A Conquista Matemática - 9º Ano

José Ruy Giovanni Júnior

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Matemática

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

MANUAL DO PROFESSOR

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA

Matemática

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP).

Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino

Fundamental e Ensino Médio desde 1985.

Copyright © José Ruy Giovanni Júnior, 2022.

Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira

Direção de Conteúdo e Negócios Cayube Galas

Direção editorial adjunta Luiz Tonolli

Gerência editorial Roberto Henrique Lopes da Silva

Edição João Paulo Bortoluci (coord.)

Aline Tiemi Matsumura, Bianca Cristina Fratelli, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Letícia Mancini Martins

Preparação e Revisão Maria Clara Paes (coord.)

Yara Affonso

Gerência de produção e arte Ricardo Borges

Design Andréa Dellamagna (coord.)

Sergio Cândido

Projeto de capa Sergio Cândido

Imagem de capa Worraket/Shutterstock.com

Arte e Produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)

Debora Joia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, Kleber Bellomo Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini

Diagramação Wym Design

Coordenação de imagens e textos Elaine Bueno Koga

Licenciamento de textos Amandha Baptista

Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira, Paula Squaiella, Emerson de Lima (trat. imagens)

Ilustrações Alberto Llinares, Bentinho, Daniel Bogni, Ilustra Cartoon, Manzi, Marcos Guilherme, MW Editora e Ilustrações, Pedro Paulo Melara, Selma Caparroz, Sonia Vaz

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Giovanni Júnior, José Ruy

A conquista matemática : 9o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2022.

Componente curricular: Matemática. ISBN 978-85-96-03443-2 (aluno)

ISBN 978-85-96-03444-9 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 22-114535

CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

EDITORA FTD

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33

Avenida Antonio Bardella, 300

Guarulhos-SP – CEP 07220-020

Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

APRESENTAÇÃO

O intuito desta obra é oferecer aos estudantes e professores um material que norteie o trabalho com as ideias matemáticas, levando em consideração as especificidades da faixa etária a que a obra se destina.

Esperamos que este contato com os conceitos matemáticos contribua para que se estabeleça uma relação significativa entre os estudantes e o conhecimento da Matemática, pautada pela curiosidade e pela reflexão.

Ao longo dos volumes desta obra, pretendemos ainda estabelecer um elo entre a Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente de seu papel, tendo em vista que paradigmas em Educação apontam para a formação de um estudante crítico, capaz de analisar, interpretar e participar ativamente na sociedade ao seu redor.

Para descortinar o contexto permeado por múltiplas linguagens e tecnologias em que se inserem, assumindo-se como cidadãos autônomos e conscientes das relações sociais que vivenciam diariamente, nossos estudantes precisam se apropriar dos conhecimentos sócio-historicamente construídos, valendo-se de estratégias e habilidades requeridas pelo mundo contemporâneo. E, no intuito de auxiliar você, professor, a capitanear essa jornada pelo processo de ensino e aprendizagem nos anos finais do Ensino Fundamental, foram elaboradas estas Orientações. Aqui, você encontrará diversas bases e sugestões para o seu trabalho diário junto aos estudantes.

Esperamos que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de aprender e de ensinar, levando a aprendizagens significativas e agradáveis na área da Matemática no Ensino Fundamental.

Aventure-se nessa jornada você também!

O autor

CONHEÇA O MANUAL DO PROFESSOR

Estas Orientações buscam elucidar os caminhos percorridos na elaboração desta obra desde a idealização dela até a efetivação das propostas apresentadas em cada Volume.

Acredita-se ser de grande relevância conhecer os pressupostos teóricos que embasam a obra para, a partir deles, perceber a estrutura e os elementos que a compõem. Além da apresentação desses norteadores, buscou-se promover reflexões acerca do ensino e da aprendizagem de Matemática e as possíveis ações e estratégias que podem ser utilizadas na prática pelo professor. Vale mencionar que muitas explorações aqui apresentadas consistem em sugestões e, portanto, podem ser adaptadas sempre que necessário.

Neste manual, procurou-se utilizar uma linguagem clara e objetiva que permita uma fácil visualização das articulações idealizadas, bem como estratégias de aplicação dos conceitos aqui trabalhados.

Este material está organizado em três partes:

• Na primeira parte, denominada Orientações gerais, são apresentadas reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática e de possíveis instrumentos e ferramentas que podem favorecer a construção do conhecimento matemático nos Anos Finais do Ensino Fundamental e, como mencionado anteriormente, muitas dessas abordagens nortearam a elaboração desta obra.

• Na segunda parte, denominada Orientações específicas do Volume, disposta em formato de U, o professor encontrará o detalhamento das situações e atividades propostas no Livro do estudante, acompanhada de sugestões que possam tornar o processo de ensino e aprendizagem mais rico e proveitoso.

• Na terceira parte, temos a seção de Resoluções comentadas de todas as atividades do Volume e a seção Avaliações oficiais em foco, com uma proposta de avaliação, com questões baseadas em avaliações oficiais de larga escala.

Esperamos que todos esses recursos possam contribuir com o trabalho do professor, dentro e fora da sala de aula, e com o alcance de um objetivo educacional ainda maior: a formação de um estudante crítico, capaz de analisar, interpretar e atuar no mundo de maneira consciente, cooperativa e autônoma.

LUCIOLA ZVARICK/PULSAR IMAGENS

Escola indígena da etnia Waurá da aldeia Piyulaga, em Gaúcha do Norte (MT). Fotografia de 2019. V

Orientações gerais

Considerações sobre o ensino de Matemática

Neste tópico, são apresentados fundamentos teóricos e aplicações de temas relevantes para o ensino de Matemática, como inferência, argumentação, pensamento computacional e resolução de problemas.

A BNCC e o ensino de Matemática

Nesta seção, são apresentadas reflexões e abordagens sobre a Base Nacional Comum Curricular, um dos documentos norteadores desta obra.

A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem a homologação desse documento.

Não podemos desprezar as dimensões do país, seja em territorialidade, seja em diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um dos principais desafios, na área da educação, é propiciar oportunidades iguais para todos os estudantes, sem perder a particularidade e a singularidade de cada região ou grupo.

Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais.

Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum, salientando que os conteúdos deveriam ser complementados com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais.

No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014, essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os estudantes do território nacional as aprendizagens essenciais, preservando-se as identidades étnicas, culturais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais.

Desse modo, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os estudantes da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade diversidade e equidade para a constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os estudantes da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências essenciais que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.

Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e à utilização consciente da informação e da tecnologia.

As competências O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares.

Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.

Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação da natureza” [...].

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 8. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

São apresentadas dez competências gerais que se inter-relacionam e devem permear os conteúdos apresentados ao longo de todo o percurso escolar da Educação Básica. XXXIX

Uma visão interdisciplinar e os Temas Contemporâneos Transversais

Aqui, são discutidos os Temas Contemporâneos Transversais e algumas sugestões de aplicação de tais temas de modo interdisciplinar nas aulas de Matemática.

O papel do professor

Neste tópico, são apresentadas importantes reflexões sobre o papel fundamental do professor e a prática educativa em Matemática.

Perfis de aprendizagem

Trata-se, aqui, de temas relacionados aos diferentes perfis de aprendizagem apresentados nos diversos contextos escolares brasileiros, e são discutidos modos de lidar com tais diferenças nas aulas de Matemática.

Os conhecimentos matemáticos podem ser encarados como recursos que favorecem a cidadania, dada a ampla gama de aplicações desses conhecimentos nas mais variadas situações da sociedade atual. Para apresentar a Matemática como área a serviço do conhecimento científico e de relevância prática no cotidiano, é necessário que o professor tenha clareza a respeito das relações da Matemática com outras áreas de conhecimento. Para isso, é importante que o professor de Matemática tenha uma formação integral e continuada, apropriando-se das relações e aplicações de conceitos matemáticos em outras áreas do conhecimento e da contribuição da Matemática para construção da cidadania, como destacam Soares e Sheide (2004):

Outra questão crucial é a percepção que o professor tem sobre o conhecimento matemático e as interações que é capaz de estabelecer com esse conhecimento. A sua utilização como ferramenta para a construção da cidadania vai depender da sua capacidade em tratá-lo como um conhecimento articulado aos outros campos do saber e historicamente situado.

SOARES, Marlene Aparecida; SCHEIDE, Tereza de Jesus Ferreira. Professor de Matemática: um educador a serviço da construção da cidadania. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais […]. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2004. p. 2. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/07/CC07289049853.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Desse modo, o professor de Matemática, longe de ser um mero transmissor de conhecimentos imutáveis, é um sujeito do conhecimento que compartilha com estudantes conhecimentos esses que devem estar em constante aprimoramento e transformação para serem úteis nas práticas sociais dos estudantes.

Portanto, neste processo de parceria e inter-relação existente entre estudantes e professores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.

PERFIS DE APRENDIZAGEM

A Base Nacional Comum Curricular trouxe ao centro do debate sobre o processo educativo a necessidade de pensarmos em educação integral. Isso significa considerar cada estudante como indivíduo pleno e complexo, em suas diversas dimensões. Ninguém abandona gostos, características, sonhos, valores e emoções antes de entrar na escola – ao contrário, a sala de aula é composta de diversidade. Na BNCC (2018, p. 14), destaca-se:

[…] Reconhece, assim, que a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades. […] BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Essa visão implica reconhecer que ao professor cabe considerar cada estudante em sua singularidade, identificando necessidades, diferentes interesses e modos de aprender. Cada um de nós tem um perfil de aprendizagem. Isso não significa que aprendamos apenas por um canal de aprendizagem, mas, muitas vezes, existem canais mais propícios do que outros e, portanto, reconhecê-los e incentivar o uso deles é muito importante. Existem indivíduos que compreendem melhor a partir de estímulos visuais e, portanto, é interessante recorrer ao uso de gráficos, tabelas, listas e mapas mentais. Há pessoas que compreendem melhor utilizando a leitura (silenciosa) e escrita (listas, textos on-line, artigos, dicionários); LVI

Avaliação

São abordados neste tópico os diversos tipos de avaliação e a importância desse recurso para o processo de ensino e aprendizagem.

Indicações para apoio ao trabalho do professor

Aqui, encontram-se indicações de materiais relevantes para consulta e aprimoramento do professor.

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CONHEÇA O LIVRO DO ESTUDANTE

Nesta seção, além dos elementos que compõem o material do estudante, são apresentados os conteúdos de cada Volume. No Livro do estudante, cada Volume desta obra divide-se em nove Unidades e cada Unidade em capítulos.

Aberturas de Unidade

Nesta obra, as aberturas de Unidades têm um papel fundamental: elas propiciam o momento de entrada no grande tema que será tratado. Em cada Volume, a Unidade é introduzida por uma abertura que traz:

• uma imagem (ilustração, fotografia ou infográfico) relacionada com temas que serão estudados ao longo da Unidade e cujo objetivo é instigar os estudantes a uma discussão inicial; • algumas questões para contextualizar os estudantes no assunto da Unidade e mobilizar conhecimentos anteriores.

Capítulos

Trace uma circunferência de raio qualquer. 1 A

RELAÇÕES ENTRE ÂNGULOS 4

esta imagem de um vitral e o processo de construção de um exemplo de rosácea.

Nos Volumes desta obra, as Unidades são compostas de uma quantidade variável de capítulos, de acordo com a demanda de cada tema.

Em cada capítulo, os estudantes contarão com diferentes explorações e recursos, como textos, imagens e atividades. Ao longo de cada capítulo, podem ser encontrados seções e boxes que buscam favorecer compreensões, aprofundamentos, reflexões e articulações.

Seções e boxes

Atividades

Nesta seção, os estudantes encontrarão atividades diversificadas que foram organizadas de acordo com os conteúdos apresentados em cada tópico, de modo a facilitar a realização e a conferência. Eventualmente, são apresentadas atividades denominadas Desafio, que apresentam maior nível de dificuldade, permitindo a mobilização de mais habilidades e competências.

POR TODA PARTE

A CULTURA AFRO-BRASILEIRA

Você sabia que, apenas a partir do século XX, manifestações, rituais e costumes dos povos africanos começaram a ser aceitos e celebrados no Brasil como expressões artísticas genuinamente nacionais?

Leia os textos a seguir para conhecer e refletir sobre as contribuições da cultura africana para a formação da identidade do povo brasileiro.

Denomina-se cultura afro-brasileira o conjunto de manifestações culturais do Brasil que sofreram algum grau de influência da cultura africana desde os tempos do Brasil colônia até a atualidade. A cultura da África chegou ao Brasil, em sua maior parte, trazida pelos escravos negros na época do tráfico transatlântico de escravos. No Brasil a cultura africana sofreu também a influência das culturas europeia (principalmente portuguesa) e indígena, de forma que características de origem africana na cultura brasileira encontram-se em geral mescladas a outras referências culturais. Traços fortes da cultura africana podem ser encontrados hoje em variados aspectos da cultura brasileira, como a música popular, a religião, a culinária, o folclore e as festividades populares. Os estados do Maranhão, Pernambuco, Alagoas, Bahia, Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de Janeiro, São Paulo e Rio Grande do Sul foram os mais influenciados pela cultura de origem africana, tanto pela quantidade de escravos recebidos durante a época do tráfico como pela migração interna dos escravos após o fim do ciclo da cana-de-açúcar na região Nordeste. Ainda que tradicionalmente desvalorizados na época colonial e no século XIX, os aspectos da cultura brasileira de origem africana passaram por um processo de revalorização a partir do século XX que continua até os dias de hoje.

Por toda parte

EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira. Portal da cultura afro-brasileira Colombo, [20-?].

Disponível em: https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022.

Baianas em Vera Cruz (BA), 2019.

É uma seção que apresenta textos, imagens e atividades que proporcionam ao estudante maior contextualização dos assuntos explorados na Unidade. Esta seção busca estabelecer um diálogo entre tópicos de Matemática e de outras áreas do conhecimento, além de oportunizar a ampliação de repertório cultural e perceber a Matemática em variadas situações do cotidiano. Os temas e atividades desta seção possibilitam, ainda, articulações entre os Temas Contemporâneos Transversais e as competências gerais e específicas apresentadas na BNCC.

2 B A

Com a ponta-seca do compasso em qualquer ponto da circunferência, e com a mesma abertura utilizada no primeiro passo, trace uma nova circunferência.

Com a ponta-seca do compasso em um dos pontos em que as duas circunferências desenhadas se cruzam, e com a mesma abertura utilizada nos passos anteriores, trace outra circunferência.

3 B C A

4 B C A D Repita esses passos com novas circunferências até obter uma figura semelhante a esta. Depois, basta colorir. 5

Com a ponta-seca do compasso no ponto em que somente a primeira e a terceira circunferências desenhadas se cruzam, e com a mesma abertura utilizada nos passos anteriores, trace mais uma circunferência.

ILUSTRAÇÕES:EDITORIA DE ARTE Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes construam diferentes rosáceas. Eles podem, por exemplo, realizar composições inspiradas na construção apresentada na abertura. Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Utilizando um compasso, construa algumas rosáceas.

• Utilizando um software de Geometria dinâmica, elabore uma rosácea a partir da ferramenta de criar círculos. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Observe a primeira e a última imagens do processo de construção de uma rosácea. A primeira imagem é somente uma linha circular em torno do centro, e a última é composta dessa linha e de toda a região interna da figura circular. Como diferenciar matematicamente esses dois casos? No primeiro caso, trata-se de uma circunferência, e, no outro, de um círculo.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

A IMPORTÂNCIA DE POUPAR Leia, a seguir, o trecho de um texto. Ao poupar, você acumula valores financeiros no presente para serem utilizados no futuro. Os valores poupados no presente e investidos durante um, dois ou mais anos poderão fazer uma diferença significativa na qualidade de vida do poupador no futuro. Assim, são vários os motivos para poupar: precaver-se diante de situações inesperadas, preparar para aposentar-se, realizar sonhos etc. [...] Poupança e investimento [...] poupança é a diferença entre as receitas e as despesas, ou seja, entre tudo que ganhamos e tudo que gastamos. E investimento? Investimento é a aplicação dos recursos que poupamos, com a expectativa de obtermos uma remuneração por essa aplicação Você sabe a diferença entre poupança e caderneta de poupança?

A poupança é uma sobra financeira e deve ser direcionada para algum tipo de investimento para que seja remunerada. A caderneta de poupança ou conta de poupança é

um tipo de investimento. BANCO CENTRAL DO BRASIL. Caderno de Educação Financeira Gestão de Finanças Pessoais.

Brasília, DF: BCB, 2013. p. 43. Disponível em: Cuidando_do_seu_dinheiro_Gestao_de_Financas_Pessoais/caderno_cidadania_financeira.pdf.https://www.bcb.gov.br/content/cidadaniafinanceira/documentos_cidadania/ Acesso em: 25 abr. 2022.

Ao estabelecer metas e prazos, pode-se ter uma ideia de quanto é preciso guardar por mês para realizar um sonho, por exemplo. Responda no caderno.

Como você observou no texto, é muito importante planejar os gastos e poupar regularmente.

1. c) Diferença de R$ 1.815,18, que corresponde a cerca de 33,6% dos R$ 5.400,00 economizados.

1. Ricardo tem 14 anos e já está pensando no futuro: ele pretende economizar R$ 50,00 por mês. Por meio de uma função, pode-se relacionar a quantia total economizada por ele ao longo dos meses pela expressão y 50x, em que y é o total economizado, e x a quantidade de meses. Considerando essa função, responda. a) Quanto Ricardo terá economizado depois de 1 ano? R$ 600,00 b) Calcule quanto dinheiro ele terá, se guardar esse valor mensal durante nove anos. c) Qual é a diferença entre o valor obtido no item b e o valor mostrado neste gráfico, que corresponde a colocar esse dinheiro em um investimento rendendo juro em vez de simples- mente guardá-lo? Essa diferença corresponde a que percentual do total economizado?

R$ 5.400,00

Elaborado com base em: APLICAÇÃO com depósitos regulares. Banco Central do Brasil Brasília, DF, 30 maio 2022. Disponível em: https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/ exibirFormAplicacaoDepositosRegulares.do?method=exibir FormAplicacaoDepositosRegulares. Acesso em: 30

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Educação financeira

Nesta seção, os estudantes encontrarão temas como hábitos conscientes de consumo, controle de gastos, planejamento financeiro e economia. Com base em leituras e reflexões, serão incentivados a repensar ações e atitudes ligadas ao consumo e a lidar com o dinheiro.

A Arte e a Matemática têm uma relação muito próxima,

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Tratamento da informação

Nesta seção, que reúne propostas de trabalho com temas associados à probabilidade e Estatística, os estudantes encontrarão textos, gráficos, tabelas e atividades, sempre buscando a contextualização desses temas e a análise e interpretação crítica de dados e informações.

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RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2o GRAU COM UM SOFTWARE

TECNOLOGIAS

Nesta seção, você vai utilizar um software chamado de Ofi Calc, para descobrir as raízes de equações do 2  grau. É possível fazer o download gratuito desse aplicativo no site https://www.ofimega.es/oficalc/ (acesso em: 20 fev. 2022).

Além de permitir a realização de operações matemáticas básicas, esse recurso pode auxiliá-lo a conferir resoluções de equações, verificar as formas fatoradas correspondentes e fazer outras investigações, explorando as diversas ferramentas disponíveis.

1 Inicie o trabalho no Ofi Calc, clicando na aba Ferram. que disponibiliza as ferramentas do software. Depois, selecione a opção Equações – Polinómios, como indi cado na imagem.

2 Clique na opção Equação / função 2 grau e biquadrada para acessar esta janela. Na parte destacada em azul, você pode ajustar os coeficientes para definir a equação do 2 grau cujas raízes pretende descobrir.

Fórum

DA

INTERPRETANDO INFORMAÇÕES INFORMAÇÃO TRATAMENTO

O impacto da pandemia no mercado de trabalho

A pandemia da Covid-19 teve um impacto profundo no mercado de trabalho, afetando principalmente os trabalhadores com menor proteção social e baixa escolaridade. No Brasil os efeitos foram particularmente significativos, não somente em função da queda sem precedentes da população ocupada e da população economicamente ativa, mas também pelo fato de que, diferentemente de recessões anteriores, desta vez os trabalhadores informais foram mais atingidos que os formais. Em particular, embora a redução do emprego formal em 2020 tenha sido expressiva 4,2%), a queda no emprego informal foi proporcionalmente três vezes maior 12,6%). [...] Além do forte impacto negativo da pandemia no mercado de trabalho no curto prazo, estudos recentes mostram que seus efeitos também serão significativos a médio e longo prazo. [...] VELOSO, Fernando. O impacto da pandemia no mercado de trabalho. Blog do IBRE – FGV. Rio de Janeiro, 22 mar. 2021. Blogue. Disponível em:

(IBGE) realizou a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios – PNAD Covid-19. Um dos objetivos dessa pesquisa foi monitorar os impactos da pandemia no mercado de trabalho brasileiro. Os dados divulgados por essa pesquisa sobre a quantidade de pessoas ocupadas por categoria de emprego, em novembro de 2020, estão registrados a seguir.

RETOMANDO APRENDEU O

Responda às questões no caderno.

1. Observe as afirmações e verifique se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) O número 3, 8 não pertence ao conjunto dos números irracionais.

5. Qual é

Pense e responda

https://blogdoibre.fgv.br/posts/o-impacto-da-pandemia-no-mercado-de-trabalho. Acesso em: 28 maio. 2022.

Em 2020, primeiro ano da pandemia de covid-19, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

GLOSSÁRIO

Pessoa ocupada: de acordo com o IBGE, é toda pessoa que exerce atividade profissional (formal ou remuneradainformal, ou não).

Quantidade de pessoas ocupadas por categoria de emprego em novembro de 2020 Categoria de emprego Quantidade de pessoas ocupadas

V V F V F

b) O número 7 pertence ao conjunto dos números irracionais.

c) Todo número racional também é um número irracional.

d) O número 81 pertence ao conjunto dos números racionais.

e) O número 5,80 pertence ao conjunto dos números naturais.

2. A representação decimal de um número pode ser: finita, infinita e periódica ou, ainda, infinita e não periódica. Escreva qual é o caso de cada um dos números a seguir.

a) 27 6 b) 0,23 c) 2

Infinita e não periódica. Infinita e periódica. Finita.

3. Observe os números a seguir e responda às questões.

97; 3 5 ; 3 49 7 1,25 ; p

a) Alguns desses números pertencem ao conjunto dos números naturais? Quais?

Elaborada com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. PNAD

Covid-19. Trabalho desocupação, renda, afastamentos, trabalho remoto e outros efeitos da pandemia no trabalho. Rio de Janeiro, nov. 2020. Disponível em: pnad-covid/trabalho.php.https://covid19.ibge.gov.br/ Acesso em: 28 maio 2022.

Tecnologias

Seção voltada ao desenvolvimento de habilidades relacionadas ao uso de softwares na aprendizagem de Matemática. Com os tutoriais e as atividades desta seção, os estudantes aprenderão a utilizar planilhas eletrônicas, softwares de geometria dinâmica, calculadoras de raízes de equações, entre outros, e a simular situações e a analisar os resultados. Além disso, no fim de cada Volume, há uma seção direcionada às noções de programação, como um dos recursos da obra para favorecer o pensamento computacional a partir do contato com recursos tecnológicos.

Este boxe traz questões que favorecem o debate e possibilitam a troca e o compartilhamento de ideias e conhecimentos, fazendo que os estudantes pratiquem o desenvolvimento de estratégias de argumentação. As propostas podem ou não ser realizadas on-line. Caso a escola possua uma ferramenta desse tipo ou o professor opte por usar uma ferramenta de uso livre na internet, pode-se criar um grupo fechado para realizar essas propostas.

Neste boxe, serão apresentadas questões que buscam mobilizar conhecimentos e promover reflexões e/ou investigações acerca dos assuntos a serem explorados ou previamente estudados. Aqui, os estudantes terão a oportunidade de exercitar a autonomia e o raciocínio inferencial ao ter de investigar determinado tema antes de observá-lo, generalizá-lo ou sistematizá-lo.

Saiba que

Neste boxe, os estudantes encontrarão um texto objetivo que fornecerá uma dica interessante ou um recado importante para o entendimento de alguma explicação ou para a realização de uma atividade.

Glossário

b) Quais números pertencem ao conjunto dos números inteiros? c) Quais números são irracionais?

d) Quais números são reais, mas não são racionais? e) Quais números são reais, mas não são irracionais?

Sim; 49 7 97; 49 7 3 e p 3 e p 1, 25 49 7 97; 3 5

4. Escolha um número irracional e faça uma construção para representá-lo na reta numérica, identificando-o pela letra P. Em seguida, troque de caderno com um colega para que um descubra o número que o outro representou.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Retomando o que aprendeu

Nesta seção, os estudantes serão convidados a revisitar os conteúdos explorados na Unidade para que possam perceber conquistas e identificar possíveis dúvidas.

Respostas

Seção final do Livro do estudante, na qual estão todas as respostas diretas às atividades propostas. Trata-se de uma seção voltada para a consulta rápida de respostas.

Apresenta o significado de algumas palavras, auxiliando na leitura e compreensão de textos. Esses significados podem ser ampliados com o incentivo ao uso conjugado com dicionários.

Descubra mais

Boxe com indicações de ampliação do repertório e/ou aprofundamento em determinado tema, como sugestões de livros, vídeos, simuladores, podcasts, artigos etc. para os estudantes.

Um novo olhar

Possibilita aos estudantes retomar os conhecimentos explorados na abertura das Unidades e perceber, por exemplo, as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser revistas. Assim, este boxe oportuniza a autoavaliação dos estudantes, ao mesmo tempo que pode ser utilizado pelo professor como ferramenta para o mapeamento de conhecimentos desenvolvidos e a desenvolver na turma.

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QUADROS DE CONTEÚDOS

Cada um dos quatro volumes da obra é organizado em nove Unidades. O tema principal de cada Unidade está relacionado a uma ou mais Unidades temáticas da BNCC e seguem, em geral, uma ordem de progressão de conteúdos, de acordo com as etapas de aprendizagens previstas para cada um dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Entretanto, o professor tem autonomia para apresentar as Unidades na ordem que julgar mais conveniente para a realidade da turma e de acordo com as ações de planejamento de suas aulas. Por exemplo, se houver mais de uma Unidade consecutiva que trate sobre determinado tema de Números, o professor pode intercalar essas Unidades com uma Unidade, localizada adiante, relacionada a Geometria e, posteriormente, retomar o estudo de Números.

Analogamente, com relação aos conteúdos abordados em cada Unidade, o professor pode seguir a ordem sugerida ou, eventualmente, realizar a sequência de conteúdos que melhor lhe convier. Por exemplo, antes de começar a abordagem teórica proposta em determinada Unidade, o professor pode propor a leitura do texto e o debate sobre o tema de uma seção que traga uma contextualização para aquele conceito matemático a ser trabalhado. Depois da apresentação formal dos conceitos, pode-se propor aos estudantes que retomem a conversa sobre a seção estudada no início da Unidade e que realizem as atividades, analisem as respostas, validem hipóteses etc.

Portanto, o professor tem autonomia em relação aos conteúdos apresentados na coleção, podendo dispor deles, articulá-los e complementá-los de modo a potencializar a construção de conhecimentos e tornar a aprendizagem cada vez mais efetiva.

A fim de auxiliar o professor no planejamento de aulas com apoio didático desta obra, disponibilizamos quadros com a organização trimestral e bimestral de conteúdos da obra por ano, indicando a Unidade, os principais conteúdos abordados nela, além de habilidades, competências e Temas Contemporâneos Transversais da BNCC. 6o ano

Habilidades:

• Sistemas de numeração

• Sistema de Numeração Decimal

• Leitura e interpretação de tabelas e gráficos de colunas

• O conjunto dos números naturais

• Tipos de calculadora

• Operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação)

• Tabelas de dupla entrada e gráficos de barras duplas

• Aproximação e estimativa

• Expressões numéricas

• Uso da calculadora para a resolução de expressões numéricas

• Ponto, reta e plano

• Semirreta e segmento

• de reta

• Figuras geométricas

• Sólidos geométricos

• Estimativas e projeções

EF06MA01

EF06MA02

EF02MA32

Competências gerais: 1, 7 e 10

Competências específicas: 1, 2, 4, 5 e 7

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Ambiental

Habilidades:

EF06MA03

EF06MA04

EF06MA12

EF06MA14

EF06MA31

EF02MA32

Competências gerais: 4, 7, 9 e 10

Competências específicas: 3, 4 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Direitos da Criança e do Adolescente e Educação para o Consumo

Habilidades:

EF06MA17

EF06MA28

EF06MA31

Competências gerais: 1, 2, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 6, 7 e 8

Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

1. Sistemas de numeração

2. Cálculos com números naturais

Bimestre

3. Figuras geométricas

4. Múltiplos e divisores

• Critérios de divisibilidade

• Uso da calculadora para encontrar o resto de uma divisão

• Divisores e múltiplos de um número natural

• Leitura e interpretação de gráficos pictóricos

• Números primos

• Uso de planilha eletrônica na divisibilidade

Habilidades:

EF06MA04

EF06MA05

EF06MA06

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural, Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e Educação para o Trânsito

5. A forma fracionária dos números racionais

• Fração (comparação, equivalência, simplificação)

• Problemas envolvendo frações

• Adição e subtração de frações

• Forma mista

• Multiplicação com frações

• Fração e porcentagem

• Probabilidade

6. A forma decimal dos números racionais

• Número racional na forma decimal (transformações e comparação)

• Operações com números racionais na forma decimal (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação)

• Cálculo de porcentagens

• Probabilidade

• Ângulo

• Transferidor

• Uso de software para construir e medir ângulos

• Uso da planilha do LibreOffice Calc para construir gráficos

• Construção de retas paralelas e perpendiculares

Habilidades:

EF06MA07

EF06MA09

EF06MA10

EF06MA13

EF06MA15

EF06MA30

Competências gerais: 4 e 9

Competências específicas: 1, 5 e 6

Habilidades:

EF06MA01

EF06MA08

EF06MA11

EF06MA13

EF06MA30

Competências gerais: 7 e 9

Competências específicas: 3 e 6

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Financeira

Habilidades:

EF06MA16

EF06MA18

EF06MA19

EF06MA20

EF06MA21

EF06MA22

EF06MA23

EF06MA25

EF06MA26

7. Ângulos e polígonos

• Polígonos (definição, identificação e nomenclatura)

• Polígonos regulares

• Triângulos (elementos e classificação)

• Quadriláteros (elementos e classificação)

• Plano cartesiano

• Construção de polígonos no plano cartesiano

• Construção e ampliação/redução de polígonos com uso de um software

EF06MA27

EF06MA28

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

Competências gerais: 1, 2, 5, 7, 8 e 9

Competências específicas: 1, 2, 4, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação para o Trânsito, Saúde e Educação Ambiental

2 º Trimestre

º Bimestre

3 º Bimestre

3 º Trimestre

8.

• Unidades de medida de comprimento

• Transformação das unidades de medida de comprimento

• Perímetro de um polígono

• Unidades de medida de superfície

• Transformação das unidades de medida de superfície

• Medidas agrárias

• Área de figuras geométricas planas (retângulo, quadrado e triângulo retângulo)

• Gráfico de segmentos

• Medidas de massa

• Transformação das unidades de medida de massa

• Balança de dois pratos

• Medidas de tempo e de temperatura

• Medidas de volume

Habilidades:

EF06MA24

EF06MA28

EF06MA29

EF06MA31

EF06MA32

Competências gerais: 4, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 3 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Educação para o Consumo e Educação Ambiental

9.

• Transformação das unidades de volume

• Volume do bloco retangular e do cubo

• Medidas de capacidade

• Transformação das unidades de capacidade

• Pesquisa e fluxograma

7o ano

• Números naturais

• Operações com números naturais

Habilidades:

EF06MA23

EF06MA24

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais: 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9

Competências específicas: 2, 3, 4, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Saúde e Educação Alimentar e Nutricional

1. Números naturais e operações

• Divisores e múltiplos de um número natural

• Números primos

• mmc e mdc

• Gráficos de colunas triplas e de barras triplas

• Os números inteiros

• Os números negativos

• Módulo de um número inteiro

• Comparação de números inteiros

• Operações com números inteiros (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada exata)

• Expressões numéricas

Habilidades:

EF07MA01

EF07MA05

EF07MA07

EF07MA36

Competências gerais: 1, 2, 4, 6, 7 e 9

Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e Vida Familiar e Social

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA05

EF07MA06

Competências gerais: 1, 2, 3, 6, 7, 8 e 9

Competências específicas: 1, 2, 3 e 7

Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

3 º Trimestre 4 º Bimestre

Comprimento e área

Grandezas e medidas

2. O conjunto dos números inteiros

ORGANIZAÇÃO

• Simetria

• Construções feitas com uso das ferramentas de simetria do GeoGebra

• Ampliação

• Transformações no plano cartesiano

Habilidades:

EF07MA06

EF07MA19

EF07MA20

EF07MA21

Competências gerais: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural e Educação Ambiental

Habilidades:

EF07MA05

• Os números racionais

• Módulo de um número racional

• Comparação de números racionais

• Operações com números racionais nas formas decimal e de fração

• Raiz quadrada exata de números racionais

• Média aritmética

• Média aritmética ponderada

• Análise de tabelas e gráficos com números racionais negativos

EF07MA06

EF07MA07

EF07MA08

EF07MA09

EF07MA10

EF07MA11

EF07MA12

EF07MA35

Competências gerais: 2, 4 e 7

Competências específicas: 2, 3 e 6

Tema Contemporâneo Transversal: Vida Familiar e Social

Habilidades:

EF07MA05

EF07MA06

EF07MA13

• Sequências

• Expressões algébricas

• Igualdade

• Equações (conjunto universo e solução; equivalência)

EF07MA14

EF07MA15

EF07MA16

EF07MA18

e equações

• Equações do 1o grau com uma incógnita

• Equações na resolução de problemas

• Gráficos de linhas (ou de segmentos)

EF07MA36

Competências gerais: 1, 2, 3, 4, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural, Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, Educação em Direitos Humanos, Saúde e Vida Familiar e Social

1 º Trimestre

2 º Bimestre

3. Simetria e transformações geométricas

2 º Trimestre

4. O conjunto dos números racionais

5. Linguagem algébrica

• Ângulos

• Retas paralelas cortadas por uma transversal

• Investigação de propriedades de ângulos usando o GeoGebra

• Triângulos (construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos)

• Ângulos de polígonos regulares

• Circunferência

• Construções geométricas (circunferência, triângulo e polígono regular)

• Interpretação de gráfico de setores

Habilidades:

EF07MA22

EF07MA23

EF07MA24

EF07MA25

EF07MA26

EF07MA27

EF07MA28

EF07MA33

EF07MA36

EF07MA37

Competências gerais: 1, 5, 7 e 9

Competências específicas: 2, 5, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Processo de Envelhecimento, Respeito e Valorização do Idoso e Saúde

Habilidades:

EF07MA09

EF07MA17

EF07MA29

EF07MA37

• Razão

• Proporção

• Regra de três

• Construção de gráfico de setores

Competências gerais: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 4, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação para o Trânsito, Educação Alimentar e Nutricional, Saúde, Educação Ambiental e Educação para o Consumo

• Porcentagem

• Porcentagem com o uso da calculadora

• Probabilidade

• Experimento aleatório

• Média

• Amplitude

• Pesquisa estatística censitária e amostral

• Construção de gráficos usando o LibreOffice

Habilidades:

EF07MA02

EF07MA34

EF07MA35

EF07MA36

Competências gerais: 2, 5 e 7

Competências específicas: 3, 5 e 8

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Financeira

Habilidades:

EF07MA29

• Áreas de figuras geométricas planas

• Equivalência entre áreas

• Volume

EF07MA30

EF07MA31

EF07MA32

Competências gerais: 3 e 5

Competências específicas: 2 e 6

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Fiscal

2 º Trimestre

3 º Bimestre

6. Figuras geométricas planas

3 º Trimestre

7. Grandezas proporcionais

4 º Bimestre

8. Porcentagem, probabilidade e Estatística

9. Área e volume

ORGANIZAÇÃO UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE

• Operações com números racionais

• Dízima periódica

• Números reais

• Porcentagem e juro simples

• Cálculo de porcentagem usando planilha eletrônica

• Potência com expoente inteiro

• Propriedades da potenciação

• Números quadrados perfeitos

• Raiz quadrada (exata e aproximada) de um número racional não negativo e raízes enésimas

• Potência com expoente fracionário

• Leitura e interpretação de tabelas com intervalos de classes

• Ângulos

• Triângulos

• Altura, mediana e bissetriz de um triângulo

• Congruência de triângulos

• Propriedades dos triângulos

• Construção da bissetriz de um ângulo e da mediatriz de um segmento de reta

• Construção de ângulos notáveis com o GeoGebra

Habilidades:

EF08MA04

EF08MA05

EF08MA23

Competências gerais: 2, 6 e 7

Competência específica: 5

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação Ambiental e Educação para o Consumo

Habilidades:

EF08MA01

EF08MA02

EF08MA24

Competências gerais: 5, 8, 9 e10

Competências específicas: 2, 3, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia e Vida Familiar e Social

Habilidades:

EF08MA15

EF08MA17

Competências gerais: 3, 5 e 9

Competências específicas: 1, 2 e 5

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Habilidades:

EF08MA06

EF08MA10

EF08MA11

EF08MA13

• Expressões algébricas

• Valor numérico de uma expressão algébrica

• Monômio (grau, semelhança e operações)

• Polinômios (grau e operações)

EF08MA23

Competências gerais: 1, 3, 6 e 9

Competências específicas: 2, 5 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, Educação em Direitos Humanos, Educação para o Consumo e Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

5. Equações

• Equações do 1o grau com uma e com duas incógnitas

• Equação fracionária com uma incógnita

• Equações literais do 1o grau com uma incógnita

• Sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

• Equação do 2o grau

• Uso do Ofi Calc para resolver equações do tipo ax2 + c = 0

Habilidades:

EF08MA07

EF08MA08

EF08MA09

Competências gerais: 1, 2, 5 e 7

Competências específicas: 1, 2, 3, 5, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Ambiental, Educação Financeira e Educação para o Consumo

1 º Trimestre

1 º Bimestre

1. Números reais e porcentagem

2. Potências e raízes

2 º Bimestre

3. Ângulos e triângulos

2 º Trimestre

4. Expressões e cálculo algébrico

ORGANIZAÇÃO

• Polígonos e seus elementos

• Soma das medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos de um polígono convexo

• Ângulos de um polígono regular

• Construção do triângulo equilátero e do hexágono regular

• Propriedades dos quadriláteros

• Interpretação de gráficos de setores

• Transformações no plano

• Uso do GeoGebra para fazer composições envolvendo simetrias

• Contagem

• Probabilidade

• População e amostra

• Variáveis

• Média

• Moda

• Mediana

• Amplitude

• Realização de pesquisa estatística

• Construção de gráficos usando o LibreOffice Calc

• Área de figuras planas

• Volume do cubo, do bloco retangular e do cilindro

• Unidades de medida de capacidade

• Equivalência entre decímetro cúbico e litro e entre metro cúbico e litro

• Análise de gráficos

• Grandezas proporcionais e não proporcionais

Habilidades

EF08MA14

EF08MA15

EF08MA16

EF08MA18

EF08MA23

EF08MA24

Competências gerais: 5, 7 e 9

Competências específicas: 2, 4 e 5

Tema Contemporâneo Transversal: Trabalho

9.

• Velocidade média, escala, densidade de um corpo e densidade demográfica

• Grandezas diretamente proporcionais

• Grandezas inversamente proporcionais

• Regra de três simples e composta

Habilidades:

EF08MA03

EF08MA22

EF08MA23

EF08MA25

EF08MA26

EF08MA27

Competências gerais: 1, 2 e 9

Competências específicas: 1, 2, 4 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Saúde e Educação para o Trânsito

Habilidades:

EF08MA19

EF08MA20

EF08MA21

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 3, 4 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia e Educação Ambiental

Habilidades:

EF08MA12

EF08MA13

EF08MA23

Competências gerais: 1, 4 e 9

Competências específicas: 3, 5 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural, Trabalho, Ciência e Tecnologia, Educação Ambiental e Educação para o Trânsito

2 º Trimestre

3 º Bimestre

6. Polígonos e transformações no plano

3 º Trimestre

7. Contagem, probabilidade e Estatística

4 º Bimestre

8. Área, volume e capacidade

Estudo de grandezas

ORGANIZAÇÃO UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE

Habilidades:

EF09MA01

EF09MA02

• A Geometria e a descoberta do número irracional

• Os números reais

• Potências

• Notação científica

• Radicais

EF09MA03

EF09MA04

EF09MA07

EF09MA18

Competências gerais: 1 e 7

Competências específicas: 1, 2, 3, 5 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação para o Consumo e Ciência e Tecnologia

Habilidade:

EF06MA09

Competências gerais: 3, 4, 7, 8 e 9

• Produtos

• Fatoração de polinômios

Competências específicas: 2, 3, 4 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Saúde, Educação para o Consumo e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

• Equações do 2o grau com uma incógnita

• Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita

• Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita

• Equações biquadradas

• Importância da representação correta dos gráficos

• Ângulos determinados por retas transversais

• Circunferência e ângulos

• Uso do GeoGebra para verificação da relação entre ângulo inscrito e ângulo central de uma circunferência

• Segmentos proporcionais

• Feixe de retas paralelas

• Figuras semelhantes

• Triângulos semelhantes

Habilidades:

EF09MA03

EF09MA09

EF09MA21

Competências gerais: 1, 2 e 9

Competências específicas: 1, 2, 4 e 5

Tema Contemporâneo Transversal: Educação para o Consumo

Habilidades:

EF09MA10

EF09MA11

Competências gerais: 2, 3, 4 e 5

Competências específicas: 2 e 5

Habilidades:

EF09MA07

EF09MA08

EF09MA10

EF09MA12

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 2, 4 e 5

1 º Trimestre

1 º Bimestre

1. Números reais, potências e radicais

2. Produtos notáveis e fatoração

notáveis

2 º Bimestre

3. Equações do 2o grau

2 º Trimestre

4. Relações entre ângulos

5. Proporção e semelhança

6.

• Porcentagem

• Juro simples e juro composto

• Uso do LibreOffice para cálculo de juros e montantes

• Probabilidade

• Análise de gráficos

• Elaboração de pesquisa estatística

• Uso do LibreOffice para construir tabelas e gráficos estatísticos

• O teorema de Pitágoras

• Relações métricas no triângulo retângulo

• Comprimento de arco de circunferência

• Relações métricas na circunferência

• Polígonos regulares inscritos em uma circunferência

• Relações métricas nos polígonos regulares inscritos em uma circunferência

• Área de um polígono regular

• Área do círculo e de um setor circular

• Representações no plano cartesiano

• Figuras espaciais

• Projeções e vistas ortogonais

• Volume de prismas e de cilindros

• Uso do GeoGebra para representação de polígonos regulares

• Leitura e construção de gráficos de setores

Habilidades

EF09MA05

EF09MA20

EF09MA21

EF09MA22

EF09MA23

Competências gerais: 1, 2, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 4 ,5, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso, Educação Financeira e Educação Ambiental

Habilidades:

EF09MA13

EF09MA14

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 1, 2, 4 e 8

Tema Contemporâneo Transversal: Diversidade Cultural

Habilidades:

EF09MA15

EF09MA16

EF09MA17

EF09MA19

EF09MA22

Competências gerais: 1, 2, 3, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 5, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

9. Funções

• Função afim

• Função quadrática

• Uso do GeoGebra para construção dos gráficos de funções afins e funções quadráticas

Habilidades:

EF09MA06

EF09MA08

Competências gerais: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 3, 4 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Trabalho, Educação Financeira, Educação para o Consumo e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

2 º Trimestre

3 º Bimestre

Porcentagem, probabilidade e Estatística

3 º Trimestre

7. Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

4 º Bimestre

8. Figuras planas, figuras espaciais e vistas

ORIENTAÇÕES GERAIS

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA

A Matemática não reside apenas no trabalho com os números e as operações; ela vai além. Devemos considerar toda a amplitude que essa área de conhecimento pode oferecer à formação do indivíduo.

Considerando a relevância do ensino de Matemática na esfera escolar, é importante ter em mente que:

O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 265. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Desse modo, durante o estudo da Matemática, há uma série de habilidades que podem ser desenvolvidas visando capacitar os estudantes a mobilizar as aprendizagens e a solucionar problemas do cotidiano.

O aprendizado durante esse processo certamente servirá aos estudantes de exercício para o desempenho de seu papel como cidadãos em interação com o mundo que os cerca; afinal, não queremos formar pessoas que apenas saibam, mas que, com seus conhecimentos, possam estabelecer relações com o mundo ao seu redor e fazer intervenções e modificações em seu ambiente de maneira consciente, responsável e eficiente.

Podemos dizer que compreender Matemática é uma tarefa ampla e repleta de variáveis. Quando estamos diante da aprendizagem de um novo conceito, precisamos formular nossas hipóteses, planejar a maneira de resolver determinado problema, confrontar nossas respostas ou hipóteses com as dos outros, antecipar e validar resoluções. Portanto, entre as várias habilidades que são adquiridas ao desenvolver os conhecimentos matemáticos, podemos destacar o raciocínio lógico-dedutivo, que tem papel primordial na formação do sujeito. Todo esse percurso faz acontecer uma aprendizagem mais significativa e abrangente.

A possibilidade de analisar vários modos de resolver determinados problemas e de confrontar e validar hipóteses também propicia uma aprendizagem que extrapola o ensino de Matemática, culminando na formação de um indivíduo mais atuante na sociedade, que se relaciona com grupos e que enfrenta situações-problema buscando soluções, e não se inibindo diante de questões complexas.

Além do raciocínio lógico, merece destaque o trabalho que envolve processos mentais básicos como as noções de correspondência, comparação, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação. Esses processos mentais podem ser desenvolvidos com base nas atividades da exploração matemática e contribuem para que os estudantes se tornem capazes de solucionar situações do cotidiano utilizando os conceitos, as diferentes maneiras de proceder e a antecipação de resultados.

Temos assistido, no desenvolvimento de pesquisas em Educação Matemática, a uma forte conexão entre tendências que contextualizam os objetos matemáticos – como modelagem, resolução de problemas, interdisciplinaridade, metodologias ativas e uso de tecnologias digitais – e as justificativas educacionais que sustentam essa conexão, a tal ponto que se torna difícil efetuar, por exemplo, a modelagem matemática aplicada ao ensino de Matemática sem tangenciar outra tendência, e a modelagem matemática torna-se fator de geração de problemas que vão sendo gerenciados por uma ou outra tendência. (MALHEIROS, 2012).

A seguir, apresentaremos algumas ideias acerca dessas tendências e de outros conceitos relentes em relação ao ensino de Matemática.

Letramento matemático

A perspectiva de que todos podem aprender Matemática tem sido um pressuposto dos estudos realizados por educadores matemáticos na busca pelo melhor preparo dos estudantes para viverem e atuarem de modo crítico, solidário e participativo na sociedade contemporânea, visto que é incontestável a presença, cada vez mais significativa, da Matemática no dia a dia. Esse pressuposto também está presente nos documentos oficiais que normatizam a educação brasileira. Entretanto, esse tipo de afirmação gera uma questão importante a ser respondida pelos professores dessa área: O que significa saber Matemática nessa perspectiva?

Ao apresentar a área de Matemática e suas Tecnologias, a BNCC destaca que:

O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático, definido como as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 266. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 10 jul. 2022.

Essa definição de letramento matemático vem acompanhada da seguinte referência:

Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.”.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 266 (nota de rodapé). Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 10 jul. 2022.

A referência ao Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) ocorre por ter sido essa avaliação, que se realiza em âmbito mundial, a cada três anos a partir do ano 2000, que colocou em evidência esse modo de expressar o conhecimento matemático que se espera que jovens de 15 anos apresentem, tendo em vista sua inserção social, cultural e no mundo do trabalho.

Desse modo, ensinar e aprender Matemática não se trata mais de o professor apenas apresentar procedimentos de cálculo, de como resolver equações ou questões de geometria, de como fazer o gráfico de uma função, entre outros, para que os estudantes repitam e repitam ao resolver longas listas de exercícios para apenas decorar o procedimento a ser realizado.

A construção do letramento matemático dos estudantes exige outra postura, tanto do professor como dos estudantes, diante das situações a serem vivenciadas na sala de aula ou fora dela. Para o professor, trata-se de assumir que há necessidade de criar um ambiente de aprendizagem que possibilite aos estudantes sentirem-se à vontade e com tempo para pensar, colocar questões, explorar suas ideias e exprimi-las.

Nesse ambiente, deve ser possível para o professor compreender como os estudantes estão pensando, favorecendo a formulação de questões ou pedidos de explicações para poder acompanhar a utilização das representações matemáticas

e verificar como se expressam sobre elas e, ainda, conferir os recursos que usam para construir sua argumentação. Para os estudantes, trata-se da tomada de consciência de que aprender Matemática significa raciocinar, representar, comunicar-se e argumentar matematicamente e que essas são ações que devem ser realizadas cotidianamente para que se tornem cidadãos críticos, conscientes e capazes de tomadas de decisão bem fundamentadas. Assim, é necessário que ambos, professor e estudante, reconheçam características que podem ser observadas para a avaliação de que o letramento matemático está sendo desenvolvido, apresentadas a seguir.

• Raciocinar: envolve processos de pensamento logicamente encadeados, que exploram e vinculam elementos a partir dos quais é possível realizar inferências, verificar uma dada justificativa, ou fornecer uma justificativa sobre uma afirmação ou sobre soluções alcançadas. É importante considerar ainda que raciocinar matematicamente inclui processos intuitivos, a formulação de novas ideias e a obtenção e validação de conclusões. Segundo D’Ambrosio (2005, p. 30): “As ideias matemáticas, particularmente comparar, classificar, quantificar, medir, explicar, generalizar, inferir e, de algum modo, avaliar, são formas de pensar, presentes em toda a espécie humana.”.

• Representar: utilização de diferentes registros (gráficos, tabelas, diagramas, figuras, equações, fórmulas, materiais concretos) para expressar objetos matemáticos, identificando a possibilidade de transitar de um para o outro de acordo com a necessidade.

• Comunicar: se expressa em ações de leitura, decodificação, interpretações de afirmações, descrição e modelagem matemática de um problema que inicialmente esteja em outra linguagem e quando os estudantes são levados a apresentar a solução ou explicação de determinada situação desafiadora.

• Argumentar matematicamente: processo que se dá pela utilização de conceitos, ideias e entes matemáticos na busca de exercer uma comunicação eficaz e eficiente na aula de Matemática e que deve se aproximar da existente na comunidade matemática. Segundo Grácio (1992), a argumentação envolve simultaneamente a “capacidade de dialogar, de pensar, de optar e de se comprometer” (p. 67). O diálogo promove uma atitude de abertura nas relações com o outro, no momento da comunicação e na disposição para ouvir. O pensar remete a uma atitude crítica e de atenção. A opção traz o comprometimento aliado a uma tomada de decisão para assumir determinada posição em relação a um tema dado.

É possível perceber que os elementos que caracterizam o letramento matemático se entrelaçam e se complementam para uma aprendizagem mais significativa, contribuindo para a construção de uma imagem da Matemática que ultrapassa a do senso e do sentimento comuns de que é uma área de difícil compreensão para muitos, colaborando para o entendimento de que todos podem aprender Matemática.

No trabalho com as propostas desse livro, são várias as oportunidades de o professor acompanhar o desenvolvimento do letramento matemático dos estudantes.

É importante propor discussões sobre as respostas dadas às questões para que os estudantes expressem como pensaram para responder e que relações estabeleceram com as soluções apresentadas anteriormente. Essas relações vão evidenciar como lidaram com a representação usada na resolução dos problemas e como realizaram a leitura, decodificação e interpretação do exposto. Ao apresentarem sua conclusão sobre a questão e defenderem essa tomada de decisão, estão utilizando as capacidades de comunicação e argumentação.

Inferência

A concepção de inferência é amplamente tratada na área de Linguagens por sua importância para os estudos relacionados com a compreensão de textos. No entanto, essa compreensão também é fundamental para os textos matemáticos, apresentados em seus diferentes registros (numérico, algébrico, geométrico, estatístico). Vamos, então, partir de uma concepção geral de inferência para chegar a aspectos mais específicos do raciocínio inferencial em Matemática.

Segundo Santos (2008), há diferentes concepções de inferência por parte de vários autores, mas todas trazem duas características básicas: o acréscimo de informação ao texto e a conexão de partes do texto com o objetivo de preencher lacunas de sentido. A partir dessas características e de suas considerações, essa autora define inferência como “o resultado de uma estratégia cognitiva cujo produto final é a obtenção de uma informação que não está totalmente explícita no texto.” (SANTOS, 2008, p. 65). Portanto, fazer uma inferência significa identificar a presença de informação suplementar não totalmente explicitada no texto.

A inferência está presente no letramento matemático como uma ação inerente ao raciocinar, sendo essencial na tomada de decisão em situações-problema. É ela também que dá suporte ao exercício de criar justificativas lógicas e coerentes na construção de uma argumentação, ou seja, é o uso de informações existentes, de modo explícito ou não, para chegar a novas conclusões.

A realização de inferências em Matemática pode ter um caráter lógico ou pode estar vinculada a processos intuitivos que levam à caracterização de quatro tipos de inferência: indução, dedução, abdução e raciocínio por analogia.

A inferência indutiva está associada a processos de observação a partir do qual são desenvolvidas conjecturas, chegando a um processo de generalização, que indicam uma propriedade, um conceito ou uma ideia de determinado objeto matemático, mas que devem necessariamente ser testadas. É um movimento de análise que se desenvolve do particular para o geral. Esse tipo de inferência é bastante incentivado pelas atividades dos livros desta coleção em propostas para o desenvolvimento do pensamento algébrico, nas quais os estudantes são chamados, por exemplo, a analisar sequências numéricas ou geométricas para escreverem ou obterem um termo qualquer dessa sequência ou uma sentença algébrica que represente todos os seus elementos.

A inferência dedutiva diferencia-se da indutiva por usar a lógica como ferramenta argumentativa, e não a experiência e a observação, desenvolvida do geral para o particular, com uma conclusão necessária e com um papel de validação de conhecimento. As características centrais dessa inferência são a relação necessária entre as premissas e a conclusão e a validade universal da conclusão, desde que a cadeia de deduções esteja isenta de erros. Essa inferência é a mais característica da Matemática; assim, toda vez que o livro tratar da demonstração de alguma propriedade, fórmula ou teorema está sendo desenvolvido esse modo de pensar, e é essencial que o professor chame a atenção dos estudantes sobre essa estruturação formal de encadear asserções de forma lógica e justificar esse encadeamento presente nas demonstrações dedutivas.

A inferência abdutiva é um processo de procura por princípios, explicações ou hipóteses a partir da observação de algo intrigante. Ao contrário da dedução, que parte das hipóteses para verificar que as conclusões são verdadeiras, a abdução parte de uma suposta verdade para encontrar algumas hipóteses das quais ela possa ser deduzida. A criação de hipóteses favoráveis nos leva a investigar a situação e, assim, podemos descobrir fatos novos. O esquema geral da abdução consiste na identificação de uma evidência (um fato ou conjunto de fatos), na apresentação de hipóteses alternativas para explicar tal evidência, seguida de uma avaliação da pertinência e adequação dessas explicações. A hipótese que for considerada a que fornece melhor explicação é tomada como provavelmente verdadeira e assumida como a conclusão da inferência. A procura de explicações a respeito de observações feitas é um processo muito rico na construção do conhecimento e proporciona aos estudantes uma aprendizagem significativa. Esse tipo de inferência é de grande importância para a construção de um pensamento crítico, apoiado em fatos, tendo em vista uma explicação e uma conclusão plausíveis.

O raciocínio por analogia, de acordo com Polya (1954), está estreitamente relacionado com a indução, pois também está ligado à observação e determinação de uma semelhança, mas de nível mais conceitual. Por exemplo, quando pensamos na semelhança entre as propriedades da adição e da multiplicação podemos tomá-las como dois sistemas análogos, ou, ainda, quando fazemos alguma modificação em uma figura geométrica para reconhecer nela uma figura conhecida, estamos buscando situações que possam ser tratadas como análogas.

A identificação dessas diferentes maneiras de agir diante de situações matemáticas põe em relevo que processos intuitivos são válidos em Matemática e são geradores de novas ideias e podem ser utilizados para a obtenção e validação de conclusões.

Argumentação

A formação integral que se pretende para os estudantes, proposta pela BNCC, traz como pressuposto o desenvolvimento de competências e, entre elas, “[...] saber lidar com a informação cada vez mais disponível, atuar com discernimento e responsabilidade nos contextos das culturas digitais, aplicar conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia para tomar decisões, ser proativo para identificar os dados de uma situação e buscar soluções [...].” (BNCC, 2018, p. 14) Para que esse desenvolvimento ocorra é necessário que se promova ao longo das aulas a constituição do pensamento crítico dos estudantes.

O pensamento crítico possibilita considerar situações, informações ou atitudes de maneira analítica e racional. Isso envolve entender as origens, as motivações, a coerência, os objetivos e a validade de argumentos para a construção de posicionamentos. Diariamente, precisamos recorrer a esse tipo de pensamento para avaliar se devemos nos convencer da verdade de uma afirmação ou de que o argumento que nos é apresentado é consistente. Também é esse tipo de pensamento que nos permite formular bons argumentos para comunicar e defender nossa posição diante de determinada situação. Em essência, pensar criticamente é saber avaliar e formular uma argumentação. Mas o que é argumentação? Como promover esse desenvolvimento nas aulas?

A teoria da argumentação, em seus primórdios entre os filósofos gregos, estava ligada ao estudo da retórica e da poética, entendidas como a arte de falar bem e escrever belos discursos. Entretanto, com Aristóteles, considerado o pai da teoria da argumentação, amplia-se essa visão. Para ele, ciência, sabedoria, arte, dialética e retórica são formas de racionalidade, dotadas de diferentes graus de exatidão, de rigor ou de precisão, mas todas igualmente caracterizadas pelo argumentar.

Atualmente, defende-se a ideia de que a prática argumentativa está presente em todos os campos da esfera humana e que a argumentação é imprescindível à construção do conhecimento.

Para Japiassú e Marcondes (2001), a argumentação é um

Modo de apresentar e de dispor os argumentos, vale dizer, os raciocínios destinados a provar ou a refutar determinada proposição, um ponto de vista ou uma tese qualquer. Seu objetivo é o de convencer ou persuadir, mostrando que todos os argumentos utilizados tendem para uma única conclusão.

ARGUMENTAÇÃO. In: JAPIASSÚ, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de Filosofia. 3. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2001. p. 17. Disponível em: http://raycydio.yolasite.com/resources/dicionario_de_filosofia_japiassu.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Para Carnielli e Epstein (2011), um argumento deve ser expresso em uma linguagem clara e direta, por meio de frases chamadas declarativas, de modo que possam ser classificadas em verdadeiras ou falsas e a argumentação é uma

[…] coleção de afirmações, uma das quais se chama “conclusão” e cuja verdade procura-se estabelecer; as outras afirmações chamam-se “premissas”, e estas afirmações pretendem conduzir à conclusão (ou apoiá-la, ou persuadir-nos da sua verdade).

CARNIELLI, Walter Alexandre; EPSTEIN, Richard L. Pensamento crítico: o poder da lógica e da argumentação. 3. ed. São Paulo: Rideel, 2011. p. 8.

O lugar que a argumentação ocupa hoje na escola explicita sua importância para a estruturação e formação do indivíduo, pois ela reflete a liberdade de reflexão e de ação com objetivo democrático, o que leva a pensá-la não apenas do ângulo intelectual mas também do social e do ético.

Ao considerarmos que um dos pilares da construção da Matemática como ciência está em seu processo argumentativo, o qual se consolida nas demonstrações de propriedades e teoremas que, dessa maneira, se tornam verdades a serem utilizadas em diferentes situações, tanto reais como internas à própria área, não se pode deixar de desenvolver nos estudantes a capacidade argumentativa. Ela é tão significativa para essa área que é um dos elementos constitutivos do letramento matemático.

A partir das contribuições da Filosofia e da Educação Matemática, podemos nos aprofundar na valorização do pensamento voltado à explicação e justificação das ações executadas, tendo em vista a construção de significados para conceitos, propriedades e procedimentos matemáticos. A recente valorização de atividades de argumentação nas aulas de Matemática também tem a intenção de encontrar caminhos facilitadores para a aprendizagem de demonstrações. As demonstrações têm um grande poder explicativo na Matemática, e, a princípio, os estudantes podem não reconhecer essa característica e podem também não encontrar sentido nos raciocínios demonstrativos. Para que as demonstrações exerçam seu papel como modo último de justificação matemática, é preciso que os estudantes estejam familiarizados

com padrões de argumentação matemática. As propostas para essa realização apoiam-se na criação e na manutenção de ambientes de aprendizagem que apoiem o fazer Matemática e o falar sobre esse fazer, procurando justificar suas ações.

Na exploração dos livros da coleção, há várias oportunidades para o fazer e o falar sobre Matemática, favorecendo o desenvolvimento da argumentação. Nas aberturas das Unidades, sempre há desafios e novas descobertas a serem feitas; na seção Pense e responda, os estudantes são chamados a usar estratégias próprias e investigativas para as soluções; no boxe Fórum, os estudantes podem expressar entendimentos e exercitar a capacidade argumentativa ao defender ideias nos debates propostos; na seção Retomando o que aprendeu, há a oportunidade de solicitar a eles que expliquem as estratégias de resolução das questões.

No entanto, é preciso lembrar-se de que essas argumentações surgem durante as interações da aula, quando, no decorrer da ação, o professor provoca a turma a justificar estratégias, o uso de determinados procedimentos, que expliquem aos colegas como estão pensando e porque pensaram desse modo. Nessas conversas, é interessante que sejam usados pelo professor termos como argumento, conjectura, plausibilidade da conjectura, inferência, contraexemplo, justificativa e prova matemática para que os estudantes se familiarizem com tais termos e passem a reconhecê-los como parte do conhecimento matemático em construção.

Outro aspecto importante a ser considerado é o da contribuição dos processos argumentativos na elaboração de inferências apoiadas nas relações lógicas que podem ser estabelecidas entre os argumentos, explorando o uso da estrutura condicional “se..., então...”. O pensamento computacional também pode ser acionado, estabelecendo um paralelo no modo de pensar sobre a organização encadeada dos argumentos para se chegar à conclusão e às etapas a serem construídas e seu encadeamento lógico para a solução computacional de uma situação.

O fundamental a se considerar é que “[…] compreender as bases da argumentação correta e do pensamento límpido nos possibilita aproximar da verdade e da justiça, e compreendemos que só quem é realmente incapaz de argumentar bem pode acreditar que maus argumentos produziriam bons resultados.” (CARNIELLI; EPSTEIN, 2011, p. XIV).

Pensamento computacional

Os desafios a serem enfrentados pela humanidade no século XXI têm sido foco de muitas discussões por diferentes órgãos políticos, sociais e educacionais desde o final do século passado e se mantêm até hoje. A capacidade de comunicação e de estabelecer relacionamentos que exige pensar no uso das tecnologias para superar desigualdades e para construir ambientes públicos de direito; as alterações profundas no mundo do trabalho que exigem o domínio de ferramentas digitais e de programas básicos de computação para a maioria dos trabalhadores, as questões éticas e sociais envolvidas no desenvolvimento e uso da inteligência artificial (IA) são apenas alguns exemplos desses desafios. Um dos pontos-chave dessas discussões é a função essencial da educação pela relevância do desenvolvimento da capacidade de agir e pensar de modo criativo e crítico, apoiado pelo conhecimento das diferentes áreas e dos fundamentos da computação aplicados em cada uma dessas áreas. Esses são elementos balizadores para a construção das competências e habilidades dos estudantes tendo em vista a participação deles como cidadãos críticos, conscientes e protagonistas no desenvolvimento da sociedade.

A Unesco, em seu relatório sobre a Educação para a Cidadania Global – preparando alunos para os desafios do século XXI, destaca que:

Em um mundo globalizado, a educação vem enfatizando a importância de equipar indivíduos desde cedo e por toda a vida, com conhecimentos, habilidades, atitudes e comportamentos de que necessitam para serem cidadãos informados, engajados e com empatia. Com essa interconectividade cada vez maior, por exemplo, por meio de TIC e […] redes sociais, as oportunidades para respostas de colaboração, cooperação, aprendizagem compartilhada e coletivas têm aumentado.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Educação para a cidadania global – preparando alunos para os desafios do século XXI. Brasília, DF: Unesco, 2015, p. 11. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000234311/PDF/234311por.pdf.multi. Acesso em: 16 jul. 2022.

O pensamento computacional não se refere apenas à computação. Ele parte da mente humana e da capacidade de realizar conexões e resolver problemas de maneira eficiente.

A presença da tecnologia no cotidiano pode ser notada não só para a comunicação, uma vez que

[…] praticamente todos os serviços essenciais da nossa sociedade – dos utensílios do lar às atividades laborais, na saúde, na agricultura, nos automóveis e na crescente automação que vem trazendo enormes desafios sociais e econômicos. Majoritariamente, a informação que a humanidade possui e utiliza contemporaneamente está armazenada digitalmente. O mundo é cada vez mais dependente de tecnologias digitais.

BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: CNE, 2021. p. 8. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=182481 -texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-educacao-basica&category_slug=abril-2021 -pdf&Itemid=30192. Acesso em: 16 jul. 2022.

Essas considerações iniciais colocam em relevo a necessidade de a educação escolar incorporar em sua prática discussões e propostas variadas em que se apresentem elementos da Ciência da Computação, tendo em vista o desenvolvimento do Pensamento computacional que

[…] refere-se à habilidade de compreender, analisar, definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções de forma metódica e sistemática, através do desenvolvimento da capacidade de criar e adaptar algoritmos, aplicando fundamentos da computação para alavancar e aprimorar a aprendizagem e o pensamento criativo e crítico nas diversas áreas do conhecimento.

BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Normas sobre Computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: CNE, 2021. p. 10. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=182481 -texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-educacao-basica&category_slug=abril-2021 -pdf&Itemid=30192. Acesso em: 16 jul. 2022.

No Brasil, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), em seus pressupostos quanto à educação integral dos estudantes, que “se refere à construção intencional de processos educativos que promovam aprendizagens sintonizadas com as necessidades, as possibilidades e os interesses dos estudantes e, também, com os desafios da sociedade contemporânea” (BNCC, p. 14), expressa a preocupação com uma formação escolar que conecte os jovens a essa realidade mundial e os engaje nela. Para isso, é importante evidenciar a importância de os professores do Ensino Fundamental tratarem do desenvolvimento de competências e habilidades dos estudantes que permitirão a eles não se intimidarem diante das novas tecnologias e do uso de recursos computacionais nos ambientes de estudo e, futuramente, de trabalho. No entanto, uma questão se interpõe a esse fato: Como isso pode ser feito se a maioria dos docentes não têm formação específica em computação?

Uma resposta pode ser encontrada quando comparamos as competências e habilidades descritas para Matemática e os elementos básicos do Letramento Matemático com as habilidades fundamentais da era da computação – “pensamento crítico, resolução de problemas, criatividade, ética/responsabilidade, colaboração” (Brasil, 2021, p. 8) e o conceito de pensamento computacional, propostos no documento Normas sobre Computação na Educação Básica (CNE). Dessa comparação, é possível concluirmos que o desenvolvimento do pensamento computacional pode ser feito com o letramento matemático, uma vez que, para ambos, raciocinar, representar, comunicar e argumentar são indispensáveis. Essa possibilidade de abordagem do pensamento computacional e o do letramento matemático aparece de modo explícito na seção Tecnologias, presente em diversos momentos nos livros desta coleção. Essa seção propicia discussões sobre os softwares utilizados e seus recursos, além da apresentação de noções de programação, totalmente pertinentes e de interesse tanto do ponto de vista dos resultados matemáticos a serem obtidos e de seu significado, como do ponto de vista do pensamento computacional identificando a adaptação de algoritmos de uso matemático utilizados em um software ou aplicativo. Há, ainda, outra possibilidade para esse trabalho conjunto – a resolução de problemas.

A resolução de problemas é um dos momentos mais propícios para abordar as relações entre o pensamento matemático e o pensamento computacional, sendo que este tem muito a contribuir para o desenvolvimento daquele. No entanto, cabe ao professor promover discussões com os estudantes, nas quais sejam apresentadas algumas etapas utilizadas em processos computacionais para a resolução de problemas que também são interessantes de serem aplicadas em situações rotineiras de aula.

O Centro de Inovação para a Educação Brasileira (CIEB), em seu documento Currículo de Referência em Tecnologia e Computação (CIEB, 2019), destaca que a resolução de problemas computacionais apresenta as etapas a seguir.

• Decomposição: realiza-se a análise de um problema com o intuito de identificar partes que podem ser separadas, para tornar mais simples a solução de cada uma delas, e de que modo podem ser reconstruídas para a descoberta de uma solução para um problema mais complexo.

• Reconhecimento de padrões: tem um viés um pouco diferente do utilizado na Álgebra, pois está voltado para a identificação de características comuns entre as soluções das partes em que o problema foi decomposto que permita a utilização do mesmo processo ou o reconhecimento de similaridades com outros problemas resolvidos.

• Algoritmo: trata-se de uma sequência de passos, ou seja, conjunto de instruções precisas, ordenadas e necessárias para solucionar um problema, como em Matemática.

• Abstração: refere-se à generalização de padrões e sua classificação, destacando as informações necessárias e organizando-as em estruturas que possam auxiliar na resolução de novos problemas, também se aproximando do movimento de generalização usado em Matemática.

Essa abordagem do pensamento computacional possibilita aos estudantes criarem uma estrutura e um processo de sistematização para analisar uma situação-problema, mobilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas, que nos permitem afirmar que o pensamento computacional pode ser visto como um suporte analítico para o pensamento matemático com o estabelecimento de maneiras de como um problema pode ser abordado na busca da solução.

Comunicação nas aulas de Matemática

Na escola, todos os dias os estudantes convivem com os colegas, professores e demais componentes da comunidade escolar, e esse processo de interação é de grande importância. Não podemos deixar de mencionar a relevância da comunicação, incluindo as aulas de Matemática.

Os estudantes precisam ser estimulados a se expressar de diferentes modos, por exemplo, falar, ouvir, registrar por escrito, atuar por meio de manifestações artísticas, entre outras, de tal maneira que possam compartilhar vivências, conhecimentos, dúvidas ou hipóteses, conjecturas etc.

Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 9. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Falar sobre o que está pensando, os caminhos percorridos, os sentimentos despertados durante as aulas e as estratégias utilizadas em cada situação pode auxiliar não apenas o próprio estudante a reelaborar e organizar seu raciocínio e processo de aprendizagem como também favorecer os demais colegas a validar hipóteses ou a compreender por que pensam de modo diferente ou utilizam estratégias distintas.

Nesse processo de socialização, os estudantes são estimulados a desenvolver diferentes habilidades e competências, incluindo as socioemocionais, ao se relacionar com um ou mais colegas de maneira respeitosa e responsável.

Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 10. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Vale destacar, ainda, a importância do desenvolvimento da leitura e da análise de textos matemáticos.

Nas aulas de Matemática, é fundamental que os estudantes sejam incentivados a se familiarizar com o vocabulário, a linguagem e as construções próprias dessa ciência. Além de conhecer termos e símbolos, é importante que consigam articulá-los e analisar criticamente um texto matemático, por exemplo, avaliar a razoabilidade de um resultado, validar ou refutar hipóteses na investigação de situações-problema ou para interpretar uma notícia com dados estatísticos.

Nesse sentido, o desenvolvimento de habilidades, como o raciocínio inferencial e argumentativo e o pensamento computacional, torna-se ferramenta indispensável para uma comunicação eficiente nas aulas de Matemática. À medida que os estudantes desenvolvem a capacidade de elaborar hipóteses, conjecturar, defender ideias e organizar etapas de pensamento, tornam-se aptos a comunicar resultados e entendimentos a respeito dos mais diversos temas, incluindo aqueles de caráter matemático, científico e do cotidiano de modo geral.

Modelagem

Modelagem matemática, em linhas gerais, pode ser entendida como a criação de um modelo, com base em um conjunto de modificações e/ou adaptações de uma estrutura matemática já existente, para solucionar uma dada situação-problema.

Para melhor compreender o significado da modelagem no contexto do ensino e da aprendizagem da Matemática, será preciso recuperar esse conceito no contexto da aplicabilidade da Matemática, aquela exercida por profissionais das mais diversas áreas do conhecimento humano.

Segundo Bean (2001), ao falarmos das raízes da aplicabilidade da Matemática, temos em mente situações-problema complexas e não bem definidas encontradas nas indústrias, no setor da saúde e no meio ambiente, entre outras áreas. Para encaminhamento de uma solução ou de uma melhor compreensão do que ocorre e precisa ser solucionado, será necessário que o profissional responsável crie ou pelo menos modifique modelos matemáticos já existentes, definindo parâmetros, características e relações entre eles.

[…] As características e relações, extraídas de hipóteses e aproximações simplificadoras, são traduzidas em termos matemáticos (o modelo), nos quais a matemática reflete a situação do problema. Durante e depois da criação do modelo, o profissional verifica a coerência da matemática e a validade do modelo no contexto do problema original. […]

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 51, 2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr/article/view/1689/1182. Acesso em: 7 jul. 2022.

Ainda de acordo com esse autor, uma transferência do método da modelagem vem sendo implantada na Matemática desenvolvida nas escolas a fim de dar respostas às dimensões socioculturais da educação e ao baixo desenvolvimento dos estudantes em Matemática.

Essa transferência de método se dá com apoio na resolução de problemas aplicados, os quais tratam de questões de relevância que motivem os estudantes a buscar soluções.

Esse autor estudou dissertações e teses de Educação Matemática e afirma que delas surgem duas abordagens: a modelagem como uma metodologia de problematização e a modelagem como aprendizagem baseada em problemas. As duas pretendem enfocar situações de interesse dos estudantes. A primeira problematiza uma situação dada, não bem definida, e é intitulada modelagem; e a segunda, chamada modelação, trabalha uma situação dada já em forma de situação-problema relacionada ao conteúdo a ser ministrado.

Bean (2001) salienta ainda que a modelagem difere da resolução de problemas quando a situação não for bem definida, tal qual proposto por Polya, que será abordado posteriormente nestas Orientações. Para Bean (2001),

A essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáticos (o modelo). As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado por esse processo é sempre aberto a críticas e ao aperfeiçoamento.

[…]

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 53, 2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr/article/view/1689/1182. Acesso em: 7 jul. 2022.

Sem dúvida, uma vez que o modelo esteja formatado, há de se querer chegar a um resultado, solucionando-o. Daí a aproximação e o afastamento das metodologias – resolução de problemas, modelagem ou modelação – como propostas de ensino da Matemática.

A resolução de problemas, na maioria dos casos, não envolve hipóteses e aproximações simplificadoras na criação de modelos. O problema dado já é bem definido. E, talvez, por causa das diferenças citadas é que a resolução de problemas se torna uma metodologia que costuma ser mais indicada para o Ensino Fundamental de Matemática do que a modelagem matemática e a modelação matemática, que têm sua maior projeção no Ensino Superior.

Resolução de problemas

Muito já se pesquisou desde a apresentação das quatro etapas para se chegar à solução de um problema descritas por Polya, em seu livro intitulado How to Solve It, cuja primeira edição data de 1945. A tendência da Educação Matemática por resolução de problemas avança hoje para além das fronteiras de um método de resolução e passa a ser desenvolvida como uma perspectiva metodológica para o ensino de Matemática.

Onuchic (1999) traz uma retrospectiva do desenvolvimento dessa tendência, evidenciando o trabalho realizado por Schroeder e Lester (1989), que aponta para diferentes modos de abordá-la. De acordo com essa perspectiva, pode-se adotar uma atitude educativa que corresponda a ensinar resolução de problemas. Nessa abordagem, os modelos de

resoluções constituem o foco da atividade. Pode-se, por outro lado, ensinar a resolver problemas; o foco, nesse caso, é concentrar-se no ensino de Matemática e no que dela pode ser aplicado na solução de problemas rotineiros ou não; e, por último, pode-se assumir uma conduta de ensinar Matemática por meio da resolução de problemas, na qual

[...] os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas também, como um primeiro passo para se fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. [...], deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar símbolos).

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. p. 207.

Para Onuchic, essa abordagem é a mais coerente com as indicações apresentadas nos PCN, e estende-se aqui essa coerência à BNCC, pela qual se espera que os estudantes “desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações” (BNCC, 2018, p. 265). Onuchic afirma ainda que nessa abordagem “o aluno tanto aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas” (1999, p. 210-211).

Segundo Onuchic e Allevato (2009), durante a aplicação da metodologia surgem sempre oportunidades para avaliar a compreensão dos estudantes dos conceitos que envolvem o problema proposto, possibilitando ao professor perceber o crescimento do conhecimento matemático deles, o que faz a aplicação do método ser um momento de ensino-aprendizagem-avaliação.

Onuchic (1999) alerta para a importância da ação e formação do professor ao aplicar essa metodologia.

[...] vale ressaltar que o sucesso da operacionalização proposta depende, em grande parte, dos professores que irão implementá-la nas salas de aula e de como serão formados esses profissionais nessa perspectiva de trabalho.

ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. p. 212.

Embora não haja uma maneira rígida de ensinar por meio da resolução de problemas, passaremos a descrever sucintamente um roteiro metodológico que poderá ser desenvolvido com base em situações-problema propostas em cada volume da obra.

Estudante resolvendo um problema na lousa.

O roteiro apresentado por Onuchic e Allevato (2011) pode ser dividido nas seguintes etapas.

Preparação do problema: nesta primeira etapa, vale ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não foi trabalhado anteriormente com os estudantes. A ideia é que eles mobilizem os conhecimentos que possuem para, a partir disso, construir novos conhecimentos necessários para a resolução.

Leitura do problema: é a etapa em que se promove uma leitura individual do problema, seguida de uma leitura em conjunto, a fim de propiciar esclarecimento de eventuais dúvidas.

Plenária: para esta etapa, são convidados todos os estudantes para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, defenderem seus pontos de vista e esclarecerem as dúvidas. Nesse processo, o professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os estudantes.

Resolução do problema: com base no entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os estudantes, em grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolver o problema.

Busca do consenso: depois de sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a turma, chegar a um consenso sobre o resultado correto.

Observar e incentivar: nesta etapa, o professor se torna um mediador e, portanto, não tem mais o papel de transmissor do conhecimento.

Formalização do conteúdo: nesse momento, denominado formalização, o professor registra na lousa uma apresentação formal – organizada e estruturada em linguagem matemática –, padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos por meio da resolução do problema.

Registro das resoluções na lousa: representantes dos grupos são convidados a registrar e socializar, na lousa, suas resoluções, independentemente de estarem certas ou erradas.

Metodologias ativas

São os estudantes que aprendem. Essa afirmação, tão comentada em debates sobre educação, traz consigo uma concepção do processo de ensino e aprendizagem que, apesar de não ser nova, ainda se apresenta como um desafio às escolas: cada estudante é único e deve ser o motivo, o autor e o protagonista de seu processo de aprendizagem.

Se o principal objetivo da educação é fazer que os estudantes construam conhecimento, que se apropriem de aprendizagens consideradas essenciais e, mais importante, que se tornem competentes em aprender – para que possam fazer isso mesmo quando não estiverem mais no ambiente escolar – a escola é, portanto, para eles e feita deles e por eles. Nesse caso, podemos dizer que são os autores e atores principais.

Os estudantes são os a(u)tores principais do processo porque é deles que devem vir as demandas, o interesse, a curiosidade – uma educação que não considere as especificidades de cada indivíduo/grupo, que não abarque as diferentes formas de ser, os desejos e os projetos desses sujeitos, provavelmente não mobilizará o envolvimento e a dedicação de jovens e crianças que, consequentemente, deixarão de protagonizar essa história.

E, por fim, os estudantes são protagonistas de sua aprendizagem porque pouco se aprende sem interesse e motivação (que é intrínseca), sem inspiração, sem a prática e sem a experimentação. É preciso levantar hipóteses, testá-las, experimentar, errar, explorar, enfim, construir o caminho da própria aprendizagem.

Nessa perspectiva, o modelo de aula que vigora desde tempos remotos – em que o professor “ensina” transmitindo seus conhecimentos e os estudantes os recebem – já não parece mais coerente às necessidades de nossos jovens e crianças, não parece contribuir de forma efetiva com a aprendizagem. É preciso que eles construam o próprio conhecimento – e essa construção relaciona-se ao acesso à informação e sua transformação em algo que faça sentido, em comunhão com seus conhecimentos prévios, emoções e maturidade cognitiva de processamento.

De acordo com o texto “O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências”, publicado no site oficial da Base Nacional Comum Curricular, a construção do conhecimento possibilita aos estudantes construir também competências como:

• saber buscar e investigar informações com criticidade (critérios de seleção e priorização) a fim de atingir determinado objetivo, a partir da formulação de perguntas ou de desafios dados pelos educadores;

• compreender a informação, analisando-a em diferentes níveis de complexidade, contextualizando-a e associando-a a outros conhecimentos;

• interagir, negociar e comunicar-se com o grupo, em diferentes contextos e momentos;

• conviver e agir com inteligência emocional, identificando e desenvolvendo atitudes positivas para a aprendizagem colaborativa;

• ter autogestão afetiva, reconhecendo atitudes interpessoais facilitadoras e dificultadoras para a qualidade da aprendizagem, lidando com o erro e as frustrações, e sendo flexível;

• tomar decisão individualmente e em grupo, avaliando os pontos positivos e negativos envolvidos;

• desenvolver a capacidade de liderança;

• resolver problemas, executando um projeto ou uma ação e propondo soluções.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências. Brasília, DF: MEC, [2019?]. Caderno de Práticas da Base Nacional Comum Curricular. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/implementacao/praticas/ caderno-de-praticas/aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas-colaborativas-e -a-formacao-de-competencias-2?highlight=WyJtZXRvZG9sb2dpYXMiLCJhdGl2YXMiLCJtZXRvZG9s b2dpYXMgYXRpdmFzIl0. Acesso em: 14 jul. 2022.

Mas que metodologias podem ser utilizadas para que os estudantes, de fato, possam construir o conhecimento? Certamente, não há apenas uma maneira e nem sempre todos os estudantes carecem de uma mesma estratégia ou formatação, mas se faz necessário o uso de metodologias que incentivem o protagonismo, que convidem os estudantes à ação, à atuação, ao fazer – e que, fazendo, aprendam, ou seja, as chamadas metodologias ativas.

De acordo com Bacich e Moran (2018):

As metodologias ativas constituem alternativas pedagógicas que colocam o foco do processo de ensino e de aprendizagem no aprendiz, envolvendo-o na aprendizagem por descoberta, investigação ou resolução de problemas. [...]

[...]

As metodologias voltadas para a aprendizagem consistem em uma série de técnicas, procedimentos e processos utilizados pelos professores durante as aulas, a fim de auxiliar a aprendizagem dos alunos. O fato de elas serem ativas está relacionado com a realização de práticas pedagógicas para envolver os alunos, engajá-los em atividades práticas nas quais eles sejam protagonistas da sua aprendizagem. Assim, as metodologias ativas procuram criar situações de aprendizagem nas quais os aprendizes possam fazer coisas, pensar e conceituar o que fazem e construir conhecimentos sobre os conteúdos envolvidos nas atividades que realizam, bem como desenvolver a capacidade crítica, refletir sobre as práticas realizadas, fornecer e receber feedback, aprender a interagir com colegas e professor, além de explorar atitudes e valores pessoais.

É importante ressaltar que as metodologias ativas não se resumem a um conjunto de estratégias com nomes específicos – trata-se principalmente de uma concepção de educação, de um olhar para o processo educativo. Existem inúmeras maneiras de promover a ação dos estudantes, mas é fundamental perceber quais delas são mais adequadas a cada grupo (ou estudante) em cada momento. Em geral, elas não se limitam ao ambiente escolar ou ao momento da aula, ampliando as possibilidades de exploração e envolvimento.

A seguir, são apresentadas algumas estratégias que podem favorecer a aprendizagem ativa e significativa, as quais poderão ser exploradas durante o uso desta coleção.

• Sala de aula invertida: o princípio dessa estratégia é que os estudantes tenham contato com os conceitos e a teoria em um ambiente externo à sala de aula, por exemplo em casa, antes da aula – o que pode ser feito com um vídeo curto, um texto, uma coleta de informações. Desse modo, o tempo didático na escola poderá ser utilizado para a promoção de atividades em grupo, explorações, investigações e debates. De acordo com Bacich e Moran (2018):

[…] os professores podem iniciar com o básico sobre a inversão da sala de aula e, à medida que vão adquirindo experiência, passar a usar a aprendizagem baseada em projetos ou em investigação. Com isso, vão se reinventando, criando cada vez mais estratégias centradas nos estudantes ou na aprendizagem, em vez das aulas expositivas que costumavam ministrar.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018. p. 84.

• Rotação por estações: nessa estratégia, o professor organiza diferentes atividades relacionadas a um mesmo assunto, de modo a explorar habilidades distintas e complementares. Cada grupo trabalhará com uma atividade durante um período e, findado o tempo, passará para a próxima proposta. Durante o tempo de aula, todos os grupos devem ter contato com todas as propostas.

• Aprendizagem baseada na investigação: nessa proposta, a aprendizagem é iniciada com perguntas, problemas ou cenários relacionados à realidade, que deverão ser discutidos para identificação de uma solução. Importante ressaltar que, muitas vezes, não existe apenas uma solução possível, e a experimentação pode ser uma maneira interessante de validar as possibilidades.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018. p. 80-81.

• Aprendizagem em equipe: os estudantes são convidados a trabalhar, durante algum período, em um grupo composto de quatro ou mais membros. As decisões e atividades são realizadas pela equipe, de forma conjunta, o que favorece a interação entre os pares e o desenvolvimento de competências socioemocionais. No fim do período, podem-se trocar as equipes, de modo que cada estudante aprenda a valorizar diferentes perfis e habilidades.

• Jogos: tanto jogar quanto criar jogos são atividades que podem favorecer a aprendizagem ativa. Quando os estudantes jogam, envolvem-se em um contexto que traz significado ao conhecimento e pode mobilizar diferentes habilidades. Desse modo, é importante que o professor crie oportunidades para trabalhar jogos nas aulas e propor análises de estratégias e resultados com base em conhecimentos mobilizados pelos estudantes. Nesta coleção, o professor e os estudantes encontrarão a Matemática contextualizada, voltada para a resolução de problemas muitas vezes em abordagem interdisciplinar, favorecendo a exploração das metodologias ativas. De modo geral, todas as seções da obra, com destaque para as seções Pense e responda e Fórum, podem proporcionar um envolvimento ativo dos estudantes, na investigação por soluções, mobilização de conhecimentos e construção de argumentos baseados nos objetos do conhecimento matemático.

Tecnologias digitais: potencialidades no ensino e na aprendizagem

É inegável a presença das Tecnologias Digitais (TD) na vida privada, no mundo do trabalho e no desenvolvimento do conhecimento gerado na época atual. A intenção nesta obra é promover algumas reflexões acerca das possíveis relações existentes entre as TD e o trabalho desenvolvido na escola, pensando nos principais motivos que podem levar ao fortalecimento dessas relações.

Borba, Scucuglia e Gadanidis (2014), no livro Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, analisam as pesquisas desenvolvidas no Brasil, nos últimos 30 anos, que tratam da presença das tecnologias digitais na Educação Matemática.

[...] Essa tecnologia assumiu nomes distintos que simbolizaram diferentes épocas: Logo, informática, educação matemática on-line, tecnologias da informação, tecnologias da informação e comunicação, internet etc. Os diversificados termos utilizados enfatizaram diferentes aspectos desta tecnologia que, como o título sugere, está em movimento.

BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia Rodrigues da; GADANIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. p. 16.

As diferentes maneiras – de como a sala de aula de Matemática tem se transformado com o evento das tecnologias – foram classificadas pelos autores em quatro fases. Passaremos a expor um breve resumo de cada uma das fases por eles descritas. Para uma compreensão mais profunda sobre cada uma das fases e suas fundamentações, recomendamos a leitura do livro.

A primeira fase, nos anos 1980, já discutia o uso de calculadoras simples ou científicas e de computadores. Tecnologia de Informática (TI) era o termo utilizado para se referir a computadores e softwares. No entanto, o uso do software LOGO é que, principalmente, caracterizou essa fase fundamentada no construcionismo, que considerava o potencial da programação do LOGO ao enfatizar relações entre linguagem de programação e pensamento matemático. Havia nessa fase a preocupação com a implantação de laboratórios de informática nas escolas e a formação de professores, pois o papel atribuído às tecnologias era o de catalisador para as mudanças pedagógicas.

A segunda fase teve início em 1990. Nela, existiam muitas perspectivas de como os estudantes, professores e pesquisadores viam o papel dos computadores na vida pessoal e profissional deles. Muitos nem chegaram a usar os computadores, “outros ainda, por perceberem as transformações cognitivas, sociais e culturais que ocorriam com o uso de TI, buscavam explorar possibilidades didático-pedagógicas. Diversos softwares educativos foram então produzidos por empresas, governo e pesquisadores” (BORBA; SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2014, p. 22). Nessa fase, os autores destacam o uso de softwares para o ensino de funções (como o Winplot, o Fun e o Graphmathica) e para o de geometria dinâmica (como o Cabri Géomètre e o Geometricks). Esses softwares abrem várias possibilidades didático-pedagógicas apoiadas nas ideias de manipulação, combinação, visualização e construção de objetos matemáticos, tudo minuciosamente descrito pelos autores.

A terceira fase tem início em 1999, com o advento da internet. Em educação, a internet começa a ser utilizada como fonte de informação e como meio de comunicação. Surgem os cursos a distância para formação continuada de professores via e-mails, chats e fóruns. O termo agora utilizado é Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Em termos de pesquisa, muitas são as questões investigadas, por exemplo: Qual é a natureza do pensamento matemático em cursos on-line? Como a Matemática é transformada em ambientes on-line? Em termos de oportunidades didático-pedagógicas, os pesquisadores colocam em evidência que a interação em ambientes virtuais de aprendizagem oferece nuances cognitivas diversificadas ao investir em multiplicidades de nós e conexões, incentivando a coautoria dos estudantes na atividade proposta.

Atualmente, estamos vivendo a quarta fase, cujo surgimento deu-se em 2014 com a banda larga. Compõem essa fase instrumentos como computador, laptops, tablets, telefones celulares e internet rápida. O termo utilizado para enunciá-la é Tecnologia Digital (TD).

É interessante notar que as fases não se esgotam, muitas das perguntas formuladas em seu início ainda permanecem sendo investigadas e novas questões surgem com o avanço das tecnologias e sua inserção na sociedade.

O que até agora apresentamos nos dá a dimensão da força e da rapidez com que as tecnologias vão sendo implantadas na nossa vida e de como o uso delas nas escolas não pode mais ser retardado. O uso das tecnologias tem um papel preponderante na formação do cidadão ao empreendermos uma visão ampla de educação.

[...] O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E, neste sentido, a informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática Belo Horizonte: Autêntica, 2010. p. 16-17.

Nessa mesma perspectiva sobre o uso das TD em sala de aula, Ponte (2000) afirma que as próprias TIC (na época ainda não iniciada a nova fase) são ferramentas de trabalho pedagógico que podem ser usadas livremente e de maneira criativa por professores e estudantes na realização de diversificadas atividades. Essa ferramenta pode vir a ser articulada ao trabalho por projetos embasados nas diretrizes da interdisciplinaridade, possibilitando um claro protagonismo do estudante na aprendizagem.

No patamar em que os pesquisadores estão colocando as mudanças educacionais que deverão ocorrer em consequência dos problemas contemporâneos, a prática do professor está cada vez mais articulada com o entorno escolar, o que faz dele também um protagonista da construção escolar como um todo.

A importância das tecnologias digitais se intensificou com a pandemia de covid-19, decretada em 2020. Como uma das consequências do isolamento social para conter a doença, aulas presenciais foram suspensas. Com isso, foi necessário reprojetar a rotina escolar no ambiente digital.

Dadas as dificuldades de acesso a recursos digitais ou, ainda, a complexidade inerente ao ensino a distância na Educação Básica, foi necessário grande esforço por parte de professores e estudantes a fim de prosseguir com a vida escolar.

