Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica by Editora Blucher

Carlos Eduardo Nigro Mazzilli

João Cyro

Miguel LuizSergioBucalemCifú

LIÇÕES MECÂNICAEM ELASTOPLÁSTICAANÁLISEESTRUTURAS:DAS

André

Segundo o Novo Acordo Ortográfico, conforme 5. ed. do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, Academia Brasileira de Letras, março de 2009. É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem autorização escrita da editora. Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blücher Ltda. Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4º andar 04531-934 - São Paulo - SP - Brasil Tel.: 55 11 3078-5366 www.blucher.com.brcontato@blucher.com.br Índices para catálogo sistemático: 1. Engenharia de estruturas Lições em mecânica das estruturas : análise elastoplástica / Carlos Eduardo Nigro Mazzilli... [et al]. -- São Paulo : Blucher, 2022.636 p. : il. Bibliografia ISBN 978-65-5506-489-6 (impresso) ISBN 978-65-5506-490-2 (eletrônico) 1. Análise estrutural (Engenharia) 2. Engenharia de estruturas 3. Engenharia mecânica I. Mazzilli, Carlos Eduardo Nigro 22-2782 CDD 624.171 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Angélica Ilacqua CRB-8/7057 Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica © 2022 João Cyro André, Carlos Eduardo Nigro Mazzilli, Miguel Luiz Bucalem, Sergio Cifú Editora Edgard Blücher Ltda. Publisher Edgard Blücher Editor Eduardo Blücher Coordenação editorial Jonatas Eliakim Produção editorial Kedma Marques Preparação de texto Andréa Stahel Diagramação Negrito Produção Editorial Revisão de texto Samira Panini Capa Leandro Cunha Imagem da capa Unsplash

SUMÁRIO Dedicatória............................................................................................................ 21 PRIMEIRA PARTE Análise elastoplástica de estruturas reticuladas planas –Métodos plásticos 1. Fragmentos históricos da teoria da plasticidade ...................................... 27 2. Conceitos básicos ......................................................................................... 39 2.1 Comportamentos constitutivos básicos dos materiais estruturais ................. 39 2.2 Formulação do problema de estruturas planas de barras em regime elastoplástico perfeito 44 2.3 Medidas de segurança das estruturas na elastoplasticidade perfeita ............. 47 3. Elastoplasticidade perfeita em barras ....................................................... 51 3.1 Solicitação axial ............................................................................................ 51

16 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica 3.2 Solicitação por flexão normal pura ............................................................................ 59 3.3 Diagramas momento-curvatura idealizados ............................................................... 65 3.4 Solicitação por flexão normal simples ....................................................................... 67 3.5 Solicitação por flexão normal composta 81 3.6 Solicitação por flexão normal com a presença de força cortante e força normal 85 3.7 Formulação do problema de estruturas planas de barras em regime elastoplástico perfeito 86 3.8 Estado duplo de tensão 86 4. Análise incremental .................................................................................................. 93 4.1 Introdução 93 4.2 Algoritmo incremental para carregamento proporcional 94 5. Análise limite intuitiva ........................................................................................... 137 Introdução 137 6. Teoremas da Análise Limite .................................................................................. 169 6.1 Conceitos básicos 169 6.2 Teoremas da análise limite 172 7. Métodos clássicos de análise limite ....................................................................... 181 7.1 Método da combinação de mecanismos 181 7.2 Método das inequações 204 7.3 Análises paramétricas .............................................................................................. 216 7.4 Cargas distribuídas ................................................................................................... 235 Apêndice 7A: Demonstração das “propriedades Souza Lima” 248

Sumário ■ 17 8. Análise limite por programação linear pela aplicação do teorema estático...... 251 8.1 Introdução 251 8.2 Forma geral .............................................................................................................. 252 8.3 Forma reduzida ........................................................................................................ 252 8.4 Forma canônica ........................................................................................................ 253 8.5 Solução ótima pelo método simplex 257 8.6 Exemplos 258 9. Análise limite por programação linear pela aplicação do teorema cinemático ..... 289 9.1 Introdução ................................................................................................................ 289 9.2 Forma geral .............................................................................................................. 290 9.3 Forma reduzida 292 9.4 Forma canônica 293 9.5 Solução ótima pelo método simplex 299 9.6 Exemplos .................................................................................................................. 300 SEGUNDA PARTE Análise elastoplástica de estruturas reticuladas planas –Tópicos especiais 10. Cálculo de deslocamentos na análise limite ......................................................... 351 Introdução 351 11. Pórtico simples com resultados nem tanto ........................................................... 363 Introdução ................................................................................................................ 363 Análise incremental 364

18 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica 12. Elastoplasticidade perfeita em vigas de concreto armado .................................. 421 Introdução 421 13. Estudo de caso: Galeria sob aterro de rodovia .................................................... 447 TERCEIRA PARTE Análise elastoplástica de sólidos deformáveis 14. Fundamentos .......................................................................................................... 457 14.1 Conceitos preliminares ............................................................................................. 457 14.2 Critérios de plastificação ou resistência ................................................................... 462 14.3 Relações entre tensões e deformações plásticas para condições tridimensionais 479 14.4 Formulação incremental do método dos elementos finitos para sólidos elastoplásticos .......................................................................................................... 489 14.5 Formulação incremental do método dos elementos finitos para modelagem de problemas elastoplásticos ......................................................................................... 494 15. Teoremas da análise limite em estado multiaxial de tensão ............................... 501 15.1 Conceitos básicos 501 15.2 Teoremas da análise limite 503 16. Análise limite em estado plano de tensão ............................................................. 507 16.1 Introdução 507 16.2 Envoltórias na flexão normal simples 509 16.3 Viga em balanço com carga na extremidade 519 16.4 Viga biengastada com carga uniforme ..................................................................... 531

Sumário ■ 19 17. Análise limite em estado plano de deformação.................................................... 539 17.1 Introdução ................................................................................................................ 539 17.2 Fundação direta em sapata corrida sobre meio elastoplástico perfeito com o critério de plastificação de Tresca ou de von Mises .............................................. 540 17.3 Fundação direta em sapata corrida sobre meio elastoplástico perfeito com o critério de plastificação de Mohr-Coulomb........................................................... 561 Anexo A – Programação linear pelo método simplex .................................................. 589 A.1 Introdução ................................................................................................................ 589 A.2 Interpretação geométrica 590 A.3 Método simplex........................................................................................................ 594 A.4 Forma canônica do problema de programação linear – PPL ................................... 594 A.5 Transformação de um PPL da forma geral para a forma canônica 605 A.6 Convergência e degenerescência.............................................................................. 609 A.7 Algoritmo para o método simplex em PPL não degenerados .................................. 610 Anexo B – Relações cinemáticas em barras .................................................................. 613 B.1 Introdução 613 B.2 Relações deformações-deslocamentos generalizados em barra de treliça 614 B.3 Relações deformações-deslocamentos generalizados em barra biengastada de viga 616 B.4 Relações deformações-deslocamentos generalizados em barra biengastada de pórtico plano 617 B.5 Relações deformações-deslocamentos generalizados e equações de compatibilidade em estrutura 620 Referências....................................................................................................................... 629 Crédito das imagens ........................................................................................................ 635 Sobre os autores .............................................................................................................. 639

O que há de comum é a preocupação com a determi nação da capacidade de carga e, portanto, da caracterização do Estado Limite Último.

