A Conquista Matemática - 7º Ano

José Ruy Giovanni Júnior

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Matemática

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

MANUAL DO PROFESSOR

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA

Matemática

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP).

Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino

Fundamental e Ensino Médio desde 1985.

Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira

Direção de Conteúdo e Negócios Cayube Galas

Direção editorial adjunta Luiz Tonolli

Gerência editorial Roberto Henrique Lopes da Silva

Edição João Paulo Bortoluci (coord.)

Alessandra Maria Rodrigues da Silva, Bianca Cristina Fratelli, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Letícia Mancini Martins, Tatiana Ferrari D´ Addio

Preparação e Revisão Maria Clara Paes (coord.)

Yara Affonso

Gerência de produção e arte Ricardo Borges

Design Andréa Dellamagna (coord.)

Sergio Cândido

Projeto de capa Sergio Cândido

Imagem de capa YAO23/Shutterstock.com

Arte e Produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)

Debora Joia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, Kleber Bellomo Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini

Diagramação Wym Design

Coordenação de imagens e textos Elaine Bueno Koga

Licenciamento de textos Amandha Baptista

Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira

Emerson de Lima, Leticia dos Santos Domingos (trat. imagens)

Ilustrações Alex Argozino, Alex Silva, Artur Fujita, Bentinho, Dani Mota, Daniel Bogni, Danillo Souza, Dayane Raven, Estúdio Ampla Arena, Lima, Lucas Farauj, Marcel Borges, Marcos Machado, MW Editora e Ilustrações, Vanessa Novais, Allmaps

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Giovanni Júnior, José Ruy

A conquista matemática : 7o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2022.

Componente curricular: Matemática.

ISBN 978-85-96-03439-5 (aluno)

ISBN 978-85-96-03440-1 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 22-114533

CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

EDITORA FTD

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33

Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020

Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

Copyright © José Ruy Giovanni Júnior, 2022.

APRESENTAÇÃO

O intuito desta obra é oferecer aos estudantes e professores um material que norteie o trabalho com as ideias matemáticas, levando em consideração as especificidades da faixa etária a que a obra se destina.

Esperamos que este contato com os conceitos matemáticos contribua para que se estabeleça uma relação significativa entre os estudantes e o conhecimento da Matemática, pautada pela curiosidade e pela reflexão.

Ao longo dos volumes desta obra, pretendemos ainda estabelecer um elo entre a Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente de seu papel, tendo em vista que paradigmas em Educação apontam para a formação de um estudante crítico, capaz de analisar, interpretar e participar ativamente na sociedade ao seu redor.

Para descortinar o contexto permeado por múltiplas linguagens e tecnologias em que se inserem, assumindo-se como cidadãos autônomos e conscientes das relações sociais que vivenciam diariamente, nossos estudantes precisam se apropriar dos conhecimentos sócio-historicamente construídos, valendo-se de estratégias e habilidades requeridas pelo mundo contemporâneo. E, no intuito de auxiliar você, professor, a capitanear essa jornada pelo processo de ensino e aprendizagem nos anos finais do Ensino Fundamental, foram elaboradas estas Orientações. Aqui, você encontrará diversas bases e sugestões para o seu trabalho diário junto aos estudantes.

Esperamos que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de aprender e de ensinar, levando a aprendizagens significativas e agradáveis na área da Matemática no Ensino Fundamental.

Aventure-se nessa jornada você também!

O autor

CONHEÇA O MANUAL DO PROFESSOR

Estas Orientações buscam elucidar os caminhos percorridos na elaboração desta obra desde a idealização dela até a efetivação das propostas apresentadas em cada Volume.

Acredita-se ser de grande relevância conhecer os pressupostos teóricos que embasam a obra para, a partir deles, perceber a estrutura e os elementos que a compõem. Além da apresentação desses norteadores, buscou-se promover reflexões acerca do ensino e da aprendizagem de Matemática e as possíveis ações e estratégias que podem ser utilizadas na prática pelo professor. Vale mencionar que muitas explorações aqui apresentadas consistem em sugestões e, portanto, podem ser adaptadas sempre que necessário.

Neste manual, procurou-se utilizar uma linguagem clara e objetiva que permita uma fácil visualização das articulações idealizadas, bem como estratégias de aplicação dos conceitos aqui trabalhados.

Este material está organizado em três partes:

• Na primeira parte, denominada Orientações gerais, são apresentadas reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática e de possíveis instrumentos e ferramentas que podem favorecer a construção do conhecimento matemático nos Anos Finais do Ensino Fundamental e, como mencionado anteriormente, muitas dessas abordagens nortearam a elaboração desta obra.

• Na segunda parte, denominada Orientações específicas do Volume, disposta em formato de U, o professor encontrará o detalhamento das situações e atividades propostas no Livro do estudante, acompanhada de sugestões que possam tornar o processo de ensino e aprendizagem mais rico e proveitoso.

• Na terceira parte, temos a seção de Resoluções comentadas de todas as atividades do Volume e a seção Avaliações oficiais em foco, com uma proposta de avaliação, com questões baseadas em avaliações oficiais de larga escala.

Esperamos que todos esses recursos possam contribuir com o trabalho do professor, dentro e fora da sala de aula, e com o alcance de um objetivo educacional ainda maior: a formação de um estudante crítico, capaz de analisar, interpretar e atuar no mundo de maneira consciente, cooperativa e autônoma.

LUCIOLA ZVARICK/PULSAR IMAGENS

Escola indígena da etnia Waurá da aldeia Piyulaga, em Gaúcha do Norte (MT). Fotografia de 2019. V

Orientações gerais

Considerações sobre o ensino de Matemática

Neste tópico, são apresentados fundamentos teóricos e aplicações de temas relevantes para o ensino de Matemática, como inferência, argumentação, pensamento computacional e resolução de problemas.

A BNCC e o ensino de Matemática

Nesta seção, são apresentadas reflexões e abordagens sobre a Base Nacional Comum Curricular, um dos documentos norteadores desta obra.

A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem a homologação desse documento.

Não podemos desprezar as dimensões do país, seja em territorialidade, seja em diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um dos principais desafios, na área da educação, é propiciar oportunidades iguais para todos os estudantes, sem perder a particularidade e a singularidade de cada região ou grupo.

Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais.

Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum, salientando que os conteúdos deveriam ser complementados com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais.

No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014, essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os estudantes do território nacional as aprendizagens essenciais, preservando-se as identidades étnicas, culturais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais.

Desse modo, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os estudantes da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade diversidade e equidade para a constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os estudantes da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências essenciais que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.

Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e à utilização consciente da informação e da tecnologia.

As competências O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares.

Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.

Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação da natureza” [...].

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 8. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

São apresentadas dez competências gerais que se inter-relacionam e devem permear os conteúdos apresentados ao longo de todo o percurso escolar da Educação Básica.

Uma visão interdisciplinar e os Temas Contemporâneos Transversais

Aqui, são discutidos os Temas Contemporâneos Transversais e algumas sugestões de aplicação de tais temas de modo interdisciplinar nas aulas de Matemática.

O papel do professor

Neste tópico, são apresentadas importantes reflexões sobre o papel fundamental do professor e a prática educativa em Matemática.

Perfis de aprendizagem

Trata-se, aqui, de temas relacionados aos diferentes perfis de aprendizagem apresentados nos diversos contextos escolares brasileiros, e são discutidos modos de lidar com tais diferenças nas aulas de Matemática.

Os conhecimentos matemáticos podem ser encarados como recursos que favorecem a cidadania, dada a ampla gama de aplicações desses conhecimentos nas mais variadas situações da sociedade atual. Para apresentar a Matemática como área a serviço do conhecimento científico e de relevância prática no cotidiano, é necessário que o professor tenha clareza a respeito das relações da Matemática com outras áreas de conhecimento. Para isso, é importante que o professor de Matemática tenha uma formação integral e continuada, apropriando-se das relações e aplicações de conceitos matemáticos em outras áreas do conhecimento e da contribuição da Matemática para construção da cidadania, como destacam Soares e Sheide (2004):

Outra questão crucial é a percepção que o professor tem sobre o conhecimento matemático e as interações que é capaz de estabelecer com esse conhecimento. A sua utilização como ferramenta para a construção da cidadania vai depender da sua capacidade em tratá-lo como um conhecimento articulado aos outros campos do saber e historicamente situado.

SOARES, Marlene Aparecida; SCHEIDE, Tereza de Jesus Ferreira. Professor de Matemática: um educador a serviço da construção da cidadania. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais […]. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2004. p. 2. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/07/CC07289049853.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Desse modo, o professor de Matemática, longe de ser um mero transmissor de conhecimentos imutáveis, é um sujeito do conhecimento que compartilha com estudantes conhecimentos esses que devem estar em constante aprimoramento e transformação para serem úteis nas práticas sociais dos estudantes.

Portanto, neste processo de parceria e inter-relação existente entre estudantes e professores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.

PERFIS DE APRENDIZAGEM

A Base Nacional Comum Curricular trouxe ao centro do debate sobre o processo educativo a necessidade de pensarmos em educação integral. Isso significa considerar cada estudante como indivíduo pleno e complexo, em suas diversas dimensões. Ninguém abandona gostos, características, sonhos, valores e emoções antes de entrar na escola – ao contrário, a sala de aula é composta de diversidade. Na BNCC (2018, p. 14), destaca-se:

[…] Reconhece, assim, que a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades. […] BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Essa visão implica reconhecer que ao professor cabe considerar cada estudante em sua singularidade, identificando necessidades, diferentes interesses e modos de aprender. Cada um de nós tem um perfil de aprendizagem. Isso não significa que aprendamos apenas por um canal de aprendizagem, mas, muitas vezes, existem canais mais propícios do que outros e, portanto, reconhecê-los e incentivar o uso deles é muito importante. Existem indivíduos que compreendem melhor a partir de estímulos visuais e, portanto, é interessante recorrer ao uso de gráficos, tabelas, listas e mapas mentais. Há pessoas que compreendem melhor utilizando a leitura (silenciosa) e escrita (listas, textos on-line, artigos, dicionários); LVI

Avaliação

São abordados neste tópico os diversos tipos de avaliação e a importância desse recurso para o processo de ensino e aprendizagem.

Indicações para apoio ao trabalho do professor

Aqui, encontram-se indicações de materiais relevantes para consulta e aprimoramento do professor.

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CONHEÇA O LIVRO DO ESTUDANTE

Nesta seção, além dos elementos que compõem o material do estudante, são apresentados os conteúdos de cada Volume. No Livro do estudante, cada Volume desta obra divide-se em nove Unidades e cada Unidade em capítulos.

UNIDADE

Aberturas de Unidade

Nesta obra, as aberturas de Unidades têm um papel fundamental: elas propiciam o momento de entrada no grande tema que será tratado. Em cada Volume, a Unidade é introduzida por uma abertura que traz:

• uma imagem (ilustração, fotografia ou infográfico) relacionada com temas que serão estudados ao longo da Unidade e cujo objetivo é instigar os estudantes a uma discussão inicial;

• algumas questões para contextualizar os estudantes no assunto da Unidade e mobilizar conhecimentos anteriores.

Capítulos

2O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

dados como os representados a seguir, de preferência em um papel resistente. As marcações dos pontos podem ser feitas com caneta hidrocor (azul e vermelha). Se necessário, solicite ajuda ao professor.

EDITORIA DE ARTE

Objetivo do jogo ChegarprimeiroatéacasaChegada ou ficar sozinho no tabuleiro.

Regras 1 Cada participante coloca seu marcador na casa Início Os marcadores podem ser moedas, sementes ou pequenos objetos.

2 Cada participante, na sua vez, lança simultaneamente os dois dados. Na mesma jogada, o número sorteado no dado com pontos azuis indica a quantidade de casas que o marcador deverá andar no sentido da casa Chegada. O número sorteado no dado com pontos vermelhos indica a quantidade de casas que o marcador deverá andar no sentido da casa Saída na mesma jogada.

3 O participante que “sair” do tabuleiro (chegar à casa Saída) será eliminado.

O participante terá de usar o resultado dos dois dados para movimentar o marcador. Assim, o jogador só sai do tabuleiro depois de fazer a jogada andando a quantidade de casas correspondente aos dois dados.

• Joguem três partidas e reflitam sobre a seguinte questão: Durante o jogo, vocês identificaram algumas operações matemáticas sendo efetuadas? Caso a resposta seja positiva, quais foram essas operações?

Respostas pessoais. Os estudantes podem responder que identificaram adições e subtrações.

• No início do jogo, na primeira jogada, um jogador obteve 5 no dado com pontos vermelhos e 3 no dado com pontos azuis. Ele registrou a pontuação da seguinte maneira: 5 e +3. Em que casa o marcador desse jogador deverá ser colocado nessa jogada?

Na casa 2, vermelha.

• Para que na próxima rodada o marcador desse jogador caia na casa 3, azul, qual deverá ser a pontuação obtida nos dados?

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+6 e 1 (6 no dado com pontos azuis e 1 no dado com pontos vermelhos).

Nos Volumes desta obra, as Unidades são compostas de uma quantidade variável de capítulos, de acordo com a demanda de cada tema.

Em cada capítulo, os estudantes contarão com diferentes explorações e recursos, como textos, imagens e atividades. Ao longo de cada capítulo, podem ser encontrados seções e boxes que buscam favorecer compreensões, aprofundamentos, reflexões e articulações.

Seções e boxes

Atividades

Nesta seção, os estudantes encontrarão atividades diversificadas que foram organizadas de acordo com os conteúdos apresentados em cada tópico, de modo a facilitar a realização e a conferência. Eventualmente, são apresentadas atividades denominadas Desafio, que apresentam maior nível de dificuldade, permitindo a mobilização de mais habilidades e competências.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

EDUCAÇÃO FINANCEIRA PARA CRIANÇAS INFLUENCIA FAMÍLIAS E PROFESSORES

Cerca de um milhão de estudantes no Brasil já têm contato com o tema, segundo associação; para especialistas, poupar promove atitude sustentável. [...] A escola faz parte de um universo que cresceu nos últimos anos. Cerca de um milhão de alunos no País já têm aulas de educação financeira na escola básica atualmente, segundo estimativa da Associação Brasileira de Educadores Financeiros (Abefin). [...] [...] [...] De acordo com uma pesquisa da Abefin, feita em parceria com o Instituto Axxus e o Núcleo de Economia Industrial e da Tecnologia (NEIT) do Instituto de Economia da Unicamp, 71% dos alunos que têm aulas sobre educação financeira ajudam os pais a fazer compras conscientes. Já nas famílias que não têm filhos educados para o tema, a cooperação na hora da compra não existe, segundo a pesquisa apresentada em fevereiro. Para o estudo, foram entrevistados 752 pais e mães, com filhos entre quatro e 12 anos, em cinco capitais: São Paulo, Rio de Janeiro, Recife, Goiânia e Vitória. Cerca de metade dos entrevistados tinha filhos em escolas que oferecem educação financeira. Os entrevistados cujos filhos recebem educação financeira também responderam que conseguiriam manter seu padrão de vida por mais tempo caso ficassem sem salário. Nesse caso, 73% respondem que poderiam manter o padrão por até seis meses. Entre famílias que não têm filhos estudando o assunto, só 53% têm uma avaliação tão otimista. Outros 44% das famílias sem educação financeira dizem que o padrão de vida duraria um mês em caso de desemprego – enquanto só 2% do outro grupo tem avaliação tão pessimista. [...] EDUCAÇÃO financeira para crianças influencia famílias e professores. Estadão São Paulo, 13 out. 2017.

Disponível em: https://sustentabilidade.estadao.com.br/noticias/geral,educacao-financeira-para-criancas -influencia-familias-e-professores,70002042823. Acesso em: 6 jul. 2022. De acordo com o trecho da notícia, com base nos seus conhecimentos sobre porcentagens e com o auxílio de uma calculadora, responda às questões no caderno.

1. De acordo com a pesquisa, de que maneira os estudantes que têm aulas sobre educação financeira ajudam os pais? Ajudam os pais a fazer compras mais conscientes.

2. Qual é o percentual de entrevistados cujos filhos estão em escolas que oferecem educação financeira? Quantas pessoas esse percentual representa? 50%; 376 pessoas.

3. Dos 752 pais e mães entrevistados e que têm filhos recebendo educação financeira, cerca de quantos conseguiriam manter o padrão de vida deles por mais tempo caso ficassem sem salário? Aproximadamente 274 pais e mães.

4. Por volta de quantos pais e mães com filhos que não estudam educação financeira disseram que o padrão de vida duraria um mês em caso de desemprego?

5. Comparando os pais e as mães entrevistados que têm filhos que não recebem educação financeira e os que têm filhos que recebem educação financeira, o que você pode concluir?

Por volta de 165 pais e mães.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pensem em trabalhos de educação e conscientização e investimentos em políticas públicas que favoreçam as pessoas que mais necessitam de atenção do Estado em aspectos relacionados a alimentação, saúde, trabalho, moradia, e outros direitos fundamentais para a dignidade humana.

Por toda parte

Artigo 1 Todos os seres humanos nascem livres e iguais em digni- dade e em direitos. Dotados de razão e de consciência, devem agir uns para com os outros em espírito de fraternidade.

POR TODA PARTE Caput a parte superior, termo jurídico relacionado ao enunciado de um artigo de lei ou regulamento.

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que sim e destaquem que, no caso da Constituição Brasileira, verifica-se uma particularidade (garantia no país) em comparação com uma situação mais geral, presente na Declaração Universal.

DECLARAÇÃO Universal dos Direitos Humanos. Centro Regional de Informação das Nações Unidas (UNRIC) [Bélgica], c2022. Disponível em: https://unric.org/pt/declaracao-universal-dos-direitos-humanos. Acesso em: 15 jul. 2022.

GLOSSÁRIO

IGUALDADE E DIREITOS Você sabia que a ideia de igualdade também está presente na legislação brasileira e em normas internacionais? Leia, a seguir, o artigo 1 da Declaração Universal dos Direitos Humanos e o caput do artigo 5 da Constituição da República Federativa do Brasil.

A Declaração Universal dos Direitos Humanos foi proclamada pela Assembleia Geral das Nações Unidas em 1948, em Paris. É o documento com mais traduções no mundo (para

Com base nos textos apresentados, converse com os colegas sobre as questões a seguir.

1. Em seu entendimento, os dois artigos citados compartilham da mesma ideia central?

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes listem problemas relacionados às desigualdades existentes. Se julgar pertinente, comente também com os estudantes sobre a ideia de equidade. Sugestão de link https://pensesus.fiocruz.br/equidade (acesso em: 5 ago. 2022).

2. Podemos dizer que já alcançamos a igualdade entre todos, prevista na Declaração Universal dos Direitos Humanos e em nossa Constituição Federal? Você pode utilizar exemplos para elaborar sua resposta.

3. Que alternativas os governos e a sociedade poderiam utilizar para combater as desigualdades existentes?

Artigo 5 Todos são iguais perante a lei, sem distinção de qualquer natureza, garantindo-se aos brasileiros e aos estrangeiros residentes no País a inviolabilidade do direito à vida, à liber- dade, à igualdade, à segurança e à propriedade [...] BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988 Brasília, DF: Presidência da República, [2016]. Disponível em: http://www. planalto.gov.br/ccivil_03/constituicao/constituicao.htm. Acesso em: 15 jul. 2022. O empenho de todos é fundamental para que a igualdade de direitos se torne algo materialmente concreto.

É uma seção que apresenta textos, imagens e atividades que proporcionam ao estudante maior contextualização dos assuntos explorados na Unidade. Esta seção busca estabelecer um diálogo entre tópicos de Matemática e de outras áreas do conhecimento, além de oportunizar a ampliação de repertório cultural e perceber a Matemática em variadas situações do cotidiano. Os temas e atividades desta seção possibilitam, ainda, articulações entre os Temas Contemporâneos Transversais e as competências gerais e específicas apresentadas na BNCC.

Educação financeira

Nesta seção, os estudantes encontrarão temas como hábitos conscientes de consumo, controle de gastos, planejamento financeiro e economia. Com base em leituras e reflexões, serão incentivados a repensar ações e atitudes ligadas ao consumo e a lidar com o dinheiro.

GREEN/SHUTTERSTOCK.COM

Convide um colega para jogar, mas, antes, construa

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Tratamento da informação

Nesta seção, que reúne propostas de trabalho com temas associados à probabilidade e Estatística, os estudantes encontrarão textos, gráficos, tabelas e atividades, sempre buscando a contextualização desses temas e a análise e interpretação crítica de dados e informações.

TECNOLOGIAS

GRÁFICOS DE COLUNAS TRIPLAS E DE BARRAS TRIPLAS

Após decretada a pandemia de covid-19, em março de 2020, houve, em muitos países, o fechamento das escolas para minimizar o contágio pelo vírus SARS-CoV-2. Com isso, ocorreram diversas mudanças na dinâmica de ensino, e um exemplo que pode ser citado é a ocorrência de aulas remotas. Um dos impactos percebidos nesse período pode ser observado na quantidade de matrículas nas escolas de Educação Básica comparada a anos anteriores. No gráfico a seguir, é possível analisar a variação na quantidade de matrículas ocorridas nas escolas públicas de Educação Básica nos anos de 2019, 2020 e 2021 no Brasil.

Estudante em sala de aula.

https://download.inep.gov.br/publicacoes/institucionais/estatisticas_e_indicadores/ notas_estatisticas_censo_escolar_2021.pdf.

é um gráfico de colunas triplas Cada cor representa um ano, conforme indica a legenda. Além disso, cada grupo de três colunas coloridas refere-se a uma etapa da Educação Básica. Cada barra de uma mesma cor representa a quantidade de matrículas ocorrida em determinado ano em cada um dos segmentos de ensino.

em: 12 jun. 2022.

RETOMANDO APRENDEU

O QUE

Responda às questões no caderno.

1. Considere os polígonos identificados a seguir.

• Triângulo: as coordenadas dos vértices são (1, 4), (9, 4) e (9, 1).

• Retângulo: tem um lado sobre o eixo x e dois vértices com coordenadas (1, 3) e (6, 3).

Agora, faça o que se pede.

a) Usando uma folha de papel quadriculado, represente cada polígono em um plano cartesiano.

1 a e c) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3. Observe as figuras a seguir e identifique a resposta correta

As medidas dos lados da figura A foram ampliadas quantas vezes para a obtenção da figura B?

a) Três vezes.

b) Duas vezes e meia.

d.

c) Duas vezes. d) Uma vez e meia.

Nesta seção, vamos utilizar as ferramentas de simetria do software GeoGebra e fazer algumas construções. Acesse o GeoGebra on-line em https://www.geogebra.org/classic? lang=pt (acesso em: 11 jul. 2022), acompanhe as instruções em cada item e responda às questões no caderno.

SIMETRIA COM GEOGEBRA

Tecnologias

Simetria de reflexão

1 Usando a ferramenta (Polígono), desenhe um polígono qualquer e, usando a ferramenta (Reta), trace uma reta qualquer.

2 Depois, usando a ferramenta (Reflexão em Relação a uma Reta), clique, primeiro, no polígono criado e, em seguida, na reta traçada para obter uma figura simétrica por reflexão. Observe o exemplo.

3 Agora, usando a ferramenta (Distância, Comprimento ou Perímetro), determine a distância entre cada vértice da primeira figura e a reta traçada, bem como entre a reta traçada e cada vértice da segunda figura.

1. Analisando as medidas obtidas, o que podemos observar?

A distância entre um vértice qualquer e a reta é igual à distância entre a reta e seu vértice correspondente.

2. Ao traçar a reta nessa construção, foram destacados dois pontos. Com o mouse clique sobre um dos pontos e arraste-o. O que acontece com as medidas obtidas?

Elas ainda seguem a mesma observação da questão anterior? E se você clicar e arrastar um dos pontos do polígono original, o que acontece com as medidas?

Simetria de translação

b) Efetue uma transformação no triângulo, de modo que se obtenha outro triângulo com as mesmas dimensões e na posição oposta em relação ao eixo x Descreva o que foi feito.

A ordenada de cada vértice foi multiplicada por 1.

c) Efetue a seguinte transformação no retângulo: multiplique por 1 a ordenada de cada vértice e depois por 2 todos os valores das coordenadas obtidas.

d) Determine as coordenadas dos polígonos transformados em cada caso.

2. Considere a figura a seguir.

4. Uma figura obtida por meio de uma transformação de um polígono representado no 1 quadrante está localizada no 4 quadrante. Além disso, os lados dessa figura têm o triplo das medidas dos lados correspondentes do polígono original. Descreva como essa figura foi obtida

5. Reproduza esta figura em uma folha de papel quadriculado e faça o que se pede.

Escolha um fator de ampliação e desenhe a figura ampliada.

Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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a) Desenhe uma figura simétrica por reflexão em relação à reta que passa pelos vértices E e F

b) Desenhe uma figura simétrica por uma translação na direção vertical de cima para baixo com a distância 2 BC.

c) Desenhe uma figura simétrica por uma rotação de 180° no sentido anti-horário com centro no ponto E

4. Exemplo de resposta na seção comentadasResoluções deste Manual. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Retomando o que aprendeu

1 Usando a ferramenta (Polígono), desenhe um polígono qualquer e, usando a ferramenta (Vetor), desenhe um vetor.

2 Depois, usando a ferramenta (Translação por um Vetor), clique, primeiro, no polígono criado e, em seguida, no vetor traçado para obter uma figura simétrica por translação.

As medidas se alteram, mas é mantida a igualdade observada na questão 1 80

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Fórum

Seção voltada ao desenvolvimento de habilidades relacionadas ao uso de softwares na aprendizagem de Matemática. Com os tutoriais e as atividades desta seção, os estudantes aprenderão a utilizar planilhas eletrônicas, softwares de geometria dinâmica, calculadoras de raízes de equações, entre outros, e a simular situações e a analisar os resultados. Além disso, no fim de cada Volume, há uma seção direcionada às noções de programação, como um dos recursos da obra para favorecer o pensamento computacional a partir do contato com recursos tecnológicos.

Este boxe traz questões que favorecem o debate e possibilitam a troca e o compartilhamento de ideias e conhecimentos, fazendo que os estudantes pratiquem o desenvolvimento de estratégias de argumentação. As propostas podem ou não ser realizadas on-line. Caso a escola possua uma ferramenta desse tipo ou o professor opte por usar uma ferramenta de uso livre na internet, pode-se criar um grupo fechado para realizar essas propostas.

Pense e responda

Neste boxe, serão apresentadas questões que buscam mobilizar conhecimentos e promover reflexões e/ou investigações acerca dos assuntos a serem explorados ou previamente estudados. Aqui, os estudantes terão a oportunidade de exercitar a autonomia e o raciocínio inferencial ao ter de investigar determinado tema antes de observá-lo, generalizá-lo ou sistematizá-lo.

Saiba que

Neste boxe, os estudantes encontrarão um texto objetivo que fornecerá uma dica interessante ou um recado importante para o entendimento de alguma explicação ou para a realização de uma atividade.

Glossário

Nesta seção, os estudantes serão convidados a revisitar os conteúdos explorados na Unidade para que possam perceber conquistas e identificar possíveis dúvidas.

Respostas

Seção final do Livro do estudante, na qual estão todas as respostas diretas às atividades propostas. Trata-se de uma seção voltada para a consulta rápida de respostas.

Apresenta o significado de algumas palavras, auxiliando na leitura e compreensão de textos. Esses significados podem ser ampliados com o incentivo ao uso conjugado com dicionários.

Descubra mais

Boxe com indicações de ampliação do repertório e/ou aprofundamento em determinado tema, como sugestões de livros, vídeos, simuladores, podcasts, artigos etc. para os estudantes.

Um novo olhar

Possibilita aos estudantes retomar os conhecimentos explorados na abertura das Unidades e perceber, por exemplo, as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser revistas. Assim, este boxe oportuniza a autoavaliação dos estudantes, ao mesmo tempo que pode ser utilizado pelo professor como ferramenta para o mapeamento de conhecimentos desenvolvidos e a desenvolver na turma.

BEARFOTOS/SHUTTERSTOCK.COM

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FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

QUADROS DE CONTEÚDOS

Cada um dos quatro volumes da obra é organizado em nove Unidades. O tema principal de cada Unidade está relacionado a uma ou mais Unidades temáticas da BNCC e seguem, em geral, uma ordem de progressão de conteúdos, de acordo com as etapas de aprendizagens previstas para cada um dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Entretanto, o professor tem autonomia para apresentar as Unidades na ordem que julgar mais conveniente para a realidade da turma e de acordo com as ações de planejamento de suas aulas. Por exemplo, se houver mais de uma Unidade consecutiva que trate sobre determinado tema de Números, o professor pode intercalar essas Unidades com uma Unidade, localizada adiante, relacionada a Geometria e, posteriormente, retomar o estudo de Números.

Analogamente, com relação aos conteúdos abordados em cada Unidade, o professor pode seguir a ordem sugerida ou, eventualmente, realizar a sequência de conteúdos que melhor lhe convier. Por exemplo, antes de começar a abordagem teórica proposta em determinada Unidade, o professor pode propor a leitura do texto e o debate sobre o tema de uma seção que traga uma contextualização para aquele conceito matemático a ser trabalhado. Depois da apresentação formal dos conceitos, pode-se propor aos estudantes que retomem a conversa sobre a seção estudada no início da Unidade e que realizem as atividades, analisem as respostas, validem hipóteses etc.

Portanto, o professor tem autonomia em relação aos conteúdos apresentados na coleção, podendo dispor deles, articulá-los e complementá-los de modo a potencializar a construção de conhecimentos e tornar a aprendizagem cada vez mais efetiva.

A fim de auxiliar o professor no planejamento de aulas com apoio didático desta obra, disponibilizamos quadros com a organização trimestral e bimestral de conteúdos da obra por ano, indicando a Unidade, os principais conteúdos abordados nela, além de habilidades, competências e Temas Contemporâneos Transversais da BNCC. 6o ano

Habilidades:

• Sistemas de numeração

• Sistema de Numeração Decimal

• Leitura e interpretação de tabelas e gráficos de colunas

• O conjunto dos números naturais

• Tipos de calculadora

• Operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação)

• Tabelas de dupla entrada e gráficos de barras duplas

• Aproximação e estimativa

• Expressões numéricas

• Uso da calculadora para a resolução de expressões numéricas

• Ponto, reta e plano

• Semirreta e segmento

• de reta

• Figuras geométricas

• Sólidos geométricos

• Estimativas e projeções

EF06MA01

EF06MA02

EF02MA32

Competências gerais: 1, 7 e 10

Competências específicas: 1, 2, 4, 5 e 7

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Ambiental

Habilidades:

EF06MA03

EF06MA04

EF06MA12

EF06MA14

EF06MA31

EF02MA32

Competências gerais: 4, 7, 9 e 10

Competências específicas: 3, 4 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Direitos da Criança e do Adolescente e Educação para o Consumo

Habilidades:

EF06MA17

EF06MA28

EF06MA31

Competências gerais: 1, 2, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 6, 7 e 8

Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

1. Sistemas de numeração

2. Cálculos com números naturais

Bimestre

3. Figuras geométricas

4. Múltiplos e divisores

• Critérios de divisibilidade

• Uso da calculadora para encontrar o resto de uma divisão

• Divisores e múltiplos de um número natural

• Leitura e interpretação de gráficos pictóricos

• Números primos

• Uso de planilha eletrônica na divisibilidade

Habilidades:

EF06MA04

EF06MA05

EF06MA06

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural, Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e Educação para o Trânsito

5. A forma fracionária dos números racionais

• Fração (comparação, equivalência, simplificação)

• Problemas envolvendo frações

• Adição e subtração de frações

• Forma mista

• Multiplicação com frações

• Fração e porcentagem

• Probabilidade

6. A forma decimal dos números racionais

• Número racional na forma decimal (transformações e comparação)

• Operações com números racionais na forma decimal (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação)

• Cálculo de porcentagens

• Probabilidade

• Ângulo

• Transferidor

• Uso de software para construir e medir ângulos

• Uso da planilha do LibreOffice Calc para construir gráficos

• Construção de retas paralelas e perpendiculares

Habilidades:

EF06MA07

EF06MA09

EF06MA10

EF06MA13

EF06MA15

EF06MA30

Competências gerais: 4 e 9

Competências específicas: 1, 5 e 6

Habilidades:

EF06MA01

EF06MA08

EF06MA11

EF06MA13

EF06MA30

Competências gerais: 7 e 9

Competências específicas: 3 e 6

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Financeira

Habilidades:

EF06MA16

EF06MA18

EF06MA19

EF06MA20

EF06MA21

EF06MA22

EF06MA23

EF06MA25

EF06MA26

7. Ângulos e polígonos

• Polígonos (definição, identificação e nomenclatura)

• Polígonos regulares

• Triângulos (elementos e classificação)

• Quadriláteros (elementos e classificação)

• Plano cartesiano

• Construção de polígonos no plano cartesiano

• Construção e ampliação/redução de polígonos com uso de um software

EF06MA27

EF06MA28

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

Competências gerais: 1, 2, 5, 7, 8 e 9

Competências específicas: 1, 2, 4, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação para o Trânsito, Saúde e Educação Ambiental

2 º Trimestre

º Bimestre

3 º Bimestre

3 º Trimestre

8.

• Unidades de medida de comprimento

• Transformação das unidades de medida de comprimento

• Perímetro de um polígono

• Unidades de medida de superfície

• Transformação das unidades de medida de superfície

• Medidas agrárias

• Área de figuras geométricas planas (retângulo, quadrado e triângulo retângulo)

• Gráfico de segmentos

• Medidas de massa

• Transformação das unidades de medida de massa

• Balança de dois pratos

• Medidas de tempo e de temperatura

• Medidas de volume

Habilidades:

EF06MA24

EF06MA28

EF06MA29

EF06MA31

EF06MA32

Competências gerais: 4, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 3 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Educação para o Consumo e Educação Ambiental

9.

• Transformação das unidades de volume

• Volume do bloco retangular e do cubo

• Medidas de capacidade

• Transformação das unidades de capacidade

• Pesquisa e fluxograma

7o ano

• Números naturais

• Operações com números naturais

Habilidades:

EF06MA23

EF06MA24

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais: 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9

Competências específicas: 2, 3, 4, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Saúde e Educação Alimentar e Nutricional

1. Números naturais e operações

• Divisores e múltiplos de um número natural

• Números primos

• mmc e mdc

• Gráficos de colunas triplas e de barras triplas

• Os números inteiros

• Os números negativos

• Módulo de um número inteiro

• Comparação de números inteiros

• Operações com números inteiros (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada exata)

• Expressões numéricas

Habilidades:

EF07MA01

EF07MA05

EF07MA07

EF07MA36

Competências gerais: 1, 2, 4, 6, 7 e 9

Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e Vida Familiar e Social

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA05

EF07MA06

Competências gerais: 1, 2, 3, 6, 7, 8 e 9

Competências específicas: 1, 2, 3 e 7

Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

3 º Trimestre 4 º Bimestre

Comprimento e área

Grandezas e medidas

2. O conjunto dos números inteiros

ORGANIZAÇÃO

• Simetria

• Construções feitas com uso das ferramentas de simetria do GeoGebra

• Ampliação

• Transformações no plano cartesiano

Habilidades:

EF07MA06

EF07MA19

EF07MA20

EF07MA21

Competências gerais: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural e Educação Ambiental

Habilidades:

EF07MA05

• Os números racionais

• Módulo de um número racional

• Comparação de números racionais

• Operações com números racionais nas formas decimal e de fração

• Raiz quadrada exata de números racionais

• Média aritmética

• Média aritmética ponderada

• Análise de tabelas e gráficos com números racionais negativos

EF07MA06

EF07MA07

EF07MA08

EF07MA09

EF07MA10

EF07MA11

EF07MA12

EF07MA35

Competências gerais: 2, 4 e 7

Competências específicas: 2, 3 e 6

Tema Contemporâneo Transversal: Vida Familiar e Social

Habilidades:

EF07MA05

EF07MA06

EF07MA13

• Sequências

• Expressões algébricas

• Igualdade

• Equações (conjunto universo e solução; equivalência)

EF07MA14

EF07MA15

EF07MA16

EF07MA18

e equações

• Equações do 1o grau com uma incógnita

• Equações na resolução de problemas

• Gráficos de linhas (ou de segmentos)

EF07MA36

Competências gerais: 1, 2, 3, 4, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural, Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, Educação em Direitos Humanos, Saúde e Vida Familiar e Social

1 º Trimestre

2 º Bimestre

3. Simetria e transformações geométricas

2 º Trimestre

4. O conjunto dos números racionais

5. Linguagem algébrica

• Ângulos

• Retas paralelas cortadas por uma transversal

• Investigação de propriedades de ângulos usando o GeoGebra

• Triângulos (construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos)

• Ângulos de polígonos regulares

• Circunferência

• Construções geométricas (circunferência, triângulo e polígono regular)

• Interpretação de gráfico de setores

Habilidades:

EF07MA22

EF07MA23

EF07MA24

EF07MA25

EF07MA26

EF07MA27

EF07MA28

EF07MA33

EF07MA36

EF07MA37

Competências gerais: 1, 5, 7 e 9

Competências específicas: 2, 5, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Processo de Envelhecimento, Respeito e Valorização do Idoso e Saúde

Habilidades:

EF07MA09

EF07MA17

EF07MA29

EF07MA37

• Razão

• Proporção

• Regra de três

• Construção de gráfico de setores

Competências gerais: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 4, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação para o Trânsito, Educação Alimentar e Nutricional, Saúde, Educação Ambiental e Educação para o Consumo

• Porcentagem

• Porcentagem com o uso da calculadora

• Probabilidade

• Experimento aleatório

• Média

• Amplitude

• Pesquisa estatística censitária e amostral

• Construção de gráficos usando o LibreOffice

Habilidades:

EF07MA02

EF07MA34

EF07MA35

EF07MA36

Competências gerais: 2, 5 e 7

Competências específicas: 3, 5 e 8

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Financeira

Habilidades:

EF07MA29

• Áreas de figuras geométricas planas

• Equivalência entre áreas

• Volume

EF07MA30

EF07MA31

EF07MA32

Competências gerais: 3 e 5

Competências específicas: 2 e 6

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Fiscal

2 º Trimestre

3 º Bimestre

6. Figuras geométricas planas

3 º Trimestre

7. Grandezas proporcionais

4 º Bimestre

8. Porcentagem, probabilidade e Estatística

9. Área e volume

ORGANIZAÇÃO UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE

• Operações com números racionais

• Dízima periódica

• Números reais

• Porcentagem e juro simples

• Cálculo de porcentagem usando planilha eletrônica

• Potência com expoente inteiro

• Propriedades da potenciação

• Números quadrados perfeitos

• Raiz quadrada (exata e aproximada) de um número racional não negativo e raízes enésimas

• Potência com expoente fracionário

• Leitura e interpretação de tabelas com intervalos de classes

• Ângulos

• Triângulos

• Altura, mediana e bissetriz de um triângulo

• Congruência de triângulos

• Propriedades dos triângulos

• Construção da bissetriz de um ângulo e da mediatriz de um segmento de reta

• Construção de ângulos notáveis com o GeoGebra

Habilidades:

EF08MA04

EF08MA05

EF08MA23

Competências gerais: 2, 6 e 7

Competência específica: 5

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação Ambiental e Educação para o Consumo

Habilidades:

EF08MA01

EF08MA02

EF08MA24

Competências gerais: 5, 8, 9 e10

Competências específicas: 2, 3, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia e Vida Familiar e Social

Habilidades:

EF08MA15

EF08MA17

Competências gerais: 3, 5 e 9

Competências específicas: 1, 2 e 5

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Habilidades:

EF08MA06

EF08MA10

EF08MA11

EF08MA13

• Expressões algébricas

• Valor numérico de uma expressão algébrica

• Monômio (grau, semelhança e operações)

• Polinômios (grau e operações)

EF08MA23

Competências gerais: 1, 3, 6 e 9

Competências específicas: 2, 5 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, Educação em Direitos Humanos, Educação para o Consumo e Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

5. Equações

• Equações do 1o grau com uma e com duas incógnitas

• Equação fracionária com uma incógnita

• Equações literais do 1o grau com uma incógnita

• Sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

• Equação do 2o grau

• Uso do Ofi Calc para resolver equações do tipo ax2 + c = 0

Habilidades:

EF08MA07

EF08MA08

EF08MA09

Competências gerais: 1, 2, 5 e 7

Competências específicas: 1, 2, 3, 5, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Ambiental, Educação Financeira e Educação para o Consumo

1 º Trimestre

1 º Bimestre

1. Números reais e porcentagem

2. Potências e raízes

2 º Bimestre

3. Ângulos e triângulos

2 º Trimestre

4. Expressões e cálculo algébrico

ORGANIZAÇÃO

• Polígonos e seus elementos

• Soma das medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos de um polígono convexo

• Ângulos de um polígono regular

• Construção do triângulo equilátero e do hexágono regular

• Propriedades dos quadriláteros

• Interpretação de gráficos de setores

• Transformações no plano

• Uso do GeoGebra para fazer composições envolvendo simetrias

• Contagem

• Probabilidade

• População e amostra

• Variáveis

• Média

• Moda

• Mediana

• Amplitude

• Realização de pesquisa estatística

• Construção de gráficos usando o LibreOffice Calc

• Área de figuras planas

• Volume do cubo, do bloco retangular e do cilindro

• Unidades de medida de capacidade

• Equivalência entre decímetro cúbico e litro e entre metro cúbico e litro

• Análise de gráficos

• Grandezas proporcionais e não proporcionais

Habilidades

EF08MA14

EF08MA15

EF08MA16

EF08MA18

EF08MA23

EF08MA24

Competências gerais: 5, 7 e 9

Competências específicas: 2, 4 e 5

Tema Contemporâneo Transversal: Trabalho

9.

• Velocidade média, escala, densidade de um corpo e densidade demográfica

• Grandezas diretamente proporcionais

• Grandezas inversamente proporcionais

• Regra de três simples e composta

Habilidades:

EF08MA03

EF08MA22

EF08MA23

EF08MA25

EF08MA26

EF08MA27

Competências gerais: 1, 2 e 9

Competências específicas: 1, 2, 4 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Saúde e Educação para o Trânsito

Habilidades:

EF08MA19

EF08MA20

EF08MA21

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 3, 4 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia e Educação Ambiental

Habilidades:

EF08MA12

EF08MA13

EF08MA23

Competências gerais: 1, 4 e 9

Competências específicas: 3, 5 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural, Trabalho, Ciência e Tecnologia, Educação Ambiental e Educação para o Trânsito

2 º Trimestre

3 º Bimestre

6. Polígonos e transformações no plano

3 º Trimestre

7. Contagem, probabilidade e Estatística

4 º Bimestre

8. Área, volume e capacidade

Estudo de grandezas

ORGANIZAÇÃO UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE

Habilidades:

EF09MA01

EF09MA02

• A Geometria e a descoberta do número irracional

• Os números reais

• Potências

• Notação científica

• Radicais

• Produtos

• Fatoração de polinômios

EF09MA03

EF09MA04

EF09MA07

EF09MA18

Competências gerais: 1 e 7

Competências específicas: 1, 2, 3, 5 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação para o Consumo e Ciência e Tecnologia

Habilidade:

EF06MA09

Competências gerais: 3, 4, 7, 8 e 9

Competências específicas: 2, 3, 4 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Saúde, Educação para o Consumo e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

• Equações do 2o grau com uma incógnita

• Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita

• Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita

• Equações biquadradas

• Importância da representação correta dos gráficos

• Ângulos determinados por retas transversais

• Circunferência e ângulos

• Uso do GeoGebra para verificação da relação entre ângulo inscrito e ângulo central de uma circunferência

• Segmentos proporcionais

• Feixe de retas paralelas

• Figuras semelhantes

• Triângulos semelhantes

Habilidades:

EF09MA03

EF09MA09

EF09MA21

Competências gerais: 1, 2 e 9

Competências específicas: 1, 2, 4 e 5

Tema Contemporâneo Transversal: Educação para o Consumo

Habilidades:

EF09MA10

EF09MA11

Competências gerais: 2, 3, 4 e 5

Competências específicas: 2 e 5

Habilidades:

EF09MA07

EF09MA08

EF09MA10

EF09MA12

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 2, 4 e 5

1 º Trimestre

1 º Bimestre

1. Números reais, potências e radicais

2. Produtos notáveis e fatoração

notáveis

2 º Bimestre

3. Equações do 2o grau

2 º Trimestre

4. Relações entre ângulos

5. Proporção e semelhança

6.

• Porcentagem

• Juro simples e juro composto

• Uso do LibreOffice para cálculo de juros e montantes

• Probabilidade

• Análise de gráficos

• Elaboração de pesquisa estatística

• Uso do LibreOffice para construir tabelas e gráficos estatísticos

• O teorema de Pitágoras

• Relações métricas no triângulo retângulo

• Comprimento de arco de circunferência

• Relações métricas na circunferência

• Polígonos regulares inscritos em uma circunferência

• Relações métricas nos polígonos regulares inscritos em uma circunferência

• Área de um polígono regular

• Área do círculo e de um setor circular

• Representações no plano cartesiano

• Figuras espaciais

• Projeções e vistas ortogonais

• Volume de prismas e de cilindros

• Uso do GeoGebra para representação de polígonos regulares

• Leitura e construção de gráficos de setores

Habilidades

EF09MA05

EF09MA20

EF09MA21

EF09MA22

EF09MA23

Competências gerais: 1, 2, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 4 ,5, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso, Educação Financeira e Educação Ambiental

Habilidades:

EF09MA13

EF09MA14

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 1, 2, 4 e 8

Tema Contemporâneo Transversal: Diversidade Cultural

9. Funções

• Função afim

• Função quadrática

• Uso do GeoGebra para construção dos gráficos de funções afins e funções quadráticas

Habilidades:

EF09MA15

EF09MA16

EF09MA17

EF09MA19

EF09MA22

Competências gerais: 1, 2, 3, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 5, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Habilidades:

EF09MA06

EF09MA08

Competências gerais: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 3, 4 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Trabalho, Educação Financeira, Educação para o Consumo e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

2 º Trimestre

3 º Bimestre

Porcentagem, probabilidade e Estatística

3 º Trimestre

7. Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

4 º Bimestre

8. Figuras planas, figuras espaciais e vistas

ORIENTAÇÕES GERAIS

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA

A Matemática não reside apenas no trabalho com os números e as operações; ela vai além. Devemos considerar toda a amplitude que essa área de conhecimento pode oferecer à formação do indivíduo.

Considerando a relevância do ensino de Matemática na esfera escolar, é importante ter em mente que:

O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 265. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Desse modo, durante o estudo da Matemática, há uma série de habilidades que podem ser desenvolvidas visando capacitar os estudantes a mobilizar as aprendizagens e a solucionar problemas do cotidiano.

O aprendizado durante esse processo certamente servirá aos estudantes de exercício para o desempenho de seu papel como cidadãos em interação com o mundo que os cerca; afinal, não queremos formar pessoas que apenas saibam, mas que, com seus conhecimentos, possam estabelecer relações com o mundo ao seu redor e fazer intervenções e modificações em seu ambiente de maneira consciente, responsável e eficiente.

Podemos dizer que compreender Matemática é uma tarefa ampla e repleta de variáveis. Quando estamos diante da aprendizagem de um novo conceito, precisamos formular nossas hipóteses, planejar a maneira de resolver determinado problema, confrontar nossas respostas ou hipóteses com as dos outros, antecipar e validar resoluções. Portanto, entre as várias habilidades que são adquiridas ao desenvolver os conhecimentos matemáticos, podemos destacar o raciocínio lógico-dedutivo, que tem papel primordial na formação do sujeito. Todo esse percurso faz acontecer uma aprendizagem mais significativa e abrangente.

A possibilidade de analisar vários modos de resolver determinados problemas e de confrontar e validar hipóteses também propicia uma aprendizagem que extrapola o ensino de Matemática, culminando na formação de um indivíduo mais atuante na sociedade, que se relaciona com grupos e que enfrenta situações-problema buscando soluções, e não se inibindo diante de questões complexas.

Além do raciocínio lógico, merece destaque o trabalho que envolve processos mentais básicos como as noções de correspondência, comparação, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação. Esses processos mentais podem ser desenvolvidos com base nas atividades da exploração matemática e contribuem para que os estudantes se tornem capazes de solucionar situações do cotidiano utilizando os conceitos, as diferentes maneiras de proceder e a antecipação de resultados.

Temos assistido, no desenvolvimento de pesquisas em Educação Matemática, a uma forte conexão entre tendências que contextualizam os objetos matemáticos – como modelagem, resolução de problemas, interdisciplinaridade, metodologias ativas e uso de tecnologias digitais – e as justificativas educacionais que sustentam essa conexão, a tal ponto que se torna difícil efetuar, por exemplo, a modelagem matemática aplicada ao ensino de Matemática sem tangenciar outra tendência, e a modelagem matemática torna-se fator de geração de problemas que vão sendo gerenciados por uma ou outra tendência. (MALHEIROS, 2012).

A seguir, apresentaremos algumas ideias acerca dessas tendências e de outros conceitos relentes em relação ao ensino de Matemática.

Letramento matemático

A perspectiva de que todos podem aprender Matemática tem sido um pressuposto dos estudos realizados por educadores matemáticos na busca pelo melhor preparo dos estudantes para viverem e atuarem de modo crítico, solidário e participativo na sociedade contemporânea, visto que é incontestável a presença, cada vez mais significativa, da Matemática no dia a dia. Esse pressuposto também está presente nos documentos oficiais que normatizam a educação brasileira. Entretanto, esse tipo de afirmação gera uma questão importante a ser respondida pelos professores dessa área: O que significa saber Matemática nessa perspectiva?

Ao apresentar a área de Matemática e suas Tecnologias, a BNCC destaca que:

O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático, definido como as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 266. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 10 jul. 2022.

Essa definição de letramento matemático vem acompanhada da seguinte referência:

Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.”.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 266 (nota de rodapé). Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 10 jul. 2022.

A referência ao Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) ocorre por ter sido essa avaliação, que se realiza em âmbito mundial, a cada três anos a partir do ano 2000, que colocou em evidência esse modo de expressar o conhecimento matemático que se espera que jovens de 15 anos apresentem, tendo em vista sua inserção social, cultural e no mundo do trabalho.

Desse modo, ensinar e aprender Matemática não se trata mais de o professor apenas apresentar procedimentos de cálculo, de como resolver equações ou questões de geometria, de como fazer o gráfico de uma função, entre outros, para que os estudantes repitam e repitam ao resolver longas listas de exercícios para apenas decorar o procedimento a ser realizado.

A construção do letramento matemático dos estudantes exige outra postura, tanto do professor como dos estudantes, diante das situações a serem vivenciadas na sala de aula ou fora dela. Para o professor, trata-se de assumir que há necessidade de criar um ambiente de aprendizagem que possibilite aos estudantes sentirem-se à vontade e com tempo para pensar, colocar questões, explorar suas ideias e exprimi-las.

Nesse ambiente, deve ser possível para o professor compreender como os estudantes estão pensando, favorecendo a formulação de questões ou pedidos de explicações para poder acompanhar a utilização das representações matemáticas

e verificar como se expressam sobre elas e, ainda, conferir os recursos que usam para construir sua argumentação. Para os estudantes, trata-se da tomada de consciência de que aprender Matemática significa raciocinar, representar, comunicar-se e argumentar matematicamente e que essas são ações que devem ser realizadas cotidianamente para que se tornem cidadãos críticos, conscientes e capazes de tomadas de decisão bem fundamentadas. Assim, é necessário que ambos, professor e estudante, reconheçam características que podem ser observadas para a avaliação de que o letramento matemático está sendo desenvolvido, apresentadas a seguir.

• Raciocinar: envolve processos de pensamento logicamente encadeados, que exploram e vinculam elementos a partir dos quais é possível realizar inferências, verificar uma dada justificativa, ou fornecer uma justificativa sobre uma afirmação ou sobre soluções alcançadas. É importante considerar ainda que raciocinar matematicamente inclui processos intuitivos, a formulação de novas ideias e a obtenção e validação de conclusões. Segundo D’Ambrosio (2005, p. 30): “As ideias matemáticas, particularmente comparar, classificar, quantificar, medir, explicar, generalizar, inferir e, de algum modo, avaliar, são formas de pensar, presentes em toda a espécie humana.”.

• Representar: utilização de diferentes registros (gráficos, tabelas, diagramas, figuras, equações, fórmulas, materiais concretos) para expressar objetos matemáticos, identificando a possibilidade de transitar de um para o outro de acordo com a necessidade.

• Comunicar: se expressa em ações de leitura, decodificação, interpretações de afirmações, descrição e modelagem matemática de um problema que inicialmente esteja em outra linguagem e quando os estudantes são levados a apresentar a solução ou explicação de determinada situação desafiadora.

• Argumentar matematicamente: processo que se dá pela utilização de conceitos, ideias e entes matemáticos na busca de exercer uma comunicação eficaz e eficiente na aula de Matemática e que deve se aproximar da existente na comunidade matemática. Segundo Grácio (1992), a argumentação envolve simultaneamente a “capacidade de dialogar, de pensar, de optar e de se comprometer” (p. 67). O diálogo promove uma atitude de abertura nas relações com o outro, no momento da comunicação e na disposição para ouvir. O pensar remete a uma atitude crítica e de atenção. A opção traz o comprometimento aliado a uma tomada de decisão para assumir determinada posição em relação a um tema dado.

É possível perceber que os elementos que caracterizam o letramento matemático se entrelaçam e se complementam para uma aprendizagem mais significativa, contribuindo para a construção de uma imagem da Matemática que ultrapassa a do senso e do sentimento comuns de que é uma área de difícil compreensão para muitos, colaborando para o entendimento de que todos podem aprender Matemática.

No trabalho com as propostas desse livro, são várias as oportunidades de o professor acompanhar o desenvolvimento do letramento matemático dos estudantes.

É importante propor discussões sobre as respostas dadas às questões para que os estudantes expressem como pensaram para responder e que relações estabeleceram com as soluções apresentadas anteriormente. Essas relações vão evidenciar como lidaram com a representação usada na resolução dos problemas e como realizaram a leitura, decodificação e interpretação do exposto. Ao apresentarem sua conclusão sobre a questão e defenderem essa tomada de decisão, estão utilizando as capacidades de comunicação e argumentação.

Inferência

A concepção de inferência é amplamente tratada na área de Linguagens por sua importância para os estudos relacionados com a compreensão de textos. No entanto, essa compreensão também é fundamental para os textos matemáticos, apresentados em seus diferentes registros (numérico, algébrico, geométrico, estatístico). Vamos, então, partir de uma concepção geral de inferência para chegar a aspectos mais específicos do raciocínio inferencial em Matemática.

Segundo Santos (2008), há diferentes concepções de inferência por parte de vários autores, mas todas trazem duas características básicas: o acréscimo de informação ao texto e a conexão de partes do texto com o objetivo de preencher lacunas de sentido. A partir dessas características e de suas considerações, essa autora define inferência como “o resultado de uma estratégia cognitiva cujo produto final é a obtenção de uma informação que não está totalmente explícita no texto.” (SANTOS, 2008, p. 65). Portanto, fazer uma inferência significa identificar a presença de informação suplementar não totalmente explicitada no texto.

A inferência está presente no letramento matemático como uma ação inerente ao raciocinar, sendo essencial na tomada de decisão em situações-problema. É ela também que dá suporte ao exercício de criar justificativas lógicas e coerentes na construção de uma argumentação, ou seja, é o uso de informações existentes, de modo explícito ou não, para chegar a novas conclusões.

A realização de inferências em Matemática pode ter um caráter lógico ou pode estar vinculada a processos intuitivos que levam à caracterização de quatro tipos de inferência: indução, dedução, abdução e raciocínio por analogia.

A inferência indutiva está associada a processos de observação a partir do qual são desenvolvidas conjecturas, chegando a um processo de generalização, que indicam uma propriedade, um conceito ou uma ideia de determinado objeto matemático, mas que devem necessariamente ser testadas. É um movimento de análise que se desenvolve do particular para o geral. Esse tipo de inferência é bastante incentivado pelas atividades dos livros desta coleção em propostas para o desenvolvimento do pensamento algébrico, nas quais os estudantes são chamados, por exemplo, a analisar sequências numéricas ou geométricas para escreverem ou obterem um termo qualquer dessa sequência ou uma sentença algébrica que represente todos os seus elementos.

A inferência dedutiva diferencia-se da indutiva por usar a lógica como ferramenta argumentativa, e não a experiência e a observação, desenvolvida do geral para o particular, com uma conclusão necessária e com um papel de validação de conhecimento. As características centrais dessa inferência são a relação necessária entre as premissas e a conclusão e a validade universal da conclusão, desde que a cadeia de deduções esteja isenta de erros. Essa inferência é a mais característica da Matemática; assim, toda vez que o livro tratar da demonstração de alguma propriedade, fórmula ou teorema está sendo desenvolvido esse modo de pensar, e é essencial que o professor chame a atenção dos estudantes sobre essa estruturação formal de encadear asserções de forma lógica e justificar esse encadeamento presente nas demonstrações dedutivas.

A inferência abdutiva é um processo de procura por princípios, explicações ou hipóteses a partir da observação de algo intrigante. Ao contrário da dedução, que parte das hipóteses para verificar que as conclusões são verdadeiras, a abdução parte de uma suposta verdade para encontrar algumas hipóteses das quais ela possa ser deduzida. A criação de hipóteses favoráveis nos leva a investigar a situação e, assim, podemos descobrir fatos novos. O esquema geral da abdução consiste na identificação de uma evidência (um fato ou conjunto de fatos), na apresentação de hipóteses alternativas para explicar tal evidência, seguida de uma avaliação da pertinência e adequação dessas explicações. A hipótese que for considerada a que fornece melhor explicação é tomada como provavelmente verdadeira e assumida como a conclusão da inferência. A procura de explicações a respeito de observações feitas é um processo muito rico na construção do conhecimento e proporciona aos estudantes uma aprendizagem significativa. Esse tipo de inferência é de grande importância para a construção de um pensamento crítico, apoiado em fatos, tendo em vista uma explicação e uma conclusão plausíveis.

O raciocínio por analogia, de acordo com Polya (1954), está estreitamente relacionado com a indução, pois também está ligado à observação e determinação de uma semelhança, mas de nível mais conceitual. Por exemplo, quando pensamos na semelhança entre as propriedades da adição e da multiplicação podemos tomá-las como dois sistemas análogos, ou, ainda, quando fazemos alguma modificação em uma figura geométrica para reconhecer nela uma figura conhecida, estamos buscando situações que possam ser tratadas como análogas.

A identificação dessas diferentes maneiras de agir diante de situações matemáticas põe em relevo que processos intuitivos são válidos em Matemática e são geradores de novas ideias e podem ser utilizados para a obtenção e validação de conclusões.

Argumentação

A formação integral que se pretende para os estudantes, proposta pela BNCC, traz como pressuposto o desenvolvimento de competências e, entre elas, “[...] saber lidar com a informação cada vez mais disponível, atuar com discernimento e responsabilidade nos contextos das culturas digitais, aplicar conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia para tomar decisões, ser proativo para identificar os dados de uma situação e buscar soluções [...].” (BNCC, 2018, p. 14) Para que esse desenvolvimento ocorra é necessário que se promova ao longo das aulas a constituição do pensamento crítico dos estudantes.

O pensamento crítico possibilita considerar situações, informações ou atitudes de maneira analítica e racional. Isso envolve entender as origens, as motivações, a coerência, os objetivos e a validade de argumentos para a construção de posicionamentos. Diariamente, precisamos recorrer a esse tipo de pensamento para avaliar se devemos nos convencer da verdade de uma afirmação ou de que o argumento que nos é apresentado é consistente. Também é esse tipo de pensamento que nos permite formular bons argumentos para comunicar e defender nossa posição diante de determinada situação. Em essência, pensar criticamente é saber avaliar e formular uma argumentação. Mas o que é argumentação? Como promover esse desenvolvimento nas aulas?

A teoria da argumentação, em seus primórdios entre os filósofos gregos, estava ligada ao estudo da retórica e da poética, entendidas como a arte de falar bem e escrever belos discursos. Entretanto, com Aristóteles, considerado o pai da teoria da argumentação, amplia-se essa visão. Para ele, ciência, sabedoria, arte, dialética e retórica são formas de racionalidade, dotadas de diferentes graus de exatidão, de rigor ou de precisão, mas todas igualmente caracterizadas pelo argumentar.

Atualmente, defende-se a ideia de que a prática argumentativa está presente em todos os campos da esfera humana e que a argumentação é imprescindível à construção do conhecimento.

Para Japiassú e Marcondes (2001), a argumentação é um

Modo de apresentar e de dispor os argumentos, vale dizer, os raciocínios destinados a provar ou a refutar determinada proposição, um ponto de vista ou uma tese qualquer. Seu objetivo é o de convencer ou persuadir, mostrando que todos os argumentos utilizados tendem para uma única conclusão.

ARGUMENTAÇÃO. In: JAPIASSÚ, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de Filosofia. 3. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2001. p. 17. Disponível em: http://raycydio.yolasite.com/resources/dicionario_de_filosofia_japiassu.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Para Carnielli e Epstein (2011), um argumento deve ser expresso em uma linguagem clara e direta, por meio de frases chamadas declarativas, de modo que possam ser classificadas em verdadeiras ou falsas e a argumentação é uma

[…] coleção de afirmações, uma das quais se chama “conclusão” e cuja verdade procura-se estabelecer; as outras afirmações chamam-se “premissas”, e estas afirmações pretendem conduzir à conclusão (ou apoiá-la, ou persuadir-nos da sua verdade).

CARNIELLI, Walter Alexandre; EPSTEIN, Richard L. Pensamento crítico: o poder da lógica e da argumentação. 3. ed. São Paulo: Rideel, 2011. p. 8.

O lugar que a argumentação ocupa hoje na escola explicita sua importância para a estruturação e formação do indivíduo, pois ela reflete a liberdade de reflexão e de ação com objetivo democrático, o que leva a pensá-la não apenas do ângulo intelectual mas também do social e do ético.

Ao considerarmos que um dos pilares da construção da Matemática como ciência está em seu processo argumentativo, o qual se consolida nas demonstrações de propriedades e teoremas que, dessa maneira, se tornam verdades a serem utilizadas em diferentes situações, tanto reais como internas à própria área, não se pode deixar de desenvolver nos estudantes a capacidade argumentativa. Ela é tão significativa para essa área que é um dos elementos constitutivos do letramento matemático.

A partir das contribuições da Filosofia e da Educação Matemática, podemos nos aprofundar na valorização do pensamento voltado à explicação e justificação das ações executadas, tendo em vista a construção de significados para conceitos, propriedades e procedimentos matemáticos. A recente valorização de atividades de argumentação nas aulas de Matemática também tem a intenção de encontrar caminhos facilitadores para a aprendizagem de demonstrações. As demonstrações têm um grande poder explicativo na Matemática, e, a princípio, os estudantes podem não reconhecer essa característica e podem também não encontrar sentido nos raciocínios demonstrativos. Para que as demonstrações exerçam seu papel como modo último de justificação matemática, é preciso que os estudantes estejam familiarizados

com padrões de argumentação matemática. As propostas para essa realização apoiam-se na criação e na manutenção de ambientes de aprendizagem que apoiem o fazer Matemática e o falar sobre esse fazer, procurando justificar suas ações.

Na exploração dos livros da coleção, há várias oportunidades para o fazer e o falar sobre Matemática, favorecendo o desenvolvimento da argumentação. Nas aberturas das Unidades, sempre há desafios e novas descobertas a serem feitas; na seção Pense e responda, os estudantes são chamados a usar estratégias próprias e investigativas para as soluções; no boxe Fórum, os estudantes podem expressar entendimentos e exercitar a capacidade argumentativa ao defender ideias nos debates propostos; na seção Retomando o que aprendeu, há a oportunidade de solicitar a eles que expliquem as estratégias de resolução das questões.

No entanto, é preciso lembrar-se de que essas argumentações surgem durante as interações da aula, quando, no decorrer da ação, o professor provoca a turma a justificar estratégias, o uso de determinados procedimentos, que expliquem aos colegas como estão pensando e porque pensaram desse modo. Nessas conversas, é interessante que sejam usados pelo professor termos como argumento, conjectura, plausibilidade da conjectura, inferência, contraexemplo, justificativa e prova matemática para que os estudantes se familiarizem com tais termos e passem a reconhecê-los como parte do conhecimento matemático em construção.

Outro aspecto importante a ser considerado é o da contribuição dos processos argumentativos na elaboração de inferências apoiadas nas relações lógicas que podem ser estabelecidas entre os argumentos, explorando o uso da estrutura condicional “se..., então...”. O pensamento computacional também pode ser acionado, estabelecendo um paralelo no modo de pensar sobre a organização encadeada dos argumentos para se chegar à conclusão e às etapas a serem construídas e seu encadeamento lógico para a solução computacional de uma situação.

O fundamental a se considerar é que “[…] compreender as bases da argumentação correta e do pensamento límpido nos possibilita aproximar da verdade e da justiça, e compreendemos que só quem é realmente incapaz de argumentar bem pode acreditar que maus argumentos produziriam bons resultados.” (CARNIELLI; EPSTEIN, 2011, p. XIV).

Pensamento computacional

Os desafios a serem enfrentados pela humanidade no século XXI têm sido foco de muitas discussões por diferentes órgãos políticos, sociais e educacionais desde o final do século passado e se mantêm até hoje. A capacidade de comunicação e de estabelecer relacionamentos que exige pensar no uso das tecnologias para superar desigualdades e para construir ambientes públicos de direito; as alterações profundas no mundo do trabalho que exigem o domínio de ferramentas digitais e de programas básicos de computação para a maioria dos trabalhadores, as questões éticas e sociais envolvidas no desenvolvimento e uso da inteligência artificial (IA) são apenas alguns exemplos desses desafios. Um dos pontos-chave dessas discussões é a função essencial da educação pela relevância do desenvolvimento da capacidade de agir e pensar de modo criativo e crítico, apoiado pelo conhecimento das diferentes áreas e dos fundamentos da computação aplicados em cada uma dessas áreas. Esses são elementos balizadores para a construção das competências e habilidades dos estudantes tendo em vista a participação deles como cidadãos críticos, conscientes e protagonistas no desenvolvimento da sociedade.

A Unesco, em seu relatório sobre a Educação para a Cidadania Global – preparando alunos para os desafios do século XXI, destaca que:

Em um mundo globalizado, a educação vem enfatizando a importância de equipar indivíduos desde cedo e por toda a vida, com conhecimentos, habilidades, atitudes e comportamentos de que necessitam para serem cidadãos informados, engajados e com empatia. Com essa interconectividade cada vez maior, por exemplo, por meio de TIC e […] redes sociais, as oportunidades para respostas de colaboração, cooperação, aprendizagem compartilhada e coletivas têm aumentado.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Educação para a cidadania global – preparando alunos para os desafios do século XXI. Brasília, DF: Unesco, 2015, p. 11. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000234311/PDF/234311por.pdf.multi. Acesso em: 16 jul. 2022.

O pensamento computacional não se refere apenas à computação. Ele parte da mente humana e da capacidade de realizar conexões e resolver problemas de maneira eficiente.

A presença da tecnologia no cotidiano pode ser notada não só para a comunicação, uma vez que

[…] praticamente todos os serviços essenciais da nossa sociedade – dos utensílios do lar às atividades laborais, na saúde, na agricultura, nos automóveis e na crescente automação que vem trazendo enormes desafios sociais e econômicos. Majoritariamente, a informação que a humanidade possui e utiliza contemporaneamente está armazenada digitalmente. O mundo é cada vez mais dependente de tecnologias digitais.

BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: CNE, 2021. p. 8. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=182481 -texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-educacao-basica&category_slug=abril-2021 -pdf&Itemid=30192. Acesso em: 16 jul. 2022.

Essas considerações iniciais colocam em relevo a necessidade de a educação escolar incorporar em sua prática discussões e propostas variadas em que se apresentem elementos da Ciência da Computação, tendo em vista o desenvolvimento do Pensamento computacional que

[…] refere-se à habilidade de compreender, analisar, definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções de forma metódica e sistemática, através do desenvolvimento da capacidade de criar e adaptar algoritmos, aplicando fundamentos da computação para alavancar e aprimorar a aprendizagem e o pensamento criativo e crítico nas diversas áreas do conhecimento.

BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Normas sobre Computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: CNE, 2021. p. 10. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=182481 -texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-educacao-basica&category_slug=abril-2021 -pdf&Itemid=30192. Acesso em: 16 jul. 2022.

No Brasil, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), em seus pressupostos quanto à educação integral dos estudantes, que “se refere à construção intencional de processos educativos que promovam aprendizagens sintonizadas com as necessidades, as possibilidades e os interesses dos estudantes e, também, com os desafios da sociedade contemporânea” (BNCC, p. 14), expressa a preocupação com uma formação escolar que conecte os jovens a essa realidade mundial e os engaje nela. Para isso, é importante evidenciar a importância de os professores do Ensino Fundamental tratarem do desenvolvimento de competências e habilidades dos estudantes que permitirão a eles não se intimidarem diante das novas tecnologias e do uso de recursos computacionais nos ambientes de estudo e, futuramente, de trabalho. No entanto, uma questão se interpõe a esse fato: Como isso pode ser feito se a maioria dos docentes não têm formação específica em computação?

Uma resposta pode ser encontrada quando comparamos as competências e habilidades descritas para Matemática e os elementos básicos do Letramento Matemático com as habilidades fundamentais da era da computação – “pensamento crítico, resolução de problemas, criatividade, ética/responsabilidade, colaboração” (Brasil, 2021, p. 8) e o conceito de pensamento computacional, propostos no documento Normas sobre Computação na Educação Básica (CNE). Dessa comparação, é possível concluirmos que o desenvolvimento do pensamento computacional pode ser feito com o letramento matemático, uma vez que, para ambos, raciocinar, representar, comunicar e argumentar são indispensáveis. Essa possibilidade de abordagem do pensamento computacional e o do letramento matemático aparece de modo explícito na seção Tecnologias, presente em diversos momentos nos livros desta coleção. Essa seção propicia discussões sobre os softwares utilizados e seus recursos, além da apresentação de noções de programação, totalmente pertinentes e de interesse tanto do ponto de vista dos resultados matemáticos a serem obtidos e de seu significado, como do ponto de vista do pensamento computacional identificando a adaptação de algoritmos de uso matemático utilizados em um software ou aplicativo. Há, ainda, outra possibilidade para esse trabalho conjunto – a resolução de problemas.

A resolução de problemas é um dos momentos mais propícios para abordar as relações entre o pensamento matemático e o pensamento computacional, sendo que este tem muito a contribuir para o desenvolvimento daquele. No entanto, cabe ao professor promover discussões com os estudantes, nas quais sejam apresentadas algumas etapas utilizadas em processos computacionais para a resolução de problemas que também são interessantes de serem aplicadas em situações rotineiras de aula.

O Centro de Inovação para a Educação Brasileira (CIEB), em seu documento Currículo de Referência em Tecnologia e Computação (CIEB, 2019), destaca que a resolução de problemas computacionais apresenta as etapas a seguir.

• Decomposição: realiza-se a análise de um problema com o intuito de identificar partes que podem ser separadas, para tornar mais simples a solução de cada uma delas, e de que modo podem ser reconstruídas para a descoberta de uma solução para um problema mais complexo.

• Reconhecimento de padrões: tem um viés um pouco diferente do utilizado na Álgebra, pois está voltado para a identificação de características comuns entre as soluções das partes em que o problema foi decomposto que permita a utilização do mesmo processo ou o reconhecimento de similaridades com outros problemas resolvidos.

• Algoritmo: trata-se de uma sequência de passos, ou seja, conjunto de instruções precisas, ordenadas e necessárias para solucionar um problema, como em Matemática.

• Abstração: refere-se à generalização de padrões e sua classificação, destacando as informações necessárias e organizando-as em estruturas que possam auxiliar na resolução de novos problemas, também se aproximando do movimento de generalização usado em Matemática.

Essa abordagem do pensamento computacional possibilita aos estudantes criarem uma estrutura e um processo de sistematização para analisar uma situação-problema, mobilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas, que nos permitem afirmar que o pensamento computacional pode ser visto como um suporte analítico para o pensamento matemático com o estabelecimento de maneiras de como um problema pode ser abordado na busca da solução.

Comunicação nas aulas de Matemática

Na escola, todos os dias os estudantes convivem com os colegas, professores e demais componentes da comunidade escolar, e esse processo de interação é de grande importância. Não podemos deixar de mencionar a relevância da comunicação, incluindo as aulas de Matemática.

Os estudantes precisam ser estimulados a se expressar de diferentes modos, por exemplo, falar, ouvir, registrar por escrito, atuar por meio de manifestações artísticas, entre outras, de tal maneira que possam compartilhar vivências, conhecimentos, dúvidas ou hipóteses, conjecturas etc.

Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 9. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Falar sobre o que está pensando, os caminhos percorridos, os sentimentos despertados durante as aulas e as estratégias utilizadas em cada situação pode auxiliar não apenas o próprio estudante a reelaborar e organizar seu raciocínio e processo de aprendizagem como também favorecer os demais colegas a validar hipóteses ou a compreender por que pensam de modo diferente ou utilizam estratégias distintas.

Nesse processo de socialização, os estudantes são estimulados a desenvolver diferentes habilidades e competências, incluindo as socioemocionais, ao se relacionar com um ou mais colegas de maneira respeitosa e responsável.

Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 10. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Vale destacar, ainda, a importância do desenvolvimento da leitura e da análise de textos matemáticos.

Nas aulas de Matemática, é fundamental que os estudantes sejam incentivados a se familiarizar com o vocabulário, a linguagem e as construções próprias dessa ciência. Além de conhecer termos e símbolos, é importante que consigam articulá-los e analisar criticamente um texto matemático, por exemplo, avaliar a razoabilidade de um resultado, validar ou refutar hipóteses na investigação de situações-problema ou para interpretar uma notícia com dados estatísticos.

Nesse sentido, o desenvolvimento de habilidades, como o raciocínio inferencial e argumentativo e o pensamento computacional, torna-se ferramenta indispensável para uma comunicação eficiente nas aulas de Matemática. À medida que os estudantes desenvolvem a capacidade de elaborar hipóteses, conjecturar, defender ideias e organizar etapas de pensamento, tornam-se aptos a comunicar resultados e entendimentos a respeito dos mais diversos temas, incluindo aqueles de caráter matemático, científico e do cotidiano de modo geral.

Modelagem

Modelagem matemática, em linhas gerais, pode ser entendida como a criação de um modelo, com base em um conjunto de modificações e/ou adaptações de uma estrutura matemática já existente, para solucionar uma dada situação-problema.

Para melhor compreender o significado da modelagem no contexto do ensino e da aprendizagem da Matemática, será preciso recuperar esse conceito no contexto da aplicabilidade da Matemática, aquela exercida por profissionais das mais diversas áreas do conhecimento humano.

Segundo Bean (2001), ao falarmos das raízes da aplicabilidade da Matemática, temos em mente situações-problema complexas e não bem definidas encontradas nas indústrias, no setor da saúde e no meio ambiente, entre outras áreas. Para encaminhamento de uma solução ou de uma melhor compreensão do que ocorre e precisa ser solucionado, será necessário que o profissional responsável crie ou pelo menos modifique modelos matemáticos já existentes, definindo parâmetros, características e relações entre eles.

[…] As características e relações, extraídas de hipóteses e aproximações simplificadoras, são traduzidas em termos matemáticos (o modelo), nos quais a matemática reflete a situação do problema. Durante e depois da criação do modelo, o profissional verifica a coerência da matemática e a validade do modelo no contexto do problema original. […]

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 51, 2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr/article/view/1689/1182. Acesso em: 7 jul. 2022.

Ainda de acordo com esse autor, uma transferência do método da modelagem vem sendo implantada na Matemática desenvolvida nas escolas a fim de dar respostas às dimensões socioculturais da educação e ao baixo desenvolvimento dos estudantes em Matemática.

Essa transferência de método se dá com apoio na resolução de problemas aplicados, os quais tratam de questões de relevância que motivem os estudantes a buscar soluções.

Esse autor estudou dissertações e teses de Educação Matemática e afirma que delas surgem duas abordagens: a modelagem como uma metodologia de problematização e a modelagem como aprendizagem baseada em problemas. As duas pretendem enfocar situações de interesse dos estudantes. A primeira problematiza uma situação dada, não bem definida, e é intitulada modelagem; e a segunda, chamada modelação, trabalha uma situação dada já em forma de situação-problema relacionada ao conteúdo a ser ministrado.

Bean (2001) salienta ainda que a modelagem difere da resolução de problemas quando a situação não for bem definida, tal qual proposto por Polya, que será abordado posteriormente nestas Orientações. Para Bean (2001),

A essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáticos (o modelo). As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado por esse processo é sempre aberto a críticas e ao aperfeiçoamento.

[…]

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 53, 2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr/article/view/1689/1182. Acesso em: 7 jul. 2022.

Sem dúvida, uma vez que o modelo esteja formatado, há de se querer chegar a um resultado, solucionando-o. Daí a aproximação e o afastamento das metodologias – resolução de problemas, modelagem ou modelação – como propostas de ensino da Matemática.

A resolução de problemas, na maioria dos casos, não envolve hipóteses e aproximações simplificadoras na criação de modelos. O problema dado já é bem definido. E, talvez, por causa das diferenças citadas é que a resolução de problemas se torna uma metodologia que costuma ser mais indicada para o Ensino Fundamental de Matemática do que a modelagem matemática e a modelação matemática, que têm sua maior projeção no Ensino Superior.

Resolução de problemas

Muito já se pesquisou desde a apresentação das quatro etapas para se chegar à solução de um problema descritas por Polya, em seu livro intitulado How to Solve It, cuja primeira edição data de 1945. A tendência da Educação Matemática por resolução de problemas avança hoje para além das fronteiras de um método de resolução e passa a ser desenvolvida como uma perspectiva metodológica para o ensino de Matemática.

Onuchic (1999) traz uma retrospectiva do desenvolvimento dessa tendência, evidenciando o trabalho realizado por Schroeder e Lester (1989), que aponta para diferentes modos de abordá-la. De acordo com essa perspectiva, pode-se adotar uma atitude educativa que corresponda a ensinar resolução de problemas. Nessa abordagem, os modelos de

resoluções constituem o foco da atividade. Pode-se, por outro lado, ensinar a resolver problemas; o foco, nesse caso, é concentrar-se no ensino de Matemática e no que dela pode ser aplicado na solução de problemas rotineiros ou não; e, por último, pode-se assumir uma conduta de ensinar Matemática por meio da resolução de problemas, na qual

[...] os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas também, como um primeiro passo para se fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. [...], deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar símbolos).

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. p. 207.

Para Onuchic, essa abordagem é a mais coerente com as indicações apresentadas nos PCN, e estende-se aqui essa coerência à BNCC, pela qual se espera que os estudantes “desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações” (BNCC, 2018, p. 265). Onuchic afirma ainda que nessa abordagem “o aluno tanto aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas” (1999, p. 210-211).

Segundo Onuchic e Allevato (2009), durante a aplicação da metodologia surgem sempre oportunidades para avaliar a compreensão dos estudantes dos conceitos que envolvem o problema proposto, possibilitando ao professor perceber o crescimento do conhecimento matemático deles, o que faz a aplicação do método ser um momento de ensino-aprendizagem-avaliação.

Onuchic (1999) alerta para a importância da ação e formação do professor ao aplicar essa metodologia.

[...] vale ressaltar que o sucesso da operacionalização proposta depende, em grande parte, dos professores que irão implementá-la nas salas de aula e de como serão formados esses profissionais nessa perspectiva de trabalho.

ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. p. 212.

Embora não haja uma maneira rígida de ensinar por meio da resolução de problemas, passaremos a descrever sucintamente um roteiro metodológico que poderá ser desenvolvido com base em situações-problema propostas em cada volume da obra.

Estudante resolvendo um problema na lousa.

O roteiro apresentado por Onuchic e Allevato (2011) pode ser dividido nas seguintes etapas.

Preparação do problema: nesta primeira etapa, vale ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não foi trabalhado anteriormente com os estudantes. A ideia é que eles mobilizem os conhecimentos que possuem para, a partir disso, construir novos conhecimentos necessários para a resolução.

Leitura do problema: é a etapa em que se promove uma leitura individual do problema, seguida de uma leitura em conjunto, a fim de propiciar esclarecimento de eventuais dúvidas.

Plenária: para esta etapa, são convidados todos os estudantes para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, defenderem seus pontos de vista e esclarecerem as dúvidas. Nesse processo, o professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os estudantes.

Resolução do problema: com base no entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os estudantes, em grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolver o problema.

Busca do consenso: depois de sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a turma, chegar a um consenso sobre o resultado correto.

Observar e incentivar: nesta etapa, o professor se torna um mediador e, portanto, não tem mais o papel de transmissor do conhecimento.

Formalização do conteúdo: nesse momento, denominado formalização, o professor registra na lousa uma apresentação formal – organizada e estruturada em linguagem matemática –, padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos por meio da resolução do problema.

Registro das resoluções na lousa: representantes dos grupos são convidados a registrar e socializar, na lousa, suas resoluções, independentemente de estarem certas ou erradas.

Metodologias ativas

São os estudantes que aprendem. Essa afirmação, tão comentada em debates sobre educação, traz consigo uma concepção do processo de ensino e aprendizagem que, apesar de não ser nova, ainda se apresenta como um desafio às escolas: cada estudante é único e deve ser o motivo, o autor e o protagonista de seu processo de aprendizagem.

Se o principal objetivo da educação é fazer que os estudantes construam conhecimento, que se apropriem de aprendizagens consideradas essenciais e, mais importante, que se tornem competentes em aprender – para que possam fazer isso mesmo quando não estiverem mais no ambiente escolar – a escola é, portanto, para eles e feita deles e por eles. Nesse caso, podemos dizer que são os autores e atores principais.

Os estudantes são os a(u)tores principais do processo porque é deles que devem vir as demandas, o interesse, a curiosidade – uma educação que não considere as especificidades de cada indivíduo/grupo, que não abarque as diferentes formas de ser, os desejos e os projetos desses sujeitos, provavelmente não mobilizará o envolvimento e a dedicação de jovens e crianças que, consequentemente, deixarão de protagonizar essa história.

E, por fim, os estudantes são protagonistas de sua aprendizagem porque pouco se aprende sem interesse e motivação (que é intrínseca), sem inspiração, sem a prática e sem a experimentação. É preciso levantar hipóteses, testá-las, experimentar, errar, explorar, enfim, construir o caminho da própria aprendizagem.

Nessa perspectiva, o modelo de aula que vigora desde tempos remotos – em que o professor “ensina” transmitindo seus conhecimentos e os estudantes os recebem – já não parece mais coerente às necessidades de nossos jovens e crianças, não parece contribuir de forma efetiva com a aprendizagem. É preciso que eles construam o próprio conhecimento – e essa construção relaciona-se ao acesso à informação e sua transformação em algo que faça sentido, em comunhão com seus conhecimentos prévios, emoções e maturidade cognitiva de processamento.

De acordo com o texto “O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências”, publicado no site oficial da Base Nacional Comum Curricular, a construção do conhecimento possibilita aos estudantes construir também competências como:

• saber buscar e investigar informações com criticidade (critérios de seleção e priorização) a fim de atingir determinado objetivo, a partir da formulação de perguntas ou de desafios dados pelos educadores;

• compreender a informação, analisando-a em diferentes níveis de complexidade, contextualizando-a e associando-a a outros conhecimentos;

• interagir, negociar e comunicar-se com o grupo, em diferentes contextos e momentos;

• conviver e agir com inteligência emocional, identificando e desenvolvendo atitudes positivas para a aprendizagem colaborativa;

• ter autogestão afetiva, reconhecendo atitudes interpessoais facilitadoras e dificultadoras para a qualidade da aprendizagem, lidando com o erro e as frustrações, e sendo flexível;

• tomar decisão individualmente e em grupo, avaliando os pontos positivos e negativos envolvidos;

• desenvolver a capacidade de liderança;

• resolver problemas, executando um projeto ou uma ação e propondo soluções.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências. Brasília, DF: MEC, [2019?]. Caderno de Práticas da Base Nacional Comum Curricular. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/implementacao/praticas/ caderno-de-praticas/aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas-colaborativas-e -a-formacao-de-competencias-2?highlight=WyJtZXRvZG9sb2dpYXMiLCJhdGl2YXMiLCJtZXRvZG9s b2dpYXMgYXRpdmFzIl0. Acesso em: 14 jul. 2022.

Mas que metodologias podem ser utilizadas para que os estudantes, de fato, possam construir o conhecimento? Certamente, não há apenas uma maneira e nem sempre todos os estudantes carecem de uma mesma estratégia ou formatação, mas se faz necessário o uso de metodologias que incentivem o protagonismo, que convidem os estudantes à ação, à atuação, ao fazer – e que, fazendo, aprendam, ou seja, as chamadas metodologias ativas.

De acordo com Bacich e Moran (2018):

As metodologias ativas constituem alternativas pedagógicas que colocam o foco do processo de ensino e de aprendizagem no aprendiz, envolvendo-o na aprendizagem por descoberta, investigação ou resolução de problemas. [...]

[...]

As metodologias voltadas para a aprendizagem consistem em uma série de técnicas, procedimentos e processos utilizados pelos professores durante as aulas, a fim de auxiliar a aprendizagem dos alunos. O fato de elas serem ativas está relacionado com a realização de práticas pedagógicas para envolver os alunos, engajá-los em atividades práticas nas quais eles sejam protagonistas da sua aprendizagem. Assim, as metodologias ativas procuram criar situações de aprendizagem nas quais os aprendizes possam fazer coisas, pensar e conceituar o que fazem e construir conhecimentos sobre os conteúdos envolvidos nas atividades que realizam, bem como desenvolver a capacidade crítica, refletir sobre as práticas realizadas, fornecer e receber feedback, aprender a interagir com colegas e professor, além de explorar atitudes e valores pessoais.

É importante ressaltar que as metodologias ativas não se resumem a um conjunto de estratégias com nomes específicos – trata-se principalmente de uma concepção de educação, de um olhar para o processo educativo. Existem inúmeras maneiras de promover a ação dos estudantes, mas é fundamental perceber quais delas são mais adequadas a cada grupo (ou estudante) em cada momento. Em geral, elas não se limitam ao ambiente escolar ou ao momento da aula, ampliando as possibilidades de exploração e envolvimento.

A seguir, são apresentadas algumas estratégias que podem favorecer a aprendizagem ativa e significativa, as quais poderão ser exploradas durante o uso desta coleção.

• Sala de aula invertida: o princípio dessa estratégia é que os estudantes tenham contato com os conceitos e a teoria em um ambiente externo à sala de aula, por exemplo em casa, antes da aula – o que pode ser feito com um vídeo curto, um texto, uma coleta de informações. Desse modo, o tempo didático na escola poderá ser utilizado para a promoção de atividades em grupo, explorações, investigações e debates. De acordo com Bacich e Moran (2018):

[…] os professores podem iniciar com o básico sobre a inversão da sala de aula e, à medida que vão adquirindo experiência, passar a usar a aprendizagem baseada em projetos ou em investigação. Com isso, vão se reinventando, criando cada vez mais estratégias centradas nos estudantes ou na aprendizagem, em vez das aulas expositivas que costumavam ministrar.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018. p. 84.

• Rotação por estações: nessa estratégia, o professor organiza diferentes atividades relacionadas a um mesmo assunto, de modo a explorar habilidades distintas e complementares. Cada grupo trabalhará com uma atividade durante um período e, findado o tempo, passará para a próxima proposta. Durante o tempo de aula, todos os grupos devem ter contato com todas as propostas.

• Aprendizagem baseada na investigação: nessa proposta, a aprendizagem é iniciada com perguntas, problemas ou cenários relacionados à realidade, que deverão ser discutidos para identificação de uma solução. Importante ressaltar que, muitas vezes, não existe apenas uma solução possível, e a experimentação pode ser uma maneira interessante de validar as possibilidades.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018. p. 80-81.

• Aprendizagem em equipe: os estudantes são convidados a trabalhar, durante algum período, em um grupo composto de quatro ou mais membros. As decisões e atividades são realizadas pela equipe, de forma conjunta, o que favorece a interação entre os pares e o desenvolvimento de competências socioemocionais. No fim do período, podem-se trocar as equipes, de modo que cada estudante aprenda a valorizar diferentes perfis e habilidades.

• Jogos: tanto jogar quanto criar jogos são atividades que podem favorecer a aprendizagem ativa. Quando os estudantes jogam, envolvem-se em um contexto que traz significado ao conhecimento e pode mobilizar diferentes habilidades. Desse modo, é importante que o professor crie oportunidades para trabalhar jogos nas aulas e propor análises de estratégias e resultados com base em conhecimentos mobilizados pelos estudantes. Nesta coleção, o professor e os estudantes encontrarão a Matemática contextualizada, voltada para a resolução de problemas muitas vezes em abordagem interdisciplinar, favorecendo a exploração das metodologias ativas. De modo geral, todas as seções da obra, com destaque para as seções Pense e responda e Fórum, podem proporcionar um envolvimento ativo dos estudantes, na investigação por soluções, mobilização de conhecimentos e construção de argumentos baseados nos objetos do conhecimento matemático.

Tecnologias digitais: potencialidades no ensino e na aprendizagem

É inegável a presença das Tecnologias Digitais (TD) na vida privada, no mundo do trabalho e no desenvolvimento do conhecimento gerado na época atual. A intenção nesta obra é promover algumas reflexões acerca das possíveis relações existentes entre as TD e o trabalho desenvolvido na escola, pensando nos principais motivos que podem levar ao fortalecimento dessas relações.

Borba, Scucuglia e Gadanidis (2014), no livro Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, analisam as pesquisas desenvolvidas no Brasil, nos últimos 30 anos, que tratam da presença das tecnologias digitais na Educação Matemática.

[...] Essa tecnologia assumiu nomes distintos que simbolizaram diferentes épocas: Logo, informática, educação matemática on-line, tecnologias da informação, tecnologias da informação e comunicação, internet etc. Os diversificados termos utilizados enfatizaram diferentes aspectos desta tecnologia que, como o título sugere, está em movimento.

BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia Rodrigues da; GADANIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. p. 16.

As diferentes maneiras – de como a sala de aula de Matemática tem se transformado com o evento das tecnologias – foram classificadas pelos autores em quatro fases. Passaremos a expor um breve resumo de cada uma das fases por eles descritas. Para uma compreensão mais profunda sobre cada uma das fases e suas fundamentações, recomendamos a leitura do livro.

A primeira fase, nos anos 1980, já discutia o uso de calculadoras simples ou científicas e de computadores. Tecnologia de Informática (TI) era o termo utilizado para se referir a computadores e softwares. No entanto, o uso do software LOGO é que, principalmente, caracterizou essa fase fundamentada no construcionismo, que considerava o potencial da programação do LOGO ao enfatizar relações entre linguagem de programação e pensamento matemático. Havia nessa fase a preocupação com a implantação de laboratórios de informática nas escolas e a formação de professores, pois o papel atribuído às tecnologias era o de catalisador para as mudanças pedagógicas.

A segunda fase teve início em 1990. Nela, existiam muitas perspectivas de como os estudantes, professores e pesquisadores viam o papel dos computadores na vida pessoal e profissional deles. Muitos nem chegaram a usar os computadores, “outros ainda, por perceberem as transformações cognitivas, sociais e culturais que ocorriam com o uso de TI, buscavam explorar possibilidades didático-pedagógicas. Diversos softwares educativos foram então produzidos por empresas, governo e pesquisadores” (BORBA; SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2014, p. 22). Nessa fase, os autores destacam o uso de softwares para o ensino de funções (como o Winplot, o Fun e o Graphmathica) e para o de geometria dinâmica (como o Cabri Géomètre e o Geometricks). Esses softwares abrem várias possibilidades didático-pedagógicas apoiadas nas ideias de manipulação, combinação, visualização e construção de objetos matemáticos, tudo minuciosamente descrito pelos autores.

A terceira fase tem início em 1999, com o advento da internet. Em educação, a internet começa a ser utilizada como fonte de informação e como meio de comunicação. Surgem os cursos a distância para formação continuada de professores via e-mails, chats e fóruns. O termo agora utilizado é Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Em termos de pesquisa, muitas são as questões investigadas, por exemplo: Qual é a natureza do pensamento matemático em cursos on-line? Como a Matemática é transformada em ambientes on-line? Em termos de oportunidades didático-pedagógicas, os pesquisadores colocam em evidência que a interação em ambientes virtuais de aprendizagem oferece nuances cognitivas diversificadas ao investir em multiplicidades de nós e conexões, incentivando a coautoria dos estudantes na atividade proposta.

Atualmente, estamos vivendo a quarta fase, cujo surgimento deu-se em 2014 com a banda larga. Compõem essa fase instrumentos como computador, laptops, tablets, telefones celulares e internet rápida. O termo utilizado para enunciá-la é Tecnologia Digital (TD).

É interessante notar que as fases não se esgotam, muitas das perguntas formuladas em seu início ainda permanecem sendo investigadas e novas questões surgem com o avanço das tecnologias e sua inserção na sociedade.

O que até agora apresentamos nos dá a dimensão da força e da rapidez com que as tecnologias vão sendo implantadas na nossa vida e de como o uso delas nas escolas não pode mais ser retardado. O uso das tecnologias tem um papel preponderante na formação do cidadão ao empreendermos uma visão ampla de educação.

[...] O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E, neste sentido, a informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática Belo Horizonte: Autêntica, 2010. p. 16-17.

Nessa mesma perspectiva sobre o uso das TD em sala de aula, Ponte (2000) afirma que as próprias TIC (na época ainda não iniciada a nova fase) são ferramentas de trabalho pedagógico que podem ser usadas livremente e de maneira criativa por professores e estudantes na realização de diversificadas atividades. Essa ferramenta pode vir a ser articulada ao trabalho por projetos embasados nas diretrizes da interdisciplinaridade, possibilitando um claro protagonismo do estudante na aprendizagem.

No patamar em que os pesquisadores estão colocando as mudanças educacionais que deverão ocorrer em consequência dos problemas contemporâneos, a prática do professor está cada vez mais articulada com o entorno escolar, o que faz dele também um protagonista da construção escolar como um todo.

A importância das tecnologias digitais se intensificou com a pandemia de covid-19, decretada em 2020. Como uma das consequências do isolamento social para conter a doença, aulas presenciais foram suspensas. Com isso, foi necessário reprojetar a rotina escolar no ambiente digital.

Dadas as dificuldades de acesso a recursos digitais ou, ainda, a complexidade inerente ao ensino a distância na Educação Básica, foi necessário grande esforço por parte de professores e estudantes a fim de prosseguir com a vida escolar.

Estudante assistindo a uma aula on-line

Os professores precisaram desenvolver técnicas de aula a distância, bem como modelos de acompanhamento e avaliação digitais. Essa nova realidade ressaltou a necessidade de uma formação integral do professor, incluindo a familiarização com ferramentas de ensino digitais.

Práticas de pesquisa e método científico

A construção do conhecimento é permanente e se dá desde o nascimento de cada indivíduo. É por meio da interação com o meio e com as pessoas, observando as relações sociais, culturais e naturais ao redor, e tirando conclusões sobre elas, que aprendemos. Por esse motivo, de acordo com Pereira (2018, p. 13), “o conhecimento pode ser classificado em popular (senso comum), teológico, mítico, filosófico e científico, com base na forma como é representado”.

O que diferencia o conhecimento científico dos demais tipos é o método, a maneira de conhecer. De acordo com Pereira (2018, p. 18), o conhecimento científico “é necessariamente construído em relação a algo real, por meio da experimentação, é sistemático, aproximadamente exato e verificável”. Destaca-se, contudo, que o conhecimento científico é falível, ou seja, não é absoluto e pode ser contestado e ampliado.

O conhecimento científico é construído por meio da pesquisa científica, que, por sua vez, é um modo de construção do conhecimento. Nela, o pesquisador, a partir de um problema que precisa resolver, algo que quer descobrir, manipula métodos e técnicas para buscar resultados que atendam às suas indagações. De maneira geral, a pesquisa científica tem a seguinte organização:

• identificação do problema;

• enunciação do problema;

• levantamento de hipóteses;

• definição do método ou de estratégias;

• tentativa de solução;

• testagem/comprovação da solução;

• comunicação dos resultados.

Em relação aos métodos científicos, podemos dizer, de acordo com Dias e Fernandes (2000, p. 6), que se trata de “um conjunto de procedimentos adotados com o propósito de atingir o conhecimento”. Ou seja, o método científico consiste nas regras básicas que se devem executar em uma pesquisa para a construção de conhecimento científico. De acordo com Demo (2001, p. 3) “o conhecimento está menos ligado a conteúdos, do que a procedimentos metodológicos de superação dos conteúdos”. O autor amplia a discussão destacando que essa perspectiva leva “à valorização sem precedentes do saber pensar e do aprender a aprender”. Nesse ponto, podemos perceber a imbricada relação entre a pesquisa científica e a educação escolar. De acordo com a BNCC (Brasil, 2018, p. 14):

No novo cenário mundial, reconhecer-se em seu contexto histórico e cultural, comunicar-se, ser criativo, analítico-crítico, participativo, aberto ao novo, colaborativo, resiliente, produtivo e responsável requer muito mais do que o acúmulo de informações. Requer o desenvolvimento de competências para aprender a aprender, saber lidar com a informação cada vez mais disponível, atuar com discernimento e responsabilidade nos contextos das culturas digitais, aplicar conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia para tomar decisões, ser proativo para identificar os dados de uma situação e buscar soluções, conviver e aprender com as diferenças e as diversidades.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Desse modo, podemos considerar a pesquisa como uma importante estratégia pedagógica para a construção do conhecimento, em que os estudantes são convidados a identificar e resolver problemas reais, por meio da investigação, construindo – eles mesmos em interação com os demais – sua aprendizagem.

A pesquisa, portanto, pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento autônomo e crítico, culminando, inclusive, na capacidade de interpretar informações com clareza, analisá-las e verificar sua veracidade – habilidade tão fundamental em uma época em que há um fluxo incontável de informações disponíveis, muitas delas falsas. De acordo com Demo (2001, p. 10):

[...] Os conteúdos se consomem no tempo, enquanto a habilidade de saber pensar necessita manter-se viva, mais que nunca. Se não sabe pesquisar, não sabe questionar. Não sabendo questionar, não sabe ultrapassar os impasses inevitáveis que toda profissão encontra em sua prática. Assim, o mais importante hoje na pesquisa não é o manejo de instrumentos metodológicos, mas o manejo dos desafios inovadores e por vezes surpreendentes da vida. Saber pensar é ótimo para o mercado, mas é ainda mais essencial para a vida. [...]

DEMO, Pedro. Professor/Conhecimento. Brasília, DF: UnB, 2001. p. 10. Disponível em: http://funab.se.df.gov.br/wp-content/uploads/2018/11/Demo-2001.-Professor-Conhecimento.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

Nesta coleção, o professor e os estudantes encontrarão noções introdutórias de práticas de pesquisa relacionadas à Matemática, inclusive, em abordagem interdisciplinar e que envolve a história da Matemática e a Etnomatemática, valorizando a construção do conhecimento como um traço cultural e fruto do trabalho de muitos membros, em muitas sociedades. Contextos atuais são apresentados para contribuir com a visão crítica da realidade e com o desenvolvimento de argumentação baseada em conceitos matemáticos.

Cidadania e cultura de paz

Na atualidade, as expressões de violência parecem estar em toda parte. Na voz do âncora do jornal relatando os novos números e desdobramentos de uma guerra, nas mídias sociais em que se escancara a vida pessoal de famosos e anônimos, nas músicas que exploram os abismos provocados pela desigualdade de gênero, no relato de um colega na sala dos professores que não sabe mais como lidar com as dificuldades da vida. E se essa avalanche nos atinge, com flechas vindas de todas as direções, também o faz com os jovens, cujas estruturas, muitas vezes, não são suficientes para lidar com tudo isso.

Em oposição a toda essa violência, faz-se necessária – cada vez mais – a construção e promoção de uma cultura de paz, que, de acordo com D’Ambrósio (2010, p. 48), se estabelece em quatro dimensões: individual, social, ambiental e militar.

A paz individual, relativa ao gerenciamento de emoções e sentimentos de cada indivíduo e que lhe permite ser “dono” de suas ações, em consonância consigo e com as próprias escolhas. Poderíamos dizer que tem estreita relação com as competências e habilidades socioemocionais.

A paz social, que resulta do olhar atento e cuidadoso para o outro, da empatia e do respeito, do reconhecimento e da legitimação da diversidade humana, contribui para a construção de uma convivência harmoniosa e pautada pelos princípios éticos e democráticos.

A paz ambiental, por sua vez, refere-se à impossibilidade de vivermos em conflito com o ambiente, com a natureza; resulta da compreensão de que a manutenção da vida depende de um ambiente sadio e sustentável.

E, por fim, a paz militar, que é violada desde a Antiguidade e ainda hoje, pondo em risco a vida humana. A ausência dela é a materialização da violência, do desrespeito, do descumprimento dos direitos humanos, da falta de empatia e de coerência.

O professor D’Ambrósio (idem) afirma:

[…] Se não contemplarmos a questão da paz na sua multidimensionalidade, estaremos nos iludindo, e este é um ponto fundamental.

Sem paz não haverá sobrevivência. Educar para a paz é educar para a sobrevivência da civilização deste planeta, da humanidade, da espécie – mas a sobrevivência de todos com dignidade. Este é um ponto crucial: a dignidade de o indivíduo ser o que ele é, de poder aderir a um sistema de conhecimentos, de conhecer suas raízes, suas relações históricas, emocionais, sua religião, sua espiritualidade. Um indivíduo é diferente do outro, não há como negar que nós todos somos diferentes. Preservar essa diferença é algo fundamental para que a gente possa falar em uma sobrevivência com dignidade.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Cultura de paz e pedagogia da sobrevivência. In: ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz: da reflexão à ação. Brasília, DF: Unesco; São Paulo: Associação Palas Athena, 2010. p. 48. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000189919?locale=en. Acesso em: 8 jul. 2022.

A escola, como instância socializadora – em complementaridade com familiares, grupos de convívio e a mídia de massa –, possui papel fundamental para a construção da promoção da cultura de paz. É um espaço privilegiado de desenvolvimento e convivência. É preciso ter, na paz, o percurso e o destino da educação.

Para que isso seja possível, a não violência deve permear todos os processos e ambientes educacionais e envolver os diferentes profissionais que atuam de modo direto ou indireto com os estudantes, além dos familiares e a comunidade do entorno e, claro, os próprios estudantes. A escola deve ser, efetivamente, um espaço de diálogo e civismo, promovendo uma educação compartilhada para a convivência e cidadania.

A Unesco definiu, no texto Cultura de paz no Brasil publicado em seu site, as contribuições da educação para a construção da paz. São elas:

• aprender sobre as nossas responsabilidades e obrigações, bem como os nossos direitos;

• aprender a viver juntos, respeitando as nossas diferenças e similaridades;

• desenvolver o aprendizado com base na cooperação, no diálogo e na compreensão intercultural;

• ajudar as crianças a encontrar soluções não violentas para resolverem seus conflitos, experimentarem conflitos utilizando maneiras construtivas de mediação e estratégias de resolução;

• promover valores e atitudes de não violência - autonomia, responsabilidade, cooperação, criatividade e solidariedade;

• capacitar estudantes a construírem juntos, com seus colegas, os seus próprios ideais de paz.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz no Brasil. Brasília, DF: Unesco, [201-]. Disponível em: https://pt.unesco.org/fieldoffice/brasilia/expertise/culture-peace. Acesso em: 8 jul. 2022.

Todavia, é muito importante não confundir paz com falta de opinião, conflito com confronto. A convivência pressupõe a existência de valores e opiniões diferentes, diversidade de saberes e vivências particulares, interpretadas das mais variadas maneiras, e todos esses elementos podem ser geradores de conflitos, das mais diversas ordens. Contudo, é pela cultura de paz que esses conflitos serão gerenciados com base em princípios democráticos, éticos, solidários e sustentáveis, promovendo o conhecimento – e não o confronto, que conduz à violência.

D’Ambrósio (2010, p. 49) afirma: “trata-se de educar para a paz e a sobrevivência, baseadas na convivência entre diferentes. Esse é o nosso grande desafio.” Para tanto, é preciso promover situações de fala e de escuta, escuta “desarmada”, momentos de debate e de socialização de ideias e sentimentos. Tais proposições poderão favorecer não apenas o autoconhecimento como também a empatia, tão necessários para que os estudantes compreendam que o pluralismo é positivo e necessário. A violência vem da incompreensão, que vem do desconhecimento – assim, conhecer e reconhecer tais pontos é fundamental à cultura de paz.

Como pudemos observar, é imprescindível investir em estratégias pedagógicas que possibilitem e incentivem a identificação e o gerenciamento de sentimentos e emoções, pois as diferentes dimensões da paz se interrelacionam, e tais movimentos favorecem o desenvolvimento de habilidades relativas à autogestão, saúde mental e amabilidade. É preciso auxiliar os estudantes a refletir sobre situações contrárias à paz, como o bullying, e a combater essa e outras formas de preconceitos e discriminação, tal como preconiza a competência geral 9 da BNCC (2018, p. 10):

9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 10. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Nesta coleção, o professor os estudantes encontrarão propostas que buscam incentivar e promover a fala e a escuta (atenta), o debate, a argumentação e o reconhecimento de diferentes maneiras de pensar e agir. Tais propostas, portanto, objetivam o desenvolvimento de competências necessárias à convivência harmoniosa e à cultura de paz.

A cultura de paz pode ser exercitada nas atividades em grupo, em que os estudantes podem perceber como o diálogo e a mediação de conflitos favorecem a convivência harmoniosa.

A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem a homologação desse documento.

Não podemos desprezar as dimensões do país, seja em territorialidade, seja em diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um dos principais desafios, na área da educação, é propiciar oportunidades iguais para todos os estudantes, sem perder a particularidade e a singularidade de cada região ou grupo.

Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais.

Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum, salientando que os conteúdos deveriam ser complementados com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais.

No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014, essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os estudantes do território nacional as aprendizagens essenciais, preservando-se as identidades étnicas, culturais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais.

Desse modo, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os estudantes da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade, diversidade e equidade para a constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os estudantes da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências essenciais que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.

Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e à utilização consciente da informação e da tecnologia.

As competências

O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares.

Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.

Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação da natureza” [...].

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 8. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

São apresentadas dez competências gerais que se inter-relacionam e devem permear os conteúdos apresentados ao longo de todo o percurso escolar da Educação Básica.

Vale destacar que tais competências resumem as capacidades e os conhecimentos essenciais ao desenvolvimento de atitudes e valores fundamentais no mundo contemporâneo, como a empatia, a cooperação, a valorização da Ciência e da diversidade, o pensamento crítico e o preparo para o mundo do trabalho. O desenvolvimento desses valores e atitudes objetivam a formação integral dos estudantes como cidadãos críticos e criativos.

As competências gerais, apresentadas a seguir, desdobram-se em competências específicas e habilidades voltadas a cada componente curricular. Entretanto, é importante considerar que tais competências existem por si e podem ser abordadas como tais a qualquer tempo da vida escolar, de modo que estejam presentes frequentemente nas mais variadas atividades e abordagens. Desse modo, pode-se assegurar uma maior apropriação dos conhecimentos, atitudes e valores que essas dez competências preconizam, bem como a aplicação destas nas questões do cotidiano.

As competências gerais da BNCC são:

Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 9-10. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

Conforme já mencionado, no desenvolvimento de competências é importante uma indicação clara do que os estudantes devem saber (conhecimentos, procedimentos e atitudes) e do que devem saber fazer (mobilização desses conhecimentos, procedimentos e atitudes) diante de cada situação.

Na BNCC, as aprendizagens relativas ao Ensino Fundamental estão distribuídas em cinco áreas do conhecimento (Linguagens, Matemática, Ciências da Natureza, Ciências Humanas e Ensino Religioso), por sua vez, divididas em componentes curriculares. Existem áreas que abrigam mais de um componente curricular, por exemplo, Linguagens, que abrange Língua Portuguesa, Arte, Educação Física e Língua Inglesa.

Os conhecimentos referentes a cada área do conhecimento, como mencionado, estão estruturados em competências gerais, das quais derivam as competências específicas de cada área e/ou componente curricular.

Cada área do conhecimento estabelece competências específicas de área, cujo desenvolvimento deve ser promovido ao longo dos nove anos. Essas competências explicitam como as dez competências gerais se expressam nessas áreas.

[...]

As competências específicas possibilitam a articulação horizontal entre as áreas, perpassando todos os componentes curriculares, e também a articulação vertical, ou seja, a progressão entre o Ensino Fundamental – Anos Iniciais e o Ensino Fundamental – Anos Finais e a continuidade das experiências dos alunos, considerando suas especificidades.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 28. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

Em Matemática, cumpre destacar que as competências específicas vão ao encontro dos objetivos do letramento matemático e sua importância de tornar significativa a aprendizagem de conhecimentos matemáticos para que estes possam ser utilizados pelos estudantes em questões de estudo e práticas presentes na vida dos estudantes. Observe, a seguir, as competências específicas da área de Matemática na BNCC.

Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 267. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

As habilidades

A fim de assegurar que o desenvolvimento das competências específicas de cada área do conhecimento, a BNCC apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a objetos de conhecimento, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas.

Para garantir o desenvolvimento das competências específicas, cada componente curricular apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a diferentes objetos de conhecimento – aqui entendidos como conteúdos, conceitos e processos –, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas. Respeitando as muitas possibilidades de organização do conhecimento escolar, as unidades temáticas definem um arranjo dos objetos de conhecimento ao longo do Ensino Fundamental adequado às especificidades dos diferentes componentes curriculares. Cada unidade temática contempla uma gama maior ou menor de objetos de conhecimento, assim como cada objeto de conhecimento se relaciona a um número variável de habilidades [...].

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 28-29. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

Cada habilidade pode ser dividida em partes, que abrangem diferentes ações e procedimentos. Compreender cada uma dessas partes e definir os instrumentos adequados de aplicação delas são importantes para garantir a efetiva apropriação das habilidades. Por exemplo, nas habilidades que preveem a resolução e a elaboração de problemas, é necessário dedicar momentos e atividades específicos para cada uma dessas ações a fim de favorecer a aquisição completa dessas habilidades.

Quanto à relação entre as habilidades e as competências, cumpre destacar que uma competência compreende um conjunto de saberes e habilidades. Assim, o fato de os estudantes desenvolverem certa habilidade, ou parte dela, não garante que eles tenham construído a aprendizagem completa de determinada competência. Em Matemática, os estudantes podem, por exemplo, dominar o uso de ferramentas de planilhas eletrônicas, mas isso não significa que eles tenham desenvolvido todos os conhecimentos, atitudes e valores envolvidos na competência geral 5 da BNCC.

No texto da BNCC, a definição de competência aparece como “a mobilização de conceitos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho”. É, portanto, a capacidade de mobilizar recursos, conhecimentos ou vivências para resolver questões da vida real, como pensamento crítico e empatia.

Já as habilidades indicam o que aprendemos a fazer e são sempre associadas a verbos de ação, como identificar, classificar, descrever e planejar. No contexto escolar, ler e interpretar um texto, apresentar um trabalho para os colegas e realizar operações matemáticas são exemplos de habilidades que os estudantes desenvolvem ao longo da evolução escolar.

BNCC: você sabe a diferença entre competências e habilidades? Centro de referências em educação integral. [S. l.], 19 fev. 2020, p. 3. Disponível em: https://educacaointegral.org.br/ reportagens/bncc-voce-sabe-diferenca-entre-competencias-e-habilidades/. Acesso em: 17 jul. 2022.

Desse modo, conclui-se que as competências são mais amplas do que as habilidades e que ambas, competências e habilidades, devem ser desenvolvidas de modo articulado por meio dos recursos de aprendizagem presentes em cada componente curricular, os quais devem estar relacionados entre si para garantir a formação integral dos estudantes.

Na abertura de Unidade das Orientações específicas de cada volume, são listadas as competências gerais e específicas, as habilidades e os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) relacionados aos assuntos de cada Unidade. Além disso, ao longo das orientações, são destacados exemplos da coleção que favorecem o desenvolvimento de competências, habilidades e TCTs com o objetivo de facilitar a identificação desses itens pelo professor e auxiliá-lo a tornar ainda mais efetiva a aquisição dos conhecimentos, atitudes e valores previstos pela BNCC.

Quadros de habilidades da BNCC

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais

Divisão euclidiana

Fluxograma para determinar a paridade de um número natural

Múltiplos e divisores de um número natural

Números primos e compostos

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000.

(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Números

Frações: significados (parte/ todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.

(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais

Aproximação de números para múltiplos de potências de 10

Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Propriedades da igualdade

HABILIDADES

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Álgebra

Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo

Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Geometria

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

Grandezas e medidas

Ângulos: noção, usos e medida

(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Plantas baixas e vistas aéreas

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista)

(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Probabilidade e estatística

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas

Coleta de dados, organização e registro

Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações

Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Múltiplos e divisores de um número natural

HABILIDADES

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

Números

Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operaçõe.

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

Álgebra Linguagem algébrica: variável e incógnita

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica

HABILIDADES

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Álgebra

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Equações polinomiais do 1o grau

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

Simetrias de translação, rotação e reflexão

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Geometria

A circunferência como lugar geométrico

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Problemas envolvendo medições

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais

HABILIDADES

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Grandezas e medidas

Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

Medida do comprimento da circunferência

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Probabilidade e estatística

Pesquisa amostral e pesquisa censitária Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações

Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Notação científica

Potenciação e radiciação

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

Números

O princípio multiplicativo da contagem

Porcentagens

Dízimas periódicas: fração geratriz

Valor numérico de expressões algébricas

Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano

Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 = b

(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax2 = b.

Álgebra

Sequências recursivas e não recursivas

(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.

(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

Geometria

Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.

(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

Geometria

Grandezas e medidas

Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas

Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência

(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

Volume de bloco retangular Medidas de capacidade

Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral

Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados

Organização dos dados de uma variável contínua em classes

(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.

(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Probabilidade e estatística

Medidas de tendência central e de dispersão

(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral

(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).

(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta

Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Números

Potências com expoentes negativos e fracionários

Números reais: notação científica e problemas

Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Álgebra

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis

Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Geometria

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

Semelhança de triângulos

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Relações métricas no triângulo retângulo

Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração

Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais

HABILIDADES

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Geometria

Polígonos regulares

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares

Distância entre pontos no plano cartesiano

Vistas ortogonais de figuras espaciais

Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas

(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Grandezas e medidas

Unidades de medida utilizadas na informática

Volume de prismas e cilindros

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Probabilidade e estatística

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS

Um dos desafios mais urgentes do ensino de Matemática é fazer que ela interaja com outras áreas do conhecimento e contribua para a formação integral dos estudantes, indo além do conteúdo programático. Estabelecer conexões entre a Matemática e as demais áreas do conhecimento pode ampliar as oportunidades de compreender e utilizar conceitos, tanto da Matemática quanto das demais áreas. Nesse sentido, a interdisciplinaridade (relação entre os componentes curriculares) surge como um dos recursos para tornar a aprendizagem Matemática ainda mais significativa, uma vez que o ensino interdisciplinar prevê a mobilização de aplicações de cada componente de modo integrado para a análise e resolução de uma situação-problema, como destaca-se na BNCC:

[...] a interdisciplinaridade implica um diálogo entre os campos dos saberes, em que cada componente acolhe as contribuições dos outros, ou seja, há uma interação entre eles. [...]

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 18. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao /contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Faz-se necessário trazer para a Matemática situações contextualizadas que proporcionem ampliação de abordagem, estabelecendo conexões com conteúdos de outras áreas do conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos estudantes, além de aprofundar as relações da escola com as experiências cotidianas de cada um deles. Aqui, cabe citar a relevância do trabalho transdisciplinar, que prevê o ensino integrado dos conhecimentos de diferentes áreas, como destaca-se na BNCC:

A abordagem transdisciplinar contribui para que o conhecimento construído extrapole o conteúdo escolar, uma vez que favorece a flexibilização das barreiras que possam existir entre as diversas áreas do conhecimento, possibilitando a abertura para a articulação entre elas. Essa abordagem contribui para reduzir a fragmentação do conhecimento ao mesmo tempo em que busca compreender os múltiplos e complexos elementos da realidade que afetam a vida em sociedade.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 18-19. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao /contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Para que a prática docente seja organizada, de modo que possibilite a formação de cidadãos críticos, é preciso entender a contextualização como um acontecimento ou uma situação pertencente a um encadeamento de elementos relacionados a recursos disponíveis em cada área de conhecimento.

Para isso, é importante que o professor perceba como manter um diálogo entre as diferentes áreas, trazendo o cotidiano dos estudantes para a aula e aproximando-o do conhecimento científico, desenvolvendo, assim, um ensino capaz de fazer que os estudantes aprendam a relacioná-las a diferentes aplicações do conhecimento matemático. As experiências vivenciadas pelos estudantes e pela escola podem ser utilizadas para dar vida e significado ao conhecimento. Desse modo, é possível abordar questões como problemas ambientais, culturais, políticos etc. que não estejam obrigatoriamente ligados aos estudantes, mas que possam estar relacionados a seus familiares ou a sua comunidade, por exemplo.

Portanto, fazer conexões interdisciplinares entre Matemática, Língua Portuguesa, Arte, Ciências, História, Geografia, Educação Física, Língua Inglesa etc. e transdisciplinar, utilizando-se também os Temas Contemporâneos Transversais, poderá contribuir para que a Matemática e todo o conhecimento envolvido ganhem maior sentido e significado para os estudantes.

É importante ressaltar a importância das explorações que favoreçam a leitura e as reflexões, inclusive nas aulas de Matemática, sobre os conhecimentos construídos em cada momento do processo de aprendizagem.

O uso da escrita como ferramenta que influencia a aprendizagem matemática [...] e outras formas de registrar processos de pensamento estão sendo cada vez mais utilizadas como um veículo importante na compreensão do processo de ensino e aprendizagem. [...] a utilização da escrita, seja nas aulas de matemática, nos processos de formação docente ou na investigação, deve ser vista como um projetos que transforma continuamente a cognição e o aprendizado de quem a produz.

POWELL, Arthur; BAIRRAL, Marcelo. A escrita e o pensamento matemático: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. p. 11-12.

Os Temas Contemporâneos Transversais visam promover a difusão de valores Fundamentais ao interesse social e a formação integral dos estudantes. De acordo com a BNCC, temos que:

[...] os Temas Contemporâneos Transversais têm a condição de explicitar a ligação entre os diferentes componentes curriculares de forma integrada, bem como de fazer sua conexão com situações vivenciadas pelos estudantes em suas realidades, contribuindo para trazer contexto e contemporaneidade aos objetos do conhecimento descritos na BNCC.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 5. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao /contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Nesta obra, há seções e atividades que podem favorecer o trabalho com os Temas Contemporâneos Transversais descritos na BNCC e outros que se articulam com eles. Assim, muitos dos conteúdos trabalhados ao longo de cada volume não se encerram em si mesmos, já que podem ser complementados e contemplados com um dos temas contemporâneos como pano de fundo relacionados às competências e habilidades da BNCC.

Para isso, tornam-se de fundamental importância o planejamento e os estudos prévios por parte do professor para se apropriar das relações entre os temas abordados e o conteúdo matemático que será desenvolvido em cada momento e como potencializar essas relações para tornar a aprendizagem ainda mais significativa.

Os Temas Contemporâneos Transversais descritos na BNCC são:

Meio Ambiente

• Educação Ambiental

• Educação para o Consumo

Saúde

• Saúde

• Educação Alimentar e Nutricional

TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS

Multiculturalismo

• Diversidade Cultural

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Cidadania e Civismo

• Vida Familiar e Social

• Educação para o Trânsito

• Educação em Direitos Humanos

• Direitos da Criança e do Adolescente

• Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Ciência e Tecnologia

• Ciência e Tecnologia

Economia

• Trabalho

• Educação Financeira

• Educação Fiscal

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 13. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/ implementacao/contextualizacao_ temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

O PAPEL DO PROFESSOR

Certamente, cada professor tem como objetivo principal a aprendizagem de seus estudantes. Para que esse objetivo seja alcançado, é preciso ter clareza sobre o que os estudantes já sabem e como eles aprendem.

Se o professor é um dos grandes responsáveis pela apresentação de um novo conteúdo, de uma nova estratégia, ou ainda difusor de um termo específico desconhecido pela turma, faz-se necessário que ele saiba não só o que vai ensinar, mas também para quem está ensinando.

Nesse sentido, é imprescindível sondar o conhecimento prévio dos estudantes sobre os assuntos que serão formalmente trabalhados na escola, bem como considerar o desenvolvimento das habilidades e a realidade em que vivem e estudam.

Quanto mais o professor ajudar os estudantes a atribuir significados aos conteúdos estudados, mais eles poderão compreender a Matemática e se interessar por ela. Daí a importância de relacionar a Matemática com o cotidiano.

É importante salientar que a Matemática é utilizada, concebida ou tratada de diferentes maneiras nas diversas profissões e ocupações. Por exemplo: o carpinteiro utiliza a Matemática ao medir comprimentos e ângulos para resolver problemas do seu trabalho; o médico a utiliza no diagnóstico, que, na maioria das vezes, é dado por meio da probabilidade estimada com base em sintomas e resultados de exames; o matemático a utiliza como produção de conhecimento científico, entre outros.

Podemos dizer que existem muitas Matemáticas que procuram descrever e produzir uma “leitura de mundo”. A Matemática escolar é uma delas e caracteriza-se pelas maneiras de compreender e resolver as situações-problema, as questões e as atividades por meio da quantificação, da medição, da estimativa, da representação no espaço, do reconhecimento de formas e propriedades, da observação e da manipulação de regularidades e padrões.

O papel do professor é possibilitar o acesso a essas diferentes maneiras de se fazer Matemática e dar suporte para que os estudantes consigam adquirir habilidades e conhecimentos a fim de (res)significar a Matemática experimentada em suas práticas sociais, bem como reconhecer a beleza da Matemática em si.

Além de mediar a aquisição do conhecimento, é importante que o professor trabalhe a cooperação em sala de aula, abrindo espaço para a troca de ideias entre os estudantes, incentivando a valorização e o respeito às diferenças e promovendo a solidariedade e a cooperação no dia a dia escolar.

As pesquisas atuais sobre o ensino da Matemática defendem que é preciso colocar os estudantes no contexto de produção de pensamento e de conhecimento matemático. Desse modo, o foco não é mais os estudantes, o professor ou o conteúdo, mas, sim, a articulação desses três elementos.

Uma vez que as respostas dos estudantes às situações-problema apresentadas desafiam os professores a pensar matematicamente para propor novas questões, cria-se uma parceria nos processos de ensino e aprendizagem. Da mesma maneira, os estudantes são chamados a elaborar novos questionamentos diante do que é proposto/exposto pelo professor. Assim, o conhecimento matemático escolar é redefinido constantemente.

Passos e Romanatto (2010) apontam outros aspectos relevantes para que o professor atinja o objetivo de que seus estudantes aprendam Matemática. Segundo os autores, é necessário que os professores tenham:

[...] o domínio dos conhecimentos atuais sobre a natureza da Matemática, articulado com as ciências da educação, pode resultar em caminhos férteis para que essa área de conhecimento seja apreendida pelos nossos estudantes de forma efetiva e com significado.

PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion; ROMANATTO, Mauro Carlos. A Matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar, 2010. p. 20.

Professor orienta estudantes indígenas da etnia xerente durante aula na Escola Indígena Sakruiwê, na Aldeia Funil, em Tocantínia (TO). Fotografia de 2022.

Os conhecimentos matemáticos podem ser encarados como recursos que favorecem a cidadania, dada a ampla gama de aplicações desses conhecimentos nas mais variadas situações da sociedade atual. Para apresentar a Matemática como área a serviço do conhecimento científico e de relevância prática no cotidiano, é necessário que o professor tenha clareza a respeito das relações da Matemática com outras áreas de conhecimento. Para isso, é importante que o professor de Matemática tenha uma formação integral e continuada, apropriando-se das relações e aplicações de conceitos matemáticos em outras áreas do conhecimento e da contribuição da Matemática para construção da cidadania, como destacam Soares e Sheide (2004):

Outra questão crucial é a percepção que o professor tem sobre o conhecimento matemático e as interações que é capaz de estabelecer com esse conhecimento. A sua utilização como ferramenta para a construção da cidadania vai depender da sua capacidade em tratá-lo como um conhecimento articulado aos outros campos do saber e historicamente situado.

SOARES, Marlene Aparecida; SCHEIDE, Tereza de Jesus Ferreira. Professor de Matemática: um educador a serviço da construção da cidadania. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais […]. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2004. p. 2. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/07/CC07289049853.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Desse modo, o professor de Matemática, longe de ser um mero transmissor de conhecimentos imutáveis, é um sujeito do conhecimento que compartilha com estudantes conhecimentos esses que devem estar em constante aprimoramento e transformação para serem úteis nas práticas sociais dos estudantes.

Portanto, neste processo de parceria e inter-relação existente entre estudantes e professores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.

PERFIS DE APRENDIZAGEM

A Base Nacional Comum Curricular trouxe ao centro do debate sobre o processo educativo a necessidade de pensarmos em educação integral. Isso significa considerar cada estudante como indivíduo pleno e complexo, em suas diversas dimensões. Ninguém abandona gostos, características, sonhos, valores e emoções antes de entrar na escola – ao contrário, a sala de aula é composta de diversidade. Na BNCC (2018, p. 14), destaca-se:

[…] Reconhece, assim, que a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades. […]

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Essa visão implica reconhecer que ao professor cabe considerar cada estudante em sua singularidade, identificando necessidades, diferentes interesses e modos de aprender. Cada um de nós tem um perfil de aprendizagem. Isso não significa que aprendamos apenas por um canal de aprendizagem, mas, muitas vezes, existem canais mais propícios do que outros e, portanto, reconhecê-los e incentivar o uso deles é muito importante. Existem indivíduos que compreendem melhor a partir de estímulos visuais e, portanto, é interessante recorrer ao uso de gráficos, tabelas, listas e mapas mentais. Há pessoas que compreendem melhor utilizando a leitura (silenciosa) e escrita (listas, textos on-line, artigos, dicionários); LVI

outras pessoas são mais auditivas e, nesse caso, participar de conversas, fazer leituras em voz alta, praticar a escuta de podcasts, assistir a palestras e até ouvir músicas podem ser um caminho promissor; temos, também, aqueles mais cinestésicos e, nesse caso, pode ser importante explorar atividades concretas, como simulações, demonstrações, dinâmicas e métodos lúdicos, como a gamificação. É importante salientar que existem ainda pessoas com certa facilidade para se adaptar aos estímulos, os indivíduos chamados multimodais.

Para César Coll (2003, p. 2), é preciso identificar os diversos fatores que se relacionam com a aprendizagem – de natureza cognitiva, emocional, afetiva, social. O autor afirma que:

A qualidade de um sistema educativo está estreitamente relacionada – sobretudo nos níveis correspondentes à educação básica – à sua capacidade de satisfazer as necessidades educativas e de formação de todos os alunos, ou seja, à sua capacidade de diversificar e de ajustar a ação educativa às características individuais e à ampla gama de capacidades, interesses e motivações demonstrados por alunos e alunas diante da aprendizagem escolar. (2003, p. 2)

COLL, Cesar. Atenção à diversidade e qualidade do ensino. Revista Educação Especial, [S. l.], v. 1, n. 1, p. 7-17, 2012. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/educacaoespecial/article/view/5001. Acesso em: 30 abr. 2022.

Há que se considerar as culturas juvenis em sua multiplicidade, a neurodiversidade, os diferentes perfis de aprendizagem. Uma escola que atenda a todos precisa ser inclusiva – não apenas pensando em “minorias”, mas reconhecendo que a diversidade é inerente à humanidade, logo, onde há pessoas, há diversidade. Dessa forma, não há espaço para preconceitos ou discriminações de quaisquer ordens.

Além disso, a escola precisa ser reconhecida pelos estudantes como um espaço de paz para que se sintam seguros e confiantes na construção de seu projeto de vida. Desse modo, é fundamental promover situações que desenvolvam a empatia e a cooperação entre eles e toda a comunidade escolar.

Para que isso aconteça, é preciso buscar novas formas de “fazer educação”, promovendo o protagonismo dos estudantes no processo. As metodologias ativas parecem propícias a essa tarefa, pois favorecem o trabalho coletivo, a reflexão, a convivência e respeitam os diferentes tempos e interesses, bem como a diversidade de formas de aprender.

Sugerimos também a alternância entre agrupamentos e trabalho individual, considerando os objetivos de aula (ou sequência de aulas) e as metodologias empregadas. Em duplas, pequenos grupos, grupos grandes ou até com o grupo-classe. Nos agrupamentos, os estudantes desenvolvem-se a partir da relação com os outros, e, no trabalho individual, o professor pode personalizar o processo, enfocando em habilidades específicas necessárias ao desenvolvimento de cada estudante. Em turmas grandes, o agrupamento pode ser, especialmente, uma estratégia muito útil para contemplar a diversidade e favorecer a aprendizagem de todos.

O professor pode também explorar as tecnologias digitais em suas propostas pedagógicas, com base nas preferências e nos estilos de aprendizagem, valorizando as potencialidades e a integração entre os estudantes. Para além da inclusão das estratégias digitais, convidar os estudantes ao protagonismo, abrindo as portas da escola às culturas juvenis.

Dizemos no plural, culturas juvenis, porque é impossível unificá-las, uma vez que dependem de inúmeros aspectos, como interesses, territorialidades, influências, fatores socioeconômicos. Elas podem ser consideradas como a confluência de modos de vida, práticas sociais, interesses, gostos e saberes específicos que levam às escolhas, linguagens e atuações de cada grupo de jovens, formando identidades. Para desenvolver essas culturas e ampliar a identificação dos estudantes com o processo de aprendizagem, é importante abrir espaço para trocas e aprendizagem coletiva, como promover festivais, saraus poéticos e musicais.

Nesta coleção, são apresentadas propostas diversificadas, que permitem variadas maneiras de exploração e organização do trabalho, favorecendo a organização do trabalho pedagógico e do seu planejamento para atender grupos grandes ou pequenos em suas particularidades.

Grupo de jovens posando para uma fotografia.

AVALIAÇÃO

Em todo trabalho no qual a aprendizagem escolar esteja envolvida, o processo de avaliação estará presente – seja na sala de aula, nas atividades extraclasse, seja nas conquistas pessoais dos estudantes, como o ingresso nas universidades.

A princípio, o processo avaliativo era tido apenas como um procedimento de medida (que definia se os estudantes tinham ou não condições de progredir nos estudos). Atualmente, é quase consenso a compreensão de que a avaliação escolar não deve apenas verificar se os estudantes atingiram os objetivos definidos pelo currículo, com a finalidade rasa de atribuir-lhes uma nota ou um conceito. Desse modo, as avaliações passaram por um processo de ressignificação em que assumiram o papel de um potente instrumento que permite visualizar o progresso de cada estudante e sinalizar possíveis pontos de atenção.

Os resultados avaliativos não só apresentam implicações no processo individual dos estudantes como também produzem dados para a análise do trabalho desenvolvido pelos profissionais da escola, incluindo o professor. Assim, para que haja um ensino de qualidade, devem-se estabelecer relações entre os resultados e as ações da escola, principalmente no que se refere à vinculação do professor com os estudantes. Por isso, é essencial compreender como esses estudantes lidam com o conhecimento, quais são suas habilidades, as dificuldades que apresentam e as necessidades individuais para, junto deles, traçar uma rota de superação dos desafios e avanço nas conquistas.

Nesse contexto, podem ser destacados três tipos principais de avaliação: diagnóstica, formativa de processo ou de resultado. A avaliação diagnóstica, a ser realizada no início do processo de ensino e aprendizagem de determinado conteúdo, é fundamental para esse processo. O professor e os estudantes precisam identificar os conhecimentos já adquiridos para, com base nessa percepção, decidir quais atividades e ações podem ser potencialmente mais interessantes e quais desafios merecem ser ampliados. A clareza dos objetivos a serem alcançados é de fundamental importância, pois, sabendo o ponto a que se quer chegar, é mais fácil perceber se, de fato, chegou-se a esse “lugar”; portanto, é importante compartilhar com os estudantes os objetivos de determinada atividade ou grupo de atividades e o que se pretende avaliar.

No tipo de avaliação formativa de processo, o professor deve lançar mão de diferentes instrumentos avaliativos que sinalizem o desenvolvimento dos estudantes ao longo do processo educativo. Nesse caso, os resultados são parciais e os registros podem nortear a tomada de decisões e o caminho de aprendizagem a ser proposto pelo professor. Desempenho em seminários, participação em debates e capacidade de comunicar e compartilhar estratégias de resolução são indícios do desenvolvimento dos estudantes durante o processo de construção de conhecimentos e podem ser utilizados como meios avaliativos.

A avaliação de resultado ou somativa é aquela realizada ao fim de determinado estudo ou período de estudo para indicar os resultados de desempenho dos estudantes em relação a uma meta de aprendizagem. A prova tradicional é um dos instrumentos mais comuns desse tipo de avaliação, cujo resultado é um índice importante da evolução do nível de aprendizagem dos estudantes, mas não deve ser o único, tampouco analisado isoladamente, sem considerar os resultados dos demais tipos de avaliação realizados.

As questões da seção Avaliações oficiais em foco, baseadas em avaliações oficiais de larga escala (Saeb, Saresp, Pisa, Enem, OBMEP, entre outras), podem ser utilizadas e aplicadas como instrumento avaliativo de um dos tipos de avaliação descritos, de acordo com o planejamento do professor e a realidade de cada turma.

Avaliar o processo

Uma possibilidade é observar a estratégia que os estudantes utilizam para resolver as situações-problema; isso consiste em um recurso valioso para o professor compreender o desenvolvimento deles. Muitas vezes, o modo como produzem algo demonstra o que não compreenderam e possibilita ao professor intervir adequadamente, agindo de maneira eficaz para atender às necessidades reais dos estudantes. Pedir a eles que socializem com os colegas os raciocínios e as estratégias é mais uma maneira de identificar os caminhos e possíveis dificuldades de cada um.

Como já comentamos, é importante incentivar os diferentes registros de representação. Muitas vezes, os estudantes são capazes de compartilhar as estratégias utilizadas oralmente, mas não as representa numericamente. Por isso, é interessante pedir-lhes que registrem o mesmo processo de maneiras distintas para que possam, além de explorar os diferentes registros de representação, conhecer o processo que, para eles, é mais simples ou desafiador.

Autoavaliação

Os estudantes precisam se conscientizar da responsabilidade deles por seu processo de aprendizagem e, para isso, é preciso que percebam a função e a importância dos diferentes instrumentos de avaliação e, mais do que isso, utilizem-nos como molas propulsoras para novas conquistas. Além de identificar e observar o número que indica sua nota, os

estudantes precisam ser motivados a identificar, nos acertos, as conquistas realizadas e, nos erros, possíveis desvios de rota ou rotas inadequadas para aquela situação. Portanto o espaço/tempo para os estudantes se autoavaliarem deve ser fornecido pelo professor.

