par action, qu’il pourra exercer dans un an, sur 1000 actions valant aujourd’hui chacune 18 $. Le vendeur accepte l’offre en demandant une prime de 2000 $. Selon le modèle Black-Scholes, analysez la position de l’acheteur et du vendeur si, au cours de l’année, la valeur des actions a : a) diminué de 20 % ; b) augmenté de 10 %.
Chronique du passé
71
Les gestionnaires de portefeuille Le métier
Les gestionnaires de portefeuille travaillent dans différents secteurs avec des services financiers comme les banques, les compagnies d’assurance, les firmes de gestion de placements et les sociétés de fonds d’investissement.
Les gestionnaires de portefeuille ont pour mandat de gérer le portefeuille d’un client ou d’une cliente, d’un investisseur ou d’une investisseuse ou d’une institution. Ces gestionnaires doivent faire l’analyse qualitative et quantitative des entreprises et des titres dans lesquels le client ou la cliente souhaite investir, et ce, afin d’en choisir la bonne combinaison en vue d’en maximiser le rendement compte tenu d’un niveau de risque donné.
Les qualités Les gestionnaires de portefeuille doivent être capables d’analyser une situation et de montrer de grandes aptitudes à communiquer. Ils et elles doivent également posséder une excellente connaissance des marchés et des produits de placement.
Les études Le ou la gestionnaire de portefeuille peut commencer sa carrière en tant qu’analyste en placements après avoir obtenu un diplôme universitaire ou une maîtrise en administration des affaires (MBA). Ensuite, il lui est possible d’obtenir le titre d’analyste financier agréé ou d’analyste financière agréée décerné par le Chartered Financial Analyst (CFA) Institute après avoir suivi les trois cours dispensés par ce dernier. Une autre option est d’obtenir le titre de gestionnaire de placement canadien offert par la Formation mondiale Canadian Securities Institute (CSI).
72
Vision 5
Les métiers connexes Outre la gestion de portefeuille, il existe plusieurs autres métiers dans le domaine de la finance. Par exemple, une personne peut travailler comme courtier ou courtière en bourse, négociateur ou négociatrice, opérateur ou opératrice de marché, économiste, chartiste ou même planificateur financier ou planificatrice financière. Au Québec, l’Institut québécois de planification financière (IQPF) est le seul organisme qui peut décerner un diplôme de planificateur financier ou de planificatrice financière, ce qui autorise la personne diplômée à porter ce titre. Chaque année, l’IQPF attribue le Prix de journalisme en littératie financière à un ou une journaliste du Québec qui contribue à faire rayonner la planification financière.
La gestion de portefeuille est un processus continuellement en mouvance et en constante évolution.
Certains gestionnaires acquièrent des spécialisations comme la gestion d’actions ou d’obligations. D’autres traitent les deux catégories de titres. Un gestionnaire de portefeuille conseille à une cliente d’investir une certaine somme d’argent à un taux d’intérêt composé annuel dans un portefeuille constitué d’actions de sociétés. La table de valeurs suivante montre l’évolution de ce portefeuille pour une certaine période. Évolution d’un portefeuille en actions de sociétés Temps écoulé (années) Capital accumulé ($)
1. Quel est le capital initial
du portefeuille composé d’actions de sociétés ?
2. Quel sera le capital accumulé
2
3
4
4984,13
5078,83
5175,33
du portefeuille composé d’actions de sociétés dans : a) 5 ans ?
D’après les prévisions du gestionnaire, le capital accumulé Cn (en $) de ce portefeuille devrait évoluer en moyenne selon une règle de la forme Cn 5 C0(1,019)n, où n représente le temps écoulé (en années) et C0, le capital initial (en $). Le gestionnaire conseille également à sa cliente d’investir 5400 $ dans un portefeuille composé d’obligations d’épargne à un taux d’intérêt composé annuel de 0,8 % pour la 1re année, de 0,9 % pour les 2 années suivantes et de 1 % pour les 3 dernières années.
b) 8 ans et 3 mois ? c) 10 ans et 6 mois ?
3. Quel sera le capital accumulé
du portefeuille composé d’obligations d’épargne dans 6 ans ?
