Equações Diferenciais by Editora Blucher

Capa_Vianna Jr_equacoes diferencias_P2.pdf 1 22/01/2021 12:35:40

1. Introdução 2. Modelagem e simulação 3. Gerando uma equação diferencial 4. EDO com coeficientes constantes 5. EDO com coeficientes variáveis

7. Método da similaridade C

CMY

8. EDO-PVI 9. Diferenças finitas 10. Método dos resíduos ponderados 11. Análises qualitativas de EDO 12. Equações diferenciais estocásticas Apêndices

ARDSON DOS SANTOS VIANNA JR. Natural do Rio de Janeiro, é docente no ensino superior desde 1997. É graduado em

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Este livro de matemática aplicada se propõe a solucionar equações diferenciais com exemplos práticos. Procura-se compreender diversas ferramentas matemáticas através da intuição, sem se ater demasiadamente a demonstrações formais de existência e unicidade. Dividido em duas partes, a primeira apresentando soluções analíticas para equações diferenciais ordinárias e parciais, e a segunda, algumas técnicas numéricas para solução de equações diferenciais ordinárias e parciais, este livro é destinado a alunos e profissionais das áreas de ciências aplicadas, como engenharia, química tecnológica, física aplicada, ciências ambientais e biológicas.

ARDSON DOS SANTOS VIANNA JR.

Engenharia Química pelo Instituto Militar de

Uma visão intuitiva usando exemplos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

6. Método da separação de variáveis

VIANNA JR.

CONTEÚDO

A ciência moderna procura representar fenômenos que ocorrem na natureza (como o crescimento populacional, cinética de reações e pêndulo simples) por equações matemáticas, especiﬁcamente por meio de equações diferenciais.

Engenharia (IME); mestre e doutor pelo Programa de Engenharia Química da Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ). Atualmente é professor livre-docente na área de fenômenos de transporte no Departamento de Engenharia Química da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP), onde ingressou em 2010. Nessa instituição, lecionou as disciplinas Análise, Simulação de Processos Químicos e Fluidodinâmica Computacional. Também foi professor no IME por 17 anos, onde lecionou as disciplinas Operações Unitárias, Cinética e Reatores, Modelagem e Simulação. Estuda mili e microrreatores, avaliando cinéticas e microfluídica. Desenvolve pesquisa em fluidodinâmica e um modelo estocástico para fluxos multifásicos em tubos. Utiliza ferramenta computacional CFD em reatores especiais, sedimentadores contínuos e transporte de sistemas multifásicos. Já avaliou outros fenômenos como a dispersão de gases em ambientes fechados e pilha térmica.

Ardson dos Santos Vianna Jr.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma visão intuitiva usando exemplos

Marco Aurelio Cremasco editor

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26/01/2021 14:01:44

Publisher Edgard Blücher Editor Eduardo Blücher Coordenação editorial Jonatas Eliakim Produção editorial Isabel Silva Revisão de texto Maurício Katayama Diagramação Ardson dos Santos Vianna Jr. Capa Leandro Cunha Imagem da capa iStockphoto

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Angélica Ilacqua CRB-8/7057

Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4 andar 04531-934 – São Paulo – SP – Brasil Tel.: 55 11 3078-5366 contato@blucher.com.br www.blucher.com.br o

Vianna Jr., Ardson dos Santos Equações diferenciais : uma visão intuitiva usando exemplos / Ardson dos Santos Vianna Jr. ; editado por Marco Aurélio Cremasco. -- São Paulo : Blucher, 2021. 548 p. : il. Bibliografia

Segundo o Novo Acordo Ortográfico, conforme 5. ed. do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, Academia Brasileira de Letras, março de 2009.

ISBN 978-65-5506-281-6 (impresso) ISBN 978-65-5506-282-3 (eletrônico)

1. Matemática 2. Equações diferenciais 3. Modelos matemáticos I. Título II. Cremasco, Marco Aurélio É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem autorização escrita da editora. Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blücher Ltda.

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21-0541

CDD 515.33 Índice para catálogo sistemático

I. Equações diferenciais : Matemática

03/02/2021 10:38:43

Conteúdo Lista de figuras

Lista de tabelas

1 Introdução

2 Modelagem e simulação

2.1

Modelagem e simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Acurácia e precisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Softwares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Gerando uma equação diferencial 3.1

Gerando uma equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1

Equações básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2

Balanço diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3

Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Classificação de equações diferenciais . . . . . . . . . . . . .

3.3

Geometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

Algumas equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos 3.6

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 EDO com coeficientes constantes

54 55

4.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

EDO de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

Equações redutı́veis a EDO de primeira ordem . . . . . . . .

4.3.1

Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2

Equação de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.3

Consideração parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.4

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

4.5

Equações diferenciais com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.1

EDO 2a ordem coef. constantes . . . . . . . . . . . .

4.4.2

EDO homogênea de ordem dois . . . . . . . . . . . .

4.4.3

EDOs homogêneas de ordem n . . . . . . . . . . . . .

