História da Matemática by Editora Blucher

CONTEÚDO

ORIGENS .................................................................................................................1 O conceito de número, 1. Primeiras bases numéricas, 2. Linguagem numérica e a origem da contagem, 3. A origem da geometria, 4.

EGITO ......................................................................................................................6 Registros primitivos, 6. Notação hieroglífica, 7. Papiro de Ahmes, 8. Frações unitárias, 9. Operações aritméticas, 10. Problemas algébricos, 11. Problemas geométricos, 12. Razão trigonométrica, 13. Papiro de Moscou, 13. Fraquezas matemáticas, 14.

MESOPOTÂMIA ....................................................................................................16 Registros cuneiformes, 16. Numeração posicional, 18. Frações sexagesimais, 19. Operações fundamentais, 19. Problemas algébricos, 21. Equações quadráticas, 21. Equações cúbicas, 23. Ternas pitagóricas, 23. Áreas poligonais, 26. A geometria como aritmética aplicada, 27. Fraquezas matemáticas, 28.

A JÔNIA E OS PITAGÓRICOS .............................................................................30 As origens gregas, 30. Tales de Mileto, 31. Pitágoras de Samos, 33. O pentagrama pitagórico, 34. Misticismo sobre números, 36. Aritmética e cosmologia, 36. Números figurativos, 37. Proporções, 38. Numeração ática, 39. Numeração jônia, 40. Aritmética e logística, 42.

A IDADE HEROICA ...............................................................................................43 Anaxágoras de Clazomene, 43. Três problemas famosos, 44. Quadratura de lunas, 45. Proporções contínuas, 46. Hípias de Elis, 47. Filolau e Arquitas de Tarento, 48. Duplicação do cubo, 49. Incomensurabilidade, 50. A secção áurea, 50. Paradoxos de Zeno, 51. Raciocínio dedutivo, 53. Álgebra geométrica, 53. Demócrito de Abdera, 54.

A IDADE DE PLATÃO E ARISTÓTELES ..............................................................57 As sete artes liberais, 57. Sócrates, 57. Sólidos platônicos, 58. Teodoro de Cirene, 59. Aritmética e geometria platônicas, 59. A origem da análise, 60. Eudoxo de Cnido, 61. O método de exaustão, 62. Astronomia matemática, 64. Menaecmus, 64. Duplicação do cubo, 65. Dinóstrato e a quadratura do círculo, 66. Autólico de Pitane, 67. Aristóteles, 68. Fim do período helênico, 68.

00-Boyer.indd XI

12.05.10 14:49:10

XII 7

EUCLIDES DE ALEXANDRIA ...............................................................................69 Autor de Os Elementos, 69. Outras obras, 70. Objetivo de Os Elementos, 71. Definições e postulados, 72. Alcance do livro I, 73. Álgebra geométrica, 74. Livros III e IV, 77. Teoria da proporção, 77. Teoria dos números, 78. Números primos e números perfeitos, 79. Incomensurabilidade, 80. Geometria no espaço, 81. Apócrifos, 81. Influência de Os Elementos, 82.

ARQUIMEDES DE SIRACUSA .............................................................................83 O cerco de Siracusa, 83. Lei da alavanca, 83. O princípio hidrostático, 84. O contador de areia, 85. Medida do círculo, 86. Trissecção do ângulo, 87. Área de um segmento parabólico, 88. Volume de segmento de paraboloide, 89. Segmento de esfera, 90. Sobre a esfera e o cilindro, 91. O Livro de lemas, 92. Sólidos semirregulares e trigonometria, 93. O Método, 93. Volume de uma esfera, 94. Recuperação de O Método, 95.

APOLÔNIO DE PERGA ........................................................................................96 Obras perdidas, 96. Restauração de obras perdidas, 97. O problema de Apolônio, 97. Ciclos e epiciclos, 98. As Cônicas, 98. Nomes das secções cônicas, 100. O cone duplo, 100. Propriedades fundamentais, 101. Diâmetros conjugados, 102. Tangentes e divisão harmônica,102. O lugar a três e quatro retas, 103. Intersecção de cônicas, 103. Máximas e mínimas, tangentes e normais, 104. Cônicas semelhantes, 105. Focos de cônicas, 106. Uso de coordenadas, 106.

TRIGONOMETRIA E MENSURAÇÃO NA GRÉCIA ..........................................108 Início da trigonometria, 108. Aristarco de Samos, 109. Eratóstenes de Cirene, 109. Hiparco de Niceia, 110. Menelau de Alexandria, 111. O Almagesto de Ptolomeu, 112. O círculo de 360 graus, 113. Construção de tabelas, 114. Astronomia ptolomaica, 115. Outras obras de Ptolomeu, 115. Óptica e astrologia, 117. Heron de Alexandria, 117. Princípio da mínima distância, 118. Declínio da matemática grega, 119.

RESSURGIMENTO E DECLÍNIO DA MATEMÁTICA GREGA ...........................120 Matemática aplicada, 120. Diofante de Alexandria, 121. Nicômaco de Gerasa, 121. A Arithmetica de Diofante, 122. Problemas diofantinos, 123. O lugar de Diofante na álgebra,124. Papus de Alexandria, 125. A Coleção, 126. Teoremas de Papus, 126. O problema de Papus, 127. O Tesouro da Análise, 128. Os teoremas de Papus-Guldin, 129. Proclo de Alexandria, 129. Boécio, 130. Fim do período alexandrino, 130. A Antologia Grega, 131. Matemáticos bizantinos do sexto século, 131.

CHINA E ÍNDIA ....................................................................................................133 Os documentos mais antigos, 133. Os Nove Capítulos, 133. Quadrados mágicos, 134. Numerais em barras, 135. O ábaco e as frações decimais, 135. Valores de pi, 138. Álgebra e método de Horner, 139. Matemáticos do século treze, 139. O triângulo aritmético, 140. Matemática primitiva na Índia, 140. Os Sulvasutras, 141. Os Siddhantas, 142. Aryabhata, 143. Numerais hindus, 144. O símbolo para zero, 145. A trigonometria hindu, 147. Multiplicação hindu, 148. A divisão, 149. Brahmagupta, 149. A fórmula de Brahmagupta, 150. Equações indeterminadas, 151. Bhaskara, 151. O Lilavati, 152. Ramanujan, 153.

00-Boyer.indd XII

12.05.10 14:49:10

XIII 13

A HEGEMONIA ÁRABE ......................................................................................154 A Casa da Sabedoria, 155. Al-jabr, 156. Equações quadráticas, 157. O pai da álgebra, 157. Fundamentos geométricos, 158. Problemas algébricos, 158. Um problema de Heron, 159. ‘Abd al-Hamid ibn-Turk, 159. Thabit ibn-Qurra, 160. Numerais arábicos, 161. Trigonometria árabe, 162. Abu’l Wefa e al-Karkhi, 163. Al-Biruni e Alhazen, 163. Omar Khayyam, 164. O postulado das paralelas, 165. Nasir Eddin, 166. Al-Kashi, 167.

