FRENTE
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Ilustração da Pirâmide do Museu do Louvre, um dos destinos mais procurados por turistas de todo o mundo
shutterstock_341651645 Por NaughtyNut
MATEMÁTICA Por falar nisso Sem sombra de dúvidas, uma das mais belas e relevantes utilizações artísticas modernas das estruturas piramidais é o da Pirâmide do Museu do Louvre, localizada em Paris, França. A Pirâmide do Louvre é um projeto do arquiteto norte-americano de origem chinesa Ieoh Ming Pei. Inaugurada em 1988 na praça central do museu, a Cour Napoléon tem estrutura de forma piramidal, rodeada por três pirâmides menores, e funciona como entrada principal. A construção desse edifício provocou um grande debate. Aqueles que eram contra a construção argumentavam que sua forma futurista estava fora do contexto clássico do museu. Aqueles que eram a favor da construção consideravam que o choque entre o contemporâneo e o clássico seria interessante. Nesse complexo existem cinco pirâmides. Uma grande central, três menores nas laterais e nas costas da central e uma quinta, chamada de pirâmide invertida, que se encontra no interior do Carrousel du Louvre. A grande pirâmide é uma estrutura de vidro e metal, medindo 20,6 m de altura sobre uma base quadrada de 35 metros de lado, composta por 603 losangos e 70 triângulos de vidro. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas
A05 A06 A07 A08
Prismas: cubos .............................................................................. 312 Pirâmides: áreas e volume............................................................ 315 Pirâmides: tetraedros regulares ................................................... 320 Pirâmides: pirâmides semelhantes............................................... 324
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MATEMÁTICA
MÓDULO A05
ASSUNTOS ABORDADOS n Prismas: cubos n Definição n Relações importantes
PRISMAS: CUBOS De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE, Rio de Janeiro/ RJ), os números do Brasil no que se referem à produção de leite, apesar de bons em território nacional, não são muito animadores em nível mundial. No ano de 2015, a produção de leite no Brasil atingiu 35 bilhões de litros, um volume bem acima dos 24 bilhões de há dez anos. Nesse mesmo período, a produção média por vaca subiu para 1 609 litros por ano, frente a 1 195 em 2005. Entretanto, mesmo com 46% de percentual de evolução na produção, o número está bem distante do número estimado em outros países produtores. De acordo com o Departamento de Agricultura dos Estados Unidos, a média mundial de produção por vaca é de 3 527 litros por ano. Assim, considere que uma das fazendas brasileiras voltadas para a produção de leite tenha um depósito para armazenamento formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado nesta figura:
A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. Se uma torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e leva 8 minutos para encher metade da parte de baixo, em quantos minutos essa torneira encheria completamente o restante do reservatório? Para determinar esse tempo, temos de relacionar o mesmo como os volumes das partes cúbicas que compõem esse reservatório. Nesta aula, abordaremos os aspectos mais importantes do estudo dos cubos.
312
Matemática e suas Tecnologias
Definição
Área total (AT)
Cubo (ou hexaedro regular) é um paralelepípedo retângulo com seis faces quadradas. Desse modo, todas as arestas e todas as faces de um cubo são congruentes. Na figura a seguir, temos um cubo de aresta medindo a.
A área total (AT) do cubo é igual à soma das áreas de suas seis faces quadradas, ou seja: AT = 2a2 + 2a2 + 2a2 Portanto, temos que: AT= 6a2 Diagonal da face (d) A diagonal da face (d) do cubo é obtida aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, ou seja: d² = a² + a² Portanto, temos que: d=a 2
Relações importantes
Diagonal do cubo (D)
Na figura a seguir, temos um cubo de arestas medindo a e sua respectiva planificação. G
C A
D
D² = d² + a² ⇒ D² = 2a² + a² = 3a2 Portanto, temos que:
H
E
A diagonal (D) do cubo é obtida aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCG, ou seja:
D=a 3
F
a D
a
Volume O volume (V) do paralelepípedo retângulo é dado pelo produto da área da base pela altura, ou seja:
d a a B Cubo
Planificação do cubo
Vamos determinar as expressões para o cálculo de sua área total, diagonal da face, diagonal do cubo.
V = AB ⋅ h = (a ⋅ a) ⋅ a Portanto, temos que: V = a3
EXEMPLOS 01. Considerando um cubo cuja diagonal mede 5 3 cm, calcule: a) a medida da sua aresta. b) seu volume. RESOLUÇÃO
O volume (V) do cubo é dado por: V = a3 = 33= 27 cm3 Portanto, o volume é 27 cm3. 03. Calcule a diagonal de um cubo sabendo que a soma das medidas de suas arestas é igual a 84 cm.
a) A diagonal (D) de um cubo de aresta a é dada por: b) O volume (V) de um cubo de aresta a é dado por: V = a3 = 53 = 125 cm3 02. Calcule o volume de um cubo de área total igual a 54 cm2. RESOLUÇÃO A área total (AT) de um cubo é dada por: AT = 6a2 ⇒ 54 = 6a2 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3 cm
RESOLUÇÃO Dado um cubo com arestas medindo a, temos que a soma das medidas dessas 12 arestas é dada por: 12a = 84 ⇒ a = 7 cm
A05 Prismas: cubos
D = a 3 ⇒ 5 3 = a 3 ⇒ a = 5 cm
A diagonal (D) de um cubo de aresta a é dada por: D = a 3 = 7 3 cm Portanto, a medida da diagonal é 7 3 cm.
313
Matemática
Exercícios de Fixação 01. Sabendo que a medida da aresta de um cubo é igual a 10 cm, responda aos itens a seguir: a) 1 000 cm3; b) 600 cm2; c) 10 3 cm.
a) Qual é o seu volume? b) Qual é a sua área? c) Qual é a medida de sua diagonal?
madas principais: a externa que é a epiderme e a interna, a derme. De acordo com essa informação, a superfície máxima coberta pela pele humana corresponde a de um cubo, cuja diagonal, em metros, é igual a:
02. No cubo de aresta 8 cm da figura a seguir, temos que a medida do segmento EI é igual à quarta parte da medida do segmento AE .
3 3 1 e) 3
3
a)
d)
b) 1 c)
3 2
04. (UFPE) Um reservatório de forma cúbica tem aresta medindo 3 m e é preenchido em três horas utilizando uma bomba-d’água. Com a mesma bomba, em quantas horas preenche-se um reservatório na forma de um paralelepípedo reto de dimensões 4 m, 6 m, 9 m? 24 h
Nessas condições, qual a área do triângulo BCI?
40 cm2
03. (Unipe PB) A pele é o maior órgão do corpo humano, com uma superfície de até 2 metros quadrados e tem duas ca-
05. Dois blocos de chumbo de formato cúbico e com arestas medindo 10 cm e 6 cm serão derretidos juntos. Após o derretimento, os líquidos são moldados na forma de um paralelepípedo reto-retângulo com arestas medindo 8 cm, 8 cm e x cm. Assim, determine o valor de x? 19 cm
Exercícios Complementares
A05 Prismas: cubos
01. (IFSC) Sabendo-se que a área da face de um cubo é igual a 3 m2, assinale a alternativa correta, referente ao comprimento da diagonal do cubo, em metros. a) 3 m b) 1 m c) 6 m d) 9 m e) 12 m 02. (UEFS BA) Considere uma lajota hexagonal regular inscrita em um cubo, de modo que os seus vértices sejam pontos médios das arestas desse cubo, cujo volume é de 512. Sabendo-se que o perímetro da lajota é m 2 , pode-se concluir que o valor de m é a) 12 b) 24 c) 36 d) 42 e) 48 03. (UEPGPR) Três cubos idênticos foram colados entre si formando um paralelepípedo, cuja área total vale 350 cm2. Nesse contexto, assinale o que for correto. F-V-V-F
314
01. 02. 04. 08.
O volume do paralelepípedo é 475 cm3. A área total de cada cubo é 150 cm2. O volume de cada cubo é 125 cm3. A soma de todas as arestas do paralelepípedo é 80 cm.
04. (Unesp SP) Aumentando em 2 cm a aresta a de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície total aumenta em 216 cm2, em relação à do cubo C1.
Determine:
a) 8 cm; b) 1 000 cm3.
a) a medida da aresta do cubo C1. b) o volume do cubo C2. 05. (Unicamp SP) Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 centímetros. a) 8 dm; b) 512 L. a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa. b) Calcule sua capacidade em litros.
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A
MATEMÁTICA
MÓDULO A06
PIRÂMIDES – ÁREAS E VOLUME As Pirâmides de Gizé foram construídas como tumbas reais para os reis Quéops, Quéfren e Miquerinos - pai, filho e neto. Elas são as únicas das antigas maravilhas que sobreviveram ao tempo. A palavra pirâmide não provém da língua egípcia. Formou-se a partir do grego pyra (que significa fogo, luz, símbolo) e midos (que significa medidas). Para os egípcios, a pirâmide representava os raios do Sol, brilhando em direção à Terra. Todas as pirâmides do Egito foram construídas na margem oeste do Nilo, na direção do sol poente. Os egípcios acreditavam que, enterrando seu rei em uma pirâmide, ele se elevaria e se juntaria ao Sol, tomando o seu lugar de direito com os deuses.
ASSUNTOS ABORDADOS n Pirâmides – áreas e volume n Definição e elementos n Nomenclatura n Pirâmide regular n Áreas n Volume
Para se construírem as três pirâmides, estima-se que cerca de 30 mil egípcios trabalharam durante 20 anos. A pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide, é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em torno de 2,5 toneladas. Nesta aula, abordaremos o estudo desses sólidos geométricos.
Definição e elementos Dados um plano α, uma superfície poligonal P contida em α e um ponto V fora de α, denomina-se pirâmide a figura geométrica espacial obtida pela união de todos os segmentos com uma extremidade no ponto V outra extremidade em um ponto da superfície P. Observe a figura a seguir:
Fonte: Shutterstock
Figura 01 - Na imagem vemos as pirâmides de Gizé no Egito
315
Matemática
Na figura a seguir, podemos destacar os seus principais elementos:
n
O polígono ABCDEF é a base da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. As faces VAB, VBC, VCD, VDE, VEF, VFA são as faces laterais da pirâmide. Os lados da base são as arestas da base da pirâmide. Os lados das faces laterais são as arestas laterais da pirâmide. Os vértices das faces também são os vértices da pirâmide.
n
A distância h entre V e α é a altura da pirâmide.
n n n n n
Observação: n Todas as faces laterais de uma pirâmide são triângulos.
Nomenclatura As pirâmides recebem nomes diferentes de acordo com os polígonos que constituem as suas bases. Observe as figuras a seguir:
Pirâmide regular Pirâmide regular é aquela cujas bases são polígonos regulares e a projeção ortogonal do vértice sobre a base coincide com o seu centro. Observe a figura a seguir: Nessa pirâmide quadrangular regular, podemos destacar os seguintes elementos: A06 Pirâmides − áreas e volume
n n n
m é a medida do apótema da base da pirâmide. g é a medida do apótema da pirâmide. h é a medida da altura da pirâmide.
Observações: n Todas as faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles congruentes. n O apótema da pirâmide regular coincide com a altura de cada uma de suas faces laterais.
316
Matemática e suas Tecnologias
Relação notável das pirâmides regulares Em qualquer pirâmide regular, o triângulo formado pelo apótema da base, apótema da pirâmide e pela altura é retângulo. Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VOM, temos que: g2 = m2 + h2
Áreas As áreas das superfícies de uma pirâmide são divididas de acordo com as posições que ocupam. Área da base (AB) A área da base é dada pela área delimitada pelo polígono que compõe essa base. Área lateral (AL) A área lateral é dada pela soma das áreas de todas as suas faces laterais. Área total (AT) A área total é dada pela soma das áreas de todas as suas faces, ou seja, é a soma da área da base com a área lateral, ou seja: AT = AB + AL
Volume O volume (V) de uma pirâmide é igual à terça parte do volume de um prisma de mesma área da base (AB) e altura (h), ou seja:
= V
1 AB ⋅ h 3
A06 Pirâmides − áreas e volume
Observe o esquema abaixo:
Note que, dado um prisma triangular é possível, a partir dele, obter três pirâmides de mesma altura e mesma base. Portanto, o volume de cada uma dessas pirâmides é igual a um terço do volume do prisma.
317
Matemática
EXEMPLOS 01. Considerando uma pirâmide quadrangular regular em que a aresta da base é 4 2 m e o apótema mede 6 m, calcule:
02. Considerando uma pirâmide hexagonal regular em que o apótema da base mede 21 cm e o apótema da pirâmide mede 29 cm, calcule: a) a medida da altura da pirâmide. b) o volume da pirâmide.
a) a área da base. b) a área lateral. c) a área total.
RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO
a) A altura (h) da pirâmide regular de apótema da base (m = 21 cm) e apótema da pirâmide (g = 29 cm) é dada por:
a) A área da base quadrada (AB) é dada por:
(
g2 = m2 + h2 ⇒ 292 = 212 + h2 ⇒ h2 = 841 – 441 = 441 ⇒ h = 20 cm
)
2
AB = 4 2 = 32 m2 b) A área lateral (AL) é dada pela soma das áreas das 4 faces laterais triangulares: 4 2 ⋅6 48 2 m2 = AL = 4 ⋅ 2 c) A área total (AT) é dada por: AT = AB + AL = 32 + 48 2
=
(
16 ⋅ 2 + 3 2
) m2
b) O apótema (m) de um hexágono regular de lado L é dado por: m=
L 3 L 3 ⇒ 21 = ⇒ L = 14 3 cm 2 2
O volume (V) da pirâmide é dado por: V=
(
14 3 1 1 AB ⋅ h = ⋅ 6 ⋅ 3 3 4
)
2
⋅ 20 = 5 880 cm3
Exercícios de Fixação 01. Considerando uma pirâmide quadrangular regular em que a aresta da base mede 12 cm e a altura mede 8 cm, calcule: a) 10 cm b) 384 cm2
c) 384 cm3
a) A medida do apótema da pirâmide. b) A área total. c) O volume. 02. Responda aos itens a seguir:
a) 1 600 cm3
b) 6 cm
a) Se as arestas laterais de uma pirâmide reta quadrangular
Sabendo-se que os pontos P, Q e R são pontos médios de
medem 26 cm e as arestas da base medem 10 2 cm,
três arestas, calcule a razão entre o volume da pirâmide e
qual é o seu volume?
do cubo, nessa ordem.
b) Se o poliedro da figura a seguir é um octaedro regular (delimitado por 8 triângulos equiláteros) em que o volume e igual a 72 2 cm3, qual é a sua área total?
1/48
04. Considerando uma pirâmide triangular regular em que a aresta da base mede 24 3 cm e altura igual a 16 cm, calcule:
a) 12 cm b) 567 3 cm2
c) 784 3 cm3
A06 Pirâmides − áreas e volume
a) A medida do apótema da base. b) A área total. c) O volume. 05. Dada uma pirâmide regular hexagonal cuja altura igual a 15 cm e a aresta da base mede 8 cm, calcule: a) A medida da aresta lateral. 03. Na figura a seguir, temos um cubo de aresta 4 m do qual se subtrai uma pirâmide.
318
b) A área total. c) O volume.
a) 17 cm b) 24 4 3 273 cm2
c) 80 3 cm3
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios Complementares 01. (UFPE) Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9 cm e
a) 6 moldes.
a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como
b) 8 moldes.
base a face oposta.
c) 24 moldes. d) 32 moldes. 05. (Famerp SP) A figura representa uma pirâmide com base 3x . quadrada ABCD de lado x, e altura AE de medida 4
Se V cm3 é o volume da pirâmide, determine
V . 3
81 cm3
02. (UFF RJ) O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura. Se o volume dessa pirâmide é igual a 54 cm3, x é igual a a) 7 cm b) 6 cm c) 2 3 9 cm d) 3 3 6 cm e) 2 3 6 cm 06. (UFPR) A seguir, temos a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros.
A aresta VA é perpendicular ao plano da base e tem a mesma medida do segmento AD. O segmento AB mede 6 cm. Determine o volume da pirâmide VACD.
72 3 cm3
03. (Cefet PR) Uma barraca de camping foi projetada com a forma de uma pirâmide de altura 3 metros, cuja base é um hexágono regular de lados medindo 2 metros. Assim, a área da base e o volume dessa barraca medem, respectivamente: a) 6 3 m2 e 6 3 m3 b) 3 3 m2 e 3 3 m3 c) 5 3 m2 e 2 3 m3 d) 2 3 m2 e 5 3 m3
04. (UFMG) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a/2. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de:
Qual é o volume dessa pirâmide? a)
16 3 cm3 3
A06 Pirâmides − áreas e volume
e) 4 3 m2 e 8 3 m3
b) 16 3 cm3 c) 32 cm3 32 d) 2 cm3 3 64 e) cm3 3
319
FRENTE
A
MATEMÁTICA
MÓDULO A07
ASSUNTOS ABORDADOS n Pirâmides: tetraedros regulares n Tetraedro regular n Área total de um tetraedro regular n Altura de um tetraedro regular n Volume de um tetraedro regular
PIRÂMIDES: TETRAEDROS REGULARES O design é a idealização, criação, desenvolvimento, configuração, concepção, elaboração e especificação de artefatos, normalmente produzidos industrialmente ou por meio de sistema de produção seriada que demanda padronização dos componentes e desenho normalizado. Essa é uma atividade estratégica, técnica e criativa, normalmente orientada por uma intenção ou objetivo ou para a solução de um problema. Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Design. Acesso: Setembro de 2017
A pessoa responsável por desenvolver essa atividade é denominada designer. No Brasil, esse termo se refere ao desenhista industrial, indivíduos habilitados em programação visual, projetos de produtos e espaços.
Fonte: Shutterstock
Assim, considere que para a premiação dos melhores administradores de uma galeria comercial, um designer projetou um peso de papel com a forma de um tetraedro regular reto, de aresta 20 cm que será entregue aos vencedores. Esse peso de papel será recoberto com placas de platina, nas faces laterais e com uma placa de prata na base. Se o preço da platina é de R$ 30,00 por centímetro quadrado, e o da prata é de R$ 50,00 por centímetro quadrado, qual seria o custo, em reais, desse recobrimento? Nesta aula, abordaremos os aspectos mais importantes do estudo dos tetraedros regulares.
320
Matemática e suas Tecnologias
Tetraedro regular Tetraedro regular é uma pirâmide que possui quatro faces constituídas de triângulos equiláteros. Observe a figura a seguir:
Área total de um tetraedro regular A área total de um tetraedro regular (AT) de aresta a é dada pela soma das áreas das suas quatro faces triangulares. Assim, temos que: AT = 4 ⋅ Portanto, temos que:
a2 3 4
A T = a2 3
Altura de um tetraedro regular Um tetraedro regular cujas arestas medem a é uma pirâmide regular. Assim, para determinar a sua altura, basta aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo VOM da figura a seguir.
Nessa figura, temos que:
a 3 . 6
n
m é a medida do apótema da base, ou seja, m =
n
g é a medida do apótema da pirâmide, ou seja, g =
a 3 . 2
Assim, temos que:
h2 =
2
A07 Pirâmides: tetraedros regulares
2
a 3 a 3 g2 = m2 + h2 ⇒ h2 = g2 – m2 ⇒ h2 = – 2 6 Daí, temos que: 3a2 3a2 3a2 3a2 27a2 - 3a2 24a2 – = – = = 4 36 4 36 36 36
Portanto, temos que: h=
a 6 3 321
Matemática
Volume de um tetraedro regular O volume de um tetraedro regular de aresta a é dado por: V=
1 1 a2 3 a 6 a3 18 3a3 2 ⋅ AB ⋅ h = ⋅ ⋅ = = 3 3 4 3 36 36
Portanto, temos que: V=
a3 2 12
EXEMPLOS 01. Dado um tetraedro regular em que o perímetro de sua base mede 9 m, calcule a sua área total. RESOLUÇÃO
02. Dado um tetraedro regular de aresta 12 cm, calcule: a) a medida da altura. b) o volume. RESOLUÇÃO
Se a é a medida de todas as arestas desse tetraedro, temos que: 2Pbase= 3a = 9 ⇒ a = 3 m.
a) A altura (h) de um tetraedro regular de aresta a é dada por: h=
A área total (AT) de um tetraedro de aresta a é dada por:
a 6 12 6 = = 4 6 cm 3 3
b) O volume (V) de um tetraedro regular de aresta a é dado por:
AT = a2 3 = 32 3 = 9 3
V=
Portanto, a área total é 9 3 m2.
a3 2 123 2 = 144 2 cm3 = 12 12
Exercícios de Fixação 01. Considerando um tetraedro regular de aresta medindo 24 m, calcule:
a) 12 3 m b) 4 3 m
b)
a) a medida do apótema lateral (apótema da pirâmide). b) a medida do apótema da base. 02. Qual a altura de um tetraedro regular de aresta igual a 30 cm? 5 6 cm
A07 Pirâmides: tetraedros regulares
gular com 9 cm de aresta, um designer irá usar placas de prata nas faces laterais e uma placa de ouro na base. Se o preço da prata é de R$ 60,00 por centímetro quadrado, e o de ouro é de R$ 100,00 por centímetro quadrado, qual seria o custo, em reais, dessa joia? (Despreze a espessura das pla-
3 = 1,7).
R$ 9.639,00
04. (UFRS) A área total de um tetraedro regular é aresta mede:
322
3 2
c) 2 d) 2 05. Qual o volume de um tetraedro regular com 6 dm de aresta? 18 2 dm3
03. Para a fabricação de uma joia na forma de um tetraedro re-
cas e considere
a) 1
12 . A sua
06. (Fuvest SP) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a a) a 3 b) a 2 a 3 c) 2 d)
a 2 2
e)
a 2 4
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios Complementares 01. (Mackenzie SP) A altura, em cm, de um tetraedro regular cuja área total mede 48 3 cm2 é: a) 2 2 b) 4 2 c) 2 3 d) 4 3 e) 6 02. (UECE) A medida da aresta de um tetraedro regular com altura igual a 5 metros é: a) 5 2,5 m b) 5 1,5 m c) 2 1,5 m d) 3 2,5 m
04. (UERN) Um tetraedro regular é um tipo particular de pirâmide regular no qual qualquer uma de suas faces pode ser considerada base, haja vista ser formado por quatro regiões triangulares congruentes e equiláteras. Considerando essa informação, a área total de um tetraedro regular cuja aresta mede 6 cm é, em cm2.(Considere 3 = 1,7 ) a) 27,2 b) 42,5 c) 61,2 d) 83,3 05. (Fatec SP) O sólido representado na figura é um tetraedro regular.
03. (UEPA) A arte é uma forma de expressão da racionalidade humana. O origami é uma técnica japonesa baseada em juntar módulos individuais de papel dobrando para criar prismas e cubos, conforme ilustra a figura abaixo. Assinale a alternativa que apresenta uma planificação de um tetraedro regular, em que cada lado comum a dois triângulos representa uma aresta do tetraedro.
Todas as pirâmides ilustradas na composição artística acima são tetraedros regulares de base triangular de aresta L = 1 dm ligados uns aos outros, por meio de suas arestas e mantendo suas bases sobre um mesmo plano. Nessas condições, a área total, em dm2, de um desses tetraedros regulares é: a)
2 2
b)
3 2
c)
3
d) 2 2 e) 2 3
06. (FGV SP) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta 10 cm partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a: a) 10 3 b) 15 c) 10 2 d) 10 e) 5 3
323
A07 Pirâmides: tetraedros regulares
Fonte: <http://noticias.br.msn.com>
FRENTE
A
MATEMÁTICA
MÓDULO A08
ASSUNTOS ABORDADOS n Pirâmides semelhantes n Sólidos semelhantes n Secção transversal de uma pirâmide n Pirâmides semelhantes
PIRÂMIDES SEMELHANTES O que é uma plataforma de petróleo? Uma plataforma de petróleo é uma grande estrutura usada no mar para dar suporte aos trabalhadores e às máquinas necessárias para a perfuração de poços e produção de petróleo, podendo ser fixa ou não ao fundo do oceano. As plataformas destinadas à perfuração servem para encontrar o petróleo em poços ainda não explorados, enquanto que as plataformas de produção são as que efetivamente extraem o petróleo localizado no fundo do mar, levando-o à superfície. No Brasil, existem várias plataformas de petróleo conhecidas como pré-sal (áreas de reservas petrolíferas encontradas sob uma profunda camada de rocha salina, que forma uma das várias camadas rochosas do subsolo marinho). As reservas do pré-sal encontradas no litoral do Brasil são as mais profundas comparadas àquelas já encontradas em todo o mundo. A figura abaixo representa uma torre de perfuração, na forma de uma pirâmide regular de base quadrada, na qual foi construída uma plataforma, a 30 metros de altura, paralela à base.
Figura 01 - Imagem de uma plataforma marítima de produção de gás e óleo
Sabendo que os lados da base e da plataforma medem, respectivamente, 9 e 5 metros, qual a altura total da torre? Para determinar essa altura, temos que relacionar os elementos de dois sólidos semelhantes: a pirâmide que representa toda a torre e a pirâmide acima da plataforma. Nesta aula, abordaremos os aspectos mais importantes do estudo de pirâmides semelhantes.
324
Matemática e suas Tecnologias
Sólidos semelhantes
Pirâmides semelhantes
De maneira geral, dizemos que dois sólidos geométricos são semelhantes quando as medidas de um deles valem k vezes as medidas correspondentes (ou homólogas) do outro, sendo número k a razão semelhança dos dois sólidos. Dessa forma, a razão entre um comprimento qualquer do primeiro sólido e o comprimento correspondente (homólogo) no segundo é constante e igual a k. Observe a figura a seguir:
Ao seccionar uma pirâmide de altura h por um plano paralelo à base, distando d de seu vértice,obteremos as pirâmides VABCD e VA’B’C’D’. Essas duas pirâmides são semelhantes. Observe a figura a seguir:
Se essas pirâmides são dois sólidos semelhantes, então podemos dizer que as medidas da pirâmide maior são iguais a k vezes as medidas correspondentes (homólogas) da pirâmide menor. Daí, podemos estabelecer que: n
AB BC CD DA h Para as arestas da base: = = = = = k A'B' B'C' C'D' D'A' h'
n
Para as arestas laterais:
AV BV CV DV h = = = = = k A'V' B'V' C'V' D'V' h'
Assim, as arestas laterais, as arestas das bases e as alturas das pirâmides VABCD e VA’B’C’D’ são proporcionais. Daí, podemos estabelecer que: n
AB
BC CD DA h = = = = = k A'B' B'C' C'D' D'A' d n
Para as arestas laterais:
AV BV CV DV h = = = = = k A'V B'V C'V D'V d
Secção transversal de uma pirâmide A intersecção de uma pirâmide com um plano α paralelo à sua base é denominada secção transversal da pirâmide. Observe a figura a seguir:
Para as arestas da base:
Se a razão entre os elementos lineares homólogos de dois polígonos semelhantes é k, então a razão entre suas áreas é k2. Daí, podemos estabelecer que: n
Para as bases:
A ABCD = k2 A A'B'C'D' n
Para as faces laterais:
Se a razão entre os elementos lineares homólogos de dois sólidos semelhantes é k, então a razão entre seus volumes é k3. Daí, podemos estabelecer que: Nessa figura, o polígono A’B’C’D’ é uma secção transversal da pirâmide VABCD.
VVABCD = k3 VVA'B'C'D'
325
A08 Pirâmides semelhantes
A VAB A VBC A VCD A VDA = = = = k2 A VA'B' A VB'C' A VC'D' A VD' A'
Matemática
EXEMPLOS 01. Na figura a seguir, temos uma pirâmide de base hexagonal e altura medindo 10 cm que foi seccionada por um plano paralelo à base de tal forma que os sólidos acima e abaixo do plano de corte tenham o mesmo volume.
Sendo V os volumes dos sólidos obtidos pelo corte e d a distância do vértice da pirâmide ao plano de corte, temos que: 3
1000 2V 10 = ⇒ 2 = 3 ⇒ d3 = 500 ⇒ d = 3 500 = 5 3 4 V d d Portanto, a altura da pirâmide é 5 3 4 cm. 02. Considere uma pirâmide quadrangular regular cuja área da base é 64 cm2 e que a área da seção transversal obtida a 6 cm do vértice é 16 cm2. Calcule a altura dessa pirâmide. RESOLUÇÃO Observando a figura a seguir, note que temos duas pirâmides semelhantes.
Determine a distância do vértice ao plano de corte. RESOLUÇÃO Observando a figura a seguir, note que temos duas pirâmides semelhantes.
Sendo AB a área da base da pirâmide maior e Ab a área da base da pirâmide menor, temos que: 2
AB h 64 h2 = ⇒ ⇒ h2 = 144 ⇒ h = 12 cm = Ab 6 16 36 Portanto, a altura da pirâmide é 12 cm.