Le monde du travail
73
1 Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont fausses ? 4 5 log3 81
A E
1 3
5 log1331 11
B 25 5 log5 125
C
7 5 log2 49
G
F
1 3
2 5 log8
D
H 5 5 log1 32
81 5 log9 2
2 Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont équivalentes à
log10 15 log10 3
2 5 log8 64 2
?
A
log 15
B
log 3
C
log3 15
D
log 5
E
log10 3 log10 15
F
log 15 log 3
G
2,465
H
0,4057
3 Récrivez l’expression exponentielle sous la forme logarithmique. a) 154 5 50 625
1
b) 123 5 1728
c) 77765 5 6
d) 95 5
1 59 049
4 Récrivez l’expression logarithmique sous la forme exponentielle. a) log16 4096 5 3
b) log20 400 5 2
c) log4
1 16 384
5 7
d) log161 051 11 5
1 5
5 Sans utiliser de calculatrice, déterminez la valeur de chaque expression. a) log5 25 2 log4 64 2 log 100 1 log7 7 1
1 3
1 36
c) 4 log5 52 1 log2 64 1 4 log6
b) 3 log2 16 1 6 log16 4 2 5 log 1 1 2 log9 93
1 8
2 log1 2
d) logp p 1 logr 1 2 logs s 3 1 2 logt t 5
6 Résolvez les équations exponentielles suivantes. a) 5(7)x 5 38
b) 4(0,9)x 5 25
3(10)2x 5 82,5 c) 2(6)3x 5 40 d)
7 Résolvez les équations logarithmiques suivantes. a) 5 log8 4x 5 10
b) 7 log9 10x 5 21
c) 6 log3 x 2 5 24
d) 4 log0,5 (16x 2 176) 5 20
4
8 Dans chaque cas, calculez le capital accumulé. a) On place 6300 $ pendant 4,25 ans à un
taux d’intérêt simple annuel de 9 %.
c) On investit 2800 $ durant 9 ans à un taux
d’intérêt composé annuel de 7,85 %.
e) On place 5250 $ pendant 7,5 ans à
74
un taux d’intérêt composé mensuel de 1,05 %.
Vision 5
b) On emprunte 4750 $ pendant 6,75 ans à
un taux d’intérêt simple mensuel de 0,7 %.
d) On emprunte 9700 $ pendant 8 ans à un
taux d’intérêt composé semestriel de 4,25 %.
f ) On emprunte 420 $ pendant 10 semaines
à un taux d’intérêt composé quotidien de 0,02 %.
9 Dans chaque cas, calculez le capital initial. a) Dans 9 ans, le capital accumulé d’un
placement vaudra 5067,60 $. Le taux d’intérêt simple semestriel est de 3,6 %.
b) Dans 2 ans, le remboursement d’une dette
c) Dans 6 ans, le capital accumulé d’un
placement vaudra 16 030,55 $. Le taux d’intérêt composé trimestriel est de 2,05 %.
sera de 3434,11 $ à un taux d’intérêt simple hebdomadaire de 0,37 %.
d) Dans 7 ans, le remboursement d’une
dette sera de 4476,28 $ à un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,11 %.
e) À un taux d’intérêt composé mensuel
f ) À un taux d’intérêt composé annuel de
de 1,9 %, le capital accumulé vaudra 31 726,17 $ dans 4 ans et 5 mois.
8,06 %, l’emprunt coûtera 62 681,48 $ après 9 ans.
10 Dans chaque cas, déterminez la durée du placement ou de l’emprunt. a) Un capital initial de 2400 $ génère un
capital accumulé de 3750 $ à un taux d’intérêt simple semestriel de 3,75 %.
b) Le remboursement d’une dette de 5975 $
c) Un capital initial de 3700 $ procure un
capital accumulé de 7186,56 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 11,7 %.
d) Le remboursement d’un emprunt de
e) Un capital initial de 33 800 $ génère un
capital accumulé de 63 768,97 $ à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,85 %.
à un taux d’intérêt simple trimestriel de 2,1 % est de 8735,45 $.
6975 $ coûtera 8250,57 $ à un taux d’intérêt composé quotidien de 0,06 %.
f ) Le remboursement d’une dette de 8800 $
à un taux d’intérêt composé trimestriel de 2,45 % est de 15 355,28 $.