Estudante assistindo a uma aula on-line

Os professores precisaram desenvolver técnicas de aula a distância, bem como modelos de acompanhamento e avaliação digitais. Essa nova realidade ressaltou a necessidade de uma formação integral do professor, incluindo a familiarização com ferramentas de ensino digitais.

Práticas de pesquisa e método científico

A construção do conhecimento é permanente e se dá desde o nascimento de cada indivíduo. É por meio da interação com o meio e com as pessoas, observando as relações sociais, culturais e naturais ao redor, e tirando conclusões sobre elas, que aprendemos. Por esse motivo, de acordo com Pereira (2018, p. 13), “o conhecimento pode ser classificado em popular (senso comum), teológico, mítico, filosófico e científico, com base na forma como é representado”.

O que diferencia o conhecimento científico dos demais tipos é o método, a maneira de conhecer. De acordo com Pereira (2018, p. 18), o conhecimento científico “é necessariamente construído em relação a algo real, por meio da experimentação, é sistemático, aproximadamente exato e verificável”. Destaca-se, contudo, que o conhecimento científico é falível, ou seja, não é absoluto e pode ser contestado e ampliado.

O conhecimento científico é construído por meio da pesquisa científica, que, por sua vez, é um modo de construção do conhecimento. Nela, o pesquisador, a partir de um problema que precisa resolver, algo que quer descobrir, manipula métodos e técnicas para buscar resultados que atendam às suas indagações. De maneira geral, a pesquisa científica tem a seguinte organização:

• identificação do problema;

• enunciação do problema;

• levantamento de hipóteses;

• definição do método ou de estratégias;

• tentativa de solução;

• testagem/comprovação da solução;

• comunicação dos resultados.

Em relação aos métodos científicos, podemos dizer, de acordo com Dias e Fernandes (2000, p. 6), que se trata de “um conjunto de procedimentos adotados com o propósito de atingir o conhecimento”. Ou seja, o método científico consiste nas regras básicas que se devem executar em uma pesquisa para a construção de conhecimento científico. De acordo com Demo (2001, p. 3) “o conhecimento está menos ligado a conteúdos, do que a procedimentos metodológicos de superação dos conteúdos”. O autor amplia a discussão destacando que essa perspectiva leva “à valorização sem precedentes do saber pensar e do aprender a aprender”. Nesse ponto, podemos perceber a imbricada relação entre a pesquisa científica e a educação escolar. De acordo com a BNCC (Brasil, 2018, p. 14):

No novo cenário mundial, reconhecer-se em seu contexto histórico e cultural, comunicar-se, ser criativo, analítico-crítico, participativo, aberto ao novo, colaborativo, resiliente, produtivo e responsável requer muito mais do que o acúmulo de informações. Requer o desenvolvimento de competências para aprender a aprender, saber lidar com a informação cada vez mais disponível, atuar com discernimento e responsabilidade nos contextos das culturas digitais, aplicar conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia para tomar decisões, ser proativo para identificar os dados de uma situação e buscar soluções, conviver e aprender com as diferenças e as diversidades.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Desse modo, podemos considerar a pesquisa como uma importante estratégia pedagógica para a construção do conhecimento, em que os estudantes são convidados a identificar e resolver problemas reais, por meio da investigação, construindo – eles mesmos em interação com os demais – sua aprendizagem.

A pesquisa, portanto, pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento autônomo e crítico, culminando, inclusive, na capacidade de interpretar informações com clareza, analisá-las e verificar sua veracidade – habilidade tão fundamental em uma época em que há um fluxo incontável de informações disponíveis, muitas delas falsas. De acordo com Demo (2001, p. 10):

[...] Os conteúdos se consomem no tempo, enquanto a habilidade de saber pensar necessita manter-se viva, mais que nunca. Se não sabe pesquisar, não sabe questionar. Não sabendo questionar, não sabe ultrapassar os impasses inevitáveis que toda profissão encontra em sua prática. Assim, o mais importante hoje na pesquisa não é o manejo de instrumentos metodológicos, mas o manejo dos desafios inovadores e por vezes surpreendentes da vida. Saber pensar é ótimo para o mercado, mas é ainda mais essencial para a vida. [...]

DEMO, Pedro. Professor/Conhecimento. Brasília, DF: UnB, 2001. p. 10. Disponível em: http://funab.se.df.gov.br/wp-content/uploads/2018/11/Demo-2001.-Professor-Conhecimento.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

Nesta coleção, o professor e os estudantes encontrarão noções introdutórias de práticas de pesquisa relacionadas à Matemática, inclusive, em abordagem interdisciplinar e que envolve a história da Matemática e a Etnomatemática, valorizando a construção do conhecimento como um traço cultural e fruto do trabalho de muitos membros, em muitas sociedades. Contextos atuais são apresentados para contribuir com a visão crítica da realidade e com o desenvolvimento de argumentação baseada em conceitos matemáticos.

Cidadania e cultura de paz

Na atualidade, as expressões de violência parecem estar em toda parte. Na voz do âncora do jornal relatando os novos números e desdobramentos de uma guerra, nas mídias sociais em que se escancara a vida pessoal de famosos e anônimos, nas músicas que exploram os abismos provocados pela desigualdade de gênero, no relato de um colega na sala dos professores que não sabe mais como lidar com as dificuldades da vida. E se essa avalanche nos atinge, com flechas vindas de todas as direções, também o faz com os jovens, cujas estruturas, muitas vezes, não são suficientes para lidar com tudo isso.

Em oposição a toda essa violência, faz-se necessária – cada vez mais – a construção e promoção de uma cultura de paz, que, de acordo com D’Ambrósio (2010, p. 48), se estabelece em quatro dimensões: individual, social, ambiental e militar.

A paz individual, relativa ao gerenciamento de emoções e sentimentos de cada indivíduo e que lhe permite ser “dono” de suas ações, em consonância consigo e com as próprias escolhas. Poderíamos dizer que tem estreita relação com as competências e habilidades socioemocionais.

A paz social, que resulta do olhar atento e cuidadoso para o outro, da empatia e do respeito, do reconhecimento e da legitimação da diversidade humana, contribui para a construção de uma convivência harmoniosa e pautada pelos princípios éticos e democráticos.

A paz ambiental, por sua vez, refere-se à impossibilidade de vivermos em conflito com o ambiente, com a natureza; resulta da compreensão de que a manutenção da vida depende de um ambiente sadio e sustentável.

E, por fim, a paz militar, que é violada desde a Antiguidade e ainda hoje, pondo em risco a vida humana. A ausência dela é a materialização da violência, do desrespeito, do descumprimento dos direitos humanos, da falta de empatia e de coerência.

O professor D’Ambrósio (idem) afirma:

[…] Se não contemplarmos a questão da paz na sua multidimensionalidade, estaremos nos iludindo, e este é um ponto fundamental.

Sem paz não haverá sobrevivência. Educar para a paz é educar para a sobrevivência da civilização deste planeta, da humanidade, da espécie – mas a sobrevivência de todos com dignidade. Este é um ponto crucial: a dignidade de o indivíduo ser o que ele é, de poder aderir a um sistema de conhecimentos, de conhecer suas raízes, suas relações históricas, emocionais, sua religião, sua espiritualidade. Um indivíduo é diferente do outro, não há como negar que nós todos somos diferentes. Preservar essa diferença é algo fundamental para que a gente possa falar em uma sobrevivência com dignidade.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Cultura de paz e pedagogia da sobrevivência. In: ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz: da reflexão à ação. Brasília, DF: Unesco; São Paulo: Associação Palas Athena, 2010. p. 48. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000189919?locale=en. Acesso em: 8 jul. 2022.

A escola, como instância socializadora – em complementaridade com familiares, grupos de convívio e a mídia de massa –, possui papel fundamental para a construção da promoção da cultura de paz. É um espaço privilegiado de desenvolvimento e convivência. É preciso ter, na paz, o percurso e o destino da educação.

Para que isso seja possível, a não violência deve permear todos os processos e ambientes educacionais e envolver os diferentes profissionais que atuam de modo direto ou indireto com os estudantes, além dos familiares e a comunidade do entorno e, claro, os próprios estudantes. A escola deve ser, efetivamente, um espaço de diálogo e civismo, promovendo uma educação compartilhada para a convivência e cidadania.

A Unesco definiu, no texto Cultura de paz no Brasil publicado em seu site, as contribuições da educação para a construção da paz. São elas:

• aprender sobre as nossas responsabilidades e obrigações, bem como os nossos direitos;

• aprender a viver juntos, respeitando as nossas diferenças e similaridades;

• desenvolver o aprendizado com base na cooperação, no diálogo e na compreensão intercultural;

• ajudar as crianças a encontrar soluções não violentas para resolverem seus conflitos, experimentarem conflitos utilizando maneiras construtivas de mediação e estratégias de resolução;

• promover valores e atitudes de não violência - autonomia, responsabilidade, cooperação, criatividade e solidariedade;

• capacitar estudantes a construírem juntos, com seus colegas, os seus próprios ideais de paz.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz no Brasil. Brasília, DF: Unesco, [201-]. Disponível em: https://pt.unesco.org/fieldoffice/brasilia/expertise/culture-peace. Acesso em: 8 jul. 2022.

Todavia, é muito importante não confundir paz com falta de opinião, conflito com confronto. A convivência pressupõe a existência de valores e opiniões diferentes, diversidade de saberes e vivências particulares, interpretadas das mais variadas maneiras, e todos esses elementos podem ser geradores de conflitos, das mais diversas ordens. Contudo, é pela cultura de paz que esses conflitos serão gerenciados com base em princípios democráticos, éticos, solidários e sustentáveis, promovendo o conhecimento – e não o confronto, que conduz à violência.

D’Ambrósio (2010, p. 49) afirma: “trata-se de educar para a paz e a sobrevivência, baseadas na convivência entre diferentes. Esse é o nosso grande desafio.” Para tanto, é preciso promover situações de fala e de escuta, escuta “desarmada”, momentos de debate e de socialização de ideias e sentimentos. Tais proposições poderão favorecer não apenas o autoconhecimento como também a empatia, tão necessários para que os estudantes compreendam que o pluralismo é positivo e necessário. A violência vem da incompreensão, que vem do desconhecimento – assim, conhecer e reconhecer tais pontos é fundamental à cultura de paz.

Como pudemos observar, é imprescindível investir em estratégias pedagógicas que possibilitem e incentivem a identificação e o gerenciamento de sentimentos e emoções, pois as diferentes dimensões da paz se interrelacionam, e tais movimentos favorecem o desenvolvimento de habilidades relativas à autogestão, saúde mental e amabilidade. É preciso auxiliar os estudantes a refletir sobre situações contrárias à paz, como o bullying, e a combater essa e outras formas de preconceitos e discriminação, tal como preconiza a competência geral 9 da BNCC (2018, p. 10):

9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 10. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Nesta coleção, o professor os estudantes encontrarão propostas que buscam incentivar e promover a fala e a escuta (atenta), o debate, a argumentação e o reconhecimento de diferentes maneiras de pensar e agir. Tais propostas, portanto, objetivam o desenvolvimento de competências necessárias à convivência harmoniosa e à cultura de paz.

A cultura de paz pode ser exercitada nas atividades em grupo, em que os estudantes podem perceber como o diálogo e a mediação de conflitos favorecem a convivência harmoniosa.

A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem a homologação desse documento.

Não podemos desprezar as dimensões do país, seja em territorialidade, seja em diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um dos principais desafios, na área da educação, é propiciar oportunidades iguais para todos os estudantes, sem perder a particularidade e a singularidade de cada região ou grupo.

Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais.

Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum, salientando que os conteúdos deveriam ser complementados com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais.

No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014, essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os estudantes do território nacional as aprendizagens essenciais, preservando-se as identidades étnicas, culturais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais.

Desse modo, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os estudantes da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade, diversidade e equidade para a constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os estudantes da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências essenciais que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.

Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e à utilização consciente da informação e da tecnologia.

As competências

O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares.

Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.

Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação da natureza” [...].

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 8. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

São apresentadas dez competências gerais que se inter-relacionam e devem permear os conteúdos apresentados ao longo de todo o percurso escolar da Educação Básica.

Vale destacar que tais competências resumem as capacidades e os conhecimentos essenciais ao desenvolvimento de atitudes e valores fundamentais no mundo contemporâneo, como a empatia, a cooperação, a valorização da Ciência e da diversidade, o pensamento crítico e o preparo para o mundo do trabalho. O desenvolvimento desses valores e atitudes objetivam a formação integral dos estudantes como cidadãos críticos e criativos.

As competências gerais, apresentadas a seguir, desdobram-se em competências específicas e habilidades voltadas a cada componente curricular. Entretanto, é importante considerar que tais competências existem por si e podem ser abordadas como tais a qualquer tempo da vida escolar, de modo que estejam presentes frequentemente nas mais variadas atividades e abordagens. Desse modo, pode-se assegurar uma maior apropriação dos conhecimentos, atitudes e valores que essas dez competências preconizam, bem como a aplicação destas nas questões do cotidiano.

As competências gerais da BNCC são:

Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 9-10. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

Conforme já mencionado, no desenvolvimento de competências é importante uma indicação clara do que os estudantes devem saber (conhecimentos, procedimentos e atitudes) e do que devem saber fazer (mobilização desses conhecimentos, procedimentos e atitudes) diante de cada situação.

Na BNCC, as aprendizagens relativas ao Ensino Fundamental estão distribuídas em cinco áreas do conhecimento (Linguagens, Matemática, Ciências da Natureza, Ciências Humanas e Ensino Religioso), por sua vez, divididas em componentes curriculares. Existem áreas que abrigam mais de um componente curricular, por exemplo, Linguagens, que abrange Língua Portuguesa, Arte, Educação Física e Língua Inglesa.

Os conhecimentos referentes a cada área do conhecimento, como mencionado, estão estruturados em competências gerais, das quais derivam as competências específicas de cada área e/ou componente curricular.

Cada área do conhecimento estabelece competências específicas de área, cujo desenvolvimento deve ser promovido ao longo dos nove anos. Essas competências explicitam como as dez competências gerais se expressam nessas áreas.

[...]

As competências específicas possibilitam a articulação horizontal entre as áreas, perpassando todos os componentes curriculares, e também a articulação vertical, ou seja, a progressão entre o Ensino Fundamental – Anos Iniciais e o Ensino Fundamental – Anos Finais e a continuidade das experiências dos alunos, considerando suas especificidades.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 28. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

Em Matemática, cumpre destacar que as competências específicas vão ao encontro dos objetivos do letramento matemático e sua importância de tornar significativa a aprendizagem de conhecimentos matemáticos para que estes possam ser utilizados pelos estudantes em questões de estudo e práticas presentes na vida dos estudantes. Observe, a seguir, as competências específicas da área de Matemática na BNCC.

Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 267. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

As habilidades

A fim de assegurar que o desenvolvimento das competências específicas de cada área do conhecimento, a BNCC apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a objetos de conhecimento, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas.

Para garantir o desenvolvimento das competências específicas, cada componente curricular apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a diferentes objetos de conhecimento – aqui entendidos como conteúdos, conceitos e processos –, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas. Respeitando as muitas possibilidades de organização do conhecimento escolar, as unidades temáticas definem um arranjo dos objetos de conhecimento ao longo do Ensino Fundamental adequado às especificidades dos diferentes componentes curriculares. Cada unidade temática contempla uma gama maior ou menor de objetos de conhecimento, assim como cada objeto de conhecimento se relaciona a um número variável de habilidades [...].

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 28-29. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

Cada habilidade pode ser dividida em partes, que abrangem diferentes ações e procedimentos. Compreender cada uma dessas partes e definir os instrumentos adequados de aplicação delas são importantes para garantir a efetiva apropriação das habilidades. Por exemplo, nas habilidades que preveem a resolução e a elaboração de problemas, é necessário dedicar momentos e atividades específicos para cada uma dessas ações a fim de favorecer a aquisição completa dessas habilidades.

Quanto à relação entre as habilidades e as competências, cumpre destacar que uma competência compreende um conjunto de saberes e habilidades. Assim, o fato de os estudantes desenvolverem certa habilidade, ou parte dela, não garante que eles tenham construído a aprendizagem completa de determinada competência. Em Matemática, os estudantes podem, por exemplo, dominar o uso de ferramentas de planilhas eletrônicas, mas isso não significa que eles tenham desenvolvido todos os conhecimentos, atitudes e valores envolvidos na competência geral 5 da BNCC.

No texto da BNCC, a definição de competência aparece como “a mobilização de conceitos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho”. É, portanto, a capacidade de mobilizar recursos, conhecimentos ou vivências para resolver questões da vida real, como pensamento crítico e empatia.

Já as habilidades indicam o que aprendemos a fazer e são sempre associadas a verbos de ação, como identificar, classificar, descrever e planejar. No contexto escolar, ler e interpretar um texto, apresentar um trabalho para os colegas e realizar operações matemáticas são exemplos de habilidades que os estudantes desenvolvem ao longo da evolução escolar.

BNCC: você sabe a diferença entre competências e habilidades? Centro de referências em educação integral. [S. l.], 19 fev. 2020, p. 3. Disponível em: https://educacaointegral.org.br/ reportagens/bncc-voce-sabe-diferenca-entre-competencias-e-habilidades/. Acesso em: 17 jul. 2022.

Desse modo, conclui-se que as competências são mais amplas do que as habilidades e que ambas, competências e habilidades, devem ser desenvolvidas de modo articulado por meio dos recursos de aprendizagem presentes em cada componente curricular, os quais devem estar relacionados entre si para garantir a formação integral dos estudantes.

Na abertura de Unidade das Orientações específicas de cada volume, são listadas as competências gerais e específicas, as habilidades e os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) relacionados aos assuntos de cada Unidade. Além disso, ao longo das orientações, são destacados exemplos da coleção que favorecem o desenvolvimento de competências, habilidades e TCTs com o objetivo de facilitar a identificação desses itens pelo professor e auxiliá-lo a tornar ainda mais efetiva a aquisição dos conhecimentos, atitudes e valores previstos pela BNCC.

Quadros de habilidades da BNCC

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais

Divisão euclidiana

Fluxograma para determinar a paridade de um número natural

Múltiplos e divisores de um número natural

Números primos e compostos

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000.

(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Números

Frações: significados (parte/ todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.

(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais

Aproximação de números para múltiplos de potências de 10

Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Propriedades da igualdade

HABILIDADES

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Álgebra

Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo

Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Geometria

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

Grandezas e medidas

Ângulos: noção, usos e medida

(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Plantas baixas e vistas aéreas

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista)

(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Probabilidade e estatística

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas

Coleta de dados, organização e registro

Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações

Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Múltiplos e divisores de um número natural

HABILIDADES

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

Números

Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operaçõe.

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

Álgebra Linguagem algébrica: variável e incógnita

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica

HABILIDADES

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Álgebra

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Equações polinomiais do 1o grau

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

Simetrias de translação, rotação e reflexão

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Geometria

A circunferência como lugar geométrico

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Problemas envolvendo medições

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais

HABILIDADES

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Grandezas e medidas

Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

Medida do comprimento da circunferência

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Probabilidade e estatística

Pesquisa amostral e pesquisa censitária Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações

Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Notação científica

Potenciação e radiciação

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

Números

O princípio multiplicativo da contagem

Porcentagens

Dízimas periódicas: fração geratriz

Valor numérico de expressões algébricas

Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano

Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 = b

(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax2 = b.

Álgebra

Sequências recursivas e não recursivas

(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.

(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

Geometria

Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.

(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

Geometria

Grandezas e medidas

Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas

Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência

(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

Volume de bloco retangular Medidas de capacidade

Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral

Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados

Organização dos dados de uma variável contínua em classes

(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.

(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Probabilidade e estatística

Medidas de tendência central e de dispersão

(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral

(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).

(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta

Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Números

Potências com expoentes negativos e fracionários

Números reais: notação científica e problemas

Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Álgebra

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis

Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Geometria

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

Semelhança de triângulos

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Relações métricas no triângulo retângulo

Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração

Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais

HABILIDADES

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Geometria

Polígonos regulares

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares

Distância entre pontos no plano cartesiano

Vistas ortogonais de figuras espaciais

Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas

(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Grandezas e medidas

Unidades de medida utilizadas na informática

Volume de prismas e cilindros

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Probabilidade e estatística

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS

Um dos desafios mais urgentes do ensino de Matemática é fazer que ela interaja com outras áreas do conhecimento e contribua para a formação integral dos estudantes, indo além do conteúdo programático. Estabelecer conexões entre a Matemática e as demais áreas do conhecimento pode ampliar as oportunidades de compreender e utilizar conceitos, tanto da Matemática quanto das demais áreas. Nesse sentido, a interdisciplinaridade (relação entre os componentes curriculares) surge como um dos recursos para tornar a aprendizagem Matemática ainda mais significativa, uma vez que o ensino interdisciplinar prevê a mobilização de aplicações de cada componente de modo integrado para a análise e resolução de uma situação-problema, como destaca-se na BNCC:

[...] a interdisciplinaridade implica um diálogo entre os campos dos saberes, em que cada componente acolhe as contribuições dos outros, ou seja, há uma interação entre eles. [...]

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 18. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao /contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Faz-se necessário trazer para a Matemática situações contextualizadas que proporcionem ampliação de abordagem, estabelecendo conexões com conteúdos de outras áreas do conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos estudantes, além de aprofundar as relações da escola com as experiências cotidianas de cada um deles. Aqui, cabe citar a relevância do trabalho transdisciplinar, que prevê o ensino integrado dos conhecimentos de diferentes áreas, como destaca-se na BNCC:

A abordagem transdisciplinar contribui para que o conhecimento construído extrapole o conteúdo escolar, uma vez que favorece a flexibilização das barreiras que possam existir entre as diversas áreas do conhecimento, possibilitando a abertura para a articulação entre elas. Essa abordagem contribui para reduzir a fragmentação do conhecimento ao mesmo tempo em que busca compreender os múltiplos e complexos elementos da realidade que afetam a vida em sociedade.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 18-19. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao /contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Para que a prática docente seja organizada, de modo que possibilite a formação de cidadãos críticos, é preciso entender a contextualização como um acontecimento ou uma situação pertencente a um encadeamento de elementos relacionados a recursos disponíveis em cada área de conhecimento.

Para isso, é importante que o professor perceba como manter um diálogo entre as diferentes áreas, trazendo o cotidiano dos estudantes para a aula e aproximando-o do conhecimento científico, desenvolvendo, assim, um ensino capaz de fazer que os estudantes aprendam a relacioná-las a diferentes aplicações do conhecimento matemático. As experiências vivenciadas pelos estudantes e pela escola podem ser utilizadas para dar vida e significado ao conhecimento. Desse modo, é possível abordar questões como problemas ambientais, culturais, políticos etc. que não estejam obrigatoriamente ligados aos estudantes, mas que possam estar relacionados a seus familiares ou a sua comunidade, por exemplo.

Portanto, fazer conexões interdisciplinares entre Matemática, Língua Portuguesa, Arte, Ciências, História, Geografia, Educação Física, Língua Inglesa etc. e transdisciplinar, utilizando-se também os Temas Contemporâneos Transversais, poderá contribuir para que a Matemática e todo o conhecimento envolvido ganhem maior sentido e significado para os estudantes.

É importante ressaltar a importância das explorações que favoreçam a leitura e as reflexões, inclusive nas aulas de Matemática, sobre os conhecimentos construídos em cada momento do processo de aprendizagem.

O uso da escrita como ferramenta que influencia a aprendizagem matemática [...] e outras formas de registrar processos de pensamento estão sendo cada vez mais utilizadas como um veículo importante na compreensão do processo de ensino e aprendizagem. [...] a utilização da escrita, seja nas aulas de matemática, nos processos de formação docente ou na investigação, deve ser vista como um projetos que transforma continuamente a cognição e o aprendizado de quem a produz.

POWELL, Arthur; BAIRRAL, Marcelo. A escrita e o pensamento matemático: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. p. 11-12.

Os Temas Contemporâneos Transversais visam promover a difusão de valores Fundamentais ao interesse social e a formação integral dos estudantes. De acordo com a BNCC, temos que:

[...] os Temas Contemporâneos Transversais têm a condição de explicitar a ligação entre os diferentes componentes curriculares de forma integrada, bem como de fazer sua conexão com situações vivenciadas pelos estudantes em suas realidades, contribuindo para trazer contexto e contemporaneidade aos objetos do conhecimento descritos na BNCC.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 5. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao /contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Nesta obra, há seções e atividades que podem favorecer o trabalho com os Temas Contemporâneos Transversais descritos na BNCC e outros que se articulam com eles. Assim, muitos dos conteúdos trabalhados ao longo de cada volume não se encerram em si mesmos, já que podem ser complementados e contemplados com um dos temas contemporâneos como pano de fundo relacionados às competências e habilidades da BNCC.

Para isso, tornam-se de fundamental importância o planejamento e os estudos prévios por parte do professor para se apropriar das relações entre os temas abordados e o conteúdo matemático que será desenvolvido em cada momento e como potencializar essas relações para tornar a aprendizagem ainda mais significativa.

Os Temas Contemporâneos Transversais descritos na BNCC são:

Meio Ambiente

• Educação Ambiental

• Educação para o Consumo

Saúde

• Saúde

• Educação Alimentar e Nutricional

TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS

Multiculturalismo

• Diversidade Cultural

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Cidadania e Civismo

• Vida Familiar e Social

• Educação para o Trânsito

• Educação em Direitos Humanos

• Direitos da Criança e do Adolescente

• Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Ciência e Tecnologia

• Ciência e Tecnologia

Economia

• Trabalho

• Educação Financeira

• Educação Fiscal

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 13. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/ implementacao/contextualizacao_ temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

O PAPEL DO PROFESSOR

Certamente, cada professor tem como objetivo principal a aprendizagem de seus estudantes. Para que esse objetivo seja alcançado, é preciso ter clareza sobre o que os estudantes já sabem e como eles aprendem.

Se o professor é um dos grandes responsáveis pela apresentação de um novo conteúdo, de uma nova estratégia, ou ainda difusor de um termo específico desconhecido pela turma, faz-se necessário que ele saiba não só o que vai ensinar, mas também para quem está ensinando.

Nesse sentido, é imprescindível sondar o conhecimento prévio dos estudantes sobre os assuntos que serão formalmente trabalhados na escola, bem como considerar o desenvolvimento das habilidades e a realidade em que vivem e estudam.

Quanto mais o professor ajudar os estudantes a atribuir significados aos conteúdos estudados, mais eles poderão compreender a Matemática e se interessar por ela. Daí a importância de relacionar a Matemática com o cotidiano.

É importante salientar que a Matemática é utilizada, concebida ou tratada de diferentes maneiras nas diversas profissões e ocupações. Por exemplo: o carpinteiro utiliza a Matemática ao medir comprimentos e ângulos para resolver problemas do seu trabalho; o médico a utiliza no diagnóstico, que, na maioria das vezes, é dado por meio da probabilidade estimada com base em sintomas e resultados de exames; o matemático a utiliza como produção de conhecimento científico, entre outros.

Podemos dizer que existem muitas Matemáticas que procuram descrever e produzir uma “leitura de mundo”. A Matemática escolar é uma delas e caracteriza-se pelas maneiras de compreender e resolver as situações-problema, as questões e as atividades por meio da quantificação, da medição, da estimativa, da representação no espaço, do reconhecimento de formas e propriedades, da observação e da manipulação de regularidades e padrões.

O papel do professor é possibilitar o acesso a essas diferentes maneiras de se fazer Matemática e dar suporte para que os estudantes consigam adquirir habilidades e conhecimentos a fim de (res)significar a Matemática experimentada em suas práticas sociais, bem como reconhecer a beleza da Matemática em si.

Além de mediar a aquisição do conhecimento, é importante que o professor trabalhe a cooperação em sala de aula, abrindo espaço para a troca de ideias entre os estudantes, incentivando a valorização e o respeito às diferenças e promovendo a solidariedade e a cooperação no dia a dia escolar.

As pesquisas atuais sobre o ensino da Matemática defendem que é preciso colocar os estudantes no contexto de produção de pensamento e de conhecimento matemático. Desse modo, o foco não é mais os estudantes, o professor ou o conteúdo, mas, sim, a articulação desses três elementos.

Uma vez que as respostas dos estudantes às situações-problema apresentadas desafiam os professores a pensar matematicamente para propor novas questões, cria-se uma parceria nos processos de ensino e aprendizagem. Da mesma maneira, os estudantes são chamados a elaborar novos questionamentos diante do que é proposto/exposto pelo professor. Assim, o conhecimento matemático escolar é redefinido constantemente.

Passos e Romanatto (2010) apontam outros aspectos relevantes para que o professor atinja o objetivo de que seus estudantes aprendam Matemática. Segundo os autores, é necessário que os professores tenham:

[...] o domínio dos conhecimentos atuais sobre a natureza da Matemática, articulado com as ciências da educação, pode resultar em caminhos férteis para que essa área de conhecimento seja apreendida pelos nossos estudantes de forma efetiva e com significado.

PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion; ROMANATTO, Mauro Carlos. A Matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar, 2010. p. 20.

Professor orienta estudantes indígenas da etnia xerente durante aula na Escola Indígena Sakruiwê, na Aldeia Funil, em Tocantínia (TO). Fotografia de 2022.

Os conhecimentos matemáticos podem ser encarados como recursos que favorecem a cidadania, dada a ampla gama de aplicações desses conhecimentos nas mais variadas situações da sociedade atual. Para apresentar a Matemática como área a serviço do conhecimento científico e de relevância prática no cotidiano, é necessário que o professor tenha clareza a respeito das relações da Matemática com outras áreas de conhecimento. Para isso, é importante que o professor de Matemática tenha uma formação integral e continuada, apropriando-se das relações e aplicações de conceitos matemáticos em outras áreas do conhecimento e da contribuição da Matemática para construção da cidadania, como destacam Soares e Sheide (2004):

Outra questão crucial é a percepção que o professor tem sobre o conhecimento matemático e as interações que é capaz de estabelecer com esse conhecimento. A sua utilização como ferramenta para a construção da cidadania vai depender da sua capacidade em tratá-lo como um conhecimento articulado aos outros campos do saber e historicamente situado.

SOARES, Marlene Aparecida; SCHEIDE, Tereza de Jesus Ferreira. Professor de Matemática: um educador a serviço da construção da cidadania. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais […]. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2004. p. 2. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/07/CC07289049853.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Desse modo, o professor de Matemática, longe de ser um mero transmissor de conhecimentos imutáveis, é um sujeito do conhecimento que compartilha com estudantes conhecimentos esses que devem estar em constante aprimoramento e transformação para serem úteis nas práticas sociais dos estudantes.

Portanto, neste processo de parceria e inter-relação existente entre estudantes e professores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.

PERFIS DE APRENDIZAGEM

A Base Nacional Comum Curricular trouxe ao centro do debate sobre o processo educativo a necessidade de pensarmos em educação integral. Isso significa considerar cada estudante como indivíduo pleno e complexo, em suas diversas dimensões. Ninguém abandona gostos, características, sonhos, valores e emoções antes de entrar na escola – ao contrário, a sala de aula é composta de diversidade. Na BNCC (2018, p. 14), destaca-se:

[…] Reconhece, assim, que a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades. […]

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Essa visão implica reconhecer que ao professor cabe considerar cada estudante em sua singularidade, identificando necessidades, diferentes interesses e modos de aprender. Cada um de nós tem um perfil de aprendizagem. Isso não significa que aprendamos apenas por um canal de aprendizagem, mas, muitas vezes, existem canais mais propícios do que outros e, portanto, reconhecê-los e incentivar o uso deles é muito importante. Existem indivíduos que compreendem melhor a partir de estímulos visuais e, portanto, é interessante recorrer ao uso de gráficos, tabelas, listas e mapas mentais. Há pessoas que compreendem melhor utilizando a leitura (silenciosa) e escrita (listas, textos on-line, artigos, dicionários); LVI

outras pessoas são mais auditivas e, nesse caso, participar de conversas, fazer leituras em voz alta, praticar a escuta de podcasts, assistir a palestras e até ouvir músicas podem ser um caminho promissor; temos, também, aqueles mais cinestésicos e, nesse caso, pode ser importante explorar atividades concretas, como simulações, demonstrações, dinâmicas e métodos lúdicos, como a gamificação. É importante salientar que existem ainda pessoas com certa facilidade para se adaptar aos estímulos, os indivíduos chamados multimodais.

Para César Coll (2003, p. 2), é preciso identificar os diversos fatores que se relacionam com a aprendizagem – de natureza cognitiva, emocional, afetiva, social. O autor afirma que:

A qualidade de um sistema educativo está estreitamente relacionada – sobretudo nos níveis correspondentes à educação básica – à sua capacidade de satisfazer as necessidades educativas e de formação de todos os alunos, ou seja, à sua capacidade de diversificar e de ajustar a ação educativa às características individuais e à ampla gama de capacidades, interesses e motivações demonstrados por alunos e alunas diante da aprendizagem escolar. (2003, p. 2)

COLL, Cesar. Atenção à diversidade e qualidade do ensino. Revista Educação Especial, [S. l.], v. 1, n. 1, p. 7-17, 2012. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/educacaoespecial/article/view/5001. Acesso em: 30 abr. 2022.

Há que se considerar as culturas juvenis em sua multiplicidade, a neurodiversidade, os diferentes perfis de aprendizagem. Uma escola que atenda a todos precisa ser inclusiva – não apenas pensando em “minorias”, mas reconhecendo que a diversidade é inerente à humanidade, logo, onde há pessoas, há diversidade. Dessa forma, não há espaço para preconceitos ou discriminações de quaisquer ordens.

Além disso, a escola precisa ser reconhecida pelos estudantes como um espaço de paz para que se sintam seguros e confiantes na construção de seu projeto de vida. Desse modo, é fundamental promover situações que desenvolvam a empatia e a cooperação entre eles e toda a comunidade escolar.

Para que isso aconteça, é preciso buscar novas formas de “fazer educação”, promovendo o protagonismo dos estudantes no processo. As metodologias ativas parecem propícias a essa tarefa, pois favorecem o trabalho coletivo, a reflexão, a convivência e respeitam os diferentes tempos e interesses, bem como a diversidade de formas de aprender.

Sugerimos também a alternância entre agrupamentos e trabalho individual, considerando os objetivos de aula (ou sequência de aulas) e as metodologias empregadas. Em duplas, pequenos grupos, grupos grandes ou até com o grupo-classe. Nos agrupamentos, os estudantes desenvolvem-se a partir da relação com os outros, e, no trabalho individual, o professor pode personalizar o processo, enfocando em habilidades específicas necessárias ao desenvolvimento de cada estudante. Em turmas grandes, o agrupamento pode ser, especialmente, uma estratégia muito útil para contemplar a diversidade e favorecer a aprendizagem de todos.

O professor pode também explorar as tecnologias digitais em suas propostas pedagógicas, com base nas preferências e nos estilos de aprendizagem, valorizando as potencialidades e a integração entre os estudantes. Para além da inclusão das estratégias digitais, convidar os estudantes ao protagonismo, abrindo as portas da escola às culturas juvenis.

Dizemos no plural, culturas juvenis, porque é impossível unificá-las, uma vez que dependem de inúmeros aspectos, como interesses, territorialidades, influências, fatores socioeconômicos. Elas podem ser consideradas como a confluência de modos de vida, práticas sociais, interesses, gostos e saberes específicos que levam às escolhas, linguagens e atuações de cada grupo de jovens, formando identidades. Para desenvolver essas culturas e ampliar a identificação dos estudantes com o processo de aprendizagem, é importante abrir espaço para trocas e aprendizagem coletiva, como promover festivais, saraus poéticos e musicais.

Nesta coleção, são apresentadas propostas diversificadas, que permitem variadas maneiras de exploração e organização do trabalho, favorecendo a organização do trabalho pedagógico e do seu planejamento para atender grupos grandes ou pequenos em suas particularidades.

Grupo de jovens posando para uma fotografia.

AVALIAÇÃO

Em todo trabalho no qual a aprendizagem escolar esteja envolvida, o processo de avaliação estará presente – seja na sala de aula, nas atividades extraclasse, seja nas conquistas pessoais dos estudantes, como o ingresso nas universidades.

A princípio, o processo avaliativo era tido apenas como um procedimento de medida (que definia se os estudantes tinham ou não condições de progredir nos estudos). Atualmente, é quase consenso a compreensão de que a avaliação escolar não deve apenas verificar se os estudantes atingiram os objetivos definidos pelo currículo, com a finalidade rasa de atribuir-lhes uma nota ou um conceito. Desse modo, as avaliações passaram por um processo de ressignificação em que assumiram o papel de um potente instrumento que permite visualizar o progresso de cada estudante e sinalizar possíveis pontos de atenção.

Os resultados avaliativos não só apresentam implicações no processo individual dos estudantes como também produzem dados para a análise do trabalho desenvolvido pelos profissionais da escola, incluindo o professor. Assim, para que haja um ensino de qualidade, devem-se estabelecer relações entre os resultados e as ações da escola, principalmente no que se refere à vinculação do professor com os estudantes. Por isso, é essencial compreender como esses estudantes lidam com o conhecimento, quais são suas habilidades, as dificuldades que apresentam e as necessidades individuais para, junto deles, traçar uma rota de superação dos desafios e avanço nas conquistas.

Nesse contexto, podem ser destacados três tipos principais de avaliação: diagnóstica, formativa de processo ou de resultado. A avaliação diagnóstica, a ser realizada no início do processo de ensino e aprendizagem de determinado conteúdo, é fundamental para esse processo. O professor e os estudantes precisam identificar os conhecimentos já adquiridos para, com base nessa percepção, decidir quais atividades e ações podem ser potencialmente mais interessantes e quais desafios merecem ser ampliados. A clareza dos objetivos a serem alcançados é de fundamental importância, pois, sabendo o ponto a que se quer chegar, é mais fácil perceber se, de fato, chegou-se a esse “lugar”; portanto, é importante compartilhar com os estudantes os objetivos de determinada atividade ou grupo de atividades e o que se pretende avaliar.

No tipo de avaliação formativa de processo, o professor deve lançar mão de diferentes instrumentos avaliativos que sinalizem o desenvolvimento dos estudantes ao longo do processo educativo. Nesse caso, os resultados são parciais e os registros podem nortear a tomada de decisões e o caminho de aprendizagem a ser proposto pelo professor. Desempenho em seminários, participação em debates e capacidade de comunicar e compartilhar estratégias de resolução são indícios do desenvolvimento dos estudantes durante o processo de construção de conhecimentos e podem ser utilizados como meios avaliativos.

A avaliação de resultado ou somativa é aquela realizada ao fim de determinado estudo ou período de estudo para indicar os resultados de desempenho dos estudantes em relação a uma meta de aprendizagem. A prova tradicional é um dos instrumentos mais comuns desse tipo de avaliação, cujo resultado é um índice importante da evolução do nível de aprendizagem dos estudantes, mas não deve ser o único, tampouco analisado isoladamente, sem considerar os resultados dos demais tipos de avaliação realizados.

As questões da seção Avaliações oficiais em foco, baseadas em avaliações oficiais de larga escala (Saeb, Saresp, Pisa, Enem, OBMEP, entre outras), podem ser utilizadas e aplicadas como instrumento avaliativo de um dos tipos de avaliação descritos, de acordo com o planejamento do professor e a realidade de cada turma.

Avaliar o processo

Uma possibilidade é observar a estratégia que os estudantes utilizam para resolver as situações-problema; isso consiste em um recurso valioso para o professor compreender o desenvolvimento deles. Muitas vezes, o modo como produzem algo demonstra o que não compreenderam e possibilita ao professor intervir adequadamente, agindo de maneira eficaz para atender às necessidades reais dos estudantes. Pedir a eles que socializem com os colegas os raciocínios e as estratégias é mais uma maneira de identificar os caminhos e possíveis dificuldades de cada um.

Como já comentamos, é importante incentivar os diferentes registros de representação. Muitas vezes, os estudantes são capazes de compartilhar as estratégias utilizadas oralmente, mas não as representa numericamente. Por isso, é interessante pedir-lhes que registrem o mesmo processo de maneiras distintas para que possam, além de explorar os diferentes registros de representação, conhecer o processo que, para eles, é mais simples ou desafiador.

Autoavaliação

Os estudantes precisam se conscientizar da responsabilidade deles por seu processo de aprendizagem e, para isso, é preciso que percebam a função e a importância dos diferentes instrumentos de avaliação e, mais do que isso, utilizem-nos como molas propulsoras para novas conquistas. Além de identificar e observar o número que indica sua nota, os

estudantes precisam ser motivados a identificar, nos acertos, as conquistas realizadas e, nos erros, possíveis desvios de rota ou rotas inadequadas para aquela situação. Portanto o espaço/tempo para os estudantes se autoavaliarem deve ser fornecido pelo professor.

Nesse processo de autoavaliação, os estudantes podem ser convidados a responder a alguns questionamentos que lhes permitam identificar o uso dos dados corretos, o porquê da escolha de determinada estratégia, o nível de tensão causada em cada resolução e possível interferência no processo de resolução, o que poderia ser melhorado, entre outros.

Nesta obra, os estudantes encontrarão a seção Um novo olhar, que possibilita a retomada dos conhecimentos explorados para que possam perceber, por exemplo, as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser recapituladas e, por meio dessas percepções, após a elaboração da autoavaliação, preparar um plano de ações e estudos.

Durante esse processo de mensuração e investigação, é possível utilizar diferentes instrumentos, como: rodas de conversa ou entrevistas; fichas que serão preenchidas pelos próprios estudantes e pelo professor; trabalhos em dupla ou grupos; provas individuais com e sem consulta aos registros pessoais; elaboração e correção de atividades em duplas – um estudante corrige a atividade do outro colega; apresentação dos equívocos cometidos; elaboração de textos e seminários etc. É importante que os estudantes também tomem ciência de como poderão melhorar para avançar, sabendo do que já são capazes de realizar sozinhos, assumindo seu papel atuante.

A avaliação não começa nem termina na sala de aula, ela envolve planejamento e desenvolvimento do processo de ensino, dinamizando oportunidades de ação e reflexão, num acompanhamento permanente do professor, propiciando ao aluno, em seu processo de aprendizagem, reflexões acerca do mundo; formando seres críticos e participativos na construção das verdades formuladas e reformuladas.

CUCCIOLI, Eliana. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, Celi Espasandin; MUNIZ, Maria Inês Sparrapan. O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. p. 131.

Ao refletir sobre seus avanços, dificuldades e expectativas, os estudantes podem perceber estratégias de aprendizagem que precisam ser modificadas.

Quanto aos familiares, se estiverem cientes das expectativas do professor em relação aos estudantes, poderão cooperar no estabelecimento dessas estratégias.

A avaliação não pode ser considerada um momento isolado no processo de ensino e aprendizagem nem se resumir a uma prova. Como mencionado, é importante que o professor utilize instrumentos avaliativos diversificados e que sejam desenvolvidos ao longo do ano letivo. O registro periódico dessas observações o ajudará a acompanhar o desenvolvimento dos estudantes.

A avaliação assim considerada é contínua e formativa: faz parte do processo de ensino e aprendizagem e tem por objetivo contribuir para a formação dos estudantes.

Diante disso, é interessante destacar um trecho sobre a avaliação em Matemática, descrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):

Mudanças na definição de objetivos para o ensino fundamental, na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam repensar sobre as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros.

Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos de avaliação para registrar observações sobre os alunos. Um exemplo são as fichas para o mapeamento do desenvolvimento de atitudes, [...]

Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, postura em sala, constituem indícios de competências e como tal devem ser considerados. [...]

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. p. 41. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 3 ago. 2022.

INDICAÇÕES PARA APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR

DOCUMENTOS OFICIAIS

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/.

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB: DICEI, 2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/ julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/file.

BRASIL. Senado Federal. Lei de diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Senado Federal, Coordenação de Edições Técnicas, 2017.

BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias= 182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192.

BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: http://pacto.mec.gov.br/materiais -listagem/item/66-apresentacao.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental – Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf.

BRASIL. Ministério da Educação. Plano Nacional de Educação para o decênio 2014/2024. Brasília, DF: MEC, 2020. Disponível em: https://pne.mec.gov.br/.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Básica. Ensino Fundamental de Nove Anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. 2. ed. Brasília, DF: SEB, 2007. Disponível em: http://portal. mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/ensifund9anobase final.pdf.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementa cao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf.

Acessos em: 27 jul. 2022.

SITES E PUBLICAÇÕES

A COR DA CULTURA. Disponível em: https://www.cenpec. org.br/tematicas/a-cor-da-cultura-modos-de-brincar.

A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA TEMAS & DEBATES. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/td.

BOLETIM GEPEM (Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática). Disponível em: http://costalima.ufrrj.br/index. php/gepem/index.

CADERNOS DO CAEM. Disponíveis em: https://www.ime. usp.br/caem/publicacoes.php.

CADERNOS – SÉRIE IDEIAS DA FUNDAÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO – FDE. Disponíveis em: https://www.fde.sp.gov.br/PagePublic/Interna. aspx?codigoMenu=253&AspxAutoDetectCookieSupport=1. EDUMATEC. Disponível em: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/.

FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP)/DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DO ENSINO E EDUCAÇÃO COMPARADA. Disponível em: http://www4. fe.usp.br/feusp/departamentos/edm.

INSTITUTO ALFA E BETO: Ensino da matemática. Disponível em: https://www.alfaebeto.org.br/2019/06/06/ instituto-alfa-e-beto-pensa-sobre-ensino-da-matematica/.

INSTITUTO PAULO FREIRE: Acervo. Disponível em: http:// acervo.paulofreire.org:8080/xmlui/.

LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA: Faculdade de Educação da USP. Disponível em: http://www2.fe.usp.br/~labmat/principal.html.

LABORATÓRIO DE PESQUISA MULTIMEIOS. Disponível em: http://www.multimeios.ufc.br/.

MATEMÁTICA EM TODA PARTE – TV ESCOLA – MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Disponível em: https://www.youtube. com/results?search_query=tv+escola+matem%C3%A1ti ca+em+toda+parte.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Disponível em: https://www. gov.br/mec/pt-br.

NOVA ESCOLA. Disponível em: https://novaescola.org.br/.

PENSAR A EDUCAÇÃO EM REVISTA. Disponível em: https:// pensaraeducacaoemrevista.com.br/.

PORTAL EDUCAÇÃO EM DIREITOS HUMANOS: Educação matemática como formação necessária à cidadania. Disponível em: http://www.dhnet.org.br/dados/livros/edh/br/rs/cidadan/ cap14.htm.

REDE DO SABER. Disponível em: https://deitapecerica.educa cao.sp.gov.br/rede-do-saber/.

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA – RPM. Disponível em: https://www.rpm.org.br/.

REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Disponível em: https://periodicos.unespar.edu.br/index.php/rpem.

SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO EM MATEMÁTICA –SBEM. Disponível em: http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/. Acessos em: 27 jul. 2022.

ENTIDADES DE APOIO À EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP

Rua do Matão, 1010 – Bloco B – sala 167

Cidade Universitária – São Paulo – SP – CEP 05508-090

Fone e fax: (0XX11) 3091-6160

Site: https://www.ime.usp.br/caem/. Acesso em: 27 jul. 2022.

Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE

Ministério da Educação – SBS – Quadra 2 – Bloco F

Brasília – DF – CEP 70070-929

Tel.: 0800-616161

Site: https://www.fnde.gov.br/index.php. Acesso em: 27 jul. 2022.

Laboratório de Ensino de Matemática – LEM

Universidade Estadual de Campinas – Unicamp – IMECC

Rua Sérgio Buarque de Holanda, 651 – CEP 13083-859

Fone: (0XX19) 3521-6090

Site: https://www.ime.unicamp.br/lem. Acesso em: 27 jul. 2022.

Laboratório de Ensino de Matemática e Estatística – LEMA

Universidade Federal da Bahia – UFBA – Instituto de Matemática

Avenida Adhemar de Barros, s/n – Salvador – BA – CEP 40170-110

Fone: (0XX71) 3263-6265

Site: http://www.dmat.ufba.br/extensao/lema. Acesso em: 27 jul. 2022.

Núcleo da Informática Aplicada à Educação – NIED

Universidade Estadual de Campinas – Unicamp

Cidade Universitária Zeferino Vaz

Bloco V da Reitoria – piso 2 – Campinas – SP – CEP 13083-970

Tel.: (0XX19) 3788-7136

E -mail: nied@unicamp.br

Site: https://www.nied.unicamp.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.

Projeto Fundão – Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

Instituto de Matemática

Centro de Tecnologia – Bloco C – sala 108

Cidade Universitária

Caixa Postal 68530 – CEP 21941-972

Rio de Janeiro – RJ

Fone e fax: (0XX21) 2562-7511

Site: http://www.matematica.projetofundao.ufrj.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.

Sociedade Brasileira de Matemática – SBM

Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109

Jardim Botânico

CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ – CEP 22460-320

Fone: (0XX21) 2529-5073

Site: https://sbm.org.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.

RIDO/SHUTTERSTOCK.COM

Estudante resolvendo um problema na lousa.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTUNES, Celso. Jogos para a estimulação das múltiplas inteligências. Petrópolis: Vozes, 2014.

Nesse livro, o autor traz reflexões sobre a importância do jogo no processo de aprendizagem.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018.

Apresenta um conjunto de artigos que abordam estudos e aplicações de metodologias ágeis na educação para o desenvolvimento do protagonismo estudantil de maneira inovadora.

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação

Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/ index.php/emr/article/view/1689/1182. Aceso em: 27 jul. 2022.

Nesse artigo, o autor diferencia a modelagem matemática de outras aplicações no contexto do ensino de Matemática.

BNCC: você sabe a diferença entre competências e habilidades? Centro de referências em educação integral [S l.], 19 ago. 2020. Disponível em: https://educacaointegral. org.br/reportagens/bncc-voce-sabe-diferenca-entre-compe tencias-e-habilidades/. Acesso em: 17 jul. 2022.

O texto trata sobre as diferenças entre o ensino e a aprendizagem de competências e habilidades no contexto da BNCC.

BOAVIDA, Ana Maria Roque. A argumentação em Matemática: investigando o trabalho de duas professoras em contexto de colaboração. Dissertação (Doutorado em Educação) – Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa, Portugal, 2005. Disponível em: https://repositorio.ul.pt/bits tream/10451/3140/1/ulsd048032_td_Ana_Boavida.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

A autora descreve e analisa experiências voltadas para o desenvolvimento de estudantes em atividades que envolvem argumentação matemática.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010.

Os autores apresentam o resultado de um trabalho sobre a importância do uso da informática na educação matemática.

BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia Rodrigues da; GADANIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014.

Discute-se, nesse livro, a influência das tecnologias digitais no ensino de Matemática nas últimas décadas.

BOUCINHA, Rafael Marimon. Aprendizagem do pensamento computacional e desenvolvimento do raciocínio Tese (Doutorado) – Centro Interdisciplinar de Novas Tecnologias na Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/ bitstream/handle/10183/172300/001058885.pdf?sequen ce=1&isAllowed=y. Acesso em: 9 jul. 2022.

O autor investiga a relação entre a construção do pensamento computacional e o desenvolvimento do raciocínio dos estudantes.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/. Acesso em: 8 jul. 2022.

Documento oficial composto de orientações que norteiam a (re)elaboração dos currículos de referência das escolas das redes pública e privada de ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos essenciais, as competências, as habilidades e as aprendizagens pretendidas para crianças e jovens em cada etapa da Educação Básica.

BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias= 182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 8 jul. 2022.

Documento que define normas sobre Computação na Educação Básica, em complemento à BNCC.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências Caderno de Práticas da Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, [2019?]. Disponível em: http://basenacionalco mum.mec.gov.br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas-cola borativas-a-formacao-de-competencias-2?highlight=WyJt ZXRvZG9sb2dpYXMiLCJhdGl2YXMiLCJtZXRvZG9sb2dpYXM gYXRpdmFzIl0. Acesso em: 14 jul. 2022.

O caderno explora a relevância das metodologias ativas colaborativas para a aprendizagem, abordando conceitos como a Zona de Desenvolvimento Proximal de Vygotsky.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental – Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento que apresenta uma seleção de conhecimentos de cada componente, considerados fundamentais para o exercício da cidadania, além de uma proposta de organização curricular. BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementa cao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Documento explicativo acerca dos Temas Contemporâneos Transversais a serem abordados na Educação Básica.

CARNIELLI, Walter Alexandre; EPSTEIN, Richard L. Pensamento crítico: o poder da lógica e da argumentação. 3. ed. São Paulo: Rideel, 2011.

Os autores apresentam técnicas de como construir bons argumentos e a influência dessa competência no desenvolvimento do pensamento crítico.

CENTRO DE INOVAÇÃO PARA A EDUCAÇÃO BRASILEIRA

(CIEB). Currículo de referência em tecnologia e computação: da Educação infantil ao Ensino Fundamental. São Paulo, 2018. Disponível em: https://curriculo.cieb.net. br/assets/docs/Curriculo_de_Referencia_em_Tecnologia_e_ Computacao.pdf. Acesso em: 20 ago. 2022.

Esse documento propõe uma reflexão sobre os usos das TDICs e apresenta eixos, conceitos e habilidades alinhados à BNCC com o objetivo de favorecer o desenvolvimento de competências de exploração e de uso das tecnologias nas escolas.

COLL, César; MARTÍN, Elena (org.). Aprender conteúdos e desenvolver capacidades. Tradução: Cláudia Schilling. Porto Alegre: Artmed, 2004.

O livro aborda o processo de tomada de decisões que determina o planejamento do currículo, a partir das capacidades e dos conteúdos a serem desenvolvidos.

COLL, César. Atenção à diversidade e qualidade do ensino. Revista Educação Especial, [S. l.], v. 1, n. 1. p. 7-17, 2012. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/educacaoespecial/ article/view/5001. Acesso em: 30 abr. 2022.

O autor compartilha suas reflexões sobre as implicações de uma concepção inclusiva na educação, que considera a diversidade como inerente à condição humana e ao processo de ensino e aprendizagem.

COLL, César. Psicologia e currículo: uma aproximação psicopedagógica à elaboração do currículo escolar. São Paulo: Ática, 2003.

Nesse livro, são apresentadas considerações sobre propostas curriculares que contribuam para o planejamento do ensino, bem como a ação efetiva do processo educativo.

CUCCIOLI, Eliana. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, Celi Espasandin; MUNIZ, Maria Inês Sparrapan (org.). O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. Esse livro trata sobre a importância de tornar os estudantes partícipes das práticas avaliativas.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Cultura de paz e pedagogia da sobrevivência. In: Cultura de paz: da reflexão à ação; balanço da Década Internacional da Promoção da Cultura de Paz e Não Violência em Benefício das Crianças do Mundo. Brasília, DF: Unesco; São Paulo: Associação Palas Athena, 2010. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/ pf0000189919?locale=en. Acesso em: 8 jul. 2022.

Convidado para a palestra magna da série de debates, Ubiratan D’Ambrósio apresenta reflexões acerca da cultura de paz, apresentando-a como necessária à sobrevivência humana.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

O autor apresenta reflexões acerca da Etnomatemática, conceito do qual é um dos fundadores, e propicia uma análise da influência cultural da Matemática.

DEMO, Pedro. Professor/Conhecimento. Brasília, DF: UnB, 2001. p. 1-12. Disponível em: http://funab.se.df.gov. br/wp-content/uploads/2018/11/Demo-2001.-ProfessorConhecimento.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

Nesse artigo, o autor discorre sobre a necessidade da pesquisa científica para a formação humana, destacando ainda as características necessárias ao professor nessa perspectiva.

DIAS, Cláudia; FERNANDES, Denise. Pesquisa e método científicos. Brasília, DF: UFPR, 2000. Disponível em: https:// docs.ufpr.br/~niveam/micro%20da%20sala/aulas/tecnicas_ de_pesquisa/pesquisacientifica.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

Nessa publicação, as autoras apresentam diferentes definições de ciência, pesquisa e método científicos, buscando traçar um paralelo entre o conhecimento científico e o popular.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 53. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2016.

O autor apresenta considerações acerca da formação de professores e de aprimoramento da prática educativa capaz de proporcionar uma aprendizagem eficiente para tornar os estudantes autônomos, críticos e atuantes.

GALVÃO, Eliane Cruz de Santana; ISOTANI, Seiji; TODA, Armando. Pensamento computacional como forma de avançar na aprendizagem de Matemática: um compartilhamento entre o pensamento computacional e a matemática.

In: PÓS-GRADUAÇÃO EM COMPUTAÇÃO APLICADA

À

EDUCAÇÃO, 1., 2020, São Paulo. Anais […]. São Paulo: CAE/ICMC/USP, 2020. Disponível em: https://especializa cao.icmc.usp.br/documentos/tcc/eliane_galvao.pdf. Acesso em: 9 jul. 2022.

Os autores abordam o uso do pensamento computacional como estratégia para resolução de problemas matemáticos.

GRÁCIO, Rui Alexandre Lalanda Martins. Nova retórica e tradição filosófica. Caderno de Filosofias: Argumentação, Retórica, Racionalidades, [S. l.], v. 5, p. 55-69, 1992. Disponível em: https://www.ruigracio.com/pessoal/pdf/NovaRetorica. pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

O artigo traz considerações a respeito da teoria da argumentação do ponto de vista filosófico.

HOFFMANN, Jussara Maria Lerch. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. 33. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014.

A autora apresenta práticas avaliativas desenvolvidas em vários segmentos de ensino, da Educação Infantil ao Ensino Superior. JAPIASSÚ, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de filosofia. 3. ed. rev. e amp. Rio de Janeiro: Zahar, 2001. Disponível em: http://raycydio.yolasite.com/resources/dicionario_de_filoso fia_japiassu.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Esse dicionário apresenta o significado de termos e conceitos filosóficos, auxiliando na compreensão desses conceitos.

KOVALSKI, Larissa. O pensamento analógico na matemática e suas implicações na modelagem matemática para o ensino. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e em Matemática) – Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2016. Disponível em: https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/han dle/1884/56193/R%20-%20D%20-%20LARISSA%20KOVALSKI. pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 27 jul. 2022.

O desenvolvimento do raciocínio matemático por meio da indução, abdução e analogia e as potencialidades desse tipo de pensamento na modelagem matemática.

MACEDO, Lino de. Ensaios construtivistas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994.

O livro reúne textos baseados na experiência do autor acerca da teoria construtivista aplicada à Psicologia e à Educação.

MALHEIROS, Bruno Taranto. Didática geral. São Paulo: LTC, 2012.

O autor trata dos conceitos básicos da Didática, destacando a diferença entre Educação, Pedagogia e Didática, e mostra métodos práticos e técnicas de aprendizagem.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em Educação

Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. Disponível em: http://www.im.ufrj.br/~ nedir/disciplinas-Pagina/Lourdes_Onuchic_Resol_Problemas .pdf. Acesso em: 27 jul. 2022.

A autora apresenta reflexões acerca do ensino de Matemática por meio de resoluções de problemas.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Boletim de Educação

Matemática, Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, dez. 2011. As autoras apresentam os resultados de uma pesquisa sobre a importância e a influência da resolução de problemas na construção de conhecimentos em Matemática.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz no Brasil. Brasília, DF: Unesco, [201-]. Disponível em: https://pt.unesco.org/fieldo ffice/brasilia/expertise/culture-peace. Acesso em: 8 jul. 2022.

A Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (Unesco) apresenta orientações para a promoção da cultura de paz na educação.

ORGANIZAÇÃO DAS NACÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Educação para a cidadania global: preparando alunos para os desafios do século XXI. Brasília, DF: Unesco, 2015. Disponível em: https://unesdoc. unesco.org/ark:/48223/pf0000234311/PDF/234311por.pdf. multi. Acesso em: 9 jul. 2022.

O livro trata da importância de uma educação efetiva para a resolução de questões globais e da formação de cidadãos preparados para os desafios do século XXI.

PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion; ROMANATTO, Mauro Carlos. A matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar, 2010.

Esse livro traz uma concepção histórica de alguns assuntos em Matemática com o objetivo de contextualizar situações e facilitar a prática docente.

PEREIRA, Adriana Soares et al Metodologia da pesquisa científica. Santa Maria: UFSM/NTE, 2018. Disponível em: https://www.ufsm.br/app/uploads/sites/358/2019/02/ Metodologia-da-Pesquisa-Cientifica_final.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

O livro apresenta as principais etapas da pesquisa científica, discorrendo também sobre seus métodos e caracterizando-a como forma de construção do saber.

MATA-PEREIRA, Joana; PONTE, João Pedro da. Promover o raciocínio matemático dos alunos: uma investigação baseada em design Bolema, Rio Claro, v. 32, n. 62, p. 781-801, dez. 2018. Disponível em: https://www.scielo.br/j/bolema /a/JbLWRnZGLJmBYCNYRm4P76J/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 5 jul. 2022.

Nesse artigo, os autores abordam como alguns princípios de design podem favorecer a construção de conhecimentos matemáticos e otimizar a ação do professor.

PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000.

O autor trata da importância do desenvolvimento de um conjunto de competências emergentes que contribuem para a luta contra o fracasso escolar e desenvolvem a cidadania.

POLYA, George. Mathematics and plausible reasoning: Induction and analogy in mathematics. New Jersey: Princeton University Press, 1954a. v. I. Disponível em: https://www.isinj.com/ mt-usamo/Mathematics%20and%20Plausible%20Reasoning%20 I%20-%20Polya%20G.pdf. Acesso em: 27 jul. 2022.

Esse livro trata de aspectos do raciocínio matemático por analogia relacionado ao pensamento inferencial.

PONTE, João Pedro. Tecnologias de informação e comunicação na formação de professores: que desafios? Revista Iberoamericana de Educação, Lisboa, n. 24, p. 63-90, 2000. Disponível em: https://repositorio.ul.pt/handle/10451/3993. Acesso em: 3 ago. 2022.

Nesse artigo, o autor analisa os impactos e as contribuições das tecnologias da informação e comunicação (TIC) na prática docente. POWELL, Arthur; BAIRRAL, Marcelo. A escrita e o pensamento matemático: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. (Perspectivas em educação matemática).

Nesse livro, discute-se como diferentes atividades de escrita podem auxiliar o desenvolvimento da aprendizagem matemática. SANTOS, Márcia Regina Mendes. O estudo das inferências na compreensão do texto escrito. Dissertação (Mestrado em Linguística) – Faculdade de Letras da Universidade de Lisboa, Lisboa, Portugal, 2008. Disponível em: https://repos itorio.ul.pt/bitstream/10451/378/1/19638_ulfl062026_tm.pdf. Acesso em: 7 jul. 2022.

Nesse trabalho, a autora aborda o pensamento inferencial envolvido na leitura e compreensão de textos escritos e como o desenvolvimento desse pensamento pode auxiliar na comunicação de ideia em diversas áreas do conhecimento.

SCHROEDER, Thomas Leonard; LESTER JUNIOR, Frank Klein. Developing understanding in mathematics via problem solving. In: TRAFTON, Paul R.; SCHULTE, Albert P. (ed.). New directions for elementary school mathematics

Reston: NCTM, 1989.

Esse artigo traz reflexões acerca da relevância do método de resolução de problemas na compreensão matemática de estudantes da Educação Básica.

VYGOTSKY, Lev Semionovitch (org.). A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. Tradução: José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna Barreto, Solange Castro Afeche. São Paulo: Martins Fontes, 2007.

Esse livro reúne alguns dos ensaios mais importantes de Vygotski, organizados e editados por estudiosos da obra desse pensador.

Matemática

JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio desde 1985.

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA

Copyright © José Ruy Giovanni Júnior, 2022.

Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira

Direção de Conteúdo e Negócios Cayube Galas

Direção editorial adjunta Luiz Tonolli

Gerência editorial Roberto Henrique Lopes da Silva Edição João Paulo Bortoluci (coord.)

Bianca Cristina Fratelli, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner

Preparação e Revisão Maria Clara Paes (coord.)

Yara Affonso

Gerência de produção e arte Ricardo Borges Design Andréa Dellamagna (coord.)

Sergio Cândido

Projeto de capa Sergio Cândido

Imagem de capa Worraket/Shutterstock.com

Arte e Produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)

Debora Joia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, Kleber Bellomo Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini

Diagramação Wym Design

Coordenação de imagens e textos Elaine Bueno Koga

Licenciamento de textos Amandha Baptista

Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira, Paula Squaiella, Emerson de Lima (trat. imagens) Ilustrações Alberto Llinares, Bentinho, Daniel Bogni, Ilustra Cartoon, Manzi, Marcos Guilherme, MW Editora e Ilustrações, Pedro Paulo Melara, Selma Caparroz, Sonia Vaz

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Giovanni Júnior, José Ruy

A conquista matemática : 9o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2022.

Componente curricular: Matemática. ISBN 978-85-96-03443-2 (aluno)

ISBN 978-85-96-03444-9 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 22-114535 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427 Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

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APRESENTAÇÃO

Por que estudar Matemática? Quais são as aplicações da Matemática no cotidiano? Essas são dúvidas muito comuns, que você também

pode ter. A Matemática está presente em diversas situações do dia a dia, seja em uma contagem, em uma brincadeira, seja nos mais modernos estudos para auxiliar no desenvolvimento de novas tecnologias. Ela ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender as variações da inflação e dos juros, a medir os índices sociais de um país, a compreender e organizar informações, a preservar o meio ambiente, entre outros usos, incluindo as aplicações de figuras geométricas e medidas na arquitetura, na arte e na agricultura.

É importante considerar que a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de conceitos nela presentes. Como em todas as áreas do conhecimento, para compreender e aplicar Matemática, são necessários estudo e dedicação.

Nesta coleção, apresentamos a você as bases desse processo de aquisição de conhecimento, com uma linguagem de fácil compreensão, porém com o rigor que a Matemática exige.

Hoje, vivemos em um mundo em constante e rápida transformação, e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Adquirir conhecimento matemático significa estar integrado às mudanças do mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática! O autor

ABERTURA DE UNIDADE

3

Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos cientistas responsáveis pelos estudos que envolvem a queda livre de corpos. Ele descobriu que o movimento de todo corpo em queda livre, ou seja, abandonado sem que seja aplicada uma velocidade inicial e desprezando-se a resistência do ar, pode ser modelado da seguinte maneira:      1 2 gt d 2 em que d é a altura, em metro, da queda, g é o valor da aceleração da gravidade no local da queda (uma boa aproximação é 9,8 m/s na Terra), e t é o tempo de queda, em segundo. Desse modo, conhecendo a altura da queda, é possível definir uma equação que determine o tempo de queda de um corpo. Por exemplo, para uma altura de 35 metros, temos:      1 2 9,8t2 35

Torre de Pisa e Catedral de Pisa, Toscana (Itália), 2021.

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SAIBA QUE

Como as medidas de segmentos de retas são sempre expressas por números positivos, a razão entre dois segmentos também é um número real positivo. • Se a razão for um número racional, dizemos que os segmentos são comensuráveis Por exemplo: AB CD 1 2 AB CD são segmentos comensuráveis, pois 1 2 um número racional. Se a razão for um número irracional, dizemos que os segmentos são incomensuráveis Por exemplo: MN PQ 2 5 MN e PQ são segmentos incomensuráveis, pois 2 5 é um número irracional.

Escala Um caso típico do uso da razão entre dois segmentos é a escala Acompanhe o exemplo a seguir. Analise o mapa do estado do Rio de Janeiro, com destaque para Petrópolis e Vassouras, municípios do interior fluminense. Neste mapa, a distância, em linha reta, entre esses dois municípios é de aproximadamente 1,83 cm. Sabendo que a distância real, em linha reta, entre Petrópolis e Vassouras é de, aproximadamente, 51 km, qual foi a escala utilizada nesse mapa?

Estado do Rio de Janeiro

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

Galileu foi um físico, matemático, astrônomo e filósofo italiano que teve grande papel na revolução científica. Esse cientista comprovou que, se dois corpos de massas diferentes forem abandonados juntos de uma mesma altura, chegarão ao chão no mesmo instante (desconsiderando-se a resistência do ar). Conta-se que, para ilustrar esse fato, Galileu teria subido a Torre de Pisa e lançado dois objetos esféricos de massas diferentes, os quais teriam chegado simultaneamente ao chão.

SONIA VAZ

MG

Vassouras Petrópolis Rio de Janeiro

RIO DE JANEIRO

OCEANO ATLÂNTICO

Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRARIA E ESTATÍSTICA. Mapa político do Rio de Janeiro. Portal de mapas do IBGE Rio de Janeiro, [c2022]. Disponível em: https://portaldemapas.ibge.gov.br/ portal.php#mapa124. Acesso em: mar. 2022.

Logo, a escala utilizada nesse mapa foi de 1 : 2 786 885,24. Essa razão indica que cada 1 centímetro representado no mapa corresponde a 2786885,24 cm da distância real, ou seja, cada 1 cm corresponde a aproximadamente 28 km. Escala é a razão entre a medida do comprimento de um desenho e a medida do comprimento real correspondente, expressas na mesma unidade. escala medida do comprimentonodesenhomedida do comprimentoreal

Como 51 km equivalem a 5100000 cm, a razão entre a distância representada no mapa e a distância real entre os dois municípios é: 1,83 5100 000 1 2786 885,24 148

148 15:11

Agora, responda às questões no caderno.

• Na equação dada, identifique a incógnita e o coeficiente dessa incógnita. Essa equação

1. Não, pois a razão 540 6 90 é diferente da razão 331 : 4   82,75. Ou seja, o caminhão e o carro apresentaram velocidades médias não proporcionais.

1. Um caminhão percorreu 540 km em 6 horas. Já um carro percorreu uma distância de 331 km em 4 horas. O ca- minhão e o carro, nos percursos citados, apresentaram velocidades médias pro- porcionais? Justifique.

2. Leia as informações e responda.

2 a 300 000 km/s

A distância entre a Terra e o Sol é de, aproximadamente, 150000000 km.

A luz do Sol, para atingir a Terra, leva em torno de 500 segundos.

a) Qual é a velocidade da luz no vácuo?

b) Quantos minutos a luz do Sol leva para chegar à Terra?

Cerca de 8 minutos e 20 segundos.

3. O segmento AB mede 16 cm, e o seg- mento CD mede 40 cm. Qual é a razão entre AB e CD nas formas fracionária e decimal?

2 5 e 0,4.

4. A razão entre dois segmentos é 0,4, e o maior deles mede 8 m. Qual é a medida do menor segmento, em metro?

5. Na figura a seguir, a representa a medida do segmento AB e b a medida do segmento BC

A B C b

3,2 m 9, b 15; AB BC 3 5 ou 0,6.

Sabendo que a b correspondem às raízes da equação x 24x + 135 0, determine b e calcule a razão entre AB e BC 6. Um terreno quadrangular tem 15 m de comprimento. Esse comprimento foi representado em um desenho por um segmento de reta de 5 cm. Qual foi a escala usada nesse desenho?

1 : 300

7. Um segmento de reta de 2 cm de compri- mento representa, no papel, uma estrada reta que tem 20 km de comprimento. Nessa mesma representação, um seg- mento de reta de 8 cm representa que medida de comprimento real?

8. Em 1988, foi criado o estado de Roraima. Boa Vista, capital do estado, apresenta clima quente e úmido, com duas esta- ções climáticas bem definidas: a estação das chuvas (de abril a setembro) e o verão (de outubro a março). No mapa, que está representado com escala de 1 50 000000, use uma régua e meça a distância, em linha reta, entre Boa Vista e Brasília. Depois, determine a distância real aproximada, em quilômetro, em linha reta entre Brasília e Boa Vista.

é de 1 grau? Justifique.

• De acordo com a equação, aproximadamente quanto tempo levará para um corpo cair de uma altura de 35 metros? Aproximadamente 2,67 s.

A incógnita é t e o expoente é 2. Não, pois em uma equação do 1 grau, o expoente da incógnita é 1, e na equação apresentada, o expoente é 2. 89

ATIVIDADES

No decorrer das Unidades, são apresentadas diferentes atividades. Com elas, você poderá desenvolver estratégias para resolver e elaborar problemas e compartilhá-las com os colegas.

SAIBA QUE

Traz informações complementares importantes, que você pode consultar de maneira prática ao longo dos capítulos.

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Com um estilo diferenciado, as páginas de abertura trazem imagens, textos e questões sobre conceitos que serão estudados em cada Unidade.

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Nesta seção, você vai observar como a organização e a análise de dados facilitam o entendimento de informações, além de conhecer conceitos de probabilidade e estatística.

270

INTERPRETANDO INFORMAÇÕES INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

No Brasil os efeitos foram particularmente significativos, não somente em função da

O PNAD Covid-19 também publicou dados sobre o afastamento do trabalho em decorrência do distanciamento social, indicando o percen- tual de trabalhadores afastados por ocupação e categoria de emprego, em novembro de 2020. Acompanhe.

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queda sem precedentes da população ocupada e da população economicamente ativa, mas

Aopoupar,vocêacumulavaloresfinanceirosnopresenteparaseremutilizadosnofuturo.

Os valores poupados no presente e investidos durante um, dois ou mais anos poderão fazer uma diferença significativa na qualidade de vida do poupador no futuro.

Assim, são vários os motivos para poupar: precaver-se diante de situações inesperadas, preparar para aposentar-se, realizar sonhos etc. [...]

Poupança e investimento [...] poupança é a diferença entre as receitas e as despesas, ou seja, entre tudo que ganhamos e tudo que gastamos. E investimento? Investimento é a aplicação dos recursos que poupamos, com a expectativa de obtermos uma remuneração por essa aplicação

Você sabe a diferença entre poupança e caderneta de poupança?

SINGKHAM/SHUTTERSTOCK.COM

Cuidando_do_seu_dinheiro_Gestao_de_Financas_Pessoais/caderno_cidadania_financeira.pdf.https://www.bcb.gov.br/content/cidadaniafinanceira/documentos_cidadania/

Acesso em: 25 abr. 2022.

Ao estabelecer metas e prazos, pode-se ter uma ideia de quanto é preciso guardar por mês para realizar um sonho, por exemplo.

Como você observou no texto, é muito importante planejar os gastos e poupar regularmente.

1. Ricardo tem 14 anos e já está pensando no futuro: ele pretende economizar R$ 50,00 por mês. Por meio de uma função, pode-se relacionar a quantia total economizada por ele ao longo dos meses pela expressão y 50x, em que y é o total economizado, e x, a quantidade de meses.

também pelo fato de que, diferentemente de recessões anteriores, desta vez os trabalha

Responda no caderno.

dores informais foram mais atingidos que os formais. Em particular, embora a redução

do emprego formal em 2020 tenha sido expressiva ( 4,2%), a queda no emprego informal

4. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes indiquem a carência de estabilidade profissional e a dificuldade de acesso a itens de proteção social ou a seguros de vida e de saúde como possíveis causas para o desfavorecimento dos trabalhadores informais durante a pandemia de covid-19.

foi proporcionalmente três vezes maior ( 12,6%). [...] Além do forte impacto negativo da pandemia no mercado de trabalho no curto

e longo prazo. [...] VELOSO, Fernando. O impacto da pandemia no mercado de trabalho. Blog do IBRE – FGV. Rio de Janeiro, 22 mar. 2021. Blogue. Disponível em: https://blogdoibre.fgv.br/posts/o-impacto-da-pandemia-no-mercado-de-trabalho. Acesso em: 28 maio. 2022.

prazo, estudos recentes mostram que seus efeitos também serão significativos a médio

(IBGE) realizou a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios – PNAD Covid-19. Um dos objetivos dessa pesquisa foi monitorar os impactos da pandemia no mercado de trabalho brasileiro. Os dados divulgados por essa pesquisa sobre a quantidade de pessoas ocupadas por categoria de emprego, em novembro de 2020, estão registrados a seguir.

Em 2020, primeiro ano da pandemia de covid-19, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

GLOSSÁRIO

Pessoa ocupada: de acordo com o IBGE, é toda pessoa que exerce atividade profissional (formal ou remuneradainformal, ou não).

de pessoas ocupadas por categoria de emprego em novembro de

de

Representação de cena de teste de temperatura realizado em trabalhadores na chegada ao local de trabalho.

Conta-própri Trabalhador

familiar

Covid-19.

pandemia no trabalho. Rio de Janeiro, nov. 2020. Disponível em: pnad-covid/trabalho.php.https://covid19.ibge.gov.br/ Acesso em: 28 maio 2022.

BOLDG/SHUTTERSTOCK.COM

22/06/22 21:50

desocupação, renda, afastamentos, trabalho remoto e outros efeitos da pandemia no trabalho. Rio de Janeiro,

no caderno.

nov. 2020. Disponível em: https://covid19.ibge.gov.br/pnad-covid/trabalho.php. Acesso em: 28 maio 2022. De acordo com as informações do texto, da tabela e do gráfico, responda às questões

2. Categoria militar e servidor estatutário. Esse percentual corresponde a 553420 trabalhadores.

de 2020? Aproximadamente 84,7 milhões de brasileiros. 2. Que categoria de emprego teve o maior percentual de afastamento do trabalho em decorrência do distanciamento social em novembro de 2020? Esse percentual corresponde a quantos trabalhadores dessa categoria?

1. Aproximadamente, quantos milhões de brasileiros tinham uma ocupação em novembro

3. Que categoria teve a maior quantidade de trabalhadores afastados em decorrência do distanciamento social em novembro de 2020? Quantos trabalhadores foram afastados?

4. Junte-se a um ou mais colegas, e pesquisem a seguinte afirmação do texto: “diferentemente de recessões anteriores, desta vez os trabalhadores informais foram mais atingidos que os formais.”. Converse com os colegas e o professor sobre o resultado dessa pesquisa, e debatam sobre os principais impactos sociais da pandemia de covid-19.

3. Categoria de empregado do setor privado com carteira assinada. Foram afastados 673365 trabalhadores.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

271

Conceitos de educação financeira são apresentados para desenvolver reflexões sobre temas relevantes, como consumo consciente, planejamento financeiro, economia etc.

Considerando essa função, responda.

a) Quanto Ricardo terá economizado depois de

R$ 600,00

1 ano?

R$ 5.400,00

b) Calculequantodinheiroeleterá,seguardaresse valor mensal durante nove anos.

c) Qual é a diferença entre o valor obtido no item b e o valor mostrado neste gráfico, que corresponde a colocar esse dinheiro em um investimentorendendojuroemvezdesimplesmente guardá-lo? Essa diferença corresponde a que percentual do total economizado?

EDITORIA DE ARTE 8.000,00 7.000,00 6.000,00 5.000,00 4.000,00 1.000,00 2.000,00 Tempo (em ano) 3.000,00 0 Saldo (R$) 12 345678 9 620,27 1.279,581.980,39 2.725,31 3.517,13 4.358,78 5.253,42 6.204,37 7.215,18 Saldo do investimento com depósito mensal de R$ 50,00 com incidência de juro de 0,51% ao mês Elaborado com base em: APLICAÇÃO com depósitos regulares. Banco Central do Brasil Brasília, DF, 30 maio 2022. Disponível em: https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/ exibirFormAplicacaoDepositosRegulares.do?method=exibir FormAplicacaoDepositosRegulares. Acesso em: 30 maio 2022. D2-MAT-F2-2103-V9-U9-258-271-LA-G24_AV3.indd 27/06/22 12:31

TECNOLOGIAS

Nesta seção, você é convidado a utilizar diferentes recursos digitais para resolver e elaborar problemas. São apresentadas, ainda, noções relacionadas à lógica de programação.

PRO500/SHUTTERSTOCK.COM 240

REPRESENTANDO POLÍGONOS REGULARES COM O USO DE UM SOFTWARE DE GEOMETRIA A seguir, vamos utilizar o software GeoGebra para representar um polígono regular. Primeiramente, devemos escolher a quantidade de lados e a medida do lado do polígono que será representado. Neste exemplo, vamos construir um polígono regular de 9 lados (eneágono regular), cuja medida do lado é 3 cm. Acompanhe. Acesse o link https://www.geogebra.org/classic?lang=pt (acesso em: 2 abr. 2022) para abrir uma tela do GeoGebra. Com o botão direito, clique na janela de visualização para ocultar os eixos e a malha, como descrito na página 138 Selecione a ferramenta (Reta) e clique em dois pontos na janela de visualização para construir a reta suporte AB 1 Para definir a medida do lado do polígono, selecione a ferramenta Reta e, em seguida, a opção (Segmento com Comprimento Fixo). Depois, clique na parte superior da janela de visualização, digite 3 no boxe Comprimento e clique em OK Figura 1).

REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

FOTOGRAFIAS:

3 A soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo de um polígono é igual a 180°. Assim, para calcular a medida do ângulo interno do polígono que será representado, fazemos: a 180 aa 180 360 9 180 40 a 140 =° _h=°=° _° h= Para construir o ângulo interno desse polígono, selecione a ferramenta (Ângulo com Amplitude Fixa) e clique nos pontos E e A nessa ordem. Em seguida, digite 140° no boxe Ângulo selecione a opção sentido anti-horário e clique em OK (Figura 3). Utilizando novamente a ferramenta (Ângulo com Amplitude Fixa), clique nos pontos A e E nessa ordem, digite 140° no boxe Ângulo selecione a opção sentido anti-horário e clique em OK Repita esse processo para obter os outros sete pontos (Figura 4).

Figura 4

2 Depois, selecione a ferramenta (Compasso), clique no segmento CD, depois no ponto A para representar a circunferência de centro A e raio igual a 3 cm. Em seguida, utilize a ferramenta (Interseção de Dois Objetos) para marcar o ponto E correspondente à intersecção da reta AB e a circunferência construída anteriormente Figura 2).

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Figura 1

Figura 3 4 Clique com o botão direito do mouse em cada indicação de ângulo para ocultá-la. Em seguida, utilize a ferramenta (Segmento) para ligar os pontos representados e obter os lados do eneágono regular Figura 5), cuja medida de cada lado é 3 cm.

2.

1. Escolha a quantidade n de lados e a medida do lado l de um polígono regular. Em seguida, utilize o GeoGebra para construir esse polígono regular.

Elabore, no caderno, um fluxograma com as etapas da construção do polígono obtido na atividade 1

5 27/06/22 20:54 5

27/06/22 12:33 263

A IMPORTÂNCIA DE POUPAR Leia, a seguir, o trecho de um texto.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Figura 2

TECNOLOGIAS

240 20:44

Figura 5

1 pessoal.RespostaExemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA PRO500/SHUTTERSTOCK.COM 241

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BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1 e 7

Competências específicas:

• 1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades:

Números

• EF09MA01 • EF09MA04

• EF09MA02 • EF09MA07

• EF09MA03

Grandezas e medidas

• EF09MA18

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Ciência e Tecnologia

• Educação Financeira

• Educação para o Consumo

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em quatro capítulos; ela apresenta os conteúdos por meio de exemplos e atividades diversificadas, traz seções que propiciam a reflexão e a argumentação, que contribuem para despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e favorecem com maior ênfase o desenvolvimento das competências gerais 1 e 7.

No primeiro capítulo, são apresentados os números irracionais e como reconhecer que todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica é um número irracional. Esse estudo favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA01 e EF09MA02. No segundo capítulo, aborda-se o estudo do conjunto dos números reais e as operações com esses números, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA03. No terceiro capítulo, abordam-se potências de um número real e notação científica. No quarto capítulo, são apresentados conteúdos sobre os radicais, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF09MA04.

OBJETIVOS

• Reconhecer números irracionais e números reais.

• Compreender o surgimento dos números irracionais.

NÚMEROS REAIS, POTÊNCIAS E RADICAIS 1

Até agora, você estudou os conjuntos dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais. A cada conjunto numérico já estudado, foram agregados novos números, formando um novo conjunto numérico.

O conjunto dos números inteiros agregou ao conjunto dos números naturais os opostos deles, enquanto o conjunto dos números racionais agregou ao conjunto dos números inteiros todos os outros números na forma a b , em que a e b são números inteiros e b 5 0, e que podem ser escritos na forma decimal ou na forma de fração.

Ainda assim, com esses conjuntos não é possível escrever todos os números existentes. Temos, por exemplo, o número p, que, entre outras aplicações, é muito utilizado no estudo de circunferência. Acompanhe a seguir um pouco da história do número p

por volta de 1650 a.C., mostra que os matemáticos egípcios utilizavam o valor 3,16 para o número p

• Reconhecer um número irracional como um número real e estimar a localização de alguns desses números em uma reta numérica.

• Explorar potências de 10 e a notação científica.

• Resolver problemas envolvendo cálculos com potências de expoentes naturais e inteiros negativos.

• Determinar potências com expoente fracionário.

• Efetuar cálculos com números reais.

• Aplicar as propriedades de radicais.

• Simplificar radicais.

• Efetuar operações envolvendo radicais.

• Resolver e elaborar problemas com números reais envolvendo diferentes operações.

• Compreender e utilizar a calculadora científica para realizar cálculos envolvendo radiciação.

JUSTIFICATIVAS

DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresenta-se o estudo dos números naturais, potência e radicais, propiciando

(287 a.C.-212 a.C.) atribuía a p um valor entre 3 10 71 e 3 10 70

THE TRUSTEES OF THE BRITISH MUSEUM C/O SCALA, FLORENCE

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Agora, pense um pouco e responda no caderno.

• Como o número p não é um número natural, nem inteiro nem racional, ele faz parte de outro conjunto de números. Que outro número você imagina que possa fazer parte desse conjunto? Esse número deve ter alguma propriedade em comum com o número p?

• Como podemos obter uma aproximação para o número p?

• Em 2021, o número p foi escrito com 62,8 trilhões de dígitos na parte decimal. Como são muitos dígitos, não utilizamos todos sempre que precisamos fazer um cálculo matemático. Como fazer, então, para usar esse número nos cálculos?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Antes de iniciar o estudo desta Unidade, se possível, realize um planejamento detalhado, incluindo, além dos objetivos, conteúdos e estratégias, diferentes momentos em que considera adequado realizar retomadas e possibilidades de avaliações. Nesse sentido, vale comentar que o planejamento deve ser o mais flexível possível, pois, por mais que possa ser considerado um momento de programação de ações, também pode ser considerado um momento de reflexão e de pesquisa.

era, chegou a um valor entre 3,1415926 e 3,1415927, resultado surpreendente

Lambert (1728-1777), matemático nascido em Mulhouse (região da Alsácia), na época, parte do território suíço, foi o primeiro a provar que o número p é irracional.

Em 2021, a Universidade de Ciências Aplicadas de Graubünden (Suíça) calculou o número p com uma precisão de 62,8 trilhões de dígitos na parte decimal. Para fazer o download de todos esses dígitos, seria necessário um disco rígido com capacidade de armazenagem equivalente a 64 terabytes

É interessante, antes de começar a abordar as questões propostas na abertura desta Unidade, conversar com a turma e verificar se os estudantes conhecem ou já ouviram falar no número p e o que sabem sobre ele. Depois, pode-se dar continuidade abordando os textos que compõem a abertura. Nesse momento, é importante que eles compreendam que os conhecimentos matemáticos que hoje estão construídos são resultado de esforços humanos em diferentes períodos da história da humanidade. Esse estudo favorece com maior ênfase o desenvolvimento da competência específica 1 da área de Matemática.

o desenvolvimento das habilidades EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18. No boxe Fórum, promover uma reflexão sobre as missões espaciais. Desse modo, busca-se desenvolver a capacidade de argumentação e favorecer o desenvolvimento da competência geral 7 e da competência específica 3 da área de Matemática.

Na seção Por toda parte, os estudantes são convidados a aplicar seus conhecimentos de notação científica e potenciação e a

realizar aproximações. Esse estudo favorece o desenvolvimento da competência geral 7 e das competências específicas 3 e 8 da área de Matemática.

Na seção Educação financeira, é discutido o que é e qual é a importância de uma reserva de emergência. Esse tipo de discussão favorece o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Educação Financeira e Educação para o Consumo e da competência específica 2 da área de Matemática.

À medida que a discussão avança, pode-se conversar com os estudantes a respeito das motivações que podem ter influenciado os estudiosos a se debruçar em estudos sobre o número p na Grécia antiga, na China e na Europa. Se possível, solicite a eles que realizem uma pesquisa sobre matemáticos que, ao longo da história, ajudaram a desenvolver os conhecimentos acerca do número p

SPL/LATINSTOCK

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A Geometria e a descoberta do número irracional

Antes de iniciar este capítulo, pode-se fazer uma retomada, com os estudantes do conjunto dos números naturais, do conjunto dos números inteiros e do conjunto dos números racionais. Existem diversas possibilidades para proporcionar esse momento.

Uma sugestão é propor aos estudantes que elaborem uma lista, um cartaz ou um arquivo pessoal com exemplos de números que fazem parte de cada conjunto numérico citando, por exemplo, limitações das operações com os números em cada conjunto. Outra possibilidade é fazer uso da reta numérica para localizar números naturais, números inteiros e números racionais.

Retomadas proporcionam um momento para verificação dos conhecimentos prévios dos estudantes. Além da sondagem de conhecimentos prévios, é possível fazer um planejamento de aulas mais assertivo para a realidade de cada turma.

As explorações propostas neste capítulo auxiliam os estudantes a identificar um número irracional e a reconhecer que todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica é um número irracional. Esse estudo favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA02.

A GEOMETRIA E A DESCOBERTA DO NÚMERO IRRACIONAL CAPÍTULO1

Observe, a seguir, a malha pontilhada em que representamos um triângulo retângulo isósceles (colorido de verde) e construímos representações de quadrados (coloridos de amarelo) com um dos lados comum a cada lado desse triângulo.

Considerando o quadrado vermelho como unidade de área, vamos determinar o número que expressa a área de cada quadrado amarelo.

AMPLIANDO

• Área do quadrado que tem um dos lados comum ao lado maior do triângulo: 2 unidades de área.

• Área de cada quadrado que tem um dos lados comum a um dos lados menores do triângulo: 1 unidade de área. Com esses números, podemos escrever a igualdade:

Valor numérico da área do quadrado, que tem um dos lados comum ao maior lado do triângulo.

Valor numérico da área do quadrado, que tem um dos lados comum a um dos lados menores do triângulo.

Valor numérico da área do quadrado, que tem um dos lados comum ao outro lado menor do triângulo.

2 = 1 + 1

Em uma malha pontilhada como a anterior, vamos observar outro triângulo retângulo isósceles (colorido de roxo) e os quadrados (coloridos de azul) com um dos lados comum a cada lado desse triângulo.

Propor aos estudantes que formem duplas e utilizem papel quadriculado para representar triângulos retângulos isósceles, cujos lados de mesma medida coincidem com lados dos quadrados das malhas, como os apresentados no Livro do estudante, na malha pontilhada. Depois, solicitar a eles que construam os quadrados com um dos lados comum a cada lado do triângulo isósceles obtido e observem o que ocorre com as áreas, compa-

rando o valor numérico da área do quadrado construído sobre o maior lado com a soma dos valores numéricos das áreas dos quadrados construídos com um lado comum a cada um dos lados menores, que, nesse caso, têm a mesma medida. Ao realizar essa atividade investigativa, espera-se que os estudantes observem a relação de igualdade existente nessa comparação, como é sistematizado na página 15 do Livro do estudante.

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

EDITORIA DE ARTE

Considerando ainda o quadrado vermelho como unidade de área, vamos determinar o número que expressa a área de cada quadrado azul.

• Área do quadrado que tem um dos lados comum ao lado maior do triângulo: 8 unidades de área.

• Área de cada quadrado que tem um dos lados comum a um dos lados menores do triângulo: 4 unidades de área. Com esses números, podemos escrever a igualdade:

Valor numérico da área do quadrado, que tem um dos lados comum ao maior lado do triângulo.

Valor numérico da área do quadrado, que tem um dos lados comum a um dos lados menores do triângulo.

Valor numérico da área do quadrado, que tem um dos lados comum ao outro lado menor do triângulo.

8 = 4 + 4

Esse fato vai se repetir sempre que considerarmos um triângulo retângulo isósceles, e, também, para um triângulo retângulo qualquer. Essa propriedade será demonstrada na Unidade 7

Dado um triângulo retângulo qualquer, a área do quadrado que tem um dos lados comum ao maior lado desse triângulo é igual à soma das áreas dos quadrados, que têm um dos lados comum a cada um dos outros dois lados desse triângulo.

Acompanhe a seguinte situação.

ILUSTRAÇÕES: 1 x 15

Se considerar oportuno, solicitar aos estudantes que, em uma malha quadriculada, façam triângulos retângulos quaisquer, sempre com cada um dos lados menores em comum com lados de quadrados da malha. Eles podem fazer essa exploração em duplas e consultar as páginas do Livro do estudante sempre que sentirem necessidade. Explorações desse tipo podem contribuir para que compreendam a relação estudada entre o quadrado da medida de cada lado de um triângulo.