Essa proposição é debatida na condição de ruptura, conforme mostra a Figura 1.1, e é caracterizada por σ0bh2 2 Fℓ = = Rh 2 , que, apesar da equi vocada uniformidade das tensões no engastamento, traz à luz a discus são sobre a distribuição das tensões na seção transversal e sobre a resis tência à fratura de um elemento estrutural. Está lançada a semente para o desenvolvimento de teorias estruturais e, em particular, da teoria da plasticidade. O problema da resistência à fratura (materiais frágeis) de certa forma contrapõe-se ao da resistência de materiais dúcteis (teoria da plasticidade).

1FRAGMENTOSHISTÓRICOSDATEORIADAPLASTICIDADE

Um prisma ou um cilindro sólido de vidro, aço, madeira ou outro material quebrável que seja capaz de sustentar um peso muito pesado quando aplicado longitudinal mente é, como observado anteriormente, facilmente rompido pela aplicação trans versal de um peso que pode ser muito menor na proporção que o comprimento do cilindro exceda sua espessura.

No segundo dia dos diálogos relativos a duas novas ciências, Galileu Ga lilei (1638) apresenta várias proposições sobre resistência à fratura, como se ilustra com sua primeira proposição:

Em 1742, Jacquier, Le Seur e Boscovich, três prestigiosos matemáticos, apresen taram relatório com a indicação da possibilidade de colapso da cúpula da catedral de São Pedro e com a indicação de intervenções para evitá-la (LÓPEZ, 1998).

σ0

Outros relatórios com outros autores e mesmas preocupações foram igualmente submetidos à apreciação papal.

Essa cúpula foi concluída 24 anos após a morte de Michelangelo, com o trabalho de seus discípulos Domenico Fontana e Giacomo della Porta.

28 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica

Um ano depois, o papa Bento XIV convidou Giovanni Poleni para apresentar seu parecer sobre a situação estrutural da cúpula. Com a colaboração de Luigi Vanvitelli, principal arquiteto da catedral, realizou uma cuidadosa inspeção da estrutura, descrita por Vanvitelli em um conjunto de desenhos que mostram de talhadamente a posição das fissuras. O resultado desse trabalho foi a recupe ração da cúpula, concluída em 1743, com a instalação de seis anéis de aço. A Figura 1.2 mostra cópias de desenhos originais com as posições das fissuras e dos anéis de aço. Condição de ruptura Distribuição de tensões na condição de ruptura Análise de flexão de Galileu.

B F B F R AD C h Figura 1.1

Em 1547, o papa Paulo III confiou a direção das obras da catedral de São Pedro, no Vaticano, a Michelangelo Buonarotti (1475-1564), pintor, escultor e arquiteto italiano, cuja contribuição mais notável foi a construção da cúpula da catedral.

2.1

2CONCEITOSBÁSICOS

Plasticidade é a propriedade de um corpo não recuperar a sua forma primitiva, em bora conservando o seu volume, quando deixa de atuar a solicitação que provocou a deformação. As deformações são imediatas e não reversíveis, independentes do tempo. Viscosidade é a propriedade de um corpo apresentar deformações variáveis no tempo sob a ação de uma solicitação.

Comportamentos constitutivos básicos dos materiais estruturais Estas são as propriedades básicas da deformação de um sólido sob a ação de uma dada solicitação, como apresentadas pela Associação Bra sileira de Cimento Portland (ABCP, 1967), documento preparado pelo Professor Telemaco van Langendonck com vocabulário preciso de teoria das estruturas: Elasticidade é a propriedade de um corpo recuperar sua forma primitiva quando deixa de atuar a solicitação que provocou a deformação. As deformações são ime diatas e reversíveis, independentes do tempo.

O comportamento constitutivo real do sólido pode envolver complexas combinações dessas propriedades básicas e pode ser interpretado e ca racterizado por ensaios físicos. Em geral, ensaios uniaxiais de tração e de compressão fornecem as informações básicas para estabelecer esse com portamento, e permitem formular leis empíricas referidas como equações constitutivas, que relacionam tensões e deformações. No que se segue, são considerados apenas os materiais elastoplásticos.

• o ponto B é o limite de elasticidade, e a tensão nesse ponto é referida como tensão de escoamento σe;

•

• o ponto A é o limite de elasticidade linear, e a tensão nesse ponto é referida como tensão de proporcionalidade, σp;

A Figura 2.1 apresenta dois diagramas típicos de ensaios de tração e compressão que são encontrados na maioria dos materiais elastoplásticos. O da esquerda, Fi gura 2.1(a), é típico de aço laminado a quente e outros poucos materiais, e apre senta as seguintes características principais:

D Diagrama real σ Diagrama convencional

Os ensaios uniaxiais em barras são convenientemente representados por diagra mas (σ × ε), onde, para pequenas deformações, σ é a tensão normal definida pela relação entre a força aplicada e a área da seção transversal, F σ = A , e ε é a defor mação linear definida por Δℓ ϵ = ℓ ℓf – ℓ = ℓ , onde ℓf e ℓ são os comprimentos fi nal e inicial da barra. No que se segue, admite-se a condição de pequena defor mação quando as deformações são inferiores a 0,002.

• no trecho BC, referido como patamar de escoamento, ocorre acréscimo de deformação praticamente sem acréscimo de tensão;

0,02 0,2 D D A (b)B O (a) Material frágilMaterial dúctil σ ε ε A B Figura PopovDiagramas2.1tensão-deformação(1968).

O A

40 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica Ensaios uniaxiais de tração e compressão

• a partir de C, ocorre pequena variação das dimensões da seção transversal, sendo importante destacar que em D ocorre diminuição mais brusca da seção transversal, fenômeno referido como estricção, e é considerado como ponto limite de resistência; o trecho OAB define o domínio elástico, e o trecho BCD, o domínio plástico. B C ~0,001

3ELASTOPLASTICIDADEPERFEITAEMBARRAS

A análise de estruturas reticuladas é normalmente formulada em termos dos esforços externos, esforços solicitantes, deslocamentos e deformações generalizadas, todos definidos nos eixos de suas barras. A equação cons titutiva de material elastoplástico perfeito foi apresentada em um ponto material e é necessário que seja posta em termos dos esforços solicitantes e deformações generalizadas energeticamente conjugadas para as diver sas situações de solicitação em estruturas reticuladas analisadas pela teo ria elementar de barra apresentada no capítulo anterior. Trata-se, agora, de sua aplicação ao cálculo do primeiro e do segundo limites de plastificação de estruturas simples. 3.1 Solicitação axial No caso de uma barra solicitada à tração ou à compressão, a tensão normal é constante na seção transversal e definida pela relação σ = NA e a defor mação é definida pela relação ε = Δℓℓ . Assim, é natural que se utilizem as variáveis N e Δℓ para estabelecer a equação constitutiva que toma a forma: N = EA ∆ para ∆ ≤∆ p e para ∆ ≥∆ p ,N = Np (3.1) onde Np = σe A é a força normal de plastificação e Δℓp = εe ℓ é o alonga mento correspondente. Note-se que se adotou material com mesma força de plastificação de tração e de compressão; a extensão de tratamento para essas

52 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica forças com valores distintos é imediata. A Figura 3.1 representa graficamente essa equação constitutiva. Apresentam-se, a seguir, exemplos ilustrativos.

Para um carregamento monotonicamente crescente, calculam-se os coeficientes multiplicadores correspondentes ao primeiro e ao segundo limites de plastifica ção para a barra prismática e para a treliça isostática com barras prismáticas, am bas de material elastoplástico perfeito.