Exercícios de Fixação 01. (UFRGS) Na figura abaixo, estão representados um cubo de aresta 3 e uma pirâmide triangular de altura 9. Os pontos A, B e C são vértices da pirâmide e do cubo, e V pertence ao prolongamento de BG.
a) 15/2 b) 8 c) 17/2
d) 9 e) 19/2
02. Uma pirâmide de base quadrada foi seccionada a 4 cm do seu vértice por um plano paralelo à base. Se o perímetro da base é igual a 48 cm e a área da secção obtida é de 64 m2, calcule a altura dessa pirâmide. 6m
A08 Pirâmides semelhantes
03. Considere uma pirâmide quadrangular regular de 9 cm de altura. Um plano paralelo à base secciona essa pirâmide dando origem a uma nova pirâmide, cuja base tem 20 m² de área. Se a área da base da pirâmide original é igual a 180 m², calcule a distância do plano de corte ao vértice da pirâmide. 3 cm
O volume comum aos dois sólidos é:
04. Uma pirâmide foi seccionada por um plano paralelo à base, a 3 cm do vértice. Se a medida de sua altura é 6 cm e a área dessa secção é de 45 cm², calcule o volume dessa pirâmide. 360 cm3
326
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios Complementares
te desenvolvidas há mais de 2 500 anos, e o uso da matemática facilitou o cálculo na posição das pedras que se encaixaram umas sobre as outras. Historiadores e arqueólogos, que buscam respostas para os mistérios nas construções das pirâmides, chegaram à conclusão de que cada bloco de pedra, que era lapidado para ser utilizado na construção, pesava cerca de 2 toneladas. Na figura abaixo, pode-se observar uma pirâmide.
A área da base é 36 cm2. Uma secção transversal feita a 3 cm da base tem 9 cm2 de área. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta a altura da pirâmide. a) 2 cm b) 3 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm 02. (Ufam AM) Um recipiente de azeite tem a forma de pirâmide regular de base hexagonal com aresta da base e altura medindo 2 cm e 12 cm respectivamente.
Sabendo que o nível de azeite se encontra na metade da altura do recipiente, o volume de azeite contido no recipiente em mililitros é de:
a) b) c) d) e)
7 3 12 3 18 3 21 3 36 3
03. (UEFS BA) Está sendo construída uma pirâmide regular sólida de concreto, cuja base é um quadrado de lado 12 m. Se até a metade da sua altura foram gastos 420 m3 de concreto, para terminar a pirâmide serão necessários mais: a) 60 m3 b) 140 m3 c) 210 m3 d) 330 m3 e) 420 m3 04. (Unitau SP) Qual a altura h de uma pirâmide, sabendo-se que a secção transversal, feita a 3 cm da base, tem área igual a 1/16 da área da base? a) h = 4,0 cm b) h = 5,0 cm c) h = 6,0 cm d) h = 7,0 cm e) h = 8,0 cm 05. (Unimontes MG) Por uma pirâmide quadrangular regular passa um plano paralelo à base, o qual determina uma secção transversal de 20,25 m2, cuja distância ao vértice é de 6 m. Se a altura da pirâmide é 8 m, a aresta da base mede: a) 8,0 m b) 4,5 m c) 6,0 m d) 4,0 m 06. (UFPE) Na ilustração a seguir, à esquerda, uma pirâmide regular invertida, com base quadrada de lado medindo 2 e altura 6, está preenchida por um líquido, até dois terços de sua altura.
Se a pirâmide é colocada na posição ilustrada à direita, qual será então a altura h do líquido? Indique (h + 2 3 19)2 . 36
327
A08 Pirâmides semelhantes
01. (IFSP) As pirâmides foram implantadas com técnicas bastan-
FRENTE
A
MATEMÁTICA
Exercícios de Aprofundamento 01. (IFRS) Abaixo está representada a planificação de um cubo, com um vértice identificado pela letra A e os demais pelos números de 1 a 13.
Determine a altura h do nível da água em relação ao solo.
Na composição espacial do cubo, a soma dos números que representam os vértices que coincidirão com o vértice A é dada por: a) 8 b) 9 c) 11 d) 20 e) 23 02. (Unirv GO) O cubo ABCDEFGH representado na figura tem área lateral 576 dm2.
21 cm
04. (UEPA) As pirâmides comunicam, ainda hoje, os valores culturais de uma das civilizações mais intrigantes da humanidade. Foram construídas para a preservação do corpo do faraó. De acordo com a lenda de Heródoto, as grandes pirâmides foram construídas de tal modo que a área da face era igual ao quadrado da altura da pirâmide. (Texto Adaptado: Contador, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida – 2a Ed.rev – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011)
Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 2a, a altura H e altura da face h, construída segundo a lenda de Heródoto. Se S expressa a área da face da pirâmide, então é correto afirmar que: a) S = (a + h)⋅(a – h) b) S = (h + a)⋅(h – a) c) S = (a + h)2 d) S = (h – a)2 e) S = a2 ⋅ h2 05. (UFPR) Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10 cm, conforme a figura a seguir:
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas. F-F-V-V a) A aresta do cubo mede 4 6 dm. b) O volume da pirâmide AFGH é 864 dm3. c) A medida do segmento AG = 12 3 dm. d) O volume interior ao cubo e externo a pirâmide vale 1 440 litros. 03. (Fuvest SP) Um bloco retangular (paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura 20 3 cm, com 2/3 de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral a seguir). 328
a) Calcule a área do triângulo ABC. b) Calcule a área total da pirâmide ABCD. c) Calcule o volume da pirâmide ABCD.
a) 50 3 cm2
b) 50 3 3 cm2 500 c) cm3 3
06. (UFRGS) A superfície total do tetraedro regular representado na figura a seguir é 9 3 . Os vértices do quadrilátero PQRS são os pontos médios de arestas do tetraedro, como indica a figura.
Matemática e suas Tecnologias
de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
O perímetro do quadrilátero é: a) 4 b) 4 2 c) 6 d) 5 3 e) 6 3 07. (Uerj RJ) ABCD é um tetraedro regular de aresta a. O ponto médio da aresta AB é M e o ponto médio da aresta CD é N. Calcule: a) a medida de MN . ˆ . a) a 2 b) 3 b) o seno do ângulo NMD 2
3
08. (Enem MEC) Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central. Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 156 cm3 b) 189 cm3 c) 192 cm3 d) 216 cm3 e) 540 cm3 10. (UEPI) Uma pirâmide de base quadrangular tem esta base com área de 64 cm2. Efetuando-se nessa pirâmide um corte a 6 cm de altura da base obtém-se uma seção transversal com área de 16 cm2. A altura da pirâmide, então, é de: a) 8 cm b) 10 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm
Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24 m e 6 2 m e o lado da base da plataforma mede 19 2 m, então a medida, em metros, de cada cabo será igual a: a)
288
b)
313
c)
328
d)
400
e)
505
09. (Enem MEC) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm
A figura I mostra o que restou do cubo maior, enquanto a figura II mostra o que foi retirado do cubo. a) 20 cm3 b) 20 cm2 a) Calcule o volume da figura I. b) Calcule a área da superfície da figura II. 329
FRENTE A Exercícios de Aprofundamento
11. (UEGO) Considere um cubo com 3 cm de aresta, subdividido em cubos menores, cada um com 1 cm de aresta. Dele foram retirados cubos menores dos centros de cada face e um cubo menor do seu centro.
FRENTE
B
Uma onda senoidal (em amarelo) num osciloscópio digital.
Fonte: shutterstock.com/ Por OhSurat
MATEMÁTICA Por falar nisso A origem do termo seno Os conceitos de seno e cosseno tiveram suas origens na Astronomia com o objetivo de auxiliar os astrônomos no cálculo de distâncias em linha reta entre dois pontos situados sobre a superfície da Terra. Graças aos árabes, a trigonometria baseada na meia corda de uma circunferência, apresentada pelos hindus, chegou ao conhecimento da Europa por meio de traduções de textos de trigonometria do sânscrito. Os hindus haviam dado o nome de jiva à metade da corda, e os árabes a transformaram em jiba. Tal fato ocorreu porque na língua árabe é comum escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando a cargo do leitor acrescentar as vogais mentalmente. Assim, os tradutores árabes registraram apenas jb para a palavra jiva. Em sua tradução do árabe para o latim do livro do matemático árabe Al-Khwarizmi sobre álgebra, em 1145, o tradutor Robert de Chester interpretou jb como as consoantes da palavra jaib, que significa “baía” ou “enseada”, e escreveu sinus, que é o equivalente em latim. A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu, passou a ser chamada de sinus, e, em português, seno. Já a palavra cosseno tem um motivo bem mais simples. Significa “o seno do arco complementar”. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas
B05 B06 B07 B08
Outras razões trigonométricas ..................................................... 332 Redução ao 1º quadrante ............................................................. 337 Relações trigonométricas ............................................................. 341 Transformações trigonométricas – Parte I ................................... 345
FRENTE
B
MATEMÁTICA
MÓDULO B05
ASSUNTOS ABORDADOS n Outras razões trigonométricas n Cotangente de um arco trigonométrico n Secante e cossecante de um arco trigonométrico
OUTRAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS UM WAPIXANA INAUGUROU A PONTE DOS MACUXIS Constantino Viana Pereira – da Comunidade indígena da Malacacheta No dia 29/08/1975, o então Presidente da República, General Ernesto Geisel, acompanhado pelo o Governador do Território Federal de Roraima, o coronel Fernando Ramos Pereira, e outras autoridades que acompanhavam sua comitiva, inaugurou a “Ponte dos Macuxis”, até então a maior ponte em sistema de aço já construída na América do Sul. Muita gente se aglomerou no vão da Ponte para assistir à inauguração daquela que se tornaria o elo entre Boa Vista e às regiões do Cantá, Normandia, Bonfim e Lethem (na Guiana Inglesa). O personagem que justificaria o nome da obra era o índio Constantino Viana Pereira – Tuxaua da Maloca da Malacacheta, situada no hoje Município de Cantá (RR). E, foi ele, um autêntico Wapixana, que, junto ao Presidente Geisel, descerrou a fita de inauguração da Ponte dos Macuxis. Assim, afirmou a filha do índio Constantino, a senhora Maria Nilda Viana Pereira (residente na rua Alcides Lima, no Bairro Caimbé). Fonte: http://folhabv.com.br/coluna/UM-WAPIXANA-INAUGUROU-A-PONTE-DOS-MACUXIS/2567 Acesso: setembro de 2017.
Sabendo que a Ponte dos Macuxis atravessa o rio Branco em direção Sudeste, suponha que, em certo trecho, a largura do rio Branco mede 40 m com margens paralelas e a Ponte dos Macuxis, oblíqua às margens do rio, liga as duas margens em dois pontos A e B tal que a medida de θ (ângulo agudo que a ponte forma com cada uma das margens) é tal que sec θ = 2tg θ. Nessas condições, qual é a distância entre os pontos A e B?
Fonte: Wikimedia Commons
Figura 01 - Ponte dos Macuxis sobre o rio Branco, no Estado de Roraima.
332
Matemática e suas Tecnologias
Para se determinar essa distância, temos que utilizar uma razão trigonométrica denominada secante. Nesta aula, abordaremos os aspectos mais importantes das demais razões trigonométricas: a cotangente, a secante e a cossecante. Para essas funções, daremos um tratamento de relação com seno e cosseno.
A partir dessa definição, podemos determinar a cotangente de arcos trigonométricos nos demais quadrantes. Analisando a cotangente nos pontos A, B, C e D da circunferência trigonométrica a seguir, temos:
Cotangente de um arco trigonométrico Na figura a seguir, temos um ponto P da circunferência trigonométrica que é a extremidade de um arco trigonomé de medida α. A esse arco corresponde um ângulo trico AP AOP também de medida α. Para se estabelecer a cotangente desse arco trigonométrico, vamos acrescentar um terceiro eixo tangente à circunferência trigonométrica no ponto B(1, 0). Esse eixo é denominado eixo das cotangentes, sendo que o ponto B é a origem desse eixo. Observe a figura a seguir:
Ligando-se os pontos O e P, a reta OP intercepta o eixo das cotangentes no ponto T. A abscissa do ponto T no eixo das cotangentes é a cotangente do arco trigonométrico de extremidade P e medida α. Observe a figura a seguir:
n
O ponto A é a extremidade de α = 0°. Ligando os pontos O e A, a reta OA não intercepta o eixo das cotangentes, pois os eixos do cosseno e da cotangente são paralelos. Logo, não se define cotg 0°.
n
O ponto B é a extremidade de α = 90°. Ligando os pontos O e B, a reta OB intercepta o eixo das cotangentes em sua origem. Logo, cotg 90° = 0.
n
O ponto C é a extremidade de α = 180°. Ligando os pontos O e C, a reta OC não intercepta o eixo das cotangentes, pois os eixos do cosseno e da cotangente são paralelos. Logo, não se define tg 180°.
n
O ponto D é a extremidade de α = 270°. Ligando os pontos O e D, a reta OD intercepta o eixo das cotangentes em sua origem. Logo, cotg 270° = 0.
As cotangentes dos arcos trigonométricos com extremidades em A e C não existem. Assim, não se define a cotangente dos arcos com extremidades em: 0, ±π, ±2π, ±3π, ...
Portanto, temos que cotg α existe se, e somente se, α ≠ kπ, k ∈ Z. Com base na definição de cotangente, temos ainda que:
Assim, dado um arco trigonométrico de extremidade P e medida α, temos que: xT = cotg α
n
Se α ∈ 1º quadrante, cotg α > 0.
n
Se α ∈ 2º quadrante, cotg α < 0.
n
Se α ∈ 3º quadrante, cotg α > 0.
n
Se α ∈ 4º quadrante, cotg α < 0.
n
cotg α∈ ]-∞, ∞[ para todo α ≠ kπ, k ∈ Z. 333
B05 Outras razões trigonométricas
Esses arcos podem ser escritos, de maneira geral, na forma kπ, sendo k um número inteiro.
Matemática
Na figura a seguir, note que os triângulos BOT e OPM são semelhantes.
cossec R
P
T cotg P
B
cossec O
sec
Q sec
O
M
A
Assim, dado um arco trigonométrico de extremidade P e medida α, temos que: Assim, temos que: n
cos α PM OM sen α cos α = ⇒ = ⇒ cotg= α , sendo OB BT 1 cotg α sen α sen α ≠ 0.
Portanto, para todo α ≠ kπ, k∈Z, temos que: cotg α =
xQ = sec α yR = cossec α A partir dessa definição, podemos determinar a secante e a cossecante de arcos trigonométricos nos demais quadrantes. Analisando a secante e a cossecante nos pontos A, B, C e D da circunferência trigonométrica a seguir, temos:
cos α sen α
B
Secante e cossecante de um arco trigonométrico Na figura a seguir, temos um ponto P da circunferência trigonométrica que é a extremidade de um arco trigonomé de medida α. A esse arco corresponde um ângulo trico AP AOP também de medida α.
C
n
n
B05 Outras razões trigonométricas
O
A
n
Para se estabelecer a secante e a cossecante desse arco trigonométrico, basta traçar uma reta tangente à circunferência trigonométrica pelo ponto P. Sabendo que essa reta intercepta o eixo horizontal em Q e o eixo vertical em R, a abscissa do ponto Q é a secante e a ordenada de R é a cossecante do arco trigonométrico de extremidade P e medida α. Observe a figura a seguir: 334
A
D
P
O
n
O ponto A é a extremidade de α = 0°. A reta tangente à circunferência trigonométrica passando que passa por A, intercepta o eixo dos cossenos (ou secantes) em um ponto de abscissa 1 e não intercepta o eixo dos senos (ou cossecantes) pois é paralela a esse eixo. Logo sec 0° = 1 e não se define cossec 0°. O ponto B é a extremidade de α = 90°. A reta tangente à circunferência trigonométrica que passa por B, intercepta o eixo dos senos (ou cossecantes) em um ponto de ordenada 1 e não intercepta o eixo dos cossenos (ou secantes) pois é paralela a esse eixo. Logo cossec 90° = 1 e não se define sec 90°. O ponto C é a extremidade de α = 180°. A reta tangente à circunferência trigonométrica que passa por C, intercepta o eixo dos cossenos (ou secantes) em um ponto de abscissa -1 e não intercepta o eixo dos senos (ou cossecantes) pois é paralela a esse eixo. Logo sec 180° = -1 e não se define cossec 180°. O ponto D é a extremidade de α = 270°. A reta tangente à circunferência trigonométrica que passa por C, intercepta o eixo dos senos (ou cossecantes) em um ponto de ordenada -1 e não intercepta o eixo dos
Matemática e suas Tecnologias
cossenos (ou secantes) pois é paralela a esse eixo. Logo cossec 270° = -1 e não se define sec 270°. Com base nas definições de secante e cossecante, temos ainda que: n n n n n n
Se α Se α Se α Se α
∈ 1º quadrante, sec α ∈ 2º quadrante, sec α ∈ 3º quadrante, sec α ∈ 4º quadrante, sec α
> 0 e cossec α > 0. < 0 e cossec α > 0. < 0 e cossec α < 0. > 0 e cossec α < 0. π + kπ, k ∈ Z. sec α ≤ -1 ou sec α ≥ 1, para todo α ≠ 2 cossec α ≤ -1 ou cossec α ≥ 1, para todo α ≠ kπ, k ∈ Z.
Na figura a seguir, note que os triângulos POM, ROP e POQ são semelhantes.
Analisando os triângulos POQ e POM, temos que: sec α OP OQ 1 1 ⇒ = ⇒ sec= α n = , sendo cos OM OP cos α 1 cos α α ≠ 0. Portanto, para todo α ≠
π + kπ, k ∈ Z , temos que: 2
sec α =
1 cos α
Analisando os triângulos ROQ e POM, temos que: cossec α OP OR 1 1 = ⇒ = ⇒ cossec α= n , sendo PM OP sen α 1 sen α sen α ≠ 0. Portanto, para todo real α ≠ kπ, k ∈ Z , temos que:
R
cossec α =
P
Q
O
1 sen α
M
EXEMPLOS 01. Calcule:
02. Responda aos itens a seguir: a) Sendo α ∈ [π/2, π[, para quais valores reais de k temos que cotg α = 3k +12. b) Sendo α ∈]π, 3π/2[, para quais valores reais de k temos que sec α = k +8.
a) cotg 1530° 19π b) sec 3 c) cossec -1 035°
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO a) Obtendo a 1ª determinação positiva de 1 530°, temos que: 1 530° = 4 ⋅ 360° + 90°
3k +12 ≤ 0 ⇒ 3k ≤ -12 ⇒ k ≤ -4 ⇒ k ∈ ]-∞, -4]
Daí, temos que:
b) De acordo com a definição de secante, temos que sec α < -1 para α ∈ ]π, 3π/2[. Daí, temos que: k + 8 < 1 ⇒ k < -7 ⇒ k ∈]-∞, -7[
19π , temos que: 3
π π 19π 18π + π 18π π = = + = 6π + = 3 ⋅ 2π + 3 3 3 3 3 3
03. Para quais valores de x existe o número real cotg (3x)? RESOLUÇÃO
Daí, temos que: π 19π sec= sec = 2 3 3
O número real cotg (3x) existe se, e somente se, 3x ≠ kπ, k ∈ Z . Assim, temos que:
c) Obtendo a 1ª determinação positiva de -1 035°, temos que: 3x ≠ kπ ⇒ x ≠
-1 035° = -2 ⋅ 360° – 315°
kπ 3
Daí, temos que: cossec (-1 035°) = cossec 45° =
2.
kπ Portanto, cotg (3x) existe para IR – , k ∈ Z . 3
335
B05 Outras razões trigonométricas
cotg 1 530° = cotg 90° = 0 b) Obtendo a 1ª determinação positiva de
a) De acordo com a definição de cotangente, temos que cotg α ≤ 0 para α ∈ [π/2, π[. Daí, temos que:
Matemática
Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de: a) cotg 30° 3π b) cot g 4
03. Calcule o valor numérico da expressão trigonométrica π π 4 ⋅ cossec + 3 ⋅ sec 6 3 .7 π 2.cot g 4 04. Para quais valores de x existem os números reais a seguir? a) cotg (x – π) {x ∈ IR | x ≠ π + kπ, k ∈ Z} b) sec (x + π) {x ∈ IR | x ≠ -π/2 + kπ, k ∈ Z} c) cossec (3x – 45)° {x ∈ IR | x ≠ 15° + 60°k, k ∈ Z}
3
-1
c) cotg 240° 11π d) cot g 6
3 /3 3
02. Calcule o valor de: a) sec 45° 2 b) cossec 120° 2 4π -2 c) sec 3 5π d) cos sec 2 3
05. Determine qual quadrante da circunferência trigonométrica se encontram os arcos nos casos a seguir: a) sec θ > 0 e sen θ > 0. 1º quadrante b) cotg θ < 0 e sec θ > 0. 4º quadrante c) tg θ > 0 e cossec θ < 0. 3º quadrante d) cossec θ > 0 e sec θ < 0. 2º quadrante
3 /3
3 /3
Exercícios Complementares 01. O valor numérico da expressão E = sen 270° + cos 150° + tg 135° + sec 300° é igual a:
5 2 3 a) - + 2 3
d) 1 -
3 2
1 2 3 b) - + 2 3
e) 2 -
3 2
c) -
3 2
02. (UFRN) A figura abaixo é composta por dois eixos perpendiculares entre si, X e Y, que se intersectam no centro O de um círculo de raio 1, e outro eixo Z, paralelo a Y e tangente ao círculo no ponto P.
03. (Especex SP) O valor numérico da expressão a seguir é:
sec1320° 2 53π - 2 ⋅ cos + ( tg2220° ) 2 3 a) -1 b) 0 c) 1/2
d) 1 e) - 3 /2
04. (UFTM MG) Músculos cujas fibras são curtas e inclinadas relativamente a um tendão no seu centro são chamados de pinados.
z
y
Q
k
O
x
P x
B05 Outras razões trigonométricas
O estudo do movimento do tendão de um músculo pinado é equivalente à determinação de x em uma situação como a descrita nos triângulos a seguir: a) k ⋅ (sec α + cossec β) A semirreta OQ, com Q pertencente a Z, forma um ângulo a com o eixo Y. Podemos afirmar que o valor da medida do segmento PQ é: a) sec α d) cos α b) tg α e) nda c) cotg α
336
b) k ⋅ (tg β – tg α) c)
k ⋅ ( sen α + senβ )
cos α + cos β k d) cot g α + cot g β e) k ⋅ (cotg α – cotg β)
FRENTE
B
MATEMÁTICA
MÓDULO B06
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE Segundo várias pessoas, quanto mais simétrico for o rosto, mais bonito ele é. Será? É possível responder a essa pergunta baixando um aplicativo que trabalha com edição de imagens chamado Muggum.
ASSUNTOS ABORDADOS n Redução ao primeiro quadrante n Arcos suplementares n Arcos explementares n Arcos replementares
De acordo com a Techtudo:
n Arcos complementares
“Muggum é um editor de imagem capaz de mudar o rosto de quem quer se olhar no espelho e ver mudanças, às vezes, nada agradáveis. O aplicativo estica o rosto para os lados e para baixo, e mostra um resultado no mínimo curioso.” O aplicativo analisa a foto com o rosto da pessoa e dá duas opções de simetria - cada uma de acordo com um lado da face. Assim, pelo menos por brincadeira, vale a pena testá-lo com uma sua foto para ver como fica. Também conseguimos estabelecer relações de simetria na circunferência trigonométrica. Assim, dado um arco de medida α, não pertencente ao 1º quadrante da circunferência trigonométrica, reduzir esse arco ao 1º quadrante significa relacioná-lo com algum arco do 1º quadrante com o objetivo de obter suas razões trigonométricas. Isso só é possível devido às simetrias existente na circunferência trigonométrica. Assim, as razões trigonométricas de muitos arcos terão os mesmos valores absolutos, variando apenas o sinal dependendo da razão e do quadrante o qual se encontra na extremidade do arco reduzido. Nesta aula, abordaremos como se obtém o simétrico de um arco dado no 1º quadrante da circunferência trigonométrica. A seguir, vamos analisar as simetrias existentes na circunferência trigonométrica para determinar os valores de senos e cossenos de dois arcos simétricos, uma vez que um deles seja pertencente ao seu 1º quadrante. Chamaremos essa operação de redução ao primeiro quadrante. 2
Arcos suplementares Dizemos que dois arcos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Assim, os arcos cujas medidas são dadas por α e π - α são suplementares, pois α + (π - α) = π. Daí, se α for um arco do 1º quadrante, π - α é do 2º quadrante. Observe a figura ao lado:
O
0 2
3 2
337
Matemática
Note que os pontos que são extremidades desses arcos são simétricos em relação ao eixo dos senos. Assim, eles têm ordenadas (senos) iguais e abscissas (cossenos) opostas. Portanto: sen( π - α= ) sen α ou sen(180° - α= ) senα
cos ( π - α ) = - cos α ou cos (180° - α ) = - cos α
Arcos explementares Dizemos que dois arcos são explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180°. Assim, os arcos cujas medidas são dadas por α e π + α são explementares, pois (π + α) – α + = π. Daí, se α for um arco do 1º quadrante, π + α é do 3º quadrante. Observe a figura a seguir:
2
O
0 2
3 2
Note que os pontos que são extremidades desses arcos são simétricos em relação ao centro da circunferência (diametralmente opostos). Assim, eles têm ordenadas (senos) e abscissas (cossenos) opostas. Portanto: sen( π + α ) = -senα ou sen(180° + α ) = -senα
cos ( π + α ) = - cos α ou cos (180° + α ) = - cos α
Arcos replementares
B06 Redução ao primeiro quadrante
Dizemos que dois arcos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Assim, os arcos cujas medidas são dadas por α e 2π - α são replementares, pois α + (2π – α) + = 2π. Daí, se α for um arco do 1º quadrante, 2π – α é do 4º quadrante. Observe a figura a seguir:
2
O
0 2 2
3 2
338
Matemática e suas Tecnologias
Note que os pontos que são extremidades desses arcos são simétricos ao eixo dos cossenos. Assim, eles têm ordenadas (senos) opostas e abscissas (cossenos) iguais. Portanto: sen( 2π - α ) = -senα ou sen( 360° - α ) = -senα
cos ( 2π - α= ) cos α ou cos ( 360° - α= ) cos α
Note que: n
Os triângulos OPM e ONQ são congruentes, ou seja, as medidas de OM e ON são iguais e as medidas de PM e QN são iguais.
n
A abscissa do ponto P é OM = cos α e a ordenada de P é OS = PM = sen α. π A abscissa do ponto Q é OR = QN = cos - α e a 2 π ordenada do ponto Q é ON = sen - α 2
n
Arcos complementares Dizemos que dois arcos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Assim, os arcos cujas medidas são dadas por α e π/2 – α são complementares, pois α + (π/2 – α) = π. Daí, se α for um arco do 1º quadrante, π/2 – α também é. Observe a figura a seguir: Q
N
Logo, temos que: n
π ON = OM ⇒ sen - α = cos α. 2
n
π QN = PM ⇒ cos - α = sen α. 2
Portanto: S O
P R
M
sen( π / 2 - α= ) cos α ou sen( 90° - α= ) cos α
cos ( π / 2 - α= ) senα ou cos ( 90° - α= ) senα
EXEMPLOS
3π 5π 7π y = 2 ⋅ sen + 3 ⋅ cos - 4 ⋅ tg 4 4 4 RESOLUÇÃO
3π π Como e são suplementares, temos que: 4 4 3π π 2 sen = sen = 4 4 2 5π π e são explementares, temos que: Como 4 4 cos
2 5π π = -cos = 2 4 4
7π π e são replementares, temos que: Como 4 4 7π π = -tg = -1 tg 4 4 Daí, temos que: 3π 5π 7π + 3 ⋅ cos – 4 ⋅ tg y = 2 ⋅ sen 4 4 4
y=2⋅ y=
2 +3⋅ 2
2 – 4 ⋅ (-1) 2
- 2 +8 2 2 3 2 +4= – 2 2 2
02. Simplifique a expressão a seguir, sendo x um arco trigonométrico do 1º quadrante. E = 3 ⋅ sen (2π – x) – sen (π + x) – 4 ⋅ sen (π/2 – x) + cos (2π – x) RESOLUÇÃO
B06 Redução ao primeiro quadrante
01. Calcule o valor numérico de:
Pela simetria na circunferência trigonométrica, temos: sen (2π – x) = -sen x sen (π + x) = -sen x sen (π/2 – x) = cos x Daí, temos que:
cos (2π – x) = cos x
E = -3sen x – (-sen x) – 4cos x + cos x = -4sen x – 3cos x
339
Matemática
Exercícios de Fixação 01. Determine o valor de:
3 3 2 6
a) y = sen 120° + cos 135° + tg 150°
y=
3 1 2 4 3 2 5 3 6
4 ⋅ sen (180° + x ) - cos ( 360° - x ) + sen ( 90° - x )
b) y = sen 210° + cos 225° + tg 240° 2 c) y = sen 300° + cos 315° + tg 330°
2 ⋅ cos ( 90° - x )
5π 05. (Puc Campinas SP) Sendo θ um ângulo agudo, então - θ 2 pertence ao:
02. Simplifique: π a) y = sen - x + sen (π – x) cos x + sen x 2 π b) y = cos - x + cos (π+ x) sen – cos x 2 c) y = tg (π – x) + tg (2π – x) -2tg x
a) 1° quadrante b) 2° quadrante c) 3° quadrante d) 4° quadrante
π 3π cos - x ⋅ sen - x 2 2 03. Simplifique a expressão E = . -cos x π sen - x ⋅ tg ( π + x ) 2 04. Mostre que o valor da expressão a seguir é um número inteiro negativo. y = -2
06. (UEPB) O valor de cos 1 200° é igual ao valor de: a) cos 30° b) sen 30° c) -sen 60° d) -cos 60° e) cos 45°
Exercícios Complementares 01. Simplifique a expressão cotg x
y=
cos (180° - x ) ⋅ sen ( π + x ) ⋅ tg ( 360° - x ) sen ( 2π - x ) ⋅ cos ( 90 - x ) ⋅ tg ( π + x )
.