11 Dans chaque cas, déterminez le taux d’intérêt. a) Un placement de 4550 $ à un taux
d’intérêt simple annuel rapporte 8685,95 $ après 9 ans.
c) Le remboursement d’un emprunt de
21 300 $ à un taux d’intérêt simple hebdomadaire est de 27 779,46 $ après 4,5 ans.
e) Un capital initial de 13 350 $ à un taux
d’intérêt composé hebdomadaire génère un capital accumulé de 24 903,73 $ après 7,5 ans.
b) Un placement de 5900 $ a rapporté
9715,60 $ après 6 ans. Le taux d’intérêt composé est trimestriel.
d) On emprunte un capital initial de 3850 $.
Dans 90 jours, son remboursement coûtera 3948,24 $. Le taux d’intérêt composé est quotidien.
f ) Le remboursement d’un capital initial de
22 700 $ à un taux d’intérêt composé semestriel est de 91 535,90 $ après 11,5 ans.
Vue d’ensemble
75
12 Dans chaque cas, déterminez le capital accumulé. a) On place 16 500 $ durant 6 ans et 9 mois
à un taux d’intérêt composé annuel de 7 %.
b) On emprunte 4300 $ durant 4 ans et
c) On investit 37 700 $ durant 5 semestres
et 3 mois à un taux d’intérêt composé semestriel de 4,6 %.
6 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 8,3 %.
d) On emprunte 5600 $ durant 3 ans et
1 mois à un taux d’intérêt composé trimestriel de 3,8 %.
13 Dans chaque cas, déterminez la valeur finale. a) La valeur d’un bien de 7297 $ augmente
en moyenne de 2,8 % par an pendant 6 ans.
b) La valeur d’un bien de 2899 $ diminue
c) La valeur d’une action achetée 18,47 $
augmente en moyenne de 6,4 % par an pendant 5 ans.
en moyenne de 3,1 % par an pendant 7 ans.
d) La valeur d’une action achetée 7,33 $
diminue en moyenne de 9,2 % par an pendant 8 ans.
14 Dans chaque cas, déterminez la valeur initiale. a) La valeur d’un bien a augmenté en
moyenne de 11,3 % par an pendant 3 ans pour atteindre 893,45 $.
c) La valeur d’une action a augmenté en
moyenne de 3,5 % par an pendant 9 ans pour atteindre 22,28 $.
b) La valeur d’un bien a diminué en moyenne
de 7,7 % par an pendant 10 ans pour atteindre 1833,68 $.
d) La valeur d’une action a diminué en
moyenne de 8,97 % par an pendant 4 ans pour atteindre 19,03 $.
15 On place 4800 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 7,1 % pendant 6 ans. Pendant cette même durée, on investit 5450 $ à un taux d’intérêt simple mensuel de 1,4 %. Quelle est la valeur des capitaux accumulés ?
16 Au cours d’un voyage scolaire en Chine, une étudiante publie une photo dans Internet. La première journée, 38 personnes voient cette photo. Puis, ce nombre augmente en moyenne de 22 % par jour. a) Combien de personnes verront cette photo la 14e journée ?
La muraille de Chine est le plus grand monument jamais construit par l’être humain. Elle est constituée d’un mur de 5 à 7 m de large et d’une hauteur variant de 5 à 17 m selon les sections. La construction de la muraille de Chine s’est étalée sur près de 2 millénaires.
b) Quelle journée 12 140 personnes verront-elles cette photo ?
17 Jérémy travaille comme sauveteur à la piscine municipale. Son salaire horaire est de 21,72 $. Son employeur lui accorde une augmentation de 2,85 % par an au cours des prochaines années. Quel sera le salaire horaire de Jérémy dans 6 ans ?
76
Vision 5
18 CHLORURE DE CALCIUM Le chlorure de calcium est un fondant routier utilisé au Québec en hiver pour le déglaçage des routes. Dans certaines conditions, ce sel peut réduire l’épaisseur d’une couche de glace de 12 % chaque heure suivant son application. Au cours d’une tempête Le ministère des Transports du Québec (MTQ) dispose de près de verglas, 7,5 cm de glace se sont de 8000 véhicules et équipements. Le MTQ possède un parc accumulés sur les routes avant de véhicules très diversifiés avec sa variété de voitures, de camionnettes, de camions, de véhicules électriques, de l’épandage du fondant. a) Quelle sera l’épaisseur de la glace 4 h après l’épandage ?
machinerie lourde et autres.
b) Après combien d’heures l’épaisseur de la glace sera-t-elle de 3 cm ?
