Roberto A. Tenenbaum
PROCESSAMENTO DE SINAIS EM ACÚSTICA E VIBRAÇÕES
4 BaseComplexaeFunçõesHarmônicas
5ConvoluçãoeCorrelação
5.1Convoluçãodedoissinais.........................117
5.2Propriedadesdaconvolução........................120
5.2.1Comutatividade...........................120
5.5.1Propriedadesdacorrelação....................143
5.5.2Correlaçãonormalizada......................146
6SériedeFourier
7TransformadadeFourier
7.3.3Escala................................215
7.3.4Translação..............................217
7.3.5Rotação...............................219
7.3.6Diferenciação............................220
7.3.7Paridade...............................222
7.4TeoremadeParseval............................224
11.5Mediçãodeintensidadesonora......................377 11.6Mediçãodetempodereverberaçãoemsalas..............386
11.6.1Métododainterrupçãoderuído.................387
11.6.2Métododaintegraçãoreversa...................389 11.7Mediçãodepotênciasonora........................393 11.8Mediçãodecoeficientedeabsorçãodemateriais............398
11.8.1Métododotubodeimpedância.................399 11.8.2Métododecampodifuso.....................407 11.9Mediçãodecoeficientedeespalhamentodedifusores.........412 11.10Mediçãodeinteligibilidadedafala...................415 11.11Mediçõesemacústicamusical......................420 11.12Simulaçãocomputacionaleaurilizaçãoemsalas............424
12AplicaçõesemVibrações 435
12.1Mediçãodafrequênciadeumosciladorharmônico..........437 12.2Mediçãodoamortecimentodeumsistemavibrante..........439 12.3Mediçãodeparâmetrosdeumisoladordevibrações.........442 12.4Mediçãodeparâmetrosdeumamolahelicoidal............447 12.5Mediçãodefrequênciadeumdiapasão.................449 12.6Mediçãodeparâmetroselásticosemviga................451 12.7Mediçãodevibraçãoemplacas......................457 12.8Mediçãodevibraçãoemcordas......................460 12.9Sistemasdinâmicososcilatórios......................463
Referências Bibliográficas
468
Capítulo 1
Introdução
Emtudo,háapenasummododecomeçarquando sedesejadiscutiradequadamenteumassunto: éprecisoentenderoobjetodadiscussão. Platão
ProcessamentodeSinais constituiumadisciplinadeamplaaplicaçãonasmaisdiversasáreascientíficas.TemsubstancialimportâncianasEngenharias(Elétrica, Mecânica,Civil,Materiais,Minas,Biomédica,Acústica,entreoutras),nasCiênciasExatasedaTerra(Física,Química,Astronomia,Geociências,entreoutras), nasCiênciasdaSaúde(Medicina,Odontologia,Fonoaudiologia,entreoutras),nas CiênciasBiológicas(Genética,Botânica,Zoologia,Biofísica,entreoutras),nasCiênciasAgrárias(Agronomia,Zootecnia,RecursosPesqueiros,entreoutras),nas CiênciasSociaisAplicadas(Administração,Economia,ArquiteturaeUrbanismo, Demografia,entreoutras)emesmoemCiênciasHumanas(Geografia,porexemplo).Seriacertamentemaisfácilenumerarasáreasdoconhecimentohumano ondeodomíniodastécnicasdeprocessamentodesinais não constituiumelementofundamentaledegrandeaplicação.
Processamentodesinaiséumaáreadoconhecimentoquepoderíamoscompararàchuva.Emsimesma,nãoparececonstituirnadademuitorelevante,porém semelaoutrasatividadeshumanasnãopoderiamsedesenvolver,nemtampouco existiravidanoplanetaTerra.Processamentodesinaisaplica-se,comomencionado,avastasáreasdoconhecimento,sendoimprescindívelemdiversasdestas, dentreasquaissedestaca AcústicaeVibrações (A&V).
Mas, oqueestamosquerendodizercomestaexpressãoumtantoenigmática: “ProcessamentodeSinais”?Ora,umsinal—temadiscutidocommaisdetalhesno Capítulo2—nadamaisédoqueumafunçãodeumaoumaisvariáveis,que representaumdeterminadofenômeno(físico,químico,geológico,biológicoetc.) doqualnosinteressa extrairinformações.Atítulodeexemplo,osinaldeumeletrocardiograma,captadoporumsensordebatimentoscardíacos,podeinformar aoprofissionaldesaúdeascondiçõesdocoraçãodopaciente;umsinalgeológico,capturadoporumgeofone,podeinformaraogeólogoouengenheirosobre apresençaounãodepetróleoougásnosubsolo;umsinaldeumradiotelescópio,capturadoporumaantenaparabólica,podeassinalarapresençadeumastro aindanãoidentificadoetc.Paraquesepossa extrair essasinformaçõesdossinais captadospelos sensores,sempreseránecessáriopassarossinaisporumoumais dispositivos,cujafunçãoconsisteemfiltrarasinformaçõesdesejadasdossinais originais.Essesdispositivosproverãoasinformaçõesbuscadaseoprocedimento paratalédenominado processamentodesinais.
Historicamente,segundoOppenheim,1 osprincípiosde ProcessamentodeSinais provêmdastécnicasclássicasdeanálisenuméricadoséc.XVII.Nadécadade1940, ascontribuiçõesdeShannon2 deramumgrandeimpulsoàárea.Processamentode sinaiscresceucomocampodeaplicaçãoparadiversasciênciasnasdécadasde1960 e1970eoadventodos chips paracomputadoresdigitaisfavoreceuosurgimento, nosanos1980,do processamentodigitaldesinais. 3
Sinaispodemsercontínuosoudiscretos,podemseranalógicosoudigitais, podempossuirvaloresreaisoucomplexos,podemserfunçãodeumavariável temporal,espacial,frequencialoudeoutranatureza,podemserunidimensionais oumultidimensionais,podemterdomíniofinitoouteremdomínioinfinitoetc.No Capítulo2umadiscussãomaisamplasobreostiposdesinaisseráapresentada.
Permanenteversustransiente
Seestamosemumambientesilencioso,comoemumabiblioteca,umestampido ouumgritodeverácertamentenoschamaraatenção.Se,aocontrário,estamos numambienteruidoso,comoemumafesta,e,subitamente,faz-sesilênciopor qualquerrazão,nossossentidostambémdarãoumalerta.Emoutraspalavras, oquenoschamaaatenção—eissosignificaquealguma informação estásendo transmitida—éo transiente.
Sedesejamosumaboanoitedesono,ospressupostossãode regimepermanente: poucaluzepoucosom,mas,principalmente,nãovariantescomotempo.Éa condiçãode estacionaridade dascondiçõesambientesquevainosgarantirumanoite desonoreparador.
1Alan VictorOppenheim,(1937–)engenheiroeletricistaecientistadacomputaçãoestadunidense.
2ClaudeElwoodShannon(1916–2001)matemáticoecientistadacomputaçãoestadunidense.
3VerF.Nebeker(Editor).FiftyYearsofSignalProcessing:TheIEEESignalProcessingSociety anditsTechnologies1948–1988.Piscataway,1998[178].
Toda ainformaçãoprovémdo regimetransiente.Oprópriouniverso,empermanenteexpansão,consisteemumsistemaemregimetransiente,comsuasesferas circulantesemumadelicadadinâmica.Oreinadodostransienteséconsideravelmentemaioremaiscomplexodoqueodomíniodaestacionaridade.Poressa razão,dentreoutras,sinaissãotãointeressantesdeseremestudadoseanalisados, porque,arigor,referem-setodosasituaçõestransientes.4 Podemosdizer,portanto,queoestudodeprocessamentodesinaiséoestudodostransientesesuas características.
Acústicaevibrações
Concentrandoa nossaatençãonaapaixonante,instiganteemultidisciplinarárea deconhecimentoconhecidacomo AcústicaeVibrações (A&V),cujainserçãonas áreascientíficassupracitadasé—porsuacaracterísticadeextremainterdisciplinaridade—bastantedifícilecontroversa,adisciplinade ProcessamentodeSinais édeusomassivoparaasoluçãodosmaisvariadosproblemascaracterísticosda área.Atítulodeexemplo,umadasinformaçõesmaisimportantesquesepodem extrairdeumdadosinalsonoroéseu conteúdoespectral,ouseja,seuconteúdono domíniodafrequência.Issoérealizadopormeioda sériedeFourier ouda transformadadeFourier,comoserávistonosCapítulos6e7destetexto,eaanáliseno domíniodafrequênciadeumsinalsonoroconstituiumdosprocedimentosmais importantesemprocessamentodesinaisqueserãoestudadosaolongodolivro. Emrealidade,oconceitode transformada perpassapornossaexistência.Por exemplo,sabe-seque,tantoemamplitudequantoemfrequência,apercepção humanaémuitomaispróximadeumaescalalogarítmicadoquedeumaescala linear.Nafrequência,identificamosossonsporsuasrazõesenãoporsuasdiferenças,comumaoitavacorrespondendoadobrar(oudividirpordois)afrequência. Jánaamplitude,nossapercepçãodeintensidadessonorasacompanhaaproximadamenteaescalaemdB,queéumaescalalogarítmica.Ora,quandoaplicamoso logaritmoaumagrandeza,estamosrealizandoumatransformada(logarítmica). Atransformadalogarítmicaconverteprodutos/quocientesemsomas/subtrações epotenciações/radiciaçõesemprodutos/quocientes.
Domesmomodo,atransformadadeLaplace,atransformadadeFourier,a transformadawavelet,atransformadadeHadamard,dentremuitasoutras,constituempontesentreparesdedomíniosquenosajudamaestudarinúmerosfenômenoscomplexos.EmA&V,semqualquersombradedúvida,portratar-sede sistemaseminentementelineares,atransformadadeFourierimperaeseráexaustivamenteestudadaaolongodestetexto.
Oconceitode sistemaslineares seráabordadonoCapítulo2.Sistemasemqueo princípiodasuperposiçãoseaplica,ouseja,sistemasemquesepodem,porassim dizer,adicionarcausaseefeitos,recebemumtratamentoparticularemproces-
4Aexceção queconfirmaaregraconstituindo,evidentemente,osinal correntecontínua,ouseja,o sinalconstante.
Capítulo 2 SinaiseSistemas
Viververdadeiramenteéviver recebendoasinformaçõesadequadas.