π 3π cos - x ⋅ cos - x 2 2 . y = tg2 x 02. Simplifique a expressão y = 3π π sen - x ⋅ sen - x 2 2 03. (Cefet MG) A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica em que MN é diâmetro e o ângulo α mede 5π/6 rad. y
S
B06 Redução ao primeiro quadrante
A
B
R
x
N
A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é: a) 26 3 b) 3 c) 3 /2 d) 3/3
340
drante, o valor da expressão y =
sen ( 90° - α ) ⋅ tg α sec (180° + α )
.
a) 3 3 /4 b) 3 /4 c) -3 3 /4 d) - 3 /4
C
M
π cos - x ⋅ tg ( π - x ) 2 04. (FURG RS) A expressão y = é equivasen2x ⋅ cos ( π + x ) lente a: a) -cos² x b) -sec² x c) cos² x d) sec² x e) -sen² x 05. (IFSul RS) Sabendo-se que sen α = 1/2 e que α ∈ 2º qua-
06. (Udesc SC) Assinale a alternativa que corresponde ao valor da expressão 13π 7π 2 11π 2 31π 6 ⋅ cos2 - 4 ⋅ cos + sen - + tg 6 4 6 3 a) 6 b) 5 c) 9/2 d) 3 e) 23/4
FRENTE
B
MATEMÁTICA
MÓDULO B07
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
ASSUNTOS ABORDADOS
A identidade brasileira é um conceito que tenta unificar critérios de identificação e pertencimento comuns entre os cidadãos brasileiros. Essa tarefa é bastante desafiadora se levarmos em conta os elementos culturais, históricos e sociais que compõem a nação. Possuímos uma língua comum e um passado colonial, contudo a história do país não é homogênea no aspecto da espacialidade e, muito menos, do ponto de vista do progresso e acesso aos direitos.
n Relações trigonométricas n Relações fundamentais n Relações trigonométricas derivadas n Identidades trigonométricas
Observando a população brasileira pelos aspectos comuns que possam constituí-la, é possível pensá-la a partir de uma identificação cultural, em que a música ou tradições religiosas possam exercer maior peso. Todavia, a grande extensão territorial e as diferentes origens da população fazem com que tenhamos também uma enorme diversidade cultural. A religião católica, originária dos colonizadores europeus, embora durante muitos anos tenha sido absoluta maioria, não é a única. Os brasileiros professam religiões de matrizes africanas. Os indígenas possuem seus próprios cultos e divindades, além de haver uma infinidade de denominações religiosas cristãs além da católica. A constituição do povo brasileiro é multiétnica, tendo em vista a variedade de grupos que constituíram a nossa população. Além do nativo indígena, o africano e o europeu colonizador, imigrações importantes, como a italiana, a japonesa e a árabe contribuíram, e muito, para ampliar ainda mais a enorme diversidade histórico-cultural brasileira. Figura 01 - Grupo de brasileiro com roupas tradicionais na Igreja Bonfim em Salvador, Bahia, Brasil.
341
Matemática
Outro fator mais recente que dificulta ainda mais a tentativa de concepção de uma identidade brasileira una é o processo de globalização e uniformização das culturas, que tem ocorrido em todo o mundo. O acesso à cultura “mundializada” tem uniformizado comportamentos, hábitos e trajetórias, tanto nos aspectos econômicos quanto nos socioculturais.
Relação entre tangente, seno e cosseno (2ª relação fundamental) Na figura a seguir, temos um ponto P que é a extremidade de medida α, no 1º quadrande um arco trigonométrico AP te da circunferência trigonométrica.
T
Portanto, a brasilidade – a identificação do brasileiro com os outros filhos do mesmo território – é uma questão muito mais de pertencimento, afetividade e simpatia individual do que um conceito social construído e fundado em critérios únicos. A identidade brasileira, em oposição à unificação de características, pode ser, sim, compreendida pela diversidade histórica, cultural e social de seu povo.
P
O
M
A
Fonte:http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/geografia/ identidade-brasileira.htm Acesso: setembro de 2017
Na Matemática, também trabalhamos com o conceito de identidade aplicada nas igualdades entre expressões algébricas. Nesta aula, abordaremos as identidades que têm a presença de pelo menos uma razão trigonométrica. Essas identidades são denominadas identidades trigonométricas.
Os triângulos OPM e OTA são semelhantes. Logo, temos que: tg α sen α AT OA 1 , sendo cos α ≠ 0. = ⇒ = ⇒ tg= α MP OM sen α cos α cos α
Portanto, para todo α ≠
Relações fundamentais
tg α =
Relação entre seno e cosseno (1ª relação fundamental) Na figura a seguir, temos um ponto P que é a extremidade de medida α, no 1º quadrande um arco trigonométrico AP te da circunferência trigonométrica.
sen α cos α
Outras relações fundamentais Já vimos em aulas anteriores as seguintes relações fundamentais: cotg α =
P
N
π + kπ, k ∈ Z , temos que: 2
cos α , para todo α ≠ kπ, k ∈ Z sen α
O
M
A
sec α =
B07 Relações trigonométricas
cossec α =
Aplicando o teorema de Pitágoras do triângulo POM da figura a seguir, temos: (PM)2 + (OM)2 = (OP)2 ⇒ (sen α)2 + (cos α)2 = 12 sen2 α + cos2 α = 1 Observação: n
342
Essa relação também é válida para um α que pertence aos demais quadrantes da circunferência trigonométrica.
1 , α ≠ π + kπ, k ∈ Z cos α 2
1 , para todo α ≠ kπ, k ∈ Z sen α
Relações trigonométricas derivadas A partir da relação fundamental envolvendo seno e cosseno, podemos obter duas relações denominadas derivadas. Relação entre secante e tangente Considerando a relação sen2 α + cos2 α = 1 e dividindo dos membros por cos2 α (cos2 α ≠ 0), temos que:
Matemática e suas Tecnologias
sen2 α cos2 α 1 + = 2 2 cos α cos α cos2 α
Daí, temos que: tg2 α + 1 = sec2 α, α ≠
π + kπ, k ∈ Z 2
Relação entre cossecante e cotangente Considerando a relação sen2 α + cos2 α = 1 e dividindo dos membros por sen2 α (sen2 α ≠ 0), temos que: sen2 α cos2 α 1 + = sen2 α sen2 α sen2 α
Daí, temos que: cotg2 α + 1 = cossec2 α, α ≠ kπ, k ∈ Z
Identidades trigonométricas Dadas as funções f e g cujos domínios são D(f) e D(g), respectivamente, dizemos que essas funções são idênticas se, e somente se, f(x) = g(x) para todo x ∈ [D(f) ∩ D(g)]. Nesse caso, a igualdade f(x) = g(x) é chamada de identidade. Por exemplo: n (x + 2) ⋅ (x – 2) = x2 – 4, para x ∈ IR. n
x2 - 1 = x - 1, para x ∈ IR – {-1}. x +1
Se na identidade f(x) = g(x), para todo x ∈ [D(f) ∩ D(g)], pelo menos uma dessas funções tiver a presença de uma razão trigonométrica, então a chamamos de identidade trigonométrica. Por exemplo: n sen2 x + cos2 x = 1, para x ∈ IR. sen x , para x ∈ IR – {π/2 + kπ, com k ∈ Z}. n tg x = cos x Podemos demostrar uma identidade trigonométrica de várias maneiras. Observe nos exercícios resolvidos.
EXEMPLOS
a) cos x b) tg x c) sec x
3 e x ∈ ]π/2, π[, calcule: 5
Da 1ª relação fundamental, temos que: sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ (3cos2 x) + cos2 x = 1 ⇒ 10cos2 x = 1 cos2 x =
RESOLUÇÃO a) Da 1ª relação fundamental, temos que: 2
9 3 1 ⇒ cos2 x = 1 – sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ + cos2 x = 25 5 cos2 x =
16 4 ⇒ cos x = ± 25 5
Como x pertence ao 2º quadrante, o cosseno é negativo, ou seja, 4 cos x = - . 5 3 senx 3 b) tg x = ⇒ tg x = 5 = -4 cosx 4 5 1 1 4 c) sec x = ⇒ sec x = =-4 cosx 5 5 02. Calcule sen x e cos x, sabendo que tg x = 3 e x é um arco que pertence ao intervalo ]0, π/2[. RESOLUÇÃO Da 2ª relação fundamental, temos que: tg x =
senx senx ⇒ = 3 ⇒ sen x = 3cos x cosx cosx
1 10 ⇒ cos x = ± 10 10
Como α é um arco do 1º quadrante, o cosseno e o seno são positivos, ou seja, cos x =
10 3 10 e sen x = . 10 10
03. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas, para x ≠ kπ/2, k ∈ Z. a) cos x ⋅ tg x ⋅ cossec x = 1 b) tg2 x ⋅ cossec2 x = 1 + tg2 x RESOLUÇÃO a) Vamos demonstrar essa identidade expressando as razões trigonométricas do 1º membro em função do seno e cosseno e, assim, obter o 2º membro. Observe: cos x ⋅ tg x ⋅ cossec x = cos x ⋅
1 senx =1 ⋅ cosx senx
b) Vamos demonstrar essa identidade expressando as razões trigonométricas do 1º e 2º membros em função do seno e cosseno e, assim, obter a igualdade. Observe: tg2 x ⋅ cossec2 x =
1 + tg2 x = 1 +
1 sen2 x 1 = sec2 x ⋅ = cos2 x cos2 x sen2 x
1 sen2 x cos2 x + sen2 x = sec2 x = = cos2 x cos2 x cos2 x
343
B07 Relações trigonométricas
01. Sabendo que sen x =
Matemática
Exercícios de Fixação
01. Sabendo que cos x = -
12 e x ∈ ]π/2, π[, calcule: 13
a) sen x 5/13 b) tg x -5/12 c) cossec x 13/5
04. Simplifique as expressões a seguir: a)
sen2x 1 + cos x
1 – cos x
tg x ⋅ cot g x sec x cos x cos x sen x + c) sec x cossec x b)
02. Sabendo que tg x = -2 e 3π/2 < x < 2π, calcule: a) sen x 2 5 / 5 b) cos x 5 / 5 c) sec x 5
d)
03. Sabendo que sec x = -
17 e π < x < 3/2π, calcule: 8
a) cos x -8/17 b) sen x -15/17 c) cotg x 8/15
1 - sen2x cot g x ⋅ sen x
1
cos x
05. Demonstre as identidades trigonométricas a seguir: a) sen x ⋅ cossec x = 1 b) cos x ⋅ tg x = sen x c) tg x + cotg x = tg x ⋅ cossec2 x d) (1 +cotg2 x) ⋅ (1 − cos2 x) = 1 Demonstrações
Exercícios Complementares 01. (Udesc SC) Sendo x um arco do 2º quadrante tal que sen x = 3/7, o valor de tg x é: a)
10 10 3
2 3 5
d) -
3 10 20
e) -
10 10 3
cosec θ + cos θ é equivalente a: sec θ + sen θ a) cotg θ b) -cotg θ c) tg θ d) -tg θ e) sec θ ⋅ tg θ
métrica
02. (UFRR) Sabendo-se que tg x = -1/3 e sen x < 0, podemos afirmar que: a) cossec x = - 10 d) cossec x = 3 b) cossec x =
10
e) cossec x = - 3 /3
B07 Relações trigonométricas
c) cossec x = - 3 03. (UFR RJ) Os valores de m para que se tenha simultaneamente sen θ = 1 + 4m e cos θ = 1 + 2m são: a) {2/5, -1/2} b) {-2/5, -1/3} c) {-1/2, 1/10} d) {-1/10, 2/5} e) {-1/10, -1/2} 04. (UFAM) Quando simplificamos a expressão trigonométrica cos x 1 + senx , vamos obter: + 1 + senx cos x
344
d) 2cos x e) cos x
05. (Unifor CE) Para todo x ≠ kπ/2, k ∈ Z, a expressão trigono-
3 10 b) 20 c) -
a) 2sec x b) 2cossec x c) 2sec² x
06. (Insper RJ) O valor de m para que exista um ângulo x com 2 cos x = e tg x = m - 2 é dado por: m -1 a) Um número par. b) Um número ímpar. c) Um número negativo. d) Um número natural maior que 10. e) Um número irracional. 07. (Fuvest SP) O dobro do seno de um ângulo agudo é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo o valor de seu cosseno é: a) 2/3 b) 3 /2 c) 2 /2 d) 1/2 e) 3 /3
FRENTE
B
MATEMÁTICA
MÓDULO B08
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – PARTE I Durante os séculos XV e XVI, os países europeus começaram o processo de exploração dos oceanos Atlântico, Pacífico e Índico com dois objetivos: n n
Descobrir um novo caminho para as Índias em busca do rico comércio de especiarias. Descobrir novas terras capazes de proporcionar riquezas naturais, fundamentalmente metais preciosos e a conversão de fieis.
ASSUNTOS ABORDADOS n Transformações trigonométricas
– parte I
n Fórmula da soma e subtração de arcos
Esse período ficou conhecido como a Era das Grandes Navegações e Descobrimentos Marítimos. Dentro desse contexto, para planejar as viagens, os europeus contavam com alguns instrumentos de navegação, tais como: a bússola, o astrolábio, o sextante etc. Além desses instrumentos, os navegadores dependiam, fundamentalmente, de conhecimentos astronômicos, isto é, matemáticos que envolviam operações de multiplicação e divisão de números muito grandes. Como na época não havia calculadoras, foram criados vários artifícios matemáticos que transformavam o produto de dois números em soma. Um desses artifícios são as chamadas fórmulas de prostaférese (do grego prostaphaíresis), prost (adição) e aphaíresis (subtração). Elas foram determinadas pelo matemático e astrônomo alemão chamado Christopher Clavius (1538-1612). As fórmulas de prostaférese, por transformarem produtos em somas e subtrações utilizando razões trigonométricas, são chamadas de transformações trigonométricas. Nesta aula, abordaremos as transformações (fórmulas) trigonométricas envolvendo somas de subtrações de arcos.
345
Matemática
Fórmula da soma e subtração de arcos
Expressão de sen (a – b)
São fórmulas que permitem obter as razões trigonométricas da soma (a + b) e da subtração (a – b) de dois arcos a e b a partir de valores conhecidos das razões trigonométricas de a e b.
A expressão de sen (a – b) será obtida a partir da expressão do sen (a + b).
Expressão de sen (a + b)
Pela simetria da circunferência trigonométrica, já sabemos que:
Para determinar a expressão de sen (a + b) vamos utilizar a relação existente entre as áreas dos triângulos ABC, ABH e ACH indicados na figura a seguir:
sen (a – b) = sen [a + (-b)] = sen a ⋅ cos (-b) + sen (-b) ⋅ cos a
cos (-x) = cos x e sen (-x) = -sen x Daí, temos que: sen (a – b) = sen a ⋅ cos b + (-sen b) ⋅ cos a
A
Portanto: m
h
sen (a - b) = sen a ⋅cos b - sen b ⋅cos a
q
Expressão de cos (a + b) B
n
p
C
No triângulo ABH, temos que: A ABH =
h m ⋅ h ⋅ sen a e cos a = ⇒ h = m ⋅ cos a m 2
A expressão de sen (a – b) será obtida a partir da expressão do sen (a – b). Pela propriedade dos arcos complementares, temos que: π cos - x = sen x 2
No triângulo ACH, temos que: A ACH =
h q ⋅ h ⋅ sen b e cos b = ⇒ h = q ⋅ cos b q 2
No triângulo ABC, temos que: A ABC =
m ⋅ q ⋅ sen (a + b) 2
Note que a área do triângulo ABC é igual à soma das áreas dos triângulos ABH e ACH, ou seja: AABC = AABH + AACH⇒
m ⋅ q ⋅ sen (a + b) m ⋅ h ⋅ sen a q ⋅ h ⋅ sen b = + 2 2 2
B08 Transformações trigonométricas – parte I
Daí, temos que: m ⋅ q ⋅ sen (a + b) m ⋅ q ⋅ cos b ⋅ sen a q ⋅ m ⋅ cos a ⋅ sen b = + 2 2 2 m⋅ q Dividindo toda a expressão por , temos que: 2 sen (a + b)= sena ⋅cos b + sen b ⋅cos a
Observação: n
346
Apesar dessa expressão ter sido obtida para ângulos de um triângulo, ela é válida para todos os arcos trigonométricos.
Daí, temos que: π π cos ( a += b ) sen - ( a + b= ) sen - a - b = 2 2 π π sen - a ⋅ cosb - sen b ⋅ cos - a 2 2 Portanto: cos ( a + b )= cos a ⋅ cos b - sen a ⋅ sen b Expressão de cos (a – b) A expressão de cos (a – b) será obtida a partir da expressão do cos (a + b). cos (a – b) = cos [a + (-b)] = cos a ⋅ cos (-b) + sen a ⋅ sen (-b) Pela simetria da circunferência trigonométrica, já sabemos que: cos (-x) = cos x e sen (-x) = -sen x Daí, temos que: cos (a – b) = cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ (-sen b) Portanto: cos ( a - b )= cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b
Matemática e suas Tecnologias
Expressão de tg (a + b)
Expressão de tg (a – b)
Para determinar a expressão de tg (a + b) para a + b ≠ π/2 + kπ, com k ∈ Z, vamos utilizar a 2ª relação fundamental da sen x trigonometria, ou seja, tg x = . Assim, temos que: cos x
A expressão de tg (a – b) será obtida a partir da expressão do tg (a + b).
tg (= a + b)
sen( a + b ) sena ⋅ cosb + senb ⋅ cosa = cos ( a + b ) cosa ⋅ cosb - sena ⋅ senb
tg (a – b) = tg [a + (-b)] =
tg a + tg(- b) 1 - tg a ⋅ tg (-b)
Pela simetria da circunferência trigonométrica, já sabemos que: tg (-x) = -tg x
Dividindo todos os termos por cos a ⋅ cos b, temos: Daí, temos que:
sena ⋅ cosb senb ⋅ cosa sena senb + + cosa ⋅ cosb cosa ⋅ cosb = cosa cosb tg ( a + b ) = cosa ⋅ cosb sena ⋅ senb sena senb 1⋅ cosa ⋅ cosb cosa ⋅ cosb cosa cosb
tg (a – b) =
tg a + ( -tg b )
1 - tg a ⋅ ( -tg b )
Portanto:
Portanto:
tg a - tg b tg ( a - b ) = 1 + tg a ⋅ tg b
tg a + tg b tg ( a + b ) = 1 - tg a ⋅ tg b
EXEMPLOS 4 12 01. Calcule o valor de sen (a + b), sendo sen a = , sen b = , 5 13 a ∈ ]0, π/2[ e b ∈ ]0, π/2[.
RESOLUÇÃO Da 1ª relação fundamental, temos que: 2
2 2 1 8 1 . sen2 x = 1 – - ⇒ sen2 x = 1 - = ⇒ sen x = ± 9 9 3 3
RESOLUÇÃO Da 1ª relação fundamental, temos que:
Como x é um arco do 2° quadrante, temos que sen x > 0, ou seja, sen
2
Como a é um arco do 1° quadrante, temos que cos a > 0, ou seja,
x= 3 . 5
5 144 25 cos2 b = 1 – 12 ⇒ cos2 b = 1 = ⇒ cos b = ± . 13 169 169 13 2
Como b é um arco do 1° quadrante, temos que cos b > 0, ou seja, 5 cos b = . 13 Daí, temos que: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a = Portanto, sen (a + b) é igual a
4 5 12 3 56 . + . = 5 13 13 5 65
56 . 65
1 π 02. Sabendo que cos x = - , com < x < π, calcule o valor numérico 3 2 π de cos + x . 2
2 2 . 3
Daí, temos que: π π π 2 2 cos + x = cos ⋅ cosx - sen ⋅ senx = -senx = 2 2 2 3 π 2 2 . Portanto, cos + x é 2 3
B08 Transformações trigonométricas – parte I
16 9 3 4 cos2 a = 1 – ⇒ cos2 a = 1 - = ⇒ cos a = ± . 25 25 5 5
03. Sabendo que tg a = 3 e tg b = -4, calcule o valor de tg (a + b). RESOLUÇÃO tga + tgb 3 + ( -4 ) 1-4 3 = =- . tg(a + b) = 1 - tga ⋅ tgb = 1 - 3 ⋅ ( -4 ) 1 + 12 13
Portanto, t(a + b) é igual a -
3 . 13
347
Matemática
Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de: a) sen 75°
a) sen (x + 30°)
6 2 4
b) cos (x – 45°) 7
2
26
2 6 4 2 3
b) cos 105° c) tg 15°
5 3 12 26
04. Sabendo que tg a = 1/3 e tg b = 1/5, calcule:
π 02. (UFPR) Considere x, y ∈ 0, tais que sen x = 3/5 e 2 sen y = 4/5: a) Calcule os valores de cos x e cos y. cos x = 4/5 e cos y = 3/5 b) Calcule os valores de sen (x + y) e cos (x – y). sen (x + y) = 1 e cos (x – y) = 24/25
03. Considere um arco de medida α tal que sen x = 5/13 e π/2 < x < π. Nessas condições calcule os valores de:
a) tg (a + b) 4/7 b) tg (a – b) 1/8 05. Utilizando as fórmulas da soma, demostre que: Demonstrações a) sen (2π – x) = -sen x b) cos (π + x) = -cos x 3π c) sen + x = - cos x 2
Exercícios Complementares 01. Calcule o valor de cada uma das expressões a seguir: a) sen 25° ⋅ cos 20° + sen 20° ⋅ cos 25° b) cos 70° ⋅ cos 10° + sen 70° ⋅ sen 10°
2 2 1 2
02. Sabendo que tg (x + y) = 33 e tg y = 3, calcule tg x. 3/10
c) 2 d) 3 e) 4 06. (Mackenzie SP) A circunferência da figura tem raio
2 e
centro O.
03. Na figura a seguir temos um triângulo ABC retângulo em B.
B
A 55° O
A
D
C
C
B
Sabendo que AD = 4 m, BD = 1 m e BC = 20 m, calcule tg α. 16/81
B08 Transformações trigonométricas – parte I
04. (UFOP MG) Sabe-se que sen(α + β) + sen(α – β) = m e que cos(α+ β) + cos(α – β) = n, em que 0 < α, β < π/2, então pode-se afirmar que m/n equivale a:
a) a 2 b) 2a2
a) -tg β
c) 2a 2
b) cos β/sen α
d) a2 2
c) tg α
e) 2 2
d) sen α/cos β 05. (Fatec SP) Sabendo que x – y = 60°, então o valor numérico de (sen x + sen y) + (cos x + cos y) é igual a: 2
a) 0 b) 1
348
Se sen 10° + cos 10° = a, a área do triângulo ABC é igual a:
2
07. (Fuvest SP) a) Calcule sen 15°.
6 2 4
b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1. 3
6 2 ua
FRENTE
B
MATEMÁTICA
Exercícios de Aprofundamento
3π 5π π sen ⋅ cos ⋅ tg 2 4 3 π 2π sec ( 2π ) ⋅ cossec ⋅ cot g 2 3 Calculando-se o valor dessa expressão, obtém-se: 2 a) 6 b)
3 3
c) -
2 6
2 d) -3 2 e) -2
3 3
02. (Cesgranrio) O domínio máximo da função dada por
π = f ( x ) sec 2x - é o conjunto: 3 π a) x ∈ IR x ≠ + kπ , onde k ∈ Z. 12 5π kπ + , onde k ∈ Z. b) x ∈ IR x ≠ 12 2 5π kπ c) x ∈ IR x = + , onde k ∈ Z. 12 2 π kπ d) x ∈ IR x =+ , onde k ∈ Z. 6 2 π kπ e) x ∈ IR x ≠ + , onde k ∈ Z. 6 2 03. (Unificado RJ) Se x é um ângulo agudo, tg(90° + x) é igual a: a) tg x b) cot x c) -tg x d) -cotg x e) 1 + tg x
7 ⋅ cos ( 5π - x ) - 3 ⋅ cos ( 3π + x ) 04. (Unificado RJ) Sendo A = , com π 8 ⋅ sen - x 2 x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, então: a) A = –1 d) 4A + 5 = 0 b) 2A = 1 e) 5A – 4 = 0 c) 2A + 1 = 0
05. (UFPel RS) Toda igualdade envolvendo funções trigonométricas que se verifica para todos os domínios de tais funções é uma Identidade Trigonométrica. A expressão idêntica a y = sen x ⋅ tg x é: a) y = cos x – sec x b) y = sec x – cos x c) y = sec x d) y = 1 – cos x e) y = sen x + cos x 06. (Fuvest SP) Se α é um ângulo tal que 0 < α < π/2 e sen α = a, então tg(π - α) é igual a: a) b)
-a 1-a
2
a 1-a
2
c)
1 - a2 a
d)
- 1 - a2 a
e) -
1 + a2 a
07. (Uerj RJ) Considere o teorema e os dados a seguir para a solução desta questão. n Se α, β e α + β são três ângulos agudos diferentes de tg α + tg β π/2 + kπ, k ∈ Z, então tg(α + β) = . 1 - tg α ⋅ tg β n a, b e c são três ângulos agudos, sendo tg b = 2 e
tg(a + b + c) = 4/5. Calcule tg(a – b + c). -32 08. (Unicamp SP) De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de 2 m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60°, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75°. Régua
01. (Fatec SP) Dada expressão a seguir:
2m
60° 75°
1,6m Escarpa
Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6 m do nível da base da escarpa, responda às questões a seguir. a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa? 2 3 3 m b) Qual a altura da escarpa? 1,6 3 m 349
FRENTE
C
Uma matriz quadrada a qual podemos associar a um determinante.
MATEMÁTICA Por falar nisso Provavelmente, as primeiras abordagens de determinantes tenham sido feitas na China incorporadas à resolução de sistemas lineares. Os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Dessa forma, descobriram um método de resolução que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. No ano de 1683, em um trabalho do matemático japonês Seki Kowa (1642-1708) a ideia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) ganhou autonomia por meio de um estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês para o caso de duas equações. No final do século XVII, o matemático alemão Go�ried Wilhelm Leibniz (1646-1716) concebeu uma teoria de determinantes com a finalidade de resolver sistemas lineares, criando uma notação com índices para os coeficientes que lembra bastante o modo como atualmente escrevemos. Mais tarde, em 1750, o matemático suíço Gabriel Cramer estabeleceu uma regra para a resolução de sistemas lineares usando determinantes que levam o seu nome. Note que até aqui a teoria de determinantes está totalmente vinculada aos sistemas lineares. Finalmente, em 1812, o matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) publicou um texto a respeito dos determinantes, fazendo com que o assunto se tornasse um conteúdo independente da Álgebra. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas
C05 C06 C07 C08
Determinantes: Matrizes de ordem 2 e 3 .................................... 352 Determinantes: Teorema de Laplace e Regra de Chió ................. 355 Determinantes: Propriedades ...................................................... 359 Sistemas Lineares: Definição e classificação ................................ 364
FRENTE
C
MATEMÁTICA
MÓDULO C05
ASSUNTOS ABORDADOS n Determinantes: Matrizes de or-
dem 2 e ordem 3 n Definição
n Determinante de uma matriz de ordem 1 n Determinante de uma matriz de ordem 2 n Determinante de uma matriz de ordem 3
DETERMINANTES: MATRIZES DE ORDEM 2 E ORDEM 3 Um campo magnético pode ser entendido como a região em volta de um ímã, a qual é modificada pelas interações magnéticas provocadas pelo próprio ímã. Este também pode ser representado por um vetor (ente matemático que representa o conjunto de segmentos orientados de reta que ficam bem definidos quando se conhece seu módulo, sua direção e seu sentido) chamado de vetor indução magnética. Posteriormente, descobriu-se que as cargas elétricas em movimento também produziam campos magnéticos e que, se uma carga estiver em movimento em outro campo magnético, haverá uma interação entre esse campo e o gerado pela carga. Tal interação se manifesta por meio de forças que agem nessa carga, denominadas forças eletromagnéticas. Assim, dizemos que, se uma partícula com carga elétrica q, movendo-se em um cam po magnético B com uma velocidade v , estiver sujeita a uma força F , ela será determinada pelo produto vetorial: F = qv x B A determinação do vetor F envolve uma operação matemática chamada determinante. Outras grandezas físicas também são obtidas por meio do produto vetorial, por exemplo, o vetor torque. Nesta aula, abordaremos o cálculo dos determinantes de ordem 1, 2 e 3.