Após as explorações e a formalização da relação, verificar se ficou claro para eles que a relação apresentada é válida para qualquer triângulo retângulo, mesmo que não seja um triângulo isósceles.

15

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Solicitar aos estudantes que utilizem a malha quadriculada da atividade da página 15 para determinar a expressão que indica a medida da diagonal de um quadrado. Comentar que a relação estudada na página anterior pode ser utilizada, uma vez que a diagonal do quadrado divide a figura em dois triângulos isósceles.

Antes de iniciar a estratégia sugerida para localizar o número irracional 2 em uma reta numérica por meio da construção do triângulo retângulo isósceles de lado 1 u.c., é possível fazer algumas explorações com a reta numérica. Por exemplo, representar uma reta numérica na lousa, localizar o número zero e alguns números naturais; depois, podem localizar alguns números inteiros negativos. Perguntar que números ainda podem ser localizados. Nesse caso, espera-se que os estudantes se lembrem dos números racionais na forma de fração e na forma decimal. Após a localização de alguns números racionais, comentar com eles que é impossível representar todos os números racionais em uma reta numérica, pois entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais. Além disso, mesmo que fosse possível representar todos os números racionais, haveria pontos nessa reta sem números racionais a eles associados. Esses pontos são os pontos correspondentes aos números irracionais. Esse estudo favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA01 e EF09MA02.

Aplicando a propriedade estudada, temos a seguinte figura:

Pela figura, obtemos:

Valor numérico da área do quadrado, que tem um dos lados comum ao maior lado do triângulo.

Soma dos valores numéricos das áreas dos quadrados, que têm um dos lados comum a cada um dos outros dois lados do triângulo.

x 2 = 12 + 12

x 2 = 1 + 1

x 2 = 2 ou x x = 2

Como x é a medida do maior lado, x . 0. Então, o valor numérico de x, que verifica essa equação, é a raiz quadrada do número 2, ou seja, 2

A seguir, vamos observar como localizar o número irracional 2 em uma reta numérica, por meio da construção de um triângulo retângulo isósceles. Acompanhe.

Vamos construir um triângulo retângulo isósceles cujos lados menores medem 1 unidade, com um dos catetos localizado sobre a reta numérica.

Já estudamos que o maior lado desse triângulo mede 2 unidade. O ponto correspondente a esse valor na reta numérica pode ser encontrado ao colocar a ponta-seca do compasso em 0 e tomar como raio a medida da hipotenusa. O ponto em que a ponta de grafite cruza a reta numérica corresponde a 2

AMPLIANDO

Caso seja possível, pode-se propor uma pesquisa sobre Pitágoras, quem foram os pitagóricos e o estudo dos números irracionais ao longo da história. A seguir, há um trecho de um texto sobre a descoberta dos números irracionais.

[…] Deve ter sido um choque descobrir que há pontos na reta que não correspondem a nenhum número racional. Essa

descoberta foi uma das grandes realizações dos pitagóricos. Em particular os pitagóricos provaram que não há nenhum número racional ao qual corresponda o ponto P da reta no caso em que OP é igual à diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade (ver Figura 14). Novos

Podemos fazer uma construção similar para localizar o número irracional 3 na reta numérica. A partir da figura anterior, vamos construir um triângulo retângulo cujos lados menores medem 1 e 2 . Pela propriedade apresentada, podemos verificar que a medida do maior lado desse triângulo é 3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Analisando essas construções geométricas, é possível perceber que os números irracionais

2 e 3 estão entre os números 1 e 2 na reta numérica.

Os números 2 e 3 não são quadrados perfeitos, ou seja, não são quadrados de um número natural. Então, vamos calcular um valor aproximado para 2 e 3

1 O número 2 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4, pois 1 = 12 e 4 = 22. Então, fazemos tentativas.

(1,1)2 = 1,21 e 1,21 , 2

(1,2)2 = 1,44 e 1,44 , 2

(1,3)2 = 1,69 e 1,69 , 2

(1,4)2 = 1,96 e 1,96 , 2

(1,5)2 = 2,25 e 2,25 . 2

Observamos, portanto, que 2 está entre 1,4 e 1,5. Continuando o cálculo, temos:

(1,41)2 = 1,9881 e 1,9881 , 2

(1,42)2 = 2,0164 e 2,0164 . 2

Então, 2 está entre 1,41 e 1,42. Prosseguindo com o cálculo, temos:

(1,411)2 = 1,990921 e 1,990921 , 2

(1,412)2 = 1,993744 e 1,993744 , 2

(1,413)2 = 1,996569 e 1,996569 , 2

(1,414)2 = 1,999396 e 1,999396 , 2

(1,415)2 = 2,002225 e 2,002225 . 2

Desse modo, verificamos que 2 está entre 1,414 e 1,415. Então, podemos considerar 1,414 um valor aproximado para 2

Nessas páginas, apresenta-se o teorema de Pitágoras de maneira informal, pois o conteúdo será explorado na Unidade 7 deste volume. Neste momento, é importante que os estudantes compreendam que a área do quadrado que tem um dos lados comum ao maior lado do triângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm um dos lados comum a cada um dos outros lados do triângulo. Essa relação é chamada de teorema de Pitágoras, e pode-se indicá-la da seguinte maneira: a2 = = b2 + c2. Essa relação auxilia na localização de alguns números irracionais na reta numérica, à qual atentaremos neste momento. Desse modo, propicia-se o desenvolvimento das habilidades EF09MA01 e EF09MA02.

números tiveram de ser inventados para serem associados a esses pontos; e não sendo racionais, vieram a se chamar números irracionais (o que significa números não racionais). A descoberta desses números assinala um dos grandes marcos da história da matemática.

O I Figura 14 P

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 5. ed. Campinas: Editora Unicamp. 2011. p. 105.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ao realizar os cálculos para encontrar o valor aproximado de 2 e de 3, verificar se os estudantes têm alguma dúvida sobre oprocesso realizado e se compreenderam que esses números são irracionais e, por esse motivo, é possível calcular um valor aproximado para cada um deles.

A seguir, há um trecho de um texto que, se possível ou se julgar oportuno, pode ser compartilhado com os estudantes, favorecendo com maior ênfase o desenvolvimento da competência específica 1 da área de Matemática quanto à valorização da construção histórica dos conhecimentos matemáticos.

Desde o século VI a.C., os matemáticos gregos, a começar por um certo Pitágoras, já tinham descoberto que a diagonal de um quadrado “não tem medida comum” com o seu lado. [...] Foi a descoberta do que hoje denominamos ‘‘números irracionais’’, os que não são nem inteiros nem frações. [...]

A categoria dos números irracionais ficou ainda pouco precisa durante séculos por causa das notações imperfeitas de outrora, que não permitiam a representação destes números de um modo coerente [...].

Beneficiados por uma notação numérica muito eficaz e por uma ciência cada vez mais avançada, os matemáticos europeus dos tempos modernos conseguiram ter sucesso [...]. Eles descobriram que estes números eram identificáveis a números decimais sem fim, cujos algarismos após a vírgula nunca se reproduzem na mesma ordem

Fonte: SOUZA, Eronildo de Jesus. Sobre a história dos números. Instituto Federal da Bahia. [Salvador], [20--?]. Disponível em: http://www.ifba.edu.br/dca/ Corpo_Docente/MAT/EJS/SOBRE_ A_HISTORIA_DOS_NUMEROS. pdf. Acesso em: 27 jun. 2022.

2 O número 3 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4, pois 1 = 12 e 4 = 22

Para calcular um valor aproximado de 3 , podemos fazer tentativas.

• (1,1)2 = 1,21

• (1,2)2 = 1,44

• (1,3)2 = 1,69

• (1,4)2 = 1,96

• (1,5)2 = 2,25

• (1,6)2 = 2,56

• (1,7)2 = 2,89

• (1,8)2 = 3,24

Desse modo, verificamos que 3 está entre 1,7 e 1,8.

Vamos continuar o cálculo:

• (1,71)2 = 2,9241

• (1,72)2 = 2,9584

• (1,73)2 = 2,9929

• (1,74)2 = 3,0276

Verificamos que 3 está entre 1,73 e 1,74.

Prosseguindo com o cálculo, temos:

• (1,731)2 = 2,996361

• (1,732)2 = 2,999824

• (1,733)2 = 3,003289

Pelos últimos cálculos, verificamos que 3 está entre 1,732 e 1,733.

Então, podemos considerar que um valor aproximado para 3 é 1,732.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

Os números 2 e 3 são números irracionais, ou seja, têm representação decimal infinita e não periódica. Por isso, é possível calcular apenas um valor aproximado para esses números.

Atividades

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A atividade 1 trabalha o cálculo e a localização de 8 na reta numérica, utilizando como base a diagonal de um quadrado de lado 2. Lembrar aos estudantes que, para qualquer quadrado, a medida da diagonal pode ser calculada usando a relação que envolve os lados do triângulo retângulo. Nessa seção Atividades, prossegue-se odesenvolvimento da habilidade EF09MA02.

a) Calcule a medida da diagonal desse quadrado.

b) Colocando a ponta-seca do compasso em 0 e considerando a medida da diagonal como raio, localize, na reta numérica, o número 8

c) Determine o valor aproximado desse nú mero irracional, com duas casas decimais.

1.b) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Observe a representação do quadrado da imagem.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2. Considere um triângulo retângulo cujos lados menores medem 2 cm e 1 cm.

a) Calcule a medida do maior lado desse triângulo.

b) Em uma folha de papel quadriculado, construa uma representação do triângulo anterior. O lado de 2 cm deve estar sobre uma reta numérica, com origem no zero e escala crescente de uma em uma unidade. Colocando a ponta-seca do compasso na origem e considerando como raio a medida do maior lado do triângulo, localize, na reta numérica, o número 5

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3. Sabemos que 5 está entre 2 e 3. Determine o valor aproximado desse número irracional, com duas casas decimais.

2,23

4. Qual deve ser o valor do número x, não negativo, para que se tenha x 2 = 7? Determine o valor aproximado desse número irracional, com duas casas decimais. Justifique sua resposta e compare-a com a dos colegas.

UM NÚMERO IRRACIONAL IMPORTANTE: O NÚMERO p (PI)

Sabemos que, ao dividir a medida do comprimento de uma circunferência pela medida do diâmetro dela (na mesma unidade de medida), obtemos sempre o mesmo valor. Esse valor é o número p. Vamos relembrar esse fato com o exemplo a seguir.

• Se medirmos o contorno deste anel, encontraremos, aproximadamente, 52 mm de comprimento da circunferência externa representada e 16,55 mm de diâmetro externo.

No exemplo, o número 3,1419 é um número que se aproxima do número p O número p é um número irracional, pois tem representação decimal infinita e não periódica, 3,14159265... Por ser um número irracional, nas aplicações, utilizamos uma aproximação do valor de p, em geral 3,14.

Como verificamos na abertura desta Unidade, o número p é muito importante na Matemática e cujas aproximações foram exploradas por muitos matemáticos e cientistas ao longo da História. Leia o trecho de um texto sobre o número p

[...]

A letra grega foi adotada como notação para este número usando-se a palavra grega para perímetro: “peTµmetTBP”, provavelmente por William Jones em 1706 [...].

[...] o homem persegue a precisão do número desde a antiguidade, começando pelos egípcios, [...] no Papiro de Ahmes [...].

[...]

E daí em diante, a precisão de p foi só aumentando, principalmente com o surgimento dos computadores, passando de 3 casas decimais a 8 quadrilhões de casas decimais em 2013 pela  The Santa Clara University

[...]

Além das aplicações rotineiras em que usamos o Pi, como nas aulas de Geometria [...], há também outros campos em que o número Pi desempenha grande importância [...] 19

Na atividade 2, acompanhar os estudantes na construção da figura solicitada. Se apresentarem dificuldade de executar essa construção, pedir-lhes que retomem as construções realizadas nas páginas 16 e 17 do Livro do estudante.

As atividades 3 e 4 envolvem o cálculo do valor aproximado de um número irracional. Verificar se os estudantes conseguem aplicar a técnica apresentada nesta Unidade e pedir-lhes que comparem os resultados obtidos com o de alguns colegas e observem se as aproximações foram semelhantes.

Um número irracional importante: o número p (pi)

Neste momento, caso tenha interesse, é possível realizar uma atividade experimental com os estudantes. Pode-se solicitar-lhes que levem para a sala de aula objetos circulares para os quais seja possível obter a medida do comprimento da circunferência e a medida do diâmetro utilizando uma fita métrica.

Depois, com o auxílio de uma calculadora, devem dividir a medida do comprimento pela medida do diâmetro e comparar os valores obtidos. É importante que eles atentem para o fato de que as medidas devem ser consideradas na mesma unidade de medida. Espera-se que os estudantes percebam que o valor obtido é sempre próximo de p

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27/06/22 08:49 AMPLIANDO

Link

NÚMERO Pi, história e aplicações. Derivando a matemática. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica – Unicamp. Campinas, [2020?]. Disponível em: http://www.ime.unicamp.br/ ~apmat/numero-pi/. Acesso em: 26 jun. 2022.

No link, é possível encontrar um pouco da história do número p e algumas aplicações que envolvem o uso desse número irracional conhecido e estudado há tanto tempo.

Além de compreender que o número p é obtido pela razão do comprimento de uma circunferência pela medida do diâmetro dela, é importante que os estudantes compreendam que esse é um número irracional de muita importância histórica, utilizado, também, em aplicações no cotidiano.

Depois da leitura conjunta do texto sobre o número p, é possível promover uma conversa sobre os temas tratados no texto e, se julgar oportuno, propor uma pesquisa sobre outras aplicações desse número em situações do dia a dia.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas nessa seção exploram situações que envolvem a aplicação do número p e do cálculo de medidas da circunferência (comprimento, diâmetro ou raio).

É importante que os estudantes compreendam a relevância do conhecimento acerca do número p e de como esse conhecimento pode ser aplicado em diversas situações, como é o caso das atividades 2 a 5, por exemplo.

Se julgar necessário, atividades nas quais os estudantes tiverem mais dificuldades podem ser resolvidas na lousa.

[...] sobre o número Pi, Chris Budd em entrevista à BBC afirma que “É possível usar pi para descrever a geometria do mundo” [...] e esta frase pode ser entendida em seu sentido literal.

O caso é que, segundo Budd, a importância em calcular Pi com bastante precisão implica [...]o funcionamento de tecnologias modernas como o GPS.

E para além dos GPS’s de carros e celulares, quando os aviões voam grandes distâncias, o que estão fazendo, na realidade, é recorrer ao arco de um círculo. Neste caso, a rota deve ser calculada, utilizando-se Pi, para medir com precisão o volume de combustível necessário.

O número Pi aparece também em cálculos de navegação fora da Terra. A Nasa, por exemplo, utiliza 16 dígitos (3,1415926535897932) para conseguir a precisão desejada ao seu “GPS espacial”, segundo um artigo publicado na revista Scientific American.

NÚMERO Pi: história e aplicações. Derivando a Matemática – Unicamp. Campinas, [2020?]. Disponível em: http://www.ime.unicamp.br/~apmat/numero-pi/. Acesso em: 26 maio 2022.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Usando o valor 3,14 para p , calcule a medida do comprimento de uma circunferência cujo raio mede:

a) 8 cm.

b) 0,45 cm.

c) 2,5 cm.

d) 7 cm.

2. Observe a medida do diâmetro externo de um pneu de automóvel.

3. Uma caixa de presente com tampa circular tem 22 cm de diâmetro. Necessita-se de um pedaço de fita que envolva, exatamente, todo o contorno dessa tampa. Qual é, aproximadamente, o comprimento do pedaço de fita necessário?

Aproximadamente 69,08 cm (considerando p= 3,14).

AMPLIANDO

Atividades complementares

1. Sabendo que o comprimento de uma circunferência é 56,52 cm, calcule o diâmetro dela. Para isso, considere p= 3,14.

2. Em um jardim circular, será construída uma fonte no centro, e serão plantadas mudas de flores a 25 m dessa fonte, com espaçamento de 50 cm entre cada uma, perfazendo toda a circunferência do jardim. Quantas mudas serão plantadas? (Considere p= 3,14.)

Considerando p= 3,14, responda às questões.

a) Qual é, aproximadamente, o comprimento da circunferência externa desse pneu?

b) Qual distância percorrida, em metro, corresponde a 5 000 voltas completas desse pneu?

Resolução das atividades

1. Para determinar o diâmetro dessa circunferência, podemos calcular: 56,52 medida do diâmetro (D) 3,14 = D = 56,52

? r h r = 9

4. Uma pista circular tem 200 m de diâmetro. Em uma competição nessa pista, os corredores percorreram 15,7 km. Quantas voltas foram dadas nessa pista por esses corredores? (Considere p= 3,14.)

5. Em um jardim circular, será construída uma fonte no centro, e serão plantadas mudas de flores a 25 m dessa fonte, com espaçamento de 50 cm entre cada uma, perfazendo toda a circunferência do jardim. Quantas mudas serão plantadas? (Considere p= 3,14.)

25 voltas. 314 mudas.

Desse modo, D = 2 ? r h r = 2 ? 9 = 18. Portanto, o diâmetro da circunferência é 18 cm.

2. Primeiro, calculamos o comprimento da circunferência:

C = 2 ?p? r h C = 2 ? 3,14 ? 25 h C = 157 m Depois, calculamos a quantidade de mudas que serão plantadas:

157 m ? 1muda

0, 5m = 314 mudas

Serão plantadas 314 mudas.

OS NÚMEROS REAIS

Reunindo-se, em um mesmo conjunto, todos os números racionais e todos os números irracionais, formamos o conjunto dos números reais, representado por r Exemplos de números reais:

2 [r 1 6 [r 0,48 [r

5 [rp[r 10 [r

3 4 [r 1,25 [r 1,666… [r 2,030030003… [r 3 [r 2,1333… [r

Os conjuntos numéricos n , z e q são subconjuntos de r , pois todos os elementos de cada um deles pertencem também a r

Além desses, outros subconjuntos de r são muito utilizados:

r* conjunto dos números reais não nulos (números reais diferentes de 0)

r + conjunto dos números reais não negativos (números reais maiores ou iguais a 0)

r conjunto dos números reais não positivos (números reais menores ou iguais a 0)

r* + conjunto dos números reais positivos (números reais maiores do que 0)

r* conjunto dos números reais negativos (números reais menores do que 0)

Em uma reta numérica, podem ser representados todos os números racionais e todos os números irracionais, ou seja, podem ser representados todos os números reais; e cada ponto dessa reta pode ser associado a um número racional ou a um número irracional.

Essa reta é denominada reta real. Observe a representação de alguns números na reta.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os números reais

Nesta aula, pode-se desenhar na lousa o diagrama que representa a relação de inclusão dos conjuntos numéricos já estudados. Orientar os estudantes a reproduzi-lo no caderno, explorar com eles o significado desse diagrama e pedir-lhes que relatem o que interpretam nessa apresentação dos conjuntos numéricos. Eles podem verificar a relação de inclusão entre esses conjuntos e perceber que não há um número irracional que também seja racional, simultaneamente. Além disso, podem observar que, reunindo-se todos os números racionais aos números irracionais, se obtém o conjunto dos números reais. Enfatizar a relação entre os conjuntos e a necessidade do surgimento dos diferentes tipos de número ao longo da história da Matemática.

AMPLIANDO

Vídeo

ADOLFO, Gustavo. Aproximação de números reais. Portal da OBMEP. [Rio de Janeiro], 2017. Disponível em: https://portaldaobmep.impa.br/index.php/ modulo/ver?modulo=87. Acesso em: 27 jun. 2022. É possível utilizar esse material como recurso tanto para ampliar quanto para sistematizar o estudo sobre o conjunto dos números reais.

No mesmo site, há outros vídeos disponíveis sobre os conjuntos numéricos estudados. Se julgar oportuno, a turma pode ser organizada em grupos de modo que cada grupo assista a um vídeo sobre um dos conjuntos numéricos estudados e faça algumas produções com representação desses conjuntos numéricos. Depois, os estudantes

podem conversar e fazer uma troca sobre o estudo dos conjuntos numéricos, favorecendo, assim, uma apropriação dos conceitos envolvidos, a empatia, a colaboração e o respeito com os colegas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Explorar com os estudantes exemplos de diferentes operações com números reais. Aproveitar para revisar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, enfatizando as limitações operacionais de cada conjunto numérico.

Avaliar também o resultado de raízes com índice ímpar de números negativos, tal como 8 3 =_2, cujo resultado é um número real, uma vez que existe um número ( 2) que, elevado ao cubo, resulta em _8.

Atividades

As questões apresentadas nessa seção têm como principal objetivo levar os estudantes a aplicar os conhecimentos adquiridos acerca do conjunto dos números reais. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento da habilidade EF09MA03.

Ampliar a atividade 1 com questionamentos como os seguintes.

• Que números pertencem ao conjunto dos números reais, mas não pertencem ao conjunto dos números racionais? Resposta: Os números irracionais.

• Que números pertencem ao conjunto dos números inteiros não negativos, mas não pertencem ao conjunto dos números inteiros positivos? Resposta: Apenas o zero.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS

Já estudamos que há certas limitações em relação às operações nos conjuntos numéricos n , z e q. Por exemplo:

• no conjunto n , nem sempre é possível subtrair, obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e encontrar um número natural;

• no conjunto z, nem sempre é possível obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e encontrar um número inteiro;

• no conjunto q, nem sempre é possível extrair a raiz quadrada exata e encontrar um número racional.

Entretanto, no conjunto dos números reais, podemos efetuar qualquer adição, subtração, multiplicação ou divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extrair a raiz quadrada de qualquer número real positivo e obter um número real.

Vale lembrar que há restrições: a raiz quadrada de um número negativo, por exemplo, não representa um número real, pois não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte um número real negativo. Então, por exemplo, 4 {r . Analise algumas situações que envolvem operações com números reais.

1 Calcular, com aproximação até a segunda casa decimal, o produto 53 ? Como 1 31,73, então, ?1?h?153 51,735 38,65

O valor procurado é 8,65.

2 Calcular 54

5 5555 625 25 4 === Logo, o valor procurado é 25.

3 Com valores aproximados até a segunda casa decimal, determinar 14 2 +

1 14 3, 74 e 1 21,41

14 23,741,41+1+ ; então, 14 25,15+1 Então, o valor procurado é 5,15. Responda às questões no caderno.

1. Observe os números a seguir. 3; 3 2 ; 1,4; 0,3333...; 7; 51 Quais deles pertencem ao conjunto:

a) n? 7

b) z? 3 e 7

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Loc alize 7 e 27 10 na reta numérica. Qual desses números é maior?

3. Analise cada uma das sentenças a seguir e indique se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) 100 [r + V

b) 100 {r V

c) z, mas não pertencem a n?

d) q, mas não pertencem a z? 3 3 2 ; 1,4; 0,3333...

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c) 16 [r F

d) π {r F

POTÊNCIAS

Leia a tirinha e, depois, observe as informações sobre bactérias.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potências

O objetivo aqui é retomar o conceito de potência. Para isso, solicitar aos estudantes que façam a leitura individual da tirinha e do texto a respeito de bactérias apresentados no Livro do estudante.

Perguntar que informações sobre as bactérias eles podem extrair dos textos lidos. Se possível, anotar na lousa as respostas mais relevantes dadas por eles.

As bactérias apresentam dois tipos principais de reprodução: assexuada e sexuada.

A reprodução assexuada acontece com uma única bactéria e sem a troca de material genético. Essa é a maneira mais rápida de as bactérias se reproduzirem.

Na reprodução assexuada, a célula bacteriana divide-se em duas partes, e cada uma dessas partes será uma nova bactéria, idêntica à primeira. A cada período, a quantidade de bactérias dobra; com isso, em poucas horas, uma única bactéria dá origem a diversas outras.

Como todos os descendentes são iguais, se o ambiente mudar e tornar-se mortal para a primeira bactéria, todas as outras também morrerão, o que é uma desvantagem nesse tipo de reprodução.

Nem todas as bactérias são causadoras de doenças; muitas delas são encontradas em queijos, leites, iogurtes e outros alimentos fermentados. Quando administradas em quantidades adequadas, essas bactérias são benéficas à saúde. A esses organismos dá-se o nome de probióticos, termo derivado do grego, que significa “pró-vida”.

Um exemplo de probiótico é a bactéria Lactobacillus acidophillus (aumento aproximado de 19 800 vezes quando aplicada com 21 cm de largura; colorida artificialmente).

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Aproveitar o momento para verificar os conhecimentos prévios da turma sobre o conteúdo e explorar dúvidas e possíveis retomadas que julgar necessário fazer.

© FERNANDO GONSALES/ACERVO DO CARTUNISTA

GONSALES, Fernando. Vá Pentear Macacos! São Paulo: Devir, 2004.

Elaborada com base em: RAVEN, Peter Hamilton et al Biologia vegetal. 5. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2001. p. 176.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

AS CORES NÃO SÃO REAIS.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Essa atividade tem como objetivo levar os estudantes a associar o crescimento da quantidade de bactérias em uma reprodução assexuada a uma sequência de potências de base 2, ou seja, 2, 4, 8, 16, …

É interessante que eles resolvam as atividades dessa seção em duplas, facilitando, assim, a troca de conhecimentos e de ideias.

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. A partir das informações apresentadas sobre a reprodução das bactérias, construa, no caderno, um quadro com os seis primeiros intervalos de tempo e complete-o com a quantidade de bactérias existentes após cada um desses intervalos.

de intervalos de tempo transcorrido

2. Observe o quadro e responda.

a) Qual será a quantidade de bactérias existente após os seis primeiros intervalos de tempo transcorrido?

b) E depois de 10 intervalos de tempo, qual será a quantidade de bactérias existente?

c) Que expressão se pode usar para representar a quantidade de bactérias existente após n intervalos de tempo transcorrido?

A expressão obtida na seção Pense e responda é chamada de potência, e podemos defini-la do seguinte modo:

Dado um número real a e um número natural n, n . 1, a expressão an, denominada potência, representa um produto de n fatores iguais ao número real a an = a a a a a n fatores

Na potência an: o número real a chama-se base; o número natural n chama-se expoente

as potências 22 e ( 2)2

Para n = 1, define-se a1 = a. Para a 5 0 e n = 0, define-se a0 = 1.

=+4 Logo, 22 5 ( 2)2

definição, temos: 22 = (2 2) = 4 e ( 2)2 = (

AMPLIANDO

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Vídeo

MARCELL, Cristiano. Potenciação – Parte 1: definição e aplicações. Portal da OBMEP. [Rio de Janeiro], [2013]. Disponível em: https://portaldaobmep.impa.br/index.php/ modulo/ver?modulo=12#. Acesso em: 27 jun. 2022.

O vídeo apresenta o conceito de potenciação e mostra algumas aplicações desse conceito.

É possível utilizar esse material como recurso para fazer uma retomada sobre o conceito de potência. Antes de dar continuidade ao conteúdo, é importante verificar se os estudantes têm alguma dúvida e saná-la.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS COM EXPOENTES NATURAIS

As potências apresentam propriedades que auxiliam nos cálculos. Para estudá-las, vamos considerar dois números reais a e b, não nulos, e dois números naturais m e n

1a propriedade

Observe a multiplicação com potências de mesma base.

Então, 72 ? 73 = 75. Como 5 = 2 + 3, temos 72 ? 73 = 72 + 3 = 75 Como esse fato sempre ocorre quando temos uma multiplicação com potências de mesma base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade:

Propriedades das potências com expoentes naturais

O estudo das propriedades das potências com expoentes naturais favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA03. Incentivar os estudantes a fazer um fichamento separando cada uma das propriedades das potências com expoentes naturais, seguidas de um exemplo.

O processo de fichamento dessas informações auxilia na fixação das propriedades, além de ser uma ferramenta rápida de consulta, e ajudará a turma no estudo das potências e nos cálculos com radicais.

A seguir, alguns exemplos numéricos que podem complementar o estudo da 1a e da 2a propriedade.

2a propriedade

Como esse fato sempre ocorre quando temos uma divisão com potências de mesma base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O trabalho relacionado com as propriedades das potências requer atenção especial, pois é um tema de grande importância por relacionar outros assuntos matemáticos e ter ampla aplicação em outras áreas do conhecimento (por exemplo, em cálculos de Física). Além disso, a apresentação cuidadosa das propriedades da potenciação visa minimizar erros e não prejudicar as próximas etapas do processo de aprendizagem dos estudantes. Por esse motivo, cada propriedade deve ser trabalhada detalhadamente, destacando-se características, exemplos e contraexemplos quando necessário. Verificar dúvidas em cada propriedade, respeitando o tempo de aprendizagem de cada estudante.

3a propriedade

Observe a potenciação cuja base é uma potência. (75)2 = 75 ? 75 = 75 + 5 = 710

Então, (75)2 = 710. Como 10 = 5 2, temos (75)2 

Como esse fato sempre ocorre quando temos uma potência de outra potência, isso nos permite escrever a seguinte propriedade:

4a propriedade

Observe as potenciações cuja base é um produto ou um quociente.

Como esses fatos sempre ocorrem quando temos a potência de uma multiplicação ou de uma divisão, podemos escrever a seguinte propriedade:

(a ? b)n = an ? bn e (a : b)n = an : bn (b 5 0)

Assim:

• (22 3 53)2  (22)2 32 (53)2 ou 24 32 56

• (5 : 11) 4 = 54 : 114

Expoente zero

Vamos calcular o quociente de 25 : 25

• Aplicando a definição de potência, temos 25 : 25 = 32 : 32 = 1.

SAIBA QUE

• Aplicando a propriedade da divisão de potências de mesma base, temos 25 : 25 = 25 5 = 20

Comparando os dois resultados, podemos escrever que 20 = 1, o que ocorre com qualquer número real não nulo.

De modo geral:

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Para todo número real a, com a 5 0, temos a0 = 1.

Responda às questões no caderno.

1. Aplicando a definição de potência, calcule o valor de:

a) 82 64

b) ( 13)2 +169

c) ( 7)3 343

d) ( 0,9)1 0,9

e) 53 125

f) ( 3,2)2 +10,24

g) 152 225

h)

i) ( 3) 4 +81

2. Considere o número N = (65 + 1) e responda às questões.

a) Qual é o valor de N ? 7 777

b) Quantos algarismos formam o número N?

c) Qual é a soma dos valores absolutos dos algarismos que formam o número N ? 28

3. Calcule o valor numérico da expressão a seguir.

( 2)3 + ( 3)2 ( 1)2 ( 2)5

4. Determine o número real que representa o valor da seguinte expressão.

( 2)4 (0,5)2 : (+0,1)3 ( 5)3

5. Sabendo que x = ( 2)4 : 42 42 : ( 2)3 e y = [( 1)3 ( 1)5 ( 1)4] + ( 1)7, qual é o valor da expressão x y? 3

6. Verifique se o número real ( 1,5) é raiz da equação 2x2 5,5x + 3 = 0. Não é raiz.

7. Compare as potências, utilizando o sinal = ou 5.

10. (Enem/MEC) Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Essas atividades levam os estudantes a rever conceitos da potenciação com expoente natural diferente de zero e base real não nula e aplicá-los para realizar cálculos, determinar valores de expressões numéricas e resolver problemas que envolvem potências, favorecendo, assim, o desenvolvimento da habilidade EF09MA03.

a) ( 10)2 e 102

b) ( 3)3 e 33 = c) ( 2) 6 e (+2)6 d) ( 7)3 e 73 =

8. Sabendo que x = (52) 3 (53 : 52) 4 e y = (59)2 : (5 4 52)2 , qual é a potência de 5 que representa o valor de x : y? 5 4

9. Calcule o valor de:

4 algarismos iguais. +32 109 55 +1

a) 100 b) 10 0 1 c) ( 10) 0 +1 d) ( 10) 0 1

Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado). Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consumam 1 000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade? Alternativa e.

a) 10 2

b) 103 c) 104 d) 106 e) 109

11. Um campeonato de tênis de mesa é disputado por 20 duplas, que jogam entre si em turno (jogo de ida) e returno (jogo de volta). A quantidade total de jogos nesse tipo de campeonato é dada pela expressão algébrica x 2 x, em que x representa a quantidade de duplas.

a) Quantos jogos tem esse campeonato?

380

b) Elabore um problema envolvendo o cálculo de potência e esse campeonato de tênis de mesa. Depois, troque de caderno com um colega, de modo que um resolva o problema que o outro desenvolveu.

As quatro últimas atividades propostas têm como objetivo levar os estudantes a rever e aplicar as propriedades da potenciação com expoente natural diferente de zero e base real não nula e a rever e aplicar a particularidade do expoente zero.

Na atividade 6, explorar a ideia de raiz de uma equação, pois ela será retomada na Unidade 3, no estudo das equações do 2o grau. Acompanhar as possíveis dúvidas e as trocas dos estudantes ao realizarem a atividade 11, em especial o item b, no qual eles devem elaborar um problema envolvendo o cálculo de potências.

ILUSTRA CARTOON

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potência de um número real com expoente inteiro

O objetivo aqui é levar os estudantes a retomar o conceito e as propriedades da potenciação com expoente inteiro e base real diferente de zero.

Sugerir aos estudantes que façam uma leitura individual dessas páginas para que compreendam os conceitos e para promover a autonomia deles.

Incentivá-los a se expressarem oralmente e a trocar ideias e conhecimentos entre eles. Depois, escrever na lousa algumas expressões para a turma aplicar os conhecimentos estudados neste tópico.

POTÊNCIA DE UM NÚMERO REAL COM EXPOENTE INTEIRO

Vamos calcular o quociente de 23 : 24

• Considerando o quociente na forma de uma fração e aplicando a definição de potência:

• Aplicando a propriedade do quociente de potências que têm a mesma base:

Comparando os dois resultados, podemos dizer que:

Procedendo da mesma maneira, podemos mostrar que:

Agora, vamos calcular o quociente de 25 : 28

• Considerando o quociente na forma de uma fração e aplicando a definição de potência:

• Aplicando a propriedade do quociente de potências de mesma base: 25 :

Comparando os dois resultados, podemos dizer que:

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Se considerarmos o expoente zero e alguns números inteiros negativos como expoentes, podemos montar este quadro.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nessa página, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA03. Verificar se os estudantes têm alguma dúvida acerca do conteúdo abordado. Fazer algumas explorações, perguntando a eles o que acontece com números maiores do que zero quando elevados a um expoente negativo. Espera-se que respondam que números maiores do que zero, quando elevados a um expoente negativo, sempre resultam em um número menor do que 1. Sugerir aos estudantes que façam um quadro semelhante ao apresentado no Livro do estudante, utilizando outros números naturais como base, e que comparem os resultados e troquem ideias entre eles, de modo a perceber regularidades.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades das potências com expoentes inteiros

Muitas vezes, escrever um número em forma de potência facilita os cálculos. Apresentar aos estudantes os exemplos presentes nessa página e discutir como simplificar as expressões. A seguir, há algumas atividades que podem complementar o estudo das propriedades das potências com expoentes inteiros, reforçar esse estudo e contribuir para o desenvolvimento da habilidade EF09MA03.

Propriedades das potências com expoentes inteiros

Vamos considerar as propriedades a seguir.

1a propriedade

Para multiplicação de potências de mesma base, podemos escrever a seguinte propriedade:

2a propriedade

Para divisão de potências de mesma base, podemos escrever a seguinte propriedade: am :

3a propriedade

Para potência de uma potência, podemos escrever a seguinte propriedade: (am)n = am n

4a propriedade

Para transformar potência de um produto em um produto de potências, e potência de um quociente em um quociente de potências, podemos escrever a seguinte propriedade:

(a b) n = an bn ou (a : n)n = an : bn

SAIBA QUE

AMPLIANDO

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Atividades complementares

1. Escrever a expressão 256 4 8 9 7 na forma de uma única potência de base 2 e calcular o seu valor.

2. Simplificar a fração algébrica (a5b2)4 : (a2b4)

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Observe a sequência.

= 81, 33 = 27, 32 = 9, ... Agora, calcule os valores.

7. Escreva cada uma destas expressões na forma de uma só potência.

a) 7 7 11 8 73

b) 24 : 25 2−1

c) (8 1) 5 8 −5

e) 88 8  37 5 8

f) (2 1) 3 23

g) : 2241 2−3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

31 3

b) 30 1 c) 3 1 d) 3 2 e) 3 3 f) 3 4

2. Dê o valor, na forma decimal, de:

a) 2 1

b) 2 5

c) ( 2) 2

d) 2 4

e) ( 4) 3

f) ( 10) 1 g) 10 3 h) 5 2

3. Pela propriedade simétrica da igualdade, você sabe que a 1 a n n = e que 1 a  a n n = Nessas condições, escreva, na forma de potência com expoente inteiro negativo, cada uma das expressões a seguir.

d) : 5593 512

h)  3 33 3 16 410

8. Nas expressões a seguir, a base de cada potência é um número real não nulo. Transforme cada expressão em uma só potência.

a) xx x 37 6 x 2

b) : xx13 x 2

c) () x6 2 x−12

d) aa aa 94 715

9. Escreva cada fração na forma de uma só potência.

a) 10 10 2 4 102

b) 5 5 6 1 57

c) 2 2 3 2 2−5

d) 3 3 7 10 3−3

10. Transforme cada expressão em um produto (ou em um quociente) de potências.

a) () 713 2 7−2 ?

b) ()

c) ()

4. Calcule o valor de cada potência.

d) () : 31041 1 3−4 : 10

e) () 23 11 52 1 2 2−10 34 112

f)

11. D et ermine os valores de x e de A , sabendo que são números reais.

5. Determine o valor numérico de cada expressão a seguir.

a) (1)( 3) 31

b) () + 2442 1 8

c) 3342

d) () 8423 1 1

6. Qual é o número real expresso por

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Nessa seção, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA03. Aqui, vale lembrar que pode acontecer de alguns estudantes registrarem erroneamente (x + y)2 = x 2 + y 2 , fazendo analogia com (x ? y)2 = = x2 ? y2 (considerando x e y não nulos), que é uma das propriedades das potências. Se julgar oportuno, compartilhar o exemplo a seguir, a fim de explorar essa diferença com os estudantes.

12. Elabore uma expressão numérica envolvendo potências com números reais que tenha como resultado o número 25. Depois, troque de caderno com um colega para que um resolva a expressão que o outro criou

Para resolver as atividades finais desse bloco, os estudantes precisam aplicar as propriedades das potências com expoentes inteiros para expoentes negativos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Notação científica

Nesse tópico, incentivar os estudantes a falar o que sabem a respeito do tema. Espera-se que eles mobilizem os conhecimentos sobre potenciação para escrever números em notação científica. Enfatizar que essa é uma maneira de representar números que apresentam muitos algarismos, utilizando potências de base 10.

Se julgar oportuno, solicitar aos estudantes que escrevam alguns números em notação científica e, depois, os comparem. Espera-se que eles percebam que a notação científica pode facilitar a comparação entre esses números.

Fórum

Uma sugestão para trabalhar essa seção é organizar a turma em dois grupos. Um grupo pesquisa os argumentos a favor dos financiamentos das missões espaciais pelos governos; e o outro grupo, os argumentos contra.

Depois, preparar um debate com os representantes de cada grupo para apresentarem os argumentos: cada um apresenta e defende os argumentos contra e a favor dos investimentos públicos para as missões espaciais. Esse tipo de debate favorece o desenvolvimento da capacidade de argumentação e o desenvolvimento da competência geral 7 e da competência específica 3 da área de Matemática e da habilidade EF09MA18.

É interessante observar que a opinião a respeito desse assunto pode ser influenciada pelas experiências e entendimentos de cada um. Alguns estudantes, talvez, tenham uma preocupação com as necessidades imediatas da população; nesse caso, quando se compara uma missão espacial

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Muitas vezes, é conveniente escrever um número em forma de potência.

Por exemplo, o número 140 000 000, que representa a medida aproximada, em metro, do diâmetro do planeta Júpiter, é um número muito grande, enquanto o número 0,0000000106, que representa, em centímetro, a medida aproximada do diâmetro de um átomo de hidrogênio, é um número muito pequeno.

Para escrever esses e outros números, podemos usar potências de 10, conforme é mostrado a seguir.

1 Escrever o número: 0,0000001 na forma de potência de 10.

Escrevendo em notação científica

A distância média aproximada da Terra ao Sol é 150 000 000 km.

Por ser um número muito grande, podemos escrever o número 150 000 000 usando notação científica

Em notação científica, um dos fatores deve ser maior ou igual a 1 e menor do que 10, e o outro fator deve ser uma potência de 10.

Voltando ao número 150 000 000, temos: 150 000 000 = 15 ? 107

Para utilizar a notação científica, vamos dividir o fator 15 por 10 e, para não alterar o número, vamos multiplicar o fator 107 por 10: 15 ? 107 = [15 : (10)] ? [107 ? (10)] = 1,5 ? 108

Então, a distância média aproximada da Terra ao Sol é, em notação científica, 1,5 ? 10 8 km.

FÓRUM

Exploração espacial

Além da motivação proveniente do contínuo interesse do ser humano pelo espaço, a exploração espacial é impulsionada pelo desenvolvimento científico que gera. Não só novas tecnologias são criadas, como o próprio espaço fornece um ambiente único, com características impossíveis de serem simuladas na Terra, tornando-o um laboratório sem igual para estudos científicos.

• As missões espaciais, apesar de importantes, são caras para os governos que as financiam. Você acredita que esse grande investimento financeiro justifica o conhecimento científico adquirido com as missões espaciais? Debata com os colegas.

com investimento em educação ou saúde, a missão espacial pode ser defendida como algo de menor relevância.

No entanto, quando se avaliam as necessidades da humanidade em médio e longo prazos, as missões espaciais ganham relevância e tornam-se importantes para a manutenção da

Em 2021, a Nasa lançou o telescópio James Webb, considerado o sucessor do telescópio Hubble. A decolagem foi um sucesso e inaugurou uma jornada de 1,5 ? 106 km pelo espaço.

vida na Terra ou mesmo fora dela, além das contribuições dos avanços tecnológicos que as viagens espaciais ajudam a acelerar. Esse conteúdo e as discussões que podem ser feitas em grupo favorecem o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Educação para o consumo e Ciência e Tecnologia.

ATIVIDADES

2 a) 8,7 106; 6 106; 1,1 106

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. A expressão um décimo de milésimo do metro pode ser escrita usando potências de 10 do seguinte modo:

?== 1 10 1 1 000 1 10 000 1 10  ou 10 4 4

O diâmetro do átomo de hidrogênio tem aproximadamente 1 angström de comprimento. O nome dessa unidade de medida de comprimento é uma homenagem ao físico sueco Anders Jonas Ângström.

Elaborado com base em: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: volume

1: mecânica. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2014. p. 4. Sabendo que 1 angström equivale a um décimo de bilionésimo de metro, como podemos escrever esse número usando potência de 10?

2. Em 2020, a frota de veículos do município de São Paulo ultrapassou a marca de 8 700 000 veículos. Entre outros veículos, essa frota era composta de, aproximadamente, 6 000 000 automóveis e de pouco menos de 1 100 000 motocicletas.

Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Frotas de veículos –São Paulo. IBGE Cidades. Rio de Janeiro, [2020?]. Disponível em: https://cidades.ibge.gov.br/brasil/ sp/sao-paulo/pesquisa/22/28120.

Acesso em: 22 fev. 2022.

a) Escreva esses números usando um produto de dois fatores em que um deles é um número maior do que 1 e menor do que 10, e o outro é uma potência de 10

b) A partir dessas informações, elabore um problema envolvendo operações com números reais e notação científica. Em seguida, peça a um colega que resolva o problema que você elaborou, enquanto você resolve a questão elaborada por ele.

a) Em um grama de água há 23 000 000 000 000 000 000 000 de moléculas

b) O diâmetro do planeta Marte mede cerca de 6 800 km, e a distância mínima de Marte ao Sol é 205 000 000 km

c) O diâmetro de um átomo de hidrogênio mede 0,0000000106 cm. 1,06 ?10 8

4. Algumas potências de 10, por serem muito utilizadas, estão associadas a prefixos originados do latim e do grego. Acompanhe alguns exemplos.

Prefixo Significado Potência de 10 giga gigante (em grego) 109 (1 000 000 000)

mega grande (em grego) 106 (1 000 000)

quilo mil (em grego) 103 (1 000)

deca dez (em grego) 101 (10)

centi centésimo (em latim) 10 2 (0,01)

mili mil (em latim) 10 3 (0,001)

micro pequeno (em grego) 10 6 (0,000001)

nano anão (em grego) 10 9 (0,000000001)

Assim, o prefixo quilo, utilizado em expressões como quilômetro, equivale a 1 000 metros, e quilowatt equivale a 1 000 watts. Escreva, usando notação científica, os valores destacados em cada uma das afirmações.

a) O prefixo centi é utilizado em expressões como centímetro, que equivale a um centésimo do metro

b) O prefixo mega, utilizado em expressões como megalitro (unidade utilizada para medir a capacidade de lagos e represas), equivale a um milhão de litros

c) O prefixo micro é utilizado em expressões como micrograma, que equivale à milionésima parte do grama

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O bloco de atividades dessa página trabalha o uso da notação científica para representar números muito grandes ou muito pequenos. Desse modo, propicia-se o trabalho com as habilidades EF09MA04 e EF09MA18. Comentar com os estudantes a importância da aprendizagem da notação científica, pois ela é amplamente utilizada em meios de comunicação, como jornais, revistas e portais da internet. Também é bastante utilizada na comunidade acadêmica, na escrita de trabalhos científicos. Verificar se os estudantes percebem que a representação de números muito grandes ou muito pequenos utilizando a notação científica facilita o entendimento e a compreensão da noção de grandeza do número em questão. Ao explorar a atividade 4, por exemplo, pode-se perguntar para os estudantes quais dos prefixos eles já conheciam e em que situações eles costumam ver a aplicação desses prefixos.

3. Escreva, em notação científica, os números destacados em cada uma das afirmações.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Um dos principais objetivos dessa seção é apresentar o conceito de densidade demográfica como a razão entre duas grandezas, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA07.

Ao explorar a densidade demográfica de estados (ou municípios) brasileiros, os estudantes aplicam seus conhecimentos de notação científica e potenciação, realizando mais aproximações. Além de explorar a diferença entre os valores obtidos com a calculadora e pelo cálculo por aproximação, é possível levantar uma discussão sobre as situações nas quais esses dados podem ser utilizados apenas com aproximações e em quais situações é importante/ necessário evitar aproximações e utilizar o cálculo da maneira mais precisa possível. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da competência geral 7 e das competências específicas 3 e 8 da área de Matemática.

Após a pesquisa a respeito da população e da área do estado e do município onde vivem, incentivar os estudantes a estabelecer diferentes aproximações para os dados obtidos, calculando, em seguida, a densidade demográfica em cada caso. Explorar com a turma a estimativa do erro cometido (em taxa percentual) oralmente, discutindo a relação erro cometido/melhor aproximação.

Espera-se que os estudantes concluam que, quanto maior a aproximação dos valores do cálculo, o resultado aproximado será mais distante do valor exato.

DADOS DEMOGRÁFICOS DO ESTADO DO AMAZONAS

O Amazonas é o maior estado brasileiro em área e detém uma imensa biodiversidade. De acordo com dados do IBGE (Censo 2010), o Amazonas ocupa uma área de aproximadamente 1 559 162 km2, com uma população de 3 483 985 habitantes.

Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Sinopse do Censo Demográfico 2010: Amazonas. Censo 2010 – IBGE. Rio de Janeiro, [2011?]. Disponível em: https://censo2010.ibge.gov.br/sinopse/index.php?dados=21&uf=13. Acesso em: 25 maio 2022. A densidade demográfica (D) de determinado território é a razão entre a quantidade de habitantes e a área da região ocupada (em km2), que permite avaliar a distribuição da população nesse local.

D = qua ntidade de  habitante s área ocupa da  e m km2

Vamos determinar a densidade demográfica do Amazonas em 2010.

• Usando uma calculadora: D = 3 483 985 ha b. 1 559 162 km 2,23 ha b./k m 2 2 =

• Fazendo aproximações e usando notação científica: Quantidade de habitantes = 3 483 985 ou, aproximadamente, 3 500 000. Em notação científica, 3 500 000 = 3,5 106

Área = 1 559 162 km2 ou, aproximadamente, 1 600 000 km2. Em notação científica, 1 600 000 = 1,6 106 km2

Portanto, a densidade demográfica do estado do Amazonas em 2010 era 2,20 hab./km², aproximadamente. Note que, utilizando aproximações, obtivemos um resultado (2,20 hab./km²) bem próximo do resultado obtido com a calculadora (2,23 hab./km²).

Responda no caderno.

• Faça uma pesquisa sobre a população e a área do estado e a do município onde você mora. Calcule as respectivas densidades demográficas, utilizando calculadora e fazendo aproximações. Com os colegas, compare os resultados e avalie a diferença entre os valores obtidos.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Fotografia do Porto de Manaus (AM), 2021.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

VOCÊ JÁ OUVIU FALAR EM RESERVA DE EMERGÊNCIA?

Leia o texto a seguir para conhecer uma prática que pode contribuir para o enfrentamento de momentos de crise financeira.

Devido à pandemia gerada pelo novo coronavírus, muitos brasileiros estão vivendo situações extraordinárias de perda ou diminuição significativa de renda. Para momentos assim, percebemos a importância de ter uma reserva de emergência. A reserva é um dinheiro guardado para fazer frente a algumas situações excepcionais, como a perda temporária de renda, doenças na família ou acidentes domésticos, por exemplo. [...] Mas como usá-la? Como calcular quanto a reserva de emergência vai durar?

Primeiro, é importante tomar consciência da sua situação financeira atual [...]. Assim, você conseguirá calcular o novo saldo, ou seja, suas receitas menos suas despesas. Caso o saldo seja negativo, pode valer a pena utilizar a reserva de emergência e é importante saber quanto tempo ela vai durar.

Vamos supor que você calculou que ficará negativo em R $ 250 todo mês e tenha uma reserva de emergência de R $ 2.000. Nesse caso, dividindo o valor da sua reserva de emergência (R $ 2.000) pelo quanto precisará retirar de sua reserva a cada mês (R $ 250), descobrimos que sua reserva vai durar 8 meses.

O QUE é e para que serve a reserva de emergência. Banco Central do Brasil. Brasília, DF, [2021?]. Disponível em: https://www.bcb.gov.br/cidadaniafinanceira/emtemposdecoronavirus. Acesso em: 22 fev. 2022.

Responda à questão no caderno.

• Rafael e Milena economizaram para fazer uma reserva de emergência. Mas houve um imprevisto, por isso vão ficar com saldo negativo mensal de R$ 455,00 pelos próximos cinco meses. Se eles não conseguirem cortar gastos do orçamento, quantos reais dessa reserva precisarão gastar para cobrir o saldo durante esse período?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Educação financeira

Mesmo com uma reserva de emergência, às vezes é possível cortar algumas despesas do orçamento para não comprometer toda essa reserva.

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O texto permite uma discussão sobre o que é e a importância de uma reserva de emergência. Além disso, pode-se ampliar essa discussão a respeito do perigo da falta de planejamento financeiro e das taxas de juros de contas que não são pagas até a data de vencimento ou mesmo sobre as taxas do cartão de crédito. É importante que os estudantes percebam que, apesar de os juros do cartão de crédito serem, em sua maioria, juros altos, a responsabilidade é da pessoa que faz a dívida, pois esses valores são previamente informados. Desse modo, o planejamento e o cuidado na hora de fazer as compras são essenciais para evitar endividamentos. É possível esclarecer a eles que não existe um único modo de planejamento para todos, cada indivíduo tem necessidades e desejos diferentes, mas é importante que eles tenham consciência de que o planejamento financeiro deve atender às necessidades das pessoas envolvidas, seja um grupo de pessoas, seja uma única pessoa ou toda a família. Portanto, o planejamento deve ser feito a partir da realidade que se tem, ou seja, de acordo com a renda e com os objetivos que se pretende alcançar. Por esse motivo, é importante fazer um planejamento que contemple não apenas objetivos no pequeno e no médio prazos. Quanto mais amplo for esse planejamento financeiro, melhor.

Essa discussão e a compreensão de quanto o planejamento e o controle do dinheiro são importantes favorece o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Educação Financeira e Educação para o Consumo e da competência específica 2 da área de Matemática.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Radicais

Os objetivos aqui são levar os estudantes a reconhecer e identificar os termos de um radical e a compreender a restrição para a radiciação em r e a raiz enésima de um número real, observando a condição de existência dessa raiz.

Como esse é um conteúdo relativamente novo para os estudantes, é possível que tenham algumas dúvidas iniciais. Para auxiliá-los na compreensão dos conceitos, pode-se apresentar exemplos de radicais, com os mais variados números no radical (números inteiros, racionais, raízes não exatas etc.).

RADICAIS CAPÍTULO4

RAIZ ENÉSIMA DE UM NÚMERO REAL

Consideremos um número real a e um número natural n, com n . 1. A raiz enésima de um número real a é indicada pela expressão: a n radicando

GLOSSÁRIO

índice

Enésimo: o termo que ocupa a posição de número n, em uma sequência.

Vamos separar o estudo da raiz enésima em dois casos: quando o índice for par e quando o índice for ímpar. Acompanhe-os a seguir.

1o caso: o índice n é par Nesse caso, estudamos duas situações: quando o radicando é um número real positivo e quando o radicando é um número real negativo.

Radicando a positivo (a . 0)

Quando o número real a é positivo (a . 0) e n é um número natural par diferente de zero, a expressão a n é igual ao número real positivo b, tal que bn = a. Observe. •

Radicando a negativo (a , 0)

Quando o número real a é negativo (a , 0) e n é um número natural par diferente de zero, a expressão a n não é definida no conjunto dos números reais.

Já estudamos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois, ao elevar um número real ao quadrado, não é possível obter um número real negativo.

Por exemplo, 22 é igual a 4, e ( 2)2 também é igual a 4. Não existe um número real que, elevado ao quadrado, seja igual a 4. Dizemos, então, que 4 não se define em r

Esse fato se estende quando temos a raiz quarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava, e assim por diante, de um número real negativo. Observe.

• 256 8 não se define em r

• 81 4 não se define em r

• 1 6 não se define em r

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PENSE E RESPONDA

Responda no caderno. As expressões 9 e 9 são iguais? Por quê?

Não. 9 é o oposto de 9 ; logo, 9 = 3. Já 9 não se define em r

2o caso: o índice n é ímpar

Nesse caso, dizemos que:

Dados um número real a e um número natural ímpar n, a expressão a n é igual ao número real b, tal que bn = a.

Observe que, nesse caso, o radicando pode ser positivo ou negativo. Analise alguns exemplos.

• 8 3 = 2, pois 23 = 2 2 2 = 8. •

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades têm como objetivos levar os estudantes a reconhecer a restrição da radiciação em r , identificando as expressões com radicais que podem ser definidas no conjunto dos números reais; determinar a raiz enésima de um número real; e determinar o valor de expressões numéricas que envolvam radicais.

Nas atividades 1 a 4, os estudantes devem identificar as expressões que são definidas em r. Pedir a eles que justifiquem as respostas e orientá-los a considerar o índice n dos radicais, diferenciando expressões com índice par e expressões com índice ímpar.

Responda às questões no caderno.

1. Entre as expressões seguintes, quantas não são definidas no conjunto r dos números reais?

16 4 e 1

2. Quais dos números a seguir têm raiz quadrada definida no conjunto r?

64

100

25

9

3. Quando a = 10, b = 21 e c = 8, a expressão b 4ac 2 é definida no conjunto r? Qual é o valor dessa expressão?

4. Verifique se a expressão x  y 22 é definida no conjunto r quando x = 13 e y = 12

Sim; 11. Sim, pois 25 = 5.

5. Sabendo que todas as expressões a seguir são definidas no conjunto r dos números reais, calcule o valor de cada uma.

Se possível, levar para a sala de aula calculadoras que tenham a tecla de raiz quadrada para que os estudantes verifiquem os cálculos solicitados na atividade 5 Orientá-los a expressar os conhecimentos acerca da manipulação da calculadora, mostrando os procedimentos realizados em cada etapa.

144; 10; 100; 25

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades do radical

Os objetivos aqui são levar os estudantes a reconhecer um radical aritmético e a compreender, identificar e utilizar as propriedades dos radicais em situações-problema.

Para isso, retomar com eles a nomenclatura dos elementos que compõem a operação radiciação: radical, radicando, índice e raiz. Também é oportuno rever a leitura dos radicais: raiz quadrada, raiz cúbica, raiz quarta etc.

Em seguida, são apresentadas as propriedades dos radicais. Solicitar aos estudantes que façam alguns cálculos envolvendo raízes não exatas, mas em sua forma decimal aproximada, visto que são números irracionais. Por exemplo:

• 2 1 1,414 e 3 1 1,732

• 2 ? 3 1 1,414 ? 1,732 = = 2,449048

Por fim, pode-se promover um debate com a turma acerca das dificuldades enfrentadas na realização dos cálculos. Espera-se que os estudantes percebam que, em determinados contextos, o trabalho com números irracionais e números racionais com muitas casas decimais pode ser bastante árduo. Nesse caso, o uso das propriedades dos radicais para efetuar os cálculos e escrever apenas o resultado como um número decimal aproximado é mais adequado.

PROPRIEDADES DO RADICAL

Toda expressão matemática que tenha forma a n , com a [r + , n [n e n . 1, recebe o nome de radical aritmético Como já estudamos, em todo radical, podemos destacar: índice a n radicando

Assim:

• No radical 5 , o índice é 2, e o radicando é 5. Lemos: raiz quadrada de cinco.

• No radical 10 3 , o índice é 3, e o radicando é 10. Lemos: raiz cúbica de dez.

• No radical 2 3 4 , o índice é 4, e o radicando é 2 3 . Lemos: raiz quarta de dois terços. Os radicais aritméticos apresentam propriedades importantes para o estudo dos radicais e para estudos futuros de outros temas de Matemática. Conheça, a seguir, essas propriedades.

1a propriedade

an n = a, com a [r +, n [n e n . 1.

Considere as expressões a seguir.

• 32 5 = 2 e 32 = 25

Então:

Desse modo, temos:

• 72 = 7

• 103 3 = 10

• + (x 3)5 5 = x + 3, com x + 3 > 0.

2a propriedade

• 81 4 = 3 e 81 = 34

am n = ::amp np com a [r +, n, m, p [n , n . 1, p 5 0 e p divisor comum de m e n

Considere as expressões 108 8 e 102

Aplicando a primeira propriedade nos dois radicais, obtemos: = 10 10

Comparando as duas expressões, obtemos a igualdade 108 8 = 102 = 10 10

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

De fato, aplicando a segunda propriedade em 1 08 8 , temos:

1 08 8 = ::1084 84 = 102

Essa propriedade nos auxilia na simplificação de um radical do tipo am n , quando existe um divisor comum (diferente de 1) dos números n e m Acompanhe alguns exemplos de simplificação. •

3a propriedade

4a propriedade

Considere as expressões 42 5 e 4 25 Calculando, obtemos:

Comparando, temos ?=42 54 ? 25

Para a compreensão das propriedades dos radicais, sugere-se, primeiramente, que os estudantes sejam organizados em grupos. Determinar para cada grupo uma das cinco propriedades dadas neste capítulo para que expliquem para a turma quais são as características da propriedade e como utilizá-la.

Solicitar a cada grupo que faça um cartaz para essa explicação. Depois, expor todos os cartazes na sala de aula e mantê-los expostos para que os estudantes possam consultá-los ao longo do trabalho com radicais ou sempre que sentirem necessidade. Verificar se os estudantes compreendem que, além de facilitar os cálculos, trabalhar com radicais utilizando as propriedades também diminui o erro nas aproximações. Por exemplo, retomando o exemplo apresentado na página anterior, fazendo aproximações para 2 e 3, obteve-se:

2 ? 3 1 2,449048

Se tivessem sido aproximados os valores das raízes quadradas para uma casa decimal, teria-se:

• 2 1 1,4 e 3 1 1,7

2 ? 3 1 1,4 ? 1,7 = 2,38

• Agora, usando a propriedade da multiplicação de radicais com mesmo índice, tem-se:

• 2 ? 3 = 23 = 6 1 2,449

Comparando os valores obtidos, verifica-se que há uma diferença entre os resultados.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nessa seção, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA04. Nas atividades 1 a 6, os estudantes devem calcular radicais aritméticos e aplicar suas propriedades. Sugerir que essas atividades sejam feitas individualmente. Observar possíveis dificuldades de cada estudante e, caso seja preciso, retomar com a turma as definições e os conceitos necessários para esclarecê-las. Para ampliar o trabalho, pode-se fazer explorações usando a calculadora, conforme atividade complementar sugerida a seguir. Nesse caso, é necessário providenciar calculadoras que tenham a tecla √– para os estudantes trabalharem individualmente ou em duplas. Outra possibilidade é solicitar previamente aos estudantes que levem as calculadoras de casa. Ou, ainda, podem ser utilizadas as calculadoras disponíveis nos smartphones

Perguntar aos estudantes se eles já ouviram falar em número palíndromo e explicar que esse é o nome dado aos números que permanecem iguais, ou seja, não têm alteração alguma quando lidos da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita. Orientá-los a explorar a tecla √–para investigar a raiz quadrada de alguns números palíndromos. Por exemplo, para calcular 121 e 12321, pode-se fazer:

• Tecle 1 , 2 , 3 , √–, e aparecerá no visor 11

• Tecle 1 , 2 , 3 , 2 , 1 ,

5a propriedade

Considere as expressões 25 9 e 25 9 . Calculando, obtemos:

25 9 = 5 3 e 25 9 = 5 3

Comparando, temos:

= 25 9

Responda às questões no caderno.

1. Calcule o valor de cada uma das expressões.

5. Decomponha o radicando em fatores primos e, em seguida, simplifique cada um dos radicais.

2. Decomponha o radicando em fatores primos e, em seguida, use uma das propriedades dos radicais aritméticos para encontrar o valor das expressões

6. Determine o número real x em cada igualdade.

7. Escreva como um produto de radicais

3. Determine o valor do número x em cada uma das igualdades.

4. Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número, diferente de zero, simplifique os radicais.

8. Decomponha o radicando em fatores primos e escreva cada expressão na forma de um produto de radicais

Propor a resolução das atividades a seguir.

Atividades complementares

1. Investigue, com o auxílio de uma calculadora, qual é a raiz quadrada do número palíndromo 1 234 321.

Resposta: 1 234 321 = 1 111

2. O que se pode notar com as raízes quadradas dos números palíndromos a seguir? Registre no caderno.

a) 123 454 321

Resposta: 123 454 321 = 11 111

b) 12 345 654 321

Resposta: 12 345 654 321 = 111 111

Incentivar os estudantes a verificar se há um padrão nos resultados das raízes quadradas obtidas. Pedir-lhes que expliquem o padrão que observaram e, caso não consigam, é importante ajudá-los a identificá-lo. Depois, pedir que indiquem qual

SIMPLIFICANDO RADICAIS

Observe

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Simplificando radicais

O objetivo aqui é levar os estudantes a compreender, identificar e utilizar a simplificação de radicais com a extração de fatores do radicando.

Assim:

Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, de acordo com a propriedade an n = a, esses fatores podem ser extraídos do radicando.

Em alguns casos, o expoente do radicando é maior do que o índice do radical. Procura-se, então, fazer transformações convenientes no radicando, conforme indicado a seguir.

Inicialmente, pedir-lhes que façam a leitura individual e atenta dos exemplos dados no texto do Livro do estudante, com o objetivo de compreender como simplificar e extrair fatores dos radicais. Em seguida, solicitar a alguns estudantes que expliquem, na lousa e para a turma, como realizar esses procedimentos a partir de casos similares às situações estudadas. Por exemplo: 105 , 29 4 , ? 3245

Incentivar a expressão oral dos estudantes e a troca de ideias entre eles.

Há situações, porém, em que há necessidade de fazer uma fatoração do radicando antes de realizar a extração dos fatores. Acompanhe algumas dessas situações.

1 Simplificar a expressão 75 Fatorando o radicando 75, obtém-se 3  52. Daí, temos: 75 = 3 52 = 3 52 = 53

2 Qual é a forma mais simples possível de escrita da expressão 162 3 ? Fatorando o radicando 162, obtém-se 2  34. Daí, temos:

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27/06/22 09:31 será o próximo número palíndromo e a raiz quadrada dele. Comentar com eles que esse padrão existe apenas para números palíndromos cujos algarismos são consecutivos. Isso não acontece com outros números palíndromos, como:

• 161 1 12,69

• 37 573 1 193,84

Incentivar os estudantes a explicar por que esse padrão ocorre.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades têm como objetivo levar os estudantes a simplificar um radical com a extração de um fator do radicando e a utilizar os conhecimentos a respeito de radicais para resolver situações-problema.

Salientar aos estudantes que, na atividade 4, por exemplo, é dado 2 = 1,41 (valor com aproximação de duas casas decimais), mas, para determinar melhores aproximações no cálculo de expressões que resolvem esse radical, eles podem utilizar outras aproximações para 2, aumentando a quantidade de casas decimais.

Assim:

• 2 = 1,414 (com aproximação de três casas decimais)

Ou

• 2 = 1,4142 (com aproximação de quatro casas decimais)

Incentivar os estudantes a utilizar a calculadora para determinar aproximações de 2, 3, 5 e 6, com três ou quatro casas decimais.

3 Sabendo que x e y são números reais positivos, simplifique a expressão 2 5 50x3y Fatorando o número 50, obtém-se 2 ? 52. Daí, temos:

AMPLIANDO

Atividades complementares

Acompanhe, a seguir, outra situação relacionada à simplificação de radicais.

4 Se l é a medida do lado de um quadrado, a área desse quadrado é dada por A =l 2. Calcular a medida l do lado de um terreno quadrado que tem 700 m2 de área, considerando 7 1 2,65. Temos: A =l 2 hl= A Então, l é o número positivo que, elevado ao quadrado, resulta em A, ou seja, l= A No caso, temos:

simplificando o radical O lado desse terreno mede, aproximadamente, 26,5 m

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Escreva da maneira mais simples possível cada um dos radicais, retirando fatores do radicando.

4. Considere os valores a seguir.

• 2 = 1,41

• 5 = 2,23

2. Nos radicais seguintes, os números x e y são números reais positivos. Nessas condições, simplifique cada radical retirando fatores do radicando.

y

3. Fatore o número que aparece no radicando e, a seguir, simplifique cada um dos radicais retirando fatores do radicando. a) 75 53

pessoal. Exemplo

Resolução

1. Fatore o número que aparece no radicando e, depois, simplifique cada um dos radicais retirando os fatores do radicando.

a) 250 3 b) 192 5 c) 1 800 d) 375 3

2. Para a = 40, b = 25 e c = 200, determine o valor numérico da expressão algébrica ca b + .

42

• 3 = 1,73

• 6 = 2,44 Usando esses valores, simplifique os radicais e escreva o valor de cada um na forma decimal.

a) 50 7,05

b) 27 5,19

c) 150 12,2

d) 500 22,3

5. Um terreno quadrangular tem área de 5 184 metros quadrados. Qual é a medida de cada lado desse terreno?

72 m

6. Elabore um problema parecido com o anterior. Entregue-o a um colega e peça a ele que o resolva. Em seguida, verifique se ele obteve o resultado esperado

7. Sabendo que x =  2 304 e y = 64 6 , qual é o valor da razão x y ?

8. Transforme as expressões em um só radical e, depois, calcule o valor de cada uma.

a) 4 096 3

cab+= 200 40 25 +?= 1200 = 20 3

HERON E A ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Heron de Alexandria, matemático grego que viveu por volta da segunda metade do século I, desenvolveu tantos e diferentes trabalhos sobre Física e Matemática que se costuma apresentá-lo como um enciclopedista dessas áreas.

Dos trabalhos de Heron, o mais importante é A métrica, organizado em três livros. É no livro I dessa obra que se encontra a dedução da fórmula da área de um triângulo em função dos três lados.

Quando conhecemos as medidas a, b e c dos lados de um triângulo qualquer, podemos determinar a área desse triângulo usando a fórmula deduzida por Heron:

Área de um triângulo: p(pa )(pb )(pc ) ,

Vamos resolver o problema a seguir aplicando a fórmula de Heron. Uma praça pública triangular tem lados cujas medidas são 110 m, 90 m e 40 m. Qual é, em metro quadrado, a área ocupada pela praça? Considere 2 = 1,4.

A praça pode ser representada pela figura:

Assim, temos:

a = 110 m, b = 90 m e c = 40 m

p = a   b c 2 ++ = 110 90 40 2 ++ = 240 2 = 120

Substituindo esses valores na fórmula deduzida por Heron, temos:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Propor aos estudantes que a leitura seja feita em duplas e que eles expliquem a fórmula apresentada. Informar que p indica o semiperímetro do triângulo (visto que perímetro é a soma das medidas dos lados). Em seguida, cada dupla pode resolver a questão proposta. Essa seção propicia o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1 da área de Matemática.

Logo, A = 1 200 2 = 1 200 1,4 = 1 680.

A área ocupada pela praça é de 1 680 m2 Responda às questões no caderno.

1. Considere um terreno triangular, cujas medidas estão indicadas na figura a seguir. Qual é a área desse terreno?

(Use 14 = 3,7.)

2. Elabore um problema que possa ser solucionado pela fórmula deduzida por Heron e entregue-o a um colega para resolvê-lo. Depois, verifique se a resolução está correta.

128 14 m2 ou 473,6 m2 Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

AMPLIANDO

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Link

BITAR, Simone. Robôs e portas automáticas: as invenções de Heron de Alexandria durante o império romano. Aventuras na História. [S l.], 11 abr. 2020. Disponível em: https://aventurasnahistoria.uol.com.br/ noticias/almanaque/invencoes-heron-de-alexandria-no-imperio-romano. phtml. Acesso em: 27 jun. 2022.

No link apresentado, é possível saber mais a respeito da vida e de outros feitos de Heron de Alexandria durante o período do Império Romano.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo levar os estudantes a simplificar expressões e a resolver situações aplicando o que aprenderam para introduzir um fator externo no radical. Com isso, prossegue-se o trabalho de desenvolvimento da habilidade EF09MA04.

Para a atividade 4, orientar os estudantes a realizar os cálculos por etapas.

333 = 33 3 2 =

= 333 4 = 3343 4 = 37 8

Após a realização das atividades dessa página, peça aos estudantes que apresentem oralmente as conclusões que obtiveram a respeito do assunto “introduzindo um fator externo no radical”, isto é, que implicações conseguiram perceber quanto ao uso dessa regra.

Enquanto apresentam as conclusões, é importante mediar a conversa, enfatizando, sempre que possível, a utilidade do que aprenderam para viabilizar cálculos matemáticos.

INTRODUZINDO UM FATOR EXTERNO NO RADICAL

A introdução de um fator externo no radical pode ser feita aplicando as propriedades dos radicais.

Do mesmo modo que, ao simplificarmos radicais, podemos extrair fatores do radicando, também podemos, se necessário, introduzir um fator externo no radical sem alterar o valor da expressão. Observe, no exemplo a seguir, que a igualdade se mantém.

23 23 2 =?

presença de fator externo

sem fator externo

De modo geral, um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando, para isso, escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical. Acompanhe outros exemplos.

1 Introduzir no radicando o fator externo da expressão 5 3

5 3 = 5 3 2 ?= 25 3 ?= 75

2 Transformar em um só radical a expressão x  x  3 5 , com x > 0. Nesse problema, devemos, inicialmente, introduzir o fator x no radical mais interno.

Responda às questões no caderno.

1. Introduza o fator externo no radicando dos radicais a seguir.

4. Represente a expressão 333 na forma de um único radical.

5. Qual é a forma mais simples de escrever a expressão x y x y 3 ?

2. Transforme cada expressão em um só radical, sabendo que x e y são dois números reais positivos.

3. Escreva, em um único radical, a forma simplificada da expressão a b a b 3

6. Escreva com suas próprias palavras como introduzir um fator externo no radical, destacando as propriedades aplicadas nesse processo. Em seguida, troque de anotações com um colega, e, juntos, complementem as explicações um do outro, se necessário.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ADIÇÃO ALGÉBRICA DE RADICAIS

Para reduzir ou simplificar uma expressão algébrica, podemos utilizar os termos semelhantes. Por exemplo, na expressão 9x + 3x 15x + 8x x todos os termos são semelhantes, e podemos reduzi-la a um só termo.

9x + 3x 15x + 8x x = (9 + 3 15 + 8 1)x = 4x

Só é possível realizar a adição algébrica de radicais quando eles são semelhantes. Dizemos que dois ou mais radicais são semelhantes quando têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Observe.

• 10 e 3 10 são radicais semelhantes.

• 2 3 , 10 2 3 e 7 2 3 são radicais semelhantes.

Desse modo, ab+5 ab +

Se em uma expressão há radicais semelhantes, podemos reduzi-la a um só termo. Vamos, então, considerar estas situações.

1 Reduzir a um só termo a expressão 10 3 + 53 11 3 + 23

Observe que 3 é o fator comum a todos os termos.

10 3 5 3 11 32 3 +_+ 11 10 3 5 3 11 32 3 +_+ 2 10 3 5 3 11 32 3 +_+= (10 + 5 11 + 2) 36 3 =

Logo, 6 3 é a forma mais simples da expressão dada.

2 Simplificar a expressão a seguir.

65 27 55 37 65 55 27 37 15 1 757+=+=+=+

57 + é a maneira mais simples de escrever a expressão dada usando radicais, pois não há mais radicais semelhantes para serem reduzidos. No entanto, podemos encontrar valores aproximados para os radicais e, em seguida, adicioná-los.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição algébrica de radicais

O objetivo é levar os estudantes a reconhecer e compreender radicais semelhantes, bem como a realizar as operações de adição e de subtração de radicais semelhantes e a simplificar expressões que apresentam radicais semelhantes. Para isso, sugerir a leitura coletiva do texto no Livro do estudante. Depois, pedir aos estudantes que deem exemplos de radicais semelhantes. Anotar na lousa as sugestões dadas e verificar com eles a validade desses exemplos. Dar oportunidade para que expressem as ideias deles. Desse modo, será possível coletar dados a respeito do nível de compreensão e de possíveis dúvidas dos estudantes.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nessas atividades, é importante reforçar aos estudantes a ideia de que só é possível adicionar dois radicais, reduzindo-os a um só termo, quando esses radicais são semelhantes.

Verificar se ficou claro para os estudantes que igualdades do tipo 2 + 3 = 5 não são verdadeiras. Para confirmar que 2 + 3 5 5, eles podem, por exemplo, realizar os cálculos de cada membro e compará-los.

2 + 3 1 1,41 + 1,73 = 3,14

5 1 2,23

Como 3,14 5 2,23, conclui-se que 2 + 3 5 5

Outra opção é sugerir aos estudantes que usem uma calculadora para determinar os valores de 2, 3 e 5 e confirmar que a igualdade 2 + 3 = 5 é falsa.

Há expressões que exigem a simplificação de seus termos antes da realização da adição. Observe os exemplos a seguir.

1 Calcular o valor de + 50 18 Como 50 = 2 ? 52 e 18 = 2 ? 32, vamos, então, simplificar cada radical com a extração de fatores do radicando.

+=?+?=+= 50 18 25 23 52 32 8 2  22 Logo, o valor procurado é 82

Responda às questões no caderno.

1. Reduza as seguintes expressões à forma mais simples.

+_++ 12 75 93 27 48

4 125 34 53 05 +_

2. Um número real P é tal que P = 72 + + 3 200 + 392 . Qual é o valor do número P ? (Considere 2 = 1,41.)

3. Os lados de um triângulo medem 4 486 cm, 49 6 cm e 5 216 cm. Simplifique os radicais e calcule o perímetro desse triângulo. (Use 6 = 2,45.)

4. Qual é a forma simplificada de cada uma das expressões?

a) + 28 175 63 b) 50  1 8 200

5. Um terreno com forma triangular tem as medidas, em metro, como indicado na figura. Qual é o perímetro desse terreno? (Considere 7 = 2,65.)

6. Elabore um problema que possa ser resolvido por meio da operação 21 8 m + 27 5 m. Depois, troque de caderno com um colega para que um resolva o problema que o outro desenvolveu

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE RADICAIS COM MESMO ÍNDICE

Uma das propriedades dos radicais aritméticos nos mostra que:

ab n = a n b n , com a > 0, b > 0, n [n e n . 1.

Aplicando a propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever:

a n ? b n =?ab n , com a > 0, b > 0, n [n e n . 1.

Dessa maneira, temos:

• ?=?=27 27 14

• ?=?=56 56 30 33 3 3

Assim:

O produto de dois ou mais radicais de mesmo índice é um radical com o mesmo índice, cujo radicando é igual ao produto dos radicandos desses radicais.

Utilizando a propriedade distributiva na multiplicação de radicais

Acompanhe as situações a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação e divisão de radicais com mesmo índice

Para o estudo da multiplicação de radicais com o mesmo índice, é bastante importante que os estudantes se lembrem da aplicação da propriedade distributiva da multiplicação. Além dos exemplos apresentados no Livro do estudante, propor o exemplo a seguir.

Calcular (2 7) ? (5 + 7 ). (2 7) (5 + 7) = 2 5 +

+ 2 ? 7 5 ? 7 7 ? 7 =

= 10 + 2 7 5 7 7 =

= 10 7 + 2 7 5 7 = 3 _ 3 7

Sugerir aos estudantes que façam o registro das ideias principais acerca da multiplicação e da divisão de expressões com radicais de mesmo índice. É interessante, também, que façam o fichamento desses procedimentos para uma possível consulta no decorrer do ano letivo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nesse bloco de atividades, os estudantes terão a oportunidade de aplicar as técnicas operatórias usando algoritmos da multiplicação de radicais de mesmo índice para efetuar as multiplicações indicadas e resolver as situações apresentadas.

Sempre que possível, procurar trabalhar com atividades que envolvam conceitos geométricos, principalmente perímetro e área de figuras planas e volume de sólidos geométricos.

Aproveitar as atividades para rever esses conceitos geométricos.

Na atividade 3, por exemplo, eles poderão trabalhar com a adição e com a multiplicação de radicais para determinar a área do trapézio.

Além disso, na continuação das atividades na página seguinte, os estudantes vão efetuar divisões que envolvem radicais de mesmo índice.

Dividindo expressões com radicais de mesmo índice

Por uma das propriedades dos radicais, sabemos que:

E pela propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever:

observe as divisões.

O quociente de dois radicais de mesmo índice é um radical com o mesmo índice, cujo radicando é igual ao quociente dos radicandos desses radicais.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Efetue cada multiplicação e simplifique o resultado.

representa a medida da base maior, b representa a medida da base menor, e h representa a medida da altura.

2. Dê o perímetro e a área da região retangular representada pela figura.

Perímetro: 68 2 cm; área: 570 cm2

3. A área de um trapézio é dada pela fórmula A = + (B b) h 2 , em que B

a) Calcule a área do terreno representado pela figura, cujas medidas são dadas em metro. 5

10 10

1 250 m2

b) A partir da figura desta atividade, elabore uma questão usando um dos termos triângulo ou retângulo. Depois, peça a um colega que resolva o problema que você propôs, enquanto você resolve a questão elaborada por ele.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4. Qual é a expressão, na forma mais simples possível, que se obtém quando efetuamos as multiplicações a seguir?

a) 5 ?+75 () 7 5 + 5

b) 15 ?+35 () 3 5 + 5 3   2 3 2 +

c) 8 26 () 4 92 4 3   2 3 2 +

5. Qual é a expressão que representa o resultado de (7 53 ) (2 83 ) ?

6. Escreva a expressão que represente cada uma das potências a seguir, usando uma multiplicação.

a) + 110 2() 11 + 221 0

b) 35 2() 14 6 5

c) + 72 2() 9 + 2 14

d) 10 7 2() 17 2 70

7. Dê o resultado de cada uma das divisões a seguir.

a) 15 : 3 5

b) 21 4 : 7 4

c) 162 : 3

d) 240 : 6

8. Simplifique as expressões.

a) 40 5

b) 54 3

c) 486 3 d) 150 3

9. Qual é o número que representa o quociente + + : (2 3) (2 6) (6 2) 3 ?

REDUÇÃO DE DOIS OU MAIS RADICAIS AO MESMO ÍNDICE

Acompanhe e analise as situações a seguir.

1 Vamos considerar os radicais 72 3 e 63 4

Podemos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deve ser múltiplo comum dos índices 3 e 4. Assim, temos: 12, 24, 36, 48, 60, ... Vamos escolher o menor deles, o 12. Agora, observe. vezes

78 12 69 12 e

radicais, respectivamente, equivalentes àqueles com o mesmo índice

2 Consideremos, agora, os radicais a5 8 e a3 6 , com a > 0.

Vamos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deverá ser múltiplo comum de 8 e 6.

Assim, temos: 24, 48, 72, 96, 120, ... Para facilitar, escolhemos o menor deles, o 24.

Nesse caso, temos: radicais com índices diferentes

e a5 8 a3 6

radicais, respectivamente, equivalentes àqueles com o mesmo índice

Na continuação das atividades, os estudantes vão efetuar divisões que envolvem radicais de mesmo índice. Sempre que necessário, retomar com eles os conceitos já estudados, como no caso da atividade 9, e relembrar que a divisão de duas frações pode ser realizada conservando-se a primeira e multiplicando-a pelo inverso da segunda. Além disso, relembrar que, para multiplicar duas frações, efetua-se o produto entre os numeradores e entre os denominadores.

Redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice

A redução de radicais ao mesmo índice é bastante útil quando se deseja multiplicar ou dividir radicais. Para isso, encontra-se um múltiplo comum aos índices dos radicais e faz-se a equivalência necessária, multiplicando tanto o índice quanto o expoente do radicando.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nessas atividades, os estudantes vão efetuar multiplicações e divisões que envolvem radicais de índices diferentes.

Antes de trabalhar com essas atividades, se necessário, retomar o conceito de mínimo múltiplo comum (mmc).

Explicar aos estudantes que será necessário, inicialmente, determinar o mínimo múltiplo comum entre os índices para reduzir radicais com índices diferentes a um mesmo índice e transformá-los em radicais equivalentes; então, poderão realizar as operações indicadas. Com esse trabalho, perceberão que, do mesmo modo que no estudo das frações, o mmc é um recurso para transformar radicais com índices diferentes em radicais de mesmo índice.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE RADICAIS COM ÍNDICES DIFERENTES

A redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice nos possibilita efetuar a multiplicação e a divisão de radicais que, inicialmente, apresentam índices diferentes. Acompanhe e analise os exemplos a seguir.

1 Vamos calcular 2 4 23 10 Como os radicais têm índices diferentes, precisamos, primeiro, reduzi-los ao mesmo índice e, depois, efetuar a multiplicação.

2 Calcular 10 : 10 3 Inicialmente, reduzimos os dois radicais ao mesmo índice e, em seguida, efetuamos a divisão.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Reduza ao mesmo índice cada conjunto de radicais a seguir.

4. Efetue as operações indicadas e, quando possível, simplifique cada resultado.

2. Reduza cada par de radicais ao mesmo índice e, em seguida, compare os valores obtidos utilizando os sinais . ou ,

5. Em cada uma das expressões, a e b são números reais positivos. Escreva, então, a expressão algébrica que representa o resultado de:

3. (Fuvest-SP) Se a = 2 e b = 2 4 , então o valor de a b é:

POTENCIAÇÃO DE RADICAIS

Considere as seguintes potências. (1 0)2 , (7 )3 , (2 ) 5 3

Usando a definição de potência (produto de fatores iguais), temos:

• (1 0)2 = 10 10 = 102 = 10

• (7 )3 = 7 ? 7 ? 7 = 73 =?77 2 = 7 7

• (2 ) 5 3 = 2 5 ? 2 5 ? 2 5 = 23 5

Assim, de modo geral:

(a ) n m = am n , com a [r+, m [z, n [n e n . 1.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potenciação de radicais

O estudo da potenciação de radicais finaliza o bloco de operações realizadas com radicais. O desenvolvimento de potências que envolvem adição ou subtração de radicais, como em + () 53 2 , será feito, inicialmente, com a aplicação da propriedade distributiva da multiplicação.

Então:

• (3 )5 = 35 = 3 3 3 22 = 9 3

• (1 0) 3 4 = 104 3 = 10  1 0 3 3 = 10 10 3

Nas expressões que envolvem radicais, podemos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. Observe.

+ (5 3)2 =+ (5 3) + (5 3) = (5 )2 + 5 3 + 3 5 + (3 )2 = = 5 + 2 15 + 3 = 8 + 2 15

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Calcule as potências a seguir.

a) (21)2

b) (4 ) 3 2

4. São dados os números reais x = 2 10 e y = 10 2. Qual é o valor da expressão x2y2?

Incentivar os estudantes a trocar ideias com os colegas a respeito de temas sobre os quais ainda tenham dúvida. Acompanhá-los e orientá-los nesse trabalho. Se necessário, explicar na lousa as dúvidas que ainda persistam.

a) (a b)2

b) (b a) 3 4 ab 4 a 3

d) (2 ) 4 9 e)



f) (8 ) 6 2

5. Considere os números reais a = 3 2 e b = 2 3 e determine, na forma decimal, o valor da razão a b 1,22

3 4 a4b5

3 d)  

   

21 2 2 3 192 42 4 5 2 2 a2b 4 2

c)

d)

+

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Racionalização de denominadores

Aqui, o objetivo é levar os estudantes a aplicar as propriedades das frações e dos radicais e a propriedade distributiva para racionalizar denominadores de expressões fracionárias.

É sempre interessante propiciar situações em que os estudantes possam desenvolver a autonomia. Para isso, sugerir-lhes a leitura individual e cuidadosa do texto dessas páginas com o objetivo de compreender e aplicar os conceitos e as propriedades utilizadas para a racionalização dos denominadores de uma expressão fracionária.

Depois da leitura, perguntar aos estudantes o que é a racionalização de denominadores. Pedir-lhes que mostrem, por meio de exemplos dados na lousa ou no Livro do estudante. Neste momento, incentivar a expressão oral e a troca de ideias entre a turma.

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Consideremos, inicialmente, a expressão 1 3

Vamos calcular a forma decimal aproximada da expressão 1 3 , adotando 3 = 1,732 (aproximação com três casas decimais).

Voltemos a considerar a expressão 1 3

Pela propriedade de equivalência de frações, podemos multiplicar o numerador e o denominador dessa expressão pelo mesmo número (3 ), para, em seguida, determinar a forma decimal aproximada do resultado.

As expressões 1 3 e 3 3 são equivalentes, pois obtivemos o mesmo resultado na forma decimal aproximada: 0,577.

Uma transformação em que o denominador obtido é um número racional é chamada de racionalização de denominadores

Essa racionalização consiste em transformar uma expressão, cujo denominador apresenta números irracionais, em uma expressão equivalente, com denominador no qual há, apenas, números racionais.

Acompanhe alguns exemplos de racionalização de denominadores.

1 Racionalizar o denominador da expressão 5 31 0

Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por 10 , temos:

2 Racionalizar o denominador da expressão 3 5 4

Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por 53 4 , temos:

3 Racionalizar o denominador da expressão 2 13

Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por + 13 , temos:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Os estudantes aplicarão, nessas atividades, os conhecimentos adquiridos e realizarão a racionalização de denominadores usando propriedades de radicais e a propriedade distributiva.

Sugerir que essas atividades sejam feitas individualmente. Assim, é possível observar melhor as possíveis dificuldades e dúvidas de cada estudante. Depois, retomar os conceitos e procedimentos para esclarecer as dúvidas.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Racionalize o denominador de cada uma das expressões.

4. Determine, na forma decimal, o valor de cada expressão. (Use 6 = 2,449; 2 = 1,414; e 10 = 3,162.)

2. Dadas as expressões a seguir, racionalize os denominadores.

5.

os denominadores

6. Racionalize o denominador das seguintes expressões.

3. Sabendo que a b n = a b n n , racionalize o denominador de cada uma das seguintes

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potência com expoente racional

Retomar discussões e apontamentos elaborados pelos estudantes, auxiliando-os na conclusão de que as propriedades estudadas para as potências com expoentes inteiros também são válidas para as potências com expoentes fracionários.

Propor situações que envolvam o uso da calculadora. Exemplo:

• Sem usar a tecla √– , obter um valor aproximado para 8 354 e verificar o resultado. Orientar os estudantes a verificar o valor encontrado, multiplicando o resultado por ele mesmo e comparando o produto obtido com 8 354.

POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL

Já estudamos expressões da forma 102, 6 1 e 20, que são potências com expoentes inteiros cujos significados já conhecemos: 102 = 100 = 6 1 6 1 20 = 1

Mas qual será o significado de uma potência com expoente fracionário? Vamos considerar algumas situações.

1 Qual é o significado de 2 3 4 ?

• Consideremos um número real y, tal que y = 2 3 4 . Se elevarmos os dois membros à 4a potência, teremos:

• Consideremos um número real x, tal que x = 23 4 . Elevando os dois membros à 4a potência e utilizando as propriedades de radicais, temos:

= 23 II

Comparando I e II , obtemos y4 = x4. Como x . 0 e y . 0, temos: y4 = x4 h y = x Na expressão anterior, como os expoentes são iguais, as bases positivas também são iguais. Assim, podemos escrever: 2 3 4 = 23 4

2 Vamos considerar, agora, o radical 220 5 Como o radicando 220 pode ser escrito na forma (2 )

5, é possível fazer: 220

Ocorre que o expoente 4 pode ser escrito na forma 20 5 , pois 4 = 20 5 . Portanto, podemos escrever: 220 5 = 24 = 2 20 5 potência com expoente fracionário

O mesmo ocorre quando temos, por exemplo:

Observe que, nos exemplos, o expoente do radicando é múltiplo do índice do radical. No entanto, mesmo quando isso não ocorre, procedemos dessa maneira. Acompanhe.

Assim, podemos escrever:

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Acompanhe as seguintes situações.

1 Qual é o valor da expressão 810,75? Inicialmente, fazemos: == 0,75 75 100 3 4

: 25 : 25

Decompondo 81, temos 81 = 34

Logo, 810,75 = 27.

As mesmas propriedades que já estudamos para potências com expoentes inteiros são válidas para as potências com expoentes fracionários.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

2 Qual é o número real expresso por 36

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Escreva, na forma de potência com expoente fracionário, os radicais a seguir

4. Considere os radicais a seguir e faça o que se pede.

Essas atividades têm como objetivos a escrita de radicais na forma de potência com expoente fracionário e o cálculo de potências com expoente fracionário, reconhecendo que as propriedades estudadas para potências com expoentes inteiros valem também para as potências com expoentes fracionários. Essas atividades favorecem a apropriação das habilidades EF09MA03 e EF09MA04. Na atividade 5, acompanhar os estudantes durante a elaboração da expressão e verificar se aplicam adequadamente os conhecimentos estudados neste capítulo. Depois de resolverem as expressões propostas, é interessante que eles troquem estratégias entre si e confiram os resultados.

a) Escreva os radicais na forma de potência com expoente fracionário e simplifique a potência obtida.

2. Escreva, na forma de radical, as seguintes potências com expoentes fracionários

b) Represente, na forma de radicais, as potências obtidas no item anterior.

c) Compare cada radical dado com o respectivo radical obtido no item b e responda: Em que condições é possível simplificar um radical?

Quando o índice do radical e o radicando têm divisores comuns.

3. Sabendo que x é um número real positivo, escreva na forma de uma única potência de base x (com x . 0) a expressão x 1 2 ? x 1

. Em seguida, escreva a potência obtida na forma de radical

AMPLIANDO

Atividades complementares

5. Elabore uma expressão numérica que envolva potências com expoentes fracionários e que resulte 1. Troque de caderno com um colega para que um resolva as expressões que o outro criou.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

atividades

1. Escreva, na forma de potência com expoente fracionário, os radicais a seguir.

72 3

5 9

2. Escreva as potências com expoentes fracionários na forma de radical.

10 3 4 b) 8 5 7

3. Escreva na forma de uma única potência de base 3.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Calculando raízes com a calculadora científica

Existem vários tipos de calculadora: básica, científica, financeira, estatística, gráfica, entre outros. Para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, em algumas ocasiões, orienta-se o uso da calculadora científica, pois ela permite acesso a operações matemáticas estudadas nesses segmentos de ensino. Os estudantes poderão certificar-se de que os cálculos estão corretos ao longo do estudo de conceitos como potenciação, radiciação, logaritmos, trigonometria, fatorial, além das operações fundamentais.

É interessante comentar que muitos celulares apresentam as funções de uma calculadora científica. Além disso, também há sites que apresentam calculadoras científicas on-line. Seguem duas sugestões de calculadoras desse tipo.