Nesse processo de autoavaliação, os estudantes podem ser convidados a responder a alguns questionamentos que lhes permitam identificar o uso dos dados corretos, o porquê da escolha de determinada estratégia, o nível de tensão causada em cada resolução e possível interferência no processo de resolução, o que poderia ser melhorado, entre outros.

Nesta obra, os estudantes encontrarão a seção Um novo olhar, que possibilita a retomada dos conhecimentos explorados para que possam perceber, por exemplo, as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser recapituladas e, por meio dessas percepções, após a elaboração da autoavaliação, preparar um plano de ações e estudos.

Durante esse processo de mensuração e investigação, é possível utilizar diferentes instrumentos, como: rodas de conversa ou entrevistas; fichas que serão preenchidas pelos próprios estudantes e pelo professor; trabalhos em dupla ou grupos; provas individuais com e sem consulta aos registros pessoais; elaboração e correção de atividades em duplas – um estudante corrige a atividade do outro colega; apresentação dos equívocos cometidos; elaboração de textos e seminários etc. É importante que os estudantes também tomem ciência de como poderão melhorar para avançar, sabendo do que já são capazes de realizar sozinhos, assumindo seu papel atuante.

A avaliação não começa nem termina na sala de aula, ela envolve planejamento e desenvolvimento do processo de ensino, dinamizando oportunidades de ação e reflexão, num acompanhamento permanente do professor, propiciando ao aluno, em seu processo de aprendizagem, reflexões acerca do mundo; formando seres críticos e participativos na construção das verdades formuladas e reformuladas.

CUCCIOLI, Eliana. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, Celi Espasandin; MUNIZ, Maria Inês Sparrapan. O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. p. 131.

Ao refletir sobre seus avanços, dificuldades e expectativas, os estudantes podem perceber estratégias de aprendizagem que precisam ser modificadas.

Quanto aos familiares, se estiverem cientes das expectativas do professor em relação aos estudantes, poderão cooperar no estabelecimento dessas estratégias.

A avaliação não pode ser considerada um momento isolado no processo de ensino e aprendizagem nem se resumir a uma prova. Como mencionado, é importante que o professor utilize instrumentos avaliativos diversificados e que sejam desenvolvidos ao longo do ano letivo. O registro periódico dessas observações o ajudará a acompanhar o desenvolvimento dos estudantes.

A avaliação assim considerada é contínua e formativa: faz parte do processo de ensino e aprendizagem e tem por objetivo contribuir para a formação dos estudantes.

Diante disso, é interessante destacar um trecho sobre a avaliação em Matemática, descrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):

Mudanças na definição de objetivos para o ensino fundamental, na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam repensar sobre as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros.

Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos de avaliação para registrar observações sobre os alunos. Um exemplo são as fichas para o mapeamento do desenvolvimento de atitudes, [...]

Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, postura em sala, constituem indícios de competências e como tal devem ser considerados. [...]

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. p. 41. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 3 ago. 2022.

INDICAÇÕES PARA APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR

DOCUMENTOS OFICIAIS

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/.

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB: DICEI, 2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/ julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/file.

BRASIL. Senado Federal. Lei de diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Senado Federal, Coordenação de Edições Técnicas, 2017.

BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias= 182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192.

BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: http://pacto.mec.gov.br/materiais -listagem/item/66-apresentacao.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental – Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf.

BRASIL. Ministério da Educação. Plano Nacional de Educação para o decênio 2014/2024. Brasília, DF: MEC, 2020. Disponível em: https://pne.mec.gov.br/.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Básica. Ensino Fundamental de Nove Anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. 2. ed. Brasília, DF: SEB, 2007. Disponível em: http://portal. mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/ensifund9anobase final.pdf.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementa cao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf.

Acessos em: 27 jul. 2022.

SITES E PUBLICAÇÕES

A COR DA CULTURA. Disponível em: https://www.cenpec. org.br/tematicas/a-cor-da-cultura-modos-de-brincar.

A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA TEMAS & DEBATES. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/td.

BOLETIM GEPEM (Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática). Disponível em: http://costalima.ufrrj.br/index. php/gepem/index.

CADERNOS DO CAEM. Disponíveis em: https://www.ime. usp.br/caem/publicacoes.php.

CADERNOS – SÉRIE IDEIAS DA FUNDAÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO – FDE. Disponíveis em: https://www.fde.sp.gov.br/PagePublic/Interna. aspx?codigoMenu=253&AspxAutoDetectCookieSupport=1. EDUMATEC. Disponível em: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/.

FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP)/DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DO ENSINO E EDUCAÇÃO COMPARADA. Disponível em: http://www4. fe.usp.br/feusp/departamentos/edm.

INSTITUTO ALFA E BETO: Ensino da matemática. Disponível em: https://www.alfaebeto.org.br/2019/06/06/ instituto-alfa-e-beto-pensa-sobre-ensino-da-matematica/.

INSTITUTO PAULO FREIRE: Acervo. Disponível em: http:// acervo.paulofreire.org:8080/xmlui/.

LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA: Faculdade de Educação da USP. Disponível em: http://www2.fe.usp.br/~labmat/principal.html.

LABORATÓRIO DE PESQUISA MULTIMEIOS. Disponível em: http://www.multimeios.ufc.br/.

MATEMÁTICA EM TODA PARTE – TV ESCOLA – MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Disponível em: https://www.youtube. com/results?search_query=tv+escola+matem%C3%A1ti ca+em+toda+parte.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Disponível em: https://www. gov.br/mec/pt-br.

NOVA ESCOLA. Disponível em: https://novaescola.org.br/.

PENSAR A EDUCAÇÃO EM REVISTA. Disponível em: https:// pensaraeducacaoemrevista.com.br/.

PORTAL EDUCAÇÃO EM DIREITOS HUMANOS: Educação matemática como formação necessária à cidadania. Disponível em: http://www.dhnet.org.br/dados/livros/edh/br/rs/cidadan/ cap14.htm.

REDE DO SABER. Disponível em: https://deitapecerica.educa cao.sp.gov.br/rede-do-saber/.

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA – RPM. Disponível em: https://www.rpm.org.br/.

REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Disponível em: https://periodicos.unespar.edu.br/index.php/rpem.

SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO EM MATEMÁTICA –SBEM. Disponível em: http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/. Acessos em: 27 jul. 2022.

ENTIDADES DE APOIO À EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP

Rua do Matão, 1010 – Bloco B – sala 167

Cidade Universitária – São Paulo – SP – CEP 05508-090

Fone e fax: (0XX11) 3091-6160

Site: https://www.ime.usp.br/caem/. Acesso em: 27 jul. 2022.

Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE

Ministério da Educação – SBS – Quadra 2 – Bloco F

Brasília – DF – CEP 70070-929

Tel.: 0800-616161

Site: https://www.fnde.gov.br/index.php. Acesso em: 27 jul. 2022.

Laboratório de Ensino de Matemática – LEM

Universidade Estadual de Campinas – Unicamp – IMECC

Rua Sérgio Buarque de Holanda, 651 – CEP 13083-859

Fone: (0XX19) 3521-6090

Site: https://www.ime.unicamp.br/lem. Acesso em: 27 jul. 2022.

Laboratório de Ensino de Matemática e Estatística – LEMA

Universidade Federal da Bahia – UFBA – Instituto de Matemática

Avenida Adhemar de Barros, s/n – Salvador – BA – CEP 40170-110

Fone: (0XX71) 3263-6265

Site: http://www.dmat.ufba.br/extensao/lema. Acesso em: 27 jul. 2022.

Núcleo da Informática Aplicada à Educação – NIED

Universidade Estadual de Campinas – Unicamp

Cidade Universitária Zeferino Vaz

Bloco V da Reitoria – piso 2 – Campinas – SP – CEP 13083-970

Tel.: (0XX19) 3788-7136

E -mail: nied@unicamp.br

Site: https://www.nied.unicamp.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.

Projeto Fundão – Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

Instituto de Matemática

Centro de Tecnologia – Bloco C – sala 108

Cidade Universitária

Caixa Postal 68530 – CEP 21941-972

Rio de Janeiro – RJ

Fone e fax: (0XX21) 2562-7511

Site: http://www.matematica.projetofundao.ufrj.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.

Sociedade Brasileira de Matemática – SBM

Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109

Jardim Botânico

CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ – CEP 22460-320

Fone: (0XX21) 2529-5073

Site: https://sbm.org.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.

RIDO/SHUTTERSTOCK.COM

Estudante resolvendo um problema na lousa.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTUNES, Celso. Jogos para a estimulação das múltiplas inteligências. Petrópolis: Vozes, 2014.

Nesse livro, o autor traz reflexões sobre a importância do jogo no processo de aprendizagem.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018.

Apresenta um conjunto de artigos que abordam estudos e aplicações de metodologias ágeis na educação para o desenvolvimento do protagonismo estudantil de maneira inovadora.

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação

Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/ index.php/emr/article/view/1689/1182. Aceso em: 27 jul. 2022.

Nesse artigo, o autor diferencia a modelagem matemática de outras aplicações no contexto do ensino de Matemática.

BNCC: você sabe a diferença entre competências e habilidades? Centro de referências em educação integral [S l.], 19 ago. 2020. Disponível em: https://educacaointegral. org.br/reportagens/bncc-voce-sabe-diferenca-entre-compe tencias-e-habilidades/. Acesso em: 17 jul. 2022.

O texto trata sobre as diferenças entre o ensino e a aprendizagem de competências e habilidades no contexto da BNCC.

BOAVIDA, Ana Maria Roque. A argumentação em Matemática: investigando o trabalho de duas professoras em contexto de colaboração. Dissertação (Doutorado em Educação) – Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa, Portugal, 2005. Disponível em: https://repositorio.ul.pt/bits tream/10451/3140/1/ulsd048032_td_Ana_Boavida.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

A autora descreve e analisa experiências voltadas para o desenvolvimento de estudantes em atividades que envolvem argumentação matemática.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010.

Os autores apresentam o resultado de um trabalho sobre a importância do uso da informática na educação matemática.

BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia Rodrigues da; GADANIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014.

Discute-se, nesse livro, a influência das tecnologias digitais no ensino de Matemática nas últimas décadas.

BOUCINHA, Rafael Marimon. Aprendizagem do pensamento computacional e desenvolvimento do raciocínio Tese (Doutorado) – Centro Interdisciplinar de Novas Tecnologias na Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/ bitstream/handle/10183/172300/001058885.pdf?sequen ce=1&isAllowed=y. Acesso em: 9 jul. 2022.

O autor investiga a relação entre a construção do pensamento computacional e o desenvolvimento do raciocínio dos estudantes.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/. Acesso em: 8 jul. 2022.

Documento oficial composto de orientações que norteiam a (re)elaboração dos currículos de referência das escolas das redes pública e privada de ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos essenciais, as competências, as habilidades e as aprendizagens pretendidas para crianças e jovens em cada etapa da Educação Básica.

BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias= 182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 8 jul. 2022.

Documento que define normas sobre Computação na Educação Básica, em complemento à BNCC.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências Caderno de Práticas da Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, [2019?]. Disponível em: http://basenacionalco mum.mec.gov.br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas-cola borativas-a-formacao-de-competencias-2?highlight=WyJt ZXRvZG9sb2dpYXMiLCJhdGl2YXMiLCJtZXRvZG9sb2dpYXM gYXRpdmFzIl0. Acesso em: 14 jul. 2022.

O caderno explora a relevância das metodologias ativas colaborativas para a aprendizagem, abordando conceitos como a Zona de Desenvolvimento Proximal de Vygotsky.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental – Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento que apresenta uma seleção de conhecimentos de cada componente, considerados fundamentais para o exercício da cidadania, além de uma proposta de organização curricular. BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementa cao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Documento explicativo acerca dos Temas Contemporâneos Transversais a serem abordados na Educação Básica.

CARNIELLI, Walter Alexandre; EPSTEIN, Richard L. Pensamento crítico: o poder da lógica e da argumentação. 3. ed. São Paulo: Rideel, 2011.

Os autores apresentam técnicas de como construir bons argumentos e a influência dessa competência no desenvolvimento do pensamento crítico.

CENTRO DE INOVAÇÃO PARA A EDUCAÇÃO BRASILEIRA

(CIEB). Currículo de referência em tecnologia e computação: da Educação infantil ao Ensino Fundamental. São Paulo, 2018. Disponível em: https://curriculo.cieb.net. br/assets/docs/Curriculo_de_Referencia_em_Tecnologia_e_ Computacao.pdf. Acesso em: 20 ago. 2022.

Esse documento propõe uma reflexão sobre os usos das TDICs e apresenta eixos, conceitos e habilidades alinhados à BNCC com o objetivo de favorecer o desenvolvimento de competências de exploração e de uso das tecnologias nas escolas.

COLL, César; MARTÍN, Elena (org.). Aprender conteúdos e desenvolver capacidades. Tradução: Cláudia Schilling. Porto Alegre: Artmed, 2004.

O livro aborda o processo de tomada de decisões que determina o planejamento do currículo, a partir das capacidades e dos conteúdos a serem desenvolvidos.

COLL, César. Atenção à diversidade e qualidade do ensino. Revista Educação Especial, [S. l.], v. 1, n. 1. p. 7-17, 2012. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/educacaoespecial/ article/view/5001. Acesso em: 30 abr. 2022.

O autor compartilha suas reflexões sobre as implicações de uma concepção inclusiva na educação, que considera a diversidade como inerente à condição humana e ao processo de ensino e aprendizagem.

COLL, César. Psicologia e currículo: uma aproximação psicopedagógica à elaboração do currículo escolar. São Paulo: Ática, 2003.

Nesse livro, são apresentadas considerações sobre propostas curriculares que contribuam para o planejamento do ensino, bem como a ação efetiva do processo educativo.

CUCCIOLI, Eliana. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, Celi Espasandin; MUNIZ, Maria Inês Sparrapan (org.). O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. Esse livro trata sobre a importância de tornar os estudantes partícipes das práticas avaliativas.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Cultura de paz e pedagogia da sobrevivência. In: Cultura de paz: da reflexão à ação; balanço da Década Internacional da Promoção da Cultura de Paz e Não Violência em Benefício das Crianças do Mundo. Brasília, DF: Unesco; São Paulo: Associação Palas Athena, 2010. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/ pf0000189919?locale=en. Acesso em: 8 jul. 2022.

Convidado para a palestra magna da série de debates, Ubiratan D’Ambrósio apresenta reflexões acerca da cultura de paz, apresentando-a como necessária à sobrevivência humana.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

O autor apresenta reflexões acerca da Etnomatemática, conceito do qual é um dos fundadores, e propicia uma análise da influência cultural da Matemática.

DEMO, Pedro. Professor/Conhecimento. Brasília, DF: UnB, 2001. p. 1-12. Disponível em: http://funab.se.df.gov. br/wp-content/uploads/2018/11/Demo-2001.-ProfessorConhecimento.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

Nesse artigo, o autor discorre sobre a necessidade da pesquisa científica para a formação humana, destacando ainda as características necessárias ao professor nessa perspectiva.

DIAS, Cláudia; FERNANDES, Denise. Pesquisa e método científicos. Brasília, DF: UFPR, 2000. Disponível em: https:// docs.ufpr.br/~niveam/micro%20da%20sala/aulas/tecnicas_ de_pesquisa/pesquisacientifica.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

Nessa publicação, as autoras apresentam diferentes definições de ciência, pesquisa e método científicos, buscando traçar um paralelo entre o conhecimento científico e o popular.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 53. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2016.

O autor apresenta considerações acerca da formação de professores e de aprimoramento da prática educativa capaz de proporcionar uma aprendizagem eficiente para tornar os estudantes autônomos, críticos e atuantes.

GALVÃO, Eliane Cruz de Santana; ISOTANI, Seiji; TODA, Armando. Pensamento computacional como forma de avançar na aprendizagem de Matemática: um compartilhamento entre o pensamento computacional e a matemática.

In: PÓS-GRADUAÇÃO EM COMPUTAÇÃO APLICADA

À

EDUCAÇÃO, 1., 2020, São Paulo. Anais […]. São Paulo: CAE/ICMC/USP, 2020. Disponível em: https://especializa cao.icmc.usp.br/documentos/tcc/eliane_galvao.pdf. Acesso em: 9 jul. 2022.

Os autores abordam o uso do pensamento computacional como estratégia para resolução de problemas matemáticos.

GRÁCIO, Rui Alexandre Lalanda Martins. Nova retórica e tradição filosófica. Caderno de Filosofias: Argumentação, Retórica, Racionalidades, [S. l.], v. 5, p. 55-69, 1992. Disponível em: https://www.ruigracio.com/pessoal/pdf/NovaRetorica. pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

O artigo traz considerações a respeito da teoria da argumentação do ponto de vista filosófico.

HOFFMANN, Jussara Maria Lerch. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. 33. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014.

A autora apresenta práticas avaliativas desenvolvidas em vários segmentos de ensino, da Educação Infantil ao Ensino Superior. JAPIASSÚ, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de filosofia. 3. ed. rev. e amp. Rio de Janeiro: Zahar, 2001. Disponível em: http://raycydio.yolasite.com/resources/dicionario_de_filoso fia_japiassu.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Esse dicionário apresenta o significado de termos e conceitos filosóficos, auxiliando na compreensão desses conceitos.

KOVALSKI, Larissa. O pensamento analógico na matemática e suas implicações na modelagem matemática para o ensino. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e em Matemática) – Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2016. Disponível em: https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/han dle/1884/56193/R%20-%20D%20-%20LARISSA%20KOVALSKI. pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 27 jul. 2022.

O desenvolvimento do raciocínio matemático por meio da indução, abdução e analogia e as potencialidades desse tipo de pensamento na modelagem matemática.

MACEDO, Lino de. Ensaios construtivistas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994.

O livro reúne textos baseados na experiência do autor acerca da teoria construtivista aplicada à Psicologia e à Educação.

MALHEIROS, Bruno Taranto. Didática geral. São Paulo: LTC, 2012.

O autor trata dos conceitos básicos da Didática, destacando a diferença entre Educação, Pedagogia e Didática, e mostra métodos práticos e técnicas de aprendizagem.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em Educação

Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. Disponível em: http://www.im.ufrj.br/~ nedir/disciplinas-Pagina/Lourdes_Onuchic_Resol_Problemas .pdf. Acesso em: 27 jul. 2022.

A autora apresenta reflexões acerca do ensino de Matemática por meio de resoluções de problemas.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Boletim de Educação

Matemática, Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, dez. 2011. As autoras apresentam os resultados de uma pesquisa sobre a importância e a influência da resolução de problemas na construção de conhecimentos em Matemática.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz no Brasil. Brasília, DF: Unesco, [201-]. Disponível em: https://pt.unesco.org/fieldo ffice/brasilia/expertise/culture-peace. Acesso em: 8 jul. 2022.

A Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (Unesco) apresenta orientações para a promoção da cultura de paz na educação.

ORGANIZAÇÃO DAS NACÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Educação para a cidadania global: preparando alunos para os desafios do século XXI. Brasília, DF: Unesco, 2015. Disponível em: https://unesdoc. unesco.org/ark:/48223/pf0000234311/PDF/234311por.pdf. multi. Acesso em: 9 jul. 2022.

O livro trata da importância de uma educação efetiva para a resolução de questões globais e da formação de cidadãos preparados para os desafios do século XXI.

PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion; ROMANATTO, Mauro Carlos. A matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar, 2010.

Esse livro traz uma concepção histórica de alguns assuntos em Matemática com o objetivo de contextualizar situações e facilitar a prática docente.

PEREIRA, Adriana Soares et al Metodologia da pesquisa científica. Santa Maria: UFSM/NTE, 2018. Disponível em: https://www.ufsm.br/app/uploads/sites/358/2019/02/ Metodologia-da-Pesquisa-Cientifica_final.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

O livro apresenta as principais etapas da pesquisa científica, discorrendo também sobre seus métodos e caracterizando-a como forma de construção do saber.

MATA-PEREIRA, Joana; PONTE, João Pedro da. Promover o raciocínio matemático dos alunos: uma investigação baseada em design Bolema, Rio Claro, v. 32, n. 62, p. 781-801, dez. 2018. Disponível em: https://www.scielo.br/j/bolema /a/JbLWRnZGLJmBYCNYRm4P76J/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 5 jul. 2022.

Nesse artigo, os autores abordam como alguns princípios de design podem favorecer a construção de conhecimentos matemáticos e otimizar a ação do professor.

PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000.

O autor trata da importância do desenvolvimento de um conjunto de competências emergentes que contribuem para a luta contra o fracasso escolar e desenvolvem a cidadania.

POLYA, George. Mathematics and plausible reasoning: Induction and analogy in mathematics. New Jersey: Princeton University Press, 1954a. v. I. Disponível em: https://www.isinj.com/ mt-usamo/Mathematics%20and%20Plausible%20Reasoning%20 I%20-%20Polya%20G.pdf. Acesso em: 27 jul. 2022.

Esse livro trata de aspectos do raciocínio matemático por analogia relacionado ao pensamento inferencial.

PONTE, João Pedro. Tecnologias de informação e comunicação na formação de professores: que desafios? Revista Iberoamericana de Educação, Lisboa, n. 24, p. 63-90, 2000. Disponível em: https://repositorio.ul.pt/handle/10451/3993. Acesso em: 3 ago. 2022.

Nesse artigo, o autor analisa os impactos e as contribuições das tecnologias da informação e comunicação (TIC) na prática docente. POWELL, Arthur; BAIRRAL, Marcelo. A escrita e o pensamento matemático: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. (Perspectivas em educação matemática).

Nesse livro, discute-se como diferentes atividades de escrita podem auxiliar o desenvolvimento da aprendizagem matemática. SANTOS, Márcia Regina Mendes. O estudo das inferências na compreensão do texto escrito. Dissertação (Mestrado em Linguística) – Faculdade de Letras da Universidade de Lisboa, Lisboa, Portugal, 2008. Disponível em: https://repos itorio.ul.pt/bitstream/10451/378/1/19638_ulfl062026_tm.pdf. Acesso em: 7 jul. 2022.

Nesse trabalho, a autora aborda o pensamento inferencial envolvido na leitura e compreensão de textos escritos e como o desenvolvimento desse pensamento pode auxiliar na comunicação de ideia em diversas áreas do conhecimento.

SCHROEDER, Thomas Leonard; LESTER JUNIOR, Frank Klein. Developing understanding in mathematics via problem solving. In: TRAFTON, Paul R.; SCHULTE, Albert P. (ed.). New directions for elementary school mathematics

Reston: NCTM, 1989.

Esse artigo traz reflexões acerca da relevância do método de resolução de problemas na compreensão matemática de estudantes da Educação Básica.

VYGOTSKY, Lev Semionovitch (org.). A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. Tradução: José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna Barreto, Solange Castro Afeche. São Paulo: Martins Fontes, 2007.

Esse livro reúne alguns dos ensaios mais importantes de Vygotski, organizados e editados por estudiosos da obra desse pensador.

Matemática

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA

JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP).

Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio desde 1985.

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Copyright © José Ruy Giovanni Júnior, 2022.

Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira

Direção de Conteúdo e Negócios Cayube Galas

Direção editorial adjunta Luiz Tonolli

Gerência editorial Roberto Henrique Lopes da Silva

Edição João Paulo Bortoluci (coord.)

Bianca Cristina Fratelli, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Tatiana Ferrari D´ Addio Preparação e Revisão Maria Clara Paes (coord.)

Yara Affonso

Gerência de produção e arte Ricardo Borges

Design Andréa Dellamagna (coord.)

Sergio Cândido

Projeto de capa Sergio Cândido

Imagem de capa YAO23/Shutterstock.com

Arte e Produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)

Debora Joia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, Kleber Bellomo Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini

Diagramação Wym Design

Coordenação de imagens e textos Elaine Bueno Koga

Licenciamento de textos Amandha Baptista

Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira

Emerson de Lima, Leticia dos Santos Domingos (trat. imagens)

Ilustrações Alex Argozino, Alex Silva, Artur Fujita, Bentinho, Dani Mota, Daniel Bogni, Danillo Souza, Dayane Raven, Estúdio Ampla Arena, Lima, Lucas Farauj, Marcel Borges, Marcos Machado, MW Editora e Ilustrações, Vanessa Novais, Allmaps

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Giovanni Júnior, José Ruy

A conquista matemática : 7o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2022.

Componente curricular: Matemática.

ISBN 978-85-96-03439-5 (aluno)

ISBN 978-85-96-03440-1 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 22-114533

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD

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APRESENTAÇÃO

Por que estudar Matemática? Quais são as aplicações da Matemática no cotidiano? Essas são dúvidas muito comuns, que você também

pode ter. A Matemática está presente em diversas situações do dia a dia, seja em uma contagem, em uma brincadeira, seja nos mais modernos estudos para auxiliar no desenvolvimento de novas tecnologias. Ela ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender as variações da inflação e dos juros, a medir os índices sociais de um país, a compreender e organizar informações, a preservar o meio ambiente, entre outros usos, incluindo as aplicações de figuras geométricas e medidas na arquitetura, na arte e na agricultura.

É importante considerar que a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de conceitos nela presentes. Como em todas as áreas do conhecimento, para compreender e aplicar Matemática, são necessários estudo e dedicação.

Nesta coleção, apresentamos a você as bases desse processo de aquisição de conhecimento, com uma linguagem de fácil compreensão, porém com o rigor que a Matemática exige.

Hoje, vivemos em um mundo em constante e rápida transformação, e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Adquirir conhecimento matemático significa estar integrado às mudanças do mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática! O autor

CONHEÇA

SEU LIVRO

ABERTURA DE UNIDADE

Agora, responda no caderno.

• Você se lembra de alguma situação do dia a dia em que são usados números racionais na forma

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Em determinadas situações do dia a dia, usamos números com vírgula para expressar algumas medidas. Dizemos que esses números são escritos na forma decimal e, assim como os números na forma de fração, são chamados de números racionais. Observe na imagem alguns números usados para indicar:

1. a distância entre duas cidades;

2. a massa dos alimentos de uma refeição em um restaurante e o preço cobrado por essa refeição;

3. a altura máxima permitida para tráfego de veículos sob viadutos;

4. as medidas de um móvel;

5. a altura de um prédio;

6. a temperatura de armazenamento de sorvetes;

7. o tempo de viagem entre duas cidades.

ALEX

Representação de situações de uso de números em um bairro urbano.

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A transformação realizada nesse caso é chamada de reflexão em relação a um ponto (no caso, a origem (0, 0) do sistema de coordenadas), e o polígono E tem a mesma forma e as mesmas dimensões da figura original, ou seja, obteve-se um trapézio simétrico ao original em relação à origem. Uma reflexão em relação a um ponto corresponde a uma rotação em relação ao ponto de ângulo 180° no sentido anti-horário ou horário. Sempre que multiplicamos as coordenadas dos pontos de um polígono por 1, realizamos uma reflexão em relação à origem do plano cartesiano.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Observe os polígonos representados no plano cartesiano a seguir.

2 Multiplicar por 1 apenas as abscissas dos pontos do polígono.

2. Descreva a transformação que você deve fazer para refletir um polígono do 4 quadrante para o 3 quadrante sem alterar suas dimensões e forma.

3. Considere os polígonos a seguir.

ATIVIDADES

5. Em um plano cartesiano, desenhe um triângulo com vértices nos pontos (1, 1), (6, 3) e (4, 4). Multiplique por 1 apenas as abscissas de cada vértice e, depois, por 2 todos os valores das coordenadas obtidas.

a) Quais são as coordenadas dos novos pontos obtidos ao final desse processo? b) Desenhe no mesmo plano o triângulo obtido com vértices nessas coordenadas.

c) O que aconteceu com o triângulo gerado nesse processo em relação ao original?

6. A partir de um polígono com os vér- tices nos pontos (2, 2), (6, 2), (6, 5), (4, 6) e (2, 5), faça duas transformações: uma ampliação de fator 2 do polígono original e, em seguida, uma reflexão dessa imagem em relação à origem. a) Quais são as coordenadas dos vértices do polígono obtido?

b) Usando uma malha quadriculada, de- senhe no mesmo plano cartesiano o polígono final e o original.

Foi aplicada uma transformação geométrica ao polígono ABC, gerando o polígono

A’B’C’. Podemos afirmar que A’B’C’: a) é uma redução de ABC.

b) é uma ampliação de ABC.

c) é simétrico a ABC em relação à origem (0, 0). d) é simétrico a ABC em relação ao eixo vertical y e) é simétrico a ABC em relação ao eixo horizontal x • Determine as coordenadas dos vértices do polígono PQR, simétrico ao polígono ABC em relação ao eixo e do polígono STU, simétrico ao polígono ABC em relação ao eixo y Copie o plano cartesiano e o polígono ABC em uma malha quadriculada e represente nesse plano os polígonos PQR e STU.

papel quadriculado, represente em um plano cartesiano o quadrado com vértices de coordenadas 1, 1), 1, 5), ( 5, 1) e 5, 5).

Em que quadrante esse quadrado foi representado?

Fator 2. No 3 quadrante.

b) Descreva o que acontece com esse qua- drado quando se multiplicam todas as abscissas de seus pontos por 1. Quais serão as coordenadas dos vértices do quadrado obtido?

c) Descreva o que acontece com esse quadrado quando se multiplicam todas as ordenadas de seus pontos por 1. Quais serão as coordenadas dos vértices desse quadrado? d) Represente no plano cartesiano o po- lígono obtido quando se multiplicam todas as coordenadas dos vértices do quadrado original por 2. Descreva a imagem obtida por essa transformação.

No decorrer das Unidades, são apresentadas diferentes atividades. Com elas, você poderá desenvolver estratégias para resolver e elaborar problemas e compartilhá-las com os colegas.

SAIBA QUE

Traz informações complementares importantes, que você pode consultar de maneira prática ao longo dos capítulos.

Com um estilo diferenciado, as páginas de abertura trazem imagens, textos e questões sobre conceitos que serão estudados em cada Unidade.

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DESCUBRA MAIS

Indicações de livros, vídeos, simuladores, podcasts, entre outros, para enriquecer e aprofundar os conteúdos estudados.

RETOMANDO O QUE APRENDEU

Esta seção reúne diferentes atividades para revisar, praticar e consolidar o estudo dos conteúdos apresentados em cada Unidade.

UM

NOVO OLHAR

Momento proposto para você refletir sobre os conhecimentos que adquiriu ao longo de cada Unidade e analisar seu desenvolvimento em relação à aprendizagem desses conhecimentos.

RESPOSTAS

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

RETOMANDO APRENDEU O QUE

Responda às questões no caderno.

1. A figura a seguir é um retângulo no qual foi traçada a diagonal AC A B

Alternativa a.

D C b Se b 32 então é igual a: a) 58 b) 48 c) 68 d) 56 e) 60

2. Na figura a seguir, e s são retas paralelas. s 135° + 2x 1 2 Determine o valor de x

18° 140° 90°

3. As retas r e da figura são paralelas cortadas pela reta transversal 3x 11° 2x + 6° y Determine o valor de y

4. Na figura a seguir, r ⁄ s e x 3y. Então, quanto vale x y? y

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SIMETRIA NAS PRODUÇÕES ARTÍSTICAS

As simetrias são muito usadas em produções artísticas e culturais. Observe, como exemplo, uma obra do artista gráfico Maurits Cornelis Escher (1898-1972), em que são usadas translações, e um grafismo de pintura corporal da etnia Ashaninka, Aldeia Apiwtxa, em que se podem notar padrões cuja representação plana apresenta simetrias de translação e reflexão.

DESCUBRA MAIS ARTE indígena – Nossa história: hábitos e cultura. 2019. Vídeo (4min3s).

FÓRUM Movimento da Arte Concreta no Brasil Na abertura desta Unidade, você observou a obra Função diagonal de Geraldo de Barros. Esse artista foi um dos representantes do Movimento da Arte Concreta no Brasil cujo auge ocorreu nos anos 1950. A Literatura também foi influenciada por esse movimento. Artistas, como o poeta Paulo Leminski (19441989), utilizaram efeitos visuais para compor suas obras.

Observe o poema “Lua na água”, em que Leminski utilizou a simetria de reflexão para aludir à Lua refletida na água.

Junte-se a um colega para resolver as questões a seguir no caderno.

1. Façam uma pesquisa sobre o Movimento da Arte Concreta no Brasil e as mudanças que ocorreram em virtude dele. Escrevam um texto sobre essa pesquisa.

2. Criem um poema usando alguma transformação geométrica.

1.Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

5. A partir da figura a seguir, calcule o valor de y x, sabendo que s são retas paralelas. 90 125

Observe o fluxograma que Larissa escreveu.

Início: Desenhei uma circunferência com centro A e raio igual à medida de AB

Desenhei centrocircunferênciaoutracom e raio igual medida de AB

6. Na figura a seguir, sendo r ⁄ s, dete - mine x + y + z. 127°

42°

7. Dois ângulos são congruentes, e suas medidas são expressas por 7x + 31 9x 43 Isso significa que o valor de x é: a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39

8. Determine a medida dos ângulos inter- nos dos seguintes polígonos regulares. a) Triângulo b) Eneágono c) Pentadecágono

20° 137° Alternativa c. 60 140 156

9. Escreva três números naturais e entre- gue-os a um colega para ele verificar a possibilidade da construção de um triângulo cujas medidas dos lados são os números escritos por você.

10. A professora de Larissa representou na lousa o segmento de reta AB de medida 4 cm e desafiou os estudantes a escrever um fluxograma para a cons- trução de um triângulo equilátero de lados medindo 4 cm. A B 4 cm

9. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Não.

Determinei os pontos de intersecção das duas circunferências C Escolhi o ponto para traçar o triângulo?

Tracei segmentos de reta unindo os pontos A e unindo os pontos B para obter o triângulo. Sim.

Fim: Pronto! Construí o triângulo desejado.

Tracei segmentos de reta unindo os pontos C e unindo os pontos e para obter o triângulo.

Execute os passos do fluxograma e verifique se Larissa obteve o triângulo pedido pela professora.

11. Deseja-se construir um ginásio poliesportivo que fique a 150 metros do posto de saúde e a 100 metros da escola.

UM NOVO OLHAR

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Sim, Larissa obteve um triângulo equilátero de lados medindo 4 cm. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Posto de saúde

Escola

BENTINHO Quando a soma das medidas deles é 90 Quando a soma das medidas deles é 180

Explique como podemos proceder a fim de encontrar o local para a construção do ginásio que atenda a essas condições. IMAGEM FORA

Nesta Unidade, estudamos ângulos, retomamos o uso do transferidor e estudamos o que são ângulos congruentes, ângulos adjacentes, ângulos complementares, ângulos suplementares e ângulos opostos pelo vértice. Definimos ângulos correspondentes, alternos internos e externos e colaterais internos e externos e estudamos as relações entre esses ângulos quando temos retas paralelas cortadas por uma transversal. Estudamos, ainda, ângulos internos e externos de triângulos e polígonos regulares e a circunferência, bem como a construção de triângulos, da circunferência e do quadrado usando instrumentos de desenho. Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Quando dois ângulos são complementares? E suplementares? Quando três segmentos de retas de medidas b e c formam um triângulo?

• Qual é a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer? 180

• Como determinamos a medida do diâmetro de uma circunferência conhecendo a medida do raio? A medida do diâmetro corresponde ao dobro da medida do raio da circunferência.

• Como podemos calcular a medida de um ângulo interno de um polígono regular?

Quando a medida de qualquer um dos segmentos de reta for menor do que a soma das medidas dos outros dois.

Dividindo a soma das medidas dos ângulos internos pela quantidade de ângulos internos.

Os sites indicados nesta obra podem apresentar imagens e textos variáveis, os quais não condizem com o objetivo didático dos conteúdos citados. Não temos controle sobre essas imagens nem sobre esses textos, pois eles estão estritamente relacionados ao histórico de pesquisa de cada usuário e à dinâmica dos meios digitais.

Seção final do livro, na qual você encontra as respostas às atividades propostas.

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BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2, 4, 6, 7 e 9

Competências específicas:

• 1, 2, 3, 4, 6 e 8

Habilidades:

Números

• EF07MA01

• EF07MA05

• EF07MA07

Probabilidade e estatística

• EF07MA36

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

• Vida Familiar e Social

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em três capítulos.

No primeiro capítulo, são retomados os números naturais e as sequências numéricas, importantes para o desenvolvimento dos conteúdos seguintes. No segundo capítulo, são retomadas as operações básicas com números naturais (adição, subtração, multiplicação e divisão) e no terceiro capítulo são apresentados os conceitos de divisores e múltiplos de um número natural, números primos, decomposição em fatores primos, máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc). Esses temas favorecem a apropriação das habilidades EF07MA01, EF07MA05 e EF07MA07.

NÚMEROS NATURAIS E OPERAÇÕES 1

Desenhe dois quadrados com medida de lado 1 u.c. e que compartilhem um dos lados.

A sequência de Fibonacci é uma das mais conhecidas sequências de números naturais. Seu nome é uma homenagem ao matemático italiano Leonardo de Pisa (c. 1175-c. 1250), conhecido como Fibonacci, que a descreveu pela primeira vez em 1202 durante um estudo sobre a evolução de determinada população de coelhos. Essa sequência é observada na natureza e em diversas áreas do conhecimento. Um exemplo é o retângulo áureo. Acompanhe como construir um e onde ele é observado.

Desenhe um quadrado com medida de lado 3 u.c. e que compartilhe um lado com o maior dos lados do retângulo formado no passo 2 Juntos, eles formarão um retângulo de 5 u.c. x 3 u.c.

OBJETIVOS

• Compreender os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural.

• Compreender os algoritmos de cálculo do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais não nulos.

• Determinar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais não nulos.

Juntos, eles formarão um retângulo de 2 u.c. x 1 u.c.

Desenhe um quadrado com medida de lado 2 u.c. e que compartilhe um lado com o maior dos lados do retângulo formado no passo 1

Juntos, eles formarão um retângulo de 3 u.c. x 2 u.c.

Desenhe um quadrado com medida de lado 5 u.c. e que compartilhe um lado com o

• Resolver problemas envolvendo o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais não nulos.

• Refletir sobre o direito de acesso dos indígenas às universidades.

• Ler e interpretar gráficos de linhas e gráficos de colunas triplas.

• Planejar, coletar e organizar dados de pesquisa censitária.

• Refletir sobre os efeitos da pandemia de covid-19 na Educação Básica.

maior dos lados do retângulo formado no passo 3 Juntos, eles formarão um retângulo de 8 u.c. x 5 u.c.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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Desenhe um quadrado com medida de lado 8 u.c. e que compartilhe um lado com o maior dos lados do retângulo formado no passo 4

Desenhe um quadrado com medida de lado 13 u.c. e que compartilhe um lado com o maior dos lados do retângulo formado no passo 5

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Na abertura, para instigar os estudantes a conhecer mais sobre os números naturais, é apresentada a sequência de Fibonacci.

Juntos, eles formarão um retângulo de 21 u.c. x 13 u.c.

Juntos, eles formarão um retângulo de 13 u.c. x 8 u.c.

Continue a construção quanto desejar, seguindo a mesma regra dos passos anteriores.

Observando o comprimento dos lados dos quadrados desenhados, podemos notar que eles seguem a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., que é a sequência de Fibonacci. Esse retângulo, chamado de retângulo áureo, pode ser observado, por exemplo, na fachada do Parthenon, construção grega em Atenas, Grécia.

A sequência de Fibonacci é o que chamamos de sequência definida por recorrência, ou seja, para determinar um termo da sequência, precisamos saber os termos anteriores. Dizemos que os termos podem ser obtidos por iteração, que é a repetição de uma regra ou procedimento. Nesse caso, a iteração é adicionar os dois termos anteriores para determinar o termo seguinte da sequência. Destacar a relação entre a Álgebra (os números da sequência de Fibonacci) e a Geometria (a construção do retângulo áureo) para contemplar a competência específica 3 da área de Matemática.

Fachada do Parthenon. Atenas (Grécia), 2015.

Agora, pense e responda no caderno.

Cada número subsequente é a soma dos dois anteriores, a partir do terceiro elemento.

A sequência de Fibonacci é infinita, iniciada originalmente pelo número 1 (na versão moderna, foi incluído o zero como primeiro termo), e é dada pelos seguintes elementos, conhecidos como números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

• Que padrão a sequência de Fibonacci estabelece?

• O número 144 faz parte da sequência de Fibonacci. Qual é o número subsequente ao 144 nessa sequência?

O número subsequente ao 144 é 233, dado pela soma 89 + 144 = 233.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

A Unidade explora as sequências de múltiplos e de divisores de um número natural e aborda a obtenção do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA01, EF07MA05 e EF07MA07.

A seção Por toda parte aborda a temática da inclusão de indígenas no Ensino Superior e colabora com o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Educação para valorização

As medidas na imagem foram indicadas em uma fotografia do Parthenon de 2015 e a construção, nessa época, já não possuía elementos da parte superior que poderiam ilustrar melhor as medidas que se pretende indicar. Pode-se sugerir uma pesquisa para os estudantes verificarem qual era o aspecto original da construção e investigar o que houve para que ela se modificasse ao longo do tempo. Além disso, discutir com os estudantes o estilo de arquitetura usado na construção, comparando com os estilos usados nas construções atuais, auxiliando no desenvolvimento da competência geral 1, bem como da competência específica 1 da área de Matemática.

do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e Vida Familiar e Social.

Na seção Tratamento da informação, pretende-se apresentar uma aplicação da análise de dados em gráficos de colunas triplas e de barras triplas, no contexto da alteração na dinâmica da quantidade de matrículas nas escolas públicas por causa da pandemia de covid-19, além da produção de pesquisa envolvendo tema da realidade social, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA36.

PARAMEPRIZMA/SHUTTERSTOCK.COM

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Números naturais

Os números naturais fazem parte do nosso cotidiano e é impossível imaginar o mundo sem o uso dos números. Nesta página, os estudantes mobilizam os conhecimentos já construídos acerca de números naturais, visando consolidá-los e ampliá-los.

Sequência numérica

Observar padrões em sequências numéricas é uma maneira muito rica para se conhecer características de um conjunto de números e as relações existentes entre seus elementos. Verificar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre sequência numérica para identificar possíveis pontos a serem desenvolvidos pode ser uma estratégia interessante para desenvolver o conteúdo.

Reta numérica

O uso da reta numérica como um instrumento auxiliar nesse contexto pode contribuir para o entendimento de determinada situação e dar significado ao aprendizado na medida em que proporciona um novo olhar para uma mesma situação, por exemplo, para compor uma sequência numérica, pode-se fazer uso da reta numérica ou não.

Se considerar necessário, retomar os conceitos de sucessor e antecessor de um número natural e trabalhar por meio de algumas atividades.

Além disso, pode-se explorar a comparação de números naturais por meio da reta numérica, com o objetivo de levar os estudantes a perceber a ordenação desses números.

No dia a dia e na natureza, os números são muito úteis, em especial para expressar registros de contagem. Por exemplo, um rebanho pode ter 20, 100 ou 3 000 animais, uma árvore pode ter quatro ou oito galhos, ou, ainda, em uma multidão pode haver mais de 500 pessoas. Os números ligados a uma contagem são os números naturais

SEQUÊNCIA NUMÉRICA

Todo grupo de números dispostos em determinada ordem forma uma sequência numérica, em que podemos identificar o 1o elemento (ou termo), o 2o elemento etc. As sequências numéricas podem ou não ter um padrão (uma regra) de formação. Por exemplo, você já deve conhecer a sequência dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Ela é uma sequência numérica cujo padrão de formação é “cada número subsequente é obtido adicionando uma unidade ao número anterior”.

Além de apresentar, ou não, um padrão, uma sequência pode ser finita ou infinita, como observado nos exemplos a seguir.

• A sequência dos números naturais pares é uma sequência infinita: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...

• A sequência dos números naturais ímpares de 1 a 10 é uma sequência finita: 1, 3, 5, 7, 9.

Nessas duas sequências, cada número subsequente é obtido adicionando duas unidades ao número anterior.

Reta numérica

Você também já estudou que é possível associar números naturais a pontos de uma reta, chamada de reta numérica. Nessa reta, podemos, por exemplo, localizar o antecessor ou o sucessor de um número natural não nulo na sequência dos números naturais.

Ainda usando a reta numérica, podemos construir sequências numéricas. Por exemplo, se quisermos formar uma sequência numérica de números naturais, iniciando do zero e sempre acrescentando quatro unidades, faremos:

+4 unidades +4 unidades +

A sequência numérica obtida será: 0, 4, 8, 12, ...

Comparação de números naturais

Na sequência de números naturais, é possível comparar dois ou mais números. Para isso, podemos usar a reta numérica.

Na reta numérica, observamos que, quanto mais à direita fica a representação do número, maior ele é.

Vamos observar e comparar os números 200, 500 e 1 100.

200 500 1 100

Pela posição na reta, podemos notar que 200 é menor do que 500 (200 , 500) e 500 é menor do que 1 100 (500 , 1 100). Logo, podemos escrever esses três números em ordem crescente (do menor para o maior):

200 , 500 , 1 100

Ou na ordem decrescente (do maior para o menor):

1 100 . 500 . 200

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Quais são os primeiros cinco elementos da sequência de números naturais formada a partir do 1, sendo cada número da sequência formado pelo seu antecedente adicionado de três unidades?

1, 4, 7, 10, 13

2. Escreva como é formada a sequência a seguir.

A partir do 1, adiciona-se cinco a cada elemento para obter o número seguinte.

1, 6, 11, 16, 21, ...

3. Identifique nas alternativas qual é a sequência composta dos sucessores dos cinco primeiros números naturais pares

a) 0, 1, 2, 3, 4

b) 1, 2, 3, 4, 5

c) 0, 2, 4, 6, 8

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

As atividades propostas têm como objetivo explorar as sequências numéricas e a comparação de números naturais. É interessante encorajar os estudantes a utilizar estratégias pessoais e a socializá-las com os colegas. Se necessário, solicitando a ajuda deles, explorar as situações apresentadas no Livro do estudante.

Na atividade 7, um exemplo de sequência que pode ser elaborado pelos estudantes é apresentado a seguir.

5. Organize em ordem crescente os números a seguir

101 150 700 207 200 197 555

d) 3, 5, 7, 9, 13

e) 1, 3, 5, 7, 9

4. Escreva o sucessor e o antecessor dos números.

a) 123

b) 85

c) 99

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6. Identifique qual das alternativas mostra uma comparação falsa de números naturais.

101, 150, 197, 200, 207, 555, 700 Alternativa c.

a) 2 , 5 , 22 , 37 , 101

b) 33 . 14 . 7 . 0

c) 1 , 5 , 6 , 9 , 8 , 11

d) 25 . 15 e 15 , 35

Sequência: 1, 6, 11, 16, 21 (padrão: a partir de 1, adiciona-se 5 ao termo anterior para obter o termo subsequente).

Caso os estudantes tenham dificuldade na construção de sequências formadas por um padrão, retome com eles os exemplos de sequências com essa característica, exemplos que foram apresentados neste capítulo.

4 e) 5 209 010 e 5 209 008.

d) 999

1 000 e 998.

e) 5 209 009

Alternativa e. 124 e 122. 86 e 84. 100 e 98.

f) 1 001

1 002 e 1 000.

7. Elabore uma sequência finita de números naturais e troque com um colega para que ele identifique o padrão de formação. Em seguida, discutam as estratégias que cada um utilizou para chegar à resposta DESAFIO

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

8. A é maior do que oito e menor do que dez, B é o sucessor de um número natural par maior do que seis e B também é menor do que dez. Comparando os números A e B, o que se pode concluir?

A é igual a B 15

Incentivar os estudantes a explicar como identificaram o padrão da sequência formada pelo colega, de modo que possam compartilhar as diversas estratégias utilizadas. Desse modo, trabalha-se a argumentação e o letramento matemático dos estudantes.

No desafio 8, propor aos estudantes que o leiam e discutam entre si. Depois, pedir-lhes que expliquem as informações apresentadas. Fazer um registro dos dados na lousa para que eles possam consultá-lo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Operações com números naturais

Adição e subtração

As situações de adição e subtração apresentadas têm o intuito de mobilizar os conhecimentos já construídos e consolidar a compreensão dos significados associados a essas operações por parte dos estudantes. Explorar as situações com eles e pedir que: expliquem as informações que podem ser verificadas em cada uma delas e identifiquem as ideias envolvidas. Depois, propor na lousa as resoluções apresentadas no Livro do estudante, pedindo auxílio dos estudantes em cada etapa, retomando os termos envolvidos e os algoritmos usuais dessas operações. Para ampliar, é possível propor aos estudantes que realizem os cálculos por meio de outras estratégias, socializando-as com os colegas. Se considerar conveniente, explorar as propriedades da adição, registrando-as em um cartaz a ser fixado em local de fácil visualização para posterior consulta dos estudantes.

• Propriedade comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.

• Propriedade associativa: Em uma adição de várias parcelas, podem ser associadas de modos diferentes as parcelas.

• Elemento neutro: O zero é o elemento neutro da adição, ou seja, qualquer número adicionado a zero resulta em si mesmo.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Vamos fazer uma breve retomada das operações de adição e subtração, lembrando que na adição temos as ideias de juntar e acrescentar, enquanto na subtração temos as de tirar, comparar e completar quanto falta. Vamos observar as seguintes situações.

1 Paulo tem 357 reais na poupança, e sua irmã Julieta tem 489 reais. Eles reuniram essas quantias para comprar uma televisão. Quanto eles têm ao todo para comprar a televisão?

3 5 7 parcela + 4 8 9 parcela

8 4 6 soma

No total, eles têm 846 reais para comprar a televisão. Ao juntar as duas quantias, efetuamos uma adição para calcular o total.

2 Uma biblioteca infantil está reorganizando seu acervo, que tem 15 020 livros.

a) A biblioteca quer ampliar seu acervo para 16 000 livros. Quantos livros faltam para atingir essa quantidade?

16 000 15 020 = 980

Logo, faltam 980 livros.

b) Do acervo atual, 209 livros foram enviados para restauração. Quantos livros restaram na biblioteca?

15 020 209 = 14 811

Logo, restaram 14 811 livros na biblioteca.

No item a, para completar o acervo e descobrir quantos livros faltam, fizemos uma subtração, e no item b, ao se tirar os livros e descobrir quantos ficam, também há uma subtração envolvida.

Lembre-se de que a adição e a subtração são operações inversas.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Agora, vamos retomar a multiplicação e a divisão, sempre lembrando que na multiplicação temos as ideias de adicionar parcelas iguais, determinar a quantidade de elementos em uma organização retangular e determinar a quantidade de combinações, além da ideia de proporcionalidade. Já a divisão tem a ideia de dividir uma quantidade em partes iguais e a ideia de medida.

Vamos observar as seguintes situações.

1 Para ir ao trabalho, José tem de pegar um ônibus e um trem. Sabendo que ele tem quatro opções de linhas de ônibus e três opções de linhas de trem, de quantas maneiras diferentes José pode ir ao trabalho tomando um ônibus e um trem?

4 x 3 = 12

produto fatores

Então, José pode ir de 12 maneiras diferentes ao trabalho.

Para saber quantas combinações ele pode fazer, efetuamos uma multiplicação.

2 Uma balsa faz a travessia de um rio que liga dois municípios. Em cada viagem, a balsa consegue levar, no máximo, 25 carros. Se essa balsa deve transportar 380 carros, quantas viagens, no mínimo, ela terá de fazer?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação e divisão

Assim, serão 15 viagens com a balsa cheia e uma viagem para os últimos cinco carros, ou seja, serão, no mínimo, 16 viagens.

Nesse caso, precisamos saber quantas vezes 25 cabe em 380, ou seja, uma ideia de medida, o que também envolve uma divisão.

Observe que 380 = 15 ? 25 + 5.

A relação fundamental da divisão, de modo geral, pode ser escrita da seguinte maneira:

dividendo = quociente divisor + resto

DESCUBRA MAIS

FRABETTI, Carlo. Alice no país dos números. 2. ed. São Paulo: Ática, 2019. O livro Alice no país dos números conta a história da menina Alice e suas aventuras envolvendo diversos conceitos da Matemática. Durante sua jornada, Alice descobre que aprender Matemática pode ser bastante divertido. Vamos embarcar nessa aventura?

As situações de multiplicação e divisão apresentadas visam consolidar a compreensão dos estudantes acerca dos significados associados a essas operações. É uma oportunidade de compreenderem os algoritmos usuais dessas operações. É importante, também, que os estudantes se lembrem dos nomes dos termos dessas operações, pois eles estarão presentes no estudo dos múltiplos e divisores, que farão mais adiante nesta Unidade. Pode-se proceder de maneira análoga aos procedimentos sugeridos para o trabalho com as operações de adição e subtração. Explorar a relação fundamental da divisão, garantindo a compreensão dos estudantes, de modo que possam identificar quando aplicá-la. Se considerar conveniente, explorar também as propriedades da multiplicação, registrando-as em um cartaz que pode ficar em um local de fácil visualização para posterior consulta dos estudantes.

• Propriedade comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto em uma multiplicação.

• Propriedade associativa: Ao multiplicar três ou mais fatores, pode-se associá-los de maneiras diferentes.

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Descubra mais

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O livro Alice no País dos Números, indicado no boxe Descubra mais desta página, apresenta diversos conceitos da Matemática de modo leve e divertido. No link https://www.coletivoleitor.

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26/08/22 10:21

• Elemento neutro: O número 1 é o elemento neutro da multiplicação, pois o produto de qualquer número por 1 é sempre igual a esse número.

• Propriedade distributiva da multiplicação: Multiplicar um número natural por uma adição (ou uma subtração) significa multiplicar cada uma das parcelas dessa adição (ou cada um dos termos dessa subtração) por esse número natural e, depois, adicionar (ou subtrair) os produtos de cada multiplicação.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo explorar as operações estudadas: adição, subtração, multiplicação e divisão.

Na atividade 1, ao explicar ao colega as estratégias utilizadas para resolver a expressão escolhida, é possível que os estudantes, mesmo que indiretamente, façam uso das propriedades da adição vistas em volume anterior desta coleção. Caso não façam essa relação, pode ser um bom momento para retomar esse tópico de conteúdo, que será bastante utilizado ao longo do desenvolvimento matemático do estudante.

Compartilhar as estratégias faz com que os estudantes tenham de refletir a respeito do raciocínio feito e formulem uma explicação para os colegas, estimulando o trabalho com a argumentação oral e o letramento matemático. Além disso, ao ouvir as estratégias dos colegas, que podem ser diferentes das suas, os estudantes têm contato com diferentes raciocínios, reforçando o trabalho com a competência específica 2 da área de Matemática.

Na atividade 3, se necessário, explicar que hodômetro é o instrumento que mede a distância percorrida pelo carro, em quilômetro, desde a sua fabricação.

Na atividade 5, aproveitar para retomar expressões numéricas que envolvem adição e subtração. Pode-se sugerir aos estudantes que realizem os cálculos iniciando pela subtração para depois fazer a adição; em seguida, pela adição para depois fazer a subtração. Pedir-lhes que expliquem oralmente o porquê de os valores serem diferentes.

Ao elaborarem o problema solicitado na atividade 5, verificar se os estudantes compreenderam que a resposta do problema deve ser a expressão numérica escolhida, e não o resultado da expressão.

Exemplo de resposta escolhendo

ATIVIDADES

1. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Calcule mentalmente.

a) 7 + 3 + 5

b) 15 + 5 + 2 + 8

c) 37 25 d) 45 18

• Agora, escolha uma das expressões anteriores e explique a um colega como você pensou para resolvê-la. Vocês pensaram da mesma maneira?

2. José vai jogar dois dados e precisa tirar nove pontos ao todo para ganhar um jogo. Quais pares de números podem sair no dado para José ganhar?

3. Cristina mora em Brasília e vai viajar até Palmas com um amigo. Para isso, eles vão percorrer 850 km, sem paradas. O hodômetro do carro registra 22 432 km rodados quando eles iniciam a viagem. Quanto o hodômetro vai registrar na chegada a Palmas?

4. Efetue as subtrações.

a) 909 617 b) 11 121 1 958

5. Em uma expressão numérica, efetuam-se as adições e subtrações na ordem em que aparecem. Assim, calcule as expressões.

a) 14 + 37 12

b) 49 27 + 48

c) 108 + 91 128

d) 123 + 456 543

• Escolha uma das expressões anteriores e elabore um problema que tenha a expressão escolhida como resposta.

6. Joelma foi ao supermercado e gastou 35 reais em produtos de limpeza, 18 reais em sucos e 42 reais em mantimentos. No caixa, ela pagou suas compras com duas cédulas de 50 reais. Quanto Joelma recebeu de troco?

a expressão do item b: Marcos é pipoqueiro e em uma manhã de trabalho arrecadou 49 reais com a venda das pipocas. Depois, precisou utilizar

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27 reais para comprar saquinhos e na parte da tarde vendeu mais 48 reais. Qual é a expressão numérica que representa o movimento do caixa de Marcos nesse dia?

Na atividade 12, o objetivo é gerar uma reflexão sobre o que significa o resto em uma divisão e a percepção da utilidade da relação fundamental

7. Efetue as multiplicações.

a) 4 ? 8 ? 10

b) 4 80 3 c) 81 ? 12 d) 14 307

8. Solange fez 30 bandejas de biscoitos iguais à da imagem a seguir.

Quantos biscoitos Solange fez?

9. Carlos foi ao banco pagar sua conta de 51 reais e recebeu 19 reais de troco do caixa.

a) Qual foi a quantia que Carlos deu para o caixa?

b) Sabendo que Carlos deu duas cédulas ao caixa, que cédulas eram essas?

c) A partir dos dados do enunciado, elabore uma questão contendo o termo “cinco cédulas” e troque com um colega. Um deve resolver o problema criado pelo outro. Vocês pensaram no mesmo problema? Descreva como você pensou para elaborar a questão.

10. Um teatro é composto de três setores. O setor A possui 20 fileiras com 15 cadeiras cada uma. Os setores B e C são compostos de 25 fileiras com 10 cadeiras cada. Qual é a lotação (quantidade máxima) de pessoas desse teatro?

9. b) Eram uma cédula de 50 reais e uma de 20 reais. c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 800 pessoas.

11. Efetue as divisões, obtendo quociente natural e indicando o resto.

a) 122 : 11 b) 628 : 25

11 com resto 1. 25 com resto 3.

12. Determine o resto de cada divisão, usando uma calculadora para os cálculos.

a) 234 : 18

b) 308 : 22

c) 888 : 24

d) 593 : 100

da divisão. Nas divisões exatas (casos dos itens a, b e c), espera-se que os estudantes percebam que se obtiveram um número natural no visor da calculadora é porque o resto da divisão é zero. No item d, que a divisão não é exata, espera-se que os estudantes percebam que o quociente natural obtido é o número que aparece antes da vírgula no visor da calculadora. Sendo assim, eles podem usar a relação fundamental da divisão para determinar o resto.

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MARCOS MACHADO

INDÍGENAS NAS UNIVERSIDADES

Leia um trecho de uma notícia publicada em 2018 pelo Ministério da Justiça e Segurança Pública sobre o acesso dos indígenas às Universidades.

Estudantes indígenas ganham as universidades

Solenidade de colação de grau dos cursos oferecidos pela Unemat para indígenas. Barra do Bugres (MT), 2012.

Em menos de sete anos, a quantidade de indígenas matriculados nas universidades cresceu mais de cinco vezes. O aumento na procura por formação acadêmica entre os povos indígenas deve-se à necessidade de formar profissionais qualificados e inseridos em contextos políticos e socioculturais e que ainda colaborem com a luta pela conquista da autonomia e da sustentabilidade de seu povo. [...]

BRASIL. Ministério da Justiça e Segurança Pública. Estudantes indígenas ganham as universidades. Brasília, DF, 21 mar. 2018. Disponível em: https://www.justica.gov.br/news/estudantes-indigenas-ganham-as-universidades. Acesso em: 12 jun. 2022. Acompanhe os dados a respeito do ingresso de indígenas em universidades.

Quantidade de indígenas matriculados em universidades em 2017, por região brasileira

Norte Nordeste Centro‑Oeste Sudeste Sul

Universidade pública 4 3833 6881 6401 5661 071

Universidade privada 8 36415 6722 2449 1151 283

Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Justiça e Segurança Pública. Estudantes indígenas ganham as universidades. Brasília, DF, 21 mar. 2018. Disponível em: https://www.justica.gov.br/news/estudantes-indigenasganham-as-universidades. Acesso em: 12 jun. 2022. Responda às questões no caderno.

1. A partir da leitura da notícia e da tabela com informações sobre a quantidade de estudantes indígenas matriculados no ensino superior em 2017, observe as afirmações e verifique se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) A região com maior quantidade de indígenas no ensino superior é a Norte.

b) Há mais estudantes indígenas no ensino superior em instituições privadas do que em instituições públicas.

c) As instituições privadas têm cerca de cinco vezes mais estudantes indígenas do que as instituições públicas.

F

2. Você conhece alguma pessoa indígena que esteja na universidade?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3. Pesquise se nas universidades da região em que você vive há projetos (públicos e privados) voltados para incentivar o ingresso de indígenas no Ensino Superior e para a permanência desses grupos nessas instituições

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Nesta Unidade, trazemos a temática da inclusão de indígenas no Ensino Superior como contexto para promover o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e Vida Familiar e Social. Por meio da problematização a respeito dos dados referentes às matrículas dos indígenas no Ensino Superior, trabalharemos as operações com números naturais. Essa é uma excelente oportunidade para discutir e validar a presença dos indígenas em diferentes espaços e o papel de políticas públicas nesse contexto. Além disso, as políticas inclusivas implementadas pressupõem a valorização da cultura indígena em atividades de ensino, pesquisa e extensão nas Universidades e oacesso dessa comunidade ao mercado de trabalho, promovendo assim o desenvolvimento da competência geral 6. Na primeira atividade, espera-se que os estudantes percebam que há diferentes modalidades de cálculo que podem ser utilizadas de acordo com o contexto, isso é, nem sempre o cálculo exato é necessário para avaliar a afirmação. Por exemplo, no item a, é possível adicionar apenas os números da ordem da unidade de milhar e concluir que há mais de 10 mil indígenas matriculados no Ensino Superior na região Sudeste. Convidar alguns estudantes a explicar como chegaram à conclusão sobre as afirmações evidenciando diferentes formas de pensar, desenvolvendo assim a argumentação

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Divisores e múltiplos de um número natural

Nesta página, tem-se o objetivo de retomar os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural e de número primo, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA01.

Divisores

Permitir a leitura individual das situações apresentadas e pedir aos estudantes que debatam suas conclusões. Espera-se que eles percebam a ligação da ideia de divisor de um número natural com a divisão exata em que esse número consta como divisor. Ressaltar a diferença entre essas duas nomenclaturas iguais, mas de significados distintos.

• Divisor (número não nulo) como o termo da divisão que figura dentro da chave. Notar que isso é válido tanto para divisões exatas quanto não exatas.

• Divisor de um número natural N é aquele número (não nulo) cuja divisão de N por ele resulta em um quociente exato. Nesse caso, para ser chamado divisor do número N, obrigatoriamente devemos ter divisão exata.

Múltiplos

Orientar os estudantes a fazer a leitura individual das situações apresentadas e pedir que compartilhem suas conclusões. Espera-se que eles percebam a ligação da ideia de múltiplo de um número com os resultados das listas de multiplicações efetuadas com esse número.

Pedir aos estudantes que durante a leitura elaborem exemplos que servirão para expor o que entenderam sobre múltiplos e divisores, ampliando seus repertórios de inferências

DIVISORES E MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL CAPÍTULO3

DIVISORES

Vamos relembrar o conceito de divisores observando a seguinte situação. Taís comprou um pacote com 48 balas e tentou repartir igualmente em saquinhos com cinco balas cada um, mas sobraram três balas. Então, ela tentou repartir em saquinhos com seis balas cada e conseguiu montar oito, sem sobras.

Isso foi possível porque a divisão 48 : 6 = 8 é exata, ou seja, 6 é divisor de 48. Já a divisão 48 : 5 = 9 não é exata, pois tem resto 3.

Um número natural não nulo a é divisor de outro número natural b quando a divisão de b por a é exata.

Quando um número a é divisor de b, dizemos que b é divisível por a

MÚLTIPLOS

Paulo e Rogério colecionam figurinhas. Eles estão formando um álbum de carros esportivos. Cada envelope de figurinha que eles compram vem com três figurinhas diferentes.

Esta semana Paulo comprou cinco envelopes de figurinhas, e Rogério comprou três envelopes.

Quantas figurinhas cada um deles comprou? Vamos montar um quadro com a quantidade de figurinhas de acordo com a quantidade de envelopes.

AMPLIANDO

Nessa situação, estão envolvidas multiplicações. Observe. • 1 3 = 3 • 2 ? 3 = 6

?

=

Os números 3, 6, 9, 12 e 15 são exemplos de números múltiplos de 3. Então, Paulo comprou 15 figurinhas, e Rogério, nove.

Um número natural a será múltiplo de um número natural b diferente de zero quando a for divisível por b ou b for divisor de a

Atividade complementar

A questão a seguir leva os estudantes a interpretar as informações apresentadas e a mobilizar os conhecimentos acerca do assunto tratado. É interessante incentivar os estudantes a compartilhar os conhecimentos, levantar hipóteses e buscar estratégias próprias para a resolução da situação apresentada.

• Simone escolheu uma senha numérica para a conta bancária dela. O número que indica a quantidade de

algarismos dessa senha é igual ao produto dos dois primeiros números naturais primos. Os dois primeiros algarismos da senha (da esquerda para a direita) formam o antecessor do maior número primo menor que 100. Os dois últimos algarismos são iguais aos dois primeiros, em ordem inversa. Os algarismos do meio formam o menor número possível dado pelo produto de dois números primos distintos. Qual é a senha que Simone escolheu?

Resposta: 9 6 1 0 6 9

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

NÚMEROS PRIMOS

Vamos relembrar o conceito de número primo.

Um número que possui apenas dois divisores naturais distintos (o número 1 e ele mesmo) é denominado número primo

Os números naturais que possuem mais de dois divisores distintos são chamados de números compostos. Assim:

• O número 1 não é primo nem composto.

• Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são alguns exemplos de números naturais primos.

• Os números 4, 6, 8, 9 e 10 são alguns exemplos de números naturais compostos.

• O único número primo par é o 2, já que todos os demais números pares são divisíveis por 2.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Estudamos que todo número natural maior do que 1, e que não é primo, é chamado de número composto, pois ele pode ser expresso como uma multiplicação de dois ou mais fatores, em particular uma multiplicação de fatores primos. Observe o número 24, que é um número composto.

2 ? 3

=

Assim, 2 ? 2 ? 2 ? 3 é a forma fatorada completa do número 24, ou seja, é o número 24 expresso como a multiplicação de fatores primos.

A decomposição em fatores primos de um número natural composto nos fornece a forma fatorada completa desse número. Essa técnica consiste em:

Tomar o número composto que se quer decompor.

Dividir o quociente obtido por um número primo que seja seu divisor.

Escrever a multiplicação com todos os divisores usados no processo.

Números primos

Para explorar os números primos, pode-se construir com os estudantes um cartaz, em uma cartolina, com os números de 1 a 100, destacando nele os números que são primos. Esse quadro deve ficar exposto de modo que os estudantes possam consultá-lo quando estiverem trabalhando com a decomposição em fatores primos.

Decomposição em fatores primos

Para utilizar a escrita de potência no desenvolvimento da decomposição em fatores primos, retomamos a potenciação para expoentes naturais maiores que 1. Se considerar conveniente e necessário, aprofundar essa revisão. Incentivar os estudantes a fatorar os números de várias maneiras, obtendo expressões distintas para compor o mesmo número por meio de multiplicações.

O quociente obtido é igual a 1?

Por exemplo:

180 = 2 ? 90 ou

180 = 3 ? 10 ? 6 ou

180 = 5 6 6 ou

180 = 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 Espera-se que os estudantes compreendam que todas essas maneiras indicam fatorações do número 180; no entanto, apenas uma delas determina sua forma fatorada completa, que é aquela em que todos os fatores são números primos.

24/08/22 14:50 AMPLIANDO

Vídeo

FLUXOGRAMA na resolução de problemas. 2020. Vídeo (9min29s). Publicado pelo canal Khan Academy Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=NSZ8oGkfO14. Acesso em: 12 ago. 2022.

Explorar com os estudantes o fluxograma que representa a técnica utilizada para decompor um número em fatores primos. Desse modo, favorece-se o pensamento computacional, assim como a habilidade EF07MA07.

21

21

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Máximo divisor comum (mdc)

As explorações têm como objetivo conceituar e obter o mdc de dois ou mais números naturais, usando a sequência dos divisores e a decomposição em fatores primos, auxiliando no desenvolvimento da habilidade EF07MA01. Explicar aos estudantes o significado de mdc:

• máximo – o maior número encontrado entre os números procurados;

• divisor – número pelo qual se divide outro, chamado dividendo, por meio de uma divisão exata;

• comum – que pertence a todos os números considerados.

Dois números naturais sempre têm ao menos um divisor comum: o número 1.

Se considerar conveniente, pode-se apresentar o conceito de números primos entre si, aqueles cujo mdc é igual a 1, ou seja, são números que têm apenas o 1 como divisor comum. Solicitar aos estudantes que, em grupos, desenvolvam um fluxograma para determinar o mdc. Depois, solicitar aos grupos que compartilhem suas observações e dúvidas com os colegas. Esse tipo de atividade explora o pensamento computacional, argumentação e inferências, assim como auxilia no desenvolvimento das habilidades

EF07MA05 e EF07MA07, bem como da competência específica 6 da área de Matemática.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (mdc )

Acompanhe a situação a seguir. Precisamos saber quais são os divisores comuns dos números naturais 40 e 60 e, entre os números encontrados, qual é o maior. Observe como podemos fazer.

• Primeiro, determinamos os divisores de 40 e os divisores de 60. D(40) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

• Observando esses divisores, percebemos que os divisores comuns de 40 e 60 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.

SAIBA QUE

Divisor comum de dois ou mais números é aquele que é divisor de cada um desses números simultaneamente.

Por exemplo: 7 é divisor comum de 21 e de 70, porque 7 é divisor de 21 e, também, de 70.

• O maior dos divisores em comum é 20. Então, 20 é o máximo divisor comum de 40 e 60

Indicamos: mdc(40, 60) = 20.

Dados dois ou mais números naturais, não simultaneamente nulos, denomina-se máximo divisor comum desses números o maior dos seus divisores comuns.

Outra maneira de determinar o máximo divisor comum (mdc) é fazer a decomposição em fatores primos dos números e considerar apenas os fatores primos comuns de 40 e 60. Acompanhe.

40, 60 2 fator comum

20, 30 2 fator comum

10, 15 2 Não é fator comum porque não divide o 15.

5, 15 3 Não é fator comum porque não divide o 5.

5, 5 5 fator comum

1, 1

O produto desses fatores comuns será o mdc de 40 e 60: mdc(40, 60) = 2 2 5 = 20.

AMPLIANDO

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Atividade complementar

Ler com os estudantes a situação a seguir.

Um professor de Educação Física precisa formar grupos com a mesma quantidade de integrantes em cada grupo. No entanto, não pode misturar os integrantes de uma turma com a outra. Para isso, ele tem duas turmas: uma com 48 meninos e outra com 42 meni-

nas. Quantos estudantes esse professor deve colocar em cada grupo?

Sugestão de resolução

Para saber quantos serão os estudantes em cada grupo, pode-se determinar o mdc (48, 42), que é igual a 6.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (mmc )

Acompanhe as situações a seguir.

1 Um número natural N, diferente de zero, é o menor múltiplo de 12, 15 e 20 ao mesmo tempo. Qual é o número N ?

Para resolver esse problema, inicialmente escrevemos os primeiros múltiplos de 12, 15 e 20:

• M(12) 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ...

• M(15) 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, ...

• M(20) 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, …

Observando esses múltiplos, verificamos que o menor número natural, diferente de zero, múltiplo simultaneamente de 12, 15 e 20 é 60

O número 60 é chamado de mínimo múltiplo comum (mmc) de 12, 15 e 20

Indicamos: mmc(12, 15, 20) = 60.

Assim, o número N procurado é 60.

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum desses números o menor de seus múltiplos comuns que seja diferente de zero.

Outra maneira de determinar o mínimo múltiplo comum é fazer a decomposição simultânea e considerar todos os fatores primos usados nas divisões dos três números dados. Acompanhe.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Mínimo múltiplo comum (mmc)

O objetivo é que os estudantes compreendam e determinem o mmc de dois ou mais números naturais usando a sequência dos múltiplos e a decomposição simultânea em fatores primos, auxiliando no desenvolvimento da habilidade EF07MA01. Espera-se que os estudantes compreendam que, para determinar o mínimo múltiplo comum, é necessário encontrar os múltiplos do número. Fazer com eles a mesma análise feita com o mdc:

• mínimo – o menor número encontrado entre os números procurados;

• múltiplo – número que é divisível pelos números considerados;

2 Dois navios fazem viagens entre dois portos: o primeiro navio viaja a cada 24 dias, e o segundo, a cada 30 dias. Se esses navios, em determinado dia, partirem juntos, depois de quantos dias voltarão a sair juntos?

Para resolver esse problema, é necessário determinar o número que representa o menor múltiplo comum dos números dados, ou seja, o mmc(24, 30). 24, 30 2 12, 15 2 6, 15

• comum – que pertence a todos os números considerados. Solicitar aos estudantes que, em grupos, desenvolvam um fluxograma para determinar o mmc. Em seguida, solicitar aos grupos que compartilhem com a turma suas observações e dúvidas. Esse tipo de atividade explora o pensamento computacional, argumentação e inferências, assim como auxilia no desenvolvimento das habilidades EF07MA05 e EF07MA07, bem como da competência específica 6 da área de Matemática.

Os dois navios voltarão a sair juntos depois de 120 dias.

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Atividade complementar

Em certo país, as eleições para presidente ocorrem a cada 6 anos, para deputados, de 4 em 4 anos, e para senadores, a cada 8 anos. Em 2000, as 3 eleições coincidiram. Quando ocorrerá novamente a eleição simultânea para presidente, deputados e senadores?

Resolução da atividade

Temos de encontrar o menor múltiplo comum entre 6, 4 e 8, ou seja, o mmc(6, 4, 8).

Assim: mmc(4, 6, 8) = 2 2 2 3 = 24

A eleição simultânea para presidente, deputados e senadores ocorrerá novamente em 2024.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nas atividades propostas, nesta e na próxima página, são explorados os conceitos de múltiplos, divisores, números primos, forma fatorada e decomposição em fatores primos e situações que envolvem o mdc e o mmc, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF07MA01 e EF07MA05.

A atividade 6 pode ser resolvida utilizando diversas estratégias. Incentivar os estudantes a compartilhar as estratégias para obter o resultado esperado. Esse compartilhamento amplia o repertório de inferências do estudante, bem como favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática.

A situação apresentada na atividade 9 pode ser resolvida na sala de aula para que os estudantes percebam na prática o que calcularam utilizando o mmc.

Propor uma brincadeira com lanternas para que possam observá-las acendendo em intervalos diferenciados e em quais momentos elas acenderão juntas. Para isso, serão necessários três lanternas e quatro relógios que tenham ponteiros de segundos.

Pedir a três estudantes que segurem, cada um, uma lanterna e um relógio, e o quarto estudante, apenas um relógio. Colocar os quatro estudantes um ao lado do outro, de frente para a sala de aula. O 1o estudante acenderá a lanterna a cada 20 segundos. O 2o estudante acenderá a lanterna a cada 24 segundos. O 3o estudante acenderá a lanterna a cada 30 segundos. O 4o estudante contará quanto tempo levará para que as três lanternas acendam ao mesmo tempo.

ATIVIDADES

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Verifique quais dos números a seguir são divisores de 24.

Alternativas a, c, e.

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções

10. Decomponha em fatores primos cada número.

a) 18 b) 84 c) 242

a) 4

b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

2. Quais dos números a seguir são múltiplos de 8?

Alternativas b, d, e.

11. Que número natural maior do que 50 e menor do que 100 é um produto de apenas fatores primos iguais a 3?

12. Determine a forma fatorada completa do número 1 260.

a) 15

b) 16 c) 22 d) 24 e) 344

3. Qual é o maior divisor de 246 que é menor do que 20?

• Agora, elabore um problema que possa ser resolvido com os dados do enunciado e troque com um colega. Cada um deve resolver o problema criado pelo outro.

4. Qual é o menor múltiplo de 14 que é maior do que 100?

5. Qual é o menor múltiplo de 2 maior do que 300?

6. Determine um múltiplo de 2 e 5 que seja maior do que 50 e menor do que 70.

• Reúna-se a um colega e explique a ele como você pensou para resolver o problema. Vocês pensaram da mesma maneira?

7. Qual é o maior resto possível de uma divisão por 10?

8. Qual dos números a seguir é primo?

13. Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto e, andando, contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa na pista em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida?

14. (Unesp) A tabela mostra aproximadamente a duração do ano (uma volta completa em torno do Sol) de alguns planetas do sistema solar, em relação ao ano terrestre.

Planeta Duração do ano Júpiter 12 anos terrestres Saturno 30 anos terrestres Urano 84 anos terrestres

a) 121

b) 171 c) 227 d) 1 323 e) 543

Alternativa c.

9. Entre os números naturais de 50 a 70, quantos são primos? E quais são eles?

Quatro números: 53, 59, 61 e 67.

Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e Urano são observados alinhados, de um determinado local na Terra, determine, após essa ocasião, quantos anos terrestres se passarão para que o próximo alinhamento desses planetas possa ser observado do mesmo local.

420 anos terrestres.

Se possível, apagar a luz para facilitar a visualização das lanternas acesas. A classe vai observar e indicar em que momento as lanternas acendem ao mesmo tempo. Evidenciar que o resultado da atividade com as lanternas será idêntico ao resultado obtido por meio dos cálculos com o mmc (20, 24, 30).

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comentadas deste Manual.

15. Três painéis luminosos acendem em intervalos regulares. O primeiro, a cada 20 segundos, o segundo, a cada 24 segundos, e o terceiro, a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três acenderem ao mesmo tempo, depois de quantos segundos os painéis luminosos voltarão a acender simultaneamente?

120 segundos.

16. De um aeroporto partem, todos os dias, três aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota de ida e volta em 4 dias; o segundo, em 5 dias; e o terceiro, em 10 dias. Se em certo dia, os três aviões partirem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia?

20 dias.

17. Uma pista de corrida tem o formato de uma curva circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 24 minutos, enquanto um corredor o faz em 40 minutos. Supondo que o ciclista e o corredor partem do mesmo ponto P da pista no mesmo instante, deslocando-se no mesmo sentido e mantendo velocidades constantes ao longo de todo o percurso, qual é o tempo mínimo, em minuto, para que ambos voltem a se encontrar no ponto P?

120 minutos.

18. Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento, sendo esse comprimento o maior possível. Se uma tábua tem 90 centímetros, e a outra tem 126 centímetros, qual deve ser o comprimento de cada pedaço se toda a madeira deve ser aproveitada?

18 centímetros.

19. A estação rodoviária de um município é o ponto de partida das viagens intermunicipais. De uma plataforma da estação, a cada 15 minutos partem os ônibus da Viação Sol, com destino ao município Paraíso. Os ônibus da Viação Lua partem da plataforma vizinha a

cada 18 minutos, com destino ao município Porta do Céu.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se, às 8 horas, os dois ônibus partirem simultaneamente, a que horas os dois ônibus partirão juntos novamente?

9 horas e 30 minutos.

20. Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate a cada 25 minutos, e um terceiro relógio C bate a cada 40 minutos. Qual é, em hora, o menor intervalo de tempo decorrido entre duas batidas simultâneas dos três relógios?

10 horas.

21. Gabriela coleciona moedas, e em sua coleção há 165 moedas de ouro, 220 moedas de prata e 275 moedas de bronze. Ela deseja organizar essa coleção em caixas que tenham a mesma quantidade de moedas de tal modo que cada caixa contenha moedas de um só tipo. Nessas condições, quantas moedas Gabriela deve colocar em cada caixa de modo a utilizar a menor quantidade de caixas possível?

22. Ao separar o total de suas figurinhas, em grupos de 12, 15 e 24, Caio observou que sobravam sempre 7 figurinhas fora dos grupos. Se o total das figurinhas for um número compreendido entre 200 e 300, qual será a soma dos algarismos do número que representa a quantidade de figurinhas de Caio?

23. Escreva um fluxograma que apresente os passos para determinar o mmc de dois números naturais diferentes de zero utilizando a estratégia da decomposição em fatores primos.

Organizar os estudantes em grupos e pedir-lhes que, entre as atividades 17 e 22, escolham uma e elaborem um experimento para determinar a resposta da atividade escolhida, de modo semelhante ao processo adotado para a atividade 9 Solicitar que façam os cálculos e verifiquem se o experimento funciona corretamente. Em seguida, pedir que apresentem os trabalhos para os demais colegas. Atividades em grupos e compartilhamento de raciocínios favorecem o desenvolvimento das competências gerais 4 e 7.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tratamento da informação

A seção aborda o Tema Contemporâneo Transversal Vida Familiar e Social e favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA36. Após a leitura do texto inicial, solicitar aos estudantes que observem o gráfico realizando uma primeira leitura. Recomenda-se perguntar a eles qual é o assunto do gráfico e verificar se sabem quais são as etapas de ensino retratadas nas legendas.

Em seguida, explorar o gráfico com as perguntas: O que aconteceu com a quantidade de matrículas de estudantes nos anos iniciais do Ensino Fundamental no período de 2019 a 2021, nas escolas públicas? (resposta esperada: as matrículas diminuíram ano a ano) e Nas matrículas do Ensino Médio em escolas públicas se observa o mesmo fenômeno que ocorreu nos anos iniciais do Ensino Fundamental no mesmo período? E nos anos finais? (resposta esperada: no Ensino Médio e nos anos finais do Ensino Fundamental, houve crescimento na quantidade de matrículas no período considerado).

GRÁFICOS DE COLUNAS TRIPLAS E DE BARRAS TRIPLAS

Após decretada a pandemia de covid-19, em março de 2020, houve, em muitos países, o fechamento das escolas para minimizar o contágio pelo vírus SARS-CoV-2. Com isso, ocorreram diversas mudanças na dinâmica de ensino, e um exemplo que pode ser citado é a ocorrência de aulas remotas.

Um dos impactos percebidos nesse período pode ser observado na quantidade de matrículas nas escolas de Educação Básica comparada a anos anteriores. No gráfico a seguir, é possível analisar a variação na quantidade de matrículas ocorridas nas escolas públicas de Educação Básica nos anos de 2019, 2020 e 2021 no Brasil.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Elaborado com base em: BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep). Censo da Educação Básica 2021: notas estatísticas. Brasília, DF: Inep, 2022. p. 26. Disponível em: https://download.inep.gov.br/publicacoes/institucionais/estatisticas_e_indicadores/ notas_estatisticas_censo_escolar_2021.pdf. Acesso em: 12 jun. 2022.

Este é um gráfico de colunas triplas. Cada cor representa um ano, conforme indica a legenda. Além disso, cada grupo de três colunas coloridas refere-se a uma etapa da Educação Básica. Cada barra de uma mesma cor representa a quantidade de matrículas ocorrida em determinado ano em cada um dos segmentos de ensino.

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Solicitar aos estudantes a busca por informações a respeito da quantidade de matrículas, no período de 2019 a 2021, nas escolas privadas por segmento de ensino no banco de dados do INEP, tal como o Censo Escolar da Educação Básica, disponível em: https://www.gov.br/inep/ pt-br/areas-de-atuacao/pesquisas-estatisticas -e-indicadores/censo-escolar/resultados (acesso

em: 22 ago. 2022). Os dados referentes ao ano de 2021 estão disponíveis em: https:// download.inep.gov.br/publicacoes/institucionais/ estatisticas_e_indicadores/notas_estatisticas _censo_escolar_2021.pdf (acesso em: 12 ago. 2022). Em seguida, solicitar que elaborem um gráfico de colunas triplas com esses dados e comparem com os dados das escolas públicas.

e privadas, é oportuno ampliar as discussões sobre o tema, propondo questões de reflexão social como: Os desafios encontrados em uma rede de ensino pública são maiores que na rede de ensino particular? Explique. Essa e outras discussões sobre os desafios da educação em tempos pandêmicos e suas diferenças nas redes públicas e privadas contribui para o desenvolvimento da empatia e da competência geral 9.

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Estudante em sala de aula.

Analise o gráfico e responda às questões no caderno.

1. Em qual das etapas de ensino ocorreu a maior variação na quantidade de matrículas de 2019 se comparada a 2021? De quanto foi essa diferença?

2. Junte-se a um colega, e pesquisem os dados das matrículas na escola em que vocês estudam nos anos de 2019, 2020 e 2021. Organizem os dados em uma tabela e construam um gráfico de colunas triplas. Utilizar uma planilha eletrônica vai auxiliá-los nessa tarefa.

3. Ainda com seu colega, a partir do gráfico construído na atividade 2, reflitam a respeito das questões a seguir. Ao final, elaborem um texto informativo com as conclusões obtidas e sugiram ações que possam ser feitas para melhorar o cenário, caso necessário.

a) Houve crescimento ou diminuição das matrículas?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

b) As quantidades de matrículas na escola em que vocês estudam seguem a mesma tendência dos dados gerais apresentados no início da seção?

c) Vocês consideram que a pandemia de covid-19 teve influência na quantidade de matrículas? Se sim, de que maneira?

4. Observe o gráfico de barras triplas que traz informações sobre a quantidade de matrículas na Educação Infantil (creche e pré-escola) em redes de ensino pública

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

As atividades da página trabalham com o Tema Contemporâneo Transversal Vida Familiar e Social. Nas atividades 2 e 3, auxiliar os estudantes na intermediação com a gestão escolar para obtenção dos dados de matrículas da escola nos últimos anos. Outra possibilidade é buscar esses dados na secretaria de educação do município. Ao olhar para as matrículas na sua escola e refletir a respeito dos dados, os estudantes são estimulados a ter um olhar crítico e cidadão para os acontecimentos ao seu redor, sendo personagem ativo de possíveis mudanças e melhorias no cenário atual, desenvolvendo assim a competência específica 8 da área de Matemática, bem como a competência geral 1. A leitura e confecção de gráficos e tabelas, realizados no decorrer da seção, contribuem para o desenvolvimento da competência geral 4. Além disso, trabalham para o desenvolvimento da competência específica 4 da área de Matemática.

Elaborado com base em: BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep). Censo da Educação Básica 2021: notas estatísticas. Brasília, DF: Inep, 2022. p. 25. Disponível em: https://download.inep.gov.br/publicacoes/institucionais/estatisticas_e_indicadores/notas_estatisticas_censo_ escolar_2021.pdf. Acesso em: 12 jun. 2022.

a) Em qual período houve maior diminuição no total de matrículas?

De 2020 para 2021.

b) O que você imagina que pode ter causado a queda nas matrículas na Educação Infantil?

c) A diminuição observada no item a foi maior nas redes de ensino pública ou privada? Como a pandemia pode ter contribuído para esses dados?

4.b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

c) Na rede privada. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 27

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Para fechar a discussão, recomenda-se solicitar aos estudantes que relatem sua experiência de estudos durante os primeiros anos da pandemia. Para isso, pode-se perguntar: Quais foram os maiores desafios? Quais foram as facilidades?

Houve mudança nos hábitos relacionados à saúde, tais como alimentação e prática de atividades físicas? Houve impactos na saúde mental, tais como variação de humor e desânimo?

Essas reflexões podem contribuir para o desenvolvimento da competência geral 7 por meio da argumentação dos estudantes.

Link

Mais informações sobre o tema que podem aprofundar as discussões com a turma são encontradas, por exemplo, na reportagem “Velocidade Mínima”, da Revista Piauí. Disponível em:

26/08/22 10:23

As atividades 2, 3 e 4 contribuem de modo especial para o desenvolvimento da competência geral 2 e para a habilidade EF07MA36.

https://piaui.folha.uol.com.br/velocidade-minima/. Acesso em: 12 ago. 2022.

E no podcast “O impacto da pandemia no aprendizado das crianças”, publicado pelo Nexo Jornal. Disponível em: https://www.nexojornal. com.br/podcast/2022/02/08/O-impacto-da-pan demia-no-aprendizado-das-crian%C3%A7as. Acesso em: 12 ago. 2022.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades desta seção é propiciar aos estudantes que retomem os conteúdos estudados na Unidade e, caso necessário, possam sanar as dúvidas que surgir.

Se considerar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos estudantes que façam um fluxograma dos conteúdos trabalhados no decorrer desta Unidade, com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições.

Os estudantes podem fazer esse bloco de questões como uma autoavaliação; por isso, eles devem respondê-las individualmente. É interessante sugerir que resolvam essas atividades em sala de aula, assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. Orientálos a consultar o livro para tirar dúvidas e buscar informações.

Enfatizar a necessidade de resolverem os exercícios individualmente, buscando informações de maneira autônoma e escolhendo suas fontes para chegar aos resultados. Conversar com os estudantes sobre seus acertos e equívocos, indicando a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado.

Será valioso para o desenvolvimento da autonomia intelectual dos estudantes que percebam seus processos de aprendizagem, suas dificuldades e a busca de informações.

Dar oportunidade para os estudantes mostrarem como pensaram para resolver as questões, tirando as dúvidas dos colegas.

Responda às questões no caderno.

1. A distância da Terra até o Sol é cerca de 149 598 000 km, e essa distância é chamada de unidade astronômica (UA). Netuno, o último planeta do Sistema Solar, está a uma distância média da Terra de cerca de 29 UA. Qual é, aproximadamente, a distância média da Terra a Netuno, em quilômetro?

2. Quando o produto de dois números distintos a e b, com b . a, resultará em um número primo?

3. Responda aos itens a seguir.

a) Qual é o maior múltiplo de 6 com três algarismos?

b) Quais são os 11 primeiros múltiplos de 9?

c) Quais são os divisores de 1 155?

4. Determine o maior múltiplo comum dos números 4 e 6 menor do que 190.

5. Os números 54 e 72 têm divisores comuns. Qual é o maior deles?

6. Determine o mdc dos números:

a) 112 e 70

b) 39, 65 e 91

7. Calcule o mmc dos números:

a) 180 e 84

b) 96, 144 e 240.

8. Dados os números x e y, tais que x = 64 n 11, y = 16 n 13 e o mdc (x, y) = 432, qual é o fator que se deve colocar no lugar de n?

9. São dados os números a, b e c, tais que a = 27, b = 210 e c = 28 . Qual é o valor do mmc(a, b, c)?

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3. b) 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90

c) 1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 33, 35, 55, 77, 105, 165, 231, 385, 1 155

10. Minha avó foi viajar com a turma da Melhor Idade do bairro. Quantos idosos havia na viagem, sabendo que eram menos de 60 e que podemos contá-los de 8 em 8 ou de 10 em 10?

11. (Unicid-SP) Dois ônibus, A e B, que fazem itinerários diferentes, partem simultaneamente de um mesmo terminal. O ônibus A retorna ao terminal a cada 40 minutos e o ônibus B retorna a cada 1 hora e 10 minutos. Então, o período de tempo com que os dois ônibus se encontrarão nesse terminal é a cada:

a) 240 minutos.

b) 280 minutos.

c) 310 minutos.

d) 320 minutos.

e) 400 minutos.

12. Uma fábrica de copos precisa embalar e despachar um lote de copos de sua produção. Esse lote é composto de uma quantidade de copos cujo número tem três algarismos e é maior do que 900. Dois tipos de embalagem conseguem acomodar esse lote completo com todas as caixas cheias: a do tipo A , que acomoda 15 copos em cada caixa, e a do tipo B, que acomoda 12 copos em cada caixa. Quantos copos foram fabricados nesse lote?

960 copos.

13. Considere a sequência numérica a, b, c, d, e, na qual a (valor inicial da sequência) corresponde ao mmc(12, 20), e, a partir de b , cada termo da sequência corresponde ao termo antecedente mais 21. Escreva os números a, b, c, d, e.

60, 81, 102, 123, 144

Alternativa b.

28

Alternativa b.

14. (Unir-RO) Uma empresa tem em seu quadro de funcionários gerentes, supervisores e fiscais. Cada um desses cargos é preenchido por meio de eleições entre os funcionários dos vários setores da empresa. Admita que os gerentes sejam eleitos para o mandato de 8 anos, os supervisores para o mandato de 6 anos e os fiscais para o mandato de 4 anos, e que, em 2009, houve eleições simultâneas para todos esses cargos. A partir dessas informações, é correto afirmar:

a) Em 2020, serão realizadas eleições simultâneas para os cargos de gerente e supervisor.

b) Em 2033, serão realizadas eleições simultâneas para todos os cargos.

c) Em 2020, serão realizadas eleições simultâneas para os cargos de gerente e fiscal.

d) Em 2017, serão realizadas eleições simultâneas para os cargos de supervisor e fiscal.

e) Em 2033, será realizada eleição somente para o cargo de gerente.

15. (OBM) A festa de aniversário de André tem menos do que 120 convidados.

Para o jantar, ele pode dividir os convidados em mesas completas de 6 pessoas ou em mesas completas de 7 pessoas. Em ambos os casos são necessárias mais do que 10 mesas e todos os convidados ficam em alguma mesa. Quantos são os convidados?

16. Três ciclistas percorrem um circuito. Suponha que todos saíram ao mesmo tempo do mesmo ponto e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s; o segundo, em 36 s; e o terceiro, em 30 s. Com base nessas informações, responda às questões.

a) Depois de quantos minutos os três ciclistas se reencontrarão no ponto de partida pela primeira vez?

6 minutos.

b) Quantas voltas completas terá dado o primeiro ciclista nesse tempo?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que possam perceber as próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade.

9 voltas completas. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

17. Crie e descreva o padrão de uma sequência numérica e entregue-o para um colega escrever os cinco primeiros elementos da sequência em questão. Em seguida, verifique se a sequência está correta.

Nesta Unidade, retomamos conhecimentos sobre os números naturais e estudamos sequências, como a sequência de Fibonacci, na abertura, as sequências dos múltiplos e dos divisores de um número natural e a sequência dos números primos. Além disso, estudamos como determinar o mdc e o mmc de números naturais.

No Tratamento da informação, estudamos os gráficos de barras triplas e de colunas triplas ao analisarmos o impacto da pandemia na Educação Básica brasileira. Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Você conseguiu perceber alguma relação entre múltiplos e divisores? Qual?

• Como você explicaria o que é um número primo para um colega?

• Que estratégias você utilizaria para descobrir o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais?

Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Na primeira pergunta, os estudantes são levados a inferir sobre a importante relação existente entre múltiplos e divisores. Esta é uma boa oportunidade para que eles reflitam sobre a operação inversa (um número natural a será múltiplo de um número natural b diferente de zero, quando a for divisível por b ou b for divisor de a). Aproveitar para salientar a importância do vocabulário matemático.

A segunda questão retoma o conceito de número primo.

Na terceira questão, solicitar que compartilhem as estratégias que levantaram para descobrir o mdc e o mmc.

Competências gerais:

• 1, 2, 3, 6, 7, 8 e 9

Competências específicas:

• 1, 2, 3 e 7

Habilidades: Números

• EF07MA03

• EF07MA04

• EF07MA05

• EF07MA06

Tema Contemporâneo

Transversal:

• Educação em Direitos Humanos

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em 12 capítulos, apresentando o trabalho com números inteiros, desde a compreensão da ideia de número negativo, comparação e ordenação com auxílio da reta numérica e operações. Ela traz seções com temas que contribuem para a formação integral dos estudantes, favorecendo o desenvolvimento de diversas competências gerais e específicas e Temas Contemporâneos Transversais (TCTs).

Nos quatro primeiros capítulos são apresentados os conceitos de número negativo, número inteiro, módulo de um número inteiro e comparação de números inteiros, importantes para o desenvolvimento dos conteúdos seguintes. Nos capítulos seguintes são abordadas as 4 operações básicas com números inteiros (adição, subtração, multiplicação e divisão exata), além de adição algébrica, potenciação, radiciação exata e cálculo de expressões numéricas. Esses temas favorecem a apropriação das habilidades EF07MA03, EF07MA04, EF07MA05 e EF07MA06.

2

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Convide um colega para jogar, mas, antes, construa dados como os representados a seguir, de preferência em um papel resistente. As marcações dos pontos podem ser feitas com caneta hidrocor (azul e vermelha). Se necessário, solicite ajuda ao professor.

Regras

1 Cada participante coloca seu marcador na casa Início

Os marcadores podem ser moedas, sementes ou pequenos objetos.

2 Cada participante, na sua vez, lança simultaneamente os dois dados.

Na mesma jogada, o número sorteado no dado com pontos azuis indica a quantidade de casas que o marcador deverá andar no sentido da casa Chegada. O número sorteado no dado com pontos vermelhos indica a quantidade de casas que o marcador deverá andar no sentido da casa Saída na mesma jogada.

3 O participante que “sair” do tabuleiro (chegar à casa Saída) será eliminado.

Objetivo do jogo

Chegar primeiro até a casa Chegada ou ficar sozinho no tabuleiro.

O participante terá de usar o resultado dos dois dados para movimentar o marcador. Assim, o jogador só sai do tabuleiro depois de fazer a jogada andando a quantidade de casas correspondente aos dois dados.

Respostas pessoais. Os estudantes podem responder que identificaram adições e subtrações.

• Joguem três partidas e reflitam sobre a seguinte questão: Durante o jogo, vocês identificaram algumas operações matemáticas sendo efetuadas? Caso a resposta seja positiva, quais foram essas operações?

• No início do jogo, na primeira jogada, um jogador obteve 5 no dado com pontos vermelhos e 3 no dado com pontos azuis. Ele registrou a pontuação da seguinte maneira: 5 e +3. Em que casa o marcador desse jogador deverá ser colocado nessa jogada?

Na casa 2, vermelha.

• Para que na próxima rodada o marcador desse jogador caia na casa 3, azul, qual deverá ser a pontuação obtida nos dados?

+6 e 1 (6 no dado com pontos azuis e 1 no dado com pontos vermelhos).

OBJETIVOS

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• Compreender os conceitos de números negativos e inteiros.

• Compreender as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão exata, potenciação e radiciação exata envolvendo números inteiros.

• Resolver expressões numéricas envolvendo números inteiros.

• Resolver problemas envolvendo operações com números inteiros.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

A Unidade explora o trabalho com números inteiros, desde a sua conceituação até o cálculo de expressões numéricas e a resolução de problemas envolvendo essas operações. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA03, EF07MA04, EF07MA05 e EF07MA06.

A seção Por toda parte da página 37 aborda a história dos números negativos e colabora com o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1. Já a seção da página 61 trabalha com o tema cultura juvenil por meio da apresentação de um jogo, colaborando com o desenvolvimento das competências gerais 8 e 9, da competência específica 3.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Ao iniciar a Unidade, perguntar aos estudantes se conhecem o jogo descrito e incentivá-los a ler atentamente as regras apresentadas e a confeccionar os dados. Caso necessário, ajude-os na construção. Uma sugestão é que os estudantes joguem em duplas e que a atividade seja realizada em duas aulas para que eles possam vivenciar o jogo, refletir sobre as aprendizagens envolvidas no processo e sistematizá-las. Jogos e atividades relacionadas à cultura juvenil estimulam a empatia e o desenvolvimento das competências gerais 8 e 9, bem como da competência específica 2.

A seção Fórum aborda o Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos através da discussão acerca da discriminação no uso de elevadores sociais em edifícios públicos e privados. A exploração do assunto pretende estimular a empatia dos estudantes e auxiliar no desenvolvimento das competências gerais 7 e 9, bem como da competência específica 7.

São propostas três partidas para que os estudantes se apropriem das regras do jogo enquanto conjecturam as primeiras hipóteses, ainda que de maneira intuitiva. Orientá-los a perceber que há uma operação envolvida no jogo; no caso, a adição algébrica. Em seguida, propor que realizem o registro de cada operação. Nesse momento, será importante mediar e acompanhar as escolhas dos estudantes e, sempre que julgar oportuno, solicitar que justifiquem as suas escolhas. Esse registro servirá de base para a segunda conclusão da dupla, que deve se aproximar das regras operatórias para o conjunto dos números inteiros. É interessante que as duplas registrem as conclusões de forma textual; se achar interessante, é possível propor que a conclusão seja individual e, em seguida, socializada entre a própria dupla e entre as duplas vizinhas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A ideia de números inteiros

As situações apresentadas ilustram a utilização de números inteiros positivos e negativos, e têm o intuito de ampliar a noção de número que os estudantes têm construído.

Ampliando o trabalho iniciado na abertura, exploramos nestas páginas o surgimento e uso dos números inteiros negativos, desenvolvendo a habilidade EF07MA03.

É o momento adequado para investigar os conhecimentos prévios dos estudantes a respeito do novo tema a ser trabalhado. Fazer perguntas sobre os números negativos e em que situações eles podem ser utilizados. Em seguida, ler com a turma o texto sobre a ideia de números inteiros que visa explicar aos estudantes como surgiram os números negativos e, se achar conveniente, propor-lhes que pesquisem mais sobre a origem desses números.

Pense e responda

Sugere-se que a atividade desta seção seja feita coletivamente. A seção apresenta informações sobre o Campeonato Brasileiro de Futebol Feminino A1 de 2022 (8a rodada).

Apesar de esse esporte ser bastante popular, existem outros que também despertam a curiosidade e o interesse dos estudantes; portanto, essa atividade pode ser ampliada com a escolha de outra modalidade esportiva para que possam coletar e organizar dados. A situação apresentada promove o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática.

Comentar com os estudantes o que é saldo de gols. Há quadros de classificação em que aparecem “gp” e “gc”. Explicar o significado dessas “siglas” na

CAPÍTULO1 A IDEIA DE NÚMEROS INTEIROS

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

1. Acompanhe, no quadro seguinte, o desempenho de alguns clubes após a 8a rodada do Campeonato Brasileiro de Futebol Feminino A1 – 2022.

Campeonato Brasileiro de Futebol Feminino A1 (8a rodada/2022) Classificação

Elaborado com base em: CAMPEONATO brasileiro de futebol feminino A1 – 2022. CBF Rio de Janeiro, 2022. Disponível em: https://www.cbf.com.br/futebol-brasileiro/competicoes /campeonato-brasileiro-feminino-a1. Acesso em: 7 jul. 2022.

Chama-se saldo de gols a diferença entre a quantidade de gols marcados e a quantidade de gols sofridos por uma equipe em um torneio de futebol. Quando a quantidade de gols marcados é maior do que a de gols sofridos, dizemos que a equipe apresenta um saldo de gols positivo. Se a quantidade de gols marcados for menor do que a quantidade de gols sofridos, dizemos que a equipe apresenta um saldo de gols negativo.

De acordo com as informações do texto e do quadro, responda.

a) Que clubes apresentaram um saldo de gols positivo? Palmeiras e Grêmio.

b) E quais apresentaram um saldo de gols negativo?

c) Como foram representados os saldos positivos e os saldos negativos de gols?

d) Como foi representado o saldo de gols do São José? 11

1. b) Real Brasília, Cruzeiro Saf, São José e Bragantino.

c) Os saldos positivos foram indicados com o sinal “+”, e os saldos negativos, com o “ ”.

mídia: gp é usada para gols pró, que indica a quantidade de gols que um time fez, e gc, para gols contra, que indica a quantidade de gols que um time sofreu.

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Para ampliar, propor aos estudantes que pesquisem sobre o campeonato brasileiro atual e façam, em uma folha avulsa, um quadro como

o apresentado, de modo que apareçam times que tenham saldo de gols positivos, nulos e negativos. Em seguida, eles podem escrever duas questões que possam ser respondidas com a análise do quadro. Depois, devem trocar os quadros entre si para que um estudante possa responder às questões de outro.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ENTENDENDO OS NÚMEROS NEGATIVOS

Os números naturais podem ser usados para expressar o resultado de contagens ou de algumas medidas.

Oba! A que horas devo chegar? A festa do meu aniversário será no próximo dia 18.

Vou querer duas canetas de 5 reais.

Todas essas afirmações não deixam dúvidas quanto ao significado, pois os números naturais envolvidos definem perfeitamente a quantidade que expressam.

Consideremos, agora, a seguinte situação.

Um termômetro marca uma temperatura de 10 graus Celsius (10 °C) afastados do zero. Podemos representar essa situação, em um termômetro, de duas maneiras:

Entendendo os números negativos

Explorar cada situação com os estudantes e pedir que expliquem as informações que podem ser verificadas em cada uma delas. Se julgar conveniente, ampliar com novas situações: movimentação em extratos bancários, painéis em elevadores etc.

Essas explorações levam os estudantes a reconhecer a existência dos números inteiros positivos e negativos usados na representação de situações reais, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA03.

O ponto A do termômetro está distante 10 graduações do ponto de origem 0.

O ponto B do termômetro está distante 10 graduações do ponto de origem 0.

Nas figuras, notamos que há dois pontos ( A e B) do termômetro que podem ser tomados como a posição da coluna de mercúrio em relação ao ponto de origem 0 (zero). Isso mostra que o número natural 10 não foi suficiente para expressar, sem deixar dúvidas, o afastamento da coluna de mercúrio em relação ao ponto de origem 0.

Para eliminar a possível confusão, convencionamos a seguinte leitura.

• O ponto A está 10 °C acima de zero

• O ponto B está 10 °C abaixo de zero

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ILUSTRAÇÕES: DANI MOTA

ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para ampliar, propor aos estudantes que dramatizem uma situação de operação bancária, realizando concretamente a ação de depositar e retirar os valores de uma conta-corrente. Por meio da análise da dramatização, será possível esclarecer dúvidas que os estudantes tenham sobre números negativos.

Utilizar uma caixa para representar a conta-corrente dos estudantes e outra para representar o banco. Propor-lhes alguns valores para retiradas e depósitos.

Ajudá-los a perceber que, quando colocam o dinheiro na sua caixa, estão depositando-o na conta-corrente e que, ao sacar determinado valor, o banco vai realizar a retirada desse dinheiro, mesmo que o dono da conta não possua o valor que está sendo retirado. Nesse caso, cria-se a situação de saldo negativo; portanto, o cliente ficará devendo dinheiro ao banco.

Utilizar a escala numérica para que os estudantes percebam que o zero é a referência entre os números positivos e os números negativos e ampliar o desenvolvimento da habilidade EF07MA03.

Simbolicamente, eliminamos a confusão antepondo o sinal + (mais) às medidas acima de 0 °C e o sinal (menos) às medidas abaixo de 0 °C.

Assim:

• ponto A:+10 °C.

• ponto B: 10 °C.

A

+10 acima de zero

0 10

abaixo de zero B

A temperatura de 10 graus acima de zero é indicada por +10. Dizemos que +10 é um número inteiro positivo.

A temperatura de 10 graus abaixo de zero é indicada por 10. Dizemos que 10 é um número inteiro negativo.

Há situações em que não escrevemos o sinal + ao usarmos números inteiros positivos. Os números positivos e os números negativos aparecem em muitas situações, por exemplo:

• na indicação de um período, antes e depois de uma data determinada;

cerca de 300 a.C. ( 3 00) 0 cerca de 200 d.C. (+ 2 00)

Foram escritos os Elementos, de Euclides.

Nascimento de Cristo.

Primeira menção escrita aos números negativos em Nove capítulos da arte matemática, de Liu Hui.

• na indicação de altitudes ou profundidades em relação ao nível do mar.

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

Note que, em todas as situações apresentadas, há um referencial, que tomamos como origem: a temperatura nula (0 °C) no termômetro, o ano zero na linha do tempo e o nível do mar (0 m) na altitude ou na profundidade.

DESCUBRA MAIS

IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Números negativos. São Paulo: Atual, 2009. (Pra que serve Matemática?).

Esse livro aborda situações cotidianas, como medir a temperatura, entender um saldo bancário, calcular um fuso horário, para explorar a noção de número negativo.

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Em cada caso, escreva o número inteiro (positivo ou negativo) correspondente a:

a) uma temperatura de 25 °C acima de zero. +25

b) um saldo negativo de 15 gols. 15

c) uma profundidade de 2 500 metros.

d) um crédito de 1 600 reais. +1 600

e) 4 andares acima do térreo. +4

f) uma temperatura de 5 °C abaixo de zero. 5

g) um débito de 600 reais na conta bancária.

2. O Mar Morto, situado entre a Jordânia e Israel, é o ponto mais baixo da Terra. Sua superfície e as margens estão cerca de 400 metros abaixo do nível do mar. O nome Mar Morto deve-se à alta concentração de sal em suas águas, cerca de 10 vezes maior do que em outros oceanos, o que dificulta a sobrevivência de qualquer vida animal ou vegetal.

• Como você indicaria a altitude a que estão a superfície e as margens do Mar Morto? Usando um número inteiro positivo ou negativo?

3. Use números inteiros positivos ou negativos para registrar os valores expressos em cada item.

a) Ana verificou seu extrato bancário e notou que sua conta está negativa em 50 reais.

b) Uma empresa que explora o fundo do mar lança uma base-guia a 1 700 metros de profundidade, no formato de funil, por onde as sondas e as brocas passam e perfuram o solo. 1 700

4. Cláudio é dentista, e seu consultório fica em um prédio com 10 andares de salas comerciais e 4 andares de garagem no subsolo. Observe o painel do elevador do prédio.

a) Que número poderia indicar o andar térreo? 0 (zero).

b) Quais botões do painel indicam números de andares acima do térreo?

c) E quais indicam os andares abaixo do térreo (subsolo)?

5. A Grande Pirâmide de Quéops foi construída por volta de 2600 a.C. Ela é a maior das três pirâmides situadas em Gizé, no Egito. Foi construída para abrigar o corpo do faraó Khufu (Quéops) e tornou-se conhecida como uma das Sete Maravilhas do Mundo Antigo.

a) Usando um número inteiro (positivo ou negativo), indique o ano aproximado em que a Grande Pirâmide de Gizé foi construída. 2600

b) Pesquise quais são as outras seis Maravilhas do Mundo Antigo e escreva um texto sobre cada uma delas, usando números inteiros negativos para expressar o ano aproximado em que elas foram construídas. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Ao realizar as atividades propostas, os estudantes terão a oportunidade de reconhecer a existência de números inteiros positivos e de números inteiros negativos em situações reais e como é possível representá-los fazendo uso dos sinais positivo e negativo, explorando, assim, a habilidade EF07MA03 e a competência específica 3 da área de Matemática.

Na atividade 5, explorar as construções das pirâmides do Egito, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 3. Fazer a leitura compartilhada dos textos criados pelos estudantes.

Para ampliar o trabalho com a seção, propor a eles que, em dupla, elaborem uma atividade contextualizada envolvendo números inteiros negativos. Após algum tempo, solicitar às duplas que troquem a atividade, uma resolvendo a atividade que a outra criou.

Pirâmide de Quéops, em Gizé, no Egito, 2022.

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O conjunto dos números inteiros

Para que os estudantes possam vivenciar uma situação de localização e disposição dos números inteiros em uma reta numérica, é interessante propor algumas explorações. Por exemplo: criar alguns cartões contendo números positivos, negativos e o zero, e colocá-los em um saquinho; prender as pontas de um pedaço de barbante em algum local da sala em que os estudantes possam pendurar os cartões criados; em seguida, cada estudante deverá pegar um desses cartões e pendurá-lo no barbante observando sempre se o número é maior ou menor do que os números que já foram pendurados.

A ideia é que, no decorrer da atividade, eles percebam que alguns números talvez precisem ser afastados para “caber” outro ao lado, seguindo o critério de localização observado no livro do estudante. A comparação e ordenação de números inteiros favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA03.

Se julgar necessário, reproduzir os exemplos na lousa, de modo que os estudantes participem da localização dos números.

A reta numérica

Pedir aos estudantes que construam variadas linhas do tempo com acontecimentos históricos que possam pesquisar, escolhendo um marco importante para ser associado ao valor zero. Esse ponto pode ser algum acontecimento da própria vida deles, como o nascimento, e aproveitar esse momento para trabalhar com o componente curricular de História.

Propiciar uma oportunidade para que eles socializem as linhas do tempo que criaram.

A compreensão e localização dos números inteiros na reta numérica propicia o desenvolvimento da

CAPÍTULO2 O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Os números +1, +2, +3, +4, …, +10, …, +25, …, +100, … são chamados de números inteiros positivos

Os números 1, 2, 3, 4, 5, …, 25, …, 100, … são chamados de números inteiros negativos

O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero é chamado de conjunto dos números inteiros e é representado pela letra z z= {…, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

O conjunto dos números inteiros não nulos (todos os números inteiros, excluindo o zero) é representado por z*.

A RETA NUMÉRICA

Um dos recursos usados para a localização dos números é a reta numérica Analisemos, a seguir, como construir uma reta numérica.

1o passo: Desenhamos uma reta r e escolhemos um ponto O qualquer da reta, ao qual associamos o número 0 (zero), denominado origem

2o passo: Escolhemos um ponto dessa reta, à direita do ponto O, e a esse ponto associamos o número +1. Determinamos, assim, uma unidade de comprimento e o sentido positivo da reta.

3o passo: A partir de O (associado ao zero), medimos essa unidade de comprimento repetidas vezes, da esquerda para a direita, ao longo da reta, determinando, assim, a localização dos pontos associados aos números inteiros positivos +2, +3, +4, +5, …, até o número que desejamos representar.

4o passo: Usando a mesma unidade de comprimento, medimos essa distância repetidas vezes ao longo da reta, à esquerda do zero, e localizamos o ponto associado aos números inteiros negativos 1, ao número 2, e assim por diante, determinando o sentido negativo da reta.

habilidade EF07MA03. Comentar que a reta numérica não precisa, necessariamente, estar na posição horizontal. Compor na lousa uma reta numérica na vertical, representando altitudes e profundidades em relação ao nível do mar. Os números positivos são usados para indicar as altitudes e, os números negativos, para indicar as profundidades. A reta numérica vertical tem fundamental importância na compreensão, posteriormente, do plano cartesiano.

POR TODA PARTE

Leia o trecho a seguir, que conta um pouco da história dos números inteiros negativos.

UM POUCO DE HISTÓRIA

A primeira menção escrita aos números negativos remonta aos “Nove capítulos da arte matemática”, publicados na China por volta do ano 200. Nos séculos seguintes, chineses, indianos e árabes aprenderam a realizar operações com esses números. Mas nem lá havia consenso: Bhaskara (1114-1185) dizia que soluções negativas da equação quadrática não são válidas porque “as pessoas não aprovam soluções negativas”.

No Ocidente, foi pior. Em meados do século 18, o inglês Francis Maseres (1731-1824) ainda defendia que os números negativos “obscurecem toda a teoria das equações e tornam complicadas coisas que são, por natureza, totalmente óbvias e simples”.

O francês Nicolas Chuquet foi o primeiro europeu a usar os negativos, como expoentes, na segunda metade do século 15. Mas, como muitos outros, ele os chamava numeri absurdi (número absurdos). Já o franciscano Luca Pacioli (1445-1517) usou números negativos para representar dívidas em sua obra “Summa”, publicada em 1494, que criou o modelo de livro de contabilidade de dupla entrada.

Outro italiano, Rafael Bombelli (1526-1572), escreveu as regras de operação […] em sua “Álgebra”, publicada em 1572. Ele usava m. (“minus”) para representar negativo e p. (“plus”) para representar positivo. Os sinais e + que usamos hoje se popularizaram ao longo do século seguinte.

A posição de René Descartes (1596-1650) era ambivalente: considerava as soluções negativas de soluções como “falsas”, mas compreendia como transformar soluções negativas em positivas, e isso o fazia aceitar os números negativos.

O inglês John Wallis (1616-1703) tinha ideias estranhas: discordava de que negativo fosse menos do que nada, mas achava que é mais do que infinito. Ironicamente, ele foi o primeiro a dar uma interpretação clara dos números negativos, por meio da reta em que os positivos marcam a distância para um lado do zero e os negativos para o outro lado.

Gottfried Leibniz (1646-1716) concordava com as objeções aos numeri absurdi, mas defendia que ainda assim podem ser usados, na medida em que dão resultados corretos.

[...] Em 1765, Leonhard Euler (1707-1783) iniciou a sua Introdução Completa à Álgebra com as operações com números positivos e negativos, voltando à ideia de dívida para explicá-las. Mas a polêmica dos negativos só foi pacificada no século 19, com a formalização da aritmética. […]

VIANA, Marcelo. A polêmica dos números negativos. Folha de S.Paulo, São Paulo, 20 abr. 2021. Disponível em: https://www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2021/04/a-polemica-dos-numeros-negativos.shtml.

Acesso em: 7 jul. 2022.

Agora, converse com os colegas sobre a seguinte questão: A aceitação dos números negativos foi um processo rápido e que dependeu das contribuições de apenas um indivíduo?

Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

AMPLIANDO

Vídeo

INTRODUÇÃO aos números negativos | Álgebra | Matemática | Khan Academy. 2013. Vídeo (9min42s). Publicado pelo canal Khan Academy Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=01Z-oGhfE-I. Acesso em: 17 ago. 2022. Esse vídeo mostra uma aula introdutória ao tema, com exemplos e representações dos números na reta numérica. É possível utilizar esse material como recurso para facilitar a aprendizagem do tema.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

O texto e as reflexões propostas nesta seção auxiliam os estudantes na compreensão da construção histórica dos números inteiros, levando ao desenvolvimento da habilidade EF07MA03, bem como da competência geral 1 e da competência específica 1 da área de Matemática.

Explorar o texto, fazendo a leitura compartilhada dele e promover um debate coletivo da questão apresentada nesta seção. Ressaltar que não só esse conceito, mas diversos outros na Matemática foram fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos e que dependeram do trabalho de muitos envolvidos e não apenas de alguns indivíduos.

PALADIN12/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo explorar e consolidar os conceitos de números positivos e negativos e a localização desses números na reta numérica, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA03. Esclarecer que os números negativos ficam à esquerda do zero e os positivos, à direita dele. O intuito é que os estudantes reconheçam o conjunto dos números inteiros ( z). É interessante que eles realizem as atividades em duplas. Isso favorece o compartilhamento de estratégias e o desenvolvimento da habilidade EF07MA06, propiciando, ao mesmo tempo, um meio para sanar dúvidas. Reforçar a ideia de que, no caso da reta numérica, o referencial é o ponto que corresponde ao zero. Para ampliar a atividade 7, perguntar quais números (R e S) estão associados às demais letras (r e s). Espera-se que os estudantes reconheçam que R indica o número +1 e S, o número +2.

ATIVIDADES

3. a) 200 km

b) 500 km

c) 600 km

d) 300 km

e) 1 100 km f) 900 km

Responda às questões no caderno.

1. Suponha que a reta numérica a seguir represente uma rodovia que liga vários municípios de um mesmo estado.

capital

EB AC D

5 4 3 2 10 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 Usando um número inteiro e considerando a capital como referencial, dê a posição:

a) do município A +4

b) do município B 2

c) do município C +6

d) do município D +9

e) do município E 5

2. De acordo com a atividade anterior, se cada unidade na reta corresponde a 100 km, dê a posição dos municípios B e C em relação à capital.

Município B: 200 km; município C: +600 km.

3. Ainda de acordo com a atividade 1 e considerando que cada unidade corresponde a 100 km, determine a distância entre os municípios:

5. c) Resposta pessoal. Exemplos de respostas: O ponto P representa que número inteiro? Qual é o ponto associado ao número 0 (zero)?

a) Qual é o ponto associado ao número 1?

b) Qual é o ponto associado ao número +4?

c) Elabore duas questões que possam ser respondidas a partir da reta numérica e entregue-as para um colega resolver. Em seguida, verifique se a resposta dada por ele está correta.

6. Usando intervalos de 1 cm, faça o desenho de uma reta numérica e localize os pontos:

a) A, de abscissa +3.

b) R, de abscissa 2.

c) B, de abscissa 6.

d) S, de abscissa +7.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

7. (Saresp-SP) Os números 2 e 1 ocupam na reta numérica abaixo as posições indicadas respectivamente pelas letras:

Alternativa a.

a) P, Q

b) Q, P

c) R, S

d) S, R

a) A e C

b) A e D c) B e A d) E e B e) B e D f) E e A

4. A reta numérica a seguir indica as posições de dois aviões, A e B, em relação ao município de São Paulo. Sabendo que cada intervalo na reta corresponde a 50 km, expresse essas posições usando números inteiros positivos ou negativos.

São Paulo

AB

Avião A : 50 km; avião B: +150 km.

5. Observe a reta numérica.

8. (Prova Brasil) A figura a seguir é uma representação da localização das principais cidades ao longo de uma estrada, onde está indicada por letras a posição dessas cidades e por números as temperaturas registradas em °C.

Com base na figura e mantendo-se a variação de temperatura entre as cidades, o ponto correspondente a 0 °C estará localizado: Alternativa c.

a) sobre o ponto M.

b) entre os pontos L e M.

c) entre os pontos I e J.

d) sobre o ponto J.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO CAPÍTULO3

Carlos e João são amigos e moram na mesma avenida. Todos os dias, eles se encontram no Clube do Bairro para praticar atividade física. No esquema a seguir, as marcações destacadas em preto foram feitas à mesma distância uma da outra. O ponto O indica a localização do Clube do Bairro; o ponto A, a localização da casa de Carlos; e o ponto B, a da casa de João.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Módulo de um número inteiro

Nesta página, os estudantes entrarão em contato com mais um importante conceito e sua representação: o módulo de um número inteiro, auxiliando no desenvolvimento da habilidade EF07MA03.

Considere a menor distância entre duas marcas como unidade (u) e o Clube do Bairro como o ponto de origem. Podemos associar os números positivos às marcas à direita de O e os números negativos às marcas à esquerda de O

Solicitar a eles que elaborem coletivamente um cartaz, que deverá ficar exposto na sala de aula e poderá ser completado ao longo do ano com informações e exemplos de conceitos e conteúdos que julgarem pertinentes, iniciando com o conceito de módulo. Pedir a eles que elaborem um pequeno lembrete informativo contendo a definição e alguns exemplos.

A distância entre a casa de Carlos e o clube é de 6 unidades. Dizemos, então, que a distância do ponto A em relação ao ponto O é dada pelo número 6. A distância entre a casa de João e o clube é de 4 unidades. Dizemos, então, que a distância do ponto B em relação ao ponto O é dada pelo número 4.

Chama-se módulo (ou valor absoluto) de um número inteiro a distância entre o ponto associado a esse número e a origem da reta numérica. O módulo é representado por barras: | |.

Assim:

• O módulo de 0 é 0, e indica-se: |0| = 0.

• O módulo de +6 é 6, e indica-se: |+6| = 6.

• O módulo de 4 é 4, e indica-se: | 4| = 4.

O módulo de qualquer número inteiro diferente de zero é sempre positivo.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Números inteiros opostos ou simétricos

O objetivo é proporcionar situações em que os estudantes possam identificar, na reta numérica, o módulo de um número inteiro, como a distância do ponto de abscissa zero ao ponto cuja abscissa é esse número, obter o módulo de um número inteiro e identificar números opostos ou simétricos, auxiliando no desenvolvimento da habilidade EF07MA03.

O conceito de números opostos ou simétricos pode ser incorporado ao cartaz sugerido anteriormente.

Atividades

As atividades propostas neste bloco propiciam o desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA06.

Para a atividade 6, espera-se que os estudantes mobilizem os conhecimentos sobre expressões numéricas com números naturais. Se julgar necessário, apresentar na lousa exemplos e pedir a alguns estudantes que venham auxiliar nas resoluções.

Espera-se que os estudantes resolvam a atividade 7 com o auxílio da reta numérica, no entanto, é importante valorizar as estratégias próprias e a socialização delas com a turma.

NÚMEROS INTEIROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS

Observe a reta numérica a seguir.

Note que os números +3 e 3 estão associados a pontos que se encontram à mesma distância do zero (eles possuem módulos iguais), mas situados em lados opostos na reta. O mesmo ocorre com os números +2 e 2

Dois números inteiros que estão nessa condição são chamados de números inteiros opostos ou simétricos

Exemplos:

• +9 e 9 são números opostos ou simétricos: +9 é o oposto ou simétrico de 9, e vice-versa.

• +100 e 100 são números opostos ou simétricos: +100 é o oposto ou simétrico de 100, e vice-versa.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Observe a reta numérica a seguir.

4. Quais são os números inteiros que têm módulo menor do que | 3|?

2, 1, 0, +1 e +2.

5. Sabe-se que N = 36. Qual é o oposto ou simétrico do número N ? +36

6. Um número inteiro é expresso por 128  : 4 30. Qual é o oposto ou simétrico desse número? 2

7. Considerando uma reta numérica para representar cada situação, responda.

2. Escreva o módulo dos números.

a) Quantos quilômetros há entre 90 km a oeste e 50 km a leste de um ponto, em linha reta? 140 quilômetros.

3. Dois números inteiros diferentes têm o mesmo módulo: 20. Quais são esses números?

b) Quantos graus há entre 3 °C abaixo de zero e 12 °C acima de zero?

c) Quantos metros há entre 80 m abaixo do nível do mar e 30 m acima do nível do mar?

15 graus Celsius. 110 metros.

4

COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Considere a reta numérica e as três afirmações a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Comparação de números inteiros

• O ponto associado a +4 está à direita do associado a 0; por isso, dizemos que +4 . 0;

• O ponto associado a 0 está à direita do associado a 3; por isso, dizemos que 0 . 3;

• O ponto associado a 1 está à direita do associado a 4; por isso, dizemos que 1 . 4.

De modo geral:

Considerando dois números inteiros quaisquer, o maior desses números é aquele cuja representação está à direita na reta numérica.

PENSE E RESPONDA

Cinco estudantes de diferentes países, em intercâmbio, registraram as temperaturas médias em um mesmo dia de fevereiro em suas cidades de origem.

O objetivo nestas páginas é que os estudantes mobilizem e transponham os conhecimentos acerca da comparação de números naturais na reta numérica para os números positivos e os números negativos, ampliando, assim, o desenvolvimento da habilidade EF07MA03.

Pense e responda

As questões desta seção visam introduzir os estudantes na comparação de números inteiros e levá-los a mobilizar conhecimentos acerca do assunto a partir da interpretação das informações apresentadas, desenvolvendo assim a competência específica 3 da área de Matemática.

Sugere-se incentivar os estudantes a mostrar o que sabem, a levantar hipóteses e a buscar estratégias próprias para a resolução das questões.

Fonte: Estudantes do intercâmbio.

Responda às questões no caderno.

1. Nesse dia, estava mais quente em:

a) Montevidéu ou no Rio de Janeiro? Rio de Janeiro.

b) Montevidéu ou em Tóquio? Montevidéu.

c) Tóquio ou em Londres? Tóquio.

d) Londres ou no Rio de Janeiro? Rio de Janeiro.

2. Em qual dessas capitais fez mais frio nesse dia? Oslo (Noruega).

AMPLIANDO

Vídeo

COMO é o inverno na Noruega? | Inverno na Europa // Vida na Noruega. 2021. Vídeo (20min27s). Publicado pelo canal Vida na Noruega. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=2tS793Kyuf0. Acesso em: 17 ago. 2022.

Esse vídeo mostra algumas curiosidades, rotinas e impressões de uma brasileira residente na Noruega.

A tabela apresenta a temperatura média em diferentes cidades do mundo em um mesmo dia. Relacionar as temperaturas dadas na tabela com a representação de números inteiros positivos e negativos, e dizer aos estudantes que esses números podem ser utilizados para simplificar as expressões “abaixo de zero” e “acima de zero”, mostrando, por exemplo, que 3 °C representa 3 °C abaixo de zero e +22 °C representa 22 °C acima de zero. No caso de graus positivos, o uso do sinal + é optativo.

Perguntar aos estudantes se já estiveram em algum local em que a temperatura estivesse negativa, como foi essa experiência e se imaginam como seria viver em um local que tenha temperaturas extremas. Comentar com os estudantes a respeito do inverno na Noruega, que tem poucas horas de luz do dia em alguns períodos do inverno, valorizando, assim, as competências gerais 2 e 6.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para explorar a comparação de números inteiros, utilizar situações cotidianas como ponto de partida para a introdução de novos conceitos. Por exemplo:

• extrato de conta bancária, com variações de saldo positivo e saldo devedor;

• registro de fatos ou datas históricas;

• variações de temperatura, acima e abaixo de zero, apresentando-as como são divulgadas nos meios de comunicação.

As variações de temperatura podem ser exploradas no trabalho de comparação e ordenação dos números inteiros. Por exemplo: Esta noite a temperatura foi de 2 °C abaixo de zero. Ontem à noite, foi de 6 °C abaixo de zero. Qual das noites foi a mais fria? Por quê?

A partir do momento em que os estudantes chegam à conclusão de que 2 °C abaixo de zero é uma temperatura mais alta do que 6 °C abaixo de zero, eles estarão intuitivamente construindo o conceito de ordenação para o conjunto dos números inteiros e desenvolvendo a habilidade EF07MA03.

Ressaltar também a importância da ordem dos números inteiros em uma situação como em: 9 é menor do que 4; assim, 9 °C abaixo de zero é uma temperatura mais fria do que 4 °C abaixo de zero.

Considere, agora, as seguintes afirmações.

1 Uma temperatura de 5 °C acima de zero é maior do que uma temperatura de 10 °C abaixo de zero. Essa afirmação significa comparar os números inteiros

Qualquer número inteiro positivo é maior do que qualquer número inteiro negativo.

2 Uma temperatura de 0 °C é maior do que uma temperatura de 10 °C abaixo de zero. Essa afirmação significa comparar os números inteiros 0 e 10.

Qualquer número inteiro negativo é menor do que zero.

3 Uma temperatura de 5 °C abaixo de zero é maior do que uma temperatura de 15 °C abaixo de zero. Essa afirmação significa comparar os números inteiros

e 15.

15

Entre dois números inteiros negativos, o maior é aquele que tem menor módulo.

ATIVIDADES

8.a) A = { 19, 18, 17, 16, 15, 14, …}

b) B = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, …}

c) C = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2}

Responda às questões no caderno.

1. Observe os números inteiros a, b, c, d representados na reta numérica a seguir.

0 b d c a Usando o símbolo . ou ,, compare:

a) a e 0.

b) b e 0.

c) c e 0.

d) 0 e d

e) a e b

a . 0 b , 0

c . 0 0 . d a . b

f) a e c

g) d e a

h) b e c

i) b e d

a . c d , a

b , c

b . d

5. Observe o quadro.

21 +47 +54 96 +62 +75 81 63 +28 35

Identifique:

a) o menor número inteiro positivo. +28

b) o maior número inteiro negativo. 21

c) o maior número inteiro. +75

d) o menor número inteiro. 96

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo auxiliar no desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA06, além de levar os estudantes a compreender que, ao comparar dois números inteiros, se deve expressar essa relação por meio dos sinais ,, . ou =. Esses sinais também são utilizados para representar números inteiros em ordem crescente ou decrescente.

a) 0 e +9.

b) +13 e 0.

c) 0 e 7.

d) 20 e 0.

e) +1 e 10.

f) 25 e +9.

g) +11 e +30.

h) 11 e 30.

i) 20 e +4.

j) +20 e 4.

j) c e d

2. Usando o símbolo . ou ,, compare os pares de números inteiros.

c . d 0 ,+

3. Em um torneio, os times de futebol Alegre e Bonito terminaram empatados na classificação. De acordo com o regulamento, prosseguirá para a fase seguinte do torneio a equipe com maior saldo de gols.

• Alegre: Saldo de gols = 7.

• Bonito: Saldo de gols = 5. Qual dos dois times passará para a fase seguinte do torneio? Bonito.

4. Escreva os números inteiros +1, 160, 500, +7, 100, +12, 300 na ordem decrescente.

+12, +7, +1, 100, 160, 300 e 500.

6. Considerando os números 70, +20, 0, 10, +90, 100, qual é:

a) o maior dos números? +90

b) o menor dos números? 100

7. Observe os números inteiros das fichas.

Quais deles podem substituir a letra x para que se obtenha:

8. Escreva cada conjunto enumerando seus elementos:

a) o conjunto A dos números inteiros maiores do que 20.

b) o conjunto B dos números inteiros menores do que 7.

c) o conjunto C dos números inteiros maiores ou iguais a 5 e menores do que +3.

9. Baseando-se na atividade 8 , crie uma atividade com a descrição de dois conjuntos formados por números inteiros para que sejam enumerados seus elementos. Entregue sua atividade para um colega resolver e resolva a atividade criada por ele.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Na atividade 1, incentivar os estudantes a perceber que, apesar de não existirem números indicados na reta, já que os valores estão representados pelas letras a, b, c e d, pode ser tomada como base a posição dessas letras na reta para decidir se são maiores ou menores entre si. Espera-se que os estudantes concluam que o valor numérico da letra que está à direita é sempre maior do que o valor numérico da letra que está à esquerda: a . c . 0 . b . d ou d , b , 0 , c , a.

Na atividade 3, solicitar aos estudantes que compartilhem as estratégias de resolução com os colegas, auxiliando assim no desenvolvimento da habilidade EF07MA05.

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Em alguns momentos da Unidade, representamos genericamente números inteiros por meio de letras. É importante que o estudante revisite esse conceito em vários momentos, até que o consolide em estudos posteriores, pela relevância que tem no desenvolvimento do raciocínio algébrico e como instrumental matemático em diversas áreas do conhecimento.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição de números inteiros

Um dos objetivos deste capítulo é levar os estudantes a compreender as ideias que envolvem a adição com números inteiros, colaborando com o desenvolvimento da habilidade EF07MA03. É interessante que realizem a leitura e a discussão do texto apresentado.

As situações mostradas proporcionam aos estudantes a oportunidade de ampliar os procedimentos de cálculo para a adição de números inteiros, observando a representação dos números de diferentes sinais na reta numérica.

Por meio da análise e da discussão coletivas, os estudantes poderão interpretar o significado da operação adição com números inteiros. É importante observar que o uso da reta numérica, utilizando a ideia de deslocamento, facilita a compreensão dessa operação. Incentivar os estudantes a fazer o registro utilizando símbolos numéricos e operatórios. Depois, explorar outras situações do cotidiano em que precisamos efetuar adições de números positivos e de números negativos com o objetivo de conferir significado às ideias estudadas (altitude, profundidades abaixo do nível do mar, lucro e prejuízo etc.).

Pedir aos estudantes que, em grupos, elaborem problemas que envolvam a comparação e a adição de números inteiros. Para resolvê-los, proponha a troca dos problemas entre os grupos e o compartilhamento das estratégias com os colegas, visando o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9.

Para ampliar, solicitar aos estudantes que levem reportagens com dados parecidos com os

CAPÍTULO5 ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Vamos analisar as seguintes situações.

1 Ao disputar um torneio de handebol, a equipe da Escola do Bairro obteve 4 pontos no primeiro turno e 5 pontos no segundo turno. Quantos pontos a equipe obteve ao todo nesse torneio?