4.4.4

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mais teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.1

Dimensão do espaço solução . . . . . . . . . . . . . .

4.5.2

Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.3

Encontrando uma segunda solução linearmente independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EDO não homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.1

Coeficientes a determinar . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.2

Variação de parâmetros

. . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.3

Aplicação simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.4

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7

Estudo de caso: população de bactérias . . . . . . . . . . . .

4.8

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.4 4.6

Conteúdo 5 EDO com coeficientes variáveis

101

5.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2

Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis – série de potências

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2.1

Solução em torno de ponto ordinário . . . . . . . . . 102

5.2.2

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3

Mais teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4

Solução em pontos singulares – Método de Frobenius . . . . 111 5.4.1

5.5

5.6

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Equação de Bessel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.5.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.5.2

Função de Bessel de primeira espécie . . . . . . . . . 133

5.5.3

Equação de Bessel de segunda espécie . . . . . . . . . 139

5.5.4

Equação de Bessel de terceira espécie . . . . . . . . . 144

5.5.5

Equação de Bessel modificada . . . . . . . . . . . . . 144

5.5.6

Equações redutı́veis a Bessel . . . . . . . . . . . . . . 146

5.5.7

Estudo de caso – aleta triangular . . . . . . . . . . . 148

5.5.8

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6 Método da separação de variáveis

157

6.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.2

Sep. variáveis. coord. retang. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.3

Preparando a EDP para ser resolvida . . . . . . . . . . . . . 170 6.3.1

Homogeneização das condições de contorno . . . . . . 171

6.3.2

Adimensionando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.4

Difusão em coordenadas retangulares com troca de calor . . 175

6.5

Difusão em coordenadas retangulares com perda por convecção184

6.6

Equação da difusão em coordenadas cilı́ndricas . . . . . . . . 186

6.7

Homogeneização das C.C. em coord. cil. . . . . . . . . . . . 195

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos 6.8

Eq. difusão em coord. cil. com C.C. de terceiro tipo . . . . . 198

6.9

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.10 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7 Método da similaridade

213

7.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.2

Solução por similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.3

Solução particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.4

Solução de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.5

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

7.6

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8 EDO-PVI

231

8.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8.2

EDO-PVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8.3

Métodos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.4

8.5

8.3.1

Euler explı́cito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.3.2

Euler implı́cito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.3.3

Euler semi-implı́cito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.3.4

Euler modificado: predição-correção . . . . . . . . . . 246

8.3.5

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Métodos Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.4.1

Métodos Runge-Kutta embutidos . . . . . . . . . . . 256

8.4.2

Fórmula geral para o método Runge-Kutta . . . . . . 257

8.4.3

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Método de múltiplos passos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.5.1

8.6

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Métodos de diferenciação regressiva (BDF) . . . . . . . . . . 266 8.6.1

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.7

Sistemas de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.8

Estabilidade, convergência e rigidez . . . . . . . . . . . . . . 274

Conteúdo

8.9

8.8.1

Estabilidade e convergência . . . . . . . . . . . . . . 274

8.8.2

Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Estudo de caso: processo oxidativo avançado . . . . . . . . . 280 8.9.1

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.10 Softwares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 8.11 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.12 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 8.12.1 Euler explı́cito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 8.12.2 Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 8.12.3 Runge-Kutta semi-implı́cito . . . . . . . . . . . . . . 299 9 Diferenças finitas

303

9.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

9.2

EDO-PCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

9.3

Etapas para solução por diferenças finitas . . . . . . . . . . . 306

9.4

9.3.1

Geração de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9.3.2

Operadores diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

9.3.3

Sistema de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

9.3.4

Representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

9.3.5

Melhorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9.3.6

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Diferenças finitas em EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 9.4.1

EDP elı́ptica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

9.4.2

EDP parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

9.4.3

Estabilidade e convergência de método numérico para EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

9.4.4 9.5

Método das linhas – MOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 9.5.1

9.6

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Softwares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos 9.7

Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

9.8

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

9.9

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

10 Método dos resı́duos ponderados

371

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 10.2 EDO-PCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 10.3 Etapas para solução por método dos resı́duos ponderados . . 376 10.3.1 Adotar uma forma funcional . . . . . . . . . . . . . . 377 10.3.2 Definir o resı́duo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 10.3.3 Tratar o resı́duo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 10.3.4 Representar a solução

. . . . . . . . . . . . . . . . . 384

10.3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 10.3.6 Aproximação de ordem superior . . . . . . . . . . . . 387 10.3.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 10.4 Método da colocação ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . 397 10.4.1 Implementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 10.4.2 Estudo de caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 10.5 EDPs e colocação ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 10.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 10.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 10.8 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 11 Análises qualitativas de EDO

417

11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 11.2 Equação diferencial ordinária de primeira ordem . . . . . . . 418 11.2.1 Concavidade e monotonocidade . . . . . . . . . . . . 419 11.2.2 Isóclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 11.2.3 Campos de direções e de vetores . . . . . . . . . . . . 426 11.2.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 11.2.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