NorbertWiener
Anossavidaestárepletadeestímulosaexcitarossentidos.Estímulosvisuais, auditivos,táteis,olfativosegustativossão captados pelosnossosórgãossensoriais (olhos,ouvidosetc.),estimulandoocórtexcerebralqueprocessaessasinformações,indispensáveisànossasobrevivência.Cadaestímulodessescorrespondea um sinal.Sinais,naturalmente,extrapolamdemuitoacapacidadehumanade percebê-los.Emnossocotidiano,estímulosdosmaisdiversostipos,taiscomo sinaisderádio,detelevisão,devibração,ousinaisdeultrassom,debatimento cardíaco,eletroencefalográficos,ou,ainda,sinaisdesismógrafos,radiotelescópios, sonares,dentremuitíssimosoutrosquepermeiamnossohabitatcivilizatório,só podemserobservadospormeiodeinstrumentaçãoadequada.
Sinaispodemdescreverumavariedadeimensadefenômenosfísicos.Sãousualmenterepresentadosmatematicamentepormeiode funçõestemporais,muitoemborapossamostersinaisdependentesdeoutrasvariáveis(posição,frequência, númerodeondaetc.).Sinaispodemserrepresentadosporfunçõesreais,complexas,vetoriaisou,ainda,seremfunçãodemaisdeumavariável.Porexemplo, umsinalacústicodevozoudoruídodeumamáquinapodemserrepresentados porumafunção(realoucomplexa,dependendodocontexto)davariáveltempo, t; jáumsinaldeimagem2D(umafotografia,digamos)requer,naturalmente,duas variáveisespaciais, x e y,digamos,e,nocasodeumvídeo,dependerádeduas
variáveisespaciaiseumavariáveltemporal.
Cumpreobservarque,namaioriadoscasospráticos,afunçãotemporalquecaracterizaosinalqueestamosanalisandoédemasiadocomplexaparaserexpressa porumafunçãoanalítica.Porexemplo,aFig.2.1apresentaumtrechodesinal devozhumana,captadoporummicrofone.Éclaramenteinviávelrepresentaro sinalpormeiodeumafunçãoanalítica,oquenãoimpedeemabsolutoseuprocessamento.Todavia,oprezadoleitorobservaráque,principalmentenaParteA destelivro,utilizaremosbasicamentesinaisanalíticosparamelhorcaracterizare exemplificarosconceitosbásicosemprocessamentodesinais.
2.1: Exemplodesinaltemporaldevozpronunciando“ProcessamentodeSinais”.
Asaplicaçõesdeprocessamentodesinaissãotãovastasqueseriaimpraticávelenumerá-lastodasaqui,correspondendoaumatentativade“contarestrelas”. Alémdisso,novasaplicaçõessurgemacadadia,sejaporquenovosdesenvolvimentospropiciamrecursosparaasoluçãodevelhosproblemas,sejaporquevelhas técnicasencontramaindaaplicaçõesinovadoras.Algumasdessasaplicações,organizadasemcategorias,sãodescritasaseguir,semamenorpretensãodeesgotar oassunto.1
1 Processamentodevoz.Umadasmaisimportantesvertentesdeaplicaçãode processamentodesinaiséjustamenteoprocessamentodesinaisdevoz. Técnicasparatransmitir,sintetizar,filtrar,reconhecer,modificareautenticar avozhumanasãoapresentadassumariamenteaseguir(asaplicações,não astécnicas).
1.1 Armazenamentoetransmissãodafala.Consistenoprocessamentodosinal devozdemodoareduzirovolumededadosaseremtransmitidos. Encontram-seaplicaçõesimportantesemtelefoniadigital(fixaoumóvel).
1.2 Síntesedavoz.Consistenoprocessamentodesinaisobjetivandogerar umsomcomcaracterísticassemelhantesàsdavozhumana.Aplicaçõessãocomunsemsistemasautomáticosdeorientaçãoeinformação públicas,telefonia,computadoreserobôs.
1Ver,porexemplo,J.S.Chitode.SignalsandSystems.TechnicalPublicationsPune,Pune,2009, [48]ouD.R.Fanin,R.E.Ziemer,W.H.Tranter.SignalsandSystems:ContinuousandDiscrete.4th edition,PrenticeHall,London,1988,[76]ouD.L.Fugal,R.G.Lyons.TheEssentialGuidetoDigital SignalProcessing.PrenticeHall,London,2014,[85].
Figura
1.3 Otimizaçãoda voz.Trata-sedeprocedimentosdeprocessamentodesinaisvisandoampliarainteligibilidadedeumsinaldefala.Aplica-sea sistemasdecomunicaçãoemambienteruidoso,talcomono cockpit do pilotodeumhelicópteroounosaguãodeumaeroporto.
1.4 Verificaçãodeautenticidadevocal.Consisteemtécnicasdeprocessamento desinaiscomoobjetivodefazeroreconhecimentoinequívocodeuma pessoaapartirdasua assinaturavocal.Aplica-seapraticamentetodos ossistemasondeasegurançaéessencial,talcomocontasbancárias, bancosdedados,portasdeacesso,cofresetc.Essaéumaáreadegrande interfacecomacriptografia.
1.5 Reconhecimentodevoz.Consisteemreproduzirumtextoescritoapartir davozfalada.Essaconversãoacústico-visualédeextremautilidade, porexemplo,paracomandarumcomputador,umveículoautomotor, ouqualqueroutrosistemapormeiodavoz,gerandoassimumainterfacemuitomaisamigável.
2 ProcessamentodeImagem.ImagensdaTerra,Luaeoutrosastrossãocomuns aosnossosolhos,masquantosnãoselembramdessasmesmasimagensdesfocadas,confusas,oumesmoimperceptíveis?Algumasdasvertentesde processamentodesinaisaplicadoaotratamentodeimagenssãoabordadas aseguir.
2.1 Radiotelescópios.Asimagenscaptadaspelospotentesradiotelescópios presentesnosgrandesobservatóriosastronômicossãosubmetidasaum processamentomaciçodesinaisparaapresentaremoaspectomaisou menoscompreensívelquesevênamídia.Essastécnicassãofundamentais,sobretudoparagarantiraprecisãodasinformaçõescontidasna imagem.Algunsalgoritmosefetuamumarestauraçãodaimagem,ou seja,buscamremoverdistorçõesintroduzidaspeloprocessodeaquisiçãodamesma,principalmentepelaeliminaçãodoruídoaditivo.
2.2 Ultrassonografia.Asimagensproduzidaspelaultrassonografiadeaplicaçãomédica,jábastantepopularizada,sãoresultantesdoprocessamentodossinaisdeimagemrecebidospeloatuador/sensor.Coma evoluçãocontinuadadessastécnicas,asimagensobtidasvêmseaperfeiçoandoetornando-secadavezmaisnítidaseprecisas.Aultrassonografiaéutilizadatambémemmeiosnãobiológicos,comométodonão destrutivodeensaiodemateriais.Nessecaso,aultrassonografiaéutilizadaparaidentificarapresençadecorrosão,verificaraqualidadede soldas,conferiraespessuradeparedeemdutos,prospectarfalhasem elementosestruturaisetc.Aqui,oprocessamentodossinaisdeimagem permiteumamaiordefiniçãoeumaumentosubstancialdaprecisãoe acuráciadométododeensaio.
2.3 Tomógrafos.Atomografiacomputadorizadaéumatécnicadeprocessamentodeimagensquereconstróiumaestruturatridimensionalapartir
Capítulo 3 Distribuições
Belezaéoprimeiroteste:nãoháumlugar permanentenomundoparamatemáticafeia.
GodfreyHaroldHardy
Naanálisedesinais,estãopresentesfunçõessingulares—conhecidascomo funçõesgeneralizadas1 ou distribuições —quedesempenhamumpapelfundamentalno estudoteóricodeprocessamentodesinais.
Funçõesgeneralizadasoudistribuiçõessãofunções,porassimdizer,malcondicionadas,nosentidodequesãoilimitadasemdeterminadospontosdeseudomínioounãopossuemderivadadefinidaemtodososseuspontos(ouambos);de ummodogeral,sãofunçõesquenãopodemserdevidamentedefinidasnoarcabouçodasfunçõesusuais.Contudo,dopontodevista—oudeescuta—teórico, sãofunçõescujoconhecimentoecapacidadedemanipulaçãosãoabsolutamente fundamentaisparaacompreensãoeodomíniodastécnicasdeprocessamentode sinais.Devidoàsuasingularidade,umadasmaneirasmaissimplesdeestudar funçõesgeneralizadaséatravésdefuncionais.2
Oexemplomaistípicodeumafunçãogeneralizadaéoda distribuiçãodeDirac, 3 tambémconhecidacomo deltadeDirac ouaindacomo impulsãounitária,veja Fig.3.1.
1Ver,porexemplo,I.M.Gel’fand,G.E.Shilov.GeneralizedFunctions.AcademicPress,NewYork, 1964[87].
2Oconceitode funcional seráabordadonaSeção3.1.
3PaulAdrienMauriceDirac(1902–1984),físicobritânicoqueintroduziuoconceitoem1930.
Figura 3.1: RepresentaçãográficadodeltadeDirac, δ(t)
AdistribuiçãodeDiracéumafunçãogeneralizada—porque,comomostra ailustração,nãoestádefinidoseuvalorousuaderivadaem t = 0—equevale zeroparatodo t = 0e,digamosassim,“tendeainfinito”em t = 0,detalmodo quesuaintegralemtodoodomíniodosreaiséunitária.Esseéosignificadodo número’1’noeixoverticaldaFig.3.1.AdistribuiçãodeDiracénotadacomo δ(t) (Essa“definição",contudo,éinconsistentedopontodevistadocálculousual,e voltaremosàdefiniçãododeltadeDiracnaSeção3.4comorigornecessário.)
Deumaformamaisgeral,adistribuiçãodeDiracpodeserdefinidacomo defasada ou retardada ouainda deslocada comrespeitoàorigem,naforma δ(t t0), sendo t0 umaconstante.4 Nessecaso,afunçãogeneralizadaéconsideradacomo nulaquandoseuargumentoédiferentedezero,ouseja,quando t = t0,mantendosesuaintegralemtodoodomínioigualàunidade,vejaFig.3.2.