∆ p ∆ Figura Diagrama3.1força normal –alongamento. (1) (2) γ

Solução A força normal na barra será igual a N = F e as tensões normais se distribuem uniformemente na seção transversal. Enquanto N ≤ Np o comportamento da barra é elástico linear; quando N = Np , a barra se plastifica e já não tem capacidade por tante, ocorrendo o colapso plástico. Nessas condições, representando F a carga de serviço, o primeiro e o segundo limites são iguais e dados por γI = γII = NpF N Np Np ∆ p F F Figura 3.2 Barra e treliça isostática.

EXEMPLO 3.1 Barra simples e treliça isostática

α > β β

Para uma história de carregamento definida, a resposta de uma dada estrutura em regime elastoplástico perfeito pode ser encontrada por análise Noincremental.iníciodo carregamento, a estrutura tem comportamento elástico linear (sua análise pode ser feita pelos métodos clássicos dos esforços ou dos deslocamentos) até que uma seção da estrutura se plastifique. No caso de estrutura isostática, ela se transforma em um mecanismo e sofre o que se chama de colapso plástico. No caso de estrutura hiperestática, com grau de hiperestaticidade gh = n, ela modifica seu comportamento e passa a re sistir como uma estrutura hiperestática de grau n − 1. Para acréscimo de carregamento, continua a apresentar comportamento linear, porém, agora, com o novo sistema estático que tem um grau de hiperestaticidade a me nos, e assim por diante, até que atinja o colapso plástico. Pode ocorrer que r seções se plastifiquem simultaneamente, e, nesse caso, pode acontecer que a estrutura seja levada ao colapso plástico ou que passe a se compor tar como uma estrutura hiperestática com grau de hiperestaticidade n r – ou mesmo isostática, caso n = r. Há que considerar ainda a possibilidade de formação de um mecanismo parcial da estrutura, que também caracte riza o colapso plástico. A análise descrita, denominada incremental, pode ser realizada por al goritmo que leve em conta o particular histórico de um carregamento.

4ANÁLISEINCREMENTAL

4.1 Introdução

Apresenta especial interesse o caso em que o carregamento externo é proporcional, ou seja, em que a relação entre os vários esforços externos

Processo incremental

2. Determina-se o incremento Δγj que leva à mudança do comportamento da estrutura pela plastificação de uma seção por solicitação axial ou por flexão. a. Pode ocorrer que Δγj seja definido por outra condição relacionada ao his tórico de carregamento ou a uma condição de utilização sem que uma nova seção seja plastificada.

94 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica de um carregamento se mantém constante, e é para essa condição que se apre senta o algoritmo da Seção 4.2. 4.2 Algoritmo incremental para carregamento proporcional Parte-se de determinada configuração de referência j, caracterizada por um coefi ciente adimensional de carregamento γj que define os esforços externos Pj = γj P, sendo P o carregamento de referência ou de serviço, e para os quais já são conhe cidos os esforços solicitantes e os deslocamentos resultantes.

3. Analisa-se a resposta da estrutura para Pj+1 = Pj + Δγj × P. O sistema está tico obtido no item 2 passa a ser a nova configuração de referência.

1. Analisa-se a resposta linear da estrutura solicitada pelo carregamento de re ferência P a partir da configuração j.

4. Retorna-se ao item 2 ou se interrompe o processo no caso de colapso plástico (ou no caso indicado em 2a). Seguindo esse procedimento incremental, pode-se estabelecer a resposta da es trutura para qualquer história de carregamento proporcional. Ligeiras adaptações desse algoritmo permitem analisar a resposta da estrutura para determinado histórico de carregamento não necessariamente proporcional. Por suas características, esse processo incremental também é usualmente referido como método passo a passo. Esse procedimento é caracterizado simbolicamente pela expressão Ej+1 = Ej + Δγj × ΔEj ,

A análise incremental apresentada no capítulo anterior permitiu o estudo do comportamento de estruturas reticuladas planas, acompanhando a his tória de carregamento, contido no seu plano, proporcional e monotonica mente crescente até o colapso plástico. Pôde-se, então, observar:

Introdução

5ANÁLISELIMITEINTUITIVA

1. Com liberdade de linguagem, as inequações correspondentes à condição de plastificação também se rão referidas como condições de plastificação.

• os diagramas de esforços solicitantes na iminência do colapso são obtidos pela superposição de diagramas de esforços solicitantes que satisfazem às equações de equilíbrio, e, portanto, os esforços solici tantes no colapso satisfazem às equações de equilíbrio – essa é a con dição de equilíbrio;

Quando se está especificamente interessado na condição limite de colapso plástico, é possível determinar diretamente o valor da capacidade de carga da estrutura por análise limite baseada nos teoremas estático e cinemático que se apresentam no Capítulo 6.

• os esforços solicitantes no colapso não ultrapassam os esforços de plastificação, ou seja, em qualquer seção devem ser satisfeitas as ine quações | N | ≤ Np e | M | ≤ Mp – essa é a condição de plastificação1;

• no colapso plástico, ocorrem barras plastificadas ou rótulas plásticas em número suficiente para formar um mecanismo, a partir do qual os deslocamentos resultam exclusivamente das deformações por alonga mentos nas barras plastificadas e por rotações nas rótulas plásticas –essa é a condição de mecanismo.

138 ■

Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica Diversas aplicações de análise limite podem ser feitas sem a apresentação formal desses teoremas, pela simples interpretação física das condições que se verifi cam no colapso plástico e que constituem base conceitual motivadora para o tra tamento formal e procedural apresentado nos Capítulos 6 a 9. Convencionou-se chamar esse tratamento de análise limite intuitiva, que se ilustra com a apresen tação de exemplos simples, apoiados em duas classes de formulação: a estática, baseada nas condições de equilíbrio e de plastificação e a cinemática, baseada nas condições de equilíbrio e de mecanismo.

Desenvolve-se a análise limite com a determinação da carga de colapso da treliça hiperestática da Figura 5.1, formada por barras de mesmo material elastoplástico com as seguintes propriedades: A1 = A3 = 4A; A2 = A; Np1 = Np3 = 4σeA; Np2 = σeA.

A treliça da Figura 5.1 é simétrica com carregamento simétrico, do que resulta N1 = N3 e, portanto, ela apresenta apenas duas variáveis independentes, N1 e N2.

Como essa estrutura é hiperestática com gh = 1, resulta apenas uma equação de equilíbrio independente, N1 + N2 = P, que pode ser interpretada pelo fecha mento do polígono de forças no nó A, apresentado na Figura 5.2, e ao qual corres pondem infinitas soluções equilibradas. A condição de colapso plástico ocorrerá quando, em virtude da simetria da estrutura e do carregamento, as três barras se A P (1) (3) (2) 60o 60o Figura 5.1 Treliça hiperestática simétrica.

Solução Formulação estática

EXEMPLO 5.1 Treliça simples hiperestática

As demonstrações que se apresentam a seguir apoiam-se nos trabalhos de Gvozdev (1960) e Baker, Heyman e Horne (1956) e utilizam extensiva mente os conceitos de trabalhos virtuais.