19 Afin d’acheter un terrain, Manon a emprunté de l’argent. Dans 7 ans, la dette de Manon sera de 86 753,50 $. Si le taux d’intérêt simple mensuel est de 0,95 %, quel montant Manon a-t-elle emprunté ?
20 SUPER BALLES Les super balles, appelées aussi balles rebondissantes, sont fabriquées avec un caoutchouc synthétique inventé en 1964 par le chimiste Norman Stingley. Leurs rebonds sont bien plus élevés que ceux d’autres balles. À chaque rebond, une super balle perd 8 % de la hauteur maximale atteinte lors du rebond précédent. Durant une expérience, on laisse tomber cette balle d’une hauteur de 450 cm. a) Quelle sera la hauteur du 5e rebond de cette balle ? b) Quel rebond aura une hauteur de 165,45 cm ?
21 Un bijoutier estime que la valeur des colliers augmente en moyenne de 8 % par an alors que la valeur des montres augmente en moyenne de 6 % par an. Dans 7 ans, quel profit fera-t-on en revendant un collier et une montre payés respectivement 245 $ et 318 $ ?
22 La coque du voilier de Marie-Claude a besoin de réparations. Elle emprunte donc 2700 $ à son ami à un taux d’intérêt simple annuel de 9,3 % à rembourser dans 3 ans et 9 mois. Quel montant Marie-Claude devra-t-elle rembourser à son ami ?
La Transat Québec Saint-Malo est une course en haute mer d’ouest en est qui s’effectue sans escale et en équipage. Tous les quatre ans depuis 1984, plusieurs voiliers partent sur le fleuve Saint-Laurent, entre Québec et Lévis, pour se rendre en France.
23 En 1995, dans une municipalité, la valeur moyenne d’une propriété était de 173 250 $ et en 2015, de 409 905 $. Celle appartenant à un couple valait 192 700 $ en 1995. Si ce bien a suivi l’augmentation moyenne des propriétés de cette municipalité, combien valait‑il en 2015 ?
Vue d’ensemble
77
24 Benoît veut placer 4000 $ à un taux d’intérêt annuel de 9 % pendant 4 ans. Selon lui, les intérêts composés lui rapporteront au moins 200 $ de plus que les intérêts simples. Benoît a-t-il raison ? Justifiez votre réponse.
25 Dix ans après la fin de leurs études secondaires, deux amis ont prévu de voyager en Alaska. Ils en estiment le coût à 4200 $. Si l’un possède 2500 $, combien de temps après la fin de ses études secondaires devrait-il placer ce montant à un taux d’intérêt composé annuel de 9,03 % afin d’amasser l’argent nécessaire au voyage ?
26 Paul collectionne les sculptures. Après en avoir vendu une, il place le montant de la vente à un taux d’intérêt simple annuel de 5,25 % pendant 4 ans. Sachant que la valeur accumulée de ce placement est de 2879,80 $, quel était le prix de vente de la sculpture ? Le Penseur d’Auguste Rodin est l’une des plus célèbres sculptures en bronze. Elle représente un homme qui médite et qui semble faire face à un important dilemme. Réalisé vers 1880, le modelage original, en plâtre, mesure 71,5 cm de haut. Plus de vingt moulages de la sculpture sont répartis dans les musées de la planète. La plupart des moulages ont été réalisés lorsque le sculpteur était encore vivant.
27 Ayant hérité, Donald dispose de 12 000 $ qu’il souhaite placer à un taux d’intérêt simple semestriel de 5 %. Dans combien d’années le capital initial de Donald doublera-t-il ?
28 Stéphanie vend sa collection de cartes de hockey 5625 $. Elle place ce montant à un taux d’intérêt simple trimestriel de 3,1 % pendant 3 ans. Ensuite, Stéphanie replace le capital ainsi obtenu à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,75 % pour obtenir un capital accumulé de 11 046,87 $. Quelle est la durée du 2e placement de Stéphanie ?