Figura 3.2: RepresentaçãográficadodeltadeDiracdeslocado, δ(t t0),com t0 > 0.
AdistribuiçãodeDiracestápresenteemdiversosramosdafísicaaplicadae, comespecialimportância,comomencionadoanteriormente,noestudodetécnicas deprocessamentodesinais.
AdistribuiçãodeDiracpodeserigualmentedefinidaemfunçãodeumavariáveldeposição.Porexemplo,se x =(x, y) correspondeaumpontonoplano decoordenadas x e y,então,podemosterumdeltadeDiracespacial,daforma δ(x, y),ouumdeltadeDiracespacialdeslocado,daforma δ(x x0, y x0),conformeilustradonaFig.3.3.
4Observequese t0 > 0odeltaédeslocadoparaadireita,aopassoquese t0 < 0odeltaé deslocadoparaaesquerda.
Figura 3.3: RepresentaçãográficadedoisdeltasdeDiracespaciais,sendoumna origemeoutrodeslocadoparaoponto (
Emsuma,adistribuiçãodeDiracpodeserdefinidacomofunçãodequalquer variável(tempo,frequência,distância,númerodeondaetc.)podendoestaser escalar,comoindicadonasFigs.3.1e3.2,ouvetorial,comoilustradonaFig.3.3. Nestetexto,trataremosquasequeexclusivamentededistribuiçõesdeDiractemporaise,eventualmente,frequenciais.
ASeção3.1discutesumariamenteanoçãodefuncionaisesuasimplicações sobreoconceitodedistribuições.Veremosqueéatravésdaaplicaçãodefuncionais àsdistribuiçõesquepodemosmelhorcompreenderaspropriedadesdestas.
Aintroduçãodosespaçosdefunçõesnessepontofavoreceacompreensãomais ampla,aposteriori,dasériedeFouriereseusignificadocomodecomposiçãode umafunçãoperiódicaemumabasedefunçõesortogonais.
ASeção3.2tratadasdistribuiçõespropriamenteditas.Osconceitosdedistribuiçãoedefunçãogeneralizadasãopropositalmenteconfundidos,umavezque suadistinçãoprecisanãoédeinteressedopontodevista(oudeescuta)dasaplicaçõespráticas.NaSeção3.3éintroduzidooconceitodeprodutoescalaremum espaçodefunções(ordináriasougeneralizadas).
ASeção3.4introduzformalmenteadistribuiçãodeDirac.ASeção3.5apresentaalgumasdasprincipaispropriedadesdasdistribuições.ASeção3.6reúne aspropriedadesdadistribuiçãodeDiraceoutrasdistribuiçõesdeladerivadas. Finalmente,aSeção3.7discuteaequivalênciaentreduasdistribuições.
3.1Funcionais
Umfuncional J éumoperadorquetransformaumafunçãoemumnúmeroreal, vejaFig.3.4.
Capítulo 4
BaseComplexaeFunções Harmônicas
Deuscriouosnúmerosinteiros, tudoomaisétrabalhohumano.
LeopoldKronecker
Agrandemaioriadossinaiscarregainformaçãodeamplitudeefase.Quandoa fasenãoimporta,dizemosqueosinaléexclusivamentedeamplitudeeseuprocessamentoémaissimples.Porexemplo,seestamosouvindomúsicaatravésdeum sistemadeáudioestéreo,nãonosimporta,paraaboaapreciaçãomusical,a fase do sinalesimoutrascaracterísticas,taiscomo amplitude, conteúdoespectral, dinâmica, entremuitosoutros.Contudo,seasposiçõesrelativasentreosalto-falanteseoouvintenãoestiveremadequadamenteajustadas,haveráumainfluênciadafasedos sinaisenviadospelosdoisalto-falantesquepoderáprejudicarsignificativamente aaudiçãoeaapreciaçãomusical.
Quandoafasetrazinformaçõesrelevantes,osinalnecessitaráserprocessado nodomíniocomplexo,comoseveráaseguir.Estecapítulofazumacurtarevisão elementardevariáveiscomplexas,mostrandocomolidarcominformaçõesdeamplitudeefase,epreparandooleitorparaapassagemaodomíniodafrequência, ondenecessariamenteteremosquetrabalharcomfunçõescomplexas.ASeção4.1 apresentaaspropriedadesdosvetorescomplexos,definindosuaálgebra.ASeção4.2discuteasfunçõescomplexasdevariávelreal,ouseja,vetoresnoplano complexoquedependemdeumavariávelreal.ASeção4.3apresentaasfun-
ções harmônicascomoumcasoparticulardefunçõescomplexasediscutesua importâncianaanálisedesinais.Finalmente,aSeção4.4introduzarepresentação espectraldesinais.
4.1Vetorescomplexos
Umnúmero z édito complexo quandopodeserexpressocomoumvetor,no plano complexo,naforma z = a + jb,onde a e b sãonúmerosreais,onúmero1éabase (ouseja,aunidade)doeixorealejéabase(ouseja,aunidade)doeixoimaginário,vejaFig.4.1.Aforma z = a + jb tambéméconhecidacomo representação trigonométrica deumnúmerocomplexo.
Imaginário
Figura 4.1: Vetoresnoplanocomplexo.Observequeoeixorealapontaparacima eoimaginárioparaaesquerda,oqueéumameraconvençãocujaconveniênciase evidenciaráembreve.Observeaindaocírculoderaiounitáriocentradonaorigem.
Observequeoeixodosreais(oeixovertical,naFig.4.1)temcomobaseda escala,onúmero1,unitáriodosreais,enquantooeixodosimaginários(oeixo horizontal,apontandoparaaesquerda)temcomobasedaescalaoimaginárioj, ounitáriodosimaginários,detalmodoqueovetor z,umcomplexo,éasoma vetorialde a 1com b j,comoindicadonafigura.Oescalar a échamadode parte real de z edesignadopelanotação ℜ(z);oescalar b édenominado parteimaginária de z enotadocomo ℑ(z).Observeque b = ℑ(z) é,contudo,um númeroreal.
O módulo de z, r = |z|,queéumamedidadocomprimentodovetor z,e oângulodefaseou,maissimplesmente,a fase de z, ϕ(z),estãorelacionados, naturalmente,comaspartesrealeimagináriade z segundo,vejaFig.4.1:
Inversamente,tem-se:
a = r cos ϕ; b = r sen ϕ. (4.2)
SegundoasfamosasidentidadesdeEuler:1
ejϕ = cos ϕ + jsen ϕ; e jϕ = cos ϕ jsen ϕ. (4.3)
Note-sequeomódulodovetorcomplexo ejϕ éunitário,pois
|ejϕ| = cos2 ϕ + sen2 ϕ = 1, paratodo ϕ. (4.4)
Portanto, ejϕ éefetivamenteumvetorunitárionoplanocomplexo,independentementedafase ϕ,sendodenominado versor,razãopelaqualovetor ejϕ é representado,naFig.4.1,comooraiodeumcírculounitárionoplanocomplexo. Cumprenotaraindaque,dasEqs.(4.3),resolvendo-separacos ϕ esen ϕ obtém-se: cos ϕ = 1 2 ejϕ + e jϕ ; sen ϕ = 1 2j ej
(4.5)
Exemplo 4.1 Observeque,emparticular,se ϕ = 0,então, ejϕ = e0 = 1,umreal puroepositivo;se ϕ = π/2,então ejϕ = ejπ/2 = j,umimagináriopuro,também positivo;se ϕ = π,então ejϕ = ejπ = 1,umrealnegativo;ese ϕ = 3π/2,então ejϕ = ej3π/2 = j,umimagináriopuro,negativo,vejaFig.4.1.
Todovetorcomplexo z podeserexpresso,portanto,segundoaidentidadede Euler,como
z = r(cos ϕ + jsen ϕ)= rejϕ . (4.6)
Defato,oversor ejϕ carregaainformaçãodefasedovetor z,umavezque temamesmadireçãonoplanocomplexo,enquanto r temamesmainformaçãode amplitude.Aforma z = rejϕ éconhecidacomo representaçãodeEuler dovetorcomplexo z,tambémconhecidacomo formaexponencial dovetorcomplexo,enquanto aforma z = r(cos ϕ + jsenϕ),comojámencionado,édenominada representação trigonométrica dovetorcomplexo z.
O produto dedoisvetorescomplexos z1 = r1ejϕ1 e z2 = r2ejϕ2 édadopor
z1 · z2 = r1r2 ej(ϕ1+ϕ2) , (4.7)
1LeonhardPaulEuler(1707–1783),cientistasuiço,consideradoumdosmaioresmatemáticosde seutempo,introduziuoconceitodounitárioimaginárioj.ObservequeasidentidadesdeEuler estãorepresentadasgeometricamentenaFig.4.1.
Capítulo 5
ConvoluçãoeCorrelação
Nosencontramosnasituaçãodeumhomemquenãopode considerarumobjetodeseuinteressesenãoatravésde lentescujaspropriedadesópticasdesconhece.
MaxPlank
Estecapítulodiscuteosconceitosdeconvoluçãoecorrelaçãoentredoisoumaissinais,operaçõesmatematicamentesimilares,porémcominterpretaçõesfísicasbastantedistintas.ASeção5.1apresentaadefiniçãomatemáticadaconvolução,sua interpretaçãogeométrica,esuainterpretaçãofísica.ASeção5.2apresentaasprincipaispropriedadesdoprodutodeconvolução,comexemplos.ASeção5.3trata especificamentedaconvoluçãodeduasdistribuições,mostrandooqueocorrecom umsinalquandoconvoluídocomadistribuiçãodeDiracesuasimportantespropriedadeseconsequênciasteóricasepráticas.ASeção5.4tratadesistemaslineareseinvariantesnotempoesuasrespostasimpulsivas,realçandoaimportância doconceitoderespostaimpulsivaparaaanálisedesinais.Finalmente,aSeção5.5, introduzoconceitodecorrelaçãoentredoissinaisedefunçãodeautocorrelação.
5.1Convoluçãodedoissinais
A convolução dedoissinaiséumaoperaçãomatemáticaqueapresentaumimportantíssimoefundamentalconceitoemdistintoscamposdafísica,tendoespecial significadoparalidarcomsistemaslineares,sendoportantodegrandeinteresse
(t)
na áreadeAcústica&Vibrações.Paraintroduziroconceitodeconvolução,tomaremosumexemploemacústica.