• CALCULADORA científica. Calculadora On-line. [S l.], c2022. Disponível em: https:// www.calculadoraonline.com. br/cientifica. Acesso em: 27 jun. 2022.

• WEB 2.0 CALC. [S l.], c2006c2022. Site. Disponível em: https://web2.0calc.com/. Acesso em: 27 jun. 2022.

Ao trabalhar com a calculadora, é preciso conhecê-la. Todas as calculadoras científicas são similares; o que diferencia uma da outra é a maneira como as informações serão introduzidas. Por isso, é importante familiarizar-se com as teclas e com as funções de cada uma. Esse estudo propicia o desenvolvimento da competência específica 5.

CALCULANDO RAÍZES COM A CALCULADORA CIENTÍFICA

Vamos estudar como trabalhar com a radiciação usando uma calculadora científica. Nem todos os modelos de calculadora científica apresentam as três teclas destacadas na fotografia a seguir. Se esse for o caso da calculadora que você está usando, pesquise quais são as teclas que têm função semelhante às destacadas. Se necessário, junte-se a um colega. Observe, nos quadros a seguir, algumas funções das teclas destacadas.

Calculadora científica.

A tecla é utilizada para calcular a raiz quadrada de um número. Essa tecla também é encontrada em algumas calculadoras simples.

Para calcular 169 , por exemplo, devemos acompanhar o passo a passo a seguir.

1. Clique em e digite o radicando 169.

2. Para finalizar, aperte a tecla = . No visor, vai aparecer o número 13.

A tecla x3 é utilizada para o cálculo de potências de expoente 3. Contudo, a função desejada é a função secundária, ou seja, a que está em amarelo e que é usada para o cálculo de raízes cúbicas.

Vamos acompanhar uma aplicação? Por exemplo, o cálculo de 8 3 . Para fazer esse cálculo, adotamos este procedimento:

1. Pressionamos a tecla Shift e habilitamos a função secundária do teclado.

2. Em seguida, clicamos em x3

3. No visor, vai aparecer o radical com índice 3.

4. Depois, digitamos o radicando, que, nesse caso, é 8.

5. Por fim, apertamos a tecla = . No visor, vai aparecer o número 2.

AMPLIANDO

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Atividade complementar

Como curiosidade, indicar o filme O Céu de Outubro para os estudantes e fazer alguns comentários relacionados ao cálculo de radicais.

O Céu de Outubro conta a história de Homer e seus amigos, adolescentes de uma pequena cidade do interior dos Estados Unidos, cuja principal atividade profissional era uma antiga mineradora de carvão. Para realizar o so-

nho de colocar um foguete em órbita e, ainda, concorrer a uma bolsa de estudos em uma universidade conceituada, Homer teve de aprender alguns conceitos matemáticos, incluindo os que foram vistos nesta Unidade.

Mais informações a respeito do filme estão disponíveis em: EXTRACLASSE – Dica cultural – Filme: Céu de Outubro. 2011. Vídeo (1min09s). Publicado pelo canal Educa Play. Disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=kdjoUQ8ecyg. Acesso em: 27 jun. 2022.

Como no caso anterior, também vamos usar a função secundária da tecla ^

A função secundária dessa tecla calcula raízes com qualquer valor para o índice. Observe, por exemplo, como calcular 1 296 4

1. Digite o valor do índice; no caso, 4.

2. Por meio da tecla Shift , habilite a função secundária e, em seguida, clique em ^ Aparecerá na tela o radical e, no lugar do índice, aparecerá x

3. Digite o radicando; neste caso, 1 296.

4. Para finalizar, aperte a tecla = . No visor, vai aparecer o número 6. Vamos efetuar alguns cálculos com expoentes fracionários, escritos na forma decimal.

Observe, por exemplo, como calcular 49 0,5

1. Digite o valor da base; no caso, 49.

2. Em seguida, digite a tecla ^

3. Digite o expoente, 0,5.

4. Para finalizar, aperte a tecla = . No visor, vai aparecer o número 7.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Descubra mais

O uso de calculadoras on-line ou de aplicativos amplia aos estudantes a possibilidade de uso dessa ferramenta, uma vez que pode ser realizado no celular ou em computadores, sem a necessidade de ter o objeto calculadora propriamente dito. Caso haja laboratório de informática na escola, pode-se utilizá-lo para que os estudantes conheçam as ferramentas citadas e façam uso delas.

Recomenda-se que seja discutido com a turma como o avanço das tecnologias influenciou o modo como a Matemática é utilizada no cotidiano.

AMPLIANDO

Texto

Responda à questão no caderno.

1. Agora que você já conheceu alguns recursos da calculadora científica para o cálculo de raiz, faça os cálculos.

OLIVEIRA, Edvaldo Fialho de. A calculadora como ferramenta de aprendizagem. 53 f. Trabalho de Graduação em Licenciatura em Matemática – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2011. Disponível em: https://repositorio.unesp.br/ bitstream/handle/11449/120264/ oliveira_ef_tcc_guara.pdf?sequence =1. Acesso em: 27 jun. 2022.

DESCUBRA MAIS

CALCULADORA. GeoGebra. Disponível em: geogebra.org/calculator. Acesso em: 22 fev. 2022. Caso não tenha uma calculadora científica, você pode usar a calculadora científica de celulares ou computadores, ou, ainda, acessar calculadoras científicas na internet. Por exemplo, a calculadora científica disponível no software GeoGebra. Com ela, é possível obter gráficos, ferramentas de Geometria e Estatística, entre outras.

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Desafiar os estudantes a resolver um dos problemas com os quais Homer se deparou. Pedir que calculem qual deveria ser a velocidade teórica inicial (v 0) de lançamento para que o foguete atingisse uma altura máxima de 95 m. Para isso, os estudantes deverão utilizar a equação de Torricelli (físico e matemático italiano), v 2 = v 2 0 2gh, adotando g = 10 m/s2 para a aceleração da gravidade, sabendo que, quando o foguete atinge sua altura máxima (h = hmáx), sua velocidade é nula (v = 0). Se necessário, permitir o uso

de calculadora para calcular alguma raiz.

Essa atividade pode ser realizada em parceria com o professor de Ciências, pois envolve alguns conceitos de Física.

Resolução da atividade

Do enunciado do problema, tem-se as seguintes informações.

g = 10 m/s2 h = 95 m v = 0 m/s

Determinar a velocidade teórica inicial (v 0 ). Então, utilizando a equação de Torricelli, tem-se:

07/06/22 00:47

Nesse trabalho, é possível encontrar um pouco da história e da evolução dessa importante ferramenta, um pouco sobre o uso dela em sala de aula e as possibilidades que podem ser exploradas com esse recurso.

02 = v 2 0 2 ? 10 ? 95

0 = v 2 0 1 900

v 2 0 = 1 900

v 0 =± 1 900

Como se quer determinar a velocidade inicial, ela não pode ser negativa, então:

v 0 =+ 1 900 1 43,59

Portanto, a velocidade teórica inicial do foguete deveria ser 43,59 m/s.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

As atividades propostas nessa seção visam retomar o trabalho com números reais. Incentivar os estudantes a socializar suas estratégias e a trocar ideias com colegas a respeito de temas sobre os quais ainda tenham dúvida. Acompanhá-los e orientá-los nesse trabalho. Usar esse momento para esclarecer as dúvidas que ainda persistam.

Na atividade 5, para resolver a expressão dada, orientar os estudantes a utilizar a 4 a propriedade dos radicais e, em seguida, aplicar a propriedade distributiva da multiplicação por partes, iniciando pelo produto + () 55 ? () 55

Responda às questões no caderno.

1. Observe as afirmações e verifique se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) O número 3, 8 não pertence ao conjunto dos números irracionais.

b) O número 7 pertence ao conjunto dos números irracionais.

c) Todo número racional também é um número irracional.

d) O número 81 pertence ao conjunto dos números racionais.

e) O número 5, 80 pertence ao conjunto dos números naturais.

2. A representação decimal de um número pode ser: finita, infinita e periódica ou, ainda, infinita e não periódica. Escreva qual é o caso de cada um dos números a seguir.

a) 27 6 b) 0, 23 c) 2

Infinita e não periódica. Infinita e

3. Observe os números a seguir e responda às questões.

97; 3 5 ; 3 ; 49 7 ; 1, 25 ; p

a) Alguns desses números pertencem ao conjunto dos números naturais? Quais?

b) Quais números pertencem ao conjunto dos números inteiros?

c) Quais números são irracionais?

d) Quais números são reais, mas não são racionais?

e) Quais números são reais, mas não são irracionais?

4. Escolha um número irracional e faça uma construção para representá-lo na reta numérica, identificando-o pela letra P. Em seguida, troque de caderno com um colega para que um descubra o número que o outro representou.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

5. Qual é o resultado da expressão

5 + 55 () 5  5 ()?

a) 5

b) 2 5

c) 10

6. Qual é o número que se obtém ao simplificar a expressão +_ 31  1 0  83 4 6 5 ?

a) 2

d) 10 5 e) 10

b) 1 c) 3 d) 4 e) 6

7. A expressão numérica 81 1 2 + 32 1 5 tem valor:

a) 7.

b) 8. c) 9. d) 10. e) 11.

8. Calcule o valor de x + y, sabendo que 2 + x = 4 2 e 3 y = 5 6

a) 2 2

b) 4 2

c) 5 2

9. Sendo a = 24 e b = 36 4 , o valor do produto ab será:

a) 2 6

b) 6.

c) 12.

10. A expressão (2 )

d) 8 2 e) 10 2

d)

24.

é igual a: a) 2. b) 2 2

c) 32

(2 )

10 e) 32.

11. Qual é o valor da expressão 32 + 4 8 50 (2 ) 3?

Alternativa c. Alternativa a. Alternativa e. Alternativa d. Alternativa c. Alternativa e. Alternativa a.

a) 5 2

b) 2

d) 6 2 e) 2 RETOMANDO APRENDEU O QUE 58

58 27/06/22 20:22 58

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

12 . Se x = 1 3 e y = 1 + 3 , o número real que expressa o valor x 2 y2 é:

15 . Se A = 8 1 3 + 16 1 4 (2)2 + 8 4 3 , então

A vale:

a) 20.

a) 3

b) 1. c) 1. d) 0. e) 2.

13 . Sabendo que 2 x = 2 12 e 5 y 3 = 5 15 , o valor de x y é:

a) 1.

Alternativa d. Alternativa a. Alternativa d.

b) 18.

c) 16.

16 . O valor da expressão

b) 0. c) 6. d) 5. e) 10.

14 . Qual é o número inteiro que se obtém ao simplificar a expressão 3 10 10 10 3 ?

320,2 + 270,5 108 2

a) 2.

b) 2,2.

c) 22.

d) 14. e) 10.

1 2() + () 0,0016 0,25 é:

Alternativa c. Alternativa b.

a) 1

b) 5 c) 10 d) 10 e) 5

UM NOVO OLHAR

d) 2,2 + 6 3

e) 22 + 6 3

Nesta Unidade, ampliamos os estudos sobre o conjunto dos números reais, e foi possível explorar: os números irracionais e sua descoberta por meio da Geometria, o número p , os números reais e o cálculo com radicais, iniciando pela raiz enésima de um número real, seguindo pelas propriedades operatórias dos radicais, pela simplificação, pela adição algébrica, pela multiplicação e pela divisão, chegando à potenciação de expressões com radicais.

Para melhor organizar o estudo dos cálculos com radicais, sugere-se que se faça um breve resumo de cada propriedade, com um ou mais exemplos. Com esse resumo, você pode retomar as aprendizagens desta Unidade. Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• A abertura desta Unidade apresentou o número irracional p. Agora, responda novamente à questão: “Como podemos obter uma aproximação para o número p?”.

• Na abertura desta Unidade, você foi convidado a sugerir um número que, assim como o número p, também fosse um número irracional. O número que você sugeriu é um número irracional? Se sim, qual característica esse número apresenta para ser considerado um número irracional? Se não, qual número você responderia se fosse novamente convidado a responder a essa questão?

• Como podemos construir geometricamente um segmento de medida 2 ?

• Considerando o conjunto dos números reais, em que situação não existe a raiz de um número negativo?

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade possibilitam, além de uma retomada dos conteúdos apresentados, reflexões acerca das aprendizagens individuais. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, assim, possam perceber suas aprendizagens e dúvidas a respeito de cada conteúdo apresentado na Unidade.

As questões iniciais dessa seção visam retomar alguns conceitos tratados na abertura desta Unidade. É uma oportunidade para verificar as aprendizagens desenvolvidas ao longo das explorações da Unidade.

A terceira questão deve ser resolvida por meio de desenho geométrico, indicando uma possibilidade para medir o segmento, conforme a construção a seguir.

Construir um triângulo retângulo isósceles cujos lados menores meçam 1 u e um deles esteja sobre uma reta numérica, a partir do zero. Desse modo, o lado maior mede 2 u. A partir dessa construção, com o compasso aberto com a medida do lado maior, posicionar a ponta-seca sobre o zero da reta numérica e traçar um arco de circunferência que intersecte a reta numérica.

O ponto em que o arco de circunferência traçado cruza a reta numérica está a 2 u de distância do zero da reta numérica.

A última questão retoma a existência de resultado no conjunto dos números reais para a raiz de um número negativo. Destacar que a raiz de um número negativo, quando o índice da raiz é par, não está definida no conjunto dos números reais.

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 3, 4, 7, 8 e 9

Competências específicas:

• 2, 3, 4 e 6

Habilidade:

Álgebra

• EF09MA09

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Saúde

• Educação para o Consumo

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em dois capítulos; ela apresenta os conteúdos por meio de exemplos contextualizados e atividades diversificadas e traz seções com temas que contribuem para a formação integral dos estudantes favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 3, 7 e 9. No primeiro capítulo, são apresentados os produtos notáveis e suas representações algébrica e geométrica, o que pode contribuir para ampliar a compreensão desse tópico. No segundo capítulo, são apresentadas diversas técnicas de fatoração de polinômios e como essas técnicas podem ser aplicadas na resolução de equações que podem ser escritas como um produto nulo. Esses temas favorecem a apropriação da habilidade EF09MA09.

A Unidade é permeada de seções que trazem informações sobre contextos de relevância social e cultural, como saúde, consumo consciente e cultura afro-brasileira, os quais colaboram com o desenvolvimento de diversas competências gerais e específicas e Temas Contemporâneos Transversais (TCTs).

OBJETIVOS

• Compreender produtos notáveis (representações geométrica e algébrica).

PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 2

O vitral é um tipo de vidraça formada por pedaços de vidro colorido combinados para formar desenhos, cenas ou personagens. Essa técnica teve origem no Oriente, por volta do século X, e difundiu-se pelo continente europeu na Idade Média.

Inicialmente, os desenhos são feitos em papel, mostrando como ficará a peça finalizada. Depois, o vidro é cortado e preparado (pintura e aquecimento em fornos específicos) para a montagem final, como um quebra-cabeça.

Imagem da montagem de um vitral, confeccionado pelo artista plástico mineiro Célio de Moura, que, desde 1982, dedica-se à pesquisa e ao trabalho com vitrais.

• Compreender diferentes estratégias de fatoração de polinômios.

• Resolver um caso particular de equações por meio da fatoração.

• Conhecer o conceito de média móvel e aplicar os conhecimentos sobre tabelas e gráficos de linhas em uma situação real.

• Refletir sobre o consumo consciente.

• Reconhecer características e a importância da cultura afro-brasileira.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresenta-se o estudo de produtos notáveis e de fatoração de polinômios como ferramentas para facilitar o cálculo algébrico.

Esses temas têm o objetivo de preparar os estudantes para o estudo das equações polinomiais de 2o grau. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

A abertura desta Unidade pretende mostrar que muitos temas estudados nas aulas de Matemática estão interligados e podem ser explorados por vias distintas. No caso dos produtos notáveis, será mostrado como a representação geométrica ajuda a entender a manipulação algébrica de determinado produto.

Antes de propor a primeira questão da abertura, é interessante conversar com a turma sobre vitrais. Para isso, pode-se mostrar aos estudantes livros e sites na internet com imagens de vitrais e analisar com eles as figuras representadas, inclusive sob o aspecto geométrico. Esta pode ser uma atividade realizada em parceria com o professor de Arte.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Converse com um colega para responder às questões a seguir no caderno.

• Vocês conhecem vitrais? Se sim, conseguem identificar padrões geométricos nas composições dessas obras?

Respostas pessoais.

• As medidas das peças a serem confeccionadas, representadas em um desenho, auxiliam o artista a calcular a área exata de cada peça de vidro que ele vai usar. Considerando este esboço, como vocês fariam para calcular a área colorida de amarelo?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Na seção Tratamento da informação, pretende-se apresentar uma aplicação da análise de dados em tabela e gráficos de linhas, bem como do conceito de média móvel no contexto da pandemia de covid-19. Esse tema colabora para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, da competência geral 8 e das competências específicas 2 e 6 da área de Matemática.

A importância da pesquisa de preços é tratada no boxe Fórum cujo objetivo é favorecer o

desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo e da competência geral 7.

Aspectos da cultura afro-brasileira são destacados na seção Por toda parte cujo objetivo é contribuir para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e da competência geral 3.

Se possível, acessar com eles a página do artista plástico Célio de Moura, disponível em https:// www.vitraismoura.com/ (acesso em: 11 maio 2022), de modo que possam conhecer mais sobre essa técnica e sobre o vitralista. Recomendar aos estudantes que descrevam os cálculos verbalmente e troquem estratégias de resolução entre si antes de formalizarem a resposta propriamente dita. Desse modo, há oportunidade de exercitar a capacidade de argumentação e empatia, o que auxilia no desenvolvimento das competências gerais 7 e 9 e da competência específica 6 da área de Matemática.

Os estudantes podem construir cartazes com as resoluções propostas e oportunamente poderão retomá-los, analisando se o que imaginaram previamente se confirma ao longo do desenvolvimento da Unidade.

VITRAIS MOURA ATELIER (JUIZ DE FORAMG)

MANZI

Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Produtos notáveis

O trabalho com o cálculo algébrico geralmente tem início no 8 o ano. Além de conhecer as definições de monômios e polinômios, os estudantes efetuam algumas operações básicas, como adições, subtrações e multiplicações algébricas.

No 9 o ano, além do estudo da propriedade distributiva, os produtos algébricos são novamente discutidos, porém com o objetivo de apresentar e formalizar os produtos notáveis para, em seguida, explorar os casos de fatoração.

Esses temas são fundamentais para a resolução futura de equações do 2o grau, principalmente as incompletas. Desse modo, o conteúdo deste capítulo favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Retomar os conceitos de monômio e polinômio, solicitando exemplos aos estudantes. Pedir a eles que calculem a expressão que representa a área da figura, antes de apresentar o resultado pronto. Verificar se todos os estudantes compreendem esse cálculo e se é necessário apresentar mais exemplos.

Trabalhar o vocabulário associado ao termo produto notável Muitas vezes, o significado de alguns termos matemáticos torna mais claro o conceito envolvido.

No 8o ano, você, provavelmente, estudou monômios e polinômios. Vamos relembrar?

Denomina-se monômio ou termo algébrico todo número ou toda expressão algébrica formada apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis, em que as variáveis têm como expoentes somente números naturais. Observe os exemplos a seguir.

Já um polinômio é qualquer monômio ou adição algébrica de monômios. Exemplos:

Vamos escrever a expressão algébrica que representa a área da figura a seguir.

A área da figura é dada pela soma das áreas do retângulo 1 , dada por ab, e do quadrado 2 , dada por x2

Assim, a área dessa figura é dada pela expressão algébrica ab + x 2

Observações:

• Qualquer monômio é considerado um polinômio. Por exemplo, 2xy é um polinômio de um só termo (monômio).

• Os monômios que formam um polinômio são denominados termos do polinômio. Por exemplo, 100x + 10y + 2 é um polinômio de três termos: 100x, 10y e 2.

No cálculo algébrico, alguns produtos aparecem com muita frequência e, pela importância que têm, são chamados de produtos notáveis. Observe alguns deles.

• (x + y) (x + y) ou (x + y)2 (quadrado da soma de dois termos)

• (x y) (x y) ou (x y)2 (quadrado da diferença de dois termos)

• (x + y) ? (x y) (produto da soma pela diferença de dois termos)

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QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Vamos considerar a expressão (x + y)2, que representa o quadrado da soma de dois termos, e desenvolvê-la algebricamente. Aplicando a definição de potência e realizando a multiplicação de polinômios, temos:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quadrado da soma de dois termos

Então, obtemos a igualdade: (x + y)2 = x

+ 2xy + y2

Geometricamente, podemos obter a mesma igualdade resolvendo o problema a seguir. Considerando dois segmentos de retas, um de comprimento x e outro de comprimento y, como se pode calcular a área do quadrado cujo lado mede (x + y)?

Usando esses dois segmentos de retas, construímos a representação do quadrado da figura 1, cujo lado mede (x + y). A área desse quadrado, dada por (x + y)2, pode ser expressa pela soma das áreas das figuras que o formam, como mostra a figura 2. Observe.

O primeiro produto notável estudado é o quadrado da soma de dois termos. Antes de iniciá-lo, retomar a questão do vocabulário relacionado aos conceitos que serão desenvolvidos. Discutir a diferença entre representar algebricamente o quadrado da soma de dois termos e a soma do quadrado de dois termos. Se julgar oportuno, solicitar aos estudantes que construam, em uma folha de papel quadriculado, as figuras geométricas apresentadas no Livro do estudante. A visualização geométrica desse produto notável auxilia na compreensão.

Figura 1

Figura 2

Então, tanto algébrica como geometricamente, foi demonstrado que: (x + y)2 = x 2 + 2xy + y2 quadrado da soma de dois termos

quadrado do 1o termo quadrado do 2o termo

duas vezes o produto do 1o pelo 2o termo

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Acompanhe como aplicamos esse resultado no cálculo dos seguintes produtos.

• (3x + 2y)2 = (3x)2 + 2 3x 2y + (2y)2 = 9x 2 + 12xy + 4y2

• (a3 + 5b)2 = (a3)2 + 2 ? a3 ? 5b + (5b)2 = a6 + 10a3b + 25b2

25/06/22 16:32

Espera-se que, no fim desta aula, os estudantes compreendam que (x + y)2 = x 2 + y 2 Memorizar os produtos notáveis é útil para facilitar cálculos e, futuramente, realizar fatorações. Entretanto, é importante evitar que a memorização seja puramente mecânica, mas, sim, que apresente significado para os estudantes. A representação geométrica é uma maneira de conferir significado ao resultado algébrico que se pretende memorizar.

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Vídeo

AMPLIANDO

VIGINHESKI, Lúcia Virginia Mamcasz; SILVA, Sani de Carvalho Rutz da; SHIMAZAKI, Elsa Midori. Produtos notáveis adaptado. Publicado pelo portal eduCAPES, 2018. Vídeo (6min18s). Disponível em: http:// educapes.capes.gov.br/handle/capes/205426. Acesso em: 12 maio 2022.

Esse vídeo mostra um material manipulativo que pode auxiliar pessoas com deficiência visual a compreender os conceitos relacionados a produtos notáveis.

É possível utilizar esse material como recurso para facilitar a aprendizagem de produtos notáveis a estudantes com e sem deficiência visual. A manipulação das peças para representar os cálculos algébricos pode permitir uma apropriação mais rápida dos conceitos envolvidos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quadrado da diferença de dois termos

No início do estudo de produtos notáveis, sempre que possível, utilizar a representação geométrica para facilitar a compreensão dos estudantes.

Para isso, solicitar a eles que analisem a figura apresentada no Livro do estudante e procurem descrever a área de cada parte da figura antes de verificarem as expressões algébricas que representam essas áreas.

Mostrar que o caso (x y)2 pode ser considerado um caso particular de (x + y)2. Para isso, basta fazer [x + ( y)]2, identificando x como o primeiro termo do binômio e ( y) como o segundo termo. Assim: [x + ( y)]2 = x 2 + + 2 x ( y) + ( y) 2 =

= x 2 2xy + y. 2

Apresentar outras situações que recaem no quadrado da soma de dois termos (ou no quadrado da diferença de dois termos). Algumas sugestões são apresentadas na atividade complementar a seguir.

QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Vamos considerar a expressão (x y)2, que representa o quadrado da diferença de dois termos, e desenvolvê-la algebricamente.

Inicialmente, de acordo com a definição de potência e aplicando a multiplicação de polinômios, temos:

(x y)2 = (x y) (x y) = x 2 xy xy + y2 = x 2 2xy + y2

Então, obtemos a igualdade: (x y)2 = x 2 2xy + y2

Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade resolvendo o problema a seguir.

Considerando dois segmentos de retas, de medidas x e y, com x . y, como se pode calcular a área do quadrado cujo lado mede (x y)?

Usando os dois segmentos, construímos a representação do quadrado indicado no problema.

Note que a parte da figura que não está hachurada é um quadrado cujo lado mede (x   y).

A área desse quadrado é expressa por (x y)2 e pode ser obtida subtraindo-se do quadrado de lado x a área de cada um dos retângulos de lados y e (x y) e a área do quadrado de lado y, ou seja:

x 2 y(x y) y(x y) y2 = x 2 xy + y2 xy + y2 y2 = x 2 2xy + y2

Portanto: (x y)2 = x 2 2xy + y2

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x)2 = [y + ( x)]2 = y2 2yx + x 2

c) (x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 = = (x + y)2 + 2 ? (x + y) ? z + z2 = = x 2 + 2xy + y 2 + 2z(x + y) + z2 = = x 2 + 2xy + y 2 + 2xz + 2yz + z2 = = x

Assim, tanto algébrica como geometricamente, foi demonstrado que:

(x y)2 = x 2 2xy + y2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Produto da soma pela diferença de dois termos

quadrado da diferença de dois termos

duas vezes o produto do 1o pelo 2o termo

quadrado do 1o termo quadrado do 2o termo

(x y)2 = x 2 2xy + y2

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Acompanhe como aplicamos esse resultado no cálculo dos seguintes produtos.

• (3a 4b)2 = (3a)2 2 3a 4b + (4b)2 = 9a2 24ab + 16b2

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Considere a expressão (x + y) (x y), que representa o produto da soma pela diferença de dois termos, e vamos desenvolvê-la algebricamente aplicando a multiplicação de polinômios. (x + y) ? (x y) = x 2 xy + xy y2 = x 2 y2

Daí, obtemos a seguinte igualdade: (x + y) ? (x y) = x2 y2 Geometricamente, obtemos essa mesma igualdade resolvendo o problema a seguir. Considerando dois segmentos de retas com medidas x e y, sendo x . y, como se pode calcular a área do retângulo cujos lados são os segmentos de medidas (x + y) e (x y)? Vamos considerar os segmentos de retas de medidas x e y, com x . y, e um terceiro segmento de medida (x y), como representados a seguir.

x y (x y)

x + y ILUSTRAÇÕES:

PENSE E RESPONDA

x + y

A área desse retângulo pode ser expressa algebricamente por: (x + y) (x y) = x 2 xy + xy y2 = x 2 y2.

65

O produto da soma pela diferença de dois termos também é trabalhado geometricamente. Os estudantes poderão, novamente, construir as figuras em folhas de papel quadriculado. Mais uma vez, a identificação do vocabulário associado a produtos notáveis e a comparação com casos anteriores podem contribuir para a melhor compreensão deste tema. Após desenvolver a expressão da soma pela diferença de dois termos, iniciar a resolução do problema proposto no exemplo, no qual apresenta-se a representação geométrica do produto da soma pela diferença de dois termos. A resolução deste problema favorece o desenvolvimento do raciocínio inferencial, uma vez que os estudantes devem partir de dados conhecidos (as medidas dos lados do retângulo analisado) e desenvolver cálculos utilizando regras estabelecidas até obter a conclusão esperada (a expressão da área do retângulo e a relação dessa expressão com o produto da soma pela diferença). d)

z w)2 = [(x y) (z + w)]2 =

= (x y)2 2 (x y) (z + w) + (z + w)2 =

= x 2 2xy + y 2 (2x 2y) (z + w) +

+ z2 + 2zw + w 2 = x 2 + y 2 + z2 + + w2

65 27/06/22 10:11 65

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se julgar oportuno, explorar com os estudantes a situação do retângulo na prática, por meio de recortes de uma folha de papel. Isso pode fazer que eles compreendam melhor como as partes do retângulo inicial foram reposicionadas para se obter a nova figura.

Pedir aos estudantes que refaçam no caderno os passos da resolução e que registrem a representação algébrica em cada passo até obterem a expressão da área do retângulo e, consequentemente, verificarem o resultado do produto da soma pela diferença de dois termos.

É interessante substituir x e y por valores numéricos para que os estudantes verifiquem que tem validade a expressão da área de um retângulo cujas medidas dos lados são (x + y) e (x y).

Ao determinar geometricamente a área do retângulo cujos lados medem (x + y) e (x  y), obtemos o resultado para o produto (x + y) (x y). Para isso, fazemos a decomposição do retângulo em dois quadriláteros ( I e II ) e compomos uma nova figura.

A área da figura 2 corresponde à área de um quadrado cujo lado mede x, do qual retiramos outro quadrado cujo lado mede y. Assim, a área das figuras I e II é expressa por x 2 y2

A área da figura 1 e a área da parte colorida de amarelo na figura 2 são iguais, o que nos permite escrever a igualdade: (x + y) ? (x y) = x 2 y2

Então, tanto algébrica como geometricamente, foi demonstrado que: (x + y) (x y) = x 2 y2

soma dos termos diferença dos termos quadrado do 1o termo quadrado do 2o termo (x + y) (x y) = x 2 y2

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Acompanhe como aplicamos esse resultado no cálculo dos seguintes produtos.

DESCUBRA MAIS

RODRIGUES, Aroldo Eduardo Athias. Algeplan. Geogebra. [S l.], [20-?]. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/qjv9z7u3. Acesso em: 2 mar. 2022. O Algeplan virtual é um material manipulativo que envolve a representação geométrica de monômios e polinômios. Esse material auxilia na aprendizagem de adição, subtração, multiplicação e divisão de polinômios de grau no máximo dois.

AMPLIANDO

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Atividade complementar

Desenvolva as expressões a seguir.

a) (a + b)(a b)

b) (3x + 5y)(3x 5y)

c) (2m + 4n)(2m 4n)

Resolução da atividade

a) (a + b)(a b) = a2 + ab ab b2 = a2 b2

b) (3x + 5y)(3x 5y) = 9x2 + 15xy 15 xy 25y 2 = 9x 2 25y 2

c) (2m + 4n)(2m 4n) = 4m2 + 8mn 8mn 16n2 = 4m2 16n2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Utilizando o que aprendeu sobre produtos notáveis, escreva o polinômio correspondente a:

a) (8x + 1)(8x 1).

b) (10 + 3x)2

c) (7a b)2

d) (x + 0,5y)2

64x 2 1

100 + 60x + 9x 2

49a2 14ab + b2

x 2 + xy + 0,25y2

e) (ax + b)(ax b)

f) (a2 4y)2

a2x 2 b2

a4 8a2y + 16y2

g) (1,4 abc)(1,4 + abc).

h) + () ab33 2

i) + () x5y43 2

1,96 a2b2c 2 a6 + 2a3b3 + b 6 x8 + 10x4y3 + 25y6

j) _+

2. Qual é o polinômio que obtemos quando multiplicamos:

a) 3x 2 2c por 3x 2 + 2c?

b) a2b2 + 2,5c por a2b2 2,5c?

3. (Saresp-SP) O polinômio 9x2 25 é equivalente a:

a) (3x + 5)(3x 5)

b) (3x + 5)(3x + 5)

c) (3x 5)(3x 5)

d) 3x(3x 25)

4. (Saresp-SP) A expressão x 2 a2 é equivalente a:

a) 2ax

b) (x a)2

c) (x + a)2

d) (x a)(x + a)

5. Desenvolvendo a expressão (3x5  0,5)2, encontramos um trinômio.

a) Qual é esse trinômio?

b) Qual é o coeficiente numérico do termo em x5?

c) Qual é o produto dos coeficientes numéricos do trinômio?

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Atividades

6. Classifique as igualdades em verdadeiras (V) ou falsas (F) e corrija as falsas, escrevendo-as corretamente.

a) (b 2c)2 = b2 4bc + 4c2

b) (3y a)(3y + a) = 3y2 a2

c) (x 3 + y3)(x 3 y3) = x6 y6

7. Ao dividir o polinômio P por 2ax + 5, obtém-se o polinômio 2ax + 5. Usando as regras dos produtos notáveis, escreva o polinômio P

8. Qual é o termo que devemos adicionar ao polinômio x 2 + 8x para obtermos (x  + 4)2?

9. Para obtermos (a 2b) 2 , devemos acrescentar um termo ao polinômio a2  2ab  + 4b2 Qual é esse termo?

10. O produto de dois polinômios é x2y2  a6. Se um dos polinômios é xy a3, qual é o outro?

11. Sabe-se que xy = 72 e x 2 + y2 = 306. Qual é o valor de (x + y)2?

12. (OBM) Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x 2 + 6xy + y2?

a) 64

b) 109

c) 120

a) 1

b) 0

c) 10

d) 5

e) 1 5

d) 124 e) 154

13. (Mack-SP) Se (x y)2 (x + y)2 = 20, então x ? y é igual a:

V F; 9y2 a2 V (2ax + 5)2 = 4a2x 2 + 20ax + 25 16 2ab xy + a3 450 Alternativa d. Alternativa d.

O objetivo destas atividades é que os estudantes identifiquem e utilizem os produtos notáveis estudados até aqui, bem como simplifiquem expressões algébricas que envolvam tais produtos notáveis e outros conhecimentos já adquiridos. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Para que os estudantes compreendam a denominação produto notável, é preciso que eles identifiquem que há uma regularidade nesses produtos. Para isso, orientar os estudantes a realizar alguns exercícios usando primeiramente a propriedade distributiva antes de utilizar os produtos notáveis. No item a da atividade 1, por exemplo, é possível calcular assim: (8x + 1)(8x 1) = 64x 2 8x + + 8x 12 = 64x 2 1

Em algumas atividades, como a atividade 7, os estudantes vão precisar identificar o produto notável que envolve as expressões dadas, comparando-as com o produto notável genérico conhecido.

Propor a resolução compartilhada entre os estudantes, a fim de desenvolver a troca e a cooperação entre eles, bem como possibilitar-lhes que façam, validem ou refutem hipóteses. Esses processos favorecem o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na atividade 14, é importante destacar a importância do registro de uma expressão algébrica por meio de linguagem textual e não simbólica. Verificar se os estudantes conseguem converter o texto em uma expressão com símbolos matemáticos e, se julgar necessário, apresentar outros exemplos.

Destacar, na atividade 15, a importância da análise da razoabilidade de respostas e solicitar aos estudantes que compartilhem as justificativas com a turma, de modo a desenvolver a capacidade de argumentação

A atividade 17 apresenta uma aplicação de cálculos algébricos em um contexto real de cálculo de área de uma casa. Se julgar oportuno, aprofundar a ideia de planta baixa e o cálculo de áreas, apresentando outros exemplos de plantas baixas e a importância de conhecer a área de um imóvel, a fim de prever diversos fatores, por exemplo, o preço do imóvel, que, em geral, é calculado por metro quadrado. No desafio da atividade 18, se necessário, sugerir aos estudantes que escrevam cada quadrado como a soma ou a diferença de dois termos, assim:

• (x y + 2)2 = [(x y) + 2]2

• (x y 2)2 = [(x y) 2]2

Depois disso, eles podem aplicar o produto notável para resolver a atividade.

Fórum

Alternativa c.

14. (Saresp-SP) A expressão algébrica que representa a situação: “o quadrado da soma de dois números, mais 5 unidades” é:

a) x + y + 52

b) (x + y + 5)2

15. Observe.

c) (x + y)2 + 5

d) x 2 + y + 52

Por favor, desenvolvam esta expressão.

A resposta do estudante está correta? Se não estiver correta, dê a resposta certa

16. Escreva na forma reduzida cada um dos polinômios.

a) (x + 1)2 x + (x 1)2 2 (x 2 1)

b) (2x + y)2 6xy (x y)2

17. (Saresp-SP) Ao calcular a área de uma determinada casa, representada na figura a seguir, uma pessoa calculou a área de cada cômodo da casa, encontrando a seguinte expressão: ab  + ac  + 10b  + 10c. Outra pessoa calculou a área dessa mesma casa de outra maneira, chegando também ao resultado anterior. De que forma essa pessoa pode ter representado a área dessa casa? bc

Alternativa a.

sala

a

cozinha quarto 10

a) (a + 10)(b + c)

b) (a + b)(10 + c)

DESAFIO

c) (c + 10)(a + b)

d) (a + c)(b + 10)

Junte-se a um colega, e resolvam o desafio a seguir.

18. Qual é o polinômio que representa a diferença (x y + 2)2 (x y 2)2?

15. Não. A resposta correta é 4x 2 4xy3 + y 6

O polinômio procurado é 8x 8y.

Pesquisar antes de comprar

Quando se pretende realizar uma compra, principalmente de valores altos, como um imóvel, é muito importante fazer uma pesquisa, pois os preços podem variar de acordo com alguns fatores, como a localização, a área construída, o estado de conservação, entre outros. Entretanto, em pequenas compras de mercado, por exemplo, também é possível economizar. O ideal é preparar uma lista do que é necessário comprar, ficar atento aos preços e fazer uma pesquisa. Isso também vale para as compras on-line, situação em que, além de pesquisar em vários sites, é importante considerar o preço do frete e consultar a seriedade da loja.

No caso de compras em lojas físicas, o consumidor deve verificar se o preço anunciado corresponde ao valor afixado no produto. Se não houver essa correspondência, o consumidor tem o direito de pagar o menor valor, conforme estabelece o artigo 5o da lei no 10.962, que dispõe sobre a oferta e as maneiras de afixação de preços de produtos e serviços para o consumidor.

• Em sua opinião, qual é a importância de fazer uma pesquisa antes de realizar uma compra? Debata com os colegas.

FÓRUM Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam a importância de realizar uma pesquisa de preços e de outras condições (modos de pagamento, valor do frete, facilidades da entrega, entre outras) para que a compra seja segura e econômica.

No mundo globalizado atual, a oferta de produtos cresceu muito. Artigos podem ser comprados de outros estados e até de outros países com apenas um click. Por isso, os preços de um mesmo produto podem variar até dez vezes de um estabelecimento para outro, e a pesquisa de preços tornou-se fundamental para um consumo consciente.

Discutir com a turma a respeito desse tema e enfatizar a importância da Matemática nas análises de preços. Isso pode evitar que o consumidor seja enganado por alguma propaganda que pareça vantajosa. Desse modo, esse conteúdo favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo e da competência específica 4 da área de Matemática. Espera-se que os estudantes percebam a importância do pensamento crítico ao efetuar uma compra e incorporem esse fato nas respostas.

Professor, a resposta é

CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Considere a expressão (x + y)3, que representa o cubo da soma de dois termos. Para desenvolvê-la, usaremos as regras já estudadas. Observe.

(x + y)3 = (x + y) (x + y)2 = propriedade das potências de mesma base

= (x + y) (x 2 + 2xy + y2) = pela regra do quadrado da soma de dois termos

= x 3 + 2x 2y + xy2 + x 2y + 2xy2 + y3 = pela multiplicação de polinômios

= x 3 + 3x 2y + 3xy2 + y3 polinômio reduzido

Então, o cubo da soma de dois termos é dado por:

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Considere a expressão (x y)3, que representa o cubo da diferença de dois termos Aplicando as regras já estudadas, temos:

(x y)3 = (x y) (x y)2 = propriedade das potências de mesma base

= (x y) (x2 2xy + y2) = pela regra do quadrado da diferença de dois termos

= x 3 2x 2y + xy2 x 2y + 2xy2 y3 = pela multiplicação de polinômios

= x 3 3x 2y + 3xy2 y3 polinômio reduzido

Então, o cubo da diferença de dois termos é dado por:

(x y)3 = x 3 3x 2y + 3xy2 y3

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Desenvolva as seguintes expressões.

a) (a + b)3

b) (b c)3

c) (2a + 1)3

d) (1 2a)3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Cubo da soma de dois termos

Desenvolver a expressão do cubo da soma de dois termos e verificar se os estudantes têm alguma dúvida quanto ao desenvolvimento dos cálculos. Apontar que há diferença entre calcular o cubo da soma de dois termos e a soma do cubo de dois termos.

Cubo da diferença de dois termos

Desenvolver a expressão do cubo da diferença e verificar se os estudantes percebem que o desenvolvimento é parecido com o caso anterior.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b3 3b2c + 3bc 2 c 3

8a3 + 12a2 + 6a + 1

1 6a + 12a2 8a³

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AMPLIANDO

Vídeo

MARCELL, Cristiano. Produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas. Portal da OBMEP. [S I.], [20--]. Disponível em: https://portaldaobmep.impa.br/index. php/modulo/ver?modulo=14. Acesso em: 12 maio 2022.

e) (2x + y)3

f) (3y 1)3

8x 3 + 12x 2y + 6xy2 + y3

27y3 27y2 + 9y 1

2. Qual é a maneira mais simples de escrever as expressões?

a) (a b)3 (a3 b3) + 4ab(a b)

a2b ab2

b) (2x y)3 (2x + y)3 + 2xy(2x + y)

c) (1 a)3 + 2a( 2 + a2) + (1 a3)

2. b) 2y3 + 20x 2y + 2xy2 3a2 7a + 2 69

No Portal da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBMEP), há diversos vídeos que apresentam os produtos notáveis, além de exercícios resolvidos e um aplicativo, no qual representa-se geometricamente o cubo da soma.

Vale lembrar que os produtos notáveis são resultados úteis que podem ser memorizados para que sejam mobilizados facilmente como ferramentas de cálculo. Para contribuir com a memorização, é importante que os estudantes compreendam a representação geométrica dos produtos e, em seguida, relacionem as expressões algébricas que os representam. É possível propor a representação algébrica do cubo da soma e da diferença por meio de modelos de figuras tridimensionais. Recomenda-se verificar um exemplo desses modelos no vídeo indicado na página 63 deste Manual e no link a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Nesta seção, é explorado o conceito de média móvel aplicado ao contexto da pandemia de covid-19, potencializando o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Saúde e das competências específicas 3 e 6 da área de Matemática. O comportamento da média móvel é apresentado por meio de um gráfico de linhas organizado a partir de dados de uma tabela.

Inicialmente, é importante propor um debate sobre os aspectos relacionados à pandemia de covid-19, como o isolamento social, a importância da vacinação e do uso de máscaras. É interessante citar alguns impactos ocorridos no contexto pandêmico, como a grande quantidade de mortos e de hospitalizações, o desemprego e as crises financeiras em alguns setores.

Alguns estudantes podem comentar experiências pessoais que tiveram ao longo da pandemia. Cuidar para que sejam acolhidos pela turma aqueles que tiveram perdas de familiares ou de amigos em razão da covid-19. Ações desse tipo propiciam as competências gerais 8 e 9.

Depois do debate, pedir aos estudantes que se reúnam em duplas ou trios, leiam o texto, observem a tabela e os cálculos e façam anotações. Em seguida, reler o texto com eles e anotar na lousa os principais pontos levantados pela turma.

Analisar a tabela com eles, destacando algumas informações, como o dia do mês de abril de 2020 em que houve mais ou menos óbitos; em que período houve aumento da quantidade de óbitos, por exemplo. Verificar se os estudantes compreenderam o conceito de média móvel e refazer os cálculos do exemplo apresentado no Livro do estudante.

A IMPORTÂNCIA DA MÉDIA MÓVEL NO COMBATE À COVID-19

Durante a pandemia de covid-19, detectada no Brasil em fevereiro de 2020, médicos e cientistas do mundo todo precisaram coletar, organizar e representar diversos dados sobre o avanço da doença que mudavam diariamente.

Um dos principais métodos de representação desses dados foi dado pela média móvel de sete dias (ou semanal) da quantidade de mortos pela doença.

Nesse caso, a média móvel semanal em relação a determinado dia é calculada adicionando-se o número que indica a quantidade de óbitos em cada um dos sete dias anteriores ao dia considerado e dividindo-se esse resultado por 7.

Assim, calcular a média dos últimos sete dias ajudou a identificar mais precisamente a intensidade com que a quantidade de casos aumentou ou diminuiu, evitando que dados mais antigos pudessem causar uma interpretação equivocada da situação mais recente.

Observe a tabela a seguir.

Quantidade total diária de óbitos por covid-19 na cidade do Rio de Janeiro em abril de 2020

Elaborada com base em: RIO DE JANEIRO (Município). Prefeitura do Rio de Janeiro. Secretaria Municipal de Saúde. EpiRio | Observatório Epidemiológico da Cidade do Rio de Janeiro: Painel Rio COVID-19. Rio de Janeiro: SMS, 2022. Disponível em: https://experience.arcgis.com/experience/38efc69787a346959c931568bd9e2cc4. Acesso em: 2 mar. 2022. Considerando, por exemplo, os dados do dia 16 de abril de 2020, temos:

• Quantidade total de óbitos no dia 16: 133.

• Média de óbitos considerando os 15 dias anteriores ao dia 16:

• Média móvel semanal em relação ao dia 16 (considerando os sete dias imediatamente anteriores ao

16):

Portanto, observamos que o valor da média móvel é mais próximo da quantidade real de óbitos no dia considerado do que o valor da média usual.

D2-MAT-F2-2103-V9-U2-060-087-LA-G24_AV3.indd 70 27/06/22 10:13

No gráfico de linhas a seguir, é possível identificar a variação da quantidade de óbitos por covid-19 na cidade do Rio de Janeiro no período de 8 a 30 de abril de 2020, de modo que:

• a linha azul representa a quantidade total diária de óbitos no período considerado;

• a linha laranja representa a média móvel semanal, considerando as quantidades referentes a sete dias imediatamente anteriores à informação de cada dia registrado;

• a linha cinza representa a média da quantidade indicada em todos os dias de abril anteriores à informação de cada dia registrado.

Quantidade total diária de óbitos por covid-19 na cidade do Rio de Janeiro de 8 a 30 de abril de 2020

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propor a análise do gráfico a partir dos dados da tabela e dos cálculos realizados na página 70 do Livro do estudante. Por meio desse contexto real, pretende-se mostrar que uma tabela auxilia a organizar e a resumir os dados, enquanto um gráfico de linhas permite uma visualização mais direta da variação dos dados ao longo do tempo.

Elaborado com base em: RIO DE JANEIRO (Município). Prefeitura do Rio de Janeiro. Secretaria Municipal de Saúde. EpiRio | Observatório Epidemiológico da Cidade do Rio de Janeiro: Painel Rio COVID-19. Rio de Janeiro: SMS, 2022. Disponível em: https://experience.arcgis.com/experience/38efc69787a346959c931568bd9e2cc4. Acesso em: 2 mar. 2022.

Responda às questões no caderno.

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Considerando os dados da tabela da página 70, determine:

a) a média da quantidade diária de óbitos na cidade do Rio de Janeiro em abril de 2020;

b) a mediana da quantidade diária de óbitos na cidade do Rio de Janeiro em abril de 2020

2. Observando o gráfico, responda às questões a seguir.

a) O que se pode afirmar sobre a média móvel e a média em relação à quantidade total diária de óbitos no mês de abril de 2020?

b) Em sua opinião, por que a linha correspondente à média móvel semanal tem início no dia 8 de abril de 2020?

3. Considere as informações da tabela e do gráfico para o dia 26 de abril de 2020 e responda.

a) Analisando o gráfico, qual valor representa melhor a quantidade total de óbitos nesse dia: a média móvel semanal ou a média usual?

b) A partir da tabela da página 70, calcule a média usual e a média móvel semanal referentes ao dia 26 de abril de 2020. Observando os valores obtidos, é possível chegar à mesma resposta que você indicou no item a?

No item a da atividade 2, é importante que os estudantes observem que a linha laranja (média móvel) se aproxima mais da linha azul (quantidade total diária de óbitos) do que a linha cinza (média). Portanto, a média móvel representou melhor a variação da quantidade total diária de óbitos do que a média usual no mês considerado. No item b, a média móvel semanal corresponde à média dos resultados dos sete dias anteriores a determinado dia. Nesse caso, o primeiro dado referente à média móvel semanal, registrado no dia 8 de abril de 2020, representa a média da quantidade de óbitos registrados nos sete dias anteriores.

No item a da atividade 3, a média móvel no dia 26 de abril de 2020 representa melhor a quantidade total de óbitos nesse dia, pois a linha que representa a média móvel praticamente coincide com a linha que representa a quantidade total de óbitos nesse dia, enquanto a linha que representa a média está mais afastada da linha que representa a quantidade total de óbitos nesse dia. No item b, observa-se que a média usual é aproximadamente 132, e a média móvel de sete dias é 186. Como a quantidade de óbitos registrada na cidade do Rio de Janeiro em 26 de abril de 2020 foi de 191 óbitos, então a média móvel representou melhor a quantidade total de óbitos nesse dia do que a média usual, como é indicado na resposta do item a

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fatorando polinômios

Enfatizar que a fatoração pode ser feita de diferentes maneiras, como no exemplo envolvendo o número 90. Propor aos estudantes outros números e solicitar-lhes que pensem em diferentes maneiras de escrevê-los por meio de uma multiplicação.

Verificar se os estudantes compreendem a representação geométrica da fatoração de ac + bc e, se necessário, retomar as representações estudadas nos produtos notáveis.

Atividades

As atividades deste bloco têm como objetivo retomar a fatoração numérica e propor algumas fatorações de expressões algébricas para que os estudantes possam aplicar a ideia de fatoração e correlacionar com a fatoração numérica que acabaram de realizar. Assim, propicia-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Na atividade 1, ressaltar que se pode fatorar o número 54 com mais de dois fatores naturais de variadas maneiras e que a fatoração completa se dá com a decomposição em fatores primos: 54 = 2 ? 3 ? 3 ? 3.

FATORANDO POLINÔMIOS CAPÍTULO2

Observe como podemos escrever o número 90 utilizando a multiplicação.

Quando escrevemos o número 90 nas formas apresentadas, transformamos esse número em uma multiplicação de fatores.

Em qualquer um dos casos, fizemos a fatoração do número 90.

Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais fatores

Considerando esses conhecimentos, vamos representar a área da figura a seguir.

1 a maneira : Área da figura I mais área da figura II , ou seja, ac + bc.

2a maneira: Fazendo c (a + b).

Daí, podemos escrever: ac + bc = c (a + b)

polinômio multiplicação de polinômios

Quando escrevemos o polinômio ac + bc na forma c  (a + b), estamos transformando o polinômio inicial em uma multiplicação de polinômios.

Fatorar um polinômio, quando possível, significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Usando uma multiplicação de dois fatores, escreva cada um dos números a seguir de três maneiras diferentes.

Exemplos de resposta:

Link

a) 54 b) 120

2 27; 3 18; 6 9

2. Ao efetuar a multiplicação (a + b) (a b), obtém-se o polinômio a2 b2

Escreva na forma de multiplicação os polinômios a seguir.

a) x 2 y2

AMPLIANDO

2 60; 4 30; 10 12. (x + y)(x y) (5b + 2c)(5b 2c)

b) 25b2 4c2

LIMA, Cristiano Lopes; SILVA, Patrícia Lima da. Algeplan virtual. Universidade Federal do Rio Grande do Sul [Porto Alegre], [20--]. Disponível em: http://mdmat.mat. ufrgs.br/algeplan/. Acesso em: 12 maio 2022.

Esse link apresenta uma versão virtual do material didático denominado Algeplan, que também pode ser construído com cartolina colorida ou outro material disponível e propicia a representação geométrica da fatoração de polinômios.

FATORAÇÃO PELA COLOCAÇÃO DE UM FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA

Considere as seguintes situações.

1 Calcular o perímetro da figura que representa um retângulo cujos lados medem x e y

O perímetro desse retângulo pode ser indicado de duas maneiras: 2x + 2y ou 2 ? (x + y).

Então, podemos escrever:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fatoração pela colocação de um fator comum em evidência

Apresentar, na lousa, as situações exploradas nesta página, destacando os fatores comuns, que podem ser monômios ou polinômios.

Notamos que:

2x + 2y = 2 (x + y)

forma fatorada do polinômio polinômio

• 2 é um fator comum a todos os termos do polinômio e foi colocado em evidência;

2y 2 2x 2

• o outro fator (x + y) é o mesmo que (2x : 2) + (2y : 2), ou seja, + x y

2 A figura representa um quadrado ABCD, um retângulo DCEF e um retângulo ABEF. Calcular a área total da figura, ou seja, a área do retângulo ABEF. De acordo com a figura, podemos escrever:

área do quadrado ABCD mais área do retângulo DCEF é igual à área do retângulo ABEF

x 2 + xy = x (x + y)

Assim, temos:

x 2 + xy = x ? (x + y)

polinômio forma fatorada do polinômio

Notamos que:

• x é um fator que aparece em todos os termos do polinômio e foi colocado, como fator comum, em evidência;

• o outro fator (x + y) pode ser dado por (x 2 : x) + (xy : x), ou seja, x 2 x xy x + x y

Vale lembrar que x . 0, pois x é a medida de um dos lados de um retângulo.

Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio, que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

Na situação 1, escrever a expressão para o perímetro da figura e para a área dela, a fim de que os estudantes verifiquem que são diferentes, já que se tratam de conceitos diferentes. Se julgar oportuno, pedir aos estudantes que justifiquem por que 2(x + y) = 2x + 2y e verificar se eles mencionam a propriedade distributiva. Verificar, ainda, se eles compreendem que 2(x + y) geometricamente significa duas vezes a soma das medidas x + y, ou seja, essa soma corresponde à metade do perímetro.

Comentar que em muitas situações é necessário decompor ou compor figuras para compreender as representações de expressões algébricas envolvidas nos cálculos. Isso ocorre na situação 2, em que a área do retângulo ABEF é composta das áreas do quadrado ABCD e do retângulo CEFD.

Em todos os casos de fatoração, é importante que os estudantes compreendam cada passagem e saibam justificá-la algebricamente, de modo que a fatoração seja, de fato, uma ferramenta útil na resolução de problemas e não apenas um conjunto de regras mecânicas carentes de significado.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propor aos estudantes que tentem resolver cada um dos problemas apresentados nos exemplos 1 a 4. Depois, mostrar a resolução indicada no Livro do estudante, explicando-a passo a passo.

É importante que os estudantes identifiquem que, em uma fatoração, o termo colocado em evidência não necessariamente é apenas um número real, mas pode ser um monômio (exemplos 1, 2 e 3) ou mesmo um polinômio (exemplo 4).

Solicitar aos estudantes que se dispuserem que mostrem para a turma as justificativas dos cálculos. Nas fatorações, é fundamental que o cálculo algébrico seja organizado por etapas bem definidas, o que favorece o desenvolvimento do pensamento computacional

Fatoração por agrupamento Espera-se que os estudantes percebam que, no caso da fatoração por agrupamento, utiliza-se mais de uma vez a fatoração pela colocação de um termo comum em evidência.

Certificar-se de que os estudantes compreendem que as três figuras têm áreas iguais para que seja possível prosseguir com o conteúdo da próxima página.

Agora, acompanhe os exemplos a seguir.

1 Fatorar o polinômio 6ax + 8ay.

O fator comum é 2a. Daí, temos: (6ax : 2a) (8ay : 2a)

6ax + 8ay = 2a (3x + 4y)

A forma fatorada do polinômio 6ax + 8ay é 2a(3x + 4y)

2 Escrever na forma de um produto o polinômio a4 a3 + a2

O fator comum é a2. Daí, temos: a4 a3 + a2 = a2 (a2 a + 1)

(a4 : a2) (a3 : a2) (a2 : a2)

O polinômio a4 a3 + a2 na forma de um produto é a2(a2 a + 1)

3 Qual é a forma fatorada de 8a4b5 20a3b2 16a2b4?

O fator comum é 4a2b2. Daí, temos: 8a4b5 20a3b2 16a2b4 = 4a2b2 (2a2b3 5a 4b2)

(16a2b 4 : 4a2b2) (20a3b2 : 4a2b2)

(8a4b5 : 4a2b2)

A forma fatorada do polinômio 8a4b5 20a3b2 16a2b4 é 4a2b2(2a2b3 5a 4b2)

4 Obter a forma fatorada do polinômio a(a b) + x(a b).

O fator comum é (a b). Daí, temos: a(a b) + x(a b) = (a b) (a + x)

[x(a b)] : (a b)

[a(a b)] : (a b)

A forma fatorada do polinômio a(a b) + x(a b) é (a b)(a + x)

FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

Observe as três figuras a seguir.

x y

ab ax bx by ay

A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio: ax + bx + ay + by

x y

x ? (a + b)

y ? (a + b)

ab x y

A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio: x ? (a + b) + y ? (a + b)

ab

A área dessa figura pode ser dada pelo produto: (a + b) ? (x + y)

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Fatore completamente as expressões a seguir.

a) 2x 2 2x x + 1

b) x 2 + x 3 + x4 + x5 + x6 + x7

Resolução da atividade Se necessário, explicar que fatorar completamente é utilizar todos os casos possíveis de fatoração envolvidos na expressão, até que não seja mais possível fatorar.

a) 2x 2 2x x + 1 = 2x ? (x 1) (x 1) = = (x 1) ? (2x 1)

Comentar com os estudantes que nem sempre é conveniente efetuar a adição algébrica dos termos semelhantes. No item a , por exemplo, ao efetuar 2x2 3x + 1, ficará mais difícil obter a fatoração, além de serem envolvidas situações que só serão estudadas posteriormente.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Como as três figuras têm áreas iguais, podemos escrever:

ax + bx + ay + by = x ? (a + b) + y ? (a + b) = (a + b) ? (x + y) polinômio forma fatorada do polinômio

Observe como podemos obter algebricamente a forma fatorada do polinômio

ax + bx + ay + by:

ax + bx + ay + by = Agrupamos os termos que têm fator comum.

= x(a + b) + y(a + b) = Em cada grupo, colocamos o fator comum em evidência.

= (a + b)(x + y) Colocamos novamente em evidência o fator comum.

Acompanhe outros exemplos.

1 Qual é a forma fatorada do polinômio mx nx + 2m 2n?

mx nx + 2m 2n = x(m n) + 2(m n) = (m n)(x + 2)

Então, (m n)(x + 2) é a forma fatorada do polinômio mx   nx  + 2m   2n.

2 Obter a forma fatorada do polinômio a3 + a2 + a + 1.

a3 + a2 + a + 1 = a2 (a + 1) + 1 (a + 1) = (a + 1)(a2 + 1)

Então, (a + 1)(a2 + 1) é a forma fatorada de a3 + a2 + a + 1.

3 Escrever, na forma fatorada, o polinômio 3ax + 2b2 + b2x + 6a. Inicialmente, agrupamos os termos usando a propriedade comutativa.

3ax + 6a + b2x + 2b2 = 3a(x + 2) + b2(x + 2) = (x + 2)(3a + b2)

Na lousa, resolver os exemplos com os estudantes, pedindo-lhes que justifiquem algumas passagens e verificando se ainda surgem dúvidas em relação aos procedimentos utilizados.

É importante ressaltar a importância das propriedades das operações, como a propriedade comutativa da adição ao agrupar os termos semelhantes.

Os estudantes podem conferir as fatorações realizadas, aplicando a propriedade distributiva.

Destacar a importância da atenção aos sinais durante a fatoração, pois podem ocorrer erros caso alguns sinais sejam trocados. Se julgar oportuno, mostrar aos estudantes como um erro em um sinal pode mudar completamente a expressão final.

Então, (x + 2)(3a + b2) é a forma fatorada de 3ax + 2b2 + b2x + 6a.

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b) x 2 + x 3 + x4 + x5 + x6 + x7 =

= (x 2 + x 3) + (x4 + x5) + (x6 + x7 ) =

= x 2 (1 + x) + x4 (1+ x) + x6 (1 + x) =

= (1 + x) (x 2 + x4 + x6)

Embora o polinômio já esteja expresso como um produto (portanto, está fatorado), percebe-se que em um dos fatores ainda há termo comum. Assim, ainda é possível fatorar esse fator:

x 2 + x4 + x6 = x 2 ? (1 + x 2 + x 3)

Logo, a fatoração completa é dada por:

13/06/22 21:10

x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = (1 + x) x2(1 + x2 + x3) =

= x 2(1 + x)(1 + x 2 + x 3)

Comentar com os estudantes que há outros caminhos para chegar a essa forma fatorada. Por exemplo, eles poderiam, primeiramente, colocar x 2 , termo comum a todos os termos, em evidência para depois agrupar e continuar a fatorar.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo levar os estudantes a reconhecer e utilizar os casos de fatoração estudados até agora: fator comum em evidência e agrupamento. Propicia-se, assim, o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Se considerar necessário, resolver algumas questões na lousa com os estudantes. Para isso, trabalhar as atividades 3 e 12, pois inserem o conteúdo matemático em situações mais próximas do cotidiano.

Na atividade 12, verificar se os estudantes estão atentos em relação à expressão do perímetro para que não confundam com a da área para os dois retângulos. Para o retângulo de lados a e b, vão obter a expressão a + b = 9, e para o retângulo de lados b e c, vão obter b + c = 13. Ao fatorar a expressão ab + b2 + ac + bc, vão obter: b(a + b) + c(a + b) = = (b + c) (a +b) = 9 ? 13 = 117

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Colocando o fator comum em evidência, fatore os seguintes polinômios.

a) 10x + 10y 10(x + y)

b) y2 + 9xy y(y + 9x)

c) 0,5x 1y 0,5(x 2y)

d) ab a3b3 ab(1 a2b2)

e) a2x + abx ax(a + b)

f)

g)

2. Escreva a forma fatorada de cada polinômio a seguir.

a) b2 ab b b(b a 1)

b) 24x5 8x4 56x 3 8x 3(3x 2 x 7)

c) a7 + a5 + a3 a3(a4 + a2 + 1)

d) 120ax3 100ax2 + 60ax

e)

3. A professora de Carlos escreveu na lousa a expressão ac + ad + bc + bd e fez o seguinte comentário:

“Nessa expressão, a, b, c e d representam quatro números inteiros em ordem crescente. A soma dos dois números maiores é 53, e a soma dos dois números menores é 38. Qual é o valor numérico dessa expressão?”

Qual resposta Carlos deve fornecer para acertar a pergunta feita pela professora?

2 014

7. (2x y)(a + b + c); 2 000

6. Fatore o polinômio xy3 + 7xy2 3xy e dê seu valor numérico, sabendo que xy  = 6 e y2 + 7y = 20.

xy(y2 + 7y 3);

7. Considere as seguintes igualdades: 2x   y = 20 e a + b + c = 100.

Nessas condições, escreva a forma fatorada do polinômio a(2x y) + b(2x y) + + c(2x y) e calcule seu valor numérico.

8. Fatore os seguintes polinômios.

a) a2 + ab + ax + bx

b) ax x + ab b

c) a5 + a3 + 2a2 + 2

(a + b)(a + x)

(a 1)(x + b)

(a2 + 1)(a3 + 2)

d) bx 2 2by + 5x 2 10y

e) 2b2 + 2 b2k k

(x 2 2y)(b + 5)

(b2 + 1)(2 k)

f) 5y3 4y2 + 10y 8

g) a12 + a8 a4 1

h) 2an + n 2am m

i) +++ 1 2 1 2 xxyy

(5y 4)(y2 + 2)

(a4 + 1)(a8 1) (2a + 1)(n m) ++x1

9. Determine o valor numérico do polinômio ac bc + ad bd, sabendo que c  + d = 2,5 e a b = 1,1.

10. Fatore os polinômios.

a) ax bx + cx + ay by + cy

b) am + bm + m an bn n

c) a(x + y) + b(x + y) + x(a + b) + y(a + b)

11. Dado o polinômio x 2 xz + 2xy 2yz, determine sua forma fatorada e o valor numérico da expressão obtida, sabendo que x z = 5 e x + 2y = 27.

4. Qual é a forma fatorada de:

a) a(x + y) b(x + y)? (x + y)(a b)

b) x(p + h) + y(p + h)? (p + h)(x + y)

c) b(a x) c(a x)? (a x)(b c)

5. Dado o polinômio 5ax2 5ay2, escreva-o na forma fatorada e dê o valor numérico dele, sabendo que a = 20 e x2 y2 = 25.

5a(x 2 y2); 2 500

12. As medidas dos lados de um retângulo são expressas por a e b, e esse retângulo tem 18 unidades de perímetro. Um segundo retângulo tem 26 unidades de perímetro, e as medidas dos lados são expressas por b e c. Nessas condições, calcule o valor numérico da expressão ab + b2 + ac + bc

10 a) (a b + c)(x + y)

b) (a + b + 1)(m n)

c) 2(a + b)(x + y)

FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fatoração da diferença de dois quadrados

Para utilizar esse caso de fatoração, os estudantes devem reconhecer números quadrados perfeitos. Se julgar oportuno, fazer uma lista com os quadrados perfeitos até 400:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.

A área colorida da figura pode ser indicada pelo polinômio x² y², que expressa uma diferença de dois quadrados

Decompondo essa figura em dois retângulos, conforme figura 1, pelo tracejado e juntando as duas partes obtidas, formamos uma nova figura. Observe.

Propor aos estudantes que copiem a figura apresentada no Livro do estudante em uma folha avulsa e façam o procedimento de recortar e montar, na prática, uma nova figura de mesma área. Isso pode ajudar na compreensão dos estudantes a respeito do que está sendo realizado.

Notando que a área da figura 1, que é expressa por x2 y2, e a área da figura 2, que é expressa por (x + y)(x y), são iguais, escrevemos:

x 2 y2 = (x + y) ? (x y)

forma fatorada do polinômio polinômio

Acompanhe estas situações.

1 O polinômio x 2 36 representa uma diferença de dois quadrados. Fatorar esse polinômio.

Como 36 = 62, temos: x 2 36 = x 2 62 = (x + 6)(x 6).

Então, (x + 6)(x 6) é a forma fatorada de x 2 36.

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Essa atividade pode tornar mais significativa a aprendizagem sobre fatoração, uma vez que os estudantes podem verificar geometricamente a representação das expressões algébricas, em vez de apenas memorizá-las como um grupo de procedimentos mecânicos e descontextualizados. Assim, procura-se favorecer o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Apresentar cada um dos exemplos aos estudantes, verificando se todos os cálculos ficam claros. Por exemplo, os cálculos do exemplo 2 que envolvem frações. Além disso, é importante destacar outros casos de fatoração estudados que podem ser aplicados em cada exemplo ou atividade.

Atividades

As atividades têm como objetivo que os estudantes apliquem o caso da fatoração da diferença de dois quadrados. Nesta seção Atividades, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Na atividade 1, verificar se os estudantes percebem que no item f eles podem fatorar novamente, aplicando o mesmo caso de fatoração. Assim: a4 c 4 =

= (a2 c2) (a2 + c2). Como (a2 c2) é uma diferença de dois quadrados, então a fatoração continua:

(a2 c 2) (a2 + c 2) =

= (a c)(a + c)(a2 + c 2)

Se julgar conveniente, comentar que, ao fatorar novamente todas as expressões que forem possíveis, obtém-se a fatoração completa da expressão original. Em seguida, apresentar outras expressões para serem fatoradas completamente pelos estudantes.

Nas atividades 2 e 5 , é importante que os estudantes identifiquem quais são os termos de cada polinômio a ser fatorado, de modo que levem em consideração as particularidades de cada termo, como o sinal, o expoente, se é ou não um número inteiro etc.

É importante destacar, nas atividades 3 e 4, que os estudantes terão de aplicar os casos de fatoração e fazer substituições para calcular o valor numérico de algumas expressões. Verificar se eles conseguem diferenciar os procedimentos algébricos dos aritméticos a fim de obter as respostas corretas.

2 Qual é a forma fatorada do polinômio 1 9 xy22 ?

3 Escrever o polinômio (n + 7)2 1 na forma fatorada. Como 1 = 12, essa expressão representa uma diferença de dois quadrados.

(n + 7)2 12 = [(n + 7) + 1] ? [(n + 7) 1] = (n + 7 + 1)(n + 7 1) = (n + 8)(n + 6)

Então, (n + 8)(n + 6) é a forma fatorada de (n + 7)2 1.

4 Escrever a expressão a2 (b + c)2 na forma de um produto.

a2 (b + c)2 = [a + (b + c)] [a (b + c)] = (a + b + c) (a b c)

Assim, a forma fatorada da expressão a2 (b + c)2 é (a + b + c)(a b c)

ATIVIDADES

1 a) (a + 8)(a 8)

b) (10 + b)(10 b)

c) (x + 0,5)(x 0,5)

d) (4b + 3c)(4b 3c)

e) (1 + xy)(1 xy)

Responda às questões no caderno.

1. Cada um dos polinômios seguintes representa uma diferença de dois quadrados. Fatore esses polinômios.

f ) (a2 + c 2)(a2 c 2)

g) (a3b3 + 0,1)(a3b3 0,1)

h) (x 2 + 10)(x 2 10)

i) (3 + y3)(3 y3)

j) (9r + s2)(9r s2)

3. O professor de Matemática de Pedro disse que 5x y = 20 e que 5x + y = 2 e perguntou aos estudantes: “Nessas condições, qual é o valor numérico do polinômio 25x 2 y2?”. Qual deve ser a resposta de Pedro para que ele acerte o resultado solicitado?

2. Qual é a forma fatorada de cada polinômio?

4. Dado o polinômio a2b2 x 2, escreva a forma fatorada e calcule o valor numérico dele para ab + x = 21 e ab x = 5.

40 (ab + x)(ab x); 105

5. Escreva a forma fatorada de cada um dos seguintes polinômios, considerando que representam diferenças de dois quadrados.

a) (x 4)2 16

b) (y + 1)2 25

c) (a + b)2 c2

d) (n + 5)2 36

e) (3x 1)2 x 2

f) (a3 + 3)2 a6

g) x 2 (x + y)2

h) a2 (a + 1)2

x(x 8)

(y + 6)(y 4)

(a + b + c)(a + b c)

(n + 11)(n 1)

(4x 1)(2x 1)

3(2a3 + 3)

y(2x + y)

1(2a + 1)

FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

A figura 1 representa um quadrado cujo lado mede (x  + y) unidades de comprimento e cuja área pode ser escrita de duas maneiras:

x 2 + 2xy + y2 ou (x + y)2

Na figura 2, a região não hachurada representa um quadrado cujo lado mede (x y) unidades de comprimento e cuja área pode ser representada de duas maneiras:

x 2 2xy + y2 ou (x y)2

Então, podemos escrever as seguintes igualdades.

• x 2 + 2xy + y2 = (x + y)(x + y) = (x + y)2

polinômio forma fatorada do polinômio

• x 2 2xy + y2 = (x y)(x y) = (x y)2

polinômio forma fatorada do polinômio

Os polinômios x 2 + 2xy + y2 e x 2 2xy + y2 são chamados de trinômios quadrados perfeitos. Trinômios, porque possuem três termos; quadrados perfeitos, porque o primeiro representa o quadrado de (x + y), e o segundo representa o quadrado de (x y).

Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É importante reconhecer se um trinômio é ou não quadrado perfeito.

Para isso, considere as seguintes situações.

1 Verificar se o trinômio x 2 + 8xy + 16y2 é quadrado perfeito.

Inicialmente, verificamos se pelo menos dois termos do trinômio são quadrados. Nesse caso, x 2 e 16y2 são quadrados, pois:

(x)2

x 2 + 8xy + 16y2

(4y)2

Finalmente, multiplicamos por 2 o produto dessas duas raízes para verificar se o resultado será igual ao termo restante: 2 x 4y = 8xy. Como, nesse caso, o termo restante é 8xy, dizemos que o trinômio dado é quadrado perfeito.

2 Verificar se o trinômio x 2 6x + 9 é quadrado perfeito.

Podemos verificar que x 2 e 9 são termos quadrados, pois:

x 2 6x + 9

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Apresentar a definição de trinômio quadrado perfeito e pedir aos estudantes que verifiquem se alguns polinômios são quadrados perfeitos ou não. É possível que alguns estudantes verifiquem apenas se o polinômio é um trinômio e se esqueçam de analisar a relação entre os termos. Caso isso ocorra, retomar com a turma o significado de ser quadrado perfeito.

Se julgar necessário, retomar os produtos notáveis quadrado da soma e quadrado da diferença e analisar as relações entre eles e a fatoração do trinômio quadrado perfeito.

É interessante que os estudantes reproduzam no caderno as figuras apresentadas no Livro do estudante para auxiliar na apropriação desse caso de fatoração. Nos exemplos, destacar que, para verificar se um trinômio é quadrado perfeito, é preciso realizar algumas etapas. Os estudantes podem descrever essas etapas de modo esquemático para tornar mais claro o entendimento desses procedimentos.

(x)2

32

Além disso, temos que: 2 x 3 = 6x. 6x é o termo restante do trinômio.

Logo, x 2 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito.

AMPLIANDO

Vídeo

FATORAÇÃO de trinômios do quadrado perfeito. Khan Academy. [S I.], c2022. Disponível em: https://pt.khana cademy.org/math/pt-9-ano/algebra-expressoes-alge bricas-9ano/fatoracao-de-expressoes-de-segundograu-quadrados-perfeitos/v/factoring-perfect-squaretrinomials. Acesso em: 12 maio 2022.

Nesse link, é possível acompanhar uma videoaula a respeito do tópico fatoração do trinômio quadrado perfeito

Figura 2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas têm como objetivo que os estudantes utilizem o caso de fatoração de trinômio do quadrado perfeito e retomem conhecimentos já adquiridos, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Se julgar necessário, ampliar a atividade 1, escrevendo na lousa outros trinômios (quadrados perfeitos e não quadrados perfeitos) para os estudantes os identificarem.

Na atividade 6, os estudantes podem começar resolvendo a diferença indicada entre os polinômios. Nesse caso, deixar que eles percebam que, dessa maneira, não vão conseguir usar as informações dadas no enunciado. Se houver necessidade, orientá-los a fatorar cada polinômio.

É importante que os estudantes compartilhem com a turma as estratégias de resolução utilizadas em cada atividade. Verificar se eles conseguem explicar aos colegas como pensaram para resolver algumas atividades e se são capazes de ouvir e interagir criticamente sobre as resoluções dos colegas. Desse modo, podem ser desenvolvidas a competência geral 9 e a competência específica 6 da área de Matemática.

3 Verificar se o trinômio 16x 2 24x + 25 é quadrado perfeito. Notamos que 16x 2 e 25 são termos quadrados, pois:

(4x)2 52 16x 2 24x + 25

Além disso, temos:

2 4x 5 = 40x 40x não corresponde ao termo restante do trinômio. Logo, 16x 2 24x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito. Os seguintes trinômios são quadrados perfeitos. Vamos fatorá-los.

• Fatorar x 2 + 8xy + 16y2

x 2 + 8xy + 16y2

2 ? x ? 4y = 8xy (4y)2 (x)2

• Fatorar a6 10a3b + 25b2

a6 10a3b + 25b2

(a3)2 (5b)2

2 a3 5b = 10a3b

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Verifique se cada um dos seguintes trinômios representa um trinômio quadrado perfeito.

Sim.

a) a2 10ab + 25b2 c) 9x2 6x + 1

b) x2 8x + 25 d) 16y2 + 24xy + 9x2

2. Se você fatorar x 2 + 18x + 81, qual polinômio vai obter?

x 2 + 8xy + 16y2 = (x + 4y)2

a6 10a3b + 25b2 = (a3 5b)2

6. Sabendo que os trinômios a seguir são quadrados perfeitos, escreva a forma fatorada de cada um deles.

a) 4x 2 12xy + 9y2

b) y2 + 22y + 121

c) 81p2 18p + 1

d) 4b2 + 16bx + 16x 2

(2x 3y)2 (y + 11)2 (9p 1)2 (2b + 4x)2

e) 100p2 20px + x 2

(10p

f) 144x 2y2 + 24xy + 1

3. O trinômio x 2 0,4x + 0,04 é quadrado perfeito. Qual é sua forma fatorada?

(x + 9)2 (x 0,2)2

4. Para se obter (3a + 2)2, qual termo deve ser adicionado ao trinômio 9a2 + 10a  + 4?

5. Considerando x + y = 15 e x y = 6, qual é o valor numérico da expressão algébrica (x2 + 2xy + y2) (x2 2xy + y2)?

g) m2 12m + 36

h) 16a4 + 8a2b + b2

(m

(4a2

i) 100 20bc + b2c2

j) x10 + 4x5y3 + 4y6

(10

FATORAÇÃO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS CUBOS

Observe as multiplicações.

1 (x + y) (x 2 xy + y2) =_++_+ xx yxyx yxyy 32 22 23 = x 3 + y3

Pela propriedade simétrica das igualdades, escrevemos:

x 3 + y3 = (x + y) ? (x 2 xy + y2)

polinômio forma fatorada do polinômio

2 (x y) ? (x 2 + xy + y2) =_++_ xx yxyx yxyy 32 22 23 = x 3 y3

Pela propriedade simétrica das igualdades, escrevemos:

x 3 y3 = (x y) (x 2 + xy + y2)

polinômio forma fatorada do polinômio

FATORANDO MAIS DE UMA VEZ

Vamos fatorar o polinômio x4 16. Como esse polinômio representa uma diferença de quadrados, fazemos:

x4 16 = (x2 + 4) (x2 4)

Note, porém, que a fatoração não está terminada, pois o fator (x 2 4) também é uma diferença de quadrados; portanto, pode ser fatorado. Assim, escrevemos:

x4 16 = (x 2 + 4) ? (x 2 4) = (x 2 + 4) ? (x + 2) ? (x 2)

Existem polinômios cuja fatoração exige a aplicação de mais de uma técnica. Acompanhe estes exemplos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

Como sugestão de encaminhamento de aula, explorar, na lousa, os exemplos apresentados no Livro do estudante. Questionar a turma a respeito dos casos de fatoração que podem ser aplicados em cada situação.

Enfatizar novamente os cuidados que os estudantes devem ter ao trabalhar com os sinais das expressões, evitando possíveis erros.

Se julgar necessário, retomar os produtos notáveis cubo da soma e da diferença e compará-los, respectivamente, com a fatoração da soma e da diferença de dois cubos.

Fatorando mais de uma vez

Neste tópico, são tratados exemplos de polinômios que podem ser fatorados mais de uma vez e por meio de mais de uma técnica de fatoração. É recomendável pedir aos estudantes que tentem resolver os exemplos antes de apresentar-lhes os resultados dos exemplos.

Em cada etapa, vale destacar cada técnica de fatoração utilizada para que os estudantes compreendam como elas podem ser aplicadas em diferentes situações.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Usando a fatoração para resolver equações

Muitas equações de grau maior do que 1 podem ser fatoradas e transformadas em equações de produto nulo. Assim, os estudantes podem resolver alguns tipos de equação, mesmo sem terem aprendido como solucioná-los de outra maneira.

Ao explorar as situações apresentadas, enfatizar o fato de os estudantes terem de escrever cada produto igual a zero para determinar as raízes da equação. Isso ocorre, por exemplo, na situação 1, em que (x + 4)(x 4) = 0.

A resolução de equações é uma das principais justificativas para o estudo de produtos notáveis e fatorações. É importante que os estudantes percebam que podem mobilizar o que foi aprendido sobre os referidos temas e utilizá-los como ferramentas na resolução de equações. Desse modo, propicia-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Na Unidade 3 deste Volume, serão estudadas equações do segundo grau, com as quais é possível ampliar as aplicações dos temas estudados nesta Unidade.

2 Fatorar a4b + ab4

a 4b a b 4 ab ( a 3 b 3) ab (a b) ( a 2 ab b 2)

soma de dois cubos

fator comum em evidência

USANDO A FATORAÇÃO PARA RESOLVER EQUAÇÕES

Existe uma propriedade importante, válida para os números reais, que nos mostra que:

se x y = 0, então x = 0 ou y = 0.

Considerando essa propriedade e os casos de fatoração, podemos resolver algumas equações. Observe os exemplos a seguir.

1 Quais são as raízes da equação x 2 16 = 0?

Como x 2 16 é uma diferença de quadrados dada por (x)2 (4)2, temos:

x 2 16 = 0

(x + 4)(x 4) = 0 forma fatorada

0x 4

(x + 4)(x 4) = 0 h

0x 4

Então, as raízes da equação x 2 16 = 0 são os números 4 e 4.

SAIBA QUE

As raízes de uma equação são os valores que tornam a sentença verdadeira, ou seja, a solução da equação.

2 Quais são as raízes da equação x 2 + 7x = 0?

x 2 + 7x = 0

x (x + 7) = 0 Colocamos o fator x em evidência.

x (x + 7) = 0 h

0x 7

Então, as raízes da equação x 2 + 7x = 0 são os números 0 e 7.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

2 n) 2x(x + y)(x y)(x2 + xy + y2)(x2 xy + y2)

Responda às questões no caderno.

1. Escreva a forma fatorada de cada um dos seguintes polinômios.

a) x 3 + y3

b) b3 c3

c) a3 1

d) x 3 + 8

(x + y)(x 2 xy + y2)

(b c)(b2 + bc + c 2)

(a 1)(a2 + a + 1)

(x + 2)(x 2 2x + 4)

e) 27 m3

f) + 1 125 c3

(3 m)(9 + 3m + m2)

2. Fatore os polinômios.

a) a4 b4

(a2 + b2)(a + b)(a b)

b) 3x 2 6x + 3

c) m2x x

3(x 1)2

x(m + 1)(m 1)

d) 5a2 + 30ab + 45b2

e) x 3y xy3

f) m8 n8

5(a + 3b)2

xy(x + y)(x y)

(m4 + n4)(m2 + n2)(m + n)(m n)

g) x 3 xy2 + x 2y y3

h) a4 ax 3

i) 1 1 16 p4

(x + y)2 (x y)

a(a x)(a2 + ax + x 2)

j) ++ y 4 3 y 4 9 y 32

k) x 3y y

l) ax 2 a + bx 2 b

(a + b)(x + 1)(x 1)

m) a3 + 2a2 + a + a2b + 2ab + b

(a + b)(a + 1)2

n) 2x7 2xy6

o) a5 + a2b3 a3b2 b5

3. Sabendo que x y = 6, determine o valor numérico do seguinte polinômio.

5x 2 10xy + 5y2

(a + b)2(a b)(a2 ab + b2) 180

10. Para x = 0: 2x 3 2x 3 1 + =_

Para x = 1: 2x 3 2x 3 5 + =_

7. Determine as raízes de cada uma das seguintes equações, no conjunto dos números reais.

a) x 2 9x = 0

b) x 2 81 = 0

c) x 2 64 = 0

d) x 2 + 20x = 0

e) x 2 x = 0

f) x 2 0,25 = 0

g) x 2 1 = 0

h) x 2 + 0,6x = 0

i) x 2 0,01 = 0

j) _= x x 4 0 2

8. (Saresp-SP) Observe a figura a seguir. A expressão algébrica mais simples que determina o perímetro desse retângulo é:

a) 6x 4

b) 4x 6

c) 4x 2 + x 3

d) x + 4

9. Qual é a forma fatorada da expressão (x + y)2 (2x + y)( x + y)?

a) x(3x y)

b) x(3x + y)

c) x(2x + y)

Atividades

Este bloco de atividades tem como objetivo que os estudantes reconheçam e utilizem os casos de fatoração aprendidos. Além disso, as atividades abrangem algumas equações que podem ser resolvidas usando fatoração e outros conhecimentos já adquiridos, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Na atividade 2, verificar se os estudantes percebem que há alguns itens em que devem utilizar mais de um caso de fatoração. Se eles tiverem muitas dúvidas, propor a resolução desses itens na lousa, chamando alguns estudantes para resolvê-los.

Na atividade 4, estimular a utilização de mais um modo de agrupar. Além disso, os estudantes devem empregar mais de um caso de fatoração.

d) y(3x y)

e) y(3x + y)

10. Fatore os polinômios e simplifique a fração algébrica ++ 4x 12x 9 4x 9 2 2 . Em seguida, calcule o valor numérico da expressão obtida para x = 0 e para x = 1.

Na atividade 8, verificar se os estudantes escrevem a expressão adicionando as medidas dos quatro lados do retângulo e não apenas (2x + 1) + (x 3).

4. Qual é a forma fatorada da expressão ab2 ac2 + b3 bc2?

(a + b)(b + c)(b c)

5. Fatore o polinômio x 3y + 2x 2y2 + xy3 e determine seu valor numérico, sabendo que xy = 10 e x + y = 5.

11. Elabore uma expressão algébrica cuja forma fatorada tenha x b como um dos fatores. Em seguida, calcule o valor numérico dessa expressão para x   b  = 5.

xy(x + y)2; 250

6. Fatore o polinômio ax 3 ax + bx 3 bx

x(a + b)(x + 1)(x 1)

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12. Calcule o valor numérico do polinômio

2 (3a 2b) (6a + 4b), sabendo que 9a2 4b2 = 15

11

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Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 83

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Inicialmente, promover um debate com os estudantes a respeito da cultura afro-brasileira. Questioná-los sobre o que sabem a respeito do assunto tratado na seção, abrindo espaço para que compartilhem costumes, informações, sensações e experiências pessoais. Essa atividade favorece o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9 e o Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Em seguida, solicitar-lhes que elenquem outras contribuições que a cultura afro-brasileira trouxe para o Brasil. Incentivá-los a socializar as informações que possuem acerca das heranças deixadas pela cultura afro-brasileira. Se possível, incentivá-los a construir um painel com as informações obtidas.

Comentar que, em 2003, a Lei no 10.639 passou a exigir que as escolas brasileiras de Ensino Fundamental e Médio explorassem o ensino da história e da cultura afro-brasileira em suas atividades educativas.

Fonte: BRASIL. Lei no 10.639, de 9 de janeiro de 2003. Altera a Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, para incluir no currículo oficial da Rede de Ensino a obrigatoriedade da temática “História e Cultura Afro-Brasileira”, e dá outras providências. Diário Oficial da União, Brasília, DF, ano 140, n. 8, p. 1, 10 jan. 2003.

Esta pode ser uma oportunidade para promover reflexões acerca deste documento e suas finalidades. Em seguida, se julgar conveniente, convidá-los a elaborar uma pesquisa para coletar informações a respeito dos temas

A CULTURA AFRO-BRASILEIRA

Você sabia que, apenas a partir do século XX, manifestações, rituais e costumes dos povos africanos começaram a ser aceitos e celebrados no Brasil como expressões artísticas genuinamente nacionais?

Leia os textos a seguir para conhecer e refletir sobre as contribuições da cultura africana para a formação da identidade do povo brasileiro.

Denomina-se cultura afro-brasileira o conjunto de manifestações culturais do Brasil que sofreram algum grau de influência da cultura africana desde os tempos do Brasil colônia até a atualidade. A cultura da África chegou ao Brasil, em sua maior parte, trazida pelos escravos negros na época do tráfico transatlântico de escravos. No Brasil a cultura africana sofreu também a influência das culturas europeia (principalmente portuguesa) e indígena, de forma que características de origem africana na cultura brasileira encontram-se em geral mescladas a outras referências culturais. Traços fortes da cultura africana podem ser encontrados hoje em variados aspectos da cultura brasileira, como a música popular, a religião, a culinária, o folclore e as festividades populares. Os estados do Maranhão, Pernambuco, Alagoas, Bahia, Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de Janeiro, São Paulo e Rio Grande do Sul foram os mais influenciados pela cultura de origem africana, tanto pela quantidade de escravos recebidos durante a época do tráfico como pela migração interna dos escravos após o fim do ciclo da cana-de-açúcar na região Nordeste. Ainda que tradicionalmente desvalorizados na época colonial e no século XIX, os aspectos da cultura brasileira de origem africana passaram por um processo de revalorização a partir do século XX que continua até os dias de hoje.

EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira. Portal da cultura afro-brasileira. Colombo, [20-?]. Disponível em: https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022.

Baianas em Vera Cruz (BA), 2019.

preconceito e racismo. A ideia é que elaborem uma entrevista a ser realizada com pessoas que se declaram pardas ou negras. Comentar com a turma que, nessa coleta de informações, o principal objetivo será descobrir se, atualmente, ainda há questões envolvendo o reconhecimento e a valorização da cultura afro-brasileira.

AMPLIANDO

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Link

TRÁFICO de escravos no Brasil: cultura afro-brasileira. Biblioteca Nacional Digital. Rio de Janeiro, [c2022].

Disponível em: https://bndigital.bn.gov.br/dossies/traficode-escravos-no-brasil/cultura-afro-brasileira/. Acesso em: 12 maio 2022.

Nesse link, é possível fazer uma visita virtual à Biblioteca Nacional Digital e ter acesso a informações relacionadas à cultura afro-brasileira.

Entre outras influências importantes da cultura africana, podemos destacar aquelas relacionadas à culinária, à música e à dança.

Culinária

[...] a cozinha brasileira regional foi muito influenciada pela cozinha africana, mesclada com elementos culinários europeus e indígenas.

A culinária baiana é a que mais demonstra a influência africana nos seus pratos típicos como acarajé, caruru, vatapá e moqueca. Estes pratos são preparados com o [azeite de dendê], extraído de uma palmeira africana trazida ao Brasil em tempos coloniais. [...]

EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira. Portal da cultura afro-brasileira. Colombo, [20-?]. Disponível em: https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022.

Música e dança

Resposta pessoal. Exemplos de resposta: cafuné (afago na cabeça de alguém para provocar sono); fubá (farinha de milho); fuzuê (algazarra, barulho, confusão); zabumba (bumbo) etc.

A música criada pelos afro-brasileiros é uma mistura de influências de toda a África subsaariana com elementos da música portuguesa e, em menor grau, ameríndia, que produziu uma grande variedade de estilos.

A música popular brasileira é fortemente influenciada pelos ritmos africanos. As expressões de música afro-brasileira mais conhecidas são o samba, maracatu, ijexá, coco, jongo, carimbó, lambada, maxixe, maculelê.

EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira. Portal da cultura afro-brasileira. Colombo, [20-?]. Disponível em: https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022. Agora, converse com os colegas e o professor sobre as questões a seguir e responda no caderno.

Respostas pessoais. Incentivar os estudantes a compartilhar as experiências deles com aspectos da cultura afro-brasileira, apresentando exemplos de manifestações dessa cultura.

• Você conhece algumas manifestações da cultura afro-brasileira? Na região onde você mora, essas manifestações estão presentes?

Respostas pessoais.

• Você já teve a oportunidade de experimentar pratos da culinária africana ou de assistir a alguma das expressões musicais afro-brasileiras? Como foi essa experiência?

• Você sabia que as línguas africanas influenciaram o processo de transformação da língua portuguesa falada no Brasil? Faça uma pesquisa sobre essa contribuição e descubra palavras desse vocabulário que são comuns em algumas regiões do Brasil.

Grupo folclórico Terno de Congo de Sainha Irmãos Paiva, de Santo Antônio da Alegria (SP), 2018. O Congado é uma manifestação cultural e religiosa afro-brasileira.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Solicitar aos estudantes que compartilhem com a turma o que conhecem a respeito da culinária afro-brasileira. Se julgar interessante, solicitar-lhes uma pesquisa sobre os principais alimentos e receitas típicas consumidos no Brasil que sejam de origem africana. Em seguida, verificar a possibilidade de cada estudante ou grupo de estudantes preparar essas receitas em casa e trazer para a escola a fim de serem socializadas com a comunidade escolar. Nesse momento, eles também explicarão as origens da culinária que está sendo apresentada.

Os estudantes podem pesquisar, também, outras manifestações culturais afro-brasileiras, como a dança, as artes plásticas e as vestimentas.

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Moqueca de peixe.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

As questões apresentadas nesta seção visam retomar o trabalho com o cálculo algébrico e os polinômios, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Incentivar os estudantes a socializar as estratégias que utilizaram e a trocar ideias com os colegas a respeito de temas sobre os quais ainda tenham dúvida. Acompanhar e orientá-los nesse trabalho. Se necessário, explicar na lousa as dúvidas que ainda persistam.

Os estudantes podem fazer esse bloco de atividades como uma autoavaliação; por isso, eles devem respondê-las individualmente. É interessante sugerir-lhes que realizem essa atividade durante a aula; assim, poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo.

Orientá-los a consultar o Livro do estudante para esclarecer dúvidas e buscar informações. Conversar com eles a respeito de acertos e erros, indicando as correções com intervenções pontuais. Esse tipo de ação amplia a capacidade de comunicação e argumentação dos estudantes de acordo com a competência geral 7, além de beneficiar a cooperação entre eles de acordo com a competência geral 9.