A EUROPA NA IDADE MÉDIA ............................................................................168 Da Ásia à Europa, 168. Matemática bizantina, 168. A Idade das Trevas, 170. Alcuin e Gerbert, 170. O século da tradução, 171. A expansão dos numerais indo-arábicos, 172. O Liber abaci, 174. A sequência de Fibonacci, 174. Uma solução de uma equação cúbica, 175. Teoria dos números e geometria, 175. Jordanus Nemorarius, 176. Campanus de Novara, 177. O saber no século treze, 177. Cinemática medieval, 178. Thomas Bradwardine, 179. Nicole Oresme, 180. A latitude das formas, 180. Séries infinitas, 182. Declínio do saber medieval, 183.

RENASCIMENTO ................................................................................................184 Humanismo, 184. Nicholas de Cusa, 185. Regiomontanus, 186. Aplicação da álgebra à geometria, 188. Uma figura de transição, 189. O Triparty de Nicolas Chuquet, 189. A Summa de Luca Pacioli, 190. Leonardo da Vinci, 191. Álgebras germânicas, 192. A Ars magna de Cardano, 193. A solução da equação cúbica, 195. A solução de Ferrari para a equação quártica, 196. Cúbicas irredutíveis e números complexos, 197. Robert Recorde, 199. Nicolau Copérnico, 200. George Joachim Rheticus, 200. Pierre de la Rammée, 200. A Álgebra de Bombelli, 201. Johannes Werner, 202. Teoria da perspectiva, 203. Cartografia, 204.

PRELÚDIO À MATEMÁTICA MODERNA ...........................................................207 François Viète, 207. Conceito de parâmetro, 208. A arte analítica, 208. Relação entre raízes e coeficientes, 209. Thomas Harriot e William Oughtred, 210. Novamente o método de Horner, 210. Trigonometria e a prostaférese, 211. Resolução trigonométrica de equações, 212. John Napier, 213. A invenção dos logaritmos, 214. Henry Briggs, 215. Jobst Bürgi, 216. Matemática aplicada e frações decimais, 216. Notações algébricas, 219. Galileu Galilei, 219. Valores de pi, 220. Reconstrução do Sobre tangências de Apolônio, 221. Análise infinitesimal, 221. Johannes Kepler, 222. As Duas novas ciências de Galileu, 224. Galileu e o infinito, 225. Boaventura Cavalieri, 226. A espiral e a parábola, 228.

O TEMPO DE FERMAT E DESCARTES ............................................................229 Principais matemáticos da época, 229. O Discours de la méthode, 229. Invenção da geometria analítica, 231. Aritmetização da geometria, 231. Álgebra geométrica, 233. Classificação das curvas, 233. Retificação das curvas, 235. Identificação das cônicas, 235. Normais e tangentes, 236. Conceitos geométricos de Descartes, 237. Lugares geométricos de Fermat, 238. Geometria analítica em dimensão superior, 239. Diferenciação de Fermat, 239. Integrações de Fermat, 241. Gregório de St. Vincent, 242. Teoria dos números, 243. Teoremas de Fermat, 243. Gilles Persone de Roberval, 244. Evangelista Torricelli, 244. Curvas novas, 245. Girard Desargues, 247. Geometria projetiva, 247. Blaise Pascal, 249. Probabilidade, 250. A cicloide, 252.

00-Boyer.indd XIII

12.05.10 14:49:10

XIV 18

UM PERÍODO DE TRANSIÇÃO ..........................................................................253 Philippe de Lahire, 253. George Mohr, 254. Pietro Mengoli, 254. Frans van Schooten, 255. Jan de Witt, 255. Johann Hudde, 256. René François de Sluse, 257. O relógio de pêndulo, 257. Involutas e evolutas, 259. John Wallis, 261. Sobre secções cônicas, 261. Arithmetica infinitorum, 261. Christopher Wren, 263. Fórmulas de Wallis, 263. James Gregory, 264. A série de Gregory, 265. Nicolaus Mercator e William Brouncker, 266. Método de Barrow das tangentes, 267.

NEWTON E LEIBNIZ ...........................................................................................269 Primeiras obras de Newton, 269. O teorema binomial, 270. Séries infinitas, 271. Método dos fluxos, 273. Principia, 273. Leibniz e o triângulo harmônico, 275. O triângulo diferencial e as séries infinitas, 273. O cálculo diferencial, 273. Determinantes, notação e números imaginários, 279. A álgebra da lógica, 280. A lei do inverso do quadrado, 280. Teoremas sobre cônicas, 281. Óptica e curvas, 282. Coordenadas polares e outras, 282. O método de Newton e o paralelogramo de Newton, 283. Arithmetica universalis, 284. Últimos anos, 285.

A ERA BERNOULLI ............................................................................................286 A família Bernoulli, 286. A espiral logarítmica, 288. Probabilidade e séries infinitas, 289. Regra de L’Hospital, 289. Cálculo exponencial, 290. Logaritmos de números negativos, 291. Paradoxo de Petersburgo, 292. Abraham de Moivre, 300. Teorema de De Moivre, 293. Roger Cotes, 294. James Stirling, 295. Colin Maclaurin, 295. Série de Taylor, 296. A controvérsia do The Analyst, 296. Regra de Cramer, 297. Transformações de Tschirnhaus, 298. Geometria analítica no espaço, 299. Michel Rolle e Pierre Varignon, 300. Matemática na Itália, 301. O postulado das paralelas, 301. Séries divergentes, 302.

A IDADE DE EULER ...........................................................................................303 Vida de Euler, 303. Notação, 305. Fundamentos da análise, 306. Séries infinitas, 307. Séries convergentes e divergentes, 308. Vida de d’Alembert, 309. Identidades de Euler, 310. D’Alembert e limites, 311. Equações diferenciais, 311. Os Clairaut, 312. Os Riccati, 313. Probabilidade, 314. Teoria dos números, 315. Livros didáticos, 317. Geometria sintética, 317. Geometria analítica no espaço, 318. Lambert e o postulado das paralelas, 319. Bézout e a eliminação, 320.

MATEMÁTICOS DA REVOLUÇÃO FRANCESA ................................................322 A idade das revoluções, 322. Matemáticos principais, 323. Publicações antes de 1789, 324. Lagrange e determinantes, 324. Comitê de Pesos e Medidas, 325. Condorcet a respeito de educação, 326. Monge como administrador e professor, 327. Geometria descritiva e geometria analítica, 328. Livros didáticos, 330. Lacroix sobre geometria analítica, 330. O Organizador da Vitória, 331. Metafísica do cálculo e geometria, 332. Géométrie de position, 333. Transversais, 334. A geometria de Legendre, 335. Integrais elípticas, 336. Teoria dos números, 336. Teoria das funções, 337. Cálculo das variações, 338. Multiplicadores de Lagrange, 339. Laplace e probabilidade, 339. Mecânica celeste, 340. Mudanças políticas, 341.