Os teoremas e suas demonstrações, que constituem a base da análise limite para carregamentos proporcionais, foram, provavelmente pela primeira vez, apresentados por A. A. Gvozdev na Conference on plastic deforma tions, realizada em dezembro de 1936 e cujos anais foram publicados pela Academia de Ciências da União Soviética em 1938, tendo como editor B. G. Galerkin. Esse trabalho permaneceu de conhecimento muito restrito até 1960, quando R. M. Haythornthwaite teve a feliz iniciativa de traduzir e publicar o trabalho original (GVOZDEV, 1960). Em 1949, Greenberg e Prager (1951) apresentaram demonstrações de teoremas de limite superior e inferior do coeficiente de proporcionalidade, e, em 1950, Horne (1949) apresentou prova do teorema da unicidade.

6.1 Conceitos básicos

6TEOREMASDAANÁLISELIMITE

Considere-se uma estrutura reticulada plana submetida a carregamento proporcional monotonicamente crescente γPℓ no plano da estrutura, onde Pℓ são esforços externos ativos concentrados de referência ponderados por multiplicador (ou coeficiente de proporcionalidade ou coeficiente de carregamento) γ e as resultantes distribuições de esforços solicitantes, de deslocamentos e de deformações na estrutura.

δ Te = γ ∑ δU >0,P (6.2) onde δTe é o trabalho virtual externo realizado pelos esforços externos γPℓ que atuam na estrutura e são submetidos aos deslocamentos virtuais δUℓ que lhe são energeticamente conjugados. Note-se que esses deslocamentos virtuais podem ser igualmente interpretados como os deslocamentos, Uℓ, ou como as taxas de deslocamentos, dUℓdt , que ocorrem a partir da condição de mecanismo. Assim, o trabalho virtual interno δTi será o somatório dos trabalhos nas rótulas plásticas, ∑ k Mck δθk , e nas barras plastificadas, ∑ j Ncj δΔ j , visto que, nas demais partes da estrutura o movimento será de corpo rígido, ou seja:

Essa identificação é estabelecida por três condições: a condição de equilíbrio, a condição de plastificação e a condição de mecanismo.

A condição de plastificação é satisfeita para uma distribuição de esforços solicitantes que verifique as restrições: Np ≤ N ≤ Np e − Mp ≤ M ≤ Mp , (6.1) onde N e M são a força normal e o momento fletor em uma seção transversal da estrutura, e Np = σe A e Mp = σeWp são a força normal de plastificação e o mo mento de plastificação em flexão pura dessa seção, A é a área da seção transversal e Wp é o módulo de resistência plástico. Admite-se que os efeitos da força nor mal e da força cortante possam ser desprezados no momento de plastificação em flexão simples ou composta e, por simplicidade, que as tensões de escoamento à tração e à compressão sejam iguais em módulo.

A condição de equilíbrio exige que os esforços externos, ativos e reativos, e os esforços solicitantes satisfaçam às equações de equilíbrio. O estabelecimento das equações de equilíbrio é obtido, convenientemente, pela aplicação do teorema dos deslocamentos virtuais ou, alternativamente, pela aplicação direta das equa ções de equilíbrio, na sua forma clássica. Alguns autores preferem obter essas equações pelo Teorema das Potências Virtuais, que é conceitualmente equiva lente ao Teorema dos Deslocamentos Virtuais para análise quase-estática.

170 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica

A identificação das características das distribuições dos esforços solicitantes, dos deslocamentos e deformações virtuais e de suas relações entre si e com os es forços externos é a base para o estabelecimento dos teoremas da análise limite.

A condição de mecanismo é satisfeita quando se formam rótulas plásticas e barras plastificadas na estrutura em número suficiente para tornar a estrutura em um mecanismo, e atende à restrição:

Em todos os exemplos que se apresentam neste capítulo, desprezam-se os efeitos de força normal e força cortante no momento de plastificação. 7.1 Método da combinação de mecanismos O método da combinação de mecanismos foi desenvolvido por Neal e Sy monds (1951, 1952), que consideram que todos os mecanismos possíveis de colapso podem ser obtidos por combinação linear de mecanismos ele mentares, arbitrariamente selecionados, que sejam independentes entre si. Inicialmente, obtêm-se os multiplicadores para os mecanismos elementa res e, em seguida, calculam-se novos multiplicadores correspondentes a outros mecanismos que resultam da combinação linear dos mecanismos elementares. A inspeção dos resultados parciais obtidos norteia a escolha de novos mecanismos combinados que satisfaçam à condição δTe > 0, e, pelo teorema cinemático, o mecanismo com o menor valor de multiplica dor entre os analisados indicará um limite superior para o multiplicador de colapso – ou, quando atendida a condição de plastificação, ele será, pelo teorema da unicidade, o próprio multiplicador de colapso. No caso em que

Os enunciados, as demonstrações e a difusão dos teoremas de análise li mite constituíram uma base conceitual sólida para o estabelecimento de diversos métodos clássicos de análise limite, que podem ser encontrados em Baker, Heyman e Horne (1956) e Neal (1977), dois dos quais são apre sentados neste capítulo por conterem elementos relevantes para a interpre tação física e matemática de seus resultados, e para a abertura de novos caminhos da análise limite.

7MÉTODOSCLÁSSICOSDEANÁLISELIMITE

Para a análise limite de vigas, pórticos planos e treliças, o número de equações de equilíbrio independentes é igual ao número de mecanismos elementares, que é dado pela diferença n − gh, onde n é a soma do número de seções com possível formação de rótulas e o de barras que possam ser plastificadas por ação da força normal, e gh é o grau de hiperestaticidade da estrutura. Essa informação é central para nortear a formulação dos diversos métodos de análise limite, em particular o método da combinação de mecanismos. Note-se que nos possíveis mecanismos de colapso, somente ocorre deformação nas rótulas plásticas e nas barras plasti ficadas por força normal.

182 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica todos os mecanismos com δTe > 0 tenham sido analisados, o teorema cinemático garante que o mecanismo com o mínimo multiplicador será o de colapso. Considerando, a título de ilustração, um pórtico plano submetido a esforços ex ternos ativos concentrados, todos os possíveis diagramas de momentos fletores serão constituídos por trechos lineares, por exigência da equação de equilíbrio ( d 2 dxM 2 =0). Tais diagramas ficam caracterizados por n momentos fletores M1, M2, M3, ..., Mn, que são os valores nas seções que correspondem às extremida des desses trechos lineares. Esses são, também, os maiores momentos fletores, em valor absoluto, em todo o pórtico, e, portanto, os candidatos naturais para localização das rótulas plásticas. Se gh for o grau de hiperestaticidade dessa estrutura, haverá gh equações de compatibilidade a relacionar os momentos M1, M2, M3, ..., Mn. Consequentemente, resultam n − gh desses momentos in dependentes entre si. Sabe-se, pelo teorema dos deslocamentos virtuais, que a cada mecanismo possível de colapso plástico corresponde uma equação de equilíbrio que relaciona os n momentos fletores M1, M2, M3, ..., Mn. Portanto, se considerarmos n − gh mecanismos que forneçam n − gh equações de equilí brio linearmente independentes, a combinação destas últimas fornecerá todas as possíveis soluções equilibradas, correspondentes a todos os possíveis meca nismos. Em outras palavras, a dimensão do espaço que define M1, M2, M3, ..., Mn, inicialmente n, será reduzida a n − gh. Pode-se concluir que os mecanis mos associados às equações de equilíbrio linearmente independentes, chamados mecanismos elementares, constituem uma base do espaço de mecanismos, e, a partir deles, pode-se gerar qualquer outro mecanismo de colapso plástico. Ilustração análoga pode ser feita para treliças, considerando como variáveis as forças normais nas suas barras.