Outra possibilidade é propor aos estudantes que resolvam algumas das questões previamente em casa e que desenvolvam outras em aula, formando duplas ou grupos com os colegas. Nessa interação, devem aproveitar para fazer a autocorreção daquelas que trouxeram prontas.

Sugerir também aos estudantes que refaçam algumas atividades anteriores dos assuntos em que tiverem dúvidas. Ressaltar tais temas ao corrigir as atividades.

Responda às questões no caderno.

1. (Saresp-SP) Calculando-se os valores da expressão n2 + 3n + 1 para n valendo 1, 2, 3 etc., obtém-se uma das sequências a seguir. Qual delas?

Alternativa b.

6. Na figura a seguir, a área do retângulo 1 é ab, a área do quadrado 2 é b2, e a área do retângulo 3 é bc.

a) 5, 11, 17, 23, ...

b) 5, 11, 19, 29, ...

c) 5, 7, 9, 11, ...

d) 1, 5, 9, 13, ...

2. (Saresp-SP) O valor numérico da expressão 2b2 + 8 para b igual a 3 é:

a) 17

b) 18

c) 26

d) 34

Qual é a área do retângulo cor-de-rosa?

Alternativa a.

a) ac

b) a2

c) bc

d) ab

3. A sequência xy 4 , xy 2 2 , x 3 y, ... tem 7 termos. Qual é o último termo dessa sequência?

a) 16x7y

b) 8x7y

c) 16x6y

d) 16x5y

e) 32x7y

Alternativa c. Alternativa a.

4. Dois números a e b são tais que

a  = 2x  + 3 e b = 2x 1. Sabendo que a2 b2 = 40, determine o valor de x

5. Considere a fórmula matemática

7. Em uma adição de polinômios, encontrou-se o resultado 3x 3 4x + 6, mas verificou-se que a parcela 5x 3  8x 2  9 havia sido incluída indevidamente. A soma dos coeficientes dos termos do polinômio, que é o resultado correto da adição, é:

Alternativa a.

a) +17.

b) 17.

c) +5.

d) 5.

e) +16.

8. Utilizando o que você aprendeu sobre produtos notáveis, escreva o polinômio correspondente a:

a) (3x + 1)(3x 1)

b) (10 + 2x)2

9x 2 1

100 + 40x + 4x 2

Alternativa e.

V R S3 = + . Se R = 28,8 e S = 1,5, o valor de V é: a) 3,2. b) 4,2. c) 5,4. d) 5,8. e) 6,4.

Procurar trabalhar o conteúdo no qual os estudantes mais apresentaram dificuldade durante o desenvolvimento da Unidade também pode contribuir nesse momento.

Nas atividades 6 e 13, é interessante perceber se os estudantes conseguem resolver empregando o raciocínio envolvido na representação geométrica de expressões algébricas apresentadas nesta Unidade.

c) (7a 2b)2

d) (2x + 0,5y)2

49a2 28ab + 4b2

4x 2 + 2xy + 0,25y2

e) (4x + b)(4x b)

f) (a + 2b)3

g) (2a b)3

h) (2 3a)3

16x 2 b2

a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3

8a3 12a2b + 6ab2 b3

8 36a + 54a2 27a³

9. Escreva a forma fatorada de cada um dos seguintes polinômios.

a) b2 2ab + b

b(b 2a + 1)

b) 18x5 + 6x4 42x 3

c) 2a5 + 2a3 + 2a

6x 3(3x 2 + x 7) 2a(a4 + a2 + 1)

d) 100ax 3 60ax 2 + 120ax

e) a2 49

f) 64 b2

g) 4 a2b2

20ax(5x 2 3x + 6)

(a + 7)(a 7)

(8 + b)(8 b)

(2 + ab)(2 ab)

10. Para obter (4a + 3)2, qual termo deve ser adicionado ao trinômio a seguir?

16a2 + 20a + 9

11. Calcule o valor numérico do trinômio a seguir para x 2y = 6

7x2 28xy + 28y2

12. Sabe-se que a2 + b2 = 2,25 e x + y = 0,8. Qual é o valor numérico da expressão a seguir?

a) 0,18

b) 1,8

c) 18

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

Alternativa b. Alternativa e.

a2x + b2x + a2y + b2y

d) 0,9 e) 2,8

13. A área de um retângulo é expressa pelo polinômio x 2 9, em que x . 3. Fatorando esse polinômio, obtemos as medidas dos lados do retângulo. Se o perímetro do retângulo é 32 cm, qual é a área dele?

a) 51 cm2

b) 53 cm2

c) 57 cm2

d) 54 cm2 e) 55 cm2

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados, reflexões a respeito das aprendizagens individuais. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa maneira, possam avaliar as aprendizagens e identificar possíveis dúvidas.

Nesta Unidade, foram abordados os conceitos de monômios, polinômios, produtos notáveis e fatoração de polinômios. Para retomar os detalhes envolvidos nos cálculos algébricos e as propriedades matemáticas relacionadas a esses conteúdos, sugerimos a você que:

• faça um resumo de todas as operações trabalhadas com monômios e polinômios (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação), indicando um exemplo para cada operação;

• elabore um quadro-resumo dos produtos notáveis e indique como esses produtos se relacionam com a fatoração (não se esqueça de incluir exemplos).

Em seguida, registre suas dúvidas para uma conversa com a turma. Essa conversa pode começar em pequenos grupos e terminar de maneira coletiva, socializando possíveis dúvidas que seu grupo não conseguiu esclarecer.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

Respostas pessoais. Exemplos de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Na abertura desta Unidade, você conheceu um pouco sobre os vitrais e observou que os artistas, primeiramente, esboçam em papel como a peça deverá ficar ao ser concluída. Esse esboço também lhes permite calcular a quantidade de material necessária. Desse modo, foi proposta uma questão a respeito do cálculo da área de determinada região de um esboço. Naquela situação, você conseguiu responder a esse questionamento? E agora, ao concluir o estudo desta Unidade?

• Você percebe a relação entre polinômios, operações envolvendo polinômios e figuras geométricas? Percebe, inclusive, que essa relação pode auxiliar em situações práticas envolvendo área de superfícies cujas medidas sejam desconhecidas?

• Em sua opinião, o estudo de produtos notáveis e fatoração pode facilitar a resolução de problemas envolvendo cálculos numéricos e geométricos?

Em virtude do volume dos conceitos tratados, sugere-se, no encerramento desta Unidade, que os estudantes registrem os pontos principais e citem exemplos que os ilustrem, dando destaque para as operações entre monômios e polinômios e a relação entre produtos notáveis e fatoração. Esse conteúdo não é facilmente assimilado, em razão da abstração exigida, o que faz esperar que apareçam dúvidas. Portanto, socializar os registros e as dúvidas poderá permitir maior e melhor visualização do entendimento da turma a respeito do assunto e, desse modo, criar oportunidades de aprendizagem.

Primeiramente, permitir aos estudantes que discutam as dúvidas em grupos de três a quatro integrantes. Nesse momento, parte das questões deve ser resolvida e apenas questões mais específicas precisarão ser resolvidas em atividade posterior de compartilhamento com a turma.

As questões finais buscam refletir a respeito do propósito de estudar monômios e polinômios. Espera-se que os estudantes percebam que uma das motivações está no contexto matemático, na simplificação de operações e nas generalizações que o cálculo algébrico pode propiciar.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2 e 9

Competências específicas:

• 1, 2, 4 e 5

Habilidades: Números

• EF09MA03

Álgebra

• EF09MA09

Probabilidade e estatística

• EF09MA21

Tema Contemporâneo

Transversal:

• Educação para o Consumo

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em quatro capítulos e apresenta os conteúdos por meio de exemplos contextualizados e atividades diversificadas, com seções que contribuem para a formação dos estudantes. Desse modo, favorece-se com maior ênfase o desenvolvimento das competências gerais 1, 2 e 9. No primeiro capítulo, são apresentadas as equações do 2o grau com uma incógnita, nas quais trabalha-se com equações completas e equações incompletas e a forma reduzida de uma fração. No segundo capítulo, aborda-se a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita, com diferentes processos de resolução. No terceiro capítulo, aborda-se a soma e o produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita. No quarto capítulo, são apresentadas mais equações, com as equações biquadradas e as equações irracionais.

OBJETIVOS

• Reconhecer uma equação do 2o grau com uma incógnita.

• Identificar elementos de uma equação do 2o grau.

EQUAÇÕES DO 2 o GRAU

Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos cientistas responsáveis pelos estudos que envolvem a queda livre de corpos. Ele descobriu que o movimento de todo corpo em queda livre, ou seja, abandonado sem que seja aplicada uma velocidade inicial e desprezando-se a resistência do ar, pode ser modelado da seguinte maneira: =

, em que d é a altura, em metro, da queda, g é o valor da aceleração da gravidade no local da queda (uma boa aproximação é 9,8 m/s2 na Terra), e t é o tempo de queda, em segundo. Desse modo, conhecendo a altura da queda, é possível definir uma equação que determine o tempo de queda de um corpo. Por exemplo, para uma altura de 35 metros, temos:

• Classificar equações do 2o grau com uma incógnita em completas ou incompletas.

• Escrever equações do 2o grau com uma incógnita na forma reduzida.

• Determinar a solução de equações do 2o grau com uma incógnita na forma ax 2 + bx = 0 e na forma ax 2 + c = 0.

• Determinar a quantidade de raízes reais distintas de uma equação do 2o grau com uma incógnita, analisando o valor do discriminante.

• Compreender a relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação do 2o grau com uma incógnita.

• Resolver e elaborar problemas que podem ser representados por equações do 2o grau.

SEAN PAVONE/SHUTTERSTOCK.COM

Torre de Pisa e Catedral de Pisa, Toscana (Itália), 2021.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Galileu foi um físico, matemático, astrônomo e filósofo italiano que teve grande papel na revolução científica.

Esse cientista comprovou que, se dois corpos de massas diferentes forem abandonados juntos de uma mesma altura, chegarão ao chão no mesmo instante (desconsiderando-se a resistência do ar). Conta-se que, para ilustrar esse fato, Galileu teria subido a Torre de Pisa e lançado dois objetos esféricos de massas diferentes, os quais teriam chegado simultaneamente ao chão.

SUSTERMANS, Justus. Galileo Galilei 1640. Óleo sobre tela, 867 mm x 686 mm. National Maritime Museum, Londres.

Para iniciar o estudo sobre equações do 2o grau, a abertura desta unidade traz um pouco sobre o experimento que Galileu Galilei teria realizado na Torre de Pisa. Ao iniciar esta abertura, pode-se propor o seguinte questionamento aos estudantes: “Lançados em queda livre de uma mesma altura, o que chegará primeiro ao chão: uma borracha ou uma folha de papel?”. Convidá-los a pegar os objetos em questão e, ao mesmo tempo, soltar a borracha e a folha de papel sem nenhum tipo de dobra ou amassado (nesse caso, a borracha cairá primeiro). Em seguida, orientá-los a amassar a folha de papel para que ela fique com o formato de uma bolinha, e a soltá-la novamente em queda livre, ao mesmo tempo que a borracha. Elas, provavelmente, vão parecer chegar ao chão ao mesmo tempo. Se for possível, pedir a algum estudante que grave a cena para que todos analisem de maneira mais detalhada posteriormente.

Agora, responda às questões no caderno.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Na equação dada, identifique a incógnita e o coeficiente dessa incógnita. Essa equação é de 1o grau? Justifique.

A incógnita é t, e o expoente é 2. Não, pois em uma equação do 1o grau, o expoente da incógnita é 1, e na equação apresentada, o expoente é 2.

• De acordo com a equação, aproximadamente quanto tempo levará para um corpo cair de uma altura de 35 metros? Aproximadamente 2,67 s.

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JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresenta-se o estudo das equações do 2o grau com uma incógnita como uma ferramenta para auxiliar a descrever diversas situações, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.

Na seção Tratamento da informação , explora-se a importância da representação correta dos gráficos. Esse tema colabora para o

desenvolvimento da habilidade EF09MA21, da competência específica 5 da área de Matemática e do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo. Na seção Tecnologias, aborda-se a resolução de equações do 2o grau fazendo uso do software Ofi Calc. Desse modo, propicia-se o desenvolvimento da competência específica 5 da área de Matemática e das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.

Depois, propor aos estudantes que realizem a leitura do texto da abertura e verificar se eles têm alguma dúvida. Explicar que, para que o experimento de Galileu fosse, de fato, bem-sucedido, deveria ser realizado no vácuo. Espera-se que eles compreendam que a resistência do ar influencia na queda dos objetos. Se considerar oportuno, pode-se trabalhar o tema desta abertura em parceria com o professor de Ciências. Desse modo, há oportunidade de exercitar a capacidade de reflexão e análise crítica, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 1 e 2 e das competências específicas 1 e 4 da área de Matemática. Incentivar os estudantes a responder às questões propostas e verificar se eles têm alguma dúvida.

IANDAGNALL COMPUTING/ALAMY/FOTOARENA

SEAN PAVONE/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Equação do 2o grau com uma incógnita

Após a contextualização histórica apresentada nesta página, comentar com os estudantes o processo babilônico utilizado na resolução de situações-problema. Como sugestão de encaminhamento, apresentar a situação a seguir para que os estudantes discutam em duplas ou em grupos.

• A soma de dois números é 50 e o produto entre eles é 400 Quais são esses dois números?

Espera-se que os estudantes concluam que os números são 40 e 10.

Solicitar que busquem outros processos de resolução, desenvolvendo as próprias estratégias. Nesse momento, podem ser exploradas resoluções com cálculo mental. Na discussão da atividade, enfatizar que o processo babilônico permite apenas determinar a solução natural e que, posteriormente, será apresentado o motivo desse fato.

EQUAÇÃO DO 2 o GRAU COM UMA INCÓGNITA CAPÍTULO1

PENSE E RESPONDA

1. e) Resposta pessoal. Os estudantes podem escrever a forma fatorada do polinômio: x(x _ 3) = 4 e analisar como o número 4 pode ser escrito como produto de dois números inteiros positivos (1 ? 4; 4 ? 1; 2 ? 2). Assim, eles podem substituir cada fator, a fim de descobrir o valor de x na multiplicação, para que o produto seja igual a 4.

1. Considere os polígonos e responda às questões no caderno.

AMPLIANDO

Link

a) Qual é a expressão que representa a área do quadrado? x 2

b) Qual é a expressão que representa a área do retângulo laranja? 3x

c) Escreva uma equação que represente a seguinte afirmação: o número que expressa a área do quadrado menos o número que expressa a área do retângulo laranja é igual a 4. x 2 _ 3x = 4

d) Descubra, entre os números 2; 5; 9; 6; 4; 8; 7; 10; 12, o valor do número x que satisfaz a equação encontrada no item c O número é 4.

e) Como você faria a resolução dessa equação para encontrar tal número? Troque ideias com um colega.

Textos babilônicos, escritos há cerca de 4 000 anos, já faziam referência a problemas que hoje resolvemos usando equações do 2o grau.

Um dos problemas mais comuns nos escritos babilônicos tratava da determinação de dois números, quando conhecidos a soma e o produto deles. A resolução desses problemas era estritamente geométrica: consideravam-se o produto de dois números como a área, e a soma deles como o semiperímetro (medida que corresponde à metade da medida do perímetro) de um retângulo. As medidas dos lados do retângulo correspondiam aos números dados, que eram sempre naturais. Esse tratamento geométrico era longo e cansativo, o que levou os gregos – e posteriormente os árabes – a buscar um procedimento mais simples para resolver tais problemas.

No século IX, o matemático persa al-Khwarizmi (c. 780-c. 850) desenvolveu um processo para a resolução desses problemas, o qual deu início à chamada Álgebra geométrica.

No século XII, a partir dos estudos feitos por al-Khwarizmi, o matemático indiano Bhaskara (1114-c. 1185) apresentou um processo puramente algébrico, que permitia resolver qualquer equação do 2o grau. Partindo desse processo, e com o uso da Álgebra simbólica, os matemáticos puderam chegar a uma fórmula, utilizada até hoje, que ficou conhecida como fórmula resolutiva para equações do 2o grau.

PEDROSO, Hermes Antônio. Uma breve história da equação do 2o grau. REMat Revista eletrônica de Matemática , [São José dos Campos], 2010, n. 2. Disponível em: https://www.ibilce.unesp.br/Home/ Departamentos/Matematica/labmat/uma-breve-historia-da-equacao-do-2-grau.pdf. Acesso em: 21 jun. 2022. Nesse link, é possível ter acesso a um texto sobre a história da equação do 2o grau.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

CONHECENDO A EQUAÇÃO DO 2 O GRAU COM UMA INCÓGNITA

Observe a planta baixa parcial de um escritório. sala1sala2 corredor

x 1 m

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Conhecendo a equação do 2o grau com uma incógnita

x 1 m

As duas salas quadrangulares e o corredor retangular têm, juntos, 40 m2 de área. Cada sala tem x metros de lado, e o corredor tem 1 metro de largura. Qual é a medida x do lado de cada sala quadrangular?

De acordo com a figura e os dados do problema, podemos concluir que:

• o valor numérico da área de cada sala é x2;

• o valor numérico da área do corredor é dado por 1 ? 2x ou 2x;

• a equação que representa o problema é 2x 2 + 2x = 40

valor numérico da área do corredor valor numérico da área das duas salas

Obtivemos uma equação que não é do 1o grau (que você já sabe resolver), pois existe um termo em que a incógnita x se apresenta com expoente 2.

Denomina-se equação do 2o grau na incógnita x toda equação da forma ax2 + bx + + c = 0, em que a, b e c são números reais, e a 5 0.

Assim:

• 2x 2 _ 2x _ 40 = 0 é uma equação do 2o grau na incógnita x, em que a = 2, b = 2 e c = 40.

• x 2 _ 25 = 0 é uma equação do 2o grau na incógnita x, em que a = 1, b = 0 e c = 25.

• 6x 2 _ 9x = 0 é uma equação do 2o grau na incógnita x, em que a = 6, b = 9 e c = 0.

Nas equações do 2o grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são chamados de coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x :

• a será sempre o coeficiente do termo em x2;

• b será sempre o coeficiente do termo em x ;

• c será o coeficiente sem incógnita ou o termo independente de x

Em anos anteriores, os estudantes tiveram contato com equações do 2o grau incompletas do tipo ax 2 + c = 0. Agora, esse estudo será ampliado para diferentes tipos de equação desse grau. Explorar com a turma a situação-problema que relaciona a planta de um escritório ao cálculo da área de figuras retangulares usando expressões algébricas de grau 2. Verificar se há alguma dificuldade na compreensão dos estudantes a respeito da representação algébrica.

Apresentar a definição de equação do 2o grau, detalhando os seus elementos e respectivos coeficientes. Se julgar oportuno, solicitar aos estudantes que escolham valores para a, b e c e apresentem a equação do 2o grau correspondente. Esse estudo favorecerá o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades têm como objetivo levar os estudantes a reconhecer uma equação do 2o grau com uma incógnita, identificar seus coeficientes e reconhecer equações do 2o grau completas e incompletas, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

Na atividade 4, orientar os estudantes a escrever a equação do 2o grau no caderno substituindo os coeficientes pelos valores numéricos apresentados e a perceber a estrutura da equação do 2o grau composta de coeficientes a, b e c na forma ax 2 + bx + c = 0, em que a 5 0. Ao terminar, solicitar que identifiquem quais dessas equações são incompletas. Espera-se que eles identifiquem as equações dos itens c e d

Para complementar, sugerir aos estudantes que, após escrever as equações, pensem em qual seria o valor de x para cada equação incompleta de modo verdadeira. Isso pode ser feito por tentativa. Alguns comentários podem auxiliá-los nessa tarefa:

c) 4x 2 25 = 0

Se a diferença dos dois termos é zero, então esses termos são iguais, ou seja, 4x2 tem de ser igual a 25.

d) 21x 2 7x = 0

Nessa equação, todos os termos possuem a incógnita x, portanto, x = 0 vai anular o 1o membro da equação. Assim, x = 0 é uma solução para a equação.

É importante que os estudantes percebam que resolver equações do 2o grau apenas por tentativas pode ser um processo que requer bastante tempo.

EQUAÇÃO COMPLETA E EQUAÇÃO INCOMPLETA

Pela definição de equação de 2o grau, devemos ter sempre a 5 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0.

Quando b 5 0 e c 5 0, a equação do 2o grau se diz completa

Exemplos:

• 5x 2 _ 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = 8 e c = 3).

• y2 + 12y + 20 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 12 e c = 20).

Quando b = 0 ou c = 0, a equação do 2o grau se diz incompleta

Exemplos:

• x 2 _ 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = 81).

• 10t2 + 2t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = 2 e c = 0).

• 5y2 = 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0).

Responda às questões no caderno.

1. Quais destes itens indicam equações do 2o grau com uma incógnita? Itens a, d, e, f.

3. Todas as equações seguintes são do 2o grau e estão escritas na forma ax2 + + bx + c = 0.

os coeficientes de cada equação.

2. Identifique como completa ou incompleta cada equação do 2o grau a seguir.

_ 7x + 10 = 0 Completa.

2 + 3x _ 1 = 0 Completa.

2 + 6x = 0 Incompleta.

x 2 _ x _ 12 = 0 Completa.

_ 4 = 0 Incompleta.

2 + 14x = 0 Incompleta.

AMPLIANDO

Atividades complementares

1. Qual é a forma reduzida da equação (2x + 3)2 = = 10 (x + 4) (x 2)?

2. Escreva na forma reduzida a equação 2 x 1 2 x x4 _= (com x 5 0 e x 5 4).

4. Escreva a equação ax

considerando:

Resolução das atividades

1. Equação dada: (2x + 3)2 = 10 (x + 4) (x 2)

+ bx +

4x 2 + 12x + 9 = 10 (x 2 + 2x 8) H

H Resolvemos o produto notável e a multiplicação dos polinômios.

4x2 + 12x + 9 = 10 x2 2x + 8 H Eliminamos os parênteses.

FORMA REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2 O GRAU COM UMA INCÓGNITA

Observe as seguintes equações do 2o grau com uma incógnita.

• x 2 _ 5x + 6 = 0

• y2 _ 25 = 0

• 3t2 + 4t _ 1 = 0

• 2x 2 + 8x = 0

Essas equações estão escritas na forma ax 2 + bx + c = 0, que é denominada forma reduzida de uma equação do 2o grau com uma incógnita

Há, porém, algumas equações do 2o grau que não estão escritas na forma ax 2 + bx + c = 0, por exemplo:

• 3x 2 _ 6x = x _ 3

Por meio de transformações, nas quais aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade, tais equações podem passar a ser expressas na forma reduzida. Acompanhe a situação a seguir.

Escrever a equação 2x 2 _ 7x + 4 = 1 _ x 2 na forma reduzida.

2x 2 _ 7x + 4 = 1 _ x 2 equação dada

2x 2 _ 7x + 4 _ 1 + x 2 = 0 Aplicamos o princípio aditivo.

3x 2 _ 7x + 3 = 0 forma reduzida da equação dada

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Observe a frase.

1. a) x 2 + 2x _ 35 = 0

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O quadrado de um número diminuído do dobro desse número é igual a 3. (x2 _ 2x _ 3 = 0)

O quadrado de um número aumentado do triplo desse número é igual ao próprio número mais 35.

a) Escreva na forma reduzida a equação do 2o grau que se pode formar com os dados da frase.

b) Elabore uma frase cujos dados descrevem uma equação do 2o grau na forma reduzida, como na situação anterior. Em seguida, escreva essa equação.

2. Escreva, na forma ax 2 + bx + c = 0, as seguintes equações do 2o grau.

a) x 2 _ 7 = x + 5

b) x 2 + 11x = 16x _ 6

c)

d)

3. A medida do lado de um quadrado é expressa por (3x _ 1) cm, e a área desse quadrado mede 64 cm2. Qual é a equação do 2o grau, escrita na forma reduzida, que se pode obter com os dados desse problema? 3x 2 _ 2x _ 21 = 0

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Forma reduzida da equação do 2o grau com uma incógnita Nesse tópico, são tratados exemplos que proporcionam aos estudantes o estudo com a forma reduzida de uma equação do 2o grau fazendo manipulações algébricas ou usando contextos geométricos. Explorar os exemplos apresentados no Livro do estudante e comentar a respeito dos princípios aditivo e multiplicativo nas igualdades. Pode-se propor mais exemplos de equações que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0.

Atividades

A atividade 1 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA09. Alguns estudantes podem encontrar dificuldade em associar ou representar um número como uma incógnita e, consequentemente, não conseguir elaborar uma frase que se encaixe no contexto. Caso ocorra, explicar que a incógnita representa, na equação, um número cujo valor não é conhecido. Verificar se eles compreendem o significado de palavras como aumentado, diminuído, dobro, triplo etc. Nesses casos, pode-se solicitar que um estudante explique com as próprias palavras, assim eles participam da aula e ajudam os colegas. Para resolver a atividade 2, os estudantes podem consultar os exemplos apresentados anteriormente.

4x2 + 12x + 9 = x2 2x + 18 H Juntamos os termos semelhantes

4x 2 + x 2 + 12x + 2x + 9 18 = 0 H pelo princípio aditivo

5x 2 + 14x 9 = 0 H forma reduzida da equação dada

2. Equação dada:

2 x 1 2 x x4 _= 2 2 2 4(x4 )(x4 ) x(x4 ) x x(x4 ) 2

2 ==H Reduzimos todos os termos ao mesmo denominador.

4(x 4) x (x 4) = 2x 2 H Eliminamos os denominadores pelo princípio multiplicativo.

4x 16 x 2 + 4x = 2x 2 H Aplicamos a propriedade distributiva.

x 2 + 8x 16 = 2x 2 H Juntamos os termos semelhantes.

x2 2x2 + 8x 16 = 0 H pelo princípio aditivo

3x 2 + 8x 16 = 0 H forma reduzida da equação dada

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Equações incompletas

O objetivo é que os estudantes compreendam como determinar o conjunto solução de equações do 2o grau incompletas.

Explorar os exemplos apresentados no Livro de estudante, reforçando as condições de cada equação, e verificar se eles se recordam de algum dos procedimentos de fatoração. Se julgar necessário, fazer uma breve retomada para que a compreensão desse estudo não seja comprometida.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2o GRAU COM UMA INCÓGNITA CAPÍTULO2 EQUAÇÕES INCOMPLETAS

Você já sabe que resolver uma equação significa determinar os possíveis valores que satisfazem a equação (o conjunto solução) em um conjunto universo dado. Na resolução das equações incompletas do 2o grau, usaremos a fatoração e estas duas propriedades importantes dos números reais. Observe.

• Se x e y são dois números reais quaisquer, e x y = 0, então x = 0 ou y = 0.

• Se x e y são dois números reais quaisquer, e x2 = y, então x =+ y ou x = y

Resolvendo equações da forma ax2 + bx = 0

Acompanhe a situação a seguir.

Um número real é tal que seu quadrado é igual ao seu triplo. Qual é esse número?

Representando por x o número procurado, podemos escrever a equação x2 = 3x.

x 2 _ 3x = 0 forma reduzida

x (x _ 3) = 0 Colocamos x em evidência.

Pela propriedade dos números reais, temos:

x = 0 uma raiz da equação

ou

x _ 3 = 0

x = 3 outra raiz da equação

O número procurado é 0 ou 3.

Resolvendo equações da forma ax2 + c = 0

Observe o exemplo a seguir.

A medida da área de uma praça, cujo formato lembra um quadrado, é 144 m2. Quanto mede, em metro, o lado dessa praça?

ILUSTRA CARTOON

MIKOLAJ NIEMCZEWSKI/ SHUTTERSTOCK.COM

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO.

AS CORES NÃO SÃO REAIS.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Indicando por x a medida do lado dessa praça, podemos escrever a equação:

x 2 = 144

x = 144 ±

x =±12

SAIBA QUE

Sendo a um número real, utilizamos a notação x = a ± para representar x = a + ou x = a

Como a medida do lado não pode ser um número negativo, a solução x = 12 não serve para o problema. Logo, a medida do lado da praça é 12 metros.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 2o grau, no conjunto r

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o valor da expressão x + y?; 9 + 5 = 14.

a)

b)

4. Determine o número real positivo x para que se tenha xx 2 x xx 3 22 =_ .

O número é 7.

5. Sendo x e y reais, considere a equação x 2 y = 90 e determine:

a) o valor de y quando x vale 50% de 8;

b) os valores de x quando y = 10. 3 ou 3.

6. Leia as afirmações.

O quadrado de um número real positivo x é igual a 81.

O quíntuplo de um número real positivo y é igual ao seu quadrado.

Elabore uma expressão algébrica que envol va x e y e resolva ­ a.

Saiba que

Ao apresentar a notação x =± a, algum estudante pode comentar que não existe a para o conjunto dos números reais por confundir essa notação com a para a . 0. Se acontecer, dar exemplos numéricos pode ajudá-los a compreender essa diferença.

Atividades

As atividades desse bloco contribuem para o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA09 e têm como objetivo levar os estudantes a determinar o conjunto solução de equações do 2o grau incompletas.

A atividade 1 apresenta equações que não têm solução no conjunto dos números reais. Verificar se os estudantes compreendem o que isso significa e como expressar a inexistência de solução dessas equações.

Na atividade 4, enfatizar a necessidade de escrever as equações na forma reduzida para decidir que processo será utilizado na resolução.

2. Qual é o conjunto solução de cada equação do 2o grau a seguir, sendo U =r?

a) x 2 + 3x(x _ 12) = 0 {0, 9}

b) (x _ 5)2 = 25 _ 9x {0, 1}

c) (x _ 4)2 + 5x(x _ 1) = 16   

0, 13 6

3. Calcule o conjunto solução de cada equação.

7. Em uma praça, há um canteiro circular cuja área mede 706,5 m2. Quanto mede o diâmetro desse canteiro? (Considere p=  3,14.) 30 m

8. Em um triângulo de 24 cm2 de área, a medida da base é o triplo da medida da altura.

Determine as medidas da altura e da base desse triângulo. 4 cm; 12 cm

Para resolver a atividade 7 , caso seja necessário, relembrar os estudantes da fórmula

A =p R 2 para o cálculo da área A de um círculo de raio R

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Explorar a situação proposta neste boxe sugerindo que os estudantes utilizem cartolina e façam os quadros com as mesmas medidas da situação apresentada.

O objetivo é que os estudantes comecem a se familiarizar com o processo de completar quadrados, um método de resolução de equações do 2o grau que será estudado a seguir. Desse modo, prossegue-se com o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.

O processo de completar quadrados

Solicitar aos estudantes que façam a leitura do texto apresentado no Livro do estudante, no qual terão a oportunidade de conhecer o processo geométrico para a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita desenvolvido pelo matemático árabe al-Khwarizmi.

Se achar conveniente, propor uma pesquisa para ampliar os conhecimentos da turma acerca da biografia do astrônomo e matemático al-Khwarizmi, observando a importância dos estudos que ele fez e os aspectos culturais e sociais da época em que ele viveu.

1. Mariana recortou, em cartolina, figuras que representam um quadrado e quatro retângulos como estes a seguir (as medidas são dadas em centímetro).

Usando a representação do quadrado e dos quatro retângulos, Mariana formou esta figura.

A patir dela, Mariana quer formar um novo quadrado. Para isso, terá de acrescentar representações de quadrados à figura. Agora, responda no caderno.

a) De quantos quadrados ela vai precisar? 4

b) Qual deve ser a área de cada um desses quadrados?

c) Qual será a área do novo quadrado? 25 cm2

O processo de completar quadrados

A partir da interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)2, o matemático al-Khwarizmi estabeleceu um processo geométrico para a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita.

Inicialmente, vamos observar a figura que é a representação geométrica da expressão (a + b)2

Pela figura, percebemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

A interpretação geométrica dessa expressão algébrica é:

a2 + 2ab + b2

área do quadrado de lado b

área de um dos retângulos de lados a e b

área do quadrado de lado a

AMPLIANDO

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Link

INSTITUTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA. Al-Khwarizmi, o homem que simplificou a multiplicação

Rio de Janeiro: IMPA, 21 dez. 2020. Disponível em: https://impa.br/noticias/al-khwarizmi-o-homem-que-simplificou-a -multiplicacao/#:~:text=Al%2DKhwarizmi%20foi%20um%20grande,pela%20forma%20ousada%20de%20pensar. Acesso em: 18 jun. 2022.

No link apresentado, é possível saber mais a respeito de Al-Khwarizmi e a relevância do trabalho dele para a Matemática.

EDITORIA DE ARTE, CLAUDIO DIVIZIA/SHUTTERSTOCK.COM,

CCAT82/SHUTTERSTOCK.COM

Utilizando essa interpretação, vamos acompanhar os exemplos a seguir, que mostram como al-Khwarizmi desenvolveu os estudos sobre equações de 2o grau.

1 Fazer uma interpretação geométrica da expressão x2 + 6x e completar um quadrado a partir da figura representada.

x 2 + 6x = x 2 + 2(3x)

Área de um retângulo cujos lados medem 3 e x

Área de um quadrado cujo lado mede x Construindo a figura de acordo com a interpretação geométrica dada:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se julgar pertinente, levar para a sala de aula cartolinas coloridas, réguas e canetas hidrográficas. Solicitar aos estudantes que, organizados em duplas, construam a interpretação geométrica da expressão x 2 + 6x e completem um quadrado. A manipulação dos materiais, associada ao apelo visual, contribui para que a compreensão do método seja compreendida e absorvida de maneira mais significativa. Na sequência, solicitar que façam a construção para o caso x 2 + 5x.

Pela figura, notamos que, para completar um quadrado, devemos acrescentar o quadrado de lado 3, ou seja, de área 32. Assim, se adicionarmos 32 à expressão x2 + 6x, obteremos x2 + 6x + 32, que é um trinômio quadrado perfeito. Daí, podemos escrever:

x 2 + 6x + 32

expressão algébrica correspondente à área do quadrado formado

= x 2 + 6x + 9 trinômio quadrado perfeito

= (x + 3)2 forma fatorada do trinômio

Note que x2 + 6x 5 x2 + 6x + 9, pois representam áreas diferentes.

2 Fazer uma interpretação geométrica da expressão x 2 + 5x e completar um quadrado.

x5xx 2  5 2 x 22+=+ Área de um quadrado cujo lado mede x

Área de um retângulo cujos lados medem 5 2 e x

O matemático e astrônomo persa al-Khwarizmi (c. 780-c. 850) escreveu um tratado de Álgebra e um livro sobre os numerais indianos. Essas obras exerceram enorme influência na Europa do século XII.

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Durante as explorações do exemplo apresentado no Livro do estudante, verificar se os estudantes compreendem que, durante o processo de resolução, a equação completa do 2o grau apresentada recai em um trinômio do quadrado perfeito. Se julgar necessário, retomar esse caso de fatoração para que eles possam seguir, sem dúvidas, com o estudo.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ALBERTO LLINARES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O processo geométrico de al-Khwarizmi

Comentar com os estudantes que o processo geométrico de resolução das equações auxilia na compreensão do significado delas, entretanto, na prática, será mais usado o processo algébrico para resolver equações. Explorar a resolução do exemplo x 2 + 6x + 8 = 0. Inicialmente, pensa-se na construção geométrica da expressão x 2 + 6x e que é preciso acrescentar 32 para obter um quadrado.

Construindo a figura de acordo com a interpretação geométrica dada:

Pela figura, notamos que, para completar um quadrado, devemos acrescentar o quadrado de lado 5 2, ou seja, um quadrado de área

O processo geométrico de al-Khwarizmi

Aplicando o processo de completar quadrados, vamos resolver as seguintes equações do 2o grau com uma incógnita no conjunto dos números reais.

1 Resolver a equação x2 + 6x + 8 = 0

Da expressão x 2 + 6x, podemos interpretar:

x 2 + 6x = x 2 + 2(3x)

Área de um retângulo cujos lados medem 3 e x

Área de um quadrado cujo lado mede x

Pela figura, observamos que é necessário acrescentar o nú mero (3) 2, ou seja, 9, à expressão x 2 + 6x para obter um quadrado.

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Depois de determinarmos, geometricamente, o valor que devemos acrescentar à expressão x 2 + 6x, voltamos à equação que queremos resolver.

x 2 + 6x + 8 = 0

x 2 + 6x = 8 princípio aditivo

x 2 + 6x + 9 = 8 + 9 princípio de equivalência das equações

trinômio quadrado perfeito

Note que, ao acrescentarmos 9 à expressão x2 + 6x do 1o membro da equação, acrescentamos 9 também ao 2o membro para obter uma equação equivalente à anterior.

Fatorando o trinômio quadrado perfeito obtido no 1o membro, obtemos a equação:

(x + 3)2 = 1

Daí, temos:

+ 3) =+ 1 x + 3 = 1

x = 1 _ 3 x = 2

+ 3) = 1

+ 3 = 1 x = 1 _ 3 x = 4

Logo, os números reais 4 e 2 são as raízes da equação dada.

2 Resolver a equação x2 + 3x 4 = 0

Considerando a expressão x 2 + 3x, podemos interpretar:

Área de um retângulo cujos lados medem 3 2 e x Área de um quadrado cujo lado mede x

Pela figura, observamos que é necessário acrescentar o número

, ou seja, 9 4 à expressão x2 + 3x para obter um quadrado.

Depois de determinar geometricamente o valor que devemos acrescentar à expressão x2 + 3x, voltamos à equação que queremos resolver.

x 2 + 3x _ 4 = 0

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

É importante verificar se os estudantes se lembram de como fatorar um trinômio quadrado perfeito. Se identificar dúvidas, fazer uma retomada.

Propor a situação a seguir para que os estudantes explorem em grupo:

Um cartão retangular tem 91 cm2 de área. Qual é a medida de cada lado desse cartão, se a medida da base supera a medida da altura em 6 cm? É possível ilustrar a situação. x + 6

A área desse cartão pode ser expressa assim: (x + 6)x = 91.

Dividir o cartão em um quadrado de lado x e dois retângulos iguais de lados 3 e x :

Em seguida, reorganizar as partes do cartão:

x 2 + 3x = 4

x 2 + 3x + 9 4 = 4 + 9 4

princípio aditivo Então:

princípio de equivalência de equações

trinômio quadrado perfeito

Para formar um quadrado maior, é preciso completar a figura com um quadrado de lado 3 cm. Desse modo, a nova área da figura será 100 cm2. Assim, é possível escrever:

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(x + 3) (x + 3) = 91 + 9

(x + 3)2 = 100

x + 3 =± 100

x + 3 = 10 h x = 13 (não convém)

x + 3 = 10 h x = 7

Então, x + 6 = 7 + 6 = 13.

Portanto, as medidas dos lados do cartão são: 7 cm e 13 cm.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O bloco de atividades desta página contribui para o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.

Na atividade 1, os estudantes deverão pensar em qual expressão indica um quadrado perfeito a partir dos valores indicados em cada item. Caso tenham dificuldade em alguns itens, lembrá-los de que, às vezes, o termo a ser acrescentado é uma fração.

Se julgar oportuno, como preparação para o processo algébrico de Bhaskara, que virá na sequência, iniciar uma discussão a respeito da relação entre o termo a ser acrescentado para o complemento do quadrado e os coeficientes da equação.

Daí, temos:

Logo, os números reais 4 e 1 são as raízes da equação dada.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Qual número real pode ser adicionado a cada expressão a seguir para que se tenha um trinômio quadrado perfeito? Se necessário, utilize a interpretação geométrica, fazendo um esboço das figuras.

g) x 2 _ 30x h) x 2 + x

x 2 _ 3 2 x

x2 + x 3

x 2 _ 2ax

2o grau com uma incógnita no conjunto dos números reais.

a) x 2 + 2x _ 15 = 0 5 e 3.

b) x 2 + 4x _ 12 = 0 6 e 2.

c) x 2 + 12x + 32 = 0 8 e 4.

d) x 2 + 3x _ 10 = 0 5 e 2.

e) x 2 + 2x + 1 = 0 1

f) x 2 + 10x + 25 = 0 5

g) 3x 2 _ 2x _ 1 = 0 1 3 e 1.

h) 10x 2 + 7x + 1 = 0 1 5 e 1 2

x 2 _ 5x

2. Usando o processo geométrico de al-Khwarizmi, determine as raízes de cada uma das seguintes equações do

DESCUBRA MAIS

3. Escreva uma equação do 2o grau na forma ax2 + bx + c = 0, com a 5 0, e encontre as raízes dessa equação usando o processo geométrico de al-Khwarizmi. Troque de caderno com um colega e cada um resolve a equação que o outro elaborou.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

CÁSSIO, Jorge. Equação do 2o grau. GeoGebra. [S. l.], [c2022]. Disponível em: https://www.geogebra.org/ m/cyypnzqj. Acesso em: 3 mar. 2022.

Entre as diversas informações apresentadas nesse link, você pode explorar uma calculadora on-line de equações e assistir a um vídeo sobre os métodos de resolução da equação do 2o grau utilizados ao longo da História.

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O processo algébrico de Bhaskara

Considere, novamente, as equações x2 + 6x + 8 = 0 e x 2 + 3x 4 = 0, que já resolvemos por meio do processo geométrico de al-Khwarizmi.

• Em x 2 + 6 x + 8 = 0, o número que acrescentamos aos dois membros da equação foi

b • Em x 2 + 3 x 4 = 0, o número que acrescentamos aos dois membros da equação foi

b

No século XII, o matemático indiano Bhaskara baseou-se nos estudos de al-Khwarizmi para apresentar um processo algébrico que permitia resolver qualquer equação do 2o grau com uma incógnita.

Nas duas equações, nas quais o coeficiente a é igual a 1, o número acrescentado aos dois membros corresponde à metade do coeficiente b, elevada ao quadrado Esse fato foi constatado por Bhaskara ao estudar o processo de al-Khwarizmi. Bhaskara apresentou, então, um processo algébrico que não mais necessitava da interpretação geométrica para a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita.

Acompanhe, a seguir, o caminho trilhado por Bhaskara.

Resolver a equação x 2 _ 2x _ 8 = 0, sendo U =r

x 2 _ 2x _ 8 = 0

x 2 _ 2x = 8

x 2 _ 2x + 12 = 8 + 12 Adicionamos

x 2 _ 2x + 1 = 8 + 1

(x _ 1)2 = 9

x _ 1 =± 9

x _ 1 =± 3

Daí, temos:

1)2 = 12 em ambos os membros da equação.

para os estudantes expressarem seus conhecimentos de acordo com suas vivências e são excelentes oportunidades de exercitar a empatia e de aprender a ouvir um colega sem interrompê-lo, mesmo que não concordem ou que tenham contribuições a fazer.

Logo, os números reais 2 e 4 são as raízes da equação dada.

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ALBERTO LLINARES

THEERADECH SANIN/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau com uma incógnita

Ao explorar o quadro com o passo a passo da dedução da fórmula de Bhaskara, verificar se surge alguma dúvida relacionada aos procedimentos adotados. É importante que os estudantes compreendam o porquê de a fórmula ser x =± b 4a 2a 2

Comentar que de acordo com o discriminante da equação é possível saber a quantidade e a natureza das raízes de uma equação do 2o grau.

Fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau com uma incógnita

Partindo de uma equação completa do 2o grau com uma incógnita e na forma reduzida, pode-se determinar, de modo mais simples, as raízes dessa equação pela chamada fórmula resolutiva Acompanhe como podemos chegar a essa fórmula.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A fórmula x = bb 4a c 2a

2 _±

é chamada de fórmula resolutiva da equação completa do 2o grau ax 2 + bx + c = 0 (a 5 0).

A expressão b2 4ac, que é um número real, é usualmente representada pela letra grega  D (delta) e é chamada de discriminante da equação

Desse modo, a fórmula resolutiva pode ser escrita assim: x = b 2a _±D

A fórmula resolutiva também recebeu o nome fórmula de Bhaskara, em homenagem ao grande matemático indiano.

A existência ou não de raízes reais, bem como o fato de elas serem duas iguais ou diferentes, depende, exclusivamente, do valor do discriminante D= b2 _ 4ac.

• Quando D> 0, a equação tem raízes reais

• Quando D, 0, a equação não tem raízes reais.

0(dua sraíze sdiferente s) 0(dua sraíze sigua is )

Vamos, agora, determinar as raízes de algumas equações do 2o grau com uma incógnita usando a fórmula resolutiva.

1 Resolver a equação x2 + 2x _ 8 = 0 no conjunto r. Nessa equação, temos: a = 1, b = 2,

c = 8.

D= b2 _ 4ac = (2)2 _ 4 ? (1) ? ( 8) = 4 + 32 = 36

Como D. 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por:

Explorar os exemplos apresentados no Livro do estudante e pedir que, individualmente, atentem para que conjunto está sendo pedida a solução da equação. Nos exemplos dessa página, todas as equações são resolvidas no conjunto dos números reais, entretanto, se a resolução for no conjunto dos números inteiros, por exemplo, algumas das possíveis soluções gerais da equação podem ser desconsideradas. Comentar que, em geral, antes de aplicar a fórmula resolutiva, é calculado o valor do discriminante D e, depois, o valor da incógnita. Também é possível fazer as substituições

na fórmula x bb 4a c 2a 2 = _±

Os números 4 e 2 são as raízes reais da equação dada. Então, S = { 4, 2}.

2 Resolver a equação x 2 _ 14x + 49 = 0 no conjunto r . Nessa equação, temos: a = 1, b = 14, c = 49.

D= b2 _ 4ac = ( 14)2 _ 4 (1) (49) = 196 _ 196 = 0

Como D= 0, a equação tem duas raízes reais iguais, dadas por:

xx b 2a (14) 2(1) 14 2 7 ‘=’=_===

O número 7 é a raiz real da equação dada.

Então, S = {7}.

3 Resolver a equação x2 _ 5x + 8 = 0 no conjunto r

Nessa equação, temos: a = 1, b = 5, c = 8.

D= b2 _ 4ac = ( 5)2 _ 4 (1) (8) = 25 _ 32 = 7

Como D, 0, a equação dada não tem raízes reais.

Logo, S =@

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades levam os estudantes a resolver equações completas do 2o grau usando o processo algébrico de Bhaskara e a determinar a quantidade de raízes reais que uma equação do 2o grau possui por meio do seu discriminante (D) e o conjunto solução de uma equação do 2o grau aplicando a fórmula resolutiva. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.

Na atividade 4, solicita-se a quantidade de números inteiros entre as raízes da equação x 2 2x 15 = 0, fato importante para que os estudantes analisem diferentes conjuntos.

4. Como as raízes são 3 e 5, existem sete números inteiros entre elas: 2, 1, 0, 1, 2, 3 e 4.

9. A maior raiz dessa equação é 1, e 1 não é primo. Portanto, não podemos afirmar que a maior raiz é um número primo.

Responda às questões no caderno.

1. Apl icando o processo algébrico de Bhaskara, determine as raízes das equações do 2o grau no conjunto dos números reais.

8. Considere a expressão algébrica 32 _ [8x + (8 _ 2x)(4 _ x)]. Determine os valores reais de x para que o valor numérico dessa expressão seja 8. 2

9. Considere a equação x4 3 x3 2 2 = Podemos afirmar que a maior raiz dessa equação é um número primo? Por quê?

2. As equações seguintes estão escritas na forma reduzida. Usando a fórmula resolutiva, determine o conjunto solução de cada equação no conjunto r

10. Determine o conjunto solução S de cada uma das seguintes equações do 2o grau, sendo U =r

a) x 4 5 x 1 5 2 _= S =       1 5 ,1

b) x x4 5 2 2 + + = S = { 6, 1}

@

3. Resolva, no conjunto r , as seguintes equações.

11. Resolva as seguintes equações do 2o grau.

a) x + 10 =_ 9 x (com x [r e x 5 0) { 9, 1}

b) 6x 5 3x 5 x  1 += + (com x [r e x 5 1)

c) 1 x 3 2 1 x  1 =_ (com x [r e x 5 0 e x 5 1)

4. Quantos números inteiros existem entre as raízes da equação x2 _ 2x _ 15 = 0?

5. Observe estas equações.

2 _ 12x = 85 x 2 + 51 = 20x

A raiz comum é 17, e as não comuns são 5 e 3.

Essas equações têm uma raiz real comum. Determine a soma das raízes não comuns.

Logo, 5 + 3 = 2.

6. Uma das raízes da equação 4x2 _ 21x + + 20 = 0 é uma fração. Qual é a soma dos termos dessa fração simplificada?

7. Sendo U =r , determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 2o grau.

a) (x + 2)2 + x = 0 { 4, 1}

b) 3x 2 = 2(x _ 1)2 + 3 { 5, 1}

6.

Na atividade 13, é preciso escrever a expressão matemática que traduz o problema, no caso, x 2 = 7x 6. Depois, resolver essa equação, obtendo 1 ou 6 como raízes. AMPLIANDO

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12. Considere a igualdade y = 6 x + x _ 3. Quais são os valores reais de x para que se obtenha y = 4? 1 ou 6.

13. O quadrado de um número real inteiro é igual a sete vezes o número menos 6. Qual é esse número? 6 ou 1.

14. O quadrado da diferença entre um número real x e 3 é igual a cinco vezes o número x subtraído de 1. Qual é esse número x? 10 ou 1.

15. Um terreno retangular tem 1 100 m2 de área. A medida da frente desse terreno tem 28 metros a menos que a medida da lateral. Quais são as dimensões desse terreno? 50 m e 22 m.

A raiz, que é uma fração, é 5 4 ; logo, 5 + 4 = 9.

21. b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o perímetro desse painel? (48 m)

16. Na figura a seguir, a soma dos números que estão na linha é igual à soma dos números que estão na coluna. Quais são os valores reais de x que tornam verdadeira essa afirmação? 4 ou 5.

17. Os registros de temperatura tomados entre 0 hora e 24 horas de um dia em uma zona rural se ajustam à fórmula matemática T = 1 10 (x _ 12)2 + 10, em que T representa a temperatura em grau Celsius, e x representa a hora do dia. A que horas do período da tarde a temperatura registrada foi 9,6 °C? 14 horas.

18. Uma ass ociação comunitária vai distribuir igualmente 240 brinquedos para uma quantidade de crianças indicada pelo número x. No entanto, se cada criança receber um brinquedo a menos nessa distribuição, a quantidade de brinquedos a ser distribuída a cada criança será igual à quantidade x de crianças que vão receber os brinquedos. Quantas são essas crianças? 15

19. Usando a fórmula matemática

d = n(n  3) 2 , que relaciona a quantidade de diagonais (d) e a quantidade de lados (n) de um polígono, calcule a quantidade de lados do polígono que tem: a) 9 diagonais. b) 20 diagonais.

21. Um painel retangular tem 140 m 2 de área. As medidas dos lados desse painel, em metro, estão indicadas na figura.

a) Quais são as medidas dos lados desse painel? 14 m e 10 m.

b) Formule uma pergunta relacionada à figura. Troque de caderno com um colega e cada um responde à pergunta que o outro criou.

22. O quadrado e o retângulo seguintes têm a mesma área.

xx + 5

x16

a) Qual é a medida do lado e o perímetro do quadrado? 20; 80

b) Qual é o perímetro do retângulo? 82

23. Em um terreno retangular de 80 m por 50 m, foi construído um depósito que ocupa uma área de 1 000 m 2. Nesse depósito, há uma faixa de x metros de largura, destinada a embarque de produtos, conforme indicado na figura. Qual é a medida x? 15 m

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Com essas atividades, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA09. Na atividade 19, é preciso observar que a fórmula d = n(n   3) 2 relaciona o número de diagonais de um polígono ao número de lados. Portanto, ao calcular as raízes da equação 18 = n2 3n no item a e 40 = n2 3n no item b, os estudantes precisam considerar apenas as respostas positivas, já que estão tratando de quantidades.

Na atividade 23, orientar os estudantes a calcular a medida do recuo usando a área do depósito. Assim:

(80 2x) (50 2x) = 1 000 dimensões do depósito

Com isso, vão obter 50 e 15 como raízes dessa equação.

Questioná-los o porquê de o valor 50 não ser resposta do problema. Espera-se que eles concluam que a medida não pode ser 50, pois essa é a medida da largura do terreno.

20. Considere um retângulo que apresenta as medidas indicadas na figura.

Ao aumentar, na mesma quantidade, o comprimento e a largura desse retângulo, a área do novo retângulo será igual a 7 vezes a área do retângulo original.

a) Quais são as medidas dos lados do novo retângulo? 10 m e 7 m.

b) Qual é o perímetro do novo retângulo?

8 lados. 6 lados. 34 m

24. A tela de um quadro retangular mede 50 cm x 30 cm. Nessa tela, foi colocada uma moldura de largura x. Calcule x, sabendo que o quadro todo passou a ocupar uma área de 2 400 cm2.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Essa tem seção tem como objetivo abordar a resolução de equações do 2o grau fazendo uso do software Ofi Calc. Desse modo, propicia-se o desenvolvimento da competência específica 5 da área de Matemática e das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.

Como sugestão de encaminhamento, antes de iniciar a aula, perguntar aos estudantes se já conhecem ou se já utilizaram o software que será explorado. É provável que quanto maior a turma, maior seja a heterogeneidade das respostas. Caso ocorra, solicitar aos estudantes que já possuem algum conhecimento sobre a ferramenta que ajudem a apresentá-la aos colegas.

Para tornar o uso da ferramenta mais relevante pedagogicamente, é fundamental que cada estudante manipule o software. Caso não haja a disponibilidade de um computador para cada estudante, levar um computador para a sala de aula e, com o auxílio de um projetor multimídia, explicar o uso do software de modo que todos possam acompanhar.

Caso seja possível, levar os estudantes a um laboratório de informática e solicitar a eles que utilizem o software para verificar algumas equações já resolvidas ao longo da Unidade. Assim, eles poderão se familiarizar com o uso dessa ferramenta.

TECNOLOGIAS

RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2 o GRAU COM UM SOFTWARE

Nesta seção, você vai utilizar um software chamado de Ofi Calc, para descobrir as raízes de equações do 2o grau. É possível fazer o download gratuito desse aplicativo no site https://www.ofimega.es/oficalc/ (acesso em: 20 fev. 2022).

Além de permitir a realização de operações matemáticas básicas, esse recurso pode auxiliá-lo a conferir resoluções de equações, verificar as formas fatoradas correspondentes e fazer outras investigações, explorando as diversas ferramentas disponíveis.

1 Inicie o trabalho no Ofi Calc, clicando na aba Ferram., que disponibiliza as ferramentas do software. Depois, selecione a opção Equações – Polinómios, como indicado na imagem.

2 Clique na opção Equação / função 2o grau e biquadrada para acessar esta janela.

Na parte destacada em azul, você pode ajustar os coeficientes para definir a equação do 2o grau cujas raízes pretende descobrir.

3 Por exemplo, para obter as raízes da equação x2 _ 10x + 24 = 0, ajustamos o campo dos coeficientes com a = 1, b = 10 e c = 24. Assim, o software exibe a equação correspondente na forma reduzida e na forma fatorada e as raízes dessa equação.

equação do 2o grau na forma reduzida equação do 2o grau na forma fatorada

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

REPRODUÇÃO/OFICALC

coeficiente a coeficiente b

coeficiente c

fórmula resolutiva

raízes da equação

Depois que todos os estudantes tiverem a oportunidade de se familiarizar um pouco com o software, solicitar a eles que façam as atividades propostas, se possível, individualmente ou em duplas. Em seguida, compartilhar os métodos de resoluções e possíveis dúvidas que tenham surgido ao longo do processo de resolução.

Agora, com um colega, explore a função do Ofi Calc que auxilia na resolução de equações do 2o grau, modificando os coeficientes e observando os resultados exibidos pelo software. Em seguida, resolvam as questões a seguir no caderno.

1. Usando o Ofi Calc, obtenha as raízes das seguintes equações do 2o grau.

a) x 2 _ 6x + 9 = 0 3

b) 4x 2 _ 11x + 26 = 0 Não tem raiz real.

c) 3x 2 _ 53x = 0 0 e 53 3

d) 2x 2 _ 32 = 0 4 e 4.

2. Observe os resultados da atividade 1 e, sem realizar o cálculo, responda: Qual das equações tem o discriminante negativo? A equação do item b

3. Realize os cálculos, nas equações da atividade 1, para verificar que os resultados exibidos pelo Ofi Calc são raízes das respectivas equações.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes insiram os resultados exibidos pelo software no lugar de x e verifiquem que a igualdade obtida é verdadeira.

4. Fixando o coeficiente a = 1 e o coeficiente c = 10, descubra, com o auxílio do Ofi Calc, a equação do 2o grau cujas raízes são 2 e 5. x 2 _ 7x + 10 = 0

Usando os botões de controle, atribua diferentes valores ao coeficiente b

5. Escreva uma situação na qual um colega tenha de descobrir uma equação do 2o grau, conhecendo dois dos coeficientes e as duas raízes reais, utilizando o Ofi Calc. Troque com um colega para que ele resolva a situação que você escreveu, enquanto você resolve a situação elaborada por ele.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Fixando a = 2, b = 14 e sabendo que as raízes da equação são 1 e 6, espera-se que os estudantes concluam, com o auxílio do software, que a equação correspondente é 2x2 _ 14x + 12 = 0.

AMPLIANDO

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Texto

CONTRI, Rozelaine de Fatima Franzin; RETZLAFF, Eliani; KLEE, Luiz Alberto. Uso de softwares matemáticos como facilitadores da aprendizagem. In: CONGRESSO REGIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2; ENCONTRO REGIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9, 2011, Santo Ângelo. Anais […]. Santo Ângelo: URI, 2011. Disponível em:

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/ cnem/principal/cc/PDF/CC45.pdf. Acesso em: 20 jun. 2022. O texto é uma sugestão de leitura para aprofundar o estudo de softwares nas aulas de Matemática, que auxiliam a aprendizagem dos conteúdos envolvidos e permitem agilidade nos cálculos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita

A resolução de equações de 2o grau usando soma e produto é uma estratégia ágil e rápida, que dispensa os inúmeros cálculos que devem ser feitos na resolução ao utilizar a fórmula de Bháskara.

Destacar aos estudantes que as relações envolvendo soma e produto de raízes de equações do 2o grau servem para qualquer equação que tiver esse grau, já que a dedução das relações foi feita a partir da equação genérica ax 2 + bx + c = 0, com a 5 0, e x‘ e x ’, as raízes.

Utilizar exemplos de equações resolvidas anteriormente para aplicar a soma e o produto com valores numéricos, a fim de que os estudantes verifiquem a validade dessas relações.

SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2o GRAU COM UMA INCÓGNITA CAPÍTULO3

Considerando a equação do 2o grau ax2 + bx + c = 0, com a 5 0, há duas relações que envolvem as raízes x‘ e x ’ e os coeficientes a, b e c dessa equação. A seguir, vamos estudar essas relações.

SOMA DAS RAÍZES

Sendo x‘ e x’ as raízes reais de uma equação ax2 + bx + c = 0, com a 5 0, temos:

x‘ = b 2a _+D e x ’ = b  2a D

Adicionando membro a membro essas duas igualdades, obtemos a 1a relação

x‘+ x ’ = b 2a _+D + b 2a D = b  b 2a _+D__D = 2b 2a = b a

Em toda equação do 2o grau, em que x‘ e x ’ são raízes reais, temos x‘ x ’ = b a

PRODUTO DAS RAÍZES

Sendo x‘ e x ’ as raízes reais da equação de uma equação ax 2 + bx + c = 0, com a 5 0, temos:

x‘ =

b 2a _+D e x ’ = b 2a D

Multiplicando, membro a membro, as duas igualdades, obtemos a 2a relação

Como D= b² _ 4ac, fazemos a substituição a seguir.

Em toda equação do 2o grau, em que x‘ e x ’ são raízes reais, temos x‘ x ’ = c a

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Vamos usar essas duas relações importantes para resolver o problema a seguir.

A equação 3x 2 _ 8x _ 3 = 0 apresenta duas raízes reais e diferentes. Sem resolver a equação, determine a soma e o produto dessas duas raízes.

Pela equação dada, a = 3, b = 8 e c = 3.

De acordo com as relações, podemos escrever:

x‘+ x ’ = b a = (8) 3 = 8 3

x‘ x ’ = c a = 3 3 = 1

Logo, a soma das raízes da equação é 8 3 , e o produto dessas raízes é 1.

ESCREVENDO UMA EQUAÇÃO COM RAÍZES CONHECIDAS

Podemos aplicar as relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação do 2o grau para escrever a equação na forma ax2 + bx + c = 0 quando são dados dois números reais (x‘ e x ’) como raízes da equação.

Consideremos a equação ax 2 + bx + c = 0. Com a 5 0, vamos dividir todos os termos pelo coeficiente a ax a bx a c a 0x b a x c a 0 2 2 ++=h++= 1

Sendo x‘ e x ’ as raízes reais da equação, temos:

x‘+ x ’ = b a h b a = x‘+ x ’h b a = (x‘+ x ’ ) 2

x‘ ? x ’ = c a h c a = x‘ ? x ’ 3

Substituindo 2 e 3 na equação 1 : x 2 _ (x‘+ x ’ )x + x‘ ? x ’ = 0

Se indicarmos por S a soma das raízes (x‘+ x’ = S) e por P o produto dessas raízes (x‘ x’ = P), podemos escrever a equação na forma:

x 2 _ Sx + P = 0

Assim, podemos obter uma equação do 2o grau na incógnita x se forem dadas as raízes x‘ e x ’ Acompanhe o exemplo a seguir.

Determinar a equação do 2o grau na incógnita x, sabendo que as raízes dessa equação são os

reais 3 + 3 e 3 _ 3 S = () 33 _++ ()

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se considerar oportuno, propor alguns exemplos para os estudantes aplicarem a ideia de soma e produto das raízes de equações do 2o grau. Por exemplo:

1. Carlos observou a equação 2x 2 12x = 0. Sem fazer cálculos, ele afirmou: “Uma das raízes é zero”. Qual é a outra raiz?

2. Marina observou a equação 4x 2 36 = 0 e afirmou, sem fazer cálculos: “As raízes são números opostos”. Quais são as raízes?

Pedir aos estudantes que se organizem em pequenos grupos e resolvam as questões. Espera-se que eles apliquem as relações estudadas. Para o item 1, pode-se fazer:

x‘+ x ’ = b a H 0 + x ’ =

= (12)

2 h x ’ = 6

Item 2:

x‘ x ’ = c a H x‘ ( x‘) = 36 4 h

h_ (x‘)2 = 36 4 h (x‘)2 =

= 36 4 h x‘ = 3 e x’’ = 3 Depois, incentivá-los a elaborar outros itens e a trocar entre si.

Escrevendo uma equação com raízes conhecidas

Escrever uma equação a partir da relação entre as raízes e os coeficientes a, b e c é algo muito importante e que será utilizado com frequência em anos posteriores do estudo de Matemática. Verificar se os estudantes atentam para os sinais ao longo da aplicação de soma e produto.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O objetivo das atividades é levar os estudantes a obter a soma e o produto das raízes de uma equação do 2o grau, sem precisar resolvê-la. Para isso, vão aplicar as relações entre coeficientes e raízes estudadas. Desse modo, prossegue-se o desenvolvimento das habilidades

EF09MA03 e EF09MA09.

Na resolução da atividade 8, é necessário aplicar a relação da soma das raízes da equação

mx 2 8 m x + 2 = 0, com m 5 0, sabendo que essa soma é 2, assim:

x‘+ x ’ = b a H 2 =

8 m m h 2m = 8 m h

h m2 = 4 h m = 2 ou m = 2

Na atividade 12, é possível verificar as principais dúvidas dos estudantes acerca do conteúdo estudado, além de incentivá-los a exercitar a criatividade.

Dados dois números reais x e y, os estudantes devem calcular a soma S = x + y e o produto P = x ? y e montar a equação de 2o grau x 2 Sx + P = 0, conforme tratado na página 109. Por exemplo, se o estudante receber os números 5 e 6 de um colega, é esperado que realize os seguintes cálculos:

S = 5 + 6 = 11

P = 5 ? 6 = 30

Assim, uma possível resposta seria x 2 11x + 30 = 0.

Durante a realização dessa atividade, investigar se algum estudante está construindo a equação de 2o grau de maneira diferente da apresentada e, ao fim da atividade, pedir, se possível, que exponha para os colegas. Caso algum estudante seja tímido ou não se sinta à vontade, verificar

Responda às questões no caderno.

1. Cada uma das equações seguintes tem duas raízes reais diferentes. Sem resolver as equações, calcule a soma e o produto dessas raízes.

a) x2 _ x _ 20 = 0 x‘+ x ’ = 1, x‘ x ’ = 20

b) 16x2 + 8x + 1 = 0 x‘+ x’ = 1 2, x‘ x’ = 1 16

c) 6x2 _ 4x _ 3 = 0

2. A equação x 2 _ 6x _ 16 = 0 tem duas raízes reais diferentes, expressas por x‘ e x ’. Sem resolver a equação, determine o valor de: a) x‘+ x

3. Escreva as equações na forma reduzida e, sem resolvê-las, determine a soma S e o produto P das raízes de cada uma.

a) x  1 4 5 x2 = S = 3 e P = 18.

b) 1 x 1 x1 5 6

4. Se S é a soma e P é o produto das raízes reais da equação x2 _ 11x + 28 = 0, qual é o valor de S _ P? 17

5. Considere a equação a seguir.

x2 _ 0,8x _ 1,6 = 0

Sendo S a soma e P o produto das raízes reais dessa equação, determine S P 0,5

6. Determine a soma e o produto das raízes de cada uma das equações a seguir, sem resolvê-las.

7. Dada a equação 10x2 _ 7x + c = 0, determine o valor do coeficiente c, de maneira que o produto das raízes reais dessa equação seja igual a 1 8 . Dê a resposta na forma decimal. c = 1,25

8. Na equação mx 2 _ 8 m x + 2 = 0, com m  5  0, a soma S das raízes é 2. Qual é o valor de m? 2 ou 2.

9. Considere a equação a seguir.

x2 _ 3tx + t = 0

Se a soma das raízes dessa equação é 15, qual é o produto dessas raízes? 5

10. As raízes reais de 2x2 + 5x + h _ 5 = 0 são tais que uma delas é igual ao inverso da outra x‘= 1 x ’ . Nessas condições, determine o valor de h h = 7

11. Na equação 4x 2 _ 2(k _ 1)x _ 1 = 0, as raízes são opostas ou simétricas. Nessas condições, qual é o valor de k? k = 1

12. Escreva dois números reais quaisquer em uma folha avulsa e troque-a com um colega. Determine uma equação de 2o grau cujas raízes são os números escritos pelo colega e explique para ele como fez para determinar essa equação.

DESAFIOS

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 5 e 6; x2 _ 11x + 30 = 0.

Junte-se a um colega, e resolvam os desafios a seguir.

13. Descubra mentalmente as raízes de cada uma das seguintes equações.

a) x 2 _ 5x + 6 = 0 3 e 2.

b) x 2 _ 10x + 24 = 0 6 e 4.

c) x 2 _ 4x _ 12 = 0 6 e 2.

14. As raízes da equação 3x2 _ 15x + 12 = 0 são as medidas dos lados de um retângulo. Descubra mentalmente as raízes e calcule a área e o perímetro desse retângulo. x‘ = 1 e x ’ = 4; A = 4 e P = 10.

D2-MAT-F2-2103-V9-U3-088-117-LA-G24_AV3.indd

a possibilidade de reproduzir o método elaborado por ele na lousa.

No desafio 13, os estudantes serão desafiados a realizar cálculo mental. Incentivar a observação e socialização das estratégias utilizadas para resolver mentalmente as equações. Para o item a, espera-se que eles façam perguntas como “Quais números que adicionados

resultam em 5 e multiplicados resultam em 6?” e concluam que são 2 e 3. Usar o mesmo raciocínio para os outros itens.

No desafio 14, verificar se os estudantes compreendem que, para utilizar a técnica da soma e do produto das raízes, é preciso que o coeficiente a seja 1. Então, é preciso dividir todos os termos da equação por 3: x 2 5x + 4 = 0.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Equações biquadradas

MAIS EQUAÇÕES

CAPÍTULO4 EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Denomina-se equação biquadrada na incógnita x toda equação da forma ax4 + bx 2 + c = 0, em que a, b e c são números reais e a 5 0.

As equações a seguir são biquadradas.

• x4 _ 10x 2 + 9 = 0

• x4 _ 5x 2 + 4 = 0

• 9x4 _ 6x 2 = 0

• x4 + 20x 2 _ 3 = 0

• 16x4 _ 2 = 0

Podemos verificar que as equações biquadradas são equações incompletas de 4 o grau, desprovidas dos termos em que a incógnita teria expoente ímpar.

A resolução das equações biquadradas envolve um recurso algébrico, conforme se observa no exemplo a seguir.

Resolver a equação x4 _ 5x 2 + 4 = 0, considerando U =r

Vamos, inicialmente, indicar x 2 = p, usando a incógnita auxiliar p Substituindo x 2 por p na equação dada, temos:

x4 _ 5x 2 + 4 = 0

(x 2)2 _ 5x 2 + 4 = 0

p2 _ 5p + 4 = 0 equação do 2o grau na incógnita p Nessa equação, temos: a = 1, b = 5 e c = 4. Então, temos:

D= b2 _ 4ac = ( 5)2 _ 4 (1) (4) = 25 _ 16 = 9

As raízes 4 e 1 são valores reais da incógnita p Como consideramos x 2 = p, precisamos, agora, obter os valores de x, que serão as raízes da equação biquadrada.

Para p = 4, temos: x 2 = 4 h x = 4 ±h x =± 2.

Para p = 1, temos: x 2 = 1 h x = 1 ±h x =±1.

Então: S = { 2, 1, 1, 2}.

D2-MAT-F2-2103-V9-U3-088-117-LA-G24_AV2.indd 111

O objetivo desse tópico é levar os estudantes a identificar equações biquadradas e determinar o conjunto solução de uma equação biquadrada utilizando uma incógnita auxiliar e a fórmula resolutiva da equação do 2o grau. Como sugestão de encaminhamento de aula, explorar, na lousa, os exemplos apresentados no Livro do estudante.

Se julgar oportuno, antes de explorar a resolução da equação x4 5x 2 + 4 = 0, pode-se fazer algumas perguntas, como:

• Qual é o grau dessa equação?

• É possível identificar alguma semelhança com uma equação do 2o grau?

Dessa discussão, pode surgir a ideia da utilização de uma incógnita auxiliar, conforme mostrado no Livro do estudante.

25/06/22 16:36

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Esse bloco de atividades tem como objetivo que os estudantes resolvam equações biquadradas, o que proporciona o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.

Na atividade 4, espera-se que os estudantes compreendam que para as expressões 11x4 6x 2 e x 2 + 4 terem valores iguais, significa que 11x4 6x 2 = = x 2 + 4. Portanto, é necessário resolver essa equação para determinar as raízes. Ao aplicar os procedimentos de resolução de equações biquadradas, os estudantes vão obter 1 e 1.

Ao resolver as equações biquadradas com a turma, verificar se os estudantes têm dúvidas em relação ao passo a passo da resolução. É importante que eles tomem cuidado com possíveis erros ao trocar sinais.

Equações irracionais

Ao explicar as equações irracionais, sugerir aos estudantes que sempre confirmem se o valor encontrado para a incógnita é realmente a raiz da equação proposta. Para isso, eles devem substituir o valor encontrado na resolução no lugar da incógnita e resolver a expressão numérica resultante. Se a sentença matemática obtida for verdadeira, o valor encontrado é, de fato, raiz da equação.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Determine, no conjunto r , o conjunto solução de cada uma das seguintes equações biquadradas.

4. Para quais valores reais de x as expressões a seguir apresentam valores numéricos iguais? 1 e 1. 11x4 _ 6x 2 x 2 + 4

5. Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações, sendo U =r.

a) (x 2 _ 1)(x 2 _ 12) + 24 = 0 { 3, 2, 2, 3}

b) (x 2 + 2)2 = 2 (x 2 + 6) {} 2, 2

c) (x + 2)(x _ 2)(x + 1)(x _ 1) + 5x2 = 20

{ 2, 2}

2. Qual é a soma das raízes reais positivas desta equação? 5 + 1 = 6 x4 _ 26x2 + 25 = 0

3. Considere a equação x2 _ 2 = 6 x1 2 , em que x 5 1 e x 5 1. Essa equação tem quantas raízes reais? Duas: 2 e 2.

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

d) x 2(x 2 _ 9) = 20 {} 5, 5, 2, 2

6. Observe esta afirmação.

Todas as raízes da equação x2 + 2 x 2 = 3, com x 5 0, são números reais.

Essa afirmação é correta? Justifique.

Sim; pois as raízes são 1, 1, 2 e 2

Toda equação que apresenta a incógnita no radicando é chamada de equação irracional Para transformar uma equação irracional em uma equação racional, elevamos os dois membros da equação a uma potência conveniente.

Ao fazer isso, podemos considerar raízes que não satisfazem a equação irracional dada; portanto, sempre temos de fazer a verificação dos resultados encontrados.

Consideremos, então, os exemplos a seguir.

1 Resolver a equação x5+= x _ 1.

Nessa equação, devemos ter x real, tal que x > 5, ou seja, U = {x [r| x > 5}. Note que x também deve ser maior do que 1 para que x _ 1 não seja negativo, já que, no conjunto dos números reais, o resultado de uma raiz quadrada não pode ser negativo.

() x5 2 + 2 = (x _ 1)2 Elevamos os dois membros ao quadrado. x + 5 = x 2 _ 2x + 1 x 2 _ 3x _ 4 = 0 Equação racional a ser resolvida.

Determinamos, assim, as raízes da equação racional do 2o grau. Para determinar as raízes da equação irracional dada, precisamos fazer uma verificação com os valores obtidos para a incógnita x

Para x = 4, temos:

45+= 4 _ 1

9 = 3 3 = 3 (verdadeira)

Para x = 1, temos:

_+ (1)5 = ( 1) _ 1

4 = 2 2 = 2 (falsa)

Logo, apenas o número 4 satisfaz a equação irracional dada. Portanto, S = {4}.

2 Resolver a equação x3 + 5 = x.

Nessa equação, devemos ter x real, tal que x > 3, ou seja, U = {x [r| x > 3}.

x3 + 5 = x

x3 = x _ 5 Isolamos o radical no primeiro membro. Assim, podemos ver que x deve ser maior do que 5 para que a raiz quadrada seja um número positivo.

() x3 2 = (x _ 5)2 Elevamos os dois membros ao quadrado.

x _ 3 = x 2 _ 10x + 25

x 2 _ 11x + 28 = 0 Equação racional a ser resolvida.

9

= 11

Fazendo a verificação com os valores obtidos para a incógnita x, temos:

x = 7, temos:

= 7 7 = 7 (verdadeira)

Logo, apenas o número 7 satisfaz a equação irracional dada. Portanto, S = {7}.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Neste bloco de atividades, os estudantes aplicarão os conhecimentos obtidos a respeito de resolução de equações irracionais. Incentivar e valorizar a expressão oral dos estudantes, propondo que, após a resolução dos itens, eles compartilhem o raciocínio utilizado e possíveis dúvidas com os colegas, de modo que os estudantes que têm maior domínio do conteúdo possam auxiliar os colegas que têm alguma dúvida. Desse modo, é possível favorecer um momento de incentivo à cooperação entre eles.

Responda às questões no caderno.

1. Resolva as equações.

a) x1 = 3 _ x {2}

b) = 7x 31 x {1, 4}

2. Quais são os valores reais de x para os quais a expressão _+ x6x16 2 é igual a 2 2? 4 ou 2.

3. Qual é o conjunto solução da equação 4 _ x = + x2? {2}

{

4. Para quais valores reais de x as expressões x9 2 e + x11 apresentam o mesmo valor?

5. Qual é o valor real de x que torna a expressão + xx 4 2 igual a 4? x = 4 ou x = 3.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Nessa seção, é explorada a importância da representação correta dos gráficos e como as escalas e o tipo de gráfico escolhido para representar os dados podem influenciar na percepção do que se deseja transmitir. Desse modo, promove-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA21. No decorrer da aula, é possível abrir uma discussão com os estudantes sobre consumo consciente. Proporcionar um momento para eles falarem o que sabem sobre o tema. Incentivar os estudantes a falar de hábitos que já possuem ou que podem ser incorporados no dia a dia que corroboram para a prática de um consumo consciente. É importante que, caso eles não citem, compreendam que ser um consumidor consciente vai além de evitar compras por impulso, por exemplo. É preciso levar em conta os impactos da compra realizada, o descarte dos produtos e serviços e ficarem atentos a questões como verificar se empresas que produzem os itens que costumam consumir são responsáveis socialmente e ambientalmente, por exemplo. Desse modo, busca-se favorecer o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo.

Comentar que pode ocorrer de gráficos apresentados em diferentes mídias serem construídos de maneira errada ou induzirem o leitor a ter uma percepção equivocada dos dados, caso não sejam analisados com cautela. Para evitar esse cenário, é preciso estar atento às informações apresentadas, às escalas utilizadas e ao tipo de gráfico escolhido.

Na atividade 1, a altura das barras não está respeitando a escala, fazendo parecer que a

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

OS GRÁFICOS E A IMPORTÂNCIA DE SUA REPRESENTAÇÃO CORRETA

1. A empresa de confecção Roupa X realizou uma pesquisa de mercado para verificar, entre as principais marcas oferecidas, qual era a preferida pelos consumidores. Em seguida, foi publicado nas redes sociais dessa empresa um gráfico com o resultado da pesquisa.

Marcas de roupas preferidas pelos consumidores

Observe o gráfico e faça o que se pede.

Fonte: Pesquisa da empresa Roupa X

1. b) Não está correta, pois a escala do eixo vertical vai de 0% a 100%, e o tamanho da barra indica uma preferência de quase 90%.

a) Qual é o percentual de consumidores que escolheram a empresa Roupa X? 25%

b) Você considera que está correta a altura da coluna que representa o percentual de consumidores que preferem a marca Roupa X? Explique.

c) Em seu entendimento, essa publicação da empresa Roupa X pode induzir os leitores a uma interpretação incorreta do resultado da pesquisa realizada?

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

d) Construa o gráfico que representa corretamente as informações dadas.

1. c) Sim, pois as alturas das colunas não estão proporcionais. Por exemplo, 40% dos consumidores entrevistados não usam roupas de marca, mas a coluna que representa esse percentual é mais baixa do que a coluna que representa 25% dos consumidores.

primeira marca está muito acima das demais. Espera-se que os estudantes identifiquem a incorreção ao responder ao item b

No item c, pedir aos estudantes que compartilhem as respostas para que se possa realizar uma discussão a respeito da importância de os gráficos estarem corretos. Verificar as possíveis conclusões equivocadas a que se poderia chegar a partir da interpretação desse gráfico.

2. No gráfico de linhas a seguir, está representada a quantidade de bens de consumo duráveis adquiridos, nos últimos 4 meses, pelo grupo de pessoas que participaram da pesquisa.

Bens de consumo duráveis adquiridos nos últimos 4 meses

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na atividade 2, o gráfico de linhas não é adequado, pois é mais apropriado para indicar grandezas que oscilam ao longo do tempo. É esperado que os estudantes cheguem a essa conclusão no item d

Pedir aos estudantes que deem exemplos de situações em que é recomendado ou mais adequado o uso de um gráfico de linhas, como o faturamento de uma empresa durante um semestre, a quantidade de visitantes de um museu ao longo de uma semana, o nível de chuva, dia a dia, durante um mês.

Fonte: Dados fictícios.

a) Observando o gráfico, é possível afirmar que houve uma queda na compra de carros?

Não, pois o gráfico não mostra a evolução da venda de carros em determinado período.

b) Copie no caderno a tabela a seguir e, a partir das informações do gráfico, complete-a. Bens de consumo duráveis

Bem de consumo Quantidade

Para ampliar a atividade, solicitar aos estudantes que pensem sobre que dados precisariam ser obtidos ou alterados para que o gráfico de linhas fosse usado no contexto apresentado. Uma possível resposta é obter a quantidade de pessoas que adquiriu cada um desses bens, mês a mês, ao longo dos quatro meses.

Fonte: Dados fictícios.

c) A partir das informações da tabela, construa um gráfico de barras, relacionando a quantidade de bens de consumo duráveis adquiridos, nos últimos 4 meses, pelos pesquisados.

d) O gráfico de linhas é adequado para representar as grandezas envolvidas nesta atividade? Explique.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Não. O gráfico de linhas é indicado para mostrar uma tendência, crescente ou decrescente, em um período, por exemplo. 115

Bem de consumo

Carro Fogão Geladeira Televisão

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

As questões apresentadas nessa seção visam retomar o trabalho com equações do 2o grau, o que favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.

Incentivar os estudantes a socializar as estratégias que utilizaram e a trocar ideias com os colegas a respeito de temas sobre os quais ainda tenham dúvida. Acompanhá-los e orientá-los nesse trabalho. Se necessário, fazer retomadas para que as dúvidas possam ser sanadas.

Os estudantes podem utilizar esse bloco de atividades como autoavaliação, por isso, sugere-se que eles as façam individualmente durante a aula.Se julgar necessário, poderá intervir e ajudá-los ou incentivar o diálogo entre os colegas. Momentos de autoavaliação permitem que eles próprios analisem os pontos fortes e as dificuldades que têm. Além disso, permitem que o docente, ao observar esse movimento dos estudantes, também reflita sobre a própria prática.

Por meio de atividades de múltipla escolha, os estudantes vão revisar os conceitos estudados na Unidade e poderão detectar possíveis dúvidas.

Na atividade 3, para calcular o valor de (x‘ x ’ )2, os estudantes precisam relembrar que essa expressão pode ser escrita da seguinte maneira: (x‘ x ’ )2 =

= x‘2 2 x‘ x ’+ x ’2 =

= (x‘2 + x ’2) 2 ? (x‘ ? x ’ ).

Responda às questões no caderno.

1. Considere a equação 5x + 9 = 5 + 1 x , com x 5 0. A menor raiz dessa equação é o número real: Alternativa d.

a) 1 5

b) 5.

c) 1.

d) 1. e) 1 5

2. Observe a equação a seguir.

x(4x 1) = 3(x + 1) Uma das raízes dessa equação é o número:

a) 1,5.

b) 21,5.

c) 0,5.

d) 2,5. e) 1.

Alternativa a.

3. Se x‘ e x’ (com x‘. x’) são as duas raízes reais da equação _= x 12 x 1, com x 5 0, o valor da expressão (x‘ _ x ’ )2 é:

a) 36.

b) 45.

c) 49.

d) 64. e) 81.

Alternativa c.

4. Sabe-se que x é um número real inteiro, diferente de 0, tal que x + 1 x = 5 2 . Nessas condições, o valor numérico da expressão + x 1 x 3 3 é: Alternativa e.

a) 51.

b) 53.

c) 59.

d) 61. e) 65 8

5. Considerando que a equação x 2 + 11 = = 12x tem duas raízes reais diferentes, pode-se dizer que a média aritmética dessas raízes é: Alternativa b.

a) 8.

b) 6.

c) 5.

d) 4. e) 3.

6. Considere a equação 5x2 + 6 = 31x. Uma das raízes dessa equação é expressa por uma fração. A soma dos termos dessa fração é: Alternativa e.

a) 10.

b) 9.

c) 8.

d) 7. e) 6.

7. Determine os números reais x para que as expressões + xx 1 e 7 tenham o mesmo valor numérico. 5

8. Qual é a solução da equação x 4x = 4x 2 , com x 5 4? S = {2}

9. Considere V = 2k + h 5 2 . Se V = 25 e 5k = 2,5, há dois valores para h, que são:

Alternativa a.

a) 10 e 10.

b) 5 e 5.

c) 11 e 11.

d) 15 e 15.

e) 9 e 9.

10. O menor valor de x que verifica a igualdade y = 4 x + x _ 1, se y = 2, é o número real: Alternativa d.

a) 4.

b) 2.

c) 1.

d) 1. e) 2.

11. A equação ax 2 _ 4x _ 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. Qual é a outra raiz dessa equação? Alternativa c.

a) 4

b) 2

d) 4 e) 6 RETOMANDO APRENDEU O QUE 116

116 14/06/22 10:25 116

12. A equação x 2 + (2m _ 3)x + m2 + 3 = 0 tem duas raízes reais diferentes. Nessas condições, devemos ter: Alternativa b.

a) m , 1 4

b) m , 1 4

c) m . 1 4

d) m > 1 4

e) m , 2.

13. Na equação px 2 _ 2(q _ 1)x + 6 = 0, a soma das raízes é 3, e o produto das raízes é 3. Nessas condições, qual é o valor de q? Alternativa e.

a) 3

b) 2

c) 1

d) 1

e) 2

UM NOVO OLHAR

14. Se S é o número que expressa a soma e P é o número que expressa o produto das raízes da equação 2x 2 + 5x _ 3 = 0, então a razão S P vale: Alternativa a.

a) 5 3

b) 5 3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

c) 3 5 d) 3 5

e) 2 3 f) 1 2

15. O valor de x que satisfaz a equação

_+ 2x 4x 9 2 = 2x _ 3 é um número real que está entre: Alternativa c.

a) 1 e 3.

b) 2 e 4.

c) 3 e 5.

d) 4 e 6.

e) 5 e 7.

f) 1 e 2.

16. Ao subtrair 3 de certo número real x, obtém-se o dobro da raiz quadrada desse número x. Então, o valor de x é:

a) 1.

b) 9.

c) 4.

d) 16. e) 5. f) 2.

Na atividade 12, caso seja necessário, relembrar o que significa o discriminante da equação. No caso, como a equação tem duas raízes reais diferentes, é preciso que o discriminante seja maior do que zero, ou seja, (2m 3)2 4 ? 1 ? (m2 + 3) . 0. Ao resolver essa inequação, conclui-se que m , 1 4

Um novo olhar

Quando seu discriminante é maior do que zero.

Nesta Unidade, estudamos as equações do 2o grau com uma incógnita completa e incompleta. Verificamos como escrever uma equação desses tipos na forma reduzida e os métodos de resolução delas.

Estudamos o processo de completar quadrados e a fórmula resolutiva que leva o nome do matemático indiano Bhaskara.

Também estudamos duas variações da equação do 2o grau: a equação biquadrada, que é uma equação do 4o grau incompleta, e as equações irracionais.

Na abertura da Unidade, tratamos de uma aplicação da equação do 2o grau na Física descoberta por Galileu Galilei: a queda livre de corpos.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Em que caso uma equação do 2o grau tem duas raízes reais distintas?

• Como podemos escrever uma equação do 2o grau conhecendo as raízes dela?

Pela soma e pelo produto das raízes utilizando a equação x2 _ Sx + P = 0, em que S é a soma, e P é o produto.

• No início da Unidade, você foi convidado a resolver uma equação. Agora, utilizando a fórmula resolutiva, resolva a equação novamente. O resultado encontrado foi o mesmo?

Resposta pessoal. O mais importante neste momento é verificar se os estudantes conseguiram utilizar a fórmula resolutiva para resolver a equação.

Alternativa b. 117

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25/06/22 16:37 AMPLIANDO

Link

GALILEU Galilei. Biografias. Uol. [S l.], 31 jul. 2005. Disponível em: https://educacao.uol.com.br/biografias/ galileu-galilei.htm. Acesso em: 17 jun. 2022.

No link, é possível encontrar um breve relato da vida de Galileu.

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade permitem reflexões a respeito das aprendizagens individuais, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber o que aprenderam e as possíveis dúvidas que ainda tenham a respeito das equações do 2o grau e os métodos de resolução abordados.

No decorrer das questões, orientá-los a consultar o Livro do estudante, para que tirem dúvidas e busquem informações. Conversar com eles a respeito de acertos e erros, indicando as correções com intervenções pontuais. Esse tipo de ação amplia a capacidade de reflexão e análise crítica dos estudantes de acordo com a competência geral 2, além de beneficiar a cooperação entre eles, de acordo com a competência geral 9.

A última questão é uma retomada da equação proposta na abertura da Unidade, que, agora, deve ser resolvida por meio da fórmula resolutiva. Espera-se que os estudantes não encontrem dificuldade nessa resolução, mas, caso seja necessário, fazer uma retomada do conteúdo para que as dúvidas sejam esclarecidas.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 2, 3, 4 e 5

Competências específicas:

• 2 e 5

Habilidades:

Geometria

• EF09MA10

• EF09MA11

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em dois capítulos e apresenta os conteúdos por meio de exemplos e atividades diversificadas, além de uma seção que contribui para a formação integral dos estudantes e favorece o desenvolvimento das competências gerais 2 e 5 e da competência específica 2 da área de Matemática.

O tema abordado na abertura da Unidade incentiva a análise crítica e a curiosidade dos estudantes, propiciando, assim, o desenvolvimento das competências gerais 2, 3 e 4. No primeiro capítulo, trabalha-se com ângulos determinados por retas transversais. Com o objetivo de ampliar a compreensão desse tópico, ao longo do capítulo, são apresentados exemplos e atividades. No segundo capítulo, é feita uma breve retomada do conceito de circunferência; para ampliar o estudo, são apresentadas as posições relativas de reta em relação a uma circunferência, arco de circunferência e ângulo central e ângulos inscritos. Além dos exemplos e atividades, é proposta a seção Tecnologias, que traz uma sugestão de uso de software para verificar a relação entre o ângulo inscrito e o ângulo central de uma circunferência. Esse estudo favorece o desenvolvimento da competência específica 5 da área de Matemática. De modo geral, os temas abordados ao longo da Unidade favorecem a apropriação das habilidades EF09MA10 e EF09MA11.

UNIDADE

RELAÇÕES ENTRE ÂNGULOS 4

A Arte e a Matemática têm uma relação muito próxima, principalmente no campo da Geometria. Uma dessas relações pode ser observada no trabalho com rosáceas, que são construções decorativas com formato circular. Em geral, as rosáceas apresentam motivos florais e são muito comuns em catedrais de estilo gótico Uma rosácea é obtida a partir de processos de desenho geométrico. Analise esta imagem de um vitral e o processo de construção de um exemplo de rosácea.

GLOSSÁRIO

Gótico: estilo artístico e arquitetônico que surgiu na Idade Média (séculos V a X) e cujas principais características apresentam motivações religiosas.

OBJETIVOS

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• Retomar e ampliar algumas propriedades dos ângulos formados por um feixe de retas paralelas e uma transversal.

• Recordar o conceito de circunferência e os elementos de uma circunferência.

• Identificar as posições reativas de uma reta em relação a uma circunferência.

• Compreender o conceito de arco de circunferência e de ângulo central.

• Resolver problemas envolvendo conceito de arco de circunferência e de ângulo central e determinar a medida de um ângulo central.

• Compreender o conceito de ângulo inscrito em uma circunferência e determinar a medida desse ângulo.

• Compreender casos específicos de ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência e que não são ângulos centrais.

Interior da Catedral de Saint‑Denis (França), 2014.

Com a ponta-seca do compasso em qualquer ponto da circunferência, e com a mesma abertura utilizada no primeiro passo, trace uma nova circunferência.

3

A

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Ao iniciar o estudo sobre as relações entre os ângulos, a abertura desta Unidade aborda um pouco da proximidade entre Arte e Matemática.

C A

4 B

C A D

5

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Agora é com você! Responda no caderno às questões a seguir.

• Utilizando um compasso, construa algumas rosáceas.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Utilizando um software de Geometria dinâmica, elabore uma rosácea a partir da ferramenta de criar círculos. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Observe a primeira e a última imagens do processo de construção de uma rosácea. A primeira imagem é somente uma linha circular em torno do centro, e a última é composta dessa linha e de toda a região interna da figura circular. Como diferenciar matematicamente esses dois casos?

No primeiro caso, trata-se de uma circunferência, e, no outro, de um círculo.

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JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresentam-se algumas propriedades dos ângulos formados por um feixe de retas paralelas e uma transversal. Depois, retoma-se brevemente o conceito de circunferência e os elementos de uma circunferência com o objetivo de preparar os estudantes para o estudo das relações entre arco e ângulo central e ângulos inscritos

em uma circunferência. Com esse estudo, pretende-se favorecer o desenvolvimento das habilidades EF09MA10 e EF09MA11.

Na seção Tratamento da informação, propõe-se o uso de um software para verificar a relação entre o ângulo inscrito e o ângulo central de uma circunferência. Desse modo, pretende-se favorecer com maior ênfase o desenvolvimento das competências gerais 2 e 5 e das competências específicas 2 e 5 da área de Matemática.