00-Boyer.indd XIV

12.05.10 14:49:10

XV 23

O TEMPO DE GAUSS E CAUCHY .....................................................................343 O século dezenove, 343. Primeiras obras de Gauss, 343. Teoria dos números, 345. Recepção das Disquisitiones arithmeticae, 347. Contribuições de Gauss à astronomia, 348. A meia-idade de Gauss, 348. O início da geometria diferencial, 349. Últimos trabalhos de Gauss, 350. Paris em 1820, 351. Cauchy, 353. Comparação entre Gauss e Cauchy, 359. Geometria não euclidiana, 361. Abel e Jacobi, 361. Galois, 364. Difusão, 366. Reformas na Inglaterra e na Prússia, 367.

GEOMETRIA........................................................................................................369 A escola de Monge, 369. A geometria projetiva: Poncelet e Chasles, 370. Geometria sintética métrica: Steiner, 372. Geometria sintética não métrica: von Staudt, 373. Geometria analítica, 373. Geometria riemanniana, 377. Espaços de dimensão superior, 378. Felix Klein, 379. A geometria algébrica pós-riemanniana, 381.

ANÁLISE..............................................................................................................383 Berlim e Göttingen ao meio do século, 383. Riemann em Göttingen, 383. Física matemática na Alemanha, 384. Física matemática nos países de língua inglesa, 385. Weierstrass e estudantes, 386. A aritmetização da análise, 388. Cantor e Dedekind, 390. Análise na França, 395.

ÁLGEBRA............................................................................................................399 Introdução, 399. A álgebra na Inglaterra e o cálculo operacional de funções, 399. Boole e a álgebra da lógica, 401. De Morgan, 403. Hamilton, 404. Grassmann e Ausdehnungslehre, 405. Cayley e Sylvester, 407. Álgebras lineares associativas, 412. Geometria algébrica, 412. Inteiros algébricos e aritméticos, 413. Axiomas da aritmética, 414.

POINCARÉ E HILBERT ......................................................................................417 Vista geral da virada do século, 417. Poincaré, 417. Física matemática e outras aplicações, 419. Topologia, 420. Outros campos e legado, 420. Hilbert, 421. Teoria dos invariantes, 422. O Zahlbericht de Hilbert, 423. Os fundamentos da geometria, 424. Os problemas de Hilbert, 424. Hilbert e Análise, 427. O problema de Waring e a obra de Hilbert depois de 1909, 428.

ASPECTOS DO SÉCULO VINTE........................................................................429 Visão geral, 429. Integração e medida, 429. Análise funcional e topologia geral, 431. Álgebra, 433. Geometria diferencial e análise tensorial, 434. A década de 1930-40 e a Segunda Guerra Mundial, 435. Probabilidade, 436. Álgebra homológica e teoria das categorias, 437. Bourbaki, 438. Lógica e computação, 439. Perspectiva para o futuro, 440.

REFERÊNCIAS ..............................................................................................................443 BIBLIOGRAFIA GERAL ................................................................................................464 APÊNDICE .....................................................................................................................472 ÍNDICE ...........................................................................................................................480

00-Boyer.indd XV

12.05.10 14:49:10

ORIGENS

ORIGENS Trouxeste-me um homem que não sabe contar seus dedos? Do Livro dos mortos

O CONCEITO DE NÚMERO Os matemáticos do século vinte desempenham uma atividade intelectual altamente sofisticada, que não é fácil de definir, mas boa parte do que hoje se chama matemática deriva de ideias que originalmente estavam centradas nos conceitos de número, grandeza e forma. Definições antiquadas da matemática como uma “ciência do número e grandeza” já não são válidas; mas sugerem as origens dos diversos ramos da matemática. Noções primitivas relacionadas com os conceitos de número, grandeza e forma podem ser encontradas nos primeiros tempos da raça humana, e vislumbres de noções matemáticas se encontram em formas de vida que podem datar de milhões de anos antes da humanidade. Darwin no Descent of Man (1871) observou que alguns animais superiores possuem capacidades como memória e imaginação, e hoje é ainda mais claro que as capacidades de distinguir número, tamanho, ordem e forma — rudimentos de um sentido matemático — não são propriedades exclusivas da humanidade. Experiências com corvos, por exemplo, mostraram que pelo menos alguns pássaros podem distinguir conjuntos contendo até quatro elementos. Uma percepção de diferenças de padrões em seus ambientes claramente existe em muitas formas inferiores de vida, e isso tem parentesco com a preocupação dos matemáticos com forma e relação. Em certa época pensou-se que a matemática se ocupava do mundo que nossos sentidos percebem e foi somente no século dezenove que a matemática pura se libertou das limitações sugeridas por observações da natureza. É claro que a matemática originalmente surgiu como parte da vida diária do homem, e se há validade no princípio biológico da “sobrevivência dos mais aptos” a persistência da raça humana provavelmente tem relação com o desenvolvimento de conceitos matemáticos. A princípio as noções primitivas de número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastes mais do que com semelhanças — a diferença entre um lobo e muitos, a desigualdade de tamanho entre uma sardinha e uma baleia, a dessemelhança entre a forma redonda da Lua e a retilínea de um pinheiro. Gradualmente deve ter surgido, da massa de experiências caóticas, a percepção de que há analogias: e dessa percepção de semelhanças em número e forma nasceram a ciência e a matemática. As próprias diferenças parecem indicar semelhanças, pois o contraste entre um lobo e muitos, entre um carneiro e um rebanho, entre uma árvore e uma floresta, sugerem que um lobo, um carneiro e uma árvore têm algo em comum — sua unicidade. Do mesmo modo se observaria que certos grupos, como os pares, podem ser postos em correspondência um a um. As mãos podem ser relacionadas com os pés, os olhos e as orelhas ou as narinas. Essa percepção de uma propriedade abstrata que certos grupos têm em comum e que nós chamamos número, representa um grande passo no caminho para a matemática moderna. É improvável que isso tenha sido descoberta de um indivíduo ou de uma

01-Boyer.indd 1

12.05.10 14:50:13

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

dada tribo; é mais provável que a percepção tenha sido gradual, desenvolvida tão cedo no desenvolvimento cultural do homem quanto o uso do fogo, talvez há 300.000 anos. Que o desenvolvimento do conceito de número foi um processo longo e gradual é sugerido pelo fato de que certas línguas, o grego inclusive, conservaram na sua gramática uma distinção tripartite entre um e dois e mais de dois, ao passo que a maior parte das línguas atuais só faz a distinção em “número” entre singular e plural. Evidentemente nossos mais antigos antepassados a princípio contavam só até dois qualquer conjunto; além desse nível era dado como “muitos”. Mesmo hoje muitos povos primitivos ainda contam objetos dispondo-os em grupos de dois.