Exemplo5.1 Suponhamosque x(t) sejaosinaltemporalqueéemitidoporum instrumentomusical—umvioloncelo,digamos—sendoexecutadonointeriorde umasaladeconcertos,aqualchamaremosdeobjetoS1.Osomécaptadoporum microfone,objetoM,eosinalenviadoaumamplificador,objetoA,edaíparaum conjuntodealto-falantes,objetoF,quetransmitemoconcertoparaumaaudiênciaem outrasala,objetoS2.Bem,oconcertoqueéapreciadopelaaudiêncianasalaS2,que capta,digamos,umsinal y(t),éomesmoexecutadopelovioloncelista?Arespostaé não,umavezqueosinal x(t) passoupordiversastransformações,comoindicadona Fig.5.1.Oquesucedeéqueosinalemitidopelovioloncelo, x(t),ésucessivamente
S M A F S y(t) 1 2
Figura 5.1: Osinal x(t) passandopordiversossistemasatésuasaída, y(t). convoluído comalgumacaracterística—tambémumsinal—dosobjetosS1,M,A,F eS2,nessaordem,resultandoemumsinal y(t) = x(t),queconstituiosomqueé apreciadopelaplateianasegundasala.Seadmitirmosquecadaumdosobjetoscitadospodeserconsideradocomoumsistemalinear,entãoassucessivasconvoluções sefarãocomas respostasimpulsivas1 dessesobjetos.
O produtodeconvolução entreossinais x(t) e h(t) éumterceirosinal y(t) definidopor
y(t)= ∞ ∞ x(τ)h(t τ) dτ, (5.1)
emque,observe-se,aintegraçãoérealizadanavariável(muda) τ.Cumprenotar aindaque,matematicamente,énecessáriocalcularaintegralemtodoodomínio τ ∈ ( ∞, ∞), paracadavalor de t,oquesignificatratar-sedeumcálculocomputacionalmenteoneroso.
Oprodutodeconvoluçãoérepresentadopelosímbolo‘∗’,demodoquese escreve,deformasimplificada,
y(t)= x(t) ∗ h(t). (5.2)
Nãoénatural,oumesmosimples,arelaçãoentreoconceitofísicodeproduto deconvolução,introduzidonoEx.5.1eilustradonaFig.5.1easuadefinição matemática,expressapelaEq.(5.1).Narealidade,aexpressãomatemáticaenvolve quatrooperações,asaber:1.espelhamento, h(τ) → h( τ);2.deslocamento, h( τ) → h(t τ);3.multiplicação, h(t τ) → x(τ)h(t τ);e4.integraçãona variávelmuda τ,nointervalo ( ∞, ∞),paracadainstantedetempo t
1O conceitoderespostaimpulsivadeumsistemaseráintroduzidoformalmentenaSeção5.4.
Exemplo 5.2 AFig.5.2ilustraoprocedimentodeconvoluçãoentredoissinaisdo tipojaneladeslocada,cujoresultadoéumsinaltriangular.Considere-se,então,
x(t)= ⊓T (t T) e h(t)= 1 2 ⊓T (t T)
O produtodeconvolução,será
y(t)= x(t) ∗ h(t) = 1
Note-se quenocálculodaintegralmostrou-seconvenientedividirodomínioem duaspartes, t ∈ (0,2T) e t ∈ (2T,4T),resultandoem(verifique) y(t)=
comoindicaaFig.5.2.
Figura 5.2: Procedimentodeconvoluçãoentredoissinaisdotipojanela,resultando emumsinaltriangular.
Capítulo 6 SériedeFourier
Porquerepetirantigoserros comtantosnovoserrosaseremcometidos?
BertrandRussel
ConformefoivistonoCapítulo4,asfunçõesharmônicasreaispodemserdecompostasemumpardevetoresgirantescomamesmavelocidadeangularemsentidosopostosnoplanocomplexo.Aamplitudedecadaumdessesvetoreséigual àmetadedaamplitudedafunçãoharmônicaoriginaleavelocidadeangularde rotaçãodosvetoreséigualàfrequênciaangulardafunçãoharmônicacorrespondente.Nestecapítulo,iremosampliaresseconceitodedecomposiçãoemvetores girantesnoplanocomplexoparafunçõesnãoharmônicas,porémperiódicas.Por simplicidade,consideraremosnestecapítuloqueavariável t representaotempo. Generalizaçõesdosignificadodavariável t comoespaçoououtrosdomíniospoderãoserfeitoscomfacilidadeaposteriori.
ASeção6.1apresentaoconceitoeasprincipaispropriedadesdasfunçõesperiódicas.ASeção6.2introduzadecomposiçãodeFourier,apresentando,comentandoeexemplificandoasexpressõesqueconduzemaos coeficientesdeFourier,que nadamaissãoqueoscomponentesdosinalemquestãonasdiferentesfrequências.ASeção6.3introduzumaanalogiaimagéticaeacústica,buscandopropiciar aoleitorumacompreensãomaisintuitivadadecomposiçãodeFourier.ASeção6.4 descreve,demonstraeexemplificaasprincipaispropriedadesdasériedeFourier. NaSeção6.5aborda-seaenergiaepotênciadesinaiscontínuosperiódicos,sejam elesreaisoucomplexos.Finalmente,naSeção6.6,discute-seapreservaçãoda
energiadeumsinalperiódicoaoaplicar-seadecomposiçãodeFourier.
6.1Funçõesperiódicas
Seja x(t) umafunçãorealdavariável t (umsinalreal).Osinal x(t) édito periódico de períodoT se,paratodo t ∈ ( ∞, ∞),então
Figura 6.1: Exemplodeumsinalperiódicocomperíodo T ≈ 6,43s.Sãoapresentadospoucomaisdedoisperíodoscompletos.
AFig.6.1ilustraumtrechodeumsinalperiódico.Naturalmente,todafunção harmônicaéumafunçãoperiódicamasnemtodafunçãoperiódicaéumafunção harmônica.O períodoT deumafunçãoperiódicaéointervalodetempo,entre doispontosidênticos1 quaisquerdafunção,comoilustrado.
Seoperíododeumsinalperiódicoé T,define-sesua frequênciafundamental, f1, como2
Naturalmente, se t éavariáveltemporal, T temdimensãodetempo(segundos, s,noSI)e f1 terádimensãode1/s(Hertz,Hz,noSI).Todavia,outrosdomíniossão possíveis,talcomo t serumaposição, x,(metros,m,noSI).Nessecaso, k1 = f1 nãoseráumafrequênciaesimum númerodeonda,cujaunidadeé1/m,noSI. Restringir-nos-emos,nosexemplosincluídosnestecapítulo,asinaisnodomínio dotempo.Mas,detodomodo,éimportanteobservarque t e f (ou x e k)são domínioscomplementares,comdimensões(e,naturalmente,unidades)inversas.
1Isto é,mesmovalordafunçãoemesmasderivadas.
2Oleitormaiscuriosologoveráarazãodaadoçãodosubscrito‘1’nanotaçãodafrequência fundamental.
Exemplo 6.1 Sejaosinalondaquadradaperiódica, x(t)= ⊓⊔T (t),definidapor, vejaFig.6.2,
x(t)= 1, t ∈ ( T/4 + kT, T/4 + kT), k inteiro, 1, t ∈ (T/4 + kT,3T/4 + kT).
Figura 6.2: Sinalondaquadradadeperíodo T eamplitudeunitária.
Trata-sedeumsinalperiódicodeperíodo T efrequênciafundamental f1 = 1/T
Umsinal x(t) é par seesóse
x( t)= x(t),paratodo t.
Umsinal x(t) é ímpar seesóse x( t)= x(t),paratodo t.
Umsinal x(t) quenãosatisfazanenhumadasduascondiçõesanterioresnão é,evidentemente,nemparnemímpar.
Exemplo6.2 Osinal z(t)= cos(ωt),periódico,épareosinal x(t)= sen(ωt), tambémperiódico,éímpar.Jáosinal y(t)= cos(ωt + π/3) éperiódicoporémnãoé nemparnemímpar,vejaFig.6.3.
(t)
(t)
(t)
Figura 6.3: Sinais z(t)= cos(ωt), x(t)= sen(ωt) e y(t)= cos(ωt + π/3),esuas paridades.
Capítulo 7 TransformadadeFourier
Poderásiratéaesquina comprarcigarrosevoltar oumudar-teparaaChina —sónãopodessairdeondetuestás.
MarioQuintana
Nestecapítuloabordaremosaformageraldepassarumsinaloufunçãoqualquer,periódicoounão,permanenteoutransiente,realoucomplexo,dodomínio davariável t (tempo,digamos)paraodomínioespectral,ouseja,davariável f (frequência,nocaso),evice-versa.AtransformadadeFourierconstituioprincipalprocedimentoquepodeseraplicadoaumdadosinal,visandoextrairmais informações,sendosuautilizaçãodeusogeneralizadoemtodafísicaaplicada. Outrastransformaçõessimilares,comoa transformadadeLaplace1 ea transformada wavelet, 2 podemserentendidascomoumageneralizaçãodatransformadadeFourierenãoserãoabordadasnestetexto.
NaSeção7.1apresentam-seasfórmulasparaocálculodastransformadasde Fourierdiretaeinversa,comentando-sesobreexpressõesalternativaseilustrandosecomexemplos.Outrosdomíniosfísicosquenão tempo e frequência sãotambém comentados.NaSeção7.2apresenta-seatransformadadeFourierdafunçãogeneralizadaimpulsounitário,exemplificando-secomtransformadasdedistribuições
1Pierre-SimonLaplace(1749–1827),físicoematemáticofrancês.