Une carte de hockey de Wayne Gretzky, célèbre hockeyeur canadien, datant de 1979 a été vendue à un prix record en août 2016. Un acheteur anonyme a payé 465 000 $ US pour l’acquérir. Il s’agit de la première carte du joueur. Celui qu’on surnomme La Merveille a porté le numéro 99 durant sa carrière. Wayne Gretzky est le seul joueur dont le numéro est retiré pour l’ensemble des équipes de la Ligue nationale de hockey (LNH).
29 François a trouvé deux billets de même valeur dans la rue. Au lieu de les dépenser, il les place à un taux d’intérêt composé de 1,05 % par mois pendant 4 ans et 3 mois. François sait que le capital accumulé sera alors de 340,71 $. Quelle est la valeur de chaque billet trouvé par François ?
30 ARTS DE LA SCÈNE Au Québec, de 2011 à 2013, le prix moyen d’un billet de spectacle a connu une hausse importante. En 2 ans, le prix a augmenté de 9 $, passant de 32 $ à 41 $. Si cette tendance se maintient, quel sera le prix moyen d’un billet de spectacle en 2025 ? D’après l’Institut de la statistique du Québec, en 2014, 6 800 000 spectateurs ont assisté à 17 100 représentations payantes offertes un peu partout dans la province. En tout, les revenus de billetterie, en hausse de 4 %, ont atteint 238 M$.
78
Vision 5
31 Afin de rénover sa demeure, Antoine a emprunté 17 800 $ qu’il a dû rembourser 25 543 $. S’il a pris 5 ans pour rembourser son emprunt, à quel taux d’intérêt simple semestriel Antoine a-t-il fait son emprunt ?
La rénovation résidentielle est un domaine d’activité économique très important au Québec. En effet, la plupart des propriétaires de maisons rénovent certaines pièces environ tous les sept ans. La rénovation de la cuisine ou de la salle de bain et le changement de fenêtres et de portes sont les rénovations résidentielles les plus fréquentes.
32 Andrée-Anne est passionnée par l’aviation. Ayant obtenu son permis de pilote, elle emprunte 156 000 $ pour acheter un avion ultraléger. L’emprunt est fait à un taux d’intérêt composé semestriel de 3,3 %. Pour le rembourser, Andrée-Anne devra verser 308 483,08 $. Dans combien d’années Andrée-Anne remboursera-t-elle son emprunt ?
33 PRIX DU PÉTROLE Le prix du baril de pétrole brut est coté à la bourse NYMEX de New York. Les cours peuvent varier plusieurs fois en une même journée. De juin 2014 à janvier 2016, le prix du baril de pétrole a chuté en moyenne de 6,74 % par mois pour atteindre un prix plancher de 30 $. Quel était le prix du baril de pétrole 19 mois plus tôt, soit en juin 2014 ?
Le ralentissement de l’économie mondiale et une hausse de production expliquent en partie la baisse importante du prix du pétrole en 2015 et en 2016. Cependant, selon l’Office national de l’énergie (ONÉ), le prix du baril de pétrole brut devrait remonter à 80 $ US en 2020 et atteindre 105 $ US en 2040.
34 FONDS COMMUNs DE PLACEMENT Les fonds communs de placement sont des portefeuilles composés d’actions canadiennes ou étrangères, d’obligations, de titres hypothécaires et de titres du marché monétaire. Hubert a vendu son équipement de parachutisme 4750 $. Il a placé cet argent auprès d’une institution bancaire dans un fonds commun de placement. Sa valeur est désormais de 8193,58 $. Son rendement annuel est de 8,1 %. Depuis combien de temps Hubert a-t-il fait ce placement ?
35 Afin de faire fructifier son avoir, un couple a investi 6400 $ auprès d’un conseiller en placements. Au bout de 6 ans, le montant du capital accumulé et des intérêts capitalisés est de 9712,89 $. Quel est le taux d’intérêt composé utilisé : a) annuellement ?
b) trimestriellement ?
c) mensuellement ?