Nessa situação, devemos calcular (+4) + (+5), o que pode ser feito mentalmente. Mas vamos, primeiro, representar esse cálculo na reta numérica.

• A partir do ponto associado ao 0, fazemos um deslocamento de 4 unidades no sentido positivo.

• A partir do ponto associado ao +4, fazemos um novo deslocamento de 5 unidades no sentido positivo.

O deslocamento total foi de 9 unidades no sentido positivo.

Então: (+4) + (+5) =+9.

A equipe obteve, ao todo, 9 pontos.

2 Nesse mesmo torneio, a equipe da Escola Fundamental perdeu 2 pontos no primeiro turno e 4 pontos no segundo turno. Quantos pontos a equipe perdeu ao todo nesse torneio?

Vamos calcular ( 2) + ( 4).

• A partir do ponto associado ao 0, fazemos um deslocamento de 2 unidades no sentido negativo.

• A partir do ponto associado ao 2, fazemos um novo deslocamento de 4 unidades no sentido negativo.

O deslocamento total foi de 6 unidades no sentido negativo. Então: ( 2) + ( 4) = 6.

Essa equipe perdeu, ao todo, 6 pontos.

que foram apresentados nos exemplos. Caso seja possível, compartilhar essas informações com professores de outras áreas do conhecimento para que, juntos, possam estabelecer relações interdisciplinares. Em Educação Física, por exemplo, pode-se trabalhar com pontos ganhos e pontos perdidos em um campeonato esportivo.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Sobre a adição de números inteiros, podemos afirmar que:

Quando adicionamos números inteiros com mesmo sinal, a soma é obtida adicionando-se os módulos dos números e mantendo-se o sinal.

PENSE E RESPONDA

Cada vez mais, o ser humano se preocupa com as mudanças climáticas que vêm ocorrendo no planeta Terra. Um meio de monitorar essas mudanças é o estudo permanente da temperatura nos diversos pontos da Terra. As situações seguintes estão relacionadas às temperaturas de algumas localidades, medidas em um mesmo dia.

Planisfério: localização de alguns pontos da Terra

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda Comentar com os estudantes sobre as diferentes condições climáticas no mundo e as mudanças climáticas que ocorreram nas últimas décadas.

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 33.

Responda às questões no caderno.

1. Em Brasília, capital do Brasil, a temperatura mínima foi de 20 °C. Como a temperatura nesse dia subiu 8 °C, qual foi a temperatura máxima registrada em Brasília nesse dia? 28 °C

2. Em Toronto, no Canadá, às 6 horas da manhã, os termômetros registravam 1 °C. Ao meio-dia, a temperatura tinha aumentado 6 °C. Qual foi a temperatura ao meio-dia? 5 °C

3. Já em Chicago, nos Estados Unidos da América, a temperatura medida à meia-noite foi de 8 °C. Ao meio-dia, a temperatura havia subido 7 °C. Qual foi a temperatura medida em Chicago ao meio-dia? 1 °C

4. No deserto do Atacama, no Chile, ao meio-dia foi registrada a temperatura mais alta do dia. Em menos de 24 horas, a temperatura caiu 40 °C, chegando a 2 °C (temperatura mínima). Qual foi a temperatura máxima nesse dia no deserto do Atacama? 38 °C

Pode-se ampliar o conteúdo estabelecendo relações com outras áreas de conhecimento, como Ciências e Geografia, abordando temas como o aumento do nível do mar em consequência do derretimento das geleiras e o superaquecimento de algumas áreas do planeta, entre outros. As discussões relacionadas a esse tema auxiliam no desenvolvimento da competência geral 1, bem como da competência específica 1 da área de Matemática. As atividades propostas nesta seção auxiliam no desenvolvimento da habilidade EF07MA03 e da competência específica 3 da área de Matemática. Incentivar os estudantes a compartilhar as estratégias de resolução utilizadas, ampliando, assim, o repertório de inferências do estudante, estimulando o raciocínio lógico e auxiliando no desenvolvimento da habilidade EF07MA05.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

É interessante continuar explorando situações que contemplem a reta numérica posicionada tanto horizontal quanto verticalmente. O trabalho com a reta numérica em diferentes posições auxilia no desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA05. É possível apresentar outros exemplos na lousa que contemplem contextos ligados a essas duas representações da reta numérica, e pedir a alguns estudantes que façam tais representações. Essa é mais uma maneira de avaliar a habilidade que já desenvolveram em relação a esses registros.

Fórum

A seção aborda o Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos por meio da discussão acerca da discriminação no uso de elevadores em edifícios públicos e privados. A exploração do assunto deve estimular a empatia dos estudantes e auxiliar no desenvolvimento das competências gerais 7 e 9, bem como da competência específica 7 da área de Matemática.

Para auxiliar no desenvolvimento das atividades propostas, sugere-se o texto indicado, a seguir, na seção Ampliando, que pode ser disponibilizado aos estudantes.

Vamos analisar outras situações.

1 A turma de um acampamento andou 6 km a oeste, em uma trilha, e voltou 1 km para leste para pegar uma bússola, esquecida em uma área de descanso. Qual é a posição dessa turma em relação ao início da caminhada? Observe a representação dos 4 pontos cardeais e a reta numérica no eixo oeste/leste.

Vamos calcular ( 6) + (+1).

• A partir do ponto associado ao 0, deslocamos 6 unidades no sentido negativo.

• A partir do ponto associado ao 6, deslocamos 1 unidade no sentido positivo.

O deslocamento total foi de 5 unidades no sentido negativo.

Então: ( 6) + (+1) = 5.

A posição da turma era de 5 km a oeste do ponto inicial da caminhada.

2 Jonas entrou no elevador no andar térreo. Desceu, inicialmente, 2 andares e, em seguida, subiu 6 andares. Em qual andar o elevador parou?

Vamos calcular ( 2) + (+6).

• A partir do ponto associado ao 0, deslocamos 2 unidades no sentido negativo.

• A partir do ponto associado ao 2, deslocamos 6 unidades no sentido positivo.

O deslocamento total foi de 4 unidades no sentido positivo.

Então: ( 2) + (+6) =+4.

O elevador parou no 4o andar.

1.Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que essas leis são muito importantes para proteger a todos os cidadãos, independentemente de raça, gênero, condição social etc.

O uso de elevadores

Comuns em edifícios públicos e privados, os elevadores social e de serviço geram dúvidas com relação ao seu uso.

A função do elevador de serviço é o transporte de cargas a fim de evitar danos ao elevador social. Dessa maneira, o elevador social deve ter seu uso livre aos condôminos e funcionários do condomínio que não estejam portando cargas. Em alguns condomínios, estabelece-se que banhistas e pessoas portando animais também devem usar exclusivamente o elevador de serviço.

Vale lembrar que diversas leis (federais, estaduais e municipais) vetam qualquer forma de discriminação em razão de raça, gênero, cor, origem, condição social, idade, porte ou presença de deficiência e doença não contagiosa por contato social no acesso aos elevadores. Junte-se a um colega, e respondam às questões a seguir.

1. Vocês acham importante haver leis que vetam condutas discriminatórias?

2. Pesquisem outras leis que atendam ao mesmo propósito do apresentado no texto.

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AMPLIANDO

Texto

DESIMONE, Mariana Ribeiro. Uso do elevador social. Síndiconet. [S l.], 29 nov. 2010. Disponível em: https:// www.sindiconet.com.br/informese/uso-do-elevador-social-manutencao-elevadores. Acesso em: 17 ago. 2022.

O artigo apresenta diversas legislações municipais e estaduais sobre discriminação nos elevadores.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

De modo geral:

Quando adicionamos dois números inteiros de sinais diferentes, a soma é obtida efetuando-se a diferença entre os módulos desses números e atribuindo-se ao resultado o sinal do número de maior módulo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades da adição

Assim:

• ( 16) + (+20) =+4

• ( 100) + (+42) = 58

diferença entre os módulos dos números diferença entre os módulos dos números

Sinal positivo, pois |+20| é maior do que | 16|. Sinal negativo, pois | 100| é maior do que |+42|.

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

1a propriedade: A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

• (+3) + (+5) =+8, e +8 [z (dizemos que +8 pertence ao conjunto dos inteiros).

• ( 7) + ( 3) = 10, e 10 [z

• (+11) + ( 8) =+3, e +3 [z

• (+7) + ( 13) = 6, e 6 [z

2a propriedade: A ordem das parcelas em uma adição não altera a soma.

(+11) + ( 9) =+2

ou (+11) + ( 9) = ( 9) + (+11)

( 9) + (+11) =+2

Essa é a propriedade comutativa

3 a propriedade: Associando-se as parcelas de maneiras diferentes, obtém-se a mesma soma.

• ( 8) + ( 2) + (+7) = ( 10) + (+7) = 3

• ( 8) + ( 2) + (+7) = ( 8) + (+5) = 3

Essa é a propriedade associativa

4 a propriedade: O número 0 é o elemento neutro da adição em z

• (+8) + 0 = 0 + (+8) =+8

• ( 7) + 0 = 0 + ( 7) = 7

Essa é a propriedade da existência do elemento neutro

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Uma loja de calçados tem quatro departamentos. Com base no quadro a seguir, que mostra a venda de cada departamento no mês de março em relação ao mês anterior, determine o total de vendas da loja no mês de março, em relação a fevereiro.

Departamento de calçados Vendas de março em relação a fevereiro

Masculinos 60 pares a mais (+60)

Femininos 45 pares a menos ( 45)

Infantis 18 pares a menos ( 18)

Esportivos 30 pares a mais (+30)

Explorar cada propriedade com os estudantes, na lousa, de modo que eles possam verificar por meio de cálculos que as propriedades estruturais da adição, válidas em n , também são válidas em z, ampliando o desenvolvimento da habilidade EF07MA03. Além disso, é apresentada a propriedade do elemento oposto, em que o resultado sempre é zero.

Perguntar aos estudantes se essas propriedades serão válidas para quaisquer números inteiros, levando-os a concluir que sim por meio da análise de outros exemplos, sem fazer uma demonstração formal dessas propriedades.

Mostrar aos estudantes que a notação simplificada de uma adição de números inteiros facilita o registro e a leitura dessa operação.

Segue uma sugestão de atividade que favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA05.

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Para a resolução, os estudantes podem formar duplas e fazer o registro da operação envolvida: (+60) + ( 45) + ( 18) + (+30), e aplicar as propriedades estudadas para efetuá-la. Incentivá-los a utilizar também a notação simplificada.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Notação simplificada de uma adição de números inteiros

O estudo das notações simplificadas nas operações com números inteiros deve ser feito de maneira gradativa, iniciando-se pela apresentação da notação simplificada de uma adição. A compreensão dessa notação facilita os procedimentos de cálculo com expressões, facilitando o desenvolvimento da habilidade EF07MA03.

Propor aos estudantes que escrevam algumas expressões envolvendo a adição de números inteiros sem o uso da notação simplificada. Em seguida, orientá-los a trocar as expressões com um colega, para que cada um aplique a notação simplificada e resolva as expressões criadas pelo outro.

Observação: Além dessas propriedades da adição, que também são válidas para o conjunto n , o conjunto z apresenta uma nova propriedade: existência do elemento oposto

• ( 8) + (+8) = 0 8 é o elemento oposto ou simétrico de +8, e vice-versa.

• (+13) + ( 13) = 0 +13 é o elemento oposto ou simétrico de 13, e vice-versa.

Vamos analisar a seguinte situação.

Em um torneio de futebol, uma equipe marcou 5 gols e sofreu 5 gols.

Qual foi o saldo de gols dessa equipe?

Vamos calcular (+5) + ( 5). Representando a operação na reta numérica, observamos que o deslocamento total foi zero, pois partimos do 0 e voltamos para o 0.

Então: (+5) + ( 5) = 0.

O saldo da equipe foi 0.

A soma de dois números opostos é igual a 0 (zero).

NOTAÇÃO SIMPLIFICADA DE UMA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Os números inteiros positivos são também números naturais. Podemos, por exemplo, escrever +4 ou simplesmente 4.

A expressão (+9) + (+11) tem o mesmo significado que 9 + 11

Observe também que:

• (+10) + ( 15) tem o mesmo significado que +10 15 ou, simplesmente, 10 15.

• ( 8) + (+10) tem o mesmo significado que 8 + 10.

• ( 6) + ( 15) tem o mesmo significado que 6 15.

A essa forma simplificada de escrever uma sentença com números inteiros aplicamos as mesmas propriedades operatórias já estudadas.

• +13 19 = 13 19 = 6

ATIVIDADES

6. • Espera-se que os estudantes percebam que poderiam resolver a atividade escrevendo os movimentos por meio de uma adição de números inteiros e efetuar essa adição considerando o sinal dos números e a soma ou diferença dos módulos. Por exemplo, no item b bastaria efetuar: 0 + ( 2) + ( 1) + (+4) = ( 3) + (+4) = =+1 (1o andar).

Responda às questões no caderno.

1. José é vendedor de balões de gás no parque da cidade. No sábado de certo fim de semana, por causa da chuva, ele teve um prejuízo de 75 reais. No domingo fez sol, e ele teve um lucro de 125 reais. Nesse fim de semana José teve lucro ou prejuízo? De quanto?

e escreva em que andar o elevador parou, por último, em cada caso.

a) Térreo G 3 G 5 J 6 2o andar.

b) Térreo J 2 J 1 G 4 1o andar.

c) Térreo J 3 G 5 J 3 G 1 Térreo.

d) Térreo J 2 G 8 J 5 G 2 3o andar.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propõem situações de adição de números inteiros, utilizando as propriedades da adição em z e a notação simplificada, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA06.

2. Os números a e b são números inteiros opostos. Qual é o valor de a + b?

Lucro de 50 reais. Zero.

3. Sabendo que a e b são números inteiros negativos, é correto afirmar que a  + b é um número inteiro positivo?

Não.

4. Dê o resultado das adições a seguir.

a) (+27) + (+13) + ( 28) +12

b) ( 50) + ( 30) + ( 12) 92

c) (+90) + ( 75) + ( 47) 32

d) ( 11) + (+20) + (+35) + ( 27) +17

e) (+32) + ( 68) + ( 22) + (+48) 10

f) (+99) + ( 100) + ( 100) + (+98) + ( 10)

g) ( 73) + ( 22) + ( 45) + ( 92) + (+250)

5. Sabendo que a = 82, b =+65, c =+100 e d = 91, calcule o valor de:

a) a + b. 17

b) c + d. +9

c) a + c. +18

d) b + d. 26

e) a + d. 173

f) a + b + c + d.

8

6. Gustavo trabalha como ascensorista. O serviço de manutenção dos elevadores, por problemas técnicos, pediu a ele que anotasse o movimento do elevador nos andares em determinado intervalo de tempo. Acompanhe a seguir como Gustavo anotou o movimento, indicando G para “sobe” e J para “desce”. Use uma reta numérica

4. f) 13

g) +18

• Seria possível resolver essa atividade sem usar uma reta numérica? Explique como você faria.

7. Escreva na forma simplificada e calcule o valor de cada adição.

a) (+31) + ( 27) 31 27 = 4

b) ( 50) + (+45) 50 + 45 = 5

c) ( 20) + ( 11) 20 11 = 31

d) (+47) + (+23) 47 + 23 = 70

e) ( 21) + (+55) + ( 29)

8. As expressões a seguir estão escritas na forma simplificada. Calcule o valor de cada uma.

a) 7 + 17 24

b) 8 2 10

c) 9 + 14 5

d) 4 4 8

e) 19 23 4

f) 40 11

g) 32 + 14 46

h) 1 + 30 29

i) 40 63 23

j) 91 57 34

9. Qual é o segredo da figura? Para descobrir, observe o número de um bloco e os números dos blocos que o apoiam.

10. A partir do enunciado da atividade 9, elabore uma figura com o mesmo segredo e faltando alguns números e entregue-a para um colega completar. Em seguida, verifique se ele completou a figura de maneira correta.

9. O número que aparece em cada bloco corresponde à soma dos números dos blocos que o apoiam.

10. Resposta pessoal. Exemplo de resposta

Na atividade 6, os estudantes podem fazer o desenho de uma reta numérica em uma folha de papel sulfite e utilizar um objeto qualquer, como uma borracha para representar o elevador. A resolução desse problema auxilia no desenvolvimento da habilidade EF07MA04.

Atendendo às orientações, eles poderão representar os comandos G ou J, partindo do térreo. Por exemplo, para o item a, temos:

• 3 indica que os estudantes movimentarão a borracha três unidades para cima, chegando ao 3 o andar;

• 5 indica que os estudantes movimentarão a borracha cinco unidades para cima, partindo de onde estavam anteriormente, chegando ao 8 o andar;

• 6 indica que os estudantes movimentarão a borracha, de onde estavam, seis unidades para baixo, chegando ao 2o andar.

Tomando o térreo como o andar zero, explicar aos estudantes que o subsolo é um andar abaixo do térreo, isto é, o subsolo é o primeiro andar negativo ou 1. Incentivar os estudantes a perceber que:

• subir três andares equivale a +3;

• descer seis andares equivale a 6.

A elaboração de problemas, como proposto na atividade 10, favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA04.

na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

As atividades propostas na página têm como objetivo desenvolver a habilidades EF07MA03 e EF07MA04 por meio da prática da operação de adição e resolução de problemas envolvendo a operação de adição de números inteiros. O compartilhamento das estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução das atividades aumenta o repertório deles de inferência e corrobora com o desenvolvimento das habilidades EF07MA05 e EF07MA06.

11. Calcule o valor de:

a) 7 + 20 4. +23

b) 17 + 14 + 3. Zero.

c) 27 16 10. +1

d) 25 21 40. 86

e) 35 + 18 + 62. +115

f)

g)

12. (Prova Brasil) Cíntia conduzia um carrinho de brinquedo por controle remoto em linha reta. Ela anotou em uma tabela os metros que o carrinho andava cada vez que ela acionava o controle. Escreveu valores positivos para as idas e negativos para as vindas.

Vez Metros

Primeira +17

Segunda 8

Terceira +13

Quarta +4

Quinta 22

Sexta +7

Ap ós Cíntia acionar o controle pela sexta vez, a distância entre ela e o carrinho era de: Alternativa b.

a) Qual é o saldo bancário da empresa de Cláudio no dia 8? +2 100 reais.

b) Com o saldo do dia 8, Cláudio vai pagar o aluguel no valor de 3 000 reais. Qual será o saldo da empresa, após esse pagamento? 900 reais.

14. Ana tirou o extrato bancário de sua conta-corrente e verificou que havia R $ 1.900,00. Ela pagou contas com três cheques: um de R $ 400,00 para o supermercado, outro de R $ 600,00 para a prestação do carro e outro de R$ 1.300,00 para o aluguel. Qual é o valor que Ana deve depositar na conta para, após os descontos, não ficar com saldo negativo?

Ana deve depositar pelo menos 400 reais.

15. No esquema a seguir, qual é o número inteiro que se deve colocar no lugar de A? E de B? E de C ?

7 + 30 = A

+22 +15

C =+41 + B

a) 11 m.

b) 11 m. c) 27 m. d) 27 m.

13. No dia 1o de agosto, o saldo bancário da empresa de Cláudio era

R $ 8.400,00. No período de 2 a 8 de agosto, o extrato da empresa mostrava a seguinte movimentação.

16. Copie o esquema da atividade 15 alterando os números inteiros do quadro de modo que A, B e C correspondam respectivamente a 25, 5 e +10.

17. Determine o número inteiro que se deve colocar no lugar de x para que sejam verdadeiras as igualdades a seguir.

a) x + (+10) =+16 +6

b) x + ( 2) = 10 8

c) x + (+20) = 0 20

d) x + ( 9) =+9 +18

e) ( 15) + x = 1 +14

Usando a adição de números inteiros, responda.

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f) (+5) + x = 3 8

g) ( 3) + x = 3 +0

15. _37, 22 e +19, respectivamente.

16. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 50

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Para determinar a variação de temperatura em um local, em determinado período, temos de calcular a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima, nessa ordem.

Observe o quadro com a temperatura máxima e a temperatura mínima de três municípios (A, B e C ) em um mesmo dia.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Subtração de números inteiros

Aqui, os estudantes determinarão a diferença entre dois números inteiros quaisquer usando a ideia do número oposto e reconhecendo as relações entre as operações de adição e subtração. Além disso, poderão verificar que em z a subtração entre dois números inteiros sempre é possível e a diferença também é um número inteiro, colaborando com o desenvolvimento da habilidade EF07MA03.

A partir do quadro, vamos descobrir a variação de temperatura em cada município.

• Para o município A, temos: • Para o município B, temos:

Propõe-se a leitura coletiva e cuidadosa do texto para que os estudantes identifiquem as ideias da subtração de números inteiros e concluam que subtrair um número inteiro é o mesmo que adicionar seu número oposto.

variação: (+1) ( 5) = 6

Considerando que (+1) ( 5) = 6

e (+1) + (+5) = 6, podemos escrever: (+1) ( 5) = (+1) + (+5) = 6

Considerando que (+7) (+2) = 5

e (+7) + ( 2) = 5, podemos escrever:

(+7) (+2) = (+7) + ( 2) = 5

oposto de 5 oposto de +2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para a melhor compreensão dos estudantes e desenvolvimento da habilidade EF07MA03, é interessante mostrar outras situações do dia a dia em que se utiliza a operação de subtração de números inteiros, como em transações bancárias, nas quais estão presentes as ideias de débito e crédito, ou em pontuações de jogos, com a ideia de perda e ganho. Eles poderão compreender que retirar uma quantia é o mesmo que adicionar seu oposto. Por exemplo, retirar 200 reais é o mesmo que adicionar 200 reais negativos, ou seja: (+200)  =+( 200). Ressaltar a noção de que os números inteiros são uma ampliação do conjunto dos números naturais e o que esse fato implica, como o fechamento da subtração e a existência do elemento oposto.

• Para o município C, temos:

variação: ( 2) ( 6) = 4

Considerando que ( 2) ( 6) = 4 e ( 2) + (+6) = 4, podemos escrever:

( 2) ( 6) = ( 2) + (+6) = 4

oposto de 6

Sabemos que no conjunto n não é possível efetuar a subtração quando o primeiro número (minuendo) é menor do que o segundo número (subtraendo).

3 10 não é possível em n

No conjunto z, é possível efetuar essa subtração, pois a diferença entre dois números inteiros é sempre um número inteiro.

3 10 = (+3) (+10) = (+3) + ( 10) = 7 ou

3 10 = 7

Assim:

• (+13) (+2) = (+13) + ( 2) =+11

• (+7) (+15) = (+7) + ( 15) = 8

Analisemos outros exemplos de subtrações não possíveis no conjunto dos naturais e possíveis com os números inteiros.

• 40 50 = 10

• 12 20 = 8

• 1 100 = 99

De modo geral:

Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

Todas as propriedades do conjunto dos números naturais são válidas para o conjunto dos números inteiros.

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ATIVIDADES

1. a) 25 b) +15

Responda às questões no caderno.

1. Calcule o resultado de cada subtração a seguir.

a) 0 (+25)

b) 0 ( 15)

c) ( 11) (+32)

d) (+40) (+47)

e) ( 1) ( 64)

f) (+72) (+60)

g) ( 9) (+28)

h) (+40) (+80)

i) (+31) ( 73)

j) ( 105) ( 119)

2. Sabe-se que A = ( 11) ( 27) e B = ( 27) ( 11). Usando os sinais = ou 5, compare os números A e B A 5 B

3. No restaurante em que Cláudia trabalha, a temperatura no interior do freezer é 9 °C, e a temperatura fora dele é 22 °C. Qual é a diferença entre a temperatura interna e a externa do freezer?

°C

4. A figura retrata o instante em que estão alinhados verticalmente um helicóptero, voando a uma altitude de 14 m em relação ao nível do mar (+14 m), e um submarino, que navega a 63 m de profundidade em relação ao nível do mar ( 63 m). Qual é a distância entre o helicóptero e o submarino nesse instante?

i) +104 j) +14

6. Aristóteles foi um filósofo grego que, embora não fosse um matemático declarado, fez contribuições à Matemática e à Física. Nasceu em 384 (384 a.C.) e morreu no ano 322 (322 a.C.). Quantos anos Aristóteles viveu?

7. No Campeonato Brasileiro de Futebol Série A de 2021, a equipe do Sport-PE havia marcado 24 gols e sofrido 37 gols, e a equipe do Santos-SP havia marcado 35 gols e sofrido 40. Qual era o saldo de gols da equipe do: a) Sport-PE? 13 b) Santos? 5

8. Usando a tabela a seguir, elabore uma atividade que tenha pelo menos 5 itens envolvendo subtração de números inteiros. Depois, troque de atividade com um colega para que ele resolva a sua atividade, e você resolva a dele.

Temperaturas registradas no dia 2 de janeiro de 2022

Máxima Toronto (Canadá) 10 °C 2 °C Seul (Coreia do Sul) 7 °C +3 °C Nuuk (Groenlândia) 6 °C 2 °C Tóquio (Japão) 0 °C +8 °C Paris (França) +10 °C +14 °C Fortaleza (Brasil)

+

25 °C +27 °C

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo levar os estudantes a determinar a diferença entre dois números inteiros quaisquer usando a noção de oposto, ou seja, toda subtração pode ser substituída por uma adição com o oposto do subtraendo. Além disso, objetiva desenvolver estratégias para a resolução de problemas envolvendo a operação de subtração de números inteiros, auxiliando no desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA04. Nessas atividades, os estudantes também vão verificar que a diferença entre dois números inteiros é sempre um número inteiro.

Incentivar o compartilhamento das estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução das atividades, com o objetivo de aumentar o repertório de argumentação dos estudantes, e favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA05 e EF07MA06.

Na atividade 1, incentivar os estudantes a realizar os cálculos adicionando o primeiro número inteiro ao oposto do segundo número inteiro. Nos itens a e b, pedir-lhes que atentem para o fato de que zero é o elemento neutro da adição e, assim, o resultado é a outra parcela, ou seja, a diferença procurada é 25, para o item a, e +15, para o item b

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição algébrica

O objetivo aqui é levar os estudantes a reconhecer que se toda subtração pode ser transformada em adição, então em toda expressão numérica que contém adições e subtrações, na qual as subtrações podem ser transformadas em adições, podemos identificar uma adição algébrica

Além disso, os estudantes serão levados a compreender que a eliminação dos parênteses é uma maneira simplificada de escrever a mesma expressão. A aprendizagem desses procedimentos amplia o desenvolvimento da habilidade EF07MA03. Para isso, sugere-se propor a leitura coletiva do texto e, depois, apresentar outros exemplos para que os estudantes determinem a soma algébrica fazendo os respectivos registros.

CAPÍTULO7 ADIÇÃO ALGÉBRICA

Vamos considerar:

• a adição em z: ( 7) + (+4) = 3;

• a subtração em z: ( 7) (+4) = ( 7) + ( 4) = 11.

Como toda subtração em z pode ser transformada em adição, dizemos que a adição e a subtração de números inteiros podem ser consideradas uma única operação, chamada de adição algébrica, cujo resultado é denominado soma algébrica Expressões como estas, a seguir, são consideradas adições algébricas.

• 8 10

• 1 11

Toda expressão numérica que contém somente as operações de adição, ou subtração, ou ambas, representa uma adição algébrica

• Vamos calcular a adição algébrica 17 + 40 + 21 16 33. 17 + 40 + 21 16 33 = 61 66 = 5

Os exemplos a seguir contêm parênteses precedidos do sinal +. Observe.

• 10 + ( 6) = 10 6 = 4

• 7 + ( 5 + 4) = 7 5 + 4 = 12 + 4 = 8

Quando uma adição algébrica contém parênteses precedidos do sinal +, podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que os precede, escrevendo cada número que está no interior dos parênteses com o seu próprio sinal

Os exemplos a seguir contêm parênteses precedidos do sinal . Acompanhe.

• 10 ( 6) = 10 + (+6) = 10 + 6 = 16

• 7 ( 5 + 4) = 7 + (+5 4) = 7 + 5 4 = 5 11 = 6

Quando uma adição algébrica contém parênteses precedidos do sinal  , podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que os precede, escrevendo cada número que está no interior dos parênteses com o sinal trocado

As mesmas regras valem para as adições algébricas em que aparecem colchetes e chaves, além dos parênteses.

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Acompanhe os exemplos.

1 Calcular a soma algébrica 20 + ( 9 + 12) ( 15 + 20).

Vamos fazer esse cálculo de dois modos diferentes.

1o modo:

Mantêm-se os sinais. Trocam-se os sinais.

20 + ( 9 + 12) ( 15 + 20) =

= 20 9 + 12 + 15 20 =

= 47 29 =+18

2o modo:

20 + ( 9 + 12) ( 15 + 20) =

= 20 + (+3) (+5) =

= 20 + 3 5 =

= 23 5 = 18

Eliminamos os parênteses.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Aqui, são apresentados outros exemplos de adições algébricas resolvidas de dois modos diferentes, favorecendo o desenvolvimento do raciocínio lógico, das habilidades EF07MA03 e EF07MA05 e ampliando o repertório de inferências dos estudantes. Explorar esses exemplos com a turma e, se julgar necessário, propor outras situações na lousa.

Efetuamos as operações no interior dos parênteses. Eliminamos os parênteses.

2 Calcular a soma algébrica 2 { 11 + [17 ( 12 + 10) 3]}.

Vamos fazer esse cálculo de dois modos diferentes.

1o modo:

Trocam-se os sinais.

2 { 11 + [17 ( 12 + 10) 3]} =

Mantêm-se os sinais.

= 2 { 11 + [17 + 12 10 3]} =

Trocam-se os sinais.

= 2 { 11 + 17 + 12 10 3} =

= 2 + 11 17 12 + 10 + 3 =

= 26 + 29 = 3

2o modo:

2 { 11 + [17 ( 12 + 10) 3]} =

= 2 { 11 + [17 ( 2) 3]} =

= 2 { 11 + [17 + 2 3]} =

= 2 { 11 + [+ 16]} =

= 2 { 11 + 16} =

= 2 {+ 5} =

= 2 5 = 3

Eliminamos os parênteses.

Eliminamos os colchetes.

Eliminamos as chaves.

É importante verificar se os estudantes compreenderam as situações apresentadas e fazer retomadas que os ajudem nesse processo de compreensão do conteúdo abordado.

Efetuamos as operações no interior dos parênteses.

Eliminamos os parênteses.

Efetuamos as operações no interior dos colchetes.

Eliminamos os colchetes.

Efetuamos as operações no interior das chaves.

Eliminamos as chaves.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo favorecer a aprendizagem da adição algébrica de números inteiros, por meio da eliminação correta de parênteses, colchetes e chaves, além de incentivar os estudantes a utilizar os procedimentos apresentados e contribuir para o desenvolvimento das habilidades EF07MA03, EF07MA04 e EF07MA06.

Orientá-los a sempre consultar o Livro do estudante quando surgir alguma dificuldade, criando procedimentos de busca de informações e incentivando o desenvolvimento de autonomia

Na atividade 4, antes de responderem às questões, os estudantes podem comparar suas respostas para cada expressão com as respostas obtidas por dois outros colegas e, assim, revisar as expressões que tiverem respostas divergentes. De segunda-feira a sábado, respectivamente, os estudantes devem encontrar estes resultados: +18, +7, 1, +3, +116 e +90.

Ler com os estudantes as atividades 5 e 6 para se certificar de que eles entenderam os enunciados e auxiliá-los na identificação dos dados de cada problema e no encaminhamento da resolução desses problemas.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Escreva cada uma das expressões a seguir eliminando os parênteses.

a) (+9) 9

b) ( 11) +11

c) +( 13) 13

d) +(+21) +21

e) 3 ( 2) 3 + 2

f) ( 1 + 10)

g) 7 + (6 3)

h) 1 ( 1 + 5)

i) 9 + ( 4 2)

j) (1 + 1 4)

2. Determine o valor de cada soma algébrica.

a) 8 ( 6 + 10) +4

b) 10 + (6 4) 8

c) 2 + (2 + 5 7) +2

d) 5 + (2 4) (7 1) 13

e) ( 5 + 3) (5 9) + (8 1) 11 2

3. Efetue as operações.

a) 20 + (+43)

b) 52 ( 11) c) 37 ( 29) d) +33 + ( 51)

4. Laura gosta de jogar figurinhas. Em cada rodada desta semana, ela registrou, com um número positivo, quantas figurinhas ganhou e, com um número negativo, quantas perdeu. Domingo Laura

• Segunda-feira:

17 + 43 + 14 + 23 45

• Terça-feira: 24 7 8 10 4 + 31 19

• Quarta-feira:

19 21 + 36 100  35 + 100

• Quinta-feira: 23 + 24 25 + 26 27 + 28

• Sexta-feira: 210 + 60 126 + 63 208 + 117

• Sábado: 99 + 85 121 310 + 420 + 115

Responda às questões.

a) Em que dia Laura ganhou mais figurinhas? Na sexta-feira (+116).

Na quinta-feira (+3).

b) Em que dia Laura ganhou menos figurinhas?

c) N essa semana, aumentou ou diminuiu a quantidade de figurinhas que Laura tinha? Em quanto?

Aumentou; em 233 figurinhas.

5. No fim de semana, Armando e Bia foram à casa de amigos jogar cartas. Com mais dois amigos, formaram duas duplas: a de Armando ( A ) e a de Bia (B). Após 4 rodadas, os amigos pararam para lanchar. Observe os resultados das primeiras rodadas.

Rodada Dupla ADupla B

1a 150230

2a 300 60

3a 120280

4a 220 70

5.a) +250 pontos. b) +380 pontos. A dupla de Bia. 130 pontos.

a) Quantos pontos fez a dupla de Armando?

b) Quantos pontos fez a dupla de Bia?

c) Qual das duplas estava vencendo o jogo após as quatro rodadas? Por quantos pontos de diferença?

6. Theo mostrou a cartela a seguir para dois amigos.

320 +60 27

+50 25 +90 19

40 36 +27 +32

Da cartela, Theo escolheu seis números que os amigos deveriam descobrir. Para cada número escolhido, ele deu uma dica:

• o maior dos números escritos;

• o resultado de 20 7;

• o menor dos números escritos;

• o resultado de 25 + 25;

• o oposto do número 32;

• o resultado de 10 35.

+90, 27, 40, 0, +32 e 25.

a) Quais números Theo escolheu?

b) Quais números ele não escolheu?

32, +60, +50, 19, 36 e +27.

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7. No extrato bancário de uma empresa, há as seguintes movimentações.

isto é, a metade da soma desses valores. Qual foi a média encontrada para a temperatura nos seguintes horários:

a) 9 horas?

b) 11 horas? 5 °C

11. Elabore uma adição algébrica de números inteiros que tenha parênteses, colchetes e chaves e entregue-a para um colega calcular o valor dela. Em seguida, verifique se os cálculos feitos por ele estão corretos.

DESAFIO

Qual será o saldo da conta da

após as operações

8. Elimine os parênteses e os colchetes e calcule o valor em cada caso.

a) 35 + [ 21 ( 12 + 15)] +11

b) 20 [21 + ( 20 16) + 11] 16

c) 20 (16 + 17) [15 (18 23)]

d) ( 30) [37 + (35 31 34) 36]

9. Obtenha o resultado de:

a) 300 + 300. Zero.

b) 1 1 + 1 1. 2

c) 25 + 3 + 25. +3

d) 2 + 10 + 2 10. Zero.

10. Lucas está fazendo uma pesquisa escolar sobre variação de temperatura ambiente. Na internet, ele reuniu informações sobre as temperaturas em uma região muito fria na América do Sul, no período da manhã. Observe as anotações de Lucas.

Horário 8 h 10 h 12 h

Temperatura 10 °C 8 °C 2 °C

Para fazer um gráfico dessa variação de temperatura, a professora pediu a Lucas que escrevesse as temperaturas registradas por hora. Para calcular as temperaturas intermediárias, ele fez a média dos valores vizinhos conhecidos,

12. O passatempo preferido de Ari é construir delicados móbiles. Observe o último que ele fez.

9 °C Uma resposta possível:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

As atividades desta página complementam o desenvolvimento das habilidades EF07MA03, EF07MA04 e EF07MA06.

Na atividade 8, organizar os estudantes em duplas para favorecer a troca de informações entre eles. Cada estudante pode corrigir a atividade do colega, anotando as dicas das correções.

Se desejar, apresentar a primeira adição algébrica na lousa, resolvendo-a com a participação de todos os estudantes; dar oportunidade para que eles apresentem as dúvidas e para poder esclarecê-las.

Re produza o móbile e coloque em cada bolinha um número inteiro entre 6 e +7, de modo que a soma dos números da parte esquerda seja igual à soma dos números da parte direita do móbile. Cada número desse intervalo pode ser usado apenas uma vez.

Móbile é uma escultura móvel, feita de material leve, suspensa no espaço por fios, que se equilibra harmoniosamente. Ao mais leve movimento do ar, as pequenas peças mudam de posição.

A atividade 11 favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA06. Algumas dificuldades relacionadas à adição algébrica em virtude da falta de compreensão do uso de parênteses, colchetes e chaves podem surgir. Se isso acontecer, oriente-os a organizarem a adição de modo a eliminar primeiramente os parênteses, depois os colchetes e, por último, as chaves.  Espera-se que os estudantes não tenham dificuldade em eliminar os parênteses, colchetes e chaves na adição algébrica elaborada pelo colega, mas, caso isso aconteça, dar exemplos na lousa de como é realizada essa eliminação.

Por exemplo, considere a soma algébrica a seguir.

{23 5 [3 + ( 3 + 5) + 4] 2} É possível resolvê-la da seguinte maneira.

1. Eliminação dos parênteses.  {23 5 [3 + 2 + 4] 2}

2. Eliminação dos colchetes. {23 5 9 2}

3. Eliminação das chaves.

7

Sugere-se que o desafio 12 seja feito em dupla. Incentivar os estudantes a buscar soluções simples, como a soma zero.

11. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação de números inteiros

Nesta página, inicia-se o estudo da operação de multiplicação de números inteiros, propiciando o desenvolvimento da habilidade EF07MA04. É interessante realizar a leitura do texto e a discussão coletiva para levar os estudantes à compreensão das ideias que envolvem a multiplicação de números inteiros.

Se o cartaz sugerido anteriormente tiver sido confeccionado, solicitar à turma que faça o registro dos conceitos relacionados à multiplicação de números inteiros e mantenha o cartaz em um local de fácil acesso para que todos possam consultá-lo sempre que julgarem necessário.

CAPÍTULO8 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Para multiplicar números inteiros, acompanhe os casos a seguir.

1o caso: Os dois fatores são números inteiros positivos. Considerando a multiplicação dos números naturais, temos:

• (+6) ? (+4) = 6 ? 4 = 24

• (+8) ? (+15) = 8 ? 15 = 120

A multiplicação de dois números inteiros positivos resulta em um número inteiro positivo.

2o caso: Um fator é número inteiro positivo, e o outro é número inteiro negativo.

•

Consideremos, agora, a multiplicação:

• ( 6) (+4) = (+6) (+4) = (+24) = 24

Então: (+6) ? ( 4) = 24 e ( 6) ? (+4) = 24.

= 24

A multiplicação de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo, em qualquer ordem, resulta em um número inteiro negativo.

3o caso: Os dois fatores são números inteiros negativos. Consideremos o quadro de multiplicação.

Sabemos que: ( 6) ? 0 = 0

6) (+1) = 6

6) ? (+2) = 12

Colocando esses resultados no quadro, temos:

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Observando a linha dos resultados, notamos que cada resultado à sua esquerda tem 6 unidades a mais do que o resultado anterior. Mantendo esse padrão, preenchemos o resto do quadro.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para a multiplicação de dois fatores, ressaltar o fato de que:

• se os dois fatores têm mesmo sinal, o produto é positivo;

• se os dois fatores têm sinais contrários, o produto é negativo.

A multiplicação de dois números inteiros negativos resulta em um número inteiro positivo.

Observação: Usando o oposto de um número inteiro, podemos chegar ao mesmo resultado. Acompanhe os exemplos.

• ( 6) ? ( 2) = (+6) ? ( 2) = ( 12) =+12

• ( 6) ( 4) = (+6) ( 4) = ( 24) =+24

Para determinar o produto de dois ou mais números inteiros (diferentes de zero), calculamos o produto dos módulos dos fatores e:

• se a quantidade de fatores negativos for par, o produto é um número positivo;

• se a quantidade de fatores negativos for ímpar, o produto é um número negativo.

Exemplos:

• (+9) (+2) =+18 (nenhum fator negativo)

• ( 13) ? (+6) = 78 (um fator negativo)

• ( 20) ( 2) =+40 (dois fatores negativos)

Observe, agora, como multiplicar três ou mais números inteiros de dois modos diferentes. • (

Mostrar que esses casos recaem na situação exposta sobre a quantidade de fatores negativos, pois, se os dois fatores são negativos (têm mesmo sinal), temos um produto com um número par de fatores negativos, o que resulta em produto positivo. Já no caso de termos um fator positivo e outro negativo (têm sinais contrários), temos um produto com um número ímpar de fatores negativos, o que resulta em um produto negativo. A compreensão do sinal do produto de dois ou mais números inteiros colabora com o desenvolvimento da habilidade EF07MA04. Incentivar os estudantes a pensar em diferentes estratégias para a determinação do sinal do produto, ampliando o repertório de inferências do estudante, bem como o desenvolvimento da habilidade EF07MA05.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades da multiplicação

Aproveitar os exemplos apresentados para explorar as propriedades da multiplicação e pedir aos estudantes que expliquem oralmente o entendimento que tiveram sobre cada uma delas, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF07MA04 e EF07MA05. Pedir a eles que se organizem em duplas e criem novos exemplos utilizando as propriedades estudadas.

Explorar cada propriedade com os estudantes, na lousa, de modo que eles possam verificar, por meio de cálculos, que as propriedades estruturais da multiplicação válidas em n também são válidas em z

Se julgar conveniente, solicitar que as registrem no cartaz proposto anteriormente. Também é sugerido incentivar os estudantes a fazer comparações entre as propriedades das operações exploradas em estudos anteriores.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

1a propriedade: O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

• (+7) ? (+9) =+63, e +63 [z

• 0 ? ( 41) = 0, e 0 [z

• ( 2) ? (+16) = 32, e 32 [z

• ( 7) ( 11) =+77, e +77 [z

2a propriedade: A ordem dos fatores não altera o produto.

( 9) (+12) = 108

(+12) ? ( 9) = 108

Essa é a propriedade comutativa

3a propriedade: Associando-se os fatores de maneiras diferentes, obtém-se o mesmo produto. ( 10)

Então:

Essa é a propriedade associativa

4a propriedade: O número +1 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros. •

Essa é a propriedade da existência do elemento neutro

5a propriedade: Para multiplicar um número inteiro por uma soma algébrica, podemos multiplicar cada parcela pelo número e adicionar, a seguir, os resultados obtidos.

Essa é a propriedade distributiva em relação à adição algébrica.

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1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes divirtam-se jogando.

O JOGO DOS PRODUTOS

Você e dois colegas vão colocar em prática os conhecimentos sobre produto de números inteiros e se divertir com o “jogo dos produtos”.

Primeiro, providenciem um lápis colorido para cada jogador. Os lápis devem ser de cores diferentes.

A seguir, reproduzam os tabuleiros I, II e III em papel quadriculado.

Tabuleiro I

x +1 +2 +3 +4 +5 +6

+1 +1 +2 +3 +4 +5 +6

+2 +2 +4 +6 +8 +10 +12

+3 +3 +6 +9 +12 +15 +18

+4 +4 +8 +12 +16 +20 +24

+5 +5 +10 +15 +20 +25 +30

+6 +6 +12 +18 +24 +30 +36

Tabuleiro II

Regras do jogo

1 Os participantes devem estabelecer a ordem em que cada um vai jogar.

2 Cada participante, na sua vez, deve escolher dois dos dados e lançá-los. Então, deve calcular o produto dos números das faces superiores dos dados e pintar um dos quadriculados do tabuleiro que tenha o resultado obtido:

• caso escolha os dois dados com números positivos, marcará o resultado no tabuleiro I;

• caso escolha um dado com números positivos e outro com números negativos, marcará o resultado no tabuleiro II;

• caso escolha os dois dados com números negativos, marcará o resultado no tabuleiro III Se os quadriculados com o resultado já tiverem sido pintados, o jogador passa a vez.

3 Vence o jogo o participante que primeiro conseguir pintar, com a cor dele, uma linha, uma coluna ou uma diagonal em algum dos tabuleiros. Após jogar, respondam às questões a seguir no caderno.

1. Descreva como foi a experiência de jogar com os colegas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

O jogo dos produtos tem como objetivo calcular o produto de números inteiros de modo lúdico e colaborar com o desenvolvimento das competências gerais 8 e 9, da competência específica 3 da área de matemática e da habilidade EF07MA04.

Cada competidor escolhe um dos três tabuleiros. O objetivo do jogo é completar uma linha, uma coluna ou uma diagonal. Ganha quem for o primeiro a fazer isso.

A primeira linha e a primeira coluna servem apenas para facilitar a multiplicação (indica os números que podem ser obtidos nos dados). Desse modo, o jogador com o tabuleiro I vai usar dois dados com números positivos.

Supondo que tirou +3 e +2 nos dados, ele procura na 1a coluna o número +3 e na 1a linha o número +2. O cruzamento delas é a quadrícula com o produto (+6), que deve ser riscado com a caneta. Cada competidor faz o mesmo na sua vez até alguém completar uma linha, uma coluna ou uma diagonal e ganhar o jogo.

4

4 +8 +12 +16 +20 +24

5 +5 +10 +15 +20 +25 +30

6 +6 +12 +18 +24 +30 +36

Agora, vocês devem reproduzir duas vezes cada um dos dados a seguir e, depois, montá-los.

2. Caso você seja o primeiro a jogar e escolha os dois dados com números negativos, quantas alternativas você teria para pintar caso tirasse 2 e 3 nos

dados?

2. Espera-se que os estudantes percebam que, nesse caso, teriam duas alternativas para pintar: o quadriculado na 2a linha e na 3a coluna ou o que está na 3a linha e na 2a coluna. 61 D2_AV1-MAT-F2-2103-V7-U2-051-073-LA-G24.indd 61

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo favorecer a aprendizagem, pelos estudantes, do cálculo do produto de dois ou mais números inteiros quaisquer e a aplicação das propriedades da multiplicação em z, auxiliando no desenvolvimento da habilidade EF07MA04. Nas atividades envolvendo resolução e elaboração de problemas, incentivar os estudantes a compartilhar estratégias, ampliando assim o repertório de inferências e auxiliando no desenvolvimento do raciocínio e das habilidades EF07MA05 e EF07MA06.

Se necessário, construir quadros como o da página 59 do Livro do estudante e destacar a ideia de que o produto de dois números negativos é sempre um número positivo.

Na atividade 5, com intuito de praticar a resolução de expressões um pouco mais complexas, incentivar os estudantes a elaborar expressões com mais de um termo onde seja necessário utilizar a propriedade distributiva. Por exemplo, considere a adição algébrica a seguir.

3 (3 2) + 4 [6 + 5 + ( 12)]

É possível resolvê-la das seguintes maneiras.

1a maneira:

3 (3 2) + 4 [6 + 5 + + ( 12)] = 3 ? 1 + 4 ? [ 1] =

= 3 4 = 1

2a maneira:

3 ? (3 2) + 4 ? [6 + 5 + + ( 12)] = 3 ? 3 3 ? 2 +

+ 4 11 4 12 =

= 9 6 + 44 48 = 1

Na atividade 7, se possível, levar para a sala de aula modelos dos dados utilizados para que os estudantes possam manusear e verificar as possibilidades de números que podem ficar na

Responda às questões no caderno.

1. Efetue as multiplicações.

a) (+7) ( 5) 35

b) ( 9) ( 8)

c) (+10) ? (+3)

d) (+9) ( 11)

e) ( 7) (+6) 42

f) (+6) ? (+11)

2. Descubra o número inteiro que deve substituir a letra x, em cada item, para que a igualdade seja verdadeira.

a) x (+6) = 12 2

b) x ( 10) =+50 5

c) (+9) ? x =+27 +3

d) ( 4) ? x = 16 +4

3. Dê o resultado de cada multiplicação.

a) ( 9) ? (+12) ? ( 2) +216

b) ( 7) ( 10) ( 5) 350

c) ( 7) ( 7) ( 1) ( 5) +245

d) ( 20) ( 2) (+6) (+4) ( 1) 960

4. Calcule de duas maneiras diferentes o valor da expressão: 9 ( 7 + 5). +18

5. Elabore uma expressão que envolva multiplicação de números inteiros. Em seguida, troque com um colega para ele calcular o valor da expressão de duas maneiras diferentes.

6. Sabe-se que x = ( 10) [(+9) ( 2)] e y = [( 10) ? (+9)] ? ( 2). Usando os sinais = ou 5, compare os números x e y

7. Duas peças de um jogo de tabuleiro têm o formato de uma pirâmide de base triangular. As faces dessas peças são numeradas da seguinte maneira.

• N a 1a peça: 1, 2, 3 e 4.

• Na 2a peça: 7, 8, 9 e 10.

5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. LUCAS

Na regra do jogo, a face sorteada é a que fica virada para baixo. Observe no quadro os resultados que os jogadores podem alcançar.

789 10

1 (1, 7) (1, 8)(1, 9) (1, 10)

2 ( 2, 7)( 2, 8) ( 2, 9) ( 2, 10)

3 ( 3, 7)( 3, 8) ( 3, 9) ( 3, 10)

4 (4, 7) (4, 8)(4, 9) (4, 10)

Em q uantos casos o produto dos números obtidos é um número inteiro:

a) positivo? Em oito.

b) negativo? Em oito.

8. Descubra o segredo da figura e dê onúmero inteiro que deve estar no quadrinho que se encontra no topo, oqual possui o sinal de ? 12 000

9. Observe como Laura e Miguel resolveram a multiplicação 13 (7 21).

Miguel Laura

13 ? (7 21) =

= 13 14 = 182 13 ? (7 21) =

= 13 7 + 13 21 =

= 91 + 273 = 182

As r esoluções estão corretas? Em caso negativo, faça as correções necessárias.

A resolução de Miguel está errada. Correção: 13 ? (7 _ 21) = 13 ? ( 14) = 182

Já a resolução de Laura está correta.

face escondida em cada dado. Espera-se que os estudantes identifiquem no quadro os pares de números procurados em cada caso.

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Na atividade 9, caso algum estudante não recorde ou compreenda a propriedade distributiva dos números inteiros, retome com ele os conceitos da página 60 do Livro do estudante.

CAPÍTULO9

DIVISÃO EXATA DE NÚMEROS INTEIROS

Na divisão exata de números naturais, temos:

• 40 : 5 = 8, logo 8 ? 5 = 40;

• 36 : 9 = 4, logo 4 9 = 36.

Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros, ou seja, aquela em que o quociente também é um número inteiro.

• (+20) ( 5) = q, de modo que q ( 5) =+20.

Assim: q = 4, pois ( 4) ( 5) =+20.

Logo: (+20) : ( 5) = 4.

• ( 20) : (+5) = q, de modo que q ? (+5) = 20.

Assim: q = 4, pois ( 4) (+5) = 20.

Logo: ( 20) : (+5) = 4.

• ( 20) : ( 5) = q, de modo que q ? ( 5) = 20.

Assim: q =+4, pois (+4) ( 5) = 20.

Logo: ( 20) : ( 5) =+4.

De modo geral:

Quando efetuamos uma divisão exata entre dois números inteiros não nulos, o quociente será um número inteiro positivo se o dividendo e o divisor tiverem mesmo sinal; caso contrário, o quociente será um número inteiro negativo.

Observações:

1. A divisão exata entre dois números inteiros não nulos nem sempre pode ser realizada no conjunto z, dos números inteiros.

Por exemplo: (+9) : ( 2) ou ( 20) : ( 7) não são divisões exatas em z, pois o quociente não é um número inteiro.

2. Não existe divisão por zero em z nem em qualquer outro conjunto numérico. Consideremos, a seguir, outros exemplos de divisões em z

• ( 120) : ( 120) =+1

(sinais iguais quociente positivo)

• ( 120) : (+120) = 1

(sinais diferentes quociente negativo)

• (+200) : ( 50) = 4

(sinais diferentes quociente negativo)

• ( 2 205) : ( 3) =+735

(sinais iguais quociente positivo)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Divisão exata de números inteiros

Neste tópico, o objetivo é ampliar a operação de divisão para o campo dos números inteiros, colaborando com o desenvolvimento da habilidade EF07MA04. Sugere-se a leitura e a discussão coletiva do texto para melhor compreensão e troca de ideias entre os estudantes. Propor o registro das principais ideias no cartaz sugerido anteriormente. Se julgar necessário, propor outros exemplos na lousa e pedir para alguns estudantes resolverem. Promover uma discussão de cada resolução com toda a turma.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas propiciam o desenvolvimento da habilidade EF07MA04 por meio da prática de operações de divisão envolvendo números inteiros. Nas atividades de resolução e elaboração de problemas, incentivar os estudantes a compartilhar estratégias, auxiliando no desenvolvimento das habilidades EF07MA05 e EF07MA06.

Na atividade 1, os estudantes precisam identificar, caso exista, o quociente de dois números inteiros a e b (b 5 0), bem como um número inteiro c, tal que b ? c = a, e calcular, quando possível, o quociente de dois números inteiros. Reforçar a ideia de que a divisão de dois números inteiros nem sempre é um número inteiro.

Na atividade 2, pedir que interpretem as questões e apresentem aos colegas a situação exposta em cada uma. Sugerir que deem exemplos análogos aos dos problemas propostos.

Para a atividade 9, incentivar os estudantes a realizar as divisões do quadro e comparar seus resultados com os obtidos por um colega. Assim, eles terão a oportunidade de rever suas estratégias de cálculo antes de determinar a soma algébrica dos resultados.

Na atividade 10, os estudantes podem não ter segurança em elaborar as divisões propostas e, por isso, podem tentar o método de tentativa e erro. Explicar-lhes que, para o resultado de uma divisão entre números inteiros x e y, com y 5 0, ser um número inteiro a, devemos ter: x y = a k x = ay

6. Se o quociente exato é 1, temos x = y. Se o quociente exato é 1, x e y são números inteiros opostos.

Responda às questões no caderno.

1. Efetue as divisões.

a) ( 15) : (+5)

b) (+32) : (+4)

c) ( 20) : ( 20)

d) (+18) : ( 2)

e) ( 37) : (+37)

f) ( 44) : ( 2)

g) ( 25) : (+5)

h) 0 : ( 10)

i) ( 75) : ( 5)

j) ( 96) : (+6)

k) (+84) : (+21)

l) (+39) : ( 13)

m) ( 144) : ( 24)

n) (+200) : ( 25)

o) (+125) : (+25)

p) ( 294) : (+49)

2. Para organizar o estudo da divisão de números inteiros, Mariana tem de responder a estas perguntas. Responda-as você também.

a) A divisão exata de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo resulta em um número inteiro positivo ou negativo? Negativo.

b) Qual é o resultado da divisão de zero por um número inteiro negativo? Zero.

c) Em uma divisão exata de números inteiros, os dois números possuem o mesmo sinal. Essa divisão tem como resultado um número inteiro positivo ou negativo?

d) Qual é o resultado da divisão de zero por um número inteiro positivo? Zero.

3. Sabendo que x = ( 16) : [( 4) : ( 4)]

e y = [( 16) : ( 4)] : ( 4) e usando os sinais = ou 5, compare os números x e y

4. Qual é o valor do número inteiro N em cada caso?

a) N : ( 5) = 8 +40

b) ( 160) : N =+20 8

c) ( 360) : ( 12) = N +30

d) N : (+21) = 0 Zero.

Assim, para elaborar a divisão que resulte em um número inteiro, basta escolher os números x = ay e y.

No caso de o resultado não ser um número inteiro, o raciocínio é análogo.

Portanto, podem-se considerar as divisões 10 5 e 10 3

5. Três das divisões seguintes não apresentam resposta no conjunto z, dos números inteiros. Quais são essas divisões?

a) (+9) : ( 9)

b) ( 2) : (+1)

c) ( 3) : ( 2)

d) (+11) : (+5)

e) 0 : (+5)

f) (+7) : 14

6. Sabe-se que x e y são números inteiros e y 5 0. Se x y = 1, o que se pode concluir? E se o quociente exato é 1, o que podemos dizer sobre x e y?

7. Determine cada quociente a seguir.

a) 40 : ( 20)

b) 40 : ( 20) 2

c) 40 : 20 2

d) 40 : 20 2

e) 400 : ( 2)

f) +400 : (+20)

g) 400 : ( 20)

h) 400 : ( 20)

8. Observe o quadro a seguir.

+200 : 8 = A

285 : 5 = B

246 :+6 = C

De acordo com o quadro, qual é o valor de:

a) A + B + C?

b) A + B C?

9. Observe as divisões.

Calcule a soma dos resultados dessas divisões. 4

10. Elabore duas divisões de números inteiros, uma com valor em z e outra não, e entregue para um colega resolvê-las. Na sequência, debata com o colega as estratégias utilizadas para resolver cada divisão.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

A primeira divisão tem como resultado 2, que é um número inteiro. Já a segunda divisão não tem resultado em z, pois a situação 10 = a ? 3 não ocorre para nenhum número inteiro a Para motivar a iteração e a discussão das estratégias utilizadas na resolução, sugere-se a realização desta atividade em duplas.

CAPÍTULO10

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Você já deve ter estudado a potenciação de números naturais. A definição de potenciação quando a base é um número inteiro e o expoente é natural é similar.

Dado um número inteiro a e um número natural n, com n . 1, a potência an representa uma multiplicação de n fatores, em que cada fator é igual ao número a:

base

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potenciação de números inteiros

an = a ? a ? a ? a ?? a

expoente n fatores

Quando n = 1, define-se a1 = a. Quando a 5 0 e n = 0, define-se a0 = 1.

Assim, temos, por exemplo:

• ( 2)2 = ( 2) ? ( 2) = 4

• ( 4)3 = ( 4) ( 4) ( 4) = (4 4 4) = 64 (3 fatores negativos produto negativo)

• ( 8)1 = 8

• ( 10) 0 = 1

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. Calcule.

a) (+1)2 +1

b) ( 1)2 +1

c) (+1) 4 +1

d) ( 1) 4 +1

e) (+1)6 +1

f) ( 1)6 +1

g) (+1)3 +1

h) ( 1)3 1

i) (+1)5 +1

2. O que você pode notar nos casos em que:

a) o expoente é um número par?

b) o expoente é um número ímpar?

j) ( 1)5 1

k) (+1)7 +1

l) ( 1)7 1

A potência é sempre um número inteiro positivo. O sinal do resultado vai depender do sinal da base (não nula): base positiva, potência positiva; base negativa, potência negativa.

Quando tratamos da potenciação de números inteiros com expoente natural, sendo a base um número inteiro positivo ou negativo, temos dois casos a considerar.

1o caso: O expoente é um número par.

• (+2)4 = (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) =+16 A potência é um número positivo.

• ( 2)4 = ( 2) ? ( 2) ? ( 2) ? ( 2) =+16 A potência é um número positivo.

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Neste tópico, o objetivo é ampliar para o campo dos números inteiros o significado da potenciação e suas propriedades, levando os estudantes a compreender as ideias e propriedades da potenciação por meio da leitura do texto, ampliando, assim, o desenvolvimento da habilidade EF07MA04.

Aproveitar para rever o conceito de potenciação no campo dos números naturais e discutir como pode ser ampliada essa ideia para o campo dos números inteiros, mantendo-se o expoente natural.

As potências com base (+2) e ( 2) podem ser utilizadas nos exemplos para reforçar a compreensão dos estudantes.

Sugere-se aos estudantes, assim como orientado anteriormente, que registrem os novos conceitos aprendidos no cartaz que foi proposto na página 39 destas orientações para o professor.

Pense e responda

A proposta desta seção é que os estudantes analisem e resolvam as questões em duplas, para que possam expor e discutir suas ideias, enriquecendo a aprendizagem.

20/08/22 21:19

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades da potenciação em z

O estudo das propriedades da potenciação favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA04. Para ampliar, organizar os estudantes em grupos e distribuir três faixas de papel-cartão para cada grupo formado. Eles devem criar expressões que envolvam potências com números inteiros (positivos e negativos) em que possam ser aplicadas as propriedades estudadas (envolvendo multiplicação e divisão de potências de mesma base). O grupo deve colocar uma expressão em cada faixa. Para a resolução das expressões, propor a troca das faixas entre os grupos, distribuindo as faixas de um grupo para três grupos diferentes.

Para a resolução, o grupo deve utilizar o verso da faixa com a expressão criada e aplicar as propriedades. Por fim, promover uma roda de conversa para que os estudantes exponham as expressões criadas e as resoluções feitas. Conversar com a turma, validando com ela a resolução adequada e os procedimentos utilizados em cada problema.

Esse fato se repete sempre que o expoente é um número par.

Quando o expoente for um número par, a potência será sempre um número inteiro positivo

2o caso: O expoente é um número ímpar.

• (+2)3 = (+2) (+2) (+2) =+8 A potência tem o mesmo sinal da base.

• ( 2)3 = ( 2) ? ( 2) ? ( 2) = 8 A potência tem o mesmo sinal da base. Esse fato se repete sempre que o expoente é um número ímpar.

Quando o expoente for um número ímpar, a potência terá sempre o mesmo sinal de base

Observações:

As expressões ( 2)2 e 22 são diferentes.

• ( 2)2 representa o quadrado do número 2; assim: ( 2)2 = ( 2) ? ( 2) =+4.

• 22 representa o oposto do quadrado do número 2; assim: 22 = (2 ? 2) = 4. Sempre que o expoente é par, temos essa situação. No entanto, se o expoente é ímpar, observemos o que ocorre, por exemplo, com ( 2)3 e 23

• ( 2)3 representa o cubo do número 2; assim: ( 2)3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8.

• 23 representa o oposto do cubo do número 2; assim: 23 = (2 2 2) = 8. Embora essas expressões tenham significados diferentes, no caso do expoente ímpar, os resultados obtidos são iguais.

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO EM z

Observemos, a seguir, as propriedades da potenciação considerando as bases das potências de números inteiros diferentes de zero e os expoentes naturais.

1a propriedade: Produto de potências de mesma base.

Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes

Consideremos, por exemplo, o produto de potências de mesma base ( 3)3 ? ( 3)

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2a propriedade: Quociente de potências de mesma base.

Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e subtraímos os expoentes

Consideremos, por exemplo, o quociente de potências de mesma base ( 5) 4 : ( 5)2

=

( 5) 4 : ( 5)2 = ( 5) 4 2 = ( 5)2

Assim:

• (+6)5 : (+6)2 = (+6)5 2 = (+6)3

• ( 10)8 : ( 10)3 = ( 10)8 3 = ( 10)5

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

É interessante que os estudantes retomem os resultados das propriedades da potenciação para números naturais e os comparem com os resultados dessas propriedades para números inteiros. Nesse momento, vale verificar se os estudantes conseguiram agregar as regras de sinais ao contexto das propriedades de potenciação.

Uma potência de uma potência pode ser escrita na forma de uma única potência: conservamos a base e multiplicamos os expoentes

3a propriedade: Potência de uma potência. Consideremos, por exemplo, a potência de potência

Para elevar um produto de dois ou mais números inteiros a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente

A memorização das propriedades confere agilidade a cálculos e resoluções. Entretanto, antes do processo de memorização, é importante que os estudantes consolidem a compreensão de cada propriedade. Por exemplo, é fundamental que os estudantes compreendam que, no quociente de potências de mesma base, a subtração dos expoentes só é válida porque se trata da divisão de dois produtos de mesmos fatores, o que possibilita a simplificação dos fatores comuns ao numerador e ao denominador.

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo auxiliar os estudantes a identificar potências de base inteira e expoente natural, bem como aplicar as propriedades válidas para a potenciação com base em z e expoente natural, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA04.

Os estudantes podem se organizar em duplas para desenvolver as atividades e discutir a respeito de qual estratégia utilizar. Para corrigir as atividades, organizar os estudantes em nove grupos. Cada grupo deve resolver uma atividade (de 1 a 9) explicando aos colegas qual propriedade utilizou. Desse modo, tem-se a oportunidade de identificar as dificuldades que os estudantes estão enfrentando e retomar os conceitos que ainda não foram totalmente compreendidos.

Propor que, em grupos, resolvam o desafio 10. Essa atividade desenvolve e amplia a noção de probabilidade que os estudantes já tenham estudado. Incentivá-los a observar a disposição retangular dos cartões, o que facilitará a contagem no item a Conversar com os estudantes sobre o que precisa ser feito para responder ao item b. Levá-los a concluir que devem primeiro obter o resultado da operação de cada cartão para depois observar, em relação ao todo, qual tipo de número mais aparece (número positivo ou negativo). Espera-se que os estudantes verifiquem que a maior chance é a de sair um cartão cujo resultado é um número positivo.

Responda às questões no caderno.

1. Se o número x é inteiro negativo, o número x 2 será inteiro positivo ou negativo?

7. Joana usou uma máquina de calcular para determinar a potência ( 1 025)5 O número que ela encontrou é um número positivo ou negativo?

2. Sabe-se que o número a é inteiro negativo. O número expresso por a3 será inteiro positivo ou negativo?

3. Calcule o valor de cada potência.

a) (+8)2 +64

b) ( 8)2 +64

c) (+8)3 +512

d) ( 8)3 512

e) ( 1)8 +1

f) ( 100) 0 +1

g) ( 100)1 100

h) (+1)101 +1

i) ( 1)101 1

j) (+1)100 +1

k) ( 1)100 +1

l) ( 10)6

Positivo. Negativo. +1 000 000

4. Aplicando as propriedades da potenciação, reduza cada expressão a uma

5. Calcule o valor das

6. Sabe-se que A = ( 2)5 e B = (+2)5. N essas condições, qual é o valor de A B? +64

8. Se a = ( 1)100 , b = (+1)100 , c = ( 1)101 e d = (+1)101, calcule o valor de:

a + b + c + d. +2

9. Um número inteiro x é dado pela soma algébrica das potências em cada caso. Faça o que se pede.

a) ( 2)10, 210 e ( 10)3

Determine o valor de x 1 000

b) 14, ( 2) 0, ( 10)1 e (+10)1

DESAFIO

Negativo. Zero.

Qual é o número inteiro oposto de x?

10. Rodrigo escreveu uma operação em cada cartão.

Em seguida, colocou todos os cartões em uma caixa.

a) Quantos cartões Rodrigo colocou na caixa? 16 cartões.

b) Se ele tirar, ao acaso, um cartão da caixa, qual será a maior chance: sair um cartão cujo resultado da operação seja um número inteiro positivo ou um cartão cujo resultado da operação seja número inteiro negativo?

c) Em quantos cartões do total o resultado da operação é um número inteiro positivo? Em 9 de 16 cartões.

10.b) Um cartão cujo resultado da operação é um número inteiro positivo.

11

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

RAIZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS

Consideremos a questão a seguir.

• Quais são os números inteiros cujos quadrados são iguais a 16?

Os números são +4 ou 4, pois: (+4)2 =+16 e ( 4)2 =+16.

Raiz quadrada exata de um número inteiro não negativo a é um número inteiro não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em a

Assim, a raiz quadrada de 16 é o número não negativo +4. Indica-se:

16 =+4.

Observe que existe o oposto do número 16 , que é 16 16 = (+4) = 4

No entanto, nem sempre é possível determinar a raiz quadrada em z. Por exemplo, números como 10 e 36 não estão definidos no conjunto dos números inteiros.

ATIVIDADES

4. Não, pois não existe em z um número que elevado ao quadrado resulte em um número negativo.

Responda às questões no caderno.

1. Qual é o número inteiro, se existir, que representa a raiz quadrada de:

a) 25? 5

b) 64? 8

c) 81?

d) 1? 1

Não existe em z

2. Entre os números 9 , 25 , 37 , 64 e 80 , quais não são números inteiros?

Os números 37 e 80 não são inteiros.

3. Determine o valor em cada item.

a) 36 6

b) 64 8

c) 100 10

d) 49 7

e) 400 20

f) 900 30

g) 2 500 50

h) 144 12

AMPLIANDO

Atividade complementar

Utilizando uma adaptação do material dourado em cartolina, os estudantes devem formar quadrados a partir da unidade, observando e percebendo relações, estabelecendo regras e leis de formação da radiciação.

a) Construir um quadrado com 25 unidades.

b) Construir um quadrado com 121 unidades.

4. Existe algum número inteiro que represente 25 ? Justifique.

5. Observe o modo como Cleiton calculou a raiz quadrada do número 144.

12 elevado ao quadrado resulta em 144; assim, a raiz quadrada de 144 é igual a 12.

Cleiton está correto? Justifique

Raiz quadrada exata de números inteiros

A compreensão do conceito e a determinação de raízes quadradas exatas de números inteiros auxilia no desenvolvimento da habilidade EF07MA04. Utilizando os exemplos a seguir, mostrar aos estudantes que nem sempre é possível determinar a raiz quadrada em z

1. Que número inteiro representa a raiz quadrada de 20?

Observamos que o número inteiro 20 não é quadrado de nenhum número inteiro, pois 42 = 16 e 52 = 25. Como não há nenhum número inteiro entre 4 e 5, podemos concluir que não é possível obter a raiz quadrada de 20 em z

2. Que número inteiro elevado ao quadrado dá 36? Sabemos que o quadrado de um número inteiro nunca é negativo. Portanto, os números negativos não podem representar quadrados de nenhum número inteiro. Isso significa que os números inteiros negativos não têm raiz quadrada em z, ou seja, a raiz quadrada de 36 não está definida no conjunto z

DESAFIO

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. As dimensões do terreno são 24 m x 24 m.

Atividades

6. Determine as dimensões de um terreno de formato quadrado cuja área é 576 m2

Resolução da atividade

No item a, espera-se que os estudantes percebam que, com 25 unidades, é possível construir um quadrado cujos lados meçam 5 unidades. Logo, a raiz quadrada de 25 é igual a 5.

No item b, espera-se que percebam que é possível construir um quadrado cujos lados tenham 11 unidades. Logo, a raiz quadrada de 121 é igual a 11.

O objetivo das atividades propostas é auxiliar os estudantes a identificar a raiz quadrada exata de um número inteiro positivo a, bem como o número inteiro positivo b, de modo que b 2 = a, e verificar que não é possível, em z, determinar a raiz quadrada de um número que não seja quadrado perfeito, nem de um número negativo, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF07MA04 e EF07MA06.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Expressões numéricas

Retomar a ordem em que as operações devem ser feitas em uma expressão numérica, mobilizando os conhecimentos que os estudantes construíram sobre expressões numéricas com números naturais, ampliando o raciocínio deles e favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA04.

Se julgar necessário, propor outros exemplos e pedir a alguns estudantes que resolvam as expressões na lousa, explicando aos demais os procedimentos utilizados. Validar a resolução com a turma sempre buscando valorizar o uso de diferentes estratégias de resolução.

Maria e Sueli participam de uma gincana. Elas devem obter o valor numérico da expressão escrita no cartão que cada uma sorteou. Acompanhe a seguir como as meninas calcularam.

20 + 3 ? ( 4) ( 3)2 =

= 20 + 3 ( 4) (+9) =

= 20 12 (+9) =

= 20 12 9 =

= 20 21 =

= 1

Nas expressões numéricas com números inteiros, seguimos a mesma ordem das operações válidas para as expressões com números naturais:

• Primeiro, resolvemos as raízes quadradas e as potenciações na ordem em que aparecem.

• Em seguida, as divisões e as multiplicações na ordem em que aparecem.

• Por último, a adição algébrica.

Além disso, devemos respeitar a eliminação dos sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves, nessa ordem).

Acompanhe um exemplo.

( 5 + 2)2 : ( 9)

Resolvemos as operações no interior dos parênteses.

as raízes e as potenciações.

= ( 1) [( 12) ( 3)]

Efetuamos as divisões e as multiplicações.

= 1 [ 12 + 3] = Eliminamos os parênteses.

= 1 [ 9] = Resolvemos as operações no interior dos colchetes.

= 1 + 9 =

= 8

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Eliminamos os colchetes.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Calcule o valor das expressões numéricas.

a) 81 + ( 20) ? (+4) +1

b) ( 4) ? ( 7) 30 2

c) 23 ( 6) (+3) 5

d) ( 9) (+6) (+2) ( 27) Zero.

e) 19 ( 4) (+5) +39

f) 7 ( 3) 9 ( 6) + 11 ( 2) +11

2. Calcule o valor de N em cada item.

a) N = 2 ? (+7) + 5 ? ( 2) +4

b) N = ( 6) ? ( 3) + 2 ? ( 6) +6

c) N = 3 (+8) 7 ( 7) +73

d) N = 2 (+10) + 5 ( 2) 10 Zero.

e) N = 3 ( 1) 5 ( 1) + 4 ( 1) 2

f) N = 10 ( 1) + ( 1) (+3) 2 (+3)

g) N = 4 + ( 1) (+5) ( 3) 4 + + 7 ( 2) 8

3. Um número inteiro x é tal que x = (+2)10 + ( 2)10 210. Qual é o valor do número x? Qual é a raiz quadrada do número x? x = 1 024; 32

4. Um número inteiro y é expresso por: +:12 (4 ) 73 2 3 () ()

Qual é o número inteiro oposto do quadrado de y? y = 1; 1

5. Determine o valor das expressões numéricas a seguir.

a) 31 + ( 40) : (+2) +11

b) 10 20 : (+4) 15

c) (+30) : ( 6) + ( 18) : (+3) 11

d) 7 : ( 7) + 2 ? ( 6) + 11 2

e) ( 36) : ( 4) + 3 ? ( 3) Zero.

f) 35 6 ? (+6) + (+54) : ( 6) 10

6. Calcule o valor das expressões numéricas e determine a diferença entre o maior e o menor valor obtido.

a) ( 9)2 (+5) (+16) +1

b) ( 2) 4 : (+16) ? ( 1)7 1

c) ( 6)2 ( 7)2 + 130 12

d) 4 ( 5)3 + ( 20)2 100

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Diferença 168.

e) 17 3 ( 2)2 ( 6)2 ( 1)7 +41

f) 7 ( 2)2 5 ( 2)3 102 32

7. O número p representa o valor da expressão 1 () 100 . Qual é o número p? +11

8. Se x = () 81 : (42 52), qual é o valor de x? 1

9. Calcule o valor de: () 3 600 : () 25 12

10. Considere a expressão:

( 10)3 9  ( 10)2 ( 2)2 . O número que representa a metade do valor dessa expressão é:

As atividades propostas têm como objetivo levar os estudantes a resolver expressões numéricas que envolvem operações com números inteiros e aplicar esses conhecimentos na resolução de problemas, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF07MA04 e EF07MA06.

Na atividade 1, orientar a realização dos cálculos seguindo a ordem das operações, de modo análogo ao que foi feito na resolução das expressões com números naturais. Nesse caso, eles devem efetuar primeiro as multiplicações e divisões e, em seguida, as adições algébricas, eliminando os parênteses.

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e) 52 ( 3) ? 3 + ( 4) ? 2

a) 200

11. Calcule o que se pede.

b) 100 c) +100 d) 1 100

a) A : B, em que:

A = ( 7 4) ? ( 9 + 2) ( 72 + 13)

B = ( 5 5) + ( 9 4 + 6) 8

b) A B, em que:

A = ( 9 3) : ( 1 + 7)

B = 10 (4 3) [] ( 2)3 134

12. Elabore uma expressão numérica que envolva números inteiros, sinais de associação e as operações estudadas até o momento. Na sequência, solicite a um colega que calcule o valor dessa expressão de duas maneiras diferentes. Por fim, corrija as resoluções feitas por ele.

Alternativa d. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

A atividade 5 tem como objetivo a resolução de expressões numéricas com divisão exata de números inteiros. Organizar a turma em duplas para resolver as expressões numéricas apresentadas. Solicitar que organizem e descrevam por escrito os procedimentos utilizados na resolução.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades desta seção é propiciar aos estudantes a retomada dos conteúdos estudados na Unidade para que, caso seja necessário, eles possam sanar eventuais dúvidas e ampliar o desenvolvimento das habilidades EF07MA03, EF07MA04 e EF07MA06.

Se achar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos estudantes a elaboração de um fichamento dos conteúdos trabalhados no decorrer desta Unidade, com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições. Eles podem, também, consultar o cartaz com os conceitos que produziram ao longo da Unidade, caso essa proposta tenha sido desenvolvida.

Os estudantes podem tomar as questões desta seção como uma autoavaliação; por isso, eles devem respondê-las individualmente. Sugerir que realizem essas atividades em sala de aula, pois assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. Orientá-los a consultar o livro para sanar dúvidas e buscar informações.

Enfatizar a necessidade de resolverem os exercícios individualmente, buscando informações de forma autônoma, escolhendo suas fontes para chegar aos resultados. Conversar com os estudantes sobre seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado.

Outra possibilidade é propor aos estudantes que resolvam algumas das questões previamente em casa e que desenvolvam outras em aula, formando duplas ou grupos com os colegas. Nessa interação, devem aproveitar para fazer a autocorreção daquelas questões que trouxeram prontas.

Responda às questões no caderno.

1. Considere os números inteiros: 12, 10, 7, 2, 0, 1, 3, 7, 10. Quantos deles são menores do que o número inteiro 4?

7. Entre as potências (+3)5 , ( 7)2 , 42 , ( 2)3 e ( 1)10 , quantas representam números inteiros negativos?

a) 1

a) 7

b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

2. Calcule a diferença entre os números inteiros ( 3) e ( 1). O simétrico do número obtido é:

a) 2

b) +2 c) 4 d) +4 e) 1

3. Um termômetro marcava +4 ° C pela manhã. À tarde, a temperatura chegou

a 2 ° C. A temperatura baixou nesse período:

Alternativa e. Alternativa b. Alternativa c.

b) 8 °C. c) 6 °C. d) 5 °C. e) 4 °C.

a) 2 °C.

4. (Fundatec-RS) Durante o inverno de determinada cidade, o termômetro marcou 18 °C. Se a temperatura descer mais 13 graus, quantos graus o termômetro da cidade irá marcar?

a) 5°

b) 5° c) 31° d) 31° e) 0°

5. Quando você calcula a soma entre o quadrado do número 1 e o cubo do número 1, você obtém:

a) 0

b) 1 c) +1 d) 2 e) +2

6. Calculando o valor da expressão numérica ( 3)2 ?_+

9( 3)3 : ( 3)2 , obtemos o número:

a) 36.

b) +36.

c) 27.

Alternativa d. Alternativa a. Alternativa a.

d) +27. e) 18.

Sugerir, ainda, aos estudantes que refaçam algumas atividades anteriores caso tenham dúvidas sobre algum assunto. Ressaltar tais temas ao corrigir as atividades. Procurar trabalhar em sala com o conteúdo no qual os estudantes mais tiveram dificuldade durante o desenvolvimento da Unidade também pode contribuir nesse momento.

Será valioso para o desenvolvimento da autonomia intelectual dos estudantes que

8. Quantas sentenças a seguir são verdadeiras?

• 24 = ( 2)4

• 20 = ( 2)0

a) 0

• 23 = ( 2)3 • (+2)6 = ( 2)6

b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

9. São dados os números inteiros: x = = ( 3)3 (22)3 e y = ( 2)3 ( 3)2 _ ( 5)0 + ( 2)4. O produto x ? y é igual a:

a) +74.

b) 74.

c) 37.

Alternativa b. Alternativa c. Alternativa a.

d) +37. e) zero.

10. Na reunião de condomínio do edifício Vila Nova, o síndico apresentou o saldo da conta bancária do prédio nos primeiros seis meses do ano, conforme o quadro.

SALDO – Edifício Vila Nova

Janeiro crédito de R$ 2.400,00

Fevereiro crédito de R$ 850,00

Março débito de R$ 680,00

Abril crédito de R$ 450,00

Maio débito de R$ 1.720,00

Junho débito de R$ 750,00

Após esses primeiros seis meses, o condomínio ficou com: Alternativa c.

a) débito de 550 reais.

b) débito de 530 reais.

c) crédito de 550 reais.

d) crédito de 530 reais.

percebam seus processos de aprendizagem, suas dificuldades e a busca de informações.

Se ainda persistirem dúvidas, orientá-los a trocar ideias com os colegas e a buscar no livro os conceitos que precisarem lembrar.

Dar oportunidade aos estudantes para mostrarem como pensaram para resolver as questões, sanando as dúvidas dos colegas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Banco Forte Extrato 11/8/2022

Extrato de conta corrente

Agência: 001 Conta: 012345-6

11. Observe o extrato bancário de Roberto. 12. Quando multiplicamos um número x pelo quadrado do número ( 10), obtemos o número 500. O número x é: Alternativa b. a) +5. b) 5. c) 25. d) +25. e) 10.

Nome: Roberto Almeida Data Histórico Valor

DESAFIO

13. Acompanhe o que Helena e Felipe estão falando e faça o que eles pedem. 2 e 3; +5 e 2

Diga quais são os dois números inteiros negativos cuja soma é 5, e cujo produto é +6.

E quais são os dois números inteiros, um positivo e outro negativo, cuja soma é +3, e o produto é 10?

É interessante disponibilizar um tempo para os estudantes pensarem em suas próprias estratégias para obter os números solicitados no desafio 13. Segue uma sugestão para encaminhar a situação.

• Pedir-lhes que elaborem um quadro de tentativas, colocando duplas de números possíveis, e verifiquem os resultados (soma e produto) das operações.

O saldo final de Roberto no dia 10/8/2022 foi: Alternativa b.

a) positivo em 83 reais.

b) negativo em 83 reais.

c) positivo em 120 reais.

d) negativo em 150 reais.

Nesta Unidade, estudamos o conjunto dos números inteiros. Os tópicos abordados nesta Unidade foram:

• números negativos e suas aplicações, por exemplo, medição e registro climático de temperaturas, saldo bancário, altitude etc.;

• estrutura do conjunto dos números inteiros;

• comparação de números inteiros;

• operações com números inteiros e suas propriedades, incluindo a potenciação e a raiz quadrada.

Considerando a importância do conjunto dos números inteiros, sugerimos a você que faça um fichamento dos assuntos abordados nesta Unidade, que poderá conter exemplos dos conceitos estudados e de cada operação, bem como lembretes que utilizará em seus estudos.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

O conjunto dos números naturais.

• Que conjunto numérico está contido no conjunto dos números inteiros?

• Como podemos utilizar o conceito de módulo na comparação de números inteiros?

• Você consegue reconhecer, em seu cotidiano, situações em que há a presença de números inteiros?

Resposta pessoal. Exemplos de resposta: marcações de subsolo em um elevador, medida de temperatura de um freezer

• Diga-lhes que comecem pelo produto, lembrando-os de que: se for positivo, os dois fatores deverão ter sinais iguais ( e ou + e +); e se for negativo, os dois fatores deverão ter sinais diferentes ( e +).

Um novo olhar

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, reflexões sobre as aprendizagens individuais e sistematizações relacionadas às habilidades EF07MA03, EF07MA04 e EF07MA06. Por isso, é importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade.

A proposta de fichamento deve-se à quantidade de propriedades que são trabalhadas no conjunto dos números inteiros. Para os estudantes, é uma importante retomada de diversos conceitos que foram tratados na Unidade. Se julgar conveniente, pode-se iniciar esse trabalho em sala, com a sua mediação, e propor que o finalizem em casa. Depois de os estudantes responderem às questões, em uma roda de conversa, pedir a alguns estudantes que exponham o que fizeram para iniciar uma discussão sobre cada questão.

DAYANE RAVEN

UM NOVO OLHAR

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas:

• 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8

Habilidades:

Números

• EF07MA06

Geometria

• EF07MA19

• EF07MA20

• EF07MA21

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Diversidade Cultural

• Educação Ambiental

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em três capítulos e apresenta o estudo de transformações geométricas de figuras planas, em especial de polígonos, com o auxílio de diversas ferramentas e métodos, ampliando os conhecimentos construídos em anos anteriores. Também são apresentadas seções que contribuem para a formação integral e favorecem o desenvolvimento de diversas competências gerais e específicas e Temas Contemporâneos Transversais (TCTs).

No primeiro capítulo, são retomados conceitos de simetria trabalhados em anos anteriores e são apresentados os três tipos de simetria: simetria de reflexão, translação e rotação. No segundo capítulo, as transformações por ampliação (e redução) são apresentadas e, no terceiro capítulo, as transformações no plano cartesiano são introduzidas e trabalhadas.

OBJETIVOS

• Compreender a ideia de simetria.

• Reconhecer e identificar as simetrias de reflexão, translação e rotação em figuras planas e em representações diversas.

• Construir figuras obtidas a partir de simetrias de reflexão,

3

SIMETRIA E TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS

Desde as civilizações antigas, diversos artistas e filósofos buscam, na Matemática, explicações para compreender a beleza e a disposição de imagens. Um dos objetivos dessa percepção é a criação de obras mais harmoniosas.

Na página seguinte, é possível observar representações da obra Função diagonal, de Geraldo de Barros (1923-1998), que explora figuras geométricas e transformações no plano.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

translação e rotação utilizando diferentes ferramentas e estratégias (malhas quadriculadas, plano cartesiano e softwares de geometria dinâmica).

• Ampliar ou reduzir figuras com o auxílio de malhas quadriculadas ou plano cartesiano.

• Refletir sobre Educação ambiental e o reaproveitamento de materiais.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

A Unidade explora as transformações geométricas de figuras planas, em especial de polígonos, a partir do estudo das simetrias de reflexão, translação e rotação, bem como a ampliação e redução em malhas quadriculadas, e aborda algumas dessas transformações em

Esquema de construção da obra.

Agora, observe as figuras e responda no caderno.

• Nessas representações, você reconhece figuras geométricas que possuem mesma forma e mesmo tamanho, mas estão em posições diferentes?

• Você identifica figuras que podem ser ampliações ou reduções de outras?

• Você conhece algum outro artista que utiliza figuras geométricas em suas obras? Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

polígonos no plano cartesiano. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21.

A seção Tecnologias apresenta o uso do software de geometria dinâmica GeoGebra na transformação de figuras geométricas planas por simetria de reflexão, translação e rotação

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

A abertura explora a obra Função diagonal, do artista brasileiro Geraldo de Barros, que mostra a interligação entre a Arte e a Geometria, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA21, da competência geral 4 e das competências específicas 2 e 3 da área de Matemática. Propor aos estudantes a construção da obra, seguindo o esquema apresentado. Se achar conveniente, propor aos estudantes uma pesquisa a respeito da vida e da obra do artista Geraldo de Barros.

e colabora com a apropriação da habilidade EF07MA21.

A seção Por toda parte das páginas 92 e 93 do Livro do estudante trata do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, com base na discussão acerca do reaproveitamento de materiais e seu uso em obras de arte.

SIRIPORNT/SHUTTERSTOCK.COM

BARROS, Geraldo de. Função diagonal . 1952. Esmalte sintético sobre kelmite, 62,9 cm x 62,9 cm. Coleção Lenora e Fabiana de Barros.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Simetria

Aqui, iniciamos o estudo das transformações geométricas que envolvem a simetria. Para trabalhar a noção de simetria, observar elementos da natureza, de obras de arte e arquitetônicas é um campo muito vasto, favorecendo assim o desenvolvimento da habilidade EF07MA21 e das competências específicas 1 e 3.

A ideia de simetria

Para desenvolver a percepção de simetria, levar para a sala de aula material de consulta para os estudantes trabalharem em grupos. Pedir a eles que procurem figuras que tenham simetria e comparem com outras assimétricas.

À medida que aprende novos conteúdos, você adquire uma nova perspectiva do espaço ao seu redor e começa a reconhecer alguns dos conceitos estudados em vários ambientes; por exemplo, reconhecer figuras geométricas nas superfícies de revestimentos que observa no dia a dia. Você já reparou que o revestimento de algumas calçadas e de algumas composições feitas com azulejos ou vidro formam desenhos que se repetem? Observe.

A produção de composições como essas, em que um padrão (também chamado de motivo) se repete, envolve diversos conceitos matemáticos ligados a figuras geométricas e simetria

A IDEIA DE SIMETRIA

Você pode verificar se uma figura plana apresenta simetria traçando uma linha reta na figura, dividindo-a em duas partes, de modo que, dobrando a figura nessa linha, as duas partes se sobreponham e coincidam. Se houver sobreposição das duas partes, ou seja, se elas coincidirem, a figura apresenta simetria, e a linha traçada é chamada de eixo de simetria da figura.

A simetria tem presença marcante na natureza, e o ser humano procura reproduzi-la nos objetos e nas construções arquitetônicas que faz. Observe um exemplo de simetria na representação plana de uma borboleta.

A imagem de uma borboleta nos dá a ideia de simetria. Observe que a reta vertical é um eixo de simetria, enquanto a reta horizontal não é.

LIGHTSPRING/SHUTTERSTOCK.COM

RENATA SEDMAKOVA/SHUTTERSTOCK.COM BUDA MENDES/GETTY IMAGES

Mosaico vitoriano vintage

Roseta na igreja de Santa Catalina em Valença (Espanha), 2022.

Mosaico do calçadão da praia de Copacabana. Rio de Janeiro (RJ), 2020.

Note que uma figura não apresenta necessariamente um único eixo de simetria. O quadrado, por exemplo, possui quatro eixos de simetria.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tipos de simetria

O estudo dos diversos tipos de simetria apura o olhar do estudante e auxilia no desenvolvimento da habilidade EF07MA21.

Pense e responda

TIPOS DE SIMETRIA

A ideia de simetria não fica restrita apenas a uma figura. Duas figuras podem ser simétricas uma em relação à outra.

Neste capítulo, vamos estudar os três principais tipos de simetria, que são: reflexão, translação e rotação

Essas simetrias podem ser aplicadas em qualquer figura plana ou polígono e são exemplos de transformações geométricas. As figuras obtidas por transformações geométricas são imagens da original.

Simetria de reflexão (ou axial)

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

1. Observe as figuras 1 e 2 no plano cartesiano.

a) Elas têm a mesma forma? E as mesmas medidas?

b) Compare a posição que essas duas figuras se encontram em relação à linha vermelha.

O que você observa?

As duas figuras estão em posições opostas em relação à linha vermelha, viradas ao contrário uma em relação à outra e a uma mesma distância da linha.

Retomando o caso da seção Pense e responda, se dobrássemos a malha quadriculada na linha vermelha, notaríamos que as duas figuras se sobreporiam e coincidiriam. Assim, podemos perceber que uma figura é o reflexo da outra em relação à linha vermelha.

Quando duas imagens são reflexo uma da outra, e esse reflexo se dá em relação a uma linha, dizemos que há simetria de reflexão, e a linha é seu eixo de reflexão Podemos dizer, ainda, que as figuras são simétricas

AMPLIANDO

Atividade complementar

Com os estudantes reunidos em duplas, distribuir folhas com desenhos de figuras (com linhas tracejadas, dividindo a figura em duas partes) para que eles procurem simetrias (fazer figuras simétricas e figuras assimétricas). Pedir aos estudantes que utilizem um pequeno espelho plano, com cuidado. Colocando o espelho sobre a linha tracejada, perpendicularmente à folha, eles devem observar que o reflexo de uma parte da figura aparecerá exatamente sobre a outra parte, caso a figura seja simétrica. Nesse caso, a linha tracejada é um eixo de simetria da figura.

Esta seção explora as características da transformação geométrica por meio de uma reflexão em relação a uma reta, ampliando o trabalho que foi feito anteriormente com polígonos representados no plano cartesiano, em que se experimentaram transformações de reflexão em relação aos eixos coordenados x e y

A malha quadriculada pode ser um bom recurso para que os estudantes percebam as características da imagem refletida em relação à figura original e ao eixo de reflexão.

Um trabalho de ampliação pode ser feito. Pedir aos estudantes que desenhem um polígono e a reta que será o eixo de reflexão e troquem de desenho com um colega, para que cada um construa a imagem refletida no desenho criado pelo outro. Depois, solicitar a eles que se reúnam para discutir as construções efetuadas. Em uma roda de conversa, cada dupla apresenta o que fizeram, socializando com o restante da turma.

Ressaltar a principal característica desse tipo de transformação: preservar a forma e as medidas da figura original, modificando exclusivamente a posição.

Figura 1 Figura 2

As duas figuras têm a mesma forma e as mesmas medidas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nesta página, em continuidade ao desenvolvimento da habilidade EF07MA21, é explorada a transformação geométrica de translação, que também preserva o tamanho e a forma, mudando apenas a posição. Esclarecer que transformações que têm essa característica são denominadas isometrias

Esse trabalho pode ser enriquecido com o uso de mosaicos e vitrais em que essas transformações aparecem comumente.

Propor figuras para os estudantes construírem translações, auxiliando-os nas medidas das distâncias, na construção dos ângulos (com o transferidor). Nas translações em que a direção é diferente da horizontal ou da vertical, precisamos conhecer o ângulo que determina essa direção em relação à horizontal ou transferir o ângulo dado (com régua e compasso) pela indicação do segmento orientado para determinar a direção da translação. Depois, transferir o segmento orientado para efetuar a translação (que determina distância e sentido) na direção demarcada como pode ser observado a seguir.

Observe estes exemplos de simetria de reflexão.

Simetria de translação

Vamos retomar a figura 1 do Pense e responda e observá-la com a figura 3, ambas desenhadas na malha quadriculada.

O ponto A da figura 1 tem, na figura 3, o ponto A’ como seu correspondente. Além disso, o ponto A está a cinco unidades de comprimento do ponto A’

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

Todos os pontos da figura 1 estão a cinco lados de quadradinho de distância de seu correspondente na figura 3.

Considerando os demais pontos destacados na figura 1 e o lado do quadradinho da malha como unidade, a que distância esses pontos estão de seus correspondentes na figura 3?

Observe que todos os pontos da figura 1 têm seus correspondentes na figura 3 em uma mesma direção (horizontal), seguindo um mesmo sentido (da esquerda para a direita) e a uma mesma distância (cinco lados de quadradinho), conservando a forma e as dimensões da figura original.

Saiba que

Verifcar se os estudantes compreendem o significado da palavra transladar

Pense e responda

Verificar se os estudantes identificam que todos os pontos da figura 1 estão a cinco lados de quadradinho de distância de seu correspondente na figura 3

SAIBA QUE

Transladar é transferir algo de um lugar para outro.

A translação é a transformação no plano que desloca todos os pontos de uma figura na mesma direção e no mesmo sentido, preservando suas dimensões originais.

Note que as duas imagens podem ser sobrepostas de maneira que elas coincidam; no entanto, diferentemente da simetria de reflexão, uma imagem não é reflexo da outra. Nesse caso, dizemos que as duas figuras são simétricas e que há entre elas uma simetria de translação

BRUNO, Nathália. O mundo imaginário de M. C. Escher. Fundação Clóvis Salgado. Belo Horizonte, [2021?]. Disponível em: https://fcs.mg.gov.br/o-mundo-imaginario-de-m-c-escher/. Acesso em: 18 ago. 2022.

Se possível, acessar esse link para ampliar o trabalho com as obras de Maurits Cornelis Escher e conhecer um pouco mais desse artista.

Figura 1 Figura 3

Simetria de rotação

PENSE E RESPONDA

1. Use lápis, uma folha de papel quadriculado, uma folha de papel sulfite, uma tesoura com ponta arredondada, um palito de sorvete, uma tachinha, régua e fita adesiva para realizar esta atividade.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Desenhe uma figura na folha de papel quadriculado e recorte-a.

1 2 3 4 5

Gire o palito de sorvete e desenhe novamente o contorno da figura.

Fixe a figura em um palito de sorvete.

Usando uma tachinha, prenda uma extremidade do palito e desenhe o contorno da figura em uma folha de papel sulfite.

Retire o palito e trace, a partir do ponto representado pela tachinha, dois segmentos de reta: um até um dos vértices do primeiro desenho e outro até o vértice correspondente no segundo desenho.

a) Obtenha a medida de comprimento dos dois segmentos de reta traçados e depois compare-os.

Os dois segmentos têm a mesma medida.

b) Para os demais vértices, faça a mesma análise do item anterior. A qual conclusão podemos chegar?

A medida do comprimento de um segmento de reta é sempre igual quando comparada à do segmento formado pelo ponto correspondente e o ponto indicado pela tachinha.

Note que as duas imagens obtidas podem ser sobrepostas de maneira que elas coincidam; nesse caso, dizemos que as duas figuras são simétricas e que há entre elas uma simetria de rotação

O ponto fixo ao redor do qual a figura gira (indicado pela tachinha) é chamado de centro de rotação, e o giro dado nos dá a ideia do ângulo de rotação. Observe a representação a seguir.

A figura B é simétrica à figura A por simetria de rotação, com ângulo de rotação de 180° no sentido anti-horário e centro de rotação no ponto F

SAIBA QUE

Sentido horário é aquele que segue o sentido dos ponteiros de um relógio; sentido anti-horário é contrário ao sentido dos ponteiros do relógio.

Nesta página, em continuidade ao desenvolvimento da habilidade EF07MA21, é explorada a transformação geométrica de rotação. Propor figuras para os estudantes construírem rotações, utilizando régua e compasso, auxiliando-os no traçado das circunferências. Pode-se pedir que fiquem em duplas na realização da construção. Procurar formar as duplas colocando juntos um estudante que já tenha destreza com esses instrumentos e outro que tenha mais dificuldade, para que troquem experiências. No item a, verificar se os estudantes percebem que os dois segmentos têm a mesma medida. No item b, discutir o fato de a medida do comprimento de um segmento de reta ser sempre igual quando comparada à do segmento formado pelo ponto correspondente e o ponto indicado pela tachinha.

Saiba que

Conversar com os estudantes sobre as noções relacionadas ao sentido horário e ao sentido anti-horário.

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AMPLIANDO Link

SIMETRIA e transformações. TecMEM - PUC-SP. São Paulo, [2011?]. Disponível em: https://www4.pucsp. br/tecmem/Artista/simetria.htm. Acesso em: 16 ago. 2022.

Nesse link, os estudantes podem observar uma simulação de como ocorrem as transformações geométricas. Além da reflexão em uma reta, translação e rotação, mostra-se também mais um tipo de isometria: a reflexão deslizante, que pode ser comentada com os estudantes (é uma composição de uma reflexão em uma reta e de uma translação).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Representações de polígonos costumam estar presentes em exposições de arte e tecnologia. É muito importante ressaltar para os estudantes que, assim como a Matemática perpassa variadas áreas do conhecimento, ela está inserida também nas diversas manifestações artísticas, favore cendo assim o desenvolvimento da competência geral 5. Propor aos estudantes a rea lização das atividades propostas na seção, seguindo as etapas indicadas. O uso de softwares de geometria dinâmica auxilia no desenvolvimento das habilidades EF07MA21. Após a realização das atividades, promover uma discussão coletiva a respeito das ferramentas utilizadas e da percepção dos estudantes em relação a elas, a fim de que os estudantes notem estruturas similares, colaborando com o desenvolvimento da habilidade EF07MA06.

TECNOLOGIAS

SIMETRIA COM GEOGEBRA

Nesta seção, vamos utilizar as ferramentas de simetria do software GeoGebra e fazer algumas construções. Acesse o GeoGebra on-line em https://www.geogebra.org/classic? lang=pt (acesso em: 11 jul. 2022), acompanhe as instruções em cada item e responda às questões no caderno.

Simetria de reflexão

1 Usando a ferramenta (Polígono), desenhe um polígono qualquer e, usando a ferramenta (Reta), trace uma reta qualquer.

2 Depois, usando a ferramenta (Reflexão em Relação a uma Reta), clique, primeiro, no polígono criado e, em seguida, na reta traçada para obter uma figura simétrica por reflexão. Observe o exemplo.

3 Agora, usando a ferramenta (Distância, Comprimento ou Perímetro), determine a distância entre cada vértice da primeira figura e a reta traçada, bem como entre a reta traçada e cada vértice da segunda figura.

1. Analisando as medidas obtidas, o que podemos observar?

A distância entre um vértice qualquer e a reta é igual à distância entre a reta e seu vértice correspondente.

2. Ao traçar a reta nessa construção, foram destacados dois pontos. Com o mouse, clique sobre um dos pontos e arraste-o. O que acontece com as medidas obtidas? Elas ainda seguem a mesma observação da questão anterior? E se você clicar e arrastar um dos pontos do polígono original, o que acontece com as medidas?

As medidas se alteram, mas é mantida a igualdade observada na questão 1

Simetria de translação

1 Usando a ferramenta (Polígono), desenhe um polígono qualquer e, usando a ferramenta (Vetor), desenhe um vetor.

2 Depois, usando a ferramenta (Translação por um Vetor), clique, primeiro, no polígono criado e, em seguida, no vetor traçado para obter uma figura simétrica por translação.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Observe o exemplo do item 2

3 Agora, usando a ferramenta (Distância, Comprimento ou Perímetro), determine as distâncias entre cada vértice da figura original e seu correspondente na segunda figura. Usando a mesma ferramenta, determine a distância entre os dois pontos que ficaram destacados ao desenhar o vetor (comprimento do vetor).

SAIBA QUE

Vetor é um objeto matemático que tem direção, sentido e comprimento.

1. Analisando as medidas obtidas, o que podemos observar?

As distâncias entre cada vértice da primeira figura e seu correspondente são iguais entre si e são iguais ao comprimento do vetor.

2. Com o mouse, clique em um dos pontos que determina o vetor e movimente-o. O que ocorre com a segunda figura criada? A relação existente entre o comprimento do vetor e as distâncias entre os vértices permanece a mesma?

Simetria de rotação

A segunda figura se movimenta na mesma direção do vetor; a relação permanece a mesma: o comprimento do vetor é igual à distância entre cada vértice da primeira figura e seu correspondente na segunda figura.

1 Usando a ferramenta (Polígono), desenhe um polígono qualquer e, usando a ferramenta (Ponto), determine um ponto em qualquer lugar fora do polígono desenhado (esse ponto será o centro de rotação).

2 Depois, usando a ferramenta (Rotação em Torno de um Ponto), clique, primeiro, no polígono construído e, em seguida, no ponto determinado. Escolha o ângulo e o sentido de rotação (anote o valor desse ângulo). Desse modo, uma imagem simétrica é obtida por rotação. Observe um exemplo.

3 Agora, usando a ferramenta (Segmento), desenhe um segmento de reta de um dos vértices do primeiro polígono até o centro de rotação e outro do centro de rotação até o correspondente do vértice considerado. Em seguida, usando a ferramenta (Ângulo), meça o menor ângulo determinado por esses dois segmentos (caso você tenha escolhido um ângulo menor do que 180°) ou o maior ângulo (caso tenha escolhido um maior do que 180°).

1. Comparando a medida do ângulo obtida com a medida escolhida como ângulo de rotação, o que podemos observar?

Se possível, é interessante que os estudantes realizem as construções descritas para cada tipo de simetria utilizando o GeoGebra, de modo a praticar o uso das ferramentas de simetria apresentadas, visando ao desenvolvimento da habilidade EF07MA21.

Ao final, permitir aos estudantes que explorem os diferentes recursos do GeoGebra, auxiliando-os a aprofundar seus conhecimentos, incentivando, inclusive, a investigação de outras funções ainda desconhecidas por eles. Incentivá-los a pesquisar vídeos e sites que ensinam a explorar os recursos dos softwares utilizados, o que propiciará o desenvolvimento de autonomia na aprendizagem.

Saiba que

Ler com os estudantes as condições que determinam um vetor.

2. Faça o mesmo trabalho para os demais vértices do polígono. O que podemos concluir?

As duas medidas são iguais. Todos os ângulos formados possuem a mesma medida, a do ângulo de rotação.

AMPLIANDO

Link

O GEOGEBRA. [S l.], [2022?]. Site. Disponível em: https://ogeogebra.com.br/site/index.php. Acesso em: 16 ago. 2022.

Esse site é todo voltado para o software GeoGebra. Nele, é possível encontrar vários vídeos sobre como usar esse software, desde sua instalação e construções básicas da Geometria até cursos mais complexos do que pode ser feito com o software. A seção do site Perguntas e respostas apresenta alguns tutoriais de co

mo usar o GeoGebra.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Simetria nas produções artísticas

Temas que tratem a diversidade cultural, como os apresentados nesta página, são importantes para o desenvolvimento da empatia e para o desenvolvimento da competência geral 3 e da competência específica 1 da área de Matemática, descritas na BNCC.

Explorar com os estudantes as imagens apresentadas na página, com o objetivo de auxiliar no desenvolvimento da habilidade EF07MA21. Na obra de Maurits Cornelis Escher é possível perceber a translação dos animais e na pintura facial da indígena da etnia

Ashaninka é possível perceber a simetria de reflexão das linhas.

Descubra mais

Exibir o vídeo indicado no boxe, que mostra o significado das pinturas corporais para os indígenas.

Fórum

Propor aos estudantes a leitura compartilhada do texto e do poema concreto de Paulo Leminski apresentado. Com o objetivo de ampliar os conhecimentos acerca da diversidade cultural e colaborar com o desenvolvimento das competências gerais 3, 4 e 9, bem como das competências específicas 3, 4 e 8 da área de Matemática, explicar aos estudantes que o marco histórico da Arte Concreta no Brasil foi o manifesto lançado em 1952 pelo Grupo Ruptura, de São Paulo. Ele foi assinado por diversos artistas visuais, entre eles Waldemar Cordeiro, Luiz Sacilotto, Lothar Charoux, Anatol Wladyslaw e Geraldo de Barros, autor da obra representada na abertura da Unidade. Entre as características da Arte Concreta destacam-se, além do rigor geométrico, a oposição ao abstracionismo, sem implicar uma arte figurativa. Segundo

SIMETRIA NAS PRODUÇÕES ARTÍSTICAS

As simetrias são muito usadas em produções artísticas e culturais. Observe, como exemplo, uma obra do artista gráfico Maurits Cornelis Escher (1898-1972), em que são usadas translações, e um grafismo de pintura corporal da etnia Ashaninka, Aldeia Apiwtxa, em que se podem notar padrões cuja representação plana apresenta simetrias de translação e reflexão.

Indígena da etnia

Ashaninka. Marechal Thaumaturgo (AC), 2021.

DESCUBRA MAIS

E SCHER, Maurits Cornelis. Céu e água I 1938. Xilogravura, 43,4 cm x 43,3 cm. National Gallery of Art.

ARTE indígena – Nossa história: hábitos e cultura. 2019. Vídeo (4min3s). Publicado pelo canal MultiRio. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ky7afsv9bCk. Acesso em: 11 jul. 2022. Esse vídeo trata sobre a arte indígena, incluindo a pintura corporal. O significado das pinturas corporais indígenas têm um papel importante na cultura e na identidade dos povos.

FÓRUM

Movimento da Arte Concreta no Brasil

Na abertura desta Unidade, você observou a obra Função diagonal, de Geraldo de Barros. Esse artista foi um dos representantes do Movimento da Arte Concreta no Brasil cujo auge ocorreu nos anos 1950.

A Literatura também foi influenciada por esse movimento. Artistas, como o poeta Paulo Leminski (19441989), utilizaram efeitos visuais para compor suas obras. Observe o poema “Lua na água”, em que Leminski utilizou a simetria de reflexão para aludir à Lua refletida na água.

Junte-se a um colega para resolver as questões a seguir no caderno.

1. Façam uma pesquisa sobre o Movimento da Arte Concreta no Brasil e as mudanças que ocorreram em virtude dele. Escrevam um texto sobre essa pesquisa.

2. Criem um poema usando alguma transformação geométrica.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Poema “Lua na água”, de Paulo Leminski, publicado no livro Caprichos e Relaxos, de 1983.

1.Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

alguns artistas desse movimento, a linha, o ponto, a cor e o plano não têm significados implícitos e são o que há de mais concreto em uma pintura. Em 1958, os poetas Décio Pignatari, Haroldo de Campos e Augusto de Campos, que já formavam um grupo desde 1952, publicaram o Plano-Piloto para Poesia Concreta. A Poesia Concreta explora a visualidade, estruturando o texto poético de modo a ocupar o espaço em branco do suporte.

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PAULO LEMINSKI

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Quais das figuras a seguir apresentam simetria?

5. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

a) d)

e) b)

a) b)

1 4

c)

2. Indique quantos eixos de simetria tem cada figura.

c) d)

6 Nenhum.

e) 2 f) 4

3. Que pares de figuras a seguir mostram uma reflexão por um eixo e quais mostram figuras simétricas por translação?

I) II) III) IV)

As figuras A , C e E Reflexão por um eixo: II e V; translação: III e VI.

V) VI)

5. Reproduza o quadrilátero e as retas a e b em uma folha de papel quadriculado e, depois, desenhe as figuras simétricas a esse quadrilátero por simetria de reflexão em relação à reta a e em relação à reta b

a b

6. O caleidoscópio é um brinquedo que usa luz e espelhos para criar belos padrões de repetição. Observe a imagem a seguir, produzida em um caleidoscópio, e responda às questões

As atividades deste bloco exploram a noção de simetria, o reconhecimento de figuras simétricas e a identificação de seus eixos de simetria e os três tipos de isometria estudados: a reflexão em uma reta, a translação e a rotação, e as composições entre elas, reforçando assim o desenvolvimento da habilidade EF07MA21, da competência geral 3 e da competência específica 3 da área de Matemática.

Sugere-se que os estudantes realizem essas atividades em duplas, para que a discussão amplie o repertório de estratégias de resolução dos estudantes e consolide a compreensão dos conceitos.

Na atividade 6, pode-se levar caleidoscópios para os estudantes manipularem, ou, caso achar conveniente, sugerir a construção de um caleidoscópio com os estudantes, reforçando assim o desenvolvimento da competência geral 3 e da competência específica 3 da área de Matemática. Para saber mais a respeito da construção de caleidoscópios, acessar o link CONSTRUINDO um caleidoscópio. Clubes de Matemática da OBMEP. [S l.], [20--]. Disponível em: http:// clubes.obmep.org.br/blog/sala -de-atividades-caleidoscopio/ (acesso em: 18 ago. 2022).

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AMPLIANDO

Atividade complementar

O que é necessário para ficar determinada:

a) uma translação?

b) uma rotação?

Resolução da atividade

Nesta atividade, espera-se que os estudantes identifiquem que:

• uma translação está determinada quando são dados a direção, o sentido e a distância do movimento a ser efetuado;

• uma rotação está determinada quando são dados o ângulo que se deve girar, o sentido do giro e o centro da rotação.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na atividade 9, o estudante deve perceber que uma rotação de 180° (no sentido horário ou anti-horário) e centro no ponto O (encontro das nadadeiras dos dois peixes amarelos) leva um peixe amarelo ao outro peixe de mesma cor. Na atividade 10, é interessante apresentar aos estudantes outras imagens da arte ndebele para que identifiquem as transformações geométricas presentes em cada imagem, bem como outras características dessa arte, como as cores vibrantes. Pode-se, ainda, propor uma pesquisa sobre a cultura ndebele e a riqueza da arte desse povo. Os estudantes podem compartilhar o resultado da pesquisa com a turma, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 3 e da competência específica 1 da área de Matemática.

8. a) 180° no sentido horário ou anti-horário.

b) Não, pois o ângulo de rotação entre essas figuras é de 120° no sentido anti-horário, considerando a figura 4 obtida como rotação da figura 2

a) Que tipo de simetria apresenta a imagem formada no interior de um caleidoscópio?

b) Você já viu um caleidoscópio? Em caso afirmativo, converse com um colega sobre como esse caleidoscópio era construído e como era a imagem formada por ele.

6 a) Simetria de reflexão.

7. Reproduza a figura a seguir em uma malha quadriculada e, na mesma malha, desenhe uma figura que apresente, com a primeira, simetria de translação de tal modo que cada vértice da primeira figura esteja a cinco quadradinhos à direita de seu correspondente na segunda figura. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

9. Observe a xilogravura Limite circular III, de Escher, feita em 1959. Note no centro dela os dois peixes na cor laranja. Sabendo que são simétricos, detalhe a simetria que há entre eles.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

a) Qual é o ângulo de rotação entre as figuras 1 e 4?

b) Esse é o mesmo ângulo de rotação entre as figuras 2 e 4? Por quê?

ESCHER, Maurits Cornelis. Limite circular III. 1959. Xilogravura, 41,5 cm x 41,5 cm.

10. O povo ndebele, que vive na África do Sul, tem o costume de estampar sua arte nas paredes de suas casas, como você pode observar na fotografia a seguir.

Vila cultural Ndebele em Botshabelo (África do Sul), 2010.

• Junte-se a um colega, e identifiquem nessa arte figuras simétricas por translação, rotação e reflexão.

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Figura 2. Figura 1.

Figura 4.

b= 60° y= 60°

8. Observe a imagem a seguir, que mostra uma circunferência de centro O e quatro figuras (1, 2, 3 e 4) simétricas entre si por simetria de rotação.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Com base na imagem, responda.

AMPLIAÇÃO

Diferentemente das simetrias, há transformações geométricas que preservam a forma, mas não as dimensões da figura original. É o caso da ampliação de figuras.

Dado um polígono, para obter sua imagem ampliada, basta multiplicar as medidas de seus lados por um mesmo fator de ampliação. Esse fator deve ser um número maior do que 1. Acompanhe o exemplo.

Considere os polígonos A, B e C a seguir.

Polígono B Polígono C Polígono A

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ampliação

Aqui é apresentada uma possibilidade de uso de malhas quadriculadas para fazer a ampliação ou redução de polígonos: aumentar (ou reduzir) a quantidade de quadradinhos que compõem os lados do polígono original segundo o fator de ampliação (ou de redução) solicitado.

Comentar com os estudantes que a redução pode ser realizada multiplicando-se as medidas dos lados por um mesmo fator de redução entre zero e 1.

Atividades

Nesse caso, temos que:

• o polígono B é uma ampliação do polígono A de fator 2 (cada lado do polígono B tem o dobro da medida do lado correspondente no polígono A);

• o polígono C é uma ampliação do polígono A de fator 4 (a medida de cada lado do polígono C é igual à medida do lado correspondente no polígono A multiplicada por 4).

Note que a ampliação mantém o formato da figura original e aumenta suas dimensões sem deformá-la, de acordo com o fator de ampliação.

Já para obter uma redução de um polígono, basta dividir as medidas de seus lados por um mesmo número maior do que 1.

No caso do exemplo, poderíamos dizer que o polígono A é uma redução do polígono B (cada lado do polígono A tem a metade da medida do lado correspondente no polígono B), e que o polígono A é uma redução do polígono C (a medida de cada lado do polígono A é igual à medida do lado correspondente no polígono C dividida por 4).

ATIVIDADE

Responda no caderno.

1. Desenhe em uma mesma malha quadriculada um quadrado cujos lados são compostos de cinco lados de quadradinho, e sua ampliação é de fator 4. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

A atividade proposta nesta página apresenta uma aplicação da ampliação de polígonos por meio da produção de uma ampliação em malha quadriculada pelos estudantes. Solicitar aos estudantes que compartilhem suas construções e estratégias com os colegas, ampliando o raciocínio lógico deles.

Se achar conveniente, pedir aos estudantes que, em duplas, desenhem dois retângulos em uma malha quadriculada com as seguintes condições:

• um retângulo com as medidas: lados menores com medida de 18 lados de quadradinho, e lados maiores com medida de 24 lados de quadradinho;

• um retângulo que seja uma redução do retângulo anterior.

Em seguida, os estudantes deverão trocar o desenho com o colega e cada um deve determinar o fator de redução escolhido pelo colega. Ao final da atividade, solicitar aos estudantes que compartilhem as construções e estratégias adotadas para determinar o fator de redução.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Esta seção explora de maneira intuitiva a escala de maquetes e miniaturas, relacionando-as a reduções do objeto real, valorizando o desenvolvimento das competências específicas 2, 3 e 4 da área de Matemática. Destacar que as miniaturas de monumentos são itens muito comuns em pontos turísticos, tanto no Brasil quanto no exterior. Questionar os estudantes se eles já viram algum monumento ou miniatura de algum monumento, favorecendo assim o desenvolvimento da competência geral 3. Na questão 2, os estudantes precisam atentar ao texto e observar que, já que o fator de redução é sempre o mesmo, para obter qualquer maquete as medidas lineares reais (do objeto original) foram divididas por 25 (valor encontrado na questão 1). Além disso, eles devem ter atenção também ao fato de que, como as medidas dadas são de figura reduzida (maquete), para obter as medidas correspondentes na construção original, devem pensar em uma ampliação de fator 25.

MAQUETES E MINIATURAS

As maquetes reproduzem, em tamanho reduzido, uma construção, um objeto ou um projeto arquitetônico. Elas geralmente são usadas para mostrar o visual de novas construções ou de um planejamento urbano.

As maquetes podem ser feitas de diferentes materiais, como plástico, metal, madeira e papel, mas existem também as maquetes virtuais, criadas por meio de programas de computador que mostram, com detalhes, um lugar ou uma construção em tamanho reduzido.

No Japão, existe um parque temático, o Tobu World Square, com dezenas de maquetes de lugares famosos e réplicas históricas de todo o mundo. São 102 maquetes, representando 21 países. Responda às questões no caderno.

1. Se a maquete da Torre Eif fel, construída no parque do Japão, tem 13 m de altura, e a Torre Eiffel original, em Paris, tinha cerca de 325 m de altura na ocasião, por qual número foi dividida a altura da torre original para obter a altura dessa maquete?

2. Sabendo que, nesse parque, todas as maquetes têm a mesma escala de redução, ou seja, todas tiveram as dimensões originais divididas pelo mesmo número para a produção das maquetes, e sabendo que a maquete do Arco do Triunfo tem cerca de 200 cm de altura e 180 cm de largura, quais são as medidas reais, em metro, desse monumento?

Miniatura da Torre Eiffel em exposição no Parque Tobu World Square. Nikko (Japão), 2016.

3. Miniaturas, assim como maquetes, são reduções de objetos, animais ou pessoas. Existem miniaturas de carros, trens, aviões, personagens de filmes e desenhos que são, em geral, colecionáveis.

As miniaturas de carros colecionáveis estão disponíveis para o público com uma ampla variedade de opções, em diferentes escalas de redução, para todos os tipos de colecionador. Uma das escalas populares, quando se trata de miniaturas de carros, é 1 : 24, o que significa que as réplicas têm suas medidas calculadas a partir do tamanho original dividido por 24.

Considere um carro cujas dimensões são 5 400 mm de comprimento, 2 040 mm de largura e 1 416 mm de altura. Quais são as dimensões de sua miniatura na escala 1 : 24?

Altura: cerca de 50 m; largura: 45 m. 225 mm por 85 mm por 59 mm.

Por 25.

CAPÍTULO3 TRANSFORMAÇÕES NO PLANO CARTESIANO

SISTEMA DE COORDENADAS

Um sistema de coordenadas é composto de duas retas numéricas (eixos), que se cruzam na origem e formam entre si quatro ângulos de 90° (eixos perpendiculares), determinando um plano chamado de plano cartesiano

O par ordenado de números (x, y) representa as coordenadas de um ponto do plano cartesiano. A primeira coordenada indica a posição do ponto em relação ao eixo horizontal (eixo x) e é chamada de abscissa do ponto, e a segunda coordenada indica a posição do ponto em relação ao eixo vertical (eixo y) e é chamada de ordenada do ponto.

Cada uma das quatro regiões em que o plano fica dividido é denominada quadrante O polígono A está no 1o quadrante.

Observe a representação no plano cartesiano de um quadrilátero cujas coordenadas dos vértices são (1, 2), (5, 2), (2, 4) e (4, 4). Vamos chamar esse quadrilátero de polígono A

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Transformações no plano cartesiano

Entre as transformações apresentadas no plano cartesiano, são trabalhadas a reflexão em torno de um dos eixos e a reflexão em torno da origem (0, 0).

Se julgar oportuno, retomar com os estudantes a representação de pontos no plano cartesiano conhecendo suas coordenadas, dadas por pares ordenados (x, y), e identificando o quadrante ou sobre que eixo esses pontos se encontram.

Aqui, o objetivo não é destacar o nome de cada coordenada (abscissa para x e ordenada para y), mas apresentar essa nomenclatura aos estudantes.

Explorar também a identificação das coordenadas de pontos marcados no plano cartesiano, verificando se os estudantes determinam com facilidade as coordenadas desses pontos.

Saiba que

Explorar o termo quadrante com os estudantes.

Neste capítulo, estudaremos o modo como podemos aplicar transformações geométricas em polígonos representados no plano cartesiano, considerando suas coordenadas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ampliação

No trabalho com malhas quadriculadas, já mostramos transformações que ampliam ou reduzem figuras de polígonos. Em seguida, estendemos esse estudo para ampliações e reduções por meio do plano cartesiano, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA19.

Após apresentar o exemplo de ampliação dado, propor aos estudantes outra figura de polígono na malha quadriculada para que eles façam uma redução. Por exemplo, reduzir a figura de um paralelogramo de vértices (4, 4), (14, 4), (16, 12) e (6, 12) com fator de redução de um meio. (Resposta: paralelogramo de vértices (2, 2), (7, 2), (8, 6) e (3, 6).)

AMPLIAÇÃO

Quando multiplicamos as abscissas (ou as ordenadas, ou ambas) dos pontos de um polígono por um mesmo número, obtemos um segundo polígono, que é uma transformação geométrica do polígono original.

De maneira prática, podemos efetuar essa multiplicação considerando apenas as coordenadas dos vértices do polígono original e, depois, traçar os lados considerando os vértices desse novo polígono.

Por exemplo, multiplicando por 3 as coordenadas dos vértices do polígono A, obtemos os pontos (3, 6), (15, 6), (6, 12) e (12, 12). Podemos desenhar um novo quadrilátero (polígono B) cujos vértices têm essas coordenadas, como mostra a figura.

Observe que o polígono B é um trapézio que tem o mesmo formato do trapézio original (polígono A); alterou a posição e aumentou as dimensões, sem sofrer deformações; nesse caso, os lados do trapézio obtido medem três vezes a medida dos lados correspondentes do trapézio original. Ou seja, realizamos uma ampliação de fator 3. Sempre que multiplicamos as coordenadas dos pontos de um polígono por um mesmo número maior do que 1, realizamos uma ampliação no plano cartesiano.

REFLEXÃO

Vamos, agora, observar outra transformação aplicada ao polígono A, obtida por meio da multiplicação das ordenadas de todos os pontos do polígono A por 1. Os vértices da imagem dessa transformação (polígono C ) têm coordenadas (1, 2), (5, 2), (2, 4) e (4, 4). Podemos desenhar o polígono C cujos vértices têm essas coordenadas, como mostra a figura.

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Nessa transformação, obtivemos uma figura simétrica à original por reflexão em relação ao eixo x. Isso acontece sempre que multiplicamos as ordenadas de todos os pontos de uma figura por 1.

Agora, vamos multiplicar apenas as abscissas dos pontos do polígono A por 1.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os vértices da imagem dessa transformação (polígono D) têm coordenadas ( 1, 2), ( 5, 2), ( 2, 4) e ( 4, 4). Podemos desenhar o polígono D cujos vértices têm essas coordenadas, como mostra a figura.

O polígono C está no 4 o quadrante, e o polígono D está no 2o quadrante.

Nessa transformação, obtivemos uma figura simétrica à original por reflexão em relação ao eixo y. Isso acontece sempre que multiplicamos as abscissas de todos os pontos de uma figura por 1.

Observe, agora, o que acontece quando multiplicamos as coordenadas (abscissas e ordenadas) dos pontos do polígono A por 1.

Considerando os vértices do polígono A, (1, 2), (5, 2), (2, 4) e (4, 4), obtemos o polígono E cujos vértices são os pontos ( 1, 2), ( 5, 2), ( 2, 4) e ( 4, 4).

Para verificar se os estudantes compreenderam como é feita a reflexão em relação a uma reta e favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA19 e EF07MA20, perguntar como fariam para obter uma reflexão do polígono A em relação ao eixo vertical ( y). Espera-se que os estudantes respondam que é necessário multiplicar apenas a coordenada do eixo horizontal ( x) de todos os vértices desse polígono por 1.

Saiba que

Pedir aos estudantes que observem os valores das abscissas e das ordenadas dos polígonos C e D, relacionando-os aos respectivos quadrantes.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Saiba que Propor aos estudantes que comparem as coordenadas dos polígonos A e E, dispostos no 1o e no 3o quadrante, respectivamente.

Atividades

As atividades deste bloco exploram as transformações geométricas estudadas para polígonos representados no plano cartesiano e ampliações e reduções por meio de malhas quadriculadas, promovendo assim o desenvolvimento das habilidades EF07MA19 e EF07MA20.

A transformação realizada nesse caso é chamada de reflexão em relação a um ponto (no caso, a origem (0, 0) do sistema de coordenadas), e o polígono E tem a mesma forma e as mesmas dimensões da figura original, ou seja, obteve-se um trapézio simétrico ao original em relação à origem.

Uma reflexão em relação a um ponto corresponde a uma rotação em relação ao ponto de ângulo 180° no sentido anti-horário ou horário.

Sempre que multiplicamos as coordenadas dos pontos de um polígono por 1, realizamos uma reflexão em relação à origem do plano cartesiano.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

O polígono E está no 3o quadrante.

1. Observe os polígonos representados no plano cartesiano a seguir.

• Foi aplicada uma transformação geométrica ao polígono ABC, gerando o polígono A’B’C’. Podemos afirmar que A’B’C’:

a) é uma redução de ABC.

b) é uma ampliação de ABC.

c) é simétrico a ABC em relação à origem (0, 0).

d) é simétrico a ABC em relação ao eixo vertical y

e) é simétrico a ABC em relação ao eixo horizontal x

• Determine as coordenadas dos vértices do polígono PQR, simétrico ao polígono ABC em relação ao eixo x, e do polígono STU, simétrico ao polígono ABC em relação ao eixo y. Copie o plano cartesiano e o polígono ABC em uma malha quadriculada e represente nesse plano os polígonos PQR e STU.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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2. Des creva a transformação que você deve fazer para refletir um polígono do 4o quadrante para o 3o quadrante sem alterar suas dimensões e forma.

3. Considere os polígonos a seguir.

5 c) Ele é uma ampliação de fator 2 do original, mas localizado no 2o quadrante do plano cartesiano.

5. Em um plano cartesiano, desenhe um triângulo com vértices nos pontos (1, 1), (6, 3) e (4, 4). Multiplique por 1 apenas as abscissas de cada vértice e, depois, por 2 todos os valores das coordenadas obtidas.

a) Quais são as coordenadas dos novos pontos obtidos ao final desse processo?

b) Desenhe no mesmo plano o triângulo obtido com vértices nessas coordenadas.

c) O que aconteceu com o triângulo gerado nesse processo em relação ao original?

6. A partir de um polígono com os vértices nos pontos (2, 2), (6, 2), (6, 5), (4, 6) e (2, 5), faça duas transformações: uma ampliação de fator 2 do polígono original e, em seguida, uma reflexão dessa imagem em relação à origem.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

No item a da atividade 6, multiplicam-se por 1 todos os valores das coordenadas dos vértices do polígono original para refletir (em relação à origem) no 3 o quadrante e, depois, multiplicam-se por 2 todos os valores das coordenadas obtidas para fazer uma ampliação de fator 2, obtendo dessa maneira as coordenadas dos vértices do polígono gerado ao final: ( 4, 4), ( 12, 4), ( 12, 10), ( 8, 12) e ( 4, 10).

a) Quais são as coordenadas dos vértices do polígono P ? E do polígono Q?

b) Qual foi o fator da ampliação do polígono P para o polígono Q?

4. Usando papel quadriculado, represente em um plano cartesiano o quadrado com vértices de coordenadas ( 1, 1), ( 1, 5), ( 5, 1) e ( 5, 5).

a) Em que quadrante esse quadrado foi representado?

No 3o quadrante.

b) Descreva o que acontece com esse quadrado quando se multiplicam todas as abscissas de seus pontos por 1. Quais serão as coordenadas dos vértices do quadrado obtido?

c) Descreva o que acontece com esse quadrado quando se multiplicam todas as ordenadas de seus pontos por 1. Quais serão as coordenadas dos vértices desse quadrado?

d) Represente no plano cartesiano o polígono obtido quando se multiplicam todas as coordenadas dos vértices do quadrado original por 2. Descreva a imagem obtida por essa transformação.

a) Quais são as coordenadas dos vértices do polígono obtido?

b) Usando uma malha quadriculada, desenhe no mesmo plano cartesiano o polígono final e o original.

7. Observe o polígono.

a) O que deve ser feito com as coordenadas dos pontos desse polígono para se obter uma ampliação dele, de fator 2, no 4o quadrante? Quais serão as coordenadas dos vértices do polígono ampliado?

b) Usando uma malha quadriculada, represente no plano cartesiano o polígono original e o polígono ampliado.

2 Multiplicar por 1 apenas as abscissas dos pontos do polígono.

5 b) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3 a) Polígono P: (2, 3), (8, 3), (8, 6), (6, 4) e (4, 6). Polígono Q: (4, 6), (16, 6), (16, 12), (12, 8) e (8, 12).

Fator 2.

4 d) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

4 c) Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

4 b) Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Pedir aos estudantes que leiam as informações apresentadas no texto e na tirinha. Incentivá-los a compartilhar os conhecimentos que possuem acerca do assunto e os detalhes que lhes chamaram mais a atenção. Esta atividade poderá ser ampliada nas aulas de Língua Portuguesa ou Geografia, favorecendo assim o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática, lembrando os ecossistemas que podem ser prejudicados pelo descarte incorreto de lixo e as características dos gêneros textuais tirinhas e charges.

Quanto à proposta do projeto de descarte correto, relacionado ao Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, retomar com a turma a importância do trabalho em equipe, do planejamento e da identificação e do respeito aos papéis e responsabilidades de cada integrante de um grupo. Convidar os estudantes a se reunir em quartetos (de preferência, com as pessoas de pouco convívio) para que possam realizar uma pesquisa e uma apresentação sobre o descarte de lixo (incluindo o lixo eletrônico) e o que podem fazer na comunidade para melhorar a situação. Esse projeto colabora com o desenvolvimento das competências gerais 1, 6, 7, 8, 9 e 10, bem como das competências específicas 1, 3, 6, 7, 8 da área de Matemática, ao valorizar a diversidade de saberes, favorecer o cuidado com a saúde, a interação entre os pares de forma cooperativa, a empatia, a argumentação, a autonomia e o enfrentamento de situações em múltiplos contextos.

EDUCAÇÃO AMBIENTAL – ARTE E LIXO

Segundo a lei no 9.795, de 27 de abril de 1999, Educação Ambiental são os processos por meio dos quais o indivíduo e a coletividade constroem valores sociais, conhecimentos, habilidades, atitudes e competências voltados para a conservação do meio ambiente.

A Educação Ambiental é uma ferramenta de fundamental importância na busca pelo desenvolvimento sustentável, pois proporciona um amplo processo de alfabetização e conscientização ecológica. Conforme definido no Seminário de Belgrado, em 1975, a meta da Educação Ambiental é:

Desenvolver uma população mundial que esteja consciente e preocupada com o meio ambiente e com os problemas que lhe são associados, e que tenha conhecimento, habilidade, atitude, motivação e compromisso para trabalhar individual e coletivamente na busca de soluções para os problemas existentes e para a prevenção de novos.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria do Meio Ambiente. Educação Ambiental e desenvolvimento: documentos oficiais. São Paulo: SMA, 1994. p. 12. Disponível em: http://arquivos.ambiente.sp.gov.br/cea/cea/EA_DocOficiais.pdf. Acesso em: 11 jul. 2022.

Por ser um tema de grande relevância para toda a sociedade, diversas campanhas são realizadas para conscientizar a população. Diversos segmentos da sociedade reconhecem o problema e buscam expressar em seu trabalho essa preocupação, também por meio da arte.

Leia a tirinha a seguir.

O artista argentino Joaquín Salvador Lavado Tejón (1932-2020), mais conhecido como Quino, aborda nessa tirinha o problema do descarte das pilhas e baterias de uso doméstico. Essa preocupação do artista vem do fato de que esses dispositivos representam um grande perigo para o meio ambiente quando descartados incorretamente.

Quando em funcionamento, pilhas e baterias não oferecem riscos, uma vez que o perigo está contido em seu interior. Já quando são descartadas incorretamente, a cápsula que as envolve passa por deformações (amassa ou estoura) e deixa vazar as substâncias tóxicas existentes em seu interior. Na composição desses dispositivos são encontrados metais pesados, como cádmio, chumbo e mercúrio, os quais são extremamente perigosos à saúde humana e à de outros seres vivos.

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QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 1991. p. 185.

O Brasil e a arte que vem do lixo

Como a produção e o descarte de lixo são assuntos tão relevantes para a sociedade, é de se imaginar que o Brasil e sua arte também estejam engajados com esse assunto.

Artistas como Vicente José de Oliveira Muniz (1961-), mais conhecido como Vik Muniz, e Ubiratan Fernandes (1958-) são exemplos de artistas brasileiros que utilizam o lixo como matéria-prima para sua arte. As obras deles buscam, além de reutilizar materiais que foram descartados, mostrar a beleza que pode ser gerada por meio do lixo e chamar a atenção para o lixo descartado.

Observe, a seguir, uma obra de Ubiratan Fernandes, idealizador do projeto Tampart.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A separação do lixo é feita por meio de cestos com diferentes cores, que identificam diferentes tipos de resíduo, facilitando a coleta. Essas cores são padronizadas de acordo com uma resolução do Conselho Nacional do Meio Ambiente (Conama). Confira os padrões:

– azul: papel/papelão;

– vermelho: plástico;

– verde: vidro;

– amarelo: metal;

– preto: madeira;

– laranja: resíduos perigosos;

– branco: resíduos ambulatoriais e de serviços de saúde;

– roxo: resíduos radioativos;

– marrom: resíduos orgânicos;

– cinza: resíduo geral não reciclável ou misturado, ou contaminado não passível de separação.

Agora, responda às questões.

1. Você tem algum equipamento que funciona utilizando pilhas ou baterias? Se sim, como você descarta aquelas que não são mais utilizadas? Converse com os colegas sobre o assunto.

2. Faça uma pesquisa de como devem ser descartadas as pilhas, as baterias de celulares e demais componentes eletrônicos. Converse com os colegas e o professor, e, juntos, elaborem uma campanha a fim de mobilizar a comunidade escolar e a do bairro onde moram sobre a importância do descarte correto desses componentes.

3. Nesta Unidade, você estudou simetria e transformações geométricas. Reúna-se a alguns colegas, e, utilizando materiais de descarte, criem uma produção artística envolvendo os conceitos estudados. Depois, façam uma exposição das obras criadas. Respostas pessoais. Exemplos de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

AMPLIANDO

Link

MINISTÉRIO DO MEIO AMBIENTE. Brasília, DF, [2022]. Site. Disponível em: https://www.gov.br/mma/pt-br.

Acesso em: 16 ago. 2022.

Acessando esse site, os estudantes poderão obter mais informações sobre educação ambiental.