Como sugestão de encaminhamento, pode-se fazer a leitura do texto da página 118 do Livro do estudante. Depois, propor uma pesquisa de imagens de rosáceas em livros e sites e analisar as figuras sob o aspecto geométrico delas. Essa atividade pode ser realizada em parceria com o professor de História ou com o professor de Arte, dependendo do enfoque que se deseja. Por exemplo, pode-se dividir a turma em dois grupos; um deles pode aprofundar o estudo sobre o contexto histórico (pesquisar por exemplo, como a geometria se constituiu um importante instrumento de leitura desde as civilizações mais antigas ou, ainda, as principais características da arquitetura gótica), e o outro grupo pode pesquisar diferentes imagens, compreendê-las e, depois, vivenciarem a experimentação e a criação de rosáceas. Ambas as atividades incentivam a análise crítica e a curiosidade. Para finalizar, promover um momento de troca entre os grupos, propiciando, assim, o desenvolvimento das competências gerais 2, 3 e 4. Antes de iniciar o trabalho com as questões propostas na página  119, solicitar aos estudantes que reproduzam a construção da rosácea apresentada. E, a partir do passo 2, orientá-los a desenhar parte da circunferência tracejada, conforme ilustração a seguir.

119

FLORIAN MONHEIM/ALAMY/FOTOARENA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos opostos pelo vértice

Inicialmente, promover uma conversa sobre ângulos opostos pelo vértice; depois, pedir a eles que leiam o texto do Livro do estudante.

Realizar a verificação da congruência dos ângulos opostos pelo vértice na lousa. Depois, verificar se eles ainda têm alguma dúvida quanto ao fato de que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Uma sugestão de atividade prática é desenhar, em uma folha de papel avulsa, duas retas que se cruzam em um ponto e recortar essa folha de tal modo que, ao dobrá-la, os dois ângulos opostos se sobreponham. Se necessário, retomar os conceitos de ângulos complementares e suplementares. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA10 da área de Matemática.

Se possível, construir um mural permanente na sala de aula, e, à medida que o estudo da Unidade avançar, os estudantes devem preenchê-lo com o que julgarem pertinente, por exemplo, dando destaque para algumas palavras-chave e algumas sistematizações de conteúdo. Esse é um bom modo de, ao longo do estudo, fazer retomadas facilmente.

Nesta obra, optou-se por repetir o símbolo que representa uma entidade geométrica quando estiver precedida pelo termo que a define. Por exemplo: escrevemos ângulo â, e não ângulo a Se julgar pertinente, explicar aos estudantes que é possível utilizar apenas o termo que define a entidade geométrica e que isso é uma escolha feita para o material, o que não implica necessariamente um erro.

POR RETAS TRANSVERSAIS CAPÍTULO1

ÂNGULOS DETERMINADOS

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Consideremos duas retas, r e s, que se cruzam em um ponto V, formando quatro ângulos: ˆ a, ˆ x, ˆ b e ˆ y, conforme mostra esta figura.

Os ângulos ˆ x e ˆ y são chamados de ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.). Também são opostos pelo vértice os ângulos a e b

Observe que os lados do ângulo â são formados pelos prolongamentos dos lados do ângulo b

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

Vamos mostrar que essa afirmação é verdadeira.

Consideremos as medidas dos ângulos ˆ x, ˆ y e â, dadas, respectivamente, por x, y e a. Pela figura, podemos verificar que:

• x + a = 180° • y + a = 180°

Então:

x + a = y + a

Subtraindo-se a dos dois membros, obtemos:

x = y

Portanto, dois ângulos opostos pelo vértice sempre têm a mesma medida.

É possível, também, verificar essa propriedade que os ângulos opostos pelo vértice são congruentes com a ajuda de um transferidor para medir a abertura dos ângulos.

SAIBA a yx V

QUE

ÂNGULOS ADJACENTES

Na figura a seguir, A ^ OB e B ^ OC são ângulos consecutivos, pois eles têm em comum o vértice O e apenas o lado OB. Note que eles não têm pontos internos comuns.

O B C A ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE 120

120 27/06/22 10:58 120

Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados de ângulos adjacentes

Observe, agora, os ângulos AOB e AOC na figura anterior. Eles têm o mesmo vértice O e um lado comum, OA; logo, são ângulos consecutivos. No entanto, eles têm pontos internos comuns. Por esse motivo, AOB e AOC não são ângulos adjacentes.

ÂNGULOS CORRESPONDENTES

Considere duas retas paralelas intersectadas por uma transversal, como representado nesta figura.

Os pares de ângulos ˆ ae ˆ e; ˆ be ˆ f; ˆ c e ˆ ee ˆ g; ˆ de ˆ h são chamados de ângulos correspondentes

Sabemos que ˆ ae ˆ c são opostos pelo vértice, assim como ˆ ee ˆ g Portanto, em relação às medidas desses ângulos, temos: a = c e e = g. Como r ⁄ s, também podemos concluir que a = e e c = g.

Dadas duas retas paralelas intersectadas por uma transversal, os ângulos correspondentes são congruentes.

Se uma reta transversal corta duas retas determinando ângulos correspondentes congruentes, então essas retas são paralelas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos correspondentes

Em anos anteriores, os estudantes verificaram as propriedades de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Essa verificação pode ser feita, também, usando softwares de geometria dinâmica. Apresentar, caso a caso, os pares de ângulos correspondentes que são formados por retas paralelas e o cruzamento de uma transversal. Como atividade prática, pode ser construído um exemplo dessa situação com valores numéricos e, com a ajuda do transferidor, verificar que os valores dos ângulos correspondentes são iguais.

a e

t s

r

â e ê são ângulos correspondentes.

r ⁄ s k â 2 ê

b e f são ângulos correspondentes.

r ⁄ s k b 2 f

c e g são ângulos correspondentes.

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d e h são ângulos correspondentes.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco têm como objetivo que os estudantes apliquem os conhecimentos sobre ângulos determinados por retas transversais. Desse modo, propicia-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA10.

Para resolver as atividades, espera-se que os estudantes encontrem equações para cada situação a partir das definições vistas até o momento.

Na atividade 5, espera-se que os estudantes notem que a adição dos ângulos de medidas 60°, 2x e 4x é igual a 180°.

Depois, é preciso observar que o ângulo de medida y é correspondente ao ângulo destacado em verde na figura a seguir.

Na figura a seguir, r ⁄ s. Vamos calcular as medidas de ˆ ae b dos ângulos correspondentes, sabendo que, em grau, a = 2x + 50° e b = 4x _ 30°. r s

t a b

• Como r ⁄ s, temos:

a = b (ângulos correspondentes)

2x + 50° = 4x _ 30°

2x _ 4x = 30° _ 50°

2x = 80°

x = 40°

Responda às questões no caderno.

1. Dois ângulos correspondentes, determinados por duas retas paralelas, intersectadas por uma transversal, medem 2x + 40° e 3x + 90°.

a) Determine o valor de x 10°

b) Determine a medida de cada um dos ângulos dados. Cada um dos ângulos mede 60°.

2. Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x _ 75° e x + 15°. Determine o valor de x

3. Em cada caso, determine o valor de x e y, sabendo que r ⁄ s.

O ângulo destacado também é igual a 2x + 60°. Portanto, para determinar o valor de y, basta resolver a equação: 2x + 60° = y.

• Como a = 2x + 50°, temos:

a = 2 (40°) + 50°

a = 80° + 50°

a = 130°

Como b = a, então b = 130°.

4. Determine o valor de x 16,8° s r 4x 5° 3x 2 + 37°

5. Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. Alternativa a. r s 120°

y 4x 2x Qual é, em grau, o valor de y?

a) 100°

b) 110°

c) 120°

d) 130°

e) 140°

6. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um deles mede: Alternativa b.

a) 20°

b) 70°

c) 30°

d) 80°

e) 50°

ÂNGULOS ALTERNOS

Ângulos alternos são pares de ângulos não adjacentes que estão em lados opostos em relação a uma reta transversal a outras duas retas quaisquer.

• ke ˆ n estão em lados opostos em relação à reta transversal t e na região determinada entre as retas r e s (região interna). Portanto, ke n são ângulos alternos internos

• le ˆ m estão em lados opostos em relação à reta transversal t e na região determinada entre as retas r e s (região interna). Portanto, le m são ângulos alternos internos

• je o estão em lados opostos em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s. Portanto, je o são ângulos alternos externos

• ie p estão em lados opostos em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s. Portanto, ie ˆ p são ângulos alternos externos

Considere, agora, as retas r e s, paralelas, e uma reta transversal t Vamos determinar a relação entre as medidas de dois ângulos alternos (internos ou externos).

1 ˆ c 2 â (ângulos o.p.v.)

2 â 2 ê (ângulos correspondentes)

De 1 e 2 , obtemos: ˆ c 2 ê (ângulos alternos internos congruentes).

3 ˆ g 2 ê (ângulos o.p.v.)

4 ê 2 â (ângulos correspondentes)

De 3 e 4 , obtemos: ˆ g 2 â (ângulos alternos externos congruentes).

Propriedade

Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos alternos congruentes (internos ou externos).

Assim, dadas duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal, temos:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos alternos

Apresentar a definição de ângulos alternos congruentes (internos e externos) conforme apresentado no Livro do estudante e pedir aos estudantes que identifiquem quais desses ângulos são internos e quais são externos. Isso é importante para que eles construam as relações existentes entre cada par de ângulos.

Se julgar conveniente, propor que observem o ambiente escolar e procurem reconhecer pares de ângulos alternos internos ou de ângulos alternos externos. Solicitar que façam novamente no caderno um traço oblíquo às linhas de pauta, reforcem duas linhas da pauta e identifiquem pares de ângulos alternos internos e pares de ângulos alternos externos. Esse estudo das relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA10.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Antes de iniciar o tópico Ângulos colaterais, verificar se os estudantes têm alguma dúvida sobre ângulos correspondentes, ângulos alternos ou qualquer outra dúvida relacionada aos conteúdos estudados até o momento e buscar resolvê-las.

Uma sugestão de encaminhamento é propor uma leitura do exemplo apresentado na página 124 do Livro do estudante e resolvê-lo na lousa. Comentar com os estudantes que, antes de resolver qualquer problema envolvendo ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, é preciso identificar a relação existente entre os pares de ângulos. No exemplo, os ângulos são congruentes, portanto se usa a equação apresentada.

Se julgar pertinente, propor mais um exemplo, como o indicado a seguir.

Determine os valores de a e b, na figura a seguir, sendo r || s.

x 2 3

Aplicando a propriedade anterior, podemos resolver o seguinte problema.

Na figura a seguir, a = 3x _ 50° e b = x + 14°. Qual é a medida, em grau, dos ângulos â e b, sendo r ⁄ s?

Como r ⁄ s, a = b (alternos internos). Então, temos:

3x _ 50° = x + 14°

3x _ x = 14° + 50°

2x = 64°

x = 32°

Daí:

a = 3 ? (32°) _ 50° = 96° _ 50° = 46°

Portanto, a = 46° e b = 46°.

ÂNGULOS COLATERAIS

Ângulos colaterais são pares de ângulos não adjacentes localizados no mesmo lado da reta transversal.

Considere as figuras a seguir e acompanhe.

• ˆ me ˆ o estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região determinada entre as retas r e s (região interna). Então, ˆ me ˆ o são ângulos colaterais internos

r b a

s x 15°

Ressaltar aos estudantes que os ângulos de medidas x 15° e 2 3 x são correspondentes, portanto:

x 15° = 2 3 x h x = 45°

Como os ângulos de medida b e x 15° são alternos internos, então:

b = x 15°

b = 45° 15° h b = 30°

Como os ângulos de medida a

e x 15° são adjacentes suplementares, então:

a + x 15° = 180°

a + 45° 15° = 180° h

h a = 150°

• ˆ ne ˆ p estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região determinada entre as retas r e s (região interna). Então, ˆ ne ˆ p são ângulos colaterais internos r s

• ˆ fe ˆ h estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s. Assim, ˆ fe ˆ h são ângulos colaterais externos

• ê e g estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s. Assim, ê e g são ângulos colaterais externos

Ângulos colaterais

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Na sequência, apresentar a definição de ângulos colaterais. Explicar aos estudantes que esses ângulos devem estar do mesmo lado na reta transversal. Depois, pode-se solicitar a eles que retomem a figura que fizeram (sugestão feita na página 123), na qual identificaram pares de ângulos alternos internos e pares de ângulos alternos externos, e identifiquem também pares de ângulos colaterais internos e pares de ângulos colaterais externos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Voltemos a considerar as retas r e s, paralelas, e uma reta transversal t. Vamos determinar a relação entre as medidas de dois ângulos colaterais (internos ou externos).

Na representação a seguir, d e ê são ângulos colaterais internos, e â e h são ângulos colaterais externos.

1 Como ˆ d e â são ângulos adjacentes suplementares, temos: d + a = 180°.

2 Como â e ê são ângulos correspondentes, então: a = e.

De 1 e 2 , obtemos: d + e = 180°.

Portanto, ˆ d e ê (ângulos colaterais internos) são suplementares.

3 Como ˆ h e ê são ângulos adjacentes suplementares, temos: h + e = 180°.

4 Como ê e â são ângulos correspondentes, então: e = a.

De 3 e 4 , obtemos: h + a = 180°.

Portanto, â e h (ângulos colaterais externos) são suplementares.

Propriedade

Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos colaterais (internos ou externos) suplementares

Assim, considerando a figura a seguir, temos:

Se r ⁄ s, então:

c + f = 180°

d + e = 180°

a + h = 180°

b + g = 180°

Acompanhe a aplicação dessa propriedade no problema seguinte.

colaterais internos

colaterais externos

Na figura a seguir, temos r ⁄ s. Vamos calcular, em grau, as medidas dos ângulos â e ˆ b, sabendo que a = 2x e b = 3x _ 20°.

Como r ⁄ s, temos:

a + b = 180° (colaterais externos)

2x + 3x _ 20° = 180°

5x = 180° + 20°

5x = 200°

x = 40°

Como a = 2x, temos:

a = 2 40° = 80°

Como a + b = 180°, então:

b = 180° _ 80° = 100°

Portanto, a = 80° e b = 100°.

Desenvolver os exemplos apresentados e verificar se os estudantes têm alguma dúvida quanto às relações estabelecidas pelos pares de ângulos. Comentar que uma mesma atividade pode ser resolvida de diferentes maneiras, dependendo das escolhas de relações que são feitas.

Após a exploração do conteúdo apresentado no Livro do estudante, pode-se sugerir que, mais uma vez, retomem a figura que construíram (reta transversal às linhas da pauta), na qual já identificaram pares de ângulos alternos internos, pares de ângulos alternos externos, pares de ângulos colaterais internos e pares de ângulos colaterais externos. Pode-se sugerir que utilizem um transferidor para verificar que esses pares de ângulos são suplementes.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Comentar com os estudantes que, nesse bloco de atividades, para resolver algumas delas, pode ser preciso desenhar o prolongamento de retas ou construir retas a partir de vértices indicados, assim será possível verificar melhor as relações entre os ângulos.

Na atividade 1, verificar se os estudantes identificaram que os ângulos indicados na figura são ângulos alternos internos. Caso eles ainda tenham dúvida e não consigam identificar e nomear corretamente os pares de ângulos, fazer uma retomada do conteúdo tratado na página 123 do Livro do estudante e apresentar outros exemplos se julgar necessário.

Na atividade 5, verificar se, durante a resolução, os estudantes reproduziram a figura e traçaram retas paralelas às retas r e s, passando pelo vértice dos ângulos  b ˆ e c ˆ e dividindo esses ângulos em partes iguais.

Na atividade 7, para resolver o item a, é preciso analisar a figura e observar a relação entre os ângulos d ˆ e f ˆ . Para resolver o item b, basta aplicar o valor de x em cada equação. No item c, verificar se eles se lembram de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Ao finalizar esse bloco de atividades, verificar as principais dúvidas dos estudantes acerca do conteúdo abordado ao longo do capítulo e fazer retomadas para que as possíveis dúvidas sejam sanadas.

Responda às questões no caderno.

1. Considerando esta figura, determine o valor de x, sabendo que r ⁄ s. 15°

x 3 + 42°

2x + 17°

r s

2. (Unimontes-MG) Se r ⁄ s, então o valor de x, na figura a seguir, é: Alternativa c.

a) 52°

b) 68°

c) 72°

d) 58°

3. As retas r e s da figura são paralelas. Sabendo que x + 2y + 2z = 340°, qual é o valor, em grau, de y? Alternativa a.

a) 30°

b) 35°

c) 40°

d) 45°

e) 50°

5. Alternativa e. Os estudantes podem utilizar figuras de retas suporte para representar retas paralelas e aplicar as propriedades de ângulos determinados por retas transversais.

5. Na figura, as retas r e s são paralelas. O ângulo â mede 42°, o ângulo b mede 71°, e o ângulo ˆ d mede 33°. Determine, em grau, a medida do ângulo c. Explique quais estratégias você utilizou para resolver este problema.

rs

a) 71°

b) 42°

c) 73°

d) 33°

e) 62°

6. Na figura, AB é paralelo a DE. Sendo med (B ˆ CD) = 68° e med ( A ˆ BC ) = 34°, calcule med(CDE) Alternativa b.

a) 112°

b) 102°

c) 78°

d) 68°

e) 46°

7. Junte-se a um colega, e resolvam a situação a seguir.

Na figura, as retas r e s são paralelas. a

c ef bd

Alternativa c.

a b

4. Na figura representada a seguir, ABCD é um retângulo, e ⁄ EF AB ⁄ ⁄ AB. A medida de DÂC é igual à metade da medida de BÂC. A E BF

D C

Determine, em grau, o valor de a _ b.

a) 10°

b) 20°

c) 30°

d) 45°

e) 50°

A

C B

s r

Sabendo que a = 2x + 5°, d = 9x _ 10°,

f = 3x + 10°, determinem:

a) x ; 15°

b) a e b; a = 35° e b = 55°.

c) a + b + c. 180°

Agora, respondam.

d) Como vocês classificariam os ângulos BÂC, ABC e A CB quanto às medidas deles?

e) Como são chamados os ângulos BÂC e A ˆ BC, de acordo com a soma das medidas desses ângulos? Ângulos complementares.

7. d) B ˆ AC e A ˆ BC são agudos, e ACB é reto.

Na abertura desta Unidade, estudamos que a circunferência é muito utilizada em construções geométricas. Portanto, não é a primeira vez que falamos sobre essa figura geométrica plana. Você já estudou como representá-la com a ajuda de um compasso, por exemplo. Retomemos a definição de circunferência.

Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Circunferência

O estudo da circunferência foi iniciado em anos anteriores. Nesse capítulo, é feita uma retomada para relembrar parte do vocabulário associado ao tema, como raio, diâmetro, corda, circunferência e círculo. Depois, o conteúdo será ampliado com a abordagem de ângulos inscritos, ângulo central e arco de circunferência. Ao longo desse capítulo, busca-se favorecer o desenvolvimento das habilidades EF09MA10 e EF09MA11.

Esse ponto fixo é chamado de centro da circunferência (ponto O).

A distância constante entre o ponto O e qualquer ponto da circunferência é o comprimento do raio, indicado por r Observe, nestas figuras, alguns elementos de uma circunferência.

corda

raio A

Qualquer segmento de reta cujas extremidades são o centro e um ponto da circunferência chama-se raio

Qualquer segmento de reta cujas extremidades são dois pontos distintos da circunferência chama-se corda

diâmetro AB

A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se diâmetro. O diâmetro é a maior corda da circunferência.

Observe que a medida do diâmetro (d) é igual ao dobro da medida r do raio, ou seja:

d = 2r

Durante a retomada proposta na página 127 do Livro do estudante, ilustrar e tornar concreta a propriedade que caracteriza a circunferência como um lugar geométrico e que a define. Uma sugestão é construir uma circunferência na lousa. Pode-se usar um barbante, fixar uma das pontas com um dos dedos, esticar o barbante e, na outra extremidade, fixar o objeto que costuma utilizar na lousa (giz ou pincel marcador). Manter o barbante bem esticado durante todo processo para garantir que o centro da circunferência fique à mesma distância de qualquer ponto da circunferência. Se julgar oportuno, solicitar aos estudantes que também façam esse procedimento em uma folha de papel avulsa.

Depois, eles podem usar a mesma circunferência para identificar os elementos raio, corda e diâmetro.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Posições relativas de uma reta e uma circunferência

Apresentar as três posições que uma reta pode ocupar em relação a uma circunferência: secante, tangente ou externa. Pedir aos estudantes que indiquem a quantidade de pontos em comum em cada um desses casos.

Depois que o conteúdo da página for explorado, sugerir aos estudantes que, no caderno, representem retas nas três posições relativas de uma reta em relação a uma circunferência, conforme apresentado. A seguir, é apresentada uma possibilidade de ilustração.

O r s

A t

Nesse caso, pode-se notar que a reta r é secante à circunferência ( A é um dos pontos comuns), a reta s é tangente ( A é o único ponto comum), e a reta t é externa (a distância entre o centro e a reta é maior do que a medida do raio).

POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA

Vamos estudar as posições que uma reta pode ocupar em relação a uma circunferência.

Reta secante

A reta s intersecta a circunferência em dois pontos distintos. Nesse caso, s é chamada de reta secante à circunferência. Note que a distância d do centro da circunferência à reta s é menor do que o comprimento  r do raio, ou seja, d , r

Reta externa

A reta s e a circunferência não têm ponto em comum. Nesse caso, a reta s é uma reta externa à circunferência. Note que a distância d do centro da circunferência à reta s é maior do que o comprimento  r do raio, ou seja, d . r

Reta tangente

A reta s tem apenas um ponto em comum com a circunferência, o ponto T, que é chamado de ponto de tangência. Nesse caso, s é chamada de reta tangente à circunferência. Note que a distância d do centro da circunferência à reta s é igual ao comprimento r do raio, ou seja, d = r

DESCUBRA MAIS

OBMEP. Sala para leitura_007: Circunferências – Definições básicas. da OBMEP. [S l.], [202-?]. Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-paraleitura_007-circunferencias-definicoes-basicas/. Acesso em: 4 mar. 2022. No link indicado, você pode encontrar explicações, atividades e simulações sobre circunferência. Acompanhe os textos e as animações e aprenda mais sobre essa figura geométrica.

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Propriedades da reta tangente

As retas tangentes a uma circunferência apresentam duas propriedades.

1a propriedade:

Na figura, há uma circunferência de centro O e uma reta t, tangente a essa circunferência no ponto T

A menor distância do ponto O à reta t é o segmento de reta OT, perpendicular à reta t no ponto T, pertencente à circunferência. Assim, OT representa um raio dessa circunferência.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Após explorar as propriedades apresentadas, se julgar pertinente, fazer com os estudantes a construção da reta tangente a uma circunferência, usando régua e compasso. A seguir, uma sugestão de passo a passo.

1. Desenhar uma circunferência e identificar o centro O e um ponto P

Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência: t À OT

2a propriedade:

A figura nos mostra dois segmentos de retas, PA eP B, tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente, e traçados a partir de um ponto P exterior à circunferência.

2. Prolongar o raio OP. Depois, com centro em P e abertura do compasso menor que o raio OP , determinar os pontos  A e B .

Os triângulos retângulos OAP e OBP são congruentes, pois têm a hipotenusa ( OP nos dois triângulos) e um cateto ( **(OAnoOAP eOBnoOBP ) ) respectivamente congruentes.

Se *OAP 2*OBP, então PA 2 PB

Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os segmentos de retas PA e PB tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente, então os segmentos PA e PB são congruentes.

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3. Determinar a mediatriz entre os pontos A e B para marcar o ponto Q. A reta que passa por P e Q é a reta tangente à circunferência inicial.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Esse bloco de atividades proporciona aos estudantes aplicar os conceitos de reta secante, reta tangente e reta externa a uma circunferência, além das propriedades de reta tangente. São retomados, ainda, outros conceitos geométricos, como perímetro de polígonos.

Na atividade 2, verificar se os estudantes notaram que a reta r é tangente à circunferência em A, portanto, x = 90°; e que o ângulo oposto pelo vértice ao ângulo de medida y é o ângulo interno do triângulo retângulo destacado. Portanto, pode-se fazer: y + 30° = 90°. Desse modo, y = 60°.

Na atividade 7, espera-se que, após a resolução dos itens a, b e c, os estudantes elaborem um problema envolvendo os dados da figura dada. Se possível, solicitar que as atividades sejam resolvidas em sala de aula; desse modo, eles podem trocar as questões elaboradas e, sempre que necessário, pode-se auxiliá-los no processo de elaboração do problema.

Ao finalizar as atividades propostas, sugere-se que as resolva na lousa. Sempre que possível, solicitar aos estudantes que colaborem ou, para aqueles que não se sentirem à vontade para participar dessa etapa de resolução, que façam uma análise e identifiquem os erros para que, a partir deles, compreendam o que será necessário retomar antes de dar continuidade ao estudo do capítulo.

1. 9 cm. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Os estudantes podem utilizar o fato de que, considerando que se trata de uma medida representada por um número inteiro, se d for igual a 10 cm, d = r, o que contraria o fato de que t é secante à circunferência. Assim, o maior valor inteiro que d pode assumir é 9 cm.

Responda às questões no caderno.

1. Uma reta t é secante a uma circunferência de centro O e raio de medida 10 cm. Indicando por  d a distância do ponto O à reta t, qual é o maior valor inteiro que d pode assumir? Justifique.

2. Na figura, a reta r é tangente à circunferência no ponto A. Determine, em grau, as medidas x e y x = 90° e y = 60°.

5. Observe a figura.

3. Na figura, considere que a medida do segmento de reta PA é expressa por x, e a medida do segmento de reta AB é expressa por y. Qual é o polinômio que representa o perímetro do triângulo PAB?

Determine a medida:

a) do lado BC do triângulo ABC; 20 cm

b) do segmento de reta AN, considerando o perímetro do triângulo ABC igual a 46 cm. 3 cm

6. Observe a figura a seguir.

4. Considerando a medida, em centímetro, dos segmentos de retas PA e PB, que são tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente, determine:

Determine:

a) as medidas a, b e c indicadas na figura;

b) o perímetro do triângulo ABC. 134 cm

7. Considerando a figura, determine:

a) a medida x ; 3 cm

b) a medida do segmento de reta PA; 15 cm

c) a medida do segmento de reta PB; 15 cm

d) o perímetro do quadrilátero PAOB, se o raio da circunferência mede 7 cm. 44 cm

a) a medida r do raio da circunferência; 2 cm

b) o perímetro do quadrado ANOM; 8 cm

c) a expressão algébrica que representa o perímetro do *ABC, se a medida do segmento de reta PC é dada, em centímetro, por a (2a + 16) cm

d) Agora, elabore um problema que envolva os dados da figura. Em seguida, troque de caderno com um colega para que um resolva a questão que o outro elaborou.

7. d) Espera-se que os estudantes observem os dados da figura e elaborem questões envolvendo medidas de segmentos de retas ou de perímetro. Por exemplo: Qual é o perímetro, em centímetro, do quadrilátero BMOP? (16 cm).

ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA E ÂNGULO CENTRAL

Na circunferência representada a seguir, estão assinalados os pontos A e B, distintos. Esses pontos dividem a circunferência em duas partes, e cada uma delas é chamada de arco de circunferência

Os pontos A e B são chamados de extremidades do arco. O arco menor é indicado por AB. Para indicar o arco maior, tomamos mais um ponto desse arco, por exemplo, o ponto C, e representamos o arco maior por ACB

semicircunferência

arcomaior

Quando as extremidades de um arco de circunferência também são extremidades de um mesmo diâmetro, cada um dos arcos denomina-se semicircunferência

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Arco de circunferência e ângulo central

Apresentar as definições de arco de uma circunferência e ângulo central, bem como as notações usadas para indicar esses termos. É importante que os estudantes saibam identificar a diferença entre as notações e se familiarizem com a linguagem utilizada.

semicircunferência

Nesta figura, o ângulo AOB tem o vértice no centro de uma circunferência e, portanto, é chamado de ângulo central

Qualquer ângulo que tenha o vértice no centro de uma circunferência é denominado ângulo central

Quando traçamos um ângulo central, ele determina um arco na circunferência cuja medida pode ser dada em grau.

Na figura, AB é o arco determinado na circunferência pelos lados do ângulo central AOB.

Então, temos:

70°

• a medida do arco menor, AB, é 70°, pois o ângulo central AOB mede 70°;

• a medida do arco ACB é 290°, pois 360° _ 70° = 290°.

Considerando ângulos centrais cuja medida é expressa em grau, podemos dizer que:

• a medida do arco menor é igual à medida do ângulo central cujos lados passam pelas extremidades do arco;

• a medida do arco maior é igual à diferença entre 360° (medida total da circunferência em grau) e a medida do arco menor.

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Atividade complementar

Como atividade complementar, solicitar aos estudantes que construam um quadro relacionando a medida do ângulo central e a fração do comprimento do arco correspondente de uma circunferência. Por exemplo:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco propõem aos estudantes que reconheçam um ângulo central em uma circunferência e estabeleçam relações entre o ângulo central e os arcos correspondentes. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA11

Na atividade 2, verificar se os estudantes não concluíram que a medida de x é 56°, uma vez que as outras medidas também são. Para resolver essa atividade, eles devem considerar o ângulo total da circunferência (360°) e resolver a equação: x + 5 56° = = 360° h x = 80°.

Na atividade 5, espera-se que os estudantes concluam que, como as medidas dos ângulos centrais são iguais, então as medidas dos arcos correspondentes também são iguais.

Na atividade 6, antes de iniciar os cálculos para determinar a medida x do ângulo central AOB ˆ e a medida y do arco AB, espera-se que eles percebam que a medida x do ângulo central é igual à medida do arco AB, ou seja, x = y.

Responda às questões no caderno.

1. Em cada uma das figuras, determine as medidas dos arcos AB eACB

med((AB) ) = 75°; med(ACB) = 285° med((AB) ) = 90°; med(ACB) = 270°

2. Determine a medida x da figura a seguir.

3. Nesta figura, calcule o valor de x (medida do arco BC) e o valor de y (medida do arco DE) x = 45°; y = 90°

4. Em cada uma das figuras a seguir, calcule a medida x do ângulo central associado ao arco menor AB.

5. Na figura, temos que a = b = c, em que a, b e c são as medidas dos ângulos centrais associados a cada arco. Determine a medida dos arcos AB,BCe CA

35°O

6. Sabendo que o triângulo OAB da figura é isósceles, determine a medida  x do ângulo central AOB e a medida  y do arco AB associado a esse ângulo central. AB x y

7. Sabendo que o arco BC mede 80°, calcule o valor da expressão y _ x. A OB

C x y

8. Na figura a seguir, as cordas AB eRS são congruentes. Você pode afirmar que os triângulos AOB e ROS são congruentes? Em caso afirmativo, qual caso de congruência pode justificar sua resposta? R

med((AB) ) = med((BC) ) = med((CA) ) = 120° ˆ c x = y = 110° 20° Sim; caso LLL.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ÂNGULO INSCRITO

Ângulo inscrito é todo ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados secantes a ela.

Na figura, A ˆ BC é um ângulo inscrito. Ele determina, na circunferência, o arco AC

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulo inscrito

Apresentar a definição de ângulo inscrito. Depois, explorar os casos apresentados no Livro do estudante junto à demonstração dada. Se julgar oportuno, solicitar aos estudantes que utilizem um transferidor para conferir as medidas das figuras (tanto na página 133 quanto na página 134 do Livro do estudante).

Na figura, S RT é um ângulo inscrito. Ele determina, na circunferência, o arco ST

A todo ângulo inscrito corresponde um ângulo central, que determina, na circunferência, o mesmo arco determinado pelo ângulo inscrito.

Na figura a seguir, temos:

• A VB é um ângulo inscrito;

• AOB é o ângulo central correspondente;

• ambos determinam o mesmo arco AB

Existe uma relação entre a medida de um ângulo inscrito e a medida do ângulo central correspondente:

A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central correspondente.

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Link

OBMEP Clubes de Matemática da Obmep. Ângulo central e ângulo inscrito: dedução da relação. [S l.], [201-?]. Disponível em: http://clubes.obmep.org. br/blog/angulo-central-e-angulo-inscrito-deducao -da-relacao/. Acesso em: 5 jun. 2022.

No link, é possível explorar visualizações dinâmicas a respeito do ângulo inscrito e do ângulo central. Além disso, é possível assistir a um vídeo com a demonstração do teorema.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A demonstração da relação entre os ângulos central e inscrito em uma circunferência são separadas em três casos: quando o centro O pertence a um dos lados do ângulo inscrito; quando o centro O é interno ao ângulo inscrito; quando o centro O é externo ao ângulo inscrito.

Durante a demonstração, verificar se surgem dúvidas dos estudantes. É importante que eles compreendam o passo a passo para saberem de onde vem a relação encontrada. Se julgar necessário, fazer retomadas pontuais para ajudá-los a compreender o conteúdo.

Vamos demonstrar a relação apresentada na página anterior, considerando três casos.

1o caso: O centro O pertence a um dos lados do ângulo inscrito.

Na figura:

• x é a medida do ângulo inscrito;

• y é a medida do ângulo central correspondente.

Note que o triângulo OBV é isósceles, pois 2 OB OV (ambos são raios da circunferência) e VB é a base. Portanto, os ângulos da base medem x

AMPLIANDO

Atividade complementar

1. Considere uma circunferência de raio r tangente internamente à outra circunferência de raio R e centro O, sendo R = 2r. Responda às questões.

a) Um ângulo inscrito, de 20°, na circunferência menor com vértice em O, determina na circunferência maior um arco de que medida, em grau?

Como y representa a medida do ângulo externo do triângulo OBV, temos:

y = x + x h y = 2x h x = y 2

2o caso: O centro O é interno ao ângulo inscrito. Vamos, novamente, indicar por:

• x a medida do ângulo inscrito;

• y a medida do ângulo central correspondente.

Traçando, pelo vértice V, um diâmetro da circunferência, dividimos o ângulo inscrito em dois ângulos de medidas x1 e x2 (x1 + x2 = x) e o ângulo central correspondente em dois ângulos de medidas y1 e y2 (y1 + y2 = y).

De acordo com o 1o caso, temos:

• y1 = 2x1 (considerando o triângulo AOV);

• y2 = 2x 2 (considerando o triângulo BOV).

Adicionando membro a membro as equações, temos:

y1 + y2 = 2x1 + 2x 2 h y1 + y2 = 2(x1 + x 2) h y = 2x h x = y

b) Um ângulo inscrito na circunferência menor com vértice no ponto de tangência entre as circunferências determina um arco de 80° na circunferência maior. Qual é a medida desse ângulo inscrito e qual é a medida, em grau, do arco que ele determina na circunferência menor?

Resolução da atividade

a) Sabendo que R = 2r, pode-se

fazer um esboço da posição das duas circunferências:

3o caso: O centro O é externo ao ângulo inscrito. Vamos, novamente, indicar por:

• x a medida do ângulo inscrito;

• y a medida do ângulo central correspondente.

Traçando, pelo vértice V, um diâmetro da circunferência, obtemos o ângulo inscrito T VA , de medida z, e o ângulo central correspondente TOA, de medida w, como indicado na figura a seguir. De acordo com o 1o caso, temos:

• w = 2z I

• w + y = 2(z + x) II

Substituindo I em II , temos:

2z + y = 2z + 2x h y = 2x h x = y 2

Como o ângulo central tem a mesma medida do arco determinado por ele na circunferência, existe uma relação entre a medida do ângulo inscrito e a medida do arco correspondente.

A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco determinado por ele na circunferência.

Nesta figura, temos:

• x é a medida do ângulo inscrito A VB;

• AB é o arco determinado pelo ângulo inscrito A ˆ VB

Então: = x me dida do arco AB 2

Acompanhe algumas situações sobre ângulos inscritos.

1 Determinar a medida x do ângulo inscrito A VB nesta figura.

Como a medida do arco AB é 40°, temos:

x = me dida  do arco A B 2 = 40° 2 h x = 20°

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Se o vértice do ângulo inscrito é em O, então é um ângulo central da maior circunferência. Logo, o arco determinado nessa circunferência é de 20°.

b) Sabe-se que um ângulo inscrito na circunferência menor, com vértice no ponto de tangência entre as circunferências, determina um arco de 80° na circunferência maior. Fazendo um esboço da situação tem-se:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Após apresentar os três casos, explorar situações numéricas propostas. Comentar que, antes de aplicar qualquer relação estudada, é necessário analisar a qual caso ela pertence.

Para complementar o conteúdo abordado, se considerar oportuno, propor a atividade complementar sugerida.

27/06/22 11:10

Se o arco determinado por esse ângulo inscrito na circunferência maior é de 80°, então a medida do ângulo inscrito é metade, isto é, 40°. Assim, o arco determinado na circunferência menor tem o dobro da medida do ângulo inscrito correspondente, ou seja, 80°, que é a mesma medida do arco da circunferência maior.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Para resolver as atividades, os estudantes devem aplicar o conceito de ângulo inscrito e a relação de sua medida com a medida do ângulo central correspondente e a relação com a medida do arco determinado por esse ângulo inscrito.

Na atividade 1, os ângulos p e t compreendem o mesmo arco. Observar se os estudantes compreenderam que p é ângulo inscrito e t é ângulo central. Portanto, a medida de t é o dobro da medida de p

Na atividade 3, para calcular x y é preciso constatar que x e y são ângulos inscritos na circunferência que compreendem arcos de medidas, respectivamente, iguais a 86° e 62°.

2 Na figura a seguir, x é a medida do arco AB, associado ao ângulo inscrito A ˆ CB. Vamos determinar o valor de x. De acordo com os dados da figura, temos:

• x : medida do arco AB;

• 63°: medida do ângulo inscrito A ˆ CB

Então: 63° = x 2 h x = 2 ? 63° h x = 126°.

3 Obter o valor da medida x na figura a seguir. De acordo com a figura, AOB é o ângulo central correspondente ao ângulo inscrito A ˆ CB. Então:

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Qual é a relação de igualdade entre as medidas p e t indicadas na figura?

3. Considerando a figura a seguir, calcule o valor da expressão x _ y. 12°

2. A medida do arco BC é 92°. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

x y Determine as medidas x e y.

AB

x = 36° e y = 30°.

5. Na figura a seguir, a corda AB determina, na circunferência, um arco que mede 82°.

9. Qual é a medida do ângulo inscrito na circunferência representada a seguir?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Sabendo que O é o centro e P é um ponto qualquer da circunferência, determine a medida do ângulo:

a) A ˆ OB; 82° b) APB 41°

6. Sabendo que RS mede 140°, calcule o valor das medidas x, a, b e c indicadas na figura a seguir.

x = 40°, a = 140°, b = 20° e c = 20°.

7. Considere a circunferência da figura e determine as medidas s e t indicadas.

s = 104° e t = 38°. med((AÔC)) = 168° e med((ABC)) = 84°.

8. Dada a circunferência da figura a seguir, determine as medidas dos ângulos AOC e A ˆ BC.

7x 10x+48°

AMPLIANDO

Atividade complementar

Q P O R

x + 62° x + 2°

10. Observando esta figura, determine a medida do arco CD e a medida x do ângulo DBC med((CD) ) = 130° e x = 65°.

Na atividade 5, para determinar as medidas dos ângulos solicitados, é importante que os estudantes percebam que med  AOB () ˆ = med AB ()

11. Determine as medidas a , b , c e d indicadas na figura.

Na atividade 8, escrever uma equação a partir da relação que há entre os ângulos. Verificar se os estudantes têm dúvidas nesse momento e, se necessário, ajudá-los nesse passo, de modo que compreendam que 7x = ° + 10 x48 2 Depois de fazerem os cálculos, devem substituir o valor de x em cada expressão de medida dos ângulos. Ou seja, 10x + 48° h h 10 ? 12° + 48° = 168° e 7x h 7 12° = 84°.

Na atividade 13, verificar se os estudantes percebem que os ângulos CÔB e DÂB são correspondentes.

12. Em uma circunferência, med((AB) ) = 2x, med ( (BC) ) = 3x, med ( (CD) ) = x + 30° e med((DA) ) = x + 50°. Determine a medida do ângulo inscrito:

a) BÂC; 60° b) BCD 85°

13. Em uma semicircunferência de centro O e diâmetro AB, OC ⁄ AD e med((CD) ) = 45°. Determine a medida x indicada na figura. Analise e compare com os colegas as estratégias que vocês utilizaram para resolver esse problema.

Se considerar pertinente, propor a atividade complementar a seguir.

Considere a figura dada, na qual BC é o diâmetro da circunferência. Note que os vértices do * ABC estão na circunferência, e o diâmetro BC é um dos lados desse triângulo. Nesse caso, dizemos que o * ABC está inscrito na semicircunferência.

Responda às questões a respeito dessa situação.

a) Qual é a medida do arco BC? Resposta: 180°.

b) Qual é o valor da medida a indicada? Resposta: a = 90°.

c) Como você classifica o * ABC quanto aos ângulos? Resposta: Triângulo retângulo.

45°. Resposta pessoal.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Essa seção permite aos estudantes verificar por meio do uso de um software o fato de que todo ângulo inscrito em uma circunferência mede exatamente metade do ângulo central correspondente a ele. Esse estudo favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências gerais 2 e 5 e da competência específica 2 da área de Matemática.

Explorar com eles o passo a passo proposto na seção, relacionando-a com a demonstração dessa propriedade; desse modo, pode-se validar o conhecimento adquirido e eliminar possíveis dúvidas.

Conversar com eles a respeito do uso da tecnologia como um facilitador para a construção de figuras e verificação de relações que possam existir entre partes delas. Enfatizar que apenas a demonstração matemática pode garantir que relações encontradas valem para qualquer figura do mesmo tipo.

No decorrer da aula, incentivá-los a se expressarem oralmente para que eles se familiarizem com os termos matemáticos, além de possibilitar que se sintam encorajados a expressar as opiniões. Desse modo, busca-se favorecer o desenvolvimento da capacidade de argumentação

TECNOLOGIAS

ÂNGULO INSCRITO E ÂNGULO CENTRAL

Nesta seção, utilizaremos o software gratuito GeoGebra para verificar a relação entre o ângulo inscrito e o ângulo central de uma circunferência.

Acesse o GeoGebra on-line em https://www.geogebra.org/classic?lang=pt (acesso em: 7 mar. 2022) e acompanhe as instruções a seguir.

1 Abra o programa e, com o botão direito do mouse, oculte os eixos e a malha. Para isso, clique no símbolo do botão Exibir Eixos; depois, clique em Exibir Malha e selecione a opção “Sem Malha”.

2 O próximo passo é construir uma circunferência. Para isso, basta selecionar a ferramenta Círculo dados Centro e Um de seus Pontos

3 Selecione a ferramenta Ponto em Objeto e marque dois pontos na circunferência, denominados C e D. Depois, clique no botão Segmento e construa os segmentos de retas AD, AC, DB e BC

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4 Por fim, construa os ângulos central e inscrito. Para isso, clique na ferramenta Ângulo e selecione os pontos D, A e C para construir o ângulo central DAC. Depois, selecione os pontos D, B e C para construir o ângulo inscrito D ˆ BC

c

• Agora, movimente os pontos B, C e D, modificando as medidas dos ângulos inscrito e central. Copie no caderno o quadro a seguir e anote algumas dessas medidas.

Ângulo inscrito Ângulo central

Responda às questões no caderno.

1. Analise o quadro que você preencheu. O que é possível concluir?

2. Organizados em trios, escolham uma das atividades desta Unidade para resolvê-la com o software GeoGebra, utilizando as orientações desta seção. Após resolvê-la, cada trio deverá propor um desafio de modificação da atividade escolhida para outros grupos resolverem

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Espera-se que os estudantes verifiquem a propriedade de que a medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central correspondente.

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Depois que os estudantes tiverem tido a oportunidade de explorar o software, solicitar que respondam às questões propostas no Livro do estudante. Acompanhar o preenchimento do quadro. Espera-se que eles concluam que a medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central correspondente. Depois, verificar quais atividades foram selecionadas pelos trios para seguirem os procedimentos indicados usando o software utilizado na seção. Incentivar os trios a compartilhar com os colegas dúvidas que tenham surgido ao longo do processo. Esse trabalho propicia um momento para que eles possam exercitar a curiosidade intelectual, formular e resolver problemas e validar as estratégias adotadas ao longo do processo, o que favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 5 da área de Matemática.

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FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência

Apresentar os dois casos de ângulos: quando o vértice é um ponto interno à circunferência, distinto do centro; e quando o vértice é um ponto externo à circunferência. Verificar se, durante o desenvolvimento desses casos, surge alguma dúvida dos estudantes. Após a exploração do conteúdo abordado no Livro do estudante, pode-se apresentar alguns, como sugerido na Atividade complementar a seguir.

ÂNGULOS CUJOS VÉRTICES NÃO PERTENCEM À CIRCUNFERÊNCIA

Vamos analisar dois casos de ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência e que não são ângulos centrais.

1o caso: O vértice é um ponto interno à circunferência, distinto do centro.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Como x é a medida de um ângulo externo ao triângulo APD, temos que x = a + b. Note que:

a = med( AB ) 2 e b = med(CD) 2 (â e b são ângulos inscritos)

Então, podemos escrever:

x = med( AB ) 2 + med(CD) 2

2o caso: O vértice é um ponto externo à circunferência.

Como a é a medida de um ângulo externo ao triângulo APC, temos:

a = x + b h x = a _ b

Mas:

a = med(CD) 2 e b = med( AB ) 2 (â e b são ângulos inscritos)

Então, podemos escrever:

x = med(CD) 2 _ med( AB ) 2

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Para aplicar as relações desse tema, sugerir a seguinte atividade.

O diâmetro de uma circunferência é o lado menor de um triângulo isósceles, conforme mostra a figura.

EDITORIADEARTE

Determine a medida de todos os ângulos internos desse triângulo, sabendo que um dos arcos determinado pelo triângulo mede 80°.

Resolução da atividade

Para resolver, considerar o arco maior determinado pelo triângulo com medida de 180°, pois o ângulo central é o ângulo raso (o arco é uma semicircunferência).

Portanto, o arco menor é o que mede 80°. Assim, a medida v do ângulo do vértice do triângulo que é externo à circunferência é dada por:

v = 180° 80° 2 = 50°

O triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. Ao indicar a medida dos ângulos da base por b, basta resolver a equação:

b + b + v = 180°

2b + 50° = 180° h 2b = 130° h b = 65°

Logo, as medidas dos ângulos internos do triângulo são 65°, 65° e 50°.

Acompanhe as seguintes situações.

1 Determinar a medida x indicada na figura, dados med( AB ) = = 60° e med(CD) = 30°.

De acordo com o 1o caso, temos:

x = med( AB ) 2 + med(CD) 2 h x = 60° 2 + 30° 2

x = 45°

2 Determinar a medida x indicada na figura, dados med( AB ) = 130° e med(CD) = 50°.

De acordo com o 2o caso, temos:

x = med( AB ) 2 _ med(CD) 2 h x = 130° 2 50° 2

x = 40°

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

As atividades desse bloco propõem aos estudantes que apliquem o conceito de ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência e não são ângulos centrais.

Na atividade 1, os estudantes devem escrever as relações entre os ângulos para os dois casos estudados, mas em função de t e s. No item a, espera-se que eles concluam que x = + ts 2 e, no item b, que x = ts 2

Responda às questões no caderno.

D B C x x = t + s 2 b)

A

C D P 28° 86° 57°

D2-MAT-F2-2103-V9-U4-118-143-LA-G24.indd

2

a

MC D E 157°

Nas atividades 2 e 3, os estudantes devem calcular as medidas indicadas nas figuras. Se possível, acompanhar as resoluções e verificar as dúvidas mais recorrentes, fazendo intervenções sempre que julgar oportuno. No item a da atividade 2 , por exemplo, para se obter a medida  x , deve-se calcular x =

°° + 86 28 2

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE 141

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

As questões apresentadas nessa seção visam retomar o trabalho abordado nos capítulos ao longo da Unidade, o que favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA10 e EF09MA11.

Incentivar os estudantes a socializar as estratégias que utilizaram e trocar ideias com os colegas a respeito de temas sobre os quais ainda tenham dúvida. Acompanhá-los e orientá-los nesse trabalho. Se necessário, explicar na lousa as dúvidas que ainda persistem.

Esse bloco de atividades pode ser uma ferramenta para que eles façam uma autoavaliação; para isso, é interessante que eles façam individualmente. Sugerir-lhes que realizem essa atividade durante a aula, assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. Esse tipo de ação amplia a capacidade de comunicação dos estudantes, além de beneficiar a cooperação entre eles.

Outra possibilidade é propor que eles resolvam algumas questões em casa e desenvolvam outras em aula, formando duplas ou grupos com os colegas. Nessa interação, devem aproveitar para fazer a autocorreção daquelas que trouxeram prontas.

Em ambas as situações, incentivar os estudantes a justificar as estratégias utilizadas por meio dos conceitos estudados. Pedir a eles que descrevam como pensaram e socializem as respostas. Se necessário, devem buscar e rever os conceitos no Livro do estudante.

Na atividade 2, ressaltar para os estudantes que eles devem notar que DC e BC são congruentes, resolver a equação formada a partir dessa informação, concluindo que x  =  18. Depois, como o

Responda às questões no caderno.

1. Na figura, as retas r e s são paralelas, â mede 60° e ˆ b mede 80°. Qual é a medida, em grau, de ˆ c? Alternativa c.

a) 10° d) 45°

b) 55° e) 50°

c) 140°

5. Na figura a seguir, a distância entre os pontos A e B é de 29 cm.

Sabendo que A e B são centros das circunferências dadas e que x _ y = 6,5, qual é o valor de y? Alternativa e.

r s

2. A medida do diâmetro da circunferência a seguir é 40 cm. Alternativa a.

a) 7

b) 6,5

c) 4

d) 3,5

e) 0,5

6. Na figura, o ponto O é o centro da circunferência, e o arco AT mede 75°. Quanto mede o ângulo obtuso OTB?

a) 95°

b) 105°

c) 110°

d) 115°

e) 125°

3. O triângulo ABC a seguir é isósceles, com AB 2 AC e RB 2 BT 2 TC 2 CS Sabendo que med((AS) ) = a e med((S C) ) = b, qual é o polinômio que expressa o perímetro do triângulo ABC? Alternativa c.

a) 2a + 2b c) 2a + 4b

b) 4a + 2b d) 4a + 4b

a c b A BT

7. Considerando os dados da figura a seguir, podemos dizer que a razão x y vale:

4. Em uma circunferência, a medida do raio, em metro, corresponde à solução da equação 1 3 _ 3x = 2 3 + x. Então, o diâmetro dessa circunferência mede:

a) 10 m.

b) 0,25 m.

c) 0,5 m.

d) 0,05 m.

e) 2 m.

RS C Alternativa c.

diâmetro da circunferência é 40 cm, então o raio mede 20 cm. Logo, AB  + BC + CD + AD =

110 cm.

Na atividade 6 , para calcular a medida do ângulo obtuso OT B, pode-se fazer: med OT B ()

= x. Depois, calcula-se x + 75 + + 90° + 90° = 360°

a) 0,5. b) 0,75. c) 0,25. d) 2. e) 4.

8. Na figura a seguir, o arco AB mede 120°. Se x = 2y, qual é o valor da expressão x _ y?

a) 30°

b) 40°

c) 42°

d) 45°

e) 50°

9. Considerando a figura a seguir, pode-se afirmar que x _ y é igual a: Alternativa a.

11. Na figura a seguir, AB é o diâmetro da circunferência. Alternativa c. Qual é o valor, em grau, da medida y?

a) 70°

b) 64°

c) 60°

d) 58°

e) 48°

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

28°. c) 31°. d) 33°. e) 36°. f) 20°.

10. Qual é o valor da medida x indicada na figura? Alternativa e.

12. Sabendo que o ponto O é o centro da circunferência, qual é o valor da medida  x indicada na figura? Alternativa d.

Os questionamentos propostos no encerramento desta Unidade possibilitam aos estudantes fazer reflexões a respeito das aprendizagens individuais, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber o que aprenderam e as possíveis dúvidas que ainda persistem.

Propor aos estudantes que criem uma organização própria de registros para que possam avaliar os conhecimentos adquiridos ao longo desses estudos.

a) 75° b) 65° c) 55° d) 45° e) 35° f) 25°

a) 54° b) 46° c) 38° d) 34° e) 28°

Nesta Unidade, estudamos ângulos e circunferência. Foram abordados os ângulos determinados por retas transversais, os ângulos correspondentes, os ângulos alternos, os ângulos colaterais, os elementos de uma circunferência, as posições relativas de uma reta em relação a uma circunferência, os arcos de circunferência e os ângulos centrais, o ângulo inscrito em uma circunferência e os ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência.

Elabore um fichamento dos conteúdos explorados, fazendo registros gráficos (desenhos), exemplos e lembretes. Na abertura, foi apresentada uma aplicação da circunferência e do círculo na Arte.

Como você entende que as propriedades estudadas possam fazer parte de um objeto artístico que utilize esses conceitos?

Em seguida, registre suas dúvidas para um debate em sala de aula, de modo a solucionar, de maneira colaborativa, as questões que surgirem.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• O que são ângulos complementares? E suplementares?

• O que são ângulos correspondentes? Qual é a diferença entre ângulo correspondente e ângulo congruente? Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Explique, com suas palavras, a diferença entre circunferência e círculo

pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

A primeira questão proposta possibilita aos estudantes lembrar-se da relação entre os ângulos, definindo quando são complementares ou suplementares.

A segunda questão leva os estudantes a refletir a respeito dos ângulos correspondentes e ângulos congruentes.

A terceira questão resgata a diferença entre circunferência e círculo. Verificar se, ao finalizar a unidade, os estudantes têm clareza e conseguem distingui-los e nomeá-los corretamente. Caso seja necessário, retomar as definições disponibilizadas no Livro do estudante.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

UM

NOVO OLHAR

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2 e 7

Competências específicas:

• 2, 4 e 5

Habilidades:

Álgebra

• EF09MA07

Geometria

• EF09MA10

• EF09MA08

• EF09MA12

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em três capítulos e apresenta os conteúdos por meio de exemplos contextualizados e atividades diversificadas, que têm como objetivo contribuir para o desenvolvimento das competências gerais 1, 2 e 7 e das competências específicas 2, 4 e 5.

No primeiro capítulo, é feita uma retomada dos conceitos de razão e proporção para então dar continuidade ao conteúdo, de modo a proporcionar aos estudantes, no segundo capítulo, compreender a propriedade de um feixe de retas paralelas e o teorema de Tales, utilizando esse conhecimento para resolver problemas e para determinar a medida do comprimento de segmentos de retas, aplicando-o em triângulos. Esse estudo propicia o desenvolvimento das habilidades EF09MA07, EF09MA08 e EF09MA10. No terceiro capítulo, são explorados os conceitos de polígonos semelhantes e a semelhança de triângulos, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EF09MA12.

OBJETIVOS

• Retomar e ampliar os conceitos de razão e proporção.

• Resolver problemas envolvendo razão e proporção em diferentes contextos.

• Calcular a razão entre dois segmentos de reta.

PROPORÇÃO E SEMELHANÇA 5

Espera-se que os estudantes respondam que é possível identificar a distorção na imagem cuja modificação foi apenas na direção vertical.

Espera-se que os estudantes respondam que podemos considerar semelhantes a imagem original e a imagem reduzida em que a proporção entre as medidas nas direções horizontal e vertical foi fixada.

Quando utilizamos um software para ampliar ou reduzir imagens, temos a opção de fixar a proporção entre as medidas das imagens. Desse modo, mesmo que deformemos uma imagem somente em uma direção, o software compensa na outra direção, preservando a proporção entre as medidas da imagem.

Imagine, por exemplo, que a fotografia em destaque tenha sido utilizada em um catálogo do acervo do Palácio dos Leões, mas teve de ser reduzida com o auxílio de um software. Acompanhe algumas modificações que essa imagem poderia apresentar ao ser manipulada em um software desse tipo.

Ao fundo, a fachada do Palácio dos Leões, em São Luís (MA), 2021. A sede do Governo do Estado do Maranhão data historicamente de 1612 e conta com 3 mil metros de área construída divididos em uma área reservada para a residência do governador, uma área administrativa e uma ala aberta à visitação.

• Compreender a propriedade de um feixe de retas paralelas.

• Verificar e compreender o teorema de Tales.

• Compreender o teorema da bissetriz interna de um triângulo.

• Reconhecer figuras e polígonos semelhantes.

• Compreender e resolver problemas envolvendo o teorema fundamental da semelhança de triângulos.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresenta-se uma retomada dos conceitos de razão e proporção com o objetivo de preparar os estudantes para ampliar o estudo e abordar conteúdos novos, como segmentos proporcionais, propriedade de um feixe de retas paralelas e teorema de Tales. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento das habilidades EF09MA07, EF09MA08

Imagem original de vaso de porcelana francês, pertencente ao acervo do Palácio dos Leões e datado do século XX.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

A partir do texto e da observação das imagens, responda no caderno às questões a seguir.

• Você já utilizou um software para ampliar ou reduzir imagens? Em caso afirmativo, procurou manter a proporção das medidas nas direções horizontal e vertical da imagem?

Resposta pessoal.

• Em relação às reduções da imagem apresentadas, em qual delas podemos identificar, de maneira mais evidente, a distorção ao compararmos com a imagem original?

• A partir do conceito matemático de semelhança entre figuras, qual par de imagens podemos considerar figuras semelhantes?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Abertura de Unidade

A abertura desta Unidade apresenta uma imagem de uma obra que pertence ao acervo do Palácio dos Leões, em São Luís (MA). Ao iniciar esse estudo, perguntar aos estudantes se já ouviram falar nesse museu; se possível, levá-los à sala de informática e proporcionar um momento para que eles consigam explorar o acervo digital do museu, disponível em: https://acervo.pala ciodosleoes.ma.gov.br/colecoes/ (acesso em: 10 jul. 2022).

Se considerar oportuno, explorar também outros sites, como o do Museu Nacional, disponível em: https://artsand culture.google.com/project/museu -nacional-brasil (acesso em: 10 jul. 2022); ou o da Pinacoteca do Estado de São Paulo, disponível em: https://portal.iteleport.com.br/ tour3d/pinacoteca-de-sp-acervo -permanente/?utm_medium=we bsite&utm_source=archdaily.com. br (acesso em: 10 jul. 2022). Essas explorações podem ser realizadas em parceria com o professor de História.

Imagem da obra reduzida, mantendo a proporção entre as medidas nas direções horizontal e vertical.

Imagem da obra reduzida de maneira distorcida, modificada apenas na direção vertical.

Imagem da obra reduzida de maneira distorcida, modificada em ambas as direções, mas sem fixar a proporção.

e EF09MA10. Ao abordar o estudo de figuras semelhantes busca-se favorecer o desenvolvimento da habilidade EF09MA12

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No boxe Fórum, aborda-se a importância do contexto nos mapas, estudo que pode ser realizado em parceria com o professor de Geografia.

Na seção Por toda parte , são abordados aspectos que favorecem o desenvolvimento da competência geral 1.

Outra sugestão de encaminhamento é propor aos estudantes que, ainda na sala de informática, formem duplas. Orientar cada dupla a escolher uma imagem no acervo digital do Palácio dos Leões e a manipular a imagem escolhida, fazendo a ampliação. Solicitar a eles, por exemplo, que, primeiro, anotem as medidas da imagem original; depois, que façam uma ampliação sem que haja distorção e anotem as medidas da imagem. O procedimento de ampliar e anotar as medidas deve ser repetido três ou quatro vezes, sempre anotando as medidas da imagem após a ampliação. Perguntar a eles o que essas medidas têm em comum. Verificar se eles identificaram que a razão entre a medida da largura e a medida da altura é a mesma em todas as imagens. Se necessário, retomar a atividade posteriormente.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Segmentos proporcionais

Uma sugestão de condução do conteúdo deste capítulo é, antes de iniciar o estudo proposto na página 146 do Livro do estudante, fazer uma verificação dos conhecimentos prévios dos estudantes sobre razão e proporção. Essa verificação pode ser feita de maneira informal, não sendo necessário aplicar uma avaliação diagnóstica propriamente dita, a depender do perfil da turma. Após esse momento de sondagem dos conhecimentos deles, é possível alinhar o planejamento das aulas à necessidade dos estudantes. Esse tipo de abordagem também possibilita uma reflexão sobre a prática docente, uma vez que, ao fim do processo, é possível refletir se o planejamento e as escolhas feitas para a abordagem do conteúdo refletem o resultado esperado.

Ao fazer a retomada proposta no Livro do estudante, podese, por exemplo, perguntar a eles o que significa dizer que a velocidade média de um carro é 65 km/h. Espera-se que eles respondam que isso quer dizer que, a cada uma hora, o carro percorreu, em média, 65 km.

Pense e responda

As atividades têm como objetivo levar os estudantes a retomar e ampliar os conceitos de razão e de proporção.

Uma sugestão de encaminhamento é propor a eles que resolvam individualmente as atividades propostas e justifiquem as respostas. Depois, as justificativas podem ser discutidas e, sempre que necessário, pode-se retomar os conceitos de razão e de proporção para verificar a pertinência das justificativas apresentadas. Desse modo, inicia-se o trabalho com as habilidades EF09MA07 e EF09MA08.

CAPÍTULO1 RAZÃO E PROPORÇÃO

SEGMENTOS PROPORCIONAIS

Vamos retomar os conceitos de razão e proporção estudados anteriormente. Acompanhe a situação a seguir.

Um automóvel percorreu uma distância de 455 km em 7 horas. Qual foi a velocidade média desse automóvel nesse percurso?

A velocidade média de um carro é a razão entre a distância total percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. Ou seja: velocidade média = distância te mpo

Assim, a velocidade média (v) do carro é dada por: ==h= v 455 7 65 v65k m/h

Dados dois números reais a e b, com b 5 0, chama-se razão entre a e b ou razão de a para b o quociente de a por b, ou seja, a : b ou a b

Considere que outro carro percorreu 910 km em 14 horas. Então, podemos dizer que a velocidade média de ambos os carros foi a mesma, pois = 455 7 910 14

A igualdade entre essas razões indica que foi mantida a proporção entre a distância percorrida pelos carros e o tempo gasto em cada percurso. Dizemos que os números 455, 7, 910 e 14, nessa ordem, são proporcionais, ou seja, formam uma proporção.

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. Determine a razão entre os números:

a) 14 e 20

b) 35 e 50.

2. A razão entre 14 e 20 é igual à razão entre 35 e 50?

a) 14 20 7 10 = ou 0,7. b) 35 50 7 10 = ou 0,7. Sim. Sim.

3. De acordo com a definição de números proporcionais, pode-se afirmar que os números 14, 20, 35 e 50, nessa ordem, são proporcionais?

Se julgar oportuno, compartilhar com eles os textos a seguir sobre Tales de Mileto.

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O que se sabe de fato sobre a vida e obra de Tales é realmente muito pouco. A opinião antiga é unânime em considerar Tales como um homem de rara inteligência [...] Tales foi frequentemente saudado como o

primeiro matemático [...] criador da organização dedutiva da geometria. Esse relato, ou lenda, foi ornamentado acrescentando-se a esse teorema quatro outros, que se diz terem sido demonstrados por Tales [...] BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta Caecilia. História da Matemática. 3. ed. Tradução: Helena Castro. São Paulo: Blucher, 2018. p. 55.

RAZÃO ENTRE SEGMENTOS

As ideias de proporção e de sua aplicação em Geometria são bastante antigas. Aproximadamente em 600 a.C., Tales (c. 624 a.C.-c. 548-545 a.C.), matemático da cidade grega de Mileto, desenvolveu um dos trabalhos mais importantes sobre esse assunto. Conta-se que Tales, em uma de suas viagens ao Egito, foi desafiado a descobrir a altura da grande pirâmide de Quéops.

altura da pirâmide (AB = ?)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Razão entre segmentos

metade da medida da aresta da base comprimento da sombra da pirâmide

Com apenas um bastão e aplicando os conhecimentos que tinha sobre segmentos proporcionais, Tales venceu o desafio. Ele sabia que a razão entre a altura da pirâmide e o comprimento da sombra projetada pela pirâmide (adicionado à metade do comprimento da aresta da base da pirâmide) era igual à razão entre a altura do bastão e o comprimento da sombra que ele projetava; bastava, portanto, fazer os cálculos.

altura do bastão

comprimento da sombra do bastão

Chamamos de razão entre dois segmentos de retas a razão entre os números que expressam as medidas desses segmentos, sempre tomados na mesma unidade

Analise os exemplos a seguir.

1 Determinar a razão entre o segmento CD e o segmento AB representados a seguir.

CD 6 cm 12 cm

A B

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS. EDITORIA

A razão entre segmentos é retomada para que os estudantes voltem a se familiarizar com esse tema e possam compreender os conceitos que serão abordados ao longo da Unidade. Se julgar oportuno, sugerir aos estudantes que façam uma pesquisa a respeito da vida e da obra do matemático grego Tales de Mileto. Nesse momento, é possível discutir com eles a importância da Matemática para solucionar problemas. Outro ponto interessante é que, ao trazer um pouco do contexto histórico, se amplia os conhecimentos dos estudantes a respeito da história da Matemática.

: 6

Como as medidas dos segmentos estão em centímetro, a razão procurada é: ==

CD AB 6 12 1 2 ou 0,5

: 6 razão procurada

2 Qual é a razão entre os segmentos AB e DE, com AB = 60 cm e DE = 2 m? Vamos, inicialmente, escrever as duas medidas na mesma unidade.

AB = 60 cm

DE = 2 m = 200 cm

Agora, podemos determinar a razão entre os segmentos AB e DE:

: 20

== AB DE 60 200 3 10 ou 0,3

: 20 razão procurada

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Segundo parece, Tales começou sua vida como mercador, tornando-se rico o bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e a algumas viagens. Diz-se que ele viveu por algum tempo no Egito, e que despertou admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra [...]. De volta a Mileto ganhou reputação, graças a seu gênio versátil, de

estadista, conselheiro, engenheiro, homem de negócios, filosofo, matemático e astrônomo. Tales é o primeiro personagem conhecido a quem se associam descobertas matemáticas. [...]

EVES, Howard. Introdução à história da Matemática . Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora Unicamp, 2011. p. 95.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O trabalho com escalas pode ser desenvolvido em parceria com o professor de Geografia, uma vez que há uma estreita relação entre razão e proporção e a representação de mapas. Se possível, realizar um planejamento que forneça mais informações sobre a aplicação desses conceitos nos contextos geográficos.

Se possível, explorar alguns exemplos de uso de escalas em mapas. Se sentir necessidade, retomar com os estudantes as transformações de unidades de medida de comprimento. Propor que, em duplas, eles organizem um registro com as principais transformações de medidas de comprimento. Perguntar, por exemplo: “2 000 metros correspondem a quantos quilômetros?”; “5 quilômetros correspondem a quantos metros?”; “1 metro corresponde a quantos centímetros?”; “400 centímetros correspondem a quantos metros?”.

SAIBA QUE

Como as medidas de segmentos de retas são sempre expressas por números positivos, a razão entre dois segmentos também é um número real positivo.

• Se a razão for um número racional, dizemos que os segmentos são comensuráveis. Por exemplo:

= AB CD 1 2 AB e CD são segmentos comensuráveis, pois 1 2 é um número racional.

• Se a razão for um número irracional, dizemos que os segmentos são incomensuráveis. Por exemplo:

= MN PQ 2 5 MN e PQ são segmentos incomensuráveis, pois 2 5 é um número irracional.

Escala

Um caso típico do uso da razão entre dois segmentos é a escala. Acompanhe o exemplo a seguir. Analise o mapa do estado do Rio de Janeiro, com destaque para Petrópolis e Vassouras, municípios do interior fluminense. Neste mapa, a distância, em linha reta, entre esses dois municípios é de aproximadamente 1,83 cm. Sabendo que a distância real, em linha reta, entre Petrópolis e Vassouras é de, aproximadamente, 51 km, qual foi a escala utilizada nesse mapa?

Estado do Rio de Janeiro

Vassouras Petrópolis Rio de Janeiro

Como 51 km equivalem a 5 100 000 cm, a razão entre a distância representada no mapa e a distância real entre os dois municípios é:

AMPLIANDO

Atividades complementares

1. (Enem/MEC) Na construção de um conjunto habitacional de casas populares, todas serão feitas num mesmo modelo, ocupando, cada uma delas, terrenos cujas dimensões são iguais a 20 m de comprimento por 8 m de largura. Visando à comercialização dessas casas, antes do início das obras, a empresa resolveu apresentá-las por meio de maquetes construídas numa escala de 1 : 200.

SP 0 ? km

OCEANO ATLÂNTICO

Logo, a escala utilizada nesse mapa foi de 1 : 2 786 885,24.

1, 83

5 100 000 1

2 786 885,24 =

Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRARIA E ESTATÍSTICA. Mapa político do Rio de Janeiro. Portal de mapas do IBGE. Rio de Janeiro, [c2022]. Disponível em: https://portaldemapas.ibge.gov.br/ portal.php#mapa124. Acesso em: 16 mar. 2022.

Essa razão indica que cada 1 centímetro representado no mapa corresponde a 2 786 885,24 cm da distância real, ou seja, cada 1 cm corresponde a aproximadamente 28 km.

Escala é a razão entre a medida do comprimento de um desenho e a medida do comprimento real correspondente, expressas na mesma unidade.

= escala me dida do comprime ntonodese nho me dida do comprime ntoreal

27/06/22 15:11

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As medidas do comprimento e da largura dos terrenos, respectivamente, em centímetros, na maquete construída, foram de:

Por fim, confiram as resoluções.

Resolução das atividades

1. Medida do comprimento do terreno na maquete:

a) 4 e 10.

b) 5 e 2. c) 10 e 4. d) 20 e 8. e) 50 e 20.

2. Faça uma pesquisa e escolha um mapa de uma fonte confiável. Elabore um problema que envolva a escala desse mapa e que aborde proporção. Depois, troque de caderno com um colega para que um resolva o problema elaborado pelo outro.

20 m = 2 000 cm

1

200 x 2000 =h 200x = 2 000 h x = 10

Ou seja, 10 cm.

Medida da largura do terreno na maquete:

8 m = 800 cm

148

ATIVIDADES

1. Não, pois a razão 540 : 6 = 90 é diferente da razão 331 : 4 = 82,75. Ou seja, o caminhão e o carro apresentaram velocidades médias não proporcionais.

Responda às questões no caderno.

1. Um caminhão percorreu 540 km em 6 horas. Já um carro percorreu uma distância de 331 km em 4 horas. O caminhão e o carro, nos percursos citados, apresentaram velocidades médias proporcionais? Justifique.

2 a) 300 000 km/s

2. Leia as informações e responda.

A distância entre a Terra e o Sol é de, aproximadamente, 150 000 000 km.

A luz do Sol, para atingir a Terra, leva em torno de 500 segundos.

a) Qual é a velocidade da luz no vácuo?

b) Quantos minutos a luz do Sol leva para chegar à Terra?

Cerca de 8 minutos e 20 segundos.

3. O segmento AB mede 16 cm, e o segmento CD mede 40 cm. Qual é a razão entre AB e CD nas formas fracionária e decimal?

2 5 e 0,4.

4. A razão entre dois segmentos é 0,4, e o maior deles mede 8 m. Qual é a medida do menor segmento, em metro?

3,2 m

5. Na figura a seguir, a representa a medida do segmento AB, e b, a medida do segmento BC AB C ab

Sabendo que a e b correspondem às raízes da equação x 2 24x + 135 = 0, determine a e b e calcule a razão entre AB e BC

7. Um segmento de reta de 2 cm de comprimento representa, no papel, uma estrada reta que tem 20 km de comprimento. Nessa mesma representação, um segmento de reta de 8 cm representa que medida de comprimento real?

80

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades deste bloco exploram a ideia de que a razão entre as medidas de dois segmentos, tomadas na mesma unidade, determinam a razão entre dois segmentos. Os estudantes também podem resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade média, conforme orienta a habilidade EF09MA07.

EDITORIA DE ARTE

a = 9, b = 15; AB BC 3 5 = ou 0,6. 1 : 300

6. Um terreno quadrangular tem 15 m de comprimento. Esse comprimento foi representado em um desenho por um segmento de reta de 5 cm. Qual foi a escala usada nesse desenho?

Boa Vista Manaus Porto Velho Rio Branco Belém Macapá Cuiabá Campo Grande Goiânia BRASÍLIA Palmas 50° O Equador 0° Trópico de Capricórnio OCEANO ATLÂNTICO Capital federal Capital estadual Divisa estadual Fronteira AMAZONAS AMAPÁ PARÁ MATO GROSSO RONDÔNIA MATO GROSSO DO SUL TO DF GOIÁS RORAIMA ACRE 0 500 Brasil: regiões Norte e Centro-Oeste SONIA VAZ 149

Se possível, solicitar que as atividades sejam realizadas em sala de aula e individualmente; desse modo, pode-se verificar se os estudantes apresentam alguma dificuldade durante a execução das atividades, o que permite auxiliá-los e propor retomadas precisas.

Na atividade 3, espera-se que os estudantes não apresentem dificuldade em escrever a razão entre os segmentos nas formas fracionária e decimal; no entanto, caso perceba alguma dúvida, fazer uma breve retomada para esclarecer essas dúvidas.

Na atividade 7, caso necessário, orientá-los a começar fazendo o cálculo da escala utilizada, para depois realizar o cálculo da medida do comprimento real do segmento de reta.

Se julgar oportuno, propor outras atividades para ampliar o estudo. Algumas sugestões são apresentadas na atividade complementar a seguir.

1

200 x 800 =h 200x = 800 h x = 4

Ou seja, 4 cm.

Portanto, a alternativa c é a correta.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes apliquem os conhecimentos sobre razão, proporção e escalas para elaborar e resolver os problemas. Se houver algum mapa disponível na escola, é possível utilizá-lo para elaborar um problema com base nele que envolva razão e proporção, como a atividade 8 proposta no Livro do estudante.

18/06/22 13:53 149

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Segmentos proporcionais

Uma sugestão de encaminhamento para abordar o tópico segmentos proporcionais é convidar os estudantes a formar duplas e propor que meçam, usando uma régua graduada, a medida do comprimento de alguns objetos que podem ser encontrados na sala de aula, determinem a razão entre essas medidas e comparem os valores obtidos. Desse modo, será possível verificar a existência ou não de proporcionalidade entre as medidas dos comprimentos considerados. Solicitar que façam as anotações de maneira organizada individualmente, no caderno.

Incentivar a socialização desses resultados com os colegas; desse modo, incentiva-se a curiosidade intelectual, a análise crítica e a argumentação, previstas nas competências gerais 2 e 7.

SEGMENTOS PROPORCIONAIS

Pelas definições de razão e proporção entre segmentos, podemos dizer que quatro segmentos, AB, CD , EF e GH, nessa ordem, são proporcionais quando a razão entre as medidas dos dois primeiros for igual à razão entre as medidas dos dois últimos.

AB, CD, EF e GH são, nessa ordem, segmentos proporcionais quando = AB CD EF GH , em que as medidas dos segmentos estão expressas na mesma unidade de medida.

Acompanhe as seguintes situações em que podemos aplicar esse conceito.

1 Considerar o segmento AB, de 4 cm; o segmento CD, de 6 cm; o segmento EF, de 8 cm; e o segmento GH, de 12 cm. Nessa ordem, é possível dizer que esses são segmentos proporcionais?

= AB CD 4 6 == EF GH 8 12 4 6 h= AB CD EF GH

: 2 : 2

Portanto, AB, CD, EF e GH , nessa ordem, são segmentos proporcionais.

2 Os quatro segmentos, AB, MN, CD e XY , nessa ordem, representados a seguir, são segmentos proporcionais. Encontrar a medida de XY

AB 5 cm

AMPLIANDO

Atividades complementares

15 cm

Como AB, MN, CD e XY , nessa ordem, são proporcionais, temos: = AB MN CD XY

Mas: == AB MN 5 15 1 3

Então: =h=h= CD XY 1 3 4 XY 1 3 XY 12

Assim, a medida de XY é 12 cm.

D2-MAT-F2-2103-V9-U5-144-175-LA-G24_AV3.indd 150

1. Brasília, a terceira capital do Brasil, localizada no território do Distrito Federal, foi inaugurada em 21 de abril de 1960 pelo então presidente Juscelino Kubitschek. Pesquise e responda no caderno.

a) Em um mapa, a distância entre Brasília e Salvador, em linha reta, é 21,2 cm. Se a distância real, em linha reta, é 1 060 km, em qual escala o mapa foi confeccionado?

b) Um mapa foi confeccionado na escala

1  : 10 000 000. Em linha reta, a distância real entre Brasília e Florianópolis é de 1 310 km. Qual é a distância entre as duas cidades nesse mapa?

2. A fotografia do tipo 3 x 4 (três por quatro), muito usada em documentos, tem formato retangular cujos lados medem 3 cm e 4 cm.

a) Deseja-se ampliar uma fotografia 3 x 4, mantendo a proporção entre as medidas dos lados,

de modo que o maior lado meça 20 cm. Qual deve ser a medida do menor lado?

3 cm

4 cm

x 20 cm

b) Formule uma pergunta sobre segmentos proporcionais e a ampliação de uma fotografia

3 x 4. Troque de caderno com um colega

3 Uma ripa de madeira de 100 cm de comprimento foi dividida em três partes com comprimentos diretamente proporcionais aos números 4, 6 e 10. Determinar a medida de comprimento de cada parte.

Vamos representar as medidas dos comprimentos de cada parte por a, b e c, como mostra a representação a seguir.

a b c

Como as partes da ripa devem ser, respectivamente, proporcionais aos números

4, 6 e 10, temos:

Podemos escrever:

=== a 4 b 6 c 10 x

= a 4 x h a = 4x = b 6 x h b = 6x = c 10 x h c = 10x

A soma das medidas das três partes deve ser igual a 100 cm. Então:

4x + 6x + 10x = 100

20x = 100

x = 100 : 20 = 5

Assim:

a = 4 ? 5 = 20 b = 6 ? 5 = 30 c = 10 ? 5 = 50

Portanto, a medida de comprimento de cada pedaço de madeira é 20 cm, 30 cm e 50 cm, respectivamente.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Usando uma régua graduada, meça, em centímetro, cada um dos segmentos de retas representados a seguir.

A B

C D M N

P Q

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades deste bloco exploram a resolução de problemas que envolvem relações de proporcionalidade diretamente proporcionais e divisão em partes proporcionais conforme previsto na habilidade EF09MA08.

Se julgar necessário, retomar com os estudantes as unidades de medida de comprimento e como realizar a conversão entre elas.

DE ARTE

2. Os segmentos AB, CD, MN e PQ são proporcionais e tais que AB = 3,2 cm; MN = 6,5 cm e PQ = 26 cm. Nessas condições, qual é a medida de CD ?

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA

De acordo com as medidas obtidas, é correto afirmar que AB, CD, MN e PQ, nessa ordem, são proporcionais?

Por quê? Sim, pois AB CD MN PQ 2 3 == .

e cada um resolve o problema que o outro elaborou. Depois, confiram as respostas e façam as correções necessárias.

Resolução das atividades

1. a) 1 310 km = 131 000 000 cm 21, 2

106 000 000 1 5 000 000 =

Portanto, a escala do mapa é de 1 : 5 000 000.

b) A escala do mapa é de 1 : 10 000 000, ou seja, 1 cm no mapa representa 10 000 000 cm

3. Sabe-se que EF = x cm, GH = (x + 16) cm, RS = 16 cm e NP = 28 cm. Sabendo que EF , GH , RS e NP são, nessa ordem, segmentos proporcionais, determine o valor de x

4. Deseja-se dividir um barbante de 300 cm de comprimento em quatro partes com comprimentos diretamente proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6. Determine a medida de comprimento de cada uma das partes

na realidade. Com isso, podemos escrever a proporção:

2. a) 3 4 x 20 =h 4x = 60 h x = 15 Assim, a medida do menor lado é 15 cm.

10 000 000 x 131 000 000

=x

= 1

131 000 000

10 000 000

x = 13,1 cm

Portanto, a distância entre as duas cidades no mapa é 13,1 cm.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Uma fotografia 3 x 4 foi ampliada de modo que o lado menor passou a medir 6 cm e o lado maior passou a medir 16 cm. Essa ampliação manteve a proporção em relação às medidas da fotografia inicial?

Não, pois as medidas 3 cm, 4 cm, 6 cm e 16cm não são proporcionais.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Feixe de retas paralelas

Na Unidade anterior, foram retomadas as propriedades dos ângulos formados por duas ou mais retas paralelas interceptadas por uma transversal. Agora, os estudantes vão conhecer a relação dos segmentos formados a partir de um feixe de retas paralelas cortadas por uma ou mais retas transversais. Assim, pretende-se favorecer o desenvolvimento da habilidade EF09MA10.

Uma sugestão para iniciar o estudo deste tópico é pedir aos estudantes que façam uma leitura do texto apresentado no Livro do estudante e observem a ilustração apresentada. À medida que avançarem para o tópico Propriedade de um feixe de retas paralelas, verificar se os estudantes têm familiaridade com os termos e se compreendem as ilustrações.

Nesse sentido, sugere-se que, no decorrer desse estudo, analise como os estudantes lidam com os conceitos abordados e, sempre que julgar oportuno, antes de prosseguir com o conteúdo, retomar os conceitos em que eles apresentarem dificuldade.

FEIXE DE RETAS PARALELAS

Sabemos que duas retas de um plano são paralelas quando não têm pontos em comum. Se considerarmos três ou mais retas paralelas entre si, teremos um feixe de retas paralelas ou, simplesmente, um feixe de paralelas Nesta figura, a reta t, que corta o feixe de retas paralelas, é denominada reta transversal De acordo com a figura, temos:

• r ⁄ s ⁄ m ⁄ u feixe de retas paralelas

• reta t reta transversal

PROPRIEDADE DE UM

FEIXE DE RETAS PARALELAS

Considere este feixe de retas paralelas cortadas por uma reta t transversal.

• a ⁄ b ⁄ c ⁄ d feixe de retas paralelas

• reta t reta transversal

O feixe de paralelas determina os segmentos AB, BC e CD na reta transversal  t Usando uma régua graduada, medimos esses segmentos e obtemos que:

AB = BC = CD = 0,8 cm (os segmentos AB , BC e CD são congruentes entre si). Agora, vamos traçar uma reta m, também transversal ao feixe de paralelas, determinando os segmentos MN , NP e PQ

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Ao medirmos esses segmentos com uma régua graduada, obtemos que MN  =  NP  = =  PQ  =  1,2 cm, ou seja, os segmentos MN , NP e PQ são congruentes entre si. Repetindo esse procedimento, ao traçarmos outras transversais ao feixe de paralelas, podemos verificar que os segmentos determinados em cada transversal serão congruentes entre si. De modo geral, temos que:

Se um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, ele também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.

Vamos fazer a demonstração desse fato usando um feixe de três retas paralelas.

Sejam as retas a ⁄ b ⁄ c e as retas t e m duas transversais, tais que 2 AB BC. Vamos provar que 2 MN NP

Traçamos por M e N retas paralelas à reta t

• ABRM é um paralelogramo 2 AB MR

• BCSN é um paralelogramo 2 BC NS

• 2 AB BC (dado) 2 MR NS I

• 2 R ˆ MN S ˆ NP (ângulos correspondentes) II

• 2 M ˆ RN N ˆ SP ⁄⁄bc eMRN S () III

Por I , II e III , temos *MRN 2*NSP (caso de congruência de triângulos ALA – Ângulo, Lado, Ângulo).

Portanto, 2 MN NP. Essa demonstração pode ser estendida a um feixe de mais de três retas paralelas.

TEOREMA DE TALES

Vamos estudar o que acontece quando os segmentos determinados por um feixe de paralelas sobre duas transversais não são congruentes entre si.

• Sejam as retas a ⁄ b ⁄ c, que determinam, na reta transversal t, os segmentos AB e BC e, na reta transversal m, os segmentos MN e NP

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ao iniciar a aula para tratar do teorema de Tales, pode-se propor aos estudantes a seguinte experiencia: pedir a eles que representem três retas paralelas cortadas por duas transversais, como na figura a seguir.

Em seguida, solicitar que meçam os segmentos, usando uma régua graduada, e escrevam as medidas dos segmentos em um quadro, como indicado a seguir.

Medida do segmento

Segmento Medida (cm)

AB BC AC DE EF DF

Incentivar os estudantes a escrever as proporções entres os segmentos. Depois, podem verificar juntos se calcularam corretamente. Em seguida, pedir-lhes que, mantendo as transversais, dobrem a distância entre as retas paralelas r e s

Depois, solicitar que meçam os novos segmentos e estabeleçam as mesmas proporções. Incentivar os estudantes a registrar o que perceberam. Esse tipo de discussão propicia o desenvolvimento da habilidade EF09MA10.

AMPLIANDO

Atividades complementares

Propor, na lousa, as seguintes situações de aplicação do teorema de Tales.

r

8 10 x t

• Vamos tomar uma unidade u, com a qual é possível dividir cada um dos segmentos, AB e BC, em uma quantidade de partes iguais indicada por um número inteiro. Por exemplo, na figura a seguir, AB = 2 u e BC = 3 u. Dividimos, assim, os segmentos AB e BC em duas e três partes, respectivamente, de modo que os cinco segmentos obtidos sejam congruentes.

s

1. Na figura a seguir, temos r ⁄ s ⁄ t. Determinar a medida x indicada. 2

2. Vamos determinar a medida de y na figura a seguir, sabendo que a ⁄ b ⁄ c. y + 2 y 2 a b c

y 3

Resolução das atividades

1. Pelo teorema de Tales, temos: 10 2 8 x =

Pela propriedade fundamental das proporções temos:

10x = 2 ? 8

10x = 16

x = 16 10

x = 1,6

2. Pelo teorema de Tales, temos: y y y y 22 + =

Pela propriedade fundamental

das proporções temos:

3(y + 2) = y(y 2)

3y + 6 = y2 2y y2 + 3y + 2y + 6 = 0 y2 + 5y + 6 = 0 y2 5y 6 = 0

Resolvendo a equação do 2o grau:

D= ( 5)2 4 ? (1) ? ( 6) =

= 25 + 24 = 49

y = 54 9 2 () ± = 57 2 ± y ‘ = 12

Como y = 1 não satisfaz (não existe medida de segmento negativa), então y = 6.

• Pelos pontos de divisão, traçamos retas paralelas às retas a, b e c. Pela propriedade já estudada, se os segmentos determinados em t são congruentes, então os segmentos determinados em m também serão congruentes. Chamamos a unidade dessas medidas de v. Assim, no exemplo dado, temos:

AB

MN NP

Podemos perceber que = AB BC MN NP , o que significa que os segmentos AB, BC, MN e NP , nessa ordem, são proporcionais.

Essa relação é conhecida como teorema de Tales, em homenagem ao matemático grego Tales de Mileto. Podemos enunciar esse teorema da seguinte maneira: Um feixe de paralelas determina em duas transversais segmentos proporcionais.

MN MP

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Em cada uma das figuras, temos que a ⁄ b ⁄ c. Considerando as medidas dadas, em unidade de comprimento, calcule o valor de x

5. Na figura a seguir, determine os possíveis valores que a medida x pode assumir, sabendo que r ⁄ s ⁄ t.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

2. Na figura, temos que a ⁄ b ⁄ c. Considerando que AB = 21 cm, AC = 49 cm e DE = 27 cm, qual é a medida de DF ?

6. Quais são os valores de x e y indicados na figura?

Nesse bloco de atividades, os estudantes terão a oportunidade de identificar e aplicar o teorema de Tales em diversas situações. Nessa seção, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA10. Sempre que possível, incentivar os estudantes a justificar a resposta apresentada por meio de argumentos com base no estudo realizado. Incentivar também a troca de ideias entre eles e o respeito às diferentes opiniões.

3. Considerando a figura a seguir, em que a ⁄ b ⁄ c, determine o valor de x + y. Escreva detalhadamente os cálculos que você fez e explique­os a um colega. Vocês resolveram esse problema de modos diferentes?

7. A figura seguinte indica três lotes de terrenos com frentes para a rua A e para a rua B. As divisas dos lotes são perpendiculares à rua A e paralelas entre si. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para a rua A medem, respectivamente, 45 metros, 60 metros e 75 metros. A frente do lote 2 para a rua B mede 72 metros. Quais são as medidas das frentes para a rua B dos lotes 1 e 3?

Na atividade 7, pode-se falar com eles sobre a expressão ruas paralelas, que costuma ser utilizada no cotidiano. Comentar que, muitas vezes, a distância entre as ruas nem sempre é constante; nesses casos, as ruas não são, necessariamente, representações de retas paralelas. Explicar que podem ser encontradas situações em que o paralelismo existe de fato, principalmente em cidades planejadas, nas quais as ruas não surgiram de acordo com o crescimento urbano, muitas vezes, desordenado.

4. Sabendo que a ⁄ b ⁄ c, qual é o valor de y x?

8. Nesta figura, considere que

e mostre que

seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesse sentido, pode-se propor aos estudantes que realizem uma pesquisa sobre cidades brasileiras que foram planejadas. Esse trabalho pode ser realizado em parceria com o professor de Geografia. Essa atividade também possibilita o desenvolvimento da competência específica 4 da área de Matemática no que diz respeito à observação sistemática de aspectos qualitativos e quantitativos presentes nas práticas sociais e à comunicação de informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente, produzindo argumentos convincentes.

Na atividade 8, considerando a ilustração apresentada, os estudantes devem mostrar que x + y = 29. Essa atividade permite desenvolver um aspecto importante previsto na habilidade EF09MA10

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Teorema de Tales nos triângulos

Para auxiliar os estudantes na compreensão do conteúdo desta página, pode-se propor mais um exemplo a respeito do teorema de Tales em triângulos, conforme sugerido a seguir.

• Em um triângulo ABC, uma reta  r, paralela ao lado BC, vai dividir o lado AB em dois segmentos cujas medidas são 20 cm e 30 cm. Sabendo que o lado AC mede 80 cm, vamos obter as medidas dos segmentos determinados pela reta r nesse lado AC. Pelo enunciado do problema, temos a figura a seguir, em que x e y são as medidas dos segmentos determinados em AC pela reta r

20

30

TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS

No * ABC da figura, traçamos uma reta r, paralela ao lado BC. Assim, a reta r corta os lados AB e AC nos pontos M e P, respectivamente.

Se traçarmos pelo vértice A uma reta s, paralela à reta r, obteremos três retas paralelas rsBC,e () e duas transversais AB eA C ()

s

MP r

r ⁄ s ⁄ BC

Pelo teorema de Tales, AM MB AP PC =

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos proporcionais.

A y r x

Se MP ⁄ BC , então AM MB AP PC =

80

B C

De acordo com o teorema de Tales nos triângulos, temos:

20 30 20 xy x + = +

Como x + y = 80, temos:

Acompanhe a situação a seguir.

Na figura a seguir, RS ⁄ BC . Vamos determinar a medida de x

Aplicando o teorema de Tales no triângulo, temos: = + + 2x x x4 x1 , em que x 5 0 e x 5 1.

2x(x + 1) = x(x + 4) h x 2 2x = 0

50

20 80 x =

50x = 1 600

x = 1 600 50 x = 32

Sabendo que x + y = 80, determinamos y :

y = 80 x y = 80 32 = 48

Então, os segmentos determinados medem 32 cm e 48 cm.

x = 0 ou x 2 = 0 h x = 2

Como x = 0 deve ser desconsiderado nesse caso, então x = 2.

SAIBA QUE

As medidas dos lados de triângulos devem ser sempre maiores do que zero. Assim, quando encontramos valores menores ou iguais a zero para essas medidas, devemos desconsiderá-los.

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Segmento áureo

Acompanhe a situação a seguir.

Considere um segmento AB , que mede 1 cm, e um ponto C que fica entre A e B. Encontre a distância que esse ponto C deve ficar de A, de modo que a razão entre os segmentos CB e CA seja igual à razão entre os segmentos AC e AB

Analisando o enunciado, podemos montar o seguinte esquema.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ao abordar o tópico segmento áureo, se julgar oportuno, compartilhar o trecho a seguir com os estudantes.

Além disso, do enunciado, podemos escrever:

Fachada do Partenon, na cidade de Atenas (Grécia), 2019.

Por se tratar de uma medida de comprimento, o valor de x deve ser positivo. Com isso, o ponto C deve estar a 51 2 cm

do ponto  A. O número 51 2 é conhecido como número de ouro, já o segmento AC recebe o nome de segmento áureo

Em diversas construções, no corpo humano e até mesmo na natureza, encontramos razões entre medidas que se aproximam do número de ouro. Por exemplo, a fachada do Partenon, construído no século V a.C. em Atenas, na Grécia, que pode ser inscrita em um retângulo, no qual a razão entre as medidas dos lados maior e menor é aproximadamente o número de ouro.