2Ver,porexemplo,S.Mallat.AWaveletTourofSignalProcessing.AcademicPress,SanDiego, 1998[162].
dela derivadas.ASeção7.3apresentaasprincipaispropriedadesdatransformada deFourier,comexemplos.Mostra-sequeaspropriedadesdatransformadade Fourierauxiliamsobremaneiranaobtençãodeespectrosdedistintossinais.Em seguida,apresenta-se,naSeção7.4,oteoremadeParsevalparaatransformadade Fourier,quegaranteaconservaçãodaenergia—edapotência—dossinaisao passarmosdeumdomínioaoutro.ASeção7.5introduzoteoremadaconvolução, mostrandoqueoprodutodeconvoluçãoemumadadodomíniotorna-seumprodutosimplesnodomíniotransformado,evice-versa.Umarelaçãosimilarentre osdoisdomíniostambéméapresentadaparaafunçãodecorrelação.ASeção7.6 introduzoconceitodecoerênciaentresinais,incluindoasdefiniçõesdedensidadeautoespectraldepotênciaedefunçãodedensidadeespectralcruzada.Na Seção7.7apresentam-sealgunstiposderuídocomumenteutilizadosemacústica evibraçõesesuacomposiçãoespectral.ASeção7.8apresentaumaabordagem, bastantecomumnaáreadeacústica,deobtençãodeinformaçõesaproximadasno domíniodafrequênciapormeiode filtrosanalógicos e,dentreestes,osfiltrosde 1/n oitava, n inteiro.Finalmente,aSeção7.9ilustraumasériedeparestransformadosclássicos,àguisaderesumo.Aforaquandoexplicitamenteindicadode mododiverso,entenderemosque t designaavariáveltemporal,enquanto f indica avariávelnodomíniodafrequência.
Exemplo7.1 Atítulodeintrodução,digamosquetemosumsinaltemporal,ilustradonaFig.7.1,queseráobservadoporduasjanelasdistintas.Naturalmente,osinal temporaléumasomadetrêssinaissinusoidaisdefrequências,amplitudesefases distintase,vistosda“janelatemporal”constituiráumsinalcomposto.Ostrêssinais componentes,vistosda“janelafrequencial”(quemostraunicamenteasfrequências positivas)indicamtrêspicosnasfrequênciascorrespondenteserespectivasamplitudes.
Figura 7.1: Sinaltemporalvistoporuma“janelatemporal”eporuma“janelafrequencial”.
Janelatemporal
O queseverá,aolongodestecapítulo,écomosepodecalcularmatematicamente essasduasvistasdeummesmosinal—tempoefrequência—oqueincluinão somentecomponentesdeamplitudenosdoisdomínios,mastambémcomponentes defase.Maisdoqueisso,aprenderemoscomopassardeumajanelaàoutra,por meiodeexpressõessimples.NoCapítulo9,ParteBdolivro,ver-se-áacontrapartida numéricadatransformadadeFourier,ouseja,comopassardodomíniodotempo paraodomíniodafrequência,evice-versa,sinaisnãoanalíticos.EmboraaFig.7.1 ilustreumsinalcontínuocomumespectrodiscreto—quepode,portantosercalculadoutilizandoasériedeFourier,vejaCapítulo6—,oqueveremosaseguirsão expressõesparapassarmosaodomíniodafrequênciasinaisdequalquernatureza.
7.1AintegraldeFourier
Seja x(t) umsinal,agoranãomaisperiódico,comodiscutidonoCapítulo6.Ora, podemosinterpretarumsinal não periódicocomoumsinalperiódicocujoperíodo T émuitogrande,ouseja, T → ∞.Issosignificadizerqueosinalnãomaispossui frequênciafundamentalou,oqueéequivalente,que f1 → 0.Passar,portanto,o sinalparaodomíniodafrequência,levar-nos-ánãomaisaumespectrodiscreto, comoocorreucomasfunçõesperiódicas,masaumafunçãocontínuadafrequência,ouseja,teremosum espectrocontínuo.Poroutrolado,adecomposiçãoespectral nãomaispodeserefetuadaapartirdeumsomatóriocomcoeficientesdiscretos multiplicandoosvetoresdabaseexponencialcomplexa,masexigeaavaliaçãode umaintegralemtodoodomíniodosinal.
Assim,poder-se-áexpressarumsinalarbitrário x(t) como
(t)=
Observeque,comparandocomaexpressãodadecomposiçãoemsériedeFourier, Eq.(6.8),aexpressãoacima,alémdaintegralnolugardosomatório,contémo termo ˆ x( f ),quetraduzo espectrocomplexo de x(t),agoraumafunçãocontínuada variável f .AEq.(7.1)édenominada transformadainversadeFourier,nosentido dequelevaumsinalnodomíniodafrequência, ˆ x( f ),aumsinalnodomíniodo tempo, x(t).
Adeterminaçãodoespectro ˆ x( f ) sefaráutilizandoumaexpressãosimilarà utilizadaparaocálculodoscoeficientesdeFourier,Eq.(6.15),ouseja,pode-se expressarosinal ˆ x( f ) como
Oespectrode x(t),portanto,écalculado,talcomoparafunçõesperiódicas,comoo produtoescalar,noespaçodefunções,entreosinaltemporaleabaseexponencial complexa,paracadavalordavariável t.AEq.(7.2)édenominada transformadadiretadeFourier,ousimplesmente transformadadeFourier,nosentidodequelevaum sinalnodomíniodotempo, x(t),aseucorrespondentenodomíniodafrequência,
ˆ x( f ).
Capítulo 8
AmostragemdeSinais
Felizmente,dispomosdeuminstrumentodemedição cujadelicadezanãotemlimites:nossopensamento.
MaxPlanck
ConformemencionadonoCapítulo2,aesmagadoramaioriadossinaisencontradosnanaturezasãoanalógicos.1 Portanto,paraprocederao processamento desses sinaisutilizandoumcomputadordigitalouumprocessadordedicado,também digital,essessinaisdeverãoser,antesdetudo, discretizados.
Dopontodevista(ouescuta)operacional,todoprocessamentodesinaisserá efetuadonodomíniodiscreto,demodoalançarmosmãodospoderososrecursos queoscomputadoresdigitaisnosoferecem.Estecapítuloaborda,portanto,as técnicasdeobtençãodesinaisdiscretosapartirdesinaiscontínuos.Nãoserão discutidasaquiessastécnicassobaóticadamáquina,ou,sepreferirem,de hardware,masdoânguloquemaisinteressaaousuário,queéodoprocessamentoem si,ouseja,de software,demodoapermitiracorretainterpretaçãodosresultados.Colocandoemoutrostermos,oprocedimentode amostragem —queconsiste, falandodeformaaindabemgeral,empassarumsinaldo domíniocontínuo ao domíniodiscreto —introduziráerrosoudesviosemrelaçãoaosinaloriginaleo objetivodestecapítuloéestudarcomocontornaresseserrosedesvios,quando possível,e,principalmente,examinarcomointerpretaressasdiferenças,quando inevitáveis,demodoa“nãolevargatoporlebre”.
1Ao menos,desconsiderandoanaturezaíntima(atômica)damatériaeseusfenômenos,mais bemdescritospela teoriaquânticadamatéria.
Na Seção8.1éintroduzidooconceitogeraldeamostragemdeumsinalesuas principaiscaracterísticas,bemcomodeseusprincipais,porassimdizer,inconvenientes.NaSeção8.2veremoscomopodeserexecutadaumaamostragemideal, quenosrenderiaamelhoraproximaçãoentreosinalcontínuoeosinaldiscretizado.Emboraaamostragemidealnãosejafisicamenterealizável,oconceitoé fundamentalparaacompreensãodetodooprocessodeamostragem.NaSeção8.3 oconceitode dobramento,tambémconhecidonaliteraturadelínguainglesacomo aliasing, 2 éexplicado,mostrando-seaimportânciadeserodobramentoevitado paraseobterumaamostragembem-sucedida.NaSeção8.4demonstra-seoteoremadaamostragem,cujaessênciaégarantirqueumaamostragembem-sucedida, ouseja,umaamostragemcomumintervaloadequado,preservatodainformaçãopresentenosinaloriginal.Emoutrostermos,utilizando-seumacadênciade amostragemacimadeumdeterminadovalor,verifica-sequeosinaloriginalé perfeitamenterecuperávelapartirdosinalamostrado.Esseresultado,aprincípio umtantosurpreendente,temimportantesconsequênciasteóricasepráticas.Por exemplo,viu-senoCapítulo7queatransformadadeFourieréumprocedimento reversível,ouseja,atransformadainversadeFourierdatransformadadeFourier deumdadosinaléelemesmo.Portanto,oteoremadaamostragem,porassim dizer,estendeessareversibilidadeaodomíniodiscreto.ASeção8.5discutecomo seprocedeemumaamostragemnãoideal.Analisa-senessaseçãoquaisoserros intrínsecosdevidoàamostragemnãoideal.Finalmente,naSeção8.6estuda-seo problemadaquantização,mostrando-seosefeitosdeletériosdeumaquantização, porassimdizer, pobre.Nessaseçãodiscute-se,porexemplo,adinâmicaalcançadaporumsinalquantizado,sejaemtermoslineares,sejaemtermosdeníveis logarítmicos(dB).
8.1Amostragemequantização
Suponha,então,quetemosumsinalcontínuo—analógico,portanto—daforma x(t).Paraprocessá-loemumcomputadordigital,osinaldeverá,primeiramente, passarporumconversoranalógico-digital(A/D)queoconvertaemuma sequência debits. 3 Umavezconvertidoemumsinaldigital,osinal—agoradiscreto—pode serprocessadonodomíniodigital.Emseguida,essesinaldevepassarporum outroconversor,estedigital-analógico(D/A),paraserobservadopelointérprete dosinalprocessado.4 AFig.8.1ilustraoprocedimento.
2Não háumaformaunânimenaliteraturatécnicadopaísparatraduzirparaalínguaportuguesa otermo aliasing,sendoaceitáveisexpressõescomo falsaidentificação, (frequência)fantasma, superposição ou dobramento.Nestetexto,oautoroptouporutilizarotermo dobramento paradesignaresse (d)efeito.
3Apalavra bit éumaabreviaçãodotermoeminglês binarydigit,dígitobinário,amenorunidade deinformação.
4NemsempreumconversorD/Asefaznecessário,umavezqueosinalprocessadopode,em inúmeroscasos,sersatisfatoriamenteinterpretadodiretamentenateladocomputadoroudoprocessador.
Entrada de
sinal analógico A/D
Saída de
D/A
Figura 8.1: Procedimentopadrãopara,apartirdeumsinalanalógico,processá-lo emumcomputadordigital,retornandoemseguidaaodomínioanalógico.