Pedir aos estudantes que leiam e respondam aos questionamentos. Incentivá-los a justificar suas respostas. Conversar com a turma sobre a importância da escuta atenta e isenta de julgamento e, ainda, a pertinência do uso de exemplos e argumentos que sustentem nosso entendimento a respeito de determinado tema. A produção artística solicitada na atividade 3 favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA21.

Painel feito com tampas plásticas que formam o oceano e suas criaturas, do artista Ubiratan Fernandes, na 1a Bienal do Lixo, São Paulo (SP), 2022.

ALOISIO MAURICIO/FOTOARENA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades desta seção é propiciar aos estudantes que retomem os conteúdos estudados na Unidade, ampliando o desenvolvimento das habilidades EF07MA06, EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21. As atividades propostas envolvem diferentes linguagens (visual e escrita), favorecendo assim o desenvolvimento da competência geral 4.

Se achar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos estudantes que façam um fichamento dos conteúdos trabalhados nesta Unidade, com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições.

Os estudantes podem fazer essas questões como uma autoavaliação; por isso, eles devem respondê-las individualmente. É interessante sugerir que realizem essas atividades em sala de aula, assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. Orientá-los a consultar o Livro do estudante para tirar dúvidas e buscar informações. Caso seja necessário, fazer retomadas para sanar as dúvidas que possam surgir.

Enfatizar a necessidade de resolverem os exercícios individualmente, buscando informações de maneira autônoma, escolhendo suas fontes para chegar aos resultados. Conversar com os estudantes sobre seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado. Será valioso para o desenvolvimento da autonomia intelectual dos estudantes que percebam seus processos de aprendizagem, suas dificuldades e a busca de informações.

RETOMANDO APRENDEU O QUE

Responda às questões no caderno.

1. Considere os polígonos identificados a seguir.

• Triângulo: as coordenadas dos vértices são (1, 4), (9, 4) e (9, 1).

• Retângulo: tem um lado sobre o eixo x e dois vértices com coordenadas (1, 3) e (6, 3). Agora, faça o que se pede.

a) Usando uma folha de papel quadriculado, represente cada polígono em um plano cartesiano.

b) Efetue uma transformação no triângulo, de modo que se obtenha outro triângulo com as mesmas dimensões e na posição oposta em relação ao eixo x. Descreva o que foi feito.

A ordenada de cada vértice foi multiplicada por 1.

c) Efetue a seguinte transformação no retângulo: multiplique por 1 a ordenada de cada vértice e depois por 2 todos os valores das coordenadas obtidas.

d) Determine as coordenadas dos polígonos transformados em cada caso.

2. Considere a figura a seguir.

1 a) e c) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3. Observe as figuras a seguir e identifique a resposta correta.

Escolha um fator de ampliação e desenhe a figura ampliada.

Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Se ainda persistirem dúvidas, orientar a trocar ideias com os colegas e a buscar no Livro do estudante os conceitos que precisarem lembrar.

Dar oportunidade para os estudantes mostrarem como pensaram para resolver as questões, tirando as dúvidas dos colegas.

As medidas dos lados da figura A foram ampliadas quantas vezes para a obtenção da figura B?

a) Três vezes.

Alternativa d.

b) Duas vezes e meia.

c) Duas vezes.

d) Uma vez e meia.

4. Uma figura obtida por meio de uma transformação de um polígono representado no 1o quadrante está localizada no 4o quadrante. Além disso, os lados dessa figura têm o triplo das medidas dos lados correspondentes do polígono original. Descreva como essa figura foi obtida

5. Reproduza esta figura em uma folha de papel quadriculado e faça o que se pede.

a) Desenhe uma figura simétrica por reflexão em relação à reta que passa pelos vértices E e F

b) Desenhe uma figura simétrica por uma translação na direção vertical de cima para baixo com a distância 2 BC.

c) Desenhe uma figura simétrica por uma rotação de 180° no sentido anti-horário com centro no ponto E

4. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1 d) Triângulo: (1, 4), (9, 4) e (9, 1). Retângulo: (2, 6), (12, 6), (2, 0) e (12, 0).

6. Uma translação na direção horizontal da direita para a esquerda de 15 cm de distância.

6. A figura 1 e a figura 2 são simétricas. Identifique a simetria que há entre elas e os valores envolvidos nessa simetria.

10 cm

7. Desenhe uma figura na malha quadriculada e elabore uma atividade sobre transformação no plano. Entregue sua atividade para um colega resolver e resolva a atividade elaborada por ele.

DESAFIO

Resposta pessoal.

é o “giro” de uma figura ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A figura sofreu cinco transformações isométricas, nessa ordem:

1a) Reflexão no eixo x ;

Alternativa c.

2a) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto A;

3a) Reflexão no eixo y ;

4a) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto A;

5a) Reflexão no eixo x.

Qual a posição final da figura? a) b)

d) e)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações relacionadas às habilidades EF07MA06, EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade.

A primeira questão recapitula as transformações de um polígono representado no plano cartesiano.

c)

UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, estudamos como uma figura pode apresentar simetria e como figuras podem ser simétricas entre si por reflexão em relação a um eixo, bem como por translação e por rotação em torno de um centro. Além disso, estudamos transformações geométricas de figuras planas, em particular de polígonos. Exploramos, também, algumas transformações de polígonos representados no plano cartesiano conhecendo as coordenadas de seus vértices. Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

Multiplicando as coordenadas dos vértices por um número não nulo.

• Conhecendo as coordenadas dos vértices de um polígono, como podemos fazer transformações no plano cartesiano com esse polígono?

• O que é fator de ampliação?

É o número maior do que 1 pelo qual se multiplicam todas as medidas dos lados de um polígono para obter sua ampliação.

• Se uma pessoa desenhasse uma figura utilizando o software GeoGebra e quisesse fazer uma figura simétrica a ela por rotação, como você a ensinaria a fazer isso?

Na segunda questão, os estudantes são levados a expor o que entenderam sobre fator de ampliação. Se julgar adequado, pode-se ampliar perguntando também sobre o fator de redução.

Na terceira questão, uma possível semelhança pode ser o fato de todas essas transformações preservarem a forma e o tamanho das figuras. Uma diferença pode ser sobre os elementos que caracterizam cada uma dessas transformações:

• na reflexão em uma reta, é a reta que determina a transformação;

• na translação, precisamos de uma direção, um sentido e uma dada distância fixa;

• e, na rotação, necessitamos do ângulo de rotação, do sentido do giro e do centro de rotação. A última questão retoma o uso do GeoGebra para construir uma figura simétrica por rotação.

Figura 2Figura 1. Figura 2.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

VANESSA NOVAIS

REPRODUÇÃO/ENEM, 2018. REPRODUÇÃO/ENEM, 2018.

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Competências gerais:

• 2, 4 e 7

Competências específicas:

• 2, 3 e 6

Habilidades: Números

• EF07MA05

• EF07MA06

• EF07MA07

• EF07MA08

• EF07MA09

• EF07MA10

• EF07MA11

• EF07MA12

Probabilidade e estatística

• EF07MA35

Tema Contemporâneo

Transversal:

• Vida Familiar e Social

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em sete capítulos. No primeiro capítulo, os estudantes ampliam ideias acerca dos números racionais com base nas representações desses números na forma fracionária e na forma decimal. Além disso, estabelecem associações de pontos na reta numérica com representações desses números para compará-los e ordená-los, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF07MA08 e EF07MA10.

Do segundo ao sexto capítulo, as operações envolvendo números racionais são exploradas com base em contextos abrangendo a resolução e elaboração de problemas e, assim, propiciando que as habilidades EF07MA11 e EF07MA12 sejam trabalhadas. Para a resolução dos problemas, os estudantes mobilizam processos cognitivos relacionados às habilidades EF07MA08 e EF07MA09. Destaca-se, no quinto capítulo, a representação, por meio de um fluxograma, do cálculo da potenciação de números racionais com expoente inteiro, visando levar os estudantes à compreensão de como os fluxogramas constituem importante representação do percurso das etapas de procedimentos de cálculos matemáticos a serem aplicados na resolução de problemas. Esse trabalho

O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 4

Em determinadas situações do dia a dia, usamos números com vírgula para expressar algumas medidas. Dizemos que esses números são escritos na forma decimal e, assim como os números na forma de fração, são chamados de números racionais.

Observe na imagem alguns números usados para indicar:

1. a distância entre duas cidades;

2. a massa dos alimentos de uma refeição em um restaurante e o preço cobrado por essa refeição;

3. a altura máxima permitida para tráfego de veículos sob viadutos;

4. as medidas de um móvel;

5. a altura de um prédio;

6. a temperatura de armazenamento de sorvetes;

7. o tempo de viagem entre duas cidades.

vincula-se às competências específicas 2 e 6 da área de Matemática e às habilidades EF07MA05, EF07MA06 e EF07MA07.

No sétimo capítulo, o enfoque está relacionado à habilidade EF07MA35 e, na seção Tratamento da informação, à competência específica 3 da área de Matemática. A seção Fórum abrange temática e reflexão envolvendo o Tema Contemporâneo Transversal Vida Familiar e Social, colaborando para o desenvolvimento das competências gerais 4 e 7.

OBJETIVOS

• Ampliar a compreensão dos números racionais.

• Resolver e elaborar problemas que envolvem operações com números racionais.

• Calcular e interpretar média aritmética e média aritmética ponderada de acordo com o contexto.

• Analisar representação em fluxograma das etapas de cálculo da potenciação de números racionais com expoente inteiro.

Representação de situações de uso de números em um bairro urbano.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ALEX SILVA

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Agora, responda no caderno.

• Você se lembra de alguma situação do dia a dia em que são usados números racionais na forma decimal?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para expressar valores em reais, massas, comprimentos.

• Na imagem, qual é o número usado para indicar o valor a pagar pela refeição? E a temperatura de armazenamento dos sorvetes?

19,21; 18,5

• Com a ajuda do professor, use uma fita métrica para medir sua altura. Registre essa medida usando um número na forma decimal.

A imagem de abertura desta Unidade aborda a presença dos números racionais no dia a dia. Sugere-se ler com os estudantes os textos e pedir a eles que respondam, no caderno, às questões. Em seguida, pode-se solicitar que deem outros exemplos dos números racionais no cotidiano, tanto representações na forma decimal quanto na forma de fração. Questioná-los se conhecem situações em que operações envolvendo esses números ocorrem. Podem ser mencionadas situações envolvendo receitas, no campo culinário, em que alterações de ingredientes necessitam da aplicação de conhecimentos voltados à adição de frações, por exemplo. Outra possibilidade é mencionar a multiplicação de números expressos na forma decimal, por exemplo, utilizada em contextos nos quais precisamos calcular áreas de cômodos para revestir o piso com lajotas de cerâmica cujas medidas possam ser não exatas e, por isso, expressas por números na forma decimal. Esses questionamentos iniciais têm o objetivo de mapear os conhecimentos que os estudantes já detêm sobre números racionais a fim de identificar os diferentes perfis que compõem a turma e ressaltar para eles que são muitas as situações cotidianas nas quais são aplicados os conhecimentos matemáticos explorados nesta Unidade.

• Reconhecer a existência de diferentes estruturas familiares na sociedade contemporânea

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Justifica-se a importância de os estudantes ampliarem a compreensão acerca dos números racionais dado os muitos contextos nos quais esses números estão envolvidos. Além disso, os estudantes interagem diariamente com esses números, realizando, por exemplo, adições,

multiplicações e divisões de números expressos na forma de fração ou na forma decimal.

O trabalho com fluxograma permite desenvolver, nos estudantes, o pensamento computacional, evidenciando a relevância desse objetivo.

A importância do debate proposto no boxe Fórum acerca dos tipos de família é justificada pelo fato de os estudantes exercitarem o respeito e a empatia para com essas diferenças.

ALEX SILVA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os números racionais

É importante que os estudantes mobilizem conhecimentos para resolver problemas. Portanto, as intervenções e escolhas do professor são essenciais para que os estudantes construam o conhecimento matemático a respeito do conjunto dos números racionais.

Explorar cada uma das três situações apresentadas na página do Livro do estudante. A cada situação, comentar o contexto, propondo colocações que não sejam prontas nem transmissivas para que os estudantes argumentem e complementem as ideias. Por exemplo, na situação 1, dependendo do local em que a escola se situa, pode-se fazer contraponto entre as temperaturas registradas no município em que os estudantes residem e as temperaturas negativas mencionadas. Com isso, pode-se levar os estudantes a comparar aspectos voltados ao fato de que muito calor ou muito frio não favorece o cultivo de plantações prejudicando a agricultura, por exemplo.

Já na situação 2, também de acordo com a realidade do entorno da escola, é possível pedir aos estudantes que produzam inferências e argumentem o porquê de os dados apresentados sobre a frota de automóveis indicarem a região Sudeste e a região Sul como regiões de concentração de mais da metade do total da frota conforme a fonte desses dados. Espera-se que os estudantes produzam análises com base no fato de que são regiões em que há mais concentração de áreas urbanas, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 7.

OS NÚMEROS RACIONAIS CAPÍTULO1

Considere as situações a seguir.

1 No município de São Joaquim, em Santa Catarina, foram registradas, em um dia de junho de 2021, a temperatura mínima de 1 ° C e a temperatura máxima de +7 ° C. Podemos expressar essas temperaturas da seguinte maneira.

O número 1 é um exemplo de número racional inteiro negativo, enquanto o número +7 é um exemplo de número racional inteiro positivo

Relógio de rua em São Joaquim (SC), 2021.

2 Em janeiro de 2022, o Brasil tinha uma frota de aproximadamente 59,3 milhões de automóveis. Dessa frota, mais da metade

se concentrava na Região Sudeste, e mais de um quinto 1

estava na Região Sul

Os números 1 2 e 1 5 são exemplos de números racionais positivos escritos na forma de fração. Vale lembrar:

• 1 2 = 1 : 2

• 1 5 = 1 : 5

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Infrestrutura. Frota de veículos – 2022. Brasília, DF: Ministério da Infraestrutura, 2 mar. 2022. Disponível em: https://www.gov.br/infraestrutura/pt-br/assuntos/transito /conteudo-Senatran/frota-de-veiculos-2022. Acesso em: 7 jul. 2022.

3 Este gráfico mostra a variação, em porcentagem (%), da produção de leite de cinco regiões de um país, em relação ao ano anterior. De acordo com o gráfico, as regiões B, C e E apresentaram crescimento na produção de leite, enquanto as regiões A e D mostraram queda na produção.

Produção de leite por região (2021)

Variação da produção (em %)

Fonte: Dados fictícios.

Na situação 3, favorecendo a compreensão das relações entre os campos da Matemática, Aritmética e Estatística, de acordo com a competência específica 3 da área de Matemática, pedir aos estudantes que interpretem os dados apresentados no gráfico com base no que é apresentado no texto.

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WAGNER URBANO ONJACK/FUTURA PRESS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os números +2,5, +0,9 e +1,8 são exemplos de números racionais positivos escritos na forma decimal.

Os números 1,2 e 2,7 são exemplos de números racionais negativos escritos na forma decimal.

Esses números também podem ser expressos na forma de fração e indicam o quociente de dois números inteiros.

• +2,5 =+ 25 10 = (+25) : 10

• +0,9 =+ 9 10 = (+9) : 10

• +1,8 =+ 18 10 = (+18) : 10

• 1,2 = 12 10 = ( 12) : 10

• 2,7 = 27 10 = ( 27) : 10

Podemos dizer que todo número racional é o resultado de uma divisão de números inteiros, em que o divisor é diferente de zero. De modo geral:

São números racionais todos aqueles que podem ser escritos na forma a b , com a e b inteiros e b 5 0.

Os números racionais positivos, negativos e o zero formam o conjunto numérico denominado conjunto dos números racionais. Esse conjunto é representado pela letra q

MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO RACIONAL

A exemplo do que estudamos no conjunto dos números inteiros, temos:

• O módulo, ou valor absoluto, de + 5 3 é + 5 3 , ou apenas 5 3

Indica-se: 5 3 5 3 +=+ ou 5 3 5 3 +=

• O módulo, ou valor absoluto, de 3 7 é + 3 7 , ou apenas 3 7

Indica-se: 3 7 3 7 _= + ou 3 7 3 7 _=

• O módulo, ou valor absoluto, de 2,63 é +2,63, ou apenas 2,63.

Indica-se: | 2,63| =+2,63 ou | 2,63| = 2,63.

Quando dois números racionais de sinais contrários têm o mesmo módulo, são chamados de opostos ou simétricos. Observe alguns exemplos de números opostos.

• + 2 3 e 2 3

• 15 e 15.

• +1 e 1.

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Módulo ou valor absoluto de um número racional

O trabalho com módulo ou valor absoluto de um número racional apresentado nesta página do Livro do estudante se complementa com o da página 100 na abordagem sobre reta numérica. Isso porque, na reta numérica, os estudantes podem visualizar a representação dos números opostos ou simétricos mencionados nesta página, percebendo entre cada um deles e o zero (origem) na reta numérica relações de distância que são iguais.

• 3,5 e +3,5.

• +0,32 e 0,32.

• 7 3 e + 7 3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Este bloco de atividades trabalha o reconhecimento e a identificação de números racionais, bem como a interpretação, produção e comparação de escritas desses números na forma fracionária e na forma decimal.

Na atividade 2 , retomar com os estudantes as ideias de frações equivalentes. Caso eles demonstrem dificuldade, estabelecer correspondências entre as representações na forma de fração e de figuras que podem ser desenhadas na lousa para que visualizem a equivalência entre a fração indicada em cada item e a respectiva forma fracionária simplificada obtida em cada resposta.

Na atividade 4, retomar com os estudantes os conjuntos dos números n , z e q

Desse modo, eles terão como analisar a qual desses conjuntos pertence cada número apresentado.

• Conjunto dos números naturais.

n= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}

• Conjunto dos números inteiros.

z= {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

• Conjunto dos números racionais.

q=[z5 a b ,a eb eb 0

A reta numérica

Explorar a ampliação dos conjuntos numéricos e a comparação dos números racionais nas duas formas (decimal e de fração) com o suporte da reta numérica é um trabalho que favorece o desenvolvimento da habilidade de reconhecer, ordenar e comparar números racionais.

Com base na situação 1 na página 100 do Livro do estudante

Responda às questões no caderno.

1. Vítor e Helena partiram de Lages (SC) para um fim de semana de inverno em Urupema (SC).

Em Lages, estava menos frio do que aqui. Lá, a temperatura estava entre 1 e 2 graus Celsius.

O termômetro aqui, em Urupema, marca uma temperatura entre 1 e 2 graus Celsius negativos.

Temperatura em Lages. Temperatura em Urupema. Em Lages, o termômetro marcava entre 1 ° C e 2 ° C, ou seja, entre +1 ° C e +2 ° C. Mais exatamente, o termômetro marcava

+1 4 10 grau Celsius

A RETA NUMÉRICA

acima de zero, ou seja, +1,4 ° C. Em Urupema, o termômetro indicava uma temperatura entre 1 ° C abaixo de zero e 2 ° C abaixo de zero, ou seja, entre 1 ° C e 2 ° C. Mais exatamente, o termômetro indicava

grau Celsius abaixo de zero, ou seja, 1,8 ° C. Quais dos números apresentados no texto são racionais:

a) inteiros?

b) escritos na forma fracionária?

c) escritos na forma decimal?

2. Escreva estes números racionais na forma fracionária simplificada.

a) + 3 18 b) 12 15 c) 55 66

3. Escreva na forma decimal os seguintes números racionais.

a) 13 4 b) 1 40 c) + 3 20

4. Classifique os números a seguir como naturais, inteiros não naturais ou racionais não inteiros.

Naturais: nenhum; inteiros não naturais: 4, 10, 40 5 ; e racionais não inteiros: 0,3 e + 4 9

Os números racionais podem ser representados em uma reta numérica. Observe.

1 Representar na reta numérica o número racional 0,7.

Vamos considerar que 0,7 = 7 10 . O número 7 10 está localizado entre os números inteiros 1 e 0. Então, vamos dividir o segmento AD, que vai de 1 até 0, em 10 partes iguais e considerar 7 dessas partes, a partir do ponto D, para a esquerda.

O ponto E é o ponto associado a 0,7.

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e na situação 2 na página 101, analisar com os estudantes a ideia de comparar números racionais pela sua representação na reta numérica. Reforçar para os estudantes que, ao representar uma reta numérica, os intervalos indicados nela são considerados de acordo com a ordem dos números que se quer representar, em relação ao zero (ponto de origem).

2 Representar na reta numérica o número racional + 11 4

Como + 11 4 é maior do que 1, vamos escrevê-lo na forma mista: += ++= 11 4 8 4 3 4 2 3 4

Esse número está localizado entre os números inteiros +2 e +3. Então, vamos dividir o segmento MN, que vai de +2 até +3, em 4 partes iguais e considerar 3 dessas partes, a partir do ponto M para a direita.

COMPARAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

Considere a situação a seguir.

Camila fez vários cartões contendo números racionais e os colocou em ordem crescente para colar no caderno, mas sua irmã embaralhou os cartões. Para organizá-los novamente, Camila construiu uma reta numérica e localizou cada número racional correspondente a um de seus cartões.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ressaltar também que a distância entre os intervalos são proporcionais à localização de cada ponto correspondente ao número representado. Por exemplo, na situação 1 da página 100, na reta numérica representada, os intervalos estão indicados de uma em uma unidade com distância de mesma medida entre si, e o intervalo de 1 (ponto A) a 0 (ponto D) está dividido em dez partes iguais (dez décimos) que correspondem ao denominador da fração cujo ponto correspondente está localizado em E nessa representação.

Assim como na comparação de números inteiros, quanto mais à esquerda o ponto associado ao número se localiza na reta numérica, menor ele é. Desse modo, podemos identificar os números dos cartões e escrevê-los em ordem crescente. Observe.

Pedir aos estudantes que, na situação 2 da página 101, argumentem matematicamente o porquê o intervalo está dividido em quatro partes iguais. O apoio da reta numérica dá suporte para essa visualização.

Comparação de números racionais

Considerando dois números racionais quaisquer, o maior desses números é aquele cuja representação está à direita do outro na reta numérica.

Acompanhe como comparar números racionais sem representá-los na reta numérica. Para isso, vamos considerar quatro casos: os números têm sinais contrários, um dos números é zero, os números são positivos, e os números são negativos.

Os números têm sinais contrários

Qualquer número racional positivo é maior do que qualquer número racional negativo. Por exemplo:

De modo análogo às orientações didáticas apresentadas para as situações anteriores, sugere-se conduzir a exploração com a situação apresentada na página 101 para trabalhar a comparação de números racionais.

O encaminhamento do trabalho realizado até este momento visa preparar os estudantes para a realização do bloco de atividades, de modo que as habilidades EF07MA08 e EF07MA10 sejam mobilizadas.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na parte final da página 101 e na página 102, os estudantes acompanham estratégias para comparar números racionais sem o suporte da reta numérica. Para tanto, as explorações com base em figuras são utilizadas como apoio.

Os estudantes costumam demonstrar dificuldades com conteúdos relacionados aos números racionais, por isso o trabalho com base em representações diferentes favorece o desenvolvimento da compreensão deles acerca desses conteúdos.

Ler para os estudantes cada um dos casos apresentados nas páginas 101, 102 e 103, bem como os exemplos indicados para cada caso.

Verificar se os estudantes compreendem o sentido da ideia matemática empregada em cada caso a fim de que eles não decorem mecanicamente os casos, e sim internalizem o porquê de cada um.

Um dos números é zero

Qualquer número racional negativo é menor do que zero e qualquer número racional positivo é maior do que zero. Acompanhe os exemplos.

• 0,7 , 0 • 2 3 , 0 • 0 ,+ 10 3 • 0 ,+13,4

Os números são positivos

Você, provavelmente, já estudou como comparar dois números racionais positivos. Vamos recordar como fazer essa comparação por meio de alguns exemplos.

1 Comparar os números racionais 12,3; 15,1 e 12,03. Nesse caso, todos os números estão na forma decimal. Para conhecer o maior dos números decimais, inicialmente, basta considerar a parte inteira dos números, e o número que tiver a maior parte inteira será o maior. Assim, 15,1 é o maior entre os três números. Agora, vamos comparar 12,3 e 12,03. Como esses números têm a mesma parte inteira, comparamos as partes decimais, e o que tiver a maior parte decimal será o maior número. A parte decimal de 12,3 é 3 décimos, que equivale a 30 centésimos; a parte decimal de 12,03 é 3 centésimos. Como 30 centésimos é maior do que 3 centésimos, 12,3 é maior do que 12,03. Assim, podemos afirmar que: 12,03 , 12,3 , 15,1

2 Comparar as frações 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 e 1 8 Observe a representação geométrica dessas frações.

Livro

,

,

Note que quanto maior é o denominador da fração, menores são as partes consideradas do todo e, portanto, menor é a fração. Nesse caso, temos que: 1 8 , 1 6 , 1 5 ,

Quando comparamos frações de mesmo numerador, a menor delas será a que apresenta o maior denominador.

3 Observe, agora, a representação geométrica de algumas frações.

AMPLIANDO

SALES, Antonio; PAIS, Luiz Carlos. Argumentação e ensino de matemática: contribuições para professores de matemática. [S l.]: Novas Edições Acadêmicas, 2017.

Nesse livro, é exposto aos professores o que é argumentação e são debatidas maneiras de incentivar os estudantes a desenvolver a habilidade de argumentar matematicamente.

Essa leitura é recomendada para ampliar a formação continuada docente em relação ao trabalho vinculado a essa importante capacidade.

Sempre que comparamos frações com o mesmo denominador, a menor delas será a que apresenta o menor numerador.

4 Qual dos números racionais é maior: 13 60 ou 9 40 ?

Para comparar as frações, podemos escrevê-las como frações equivalentes de mesmo denominador. Esse denominador pode ser qualquer múltiplo comum de 60 e 40. Considerando, por exemplo, mmc (40, 60) = 120, temos:

• 13 60 = 26 120

Temos: 26 120 , 27 120

Portanto: 13 60 , 9 40

5 Comparar os números racionais 0,77 e 1 4

Vamos fazer essa comparação de dois modos.

1o modo:

• 9 40 = 27 120

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na situação 4, comentar com os estudantes que a representação com apoio visual de figuras ou na reta numérica se torna trabalhosa. Por isso, utilizar a estratégia de explorar a equivalência entre frações se torna mais adequada nesse caso.

Transformando 1 4 para a forma decimal, temos: 1 4 = 0,75.

Então, comparamos 0,75 e 0,77. Como 77 centésimos é maior do que 75 centésimos, temos que 0,77 . 0,75; logo, 0,77 . 1 4

2o modo:

Transformando os dois números para a forma de fração com o mesmo denominador, temos:

• 0,77 = 77 100

Temos: 77 100 . 25 100

Pontanto: 0,77 . 1 4

Os números são negativos

• 1 4 = 25 100

comparação de frações com o mesmo denominador comparação

A comparação de números racionais negativos é similar à comparação de números inteiros negativos.

Entre dois números racionais negativos, o maior é aquele que tem menor módulo.

Acompanhe o exemplo.

A ideia de frações equivalentes é um conhecimento prévio muito importante a ser aplicado nas operações com frações, além de ser utilizado na compreensão de estudos relacionados à proporcionalidade.

Na situação 5, avaliar se os estudantes apresentam dificuldades, no primeiro modo, ao transformar para a representação decimal o número expresso na forma de fração, e vice-versa, no segundo modo.

Caso apresentem dúvidas, incentivar os estudantes para que algum deles se voluntarie a explicar com suas palavras para o colega e o professor complementa o que for necessário. Essa dinâmica de os estudantes explicarem uns aos outros a compreensão que já trazem do conteúdo favorece que os que ainda apresentam dúvidas se apropriem do entendimento em um esforço produtivo entre eles. Nessa proposta, atuar como mediador da construção do conhecimento.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O objetivo das atividades desse bloco é propiciar situações em que os estudantes identifiquem e representem números racionais na reta numérica, além de resolver problemas.

É importante ressaltar que o trabalho com o desenvolvimento de habilidades é realizado com base em objetos de conhecimento (conteúdos matemáticos) que podem ser estudados e é esperado obter a concretização das aprendizagens dos estudantes.

No entanto, o processo de desenvolvimento de uma competência é mais demorado e envolve um conjunto de habilidades e, nesse caso, há diferença para aplicar de maneira efetiva esse trabalho com os estudantes.

Assim, a cada bloco de atividades propostas, avaliar de maneira progressiva como os estudantes participam da realização delas.

Fazer anotações e, individualmente, com eles, construir um portfólio de registro do processo.

Desse modo, torna-se mais fácil realizar as intervenções pedagógicas necessárias.

As atividades 5 e 7 desse bloco foram extraídas de avaliações brasileiras aplicadas em larga escala e requerem que os estudantes empreguem nas resoluções comparações de números racionais. Verificar as estratégias que eles utilizam. Nas resoluções dessas atividades, espera-se que eles escrevam frações equivalentes de mesmo denominador.

As atividades 4, 6, 8, 9, 10 e 11 envolvem a resoluções de problemas. Propor aos estudantes, na condução do trabalho com a resolução de problemas, as etapas que compõem o roteiro apresentado nas Orientações gerais deste Manual: preparação; leitura; resolução; observar e incentivar; registro das resoluções.

Responda às questões no caderno.

1. Identifique o número associado a cada ponto destacado na reta numérica a seguir.

SB CA RP M

2. Usando o símbolo . ou ,, compare os pares de números racionais. a) 0 e 1 100

b) 5,2 e 1,2.

c) 3,9 e 7,5.

3. Represente em uma reta numérica os pontos associa dos aos seguintes números racionais.

a) Represente com frações as partes que ainda restam de cada bolo.

b) Observando a ilustração dos bolos, compare as frações usando ., , ou =

5. (Enem/MEC) Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de 1 2 , 3 8 e 5 4 . Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos:

a) 1 2 , 3 8 , 5 4

b) 1 2 , 5 4 , 3 8

A seguir, ordene esses números considerando a representação de cada um na reta numérica.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

4. Em sua confeitaria, Jane vende bolos em fatias. Dois bolos idênticos foram cortados em fatias: o primeiro em 6 fatias iguais e o segundo em 8 fatias iguais. Jane já vendeu algumas fatias dos bolos , e res tam 5 fatias de cada um, conforme a ilustração.

c) 3 8 , 1 2 , 5 4

d)

e)

6. Uma parede foi pintada do seguinte modo: 1 5 foi pintada de amarelo, 3 10 foi pintada de azul, 6 15 foi pintada de verde, e 1 10 foi pintada de laranja. Ordene as frações da maior para a menor. A seguir, responda: qual foi a cor mais usada na pintura da parede? E a menos usada?

7. (Enem/MEC) André, Carlos e Fábio e studam em uma mesma escola e desejam saber quem mora mais perto da escola. André mora a cinco vinte avos de um quilômetro da escola. Carlos mora a seis quartos de um quilômetro da escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um quilômetro da escola.

A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem decrescente das distâncias de suas respectivas casas à escola é:

a) André, Carlos e Fábio.

b) André, Fábio e Carlos.

c) Carlos, André e Fábio.

d) Carlos, Fábio e André.

e) Fábio, Carlos e André.

8. Em uma empresa, 1 6 dos funcionários vai ao trabalho de carro, 5 12 de metrô, 1 4 de ônibus, 1 12 de bicicleta, e 1 12 vai ao trabalho caminhando

a) Qual é o transporte mais usado pelos funcionários?

b) Sabendo que a empresa tem 60 funcionários, quantos funcionários vão ao trabalho de ônibus?

c) Elabore duas questões que possam ser respondidas com o enunciado desta atividade.

9. O dono de uma mercearia comprou um saco de 15 quilogramas de farinha e dividiu o conteúdo igualmente em 25 sacos menores.

a) Quantos quilogramas de farinha terá cada saco menor? Dê o resultado na forma de fração.

b) Os sacos menores terão mais ou menos de 1 2 quilograma?

10. Rodolfo acertou 24 questões em um exame composto de 30 questões e acertou 17 questões em outro exame composto de 20 questões.

a) Represente o desempenho de Rodolfo em cada exame por meio de uma fração que indique a razão entre o número de questões certas e o número total de questões do exame.

b) Compare as frações e responda: Em qual dos exames Rodolfo teve o melhor desempenho?

11. Julia comprou duas barras de chocolate com a mesma massa e mesmas dimensões. A primeira barra estava dividida em 12 pedaços iguais, e a segunda barra estava dividida em 10 pedaços iguais. Julia deu 8 pedaços da primeira barra de chocolate para sua irmã Paula e deu 7 pedaços da segunda barra para seu irmão Artur.

a) Represente esse problema por meio de uma figura e expresse a quantidade de chocolate que Paula e Artur receberam por meio de frações de barra de chocolate.

b) Qual dos dois recebeu mais chocolate? Justifique.

12. Elabore uma atividade envolvendo a comparação de números racionais. Entregue-a a um colega para que ele resolva sua atividade enquanto você resolve a atividade criada por ele.

DESAFIO

13. Para o preparo de um suco da marca A, são usadas 3 partes de água para cada parte de suco concentrado. Um suco do mesmo sabor da marca B é feito com 5 partes de água para 2 partes de suco concentrado.

a) Represente, usando frações, a quantidade de suco concentrado em um copo de suco preparado da marca A e em um copo de suco preparado da marca B

b) Para qual das marcas é necessário usar mais suco concentrado para preparar a mesma quantidade de suco? Justifique com a comparação das frações.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A atividade 12 envolve a elaboração de problema. Esse tipo de atividade incentiva a autonomia dos estudantes para tomar as decisões mais adequadas para essa elaboração, bem como favorece o desenvolvimento da competência geral 4, com base na comunicação de ideias, tanto no trabalho em dupla, entre os estudantes, quanto entre o professor e os estudantes, ao validar se as explicações deles sobre o raciocínio empregado nas elaborações são adequados. Além disso, incentiva a criatividade dos estudantes e a curiosidade intelectual, aspectos relacionados à competência geral 2. Para a resolução do desafio 13, os estudantes utilizam associações entre razões de partes de uma mesma grandeza e frações, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA09.

Respostas das questões desta página na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição algébrica de números racionais

Se julgar necessário, retomar com os estudantes a adição e a subtração de números racionais positivos e a adição de números inteiros.

Explorar com os estudantes cada uma das situações apresentadas na página 106 do Livro do estudante. Nas situações 1 e 3, como os denominadores são diferentes, a estratégia de utilizar frações equivalentes é empregada.

Na situação 2, os números expressos na forma decimal estão envolvidos. Para ampliar o trabalho, se possível, pode-se, em parceria com o professor do componente curricular Geografia, realizar um trabalho com base nas características de Oslo, capital da Noruega, estabelecendo contrapontos com o Brasil e a capital da unidade de federação em que está situada a escola. Características como extensão territorial, população, idioma, entre outros, podem ser analisadas.

Também é possível, em parceria com os professores dos componentes curriculares História e Linguagens, explorar aspectos relacionados à cultura e à literatura norueguesa.

De acordo com a realidade em que a comunidade escolar está inserida, avaliar a possibilidade mais adequada.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Na tabela seguinte, é apresentado o lucro, em milhares de reais, apurado na produção industrial de uma empresa de janeiro a setembro de 2022.

ADIÇÃO ALGÉBRICA DE NÚMEROS RACIONAIS CAPÍTULO2

Agora, vamos estudar a adição algébrica de dois ou mais números racionais. Acompanhe as situações a seguir.

1 Calcular o valor da adição 5 8 3 10 _+

Para adicionar algebricamente frações com denominadores diferentes, devemos obter frações equivalentes às frações dadas de mesmo denominador.

Observação:

Para encontrar oresultado, mantemos odenominador comum e adicionamos algebricamente os numeradores.

Para encontrar frações equivalentes às iniciais de mesmo denominador, podemos considerar denominador qualquer múltiplo comum dos denominadores das frações iniciais. Um modo de fazer isso é considerar o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores. No caso deste exemplo, mmc (8, 10) = 40, então poderíamos calcular: 5 8 3 10 25 40 12 40 2512 40 13 40 _+=_+= _+

2 Ontem, a temperatura mínima em Oslo, capital da Noruega, foi 9,7 °C, e a temperatura máxima, 2,5 °C. Qual foi a variação da temperatura ontem, em Oslo?

A variação da temperatura é dada por: (temperatura máxima) menos (temperatura mínima) ( 2,5) ( 9,7) = 2,5 + 9,7 = 7,2 Logo, a variação da temperatura foi de 7,2 °C.

3 Determinar o valor da expressão

Eliminamos os parênteses. Calculando o mmc dos denominadores, temos: mmc (2, 3, 4, 6) = 12.

Escrevemos as frações equivalentes às iniciais com denominador 12.

Mantemos o denominador e adicionamos algebricamente os numeradores.

Diretoria da empresa. De acordo com os dados dessa tabela, responda, no caderno, às questões.

a) Em quantos meses a produção industrial apresentou lucro negativo (ou seja, prejuízo)?

Fonte:

4 Calcular o valor da expressão 1,6 ( 2,8) + [1,9 ( 5,6 + 8,1)].

1,6 ( 2,8) + [1,9 ( 5,6 + 8,1)] =

= 1,6 + 2,8 + [1,9 2,5] = Eliminamos os parênteses.

= 1,6 + 2,8 0,6 = Eliminamos os colchetes.

=+4,4 0,6 =+3,8

O valor da expressão é +3,8. Responda às questões no caderno.

1. Efetue os cálculos algébricos a seguir.

a) 5 8 5 6 _+

b) 3,75 4

c) 1 12 3 10 _+

d) 0,64 0,28

e) 6,75 + 9,45

f) 5 6 3 4 _+

g) 11,05 13

5 24 + 0,25 13 60 + 0,92 +16,20 1 12

h) 2,91 + 3,07

+0,16

2. Qual é o aumento da temperatura quando ela passa de:

a) +16,6 °C para 25,9 °C?

b) 2,5 °C para +3,5 °C?

c) 7,9 °C para +1,3 °C?

3. São dados os números x e y, tais que

x = 0,85 e y = 0,35. Calcule o valor de:

a) x + y

b) x y

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O objetivo desse bloco de atividades é propiciar aos estudantes situações em que eles efetuem a adição algébrica de dois ou mais números racionais.

c) 1 x y

b) Que mês teve o maior lucro (positivo)?

1,04

++ 3 5 1 2 3 4 1 10 5 8             .

Qual é o maior número inteiro menor do que esse número?

7. Qual é o menor número inteiro que é maior do que o número racional expresso por 2,5 [0,2 + ( 3,7 + 5) 1,4]?

a) ( 0,9) += 0 b) 2 3 += 1 c) 7 6 4 6 _=             d) 15 6 8 2 +=            

1,75 +3,6 4,21 +1 0,74 2,97 1 +3 +0,9 1 3 3 6 + 13 2 Resposta

pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

As atividades 6 e 7 tratam da comparação entre números racionais inteiros e números racionais não inteiros e podem auxiliar a esclarecer algumas dúvidas que os estudantes ainda tenham sobre os conjuntos numéricos. Pedir aos estudantes que realizem a adição dos números racionais na expressão apresentada em cada uma dessas atividades e, depois, em uma reta numérica, localizem o resultado obtido. Verificar se os estudantes, ao representar a reta numérica, indicam uma escala com números inteiros.

A atividade 9 trata da elaboração de problema com base nos números apresentados em um quadro. Para realizar a proposição de um problema e a correspondente solução adequada validando se o problema proposto é coerente, os estudantes retomam e mobilizam os conteúdos estudados até este momento.

18/08/22 12:56

c) Nesse período, qual foi o lucro apurado total na produção industrial dessa empresa? Resolução da atividade

a) Em cinco meses: março, abril, maio, junho e setembro.

b) Janeiro.

107

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação com números racionais na forma decimal

A partir deste capítulo até o sétimo capítulo desta Unidade, as habilidades EF07MA11 e EF07MA12 são exploradas com mais destaque.

Retomar a multiplicação de números racionais positivos na forma decimal e verificar os conhecimentos que os estudantes já construíram, em especial no 6 o ano, sobre essa operação.

Pedir aos estudantes que representem de diferentes maneiras os cálculos das multiplicações propostas nestas páginas: com material manipulável, no quadro de ordens, no ábaco, além do algoritmo que é apresentado na página.

Na situação 1, a multiplicação de número expresso na forma decimal por número natural é apresentada. Já, na situação 2, é trabalhada a multiplicação de dois números expressos na forma decimal.

MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS RACIONAIS

MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS RACIONAIS

NA FORMA DECIMAL

Vamos retomar e ampliar o estudo da multiplicação de números racionais na forma decimal.

Em uma multiplicação com números racionais na forma decimal:

• multiplicamos os números como se fossem números naturais;

• colocamos a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma das quantidades de casas decimais dos fatores;

• observamos os sinais: se os dois fatores têm mesmo sinal, o produto é positivo; se têm sinais diferentes, o produto é negativo. Acompanhe os exemplos a seguir.

1 Qual é o resultado da multiplicação 2 ? ( 0,003)?

Vamos fazer esse cálculo de dois modos.

1o modo:

2 ? ( 0,003) = 0,003 + ( 0,003) = 0,003 0,003 = 0,006

2o modo: 0, 003 x 2 0, 006

Como os fatores têm sinais diferentes, o produto é um número negativo. Assim: 2 ? ( 0,003) = 0,006.

2 casas decimais

1 casa decimal

2 Determine o resultado da multiplicação 1,8 ? (+0,74). 0, 74 x 1, 8 592 + 74 1, 332

3 casas decimais (2 + 1)

Como os fatores têm sinais diferentes, o produto é um número negativo. O resultado da multiplicação 1,8 (+0,74) é 1,332.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO

PENSE E RESPONDA

Forme dupla com um colega, e respondam às questões no caderno.

Lili está estudando com as amigas na casa dela. No lanche, ela partiu 3 maçãs ao meio, comeu uma metade e deu para cada amiga uma das metades que sobrou.

a) Quando partiu as maçãs, quantas metades de maçã Lili obteve?

b) Depois de Lili comer sua parte, quantas metades de maçã sobraram?

6 metades. 5 metades.

c) Use fração e a forma mista para representar a quantidade de maçã que sobrou.

3; 5 2

Considere agora as situações a seguir.

3

2 5

?==

1 5

de metro de fita.

VSO/SHUTTERSTOCK.COM 109

Multiplicação de números racionais na forma de fração

O objetivo é propor situações envolvendo a multiplicação de números racionais na forma de fração.

Na situação 1, a representação por meio de figuras contribui para que os estudantes se apropriem da compreensão do procedimento.

Pode-se ampliar o trabalho com essa situação, propondo outra, envolvendo a multiplicação de um número inteiro por um número na forma de fração, para analisar, coletivamente, com os estudantes. Por exemplo, propor que multipliquem 1 2 por 3.

Pense e responda

O trabalho proposto nesse boxe visa avaliar diagnosticamente os conhecimentos prévios dos estudantes sobre a multiplicação de números racionais na forma de fração.

Incentivar os estudantes a registrar a resolução por eles elaborada e, para finalizar, montar na lousa um painel de resoluções em que a estratégia que cada dupla utilizou seja apresentada.

109 18/08/22 12:56 AMPLIANDO

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A família de Nazaré consome 1 4 de litro de leite por dia. Nazaré precisa comprar leite suficiente para sábado, domingo e segunda-feira. Quantos litros de leite ela precisa comprar?

Resolução da atividade

Como a família de Nazaré consome 1 4 de litro de leite por dia e ela precisa comprar leite suficiente para 3 dias (sábado, domingo e segunda-feira):

      3

1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nas situações 2 e 3 apresentadas na página 110 do Livro do estudante, constam as resoluções de problemas em que a multiplicação entre duas frações é empregada.

Ressaltar o fato de que, nos casos de multiplicações de números racionais na forma de fração, a ideia de adição de parcelas iguais não está envolvida como na multiplicação de números naturais.

Conduzir os estudantes à percepção de que, no caso da multiplicação de duas frações, a ideia envolvida é a de saber qual é a fração de outra fração.

Por exemplo, proponha aos estudantes considerar a multiplicação ? 1 3 4 7

1 3 de 4 7

Utilizar a representação geométrica para que os estudantes visualizem essa ideia.

2 Em uma empresa, 1 3 dos funcionários corresponde a homens. Entre os homens, 1 2 deles fala inglês

A quantidade de homens que falam inglês representa que fração da quantidade de funcionários dessa empresa?

Esse problema pode ser apresentado assim: quanto é 1 2 de 1 3 ?

Assim, podemos calcular 1 2 1 3 ?

Resolvendo a situação geometricamente:

• A parte em verde representa 1 3 da figura.

• A parte hachurada representa 1 2 da parte em verde, ou seja, 1 2 de 1 3 da figura.

• A parte hachurada representa 1 6 da figura.

Então: 1 2 1 3 1 6 ?=

Note que: 1 2 1 3 11 23 1 6 ?= ? ? =

A quantidade de homens que falam inglês representa 1 6 da quantidade de funcionários dessa empresa

Observe que, nesse caso, o resultado

menor do que qualquer um dos fatores

Para multiplicar números racionais na forma de fração, multiplicam-se os numeradores entre si e multiplicam-se os denominadores entre si.

3 Determinar o valor da expressão

Inicialmente, vamos escrever 2,1 na forma de fração: 2,1 21 10 = Então, temos:

A parte em azul-escuro representa 4 7 da figura, e a parte hachurada representa 1 3 da parte azul-escuro.

Assim, 1 3 de 4 7 é igual a 4 21

Por meio do apoio visual dessa figura, os estudantes podem verificar a multiplicação proposta:

?== 1 3 4 7 14 37 4 21

Na situação 3, com relação à aplicação da técnica do cancelamento, destacar que a simplificação poderia também ser feita depois de obter o produto. No entanto, na multiplicação com mais de duas frações, fazer a simplificação antes de efetuar os cálculos facilita o desenvolvimento.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Dos estudantes de uma escola, 4 6 praticam algum esporte. Desses que pratic am esporte, 4 5 jogam basquete. Responda às questões.

a) Que fração dos estudantes dessa escola jogam basquete?

Aplicamos a técnica do cancelamento (simplificar antes de multiplicar).

Efetuamos as multiplicações. Eliminamos os parênteses e escrevemos as operações com frações equivalentes de mesmo denominador.

Adicionamos as frações e, por fim, simplificamos o resultado.

b) Pode-se afirmar que mais da metade dos estudantes dessa escola jogam basquete? Por quê?

Resolução da atividade

a) Temos que 4 6 dos estudantes da escola praticam algum esporte. Desses 4 6 , sabe-se que 4 5 jogam basquete. Então:

4 Quanto é a metade da metade da metade da metade, ou seja, 1 2 de 1 2 de 1 2 de 1 2 ? Vamos representar essa situação por meio de um esquema:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco exploram a multiplicação de números racionais na forma de fração na resolução de problemas.

Na atividade 1, como cada centímetro, no mapa, corresponde a 5 1 4 km, verificar se os estudantes, inicialmente, na resolução, obtêm a fração correspondente a esse número misto, 21 4 , para depois realizar os cálculos.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Em um mapa, cada 1 cm equivale a 5 1 4 quilômetros. Nesse mapa, a distância entre Serra Azul e Paraíso é de 12 centímetros. Qual é a distância real, em quilômetro, entre esses dois municípios?

63 quilômetros.

2. Numa empresa, 1 3 dos empregados corresponde a jovens. Entre os jovens, 3 5 deles usam óculos. Que fração dos empregados da empresa corresponde a jovens que usam óculos?

3. Em certo dia, 5 8 dos visitantes chegaram a um parque usando transporte público. Desses, 4 5 usam o metrô. Que fração dos visitantes desse parque usa o metrô?

D2_AV4-MAT-F2-2103-V7-U4-106-118-LA-G24.indd 111

4 5 de 4 6 dos estudantes da escola jogam basquete, pois:

4

5 4 6 44 56 16 30 8 15 ?===

Logo, 8 15 dos estudantes da escola jogam basquete.

4. Efetue as multiplicações indicadas, usando a técnica do cancelamento quando possível.

5. Para fazer um bolo de laranja, usa-se 1 1 2 xícara de chá de açúcar branco. Para fazer 2 1 2 da receita desse bolo, quanto desse ingrediente será necessário?

6. Elabore uma atividade contextualizada cuja resolução envolva multiplicação com números racionais. Entregue sua atividade para um colega resolver e resolva a atividade criada por ele. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

5 15 4 ou 3 3 4 de xícara de chá. 111

b) Para comparar 8 15 com a metade, podemos fazer: 8 15 16 30 = e 1 2 15 30 = . Como 16 30 15 30 . , pode-se afirmar que mais da metade dos estudantes dessa escola jogam basquete.

Nas atividades 5 e 6, se possível, desenvolver um trabalho em parceria com o professor do componente curricular Língua Portuguesa, pois, na atividade 5, pode-se explorar o uso de frações em textos instrucionais, como receitas e, na atividade 6, a proposta de elaboração de problema faz com que os estudantes mobilizem conhecimentos de produção textual de maneira vinculada a conhecimentos matemáticos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Divisão com números racionais na forma decimal

Retomar a divisão de números racionais positivos na forma decimal e verificar as possíveis dificuldades que os estudantes ainda têm na realização desse cálculo.

Sugere-se que o encaminhamento com o trabalho deste capítulo seja realizado de modo análogo às orientações didáticas para o capítulo anterior.

Propor na lousa outras divisões, além das que são apresentadas nas páginas do Livro do estudante, e pedir aos estudantes que, em duplas, as efetuem.

Conversar com as duplas sobre os passos desenvolvidos, pedindo a eles que justifiquem os procedimentos empregados.

O objetivo é identificar os conhecimentos que os estudantes detêm acerca do conteúdo.

Na situação 1, no segundo modo, explorar com os estudantes o fato de que, como há duas casas decimais em 0,14 e nenhuma casa decimal em 7, multiplicamos ambos por um mesmo número.

DIVISÃO COM NÚMEROS RACIONAIS

DIVISÃO COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL

Vamos retomar e ampliar o estudo da divisão com números racionais na forma decimal, com base no que já foi estudado. Considere as situações a seguir.

1 Qual é o resultado da divisão 7 : 0,14?

1o modo: Vamos verificar quantas vezes 0,14 cabe em 7,

por 0,14 dá 7?

que número multipli-

Como os números têm sinais diferentes, o quociente é um número negativo.

7 : 0,14 = 50.

Como os números têm sinais diferentes, o quociente é um número negativo. O resultado da divisão 7 : 0,14 é 50.

2 Qual é o resultado da divisão 9,25 : ( 3,7)?

Como os números têm mesmo sinal, o quociente é um número positivo. O resultado da divisão 9,25 : ( 3,7) é +2,5.

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DIVISÃO COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. Antes de efetuar as multiplicações a seguir, faça uma estimativa dos resultados.

4 4 1 5 4 4 5 7 11 11 7 13 10 10 13

a) Você deve ter obtido o mesmo número como resultado das multiplicações. Que número é esse?

1

b) O que você pôde observar nas frações que aparecem como fatores em cada multiplicação?

2. Quantas vezes 1 2 litro cabe em:

Os dois fatores são frações cujo numerador de uma é igual ao denominador da outra e vice-versa.

a) 1 litro? b) 1 1 2 litro? c) 2 litros?

2 vezes. 3 vezes. 4 vezes.

De modo geral:

Quando a multiplicação de dois números racionais tem 1 como resultado, esses números são inversos um do outro.

+ 3 5 é o inverso de + 5 3 e vice-versa.

4 é o inverso de 1 4 e vice-versa.

+ 1 3 é o inverso de +3 e vice-versa.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Divisão com números racionais na forma de fração

O objetivo deste tópico é propor situações envolvendo a divisão de números racionais na forma de fração.

Para explorar as situações, assim como nas multiplicações de números racionais na forma de fração, a representação por meio de figuras contribui para que os estudantes se apropriem da compreensão do procedimento.

Pense e responda

As questões apresentadas nesse boxe trazem as ideias de multiplicação entre números inversos e da divisão de números racionais na forma de fração. Na divisão de números racionais na forma de fração, essas ideias são empregadas.

Considere, agora, as situações a seguir.

1 Dos 3 5 que sobraram de uma pizza, Joel comeu metade. Que fração da pizza Joel comeu? Resolvendo a situação geometricamente, temos: A metade dos 3 5 de pizza que Joel comeu corresponde à parte hachurada na figura, ou seja:

3

5 2 3 10 :=

Então, Joel comeu 3 10 da pizza

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nas situações 1, 2 e 3 explorar, ao realizar as divisões, a retomada das ideias do boxe Pense e responda, acerca da ideia de números inversos um do outro.

Para ampliar as situações apresentadas, sugere-se propor algumas situações, como as descritas a seguir, para trabalhar a divisão com frações e sua relação com a multiplicação.

Utilizando folhas de papel jornal, pedir aos estudantes que recortem tiras de mesmas medidas e obtenham:

• a metade da metade de uma tira

Observe, agora, que a divisão de 3 5 por 2 tem o mesmo resultado que a multiplicação de 3 5 pelo inverso de 2, que é 1 2

2 Considerando 2 5 de pão por pessoa, 4 pães servem quantas pessoas?

Primeiro, vamos resolver esse problema geometricamente. Dividimos cada uma das 4 unidades em 5 partes iguais e contamos quantas vezes 2 5 cabem em 4 unidades.

1

2 : 2, que corresponde a 1 2 de 1 2 ou ?= 1 2 1 2 1 4

• a metade da quarta parte da tira

1 4 : 2, que corresponde a 1 2 de 1 4 ou: ?= 1 2 1 4 1 8

• a metade da terça parte da tira

1 3 : 2, que corresponde a 1 2 de 1 3 ou ?= 1 2 1 3 1 6

• a metade da quinta parte da tira

1 5 : 2, que corresponde a 1 2 de 1 5 ou ?= 1 2 1 5 1 10

Para ampliar a situação 2, propor modificações nas condições do problema, como:

• O que ocorreria se a estimativa fosse 4 5 de pão por pessoa, mantendo a quantidade de quatro pães?

Espera-se que os estudantes concluam que, com essa estimativa, quatro pães servem cinco pessoas. Verificar se, nesse caso, os estudantes percebem que o fato de 4 5 corresponder ao dobro de 2 5 , a quantidade de

2 5 cabem 10 vezes em 4, ou seja: 4 : 2 5 = 10.

Os 4 pães servem 10 pessoas. Agora, observe que a divisão de 4 por 2 5 tem o mesmo resultado que a multiplicação de 4 pelo inverso de 2 5 , que é 5 2

3 A figura seguinte indica a divisão

Analisando a figura, 1 6 cabe 4 vezes em 2 3 , ou seja:

Nesse caso,

pessoas servidas reduz pela metade.

• E se fossem seis pães com a mesma estimativa de 2 5 de pão por pessoa?

Espera-se que os estudantes concluam que são servidas 15 pessoas. Caso os estudantes apresentem dificuldades, comentar que a quantidade de seis pães corresponde a uma

vez e meia a quantidade anterior (6 = 1,5 ? 4), mantendo a estimativa de pães por pessoa. Portanto, a quantidade de pessoas servidas também corresponde a uma vez e meia a quantidade anterior (1,5 ? 10 = 15).

Note que a divisão de 2 3 por 1 6 tem o mesmo resultado que a multiplicação de 2 3 pelo inverso de 1 6 , que é 6 1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para dividir um número racional por outro diferente de zero, em que pelo menos um deles está na forma de fração, multiplicamos o primeiro número pelo inverso do segundo.

Observação:

A divisão entre frações é sempre possível, desde que o divisor seja diferente de zero. Podemos dizer que toda fração representa um quociente do numerador pelo denominador.

As situações 4 e 5 ampliam o grau de complexidade em relação às apresentadas na página 114 Na situação 5, explorar com os estudantes os aspectos a serem considerados para a resolução, visto que são envolvidos números expressos na forma decimal e números expressos na forma de fração, além das operações de multiplicação, divisão e subtração na expressão numérica.

4 Obter o resultado da divisão 2 5 0, 2 _:+()

Para realizar essa divisão, podemos escrever o divisor na forma de fração e, então, multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo.

Como os números têm sinais diferentes, o quociente é negativo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O objetivo das atividades desse bloco é que os estudantes realizem os cálculos de divisão em situações variadas, aplicando na resolução de problemas e de expressões numéricas o conteúdo estudado.

Retomar a ordem em que as operações são resolvidas em uma expressão numérica, caso julgar necessário.

Incentivar os estudantes a fazer representações geométricas para resolver os problemas ou verificar o resultado obtido.

A atividade 4, no item c, trabalha a elaboração de questões envolvendo operações com números racionais.

Pode-se questionar os estudantes o seguinte: para fazer sentido a questão elaborada, x deve ser maior ou menor do que y?

Espera-se que os estudantes respondam que x deve ser maior do que y, pois y deve “caber” algumas vezes em x.

A seguir, há dois exemplos de questões que podem ser elaboradas.

• Em 5 cm há quantos 1 2 cm?

Há dez 1 2 cm em 5 cm, pois: ?= 10 1 2 5

• Em 7,5 cm há quantos 0,5 cm?

Há quinze 0,5 cm em 7,5 cm, pois: 15 ? 0, 5 = 7,5.

ATIVIDADES

4 c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Quanto é:

a) o triplo de 0,96?

b) a metade de +0,065?

c) a quinta parte de 1,8?

2. A figura seguinte sugere a operação 4 5 : 3. Qual é o resultado dessa divisão?

3. Calcule. a)

4. Observe 3

centímetros na régua.

6. Determine o valor de cada expressão numérica.

7.

8. Bete tem 5 1 2 metros de tecido para fazer aventais. Ela gasta 1 2 metro de tecido em cada avental. Quantos aventais conseguirá fazer com a quantidade de tecido que possui?

9. Calcule os resultados destas divisões exatas.

a) ( 4) : ( 0,5)

b) (+2,1) : ( 2,8)

c) ( 7,31) : ( 1,7)

d) ( 60,8) : ( 4)

e) (+2,88) : ( 0,48)

f) (+9) : (+2,5)

10. Quando dividimos o número (+15) pelo número ( 12,5), obtemos o número x Calcule:

b) E em 10 cm, há quantos 1 2 cm?

c) A partir dos itens anteriores, elabore duas questões contendo a expressão “em x cm, há quantos y cm?” em que x e y são números racionais.

5. Em um copo cabe 1 6 de litro de água. Quantos desses copos são necessários para encher uma jarra com capacidade para 2 3 de litro?

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a) o triplo de x b) a metade de x

11. Calcule o valor da expressão 2 (+0,8) : (+0,5), na forma:

a) decimal; b) fracionária.

12. Calcule o valor do número A

A = (+0,4) : ( 0,02) 9 ? ( 1,8)

13. Elabore um problema cuja resolução envolva calcular o resultado da divisão: : 12 1 5

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

5

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

Na potenciação de números racionais com expoente natural, valem as mesmas definições e regras de potenciação de números inteiros.

Dado um número racional a e um número natural n, temos: • an = a ? a ? a ? a ?? a, para n .

a1 = a

= 1, para a 5

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potenciação de números racionais

Se julgar necessário, retomar a potenciação dos números inteiros com expoente natural e suas propriedades.

Do mesmo modo:

• Se o expoente for par, a potência será sempre um número positivo

• Se o expoente for ímpar, a potência terá sempre o mesmo sinal da base Acompanhe os exemplos.

• ( 0,2)3 = ( 0,2) ( 0,2) ( 0,2) = 0,008 • (+2,7)1 =+2,7

• ( 0,3)2 = ( 0,3) ( 0,3) =+0,09

( 1,5) 0 = 1

As propriedades das potências com bases inteiras e expoentes naturais (apresentadas nas páginas 66 e 67) são válidas quando as bases das potências são números racionais não nulos. Por exemplo:

• ( 1,2)3 (+1,2)5 = (+1,2)3 +

• [( 6,2)5] 2 = ( 6,2)5 ? 2 = ( 6,2)10 potência de uma potência Observe, agora, como podemos calcular o valor de uma expressão numérica com potências de números racionais.

1 Determinar o valor numérico da expressão

Transformamos ( 0,5) para a forma de fração.

Incentivar os estudantes a analisar o fluxograma a seguir em duplas e pedir a eles que façam testes considerando algumas potências de base racional (positivas ou negativas) com expoente natural e seguindo os passos indicados no fluxograma seguinte.

(Início) Análise do expoente (número natural)

O expoente é par? Não.

A potência segue o sinal da base.

(Fim) Efetua-se o cálculo da potência do mesmo modo com números inteiros.

Sim.

A potência é positiva.

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Efetuamos as potenciações e simplificações.

Eliminamos os parênteses.

Escrevemos frações equivalentes com mesmo denominador.

O trabalho com fluxogramas favorece o desenvolvimento do pensamento computacional sem o uso de tecnologias digitais. Isso porque os fluxogramas favorecem a representação de um pensamento estruturado sequencial que indica etapas as quais podem ser generalizadas para a resolução de problemas (algoritmo), permitindo abordar aspectos relacionados com as competências específicas 2 e 6 da área de Matemática e com as habilidades EF07MA05, EF07MA06 e EF07MA07.

Além disso, habilidades transversais, como criatividade e raciocínio lógico, também são desenvolvidas por meio do trabalho com fluxogramas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Acompanhar a discussão de cada dupla e fazer intervenções quando necessário.

No item a da questão 1, espera-se que os estudantes percebam, depois de aplicar a propriedade da divisão de potência de mesma base, que o quociente

102 : 103 deve ser:

102 : 103 = 102 _ 3 = 10 1

No item b, espera-se que os estudantes mobilizem conhecimentos sobre potências de números naturais e multiplicação:

102 : 103 = 10 10 2 3 =

= 10 10 10 10 10

1 ?? = 1 10

No item c, ao fazer a comparação dos resultados obtidos, espera-se que os estudantes percebam que, como se trata do mesmo quociente, os resultados devem ser iguais:

= 10 1 10 1

Se julgar necessário, propor outros quocientes para eles resolverem e compararem usando os mesmos procedimentos.

Para a questão 2, item a, espera-se que os estudantes obtenham:

103 : 105 = 10 10 3 5 =

= ?? ???? 10 10 10 10 10 10 10 10

1 = 1 102

Caso os estudantes indiquem como resposta 1 100 , orientá-los a observar que:

100 = 102

No item b, espera-se que os estudantes verifiquem, com a aplicação da propriedade da divisão de potência de mesma base, que:

103 : 105 = 103 _ 5 = 10 2

E, na comparação dos resultados, concluam que:

== 10 1 100 1 10 2 2

EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. Considere o quociente: 102 : 103.

a) Determine o resultado aplicando as propriedades de potências.

b) Escreva o quociente dado em forma de fração

realize os cálculos para obter o resultado

c) Compare os resultados obtidos nos itens a e b para a mesma divisão. O que você observa?

2. Considere, agora, o quociente: 103 : 105.

a) Escreva esse quociente em forma de fração, realize os cálculos e obtenha o resultado.

b) Resolva o quociente dado aplicando as propriedades de potências e compare com o resultado obtido no item anterior. O que você observa?

De modo geral, para estender a potenciação de números racionais para expoentes negativos, mantendo as propriedades válidas para expoentes naturais, definimos:

Note que, para indicar uma potência com expoente inteiro negativo, escreve-se o inverso da base e muda-se o sinal do expoente.

Observe como podemos representar o cálculo da potenciação de números racionais com expoente inteiro por meio de um fluxograma.

Calcula-se a potência de base inversa e expoente simétrico.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Explorar com os estudantes o fluxograma apresentado para o cálculo da potenciação de números racionais com expoente inteiro.

Atividades

Início: Cálculo de an

O expoente é negativo?

Multiplica-se a base por ela mesma quantas vezes indicar o expoente. O resultado será positivo se o expoente for par, ou terá o mesmo sinal da base se o expoente for ímpar.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Calcule o valor de:

(+0,5)3

( 3,6)2

2. Reduza as expressões a uma só potência.

(+2,4)3 (+2,4)6

3. Calcule o valor das expressões numéricas.

expoente é zero?

Se a base é diferente de zero, o resultado da potência é 1.

expoente é 1?

6. Calcule o valor de:

O resultado da potência é a própria base.

Este bloco de atividades tem como objetivo que os estudantes realizem o cálculo da potenciação de números racionais com expoente inteiro.

Incentivar os estudantes a resolver as atividades consultando, se necessário, os encaminhamentos detalhados das resoluções apresentadas nas páginas anteriores do Livro do estudante.

Ao término, pedir que socializem a explicação do raciocínio empregado para cada resolução nas atividades.

7. Escreva os números racionais na forma de potência com expoente inteiro negativo. a) 0,001

b) 0,000001

c) 0,01

d) 0,0000001

8. Dê o valor de cada potência expresso na forma decimal.

9. Determine o valor das expressões numéricas.

Para consolidar o trabalho realizado até aqui, se julgar adequado, organizar os estudantes em duplas ou trios, entregar a eles algumas atividades relacionadas aos conteúdos estudados para eles resolverem.

Pedir que registrem a cada resolução a descrição das ideias que empregaram nas resoluções, indicando quais estratégias julgaram convenientes e adequadas em cada caso.

4. Calcule o valor de A na expressão

= (+0,8) : ( 0,2)2 + (

5.

10. Crie uma expressão envolvendo a adição algébrica de potências com expoente inteiro negativo e base racional.

Esse registro por escrito trará insumos para que se possa avaliar se os objetivos propostos para esta Unidade estão se efetivando como aprendizagens nos estudantes.

Durante a realização da atividade 10, certifique-se de que os estudantes estão elaborando expressões condizentes com a teoria apresentada até o momento. Uma possível expressão que pode ser elaborada é:

[(32 ? 11 + 1) ? 10 1] : 10

Nesse caso, resolve-se a expressão da seguinte maneira:

[(32 ? 11 + 1) ? 10 1] : 10 =

= [100 ? 10 1] : 10 =

= [102 ? 10 1] ? 10

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Raiz quadrada exata de números racionais

O objetivo deste capítulo é trabalhar com os estudantes o cálculo da raiz quadrada exata de um número racional não negativo.

Iniciar relembrando as ideias que envolvem a operação raiz quadrada no conjunto dos números naturais, dando ênfase na relação entre a raiz quadrada e sua representação geométrica. Mostrar que a raiz quadrada exata de um número é a medida do lado de um quadrado cuja área é igual ao referido número e, por isso, a raiz quadrada exata de um número natural só é possível quando esse número for um número quadrado perfeito.

Recordar, também, o processo de fatoração de um número como método para calcular a raiz quadrada de um número quadrado perfeito.

RAIZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS RACIONAIS CAPÍTULO6

Estudamos como determinar a raiz quadrada exata de um número inteiro não negativo. Agora estudaremos a raiz quadrada exata de um número racional não negativo.

A raiz quadrada exata de um número racional não negativo a é o número racional não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em a

Observe alguns exemplos a seguir.

• 2 é a raiz quadrada de 4, pois 22 = 2 2 = 4 e 2 . 0.

Indica-se: 4 = 2.

Geometricamente, a raiz quadrada de um número é expressa pela medida do lado de um quadrado cuja área corresponde a esse número.

• 1 3 é a raiz quadrada de 1 9 , pois

Indica-se: = 1 9 1 3

Geometricamente, temos:

• 0,6 é a raiz quadrada de 0,36, pois (0,6)2 = 0,6 ? 0,6 = 0,36 e 0,6 . 0.

Indica-se: 0, 36 = 0,6.

Geometricamente, temos:

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Resolva a expressão numérica a seguir, lembrando que:

• primeiro, resolvem-se as raízes quadradas e as potências, na ordem em que aparecem;

• em seguida, resolvem-se as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;

• e, por fim, resolve-se a adição algébrica.

Estudaremos, agora, como determinar a raiz quadrada exata de outros números racionais. Vamos analisar alguns exemplos.

1 Determinar a raiz quadrada do número 1 024.

Vamos fazer a decomposição em fatores primos de 1 024.

Como 210 pode ser escrito na forma 25 2 () (potência de uma potência), temos:

024 = 210

2 Determinar a raiz quadrada exata de 81 121

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Conduzir os estudantes a relacionar as ideias estudadas sobre o cálculo da raiz quadrada de números naturais ao cálculo da raiz quadrada de números racionais não negativos. É importante que os estudantes percebam que é possível expressar os números racionais como quadrados para depois determinar a raiz quadrada, como nos casos das situações 2 e 3 apresentadas nesta página.

3 Qual é a raiz quadrada exata de 4,41?

que 4,41 = 441 100 , vamos fazer a decomposição em fatores primos do nume-

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Esse bloco de atividades tem como objetivo que os estudantes calculem a raiz quadrada exata de um número racional (nas formas decimal e de fração) não negativo.

Na atividade 1, verificar se os estudantes associam diretamente o radicando ao número que indica a quantidade de quadradinhos coloridos em cada figura, que representa a área do quadrado formado. Desse modo, é esperado que os estudantes concluam que a raiz quadrada corresponde à medida do lado de cada uma das figuras quadradas representadas.

Assim: 36 = 62 ; 0,49 = 0,7

e = 4 9 2 3

Perguntar aos estudantes como eles poderiam fazer esse cálculo sem o apoio visual das figuras. Uma possível resposta é:

a) 36 = 62 = 6

b) 0,49 = 0,7

() = 0,7

Responda às questões no caderno.

1. Observe as seguintes figuras.

6. Calcule o valor das expressões a seguir.

a) 441 256 900 +_

b) +_ 1 2 16 9 25 36

7. Qual é a raiz quadrada exata de cada um dos números a seguir?

a) 12,25

b) 12,96

c) 30,25

Por meio dessas figuras, descubra, geometricamente, o valor de:

36 b) 0, 49 c) 4 9

2. Determine a raiz quadrada exata dos números a seguir.

304

3. Substitua a letra x pelo número racional positivo que verifica cada uma das seguintes igualdades.

c)

Na atividade 4, espera-se que os estudantes fatorem e utilizem as propriedades de potências para obter um único quadrado e, assim, determinem o valor de a. Uma possível resolução é:

4. Sabe-se que a = 121 196 . Qual é o número a?

5. Calcule o valor das raízes quadradas.

d) 0,0784

e) 0,1024

f) 0,0324

8. Qual destes números é igual a 0, 0064?

a) 1 8

b) 8 10

c) 2 5 d) 1 80

e) 2 25

9. Um número é expresso por a12 ? b 4 Qual é a expressão que representa a raiz quadrada desse número?

10. Sabe-se que x = 1, 69 1, 44 e y = 0, 81 0, 04 Determine x : y

11. Classifique cada uma das afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F).

a) A raiz quadrada de um número racional positivo sempre é exata.

b) O oposto do módulo de 5 é a raiz quadrada exata de 25.

c) O número 250 000 tem raiz quadrada exata.

12. Escreva três números decimais que tenham raiz quadrada exata e entregue para um colega determinar a raiz quadrada de cada número. Em seguida, converse com ele sobre as estratégias utilizadas na resolução.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

MÉDIA ARITMÉTICA E MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA CAPÍTULO7

Acompanhe as situações a seguir.

Em uma competição de ginástica, Clara obteve as notas registradas a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Média aritmética e média aritmética

ponderada

Qual é a média das notas de Clara nessa competição?

Nesse caso, calculamos a média da ginasta adicionando-se as três notas e dividindo-se o resultado por 3, ou seja: 5, 08,0 5, 0 3 18,0 3 6, 0 ++ ==

A média das notas de Clara na competição foi 6,0.

Dizemos que o valor 6,0 é a média aritmética dos números 5,0; 8,0 e 5,0.

A média aritmética de n números representa a soma de todos os números dividida por n

Agora, considere que os juízes atribuíram pesos diferentes a cada nota, conforme o quadro a seguir.

O objetivo deste capítulo é auxiliar os estudantes a compreender o conceito de média, criando a possibilidade de calcularem a média aritmética e a média aritmética ponderada, quando se atribuem pesos aos números de um conjunto de valores, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA35.

Para introduzir o tema, sugere-se propor aos estudantes uma pesquisa a fim de responder ao seguinte questionamento.

• O que é média aritmética?

Organizar a turma em grupos de quatro estudantes para que realizem essa pesquisa.

Orientá-los quanto às noções práticas para a realização de uma pesquisa, como indicar as fontes consultadas, não copiar textos, entre outras.

Ressaltar que, ao se realizar uma pesquisa, é importante exercer a habilidade de curadoria na seleção das fontes pesquisadas, bem como produzir texto autoral de acordo com os entendimentos que a pesquisa ocasionou no pesquisador, nesse caso, cada um dos estudantes.

A média das notas de Clara na competição foi 5,6.

Dizemos que o valor 5,6 é a média aritmética ponderada dos números 5,0; 8,0; e 5,0, aos quais atribuímos os pesos 3, 2 e 5, respectivamente.

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Propor um debate entre os estudantes sobre o tema, tendo como base as pesquisas que realizaram.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O objetivo deste bloco de atividades é propor aos estudantes a resolução de problemas envolvendo os conceitos de média aritmética e de média aritmética ponderada, evidenciando a diferença entre elas.

Na atividade 7, caso os estudantes demonstrem dificuldade em elaborar um problema envolvendo o conteúdo do capítulo, pode-se refletir com eles sobre exemplos de situações próximas da realidade deles, como o fato de que certas escolas de idiomas, por exemplo, utilizam sistema de pesos para as notas das avaliações bimestrais. Assim, a nota referente ao bimestre é calculada utilizando média aritmética ponderada. Nesse sentido, um exemplo possível de problema a ser elaborado é o seguinte.

Em certa escola, a média final é obtida calculando a média aritmética ponderada das notas dos quatro bimestres. Os pesos de cada bimestre são:

Pesos

1o bimestre 2o bimestre 2 3

3o bimestre 4o bimestre 3 2

As notas de um estudante dessa escola foram as seguintes:

Notas

1o bimestre 2o bimestre

7,0 8,0

3o bimestre 4o bimestre 6,0 9,0

Qual é a média final desse estudante?

Nesse caso, temos: Média final =

A média aritmética ponderada de um conjunto de valores é calculada pela soma dos produtos desses valores pelos respectivos pesos, dividida pela soma desses pesos.

A partir dos dois casos apresentados, observamos que o cálculo da média depende das regras previamente estabelecidas.

Responda às questões no caderno.

1. Considere os números a seguir.

32 53 45 25 60 Qual é a média aritmética desses números?

seja aprovado nesse curso, o aluno deverá ter a média aritmética das notas das cinco provas maior ou igual a 6. Na tabela, estão dispostas as notas que cada aluno tirou em cada prova.

2. Um pediatra anotou a altura de seis meninas de oito anos, medidas em seu consultório: 1,25 m; 1,27 m; 1,30 m; 1,23 m; 1,31 m e 1,26 m. Qual é a altura média dessas seis meninas, em metro?

3. Uma equipe de handebol é formada por 12 jogadores. Três desses jogadores têm 20 anos, dois jogadores têm 26 anos, quatro jogadores têm 23 anos, e os demais têm 21 anos, 25 anos e 27 anos. Qual é a idade média aproximada dessa equipe?

4. Uma indústria produziu 1 800 aparelhos de um modelo de pen drive por 30 reais a unidade e 1 200 unidades de outro modelo por 27 reais cada um. Qual foi o preço médio desses aparelhos, por unidade?

9 1,27 m 23 anos. R$ 28,80

5. (Enem/MEC) Três alunos, X, Y e Z, estão matriculados em um curso de inglês. Para avaliar esses alunos, o professor optou por fazer cinco provas. Para que

Com base nos dados da tabela e nas informações dadas, ficará(ão) reprovado(s)

a) apenas o aluno Y.

b) apenas o aluno Z.

c) apenas os alunos X e Y.

d) apenas os alunos X e Z.

e) os alunos X, Y e Z.

6. Em uma lanchonete, a receita para preparar os sucos é: 8 copos de água mineral para 2 copos de suco concentrado. Qual é o custo de cada copo de suco, sabendo que cada copo de água mineral custa 50 centavos, e o de suco concentrado custa 85 centavos?

7. Elabore um problema envolvendo o cálculo de média aritmética ponderada e entregue para um colega resolver. Em seguida, verifique se a resolução feita por ele está correta.

Alternativa b. 57 centavos. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Família: não apenas um grupo, mas um fenômeno social FÓRUM

Considerando-se que a vida social é algo fundamental à existência e sobrevivência dos seres humanos enquanto indivíduos, é na família que se dá início ao processo de socialização, educação e formação para o mundo. [...]

[...] a família é um grupo informal, no qual as pessoas estão ligadas por afeto e afinidade, e que por conta deste sentimento criam vínculos que garantem a convivência (em um mesmo local de residência, por exemplo), além da cooperação econômica.

RIBEIRO, Paulo Silvino. Família: não apenas um grupo, mas um fenômeno social. Brasil Escola. [S l.], c2022. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/sociologia/familia-nao-apenas-um-grupo-mas-um-fenomenosocial.htm. Acesso em: 10 jul. 2022.

É importante compreender que as pessoas têm diferentes hábitos e costumes. Com as famílias isso não muda, cada família tem uma dinâmica, um jeito de se organizar para que as tarefas do cotidiano se tornem mais práticas de acordo com a realidade e com a necessidade daquele grupo.

Além disso, as famílias têm passado por transformações em relação a sua estrutura e formação, e podemos atribuir parte delas às mudanças que aconteceram e estão acontecendo na sociedade. Por exemplo, atualmente a mulher tem conquistado mais espaço no mercado de trabalho, deixando, assim, de ser a pessoa que se dedica exclusivamente à casa e aos filhos.

De acordo com o Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), em 1995, 22,9% das famílias no Brasil eram chefiadas por mulheres, em 2005 essa taxa passou para 30,5%, e em 2015 as famílias chefiadas por mulheres eram 40,5% do total.

Fonte dos dados: INSTITUTO DE PESQUISA ECONÔMICA APLICADA. Retrato das desigualdades de gênero e raça Brasília, DF: IPEA, [2016?]. Disponível em: https://www.ipea.gov.br/retrato/indicadores_chefia_familia.html.

Acesso em: 11 jul. 2022.

Junte-se a alguns colegas, e respondam às questões.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fórum

A temática desse boxe favorece trabalhar aspectos relacionados ao Tema Contemporâneo Transversal Vida Familiar e Social.

Propor aos estudantes que discutam as questões em grupo para a troca de informações e ideias, de modo que é favorecido o desenvolvimento das competências gerais 4 e 7.

Incentivar os estudantes a perceber que na sociedade contemporânea existem diferentes estruturas familiares, dando ênfase ao “recorte” da temática mencionada no boxe acerca das famílias chefiadas por mulheres.

Verificar se as respostas apresentadas pelos estudantes demonstram empatia com as diferentes realidades.

Livro

DISKIN, Lia; ROIZMAN, Laura Gorresio. Paz, como se faz? Semeando a cultura de paz nas escolas. 4. ed. São Paulo: Palas Athena; Brasília, DF: Unesco, 2021. Disponível em: https://unesdoc.unesco. org/ark:/48223/pf0000379604. Acesso em: 15 ago. 2022.

Esse livro apresenta sugestões de atividades e filmes que podem ser trabalhados com os estudantes a fim de promover a cultura de paz.

De 1995 a 2015, qual foi o aumento na porcentagem de famílias chefiadas por mulheres?

Debata com os colegas e com o professor a importância de respeitar os diferentes tipos de família e os costumes das pessoas, tanto no convívio familiar como no convívio social.

17,6% Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Representação de três gerações: avó, mãe e filha.

Aproveitar esse momento para propor aos estudantes reflexões relacionadas à cultura de paz e ao combate ao bullying. Comentar que, como membros de uma grande família humana, precisamos combater atitudes de preconceito e todo e qualquer tipo de violência.

FERNANDO FAVORETTO/CRIAR IMAGEM

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tratamento da informação

Ao iniciar o trabalho com a seção, recomenda-se realizar com os estudantes a leitura da reportagem e verificar se eles possuem clareza do que indica o termo serviços. Se necessário, esclarecer que são as diferentes atividades de trabalho que são prestadas à sociedade, como transporte, comunicação, restaurantes, hotéis, mercado, comércio etc.

A atividade 1 considera o fato de a variação indicada no gráfico se referir sempre ao ano anterior. Desse modo, as indicações, em %, não se referem a um mesmo todo.

As atividades 2, 3 e 4 envolvem a leitura e interpretação direta de informações apresentadas no gráfico com números racionais (positivos e negativos). Na atividade 4, espera-se que os estudantes realizem uma subtração entre número positivo e número negativo.

Na atividade 5, destaca-se a análise crítica dos dados e a formulação de hipóteses, contribuindo para que os estudantes desenvolvam habilidade de leitura crítica de informações representadas em gráficos.

Na interpretação dos dados do gráfico, avaliar se os estudantes percebem que é preciso considerar que os dados, em % de variação, referem-se ao ano anterior e, por isso, o volume ao qual cada dado se refere muda de ano para ano. Se considerar adequado, construir com os estudantes uma tabela que mostre a variação com relação a 2014. Para isso, pode-se considerar o número 100 como sendo o volume de serviços, em 2014, e verificar como isso se altera durante os anos seguintes. Por exemplo, como houve queda de 3,6%

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

ANÁLISE DE TABELAS E GRÁFICOS COM NÚMEROS RACIONAIS NEGATIVOS

Leia o texto a seguir.

Setor de serviços cresce 10,9% em 2021 e supera perdas de 2020

O setor de serviços cresceu 10,9% em 2021, após ter recuado 7,8% em 2020. Essa foi a maior taxa para um fechamento de ano desde o início da série histórica em 2012. [...] De acordo com o gerente da pesquisa, Rodrigo Lobo, entre 2012 para 2019 o setor de serviços acumulou uma variação positiva de 0,1% e, no biênio 2020-2021, uma alta de 2,2%. Ou seja, boa parte do crescimento acumulado dos últimos 10 anos (2,3%) se deve ao desempenho mais dinâmico de alguns segmentos de serviços em 2021. “Nos primeiros meses de 2020, o setor de serviços foi duramente afetado em função da necessidade de isolamento social e do fechamento dos estabelecimentos que prestavam serviços de caráter presencial. Por outro lado, a pandemia trouxe oportunidades de negócios para serviços voltados às empresas, como os de tecnologia da informação, transporte de cargas, armazenagem, logística de transporte e serviços financeiros auxiliares, que tiveram ganhos mais expressivos e compensaram as perdas dos serviços de caráter presencial”, contextualiza.

GOMES, Irene. Setor de serviços cresce 10,9% em 2021 e supera perdas de 2020. Agência IBGE Notícias. Rio de Janeiro, 10 fev. 2022. Disponível em: https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2012 -agencia-de-noticias/noticias/32953-setor-de-servicos-cresce-10-9-em-2021-e-supera-perdas-de-2020.

Acesso em: 12 jul. 2022.

Agora, observe o gráfico que representa alguns dados referentes a esse assunto.

Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Pesquisa Mensal de Serviços. Agência IBGE Notícias. Rio de Janeiro, 10 fev. 2022. Disponível em: https://agenciadenoticias. ibge.gov.br/agencia-noticias/2012-agencia-de-noticias/noticias/32953-setor-de-servicos -cresce-10-9-em-2021-e-supera-perdas-de-2020. Acesso em: 12 jul. 2022.

em 2015, o valor 100 caiu para 96,4. Já, em 2016, a queda foi de 5% em relação ao valor de 2015 ( 5% de 96,40, que resulta em 91,58), e assim sucessivamente.

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A tabela pode ser elaborada na lousa ou ainda em uma planilha eletrônica. Ao término, espera-se que os estudantes percebam que, apesar do crescimento apresentado em 2021, o volume de serviços era maior em 2014 e em 2015.

Responda no caderno.

2 Positiva: 2012, 2013, 2014, 2019 e 2021. Negativa: 2015, 2016, 2017 e 2020.

1. No gráfico, o que significa o valor 3,6 no ano de 2015?

2. Em que anos a variação no volume de serviços foi positiva? Em que anos foi negativa?

3. Qual é a relação entre o volume de serviços em 2017 e 2018?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Foram iguais, pois não houve variação em 2018 em relação a 2017.

4. Qual é a diferença entre a maior variação positiva e a maior variação negativa entre 2012 e 2021?

10,9% ( 7,8%) = 18,7%

5. De acordo com o texto, como as mudanças decorrentes da pandemia influenciaram na variação do volume de serviços?

Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

6. Mensalmente, o IBGE divulga a Pesquisa Mensal de Serviços, a qual produz indicadores que permitem acompanhar o setor de serviços no país. Considere a tabela a seguir, com dados dessa pesquisa em dezembro de 2021.

Volume de Serviços, segundo as atividades de divulgação Dezembro 2021 – Variação (em %)

Elaborada com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Pesquisa Mensal de Serviços –dezembro 2021. Indicadores IBGE. Rio de Janeiro: IBGE, 10 fev. 2022. p. 14. Disponível em: https://biblioteca. ibge.gov.br/visualizacao/periodicos/2419/pms_2021_dez.pdf. Acesso em: 12 jul. 2022.

Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

a) Escolha ao menos duas atividades de divulgação apresentadas na tabela e elabore um gráfico de múltiplas colunas utilizando os três meses que compõem a pesquisa. Você pode usar cores diferentes para indicar os dados para cada mês. Não se esqueça de elaborar uma legenda.

b) Elabore duas questões que possam ser respondidas com a análise do seu gráfico.

DESCUBRA MAIS

COMO saber os dados mais atuais da economia brasileira? IBGE Explica. [2022]. Vídeo (6min55s). Publicado pelo canal IBGE. Disponível em: https://www.youtube. com/watch?v=ecyanr_nwAo. Acesso em: 15 jul. 2022.

O vídeo mostra o papel do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) na produção de dados e informações atuais sobre a economia brasileira por meio de pesquisas mensais sobre setores como Comércio, Indústria e Serviços.

1 A variação no volume de serviços em relação ao ano de 2014. Ou seja, houve uma diminuição de 3,6% no volume de serviços em relação ao ano anterior.

Na atividade 6, na primeira proposta, o gráfico pode ser construído em uma planilha eletrônica. Incentivar os estudantes a elaborar um texto no caderno sintetizando as informações sobre as variações que ocorram nos meses indicados no gráfico nos tipos de serviços apresentados que foram indicados no gráfico que eles construíram. Os estudantes podem obter mais informações sobre as categorias dos tipos de serviço apresentados, realizando uma pesquisa nas notas técnicas do site do IBGE, no material disponível em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Pesquisa Mensal de Serviços: dezembro 2021. Rio de Janeiro, 2022. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov. br/visualizacao/periodicos/2419/ pms220212dez.pdf. Acesso em: 15 ago. 2022.

Com relação à elaboração de questões, na segunda proposta, os estudantes podem elaborar questões envolvendo o cálculo da média da variação apresentada no gráfico, por exemplo, contribuindo assim para o desenvolvimento da habilidade EF07MA35.

Uma possibilidade é que os estudantes trabalhem esta seção em duplas ou em grupos, propiciando a troca de ideias na interpretação dos dados.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades desta seção é propiciar aos estudantes que retomem os conteúdos estudados na Unidade e, caso seja necessário, façam retomadas para sanar as dúvidas que possam surgir. Solicitar que realizem individualmente as atividades. Isso é importante para o desenvolvimento da autonomia intelectual de cada um dos estudantes de maneira que percebam suas dificuldades e autoavaliem o processo de aprendizagem.

Este é um momento de parada para avaliação do processo até aqui, de modo que antes de avançar nas aprendizagens os estudantes possam sanar dúvidas ainda existentes.

Na verificação das respostas com os estudantes, a cada atividade, esmiuçar resoluções possíveis.

Por exemplo, na atividade 3, analisar com eles a situação, levando-os a concluir que a capacidade da jarra corresponde ao inteiro (jarra cheia), que seria

1 litro mais 1 3

Propor-lhes que observem a ilustração da jarra no Livro do estudante. Assim, eles poderão perceber que a parte da jarra com 1 litro de água corresponde a 2 3 da

capacidade dela. Portanto, 1 3 da capacidade da jarra corresponde a meio litro, e a capacidade da jarra é 1,5 litro (um litro e meio).

Como uma ampliação dessa atividade, pode-se perguntar:

Para obter 6 litros de suco, quantas dessas jarras cheias são necessárias?

Como cada jarra tem a capacidade de 1,5 litro, calcula-se quantos 1,5 litro cabem em 6 litros.

Para isso, pode-se dividir 6 por 1,5: 6 : 1,5 = 60 : 15 = 4

Logo, são necessárias 4 jarras.

Responda às questões no caderno.

1. Qual é a distância, em metro, de um ponto situado a 6,35 m do nível do mar até um ponto situado a 1,5 m do nível do mar? Suponha que os dois pontos considerados estejam alinhados verticalmente.

a) 4,35

4,45

4,65 d) 4,75 e) 4,85

2. Observe a reta numérica e responda.

4. Em uma sala de aula, 2 3 dos estudantes praticam esportes. Desses estudantes, 3 4 jogam voleibol. Que fração dos estudantes da sala pratica voleibol?

5. Calcule o valor dos produtos.

a) Qual é o número correspondente ao ponto C ?

b) Qual é o número correspondente ao ponto B?

c) Qual é o ponto associado ao número

d) Qual é o ponto associado ao número

(+5,5) ( 1,1) (

6. Entre quais números inteiros se situa o resultado da expressão

3. Em uma jarra, foi colocado 1 litro de água, e ainda sobra 1 3 da jarra para completar. Quantos litros de água cabem nessa jarra?

1,5 litro de água.

7. Calcule o valor das expressões numéricas.

9. Qual é o número decimal correspondente ao resultado da expressão a seguir?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

0,25 + 0,19 : (4 0,8 : 0,5 0,5)

10. Quando x = 6 1 e y = 6 2 , quanto vale x + y?

11. Observe os dados referentes à idade dos estudantes da turma de André.

Idade dos estudantes

Quantidade de estudantes Idade

3 12 18 13

9 14

Fonte: Dados fictícios. Qual é a média das idades dos estudantes dessa turma?

0,35 + 7 36 13,2 anos.

12. (Unifaat/SP) Os 32 alunos da turma do 3 o ano do Ensino Médio do Colégio Alevinos realizaram um teste proposto pelo professor de Matemática. Após a correção do teste, o professor construiu o seguinte gráfico, que mostrava a distribuição de notas da turma.

UM NOVO OLHAR

Com base no gráfico, o professor pode calcular que a média da nota da turma no teste foi de:

Alternativa d.

Os questionamentos apresentados no encerramento desta Unidade permitem reflexões das aprendizagens individuais dos estudantes, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados.

a) 4,0

b) 4,5

c) 5,0

d) 5,5

e) 6,0

DESAFIO

13. Marcos gasta 3 7 do salário com alimentação. Com a metade do que sobra, ele paga a prestação de uma bicicleta e ainda fica com R$ 376,00. Qual é o salário de Marcos?

R$ 1.316,00

É importante que os estudantes respondam individualmente, no caderno, a cada uma das questões para que, desse modo, possam perceber o que aprenderam e rever as possíveis dúvidas que ainda tenham sobre determinado assunto abordado, além de planejar os estudos deles.

O objetivo da primeira questão desta seção é que eles reflitam acerca do conjunto dos números racionais de modo que percebam que entre dois números racionais sempre há outro número racional.

Nesta Unidade, foram abordados: o conjunto dos números racionais, as propriedades inerentes a esse conjunto e as estruturas das operações de adição algébrica, multiplicação e divisão. Além disso, foram exploradas as operações que envolvem potências, raiz quadrada, média aritmética e média ponderada. Esses conceitos foram estudados por meio da observação, inclusive de suas aplicações no cotidiano, como valores em reais, análise de gráficos e resolução de problemas. Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Explique a afirmação: Entre dois números racionais, sempre há outro número racional.

• Quantos números racionais existem entre os números 0 e 1?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Basta calcular a média entre esses dois números, que será um número racional entre eles. Infinitos.

• Que conjuntos numéricos estão contidos no conjunto dos números racionais?

• Em seu cotidiano, em quais situações é possível perceber a presença de números racionais?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros.

A segunda questão visa levá-los ao entendimento de que não é possível representar uma quantidade de elementos do conjunto dos números racionais, visto que entre dois números inteiros há infinitos números racionais e entre dois números racionais há sempre outro número racional.

A terceira questão retoma a definição de número racional e ressalta o fato de que todo número inteiro é racional e, portanto, todo número natural também é racional.

E a última questão considera a vivência dos estudantes, de como eles percebem a presença e a utilização dos números racionais no cotidiano.

REPRODUÇÃO/UNIFAAT, 2020.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2, 3, 4, 9 e 10

Competências específicas:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8

Habilidades:

Números

• EF07MA05

Álgebra

• EF07MA13

• EF07MA14

• EF07MA15

• EF07MA06

• EF07MA16

• EF07MA18

Probabilidade e estatística

• EF07MA36

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Vida Familiar e Social

• Educação em Direitos Humanos

• Diversidade Cultural

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

• Saúde

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em 8 capítulos e retoma o estudo de regularidades em sequências, ampliando o trabalho iniciado na Unidade 1 deste volume, destacando as sequências recursivas e a determinação da lei de formação e do termo geral expressos com o uso de simbologia algébrica; trata de equações do 1o grau em variados contextos e aplica os princípios da igualdade na resolução de problemas que podem ser representados por essas equações. Além disso, explora gráficos de linhas.

OBJETIVOS

• Identificar e classificar sequências recursivas e não recursivas.

• Determinar o valor numérico de uma expressão algébrica.

• Reconhecer as propriedades de uma igualdade.

• Reconhecer equações equivalentes.

• Utilizar os princípios de equivalência na resolução de equações.

• Determinar o conjunto solução de uma equação de 1o grau.

5

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

LINGUAGEM ALGÉBRICA E EQUAÇÕES

Um dos tipos de atendimento nos restaurantes se dá por meio da modalidade comumente denominada self-service (que significa “sirva-se”) ou venda “a quilo”. Essa modalidade, que conquistou o reconhecimento dos brasileiros, consiste em um restaurante em que os alimentos estão dispostos de maneira que o cliente se serve com a quantidade que desejar. Observe na imagem como funciona, em geral, um restaurante de venda “a quilo”.

Em 2000, o Inmetro publicou uma portaria obrigando estabelecimentos que comercializam alimentos “a quilo” a fixar, em local visível e de maneira legível, informações relativas à massa do prato utilizado para acondicionar os alimentos

Em um restaurante de venda “a quilo”, cada pessoa pode decidir o alimento e a quantidade que quer comer. Isso possibilita uma alimentação balanceada.

Este visor indica a massa de comida que o cliente colocou no prato; neste caso, 540 g. Em geral, as balanças são programadas para descontar a massa do prato vazio, ou seja, quando não há algo sobre a balança, o visor indica a massa do prato vazio com o sinal negativo.

Este visor mostra o valor total a ser pago pela refeição. Neste caso, o preço a ser pago é R $ 32,94, e não inclui bebida.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo equações de 1o grau.

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• Ler e interpretar gráficos de linhas.

• Planejar, coletar e organizar dados de pesquisa censitária.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresenta-se o estudo de sequências recursivas, suas leis de formação e

aplicações desenvolvendo assim as habilidades EF07MA14 e EF07MA15. Em seguida, trabalha-se com expressões algébricas, propriedades da igualdade, equivalência e estudo das equações com o objetivo de compreender os processos de resolução de uma equação de 1o grau, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF07MA13, EF07MA16 e EF07MA18.

A seção Por toda parte da página 135 aborda a temática da presença dos elementos

Este visor mostra o preço de cada quilograma de comida. Neste caso, o preço do quilograma é R $ 61,00.

Espera-se que os estudantes verifiquem que é necessário multiplicar 0,450 por 61 para obter o valor a ser pago, ou seja, R$ 27,45.

Agora, responda às questões no caderno.

• Você já fez alguma refeição em um restaurante que vende comida “a quilo”? Se sim, você observou quantos gramas de comida você serviu no prato? Você procurou servir um prato com variedade de alimentos?

Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• No exemplo ilustrado, de acordo com o preço do quilograma indicado na balança, como você faria para calcular o valor a ser pago por uma pessoa que serviu 450 g de comida, sem incluir a bebida?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

A abertura pode ser um momento para questionar os estudantes sobre o significado de tara de uma balança (um valor a ser descontado quando queremos, por exemplo, desconsiderar a embalagem de um produto ou a massa do prato em um restaurante).

Discutir com os estudantes sobre as informações contidas na imagem e, em seguida, pedir que respondam o que pode ter motivado o Inmetro a criar uma portaria para obrigar os restaurantes a indicar a massa do prato em local visível. Quanto à última pergunta, é de se esperar que nem todos cheguem a equações para resolver o questionamento feito. Essa abertura auxilia no desenvolvimento das habilidades EF07MA05 e EF07MA06, das competências específicas 1 e 2 da área de Matemática e poderá ser retomada posteriormente, conforme o andamento da Unidade.

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recursivos na Arte e na Literatura, explorando o Tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural, o que colabora com o desenvolvimento da habilidade EF07MA14 e de diversas competências gerais e específicas. Já a seção Por toda parte da página 146 explora o Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos e contribui para o desenvolvimento das competências gerais 1 e 9.

No boxe Fórum, exploram-se os Temas Contemporâneos Transversais Diversidade Cultural e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras por meio da análise da herança cultural dos povos africanos no Brasil.

Na seção Tratamento da informação, pretende-se apresentar uma aplicação da análise de dados em gráficos de linhas

e tabelas, no contexto do acesso ao saneamento básico no Brasil, além da produção de pesquisa envolvendo tema da realidade social, favorecendo o trabalho com a habilidade EF07MA36. Esse tema colabora para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, das competências gerais 1, 4 e 9, bem como das competências específicas 2, 5 e 7 da área de Matemática.

DOTTA2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Sequências

Neste capítulo, explora-se a noção de sequência e a observação de regularidades presentes de modo a caracterizar a sequência considerada, indo além das classificações finita/ infinita ou crescente/decrescente. A classificação das sequências e a identificação de seus termos propiciam o desenvolvimento das habilidades EF07MA14 e EF07MA15.

Pense e responda

Explorar a sequência de figuras apresentada inicialmente. Espera-se que os estudantes percebam que cada figura é formada pela anterior adicionada a dois quadradinhos, ampliando as extremidades da figura. Eles podem notar também que a quantidade de quadradinhos de uma figura é a quantidade de quadradinhos da figura anterior adicionada a dois quadradinhos. É necessário tomar muito cuidado com considerações a respeito de sequências numéricas ou não numéricas, pois, às vezes, a lei de formação não é tão evidente e pode parecer que não existe. Após explorar os exemplos desta página, apresentar também como exemplo a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Nesse caso, a regra é listar todos os números naturais cujo nome se inicia pela letra D: dois, dez, doze, dezesseis, dezessete, dezoito, dezenove, duzentos, ...

SEQUÊNCIAS CAPÍTULO1

Você já estudou algumas sequências formadas por figuras ou números verificando que elas são grupos de elementos dispostos em determinada ordem preestabelecida. Em alguns casos, é possível identificar um padrão (ou regra) de formação dessas sequências.

Cada elemento que compõe uma sequência é chamado de termo da sequência. A ordem em que o termo aparece é a posição dele na sequência.

PENSE E RESPONDA

a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes observem que, partindo da primeira figura, as próximas figuras são obtidas acrescentando-se 2 quadradinhos à figura anterior.

Considere a sequência de figuras representada para responder às questões no caderno.

a) Você identifica um padrão (ou regra) de formação dessa sequência de figuras?

b) Imagine que essa sequência de figuras continue. Quantos quadradinhos você diria que compõem a 5a figura?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 9 quadradinhos.

c) Reproduza essa sequência de figuras em uma folha de papel quadriculado e desenhe os dois próximos termos da sequência.

Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Quando uma sequência tem um número finito de termos, ela é chamada de sequência finita. No entanto, se é formada por infinitos termos (continua indefinidamente), temos uma sequência infinita Observe alguns exemplos.

• Sequência dos divisores de 15 (1, 3, 5, 15) é uma sequência finita.

Utilizamos as reticências (...) para indicar que a sequência é infinita.

• Sequência dos múltiplos de 2 (0, 2, 4, 6, 8, ...) é uma sequência infinita. Considere, agora, a sequência dos números ímpares representada a seguir.

1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

Observe como podemos representar os termos dessa sequência, de acordo com a ordem em que estão dispostos.

1o termo T1 = 1 5o termo T5 = 9

2o termo T2 = 3 6o termo T6 = 11

3o termo T3 = 5 ;;

4o termo T4 = 7 no termo (lemos: enésimo termo) T n

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Identifique os termos solicitados em cada sequência.

a) 3o e 6 o termos em: 0, 0, 2, 0, 0, 0, 4

b) 1o termo em: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

c) 10 o termo em: 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... 1

Resolução da atividade

a) 2 e 0; b) Zero; c) 1.

SAIBA QUE

termo 2o termo 3o termo 4 o termo

LEI DE FORMAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA

Quando identificamos um padrão (ou regra) de formação de uma sequência, podemos escrever uma expressão que indica como obter cada termo da sequência. Essa expressão é chamada de lei de formação da sequência.

Considerando, novamente, a sequência dos números ímpares, observe que ela pode ser formada iniciando-se com o número 1, e cada termo seguinte pode ser obtido adicionando-se 2 ao termo anterior.

Nesse caso, temos:

T1 = 1

T2 = T1 + 2 = 1 + 2 = 3

T3 = T2 + 2 = 3 + 2 = 5

T4 = T3 + 2 = 5 + 2 = 7

T5 = T4 + 2 = 7 + 2 = 9

T6 = T5 + 2 = 9 + 2 = 11 ;;

T n = T n 1 + 2

Com isso, escrevemos uma possível lei de formação para a sequência dos números ímpares: T1 = 1 e T n = T n 1 + 2, em que n é um número natural maior do que 1 Dizemos que essa lei foi obtida de forma recursiva, pois cada termo da sequência é obtido a partir do termo anterior

As sequências que podem ser definidas por uma lei de formação obtida de forma recursiva são chamadas de sequências recursivas

Agora imagine, por exemplo, que você queira descobrir o centésimo termo da sequência anterior. Poderíamos fazer as adições sucessivas até chegar ao centésimo termo, mas seria um processo longo e demorado.

Uma possível maneira de resolver essa situação é definir a sequência por meio de uma lei de formação que relaciona o termo T n e sua posição n na sequência. Observe uma possibilidade de analisar a sequência dos números ímpares.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Lei de formação de uma sequência

Verificar se os estudantes compreendem que para determinar os próximos termos de sequências é preciso saber a lei de formação. Por exemplo, na sequência 1, 3, 5, ..., é muito provável que os estudantes a identifiquem como uma sequência dos números naturais ímpares e, assim, digam que o próximo termo é o 7. No entanto, é possível que a sequência tenha uma lei de formação que determine que o próximo termo é 6. Observe o que ocorre com a sequência que tem o termo geral dado por: =_++ T n 6 n n 6 , n

3 2 com n > 1, n natural.

Substituindo nesse termo geral os valores de n iguais a 1, 2, 3 e 4, verifica-se que eles correspondem, respectivamente, a: 1, 3, 5 e 6.

Assim, relacionando cada termo T n e posição n correspondente, escrevemos a lei T n = 2 ? n 1, que também permite obter a sequência dos números ímpares. Essa expressão é também conhecida como fórmula do termo geral da sequência.

Nesse caso, para determinar o centésimo número ímpar dessa sequência, substituímos n por 100 na fórmula do termo geral e fazemos o cálculo.

T100 = 2 ? 100 1 = 200 1 = 199

Acompanhe outro exemplo de sequência de figuras, que podemos definir de forma recursiva, denominada sequência dos números triangulares 1

Nas atividades, é importante aceitar as leis de formação que os estudantes identificarem, desde que haja coerência, e alertá-los para terem cuidado com as suposições. Desse modo, propicia-se o desenvolvimento das habilidades EF07MA14 e EF07MA15. Se considerar pertinente, acessar o link : https://www2. ufjf.br/fractalize/2021/06/29/ os-fractais-e-a-arte/ (acesso em: 14 ago. 2022). Nele é possível explorar alguns conceitos de fractais na Arte a partir do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia. Na própria página há um redirecionamento para outra tela em que podem ser criados vários fractais. Esse estudo favorece o desenvolvimento das competências específicas 4 e 5 da área de Matemática e das competências gerais 3 e 4.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomar com os estudantes a sequência de Fibonacci, apresentada na abertura da Unidade 1. Os termos da sequência de Fibonacci podem ser obtidos por iteração, que é a repetição de uma regra ou um procedimento. Nesse caso, a iteração é adicionar os dois termos anteriores para determinar o termo seguinte da sequência. Esse trabalho favorece o desenvolvimento das habilidades EF07MA13 e EF07MA15.

Se considerar interessante, essa pode ser uma oportunidade para introduzir temas relacionados ao pensamento computacional Incentivar os estudantes a refletir que, pela recorrência da formação dos termos da sequência de Fibonacci, é possível utilizar um programa de computador para determinar esses termos. Também é possível construir um fluxograma com as etapas desse processo. Caso desejar, após os estudantes serem apresentados ao conceito de variáveis, retomar o tema e sugerir a eles que façam um fluxograma.

Atividades

As atividades desse bloco têm como objetivo propiciar momentos para que os estudantes determinem o termo geral ou a maneira recursiva de caracterizar sequências numéricas, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF07MA13, EF07MA14 e EF07MA15.

Incentivar os estudantes a usar estratégias próprias na resolução das atividades, incentivando o raciocínio lógico, a argumentação e a inferência. Sugere-se que os estudantes tenham um tempo de reflexão individual sobre essas atividades. Em seguida, reuni-los em duplas de modo conveniente, juntando um estudante que lidou muito bem com as questões e outro que ainda demonstra certa dificuldade,

Essas figuras são arranjos de pontos em forma de triângulos, e os números associados a cada termo (um número triangular) correspondem à quantidade de pontos da figura.

Analisando a formação das figuras, percebemos que a segunda figura tem 2 pontos a mais que a primeira, a terceira tem 3 pontos a mais que a segunda, a quarta tem 4 pontos a mais que a terceira e assim por diante, de modo que:

T1 = 1

T2 = T1 + 2 = 3

T3 = T2 + 3 = 6

T4 = T3 + 4 = 10

T5 = T4 + 5 = 15

Logo, a lei de formação dessa sequência é dada por:

DESCUBRA MAIS

ÁUDIOS DA COLEÇÃO M3. (Série Cultura) Embaralhando Sherlock Holmes, [20--?]. Matemática Multimídia. Podcast. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/ recursos/1251. Acesso em: 5 ago. 2022. Esse podcast traz a história de uma série de assassinatos investigados por Sherlock Holmes, na qual ele vai precisar desvendar um enigma associado a uma sequência recursiva conhecida como sequência de Fibonacci.

T1 = 1 e T n = T n _ 1 + n, em que n é um número natural e n . 1.

ATIVIDADES

3. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: T1 = 7 e T n = T n 1 + 4 (n . 1); 39 e 43.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Tn = 3 n (n . 0); 21, 30 e 33.

c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: T1 = 3 e T n = T n 1 + n (n . 1); 30 e 47.

Responda às questões no caderno.

1. Classifique como recursiva ou não recursiva cada sequência a seguir.

a) 1, 2, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1,

b) 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...

Não recursiva. Recursiva.

c) T1 = 2 e T n = 2 T n _ 1, em que n é um número natural e n . 0. Recursiva.

2. Determine o 8 o termo da sequência cuja lei de formação é:

a) T1 = 1 e T n + 1 = T n + 2 (n . 0). 15

b) T n = n2 (n . 0). 64

c) T n = n (n 1), para n > 1. 56

3. Identifique o padrão de cada sequência a seguir e escreva uma lei de formação correspondente. Em seguida, determine os elementos indicados por ?.

a) 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, ?, ?, ...

b) 3, 6, 9, 12, 15, 18, ?, 24, 27, ?, ?, ...

c) 3, 5, 8, 12, 17, 23, ?, 38, ?, ...

para que troquem estratégias e maneiras de pensar sobre as questões. O compartilhamento de estratégias contribui para o desenvolvimento das competências específicas 2, 5 e 6 da área de Matemática e das competências gerais 9 e 10.

Ao final, pode-se solicitar a alguns estudantes que expliquem, na lousa, a resolução da dupla; desse modo, as estratégias são compartilhadas com os colegas.

4. Liste os 10 primeiros termos de cada sequência definida a seguir.

a) T n = ( 2)n, para n . 0.

b) A sequência que começa com 2, e cada termo subsequente é o termo anterior diminuído de 2.

c) T1 = 4 e T n = T n 1 + 3, para n . 1.

5. Denise escreveu uma fórmula do termo geral e a entregou a Marcelo para que ele escrevesse os 10 primeiros termos de uma sequência infinita. Marcelo obteve o seguinte:

1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, ...

Identifique quais destas fórmulas Denise pode ter escrito. Alternativas b e c.

a) T n = n + 5, para n . 0.

b) T n = n + 4 (n 1), para n > 1.

c) T n = 5n 4, para n . 0.

d) T n = 7n 6, para n > 1.

AMPLIANDO

Vídeos

SEQUÊNCIA de Fibonacci com fluxograma | Curso de Algoritmos e Lógica de Programação | Aula 77. 2020. Vídeo (14min23s). Publicado pelo canal Programe seu futuro. Disponível em: https://youtu.be/dtqnld8K-sk. Acesso em: 12 ago. 2022.

SEQUÊNCIA de Fibonacci no Scratch | Curso de Algoritmos e Lógica de Programação | Aula 78. 2020. Vídeo

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Por toda parte

ELEMENTOS RECURSIVOS NA ARTE E NA LITERATURA

Você já observou como é possível identificar padrões e a ideia de recursão em obras de arte, em letras e ritmos musicais, em poemas, entre outras produções feitas por diferentes profissionais?

A seguir, vamos verificar algumas dessas aplicações e explorar a criatividade para trabalhar a ideia de recursão em um contexto além da Matemática.

Inicialmente, observe uma obra de Luiz Sacilloto (1924-2003), pintor, escultor e desenhista brasileiro que nasceu em Santo André (SP).

Responda às questões no caderno.

SACILOTTO, Luiz. Concreção 9770. 1997. Acrílica sobre tela. 90 cm x 90 cm. Coleção Banco Itaú.

1. Você identifica algum padrão e a ideia de recursão em elementos da obra representada? Como você descreveria essa imagem para um colega utilizando o conceito de sequência recursiva estudado?

Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Utilize a ideia de recursão para criar uma representação artística inspirada nessa obra e compartilhe-a com a turma. Você pode utilizar papel quadriculado como base para seu desenho.

Desenho do estudante.

Agora, leia o poema Quadrilha, de Carlos Drummond de Andrade (1902-1987), poeta e cronista brasileiro nascido em Itabira (MG). Observe a ideia de recursão utilizada pelo poeta na sequência dos fatos presentes nos versos do poema.

Quadrilha

João amava Teresa que amava Raimundo que amava Maria que amava Joaquim que amava Lili que não amava ninguém.

João foi para os Estados Unidos, Teresa para o convento, Raimundo morreu de desastre, Maria ficou para tia, Joaquim suicidou-se e Lili casou com J. Pinto Fernandes que não tinha entrado na história.

DRUMMOND DE ANDRADE, Carlos. Quadrilha. In: Nova reunião: 23 livros de poesia. 3. ed. Rio de Janeiro: BestBolso, 2010. v. I.

3. Utilizando a ideia de recursão e se inspirando nos versos de Drummond, elabore um poema ou uma paródia em que apareça uma sequência de fatos relacionados de maneira recursiva. Compartilhe com os colegas. Resposta pessoal.

(13min50s). Publicado pelo canal Programe seu futuro. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=2dmiUjL2y_g. Acesso em: 12 ago. 2022.

Destacar a relação entre a Álgebra (os números da sequência de Fibonacci) e a Geometria (a construção do retângulo áureo) para contemplar a competência específica 3 da área de Matemática. Os vídeos apresentam uma possibilidade para construir o fluxograma e um programa no softwareScratch que retorna determinado termo da sequência de Fibonacci.

GLOSSÁRIO

Paródia: imitação feita de maneira cômica ou crítica de um texto literário ou de uma música.

A seção explora elementos recursivos em outras áreas, além da Matemática, como em obras de arte e poesias, o que favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural, da habilidade EF07MA14 e das competências gerais 1, 2, 3 e 4, bem como das competências específicas 3, 4 e 8 da área de Matemática. Solicitar aos estudantes que observem a obra do artista Luiz Sacilotto, que apresenta diversos elementos recursivos, como a alternância de cores, por exemplo. Se considerar conveniente, apresentar aos estudantes outros exemplos de obras de arte com elementos recursivos antes de propor a eles que realizem a atividade 2 Após a realização da atividade 2, fazer a leitura coletiva do poema proposto e, organizados em grupos, propor aos estudantes a realização da atividade 3

AMPLIANDO Vídeo

RECURSIVIDADE além da matemática. 2020. Vídeo (4min21s). Publicado pelo canal Khan Academy Brasil. Disponível em: https:// www.youtube.com/watch?v=VebJ 3qeF7xs. Acesso em: 15 ago. 2022. Videoaula que aborda o tema da recursividade aplicada em outras áreas, além da Matermática.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Expressões algébricas

O estudo das expressões algébricas favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico, amplia o repertório de inferências dos estudantes e está relacionado ao desenvolvimento das habilidades

EF07MA16 e EF07MA18.

A ideia de variável

Ampliar o trabalho com expressões algébricas apresentando outros exemplos. Explorar cada situação com os estudantes e pedir que citem outras nas quais julguem que se têm variáveis envolvidas.

Possíveis respostas: perímetro de um polígono, área de um retângulo ou de um quadrado, entre outras.

No estudo de equações, mais adiante, ressaltar a presença de letras que representam elementos desconhecidos.

Expressões matemáticas que apresentam números e letras, ou somente letras, envolvendo operações são denominadas expressões algébricas. As letras das expressões algébricas representam números e são chamadas de variáveis

A IDEIA DE VARIÁVEL

No estudo sobre sequências, utilizamos a letra n para indicar a posição de um termo qualquer em uma sequência, além de representar o termo de acordo com a lei de formação da sequência. Acompanhe, agora, a situação a seguir. Considere a sequência dos números quadrados perfeitos.

14 91625

Indicando por Qn, a fórmula do termo geral dessa sequência é dada por:

Qn = n2, em que n é um número natural e n . 0.

Na fórmula do termo geral, n é uma variável, pois pode assumir o valor de qualquer número natural não nulo, e n2 é uma expressão algébrica. Quando substituímos um valor de n na fórmula do termo geral, estamos obtendo o valor numérico da expressão algébrica n2 para esse valor substituído.

Por exemplo, para obter o décimo termo da sequência dos números quadrados perfeitos, sabemos que n = 10 e substituímos esse valor na fórmula do termo geral.

Q10 = 102 = 100

Assim, 100 é o valor numérico da expressão n2 para n = 10, ou seja, o décimo termo dessa sequência.

Observe, também, que se conhecemos o termo da sequência, podemos descobrir sua posição nessa sequência.

Por exemplo, qual é a posição do número 625 na sequência dos números quadrados perfeitos?

Substituímos Qn por 625 na fórmula do termo geral, ou seja, 625 = n2. Com isso, determinamos o número natural n que, elevado ao quadrado, resulta em 625, ou seja, n = 25.

Nessa situação, dizemos que n é uma incógnita, pois representa um valor a ser obtido.

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Usamos sentenças para nos comunicar tanto na linguagem oral quanto na linguagem escrita. Em Matemática, também usamos sentenças, e a maioria delas apresenta afirmações sobre números. Nas sentenças matemáticas, usamos símbolos no lugar de palavras.

= (igual a) 5 (diferente de) . (maior do que) , (menor do que) k (equivalente a) h (implica)

Em uma sentença matemática, o símbolo = representa uma igualdade

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Igualdade

É interessante discutir com os estudantes em que outras situações eles acreditam já ter utilizado uma equação.

O objetivo é que eles percebam que, ao realizarem cálculos em outras disciplinas ou no cotidiano, por exemplo, estão empregando conceitos matemáticos de maneira aplicada.

A

de

A soma dos quadrados de três e de quatro é igual ao quadrado de cinco.

De modo geral, podemos representar uma igualdade por a = b, em que a e b são expressões diferentes para um mesmo número. Isso é chamado de princípio da igualdade

Em uma igualdade, temos:

• A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1o membro da igualdade

• A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada 2o membro da igualdade. Assim:

Retomar os símbolos matemáticos conhecidos pelos estudantes e, em seguida, ler coletivamente as informações contidas nestas páginas. Depois, pedir a eles que elaborem um pequeno cartaz contendo esses símbolos, os respectivos significados e as propriedades estudadas com alguns exemplos que os ajudem a compreender e a retornar a eles quando necessário. Esse trabalho, além de favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA16 e EF07MA18, colabora com o desenvolvimento das competências gerais 3 e 4 e das competências específicas 2 e 8 da área de Matemática. Explorar as propriedades de uma igualdade apresentadas, de modo que os estudantes possam comunicá-las em variados exemplos. Isso pode ser feito em uma roda de conversa, por exemplo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades de

uma igualdade

Explicar a situação de equilíbrio de uma balança de dois pratos, quando esses pratos ficam à mesma altura com as massas colocadas em cada um deles, o que indicará que as massas que estão em cada prato são iguais.

A compreensão das propriedades de uma igualdade e dos princípios de equivalência são essenciais para desenvolvimento da habilidade EF07MA18, além de incentivarem o raciocínio lógico e inferências

Destacar o princípio aditivo e pedir aos estudantes que descrevam outras modificações que podem ser feitas na balança ilustrada, de modo que se mantenha o equilíbrio dos pratos.

Se considerar oportuno, apresentar aos estudantes uma balança de dois pratos e objetos de diferentes massas e pesos usados para atingir o equilíbrio da balança, como mostrado nas figuras do Livro do estudante.

Realizar com os estudantes as pesagens iguais ou similares às do exemplo do Livro do estudante. Assim, eles podem vivenciar uma situação concreta sobre o princípio de equivalência.

É sempre bom lembrar que, por meio dessas situações, os estudantes podem compreender melhor os conceitos.

PROPRIEDADES DE UMA IGUALDADE

Há três propriedades relacionadas à igualdade.

1a propriedade: a = a, para qualquer a Essa é a propriedade reflexiva

• 2 = 2 • = 2 3 2 3

2a propriedade: a = b k b = a, para quaisquer a e b. Essa é a propriedade simétrica

•

3a propriedade: a = b e b = c h a = c, para quaisquer a, b e c. Essa é a propriedade transitiva

• 2 + 5 = 7 e 7 = 8 1 h

h 2 + 5 = 8 1

• 23 5 = 3 e 3 = 2 + 20 h

h 23 5 = 2 + 20

PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA

Os princípios de equivalência são utilizados na resolução de equações, que estudaremos nesta Unidade.

Princípio aditivo: adicionando um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade. Então, temos:

a = b h a + c = b + c

Considere a balança de dois pratos a seguir, observando que os pratos estão em equilíbrio.

Verifique, agora, duas situações em que o equilíbrio dos pratos se mantém, ilustrando o princípio aditivo.

Situação 1: Adicionamos 2 aos dois pratos da primeira balança.

Situação 2: Retiramos 3 dos dois pratos da primeira balança.

Isso significa que devemos adicionar 2 aos dois membros da igualdade original para manter a sentença verdadeira.

Isso significa que devemos subtrair 3 dos dois membros da igualdade original para manter a sentença verdadeira.

Princípio multiplicativo: multiplicando os dois membros de uma igualdade por um mesmo número, obtemos uma nova igualdade. Então, temos: a = b h a c = b c

Verifique, agora, duas outras situações em que o equilíbrio dos pratos se mantém, ilustrando o princípio multiplicativo.

Situação 3: Multiplicamos por 2 a massa em cada prato da primeira balança.

Situação 4: Dividimos por 2 a massa em cada prato da primeira balança.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Isso significa que devemos multiplicar por 2 os dois membros da igualdade original para manter a sentença verdadeira.

Isso significa que devemos dividir por 2 os dois membros da igualdade original para manter a sentença verdadeira.

Assim como foi feito com o princípio aditivo, pedir aos estudantes que descrevam outras modificações, usando o princípio multiplicativo, que podem ser feitas na balança ilustrada de modo que se mantenha o equilíbrio dos pratos. Comentar que, ao dividir as massas de cada prato por certo número não nulo, isso equivale a multiplicar pelo seu inverso. Desse modo, por exemplo, reduzir as massas pela metade (dividir por 2) corresponde a multiplicar por meio seus valores; reduzir à terça parte (dividir por 3) corresponde a multiplicar por um terço, e assim por diante. Isso incentiva o raciocínio lógico e inferências, bem como auxilia no desenvolvimento da habilidade EF07MA18.

Responda às questões no caderno.

1. Identifique os 1o e 2o membros em cada igualdade.

a) 62 5 = 31

1o membro: 62 5;

2o membro: 31.

b) 33 + 32 = 25 + 22

1o membro: 33 + 32;

2. Nathália reescreveu a sentença 8 = = x + 3 aplicando uma propriedade da igualdade. Ela escreveu x + 3 = 8. Ela acertou? Em caso afirmativo, qual foi a propriedade utilizada?

3. Considere as igualdades x = y e y = 10.

a) Qual é o valor de x? x = 10

b) Que propriedade você usou para responder ao item a?

2o membro: 25 + 22 Sim; propriedade simétrica. Propriedade transitiva.

4. Com base nas igualdades x = 3y e 3y = = a b, escreva uma nova igualdade.

x = a b

5. Na igualdade x 10 = 2, eu adicionei 10 ao 1o membro. Como devo escrever

o 2o membro para obter uma sentença verdadeira? 2 + 10 ou 12.

6. Se você multiplicar o 1o membro da igualdade 3x = 27 por 1 3 , como deverá ser escrito o 2o membro para que a sentença continue verdadeira?

7. Alex escreveu os cinco primeiros termos de uma sequência cuja fórmula do termo geral é Tn = (n + 1) 2, (n . 0). Lílian utilizou outra fórmula e obteve essa mesma sequência. Qual das fórmulas a seguir ela pode ter utilizado?

Alternativa c.

a) T n = n + 2, (n . 0)

b) T n = n ? 2, (n . 0)

c) T n = 2n + 2, (n . 0)

d) T n = 2n 2, (n . 0)

Atividades

O objetivo desse bloco de atividades é levar os estudantes a identificar sentenças matemáticas que são igualdades, determinar o primeiro e o segundo membro de uma igualdade, verificar as propriedades das igualdades e aplicar os princípios aditivo e multiplicativo, auxiliando no desenvolvimento das habilidades EF07MA13, EF07MA16 e EF07MA18.

Na atividade 1, orientar os estudantes a perceber que o sinal 5 tem a função de validar a equivalência, isto é, a igualdade entre as expressões do 1o membro e do 2o membro. Pedir a eles que identifiquem nas sentenças matemáticas o 1o e o 2o membro.

Os estudantes também podem criar sentenças matemáticas que apresentem igualdades, como: 0,5 ? 16 = 8.

Para melhor entendimento do conteúdo, pode-se iniciar o trabalho com material manipulável.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

As atividades dessa seção têm como objetivo preparar os estudantes para o trabalho com equações e incógnitas, favorecendo o desenvolvimento das habilidades

EF07MA13 e EF07MA18. Pedir a alguns deles que mostrem na lousa como procederam. O compartilhamento de estratégias favorece o desenvolvimento das competências específicas 2, 5 e 6 da área de Matemática e das competências gerais 9 e 10.

Conhecendo as equações

Explorar a situação apresentada com os estudantes, auxiliando no desenvolvimento da habilidade

EF07MA18. Discutir coletivamente antes de apresentar as representações do Livro do estudante. Incentivar os estudantes a fazer registros pessoais e a expor para os colegas. Enfatizar que o uso de desenhos ou esquemas pode contribuir sobremaneira para a compreensão da questão proposta.

Em seguida, pedir que acompanhem o desenvolvimento apresentado no Livro do estudante. e comparem com o que fizeram.

Revisitar a situação depois de ter refletido sobre ela é uma importante estratégia para a aprendizagem significativa.

Responda às questões no caderno.

1. Quando Carlos subiu na balança, o visor mostrou 46 kg. Quantos quilogramas ele terá se:

a) ganhar 10 kg? 56 kg

b) perder 5 kg? 41 kg

c) ganhar x kg? (46 + x) kg

d) perder y kg? (46 y) kg

2. Hoje, Fernando tem 10 anos. Qual será a idade dele nesses mesmos mês e dia daqui a:

a) 10 anos? 20 anos. b) 25 anos? 35 anos. c) x anos? (10 + x) anos.

CONHECENDO AS EQUAÇÕES

Quando precisamos determinar o valor de um ou mais números desconhecidos em uma situação, podemos transformar o texto correspondente em uma sentença, escrita em linguagem matemática por meio de letras e símbolos. Imagine resolver situações usando palavras e desenhos...

Durante muito tempo, era assim que as situações envolvendo números desconhecidos eram resolvidas. O uso de letras para representar números desconhecidos facilitou a resolução de problemas e trouxe progressos para a Matemática. Acompanhe as situações a seguir.

1 Helena percorreu 2 5 do comprimento total de uma avenida. Se andasse mais 40 metros, teria percorrido a metade da extensão total da avenida. Por meio de qual sentença matemática poderíamos obter, em metro, a extensão total dessa avenida?

Inicialmente, podemos pensar em um número que represente, em metro, a extensão total da avenida. Vamos indicar esse número pela letra x e fazer um esquema dessa situação.

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Observando o esquema, podemos escrever a sentença matemática a seguir.

2 5 x40 1 2 x +=

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2

5 da extensão total

metade da extensão total 40 m

Observe que escrevemos uma sentença matemática representada por uma igualdade, em que usamos a letra x para nos referir a um número desconhecido dessa sentença.

2 Um carpinteiro serra uma tábua de 1 m (ou 100 cm) em dois pedaços. Um dos pedaços tem um comprimento igual ao triplo do comprimento do outro. Determine uma sentença matemática que possibilite calcular o comprimento de cada pedaço.

Temos de obter dois números que representem, em centímetro, o comprimento dos pedaços em que a tábua foi serrada. Como um dos comprimentos é o triplo do outro, podemos indicar o comprimento do menor pedaço pela letra y e o comprimento do maior pedaço por 3y.

Fazendo um esquema dessa situação, temos:

1 m ou 100 cm (comprimento total)

Observando esse esquema, escrevemos a sentença matemática a seguir. y  3y  100 comprimento total comprimento do pedaço maior comprimento do pedaço menor

Usamos a letra y para representar os números desconhecidos nessa sentença, que indica uma igualdade.

As sentenças matemáticas que escrevemos nas duas situações são chamadas de equações

Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual haja um ou mais símbolos que representem números desconhecidos dessa sentença, é denominada equação Cada símbolo que representa um número desconhecido chama-se incógnita

Observe que:

• a sentença matemática x y = 20 é uma equação com duas incógnitas representadas pelas letras x e y ;

• como toda equação é uma igualdade, também indicamos os membros da equação.

No exemplo 2, permitir aos estudantes que discutam coletivamente a situação proposta, que auxilia no desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Destacar que as incógnitas podem ser representadas por diversos símbolos.

Em seguida, analisar as equações apresentadas, comparando os termos da equação e suas incógnitas.

Se achar pertinente, apresentar aos estudantes o vídeo proposto a seguir e discutir coletivamente as situações apresentadas.

COMO escrever equações de primeiro grau a partir de problemas 2015. Vídeo (5min07s). Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=feJ91L3tHGw. Acesso em: 14 ago. 2022.

Nesse link, é possível visualizar uma videoaula a respeito do tópico equações de primeiro grau.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco levam os estudantes a identificar equações, o elemento desconhecido de uma equação como a incógnita, o primeiro membro e o segundo membro de uma equação, desenvolvendo assim a habilidade EF07MA18.

Realizar a resolução da atividade 4 coletivamente na lousa, assim os estudantes terão a oportunidade de resolvê-la. Por exemplo, para o item b, pode-se pensar como a seguir.

Um número z aumentado de 82 é igual a 150: z + 82 = 150.

1. Embora elas sejam igualdades, não apresentam número desconhecido.

Responda às questões no caderno.

1. Explique por que as igualdades matemáticas a seguir não são equações.

32 + 1 = 2 + 23 25 + 23 = 22 ? 10

2. Que sentenças matemáticas a seguir representam equações?

c) A metade de um número x aumentada do próprio número x é igual a 96.

d) O quíntuplo de um número x é igual ao triplo do número x, aumentado de 62.

6. A diferença entre a idade de Mariana e a de Gabriela é de 2 anos. Se hoje Gabriela está com 23 anos e é a mais nova das duas, use a letra x e escreva uma equação para calcular a idade de Mariana.

7. Duas caixas são colocadas em uma balança, que marca 68 quilogramas. A massa da caixa maior é igual ao triplo da caixa menor. Usando a letra x, represente esse fato com uma equação.

3. Observe as equações que Helena escreveu: 3x

2x y = 10 y

Quantas incógnitas há:

a) na 1a equação?

b) na 2a equação?

Uma: x Duas: x, y 4. a) 2x = 20

4. Escreva as sentenças a seguir usando a linguagem simbólica matemática.

a) O dobro de um número x é igual a 20

b) Um número z aumentado de 82 é igual a 150. z + 82 = 150

c) Se subtrairmos um número x de 100, obteremos 36. 100 x = 36

d) A metade de um número x é igual a 25.

5. Escreva a equação correspondente a cada sentença.

a) Ao triplo de um número t adicionamos 40 e obtemos 61. 3t + 40 = 61

b) Subtraindo 20 do dobro de um número y, obtemos 160. 2y 20 = 160

8. Em um terreno retangular, o comprimento tem 10 metros a mais que a largura. Se representarmos pela letra x a medida da largura, em metro, a medida do comprimento será representado por x + 10.

x metros Sabendo que o perímetro desse terreno é 80 metros, escreva uma equação que nos permita calcular o comprimento e a largura do terreno.

(x + 10) metros

9. Elabore um problema no qual um valor desconhecido possa ser calculado por meio da equação 2x 18 = 126. Em seguida, troque com um colega para que ele verifique se o problema realmente pode ser resolvido por meio dessa equação, enquanto você confere o problema elaborado por ele. Por fim, expliquem para a turma como vocês pensaram para elaborar o problema.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

CONJUNTO UNIVERSO E SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO

PENSE E RESPONDA

O programa A escola na TV organiza gincanas semanais entre estudantes. Em um dos programas foram apresentadas as questões a seguir. Observe as opções, o tempo máximo para resposta, a pontuação correspondente a cada acerto e participe da gincana resolvendo as questões no caderno.

1. Qual é o número cujo triplo mais 6 resulta em 21? 5

• Quadro de opções de resposta:

1 8 5 9 2 4 10 3

• Tempo para resposta: 30 segundos.

• Pontuação: 10 pontos.

2. A metade de um número mais o dobro desse número resulta em 20. Qual é esse número? 8

• Quadro de opções de resposta:

12 81520 16 24 7 5 18 6

• Tempo para resposta: 1 minuto.

• Pontuação: 20 pontos.

3. Quantos pontos você conseguiu nessa gincana? Resposta pessoal.

Acompanhe as situações a seguir.

1 Que elemento do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} pode-se colocar no lugar da letra x para tornar verdadeira a igualdade x + 2 = 6?

Fazendo a substituição, temos:

x + 2 = 6 (0) + 2 = 6 (F)

x + 2 = 6 (1) + 2 = 6 (F)

x + 2 = 6 (2) + 2 = 6 (F)

x + 2 = 6 (3) + 2 = 6 (F)

x + 2 = 6 (4) + 2 = 6 (V)

x + 2 = 6 (5) + 2 = 6 (F)

Verificamos que apenas o número 4 torna a sentença verdadeira, ou seja, o 4 é o elemento que satisfaz a equação dada.

• O conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, formado por todos os elementos que a incógnita x pode assumir, é denominado conjunto universo da equação.

• O número 4 é a solução ou a raiz da equação.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Conjunto universo e solução de uma equação

As situações apresentadas nesse capítulo auxiliam os estudantes no desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Explorar com os eles os procedimentos de verificação das igualdades através da substituição das incógnitas nas equações por números. Explicar aos estudantes que esse procedimento é sempre válido, porém, na maioria das vezes, pode ser demorado, e que as equações podem ter diversas apresentações (uma ou mais incógnitas, 1o grau, 2o grau etc.), implicando em diversas opções de solução.

Pense e responda

O objetivo das atividades dessa seção é os estudantes poderem elaborar hipóteses para resolver as equações sem padronização de regras ou estratégias preestabelecidas. Enfatizar, por meio da gincana, o trabalho em duplas. Os estudantes podem realizar juntos os cálculos, na tentativa de encontrar a solução no tempo estabelecido. Essa atividade poderá ser proposta de maneira lúdica.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Explorar a noção de conjunto universo e conjunto solução de uma equação por meio dos exemplos apresentados (e por outros que considerar necessário ampliar na lousa), enfatizando que uma equação pode ter solução em um universo e não ter em outro. Também é importante os estudantes verificarem se a solução encontrada satisfaz as condições da situação proposta para ampliar o desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Por exemplo, se a incógnita ( x ) representa uma distância ou uma quantidade de habitantes, valores negativos não servem, ou seja, o universo considerado deve ser de números racionais positivos.

2 Qual é o número natural que se pode colocar no lugar da letra x para tornar verdadeira a igualdade 3x = 15?

Considerando os números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...), verificamos que o número natural procurado é 5, pois, fazendo a substituição, temos:

3x = 15

3 ? 5 = 15

Os demais números naturais não tornam verdadeira essa sentença, ou seja, não satisfazem a equação. Assim, temos:

• O conjunto n dos números naturais, que representa os valores que a incógnita x pode assumir, é denominado conjunto universo da equação.

• O número 5 chama-se solução ou raiz da equação.

3 Qual é o número inteiro que se pode colocar no lugar da letra y para tornar verdadeira a sentença dada pela igualdade y + 1 = 5?

Fazendo a substituição, notamos que o número inteiro procurado é 6, pois:

y + 1 = 5

6 + 1 = 5

De acordo com as situações apresentadas, verifica-se que, dada uma equação, devemos estabelecer inicialmente um conjunto numérico formado por todos os valores pelos quais a incógnita pode ser substituída. Esse conjunto é chamado de conjunto universo da equação e é representado pela letra U

Por exemplo:

Se U =q, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número racional.

O conjunto S formado pelos elementos de U que satisfazem uma equação dada chama-se conjunto solução da equação. Assim:

• Na situação 1: S = {4}

• Na situação 2: S = {5}

• Na situação 3: S = { 6}

Uma equação pode não ter solução ou raiz em determinado conjunto universo. Acompanhe mais esta situação.