Conteúdo

11.3 Sistema de EDOs de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . 433 11.3.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 11.3.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 11.3.3 Gerando uma biblioteca com exemplos . . . . . . . . 441 11.3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 11.4 Sistemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 11.4.1 Estudo de caso: pêndulo simples . . . . . . . . . . . . 469 11.4.2 Sistemas biológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 11.4.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 11.5 Considerações finais sobre o tema . . . . . . . . . . . . . . . 483 11.5.1 Estudo de caso: reator CSTR com troca térmica . . . 484 11.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 12 Equações diferenciais estocásticas

495

12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 12.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 12.3 Processos estocásticos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

12.3.1 Processos em tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . 501 12.3.2 Processos em tempo contı́nuo . . . . . . . . . . . . . 502 12.4 Análise por trajetórias amostrais . . . . . . . . . . . . . . . 503 12.5 Integração de EDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 12.6 Gerando trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 12.7 Estudo de caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 12.8 Algumas equações diferenciais estocásticas . . . . . . . . . . 514 12.9 Softwares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 12.10Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 12.11Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 A Programação

519

A.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 A.2 Começando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos A.3 Elementos de programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 A.3.1 Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 A.3.2 Operadores e operações lógicas . . . . . . . . . . . . 524 A.3.3 Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 A.4 Construção de um pseudocódigo

. . . . . . . . . . . . . . . 527

A.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 A.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 B Espaço vetorial

531

B.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 B.2 Espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 B.3 Espaço das funções contı́nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 B.4 Problema de Sturm-Liouville (PSL) . . . . . . . . . . . . . . 539 B.4.1 Identidade de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 B.4.2 Todos os autovalores do PSL são reais . . . . . . . . 543 B.4.3 Os autovetores são uma famı́lia de funções ortogonais 544 B.4.4 Os autovalores do PSL são simples . . . . . . . . . . 545 B.5 Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 B.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 B.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

Capı́tulo 1 Introdução A Ciência Moderna procura representar fenômenos que ocorrem na Natureza por equações matemáticas. Um exemplo clássico são as leis de Newton para a Mecânica, em particular a segunda lei, que relaciona a força resultante aplicada a um corpo (F~R ) com a aceleração deste na mesma direção e sentido (F~R = m~a). Algumas dessas equações estão na forma diferencial. Por exemplo, a própria segunda lei de Newton pode ser representada como a variação da quantidade de movimento do corpo m~v , passando assim a ser d(m~v ) expressa por F~R = . Outros exemplos de fenômenos que envolvem dt equações diferenciais estão presentes na biologia (crescimento populacional), na quı́mica (cinética de reações), na fı́sica (pêndulo simples) e na engenharia (circuitos elétricos). Poderı́amos perguntar: por que a forma diferencial? Porque a derivada exige que haja uma continuidade dos pontos vizinhos no espaço e no tempo. Portanto, se as derivadas existem no espaço e no tempo, o sistema varia de forma contı́nua. Quando os fenômenos envolvem movimento, ocorrem taxas que também são representadas por equações diferenciais. Por exemplo, as conservações de massa, de quantidade de movimento e de energia possuem uma forma 21

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

diferencial e podem ser aplicadas a situações significativamente diferentes: processos quı́micos, análise ambiental, balanço populacional, dispersão de poluentes na água e no ar, linhas de fluxo em torno de carros de corrida, reatores, distribuição de velocidades e temperaturas em equipamentos e ambiente. Existe uma forma generalizada de representar esses balanços, que é através de uma propriedade Φ genérica: ∂Φ ∂Φ ∂ 2Φ + vx = D 2 + RΦ ∂t ∂x} ∂x } |{z} |{z} | {z | {z f onte

acúmulo

advectivo

(1.1)

dif usivo

O primeiro termo do lado esquerdo da igualdade representa a variação da propriedade com o tempo; trata-se, portanto, do termo de acúmulo ou transiente. O segundo termo do lado esquerdo é a contribuição advectiva, que rege a variação de uma propriedade devido à movimentação do fluido. O primeiro termo do lado direito da igualdade é o termo difusivo, responsável pelo transporte molecular e o segundo termo do lado direito é o termo fonte, que se refere ao consumo ou geração da propriedade Φ. A equação matemática final do modelo depende da especificidade do fenômeno fı́sico que se deseja representar/avaliar. Por exemplo, se o objetivo for avaliar a concentração C de uma espécie quı́mica com o tempo, sem considerar variações ao longo do espaço, a equação geral é reduzida aos termos de acúmulo e fonte: dC = RC dt

(1.2)

O que acaba por gerar uma equação diferencial ordinária com problema de valor inicial (EDO-PVI). Por outro lado, para se avaliar somente a difusão de calor por transporte molecular em uma barra metálica para um perfil inicial de temperatura

Capı́tulo 2 Modelagem e simulação Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • compreender a sistemática da geração de um modelo matemático; • reconhecer os erros inseridos nesse processo; • aplicar procedimentos que sejam capazes de remediar esses erros.