Figura 01 - Devido ao magnetismo, podese ver, na imagem, a atração de clipes de metal diante de um ímã.
352
Matemática e suas Tecnologias
Definição
Por exemplo:
1 3 Dada a matriz A = , o seu determinante é 8 -2 1 3 indicado por det A = . 8 -2
Determinante de uma matriz de ordem 1 O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 é dado pelo único elemento dessa matriz. Daí, temos que:
Determinante de uma matriz de ordem 3 O determinante de uma matriz de ordem 3 pode ser obtido por um processo denominado de regra de Sarrus.
a11 a12 a13 Assim, dada a matriz A = a21 a22 a23 , seu determinante a31 a32 a33 é dado por: a11 a12 a13 det A= a21 a22 a23 = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32 a31 a32 a33 – a13 ⋅ a22 ⋅ a31 – a11 ⋅ a23 ⋅ a32 – a12 ⋅ a21 ⋅ a33
Dada a matriz A = [a11] o determinante é dado por: det A = |a11| = a11 Por exemplo: O determinante da matriz A = [-9] é dado por: det A = |-9| = -9
Determinante de uma matriz de ordem 2 O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e dos elementos da diagonal secundária, nessa ordem. a a Assim, dada a matriz A = 11 12 , o seu determinante a21 a22 é dado por:
det A =
a11 a12 = a11 ⋅ a22 - a12 ⋅ a21 . a21 a22
Por exemplo: 3 -2 O determinante da matriz A = é dado por: 4 2
Para obter esses produtos a partir da regra de Sarrus, basta utilizar a seguinte sequência de operações: n
1ª operação: Repetir as duas primeiras colunas do lado direito do determinante;
n
2ª operação: Obter os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas a essa diagonal;
n
3ª operação: Obter os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas a essa diagonal;
n
4ª operação: Subtrair o resultado obtido na 2ª operação, o resultado obtido na 3ª operação.
Por exemplo:
2 3 3 O determinante da matriz A 1 4 -1 é dado por: = 0 2 5 2 3 3 2 3 3 2 3 det A = 1 4 -1 = 1 4 -1 1 4 = 40 + 0 + 6 – (0 – 4 + 15) = 35 0 2 5 0 2 5 0 2 0 -4 15
C05 Determinantes: Matrizes de ordem 2 e ordem 3
A partir de certas operações, podemos associar um número a toda matriz quadrada. Esse número é chamado de determinante. Assim, dada uma matriz A quadrada, o determinante dessa matriz é indicado por det A.
3 -5 = 3 ⋅ 2 – ( -5 ) ⋅ 4 =6 + 20 =26 4 2
= det A
40 0 6
EXEMPLOS 01. Resolva a equação
x
4
x -2 5
= 0.
x 0 2 02. Resolva a inequação 0 x 0 ≤ 0. 2 0 2
RESOLUÇÃO
x
4
x -2 5
= 0 ⇒ 5x – 4 ⋅ (x – 2) = 0 ⇒ 5x – 4x + 8 = 0 ⇒ x = -8
Portanto, S = {-8}.
RESOLUÇÃO
x 0 2 x 0 2 2 0 x -0 0 x = 2x – 4x 0 x – 2x 0 0 x 2 2 0 2 2 0 Portanto, S = [0, 2].
353
Matemática
Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de cada um dos determinantes a seguir: a) b) c)
1 8 5 -4
03. (Acafe SC) O valor de determinante a) 0 b) 4 c) 7 d) 17/2 e) 53/2
-44
2 -3 2
x x +1 y y +1
-5 2 +3
3
x–y
02. Calcule o valor de cada um dos determinantes a seguir: 0 3 1 a) 2 -2 0 zero 6 0 2 b)
1 1 4 4 2 1 2 0 2
c)
1 cos x 0 senx 0 1 senx 0 -1
-18
log2 28 log10 4 -1/2
2
31
é:
04. (UFF RJ) Considere a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 2i – j. Calcule o determinante de A. zero 3 1 -2 05. (Puc MG) O determinante da matriz -1 4 1 é igual ao determinante: 3 2 -1 a)
0 -4 3 5
d)
b)
3 5 0 -4
e)
c)
5 3 0 -4
2⋅sen x cos x
3 5 -4 0 3 -4 5 0
Exercícios Complementares 01. (Puc Campinas SP) A matriz A = (aij) é quadrada de ordem 2
C05 Determinantes: Matrizes de ordem 2 e ordem 3
j 2i - j para i = com aij = . 3i 2j para i j ≠ O determinante de A é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 2 0 1 1 4 0 02. (UFU MG) Dadas as matrizes A = eB= 3 2 3 2 -1 1 t , o determinante do produto A ⋅ B vale: a) zero b) 164 c) 104 d) 50 e) 224 a 1 0 03. (Puc RS) Para que o determinante da matriz b 3 0 , onde c 4 1 a ≠ 0 e b ≠ 0, seja igual a zero, devemos ter: a) b = 3a b) c = 0 c) c = 0, a = 3b d) a = 3b e) c ≠ 0
354
04. (UFPE) Qualquer que seja θ o log do determinante cos θ senθ 0 -senθ cos θ 0 é igual a: 0 0 1
a) 1 b) θ c) cos2 θ – sen2 θ d) 0 e) cos2 θ 05. (Puc SP) Se os coeficientes da função quadrática definida 0 -4 b por f(x) = ax2 + bx + c satisfazem a condição c b 0 = bc, 1 1 a então é correto afirmar que:
a) f tem um máximo. b) a e c têm sinais opostos. c) o gráfico de f é uma parábola cujo vértice pertence ao eixo das ordenadas. d) o gráfico de f está contido no primeiro e segundo quadrantes. e) o gráfico de f tangencia o eixo das abscissas.
FRENTE
C
MATEMÁTICA
MÓDULO C06
DETERMINANTES: TEOREMA DE LAPLACE E REGRA DE CHIÓ
ASSUNTOS ABORDADOS n Determinantes: Teorema de
Por volta do século V a.C., o filósofo grego Platão (427 a.C. – 347 a.C.) já estabelecia uma ligação entre poliedros e as forças da natureza. Observe essa relação na tabela a seguir: Poliedro de Platão
Quantidade de faces
Força da natureza
Tetraedro
4
Fogo
Hexaedro
6
Terra
Octaedro
8
Ar
Dodecaedro
12
Cosmos
Icosaedro
20
Água
laplace e regra de Chió
n Cofator ou complemento algébrico n Teorema de laplace n Regra de Chió
O tetraedro regular é um poliedro de Platão que é delimitado por quatro triângulos equiláteros e que também está presente na natureza em alguns minerais e compostos químicos. Observe alguns exemplos a seguir: O H C H
H H
Estrutura molecular do metano (gás)
Si
O
O
O Estrutura molecular do silício
Figura 01 - Estátua de Platão em frente ao edifício da Academia Nacional, localizado em Atenas, Grécia.
355
Matemática
Já em 1773, em um trabalho envolvendo Mecânica, o matemático italiano Joseph-Louis Lagrange mostrou que o volume V de um tetraedro ABCD cujas coordenadas cartesianas dos vértices são A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC) e D(xD, yD, zD) pode ser dado por: V=
yA yB yC yD
zA zB zC zD
Dada uma matriz A quadrada de ordem n ≥ 2, seu determinante é dado pela soma dos produtos de cada elemento de uma fila (linha ou coluna) por seus respectivos cofatores. Por exemplo:
1 ⋅D 6
Sendo |D| o módulo do determinante da matriz de ordem 4 mostrada a seguir: x A x B xC xD
maior que 3 já que não há regras particulares para o seu cálculo. Segundo o teorema de Laplace, temos que:
1 1 1 1
Nesta aula, abordaremos o cálculo de determinantes de matrizes de ordens maiores que 3 por meio do teorema de Laplace e da regra de Chió.
Cofator ou complemento algébrico Dada uma matriz A = (aij)nxn, de ordem n ≥ 2, a cada um dos seus elementos aij podemos associar um número chamado cofator ou complemento algébrico Aij, definido por:
5 2 1 1 0 0 2 4 Dada a matriz A = , vamos calcular o seu de0 7 3 1 0 2 0 5 terminante por meio do teorema de Laplace.
Para calcular o determinante da matriz A, é conveniente escolher uma fila (linha ou coluna) com maior quantidade de elementos iguais a zero. Observe o porquê: Escolhendo a primeira coluna da matriz A, seu determinante é dado por: det A = 5 ⋅ A11 + 0 ⋅ A21 + 0 ⋅ A31 + 0 ⋅ A41 Nessa situação, não há necessidade de se calcular os cofatores A21, A31 e A41, ou seja, o determinante da matriz A é dado simplesmente por: det A = 5 ⋅ A11 Daí, temos que:
Aij = (-1)i + j ⋅ Dij Sendo Dij o determinante da matriz que se obtém eliminando a linha i a coluna j da matriz A.
det A = 5 (-1)
1+1
5 0 0 0
2 0 7 2
1 2 3 0
1 0 2 4 4 =5 7 3 1 1 2 0 5 5
Por exemplo:
C06 Determinantes: Teorema de laplace e regra de Chió
7 0 2 Dada a matriz A = 2 8 3 , vamos determinar os cofa5 5 -1 tores a21 e a32, representados por A21 e A32, respectivamente. O cofator do elemento a21 = 2 da matriz A é dado por: 7 0 2 0 2 = –(0 –10) = 10 A21 = (-1) 2+1 2 8 3 = (-1) 5 -1 5 5 -1
O cofator do elemento a32 = 5 da matriz A é dado por:
Calculando o determinante de 3ª ordem pela regra de Sarrus, temos que: 0 2 4 det A = 5 7 3 1 2 0 5 -24
0 70
0 2 7 3 2 0 0 4 0
det A = 5.[0 + 4 + 0 – (-24) – 0 – 70] = -210.
Regra de Chió
Teorema de Laplace
A regra de Chió é uma regra prática que nos permite o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n por meio do cálculo do determinante de uma matriz de ordem n – 1. Assim, podemos usar essa regra para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem maiores que 3 já que não há regras particulares para o seu cálculo.
O teorema de Laplace é uma ferramenta muito importante para cálculos de determinantes de matrizes de ordem
Para se utilizar essa regra é necessário que o elemento a11 da matriz que iremos calcular o determinante seja igual a 1.
356
Matemática e suas Tecnologias
No caso desse termo ser igual a 1, devemos seguir os seguintes passos: n n n
1º passo: Eliminar a primeira linha e a primeira coluna da matriz. 2º passo: Dos elementos aij que restaram, subtraia o produto (a1j ⋅ ai1) dos dois elementos que foram eliminados. 3º passo: Com os resultados obtidos por essas subtrações, obtém-se outra matriz de ordem menor e com um determinante igual ao da matriz original.
Observação: n
No caso de a11 ≠ 1, devemos utilizar alguma propriedade envolvendo os elementos da matriz para obter outra matriz com a11 = 1 que possui o mesmo determinante. Tema da próxima aula.
Por exemplo: 1 2 Dada a matriz A = 1 3
1 1 3 4
2 3 1 3
3 2 , vamos calcular o seu determinante por meio da regra de Chió. 3 4 1 2 det A = 1 3
1 1 3 4
2 3 1 3
3 1–2 3–4 2–6 –1 –1 –4 2 = 3–1 1–2 3–3 = 2 –1 0 3 3–4 3–6 4–9 1 –3 –5 4
Calculando o determinante de 3ª ordem pela regra de Sarrus, temos que: -1 -1 -4 det A = 2 -1 0 1 -3 -5 4
-1 -1 2 -1 = –5 + 0 – 24 – (4 + 0 – 10) = –23 1 -3
0 -10 -5 0 -24
EXEMPLOS 01. Calcule o determinante a seguir, utilizando o teorema de Laplace.
02. Calcule o determinante a seguir, utilizando a regra de Chió.
4 -2 3 0 1 0 0 -4 0 0 -3 1
1 2 -3 -2
4 -5 4 1
Aplicando o teorema de Laplace na 1ª coluna do determinante, temos:
4 0 0 0
-2 1 -4 -3
3 0 0 1
0
4
0
1 0 -4 0 = 4 [(0 + 0 + 20)] – [(0 + 4 + 0)] = 4 (20 – 4) = = 4 16 = 64 -3 1 0
0
Eliminando a linha e a coluna do termo a11 = 1, temos:
4 1 0 -5 -5 1+1 = (–1) 4 -4 0 4 4 -3 1 1 1
Utilizando a regra de Sarrus, temos que:
1 0 -5 4 -4 0 4 -3 1 1
RESOLUÇÃO
20
Portanto, o determinante é igual a 64.
C06 Determinantes: Teorema de laplace e regra de Chió
RESOLUÇÃO
-2 3 4 -3 6 3 2 -9 -8 1 -5 -7
1 2 -3 -2
-2 -3 2 1
3 6 -9 -5
4 -3+4 6-6 3-2 3 = 2-6 -9+9 -8+12 -8 1-4 -5+6 -7+8 -7
Utilizando a regra de Sarrus, temos que:
1 0 -5 -4 0 4 -3 1 1 0 4
0
1 0 -4 0 = (20 + 0 +0) – (4 + 0 + 0) = 16. -3 1 0 0 20
Portanto, o determinante é igual a 16.
357
Matemática
Exercícios de Fixação 01. Calcule os cofatores dos elementos a34 e a23 da matriz a seguir:
1 3 A = -1 0
a34 = -16 e a23= 2
0 7 4 3
1 0 6 1
04. Calcule o determinante a seguir utilizando a regra de Chió. 10
0 2 2 1
02. Calcule o determinante a seguir utilizando o teorema de Laplace. -80
1 0 3 2 3 0 -1 0 2 5 0 2
1 2 3 -1
1 -1 -2 2
1 2 3 1
05. Qual o determinante da matriz a seguir? -390
1 2 B= 2 -3
-1 0 3 0 03. Qual o determinante da matriz a seguir? 108
-1 -1 A= 2 -1
-2 1 4 1
1 -4 3 1
-2 2 1 4
3 3 1 2
5 -2 3 4 -1 0 2 1 5 0 3 0
Exercícios Complementares
C06 Determinantes: Teorema de laplace e regra de Chió
0 5 01. (UFSC) Dada a matriz A = -1 4 1 x 02. (FEI SP) Se det 1 1 a) x = 1 b) x = 0 c) x = -2 d) x= -3 e) nda 03. Dadas
1 2 C= x 0
as
0 3 0 0
1 4 1 x
= det C. 3/4
1 x2 2 1
-1 0 0 8 0 0 , calcule det A. 70 -3 7 0 4 2 2
1 1 = 0, então: 1 0 1
1 1 06. (Mackenzie SP) O valor do determinante 2 1 a) -4
1 3 5 1
3 3 3 1
1 2 é: 3 1
b) -2 c) 0 d) 1 e) 1131 x2 1 A= , 1 2x
0 x 1 = B 1 -1 x x 1 0
x 5 , calcule o valor de x tal que det A + det B 0 1
1 1 1 1 -1 x + 1 1 1 ≤ -1 . 04. Resolva, em IR, a inequação -1 -1 x + 1 1 S = ]-∞, -3] -1 -1 -1 x + 1
358
1 1 01 ab c d 1 0 11 0 1 11
5 0 0
matrizes
05. Calcule o valor do determinante abaixo. a + b + c – 2d
07. (AFA SP) Sejam a e b números positivos tais que o deter1 0 0 -1 2 a 0 1 vale 24. Dessa forma, o minante da matriz 1 -1 b 1 0 0 0 1 b determinante da matriz 3 a) 0 b) 6 c) -6 d) 6
2 é igual a: a
FRENTE
C
MATEMÁTICA
MÓDULO C07
DETERMINANTES: PROPRIEDADES De acordo com alguns especialistas, alguns jogos disponíveis para computadores podem ser uma forma de conteúdo que pode ser aproveitado pelas crianças, assim como programas de TV, filmes e livros. É lógico que existem livros e programas que são educativos e outros não. Dependendo do conteúdo e da forma como são organizados esses jogos, eles podem ajudar na educação das crianças, desde que sejam compatíveis com o estágio de desenvolvimento da faixa etária a que se destinam.
ASSUNTOS ABORDADOS n Determinantes: Propriedades n Propriedades dos determinantes
A mera diversão proporcionada por esses jogos familiariza as crianças com o meio eletrônico, o que, até certo ponto, pode ser considerado pedagógico. Assim, suponha que em um desses jogos, a tela de um computador apresenta uma configuração de 16 pontos (distribuídos em 4 linhas e 4 colunas) que podem ser acessados ou não, apertando-se certas teclas. Cada um desses pontos é indicado por um par (i, j), sendo “i” e “j” números naturais, 1 ≤ i ≤ 4 e 1 ≤ j ≤ 4. Seja A a matriz correspondente a uma configuração qualquer do monitor, assim definida: i + j, se o ponto (i,j) estiver acesso aij = 0, se o ponto (i,j) não estiver acesso Suponha também que, em uma configuração do monitor com exatamente 4 pontos acessos e alinhados, a pessoa que desenvolveu esse jogo necessita calcular todos os possíveis determinantes dessas matrizes. Para se obter esses resultados de maneira segura e ágil, é necessário ter o conhecimento das propriedades dos determinantes.
359
Matemática
Propriedades dos determinantes A seguir, vamos apresentar as principais propriedades dos determinantes, considerando que: n
Elas são válidas para todos os determinantes de matrizes de ordem maior ou igual a 2.
n
Quando vamos nos referir às linhas ou colunas de uma matriz, será utilizado o termo “filas”.
Fila de zeros
2 5 Na matriz B = ⇒ det B = 72 – 60 = 12, ou seja, 12 36 det B = 4 ⋅ det A. Multiplicação de uma matriz por um número Se multiplicarmos todos os elementos de uma matriz A por um número real k, então o determinante dessa matriz fica multiplicado pelo mesmo número elevado à ordem n da matriz, ou seja:
Se todos os elementos de uma das filas de uma matriz são iguais a zero, então o seu determinante é igual a zero. Por exemplo: 0 1 5 Na matriz A = 0 2 3 , todos os elementos da primeira 0 4 6 coluna são iguais a zero, logo det A = 0. Filas paralelas iguais Se os elementos de duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então o seu determinante é igual a zero. 1 3 -2 Na matriz B = 0 5 8 , os elementos da primeira e ter1 3 -2 ceira linhas são iguais, então det B = 0. Filas paralelas proporcionais Se os elementos de duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é igual a zero. Por exemplo: 0 -1 -2 Na matriz C = 9 2 4 , os elementos da segunda e 5 4 8 terceira colunas são proporcionais, então det C = 0.
C07 Determinantes: Propriedades
Multiplicação de uma fila por um número Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila de uma matriz por um número, então o determinante dessa matriz fica multiplicado pelo mesmo número. Por exemplo: 5 ⇒ det A = 18 – 15 = 3. 9
Multiplicando, por exemplo, os elementos da segunda linha da matriz A por 4, obteremos uma matriz B. 360
Por exemplo: 1 4 Na matriz A = ⇒ det A = 9 – 12 = -3. 3 9 Multiplicando, por exemplo, todos os elementos da matriz A por 4, obteremos a matriz 4A. 4 16 Na matriz 4A = ⇒ det A = 144 – 192 = -48, ou 12 36 seja, det (4 ⋅ A) = 42 ⋅ det A. Troca de filas paralelas
Por exemplo:
2 Na matriz A = 3
det(k ⋅ A) =⋅ kn det A
Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz, então obteremos uma nova matriz cujo determinante é o oposto. Por exemplo: -1 5 Na matriz A = ⇒ det A = -2 – 20 = -22. 4 2 Trocando de posição, por exemplo, os elementos da primeira e segunda colunas, temos que: 5 -1 Na matriz B = ⇒ det B = 20+2 = 22, ou seja, det 2 4 B = -det A. Determinante da matriz transposta O determinante de uma matriz A e o da sua transposta At são iguais, ou seja: det A t = det A Por exemplo: -1 Na matriz A = 4
5 ⇒ det A = -2 – 20 = -22. 2
-1 4 Na matriz A t = ⇒ det A = -2 – 20 = -22, ou seja, 5 2 det At = det A.
Matemática e suas Tecnologias
O determinante do produto de duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes de A e B, ou seja: det (A ⋅ B=) det A ⋅ det B Por exemplo: 1 6 Na matriz A = ⇒ det A = 5 – 12 = -7. 2 5 0 12 Na matriz B = ⇒ det B = 0 – 12 = -12. 1 4 Assim, det A ⋅ det B = -7 ⋅ (-12) = 84 1 6 0 12 6 36 A⋅B= ⋅ = ⇒ det (A ⋅ B) = 264 – 180 = 84 2 5 1 4 5 44 Assim, temos que det (A⋅B) = det A ⋅ det B. Determinante da matriz triangular O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal. Por exemplo:
-2 1 5 Na matriz triangular A = 0 2 3 ⇒ det A = -2 ⋅ 2 ⋅ 6 = -24. 0 0 6 Determinante da matriz diagonal O determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal. Por exemplo:
4 0 0 Na matriz triangular= B 0 -5 0 ⇒ det B = 4⋅(-5)⋅3 =-60. 0 0 3 Determinante da matriz inversa O determinante da matriz inversa de A é igual ao inverso do seu determinante, ou seja: det A -1 =
1 det A
Assim, temos que det A -1 =
1 . det A
Teorema de Jacobi Ao substituir uma fila da matriz A pela soma dessa fila com outra fila paralela, multiplicada por um número não nulo, obtemos outra matriz cujo determinante é igual ao determinante da matriz A. Por exemplo: 1 Na matriz A = 2
5 ⇒ det A = 7 – 10 = -3. 7
Multiplicando os elementos da primeira linha por -2 e adicionando o resultado à segunda linha, temos: 1 5 Na matriz B = ⇒ det A = -3 – 0 = -3, o seja, 0 -3 det B = det A. Determinante da matriz das potências (Vandermond) Se uma matriz quadrada A de ordem n é constituída de potências sucessivas de expoentes 0 até n – 1, então A é denominada matriz das potências ou de Vandermond. Observe a matriz a seguir: 1 a1 A = a12 an-1 1
1 a2 a22 n-1 2
a
1 an an2
ann-1
O determinante dessa matriz é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos ai – ak da linha constituída pelas bases das potências tais que i > k. Por exemplo: 1 2 Na matriz A = 4 8
1 1 3 4
1 5 = 9 16 25 27 64 125
20 1 2 22 3 2
30 31 32 33
40 41 42 43
50 51 , temos que: 52 53
det A = (3 – 2) ⋅ (4 – 3) ⋅ (4 – 2) ⋅ (5 – 4) ⋅ (5 – 3) ⋅ (5 – 2) = = 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
Por exemplo: 2 1 Na matriz A = ⇒ det A = 8 – 6 = 2. 6 4 2 -1 / 2 -1 Na matriz A -1 = ⇒ det A = 2 – 3/2 = 1/2. -3 1 361
C07 Determinantes: Propriedades
Determinante do produto
Matemática
EXEMPLOS ab c 01. Sabendo-se que d e f = m, calcule: g h i ab 0 a) b c 0 c d0
a 3b c d) d 3e f g 3h i
de f b) a b c de f
3b 3a 3c e) 3e 3d 3f 3h 3g 3i
adg c) b e h c f i
a 2b c f) 3d 6e 3f g 2h i
a 3b c d) d 3e f = 3m, pois os elementos da 2ª coluna foram multiplicag 3h i dos por 3. 3b 3a 3c e) 3e 3d 3f = 33m = 27m, pois os elementos da matriz de ordem 3 3h 3g 3i foram multiplicados por 3. a 2b c f) 3d 6e 3f = 2 ⋅ 3m = 6m, pois os elementos da 2ª linha e 2ª colug 2h i na foram multiplicados por 3 e 2, respectivamente.
RESOLUÇÃO ab 0 a) b c 0 = 0, pois todos os elementos da 3ª coluna são nulos.
02. Dadas as matrizes A e B quadradas de ordem 2 tais que det A = 4 e det B = 3, calcule det [(2⋅At)⋅(3⋅B-1)].
c d0
RESOLUÇÃO
de f b) a b c = -m, pois houve uma troca de posição entre a 1ª e a 2ª linhas. de f adg c) b e h = m, pois o determinante de uma matriz é igual ao da sua
det [(2⋅At)⋅(3⋅B-1)] = det(2⋅At) ⋅ det(3⋅B-1) = 22 ⋅ det At ⋅ 32 ⋅ det B-1 det [(2⋅At)⋅(3⋅B-1)] = 4 ⋅ det A ⋅ 9 ⋅
1 1 144 =4⋅4⋅9⋅ = = 48 detB 3 3
Portanto, det [(2⋅At)⋅(3⋅B-1)] = 48.
c f i transposta.
Exercícios de Fixação 01. Julgue os itens a seguir em V(verdadeiro) ou F(falso) F-V-F-F-V
C07 Determinantes: Propriedades
01. Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det (A + B) = det A + det B. 02. Se multiplicar todos os elementos de uma linha da matriz A por 2, então obteremos uma matriz B tal que det B = 2⋅det A. 03. O determinante da matriz transposta de A é igual ao oposto do determinante de A. 04. Se trocarmos de posição duas colunas de uma matriz A, então obtermos uma matriz C tal que det C = det A. 05. O determinante da inversa da matriz A (det A ≠ 0) é igual inverso do determinante da matriz A. 02. Calcule os determinantes a seguir utilizando suas propriedades. a) zero b) -30 c) zero d) 2 e) zero
362
0 3 -2 a) 0 2 10 0 5 1
5 3 4 c) 8 0 7 5 3 4
-2 0 0 b) 3 5 0 2 4 3
1 1 1 d) 3 4 5 9 16 25
-1 2 11 e) 3 -6 5 2 4 0
ab c 03. Sabendo-se que d e f = x, calcule: g h i ab c a b 5c d) d e 5f a) d e f 0 0 0 g h 5i
a) zero b) -x c) 2x d) 5x e) -8x f) x
a cb b) d f e g i h
2a 2b 2c e) 2d 2e 2f 2g 2h 2i
a b c c) 2d 2e 2f c f i
a b c f) 2a + d 2b + e 2c + f g 2h i
04. Dada uma matriz A quadrada de ordem 3 tal que det A = 63, responda aos itens a seguir: a) Qual será o determinante da matriz que se obtém ao multiplicar todos os elementos da segunda linha por 2? 126 b) Qual será o determinante da matriz que se obtém ao dividir todos os elementos da terceira coluna por 7? 9 c) Qual será o determinante da matriz que se obtém ao multiplicar todos os elementos da primeira linha 4 e dividir todos os elementos da segunda coluna por 3? 84
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios Complementares 05. (Santa Casa SP) Dadas as matrizes A e B, tais que:
guintes afirmações:
1 0 A= 0 0
1. Se a matriz B é obtida a partir de A, permutando-se duas colunas, então det B = -det A. 2. Se duas linhas da matriz A são idênticas, então det A = 0. 3. det (k.A) = k ⋅ det A, em que k é um real. 4. Sendo At a matriz transposta de A, então det At = -det A. Podemos afirmar que: a) Todas as afirmações são falsas. b) Somente uma afirmação é verdadeira. c) Somente uma afirmação é falsa. d) Somente duas afirmações são verdadeiras. e) Todas as afirmações são verdadeiras. 02. (UFU MG) Considere as matrizes: a b c a d g a b c 2a 2b 2c A = d e f , B = b e h , C = g h i e D = 2d 2e 2f g h i c f i d e f 2g 2h 2i
5 -1 3 2 -2 4 eB= 0 3 -1 0 0 4
07. (Mackenzie SP) As raízes não nulas da equação x
3 2
7
+ det D é igual a:
x
x
2
7
a) 10k
x x
x x
x x
7 x
= 0 são as medidas dos lados de um tri-
c) 6k
ângulo retângulo de área:
d) 4k
a) 2 21
e) 2k
b)
3
c)
2
03. (Mackenzie SP) Dadas as matrizes A = [aij]3x3 tal que = = se i j = se i j aij 10, bij 3,= e B = [bij]3x3 tal que ,o = = aij 0, se i ≠ j bij 0, se i ≠ j valor de det(A⋅B) é: a) 27⋅103 b) 9⋅103 c) 27⋅102 d) 32⋅102 e) 27⋅104 04. (Mackenzie SP) A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det A = -6. O valor de x tal que det (2A) = x – 97 é: a) -12 b) zero c) 1 d) 97/2 e) 194
0 0 0 -4 0 0 2 1 0 1 3 2
O valor do determinante de A⋅B é: a) 192 b) 32 c) -16 d) 0 e) n.d.a 1 1 1 06. (Faap SP) Calculando log7 log70 log700 , obtemos: (log7)2 (log70)2 (log700)2 a) 0 b) 1 c) 2 d) log 7 e) nda
Se o determinante da matriz A é k ≠ 0, então det B + det C
b) 8k
-1 3 1 2
d)
7
e)
21
08. (Udesc SC) Sejam A e B duas matrizes tais que: 1 sen(x) 2 2 4 4 3 -2 1 e = A= B 1 -8 1 -1 7 3 6 -3 sen(x) -1 32 O conjunto solução para que o determinante da matriz A B seja igual a zero é: 7π a) x ∈IR|x = + 2kπ , com k Z. 6 π 5π + 2kπ , com k Z. b) x ∈IR|x = + 2kπ ou x = 6 6 5π 7π + 2kπ ou x = + 2kπ , com k ∈ Z. c) x ∈IR|x = 6 6 7π 11π + 2kπ ou x = + 2kπ , com k ∈ Z. d) x ∈IR|x = 6 6 5π 11π + 2kπ ou x = + 2kπ , com k ∈ Z. e) x ∈IR|x = 6 6 363
C07 Determinantes: Propriedades
01. (Puc PR) Para uma matriz quadrada Anxn, considere as se-
FRENTE
C
MATEMÁTICA
MÓDULO C08
ASSUNTOS ABORDADOS n Sistemas lineares: Definição e
classificação
n Equação linear n Solução de uma equação linear n Sistemas lineares n Solução de um sistema linear n Classificação de um sistema linear
SISTEMAS LINEARES: DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO Um estudo divulgado em 18 de fevereiro de 2014 pela Serasa Experian em parceria com o instituto Data Popular afirma que, atualmente, a classe C brasileira conta com 108 milhões de pessoas, que gastaram cerca de R$ 1,17 trilhão em 2013. De acordo com o estudo, a classe média movimentou 58% do crédito no Brasil em 2013 e, para 2014, a classe C pretendia consumir 8,5 milhões de viagens nacionais, 6,7 milhões de aparelhos de TV, 4,8 milhões de geladeiras, 4,5 milhões de tablets, 3,9 milhões de smartphones, além de 3 milhões de veículos. Assim, suponha que, em 2017, uma família da classe C tenha feito uma pesquisa de mercado nas lojas de eletrodomésticos à procura de três produtos que desejava adquirir: uma televisão, uma geladeira e um telefone celular. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vende a televisão e a geladeira por R$ 2.290,00. A loja B vende a televisão e o telefone celular por R$ 1.980,00 e a loja C vende a geladeira e o telefone celular por R$ 1.630,00. A família acabou comprando a televisão, a geladeira e o telefone celular nessas três diferentes lojas. Como poderíamos determinar o valor pago para cada um dos três produtos? Chamando de x o preço da televisão, y o preço da geladeira e z o preço do telefone celular, temos que: n n n
364
O valor pago na loja A é dado por x + y = 2290 O valor pago na loja B é dado por x + z = 1980 O valor pago na loja C é dado por y + z = 1630
Matemática e suas Tecnologias
2290 x + y = x + z = 1980 y + z = 1630
Sistemas lineares Denomina-se sistema linear o conjunto de m equações lineares com n incógnitas, que podemos representar genericamente da seguinte forma: a11 x1 + a x + 21 1 am1 x1 +
Sistemas desse tipo são denominados sistemas lineares.