4 Qual é o conjunto solução da equação x = 1 2 = 0, considerando U =z?

Equação: x = 1 2 = 0

Conjunto universo: z Como nenhum número inteiro satisfaz a equação dada, dizemos que a equação não tem solução ou raiz no conjunto dos números inteiros (z). 144

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COMO VERIFICAR SE UM NÚMERO DADO É RAIZ DE UMA EQUAÇÃO

Podemos verificar se um número dado é raiz ou não de uma equação, procedendo do seguinte modo:

• substituímos a incógnita pelo número dado;

• calculamos, separadamente, o valor numérico de cada membro da igualdade obtida. Se o valor numérico do 1o membro for igual ao valor numérico do 2o membro, o número dado será raiz ou solução da equação; se os valores numéricos forem diferentes, o número dado não será raiz ou solução da equação. Observe como resolvemos as questões a seguir:

1 Verificar se 6 é raiz da equação 3x 5 = 5x + 7.

1o membro: 3x 5

3 ? ( 6) 5 = 18 5 = 23

2o membro: 5x + 7

5 ? ( 6) + 7 = 30 + 7 = 23

Como os valores numéricos dos dois membros são iguais, dizemos que 6 é raiz da equação 3x 5 = 5x + 7.

2 Verificar se 2 é raiz da equação y 2 5y = 3y + 6.

1o membro: y 2 5y

(2)2 5 ? (2) = 4 10 = 6

2o membro: 3y + 6

3 ? (2) + 6 = 6 + 6 = 12

Como os valores numéricos dos dois membros são diferentes, dizemos que 2 não é raiz da equação y 2 5y = 3y + 6.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Escreva a raiz ou solução das seguintes equações.

a) x 7 = 0, U =n 7

b) x + 9 = 0, U =z 9

c) x 3 8 = 0, U =q 3 8

d) x + 1 = 0, U =n Não tem raiz em n

e) x 10 = 3, U =q 13

2. Verifique se:

a) 5 é raiz da equação 4x 7 = x + 8

b) 10 é raiz da equação 7x + 30 = 10x.

c) 6 é raiz da equação 3x 1 = 11 + 2x

d) 2 é raiz da equação y 2 8 = 2y.

Sim. Sim. Não. Sim.

3. São dados os números 1 2 , 1 3 e 1 6 Qual deles é a raiz da equação

_= 2x 1 2 3x 2 3 ? 1 6

4. A raiz da equação x   3 2 x   3 2 += 6 é o número racional inteiro 7. Essa afirmação é verdadeira? Não.

5. Pense em um número e escreva uma equação de uma incógnita que tenha como raiz o número que você pensou. Faça uma lista de dez números racionais, incluindo a solução da equação e entregue essa lista e a equação para um colega descobrir qual é a raiz da equação elaborada por você.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 145

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Como verificar se um número dado é raiz de uma equação

Se julgar conveniente, explorar com os estudantes um possível fluxograma para representar a verificação dos exemplos, desenvolvendo, além da habilidade EF07MA18, o pensamento computacional e o raciocínio lógico, bem como as competências específicas 2 e 6 da área de Matemática.

Atividades

As atividades desse bloco levam os estudantes a identificar e determinar a solução de uma equação em um dado conjunto universo, a reconhecer a solução de uma equação como a raiz dessa equação e a verificar se um número dado é ou não raiz de uma equação, colaborando com o desenvolvimento da habilidade EF07MA18.

Para melhor entendimento dos estudantes, sugere-se que, na atividade 1, seja feita uma revisão com eles da simbologia formal dos conjuntos numéricos que conhecem.

Organizar os estudantes em duplas para que eles tenham a possibilidade de trocar informações sobre os conjuntos e a maneira como se constituem, além de poderem conhecer a hipótese que o colega elabora.

A atividade 5 pode ser explorada de duas maneiras:

• por meio da substituição da incógnita x ;

• pela resolução com base nos princípios de uma igualdade. Caso os estudantes tenham dificuldade em verificar se um número é uma raiz da equação construída, peça-lhes que observem os passos apresentados na página 144 do Livro do estudante.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

O texto explora o Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos e deve despertar nos estudantes a empatia e a noção de equidade, colaborando com o desenvolvimento das competências gerais 1 e 9.

Promover a leitura coletiva dos textos e a discussão das questões propostas. Se julgar conveniente, solicitar a leitura completa da Declaração Universal dos Direitos Humanos, disponível no link a seguir.

POR TODA PARTE

IGUALDADE E DIREITOS

3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pensem em trabalhos de educação e conscientização e investimentos em políticas públicas que favoreçam as pessoas que mais necessitam de atenção do Estado em aspectos relacionados a alimentação, saúde, trabalho, moradia, e outros direitos fundamentais para a dignidade humana.

Você sabia que a ideia de igualdade também está presente na legislação brasileira e em normas internacionais?

Leia, a seguir, o artigo 1o da Declaração Universal dos Direitos Humanos e o caput do artigo 5o da Constituição da República Federativa do Brasil.

Artigo 1o

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que sim e destaquem que, no caso da Constituição Brasileira, verifica-se uma particularidade (garantia no país) em comparação com uma situação mais geral, presente na Declaração Universal.

Todos os seres humanos nascem livres e iguais em dignidade e em direitos. Dotados de razão e de consciência, devem agir uns para com os outros em espírito de fraternidade.

DECLARAÇÃO Universal dos Direitos Humanos. Centro Regional de Informação das Nações Unidas (UNRIC). [Bélgica], c2022. Disponível em: https://unric.org/pt/declaracao-universal-dos-direitos-humanos.

Acesso em: 15 jul. 2022.

Artigo 5o

Todos são iguais perante a lei, sem distinção de qualquer natureza, garantindo-se aos brasileiros e aos estrangeiros residentes no País a inviolabilidade do direito à vida, à liberdade, à igualdade, à segurança e à propriedade [...] BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2016]. Disponível em: http://www. planalto.gov.br/ccivil_03/constituicao/constituicao.htm. Acesso em: 15 jul. 2022.

GLOSSÁRIO

Caput : a parte superior, termo jurídico relacionado ao enunciado de um artigo de lei ou regulamento.

A Declaração Universal dos Direitos Humanos foi proclamada pela Assembleia Geral das Nações Unidas em 1948, em Paris. É o documento com mais traduções no mundo (para mais de 500 idiomas) e serviu como inspiração para a Constituição de vários Estados independentes e várias democracias no mundo.

Com base nos textos apresentados, converse com os colegas sobre as questões a seguir.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes listem problemas relacionados às desigualdades existentes. Se julgar pertinente, comente também com os estudantes sobre a ideia de equidade. Sugestão de link: https://pensesus.fiocruz.br/equidade (acesso em: 5 ago. 2022).

1. Em seu entendimento, os dois artigos citados compartilham da mesma ideia central?

2. Podemos dizer que já alcançamos a igualdade entre todos, prevista na Declaração Universal dos Direitos Humanos e em nossa Constituição Federal? Você pode utilizar exemplos para elaborar sua resposta.

3. Que alternativas os governos e a sociedade poderiam utilizar para combater as desigualdades existentes?

O empenho de todos é fundamental para que a igualdade de direitos se torne algo materialmente concreto.

AMPLIANDO

Link

DECLARAÇÃO Universal dos Direitos Humanos. Assembleia Geral das Nações Unidas. 1948. Disponível em: https://www.unicef.org/brazil/declaracao-universal-dos-direitos-humanos. Acesso em: 14 ago. 2022.

A página da UNICEF Brasil disponibiliza, além da Declaração Universal dos Direitos Humanos na íntegra, outros documentos relacionados aos Direitos Humanos de crianças e adolescentes.

SAIBA QUE

EQUAÇÕES EQUIVALENTES CAPÍTULO6

A primeira referência a equações de que se tem notícia consta no Papiro de Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam da Matemática. Os egípcios não utilizavam a notação algébrica atual, e os métodos de solução de uma equação eram complexos e trabalhosos. Os gregos resolviam equações usando a Geometria. Na obra Elementos, de Euclides, encontramos soluções geométricas de equações. Foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resolução de equações.

RECONHECENDO EQUAÇÕES EQUIVALENTES

Um número pode ser representado de diferentes modos. Por exemplo, podemos representar o número 9 de diversas maneiras:

32 23 + 1 52 42

18 : 2 6 + 3 10 1

A maneira mais simples de todas é, sem dúvida, 9. Algo parecido acontece com as equações. Acompanhe as equações a seguir, considerando

U =q

x + 3 = 10 raiz ou solução: 7

x = 10 3 raiz ou solução: 7

x = 7 raiz ou solução: 7

As equações x + 3 = 10, x = 10 3 e x = 7 são chamadas de equações equivalentes, porque apresentam a mesma raiz ou solução em um mesmo conjunto universo. O modo mais simples de representar essas equações é x = 7.

Em um mesmo conjunto universo, duas ou mais equações que apresentam a mesma raiz ou solução são denominadas equações equivalentes

Sabe-se pouco sobre a vida de Euclides. Supõe-se, no entanto, que ele viveu por volta de 300 a.C. e que criou a escola de Matemática de Alexandria, da qual teria sido professor. Além disso, embora não se conheça a data e o local de seu nascimento, acredita-se que teria frequentado a escola platônica de Atenas. Euclides é conhecido por ter sistematizado o conhecimento em Geometria, mas verifica-se a Matemática aplicada em outros trabalhos relacionados à astronomia, à óptica e à música.

Elaborado com base em: EVES, Howard. Introdução à história da matemática

Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 167 e 181.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Equações equivalentes

O texto apresentado pode ser usado no início da aula, como motivador para o estudo do tema, ou ao final, como enriquecimento do trabalho feito.

É importante que os estudantes conheçam os passos que a humanidade deu na construção de conceitos e percebam que o conhecimento estruturado de hoje não foi criação de apenas uma pessoa.

Comentar com eles que o papiro é um dos mais antigos antecessores do papel, feito com base na planta de mesmo nome. Há notícias de que os egípcios desenvolveram a técnica do papiro por volta de 2200 a.C.

Reconhecendo equações equivalentes

O objetivo dessas explorações é levar os estudantes a compreender o conceito de equações equivalentes, bem como aplicar os princípios de equivalência das igualdades para obter equações equivalentes às dadas, mas escritas de maneira mais simples, ampliando assim o desenvolvimento da habilidade EF07MA18.

Aqui, é importante trabalhar com os estudantes a ideia de equações mais simples e evidenciar a utilização desse processo para descobrir o valor do termo desconhecido (incógnita) na equação.

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Para interpretar os problemas, os estudantes precisam se sentir familiarizados com a linguagem matemática. Esse contato se dá quando eles conseguem traduzir as expressões e as sentenças.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Escrevendo uma equação equivalente a uma equação dada

A escrita de equações equivalentes é uma etapa importante no desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Continuar a exploração dos exemplos apresentados com a utilização de material manipulável, como o sugerido a seguir.

Aqui pode-se trabalhar uma atividade para aplicar os princípios da igualdade.

Para desenvolver essa atividade, os estudantes vão precisar dos seguintes materiais:

• quadradinhos de papel-cartão;

• canudos azuis e vermelhos;

• dois pratos de papelão ou algo que possa substituí-los.

A igualdade será representada pelo equilíbrio. Os quadradinhos de papel-cartão representam a incógnita x. Os canudos azuis representam o termo numérico positivo, e os vermelhos, o negativo.

Entregar aos estudantes uma série de cartões com sentenças matemáticas expressas na linguagem corrente para que as representem com o material e com a linguagem simbólica.

ESCREVENDO

UMA EQUAÇÃO EQUIVALENTE A UMA EQUAÇÃO DADA

Podemos obter uma equação equivalente a uma equação dada utilizando os princípios de equivalência de uma igualdade.

• Se a = b, então a + c = b + c (princípio aditivo).

• Se a = b, então a c = b c (princípio multiplicativo).

Acompanhe as situações a seguir para verificar como isso acontece. Vamos ilustrar o uso dos princípios de equivalência com o auxílio de figuras.

Balança em equilíbrio. Equivale a x quilogramas. Equivale a 1 quilograma.

1 Obter

Supondo que x, 3 e 8 sejam as massas colocadas nos pratos de uma balança em equilíbrio, inicialmente temos a seguinte representação.

Em seguida, se retirarmos três unidades de cada prato da balança, ela permanecerá em equilíbrio, e teremos a seguinte representação.

Observe o cálculo associado a essa representação.

x + 3 = 8 Equação dada, para a qual S = {5}.

x + 3 + ( 3) = 8 + ( 3) Adicionamos ( 3) aos dois membros da equação.

x + 3 3 = 8 3 Anulamos números opostos que estão no mesmo membro.

x = 5 Obtemos uma equação mais simples equivalente à equação dada, pois S = {5}.

As equações x + 3 = 8 e x = 5 são equivalentes, pois ambas apresentam a mesma solução, o número 5. Observe que, para obter a equação x = 5, equivalente à equação dada, adicionamos um mesmo número aos dois membros da equação x + 3 = 8 (princípio aditivo da igualdade).

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uma equação equivalente à equação x + 3 = 8 e escrevê-la de modo mais simples.

2 Obter uma equação equivalente à equação 2x = 12 e escrevê-la de modo mais simples.

Supondo que 2x e 12 sejam as massas colocadas em pratos de uma balança em equilíbrio, inicialmente temos a seguinte representação.

Em seguida, se deixarmos em cada prato a metade da massa inicial, o que significa multiplicar a quantidade inicial por 1 2 , a balança permanecerá em equilíbrio.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ao explorar as situações propostas, os estudantes vão entender a equação como uma sentença expressa por uma igualdade que apresenta um ou mais elementos desconhecidos, ampliando o desenvolvimento da habilidade EF07MA18.

Se for possível, apresente o vídeo indicado a seguir para complementar os estudos de equações equivalentes.

12

Observe o cálculo associado a essa representação.

2x = 12 Equação dada, para a qual S = {6}.

x = 6 H S = {6}

1 2 2x = 12 1 2 Multiplicamos por 1 2 os dois membros da equação.

x = 6 Obtemos uma equação mais simples, equivalente à equação dada, pois S = {6}.

As equações 2x = 12 e x = 6 são equivalentes, pois apresentam a mesma solução, o número 6.

Observe que, para obter a equação x = 6, equivalente à equação dada, multiplicamos os dois membros da equação 2x = 12 por um mesmo número (princípio multiplicativo da igualdade).

3 Obter uma equação equivalente à equação x 4 1 6 = e escrevê-la de modo mais simples.

• Aplicando o princípio multiplicativo, multiplicamos por 4 os dois membros da equação, obtendo uma equação equivalente.

x 4 = 1 6 h (4) x 4 = 1 6 (4) h x = 4 6

• Em seguida, simplificamos a fração do 2o membro, dividindo por 2 o numerador e o denominador.

x = 4 6 h x = 2 3

Assim, x 4 = 1 6 e x = 2 3 são equações equivalentes, pois apresentam a mesma solução, o número 2 3 ; e x = 2 3 é uma forma mais simples de escrever a equação = x 4 1 6

Fazer diversas atividades com o material manipulável sugerido na página anterior. Propor aos estudantes que registrem todas as etapas, analisando e discutindo a validade das soluções.

Exemplo de situação que pode ser propostas para os estudantes resolverem com o material: O triplo de um número é igual a 6.

3x = 6

Equação equivalente: x = 2

Comparar a equação a uma balança de dois pratos em constante equilíbrio. Qualquer alteração em um dos pratos provocará o desequilíbrio. Cada membro da equação será representado por um prato. Formar algumas equações e suas resoluções usando esse material.

Vídeo

POR que fazemos o mesmo em ambos os lados: equações simples. 2014. Vídeo (3min27s). Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=wo-53K_i-UI.

Acesso em: 14 ago. 2022. Nesse link, é possível visualizar uma videoaula que pode ser utilizada para ampliar o estudo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades estão em um nível crescente de dificuldade: primeiro, equações mais simples; depois, equações com coeficientes não inteiros; e favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA18.

É importante enfatizar a utilização dos princípios aditivo e multiplicativo na resolução das equações, evitando que os estudantes usem regras (“muda de lado, muda de sinal” ou “passa para o outro lado”) sem compreender o que isso significa.

Para melhor entendimento dos estudantes, sugere-se que, na atividade 1, seja feita uma revisão dos conjuntos numéricos estudados, apresentando a simbologia formal dos conjuntos numéricos que conhecem.

Exemplos:

n= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}

z= {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Depois, relembrar com os estudantes o conceito de número racional e apresentar o conjunto dos números racionais:

4 Obter uma equação equivalente à equação 5x + 1 = 21, escrita em uma forma mais simples.

• Aplicando o princípio aditivo, adicionamos ( 1) aos dois membros da equação e teremos uma equação equivalente.

5x + 1 = 21 h 5x + 1 + ( 1) = 21 + ( 1) h 5x = 20

• Aplicando o princípio multiplicativo, multiplicamos os dois membros da equação por 1 5 e teremos uma equação equivalente.

5x = 20 h 1 5 5x = 20 1 5 h x = 4

Logo, 5x + 1 = 21, 5x = 20 e x = 4 são equações equivalentes, pois apresentam a mesma solução (o número 4), e x = 4 é a forma mais simples de escrever a equação 5x + 1 = 21.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Verifique em cada caso se as equações são equivalentes ou não, considerando q como conjunto universo.

a) x + 4 = 7 e x = 7 4. Sim.

b) x 5 = 0 e x = 5. Não.

c) 2x = 18 e x = 9. Sim.

d) 5x = 15 e x = 3. Não.

e) x 1 = 3 e x = 2. Sim.

2. Usando os princípios de equivalência, escreva, na forma mais simples possível, uma equação equivalente a cada uma das equações a seguir, considerando q como conjunto universo.

a) x + 2 = 5 e) 6x = 6

b) x 11 = 0 f) 3x = 7

c) 4x = 8 g) 5x + 1 = 16

d) x 2 = 1 h) x 4 3 10 =

Complementar o trabalho na atividade 4 compondo na lousa as seguintes equações e perguntando aos estudantes: qual das equações a seguir não é equivalente à equação escrita na atividade?

a) 1 250 x 1 250 =

= 740 1 250

b) 1 250 x = 740 1 250

c) x = 510

d) x = 510

Resposta: Alternativa b.

Na atividade 5, orientar os estudantes a elaborar equações que serão mais exploradas adiante, como as equações de 1o grau a uma incógnita. Caso os estudantes

3. Considerando as equações a seguir, identifique os pares de equações equivalentes.

a) 2x 7 = 9

b) x = 8

c) x + 1 = 3 4

b); (c, e); (d, f)

4. Sandro abriu uma conta poupança e depositou, nessa ocasião da abertura, R$ 1.250,00. Alguns dias depois, precisou sacar x reais desse valor e ficou com o saldo indicado na imagem. Sabendo que após o saque não houve mais depósito, escreva uma equação que descreva essa situação.

1 250 x = 740

Sandro consultando o saldo da conta poupança.

5. Escreva duas equações e troque-as com um colega para que ele obtenha uma equação equivalente a cada uma delas, utilizando os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade. Enquanto isso, você faz o mesmo em relação às equações escritas por ele. Por fim, confiram as respostas, verificando se os princípios da igualdade foram aplicados corretamente.

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não compreendam o que são equações equivalentes, bem como os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade, retomar com eles a teoria apresentada nas páginas anteriores do Livro do estudante.

Assim, se uma das equações elaboradas for, por exemplo, 3x + 2 = 6, é esperado que os estudantes façam o seguinte.

3x + 2 = 6 e qua odada, comS

3x + 2 + ( 2) = 6 + ( 2) (princípio aditivo da igualdade)

3x = 4 (anulamos os termos opostos)

BONGKARNGRAPHIC/SHUTTERSTOCK.COM

5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

EQUAÇÕES DO 1 o GRAU COM UMA INCÓGNITA

Estas equações com uma incógnita são exemplos de equações do 1o grau.

x 6 = 0 3t + 5 = 0

12 = 0 2y 10 = 0

Toda equação que pode ser reduzida à forma ax + b = 0, em que x representa a incógnita, e a e b são números racionais, com a 5 0, é denominada equação do 1o grau na incógnita x

Os números a e b são denominados coeficientes da equação.

• 3x 12 = 0 equação do 1o grau na incógnita x, com coeficientes a = 3 e b = 12

• 2y 10 = 0 equação do 1o grau na incógnita y, com coeficientes a = 2 e b = 10

Há, ainda, equações do 1o grau que, aparentemente, não estão na forma ax + b = 0, por exemplo 3(x 1) = 6.

Nesses casos, utilizando os princípios de equivalência das igualdades, essas equações podem ser reduzidas à forma ax + b = 0.

RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 1 O GRAU COM UMA INCÓGNITA

Consideremos a equação x 2 + 3 = 2(x 1), no conjunto universo q, cuja incógnita é representada pela letra x ( x é um número racional desconhecido).

Em uma linguagem matemática, essa equação estabelece que, para certo número racional x, as ex pressões x 2 + 3 e 2(x 1) representam o mesmo valor numérico.

Observação: resolver a equação significa obter sua solução no conjunto universo dado, caso exista.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Equações do 1o grau com uma incógnita

Nestas páginas, os estudantes serão convidados a refletir sobre as equações do 1o grau com uma incógnita. É importante que eles sejam desafiados a resolver algumas atividades antes mesmo de acompanhar os procedimentos exemplificados no livro. Dessa maneira, poderão “arriscar” e utilizar as estratégias que já conhecem e outras que poderão ser elaboradas intuitivamente. para, em seguida, explicitarem o caminho por eles trilhado. Resolvendo equações do 1o grau com uma incógnita

A resolução das equações de 1o grau é parte importante no desenvolvimento da habilidade EF07MA18. É possível introduzir o tema utilizando os exemplos de equações no início da página. Registrar na lousa as equações presentes no Livro do estudante e os seguintes números: 0, 4, 5 e 6. Em seguida, questionar os estudantes: “Quais números tornam as igualdades verdadeiras?”. Espera-se que os estudantes identifiquem os números 4, 5 e 6 como soluções de três das quatro equações. Questionar os estudantes a respeito da equação 3t + 5 = 0: “Qual número torna essa equação verdadeira?”. Explicar que, em vez de estimar valores e testar para determinar a solução da equação, é possível obter a solução, no conjunto universo dado, caso exista.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Acompanhar os exemplos do Livro do estudante, fazendo aproximações e associações com as estratégias criadas pelos estudantes. Uma possibilidade é realizar uma atividade em dupla em que eles devem ler e resolver as equações dos exemplos mostrados, seguindo as orientações dadas.

O objetivo aqui é levar os estudantes a resolver equações do 1o grau mais complexas, usando o princípio aditivo, o princípio multiplicativo e a equivalência de números racionais na forma de fração, ampliando o desenvolvimento da habilidade EF07MA18.

Para resolver uma equação do 1o grau com uma incógnita, acompanhe as situações a seguir.

1 Resolver a equação 5x + 1 = 36, sendo U =q

• Aplicando o princípio aditivo, adicionamos ( 1) aos dois membros da equação, isolando o termo que contém a incógnita x no 1o membro.

5x + 1 = 36

5x + 1 + ( 1) = 36 + ( 1)

5x + 1 1 = 36 1

5x = 35

• Aplicando o princípio multiplicativo, multiplicamos os dois membros da equação por 1 5 , descobrindo, assim, o valor do número x

5x + 1 = 36

Essa resolução também pode ser feita de forma prática, conforme representado por um estudante. Observe. Como 7 [q, temos que 7 é a raiz ou solução da equação.

5x = 36 _ 1 (pelo princípio aditivo)

5x = 35

x = 35 5 (pelo princípio multiplicativo)

x = 7

2 Obter a solução da equação 7x = 4x + 5, sendo U =q

• Aplicando o princípio aditivo, adicionamos ( 4x) aos dois membros da equação, isolando no 1o membro apenas os termos que contêm x:

7x = 4x + 5

7x + ( 4x) = 4x + 5 + ( 4x)

7x 4x = 4x + 5 4x

3x = 5

• Aplicando o princípio multiplicativo, multiplicamos os dois membros da equação por 1 3 descobrindo, assim, o valor da incógnita x

7x = 4x + 5

7x _ 4x = 5 (pelo princípio aditivo)

3x = 5

x = 5 5 (pelo princípio multiplicativo)

Como 5 3 [q , o número 5 3 é a raiz ou solução da equação.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3 Resolver a equação 9x 7 = 5x + 13, sendo U =q

• Inicialmente, adicionamos (+7) aos dois membros da equação, de modo que todos os termos que não apresentam a incógnita x fiquem no 2o membro da equação.

9x 7 + (+7) = 5x + 13 + (+7)

9x 7 + 7 = 5x + 13 + 7

9x = 5x + 20

• Vamos, agora, adicionar ( 5x) aos dois membros da equação, deixando apenas no 1o membro os termos que apresentam a incógnita x

9x + ( 5x) = 5x + 20 + ( 5x)

9x 5x = 5x + 20 5x

4x = 20

• Multiplicamos os dois membros da equação por 1 4 para determinar o valor da incógnita x

Essa resolução também pode ser feita de forma prática, da seguinte maneira.

9x _ 7 = 5x + 13

9x = 5x + 13 + 7 (pelo princípio aditivo)

9x = 5x + 20

9x _ 5x = 20 (pelo princípio aditivo)

4x = 20

x = 20 4 (pelo princípio multiplicativo)

x = 5

Como 5 [q, o número 5 é a raiz ou solução da equação.

4 Leia o que Cláudia disse e observe como podemos responder à pergunta feita por ela.

Multipliquei um número por 6 e obtive o dobro desse número, aumentado de 180.

Qual é esse número?

Se representarmos o número procurado pela letra x, podemos escrever a seguinte equação.

6x = 2x + 180

Resolvendo essa equação, temos:

6x = 2x + 180

6x 2x = 180 (pelo princípio aditivo)

4x = 180

x = 180 4 (pelo princípio multiplicativo)

x = 45

Logo, o número procurado é 45. 153

16/08/22 10:21 AMPLIANDO

Vídeos

EQUAÇÕES de primeiro grau. 2013. Vídeo (12min33s).

Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=x

SY3rdrMN2M. Acesso em: 15 ago. 2022.

EQUAÇÕES 2. 2013. Vídeo (8min44s). Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=2BejLbtMxqc.

Acesso em: 15 ago. 2022. RESOLVENDO equações 2. 2013. Vídeo (4min10s). Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v= vR-sC-eSamc. Acesso em: 15 ago. 2022.

Os vídeos apresentam a resolução de diversas equações de 1o grau usando os princípios aditivos e multiplicativos.

Neste momento, é interessante que os estudantes façam um trabalho individual para que possam levantar suas dúvidas e ampliar o desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Pedir que façam uma leitura individual das equações dadas noLivro do estudante. Apresentar outras equações similares e pedir que as resolvam. Incentivá-los a consultar estas páginas para tentar sanar as dúvidas e, assim, dar oportunidade para que os estudantes desenvolvam autonomia.

Caso os estudantes apresentem dificuldades, verificar a possibilidade de apresentar a série de vídeos indicada a seguir.

DANILLO SOUZA

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Sugere-se que essas atividades sejam resolvidas em dupla para que haja troca de informações e ideias sobre os conteúdos estudados. Incentivar os estudantes a desenvolver estratégias diferentes e a compartilhar com os colegas, lembrando que é com a troca de informações que acontece a aprendizagem e favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA18, da empatia e da colaboração e das competências gerais 4 e 9, bem como das competências específicas 2, 6 e 8 da área de Matemática.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Calcule a raiz ou solução das seguintes equações, sendo U =q.

5. Como todas as sentenças são incorretas, Thaís ganhou 30 balas.

4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ao outro, como vocês pensaram para elaborar o problema.

5. Thaís e Karina estão estudando equações. Karina escreveu estas três afirmações:

• As raízes das equações 7x + 20 = 2(3x + 1) e 9x = 20 + 8(x _ 1) são números opostos ou simétricos.

• A raiz da equação 3(x + 2) _ 2(x _ 7) = 0 é um número negativo maior do que _10.

• Se a expressão x _ 2(3 _ 2x) for igual a 0 (zero), o valor de x será _1,2.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Samira gosta muito de confeccionar bijuterias. Ela quer ter seu próprio rendimento e resolveu aproveitar o dinheiro que ganhou em seu aniversário investindo em materiais para fazer pulseiras e colares de miçangas. Em parceria com sua irmã, gastou R $ 80,00 em compras para as bijuterias. Elas confeccionaram 100 pulseiras, vendidas a R$ 2,00 cada uma, e 62 colares, vendidos a

2. Ao resolver estas equações no conjunto q , Helena verificou que duas delas eram equivalentes.

2x 6 = 10 3x 5 = 4

5x 7 = 8

Quais são essas equações?

3. Um número x de países disputou a primeira edição dos Jogos Olímpicos da Era Moderna, realizados em 1896 em Atenas, na Grécia. Se x representa a raiz da equação 2x + 12 = 110 5x, quantos países disputaram a primeira edição dos Jogos Olímpicos da Era Moderna? 14 países.

4. Considere a equação a seguir.

3x + 15 = x + 45

Elabore um problema que possa ser resolvido por meio dessa equação e troque com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve o problema elaborado por ele. Por fim, confiram as soluções e contem, um

R$ 2,50 cada um.

a) Qual foi o total arrecadado por Samira?

b) Qual foi o percentual de lucro (total arrecadado menos total investido)?

c) Além do dinheiro para a compra de matéria-prima, que outros custos você imagina que estão envolvidos nessa atividade de Samira?

d) Você gostaria de ter seu próprio negócio? Qual?

Thaís propôs que, para cada afirmação incorreta, Karina lhe daria 10 balas e, para cada afirmação correta, ela (Thaís) daria 5 balas a Karina. Nesse caso, Thaís ganhou ou perdeu balas? Quantas balas?

6. Julio Cesar de Mello e Souza nasceu no dia 6 de maio de 1895, no Rio de Janeiro. Foi professor e escreveu várias obras sob o pseudônimo de Malba Tahan, famoso autor árabe que ficou conhecido em todo o país. Sua obra mais conhecida é O homem que calculava, e o dia 6 de maio foi instituído no Brasil, em sua homenagem, como o Dia Nacional da Matemática.

Elaborado com base em: BIOGRAFIA Julio Cesar de Mello e Souza – Resumo biográfico. Malba Tahan. [S l.], c2017. Disponível em: https://malbatahan.com.br/biografias/julio-resumo/. Acesso em: 19 jul. 2022. Para saber quantos anos completos Julio Cesar viveu, determine a solução desta equação. 79 anos.

7(2x 50) 4x = 10 (51,9 0,1x)

Resolução da atividade

a) R $ 355,00

b) 343,75%

c) Resposta pessoal.

d) Resposta pessoal. Conversar com a turma sobre alguns custos envolvidos em um negócio, como luz, água, local, tempo de trabalho, quantidade de pessoas envolvidas, entre outros, que no caso de Samira não são custos contabilizados.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

7. Determine a raiz das seguintes equações do 1o grau com uma incógnita.

a) x 2 1 x 5 1 4 +=+ 5 2

b) x 4 x 3 x 100 += 240

c) 4 5 3x 4 1 10 x +=+ 14 5

d) _=_+ 1 6 x 2 2x 3 1 4 1 2

8. Qual deve ser o valor de x para que se tenha A = B?

A x 2 2 5 =+ B1 3x 4 =_

9. A raiz ou solução da equação x x 7 = 3 é um número racional situado entre dois números inteiros. Quais são esses números inteiros? 3 e 4.

10. Calcule a raiz ou solução das equações do 1o grau com uma incógnita, sendo

U =q

a) x 4 x   4 3 + = 0 S = {8}

b) _= 4x 3 3 2 x3 3 S =       1 2

11. Qual é o número racional que representa a raiz desta equação?

13. Leandro e Rodrigo estavam aprendendo como elaborar e resolver desafios matemáticos utilizando ou não equações do 1o grau com uma incógnita.

a) Observe o desafio que Leandro propôs a Rodrigo.

Rodrigo, leia o passo a passo:

• Pensei em um número;

• Multipliquei esse número por 3;

• Subtraí 5 do resultado;

• Obtive 7. Em que número pensei?

Escreva a equação que Rodrigo poderia ter resolvido para solucionar o desafio proposto por Leandro. 3x 5 = 7

b) Para resolver o desafio, Rodrigo utilizou as operações inversas às utilizadas por Leandro, como se estivesse “desfazendo” o que foi feito por Leandro. Observe como ele pensou.

Leandro, eu resolvi assim:

• Começo com o número 7;

• Adicionando 5 a esse número, obtenho 12;

• Dividindo por 3 esse resultado, obtenho 4;

• Ou seja, você pensou no número 4.

Descubra a raiz da equação que você escreveu no item a e confira se Rodrigo chegou à mesma resposta que você

x = 4. Sim.

12. Responda às questões a seguir.

a) Qual é a raiz desta equação? 10 x  2 8 x   4 3  1 =

b) Qual é o número que representa o quadrado da raiz dessa equação? 100

c) Quais são os divisores naturais do número que expressa a solução dessa equação? 1, 2, 5 e 10.

14. Elabore um problema que possa ser resolvido utilizando uma equação do 1o grau com uma incógnita e troque com um colega para que ele o resolva, enquanto você soluciona o problema elaborado por ele. Por fim, conversem sobre como pensaram para elaborar o problema e confiram as soluções. Vocês podem se inspirar em alguma situação apresentada nesta seção de atividades.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 155

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16/08/22 10:21 AMPLIANDO

Atividade complementar

Uma empresa tem a matriz em São Paulo e filiais em todo o Brasil, possuindo um total de 1 365 funcionários. O número de pessoas que trabalham nas filiais é o quádruplo do número de pessoas que trabalham na matriz. Quantos funcionários trabalham nas filiais dessa empresa?

Resolução da atividade

Espera-se que os estudantes estabeleçam a

equação x + 4x = 1 365 (indicando x como o total de pessoas da matriz). Depois de obter

x = 273, há duas maneiras de calcular o total de pessoas das filiais:

• calculando o valor de 4x, que é 1 092;

• ou obtendo a diferença: 1 365 273 = 1 092. De qualquer modo, obtém-se um total de 1 092 funcionários.

Nessas atividades, algumas explorações têm o objetivo de levar os estudantes a representar o enunciado do problema por meio de uma equação e a resolver a equação obtida. Para isso, dividir a turma em grupos de quatro estudantes: dois utilizarão uma estratégia, e os outros dois usarão outra. Os estudantes vão escolher a estratégia a utilizar para chegar à resolução: números, diagramas, desenhos de figuras geométricas ou material manipulável. As atividades propostas favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA18.

Em seguida, eles devem comparar as estratégias criadas no grupo a que pertencem e comunicá-las para os outros grupos.

Escrever na lousa a estratégia de cada um dos grupos da turma. Esse tipo de atividade desenvolve a criatividade e a busca de informações e de estratégias para solucionar um problema.

Na atividade 14, é esperado que os estudantes não apresentem dificuldade em elaborar um problema contextualizado. Em todo caso, dê alguns exemplos na lousa, por exemplo, situações envolvendo custo fixos e variáveis simultaneamente.

Um exemplo de problema abordando essa situação é: Em determinado período do dia, um taxista cobra uma taxa fixa de 4,50 reais e mais 2,75 reais por quilômetro rodado. Se uma pessoa pagou 21 reais em uma corrida com esse taxista nesse período, de quantos quilômetros foi a corrida?  Neste caso, se x é o número de quilômetros rodados, então:

4,5 + 2,75x = 21

2,75x = 21 4,5

= x 16,5 2,75

x = 6

Portanto, a corrida foi de 6 quilômetros.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Equações na resolução de problemas

O objetivo aqui é levar os estudantes a resolver problemas por meio de equações, ampliando seu repertório de inferências e favorecendo o desenvolvimento tanto do raciocínio lógico quanto da habilidade EF07MA18. É sempre bom relembrá-los das etapas de resolução de um problema segundo Polya:

• 1a etapa: compreender o problema;

• 2a etapa: traçar um plano;

• 3a etapa: colocar o plano em prática;

• 4 a etapa: comprovar os resultados.

Enfatizar o trabalho de leitura e interpretação dos problemas propostos para que os estudantes escrevam corretamente a equação correspondente à situação. Vale ressaltar que eles precisam ser incentivados a buscar mais alternativas de resolução, comparando-as com aquela que a equação propõe.

Esse trabalho é importante para ajudar a resolver as atividades propostas nas próximas páginas.

EQUAÇÕES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Vamos usar o que estudamos sobre as equações do 1o grau com uma incógnita na resolução de problemas. Observe alguns passos que podemos seguir.

1o passo: Ler com atenção o problema e anotar os dados.

2o passo: Traduzir o enunciado para a linguagem algébrica, obtendo uma equação correspondente.

3o passo: Resolver a equação estabelecida.

4o passo: Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente.

Acompanhe a resolução das situações a seguir.

1 Em uma turma, 20% dos estudantes praticam capoeira. Sabendo que o restante da turma (24 estudantes) treina outros esportes, quantos estudantes há, ao todo, nessa turma?

1o passo: O problema pede que se determine o total de estudantes de uma turma, informando que 20% deles treinam capoeira, e os demais (24 estudantes) praticam outros esportes.

Lembramos que: 20% = 20 100 = 0,20.

2o passo: Vamos indicar o total de estudantes pela letra x e escrever a equação correspondente usando a incógnita x para indicar o número desconhecido.

0,20x  24  x

Quantidade de estudantes que treinam capoeira.

Quantidade total de estudantes da turma. Quantidade de estudantes que treinam outros esportes.

3o passo: Resolvemos a equação obtida utilizando os princípios de igualdade. Nesse caso, podemos deixar os termos que têm x no segundo membro. Assim, temos:

0,20x + 24 = x 24 = x 0,20x 24 = 0,8x 24 0, 8 = x h 30 = x, ou seja, x = 30

4 o passo: Concluímos que nessa turma há 30 estudantes. Para analisar o resultado obtido, podemos calcular 20% de 30, que equivale a 6 estudantes, e verificar que 30 6 = 24 (quantidade de estudantes que praticam outros esportes). Com isso, observamos que a resposta está correta.

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AMPLIANDO

Texto

PONTES, Edel Alexandre Silva. Método de Polya para resolução de problemas matemáticos: uma proposta metodológica para o ensino e aprendizagem de matemática na educação básica. HOLOS, [S. l.], v. 3, p. 1-9, 2019. Disponível em: https://www2.ifrn. edu.br/ojs/index.php/HOLOS/article/view/6703.

Acesso em: 15 ago. 2022. O texto indicado apresenta uma proposta metodológica para o ensino e aprendizagem de Matemática na Educação Básica através de resolução de problemas utilizando o método de Polya.

2 Em uma escola na qual há turmas de 6o, 7o, 8o e 9o anos do Ensino Fundamental, um terço dos estudantes está matriculado no 6o ano; um quarto no 7o ano; três décimos no 8o ano; e 140 estudantes estão no 9o ano. Quantos estudantes estão matriculados nas turmas do 6o ao 9o ano dessa escola?

1o passo: O problema pede que se descubra a quantidade de estudantes matriculados no 6o, 7o, 8o e 9o anos da escola, informando dados sobre cada ano escolar.

2o passo: Vamos representar esse número pela letra x e escrever a equação correspondente.

1 3 x 1 4 x 3 10 x 140 x +++=

Estudam no 6o ano. Estudam no 7o ano. Estudam no 8o ano. Estudam no 9o ano. Total de estudantes.

3o passo: Resolvendo a equação, temos:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A sistematização em etapas da resolução de problemas de 1o grau auxilia os estudantes no desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Se considerar conveniente, solicitar aos estudantes que organizem os passos em um fluxograma, favorecendo o pensamento computacional e o raciocínio lógico

1

3 x 1 4 x 3 10 x 140 x +++=

20

60 x 15 60 x 18 60 x 8 400 60 x 60 60 x +++=

20x + 15x + 18x + 8 400 = 60x

20x + 15x + 18x 60x = 8 400 ( 1) 7x = 8 400 ( 1)

7x = 8 400

x = 8 400 7 h x = 1 200

4o passo: Estudam 1 200 estudantes nas turmas do 6o ao 9o ano nessa escola.

3 Uma pesquisa realizada com os estudantes de uma turma da Escola Laranjeira mostrou que os 42 estudantes dessa turma gostam somente de samba, ou gostam somente de música sertaneja, ou gostam desses dois ritmos musicais. Quando a professora perguntou “Quem gosta de música sertaneja?”, 36 estudantes levantaram a mão.

E quando a professora perguntou “Quem gosta de samba?”, 28 estudantes levantaram a mão. Nessa turma, quantos estudantes gostam tanto de música sertaneja quanto de samba?

1o passo: Para resolver esse problema, podemos montar um diagrama, como indicado a seguir.

Com relação ao 4 o passo do exemplo 2, analisando a resposta obtida, temos que 1 3 dos estudantes corresponde a 1 3 1 200 400 ?= estudantes estudam no 6o ano; 1 4 dos estudantes corresponde a 1 4 1 200 300 ?= es tudantes estudam no 7o ano; 3 10 dos estudantes co rre spondem a ?= 3 10 1200 360 estudantes estudam no 8o ano. O restante pode ser obtido por uma subtração:

1 200 400 300 360 = 140, que são os estudantes do 9 o ano. Portanto, a resolução está correta.

Usando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os membros por 1.

36 x 28 x x

Gostam só de samba. Gostam só de música sertaneja.

Gostam de ambos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O trabalho de traduzir um problema por meio de equações é aprofundado na última situação apresentada na página e nas atividades desse bloco, consolidando o desenvolvimento da habilidade EF07MA18. Deve-se enfatizar o trabalho de leitura e interpretação dos problemas propostos para que os estudantes escrevam corretamente a equação correspondente à situação, aumentando o repertório de inferências e desenvolvendo o raciocínio lógico

Vale ressaltar aqui que os estudantes precisam ser incentivados a buscar mais alternativas de resolução, comparando-as com aquela que a equação propõe.

Incentivar a resolução dessas atividades em grupo para que haja mais troca de conhecimento e ideias.

Encorajar os estudantes a resolver os problemas seguindo os passos de Polya: compreender o problema; traçar um plano; colocar o plano em prática; e comprovar os resultados.

Enfatizar a necessidade de fazer uma leitura cuidadosa para interpretar e organizar os dados dos problemas (por meio de um diagrama, por exemplo).

Sugerir aos estudantes que estimem as prováveis respostas para que tenham um entendimento maior do problema e verifiquem, consequentemente, se o resultado encontrado na resolução por meio de equação faz sentido.

Com relação ao 4 o passo, pode-se verificar se a resolução dada está correta descobrindo quantos estudantes gostam só de sertanejo e quantos gostam só de samba. Os que gostam só de sertanejo são 36 x. Como x = 22, então há 36 22 = 14 estudantes que gostam só de sertanejo; os que gostam só de samba são 28 x, ou seja, 28 22 = 6 estudantes. Assim, temos 14 estudantes que gostam só de sertanejo, 6 estudantes que gostam só de samba e 22 estudantes que gostam de

Nesse diagrama, temos:

• a parte em verde (x) representa a quantidade de estudantes que gostam, ao mesmo tempo, dos dois ritmos musicais;

• a parte em azul (36 x) representa a quantidade de estudantes que gostam de música sertaneja, mas não gostam de samba.

• a parte em amarelo (28 x) representa a quantidade de estudantes que gostam de samba, mas não gostam de música sertaneja.

2o passo: A soma dessas quantidades corresponde ao total de estudantes da turma. Assim, obtemos esta equação.

Gostam apenas de música sertaneja.

(36 x) + x + (28 x) = 42

Total de estudantes. Gostam dos dois ritmos musicais. Gostam apenas de samba.

3o passo: Resolvendo essa equação, temos:

(36 x) + x + (28 x) = 42

36 x + x + 28 x = 42

x + 64 = 42

x = 42 64

( 1) x = 22 ( 1)

x = 22

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que uma possibilidade de construção do respeito e da valorização da diversidade existente no país está relacionada com a conscientização e com o conhecimento das contribuições de diferentes povos e culturas.

4o passo: Nessa turma, há 22 estudantes que gostam, ao mesmo tempo, dos dois ritmos musicais.

FÓRUM

A influência da cultura africana no Brasil

Desde o Brasil Colônia até os dias de hoje, é possível verificar a influência da cultura africana em manifestações culturais brasileiras, em conjunto com a influência da cultura portuguesa, bem como da cultura indígena. Essa herança cultural provem dos povos africanos que foram escravizados no Brasil e pode ser observada na música popular, em manifestações religiosas, na culinária, em festas, entre outras manifestações culturais. Como exemplo dessa influência, podemos destacar, na música popular, ritmos como o samba, o maracatu, a lambada, além de outros.

1. Em seu entendimento, conhecer as diferentes manifestações culturais que contribuíram para a formação do povo brasileiro favorece o respeito à diversidade existente no país?

2. Você conhece outros exemplos de contribuição da cultura africana para a cultura brasileira? Quais?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na culinária, podemos destacar pratos como a feijoada, o acarajé, a moqueca, entre outros.

ambos, totalizando 14 + 6 + 22 = 42 estudantes. Portanto, a resolução está correta.

Fórum

Esse boxe possibilita o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Diversidade Cultural e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras. Incentivar os estudantes a pensar sobre a influência africana na cultura brasileira. É interessante que esse trabalho seja feito em

grupo com os seguintes passos.

1. Pedir a eles que comparem a cultura brasileira, que tem grande influência africana, com outras culturas que têm menor influência dos africanos; a europeia, por exemplo.

2. Com base nessa comparação, levar os estudantes a perceber a importância de valorizar a influência da cultura africana sobre a brasileira, justamente por nos diferenciar das demais e fazer parte da nossa identidade

Apresentação do grupo Samba de Roda Filhos da Terra. Terra Nova (BA), 2019.

SERGIO PEDREIRA/PULSAR IMAGENS

Responda às questões no caderno.

1. Na balança a seguir, a massa da caixa verde equivale a um terço da massa da caixa azul. Além disso, a caixa amarela tem o dobro da massa da caixa azul.

maior. Qual será, em metro, o comprimento da menor parte?

6. Foi feita uma pesquisa sobre a preferência de leitura de três revistas. Observe o resultado dessa pesquisa.

• A terça parte dos entrevistados lia a revista A

• 2 5 dos entrevistados liam a revista B

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

As atividades desse bloco exploram a resolução e a elaboração de problemas envolvendo equações de 1o grau, completando o desenvolvimento da habilidade EF07MA18.

Qual é, em grama, a massa de cada uma dessas caixas?

Verde: 450 g; azul: 1 350 g; amarela: 2 700 g.

2. Em uma turma de 30 estudantes, 6 escrevem apenas com a mão esquerda (são canhotos), e 2 escrevem com as duas mãos (são ambidestros). Quantos estu dantes escrevem apenas com a mão direita (são destros)? 22 estudantes

3. Guilherme e Tiago compraram 200 figurinhas. Dessas, 36 foram rasgadas e não puderam ser aproveitadas. Das figurinhas restantes, Guilherme ficou com 20 a mais que Tiago. Com quantas figurinhas cada um ficou?

Guilherme: 92 e Tiago: 72.

4. Os vendedores de uma loja atenderam 1 400 pessoas na primeira semana de maio. Na segunda-feira foram atendidas 160 pessoas e, no sábado, 180 pessoas. Sabendo que a loja não abre aos domingos e que a quantidade de pessoas atendidas nos outros dias da semana foi a mesma, quantas pessoas foram atendidas em cada um desses dias?

265 pessoas.

5. Uma tábua tem 120 cm de comprimento e deve ser dividida em duas partes, de modo que o comprimento da menor seja igual a 3 5 do comprimento da

• 832 pessoas liam a revista C Sabendo que cada pessoa lia apenas uma das revistas, quantas pessoas foram entrevistadas? 3 120 pessoas.

7. Em uma eleição com dois candidatos, A e B, uma pesquisa mostra que 40% dos eleitores votarão no candidato A e 35%, no candidato B. Se entre os pesquisados ainda há 3 500 indecisos, quantos eleitores participaram dessa pesquisa?

8. Um reservatório estava totalmente cheio de água. Inicialmente, esvaziou-se 1 3 do volume de água desse reservatório e, depois, foram retirados 400 litros de água. O volume de água que restou no reservatório corresponde a 3 5 do volume total. Quantos litros de água cabem nesse reservatório?

DESAFIO

9. (OBMEP) Maria escolheu um número inteiro. Ela somou a esse número os três números ímpares imediatamente inferiores e os dois números pares imediatamente superiores a ele e obteve 1 414 como resultado. Qual é a soma dos algarismos do número que Maria escolheu?

Permitir aos estudantes que explorem as atividades em duplas, favorecendo a argumentação e o raciocínio lógico. Incentivar a correção coletiva, fazendo os registros das resoluções na lousa e compartilhando as estratégias adotadas pelos estudantes. Em caso de dúvidas, retomar as etapas de resolução de um problema segundo Polya ou os princípios aditivo e multiplicativo, caso a dúvida seja na resolução das equações.

No desafio 9, fazer a leitura compartilhada do enunciado e auxiliar os estudantes na avaliação da paridade do número escolhido por Maria – a resolução da questão depende dessa análise inicial. É importante destacar que o número escolhido por ela pode ser par (P) ou ímpar (I) e avaliar as implicações dessas opções, uma vez que a soma deve ser um número par (1 414).

12

13 c) 14 d) 15 e) 16

cultural. Se possível, pedir que façam uma pesquisa sobre a influência, da cultura africana no Brasil. É provável que eles citem alguns exemplos dessa influência, como:

• a culinária regional, especialmente na Bahia, onde foi introduzido o dendezeiro, uma palmeira africana da qual se extrai o

azeite de dendê, que é utilizado em vários pratos de influência africana, como o vatapá, o caruru e o acarajé;

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• os instrumentos musicais, como o berimbau, o afoxé e o agogô;

• a capoeira que mistura dança e arte marcial.

Nessa operação, há três números ímpares, dois números pares e o número escolhido por Maria. Assim, a única opção para essa escolha é um número ímpar também (I + I + I + I + P + P h P). Com base nessa constatação, será possível determinar, a partir do número escolhido por Maria, os três números ímpares imediatamente anteriores e os dois números pares imediatamente posteriores.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Essa seção explora o gráfico de linhas no contexto de saúde, abordando a análise dos serviços de abastecimento de água e esgoto no Brasil, promovendo a empatia dos estudantes e o desenvolvimento das competências gerais 1, 4 e 9, bem como das competências específicas 2, 5 e 7 da área de Matemática. Propor aos estudantes que desenvolvam o trabalho com essa seção em duplas para promover a troca de experiências e ampliação do repertório de estratégias. Auxiliar os estudantes na construção do gráfico e na elaboração da pesquisa solicitada. Se houver acesso a computadores, propiciar aos estudantes que elaborem as tabelas e os gráficos em uma planilha eletrônica.

Nessa seção, à medida que se elaboram gráficos, tabelas, texto analisando informações e pesquisa de dados, pode-se desenvolver a habilidade EF07MA36.

INFORMAÇÃO

GRÁFICO DE LINHAS (OU DE SEGMENTOS)

Saneamento básico no Brasil

O abastecimento de água potável e a coleta e tratamento de esgoto fazem parte de um sistema de serviços conhecido como saneamento básico. Também fazem parte desse sistema os serviços de limpeza urbana, drenagem das águas pluviais, bem como a coleta e o manejo adequado dos resíduos sólidos.

Os serviços que compõem esse sistema constituem um direito de todos os cidadãos e estão associados às condições de saúde pública, à preservação ambiental e a aspectos econômicos de cada região.

A existência de uma rede adequada de saneamento básico impacta diretamente na qualidade de vida das pessoas, contribuindo para a prevenção de doenças, a redução de impactos ambientais, entre outros fatores. Observe a seguir um gráfico que mostra a evolução da população atendida por alguns serviços relacionados a saneamento básico no Brasil, entre 2010 e 2020.

Serviços de abastecimento de água e coleta de esgoto no Brasil – 2010 a 2020

à água População com coleta de esgoto

Elaborado com base em: INSTITUTO TRATA BRASIL. Explore os indicadores – Por indicador. Painel Saneamento Brasil. São Paulo, 2018. Disponível em: https://www.painelsaneamento.org.br/explore/ indicador?SE%5Bg%5D=1&SE%5Bs%5D=11&SE%5Bid%5D=POP_COM_ES%25.

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AMPLIANDO

Link

PAINEL SANEAMENTO BRASIL. [São Paulo], 2018. Site Disponível em: https://www.painelsaneamento.org.br/. Acesso em: 15 ago. 2022.

A pesquisa de dados pode ser realizada no portal indicado. Nele, após escolhida a região, buscar por operações de saneamento H cobertura H Parcela da população sem acesso à água H ver mais.

Isso retornará um gráfico de barras com os dados buscados. Ao passar o indicador do mouse sobre o gráfico, observa-se os valores numéricos correspondentes. A partir desses dados, os estudantes podem construir sua linha da tabela. Recomenda-se o uso de uma planilha eletrônica.

Acesso em: 20 jul. 2022.

Estação de tratamento de esgoto. Jataizinho (PR), 2020.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

1. c) A porcentagem da população atendida com coleta de esgoto, com variação de 9,5% (55,0 45,5 = 9,5).

2 a) 2014: 368 871; 2015: 342 370; 2016: 341 479; 2017: 259 711; 2019: 273 403.

Responda às questões no caderno.

1. De acordo com o gráfico da página anterior:

a) Qual era a porcentagem da população brasileira que contava com serviços de coleta de esgoto em 2010? E em 2020? 2010: 45,4% e 2020: 55,0%.

b) Nesse período, em quais anos houve o menor desperdício de água na distribuição?

c) Qual das categorias indicadas no gráfico apresentou maior evolução no período apresentado, ou seja, qual apresentou maior amplitude nos dados?

d) Sabendo que a população brasileira, em 2020, era de 211,75 milhões de habitantes, quantos habitantes não tinham acesso à água tratada naquele ano?

100 % 84,1% = 15,9 % , o que corresponde a 33,67 milhões de habitantes.

2. A tabela a seguir apresenta dados sobre as internações no sistema de saúde por doenças associadas à falta de saneamento básico no Brasil.

por doenças associadas à falta de saneamento

Elaborada com base em: INSTITUTO TRATA BRASIL. Brasil. Painel Saneamento Brasil. São Paulo, 2018. Disponível em: https://www.painelsaneamento.org.br/localidade/evolucao?id=0&L%5Bg%5D=2&L%5Bs%5D=21&L%5Bi%5D=INT_VH. Acesso em: 20 jul. 2022.

a) Resolva as equações indicadas na segunda linha da tabela e construa uma nova tabela indicando o ano e a quantidade de internações.

b) Com base na tabela que você fez, construa um gráfico de linhas que mostre a evolução da quantidade de internações por doenças associadas à falta de saneamento entre 2014 e 2019. Se desejar, você pode utilizar uma planilha eletrônica.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

c) Pesquise dados sobre o sistema de saneamento básico de seu município e elabore um texto informativo com as principais informações. Você pode acessar o site Painel Saneamento Básico, disponível em https://www.painelsaneamento.org.br/localidade?id=0 (acesso em: 20 jul. 2022). Resposta pessoal.

3. O acesso ao saneamento básico no Brasil varia conforme a região. Organizem-se em grupos e pesquisem sobre esse sistema em cada uma das cinco regiões do Brasil: Norte, Nordeste, Sul, Sudeste e Centro-Oeste. Cada grupo pode trabalhar com uma região.

a) Cada grupo pode investigar, por exemplo, a parcela da população sem acesso à água, de acordo com um período considerado, registrando os dados em uma tabela. Em um segundo momento, ampliem a tabela acrescentando os dados das outras regiões do país, coletados pelos outros grupos da turma. Resposta a depender da pesquisa realizada.

b) Elaborem um gráfico de linhas com os dados da tabela, comparando a evolução do acesso à água nas cinco regiões do país. Conversem sobre as principais diferenças encontradas e elaborem hipóteses que justifiquem essas diferenças. Resposta a depender da pesquisa realizada.

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Links

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas de saneamento: abastecimento de água e esgotamento sanitário. 3. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2021. Disponível em: https://biblioteca.ibge. gov.br/index.php/biblioteca-catalogo?view=deta lhes&id=2101885. Acesso em: 12 ago. 2022. INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA.

Pesquisa nacional de saneamento básico 2017: abastecimento de água e esgotamento sanitário. Rio de Janeiro: IBGE, 2020. Disponível em: https:// biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101734. pdf. Acesso em: 12 ago. 2022. Nos links indicados, é possível consultar outros documentos e dados sobre o assunto.

Depois que os estudantes fizerem as atividades propostas, pedir que pesquisem outras informações, criem textos e levantem questões, proponham construções de tabelas e gráficos para serem resolvidos por toda a turma. Levar livros e revistas para pesquisa na própria sala de aula.

O item c da atividade 1 pode ser realizado calculando a diferença entre o maior e o menor índice em cada uma das categorias. Incentivar os estudantes a observar as linhas, destacando as que apresentam mais constância (população com água tratada) ou pouca variação (desperdício de água). Assim, exclui-se tais categorias por terem baixa amplitude. Da mesma maneira, observando o gráfico, é possível perceber que a linha com maior variação se refere ao esgoto tratado.

O site utilizado para elaborar a tabela para essas atividades oferece um resumo com informações de cada município brasileiro. Para isso, basta escolher o município ou a região de interesse. Recomenda-se organizar os estudantes em diferentes grupos para que cada grupo busque os dados de uma das regiões do Brasil (Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sudeste e Sul). É importante que todas as regiões sejam pesquisadas por pelo menos um grupo.

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades dessa seção é propiciar aos estudantes que retomem os conteúdos estudados na Unidade e, caso seja necessário, façam retomadas para sanar as dúvidas que possam surgir, consolidando assim o trabalho com a habilidades EF07MA16 e EF07MA18.

Sugerir que refaçam algumas atividades anteriores dos assuntos que surgirem dúvidas. Ressaltar tais temas ao corrigir as atividades.

Para enriquecer o trabalho dessa seção, propor aos estudantes que discutam em duplas cada uma das questões. É importante a troca de ideias e a busca de um procedimento comum, propiciando o desenvolvimento de estratégias de argumentação para defender ideias.

Escolher alguns problemas dessa seção para que os estudantes os resolvam na lousa e revisem os procedimentos estudados com toda a turma.

RETOMANDO APRENDEU O QUE

Responda às questões no caderno.

1. (OBMEP ) Observe a sequência de figuras abaixo, todas elas com a forma da letra Y. Seguindo este padrão, quantas bolinhas terá a 15a figura?

5. A média aritmética dos números expressos a seguir é 12,5.

(x 4) 2x x 2(x + 6)

Qual é o número x?

162

a) 5

b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

a) 35

b) 47 c) 50 d) 52 e) 60

Alternativa b.

2. (OBM) Esmeralda adora os números triangulares (ou seja, os números 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …), tanto que mudou de lugar os números 1, 2, 3, …, 11 do relógio de parede do seu quarto de modo que a soma de cada par de números vizinhos é um número triangular. Ela deixou o 12 no seu lugar original. Que número ocupa o lugar que era do 6 no relógio original?

a) 1

b) 4 c) 5 d) 10 e) 11

Alternativa c.

3. São dados três números naturais:

2x x x + 4

a) Escreva a expressão que representa a soma desses três números. 4x + 4

b) Se a soma desses três números é 116, qual é o produto desses três números?

50 176

4. O professor escreveu na lousa esta equação:

2(1 0,4x) + x = 4(0,1x 0,4)

O valor de x, nessa equação, é igual a:

a) 18.

b) 18. c) 1,8. d) 1,8. e) 3,6.

Alternativa a.

162 D2_AV1-MAT-F2-2103-V7-U5-130-163-LA-G24.indd

6. Uma tábua de 5,85 metros de comprimento foi dividida em três partes. A primeira dessas partes tem 1,80 m de comprimento, enquanto a segunda tem o dobro do comprimento da terceira. Qual é, em metro, o comprimento da segunda parte da tábua?

a) 1,35 m

b) 2,70 m

c) 2,80 m

d) 3,20 m

e) 4,05 m

7. Um tanque está completamente cheio de água. Deixando escoar 68 litros de água, o tanque fica ainda com a terça parte de todo o volume de água que havia nele. Qual é a capacidade desse tanque?

a) 100 litros.

b) 102 litros.

c) 104 litros.

d) 106 litros.

e) 108 litros.

Alternativa c. Alternativa b. Alternativa b.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

DANIEL BOGNI

REPRODUÇÃO/OBMEP, 2019.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Princípio aditivo (quando adiciono um mesmo número em ambos os membros de uma igualdade, obtenho uma nova igualdade); princípio multiplicativo (quando multiplico por um mesmo número ambos os membros de uma igualdade, obtenho uma nova igualdade). Com esses princípios, é possível obter equações equivalentes de modo a simplificá-las e determinar o valor desconhecido.

Podemos afirmar que essa equipe venceu:

a) 30 jogos.

b) 24 jogos.

c) 20 jogos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

d) 18 jogos.

e) 10 jogos.

9. Considere as expressões a seguir.

A = 2,8 + 2(1 + 1,5x)

B = 3(1,2x 2,4)

Sabendo que A = B, determine o valor de x x = 20

10. Na equação (y 3)x + 4(y 5) = 3x, temos x = 2. Qual é o número que expressa o valor da letra y? 10 3

11. Os gerentes de uma empresa entrevistaram 420 candidatos a determinado

UM NOVO OLHAR

cargo e não aprovaram uma quantidade de candidatos igual a 5 vezes a quantidade de candidatos aprovados. De acordo com essas informações, a quantidade de aprovados foi:

a) 84 candidatos.

b) 75 candidatos.

d) 65 candidatos.

e) 60 candidatos.

c) 70 candidatos.

12. Elabore quatro equações com uma incógnita, sendo apenas duas delas equações equivalentes. Troque com um colega para que ele identifique as equações equivalentes, enquanto você faz o mesmo em relação às equações por ele escritas. Por fim, conversem sobre as estratégias que vocês utilizaram para elaborar as equações e identificar o par de equações equivalente.

Nesta Unidade, você estudou sequências numéricas recursivas, sequências numéricas não recursivas, como obter a lei de formação de uma sequência e a fórmula do termo geral. Além disso, explorou também expressões algébricas e variável, princípios da igualdade, equações e incógnita, conjunto universo e conjunto solução, além de ter resolvido e elaborado problemas envolvendo equações do 1o grau.

As equações estudadas nesta Unidade serão utilizadas e aplicadas em outros contextos matemáticos, que serão estudados posteriormente. Além do uso de equações na Matemática, há também o uso de equações em outras disciplinas, como em Geografia e em Ciências.

Para melhor organizar esse primeiro contato com o estudo das equações do 1o grau, você pode, em dupla ou em grupo, fazer um breve resumo de cada tópico estudado. Esse resumo deve conter um lembrete sobre cada conceito e um ou mais exemplos que considerar relevante.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

Alternativa c. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Após a realização da atividade 12, propor uma atividade complementar em que os estudantes devem elaborar um problema em que uma das expressões é dada no enunciado e a outra deve ser indicada como equivalente por um colega.

Nesse sentido, pode-se apresentar um problema como o seguinte.

O custo x de produção de certo objeto pode ser descrito pela equação 6x 5 = 11. Qual das equações a seguir é equivalente à equação de custo em questão?

6x = 6 = x 16 6 = 6x 11 5

Resolvendo a equação

6x 5 = 11, temos:

6x 5 = 11

6x = 11 + 5 = x 16 6

Portanto, a equação do enunciado é equivalente a = x 16 6

Um novo olhar

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 61x = 34,16.

• Na abertura desta Unidade, você observou uma situação envolvendo o preço e a quantidade de refeição servida em um restaurante que vende comida “a quilo”. Retomando essa situação, qual equação você utilizaria para descobrir quantos gramas de comida uma pessoa que pagou R$ 34,16 serviu no prato?

• Como você explicaria a alguém o que é uma sequência recursiva?

• Explique com suas palavras os princípios de equivalência que você estudou e a importância desses princípios na resolução de uma equação do 1o grau.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A sequência na qual cada termo pode ser obtido a partir do termo anterior

Alternativa d. 163

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Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade possibilitam, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que possam perceber as próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade.

A primeira questão retoma questionamentos propostos na abertura da Unidade, solicitando aos estudantes que representem a situação por meio de uma equação.

A segunda questão visa a reflexão dos estudantes sobre à noção de recursividade em sequências.

A terceira questão explora assuntos relativos ao estudo das equações, resgatando a aplicação dos princípios da igualdade e a importância do conjunto universo.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 5, 7 e 9

Competências específicas:

• 2, 5, 6 e 8

Habilidades:

Geometria

• EF07MA22

• EF07MA23

• EF07MA24

• EF07MA25

• EF07MA26 • EF07MA27 • EF07MA28

Grandezas e medidas

• EF07MA33

Probabilidade e estatística

• EF07MA36 • EF07MA37

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

• Saúde

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em cinco capítulos e traz seções que propiciam momentos que trabalham a reflexão, a argumentação e o uso de diferentes linguagens para expressar informações, favorecendo, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências gerais 5, 7 e 9. No capítulo 1, é retomado o conceito de ângulo e discutidas as relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Esse estudo favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA23. No capítulo 2, estuda-se algumas características dos triângulos, desenvolvendo as habilidades EF07MA24 e EF07MA25. No capítulo 3, são exploradas as medidas dos ângulos internos e externos de um polígono regular, desenvolvendo aspectos da habilidade EF07MA27. Nos capítulos 4 e 5, é apresentada a definição de circunferência como lugar geométrico e sua aplicação na resolução de problemas, o que favorece o desenvolvimento de aspectos das habilidades EF07MA22, EF07MA26 e EF07MA28.

Você já ouviu falar em relógio de sol?

Para compreender o funcionamento desse tipo de relógio, faça a seguinte experiência: em um dia claro, escolha um local ensolarado e observe o que ocorre com o comprimento de sua sombra em quatro horários diferentes, às 9 horas, ao meio-dia, às 15 horas e às 18 horas, por exemplo.

Você poderá observar que sua sombra se desloca quando você fica exposto à luz do sol e que o comprimento dela varia conforme a hora do dia.

Os relógios de sol funcionam a partir desse princípio; observam-se o movimento aparente do Sol e o deslocamento da sombra de um corpo projetado sobre uma superfície plana. Em alguns relógios de sol, a luz solar incide sobre uma haste (gnômon), devidamente orientada em relação à latitude do lugar e aos pontos cardeais, e projeta uma sombra em um mostrador graduado com números correspondentes às horas do dia.

Existem diversos tipos de relógio de sol; entre eles podemos citar o horizontal, o vertical e o equatorial.

OBJETIVOS

• Classificar ângulos e compreender a congruência de ângulos.

• Identificar ângulos opostos pelo vértice.

• Reconhecer os pares de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

• Compreender e utilizar a condição de existência e a rigidez geométrica do triângulo na resolução de problemas.

• Determinar as medidas dos ângulos internos e externos de um polígono regular.

• Reconhecer a circunferência como lugar geométrico e aplicar esse conceito na resolução de problemas.

• Construir figuras geométricas usando régua e compasso.

• Compreender e utilizar fluxogramas para descrever etapas de construção de polígonos.

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FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS 6

Responda às questões no caderno.

• Existe algum relógio de sol no município onde você mora?

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual. Resposta pessoal.

• No Brasil, o Clube de Astronomia do Rio de Janeiro já catalogou mais de 200 relógios de sol. Pesquise alguns locais onde foram construídos relógios de sol.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Em função do movimento de rotação, a Terra gira 360° em 24 horas; então, um observador na Terra vê o Sol “se deslocar” 15° a cada uma hora (360°: 24 = 15°). Sabendo disso, quantos graus ele vê o Sol “se deslocar” em: a) 2 horas? b) 5 horas? c) 8 horas? d) 12 horas? e) 18 horas?

• O relógio de sol era um instrumento bastante utilizado antigamente. Atualmente, tem menos funções práticas e mais funções históricas e culturais. Reúna-se a um colega, reflitam e pesquisem por que essa alteração aconteceu ao longo do tempo.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

A atividade desta abertura ajudará os estudantes a perceber a presença dos ângulos no dia a dia e sua importância, relacionando ângulos com a leitura de um relógio de sol. Essa abordagem favorece o desenvolvimento da competência geral 1, uma vez que são valorizados e utilizados os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico para entender e explicar a realidade.

Caso sinta necessidade, esclarecer aos estudantes que o movimento que observamos do Sol é aparente. Se possível, construir um relógio de sol com eles, solicitando que anotem no caderno as observações sobre o processo de construção e sobre a leitura desse tipo de relógio. É interessante incentivar a troca de ideias com os colegas.

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JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, os estudantes vão adquirir conhecimentos que são ferramentas importantes para a compreensão e o desenvolvimento do estudo da Geometria, como estudo de ângulos, triângulos, polígonos regulares, circunferências e construções geométricas, que propiciam, com maior ênfase, o desenvolvimento das

Na proposta de investigação de algumas propriedades dos ângulos alternos e dos ângulos colaterais, fazendo uso de software de geometria dinâmica, assim como nas propostas de leitura, compreensão e construção de fluxogramas, busca-se favorecer o desenvolvimento do pensamento computacional

habilidades EF07MA22, EF07MA23, EF07MA24 e EF07MA25.

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Definição e medida de um ângulo

Discutir com os estudantes a presença dos ângulos no cotidiano e pedir a eles que citem outras situações em que o ângulo aparece; por exemplo, o ângulo formado pelo joelho quando alguém se senta em uma cadeira. Aproveitar esse momento para discutir com eles os cuidados de postura que devem ser observados quando se sentam para estudar ou ao passar algum tempo utilizando o computador. Citar, inclusive, os giros que fazemos ao andar ou mudar de uma direção para outra.

Pedir a um estudante para seguir alguns comandos ou as ordens, por exemplo: com o braço esticado para a frente, pedir que gire à direita 90°, depois que gire à esquerda 180°, e assim por diante. Situações como essas podem levar os estudantes a associar a definição de ângulo com a ideia de giro, que é válida para o seu aprendizado. Explorar a construção e a medição de abertura de ângulos usando régua e transferidor e, se for possível e desejar, complementar esse trabalho usando um software de geometria dinâmica. Nele, é possível escolher o valor do ângulo e o sentido do giro (horário ou anti-horário).

DEFINIÇÃO E MEDIDA DE UM ÂNGULO

Nos modelos matemáticos de figuras que sugerem a ideia de ângulo, podemos destacar duas semirretas (lados do ângulo) de mesma origem (vértice do ângulo) que dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não convexa. Essas duas semirretas determinam dois ângulos, um em cada região.

Na figura a seguir, destacamos estes elementos.

• O ponto O, origem das semirretas, denominado vértice do ângulo.

• As semirretas OA e OB, denominadas lados do ângulo. Para identificar esse ângulo, utilizamos a notação A ˆ OB região convexa

região não convexa

A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão utilizada para essa medição é o grau, representado pelo símbolo ° escrito após o número.

Para medir um ângulo, comparamos a medida da sua abertura à medida de um ângulo de 1° (um grau). Para isso, utilizamos um transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1° em 1°

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS

Ângulo raso, ângulo nulo e ângulo de uma volta

Quando duas semirretas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-volta

BA C

BA C é um ângulo raso ou de meia-volta.

Quando duas semirretas coincidem, obtemos dois ângulos: o ângulo nulo e o ângulo de uma volta

OA B OA B Ângulo nulo. Ângulo de uma volta.

Usando um transferidor, determinamos as medidas das aberturas dos ângulos, em grau. Acompanhe os exemplos.

Classificação de ângulos

Explorar o uso do transferidor para medir abertura de ângulos em objetos da sala de aula a fim de determinar medidas aproximadas e estimadas. Para isso, propor aos estudantes que construam um transferidor “gigante” a partir de um círculo desenhado em papel. Solicitar que, em grupos, confeccionem discos (círculos) de diferentes tamanhos. Depois, usando dobraduras, os estudantes devem dividir os círculos em duas, quatro e oito partes iguais. Espera-se que eles identifiquem ângulo raso (ou de meia-volta), ângulo nulo e ângulo de uma volta.

Para simplificar a linguagem e auxiliar na compreensão dos estudantes, é possível se referir à medida da abertura de um ângulo simplesmente como a medida de um ângulo.

26/08/22 11:13

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos congruentes

O objetivo desse tópico é levar os estudantes a reconhecer e a identificar ângulos congruentes como aqueles que possuem medidas iguais.

Explorar a ideia de congruência por meio da sobreposição de figuras, esclarecendo que aquelas que se sobrepõem perfeitamente são congruentes. Explicar que, no caso dos ângulos, isso ocorre quando as medidas de abertura são iguais.

Sugere-se que os estudantes iniciem com a leitura atenta e individual do texto apresentado no Livro do estudante. Depois, pedir a eles que façam o registro de um resumo que contenha a definição, os exemplos e os símbolos utilizados para relacioná-los com as respectivas medidas.

ÂNGULOS CONGRUENTES

A B

MQ

168

O 9 P é coincidente a

M Q

A B

Assim, A ˆ OB e MPQ possuem a mesma abertura e, portanto, a mesma medida.

Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados de ângulos congruentes, e utilizamos o símbolo 2 para relacioná-los.

é congruente a

med A ˆ OB () = med MPQ () AOB MPQ 2

Usamos o símbolo = quando comparamos as medidas dos ângulos. Usamos o símbolo 2 quando comparamos os ângulos.

ÂNGULOS CONSECUTIVOS E ÂNGULOS ADJACENTES

B C A O ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Vamos comparar os ângulos dois a dois.

Comparando A ˆ OB e B ˆ OC : B C

• A ˆ OB e B ˆ OC têm o vértice comum (ponto O).

• A ˆ OB e B ˆ OC têm o lado OB comum.

Dizemos que:

Comparando A ˆ OB e A ˆ OC: B C

• A OB e A OC têm o vértice comum (ponto O).

• A ˆ OB e A ˆ OC têm o lado OA comum.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes

O objetivo dessa página é levar os estudantes a identificar as condições para que dois ângulos sejam consecutivos ou para que sejam adjacentes.

Comparando BOC e A OC: C

O

B

• B ˆ OC e A ˆ OC têm o vértice comum (ponto O).

• BOC e A OC têm o lado OC comum.

Dois ângulos que possuem o mesmo vértice e têm um lado comum são denominados ângulos consecutivos

Em nosso exemplo, são ângulos consecutivos:

• A ˆ OB e B ˆ OC

• A ˆ OB e A ˆ OC

• B ˆ OC e A ˆ OC

Observando novamente para as figuras, nesses três casos de ângulos consecutivos, podemos perceber que:

• A ˆ OB e B ˆ OC não possuem pontos internos comuns.

• A ˆ OB e A ˆ OC possuem pontos internos comuns.

• B ˆ OC e A ˆ OC possuem pontos internos comuns.

Dizemos que:

Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são denominados ângulos adjacentes

Então, no nosso exemplo, A ˆ OB e B ˆ OC são ângulos adjacentes.

19/08/22 16:25

Primeiro, pedir aos estudantes que façam a leitura do texto do Livro do estudante de maneira atenta e individual. Depois, perguntar se compreendem as nomenclaturas “ângulos consecutivos e ângulos adjacentes”. Incentivar os estudantes a expor suas dúvidas e a tentar esclarecer as dúvidas dos colegas. Valorizar a troca de informação e conhecimento para que efetivamente ocorra o aprendizado.

Ao final, propor que façam um quadro resumo no caderno com as definições e exemplos de ângulos congruentes, ângulos adjacentes e ângulos consecutivos, explicando a diferença entre esses dois últimos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco têm como objetivo levar os estudantes a identificar e nomear vértices e lados de um ângulo; a indicar corretamente um ângulo; a associar a um ângulo sua medida em grau, usando o transferidor como instrumento para determinar a medida de ângulos; a compreender o que é o grau; e a identificar ângulos congruentes.

Para a atividade 5, levar um relógio grande (pode ser de brinquedo) para os estudantes observarem os ângulos formados pelos ponteiros. Deixar que analisem os ângulos que são formados em determinados horários. Podem também utilizar esse relógio para auxiliar na resolução das atividades. Solicitar a eles que registrem tudo que observarem. Explorar essa atividade por meio da operação de ângulos: cada espaço entre dois números consecutivos do relógio corresponde a 30°, pois 360 : 12 = 30; logo, do meio-dia às 6 horas temos 6 espaços no relógio (6 ? 30° = = 180°). Vale ressaltar que esse é um ângulo raso.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Identifique o vértice e os lados do ângulo representado a seguir.

Na situação descrita pela figura, admita que o limpador está girando em sentido horário e calcule a medida do ângulo que falta para que ele complete o movimento completo.

Vértice: ponto B; lados: BA e BC Três ângulos: AOB , BOC e AOC

2. Quantos ângulos aparecem nesta figura? Quais são eles?

a) 50°

b) 120°

3. Qual é a medida, em grau, de um ângulo de:

a) meia-volta? b) uma volta?

4. Dois ângulos congruentes têm as medidas expressas por (7x + 30) ° e (13x 30) °, respectivamente. Nessas condições determine o valor de x

5. (Prova Brasil) Os 2 ângulos formados pelos ponteiros de um relógio às 8 horas medem

a) 60° e 120°

b) 120° e 160° .

c) 120° e 240° .

d) 140° e 220°

6. (Saresp-SP) O movimento completo do limpador do para-brisa de um carro corresponde a um ângulo raso.

c) 140°

d) 160°

7. A medida x de um ângulo equivale, em grau, à raiz da equação

x 5 x15 4 57 += Determine o valor de x.

8. Observe a figura do transferidor.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Dê as medidas dos ângulos indicados.

a) med () A OB

b) med () A OC

c) med () A ˆ OD

d) med() A ˆ OE

e) med() A OF

f) med() A OG

g) med () B ˆ OE

Alternativa c. 120° 180° 70° 30°

h) med() E ˆ OF

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

19/08/22 16:26

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Observe que na figura os ângulos adjacentes A ˆ OB e B ˆ OC, juntos, formam um ângulo reto (90°).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos complementares e ângulos suplementares

Dando continuidade ao estudo sobre ângulos, nesse tópico, o objetivo é levar os estudantes a reconhecer, representar e relacionar ângulos complementares e ângulos suplementares. Pretende-se, também, que eles calculem a medida do complemento e a medida do suplemento de um ângulo.

Quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 90°, dizemos que os ângulos são complementares

Assim:

• Os ângulos A ˆ OB e B ˆ OC da figura são complementares.

• A ˆ OB é o complemento de B ˆ OC, e vice-versa.

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Observe na figura os ângulos A ˆ OB e B ˆ OC

Sugere-se que os estudantes façam a leitura individual do texto e relatem o que compreenderam. É interessante que alguns estudantes sejam convidados para ir ao quadro explicar como calcular a medida do complemento e a medida do suplemento de um ângulo. Incentivar a troca de ideias nesse momento.

Depois, apresentar dois ângulos quaisquer no quadro e pedir a eles que verifiquem se os ângulos dados são complementares e/ou suplementares.

Quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180

, dizemos que os ângulos são suplementares

Assim, na figura apresentada:

• os ângulos A OB e BOC são suplementares;

• A ˆ OB é o suplemento de B ˆ OC, e vice-versa.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco têm como objetivo levar os estudantes a reconhecer, representar, relacionar e calcular a medida de ângulos complementares e a de ângulos suplementares. Para realizar essas atividades, organizar os estudantes em duplas, de modo que possam validar hipótese, exercitando a argumentação com base em fatos matemáticos, a cooperação e a empatia entre eles, desenvolvendo aspectos das competências gerais 7 e 9.

Na atividade 1, orientar os estudantes a encontrar as medidas dos ângulos por cálculo mental nos itens a e b. Isso porque, trabalhando com as figuras dos ângulos retos e rasos, os estudantes terão informações suficientes para encontrar as respostas. Assim, por exemplo, no item a, o ângulo maior é reto, então mede 90°. Como ele é formado por dois ângulos adjacentes, um de medida 35° e outro de medida x, temos x = 90° 35° = 55°.

Os estudantes podem registrar as respostas encontradas e fazer os cálculos no quadro para validar o cálculo mental.

Responda às questões no caderno.

1. Calcule a medida x nos seguintes casos.

5. Na figura, OB divide AOC em dois ângulos congruentes e med D ˆ OE () = 40° Determine

2. Calcule med CBD () na figura a seguir.

6. Determine a medida do:

a) complemento do ângulo de 47°

b) suplemento do ângulo de 119°

c) complemento do ângulo de 22°

d) suplemento do ângulo de 67°

7. Quanto vale a metade do suplemento de um ângulo de 122° ?

• Como você pensou para resolver o problema? Explique a um colega.

8. Qual é o valor do triplo do complemento de um ângulo de 66° ?

3. Qual é a diferença entre med A ˆ BC () e med CBD () da figura a seguir?

9. Dois ângulos são suplementares e o maior deles mede 113°. Quanto mede o ângulo menor?

10. A medida de um ângulo é igual à medida do seu complemento. Quanto mede esse ângulo?

11. Caio descobriu que o triplo da medida do complemento de um ângulo é igual a 111°. Qual é a medida desse ângulo?

4. Na figura, B ˆ OP e P ˆ OC são ângulos congruentes. Calcule a medida de AOC .

12. O quíntuplo da medida do complemento de um ângulo é igual ao dobro da medida do suplemento desse ângulo. Quanto mede esse ângulo?

13. Dois ângulos são suplementares, e suas medidas são expressas por x 2 + 25° e 2x 10°. Qual é o valor de x?

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

7. • Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 172

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Vamos relembrar algumas posições relativas de duas retas em um plano.

Na figura, as retas a e b não se cruzam ou não têm pontos comuns. Dizemos que as retas a e b são retas paralelas e indicamos: a ⁄ b.

a

Já as retas r e s da figura a seguir se cruzam em um único ponto P. Nesse caso, dizemos que as retas r e s são concorrentes

r

Note que duas retas concorrentes formam entre si quatro ângulos. Com a ajuda de um transferidor, medimos os quatro ângulos formados na figura a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDIÁTICAS

Ângulos opostos pelo vértice Comentar com os estudantes que, além das retas paralelas e das retas coincidentes mencionadas, duas retas também podem ser coincidentes, quando têm todos os pontos em comum. Se necessário, retomar os conceitos de posição relativa entre retas.

Explorar os quatro ângulos formados por duas retas concorrentes, de modo que os estudantes possam identificar os ângulos opostos pelo vértice.

D P

A B

s

QUE

26/08/22 11:39

AMPLIANDO

Atividade complementar

Desenhar, na lousa, a figura indicada a seguir com quatro retas contidas em um plano.

Pedir aos estudantes que nomeiem utilizando dois dos pontos da figura:

a) um par de retas paralelas;

b) dois pares de retas concorrentes;

c) um par de retas perpendiculares.

Resolução da atividade

a) AC e DE

b) Possível resposta: AB e CD ; DE e AE .

c) AE e DC

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se preciso, utilizar canudos de papel ou outro recurso para que os estudantes possam experenciar a congruência dos ângulos opostos pelo vértice por meio de sobreposições.

Explicar a eles que é possível mostrar, por meio de cálculos, que os ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Se preciso, retomar o conceito de ângulos suplementares e verificar se os estudantes percebem que a medida m é igual nas duas representações e que, como m + x e m + y, ambas, resultam em 180°, podemos escrever m + + x = m + y e, portanto, x = y.

Na figura, estão destacados os ângulos A ˆ OB , BOC, COD e A OD. Nela, temos:

• OA e OC são semirretas opostas.

• OB e OD são semirretas opostas.

Portanto, OA e OB, que formam os lados de A OB , são semirretas opostas, respectivamente, às semirretas OC e OD, que formam os lados de COD Nesse caso, podemos afirmar também que os lados de A ˆ OB são formados pelos prolongamentos dos lados de C ˆ OD, e vice-versa.

A esses dois ângulos (A ˆ OB e C ˆ OD) damos o nome de ângulos opostos pelo vértice Analisando a figura, verificamos que A ˆ OD e B ˆ OC também são opostos pelo vértice.

Dois ângulos são chamados de opostos pelo vértice (abreviamos o.p.v.) quando os lados de um deles forem semirretas opostas aos lados do outro, e vice-versa.

Uma propriedade dos ângulos opostos pelo vértice

Na figura, A ˆ OD e B ˆ OC são ângulos opostos pelo vértice.

Consideremos:

x = med B ˆ OC ()

y = med A ˆ OD ()

m = med A OB ()

AMPLIANDO

Atividade complementar

Determine as medidas

• Como AÔB e AÔD são adjacentes suplementares:

m + y = 180° 1

• Comparando 1 e 2 , temos:

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• Como AÔB e BÔC são adjacentes suplementares:

m + x = 180° 2

Resolução da atividade

• d = 100° (ângulos opostos pelo vértice)

• a + d + 40° = 180° h a + 100° + 40° = 180° h a = 40°

• b = 40° (ângulos opostos pelo vértice)

• c = 40° (ângulos opostos pelo vértice)

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

Observe algumas aplicações dessa propriedade.

1 Determinar os valores de x e y na figura seguinte.

x = 30° ângulos o.p.v.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

x

y 30°

y + 30° = 180° ângulos adjacentes suplementares

y = 180° 30°

y = 150°

2 Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em grau, expressas por x + 50 ° e 2x 30°. Qual é o valor de x?

x + 50° = 2x 30° ângulos o.p.v.

x 2x = 30° 50°

x = 80°

x = 80°

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Determine os valores de x, y, a e b em cada figura.

2. Calcule o valor de x e a medida dos ângulos destacados a seguir.

As atividades desse bloco exploram as definições de retas paralelas, concorrentes e perpendiculares, bem como o conceito e a propriedade de ângulos opostos pelo vértice. No estudo com ângulos, verificar as dificuldades que os estudantes ainda apresentam em relação à resolução de equações, instrumento para obter as medidas de ângulos desconhecidos usando as propriedades estudadas sobre esse tema. Desenvolver resoluções coletivas, propondo a alguns estudantes que façam seus registros na lousa, enquanto o restante da turma descreve o que é exposto.

A atividade 2 é resolvida por meio de uma equação do 1o grau. Se considerar necessário, retomar como é feita a resolução de uma equação do 1o grau.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos determinados por retas paralelas cortadas por uma transversal

Nessa página, o objetivo é que os estudantes identifiquem e estabeleçam relações entre ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Inicialmente, são apresentadas duas retas quaisquer cortadas por uma transversal para identificar os ângulos correspondentes.

Nas páginas seguintes, serão apresentadas as relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal: ângulos correspondentes, ângulos alternos e ângulos colaterais.

Pense e responda

O objetivo dessa seção é levar os estudantes a identificar a posição de ângulos nas diferentes regiões formadas por duas retas cortadas por uma terceira, transversal às duas primeiras.

Uma vez compreendida as regiões formadas por duas retas cortadas por uma transversal, definir ângulos correspondentes como pares de ângulos que não são adjacentes e que estejam situados do mesmo lado da reta transversal, porém um deve estar na região interna e o outro, na região externa.

ÂNGULOS DETERMINADOS POR RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL

Na figura, as três retas (t, r e s) pertencem a um mesmo plano. A reta t corta a reta r no ponto P e a reta s no ponto Q

A reta t forma oito ângulos com as retas r e s, sendo quatro com vértices em P e quatro com vértices em Q

• ângulos com vértices em P : ˆ a, ˆ b, ˆ c e ˆ d;

• ângulos com vértices em Q: ˆ e , ˆ f , g e ˆ h

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

1. Observando a figura anterior, indique:

região externa às retas r e s

região externa às retas r e s

P Q

t a b c d e f g h

a) os quatro ângulos que pertencem à região interna às retas r e s;

b) os quatro ângulos que pertencem à região externa às retas r e s;

c) os ângulos que estão do mesmo lado em relação à reta t ;

c , ˆ d , e e ˆ f a , ˆ b , g e ˆ h

ˆ a , d, ˆ e e h; b , ˆ c , f e ˆ g

r s

região interna às retas r e s

d) os pares de ângulos, um na região externa com vértice em P, e o outro na região interna com vértice em Q;

a e e ; ˆ b e f ; a e f ; ˆ b e e

e) os pares de ângulos, um na região interna com vértice em P, e o outro na região externa com vértice em Q

ˆ c e ˆ g ; d e h ; ˆ c e h; d e ˆ g

A reta t, concorrente à reta r no ponto P e concorrente à reta s no ponto Q, é chamada de reta transversal a r e s Vamos conhecer algumas relações entre os ângulos formados por essas retas.

Ângulos correspondentes

Ângulos correspondentes são pares de ângulos não adjacentes, situados em um mesmo lado da reta transversal t : um na região interna e o outro na região externa às retas r e s ILUSTRAÇÕES: EDITORIA

correspondentes. b e f são correspondentes. c e g são correspondentes. d e h são correspondentes.

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11:41

Podemos verificar de maneira prática que, se dois ângulos correspondentes forem congruentes, então as retas r e s serão paralelas (r ⁄ s). Acompanhe.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

1. Medimos os ângulos ˆ a e ˆ e e concluímos que têm a mesma medida.

2. Posicionamos a régua e alinhamos o esquadro à reta s

3. Deslizamos o esquadro sobre a régua até alinhar com a reta r e verificamos que r ⁄ s.

Se a reta transversal corta duas retas determinando ângulos correspondentes congruentes, então essas retas são paralelas ( ˆ a 2 ˆ e h r ⁄ s).

A recíproca também é verdadeira:

Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos correspondentes congruentes

t s e

a r s

r // s h a ˆ 2 e ˆ

r

b ˆ e f ˆ são correspondentes.

r // s h b ˆ 2 f ˆ

t g

Se possível, propor aos estudantes que, usando régua, compasso e transferidor, reproduzam no caderno a construção discutida no topo da página. Verificar se os estudantes compreenderam que, se as retas cortadas pela transversal formam ângulos correspondentes congruentes, então as retas são paralelas. Em outras palavras, somente quando as retas cortadas por uma transversal são paralelas é que os ângulos correspondentes serão congruentes. Explicar que os ângulos correspondentes destacados na página 176 do Livro do estudante não são congruentes entre si, pois as retas cortadas pela transversal não são paralelas.

c

t b f r s

t d h a ˆ e e ˆ são correspondentes.

c ˆ e g ˆ são correspondentes.

r // s h c ˆ 2 g ˆ

Usaremos essa propriedade para resolver a situação a seguir.

Na figura, temos r ⁄ s. Vamos determinar as medidas a e b

t 50°

d ˆ e h ˆ são correspondentes.

r // s h d 2 h

r s

r

a b s

Como r ⁄ s, então a = 50° (ângulos correspondentes).

Como a e b são suplementares, temos:

a + b = 180°

50°+ b = 180°

b = 130°

Então, a = 50° e b = 130° 177

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19/08/22 16:27

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Verificar se os estudantes compreendem que os termos alternos e colaterais estão relacionados à posição de pares de ângulos não adjacentes em relação à reta transversal. No caso dos ângulos alternos, eles estão posicionados em lados opostos em relação à reta transversal, já os ângulos colaterais estão localizados do mesmo lado da reta transversal. Uma vez compreendida essa diferença entre os ângulos alternos e colaterais, trabalhar a classificação de ângulos alternos e de ângulos colaterais de acordo com a posição deles em relação às retas: se estão na região interna – alternos internos ou colaterais internos – ou se estão na região externa – alternos externos ou colaterais externos.

Explicar para os estudantes que mais adiante eles vão investigar as relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal e, portanto, devem reconhecer os ângulos correspondentes, bem como os ângulos alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos nesse tipo de representação.

Ângulos alternos

Ângulos alternos são pares de ângulos não adjacentes que estão em lados opostos em relação à reta transversal.

• ˆ c e ˆ e estão em lados opostos em relação à reta transversal t e na região determinada entre as retas r e s (região interna).

ˆ c e ˆ e são ângulos alternos internos

• ˆ d e ˆ f estão em lados opostos em relação à reta transversal  t e na região determinada entre as retas r e s

ˆ d e ˆ f são ângulos alternos internos

• a e g estão em lados opostos em relação à reta transversal  t e na região externa às retas r e s a e g são ângulos alternos externos

• ˆ b e ˆ h estão em lados opostos em relação à reta transversal  t e na região externa às retas r e s ˆ b e ˆ h são ângulos alternos externos

Ângulos colaterais

Ângulos colaterais são pares de ângulos não adjacentes localizados no mesmo lado da reta transversal.

• ˆ c e ˆ f estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região interna às retas r e s c e ˆ f são ângulos colaterais internos

• d e e estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região interna às retas r e s ˆ d e ˆ e são ângulos colaterais internos

• ˆ a e ˆ h estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s a e ˆ h são ângulos colaterais externos

• b e g estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s b e ˆ g são ângulos colaterais externos

Na seção Tecnologias, a seguir, vamos fazer algumas investigações utilizando o GeoGebra e estudar algumas propriedades dos ângulos alternos e dos ângulos colaterais.

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Solicitar aos estudantes que tracem no caderno duas retas paralelas cortadas por uma transversal e que meçam os oito ângulos formados. Em seguida, pedir que identifiquem:

a) quais são os pares de ângulos correspondentes e verifiquem se esses pares têm medidas iguais;

b) quais são os pares de ângulos alternos internos e os pares de ângulos alternos externos e verifiquem se cada par é formado por ângulos congruentes;

c) quais são os pares de ângulos colaterais internos e os pares de ângulos colaterais externos e verifiquem se cada par é formado por ângulos suplementares. Respostas pessoais.

TECNOLOGIAS

INVESTIGANDO ÂNGULOS ALTERNOS E ÂNGULOS COLATERAIS

Nesta seção, utilizaremos o software gratuito GeoGebra para investigar algumas propriedades dos ângulos alternos (internos e externos) e dos ângulos colaterais (internos e externos) quando as retas que cortam a transversal são paralelas entre si.

Acesse o GeoGebra on-line em https://www.geogebra.org/classic?lang=pt (acesso em: 24 jun. 2022) e acompanhe as instruções a seguir.

1 Abra o programa e, com o botão direito do mouse, oculte os eixos e a malha. Para isso, clique no símbolo do botão Exibir Eixos e na opção “Sem Malha” do botão Exibir Malha

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Auxiliar os estudantes nas dificuldades que possam surgir com a manipulação das ferramentas do software. Por exemplo, diga a eles que, dependendo da ferramenta utilizada, a ordem dos cliques pode alterar as configurações. Destacar ainda que, dependendo da ordem de construção, os nomes das retas e dos pontos podem ser diferentes dos apresentados no Livro do estudante. Os nomes foram colocados para auxiliar na identificação dos objetos na figura apresentada.

No passo 5, tendo como referência a construção do Livro do estudante, foi necessário criar os pontos auxiliares F, G e H para poder construir todos os ângulos.

2 Agora, vamos construir duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Para isso, com a ferramenta Reta, selecione dois pontos quaisquer no plano e construa uma reta f que passa por esses pontos.

3 Em seguida, com a ferramenta Reta Paralela, trace uma reta g paralela à reta f já construída passando por um ponto qualquer fora de f. Já temos as duas paralelas.

4 Para construir a transversal, novamente com a ferramenta Reta, escolha dois pontos, cada um pertencente a uma das retas paralelas f e g

5 Por fim, com a ferramenta Ângulo, selecione os pontos D, E e B, nessa ordem, e construa o ângulo D ˆ EB. Repita esse procedimento para construir todos os ângulos formados pelas retas paralelas cortadas pela transversal com vértice nos pontos D e E, como mostra a imagem da próxima página. Para isso, será necessário construir alguns pontos auxiliares com a ferramenta Ponto

Para auxiliar na visualização, é possível mover os objetos, como os valores dos ângulos, para que não fiquem sobrepostos. Para isso, basta clicar e arrastar para o local desejado dentro do campo permitido.

Para construir um ângulo com a ferramenta Ângulo, é preciso clicar nos pontos em ordem, de modo que o ponto do meio seja o vértice do ângulo. O ângulo considerado é sempre no sentido anti-horário.

SAIBA QUE 179

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REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Também é possível alterar as informações que aparecem sobre cada objeto. Por exemplo, para mostrar apenas o valor do ângulo, clicar com o botão direito do mouse sobre esse valor e depois em Configurações. Na janela aberta, em Exibir Rótulo, escolha a opção Valor. Além dessas, o GeoGebra permite uma série de personalizações e alterações, como cores, tamanho de fonte e quantidade de casas decimais para arredondamento. É possível alterar as cores dos objetos no menu Configurações de cada objeto indicado anteriormente e o tamanho da fonte e as casas decimais nas Configurações gerais do programa, nos três tracinhos no canto superior direito da tela.

Após finalizar a construção, caso deseje, os pontos que não são os vértices dos ângulos construídos podem ser ocultados para facilitar a visualização.

Como se trata de uma construção envolvendo retas paralelas, o movimento dos vértices preserva as propriedades apresentadas na teoria desse capítulo.

1. Identifique na construção dois ângulos:

a) correspondentes;

b) alternos internos;

c) alternos externos;

B ˆ EF e H ˆ DF A ˆ EG e H ˆ DF AEF e GDH

Respostas pessoais. As respostas dependem das construções dos estudantes. Utilizando a construção feita na seção, alguns exemplos de resposta são:

d) colaterais internos;

e) colaterais externos

AEG e CDF

A ˆ EF e C ˆ DG .

2. Na construção anterior, você pode ocultar todos os ângulos que não são alternos internos. Para isso, na Janela de Álgebra, clique sobre o círculo no canto esquerdo da expressão que indica o objeto que se quer ocultar. Repita esse procedimento de modo que fiquem representados apenas os ângulos alternos internos. Você vai obter uma representação como a seguinte.

AMPLIANDO

Link

FRISKE, Andréia Luisa et al Minicurso de GeoGebra. Minicurso (Programa de Educação Tutorial –Matemática) – Centro de Ciências Naturais e Exatas, Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, 2016. Disponível em: https://www.ufsm.br/app/uploads/sites/783/2020/02/Apostila_GeoGebra.pdf. Acesso em: 16 ago. 2022.

O texto traz explicações sobre a barra de ferramentas do GeoGebra, bem como o descritivo e as construções geométricas que podem ser utilizadas com os estudantes.

2. c) Sim, os ângulos alternos internos continuam congruentes, e a soma das medidas dos ângulos colaterais internos continua sendo 180°

a) Comparando as medidas dos ângulos alternos internos, o que é possível verificar?

Os ângulos alternos internos são congruentes.

b) Agora, nessa mesma representação, observe os pares de ângulos colaterais internos. Adicionando as medidas dos ângulos colaterais internos, o que é possível observar?

A soma das medidas dos ângulos colaterais internos é 180°

c) Mova a reta transversal de tal maneira que os ângulos determinados se alterem. As conclusões observadas nos itens anteriores se mantiveram?

3. Retome a construção inicial, reexibindo todos os ângulos representados, e proceda da mesma maneira descrita no enunciado da atividade 2 para que fiquem representados apenas os ângulos alternos externos. Para reexibir os elementos, basta clicar novamente no círculo correspondente na Janela de Álgebra. Você vai obter uma representação como esta.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4. a) Não. Espera-se que os estudantes percebam que as conclusões sobre a congruência dos ângulos alternos (internos e externos) e que os ângulos colaterais (internos e externos) são suplementares são válidas apenas quando a reta transversal corta um par de retas paralelas.

Durante a realização das atividades propostas, incentive os estudantes a registrar as conclusões a que chegaram no caderno por meio de um esquema para fácil consulta. Mostrar um exemplo na lousa de como esse esquema pode ser elaborado ou construí-lo coletivamente com a turma.

Ao final de cada atividade, pedir aos estudantes que investiguem se as respostas seriam as mesmas caso as retas cortadas pela transversal não fossem paralelas. Espera-se que eles percebam que as conclusões são válidas apenas quando as retas são paralelas.

a) Compare as medidas dos ângulos alternos externos. O que é possível observar?

b) Agora, nessa mesma representação, observe os pares de ângulos colaterais externos. Adicionando as medidas dos ângulos colaterais externos, o que é possível observar?

c) Novamente, mova a reta transversal de tal maneira que os ângulos determinados se alterem. As conclusões observadas nos itens anteriores se mantiveram?

4. Considere as conclusões obtidas nas atividades 2 e 3 sobre os ângulos alternos (internos e externos) e sobre os ângulos colaterais (internos e externos) e faça o que se pede.

a) Elas seriam as mesmas se a reta transversal cortasse duas retas que não fossem paralelas? Explique suas hipóteses aos colegas e ao professor.

b) Faça construções no GeoGebra para confirmar suas hipóteses.

A soma das medidas dos ângulos colaterais externos é 180° Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Calcular o valor de x na figura, sabendo que r ⁄ s.

Resolução da atividade

Como os ângulos destacados são colaterais externos, eles são suplementares. Então, x + x _ 20° = 180° h 2x = 200° h h x = 100°.

3 a) Os ângulos alternos externos são congruentes.

3. c) Sim, os ângulos alternos externos continuam congruentes, e a soma das medidas dos ângulos colaterais externos continua sendo 180° .

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Sistematizar as conclusões obtidas com as investigações anteriores e apresentar as conclusões destacadas na página do Livro do estudante. Em seguida, explorar as atividades propostas para consolidar o estudo dos ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Atividades

Esse bloco de atividades explora todas as relações entre ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Pedir aos estudantes que se organizem em duplas, orientando-os a utilizar o Livro do estudante para encontrar as informações necessárias para nomear os pares de ângulos envolvidos nas atividades. O trabalho em duplas propicia melhores condições de realizar e refletir sobre as classificações apresentadas.

Reforçar a ideia de que as relações estabelecidas entre dois ângulos correspondentes (congruentes), alternos internos ou externos (congruentes em cada caso) e colaterais internos ou externos (suplementares em cada caso) são válidas somente quando as retas cortadas pela transversal são paralelas.

Em cada atividade, solicitar que os estudantes justifiquem a relação estabelecida pela identificação dos ângulos.

Em nossa investigação no GeoGebra, pudemos observar duas propriedades da Geometria relacionadas aos ângulos determinados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos alternos internos congruentes e ângulos alternos externos congruentes

Assim:

Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos colaterais internos suplementares e ângulos colaterais externos suplementares Assim:

= 180°

a + h = 180°

= 180°

Responda às questões no caderno.

1. Nas figuras a seguir, determine o valor de x, sabendo que r ⁄ s.

2. Nas figuras a seguir, determine o valor de a, sendo r ⁄ s.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3. Nesta figura, r ⁄ s. Calcule o valor de x + y + z. y

40° 60° x

7. Sabendo que m ⁄ n ⁄ t, determine a medida x + y na figura.

z

r s

4. Nas figuras a seguir, determine os valores de a, b e c, sendo r ⁄ s. Depois, explique como você chegou aos resultados.

a = 55°, b = 55° e c = 125°

180° Resposta pessoal.

a) 55° a b c rs

a = 75° , b = 40° e

c = 40°

8. Na figura a seguir, r ⁄ s ⁄ t. Nessas condições, determine a medida

b) r s c

b 40° a

9. Na figura a seguir, r ⁄ s. Determine a medida m

105°

5. Nas figuras a seguir, r ⁄ s ⁄ t. Determine as medidas desconhecidas indicadas.

s

a) b d r t

c e 130° 120°

a

a = 120°, b = 60°, c = 70°, d = 50° e = 50°

b) t

r e c b d a 135° 60°

s

10. Duas retas, r e s, cortadas por uma reta transversal t, formam ângulos alternos internos expressos, em grau, por 2m + 30 e 3m 20. Calcule m sabendo que as retas r e s são paralelas.

11. Na figura seguinte, a soma das medidas dos ângulos agudos é 192° . Sendo r ⁄ s, calcule os valores de x e y

6. Um dos ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal mede 55°. Determine as medidas dos oito ângulos formados entre essas retas paralelas e a reta transversal.

a = 45°, b = 60°, c = 135°, d = 75° e = 75° 55°, 55°, 55°, 55°, 125°, 125°, 125° e 125°

Espera-se com essas atividades que os estudantes utilizem adequadamente a nomenclatura de ângulos correspondentes, alternos e colaterais e consolidem as propriedades dos ângulos determinados por retas paralelas cortadas por uma transversal vistos anteriormente. Por exemplo, na atividade 4, para o item a, eles podem dizer que a = b, pois são ângulos correspondentes; a = 55°, pois são ângulos opostos pelo vértice; e a + c = 180°, pois são ângulos colaterais externos. Com essas informações, obtém-se os valores de a, b e c Para a etapa da correção, é possível solicitar aos estudantes que escrevam um texto explicando os raciocínios utilizados e depois troquem com os colegas para que um avalie a explicação do outro. Dessa maneira, trabalha-se a aprendizagem por pares, em que vão se ajudando mutuamente, com a mediação e intervenção do professor, sempre que necessário. Outra possibilidade é abrir uma roda de conversa, com a turma toda ou com os estudantes organizados em grupos, em que devem explicar oralmente seu raciocínio. Neste ponto, trabalha-se a argumentação oral e o letramento matemático, pois os estudantes devem utilizar os conceitos vistos em suas explicações. Também é um bom momento para desenvolver aspectos atitudinais, como o respeito ao outro, saber ouvir, esperar a sua vez para falar, entre outros.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

As atividades propostas nessa seção têm como objetivo levar os estudantes a reconhecer quando três segmentos de reta podem ou não formar um triângulo, criando condições para que eles compreendam a propriedade da condição de existência de um triângulo, contemplando aspectos da habilidade EF07MA24.

É fundamental que eles manipulem (de preferência em grupos) materiais como canudos, tiras de papelão, ou outros similares para executar as atividades propostas. Se necessário, utilizar outras medidas, além das sugeridas no Livro do estudante. Eles devem perceber a impossibilidade de construir triângulos em alguns casos. Com base nas observações dos estudantes, pode-se chegar à propriedade da condição de existência de um triângulo.

TRIÂNGULOS CAPÍTULO2

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

PENSE E RESPONDA

Cuidado ao manusear os percevejos para não se ferir. Esta atividade deve ser realizada sob supervisão de um adulto.

Dadas as medidas de três segmentos de reta, será que é sempre possível construir um triângulo? Para responder a essa pergunta, vamos realizar o experimento a seguir. Você vai precisar de régua, percevejos, placa de isopor, canudos de refresco e tesoura com pontas arredondadas.

1o passo: Corte um canudo com um pouco mais de 4 cm de comprimento. Depois, posicione os percevejos para marcar exatamente 4 cm no canudo.

2o passo: Faça o mesmo com outros três canudos, com as medidas de comprimento de 5 cm, 9 cm e 12 cm.

3o passo: Com os canudos do passo anterior e o auxílio dos percevejos, represente um triângulo sobre a placa de isopor.

Tente fazer o mesmo com os canudos de medidas de comprimento:

a) 4 cm, 9 cm e 12 cm (a medida do maior lado é menor do que a soma das medidas dos outros dois lados);

b) 4 cm, 5 cm e 9 cm (a medida do maior lado é igual à soma das medidas dos outros dois lados);

c) 4 cm, 5 cm e 12 cm (a medida do maior lado é maior do que a soma das medidas dos outros dois lados).

Houve casos em que não foi possível formar um triângulo? Quais? Sim; nos itens b e c.

De modo geral, temos:

Em qualquer triângulo, a medida de qualquer lado deve ser sempre menor do que a soma dos outros dois lados.

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IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

ILUSTRAÇÕES: MARCEL BORGES

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO

Vamos estudar uma relação entre as medidas dos ângulos internos de um triângulo por meio de um experimento. Acompanhe os passos a seguir.

1 Recorte em cartolina um triângulo ABC de qualquer tamanho e indique as medidas de seus ângulos internos como a, b e c

2 Corte o triângulo em três partes, cada uma contendo um dos ângulos internos.

3 Junte os três ângulos do triângulo, fazendo coincidir seus vértices, como na figura.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

Os ângulos com o mesmo vértice formaram um ângulo de meia-volta, cuja medida é 180°

Assim, a + b + c = 180°

Se você repetir a experiência com outros triângulos, confirmará que a soma das medidas dos seus ângulos internos sempre será 180°

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°

A seguir, acompanhe uma situação em que podemos aplicar essa relação. Calcular a medida x indicada na figura.

Se possível, reproduzir o experimento com a turma. Pode-se utilizar cartolina ou folha de papel sulfite. Incentive os estudantes a recortar diferentes triângulos e de tamanhos variados. Mostrar como juntar os três ângulos do triângulo unindo-os pelo vértice. Ao final, pergunte o que se pode afirmar sobre a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. É esperado que os estudantes concluam, com base no experimento que realizaram, que, ao juntar os ângulos do triângulo pelos vértices, se obtém o ângulo raso, o ângulo de 180°, ou seja, que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Discutir como esse resultado pode auxiliá-los na resolução de problemas. Para isso, apresente o exemplo e incentive os estudantes a resolvê-lo. Em seguida, conversem sobre a resolução apresentada no Livro do estudante, comparando-a com as apresentadas pelos estudantes.

Como 75° , x e 2x são as medidas dos ângulos internos do * ABC, temos: 75°+ x + 2x = 180°

3x = 180° 75°

3x = 105° x = °105 3 h x = 35°

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FOTOGRAFIAS: DOTTA2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Essa seção visa levar os estudantes a verificar experimentalmente a rigidez na estrutura do triângulo. Realizar uma reflexão sobre a utilização dos triângulos no cotidiano, mais especificamente na área da construção civil (reforço e estabilidade de estruturas), trabalhando aspectos da habilidade EF07MA25.

Pedir aos estudantes que pesquisem exemplos do uso de triângulos como parte da estrutura de pontes, estádios e guindastes. Essas estruturas têm como principal característica suportar determinada carga. Discutir com eles o porquê de se usarem triângulos nessas estruturas.

Descubra mais

Após assistirem ao vídeo, se considerar pertinente, organizar uma experiência com palitos para que os estudantes testem a rigidez de diferentes polígonos. Para isso, se possível, acessar um vídeo divulgado pela OBMEP como referência para a atividade, disponível em: http://clubes.obmep. org.br/blog/video-062/. Acesso em: 8 ago. 2022.

3.Não. Espera-se que os estudantes percebam que o triângulo não muda o seu formato, independentemente do lado que é empurrado.

RIGIDEZ NA ESTRUTURA DOS TRIÂNGULOS

No dia a dia, é possível observar a presença de figuras que lembram triângulos em muitas construções. O triângulo faz parte da estrutura de pontes e telhados, por exemplo, e seu uso pode ser explicado porque é uma figura rígida.

PENSE E RESPONDA

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

Para entender a rigidez na estrutura dos triângulos, é possível construir, utilizando materiais simples, duas figuras diferentes: um triângulo e um quadrilátero. Para isso, você vai precisar de:

• 7 palitos de sorvete

• 7 percevejos ou tachinhas

Comece construindo um quadrilátero, utilizando 4 tachinhas para prender 4 palitos de sorvete. Depois, usando os outros palitos e as outras tachinhas, construa um triângulo, de modo a obter as seguintes construções.

ATENÇÃO

Cuidado ao manusear as tachinhas para não se ferir. Esta atividade deve ser realizada sob supervisão de um adulto.

empurre um dos vértices superiores, conforme a imagem a seguir.

Repita o mesmo procedimento com o triângulo.

Agora, apoie o quadrilátero sobre uma mesa ou uma superfície lisa; depois,

Responda às questões no caderno.

1. O que aconteceu quando você empurrou um dos vértices do quadrilátero?

2. A medida dos lados do quadrilátero se mantém, mesmo quando empurramos um dos lados?

Sim. Espera-se que os estudantes percebam que, mesmo podendo assumir diferentes formatos, a medida dos lados do quadrilátero não é alterada em momento algum.

3. O formato do triângulo mudou quando você empurrou um dos vértices?

Na investigação feita, pudemos concluir que o triângulo é uma figura rígida, ou seja, não se deforma, diferentemente de outras formas geométricas. Por isso, a estrutura triangular é muito utilizada em projetos arquitetônicos, móveis e objetos que necessitem de algum tipo de sustentação.

DESCUBRA MAIS

RIGIDEZ geométrica dos triângulos. 2018. Vídeo (7min02s). Publicado pelo canal Khan Academy Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=B2BXb15tFpk. Acesso em: 24 jun. 2022.

No vídeo são apresentados alguns exemplos que podem contribuir na compreensão da rigidez dos triângulos.

1.O quadrilátero se deformou. Espera-se que os estudantes percebam que o quadrilátero pode assumir diferentes formatos quando empurrado, ou seja, a figura sofre uma deformação.

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Propor aos estudantes que fotografem construções e objetos que tenham triângulos na sua estrutura. Organizar um painel com essas fotografias no mural da escola, explicando a característica da rigidez desse polígono em cada construção fotografada.

ILUSTRAÇÕES: MARCEL BORGES

ATIVIDADES

9 a) Sim, porque somente estruturas triangulares apresentam a propriedade da rigidez geométrica, ou seja, não sofrem deformações. O portão é feito de estruturas retangulares.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que podem ser colocadas ripas de madeira na diagonal das estruturas retangulares, formando triângulos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Responda às questões no caderno.

1. Leandro pretende construir um triângulo usando três varetas de madeira que medem 130 cm, 92 cm e 51 cm de comprimento. Leandro conseguirá construir um triângulo com essas varetas? Justifique sua resposta.

1. Sim, pois 130 cm , 92 cm + 51 cm, 92 cm , 130 cm + 51 cm e 51 cm , 130 cm + 92 cm. respectivamente, 3x, x + 15 e 75 x, então esse triângulo é a) escaleno.

b) retângulo e não isósceles.

c) retângulo e isósceles. d) isósceles e não retângulo.

2. Em um triângulo, o lado maior mede 35 cm e um dos dois lados menores mede 21 cm. Qual é a medida inteira mínima que o terceiro lado deve ter?

3. Os dois lados menores de um triângulo medem 22 cm e 37 cm. Qual é a medida inteira máxima que o maior lado desse triângulo deve ter?

15 cm 58 cm

4. Determine o valor de x nos triângulos a seguir.

a) x = 45°

b) x = 60°

5. Dois ângulos internos de certo triângulo medem 73 ° e 59 °. Qual é a medida do terceiro ângulo interno desse triângulo?

6. Um triângulo tem dois ângulos internos congruentes. O terceiro ângulo mede 68 °. Qual é a medida dos ângulos congruentes?

c) x = 59° 48° 56°

7. (UECE) Se as medidas, em graus, dos ângulos internos de um triângulo são,

Alternativa c. Alternativa a.

As atividades propostas nesse bloco exploram a condição de existência de um triângulo, as propriedades estudadas para os ângulos internos de um triângulo e a resolução de problemas com o conhecimento adquirido.

8. (UFAM) Os ângulos de um triângulo medidos em graus são:

3x 36; 2x + 10 e x + 20.

O maior ângulo mede:

a) 72° b) 57° c) 51° d) 90° e) 86°

9. Um marceneiro fez um portão como o desta figura.

Agora, responda.

a) A estrutura desse portão pode sofrer deformações? Por quê?

b) O que o marceneiro pode fazer para que o portão não sofra deformações?

10. Observe a imagem a seguir, da Ponte Hercílio Luz, em Florianópolis (SC), e identifique uma estrutura triangular nela.

Na atividade 2, discutir com os estudantes o significado de “medida inteira mínima”. Deixá-los expor oralmente o que entenderam. Fazer perguntas como: “O que é uma medida inteira?”, “O que significa medida mínima do terceiro lado?”. Espera-se que os estudantes percebam que medida inteira é a medida expressa por um número inteiro e que medida mínima é o menor valor possível que o comprimento do terceiro lado pode ter.

Ponte Hercílio Luz, em Florianópolis (SC), 2021.

• Pesquise uma estrutura triangular onde você mora, fotografe ou desenhe e apresente a sua escolha para a turma.

Resposta pessoal. Um exemplo de resposta está indicado na imagem. Resposta pessoal.

Na atividade 10, para apresentar as fotografias tiradas pelos estudantes, é possível montar uma apresentação e compartilhar com a turma utilizando um projetor, caso haja esse recurso disponível. Outra opção é fazer a impressão e montar uma exposição para ser apresentada para a turma e para a comunidade escolar. Com isso, espera-se que os estudantes reconheçam a rigidez da estrutura triangular e tenham a oportunidade de conhecer algum local da sua região, como uma ponte, um edifício ou uma escultura. Os estudantes também podem fotografar objetos que utilizam essa estrutura, como tripés de equipamentos eletrônicos, cadeiras, bancos etc.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ANGELA_MACARIO/ SHUTTERSTOCK.COM

EDU LYRA/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Medidas dos ângulos internos de um polígono regular

Retomar a definição de polígono regular e explicar aos estudantes que o objetivo do tópico é determinar a soma das medidas dos ângulos internos desse tipo de polígono, contemplando a habilidade EF07MA27.

Pedir aos estudantes que complementem o raciocínio apresentado no quadro a fim de obter a soma dos ângulos internos e a medida do ângulo interno para os polígonos regulares octógono (8 lados) e eneágono (9 lados).

• Octógono

O polígono regular tem 8 lados. Assim, é possível dividir o octógono regular em (8 2) triângulos, ou seja, em 6 triângulos. Logo, a soma das medidas dos ângulos internos do octógono regular é dada por:

Si = 6 180° = 1 080°

ai = 1 080° : 8 = 135°

• Eneágono

O polígono regular tem 9 lados. Assim, é possível dividir o eneágono regular em (9 2) triângulos, ou seja, em 7 triângulos. Logo, a soma das medidas dos ângulos internos do eneágono regular é dada por:

Si = 7 ? 180° = 1 260°

ai = 1 260° : 9 = 140°

Mostrar que, quando os números de lados de dois polígonos diferem de 1 unidade, as somas das medidas de seus ângulos internos diferem de 180°.

MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO REGULAR

Sabemos que nos polígonos regulares todos os ângulos internos são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. Com isso, podemos determinar a medida dos ângulos internos de um polígono regular sem a necessidade de medi-los com um transferidor.

Primeiro, determinamos a soma das medidas dos ângulos internos (Si) do polígono, decompondo-o em triângulos. Fazemos isso traçando as diagonais que partem de um único vértice do polígono.

Na figura, traçando duas diagonais, decompomos o pentágono em três triângulos.

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono, que foi decomposto em três  triângulos, é Si = 3 ? 180° = 540°

Esse procedimento pode ser utilizado para determinar a soma das medidas dos ângulos internos dos demais polígonos convexos (regulares e não regulares). Acompanhe alguns exemplos.

Nome Polígono Soma das medidas dos ângulos internos (Si )

Quadrado cada triângulo

2 180° = 360°

Pentágono regular cada triângulo

3 180° = 540°

Hexágono regular cada triângulo

4 180° = 720°

Heptágono regular cada triângulo

5 ? 180° = 900°

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Uma vez determinada a soma das medidas dos ângulos internos do polígono regular (Si), basta dividi-la pela quantidade de ângulos internos do polígono. Para o caso do pentágono, indicando por x a medida de um ângulo interno, temos:

x == ° S 5 540 5 i = 108°, ou seja, a medida de cada ângulo interno do pentágono regular é 108°

ÂNGULOS EXTERNOS

Os ângulos externos são aqueles formados por um lado do polígono e pelo prolongamento de um lado consecutivo a ele. Um ângulo interno e seu ângulo externo correspondente são adjacentes e suplementares. No triângulo ABC da figura:

• a, b e c , de medidas a, b e c, respectivamente, são ângulos internos;

• x , y e z, de medidas x, y e z, respectivamente, são ângulos externos.

Os ângulos ˆ a e ˆ z são adjacentes suplementares. O mesmo ocorre com os ângulos ˆ b e ˆ y e com os ângulos ˆ c e ˆ x

Podemos observar essa relação entre os ângulos interno e externo, de mesmo vértice, de um polígono, analisando um ladrilhamento como o desta imagem.

O lado BE é prolongamento do lado AB, ou seja, CBE é um ângulo externo do quadrado ABCD. No entanto, CBE é também um ângulo interno do quadrado BEFC, ou seja, sua medida é 90°

Como AB C é um ângulo interno do quadrado ABCD e sua medida é igual a 90° , os ângulos AB C e CB E são suplementares.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Em um polígono regular de n lados, ao traçar as diagonais que partem de um único vértice, obtemos (n 2) triângulos. Se em um polígono obtivemos seis triângulos, responda:

a) Quantos lados tem esse polígono? Qual é o nome dele?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos externos

Definir ângulo externo de um polígono e verificar se os estudantes percebem que em um mesmo vértice do polígono o ângulo interno e o ângulo externo são suplementares. Se considerar conveniente, propor aos estudantes que estudem a possibilidade de ladrilhamento do plano compondo dois polígonos regulares, por exemplo, triângulos equiláteros e quadrados. Eles podem usar um software de geometria dinâmica, como o GeoGebra, para fazer essa investigação.

EDITORIA

90°

90°

GLOSSÁRIO

b) Qual é a medida de seu ângulo interno e de seu ângulo externo?

2. Qual é o polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos é 1 620° ?

ILUSTRAÇÕES:

Discutir, como consequência da definição de ladrilhamento, que a soma das medidas dos ângulos em um mesmo vértice deve ser 360°. Explicar esse fato no vértice B da figura do Livro de estudante. Perguntar aos estudantes se é possível compor um ladrilhamento usando apenas triângulos equiláteros. Espera-se que eles respondam que sim e justifiquem a resposta usando o fato de que a medida dos ângulos internos de um triângulo equilátero é 60° e, com isso, é possível compor seis triângulos equilátero em um vértice, totalizando 360°.

Atividades

3. Como se chama o polígono regular cuja medida do ângulo interno é 150°? 8 lados; octógono.

Undecágono. Dodecágono.

Analisar as estratégias usadas pelos estudantes para resolver a atividade 2. Eles podem dividir 1 620° por 180° e somar 2 ao resultado obtido. Isso porque sempre é possível decompor o polígono de n lados em n 2 triângulos.

26/08/22 11:46

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Circunferência

Para explorar a relação entre o raio e o diâmetro de uma circunferência, propor aos estudantes que desenhem a representação de uma circunferência com o auxílio de um barbante, de acordo com os passos a seguir.

• Amarrar um lápis em uma extremidade de um barbante e, na outra extremidade, a 8 cm de distância, amarrar um pequeno prego ou percevejo.

• Espetar o prego ou percevejo em uma folha de papel branca afixada em uma placa de isopor ou papelão.

• Esticar o barbante e deslizar a ponta do lápis na folha de papel, traçando uma circunferência.

Sugerir aos estudantes que repitam várias vezes a mesma ação usando barbantes de comprimentos diferentes. Depois, pedir a eles que observem os diversos resultados e reflitam sobre a relação existente entre o diâmetro de cada circunferência traçada e o comprimento do barbante utilizado para traçá-la. Essa abordagem favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA22.

CIRCUNFERÊNCIA

Alguns artistas utilizam figuras que lembram circunferências em suas obras, como a artista brasileira Beatriz Milhazes (1960-). Na tela reproduzida nesta página, é possível observar uma composição de figuras que lembram circunferências e círculos, entre outras figuras geométricas.

Alguns objetos também nos dão a ideia de circunferência, como os mostrados nas imagens a seguir.

Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma distância de um ponto fixo desse plano. Esse ponto fixo é chamado de centro da circunferência.

Todo segmento de reta que une o centro a qualquer ponto da circunferência chama-se raio da circunferência. Por exemplo, na figura, os segmentos de reta OA , OB, OC, OD e OE são alguns raios da circunferência de centro no ponto O. Pela definição de circunferência, todos os raios têm a mesma medida, que indicamos por r Unindo dois pontos distintos da circunferência por um segmento de reta, obtemos uma corda. A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se diâmetro

Na figura, AB e BC são cordas da circunferência, e o segmento de reta AB é um diâmetro, pois une dois pontos distintos da circunferência, passando pelo centro. Além disso, OA e OB são raios da circunferência de medida r. Assim, a medida d do diâmetro da circunferência é igual ao dobro da medida do raio, ou seja:

d = 2r

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Bambolê.

Roda de bicicleta. Alianças.

PHOTKA/SHUTTERSTOCK.COM

MILHAZES, Beatriz. Sonho Tropical . 2017. Tinta acrílica sobre linho. 270 cm x 240,5 cm.

IUNEWIND/SHUTTERSTOCK.COM

KABARDINS PHOTO/ SHUTTERSTOCK.COM

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

BEATRIZ MILHAZES/ MANUEL ÁGUAS & PEPE SCHETTINO/ COLEÇÃO PARTICULAR

O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA E O NÚMERO p

PENSE E RESPONDA

Primeiro, pegue alguns objetos cilíndricos e circulares, como uma latinha de suco, um aro da roda de uma bicicleta, uma tampa de panela ou uma moeda, e faça o que se pede.

• Escolha um objeto, por exemplo, a latinha de suco, e use um barbante para contorná-lo, mas sem sobrepor o barbante.

• Marque a quantidade de barbante utilizada para contornar o objeto.

• Estique o barbante e meça o comprimento dele usando uma régua, como mostra a sequência de fotografias.

• Anote a medida obtida; a medida encontrada é a medida do comprimento da circunferência , que corresponde ao contorno do objeto.

• Repita esse procedimento para os demais objetos que você selecionou.

• Agora, use uma régua para determinar a medida aproximada do diâmetro de cada objeto do qual você mediu o comprimento da circunferência e anote as medidas encontradas.

• Por fim, para cada objeto, divida, com o auxílio de uma calculadora, a medida do comprimento da circunferência que corresponde ao contorno do objeto pela respectiva medida do diâmetro e anote o resultado obtido.

Responda à questão no caderno.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que os valores são números muito próximos e em torno de 3,1.

• Analisando o quociente entre a medida do comprimento da circunferência e a respectiva medida do diâmetro de cada objeto, o que você observa?

Como já estudamos, uma maneira de determinar o comprimento de uma circunferência é contorná-la, utilizando, por exemplo, um barbante e, em seguida, esticá-lo. A medida do comprimento do barbante esticado corresponde à medida do comprimento da respectiva circunferência.

Quando dividimos a medida C do comprimento da circunferência pela medida d de seu diâmetro, o resultado é sempre um número próximo de 3,14.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e reponda

Com antecedência, solicitar aos estudantes que providenciem objetos cilíndricos ou circulares, barbante, régua e calculadora para que eles possam descobrir, experimentalmente, o valor aproximado de p. Essa abordagem favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA33, além de trabalhar a investigação e a argumentação com base em conhecimentos matemáticos, contribuindo para o trabalho com a competência geral 7 e a competência específica 2 da área de Matemática.

Organizar a turma em grupos de quatro estudantes e solicitar que construam e completem um quadro como o modelo a seguir. Como exemplo, completamos com os valores da lata de suco dados no Livro do estudante.

Objeto Lata de suco Medida da circunferência (C) 220 mm Medida do diâmetro (d) 70 mm C d 3,14

SAIBA QUE

Esse fato pode ser verificado para qualquer circunferência, ou seja, dividindo-se a medida do comprimento de uma circunferência pela medida de seu diâmetro, obtém-se sempre o mesmo resultado. Esse resultado é um número muito importante em Matemática: o número pi, representado pela letra grega p Então:

me dida do comprime nto da  circunferência

me dida do diâme tro C d p= 3,14159265…

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Quando consideramos a circunferência e sua região interna, obtemos um círculo.

19/08/22 16:28

Caso deseje, para realizar os cálculos indicados nessa seção, é possível utilizar uma planilha eletrônica. Em uma coluna, podem ficar os valores do comprimento da circunferência correspondentes ao contorno dos objetos medidos; em outra, os valores do diâmetro dos objetos; e, em uma terceira, o cálculo da razão solicitada.

FOTOGRAFIAS: NEOIMAGEM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nesse bloco de atividades, os estudantes deverão identificar circunferências; reconhecer centro, raio, corda e diâmetro de uma circunferência; relacionar o diâmetro e o raio para determinar suas medidas.

Na atividade 2, é comum os estudantes confundirem a relação entre raio e diâmetro de uma circunferência. Caso isso ocorra, solicitar que tracem circunferências usando régua graduada e compasso, a partir de informações de medidas do raio ou do diâmetro, e que verifiquem, no momento da construção, qual deverá ser a medida da abertura do compasso.

O item a da atividade 8 pede aos estudantes que relacionem a medida do lado do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado.

Responda às questões no caderno.

1. (Anresc) Na figura, estão representadas uma circunferência de centro O e raio r e quatro pontos

5. Uma praça é circular e tem raio medindo 18,5 metros. Qual é a medida do diâmetro dessa praça?

6. Considere esta figura cujo segmento de reta AB é um diâmetro. Qual é a medida r do raio quando:

Alternativa b.

P, Q, M e N. Entre esses quatro pontos, o ÚNICO cuja distância ao centro é igual à medida do raio é o ponto:

a) P b) Q c) M d) N

2. (Anresc) No centro de uma cidade é construída uma praça circular com uma passarela central de 50 m de comprimento, como mostra a figura. O raio do círculo do contorno da praça é:

a) 25 m

b) 50 m

c) 100 m

d) 200 m

3. Considere a circun ferência da figura e responda.

a) Quais dos segmentos de reta r epresentados são raios?

b) Quais dos segmentos de reta representados são cordas?

c) Algum dos segmentos de reta representado é um diâmetro?

d) Você pode afirmar que os pontos A, O e B determinam um triângulo isósceles? Justifique a resposta.

4. Calcule a medida do diâmetro de uma circunferência quando o raio mede:

AMPLIANDO

Atividade complementar

a) med () AB = 57 cm?

b) med () AB = 11,6 cm?

7. Na figura, a medida do segmento de reta PB é 72 cm. Sabendo que PA mede 38 cm, determine a medida do raio da circunferência

8. Na figura, considere l a medida do lado do quadrado e r a medida do raio da circunferência e calcule o valor de:

a) l, quando r = 10,5 cm.

b) r, quando l= 61 cm

9. Um menino brinca com uma roda de 1 m de diâmetro. Use p1 3,14 e determine:

a) a medida do comprimento dessa roda;

b) a distância que essa roda percorre ao dar 1 volta; 3,14 m

c) a distância que essa roda percorre ao dar 100 voltas. 314 m

Considere que um objeto de formato circular, como um CD, é guardado em um recipiente que, de modo geral, tem formato quadrado. Se um CD tiver 6,5 cm de medida de raio, qual deverá ser a medida mínima do lado desse recipiente?

Resolução da atividade

13 cm, que corresponde à medida do diâmetro do CD.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

5 CONSTRUÇÃO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Para construir uma circunferência, podemos utilizar um compasso.

Determinamos a medida de abertura do compasso que corresponde ao raio da circunferência, usando uma régua para isso. Depois, colocamos a ponta-seca onde será o centro da circunferência e giramos a ponta com grafite traçando a circunferência.

A circunferência obtida nessa construção representa todos os pontos do plano que têm a seguinte propriedade: pontos do plano que estão à mesma distância de um ponto dado (centro da circunferência). Chamamos de lugar geométrico um conjunto de pontos que têm uma ou mais propriedades em comum. Por isso, dizemos que a circunferência é um lugar geométrico.

CONSTRUÇÃO DE UM TRIÂNGULO

Circunferência sendo traçada com compasso.

Com a ajuda de uma régua e um compasso, podemos construir triângulos conhecendo as medidas de seus três lados, desde que as medidas cumpram com a condição de existência do triângulo. Acompanhe o exemplo a seguir. Vamos construir um triângulo com medidas 4 cm, 3 cm e 2 cm.

1o passo: Usando uma régua graduada, traçamos um dos lados. Nesse caso, traçaremos AB de 4 cm de medida de comprimento.

A B 4 cm

2o passo: Com a ponta-seca do compasso em A e uma abertura igual à medida de um dos outros dois lados, traçamos uma circunferência. No caso, faremos uma circunferência de raio de 3 cm.

A B 4 cm

Construção de uma circunferência

Nesse tópico, é definido o lugar geométrico como um conjunto de pontos que têm uma ou mais propriedades em comum. Assim, definimos a circunferência como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado. Além disso, as circunferências são traçadas utilizando-se um compasso. Durante o traçado da circunferência, chamar a atenção para a abertura do compasso, relacionando-a ao comprimento do raio da circunferência.

Construção de um triângulo

Em seguida, apresentamos a construção da figura de um triângulo, utilizando régua e compasso, sendo conhecidas as medidas dos três lados. Verificar se os estudantes se recordam da condição de existência de um triângulo quanto à medida dos lados. Após a construção da figura de um triângulo, é interessante solicitar a eles que verifiquem a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Explorar também a justificativa da construção apresentada, usando a ideia da circunferência como lugar geométrico. Verificar se os estudantes percebem que o ponto C, intersecção das duas circunferências traçadas, está a 3 cm do ponto A e a 2 cm do ponto B, pois pertence às duas circunferências. O mesmo ocorre com o ponto D

Pense e responda

Incentivar os estudantes a realizar a construção do triângulo começando pelo segmento de reta de medida 3 cm ou de 2 cm para que possam observar o que ocorre com a construção do triângulo e compará-la com a proposta no Livro do estudante.

3o passo: Com a ponta-seca do compasso em B e uma abertura igual à medida do terceiro lado do triângulo, ou seja, 2 cm, traçamos outra circunferência e marcamos os pontos C e D de intersecção entre as duas circunferências.

4o passo: Traçamos os lados AC e BC e os lados AD e BD

Nessa construção:

• med () AB = 4 cm.

• AC e AD correspondem ao raio da primeira circunferência traçada.

Assim, med() AC = med () AD = 3 cm.

• BC e BD correspondem ao raio da segunda circunferência traçada.

Assim, med() BC = med () BD = 2 cm.

Portanto, obtemos dois triângulos com as medidas desejadas: o triângulo ABC e o triângulo ABD.

PENSE E RESPONDA

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE Responda no caderno.

Faria diferença na construção começar pelo segmento de medida 3 cm?

Não. Espera-se que os estudantes percebam que podem começar por qualquer segmento, que a sequência de passos se mantém, e o mesmo triângulo será obtido ao final. 194

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CONSTRUÇÃO DE UM POLÍGONO REGULAR

Utilizando régua e compasso, podemos construir um triângulo equilátero, conhecendo-se a medida de um dos lados, conforme descrito a seguir.

1o passo: Sabendo que a medida de um dos lados do triângulo é 2 cm, trace um segmento de reta com essa medida. Indicaremos esse segmento como AB

3o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto B e abertura igual à medida de AB, trace a circunferência e determine os pontos C e D, intersecções das circunferências.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Construção de um polígono regular

2o passo: Com a ponta-seca do compasso em A e abertura igual à medida de AB, trace uma circunferência.

4 o passo: trace os lados BC e AC, obtendo, assim, o triângulo equilátero ABC.

B

Se traçarmos os lados AD e BD, obteremos o triângulo ABD, também equilátero de lados medindo 2 cm. Podemos descrever esse processo utilizando o fluxograma a seguir.

Início: Traçar um segmento de reta AB correspondente à medida de um dos lados do triângulo.

Com o compasso, traçar uma circunferência com raio de mesma medida de AB e centro no ponto A

Com a ponta-seca do compasso em B e abertura de mesma medida de AB , traçar a circunferência e determinar um ponto de intersecção das circunferências (C ).