2.1

Modelagem e simulação

As equações diferenciais resolvidas neste livro são resultado de um processo voltado para a geração de modelo, que neste caso é um modelo matemático. Aris [2] define o conceito de modelo matemático como: Def.: Modelo matemático é o conjunto consistente e completo de equações matemáticas que se espera corresponder à outra entidade (protótipo). 27

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos O processo de construção de um modelo segue uma sequência de etapas

que é a mesma usada na construção de uma teoria cientı́fica. Esta lógica está sintetizada na Figura 2.1.

Figura 2.1 Progresso conceitual.

Primeiro deve-se observar a Natureza, como esta se comporta e como são as relações de causa e efeito. Por exemplo, a maçã que cai da árvore segue um padrão? Na movimentação de fluidos o fluxo pode ser laminar ou turbulento. A partir dessas informações, é possı́vel gerar um conjunto de hipóteses. Isso posto, é chegada a hora de fazer uso das equações fundamentais, os balanços de propriedades, as equações constitutivas, as equações de estado etc. Por exemplo, após observar sucessivos eventos, é possı́vel observar que a maçã cai sempre com a mesma aceleração. Essa constatação, associada a métodos tradicionais de tratamento de propriedades, gera uma equação matemática simples para descrever a forma de ação da força peso:

Capı́tulo 3 Gerando uma equação diferencial Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • deduzir um balanço diferencial; • classificar equações diferenciais; • listar condições de contorno de 1o , 2o e 3o tipos • deduzir equações para diferentes geometrias.

3.1

Gerando uma equação diferencial

As equações diferenciais que surgem dos balanços de massa, quantidade de movimento e energia são usadas em diversas situações fı́sicas. Estas fazem parte do acervo conceitual usado para explicar fenômenos da área da Mecânica dos Fluidos, tópico que vem sendo desenvolvido desde Sir Isaac 41

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

Newton (1643-1727). A equação geral de transporte de uma propriedade Φ genérica (massa, temperatura, entalpia, etc.) é dada pela Equação (3.1): ∂Φ ∂Φ ∂ 2Φ + vx = D 2 + RΦ ∂t ∂x} ∂x } |{z} |{z} | {z | {z f onte

acúmulo

advectivo

(3.1)

dif usivo

As diversas contribuições envolvidas nesse processo estão assinaladas na equação. O que define a complexidade da equação final são as hipóteses adotadas de forma a representar o fenômeno fı́sico estudado. Essas premissas também determinam o grau de precisão da equação em representar o fenômeno. Neste capı́tulo vamos deduzir uma equação diferencial parcial que representa como o calor se propaga por condução em uma barra metálica. De maneira natural e como prevê a segunda Lei da Termodinâmica, a transferência de calor ocorre da temperatura maior T2 para a menor T1 . A temperatura está associada ao movimento das moléculas que compõem o material. Se a temperatura é maior, a camada de moléculas está vibrando com mais energia e transfere à camada vizinha energia por meio de transporte molecular.

3.1.1

Equações básicas

Imagine uma barra por onde está sendo transferida uma quantidade de calor por condução Q. Uma barra que possui área perpendicular ao fluxo A e comprimento L (Figura 3.1). Façamos uma análise qualitativa, intuitiva, do fenômeno. O processo de observação indica que: • quanto maior a diferença de temperatura ∆T = T2 − T1 , maior será a quantidade de calor Q transferida;

Capı́tulo 4

Solução de equação diferencial ordinária com coeficientes constantes

Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • resolver EDOs simples de primeira e segunda ordens; • resolver EDOs com coeficientes constantes; • construir soluções gráficas; • avaliar resultados. 55

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

4.1

Introdução

Neste capı́tulo são resolvidas equações diferenciais ordinárias (EDOs) por intermédio de soluções analı́ticas. A estratégia usada é a progressão de complexidade, ou seja, partiremos das EDOs lineares, de menor ordem e homogêneas, passaremos pelas equações de ordem superior e as não homogêneas. Contudo, as equações com coeficientes variáveis ficam para o próximo capı́tulo. Os exemplos são apresentados tão prontamente quanto possı́vel de forma a indicar um raciocı́nio intuitivo. A teoria somente nem sempre mostra claramente como resolver problemas. Os exemplos elucidam. As soluções gerais das equações são avaliadas graficamente, sendo discutidos resultados a partir de análises paramétricas, ou seja, variando as constantes da solução geral do espaço solução.

4.2

Equação diferencial ordinária de primeira ordem

A forma geral para uma EDO de primeira ordem que inclui equações lineares, não lineares, implı́citas e explı́citas, é dada por:

F (x, y, y 0 ) = 0

(4.1)

sendo x a variável independente, y a variável dependente e y 0 a primeira derivada de y com relação a x. Caso a EDO seja explı́cita, esta pode ser representada por:

Capı́tulo 5 Solução de equação diferencial ordinária com coeficientes variáveis Ao final deste capı́tulo, você estará apto a: • resolver EDOs com coeficientes variáveis; • identificar as diversas equações de Bessel; • gerar soluções gráficas; • avaliar resultados.