Equação linear Dá-se o nome de equação linear a toda equação expressa na forma: a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn = b Sendo: n
a1, a2, ...., an: números reais denominados coeficientes.
n
x1,x2, ..., xn:incógnitas reais.
n
b: número real denominado termo independente.
Se o termo independente de uma equação é igual a zero, então essa equação é chamada de equação linear homogênea. Por exemplo: Na equação linear 2x + 8y – 3z = 11, temos que: 2, 8 e -3 são seus coeficientes; x, y e z são suas incógnitas e 11 é o seu termo independente. Na equação linear homogênea 3a + 9b – 4c = 0, temos que: 3, 9 e -4 são seus coeficientes; a, b e c suas variáveis e 0 é o seu termo independente.
Solução de uma equação linear A solução da equação linear de variáveis x1, x2, ..., xn é o conjunto ordenado (α1, α2, ..., αn) que, ao substituir x1, x2, ..., xn, respectivamente, na equação, tornam a igualdade verdadeira. Por exemplo: Verifique se o conjunto ordenado (1, 4, 2) é solução da equação linear 2x1 – 3x2 + 4x3 = -1. Substituindo (1, 4, 2) em 2x1 – 3x2 + 4x3 = -1, temos: 3⋅1 – 3.4 + 4.2 = -1 ⇒ -1 = -1 Assim, esse conjunto ordenado torna a igualdade verdadeira. Portanto (1, 4, 2) é uma solução da equação. Observações: n De maneira geral, toda equação linear de duas ou mais variáveis reais possui infinitas soluções. n O conjunto ordenado (0, 0, ..., 0) sempre será solução de uma equação linear homogênea. A essa solução dá-se o nome de solução trivial.
a12 x 2 + ... + a1n xn = b1 a22 x 2 + ... + a2n xn = b2 am2 x 2 + ... + amn xn = bm
Sendo: n a 11, a 12, ...., a mn: números reais denominados coeficientes. n
x1,x2, ..., xn: variáveis reais.
n
b 1, b 2, ..., b m: números reais denominados termos independentes.
Por exemplo:
12 x - 2x 2 + x 3 = possui duas equaO sistema linear 1 8 3x1 + x 2 - x 3 = ções e três incógnitas. 10 2a + 3b - c = O sistema linear a - 2b + c = 9 possui três equações e a + 4b - 3c = 90 três incógnitas.
Solução de um sistema linear A solução de um sistema linear de variáveis x1, x2, ..., xn é o conjunto ordenado (α1, α2, ..., αn) que, ao substituir x1, x2, ..., xn, respectivamente, em todas as equações, torna as igualdades verdadeiras. Por exemplo: Verifique o conjunto ordenado (-1, 3) é solução do siste9 3x + 4y = ma linear . 2x 3y 7 + =
9 3x + 4y = Substituindo o par ordenado (-1, 3) em , temos: 7 2x + 3y = 4 ⋅ (3) 9 = 3 ⋅ (-1) += 9 9 ⇒ 2 ⋅ ( 1) + = 3 ⋅ (3) 7 = 7 7
Assim, esse conjunto ordenado torna todas as igualdades verdadeiras, logo (-1, 3) é solução do sistema. Portanto, o conjunto S = {(-1, 3)} é seu conjunto solução. Observação: n Dois ou mais sistemas lineares são chamados de equivalentes se, e somente se, possuírem o mesmo conjunto solução. 365
C08 Sistemas lineares: Definição e classificação
Considerando simultaneamente essas três condições, temos o seguinte sistema de equações:
Matemática
Classificação de um sistema linear Os sistemas lineares podem ser classificados em: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI). Sistema possível e determinado (SPD): Um sistema linear é denominado possível e determinado (SPD) se, e somente se, possuir apenas uma solução. Por exemplo:
1 5x - 2y = O sistema linear possui uma única solução 2x 3y 8 + = que é o par ordenado (1, 2). Portanto, esse é um sistema possível e determinado. Sistema possível e indeterminado (SPI):
Por exemplo: x - y = 3 O sistema linear possui infinitas soluções dadas 3x - 3y = 9 pelos pares ordenados (0, -3), (1, -2), (2, -1), (3, 0), (4, 1), ... Portanto, esse é um sistema possível e indeterminado. Sistema impossível (SI): Um sistema linear é denominado impossível se, e somente se, não houver solução. Por exemplo:
x + y = 3 O sistema linear não possui solução pois não x + y = 4 existe o conjunto ordenado (α1, α2) tal que α1 + α2 = 3 e α1 + α2 = 4. Portanto, esse é um sistema impossível.
Um sistema linear é denominado possível e indeterminado se, e somente se, possuir infinitas soluções.
EXEMPLOS 01. Verifique se o conjunto ordenado (3, -1, -6) é solução da equação linear dada por 2x + 4y – z = 8. RESOLUÇÃO Substituindo (3, -1, -6) em 2x + 4y – z = 8, temos: 2.3 + 4.(-1) – (-6) = 8 ⇒ 8 = 8, que torna a igualdade verdadeira Portanto (3, -1, -6) é solução da equação. 3 x + y = . 02. Resolva o sistema linear -12 x - 2y = RESOLUÇÃO Multiplicando a 1ª equação por -1, temos: -x - y =-3 -12 x - 2y =
C08 Sistemas lineares: Definição e classificação
Somando as equações membro a membro, temos: -3y = -15 ⇒ y = 5. Substituindo y = 5 em x – 2y = -12, temos: x – 2 ⋅ 5 = -12 ⇒ x = -2. Portanto, S = {(-2, 5)}. 03. Classifique os seguintes sistemas lineares: 5 x + 2y = a) x =7 5 x + y = b) x + y = 7 3 x - 2y = c) -12 -4x - 8y =
366
RESOLUÇÃO 5 x + 2y = a) x =7 Substituindo x = 7 em x + 2y = 5, temos: 7 + 2y = 5 ⇒ y = -1 Portanto, o sistema possui o par ordenado (7, -1) como solução. Portanto, é possível e determinado. 5 x + y = b) 7 x + y = Multiplicando a 1ª equação por -1, temos: -x - y =-5 7 x+y= Repetindo a 1ª equação e substituindo a 2ª equação por sua soma com 1ª equação, teremos o seguinte sistema equivalente: -x - y =-5 2 0x + 0y = Não existe o par ordenado (α1, α2) tal que 0 ⋅ α1 + 0 ⋅ α2 = 2. Portanto, esse é um sistema impossível. 3 x - 2y = c) 4x + 8y = -12 Multiplicando a 1ª equação por 4, temos: 12 4x - 8y = -12 -4x + 8y = Repetindo a 1ª equação e substituindo a 2ª equação por sua soma com 1ª equação, teremos o seguinte sistema equivalente: 12 4x - 8y = 0x + 0y = 0 Para todo par ordenado (α1, α2) temos que 0 ⋅ α1 + 0 ⋅ α2 = 0. Portanto, esse sistema é possível e indeterminado.
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de k, sabendo que (-1, 3, 8, k) é solução da equação linear x + 5y + 2z – w = 15.14 02. Verifique se (0, 1, 2) é solução sistema linear É solução 0 3a + 2b - c = 3 . 3a - b + 2c = -5 2a + 3b - 4c = 03. (Fuvest SP) Determine a e b, de modo que sejam equivalen0 ax + by = 1 x - y = e . a=0eb=1 tes os sistemas lineares 2 bx - ay = 1 x + y =
04. Classifique cada um dos seguintes sistemas lineares. 9 3x + 2y = a) Sistema possível e determinado a) x y 4 + = 8 x - 3y = b) 3x + 9y = -24 12 -4x + 8y = c) 3x 6y = 9
b) Sistema possível e indeterminado
c) Sistema impossível
05. (UFBA) Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a pessoa recebeu. 6
Exercícios Complementares
02. (Puc SP) Qual dos seguintes pares ordenados (x, y) não é 3 2x - y = solução do sistema ? 6x 3y + = -9 a) (-1, -5) d) (1, 1) b) (0, -3) e) (3/2, 0) c) (1/2, -2) 03. (UFV MG) Em um programa de televisão, um candidato deve responder a 20 perguntas. A cada pergunta respondida, corretamente, o candidato ganha R$ 500,00, e perde R$ 300,00 por pergunta não respondida ou respondida incorretamente. Se o candidato ganhou R$ 7.600,00, o número de perguntas que acertou é: a) 19 c) 20 e) 18 b) 16 d) 17 04. (UFU MG) Um pai realizou duas festas de aniversário para seus filhos e, entre salgadinhos e refrigerantes, gastou R$ 250,00 em uma festa e R$ 150,00 em outra. A festa que teve menor custo foi realizada com 50% dos salgadinhos e 75% dos refrigerantes da outra. Sabendo-se que o preço unitário do salgadinho e do refrigerante foi o mesmo para ambas as festas, o total gasto, em reais, com refrigerantes nas duas festas, foi: a) 250,00 b) 225,00 c) 200,00 d) 150,00 e) 175,00
05. (Enem MEC) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20 d) 50 b) 30 e) 60 c) 40 06. (Enem MEC) Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco. Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente? a) 58 g e 456 g b) 200 g e 200 g c) 350 g e 100 g d) 375 g e 500 g e) 400 g e 89 g
367
C08 Sistemas lineares: Definição e classificação
01. Uma equação linear do tipo ax + by = c, em que a, b e c são números inteiros conhecidos, x e y são variáveis, que só assumem valores inteiros, é chamada de equação diofantina. Sabendo que (m, n) é a única solução natural da diofantina 8x + 15y = 39, calcule o valor de m + n. 4
FRENTE
C
MATEMÁTICA
Exercícios de Aprofundamento 01. (Unifor CE) Quantos números inteiros satisfazem a sentença x
0
-1
2 x - 1 -2 < 4?
n troca-se a primeira linha de posição com a segunda;
0
n multiplica-se cada um dos elementos por k.
1
1
a) Dois b) Três c) Quatro
d) Cinco e) Seis
02. (FEI SP) Sendo x e y respectivamente os determinantes das ma-
a b -2a 2c trizes inversíveis e podemos afirmar que x/y c d -3b 3d vale: a) -12 b) 12 c) 36 d) -36 e) -1/6 3 1 0 6 03. (UEPB) O determinante
0 2 2 -1
5 -2 é igual a: 1 -5
0 4
-1
a) -772 b) 580 c) 452 d) -452 e) -580 04. (Mackenzie SP) Se o determinante
0
1 1 1 1
1 1 1 2 + 2x 1 1 1 3 - 2x 1 1 1 1 - 2x
é igual a zero, então 2x pode ser: a) 1/2 b) 1/4 c) 1 d) 4 e) 2 1 2 3 05. (Vunesp SP) Sejam = A 0 -1 1 e B matrizes quadradas de 1 0 2 ordem 3. Se B é tal que B–1 = 2A, o determinante de B será: a) 24 b) 6 c) 3 d) 1/6 e) 1/24
368
06. (UFOP MG) Uma matriz M = [mij]2x2 é tal que det M = C. Obtém-se a matriz A através das seguintes transformações na matriz M:
O determinante da matriz A assim obtida é: a) k ⋅ C b) -k ⋅ C c) k2 ⋅ C d) -k2 ⋅ C e) nda 07. (Fuvest SP) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 08. (Enem MEC) O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de NV NA atualização de cadastros (TA), em que = TC = , TA , NV é NF NV o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico. Suponha que o ICadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o ICadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a: a) 10 000 b) 7 500 c) 5 000 d) 4 500 e) 3 000 09. (Famema SP) Considere as matrizes A = (aij )2×3 , com aij= 2i - j , 2 1 -m 0 = B 0 -1 e C = , sendo m um número real. Sa 3m 6 m2 - 1 2 bendo que C = A ⋅ B, então det C é igual a:
Matemática e suas Tecnologias
0 log3 3 log 1 3
1 3
10. (Mackenzie SP) O valor do determinante 1 log3 27 log 1 27 é: 3
a) 0 b) 1 c) -1 d) 3 e) 1/3
0 log3 81 log3 243
11. (UEM PR) Considere as matrizes:
2 1 0 1 2 3 4 A = 3 2 5 e B = 1 2 3 4 0 1 2 1 2 3 4 A partir delas, é correto afirmar que: Gabarito: V V F F F 01. A matriz A é uma matriz invertível. 02. A primeira e a última linhas de A ⋅ B são iguais. 04. É possível calcular o determinante da matriz B. 08. O determinante da inversa de A é -1/10. 16. A ⋅ B = B ⋅ A.
1 0 0 7 0 2 12. (ITA SP) Sejam D = 0 2 0 e P = 0 1 0 . Considere 0 0 3 2 0 5
A = P–1 DP. O valor de det(A2 + A) é: a) 144 b) 180 c) 240 d) 324 e) 360 2 3 7 8 13. (UEM PR) Considere as matrizes A = . e B= 1 1 14 16 Assinale o que for correto.
01. A matriz A – B tem matriz inversa.
X + Y = A - B , onde X, Y 02. O sistema de equações matriciais A X + O = e O são matrizes de ordem 2 × 2, sendo X e Y incógnitas e O a matriz nula, não tem solução. 04. O determinante da matriz inversa de A é -1/5. x 1 08. Se X = e C = são duas matrizes de ordem 2 × 1, y 2
onde x e y são incógnitas, então o sistema de duas equações e duas incógnitas BX = C tem uma única solução. 16. det(A ⋅ B) = det(B ⋅ A). Gabarito: V F V F V
14. (Mackenzie SP) Se x e y são números reais não nulos tais que x xy= = x - y , então o valor de x + y é igual a: y
a) -3/2 b) -1/2 c) 0 d) 1/2 e) 3/2 15. (Unicamp SP) Sejam a e b números reais. Considere, então, os dois sistemas lineares abaixo, nas variáveis x, y e z: a, 2, x - y = x + y = e 1, b. z - y = y + z =
Sabendo que esses dois sistemas possuem uma solução em comum, podemos afirmar corretamente que: a) a – b = 0 b) a + b = 1 c) a – b = 2 d) a + b = 3 16. (UEMG) Considere o seguinte sistema: y x 1 3 - 2 = x-1 3 2 6 2 ⋅ 3y ⋅ + =
Na solução desse sistema, tem-se x = a e y = b. Assim, o valor da (a - 3b)(b - a) é: expressão 3(b + a) a) –1 b) –1/2. c) 1/5 d) 1/3 17. (FDSBC SP) Em uma família todos os homens são professores e todas as mulheres são médicas, sendo que o número de mulheres excede o número de homens em 3. No dia dos professores todas as mulheres dessa família compraram presentes para todos os homens, num total de 108 presentes. O total de pessoas nessa família é a) 15 b) 18 c) 20 d) 21 18. (UEPG PR) Sendo M uma matriz quadrada inversível, de ordem 3, assinale o que for correto. Gabarito: V F F F V 01. Se det (M) = 5 e det (2 ⋅ M–1 ⋅ M) = x + 1, então x = 7. 02. Se det (M) = 4 e se k é um número real tal que det (k ⋅ M) = 108, então k = 9. 1 04. Se det M = 24 , então det (Mt = 3) . 2 08. Se det (M) = 2x + 6 e det (Mt) = x + 10, então det (M ⋅ Mt ) = 16 . 16. Se det (M) = x + 2 e det (M–1) = x – 8, então o produto dos possíveis valores de x é –17.
369
FRENTE C Exercícios de Aprofundamento
a) 0 b) -12 c) -8 d) 6 e) 4
FRENTE
D
MATEMÁTICA Por falar nisso Nova Iorque é uma das cidades mais famosas do mundo e também a mais populosa dos Estados Unidos e terceira mais populosa das Américas (atrás da cidade de São Paulo e da Cidade do México). Chamada de “The Big Apple”, Nova Iorque possui uma enorme quantidade de atrações turísticas e é uma excelente opção para se fazer compras nos EUA. Atualmente, ela foi dividida em cinco diferentes distritos: Manhattan, Bronx, Brooklyn, Queens e Staten Island. A ilha de Manhattan, banhada pelo rio Hudson, é a região onde estão os principais pontos turísticos da cidade, tais como: a Estátua da Liberdade, o Museu de História Natural, a Quinta Avenida, o Central Park, a Broadway, a Wall Street, dentre outros. Com exceção da parte sul da ilha de Manhattan (Lower Manhattan, ao sul da rua 14), todo o desenvolvimento urbanístico de Manhattan é quadricular. As avenidas cruzam a ilha de Norte a Sul e as ruas de Leste a Oeste. Assim, as avenidas são retas paralelas cortadas transversalmente pelas ruas. No caso de Nova Iorque, e em várias outras cidades, para determinar a posição de um local em relação a um sistema de referência, podemos associar a cada uma dessas ruas e avenidas uma equação.
D05 D06 D07 D08
Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas Equação geral da reta ................................................................... 372 Equação reduzida da reta ............................................................. 376 Equação fundamental, segmentária e paramétrica da reta ........ 380 Posições relativas entre retas do plano ........................................ 384
FRENTE
D
MATEMÁTICA
MÓDULO D05
ASSUNTOS ABORDADOS n Equação geral da reta n Equação geral
EQUAÇÃO GERAL DA RETA Sem dúvida, a televisão é um dos principais meios de diversão do povo brasileiro. Muitas pessoas encontram na TV uma forma de entretenimento e, ao mesmo tempo, se informar sobre as principais notícias do país. No Brasil, o sinal analógico está sendo substituído gradativamente pelo sinal digital. Para as pessoas que não têm condição de comprar o KIT de TV Digital, o Governo Federal laçou o Kit Gratuito de TV Digital constituído por controle remoto, antenas e conversor. Por meio do Ministério da Ciência, Tecnologia, Inovações e Comunicações, o Governo Federal definiu algumas regras para se ter direito ao acesso gratuito a esses equipamentos. É necessário que o cidadão esteja inscrito no Cadastro Único, também conhecido como CadÚnico e ter remuneração familiar mensal de até três salários mínimos. O beneficiário pode solicitar a retirada do Kit Gratuito de TV Digital de duas formas: pela internet por meio do site seja digital.com.br, informando o número do CPF ou NIS ou pelo telefone por meio do número 147. Após o agendamento da retirada do Kit do Conversor Digital, o cidadão poderá comparecer ao local informado, de posse dos seus documentos pessoais, para retirar o equipamento. Fonte: http://calendariobolsafamilia2015.com.br/kit-gratuito-de-tv-digital/ Acesso: Outubro de 2017
Figura 01 - Ilustração de uma pessoa utilizando uma TV com sinal digital.
372
Matemática e suas Tecnologias
Buscando levar o sinal digital a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano a seguir:
ax + by + c = 0 Essa equação é denominada equação geral da reta r na qual a, b e c são números reais tais que a e b não são simultaneamente nulos. Observações:
y (Km) 70
n
Dizemos que um ponto P pertence à reta r se, e somente se, as coordenadas de P satisfizerem sua equação.
n
Para determinar as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o eixo das abscissas basta fazer y = 0 em sua equação.
n
Para determinar as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o eixo das ordenadas, basta fazer x = 0 em sua equação.
n
Dizemos que Q(x0, y0) é ponto de intersecção de duas retas ‘r’ e ‘s’ se, e somente se, suas coordenadas satisfizerem as equações das retas r e s, ou seja, o par ordenado (x0, y0) é solução do sistema formado pelas equações de r e s.
60 C
50 40 30
B
A
20 10 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 x (Km)
A nova torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. Por meio da Geometria Plana, sabemos que esse ponto é conhecido como circuncentro do triângulo ABC. Uma das formas de se determinar tal ponto é por meio da intersecção das retas mediatrizes de dois lados desse triângulo. Nesta aula, veremos como se obter uma das formas de equação da reta chamada equação geral.
Equação geral
Casos especiais Dada a reta r: ax + by + c = 0, temos os seguintes casos especiais. Reta paralela o eixo das abscissas (reta horizontal) Se a = 0 em ax + by + c = 0, temos que by + c = 0, ou seja:
Dados dois pontos distintos A(xA, yA) e B(xB, yB) do plano cartesiano, só existe uma reta r, que passa por A e B. Observe a figura a seguir: y
y = -c / b Assim, todos os pontos de r possuem a mesma ordenada, para todo x. Observe a figura a seguir: y
C (XC, YC) B (XB, YB) r
r c d
A (XA, YA) x
x y 1 xA yA 1 = 0 x B yB 1 Desenvolvendo, temos: yAx + xAyB + xBy – xByA – xAy – yBx = 0 ⇒ (yA – yB)x + (xB – xA)y + (xAyB – xByA) = 0 Fazendo yA – yB = a, xB – xA = b e xAyB – xByA = c, temos:
x
Observação: n
Todo ponto do eixo das abscissas possui ordenada igual a zero, logo a reta y = 0 é a equação do eixo x.
Reta paralela ao eixo das ordenadas (reta vertical) Se b = 0 em ax + by + c = 0, temos que ax + c = 0, ou seja: x = -c / a Assim, todos os pontos de r possuem a mesma abscissa, para todo y. Observe a figura a seguir: 373
D05 Equação geral da reta
Sendo P (x, y), um ponto qualquer dessa reta, os pontos A, B e P são colineares. Daí, temos que:
Matemática
y
Assim, a reta r passa pela origem do sistema cartesiano. Observe a figura a seguir:
r
y r c a
x x
Observação: n Todo ponto do eixo das ordenadas possui abscissa igual a zero, logo a reta x = 0 é a equação do eixo y.
Observações: n
Todo ponto que possui abscissa e ordenada iguais pertence à reta que passa pela origem x – y = 0 (ou y = x) denominada bissetriz dos quadrantes ímpares.
n
Todo ponto que possui abscissa e ordenada opostas pertence à reta que passa pela origem x + y = 0 (ou y = -x) denominada bissetriz dos quadrantes pares.
Reta passando pela origem Se c = 0 em ax + by + c = 0, temos que ax + by = 0, ou seja:
( 0, 0 )∈r EXEMPLOS 01. Obtenha a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-2, 3) e B(4, 6). RESOLUÇÃO Sendo P (x, y), um ponto qualquer dessa reta, os pontos P(x, y), A(-2, 3) e B(4, 6) são colineares. Daí, temos que:
r com o eixo das ordenadas, basta fazer x = 0 em sua equação. Daí, temos que: 2 ⋅ 0 – 3y + 18 = 0 ⇒ -3y + 18 = 0 ⇒ y = 6 ⇒ C(0, 6) 03. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas de equações r: 2x – y – 1 = 0 e s: 4x + 3y – 17 = 0. RESOLUÇÃO
x y1 -2 3 1 = 0 4 61
Para determinar o ponto de intersecção das retas r e s, basta resolver o sistema obtido por suas equações. Daí, temos:
3x – 12 + 4y – 12 + 2y – 6x = 0 ⇒ -3x + 6y – 24 = 0
1 2x - y = 17 4x + 3y =
Dividindo todos os termos da equação por -3, temos: x – 2y + 8 = 0
Multiplicando a 1ª equação por -2, temos:
Portanto, a equação geral é x – 2y + 8 = 0.
-2 -4x + 2y = 17 4x + 3y =
02. Dada a reta r de equação 2x – 3y + 18 = 0 a) verifique se o ponto A(9, 12) pertence a r. b) obtenha o ponto B de intersecção de r com o eixo x. c) obtenha o ponto C de intersecção de r com o eixo y. RESOLUÇÃO a) A ∈ r se, e somente se, (9, 12) satisfizer a equação 2x – 3y + 18 = 0. Daí, temos que: D05 Equação geral da reta
2 ⋅ 9 – 3 ⋅ 12 + 18 = 0 ⇒ 18 – 36 + 18 = 0 ⇒ 0 = 0
Adicionando as equações membro a membro, temos: -4x + 2y + 4x + 3y = -2 + 17 ⇒ 5y = 15 ⇒ y = 3 Substituindo y = 3 em 2x – y = 1, temos: 2x – 3 = 1 ⇒ x = 2 Daí, o ponto de intersecção das retas r e s é P(2, 3). Graficamente, temos:
y
r
Assim, as coordenadas de A satisfazem a equação de r, portanto A ∈ r. b) Para determinar as coordenadas do ponto B de intersecção da reta r com o eixo das abscissas basta fazer y = 0 em sua equação. Daí, temos que: 2x – 3 ⋅ 0 + 18 = 0 ⇒ 2x + 18 = 0 ⇒ x = -9 ⇒ B(-9, 0) c) Para determinar as coordenadas do ponto C de intersecção da reta
374
3
P
2
s
x
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação 01. Obtenha a equação geral da reta que passa pelos seguintes pontos: a) A(0, 2) e B(-3, 7) 5x + 3y – 6 = 0 b) C(-1, 4) e D(-5, 3) x – 4y + 17 = 0 c) E(-2, -4) e F(5, 0) -4x + 7y + 20 = 0
04. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas: a) r: 2x – y = 0 e s: x + y –15 = 0 (5, 10) b) r: 2x + y – 5 = 0 e s: x – y – 1 = 0 (3, 2) 05. Na figura a seguir, temos duas retas se interceptando no ponto P. y
02. Dada a reta r: 2x + 3y – 18 = 0: a) obtenha o ponto de intersecção de r com o eixo x. (9, 0) b) obtenha o ponto de intersecção de r com o eixo y. (0, 6) c) verifique se os pontos P(3, 4) e Q(5, -3) pertencem a r.