Vue d’ensemble
79
36 INDUSTRIE DU CAMPING Au Québec, l’industrie du camping est en plein essor. En 2012, les dépenses totales de séjour des campeurs québécois au Québec ont atteint 530 millions de dollars. Sur le territoire de la province, près de 900 terrains de camping offrent plus de 115 000 emplacements. Une personne emprunte 9600 $ pour acheter une tente-caravane. À échéance, cet emprunt a produit une dette de 14 184,16 $. Quelle était la durée, en années, de l’emprunt selon : a) un taux d’intérêt simple mensuel de 0,6 % ?
Plus de 2 millions de Québécois pratiquent le camping. Environ 40 % des campeurs utilisent une tente, 50 %, un véhicule récréatif et 10 %, les prêt-à-camper. Près de la moitié des emplacements de camping du Québec sont répartis dans les régions des Laurentides, des Cantonsde‑l’Est, de Québec et de la Montérégie.
b) un taux d’intérêt composé annuel de 5,85 % ? c) un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,15 % ?
37 Alyson doit emprunter un certain montant pour acheter un autoquad biplace. Son institution bancaire lui propose un taux d’intérêt composé de 8,65 % par an durant 6,5 ans. À la fin du prêt, Alyson devra rembourser 16 218,05 $. Combien Alyson a‑t‑elle emprunté ?
38 PRODUCTION CANADIENNE DE PÉTROLE Le Canada est le 6e producteur mondial de pétrole. Toutefois, sa part de marché n’est que de 4 %. En 2015, le Canada a produit 3,87 millions de barils par jour (Mb/j). Malgré des politiques environnementales et climatiques de plus en plus sévères, les spécialistes considèrent que la production canadienne de pétrole continuera de croître D’après l’Office national de l’énergie, le pétrole issu des sables jusqu’en 2040 pour atteindre bitumineux représente 90 % de la production canadienne de pétrole. Il une production de 7 Mb/j. Si ces existe deux grandes régions de production pétrolière au Canada : celle de prédictions sont exactes, quelle l’Ouest canadien, qui comprend l’Alberta, la Saskatchewan, la Colombieest l’augmentation annuelle Britannique et le Manitoba ; celle au large de la côte Est du pays, en Nouvelle-Écosse et à Terre-Neuve-et-Labrador. moyenne du nombre de barils de pétrole ?
39 Martin désire faire l’autoconstruction de son garage. Il doit emprunter 21 000 $ afin de financer les matériaux et les outils nécessaires. Une banque lui consent un prêt à un taux d’intérêt composé de 0,68 % par mois d’une durée de 8 ans. Quel est le taux d’intérêt simple annuel équivalent à celui proposé ?
40 FOUR À MICRO-ONDES En 1975, les premiers fours à micro-ondes ont été commercialisés pour le grand public. En 2015, plus de 80 % des ménages possédaient un four à microondes et son prix de vente moyen était de 150 $. Ce prix a diminué en moyenne de 5,2 % par an depuis 1975. Quel était le prix de vente moyen d’un four à micro-ondes en 1975 ?
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Vision 5
41 VOITURES ÉLECTRIQUES En 2016, il y avait plus de 8000 voitures électriques au Québec. Afin de réduire les gaz à effet de serre, le gouvernement du Québec encourage les Québécois à Afin d’inciter les gens à opter pour acheter des véhicules électriques en les des véhicules moins polluants, le aidant financièrement. On vise ainsi gouvernement du Québec offrait, 100 000 véhicules électriques en 2020 en 2016, un rabais pouvant aller jusqu’à 8000 $ sur l’achat d’un dans la province. Si cet objectif est véhicule électrique ou hybride et un atteint, quelle aura été l’augmentation rabais additionnel de 600 $ pour moyenne annuelle du nombre de l’installation d’une borne de recharge. véhicules électriques depuis 2016 ?
42 Le prix des actions d’une compagnie a fluctué au cours des dernières années. En 2005, le prix d’une action était de 42,12 $ et il a augmenté en moyenne de 8,42 % par an jusqu’en 2011. La compagnie a ensuite connu des difficultés en raison d’une récession. De 2011 à 2015, la valeur de l’action a chuté de 5,1 % par an en moyenne. Quelle était la valeur de l’action en 2015 ?
43 Afin de la féliciter pour ses résultats universitaires, Tanya a reçu une bourse de 3500 $ de son université. Elle désire placer cette somme pendant 8 ans. On lui propose les trois placements suivants. Placement A
Placement B
Placement C
Taux d’intérêt composé annuel de 6 %.