PRIMEIRAS BASES NUMÉRICAS A ideia de número finalmente tornou-se suficientemente ampla e vívida para que se sentisse a necessidade de exprimir a propriedade de algum modo, presumivelmente a princípio somente na linguagem de sinais. Os dedos de uma mão podem facilmente ser usados para indicar um conjunto de dois, três, quatro ou cinco objetos, não sendo o número 1 geralmente reconhecido inicialmente como um verdadeiro número. Usando os dedos das duas mãos podem ser representadas coleções contendo até dez elementos; combinando dedos das mãos e dos pés pode-se ir até vinte. Quando os dedos humanos eram inadequados, podiam ser usados montes de pedras para representar uma correspondência com elementos de um outro conjunto. Quando o homem primitivo usava tal método de representação, ele frequentemente amontoava as pedras em grupos de cinco, pois os quíntuplos lhe eram familiares por

Esquema cronológico representando a extensão de algumas civilizações antigas e medievais. (Reproduzido, com permissão, de O. Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity)

01-Boyer.indd 2

12.05.10 14:50:14

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

EGITO

Sesóstris ... repartiu o solo do Egito entre seus habitantes... Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem ... o rei mandava pessoas para examinar, e determinar por medida a extensão exata da perda ... Por esse costume, eu creio, é que a geometria veio a ser conhecida no Egito, de onde passou para a Grécia. Heródoto

REGISTROS PRIMITIVOS É costume dividir o passado da humanidade em eras e períodos, com particular referência a níveis e características culturais. Tais divisões são úteis, embora devamos ter sempre em mente que são apenas uma estrutura superposta arbitrariamente para nossa conveniência e que as divisões no tempo que sugerem não são fossos intransponíveis. A Idade da Pedra, um longo período que precede o uso de metais, não teve um fim abrupto. Na verdade, o tipo de cultura que representou terminou muito mais tarde na Europa do que em certas partes da Ásia e da África. O surgimento de civilizações caracterizadas pelo uso de metais teve lugar primeiro em vales de rios, como os do Egito, Mesopotâmia, Índia e China; por isto nós designaremos a parte mais antiga do período histórico pelo nome de “estágio potâmico”. Os registros cronológicos das civilizações nos vales dos rios Indo e Yang-tse não merecem confiança, mas dispomos de informação razoavelmente segura sobre os povos que viveram ao longo do Nilo e no crescente fértil dos rios Tigre e Eufrates. Antes do quarto milênio a.C. uma forma primitiva de escrita estava em uso tanto no vale mesopotâmico como no Nilo. Lá os primitivos registros pictográficos, por um processo de gradual convencionalização, evoluíram para uma ordem linear de símbolos mais simples. Na Mesopotâmia, onde o barro era abundante, marcas em forma de cunha eram feitas com um estilete sobre tabletas moles que depois eram cozidas em fornos ou ao calor do sol. Esse tipo de escrita chama-se cuneiforme (da palavra latina cuneus, cunha) por causa da forma dos sinais. O significado a ser transmitido em cuneiforme era determinado pelos arranjos das marcas em cunha. Documentos cuneiformes tinham grande durabilidade; por isso muitos milhares de tais tabletas sobreviveram até nosso dias, muitos datando de cerca de 4.000 anos. Naturalmente, só uma fração dessas se refere a temas relacionados com matemática. Além disso, até há cerca de um século a mensagem nas tabletas permaneceu muda, pois a escrita não fora decifrada. Na década de 1870 foi feito um progresso significativo na leitura, quando se descobriu que a Rocha Behistun trazia uma narração trilingüe da vitória de Dario sobre Cambises, a inscrição sendo em persa, elamítico e babilônico. O conhecimento do persa consequentemente forneceu a chave para a leitura do assírio, língua proximamente aparentada com o babilônico, mais antigo. Mesmo depois dessa importante descoberta, a decifração e análise das tabletas com conteúdo matemático avançou devagar, e foi só no segundo quarto do século vinte que a percepção das contribuições matemáticas da Mesopotâmia se tornou apreciável, devido em grande parte à obra pioneira de Fr. Thureau-Dangin na França e Otto Neugebauer na Alemanha e América.

02-Boyer.indd 6

12.05.10 14:51:15

EGITO

Reprodução (alto) de uma parte do Papiro de Moscou, mostrando o problema do volume de um tronco de pirâmide quadrada, juntamente com a transcrição hieroglífica (abaixo).

NOTAÇÃO HIEROGLÍFICA Os escritos egípcios, enquanto isso, tinham tido melhor sorte que os babilônios num particular. A Pedra de Rosetta, trilíngue, desempenhando papel análogo ao da Rocha Behistum, tinha sido descoberta em 1799 pela expedição de Napoleão. Essa grande peça, achada em Rosetta, antigo porto de Alexandria, continha uma mensagem em três escritas: grega, demótica e hieroglífica. Sabendo o grego, Champollion na França e Thomas Young na Inglaterra fizeram rápido progresso na decifração dos hieroglifos (isto é, “inscrições sagradas”) egípcios. Agora as inscrições nas tumbas e monumentos no Egito podiam ser lidas, embora tais documentos cerimoniais não sejam a melhor fonte de informação quanto a ideias matemáticas. A numeração hieroglífica egípcia foi facilmente decifrada. O sistema, pelo menos tão antigo quanto as pirâmides, datando de cerca de 5.000 anos atrás, baseava-se, como seria de esperar, na escala de dez. Usando um esquema iterativo simples e símbolos diferentes para a primeira meia dúzia de potências de dez, números maiores que um milhão foram incisos em pedra, madeira e outros materiais. Um traço vertical representa uma unidade, um osso de calcanhar invertido indicava 10, um laço como uma letra C maiúscula valia 100, uma flor de lótus 1.000, um dedo dobrado 10.000, um peixe era usado para indicar 100.000 e uma figura ajoelhada (talvez o deus do Sem-fim) 1.000.000. Por repetição desses símbolos, o número 12.345, por exemplo, se escrevia como Às vezes os dígitos menores eram colocados à esquerda, e às vezes os dígitos eram dispostos verticalmente. Os próprios símbolos ocasionalmente eram colocados com orientação invertida, de modo que o laço tanto podia ser convexo para a direita como para a esquerda. As inscrições egípcias revelam familiaridade com grandes números desde tempos remotos. Um museu em Oxford possui um cetro real de mais de 5.000 anos sobre o qual aparece um registro de 120.000 prisioneiros e 1.422.000 cabras capturadas1. Esses números podem ser exagerados, mas de outras considerações fica claro, no entanto, que os egípcios eram louvavelmente precisos no contar 1

J.E. Quibell, Hierakonpolis (Londres: b, Quaritch, 1900). Ver especialmente placa 26B.