Umaanalogiasimplespodeilustraraquestãodaamostragemaqueestamos nosreferindo.Sabe-sequeocinemautiliza,classicamente,fotogramasquedevem serpassadossucessivamenteàtaxade24quadrosporsegundodemodoapropiciar,aosistemavisualhumano,ailusãodeumacenacontínua.Cadafotograma —umamerafotografiadecena—seriaoanálogoaumaamostradeumsinal, aopassoqueofilmeseriaanálogoaosinalcontínuoeataxade24quadrospor segundoseriacorrespondenteàtaxadeamostragem.
Comomencionado,umconversorA/Dnecessitatransformarumsinal x(t) em umasequênciadebits.Comoumcomputador(ouprocessador)digitalsólida comvaloresdiscretos,tantoavariávelindependente‘t’dafunção x(t) comoa variáveldependente‘x’damesmafunção,necessitamserdiscretizadas.Adiscretizaçãodavariávelindependente‘t’édenominada amostragem eoconversorA/D transformaráumcontínuotemporal(digamos)emumasequênciade N + 1valoresinteiros,identificadospelocontador k = 0,1,2,..., N,ondeonúmero N de valoresdaconversão5 dependerádediversosfatores,taiscomoacapacidadedo conversor,aaplicaçãoemquestão,oconteúdoemfrequênciadosinaletc.Onome amostragem provémdofatodeseextrairem“amostras”davariávelindependente ‘t’,oqueéusualmentefeitoaintervalosregulares ∆t.
Jáadiscretizaçãodavariáveldependente‘x’édenominada quantização eo conversorA/Dtransmutaráocontínuodevaloresde x em M valoresdiscretos, representadospelocontador l = 0,1,2,..., M 1,emcodificaçãobinária(0ou1). Usualmente,porquestõesde hardware,utilizam-sevaloresparaMiguaisauma potênciadedois, M = 2n , n inteiro.Entretanto,issonãoéumaobrigatoriedade eexistemquantizaçõesemque M nãoconstituiumapotênciade2.Nestetexto, trataremossempredequantizaçõesótimas,ouseja,com M = 2n , n inteiro.
Ambososprocedimentos(amostragemequantização)envolvem perdas,ou seja,reduçãodaprecisãoe/ouacuráciacomrelaçãoaosinaloriginal.Oprincipal objetivodopresentecapítuloéexaminarediscutircomominimizaroserrose perdas,naturalmenteintroduzidospeloprocessodeconversãoA/D,demodoa obter-seumaanálise,porassimdizer,omaissadiapossíveldosinaloriginal.
Comoseverámaisadiantenestecapítulo,aminimizaçãodeperdaséuma questão,essencialmente,decusto.Taxasdeamostragemmaisaltasenúmeros maioresdedegrausdequantizaçãoincrementamocustodeumconversor—e vice-versa.Seosinalemanálisetemumafrequênciadecorte—etodosinaldo
5Lembre-sequeumamãotemcincodedos,masentreesteshásomentequatroespaços.Portanto, tem-se N intervalose N + 1valoresamostrados.
Capítulo 9 TransformadaDiscretadeFourier
Aquiloqueprecisamosaprenderafazer, aprendemosfazendo. Aristóteles
TransformadasdeFouriersãocalculadas—excetonoscasosexcepcionalíssimos emqueumafunçãoanalíticaseapresenta—pormeiodeprocessadoresdigitais, sejamcomputadores,sejamprocessadoresdedicados.1 Issosignificadizerque essessinais,antesdeseremanalisadosouprocessados,necessitamser digitalizados, ouseja,deverãotornar-se sinaisdiscretos,porumprocedimentodeamostrageme quantização,conformediscutidonoCapítulo8.
Todavia,noprocedimentodeamostragem,introduzem-semodificaçõesnosinaloriginal—algumasvezesinevitáveis—que,casonãosejamtomadasalgumas precauçõesessenciais,podemnoslevarànãoobtenção,comexatidão,doespectro desejado.Visando,portanto,alertarogentilleitora“nãolevargatoporlebre” buscaremos,nestecapítulo,alémdeintroduziraassimchamada transformadadiscretadeFourier,ilustrarediscutirasmodificaçõesintroduzidasnoespectropelo procedimentodediscretização.AtransformadadiscretadeFourieréinternacionalmenteconhecidapelasiglaDFT.2
OleitoriráperceberqueatransformadadiscretadeFouriernadamaisédoque umasériedeFouriertruncada,ouseja,aodiscretizarmosossinais,atransformada deFourier,queéoriginalmentecalculadapormeiodeumaintegralilimitada,
1Vulgarmenteconhecidoscomo analisadoresespectrais ou analisadoresFFT.
2Doinglês, DiscreteFourierTransform.
Eq. (7.2),passaasercalculadacomoumsomatório—talcomoasériedeFourier —,contudocomumnúmerofinitodevalores.
NaSeção9.1,introduz-seaexpressãoalgébricadatransformadadiscretade Fourier,bemcomosuainterpretaçãográfica,sendodiscutidosseusprincipaisproblemas,comoosfenômenosdedobramentoevazamento.Apresenta-senessaseção,também,atransformadainversadiscretadeFourier,mostrando-seinclusive acompatibilidadeentreasduasexpressões.NaSeção9.2,discute-secomocontornarosdoisprincipaisproblemasqueadiscretizaçãoeotruncamentodosinal usualmenteintroduzemnocálculodesuatransformadadiscretadeFourier.Na
Seção9.3apresentam-se,então,aspropriedadesdatransformadadiscretadeFourier,quefacilitamgrandementeocálculodetransformadas,eestuda-sesuarelação deproximidadecomasériedeFourier.ASeção9.4abordaaenergiaepotência desinaisdiscretosesuaequivalêncianodomíniotransformado.Finalmente,a Seção9.5introduzoalgoritmodenominado transformadarápidadeFourier que,por suaeficiência,popularizouautilizaçãodeanalisadoresdeespectrodigitais.
9.1AtransformadadiscretadeFourier
ParasecomputaratransformadadiscretadeFourierdeumsinal x(t) comoauxíliodeumcomputadorouprocessadordedicado—ambosdigitais—énecessário oseguinteprocedimento:
1. amostrar osinalcontínuo x(t) demodoaseobterumsinaldiscreto x(k∆t), o‘˜’significandoquesetratadeumaaproximação;
2. truncar osinalamostrado ˜ x(k∆t) demodoaseobterumasériefinitacom N + 1valores, N inteiro,quenotaremoscomo xN (k∆t),osubscrito‘N’indicandootruncamentoem N + 1valores;
3. amostrar atransformada ˆ ˜ xN ( f ) parater-seumsinaldiscretonodomínioda frequência,daforma ˆ ˜ xN (nν),onde ν = 1/∆t éo intervalodeamostragemno domíniodafrequência e n,inteiro,éocontadornessedomínio;
4. truncar osinalamostradonodomíniodafrequênciademodoaobter-se tambémumasériefinitacomosmesmos N + 1valoresespectraisetomaros N + 1primeirosvaloresdatransformadadiscretadeFourierobtida.
AFig.9.1ilustraaprimeirapartedoprocedimento.Recomenda-seaogentil leitorqueestudeatentamenteaFig.9.1,bemcomoasuadiscussãonosparágrafos aseguir,demodoapodersaberinterpretaradequadamenteoresultadoobtido porumaDFT.
Doladoesquerdodafiguratem-searepresentaçãodossinaisnodomíniodo tempo;doladodireitotem-searepresentaçãodossinaisnodomíniodafrequência.
NaFig.9.1atem-seosinalcontínuo, x(t),eseuespectro, ˆ x( f ).Essessãoos sinais,porassimdizer,“verdadeiros”,nosdoisdomínios,inter-relacionadospela transformadadeFourier.
Figura 9.1: ProcedimentoilustrativodaobtençãodatransformadadiscretadeFourierdeumsinal:(a)sinaloriginal(contínuo)nosdoisdomínios;(b)pentededeltas deespaçamento ∆t,necessárioparaamostrarosinal,eseuespectro,outropentede deltas,estecomespaçamento ν = 1/∆t;(c)sinalamostrado,obtidoapartirdoprodutodosinal x(t) pelopentededeltaseseurespectivoespectro,periodizado.
NaFig.9.1btem-seumpentededeltas—umpente‘fino’,digamos,nodomíniodotempo,comespaçamento ∆t,o intervalodeamostragem —equecorresponde, comojávistonaSeção7.9,aumpentededeltas‘grosso’,ouseja,espaçadonodomíniodafrequênciade ν = 1/∆t,a frequênciadeamostragem.Opentededeltas, conformeseviunoCapítulo8,éoamostradoridealeserátão‘fino’,ouseja,com umintervalodeamostragem ∆t tãopequenoquantopossível.3
NaFig.9.1c,visualiza-seoresultadodo produto,nodomíniodotempo,dos sinaistemporaisindicadosem(a)e(b),queresultanosinalamostrado, x(k∆t).No domíniodafrequênciater-se-á,deacordocomaEq.(7.38),o produtodeconvolução entreosespectrosindicadosem(a)e(b),resultandoentãonoespectro ˆ ˜ x( f ).
3Na Seção9.2serãodiscutidososlimitespráticosparaesseintervalodeamostragem.
Capítulo 10
ConvoluçãoeCorrelaçãoDiscretas
Sevocênãosabeondequerir, qualquercaminhoserve.
LewisCarroll
UmadasmaisimportantesaplicaçõesdatransformadadiscretaeFouriere,principalmente,datransformadarápidadeFourier,éapossibilidadedecálculoexpeditodeconvoluçõesecorrelações.Comefeito,aFFTpermiteocômputode convoluçõesecorrelaçõesdiscretas—fundamentaisnoprocessamentodesinais —demaneirabastanteeficiente,conformeserávistonosCapítulos11e12.
NaSeção10.1apresenta-seaexpressãoalgébricaparaocálculodaconvolução discretadedoissinais—tantodedimensãoinfinitacomodedimensãofinita—, incluindosuainterpretaçãográfica.Sãotambémvistasasrelaçõesentreaconvoluçãocontínuaeaconvoluçãodiscreta.NaSeção10.2estudam-seasprincipais propriedadesdaconvoluçãodiscreta,exemplificando-se.ASeção10.3abordaa correlaçãodiscretaentredoissinais.Esta,alémdetersuaexpressãoalgébricadefinidaesuainterpretaçãográficaapresentada,tambémécomparadacomacorrelaçãocontínua.Finalmente,naSeção10.4examina-secomoocálculodoprodutode convoluçãodiscretaedacorrelaçãodiscretapodemserefetuadosviatransformadasrápidasdeFourier,comeconomiacomputacional.Sãotambémapresentados, nessaseção,exemplosilustrativos.