Taux d’intérêt composé semestriel de 2,9 %.
Taux d’intérêt composé mensuel de 0,48 %.
Quel placement est le plus avantageux pour Tanya ? Justifiez votre réponse.
44 En 1990, une famille québécoise pouvait subvenir à ses besoins de base avec 12 000 $ par an. Depuis, le coût de la vie a augmenté, en moyenne, de 3,2 % par an. En quelle année une famille québécoise pouvait-elle subvenir à ses besoins de base avec 25 000 $ ?
45 VOITURES DE COLLECTION Au cours des 20 ans qui suivent l’achat d’une voiture, sa valeur diminue en moyenne de 14,5 % par an. Ensuite, cette valeur reste stable durant 10 ans. Puis, si la voiture a été entretenue de façon minutieuse et qu’elle ne présente aucun défaut mécanique, elle reprend de la valeur au rythme de 6,8 % par an en moyenne. Dans combien d’années après l’achat une voiture de 48 000 $ retrouvera-t-elle sa valeur initiale ?
Vue d’ensemble
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banque de problèmes 1 ANTIBIOTIQUES Les antibiotiques sont utilisés en médecine pour lutter contre les infections bactériennes. Toutefois, prendre des antibiotiques affecte la population bactérienne du système digestif. On prescrit des antibiotiques à une patiente pendant 10 jours. Les règles suivantes permettent de calculer la population bactérienne P (en %) de son système digestif selon le temps écoulé t (en jours) depuis le début du traitement. Évolution de la population bactérienne pendant le traitement
Évolution de la population bactérienne après le traitement et jusqu’au retour à un niveau normal
P 5 100(0,85)t
P 5 Pfin de traitement (1,15)(t 2 10)
Selon un médecin, une fois le traitement terminé, le temps nécessaire pour un retour à un niveau normal de la population bactérienne du système digestif est supérieur à la durée du traitement. Démontrez si cette affirmation est vraie ou fausse. Les antibiotiques, qui sont des molécules, détruisent ou limitent la propagation des bactéries. Ils sont utilisés autant chez les êtres humains que chez les animaux en médecine vétérinaire.
2 L’achat d’une maison est une étape importante dans la vie d’une personne ou d’un couple. La formule suivante permet de calculer le nombre de paiements nécessaires pour rembourser un prêt hypothécaire. – P est le montant du prêt hypothécaire (en $) ; P 5 M 3
12
1 11i
i
n
, où : – M est le montant de chaque paiement (en $) ; – n est le nombre de paiements mensuels ; – i est le taux d’intérêt mensuel.
Pour acheter sa première maison, un couple contracte un prêt hypothécaire de 192 500 $ à un taux d’intérêt annuel de 5,25 %. En tant que courtier hypothécaire, expliquez à ces personnes les économies possibles si elles choisissent des paiements mensuels de 1100 $ au lieu de 1000 $.
3 Une épargnante investit 1700 $ dans un placement A à un taux d’intérêt simple mensuel de 0,25 % dont la valeur à échéance sera de 1904 $. Pour la même durée, elle investit également un certain montant dans un placement B à un taux d’intérêt composé trimestriel de 1,75 % dont la valeur à échéance sera de 3233,83 $. Quel est le capital initial du placement B ?
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Vision 5
4 Voici deux situations simultanées dans lesquelles la population d’une ville varie en fonction du temps écoulé depuis le début de 2012. Ville A
Ville B
Chaque année depuis 2012, la population augmente de 30 % par rapport à l’année précédente.
La population P évolue selon la règle P 5 P0e , où P0 représente la population au début de 2012, et t, le temps écoulé (en années). 3t 10
Par rapport au début de 2012, dans quelle ville la population triple-t-elle en premier et combien de temps avant l’autre ?
Selon l’Institut de la statistique du Québec, de 2011 à 2015, le taux d’accroissement annuel moyen de la population du Québec a été de 7,9 %. Durant cette même période, les régions de Laval et des Laurentides ont connu respectivement des hausses démographiques de l’ordre de 11,5 % et de 11,2 % tandis que la région de Gaspésie–Îles-de-la-Madeleine subissait une baisse démographique de l’ordre de 7,2 %.