Incentivar os estudantes a justificar a construção do triângulo equilátero. Espera-se que eles percebam que o ponto C pertence as duas circunferências traçadas de raio de medida 2 cm. Com isso, o ponto C dista 2 cm do ponto B e 2 cm do ponto A. O mesmo ocorre com o ponto D Explorar o fluxograma apresentado na página do Livro do estudante e solicitar aos estudantes que construam um triângulo equilátero de lado medindo 5 cm, seguindo os passos do fluxograma. Essa abordagem favorece o pensamento computacional, além de trabalhar diferentes registros e linguagens para expressar a solução de um problema, desenvolvendo aspectos da competência específica 6 da área de Matemática.

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Fim: Traçar segmentos de reta unindo os pontos A e C e os pontos B e C , obtendo, assim, um triângulo equilátero.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nas atividades 3 e 4, os estudantes são desafiados a escrever um algoritmo, por meio de um fluxograma, descrevendo os passos para obter construções geométricas, desenvolvendo o pensamento computacional Para a realização dessas atividades, organizar a turma em pequenos grupos para que os estudantes possam testar e validar hipóteses, exercitando a investigação e a cooperação

Na atividade 5, os estudantes podem utilizar diversos materiais para fazer a releitura: materiais reciclados, tinta, papelão, cartolina, lápis de cor, canetas hidrográficas etc. Eles também podem optar por uma obra digital, utilizando softwares de desenho ou o próprio GeoGebra para a construção das circunferências, dos círculos e dos polígonos.

É possível fazer uma parceria com o componente curricular Arte para a execução da atividade e propor uma exposição dos trabalhos realizados para a comunidade escolar.

Responda às questões no caderno.

1. Usando régua e compasso, faça as construções a seguir

a) Uma circunferência de centro O e raio igual a 4 cm.

b) Uma circunferência de centro A e diâmetro igual a 5 cm.

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Rafael está projetando uma praça para um parque na cidade. O único pedido da prefeitura é que a praça tenha uma fonte. No projeto, Rafael usou figuras geométricas planas para representar o contorno da praça e o ponto F para indicar a posição da fonte. Das opções apresentadas, em qual delas todos os pontos do contorno da praça ficarão à mesma distância da fonte?

Na opção com o formato de circunferência.

3. Acompanhe a sequência de passos que Luciana escreveu para a construção de um quadrado de lados medindo 3 cm.

1o passo: Usando uma régua, trace um segmento de reta AB de 3 cm de medida. 2o passo: Com o auxílio de um esquadro, trace uma reta perpendicular a AB no ponto B e, com a régua, marque sobre a reta perpendicular o segmento de reta BC de medida 3 cm.

Faça a construção descrita por Luciana. Você obteve o quadrado desejado? Se não, complete a descrição da sequência de passos iniciada por Luciana e termine a construção do quadrado.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

4. Complete o fluxograma com os passos que estão faltando para a construção de um triângulo de lados medindo 3 cm, 4 cm e 5 cm.

Com o compasso, trace uma circunferência de raio de medida 4 cm com centro em B.

Marque um ponto de intersecção das circunferências e nomeie de C.

Com a ponta-seca do compasso no ponto A e abertura de 3 cm, trace uma circunferência.

5. Acesse o site oficial da artista Beatriz Milhazes, disponível em https://beatrizmilhazes. com/ (acesso em: 24 jun. 2022), escolha uma obra que tenha circunferências em sua composição e faça uma releitura da obra escolhida utilizando os materiais de sua preferência. Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

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Com a régua, trace os segmentos de reta AC e BC

Início: Usando uma régua, trace um segmento de reta AB de 5 cm.

Fim: O triângulo ABC está pronto.

POR TODA PARTE

DIREITOS DOS IDOSOS

O envelhecimento humano é um processo biológico, psicológico, social e cultural. Envelhecer é uma conquista, e essa fase deve ser vista com respeito.

após praticar atividade física.

De acordo com a Organização Mundial da Saúde (OMS), estima-se que a população idosa no mundo, com idade superior a 60 anos, chegará a 2 bilhões de pessoas, em 2050.

A cada dia, em todo o mundo, a quantidade de pessoas que chegam aos 60 anos aumenta. Segundo o IBGE, no Brasil, a expectativa de vida era de 76,8 anos em 2020.

O tempo de vida de uma pessoa está relacionado a diversos fatores, como genética, hábitos alimentares durante toda a sua vida, condições sanitárias individuais e coletivas, cultura, classe social a que pertence, hábito de praticar atividade física, entre outros.

No Brasil, desde 2003, vigora o Estatuto do Idoso (Lei no 10.741), que regulamenta os direitos assegurados a todas as pessoas do país que têm idade igual ou superior a 60 anos, com a finalidade de garantir a dignidade humana, abordando questões familiares, de saúde, discriminação e violência contra o idoso. A lei também prevê punições caso haja infrações às normas de proteção ao idoso e tipifica como crime a discriminação ou humilhação da pessoa idosa, ausência de socorro, abandono, exposição ao perigo, entre outros.

Elaborado com base em: ABDALA, Vítor. Expectativa de vida no Brasil sobre para 76,8 anos. Agência Brasil, Rio de Janeiro, 25 nov. 2021. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/geral/noticia/2021-11/expectativa-de-vida-no-brasil-sobe-para-768-anos.

EM 2030, Brasil terá a quinta população mais idosa do mundo. Jornal da USP, São Paulo, 16 out. 2019. Disponível em: https://jornal.usp.br/atualidades/em-2030-brasil-tera-a-quinta-populacao-mais-idosa-do-mundo/. BRASIL. Lei no 10.741, de 1o de outubro de 2003. Dispõe sobre o Estatuto do Idoso e dá outras providências. Brasília, DF: Casa Civil, 2003. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/2003/l10.741.htm. Acessos em: 24 jun. 2022. De acordo com as informações apresentadas, responda às questões no caderno.

1. Em seu entendimento, é importante existirem leis que asseguram os direitos dos idosos? Justifique sua resposta.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Você sabia que, de acordo com o Estatuto do Idoso, as pessoas com mais de 65 anos têm direito a utilizar o transporte público de forma gratuita? Você conhece outros direitos dos idosos? Se sim, quais?

Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3. Faça uma pesquisa sobre a expectativa de vida no estado onde você mora. Existe diferença entre expectativa de vida de homens e mulheres? Por quê?

4. Junte-se a um colega, e criem uma cartilha com informações que ajudem a sensibilizar a população sobre a importância de respeitar os direitos dos idosos. Se possível, distribuam alguns exemplares para os colegas de outras turmas ou para pessoas da comunidade em que vivem.

Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

3. Resposta pessoal. Sim. De acordo com especialistas, não há uma resposta definitiva para essa pergunta, mas existem algumas hipóteses que contribuem para uma explicação, entre elas está o fato de as mulheres cuidarem melhor da saúde.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Ler o texto com a turma e propor uma roda de conversa para que os estudantes possam contar um pouco da experiência deles com os familiares idosos. Esclarecer que a expectativa de vida é uma estimativa e verificar se compreendem o que esse número significa. Como a expectativa de vida dos brasileiros está aumentando com o passar dos anos, cada vez mais estamos convivendo com pessoas de várias gerações e precisamos respeitar as diferenças.

Comentar que hoje é comum observarmos placas em locais públicos de assento ou vaga reservada para idosos. Quando elas aparecem em estacionamento, é preciso apresentar um cartão que autoriza o uso da vaga. Medidas como essa visam à comodidade, evitando que pessoas idosas estacionem muito longe da entrada dos estabelecimentos.

Essa abordagem favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso e da interação entre os estudantes de maneira colaborativa, visando ao planejamento e ao desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e à busca de soluções para problemas, trabalhando aspectos da competência específica 8 da área de Matemática.

Grupo de idosos

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

O tema dessa seção é o gráfico de setores e sugerimos que ela seja realizada em duplas ou em grupos. A troca de ideias amplia a compreensão e enriquece o aprendizado.

Explorar com os estudantes os elementos que compõem esse tipo de gráfico: círculo dividido em setores que são associados às frequências de cada dado observado; legenda das cores utilizadas indicando a que dado observado se refere o setor de cada cor; valores correspondentes a cada setor (além do título e da fonte dos dados que todos os gráficos devem ter).

Explicitar que esse tipo de gráfico é utilizado para indicar dados que representam partes de um todo; por exemplo, no gráfico apresentado no Livro do estudante, pessoas de 18 anos ou mais que praticam o nível recomendado de atividade física no lazer. Cada setor, nesse caso, é associado a uma faixa etária, e o tamanho dos setores se relaciona com as frequências (quantidade de pessoas) proporcionalmente. Assim, a faixa etária com maior número de pessoas é representada pelo maior dos setores (o que ocupa a maior região do círculo).

Esclarecer também que há situações em que o gráfico de setores não é o adequado para se comunicarem as informações levantadas, como na situação em que se quer visualizar a tendência nos dados de determinada variável ao longo de um período.

O trabalho com essa seção desenvolve aspectos das habilidades EF07MA36 e EF07MA37.

INTERPRETANDO GRÁFICOS DE SETORES

O gráfico de setores é circular e mostra a frequência de cada um dos dados em relação ao todo considerado. É conveniente utilizar esse tipo de gráfico quando queremos organizar ou agrupar dados quantitativos e compará-los ao total.

Desse modo, o círculo representa o todo e é dividido em partes, que chamamos de setores circulares, de acordo com os dados que se quer representar, que podem estar na forma de porcentagem ou não.

Nesse tipo de gráfico, a soma de todos os dados sempre deve ser 100% ou igual ao total de dados, caso os dados não estejam representados na forma percentual.

Acompanhe o exemplo a seguir.

Pessoas de 18 anos ou mais que praticam o nível recomendado de atividade física no lazer – 2019

Pessoas de 18 anos ou mais que praticam o nível recomendado de atividade física no lazer – 2019

Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Tabela 4251 – Pessoas de 18 anos ou mais de idade que praticam o nível recomendado de atividade física no lazer, por grupo de idade e situação do domicílio. Pesquisa Nacional de Saúde. Rio de Janeiro, 2019. Disponível em: https:// www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/ saude/9160-pesquisa-nacional-de-saude. html?edicao 29270&t resultados. Acesso em: 24 jun. 2022.

Esse gráfico apresenta a distribuição por faixa etária do total de pessoas com mais de 18 anos que praticam o nível recomendado de atividade física no lazer (fora do ambiente escolar ou do trabalho), segundo dados da Pesquisa Nacional de Saúde, realizada pelo IBGE em 2019.

É comum as pessoas acharem que praticar atividade física e praticar esportes são a mesma coisa, mas esses dois termos não são sinônimos. Especialistas explicam que existem diferenças entre eles. Praticar atividade física é o mesmo que movimentar-se voluntariamente aumentando o gasto energético do organismo, por exemplo, fazer caminhada, dançar ou pedalar. Já a prática esportiva tem a ver com uma rotina organizada que segue regras e é realizada com o objetivo de competir.

Estudos mostram que a prática regular de atividade física, aliada a bons hábitos alimentares, pode contribuir para melhorar a qualidade de vida e auxiliar na prevenção de diversos problemas de saúde, como diabetes, aumento da pressão arterial e infarto do miocárdio. Além disso, a prática da atividade física regular contribui para o controle do estresse e diminui a ansiedade, entre outros fatores associados à saúde mental e ao bem-estar.

Responda às questões no caderno.

1. Você costuma praticar alguma atividade física? Com que frequência?

Resposta pessoal.

2. De acordo com o gráfico, que faixa etária apresentou o maior percentual em relação ao total de pessoas que praticam o nível recomendado de atividade física?

De 25 a 39 anos.

3. Faça uma pesquisa com um grupo de estudantes da escola em que você estuda para saber a atividade física preferida deles e a frequência com que costumam praticá-la. Para facilitar a coleta de dados, é interessante listar algumas atividades e solicitar aos entrevistados que escolham apenas uma opção. Acompanhe um exemplo para organizar os dados coletados sobre a atividade preferida

3. d) Sim. Porque é possível comparar a frequência de estudantes por atividade física escolhida em relação ao total de estudantes entrevistados, pois cada estudante escolheu apenas uma atividade. Essa comparação pode ser feita em valores absolutos ou em porcentagem, de modo que a soma dos dados seja igual ao total.

Atividade física preferida dos estudantes

Atividade física Quantidade de estudantes

Basquetebol

Futebol

Natação

Voleibol

Handebol

Outras

Após realizar a pesquisa, responda.

a) Quantos estudantes foram entrevistados?

b) Que atividade física recebeu menos votos?

c) Que atividade física recebeu mais votos?

Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal.

d) O gráfico de setores é adequado para representar quantos estudantes praticam cada tipo de atividade física? Por quê?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Diferenciar a prática de atividade física da prática de esportes. Para isso, pedir aos estudantes que destaquem no texto o trecho em que essa diferença está explicada. Pedir também que deem exemplos de prática de atividade física e de esportes. Essa abordagem favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Saúde

Na questão 3, organizar a turma em grupos de três ou quatro estudantes para realizar a pesquisa solicitada. Cada grupo pode realizar a pesquisa com uma turma diferente da escola e responder às perguntas propostas. Ao final, convidar cada grupo para apresentar os resultados da pesquisa para a turma.

11:53

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ADRIANO KIRIHARA/ PULSAR IMAGENS

Crianças e jovens praticando atividade física. Presidente Prudente (SP), 2019.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

As atividades dessa seção podem ser usadas como avaliação de processo. Antes de iniciar a resolução, pedir aos estudantes que façam um resumo dos principais conceitos estudados na Unidade. Se necessário, eles podem consultar o Livro do estudante. Depois, solicitar a eles que citem os principais tópicos estudados e anotar na lousa, de modo que as ideias principais também fiquem expostas. Em seguida, pedir que resolvam as atividades.

Enfatizar a necessidade de resolverem as atividades individualmente, buscando informações de maneira autônoma, escolhendo suas fontes para chegar aos resultados. Conversar com eles sobre seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado.

Espera-se consolidar os conhecimentos dos estudantes construídos na Unidade. Sugerir que refaçam algumas atividades anteriores dos assuntos que surgirem dúvidas e ressaltar tais temas durante a correção. Pode-se fazer a correção coletivamente, retomando explicações na lousa, quando considerar necessário. Dar oportunidade para os estudantes mostrarem como pensaram para resolver as questões, esclarecendo as dúvidas dos colegas.

Nesse momento, incentivar o uso do cálculo mental, do transferidor, de desenhos, de descrição oral e de estratégias para que os estudantes diversifiquem os procedimentos de resolução das questões.

RETOMANDO APRENDEU O QUE

Responda às questões no caderno.

1. A figura a seguir é um retângulo no qual foi traçada a diagonal AC

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

32

, então a é igual a:

Alternativa a.

2. Na figura a seguir, r e s são retas paralelas. r s 135° x + 2x 1 2

Determine o valor de x.

42°

90° 125° x y

127°

a) 35° b) 36° c) 37° d) 38° e) 39°

8. Determine a medida dos ângulos internos dos seguintes polígonos regulares.

a) Triângulo

b) Eneágono

c) Pentadecágono

3x 11°

Determine o valor de y

3. As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela reta transversal t. r t s

90°

x 18° 140°

Na atividade 9, caso os estudantes não se lembrem de como verificar a possibilidade de construção de um triângulo dados as medidas dos lados, retomar com eles a condição de existência de um triângulo: a medida de qualquer lado do triângulo deve ser sempre menor que

A B 4 cm 20° 137° Alternativa c. 60° 140° 156°

9. Escreva três números naturais e entregue-os a um colega para ele verificar a possibilidade da construção de um triângulo cujas medidas dos lados são os números escritos por você.

a soma das medidas dos outros dois lados. Por exemplo, é possível construir um triângulo de lados medindo 3 cm, 4 cm, 5 cm, pois 3 , 4 + + 5; 4 , 3 + 5 e 5 , 3 + 4. Mas não é possível construir um triângulo com lados medindo 1 cm, 2 cm, 10 cm, pois 10 . 1 + 2.

Início: Desenhei uma circunferência com centro em A e raio igual à medida de AB

Tracei segmentos de reta unindo os pontos A e D e unindo os pontos B e D para obter o triângulo.

Não.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fim: Pronto! Construí o triângulo desejado.

Na atividade 11, retomar o conceito de circunferência como lugar geométrico e como podemos aplicá-lo para determinar a localização do ginásio poliesportivo.

medida de AB

Determinei os pontos de intersecção das duas circunferências (C e D).

Sim.

Escolhi o ponto C para traçar o triângulo?

Tracei segmentos de reta unindo os pontos A e C e unindo os pontos B e C para obter o triângulo.

Execute os passos do fluxograma e verifique se Larissa obteve o triângulo pedido pela professora.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Sim, Larissa obteve um triângulo equilátero de lados medindo 4 cm.

11. Deseja-se construir um ginásio poliesportivo que fique a 150 metros do posto de saúde e a 100 metros da escola.

Posto de saúde

UM NOVO OLHAR

Escola

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Explique como podemos proceder a fim de encontrar o local para a construção do ginásio que atenda a essas condições.

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO.

Quando a soma das medidas deles é 90°. Quando a soma das medidas deles é 180° .

Nesta Unidade, estudamos ângulos, retomamos o uso do transferidor e estudamos o que são ângulos congruentes, ângulos adjacentes, ângulos complementares, ângulos suplementares e ângulos opostos pelo vértice.

Definimos ângulos correspondentes, alternos internos e externos e colaterais internos e externos e estudamos as relações entre esses ângulos quando temos retas paralelas cortadas por uma transversal.

Estudamos, ainda, ângulos internos e externos de triângulos e polígonos regulares e a circunferência, bem como a construção de triângulos, da circunferência e do quadrado usando instrumentos de desenho.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Quando dois ângulos são complementares? E suplementares?

• Quando três segmentos de retas de medidas a, b e c formam um triângulo?

• Qual é a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer? 180°

• Como podemos calcular a medida de um ângulo interno de um polígono regular?

• Como determinamos a medida do diâmetro de uma circunferência conhecendo a medida do raio? A medida do diâmetro corresponde ao dobro da medida do raio da circunferência.

Quando a medida de qualquer um dos segmentos de reta for menor do que a soma das medidas dos outros dois. Dividindo a soma das medidas dos ângulos internos pela quantidade de ângulos internos.

Um novo olhar

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir reflexões sobre as aprendizagens individuais, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa maneira, possam perceber o que aprenderam, as dúvidas que ainda tenham e retomar alguns pontos que julguem necessários. Ajudá-los, caso isso ocorra.

A primeira questão retoma os conceitos de ângulos complementares e ângulos suplementares. A segunda e a terceira questão abordam a condição de existência de um triângulo e a soma das medidas de seus ângulos internos. A quarta questão retoma como obter a medida do ângulo interno de um polígono regular conhecendo a soma das medidas de seus ângulos internos. A última questão possibilita aos estudantes que retomem os conceitos de diâmetro e raio de uma circunferência e a relação entre suas medidas.

Observe o fluxograma que Larissa escreveu.

Desenhei outra circunferência com centro em B e raio igual à

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas:

• 1, 2, 4, 6, 7 e 8

Habilidades:

Números

• EF07MA09

Álgebra

• EF07MA17

Grandezas e medidas

• EF07MA29

Probabilidade e estatística

• EF07MA37

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Educação Alimentar e Nutricional

• Educação Financeira

• Educação para o Trânsito

• Saúde

• Educação Ambiental

• Educação para o Consumo

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em três capítulos e apresenta os conteúdos por meio de exemplos e atividades diversificadas, traz seções que propiciam momentos que favorecem a reflexão e a argumentação e o uso de diferentes linguagens para expressar informações, contribuindo para despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e para favorecer diversas competências e Temas Contemporâneos Transversais. No primeiro capítulo é explorado o conceito de razão em diferentes situações, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade

EF07MA09. No segundo capítulo é feito o estudo das proporções, dos números proporcionais e das grandezas direta e inversamente proporcionais, favorecendo o desenvolvimento da habilidade

EF07MA17. No terceiro capítulo são exploradas as regras de três simples e compostas na resolução de diferentes problemas.

A argila é uma matéria-prima muito antiga, utilizada há muito tempo para a construção de edificações, utensílios do dia a dia, peças de artesanato, entre outros. Em algumas regiões do Brasil, a produção artesanal de peças como vasos de cerâmica é muito tradicional e faz parte da cultura local, passada de geração para geração.

É o caso do distrito de Maragogipinho, pertencente ao município de Aratuípe, na Bahia, conhecido como o maior centro cerâmico da América Latina por concentrar diversas olarias, nome dado aos locais de produção dos objetos em cerâmica.

Acompanhe a seguir as principais etapas da produção de vasos de cerâmica. Note que no processo artesanal realizado por um oleiro (artesão responsável por modelar o objeto) é criada peça a peça.

Os vasos são feitos em equipamentos chamados tornos. Em sua versão manual, são constituídos de uma roda, que é girada com os pés pelo artesão. Para iniciar o processo, a massa de barro é lançada no prato que está ligado ao torno por um eixo, e a velocidade é definida pelo oleiro.

OBJETIVOS

• Compreender o conceito de razão.

• Representar razão na forma de fração, na forma decimal e na forma percentual.

• Compreender o conceito de proporção.

Aos poucos, o vaso toma forma com a habilidade do oleiro. Como não há um molde para cada vaso, é necessário contar com a experiência e o olhar minucioso do oleiro para fazer modelos iguais. Em algumas fábricas maiores, há guias que ajudam a manter as medidas do objeto.

• Resolver problemas envolvendo números, ou grandezas, diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

• Resolver situações problema envolvendo regra de três simples e regra de três composta.

• Construir gráfico de setores.

Responda às questões no caderno.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• O que você poderia dizer sobre as características dessa produção em relação ao tempo de produção?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A produção pode ser demorada, já que requer habilidade do artesão.

• Que fatores você acredita que podem influenciar na quantidade de vasos produzidos por dia nesse processo?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A quantidade de vasos produzidos pode ser influenciada pela experiência do artesão e pelas condições climáticas, entre outros.

• O que pode acontecer com a quantidade de vasos produzidos se aumentarmos a quantidade de pessoas na produção?

A quantidade de vasos produzidos pode aumentar.

• Considerando que uma pessoa faça 10 vasos por dia, em quanto tempo duas pessoas, trabalhando no mesmo ritmo da primeira, farão os mesmos 10 vasos?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Aproveitar o tema da abertura da Unidade para investigar os conhecimentos dos estudantes a respeito da técnica de artesanato mostrada. Verificar se na região em que a escola está localizada há alguma olaria e, se achar conveniente, verificar com a direção da escola a possibilidade de realizar uma visita guiada para que os estudantes vejam de perto o processo de produção dos objetos em cerâmica e conheçam mais a respeito da produção artística e cultural da região.

Mais informações sobre a produção cerâmica do distrito de Maragogipinho pode ser obtida em:

Depois da primeira secagem, é feito o brunimento, que é uma espécie de polimento realizado para retirar as imperfeições da superfície. Em seguida, as peças vão para um forno de alta temperatura (como o da fotografia ao lado) para a queima, processo que torna o vaso resistente e pronto para ser utilizado no dia a dia.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Esta Unidade apresenta os conceitos de razão, proporção, grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais e regra de três; conteúdos cujo estudo se justifica por sua aplicação em uma grande variedade de situações e problemas com os quais os estudantes podem se deparar, como é o caso do cálculo do ângulo

Depois de esfriarem, os vasos podem receber pintura, acabamento ou ser mantidos em sua cor natural. Em um dia de trabalho, um oleiro pode ter feito muitos vasos.

central dos setores, na seção Tratamento da informação

Já a construção de gráficos de setores, assim como a construção de outros gráficos estatísticos, se justifica por sua utilidade para a representação de dados, além de contribuir para a leitura e interpretação de informações apresentadas na internet, em revistas, jornais e outros meios de comunicação.

• CONHEÇA a cidade que mantém viva a tradição de transformar barro em arte. 2014. Vídeo (5min52s). Publicado pelo canal TV Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=EwD2CQCkJ7I (acesso em: 2 ago. 2022).

Comentar com os estudantes que algumas indústrias, para ganhar em produtividade, possuem máquinas que fazem o trabalho de modelar os vasos, mas apenas alguns objetos de modelos mais simples permitem esse tipo de produção. Mesmo nas fábricas maiores, os oleiros têm papel fundamental.

Conhecer o trabalho dos oleiros e reconhecer que fazem parte da construção cultural de regiões específicas do Brasil contribui para o desenvolvimento da competência geral 3. A respeito da quantidade de vasos que pode ser produzida em um dia, orientar os estudantes a perceber que no processo artesanal a velocidade do trabalho dependerá de algumas variáveis, como complexidade do vaso a ser confeccionado, velocidade da pessoa que o está fabricando, entre outras.

Com a forma já quase concluída, o artesão diminui o ritmo de rotação do torno e, ao finalizar, retira o prato com o vaso e o coloca para secar.

Em metade do dia.

CASSANDRA CURY/SHUTTERSTOCK.COM

DELFIM MARTINS/PULSAR IMAGENS

RUBENS CHAVES/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Razão

Neste capítulo o objetivo é levar os estudantes a aplicar o conceito de razão na resolução de problemas, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA09.

As situações desta página apresentam o conceito de razão entre números racionais. Solicitar aos estudantes que apresentem outros exemplos em que o conceito de razão pode ser utilizado. Verificar se eles identificam os termos de uma razão e seus respectivos nomes nas situações apresentadas.

Na situação 1, questionar os estudantes qual seria a razão entre a quantidade de saques errados por Cláudia e a quantidade total de saques feitos por ela.

Resposta: 1 10

Considere as situações a seguir.

1 Acompanhe o que aconteceu no treino de vôlei.

Ela está em um bom dia!

A cada 10 saques, Cláudia acertou 9…

Para comparar o número de saques que deram certo com o total de saques de Cláudia, podemos usar uma fração:

númerodesa que sc e rtos tota ldesa que s 9 10 =

Nesse caso, o número obtido mostra o rendimento de Cláudia nos saques.

2 Em um concurso, 240 candidatos disputam 120 vagas.

Vamos comparar esses dois números.

• Dividindo o número de candidatos pelo número de vagas:

240 : 120 = 240 120 2 1 = Dizemos que há 2 candidatos para cada vaga ou que a razão entre o número de candidatos e o número de vagas é de 2 para 1. ou

• Dividindo o número de vagas pelo número de candidatos:

120 : 240 = 120 240 1 2 = Dizemos que para cada vaga há 2 candidatos ou que a razão entre o número de vagas e o número de candidatos é de 1 para 2.

ILUSTRAÇÕES: LIMA

Nas duas situações apresentadas, comparamos dois números usando uma divisão. O quociente obtido é a razão entre esses dois números, tomados na ordem considerada.

Sendo a e b dois números racionais, com b 5 0, denomina-se razão entre a e b ou razão de a para b o quociente a b ou a : b.

A razão a b ou a : b pode ser lida de uma das seguintes maneiras:

razão de a para b ou a está para b ou a para b

Os termos de uma razão recebem nomes específicos: o primeiro número chama-se antecedente, e o segundo número, consequente a : b ou

a b

antecedente consequente

Responda no caderno.

antecedente consequente

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

As situações de receitas culinárias são propícias para desenvolver os conceitos de razão e de proporção (que serão vistos mais adiante). Se julgar necessário, explicar que o termo “rendimento” nesse contexto, indica o quanto de pudim é possível obter com a receita. Pode-se aproveitar o momento e discutir o significado desse termo em outras situações, como é o caso do rendimento alcançado em uma aplicação financeira de um capital.

1. O pudim de tapioca é um doce típico do Nordeste brasileiro e simples de fazer. Para um rendimento de 20 porções, a lista e a quantidade de ingredientes são:

• 500 g de farinha de tapioca

• 1 vidro de leite de coco

• 2 pacotes de coco ralado

• 1 litro de leite

• 2 xícaras (chá) de açúcar Com essas informações, responda.

a) Para um rendimento de 40 porções, qual é a quantidade necessária de:

• farinha de tapioca? 1 000 g ou 1 kg.

• leite de coco? 2 vidros.

• coco ralado? 4 pacotes.

• açúcar? 4 xícaras (chá).

b) Se uma pessoa tiver 1,5 kg (ou 1 500 g) de farinha de tapioca e quiser aproveitar tudo para fazer o pudim de tapioca, quantas porções ela vai obter? 60 porções.

c) Para ter um rendimento de 10 porções do pudim de tapioca, quantos gramas de farinha de tapioca serão necessários? 250 g

Esta seção pretende mobilizar a observação dos estudantes para aspectos presentes nas práticas sociais de modo a investigar e organizar informações, como as medidas de grandezas (massa, capacidade) para resolver problemas do cotidiano, favorecendo o desenvolvimento da competência específica 4 da área de Matemática.

No item a, os estudantes devem perceber que o rendimento esperado é o dobro do da receita original (40 porções é o dobro de 20 porções). Assim, devem dobrar as quantidades de todos os ingredientes.

No item b, espera-se que os estudantes percebam que 1,5 kg corresponde a 3 vezes a quantidade de farinha de tapioca que se usa em uma receita original (1,5 kg = 1 500 g = 3 ? 500 g). Assim, ao utilizar toda essa farinha para fazer o pudim, o rendimento ficará triplicado também: 60 porções (3 ? 20 porções).

Pudim de tapioca.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O objetivo desta página é levar os estudantes a reconhecerem razões entre grandezas de mesma espécie em situações do dia a dia. Explorar as situações apresentadas com a turma. Ressaltar a necessidade de as grandezas envolvidas (de mesma espécie) serem expressas em uma mesma unidade de medida e o fato de a razão obtida, nesse caso, ser um número (sem unidade).

Se julgar adequado, explicar que também é possível obter razões entre grandezas de espécies diferentes, como é o caso da velocidade média (dada pela razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso). Nesse caso, a razão obtida terá uma unidade de medida composta das unidades de medida das duas grandezas envolvidas. No caso da velocidade média, podemos ter quilômetros por hora (km/h), metros por segundo (m/s), entre outras.

Há diversos outros temas que fazem parte do cotidiano e podem ser trabalhados para auxiliar a compreensão do conceito de razão, como o fluxo de água, por exemplo.

Pedir aos estudantes que pesquisem em jornais e revistas outras situações que eles consideram relacionar-se com a ideia de razão.

Analise mais algumas situações.

1 Observe esta cena.

De 15 arremessos à cesta, acertei 9.

LIMA

Qual é a razão entre o número de acertos e o número total de arremessos à cesta feitos por Susan?

915 9 15 3 5

acertos total

3 para 5, ou seja, para cada 5 arremessos à cesta, Susan acertou 3.

2 Qual é a razão entre a área da região retangular 1 e a área da região retangular 2 ?

1

40 cm 60 cm

m 1,2 m

Para calcular a razão, devemos expressar as medidas na mesma unidade. Assim:

1 m = 100 cm 1,2 m = 120 cm

Vamos, agora, calcular a área de cada região retangular.

A 1 = 60 cm ? 40 cm = 2 400 cm2

A 2 = 120 cm ? 100 cm = 12 0 00 cm2

Razão: A A 2 400 12 000 1 5 == 1 2

1 para 5, ou seja, a área do retângulo 2 equivale a cinco vezes a área do retângulo 1

A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas, sempre tomadas na mesma unidade.

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Cesta!

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Em 2022, 800 pessoas participaram da Semana Cultural do Bairro. Em 2023, o número de participantes foi 960, no mesmo evento. Qual é a razão entre o número de participantes de 2023 e o número de participantes de 2022?

2. Determinado modelo de avião tem 80 metros de envergadura por 72 metros de comprimento. Calcule a razão entre o comprimento e a envergadura desse tipo de avião.

Avião decolando.

GLOSSÁRIO

1. 6 5 ou 6 para 5. 9 10

4 5

Calcule a razão entre o número de meninos e o número de meninas:

a) da manhã. 5 7

b) da tarde.

c) da noite. 14 25

d) dos três períodos. 15 22

4. A partir dos dados da atividade anterior, elabore três questões envolvendo razão, e pelo menos uma delas deve usar o termo “total de estudantes”. Entregue-as para um colega resolver e, em seguida, verifique se a resolução dele está correta.

5. Gláucia recortou dois pedaços de cartolina, de formato quadrado. Observe. 50 cm

50 cm

De acordo com as figuras, determine a razão entre:

Atividades

As atividades trabalham o conceito de razão. Na atividade 5, explora-se um importante resultado entre razões de grandezas relativas a dois quadrados (isso se estende a qualquer par de polígonos semelhantes): as razões entre as medidas lineares correspondentes (entre as medidas de lados correspondentes, entre perímetros etc.) são iguais, e a razão entre as áreas desses polígonos é o quadrado da razão entre as medidas lineares.

3. A tabela a seguir mostra o número de alunos matriculados nos períodos manhã, tarde e noite em uma escola de natação.

Número de alunos

Manhã Tarde Noite

Meninos 15 16 14

Meninas 21 20 25

Fonte: Dados fictícios.

2 5 2 5 4 25 2 5

a) a medida do lado do quadrado na figura 1 e a medida do lado do quadrado na figura 2

b) o perímetro do quadrado na figura 1 e o perímetro do quadrado na figura 2

c) a área do quadrado na figura 1 e a área do quadrado na figura 2

• Agora, compare as razões obtidas nos itens anteriores. O que você observa?

AMPLIANDO

Atividades complementares

1. São dadas as medidas 4 cm e 200 km. Qual é a razão entre a menor e a maior dessas medidas?

Resolução das atividades

1. 200 km = 200 000 m = 20 000 000 cm

Razão entre a menor e a maior medida:

2. 2 kg = 2 000 g

800 2 000

5

207

Envergadura: dimensão máxima transversal de uma ponta a outra das asas de um avião.

EDITORIA DE ARTE

TRAVELLIGHT/SHUTTERSTOCK.COM

207

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Acompanhar a execução das atividades pelos estudantes e verificar se apresentam alguma dúvida. Na atividade 10, perguntar se há outra maneira de representar a razão 2 5 referente ao rendimento dos jogadores Gustavo e Carlos. Os estudantes podem responder 0,4 ou 40 %, que são a forma decimal e percentual de representar essa razão, respectivamente. Essa é uma oportunidade para investigar o conhecimento dos estudantes a respeito desse conteúdo, que será apresentado na sequência.

7. Fiz um esquema para representar como vai ficar o piso do quintal da minha casa após revesti-lo com lajotas quadradas brancas e pretas.

saída de água purificada, medidos em litros por hora (L/h).

Resultados – Teste dos sistemas (em L/h)

Fluxo Sistema Entrada (água suja) Saída (água purificada)

I 45 15

II 40 10

III 40 5

IV 20 10

V 20 5

Observando o esquema, responda:

a) de quantas lajotas vou precisar para revestir todo o piso? 200 lajotas.

b) qual é a razão entre o número de lajotas pretas e o total de lajotas?

c) qual é a razão entre o número de lajotas brancas e o total de lajotas?

d) qual é a razão entre o número de lajotas pretas e o número de lajotas brancas?

8. A produtividade de uma empresa foi calculada utilizando a razão entre o lucro (L) e o número de funcionários (n) da empresa. A tabela mostra o lucro e o número de funcionários dessa empresa nos anos de 2020, 2021 e 2022.

Produtividade da empresa

Ano Lucro Número de funcionários 2020 R$ 68.000,00 16 2021 R$ 54.000,00 12 2022 R$ 86.400,00 20

Fonte: Dados fictícios. Analisando a tabela, em qual dos três anos a produtividade foi maior? 2021

9. Visando adotar um sistema de reutilização de água, uma indústria testou cinco sistemas com diferentes fluxos de entrada de água suja e fluxos de

AMPLIANDO

Atividade complementar

Na maioria das competições de vôlei, um dos critérios de desempate é o set average, que consiste na razão entre o número de sets ganhos e o número de sets perdidos na competição.

Observe as informações a respeito de três equipes de vôlei que empataram em primeiro lugar em determinado campeonato e faça o que se pede em cada item.

Equipe Sets ganhos Sets perdidos

Equipe A 7 5

Equipe B 8 4

Equipe C 7 7

Fonte: Dados fictícios.

Fonte: Dados fictícios. A razão entre o fluxo de saída (água purificada) e o fluxo de entrada (água suja) expressa a eficiência do sistema. Quanto maior for a razão, mais eficiente será o sistema. Entre os sistemas testados por essa indústria, qual apresentou maior eficiência?

10. Ao cobrir um jogo de basquete entre as equipes Vermelha e Azul, um repórter anotou a pontuação dos dois jogadores que mais marcaram pontos em cada uma das equipes.

Vermelha Azul

Gustavo 32 pontos Valdir 18 pontos

Roberto 20 pontos Carlos 36 pontos

Nesse jogo, a equipe Azul ganhou da Vermelha por 90 a 80.

A partir dos dados anotados pelo repórter e considerando que o rendimento de um jogador durante um jogo é um número racional que expressa a razão entre o número de pontos que o jogador fez e o total de pontos feitos pela sua equipe, qual desses quatro jogadores teve o melhor rendimento?

O sistema IV. Gustavo e Carlos.

a) Calcule o set average de cada uma das equipes.

b) Sabendo que o set average é o primeiro critério de desempate dessa competição, responda: qual foi a equipe campeã?

Resolução da atividade

a) Equipe A : 7 5 ;

RAZÕES ESCRITAS NA FORMA DECIMAL

A razão entre dois números ou entre duas grandezas (mesmo de espécies diferentes) também pode ser expressa na forma decimal Considere as situações a seguir.

1 Clarice acertou 45 questões de um exame composto de 90 questões. O desempenho de Clarice é medido pela razão entre o número de acertos e o total de questões:

45 90 = 5 10 = 1 2 = 0,5

A cada duas questões do exame, Clarice acertou uma.

O fato de a razão entre o número de acertos e o total de questões ser 0,5 (meio) indica que Clarice acertou metade da prova (45 é metade de 90). Observe que a razão entre o número de erros e o total de questões também é 0,5, já que o número de erros corresponde também a 45 questões das 90 da prova.

2 Considerando que um ciclista leva 2 horas para percorrer 43 km, qual foi sua velocidade média nesse percurso?

A velocidade média de um elemento móvel também é dada por uma razão entre duas grandezas de espécies diferentes, a distância percorrida e o tempo gasto. Vamos obter a velocidade média, em km/h:

• velocidade média = distância te mpo = 43 km 2h = 21,5 km/h A cada hora, o ciclista percorre 21,5 km.

A velocidade média do ciclista foi de 21,5 km/h. Dependendo da situação, é mais conveniente expressar uma razão na forma decimal, como é o caso da velocidade média do ciclista.

RAZÕES ESCRITAS NA FORMA PERCENTUAL

Além da forma fracionária e da forma decimal, a razão pode ser representada na forma percentual, com o símbolo %.

Podemos dizer que:

Toda razão a b , na qual b = 100, pode ser reescrita facilmente na forma percentual.

Assim, temos:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O objetivo desta página é apresentar aos estudantes o cálculo de razões na forma decimal e na forma percentual.

Se julgar necessário, retomar a transformação de um número racional na forma fracionária para a forma decimal e para a forma percentual.

Explicar a turma que qualquer uma dessas maneiras de expressar uma razão é válida. No entanto, dependendo do contexto, alguma delas pode ser mais conveniente para a interpretação do resultado do que outra. Por exemplo, para saber se estou dentro do limite de velocidade máxima permitido de 30 km/h, é mais adequado expressar a velocidade média na forma fracionária ou na forma decimal? Observar que a informação 118 5 km/h é menos eficiente, nesse caso, do que a expressa por 23,6 km/h, já que a comparação é direta 23,6 , 30. No entanto, as duas representações indicam a mesma informação de velocidade média.

30 100 0, 30 30% ==

Equipe B: 8 4 2 1 = ;

Equipe C: 7 7 1 1 = .

b) A equipe com o maior set average é a equipe B ; portanto, ela foi a equipe campeã dessa competição.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na transformação da forma fracionária para a percentual, explorar as situações apresentadas nesta página. Pedir aos estudantes que comecem com a leitura coletiva e em etapas para melhor entendimento e compreensão do texto.

A forma percentual de uma razão é comumente utilizada para expressar comparações de parte de um todo, como é o caso da situação que aborda o teor de cobre e de estanho em uma liga de bronze.

Ampliar a discussão com os estudantes usando situações do seguinte tipo: Um desconto de R $ 7.000,00 sobre um valor de R$ 20.000,00 representa quantos por cento desse preço?

Inicialmente, determinamos a razão de R $ 7.000,00 para R $ 20.000,00, ou seja: = 7 000

20 000 7 20

Usando frações equivalentes, temos:

7 20 35 100 35% ==

Usando a forma decimal, temos:

Considere a seguinte situação.

Para esculpir uma obra de arte em bronze, um escultor fundiu 23 kg de cobre com 2 kg de estanho. Calcular o teor de cada metal nessa liga de bronze.

A massa total do material é igual à soma das massas dos metais que compõem a liga.

Logo:

massa total = 23 kg + 2 kg = 25 kg

Nos 25 kg de bronze, temos 23 kg de cobre, o que nos dá a razão de 23 para 25. Essa razão pode ser escrita na forma percentual: 23 25 0,92 92 100 === 92%

Nos 25 kg de bronze, temos 2 kg de estanho, o que nos dá a razão de 2 para 25. Representando na forma percentual, temos: 2 25 0,08 8 100 === 8%

Essas informações caracterizam, respectivamente, os teores de cobre e de estanho na liga metálica de bronze.

Teor de cobre: 92% Teor de estanho: 8%

Observe, agora, dois casos de como podemos representar uma razão a b na forma percentual. 1o

: O consequente b é um fator natural de 100.

7

20 0,35 35 100 35% ===

Assim, R $ 7.000,00 representam 35% de desconto sobre R $ 20.000,00.

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AMPLIANDO

Links

Mais informações sobre o Dia Mundial da Limpeza podem ser obtidas em:

• DIA mundial da limpeza de rios e praias: movimento pretende diminuir o lixo. 2021. Vídeo (1min37s). Publicado pelo canal Band Jornalismo. Disponível em: https://youtu.be/QjiFqOCOU8I. Acesso em: 24 jun. 2022.

• DIA Mundial de Limpeza de Rios e Praias – DMLRP – Edição

2021. Fundação Mamíferos Aquáticos. São Cristóvão, 27 set. 2021. Disponível em: https://mamiferosaquaticos. org.br/noticias/dia-mundial-de-limpeza-de-rios-e-praias -dmlrp-edicao-2021#. Acesso em: 24 jun. 2022.

• DIA Mundial da Limpeza de Praias e Rios. Instituto Tartarugas do Delta. Luís Correia, 22 set. 2020. Disponível em: https://www.institutotartarugasdodelta.org /post/dia-mundial-da-limpeza-de-praias-e-rios. Acesso em: 24 jun. 2022.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Expresse nas formas decimal e percentual cada uma das seguintes razões.

a) 63 100

b) 11,2 100

c) 7 50

d) 11 16

2. Os números seguintes estão escritos na forma decimal; escreva-os na forma percentual.

a) 0,42 42%

b) 0,08 8%

c) 0,225 22,5%

d) 0,015 1,5%

e) 0,1125 11,25%

f) 0,007 0,7%

3. Em um campeonato de futsal, uma equipe acumulou 26 pontos dos 80 disputados. Qual foi o aproveitamento desse time? Represente na forma percentual.

4. O gráfico seguinte mostra o grau de escolaridade dos 112 empregados de uma empresa.

5. Em um dia de verão foram coletados em uma praia 600 kg de resíduos sólidos. Desse total, 450 kg eram itens de plástico. A quantidade de itens de plástico representa quantos por cento do total de resíduos sólidos recolhidos na praia? 75%

• Você conhece o Dia Mundial da Limpeza? Pesquise sobre o tema, o que é, por que ocorre e verifique se há alguma ação relacionada a esse dia em sua região.

6. Observe, na tabela seguinte, o desempenho de Fernando em um simulado. Resultado por componente curricular

Componente curricular Número de questões propostas

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Solicitar aos estudantes que compreenderam os conceitos que auxiliem os colegas nas eventuais dúvidas que tenham, exercitando a colaboração e a empatia, desenvolvendo aspectos da competência geral 9.

a) De acordo com esses dados, qual é a porcentagem de empregados dessa empresa que têm apenas o Ensino Médio completo?

Aproximadamente 48,2%.

b) A partir das informações do gráfico, elabore duas questões envolvendo razão na forma percentual e resolva-as.

• XAVIER, Danielly. Dia Mundial de Limpeza de Rios e Praias 2020. Instituto de Pesquisas Cananéia (IPeC). Cananeia, 16 set. 2020. Blogue. Disponível em: https://ipecpesquisas.org.br/dia-mundial-de -limpeza-de-rios-e-praias-2020/. Acesso em: 24 jun. 2022.

Número de questões respondidas corretamente

Língua Portuguesa 40 34

Matemática 25 20

Ciências 15 9

Geografia 20 15

Fonte: Dados fictícios.

a) Qual foi o aproveitamento percentual de Fernando em cada componente curricular?

Língua Portuguesa: 85%; Matemática: 80%; Ciências: 60% e Geografia: 75%.

b) Em qual componente curricular Fernando teve o melhor desempenho? E o pior desempenho?

c) A partir do resultado em seu último ciclo de avaliação, calcule o seu aproveitamento percentual em cada componente curricular. Você pode utilizar uma planilha eletrônica para auxiliá-lo.

Sobre a atividade 5, ressalta-se que o Dia Mundial da Limpeza ocorre no terceiro fim de semana de setembro, e tem como objetivo conscientizar a população da responsabilidade na produção e descarte de lixo, principalmente em praias e nos oceanos. Nessa data, diversas ações de limpeza de praias, rios e oceanos ocorrem.

Se necessário, auxiliar os estudantes na pesquisa para descobrir se há alguma ação relacionada ao Dia Mundial da Limpeza na região em que moram. Se desejarem, os estudantes podem participar das ações, juntamente com familiares e a comunidade escolar. Desse modo, desenvolverão a consciência cidadã e ambiental, contribuindo para o trabalho com a competência geral 10 e com os Temas Contemporâneos Transversais Educação Ambiental e Educação para o Consumo

No item c da atividade 6, auxiliar os estudantes a definir qual será o ciclo de avaliação utilizado para o cálculo percentual. Pode ser o resultado da última prova, a média do último bimestre ou trimestre, dependendo da estrutura da escola, entre outros. Evitar a comparação entre as notas dos estudantes para que ninguém se sinta constrangido e não haja qualquer tipo de ofensa ou discriminação em relação a isso.

6. b) Melhor desempenho: Língua Portuguesa. Pior desempenho: Ciências.

Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

5. • Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

4 b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Fonte: Dados fictícios.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Proporção

O objetivo deste capítulo é levar os estudantes a resolver problemas envolvendo proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa em diferentes situações, desenvolvendo aspectos da habilidade EF07MA17.

Explorar a tabela, destacando que o aumento de um animal acarreta aumento de 15 kg de alimento. Explicar que um aumento de dois animais (ou seja, o dobro de 1) acarreta um aumento de 30 kg de alimento (o dobro de 15 kg), e assim por diante, destacando, mesmo sem expressar, a proporcionalidade direta entre as grandezas número de animais e total de alimento.

Destacar que a proporção é uma igualdade de razões e usar como exemplo os dados da tabela, escrevendo na lousa, por exemplo, a seguinte igualdade:

Acompanhe a situação a seguir.

De maneira geral, em uma criação de gado, é indicado que cada animal consuma aproximadamente 15 kg de alimento por dia, que pode variar entre o pasto, a ração, a chamada silagem, que é um composto alimentar preparado e oferecido aos animais, entre outros. Nessas condições, quantos quilogramas de alimento por dia um produtor gastará em um rebanho com 200 cabeças de gado?

De acordo com a situação apresentada, organizamos a tabela.

Alimento por cabeça de gado

razão entre o número de animais e o total de alimento: 1 15

razão entre o número de animais e o total de alimento: 200 3 000 1 15 =

Fonte: Dados fictícios.

Então, de acordo com essas especificações, o produtor vai gastar 3 000 kg de alimento por dia com seu rebanho.

Observe que as razões 1 15 e 200 3000 são iguais.

Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas razões é chamada de proporção.

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Então, a sentença 1 15 = 200 3000 é uma proporção.

Note que essas razões são dadas por frações equivalentes.

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Uma cidade de 120 000 habitantes, que conta com 200 médicos, segue a recomendação da Organização Mundial de Saúde de 1 médico para 1 000 habitantes?

Resolução da atividade

200 120 000 1 600 =

Isso significa que há 1 médico para cada 600 habitantes. Logo, essa cidade está em uma situação melhor do que recomenda a OMS, pois tem quase o dobro do número de médicos recomendado para cada grupo de 1 000 habitantes.

Rebanho no pasto. Guarabira (PB), 2022.

CACIO MURILO/SHUTTERSTOCK.COM

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

1. Um posto de combustíveis oferece um desconto aos clientes de R$ 1,00 para cada 10 litros abastecidos com gasolina. Litros Desconto (em reais)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

a) Continue o quadro, relacionando o desconto para cada 10 litros até completar 100 litros.

b) De quantos reais será o desconto para:

• 40 litros?

• 60 litros?

• 90 litros?

c) Um desconto de R$ 10,00 corresponde a quantos litros de gasolina? 100 litros.

d) Para 420 litros de gasolina, de quanto será o desconto? R$ 42,00 e)

Sugerir aos estudantes que explorem esta seção em duplas, e incentivar a troca de ideias, a cooperação e a argumentação com base em conhecimentos matemáticos, além de melhorar a compreensão do texto, desenvolvendo aspectos das competências gerais 7 e 9. Espera-se que eles compreendam que a cada 10 litros de combustível haverá um desconto de R $ 1,00.

Após a realização da atividade, solicitar às duplas que relatem suas respostas e socializem suas ideias.

f) Comparando as 10 razões obtidas, a que conclusão você pode chegar?

Considere, agora, os números 6, 9, 12 e 18. Nessa ordem, temos:

• a razão do 1o para o 2o: 6 9 2 3 =

• a razão do 3o para o 4o: 12 18

Observe que a razão do primeiro para o segundo é igual à razão do terceiro para o quarto número.

Assim, podemos escrever:

6 : 9 = 12 : 18 ou

6 9 12 18 =

Nesse caso, dizemos que os números 6, 9, 12 e 18, nessa ordem, formam uma proporção.

Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, tomados nessa ordem, formam uma proporção quando: a b c d = ou a : b = c : d.

Lê-se: a está para b, assim como c está para d

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AMPLIANDO

Livro

RAMOS, Luzia Faraco. Uma proporção ecológica. São Paulo: Ática, 2002. (Coleção A Descoberta da Matemática).

Nesse livro é possível explorar os conteúdos de razão, proporção, regra de três e porcentagem.

Selecione alguns capítulos para fazer a leitura em sala de aula, de acordo com os temas já desenvolvidos.

Propor novas situações envolvendo proporções para os estudantes. Lançar alguns desafios para que eles tenham que descobrir um dos números em uma proporção sem utilizar a propriedade fundamental das proporções, que será vista a seguir. Pode-se, por exemplo, apresentar os números 15, 8 e 45, e solicitar que determinem, com o auxílio de uma calculadora, o quarto número ( x ), de modo que 15, 8, 45 e x formem uma proporção.

Para isso, os estudantes precisam usar o fato de que se os números formam uma proporção, devemos ter: 15 8 45 x = Como 15 8 15 3 83 45 24 , = ? ? = então = 24.

DAVID FADUL/SHUTTERSTOCK.COM

Bombas de combustíveis. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedade fundamental das proporções

O objetivo destas páginas é apresentar aos estudantes a propriedade fundamental das proporções.

Realizar a leitura da apresentação do conteúdo e das situações com os estudantes, parando sempre que necessário para sanar eventuais dúvidas.

Por ser um conceito bastante utilizado em situações cotidianas, é possível que os estudantes tragam outros exemplos de situações envolvendo proporções. Aproveitar esse momento para estimular os estudantes a expressar suas ideias para os demais colegas e, coletivamente, concluir se a situação apresentada é uma proporção de fato ou não.

Dessa maneira, no exemplo dado, lemos: 6 está para 9, assim como 12 está para 18.

Na proporção a b c d = , temos:

• os números a, b, c e d são denominados termos da proporção;

a : b 5 c : d

• o primeiro e o quarto termos são denominados extremos, enquanto o segundo e o terceiro são denominados meios meios

extremos extremo meio meio extremo

Acompanhe os exemplos.

1 Na proporção 1 15 200 3000 = , temos:

• extremos: 1 e 3 000;

• meios: 15 e 200.

a b c d =

2 Na proporção 6 9 12 18 = , temos:

• extremos: 6 e 18;

• meios: 9 e 12.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES

Voltando à proporção 1 15 200 3000 = , temos:

• produto dos extremos: 1 ? 3 000 5 3 000

• produto dos meios: 15 ? 200 5 3 000

Como percebemos, nessa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Vamos, agora, considerar a proporção 6 9 12 18 = , na qual temos:

• produto dos extremos: 6 ? 18 5 108

• produto dos meios: 9 ? 12 5 108 Também, nessa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Esse fato se repetirá sempre que tivermos uma proporção, o que é conhecido como a propriedade fundamental das proporções

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. a b c d 5 k a ? d 5 b ? c produto dos meios produto dos extremos

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Acompanhe algumas situações em que podemos aplicar a propriedade fundamental das proporções.

1 Usando a propriedade fundamental, verificar se os números 3, 7, 12 e 28 formam, nessa ordem, uma proporção. De acordo com a ordem dada no enunciado, o primeiro e o quarto números (3 e 28) são os extremos, e o segundo e o terceiro números (7 e 12) são os meios. Assim:

• produto dos extremos: 3 ? 28 5 84 3 ? 28 = 7 ? 12 h 3 7 12 28 =

• produto dos meios: 7 ? 12 5 84

Como o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, os números 3, 7, 12 e 28 formam, nessa ordem, uma proporção.

PENSE E RESPONDA Não, pois 7 3 12 28 5 , e a propriedade fundamental das proporções não é satisfeita.

Responda no caderno.

No exemplo 1, se os números estivessem na ordem 7, 3, 12 e 28 ainda formariam uma proporção? Justifique sua resposta.

2 Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam, nessa ordem, uma proporção, determinar o valor de x

Como os números dados formam uma proporção, escrevemos:

6 24 5 x =

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

6x = 5 ? 24 h 6x = 120 h x 120 6 == 20

Portanto, o valor de x é 20.

3 Na Escola do Bairro, para cada 4 meninas há 5 meninos estudando. Se há 580 meninos matriculados, quantos estudantes há na Escola do Bairro?

Ao representar por x o número de meninas, pode-se formar a proporção:

Ressaltar para os estudantes que, ao aplicar a propriedade fundamental das proporções para determinar um valor desconhecido em uma proporção, eles obtêm equações polinomiais do 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, e que, para resolvê-las, utilizarão as propriedades da igualdade que já estudaram. Se julgar necessário, explicitar na lousa o uso de tais propriedades na resolução das situações apresentadas, como mostrado a seguir.

• Resolução da equação obtida na situação 2:

6x = 120

6x

6 120 6 =

x = 20

Outro procedimento para ressaltar é a simplificação das frações sempre que possível, visando obter cálculos mais simples. Como exemplo, apresentar outra maneira de resolver a equação da situação 2:

24 5 x =

6

4

5 x 580 =

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

5 ? x 5 4 ? 580 h 5x 5 2 320 h x 2 320 5 =h x 5 464

Então, há 464 meninas que estudam na Escola do Bairro.

O total de estudantes é 464 + 580 = 1 044.

Portanto, na Escola do Bairro há 1 044 estudantes.

Simplificando a fração 6 24 temos 1 4 Assim:

1

4 5 x =

x = 5 4

x = 20

Pense e responda

Durante as justificativas apresentadas pelos estudantes, verificar se eles utilizam a propriedade fundamental da proporção ou se utilizam a igualdade das razões.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Estas atividades têm como objetivo ampliar e consolidar os conhecimentos que os estudantes construíram sobre proporções e aplicar a propriedade fundamental das proporções em situações variadas.

Pedir a eles que resolvam as atividades em duplas para que possam exercitar a colaboração, a argumentação e o teste de hipóteses. Incentivar a consulta ao livro e às anotações feitas no caderno sempre que surgir alguma dúvida, estimulando, assim, a autonomia e a confiança dos estudantes.

Na atividade 2 , caso os estudantes tenham dúvidas na elaboração do problema, orientar eles a tomar como base a situação 3 apresentada na página 215

No item a da atividade 3, incentivar os estudantes a determinar o valor de x exercitando o raciocínio proporcional. Perguntar por exemplo, “Por qual número podemos multiplicar o 3 para obter 12?”. Espera-se que os estudantes não tenham dificuldade para responder que o número procurado é 4. Depois, seguir perguntando: “Que número que multiplicado por 4 resulta em 8?”. Desse modo, devem concluir que x  = 2. O mesmo raciocínio pode ser aplicado na resolução do item b

ATIVIDADES

2. b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. São dados, em cada item, quatro números em uma determinada ordem. Use a propriedade fundamental das proporções e verifique se esses números, na ordem dada, formam uma proporção:

a) 8; 20; 32; 80

b) 150; 50; 12; 4

c) 1,2; 6; 7,2; 36

d) 5; 6; 1,5; 2,4

2. Os números x ; 10,5; 24 e 15 formam, nessa ordem, uma proporção.

a) Qual é o valor do número x? 16,8

b) Elabore um problema cuja resolução envolva essa proporção.

3. Calcule o valor de x em cada uma das proporções. a)

6. Em uma pequena comunidade constatou-se que, de cada 7 crianças, 2 tinham olhos azuis. Sabendo que na comunidade havia 91 crianças, quantas tinham olhos azuis? 26 crianças.

7. O desenho representa o esquema de um bairro que está sendo planejado em um município. As setas indicam o sentido das mãos do tráfego, e cada quadra é um terreno quadrado em que cada lado mede 200 metros.

200 m

4. São dadas as igualdades:

200 m

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, calcule o valor de x + y

5. Os números dados formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x ? y.

• 8, 20, 40, x • 1,8; 0,6; 2,4; y

Considerando que tempo gasto = distância percorrida velocidade média , desconsiderando a largura das ruas, sabe-se que um ônibus demora, em média, 0,025 hora para ir, pelo caminho mais curto possível, do ponto X até o ponto Y. De acordo com os dados, qual é a velocidade média do ônibus em km/h?

40 km/h 48 000 habitantes.

8. Uma pesquisa mostrou que no município X existe 1 médico para cada grupo de 1 600 habitantes. Se nesse município X há 30 médicos, quantos habitantes tem esse município?

ALEX SILVA

9. Em determinada hora do dia, a razão entre a altura de um bastão, fixado verticalmente no chão, e a sombra que ele projeta é de 5 para 3. Se a sombra mede 72 cm, qual é a altura desse bastão, em metro? 1,2 m

12. A professora deu o seguinte problema para a turma resolver.

Sabendo que os números 35, 21, x e 8,4 formam, nessa ordem, uma proporção, determine o valor de x Acompanhe como Valentina fez para resolver.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

10. Para fazer um refresco, mistura-se suco concentrado com água na razão de 3 para 5. Nessas condições, 9 copos de suco concentrado devem ser misturados a quantos copos de água?

15 copos de água.

11. Em uma receita de bolo, são necessários 2 ovos para cada 0,5 kg de farinha utilizada. Quantos ovos serão necessários para 2 kg de farinha? 8 ovos.

Agora, reúna-se a um colega, e respondam.

• A resolução de Valentina está correta? Justifiquem a resposta. Se não, corrijam a resolução e obtenham o resultado correto.

Não. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

DESAFIO

13. Observe os dois retângulos a seguir.

Na atividade 9, o conceito de proporcionalidade é explorado em uma situação geométrica, relacionado às medidas de um bastão e de sua sombra. Considerando o triângulo formado pelos segmentos de reta que representam o bastão, sua sombra e os raios de sol, de maneira implícita, os estudantes estão sendo apresentados ao conceito de semelhança de triângulos, que será estudado formalmente nos anos posteriores. Desse modo, reforça-se a importância do conceito de proporcionalidade e como ele permeia diversos campos da Matemática, como Álgebra, Geometria e Grandezas e Medidas.

Na atividade 12 espera-se que os estudantes percebam que a resolução de Valentina não está correta, pois ela não respeitou a ordem dada no enunciado para escrever a proporção e aplicar a propriedade fundamental.

Sabendo que a razão entre as bases dos retângulos é igual à razão entre suas alturas, calcule:

a) o valor x da base do retângulo 2 8 cm

b) as áreas dos retângulos 1 e 2 em metro. 12 m2; 48 m2

c) a razão entre as áreas dos retângulos. O que podemos concluir?

1 4 ou

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4

1 . Espera-se que os estudantes concluam que a área do retângulo 2 é quatro vezes a área do retângulo 1

Para a realização do desafio 13, solicitar aos estudantes que identifiquem as medidas das bases e das alturas dos retângulos para, em seguida, montar a proporção corretamente.

DAYANE RAVEN

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

A atividade desta seção tem como objetivo verificar a percepção dos estudantes a respeito do conceito de números diretamente proporcionais. Mesmo sem o conceito ter sido apresentado formalmente, é possível que os estudantes consigam responder às questões utilizando raciocínio proporcional.

NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

1. Em cada uma das cenas aparecem pessoas chegando a um chá de bebê. Cada pessoa convidada levou dois pacotes de fraldas. Observe.

a) É correto afirmar que, quanto maior for o número de pessoas no chá de bebê, maior será o número de pacotes de fraldas? Sim.

b) Chegaram 6 convidados. Quantos pacotes de fraldas eles levaram no total?

12 pacotes de fraldas.

c) Se tivesse chegado o dobro de convidados, quantos pacotes de fraldas levariam? Comparando com a quantidade do item anterior, o que aconteceu?

24 pacotes de fraldas. O número de pacotes também dobrou.

Considere a situação a seguir. Jaime trabalha organizando churrascos, e a quantidade de carne, em quilograma, que ele compra varia de acordo com o número de convidados. Acompanhe a seguir.

Fonte: Dados fictícios.

Vamos observar o que ocorre quando consideramos a razão entre um número da 1a coluna e o seu correspondente na 2a coluna da tabela.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Observe que todas essas razões são equivalentes e iguais a 5.

2 25 5 50 10 100 20 150 30 5 =====

Quando isso acontece, dizemos que os números da 1a coluna são diretamente proporcionais aos números correspondentes da 2a coluna.

Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais não nulos a, b e c, quando se tem: x a y b z c === k, em que k (um número racional) é a constante de proporcionalidade

a 3 b 5 c 2 x === . Note que, nesse caso, x é a constante de proporcionalidade, e podemos escrever:

Para que 6, x e y sejam diretamente proporcionais a 4, 8 e 20, devemos ter:

6 4 x 8 y 20 ==

• a 3 xa 3x == ⇒

• b 5 xb 5x == ⇒

Então:

• 6 4 x 8 4x ⇒ == 48 h x 48 4 ⇒⇒ = x = 12

• == 6 4 y 20 4y 120 ⇒

⇒= ⇒ y 120 4 yy = 30

Assim, x = 12 e y = 30.

2 Um barbante com 200 cm de comprimento é dividido em três partes com comprimentos diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 2. Qual é o comprimento de cada pedaço?

Vamos representar os comprimentos dos pedaços por a, b e c, tais que:

AMPLIANDO

• == ⇒ c 2 xc 2x

Como a soma das três partes deve totalizar 200, temos:

a 1 b 1 c 5 200

3x 1 5x 1 2x 5 200

⇒⇒ 10x 200 x 200 10 x20===

Então, as medidas dos pedaços de barbante são:

a 5 3x 5 3 ? (20) 5 60

b 5 5x 5 5 ? (20) 5 100

c 5 2x 5 2 ? (20) 5 40

219

219 26/08/22 13:20

Atividades complementares

1. Verificar se os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números 8, 20 e 60.

2. Verificar se os números 7, 10 e 13 são diretamente proporcionais aos números 21, 30 e 52.

Resolução das atividades 1.

Como 4 8 10 20 30 60 1 2 === , podemos dizer que os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números 8, 20 e 60.

Após apresentar o conceito de números diretamente proporcionais, perguntar aos estudantes qual é a constante de proporcionalidade na situação da carne para o churrasco e a quantidade de convidados. Verificar se eles identificam que a constante de proporcionalidade nesse caso é 5. Ressalte que a constante de proporcionalidade pode ser qualquer número racional. Na situação 2, comente com os estudantes que, em uma situação real, se o barbante fosse dividido de acordo com os valores obtidos, é bem provável que não ficassem exatamente com 60 cm, 100 cm e 40 cm. Isso porque, ao medir o barbante para fazer o corte, há certo grau de imprecisão que necessita ser considerado, levando em conta o instrumento de medição utilizado, a pessoa que fez a medição entre outros fatores. Por isso, as medidas que realizamos são sempre aproximações da medida exata, essa abordagem favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA29.

Como 7 21 10 30 13 52 =5 , podemos dizer que os números 7, 10 e 13 não são diretamente proporcionais aos números 21, 30 e 52.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Números inversamente proporcionais

Ler a situação e o exemplo apresentados nesta página e verificar com os estudantes se eles apresentam alguma dúvida relacionada ao conceito de números inversamente proporcionais.

Para complementar e auxiliar na compreensão do conteúdo, apresentar a situação a seguir e realizar um debate com os estudantes a partir das questões propostas.

Em cada cena, 12 pirulitos serão distribuídos igualmente entre as pessoas presentes. Não podem sobrar pirulitos. Observe as cenas e responda às questões.

NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Considere a seguinte situação.

Uma escola tem 48 livros para distribuir igualmente entre os vencedores de uma gincana escolar. Se os vencedores forem dois estudantes, cada um deles receberá 24 livros. Se forem quatro estudantes, cada um receberá 12 livros. E se forem seis estudantes, cada um receberá 8 livros. Vamos compor esses dados em uma tabela.

Distribuição dos livros

Número de estudantes vencedores

Número de livros distribuídos a cada estudante

2 24 4 12 6 8

Fonte: Dados fictícios.

Pelas informações da tabela, percebemos, por exemplo, que ao dobrar o número de estudantes, o número de livros para cada estudante se reduz à metade.

Observe o que ocorre quando consideramos o produto de um número da 1a coluna pelo seu correspondente na 2a coluna da tabela.

2 ? 24 5 48 4 ? 12 5 48 6 ? 8 5 48

Note que todos os produtos são iguais.

2 ? 24 = 4 ? 12 = 6 ? 8 = 48

Quando isso acontece, dizemos que os números da 1a coluna são inversamente proporcionais aos números correspondentes da 2a coluna.

Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, quando se tem: x ? a = y ? b = z ? c = k, em que k é a constante de proporcionalidade

Acompanhe o exemplo a seguir.

Os números x, y, 2 e z são inversamente proporcionais aos números 6, 10, 15 e 60. Quais são os números x, y e z?

x ? 6 = y ? 10 = 2 ? 15 = z ? 60 h 6x = 10y = 30 = 60z

Daí, obtemos:

• 6x 5 30

x 5 5 y 5 3 z 5z 1 2 =

a) Observe cada cena e diga quantos pirulitos cada pessoa receberá em cada situação.

b) É correto afirmar que, quanto maior for o número de pessoas, menor será o número de pirulitos que cada uma receberá?

c) Se houvesse uma quarta cena, com 4 pessoas e a mesma quantidade de pirulitos a ser distribuída, quantos pirulitos cada uma receberia?

d) E se o número de pessoas da cena 3 dobrasse, quantos pirulitos cada uma receberia?

Portanto, x = 5, y = 3 e z = 1 2

Note que, nesse caso, a constante de proporcionalidade é igual a 30.

220

Comparando com a quantidade que cada um recebeu na cena 3, o que aconteceu?

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Respostas:

a) Espera-se que os estudantes identifiquem que a criança da cena 1 receberá os 12 pirulitos; na cena 2, cada pessoa receberá 6 pirulitos; e, na cena 3, serão 4 pirulitos para cada um.

b) Espera-se que os estudantes reconheçam que sim.

c) Espera-se que os estudantes identifiquem que cada pessoa receberia 3 pirulitos.

d) Respostas esperadas: Nesse caso, cada pessoa receberia 2 pirulitos. Fazendo a comparação, verifica-se que o número de pirulitos recebidos foi reduzido à metade.

Estimular os estudantes a pensar em outras situações do cotidiano em que seja possível perceber grupos de números direta e inversamente proporcionais. Incentivar a troca de ideias e conhecimentos relacionados ao tema em estudo, uma vez que a troca de experiências é um dos caminhos para se estabelecer a aprendizagem.

Cena 1.

Cena 2.

Cena 3.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Verifique se, na ordem em que são apresentados, os números em azul são diretamente proporcionais aos números em verde.

a) 21 12 27 7 4 9

b) 4 9 7 16 36 28

c) 6 12 18 14 7 4

d) 1,5 1,2 10,5 2,5 2 16,5

2. Os números 7, 2 e 35 são inversamente proporcionais aos números 50, 175 e 10, respectivamente.

Essa afirmação é verdadeira ou falsa?

Verdadeira.

3. Sabe-se que os números x , y e 32 são diretamente proporcionais aos números 80, 55 e 160. Qual é o valor da expressão x + y? 27

4. Os números x , 30 e 10 são inversamente proporcionais aos números 3, 12 e y. Nessas condições, determine o valor de x _ y. 84

5. Quando você divide 420 em três parcelas diretamente proporcionais aos números 3, 7 e 4, você encontra os números a, b e c. Qual é o valor da expressão a _ b + c? Zero.

6. Divida o número 380 em três parcelas que sejam inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4. Quais são essas parcelas? 200, 80 e 100.

7. Um prêmio de R $ 4.600,00 foi dividido entre três funcionários de uma empresa em partes inversamente proporcionais aos seus salários.

• Valdir recebe 5 salários mínimos;

• Gustavo recebe 8 salários mínimos;

• Roberto recebe 4 salários mínimos. Quanto coube de prêmio a cada um?

8. Uma barra de chocolate, com 400 g, foi dividida entre João, Roberta e Tomás, em partes diretamente proporcionais às suas idades. Se João tem 11 anos, Roberta tem 9 anos e Tomás tem 5 anos, quantos gramas de chocolate couberam a cada um?

João: 176 g; Roberta: 144 g; Tomás: 80 g.

9. Um treino de vôlei de um time feminino tem 180 minutos de duração e foi dividido em três partes:

• 1a parte: preparação física;

• 2a parte: treino de jogadas ensaiadas e bloqueios;

• 3a parte: treino coletivo. Sabendo que os tempos de cada uma das partes são diretamente proporcionais aos números 3, 7 e 2, quantos minutos durou a parte do treino relativa a:

a) preparação física? 45 minutos.

b) jogadas ensaiadas e bloqueios?

105 minutos.

c) treino coletivo? 30 minutos.

10. A quantia de R$ 144 .000,00 foi repartida em partes inversamente proporcionais ao número de funcionários de duas filiais de uma multinacional. Se a filial A tem 100 funcionários e a filial B tem 125, qual foi o valor que recebeu cada filial?

Filial A: R$ 80.000,00; Filial B: R$ 64.000,00.

11. Vanessa dividiu o número 740 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 12, obtendo 400, 240 e 100, respectivamente. Confira se os cálculos de Vanessa estão corretos e elabore uma atividade similar a essa para um colega resolver. Em seguida, juntos, analisem as resoluções feitas para cada atividade: elas são parecidas?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nas atividades desta página o estudante verificará os conhecimentos adquiridos para reconhecer quando dois grupos de números são direta ou inversamente proporcionais e para resolver problemas.

Caso apresentem dificuldade na resolução destas atividades, sugerir que os estudantes as realizem em duplas, a fim de favorecer a troca de ideias e a colaboração entre eles.

Valdir: R$ 1.600,00; Gustavo: R$ 1.000,00; Roberto: R$ 2.000,00. 221

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Verificar se os números 120, 30 e 16 são inversamente proporcionais aos números 2, 8 e 15.

Resolução da atividade 120

30

16

? 2 = 240

? 8 = 240

? 15 = 240

Sim, os cálculos estão corretos. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Como 120 2 = 30 8 = 16 15 = 240, os números 120, 30 e 16 são inversamente proporcionais aos números 2, 8 e 15.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Grandezas diretamente proporcionais

O objetivo desta página é apresentar aos estudantes o conceito de grandezas diretamente proporcionais. Espera-se que eles utilizem o que já sabem a respeito de números diretamente proporcionais para compreender este conteúdo.

Ler com a turma a situação e as explicações apresentadas na página e pedir que apresentem outros exemplos de situações envolvendo grandezas diretamente proporcionais.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Considere a seguinte situação.

Uma torneira é aberta para encher um reservatório. De tempos em tempos, a altura da água no reservatório é medida, e os resultados dessas medições encontram-se a seguir.

Enchendo um reservatório de água

Tempo (em min) Altura da água (em cm)

Analisando a tabela, você pode notar que:

Fonte: Dados fictícios.

• se o tempo de observação duplica, a altura da água no reservatório também duplica;

• se o tempo de observação triplica, a altura da água no reservatório também triplica.

As duas grandezas aqui envolvidas (tempo e altura da água) são chamadas de grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica, e assim por diante.

Observe o que ocorre com os números da situação anterior, que expressam duas grandezas diretamente proporcionais.

• Quando o tempo de observação passa de 10 min para 20 min, dizemos que varia na razão 10 20 . Enquanto isso, a altura da água no reservatório passa de 12 cm para 24 cm e varia na razão 12 24

Você vai notar que essas duas razões são iguais.

• Quando o tempo de observação passa de 10 min para 30 min, dizemos que varia na razão 10 30 . Enquanto isso, a altura da água no reservatório passa de 12 cm para

13:31

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essas grandezas são diretamente proporcionais

Outra situação que envolve grandezas diretamente proporcionais é, por exemplo, a quantidade de tinta que usamos para pintar uma parede. Ela é diretamente proporcional à área a ser pintada: duplicando-se a área, gasta-se o dobro de tinta; triplicando-se a área, gasta-se o triplo de tinta.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Considere a seguinte situação.

Uma bolinha deve se deslocar de um ponto A até um ponto B. A velocidade da bolinha e o tempo correspondente que ela gasta nesse deslocamento estão indicados na tabela seguinte.

20

Analisando a tabela, você pode notar que:

• se a velocidade da bolinha duplica, o tempo gasto para percorrer o trajeto cai para a metade;

• se a velocidade da bolinha triplica, o tempo gasto para percorrer o trajeto cai para a terça parte.

As duas grandezas aqui envolvidas (velocidade e tempo gasto) são chamadas de grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte, e assim por diante.

Vamos observar o que ocorre com os números que expressam duas grandezas inversamente proporcionais.

• Quando a velocidade passa de 2 m/s para 4 m/s, dizemos que varia na razão 2 4 Enquanto isso, o tempo gasto passa de 60 s para 30 s e varia na razão 60 30 . Você vai notar que essas razões não são iguais; elas são inversas, ou seja:

são razões inversas.

Grandezas inversamente proporcionais

Assim como feito na página anterior, nesta página o conceito de grandezas inversamente proporcionais é apresentado e explicado a partir de uma situação. Após realizar a leitura do conteúdo, promover o debate com os estudantes para que eles apresentem outras situações envolvendo grandezas inversamente proporcionais e comparem com as situações relacionadas a grandezas diretamente proporcionais.

Questionar quais são as semelhanças e diferenças em cada um dos casos para que eles consigam reconhecer quando duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais ou não são proporcionais.

Incentivar os estudantes a verbalizar suas dúvidas para a turma e, também, a tentar sanar as dúvidas dos colegas.

AB EDITORIA DE ARTE

Fonte: Dados fictícios.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Caso os estudantes não saibam ou não se recordem, relembrar o conceito de vazão: quantidade (volumétrica ou em massa) de um fluido que escoa por uma tubulação por unidade de tempo.

Atividades

O objetivo destas atividades é aplicar e consolidar a aprendizagem construída a respeito de grandezas proporcionais.

Um exemplo de situação em que temos grandezas proporcionais é na produção de pães franceses em uma padaria. A quantidade dos ingredientes da massa é proporcional ao rendimento da receita, ou seja, a quantos pães aquela receita produz.

• Quando a velocidade passa de 2 m/s para 6 m/s, dizemos que varia na razão 2 6 Enquanto isso, o tempo gasto passa de 60 s para 20 s e varia na razão 60 20 Você vai notar que essas razões também não são iguais; elas são inversas.

são razões inversas.

Quando duas grandezas variam uma na razão inversa da outra, dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais

Outra situação que envolve grandezas inversamente proporcionais é, por exemplo, o tempo que se leva para encher um tanque, que é inversamente proporcional à vazão da água na torneira: dobrando-se a vazão da água, o tempo gasto para encher o tanque diminui pela metade.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. A tabela a seguir relaciona a produção (em unidades) de uma mercadoria com o tempo de funcionamento da máquina que a produz.

2. Um ônibus faz o percurso da Praça Central até a praça de um bairro. Um fiscal registrou a velocidade média do ônibus e o tempo gasto nos percursos de ida e volta.

Registro dos percursos

Produção Tempo 600 unidades 4 horas

1 500 unidades 10 horas

Produção industrial Fonte: Dados fictícios. A partir dos dados da tabela, responda.

a) Quando a produção passa de 600 unidades para 1 500 unidades, varia em qual razão?

b) Quando o tempo passa de 4 horas para 10 horas, varia em qual razão?

c) As razões obtidas são iguais? Sim.

d) Essas grandezas (quantidade produzida e tempo) são diretamente proporcionais?

Sim.

e) Se a máquina ficasse ligada por 8 horas, quantas unidades da mercadoria seriam produzidas? E se fossem 12 horas?

1 200 unidades. 1 800 unidades.

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Velocidade média Tempo

50 km/h 96 min

60 km/h 80 min

Fonte: Dados fictícios.

a) Quando a velocidade passou de 60 km/h para 50 km/h, variou em qual razão?

b) Quando o tempo gasto no percurso passou de 80 min para 96 min, variou em qual razão?

c) Se a velocidade média do ônibus fosse de 30 km/h, qual seria o tempo gasto no percurso de ida e volta? 160 min

Caso haja disponibilidade, fazer um trabalho mais aprofundado a respeito da conta de energia elétrica, com o intuito de compreender os itens que fazem parte do valor total cobrado, entre eles a tarifa de uso e distribuição de energia, os impostos e tributos, a bandeira tarifária e as diferentes tarifas para horários específicos, tipo de uso e condição socioeconômica. Não é esperado que os estudantes compreendam por completo a composição da conta, mas tenham a noção de todos os itens pelos quais são cobrados, de modo a contribuir com sua formação cidadã e desenvolver a competência geral 6 e a competência específica 2 da área de Matemática.

d) A velocidade média do ônibus e o tempo gasto nos percursos são grandezas diretamente ou inversamente proporc ionais?

São grandezas inversamente proporcionais.

3. Vitória estava ajudando a mãe a organizar as contas da residência delas e verificou que na conta de energia elétrica o valor total pago varia conforme a quantidade de energia consumida, em quilowatt-hora (kWh).

a) Vitória percebeu que quanto mais energia é gasta, maior é o valor a ser pago proporcionalmente. Podemos dizer que essas grandezas são diretamente proporcionais?

b) Supondo que a constante de proporcionalidade entre o valor a pagar e a quantidade de energia consumida seja igual a R$ 0,670 /kWh, qual será a quantia a pagar por 150 kWh de energia consumida?

c) Reúna-se a um colega, e pesquisem qual é a tarifa de energia elétrica praticada no seu município. O que essa tarifa representa?

d) Uma das maneiras de reduzir o valor da conta é diminuir o consumo de energia elétrica. Pesquisem ações que podem ser feitas em uma residência para evitar o desperdício de energia.

4. Utilize esta imagem para elaborar um problema envolvendo grandezas proporcionais e que possa ser resolvido utilizando a propriedade fundamental das proporções. Em seguida, troque o problema com um colega, e um deve tentar resolver o problema elaborado pelo outro.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

5 a) Distância percorrida (em km) e consumo de gasolina (em L).

Reúna-se a um colega, e resolvam o problema a seguir.

5. Fabrício comprou um carro popular cuja principal característica é o baixo consumo de gasolina por quilômetro rodado. Segundo o fabricante, o consumo médio do modelo é de 11 km/L. Fabrício quis conferir essa informação e anotou alguns dados em um gráfico, que relaciona o consumo de gasolina com as distâncias percorridas.

A atividade 3 aborda o Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo, além de favorecer o desenvolvimento da competência geral 10 e das competências específicas 7 e 8 da área de Matemática. Para a pesquisa do item c, dessa atividade, os estudantes podem obter a informação no site da concessionária de energia do município. Espera-se que os estudantes concluam que a tarifa de energia elétrica é a constante de proporcionalidade entre as grandezas quantia a pagar e quantidade de energia consumida (em kWh), e que ela varia de acordo com o município e a companhia responsável pela distribuição da energia.

Analisem o gráfico e façam o que se pede em cada item.

a) Quais são as grandezas envolvidas?

b) Para cada ponto do gráfico, determine a razão entre a distância percorrida e a gasolina consumida.

12,5 km/L; 9,09 km/L; 12 km/L;

12,5 km/L; 10 km/L

c) Compare os valores obtidos no item b com o consumo médio indicado pelo fabricante. Podemos dizer que os dados estão de acordo com o consumo médio?

d) Podemos dizer que essas grandezas são diretamente proporcionais? Comentem a respeito das diferenças entre a situação real e a indicação do fabricante.

Para o item d, algumas medidas que podem ser mencionadas pelos estudantes são: aproveitar ao máximo a luz natural, evitar banhos longos, apagar as luzes ao sair de um cômodo, juntar toda a roupa para passar de uma vez só, entre outros.

Caso considere interessante, solicitar aos estudantes que montem apresentações com as recomendações pesquisadas e compartilhem com a comunidade escolar.

Mais informações sobre as tarifas e a conta de energia elétrica podem ser obtidas em:

• BRASIL. Ministério de Minas e Energia. Ranking das tarifas. Brasília, DF: ANEEL, 4 mar. 2022. Disponível em: https://www.gov.br/aneel/pt-br/assuntos/tarifas/ranking-das-tarifas. Acesso em: 3 ago. 2022.

• ECOM ENERGIA. Entenda como é calculada a tarifa de energia elétrica no Brasil. Ecom Energia São Paulo, 22 out. 2021. Disponível em: https://www.ecomenergia.com.br/blog/tarifas-de-energia -eletrica/#:~:text=Atualmente%2C %20vigora%20no%20Brasil %20essa,100 %20kWh%20de%20eletricidade%20 consumidos. Acesso em: 3 ago. 2022.

No item c do desafio 5, espera-se que os estudantes comparem os valores e percebam que alguns estão acima e outros abaixo do consumo médio indicado, o que está de acordo com a ideia de consumo médio. No item d, comente que muitos fatores podem alterar o consumo de combustível, como o estado de conservação das ruas, o estado dos pneus e da manutenção do carro em geral, entre outros. Ao final, espera-se que eles percebam que a modelagem matemática da situação exige algumas simplificações e considerações em relação à situação real, mas ainda assim é um bom parâmetro.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3 Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Sim.

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Fonte: Dados fictícios.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Regra de três

A introdução do conceito de regra de três é feito por meio de elementos de história da Matemática, favorecendo a curiosidade dos estudantes e o desenvolvimento da competência específica 1 da área de Matemática. Ao longo de todo o capítulo é favorecido o desenvolvimento da habilidade EF07MA17.

Regra de três simples

Nestas páginas são apresentadas algumas situações que podem ser resolvidas aplicando a regra de três. Verificar se os estudantes compreendem a relação entre a regra de três e os conceitos de grandezas e números direta e inversamente proporcionais estudados anteriormente.

A regra de três simples consiste em observar a variação de duas grandezas dependentes e aplicar o conceito de grandezas proporcionais:

• ao concluir que as grandezas variam de forma direta (ou seja, que são diretamente proporcionais), os estudantes devem montar a proporção levando em consideração que as razões entre os valores correspondentes das grandezas são iguais;

• ao concluir que as grandezas variam de forma inversa (ou seja, que são inversamente proporcionais), os estudantes devem montar a proporção levando em consideração que a razão entre os valores de uma grandeza é igual à razão inversa entre os valores correspondentes da outra grandeza.

O primeiro uso sistemático da regra de três ocorreu, provavelmente, na China antiga. Depois, alcançou a Arábia através da Índia, onde os estudiosos a tratavam pela mesma designação.

Observe como dois matemáticos hindus abordavam a regra de três.

• Aryabhata (476-c 550), no seu livro intitulado Aryabhatiya, escreve como obter o quarto termo de uma proporção simples.

Na regra de três, multiplique o fruto pelo desejo e divida pela medida. O resultado será o fruto do desejo.

BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta C. História da matemática Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blücher, 2012. p. 154.

Assim, temos: a b  c x , então x = bc a em que a é a “medida”, b é o “fruto”, c é o “desejo”, e x é o “fruto do desejo”.

• Brahmagupta (c. 598-c 665) dizia que:

Na regra de três, os nomes dos termos são Argumento, Fruto e Requisito. O primeiro e último termos devem ser semelhantes. Requisito multiplicado por Fruto e dividido por Argumento é o Produto.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. 5. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2011. p. 263.

Durante séculos, a regra de três mereceu grande consideração por parte dos mercadores. Seus vínculos com as proporções só foram reconhecidos no fim do século XIV.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Acompanhe, agora, as situações.

1 Na extremidade de uma mola, presa a um suporte, é colocada uma peça com massa de 10 kg, verificando-se, então, que seu comprimento inicial aumenta em 42 cm. Se colocarmos uma peça com massa de 15 kg na extremidade dessa mola, qual será o aumento em seu comprimento?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Vamos representar por x o aumento do comprimento da mola. comprimento inicial x 15 kg

Para isso, organizamos o quadro.

Massa Aumento do comprimento

10 kg 42 cm

15 kg x

A lei de Hooke é uma lei da Física, a qual garante que se duplicarmos a massa de um corpo suspenso em uma extremidade de uma mola, a deformação da mola também duplicará. Logo, essas grandezas (massa da peça e deformação da mola) são diretamente proporcionais. Assim, os números 10 e 15 são diretamente proporcionais aos números 42 e x

Daí, temos:

10 15 5 42 x h 10x = 15 ? 42 h x = 15 ? 42 10 h x = 63

Então, o aumento do comprimento da mola passará a ser de 63 cm.

2 Em um treino de automobilismo, um piloto fez parte do percurso em 18 segundos, registrados pelo cronômetro, com uma velocidade média de 200 km/h. Se a velocidade média fosse de 240 km/h, qual seria o tempo gasto nessa parte do percurso?

Vamos indicar por x o tempo a ser determinado. Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto no percurso cairá pela metade, e assim por diante. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x Para isso, organizamos o quadro a seguir.

Velocidade Tempo

200 km/h 18 s

240 km/h x

Daí, temos:

200 240 5 x 18 h 200 ? 18 = 240 ? x h

3 600 = 240x

240x = 3 600 h x = 3 600 240 h x = 15

Então, o piloto faria o trajeto em 15 s.

Discutir as situações apresentadas e esclarecer possíveis dúvidas. Ao final, propor outras situações que podem ser resolvidas pela regra de três simples, para que os estudantes possam verificar se compreenderam esse conceito. Um exemplo de situação pode ser observado a seguir.

Para fazer um percurso a 25 km/h, um carro leva 2 horas; para fazer o mesmo percurso a 30 km/h, qual será o tempo gasto?

Verificando que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, podemos montar a seguinte proporção considerando que a velocidade varia de 25 km/h para 30 km/h enquanto o tempo varia de 2 horas para x :

25

30 x 2 =

30x = 25 ? 2

30x = 50 ==1 x 50 30 5 3 1,7

Logo, o tempo gasto para realizar o percurso determinado a 30 km/h será de 1,7 horas ou 1 hora e 42 minutos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades deste bloco propiciam aos estudantes aplicar os conhecimentos adquiridos para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais por meio da regra de três simples.

Caso seja necessário, incentivá-los a representar as situações descritas organizando os dados em quadros, representando figuras ou ainda de outro modo que facilite oentendimento da situação.

Fórum

Para realizar o debate sugerido no primeiro item, os estudantes podem pesquisar em sites ou textos previamente selecionados quais são as possíveis soluções para a redução dos tráfegos das grandes cidades. Solicitar que listem as soluções respeitando um ranking que parta da solução de maior para a de menor contribuição, justificando as escolhas. É possível que os estudantes sugiram usar transporte coletivo, revezar carona para ir ao trabalho ou à escola, aumentar linhas de metrô, implantar ciclovias, estimular o trabalho em casa com o uso intensivo das telecomunicações etc. Verificar a possibilidade de elaborar cartazes com as informações obtidas na pesquisa do segundo item e expô-los na comunidade escolar, de modo a incentivar um trânsito mais gentil e democrático para todos, sejam motoristas, pedestres, motociclistas, ciclistas etc.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se uma cobertura idêntica fosse construída em outra quadra e fossem contratados 40 operários com as mesmas qualificações que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta? 30 dias.

2. Diagramar é determinar a disposição de textos e imagens em uma página de um livro, jornal ou revista, por exemplo. Para diagramar um livro que tem 45 linhas em cada página, são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas seriam necessárias para diagramar o mesmo livro? 420 páginas.

3. Para azulejar uma parede retangular que tem 15 m2 de área foram usados 80 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para cobrir uma parede que tem 12 m2 de área?

64 azulejos.

4. Um pequeno avião voando a 450 km/h leva 4 horas para ir da cidade A à cidade B . Quanto tempo gastaria outro avião para percorrer o mesmo trajeto se a velocidade média dele fosse de 750 km/h?

2,4 horas ou 2 horas e 24 minutos.

5. Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 metros de comprimento, medi a extensão de um fio elétrico e obtive 80 metros. Descobri, mais tarde, que a corda media, na realidade, 2,05 metros. Qual é a extensão verdadeira do fio?

Congestionamento nos grandes centros urbanos e algumas consequências

Vias congestionadas são um dos problemas atuais que mais afetam as grandes cidades do mundo. O trânsito é responsável, entre outras coisas, por ser um dos fatores que pioram a qualidade de vida da população, pois aumenta o estresse e diminui o tempo para descanso e lazer e para se dedicar à saúde.

Em um relatório divulgado em 2021 pela TomTom, empresa neerlandesa fabricante de sistemas de navegação para automóveis, o Brasil ficou em 24o lugar no ranking mundial das cidades com o pior trânsito do mundo, com a cidade de Recife. O estudo apurou ainda que houve uma grande diminuição do fluxo em cerca de 387 das cidades avaliadas em meio à pandemia de coronavírus.

Mesmo assim, situações de estresse no trânsito continuam sendo um ponto de atenção, muitas vezes gerando picos de ansiedade e agressividade.

Elaborado com base em: QUAIS são as cidades com o pior trânsito do mundo? Estadão: Summit Mobilidade 2022, São Paulo, 30 abr. 2021. Disponível em: https://summitmobilidade. estadao.com.br/ir-e-vir-no-mundo/quais-sao-as-cidades-com-opior-transito-do-mundo/. Acesso em: 6 jul. 2022. Responda às questões no caderno.

• Proponha possíveis soluções para a redução do tráfego das grandes cidades.

• Faça uma pesquisa sobre o estresse, suas causas e consequências e maneiras de tratar esse problema no cotidiano.

Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Seguem duas opções de reportagens para a pesquisa do segundo item:

• SANTOS, Roseane. “Me sentia sufocado”: estresse no trânsito gera ansiedade; saiba como lidar. Viva Bem UOL , [s. l.], 21 jan. 2021. Disponível em: https://www.uol.com. br/vivabem/noticias/redacao/2021/01/21/ me-sentia-sufocado-estresse-no-transitogera-ansiedade-saiba-como-lidar.htm (acesso em: 4 ago. 2022).

• AMARAL, Márcio. Estresse e nervosismo no trânsito: como driblar esse mal? Portal do Trânsito e mobilidade. [S l.], 5 jan. 2022. Disponível em: https://www.portaldotransito.com.br/noticias/ estresse-e-nervosismo-no-transito-como-driblaresse-mal/ (acesso em: 4 ago. 2022).

Essa seção contribui para o desenvolvimento das competências gerais 2, 7, 8, 9 e 10 e dos Temas Contemporâneos Transversais Saúde e Educação para o Trânsito.

MYKE SENA/FOTOARENA

FÓRUM

Trânsito congestionado em Brasília (DF), 2019.

POR TODA PARTE

OS NUTRIENTES DAS FRUTAS

Ter uma alimentação variada, composta principalmente de alimentos in natura ou minimamente processados, como frutas e legumes, ajuda a ter uma vida saudável.

Uma das funções dos alimentos é fornecer os nutrientes necessários para a sobrevivência do corpo humano. A tabela a seguir apresenta os valores nutricionais de algumas frutas consideradas de origem brasileira.

Tabela de valor nutricional

Fruta (em 100 gramas de polpa) Valor energético (em quilocaloria)

Fonte: GRUPO de alimentos: frutas e sucos. Escola Paulista de medicina: Departamento de Informática em Saúde. São Paulo, [2016?]. Disponível em: http://tabnut.dis.epm.br/grupo/0900/frutas-e-sucos?ac=pequi&Ir= Acesso em: 6 jul. 2022. A partir dos dados da tabela, responda às questões no caderno.

1. Joana ingeriu no café da manhã 50 gramas de abacate. Isso equivale a quantas quilocalorias? 80 quilocalorias.

2. Para fazer determinada receita, são necessários 120 gramas de polpa de abacaxi e 80 gramas de polpa de morango. Quantos gramas de carboidratos estão contidos nessa receita? Aproximadamente 21,9 g.

3. Qual é a sua fruta preferida? Tem alguma fruta que você tem vontade de experimentar, mas ainda não teve a oportunidade? Respostas pessoais.

4. Junte -se a um colega, e pesquisem algumas ações possíveis para se ter uma alimentação saudável. Montem uma apresentação e compartilhem com os colegas. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Esta seção relaciona os conteúdos estudados na Unidade com os valores nutricionais de algumas frutas.

Aproveitar a temática para debater com os estudantes a importância de uma alimentação saudável, equilibrada, com consumo diversificado de frutas, legumes e verduras, evitando os alimentos ultra processados, trabalhando assim os aspectos do Tema Contemporâneo Transversal Educação Alimentar e Nutricional Como complemento à questão 3, se possível, organizar uma “feira de frutas” em que os estudantes (ou a direção da escola) trazem diversas frutas para serem experimentadas e compartilhadas pela turma. Este pode ser um momento para que os estudantes conheçam e experimentem novas frutas, contribuindo para uma alimentação saudável e desenvolvendo aspectos da competência geral 8.

Na questão 4, uma sugestão para fonte de pesquisa é o Guia Alimentar para a População Brasileira, disponível no link https://bvsms.saude.gov.br/bvs/ publicacoes/guia_alimentar_popu lacao_brasileira_2ed.pdf (acesso em: 4 ago. 2022).

Se possível e julgar conveniente, verificar a possibilidade de promover uma palestra com uma nutricionista sobre o assunto.

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Essa seção favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10, e das competências específicas 7 e 8 da área de Matemática.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Regra de três composta

O objetivo destas páginas é levar os estudantes a ampliar os conhecimentos adquiridos com situações de variação de grandezas, mas agora temos três ou mais grandezas que se relacionam, sendo direta ou inversamente proporcionais.

Solicitar a eles que façam a leitura individual das situações apresentadas e, em seguida, expliquem na lousa o que eles compreenderam a respeito do raciocínio utilizado para resolver essas situações. Com isso, aqueles que estão explicando desenvolvem habilidades de expressão e comunicação, e os demais colegas contribuem com a escuta atenta, colocando dúvidas e promovendo a aprendizagem por meio da troca de ideias, favorecendo o ensino pelas competências gerais 4 e 9.

Caso os estudantes apresentem dificuldades na compreensão da regra de três composta, explicar que ela é a regra de três simples efetuada duas vezes, mas em uma única passagem. Realizar os cálculos separadamente, como mostrado a seguir para a situação 1

• Primeiramente, mantemos constante uma das grandezas, por exemplo, o número de dias, e recaímos em uma regra de três simples.

Número de operários Número de dias Número de peças

5 6 400

7 6 y

Como “número de peças” e “número de operários” são grandezas diretamente proporcionais, temos:

5 7 400 y =

5y = 7 400 h 5y = 2 800 y = 560

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Considere as seguintes situações.

1 Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho? Vamos organizar os dados do problema no quadro seguinte, indicando pela letra x o número de peças procurado.

Número de operários Número de dias Número de peças

5 6 400

7 9 x

• Fixando a grandeza “número de operários”, vamos relacionar as grandezas “número de dias” e “número de peças”.

Dobrando-se o número de dias, o número de peças produzidas também dobrará, e assim por diante. Logo, as grandezas “número de dias” e “número de peças” são diretamente proporcionais.

• Fixando a grandeza “número de dias”, vamos relacionar as grandezas “número de operários” e “número de peças”.

Dobrando-se o número de operários, o número de peças produzidas também dobrará, e assim por diante. Logo, as grandezas “número de operários” e “número de peças” também são diretamente proporcionais.

Então, a grandeza “número de peças” é diretamente proporcional às grandezas “número de operários” e “número de dias”. Logo, seus valores serão diretamente proporcionais aos produtos dos valores das grandezas “número de operários” e “número de dias”, ou seja:

Em 9 dias de trabalho, 7 operários produzirão 840 peças.

Ou seja, para os mesmos 6 dias, se aumentarmos o número de operários de 5 para 7, o número de peças produzidas aumentará de 400 para 560.

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• Com os valores obtidos, mantemos a outra grandeza constante (aqui, o número de operários). Assim, temos novamente uma regra de três simples. Observar no quadro a seguir.

Número de operários Número de dias Número de peças

7 6 y = 560

7 9 x

Como “número de peças” e “número de dias” são grandezas diretamente proporcionais, temos:

6 9 560 x =

6x = 9 560 h 6x = 5 040

x = 840

Ou seja, com 7 operários trabalhando por 9 dias, são produzidas 840 peças. Se julgar necessário, pedir aos estudantes que façam esse desenvolvimento com os dados da situação 2

2 Um ciclista percorre, em média, 200 km em 2 dias, pedalando durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse ciclista percorrerá 500 km se pedalar 5 horas por dia? Indicando o número de dias pela letra x, organizamos os dados no quadro a seguir.

de dias

200 4 2

500 5 x

• Fixando a grandeza “distância”, vamos relacionar as grandezas “tempo por dia” e “número de dias”. Dobrando-se o tempo por dia, o número de dias cairá para a metade. Logo, as grandezas “tempo por dia” e “número de dias” são inversamente proporcionais.

• Fixando a grandeza “tempo por dia”, vamos relacionar as grandezas “distância” e “número de dias”.

Dobrando-se a distância percorrida, o número de dias também dobrará. Logo, as grandezas “distância” e “número de dias” são diretamente proporcionais.

Então, a grandeza “número de dias” é diretamente proporcional à grandeza “distância” e inversamente proporcional à grandeza “tempo por dia”. Isso nos leva a escrever a razão inversa dos valores que representam a grandeza “tempo por dia”.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Descubra mais

Além do vídeo proposto no Livro do estudante, sugere-se o uso de simuladores em sala de aula, pois permitem que o estudante assuma uma postura investigativa, uma vez que é possível realizar diversos testes apenas com alguns cliques.

Essa é a proposta do “Parque da proporção”, um simulador desenvolvido pela Universidade do Colorado e traduzido para o português, disponível em: https://phet. colorado.edu/pt_BR/simulations/ proportion-playground (acesso em: 18 ago. 2022).

Nele os estudantes poderão verificar proporcionalidades por meio de representações atrativas de grandezas que se relacionam. Destacamos o simulador que envolve as cores no qual é necessário escolher quantidades adequadas de cada cor de tinta para que se obtenha a mesma mistura.

Então, o ciclista levará 4 dias para percorrer 500 km se pedalar 5 horas por dia.

DESCUBRA MAIS

COMO fazer regra de três: sem decorar nada: “porque sim” não é resposta. 2020. Vídeo (12min14s). Publicado pelo canal A Matemaníaca por Julia Jaccoud. Disponível em: https://youtu.be/AUYenhP3nsw. Acesso em: 6 jul. 2022.

A proporcionalidade é um dos conceitos mais importantes da Matemática e aparece em diferentes contextos. Nesse vídeo, Julia Jaccoud, a Matemaníaca, apresenta estratégias para resolver problemas em que a proporcionalidade e a regra de três estão envolvidas.

Antes de apresentar os simuladores a sua turma, explorar as ferramentas e as propostas de exploração sugeridas pelos próprios desenvolvedores no site

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Neste bloco de atividades, os estudantes vão aplicar a regra de três composta na resolução de problemas variados.

Apresentamos a seguir um possível problema para a atividade 6

• Com um automóvel a uma velocidade média de 60 km/h, Beto roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. No mesmo carro, mas com uma velocidade média de 80 km/h e rodando 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

Resposta: 4 dias.

Organizar os estudantes em duplas para realizar a atividade 7, possibilitando a troca de informações. Pedir a eles que tentem determinar o resultado do problema proposto utilizando o raciocínio lógico. Orientá-los a registrar a estratégia utilizada para determinar a resposta. Depois, sugerir que utilizem a regra de três composta para encontrar o resultado, registrem esse procedimento e comparem as duas resoluções. Os estudantes poderão concluir que a regra de três facilita os cálculos em problemas que envolvem a variação de diversas grandezas. No desafio 8, propor aos estudantes que façam um quadro com os dados da situação apresentada e verifiquem se as grandezas envolvidas são proporcionais ou não; caso sejam, se elas são direta ou inversamente proporcionais.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 10 000 L de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 24 000 L de combustível?

50 dias.

2. Um folheto informa que uma torneira pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 L de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados nesse período. 250 L

3. Para construir um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo grupo de operários construiria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento? 16 dias.

4. Em determinada fábrica de calçados, 16 operários produzem 240 pares de calçados por dia, trabalhando 8 horas diárias. Quantos operários, com a mesma qualificação dos primeiros, conseguiriam produzir 600 pares de calçados por dia, trabalhando 10 horas diárias?

32 operários.

5. Um grupo com 12 digitadores digita 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, com a mesma qualificação dos primeiros, digitariam 800 páginas?

30 dias.

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6. Elabore uma situação, envolvendo três grandezas, que possa ser resolvida com regra de três composta. Em seguida, troque com um colega e resolva o problema elaborado por ele.

7. Dois carregadores transportam caixas de um depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro? 216 caixas.

DESAFIO

8. O engenheiro responsável por uma obra sabe que para construir uma laje de 6 cm de espessura são gastos 30 sacos de cimento com 40 kg cada um.

De acordo com o projeto, a laje deve ter 5 centímetros de espessura, não 6 centímetros.

Troque ideias com um colega e responda.

a) Quantos quilogramas de cimento a menos se usa para construir uma laje de 5 cm de espessura? 200 kg

b) Nesse caso, quantos sacos de cimento eles gastariam para fazer essa laje se cada saco contivesse 50 kg de cimento? 20 sacos.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Cerca de um milhão de estudantes no Brasil já têm contato com o tema, segundo associação; para especialistas, poupar promove atitude sustentável.

[...]

A escola faz parte de um universo que cresceu nos últimos anos. Cerca de um milhão de alunos no País já têm aulas de educação financeira na escola básica atualmente, segundo estimativa da Associação Brasileira de Educadores Financeiros (Abefin). [...]

[...]

[...] De acordo com uma pesquisa da Abefin, feita em parceria com o Instituto Axxus e o Núcleo de Economia Industrial e da Tecnologia (NEIT) do Instituto de Economia da Unicamp, 71% dos alunos que têm aulas sobre educação financeira ajudam os pais a fazer compras conscientes. Já nas famílias que não têm filhos educados para o tema, a cooperação na hora da compra não existe, segundo a pesquisa apresentada em fevereiro.

Para o estudo, foram entrevistados 752 pais e mães, com filhos entre quatro e 12 anos, em cinco capitais: São Paulo, Rio de Janeiro, Recife, Goiânia e Vitória. Cerca de metade dos entrevistados tinha filhos em escolas que oferecem educação financeira. Os entrevistados cujos filhos recebem educação financeira também responderam que conseguiriam manter seu padrão de vida por mais tempo caso ficassem sem salário. Nesse caso, 73% respondem que poderiam manter o padrão por até seis meses. Entre famílias que não têm filhos estudando o assunto, só 53% têm uma avaliação tão otimista. Outros 44% das famílias sem educação financeira dizem que o padrão de vida duraria um mês em caso de desemprego – enquanto só 2% do outro grupo tem avaliação tão pessimista.

EDUCAÇÃO financeira para crianças influencia famílias e professores. Estadão, São Paulo, 13 out. 2017. Disponível em: https://sustentabilidade.estadao.com.br/noticias/geral,educacao-financeira-para-criancas -influencia-familias-e-professores,70002042823. Acesso em: 6 jul. 2022. De acordo com o trecho da notícia, com base nos seus conhecimentos sobre porcentagens e com o auxílio de uma calculadora, responda às questões no caderno.

1. De acordo com a pesquisa, de que maneira os estudantes que têm aulas sobre educação financeira ajudam os pais? Ajudam os pais a fazer compras mais conscientes.

2. Qual é o percentual de entrevistados cujos filhos estão em escolas que oferecem educação financeira? Quantas pessoas esse percentual representa? 50%; 376 pessoas.

3. Dos 752 pais e mães entrevistados e que têm filhos recebendo educação financeira, cerca de quantos conseguiriam manter o padrão de vida deles por mais tempo caso ficassem sem salário? Aproximadamente 274 pais e mães.

4. Por volta de quantos pais e mães com filhos que não estudam educação financeira disseram que o padrão de vida duraria um mês em caso de desemprego?

Por volta de 165 pais e mães.

5. Comparando os pais e as mães entrevistados que têm filhos que não recebem educação financeira e os que têm filhos que recebem educação financeira, o que você pode concluir? Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Educação financeira

Nesta seção os estudantes terão a oportunidade de desenvolver habilidades de leitura e compreensão de informações presentes no texto. A notícia apresenta uma pesquisa que informa a importância da educação financeira na vida das famílias e sua contribuição se desde cedo for inserida na educação dos jovens. A pesquisa realizada mostra que poupar não é um hábito somente dos pais. As taxas percentuais apresentadas mostram de modo objetivo como poupar promove uma atitude sustentável. Os números da pesquisa possibilitam várias discussões, como:

• a importância da educação financeira desde cedo na vida dos jovens;

• o consumo de forma consciente por parte das famílias.

Aproveitar a oportunidade para que os estudantes reflitam sobre a importância de poupar e o consumo com consciência, como uma atitude sustentável. Essa abordagem favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira

Na atividade 3, espera-se que os estudantes percebam que poupar promove uma atitude sustentável que pode favorecer projetos futuros e manter o padrão de vida por mais tempo, caso as famílias fiquem sem salário por um período.

Na atividade 5, espera-se que os estudantes identifiquem a importância da educação financeira em suas vidas, favorecendo o diálogo entre eles e os familiares e promovendo o consumo consciente, pois nas famílias em que os filhos não estudaram o tema, a cooperação na hora das compras é inexistente.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Esta seção trata da construção de um gráfico de setores. Se necessário, reforçar a ideia de que o círculo inteiro representa 100 %. Pode-se trazer círculos idênticos de cartolina para os estudantes manipulá-los, a fim de obter setores.

Apresentar aos estudantes outros gráficos de setores, muito comuns na mídia escrita e televisiva, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF07MA37.

Explorar o passo a passo para a construção do gráfico de setores, partindo dos dados da tabela. Dar ênfase ao cálculo da medida do ângulo central correspondente a cada setor circular. Na lousa, realizar os cálculos com a colaboração da turma.

Verificar se os estudantes compreendem que essa medida se relaciona com a porcentagem que se quer representar, de modo que adicionando as medidas obtidas o resultado deve ser 360°, assim como adicionando as porcentagens, o resultado deve ser 100 %

Em seguida, utilizando compasso, transferidor e régua, é possível construir o círculo e os setores circulares de acordo com as medidas obtidas.

CONSTRUINDO UM GRÁFICO DE SETORES

Para construir um gráfico de setores, vamos considerar a tabela que expressa, em porcentagem, a população aproximada de cada região brasileira em relação à população total do Brasil, segundo o Censo Demográfico 2010 do IBGE.

A população de cada região será representada por um setor cuja medida do ângulo central é obtida por meio de uma regra de três simples.

SAIBA QUE

Em um gráfico de setores, as frequências de cada categoria estatística representada são proporcionais às respectivas medidas dos ângulos centrais que determinam cada setor.

População de cada região brasileira

Região Porcentagem (%)

Centro-Oeste 7,4

Sul 14,4

Sudeste 42,1

Nordeste 27,8

Norte 8,3

Total 100

Elaborada com base em: DISTRIBUIÇÃO percentual da população nos Censos Demográficos, segundo as Grandes Regiões e as Unidades da Federação. Sinopse do Censo Demográfico 2010. Rio de Janeiro, [2010?]. Disponível em: http://www.censo2010.ibge. gov.br/sinopse/index.php?dados=5&uf=00. Acesso em: 6 jul. 2022.

1o passo: Determinamos a medida do ângulo central do setor correspondente a cada região.

Medida (em grau) População (em %) 360° 100% (população total do Brasil) medida do ângulo central % da população de cada região

Assim: = me dida do â nguloc entra l %da população da re gião 360° 100

Por exemplo, para o setor que representa a população da Região Norte, temos: x  8,3 360° 100 h x 1 30°

Usando esse mesmo raciocínio, calcula-se a medida do ângulo central dos demais setores. Então:

Região Centro-Oeste: 27°

Região Sudeste: 151°

Região Sul: 52°

Região Nordeste: 100°

Observe que, assim como a soma das porcentagens correspondente às regiões é 100% (7,4% + 14,4% + 42,1% + 27,8% + 8,3%), a soma das medidas dos ângulos centrais deve ser 360°.

2o passo: Construímos uma circunferência e, usando o transferidor, representamos os setores circulares de acordo com as medidas dos ângulos centrais calculadas no 1o passo Depois, colorimos cada setor, indicando essa informação em uma legenda; por fim, inserimos o título e a fonte do gráfico construído.

População de cada região brasileira

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Elaborado com base em: DISTRIBUIÇÃO percentual da população nos Censos Demográficos, segundo as Grandes Regiões e as Unidades da Federação. Sinopse do Censo Demográfico 2010. Rio de Janeiro, [2010?]. Disponível em: http://www.censo2010. ibge.gov.br/sinopse/index.php?dados=5&uf=00. Acesso em: 6 jul. 2022.

Responda às questões no caderno.

1. Na tabela, é apresentado o resultado de uma pesquisa sobre a preferência esportiva dos estudantes de uma escola. Construa um gráfico de setores para representar o resultado dessa pesquisa.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. O gráfico de setores a seguir representa a distribuição dos eleitores de um município quanto às idades.

• O setor x representa todos os eleitores com menos de 20 anos: 8 600 eleitores.

• O setor y representa todos os eleitores com idade entre 20 e 30 anos: 16 800 eleitores.

• O setor z representa todos os eleitores com mais de 30 anos.

A partir das informações apresentadas e sabendo que o segmento PM na figura é um diâmetro, quantos eleitores o setor z representa? Quantos eleitores há nesse município? 25 400 eleitores (50%); 50 800 eleitores.

Nas atividades, os estudantes devem aplicar o passo a passo para a construção de gráfico de setores. Oriente-os no que for necessário e esclareça possíveis dúvidas durante a construção. Caso julgar interessante, e seja possível, orientá-los a pensar em um tema de interesse comum que possibilite uma coleta de dados e possa gerar ações importantes e informações pertinentes. Em seguida, eles deverão organizar os dados em uma tabela e apresentá-los em um gráfico de setores, favorecendo o desenvolvimento da competência específica 6 da área de Matemática. Lembrar a turma de que é interessante fazer uma adequação do gráfico que será usado de acordo com o tipo de informação a ser veiculada. Esse tipo de gráfico é mais utilizado quando se quer comparar as categorias com o todo. Além disso, os gráficos de setores não são indicados para visualizar comparações ou evoluções temporais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

Nesta seção, além de revisar os conteúdos da Unidade e poder resolver possíveis dúvidas que ainda tenham, os estudantes vão explorar questões de múltipla escolha, aumentando seu contato com atividades desse tipo. Desse modo, se prepararão para o Ensino Médio, para o Enem, vestibular e exames de concursos variados que possam prestar, que trabalham com esse tipo de questões.

Depois de os estudantes fazerem as atividades desta seção, que podem ser resolvidas em casa, escolher alguns deles que tenham usado procedimentos diferentes na resolução das atividades para mostrar suas estratégias na lousa. Caso todos tenham seguido o mesmo procedimento, verificar se há uma estratégia diferente e discutir com a turma cada situação.

Responda às questões no caderno.

1. Em uma empresa trabalham 80 pessoas, das quais 25 usam óculos. A razão entre o número de empregados que usam óculos e o total de empregados dessa empresa, na forma decimal, é:

a) 0,3175.

b) 0,3150.

c) 0,3125.

d) 3,25.

e) 3,2.

Alternativa c.

2. Sabe-se que os termos da sequência a, 12, 15 são diretamente proporcionais aos termos da sequência 28, b, 20. Então, a + b vale:

a) 27.

b) 31.

c) 37.

d) 39.

e) 47.

Alternativa c.

3. Uma estrada com 420 km de extensão foi asfaltada por três empresas, A , B e C , cada uma atuando em um trecho diretamente proporcional aos números 2, 5 e 3. O trecho da estrada asfaltado pela empresa C foi de:

a) 126 km.

b) 84 km.

c) 145 km.

d) 210 km.

e) 180 km.

Alternativa a.

4. Quando você divide R$ 34.000,00 entre 3 pessoas, de modo que a divisão seja feita em parcelas inversamente proporcionais aos números 5, 2 e 10, a maior quantia paga é de:

a) R$ 4.250,00.

b) R$ 21.250,00.

c) R$ 21.500,00.

d) R$ 8.500,00.

e) R$ 12.500,00.

Alternativa b.

5. Um professor de Matemática desafiou sua turma a descobrir as idades a, b e c dos três filhos dele. Para isso, forneceu as duas informações a seguir.

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I. A soma das idades dos três é 33 anos.

II. As idades são diretamente proporcionais aos números 5, 4 e 2.

A idade do filho mais velho é:

a) 12 anos.

b) 11 anos.

c) 14 anos.

d) 15 anos.

e) 16 anos.

Alternativa d.

6. Uma lâmpada de 40 watts pode funcionar por 15 horas, a certo custo. Por quanto tempo poderá funcionar uma lâmpada de 60 watts, para que o custo permaneça o mesmo?

Alternativa b.

a) 8 horas.

b) 10 horas.

c) 11 horas.

d) 12 horas.

e) 14 horas.

7. Certa quantidade de óleo foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se 60 latas cheias de óleo. Se fossem usadas latas de 3 litros cada uma, quantas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de óleo?

a) 50

b) 45

c) 42

d) 40

e) 36

Alternativa d.

8. Para fazer uma geleia, dona Helena usou 3 kg de açúcar e 2,5 kg de frutas. Se ela tem 4 kg de frutas, quantos quilogramas de açúcar deverá usar para fazer a mesma geleia?

a) 4,5

b) 4,8

c) 5

d) 1,875

e) 5,4

Alternativa b.

9. Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 minutos. Se o percurso de volta foi feito em 12 minutos, qual foi a velocidade média na volta?

a) 90 km/h

b) 85 km/h

c) 80 km/h

d) 75 km/h

e) 72 km/h

12. Em um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Em certa região, onde existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Antes de realizar a atividade 11, incentivar os estudantes a pesquisar sobre situações que envolvam os temas propostos no dia a dia.

10. O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Então, para percorrer um ângulo de 42 graus, o ponteiro menor levará:

a) 64 minutos.

b) 65 minutos.

c) 72 minutos.

d) 80 minutos.

e) 84 minutos.

Alternativa c. Alternativa e.

11. Elabore dois problemas: um envolvendo grandezas diretamente proporcionais, e o outro, grandezas inversamente proporcionais. Dê a um colega para resolvê-los. Em seguida, discuta com ele as estratégias que foram utilizadas para resolver os problemas.

UM NOVO OLHAR

a) 180

b) 200 c) 250 d) 240 e) 270

Alternativa e.

13. (PUC-SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia?

a) R$ 1.026,00

b) R$ 2.052,00

c) R$ 3.078,00

d) R$ 4.104,00

Alternativa b.

14. (PUCCamp-SP) Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6 000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4 000 peças em:

a) 8 dias.

b) 9 dias.

Alternativa a.

c) 9 dias e 6 horas.

d) 8 dias e 12 horas.

Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesta Unidade, estudamos o conceito de razão, proporção e grandezas proporcionais a partir de situações cotidianas. Ao explorar o tema, verificamos que as razões podem ser expressas por números racionais nas formas de fração, decimal e percentual. Além disso, observamos quando duas grandezas são proporcionais e o que são números diretamente proporcionais, números inversamente proporcionais, grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Fizemos também um trabalho com regra de três simples e regra de três composta, bem como suas aplicações.

Na abertura desta Unidade, você teve oportunidade de conhecer o processo artesanal de produção de vasos e algumas de suas características.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Indique uma medida que você conhece na forma de razão.

• Como você definiria grandezas diretamente proporcionais? E inversamente proporcionais?

• Pesquise em jornais, revistas e portais de notícias situações que podem ser resolvidas utilizando proporcionalidade e regra de três. Registre sua pesquisa.

Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual. 237

Alguns exemplos de situações são:

Grandezas diretamente proporcionais

Custo de produção de um objeto e o número de objetos.

Número de xícaras de leite e o número de pães produzidos.

Grandezas inversamente proporcionais

Número de funcionários trabalhando e tempo para executar um serviço. Velocidade média e o tempo para percorrer certa distância.

Ao elaborar problemas em geral, os estudantes desenvolvem a criatividade e o raciocínio lógico. Além disso, ao discutir as possíveis estratégias de resolução com o colega, o estudante irá desenvolver o senso coletivo e a troca de experiência.

Um novo olhar

Um dos objetivos desta seção de encerramento é fazer os estudantes compreenderem que utilizam razão e proporções em diversos momentos de seu cotidiano. É interessante fazê-los perceber que, muitas vezes, as usamos de forma intuitiva; por exemplo, quando estamos atrasados, acabamos “apertando o passo” para chegar mais rapidamente à escola, ou seja, como o espaço é fixo, aumenta-se a velocidade para diminuir o tempo de chegada. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa maneira, possam perceber suas aprendizagens e possíveis dúvidas sobre os conteúdos estudados na Unidade.

Competências gerais:

• 2, 5 e 7

Competências específicas:

• 3, 5 e 8

Habilidades: Números

• EF07MA02

Probabilidade e estatística

• EF07MA34

• EF07MA35

• EF07MA36

Tema Contemporâneo

Transversal:

• Educação Financeira

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em três capítulos. No primeiro capítulo, os estudantes avançam na compreensão de cálculos de porcentagens, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA02.

O segundo capítulo trata de cálculos de probabilidades e propicia abordagens que fazem com que os estudantes explorem a habilidade EF07MA34. Na seção Tratamento da informação, há uma proposta que permite aos estudantes analisarem de modo mais aprofundado um experimento aleatório.

No terceiro capítulo, as habilidades EF07MA34 e EF07MA35, as competências gerais 2 e 7, bem como as competências específicas 3 e 6 da área de Matemática, são favorecidas de maneira privilegiada.

No boxe Fórum, o consumo consciente é debatido promovendo abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, tendo em vista que consumir de modo consciente é uma atitude vinculada a não realizar compras sem necessidade e consequentemente não se endividar.

Na seção Por toda parte, as comunidades ribeirinhas são apresentadas com o objetivo de retratar para os estudantes a diversidade

UNIDADE 8

PORCENTAGEM, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

A ideia de favoritismo é usada em vários momentos de nosso cotidiano, principalmente na área esportiva. Por exemplo, um time é tido como favorito quando a maioria das pessoas acredita que a chance de ele ganhar um campeonato é maior do que a dos outros times. Para isso, geralmente são levados em consideração os resultados anteriores, os últimos títulos, o time, entre outros fatores. No entanto, nenhuma dessas informações garante que o time vai comprovar esse favoritismo. Do ponto de vista matemático, todos os times participantes têm a mesma chance de ganhar o campeonato. Podemos traduzir essa chance em números, calculando a probabilidade e expressando-a em porcentagem.

Na fase de grupos da edição de 2022 da Copa Libertadores da América de futebol masculino, 32 times de 10 países da América do Sul disputaram o título. Observe alguns dados de equipes participantes dos três países que mais venceram a competição até 2021.

Países campeões da Copa Libertadores da América até 2021 País

étnica que compõe a população brasileira.

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A seção Tecnologias apresenta a construção de gráficos no computador ampliando nos estudantes o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5 da área de Matemática.

OBJETIVOS

• Resolver e elaborar problemas que envolvem cálculos de porcentagem.

• Calcular probabilidades e realizar experimento aleatório.

• Compreender média estatística e amplitude de um conjunto de dados, bem como aplicar esse conhecimento na análise de dados obtidos na realização de uma pesquisa estatística.

• Reconhecer a importância das comunidades ribeirinhas.

• Utilizar ferramentas digitais em favor do processo de aprendizagem.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

SOMMAI/SHUTTERSTOCK.COM

Troféu Copa Libertadores da América 2021.

Uruguai

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Iniciar o trabalho com a abertura solicitando aos estudantes uma síntese das informações apresentadas nas tabelas. As questões propostas para responder no caderno visam auxiliá-los a planejar o pensamento acerca dessas conclusões.

No primeiro questionamento, verificar se os estudantes utilizam argumentos como: em cada jogo, para cada time, há três desempenhos que podem ocorrer – a vitória, o empate e a derrota. Nesse sentido, um dos critérios considerados para verificar quais são os times favoritos pode ser avaliar os desempenhos dos times em relação às quantidades de títulos conquistados.

No segundo questionamento, os estudantes mobilizam conhecimentos que já detêm acerca de estudos relacionados a determinada probabilidade corresponder ou não à chance de ocorrer um evento.

Elaborados com base em: FUTEBOL: Copa Libertadores da América. Quadro de Medalhas. [S l.], c2006-2022. Disponível em: https://www.quadrodemedalhas.com/ futebol/copa-libertadores-da-america/historia-taca-libertadores-da-america.htm.

18 jul. 2022.

Brasil, pois tem a maior quantidade de equipes disputando a competição.

Agora, converse com seus colegas e o professor e responda no caderno.

• De acordo com os dados apresentados, que times você diria serem favoritos para ganhar a Copa Libertadores da América, edição 2022? Que critérios você considerou?

Respostas pessoais.

• Considerando a quantidade de equipes participantes de cada país, que país tem mais chance de sair vencedor da edição 2022 da Copa Libertadores da América? Justifique.

• Em que outras situações de seu cotidiano você estima chances?

Resposta pessoal.

Nessa conversa inicial, para além da leitura e interpretação das tabelas, questionar os estudantes se praticam esportes e, em caso afirmativo, qual praticam. Pode-se, em parceria com o professor de Educação Física, se possível, organizar um campeonato de futebol envolvendo as turmas dos Anos Finais do Ensino Fundamental, ou até mesmo as turmas apenas dos sétimos anos.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Os objetivos desta Unidade justificam-se em virtude de propiciarem insumos para que os estudantes ampliem o repertório matemático para formular e elaborar análises de dados de maneira crítica.

Além disso, inferências, com base em cálculos de probabilidades e de porcentagens,

além de auxiliar na interpretação de dados estatísticos, também permitem que tomadas de decisão sejam definidas de modo mais coerente em situações diárias, como avaliar, por exemplo, se é possível efetivar a compra de determinado modelo de celular em certo mês, além de analisar se esse produto a ser comprado, dependendo da marca, pode trazer mais probabilidade de riscos à

segurança por se tratar de um modelo que estatísticas indicam índices altos de roubo. A temática das comunidades ribeirinhas é relevante por permitir aos estudantes que ampliem a visão da organização sociocultural brasileira. Já a utilização de software na construção de gráficos justifica-se por tornar a aprendizagem mais significativa.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Porcentagem

O primeiro capítulo desta Unidade favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA02. Isso porque os estudantes exploram cálculos de porcentagens de acréscimos e decréscimos simples na resolução e elaboração de problemas. Para tanto, além de estratégias pessoais, utilizam o auxílio da calculadora e cálculo mental.

Sugere-se iniciar analisando com os estudantes como a porcentagem é usada no dia a dia e quanto o termo porcentagem é empregado em contextos relacionados a questões monetárias, como juro, desconto, impostos, entre outros. Esse encaminhamento na condução do trabalho com as páginas deste capítulo no Livro do estudante favorece o enfoque no Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, importante para a formação cidadã dos estudantes.

Pode-se, neste momento, mostrar aos estudantes jornais e revistas impressos, ou notícias em sites, em que visualizem e percebam as informações indicadas em porcentagem.

Explorar as duas ilustrações apresentadas, inicialmente, e ler com os estudantes as legendas dessas imagens, que complementam o sentido do que é apresentado.

Apresentar aos estudantes questionamentos que os levem a realizar cálculo mental de porcentagens. Perguntar, por exemplo:

• Quanto é 1% de 100 reais? (Resposta: 1 real.)

• Quanto é 20% de 20 metros de tecido? (Resposta: 4 metros de tecido.)

• E quanto é 10% de 100 canetas que há no estoque de uma papelaria? (Resposta: 10 canetas.)

Provavelmente você já se deparou com a expressão por cento em seu dia a dia. Essa expressão pode aparecer em notícias veiculadas em jornais, TV ou internet, em ofertas comerciais e nos bate-papos diários com a família ou amigos.

Já enviamos 80% dos 1 000 ventiladores encomendados.

Significa que, de 1 000 ventiladores encomendados, 800 foram enviados.

Isso significa que, a cada 100 reais gastos nesta loja, há um desconto de 40 reais.

Relacionando a expressão por cento (%) à fração de denominador 100 e à respectiva forma decimal, temos, por exemplo:

Forma percentual Forma fracionária Forma decimal 80% 80 100 0,80 40% 40 100 0,40

Esses são três modos de escrever uma porcentagem ou taxa percentual. Acompanhe, a seguir, algumas situações de aplicação do conceito de porcentagem.

1 Dos 28 estudantes de uma turma do 7o ano de uma escola, 8 usam óculos. Qual é a porcentagem de estudantes que usam óculos em relação à quantidade total de estudantes da turma?

Dos 28 estudantes da turma, 8 usam óculos. Assim, podemos escrever a razão: 8 28 0,286 0,286 100 100 28,6 100 28,6% 1===

Aproximadamente 28,6% (vinte e oito vírgula seis por cento) dos estudantes da turma usam óculos.

Pedir aos estudantes que expliquem como pensaram para fazer mentalmente esses cálculos.

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Esses questionamentos têm o objetivo de fazer uma avaliação diagnóstica a respeito do nível de conhecimentos prévios dos estudantes, possibilitando ao professor identificar os que são relevantes para a construção das novas aprendizagens que esta Unidade traz como objetivos.

2 Em um município, cuja população é de aproximadamente 110 000 habitantes, verificou-se que 12,5% desses habitantes têm mais de 60 anos. Quantos habitantes desse município têm 60 anos ou menos?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Vamos calcular a quantidade de habitantes do município que têm mais de 60 anos.

12,5% de 110 000 corresponde a 12,5 100 ? 110 000 = 13 750

Como queremos descobrir a quantidade de habitantes que têm 60 anos ou menos, subtraímos esse resultado do total de habitantes.

110 000 13 750 = 96 250

Então, nesse município, 96 250 habitantes têm 60 anos ou menos.

Podemos resolver esse problema de outro modo:

Sabemos que 12,5% dessa população têm mais de 60 anos. Então, podemos determinar o percentual da população que tem 60 anos ou menos.

100% 12,5% = 87,5%

Assim, podemos determinar a quantidade de habitantes que essa taxa percentual representa.

87,5% de 110 000 corresponde a 87,5 100 ? 110 000 = 96 250 Com isso, obtivemos o mesmo resultado, ou seja, 96 250 habitantes.

3 O preço de uma camiseta era R$ 40,00 e sofreu um acréscimo de 15%. Qual foi o valor do acréscimo, em reais?

Calculamos diretamente o valor do acréscimo de 15% em R$ 40,00 fazendo:

15

100 40 = 6 R$ 6,00

Podemos resolver esse problema de outro modo, considerando que 15% = 10% + 5%. Assim, calculamos: 10% de R$ 40,00 corresponde a 10 100 ? 40 = 4 R$ 4,00

Para calcular 5% de R$ 40,00, fazemos R$ 4,00 : 2 = R$ 2,00, pois 5% corresponde à metade de 10%.

Portanto, o valor do acréscimo é R$ 4,00 + R$ 2,00 = R$ 6,00.

Essa estratégia pode ser utilizada para realizar cálculos mentais de porcentagem. Por exemplo, se quiséssemos saber o valor de 20% de R$ 40,00, conhecendo o valor de 10% de R$ 40,00, bastaria multiplicar esse valor por 2 (2 10% = 20%). Ou, ainda, conhecendo o valor de 5% de R$ 40,00, multiplicamos esse valor por 4 (4 ? 5% = 20%).

AMPLIANDO

Link

UTOMI, Karolyne; ANGELINI, Kelli. #INTERNET com responsa: vai às compras. São Paulo: NIC.BR/ CGI.BR, 2018. Disponível em: https://internetsegura.br/pdf/guia-internet-com-responsa-vai-as-compras.pdf.

Acesso em: 16 ago. 2022

Nesse link, o material disponível apresenta reflexões com base nas quais se pode ampliar o trabalho com as situações apresentadas nas páginas 240 e 241 do Livro do estudante, realizando uma roda de conversa a respeito das experiências dos estudantes com compras on-line que os responsáveis por eles podem já ter realizado. Sugerir aos estudantes que leiam com os responsáveis as dicas disponíveis nesse material.

Na situação 2, é possível ampliar a reflexão com os estudantes, orientando-os acerca dos direitos dos idosos que são garantidos no Estatuto do Idoso Pode apoiar este momento nas informações da cartilha disponível em: https://www.gov.br/mdh/ pt-br/assuntos/noticias/2018/ marco/CartilhaUNISAL.pdf (acesso em: 16 ago. 2022).

Questionar a turma, nas situações 2 e 3, se identificam a importância de saber calcular porcentagens e se verificam por que é importante estudar e aprender como calcular porcentagens. Espera-se que eles percebam que é uma habilidade muito utilizada nas várias situações cotidianas, por exemplo, as que envolvem compras com descontos, investimentos que garantem acréscimos a um valor após determinado tempo, entre outras.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Para responder à questão proposta nesse boxe, os estudantes exercitam o raciocínio lógico para explicar a conclusão do processo de formulação da resposta, produzindo inferências que podem ser validadas por correspondência entre a forma escrita em porcentagem e na forma de fração.

Porcentagem na calculadora Sugere-se trabalhar este conteúdo organizando os estudantes em grupos ou duplas. Os estudantes podem direcionar o foco para as estratégias de resolução das situações e os cálculos são feitos com o auxílio desse recurso.

Para ampliar a situação 4, perguntar aos estudantes se possuem o hábito de ler livros. Com base nos dados, propor que calculem, usando a calculadora, a porcentagem que representa a quantidade de estudantes da turma que possui o hábito de ler livros.

Pedir aos estudantes que têm esse hábito que argumentem, a fim de explicitar aos que ainda não possuem, sobre os benefícios desse hábito, como ampliação do vocabulário, estímulo ao pluralismo de ideias por meio dos assuntos lidos, entre outros.

Utilizar a calculadora como modo de investigação, solicitando aos estudantes, por exemplo, que calculem 1% e 10% de 100, 2% e 20% de 100, 3% e 30% de 100, 4% e 40% de 100, 5% e 50% de 100 e elaborem, no caderno, uma produção textual para descrever as regularidades identificadas nos resultados obtidos nesses cálculos. Desse modo, os estudantes ampliam o repertório deles de cálculo mental de porcentagens.

4 Um anúncio em uma livraria diz o seguinte:

SOMENTE HOJE! 25% DE DESCONTO EM QUALQUER LIVRO

Carol aproveitou a promoção e comprou um livro que custava R$ 32,00. Considerando odesconto, quanto ela pagou pelo livro?

Vamos calcular 25% de R$ 32,00: 25 100 32 = 8 R$ 8,00

Assim, o desconto foi de R$ 8,00. Subtraindo R$ 8,00 dos R$ 32,00 (preço sem o desconto), obtemos o valor com desconto: R$ 32,00 R$ 8,00 = R$ 24,00

Portanto, Carol pagou R$ 24,00 pelo livro na promoção. Note que, ao simplificarmos a fração 25 100 , obtemos a fração 2525 100 25 1 4 : : = . Isso significa que a fração 25 100 é equivalente à fração 1 4 . Assim, podemos calcular 25% de R$ 32,00, fazendo: 1 4 ? 32 = 8 R$ 8,00

Ou seja, dividimos R$ 32,00 por 4.

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

Espera-se que os estudantes percebam que, para calcular 50% de um valor, basta dividir esse valor por 2, pois 50% correspondem a = 50 100 1 2 .

Considere o percentual 50% e escreva-o na forma de fração. Em seguida, simplifique essa fração até encontrar a forma irredutível e explique aos colegas e ao professor como você faria para calcular 50% de um valor, usando essa fração irredutível.

PORCENTAGEM NA CALCULADORA

Podemos calcular porcentagem usando a tecla % de uma calculadora simples, como a da imagem.

No quadro a seguir, apresentamos exemplos de como calcular porcentagens, acréscimos e decréscimos usando a calculadora.

Cálculo Teclas pressionadas Resultado no visor da calculadora

Neste momento, se possível, em parceria com o professor de Língua Portuguesa, verificar a possibilidade de realizar um trabalho conjunto com base na formação dos estudantes para incentivá-los acerca da importância da leitura e de realizar produções textuais escritas no mundo digital.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

1. b) Equipe A ; A equipe A ganhou 80% dos jogos, enquanto a equipe B ganhou 75% dos jogos.

Responda às questões no caderno.

1. Em um campeonato de voleibol, a equipe A ganhou 24 jogos dos 30 que disputou; e a equipe B ganhou 21 jogos dos 28 que disputou.

a) Expresse a taxa percentual de vitórias de cada equipe.

Equipe A : 80%; equipe B: 75%.

b) Qual equipe apresentou melhor desempenho? Por quê?

2. Em dada semana, um comerciante ofereceu um desconto de 20% em todos os produtos de sua loja, apenas para as compras com pagamento à vista. Mariana gostou de uma calça que custa R$ 135,00. Se ela pagar à vista, de quanto será o valor final da calça?

3. Um produto que custava R $ 78,00 sofreu um acréscimo e passou a custar R$ 83,85.

a) Qual foi o valor do acréscimo, em reais?

b) Qual foi a taxa percentual do acréscimo?