• a forma geral e a forma geral reduzida, ou simplesmente forma redu zida, necessárias para o estabelecimento da forma canônica e conve niente para utilização direta na obtenção de respostas pela aplicação de sistemas computacionais;

PROGRAMAÇÃOPORLIMITEANÁLISE8LINEARPELAAPLICAÇÃODOTEOREMAESTÁTICO

8.1 Introdução

• a forma canônica, que desempenha papel central para a obtenção de solução ótima pelo método simplex.

Esse é um típico problema de programação linear, o de maximização de γe, e, como tal, é tratado utilizando métodos e recursos computacionais Apróprios.formulação do problema de programação linear de maximização do coeficiente estático γe apresenta-se com várias formas, cuja conveniência decorre do método de resolução adotado. Apresentam-se:

O teorema estático e seus corolários propiciam o desenvolvimento de métodos de determinação do fator de colapso, cuja essência está contida na seguinte frase: “entre todas as soluções estaticamente admissíveis, que sa tisfazem às condições de equilíbrio e às condições de plastificação, aquela de maior multiplicador é a de colapso, ou seja, γII = max(γe)”.

Assim, a função objetivo se limita à variável γe > 0, o número de variáveis de decisão é igual a n = r + s + 1, o número de restrições lineares é igual à soma do número de equações de equilíbrio, (r + s − gh), com o número das inequações das condições de plastificação, 2(r + s). As condições de plastificação, igual mente, definem os domínios das variáveis de decisão associadas aos (r + s) es forços solicitantes. 8.3 Forma reduzida A forma reduzida é obtida da forma geral pela diminuição do número de variá veis independentes do problema de maximização a gh + 1, que são expressas em função de r + s − gh variáveis, Nα e Mβ, pela utilização das r + s − gh equações

As condições de plastificação estabelecem que as barras solicitadas apenas por força normal tenham seu valor compreendido entre as forças normais de plastifi cação à tração Npj e à compressão Npj de cada barra j, e que os valores dos mo mentos nas seções estejam compreendidos entre Mpk e Mpk de cada seção k. Por simplicidade e sem perda de generalidade, admitem-se valores iguais em módulo para as forças normais de plastificação e momentos de plastificação. Admite-se que o momento de plastificação seja o de flexão pura, desprezando-se os efeitos de sua redução na presença de força normal ou de força cortante.

As equações de equilíbrio relacionam as r forças normais nas possíveis barras plastificadas, Nj, os s momentos fletores nas seções de possíveis rótulas plásti cas, Mk, e o coeficiente de proporcionalidade do carregamento, γe. O número de equações de equilíbrio independentes é dado pela diferença r s − gh, onde gh é o grau de hiperestaticidade da estrutura.

252 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica 8.2 Forma geral A forma geral do problema de maximização de γe decorre da interpretação direta do teorema estático e seus corolários e pode ser assim formulada: Maximizar γe > 0 que satisfaça: às equações de equilíbrio independentes e às condições de plastificação Npj ≤ Nj ≤ Npj j=1,r Mpk ≤ Mk ≤ Mpk k =1, s

O teorema cinemático e seus corolários propiciam o desenvolvimento de métodos de determinação do fator de colapso, cuja essência está contida na seguinte frase: “entre todas as soluções cinematicamente admissíveis, que satisfazem às condições de equilíbrio e de mecanismo, aquela de me nor multiplicador é a de colapso, ou seja, γII = min (γc)”.

A formulação do problema de programação linear de minimização do coe ficiente cinemático γc apresenta-se de várias formas, cuja conveniência de corre do método de resolução adotado. Apresentam-se:

Esse é um típico problema de programação linear, o de minimização de γc, e, como tal, é tratado com a utilização de métodos e recursos compu tacionais próprios.

9.1 Introdução

• formas geral e reduzida, necessárias para o estabelecimento da forma canônica e convenientes para a utilização direta na obtenção de res postas pela aplicação de sistemas computacionais;

PROGRAMAÇÃOPORLIMITEANÁLISE9LINEARPELAAPLICAÇÃODOTEOREMACINEMÁTICO

• a forma canônica, que desempenha papel central para a obtenção de solução ótima pelo método simplex.

As equações de equilíbrio para soluções cinematicamente admissíveis são con venientemente representadas pelo teorema dos deslocamentos virtuais, conforme (6.6) e (6.8), por: γc ∑ P δU δ Te = ∑ k Mpk δθk + ∑ j Npj δΔ j δTi (9.1) visto que as deformações virtuais, δθk e δΔℓj, ocorrem apenas nas rótulas plásticas e nas barras plastificadas, e as parcelas dos trabalhos realizados são sempre positivas. As condições de mecanismos ficam caracterizadas pelas relações cinemáticas entre as deformações virtuais δθk e δΔℓj e os deslocamentos virtuais δUℓ a eles cor respondentes. Caso esses parâmetros sejam multiplicados por um mesmo escalar, eles continuam definindo o mesmo mecanismo com o mesmo multiplicador γc, conforme se pode observar em (9.1). Para eliminar essa possibilidade é necessá rio introduzir uma condição de normalização que fixa esse escalar. Assim, de modo mais explícito, uma possível forma geral do problema de mini mização de γc se apresenta como: Minimizar γc > 0 que satisfaça: às equações de equilíbrio γc ∑ P δU = ∑ k Mpk δθk + ∑ j Npj δΔ j

290 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica 9.2 Forma geral

A formulação geral do problema de minimização de γc decorre da interpretação direta do teorema cinemático e seus corolários e se apresenta de várias formas, todas elas com a seguinte raiz: Minimizar γc que satisfaça: às equações de equilíbrio àse condições de mecanismo.

10CÁLCULODEDESLOCAMENTOSNAANÁLISELIMITE

Introdução O cálculo de deslocamentos na análise elastoplástica perfeita de estruturas e, em particular, da classe de problemas aqui tratada, em seu formato mais simples e razoavelmente laborioso é o que se faz pela análise incremental.

Pode-se acompanhar a evolução dos deslocamentos ao longo da história de carregamento de uma forma direta, calculando e adicionando, em cada passo, os incrementos de deslocamentos nos intervalos de comportamento linear da estrutura, conforme mostrado no Capítulo 4. Por outro lado, o cálculo de deslocamentos na iminência do colapso com resultados da aná lise limite apresenta interesse por seus aspectos conceituais, por comple tude do tema, por sua simplicidade e por atender eventual necessidade de verificação do estado limite em deslocamentos.

O cálculo de deslocamentos na iminência do colapso com os resultados obtidos na análise limite de treliças, vigas e pórticos planos pode ser feito, com algumas exceções, pela aplicação do teorema dos esforços virtuais considerando a solução da análise limite, que é estática e cinematicamente admissível, e os esforços virtuais definidos em uma estrutura isostática es pecialmente selecionada para viabilizar essa opção.

δE U ⏟ δTe = ∫ δM M EI + ∫ δN N EA ds δTi ds (10.1)

No caso de estruturas isostáticas, deve-se escolher a própria isostática para definir os esforços virtuais, e o cálculo de qualquer deslocamento na aná lise limite pode ser feito pela expressão:

• U é o deslocamento que se deseja calcular;

• M e N são as distribuições de momentos fletores e forças normais;

• δMk e δNj são, respectivamente, os momentos fletores e as forças normais virtuais energeticamente conjugadas a θkp e Δℓj p e devidas a δE.