10.1Convoluçãodiscreta
Suponhamosdadosdoissinaisdiscretosdedimensãoinfinita, x(k∆t) e h(k∆t), sendo k = ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...,uminteiro,portanto.Oprodutodeconvo-
lução de x(k∆t) e h(k∆t) édefinidocomoosinaldiscreto y(k∆t),dadopor1
y(k∆t)= ∞
queescreveremos,simplificadamente,como y(k)= ∞ ∑ i= ∞ x(i) h[(k i)], k = ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,....(10.2)
NoteocaroleitorqueocálculoexpressonaEq.(10.2),emborasimples,cresce quadraticamentecomonúmerodetermosnãonulosdecadaumdossinais x(k) e h(k).Ditodeoutromodo,digamosque x(k) possui n termosnãonuloseque h(k) possua m termosnãonulos.Nessecaso,paracadavalorde y(k) seránecessário efetuar,segundoaEq.(10.2), m produtos(eumasoma),significandoqueonúmero totaldeprodutosparaaobtençãode y(k) será n × m.Observeaindaogentilleitor queaEq.(10.1)(ouaEq.(10.2))nadamaisédoqueaversãodiscretadaEq.(5.1), apresentadanaSeção5.1(reveja-a).
Porsimplicidadeeconveniência,utilizaremosamesmanotaçãoadotadapara oprodutodeconvoluçãocontínua,vejaSeção5.1,paraoprodutodeconvolução discreta.Podemos,então,escrever
y(k)= x(k) ∗ h(k). (10.3)
Exemplo10.1 Consideremososinal x(k) comdoistermosnãonulos: x(0)= 1/2; x(1)= 2,eosinal h(k) comtrêstermosnãonulos: h(0)= 1; h(1)= 1; h(2)= 1. AFig.10.1ilustraosdoissinais.
Figura 10.1: Sinaisdiscretos:(a) x(k),comdoistermosnãonulos;e(b) h(k),com trêstermosnãonulos.
AoperaçãomatemáticaexpressanaEq.(10.2)seriaexecutada,naturalmente,emum computadordigitalmas,comotemospoucostermosnãonulosnesteexemplo,vamos
1O leitorjádeveterobservadoque,damesmaformaqueofizemosnoCapítulo5,anotaçãoaqui fazreferênciaaumapossívelentradadeumsistemalinear, x(k∆t),suarespostaimpulsiva, h(k∆t), easaídacorrespondente, y(k∆t),todasdiscretizadas.
calcular oprodutodeconvolução y(k)= x(k) ∗ h(k) manualmente.Calculandoo termo,digamos, y( 1),tem-se
y( 1)= x(0)h( 1)+ x(1)h( 2)
= 1/2 × 0 + 2 × 0 = 0.
Noteque,como x(k) possuisomentedoistermosnãonulos,osomatórioconstante daEq.(10.2)terásempresomentedoistermos(essasendoumadasrazõesparapodermoscalcularoresultadodoprodutodeconvoluçãomanualmente).Calculando, emseguida,otermo y(0),tem-se
y(0)= x(0)h(0)+ x(1)h( 1)
= 1/2 × 1 + 2 × 0 = 1/2.
Nasequência,calculemosotermo y(1),
y(1)= x(0)h(1)+ x(1)h(0)
= 1/2 × 1 + 2 × 1 = 5/2.
Prosseguindo,calculemosotermo y(2),
y(2)= x(0)h(2)+ x(1)h(1) = 1/2 × 1 + 2 × 1 = 5/2.
Nasequência,calculemosotermo y(3),
y(3)= x(0)h(3)+ x(1)h(2)
= 1/2 × 0 + 2 × 1 = 2.
E,finalmente,otermo y(4) será
y(4)= x(0)h(4)+ x(1)h(3)
= 1/2 × 0 + 2 × 0 = 0.
Observequetodososdemaistermosde y(k) foradointervalo k = 0,1,2,3serão nulos,portanto,onossocálculomanualterminaaqui.AFig10.2mostraosinal discretoresultantedoprodutodeconvoluçãorealizado.
Figura 10.2: Sinaldiscreto y(k)= x(k) ∗ h(k),comquatrotermosnãonulos.
Observandocomatençãoosinal x(k),quetemsomentedoistermosnãonulos, observa-sequeseusuporteé ∆t.Poroutrolado,osinal h(k),comtrêstermosnão
Capítulo 11
AplicaçõesemAcústica
Nadamaispráticodoqueumaboateoria.
KurtLewin
Odedicadoleitorquechegouatéaquipossivelmentedeveterfortesexpectativas relativasàsaplicaçõesdetécnicasdeprocessamentodesinaisemacústica,com respeitoàquiloquefoivistoemteorianosdezcapítulosanteriores.Todavia,vale lembrarquenãosódeteoriasãoconstituídososcapítulos,tendooautortido ocuidadodeespalharinúmerosexemplosemA&Vaolongodotexto.Neste capítulo,porém,nosdedicaremosaoestudodeaplicações,porassimdizer,dodia adia,principalmentenoqueserefereaosensaioseexperimentosmaisclássicose usuaisemacústica.
Talvezoleitorsepergunteoporquêdaescolhadaepígrafe,introduzindoeste capítulodeaplicaçõesemacústica.Bem,otextodeKurtLewinparececonstituir umcertoparadoxo,mas,aomenos,nãoestáemdesacordocomasconvicções desteautor,queacreditaquenadamelhordoqueodomínioteóricobemfundamentadodeumdeterminadoassuntoparaorientarcomsegurançaosprocedimentosdeumaaçãoprática,comoumamediçãoouumexperimento.1
Nasseçõesaseguir,serãoabordadosalgunsdosensaiosmaiscomunsem acústicaealgumasdastécnicasutilizadasparaaobtençãoderesultadosconfiáveis,comaindicaçãodosprocedimentosnecessáriosàsuaplenaexecução.Semprequepossível,seráfeitareferênciaaocapítuloouseçãodolivro,relativoàs
1Há umaforismofamoso—ejocoso—,encontradoemalgunslaboratóriosdepesquisaespalhadosmundoafora,quediz:“Teoriaéquandosesabeaexplicaçãodetudo,masnadafunciona. Práticaéquandotudofunciona,masnãosesabeoporquê.Aquisecoadunateoriaeprática:nada funcionaeninguémsabearazão”.
Partes AouB,ondeseencontramasdefinições,equaçõeseconceitosqueforam introduzidosequesãoafeitosaosensaiosoutécnicasdemediçãoabordadas.2
Emparticular,oleitorobservaráqueasseçõessereferem—comexceçãoda última—adistintas técnicasdemedição.Comefeito,comomencionado,oobjetivo dopresentecapítuloéaplicarosconceitosqueforamanteriormenteestudadosem ensaios,mediçõeseavaliaçõesdeusomaiscorriqueironaáreadeacústica.Mesmo naúltimaseção,quetratadesimulaçãocomputacionalemacústicadesalas,será vistoquenosprópriosalgoritmosdosprogramasdesimulaçãoestãoimplícitas algumasdastécnicasfundamentaisemprocessamentodesinaisabordadosao longodotexto.
Emtodasasexpressõeseequações,tantodestecapítulocomodoCapítulo12, adotam-seasunidadesdo sistemainternacionaldeunidades,SI.3 Nessesistema,as setegrandezasfundamentaisesuascorrespondentesunidadesesímbolossão: comprimento (metro–m); massa (quilograma–kg); tempo (segundo–s); corrente elétrica (Ampére–A); temperaturatermodinâmica (Kelvin–K), intensidadeluminosa (candela–cd);e quantidadedesubstância (mol–mol).Todavia,dentreestas,somentetrêsterãointeresseparaasaplicaçõesemacústicaevibrações,asaber: comprimento,massaetempo.Semprequepossível,seráindicadaaunidade,no SI,dasgrandezasenvolvidas.
NaSeção11.1discute-seaaplicaçãodosanalisadoresdesinais—emparticularosanalisadoresFFT—àsmediçõesemacústica.Especialatençãoédadaà utilizaçãodeanalisadoresFFTdedoiscanais,pelapossibilidadedecálculodeautoespectro,espectrocruzado,coerênciaetc.,degrandevaliaemensaiosacústicos.
NaSeção11.2éfeitoumapanhadogeraldastécnicasdeensaioparaadeterminaçãoderespostasimpulsivas(RIs)efunçõesdetransferência(FTs)desistemas, particularmenteparasistemaslineareseinvariantesnotempo,maiscomunsem A&V.ASeção11.3abordaamediçãoderuídocomautilizaçãodesonômetros.
Aestruturabásicadeumsonômetroéestudadaeseusdiversoscomponentessão considerados.ASeção11.4verificacomoéfeitaumamediçãodedosederuído utilizando-seumdosímetro.AmediçãodeintensidadesonorapormeiodesondasdeintensidadeéotemadiscutidonaSeção11.5.Analisa-se,emparticular,as chamadassondasp–p,queconsistememsistemascomdoismicrofones,eoserros característicosdessesistemademediçãosãorevistos.JánaSeção11.6analisa-seo levantamento,pormedição,dotempodereverberaçãoemsalas.Emparticular,na Subseção11.6.1,considera-seatécnicaclássicadesupressãoderuído;jánaSubseção11.6.2estuda-seométododaintegraçãoreversapara,apartirdaresposta impulsivamedidanasala,obterem-seascurvasdedecaimentoe,apartirdestas, ostemposdereverberaçãoporbandasdefrequência.
NaSeção11.7disserta-sesobremétodosdemediçãodepotênciasonorade fontesacústicas.JáaSeção11.8tratademétodosdeavaliaçãodecoeficientesde
2Recomendamos aquialgunsdosexcelenteslivros-textoqueabordam aplicaçõesdeprocessamento desinaisemacústicaevibrações:[35],[98],[139],[216],[238]e[240],verReferênciasBibliográficas.