4. De acordo com o Censo Demográfico 2010, o IBGE recenseou cerca de 57 milhões de domicílios particulares permanentes do Brasil, sendo que apenas cerca de 31% deles possuíam microcomputador com acesso à internet. Quantos desses domicílios, aproximadamente, possuíam microcomputador com acesso à internet no Brasil nesse ano?

17,67 milhões de domicílios.

Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Censo Demográfico 2010: famílias e domicílios: resultados da amostra. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 120. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/ periodicos/97/cd_2010_familias_domicilios_ amostra.pdf. Acesso em: 18 jul. 2022.

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5 Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

5. Em uma competição, uma equipe ganhou 80 medalhas, sendo 25% de ouro, 35% de prata e o restante de bronze. Elabore uma pergunta que possa ser respondida a partir desses dados.

6. Usando os dados do cartaz, elabore um problema envolvendo porcentagem. Em seguida, entregue para um colega resolvê-lo.

OFERTAS

7. Utilizando as estratégias de cálculo mental estudadas, calcule as seguintes porcentagens. Depois, confira os resultados com uma calculadora.

a) 25% de 200.

b) 75% de 200.

c) 50% de 250.

Atividades

Esse bloco de atividades tem como objetivo que os estudantes realizem cálculos diretos de porcentagens, bem como apliquem esses cálculos na resolução e elaboração de problemas envolvendo porcentagens.

Nas atividades 2, 3, 6 e 8, situações de descontos, acréscimos e reajustes são exploradas. Se sentir que o momento é adequado, questionar os estudantes sobre o que acontece com o preço de determinado produto que sofre um acréscimo de 10% e, posteriormente, um desconto de 10%. Em geral, os estudantes tendem a dizer que o valor voltará a ter o preço inicial. Fazer um exemplo na lousa mostrando que isso não ocorre.

d) 10% de 250.

e) 1% de 250.

f) 13% de 250.

8. Usando a calculadora, resolva as situações a seguir.

a) O valor da mensalidade de uma academia sofrerá reajuste de 18%. Se hoje o valor da mensalidade é R$ 135,00, qual será o novo valor após o reajuste?

R$ 159,30

b) Para atrair novos clientes, uma loja virtual oferece um cupom de 12% de desconto na primeira compra. Se a primeira compra de um cliente ficou em R $ 193,00, quanto ele pagou depois de aplicado o cupom de desconto?

R$ 169,84

A atividade 6 propõe a elaboração de problema com base na leitura da imagem de um cartaz que apresenta informações com as quais os estudantes se deparam ao ir com os responsáveis, por exemplo, ao mercado fazer compras. É esperado que os estudantes não tenham dificuldade em elaborar o problema por envolver um contexto próximo da realidade deles.

As atividades 7 e 8 indicam o uso da calculadora. Previamente, verificar se na escola há calculadoras para disponibilizar aos estudantes, ou solicitar a eles que providenciem, se possível, para utilizar na aula em que esse bloco de atividades for aplicado, conforme o planejamento da aula.

Resposta

pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Probabilidade

No segundo capítulo desta Unidade, a habilidade EF07MA34 é favorecida ao longo do encaminhamento das situações e atividades propostas.

O estudo de probabilidade como a razão entre o número que indica a quantidade de possibilidades favoráveis e o número que indica a quantidade total de possibilidades vem sendo construído desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

Nesse sentido, se possível, simular com os estudantes a situação descrita nesta página do Livro do estudante, para que eles compreendam que:

• em algumas situações, é possível prever com exatidão os resultados apresentados por serem seguramente certos. Por exemplo: sortear, sem olhar, uma bolinha vermelha de uma urna em que há 10 bolinhas vermelhas idênticas;

• em outras situações, não é possível prever com exatidão o resultado, por envolvem aleatoriedade, como a situação de Artur sortear, sem olhar, bolinhas de determinadas cores, de uma urna em que há bolinhas de várias cores.

Nesse caso, os resultados são considerados possíveis e, por isso, calcula-se a probabilidade.

Acompanhe a situação a seguir. A professora Leila colocou em uma urna 15 bolinhas azuis, 25 bolinhas vermelhas e 10 bolinhas amarelas, todas de mesmo tamanho. Ela pediu a Artur que retirasse, sem olhar, uma bolinha da urna. Mas antes ela perguntou para a turma qual cor de bolinha ele teria a maior chance de retirar da urna: azul, vermelha ou amarela.

Os estudantes responderam que a chance de Artur retirar uma bolinha vermelha era maior, pois havia mais bolinhas vermelhas na urna do que de cada uma das outras cores.

Depois, a professora perguntou qual era a probabilidade de Artur retirar uma bolinha amarela.

Para calcular a probabilidade de Artur retirar uma bolinha amarela, precisamos determinar a quantidade de bolinhas que há na urna. Ao todo, são 50 bolinhas (25 + 15 + 10 = 50).

Então, Artur tem 10 possibilidades em 50 de retirar uma bolinha amarela.

Indicamos isso com a fração 10 50

A probabilidade (P) é dada pela razão entre a quantidade de possibilidades favoráveis e a quantidade total de possibilidades. Assim:

P = número de possibilidades favoráveis número tota l de possibilidades

Na situação apresentada, as 10 bolinhas amarelas são os casos favoráveis, e a quantidade total de possibilidades é 50 bolinhas. Então:

Pbolinha amarela = 10 50

Essa probabilidade pode ser representada na forma de fração irredutível, na forma decimal e em porcentagem. Acompanhe. • 10 50

0,2 == • % 10 50 20 100 20 ==

Portanto, a probabilidade de Artur retirar uma bolinha amarela da urna é de 1 5 ou 0,2, ou, ainda, 20%.

Para calcular a probabilidade de Artur retirar uma bolinha azul, primeiro temos de determinar a quantidade de possibilidades favoráveis, que é a quantidade de 244

bolinhas azuis na urna, e a quantidade total de possibilidades, que é a quantidade de bolinhas na urna. Logo, 15 possibilidades em 50, ou seja:

Pbolinha azul == 15 50 3 10 = 0,3 = 30%

Como a quantidade de bolinhas vermelhas é 25, essa é a quantidade de possibilidades favoráveis de Artur retirar uma bolinha vermelha da urna, e sua probabilidade é dada por:

Pbolinha vermelha = 25 50 1 2 == 0,5 = 50%

Como a quantidade de possibilidades favoráveis de determinado evento pode ser, no máximo, igual à quantidade total de possibilidades, temos que a probabilidade de esse evento acontecer pode ser no máximo 1, ou seja, 100%.

Retomando o caso das bolinhas, notamos que Artur só pode retirar uma bolinha amarela, azul ou vermelha. Se adicionarmos cada uma das probabilidades já calculadas, temos:

Pbolinha amarela + Pbolinha azul + Pbolinha vermelha = 20% + 30% + 50% = 100%

ATIVIDADES

SAIBA QUE

Chamamos de dado honesto aquele cuja probabilidade de ocorrência de qualquer face é a mesma. Do mesmo modo, em uma moeda honesta, a probabilidade de ocorrer cara é igual à probabilidade de ocorrer coroa.

Responda às questões no caderno.

1. Qual é a probabilidade de sair cara no lançamento de uma moeda honesta?

2. Calcule a probabilidade de obter um número menor do que 3 no lançamento de um dado honesto.

3. Cláudia vai lançar um dado honesto. Calcule a probabilidade de ela obter:

a) um número par.

b) um número maior do que 2.

c) um número menor do que 4.

4. Na turma de Patrícia há 12 meninas e 18 meninos. Duas meninas se chamam Juliana, e três dos meninos praticam judô. Serão sorteados um menino e uma menina para representar a turma na escola.

a) Qual é a probabilidade de Patrícia ser sorteada?

AMPLIANDO

Link

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco exploram o conceito de probabilidade, utilizando o quociente entre o número de casos favoráveis e o número total de possibilidades. Chamar a atenção dos estudantes para o conteúdo do boxe Saiba que, que aborda do significado dos termos dado honesto e moeda honesta

b) Qual é a probabilidade de ser sorteada uma das Julianas?

c) Qual é a probabilidade de ser sorteado um dos meninos que praticam judô?

5. (Saresp-SP) As cartas abaixo serão colocadas numa caixa e uma será retirada ao acaso.

A probabilidade de a carta retirada ter a figura de uma pessoa é

POLYPAD: virtual manipulatives. Mathigon. [S l.], c2022. Disponível em: https://pt.mathigon.org/polypad.

Acesso em: 16 ago. 2022.

Nesse link, nas opções à esquerda na tela, na aba Arquivo, no item Probabilidade e dados, na opção Moedas, dados e spinners, é possível propor aos estudantes experimentos para investigar, por exemplo, a probabilidade de se obter determinada cor ao girar o ponteiro de uma roleta, ou obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda virtual. Também é possível lançar um dado e randomizar o sorteio de número em ficha.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

A proposta desta seção visa apresentar abordagem da habilidade EF07MA34 a fim de favorecer nos estudantes o desenvolvimento dessa habilidade.

Ler com os estudantes o texto apresentado na página do Livro do estudante.

Ao término, propor a eles sintetizar no caderno, em um texto, as ideias principais, como experimento aleatório, espaço amostral e evento.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Você já notou que, mesmo conhecendo todos os resultados possíveis de determinado experimento, não podemos saber com exatidão qual de fato será o resultado antes de executá-lo?

Por exemplo, ao lançarmos uma moeda honesta, conhecemos todos os resultados possíveis (cara ou coroa), mas não sabemos qual será o resultado antes do lançamento. Esse tipo de experimento, que, mesmo repetido várias vezes sob as mesmas condições, apresenta resultados imprevisíveis, é chamado de experimento aleatório

Todos os resultados possíveis de um experimento aleatório formam um conjunto chamado de espaço amostral, e cada subconjunto do espaço amostral é chamado de evento

Um exemplo de experimento aleatório é o jogo de cara ou coroa. Esse jogo consiste em lançar uma moeda para o ar e, então, verificar qual de suas faces ficou voltada para cima após sua queda.

Em uma partida de futebol, é comum jogar cara ou coroa para decidir quem iniciará a partida ou quem escolherá o campo, pois, utilizando uma moeda honesta, teoricamente a probabilidade de sair cara é a mesma de sair coroa, ou seja, 50% para cada uma.

Mas será que se lançarmos uma moeda e registrarmos a quantidade de vezes que cada face ficou voltada para cima o resultado será exatamente meio a meio, ou seja, 50%?

Para responder a essa questão, vamos observar os resultados do lançamento de uma moeda honesta, repetido inúmeras vezes por um grupo de estudantes, descritos a seguir.

Os estudantes começaram o experimento com 10 lançamentos, e foram registrados 4 caras e 6 coroas. Em seguida, resolveram aumentar a quantidade total para 50 lançamentos e registraram 23 caras e 27 coroas. A partir daí compararam o resultado dos dois experimentos e concluíram que a probabilidade de se obter cara era diferente da probabilidade de se obter coroa nos dois conjuntos de dados.

SAIBA QUE

Quando uma moeda não é honesta, ou seja, quando em um experimento aleatório as faces não têm a mesma probabilidade de ocorrer, dizemos que a moeda é viciada

AMPLIANDO

Vídeo

HISTÓRIA da Matemática – Aula 14 – Probabilidade. 2017. Vídeo (17min13s). Publicado pelo canal UNIVESP. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=r0GnS_SWU2s. Acesso em: 16 ago. 2022.

Esse vídeo apresenta informações da história da Matemática relacionadas à probabilidade para ampliar a formação continuada do professor.

Lançamento de uma moeda.

Diante disso, eles fizeram vários experimentos com diferentes quantidades de lançamentos e registraram as informações no quadro a seguir.

2 a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ressaltar para os estudantes, com base no quadro desta página, que há experimentos cujos resultados possíveis se repetem, como no caso do lançamento da moeda apresentado nessa seção.

Desse modo, ao repetir esse experimento determinada quantidade de vezes e anotar os resultados, é possível perceber a frequência de ocorrências e, assim, realizar estimativa de probabilidade.

Observe que em nenhum caso os resultados obtidos nas repetições foram iguais. Em algumas situações, ocorre uma quantidade maior de caras e, em outras, uma quantidade maior de coroas. Isso evidencia a imprevisibilidade de um experimento aleatório. Responda às questões no caderno.

1. Determine a probabilidade de caras e de coroas de cada repetição observada no quadro. O que você pode concluir sobre os resultados?

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Vamos fazer um experimento com uma moeda. Junte-se a um colega, e lancem uma moeda 50 vezes, anotando se a face voltada para cima após a queda é cara ou coroa. Para isso, construam um quadro como o apresentado nesta página. Vocês também podem utilizar uma planilha eletrônica para registrar os resultados. Em seguida, comparem os resultados com os dos demais colegas e respondam:

a) Antes de realizar o experimento, o que vocês esperavam como resultado?

b) Os resultados foram iguais ao esperado?

c) Se ocorresse um resultado muito distante do previsto, o que poderíamos supor?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Exemplo de resposta: A moeda poderia ser viciada.

DESCUBRA MAIS

ÁUDIOS DA COLEÇÃO M3. (Série Cultura) História da Probabilidade, [2011?]. Matemática Multimídia. Podcast. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1253. Acesso em: 18 jul. 2022. O áudio apresenta a história da Probabilidade de maneira descontraída e divertida.

AMPLIANDO

Livro

RIFO, Laura. Probabilidade e estatística: aspectos de tomadas de decisões e incertezas para o Ensino Fundamental e Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2021. (ProfMat).

Nesse livro, são apresentadas atividades e possíveis abordagens para trabalhar o ensino do cálculo de probabilidades na Educação Básica.

Na atividade 1, os estudantes calculam probabilidades. Já na proposta da atividade 2, espera-se que eles percebam que, à medida que aumenta a quantidade de repetições do experimento, aumenta a quantidade de vezes que, ao lançar a moeda, a face voltada para cima obtida é cara e aumenta também a quantidade de vezes que a face voltada para cima obtida é coroa.

ALHOVIK/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Medidas em Estatística

No terceiro capítulo da Unidade, as habilidades EF07MA34 e EF07MA35 são favorecidas. Destaca-se a proposta de realização de pesquisa estatística na qual os estudantes podem mobilizar conhecimentos estudados nos capítulos anteriores desta Unidade, bem como neste, além de articuladamente exercitarem a curiosidade intelectual e argumentarem para analisar os dados obtidos na pesquisa, progredindo na apropriação de atitudes relacionadas às competências gerais 2 e 7.

Ainda em decorrência da proposta dessa pesquisa, possibilita-se que os estudantes compreendam relações entre procedimentos de diferentes campos da Matemática, como Aritmética e Estatística e Probabilidade, enquanto interagem de modo cooperativo, promovendo a abordagem de aspectos relacionados às competências específicas 3 e 6 da área de Matemática.

Sugere-se iniciar o trabalho com este capítulo retomando com os estudantes a importância da Estatística para interpretar informações na sociedade contemporânea.

Além das informações divulgadas em meios de comunicação, pode-se mencionar um contexto próximo da realidade dos estudantes que é o fato de, nas redes sociais, ser possível visualizar dados estatísticos acerca de quantidade de posts “curtidos”, quantidade de seguidores ou de visualizações, entre outros, de acordo com os perfis. Esses dados são apresentados, por exemplo, diariamente, semanalmente, mensalmente ou anualmente.

Em seguida, com os estudantes, ler a situação 1 e detalhar os procedimentos para o cálculo da média das alturas dos jogadores do time de basquete.

MEDIDAS EM ESTATÍSTICA

A Estatística utiliza várias medidas para investigar características de um conjunto de dados observados em determinado estudo. Algumas dessas medidas são chamadas de medidas de tendência central, das quais a média aritmética é a mais conhecida e utilizada no cotidiano.

Acompanhe as situações a seguir. Uma verificação muito comum no mundo dos esportes, como vôlei ou basquete, é o destaque que se dá à altura média dos jogadores de cada equipe.

1 A tabela a seguir mostra a altura, em metro, dos cinco jogadores titulares de um time de basquete.

Altura dos jogadores de basquete

Jogador Altura (em metro)

Pedro 1,90

Antônio 1,99

Carlos 2,01

Sérgio 2,08

João 2,12

Fonte: Dados fictícios.

Para sabermos a altura média dos jogadores titulares do time de basquete, devemos calcular a média aritmética dessas medidas. Observe:

Então, a altura média dos jogadores titulares do time de basquete é de 2,02 m. Observe que esse valor não aparece no conjunto de dados da tabela anterior. A média nem sempre é um dos valores observados dentro de um conjunto de dados, mas ela sempre está entre o menor e o maior valor do conjunto. Nesse caso, podemos dizer que a altura de 2,02 m é um valor representativo dos valores observados, ou seja, a altura dos jogadores titulares do time. Outra medida estatística que podemos utilizar é a amplitude do conjunto de dados. Ela é a diferença entre o maior e o menor valor observado e mostra a variação dos valores do conjunto.

A prática de esportes auxilia os estudantes a exercitar a empatia e a resolução de conflitos. Se possível, promover atividades esportivas, em parceria com o professor de Educação Física, e envolver conteúdos matemáticos, como cálculo da média das alturas, a exemplo dessa situação apresentada no Livro do estudante, são possibilidades que podem ser aplicadas envolvendo os estudantes.

Jogadores de basquete com o treinador. MONKEY

Os jogadores de maior e menor altura do time são João e Pedro, e a amplitude é dada por: 2,12 m 1,90 m = 0,22 m

Logo, a amplitude das medidas das alturas dos jogadores do time de basquete é de 22 cm.

Outra situação em que podemos avaliar a média de um conjunto de dados numéricos é na análise de um gráfico.

2 O gráfico a seguir representa a produção de uma fábrica de calças jeans no primeiro semestre (janeiro a junho) de 2022.

Produção do 1o semestre de 2022

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Dar continuidade ao trabalho com esta página do Livro do estudante de maneira análoga às sugestões propostas nas orientações didáticas da página anterior. Com os estudantes, ler a situação 2 e, no cálculo da média, pedir a um estudante que descreva como explicaria o cálculo apresentado no Livro do estudante, considerando as trocas realizadas ao trabalhar a página anterior, explorando a situação 1

Fonte: Fábrica

Vamos determinar a média mensal da produção de calças jeans no período.

Então, a média mensal de calças jeans produzidas é de 165 calças. Ao indicar a média no gráfico, como mostrado a seguir, podemos verificar os meses em que a produção ficou acima ou abaixo da média.

Em seguida, detalhar para eles os procedimentos para o cálculo da amplitude.

Nos meses de janeiro, fevereiro, maio e junho, a fabricação de calças jeans ficou abaixo da média, e nos meses de março e abril a fabricação ficou acima da média.

Agora, vamos calcular a amplitude desse conjunto de dados. No gráfico, observamos que o mês de maior produção foi abril (240), e o de menor produção foi janeiro (120).

120 =

Logo, a amplitude da produção de calças jeans no primeiro semestre de 2022 foi de 120 calças.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco exploram o cálculo de média e amplitude, bem como a leitura e interpretação de dados em gráficos de colunas.

Solicitar aos estudantes que, nas atividades 2 e 3, expliquem a interpretação que realizam com base na leitura dos gráficos apresentados.

Avaliar se os estudantes mencionam nos comentários referências às escalas nos eixos verticais e às categorias apresentadas.

Verificar se atentam para o fato da proporção entre as alturas das colunas em relação à escala, entre outras características.

ATIVIDADES

2. a) O consumo médio mensal foi de aproximadamente 13,83 m3

Responda às questões no caderno.

1. A tabela a seguir mostra a quantidade de estudantes matriculados nos períodos manhã, tarde e noite em uma escola de línguas.

Período

Curso Manhã Tarde Noite

Inglês 15 16 14

Espanhol 21 20 25

2. b) O consumo médio diário foi de aproximadamente 0,46 m3

3. O gráfico mostra a quantidade de refeições servidas em um restaurante durante uma semana.

Manhã: 18; Tarde: 18; Noite: 19,5.

Calcule a média de estudantes matriculados: a) por curso. b) por período.

Inglês: 15; Espanhol: 22.

2. Os estudantes do 7o ano de uma escola calcularam, em metro cúbico, a média de consumo de água de cada mês, considerando o consumo da residência de cada um dos 20 estudantes da turma. Em seguida, construíram o seguinte gráfico.

Fonte: Dados do restaurante.

Fonte: Contas de água das residências dos estudantes.

a) Qual foi o consumo médio mensal de água nas residências dos estudantes no período retratado no gráfico? Use uma calculadora, se necessário.

b) Considerando os meses com 30 dias cada um, qual foi o consumo médio diário nas residências desses estudantes?

a) Por dia, qual foi a média de refeições servidas pelo restaurante nessa semana, considerando apenas os dias em que ele funcionou? Esse valor está destacado no gráfico?

186 refeições; não.

b) Em que dias dessa semana a quantidade de refeições servidas ultrapassou a média?

Terça-feira, quinta-feira e sexta-feira.

c) Qual é a amplitude da quantidade de refeições servidas nos dias de funcionamento?

140 refeições.

4. Caio estava preocupado com seus gastos mensais e resolveu analisar as compras feitas nos últimos quatro meses, por categoria. Com as informações, montou este quadro.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Qual é a média de gastos de Caio em cada categoria nesses quatro meses? Use uma calculadora, se necessário.

Alimentação: R$ 198,75; Roupas: R $ 73,75; Lazer: R$ 100,00.

b) Com as informações obtidas, Caio resolveu diminuir seus gastos em 10% e iniciar uma reserva de emergência na poupança. Que categoria você indicaria a Caio para reduzir os gastos? Justifique sua resposta.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

DESCUBRA MAIS

ÁUDIOS DA COLEÇÃO M3. (Série Cultura) História da Estatística, [2011?]. Matemática Multimídia. Podcast. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1252. Acesso em: 18 jul. 2022. O áudio apresenta a história da Estatística de maneira descontraída e divertida.

Consumo sustentável Leia o texto a seguir.

O conceito de consumo sustentável diz respeito à percepção dos indivíduos, na posição de consumidores, com relação à análise do impacto e das consequências do consumo sobre o meio ambiente, o respeito à qualidade de vida individual e coletiva, e o desenvolvimento justo da sociedade.[...]

Pode-se definir o consumidor consciente, seja indivíduo, empresa, entidade social ou governo, como aquele que, por seus valores e atitudes, busca contribuir para um mundo melhor, por meio de escolhas conscientes no momento de consumir produtos, serviços e recursos naturais, valorizando empresas que procuram ser socialmente responsáveis, preocupando-se com o impacto da produção e do consumo sobre o meio ambiente, buscando a melhor relação entre preço, qualidade e atitude social em produtos e serviços [...]

SÃO PAULO (Estado). Secretaria de Infraestrutura e Meio Ambiente. Coordenadoria de Planejamento Ambiental. Consumo sustentável – Apresentação. São Paulo: Secretaria de Infraestrutura e Meio Ambiente, c2022. Disponível em: https://www.infraestruturameioambiente.sp.gov.br/cpla/consumo-sustentavel/. Acesso em: 18 jul. 2022.

• Reúna-se a mais dois colegas, e elaborem uma lista de perguntas que possam ser feitas no momento da compra de algum produto para ajudá-los a consumir de maneira consciente. Depois, mostrem essa lista a seus familiares e amigos e os ajudem a ser, também, consumidores conscientes. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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No item b da atividade 4, validar as justificativas apresentadas pelos estudantes. Espera-se que eles considerem o nível de prioridade de cada categoria. Por exemplo, a alimentação é uma categoria de gasto essencial, enquanto o lazer, apesar de importante, é uma categoria que pode ser substituída por atividades que não envolvam despesas, como caminhar em um parque, andar de bicicleta, entre outras. O vestuário, em relação às três categorias apresentadas, pode ser avaliado como secundário e mais importante que o lazer, dado que em alguns casos é necessário adquirir nova peça de roupa para substituir outra que já esteja sem condição de uso.

Fórum

O objetivo da proposta desse boxe é contribuir para a formação dos estudantes com ideias relacionadas ao consumo consciente. Nesse sentido, o Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira é contemplado à medida que os estudantes refletem sobre a importância de compatibilizar o consumo dos recursos naturais disponíveis no planeta com hábitos do cotidiano, entre eles o hábito de realizar compras.

27/08/22 10:50

Comentar com os estudantes que essa proposta está em conformidade com um dos objetivos da Agenda 2030 para o Desenvolvimento Sustentável propostos pela Organização das Nações Unidas (ONU): objetivo 12, consumo e produção responsáveis. Para saber mais a esse respeito, é possível obter informações neste link, no site das Nações Unidas no Brasil: https://brasil.un.org/ pt-br/sdgs/12 (acesso em: 17 ago. 2022).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pesquisa estatística

Iniciar explicando aos estudantes que a Estatística é uma ciência que trabalha com a coleta de dados, que são organizados e analisados para determinado objetivo, como o Censo Demográfico realizado pelo IBGE.

Comentar que, no caso do Censo Demográfico, a realização desse tipo de pesquisa estatística tem como objetivo que o governo possa produzir inferências acerca da realidade da população e, desse modo, tomar decisões relacionadas, principalmente, a criação de políticas públicas. Ler com os estudantes, coletivamente, o conteúdo da página. Com base nas situações apresentadas, reforçar para eles que identificar a diferença entre a ideia de população e amostra em Estatística é importante para escolher de maneira adequada a quantidade necessária de entrevistados para a coleta de dados. Reforçar também a importância de a amostra ser representativa em relação à população cujo estudo dos dados estatísticos serão realizados.

PESQUISA ESTATÍSTICA

População e amostra

Realizamos uma pesquisa estatística quando pretendemos estudar alguma característica de determinado conjunto de elementos, os quais podem ser pessoas, resultados, objetos etc. O conjunto de todos os elementos, que tem a característica do interesse da pesquisa, é chamado de população

Quando temos muitos elementos na população que queremos estudar, podemos realizar a pesquisa utilizando uma amostra que represente essa população. Uma amostra é um subconjunto dos elementos da população.

Vamos observar duas situações que ilustram a diferença entre população e amostra.

1 Uma empresa farmacêutica é responsável pela produção de um medicamento vendido em cápsulas. O controle de qualidade dessa empresa precisa fazer uma pesquisa para verificar se as 10 000 cápsulas produzidas diariamente têm o mesmo tamanho.

Nessa situação, temos:

Objetivo da pesquisa: fazer o controle de qualidade da produção de um medicamento. Característica pesquisada: tamanho das cápsulas de um medicamento.

População: 10 000 cápsulas do medicamento produzidas diariamente.

Amostra: 150 cápsulas do medicamento produzidas diariamente.

2 A prefeitura de um município quer saber se as crianças e os adolescentes, que são aproximadamente 1 000 pessoas, frequentariam as escolas nos fins de semana para usar o espaço de maneira recreativa (quadra e biblioteca).

Nessa situação, temos:

Objetivo da pesquisa: estudar a possibilidade de abrir as escolas nos fins de semana. Característica pesquisada: intenção ou não de frequentar o espaço da escola de maneira recreativa nos fins de semana.

População: 1 000 pessoas, entre crianças e adolescentes, que moram no município.

Amostra: 30 pessoas, entre crianças e adolescentes, que moram no município.

AMPLIANDO

Vídeo

A IMPORTÂNCIA do Censo • IBGE Institucional. 2022. Vídeo (2min37s). Publicado pelo canal IBGE. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=1FfyDyRinpY. Acesso em: 17 ago. 2022.

Nesse vídeo, de maneira objetiva, com linguagem clara e sucinta, é possível apresentar aos estudantes a importância da realização do Censo Demográfico.

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

Nas duas situações apresentadas, foi selecionada uma amostra para a realização da pesquisa. O objetivo da pesquisa é que vai ajudar a determinar a característica e a população a ser estudada.

Pesquisa censitária e amostral

Em Estatística, temos dois tipos de pesquisa: a censitária e a amostral.

Na pesquisa censitária, todos os elementos de determinada população são pesquisados. As pesquisas censitárias de grande porte, em geral, são mais demoradas, e há um custo maior em pesquisar todos os elementos da população de interesse.

SAIBA QUE

Um exemplo de pesquisa censitária de grande porte é o Censo Demográfico no Brasil, realizado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que geralmente acontece a cada 10 anos e tem como objetivo constituir a principal fonte de referência para o conhecimento das condições de vida da população em todos os municípios do país.

Acompanhe a situação a seguir.

A prefeitura de um município deseja verificar a carteira de vacinação das crianças de até 6 anos de idade para realizar uma nova campanha de vacinação. Desse modo, será necessário analisar as carteiras de vacinação de todas essas crianças. Então, a prefeitura vai realizar uma pesquisa censitária para colher essas informações junto aos pais ou responsáveis.

Com essa pesquisa, a prefeitura saberá quais e quantas vacinas deverá aplicar nas crianças durante a campanha.

Criança tomando vacina contra covid-19. Guarani (MG), 2022.

Há casos em que não é possível observar toda a população de interesse, em geral por questões econômicas e prazos menores. Por exemplo, uma livraria pode não ter recursos financeiros suficientes para fazer uma pesquisa de opinião com todos os seus clientes, ou levaria muito tempo para ter os resultados. Para resolver essas dificuldades, existe a pesquisa amostral. Ela é feita com uma parte predeterminada da população de interesse.

Por outro lado, a escolha da amostra deve ser feita segundo critérios rigorosos para que o resultado da pesquisa represente, o mais próximo possível, a opinião ou característica de toda a população de interesse.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pesquisa censitária e amostral Nesta página, são apresentados aos estudantes os tipos de pesquisa em Estatística.

Explicar que, em uma pesquisa estatística, é importante determinar como as informações serão coletadas; por isso, conhecer e saber diferenciar o tipo de pesquisa censitária do tipo amostral torna-se necessário.

Complementar o conteúdo do boxe Saiba que, esclarecendo que, em 2021, em virtude da pandemia de covid-19, o Censo Demográfico realizado pelo IBGE foi adiado.

Se possível, em parceria com o professor de História, trabalhar com os estudantes o histórico dos Censos Demográficos brasileiros. Um resumo pode ser obtido neste link no site do IBGE: https:// memoria.ibge.gov.br/historiado-ibge/historico-dos-censos/ censos-demograficos.html (acesso em: 17 ago. 2022).

Concluir exemplificando que a escolha da amostra de uma pesquisa envolvendo uma população de crianças até 6 anos em um município com 30 000 habitantes é diferente de realizar essa pesquisa em território nacional. Por isso, definir a amostra de uma pesquisa estatística requer critérios, conforme mencionado nesta página no último parágrafo no Livro do estudante.

RONALDO ALMEIDA/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco têm como objetivo que os estudantes ampliem a compreensão dos tipos de pesquisa (censitária e amostral) na resolução de problemas.

Na atividade 3, espera-se que os estudantes indiquem que a amostra seja composta de brasileiros eleitores com as mesmas características da população e, para isso, precisam ser selecionados proporcionalmente em cada estado, por gênero, classe social etc.

Acompanhe a situação a seguir.

Um pesquisador deseja estudar o comportamento de um tipo específico de formiga no município de Belo Horizonte. Para isso, não seria possível pesquisar todas as formigas do município, ou seja, a população de interesse. Dessa maneira, o pesquisador define uma amostra, delimitando uma área para fazer essa observação, além de considerar uma quantidade predeterminada de formigas a ser estudada.

Para definir uma amostra adequada, é importante estabelecer alguns critérios, tais como:

• Definir um perfil da amostra para saber que características serão pesquisadas. Por exemplo: idade, sexo, região de domicílio etc.

• Há uma margem de erro que deve ser considerada, porque estamos trabalhando com estimativas, e não valores absolutos.

• Definir o tamanho da amostra com base na população total e na margem de erro estabelecida como aceitável. Quanto maior a população e menor o erro estabelecido, maior deverá ser o tamanho da amostra.

ATIVIDADES

2. A censitária, pois o tamanho da população é suficientemente pequeno para que todos os elementos sejam pesquisados.

1. Em uma pesquisa censitária, foram entrevistados todos os médicos de um hospital, a fim de identificar as universidades que eles cursaram durante a graduação. Os dados levantados estão apresentados a seguir. Universidade cursada pelos médicos do hospital Universidade cursada Total de médicos

A 34

B 45

C 21

Fonte: Dados fictícios.

a) Observando os dados apresentados, quantos médicos trabalham nesse hospital?

b) Qual é a porcentagem de médicos que estudou na Universidade A?

2. Deseja-se pesquisar o gênero musical preferido dos estudantes da turma do 7o ano de uma escola. Qual é o tipo de pesquisa mais indicada: a censitária ou a amostral? Justifique sua resposta.

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3. Junte-se a um colega, e respondam: que características devem ser levadas em consideração na construção de uma amostra, que pretende pesquisar as intenções de voto de eleitores em uma eleição presidencial?

4. O clube de que Antônio faz parte decidiu sortear 5 sócios para responderem a uma pesquisa de satisfação. A escolha da amostra de sócios, nesse caso, pode representar a opinião da maior parte dos sócios desse clube? Explique sua resposta.

4 Não, pois não foi informada a quantidade de sócios, e a amostra pode não ser representativa da população, ou seja, todos os sócios do clube.

Urna eletrônica.

A COMUNIDADE RIBEIRINHA

Acompanhe o texto a seguir.

Os povos e comunidades tradicionais são grupos culturalmente diferenciados, que possuem condições sociais, culturais e econômicas próprias, mantendo relações específicas com o território e com o meio ambiente no qual estão inseridos. Respeitam também o princípio da sustentabilidade, buscando a sobrevivência das gerações presentes sob os aspectos físicos, culturais e econômicos, bem como assegurando as mesmas possibilidades para as próximas gerações.

São povos que ocupam ou reivindicam seus territórios tradicionalmente ocupados, seja essa ocupação permanente ou temporária. Os membros de um povo ou comunidade tradicional têm modos de ser, fazer e viver distintos dos da sociedade em geral, o que faz com que esses grupos se autorreconheçam como portadores de identidades e direitos próprios [...]

COSTA FILHO, Aderval; MENDES, Ana Beatriz Vianna. Direitos dos povos e comunidades tradicionais. Belo Horizonte: CIMOS: MPMG, [2012?]. p. 12. Disponível em: https://conflitosambientaismg.lcc.ufmg.br/wp-content/ uploads/2014/04/Cartilha-Povos-tradicionais.pdf. Acesso em: 7 jul. 2022.

Os ribeirinhos, ou ribeirinhas, são os povos tradicionais que vivem próximos aos rios e sobrevivem da pesca artesanal, principal atividade desenvolvida por eles. Ainda cultivam pequenos roçados para consumo próprio e desenvolvem atividades extrativistas e de subsistência.

Moradores de comunidade ribeirinha no Rio Parnaíba. Parnaíba (PI), 2020.

Reúna-se a mais dois colegas, e respondam às questões no caderno.

1. Vocês já tinham ouvido falar dos ribeirinhas? Pesquisem se na região de vocês há alguma comunidade ribeirinha. Se sim, qual é o rio que circunda a comunidade?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Ao serem apresentadas nesta seção as comunidades ribeirinhas, objetiva-se que os estudantes valorizem a importância dessas comunidades, bem como tradições e saberes, entre outras características, além de demonstrar a pluralidade social do Brasil.

Se possível, trabalhar esta seção em parceria com o professor de Geografia.

Na proposta de pesquisa da atividade 2, orientar os estudantes sobre a necessidade de, ao realizar uma pesquisa, selecionar fontes variadas e confiáveis, ler as fontes selecionadas e registrar de modo autoral as aprendizagens que a pesquisa propiciou, além de indicar de maneira detalhadas todas as fontes.

Respostas pessoais. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Em geral, os povos tradicionais estão localizados em regiões mais afastadas dos grandes centros urbanos e, por isso, podem ter dificuldades de acesso a alguns recursos. Pesquisem a respeito dessas dificuldades e conversem sobre estratégias e iniciativas que poderiam ser tomadas para melhor atender às necessidades dessa população.

AMPLIANDO

Link

BARBOSA, Jaqueline Peixoto; MORI, Cristiane Cagnoto. O trabalho com pesquisa na escola: em busca da autoria do aluno pesquisador. Na Ponta do Lápis, ano VIII, n. 20, jul. 2012. Disponível em: https:// www.escrevendoofuturo.org.br/conteudo/biblioteca/nossas-publicacoes/revista/artigos/artigo/431/o-trabalho -com-pesquisa-na-escola-em-busca-da-autoria-do-aluno-pesquisador. Acesso em: 17 ago. 2022.

A leitura do conteúdo desse link traz modos e exemplos para orientar os estudantes com relação a noções práticas relacionadas à pesquisa escolar.

TALES AZZI/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Esta seção tem como objetivo explorar a construção de gráficos com o auxílio de ferramentas digitais.

Iniciar comentando com os estudantes que planilhas eletrônicas podem ser usadas em tabulação, tratamento e comunicação dos dados de uma pesquisa.

Ler com os estudantes os passos propostos sequencialmente.

No caso de, na comunidade escolar, não ser possível utilizar o laboratório de informática, elucidar as explicações do passo a passo, apresentando as imagens reproduzidas nessas páginas e solicitar aos estudantes que realizem a construção como atividade extraclasse.

O trabalho com esta seção colabora para o desenvolvimento da habilidade EF07MA36.

TECNOLOGIAS

CONSTRUINDO GRÁFICOS NO COMPUTADOR

Na tabela estão os dados da distribuição das comunidades ribeirinhas por região do país, em quantidade de municípios, de acordo com os dados do Censo Demográfico 2010 do IBGE e o Censo Suas 2014, monitoramento do Sistema Único de Assistência Social.

Distribuição das comunidades ribeirinhas por região do país, em quantidade de municípios

Região Centro-Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul

Quantidade de municípios 10 46 27 11 14

Elaborada com base em: BRASIL. Ministério do Desenvolvimento Social. Aplicações. Brasília, DF: MDS, [20--]. Disponível em: https://aplicacoes.mds.gov.br/sagirmps/ferramentas/docs/Produto_2___Dirce_Koga.pdf. Acesso em: 19 maio 2022.

Vamos utilizar os dados dessa tabela para construir um gráfico de colunas usando a planilha eletrônica Calc do LibreOffice.

Para baixar o LibreOffice gratuitamente, acesse o link https://pt-br.libreoffice.org/ baixe-ja/libreoffice-novo/ (acesso em: 8 jul. 2022).

Acompanhe, nos passos a seguir, como construir um gráfico de colunas usando esse tipo de planilha eletrônica.

1 Abra o LibreOffice Calc. Você acessará uma planilha eletrônica, em que as colunas são identificadas pelas letras do alfabeto, e as linhas são numeradas, como mostra a imagem a seguir.

2 Vamos escrever os dados da tabela na planilha eletrônica. Para isso, posicione o cursor sobre a célula A1, digite Região e pressione Enter. Na célula A2, digite Quantidade de municípios e pressione Enter. Prossiga dessa maneira até obter a tabela completa, como mostrado a seguir.

ISNIPER/SHUTTERSTOCK.COM

3 Para construir um gráfico de colunas com esses dados, clique com o botão esquerdo do mouse na célula A1 e, com o botão pressionado, arraste o cursor até a célula F2, selecionando todos os dados da tabela. Em seguida, clique no ícone para abrir o Assistente de gráficos

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

No caso de o trabalho ser realizado no laboratório de informática, previamente, verificar se em todos os computadores disponíveis está disponível o software gratuito LibreOffice Calc. Em aula, com os estudantes, inicialmente, permitir a eles que explorem as funcionalidades da planilha eletrônica. Sugere-se o trabalho em duplas ou trios.

No passo 1. Tipo de gráfico, clique em Coluna e, em seguida, na opção Normal

No passo 4. Elementos do gráfico, complete com o título do gráfico, com os nomes dos eixos e desmarque a opção Exibir legenda

4 Por fim, clique em Finalizar, e na tela aparecerá o gráfico de colunas correspondente aos dados selecionados. Complete com a fonte dos dados, e o gráfico está pronto.

SAIBA QUE

Durante a realização das atividades, pedir que registrem no caderno as justificativas dadas a cada resposta a fim de que possam organizar o trabalho em um momento de construção dos gráficos na planilha e, depois, realizem as análises solicitadas.

Elaborada com base em: BRASIL. Ministério do Desenvolvimento Social. Aplicações. Brasília, DF: MDS, [20--]. Disponível em: https://aplicacoes.mds.gov.br/sagirmps/ferramentas/docs/ Produto_2___Dirce_Koga.pdf.

Caso deseje inserir os valores de cada coluna, clique sobre o gráfico com o botão direito do mouse e, depois, clique com o botão esquerdo do mouse em Editar. Em seguida, clique em uma das colunas com o botão direito do mouse e, depois, clique com o botão esquerdo em Inserir rótulo de dados

Agora, com um colega, explorem a planilha do LibreOffice Calc e respondam às questões a seguir no caderno.

1. Em que região do país há mais municípios com a presença de comunidades ribeirinhas? Explique aos colegas e ao professor como vocês podem obter essa informação, consultando o gráfico que construíram com a planilha eletrônica.

Na Região Nordeste. Para obter essa informação do gráfico, basta comparar as alturas das colunas, verificando qual é a mais alta. No caso, a coluna mais alta corresponde à Região Nordeste.

2. Utilizando os mesmos dados da planilha eletrônica sobre as comunidades ribeirinhas, construa um gráfico de barras repetindo os passos 3 e 4, mas selecionando a opção Barra no Assistente de gráficos. O que vocês percebem de diferença entre os gráficos de colunas e de barras construídos? Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades desta seção é propiciar aos estudantes que se autoavaliem em relação aos conteúdos estudados na Unidade. Isso porque, ao realizá-las, podem identificar se ainda possuem dúvidas.

Solicitar que realizem individualmente as atividades e incentivá-los a apresentar as dúvidas.

Socializar também as estratégias de resolução em um momento de verificação das respostas também é importante.

Anotar como os estudantes correspondem à proposta desta seção é importante para documentar uma avaliação progressiva das aprendizagens deles.

Na atividade 1, reforçar com os estudantes que, após calcular a razão entre a superfície do Brasil e a superfície da América do Sul, é preciso multiplicar por 100 o resultado obtido para, então, chegar à resposta que indica um resultado aproximado de acordo com o enunciado da questão.

Na atividade 3, verificar se os estudantes compreendem que “um lucro de 5%” corresponde a um acréscimo no valor inicial da bicicleta.

Na atividade 5, é necessário que, em um dos gráficos das alternativas da atividade, os estudantes identifiquem os dados fornecidos no enunciado. Observar se os estudantes compreendem que 75% correspondem a 3 4 representados no gráfico e o restante (10% + 15% = 25%) corresponde a 1 4 representado no gráfico

Responda às questões no caderno.

1. A América do Sul tem uma superfície de cerca de 18 milhões de quilômetros quadrados. O Brasil, que é o maior país da América do Sul, tem uma superfície aproximada de 8,5 milhões de quilômetros quadrados. Isso significa que o Brasil ocupa, aproximadamente, quantos por cento da América do Sul?

a) 42%

b) 44%

Alternativa d.

c) 45% d) 47% e) 49%

2. Por aquecimento, o comprimento de uma barra de ferro aumenta 7 200 em relação ao valor inicial. Isso significa que o aumento do comprimento é de:

Alternativa e.

a) 1%

b) 0,7%

c) 0,62% d) 0,55% e) 3,5%

3. (Saresp-SP) Luís comprou uma bicicleta por R$ 180,00 e deseja vendê-la com um lucro de 5% para compensar alguns gastos que teve com a manutenção da bicicleta. O preço de venda será:

Alternativa c.

O resultado obtido foi:

• 75% foram favoráveis;

• 10% não responderam;

• 15% discordaram. Indique o gráfico que representa o resultado dessa pesquisa.

a)

b)

c) d)

a) R$ 171,00

b) R$ 185,00 c) R$ 189,00 d) R$ 270,00

4. Uma escola de artes marciais consultou todos os estudantes que têm entre 7 e 16 anos para colher informações de satisfação com as aulas e as instalações físicas da escola. Essa pesquisa é censitária ou amostral? Justifique sua resposta.

5. (Saresp-SP) Duas mil pessoas foram entrevistadas sobre o controle externo na programação da televisão.

Na pesquisa proposta na atividade 7, orientar os estudantes em todas as etapas descritas no Livro do estudante.

Conversar com a turma sobre o tema da pesquisa estatística que será realizada.

Ressaltar que é importante ter uma questão geradora para ser respondida pela pesquisa.

Para formular o questionário da pesquisa,

6. (Enem/MEC) Em uma cidade, o número de casos de dengue confirmados aumentou consideravelmente nos últimos dias. A prefeitura resolveu desenvolver uma ação contratando funcionários para ajudar no combate à doença, os quais orientarão os moradores a eliminarem criadouros do mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue. A tabela apresenta o número atual de casos confirmados, por região da cidade.

sugerir que definam poucas perguntas, as quais devem auxiliar a responder à questão geradora da pesquisa.

Com as respostas dos entrevistados em mãos, é necessário tabular os dados.

Neste momento, os estudantes podem utilizar uma planilha eletrônica, retomando o trabalho realizado na seção Tecnologias desta Unidade.

4. Censitária, pois a escola contatou todos os estudantes entre 7 e 16 anos.

A prefeitura optou pela seguinte distribuição dos funcionários a serem contratados:

I. 10 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja maior que a média dos casos confirmados.

II. 7 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja menor ou igual à média dos casos confirmados. Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a ação?

a) 59 b) 65 c) 68 d) 71 e) 80

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

Uma sugestão para desenvolver essa etapa de trabalho é organizar a turma em grupos para que haja troca de informações e experiências.

7. Reúnam-se em grupos para planejar e realizar uma pesquisa estatística. As etapas descritas a seguir podem orientá-los no desenvolvimento desse trabalho.

• Escolham um tema relevante para a comunidade escolar e formulem uma pergunta que desejam responder por meio da pesquisa.

• Decidam se a pesquisa será censitária ou amostral.

• Elaborem um questionário para a coleta dos dados.

• Apliquem o questionário e organizem os dados.

• Utilizem uma planilha eletrônica para construir tabelas e gráficos para representar os dados obtidos.

• Analisem os dados e apresentem um relatório escrito, contendo tabelas e gráficos que ilustrem os resultados obtidos, bem como as conclusões a que chegaram.

UM NOVO OLHAR

Alternativa d. Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

É interessante circular entre os estudantes durante a aula, acompanhando como respondem às questões.

O enfoque deste momento para marcar o encerramento dos estudos da Unidade é fazer com que os estudantes relacionem os conteúdos estudados ao cotidiano deles por meio de algumas reflexões.

A primeira questão objetiva que os estudantes estabeleçam relações entre os conceitos estudados na Unidade anterior e porcentagem, conteúdo estudado nesta.

Nesta Unidade, estudamos porcentagens e suas aplicações no conceito de probabilidade, na análise de dados e na educação financeira. Trabalhamos, ainda, com medidas estatísticas, como média e amplitude, e pesquisas estatísticas, explorando o conceito de população e amostra em pesquisas censitárias e amostrais. Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Como o conceito de porcentagem se relaciona com o conceito de razão?

• Em que situações de seu cotidiano a porcentagem é utilizada?

Na segunda questão, os estudantes podem citar, por exemplo, informações divulgadas na mídia.

• De que maneira a utilização da porcentagem auxilia para uma boa organização financeira?

• Elabore um quadro com seus gastos mensais, separados por categoria. Para isso, copie este modelo.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Tipos de gasto Valor (em reais) Valor percentual

A porcentagem é uma razão de denominador 100. Resposta pessoal.

Você pode trocar ou acrescentar itens à vontade em seu quadro. Determine a média mensal de seus gastos. Você consegue identificar algum excesso ou alguma possível economia?

• Em que situações é mais vantajoso realizar uma pesquisa amostral do que uma pesquisa censitária?

Em situações em que a população é muito grande e demandaria muito tempo e recursos financeiros para sua realização.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

A terceira questão leva os estudantes a pensar como, na prática, aplicam o conteúdo matemático estudado: porcentagem.

Na quarta questão, os estudantes, ao organizar o orçamento pessoal, podem analisá-lo fazendo cálculos da média de quanto gastam.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 3 e 5

Competências específicas:

• 2 e 6

Habilidades:

Grandezas e medidas

• EF07MA29

• EF07MA30

• EF07MA31

• EF07MA32

Tema Contemporâneo

Transversal:

• Educação Fiscal

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em dois capítulos que favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA29.

No primeiro capítulo, com mais destaque, ao trabalhar a área de figuras geométricas planas, como retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo e trapézio, estabelecendo equivalência entre as áreas dessas figuras por meio da composição e decomposição, os estudantes avançam na compreensão de aspectos relacionados às habilidades EF07MA31 e EF07MA32.

O segundo capítulo aborda o cálculo do volume de bloco retangular na resolução e elaboração de problemas, a fim de que os estudantes explorem abordagens da habilidade EF07MA30.

Na seção Por toda parte, os cálculos de impostos territoriais são debatidos considerando os conhecimentos matemáticos estudados nesta Unidade de maneira associada a uma visão do Tema Contemporâneo Transversal Educação Fiscal.

9

ÁREA E VOLUME

O grafite é uma manifestação artística geralmente feita em espaços públicos, como paredes de túneis e de viadutos em grandes centros urbanos. Também pode ocorrer em paredes de imóveis, em laterais de edifícios e com menos frequência em ambientes internos. Uma de suas características é ser feito em grandes superfícies, sendo necessário, em alguns casos, equipamentos especiais como andaimes para sua realização.

No Brasil, o grafite chegou na metade da década de 1970, trazido pelo artista etíope radicado no Brasil Alex Vallauri (1949-1987). De lá pra cá, o grafite cresceu, e hoje o Brasil tem alguns dos principais grafiteiros do mundo, como Eduardo Kobra (1975-) e a dupla OSGEMEOS, formada pelos irmãos Gustavo e Otávio Pandolfo (1974-).

OBJETIVOS

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• Compreender a noção da grandeza área e a noção da grandeza volume a fim de aplicar essa compreensão na resolução e elaboração de problemas.

• Calcular o volume de blocos retangulares e cubos (caso particular de bloco retangular) e calcular áreas de triângulos e quadriláteros conforme as medidas de lados e alturas dessas figuras.

• Associar áreas de triângulos e quadriláteros à área de retângulos.

• Identificar decomposições de polígonos em triângulos, em quadriláteros, ou em ambos.

• Relacionar a área de polígonos às áreas de triângulos, quadriláteros, ou de ambos, nos quais esses polígonos possam ser decompostos.

ÉNIVO. Slik’s. 2020. Mural. São Paulo (SP). Fotografia de 2021.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

VINCENT BOSSON/ FOTOARENA

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JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

São muitas as situações em contextos da realidade em que o cálculo de área e o cálculo de volume estão envolvidos. Por exemplo, o pagamento do imposto de acordo com a área de

Responda às questões no caderno.

• Você já conhecia a história do grafite? Reúna-se a um colega, e pesquisem essa manifestação artística e se há algum grafiteiro na região em que vocês vivem.

• Uma das características do grafite é a impermanência. Por serem feitos em espaços públicos, muitas vezes os grafites são substituídos por outros ou simplesmente apagados. Em grupos, debatam a respeito das consequências dessa característica.

• Suponha que toda a lateral de um prédio será utilizada para a criação de um grafite. Sabendo que esse local tem formato retangular com medidas 30 m x 5 m, qual será a área, em metro quadrado, desse grafite?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

um imóvel e o pagamento de um frete segundo o volume do pacote a ser enviado ou recebido.

Sendo assim, justificam-se os objetivos desta Unidade por serem conteúdos matemáticos que os estudantes aplicam em muitas situações próximas da realidade deles.

Esta abertura de Unidade favorece o desenvolvimento da competência geral 3, além de abordar aspectos relacionados às culturas juvenis Fazer com os estudantes a leitura da imagem. Se possível, explorar esta abertura de Unidade em parceria com o professor do componente curricular de Arte. Informar aos estudantes que o grafite é um tipo de arte na qual os artistas grafiteiros fazem intervenções em espaços urbanos. Reforçar a diferença entre a arte do grafite, que ocorre com autorização para que seja realizada em espaços públicos ou particulares, e vandalismos, que ocorrem sem permissão e poluem visualmente construções arquitetônicas. Comentar que por meio dos grafites (arte) o artista (grafiteiro) expressa ideias que podem ser relacionadas, inclusive, a temáticas de reivindicação social e, nesse sentido, a arte é um modo de expressão, bem como uma maneira de participação juvenil. Por isso, o grafite está associado às culturas juvenis Com base na terceira questão proposta, promover uma reflexão do tema de abertura de maneira vinculada com o que será tratado nesta Unidade. Para isso, comentar que a execução de um grafite envolve conhecimentos matemáticos de área e volume, como decompor a superfície em que a obra será feita em superfícies menores para que o grafiteiro organize a pintura das áreas em que a arte será composta. Essa associação contribui para o desenvolvimento da competência específica 2 da área de Matemática quanto à atitude de recorrer aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo, na realidade que nos cerca.

VINCENT BOSSON/FOTOARENA

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

150 m2

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Medições em diversas situações

Fazer a leitura coletiva com os estudantes do conteúdo desta página e das situações apresentadas.

No primeiro tópico deste capítulo, refletir com os estudantes o instrumento de medição mais adequado de acordo com a medida que se quer obter.

Retomar algumas práticas que os estudantes já conhecem acerca de fazer medidas com instrumentos como régua, trena, metro articulado etc. realizando medições.

Ampliar esse trabalho explicando aos estudantes que qualquer medida é sempre aproximada, pois não é possível medir uma grandeza com precisão absoluta.

Essa noção de que toda medição resulta em uma medida aproximada favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA29. O desenvolvimento dessa habilidade também é favorecido pela exploração dos dois exemplos apresentados nesta página, pois exploram situações cotidianas envolvendo medições variadas. Se achar conveniente, apresentar outros exemplos ou pedir aos estudantes que os apresentem para ampliar o repertório deles e aprofundar o trabalhar com essa habilidade.

1 ÁREA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

MEDIÇÕES EM DIVERSAS SITUAÇÕES

A todo momento e em diversas situações, estamos realizando medições. Toda medida é aproximada, e sua precisão (o quão próximo ela está da medida real) depende de diversos fatores, entre eles:

• o instrumento de medida utilizado para a situação desejada;

• a pessoa que está manuseando o instrumento e fazendo a leitura da medição;

• a temperatura do ambiente.

Sabendo disso, é possível escolher o instrumento mais apropriado disponível para realizar a medição desejada dependendo da situação e da precisão necessária. Além disso, é importante analisar criticamente as medidas obtidas, verificando se elas fazem sentido e se atendem à necessidade da situação.

Acompanhe os exemplos a seguir.

1 Carla faz salgadinhos por encomenda e recebeu um pedido de 150 coxinhas. Ela utiliza aproximadamente 20 g de peito de frango no recheio de cada coxinha. Quanto de peito de frango Carla usará para fazer essa encomenda? Como cada coxinha utiliza 20 g de peito de frango, para fazer as 150 coxinhas Carla usará 20 g ? 150 = 3 000 g de peito de frango, ou seja, 3 kg.

Note que, nesse caso, a medida da massa de frango no recheio de cada coxinha é um valor aproximado para que ela tenha uma ideia de quantos quilogramas de frango precisa comprar, mas a situação não exige uma grande precisão.

2 Pedro quer revestir uma parede retangular de seu quarto com papel de parede. Para isso, mediu com uma trena a largura e a altura da superfície a ser revestida e obteve 123,4 cm de largura e 258,7 cm de altura.

Como a trena utilizada por Pedro é graduada em centímetro, o algarismo 4 na medida 123,4 cm é uma estimativa, com base na visualização do instrumento pelo observador, no caso, Pedro.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quando o instalador do papel de parede foi até a casa de Pedro, utilizando a mesma trena, obteve as medidas 123,5 cm para a largura da parede e 258,5 cm para a altura. Note que, apesar de diferentes, as medidas feitas por Pedro e pelo instalador são próximas, com precisão suficiente para a necessidade da situação.

SAIBA QUE

Em algumas situações é necessária uma precisão maior das medidas, pois uma alteração mínima faz muita diferença. É o caso, por exemplo, de medidas de ingredientes em um laboratório científico ou medidas de peças em uma indústria.

ÁREA DO RETÂNGULO

Acompanhe a situação a seguir.

Edson quer fazer um gramado retangular de 6 m por 4 m no quintal de sua casa. De quantas placas quadradas de grama, com lados medindo 1 m, ele vai precisar?

Edson desenhou um esquema do gramado e pensou:

6 placas Cabem 6 fileiras, cada uma com 4 placas quadradas de grama.

MW EDITORA

Então, ao todo cabem 24 placas (6 ? 4) com lados medindo 1 m.

4 placas

No boxe Saiba que, informar aos estudantes que os instrumentos de medidas utilizados para realizar medições apresentam escalas com maior ou menor nível de precisão, conforme o contexto em que está inserida a medida que se quer obter.

Área do retângulo

Os estudantes muitas vezes se equivocam e confundem o conceito de área com o conceito de perímetro.

Por isso, neste tópico, se possível, sugere-se encaminhar os estudantes ao laboratório de informática da escola e solicitar que, em duplas, resolvam os desafios propostos no simulador Construtor de área, disponível em https://phet.colorado.edu/ sims/html/area-builder/latest/ area-builder_pt_BR.html (acesso em: 18 ago. 2022).

Sabendo que cada placa tem área de 1 m2, então a área destinada ao gramado terá 24 m2

Em um retângulo, podemos chamar um dos lados de base (ou comprimento) e o outro de altura (ou largura).

A área de um retângulo é dada pelo produto da medida da base (b) pela medida da altura (h). Assim, podemos escrever a área Ar do retângulo como:

Pedir que observem na tela do simulador a área e o perímetro ao compor cada figura na malha quadriculada.

Caso não seja viável, acessar o simulador, é possível realizar atividade análoga com folha de papel quadriculado e lápis coloridos, pedindo aos estudantes que calculem a área e o perímetro de algumas figuras representadas na folha.

O estabelecimento da expressão para o cálculo da área do retângulo e o uso dela em atividades diversas favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA31.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do quadrado

Assim como no tópico anterior a área do retângulo foi retomada, neste, a área do quadrado (caso particular de retângulo) também é retomada a fim de que os estudantes apliquem, posteriormente, esses conhecimentos na compreensão da dedução das fórmulas usadas para calcular medidas de áreas de outras figuras, como paralelogramo, triângulo e trapézio, com base na decomposição dessas figuras.

Equivalência entre áreas

A ideia da equivalência entre áreas é trabalhada neste momento com o objetivo de estabelecer suporte aos estudantes para a compreensão das fórmulas para o cálculo da área do triângulo, da área do paralelogramo e da área do trapézio, assuntos apresentados nas páginas seguintes.

Para estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de área de quadriláteros, os estudantes mobilizam conhecimentos acerca da composição e decomposição de figuras e, também, do cálculo de áreas de figuras estudadas nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, como o retângulo e o quadrado.

Por esse motivo, o encaminhamento do trabalho até aqui foi organizado dessa maneira, visando levar os estudantes ao entendimento de que há meios de calcular medidas de áreas de outras figuras a partir das áreas conhecidas de triângulos e quadriláteros nos quais essas figuras possam ser decompostas.

Esse entendimento e a exploração de atividades envolvendo-o favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA31.

ÁREA DO QUADRADO

Sendo o quadrado um caso particular de retângulo, em que a medida da base é igual à medida da altura (b = h), chamamos a medida do lado de l e indicamos a área A q do quadrado por:

A q =ll=l2

EQUIVALÊNCIA ENTRE ÁREAS

Observe as figuras a seguir.

Essas figuras são diferentes entre si, mas formadas pelos mesmos polígonos: dois quadrados (A e B), um triângulo (C) e um retângulo (D). Assim, todas têm a mesma área, que é igual à soma das áreas dos polígonos A, B, C e D. Dizemos, então, que as figuras 1, 2 e 3 são equivalentes

Duas figuras são equivalentes quando têm a mesma área.

Logo, para determinar a área de uma figura cujo cálculo da área é desconhecido, podemos decompô-la em figuras cujas áreas sabemos calcular e, em seguida, adicionar as áreas para obter a área da figura original. Acompanhe a situação a seguir.

Para a fabricação de determinada peça, uma chapa de zinco foi cortada no formato indicado na figura a seguir.

GLOSSÁRIO

Chapa de zinco: placa geralmente composta de aço carbono com as faces revestidas por uma camada de zinco, que atua como proteção contra ferrugem e corrosão.

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Figura 1

Figura 2

Figura 3

Qual é a área, em centímetro quadrado, do recorte feito na chapa de zinco? Nesse caso, para obter a área desejada, vamos decompor a figura dada em duas figuras cujas áreas sabemos calcular.

A figura 1 é um retângulo de base medindo 6 cm e altura medindo 2 cm cuja área é:

6 cm 2 cm = 12 cm2

A figura 2 é um quadrado de lado medindo 2 cm cuja área é:

2 cm 2 cm = 4 cm2

Então, a área total da figura será a soma das áreas das figuras 1 e 2 área da figura = 12 cm2 + 4 cm2 = 16 cm2 Portanto, o recorte da folha de zinco tem área de 16 cm2

ÁREA DO PARALELOGRAMO

A figura a seguir foi recortada de uma folha de cartolina. Qual é a área dessa figura?

Para saber qual é a área da figura, podemos “transformar” o paralelogramo em um retângulo cuja área já sabemos calcular. Para isso, dividimos o paralelogramo em dois polígonos, 1 e 2 , e os rearranjamos para formar um retângulo, conforme mostrado a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do paralelogramo

Para que os estudantes possam compreender, na prática, a fórmula para o cálculo da área do paralelogramo, pode-se solicitar que desenhem e pintem, em uma folha de papel quadriculado, a figura de um paralelogramo qualquer.

Em seguida, pedir que, destacando a altura relativa à base, representem um triângulo retângulo.

Depois, solicitar que recortem a figura, deslocando a parte do triângulo retângulo formado em relação à altura de modo que se encaixe no lado oposto, formando um retângulo, assim como os rearranjos 1 e 2 apresentados no Livro do estudante.

Esta proposta e outras que auxiliem os estudantes a estabelecer a expressão para o cálculo da área do paralelogramo como base vezes altura favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA31.

O paralelogramo ABCD e o retângulo ABEH são figuras equivalentes e, portanto, têm a mesma área. Assim, podemos calcular a área do paralelogramo:

área = 5,4 cm ? 3,2 cm = 17,28 cm2

Portanto, a área da figura é 17,28 cm2

A área A p de um paralelogramo é dada pelo produto da medida da base (b) pela medida da altura (h) e podemos escrever:

A p = b h

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do triângulo

Para levar os estudantes à dedução experimental da fórmula usada para calcular a área de um triângulo qualquer, sugere-se que o recurso do desenho, pintura e recorte, que foi sugerido nas orientações didáticas da página anterior, seja novamente utilizado. Esta proposta favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA31, em relação ao estabelecimento da expressão de cálculo da área do triângulo.

Inicialmente, pedir que desenhem e pintem a figura de um triângulo a exemplo do que está representado no Livro do estudante.

Em seguida, solicitar que completem esse desenho de modo que a representação de um paralelogramo seja construída, novamente, a exemplo das figuras que constam na página do Livro do estudante.

Com o paralelogramo formado, proceder do mesmo modo sugerido anteriormente e pedir que, destacando a altura relativa à base, representem um triângulo retângulo e formem um retângulo.

Dessa maneira, espera-se que os estudantes visualizem a relação entre a área do triângulo associada à ideia de um paralelogramo decomposto em dois triângulos.

Assim, é possível os estudantes estabelecerem a relação entre as áreas dessas figuras e efetivarem a dedução da fórmula usada para calcular a área de um triângulo qualquer.

ÁREA DO TRIÂNGULO

No triângulo ABC da figura a seguir, o segmento BC é a base, e o segmento AH é a altura relativa a essa base. Como determinar a área desse triângulo?

Vamos construir outro triângulo ADC, com as mesmas forma e medidas do triângulo ABC, formando o paralelogramo ABCD, cuja área já sabemos calcular.

Note que, na segunda figura, os triângulos 1 e 2 são equivalentes, portanto possuem áreas iguais. Além disso, os triângulos e o paralelogramo têm a mesma medida da base e a mesma medida da altura.

Então, a área do triângulo ABC é igual à metade da área do paralelogramo ABCD. A área de um triângulo é dada por metade do produto da medida da base (b) pela medida da altura (h). Assim, podemos escrever a área At do triângulo como:

Agora, acompanhe o exemplo a seguir.

Para compor um vitral, recortei uma peça de vidro em formato triangular, como mostra a figura a seguir. Qual é a área, em centímetro quadrado, dessa peça?

Dados:

Indicando a área da peça por A, temos:

A = 8cm4,2 cm 2 = 16,8 cm2

Portanto, a peça tem área de 16,8 cm2 266

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ÁREA DO TRAPÉZIO

Como calcular a área do trapézio ABCD, em que o segmento AB é a base maior, o segmento CD é a base menor, e a distância entre as bases é a medida da altura?

Vamos construir outro trapézio, FCBE, com as mesmas forma e medidas do trapézio ABCD, formando o paralelogramo AEFD, cuja área já sabemos calcular.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do trapézio

Uma das maneiras de conduzir o estudo sobre a área do trapézio é usar a justaposição de dois paralelogramos, como apresentado no Livro do estudante.

Note que, na segunda figura, os trapézios 1 e 2 são equivalentes, portanto possuem áreas iguais. Então, a área do trapézio ABCD é igual à metade da área do paralelogramo AEFD. A área de um trapézio é dada por metade do produto da soma das medidas da base maior (B) e da base menor (b) pela medida da altura (h). Assim, podemos escrever a área Atrapézio do trapézio como:

Atrapézio = () Bb h 2 +?

Agora, acompanhe o exemplo a seguir. Na figura a seguir está representado um trapézio. Qual é a área desse trapézio, em centímetro quadrado?

Dados:

• medida da base maior: B = 12 cm

• medida da base menor: b = 8 cm

• medida da altura: h = 3,5 cm

Outra maneira é decompor a figura do trapézio em dois triângulos retângulos e um retângulo. Nesse caso, é preciso calcular as áreas de cada uma das figuras em que o trapézio foi decomposto e, em seguida, adicioná-las para encontrar a área total.

Em ambas as maneiras sugeridas, é importante que os estudantes cheguem na expressão para o cálculo da área do trapézio e a apliquem em atividades diversas para favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA31.

Indicando a área do trapézio por A, temos:

A = () 12 cm 8cm3,5 cm 2 +?

A = 20 cm 3, 5cm 2 = 35 cm2

Portanto, a área desse trapézio é 35 cm2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades deste bloco exploram o cálculo da área de figuras.

Antes de propor que realizem as atividades, resumir com eles, coletivamente, as principais ideias do que foi estudado nas páginas anteriores.

Espera-se que, por exemplo, eles estabeleçam relações como:

• Para o cálculo da área do retângulo, usamos: Ar = b ? h

• Decompondo um paralelogramo, convenientemente, em dois triângulos e a partir deles compor um retângulo, infere-se que a área do paralelogramo é equivalente à área do retângulo (que é calculada por b ? h) e, assim, deduz-se que a área de um triângulo é equivalente à metade da área de um re -

tângulo: A bh 2 t =

Ao verificar se os estudantes conseguem estabelecer as expressões para o cálculo da área de triângulos, retângulos, trapézios e paralelogramo, é possível avaliar o desenvolvimento dos estudantes com relação à habilidade EF07MA31.

Avaliar se os estudantes identificam adequadamente as bases e as alturas nos triângulos e as bases, as alturas e as diagonais nos quadriláteros, pois essa identificação é prioritária para que eles compreendam as relações entre as bases (ou alturas) e as expressões para o cálculo da área dessas figuras. Aproveitar esse momento e verificar se os estudantes entendem como decompor figuras com formatos diferentes em figuras conhecidas para usar as expressões para o cálculo da área estudadas nessa Unidade. A resolução e a elaboração de problemas envolvendo essas expressões de cálculo de

Responda às questões no caderno.

1. Determine a área de cada figura geométrica representada a seguir.

5. Determine a área de cada figura.

2. Determine a área de um triângulo cuja base mede 8 cm, e a altura, 5,2

3. Em um paralelogramo, a base mede 10 cm. Sabendo que a medida da altura é a metade da medida da base, determine a área desse paralelogramo.

4. A base de um triângulo mede 18 cm. A medida da altura é igual a 2 3 da medida da base. Qual é a área desse triângulo?

área e a decomposição de figuras em triângulos e quadriláteros conhecidos favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA32.

A atividade 7 envolve a elaboração de problemas, como o apresentado a seguir. Nessa imagem, consta o esboço de um terreno em que são cultivadas flores. Na parte verde, são cultivadas rosas; na parte vermelha, violetas; e, na parte azul, margaridas. Qual é a área da parte destinada ao cultivo de:

6. (Saresp-SP) A figura mostra a planta de um terreno, com a indicação de algumas medidas. Qual é a área desse terreno?

da frente: 10 m

de trás: 34 m

7. Utilizando os dados da imagem a seguir, elabore um problema que envolva o cálculo de áreas e troque-o com um colega. Um deve resolver o problema criado pelo outro; depois, verifiquem se as resoluções estão corretas.

a) rosas? 11 2 1 2 ; = 0,5 m²

b) violetas? 42 2 4; = 4 m²

c) margaridas? 42 2 4; ? = 4 m²

Outro problema que pode ser elaborado é o seguinte:

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

8. As medidas oficiais de uma quadra de basquete são 28 m por 15 m. O pátio de uma escola tem a forma retangular, e suas dimensões são 40 m por 32 m. Nesse pátio, foi construída uma quadra de basquete seguindo os padrões oficiais. Qual é a área livre que restou no pátio?

860 m2

9. Um terreno foi dividido em dois lotes, 1 e 2 , como mostra a figura. Suas medidas estão indicadas em metro.

12. Uma parede foi revestida com azulejos quadrados de 40 cm de lado. Sabendo que foram colocadas 7 fileiras de azulejos e que em cada fileira há 12 azulejos, quantos metros quadrados tem a área revestida? Utilize uma calculadora, se necessário.

13,44 m2

13. Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 1 m de lado para recortar quadrados de 30 cm de lado. Ao sair da máquina, sobra uma parte da chapa original que é reaproveitada posteriormente. Qual é a área, em centímetro quadrado, reaproveitada de cada chapa?

1 900 cm2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para a atividade 11, pedir aos estudantes que desenhem, no caderno, a representação do muro e das duas faixas paralelas descritas no enunciado desta atividade. Assim, espera-se que os estudantes observam que o muro e as faixas representam retângulos de medidas diferentes e, no enunciado, foi indicada a área e a largura (ou altura) dos ladrilhos.

9 a) 1 : 9 900 m2; 2 : 3 660 m2

A partir dessas informações, responda:

a) Qual é a área de cada lote?

b) Qual é a área total do terreno?

Orientar os estudantes a realizar os cálculos para encontrar a quantidade de ladrilhos necessária para recobrir o muro. Pedir-lhes que organizem os procedimentos para encontrar a resposta. Exemplo:

• Encontrar a área da 1a faixa de ladrilhos, calculando:

10. Vânia comprou um terreno retangular e pretende dividi-lo em quatro regiões quadradas, conforme a figura a seguir. Sabendo que a garagem tem 20 m de perímetro, qual é a área desse terreno?

13 560 m2 375 m2

área de serviço garagem área de lazer

11. Em toda a extensão de um muro de 18,25 m de comprimento, devem ser aplicadas duas faixas de ladrilhos, paralelas entre si. A primeira faixa terá 1,25 m de altura, e a segunda terá 0,75 m. Se cada ladrilho ocupa uma área de 0,0625 m², quantos ladrilhos serão colocados nesse muro? 584 ladrilhos.

DESAFIO

14. Eduardo deseja plantar árvores frutíferas em seu terreno retangular. Para saber quantas mudas deve adquirir, precisa determinar a área de plantio. Sem trena para fazer a medição, ele cortou uma vara de comprimento igual à sua altura (1,80 m) e mediu 55 varas no comprimento e 35 varas na largura do terreno. Sabendo disso, responda:

a) Qual é, em metro quadrado, a área desse terreno?

6 237 m2

b) Caso queira cercar esse terreno com arame, quantos metros serão necessários?

b ? h = 18,25 ? 1,25 =

= 22,8125; 22,8125 m 2

• Encontrar a área da 2a faixa de ladrilhos, calculando:

b ? h = 18,25 ? 0,75 =

= 13,6875; 13,6875 m 2

• Adicionar as duas áreas obtidas e dividir pela área de uma peça de ladrilho: Área total de faixas = = 22,8125 + 13,6875 = = 36,5; 36,5 m 2

Área de 1 ladrilho: 0,0625 m 2

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Qual é a área do triângulo vermelho e qual é a área do triângulo vermelho do triângulo azul, considerando o triângulo verde como unidade de área?

Nesse caso, a área de cada triângulo maior (vermelho e azul) equivale a 8 triângulos verdes. A malha quadriculada pode ajudar os estudantes a obter essa resposta.

c) Sabendo que cada muda plantada precisa ficar a 3 m de distância uma da outra e do limite do terreno, quantas mudas Eduardo precisa providenciar?

324 m 52 mudas.

Quantidade de ladrilhos colocados no muro: 36,5 0,0625 584; = 584 ladrilhos.

24/08/22 16:10

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

A proposta desta seção favorece a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Fiscal.

Na atividade 1, os estudantes podem responder a respeito de iniciativas para o bem comum dos habitantes do município, como melhoria da iluminação pública, colocação de asfalto nas ruas, iniciativas de coleta seletiva e limpeza urbana, entre outros. Incentivar os estudantes a argumentar quais iniciativas avaliam ser mais adequadas para a região onde a escola está localizada.

Na atividade 2, caso não seja possível que os estudantes tragam um carnê de IPTU para a aula, providenciar um seu, se possível, para trabalhar com a turma. Ao realizar a atividade, certifique-se de não compartilhar seus dados pessoais (ou, no caso dos carnês trazidos pelos estudantes, não compartilhar dados dos proprietários dos imóveis), destacando apenas os campos destinados ao cálculo no documento.

Outra possibilidade é pesquisar no site da Prefeitura do município ou da Secretaria da Fazenda do município explicações de como o cálculo do IPTU é feito. Para o município de São Paulo, por exemplo, essa informação pode ser obtida em: https://web1.sf.prefeitura. sp.gov.br/CartelaIPTU/ (acesso em: 18 ago. 2022).

IMPOSTOS TERRITORIAIS

Todos os brasileiros que possuem uma propriedade devidamente regulamentada, seja urbana, seja rural, devem contribuir com um imposto territorial. Nas áreas urbanas, esse imposto é o Imposto Predial e Territorial Urbano (IPTU). Já nas áreas rurais, o imposto é o Imposto Territorial Rural (ITR).

O IPTU é de responsabilidade municipal, o que significa que quem recebe o valor pago é o município onde a propriedade está localizada. Ele é calculado com base na área construída, considerando o valor do metro quadrado da região em que o imóvel está localizado e uma alíquota, que depende de diversos fatores e podem variar de município para município. De maneira simplificada, podemos dizer que o IPTU pode ser calculado como o produto destes três valores: área construída, valor do metro quadrado da região e alíquota do imóvel.

Já o ITR é de responsabilidade federal, mas uma parte do imposto pode ser destinada aos municípios, dependendo de convênios entre os órgãos envolvidos. O cálculo do ITR considera a área do terreno e o grau de utilização, que indica a porcentagem da terra que está sendo utilizada com atividades de agricultura e pecuária. Em ambos os casos, há condições para isenção e desconto do imposto. Responda às questões no caderno.

1. Os valores recebidos do IPTU e do ITR podem ser utilizados pelos órgãos públicos para melhorias no município. Reúna-se a dois colegas, e sugiram iniciativas que poderiam ser feitas no município em que vocês vivem com o tributo arrecadado.

2. Converse com seus familiares e conhecidos e traga para a sala de aula o IPTU de um imóvel do município em que residem. Debata com os colegas e com o professor a respeito do cálculo desse tributo no município em que vocês vivem

3. Imóveis comerciais também estão sujeitos ao pagamento de IPTU. O proprietário de um imóvel comercial de 380 m2 de área construída deseja saber quanto pagará de IPTU este ano. Sabendo que o valor do m2 da região é de R$ 2.700,00 e que a alíquota do imóvel é 0,5%, calcule o valor do imposto.

Para saber mais a respeito do IPTU e do ITR, acesse os links a seguir.

• TEIXEIRA, Lucas Borges. IPTU: O que é? Como é calculado? Qual a forma de pagamento? Tire dúvidas. UOL , São Paulo, 3 fev. 2020. Disponível em: https://economia.uol.com.br/noticias/ redacao/2020/02/03/iptu-imposto-duvidas.htm. Acesso em: 19 jul. 2022.

• CEFIS. ITR – Imposto sobre a Propriedade Territorial Rural: o que é? CEFIS. [S. l.], [20--]. Blogue. Disponível em: https://blog.cefis.com.br/itr-imposto-territorial-rural/. Acesso em: 19 jul. 2022.

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Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Área urbana em Maceió (AL), 2021.

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

O volume de uma piscina com a forma de um bloco retangular é 120 m3. A medida do comprimento da piscina é de 8 m, e a medida da largura é 5 m. Qual é a medida da profundidade dessa piscina? 3 m

VOLUME DO BLOCO RETANGULAR

Já estudamos que o volume ocupado por um sólido geométrico pode ser medido comparando-o a outro sólido utilizado como unidade de medida de volume.

Acompanhe o exemplo a seguir.

Quantos cubos de aresta medindo 1 cm são necessários para formar um bloco retangular com dimensões medindo 4 cm, 2 cm e 3 cm?

Para determinar essa quantidade, podemos decompor o bloco retangular em cubos de 1 cm de aresta.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Para calcular a medida da profundidade da piscina apresentada, pode-se começar calculando o volume de um bloco retangular. Desse modo:

a ? b ? c = 120

8 ? 5 ? c = 120

40c = 120

c 120 40 =

c = 3

Portanto, a profundidade da piscina é 3 metros.

Volume do bloco retangular Retomar com os estudantes as ideias de volume do bloco retangular por meio da formação do empilhamento de cubos menores.

Observe que, no bloco retangular, cada camada horizontal tem 8 cubos, pois são 4 fileiras de 2 blocos cada. Além disso, temos 3 dessas camadas para formar o bloco retangular. Então: 4 2 3 = 24

Portanto, para formar o bloco retangular, serão necessários 24 cubos de 1 cm de aresta. Como cada cubo tem volume de 1 cm3, o volume do bloco retangular é de 24 cm3

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Se possível, demonstrar aos estudantes de maneira concreta o empilhamento apresentado nesta página no Livro do estudante. Interpretar com eles o produto do número que indica a quantidade de cubos menores que formam a base pelo número que indica a quantidade de cubos menores que formam a altura pelo número que indica a quantidade de cubos menores que formam a profundidade (largura) do empilhamento formado.

Assim, é possível demonstrar aos estudantes, fazendo a contagem da quantidade total de cubos menores que formam o empilhamento, que o total de cubos menores corresponde ao produto obtido pelo cálculo do volume.

24/08/22 16:10

Ressaltar que atrás da representação da imagem ilustrada no Livro do estudante não há cubos escondidos.

FRESHPAINT/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Volume do cubo

Reforçar para os estudantes que o cubo é um caso particular de bloco retangular, o qual possui todas as arestas com mesma medida.

Verificar se os estudantes conseguem identificar as características de um bloco retangular em um cubo.

Se julgar oportuno, comentar que todo bloco retangular é um paralelepípedo, mas que a recíproca é falsa. Ou seja, nem todo paralelepípedo é um bloco retangular, por exemplo, um paralelepípedo oblíquo.

É interessante levar para a sala de aula algumas embalagens cujo formato lembre blocos retangulares para os estudantes identificarem as dimensões das embalagens e calcularem o volume de cada uma.

Agora, acompanhe a seguinte situação. Como determinar o volume de um contêiner cujas dimensões são: 3 m de altura, 2,5 m de largura e 6 m de comprimento?

Os contêineres são utilizados principalmente para o transporte de carga em navios.

Podemos associar o formato do contêiner a um bloco retangular. Executando o procedimento feito no exemplo anterior, mas considerando um cubo com aresta de 1 m e volume 1 m3, caberiam no contêiner 3 camadas (altura) de 6 fileiras (comprimento) com 2,5 cubos (largura) em cada fileira.

De modo prático, é possível obter o volume de um bloco retangular multiplicando as medidas de suas três dimensões. Nesse caso, multiplicando a medida do comprimento (6 m), a medida da largura (2,5 m) e a medida da altura (3 m) e considerando VC o volume do contêiner, temos:

VC = 6 m 2,5 m 3 m = 45 m3

Portanto, o volume do contêiner é 45 m3

O volume V de um bloco retangular de dimensões com medidas a, b e c é dado pelo produto das medidas de suas três dimensões e podemos escrever:

SAIBA QUE

O bloco retangular também é chamado de paralelepípedo reto-retângulo, pois suas bases e suas faces laterais são retângulos.

VOLUME DO CUBO

O cubo é um bloco retangular cujas bases e faces laterais são quadrados, então as dimensões de um cubo têm medidas iguais. Assim, para determinar o volume do cubo, podemos utilizar a expressão para o cálculo do volume do bloco retangular já estudada.

O volume V de um cubo de aresta com medida a é dado pela medida de sua aresta elevada ao cubo e podemos escrever:

AMPLIANDO

Atividade complementar

Considere o arranjo de cubos que formam o bloco representado a seguir.

UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUME

A unidade de medida de volume do Sistema Internacional de Unidades (SI) é o metro cúbico (m³). Um metro cúbico corresponde ao volume de um cubo com aresta de medida 1 m. Vamos retomar algumas unidades de medida de volume que são múltiplos e submúltiplos do metro cúbico e bastante utilizadas em diversas situações.

Um decímetro cúbico (1 dm3) corresponde ao volume de um cubo com aresta de medida 1 dm.

Um centímetro cúbico (1 cm3) corresponde ao volume de um cubo com aresta de medida 1 cm.

Como 1 m = 10 dm, podemos verificar que o volume ocupado por 1 m3 é igual a 1 000 dm3

1 m3 = 1 m 1 m 1 m = 10 dm 10 dm 10 dm = 1 000 dm3

Como 1 dm = 10 cm, podemos verificar que o volume ocupado por 1 dm3 é igual a 1 000 cm3

1 dm3 = 1 dm ? 1 dm ? 1 dm = 10 cm ? 10 cm ? 10 cm = 1 000 cm3

Além das unidades apresentadas, existem outras unidades de medida para expressar volumes. A conversão de unidades de medida é bastante útil na resolução de problemas envolvendo o cálculo de volumes.

Acompanhe a situação a seguir.

Uma loja deseja transportar seus produtos e contratou uma empresa de logística que utiliza caminhões de pequeno porte, com carrocerias de dimensões com medidas 3,0 m, 2,2 m e 2,2 m. As caixas a serem transportadas têm seu volume calculado em centímetro cúbico. Assim, determine o volume, em centímetro cúbico, da carroceria desse caminhão.

Calculando o volume da carroceria em metro cúbico, temos:

V = 3,0 m 2,2 m 2,2 m = 14,52 m3

Como 1 m3 = 1 000 dm3 e 1 dm3 = 1 000 cm3, então 1 m3 = 1 000 000 cm3 e fazemos a conversão de unidades:

V = 14,52 m3 = 14,52 ? 1 000 000 cm3 = 14 520 000 cm3

Então, o volume da carroceria do caminhão é 14 520 000 cm3

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Unidades de medida de volume

Explorar com os estudantes as seguintes unidades de medida de volume apresentadas nesta página do Livro do estudante: metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico. Estabelecer relações entre elas com base na situação da carroceria do caminhão apresentada.

Pense e responda

Pedir aos estudantes que expliquem como pensaram para responder a cada questão do boxe justificando as respostas com base no que foi estudado. Reflexões como as propostas por essas duas perguntas favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA30.

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Na situação do caminhão, de que outra maneira os cálculos poderiam ter sido feitos, obtendo a mesma resposta?

2. De que outro modo o volume da carroceria do caminhão poderia ser comparado aos volumes das caixas a serem transportadas?

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Sabendo que cada cubo que compõe esse bloco tem aresta de 10 mm, determine, em mm 3 , em cm 3 e em dm 3 , o volume desse bloco.

Resolução da atividade

Se cada aresta mede 10 mm, o volume (Vc ) de cada cubo é:

Assim, para determinar o volume do bloco de cubos, basta saber de quantos cubos ele é formado.

Essa configuração é formada de 4 camadas, cada uma com 6 cubos.

Então, há 24 cubos ao todo nesse bloco.

V = 24 ? 1 000 mm3 = 24 000 mm 3

Logo, o volume total é: 24 000 mm3; ou 24 cm3; ou

0,024 dm3

VERESHCHAGIN DMITRY/ SHUTTERSTOCK.COM

Caminhão de uso urbano.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Este bloco de atividades trabalha de maneira direta cálculos de volumes, além de propostas de resolução e elaboração de problemas envolvendo cálculos de volumes, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA30.

Nas atividades 6 e 7, verificar se os estudantes percebem que a resposta das atividades deve ser indicada por um número exato, já que, na atividade 6, é solicitada a quantidade de marmitas e, na atividade 7, a quantidade de caminhões de areia. Desse modo, apesar de o resultado obtido ser um número não exato, é esperado que os estudantes analisem e interpretem o enunciado para indicar a resposta.

No caso das marmitas, o arredondamento não pode ser para a quantidade de 690 marmitas, pois não vai caber no freezer a 690a. Já na situação dos caminhões de areia, o arredondamento pode ser para a quantidade de 4 caminhões, considerando que o quarto caminhão não precisa estar completo para fazer a entrega. Desse modo, os estudantes são estimulados a fazer uma análise dos resultados obtidos nos cálculos, adaptando-os às situações apresentadas, contribuindo para o desenvolvimento do raciocínio lógico e do pensamento crítico deles.

Responda às questões no caderno.

1. Faça as transformações de unidades pedidas em cada item.

a) 1,7 m3 em cm3

b) 12 dm3 em m3

2. Qual é o volume, em decímetro cúbico, de um cubo cuja aresta mede 2 m?

3. Um bloco retangular tem volume de 480 cm3 e duas das suas dimensões medem 12 cm e 10 cm. Determine a medida da terceira dimensão do bloco retangular.

4. Calcule o volume das figuras a seguir.

6. Caio faz marmitas congeladas por encomenda e pretende comprar um freezer horizontal para armazenar sua produção. O modelo que ele pretende comprar tem formato de um bloco retangular com dimensões medindo 80 cm x 91 cm x 71 cm. Supondo que a capacidade total do freezer possa ser utilizada e sabendo que a embalagem de cada marmita confeccionada por Caio tem um volume médio de 750 cm3, quantas marmitas caberão nesse modelo de freezer? Utilize uma calculadora, se necessário.

7. Em uma obra, o cálculo dos materiais de construção necessários para sua realização é uma etapa bastante importante. Comprar materiais a mais significa desperdício e um gasto desnecessário. Por outro lado, a falta de material pode comprometer o andamento da obra.

Mariana é a engenheira responsável pela construção de um edifício e precisa encomendar 30 m3 de areia para a obra. Sabendo que o material é entregue por caminhões cuja caçamba tem dimensões com medidas 2 m x 6 m x 0,8 m, quantos caminhões serão necessários para fazer a entrega da encomenda de Mariana?

5. Uma caixa com formato de um bloco retangular tem volume igual a 2 700 cm3 Seu comprimento mede 25 cm, e sua largura é igual a 12 cm. Determine a medida da altura da caixa.

689 marmitas. 4 caminhões.

Caminhão descarregando areia em canteiro de obra.

KRIANGKRAI THITIMAKORN/GETTY IMAGES

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

8. Mantendo o contexto da atividade anterior, altere um ou mais dados e elabore uma nova atividade envolvendo o cálculo de volume. Em seguida, troque com um colega para que cada um resolva a atividade do outro.

9. (UFF-RJ) Uma caixa de papelão, na forma de paralelepípedo retângulo, é obtida dobrando-se o molde nas linhas tracejadas. O volume da caixa, em cm3, é:

Alternativa c.

14 cm

13 cm

11. (Enem/MEC) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na atividade 8, ao elaborar a nova atividade, os estudantes podem alterar as medidas do caminhão, mantendo o volume de areia a ser comprada e determinar a nova quantidade de caminhões para transportar a carga. Podem também manter as dimensões do caminhão e alterar o volume de areia a ser adquirido. Podem, ainda, estabelecer uma quantidade de caminhões e verificar o volume máximo que esses caminhões transportam dadas as dimensões da caçamba.

10 cm

a) 120

b) 180 c) 240 d) 480 e) 540

10. (Enem/MEC) Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito:

• Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm

• Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm

• Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm

• Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 82 cm

• Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm

O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior.

A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número

Alternativa c.

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de:

a) 12 cm3

b) 64 cm3

c) 96 cm3

d) 1 216 cm3

e) 1 728 cm3

12. Elabore uma atividade envolvendo o cálculo do volume de um dos sólidos geométricos estudados, oferecendo as medidas das dimensões desse sólido e as respectivas unidades. Em seguida, troque-a com um colega para que cada um resolva a atividade elaborada pelo outro.

DESAFIO

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

13. Um cubo tem volume igual a 27 m3 Qual é a medida da aresta desse cubo, em metro?

3 m

Na atividade 9, se os estudantes tiverem dificuldade para determinar as medidas das dimensões da caixa, peça a eles que construam um molde como o apresentado na imagem da atividade e façam as dobras e montagem dele para verificar quais dimensões têm mesma medida.

a) 1

b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Dica: pense em qual é o número que elevado ao cubo resulta em 27. 275

Na atividade 10, espera-se que os estudantes percebam que, para o objeto cúbico caber na caixa, todas as dimensões da caixa precisam ser maiores que as dimensões do objeto cúbico (maiores do que 80 cm). Entre as alternativas que indicam caixas com dimensões maiores que 80 cm, espera-se que os estudantes escolham a que apresenta uma caixa com as dimensões das arestas mais próximas da medida de 80 cm, a fim de que sobre o menor espaço vazio no interior da caixa.

Para a resolução do desafio 13, oriente os estudantes a seguir a indicação dada na dica de pensar em qual é o número que elevado ao cubo resulta em 27. Para isso, eles podem utilizar a tentativa e erro, testando valores e avaliando os resultados.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Alternativa d.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

Nesta seção, exploram-se questões envolvendo cálculos de áreas e de volume do bloco retangular.

Propor aos estudantes que resolvam, em duplas ou trios, as questões deste bloco de atividades, discutindo cada uma.

Pedir que registrem no caderno o procedimento utilizado em cada caso, resgatando os conceitos com os quais trabalharam nesta Unidade.

Para a correção das questões propostas, pode-se pedir aos estudantes de diferentes grupos que resolvam as atividades na lousa, dando oportunidade para socializem as estratégias que utilizaram nas resoluções.

RETOMANDO APRENDEU O QUE

Responda às questões no caderno.

1. (Saresp-SP) Amélia deseja ladrilhar sua cozinha retangular de 3,45 m por 4,2 m com ladrilhos quadrados de 30 cm de lado. Qual é o número de ladrilhos necessários?

Alternativa c.

4. Um retângulo tem 15 cm de comprimento por 8 cm de largura. Vamos aumentar as medidas dos lados desse retângulo em 50%. Qual é a razão entre a área do novo retângulo e a área do retângulo inicial?

a) 49

b) 51 c) 161 d) 483

2. (Saresp-SP) Na figura há dois quadrados. A área do quadrado maior é 25 m2 e BG mede 2 m.

Alternativa a.

A área da região pintada de azul é:

a) 4 9

b) 9 4

c) 2 9 d) 9 2

e) 4

5. A figura a seguir mostra um terreno em forma de T com uma maneira de dividi-lo em retângulos de lados medindo x metros e 24 metros.

a) 16 m2

b) 21 m2 c) 9 m2 d) 18 m2

3. (Saresp-SP) Se para cobrir cada m2 de telhado são usadas 20 telhas francesas, então, para cobrir um telhado com as dimensões indicadas na figura, serão necessárias: 4m 10m 10m

Alternativa c.

a) 1 000 telhas.

b) 1 200 telhas.

c) 1 600 telhas.

d) 1 800 telhas.

Se a área do terreno é 2 160 m2, qual é o valor de x?

a) 90 m

b) 30 m c) 15 m d) 32 m e) 18 m

6. (Saresp-SP) Observe as figuras a seguir. Sabendo-se que a caixa tem 17 cm de comprimento, 5 cm de largura e 24 cm de altura, o papelão necessário para montar essa embalagem terá:

a) 2 040 cm2

Alternativa b. Alternativa c. Alternativa b.

b) 1 226 cm2 c) 1 106 cm2 d) 1 056 cm2 17 cm

17 cm 5 cm 17 cm 24 cm 24 cm 5cm

Caixa. Caixa planificada.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

7. (Vunesp-SP) O menor país do mundo em extensão é o estado do Vaticano, com uma área de 0,4 km2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre:

a) 200 m e 201 m.

b) 220 m e 221 m.

c) 401 m e 402 m.

d) 632 m e 633 m.

e) 802 m e 803 m.

9. A , B, C e D são os vértices de um retângulo, conforme mostra a figura.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

Considere que as medidas indicadas são dadas em centímetro. A partir desse retângulo, é construído um bloco retangular com 30 cm de altura. Qual é o volume desse bloco retangular?

a) 840 cm3

8. Uma faixa retangular de tecido medindo 7 m por 1,05 m deverá ser totalmente recortada em quadrados, sem deixar sobras. Todos os quadrados devem ter o mesmo tamanho, e cada quadrado deverá ter 0,35 m de lado. Nessas condições, quantos quadrados serão obtidos?

a) 70

b) 60

c) 54

d) 50

e) 45

UM NOVO OLHAR

Alternativa d. Alternativa b.

b) 720 cm3

c) 8 400 cm3

d) 600 cm3

e) 7 200 cm3

Alternativa e.

10. Usando um ou mais dados indicados a seguir, elabore um problema envolvendo o cálculo de volumes e entregue para um colega resolvê-lo. Em seguida, verifique se a resolução feita por ele está correta e compartilhem as estratégias de resolução utilizadas.

Bloco retangular: 14 cm x 21 cm x 7 cm

Cubo: 7 cm x 7 cm x 7 cm

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesta Unidade, retomamos e aprofundamos o estudo das áreas de algumas figuras geométricas planas, considerando a equivalência entre as áreas, e deduzimos as fórmulas das áreas do paralelogramo, do triângulo e do trapézio por meio da decomposição dessas figuras em outras figuras cujo cálculo da área é conhecido. Em seguida, revisamos o conceito de volume, determinando as expressões para calcular o volume do bloco retangular e o do cubo. Trabalhamos, também, com três importantes unidades de medida de volume: metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Descreva como você faria para determinar a área de uma figura geométrica plana sem conhecer a expressão para seu cálculo.

• Como podemos enunciar a expressão para o cálculo do volume de um bloco retangular?

O volume de um bloco retangular é o produto das medidas de suas dimensões.

• Qual deve ser o procedimento para transformar um valor dado em m3 para dm3?

E dm3 para cm3?

Resposta

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Os questionamentos apresentados no encerramento desta Unidade permitem, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados, que os estudantes façam reflexões sobre as próprias aprendizagens.

É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, desse modo, autoavaliem as próprias aprendizagens e possíveis dúvidas que ainda possuam.

A primeira questão desta seção aborda o cálculo da área de uma figura geométrica plana.

O terceiro e o quarto questionamentos retomam as unidades de medida de volume e suas transformações.

Se achar conveniente, propor aos estudantes que elaborem pequenas questões sobre esses conteúdos e troquem-nas com os colegas. Dessa maneira, poderão revisar conhecimentos.

Em ambos os casos, multiplicamos o valor por mil.

pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que fariam, se possível, a decomposição da figura em polígonos cujo cálculo da área é conhecido.

277

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Esta seção favorece o desenvolvimento nos estudantes da competência geral 5 e da competência específica 6 da área de Matemática.

O trabalho proposto auxilia, simultaneamente, o desenvolvimento da capacidade de estimar medidas de ângulos além de exercitar a prática do raciocínio condicional.

Instigar os estudantes a aprimorar o raciocínio condicional, desafiando-os a resolver os níveis 4 e 5.

Caso seja necessário, relembrar ou apresentar brevemente os conceitos matemáticos necessários para resolução desses níveis.

ÂNGULOS E MOVIMENTAÇÕES UTILIZANDO UM SOFTWARE

Imagine a seguinte situação: você e seus amigos combinaram de se encontrar para fazer uma caminhada. Porém a previsão do tempo indica que há possibilidade de chover no horário marcado. Nessa situação, você pensa: “se chover, vou ficar em casa; se não, vou caminhar com meus amigos”. A situação apresentada é um exemplo de aplicação do raciocínio condicional, em que, dependendo da condição estabelecida, uma decisão é tomada.

Esse raciocínio é amplamente utilizado no desenvolvimento de softwares, sites, jogos e praticamente qualquer outra ferramenta que exija programação. Para isso, são usados comandos do tipo se/senão (ou if/else, em inglês).

Nesta seção, estudaremos como esse tipo de comando funciona, aplicado a um jogo elaborado em uma linguagem de programação visual baseada em blocos chamada Blockly.

Atualmente, o Blockly é utilizado para facilitar a criação de aplicativos e como ferramenta de programação para estudantes iniciantes. Utilizando a linguagem Blockly, foram criados alguns jogos, os Blockly Games, para contribuir com o ensino de programação para crianças e jovens, disponível em: https://blockly.games/?lang=pt-br (acesso em: 22 jul. 2022).

Ao acessar a página inicial, você encontrará todos os jogos disponíveis. Dentre as opções, vamos trabalhar com o jogo Pássaro. Para isso, clique no símbolo e a tela principal do jogo será aberta. Nela, temos os seguintes campos:

Essa é a janela de visualização. Nela você observará o que acontece durante a execução do código.

Esse campo indica sua progressão no jogo. Note que há 10 níveis. Ao concluir um nível, o próximo nível aparecerá automaticamente.

Esse é o botão para executar o programa e reiniciá-lo.

Nesse campo é feita a programação em blocos. A parte cinza contém os blocos com os comandos que podem ser utilizados naquele nível. E a tela branca é onde o código vai ser construído. Para construir o código, basta arrastar os comandos da parte cinza para a tela branca.

No nível 1, devemos inserir um ângulo conveniente para que o pássaro pegue a minhoca e leve-a até seu ninho. Para auxiliar na visualização do ângulo, ao clicar no bloco , uma circunferência aparecerá, indicando o ângulo inserido, sempre tendo como base a linha horizontal. Observe um exemplo a seguir.

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

O ângulo correto é 45°. No entanto, o programa também aceita valores próximos a esse, como 40° e 50°.

Resolva o nível 1 do jogo preenchendo o bloco com o ângulo adequado e executando o código. Que ângulo você utilizou na resolução?

Ao resolver o nível 1, o nível 2 é liberado. O objetivo nesse nível é o mesmo, porém alguns obstáculos são inseridos, fazendo que seja necessário fazer escolhas. Por isso, o comando condicional se/senão deve ser utilizado na resolução desse nível.

Nesse caso, a condição estabelecida é , ou seja, se o pássaro estiver sem a minhoca, terá determinada ação, senão (se estiver com a minhoca), terá outra.

Para resolver o nível 2, encaixamos os blocos disponíveis no bloco do comando se/senão apresentado na tela de construção. Ao final, a construção do código ficará como mostrado a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Conforme você vai passando de nível, outros blocos de comando ficam disponíveis, e a dificuldade aumenta gradativamente.

Responda às questões no caderno.

1. No código de resolução do nível 2, o que o pássaro deve fazer se não estiver com a minhoca? E se estiver?

Sem a minhoca, o pássaro deve se movimentar na direção 0°. Com a minhoca, deve mudar de direção 90° para ir até o ninho.

2. Construa um fluxograma que represente o código de resolução do nível 2.

3. Resolva o nível 3 do jogo do pássaro.

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Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Na atividade 1, espera-se que os estudantes observem que a minhoca e o ninho estão alinhados e o pássaro deve se mover em um ângulo menor que 90° para atingir o objetivo. Assim, qualquer medida de ângulo utilizada deve corresponder à medida de um ângulo agudo. Especificamente nesse caso, os ângulos permitidos podem medir de 25° a 45°. Entre essas medidas, a melhor resposta é 45°. Na atividade 2, espera-se que os estudantes observem que, para pegar a minhoca, o pássaro precisa voar em uma direção que indique uma linha reta, o que corresponde a um ângulo de 0°. Após pegar a minhoca, o pássaro precisa girar um quarto de volta no sentido anti-horário (90°) e voar na direção oposta em linha reta para encontrar o ninho. Desse modo, a melhor resposta seria: se não tem minhocas; faça direção 0°; senão direção 90°. No entanto, no comando “faça”, é possível utilizar ângulos medindo de 0° a 10°. Já no comando “senão” é possível utilizar ângulos medindo de 76° a 104°. A construção do fluxograma para representar esse raciocínio favorece nos estudantes o desenvolvimento do pensamento computacional Na atividade 3, espera-se que os estudantes observem que o pássaro precisa percorrer uma trajetória que indique o contorno de uma figura triangular, pois, para pegar a minhoca, o pássaro necessita voar para baixo na direção de 300°; em seguida, para ir ao ninho, o pássaro precisa girar na direção que forma um ângulo de 60°; e, apenas depois, voar em linha reta.

Quando é mencionado, anteriormente, “a melhor resposta”, significa que o pássaro segue em linha reta em todas as partes do trajeto, sem realizar pequenos desvios ao chegar perto da minhoca ou do ninho.

UNIDADE 1

Números naturais e operações

Abertura de Unidade – p. 12

• Cada número subsequente é a soma dos dois anteriores, a partir do terceiro elemento.

• O número subsequente ao 144 é 233, dado pela soma 89 + 144 = 233.

1. Números naturais

Atividades – p. 15

1. 1, 4, 7, 10, 13

2. A partir do 1, adiciona-se cinco a cada elemento para obter o número seguinte.

3. Alternativa e.

4. a) 124 e 122. b) 86 e 84. c) 100 e 98. d) 1 000 e 998. e) 5 209 010 e 5 209 008. f) 1 002 e 1 000.

5. 101, 150, 197, 200, 207, 555, 700

6. Alternativa c.

7. Resposta pessoal. 8. A é igual a B

2. Operações com números naturais

Atividades – p. 18

1. a) 15 b) 30 c) 12 d) 27

• Resposta pessoal.

2. 3 e 6, 4 e 5. 3. 23 282 km

4. a) 292 b) 9 163

5. a) 39 b) 70 c) 71 d) 36

• Resposta pessoal.

6. 5 reais.

7. a) 320 b) 960 c) 972 d) 4 298

8. 450 biscoitos.

9. a) 70 reais.

b) Eram uma cédula de 50 reais e uma de 20 reais.

c) Resposta pessoal.

10. 800 pessoas.

11. a) 11 com resto 1. b) 25 com resto 3.

12. a) 0 b) 0 c) 0 d) 93

Por toda parte – p. 19

1. a) F b) V c) F

2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal.

3. Divisores e múltiplos de um número natural Atividades – p. 24

1. Alternativas a, c, e.

2. Alternativas b, d, e.

3. 6

• Resposta pessoal.

4. 112

5. 302 6. 60

• Resposta pessoal.

7. 9

8. Alternativa c.

9. Quatro números: 53, 59, 61 e 67.

10. a) 2 3 3 b) 2 2 3 7 c) 2 11 11

11. 81

12.

13. 60 minutos.

14. 420 anos terrestres.

15. 120 segundos.

16. 20 dias.

17. 120 minutos.

18. 18 centímetros.

19. 9 horas e 30 minutos.

20. 10 horas.

21. 55 moedas.

22. 13 23. Resposta pessoal.

Tratamento da informação – p. 26

1. Ensino Médio: 303 901.

2. Resposta pessoal.

3. Respostas pessoais.

4. a) De 2020 para 2021.

b) Resposta pessoal.

c) Na rede privada.

Retomando o que aprendeu – p. 28

1. 4 338 342 000 km

2. Quando a = 1 e b for um número primo.

3. a) 996

b) 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90

c) 1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 33, 35, 55, 77, 105, 165, 231, 385, 1 155

4. 180

5. 18

6. a) 14 b) 13

7. a) 1 260 b) 1 440

8. 27

9. 1 024

10. 40

Um novo olhar – p. 29 Respostas pessoais.

UNIDADE 2

11. Alternativa b. 12. 960 copos.

13. 60, 81, 102, 123, 144

14. Alternativa b. 15. 84 16. a) 6 minutos.

b) 9 voltas completas.

17. Resposta pessoal.

O conjunto dos números inteiros

Abertura de Unidade – p. 30

• Respostas pessoais.

• Na casa 2, vermelha.

• +6 e 1 (6 no dado com pontos azuis e 1 no dado com pontos vermelhos).

1. A ideia de números inteiros

Pense e responda – p. 32

1. a) Palmeiras e Grêmio.

b) Real Brasília, Cruzeiro Saf, São José e Bragantino.

c) Os saldos positivos foram indicados com o sinal “+”, e os saldos negativos, com o “ “. d) 11

Atividades – p. 35

1. a) +25

b) 15

c) 2 500

2. 400; negativo.

d) +1 600 e) +4 f) 5

g) 600

3. a) 50 reais. b) 1 700

4. a) 0 (zero). b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. c) 1, 2, 3 e 4.

5. a) 2 600 b) Resposta pessoal.

2. O conjunto dos números inteiros Por toda parte – p. 37 Resposta pessoal.

Atividades – p. 38

1. a) +4 b) 2 c) +6 d) +9 e) 5

2. Município B: 200 km; município C: +600 km.

3. a) 200 km b) 500 km c) 600 km

d) 300 km e) 1 100 km f) 900 km

4. Avião A: 50 km; avião B: +150 km

5. a) S b) Q c) Resposta pessoal.

6. BR

7. Alternativa a. 8. Alternativa c.

3. Módulo de um número inteiro Atividades – p. 40

3. +20 e 20.

4. 2, 1, 0, +1 e +2. 5. +36 6. 2

7. a) 140 quilômetros.

b) 15 graus Celsius. c) 110 metros.

4. Comparação de números inteiros Pense e responda – p. 41

1. a) Rio de Janeiro.

b) Montevidéu. c) Tóquio. d) Rio de Janeiro.

2. Oslo (Noruega).

Atividades – p. 43

1. a) a . 0

b) b , 0

c) c . 0

d) 0 . d

2. a) 0 ,+9

b) +13 . 0

c) 0 . 7 d) 20 , 0

e) +1 . 10

3. Bonito.

e) a . b f) a . c g) d , a h) b , c

i) b . d j) c . d

f) 25 ,+9 g) +11 ,+30 h) 11 . 30 i) 20 ,+4 j) +20 . 4

4. +12, +7, +1, 100, 160, 300 e 500.

5. a) +28 b) 21 c) +75 d) 96

6. a) +90 b) 100

7. a) 14, 11, 0, +12 e +16.

b) 0, 11, 14, 17 e 30.

8. a) A = { 19, 18, 17, 16, 15, 14, ...}

b) B = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...}

c) C = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2}

9. Resposta pessoal.

5. Adição de números inteiros

Pense e responda – p. 45

1. 28 °C 2. 5 °C 3. 1 °C 4. 38 °C

Fórum – p. 46

• Resposta pessoal. • Resposta pessoal. Atividades – p. 49

1. Lucro de 50 reais. 2. Zero.

3. Não.

4. a) +12

b) 92 c) 32 d) +17 e) 10 f) 13 g) +18

5. a) 17

b) +9 c) +18 d) 26 e) 173 f) 8

6. a) 2o andar.

b) 1o andar.

c) Térreo.

7. a) 31 27 4

b) 50 + 45 = 5

c) 20 11 = 31

d) 47 + 23 = 70

d) 3o andar. • Resposta pessoal.

e) 21 + 55 29 = 34 29 = 5

Pense e responda – p. 78

Todos os pontos da figura 1 estão a cinco lados de quadradinho de distância de seu correspondente na figura 3

Pense e responda – p. 79

1. a) Os dois segmentos têm a mesma medida. b) A medida do comprimento de um segmento de reta é sempre igual quando comparada à do segmento formado pelo ponto correspondente e o ponto indicado pela tachinha.

Tecnologias – p. 80

Simetria de reflexão

1. A distância entre um vértice qualquer e a reta é igual à distância entre a reta e seu vértice correspondente.

2. As medidas se alteram, mas é mantida a igualdade observada na questão 1

Simetria de translação

1. As distâncias entre cada vértice da primeira figura e seu correspondente são iguais entre si e são iguais ao comprimento do vetor.

2. A segunda figura se movimenta na mesma direção do vetor; a relação permanece a mesma: o comprimento do vetor é igual à distância entre cada vértice da primeira figura e seu correspondente na segunda figura.

Simetria de rotação

1. As duas medidas são iguais.

2. Todos os ângulos formados possuem a mesma medida, a do ângulo de rotação.

Fórum – p. 82 Respostas pessoais.

Atividades – p. 83

1. As figuras A C e E

2. a) 1 b) 4 c) 6 d) Nenhum. e) 2 f) 4

3. Reflexão por um eixo: II e V; translação: III e VI.

4. r

8. a) 180° no sentido horário ou anti-horário. b) Não, pois o ângulo de rotação entre essas figuras é de 120° no sentido anti-horário, considerando a figura 4 obtida como rotação da figura 2

9. É uma simetria de rotação com centro de rotação no ponto de encontro das nadadeiras desses dois peixes e um ângulo de rotação de 180°, no sentido horário ou no sentido anti-horário.

10. Resposta pessoal.

2. Ampliação

Atividades – p. 85

1. Desenho de um quadrado cujos lados são compostos de cinco lados de quadradinhos e de um quadrado cujos lados são compostos de 20 lados de quadradinhos.

Por toda parte – p. 86

1. Por 25.

2. Altura: cerca de 50 m; largura: 45 m.

3. 225 mm por 85 mm por 59 mm.

3. Transformações no plano cartesiano

Atividades – p. 90

1. • Alternativa c.

• P(1, 3); Q( 3, 1); R( 3, 3); S( 1, 3); T(3, 1); U(3, 3).

d) Ficará no 3o quadrante, e seus lados terão o dobro da medida dos lados do quadrado original. As coordenadas dos vértices serão: ( 2, 10), ( 10, 10), ( 10, 2), ( 2, 2).

5. a) ( 2, 2), ( 12, 6) e ( 8, 8).

b)

5. a b

6. a) Simetria de reflexão. b) Resposta pessoal.

7. Figura pedida Figura dada

2. Multiplicar por 1 apenas as abscissas dos pontos do polígono.

3. a) Polígono P: (2, 3), (8, 3), (8, 6), (6, 4) e (4, 6). Polígono Q: (4, 6), (16, 6), (16, 12), (12, 8) e (8, 12).

c) Ele é uma ampliação de fator 2 do original, mas localizado no 2o quadrante do plano cartesiano.

6. a) ( 4, 4), ( 12, 4), ( 12, 10), ( 8, 12) e ( 4, 10). b)

7. a) Exemplo de resposta: Multiplicar por 1 apenas as ordenadas dos pontos e, depois, multiplicar por 2 todos os valores das coordenadas obtidas: (4, 2), (12, 2), (14, 8), (12, 14), (4, 14) e (2, 8).

b) Construção do estudante. O polígono ampliado tem vértices: (4, 2), (2, 8), (4, 14), (12, 14), (14, 18) e (12, 2).

Por toda parte – p. 92

Respostas pessoais.

Retomando o que aprendeu – p. 94

1. a) Construção do estudante.

b) A ordenada de cada vértice foi multiplicada por 1.

c)

0

a) No 3o quadrante.

b) Ficará no 4o quadrante, e seus lados terão a mesma medida dos lados do quadrado original. As coordenadas dos vértices serão: (1, 1), (1, 5), (5, 1) e (5, 5).

c) Ficará no 2o quadrante, e seus lados terão a mesma medida dos lados do quadrado original. As coordenadas dos vértices serão: ( 1, 1), ( 1, 5), ( 5, 1) e ( 5, 5).

(2, 6) (12, 6)

1 123 4 (2, 0) (12, 0)

7 y x

5678 910111213

d) Triângulo: (1, 4), (9, 4) e (9, 1).

Retângulo: (2, 6), (12, 6), (2, 0) e (12, 0).

2. Resposta pessoal.

3. Alternativa d.

4. Como o polígono original está representado no 1o quadrante e a figura obtida está no 4o quadrante, podemos concluir que as coordenadas de todos os pontos do polígono

original foram multiplicadas por um número negativo. Além disso, os lados da figura obtida têm o triplo das medidas dos lados correspondentes do polígono original, portanto esse número, ou fator, é 3.

5. a) A

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

3. Multiplicação com números racionais

Pense e responda – p. 109

1. a) 6 metades.

b) 5 metades.

Atividades – p. 111

1. 63 quilômetros.

c) 5 2 ou 2 1 2

d) 3; 5 2

2. 1 5 3. 1 2

4. a) 4 21 b) 1 3 c) 1 10 d) 10

5. 15 4 ou 3 3 4 de xícara de chá.

6. Resposta pessoal.

4. Divisão com números racionais

Pense e responda – p. 113

1. a) 1 b) Os dois fatores são frações cujo numerador de uma é igual ao denominador da outra e vice-versa.

usada: verde; cor menos usada: laranja.

7. Alternativa d.

8. a) Metrô. b) 15 funcionários. c) Resposta pessoal.

9. a) 3 5 de kg. b) Mais de 1 2 kg.

10.

24 30 e 17 20

b) 24 30 , 17 20 ; no exame com 20 questões.

2. a) 2 vezes. b) 3 vezes. c) 4 vezes.

Atividades – p. 116

1. a) 2,88 b) +0,0325 c) 0,36

2. 4 15

3. a) 20 b) 5 16 c) 11 4 d) Zero.

4. a) 7 b) 20 c) Resposta pessoal.

5. 4 copos. 6. a) 4 3 b) Zero.

6. Uma translação na direção horizontal da direita para a esquerda de 15 cm de distância.

7. Resposta pessoal. 8. Alternativa c.

Um novo olhar – p. 95

• Multiplicando as coordenadas dos vértices por um número não nulo.

• É o número maior do que 1 pelo qual se multiplicam todas as medidas dos lados de um polígono para obter sua ampliação.

• Resposta pessoal.

Unidade 4

O conjunto dos números racionais

Abertura de Unidade – p. 96

• Resposta pessoal.

• 19,21; 18,5

• Resposta pessoal.

1. Os números racionais

Atividades – p. 100

1. a) 1, 2, 1 e 2.

b) + 1 4 e 8 10

c) +1,4 e 1,8.

2. a) + 1 6 b) 4 5 c) 5 6

3. a) 3,25 b) 0,025 c) +0,15

4. Naturais: nenhum; inteiros não naturais: 4, 10, 40 5 ; racionais não inteiros: 0,3 e + 4 9

11. a) Paula: 2 3 ; Artur: 7 10

b) Artur recebeu mais chocolate, pois

12. Resposta pessoal.

13.

; marca

b) Para a marca

:

7. a) 7 6 b) 4 5 c) 15 4 d) 21 8 8. 11 aventais. 9. a) +8 b) 0,75

c) +4,3

d) +15,2

e) 6 f) +3,6

10. a) 3,6 b) 0,6

11. 2 (+0,8)

; pois

.

; logo, usando essa marca, para fazer um copo de suco é necessário usar mais suco concentrado.

2. Adição algébrica de números racionais

– p. 107

5. Potenciação de números

1.

2. 3x 5 = 4 e 5x 7 = 8.

3. 14 países.

4. Resposta pessoal.

5. Como todas as sentenças são incorretas, Thaís ganhou 30 balas.

6. 79 anos.

7. a) 5 2 b) 240 c) 14 5 d) 1 2

8. 12 25 9. 3 e 4.

10. a) S = {8} b) S = 1 2

11. 1 4

12. a) 10 b) 100 c) 1, 2, 5 e 10.

13. a) 3x 5 = 7 b) x = 4. Sim.

14. Resposta pessoal.

8. Equações na resolução de problemas

Fórum – p. 158

• Resposta pessoal. • Resposta pessoal. Atividades – p. 159

1. Verde: 450 g; azul: 1 350 g; amarela: 2 700 g.

2. 22 estudantes.

3. Guilherme: 92 e Tiago: 72.

4. 265 pessoas.

5. 0,45 m

6. 3 120 pessoas.

7. 14 000 eleitores. 8. 6 000 L 9. Alternativa a.

Tratamento da informação – p. 160

1. a) 2010: 45,4% e 2020: 55,0%.

b) 2014 e 2015.

c) A porcentagem da população atendida com coleta de esgoto, com variação de 9,5% (55,0 45,5 = 9,5).

d) 100,0% 84,1% = 15,9%, o que corresponde a 33,67 milhões de habitantes.

8. Alternativa d.

9. x = 20 10. 10 3

Um novo olhar – p. 163 Respostas pessoais.

UNIDADE 6

11. Alternativa c. 12. Resposta pessoal.

Figuras geométricas planas

Abertura de Unidade – p.164

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• 30°; 75°; 120°; 180°; 270°

• Resposta pessoal.

1. Ângulos

Atividades – p. 170

1. Vértice: ponto B; lados: BA e BC

2. Três ângulos: AOB B OC e AOC

3. a) 180° b) 360°

2. a) a = 110° b) a = 28°

3. 180°

4. a) a = 55°, b = 55° e c = 125°.

b) a = 75°, b = 40° e c = 40°.

5. a) a = 120°, b = 60°, c = 70°, d = 50°, e = 50°.

b) a = 45°, b = 60°, c = 135°, d = 75°, e = 75°.

6. 55°, 55°, 55°, 55°, 125°, 125°, 125° e 125°.

7. x + y = 80°

8. x = 90°

9. m = 70°

2. Triângulos

10. m = 50° 11. x = y = 132°

Pense e responda – p. 184

Sim; nos itens b e c. Pense e responda – p. 186

1. O quadrilátero se deformou.

2. Sim. 3. Não.

Atividades – p. 187

2.

b) Internações por doenças associadas à falta de saneamento

Elaborada com base em: INSTITUTO TRATA BRASIL. Brasil. Painel Saneamento Brasil. São Paulo, 2018. Disponível em: https://www.painelsaneamento.org.br/ localidade/evolucao?id=0&L%5Bg%5D=2&L%5Bs%5D= 21&L%5Bi%5D=INT_VH. Acesso em: 20 jul. 2022.

c) Resposta pessoal.

3. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu – p. 162

1. Alternativa b. 2. Alternativa c.

3. a) 4x + 4 b) 50 176

4. Alternativa a.

5. Alternativa c.

6. Alternativa b.

7. Alternativa b.

4. 10°

5. Alternativa c. 6. Alternativa c. 7. 135°

8. a) 20°

b) 48°

c) 55°

• Resposta pessoal.

Atividades – p. 172

d) 90° e) 120° f) 180°

g) 70° h) 30°

1. a) 55° b) 40° c) 80° d) 18°

1. Sim, pois 130 cm , 92 cm + 51 cm; 92 cm , 130 cm + 51 cm e 51 cm , 130 cm + 92 cm.

2. 15 cm.

3. 58 cm.

4. a) x = 45°

b) x = 60°

2. 65°

3. 72° 4. med( AOC) = 50° 5. 25°

6. a) 43° b) 61° c) 68° d) 113°

7. 29° • Resposta pessoal.

c) x de um quadrado cujos lados são compostos de cinco lados de quadradinhos = 59°

5. 48°

6. 56° 7. Alternativa c.

8. Alternativa a.

8. 72°

9. 67° 10. 45° 11. 53° 12. 30° 13. 66°

Atividades – p. 175

1. a) x = a = 70°; y = 110°

b) x = 45°; y = 135°; a = b = 90°

2. a) x = 19°; 42°, 138°, 42° e 138°.

b) x = 25°; 105°, 75°, 105° e 75°.

Pense e responda – p. 176

1. a) c , d, e e f

b) ˆ a b ˆ g e h

c) a, d, e e h; b, c , f e g

d) a e e; b e f ; a e f ; b e e

e) ˆ c e g; ˆ d e ˆ h; ˆ c e ˆ h; ˆ d e g

Tecnologias – p. 179

1. Respostas pessoais.

2. a) Os ângulos alternos internos são congruentes.

b) A soma das medidas dos ângulos colaterais internos é 180°.

c) Sim, os ângulos alternos internos continuam congruentes, e a soma das medidas dos ângulos colaterais internos continua sendo 180°.

3. a) Os ângulos alternos externos são congruentes.

b) A soma das medidas dos ângulos colaterais externos é 180°.

c) Sim, os ângulos alternos externos continuam congruentes, e a soma das medidas dos ângulos colaterais externos continua sendo 180°.

4. a) Não. Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

Atividades – p. 182

1. a) x = 45° b) x = 50°

9. a) Sim, porque somente estruturas triangulares apresentam a propriedade da rigidez geométrica, ou seja, não sofrem deformações. O portão é feito de estruturas retangulares.

b) Resposta pessoal.

10. Respostas pessoais.

3. Polígonos regulares

Atividades – p. 189

1. a) 8 lados; octógono.

b) Medida do ângulo interno: 135°; medida do ângulo externo: 45°.

2. Undecágono. 3. Dodecágono.

4. Circunferência

Pense e responda – p. 191 Resposta pessoal.

Atividades – p. 192

1. Alternativa b. 2. Alternativa a.

3. a) OA e OB b) AB c) Não.

d) Sim, pois OA OB 2

4. a) 50 cm b) 1,30 cm c) 5 cm

5. 37 m

6. a) 28,5 cm b) 5,8 cm

7. 17 cm

8. a) 21 cm b) 30,5 cm

9. a) 3,14 m b) 3,14 m c) 314 m

5. Construções geométricas

Pense e responda – p. 194

Não.

Atividades – p. 196

1. a) Circunferência de centro O construída com um compasso com 4 cm de abertura.

b) Circunferência de centro A construída com um compasso com 2,5 cm de abertura.

2. Na opção com o formato de circunferência.

3. Construção do estudante. Não. Os passos descritos por Luciana referem-se à construção de apenas dois lados do quadrado. Para completar o quadrado, faltam os passos descritos a seguir.

3o passo: Com o auxílio de um esquadro, trace uma reta perpendicular a BC no ponto C e, com a régua, marque sobre a reta perpendicular o segmento de reta CD de medida 3 cm, de modo que o ponto D e o ponto A estejam do mesmo lado da reta BC

4o passo: Trace o segmento de reta com extremidades nos pontos A e D

4. 3o bloco: Com o compasso, trace uma circunferência de raio de medida 4 cm com centro em B. 4o bloco: Marque um ponto de intersecção das circunferências e nomeie de C

5. Resposta pessoal.

Por toda parte – p. 197

1. Respostas pessoais.

Tratamento da informação – p. 198

1. Resposta pessoal.

2. De 25 a 39 anos.

3. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

d) Sim. Porque é possível comparar a frequência de estudantes por atividade física escolhida em relação ao total de estudantes entrevistados, pois cada estudante escolheu apenas uma atividade. Essa comparação pode ser feita em valores absolutos ou em porcentagem, de modo que a soma dos dados seja igual ao total.

Retomando o que aprendeu – p. 200

1. Alternativa a.

1. Razão

Pense e responda – p. 205

1. a) • 1 000 g ou 1 kg.

• 2 vidros.

• 4 pacotes.

• 4 xícaras (chá).

Atividades – p. 207

1. 6 5 ou 6 para 5.

2. 9 10

b) 60 porções.

c) 250 g

3. a) 5 7 b) 4 5 c) 14 25 d) 15 22

4. Respostas pessoais.

5. a) 2 5 b) 2 5 c) 4 25

• Resposta pessoal.

6. 2 5

7. a) 200 lajotas.

b) 1 5

c) 4 5 d) 1 4

3. a) x = 2 b) x = 11,25

4. 1

5. 80

6. 26 crianças.

7. 40 km/h

8. 48 000 habitantes. 9. 1,2 m 10. 15 copos de água. 11. 8 ovos.

12. Não. Correção da resposta de Valentina: 35 21 x 8,4 =H 21x = 294 H x = 14

13. a) 8 cm b) 12 m2; 48 m2 c) 1 4 ou 4 1

A área do retângulo 2 é quatro vezes a área do retângulo 1

Pense e responda – p. 218

1. a) Sim. b) 12 pacotes de fraldas. c) 24 pacotes de fraldas. O número de pacotes também dobrou.

Atividades – p. 221

1. a) Sim. b) Sim. c) Não. d) Não.

2. Verdadeira.

2. 18°

3. 140° 4. 90° 5. 20° 6. 137° 7. Alternativa c.

8. a) 60° b) 140° c) 156°

9. Resposta pessoal.

10. Sim, Larissa obteve um triângulo equilátero de lados medindo 4 cm.

11. Resposta pessoal.

Um novo olhar – p. 201

• Quando a soma das medidas deles é 90°. Quando a soma das medidas deles é 180°.

• Quando a medida de qualquer um dos segmentos de reta for menor do que a soma das medidas dos outros dois.

• 180°

• Dividindo a soma das medidas dos ângulos internos pela quantidade de ângulos internos.

• A medida do diâmetro corresponde ao dobro da medida do raio da circunferência.

UNIDADE 7

Grandezas proporcionais

Abertura de Unidade – p. 202

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• A quantidade de vasos produzidos pode aumentar.

• Em metade do dia.

8. 2021

9. O sistema IV. 10. Gustavo e Carlos.

Atividades – p. 211

1. a) 0,63; 63% b) 0,112; 11,2% c) 0,14; 14% d) 0,6875; 68,75%

2. a) 42%

b) 8% c) 22,5% d) 1,5% e) 11,25% f) 0,7%

3. 32,5%

4. a) Aproximadamente 48,2%

b) Resposta pessoal.

5. 75%. Resposta pessoal.

6. a) Língua Portuguesa: 85%; Matemática: 80%; Ciências: 60%; e Geografia: 75%.

b) Melhor desempenho: Língua Portuguesa; pior desempenho: Ciências.

c) Resposta pessoal.

2. Proporção

Pense e responda – p. 213

1. a) Continuando o padrão identificado temos:

Desconto (em R$)

3. 27

4. 84

5. Zero. 6. 200, 80 e 100.

7. Valdir: R$ 1.600,00; Gustavo: R$ 1.000,00; Roberto: R$ 2.000,00.

8. João: 176 g; Roberta 144 g; Tomás: 80 g.

9. a) 45 min

b) 105 min c) 30 min

10. Filial A: R$ 80.000,00; Filial B: R$ 64.000,00

11. Sim, os cálculos estão corretos. Resposta pessoal.

Atividades – p. 224

1. a) 2 5 b) 2 5 c) Sim. d) Sim.

e) 1 200 unidades. 1 800 unidades.

2. a) 6 5 b) 5 6 c) 160 min

d) São grandezas inversamente proporcionais.

3. a) Sim.

b) R$ 100,50 c) Resposta pessoal. d) Resposta pessoal.

4. Resposta pessoal.

5. a) Distância percorrida (em km) e consumo de gasolina (em L).

b) 12,5 km/L; 9,09 km/L; 12 km/L; 12,5 km/L; 10 km/L

c) Sim.

d) Não, pois há outros fatores, como a calibragem dos pneus, o tipo de estrada e o local (centro, área rural, rodovia) em que o veículo está rodando, que influenciam o consumo de combustível gasto pelo veículo, por isso ele não varia exatamente na mesma razão.

3. Regra de três

Atividades – p. 228

f) Todas são iguais a 1 10

Pense e responda – p. 215

• Não, pois 7 3 12 28 5 , e a propriedade fundamental das proporções não é satisfeita (7 28 5 3 12).

Atividades – p. 216

1. a) Sim. b) Sim. c) Sim. d) Não.

2. a) 16,8 b) Resposta pessoal.

1. 30 dias. 2. 420 páginas. 3. 64 azulejos.

4. 2,4 horas ou 2 horas e 24 minutos.

5. 82 m

Fórum – p. 228 Respostas pessoais. Por toda parte – p. 229

1. 80 quilocalorias.

2. Aproximadamente 21,9 g.

3. Respostas pessoais. 4. Resposta pessoal.

Atividades – p. 232

1. 50 dias.

2. 250 L

3. 16 dias.

4. 32 operários.

5. 30 dias.

6. Resposta pessoal. 7. 216 caixas.

8. a) 200 kg

b) 20 sacos.

Educação financeira – p. 233

1. Ajudam os pais a fazer compras mais conscientes.

2. 50%; 376 pessoas.

3. Aproximadamente 274 pais e mães.

4. Por volta de 165 pais e mães.

5. Resposta pessoal.

Tratamento da informação – p. 234

1. Preferência esportiva dos estudantes da escola Alegria

45% 20% 72° 126° 162° 35%

Basquete Vôlei Futebol

Fonte: Estudantes da escola Alegria.

2. 25 400 eleitores (50%); 50 800 eleitores.

Retomando o que aprendeu – p. 236

1. Alternativa c.

2. Alternativa c.

3. Alternativa a.

4. Alternativa b.

5. Alternativa d.

6. Alternativa b.

7. Alternativa d.

Um novo olhar – p. 237 Respostas pessoais.

UNIDADE 8

8. Alternativa b.

9. Alternativa c.

10. Alternativa e.

11. Respostas pessoais.

12. Alternativa e.

13. Alternativa b.

14. Alternativa a.

Porcentagem, probabilidade e Estatística

Abertura de Unidade – p. 238

• Respostas pessoais.

• Brasil, pois tem a maior quantidade de equipes disputando a competição.

• Resposta pessoal.

1. Porcentagem

Pense e responda – p. 242

Para calcular 50% de um valor, basta dividir esse valor por 2, pois 50% correspondem a 50 100 1 2 =

Atividades – p. 243

1. a) Equipe A: 80%; equipe B: 75%. b) Equipe A; a equipe A ganhou 80% dos jogos, enquanto a equipe B ganhou 75% dos jogos.

2. R$ 108,00

3. a) R$ 5,85 b) 7,5%

4. 17,67 milhões de domicílios.

5. Resposta pessoal. 6. Resposta pessoal.

7. a) 50 b) 150 c) 125 d) 25 e) 2,5 f) 32,5

8. a) R$ 159,30 b) R$ 169,84

2. Probabilidade Atividades – p. 245

1. 1 2 2. 1 3

3. a) 1 2 b) 2 3 c) 1 2

4. a) 1 12 b) 1 6 c) 1 6

5. Alternativa d. Tratamento da informação – p. 246

1. À medida que aumentamos o número de lançamentos, a tendência é que os resultados obtidos se aproximem mais da probabilidade calculada.

• 10 repetições: Pcara = 40%; Pcoroa = 60%

• 50 repetições: Pcara = 46%; Pcoroa = 54%

• 100 repetições: Pcara = 53%; Pcoroa = 47%

• 200 repetições: Pcara = 48,5%; Pcoroa = 51,5%

• 300 repetições: Pcara 1 48,7%; Pcoroa 1 51,3%

• 400 repetições: Pcara 1 47,8%; Pcoroa 1 52,2%

• 500 repetições: Pcara = 52,2%; Pcoroa = 47,8%

• 600 repetições: Pcara 1 53,8%; Pcoroa 1 46,2%

• 700 repetições: Pcara 1 49,4%; Pcoroa 1 50,6%

• 800 repetições: Pcara 1 50,1%; Pcoroa 1 49,9%

• 900 repetições: Pcara 1 50,4%; Pcoroa 1 49,6%

• 1 000 repetições: Pcara = 49,8%; Pcoroa = 50,2%

2. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal.

c) Exemplo de resposta: A moeda poderia ser viciada.

3. Estatística

Atividades – p. 250

1. a) Inglês: 15; Espanhol: 22.

b) Manhã: 18; Tarde: 18; Noite: 19,5.

2. a) O consumo médio mensal foi de aproximadamente 13,83 m3

b) O consumo médio diário foi de aproximadamente 0,46 m3

3. a) 186 refeições; não.

b) Terça-feira, quinta-feira e sexta-feira.

c) 140 refeições.

4. a) Alimentação: R$ 198,75; Roupas: R$ 73,75; Lazer: R$ 100,00.

b) Resposta pessoal.

Fórum – p. 251

Resposta pessoal.

Atividades – p. 254

1. a) 100 médicos. b) 34%

2. A censitária, pois o tamanho da população é suficientemente pequeno para que todos os elementos sejam pesquisados.

3. Resposta pessoal.

4. Não, pois não foi informada a quantidade de sócios, e a amostra pode não representar a população, ou seja, todos os sócios do clube.

Por toda parte – p. 255

1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal.

Tecnologias – p. 256

1. Na Região Nordeste. Para obter essa informação do gráfico, basta comparar as alturas das colunas, verificando qual é a mais alta. No caso, a coluna mais alta corresponde à Região Nordeste.

2. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu – p. 258

7. Resposta pessoal.

Um novo olhar – p. 259

• É uma razão de denominador 100.

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• Em situações em que a população é muito grande e demandaria muito tempo e recursos financeiros para sua realização.

UNIDADE 9

Área e volume

Abertura de Unidade – p. 260

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal. • 150 m2

1. Área de figuras geométricas planas

Atividades – p. 268

1. a) 64 cm2

b) 72 cm2 c) 100 cm2 d) 50 cm2

2. 20,8 cm2 3. 50 cm2 4. 108 cm2

5. a) 22 cm2 b) 18 cm2

6. Alternativa d.

7. Resposta pessoal. 8. 860 m2

9. a) 1 : 9 900 m2; 2 : 3 660 m2

b) 13 560 m²

10. 375 m2 11. 584 ladrilhos. 12. 13,44 m2

13. 1 900 cm2

14. a) 6 237 m2 b) 324 m c) 52 mudas.

Por toda parte – p. 270

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

2. Volume

3. R$ 5.130,00

Pense e responda – p. 271

3 m

Pense e responda – p. 273

1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal.

Atividades – p. 274

1. a) 1 700 000 cm3 b) 0,012 m3

2. 8 000 dm3 3. 4 cm

4. a) 9 000 cm3

b) 3 dm3

c) 0,008 m3

5. 9 cm

6. 689 marmitas.

7. 4 caminhões.

8. Resposta pessoal.

9. Alternativa c.

10. Alternativa c.

11. Alternativa d.

12. Resposta pessoal.

13. 3 m

Retomando o que aprendeu – p. 276

1. Alternativa c.

2. Alternativa a.

3. Alternativa c.

4. Alternativa b.

5. Alternativa c.

Um novo olhar – p. 277

• Resposta pessoal.

6. Alternativa b.

7. Alternativa d.

8. Alternativa b.

9. Alternativa e.

10. Resposta pessoal.

• O volume de um bloco retangular é o produto das medidas de suas dimensões.

• Em ambos os casos, multiplicamos o valor por mil.

Tecnologias – p. 278

1. Alternativa d.

2. Alternativa e. 3. Alternativa c.

4. Censitária; pois a escola contatou todos os estudantes entre 7 e 16 anos.

5. Alternativa d. 6. Alternativa d.

1. Sem a minhoca, o pássaro deve se movimentar na direção 0°. Com a minhoca, deve mudar de direção 90° para ir até o ninho.