5.1

Introdução

Este capı́tulo se dedica à resolução analı́tica de equações diferenciais ordinárias (EDOs) com coeficientes variáveis. O método utiliza séries de 101

102

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

potências como solução, ou seja, a soma de monômios em torno de um ponto x0 , an (x − x0 )n . As soluções gerais das equações são avaliadas graficamente, sendo discutidos resultados a partir de análises paramétricas, ou seja, variando as constantes da solução geral do espaço solução.

5.2

Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis – série de potências

No capı́tulo anterior resolvemos analiticamente EDOs com coeficientes constantes. Neste ponto elevamos o grau de complexidade das equações e avaliamos as EDOs com coeficientes variáveis. Continuam sendo equações lineares e podem ser representadas por:

an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + . . . + a2 (x)y (2) + a1 (x)y 0 + a0 y = h(x)

(5.1)

Partindo da equação mais simples, apresentamos o método para EDO de segunda ordem. Considerando que a2 (x) 6= 0, é possı́vel dividir por a2 (x). Logo: d2 y a1 (x) dy a0 (x) + + y=0 dx2 a2 (x) dx a2 (x)

5.2.1

(5.2)

Solução em torno de ponto ordinário

Sejam p(x) = a1 (x)/a2 (x) e q(x) = a0 (x)/a2 (x) polinômios. Seja x0 um ponto ordinário, ou seja, que não insere nenhuma particularidade, por

Capı́tulo 6 Método da separação de variáveis Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • resolver EDPs por método de separação de variáveis; • identificar e resolver Problemas de Sturm-Liouville; • reconhecer equações com condições de contorno de 1, 2 e 3o tipos; • avaliar resultados.

6.1

Introdução

As equações diferenciais parciais (EDPs) consideram variações em pelo menos duas variáveis. Podem ser variações em duas direções diferentes, 157

158

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

como x e y, ou r e z, ou variações concomitantes no espaço e no tempo. Podem ser em três direções e até mesmo nas três direções e no tempo concomitantemente, o que representa fenômenos transientes no espaço 3-D. Neste capı́tulo, apresentamos a solução analı́tica para EDPs pelo método da separação de variáveis. Primeiro, resolvemos a equação da difusão para geometria retangular com diferentes condições de contorno e depois a mesma equação para geometria cilı́ndrica. A ideia central intuitiva continua sendo trabalhar em cima de exemplos e avaliar os resultados através de gráficos.

6.2

Separação de variáveis para equação da difusão em coordenadas retangulares

No Capı́tulo 2 é feita uma introdução às equações diferenciais e lá são apresentadas as EDPs parabólica, hiperbólica e elı́tica. A equação parabólica tem como seu exemplo mais conhecido a equação da difusão de calor:

α2

∂ 2T ∂T = 2 ∂x ∂t

(6.1)

É uma EDP com um operador de 1a ordem no tempo e de 2a ordem no espaço. Portanto, a total definição da EDP se faz com a definição de uma condição inicial, que no caso é o perfil de temperatura em que se encontra o espaço x. Pode ser todo o espaço a uma temperatura T0 , ou pode ser um perfil linear T= a + b x ou parabólico T= a + b x + c x2 . O fato é que este perfil é conhecido. Para o espaço devem ser definidas duas condições de contorno, que são informações a cerca do calor nas extremidades da geometria. As três con-

Capı́tulo 7 Método da similaridade Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • combinar variáveis; • avaliar condições de contorno no infinito; • resolver EDPs pelo método da similaridade; • avaliar resultados.

7.1

Introdução

O que direciona o método analı́tico a ser aplicado na solução de equações diferenciais parciais (EDPs) são as condições de contorno que as definem. Quando as condições de contorno são definidas muito distantes, ou seja, no ∞, não é possı́vel aplicar o método da separação de variáveis. O método da similaridade ou de combinação de variáveis resolve estas condições de contorno no ∞. O ponto de partida é a escolha do agrupamento 213

214

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

de variáveis a ser usado. Neste capı́tulo, apresentamos a solução analı́tica para EDPs pelo método da similaridade. Alguns exemplos são resolvidos para apresentar o método de forma intuitiva. Os resultados são avaliados através de gráficos que representam as variações ao longo do espaço e do tempo.

7.2

Solução por similaridade

Seja a EDP:

  C.I. T (x, 0) = f (x)  

∂ 2T ∂T = , com condições 1a C.C. u(0, t) = 0 2  ∂x ∂t   a 2 C.C. u(∞, t) é limitado

(7.1)

Considerar que uma variável é finita quando x→ ∞ é uma consideração fı́sica coerente, já que a temperatura ou a velocidade não tende a um valor infinito quando nos distanciamos o suficiente do fenômeno que estamos avaliando. A solução para a Equação (7.1) por separação de variáveis obtida no Capı́tulo 6 é:

X(x) = C1 sen(λ x) + C2 cos(λ x) Ao fazer x→ ∞, a solução acima não possui valor definido! Portanto, não pode ser considerado como solução. Daı́, surge a ideia de combinação de variáveis.