DESCUBRA MAIS

MATEMÁTICA em toda parte | Artes – proporção áurea e Da Vinci. 2009. Vídeo (1min23s). Publicado pelo canal TV Escola. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=gRr0SZigvwo&list=PLjzl1Kvpa9

BLTyr4Dn3jX0RPHeu7HskSa&index=21. Acesso em: 16 mar. 2022.

O vídeo mostra medidas de partes do corpo humano que apresentam razões próximas do número de ouro ou da proporção áurea e como essa proporção pode ter sido utilizada na elaboração de obras de arte como o Homem Vitruviano (c. 1490) e a Mona Lisa (c. 1503), ambos do artista Leonardo da Vinci (1452-1519).

O Partenon [...] uma das mais admiradas obras da arquitetura universal, revela, em seu frontispício [...] um quase exato retângulo áureo. Todavia não há evidência histórica de que, ao construir o templo no 5o século a.C., os arquitetos de Péricles tenham conscientemente usado o retângulo áureo.

ÁVILA, Geraldo. Mídias digitais II: módulo IV: retângulo áureo e divisão áurea. Porto Alegre: UFRGS, [201-?]. Disponível em: https://www.ufrgs.br/espmat/ disciplinas/midias_digitais_II/ modulo_IV/retangulo_aureo.pdf. Acesso em: 16 jul. 2022.

18/06/22 13:57

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Vídeo

AMPLIANDO

O NÚMERO de ouro-Arte e Matemática-Ep. 6 (TV Escola). 2018. Vídeo (25min24s). Publicado pelo canal Professor Linnell. Disponível em: https://www.youtube. com/watch?v=3GH7LczhH9M. Acesso em: 16 jul. 2022. É possível utilizar esse material como recurso para

ampliar o estudo sobre segmento áureo. Se necessário, habilitar a legenda do vídeo. Apresentar um vídeo pode ser um recurso interessante para auxiliar estudantes com e sem deficiência visual. Por meio dele, pode-se ampliar o estudo apresentado no Livro do estudante, permitindo uma apropriação dos conceitos envolvidos.

LUCKY-PHOTOGRAPHER/ALAMY/FOTOARENA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nessas atividades, os estudantes terão a oportunidade de aplicar o teorema de Tales na resolução de problemas. Desse modo, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA10

Sugerir aos estudantes que resolvam essas atividades em trios ou quartetos para que possam trocar ideias e estratégias. Mesmo em grupos, solicitar a cada estudante que registre no caderno as estratégias e resoluções encontradas pelo grupo. Caso seja necessário, intervir na resolução de dúvidas e no suporte das ideias. Propor uma correção coletiva entre os grupos, solicitando a cada um deles que apresente a resolução das atividades. Incentivar a troca de ideias entre os grupos e o uso de argumentos sempre recorrendo aos conhecimentos matemáticos nas justificativas apresentadas, tanto para defender a veracidade de uma resposta quanto para apresentar uma justificativa para uma possível correção. Desse modo, contempla-se aspectos da competência específica 2 da área de Matemática.

Na atividade 6, os estudantes são convidados a elaborar um problema que possa ser resolvido utilizando os dados apresentados na ilustração e no texto introdutório da atividade. Esse é um momento importante em que é possível analisar se os estudantes compreenderam o conteúdo abordado e verificar as principais dúvidas deles, visto que o processo de elaboração de um problema exige que eles organizem os conhecimentos adquiridos para, então, formularem o problema, assumindo o controle sobre

Responda às questões no caderno.

1. Determine o valor de x, sabendo que, na figura a seguir, DE ⁄ BC

2. Na figura, temos que AB ⁄ MP. Qual é o perímetro do triângulo MNP?

6. A figura representa um terreno que foi dividido em dois lotes. Nela, estão indicadas algumas medidas, em metro. Sabendo que BC é paralelo a DE, elabore um problema que possa ser resolvido utilizando os dados da figura.

3. No triângulo ABC da figura, temos que DE ⁄ BC . Sabendo que a medida do lado BC do triângulo é 14 cm, calcule as medidas dos lados AB e AC e o perímetro desse triângulo.

AB = 8 cm; AC = 16 cm; perímetro = 38 cm

4. Em um triângulo ABC, o lado AB mede 30 cm. Se traçarmos uma reta paralela ao lado BC do triângulo, ela vai cortar o lado  AB no ponto D e o lado AC no ponto E. Sabendo que AE = 15 cm e EC  = 9 cm, determine as medidas x (do segmento  AD ) e y (do segmento DB). Faça o esboço da figura e justifique seus cálculos.

x = 18,75 cm; y = 11,25 cm

5. Na figura a seguir, considere que QR ⁄ NP e determine o valor da medida x do segmento QN.

x = 7,5

as ideias matemáticas que absorveram ao longo das aulas e enquanto resolveram os problemas. Nessa experiência, eles também assumem o controle sobre o texto que deve expressar as ideias que desejam, cuidando que fique correto tanto no aspecto matemático quanto no aspecto relacionado à língua portuguesa.

6. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes formulem perguntas envolvendo as medidas x ou y, ou, ainda, que envolvam o perímetro de cada lote. 60 m e 96 m.

7. Duas avenidas têm origem em um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas, como mostra esta figura. Essas ruas paralelas determinam dois quarteirões cujos lados, em uma avenida, medem 50 m e 80 m, respectivamente. Na outra avenida, partindo de A, o lado x do primeiro quarteirão é 36 m menor do que o lado y do segundo quarteirão. Quais são, em metro, as medidas de x e y?

8. O esquema mostra dois postes perpendiculares ao solo, os quais estão a 4 m de distância um do outro, e um fio de 5 m, bem esticado, ligando os topos dos postes. Prolongando esse fio até prendê-lo ao solo, são utilizados mais 4 m de fio. Qual é a distância entre o ponto no qual o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele?

TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA DE UM TRIÂNGULO

• Consideremos o triângulo ABC da figura. A BC

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Teorema da bissetriz interna de um triângulo

• Traçamos a bissetriz interna do ângulo BÂC, o segmento AS, na figura. BC

A S

a1 a2

• Traçamos, pelo vértice C, uma reta paralela à bissetriz interna AS e observamos que essa paralela encontra o prolongamento do lado AB no ponto E

a2

Considerando o triângulo BCE e sabendo que AS ⁄ CE, podemos escrever: AB AE BS SC = I

• Partindo da mesma figura, temos: m = a1 (ângulos correspondentes)

n = a2 (ângulos alternos internos)

a1 = a2 () AS ébisse trizdeB ˆ AC

Com isso, concluímos que m = n. Portanto, * AEC é isósceles, e AE = AC.

Substituindo AE por AC na proporção I , temos: AB AC BS SC =

Ao abordar esse tópico, se julgar pertinente, apresentar o exemplo de aplicação do teorema da bissetriz interna para ampliar o estudo. Em um triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado NP os segmentos NC e CP, cuja razão é NC CP 2 3 = . Sabendo que MN = = 12 cm, determinar a medida do lado MP.

M x

12

C N P

Pelo teorema da bissetriz interna, temos: 12 x NC CP =

Sabendo que NC CP 2 3 = , temos: 12 x 2 3 =

2x = 12 ? 3

2x = 36 h x = 36 2 = 18

Então, MP = 18 cm.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nesse bloco de atividades, os estudantes devem identificar e utilizar o teorema de Tales em triângulos e o teorema da bissetriz interna na resolução de situações-problema. Pedir a eles que reproduzam, no caderno, as figuras apresentadas ou desenhem uma figura para a situação proposta, de modo que possam acrescentar todas as informações do enunciado e as que eles forem determinando com seus cálculos.

Esse resultado é conhecido como teorema da bissetriz interna de um triângulo, enunciado a seguir.

A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o ângulo considerado.

AS é a bissetriz interna do ângulo BÂC no triângulo ABC da figura a seguir. A S B C

Então: AB AC BS SC = ou AB BS AC

Considere a seguinte situação. Na figura, BD é bissetriz interna do ângulo A ˆ BC. Determinar o valor de x

Pelo teorema da bissetriz interna, temos:

Como se trata da medida de um segmento, a resposta não pode ser nula nem negativa. Portanto, x = 26

Responda às questões no caderno.

1. Calcule o valor da medida x em cada figura, conforme a condição dada em cada item.

a) AD é a bissetriz do ângulo BAC.

3. Se os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 12 cm, 15 cm e 18 cm, e BD, a bissetriz do ângulo ABC, intersecta o lado AC no ponto D, quanto medem os segmentos AD e DC ?

4. No triângulo ABC da figura, sabemos que PM ⁄ BC e AD é a bissetriz do ângulo BÂC.

b) BP é a bissetriz do ângulo A ˆ BC

2. Na figura, sabendo que AD é a bissetriz do ângulo BÂC, calcule as medidas de AC , BD e DC

A ˆ BC 5 2,5 AC = 8, BD = 3, DC = 4

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Nessas condições, determine o perímetro do:

PBCM.

CAPÍTULO3 FIGURAS SEMELHANTES

Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma sem, necessariamente, ter as mesmas medidas. Dessa maneira, podemos dizer que a ampliação e a redução de uma figura são exemplos de semelhança de figuras. Figuras congruentes também são semelhantes. Vamos verificar o que significa “ser semelhante a” em Geometria. Os dois mapas a seguir são representações do estado do Paraná, mas ambos estão em escalas diferentes. Neles, destacamos alguns municípios.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Figuras semelhantes

Ao longo desse capítulo, será explorado um conteúdo que busca favorecer, com maior ênfase, o desenvolvimento da habilidade EF09MA12. Uma sugestão de encaminhamento do conteúdo abordado na página 161 do Livro do estudante é explorar com os estudantes os dois mapas, que estão em escalas diferentes. Questionar a turma a respeito do porquê de mapas terem escalas diferentes. Espera-se que os estudantes percebam que, quanto maior é a escala, mais detalhes serão apresentados no mapa.

Fórum

Mapa 2.

Fonte dos mapas: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 175. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101627.pdf. Acesso em: 17 mar. 2022.

Notamos que, embora tenham medidas diferentes, os dois mapas têm a mesma forma: o mapa 2 é uma ampliação do mapa 1. Dizemos que esses mapas representam figuras semelhantes

FÓRUM

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que é importante considerar o contexto dos dados apresentados em mapas e em outras representações cartográficas, de modo que seja possível utilizar esses dados para auxiliar na interpretação da realidade, minimizando as distorções e limitações inerentes a esse tipo de representação.

Importância do contexto nos mapas

A escolha do modo como os assuntos serão apresentados em mapas depende do que se deseja destacar e do nível de detalhamento necessário em cada situação. Essa escolha pode influenciar a representação cartográfica, aproximando-a ou distanciando-a da realidade. Além disso, os mapas podem conter distorções características de representações reais em um plano.

• Debata com os colegas sobre a importância de consultar mapas de fontes confiáveis e de conhecer o contexto em que foram produzidos.

Para ampliar a discussão proposta no boxe, compartilhar com eles o texto a seguir. A discussão para compreender mais características dos mapas e como são feitas as escolhas para determinadas representações pode ser trabalhada em parceria com o professor de Geografia.

Cartografia

[…] Hoje entendemos cartografia como a representação geométrica plana […] de toda a superfície terrestre ou de parte desta, apresentada através de mapas, cartas ou plantas. […] Não se pode esquecer, no entanto, que os mapas, como meios de representação, traduzem os interesses e objetivos de quem os propõe, podendo se aproximar ou se afastar da realidade representada. Além disso, enfrentam […] as limitações e distorções que inevitavelmente surgem quando da transposição da realidade para o plano.

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 16. Disponível em: https:// biblioteca.ibge.gov.br/visua lizacao/livros/liv101627.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Polígonos semelhantes

O objetivo desse estudo é levar os estudantes a identificar polígonos semelhantes, compreender as condições de semelhança desses polígonos e aplicar essas condições para resolver problemas. Esse estudo favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA12

Como sugestão de encaminhamento, pode-se explorar o exemplo e a definição de polígonos semelhantes apresentados no Livro do estudante. Depois, solicitar a eles que expliquem com as próprias palavras o conceito explorado. Enfatizar, nesse momento, as condições necessárias para que polígonos com o mesmo número de lados sejam semelhantes, ou seja, ângulos internos respectivamente congruentes e lados correspondentes proporcionais.

POLÍGONOS SEMELHANTES

Considere os quadriláteros ABCD e MNPQ.

Perceba que:

• os ângulos correspondentes têm a mesma medida:

• os lados correspondentes são proporcionais:

Portanto:

Dizemos, então, que os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes. Indicamos assim:

quadrilátero ABCD quadrilátero MNPQ semelhante

Dois polígonos são semelhantes quando possuem os ângulos internos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Analise novamente os quadriláteros ABCD e MNPQ. Note que os ângulos internos correspondentes desses quadriláteros são congruentes e que a razão entre qualquer lado do quadrilátero ABCD e o lado correspondente no quadrilátero MNPQ é sempre a mesma: 2,5. Dizemos, então, que os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes e que 2,5 é a razão de semelhança entre eles.

Para saber se dois polígonos são semelhantes, devemos verificar duas condições:

• os ângulos internos correspondentes devem ser congruentes;

• os lados correspondentes devem ser proporcionais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Satisfazer apenas uma das condições não atesta a semelhança entre dois polígonos, como podemos comprovar pelos exemplos a seguir.

1 Verificar se os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes.

Analisando os quadriláteros, podemos verificar que:

• os ângulos correspondentes são congruentes (são retos);

• os lados correspondentes não são proporcionais, pois:

== AB MN 8 6 4 3 == BC NP 6 3 2

Portanto, 5 AB MN BC NP

Embora os ângulos correspondentes dos quadriláteros sejam congruentes, os lados correspondentes não são proporcionais. Logo, os quadriláteros ABCD e MNPQ não são semelhantes.

2 Conferir se os quadriláteros a seguir são semelhantes. 8

Fazendo a verificação, temos:

• os lados correspondentes são proporcionais:

=== AB MN CD PQ 8 4 2 === BC NP AD MQ 6 3 2

Portanto, == AB MN BC NP 2

• os ângulos correspondentes não são congruentes.

Nesse caso, embora os lados correspondentes dos quadriláteros sejam proporcionais, os ângulos internos correspondentes não são congruentes. Portanto, os quadriláteros ABCD e MNPQ não são semelhantes.

Como continuidade desse estudo, sugere-se que a abordagem para verificar se dois polígonos são semelhantes seja feita como na página 162 do Livro do estudante, ou seja, explorar os exemplos apresentados. Depois, solicitar a eles que expliquem com as próprias palavras o que ocorre nos dois exemplos de polígonos não semelhantes. Desse modo, pode-se verificar se eles compreenderam o conteúdo explorado e as dúvidas que eles têm, sendo essa uma oportunidade para identificar os pontos que podem ser retomados para esclarecer as dúvidas deles.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O objetivo aqui é que os estudantes compreendam e apliquem a propriedade do perímetro em polígonos semelhantes.

Para isso, sugerir a leitura do texto apresentado no Livro do estudante, que mostra a relação entre a razão de semelhança e a razão dos perímetros de polígonos semelhantes.

Depois da leitura, para facilitar a compreensão, solicitar a alguns estudantes que expliquem com as próprias palavras o que entenderam a respeito da propriedade do perímetro em polígonos semelhantes. Incentivar a expressão oral, a argumentação, a empatia e a cooperação nos momentos de troca de ideias. Anotar na lousa as ideias sugeridas pelos estudantes. Em seguida, organizar essas ideias e pedir a eles que produzam cartazes com essas ideias principais.

Se julgar conveniente, propor uma atividade de ampliação ou redução de figuras geométricas, de acordo com determinada razão; por exemplo: Dado um hexágono ABCDEF, ampliá-lo na razão 1 para 3 em relação aos lados desse polígono, determinando o hexágono A‘B‘C‘D‘E‘F‘

Uma propriedade importante

Observe os pentágonos ABCDE e A‘B‘C‘D‘E‘ representados a seguir.

Observe que:

• os ângulos correspondentes são congruentes;

• os lados correspondentes são proporcionais:

‘‘ == BC BC 2,6 1,3 2 ‘‘ == DE DE 2,2 1,1 2

Então, ABCDE / A‘B‘C‘D‘E‘, e a razão de semelhança é 2. Agora, vamos calcular o perímetro de cada um dos pentágonos.

• Perímetro (P) de ABCDE:

P = 3 cm + 2,6 cm + 2,6 cm + 2,2 cm + 2,8 cm

P = 13,2 cm

• Perímetro (P‘) de A‘B‘C‘D‘E‘:

P‘= 1,5 cm + 1,3 cm + 1,3 cm + 1,1 cm + 1,4 cm

P‘ = 6,6 cm

A razão entre os perímetros P e P‘ é dada por:

‘ == P P 13,2 6,6 2

razão de semelhança ou razão entre as medidas dos lados correspondentes

Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer.

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ATIVIDADES

1. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam que a afirmação é verdadeira, pois os ângulos internos correspondentes são congruentes, e os lados correspondentes são proporcionais, cuja razão de proporção é 3 5 .

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam que a afirmação é verdadeira, pois os ângulos internos correspondentes são congruentes, mas os lados correspondentes não são proporcionais.

Responda às questões no caderno.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

1. Considerando o retângulo ABCD da figura, mostre que são verdadeiras as afirmações dos itens a e b 24 cm

4. Dados os octógonos regulares O1 e O2, o perímetro de O1 é 48 cm, e a razão de semelhança entre O1 e O2 é 3 4

15 cm

Nesse bloco de atividades, dá-se continuidade ao desenvolvimento da habilidade EF09MA12. Assim, busca-se verificar, por meio das questões propostas, se os estudantes reconhecem polígonos semelhantes e compreendem e aplicam a propriedade do perímetro em polígonos semelhantes.

EF

a) O retângulo ABCD é semelhante ao retângulo EFGH. 40 cm

25 cm HG

a) Qual é o perímetro de O2?

b) Quais são as medidas de x e y ?

5. Considere que os trapézios ABCD e MQPN, representados a seguir, são semelhantes e que as medidas estão indicadas em centímetro.

b) O retângulo ABCD não é semelhante ao retângulo IJKL. 30 cm L K

I J 20 cm

2. Analise as afirmações e verifique se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique as respostas e compare-as com as de outros colegas.

a) Dois retângulos são sempre semelhantes

b) Dois quadrados são sempre semelhantes.

c) Dois triângulos são sempre semelhantes.

d) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes.

e) Dois polígonos regulares com a mesma quantidade de lados são sempre semelhantes.

3. Os hexágonos regulares H1 e H2 representados a seguir são semelhantes. Qual é a razão de semelhança entre H1 e H2?

AMPLIANDO

Atividade complementar

b) x = 15 cm; y = 20 cm; z = 31 cm

a) Qual é a razão de semelhança entre os trapézios ABCD e MQPN?

b) Determine as medidas x, y e z

c) Qual é a razão entre o perímetro de ABCD e o perímetro de MQPN?

6. Sabe-se que os pentágonos ABCDE e A‘B‘C‘D‘E‘ são semelhantes; o lado AB é correspondente ao lado ‘‘AB , e o lado BC é correspondente ao lado ‘‘BC

a) Qual é a razão de semelhança entre ABCDE e A‘B‘C‘D‘E‘?

b) Qual é a medida do ângulo com vértice em D‘?

c) Qual é a medida do lado ‘‘AB ?

1,5. 108° 1,4 cm

Para ampliar as situações propostas, solicitar aos estudantes que realizem uma atividade prática para aplicar a razão de semelhança por meio da escala. Disponibilizar plantas de casas ou de apartamentos encontradas em jornais e/ou panfletos, levar para a sala de aula e distribuir entre os estudantes. Em grupos, eles poderão realizar os cálculos da medida dos cômodos do imóvel na planta. Depois, pedir a eles que desenhem a planta baixa de uma casa, utilizando uma escala de 1 : 100.

Posteriormente, a planta pode ser reproduzida em papelão ou isopor. Se julgar conveniente, propor a construção de uma maquete com o auxílio dos familiares. Na construção da maquete, os estudantes poderão calcular as proporções e realizar o trabalho em escala.

Combinar a apresentação das maquetes. Orientar os grupos a apresentar suas maquetes com a explicação de como foram realizados os cálculos para transformar as dimensões reais do imóvel escolhido na escala de 1 : 100. Além disso, poderão apresentar a área da maquete construída e a área real do imóvel.

2. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Triângulos semelhantes

O objetivo desse estudo é levar os estudantes a identificar triângulos semelhantes.

Explorar os mapas, verificando as condições de semelhança de polígonos. É importante enfatizar que o triângulo é um caso específico entre os polígonos, pois basta verificar uma das duas condições de semelhança de polígonos para concluir que se trata de um polígono semelhante. Discutir com os estudantes essa particularidade do triângulo em relação aos demais polígonos. Destacar a rigidez do triângulo e a garantia de que, se dois triângulos tiverem os três ângulos correspondentes congruentes, necessariamente eles são semelhantes. Comentar que os quadriláteros podem ter lados proporcionais, mas ângulos diferentes.

TRIÂNGULOS SEMELHANTES

Você se lembra dos dois mapas do estado do Paraná apresentados na página 161, cada um em uma escala diferente? Agora, analise os triângulos cujos vértices são os três pontos que indicam os municípios de Curitiba, Maringá e Cascavel.

Estado do Paraná

Fonte dos mapas: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 175. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101627.pdf. Acesso em: 17 mar. 2022.

Esses dois triângulos satisfazem as condições que nos permitem concluir que dois polígonos são semelhantes: os ângulos internos são, respectivamente, congruentes, e os lados correspondentes são proporcionais.

No entanto, para verificar se dois triângulos são semelhantes, basta que uma das duas condições mencionadas se verifique. Se uma delas for satisfeita, a outra também será satisfeita. Vamos fazer essa verificação.

• Os ângulos internos são respectivamente congruentes.

2,0 3,2 20 32 5 8 0,625

3,0 4,8 30 48 5 8 0,625

3,5 5,6 35 56 5 8 0,625

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para auxiliar os estudantes no entendimento do conceito de triângulos semelhantes, apresentar o exemplo a seguir na lousa. Considerando a figura a seguir, determine as medidas x e y indicadas.

Portanto, * ABC /*MNP.

Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes proporcionais.

Em dois triângulos semelhantes:

• os ângulos congruentes são chamados de ângulos correspondentes;

• os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados de lados homólogos

Se dois triângulos têm dois ângulos respectivamente congruentes, o terceiro ângulo de cada triângulo também será congruente, pois a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é 180°.

Assim, para saber se dois triângulos são semelhantes, basta verificar se eles possuem dois ângulos respectivamente congruentes.

Consideremos os triângulos ABC e MNP representados a seguir.

BC

Pelas indicações nas figuras, temos:

Então, * ABC /*MNP.

NP

Vamos demonstrar que, se os ângulos do * ABC e do *MNP são congruentes, então:

6 cm

10 cm x

4 cm

A B D C y E 3 cm

Em relação aos triângulos ABC e CDE, temos:

B ˆ 2 D ˆ (ângulos retos)

BC A ˆ 2 DCE ˆ (ângulos o.p.v.)

Logo, * ABC /*CDE.

Sendo AB e DE, BC e CD, AC e CE os lados homólogos nos triângulos considerados, temos:

AB DE BC CD AC CE ==

6

3 x 4 10 y ==

6

3 é a razão de semelhança.

Assim:

6

3 x 4 =h 3x = 24 h x = 8

6

3 10 y =h 6y = 30 h y = 5

Então, x = 8 cm e y = 5 cm.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nesse bloco de atividades, os estudantes devem identificar triângulos semelhantes e aplicar as propriedades de semelhança na resolução de problemas. Desse modo, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA12.

Na atividade 1, orientar os estudantes a justificar as respostas usando a definição de semelhança de triângulos.

Para complementar o trabalho, se possível, sugerir a atividade complementar a seguir.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Representar um triângulo ABC qualquer. Determinar o ponto médio de cada um dos lados do triângulo e unir esses pontos dois a dois, obtendo, assim, quatro triângulos menores. A seguir, há um exemplo de como deve ficar a imagem.

Como os ângulos ˆ M e ˆ A são congruentes, vamos sobrepor o *MNP ao * ABC, de modo que ˆ M fique superposto a A

Nessas condições, NP é paralelo a BC, pois 2 N B (ângulos correspondentes). Pelo teorema de Tales, temos:

= AB MN AC MP I

Como os ângulos ˆ N e ˆ B são congruentes, vamos sobrepor o *MNP ao * ABC, de modo que ˆ N fique superposto a ˆ B

Nessas condições, MP é paralelo a AC , pois 2 ˆ M ˆ A (ângulos correspondentes). Pelo teorema de Tales, temos:

= BC NP AB MN II

Das igualdades I e II , concluímos que:

== AB MN AC MP BC NP

Ou seja, os lados do * ABC são proporcionais aos lados correspondentes do *MNP. Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são proporcionais aos lados do outro, em relação aos ângulos correspondentes. Dizemos que esses lados são os lados homólogos do par de triângulos semelhantes.

Responda às questões no caderno.

1. Em cada item, decida se os pares de triân gulos representados são ou não são semelhantes, de acordo com as indicações nas figuras.

Recortar esses quatro triângulos. Sobrepor as peças recortadas e solicitar que façam comentários e observações a respeito dos ângulos e dos lados. Depois, propor aos estudantes que dividam os triângulos menores novamente nos pontos médios dos lados, formando ao todo 16 triângulos, e comparem com o triângulo maior, ABC.

Resolução da atividade Espera-se que os estudantes concluam que todos os 16 triângulos são congruentes entre si e semelhantes ao triângulo ABC inicial.

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2. Quais condições permitem afirmar que os triângulos representados a seguir são semelhantes?

4. Na figura, o * ABC é semelhante ao * AED 2 ˆ Aé comume ˆ C ˆ D () . Determine o valor de x em função de a e b.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3. As indicações feitas nos triângulos a seguir nos permitem afirmar que o * ABC é semelhante ao *MNP. Nessas condições, escreva uma relação de igualdade entre as medidas x, y e z

DESAFIO

5. Calcule a altura h de um prédio, que projeta uma sombra de 19,2 m no mesmo instante em que uma árvore de 8,4 m projeta uma sombra de 5,6 m (considere que a base do prédio e a árvore estão no mesmo nível e que ambos são perpendiculares ao chão).

x = ab 28,8 m

6. (FGV-RJ) Há muitas histórias escritas sobre o mais antigo matemático grego que conhecemos, Tales de Mileto. Não sabemos se elas são verdadeiras, porque foram escritas centenas de anos após sua morte.

Uma delas fala do método usado por ele para medir a distância de um navio no mar, em relação a um ponto na praia.

Uma das versões diz que Tales colocou uma vara na posição horizontal sobre a ponta de um pequeno penhasco, de forma que sua extremidade coincidisse com a imagem do barco. Conhecendo sua altura (h), o comprimento da vara (c) e a altura do penhasco (d ), ele calculou a distância x em relação ao barco.

Para a resolução do desafio 6, sugerir aos estudantes que se organizem em duplas para facilitar a troca de ideias, conhecimento e estratégias.

Pedir a eles que reproduzam no caderno a figura e listem as informações importantes. Incentivar a troca de ideias nas diferentes estratégias de resolução de problemas e argumentação deles. Incentivá-los a utilizar justificativas de acordo com o estudado realizado, ou seja, eles devem apresentar argumentos convincentes sempre recorrendo ao conhecimento matemático adquirido. Incentivá-los também a utilizar os termos matemáticos corretos sempre que precisarem apresentar uma justificativa.

Solicitar a eles que registrem em detalhes como pensaram para chegar à solução do desafio. Depois, corrigir coletivamente a atividade, pedindo às duplas que mostrem como pensaram. Socializar os diferentes procedimentos, procurando sanar as dúvidas dos estudantes.

Descreva com suas palavras um método para calcular a distância x. Em seguida, determine a distância do navio à praia com estes dados: h = 1,80 m; c = 0,75 m; d = 298,20 m. 125 m. Espera-se que os estudantes utilizem os conhecimentos sobre semelhança de triângulos para resolver o problema.

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AS CORES NÃO SÃO REAIS.

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Teorema fundamental da semelhança de triângulos

Ao abordar esse tópico, dá-se continuidade aos desenvolvimentos da habilidade EF09MA12

Verificar se os estudantes compreendem a demonstração do teorema. Se possível, realizar os exemplos na lousa e, sempre que possível, solicitar a participação deles. Se julgar pertinente, pode-se fazer uma breve retomada do conceito de congruência de triângulos e fazer um comparativo com o conceito de semelhança de triângulos para que fique clara a diferença entre esses conceitos.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Toda reta paralela a um lado de um triângulo – e que cruza os outros dois lados em pontos distintos – determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro.

Considerando o * ABC representado a seguir, traçamos uma reta r, paralela ao lado BC e que cruza o lado AB no ponto D e o lado AC no ponto E

Como r ⁄ BC , temos:

• 2 B D (ângulos correspondentes);

• 2 ˆ C ˆ E (ângulos correspondentes);

• Â é ângulo comum.

Portanto, * ABC /* ADE.

Separando os triângulos ABC e ADE, temos:

Como os triângulos são semelhantes, os lados homólogos são proporcionais, ou seja:

== AB AD AC AE BC DE

Acompanhe o exemplo a seguir.

Aplicando o teorema fundamental da semelhança de triângulos e sabendo que MP ⁄ AB, vamos calcular as medidas x e y indicadas na figura.

AMPLIANDO

Vídeo INTRODUÇÃO à semelhança de triângulos. Khan Academy [S l.], c2022. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/ pt9-ano/geometria-9ano/pt-introduo-semelhana-de-tringulos/ v/similar-triangle-basics?modal=1. Acesso em: 17 jul. 2020.

Nesse link, é possível visualizar uma videoaula que pode ser utilizada para ampliar o trabalho com o tópico Teorema fundamental da semelhança de triângulos

Separando os triângulos e escrevendo a proporção entre os lados homólogos, temos:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Com isso, resolvemos as seguintes equações.

x = 3 e y = 8.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Sabendo que MN ⁄ RQ , determine as medidas x e y indicadas na figura.

3. No triângulo retângulo ABC da figura, DE é paralelo a AB . Sabendo que as medidas indicadas estão em centímetro, calcule a área do trapézio ABED

A área do trapézio é dada por

2. Na figura, temos DE ⁄ BC . Nessas condições, determine as medidas de AB e

4. Na figura a seguir, AC e BD são perpendiculares a OB . Determine a razão x y , indicando a resposta na forma decimal.

Inicialmente, promover uma conversa sobre o teorema fundamental da semelhança de triângulos e, depois, pedir a eles que leiam o texto do Livro do estudante. Em seguida, pedir-lhes que resolvam as atividades 1 e 2. Corrigir essas atividades e verificar se é necessário retomar alguma parte do conceito. Se não houver dúvidas, prosseguir com as atividades. Por fim, corrigi-las na lousa com os estudantes e pedir a eles que expliquem as etapas de cálculo que utilizaram. O objetivo desse bloco de atividades é que os estudantes apliquem o teorema fundamental da semelhança de triângulos em situações variadas, a utilização desse processo de resolução favorece o desenvolvimento da competência específica 5 da área de Matemática e da habilidade EF09MA12. Pedir a eles que reproduzam as figuras no caderno, escrevam a relação encontrada e justifiquem a utilização do teorema. Ao final, corrigir as atividades coletivamente, procurando sanar as dúvidas dos estudantes.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

No desafio 9, solicitar aos estudantes que representem a situação descrita no enunciado por meio de um esquema; ajudá-los caso eles apresentem alguma dúvida para fazer essa representação. A seguir, apresentamos uma sugestão de esquema.

12,3 m x

1,5 m 4 m

Se julgar conveniente, sugerir aos estudantes que formem duplas para que possam trocar ideias e estratégias. Ao finalizarem a resolução, pedir que escrevam um texto explicando a trajetória percorrida por eles até a resolução do desafio.

5. Uma pessoa está a 6,30 m da base de um poste, conforme representa a figura.

Sabendo que essa pessoa tem 1,80 m de altura e projeta no solo uma sombra de 2,70 m de comprimento, qual é a altura do poste?

50 m

a) 4,80 m

Alternativa b. 250 m

b) 6 m c) 4,50 m d) 6,4 m e) 8 m

6. Para determinar a largura L de um lago, Paulo desenhou o esquema a seguir, em que AB ⁄ CD. Que medida ele encontrou para a largura L do lago? A

P A rio O C B

8. (Mack-SP) No triângulo

B P C

D L 100 m 80 m 200 m

7. Um observador, situado em um ponto O da margem de um rio, precisava determinar, sem atravessar o rio, a que distância estava de um ponto P,

DESAFIO

ABC da figura, o lado BC mede 4,5 e o lado do quadrado DEFG mede 3.

A altura do triângulo ABC, em relação ao lado BC , mede:

a) 7,5.

b) 8,0.

c) 8,5.

Junte-se a um colega e resolvam o desafio a seguir.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE E F C D G B A

d) 9,0.

9. (Unicamp-SP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.

[...] Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.

20,5 m

Para a resolução deste desafio, acompanhem estas sugestões:

172

a) representem a situação por meio de um esquema e indiquem as medidas;

b) observem os triângulos semelhantes do desenho;

c) escrevam uma proporção que lhes permita calcular a medida procurada;

d) resolvam a equação correspondente;

27/06/22 20:36 172

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

DESCOBRINDO A ALTURA DE PIRÂMIDES

No início desta Unidade, comentamos que Tales de Mileto foi desafiado a medir a altura da pirâmide de Quéops e que o teria feito com o auxílio de um bastão. Como será que ele o fez? Leia, a seguir, o trecho de um texto a respeito desse desafio.

Acredita-se que Tales foi desafiado a medir a altura [da] grande pirâmide de Quéops. Para tanto, existem duas versões da história. Hicrônimos, discípulo de Aristóteles, acreditava que Tales mediu o comprimento da sombra da pirâmide no momento em que nossas sombras são iguais a nossa altura, assim medindo a altura da pirâmide. Plutarco acreditava que fincando uma vara vertical no extremo da sombra projetada pela pirâmide, Tales construiu a sombra projetada da vara, formando no solo dois triângulos semelhantes.

Utilizar o texto da seção a respeito da medição da altura das pirâmides feita por matemáticos da Antiguidade para promover um debate a respeito de como os conceitos vistos na Unidade surgiram e se desenvolveram ao longo da história da Matemática.

GLOSSÁRIO

A ALTURA da pirâmide de Quéops e o teorema de Tales. Derivando a matemática. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica – Unicamp. Campinas, [2019?]. Disponível em: http://www.ime.unicamp.br/~apmat/a-altura-da-piramide-de-queops-e-o-teorema-de-tales/.

Acesso em: 17 mar. 2022.

Vamos analisar como Tales teria medido a altura da pirâmide usando uma vara vertical, como mostra a figura a seguir.

Para isso, orientar os estudantes a realizar pesquisas em sites confiáveis e livros. Conhecer o desenvolvimento da Matemática ao longo da história auxilia os estudantes a compreender a evolução do conhecimento ao longo do tempo. Esse processo enriquece a trajetória de aprendizagem, possibilitando a eles valorizar e utilizar conhecimentos construídos ao longo da história, conforme orienta a competência geral 1

Por meio desse método, Tales poderia determinar a altura da pirâmide, sabendo que = AB BC DC CE Logo, = AB DC BC CE

Desse modo, bastaria medir o comprimento das duas sombras e da altura da vara para determinar a altura da pirâmide. Responda à questão no caderno.

• A pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide, é a mais alta das pirâmides do Egito. Logo após sua construção, ela tinha a altura equivalente a um prédio de 50 andares. Por isso, conhecer a altura da pirâmide não era uma tarefa fácil. Estudamos, no texto, que Tales teria utilizado conceitos geométricos para descobrir a altura da pirâmide de Quéops.

Suponha que, em determinado momento do dia, a sombra de uma pessoa, com 1,80 m de altura, media 5,40 m de comprimento e, nesse mesmo momento, o comprimento da sombra da pirâmide de Quéops media 438 m. Considerando esses dados, calcule a medida da altura da pirâmide.

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Acompanhar os estudantes na resolução da questão proposta e verificar se é necessário fazer alguma retomada para auxiliá-los.

Fincar: enterrar; cravar.

Retomando o que aprendeu

Essa seção pode ser utilizada como um momento para avaliar os estudantes. Solicitar que resolvam as atividades propostas individualmente. Acompanhar e observar as principais dúvidas que surgirem para, depois, proporcionar um momento para debater e fazer retomadas. Momentos como esse permitem que seja feita uma análise e reflexão das estratégias de ensino utilizadas ao longo da Unidade. Desse modo, além de avaliar os estudantes, é possível refletir sobre a própria prática, o planejamento realizado e os caminhos que percorreu. Com base nessas experiências, pode-se aprimorar as estratégias adotadas, independentemente do conteúdo que será desenvolvido.

Uma sugestão de encaminhamento interessante, embora as questões sejam de múltipla escolha, é pedir aos estudantes que justifiquem os procedimentos na resolução de cada uma delas.

As atividades 1 a 5, assim como as atividades 8 e 9, envolvem o conceito de segmentos proporcionais e aplicações do teorema de Tales.

Responda às questões no caderno.

1. (Enem/MEC) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente, ao caminhar sobre a rampa, percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.

A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:

a) 1,16 metros.

b) 3,0 metros.

c) 5,4 metros.

d) 5,6 metros.

e) 7,04 metros.

Alternativa d.

2. Caio tem um carrinho de brinquedo, que é uma miniatura do carro da mãe dele. A razão entre o comprimento do carro da mãe e o comprimento do carrinho de Caio é 14 3 . Se o carrinho de Caio tem 0,9 m de comprimento, qual é o comprimento do carro da mãe dele?

a) 4 m

b) 4,2 m

4. A porta de entrada e a fachada de uma casa são figuras retangulares semelhantes, e a razão de semelhança da altura da casa para a altura da porta é 5 2 . Se a altura da casa é 6,0 m, qual é a altura da porta?

a) 2,4 m

c) 4,5 m

Alternativa b.

d) 4,8 m e) 3,6 m

3. Para determinar a altura de uma árvore, utilizou-se o esquema a seguir.

IMAGEM

5 m 4 m 30 m

Alternativa c.

Nessas condições, qual é a altura da árvore?

a) 35 m

b) 36 cm

c) 37,5 m

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d) 38,5 m

e) 40 m

b) 2,8 m c) 3,2 m d) 3,6 m e) 1,8 m

5. Considerando a figura a seguir, determine a medida x indicada.

A

E

D BC

a) 9,5

12 x 3 14

b) 10 c) 8,8 d) 8,6 e) 8,5

6. Na figura a seguir, o lado AB mede 20 cm, o lado BC mede 5 cm, e o quadrilátero MBQP é um losango cujo lado mede x cm. Nessas condições, qual é o perímetro do losango, em centímetro? A P M

BQ C

b) 16 c) 20 d) 18 e) 24

a) 12

Alternativa a. Alternativa e. Alternativa b.

c) 1,4 cm.

e) 1,8 cm.

cm.

d) 1,6 cm.

Resolução da atividade

4

BD 10 4 =h

BD = 1,6

Assim, BD mede 1,6 cm.

Portanto, alternativa d.

AS CORES NÃO SÃO REAIS.

7. Para medir a largura x de um lago, foi utilizado o esquema a seguir.

300m

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

Assim, obteve-se * ABC  * EDC. Determine a largura x do lago.

9. Os triângulos ABC e XYZ, representados a seguir, são semelhantes. No triângulo ABC, temos AB = 15 cm, BC  = 18 cm e AC = 27 cm.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

Se o perímetro do triângulo XYZ é 20 cm, qual é a medida do lado XZ ?

a) 250 m

b) 400 m c) 260 m d) 360 m e) 450 m

a) 5 cm

d) 8 cm

8. Uma árvore projeta, no solo, uma sombra de 10 m de comprimento no mesmo instante em que uma pessoa de 1,60 m de altura, em pé, projeta uma sombra de 2,50 m de comprimento. Qual é a altura da árvore? Considere que a pessoa e a árvore estão no mesmo local, no mesmo nível e posicionadas perpendicularmente ao solo

a) 6 m

UM NOVO OLHAR

Alternativa a. Alternativa c.

b) 6 cm

c) 7 cm

e) 9 cm

10. Na figura, a altura AD divide o * ABC em dois outros triângulos semelhantes:

* ABD e *CAD.

Qual é o valor de x + y, em centímetro?

a) 9,1

b) 8,8

c) 8,4

b) 6,2 m c) 6,4 m d) 6,5 m e) 7,2 m

d) 9,6

Alternativa e. Alternativa c. A B D C

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade permitem reflexões a respeito das aprendizagens individuais, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, desta forma, possam perceber o que aprenderam e as possíveis dúvidas que ainda tenham a respeito de determinado assunto abordado.

x

Nesta Unidade, retomamos os conceitos de razão e proporção para aplicá-los à Geometria, nos estudos sobre a razão entre segmentos e segmentos proporcionais; o teorema de Tales e algumas aplicações desse teorema; figuras semelhantes (polígonos e triângulos) e o teorema fundamental da semelhança de triângulos.

Com um colega, faça um resumo dos tópicos estudados, indicando exemplos e representações. Em seguida, registre suas dúvidas para um debate com a turma, de modo a solucionar, de maneira colaborativa, as dúvidas que surgirem.

Agora, vamos refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Na abertura desta Unidade, exploramos uma característica relacionada a figuras semelhantes, trabalhando a ideia de proporção envolvendo ampliação e redução de figuras. Você conseguiu identificar essa característica comparando as imagens? O que você percebeu?

• Você foi questionado sobre o par de figuras semelhantes entre as figuras apresentadas. Naquela situação, você conseguiu responder a essa questão? E agora, ao concluir o estudo desta Unidade?

• Como você faria para verificar se dois polígonos são semelhantes? E no caso de dois triângulos?

As questões propostas buscam levar os estudantes a rever propriedades que são fundamentais para o estudo da semelhança. A primeira questão retoma a abertura desta Unidade; nesse momento, verificar a necessidade de rever com a turma os conceitos abordados inicialmente e incentivar os estudantes a falar sobre o que entendem por figuras semelhantes.

As questões finais buscam refletir a respeito do conceito de polígonos semelhantes e semelhança de dois triângulos. Se julgar conveniente, pode-se propor o uso de material manipulativo, como papéis mais resistentes para recorte, para a verificação da congruência dos ângulos.

175

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BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas:

• 2, 4, 5, 7 e 8

Habilidades:

Números

• EF09MA05

Probabilidade e estatística

• EF09MA20

• EF09MA21

• EF09MA22

• EF09MA23

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Educação Ambiental

• Educação Financeira

• Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em quatro capítulos e apresenta os conteúdos por meio de exemplos e atividades diversificadas, além de seções que propiciam momentos que possibilitam o desenvolvimento das competências gerais 1, 4 e 7. No primeiro capítulo, é retomado o cálculo de porcentagem com ênfase nos percentuais sucessivos favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF09MA05. No segundo capítulo, aborda-se o estudo da probabilidade de eventos independentes e dependentes, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA20. No terceiro capítulo, o objetivo é discutir as principais características de cada tipo de gráfico, bem como determinar o gráfico mais adequado para representar um conjunto de dados, colaborando para o desenvolvimento das habilidades EF09MA21 e EF09MA22. No quarto capítulo, são abordados os passos de uma pesquisa estatística, com foco na realização de pesquisas amostrais, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF09MA23.

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 6

Você sabe o que é inflação?

Leia o texto a seguir.

[...] Inflação é o nome dado ao aumento dos preços de produtos e serviços. Ela é calculada pelos índices de preços, comumente chamados de índices de inflação.

O IBGE produz dois dos mais importantes índices de preços: o IPCA, considerado o oficial pelo governo federal, e o INPC.

[...]

O propósito de ambos é o mesmo: medir a variação de preços de uma cesta de produtos e serviços consumida pela população. O resultado mostra se os preços aumentaram ou diminuíram de um mês para o outro.

A cesta é definida pela Pesquisa de Orçamentos Familiares – POF, do IBGE, que, entre outras questões, verifica o que a população consome e quanto do rendimento familiar é gasto em cada produto: arroz, feijão, pas sagem de ônibus, material escolar, médico, cinema, entre outros.

Os índices, portanto, levam em conta não apenas a variação de preço de cada item, mas também o peso que ele tem no orçamento das famílias.

[…]

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Inflação. Rio de Janeiro, c2022. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/explica/inflacao.

php#:~:text=Infla%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20o%20nome%20dado,governo%20 federal%2C%20e%20o%20INPC. Acesso em: 8 abr. 2021.

A imagem de uma cesta de compras sobre uma pilha de moedas cada vez maior representa que o valor dessa mesma cesta pode variar em virtude da inflação.

OBJETIVOS

D2-MAT-F2-2103-V9-U6-176-203-LA-G24_AV3.indd 176

• Compreender e resolver problemas que envolvam porcentagem.

• Compreender e diferenciar o regime de juro simples e de juro composto.

• Resolver problemas envolvendo juro simples e juro composto.

• Utilizar tecnologias digitais para resolver problemas envolvendo percentuais e juros.

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• Reconhecer e calcular a probabilidade de eventos aleatórios dependentes.

• Identificar elementos que podem induzir a erros de leitura em gráficos.

• Construir o gráfico mais adequado para representar um conjunto de dados.

• Planejar, realizar pesquisas e comunicar os resultados por meio de relatório.

No gráfico a seguir, foram apresentados os percentuais do IPCA acumulado em 2021. IPCA acumulado em 2021

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Sistema Nacional de Índices de Preços ao Consumidor – IPCA e INPC. Indicadores IBGE, Rio de Janeiro, p. 1-23, 2022. Disponível em: https://ftp.ibge.gov.br/Precos_Indices_de_Precos_ao_Consumidor/IPCA/Fasciculo_ Indicadores_IBGE/2021/ipca-inpc_202112caderno.pdf. Acesso em: 8 abr. 2022.

A partir do texto e do gráfico, converse com os colegas e o professor para responder às questões a seguir no caderno.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual. Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• O que você sabe sobre inflação e, no seu entendimento, por que é importante conhecer esse tema? Como saber se o preço de uma mercadoria ou serviço sofreu inflação?

• Analisando o gráfico, responda: em qual mês de 2021 foi registrado o maior valor do IPCA acumulado? E o menor? Calcule a inflação nesse período, que corresponde à variação do IPCA acumulado entre esses dois meses.

• Na década de 1980, houve um período de hiperinflação no Brasil, durante o qual

A abertura explora o conceito de inflação e o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA). Verificar se os estudantes possuem algum conhecimento a respeito da inflação e como podemos utilizá-la para obter informações da evolução de preços dos mais diversos produtos.

Ao iniciar a Unidade, fazer uma retomada sobre porcentagens e suas aplicações.

Se possível, acessar o site https:// www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO /publico/corrigirPorIndice.do? method=corrigirPorIndice (acesso em: 2 fev. 2022) e explicar aos estudantes como utilizar a ferramenta “Calculadora de inflação”. Selecione o IPCA fornecido pelo IBGE e faça simulações com períodos a partir de 2010 para que os estudantes possam comparar valores e dialogar sobre experiências financeiras. De preferência, no campo “Valor a ser corrigido”, digitar números múltiplos de 100 para esse primeiro momento.

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JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, os conteúdos trabalhados nos capítulos possibilitam o desenvolvimento das habilidades EF09MA05, EF09MA20, EF09MA21, EF09MA22 e EF09MA23.

No boxe Fórum, o objetivo é promover a reflexão e um debate sobre as fakes news

e como os dados estatísticos podem ser manipulados para produção de informações falsas ou que induzem ao erro de interpretação, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 4 da área de Matemática.

Na seção Por toda parte, os estudantes são convidados a realizar a leitura de uma

pirâmide etária, bem como fazer uma pesquisa sobre a qualidade de vida dos idosos próximos a eles, contribuindo para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso, bem como da competência geral 10 e da competência específica 7 da área de Matemática.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Porcentagem

Aproveitar as situações apresentadas na página para avaliar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre porcentagem.

A situação 1 apresenta duas estratégias para obter a taxa percentual. Verificar se os estudantes percebem que, no 1o modo, basta obter uma fração equivalente à dada com denominador 100. Explorar outros denominadores em que isso é possível, realizando cálculos simples, como frações com denominadores iguais a 5, 10, 20, 25, entre outros.

Na situação 2, reforce como obter a taxa de acréscimo, explorando os cálculos apresentados. Explicar que um aumento de 8% sobre 500 reais é calculado fazendo 0,08 500. Já o preço final, com o aumento embutido, é dado por 0,08 500 + 500. Colocando 500 em evidência, temos: 500 (0,08 + + 1) = 500 (1,08). Ou seja, podemos calcular diretamente o preço final multiplicando 500 por 1,08.

Pense e responda

A questão proposta leva os estudantes a perceber que, depois dos aumentos sucessivos, a taxa de acréscimo é diferente da soma das taxas percentuais de aumento. Na situação apresentada, a taxa, depois dos aumentos sucessivos, corresponde a um aumento de 94 reais em 500 reais, ou seja, 94 500 = 0,188 = 18,8%, já a soma das taxas é 8% + 10% = = 18%. Incentivá-los a levantar hipóteses para explicar por que isso acontece, propondo que elaborem situações parecidas com a estudada para validá-las. Desse modo, os estudantes exercitam o raciocínio por dedução, bem como a argumentação matemática, uma vez que precisam formular

CAPÍTULO1

PORCENTAGEM E PROBLEMAS

ENVOLVENDO JUROS

PORCENTAGEM

O conceito de porcentagem é aplicado em muitas situações do cotidiano, como em transações bancárias, situações de compra, dados em gráficos e notícias, entre outras. Acompanhe alguns exemplos de situações que envolvem porcentagens.

1 O preço de um produto que custava 50 reais teve um desconto de 15 reais em uma promoção. Qual foi a taxa percentual de desconto aplicada?

Pode-se efetuar o cálculo de dois modos.

1o modo: escrevendo uma fração equivalente a 15 50 com denominador igual a 100:

Placa de desconto em uma loja cuja taxa percentual é 70%.

= 15 2 50 2 30 100 = 30%

2o modo: escrevendo a fração 15 50 na forma decimal:

15 50 = 0,30 = ? 0, 30 100 100 =

= 30 100 = 30% h 15 50 = 30%

Portanto, a taxa percentual de desconto aplicada foi de 30%.

2 Uma comerciante, seguindo a taxa de inflação mensal, aumentou em 8% o preço de suas mercadorias. No mês seguinte, os preços foram reajustados em 10%. Depois do primeiro aumento, qual passou a ser o preço de uma mercadoria que custava R$ 500,00? E depois do segundo aumento, quanto passou a custar essa mercadoria? Como o primeiro aumento foi de 8%, temos:

Portanto, depois do primeiro aumento, o preço da mercadoria passou a ser R$ 540,00.

Depois do segundo aumento (10%), temos:

Portanto, depois do segundo aumento, a mercadoria passou a custar R$ 594,00.

PENSE E RESPONDA 178

Responda no caderno.

18,8%. Não, pois a soma das taxas percentuais é dada por 8% + 10% = 18%, e a taxa percentual de reajuste foi de 18,8%.

Calcule a taxa percentual de reajuste de preço da mercadoria, considerando os dois aumentos sucessivos. Ela é igual à soma das taxas percentuais dos aumentos?

ideias e argumentar com base em conhecimentos matemáticos, contribuindo também para o desenvolvimento das competências gerais 4 e 7. É esperado que concluam que a taxa correspondente aos aumentos sucessivos é diferente da soma das taxas individuais porque o segundo aumento é aplicado sobre o preço final do primeiro aumento e, quando somamos as taxas, ela é aplicada diretamente sobre o preço inicial.

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JURO

Juro é toda compensação que se paga, em dinheiro, por uma quantia que se tomou emprestado ou que se recebe por uma quantia que se emprestou.

Vamos estudar dois tipos de regime de capitalização: a juro simples e a juro composto.

Juro simples

O regime de capitalização a juro simples é aquele em que a taxa de juro é sempre aplicada sobre o capital inicial.

Considere a situação a seguir.

João comprou a prazo uma máquina de lavar roupas, como a da imagem, e só pagou 3 meses após a data da compra. Sabendo que ele não deu nenhum valor de entrada, e a taxa de reajuste foi de 5% ao mês a juro simples, quanto ele pagou por essa máquina?

Observe que o capital C financiado foi de R$ 1.500,00 (C = 1 500) a uma taxa i de 5% ao mês (i = 0,05) por um período t de 3 meses (t = 3).

Como foi aplicado juro simples, a taxa mensal é computada a cada mês sempre sobre o valor do capital. O valor total a prazo é o montante M (capital + juro) obtido ao fim dos 3 meses. Então:

GLOSSÁRIO

Capitalização: acumulação de capital por meio da aplicação de juros.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Juro

O tema abordado neste tópico faz parte da realidade das famílias e pode ser explorado com foco na Educação Financeira, favorecendo o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Educação Financeira e Educação para o Consumo.

Iniciar perguntando aos estudantes o que é juro e solicitar que citem exemplos de situações cotidianas em que essa palavra é usada. A partir dessa abordagem inicial, é possível perceber os conhecimentos prévios dos estudantes a respeito desse conceito. Explicar que conhecer juro e como os bancos e comerciantes trabalham com ele é essencial para uma boa saúde financeira.

Juro ao final do 1o mês ( j1) Juro ao final do 2o mês ( j2) Juro ao final do 3o mês ( j3)

5% de R$ 1 500 = = 0,05 1 500 = R$ 75 5% de R$ 1 500 = = 0,05 1 500 = R$ 75 5% de R$ 1 500 = = 0,05 1 500 = R$ 75

Assim, o montante M, ao fim dos 3 meses (preço pago a prazo), é dado por:

M = 1 500 + 3 75 = 1 500 + 225 = 1 725

Logo, o preço da máquina no pagamento a prazo foi de R$ 1.725,00. Acompanhe como podemos obter, de uma só vez, o juro total j relativo aos 3 meses.

j = j1 + j2 + j3

j = 0,05 1 500 + 0,05 1 500 + 0,05 1 500

j = 1 500 ? (0,05 + 0,05 + 0,05)

j = 1 500 3 0,05 h j = 225

j = C i t

Para o cálculo do juro total j, a taxa de juro i deve ser tomada na forma decimal, e o período t deve estar na mesma unidade de medida que o período de incidência da taxa de juro i. Por exemplo, se a taxa de juro i for aplicada ao mês, o período t deve estar na unidade de medida mês.

Juro simples

AMPLIANDO

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Vídeo

O SONHO dourado. [2010?]. Vídeo (10min15s). Publicado por M3 Matemática Multimídia. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1178. Acesso em: 20 jul. 2022.

No link, é possível assistir ao vídeo em que são apresentadas diferentes situações que mostram como os conceitos de preço à vista e juros são utilizados em propaganda.

Podcast

MATEMÁTICA#1: matemática financeira. [S l.]: Brasil Escola Podcasts, maio 2020. Podcast. Disponível em: https://open.spotify.com/episode/5FjcIjDrUBwYxqob x37O38. Acesso em: 20 jul. 2022.

O episódio trata de temas como inflação, crise econômica, bolsa de valores, porcentagem, dentre outros relacionados à Matemática Financeira.

Com relação a juro simples, explorar a situação de juro simples apresentada e verificar se os estudantes identificam o capital como o preço da máquina à vista e a taxa de juros de 5% ao mês que será cobrada a cada mês em que não ocorrer o pagamento. Conduzir a explicação de modo que os estudantes possam exercitar o raciocínio indutivo, percebendo que a cada mês sem pagamento ocorre a cobrança de 5% sobre R $  1.500,00. Perguntar, por exemplo, se o pagamento for efetuado no 4 o mês depois da compra, como registrar mais um mês no cálculo apresentado na página. Proceder dessa maneira até que percebam que o valor do juro simples é calculado multiplicando-se o capital pela taxa de juros em determinado período e pela quantidade de períodos correspondentes.

Máquina de lavar roupas.

AMAPHOTO/SHUTTERSTOCK.COM

Preço à vista: R $ 1.500,00.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Juro composto

O objetivo é levar os estudantes a reconhecer e aplicar o juro composto em diferentes situações cotidianas, aproximando o conteúdo da realidade. Em duplas, eles podem realizar a leitura do Livro do estudante, acompanhando o desenvolvimento das situações apresentadas a fim de perceberem que, diferentemente do juro simples, o juro composto é aplicado sobre o montante do mês anterior. Isso pode ser observado no quadro, analisando o valor do montante ao fim de cada mês. Pergunte sobre o montante ao final do quarto mês, por exemplo, para que possam levantar hipóteses sobre como calcular o montante mês a mês nesse regime de juros, exercitando, assim, o raciocínio indutivo. Ao final, pedir a eles que comparem o regime de juro composto com o de juro simples.

Essa abordagem favorece, além do desenvolvimento do raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos, previstos na competência específica 2 da área de Matemática.

Nas situações apresentadas, ressaltar sempre que a taxa de juro e o tempo devem estar na mesma unidade de medida de tempo e, caso não estejam, as devidas transformações devem ser feitas a fim de que a unidade do período fique na mesma unidade de medida de tempo que a taxa do juro; se a taxa é dada ao dia, o tempo também deve ser expresso em dias; se a taxa é dada ao mês, o tempo deve ser expresso em meses; e assim por diante.

Ressaltar também que, nos cálculos, a taxa deve sempre ser usada na sua forma decimal (ou na forma de fração).

Juro composto

O regime de capitalização a juro composto é aquele em que a taxa de juro é aplicada sobre o montante obtido a cada período considerado (ao dia, ao mês, ao ano etc.). Nesse caso, o juro, inicialmente, se aplica ao valor do capital (emprestado ou aplicado), e é preciso expressar o período na mesma unidade da taxa. Acompanhe as situações a seguir.

1 Ao aplicar R$ 100,00 a juro composto à taxa de 10% ao mês durante 3 meses, qual é o montante obtido ao fim desse período?

Nessa situação, o capital aplicado foi C = R$ 100,00, com i = 10% ao mês e t = 3 meses. Como foi utilizado juro composto, a taxa mensal é computada a cada mês sobre o montante obtido ao fim do mês anterior. Observe.

Juro ao fim de cada mês Montante ao fim de cada mês

1o mês j1 = 10% de R$ 100 = 0,1 100 = R$ 10 M1 = 100 + 10 = 110

2o mês j2 = 10% de R$ 110 = 0,1 110 = R$ 11 M2 = 110 + 11 = 121

3o mês j3 = 1% de R$ 121 = 0,1 ? 121 = R$ 12,10 M3 = 121 + 12,10 = 133,10

Logo, ao fim dos 3 meses, o montante M é de R$ 133,10. Para determinar o juro total desse período, fazemos:

j = M C = 133,10 100,00 = 33,10 h j = 33,10

Observe como podemos obter, de uma só vez, o montante total M relativo aos 3 meses.

• M1 = 110 = 1,1 100 (M1 corresponde a 110% do capital)

• M2 = 121 = 1,1 1,1 100 (M2 corresponde a 110% de M1)

• M3 = 133,10 = 1,1 1,1 1,1 100 (M3 corresponde a 110% de M2)

Assim, temos que o montante final M é dado por: M = (1,1)3 100 = 100 (1 + 0,1)3

Note que 1,1 = 1 + 0,1, em que 0,1 é a taxa i dada na forma decimal, 3 é o período t da aplicação e 100 é o capital aplicado inicialmente. Desse modo, na capitalização a juro

composto, temos: M = C (1 + i)t

No cálculo do montante, a taxa de juro i deve ser tomada na forma decimal e deve estar na mesma unidade de medida que o período t

2 Durante um semestre, um investidor aplicou a juro composto a quantia de R$ 50.000,00 à taxa de 0,2% ao mês. Com o auxílio de uma calculadora, determine qual foi o rendimento dessa aplicação no período considerado.

Identificando as informações dadas, temos:

C = 50 000 i = 0,2% ao mês (i = 0,002) t = 1 semestre = 6 meses Portanto, o montante que o investidor terá no final da aplicação é dado por:

M = C (1 + i)t h M = 50 000 (1 + 0,002)6 h M = 50 000 (1,002)6

Considerando (1,002)6 1 1,01206, temos M = 50 000 1,01206 h M = 50 603 O rendimento de uma aplicação corresponde à quantia de juro obtido nesse período, ou seja: J = M C = 50 603 50 000 = 603. Logo, o rendimento apurado foi de R$ 603,00. 180 D2-MAT-F2-2103-V9-U6-176-203-LA-G24_AV4.indd

1. c) Não. Espera-se que os estudantes percebam que, embora os percentuais de aumentos sucessivos e os de descontos sucessivos sejam iguais, eles foram aplicados em preços diferentes, resultando valores diferentes.

ATIVIDADES

10. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que a capitalização das aplicações financeiras é calculada, geralmente, a juro composto e usem a taxa pesquisada para elaborar um problema envolvendo esse tipo de juro. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Um lojista promoveu dois aumentos sucessivos no preço das mercadorias da loja dele, um de 5%, e outro, de 8%. Considere que o preço de um produto era R$ 35,00 antes dos dois aumentos.

a) Quanto esse produto passou a custar depois dos dois aumentos sucessivos?

b) Depois dos aumentos sucessivos, o lojista colocou esse produto em liquidação, aplicando um desconto de 5%. Se o cliente pagasse à vista, receberia mais 8% de desconto. Nessas condições, um cliente que comprasse esse produto com preço igual ao valor calculado no item a pagaria quanto por ele?

R$ 34,69

c) O valor obtido no item b é igual ao preço inicial do produto? Explique.

2. Júlia aplicou R$ 600,00 com rendimentos mensais de 3% a juro simples. O montante relativo a essa aplicação será creditado na conta dela após 6 meses. Qual deve ser o valor creditado?

R$ 708,00

3. O valor de mercado de um carro zero sofre reduções de acordo com o tempo de uso do veículo. Considere que, no primeiro ano do carro, a taxa percentual de redução é de 10% em relação ao valor inicial e, no segundo ano, de 8% do valor referente ao primeiro ano de uso. Depois de dois anos de uso, qual será o valor de mercado de um carro que custou R$ 80.000,00?

R$ 66.240,00

4. Paulo comprou um carro por R$ 45.000,00. No ato da compra, ele deu uma entrada de R$ 18.000,00 e vai pagar o restante depois de 3 meses com uma taxa de 4% ao mês a juro simples. Que quantia Paulo deverá pagar ao fim dos 3 meses?

R$ 30.240,00

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

5. Dívidas apuradas pelo Poder Judiciário recebem juro de mora de 1% ao mês a juro simples, mais atualização monetária. Lucas ganhou uma ação no Poder Judiciário no valor de R $  5.000,00, já atualizado monetariamente, e vai receber depois de 2 anos. Qual é o montante que Lucas receberá?

6. Lilian aplicou R $ 1.500,00 a juro composto de 3% ao mês por 1 ano. Qual é o montante que ela vai receber no fim desse período?

7. De quantos por cento deve ser a taxa de juro mensal para que uma aplicação de R$ 8.000,00 gere, a juro composto, um montante de R$ 64.000,00 ao fim de 3 meses?

8. Fabiana fez um empréstimo de R$ 4.500,00 a juro composto, com uma taxa de 1% ao mês, para pagar ao fim de 6 meses. Calcule o montante pago no fim desse período.

9. Para uma aplicação de R$ 1.000,00 com taxa de juro de 1% ao mês por um período de 12 meses, qual é a diferença entre os rendimentos obtidos, considerando o cálculo a juro composto e a juro simples?

10. Pesquise as taxas de rendimento de algumas aplicações financeiras, escolha uma delas e elabore um problema para um colega resolver. Em seguida, verifique se a resolução feita por ele está correta.

DESAFIO

Agora, junte-se a um colega, e resolvam o desafio a seguir.

11. Jorge fez um empréstimo no valor de R$ 2.300,00 para pagar depois de 1 ano a juro simples de 5% ao mês. Passados 4 meses, ele foi ao banco e pagou metade da dívida, já acrescida dos juros desse período. Qual é o valor que Jorge deverá pagar quando completar 1 ano de seu empréstimo?

As atividades desse bloco apresentam problemas envolvendo juro simples e juro composto em diferentes situações cotidianas e favorecem o desenvolvimento da competência geral 1, à medida que os estudantes aplicam os conhecimentos matemáticos para compreender e explicar a realidade em que vivem.

As atividades 1 e 3 apresentam problemas que envolvem o cálculo de percentuais sucessivos. Espera-se que os estudantes tenham pouca dificuldade com o cálculo de porcentagens. As dúvidas que ainda surgirem podem ser esclarecidas em uma roda de conversa, em que os estudantes poderão argumentar matematicamente para validar suas hipóteses.

Nas atividades 2, 4 e 5 são trabalhadas as ideias relacionadas ao juro simples. Reforçar que, nesse regime, o juro é cobrado sobre o capital e explicar que, nas transações financeiras com período acima de um mês, normalmente não se trabalha com juro simples.

Durante a exploração das atividades 6 a 8, sobre juro composto, certifique-se de que os estudantes compreenderam que o juro é calculado sobre o montante do mês anterior e, por isso, o valor obtido nesse sistema de juros é maior do que o valor obtido quando é aplicado juro simples. Esse fato será discutido na atividade 9

No desafio 11, os estudantes devem perceber que o valor da dívida em 4 meses corresponde a R$ 2.300,00  + R$ 2.300,00  ? ? 0,05 ? 4 = R$ 2.760,00. Depois de pago metade desse valor, a outra metade passa a ser o novo valor do empréstimo, sobre o qual serão cobrados 8 meses de juros à taxa mensal de 5%.

R$ 6.200,00

R$ 2.138,64

R$ 6,83

R$ 1.932,00

R$ 39,69

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

O trabalho com essa seção contribui para o desenvolvimento da habilidade EF09MA05, uma vez que explora o cálculo de porcentagens para determinar juros no contexto da educação financeira usando planilha eletrônica. Desse modo, favorece também o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5 da área de Matemática, pois explora tecnologias digitais para modelar e resolver problemas cotidianos, validando estratégias e resultados.

Com intuito de familiarizar os estudantes com o software utilizado, incentivá-los a pesquisar vídeos e sites que ensinam a explorar os recursos do software. Isso também os ajudará a desenvolver autonomia na aprendizagem.

Em situações-problema como à apresentada, é possível utilizar uma calculadora para obter o resultado desejado. No entanto, verificar se eles percebem que o uso de planilhas eletrônicas ajuda a automatizar e a agilizar os cálculos, além de organizá-los em forma de tabela.

Explicar que é possível realizar os cálculos utilizando outras fórmulas nas células C2 e D2. Encoraje-os a descobrir uma maneira alternativa para apresentar os resultados no LibreOffice Calc.

Durante a preparação da planilha eletrônica para o cálculo do juro simples e do juro composto, acompanhar os estudantes esclarecendo individualmente as dúvidas que surgirem. É possível que eles não estabeleçam a relação entre a fórmula apresentada na teoria e a que será digitada na planilha. Caso isso ocorra, escreva na lousa cada fórmula e mostre que, para inseri-la na planilha utilizamos as

CÁLCULO DE JURO SIMPLES E JURO COMPOSTO

Nesta seção, você vai utilizar um software chamado LibreOffice Calc para calcular juros e montantes. É possível fazer o download gratuito desse aplicativo no link: https://pt-br.libreoffice. org/baixe-ja/libreoffice-novo/ (acesso em: 8 abr. 2022).

A planilha eletrônica LibreOffice Calc é um recurso que auxilia na realização de cálculos e na organização de dados, incluindo a construção de tabelas e gráficos estatísticos dos mais variados tipos, entre outras aplicações.

Acompanhe as etapas a seguir para efetuar cálculos de juros e montantes usando esse tipo de planilha eletrônica.

1 Abra o LibreOffice Calc. Você acessará uma planilha eletrônica na qual as colunas são identificadas pelas letras do alfabeto e as linhas são numeradas, como mostra a imagem a seguir.

2 A cada célula da planilha, podemos associar uma coluna e uma linha. No exemplo a seguir, a célula selecionada corresponde à coluna D e à linha 3.

Vamos preparar a planilha eletrônica para realizar o cálculo de montantes nos regimes de capitalização a juro simples e a juro composto.

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células correspondentes aos valores de capital, taxa e tempo. Por exemplo, a fórmula para o cálculo do montante a juro simples depende dos valores de C, i, e t. Tais valores encontram-se nas células B3, B4 e B5, respectivamente. Aproveite para explicar ao estudantes que as células B3, B4 e B5 ficam coloridas quando é selecionada

a célula C3, pois nela está o cálculo que as envolvem. Mostrar também que a taxa i está em porcentagem e, portanto, é preciso escrevê-la na forma decimal, fazendo a divisão por 100. No caso da fórmula para o cálculo do montante a juro composto, chame a atenção para o símbolo utilizado para indicar a potência.

17/06/22 09:13

• a) No regime de capitalização a juro composto. Ele receberá R$ 27,27 a mais.

b) No regime de capitalização a juro simples.

3 Na célula A3, digite Capital (R $) e pressione Enter. Analogamente, digite Taxa (%) e Tempo (meses) nas células A4 e A5, respectivamente. Nas células C1 e D1, digite Montante, e nas células C2 e D2, digite juro simples e juro composto, respectivamente.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4 Em C3, digite a fórmula para o cálculo do montante a juro simples, como indicado a seguir.

5 Em D3, digite a fórmula para o cálculo do montante a juro composto, como indicado a seguir.

6 Para calcular, por exemplo, os montantes de uma aplicação de R$ 200,00 a uma taxa de 5% ao mês durante um período de 1 ano (12 meses), inserimos 200 em B3, 5 em B4 e 12 em B5, e a planilha exibe em C3 o montante a juro simples e, em D3, o montante a juro composto.

Portanto, essa aplicação resultará em R$ 320,00 a juro simples e, aproximadamente, R$ 359,00 a juro composto.

Agora, junte-se a um colega, explorem a planilha do LibreOffice Calc programada para calcular os montantes a juro simples e a juro composto, façam simulações e resolvam as questões a seguir no caderno.

• Bruno deseja aplicar um capital de R$ 10.000,00 a uma taxa de 3% ao mês.

a) Se ele deixar o capital aplicado durante 3 meses, em qual regime de capitalização o montante será maior no fim desse período? Ele receberá quantos reais a mais?

b) Bruno vai deixar o dinheiro aplicado por 15 dias; em qual regime ele obterá o maior rendimento?

c) Depois de quanto tempo de aplicação é mais vantajoso para Bruno utilizar o sistema de capitalização a juro composto?

A partir de 1 mês, o montante a juro composto passa a aumentar mais rapidamente que o montante a juro simples.

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AMPLIANDO

Link

SOUZA, Tiago Gadelha. Ensino de matemática financeira com utilização de tecnologias.

Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2014. Disponível em: https://repositorio. ufc.br/bitstream/riufc/8067/1/2014_dis_tgsousa.pdf. Acesso em: 20 jul. 2022.

No link apresentado, é possível aprofundar o conteúdo sobre regimes de capitalização e conhecer uma proposta para trabalhar esses temas usando calculadoras e planilhas eletrônicas como o LibreOffice Calc.

Quando os estudantes já estiverem familiarizados com a planilha eletrônica programada para calcular os montantes nos dois regimes de capitalização, propor outras simulações, variando o tempo, a taxa de juros e o capital, de modo que eles possam comparar os resultados obtidos nos dois sistemas de juros. Em seguida, propor a realização da atividade em dupla para que possam trocar ideias e validar hipóteses, exercitando a empatia e a cooperação, o que favorece o trabalho com a competência geral 9. No item b, chamar a atenção para o fato de a taxa de juro e o tempo estarem em unidades de medida diferentes. Para a resolução desse item, é preciso perceber que 15 dias correspondem a 0,5 mês. Incentivar os estudantes a simular os valores dos montantes nos dois regimes, aumentando o período de 0,5 mês até 1 mês a fim de perceberem que até 1 mês o montante a juro simples cresce mais rapidamente que a juro composto. A partir desse período, o montante a juro composto passa a aumentar mais rapidamente, fato que os estudantes devem perceber para responder ao item c. Essa abordagem favorece o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, à medida que os estudantes compreendem como o sistema bancário utiliza os dois regimes de capitalização. Finalizar comentando com a turma que os boletos bancários cobram juro simples sobre o atraso diário no pagamento até o período de 1 mês.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Probabilidade

No ano anterior, os estudantes estudaram que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é 1 e construíram o espaço amostral de experimentos aleatórios utilizando o princípio multiplicativo. Nesse tópico, eles vão reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e eventos dependentes, determinando a probabilidade em cada caso, explorando, assim, a habilidade EF09MA20.

Se julgar conveniente, retomar o conceito de probabilidade com os estudantes apresentando situações com as quais eles já tenham lidado, por exemplo, a probabilidade de no lançamento de um dado comum de seis faces se obter: um número par (0,5 ou 50%); um número menor do que 10 (1 ou 100%); um número maior do que 7 (zero).

Eventos dependentes e eventos independentes

Pode-se trabalhar os conceitos de eventos dependentes e eventos independentes por meio da estratégia de aprendizagem em equipe, que consiste em organizar a turma em grupos com mais de quatro estudantes, com diferentes perfis, e solicitar a eles a leitura do texto das páginas 184 e 185 com o objetivo de definirem o que são eventos independentes e eventos dependentes e apresentarem exemplos de cada caso. Esse tipo de abordagem permite a troca de saberes e opiniões, favorecendo a argumentação e o raciocínio lógico com base em conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo, bem como a colaboração e o diálogo, previstos nas competências gerais 7 e 9 e na competência específica 2 da área de Matemática.

Para que os estudantes entendam que, no caso de eventos

Você já estudou que a probabilidade de um evento A ocorrer, que chamaremos de P(A), é dada por:

P(A) = qua ntidade de  resulta dos favoráveis ao event o A qua ntidadetotal de re sultados possíveis

EVENTOS DEPENDENTES E EVENTOS INDEPENDENTES

Em um experimento aleatório, dois ou mais eventos são denominados eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros eventos terem ocorrido ou não.

Dados dois eventos independentes ( A e B) de um espaço amostral, a probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dada por:

P(A e B) = P(A) P(B)

Acompanhe as situações a seguir.

1 Uma urna contém 10 bolas coloridas idênticas. Há 5 bolas azuis, 2 bolas verdes, 2 bolas amarelas e 1 bola vermelha.

• Sorteando-se uma dessas bolas (ao acaso), qual é a probabilidade de a bola sorteada ser azul?

Na urna, há 5 bolas azuis em 10, ou seja: P(bola ser azul) = 5 10 = 1 2

• Sorteando-se duas dessas bolas (ao acaso), uma de cada vez, com reposição da bola sorteada, qual é a probabilidade de a segunda bola sorteada ser azul sabendo que a primeira foi vermelha?

A ocorrência do evento “sair bola azul” não depende da ocorrência ou não do evento “sair bola vermelha”, já que há reposição da bola retirada na urna, ou seja, nesse caso, os dois eventos são independentes; continuamos, então, com 5 em 10 para as azuis.

P(sair bola azul, sabendo que saiu vermelha) = P(sair bola azul) = 5 10 = 1 2

• Qual é a probabilidade de a primeira bola sorteada ser azul, e a segunda ser vermelha?

Como nesse caso esses eventos são independentes, temos:

P(primeira azul e segunda vermelha) = P(ser azul) ? P(ser vermelha) =?= 1 2

independentes, o fato de um deles ter ocorrido ou não ter ocorrido não interfere na ocorrência do outro, usar novamente um experimento fácil de vivenciar em sala de aula. Por exemplo: lançar dois dados comuns de seis faces de cores diferentes e observar os números que aparecem nas faces superiores; ou jogar um dos dados e observar o número que saiu e perguntar se esse resultado interfere nos números que podem sair no lançamento do outro dado.

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• Sorteando-se seguidamente duas dessas bolas (ao acaso) sem reposição, qual é a probabilidade de a segunda bola sorteada ser azul, sabendo que a primeira foi vermelha?

Note que a primeira bola sorteada foi vermelha, e não houve reposição na urna. Assim, no sorteio da segunda bola, a urna tem uma composição diferente: agora há 9 bolas: 5 azuis, 2 verdes e 2 amarelas. Logo, são 5 bolas azuis em um total de 9 bolas, ou seja: P(sair bola azul, sabendo que saiu vermelha) = 5 9

Desse modo, a ocorrência do evento “sair bola vermelha” influenciou a ocorrência do evento “sair bola azul”; por isso, dizemos que esses eventos são eventos dependentes

No caso de dois eventos dependentes ( A e B) de um espaço amostral, a probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dada por:

P(A e B) = P(B e A) = P(A dado que B ocorreu) P(B)

Voltando à situação do exemplo, vamos determinar a probabilidade de a primeira bola sorteada ser vermelha, e a segunda ser azul.

Como nesse caso esses eventos são dependentes, temos:

P(1a vermelha e 2a azul) = P(bola azul, sabendo que saiu vermelha) ? P(vermelha) =

=?== 5 9 1 10 5 90 1 18

2 Joana tem 3 cédulas de 2 reais e 2 cédulas de 10 reais na carteira. Qual é a probabilidade de ela obter a quantia de 12 reais ao retirar, sucessivamente da carteira, duas cédulas ao acaso?

Vamos utilizar uma árvore de possibilidades para representar essa situação.

1a retirada

10 reais

2 reais

2a retirada

10 reais

2 reais 12 reais (resultado favorável)

10 reais

2 reais

12 reais (resultado favorável)

Registramos no quadro as respectivas probabilidades para os resultados favoráveis, verificando que os eventos envolvidos são dependentes, já que não há reposição de cada cédula retirada.

1a retirada 2a retirada Retiradas sucessivas

P(10 reais) = 2 5 P(retirar uma cédula de 2 reais, sabendo que foi retirada uma cédula de 10 reais) = 3 4

P(2 reais) = 3 5 P(retirar uma cédula de 10 reais, sabendo que foi retirada uma cédula de 2 reais) = 2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomar a ideia da árvore de possibilidades. Verificar se os estudantes se lembram de como montar esse esquema e se percebem sua utilidade na resolução de problemas como os apresentados.

Se possível, é interessante que os estudantes vivenciem os experimentos descritos no Livro do estudante ou experimentos similares. Explorar a situação 2 e propor outras questões para que os estudantes calculem a probabilidade. Exemplo:

• Qual é a probabilidade de a quantia obtida (nas mesmas condições) ser 4 reais? E 30 reais? No caso de a quantia ser 4 reais, a única possibilidade é sair duas cédulas de 2 reais, ou seja: P(sair 4 reais) = P(sair 2 reais e 2 reais) = 3 5 2 4 6 20 ?== 3 5 2 4 6 20 ?== 30%.

Para o caso de a quantia ser 30 reais, a situação é impossível, pois Joana tem apenas 26 reais na bolsa, ou seja, P(sair 30 reais) = 0.

P(retirar 2 reais e 10 reais)  = =?= 2 5 3 4 6 20 = 30%

P(retirar 10 reais e 2 reais) = =?=

Como há duas maneiras de se obter 12 reais, devemos adicionar as probabilidades dessas duas maneiras:

P(12 reais) =+= 6 20 6 20 12 20 = 60%

Logo, a probabilidade de Joana conseguir 12 reais retirando da carteira duas cédulas ao acaso é de 60%.

185

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O bloco de atividades apresenta problemas para os estudantes aplicarem e ampliarem os conhecimentos a respeito de eventos independentes e eventos dependentes em experimentos aleatórios. Sugere-se que esse bloco seja desenvolvido com os estudantes reunidos em duplas, o que ampliará o repertório de estratégias deles, de modo que possam trabalhar a argumentação matemática.

Ficar atento às dificuldades que possam surgir para ressaltar esses pontos na correção de cada atividade. Na atividade 5, por exemplo, os estudantes devem perceber que há 37 números pares de 1 a 75 antes de começar a resolver o problema.

Na atividade 6, a compreensão do item a auxiliará na do item b, pois os estudantes devem perceber que obter duas cartas de mesmo naipe é possível com duas cartas de ouro, duas cartas de paus, duas cartas de copas ou duas cartas de espada. Raciocínio parecido deve ser usado na atividade 8 (sair o mesmo número no lançamento de três dados).

No desafio 10, verificar se eles conhecem o jogo de xadrez e suas regras. Deixar que eles apresentem aos colegas, com as palavras deles, de que modo cada peça do jogo pode se movimentar. Intervir quando necessário para realizar correções e complementos.

AMPLIANDO

Atividades complementares

1. Uma urna contém 2 cartas brancas e 3 cartas vermelhas. Sorteando-se duas cartas dessa urna, com reposição, determine a probabilidade de se obter duas cartas brancas nos dois sorteios.

2. Se as cartas da atividade anterior forem retiradas sem reposição, o que aconteceria com a probabilidade de a 2a carta sorteada ser branca, dado que a primeira foi branca?

Responda às questões no caderno.

1. Se uma pessoa jogar um dado cúbico honesto (dado comum) com as faces numeradas de 1 a 6, qual é a probabilidade de sair o número 4? E de sair um número ímpar?

2. Em uma urna, há 8 bolas idênticas, numeradas de 1 a 8. Qual é a probabilidade de se retirar ao acaso:

a) a bola com o número 1?

b) uma bola com número par?

c) a bola com o número 1 e, em seguida, retirar uma bola com número par, repondo, na urna, a bola retirada anteriormente?

3. Ao jogar duas vezes um dado cúbico comum, com as faces numeradas de 1 a 6, a probabilidade de obter dois números ímpares é:

a) 0,5. b) 0,75. c) 1. d) 0,25.

4. Em uma urna, há 16 bolas idênticas, mas de cores diferentes: 4 vermelhas, 4 azuis, 4 verdes e 4 amarelas. Sorteando-se duas bolas sucessivamente e sem reposição, determine a probabilidade de a segunda bola sorteada ser amarela, sabendo que a primeira bola foi azul.

5. Em um bingo beneficente, as bolinhas são numeradas de 1 a 75. Expresse, na forma percentual, a probabilidade de as duas primeiras bolinhas sorteadas (sem reposição) apresentarem um número par.

6. Em um jogo de cartas coloridas, 52 cartas estão organizadas em 4 cores (azul, vermelho, amarelo e verde). Sorteando-se (ao acaso) duas cartas desse jogo, sem reposição:

a) qual é a probabilidade de se obterem duas cartas verdes?

b) qual é a probabilidade de se obterem duas cartas de mesma cor?

7. Na bolsa de Clélia, há 3 cédulas de 10 reais e 4 cédulas de 5 reais. Se ela retirar da bolsa duas cédulas ao acaso, qual é a probabilidade de saírem duas cédulas de mesmo valor?

8. No lançamento simultâneo de três dados cúbicos comuns (com faces numeradas de 1 a 6) e de cores diferentes, qual é a probabilidade de sair o mesmo número nos três dados?

9. Em uma urna, há 16 bolas idênticas: 15 delas são brancas e uma é vermelha. Retirando-se ao acaso 3 bolas dessa urna, sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de retirar a bola vermelha é maior do que, menor do que ou igual a 20%?

DESAFIO

Resolução das atividades

Agora, junte-se a um colega, e resolvam o desafio a seguir.

10. A abertura de um jogo de xadrez (primeiro movimento de peças do jogo) só pode ser realizada por duas peças: o peão ou o cavalo. Se o jogo for iniciado por um peão, essa peça tem duas opções de movimento (para frente, avançando uma ou duas casas). Por sua vez, se o jogo for iniciado pelo cavalo, também há duas opções de movimento (L à esquerda ou L à direita). Além disso, uma rodada é finalizada quando ambos os jogadores concluem o movimento de cada uma de suas peças. Quantas possibilidades distintas de primeira rodada podem ocorrer em um jogo de xadrez?

1. Sortear duas cartas brancas, com a primeira carta sorteada retornando à urna antes do 2o sorteio, são eventos independentes. Assim, P(carta branca e carta branca) = 2 5 2 5 4 25 0,16 16% === 2 5 2 5 4 25 0,16 16% === = = 0,16 = 16%, pois nos dois sorteios há 2 cartas brancas em 5 possibilidades.

É menor, pois 3 16 = 18,75%. 400 rodadas distintas.

2. Não havendo a reposição da primeira carta branca sorteada à urna, para o 2o sorteio, temos 1 carta branca em 4 possibilidades. Assim, a probabilidade de sortear uma carta branca no 2o sorteio é 1 4 , ou seja, essa probabilidade é diferente da probabilidade obtida na atividade anterior 2

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ANALISANDO GRÁFICOS

A Estatística está presente em diversas áreas do conhecimento que envolvem planejamento de experimentos, coleta, processamento e organização de dados, além de análise, interpretação e comunicação das informações obtidas.

Os gráficos são recursos utilizados para a comunicação de dados, comparando informações quantitativas ou qualitativas.

Ao longo de seus estudos, provavelmente, você já lidou com vários tipos de gráfico, que têm diferentes funções, como os exemplos descritos a seguir.

Tipos de gráfico

Gráficos de composição Gráficos de comparação

Gráfico de setores Gráfico de barras ou colunas Gráfico de linhas

Formado por setores circulares que, juntos, compõem 100% da área de um círculo. Existe uma relação de proporcionalidade de cada setor e o todo (o círculo).

Representa a comparação de dados entre várias categorias de uma variável e entre itens individuais.

Representa a comparação de dados (lineares) ao longo do tempo, ou seja, mostra a evolução de uma ou mais variáveis ao longo do tempo.

Depois de escolher o gráfico adequado para a apresenta ção do conjunto de dados que se tem, deve-se pensar na melhor maneira de representar os dados para facilitar a leitura e a interpretação do gráfico pelo leitor, escolhendo ade quadamente o título do gráfico, os títulos dos eixos, as unidades e escalas apropriadas etc.

Vamos analisar as situações a seguir.

1 Uma escola realizou uma pesquisa sobre as atividades culturais realizadas pelos estudantes em determinado ano. A diretoria da escola apresentou um gráfico para mostrar quais atividades foram realizadas e a quantidade relativa de estudantes que realizaram cada uma. Cada estudante indicou apenas a atividade cultural que realizou mais vezes durante o ano.

Nesse caso, foram apontadas as atividades desempenhadas durante um período fixo (o ano analisado). O gráfico mais adequado para isso é o gráfico de setores. Observe.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Analisando gráficos

Inicialmente, retomar com os estudantes todos os tipos de gráfico já estudados: gráfico de barras ou de colunas, gráfico de linhas e gráfico de setores. Se possível, apresentar exemplos de cada tipo de gráfico para serem analisados coletivamente. O objetivo é discutir os tipos de gráfico com ênfase no mais adequado para apresentar determinados conjuntos de dados, além de destacar aspectos de medidas de tendência central, trabalhando a habilidade EF09MA22, bem como analisar e identificar elementos, em gráficos divulgados pela mídia, que podem induzir propositadamente ao erro, explorando a habilidade EF09MA21. Discutir com a turma a respeito de qual tipo de gráfico é melhor para ser usado em determinada situação. É importante que os estudantes compreendam que, para cada situação, pode ser escolhido um gráfico que melhor apresente os dados analisados. Comentar que, além da escolha do gráfico, o cuidado com a construção é muito importante para evitar possíveis leituras equivocadas e conclusões que não correspondem ao que está sendo apresentado.

Fonte: Diretoria da escola.

Na situação 1, chamar a atenção para a característica dos gráficos de setores que é permitir a comparação dos dados em relação ao todo. Pedir aos estudantes que pesquisem gráficos de setores apresentados pela mídia para que percebam essa característica.

Retomar a moda como uma medida de tendência central que indica o dado que aparece com mais frequência. No caso da situação apresentada, ela corresponde à atividade cultural música, com frequência de 30%. Isso significa que a música foi a atividade realizada por mais estudantes no período considerado.

Jovens dançando.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Explorar a situação 2, que apresenta um exemplo com gráfico de barras horizontais. Questionar os estudantes se os dados da situação poderiam ter sido apresentados em um gráfico de barras verticais. Espera-se que eles percebam que é possível, tomando cuidado com a troca dos elementos dos eixos. Nesse caso, a quantidade de acessos seria indicada no eixo vertical e o site, no eixo horizontal. No item c , retomar o cálculo da média, que, no caso da situação apresentada, é feito a partir dos valores indicados em cada barra do gráfico.

No gráfico, é possível visualizar as atividades indicadas e o percentual com que cada uma contribuiu para o total de atividades realizadas. Comparando os setores circulares e as respectivas porcentagens, pode-se chegar a algumas conclusões, por exemplo:

• Música corresponde ao tipo de atividade realizada por mais estudantes nesse período, pois é representada pelo maior setor circular (maior percentual). Esse é o produto modal (dado de maior frequência) dessa distribuição.

• Como o total equivale a 100%, a soma das porcentagens de cada atividade deve ser 100%. Por exemplo, se no total 300 estudantes participaram da pesquisa, artesanato foi a atividade cultural mais realizada por 48 estudantes (16% de 300 estudantes).

2 Uma empresa proprietária de diversos sites na internet mantém uma lista com a quantidade de acessos, no último mês, a cada um desses sites. Para organizar a leitura dessas informações, foi construído o gráfico de barras horizontais a seguir.

Quantidade de acessos, no último mês, aos sites da empresa

A partir do gráfico, responder às perguntas a seguir.

milhares)

Fonte: Dados fictícios.

a) Qual site da empresa teve mais acessos no último mês? Nesse tipo de gráfico, o comprimento de cada barra deve ser proporcional à quantidade de acessos. Assim, a barra mais comprida indica a maior quantidade de acessos, ou seja, o site C foi o mais acessado no último mês.

b) Quantos acessos a mais o site F deveria ter para obter a mesma quantidade daqueles do site mais acessado no último mês?

Como o site mais acessado teve 431 mil acessos no último mês, o site F deveria ter essa quantidade de acessos para se igualar ao primeiro colocado. Analisando o gráfico, o site F teve 173 mil acessos. Vamos calcular quanto falta para 173 mil atingir 431 mil, ou seja: 431 mil 173 mil = 258 mil

Logo, o site F deveria ter mais 258 mil acessos.

c) Considerando apenas os sites representados nesse gráfico, qual foi a média de acessos por site no último mês? No último mês, a média de acessos, em milhares, é dada por:

1 230,429, ou seja, aproximadamente, 230 429 acessos. Logo, cada um desses sites teve, em média, 230 429 acessos no último mês.

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Atividade complementar

Sugere-se que sejam trabalhadas as situações discutidas no Livro do estudante por meio da estratégia rotação por estações, que consiste em organizar na sala quatro estações, uma para cada situação apresentada; os estudantes deverão percorrê-las, organizados em pequenos grupos, indicando o gráfico mais adequado para representar os dados de cada situação. Caso opte por utilizar essa estratégia, reproduza em um cartaz as situações apresen-

tadas nas páginas 187 a 189, com os dados organizados em uma tabela, de modo que os estudantes decidam e construam o gráfico mais adequado a cada conjunto de dados. Os estudantes devem passar por todas as estações.

Ao final, promover uma roda de conversa para que apresentem os gráficos que construíram e justifiquem suas escolhas. Desse modo, podem trabalhar a argumentação com base em conhecimentos matemáticos, bem como o diálogo e a cooperação, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9.

3 Uma cidade do sul do país registrou a temperatura média durante os 12 primeiros dias do mês de junho de 2021 e com esses dados construiu um gráfico. Esse gráfico mostra a evolução das temperaturas médias ao longo dos 12 primeiros dias do mês. O tipo de gráfico mais adequado para representar essa situação é o gráfico de linhas. Observe.

Temperatura média nos 12 primeiros dias de junho de 2021

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

No gráfico, analisa-se a temperatura média de cada dia do período analisado. Registrando esses dados em ordem crescente, pode-se calcular as medidas de tendência central.

5 °C 6 °C 6 °C 8 °C 8 °C 8 °C 8 °C 9 °C 9 °C 10 °C 10 °C 12 °C

• Como há 12 elementos (número par), a mediana, nesse caso, é a média entre os dois elementos centrais (8 e 8), que é 8. Logo, a mediana desse conjunto de dados é 8

• A moda é o número que mais aparece; logo, a moda é 8.

• A média é a soma de todos os valores divididos pelo total de elementos (12):

média = +++++++++++56 6888 899 10 10 12 12 = 8,25

Logo, a temperatura média é 8,25 °C.