2. Resposta pessoal.

3. Resposta pessoal.

ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessôa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2016.

Esse livro destaca como situações do dia a dia podem contribuir para a motivação do estudo da matemática e para a compreensão e aplicação de vários conceitos trabalhados nessa área.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018.

Apresenta um conjunto de artigos que abordam estudos e aplicações de metodologias ágeis na educação para o desenvolvimento do protagonismo estudantil de maneira inovadora.

BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta Caecilia. História da matemática. Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.

Esse livro apresenta episódios da construção histórica do conhecimento matemático destacando a solução de problemas, abertos há muito tempo, e o papel dos computadores na pesquisa em matemática.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular : educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento oficial composto de orientações que norteiam a (re)elaboração dos currículos de referência das escolas das redes pública e privada de ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos essenciais, as competências, as habilidades e as aprendizagens pretendidas para crianças e jovens em cada etapa da Educação Básica. BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB: DICEI, 2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/ julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/ file. Acesso em: 8 jun. 2022.

As Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) são normas obrigatórias para a Educação Básica que orientaram a elaboração da BNCC. Elas são discutidas, concebidas e fixadas pelo Conselho Nacional de Educação (CNE).

BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias= 182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192.

Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento que define normas sobre Computação na Educação Básica, em complemento à BNCC.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental –Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento que apresenta uma seleção de conhecimentos de cada componente, considerados fundamentais para o exercício da cidadania, além de uma proposta de organização curricular.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas contemporâneos transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basena cionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextuali zacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento explicativo acerca dos Temas Contemporâneos Transversais a serem abordados na Educação Básica.

BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.

Esse material propõe a análise de dados, e apresenta conceitos de probabilidade. Compreende, também, tópicos de inferência estatística.

COSTA, Erick John Fidelis. Pensamento computacional na Educação Básica: uma abordagem para estimular a capacidade de resolução de problemas na matemática. Dissertação (Mestrado em Ciência da Computação) – Centro de Engenharia Elétrica e Informática, Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande, 2017.

Essa dissertação aborda a importância do desenvolvimento de competências relacionadas ao pensamento computacional desde os anos iniciais da educação básica com o objetivo de estimular a capacidade de resolver problemas.

COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (org.). As ideias da álgebra. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

Conceitos de álgebra são explorados nesse livro por meio de ideias fundamentais que auxiliam a aprendizagem do pensamento algébrico.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática

Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

Esse livro apresenta uma narrativa da história da matemática baseada em resultados obtidos, obras e dados biográficos de estudiosos, e explicita os panoramas culturais de cada época.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos et al Fundamentos de matemática elementar. 8. ed. São Paulo: Atual, 2019. 11 v. (Fundamentos de matemática elementar).

Os livros dessa coleção apresentam conceitos fundamentais de matemática, que servem de introdução a estudos nessa área.

IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Tradução: Stella Maria de Freitas Senra. 11. ed. Rio de Janeiro: Globo, 2001.

Esse livro apresenta o desenvolvimento histórico do conceito de números e de outros conceitos matemáticos.

KENSKI, Vani Moreira. Educação e tecnologias: o novo ritmo da informação. 8. ed. Campinas: Papirus, 2012.

Nesse livro, busca-se mostrar como os avanços tecnológicos podem contribuir para as situações de ensino e aprendizagem, discutindo, diversas compreensões do termo tecnologias e sua aplicação.

LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (org.). Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

O livro apresenta um conjunto de artigos que abordam desafios do ensino de Geometria e recursos para o desenvolvimento do pensamento geométrico.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. Nesse livro, a resolução de problemas é apresentada como ferramenta para o desenvolvimento cognitivo.

ROCHA-FILHO, Romeu Cardozo. Grandezas e unidades de medida: o sistema internacional de unidades. São Paulo: Ática, 1988.

Nesse livro são apresentados conceitos fundamentais de grandezas, de unidades de medida, e o surgimento e a importância do Sistema Internacional de Unidades.

ROSALE, André Rodrigues. Argumentação e prova matemática na Educação Básica. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2017.

Essa dissertação aborda a importância da argumentação matemática para o desenvolvimento da aprendizagem matemática.

ROSEN, Kenneth H. Matemática discreta e suas aplicações 6.ed. [S l.]: McGraw Hill, 2009.

Esse livro apresenta conceitos de matemática aplicada, entre eles a definição de inferência, fundamental para o desenvolvimento do raciocínio matemático.

RESOLUÇÕES COMENTADAS

Unidade 1 • Números naturais e operações

Abertura de Unidade – p. 12

• Cada número subsequente é a soma dos dois anteriores, a partir do terceiro elemento.

• O número subsequente ao 144 é 233, dado pela soma 89 + 144 = 233.

1. Números naturais

Atividades – p. 15

1. 1; 1 + 3 = 4; 4 + 3 = 7; 7 + 3 = 10; 10 + 3 = 13

Portanto, são: 1, 4, 7, 10, 13.

2. A partir do 1, adiciona-se 5 a cada elemento para obter o número seguinte.

3. A sequência composta dos 5 primeiros números naturais pares é: 0, 2, 4, 6, 8. Assim, a sequência composta dos sucessores dos 5 primeiros números naturais pares é: 1, 3, 5, 7, 9.

Alternativa e.

4. a) 124 e 122.

b) 86 e 84.

c) 100 e 98.

d) 1 000 e 998.

e) 5 209 010 e 5 209 008.

f) 1 002 e 1 000.

5. 101, 150, 197, 200, 207, 555, 700

6. Sabe-se que 9 . 8 no entanto, a alternativa c afirma o contrário, portanto, ela é a correta.

Alternativa c.

7. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 1, 5, 9, 13, 17. É importante que os estudantes discutam as estratégias e reconheçam o padrão da sequência do colega. Nesse caso, cada termo a partir do segundo é o anterior adicionado de 4 unidades.

8. Do enunciado:

• A . 8 e A , 10;

• B . 8 e B , 10.

Assim, A é igual a B

2. Operações com números naturais

Atividades – p. 18

1. a) 15

b) 30

c) 12

d) 27

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: No item a, pode-se adicionar 3 a 7, completando uma dezena (10) e, posteriormente, adicionar 5 unidades, obtendo 15. Espera-se que os estudantes compreendam e utilizem diferentes estratégias de cálculo mental.

2. 3 + 6 = 9; 4 + 5 = 9.

3 e 6, 4 e 5.

3. 22 432 km + 850 km = 23 282 km

4. a) 909 617 = 292

b) 11 121 1 958 = 9 163

5. a) 14 + 37 12 = 51 12 = 39

b) 49 27 + 48 = 22 + 48 = 70

c) 108 + 91 128 = 199 128 = 71

d) 123 + 456 543 = 579 543 = 36

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em um jogo on-line o resultado é obtido a partir da adição dos pontos ganhos ou da subtração dos pontos perdidos ao final de cada fase. Em certo dia, Caio passou por três fases e, na primeira e na segunda, ganhou 14 e 37 pontos, respectivamente, enquanto na terceira fase, perdeu 12 pontos. Determine a pontuação final de Caio. Resposta: 39 pontos.

6. 100 35 18 42 = 5

Portanto, ela recebeu R$ 5,00 de troco.

7. a) 4 8 10 = 32 10 = 320

b) 4 80 3 = 320 3 = 960

c) 81 12 = 972

d) 14 307 = 4 298

8. 30 ? 3 ? 5 = 450

Portanto, Solange fez 450 biscoitos.

9. a) 51 + 19 = 70

Portanto, Carlos deu para o caixa 70 reais.

b) Uma cédula de 50 reais e uma de 20 reais.

c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sabendo que o troco recebido por Carlos foi devolvido em cinco cédulas, que cédulas eram essas? (Resposta: Três cédulas de 5 reais e duas cédulas de 2 reais). Espera-se que os estudantes identifiquem diferentes possibilidades e elaborem a atividade conforme solicitado.

10. 20 15 + 25 10 + 25 10 = 300 + 250 + 250 = 800

Portanto, a lotação desse teatro é de 800 pessoas.

11. a) 122 : 11 = 11 11 + 1; 11 com resto 1.

b) 628 : 25 = 25 25 + 3; 25 com resto 3.

12. a) 234 : 18 = 13; resto = 0.

b) 308 : 22 = 14; resto = 0.

c) 888 : 24 = 37; resto = 0.

d) 593 : 100 = 5 ? 100 + 93; resto = 93.

Por toda parte – p. 19

1. a) F, é a região Nordeste.

b) V.

c) F, pois a quantidade de indígenas na universidade pública é 12 348 (4 383 + 3 688 + 1 640 + 1 566 + 1 071 = 12 348), enquanto na universidade privada é 36 678 (8 364 + 15 672 + 2 244 + 9 115 + 1 283 = 36 678), o que corresponde a aproximadamente 3 vezes mais.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam que os profissionais indígenas, principalmente de áreas como saúde e educação, ao voltarem para suas comunidades e trabalharem na região, contribuem para o desenvolvimento local com conhecimento técnico da formação e com conhecimento da cultura e dos costumes indígenas, podendo fazer atendimentos especializados para essa população.

3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pesquisem projetos de incentivo ao ingresso de indígenas no Ensino Superior, tanto em universidades públicas como em privadas da região em que residem e caso existam, compreendam, de maneira geral, como eles funcionam.

3. Divisores e múltiplos de um número natural

Atividades – p. 24

1. a) 24 : 4 = 6;

b) 24 : 5 = 4 e resto 4;

c) 24 : 6 = 4;

d) 24 : 7 = 3 e resto 3; e) 24 : 8 = 3. Alternativas a, c, e.

2. Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ... Alternativas b, d, e.

3. D (246) = 1, 2, 3, 6, 41, 82, 123, 246

Assim, o maior divisor de 246 que é menor do que 20 é o 6.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Uma doceira quer compor kits para venda com os 246 docinhos que sobraram de uma festa. Sabendo que ela deseja que os kits tenham menos de 20 doces em cada, qual é o maior número de kits possível para que não haja sobras?

4. Os 10 primeiros múltiplos de 14 são: M (14) = 0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126

Assim, o menor múltiplo de 14 que é maior do que 100 é o 112.

5. O menor múltiplo de 2 maior do que 300 é o primeiro número par maior do que 300. Portanto, 302.

6. Um múltiplo de 2 e 5 é um múltiplo de 10. Assim, um múltiplo de 10 que seja maior do que 50 e menor do que 70 é o 60.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes identifiquem que um múltiplo comum a 2 e 5 é um múltiplo de 10 e que o 60 é o único a satisfazer essa condição.

7. 9

8. 121 é divisível por 11 e 171, 1 323 e 543 são números divisíveis por 3. Alternativa c.

9. Quatro números: 53, 59, 61 e 67.

10. a) 2 3 3

b) 2 2 3 7

c) 2 11 11

11. 3 3 3 3 = 81

12. 2 2 3 3 5 7

13. mmc (12, 20) = 2 ? 2 ? 3 ? 5 = 60

Depois de 60 minutos.

14. mmc (12, 30, 84) = 2 2 3 5 7 = 420

Passarão 420 anos terrestres.

15. mmc (20, 24, 30) = 2 2 2 3 5 = 120

Depois de 120 segundos.

16. mmc (4, 5, 10) = 2 2 5 = 20

Depois de 20 dias.

17. mmc (24, 40) = 2 2 2 3 5 = 120 120 minutos.

18. 90 = 2 ? 3 ? 3 ? 5

126 = 2 3 3 7

mdc (90, 126) = 2 ? 3 ? 3 = 18 18 centímetros.

19. mmc (15, 18) = 2 ? 3 ? 3 ? 5 = 90

Assim, os dois ônibus partirão simultaneamente após 1 hora e 30 minutos.

Os ônibus partirão juntos novamente às 9 horas e 30 minutos.

20. mmc (15, 25, 40) = 2 ? 2 2 3 5 5 = 600 600 minutos = 10 horas

21. 165 = 3 5 11

220 = 2 ? 2 ? 5 ? 11

275 = 5 ? 5 ? 11

mdc (165, 220, 275) = 5 ? 11 = 55 55 moedas.

22. mmc (12, 15, 24) = 2 2 2 3 5 = 120

Assim, a quantidade de figurinhas separadas é múltipla de 120: 0, 120, 240, 360, ... Como sempre sobravam 7 figurinhas fora dos grupos e o total das figurinhas está compreendido entre 200 e 300, Caio tinha 247 figurinhas. Assim: 2 + 4 + 7 = 13.

23. Exemplo de resposta:

Início: Indique dois números naturais diferentes de 0 separando-os por uma vírgula.

Trace uma linha reta ao lado.

Determine do lado direito um número primo que, na divisão inteira por pelo menos um dos números, não deixa resto diferente de 0 e realize a divisão.

A divisão é exata?

Repita o dividendo na linha de baixo.

Coloque o quociente na linha de baixo.

Tratamento da informação – p. 26

Há mais algum número diferente de 1 para ser dividido?

Multiplique todos os fatores primos.

1. Ensino Médio; 6 835 399 6 531 498 = 303 901.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Espera-se que os estudantes coletem os dados disponíveis na escola e os organizem em uma tabela e em um gráfico.

3. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes interpretem os gráficos e comparem as informações da escola em que estudam com as informações apresentadas no Livro do estudante. Incentivá-los e discutir outras situações, considerando o contexto da pandemia de covid-19. como a evasão escolar e o desemprego no Brasil.

4. a) De 2020 para 2021.

b) Resposta pessoal. É possível que os estudantes relacionem a queda nas matrículas com o período de pandemia de covid-19.

c) Nas redes privadas. Alguns fatores que podem ter contribuído para essa diminuição de matrículas são: a crise econômica fortalecida pela pandemia, o que fez com que os gastos familiares fossem reduzidos; o fechamento momentâneo de creches; e a presença dos familiares em casa.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Retomando o que aprendeu – p. 28

1. 149 598 000 km 29 = 4 338 342 000 km

2. Quando a = 1 e b é um número primo.

3. a) Múltiplos de 6 maiores do que 900 e menores do que 1 010: 906, 912, 918, 924, 930, 936, 942, 948, 954, 960, 966, 972, 978, 984, 990, 996, 1 002, 1 008. Assim, o maior múltiplo de 6 com três algarismos é o 996.

b) Os 11 primeiros múltiplos de 9 são: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.

c) Os divisores de 1 155 são: 1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 33, 35, 55, 77, 105, 165, 231, 385, 1 155.

4. Os múltiplos comuns de 4 e de 6 são múltiplos de 12. Alguns deles são: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, ... Assim, o maior múltiplo comum dos números 4 e 6 menor do que 190 é o 180.

5. D (54) = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54

D (72) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 Portanto, o maior deles é o 18.

6. a) 112 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 7 70 = 2 ? 5 ? 7 mdc (112, 70) = 2 ? 7 = 14

b) 39 = 3 ? 13

65 = 5 ? 13 91 = 7 ? 13

mdc (39, 65, 91) = 13

7.

8. x = 64 n 11 y = 16 ? n ? 13 mdc (x, y) = 432

Assim, o mdc (x, y) = 16 ? n = 432.

Então, n = 27.

9. 210 = 1 024

10. Ser múltiplo de 8 e de 10 é ser múltiplo de 40. Assim, se havia menos de 60 idosos, então havia 40 idosos.

11. 1h10min = 70 min

mmc (40, 70) = 2 2 2 5 7 = 280

Portanto, 280 minutos.

Alternativa b.

12. mmc (12, 15) = 2 ? 2 ? 3 ? 5 = 60

Os 20 primeiros múltiplos de 60 são: M (60) = 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960, 1 020, 1 080, 1 140.

Assim, se o número de copos tem três algarismos e é maior do que 900, o número de copos é 960.

13. mmc (12, 20) = 2 2 3 5 = 60

Assim, a sequência será: 60, 81, 102, 123, 144.

14. mmc (4, 6, 8) = 2 2 2 3 = 24

Ocorrerão eleições simultâneas para todos os cargos a cada 24 anos.

Assim, a próxima eleição simultânea será em 2 009 + 24 = 2 033.

Alternativa b.

15. O número de convidados é um múltiplo de 6 7 = 42.

Assim, se a festa de aniversário de André tem menos de 120 convidados e há mais de 10 (mesas) 6 (convidados/mesa) = 60 convidados, então são 84 convidados.

16. a) mmc (40, 36, 30) = 2 2 2 3 3 5 = 720 720 segundos, ou 6 minutos. Resposta: 6 minutos.

b) 66 0 40 9 = 9 voltas completas.

17. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Defina o primeiro elemento. A partir do segundo, cada elemento é o anterior multiplicado por 3.

Um novo olhar – p. 29

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes percebam que, se um número a é múltiplo de um número b, então b é divisor de a

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tenham compreendido o que são os números primos e consigam explicar corretamente para um colega.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes consigam escrever ou expressar oralmente as estratégias que usariam.

Unidade 2 • O conjunto dos números inteiros

Abertura de unidade – p. 30

• Respostas pessoais. Os estudantes podem responder que identificaram adições e subtrações.

• Na casa 2, vermelha.

• +6 e 1 (6 no dado com pontos azuis e 1 no dado com pontos vermelhos).

1. A ideia de números inteiros

Pense e responda – p. 32

1. a) Palmeiras e Grêmio.

b) Real Brasília, Cruzeiro Saf, São José e Bragantino.

c) Os saldos positivos foram indicados com o sinal “+”, e os saldos negativos, com o “ “.

d) 11

Atividades – p. 35

1. a) +25

b) 15

c) 2 500

d) +1 600

e) +4

f) 5

g) 600

2. 400; negativo.

3. a) 50 reais.

b) 1 700

4. a) 0 (zero).

b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

c) 1, 2, 3 e 4.

5. a) 2 600

b) Espera-se que os estudantes reconheçam e utilizem os números negativos no contexto solicitado, apresentando como informações em seus textos os nomes das outras seis maravilhas do mundo antigo e a data aproximada de quando foram construídas. São elas: Mausoléu de Halicarnasso, construído no ano aproximado de 350; estátua de Zeus, construída no ano aproximado de 435; jardins suspensos da Babilônia, construídos no ano aproximado de 600; farol de Alexandria, construído no ano aproximado de 331; templo de Ártemis, cuja construção tem data de início no ano aproximado de 550; e colosso de Rodes, construído no ano de 282.

REPRODUÇÃO/SARESP

2. O conjunto dos números inteiros

Por toda parte – p. 37

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discutam a respeito da aceitação dos números negativos ao longo da história, compreendendo que eles resultam de um processo longo que durou séculos, só foi formalizado no século XIX e teve a contribuição de diversos matemáticos de diferentes partes do mundo.

Atividades – p. 38

1. a) +4

b) 2

c) +6

d) +9

e) 5

2. Município B: 200 km; município C: +600 km.

3. a) 2 ? 100 km = 200 km

b) 5 100 km = 500 km

c) 6 100 km =600 km

d) 3 ? 100 km = 300 km

e) 11 100 km = 1 100 km

f) 9 100 km = 900 km

4. Avião A: 50 km; avião B: +150 km.

5. a) S

b) Q

c) Resposta pessoal. Exemplos de respostas: O ponto P representa que número inteiro? Qual é o ponto associado ao número 0 (zero)? Resposta: 5; O

6. BR O

7. Alternativa a.

8. Seguindo a variação de temperatura indicada, temos as seguintes temperaturas em determinadas cidades:

5. +36

6. 128 : 4 30 = 32 30 = 2

O oposto ou simétrico desse número é o 2.

7. a) 90 + 50 = 140; 140 quilômetros.

b) 3 + 12 = 15; 15 graus Celsius.

c) 80 + 30 = 110; 110 metros.

4. Comparação de números inteiros

Pense e responda – p. 41

1. a) +22 °C ,+30 °C Rio de Janeiro.

b) +22 °C . 0 °C Montevidéu.

c) 0 °C . 3 °C Tóquio.

d) 3 °C ,+30 °C Rio de Janeiro.

2. 10 °C , 3 °C , 0 °C ,+22 °C ,+30 °C.

Portanto, dentre as opções, a cidade mais fria nesse dia foi Oslo (Noruega).

Atividades – p. 43

1. a) a . 0

b) b , 0

c) c . 0

d) 0 . d

e) a . b

f) a . c

g) d , a

h) b , c

i) b . d

j) c . d

2. a) 0 ,+9

b) +13 . 0

c) 0 . 7

d) 20 , 0

Portanto, o ponto correspondente a 0 °C está localizado entre os pontos I e J Alternativa c.

3. Módulo de um número inteiro

Atividades – p. 40

1. a) 5

b) 8

c) 3 d) 7 e) 7

8 g) 5 h) 8 2. a) |+25| = 25

b) | 40| = 40 3. +20 e 20.

e) +1 . 10

f) 25 ,+9

g) +11 ,+30

h) 11 . 30

i) 20 ,+4

j) +20 . 4

3. 5 . 7 Bonito.

4. +12, +7, +1, 100, 160, 300, 500

5. a) +28

b) 21

c) +75 d) 96

6. a) +90

b) 100

7. a) 14, 11, 0, +12, +16

8.

a) A = { 19, 18, 17, 16, 15, 14, ...}

b) B = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...}

c) C = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2}

9. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Enumere os elementos do conjunto A, formado por números inteiros maiores do que 15, e do conjunto B, formado por números inteiros menores do que 2. (Resposta: A = { 14, 13, 12, 11, 10, 9, ...}; B = {1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}).

5. Adição de números inteiros

Pense e responda – p. 45

1. 20 °C + 8 °C = 28 °C

2. 1 °C + 6 °C = 5 °C

3. 8 °C + 7 °C = 1 °C

4. 2 °C + 40 °C = 38 °C

Fórum – p. 46

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que essas leis são muito importantes para proteger todos os cidadãos, independentemente de raça, gênero, condição social etc.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pesquisem e tragam como respostas leis que assegurem igualdade para todos os cidadãos e combatam as discriminações, como a Lei no 7.716, de 5 de janeiro de 1989.

Atividades – p. 49

1. 125 75 = 50 Lucro de 50 reais.

5.

b)

100 91 =+9

c) 82 + 100 =+18

d) +65 + ( 91) =+65 91 = 26

e)

f)

= = 83 91 = 8

6. a) 2o andar.

b) 1o andar.

c) Térreo.

d) 3o andar.

• Espera-se que os estudantes percebam que poderiam resolver a atividade escrevendo os movimentos por meio de uma adição de números inteiros e efetuar essa adição considerando o sinal dos números e a soma ou diferença dos módulos.

Por exemplo, no item b bastaria efetuar: 0 + ( 2) + ( 1) + (+4) =

= ( 3) + (+4) =+1 (1o andar).

7. a) 31 27 = 4

b) 50 + 45 = 5

c) 20 11 = 31

d) 47 + 23 = 70

e) 21 + 55 29 = 34 29 = 5

8. a) 24

b) 10

c) 5

d) 8

e) 4

f) 51

g) 46

h) 29

i) 23

j) 34

9. O número que aparece em cada bloco corresponde à soma dos números dos blocos que o apoiam.

10. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

11. a) 7 + 20 4 = 27 4 = 23

b) 17 + 14 + 3 = 3 + 3 = 0 (zero).

c) 27 16 10 = 11 10 =+1

d) 25 21 40 = 46 40 = 86

e) 35 + 18 + 62 = 53 + 62 =+115

12. 17 8 + 13 + 4 22 + 7 =+11

Portanto, a distância era de 11 m. Alternativa b.

13. a) 8 400 + 10 200 15 000 9 500 + 8 000 =+2 100 +2 100 reais.

b) 2 100 3 000 = 900 900 reais.

14. 1 900 400 600 1 300 = 400

Ana deve depositar pelo menos 400 reais.

15. A: 7 30 = 37;

B: 37 + 15 = 22;

C: 22 + 41 =+19;

37, 22 e +19, respectivamente.

16. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

+5 + 30 = A

C =+15 + B

17. a) +6

b) 8

c) 20

d) +18

e) +14

f) 8

g) +0

6. Subtração de números inteiros

Atividades – p. 53

1. a) 0 (+25) = 0 + ( 25) = 0 25 = 25

b) 0 ( 15) = 0 + (+15) = 0 + 15 =+15

c) 11 (+32) = 11 + ( 32) = 11 32 = 43

d) +40 (+47) =+40 + ( 47) =+40 47 = 7

e) 1 ( 64) = 1 + 64 =+63

f) +72 (+60) =+72 + ( 60) =+72 60 =+12

g) 9 (+28) = 37

h) +40 (+80) =+40 + ( 80) =+40 80 = 40

i)

j) 105 ( 119) = 105 + 119 =+14

2. A = ( 11) ( 27) = 11 + 27 =+16

B = ( 27) ( 11) = 27 + 11 = 16

A 5 B

3. 22 °C ( 9 °C) = 31 °C

4. 14 m ( 63 m) = 77 m

5. 310 ( 130) = 440 440 pontos.

6. 322 ( 384) = 322 + 384 = 62

Aristóteles viveu 62 anos.

7. a) 24 37 = 13

b) 35 40 = 5

8. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Amplitude térmica é a diferença entre as temperaturas máxima e mínima. A tabela (a mesma do Livro do estudante) contém as temperaturas registradas no dia 2 de janeiro de 2022 em algumas cidades do mundo. Observe as temperaturas e determine a amplitude térmica em cada item.

a) Toronto.

2 °C ( 10 °C) = 2 °C + 10 °C = 8 °C.

b) Seul.

7 °C (+3 °C) = 7 °C 3 °C = 10 °C.

c) Nuuk.

6 °C ( 2 °C) = 6 °C + 2 °C = 4 °C.

d) Tóquio.

0 °C (+8 °C) = 0

e) Paris.

+10 °C (+14 °C) =+10 °C 14 °C = 4 °C.

f) Fortaleza.

+25 °C (+27 °C) =+25 °C 27 °C = 2 °C.

g) Com base nas respostas aos itens anteriores, há cidades com mesma amplitude térmica nesse dia? Quais?

Sim, Nuuk e Paris.

7. Adição algébrica

Atividades – p. 56

1.

9 b) +11

13

3.

b) 52 + 11 =+63

c) 37 + 29 = 8

d) 33 51 = 18

4. a) Na sexta-feira (+116).

b) Na quinta-feira (+3).

c) Aumentou; 233.

5. a) 150 + 300 120 + 220 =+250 +250 pontos.

b) 230 60 + 280 70 =+380 +380 pontos.

c) A dupla de Bia. 380 250 = 130 130 pontos.

6. a) +90, 27, 40, 0, +32 e 25.

b) 32, +60, +50, 19, 36 e +27.

7. 7 200 + 2 500 230 + 1 600 1 100

11 300

8. a) 35 + [ 21 ( 12 + 15)] = 35 + [ 21 (+ 3)] = 35 + [ 24] =+11

b) 20 [21 + ( 20 16) + 11] = 20 [21 + ( 36) + 11] =

= 20 _ [ 4] = 16

c) 20 (16 + 17) [15 (18 23)] = 20 (+33) [15 ( 5)] =

= 20 (+33) [+20] = 33

d) ( 30) [37 + (35 31 34) 36] = ( 30) [37 + ( 30) 36] =

= ( 30) [ 29] =+59

9. a) Zero.

b) 3 + 1 = 2

c) 25 + 28 =+3

d) Zero.

11.

12. Uma resposta possível:

8. Multiplicação de números inteiros

Por toda parte – p. 61

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes se divirtam jogando.

2. Espera-se que os estudantes percebam que, nesse caso, teriam duas alternativas para pintar: o quadriculado na 2a linha e 3a coluna ou o que está na 3a linha e 2a coluna.

Atividades – p. 62

1. a) 35

b) +72

c) +30

d) 99

e) 42

f) +66

2. a) 2

b) 5

c) +3

d) +4

3. a) ( 9) ? (+12) ? ( 2) = ( 108) ? ( 2) =+216

b) ( 7) ( 10) ( 5) =+70 ( 5) = 350

c) ( 7) ( 7) ( 1) ( 5) =+49 (+5) =+245

d) ( 20) ( 2) (+6) (+4) ( 1) =+40 (+24) ( 1) =+ 960 ( 1) = = 960

4. 9 ? ( 7 + 5) = 9 ? ( 2) =+18

5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

{5 [3 ( 2) + ( 4) ( 1)]} = {5 [( 6) + 4]} = 5 ( 2) = 10

6. x = ( 10) [(+9) ( 2)] =+180

y = [( 10) (+9)] ( 2) =+180

x = y

7. a) Em oito.

b) Em oito.

12000

150 +80

+15 10 8

8. 3 5 +2 4

(+15) ( 10) = 150

( 10) ( 8) =+80

150 (+80) = 12 000

9. A resolução de Miguel está errada. Correção: 13 ? (7 21) = 13 ? ( 14) = 182

Já a resolução de Laura está correta.

9. Divisão exata de números inteiros

Atividades – p. 64

1. a) 3

b) +8

c) +1

d) 9

e) 1

f) +22

g) 5

h) Zero.

i) +15

j) 16

k) +4

l) 3

m) +6

n) 8

o) +5

p) 6

2. a) Negativo.

b) Zero.

c) Positivo.

d) Zero.

3. x = ( 16) : [( 4) : ( 4)] = ( 16) : [+1] = 16

y = [( 16) : ( 4)] : ( 4) = [+4] : ( 4) = 1

x 5 y

4. a) +40

b) 8

c) +30

d) Zero.

5. a) (+9) : ( 9) = 1

b) ( 2) : (+1) = 2

c) ( 3) : ( 2) =) em z

d) (+11) : (+5) =) em z

e) 0 : (+5) = 0

f) (+7) : 14 =) em z

As divisões c, d e f.

6. Se o quociente exato é 1, temos x = y. Se o quociente exato é 1, x e y são números inteiros opostos.

7. a) +2

b) 2

c) 2

d) +2

e) +200

f) +20

g) +20 h) 20

8. A =+200 : ( 8) = 25

B = 285 : ( 5) =+57

C = 246 : (+6) = 41

a) 25 + (+57) + ( 41) = 66 + 57 = 9

b)

c)

9. • ( 120) : ( 10) =+12

• (+96) : ( 16) = 6

• (+150) : (+15) =+10

• ( 60) : (+12) = 5

• (+48) : (+24) =+2

• ( 200) : ( 50) =+4

• (+80) : ( 8) = 10

• ( 121) : (+11) = 11

12 6 + 10 5 + 2 + 4 10 11 = 4

10. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

( 45) : 5 = 9

( 66) : ( 5) =) solução em z

10. Potenciação de números inteiros

Pense e responda – p. 65

(+1) (+1) (+1) (+1) (+1) =+1

j) ( 1) ? ( 1) ? ( 1) ? ( 1) ? ( 1) = 1

k) (+1) (+1) (+1) (+1) (+1) (+1) (+1) =+1

l) ( 1) ? ( 1) ? ( 1) ? ( 1) ? ( 1) ? ( 1) ? ( 1) = 1

2. a) A potência é sempre um número inteiro positivo.

b) O sinal do resultado vai depender do sinal da base (não nula): base positiva, potência positiva; base negativa, potência negativa.

Atividades – p. 68

1. Positivo.

2. Negativo.

3. a) (+8) (+8) =+64

b) ( 8) ? ( 8) =+64

c) (+8) (+8) (+8) =+512

d) ( 8) ? ( 8) ? ( 8) = 512

e) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) =+1

f) ( 1 000)0 =+1

g) ( 100)1 = 100

h) (+1)101 =+1

i) ( 1)101 = 1

j) (+1)100 =+100

k) ( 1)100 =+1

l) ( 10)6 =+1 000 000

4. a) ( 8)5 ( 8) ( 8)4 = ( 8)5 + 1 + 4 = ( 8)10

b) (+2)6 2 = (+2)12

c) ( 10)9 : ( 10)6 = ( 10)9 6 = ( 10)3

d) (+9) (+9)11 (+9)8 = (+9)1 + 11 + 8 = (+9)20

e) ( 13)20 : ( 13)14 = ( 13)20 14 = (−13)6

f) (+7)4 3 = (+7)12

g) (+10)5 ? (+10) ? (+10)8 = (+10)5 + 1 + 8 = (+10)14

h) (+20)7 : (+20)6 = (+20)7 6 = (+20)1

5. a) ( 9) ( 9) =+81; (+5) (+16) =+80

b) ( 2)4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) =+16; (+16) ( 1) = 16

c) ( 6) ? ( 6) =+ 36; ( 7) ? ( 7) + 1 =+49 + 1 =+50

d) 5 5 =+25; ( 3) ( 3) ( 3) = 27; ( 4) ( 4) =+16

e) ( 11) ? ( 11) = 121; ( 4) ? ( 5) =+20

f) ( 6) ( 6) =+36; ( 2) ( 2) =+4; ( 1)7 = 1

g) 7 ( 2) ( 2) = 7 (+4) =+28; ( 5) ( 5) =+25

6. A = ( 2)5 =+32

B = (+2)5 = 32

A B = 32 ( 32) =+64

7. Como a base é negativa e o exponente é ímpar, o resultado será negativo.

8. a = ( 1)100 =+1

b = (+1)100 =+1

c = ( 1)101 = 1

d = (+1)101 =+1

a + b + c + d =+1 + 1 1 + 1 =+2

9.

1 000 = 1 000

b) x = 14 + ( 2)0 + ( 10)1 + (+10)1 = 1 + 1 10 + 10 = 0

O oposto inteiro de zero é ele mesmo.

10. a) 16 cartões.

b) Um cartão cujo resultado da operação é um número inteiro positivo.

c) Em 9 de 16 cartões.

11. Raiz quadrada exata de números inteiros

Atividades – p. 69

1. a) 5, pois 52 = 25.

b) 8, pois 82 = 64.

c) Não existe em z

d) 1, pois 12 = 1.

2. 9 = 3, 25 = 5, 37 1 6,08, 64 = 8 e 80 1 8,94.

Os números 37 e 80 não são inteiros.

3. Para determinar a raiz quadrada, procuramos o número que elevado ao quadrado seja igual ao radicando. Assim, temos:

a) 36 = 6

b) 64 = 8

c) 100 = 10

d) 49 = 7

e) 400 = 20

f) 900 = 30

g) 2 500 = 50

h) 144 = 12

4. Não, pois não existe em z um número que elevado ao quadrado resulte em um número negativo.

5. Não, pois pela definição apresentada no capítulo (“Raiz quadrada exata de um número inteiro não negativo a é um número inteiro não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em a.”), a raiz quadrada de um número inteiro não negativo é um número inteiro não negativo. Como 12 é negativo, Cleiton está errado.

6. Como a área é dada pelo quadrado da medida do lado, basta calcular a raiz quadrada da área. Assim, temos: 576 = 24.

As dimensões do terreno são 24 m x 24 m.

12. Expressões numéricas

Atividades – p. 71

1.

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

24 87 32

32

7

25 Retomando o que aprendeu – p. 72

1. 12, 10, 7 Alternativa e.

2. 3 ( 1) = 2

O simétrico de 2 é +2. Alternativa b.

3. 4 °C ( 2 °C) = 6 °C

Alternativa c.

4. 18 °C 13 °C = 31 °C

Alternativa d.

5. ( 1)2 + ( 1)3 = 1 1 = 0

Alternativa a.

6. ( 3)2 ? [ 9 + ( 3)3] : ( 3)2 = 9 ? [ 36] : 9 = 36

Alternativa a.

7. (+3)5 = 243; ( 7)2 = 49; 42 = 16; ( 2)3 = 8; ( 1)10 = 1

Alternativa b.

8. • 24 = ( 2)4 h falso, pois o resultado será de números opostos nos diferentes membros da igualdade.

• 23 = ( 2)3 h verdadeiro

• 20 = ( 2)0 h falso, pois o resultado será de números opostos nos diferentes membros da igualdade.

• (+2)6 = ( 2)6 h verdadeiro

Alternativa c.

9. x = ( 3)3 (2)3

x = ( 27) (4)3

x = 27 64

x = 37

y = ( 2)3 ( 3)2 ( 5)0 + ( 2)4

y = 8 9 1 + 16

y = 2

x y = ( 37) ( 2) = 74

Alternativa a.

10. 2 400 + 850 680 + 450 1 720 750 = 550

Alternativa c.

11. 236 51 400 + 1 320 92 813 45 184 90 +

+ 352 150 46 120 = 83

Alternativa b.

12. x ? ( 10)2 = 500

x ? 100 = 500

x = 5

Alternativa b.

13. Números inteiros negativos cuja soma é 5: 4 e 1; 3 e 2. Números inteiros negativos cujo produto é +6: 1 e 6; 2 e 3.

Logo, a resposta para Helena é 2 e 3.

Alguns números inteiros, um positivo e um negativo, cuja soma é +3: 4 e +7; 3 e +6; 2 e + 5; 1 e +4, etc.

Alguns números inteiros, um positivo e um negativo, cujo produto é 10: 1 e +10; 2 e +5.

Logo, a resposta para Felipe é 2 e +5.

Resposta: 2 e 3; +5 e 2.

Um novo olhar – p. 73

• O conjunto dos números naturais.

• Em uma comparação entre dois números inteiros, temos: 1) se ambos os números forem positivos, é maior o de maior módulo; 2) se houver um número negativo e um positivo, é maior o número positivo; 3) se ambos os números forem negativos, é maior o de menor módulo; 4) se um número positivo for comparado com o zero, ele será maior; 5) se um número negativo for comparado com o zero, ele será menor.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: marcações de subsolo em um elevador, medida de temperatura de um freezer

Unidade 3 • Simetria e transformações geométricas

Abertura de Unidade – p. 74

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam triângulos e quadrados que estão em posições diferentes.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes identifiquem a redução de quadrados e triângulos realizadas nas imagens a cada etapa de construção.

• Os estudantes podem responder nomes como Tarsila do Amaral, Piet Mondrian e Wassily Kandinsky.

1. Simetria

Pense e responda – p. 77

a) As duas figuras têm a mesma forma e as mesmas medidas.

b) As duas figuras estão em posições opostas em relação à linha vermelha, viradas ao contrário uma em relação à outra e a uma mesma distância da linha.

Pense e responda – p. 78

Todos os pontos da figura 1 estão a cinco lados de quadradinho de distância de seu correspondente na figura 3

Pense e responda – p. 79

a) Os dois segmentos têm a mesma medida.

b) A medida do comprimento de um segmento de reta é sempre igual quando comparada à do segmento formado pelo ponto correspondente e o ponto indicado pela tachinha.

Simetria de reflexão

Exemplo

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1. A distância entre um vértice qualquer e a reta é igual à distância entre a reta e seu vértice correspondente.

2. As medidas se alteram, mas é mantida a igualdade observada na questão 1

Simetria de translação

Exemplo

1. As distâncias entre cada vértice da primeira figura e seu correspondente são iguais entre si e são iguais ao comprimento do vetor.

2. A segunda figura se movimenta na mesma direção do vetor; a relação permanece a mesma: o comprimento do vetor é igual à distância entre cada vértice da primeira figura e seu correspondente na segunda figura.

Simetria de rotação

Exemplo de construção:

1. As duas medidas são iguais.

2. Todos os ângulos formados possuem a mesma medida, a do ângulo de rotação.

Fórum – p. 82

• Resposta pessoal. A arte concreta propunha uma produção artística não figurativa, criando pinturas e esculturas com os elementos pictóricos, por exemplo, linha, cor e forma. Segundo esses artistas, nada é mais concreto que a forma ou a cor, afinal todas as pessoas veriam de maneira similar. O movimento teve grande repercussão no Brasil na primeira Bienal de São Paulo, quando a escultura Unidade Tripartida, do artista Max Bill, foi premiada. Interessados na proposta, os artistas brasileiros se organizaram em duas frentes concretistas: no Rio de Janeiro, o movimento Frente, e, em São Paulo, o grupo Ruptura. Posteriormente, o movimento Concretistas Frente viria a se desdobrar no Neoconcretismo.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes usem a criatividade para compor a resolução deste item, explorando diferentes simetrias, como reflexão, rotação e translação. Como inspiração, é possível apresentar outros poemas de Paulo Leminski. Atividades – p. 83

1. As figuras A, C e E

2. a) 1 b) 4 c) 6

d) Nenhum.

e) 2 f) 4

6. a) Simetria de reflexão.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compreendam que o caleidoscópio é um instrumento óptico formado por um tubo com pequenos pedaços de vidro colorido e três espelhos que formam ângulos entre si. A reflexão mútua entre os espelhos é capaz de formar uma imagem em cores e os padrões variam conforme o tubo é girado.

7. Figura pedida Figura dada

a b

8. a) 180° no sentido horário ou anti-horário.

b) Não, pois o ângulo de rotação entre essas figuras é de 120° no sentido anti-horário, considerando a figura 4 obtida como rotação da figura 2

9. É uma simetria de rotação com centro de rotação no ponto de encontro das nadadeiras desses dois peixes e um ângulo de rotação de 180°, no sentido horário ou no sentido anti-horário.

10. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes identifiquem simetrias de reflexão, rotação e translação na figura e, ainda, que percebam que um mesmo objeto geométrico tomado como base pode sofrer diferentes tipos de simetria para compor a imagem, a depender da observação do leitor.

2. Ampliação

Atividades – p. 85

1.

Por toda parte – – p. 86

1. 325 : 13 = 25 Por 25.

2. 200 cm 25 = 5 000 cm; ou seja, 50 m. 180 cm ? 25 = 4 500 cm; ou seja, 45 m.

Altura: cerca de 50 m; largura: 45 m.

3. 5 400 : 24 = 225; 2 040 : 24 = 85; 1 416 : 24 = 59 As dimensões são 225 mm por 85 mm por 59 mm.

3. Transformações no plano cartesiano

Atividades – p. 90

1. O polígono ABC foi refletido em relação à origem no plano cartesiano. Alternativa c.

3. Reflexão por um eixo: II e V; translação: III e VI.

4. r

5.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2. Multiplicar por 1 apenas as abscissas dos pontos do polígono.

3. a) Polígono P: (2, 3), (8, 3), (8, 6), (6, 4) e (4, 6). Polígono Q: (4, 6), (16, 6), (16, 12), (12, 8) e (8, 12).

b) Fator 2.

a) No 3o quadrante.

b) O quadrado obtido ficará no 4o quadrante, e seus lados terão a mesma medida dos lados do quadrado original. As coordenadas dos vértices serão: (1, 1), (1, 5), (5, _1) e (5, _5).

c) O quadrado obtido ficará no 2o quadrante, e seus lados terão a mesma medida dos lados do quadrado original. As coordenadas dos vértices serão: ( 1, 1), ( 1, 5), ( 5, 1) e ( 5, 5).

d) Ao multiplicar todas as coordenadas dos vértices do quadrado por 2, obtemos: ( 2, 2), ( 2, 10), ( 10, 2) e ( 10, 10), obtendo um quadrado ampliado no 3o quadrante.

c) Ele é uma ampliação de fator 2 do original, mas localizado no 2o quadrante do plano cartesiano.

6. a) ( 4, 4), ( 12, 4), ( 12, 10), ( 8, 12) e ( 4, 10).

7. a) Exemplo de resposta: multiplicar por 1 apenas as ordenadas de todos os pontos e, depois, multiplicar por 2 todos os valores das coordenadas obtidas: (4, 2), (12, 2), (14, 8), (12, 14), (4, 14) e (2, 8).

Por toda parte – p. 92

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discutam a importância do descarte correto do lixo eletrônico.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

3. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes possam, a partir do que aprenderam, conscientizar a população escolar e as famílias a respeito do descarte correto do lixo, da reciclagem e da possibilidade de conexões entre a Matemática e Arte, desenvolvendo trabalhos que envolvam os conceitos de transformações geométricas estudados.

Retomando o que aprendeu – p. 94

1

0 1

6

7

5

0 1

4 (1, 4)

(9, 4) (9, 1)

1. a) 4 x

y 12 35 678 91011

(2, 6) (12, 6) 5678 910111213 4

(2, 0) (12, 0) 3

y x

d) Triângulo: (1, 4), (9, 4) e (9, 1). Retângulo: (2, 6), (12, 6), (2, 0) e (12, 0).

2. Exemplo de resposta: Com fator de ampliação 2, temos a seguinte figura.

ILUSTRAÇÕES: VANESSA NOVAIS

3. Cada lado da figura A foi ampliado com fator 1,5. Alternativa d.

4. Como o polígono original está representado no 1o quadrante e a figura obtida está no 4o quadrante, pode-se concluir que as coordenadas de todos os pontos do polígono original foram multiplicadas por um número negativo. Além disso, sabendo que os lados da figura obtida têm o triplo das medidas dos lados correspondentes do polígono original, conclui-se que esse número, ou fator, é 3.

5. a) A B C E’ E F F’ D D’ C’ B’ A’ b) A B C E’ F’ F D E D’ C’ B’ A’ c) A B C E’ F’ F D E D’ C’ B’ A’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

6. Uma translação na direção horizontal da direita para a esquerda de 15 cm de distância.

7. Resposta pessoal.

REPRODUÇÃO/ENEM, 2018.

Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto A:

Reflexão no eixo y :

301

Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto A:

Alternativa c.

Um novo olhar – p. 95

• Multiplicando as coordenadas dos vértices por um número não nulo.

• É o número maior do que 1 pelo qual se multiplicam todas as medidas dos lados de um polígono para obter sua ampliação.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Depois de desenhada a figura no GeoGebra, localize um ponto qualquer no plano cartesiano fora dessa figura. Usando a ferramenta Rotação em Torno de um Ponto, clique, primeiro, na figura construída e, em seguida, no ponto determinado. Escolha o ângulo e o sentido de rotação. Desse modo, uma imagem simétrica é obtida por rotação.

Unidade

4

• O conjunto dos números racionais

Abertura de Unidade – p. 96

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: para expressar valores em reais, massas, comprimentos.

• 19,21; 18,5

• Resposta pessoal.

1. Os números racionais

4. Naturais: nenhum; inteiros não naturais: 4, 10, 40 5 ; racionais não inteiros: 0,3 e 4

7. André: 1 25 ; Carlos: 6 4 ; Fábio: 4 6 Calculando o mmc de 25, 4 e 6, temos: mmc (25, 4, 6) = 300.

1 25 12 300 = ; 6 4 450 300 = ; 4 6 200 300 = . Como ,, 12 300 12 300 450 300 , temos que a ordem decrescente é: Carlos, Fábio, André. Alternativa d.

8. a) Calculando o mmc entre 6, 12 e 4, temos: mmc (6, 12, 4) = 12.

1 6 2 12 = ; 1 4 3 12 =

Comparando as frações, temos: ,,, 1 12 2 12 3 12 5 12

Metrô.

b) 1 4 ? 60 = 1 ? 15 = 15, 15 funcionários.

c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sabendo que a empresa tem 60 funcionários, quantos funcionários vão ao trabalho de carro? Sabendo que a empresa tem 60 funcionários, quantos funcionários vão ao trabalho caminhando ou de bicicleta?

9. a) 15 25 3 5 = ; 3 5 de quilograma.

b) . 6 10 5 10

Mais de 1 2 quilograma.

10. a) 24 30 e 17 20

b) 24 30 48 60 = e 17 20 51 60 =

Logo, como , 24 30 17 20 , ele teve melhor desempenho no exame com 20 questões.

é o +

Paulo: 8 12 2 3 = ; Artur: 7 10

b) Artur recebeu mais chocolate, pois 7 10 . 2 3

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Márcio e Renan são atletas de maratona e precisam correr 40 km para treinar. Em um dia de treino, Márcio correu 3 8 do total até realizar a primeira hidratação, enquanto Renan correu 2 5 do total até realizar a primeira hidratação. Quem se hidratou primeiro?

13. a) Marca A: 1 4 ; Marca B: 2 7

b) 1 4 7 28 = e 2 7 8 28 =

Para a marca B, pois . 2 7 1 4 ; logo, usando essa marca, para fazer um copo de suco é necessário usar mais suco concentrado

2. Adição algébrica de números racionais

+0,9

9. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o menor número inteiro maior do que o número racional descrito por 1,75 + 3,6 + ( 4,21)?

3. Multiplicação com números racionais

Pense e responda – p. 109

3 2 = 6; 6 metades.

6 1 = 5; 5 metades.

1. No mapa da questão, tem-se 5 1 4 km/cm de mapa. Assim, 12 cm equivalem

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Numa festa, um bolo foi repartido entre os convidados e sobrou 1 4 . Sabendo que Ana comeu 3 5 do que sobrou, qual é a fração do total que representa a fatia comida por Ana?

4. Divisão com números racionais

Pense e responda – p. 113

1. a) 1

b) Os dois fatores são frações cujo numerador de uma é igual ao denominador da outra, e vice-versa.

2. a) 1 1 2 1 2 1 2 :=?= ; 2 vezes.

b) 3 2 1 2 3 2 2 1 3 :=?= ; 3 vezes.

1 2 10 2 1 20

c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em 9 cm, há quantos 3 1 2 cm?

13. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um jardineiro gasta 1 5 de litro de água para regar cada planta. Sabendo que um dia ele gastou 12 L de água para regar as plantas e que não houve desperdício, quantas plantas ele regou nesse dia?

5. Potenciação de números racionais Pense

6. Raiz quadrada exata de números racionais

2. Para determinar a raiz quadrada, realizamos a decomposição em fatores primos. Assim,

7. Média aritmética e média aritmética

ponderada Atividades

1 200 27 3 000 86 400 3 000 28,8 ?+? == R$ 28,80

5. X = 555 10 6 5 31 5 6, 2 ++++ ==

Y = 49 395 5 30 5 6 ++++ ==

X = 55 85 6 5 29 5 5, 8 ++++ ==

Alternativa b.

6. M = 80,5 02 0, 85 10 5, 7 10 0,57 ?+ ==

57 centavos.

7. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em Matemática, Ana tirou 6,0 na prova, 7,5 em um trabalho e 4,0 em um seminário. Sabendo que sua nota precisa ser maior ou igual a 6,0 para ser aprovada, Ana foi aprovada em Matemática?

Fórum – p.125

• 40,5% 22,9% = 17,6%

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes conversem sobre a importância de respeitar os diferentes tipos de família e os costumes, tanto em relação aos costumes familiares quanto no convívio social.

Tratamento da informação – p. 126

1. A variação no volume de serviços em relação ao ano de 2014. Ou seja, houve uma diminuição de 3,6% no volume de serviços em relação ao ano anterior.

2. Positiva: 2012, 2013, 2014, 2019 e 2021.

Negativa: 2015, 2016, 2017 e 2020.

3. Foram iguais, pois não houve variação em 2018 em relação a 2017.

4. 10,9% ( 7,8%) = 18,7%

5. O setor de serviços presenciais foi duramente afetado por conta da necessidade de isolamento social; entretanto, a pandemia trouxe oportunidades de negócios para serviços voltados às empresas, como os de tecnologia da informação, transporte de cargas, armazenagem, logística de transporte e serviços financeiros auxiliares, que tiveram ganhos mais expressivos e compensaram as perdas dos serviços de caráter presencial.

Volume de serviços prestados às famílias e de informação e comunicação no último trimestre de 2021

Serviços prestados às famílias Serviços de informação e comunicação

Outubro Novembro Dezembro

Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Pesquisa Mensal de Serviços – dezembro 2021. Indicadores IBGE. Rio de Janeiro: IBGE, 10 fev. 2022. p. 14. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/periodicos/2419/pms_2021_dez.pdf.

Acesso em: 12 jul. 2022.

1. Qual foi a variação dos serviços prestados às famílias entre outubro e dezembro de 2021?

2. A variação dos serviços de informação e comunicação no último trimestre do ano foi positiva ou negativa?

Retomando o que aprendeu – p. 128

1. 1,5 m ( 6,35 m) = 1,5 m + 6,35 m = 4,85 m Alternativa e.

2. a) 1 2 +

b) 3 2 ou 1 1 2

c) Ponto D

d) Ponto E

3. 2 3 jarra equivalem a 1 L h 1 3 jarra equivale a 0,5 L Assim, cabem na jarra 1 L + 0,5 L = 1,5 L de água. 4.

10. x = 1 6 e y = 1 36 ;

1 6 1 36 6 36 1 36 7 36

11. M = 31 21 81 39 14 30 396 30 13,2 ?+?+ == 13,2 anos.

12. M =

13. Como ele gasta 3 7 com alimentação, sobra 4 7 . Disso, metade é o que fica com ele e metade é gasta com a prestação da bicicleta, ou seja, 1 2 4 7 4 14 2 7 ?== é o que corresponde a R$ 376,00. Logo, 376 : 2 = 188, que corresponde a cada uma das 7 partes do salário. Assim, 188 7 = 1 316. Ou seja, o salário de Marcos é R$ 1.316,00.

Um novo olhar – p. 129

• Resposta possível: Basta calcular a média entre esses dois números, que será um número racional entre eles.

• Infinitos.

• O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: No troco do supermercado, na quantidade de ingredientes utilizada em receitas, nos preços de produtos, entre outras.

Unidade 5 • Linguagem algébrica e equações

Abertura de Unidade – p.130

• Respostas pessoais.

• Espera-se que os estudantes verifiquem que é necessário multiplicar 0,450 por 61 para obter o valor a ser pago, ou seja, R$ 27,40.

1. Sequências

Pense e responda – p.132

a) Exemplo de resposta: Espera-se que os estudantes observem que, partindo da primeira figura, as próximas figuras são obtidas acrescentando-se 2 quadradinhos à figura anterior.

6.

EDITORIA DE ARTE

b) Exemplo de resposta: 9 quadradinhos.

c)

Atividades – p. 134

1. a) Não recursiva.

b) Recursiva, pois cada termo é o anterior adicionado de três unidades.

c) Recursiva, pois cada termo é o anterior multiplicado por 2.

2. a) 15

b)

T5 = n2 = 52 = 25

T6 = n2 = 62 = 36 T7 = n2 = 72 = 49 T8 = n2 = 82 = 64

7 + 3 = 10; 10 + 3 = 13; 13 + 3 = 16; 16 + 3 = 19; 19 + 3 = 22; 22 + 3 = 25; 25 + 3 = 28; 28 + 3 = 31.

5. a: T2 = 2 + 5 = 7 (não satisfaz);

b: T2 = 2 + 4 (2 1) = 2 + 4 = 6; T3 = 3 + 4 (3 1) = 3 + 8 = 11 (satisfaz);

c: T2 = 5 2 4 = 6; T3 = 5 3 4 = 11 (satisfaz);

d: T2 = 7 2 6 = 8 (não satisfaz).

Alternativas b e c.

Por toda parte – p. 135

1. Respostas pessoais. Exemplo de resposta: Analisando a imagem, uma possível leitura é considerá-la dividida em quatro partes de mesma área e, iniciando do ponto central da

lateral esquerda da tela, para baixo, é possível localizar um quadradinho preto. Partindo desse quadradinho, na direção diagonal, observamos uma sequência de figuras em preto, em formato de “L” refletido, que vão aumentando no comprimento e na largura, preservando a proporção, de modo que podemos verificar que cada figura pode ser obtida a partir da anterior, acrescida de uma parte. Esse padrão pode ser verificado em todas as quatro partes da tela, tanto considerando os elementos em preto quanto os elementos em amarelo.

2. Desenho do estudante.

3. Resposta pessoal.

3. Igualdade

Atividades – p. 139

1. a) 1o membro: 62 5; 2o membro: 31.

b) 1o membro: 33 + 32; 2o membro: 25 + 22

2. Sim; propriedade simétrica.

3. a) Como x = y e y = 10, então x = 10.

b) Propriedade transitiva.

4. Pela propriedade transitiva, temos: x = a b.

5. 2 + 10 ou 12.

6. 27 1 3 () ? ou 9.

7.

4. Equações

Pense e responda – p. 140

1.

a) 46 + 10 = 56; 56 kg

b) 46 5 = 41; 41 kg

c) (46 + x) kg

d) (46 y) kg

2. a) 10 + 10 = 20; 20 anos.

b) 10 + 25 = 35; 35 anos.

c) (10 + x) anos.

Atividades – p. 142

1. Embora elas sejam igualdades, não apresentam número desconhecido.

2. São equações aquelas que possuem igualdade e incógnita(s) representando um valor desconhecido, ou seja: x + 5 = 12; x 5 = 2; x = 10; 10x = 1.

3. a) Uma: x

b) Duas: x, y

4. a) 2x = 20

b) z + 82 = 150

c) 100 x = 36

d) 1 2 x2 5 = ou x 2 25 =

5. a) 3t + 40 = 61

b) 2y _ 20 = 160

c) x 2 x9 6 +=

d) 5x = 3x + 62

6. x 23 = 2 ou x 2 = 23.

7. x + 3x = 68

x + x + (x + 10) + (x + 10) = 80

+ 2 ? (x + 10) = 80

9. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O dobro da idade de minha avó menos 18 é igual a 126. Qual é a idade de minha avó?

5. Conjunto universo e solução de uma equação Pense e responda – p. 143

1. 3x + 6 = 21 h 3x + 6 6 = 21 6 h 3x = 15 h x = 5

2. x 2 + 2x = 20 h 5x 2 = 20 h 5x = 40 h x = 8

3. Resposta pessoal. Atividades – p. 145

1. a) 7 b) 9 c) 3 8 d) Não tem raiz em n

3. Realizando os mesmos procedimentos da atividade anterior, temos: (a, b); (c, e); (d, f).

4. 1 250 x = 740

5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: x +

7. Equações do 1o grau com uma incógnita

+

=

5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 3x + 5 = 14. Lista de números :

6, 7, 8, 9, 10. Por toda parte – p. 146

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que sim e destaquem que, no caso da Constituição Brasileira, se verifica uma particularidade (garantia no país) em comparação com uma situação mais geral, presente na Declaração Universal.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes listem problemas relacionados às desigualdades existentes. Se julgar pertinente, comente também com os estudantes a ideia de equidade. Sugestão de link: https://pensesus.fiocruz.br/equidade (acesso em: 27 ago. 2022).

3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pensem em trabalhos de educação e conscientização e investimentos em políticas públicas que favoreçam as pessoas que mais necessitam de atenção do Estado em aspectos relacionados a alimentação, saúde, trabalho, moradia e outros direitos fundamentais para a dignidade humana.

6. Equações equivalentes

4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em uma balança de pratos, 3 caixas de madeira idênticas mais 15 g é igual a uma dessas caixas de madeira mais 45 g. Qual é a massa de cada uma dessas caixas?

5.

• 7x + 20 = 2(3x + 1) h

h 7x + 20 = 6x + 2 h

h x = 22

9x = 20 + 8(x 1) h

h 9x = 20 + 8x 8 h

h x = 12

Incorreta.

• 3(x + 2) 2(x 7) = 0 h

h 3x + 6 2x + 14 = 0 h

h x = 20

Incorreta.

• x 2(3 2x) = 0 h

h x 6 + 4x = 0 h

h 5x = 6 h x = 1,2 Incorreta.

Como todas as sentenças são incorretas, Thaís ganhou 30 balas.

6. 7 (2x 50) 4x = 10 (51,9 0,1x) h

h 14x 350 4x = 519 x h

h 11x = 869 h x = 79

Portanto, Júlio César morreu com 79 anos.

+=+h_=_h=_h=

8. Equações na resolução de problemas

Fórum – p. 158

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que uma possibilidade de construção do respeito e da valorização da diversidade existente no país está relacionada com a conscientização e com o conhecimento das contribuições de diferentes povos e culturas.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: na culinária, podemos destacar pratos como a feijoada, o acarajé, a moqueca, entre outros.

Atividades – p. 159

1. x: massa da caixa azul.

Massa da caixa verde: x 3

Massa da caixa amarela: 2x.

x 3 x2 x4 500 ++= x3 x6 x 3 4 500 ++ =

10x 13 500 x1 350 =H=

Verde: 1 350 : 3 = 450; azul: 1 350; amarela: 1 350 2 = 2 700.

Resposta: Verde: 450 g; azul: 1 350 g; amarela: 2 700 g.

2. Seja x a quantidade de estudantes que escrevem apenas com a mão direita, temos: 6 + 2 + x = 30 h x = 30 8 h x = 22. 22 estudantes.

b)

c)

12 6 12 23x1 12 4x 12 () () += + +

36 6x 24 xx 1 4 _+=++h=

12. a) x2 8 x4 3 1 = 3x 2 24 8x 4 24 24 24 () () = 3x 68 x3 22 4x 10 =__h=

b) 102 = 10 10 = 100

c) D (10) = 1, 2, 5 e 10.

13. a) 3x 5 = 7

b) 3x 5 = 7 h 3x = 12 h x = 4.

x = 4. Sim.

14. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O dobro da quantidade de estudantes de uma turma de 7o ano mais 5 é igual a 75. Quantos estudantes há nessa turma?

3. Seja x a quantidade de figurinhas de Tiago. Assim, Guilherme terá x + 20. x + x + 20 = 164 h x = 72

Guilherme: 92 e Tiago: 72.

4. Seja x o número de pessoas atendidas nos outros meses. 180 + 160 + 4x = 1 400 h x = 265 265 pessoas.

5. Seja x o comprimento da tábua maior.

x + 3x 5 = 120 h x = 75, ou seja, 75 cm. Comprimento da menor parte:

3x 5 37 5 5 45

== , ou seja, 45 cm ou 0,45 m. 0,45 m.

6. Seja x o total de entrevistados.

x x 3 2x 5 832 4x 12 480 =++h=

x 12 480 4 x3 120 =h=

3 120 pessoas.

7. Seja x o total de entrevistados.

x = 0,35 x + 0,40 x + 3 500 h x 0,75x = 3 500 h 0,25x = 3 500 h h x = 14 000.

14 000 eleitores.

8. Seja x a capacidade do reservatório.

x x 3 3x 5 400 x 15 400 x6 000 =++h=h=

6 000 L

9. Como 1414 é par, o número ao qual Maria somou três ímpares e dois pares é necessariamente ímpar. Denotando esse número por n temos: (n 6) + (n 4) + + (n 2) + n + (n + 1) + (n + 3) = 1414. Logo, 6n 8 = 1414 e n = 237. Adicionando os algarismos de 237, temos: 2 + 3 + 7 = 12. Alternativa a.

Tratamento da informação – p. 160

1. a) 2010: 45,4% e 2020: 55,0%.

b) 2014 e 2015.

c) A porcentagem da população atendida com coleta de esgoto, com variação de 9,5% (55,0 45,5 = 9,5).

d) 100,0% 84,1% = 15,9% 0,159 ? 211,75 milhões = 33,67 milhões 15,9%, o que corresponde a 33,67 milhões de habitantes.

2. a) 2014: x = 31 129 + 400 000 = 368 871;

2015: x = 171 185 ? 2 = 342 370;

2016: x = 682 958 : 2 = 341 479;

2017: x = 256 211 + 3 500 = 259 711;

2018: x = 243 847;

2019: 3x = 820 209 h x = 820 209 : 3 = 273 403.

Internações por doenças associadas à falta de saneamento Ano

Elaborada com base em: INSTITUTO TRATA BRASIL. Brasil. Painel Saneamento Brasil São Paulo, 2018. Disponível em: https://www.painelsaneamento.org.br/localidade/ evolucao?id=0&L%5Bg%5D=2&L%5Bs%5D=21&L%5Bi%5D=INT_VH. Acesso em: 20 jul. 2022.

b)

3.

Elaborada com base em: INSTITUTO TRATA BRASIL. Brasil. Painel Saneamento Brasil São Paulo, 2018. Trata Brasil. Disponível em: https://www.painelsaneamento.org.br/localidade/ evolucao?id=0&L%5Bg%5D=2&L%5Bs%5D=21&L%5Bi%5D=INT_VH. Acesso em: 20 jul. 2022.

c) Resposta pessoal.

a) Resposta depende da pesquisa realizada.

b) Resposta depende da pesquisa realizada. Retomando o que aprendeu – p. 162

1. A figura 1 é formada por 5 bolinhas em formato de Y e, a partir dela, quando passamos de uma figura para a seguinte, a próxima figura tem 3 bolinhas acrescidas, sendo uma em cada ponta do Y. Logo, a 15a figura terá 5 + 3 ? 14 = 47 bolinhas. Alternativa b.

2. Os números triangulares são: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ...

Os números do relógio são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Os vizinhos do número 12 devem ser 3 e 9 para formarem os números triangulares 15 e 21.

O vizinho do número 3 deve ser o 7 para formar o número triangular 10. O vizinho do número 9 deve ser o 6 para formar o número triangular 15.

O vizinho do número 7 deve ser o 8 para formar o número triangular 15. O vizinho do número 6 deve ser o 4 para formar o número triangular 10.

O vizinho do número 8 deve ser o 2 para formar o número triangular 10. O vizinho do número 4 deve ser o 11 para formar o número triangular 15.

O vizinho do número 2 deve ser o 1 para formar o número triangular 3. O vizinho do número 11 deve ser o 10 para formar o número triangular 21.

O vizinho do número 1 e o do número 10 deve ser o 5 para formar os números triangulares 6 e 15.

Alternativa c.

3. a) 4x + 4 b) 4x + 4 = 116 h x = 28

Os números são: 28, 56, 32. Assim: 28 56 32 = 50 176

4. 2 (1 0,4x) + x = 4 (0,1x 0,4) h 2 _ 0,8x + x = 0,4x 1,6 h x = 18 Alternativa a.

5. x4 x2x2x1 2 4 12,5 _++++ =

6x 8 4 12,5 6x 8 4 12,5 x7 + =H + =H= Alternativa c.

6. Seja x o comprimento da terceira parte. Assim: 1,80 + x + 2x = 5,85 h x = 1,35 m Então, o comprimento da segunda parte será: 2x = 2 1,35 = 2,70 m Alternativa b.

7. x 2 3 68 =h x = 102 Alternativa b.

8. Seja x a quantidade de partidas. x = 3x 5 + x 3 + 2 h x = 30

Quantidade de vitórias: 3x 5 33 0 5 18 == Alternativa d. 9.

11. Seja x a quantidade de candidatos aceitos. x + 5x = 420 h 6x = 420 h x = 70 Alternativa c.

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: x + 3 = 10; 4x + 12 = 20; x 1 = 0 e 2x + 6 = 10.

Um novo olhar – p. 163

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 61x = 34,16.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A sequência na qual cada termo pode ser obtido a partir do termo anterior.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Princípio aditivo (quando adiciono um mesmo número em ambos os membros de uma igualdade, obtenho uma nova igualdade); princípio multiplicativo (quando multiplico por um mesmo número ambos os membros de uma igualdade, obtenho uma nova igualdade). Com esses princípios, é possível obter equações equivalentes de modo a simplificá-las e determinar o valor desconhecido.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Unidade 6 • Figuras geométricas planas

Abertura de Unidade – p. 164

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam lugares como Jaipur, na Índia, Barcelona, na Espanha, Redding, na Califórnia, lago Suwa no Japão, entre outros.

• a) 2 ? 15° = 30°

b) 5 15° = 75°

c) 8 15° = 120°

d) 12 ? 15° = 180°

e) 18 15° = 270°

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reflitam a respeito do fato de o desenvolvimento tecnológico ocupar o espaço funcional antes ocupado por esse artefato. Hoje, os relógios digitais e a possibilidade de ver as horas até nos smartphones, que fazem cada vez mais parte da vida dos seres humanos, faz que o relógio do sol passe a ter função histórica e cultural, ainda que continue sendo utilizado.

1. Ângulos

Atividades – p. 170

1. Vértice: ponto B; lados: BA e BC

2. Três ângulos: AOB, B OC e A ˆ OC

3. a) 180°

4. 7x + 30° = 13x 30°

6x = 60°

x = 10°

10°

5. 120° e 360° 120° = 240°.

Alternativa c.

6. 180° 40° = 140°

Alternativa c.

7. x 5 x1 5 4 57 +=

4x 20 5x 75 20 57 +=

9x 75 = 1 140

9x = 1 215

x = 135

Resposta: 135°

8. a) 20°

b) 48° c) 55° d) 90°

b) 360°

Assim:

• med(ABC) = 3x = 3 ? 42° = 126°

• med(CBD) = x + 12° = 42° + 12° = 54°

Assim: med( ABC) med(CBD) = 126° 54° = 72°

4. med( AOC) = 50°

Como OP é bissetriz de BOC, então: med(POB) = med(POC) = 65°.

Assim: med(AOC) = 180° 2 ? 65° = 50°

5. 25°

Como OB é a bissetriz de AOC, então: med(BOC) = med(AOB) = x.

Assim: x + x + 90° + 65° = 180° h x = 25°

6. a) 90° 47° = 43°

b) 180° 119° = 61°

7. 29°

180° 122° = 58°; 58° : 2 = 29°.

c) 90° 22° = 68°

d) 180° 67° = 113°

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Pode-se calcular inicialmente o suplemento de 122° e, posteriormente, dividi-lo por 2.

8. 72°

3 (90° 66°) = 3 24° = 72°

9. 67°

180° 113° = 67°

10. 45°

x = 90° _ x

2x = 90°

x = 45°

11. 53°

3 ? (90° x) = 111°

270° 3x = 111°

x = 53°

12. 30°

5 ? (90° x) = 2 ? (180° x)

450° 5x = 360° 2x

3x = 90°

x = 30°

13. 66°

e) 120°

f) 180°

g) 70° h) 30°

• Resposta pessoal. Os estudantes podem traçar, por exemplo, ângulos de 35° e 75°.

Atividades – p. 172

1. a) 35° + x = 90° h x = 55°

b) 140° + x = 180° h x = 40°

c) x 2 + 140° = 180° h x 2 = 40° h x = 80°

d) 3x + 2x = 90°

5x = 90°

x = 18°

2. 65°

x + 30° + x 10° = 90°

2x = 70°

x = 35°

CBD = 35° + 30° = 65°

3. 72°

3x + (x + 12°) = 180°

4x = 168°

x = 42°

x 2 + 25° + 2x 10° = 180°

x 2 + 2x = 180° 15°

5x

2 = 165°

5x = 330°

x = 330° : 5 = 66°

Atividades – p. 175

1. a) x + 110° = 180° h x = 70°

x = a = 70°

y = 110°

b) x = 45°

y + 45° = 180° h y = 135°

a + 90° = 180° h a = 90°

a = b = 90°

2. a) 3x 15° = 2x + 4° h x = 19°

2x + 4° = 2 19° + 4° = 42°

180° 42° = 138°

Pelos ângulos opostos pelo vértice, temos:

x = 19°; 42°, 138°, 42° e 138°.

b) 6x 45° = 4x + 5°

2x = 50°

x = 25°

6x 45° = 6 ? 25° 45° = 105°

180° 105° = 75°

x = 25°; 105°, 75°, 105° e 75°.

Pense e responda – p. 176

1. a) ˆ c , d, ˆ e e f

b) a , ˆ b, g e ˆ h

c) ˆ a, d, ˆ e e h; b, ˆ c, f e ˆ g

d) a e e; b e f ; a e f ; b e e

e) c e g; ˆ d e ˆ h; c e ˆ h; ˆ d e g

Tecnologias – p. 179

1. Respostas pessoais. As respostas dependem das construções dos estudantes. Utilizando a construção feita na seção, alguns exemplos de resposta são:

b) b = 40° (ângulos opostos pelo vértice)

c = b = 40° (ângulos alternos internos)

a + 105° = 180° h a = 75°

a = 75°, b = 40° e c = 40°

5. a) a = 120° (ângulos correspondentes)

a + b = 180° (ângulos colaterais internos)

120° + b = 180°

b = 60°

d + 130° = 180° (ângulos colaterais internos) h d = 50°

b + c + d = 180°

60° + c + 50° = 180° h c = 70° e + 130° = 180° h e = 50°

a = 120°, b = 60°, c = 70°, d = 50°, e = 50°.

b) a + 135° = 180° (ângulos colaterais internos) h a = 45°

b = 60° (ângulos alternos internos)

a + d + b = 180°

45° + d + 60° = 180°

a) B ˆ EF e H ˆ DF

b) AEG e HDF c) A ˆ EF e G ˆ DH d) AEG e CDF e) A ˆ EF e C ˆ DG

2. a) Os ângulos alternos internos são congruentes.

b) A soma das medidas dos ângulos colaterais internos é 180°.

c) Sim, os ângulos alternos internos continuam congruentes, e a soma das medidas dos ângulos colaterais internos continua sendo 180°.

3. a) Os ângulos alternos externos são congruentes.

b) A soma das medidas dos ângulos colaterais externos é 180°.

c) Sim, os ângulos alternos externos continuam congruentes, e a soma das medidas dos ângulos colaterais externos continua sendo 180°.

4. a) Não. Espera-se que os estudantes percebam que as conclusões sobre a congruência dos ângulos alternos (internos e externos) e que os ângulos colaterais (internos e externos) são suplementares são válidas apenas quando a reta transversal corta um par de retas paralelas.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Atividades – p. 182

1. a) Ângulos correspondentes: 3x = 135° h x = 45°

b) Ângulos alternos internos: 75° = x + 25° h x = 50°

2. a) a + 70° = 180° h a = 110°

b) a + 152° = 180° h a = 28°

3. x = 60° (ângulos alternos internos)

y = 40° (ângulos alternos internos)

60° + z + 40° = 180°

z = 80°

Logo: x + y + z = 60° + 40° + 80° = 180°

4. a) a = 55° (ângulos alternos internos)

a = b = 55° (ângulos correspondentes)

b + c = 180°

55 + c = 180°

c = 125°

a = 55°, b = 55° e c = 125°.

d = 75°

e = d = 75° (ângulos opostos pelo vértice)

c = b + e (ângulos alternos internos)

c = 60° + 75°

c = 135°

a = 45°, b = 60°, c = 135°, d = 75°, e = 75°.

6. 180° 55° = 125°

55°, 55°, 55°, 55°, 125°, 125°, 125° e 125°.

7. x = 30° (ângulos alternos internos)

y + 130° = 180° (ângulos colaterais internos) h y = 50°

x + y = 80°

8. Considere os seguintes ângulos: r s t

Assim:

x y y

160° 70°

y + 160° = 180° (ângulos colaterais internos) h= 20°

x y = 70° (ângulos alternos internos) h x = 90°

x = 90°

9. Considere uma reta t paralela às retas r e s que passa pela intersecção das transversais. 140°

Assim:

x t//r//s m x

r s 150°

x + 140° = 180° (ângulos colaterais internos) h x = 40°

m x + 150° = 180° (ângulos colaterais internos) h m = 70°

m = 70°

10. 2m + 30° = 3m 20° h m = 50°

m = 50°

11. Na figura, a soma das medidas de todos os ângulos é 720°. Se a soma das medidas dos ângulos agudos é 192°, então a soma das medidas dos ângulos obtusos será

720° 192° = 528°.

Assim, cada ângulo obtuso tem medida dada por: 528° : 4 = 132°

Como x e y são dois dos ângulos obtusos, então: x = y = 132°.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2. Triângulos

Pense e responda – p. 184

Sim; nos itens b e c

Pense e responda – p. 186

1. O quadrilátero se deformou. Espera-se que os estudantes percebam que o quadrilátero pode assumir diferentes formatos quando empurrado, ou seja, a figura sofre uma deformação.

2. Sim. Espera-se que os estudantes percebam que, mesmo podendo assumir diferentes formatos, a medida dos lados do quadrilátero não é alterada em momento algum.

3. Não. Espera-se que os estudantes percebam que o triângulo não muda o seu formato, independentemente do lado que é empurrado.

Atividades – p. 187

1. Sim, pois 130 cm , 92 cm + 51 cm; 92 cm , 130 cm + 51 cm e 51 cm , 130 cm + + 92 cm.

2. 35 , 21 + x h x . 14

Assim, a medida inteira mínima que o terceiro lado deve ter é 15 cm.

3. x , 22 + 37 h x , 59

Assim, a medida inteira máxima que o maior lado desse triângulo deve ter é 58 cm.

4. a) x + 90° + 45° = 180°

x + 135° = 180°

x = 45°

b) 3x = 180° h x = 60°

c) x + x + 1 + x + 2 = 180°

3x = 177° h x = 59°

5. x + 73° + 59° = 180° h x = 180° 132° h x = 48°

6. x + x + 68° = 180° h 2x = 180° 68° h

2x = 112° h x = 56°

7. 3x + x + 15° + 75° x = 180° h 3x + 90° = 180° h 3x = 90° h x = 30°

Assim, os ângulos têm medidas dadas por:

3x = 3 30° = 90°

x + 15° = 30° + 15° = 45°

75° x = 75° 30° = 45°

Alternativa c.

8. 3x 36° + 2x + 10° + x + 20° = 180° h 6x = 186° h x = 31°

Assim, os ângulos têm medidas dadas por:

3x 36° = 3 31° 36° = 57°

2x + 10° = 2 ? 31° + 10° = 72°

x + 20° = 31° + 20° = 51°

Alternativa a.

9. a) Sim, porque somente estruturas triangulares apresentam a propriedade da rigidez geométrica, ou seja, não sofrem deformações. O portão é feito de estruturas retangulares.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que podem ser colocadas ripas de madeira na diagonal das estruturas retangulares, formando triângulos.

10. Resposta pessoal. Um exemplo de resposta está indicado na imagem no Livro do estudante.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes sejam capazes de identificar estruturas triangulares e apresentá-las para a turma.

3. Polígonos regulares

Atividades – p. 189

1. a) n 2 = 6 h n = 8 8 lados; octógono.

b) Ângulo interno: (n 2) ? 180° h (8

1 080° : 8 = 135°.

Ângulo externo: 180° 135° = 45°

Medida do ângulo interno: 135°; medida do ângulo externo: 45°.

2. Seja um polígono com n lados.

Assim:

(n 2) 180° = 1 620°

n 2 = 9 h n = 11

Undecágono.

3. [(n 2) ? 180°] : n= 150°

180°n 360° = 150°n

30°n = 360°

n = 12

Dodecágono.

4. Circunferência

Pense e responda – p. 191

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que os valores são números muito próximos e em torno de 3,1.

Atividades – p. 192

1. O raio da circunferência é determinado pelo segmento que vai de um ponto pertencente a ela até o seu centro, ou seja, ponto Q Alternativa b.

2. 50 : 2 = 25 h 25 m

Alternativa a.

3. a) OA e OB

b) AB

c) Não.

d) Sim, pois OA OB 2

4. a) 25 2 = 50 h 50 cm

b) 0,65 2 = 1,30 h 1,30 cm

c) 5 2 2 = 5 h 5 cm

5. 18,5 2 = 37 h 37 m

6. a) 57 : 2 = 28,5 h 28,5 cm

b) 11,6 : 2 = 5,8 h 5,8 cm

7. 72 38 = 34; 34 : 2 = 17 h 17 cm

8. a) 10,5 2 = 21 h 21 cm

b) 61 : 2 = 30,5 h 30,5 cm

9. Como =p C d , e d = 2r, temos: C = 2pr. Assim, temos:

a) C = 2pr h C = 2 3,14 0,5 = 3,14 3,14 m

b) A distância percorrida ao dar uma volta é o comprimento da circunferência, ou seja, 3,14 m.

c) 3,14 ? 100 = 314 h 314 m.

5. Construções geométricas

Pense e responda – p. 194

• Não. Espera-se que os estudantes percebam que podem começar por qualquer segmento, que a sequência de passos se mantém, e o mesmo triângulo será obtido ao final.

2. Na opção com formato de circunferência.

3. Construção do estudante. Não. Espera-se que os estudantes percebam que os passos descritos por Luciana referem-se à construção de apenas dois lados do quadrado. Para completar o quadrado, faltam os passos descritos a seguir.

3o passo: Com o auxílio de um esquadro, trace uma reta perpendicular a BC no ponto C e, com a régua, marque sobre a reta perpendicular o segmento de reta CD de medida 3 cm, de modo que o ponto D e o ponto A estejam do mesmo lado da reta BC

4o passo: Trace o segmento de reta com extremidades nos pontos A e D

4. 3o bloco: Com o compasso, trace uma circunferência de raio de medida 4 cm com centro em B

4o bloco: Marque um ponto de intersecção das circunferências e nomeie de C

5. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes usem a criatividade para criar a partir das obras consultadas e com o auxílio dos conceitos geométricos estudados na Unidade.

Por toda parte – p. 197

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes se conscientizem a respeito da importância de assegurar os direitos dos idosos e de respeitá-los.

2. Respostas pessoais. Exemplo de resposta: vagas especiais nos estacionamentos, assento preferencial no transporte público, caixa preferencial nos supermercados, filas preferenciais em bancos e instituições, entre outras.

3. Resposta pessoal.

4. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compartilhem o conhecimento construído a partir do que estudaram na Unidade com a comunidade escolar, conscientizando a todos da importância de conhecer e respeitar os direitos dos idosos. Tratamento da informação – p. 198

1. Resposta pessoal. 2. De 25 a 39 anos.

3. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

d) Sim. Porque é possível comparar a frequência de estudantes por atividade física escolhida em relação ao total de estudantes entrevistados, pois cada estudante escolheu apenas uma atividade. Essa comparação pode ser feita em valores absolutos ou em porcentagem, de modo que a soma dos dados seja igual ao total. Retomando o que aprendeu – p. 200

1. b = c = 32° (ângulos opostos pelo vértice)

a + c = 90°

a + 32° = 90° h a = 58° Alternativa a.

2. 135° é correspondente ao ângulo adjacente ao x 2 + 2x . Assim, temos:

x 2 + 2x + 135° = 180° h 5x 2 = 45° h 5x = 90° h x = 18°

3. 3x 11° = 2x + 6° (ângulos correspondentes) h x = 17°

y + 2x + 6° = 180°

y + 2 ? 17° + 6° = 180°

y = 140°

4. x + y = 180° h 3y + y = 180° h y = 45° h x = 135°

Portanto, x y = 135° 45° = 90°.

5. y + 125° = 180° h y = 55°

x + y = 90° h x + 55° = 90° h x = 35°

Assim: y x = 55° 35° = 20°.

6. x = y = 42°

z + 127° = 180° h z = 53°

Assim: x + y + z = 42° + 42° + 53° = 137°.

7. 7x + 31° = 9x 43° h 2x = 74° h x = 37°

Alternativa c.

8. a) (3 2) 180° = 180°; 180° : 3 = 60°

180° =

260°

1 260° : 9 = 140°

c) (15 2) ? 180° = 13 ? 180° = 2 340°

2 340° : 15 = 156°

9. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 6, 8 e 10.

10. Sim, Larissa obteve um triângulo equilátero de lados medindo 4 cm. Exemplo de construção:

11. Pode-se traçar uma circunferência com centro no ponto que representa o posto de saúde e raio medindo 150 m e outra circunferência com centro no ponto que representa a escola e raio de medida 100 m. Os pontos de intersecção das circunferências são os possíveis locais para a construção do ginásio que atendem às condições do enunciado.

Um novo olhar – p. 201

• Quando a soma das medidas deles é 90°. Quando a soma das medidas deles é 180°.

• Quando a medida de qualquer um dos segmentos de reta for menor do que a soma das medidas dos outros dois.

• 180°

• Dividindo a soma das medidas dos ângulos internos pela quantidade de ângulos internos.

• A medida do diâmetro corresponde ao dobro da medida do raio da circunferência.

Unidade 7 • Grandezas proporcionais

Abertura de Unidade – p. 202

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A produção pode ser demorada, já que requer habilidade do artesão.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A quantidade de vasos produzidos pode ser influenciada pela experiência do artesão e pelas condições climáticas, entre outros.

• A quantidade de vasos produzidos pode aumentar.

• Em metade do dia.

1. Razão

1.

e responda – p. 205

• 2 2 = 4; 4 pacotes.

• 2 2 = 4; 4 xícaras (chá).

b) 1 500 : 500 = 3; 3 ? 20 = 60 60 porções.

c) 500 ? 2 = 250 250 g

Atividades – p. 207

1. = 960 800 6 5 ou 6 para 5.

2. = 72 80 9 10

3. a) = 15 21 5 7

b) = 16 20 4 5

c) 14 25

d) ++ ++ == 15 16 14 21 20 25 45 66 15 22

4. Respostas pessoais. Exemplos de respostas:

• Calcule a razão entre o número de meninos da manhã e da noite.

• Calcule a razão entre o número total de meninos e o número total de alunos.

• Calcule a razão entre o número total de meninas e o número total de alunos.

5. a) = 20 50 2 5 b) = 80 200 2 5 c) = 400 2 500 4 25

Resposta pessoal. A razão entre os lados dos quadrados das figuras 1 e 2 é igual à razão entre os perímetros das figuras, e a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados e da razão entre os perímetros.

6. Como 2 kg é igual a 2 000 g, temos: = 800 2 000 2 5

7. a) 10 20 = 200, ou seja, 200 lajotas.

b) = 40 200 1 5

c) = 160 200 4 5

d) = 40 160 1 4

8. 2021.

2020: 68 000 16 = 4 250 h R$ 4.250,00

2021: 54 000 12 = 4 500 h R$ 4.500,00

2022: 86 400 20 = 4 320 h R$ 4.320,00

9.

10. Gustavo e Carlos.

Gustavo: = 32 80 2 5

Roberto: = 20 80 1 4

Valdir: = 18 90 1 5

Carlos: = 36 90 2 5 Atividades – p. 211

d) 11 16 = 0,6875 = 68,75% 0,6875; 68,75%

2. a) 42%

b) 8%

c) 22,5%

d) 1,5% e) 11,25% f) 0,7%

3. 32,5%

b) Resposta pessoal. Exemplos de resposta:

Qual é o percentual de funcionários desta empresa que possuem apenas Ensino Fundamental incompleto?

Qual é o percentual de funcionários desta empresa que possuem Ensino Médio incompleto?

5. 75%

== 450 600 3 4 0,75

6 a) Língua Portuguesa: == 34 40 0,85 85%; Matemática: == 20 25 0, 80 80%; Ciências:

== 9 15 0,60 60%; e Geografia: == 15 20 0,75 75%

b) Melhor desempenho: Língua Portuguesa; pior desempenho: Ciências.

c) Resposta pessoal.

2. Proporção

Pense e responda – p. 213

1. a) Continuando o padrão identificado, temos: Litros Desconto (em R$)

b) 40 litros: R$ 4,00. 60 litros: R$ 6,00. 90 litros: R$ 9,00.

c) 100 litros.

d) 420 : 10 = 42 h R$ 42,00

e) 4 40 ; 5 50 ; 6 60 ; 7 70 ; 8 80 ; 9 90 ; 10 100

f) Todas são iguais a 1 10

Pense e responda – p. 215

• Não, pois 7 3 12 28 5 , e a propriedade fundamental das proporções não é satisfeita (7 ? 28 5 3 ? 12).

Atividades – p. 216

1. a) Sim. 20 ? 32 = 8 ? 80

b) Sim. 50 12 = 150 4

c) Sim. 6 7,2 = 1,2 36

d) Não. 6 ? 1,5 5 5 ? 2,4

2. a) x 15 = 10,5 24 h x = 16,8

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sabe-se que com 10,50 reais é possível comprar 15 unidades de determinado produto. Quantos reais são gastos para comprar 24 unidades desse mesmo produto?

3. a) 12x = 3 8 h x = 24 : 12 h x = 2

b) 4x = 3 15 h 4x = 45 h x = 11,25

c) 2(x 6) = 3(x + 6)

2x 12 = 3x + 18 h x = 30

d)

4. + = + x1 5 2x 6 15 h 15(x + 1) = 5(2x + 6) h 15x + 15 = 10x + 30 h

h 5x = 15 h x = 3 + = 3y 10

5y 2 10 5 h 5(3y 10) = 10(5y + 2) h 15y 50 = 50y + 20 h

h 35y = 70 h y = 2

Logo: x + y = 3 + ( 2) = 3 2 = 1.

5. 20 40 = 8 x h 800 = 8x h x = 100

0,6 2,4 = 1,8 y h 1,44 = 1,8y h y = 0,8

Assim: x y = 100 0,8 = 80.

6. = 2 7 x 91 h 7x = 182 h x = 26 26 crianças.

7 Distância do caminho mais curto: 1 000 m ou 1 km

1 0, 025 = 40 40 km/h

200 m

200 m

8. = 1 1 600 30 x h x = 48 000 48 000 habitantes.

9. = 5 3 x 72 h 3x = 360 h x = 120, ou seja, 120 cm ou 1,2 m.

10. = 3 5 9 x h 3x = 45 h x = 15 15 copos de água.

11. = 2 0,5 x 8 h 0,5x = 16 h x = 8 8 ovos.

12. • Não. Correção da resposta de Valentina: = 35 21 x 8,4 h 21x = 294 h x = 14

13. a) 8 cm = 3 6 4 x h 3x = 24 h x = 8

b) A1 = 3 m ? 4 m = 12 m2; A2 = 6 m ? 8 m = 48 m2

c) A A 12 48 1 4 1 2

Atividades – p. 221

1. a) Sim. == 21 7 12 4 27 9 = 3.

b) Sim. === 4 16 9 36 7 28 1 4

c) Não. 6 14 12 7 18 4 55

d) Não. 1,5 2,5 1,2 2 10,5 16,5 55

2. Verdadeira.

7 50 = 2 175 = 35 10 = 350

3. Como os números são diretamente proporcionais, temos:

== x 80 y 55 32 160 = x 80 32 160 h 160x = 2 560 h x = 16 = y 55 32 160 h 160y = 1 760 h y = 11

Assim: x + y = 16 + 11 = 27

4. x 3 = 30 12 = 10 y x ? 3 = 30 ? 12 h x = 120 30 12 = 10 y h y = 36

Assim: x y = 120 36 = 84.

5. a + b + c = 420 == 3 a 7 b 4 c

6. 2a = 5b = 4c

== ou A A 48 12 4 1 2 1

==

Espera-se que os estudantes concluam que a área do retângulo 2 é quatro vezes a área do retângulo 1

Pense e responda – p. 218

1. a) Sim.

b) 2 ? 6 = 12, ou seja, 12 pacotes de fraldas.

c) 2 12 = 24, 24 pacotes de fraldas. O número de pacotes também dobrou.

7. Valdir: R$ 1.600,00; Gustavo: R$ 1.000,00; Roberto: R$ 2.000,00.

ALEX SILVA

Seja x o valor recebido por Valdir, y o valor recebido por Gustavo e z o valor recebido por Roberto, temos:

x 5 = y 8 = z 4

x ? 5 = y ? 8 h x = 8y 5

y 8 = z ? 4 h z = 2y

Logo:

x + y + z = 4 600 8y 5 + y + 2y = 4 600

++= 8y 5 5y 5 10y 5 4 600 = 23y 5 4 600 h y = 1 000

x = 81 000 5 = 1 600

z = 2 1 000 = 2 000

8. a + b + c = 400 == 11 a 9 b 5 c = a 11b 9 = c 5b 9

Logo: ++= 11b 9 b 5b 9 400 ++= 11b 9 9b 9 5b 9 400 = 25b 9 400

= b 3 600 25

b = 144 = a 11 144 9 = 176

= c 5 144 9 = 80

João: 176 g; Roberta 144 g; Tomás: 80 g.

9. a) 45 minutos.

b) 105 minutos.

c) 30 minutos.

Seja x a constante de proporcionalidade, temos:

3x + 7x + 2x = 180 h 12x = 180 h x = 15

a) 3 ? 15 = 45

b) 7 15 = 105

c) 2 15 = 30

10. Filial A: R$ 80.000,00; Filial B: R$ 64.000,00.

Seja x o valor recebido pela filial A e y o valor recebido pela filial B

x 100 = y 125

x = 125y 100 = 1,25y

x + y = 144 000 h 1,25y + y = 144 000 h 2,25y = 144 000 h y = 64 000

x = 5 240 3 = 400

z = 5 240 12 = 100

Sim, os cálculos estão corretos. Atividades – p. 224

1. a) = 600 1500 2 5

b) = 4 10 2 5

c) Sim.

d) Sim.

e) 8 horas: 2 600 = 1 200; 12 horas: 3 600 = 1 800.

1 200 unidades. 1 800 unidades.

2. a) = 60 50 6 5

b) = 80 96 5 6

c) 50 96 = 30 x h x = 160; 160 min.

d) São grandezas inversamente proporcionais.

3. a) Sim.

b) 150 ? 0,670 = 100,50 h R$ 100,50

c) Resposta pessoal. É o preço a ser pago por cada kWh que se usa de energia elétrica.

d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes apresentem ações como diminuir o tempo de banho, escovar os dentes com a torneira fechada, entre outras.

4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em um terreno retangular de medidas 40 m por 60 m, deve-se construir uma casa em uma parte retangular de medidas 20 m por x. Sabendo que será mantida a proporção entre os lados, qual é a medida de x?

5. a) Distância percorrida (em km) e consumo de gasolina (em L).

b) 10 km : 0,8 L = 12,5 km/L;

20 km : 2,2 L = 9,09 km/L;

30 km : 2,5 L = 12 km/L;

40 km : 3,2 L = 12,5 km/L;

50 km : 5 L = 10 km/L.

12,5 km/L; 9,09 km/L; 12 km/L; 12,5 km/L; 10 km/L.

c) Sim.

d) Não, pois há outros fatores, como a calibragem dos pneus, o tipo de estrada e o local (centro, área rural, rodovia) em que o veículo está rodando, que influenciam o consumo de combustível gasto pelo veículo, por isso ele não varia exatamente na mesma

3. Regra de três

x = 1,25 ? 64 000 h x = 80 000

11. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Vanessa dividiu o número 740 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 12, respectivamente.

x + y + z = 740

5y

3 + y + 5y 12 = 740

++= 20y 12 12y 12 5y 12 740

= 37y 12 740 h y = 240

0,4 ? 60 = 24

2,4 horas ou 2h24min.

5. = 2 2,05 80 x h 2,05 80 = 2 x h 164 = 2x h 2x = 164 h x = 164 2 h

h x = 82

82 m

Fórum – p. 228

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes citem algumas possibilidades, como o uso de transporte alternativo como a bicicleta, melhoria do transporte público e horários de trabalho mais flexíveis ou home office, quando for possível.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes realizem uma pesquisa. Ao abordar as possíveis causas do estresse, é provável que eles citem, por exemplo, a vida agitada nos grandes centros urbanos e problemas financeiros ou familiares. Verificar se a pesquisa deles está completa e se eles compreendem que o estresse pode se manifestar de diferentes maneiras e que, independentemente da situação que o desencadeou, é preciso procurar ajuda médica.

Por toda parte – p. 229

1. =

2.

= 614,4 h x = 614, 4 100 h x = 6,144

15,744 + 6,144 1 21,9 Aproximadamente 21,9 g.

3. Respostas pessoais.

4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: comer mais verduras e legumes, menos alimentos procesados e industrializados. Atividades – p. 232 1.

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Oitenta pedreiros constroem 32 m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros trabalhando no mesmo ritmo serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias?

7. O primeiro carregador é o mais rápido. Tempo para transportar 240 caixas:

= 4 240 3 x h 4x = 720 h 4x = 720 h x = 720 4 h x = 180 Nesse mesmo tempo, o segundo carregador transportará:

= 6 x 5 180 h 5x = 1 080 h 5x = 1 080 h x = 1 080 5 h x = 216

216 caixas.

8. a) Para uma laje de 6 cm, são utilizados 1 200 kg de cimento (30 40 = 1 200). Para uma laje de 5 cm, são utilizados 25 sacos de cimento.

= 6 5 30 x h 6x = 150 h 6x = 150 h x = 150 6 h x = 25

25 sacos de cimento correspondem a 1 000 kg de cimento (25 ? 40 = 1 000). Portanto, são utilizados 200 kg de cimento a menos (1 200 1 000 = 200). 200 kg

b) 1 000 : 50 = 20 20 sacos.

Educação financeira – p. 233

1. Ajudam os pais a fazer compras mais conscientes.

2. 50%; 376 pessoas. 752 : 2 = 376

3. 376 0,73 1 274 Aproximadamente 274 pais e mães.

4. 376 ? 0,44 1 165 Por volta de 165 pais e mães.

5. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes relacionem o estudo da educação financeira com a maior possibilidade de poupar e se manter sem salário por mais tempo.

Tratamento da informação – p. 234

1. Preferência esportiva dos estudantes da escola Alegria

DE ARTE

EDITORIA

Fonte: Estudantes da escola Alegria.

2. 8 600 + 16 800 = 25 400 eleitores. (50%); 25 400 + 25 400 = 50 800 eleitores. Retomando o que aprendeu – p. 236

1. 25 : 80 = 0,3125 Alternativa c.

2. == a 28 12 b 15 20

a 28 15 20 a2 1 =h=

12

b 15 20

b1 6 =h=

pessoais. Exemplos de respostas: Ana vai presentear os dois filhos com valores proporcionais às suas idades, de 15 e 18 anos. Sabendo que Ana vai gastar 900 reais com os presentes, quanto cada um receberá, aproximadamente?

Um novo olhar – p. 237

Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes identifiquem, comparem e trabalhem com números racionais.

UNIDADE 8 • Porcentagem, probabilidade e Estatística

Abertura de Unidade – p.238

• Resposta pessoal.

• Brasil, pois tem a maior quantidade de equipes disputando a competição.

• Resposta pessoal.

1. Porcentagem

Pense e responda – p. 242

Espera-se que os estudantes percebam que, para calcular 50% de um valor, basta dividir esse valor por 2, pois 50% correspondem a = 50 100 1 2

Atividades – p. 243

1. a) Equipe A: == 24 30 0,8 80%; equipe B: == 21 28 0,75 75%

b) Equipe A; a equipe A ganhou 80% dos jogos, enquanto a equipe B ganhou 75% dos jogos.

2. Valor pago por Mariana:

R$ 135,00 20 100 R$ 135,00 = R$ 135,00 R$ 27,00 = R$ 108,00

3. a) R$ 83,85 R$ 78,00 = R$ 5,85

b) == 5,85 78,00 0,075 7,5%

4. ?= 31 100 57 000 000 17 670 000 h 17,67 milhões de domicílios.

5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual foi a quantidade de medalhas de bronze que essa equipe ganhou?

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Observando o cartaz de preços de um supermercado, qual é o percentual de desconto do preço do arroz de 5 kg? E o do feijão de 1 kg?

7. a) 200 : 4 = 50

b) 50 3 = 150

c) 250 : 2 = 125 d) 250 : 10 = 25 e) 250 : 100 = 2,5 f) 13 2,5 = 32,5

8. a) 18% de 135: 0,18 135 = 24,30 135,00 + 24,30 = 159,30 h R$ 159,30

b) 12% de 193: 0,12 ? 193 = 23,16 193,00 23,16 = 169,84 h R$ 169,84

2. Probabilidade

Atividades – p. 245

1. Como há uma cara em duas possibilidades totais, temos: 1 2

2. Números possíveis: 1 e 2. Total de números: 6. Probabilidade: = 2 6 1 3

3. Quantidade de números possíveis: 6.

a) Números pares: 1, 2 e 3. = 3 6 1 2

b) Números maiores do que 2: 3, 4, 5, 6. =

c) Números menores do que 4: 1, 2, 3. = 3

b) Como há 2 Julianas, temos: = 2 12 1 6

c) Como três meninos praticam judô, temos: = 3 18 1 6

5. Como há 4 figuras com pessoas em 10 cartas totais, temos: = 4 10 2 5 Alternativa d.

Tratamento da informação – p. 246

1. À medida que aumentamos a quantidade de lançamentos, a tendência é que os resultados obtidos se aproximem mais da probabilidade calculada.

4. a) Alimentação: R$ 198,75; Roupas: R$ 73,75; Lazer: R$ 100,00.

Alimentação: +++ == 200 185 220 190  4 795 4 198,75 h R$ 198,75

Roupas: +++ == 70 90 65 70  4 295 4 73,75 h R$ 73,75

Lazer: +++ == 150 60 90 100  4 400 4 100,00 h R$ 100,00

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes sejam conscientes para a escolha da categoria, considerando a alimentação como um gasto essencial e o lazer e as roupas como gastos flexíveis.

Fórum – p. 251

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Este item é necessário neste momento? O preço deste item está dentro do meu orçamento? Posso esperar e comprar depois de realizar uma pesquisa de preço no mercado?

Atividades – p. 254

1. a) 34 + 45 + 21 = 100, ou seja, 100 médicos.

b) == 34 100 0,34 34%

2. A censitária, pois o tamanho da população é suficientemente pequeno para que todos os elementos sejam pesquisados.

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A amostra deve conter pessoas de ambos os sexos, de diferentes idades, diferentes rendas e diferentes regiões do país.

4. Não, pois não foi informada a quantidade de sócios, e a amostra pode não ser representativa da população, ou seja, todos os sócios do clube.

Por toda parte – p. 255

1. Respostas pessoais.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reflitam a respeito da infraestrutura de transporte e da necessidade de políticas públicas que descentralizem serviços básicos, como saúde, segurança e educação, para que esses povos possam ser assistidos dignamente.

Tecnologias – p. 256

2. a) Resposta pessoal. É possível que os estudantes respondam que os resultados sejam próximos da metade.

b) Resposta pessoal.

c) Exemplo de resposta: A moeda poderia ser viciada.

3. Estatística

Atividades – p. 250

1. a) Inglês: ++ = 15 16 14 3 15; Espanhol: ++ = 21 20 25 3 22

b) Manhã: + = 15 21 2 18; Tarde: + = 16 20 2 18; Noite: + = 14 25 2 19,5

2. a) O consumo médio mensal foi de aproximadamente 13,83 m3 +++++ =1 11 13 14 14 16 15 6 83 6 13,83

b) O consumo médio diário foi de aproximadamente 0,46 m3 13,8 3 30 1 0,46

3. a) ++++ == 100 210 230 240 150 5 930 5 186 186 refeições; não.

b) Terça-feira, quinta-feira e sexta-feira.

c) Amplitude = 240 100 = 140 140 refeições.

1. Na região Nordeste. Para obter essa informação do gráfico, basta comparar as alturas das colunas, verificando qual é a mais alta. No caso, a coluna mais alta corresponde à região Nordeste.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes construam o gráfico de barras corretamente e percebam que os eixos estão invertidos.

Retomando o que aprendeu – p. 258

1. == 8,5 18 0,47 47%, ou seja, 47%. Alternativa d.

2. == 7 200 0,035 3,5% Alternativa e.

3. R$ 180,00 ? 1,05 = R$ 189,00 Alternativa c.

4 Censitária, pois a escola contatou todos os estudantes entre 7 e 16 anos.

5. == 75% 75 100 3 4 Alternativa d.

6. Média:

7. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes revisem os conteúdos estudados na seção e utilizem esse conhecimento corretamente na prática.

Um novo olhar – p. 259

• A porcentagem é uma razão de denominador 100.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: descontos em produtos, cálculo de juro em boletos, leitura de notícias em jornais, sites e na televisão etc.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: proporcionando uma noção da relação da parte com o todo.

• Resposta pessoal.

• Em situações em que a população é muito grande e demandaria muito tempo e recursos financeiros para sua realização.

Unidade 9 • Área e volume

Abertura de Unidade – p. 260

• Resposta pessoal. Espera-se que os estuantes realizem a pesquisa proposta. Essa atividade pode ser realizada uma parceria com o professor de Arte, pode-se por exemplo pesquisar obras inspiradas em grafites. Outra possibilidade é um trabalho de intervenção no espaço da escola, com grafites feitos pelos estudantes em um espaço destinado para tal e com prévia anuência da direção da escola. Esse trabalho contribui para o desenvolvimento da competência geral 3 da BNCC. Caso haja algum espaço na região com grafites, verificar com a direção da escola a possibilidade de agendar uma visita com os estudantes para que eles conheçam essa arte de perto.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discutam essa característica do grafite e caso sintam necessidade, eles podem realizar uma pesquisa para buscarem mais informações e referências. De modo geral, espera-se que eles identifiquem alguns pontos a respeito dessa característica como o desprendimento do artista em relação a sua obra, que pode não existir mais depois de um tempo. Os registros ficam sendo apenas os fotográficos e em vídeo. Outro ponto é que por serem feitos em espaços públicos, essa paisagem urbana se altera com uma certa frequência novos grafites surgir e desaparecer rapidamente. Os estudantes podem trazer outras questões.

• 30 5 = 150

A área desse grafite é 150 m2. A partir dessa questão, incentivar os estudantes a refletirem em outras situações da execução do grafite que envolvem conceitos matemáticos de área e volume. Uma possibilidade é a divisão do espaço em que a obra será feita em espaços menores, para que o artista possa organizar o seu desenho. Esse trabalho contribui para o desenvolvimento da competência específica 4 de Matemática.

1. Área de figuras geométricas planas

Atividades – p. 268

1.

d) = +? === () A 14  cm6 cm 5cm 2 20 cm 5  cm 2 100  cm 2 50 cm 2 2

2. === A 8  cm 5, 2  cm 2 41,6  cm 2 20,8 cm 2 2

3. A = 10 cm ? 5 cm = 50 cm2

4. ==== A 18 cm 2 3 18 cm 2 18 cm 12 cm

5. a) A = 3 cm 6 cm + 2 cm 2 cm = 18 cm2 + 4 cm2 = 22 cm2

b) A = 3 cm 5 cm + 3 cm 2 cm 2 = 15 cm2 + 3 cm2 = 18 cm2

6. = +? === () A 34 m1 0m 16 m 2 44 m 16 m 2 704 m 2 352 m 2 2 Alternativa d.

7. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é a área de uma figura formada com três triângulos azuis, dois vermelhos e três verdes?

8. Pátio da escola: 40 m 32 m = 1 280 m2 Quadra de basquete: 28 m 15 m = 420 m2

1 280 m2 420 m2 = 860 m2

9. a) 1 : 90 m 110 m = 9 900 m2; 2 : 30 m ? 122 m = 3 660 m2

b) A = 9 900 m2 + 3 660 m2 = 13 560 m²

10. casa

15 m 15 m 15 m 10 m

5 m 5 m área de serviço garagem

área de lazer

A = 25 m 15 m = 375 m2

5 m

10 m

11. Área ocupada pelos ladrilhos: 18,25 m 1,25 m + 18,25 m 0,75 m = 36,5 m2

Número de ladrilhos colocados no muro: = 36,5 0,0625 584 584 ladrilhos.

12. A = 7 12 0,4 m 0,4 m = 13,44 m2

13. Área reaproveitada = 100 cm 100 cm 90 cm 90 cm = 1 900 cm2

14. a) Como cada medida é o produto de 1,80 pela quantidade de varas, temos:

A = 55 ? 1,80 m ? 35 ? 1,80 m = 6 237 m2

b) 55 1,80 = 99; 35 1,80 = 63 Calculando o perímetro, temos: 99 m + 99 m + 63 m + 63 m = 324 m.

c) Retirando os 3 m de cada lateral, temos: 99 6 = 93 e 63 6 = 57. Como cada muda estará de 3 em 3 m, temos: 93 : 3 = 31; 57 : 3 = 21 31 + 21 = 52 52 mudas.

Por toda parte – p. 270

1. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discutam investimentos em infraestrutura, saúde, cuidado do espaço público, educação, entre outros.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compreendam como esse cálculo é realizado.

3. Calculando o preço do imóvel:

380 2 700 = 1 026 000 h R$ 1.026.000,00

0,5% = 0,005

Calculando o preço do IPTU:

0,005 1 026 000 = 5 130

R$ 5.130,00.

2. Volume

Pense e responda – p. 271

Seja p a profundidade da piscina.

Assim: 8 m 5 m p = 120 m3 p = 3 m

Pense e responda – p. 273

1. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Poderíamos transformar cada dimensão da carroceria em centímetro e depois calcular o volume.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Poderíamos comparar cada dimensão do caminhão com cada dimensão da caixa.

Atividades – p. 274

1.

a) Como 1 m3 = 1 000 000 cm3, temos: 1,7 1 000 000 = 1 700 000 cm3

b) Como 1 dm3 = 0,001 m3, temos: 12 0,001 = 0,012 m3

2. Como 2 m = 20 dm, temos:

V = 20 dm 20 dm 20 dm = 8 000 dm3

3. Seja x a terceira dimensão do bloco, temos: 12 cm 10 cm x = 480 cm3 h x = 480 : 120 h x = 4 cm

4. a) V = 20 cm 15 cm 30 cm = 9 000 cm3

b) V = 1 dm 2,5 dm 1,2 dm = 3 dm3

c) V = 0,2 m ? 0,2 m 0,2 m = 0,008 m3

5. Sendo x a altura da caixa.

Assim: 25 cm 12 cm x = 2 700 cm3 h x = 2 700 : 300 h x = 9 cm

6. Capacidade do freezer: V = 80 ? 91 ? 71 = 516 880, ou seja, 516 880 cm3

Quantidade de marmitas possíveis de serem alocadas no freezer: 516 880 : 750 1 689. 689 marmitas.

7. Capacidade da caçamba do caminhão: V = 2 ? 6 ? 0,8 = 9,6 h 9,6 m3

Quantidade de caminhão para o transporte de 30 m3 para obra: 30 : 9,6 = 3,125. Logo, serão necessários 4 caminhões.

8. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sabendo que Mariana também comprará 40 m3 de cimento, quantas viagens a mais esse caminhão precisará realizar para transportar todo o material? Considere transportes em que toda a capacidade é preenchida e que não há desperdício de material.

9. Dobrando-se as abas, as dimensões da caixa são 10 cm, 3 cm (13 10 = 3) e 8 cm (14 3 3 = 8). Logo, temos:

V = 10 3 8 = 240 h 240 cm3

Alternativa c.

10. Volume do objeto: 803 = 512 000 h 512 000 cm3

Volume caixa 1: 86 86 86 = 636 056 h 636 056 cm3

Volume caixa 2: 75 ? 82 ? 90 = 553 500 h 553 500 cm3

Volume caixa 3: 85 82 90 = 627 300 h 627 300 cm3

Volume caixa 4: 82 ? 95 ? 82 = 638 780 h 638 780 cm3

Volume caixa 5: 80 95 85 = 646 000 h 646 000 cm3

Logo, a caixa 3 é a ideal, pois como a caixa 2 tem uma medida sendo 75 cm, não caberá o objeto por inteiro.

Alternativa c.

11. O volume do porta-lápis será a diferença entre o volume do cubo maior e o volume do cubo que foi retirado (menor). Sendo assim, temos:

123 83 = 1 728 512 = 1 216, ou seja, 1 216 cm3

Alternativa d.

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Uma caixa de brinquedos tem formato de um bloco retangular com dimensões 80 cm, 75 cm e 40 cm. Qual é a capacidade da caixa, em centímetro cúbico, para dispor os brinquedos?

13. Se a medida do volume do cubo é 27 m3 e seu volume é encontrado por V = a3, sendo a a medida da aresta, pode-se, por tentativa e erro, chegar ao resultado a = 3, ou seja, 3 m. Uma maneira de conduzir os estudantes ao resultado é perguntar a eles qual é o número que elevado ao cubo resulta em 27.

Retomando o que aprendeu – p. 276

1. Área da cozinha: 3,45 m ? 4,2 m = 14,49 m2

Área de cada ladrilho: 0,3 m 0,3 m = 0,09 m2

Número de ladrilhos == 14,49 0,09 161

Alternativa c.

2. Se a área do quadrado maior é 25 m2, então seu lado mede 5 m.

Assim: AB = AG BG h AB = 5 m _ 2 m = 3 m.

Portanto, a área da parte azul será: 25 m2 _ 9 m2 = 16 m2

Alternativa a.

3. A = 2 10 m 4 m = 80 m2

Assim, o número de telhas pode ser calculado por: 20 80 = 1 600. Alternativa c.

4. Área antes do aumento: 15 ? 8 = 120 h 120 cm2; Área após aumento: 15 1,5 8 1,5 = 270 h 270 cm2

Razão procurada: 270 : 120 = 2,25 ou 9 4 Alternativa b.

5. Como há 6 retângulos idênticos, temos: x

7. 0,4 km2 = 400 000 m2

Considerando x o lado do quadrado, temos: x2 = 400 000 h x 1 632,45, ou seja, 632,45 m.

Alternativa d.

8. A quantidade de quadrados será dada pela área da faixa retangular dividida pela área dos quadrados. Assim, temos:

Quantidade de quadrados = ? = 71 ,0 5 0,35 0,35 60

Alternativa b.

9. V = 12 cm ? 20 cm ? 30 cm = 7 200 cm3

Alternativa e.

10. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Quantos cubos de aresta 7 cm podem ser alocados em uma caixa no formato de um bloco retangular de dimensões 14 cm, 21 cm e 7 cm?

Um novo olhar – p. 277

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que fariam, se possível, a decomposição da figura em polígonos cujo cálculo da área é conhecido.

• O volume de um bloco retangular é o produto das medidas de suas dimensões.

• Em ambos os casos, multiplicamos o valor por mil.

QUESTÕES PROPOSTAS

1. (OBMEP) As casas da figura abaixo devem ser preenchidas com números primos. Em cada linha ou coluna, o produto dos números deve ser igual ao número indicado pela seta. A coluna indicada por 294 já está preenchida.

Qual é o número que deve ser escrito na casa marcada com *?

a) 2

b) 3

c) 5

d) 7

e) 11

2. (Enem/MEC) Uma pessoa possuía um lote com área de 300 m 2 . Nele construiu sua casa, utilizando 70 % do lote para construção da residência e o restante para área de lazer. Posteriormente, adquiriu um novo lote ao lado do de sua casa e, com isso, passou a dispor de um terreno formado pelos dois lotes, cuja área mede 420 m2 . Decidiu então ampliar a casa, de tal forma que ela ocupasse no mínimo 60 % da área do terreno, sendo o restante destinado à área de lazer.

O acréscimo máximo que a região a ser destinada à área de lazer no terreno poderá ter, em relação à área que fora utilizada para lazer no lote original, em metro quadrado, é

a) 12

b) 48

c) 78

d) 138

e) 168

3. Observe a sequência de operações indicadas no esquema a seguir.

24

Divida por ( 3) Multiplique por ( 4) Adicione 8 Subtraia 7

O número que ocupará o último quadro é:

a) 17.

b) 31.

c) 33.

d) 47.

(Pisa) VÔO ESPACIAL – Texto base para as questões 4 e 5

A estação espacial Mir permaneceu em órbita por 15 anos e deu cerca de 86 500 voltas em torno da Terra, durante o tempo em que esteve no espaço.

A permanência mais longa de um astronauta na Mir foi de, aproximadamente, 680 dias.

4. Aproximadamente, quantas voltas este astronauta deu ao redor da Terra?

a) 110

b) 1 100

c) 11 000

d) 110 000

5. O peso total da Mir era de 143 000 kg. Quando a Mir retornou à Terra, cerca de 80% da estação queimou-se ao atravessar a atmosfera. O restante quebrou-se em aproximadamente

1 500 pedaços e caiu no Oceano Pacífico.

Qual é o peso médio dos pedaços que caíram no Oceano Pacífico?

a) 19 kg

b) 76 kg

c) 95 kg

d) 480 kg

6. André fez diversas pilhas de latinhas conforme as figuras a seguir.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

VECTORPLOTNIKOFF/ SHUTTERSTOCK.COM

Ao observar as pilhas, André percebeu que existe um padrão de formação e decidiu elaborar uma expressão para saber a quantidade de latinhas da pilha da Figura n.

Qual expressão foi encontrada por André?

a) n + 3

b) 2n + 1

c) 2n 1

d) 3n 2

e) 2n + 2

7. (OBMEP) Sofia fez uma fileira de 10 casas com palitos de fósforo. No desenho, você consegue ver as quatro primeiras casas da fileira. Quantos palitos de fósforo foram necessários para fazer toda a fileira?

a) 51

b) 52

c) 53

d) 60

e) 62

8. (OBMEP) Qual é o número que está escondido pelo borrão?

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

9. (Pisa) Zedlópolis deseja calcular os custos e os lucros gerados pela construção dessa usina eólica. O prefeito de Zedlópolis propõe a seguinte fórmula para calcular as vantagens financeiras F (em zeds) sobre um número de anos y, se eles construírem o modelo E-82.

De acordo com a fórmula do prefeito, qual é o número mínimo de anos de funcionamento necessário para cobrir todos os custos de construção dessa usina eólica?

a) 6 anos.

b) 8 anos.

c) 10 anos.

d) 12 anos.

10. Ana marcou o ponto A na reta a seguir.

Em seguida, desafiou Mariana a marcar um ponto a uma distância de 5 unidades do ponto A Para marcar corretamente, Mariana deve escolher os pontos:

a) C ou E.

b) B ou D

c) B ou E

d) C ou D.

11. (Saresp-SP) A libra é uma unidade de massa utilizada em alguns países, como Estados Unidos, e vale, aproximadamente, 0,45 quilogramas. Um pacote enviado por uma transportadora tinha seu peso indicado em libras.

O peso desse pacote é, aproximadamente,

a) 1,35 Kg

b) 4,05 Kg

c) 9,45 Kg

d) 20 Kg

12. (Enem/MEC) Um pé de eucalipto em idade adequada para o corte rende, em média, 20 mil folhas de papel A4. A densidade superficial do papel A4, medida pela razão da massa de uma folha desse papel por sua área, é de 75 gramas por metro quadrado, e a área de uma folha de A4 é 0,062 metro quadrado.

Disponível em: http://revistagalileu.globo.com. Acesso em: 28 fev. 2013 (adaptado). Nessas condições, quantos quilogramas de papel rende, em média, um pé de eucalipto?

a) 4 301

b) 1 500

c) 930

d) 267

e) 93

13. Considere que as afirmações a seguir podem ser generalizadas em três categorias:

• Afirmações que sempre são verdadeiras.

• Afirmações que às vezes são verdadeiras.

• Afirmações que nunca são verdadeiras. Indique se cada afirmação sempre é verdadeira, às vezes é verdadeira ou nunca é verdadeira.

a) O resultado da adição de dois números racionais é sempre positivo.

b) Se m e n são números racionais, então m ? n = n ? m.

c) A multiplicação de dois números racionais positivos é sempre maior do que 1.

d) Se m e n são números racionais diferentes de 0, então = m n n m

e) Se m e n são números racionais distintos, então m n = n m.

14. Para estudar os efeitos da erosão em um terreno, engenheiros representaram em um plano cartesiano a região inicial da erosão representada por ABCD e a região atual representada por A’B’C’D’, conforme a figura a seguir.

Ao analisar a mudança na região da erosão, um engenheiro observou que o formato das regiões são não se modificou e que ocorreu uma ampliação em relação à região inicial ABCD em:

a) 2 vezes.

b) 3 vezes.

c) 4 vezes.

d) 5 vezes.

EDITORIA DE ARTE

Agora, ele deseja fazer uma simetria do quadrilátero em relação ao eixo horizontal. As coordenadas do quadrilátero A’B’C’D’ obtido são, respectivamente:

a) ( 4, 2), ( 1, 1), ( 2, 3) e ( 4, 4).

b) (4, 2), (1, 1), (2, 3) e (4, 4).

c) (4, 2), (1, 1), (2, 3) e (4, 4).

d) ( 4, 2), ( 1, 1), ( 2, 3) e ( 4, 4).

16. (Saresp-SP) Em uma rodovia de muito movimento, foram registrados os seguintes índices de congestionamento no período de pico da manhã:

15. Gabriel desenhou um quadrilátero ABCD no plano cartesiano a seguir.

A média de congestionamento registrada nesses cinco dias, em km, foi

a) menor que 18.

b) entre 18 e 19.

c) entre 19 e 20.

d) entre 20 e 21.

e) maior que 21.

17. (Enem/MEC) Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm³ cada, que ficarão totalmente submersas.

REPRODUÇÃO/ENEM

O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de

a) 14.

b) 16.

c) 18.

d) 30.

e) 34.

18. (OBMEP) Uma folha quadrada de 8 cm de lado foi dobrada três vezes como na figura. A primeira e a segunda dobras ficaram paralelas a uma diagonal da folha, e a terceira dobra ficou perpendicular a essa diagonal.

Qual é a área da figura final?

a) 10 cm²

b) 13 cm²

c) 19 cm²

d) 26 cm²

REPRODUÇÃO/OBMEP 330

19. (Enem/MEC) Estimativas do IBGE para a safra nacional de cereais, leguminosas e oleaginosas, em 2012, apontavam uma participação por região conforme indicado no gráfico.

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 3 jul. 2012.

As estimativas indicavam que as duas regiões maiores produtoras produziriam, juntas, um total de 119,9 milhões de toneladas dessas culturas, em 2012.

De acordo com esses dados, qual seria o valor mais próximo da produção, em milhão de tonelada, de cereais, leguminosas e oleaginosas, em 2012, na Região Sudeste do país?

a) 10,3 b) 11,4 c) 13,6 d) 16,5 e) 18,1

20. (Enem/MEC) O gerente de uma loja de cosméticos colocou à venda cinco diferentes tipos de perfume, tendo em estoque na loja as mesmas quantidades de cada um deles. O setor de controle de estoque encaminhou ao gerente registros gráficos descrevendo os preços unitários de cada perfume, em real, e a quantidade vendida de cada um deles, em percentual, ocorrida no mês de novembro.

Dados a chegada do final de ano e o aumento das vendas, a gerência pretende aumentar a quantidade estocada do perfume do tipo que gerou a maior arrecadação em espécie, em real, no mês de novembro.

Nessas condições, qual o tipo de perfume que deverá ter maior reposição no estoque?

a) I b) II c) III d) IV e) V

21. (Saresp-SP) O vértice A de uma folha de papel retangular será dobrado sobre o lado BC de forma que as medidas BE e BA’ sejam iguais, como mostra a figura.

Nas condições dadas, a medida do ângulo, que é um dos ângulos internos do triângulo BA’E, é:

a) 45°

b) 60°

c) 100°

d) 120°

22. (Pisa) TERREMOTO

Foi divulgado um documentário sobre terremotos e a frequência com que eles ocorrem. Esta reportagem incluiu uma discussão sobre a previsibilidade dos mesmos.

Um geólogo declarou: - Nos próximos vinte anos, a probabilidade de que ocorra um terremoto em Zedópolis é de dois em três.

Qual das opções a seguir exprime melhor o significado da declaração do geólogo?

a) ?= 2 3 20 13,3, portanto no período de 13 a 14 anos, a partir de hoje, haverá um terremoto em Zedópolis.

b) 2 3 é maior que 1 2 , portanto podemos ter certeza de que haverá um terremoto em Zedópolis nos próximos 20 anos.

c) A probabilidade de haver um terremoto em Zedópolis nos próximos 20 anos é maior do que a probabilidade de não haver um terremoto.

d) Não se pode afirmar o que acontecerá porque ninguém pode ter certeza de quando ocorrerá um terremoto.

23. (OBMEP) O gráfico de barras mostra a distribuição dos alunos de uma escola conforme o tempo diário dedicado à leitura. REPRODUÇÃO/OBMEP

Qual é o gráfico de setores que melhor representa, em amarelo, a fração de alunos que dedicam à leitura no máximo 40 minutos por dia?

a)

b)

c) d)

e)

24. (Saresp-SP) Os alunos da professora Raquel levaram para sala de aula vários objetos que tinham alguma superfície que fosse circular. Com régua, fita métrica e barbante, os alunos da professora Raquel mediram os comprimentos e os diâmetros de várias circunferências mostradas em figuras pela professora. Anotaram os resultados das medidas em uma tabela: Veja as anotações dos alunos na tabela:

Como existe uma relação entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência, o valor de x é, aproximadamente, igual a:

a) 279,8.

b) 310.

c) 103.

d) 91,4.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na questão 1, o estudante aplica conhecimentos sobre a decomposição de um número natural em fatores primos e identifica múltiplos e divisores comuns, de acordo com a habilidade EF07MA01. É uma oportunidade para promover debates sobre múltiplos e divisores, e retomar o conceito de máximo divisor comum.

Na questão 2, é apresentada ao estudante uma situação de acréscimos, relacionada à habilidade EF07MA02, possibilitando que ele utilize diferentes estratégias de cálculo no contexto do cálculo do maior aumento possível de uma área de lazer.

A questão 3 apresenta as operações com números inteiros de modo progressivo, permitindo abordar a habilidade EF07MA04. A atividade permite explorar a escrita de expressões numéricas a partir das operações realizadas.

Na questão 4, além de explorar as operações com números racionais (habilidade EF07MA12), tem-se a oportunidade de explorar o cálculo mental e a possibilidade de realizar cálculos com números inteiros, considerando que o astronauta pode permanecer aproximadamente 2 anos na Mir.

A questão 5, além de permitir inserir o estudante em uma situação-problema envolvendo números racionais (habilidade EF07MA12), aborda o cálculo de porcentagem (habilidade EF07MA02).

A questão 6 possibilita ao estudante observar um padrão figural e representar uma relação utilizando uma variável, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF07MA13. Na questão 7, os estudantes podem utilizar uma regularidade para encontrar uma lei de formação e, a partir dela, encontrar ototal de palitos (habilidade EF07MA15), mas é importante aproveitar a oportunidade para resolver a questão por meio de um raciocínio recursivo.

As questões 8 e 9 envolvem a resolução de equações polinomiais do 1o grau (habilidade EF07MA18), a partir de um contexto numérico e de uma situação problematizada.

A questão 10 explora a localização e a distância entre números inteiros, associados a pontos na reta numérica, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade EF07MA03. A questão pode ser resolvida contando-se as unidades de distância entre os pontos na reta, ou usando adição de números inteiros.

Na questão 11, pode-se explorar, ao mesmo tempo, a relação entre as unidades de medida quilograma e libras (habilidade EF07MA29) e as operações entre números racionais (habilidade EF07MA12).

Na questão 12, o estudante expressa uma relação algébrica de proporcionalidade direta para fazer o cálculo da massa de uma folha e utiliza o resultado para calcular a massa de papel obtida a partir de uma árvore de eucalipto, de acordo com a habilidade EF07MA17.

A questão 13 foi elaborada a partir de exemplos de exercícios computacionais disponibilizados pelo Pisa para a avaliação de 2022, disponível em: https://pisa2022-maths.oecd. org/#Examples (acesso em: 18 ago. 2022). Nessa atividade, exploram-se propriedades operatórias dos números racionais (habilidade EF07MA11). É interessante que, nos itens cujas respostas foram às vezes, sejam construídos diversos exemplos com os estudantes que mostrem situações nas quais a afirmação é verdadeira ou falsa.

Na questão 14, os estudantes devem observar as coordenadas de uma transformação geométrica, de acordo com a habilidade EF07MA19. A questão 15 aborda transformações, como reflexão e rotação aplicadas em figuras no plano cartesiano, de acordo com a habilidade EF07MA20.

A questão 16 traz a possibilidade de explorar o significado e o cálculo de média, como indicador de tendência, a partir de uma pesquisa estatística, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA35.

A questão 17 explora o cálculo de medida do volume de blocos retangulares, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA30. É interessante, nessa questão, ressaltar ofato de que o volume de líquido que irá subir no recipiente é exatamente o mesmo volume do total de objetos que serão submersos.

Na questão 18, o estudante pode utilizar diferentes estratégias de composição e decomposição em quadrados e triângulos para o cálculo da área, favorecendo a exploração da habilidade EF07MA32.

Tanto na questão 19 quanto na questão 20 é necessário que os estudantes realizem a interpretação de gráficos de barras e de setores e calculem porcentagens para relacionar a arrecadação de cada produto. Com isso, contribui-se para odesenvolvimento das habilidades EF07MA37 e EF07MA02, respectivamente.

A questão 21 possibilita aplicar o conceito de soma dos ângulos internos de um triângulo (habilidade EF07MA24) e explorar, por meio de dobradura, que o triângulo BA’E é isósceles.

A questão 22 enfatiza a importância da compreensão da observação de frequência de ocorrência de um fenômeno para oestudo da probabilidade, descrito na habilidade EF07MA34.

A questão 23 permite ao estudante explorar paralelamente a ideia de razão (habilidade EF07MA08) e a produção de um gráfico de setores a partir da análise dos dados de um gráfico de colunas (habilidade EF07MA37).

A questão 24 permite trabalhar a habilidade EF07MA33, favorecendo o estudo do número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro. O uso de calculadora é importante para ampliar o contexto numérico da questão e apresentar aos estudantes outras situações-problema.

RESOLUÇÕES

Questão 1

150 = 2 ? 3 ? 5 ? 5

462 = 2 ? 3 ? 7 ? 11

A intersecção entre 462 e 150 deve ser ocupada pelo número primo 2, pois, apesar de o 3 também ser um fator comum, já ocupa a casa da intersecção do 150 com o 294.

84 = 2 2 3 7

495 = 3 ? 3 ? 5 ? 11

O número primo 3 deve ser colocado na intersecção entre o 495 e o 84, pois é o único fator comum entre eles.

Com isso, o 7 é o número que deve estar na intersecção entre 462 e 84 e como

84 = 2 2 3 7, as outras duas casas devem ser ocupadas pelo número 2.

Alternativa a.

Questão 2

De acordo com o enunciado, tem-se:

Área inicial da residência: 0,7 300 m2 = 210 m2

Área inicial da área de lazer: 300 m2 210 m2 = 90 m2

Área final mínima da residência: 0,6 ? 420 m2 = 252 m2

Área final máxima da área de lazer: 420 m2 252 m2 = 168 m2

O acréscimo máximo da região a ser destinada à área de lazer será de:

168 m2 90 m2 = 78 m2

Alternativa c.

Questão 3

Fazendo as operações indicadas, tem-se:

24 : ( 3) = 8

8 ( 4) = 32

32 + 8 = 24

24 7 = 31

Alternativa b.

Questão 4

680 dias correspondem a aproximadamente 1,86 anos.

86 500 : 15 1,86 = 10 726

Alternativa c.

Questão 5

A parte da estação Mir que não queimou foi 20% de 143 000 kg, que corresponde a 28 600 kg.

Assim, cada pedaço tem 28 600 : 1 500 que é aproximadamente 19 kg.

Alternativa a.

Questão 6

Observa-se que:

Quantidade de latinhas na Figura 1: 2 1 + 1

Quantidade de latinhas na Figura 2: 2 2 + 1

Quantidade de latinhas na Figura 3: 2 ? 3 + 1

Portanto, a quantidade de latinhas na Figura n será: 2 n + 1.

Alternativa b.

Questão 7

Para construir 1 casa, são necessários: 6 palitos (5 + 1 = 6).

Para construir 2 casas, são necessários: 11 palitos (5 ? 2 + 1 = 11).

Para construir 3 casas, são necessários: 16 palitos (5 3 + 1 = 16).

Portanto, para construir n casas, são necessários: 5 n + 1 palitos.

Logo, para construir 10 casas, são necessários: 51 palitos (5 10 + 1 = 51).

Alternativa a.

Questão 8

Representando o borrão por x, tem-se:

17 3 = 20 16 + x

14 = 4 + x h x = 10

Alternativa a.

Questão 9

F = 400 000 3 200 000

Para cobrir todos os custos, F tem de atingir o valor 0.

Assim, 400 000y 3 200 000 = 0, ou seja, y 3 200 000 400 000 8; 8anos ==

Alternativa b.

Questão 10

Como o ponto A está localizado em 3, tem-se:

3 + 5 = 2

3 5 = 8

2 e 8 representam B e E, respectivamente.

Alternativa c.

Questão 11

De acordo com o enunciado e dados da figura, tem-se: 9 ? 0,45 = 4,05; 4,05 kg

Alternativa b.

Questão 12

A densidade superficial é dada pela razão entre a massa (m) da folha de papel e sua área (A).

Assim, = m A 75 g/ m2; Como A = 0,062, a massa de cada folha é

m = 75 0,062 = 4,65; 4,65 g.

20 000 4,65 = 93 000; 93 000 g = 93 kg

Alternativa e.

Questão 13

a) Às vezes; exemplo que satisfaz: 1 + 7 = 8; exemplo que não satisfaz: ( 3) + 5 = 2.

b) Sempre, pois essa é a propriedade comutativa da multiplicação.

c) Às vezes; exemplo que satisfaz: ?=. 1 2 31,5 1; exemplo que não satisfaz: ?=, 1 5 40,8 1

d) Às vezes; exemplo que satisfaz: m = 5 e n = 5; exemplo que não satisfaz: m = 2 e n = 3.

e) Nunca; se m n = n m, então 2m = 2n, logo m = n, mas m e n são distintos por definição.

Questão 14

AB e A’B’ são lados correspondentes, sendo AB = 3 e A’B’ = 6. Como = 6 3 2, então a ampliação foi de 2 vezes.

Alternativa a.

Questão 15

Fazendo a reflexão em relação ao eixo x, tem-se:

As coordenadas dos pontos da figura refletida será A( 4, 2), B( 1, 1), C( 2, 3) e D( 4, 4).

Alternativa a.

Questão 16

De acordo com dados do gráfico, tem-se:

= ++++ == Média 22 19 12 15 23 5 91 5 18,2;km18,2

Alternativa b.

Questão 17

A altura de água no recipiente é de 8 cm e deve ser aumentada em 7 cm para que atinja 15 cm. Então, o volume que deve ser acrescentado no recipiente é

V = 4 3 7 = 84 cm3

Como o volume de uma bolinha é 6 cm3, a quantidade de bolinhas necessárias será = 84 6 14 bolinhas.

Alternativa a.

Questão 18

Observe a figura:

DE ARTE

Questão 19

De acordo com dados do enunciado e do gráfico, pode-se calcular quantas toneladas corresponde a 1%:

+ 1 119,9 0, 383 0, 372 158,8 ; 158,8 milhões de toneladas. Logo, em 11,4%, tem-se:

0,114 ? 158,8 1 18,1; 18,1 milhões de toneladas. Alternativa e.

Questão 20

Considerando Q a quantidade em estoque do total de perfumes, o valor de arrecadação de cada um deles será dada por:

AI = 200 ? 13% Q = 26 Q

AII = 170 ? 10% Q = 17 Q

AIII = 150 ? 16% Q = 24 Q

AIV = 100 ? 29% ? Q = 29 ? Q

AV = 80 ? 32% Q = 25,6 Q

Alternativa d.

Questão 21

Como BE = BA’, então o triângulo BA’E é isósceles e possui os dois ângulos da base iguais. Sendo o ângulo no vértice B de 90º, os ângulos da base medem 45º cada um. Alternativa a.

Questão 22

EDITORIA

A probabilidade de ocorrer um terremoto nos próximos 20 anos é de 2 3 . Portanto a probabilidade de não ocorrer é de 1 3 . Tem-se que . 2 3 1 3

Alternativa c.

Questão 23

O número total de alunos é: 90 + 60 + 30 = 180

O total de alunos com no máximo 40 min é: 90 + 60 = 150

A região colorida de amarelo deve representar = 150 180 5 6

Alternativa e.

Na terceira figura, a superfície colorida pode ser obtida quando consideramos o quadrado inicial e dele retiramos dois triângulos retângulos, cujos catetos medem 6 cm e 4 cm, respectivamente.

Logo, a medida da área colorida é:

?? =__= 8 66 2 44 2 64 18 83 8cm 22

A área da figura obtida após a 3a dobra é a metade dessa área, ou seja, 19 cm2

Alternativa c.

Questão 24

Fazendo a razão entre os comprimentos das circunferências e as respectivas medidas dos diâmetros, tem-se os valores aproximados:

I. = 62 20 3,1; II. = 179,8 58 3,1; IV. = 38,2 12,3 3,1

Portanto, tem-se = x 100 3,1, logo x = 310.

ISBN 978-85-96-03440-1

9 788596 034401