Capı́tulo 8

Solução numérica de equação diferencial ordinária com problema de valor inicial

Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • resolver EDOs com PVI por métodos numéricos; • reconhecer o método de Runge-Kutta; • reconhecer os métodos passo múltiplo e BDF; • recomendar o método adequado para cada problema; • avaliar resultados. 231

232

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

8.1

Introdução

Neste capı́tulo são resolvidas equações diferenciais ordinárias (EDOs) com problema de valor inicial (PVI) utilizando métodos numéricos. Há um caminho natural a seguir que começa com os métodos de Euler explı́cito, implı́cito e semi-implı́cito. Depois são geradas as fórmulas de Runge-Kutta. Uma nova proposta de resolver são os métodos de múltiplos passos, onde uma integral é resolvida após interpolar um polinômio pelas soluções anteriores. O último método apresentado é o de diferenciação regressiva, BDF (backward diferentiation formulae), que inclui a derivada no próprio ponto e soluções anteriores, o que torna o método eficiente. Existe um número considerável de programas disponı́veis gratuita e livremente para uso. A proposta deste capı́tulo é apresentar um conhecimento mı́nimo para que o leitor possa escolher de forma criteriosa qual software usar. Exemplos são apresentados o quanto antes no desenvolvimento dos itens, de forma a levar a uma compreensão intuitiva dos métodos, antes mesmo da apresentação das definições e da teoria.

8.2

Equação diferencial ordinária com problema de valor inicial

As equações diferenciais ordinárias com problema de valor inicial (EDOPVI) podem ser representadas por:

dy = f (x, y) dx

em x = 0 y = y0

(8.1)

Capı́tulo 9 Diferenças finitas Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • resolver EDOs com problema de condição de contorno por diferenças finitas; • resolver EDPs por diferenças finitas; • conceituar o MOL (métodos das linhas); • avaliar resultados.

9.1

Introdução

Neste capı́tulo são resolvidas numericamente equações diferenciais ordinárias (EDOs) com problema de condição de contorno (PCC) utilizando diferenças finitas. A complexidade aumenta quando são resolvidas as equações diferenciais parciais (EDPs). As EDPs podem ser resolvidas no espaço e no tempo por diferenças finitas, por métodos explı́citos, implı́citos e semi303

304

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

implı́citos, por exemplo, o método Crank-Nicolson. O método das linhas (method of lines) utiliza diferenças finitas no espaço e algum método do capı́tulo anterior para resolver o sistema de EDOs com PVI resultante. Existe um número considerável de programas disponı́veis gratuita e livremente para uso. A proposta deste capı́tulo é apresentar um conhecimento mı́nimo para que o leitor possa escolher de forma criteriosa qual software usar.

9.2

Equação diferencial ordinária com condição de contorno

Conhecer uma propriedade ao longo do espaço leva ao uso de operadores diferenciais de segunda ordem. Com isso, duas condições de contorno devem ser definidas. Este ponto faz com que métodos diferentes tenham de ser aplicados aqui, ou seja, bem diferentes dos métodos usados no capı́tulo anterior, EDO com PVI. As equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com problema de condição de contorno (EDO-PCC) são totalmente definidas a partir de duas condições de contorno, por exemplo:  2 dy   = f (x, y)    dx2 dy a a 1 condição de contorno 1 c.c. em x=0 =0  dx     2a condição de contorno 2a c.c. em x=L y = y0

(9.1)

Ao invés de usar somente um exemplo numérico, vamos contextualizar com um exemplo diretamente ligado a uma realidade. exemplo: reação em catalisador [1]

Capı́tulo 10 Método dos resı́duos ponderados Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • compreender aproximações funcionais; • aplicar as técnicas de resı́duos ponderados; • resolver EDOs com problema de condição de contorno por colocação ortogonal; • avaliar resultados.

10.1

Introdução

Neste capı́tulo são resolvidas equações diferenciais ordinárias (EDOs) com problema de condição de contorno (PCC) utilizando o método dos resı́duos ponderados (MWR – method of weighted residuals). Esta solução 371

372

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

difere das soluções apresentadas em capı́tulos anteriores porque tem como elemento fundamental funções. Ou seja, tem como fundamento a Análise Funcional. Por isso, os conceitos, como erro, têm de ser redefinidos e manipulados de outra maneira. A solução de Fourier para a equação da difusão de calor transiente gera a série de Fourier, que pode representar qualquer função matemática, y(x). A partir disso, Finlayson [1] avaliou uma solução geral por série de senos e cossenos:

y(x) '

∞ X

[an sen(n π x) + bn cos(n π x)]

(10.1)

n=0

Contudo, as manipulações algébricas, derivadas e integrais, de funções de senos e cossenos não são tão eficientes como para polinômios. Daı́ surge o trabalho clássico de Villadsen e Stewart [2], um dos mais citados na revista Chemical Engineering Science, que empregou polinômios ortogonais. O método é o tão empregado método da colocação ortogonal. Villadsen também é coautor em um livro que ficou bastante popular no contexto da colocação ortogonal: Solution of differential equation models by polynomial approximation, escrito com Michelsen [3]. Embora apresente diversos tópicos relacionados com colocação ortogonal, não é um livro tão didático quanto livros mais recentes, como o dos autores Rice e Do [4]. A vantagem do método dos resı́duos ponderados e do método da colocação é que a solução é uma função, ou seja, é uma solução com infinitos pontos, ao contrário das soluções por Runge-Kutta ou diferenças finitas, que são conjuntos finitos de pontos. Outra vantagem é que as soluções por resı́duos ponderados são globais. Ao tratar o resı́duo na forma integral, os parâmetros não possuem um caráter local, como em diferenças finitas. Vamos aos métodos!