3Ver,porexemplo,H.D.Young,R.A.Freedman.FísicaI.10a edição,Pearson,SãoPaulo, 2003[254].
absorçãodemateriais.NaSubseção11.8.1estuda-seométododotubodeimpedância,suasvantagensesuasimportantesrestrições;naSubseção11.8.2analisaseométododecampodifuso,oudecâmerareverberante,apontando-setambém suasvantagensedesvantagens.ASeção11.9dedica-seàanálisedométodode mediçãodecoeficientesdeespalhamento.ASeção11.10tratadaavaliaçãodainteligibilidadedafala,sejaatravésdoSTI,sejaapartirdolevantamentodoíndice dearticulaçãonoambienteemestudo.ASeção11.11trata,demaneirabemsumária,deacústicamusicaledeumaanálisedaquestãodotimbredeuminstrumento musical.Finalmente,aSeção11.12—quenãotratademediçõesacústicas,mas simdesimulaçãocomputacional—abordaosmétodosdesimulaçãodecampo acústicoemsalas,discutindoadicionalmenteaobtençãodasrespostasimpulsivas biauricularesemsalaseatécnicadegeraçãodeaurilizaçãopormeiodaconvoluçãodessasrespostascomsinaismonoauricularesanecoicos.
Asseçõesaseguirpodemserestudadasemqualquerordem.Todavia,vale alertarqueasSeções11.1e11.2,porseuconteúdomaisgeral,sãodesingular importânciaerecomenda-sesualeituraprévia.Parafundamentaçãoemacústica, recomendam-seosseguintestextos,todosconstantesdasReferênciasBibliográficas:[17],[21],[42],[68],[131][140],[150],[163],[193],[220],[233],[251]e[256].
11.1MediçõescomanalisadorFFTdedoiscanais
Oprincipalobjetivonaanálisedesistemas—linearesounão—émedirrelações entreentradaesaídadesinais.UmanalisadorFFT,ouseja,umanalisadorespectraldigital,permitequesejacalculadaatransformadadeFourierdeumdado sinal,geralmenteincluindoaconversãoA/D,vejaCapítulo8,aaplicaçãodeum filtroantidobramento,vejaSeção8.3,aconversãodosinaldiscretoparaodomíniodafrequênciaviatransformadarápidadeFourier(FFT),vejaSeção9.5,ea apresentaçãoderesultados.
Análiseemdoiscanais
Adicionalmente, umanalisadorespectraldedoiscanaispermiteaavaliaçãodediversasfunçõesquedescrevemocomportamentodinâmicodosistemaemestudo, emparticularoespectrocruzadoentreosdoissinais,vejaSeção7.6.Asfunções caracterizamosistemaindependentementedossinaisdeentradaesaídaepodem serutilizadasparapreverasaídadevidoaumaentradaconhecida—um problema direto —ouparadeterminaraentradaquecausaráumadadasaída—um problema inverso.Umaaplicaçãoessencialdeanálisedesinaisemdoiscanaisserá,portanto, obterumamedidadavalidadedomodelolinearqueformaabasedaanálisedo sistema,lembrandoquesistemasacústicosevibratóriospodemserconsiderados, emsuaesmagadoramaioria,comosistemaslinearesinvariantesnotempo.Afunçãodedoiscanaisquepodeserusadaparaissoéachamada funçãodecoerência, vejaSeção7.6.Afunçãodecoerênciaé,portanto,deimportânciafundamental emumamediçãoemdoiscanais.Todavia,valelembrarquesomenteaprática
Capítulo 12
AplicaçõesemVibrações
Reúnoemmimmesmoateoriaeaprática. MachadodeAssis
Agrandemaioriadosensaiosemvibraçõesvisaadeterminaçãode parâmetros ou propriedadesmecânicas desistemas.Tomemosumexemplobemsimples.Uma atletademassa m estáemequilíbrionaextremidadedeumtrampolim,veja Fig12.1a.Adeflexão ∆ = y(L) dessaextremidadedependerádepropriedades mecânicasdomaterialdotrampolim,taiscomoageometriadesuaseçãoreta, seumóduloelástico, E,seumomentodeinérciadeárea J,dentreoutrosfatores. Portanto,aocolocarmosumcargaconhecidanaextremidadedotrampolim— quepodesermodeladocomoumavigaengastada-livre—emedirmosadeflexão estática ∆,pode-sedeterminaralgunsdessesparâmetros.1 Todavia,aomoverseritmicamente,flexionandoaspernasdemodoafazerotrampolimoscilarde modoqueaatletaadquiraimpulsosuficienteparaseusalto,teremosagoranão maisumadeflexãoestática,masumadeflexãodinâmica,portantoemcadaponto decoordenada x ter-se-áagoraumdeslocamentovertical y(x, t),vejaFig12.1b, ouseja,dependentedotempo t.Emparticular,teremos,naextremidadelivre, ∆ = y(L, t).
Amodelagemdinâmicatorna-seumpoucomaiscomplexaqueamodelagem estática,principalmenteseforlevadaemconta,porexemplo,amassadistribuída doprópriotrampolim—oquegeralmenteénecessáriopoissuamassaé,comparativamenteàdaatleta,considerável.Mas,maisdoquetudo,introduzem-se naanálisedinâmicaasfrequênciasnaturaisdosistemaeoamortecimento,que sempreestarápresente.Levantarascaracterísticasde propriedadesdinâmicasdeum
1Ver,porexemplo,J.L.Meriam.Statics.2nd edition,JohnWiley&Sons,NewYork,1971[171].
sistema vibratório seráumdosobjetivosdopresentecapítulo.
Figura 12.1: (a)Deflexãoestática ∆ = y(L) daextremidadelivredeumtrampolim decomprimento L,devidoaopesodaatletaemsuaextremidadelivre.(b)Deflexãodinâmica(vibração)dotrampolim, ∆ = y(L, t),devidoaomovimentodaatleta preparando-separasaltar.
Abordaremosnasseçõesqueseseguemdiversosaspectosdesistemasvibrantes.Emtodoselesanalisaremoscomoépossível,utilizandoastécnicasdeprocessamentodesinaisdiscutidasnasPartesAeBdotexto,extrairinformaçõessobre ossistemasemanálise.Autilizaçãodeum osciloscópiodigitalcommemória para estudarsinaistemporaisoudeum analisadorespectral paraestudarocomportamentodosistemanodomíniodafrequência,permitemextrairinformaçõessobre parâmetrosnemsemprefáceisdeseremmensurados.2
NaSeção12.1estuda-seavibraçãolivre,nãoamortecida,desistemasdeum graudeliberdade,ocasomaissimplesnoestudodevibrações.NaSeção12.2 considera-seocasodevibraçãolivre,porémcomamortecimento,desistemascom umgraudeliberdade.NasSeções12.3e12.4,aborda-seoproblemadevibração forçadaeamortecida,aindacomumgraudeliberdade.NasSeções12.5e12.6 considera-seavibraçãodesistemascontínuosunidimensionais(vigas).ASeção12.7introduzoestudodesistemascontínuosbidimensionais(placas).ASe-
2Por exemplo,amassadeumcorpoouocomprimentodeumaviganãonecessitamdeum ensaiodinâmicoparaseremmedidos.Contudo,fatoresdeamortecimentodeumaestruturasão, essencialmente,parâmetrosquedemandarãoumensaiodinâmicoparasuadeterminação.
ção 12.8analisaoproblemadavibraçãoemcordas.Finalmente,aSeção12.9 examinaalgunssistemasmecânicososcilatóriosincomuns.
12.1Mediçãodafrequênciadeumosciladorharmônico
Adeterminaçãodafrequêncianaturaldeumsistemavibrantenãoamortecido podeserobtidaapartirdedemaisparâmetrosmecânicosdosistema.Nocaso deumsistemamassa-mola,conhecidaamassa, m,eaconstanteelásticadamola, k,afrequêncianatural,verEx.2.6comcoeficientedeamortecimento d = 0,é calculadasimplesmentecomo
No SI, m édadoemkg, k édadoemN/me fn édadoemHz.Todavia,para sistemasumpoucomaiscomplexosafrequêncianaturalpodenãosertãosimples deserobtida.
Exemplo12.1 TomandocomoprimeiroexemploosistemaoscilatórionãoamortecidoilustradonaFig.12.2,tem-sequeaequaçãodemovimentoquegovernao movimentodopênduloparapequenosdeslocamentosangulares θ(t) é3
¨ θ(t)+ g r θ(t) = 0,
sendo g aaceleraçãogravitacionale r ocomprimentodosuportedopêndulo. mg
Figura 12.2: Pêndulosimplesoscilandonoplanoverticalcompequenosdeslocamentosangulares θ(t).
θ O r x y
ConformefoivistonoEx.2.5,asoluçãogeraldaequaçãodemovimentoé
θ(t)= A cos(ωnt)+ B sen(ωnt), 3VejaEx.2.5.
O livro provê os fundamentos teóricos em processamento de sinais aplicados a Acústica e Vibrações (A&V), sendo o primeiro texto produzido em língua portuguesa sobre o tema. Está subdividido três partes. A Parte A aborda os sinais contínuos; a Parte B trata dos sinais discretos; a Parte C, então, apresenta exemplos das mais importantes aplicações de processamento de sinais em A&V. Em Acústica, abordam-se: a medição de respostas impulsivas de sistemas; a determinação do tempo de reverberação em salas; a avaliação da inteligibilidade da fala, dentre muitos outros. Em Vibrações, tem-se: a medição do amortecimento de um sistema; a medição de parâmetros de um isolador de vibrações; a medição de vibração em placas, dentre outros.
O autor introduz com elegância a matemática subjacente à teoria de sinais e sistemas. A abordagem é extremamente didática ao ilustrar toda a teoria com inúmeros exemplos, em sua grande maioria bem simples. Alguns conceitos são introduzidos de forma original e, ao mesmo tempo, intuitiva, com a intenção mais de formar do que informar. Como disse o Prof. Michael Vorländer, da Universidade de Aachen, que leu e resenhou o livro, “É particularmente notável a excelente abordagem didática de ilustrar as derivações matemáticas abstratas com vários exemplos, o que facilita muito o aprendizado com o objetivo de obter uma compreensão profunda até mesmo de processos complexos.”
O texto é uma excepcional fonte de informação para todos os que estudam ou trabalham com A&V, em que o processamento de sinais tem um papel fundamental. Atende tanto a estudantes quanto a profissionais da área que buscam uma sólida referência.