4 P
2
P∈reQ∉r
03. Determine: a) A equação geral da reta paralela ao eixo das abscissas que passa pelo ponto P(-3, 5). y – 5 = 0 b) A equação geral da reta paralela ao eixo das ordenadas que passa pelo ponto Q(-4, 6). x + 4 = 0 c) A equação geral da reta que passa pela origem do plano cartesiano e pelo ponto R(4, 12). 3x – y = 0
–2
3
x
Obtenha as coordenadas do ponto P. P(6/7, 20/7) 06. (Ufop MG) A reta r contém os pontos (-1, -3) e (2, 3). O valor de m, de modo que o ponto (m, 7) pertença a r, é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
Exercícios Complementares
02. (UFMG) Os valores de k, para os quais a reta de equação dada por (k – 3)x – (4 – k2)y + (k2 – 7k + 6) = 0, nas variáveis x e y, representa uma reta que passa pela origem, são: a) -1 e 0 d) -2 e 2 b) 4 e 5 e) -3 e 3 c) 1 e 6 03. (UFCE) Um paralelogramo do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3). a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. a) y = 3x/4 b) y = - 3x/2 + 9/2 c) (2, 3/2) 04. (UPE PE) No plano cartesiano, as interseções das retas de equações x – y + 2 = 0; y = 4; e x + y + 4 = 0 determinam um triângulo, cujos vértices são pontos de coordenadas: a) (2, 4); (-4, 4); (2, -4) b) (-2, 4); (-4, 4); (-2, -4) c) (-2, -4); (8, -4); (3, 1)
d) (4, 2); (4, -8); (-1, -3) e) (2, 4); (-8, 4); (-3, -1) 05. (Unemat MT) Dado o gráfico da figura abaixo: y
y=x
P
y=4-x
x
Seja o ponto P intersecção das duas retas, seu par ordenado será dado por: a) P(1, 3) d) P(2/3, 2) b) P(2, 2) e) P(2, 4) c) P(2, 3) 06. (Unifesp SP) Dadas as retas r: 5x – 12y = 42, s: 5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que as três retas sejam concorrentes em um mesmo ponto é: a) 14 b) 28 c) 36 d) 48 e) 58
375
D05 Equação geral da reta
01. (Unicamp SP) No plano cartesiano, a reta de equação 2x – 3y – 12 = 0 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas: a) (4, 4/3) b) (3, 2) c) (4, -4/3) d) (3, -2)
FRENTE
D
MATEMÁTICA
MÓDULO D06
ASSUNTOS ABORDADOS n Equação reduzida da reta n Inclinação de uma reta n Declividade de uma reta n Equação reduzida de uma reta
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA A crise na economia brasileira afeta diretamente a sobrevivência de nossas empresas. Para se ter uma ideia da gravidade da situação, só no estado de São Paulo, 4 451 indústrias de transformação fecharam as portas no ano de 2015, número 24% superior ao de 2014, quando 3 584 fabricantes deixaram de operar, de acordo com a Junta Comercial. Infelizmente, essa situação se estende por todo o País, fechando várias fábricas de forma definitiva. Algumas na busca desesperada por alternativas para voltar a funcionar e outras à espera de compradores. Vários trabalhadores que foram demitidos sequer receberam seus salários e suas rescisões. De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), entre novembro de 2014 e janeiro de 2015, nossa indústria fechou 1,131 milhão de vagas de trabalho. Até então, um recorde para o trimestre. Nesse contexto, uma fábrica que resiste bravamente a toda essa situação produz embalagens especiais sob encomenda, de maneira que o custo de toda a produção é constituído de duas parcelas. n
A primeira parcela é fixa e, independentemente da quantidade produzida, corresponde a gastos com aluguel, manutenção de equipamentos e salários etc.
n
A segunda parcela é variável. Depende da quantidade de embalagens fabricadas.
Dessa forma, o custo total y, em reais, e o número x de embalagens fabricadas se relacionam por meio da lei y = mx + n. Sabe-se que para se produzir 100 embalagens o custo é de R$ 4.080,00 e para se produzir 500 embalagens o custo é de R$ 4.400,00. Assim, podemos obter as constantes m e n da lei y = mx + n. Nesta aula, abordaremos esse tipo de equação denominada equação reduzida da reta.
376
Matemática e suas Tecnologias
Inclinação de uma reta Denomina-se inclinação de uma reta r o ângulo α compreendido entre o eixo das abscissas, e a reta r no sentido anti-horário. Observe as figuras a seguir: y
y
y
y
P 0 < < 90° (ângulo agudo)
= 0° (ângulo nulo) n
x
x
x
P = 90° (ângulo reto)
x P 90° < < 180° (ângulo obtuso)
Note que, dada uma reta r, existe um único α, tal que 0° ≤ α < 180°.
Declividade de uma reta Dada uma reta r, não paralela ao eixo das ordenadas cuja inclinação é o ângulo α, denomina-se declividade (ou coeficiente angular) da reta r o número real m tal que:
m = tg α Observe as figuras a seguir para 0° ≤ α < 180°. y
y
y
y
m
m>0
m<0
m=0
x
= 0° (ângulo nulo) n
x
x
0 < < 90° (ângulo agudo)
= 90° (ângulo reto)
x 90° < < 180° (ângulo obtuso)
Note que, uma reta r com inclinação α = 90° não tem declividade.
Equação reduzida de uma reta Dada uma reta r com inclinação α e que intercepta o eixo das ordenadas no ponto R(0, n), observe a figura a seguir: y r y R (0, n)
P (x, y)
Q (x, n)
x
x
D06 Equação reduzida da reta
Para obter a equação reduzida da reta r, basta considerar um ponto P(x, y) ∈ r e calcular a tangente do ângulo α (declividade da reta) no triângulo PQR. Assim, temos que: PQ tg α = RQ
Como tg α = m, temos que: m =
y -n ⇒ mx = y – n x -0 377
Matemática
Equação reduzida a partir da equação geral
Isolando y, temos que: = y mx + n Essa equação é denominada equação reduzida da reta r na qual m e n são números reais tais que: n
m é denominado coeficiente angular (ou declividade) da reta.
n
n é denominado coeficiente linear da reta.
Note que n é a ordenada do ponto de intersecção da reta r e o eixo das ordenadas.
Podemos obter a equação reduzida de uma reta a partir da equação geral. Para isso, basta isolar a variável y na equação geral. Observe: a c ax + by + c =0 ⇒ by =-ax – c ⇒ y = - xb b a c Fazendo - = me - = n , temos que: b b = y mx + n
EXEMPLOS 01. Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0, -5) e B(2, 7) .
y = 6x – 5 Portanto, a equação reduzida é y = 6x – 5. 02. Obtenha a equação reduzida de uma reta de inclinação igual a 45° e que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,-8).
RESOLUÇÃO Sendo P (x, y), um ponto qualquer dessa reta, os pontos P(x, y), A(0, 1) e B(2, 7) são colineares. Daí, temos que:
x y 1
RESOLUÇÃO A equação reduzida de uma reta é dada por y = mx + n, sendo m o coeficiente angular e n o coeficiente linear. O coeficiente angular é dado pela tangente da inclinação da reta, ou seja:
0 -5 1 = 0 2 7 1
m = tg 45° = 1 -5x + 2y + 10 – 7x = 0 ⇒ -12x + 2y + 10 = 0 Dividindo todos os termos da equação por 2, temos:
O coeficiente angular é a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas, ou seja: n = -8
-6x + y + 5 = 0
Portanto, a equação reduzida é y = x – 8.
Isolando y, temos:
Exercícios de Fixação 01. Na figura a seguir, temos que ABCD é um quadrado de lado
4 2. y
b) A equação reduzida da reta sendo-5 o seu coeficiente angular e que passa pelo ponto P(0, 3). y = -5x + 3 c) A equação reduzida da reta sendo 30° a sua inclinação e 10 o seu coeficiente linear. y
A
3 x 10 3
03. (Cefet MG) A tabela seguinte mostra o número de ovos postos, por semana, pelas galinhas de um sítio
D06 Equação reduzida da reta
D
O
B
x
C
Assim, obtenha: a) -1 b) y = x – 4 c) y = x + 4 a) o coeficiente angular da reta suporte do lado AB. b) a equação reduzida da reta que passa pelos pontos B e C. c) a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A e D 02. Determine: a) A equação reduzida da reta sendo 2 o seu coeficiente angular e -8 o seu coeficiente linear. y = 2x – 8 378
Semana
Número de galinhas (x)
Número de ovos (y)
1ª
2
11
2ª
3
18
3ª
4
25
4ª
5
32
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que os pares ordenados (x, y) satisfazem a relação: a) y = 4x + 3 c) y = 7x – 3 b) y = 6x – 1 d) y = 5x + 7
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios Complementares 01. (Puc RJ) O retângulo ABCD tem um lado sobre o eixo x e um lado sobre o eixo y como mostra a figura. y D
A
C
B
A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, registrada pela torre de controle, t minutos após o início dos procedimentos de pouso. tempo t (em minutos)
0
5
10
15
20
altitude y (em metros)
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
x
Disponível em www.meioaereo.com.
02. (Insper SP) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s interceptam-se em um ponto de abscissa 6, então: a) b = a b) b + a – 9 c) b = a – 6 d) b = a + 9 e) b = a + 6 03. (UEPB) A reta de equação (x – 2)m + (m – 3)y + m – 4 = 0, com m constante real, passa pelo ponto P(2, 0). Então, seu coeficiente angular é: a) 4 b) -4 c) 1/4 d) -1/4 e) 2 04. (Enem MEC) Os procedimentos de decolagem e pouso de uma aeronave são os momentos mais críticos de operação, necessitando de concentração total da tripulação e da torre de controle dos aeroportos. Segundo levantamento da Boeing, realizado em 2009, grande parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após iniciar-se a fase de descida da aeronave. Dessa forma, é essencial para os procedimentos adequados de segurança monitorar-se o tempo de descida da aeronave.
Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y e t é linear. De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por: a) y = -400t b) y = -2 000t c) y = 8 000 – 400t d) y = 10 000 – 400t e) y = 10 000 – 2 000t 05. (UFRGS RS) No hexágono regular representado na figura abaixo, os pontos A e B possuem, respectivamente, coordenadas (0, 0) e (3,0). y 6 D
5 E 4 F
3
C
2 1 A -2 -1 0 -1
B 1
2
3
4
5
x
A reta que passa pelos pontos E e B é: a) y = - 3x +3 3 b) y = - 3x+ 3 -3x + 3 c) y = d) y = -3x + 3 3 e) y = -3x + 3 06. (UFMG) Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A(4, 0) e B(0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x – 4. Assim sendo, a declividade da reta que passa pelos vértices B e C é: a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25
379
D06 Equação reduzida da reta
A área do retângulo ABCD é 15 e a medida do lado AB é 5. A equação da reta que passa por D e por B é: a) y = -5x + 3 b) y = 3x + 5 c) y = -3x + 5 3 d) y = - x +3 5 3 y x +3 e) = 5
FRENTE
D
MATEMÁTICA
MÓDULO D07
ASSUNTOS ABORDADOS n Equação fundamental, segmen-
tária e paramétrica
n Equação fundamental da reta n Formas de se obter diretamente a declividade de uma reta n Equação segmentária n Equação paramétrica
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL, SEGMENTÁRIA E PARAMÉTRICA Movimentação nos portos brasileiros cresce em 2017 Dados da Agência Nacional de Transportes Aquaviários (ANTAQ) reforçaram a importância dos portos brasileiros para a recuperação da economia. De janeiro a maio, a movimentação total de cargas nos portos teve crescimento de 2,32% na comparação com o mesmo período do ano passado, com o aumento de dez milhões de toneladas a mais transportadas. Segundo os dados, a maior parte da movimentação foi realizada nos terminais de uso privado (TUPs). Nesses empreendimentos, explorados pela iniciativa privada, foram movimentadas mais de 280 milhões de toneladas nos primeiros cinco meses do ano – um aumento de cerca de 6% em relação ao mesmo período de 2016. No período, 64,12% das movimentações foram de granel sólido (soja, farelo de soja, açúcar, milho trio, fertilizantes), 21,14% de granel líquido (óleos de soja, mamona, solventes, petróleo e derivados), 9,54% de contêineres e 5,20% de cargas soltas (madeira, bobina de papel, aço). Fonte: Portal Brasil, com informações do Ministério dos Transportes Acesso: Outubro de 2017
Suponha que no plano cartesiano da figura a seguir, em que a unidade de medida nos eixos coordenados é o quilômetro, as retas r e s representam os trajetos percorridos por dois navios, N1 e N2, antes de ambos atracarem em um porto brasileiro localizado no ponto P.
Figura 01 - Vista aérea do Porto de Santos – SP.
380
Matemática e suas Tecnologias
Para determinar o ponto P, devemos primeiramente obter a equação da reta r (conhecendo dois pontos) e da reta s (conhecendo um ponto e sua inclinação). Assim, a reta s será obtida por meio de sua equação fundamental (dados um ponto e a declividade). Nesta aula, abordaremos outras formas de expressar a equação de uma reta.
Equação fundamental da reta Já vimos que dois pontos distintos determinam uma única reta, ou seja, dados dois pontos distintos, existe uma única reta que passa por esses pontos. Da mesma maneira, um ponto Q(x0, y0) e a declividade m determinam uma reta. Dada uma reta r com inclinação α e que passa pelo ponto Q(x0, y0). Observe a figura a seguir:
Assim, podemos determinar diretamente a declividade de uma reta r a partir das coordenadas de dois de seus pontos.
Formas de se obter diretamente a declividade de uma reta Vamos destacar três formas de se determinar diretamente a declividade de uma reta (sem necessidade de obter a sua equação). Dada a equação geral Dada a equação geral de uma reta r ax + by + c = 0, já vimos que, isolando y, obteremos: a c y= - xb b
y r y y0
Portanto, o coeficiente angular m dessa reta é diretamente dado por:
P (x, y) Q (x0, y0) x0
R (x, y0)
m= -
a b
x
x
Dados dois pontos distintos Para obter a equação fundamental da reta r, basta considerar um ponto P(x, y) ∈ r e calcular a tangente do ângulo α (declividade da reta) no triângulo PQR. Assim, temos que: tg α =
Dados dois pontos distintos A(xA, yA) e B(xB, yB), o coeficiente angular m da reta que passa por esses dois pontos é diretamente dado por:
PR
m=
QR
Como tg α = m, temos que:
∆y ∆x
Dada a inclinação
y - y0 m= x - x0
Dada a inclinação α de uma reta r, o seu coeficiente angular m é diretamente dado, segundo sua definição por:
Isolando y – y0, temos que:
y – y 0 = m( x – x 0 ) Essa equação é denominada equação fundamental da reta r na qual m, x0 e y0 são números reais. Observação: Sendo S(x1, y1) e P(x0, y0) dois pontos distintos da reta r: y – y0 = m (x – x0), temos que: = y1 – y 0 m ( x 1 – x 0 ) ⇒ m =
y1 - y 0 x1 - x 0
Equação segmentária Dada uma reta r oblíqua aos eixos coordenados que intercepta o eixo das abscissas no ponto A(p, 0) e o eixo das ordenadas no ponto B(0, q), com p e q não nulos. Observe a figura a seguir: y r B (0, q)
Fazendo y1 – y0 = ∆y e x1 – x0 = ∆x, temos que: m=
∆y ∆x
A (p, 0) x
381
D07 Equação fundamental, segmentária e paramétrica
m = tg α
Matemática
Sendo P (x, y), um ponto qualquer dessa reta, os pontos A, B e P são colineares. Daí, temos que:
x y1 p 0 1 =0 0 q1 Desenvolvendo, temos: pq – py – qx = 0 ⇒ qx + py = pq Dividindo toda a expressão por pq, temos:
Essa equação é denominada equação segmentária da reta r na qual p e q são números reais tais que: n
p é a abscissa do ponto de intersecção de r com o eixo x.
n
q é a ordenada do ponto de intersecção de r com o eixo y.
Equação paramétrica A equação de uma reta na qual x e y são expressos em função de uma terceira variável, também denominada parâmetro, é denominada equação paramétrica da reta. Assim, uma reta r será expressa por meio do parâmetro t, da seguinte forma: x = f(f) y = g(t)
qx py pq + = pq pq pq Simplificando todos os termos, temos:
x y + = 1 p q
Observação: n
Para obter a equação geral ou reduzida de uma reta r, a partir das equações paramétricas, basta eliminar o parâmetro t.
EXEMPLOS 01. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e tem coeficiente angular igual a - 4. RESOLUÇÃO A equação da reta que passa por Q(x0, y0) e tem declividade m é dada por y – y0 = m(x – x0). Assim, temos: y – 3 = -4(x – 2) ⇒ y – 3 = -4x + 8 ⇒ y = -4x + 11 Portanto, a equação é y = -4x + 11.
D07 Equação fundamental, segmentária e paramétrica
02. Obtenha a declividade da reta que passa pelos pontos A(3, 5) e B(-1, 8). RESOLUÇÃO Dados dois pontos, a declividade da reta que passa por esses pontos é dada por: m=
∆y y A - yB -3 5-8 3 = = = =∆x x A - xB 3 - (-1) 4 4
A declividade é -3/4. 03. Escreva a equação da reta r: 3x + 2y – 18 = 0, na forma segmentária e, em seguida, determine os pontos de intersecção de r com os eixos coordenados. RESOLUÇÃO A equação 3x + 2y – 18 = 0 na forma segmentária é dada por:
382
3x + 2y – 18 =0 ⇒ 3x + 2y =18⇒
3x 2y 18 x y + = ⇒ + =1 18 18 18 6 9
Os pontos de intersecção com os eixos coordenados são (6, 0) e (0, 9). x y Portanto, temos que a equação na forma segmentária + = 1 e os 6 9 pontos de intersecção com os eixos são (6, 0) e (0, 9). 04. Determine a equação geral da reta de equações paramétricas x= 4 - 2t . y= 5 + t RESOLUÇÃO Para obter a equação geral, a partir das paramétricas, basta escrevê-las eliminando o parâmetro t.
x= 4 - 2t y= 5 + t Multiplicando a 2ª equação por 2, temos:
x= 4 - 2t = 10 + 2t 2y Adicionando as duas equações membro a membro, temos: x + 2y = 4 – 2t + 10 + 2t ⇒ x + 2y = 14 ⇒ x + 2y – 14 = 0 Portanto, a equação geral é x + 2y – 14 = 0.
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação 01. Determine: a) A equação reduzida da reta que passa pelo ponto A(2,-3) e tem coeficiente angular igual a 5. y = 5x – 13 b) A equação geral da reta que passa pela origem e tem coeficiente angular igual a 4/7. 4x – 7y = 0 c) A equação fundamental da reta que passa pelo ponto C(3, -2) origem e tem inclinação igual a 135°. y + 2 = -1 (x - 3)
04. Escreva a equação fundamental de cada uma das retas re3 presentadas abaixo: a) y 4 x 1 b) y – 8 = -1(x – 5) 3
a) y
4
02. Obtenha o coeficiente angular da reta r, considerando as seguintes situações: a) r passa pelos pontos A(3, 4) e B(-3, 9). -5/6 b) r tem equação geral dada por 6x – 2y + 15 = 0. 3 c) r tem uma inclinação de 120°. 3 03. Considerando a reta r: 3x + 5y – 30 = 0, determine: x
y
a) A equação segmentária de r. 1 10 6 b) Os pontos de intersecção de r com os eixos coordenados.
(10, 0) e (0, 6)
y 8
b)
150° x
1
135° 5x
05. Determine o coeficiente angular da reta de equações pax= 7 - 3t ramétricas . -1/3 y= 2 + t
Exercícios Complementares 01. (Unifor CE) Considere a reta r, representada na figura abaixo. y 30°
c) -1/2 d) -1
e) 1/2
05. (ESPM SP) O gráfico a seguir é formado por 3 segmentos de retas consecutivos. C y 7
1 0
a) -2 b) 2
1
x
r
B D
A
a)
3 x + y =1 + 3
d)
3 x - y =-1 + 3
b)
3 x - y =1 - 3
e)
3 x + y =3
c)
3 x + y =-1 - 3
02. (Uncisal AL) A reta da equação 2x – 3y = 12 forma com os eixos cartesianos um triângulo, cuja área é igual a: a) 20 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12 03. (UEMG) Determine o valor de k, de modo que a reta que passa por P(-1, -1) e Q(k, k2 – k) tenha inclinação α = 45° relativamente ao eixo x. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 04. (ESPM SP) Uma reta do plano cartesiano tem equações paramétricas dadas por x = 2t + 1 e y = t – 1, com t ∈ R. O coeficiente angular (ou declividade) dessa reta é igual a:
0
6
14
x
Sabe-se que: n A reta que contém o segmento AB tem coeficiente linear igual a 4. n O coeficiente angular do segmento BC vale metade do
coeficiente angular do segmento AB. n A ordenada do ponto D é 2/3 da ordenada do ponto C. n O coeficiente angular do segmento CD é igual a -1.
Podemos concluir que a abscissa do ponto D vale: a) 17 b) 19 c) 15 d) 18 e) 16
383
D07 Equação fundamental, segmentária e paramétrica
Sua equação é:
FRENTE
D
MATEMÁTICA
MÓDULO D08
ASSUNTOS ABORDADOS n Posições relativas entre duas retas n Posições relativas entre duas retas no plano n Retas paralelas no plano cartesiano n Retas perpendiculares no plano cartesiano
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS Denomina-se energia limpa aquela que não libera, durante seu processo de produção ou consumo, resíduos ou gases poluentes geradores do efeito estufa. Já as fontes de energia limpa são aquelas que liberam quantidades muito baixas desses gases ou resíduos. São exemplos de fontes de energia limpa: energia eólica (gerada a partir da força do vento); energia solar (gerada a partir dos raios do sol); energia das marés (gerada por meio das marés dos mares e oceanos); etanol (biocombustível produzido a partir da cana-de-açúcar e milho) e biogás (biocombustível produzido a partir da biomassa) etc. A produção e o consumo de energia de fontes limpas protegem o meio ambiente e mantêm a qualidade de vida das pessoas em geral, pois não produzem (ou produzem pouco) gases do efeito estufa e não geram gases poluentes ou resíduos sólidos que possam prejudicar a saúde das pessoas. Assim, suponha que em uma estação de energia eólica localizada em uma região plana possua três cata-ventos que estão localizados nos pontos A, B e C do sistema cartesiano da figura a seguir: y
A
50 30 Figura 01 - Placas solares e cata-ventos gerando energia de forma sustentável.
10
0
384
B C 50
100
200
x
Matemática e suas Tecnologias
Deseja-se instalar um equipamento em um ponto do segmento que liga os pontos A e B que esteja mais próximo do ponto C. Para se determinar esse ponto, temos que obter o ponto de intersecção entre a reta suporte do segmento AB e a reta perpendicular ao segmento AB passando pelo ponto C. Nesta aula, abordaremos as condições analíticas das posições relativas entre as retas coplanares (retas contidas num mesmo plano).
Posições relativas entre duas retas no plano
r r s
s
Concorrentes oblíquas Duas retas r e s são concorrentes oblíquas se, e somente se, r e s, ao se interceptarem, derem origem a dois ângulos agudos e dois ângulos obtusos congruentes dois a dois. Observe a figura a seguir:
Duas retas r e s contidas em um mesmo plano são paralelas ou concorrentes. Retas paralelas
s
Duas retas r e s são paralelas se, e somente se, a distância de qualquer ponto da reta r à reta s for constante. As retas paralelas podem ser: Paralelas distintas Duas retas r e s são paralelas distintas se, e somente se, elas não se interceptarem, ou seja, r ∩ s = ∅. Observe a figura a seguir:
r
Retas paralelas no plano cartesiano As retas r: y = mrx + nr e s: y = msx + ns, são paralelas se, e somente se, tiverem os coeficientes angulares iguais. Observe a figura a seguir: y
r s
r // s
x
r s
Paralelas coincidentes
r
Como as retas r e s são paralelas, temos que α = β ⇒ tg α = tg β. Portanto, temos que: mr = ms
r s
s
Observações: n
Duas retas paralelas r e s são distintas se, e somente se, possuírem coeficientes lineares diferentes, ou seja, nr ≠ ns.
n
Duas retas paralelas r e s são coincidentes se, e somente se, possuírem coeficientes lineares iguais, ou seja, nr = ns.
n
Duas retas r e s são concorrentes se, e somente se, possuírem coeficientes angulares diferentes, ou seja, m r ≠ m s.
Retas concorrentes Duas retas r e s são concorrentes se, e somente se, interceptarem-se em exatamente um ponto. As retas concorrentes podem ser: Concorrentes perpendiculares Duas retas r e s são concorrentes perpendiculares se, e somente se, r e s, ao se interceptarem, derem origem a quatro ângulos retos. Observe a figura a seguir:
385
D08 Posições relativas entre duas retas
Duas retas r e s são paralelas coincidentes se, e somente se, todo ponto de r também for ponto de s, ou seja, r ∩ s = r. Observe a figura a seguir:
Matemática
Retas perpendiculares no plano cartesiano Duas retas, r: y = mrx + nr e s: y = msx + ns, são perpendiculares se, e somente se, o produto dos seus coeficientes angulares for -1. Observe a figura a seguir:
Note que r e são perpendiculares e β é ângulo externo do triângulo retângulo ABC. Daí, temos que: β = α + 90° ⇒ -α = 90° - β ⇒ tg (-α) = tg (90° – β) Utilizando as identidades trigonométricas, temos que: -tg= α cotg β ⇒ -tg= α
y
r s
1 ⇒ - tg α ⋅ tg= β 1 tg β
Multiplicando a expressão por-1 em ambos os lados, temos: C
tg α ⋅ tg β = -1 Fazendo tg α = mr e tg β = ms, temos que:
A
B
x
mr ⋅ ms = -1
EXEMPLOS 01. Dadas as retas r: y = 2x – 1 e s: 4x – ky + 7 = 0, com k ∈ IR. Obtenha k tal que: a) r e s sejam paralelas. b) r e s sejam concorrentes. c) r e s sejam perpendiculares.
O coeficiente angular da reta r é mr = 2 e o coeficiente angular da reta
-4 4 = . -k k
temos que: mr = ms ⇒ 2 =
4 ⇒ 2k = 4 ⇒ k = 2 k
b) As retas r e s são concorrentes se, e somente se, mr ≠ ms. Assim, temos que: 4 mr ≠ ms ⇒ 2 ≠ ⇒ 2k ≠ 4 ⇒ k ≠ 2 k c) As retas r e s são perpendiculares se, e somente se, mr ⋅ ms = -1. Assim, temos que: D08 Posições relativas entre duas retas
2 y – y0 = m( x – x 0 ) ⇒ y – 3 = - (x – 4) ⇒ 3 3y – 9 = 0 -2x + 8 ⇒ 2x + 3y – 17 = Portanto, a equação da reta s é 2x + 3y – 17 = 0.
a) As retas r e s são paralelas se, e somente se, mr = ms. Assim,
4 8 mr ⋅ ms =-1 ⇒ 2 ⋅ =-1 ⇒ =-1 ⇒ k =-8 k k 02. Obtenha a equação da reta s que passa pelo ponto P(4, 3) e é paralela à reta r: 2x – 3y – 1 = 0. RESOLUÇÃO
O coeficiente angular da reta r é mr =
386
mr = ms ⇒ ms = -2/3 Da reta s sabemos que ela passa pelo ponto P(4, 3) e tem coeficiente angular m = -2/3. Assim, vamos utilizar a equação fundamental para determinar a equação da reta s.
RESOLUÇÃO
= sé m s
As retas r e s são paralelas se, e somente se, mr = ms. Assim, temos que:
-2 -2 2 = =- . -(-3) 3 3
03. Obtenha a equação da reta s que passa pelo ponto Q(-3, 5) e é perpendicular à reta r: -4x + 3y – 1 = 0. RESOLUÇÃO
O coeficiente angular da reta r é= mr
-(-4) 4 . = 3 3
As retas r e s são perpendiculares se, e somente se, mr ⋅ ms = -1. Assim, temos que:
4 mr ⋅ ms =-1 ⇒ ⋅ ms =-1 ⇒ ms =-3 / 4 3 Da reta s sabemos que ela passa pelo ponto Q (-3, 5) e tem coeficiente angular m = -3/4. Assim, vamos utilizar a equação fundamental para determinar a equação da reta s. 3 ( x – 5) ⇒ 4 ⇒ 4y + 12 = -3x + 15 ⇒ 3x + 4y – 3 = 0
y – y0 = m( x – x 0 ) ⇒ y – ( -3) =
Portanto, a equação da reta s é 3x + 4y – 3 = 0.