• δE é o esforço virtual externo energeticamente conjugado ao deslocamento U;

• δM e δN são as distribuições de momentos fletores e forças normais virtuais devidas a δE;

• no processo de carregamento, que é monotonicamente crescente, as rotações das rótulas plásticas e os alongamentos das barras plastificadas nunca devem cessar de crescer; em outras palavras, não deve ocorrer descarga em seções ou barras previamente plastificadas, situação que, apesar de rara, pode acon tecer, mesmo para carregamento proporcional monotonicamente crescente;

• a estrutura isostática deve ser aquela anterior à formação do mecanismo de colapso.

Destaca-se que as deformações θkp e Δℓj p não são obtidas pela análise limite e isso não permite a aplicação direta da Expressão (10.2) no cálculo de desloca mentos em estruturas hiperestáticas. Esse impedimento é superado quando duas condições adicionais são satisfeitas:

352 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica onde as diversas variáveis e as parcelas têm a mesma interpretação dadas na se quência para as estruturas hiperestáticas. No caso de estruturas hiperestáticas, deve-se escolher uma isostática derivada da hiperestática pela supressão de vínculos, e o cálculo de qualquer deslocamento na análise limite pode ser feito pela expressão: δE U ⏟ δTe = ∫ δM M EI ds + ∫ δN N EA ds + ∑ k δMk θ k p + ∑ j δNj ∆ j p δTi (10.2) onde ∫ δM M EI ds + ∫ δN N EA ds é a parcela elástica de δTi, devida à deformação elástica das barras, e ∑ k δMk θ kp + ∑ j δNj ∆ jp é a parcela plástica de δTi, devida à deformação plástica das rótulas plásticas e das barras plastificadas, associadas a essa particular isostática. Note-se que na iminência do colapso da estrutura:

• θkp e Δℓ j p são, respectivamente, as rotações nas rótulas plásticas e os alongamentos nas barras plastificadas, ambos não conhecidos e que se pode também desejar calcular; e, definidos na particular isostática:

Introdução

11PÓRTICOSIMPLESCOMRESULTADOSNEMTANTO

tirante A =10 cm2 Np =250 k Nfy = 25 kN cm2 EA = 2,1 ×105 k NE = 2,1×108 kN m2 barras Ix = 16.899 cm4 fy = σe =25 kN cm2 Mp = 320,6 k Nm EIx = 35.488 k Nm2E = 2,1 ×108 kN m2 Z = 1.282 cm3

Com o objetivo de reunir os principais procedimentos apresentados para a análise de uma estrutura reticulada plana em regime elastoplástico perfeito submetida a carregamento no seu plano, proporcional e monotonicamente crescente até a iminência colapso plástico, e indicar e analisar alguns as pectos da obtenção de resultados, que não são de interpretação simples, seleciona-se o pórtico atirantado da Figura 11 1. Como os procedimentos para a obtenção de resultados, por análise incremental ou por análise li mite, foram detalhados em capítulos anteriores, eles serão apresentados de forma sucinta com a exibição de tabelas e figuras que permitam seu acompanhamento, ou até mesmo sua reprodução. Dá-se destaque à aná lise dos resultados que este particular exemplo propicia, oferecendo uma melhor compreensão das possibilidades e dos cuidados que é preciso ter na aplicação desses métodos. O pórtico plano atirantado é constituído pelas barras prismáticas AB, BCD e DE e pelo tirante AC, todos de aço com comportamento elastoplástico perfeito e com as seguintes características geométricas e físicas:

O primeiro elemento plastificado é a barra AC, que ocorre com F = 105,1 kN

Esse pórtico é analisado para dois casos de carregamento, caracterizados por η = ± 1,2, por análise incremental, conforme mostrado no Capítulo 4, e por análise limite pelo método simplex e pelo Lingo, conforme mostrado nos Capítulos 8 e 9.

A Figura 11 2 apresenta a situação da estrutura nessa configuração e o respectivo diagrama de momentos fletores. atirantado.

Seção transversal das barras

Análise Incremental Caso A: Momento externo em D aplicado no sentido horário Considera-se a configuração indeformada como a inicial de referência na qual os momentos fletores e os deslocamentos são nulos e informa-se que as diversas aná lises elásticas lineares são realizadas com a utilização do Ftool, Martha (2018).

E A B 1,2 F U1 U2 U3D C y2 F y xx = 2 m ηF 2,5 m 3 m 4 m 5,0 m Figura 11.1 Pórtico

Apresentam-se e analisam-se os resultados em esforços solicitantes, deslocamen tos e deformações plásticas na iminência do colapso e o mecanismo de colapso.

364 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica Sabe-se que as barras são contidas lateralmente de modo que não ocorre flam bagem lateral.

Consideram-se as seguintes hipóteses básicas:

12ELASTOPLASTICIDADEPERFEITAEMVIGASDECONCRETOARMADO

a. hipótese de Navier – a seção transversal plana permanece plana e nor mal ao eixo da barra; b. aderência perfeita entre aço e concreto, que estabelece uma condição de compatibilidade entre esses materiais;

Introdução O dimensionamento de vigas de concreto armado no estado limite último (ELU) é previsto na norma nacional e nas internacionais. Este capítulo trata desse tema à luz da análise limite, válida para material elastoplástico perfeito, e adotam-se a notação, os dados e as informações da NBR 6118 (ABNT, 2014). Para o concreto, essa norma considera concretos de classes C20 a C90, sendo que neste estudo, por conveniência e sem prejuízo dos aspectos conceituais, serão utilizados apenas os dados limitados superior mente pelo de classe C50, ou seja, concretos com 20 MPa ≤ fck ≤ 50 MPa.

Este capítulo foi escrito com a extensa colaboração do Professor Januário Pellegrino Neto, a quem os autores muito agradecem.

Hipóteses básicas

Inicialmente, apresentam-se as hipóteses para o cálculo de momento de plastificação em flexão normal simples. Em seguida apresentam-se exem plos de dimensionamento.

simples.

por: σc = 0,85fcd 1− (1− εεcc2 )2 0≤ εc ≤ εc para2 σc = 0,85fcd εc 2 ≤ εc ≤ εcupara 0,85 fcd (a) (b) σ c σ c fc fck ε c ε u ε cu ε c2 ε c

Um diagrama típico tensão-deformação de ensaio à compressão de concreto sim ples é o que se apresenta na Figura 12.1(a). O comportamento inicial, para valores crescentes das tensões, é basicamente linear; é seguido de trecho não linear com relação σε decrescente até atingir o limite fc, a partir do qual, em ensaio com defor mação controlada, há um decréscimo da tensão com aumento da deformação até εu, quando ocorre a ruptura do tipo frágil. A Figura 12.1(b) apresenta o diagrama tensão-deformação idealizado pela NBR 6118 (ABNT, 2014), definido

Esse conjunto de hipóteses básicas permite estabelecer a distribuição das tensões normais na seção transversal e, eventualmente, utilizando hipóteses adicionais, calcular os referidos momentos de plastificação.

Diagramas12.1tensão-deformação de ensaio à compressão de concreto

d. comportamento mecânico do aço e do concreto, definidos pelos diagramas tensão-deformação adotados pela NBR 6118 (ABNT, 2014).