5 Voici une conversation entre une gestionnaire de fonds et un investisseur.
« Au cours des 5 prochaines années, vous verserez 2000 $ chaque 1er janvier dans un fonds commun de placement. Le taux d’intérêt composé annuel sera de 3 % et les intérêts seront calculés à la fin de chaque année. »
La gestionnaire de fonds affirme que la valeur à échéance de ce placement sera supérieure à 10 500 $. Démontrez si cette affirmation est vraie ou fausse.
6 En 2000, le prix du litre d’essence à la pompe était de 0,78 $. De 2000 à 2008, ce prix a augmenté en moyenne de 8,34 % par an. En 2009 et 2010, ce même prix a diminué pour atteindre 1,05 $. Quel était le pourcentage de diminution moyen par an du prix moyen du litre d’essence à la pompe pour 2009 et 2010 ?
7 La valeur d’un placement effectué à un taux d’intérêt composé trimestriel de 1,2 % est de 14 200 $ à l’échéance d’un terme de 12 ans. Montrez que le capital accumulé de ce placement serait inférieur à 1,6 fois sa valeur initiale s’il avait été effectué à un taux d’intérêt simple annuel de 4,3 %.
Banque de problèmes
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Des expériences aléatoires aux probabilités Est-il possible de prévoir ou même de contrôler le hasard ? Comment détermine-t-on les probabilités de précipitations pour une journée à venir ? Comment savoir si un jeu de hasard est équitable ou non ? En quoi les probabilités influent-elles sur l’espérance de gain de certaines entreprises ? Dans Vision 6, vous effectuerez des calculs probabilistes associés, entre autres, à la météorologie et à l’analyse financière. À l’aide de l’espérance mathématique, vous déterminerez si un jeu de hasard est équitable et vous apporterez des modifications à un jeu inéquitable afin qu’il devienne équitable.
Arithmétique et algèbre
Géométrie
Graphes
Probabilités • Méthodes de dénombrement • Probabilité subjective • Chances pour et chances contre • Distinction entre probabilité et chance • Espérance mathématique et équité
Le virus de l’immunodÊficience humaine
Pierre-Simon de Laplace
Les analystes financiers
manuel de l’élève volume
Le 3e volume de la collection Visions 3e année du 2e cycle du secondaire, séquence Culture, société et technique, a été conçu dans l’esprit du Programme de formation de l’école québécoise et répond à la mise à jour de cette séquence. Manuel de l’élève, volume 3
• Supplément Vision 1, incluant notamment les inéquations • Supplément Vision 2, incluant notamment la loi des cosinus • Vision 5, un chapitre sur les mathématiques financières, incluant notamment
les logarithmes, les intérêts simples et les intérêts composés dans différents contextes financiers
• Vision 6, un chapitre sur les probabilités, incluant notamment les probabilités subjectives, les chances pour, les chances contre et l’espérance mathématique
Dominique Boivin • Richard Cadieux • Claude Boivin • Antoine Ledoux Étienne Meyer • Dominic Paul • Nathalie Ricard • Vincent Roy
Culture, société et technique
Guide d’enseignement, volume 3
• Notes pédagogiques pour chacun des chapitres, incluant la planification détaillée • Nombreuses fiches reproductibles et leurs corrigés (Soutien, Consolidation, Enrichissement, Portrait)
• SAÉ incluant les carnets et les grilles d’évaluation • Tests et leurs corrigés
CODE DE PRODUIT : 216912
9001, boul. Louis-H.-La Fontaine, Anjou (Québec) Canada H1J 2C5 Téléphone : 514 351-6010 • Télécopieur : 514 351-3534
9 782761 791083
Culture, société et technique
• Manuel de l’élève, volume 1 • Manuel de l’élève, volume 2 • Manuel de l’élève, volume 3 • Guide d’enseignement, volumes 1 et 2 • Guide d’enseignement, volume 3
volume
Les composantes de la collection Visions
mathématique 3 e année du 2 e cycle du secondaire Dominique Boivin Richard Cadieux Claude Boivin Antoine Ledoux Étienne Meyer Dominic Paul Nathalie Ricard Vincent Roy