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação 01. Qual a posição relativa entre as retas r e s nos casos a seguir: a) r: y = 2x – 5 e s: 8x – 4y + 3 = 0 paralelas distintas b) r: 5x – y + 4 = 0 e s: 5x + y + 4 = 0 concorrentes oblíquas c) r: y = x – 4 e s: -2x + 2y + 8 = 0 paralelas coincidentes d) r: 2x – 3y + 1 = 0 e s: 3x + 2y + 2 = 0 concorrentes perpendiculares 02. Obtenha a equação geral da reta s nos casos a seguir: a) 2x – 3y + 9 = 0
a)
b)
3
06. (Fuvest SP) Os pontos M(2, 2), N(-4, 0) e P(-2, 4) são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC. A reta mediatriz do segmento AB tem a equação:
4
x
2
A(4, 7) e B(6, -3). 5x + y – 27 = 0
3x – 2y + 4 = 0
s r
04. Obtenha a equação da mediatriz do segmento AB, sendo
lado BC do triângulo ABC, sendo A(0, 2), B(3, 8) e C(9, 4).
y
s // r 3
é paralela a reta r: 2x – y + 7 = 0. 2x – y + 10 = 0
05. Obtenha a equação da reta suporte da altura relativa ao
b) 3x – 4y + 9 = 0
y
03. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 4) e
-3
3
r
x
a) x + 2y – 6 = 0 b) x – 2y + 2 = 0 c) 2x – 2y – 2 = 0
d) 2x + y – 6 = 0 e) -x + 2y + 6 = 0
Exercícios Complementares
02. (Unioeste PR) Os valores de k para que as retas 2x + ky = 3 e x + y = 1 sejam paralelas e perpendiculares entre si, respectivamente, são: a) -3/2 e 1 b) -1 e 1 c) 1 e -1 d) -2 e 2 e) 2 e -2 03. (Mackenzie SP) O valor de m para que as retas m x + my + 8 = 0 e 3x + (m + 1)y + 9 = 0 sejam perpendiculares é: a) -1/4 b) -1 c) -4 d) 1/4 e) 1
04. (UEL PR) A trajetória de um móvel no plano cartesiano pode ser descrita, em função do tempo t, pelas equações x= 2 + t Essa trajetória determina uma reta: y = 3t
a) que contém os pontos (3, 9) e (-2, 6). b) paralela à reta de equação 6x – 2y – 1 = 0. c) perpendicular à reta de equação 3x – y + 1 = 0. d) que contém os pontos (1, 3) e (7, 3). e) perpendicular à reta de equação 5x – y = 0. 05. (UFPR) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura ao lado descreve a situação de maneira simplificada. y 20 r P 5
Q 10
20
B
x
2
Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então: a) (21, 7)
d) (25, 13)
b) (22, 8)
e) (26, 15)
c) (24, 12)
387
D08 Posições relativas entre duas retas
01. (UEPG PR) Julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). 01. Se o coeficiente angular de uma reta é nulo, essa reta é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas. 02. Uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas tem coeficiente angular nulo. 03. Se os coeficientes angulares de duas retas são ambos positivos, essas retas podem ser perpendiculares. 04. Se a inclinação de uma reta em relação ao semieixo positivo das abscissas é um ângulo agudo, seu coeficiente angular é positivo. 05. Duas retas paralelas entre si têm o mesmo coeficiente angular. E-C-E-C-C
FRENTE
D
MATEMÁTICA
Exercícios de Aprofundamento 01. (Mackenzie SP) Considere os triângulos, nos quais um dos vértices é sempre o ponto (0, 2) e os outros dois pertencem à reta r, como mostra a figura.
03. (UESC) Os pontos A, B, C e D representam, no sistema de coordenadas cartesianas, a localização de quatro cidades, e a poligonal ABCD representa a trajetória de um automóvel que vai de A até D, passando por B e C. Sabe-se que B é o ponto médio
y 8
- 3 x + 3 , e que a do segmento AC, cuja reta-suporte é r: y = reta-suporte do segmento AD faz com o eixo das abscissas um ângulo θ = 135°. y
2 A 0
x
x+1
4
r
x B
Para x = 1, 2, 3, ..., n, a soma das áreas dos n triângulos é: a)
n2 2
C
x
D
b) 3n
Com base nessas informações, pode-se concluir que a distância
c) 6n
de A até D é dada por um número
n 3 d) 2
a) irracional.
n(n + 1) e) 2
c) divisor de 20.
b) divisor de 12. d) divisível por 12.
02. (Uerj RJ) Uma partícula parte do ponto A(2, 0), movimentando-se para cima (C) ou para a direita (D), com velocidade de uma
e) divisível por 20. 04. (UFMG) Observe a figura:
unidade de comprimento por segundo no plano cartesiano. O
y 11
gráfico abaixo exemplifica uma trajetória dessa partícula, du-
C
rante 11 segundos, que pode ser descrita pela sequência de movimentos CDCDCCDDDCC. Admita que a partícula faça outra trajetória composta somente pela sequência de movimentos
B
CDD, que se repete durante 5 minutos, partindo de A. y
0
A
x
Determine a equação da reta que passa pela origem o (0, 0) e pelo último ponto dessa nova trajetória. 50x – 101y = 0 388
A 1 –– 2
5
x
Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das abscissas no ponto (-1/2, 0) e a área do triângulo de vértices A, B e C é 10. Então, a ordenada do ponto B é: a) 20/11 b) 31/11 c) 4 d) 5 e) 6 05. (Uncisal AL) A figura representa a reta s que intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, -a), formando com esse eixo o ângulo θ.
Matemática e suas Tecnologias
y s 0
x P (0;-a)
a) 2x + 3y – 9 = 0 b) 2x – 3y + 9 = 0 c) 2x – 3y – 3 = 0 d) 3x – 2y – 7 = 0 e) 3x + 2y – 11 = 0 10. (UFCE) No plano cartesiano, x2 – y2 + 5x – 5y = 0 é uma equação de: a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitário. c) uma hipérbole. d) duas retas paralelas. e) duas retas concorrentes.
A equação da reta é dada por: a) y = (tg θ)x – a b) y = (cot θ)x – a c) y = a – (cot θ)x 1 d) y = -(tg θ)x – a e) y = -(cot θ)x – a 06. (UFRN) A figura abaixo mostra um terreno às margens de duas estradas, X e Y, que são perpendiculares. O proprietário deseja construir uma tubulação reta passando pelos pontos P e Q.
11. (Uerj RJ) Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0,4) e B(2,0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P(xo,0), sendo 0 ≤ xo ≤ 2. y r
x P
A
y
O ponto P dista 6 km da estrada X e 4 km da estrada Y, e o ponto Q está a 4 km da estrada X e a 8 km da estrada Y. a) Determine as coordenadas dos pontos P e Q em relação ao sistema de eixos formado pelas margens das estradas. b) Determine a quantos quilômetros da margem da estrada X a tubulação vai cortar a margem da estrada Y. c) Determine a quantos quilômetros da margem da estrada Y a tubulação cortará a estrada X. a) P(4, 6) e Q(8, 4) b) 8 km c) 16 km 07. (Fuvest SP) A hipotenusa de um triângulo está contida na reta r: y = 5x – 13, e um de seus catetos está contido na reta s: y = x – 1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine: a) odos os vértices do triângulo. b) A área do triângulo. a) (6, 5), (3, 2) e (4, 7) b) 6 08. (Unioeste PR) Duas retas y = ax e y = bx + c, com a, b e c constantes reais, encontram-se no ponto (3,2). Sabe-se ainda que b = –3a. Assim, é CORRETO afirmar que as equações das retas são 2 a) y = x e y = –2x + 8. 3 3 b) y = x e y = –3x + 2. 2 2 c) y = x e y = –3x + 2. 3 d) y = –x e y = 3x – 3. e) y = 3x e y = –9x + 2. 09. (Mackenzie SP) A equação da mediatriz do segmento que une os pontos P(1, –2) e Q(5, 4) é:
C
P x0
B x
Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0,0), A e B, o valor de xo deve ser igual a: a) 2 - 2 b) 3 - 2 c) 4 - 2 2 d) 5 - 2 2 12. (Udesc SC) Seja r uma reta passando por um ponto A e seja P um ponto não pertencente à reta, de tal forma que a distância entre os pontos P e A seja de 4 unidades de comprimento e o ângulo formado entre a reta r e o segmento AP seja de 30 graus, conforme a figura.
P 30° A
r
Reta r e pontos
Sabendo-se que a equação da reta r é y = 3 e que a reta que passa pelos pontos A e P corta o eixo y no ponto (0,2), então a soma dos quadrados das coordenadas do ponto P é igual a: a) 34 b) 12 c) 4 d) 52 e) 45 389
FRENTE D Exercícios de Aprofundamento
Q
FRENTE
E
MATEMÁTICA Por falar nisso Historicamente, uma equação matemática era vista como uma ferramenta para se resolver um problema concreto. Assim, caso aparecesse um radicando negativo, durante o processo de resolução de uma equação, os matemáticos simplesmente diziam que o problema não tinha solução prática. Foi graças ao matemático italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576) que se iniciou o estudo dos números complexos por meio de um problema prático. “Dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja igual a 40”. Chamando uma das partes de x, a outra parte é dada por 10 – x, podemos obter a seguinte equação que modela o problema:
x ⋅ (10 – x ) = 40 ⇒ x 2 – 10x + 40 = 0 Essa equação fornece as seguintes soluções x = 5 ± -15 . Como não existe um número real y tal que y2 = -15, tal equação não teria solução e, então, não havia significado prático nesses valores. Cardano foi adiante e trabalhou com os radicandos negativos e concluiu que as medidas desses segmentos seriam:
5 + -15 e 5 - -15 Note que:
(5 +
)(
)
-15 ⋅ 5 - -15 = 52 -
(
-15
)
2
= 25 + 15 = 40
Desse modo, as operações entre esses “números estranhos” não nos levam a resultados absurdos. Estava dado o primeiro passo para o estudo dos números complexos que ganharam um enorme impulso após a interpretação geométrica dada pelo notável matemático alemão Carl Friedrich Gauss. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas
E05 E06 E07 E08
Números complexos: Forma algébrica. ........................................ 392 Números complexos: Operações na forma algébrica .................. 396 Números complexos: Representação geométrica........................ 399 Números complexos: Forma trigonométrica ............................... 403
FRENTE
E
MATEMÁTICA
MÓDULO E05
ASSUNTOS ABORDADOS n Números complexos: Forma
algébrica
n Unidade imaginária n Potências da unidade imaginária n Forma algébrica n Conjunto dos números complexos n Igualdade n Conjugado
NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA ALGÉBRICA O grego Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.) foi um notável matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego. Apesar de serem conhecidos poucos detalhes de sua vida, os que são conhecidos já são mais que suficientes para considerá-lo um dos principais cientistas da Antiguidade Clássica. Na Física, suas contribuições estão diretamente ligadas à hidrostática (lei do empuxo) e a estática (lei da alavanca) entre várias outras. Como inventor, contribuiu em vários tipos de máquinas para uso militar e civil, incluindo alguns tipos de armas e a bomba de parafuso (bomba de Arquimedes). Dentre as suas contribuições na Matemática, ele definiu uma curva denominada espiral de Arquimedes, que pode ser descrita como um conjunto de pontos do plano que satisfaz uma igualdade envolvendo números complexos. Nesta aula, abordaremos os principais aspectos desses números na sua forma algébrica.
Unidade imaginária Resolvendo a equação do 2º grau x2 + 36 = 0 no universo dos números reais, temos que: x 2 + 36 =0 ⇒ x 2 =36 ⇒ x =± -36
Fonte: shutterstock.com/ Por Frog Dares
Figura 01 - Praça de Arquimedes em Siracusa, Itália.
Logo, não existem números reais que são raízes dessa equação. Portanto, no conjunto dos números reais, essa equação não possui solução e seu conjunto solução é S = ∅.
392
Matemática e suas Tecnologias
A determinação das raízes dessa equação só se tornou possível após a criação de um elemento matemático chamado de unidade imaginária, indicada pela letra i e definida por: i2 = -1
Com a criação da unidade imaginária, foi possível estabelecer um novo conjunto numérico, no qual está contido o conjunto dos números reais, denominado conjunto dos números complexos e indicado por . A equação x2 + 36 = 0, resolvida no universo dos números complexos, tem solução. Observe:
x 2 + 36 =⇒ 0 x2 = -36 ⇒ x 2 = 36 ⋅ ( -1 ) ⇒ x 2 = 36i2 ⇒ x = ± 36i2 ⇒ x = ± 6i∴ S = { ±6i}
Potências da unidade imaginária A seguir, vamos desenvolver algumas potências de expoente natural da unidade imaginária. Observe: i0 = 1
i4 = i3 ⋅ i = (-i) ⋅ i = 1
i8 = i7 ⋅ i = (-i) ⋅ i = 1
i1 = i
i5 = i4 ⋅ i = 1 ⋅ i = i
i9 = i8 ⋅ i = 1 ⋅ i = i
i2 = -1
i6 = i5 ⋅ i = i ⋅ i = -1
i10 = i9 ⋅ i = i ⋅ i = -1
i3 = i2 ⋅ i = (-1) ⋅ i = -i
i7 = i6 ⋅ i = (-1) ⋅ i = -i
i11 = i10 ⋅ i = (-1) ⋅ i = -i
Note que os possíveis resultados das potências da unidade imaginária se alternam entre os valores 1, i, -1, -i, nessa ordem. Para mostrar por que isso ocorre, vamos considerar a potência in, sendo n um número natural que, ao ser dividido por 4, dá quociente q e resto r. Assim, temos que: +r = in i4n= i4n= ⋅ ir
⋅i ( i )= 4 n
r
1n= ⋅ ir ir
Portanto, temos que igualdade in = ir para todo n ∈ IN, sendo r o resto da divisão de n por 4.
Forma algébrica A forma algébrica de um número complexo z é dada por: z= a + bi
Sendo: n n
a = Re(z) ∈ IR é a parte real do complexo z. b = Im(z) ∈ IR é a parte imaginária de z. i é a unidade imaginária.
E05 Números complexos: Forma algébrica
n
Por exemplo: n z = 4 + 2i é um número complexo tal que a = Re(z) = 4 e b = Im(z) = 2. n z = -5+7i é um número complexo tal que a = Re(z) = -5 e b = Im(z) = 7.
Conjunto dos números complexos Dado o número complexo z = a + bi, o conjunto dos números complexos, indicado por ℂ, é o conjunto definido por: = -1} {a + bi|a, b ∈ e i2 =
393
Matemática
Igualdade
Define-se ainda que: n
O número complexo z = a + bi, com a ∈ IR* e b ∈ IR* é um número imaginário.
n
O número complexo z = a + bi, com a = 0 e b ∈ IR* é um número imaginário puro.
n
O número complexo z = a + bi, com a ∈ IR e b = 0 é um real. Daí, pode-se concluir que todo número real é um número complexo de parte imaginária nula, ou seja, IR ⊂ ℂ.
Por exemplo:
Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e suas partes imaginárias forem respectivamente iguais. Assim, dados os números complexos z = a + bi e w = c + di, temos que: a = c z = w ⇔ a + bi = c + di ⇔ b = d
Conjugado O conjugado do número complexo z = a + bi é o número complexo z = a - bi , obtido pela troca de sinal da sua parte imaginária.
n
z = 9 + 2i (a ∈ IR* e b ∈ IR*) é um número imaginário.
Por exemplo:
n
z = -3i (a = 0 e b ∈ IR*) é um número imaginário puro.
n
O conjugado de z = -8 + 4i, seu conjugado é z =-8 - 4i.
n
z = 12 (a ∈ IR e b = 0) é um número real.
n
O conjugado de z = 5 – 2i, seu conjugado é z= 5 + 2i.
EXEMPLOS 01. Resolva a equação x2 + 2x + 10 = 0, a) no conjunto dos números reais. b) no conjunto dos números complexos.
RESOLUÇÃO Sendo z = –7 – (a – 4b)i e w = (2a – 3b) + 11i, temos que:
RESOLUÇÃO a) x2 + 2x + 10 = 0 ⇒ ∆ = 22 – 4 ⋅ 1 ⋅ 10 = -36. Como ∆ < 0 a equação não raiz real.
-7 2a - 3b = z= w ⇔ -a + 4b =11
Multiplicando a 2ª equação por 2, temos:
Portanto, o conjunto solução é S = ∅.
-7 2a - 3b = 22 -2a + 8b =
b) x2 + 2x + 10 = 0 ⇒∆ = 22 – 4 ⋅ 1 ⋅ 10 = -36 = 36 ⋅ (-1) = 36i2 ⇒ x=
-2 ± 6i -2 ± 36i2 =-1 ± 3i ⇒x= 2 2 ⋅1
Portanto, o conjunto solução é S = {-1 + 3i, -1 – 3i}. 02. Dado o número complexo z = (2a – 8) + (3b + 6)i, com a, b ∈ IR, determine: a) Os valores de a e b para que z seja um número imaginário puro. b) Os valores de a e b para que z seja um número real.
Somando as equações membro a membro, temos: 5b = 15 ⇒ b = 3 Substituindo b = 3 na 1ª equação, temos: 2a – 3 ⋅ 3 = -7 ⇒ a = 1. Portanto, a = 1 e b = 3. 04. Qual o valor da expressão S = 2i32 + 3i33 + 4i34 + 5i35.
E05 Números complexos: Forma algébrica
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO
a) z = (2a – 8) + (3b + 6)i imaginário puro se, e somente se: 0 2a - 8 = 3b + 6 ≠ 0
Portanto, z é imaginário puro para a = 4 e b ≠-2. b) z = (2a – 8) + (3b + 6)i seja real se, e somente se: 3b + 6 = 0 ⇒ b = -2 Portanto, z é real para ∀a ∈ IR e b = -2. 03. Considerando os números complexos z = -7 – (a – 4b)i e w = (2a – 3b) + 11i, com a, b ∈ IR, determine os valores de a e b para que z e w sejam iguais.
394
i32 = i0 = 1, pois o resto da divisão de 32 por 4 é igual a 0. i33 = i1 = i, pois o resto da divisão de 33 por 4 é igual a 1. i34 = i2 = -1, pois o resto da divisão de 34 por 4 é igual a 2. i35 = i3 = -i, pois o resto da divisão de 35 por 4 é igual a 3. Daí, temos que: S = 2i32 + 3i33 + 4i34 + 5i35 = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ i + 4 ⋅ (-1) + 5 ⋅ (-i) S = 2 + 3i - 4 - 5i = -2 - 2i Portanto, S = -2 - 2i.
Matemática e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação 01. Resolva as seguintes equações no conjunto dos números complexos. a) x2 + 49 = 0 S = {±7i} b) x2 – 8x + 25 = 0 S = {4 ± 3i} c) x2 + 2x + 5 = 0 S = {-1 ± 2i} 02. Determine m ∈ IR para que o número complexo z = (m – 16) + (m–4)i seja: 2
a) um número imaginário puro. m = -4 b) um número real. m = 4 03. Calcule os valores reais de a e b nas seguintes igualdades:
b) (b + 3) + (a – 4)i = 8 – 2i a = 2 e b = 5 c) (2b – 5) + (3a + 9)i = 1 a = -3 e b = 5/2 04. Sendo i a unidade imaginária, calcule o valor de: a) i37 i b) i95 -i c) (1 + i)2 -2 d) (1 + i)10 32i 05. Sendo i a unidade imaginária, qual o valor de: a) i + i2 + i3 + ... + i17 + i17 i b) i3 + i4 + i5 + ... + i37 + i40 1 – i
a) a + (b – 2)i = -5 + 7i a = -5 e b = 9
Exercícios Complementares 04. (UEAM) Considere os números complexos z1 = 2a + (b + 2)i e
U = C, onde C é o conjunto dos números complexos.
z2 = 3(b + 1) + ai, com a e b números reais. Sabendo que z1 = z2,
1. A soma das raízes dessa equação é zero.
o valor de a ⋅ b é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
2. O produto das raízes dessa equação é 4. 3. O conjunto solução dessa equação é {-2, 2} Sobre as sentenças, é verdade que: a) somente a 1 é falsa. b) somente a 2 é falsa. c) somente a 3 é falsa. d) todas são verdadeiras. e) todas são falsas. 02. (UFRS) O número z = (m – 3) + (m² – 9)i será um número real não nulo para: a) m = -3 b) m < -3 ou m > 3 c) -3 < m < 3 d) m = 3 e) m > 0 03. (UEL PR) Sejam os números complexos w = (x – 1) + 2i e v = 2x + (y – 3)i, onde x, y ∈ IR. Se w = v, então:
05. Sabendo que é possível obter uma equação do 2º grau do tipo x2– Sx + P = 0, sendo S e P a soma e o produto das suas raízes, respectivamente, determine dois números cuja soma é 12 e o produto é 40. 6 + 2i e 6 – 2i 06. Utilizando a identidade x3 – a3 = (x – a) ⋅ (x2 + ax – a2), resolva a equação x3 – 8 = 0 no conjunto dos números complexos.
S 2, 1 3 i
07. (UFMG) Seja z = (a + i)3 um número complexo, sendo a um número real. a) (a3 – 3a) + (3a2 – 1)i a) Escreva z na forma a + bi, sendo a e b números reais. b) Determine os valores de a para que z seja um número imaginário puro. S 0,
3
08. (UECE) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a
a) x + y = 4
–1, então, o valor de 5 ⋅ i227 + i6 – i13 é igual a
b) x ⋅ y = 5
a) i + 1
c) x – y = 4
b) 4i – 1
d) x = 2y
c) –6i – 1
e) y = 2x
d) –6i
395
E05 Números complexos: Forma algébrica
01. (Fatec SP) Seja a equação x² + 4 = 0 no conjunto Universo
FRENTE
E
MATEMÁTICA
MÓDULO E06
ASSUNTOS ABORDADOS n Números complexos: Operações
na forma algébrica
n Operações na forma algébrica
NÚMEROS COMPLEXOS: OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA A eletricidade se tornou a principal fonte de luz, calor e força utilizada no mundo moderno. Atividades simples como assistir à televisão ou navegar na internet são possíveis porque a energia elétrica chega até a sua casa. Fábricas, supermercados, shoppings e uma infinidade de outros lugares precisam dela para funcionar. Grande parte dos avanços tecnológicos que alcançamos se deve à energia elétrica. Obtida a partir de todos os outros tipos de energia, a eletricidade é transportada e chega aos consumidores no mundo inteiro por meio de sistemas elétricos complexos, compostos de quatro etapas: geração, transmissão, distribuição e consumo. O primeiro passo para produzir energia elétrica é obter a força necessária para girar as turbinas das usinas de eletricidade. Gigantescos sistemas de hélices, elas movem geradores que transformam a energia mecânica (movimento) em energia elétrica.Essa força pode ser obtida de diversas fontes de energia primária. No Brasil, a energia elétrica vem, em primeiro lugar, de usinas hidrelétricas; depois, de termelétricas; e, por último, de usinas nucleares. Fonte:http://www.eletrobras.com/elb/natrilhadaenergia/energia-eletrica Acesso: Outubro de 2017
Assim que a energia elétrica chega às residências, para que seja feito o correto dimensionamento das instalações elétricas, as grandezas elétricas presentes nos circuitos dessas instalações são analisadas com o auxílio dos números complexos. Por exemplo, a relação U = Z ⋅ j fornece a tensão U em função da impedância Z e da corrente elétrica j. Nesses termos, essas variáveis são expressas por meio de números complexos. Nesta aula, abordaremos as operações entre os números complexos na forma algébrica.
Figura 01 - Lâmpada de LED decorativa muito utilizada atualmente.
396
Matemática e suas Tecnologias
Operações na forma algébrica
Daí, temos que:
Assim como no conjunto dos números reais, podemos definir operações no conjunto dos números complexos. Adição de números complexos na forma algébrica Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di, a adição z + w é definida por:
z + w = ( a + bi) + ( c + di) = ( a + c ) + (b + d) i Subtração de números complexos na forma algébrica Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di, a subtração z – w é definida por:
z – w =( a + bi) – ( c + di) =( a – c ) + (b – d) i Multiplicação de números complexos na forma algébrica Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di, a multiplicação z ⋅ w é definida por:
z ⋅ w = ( a + bi) ⋅ ( c + di) = ( ac – bd) + ( ad + bc ) i Demonstração: Para se obter z ⋅ w, basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Observe:
z ⋅ w = ( a + bi) ⋅ ( c + di) = ac + adi + bci + bdi2
z ⋅ w = ac + adi + bci – bd = ( ac – bd) + ( ad + bc ) i Divisão de números complexos na forma algébrica Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di, a divisão
z ( z ≠ 0 ) é definida por: w
z ac + bd bc - ad = 2 2 + 2 2 i w c +d c +d Demonstração: z , basta multiplicar o numerador e o denomiw nador da fração pelo conjugado do denominador. Observe: Para obter
z a + bi c - di ac - adi + bci - bdi2 = ⋅ = w c + di c - di c2 - d2i2
Fazendo i2 = -1, temos:
z ac - adi + bci - bd ⋅ ( -1 ) ac - adi + bci + bd = = w c2 - d2 ⋅ ( -1 ) c2 + d2 Daí, temos que: z ( ac + bd) + (bc - ad) i ac + bd bc - ad = = 2 2 + 2 2 i w c2 + d2 c +d c +d
Fazendo i2 = -1, temos:
z ⋅ w = ac + adi + bci + bd ⋅ ( -1 )
01. Efetue: a) (1 + 3i) + (-4 + 6i) b) (2 - 5i) – (-7 + 9i) c) (1 - 3i) ⋅ (3 + 2i) d)
02. Obtenha o número complexo z tal que 2z – 3z = -1 + 10i. RESOLUÇÃO
3 - 5i 1-i
Sendo z = a + bi, temos que z = a - bi Substituindo em 2z – 3 z = = -1 a -+bi10i, temos que: RESOLUÇÃO
a) (1 + 3i) + (-4 + 6i) = (1 – 4) + (3 + 6)i = -3 + 9i b) (2 – 5i) – (-7 + 9i) = [2 – (-7)] + (-5 – 9)i = 9 – 14i c) (1 – 3i) ⋅ (3 + 2i) = 3 + 2i – 9i – 6i2 = 3 + 2i – 9i – 6 ⋅ (-1) = 9 – 11i d)
E06 Números complexos: Operações na forma algébrica
EXEMPLOS
3 - 5i 1 + i 3 + 3i - 5i - 5i2 3 + 3i - 5i + 5⋅ (-1) -2 - 2i ⋅ =2 2 = = =-1 - i 1-i 1+i 1 -i 12 - (-1) 2
2(a + bi) – 3(a – bi) = -1 + 10i ⇒ 2a + 2bi – 3a + 3bi = -1 + 10i Daí, temos: -a =-1 -a + 5bi =-1 + 10i ⇒ 5b = 10 Portanto, a = 1, b = 2 e z = 1 + 2i.
397
Matemática
Exercícios de Fixação 01. Efetue as seguintes operações com números complexos: a) (3 + 6i) + (3 – 9i) 6 – 3i b) (-4 – 4i) – (9 + 8i) -13 – 12i c) (3 – 2i) ⋅ (4 + 5i) 22 + 7i d) (-3 + 4i) ⋅ (1 + 6i) -27 – 14i
04. (Unioeste PR) Seja z um número complexo da forma a + bi, onde a e b são escolhidos dentre os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}. a) 36 b) S = {1, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 3i, 1 + 4i, 1 + 5i}
02. Efetue as seguintes operações com números complexos: a)
1 - 6i 2 + 3i
16 15 i 13 13
3 + 4i b) 1+i
7 3 i 2 2
5+i 1 - 2i
3 11 i 5 5
c)
b) Determine x de modo que z seja imaginário puro. x = -3
a) Quantos números complexos podem ser assim formados? b) Dentre os números formados, quais satisfazem a equação z + z = 2? 05. (Unesp SP) Considere os números complexos z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), onde i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine:
x -i , com x ∈ IR: 1 - 3i x 3 3x 1 a) Escreva z na forma algébrica. z 10 5 i
03. Dado o número complexo z =
a) O número complexo z1 ⋅ z2 em função de x. (2x – 2) + (4 + x)i b) Os valores de x tais que Re (z1 ⋅ z2) ≤ Im (z1 ⋅ z2), onde Re denota a parte real e Im denota a parte imaginária do número complexo. {x ∈ IR | x ≤ 6}
Exercícios Complementares 01. (USF SP) Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = 1 – 2i. Como z1 ⋅ z2 = 15, então z1 + z2 é igual a: a) 8 b) 4 c) 4 + 4i d) 6 + i e) 8 – 2i 02. (Mackenzie SP) Para i² = -1, os valores reais de a e b tais
E06 Números complexos: Operações na forma algébrica
que
a-i i = 3 + bi são, respectivamente: i3 i26
a) 0 e 3/2 b) -4 e 1 c) 3/2 e 0 d) 3/2 e 2 e) -6 e 2 03. (UFRRJ) A soma de um número complexo z com seu conjugado é igual a 3 vezes a parte imaginária de z e o produto de z pelo seu conjugado vale 52. Determine z, sabendo que sua parte real é positiva. z = 6 + 4i 04. (Fuvest SP) Sabendo que α é um número real e que a parte 2+i imaginária do número complexo é zero, então α é: α + 2i a) -4 b) -2 c) 1 d) 2 e) 4
398
05. (Puc MG) O complexo z tal que 5z + z – 12 = 16i é igual a: a) -2 + 2i b) 2 – 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i e) 3 + i 06. (UEM PR) Considere os números complexos z1 = 1 + 5i e z2 = 3 + 4i. Assinale o que for correto. C-E-E-C-E 01. z1 ⋅ z1 = 26 . 02. z1 + z2 = z1 + z2 . 04. z1 ⋅ z2 =3 + 20i . z1 23 11 08. = + i. z2 25 25 16. z1 ⋅ z1 = 0. n
1+i 07. Considere o complexo z = , com n ∈ IN*. 1-i a) Determine n para que z seja real e positivo. b) Determine n para que z seja real imaginário puro. a) Para todo n natural múltiplo de 4; b) Para todo natural ímpar.