02-Boyer.indd 7

12.05.10 14:51:16

A IDADE DE PLATÃO E ARISTÓTELES

A IDADE DE PLATÃO E ARISTÓTELES Eu, de boa vontade, morreria queimado como Faetonte, se esse fosse o preço a pagar para alcançar o Sol e saber qual sua forma, tamanho e substância. Eudoxo

AS SETE ARTES LIBERAIS A Idade Heroica se situa principalmente no quinto século a.C. e desse período quase nenhuma evidência direta restou sobre o desenvolvimento da matemática. As histórias de Heródoto e Tucídides e as peças de Ésquilo, Eurípedes e Aristófanes até certo ponto se preservaram, mas quase não há uma linha do que foi escrito pelos matemáticos da época. Fontes matemáticas de primeira mão do quarto século a.C. são quase igualmente raras, mas essa falta é suprida em grande parte pelas exposições escritas por filósofos que estavam au courant da matemática de seu tempo. Temos a maior parte do que Platão escreveu acerca de metade da obra de Aristóteles; com os escritos desses dois líderes intelectuais do quarto século a.C. como guia, podemos dar uma exposição muito mais digna de fé do que aconteceu em seu tempo, do que podemos fazer quanto à Idade Heroica. Incluímos Arquitas entre os matemáticos da Idade Heroica, mas num certo sentido ele é na verdade uma figura de transição na matemática durante o tempo de Platão. Foi um dos últimos pitagóricos, tanto literal quanto figuradamente. Podia acreditar ainda que o número era o que há de mais importante na vida e na matemática, mas a onda do futuro ia elevar a geometria à posição de supremacia, em grande parte devido ao problema da incomensurabilidade. Por outro lado, diz-se que foi Arquitas quem estabeleceu o quadrivium — aritmética, geometria, música e astronomia — como o núcleo de uma educação liberal e nisto suas opiniões iriam dominar muito do pensamento pedagógico até nossos dias. As sete artes liberais, que permaneceram intocáveis por dois milênios, eram constituídas pelo quadrivium de Arquitas mais o trivium da gramática, da retórica e da dialética de Zeno. Por isso pode-se com alguma justiça sustentar que os matemáticos da Idade Heroica foram responsáveis por muito, quanto à orientação nas tradições educacionais do Ocidente, especialmente na forma transmitida pelos filósofos do quarto século a.C.

SÓCRATES O quarto século a.C. iniciou-se com a morte de Sócrates, um filósofo que adotou o método dialético de Zeno e repudiou o pitagorismo de Arquitas. Sócrates reconhecia que na juventude fora atraído por questões como por que a soma 2 + 2 é igual ao produto 2 × 2, bem como pela filosofia da natureza de Anaxágoras; porém, percebendo que nem a matemática nem a ciência podiam satisfazer seu desejo de conhecer a essência das coisas, ele se entregou à sua característica busca do homem.

06-Boyer.indd 57

12.05.10 15:26:21

EUCLIDES DE ALEXANDRIA

Ptolomeu uma vez perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto, para a geometria, que o estudo de Os elementos, e Euclides lhe respondeu que não havia estrada real para a geometria. Proclo Diadoco

AUTOR DE OS ELEMENTOS A morte de Alexandre, o Grande, levou a disputas entre os generais do exército grego; mas em 306 a.C. o controle da parte egípcia do império estava firmemente nas mãos de Ptolomeu I, e esse governante pôde voltar a atenção para esforços construtivos. Entre seus primeiros atos está a criação em Alexandria de uma escola ou instituto conhecido como Museu, insuperado em seu tempo. Como professores ele chamou um grupo de sábios de primeira linha, entre eles Euclides, o autor do texto de matemática mais bem-sucedido de todos os tempos — Os elementos (Stoichia). Considerando a fama do autor e de seu best seller, sabe-se notavelmente pouco sobre a vida de Euclides. Tão obscura ficou sua vida que nenhum lugar de nascimento é associado a seu nome. Embora edições de Os elementos frequentemente identificassem o autor como Euclides de Megara, e um retrato de Euclides em Megara frequentemente apareça em histórias da matemática, trata-se de um erro de identidade. O verdadeiro Euclides de Megara1 era um discípulo de Sócrates e, embora se preocupasse com lógica, não se sentia mais atraído pela matemática que seu mestre. Nosso Euclides, em contraste, é conhecido como Euclides de Alexandria, porque foi chamado para lá ensinar matemática. Da natureza de seu trabalho pode-se presumir que tivesse estudado com discípulos de Platão, senão na própria Academia. Lendas associadas com Euclides o pintam como um bondoso velho. A estória contada acima em relação a Alexandre, o Grande, que desejava uma introdução fácil à geometria é repetida no caso de Ptolomeu, a quem se diz que Euclides garantiu que “não há uma estrada real para a geometria”. Evidentemente Euclides não dava ênfase aos aspectos práticos do assunto, pois há uma estória contada sobre ele que diz que quando um estudante perguntou para que servia o estudo da geometria, Euclides disse a seu escravo que desse três moedas ao estudante, “pois ele precisa ter lucro com o que aprende”. Euclides e Os elementos são frequentemente considerados sinônimos; na realidade o homem escreveu cerca de uma dúzia de tratados, cobrindo tópicos variados, desde óptica, astronomia, música e mecânica até um livro sobre secções cônicas. Com exceção de A esfera de Autólico, os livros de 1

07-Boyer.indd 69

Veja frontispício no início do Cap. 15.

12.05.10 15:27:08

ARQUIMEDES DE SIRACUSA

ARQUIMEDES DE SIRACUSA Havia mais imaginação na cabeça de Arquimedes que na de Homero. Voltaire

O CERCO DE SIRACUSA Durante toda a Idade Helenística o centro da atividade matemática permaneceu em Alexandria, mas o maior matemático desse tempo — e de toda antiguidade — não nasceu nessa cidade. Arquimedes pode ter estudado por algum tempo em Alexandria com os estudantes de Euclides, e manteve comunicação com os matemáticos de lá, mas viveu e morreu em Siracusa. Conhecem-se poucos fatos de sua vida, mas tem-se alguma informação tirada na narração de Plutarco da vida de Marcelo, o general romano. Durante a Segunda Guerra Púnica a cidade de Siracusa se viu envolvida na luta entre Roma e Cartago; tendo-se associado a essa última, a cidade foi sitiada pelos romanos durante aos anos de 214 a 212 a.C. Lemos que durante o cerco Arquimedes inventou engenhosas máquinas de guerra para conservar o inimigo à distância — catapultas para lançar pedras; cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar os navios. Por fim, no entanto, Siracusa caiu devido a uma “quinta coluna”; durante o saque da cidade Arquimedes foi morto por um soldado romano, apesar das ordens de Marcelo para que o geômetra fosse poupado. Como se diz que Arquimedes tinha então setenta e cinco anos, provavelmente nasceu em 287 a.C. Seu pai era um astrônomo, e Arquimedes também adquiriu uma reputação em astronomia. Diz-se que Marcelo reservou para si, como parte do saque, engenhosos planetários que Arquimedes tinha construído para retratar os movimentos dos corpos celestes. Todas as narrações da vida de Arquimedes, no entanto, concordam que ele dava pouco valor a seus engenhos mecânicos, em comparação com o produto de seus pensamentos. Mesmo quando lidava com alavancas e outras máquinas simples, ele estava muito mais interessado em princípios gerais que em aplicações práticas.