Figura

422 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica c. o concreto é um material não resistente à tração, desprezam-se quaisquer contribuições do concreto tracionado (observa-se que se desprezam peque nas trações junto à região da linha neutra; elas diminuem, significativamente, no tempo em função do fenômeno de relaxação);

Diagramas tensão-deformação do concreto simples e do aço

A importância do respaldo fornecido pelo teorema estático ao projeto de estruturas – no sentido de que, se uma solução é equilibrada e não viola o critério de plastificação, então ela é segura – foi sempre enfatizada pe los grandes mestres e colegas que tivemos o prazer de conhecer, em especial John Ulic Burke Junior, Maurício Gertsenschtein, Lauro Modesto dos Santos e Decio Leal de Zagottis.

13ESTUDODECASO:GALERIASOBATERRODERODOVIA

A Figura 13.1 é uma fotografia da referida galeria, com três células. Justamente na região situada sob um aterro rodoviário de 27 m de altura sobre a laje de cobertura, a galeria tripla recebe galeria lateral afluente, de uma única célula, conforme indica o layout da Figura 13.2.

O estudo de caso de que trata esta seção refere-se a uma galeria em fundo de vale, situada sob aterro de rodovia. Este relato baseia-se em aula mi nistrada em 2003 pelo Professor Fernando Rebouças Stucchi, na disci plina PEF2503 “Estruturas danificadas: segurança e ações corretivas”, da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, e por ele autorizado. Fica aqui registrado o agradecimento dos autores aos colegas Fernando Rebouças Stucchi, Kalil Skaf e Marcelo Waimberg, da EGT Engenharia.

Aborda-se aqui, brevemente, o diagnóstico da patologia estrutural que le vou a galeria à iminência do colapso, bem como as análises que permi tiram elaborar o projeto de sua recuperação. Este estudo de caso ilustra, belissimamente, como o teorema estático da análise limite respalda solu ções seguras em Engenharia de Estruturas, em contextos de grandes in certezas. Como dizia o grande mestre e engenheiro José Carlos de Figuei redo Ferraz, “a engenharia é a arte de tomar decisões perante incertezas”.

Figura 13.1 Foto do local. Figura 13.2 Layout da região de interesse da galeria.

O problema discutido neste estudo de caso refere-se, especificamente, a esta ga leria lateral unicelular, que foi construída sem berço sob a laje de fundo, em ter reno com afloramentos localizados de rocha. Recalques diferenciais sob as pa redes laterais (Figura 13.3 à esquerda), em determinado segmento da galeria, aumentaram as tensões de compressão na base da parede não recalcada, porque situada em região de afloramento de rocha, levando a esmagamento do concreto (Figura 13.3 à direita).

448 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica

Antes de discutir o comportamento elastoplástico para condições tridimensionais, revisita-se o comportamento unidimensional considerando o com portamento elastoplástico com endurecimento, apresentado na Figura 14.1 Até atingir a tensão de escoamento, σe, o comportamento do material é elástico. Pode-se introduzir o conceito de região elástica como a região no espaço das tensões para a qual as deformações resultantes só dependem E E e ε ε Es 1 ε e σ e σ Figura 14.1 Curva tensão-deformação para material elastoplástico com endurecimento.

14.1 Conceitos preliminares

14FUNDAMENTOS

1 1

ε p ε

Essa terminologia é a mesma que será utilizada quando se considerarem estados multiaxiais de tensão, e, naqueles casos, ela é mais natural. Define-se ainda o critério de plastificação, denominado também critério de re sistência, por: ϕ(σ) < 0 estado elástico ϕ(σ) = 0 estado plástico ϕ(σ) > 0 estado não possível

458 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica do valor da tensão, e não do histórico de carregamento. Mostra-se essa região esquematicamente na Figura 14.2, considerando também tensões compressivas.

Pode-se definir ϕ(σ) = | σ | − σe como função de plastificação e ϕ(σ) = 0 como a superfície de plastificação, que nesse caso é dada pelos pontos σe e σe no espaço das tensões.

Nota-se que, quando se tem endurecimento como mostrado na Figura 14.1, os conceitos acima devem ser generalizados, e, nesse caso, tem-se: ϕ(σ) = | σ | −σe (εp), (14.1) que define uma nova superfície de plastificação e uma nova região elástica as sociadas a um valor de deformação plástica. Como escrito em (14.1), tem-se o caso do endurecimento isotrópico, para o qual a nova região elástica é represen tada na Figura 14.3, correspondendo a uma expansão da região elástica original. e σ e σ e σ 0 Região elástica Figura 14.2 Região elástica.

σ σ e σ

Apresentam-se neste capítulo os teoremas de análise limite para sólidos deformáveis em estado multiaxial de tensão em regime elastoplástico Aperfeito.apresentação e as demonstrações desses teoremas constituem uma ex tensão do que foi apresentado no Capítulo 6, e utilizam extensivamente o teorema dos deslocamentos virtuais. Nesse contexto, adotam-se como deformações virtuais aquelas derivadas da lei de fluxo: δεij = δλ ∂ ϕ ∂ σij , (15.1) onde ∂ϕ ij∂σ define a direção das deformações virtuais, normal à superfície de plastificação ϕ(σij) = 0 em σij, e δλ, a sua grandeza. Assim, as defor mações virtuais são equivalentes às taxas de deformações plásticas ˙ εij. 15.1 Conceitos básicos Considere-se um sólido deformável que ocupa uma região V do espaço sujeito a carregamento proporcional monotonicamente crescente, caracte rizado por forças de volume γ f B, em V, e de superfície γ f S, em uma parte Sf de sua superfície de contorno S. Na parte restante do contorno, Su, são especificados os deslocamentos. Os esforços externos ativos f B e f S cons tituem o carregamento de referência e são ponderados por multiplicador (ou coeficiente de proporcionalidade, ou coeficiente de carregamento) γ

15TEOREMASDAANÁLISELIMITEEMESTADOMULTIAXIALDETENSÃO

502 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica

satisfaça a: ϕ ( σij) ≤0 (15.2)

Uma solução estaticamente admissível é aquela que satisfaz às condições de plas tificação e de equilíbrio para esforços externos γe f B e γe f S e em que o multipli cador γe é referido como multiplicador estático.

σij nj = γf i S em Sf ∂ σij ∂ xj + γf i B =0 em V A condição

A identificação das características dos campos de tensões, σij, de deslocamentos virtuais, δui, de deformações virtuais, δεij, de suas inter-relações e daquelas com os esforços externos, γfiB e γfiS, é a base para o estabelecimento dos teoremas da análise limite. Essa identificação é estabelecida por três condições: a condição de equilíbrio, a condição de plastificação e a condição de mecanismo.

e: δui = 0 em Su δTe = γ ( ∫ V fi B δui dV + ∫ Sf fi S δui dS) >0 δεij = 1 2 (∂ δu i ∂ xj + ∂ δuj ∂ x i ) em V (15.3)

A condição de equilíbrio exige que sejam satisfeitas as equações de equilíbrio: de plastificação de tensões

onde δTe é o trabalho virtual externo realizado pelos esforços externos que atuam no sólido deformável quando submetidos aos deslocamentos virtuais que lhe são energeticamente conjugados. Note-se que esses deslocamentos vir tuais, δui, ocorrem a partir da condição de mecanismo e geram o campo de de formações virtuais, δεij. Assim, o trabalho virtual interno δTi será o somatório dos trabalhos nas regiões plastificadas, visto que nas regiões restantes ele será nulo, ou seja: δTi = ∫ V σij δεij dV . (15.4)

A condição de mecanismo é satisfeita quando se formam regiões plastificadas de modo que transformem o sólido deformável em um mecanismo

exige que o campo

16ANÁLISELIMITEEMESTADOPLANODETENSÃO16.1 Introdução Em estado plano, um sólido deformável ocupa uma região S de espessura e, sujeito a forças de volume f B em S e de superfície f S em uma parte Lf da superfície lateral de contorno L. Na parte restante do contorno, L u , são especificados os deslocamentos. Na condição de estado plano de tensão, σxy = σyy = σzy = 0; fyB = 0; fyS = 0, e as equações de equilíbrio tomam a forma: x z σ xx σ xx σ zz σ zz σ zx σ zx σ xz σ xz z Lu Lf x S f S n f B f B Figura 16.1 Tensões em elemento de estado plano de sólido deformável.