08. (UEAM) Considere os números complexos z1 = – 3 + pi e z2 = p – i, com p um número real. Sabendo que z1 · z2 = – 4 + 7i, o valor de z1 + z2 é: a) 2 + 3i b) –1 – 3i c) –1 + i d) –1 – i e) 1 + i
FRENTE
E
MATEMÁTICA
MÓDULO E07
NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA O primeiro fato de que se tem notícia da sinuca (ou snooker) remete ao ano de 1875, quando oficiais ingleses do Regimento Devonshire estavam na Índia, mais precisamente na cidade de Jabalpur e, em função de tratar-se de um período de muita chuva, acabaram passando muito tempo em volta de uma mesa de bilhar.
ASSUNTOS ABORDADOS n Números complexos: Represen-
tação geométrica n Plano complexo
n Módulo de um número complexo n Argumento de um número complexo
Para entreter os militares, o oficial Neville Francis Fitsgerald Chamberlain resolveu inventar novas regras para o jogo que até então, resumia-se em encaçapar bolas. Dessa maneira surgiu a sinuca. Rapidamente as regras do novo jogo chegaram a outros continentes levadas, principalmente, pelo grande jogador de bilhar, John Roberts, que fez questão de conhecer Chamberlain pessoalmente e a quem o jogo foi apresentado. Em 1907, foi realizado o primeiro campeonato mundial de sinuca cujo vencedor foi o inglês Charles Dawson. Já o primeiro campeonato que pagou premiação em dinheiro para o vencedor foi disputado em 1927. O título ficou para o também inglês Joe Davis que recebeu seis libras esterlinas pelo resultado (atualmente os prêmios em campeonatos mundiais chegam a 3 milhões de libras esterlinas – algo em torno de cinco milhões de dólares). Joe simplesmente venceu todos os campeonatos mundiais realizados entre 1927 e 1946 (de 1941 a 1945 o torneio não foi realizado). Entre 1950 e 1960 o snooker perdeu um pouco da sua popularidade. E, para acabar com isso, novamente Davis entrou em cena – o inglês introduziu bolas coloridas ao jogo – uma variação que ficou conhecida como “snooker plus”. Figura 01 - Mesa de sinuca.
399
Matemática
Em 1969, o snooker ganhou novamente força ao ter um de seus maiores torneios, o Pot Black, transmitido pela rede de televisão norte-americana BBC. Na verdade, o objetivo principal dessa cobertura foi mostrar o potencial da televisão a cores – nada como uma mesa verde e bolas coloridas! Em 1978, foi transmitido pela primeira vez o Campeonato Mundial de Snooker popularizando de vez o jogo. Só para se ter uma ideia da repercussão da transmissão, em 1985, 18,5 milhões de pessoas assistiram à final do Campeonato Mundial entre Dennis Taylor e Steve Davis. Fonte: http://www.sinucasinuca.com.br/historia/ Acesso: Outubro de 2017
Arquimedes, grande apreciador de sinuca, utilizou esse jogo para criar um problema matemático. Para tanto, ele considerou que em um jogo de sinuca, a mesa representada pelo retângulo M(2, 3), N(-2, 3), P(-3, -2) e Q(2, -3) tem o centro O coincidindo com a origem do plano complexo. Observe a figura abaixo.
n n
a = Re(z) é a abscissa do ponto P. b = Im(z) é a ordenada do ponto P.
Observação: n O número complexo z = a + bi também pode ser expresso na forma do par ordenado z = (a, b).
Módulo de um número complexo Dado o número complexo z = a + bi cujo afixo é o ponto P(a, b), denomina-se módulo do número complexo z (indicado por |z| ou ρ) a distância do ponto P(a, b) ao ponto O(0, 0) do plano complexo. Observe a figura a seguir: Im P
b
O
a
Re
Para obter o módulo de z, indicado por ρ, basta aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo destacado. Assim, temos que: 2 ρ= a2 + b2 ⇒ ρ = a2 + b2
Portanto, o módulo do número complexo z = a + bi, é o número real ρ ≥ 0 dado por: Após uma tacada do ponto O, a bola preta segue na direção de z = 1 + i, bate em A, indo em seguida até B e parando, conforme mostra a figura. Assim, qual o número complexo associado ao ponto A? Nesta aula, abordaremos a representação geométrica dos números complexos em um plano cartesiano denominado plano complexo ou plano de Argand-Gauss.
E07 Números complexos: Representação geométrica
Plano complexo
Im
Argumento de um número complexo
Dado o número complexo z = a + bi cujo afixo é o ponto P(a, b), denomina-se argumento do número complexo z, indicado por arg(z), ao ângulo 0 ≤ θ < 2π, formado pelo segmento OP e o eixo das abscissas medido no sentido anti-horário. Observe a figura a seguir:
O
Re
Nesse sistema, podemos destacar que: n Re é de eixo real. n Im é o eixo imaginário. n P é o afixo ou imagem geométrica de z. 400
a
Re
Para obter o argumento de z, indicado por θ, basta aplicar as razões trigonométricas no triângulo retângulo destacado. Assim, temos que:
P
a
P
b
sen = θ O
a2 + b2
Im
A cada número complexo z = a + bi, corresponde a um único ponto P(a, b) do plano cartesiano no qual marcamos sobre o eixo das abscissas a parte real de z e sobre o eixo das ordenadas a parte imaginária de z. Esse sistema é chamado de plano complexo ou plano de Argand-Gauss. Observe a figura a seguir: b
= ρ
b a b , cos = θ e= tg θ ρ ρ a
Portanto, o argumento do número complexo z = a + bi, é o número 0 ≤ θ < 2π tal que: sen = θ
b a b , cos = θ e= tg θ ρ ρ a
Matemática e suas Tecnologias
EXEMPLOS 01. Determine os números complexos z = a + bi, tal que a – b = 1 e |z| = 5.
Substituindo a = -b na 1ª equação, temos:
( -b )
2
RESOLUÇÃO
+ b2 =32⇒ 2b2 =32⇒ b =±4 ⇒ b =-4
Substituindo b = -4 na 2ª equação, temos:
|z| Sendo =
a2 + b2 , temos o seguinte sistema de equações: 1 a - b = a= 1 + b ⇒ 2 2 2 2 25 + = a b 5 a + b =
Portanto, o número complexo é z = 4 – 4i. 03. Represente graficamente A = {z ∈ C | |z| = 3}.
Substituindo a = 1 + b na 2ª equação, temos:
(1 + b )
2
a = -b = -(-4) ⇒ a = 4
+ b2 = 25⇒b2 + 2b + 1 + b2 = 25 = 0 ⇒2b2 + 2b – 24 = 0
Dividindo toda a equação por 2, temos:
no
plano
complexo
o
conjunto
RESOLUÇÃO Fazendo z = x + yi em |z| = 3, temos:
b2 + b – 12 = 0 ⇒ b = -4 ou b = 3
x 2 + y2 = 3
Substituindo em a = 1 + b, temos: b = -4 ⇒ a = -3 ⇒ z = -3 – 4i
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos que:
b = 3 ⇒ a = 4 ⇒ z = 4 + 3i
x 2 + y2 = 9
Portanto, os números são z = -3–4i ou z = 4+3i. 02. Obtenha o número complexo cujo módulo 4 2 e o argumento é 135°.
Assim, os elementos do conjunto A são os números complexos cujos afixos são pontos de uma circunferência de centro na origem e raio 3. Portanto, sua representação é:
RESOLUÇÃO Vamos determinar um número complexo z = a + bi, tal que: |z| = 4 2 e arg (z) = 135°. Como o argumento de z é um arco do 2° quadrante, seu afixo é um ponto P(a, b) do 2° quadrante, logo a < 0 e b > 0. Daí, temos que: a2 + b2 = 4 2 a2 + b2 = 32 ⇒ b a = -b tg135° = a
Exercícios de Fixação
Im
a) z = 4+ i
17
b) z = -4 + 3i 5 c) z = 4 – 6i 2
Z₃
13
d) z = -7i 7
Z₂
03. Calcule o argumento dos números complexos a seguir.
Z₁
Re
Z₄
a) = z
3 +i
b) z =-2 + 2i
Z₆ Z₇ Z₅
02. Calcule o módulo dos números complexos a seguir:
E07 Números complexos: Representação geométrica
01. Obtenha a forma algébrica de cada um dos números complexos que correspondem aos afixos no plano complexo a seguir: z1 = 4 + 2i, z2 = 4i, z3 = -4 + 5i, z4 = -5, z5 = -2 – 5i, z6 = -2i e z7 = 6 – 4i
30° 135°
c) z =-4 - 4 3 i
240°
d) z = 2i 90°
401
Matemática
Exercícios Complementares
01. (UEPB) O ponto correspondente ao complexo z =
2 - i55 fica 3+i
localizado em qual posição do plano complexo?
-Gauss que se denomina afixo. Seja z = 2 + 3i e z seu conjugado. Os afixos de z, z , -z e - z , representados no plano de Argand-Gauss, são os vértices de um quadrilátero Q. Deter-
a) No 4º quadrante.
mine o perímetro de Q. 20
b) No 3º quadrante. c) No 2º quadrante.
05. (Cesesp PE) O lugar geométrico descrito pelo número com-
d) No 1º quadrante.
plexo z = x + yi, tal que |z – 2 – i| = 5, é:
e) Em (0, 0).
a) Uma circunferência de centro (0, 5) e raio 2.
02. (Mackenzie SP) Na figura, os números complexos z e w têm módulos iguais.
b) Uma parábola. c) Uma circunferência de centro (2, 1) e raio 5. d) Uma elipse. e) Uma circunferência de centro (-2, -1) e raio 5.
w
06. (Uerj RJ) João desenhou um mapa do quintal de sua casa,
z
1
onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base
2
de uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y),
Sendo i a unidade imaginária, o produto z ⋅ w é igual a:
nesse sistema, é a representação de um número comple-
a) 4 + 3i
xo z = x + yi, x ∈ IR, y ∈ IR e i2 = -1. Para indicar a posição
b) 4 – 3i
(x1, y1) e a distância d do cofre à origem, João escreveu a
c) 3 + 4i
seguinte observação no canto do mapa:
d) -4 – 3i
x1 + iy1 = (1 + i)9
e) -4 + 3i 03. (Fatec SP) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo do número complexo z, no plano de Argand-Gauss.
Calcule: a) As coordenadas (x1, y1). (16, 16) b) O valor de d. 16
2
07. (UFG GO) Seja C o conjunto dos números complexos e A = {z ∈ C | Re(1/z) = 1/4}. Represente, geometricamente, no plano complexo, o conjunto A.
(
E07 Números complexos: Representação geométrica
08. (Puc SP) Em relação ao número complexo z =i87 ⋅ i105 + 3
)
é correto afirmar que a) sua imagem pertence ao 3º quadrante do plano com-
Se z é o complexo conjugado de z, então:
plexo.
a) z =-2 + 2 3 i b) z =-2 + 2 3 i
Gabarito questão 07
Im
c) o módulo de z é igual a 4.
c) z =-2 + 3 i 2 3 d) z =-2 + i 3
e) z =-2 +
2
4 Re
3 i 3
04. (UFMT) O número complexo z = a + bi é representado geometricamente por um ponto P(a, b) no plano de Argand-
402
b) é imaginário puro. d) seu argumento é igual ao argumento do número com1 3 i . plexo v= 2 2
FRENTE
E
MATEMÁTICA
MÓDULO E08
NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA
ASSUNTOS ABORDADOS n Números complexos: Forma tri-
gonométrica
O surgimento do plano complexo Jean Robert Argand (1768 – 1822) foi um matemático amador suíço que ficou famoso por sua interpretação geométrica dos números complexos, cuja unidade imaginária (i) foi interpretada como uma rotação de 90°.
n Forma trigonométrica ou polar n Operações na forma trigonométrica
Contudo, a primeira publicação a respeito dessa interpretação foi do matemático dinamarquês Caspar Wessel (1745-1818), sem sequer mencionar o nome de Argand. Assim, foi necessário um longo período de tempo para que tal descoberta fosse creditada a ele. Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), notável matemático alemão, em uma de suas inúmeras contribuições ao mundo da matemática, utilizando as ideias de Argand, observou que a cada número complexo podia ser associado a um ponto do sistema cartesiano. A partir daí, ele convencionou que era possível associar um número complexo z = a + bi ao ponto P(a, b) e vice-versa, estabelecendo uma correspondência biunívoca entre os números complexos e os pontos do plano cartesiano. Dessa forma, o eixo das abcissas representa a parte real de z, no eixo das ordenadas se a parte imaginária de z.
Figura 01 - A imagem mostra um grupo de alunos com um jogo que envolve conhecimentos matemáticos.
403
Matemática
Assim, considere um jogo chamado “Batalha Complexa” disputado sobre o plano de Argand-Gauss, no qual são conhecidos dois números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. Nesse jogo, é conhecido como tiro certeiro de z em w, o número complexo t tal que t ⋅ z = w. Observe a figura a seguir:
Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica Dados os números complexos z = ρ ⋅ (cos θ + isen θ) e w = ϕ ⋅ (cos α + isen α), amultiplicação z ⋅ w é definida por: z ⋅ w = ρ ⋅ ϕ ⋅ cos ( θ + α ) + isen( θ + α )
Demonstração: Para se obter z ⋅ w, basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Observe: z ⋅ w = [ρ ⋅ (cos θ + isen θ)] ⋅ [ϕ⋅(cos α + isen α)] = = ρ ⋅ ϕ ⋅ (cos θ + isen θ) ⋅ (cos α + isen α) Assim, temos que: z ⋅ w = ρ ⋅ ϕ ⋅ [(cos θ ⋅ cos α – sen θ ⋅ sen α) + i(sen θ ⋅ cos α + sen α ⋅ cos θ)] Daí, temos que:
A partir das representações da mira z e do alvo w na figura acima, podemos determinar o tiro certeiro de z em w por meio das operações de números complexos na forma trigonométrica. Nesta aula, abordaremos a forma trigonométrica dos números complexos, bem como as operações de multiplicação e divisão nessa forma.
Forma trigonométrica ou polar Dado o número complexo z = a + bi, expresso na forma algébrica. Sabendo-se que z tem módulo ρ e argumento θ, já sabemos que sen θ =
sen θ =
b a e cos θ = . Daí, temos que: ρ ρ b ⇒ b = ρ ⋅ senθ ρ
(1 )
e cos θ =
a ⇒ a = ρ ⋅ cos θ r
(2 )
E08 Números complexos: Forma trigonométrica
Substituindo (1) e (2) em z = a + bi, temos que: z = a + bi ⇒ z = ρ.cos θ + i ρ ⋅ sen θ = ρ ⋅ (cos θ + isen θ) Portanto, a forma trigonométrica do número complexo z = a + bi é dada por:
z = ρ ⋅ (cos θ + isen θ) Observação: n Também se pode expressar um número complexo na forma trigonométrica por z = ρ ⋅ cis θ.
Operações na forma trigonométrica Assim como na forma algébrica, podemos definir operações na forma trigonométrica. 404
z ⋅ w = ρ ⋅ ϕ. cos ( θ + α ) + isen( θ + α )
Note que: n O módulo do produto z e w é dado pelo produto dos seus módulos. n O argumento do produto ze w é dado pela soma dos seus argumentos. Divisão de números complexos na forma trigonométrica Dados os números complexos z = ρ ⋅ (cos θ + isenθ) e z w = ϕ ⋅ (cos α + isen α), adivisão (z ≠ 0) é definida por: w
z ρ = ⋅ cos ( θ - α ) + isen( θ - α ) w ϕ Demonstração: z Para obter , basta multiplicar o numerador e o denomiw nador da fração pelo conjugado do denominador. Observe:
z ρ ⋅ ( cos θ + isenθ ) ρ ⋅ ( cos θ + isenθ ) ( cos α - isenα ) = = ⋅ w ϕ ⋅ ( cos α + isenα ) ϕ ⋅ ( cos α + isenα ) ( cos α - isenα ) Assim, temos que: z ρ ( cos θ ⋅ cos α + isenθ ⋅ senα ) + i( senθ ⋅ cos α - senα ⋅ cos θ ) = ⋅ w ϕ cos2 α + sen2 α
Daí, temos que:
z ρ = ⋅ cos ( θ - α ) + isen( θ - α ) w ϕ Note que: n O módulo da divisão de z por w é dado pela divisão do módulo de z pelo módulo de w. n O argumento da divisão de z por w é dado pela subtração do argumento de z pelo argumento de w.
Matemática e suas Tecnologias
EXEMPLOS 01. Obtenha a forma trigonométrica do número complexo z = 6 – 6i.
RESOLUÇÃO a)
RESOLUÇÃO
π π π π z ⋅ w = 6 cos + sen ⋅ 8 cos + sen = 4 4 6 6
Determinação do módulo de z: = ρ
2 62 + (-6) =
36 + 36 =
72 = 6 2.
π π 5π 5π π π 6 ⋅ 8 cos + + sen += 48 cos + isen 12 12 4 6 4 6
Determinação do argumento de z:
tg θ =
-6 = -1 6
b)
O afixo de z é o ponto P(6, -6) do 4º quadrante do plano complexo, logo o seu argumento θ é um arco do 4º quadrante tal que tg θ = -1, ou seja, θ = 7π/4. Portanto, a forma trigonométrica de z é dada por:
z = t
7π 7π 7π z= 6 2 ⋅ cos + isen = 6 2 ⋅ cis 4 4 4 π π π π = z 6 cos + sen= 02. Dados os números complexos , w 8 cos + sen 4 4 6 6
π π 6 π π π π cos - + sen -= 0,6 cos + isen 10 4 8 8 8 4 8 c) π π π π w2= w ⋅ w = 8 cos + sen ⋅ 8 cos + sen = 6 6 6 6
π π e t 10 cos + sen , calcule: = 8 8 a) z ⋅ w b)
π π 6 cos + sen 4 4 = π π 10 cos + sen 8 8
π π π π π π 8 ⋅ 8 cos + + sen + = 64 cos + isen 3 3 6 6 6 6
z t
c) w2
Exercícios de Fixação
3
3
a) A forma trigonométrica de um número complexo cujo módulo é 3 e o argumento π/3. b) A forma trigonométrica de um número complexo cujo módulo é 8 e o argumento 135°. 02. Obtenha a forma trigonométrica dos números complexos a seguir: a) z = 6 6(cos 0° + i sen 0°) b) z = 2i 2(cos 90° + isen 90°) c) z= 2 + 2 3 i 4(cos 60° + isen 60°)
- 3 -i d) z =
2(cos 210° + isen 210°)
03. Obtenha a forma algébrica dos números complexos a seguir: π π a) z = 5 cos + isen 4 4
5 2 5 2 i 2 2
b) z = 4 ( cos 330° + isen 330° ) 2π 2π c) z = 6 cos + isen 3 3 d) z = 7 ( cos π + isen π )
2 3 2i
04. Dados os números complexos z = 6(cos 170° + isen 170°), w = 3(cos 40° + isen 40°) e t = 2(cos 10° + isen 10°), calcule: a) z ⋅ w 18(cos 210° + isen 210°) z b) 3(cos160° + isen 160°) t c) w2 9(cos 80° + isen 80°) w d) 2 1,5(cos 150° + isen 150°) t 05. (Puc Campinas SP) Seja o número complexo z = ma trigonométrica de z é: π π a) 2 2 cos + isen 4 4 7π 7π b) 2 2 cos + isen 4 4 π π c) 4 cos + isen 4 4 d)
3π 3π 2 cos + isen 4 4
e)
7π 7π 2 cos + isen 4 4
3 3 3 i
-7 + 0i
4i . A for1+i E08 Números complexos: Forma trigonométrica
01. Escreva: a) 3 cos isen ; b) 8(cos 135° + isen 135°)
405
Matemática
Exercícios Complementares 01. (Cesgranrio RJ) Um complexo z possui módulo igual a 2 e argumento π/3. Sendo z o conjugado de z, a forma algébrica do complexo z é: a) 1 - i 3 b)
3 -i
c)
3 +i
d) 1 + 3i e) 2 3 - 2i 02. (Unesp SP) Seja o número complexo z = 10 + 10i, no qual i2 = -1. A forma trigonométrica que representa este número é: π a) 10cis 2 b) 10cis
π 4
π c) 10 10 cis 6 π d) 10 2 cis 2
e) 10 2 cis
π 4
03. (UEAM) Dados os números complexos z1 = 1, z2 = – i e z3 = z1 + z2, a forma trigonométrica de (z3)2 é 3π 3π a) 2 ⋅ cos + isen 2 2
E08 Números complexos: Forma trigonométrica
π π b) 2 ⋅ cos + isen 2 2 c) 2 ⋅ (cos π + isenπ) d)
3π 3π 2 ⋅ cos + isen 2 2
e)
π π 2 ⋅ cos + isen 2 2
406
Podemos afirmar: a) Somente II é correta. b) Apenas III e IV estão corretas. c) Apenas IV e I estão corretas. d) Apenas III e I estão corretas. e) Somente IV é correta. 06. (UEAM) Considere os números complexos z1 = 2(cosπ + isen π) e z2 = -1 + 3 i. Sabendo que z3 = z1 ⋅ z2, a forma trigonométrica de z3 é: 4π 4π a) 4 ⋅ cos + isen 3 3
2π 2π d) 2 ⋅ cos + isen 3 3
π π b) 4 ⋅ cos + isen 3 3 5π 5π c) 4 ⋅ cos + isen 3 3
π π e) 2 ⋅ cos + isen 3 3
π π 07. (Espcex SP) Se (1 + i) ⋅ cos + isen = x + iy , em que i é 12 12 a unidade imaginária e x e y são números reais, o valor de 3 ⋅ x + y é igual a: a)
6
d) 3 6
b)
3
e)
c)
2 2
3 2
08. (Unirio RJ) Na figura a seguir, z1 e z2 são números complexos representados pelos seus afixos no Plano de Argand-Gauss.
04. (UECE) No sistema de coordenadas cartesianas usual com origem no ponto O, considere os números complexos, na forma trigonométrica, dados por z = 2(cos60° + isen60°) e w = 2(cos30° + isen30°). Os pontos do plano que representam esses números e a origem O são vértices de um triângulo cuja medida da área é: a) 1,0 unidades de área. b) 0,5 unidades de área. c) 2,0 unidades de área. d) 1,5 unidades de área.
z 05. (IFMA) Considere os números complexos= Para as informações abaixo z ⋅w = 3 2. I. II. w2 + 2z é um número real.
π π = III. z 4 cos + i ⋅ sen . 6 6 z 1+i IV. . = w 2
3 + i e w = 1 - i.
Assim, z3 = z1 ⋅ z2‚ escrito na forma trigonométrica é igual a: a)
2 ( cos 225° + isen 225° )
b)
2 ( cos 315° + isen 315° )
c) 2 2 ( cos 45° + isen 45° ) d) 2 2 ( cos 135° + isen 135° ) e) 2 2 ( cos 225° + isen 225° )
FRENTE
E
MATEMÁTICA
Exercícios de Aprofundamento n
i 01. (UFBA) Sendo an a parte real do número complexo , para 3 cada número natural n, determine S = a0 + a1 + a2 + .... 9/10 02. (UFRN) Um quadrado mágico é um quadriculado com n2 quadrados menores que contêm números de forma que a soma desses números em cada linha, em cada coluna e nas duas diagonais é a mesma. Para responder às solicitações propostas, considere o número complexo i2 = -1 e o quadrado abaixo. i
i²
i³
i⁴
i⁵
i⁶
i⁷
i⁸
i⁹
i¹⁰
i¹¹
i¹²
i¹³
i¹⁴
i¹⁵
i¹⁶
08. (UFCE) Sabendo que i2 = −1 e que 0 < θ < π/2, o número comcos θ + isenθ plexo é igual a: cos θ - isenθ a) cos(2θ) + isen(2θ) 1+i b) 1-i c) cos(θ/2) + isen(θ/2) 1-i d) 1+i e) cos(θ2) + isen(θ2) 09. (FGV SP) Observe o plano Argand-Gauss a seguir: y
a) Calcule i2, i3, i4, ..., i16. -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1 b) Verifique se o quadrado acima é mágico. É mágico c) Calcule a soma de todos os números que compõem o quadrado acima. Zero 03. (EFEI MG) Determine o conjunto solução da equação z ⋅ z + ( z - z ) = 13 + 4i , sendo z = a + bi, com a ∈ IR, b ∈ IR e i2 = -1. 3 + 2i e -3 + 2i
04. (UFPA) Em uma PG de quatro termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 1 – i e a soma dos termos de ordem par é 2i, em que i é a unidade imaginária. Determine o número complexo a + bi que representa a razão dessa progressão. -1 + i 05. (UFPE) A representação geométrica dos números complexos z que satisfazem a igualdade 2|z – i| = |z – 2| formam uma circunferência com raio r e centro no ponto com coordenadas (a, b). Calcule r, a e b e assinale 9(a2 + b2 + r2). 40 06. (UFG GO) Determine todos os números complexos z = x + iy de módulo 5 pertencem à reta de equação x – 2y + 5 = 0. -5 e 3 + 4i 07. (UFGD MS) No plano complexo, a área do quadriláte-
7π 7π 6 2 ⋅ cos + i 2sen e ro de vértices i, -i, z1 = 4 4 π π z2 = 2 ⋅ cos + isen é: 4 4 a) 12 b) 14 c) 16 d) 7 e) 3,5
1
-1
1
2
x
-1
Elevando-se a 2015 o número complexo indicado nesse plano Argand-Gauss, o afixo do número obtido será um ponto desse plano com coordenadas idênticas e iguais a: a) 22015 b) 21007 c) 1 d) 2–2015 e) –21007 10. (ITA SP) O lugar geométrico dos pontos (a, b) ∈ IR2 tais que a equação, em z ∈ C, z2 + z + 2 – (a + ib) = 0 possua uma raiz puramente imaginária é: a) uma circunferência. b) uma parábola. c) uma hipérbole. d) uma reta. e) duas retas paralelas. 11. (Ficsae SP) Uma matriz quadrada se diz ortogonal se sua inversa x -3 - 5 , em é igual à sua transposta. Dada a matriz A = 5 x -3 que x ∈ C*, a soma dos valores de x que a tornam uma matriz ortogonal é igual a: a) 6 + 4i b) 6 – 4i c) 6 d) 4 407
Matemática
12. (Puc RS) Uma cancha de futsal está situada sobre um sistema de coordenadas do plano complexo (Argand Gauss), com unidades marcadas em metros e com centro sobre o ponto (0, 0), como na figura abaixo.
a) 2 + i b) –2 – i c) 4 + 8i d) 2 – 6i e) 4 + 6i 16. (Puc SP) No plano complexo de origem O, representado na figura abaixo, o ponto A é a imagem de um número complexo u cujo módulo é igual a 4. Im (z) A
Se a circunferência central possui uma área de 9π m2, a expressão que melhor representa esta circunferência central, em z ∈ C, é: a) z2 = 9 b) z = 3 c) z = 9 d) |z| = 3 e) |z| = 9 13. (Mackenzie SP) Se w é um número complexo, satisfazendo
Re
(z)
Re(w) > 0 e (w + i) + w + i = 6, então w é igual a: a) –1 – i b) –1 + i c) 1 – i d) –1 e) –i
a) o módulo de u + v é igual a 4 2 . b) o módulo de u – v é igual a 2 2 . c) B pertence ao terceiro quadrante. d) B pertence ao quarto quadrante. e) o triângulo AOB é equilátero.
2
14. (IFPE) Wilton entrou na sala e ao olhar para o quadro se deparou com algumas anotações deixadas de uma aula anterior, porém o resultado estava apagado.
i33 + i52 + i47 40
38
=
i –i
FRENTE E Exercícios de Aprofundamento
0
u Se B é o ponto imagem do complexo v = , então é correto i afirmar que:
2
Após alguns segundos, ele percebeu que a letra i tratava-se da unidade imaginária e conseguiu encontrar a solução correta da expressão, o valor em questão é: a) 0 b) 1/2 c) 2 d) 1 e) i 15. (UEAM) Considere os números complexos z1 = a + 7i e z2 = 3 + z ai, sendo a um número real positivo. Sabendo que 1 = a + 2i , é z2 correto concluir que o valor de z1 + z2 é: 408
60°
17. (UEL PR) Leia o texto a seguir. Na virada do século XVIII para o século XIX, um agrimensor norueguês, Wessel (1798), e um desconhecido matemático suíço, Argand (1806), foram, aparentemente, os primeiros a compreender que os números complexos não têm nada de “irreal”. São apenas os pontos (ou vetores) do plano que se somam através da composição de translações e que se multiplicam através da composição de rotações e dilatações (na nomenclatura atual). Mas essas iniciativas não tiveram repercussão enquanto não foram redescobertas e apadrinhadas, quase simultaneamente, por Gauss, grande autoridade daquele tempo que, já em vida, era reconhecido como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. (Adaptado de: CARNEIRO, J. P. A Geometria e o Ensino dos Números Complexos. Revista do Professor de Matemática. 2004. v.55. p.18.)
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, uma composição de rotação dos pontos P(–3, 4) e Q(2, –3) representados pelos números complexos z = –3 + 4i e w = 2 – 3i. a) –18 + 17i b) –6 – 12i c) –1 + i d) 5 + 7i e) 6 + 17i