LEI DA ALAVANCA Arquimedes não foi, é claro, o primeiro a usar alavancas, nem mesmo o primeiro a formular a lei geral. As obras Aristóteles contêm a afirmação de que dois pesos numa alavanca se equilibram quando são inversamente proporcionais a suas distâncias ao fulcro; e os peripatéticos associavam essa lei à sua pressuposição de que o movimento retilíneo vertical é o único movimento natural sobre a Terra. Eles faziam observar que as extremidades dos braços desiguais de uma alavanca, em seus deslocamentos em torno do fulcro, descrevem círculos em vez de retas; a extremidade do braço maior se moverá num círculo que é maior, por isso o caminho se aproximará mais do movimento retilíneo vertical natural do que o do braço mais curto. Portanto, a lei da alavanca é uma consequência natural desse princípio cinemático. Arquimedes, por outro lado, deduziu a lei de um postulado estático muito mais plausível — que corpos bilateralmente simétricos estão em equilíbrio. Isto é, suponhamos que uma barra sem

08-Boyer.indd 83

12.05.10 15:27:40

154

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

A HEGEMONIA ÁRABE Ah, mas meus cálculos, dizem as pessoas, trouxeram o Ano à Medida humana? Então, foi por cortar do Calendário o Amanhã que ainda não nasceu e o morto Ontem. Omar Khayyam (Rubayat, segundo Fitzgerald)

Pela época em que Brahmaguta escrevia, o Império Sabeano da Arábia Félix tinha caído e a peninsula passava por uma crise séria. Era habitada principalmente por nômades do deserto, chamados beduínos que não sabiam ler nem escrever; entre eles estava o profeta Maomé, nascido em Meca cerca de 570. Durante suas viagens Maomé entrou em contato com os judeus e cristãos, e o amálgama dos sentimentos religiosos que surgiram em sua mente levou-o considerar-se como apóstolo de Deus enviado para conduzir seu povo. Durante dez anos pregou em Meca, mas em 622, perante uma conspiração para matá-lo, aceitou um convite para ir a Medina. Essa “fuga”, conhecida como Hégira, marcou o início da era maometana — era que exerceria forte influência sobre o desenvolvimento da matemática. Maomé tornou-se um líder militar além de religioso. Dez anos depois estabeleceu um estado maometano, com centro em Meca, no qual os judeus e cristãos, sendo também monoteístas, recebiam proteção e liberdade de culto. Em 632, enquanto planejava atacar o Império Bizantino, Maomé morreu em Medina. Sua morte súbita não impediu a expansão do domínio islâmico, pois seus seguidores invadiram territórios vizinhos com espantosa rapidez. Dentro de poucos anos Damasco e Jerusalém e grande parte do vale mesopotâmico caíram perante os conquistadores; em 641 Alexandria, que por muitos anos fora o centro matemático do mundo, foi capturada. Há uma lenda que diz que quando o chefe das tropas vitoriosas perguntou o que devia ser feito com os livros da biblioteca, foi-lhe dito que os queimasse; pois se estivessem de acordo com o Corão, eram supérfluos, se tivessem em desacordo eram pior que supérfluos. No entanto, as estórias de que os banhos por muito tempo foram aquecidos com fogueiras de livros queimados são sem dúvida exageradas. Após as depredações de fanáticos militares e religiosos anteriores, e longos períodos de abandono, provavelmente havia relativamente poucos livros na biblioteca que antes fora a maior do mundo. Por mais de um século os conquistadores árabes lutaram entre si e com seus inimigos, até que por volta de 750 o espírito guerreiro se abrandou. Nessa época surgira um cisma entre os árabes ocidentais de Marrocos e os árabes orientais que, sob o califa al-Mansur, tinham estabelecido uma nova capital em Bagdá, cidade que logo se transformaria em um novo centro da matemática. No entanto, o califa de Bagdá não podia sequer conseguir a obediência de todos os muçulmanos da metade oriental de seu império, embora seu nome aparesse nas moedas e fosse incluído nas orações de seus “súditos”. A unidade do mundo árabe, em outras palavras, era mais econômica e religiosa que política. A língua árabe não era necessariamente usada por todos, embora fosse a língua franca dos intelectuais. Por

13-Boyer.indd 154

12.05.10 15:31:07

184

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

RENASCIMENTO Porei, como muitas vezes uso no trabalho, um par de paralelas, ou retas gêmeas de um comprimento, assim: == porque duas coisas não podem ser mais iguais. Robert Recorde

HUMANISMO A queda de Constantinopla em 1453 representou o colapso do Império Bizantino, e serve como um marco cronológico conveniente na história dos acontecimentos políticos. A importância da data para a história da matemática, no entanto, é discutível. Afirma-se frequentemente que por essa ocasião refugiados que escaparam para a Itália levaram manuscritos preciosos de antigos tratados gregos, e assim puseram o mundo europeu ocidental em contato com obras da antiguidade. É provável, porém, que a queda da cidade tivesse exatamente o efeito oposto: agora o Ocidente já não contava com o que tinha sido uma segura fonte de material manuscrito de clássicos da antiguidade, tanto literários quanto matemáticos. Qualquer que seja a decisão final quanto a esse ponto, não pode haver dúvida de que na metade do século quinze a atividade matemática estava outra vez aumentando. A Europa estava se recuperando do choque físico e espiritual da peste negra, e a invenção então recente da impressão com tipos móveis tornava possível uma difusão de obras eruditas muito maior do que em qualquer período anterior. O primeiro livro impresso na Europa Ocidental data de 1447, e pelo fim do século mais de 30.000 edições de várias obras estavam circulando. Dessas, poucas eram obras matemáticas; mas essas poucas, junto com os manuscritos existentes, forneceram uma base para expansão. A recuperação de clássicos geométricos gregos não familiares foi a princípio menos significativa do que a impressão de traduções medievais latinas de tratados árabes de álgebra e aritmética, pois poucos homens do século quinze liam grego ou conheciam suficientemente a matemática para tirar proveito das obras dos melhores geômetras gregos. Uma parte substancial dos tratados de Arquimedes, na verdade, já existia em latim na tradução de William de Moerbeke, mas com escasso resultado pois poucos podiam apreciar a matemática clássica. Quanto a isso a matemática diferia da literatura, e mesmo das ciências naturais. À medida que os humanistas dos séculos quinze e dezesseis se enamoravam mais profundamente dos tesouros gregos redescobertos nas ciências e nas artes, sua apreciação pelas realizações latinas e árabes imediatamente precedentes baixava. A matemática clássica, excetuadas as partes mais elementares de Os elementos de Euclides, era uma disciplina intensamente esotérica, só acessível aos que tinham grande preparo prévio; por isso a revelação dos tratados gregos nesse campo a princípio não interferiu muito no prosseguimento da tradição medieval. Os estudos medievais latinos de geometria elementar e teoria das proporções, bem como as contribuições árabes às operações aritméticas e métodos algébricos, não apresentavam dificuldades comparáveis às obras de Arquimedes e Apolônio. Os ramos mais elementares é que iam chamar a atenção e aparecer em obras impressas.