508 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica ∂ σxx ∂ x + ∂ σxz ∂ z + fx B =0 ∂ σzx ∂ x + ∂ σzz ∂ z + fz B =0 em S σxx nx + σxz nz = fx S σzx nx + σzz nz = fz S } L fem (16.1) As funções de plastificação correspondentes aos critérios de plastificação de Tresca, m = 2 e n = 4, e de von Mises, m = 1 e n = 3, são dadas por: ϕ = σxx2 + σzz2 mσxx σzz + nσxz2 σe, (16.2) e define-se tensão efetiva, σef, no ponto como: σef = σ 2 + σzz2 mσxx σzz + nσxz2 ,xx (16.3) de modo que ϕ = σef − σe. A Expressão (16.2) e a regra de fluxo associada δεij = δλ ∂ ϕ ∂ σij permitem obter as deformações virtuais: δεxx = δλ ∂ ϕ ∂ σxx = δλ 2 2 σxx σzz σxx 2 + σzz 2 mσxx σzz + nσxz 2 δεzz = δλ ∂ ϕ ∂ σzz = δλ 2 2 σzz σxx σxx 2 + σzz 2 σxx σzz + nσxz 2 δγxz = δλ ∂ ϕ ∂ σxz = δλ 2 2 nσxz σxx 2 + σzz 2 σxx σzz + nσxz 2 (16.4) onde: δεij é o deslocamento virtual plástico, ∂ ϕ δσij define a direção de δεij (condição de normalidade em σij na superfície de plastificação ϕ = 0) e δλ é um escalar virtual que define a grandeza da deformação plástica. Em um ponto do sólido em regime plástico, pode-se estabelecer a expressão do trabalho virtual interno na região plastificada por unidade de volume: σxxδεxx + σzzδεzz + σxzδγxz (16.5)

17ANÁLISELIMITEEMESTADOPLANODEDEFORMAÇÃO

17.1 Introdução São raros os problemas de estado plano de deformação em regime elastoplástico perfeito que apresentam solução exata. Entretanto, para uma certa classe desses problemas é possível estabelecer limites superiores e inferiores para o estado limite último de colapso plástico pela aplicação dos teoremas cinemático e estático da análise limite. Ainda que limitada, fornece resultados de real interesse tecnológico e científico, e uma sólida base conceitual para o uso de ferramentas computacionais, cada vez mais elaboradas e eficazes, na sua utilização pela resolução numérica de pro blemas de referência ou mais complexos.

O cálculo de limites superiores se baseia no teorema cinemático e consiste em estabelecer soluções cinematicamente admissíveis, que satisfazem às condições de mecanismo e de equilíbrio.

O procedimento básico para a obtenção de soluções cinematicamente ad missíveis consiste em subdividir o domínio do sólido deformável em blo cos rígidos separados por camadas ou regiões plastificadas. A condição de equilíbrio é estabelecida pelo teorema dos deslocamentos virtuais, da qual resulta a carga cinemática, estimativa superior da carga de colapso, associada a esse mecanismo.

O cálculo de limites inferiores se baseia no teorema estático e consiste em estabelecer soluções estaticamente admissíveis, que satisfazem às condi ções de equilíbrio e de plastificação.

Considere-se uma fundação direta em sapata corrida, admitida rígida, de largura b enterrada em profundidade d, suportando carga F, por unidade de comprimento, que se distribui uniformemente em solo elastoplástico perfeito com coesão c e com ângulo de atrito φ nulo. Considera-se o critério de plastificação de Tresca ou de von Mises com τe = n σe = c e estabelecem-se limites superiores e infe riores para a carga limite de colapso plástico, correspondente ao estado limite úl timo de colapso plástico. F d b b p = F/b p0 = ρgd Figura Fundação17.1direta em sapata corrida. Ações sobre o semiplano.

No caso de engenharia metalúrgica, o problema é o da indentação de uma su perfície metálica em que se considera o critério de plastificação de Tresca ou de von Mises. No caso de engenharia geotécnica, é o caso de uma fundação direta de sapata cor rida sobre solo em regime elastoplástico perfeito em que se consideram os crité rios de plastificação de Tresca ou de von Mises e o de Mohr-Coulomb. Esse será o caso destacado nos estudos que se seguem. 17.2 Fundação direta em sapata corrida sobre meio elastoplástico perfeito com o critério de plastificação de Tresca ou de von Mises

Da condição de continuidade das tensões entre as regiões obtém-se a carga está tica, estimativa inferior da carga de colapso, associada a essa solução.

Procedimentos detalhados para o estabelecimento de limites superiores e infe riores serão apresentados em dois problemas clássicos de engenharia, matemati camente equivalentes, em que, por meio de uma peça rígida contínua, se aplica uma carga em um semiplano em regime elastoplástico perfeito.

540 ■ Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elastoplástica

Para a obtenção de soluções estaticamente admissíveis, subdivide-se o domínio do sólido deformável em regiões com campo de tensões uniformes, naturalmente equilibrados nos subdomínios, que satisfazem à condição de plastificação ϕ = 0.

Na parte C, apresenta-se uma introdução à análise elastoplás�ca de sólidos deformáveis. Especial atenção é dada à teoria de ﬂuxo da plas�cidade e à formulação incremental do método dos elementos ﬁnitos para a solução de modelos elastoplás�cos. Dois estudos de casos, a saber, barras em estado plano de tensão e fundação direta em sapata rasa, em estado plano de deformação, completam este livro.

As Lições em Mecânica das Estruturas são o resultado de décadas de atua ção dos autores nas disciplinas de Mecânica das Estruturas no curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica da USP, e poderão ser igualmente úteis aos alunos nos cursos de Engenharia Mecânica, Mecatrônica, Naval, Quími ca, Minas, Aeronáu�ca e Aeroespacial, e tantos outros em que a análise de sistemas estruturais seja requerida.

Este terceiro volume – Lições em Mecânica das Estruturas: Análise Elasto plás�ca – dedica-se ao estudo de sistemas estruturais em regime elastoplás �co perfeito e introduz o leitor ao campo da não linearidade �sica.

Na parte A, estabelecem-se os fundamentos da análise elastoplás�ca de estruturas re�culadas planas com carregamento coplanar acompanhados de uma coleção de exemplos solucionados por análise incremental e por análise limite, como problemas de mínimo e de máximo resolvidos por métodos clássicos e por programação linear, que se cons�tuem introdutó rios ao campo da o�mização. Na parte B, apresentam-se alguns tópicos especiais de análise elastoplás�ca.

À luz dos conceitos do teorema está�co, apresentam-se o dimensionamento de vigas de concreto armado e o estudo de caso de reforço de galeria.