Capı́tulo 11 Análises qualitativas de equação diferencial ordinária Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • avaliar geometricamente EDOs e sistemas de EDOs de 1a ordem; • avaliar geometricamente sistemas não lineares autônomos; • construir campos de direção, de vetores e retrato de fases.

11.1

Introdução

Até este momento as equações propostas foram efetivamente resolvidas e informações puderam ser tiradas diretamente de gráficos de suas soluções. 417

418

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

Contudo, existe a possibilidade de resgatar informações sobre a solução sem efetivamente resolver a equação. Uma forma é analisar qualitativamente a equação, por exemplo, através de avaliações geométricas. O matemático francês Poincaré [1] foi um dos grandes responsáveis por esta nova forma de olhar para equações diferenciais. Neste capı́tulo, introduziremos esta nova forma de olhar para equações diferenciais: a forma qualitativa e geométrica. Por difı́cil que possa parecer, diversos campos da natureza e da engenharia utilizam estas ferramentas, por exemplo, sistemas dinâmicos, que estão associados a controle de processos, sistemas mecânicos e crescimentos populacionais. A aplicação é totalmente nova, mas a estrutura original é a do Cálculo básico. Ou seja, é o caminho que se usa para fazer um gráfico [2]. As informações básicas são:

1. encontrar os pontos singulares: raı́zes, máximos, mı́nimos e pontos de inflexão; 2. monotonocidade: a função cresce ou decresce; 3. concavidade: convexa (côncava para cima) ou côncava (côncava para baixo); 4. simetria.

11.2

Equação diferencial ordinária de primeira ordem

Nesta seção, a ideia é tirar conclusões e informações da EDO sem efetivamente resolvê-la, mas construindo gráficos.

Capı́tulo 12 Equações diferenciais estocásticas Ao final deste capı́tulo você estará apto a: • reconhecer processos estocásticos; • simular processos estocásticos; • construir trajetórias amostrais; • resolver equações diferenciais estocásticas; • avaliar resultados.

12.1

Introdução

Resolvemos inserir este capı́tulo sobre equações diferenciais estocásticas (EDE), embora não seja um tópico comum em livros básicos. Beers [1] inclui em seu livro diversos itens sobre processos estocásticos, inclusive o item 495

496

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

EDO estocástica, já que seu grupo de pesquisa no MIT1 se propõe a avaliar fenômenos em escala micrométrica, o que leva a movimentos brownianos e, por conseguinte, a estudos estocásticos. Cremasco [2] avaliou a difusão mássica por abordagem estocástica. Cremasco indica que esta abordagem é a mais adequada quando se tem por objetivo acompanhar a trajetória de determinado soluto, por exemplo. Neste capı́tulo, reunimos equações diferenciais e processos estocásticos. Portanto, fazemos a análise de dinâmicas estocásticas, particularmente visualizando trajetórias amostrais para eventos discretos, que é a base para a simulação de eventos discretos [3]. Começamos apresentando a equação diferencial ordinária (EDO) estocástica mais intuitiva, que é a equação de Langevin. Depois, formalizamos algumas definições, como processos estocásticos, discreto e contı́nuo. A seguir apresentamos a técnica numérica, integral de Itô e aplicações. Finalmente, apresentamos um estudo de caso, desenvolvido ao longo de nossa pesquisa, que envolve flutuações em um fluxo multifásico. A visão intuitiva neste capı́tulo é o próprio encaminhamento do assunto, através da geração e da solução da equação de Langevin, que, por si só, é um exemplo.

12.2

Motivação

A melhor motivação para se aprender EDO estocástica é a equação de Langevin. Esta equação modela o movimento browniano. Brown observou o movimento que um pólen descreve ao se movimentar na superfı́cie de um rio. 1

Instituto Tecnológico de Massachusetts, traduzido do inglês Massachusetts Institute

of Technology.

Apêndice A Programação Ao final deste Apêndice você estará apto a: • reconhecer os elementos de um código; • compreender a sequência lógica de um algoritmo; • construir um pseudocódigo.