15-Boyer.indd 184

12.05.10 15:33:34

207

PRELÚDIO À MATEMÁTICA MODERNA

PRELÚDIO À MATEMÁTICA MODERNA Na matemática não posso achar deficiência, a não ser que os homens não compreendem suficientemente o uso excelente da matemática pura. Francis Bacon

FRANÇOIS VIÈTE Quando, em 1575, Maurolico e Commandino morreram, a Europa ocidental tinha recuperado a maior parte das principais obras matemáticas da antiguidade agora existentes. A álgebra árabe fora perfeitamente dominada e tinha sido aperfeiçoada, tanto pela resolução das cúbicas e quárticas quanto por um uso parcial de simbolismo; e a trigonometria se tornara uma disciplina independente. A época estava quase madura para rápidos progressos além das contribuições antigas, medievais e renascentistas — mas não completamente. Há na história da matemática um alto grau de continuidade de um período para o seguinte; a transição da Renascença para o mundo moderno também se fez através de um grande número de figuras intermediárias, das quais consideraremos agora algumas das mais importantes. Dois desses homens, Galileu Galilei (1564-1642) e Bonaventura Cavalieri (1598-1647), vieram da Itália; vários outros, como Henry Briggs (1561-1639). Thomas Harriot (1560-1621), e William Oughtred (1574-1660), eram ingleses; dois deles, Simon Stevin (1548-1620) e Albert Girard (1590-1633), eram flamengos; outros vieram de vários países — John Napier (1550-1617) da Escócia, Jobst Bürgi (1552-1632) da Suíça, e Johann Kepler (1571-1630) da Alemanha. A maior parte da Europa Ocidental participava agora do desenvolvimento da matemática, mas a figura central e mais magnífica na transição foi um francês, François Viète (1540-1603) ou em latim Franciscus Vieta. Viète não era matemático por vocação. Na juventude ele estudou e praticou direito, tornandose membro do parlamento da Bretanha; mais tarde tornou-se membro do conselho do rei, servindo primeiro sob Henrique III, depois sob Henrique IV. Foi enquanto servia a esse último, Henrique de Navarra, que teve tanto sucesso ao decifrar as mensagens em códigos do inimigo que os espanhóis o acusaram de ter um pacto com o demônio. Só o tempo de lazer de Viète era dedicado à matemática, no entanto fez contribuições à aritmética, álgebra, trigonometria e geometria. Houve um período de quase meia dúzia de anos, antes da ascensão de Henrique IV, em que Viète esteve em desfavor, e esses anos ele dedicou em grande parte a estudos matemáticos. Na aritmética, ele deve ser lembrado por seu apelo em favor do uso de frações decimais em lugar de sexagesimais. Em uma de suas primeiras obras, o Canon-mathematicus de 1579, ele escreveu: Sexagesimais e múltiplos de sessenta devem ser pouco, ou nunca, usados, e milésimos e milhares, centésimos e centenas, décimos e dezenas, e progressões semelhantes ascendentes e descendentes, usadas frequentemente ou exclusivamente.

16-Boyer.indd 207

12.05.10 15:34:13

A IDADE DE EULER

303

A IDADE DE EULER A álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu. D’Alembert

VIDA DE EULER A história da matemática durante o período moderno difere da história na antiguidade ou no mundo medieval pelo menos num ponto: nenhum grupo nacional conservou a liderança por período longo. Na antiguidade a Grécia sobrepujava de cabeça e ombros todos os outros povos em desenvolvimento matemático: durante boa parte da Idade Média o nível da matemática no mundo árabe era mais alto que no resto. Do Renascimento ao século dezoito o centro da atividade matemática se deslocou repetidamente — da Alemanha para a Itália para a França para a Holanda para a Inglaterra. Se as perseguições religiosas não tivessem obrigado os Bernoulli a deixar Antuérpia, a Bélgica poderia ter tido sua vez; mas a família emigrou para Basileia e em consequência a Suíça foi a terra natal de muitas das principais figuras da matemática do início do século dezoito. Já mencionamos a obra de quatro dos matemáticos do clã Bernoulli, bem como a de Hermann, um de seus protegidos suíços. Mas o mais importante matemático nascido na Suíça nessa época — ou em qualquer outra — foi Leonhard Euler (1707-1783), que nasceu em Basileia. O pai de Euler era um ministro religioso que, como o pai de Jacques Bernoulli, esperava que seu filho seguisse o mesmo caminho. Porém o jovem estudou com Jean Bernoulli e se associou com seus filhos, Nicolaus e Daniel, e através deles descobriu sua vocação. O pai de Leonhard Euler também tinha conhecimentos de matemática, tendo sido aluno de Jacques Bernoulli, e ajudou a instruir seu filho nos rudimentos do assunto, apesar de sua esperança de que Leonhard seguiria a carreira teológica. De qualquer modo o jovem recebeu instrução ampla, pois ao estudo da matemática somou teologia, medicina, astronomia, física e línguas orientais. Essa amplitude lhe foi muito útil quando em 1727 ele ouviu da Rússia que havia um lugar vago em medicina na Academia de S. Pertersburgo, para onde os jovens Bernoulli tinham ido como professores de matemática. Essa importante instituição fora fundada poucos anos antes por Catarina l, segundo moldes fixados por seu falecido marido Pedro, o Grande, aconselhado por Leibniz. Por recomendação dos Bernoullis, dois dos mais brilhantes luminares dos primeiros tempos da Academia, Euler foi chamado como membro da secção de medicina e fisiologia, mas no dia em que chegou à Rússia, Catarina morreu. A recém-nascida Academia quase expirou com ela, porque os novos governantes mostraram menos simpatia para com os sábios estrangeiros que Pedro ou Catarina. A Academia conseguiu sobreviver de algum modo, e Euler, em 1730, veio a ocupar a cadeira de filosofia natural em vez da de medicina. Seu amigo Nicolas Bernoulli tinha morrido afogado em

21-Boyer.indd 303

12.05.10 15:37:32

322

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

MATEMÁTICOS DA REVOLUÇÃO FRANCESA O progresso e aperfeiçoamento da matemática estão intimamente ligados com a prosperidade do Estado. Napoleão I

A IDADE DAS REVOLUÇÕES O século dezoito teve a infelicidade de vir depois do dezessete e antes do dezenove. Como poderia qualquer período que seguisse o “Século do Gênio” e precedesse a “Idade Áurea” da matemática ser considerado outra coisa senão um interlúdio? A geometria analítica e o cálculo foram inventados no século dezessete; o surgimento do rigor matemático e o florescimento da geometria estão associados ao dezenove. Existem histórias da matemática dos séculos dezesseis e dezessete e para o século dezenove; mas não existe uma comparável para o século dezoito, nem é para o século dezoito que olhamos quando queremos observar as tendências significativas na matemática. Isso está em contraste marcante com o que ocorre em outros campos. Para os americanos a data 1776 foi decisiva; na França o ano de 1789 foi crucial. E a Era da Revolução não se confinou à política. A Revolução Industrial mudou toda a estrutura social do Ocidente, e a revolução termótica dos mesmos anos lançou os fundamentos da moderna química. Estaria a matemática durante esses acontecimentos excitantes gozando uma sesta? Este capítulo mostrará que os matemáticos da França na época da Revolução não só contribuíram bastante para a reserva de conhecimentos como foram em grande medida responsáveis pelas linhas principais do desenvolvimento na proliferação explosiva da matemática no século seguinte. Ficamos até tentados a acrescentar à já notável lista de revoluções da época mais duas: uma “revolução geométrica” e uma “revolução analítica”. Toda era se inclina a pensar em si mesma como sendo de revolução — um período de tremendas modificações. Mas quase toda era de rápidas mudanças foi precedida por um longo período em que foram feitos os preparativos para a revolução, às vezes conscientemente, mais frequentemente inconscientemente. Entre os arautos da Revolução Francesa estavam Voltaire, Rousseau e d’Alembert e Diderot — nenhum dos quais viveu bastante para ver a queda da Bastilha (Voltaire e Rousseau morreram em 1778, d’Alembert em 1783 e Diderot um ano depois) — e seu colega Condorcet, que vitima do holocausto que ajudou a gerar. Na matemática seis homens que iriam indicar os novos caminhos — Monge, Lagrange, Laplace, Legendre, Carnot e Condorcet — estavam no meio do torvelinho e é desses homens que este capítulo se ocupa principalmente. Nossa meia dúzia de matemáticos era quase da mesma idade: Lagrange, o mais velho, nasceu em 1736; Condorcet em 1743; Monge em 1746; Laplace em 1749; Legendre em 1752; Carnot, o mais jovem, nasceu em 1753. Com a exceção de Condorcet, que se suicidou na prisão, todos esses matemáticos viveram para serem septuagenários, e um deles, Legendre, um octogenário.

22-Boyer.indd 322

12.05.10 15:38:12

ANÁLISE

383

ANÁLISE Na maior parte das ciências uma geração põe abaixo o que outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura. Hermann Hankel

BERLIM E GÖTTINGEN AO MEIO DO SÉCULO Newton e Leibniz tinham entendido que a análise, o estudo de processos infinitos, tratava de grandezas contínuas, tais como comprimentos, áreas, velocidades e acelerações, ao passo que a teoria dos números claramente tem como seu domínio o conjunto discreto dos números naturais. No entanto vimos que Bolzano tentou dar provas puramente aritméticas de proposições, tais como o teorema da locação na álgebra elementar, que pareciam depender de propriedades de funções contínuas; e Plücker tinha aritmetizado completamente a geometria analítica. A teoria dos grupos originalmente tratara de conjuntos discretos de elementos, mas Klein tinha em mente uma unificação dos aspectos discreto e contínuo da matemática sob o conceito de grupo. O século dezenove foi de fato um período de correlação na matemática. A interpretação geométrica da análise e da álgebra foi um aspecto desta tendência; a introdução de técnicas analíticas na teoria dos números foi outra. Pelo fim do século a corrente mais forte era a da aritmetização; afetava a álgebra, a geometria e a análise. Em 1855 Diichlet sucedeu a Gauss em Göttingen. Deixou em Berlim uma tradição de conferências sobre aplicações da análise a problemas de física e de teoria dos números. Também deixou um pequeno grupo de amigos e estudantes, seus e de Jacobi, que continuaram a influenciar a matemática na Academia, no Journal für die reine und angewandte Mathematik, e na universidade. Em Göttingen conferências de matemática eram menos solidamente estabelecidas. Como já se observou, o ensino limitado de Gauss usualmente dava ênfase a temas como o método dos mínimos quadrados que seriam úteis a seus assistentes no observatório. A maior parte da matemáica propriamente dita era ensinada por um professor, Moritz Stern (1807-1894). Dirichlet tentou enfatizar o “verdadeiro” legado de Gauss com conferências sobre teoria dos números e teoria do potencial. Dois jovens em Göttingen seriam profundamente influenciados por Dirichlet, embora diferissem grandemente em personalidade e orientação matemática. Um foi Richard Dedekind (1831-1916), o outro Bernhard Riemann. Riemann já tivera a influência de Dirichlet e Jacobi alguns anos antes, quando passou alguns semestres como estudante em Berlim. Quando Dirichlet morreu inesperadamente em 1859, foi Riemann que lhe sucedeu.

RIEMANN EM GÖTTINGEN Quando Riemann se tornou professor em Göttingen, não era um estranho na universidade. Matriculou-se lá em 1846, passou vários semestres em Berlim obtendo de Jacobi e Dirichlet seu

25-Boyer.indd 383

12.05.10 15:40:11

429

ASPECTOS DO SÉCULO VINTE

ASPECTOS DO SÉCULO VINTE A idade de ouro da matemática — não foi a de Euclides, é a nossa. C. J. Keyser

VISÃO GERAL Muito da matemática do século vinte foi caracterizado por tendências que já eram perceptíveis no fim do século dezenove. Incluem a ênfase nas estruturas subjacentes comuns que indicam correspondências entre áreas da matemática que tinham sido consideradas não relacionadas até então. Também incluem a interação crescente entre matemáticos em diferentes partes do mundo. Apesar de grandes diferenças políticas e econômicas, a maioria dos matemáticos do século vinte teve melhor percepção do trabalho de seus colegas em outros continentes do que seus precursores tiveram de resultados obtidos por alguém numa província vizinha. Pelo fim da Primeira Guerra Mundial, matemáticos da Itália, da Rússia, dos Estados Unidos eram parte do movimento matemático principal que durante os duzentos anos precedentes parecia restrito a contribuições da Europa Ocidental e do Norte. Desde o fim da Segunda Guerra Mundial, o mesmo se tornou verdade para numerosas comunidades matemáticas na Ásia e na América do Sul. Este século não é menos imune a modas e ao domínio de certas escolas matemáticas que períodos anteriores. Influem o estado da pesquisa numa dada área bem como a força de alguns indivíduos, mas há também fatores externos como o desenvolvimento de campos associados, como a física, estatística e ciência da computação, ou pressões econômicas e sociais que usualmente servem para apoiar aplicações.

INTEGRAÇÃO E MEDIDA Pelo fim do século dezenove a ênfase no rigor levou numerosos matemáticos à produção de exemplos de funções “patológicas” que devido a alguma propriedade incomum violavam um teorema que antes se supunha válido em geral. Houve preocupação entre alguns analistas renomados de que o estudo aprofundado de tais casos especiais desviaria matemáticos mais jovens da busca de respostas às questões abertas mais importantes do dia. Hermite dizia que ele evitava “com medo e horror essa praga lamentável de funções sem derivada”. Poincaré compartilhava da preocupação de seu professor: Antigamente, quando se inventava uma nova função era com algum objetivo prático; agora inventa-se unicamente para apontar falhas no raciocínio de nossos pais e nunca se derivará delas qualquer coisa a não ser isso [de citação em Saks, 1964].

Porém, através do estudo de casos incomuns e do questionamento dos mais velhos, dois matemáticos franceses mais jovens chegaram à definição de conceitos que seriam fundamentais ao

28-Boyer.indd 429

12.05.10 15:42:56