A.1

Introdução

As soluções numéricas são desenvolvidas em alguma ferramenta computacional. A linguagem de programação é o idioma em que conversamos com a máquina, indicando qual a sequência de comandos que desejamos que esta execute. Nos primórdios os desenvolvedores geravam código ligando e desligando componentes fı́sicos de circuitos elétricos. Então surge, em 1954, a primeira linguagem de alto nı́vel, o Fortran (Formula Translation), que ainda é amplamente utilizado. A informática teve um crescimento vertiginoso nos últimos anos. Outras 519

520

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos

linguagens de programação surgiram: COBOL, ALGOL, BASIC, Pascal, C, C++, D, Java, Phyton, Perl, Julia e Ruby. Os conceitos que permeiam estas linguagens são programação estruturada, modular e orientada a objetos. Mesmo os softwares iterativos de alta performance, como o Matlab, Scilab e Octave, apresentam a possibilidade de programação, ou seja, contêm comandos que podem controlar o fluxo de informações. Mas os pontos fortes desses softwares são as bibliotecas, as interfaces gráficas e os módulos (toolbox ). As bibliotecas possibilitam a solução de equações diferenciais com chamadas simples a sub-rotinas, já desenvolvidas previamente. Contudo, a lógica matemática é o ponto de partida dos diversos códigos. Apresentamos neste apêndice alguns elementos que estão presentes em diversas ferramentas: os tipos, operações lógicas e as estruturas de controle. O objetivo é desenvolver um pseudocódigo, que é a lógica de um programa, de onde é possı́vel gerar um produto final, que pode ser um programa, um código ou um script.

A.2

Começando

A maior parte das vezes iniciamos um código entrando precipitadamente na linguagem, talvez lendo um código que já foi desenvolvido anteriormente. Infelizmente essa não é a melhor estratégia de desenvolver um código. A primeira etapa é a folha de papel e lápis! O resultado final deve ser identificado. Daı́, a sequência de cálculos deve ser esquematizada. Com isso é possı́vel identificar as variáveis. Outra parte essencial é manipular os resultados. Estes podem ser simplesmente apresentados na tela do computador, mas podem ser guardados em arquivos ou podem compor um gráfico. No livro do Prof. Forsythe [4] são colocadas algumas frases de efeito:

Apêndice B Espaço vetorial Ao final deste Apêndice você estará apto a: • definir um espaço vetorial; • reconhecer ortogonalidade; • construir funções ortogonais; • construir polinômios ortogonais.

B.1

Introdução

Esta seção coloca alguma Álgebra Linear com o objetivo de discutir conceitos que possibilitem falar sobre polinômios ortogonais. Diversas técnicas numéricas fazem uso de polinômios ortogonais [1], desde interpolações polinomiais (polinômios de Chebychev) até método de elementos finitos (colocação ortogonal). Isso porque os métodos numéricos tornam-se muito mais eficientes com o uso de polinômios ortogonais. 531

532

Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos O Espaço Vetorial está relacionado com entidades da geometria: os ele-

mentos são vetores, as operações são as conhecidas destes, como soma e subtração, e a ortogonalidade tem a ver com ângulos de 90 ◦ entre vetores, ou seja, são conceitos geométricos. Estes conceitos foram estendidos para outras entidades, como funções e polinômios. Os polinômios são funções fáceis de manipular, derivar, integrar e implementar algoritmos. Por isso, são amplamente usados em diversas situações. As operações com funções nem sempre são palpáveis: são abstrações. A dica é fazer um paralelo com os conceitos geométricos. Por exemplo, funções ortogonais são elementos que atendem a ortogonalidade segundo sua definição.

B.2

Espaços vetoriais

Herstein [2] define dois outros modelos algébricos, grupos e anéis, antes de definir espaços vetoriais. Também afirma que os espaços vetoriais tiveram sua origem na geometria e na Fı́sica. Um espaço vetorial V é composto por um corpo F e por duas operações, soma ⊕ e multiplicação, que devem satisfazer oito propriedades. Os elementos do espaço V (u,v e w) podem ser chamados de vetores e os elementos de F (α e β) podem ser chamados de escalares. Mais formalmente: um conjunto não vazio V é dito um espaço vetorial sobre um corpo F se V é um grupo abeliano sobre uma operação representada por ⊕, sendo que para todo α ∈ F, e v ∈ V onde é definido um elemento α v, de forma que V está sujeito a: 1. α (v ⊕ w) = α v ⊕ α w

Capa_Vianna Jr_equacoes diferencias_P2.pdf 1 22/01/2021 12:35:40

1. Introdução 2. Modelagem e simulação 3. Gerando uma equação diferencial 4. EDO com coeficientes constantes 5. EDO com coeficientes variáveis

7. Método da similaridade C

CMY

8. EDO-PVI 9. Diferenças finitas 10. Método dos resíduos ponderados 11. Análises qualitativas de EDO 12. Equações diferenciais estocásticas Apêndices

ARDSON DOS SANTOS VIANNA JR. Natural do Rio de Janeiro, é docente no ensino superior desde 1997. É graduado em

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

ARDSON DOS SANTOS VIANNA JR.

Engenharia Química pelo Instituto Militar de

Uma visão intuitiva usando exemplos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

6. Método da separação de variáveis

VIANNA JR.

CONTEÚDO