Os gráficos possibilitam uma comunicação eficiente de informações, mas devem ser apresentados corretamente. Gráficos incorretos podem causar falsas impressões, por exemplo, ao apresentar escalas inadequadas para representar os números nos eixos.

4 Analisar este gráfico de colunas duplas, que se refere à comparação do faturamento da Empresa Nova com duas concorrentes em 2020 e 2021.

Para dar a impressão de que a Empresa Nova se aproximou das concorrentes em relação ao faturamento, as colunas que se referem ao faturamento da Empresa Nova não estão na proporção correta em relação às colunas que representam o faturamento das concorrentes.

Observe que a altura da coluna verde da Empresa Nova está incorreta, pois, como a metade da escala do eixo vertical corresponde ao valor 75, a altura da coluna que indica o valor 50 deveria corresponder a menos da metade da altura total. Qual outro equívoco você percebe neste gráfico?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

AMPLIANDO

Link

DANA, Samy. Mentiras em gráficos para ganhar a sua atenção. G1, Rio de Janeiro, 17 jul. 2017. Disponível em: https://g1.globo.com/economia/blog/samy-dana /post/mentiras-em-graficos-para-ganhar-sua-atencao .html. Acesso em: 20 jul. 2022.

No link apresentado, é possível conhecer alguns recursos que são utilizados para causar distorções e manipular dados em representações gráficas.

Retomar com os estudantes as medidas de posição (ou tendência central) já estudadas – média, moda e mediana – e como elas são calculadas. Comentar também que a amplitude é a medida de dispersão mais simples, entre outras, como desvio, desvio padrão e variância, que serão estudadas posteriormente. A amplitude utiliza em seu cálculo apenas os valores extremos, não avalia valores intermediários. Destacar a utilização do gráfico de linhas na situação 3. Espera-se que os estudantes compreendam que esse gráfico é utilizado para indicar uma variação ao longo do tempo.

Discutir com a turma a respeito da situação 4, que apresenta um gráfico com manipulação visual. Isso faz com que conclusões erradas sejam tomadas a respeito dos dados apresentados.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Esse bloco de atividades tem como objetivo verificar o aprendizado dos estudantes referente à análise de gráficos. Pode-se comparar quanto os estudantes avançaram em relação aos conhecimentos que eles já tinham (que foram levantados anteriormente, conforme sugestão).

Na atividade 1, pedir aos estudantes que justifiquem a escolha do tipo de gráfico mais adequado para representar a situação apresentada. Espera-se que as explicações se apoiem nas características estudadas de cada tipo de gráfico e, com isso, argumentem que o gráfico de linhas é o mais indicado, pois ele mostra a evolução das intenções de voto ao longo do tempo.

A atividade 2 explora a análise e a indicação de elementos que induzem ao erro de leitura em gráficos. Pedir aos estudantes que justifiquem as respostas, exercitando a argumentação com base em conhecimentos matemáticos, bem como a observação sistemática de aspectos quantitativos e qualitativos das práticas sociais, investigando causas e elaborando e testando hipóteses, desenvolvendo as competências gerais 2 e 7 e a competência específica 4 da área de Matemática.

A fim de ajudá-los nessa análise, chamar a atenção para os aspectos gráficos da representação, pedindo que comparem as alturas das colunas e as escalas de porcentagem, verificando se são proporcionais. Outro fator que pode ser analisado é o tamanho da fonte em cada coluna.

Os dados da tabela da atividade 3 podem orientar uma discussão em sala de aula a respeito do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental

ATIVIDADES

2. a) Possivelmente, a chapa B, pois a coluna referente à quantidade de votos dessa chapa, aparentemente de modo proposital, tem mais destaque em relação às demais. b) Espera-se que os estudantes percebam que, para representar a porcentagem de voto da chapa B, foram usadas letras maiores do que nas demais chapas. Além disso, a altura da coluna da chapa B está desproporcional em relação à coluna referente à chapa A, que detém 60,3% das intenções de voto, enquanto a chapa B detém apenas 30%.

c) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Para a eleição do prefeito de um município, um instituto de pesquisa colheu dados sobre a intenção de votos dos habitantes desse município nos últimos 8 meses. A partir desses dados, o instituto vai publicar um gráfico que mostra a evolução da intenção de votos para cada candidato no período analisado. Qual alternativa indica o tipo de gráfico mais adequado para representar essa situação?

a) Um gráfico de setores é mais apropriado, por apresentar vários períodos.

b) Um gráfico de barras múltiplas é o mais indicado, pois compara vários itens (meses).

c) Um gráfico de colunas simples é o mais indicado, pois há várias categorias.

d) Um gráfico de linhas é o mais indicado, por mostrar uma evolução ao longo do tempo.

2. Alguns estudantes de uma universidade organizaram-se em chapas ( A , B e C ) para concorrer à diretoria do centro acadêmico. Uma das chapas publicou, como propaganda, o gráfico a seguir com o resultado de uma pesquisa de intenção de votos para a diretoria do centro acadêmico.

Intenção de votos para a diretoria do centro acadêmico

a) Qual chapa você acha que lançou essa propaganda? Por quê?

b) Quais recursos você entende que foram usados para manipular o gráfico a fim de chamar a atenção dos estudantes para essa chapa?

c) Refaça o gráfico no caderno, corrigindo os equívocos descritos no item b

3. O projeto Prodes realiza o monitoramento por satélite do desmatamento da Amazônia e calcula, desde 1988, as taxas anuais de desmatamento na região. Desmatamento na Amazônia de 2015 a 2021

Ano Área desmatada (km²)

2015 6 207

2016 7 893

2017 6 947

2018 7 536

2019 10 129

2020 10 851

2021 13 235

Elaborada com base em: BRASIL. Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. PRODES: Monitoramento do desmatamento da Floresta Amazônica brasileira. São José dos Campos: INPE, 2021.Disponível em: http://www.obt.inpe.br/OBT/assuntos/programas/ amazonia/prodes. Acesso em: 11 abr. 2022.

a) Que tipo de gráfico você escolheria para apresentar os dados obtidos nesse monitoramento?

b) Construa o gráfico relativo aos dados dessa tabela, usando o tipo indicado no item a

c) Determine a taxa percentual de aumento da área desmatada de 2021 em relação ao ano de 2015.

d) Qual foi a média, por ano, da área desmatada na Amazônia em relação aos anos registrados na tabela?

e) Determine a moda e a mediana do conjunto de dados da tabela.

b)

d) 8 971,14 km² por ano.

e) Não há moda.

c)

Se possível, pedir aos estudantes que pesquisem os dados sobre o desmatamento na Amazônia referentes aos anos de 2022 e 2023 e completem a tabela. Para essa pesquisa, orientá-los a buscar informações em sites confiáveis, como o do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) ou o do IBGE, sites do governo e de Universidades, entre outros.

Mediana: 7 893 km².

3. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

113,23%.

Fonte: Pesquisa de intenção de votos para a diretoria do centro acadêmico.

Resposta pessoal. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

c) Soja: 2019; café: 2020; milho: 2021.

5. a) O gráfico de linhas. Porque esse tipo de gráfico também mostra a evolução dos dados ao longo do tempo.

4. Um gráfico de colunas empilhadas é aquele em que cada coluna é subdividida em partes coloridas posicionadas umas sobre as outras: cada coluna representa uma categoria, e cada parte de cada coluna representa uma subcategoria. É um gráfico de composição, pois relaciona partes com o todo, em que a composição varia ao longo do tempo. A altura das partes da coluna representam a contribuição de diferentes componentes para o valor numérico que corresponde à altura da respectiva coluna.

Uma empresa de exportação de alimentos (soja, café e milho) apresentou o gráfico de colunas empilhadas a seguir.

Quantias arrecadadas em exportação de 2018 a 2021 (em milhões de reais)

5. No gráfico de barras horizontais, está indicada a quantidade de registros de agrotóxicos feitos pelo Ministério da Agricultura de 2012 a 2021 no Brasil. Quantidade de registros de agrotóxicos no Brasil de 2012 a 2021

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Explique o significado de cada parte colorida em cada coluna.

b) É possível identificar se a arrecadação pela exportação de algum dos três produtos sempre aumentou de um ano para outro? Em caso afirmativo, que produto foi esse?

c) Em qual ano a exportação de cada um dos produtos teve a maior arrecadação?

d) Em qual ano a soja foi responsável por mais da metade da arrecadação da exportação?

Elaborado com base em: SALATI, Paula. Após novo recorde, Brasil encerra 2021 com 562 agrotóxicos liberados, sendo 33 inéditos. G1, Rio de Janeiro, 18 jan. 2022. Disponível em: https://g1.globo. com/economia/agronegocios/noticia/2022/01/18/ apos-novo-recorde-brasil-encerra-2021-com-562agrotoxicos-liberados-sendo-33-ineditos.ghtml.

Acesso em: 11 abr. 2022.

a) Em seu entendimento, que outro tipo de gráfico poderia ser utilizado para representar esses dados? Justifique.

b) Determine a média e a mediana de registros de agrotóxicos no período registrado no gráfico

c) Em quais anos os registros foram maiores do que as medidas calculadas no item b?

d) De 2020 para 2021, qual foi o percentual de aumento nos registros de agrotóxicos no país?

e) Considere as medidas calculadas e a análise feita nos itens anteriores e elabore um texto que resuma as informações do gráfico.

6. Analogamente ao que foi apresentado na atividade 2, construa um gráfico que contenha algumas manipulações dos dados, de modo que a interpretação favoreça certo aspecto apresentado nele. Peça a um colega que descreva quais são as distorções presentes no gráfico que você criou e refaça-o da maneira correta. Faça o mesmo para o gráfico que seu colega criou.

5. b) Média: 322,4 registros por ano; mediana: 340,5 registros.

e) Resposta pessoal. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

6. Resposta pessoal. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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A atividade 4 traz um gráfico de colunas empilhadas. Discutir com os estudantes como pode ser feita a leitura dos valores para as partes coloridas, pois não é uma leitura direta no gráfico. Os estudantes devem observar a altura da parte da coluna que se deseja analisar e perceber que esses valores são encontrados pelas diferenças de valores do eixo vertical do gráfico. Para ampliar essa atividade, pode-se ainda explorar questões do tipo: “Em qual ano a empresa teve maior arrecadação nas exportações e de quanto foi?” (Em 2019, com 70 milhões de reais.)

Aproveitar o tema sobre agrotóxicos do gráfico da atividade 5 e propor um estudo interdisciplinar com o professor de Ciências sobre os efeitos dessas substâncias para a saúde.

Na atividade 6, os estudantes podem elaborar gráficos de colunas ou barras, tendo como base a atividade 2 da página anterior ou pesquisar gráficos na mídia em que percebam algum recurso gráfico de manipulação dos dados. Pode-se também explorar o gráfico de setores em situações em que a soma das porcentagens não resulta em 100%, por exemplo. Ao final, promover uma roda de conversa para que eles possam apresentar o gráfico que construíram e os problemas percebidos, compartilhando informações e experiências que tiveram ao longo da realização da atividade, favorecendo o trabalho com a competência geral 4.

4. a)

Sim. O milho. Em 2019.

5. c) De 2017 a 2021.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Elaborando uma pesquisa

Conversar com os estudantes a respeito das pesquisas estatísticas e da importância delas para que sejam realizadas conclusões ou projeções a partir da análise do comportamento do objeto de pesquisa. Verificar se os estudantes conhecem outros institutos que fazem pesquisa, além do IBGE. Resumir os passos de uma pesquisa estatística. Se julgar necessário, retomar conceitos básicos, como população, amostra, variáveis quantitativas e qualitativas, que já foram estudadas em anos anteriores. É esperado que os estudantes tenham autonomia para planejar e executar pesquisa amostral e comunicar os resultados por meio de relatório, explorando a habilidade EF09MA23

Você já observou que há diferentes tipos de pesquisa? Nem todas as pesquisas aplicam conhecimentos estatísticos; por exemplo, quando você pesquisa um assunto (em diversas fontes confiáveis) para compor um trabalho escolar. No entanto, as pesquisas em estudos estatísticos são muito importantes, pois fornecem dados que, depois de organizados e analisados, podem nortear o planejamento de mudanças acerca do assunto pesquisado.

No dia a dia, são comuns as pesquisas de opinião (servem para apontar informações sobre produtos e serviços utilizados pelo público, opiniões de pessoas sobre determinado assunto etc.) e pesquisas de mercado (servem para conhecer o perfil dos clientes de uma empresa, perceber estratégias de concorrentes, analisar fornecedores, entre outros).

PLANEJANDO UMA PESQUISA ESTATÍSTICA

De modo simplificado, os passos para a realização de uma pesquisa são:

1. Formulação dos objetivos da pesquisa

O primeiro passo para fazer uma pesquisa é definir o que se deseja investigar e formular uma pergunta ou hipótese que norteará o planejamento dessa pesquisa. No fim dela, espera-se que a pergunta seja respondida ou que a hipótese seja validada (pode ocorrer de a hipótese não ser validada ou podem ser obtidos dados inconclusivos).

2. Determinação do método de pesquisa (população ou amostra)

Uma pesquisa pode coletar dados de toda a população estatística, ou seja, de todos os indivíduos de interesse, como acontece no Censo Demográfico. No Brasil, o Censo ocorre geralmente de 10 em 10 anos, mas, devido à pandemia de covid-19, o Censo previsto para 2020 foi realizado em 2022. No Censo, todas as residências no Brasil são entrevistadas.

Na maioria das pesquisas, no entanto, os dados são coletados em uma amostra (grupo representativo da população). Nesse caso, dizemos que é uma pesquisa por amostragem. Para esse tipo de pesquisa, fazemos um estudo prévio dos indivíduos de interesse e os separamos em grupos com afinidades, por exemplo: crianças, jovens e adultos; ou trabalhadores e aposentados.

Para que possamos extrapolar os dados e as conclusões obtidas no estudo da amostra para a população de interesse, é necessária uma amostra significativa

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Link

GUIMARÃES, Carlos Alberto. Em 150 anos, conheça a história que o Censo conta. Agência IBGE Notícias. Rio de Janeiro, 26 abr. 2022. Disponível em: https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2012-agencia-de-no ticias/noticias/33495-em-150-anos-conheca-a-historia-que-o-censo-conta. Acesso em: 21 jul. 2022.

No link, é possível encontrar informações sobre a história do Censo e os principais dados coletados durante os 150 anos em que o Censo foi realizado.

Pessoa respondendo a uma pesquisa de opinião sobre um produto ou serviço.

FOTOGRAFIAS: TERO VESALAINEN/SHUTTERSTOCK.COM, IR STONE/SHUTTERSTOCK.COM

população amostra

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Durante a explicação sobre pesquisa censitária e amostral, propor algumas situações para que os estudantes possam indicar a população e a amostra selecionada. Seguem alguns exemplos.

SAIBA

QUE

A escolha da quantidade de indivíduos da amostra, para que ela seja significativa, depende de vários fatores: quantidade de indivíduos da população, margem de erro que se espera, nível de confiabilidade, entre outros.

• Para verificar a qualidade de um podcast, alguns ouvintes foram entrevistados para avaliar o programa. Nesse caso, a população são todos os ouvintes do podcast e a amostra são os ouvintes entrevistados.

Nessa etapa, são definidos os instrumentos que serão utilizados para coletar os dados, como uma votação, uma entrevista ou um questionário. No caso do Censo, os pesquisadores aplicam um questionário durante a entrevista em todas as residências que visitam.

4. Coleta e organização dos dados

A pesquisa é realizada aplicando os instrumentos definidos, e os dados obtidos são organizados em tabelas ou gráficos elaborados com ou sem o auxílio de planilhas eletrônicas.

5. Análise e apresentação dos resultados

Nesse momento, os dados são analisados com o auxílio de ferramentas estatísticas, como medidas de tendência central, gráficos e tabelas. Com isso, espera-se que possam ser elaboradas conclusões a respeito da pergunta ou da hipótese inicial. Os resultados podem ser apresentados em forma de relatório com textos explicativos, tabelas e gráficos, com o objetivo de facilitar a comunicação e a compreensão dos dados da pesquisa. Acompanhe, a seguir, um exemplo de como aplicar esses passos para realizar uma pesquisa estatística.

A Secretaria de Educação de um município realizou uma pesquisa para mapear as áreas das carreiras que os estudantes pretendem cursar na faculdade. Observe.

• Formulação do objetivo da pesquisa: Investigar qual área os jovens estudantes do município querem seguir na faculdade.

• Determinação do método de pesquisa: A pesquisa será por amostragem, e serão entrevistados jovens que estão cursando o último ano do Ensino Médio provenientes de escolas públicas e privadas do município.

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• A fim de avaliar a eficácia de uma campanha de vacinação para crianças com idade entre 5 e 7 anos, 200 mães com filhos nessa idade foram entrevistadas para saber quando foi a última vez que vacinaram seus filhos. Nesse caso, a população são todas as mães com filhos com idade entre 5 e 7 anos, e a amostra são as 200 mães entrevistadas.

Saiba que

Verificar se os estudantes recordam a diferença entre população e amostra. Espera-se que eles percebam que, quanto maior for a amostra, mais os dados indicarão o comportamento da população.

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Explorar com os estudantes a tabela de dupla entrada com os dados da pesquisa realizada e pedir a eles que obtenham as medidas estatísticas (média, moda e amplitude) antes de realizar a leitura do Livro do estudante com os cálculos e a análise dos dados.

• Cálculo da amostra e determinação dos locais da pesquisa: Considerando que no município há cerca de 6 700 escolas e 140 000 es tudantes no 3 o ano do Ensino Médio, a amostra contará com 600 indivíduos (300 estudantes de escolas públicas e 300 estudantes de escolas privadas) e será composta de 20 jovens, sorteados ao acaso, de cada escola de um total de 30 escolas do município.

Questionário de pesquisa

1. Escola: pública privada

2. Qual área você pretende cursar na faculdade? Escolha apenas uma opção.

Engenharia: todos os tipos de Engenharia e Arquitetura.

Ciências Médicas: Medicina, Veterinária, Odontologia, Nutrição, Psicologia, Ciências Biológicas etc.

Ciências Exatas: Matemática, Física, Química, Ciência da Computação etc.

Ciências Humanas: Direito, Jornalismo, Letras, Artes, Administração etc.

• Definição dos instrumentos de pesquisa: Será aplicado um questionário em que os jovens devem escolher apenas uma das cinco áreas determinadas pelos pesquisadores. Exemplo de questionário de pesquisa.

Ciências Sociais: História, Geogra a, Sociologia, Filoso a etc.

• Coleta e organização dos dados: Uma equipe de entrevistadores visitará as escolas definidas na amostra e aplicará o questionário de pesquisa aos jovens sorteados.

• Análise e apresentação dos resultados: com os dados coletados e agrupados, é possível organizá-los e analisá-los por meio de tabelas, gráficos e algumas medidas estatísticas. Depois de realizar a coleta dos dados, estes foram organizados em uma tabela e analisados como apresenta-se a seguir.

Área escolhida pelos estudantes

Fonte: Pesquisa da Secretaria de Educação do município.

• Determinação de medidas e informações a partir dos dados organizados: Podemos calcular algumas medidas estatísticas relativas a essa distribuição de dados, como a média de estudantes por área (razão entre o total de estudantes pesquisados e a quantidade de áreas), a moda das áreas (área almejada por mais estudantes), amplitude (diferença entre as quantidades da área mais indicada e da área menos indicada); e outras informações relevantes, como a área menos procurada etc.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Realizar uma pesquisa na sala de aula a respeito da altura de cada estudante (em centímetro). Com os dados coletados, montar uma tabela e gráficos para comunicar os resultados. Juntar-se com um colega e elaborar um relatório com as observações. Depois, comparem o relatório feito com os de outras duplas.

MODVECTOR/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

com esses cálculos.

Todos os estudantes Estudantes de escola pública Estudantes de escola privada

Moda Ciências Exatas Ciências Exatas Engenharia

Amplitude 98 estudantes (166 68) 72 estudantes (110 38) 76 estudantes (100 24)

Área menos procurada Ciências Sociais Ciências Humanas Ciências Sociais

• Construção de gráficos relevantes para comunicar os resultados: A fim de mostrar a composição de cada área escolhida em relação ao todo, foi feito um gráfico de setores

Área escolhida pelos estudantes

Fonte: Pesquisa da Secretaria de Educação do município.

Para comparar a quantidade de interessados em cada área, foi apresentado um gráfico de barras duplas

Área escolhida pelos estudantes

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Retomar com a turma que, para construir o gráfico de setores com os dados da tabela de dupla entrada da página 194, é necessário determinar o percentual do total de estudantes de cada área em relação ao total de estudantes que participaram da pesquisa. Ao final, mostrar que a soma desses percentuais é 100%. Se julgar pertinente, solicitar que construam um gráfico de setores para representar a área escolhida pelos estudantes de escola pública e outro gráfico de setores para representar a área escolhida pelos estudantes de escola privada. Incentive-os a utilizar tecnologias digitais nessas construções. Aproveitar a representação do gráfico de barras duplas e propor aos estudantes que elaborem algumas questões a respeito dos dados apresentados. Depois, pedir que troquem as questões com os colegas e, ao final, façam juntos as correções necessárias.

Fonte: Pesquisa da Secretaria de Educação do município.

Analise o quadro elaborado

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Explorar o item Elaboração de relatório para comunicar resultados e planejar ações para verificar o que os estudantes sabem a respeito da produção de um relatório. Comentar que, ao escrever um relatório, é importante os estudantes terem definido a que público se dirige o documento de análise. Além disso, as informações presentes no relatório não devem conter erros que levem o leitor a concluir fatos de maneira incorreta.

Atividades

Na atividade 1, promover uma roda de conversa para que os estudantes possam ler o texto elaborado por eles no item b. Durante a leitura, os colegas podem verificar se as conclusões apresentadas estão de acordo com os dados e propor as correções necessárias. Dessa maneira, os estudantes desenvolvem a argumentação com base em conhecimentos matemáticos, além de comunicar informações relevantes, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 7 e da competência específica 4 da área de Matemática. A atividade 2 apresenta uma proposta de pesquisa estatística. Os estudantes ficarão responsáveis pela definição da pergunta ou hipótese inicial, participando do planejamento, da execução e da apresentação dos resultados da pesquisa. Incentivá-los a buscar um tema de relevância social ou próximo da realidade deles que tenha certa urgência social, na comunidade escolar ou no bairro onde vivem. Os temas podem estar relacionados à saúde, ao meio ambiente, à educação, à mobilidade, ao mundo do trabalho, entre outros.

Durante a definição dos temas, incentive os estudantes a defender suas ideias e a formular argumentos convincentes, mas deixe claro que o tema deve ser escolha do grupo. Acompanhá-los nas etapas do planejamento da pesquisa e durante a coleta de

1. a) Espera-se que os estudantes percebam que sim, pois, para mostrar os componentes de um todo, o gráfico de setores é o mais adequado, e, para comparar categorias, o mais adequado é o gráfico de barras (no caso, barras duplas).

Analisando os gráficos anteriores, é possível verificar, por exemplo, que no ano em que a pesquisa foi realizada, a área de Ciências Exatas foi mais escolhida do que as áreas de Ciências Médicas e Ciências Sociais juntas ou que a área mais escolhida pelos estudantes de escola pública foi a de Ciências Exatas, e pelos estudantes de escola privada, foi a de Engenharia.

• Elaboração de relatório para comunicar resultados e planejar ações:

O relatório deve ser o mais detalhado possível, apresentando a descrição das etapas da pesquisa, o objetivo, a população-alvo, a especificação da amostra, tabela e gráficos, registro de informações relevantes, medidas estatísticas, conclusões e propostas para ações que podem ser tomadas.

ATIVIDADES

1. b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para os estudantes da escola pública, a área mais escolhida foi a de Ciências Exatas, e a menos escolhida foi a de Ciências Humanas. Para os estudantes da escola privada, a área mais escolhida foi a de Engenharia, e a menos escolhida foi a de Ciências Sociais. Algumas ações possíveis são o incentivo aos cursos das áreas mais escolhidas e a divulgação e a melhoria da infraestrutura de cursos das áreas menos escolhidas.

Responda às questões no caderno.

1. Considere a pesquisa já descrita sobre as áreas escolhidas pelos estudantes para cursarem na faculdade e faça o que se pede.

a) Responda: você entende que os gráficos apresentados foram adequados para o que se queria mostrar?

b) Elabore um texto com uma conclusão possível para essa pesquisa e proponha alguma ação que possa ser tomada pela Secretaria de Educação do município em que ocorreu a pesquisa.

2. Junte-se a mais dois colegas e, com eles, planeje uma pesquisa estatística sobre um tema de interesse comum. Escolham um tema de relevância social ou próximo da realidade escolar de vocês. Para isso, sigam os passos descritos a seguir.

a) Elaborem a pergunta ou a hipótese inicial da pesquisa.

DESCUBRA MAIS

b) Definam a população que fará parte da pesquisa e o tipo de pesquisa, explicando se toda a população participará ou apenas uma amostra dela. No caso da pesquisa por amostragem, expliquem como obterão uma amostra significativa.

c) A partir das definições do item b, definam e elaborem os instrumentos de pesquisa e definam como ocorrerá a coleta de dados.

d) Realizem a pesquisa, coletem os dados e os organizem em tabelas e gráficos com ou sem o uso de planilhas eletrônicas.

e) Determinem a média, a moda e a amplitude dos dados coletados e preparem um relatório para comunicar os resultados encontrados, apresentando a conclusão da pesquisa e ações que possam ser tomadas a partir desses resultados.

f) Combinem um momento para a apresentação dos resultados e da conclusão da pesquisa para os demais colegas da turma e, se possível, para a comunidade escolar.

Exemplos de resposta dos itens da atividade 2 na seção Resoluções comentadas deste Manual.

COMO funciona uma pesquisa eleitoral. 2018. Vídeo (4min34s). Publicado pelo canal Nexo Jornal. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=igi7E1OY7gs. Acesso em: 11 abr. 2022.

O vídeo aborda como são feitas as pesquisas eleitorais, explicando como elas podem fornecer dados sobre a intenção de voto da população, e discute conceitos essenciais que fazem parte desse tipo de pesquisa estatística, como amostra, margem de erro e intervalo de confiança.

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dados, caso seja necessário. Explicar que todos os integrantes do grupo devem agir de maneira cooperativa e buscar soluções consensuais para os impasses, sempre respeitando o modo de pensar dos colegas.

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Para a organização dos dados coletados, incentivar o uso de planilhas eletrônicas para a construção de tabelas e gráficos e para os cálculos das medidas de tendência central. Caso seja necessário, retomar como isso pode ser feito usando o software LibreOffice Calc.

Durante a apresentação dos resultados, orientar os grupos a apresentar possíveis soluções para a situação pesquisada. Essa abordagem favorece o desenvolvimento das competências gerais 4, 7 e 9 e das competências específicas 4, 7 e 8 da área de Matemática.

Descubra mais

Recomenda-se que o vídeo seja exibido aos estudantes em sala de aula e que possa ser pausado à medida que os conceitos são apresentados. As

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Fórum

FÓRUM

Manipulação de dados estatísticos na mídia

[...] A análise estatística é [...] relativa e não absoluta, pois baseia suas conclusões sempre levando em consideração o erro existente entre as suas medições e a realidade estudada.

[...]

Mesmo a linguagem matemática e/ou estatística tida como a mais objetiva das linguagens pode e é constantemente manipulada pela mídia. Para isso, basta que se [deem] informações parciais (publica-se uma parte da pesquisa) ou que não se publique um resultado que se sabe poderá desagradar a um segmento ou privilegiar outro. A manipulação pode ser feita pela indução de conclusões que não estão nos resultados da pesquisa, através de títulos, textos e tratamento gráfico dos dados estatísticos. [...]

[...]

Na grande maioria dos resultados de pesquisas publicados na mídia [...], o que é informado ao leitor é uma parcela do total dos resultados encontrados na pesquisa. O jornalista acaba fazendo um recorte daqueles dados que mais lhe interessam ou que ele julgue que chamará mais a atenção do leitor. [...] [...]

SOUZA, Genilda Alves de. A manipulação dos dados estatísticos pela mídia impressa. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE CIÊNCIAS DA COMUNICAÇÃO, 32., 2009, Curitiba. Anais [...]. Curitiba: Universidade Positivo, 2009. p. 1-15. Disponível em: http://www.intercom.org.br/papers/nacionais/2009/resumos/r4-3646-1.pdf. Acesso em: 11 abr. 2022.

Em algumas notícias publicadas pela mídia, dados de pesquisas estatísticas podem ser manipulados inadequadamente, por exemplo, por meio da alteração de parâmetros em gráficos ou pela presença de manchetes tendenciosas, para transmitir determinada ideia que se quer defender.

1. Debata com os colegas a importância de conhecer ferramentas estatísticas capazes de identificar dados tendenciosos nas informações divulgadas pela mídia.

2. Informações incorretas ou distorcidas podem originar as chamadas fake news ou notícias falsas, que podem se espalhar rapidamente pelos meios digitais e trazer consequências negativas para toda a sociedade. Por exemplo, se for disseminada a notícia falsa de que um remédio cura determinada doença, muitas pessoas podem acreditar nessa notícia, consumir o remédio falso e deixar de procurar o tratamento de saúde adequado.

Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Junte-se a um colega, e façam uma pesquisa sobre as consequências das fake news. Depois, compartilhem com a turma as informações que vocês obtiveram.

1. Espera-se que os estudantes debatam sobre o fato de que conhecer ferramentas estatísticas pode facilitar a análise correta de informações, e, por exemplo, a identificação de fakes news, muito comuns nos dias de hoje, bem como avaliar a qualidade de um produto ou serviço por meio das informações divulgadas sobre eles.

pausas possibilitam dialogar com a turma sobre o assunto, percebendo eventuais dúvidas e esclarecendo o tema de acordo com as necessidades apresentadas. Além do conceito de amostra, o vídeo traz aspectos básicos de margem de erro e de intervalo de confiança. Apesar do estudo desses conceitos não ser desenvolvido nessa fase da Educação Básica, é relevante que os estudantes saibam da existência e desses conceitos possam ter uma ideia inicial deles.

AMPLIANDO

Texto

ROCHA, Ana Carolina; GONÇALVES, Ana Luísa; PEREIRA, Daniervelin Renata Marques. Trabalho com notícias e fake news na sala de aula: experiências do PIBID no COLTEC/UFMG. PERcursos Linguísticos, [S l.], v. 11, n. 27,

Antes de propor a leitura do texto, trabalhar a leitura inferencial, solicitando aos estudantes que observem a imagem e o título de texto e digam o que eles imaginam que será tratado. Durante as falas, pedir que expliquem o que eles entendem por fake news e como definiriam esse termo. Pedir para que eles relatem situações em que já se depararam com uma informação falsa e como procederam. Explicar que há algumas estratégias para determinar se uma informação é falsa, como buscar a fonte da notícia, fazer uma pesquisa buscando algumas palavras-chave do texto, pesquisar organizações ou personagens mencionados no texto, comparando a informação com outras notícias. Destacar que em todas essas estratégias a ideia é buscar evidências da confiabilidade da fonte da notícia. Destacar a importância de analisar criticamente uma informação antes de repassá-la.

Durante as discussões das atividades, certifique-se de que os estudantes compreenderam as ideias debatidas e oriente-os a realizar a pesquisa solicitada em fontes confiáveis. Desse modo, busca-se incentivar os estudantes a exercitar a curiosidade intelectual e a análise crítica para interpretar e compreender a realidade, desenvolvendo a competência geral 2 e a competência específica 4 da área de Matemática.

p. 112-131, 2021. Disponível em: https:// periodicos.ufes.br/percursos/article/view/33924. Acesso em: 12 ago. 2022.

O artigo traz o relato da experiência e reflexões de duas professoras na discussão sobre fake news em sala de aula.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Primeiro, abrir uma roda de conversa com os estudantes para que possam compartilhar as experiências e conhecimentos que possuem acerca do assunto. Perguntar se já ouviram alguma história interessante contada por um idoso e se alguém gostaria de contar essa história para a sala. Verificar se os estudantes compreendem como é feita a leitura de uma pirâmide etária. Pergunte a eles se consideram o Brasil um país jovem. Explicar que, de acordo com o PNAD de 2017, somente 14,6% da população é idosa e que a projeção para o ano de 2060 é que teremos cerca de um terço da população de idosos. Conversar com a turma sobre as implicações de se ter uma população idosa e qual a opinião deles sobre como os idosos são tratados no nosso país. Pode-se propor que realizem uma pesquisa com os idosos do bairro para conhecer as principais necessidades deles ou como avaliam os cuidados que recebem, por exemplo. Se possível, levar para a sala de aula ou pedir aos estudantes que consultem o Estatuto do Idoso e, juntos, descubram informações acerca do estatuto vigente. Solicitar aos estudantes que se reúnam para que possam elaborar um plano de ações que poderia modificar a realidade dos idosos próximos a eles. Essa abordagem contribui para o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso, bem como da competência geral 10 e da competência específica 7 da área de Matemática.

ENVELHECIMENTO, RESPEITO E CIDADANIA

Nos últimos anos, a população de pessoas idosas no Brasil tem aumentado de maneira mais rápida em comparação com as demais faixas etárias. Você já leu ou ouviu algo sobre esse tema? Leia o texto seguir e observe a evolução da pirâmide etária da população brasileira.

A Pessoa Idosa no Brasil [...]

No Brasil, há um número cada vez maior de pessoas idosas (com 60 anos ou mais de idade). São cidadãos usuários dos serviços sociais, de saúde, de proteção e que precisam ter os seus direitos garantidos. A menor mortalidade de pessoas em todas as idades e a diminuição de nascimentos resultam em um aumento não só no número absoluto de idosos como também na proporção deste grupo em relação à população brasileira.

Informações publicadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) mostram que o aumento da população idosa tem mudado o formato da pirâmide etária em relação ao ano de 1980. Esta mudança será ainda mais significativa em 2060, quando aproximadamente 1/3 da população brasileira será de pessoas idosas, conforme ilustrado abaixo.

A partir dos dados do Censo de 2010, o IBGE estimou um incremento médio de mais de 1 milhão de pessoas idosas a cada ano, nos 10 anos seguintes.

O avanço dos números ultrapassou a previsão do IBGE, uma vez que a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD Contínua) de 2017 aponta que 14,6% da população brasileira têm 60 anos ou mais de idade, correspondendo a 30,3 milhões de pessoas.

Censo 2010

População total: 190,7 milhões

População idosa: 20,6 milhões

% de população idosa: 10,8%

PNAD

(2017)

População total: 207,1 milhões

População idosa: 30,3 milhões

% de população idosa: 14,6%

BRASIL. Ministério da Cidadania. Secretaria Especial do Desenvolvimento Social. Estratégia Brasil Amigo da Pessoa Idosa: a pessoa idosa no Brasil. Brasília, DF: MDS, [2018?]. Disponível em: http://mds.gov.br/assuntos/brasil-amigo-da-pessoa-idosa/estrategia-1. Acesso em: 11 abr. 2022.

Pirâmides etárias absolutas

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a) Espera-se que os estudantes percebam que, com o passar dos anos, a base da pirâmide tem ficado mais estreita e que o topo tem ficado mais largo, o que indica que a população brasileira, no futuro, tende a ser predominantemente composta de pessoas mais velhas.

No Programa Nacional de Imunização do Brasil contra a covid-19, foram vacinados, inicialmente, os profissionais que trabalham na área da saúde e a população idosa.

No trecho a seguir, publicado em fevereiro de 2021 – no início da vacinação contra a covid-19, verificamos um dos motivos pelos quais a orientação da Organização Mundial da Saúde (OMS) e das pesquisas realizadas pela comunidade científica foi priorizar a população de mais idade, em relação à população adulta mais jovem.

Jovens ou idosos: quem vacinar primeiro para acabar com a covid-19?

[...] A pesquisa, feita pela Associação Americana para o Avanço da Ciência, apontou que vacinar pessoas acima de 60 anos é a forma mais eficaz de mitigar a mortalidade da covid-19 – o que deveria ser o foco no momento, segundo os especialistas. “Apesar de a vacinação de pessoas mais jovens ter a capacidade de reduzir a incidência da doença, vacinar adultos mais velhos vai reduzir as mortes de forma mais eficaz”, diz a pesquisa. O impacto da cobertura vacinal foi feito com base em um modelo matemático, priorizando estratégias com base na incidência cumulativa da doença. Diversos cenários foram analisados.

Em um deles, a vacinação de adultos de 20 a 49 anos foi priorizada, o que diminuiu a incidência da doença consideravelmente. No entanto, em todas as simulações que priorizavam adultos acima de 60, a taxa de mortalidade passava por uma redução ainda maior. Isso, segundo os cientistas, indica que priorizar indivíduos mais velhos traz mais benefícios do que os jovens. A situação só muda, para os pesquisadores, se a vacina for menos eficaz em idosos.

[...]

Também é importante conscientizar os mais velhos de que não é porque eles receberam a primeira dose da vacina que estão totalmente imunes ao vírus [...]. “Não é porque você foi vacinado que você tem carta branca para fazer tudo o que você quiser, você não vai estar 100% seguro até que uma boa parte da população esteja vacinada.

VITORIO, Tamires; PANCINI, Laura. Jovens ou idosos: quem vacinar primeiro para acabar com a covid-19? Exame, São Paulo, 15 fev. 2021. Disponível em: https://exame.com/ciencia/jovens-ou-idosos-quemvacinar-primeiro-para-acabar-com-a-covid-19/. Acesso em: 11 abr. 2022.

Responda às questões no caderno.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ler o texto e perguntar aos estudantes a experiência deles em relação aos avós ou outras pessoas idosas durante a pandemia de covid-19. Durante as falas, comentar a importância de ter realizado o esquema vacinal completo para a proteção contra a doença e como a vacina salvou a vida de muitos idosos. Em seguida, discutir as questões propostas, esclarecendo possíveis dúvidas.

b) Por ser a maneira mais eficaz de reduzir a mortalidade causada pela doença.

• Converse com os colegas e o professor sobre as questões a seguir.

a) Ao comparar a evolução da pirâmide etária da população brasileira, o que você pode concluir?

b) De acordo com o texto, qual foi o principal motivo pelo qual a pesquisa realizada pela Associação Americana para o Avanço da Ciência recomendou vacinar inicialmente a população com mais de 60 anos?

c) O fato de receberem a primeira dose da vacina contra covid-19 significa que os idosos estavam totalmente imunes ao vírus naquele momento da pandemia?

d) O texto da página 198 cita que os idosos são “usuários dos serviços sociais, de saúde, de proteção e que precisam ter os seus direitos garantidos”. Faça uma pesquisa sobre os principais incentivos e políticas públicas que buscam promover o respeito e os direitos garantidos à população idosa no Brasil. Em seguida, debata com os colegas e o professor sobre as informações que vocês encontraram nessa pesquisa.

c) Não. O esquema vacinal completo foi composto de três ou quatro doses da vacina contra a covid-19. d) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Pessoa idosa recebendo a vacina contra a covid-19. Rio de Janeiro, 2021.

LUCIANA WHITAKER/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

A seção apresenta a construção de gráficos utilizando o software LibreOffice Calc. Se for possível, desenvolver essa atividade no laboratório de informática.

Antes de iniciar o uso do software, discutir com a turma a respeito das facilidades que a tecnologia permite ao processar dados de uma pesquisa estatística. Espera-se que eles percebam que uma pesquisa com quantidade grande de dados exige o uso da planilha eletrônica para que a análise desses dados e as construções de tabelas e gráficos sejam agilizadas.

TECNOLOGIAS

PLANILHAS ELETRÔNICAS E GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

Vamos usar a planilha eletrônica LibreOffice Calc para construir tabelas e gráficos estatísticos. Caso ainda não tenha baixado esse software, é possível fazê-lo no link https://www.libreoffice.org/download/download/ (acesso em: 11 abr. 2022).

Observe esta situação.

Uma fazendeira fez um levantamento das árvores frutíferas da fazenda dela em 2021 e 2022 e registrou esses dados na tabela seguinte. Acompanhe os passos a seguir para construir uma tabela como essa usando uma planilha eletrônica.

1 Abra o LibreOffice Calc. Ao acessar a planilha eletrônica, digite o nome de cada árvore nas células A2 a A5. Em seguida, digite Ano 2021 e Ano 2022 nas células B1 e C1, respectivamente.

2 Complete as células inserindo a quantidade de cada árvore em cada ano, como mostra a imagem.

3 Para incluir bordas na tabela, selecione as células de A1 até C5 e clique na função Bordas localizada na barra de ferramentas. Em seguida, selecione a opção Borda externa e todas as linhas internas. Considerando que uma tabela apresenta bordas laterais abertas, selecione a coluna A e clique na opção Apenas borda à direita; selecione a coluna C e clique na opção Apenas borda à esquerda

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4 Para inserir o gráfico correspondente à tabela construída, selecione toda a tabela (com o botão esquerdo do mouse) e clique na aba Inserir. Em seguida, selecione a opção Gráfico... e escolha o tipo de gráfico. Como exemplo, vamos selecionar o gráfico de colunas múltiplas. Na tela, aparecerá um gráfico de colunas duplas como o Gráfico 1, a seguir.

5 Posicione o cursor sobre a região do gráfico, clique uma vez com o botão direito do mouse e, em seguida, selecione a opção Inserir títulos. Digite o título do gráfico e dos respectivos eixos, obtendo assim o gráfico a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A atividade 1, propicia aos estudantes que manipulem uma planilha eletrônica. Inicialmente, eles têm de introduzir os dados nas células da planilha para montar a tabela de dupla entrada fornecida na questão. Orientar os estudantes quanto a isso.

Para fazer o gráfico, eles devem explorar os menus suspensos da planilha na seguinte ordem:

1) Clicar na aba “Inserir”.

2) Selecionar “Gráfico...”.

3) No “Assistente de gráficos” escolher:

a) o tipo de gráfico;

b) o intervalo de dados;

c) os elementos dos dados.

4) Clicar em concluir.

Agora, com o auxílio de uma planilha eletrônica, resolva as questões no caderno.

1. Foi feita uma pesquisa eleitoral com os três candidatos a prefeito, e foram obtidos os dados da tabela a seguir, com os percentuais de intenção de votos. Pesquisa para prefeito – Intenções de voto

A pesquisa da atividade 2 pode ser feita em pequenos grupos e, nesse caso, o grupo escolhe o quarteirão próximo à moradia de um de seus integrantes. É necessário ter cuidado ao orientar os estudantes sobre como proceder na coleta dos dados e como interagir de modo respeitoso com os moradores.

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

a) Escreva os dados dessa tabela na planilha eletrônica. Depois construa, nessa planilha, o gráfico de linhas triplas correspondente, colocando o título dos eixos e do gráfico.

b) Observe o gráfico e verifique se as intenções de voto de algum candidato só cresceram ou só decresceram no período analisado e quais foram esses candidatos.

2. Faça uma pesquisa com a turma, perguntando a quantidade de moradores na casa de cada colega. Em seguida, registrem esses dados em uma planilha eletrônica e construam o gráfico de barras ou de colunas correspondente.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/LIBREOFFICE

Gráfico 1.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

Esse bloco de atividades pode ser usado como avaliação de processo. Espera-se consolidar os conhecimentos dos estudantes construídos na Unidade. Sugerir que refaçam algumas atividades anteriores dos assuntos que surgirem dúvidas. Ressaltar tais temas ao corrigir as atividades.

Na atividade 4, espera-se que os estudantes percebam que, no cálculo da probabilidade, a razão entre o número de casos favoráveis (360) e o número total de casos (1 200) é a porcentagem relativa ao setor associado a cabelo loiro (30%).

No item c da atividade 7, espera-se que os estudantes respondam que não há distorção no gráfico apresentado. Se julgar pertinente, explorar o gráfico, reproduzindo-o na lousa, alterando o último período de 2019 a 2021 para 2019 a 2023, e perguntar a eles se agora há alguma distorção. Nesse caso, espera-se que eles respondam que sim, pois, inicialmente, o período é de dois em dois anos, mas que com a alteração feita o último período passou a ser de quatro anos, o que acentua o crescimento do último período.

Na atividade 8, discutir com a turma qual é o tipo de gráfico mais adequado para representar os dados da tabela. Espera-se que os estudantes percebam que os dados podem ser representados em um gráfico de barras. Nesse caso, a comparação entre as áreas destinadas ao plantio de cada flor fica evidente comparando o comprimento das barras. Discuta também que a comparação das áreas pode ser feita em relação à área total do jardim; com isso, o gráfico de setores pode ser usado para essa representação. Nesse caso, podemos calcular os percentuais em relação a cada área e em relação à área total do jardim ocupada pelas flores.

RETOMANDO APRENDEU O QUE

Responda às questões no caderno.

1. Luísa comprou uma geladeira por R $  1.200,00. Ela pagou R $  400,00 de entrada e vai pagar o restante depois de 4 meses com taxa de 2% ao mês a juro simples. Nessas condições, quanto vai custar a geladeira para Luísa?

2. Gabriel aplicou R $  5.000,00 a juro composto a uma taxa de 1,8% ao mês por um período de 1,5 ano. No fim do período de aplicação, o rendimento de Gabriel é um valor entre:

a) R$ 3.130,00 e R$ 4.250,00.

b) R$ 1.110,00 e R$ 1.650,00.

c) R$ 1.650,00 e R$ 2.250,00.

d) R$ 4.250,00 e R$ 5.750,00.

e) R$ 6.650,00 e R$ 7.250,00.

3. (OBM) Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo de 1 200 pessoas são mostrados no gráfico a seguir.

4 vermelhas, de modo que todas têm igual probabilidade de serem sorteadas. Uma pessoa vai até a urna, sorteia uma bola, não a mostra a ninguém e a mantém consigo. Em seguida, uma segunda pessoa vai até a urna e retira uma nova bola. A probabilidade de as duas bolas sorteadas terem a mesma cor é um valor:

a) entre 15% e 25%.

b) entre 25% e 35%.

c) entre 35% e 45%.

d) inferior a 15%.

e) superior a 45%.

6. A professora de Matemática do 9o ano de uma escola apresentou o gráfico a seguir para os estudantes analisarem.

Quantidade de estudantes do 9o ano que usam óculos

Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro?

R$ 1.264,00 Alternativa c. Alternativa c.

b) 320 c) 360 d) 400 e) 840

a) 60

4. Considerando o gráfico da questão 3, determine a probabilidade de uma pessoa sorteada, ao acaso, entre as 1 200 ter cabelo loiro.

5. (Vunesp-SP – Santa Casa) Em uma urna há 15 bolas, diferenciáveis apenas por suas cores, sendo 6 pretas, 5 brancas e

a) Qual é a quantidade média de estudantes que não usam óculos por turma?

b) Em qual turma há mais estudantes que usam óculos? Quantos são?

c) Quantos estudantes tem a turma com menor quantidade de estudantes?

d) Em quais turmas há mais estudantes que usam óculos do que estudantes que não usam óculos?

na turma 9A.

6. b) 9A; 25 estudantes usam óculos.

8.

Resoluções comentadas deste Manual.

9. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

7. Durante uma conferência, um banco digital apresentou o faturamento obtido de 2013 a 2021 por meio do gráfico de linhas a seguir e afirmou que foi a empresa dessa área que mais cresceu nos últimos anos.

Faturamento de uma empresa (em bilhões de reais)

Flores do jardim

Tipo cravo lírio rosa tulipa Área (em m²) 4 6 4 12

Fonte: Equipe de jardinagem.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

As questões apresentadas buscam retomar os assuntos discutidos no início da Unidade e levam à reflexão sobre os cuidados que precisamos ter com nossa vida financeira.

11 16 18

32 2013 2015 2017 2019 2021

Fonte: Banco digital.

Analise o gráfico e responda.

a) O que a empresa apresentou nesse gráfico?

b) Você acha que o tipo de gráfico escolhido foi adequado para o que se queria apresentar? Justifique.

c) Há alguma distorção nesse gráfico?

8. A tabela a seguir apresenta os dados coletados referentes à área de plantio de flores em um jardim.

O lírio era chamado de Amor Eterno por antigos povos chineses.

a) Construa um gráfico que mostre a comparação dos dados dessa tabela.

b) Qual é a área média de plantio das flores?

9. Junte-se a um colega, e escolham um tema de interesse de vocês para fazer uma pesquisa. Elaborem um pequeno texto explicando as estratégias que vocês utilizariam para realizar essa pesquisa e um relatório com os resultados obtidos.

Respostas dos itens deste boxe na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesta Unidade, estudamos cálculos com porcentagem em variadas situações, destacando a aplicação de taxas de juro nos regimes de juro simples e de juro composto para cálculos de montantes e rendimentos; desenvolvemos o cálculo de probabilidade de eventos independentes e de eventos dependentes; aprofundamos o estudo de Estatística envolvendo análise de gráficos e cálculo de medidas estatísticas, observando o uso de gráficos adequados, e analisamos gráficos que apresentam distorções; acompanhamos os passos de uma pesquisa estatística simples e para o uso de software na construção de gráficos estatísticos.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• A abertura desta Unidade apresentou informações sobre o índice de inflação e o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA). Como o estudo de porcentagem nos ajuda a compreender esses índices econômicos?

• Explique a diferença entre o uso de juro simples e de juro composto.

• Como você definiria eventos aleatórios independentes e eventos aleatórios dependentes?

• Quais são os passos para a realização de uma pesquisa estatística?

É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas a respeito de cada conteúdo estudado na Unidade. Ao final, explorar o diagrama com eles.

Na primeira questão, espera-se que os estudantes percebam que a porcentagem é uma fração que indica uma comparação, isto é, uma razão centesimal (fração com denominador 100), expressa pelo símbolo % (por cento), e que com base nesse conhecimento, é possível compreender os índices de inflação e o IPCA.

A segunda questão explora os conceitos de juro simples e juro composto e sua diferenciação. Espera-se que os estudantes reconheçam que, no caso de juro simples, a taxa é aplicada sempre no capital inicial, enquanto no caso de juro composto, a taxa se aplica a cada montante obtido, ou seja, a cada acréscimo de juro gera-se um montante que será o novo capital, no qual será aplicada a taxa de juro para o próximo período.

Na terceira questão, os estudantes devem expor o que entenderam a respeito de eventos independentes e eventos dependentes. Solicitar que comparem suas respostas com as dos colegas.

A quarta questão refere-se aos passos necessários para a realização de uma pesquisa estatística. Pode-se sugerir que os estudantes registrem as etapas utilizando um fluxograma. Desse modo, exploram o pensamento computacional. Ao final, permitir que comparem os fluxogramas que construíram e, juntos, façam as correções, se necessárias.

7. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Respostas na seção

BERILOVA IRIDA/SHUTTERSTOCK.COM

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 1, 2, 4 e 8

Habilidades:

Geometria

• EF09MA13

• EF09MA14

Tema Contemporâneo

Transversal:

• Diversidade Cultural

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em quatro capítulos e apresenta os conteúdos por meio de exemplos, atividades diversificadas e seções com temas que contribuem para a formação integral dos estudantes e o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 1, 2 e 7. No primeiro capítulo, são apresentadas características do triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras e algumas aplicações. No segundo capítulo, são apresentadas outras relações métricas no triângulo retângulo. No capítulo três, aborda-se medida de comprimento de arco de uma circunferência e, no quarto capítulo, as relações métricas em uma circunferência. Esses estudos favorecem a apropriação das habilidades EF09MA13 e EF09MA14.

OBJETIVOS

• Reconhecer os elementos de um triângulo retângulo.

• Compreender o teorema de Pitágoras e algumas aplicações.

• Utilizar o teorema de Pitágoras como um procedimento para realizar cálculos.

• Compreender relações métricas existentes em um triângulo retângulo.

• Resolver problemas que envolvam semelhança de triângulos retângulos.

MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E NA CIRCUNFERÊNCIA 7

Em alguns casos práticos do dia a dia, não é possível fazer medições diretas de representações de segmentos de retas.

A imagem da tela do tablet representa um problema que uma engenheira civil precisa resolver. Ela está trabalhando em um projeto urbanístico de uma cidade e precisa determinar a medida de um segmento de reta que passa pelas construções. Por esse motivo, é inviável fazer uma medição em linha reta. Observe o que ela diz.

Resposta pessoal. Espera-se que, ao analisar a imagem do esquema, os estudantes percebam que os segmentos cujos comprimentos representam as distâncias, em linha reta, entre os pontos indicados lembram lados de um triângulo retângulo. Portanto, será necessário determinar a medida do lado oposto ao ângulo reto, ou seja, da hipotenusa.

• Determinar o comprimento de arcos de circunferência.

D2-MAT-F2-2103-V9-U7-204-229-LA-G24_AV4.indd 204 27/06/22 21:26

• Reconhecer e aplicar as propriedades entre arcos e cordas de uma circunferência e das relações métricas em uma circunferência.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresenta-se o estudo das relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência. Desse modo, pretende-se

favorecer o desenvolvimento das habilidades EF09MA13 e EF09MA14.

As seções Por toda parte apresentam variadas situações que proporcionam diferentes aplicações dos conhecimentos adquiridos ao longo dos capítulos. Em especial, o tema abordado na seção, arquitetura enxaimel, colabora para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural, da competência geral 1 e das competências específicas 1 e 8 da área de Matemática.

DANIEL BOGNI

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Responda às questões no caderno.

Espera-se que os estudantes respondam que podem ser utilizados o comprimento das ruas indicadas e o ângulo formado entre elas, que é de 90°

• Das informações apresentadas, quais podem ser utilizadas para solucionar esse problema?

• Indique o nome da figura formada pelos segmentos de retas tracejados em azul e classifique-a quanto aos ângulos. Triângulo retângulo.

• Como você acha que esse problema pode ser resolvido?

Preciso calcular a distância, em linha reta, entre dois pontos. Um ponto é a esquina da Rua Severina de Sousa com a Rua Nelson Coelho. O outro ponto é a esquina da Rua Miriam Pereira com a Rua Michele de Alencar. Além disso, conheço o comprimento das ruas e sei que, nessa parte da cidade, todas as esquinas formam um ângulo de 90°.

Essa abertura proporciona uma discussão interessante para iniciar o estudo sobre relações métricas no triângulo retângulo e aplicação do teorema de Pitágoras. O mapa apresentado indica uma aplicação do teorema de Pitágoras para determinar as medidas em um plano; no caso apresentado na abertura, as medidas das ruas são mais simples de determinar do que a medida de uma diagonal, considerando que haverá casas e prédios nessa diagonal. Entende-se que, para que haja um trabalho mais amplo com os itens descritos nessa abertura, as situações podem ser discutidas previamente e retomadas após o estudo do teorema de Pitágoras como atividades de aplicação. Caso seja possível, seria interessante levar os estudantes ao laboratório de informática para que tenham acesso à internet e possam consultar mapas e utilizá-los em atividades complementares, seguindo o exemplo apresentado na abertura. Sugerir aos estudantes que elaborem questões referentes ao teorema de Pitágoras que envolvam a distância entre dois pontos.

Antes de propor a primeira questão da abertura, conversar com a turma para verificar os conhecimentos prévios deles. A partir dessa verificação, pode-se optar, por exemplo, por fazer uma retomada das questões propostas nessa abertura ao longo da Unidade, e não apenas ao finalizá-la.

Para a terceira questão, é interessante que os estudantes percebam que, caso exista uma relação entre os lados do triângulo, com essas informações seria possível calcular a medida desejada.

DANIEL BOGNI

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

Rua Michele de Alencar

Rua Severina de Sousa

Rua Nelson Coelho Rua Miriam Pereira

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

A atividade proposta retoma os elementos de um triângulo retângulo – ângulo reto, catetos e hipotenusa – e trabalha com a ideia de construir quadrados sobre os lados do triângulo retângulo.

A comparação entre as áreas desses quadrados prepara os estudantes para a introdução do teorema de Pitágoras, que será estudado a seguir. Esse estudo favorecerá o desenvolvimento da habilidade EF09MA13.

No item d, espera-se que os estudantes percebam que a medida da área do quadrado com lado comum à hipotenusa é igual à soma das medidas dos quadrados com lado comum a cada um dos catetos.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Vamos recordar algumas características do triângulo retângulo

• É um triângulo que tem um ângulo reto

• O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa

• Os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos Responda no caderno.

• Vamos considerar o triângulo retângulo da figura a seguir, em que a hipotenusa mede 2,5 cm, e os catetos medem, respectivamente, 2,0 cm e 1,5 cm.

1,52,5cm cm 2,0cm

Representando um quadrado com um lado comum a cada um dos lados do triângulo retângulo dado, obtemos esta figura cujas medidas são dadas em centímetro.

a) Considerando Q1 o quadrado com um lado comum à hipotenusa do triângulo e A1 a área desse quadrado, determine o valor de A1 A1 = 6,25 cm2

b) Considerando Q2 o quadrado com um lado comum ao cateto que mede 2,0 cm e A2 a área desse quadrado, determine o valor de A2 A 2 = 4 cm2

c) A 3 = 2,25 cm2

c) Considerando Q3 o quadrado com um lado comum ao cateto que mede 1,5 cm e A3 a área desse quadrado, determine o valor de A3

d) A1 = A2 + A3

d) Escreva uma igualdade usando os valores encontrados para A1, A2 e A3

e) De acordo com a resposta do item d, nesse triângulo, que relação há entre a área do quadrado com um lado comum à hipotenusa desse triângulo e as áreas dos quadrados com um lado comum a cada um dos catetos? Explique sua resposta a um colega e observe como ele fez para responder.

e) Espera-se que os estudantes percebam que a área do quadrado com lado comum à hipotenusa é igual à soma dos quadrados com lado comum a cada um dos catetos.

O TRIÂNGULO RETÂNGULO DOS EGÍPCIOS

A construção de pirâmides de base quadrangular é uma das aplicações do conhecimento geométrico dos antigos egípcios, os quais usavam um processo prático para obter ângulos retos.

Com o auxílio de uma corda com 12 nós, os egípcios parecem ter construído um triângulo retângulo particular para obter ângulos retos. No triângulo representado, cujos lados medem 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades de comprimento, o ângulo formado pelos dois lados menores é um ângulo reto.

Elaborado com base em: KALEFF, Ana Maria Martensen Roland. A geometria dos egípcios e situações do cotidiano. Laboratório de Ensino de Geometria da Universidade Federal Fluminense. [Niterói], [2010?]. Disponível em: http://www.cdme.im-uff.mat.br/ tangrans_pitagoricos/saber_mais.html. Acesso em: 22 abr. 2022.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O triângulo retângulo dos egípcios

Representação de triângulo retângulo utilizado pelos egípcios.

O TRIÂNGULO RETÂNGULO E UM GREGO FAMOSO

No texto a seguir, vamos conhecer algumas informações sobre o filósofo grego Pitágoras.

[...] Ao que parece Pitágoras nasceu por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Samos. É possível que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales [...]. Depois parece que residiu por algum tempo no Egito e [...] decidiu então emigrar para [...] Crotona, uma colônia grega situada no sul da Itália. Lá ele fundou a famosa escola pitagórica, que, além de ser um centro de estudo de filosofia, matemática e ciências naturais, era também uma irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias. [...]

[...] Como os ensinamentos da escola eram inteiramente orais e como era costume da irmandade atribuir todas as descobertas ao [...] fundador, é difícil [...] saber exatamente que descobertas matemáticas se devem ao próprio Pitágoras [...].

[...] A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras a descoberta independente do teorema sobre triângulos retângulos hoje universalmente conhecido pelo seu nome. [...] esse teorema era conhecido pelos babilônios [...] mais de um milênio antes, mas sua primeira demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras. [...] EVES, Haward. Introdução à história da matemática Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Editora Unicamp, 2001. p. 97 e 103.

É possível que Pitágoras e seus discípulos tenham se baseado em conhecimentos geométricos utilizados pelos egípcios e em mosaicos vistos com frequência em paredes das construções do antigo Egito para fazer uma demonstração desse teorema.

Mosaicos compostos de representações de figuras geométricas, como triângulos retângulos, presentes em culturas mais antigas, levaram o ser humano a perceber importantes relações na Geometria.

Mosaico egípcio, feito de mármore, do período compreendido entre os séculos XV e XVII. Egito, 2020.

Ao abordar esse tópico, se possível, solicitar aos estudantes que formem grupos e experimentem construir um triângulo retângulo com um barbante com 12 nós, de modo que obtenham cantos retos. O triângulo deve, assim como o triângulo utilizado pelos antigos egípcios., ter lados de 3, 4 e 5 unidades. Na ilustração a seguir, há um esquema que pode ser utilizado como inspiração para realizar a construção.

barbante lápis lápis lápis lápis lápis 3 unidades de medida

4 unidades de medida

5 unidades de medida

Após a construção, pode-se fazer algumas perguntas aos estudantes. Por exemplo: “Quantas unidades de medida tem o menor cateto?”; “E o maior?”; “E a hipotenusa?”.

Para complementar, pedir aos estudantes que façam uma pesquisa a respeito da vida e da obra de Pitágoras.

Gravura de Pitágoras.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O objetivo aqui é levar os estudantes a compreender e a aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar medidas desconhecidas dos lados de um triângulo retângulo. Além disso, eles serão levados a reconhecer e a aplicar o teorema de Pitágoras no cálculo da medida da diagonal de um quadrado e no cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero. Esse estudo favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA14.

Para que os estudantes constatem com maior facilidade a validade do teorema de Pitágoras, sugere-se que os exemplos apresentados no Livro do estudante sejam explorados na lousa para que todos acompanhem.

Outra sugestão para dar continuidade a esse estudo é solicitar aos estudantes que utilizem papel quadriculado para desenhar, recortar e colar, no caderno, quadrados de lados 3, 4 e 5; 5, 12 e 13; 6, 8 e 10 unidades de comprimento, formando triângulos retângulos, como o triângulo apresentado no Livro do estudante.

Depois, com os triângulos retângulos feitos, retomar os elementos de um triângulo retângulo e incentivar os estudantes a participar. Se julgar interessante, sistematizar essa retomada fazendo a representação de um triângulo retângulo na lousa e anotando as observações a seguir.

• São chamados de catetos os lados com ângulo interno reto.

• A hipotenusa é o lado maior, oposto ao ângulo reto.

A figura a seguir representa um mosaico com figuras que lembram triângulos retângulos coloridos de verde, quadrados amarelos com um dos lados comum à hipotenusa de cada um desses triângulos e quadrados cor-de-rosa com um dos lados comum a cada cateto.

Considerando a unidade de área indicada na imagem, podemos construir o quadro a seguir.

com um

Analisando que 4 = 2 + 2; 8 = 4 + 4 e 16 = 8 + 8, temos exemplos da seguinte relação válida para esses triângulos:

A área do quadrado com um dos lados comum à hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados com um dos lados comum a cada um dos catetos.

Essa relação estava inicialmente restrita a um triângulo retângulo particular: o triângulo retângulo isósceles. No entanto, estudos realizados posteriormente mostraram que a relação métrica descoberta era válida para todos os triângulos retângulos.

Considerando, por exemplo, o triângulo retângulo particular dos egípcios e representando quadrados com um dos lados comum a cada lado desse triângulo, podemos obter uma figura que nos permite estabelecer uma relação entre as medidas dos lados desse triângulo retângulo escaleno. Observe a figura e o esquema.

25 = 16 + 9 ou 52 = 42 + 32

Podemos, então, enunciar o teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

a2 = b2 + c2

A recíproca desse teorema também é verdadeira, ou seja, em um triângulo, se o quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos lados menores, então esse triângulo é retângulo.

Analise as situações a seguir que envolvem triângulos retângulos.

1 Qual é o valor da medida a no triângulo retângulo desta figura?

Como temos um triângulo retângulo, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor da medida a

a2 = 52 + () 3 2 2 h a2 = 25 + 3 h a = 28 h a = 27

a . 0

Logo, a mede 27

2 Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa mede a = 13 cm, e um dos catetos mede b = 12 cm. Quanto mede o outro cateto?

De acordo com o teorema de Pitágoras, a2 = b2 + c2 Como são dados a = 13 cm e b = 12 cm, podemos escrever:

132 = 122 + c2 h

h 169 = 144 + c2 h

h c2 = 169 144 h

h c2 = 25

Como c . 0, c = 25 h c = 5. Então, o outro cateto mede 5 cm.

3 Os lados de um triângulo medem 16 cm, 30 cm e 34 cm. Verificar se, nesse caso, há um triângulo retângulo.

Para confirmar se temos um triângulo retângulo, aplicamos a recíproca do teorema de Pitágoras, ou seja, sendo a = 34 cm, b = 30 cm e c = 16 cm, temos:

a2 = 342 = 1 156

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O teorema de Pitágoras é um conceito bastante importante na resolução de problemas geométricos, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio. Explorar as situações apresentadas no Livro do estudante e verificar se surgem dúvidas em relação à aplicação do teorema de Pitágoras e fazer as retomadas necessárias. Caso eles não tenham dúvidas, seguir o estudo.

Depois de explorar os exemplos apresentados no Livro do estudante, propor aos estudantes que, em duplas, tentem elaborar alguma situação de aplicação do teorema de Pitágoras para que outra dupla de estudantes a resolva. Em seguida, pedir a eles que compartilhem as situações elaboradas e as estratégias que utilizaram para resolvê-las. Esse estudo favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA13 e EF09MA14.

b2 = 302 = 900

c2 = 162 = 256 Como 1 156 = 900 + 256, temos a2 = b2 + c2

Como as medidas dos lados satisfazem o teorema de Pitágoras, podemos dizer que, nessa situação, temos um triângulo retângulo.

Ao explicar aos estudantes que a recíproca do teorema de Pitágoras é verdadeira, se possível, compartilhar com eles a demonstração das páginas 34 e 35 de uma dissertação apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, disponível em https://uenf.br/posgraduacao/ matematica/wp-content/uploads/ sites/14/2017/09/28042016Lenilson-Oliveira-da-Silva.pdf (acesso em: 25 jul. 2022).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Depois de explorar a demonstração do Livro do estudante, apresentar a demonstração baseada no cálculo de áreas de figuras geométricas planas, desse modo, favorece-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA13. Considerar o triângulo retângulo:

a b c

C AB

a = medida da hipotenusa.

b = medida de um cateto.

c = medida do outro cateto. Observar, agora, que os quadrados MNPQ e DEFG têm mesma área, visto que o lado de cada quadrado mede (b + c).

4 O esquema a seguir representa parte do bairro de uma cidade. Nele, estão indicadas a estação A e a estação B do metrô. O trecho em azul indica um dos caminhos que um carro pode percorrer, na superfície, para ir da estação A até a estação B, e o traçado cinza indica a linha subterrânea do metrô que liga, em linha reta, as duas estações. De acordo com os dados, qual é a distância que o metrô percorre da estação A até a estação B?

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo anterior, temos: x 2 = 4002 + 3002 h x 2 = 160 000 + 90 000 h x 2 = 250 000.

Como x . 0, x = 250 000 h x = 500.

Portanto, da estação A até a estação B, o metrô percorre 500 m.

Vamos, agora, utilizar a semelhança de triângulos para demonstrar que, se um triângulo ABC é um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Considere o triângulo retângulo da figura a seguir.

• a: medida da hipotenusa

• b: medida de um cateto

• c: medida do outro cateto

Nesse triângulo, vamos traçar a altura relativa ao lado BC Essa altura divide a hipotenusa em dois segmentos cujas medidas chamaremos de x e y

Os triângulos ABC e ABD são semelhantes, pois apresentam um ângulo reto e um ângulo comum () B

Com base nesses dois quadrados, temos:

• área do quadrado MNPQ =

= área do quadrado RSVT +

+ (área do triângulo RNS) ? 4

• área do quadrado DEFG =

= área do quadrado IELJ +

+ área do quadrado GHJK +

+ (área do retângulo DIJH) 2

• área do quadrado RSVT = a2

• área do triângulo RNS = bc 2

• área do quadrado IELJ = c 2

• área do quadrado GHJK = b2

• área do retângulo DIJH = b c

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Como as áreas dos quadrados MNPQ e DEFG são iguais, podemos escrever:

+ bc 2 

    4 = c 2 + b2 + (bc) 2

a2 + 2bc = c 2 + b2 + 2bc

Cancelando 2bc, temos: a2 = b2 + c 2

Assim, podemos escrever: c y = a c h ya = c2 h y = c a

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2

Analogamente, os triângulos ABC e ACD são semelhantes, pois têm um ângulo reto e um ângulo comum () ˆ C

Assim, podemos escrever:

b x = a b h xa = b2 h x = b a

Por toda parte

2

Como a = x + y, podemos escrever:

2 h a2 = b2 + c2 A B

x A

D b

b c Ca

2 + c a C

PROBLEMA DO BAMBU QUEBRADO

[...] talvez o mais influente livro de matemática chinês [...] foi o Jiuzhang suanchu (Chui-chang suan-shu) ou Nove Capítulos sobre a arte matemática. Esse livro contém 246 problemas sobre mensuração de terras, agricultura, sociedades, engenharia, impostos, cálculos, solução de equações e propriedades dos triângulos retângulos.

[...] O nono e último capítulo contém problemas sobre triângulos retângulos, alguns dos quais reapareceram mais tarde na Índia e na Europa. [...] [Um] desses problemas bem conhecidos é o do bambu quebrado: há um bambu de 10 pés de altura, cuja extremidade superior, ao ser quebrada, atinge o chão a 3 pés da haste. Achar a altura da quebra.

BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta C. História da matemática Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012. p. 144.

• No século XII, o matemático hindu Bhaskara publicou uma releitura do problema chinês.

GLOSSÁRIO

EDITORIA DE ARTE

Sugerir aos estudantes, após a resolução do problema apresentado, que se organizem em duplas para facilitar a troca de ideias, conhecimento e estratégias utilizadas.

Se julgar pertinente, para facilitar a compreensão do enunciado do problema, pode-se utilizar as seguintes estratégias.

• Pedir aos estudantes que façam um desenho e organizem os dados do problema apresentado.

• Pedir a um dos estudantes da dupla que explique ao outro o que entendeu a respeito do problema.

• Levar os estudantes a perceber que a aplicação do teorema de Pitágoras é uma maneira de resolvê-lo, pois o bambu quebrado forma com o chão um triângulo retângulo.

Em seguida, solicitar aos estudantes que registrem todos os passos que utilizaram no processo de resolução.

“Se um bambu de 32 cúbitos de altura é quebrado pelo vento, de modo que a ponta encontra o chão a 16 cúbitos da base, a que altura, a partir do chão, ele foi quebrado?”.

BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta C. História da matemática Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012. p. 161. Resolva esse problema no caderno e justifique cada etapa de cálculo que você utilizou na resolução. 12 cúbitos. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

MM_PHOTOS/SHUTTERSTOCK.COM, NELLA/SHUTTERSTOCK.COM

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Ao final, fazer uma correção coletiva, pedindo às duplas que mostrem suas resoluções, e sanar as dúvidas que possam surgir. Durante a verificação da resolução, pedir aos estudantes que observem se o teorema de Pitágoras está sendo aplicado corretamente. Caso algum obstáculo apareça nessa etapa, retome o teorema de Pitágoras com os estudantes e, se necessário, faça alguns exemplos na lousa.

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Atividade complementar

Com linguagem similar à do problema publicado por Bhaskara, elabore um problema que possa ser resolvido pelo teorema de Pitágoras. Troque o caderno com um colega para que um solucione o problema elaborado pelo outro. Depois, verifique se a resolução está correta.

Resolução da atividade

De uma escada encostada na parede, sabe-se que a extremidade apoiada no chão está a 2 m da parede e que a extremidade

apoiada na parede está a 5 m do chão, qual é o comprimento aproximado da escada?

Resolução: Como o chão forma um ângulo reto com a parede, temos um triângulo retângulo.

C2 = 22 + 52 h C 1 5,36

O comprimento da escada é aproximadamente 5,36 m.

Leia, a seguir, o trecho de um texto a respeito dos primeiros registros do conhecimento matemático na China e do teorema de Pitágoras.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O objetivo dessas atividades é que os estudantes apliquem o teorema de Pitágoras para verificar se determinado triângulo é ou não retângulo e determinar medidas de lados desconhecidas de um triângulo retângulo, além de utilizar os conhecimentos relacionados com esse assunto para resolver as situações-problema indicadas. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento da habilidade EF09MA13.

Na atividade 1, para mostrar que cada triângulo é retângulo, eles devem verificar se o quadrado da medida do lado maior deve ser igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados. Acompanhá-los nesse processo de verificação e analisar as dúvidas, em especial as mais recorrentes e, ao fazer a correção, trazer esses pontos analisados para serem discutidos com a turma. Se julgar necessário, retomar o conteúdo, em especial a definição tratada na página 209 do Livro do estudante.

Na atividade 4, verificar se os estudantes percebem que, para calcular a medida do segmento AC, podem aplicar o teorema de Pitágoras, pois o triângulo ABC é retângulo, e o segmento AC é um dos catetos desse triângulo.

1. Como 262 = 242 + 102, o triângulo é retângulo.

Responda às questões no caderno.

1. Os lados de um triângulo ABC medem 26 cm, 24 cm e 10 cm. Mostre que esse triângulo é retângulo.

2. Calcule a medida x em cada um dos triângulos retângulos a seguir.

a) b)

c) d)

3. Considerando a figura a seguir, determine:

5. Sabendo que o triângulo BCD na figura é equilátero, determine, em centímetro, o perímetro:

a) do triângulo BCD;

b) do quadrilátero ABCD.

6. Considerando esta figura, calcule o valor da expressão x + y.

7. Na figura, os segmentos AB e BD têm o mesmo comprimento. A

a) a medida a; 25

b) a medida b; 45

c) a medida c; 10

d) o perímetro do trapézio MNPQ. 28

4. Na circunferência da figura a seguir, o comprimento do diâmetro BC é 5 cm. Sendo A um ponto da circunferência e sabendo que o comprimento de AB é 1 cm, calcule a medida do segmento AC (Considere 6 = 2,45.)

DBC

12 16

y x Nessas condições, determine a medida:

a) x do segmento AB; 20

b) y do segmento AD 12 10

8. Na figura, as medidas são dadas em centímetro. Calcule o valor da expressão a + b + c.

9. O monitor de um notebook tem formato retangular, cuja diagonal mede 30 cm, e um lado mede 3 4 do comprimento do outro lado. Quais são as medidas dos lados desse monitor? 24 cm e 18 cm.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A M B O 30m 50m 40m20m O

63,2 m

a) Qual é a distância do ponto A ao ponto B?

10B 12

6 8 A

10. c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

10. João gosta de navegar e está se organizando para fazer um percurso com o qual não está acostumado. O objetivo é sair do ponto A e ir até o ponto B, ambos localizados às margens de um lago. Ele não está considerando a correnteza da água e pretende navegar no menor tempo possível. Analise a figura a seguir. 02

2 4 8 4101 62

y (km) x (km)

a) Qual é a distância, em quilômetro, entre o ponto A e o ponto B? 10 km

b) Considerando que João navegará a uma velocidade média de 2 km/h, quanto tempo ele levará para ir do ponto A até o ponto B? 5 horas.

c) A partir da figura anterior, elabore um problema que envolva o cálculo de distâncias. Troque o caderno com um colega para que um solucione o problema do outro. Em seguida, confiram, juntos, se a resolução de cada um está correta.

11. Existe uma lenda em que, acredita-se, um aventureiro deixou um mapa com a localização exata de um valioso tesouro em uma ilha, e nesse mapa havia dicas de como encontrar o tesouro a partir de certo ponto O de origem. O tesouro localiza-se no ponto médio M, entre os pontos A e B, definidos no mapa, de acordo com as dicas descritas a seguir.

• Ponto A: a partir do ponto O de origem, seguir 20 m na direção leste e, depois , mais 30 m na direção norte.

• Ponto B: a partir do ponto O de origem, seguir 40 m na direção oeste e, depois , 50 m na direção norte. Observe o esquema a seguir e considere 10 = 3,16.

AMPLIANDO

b) Qual é a distância do ponto A ao ponto M?

31,6 m

12. Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra o esquema a seguir. Se o ponto A está a 15 m da base B da torre, e o ponto C está a 20 m de altura, qual é o comprimento do cabo representado por AC ? 25 m

C

Na atividade 10, espera-se que os estudantes identifiquem que é possível aplicar o teorema de Pitágoras para resolvê-la. Caso necessário, auxiliá-los a determinar um ponto P por meio de duas retas suportes, uma paralela ao eixo x passando pelo ponto A e outra paralela ao eixo y passando por B. Desse modo, os pontos A, B e P determinam um triângulo retângulo.

AB

13. Uma árvore foi quebrada pelo vento, e a parte do tronco que restou em pé forma um ângulo reto com o solo. Se a altura da árvore antes de quebrar era de 9 m, e a ponta da parte quebrada está a 3 m da base da árvore, qual é a altura do tronco que restou em pé? 4 m

14. Durante um incêndio em um edifício, os bombeiros utilizaram uma escada articulada de 10 m de comprimento para ter acesso à janela de um apartamento em chamas. A escada estava colocada a 1 m do chão, sobre um caminhão que se encontrava afastado 6 m do edifício. Qual é a altura dessa janela em relação ao chão?

Para a realização da atividade 14, organizar a turma em grupos de três ou quatro estudantes. Cada grupo deve representar por meio de um desenho a situação proposta. Orientá-los a utilizar a escala de 1 100 na hora de desenhar; assim, cada centímetro do desenho representará 1 metro, visto que as medidas são indicadas em metro no enunciado. Acompanhar os estudantes para que encontrem o ângulo reto do triângulo retângulo sugerido pelo desenho que fizeram, determinando a hipotenusa e os catetos para aplicar o teorema de Pitágoras e encontrar a altura. Observar as representações geométricas a seguir.

cateto (c)

cateto (c)

hipotenusa (a)

hipotenusa (a)

Caso note o envolvimento dos estudantes com o tema, propor aos grupos que realizem uma pesquisa a respeito dos procedimentos que podem ser adotados para evitar incêndios domésticos, ou como agir diante de uma situação de risco como essas.

Depois da pesquisa, os estudantes poderão criar cartazes informativos e fixá-los em murais da escola para alertar os usuários do espaço dos perigos e dos cuidados a serem tomados na prevenção de incêndios.

cateto (b)

10 m c

10 m c

cateto (b) ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

6 m

6 m

AS CORES NÃO SÃO REAIS. IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Aplicações do teorema de Pitágoras

Os estudantes serão convidados a aplicar o teorema de Pitágoras no cálculo da medida da diagonal de um quadrado. Desse modo, propicia-se o desenvolvimento da competência específica 2 da área de Matemática e da habilidade EF09MA14.

Mostrar aos estudantes a relação entre a medida d da diagonal e a medida l do lado do quadrado, como é feito no Livro do estudante, porém de modo que eles acompanhem a explicação passo a passo na lousa. Reproduzir os desenhos e as informações necessárias para chegar à expressão d =l 2. Incentivar os estudantes a estabelecer as conexões entre o teorema de Pitágoras e os elementos das figuras. Incentivá- los a recorrer a argumentos matemáticos caso apresentem justificativas. Mostrar as etapas até chegar às relações pretendidas e fazer a sistematização coletivamente.

APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Por meio do teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado. No quadrado ABCD, l é a medida do lado, e d, a medida da diagonal. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, podemos escrever:

d2 =l2 +l2

d2 = 2l2 (l. 0)

d =l 2 2

d =l 2

Acompanhe as situações a seguir.

1 Quanto mede a diagonal do quadrado a seguir?

Pela expressão obtida, temos d =l 2. Substituindo l por 8, temos d = 8 2

Logo, a medida da diagonal desse quadrado é 8 2 cm.

2 A diagonal de um quadrado mede 10 cm. Quanto mede o lado l desse quadrado?

Pela situação, temos d = 10 cm.

Substituindo na expressão d =l 2, temos:

10 =l 2 hl 2 = 10 hl= 10 2 hl= 10 2 2 hl= 5 2

Logo, o lado desse quadrado mede 5 2 cm.

DESCUBRA MAIS

GARBI, Gilberto Geraldo. A rainha das ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010.

Esse livro apresenta diversos capítulos que abordam diferentes períodos da história da Matemática. Um dos capítulos é sobre Pitágoras e a escola pitagórica, no qual são apresentadas algumas demonstrações do teorema de Pitágoras.

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Podemos estabelecer uma relação entre a medida h da altura e a medida l do lado de um triângulo equilátero aplicando o teorema de Pitágoras.

A figura a seguir é um triângulo equilátero, em que l é a medida do lado, e h é a medida da altura.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

No triângulo equilátero, a altura e a mediana coincidem; logo, o ponto H é o ponto médio do lado BC. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AHC () Hé re to , temos:

Acompanhe as situações a seguir.

1 Vamos determinar a medida h da altura de um triângulo equilátero com 20 cm de lado.

Substituindo l por 20 na expressão h = l 3 2 , podemos escrever:

h = 20 3 2 = 10 3

Logo, a altura desse triângulo equilátero mede 10 3 cm.

2 A altura de um triângulo equilátero mede 9 cm. Qual é a medida l do lado desse triângulo?

Substituindo h por 9 em h = l 3 2 , temos:

9 = l 3 2 hl 3 = 18 hl= 18 3 hl= 6 3

Logo, a medida do lado desse triângulo é 6 3 cm.

Para estabelecer uma relação entre a medida h da altura e a medida l do lado do triângulo equilátero aplicando o teorema de Pitágoras, retomar as propriedades dessa figura. Verificar se os estudantes se recordam que se trata de uma figura plana, com três lados congruentes e três ângulos internos que medem 60°. Além disso, a altura, a mediana, a mediatriz e a bissetriz relativas a quaisquer vértices coincidem. Essa é uma importante característica desse triângulo e pode ser utilizada na resolução de diversos problemas geométricos.

Os estudantes serão convidados a aplicar o teorema de Pitágoras no cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero. Para tanto, mostrar a relação que há entre a medida h da altura e a medida l do lado do triângulo equilátero a fim de que os estudantes compreendam a expressão h = 3 2 l Desse modo, propicia-se a continuidade do desenvolvimento da habilidade EF09MA14.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O bloco de atividades desta página contribui para o desenvolvimento da habilidade EF09MA14. Nessas atividades, os estudantes terão a oportunidade de aplicar o teorema de Pitágoras no cálculo da medida da diagonal de um quadrado e no cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero. A resolução de parte das atividades propostas nesse bloco favorece o desenvolvimento do raciocínio inferencial, uma vez que os estudantes devem partir de dados conhecidos (as medidas dos lados da figura ou medidas fornecidas no enunciado) e desenvolver cálculos utilizando regras estabelecidas em relação à aplicação do teorema de Pitágoras para obter a conclusão esperada.

Organizar a turma em duplas a fim de facilitar a troca de ideias e conhecimento para resolver as atividades.

Depois da resolução concluída, pedir às duplas que expliquem como fizeram para resolver as atividades.

Na atividade 13, espera-se que os estudantes percebam que, para obter a expressão solicitada, deve-se trocar a medida h da altura do triângulo equilátero por 3 2 l na fórmula da área do triângulo e, por manipulações algébricas, obter A em função da medida l do lado do triângulo.

Para auxiliar na compreensão dos estudantes, pedir a eles que façam um esboço com os dados do enunciado do problema e registrem no caderno todos os passos que percorreram para resolvê-lo.

Responda às questões no caderno.

1. Sabe-se que a medida do lado de um quadrado é 12 cm. Calcule a medida d da diagonal desse quadrado. 12 2 cm

9. Em um triângulo equilátero, a altura mede 5 3 cm. Qual é o perímetro desse triângulo?

30

cm

2. Se o perímetro de um quadrado é 80 cm, qual é a medida d da diagonal desse quadrado? 20 2 cm

3. A diagonal de um quadrado mede 15 2 cm. Qual é a medida l do lado e a medida do perímetro desse quadrado?

l= 15 cm; perímetro = 60 cm

4. Um quadrado tem 576 cm 2 de área. Calcule o comprimento, expresso na forma decimal, da diagonal desse quadrado. (Use 2 = 1,41.) 33,84 cm

5. Qual é a área de um quadrado cuja diagonal mede 40 cm? 800 cm2

6. Sabendo que na figura as medidas estão expressas em centímetro, calcule: QD

10. A área de um triângulo pode ser calculada multiplicando a medida de um lado pela medida da altura relativa a esse lado e dividindo o resultado por 2. Considerando 3 = 1,73, qual é a área de um triângulo equilátero cujo lado mede 6 cm? 15,57 cm2

11. A medida do lado de um triângulo equilátero é igual à medida da diagonal de um quadrado de 10 cm de lado. Quanto mede a altura desse triângulo? 5 6 cm

12. Considerando o triângulo equilátero da figura e que 3 = 1,73, elabore um problema. Troque de caderno com um colega para que cada um resolva o que foi elaborado pelo outro. Juntos, verifiquem as respostas e façam as correções necessárias.

DESAFIO

BC

10 10

a) a medida do lado do quadrado BDPQ;

b) o perímetro desse quadrado;

c) a área desse quadrado.

7. Se o lado de um triângulo equilátero mede 24 cm, qual é a medida h da altura desse triângulo? 12 3 cm

Junte-se a um colega, e resolvam o desafio a seguir.

QUE ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Esta expressão da área de um triângulo equilátero é válida qualquer que seja a medida l do lado do triângulo.

53 216

AS RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Além do teorema de Pitágoras, existem outras relações métricas entre os elementos de um triângulo retângulo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

As relações métricas no triângulo retângulo

Considere a reta r e o segmento AB Projetando as extremidades de AB sobre  r, obtemos os pontos A‘ e B‘. O segmento A‘B‘ é chamado de projeção ortogonal de AB sobre r

O objetivo é levar os estudantes a identificar os elementos de um triângulo retângulo e associar cada um à sua medida. É importante que eles compreendam e apliquem as relações métricas no triângulo retângulo.

P P‘

Para estudar essas relações, vamos entender o conceito de projeção ortogonal Considere uma reta r e um ponto P externo a ela. Ao traçarmos uma reta perpendicular a r, passando por P, obtemos o ponto P‘ na intersecção das retas. O ponto P ‘ é chamado de projeção ortogonal de P sobre a reta r r

Vamos, inicialmente, identificar os elementos de um triângulo retângulo, como o representado na figura.

• BC é a hipotenusa cuja medida é indicada por a

• AC é um cateto cuja medida é indicada por b

• AB é outro cateto cuja medida é indicada por c

• AH é a altura relativa à hipotenusa cuja medida é indicada por h

• BH é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa; a medida de BH é indicada por n

• CH é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa; a medida de CH é indicada por m Agora, podemos estabelecer relações entre essas medidas, demonstradas a partir da semelhança de triângulos e baseadas na seguinte propriedade:

Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si.

Assim, no triângulo ABC anterior, temos que:

Pedir aos estudantes que reflitam a respeito dos casos de semelhança de triângulos e, depois, apresentar a justificativa que valida as relações entre as medidas consideradas no triângulo retângulo dado no início desta Unidade.

Com base nela, sugerir que, em grupos, pensem e escrevam justificativas para as relações métricas no triângulo retângulo. Para isso, organizar a turma em pequenos grupos e determinar para cada grupo um caso de relação métrica para que seja apresentado e explicado. Desse modo, é possível favorecer um momento de incentivo à argumentação e à autonomia conforme sugere a competência geral 7 além de ser um momento propício para incentivar a cooperação e o respeito mútuo entre eles.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Demonstrar cada uma das relações métricas na lousa. É importante que os estudantes acompanhem atentamente os passos da demonstração e consigam compreender cada passo. Espera-se também que eles consigam demonstrar algumas relações métricas do triângulo retângulo utilizando também a semelhança de triângulos, conforme orienta a habilidade EF09MA13.

Comentar com os estudantes a importância de escrever as relações de semelhança na ordem correta, de acordo com os lados e ângulos correspondentes a cada par de triângulos. Incentivá-los a verbalizar e a escrever as expressões exploradas no Livro do estudante.

Vamos estudar essas relações.

1a relação: Considerando os triângulos HBA e ABC, temos:

2 A (ângulos retos)

ˆ B 2 ˆ B (ângulo comum)

Portanto, *HBA /* ABC.

Então, temos a proporção: c a = n c h c2 = an

Considerando, agora, os triângulos HAC e ABC, temos:

H 2 Â (ângulos retos)

2 ˆ C (ângulo comum)

Portanto, *HAC * ABC.

Então, temos a proporção:

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

2a relação: Considerando os triângulos HBA e HAC, temos:

H1 2 ˆ H2 (ângulos retos) Â1 2 C (complementos do ângulo ˆ B)

Portanto, *HBA *HAC.

Então, temos a proporção: h m = n h h h2 = mn

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que essa altura determina sobre a hipotenusa (que são as projeções dos dois catetos sobre a hipotenusa).

3 a relação: Da 1a relação métrica, temos que b2 = am e c2 = an. Multiplicando membro a membro essas duas igualdades, temos:

b2 ? c2 = am ? an h b2 ? c2 = a2 ? m ? n h b2c2 = a2h2 h bc = ah (a, b, c e h são maiores do que zero)

h2

Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.

4a relação: Vamos, agora, verificar uma demonstração algébrica de que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Como estudamos, da 1a relação temos que b2 = am e c 2 = an. Adicionando membro a membro essas duas igualdades, obtemos:

a ILUSTRAÇÕES: EDITORIA

b2 + c2 = am + an h b2 + c2 = a(m + n) h b2 + c2 = a2 ou a2 = b2 + c2

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Observe um exemplo de aplicação dessas relações.

A

H h

62 = 4a h 4a = 36 h a = 9

Mas: m + 4 = a, então m + 4 = 9 h m = 5

Da 2a relação:

h2 = 5 ? 4 h h2 = 20 (h . 0) h h = 20 h h = 2 5

Da 1a relação:

AMPLIANDO

Link

GEOMETRIA plana: triângulo retângulo <traço médio> relações métricas (aula 10). 2015. Vídeo (40min23s). Publicado pelo canal Ferreto Matemática. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=f4JBVvr72MQ. Acesso em: 25 jul. 2022.

A videoaula pode ser utilizada para ampliar o estudo, pois apresenta um resumo dos elementos no triângulo retângulo, a demonstração das relações métricas no triângulo retângulo e do teorema de Pitágoras, além de alguns exercícios resolvidos.

219

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

No bloco de atividades desta página, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA13. Para possibilitar aos estudantes a atribuição de significado ao estudo das relações métricas no triângulo retângulo, ao resolverem a atividade 6 , pedir que desenhem no caderno um triângulo retângulo ABC. Depois, orientá-los a representar as distâncias entre os municípios A , B e C , indicando no desenho todas as medidas e informações dadas.

Responda às questões no caderno.

1. Determine as medidas indicadas por letras em cada triângulo retângulo a seguir.

a) Medidas m e n m = 4; n = 12

4. Em um triângulo retângulo, um cateto mede 10 cm, e a projeção desse cateto sobre a hipotenusa mede 5 cm. Nessas condições, determine a medida:

a) da hipotenusa; 20 cm

b) do outro cateto; 10 3 cm

c) da altura relativa à hipotenusa. 5 3 cm

b)

c)

5. Por um ponto A de uma circunferência, traça-se o segmento AH perpendicular a um diâmetro BC, conforme a figura a seguir. Se o ponto H determina, no diâmetro, segmentos de 4 cm e 9 cm, encontre a medida x de AH, a medida y da corda AB e a medida z da corda AC

6. Em um mapa, os municípios A, B e C representam os vértices de um triângulo retângulo, e o ângulo reto está em A

A estrada AB tem 80 km, e a estrada BC tem 100 km. Um rio impede a construção de uma estrada que ligará diretamente o m unicípio A ao município C . Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo do município A e perpendicular à estrada BC para que ela seja a mais curta possível. Qual é o comprimento da estrada que será construída? 48 km

a = 100 mm;

h = 48 mm;

b = 80 mm;

c

b

2. As medidas indicadas no triângulo retângulo ABC a seguir estão em milímetro. Determine as medidas a , h , b e c indicadas. 36

A BC a

c = 60 mm

h 64

3. Em um retângulo, a perpendicular traçada de um vértice sobre uma diagonal determina, sobre essa diagonal, segmentos de 64 cm e 36 cm. Calcule o perímetro desse retângulo. 280 cm

7. Em um triângulo retângulo ABC, o cate to  AH mede 15 cm, e o cateto HC mede 16 cm. Determine a medida x da hipotenusa desse triângulo. x = 25 cm

ARQUITETURA ENXAIMEL

A arquitetura enxaimel, presente em diversas construções na Região Sul brasileira, representa a influência da cultura alemã no Brasil. Leia, a seguir, o trecho de um texto sobre essa arquitetura.

A técnica enxaimel, ou Fachwerk, é um padrão arquitetônico atribuído historicamente às regiões germânicas da Europa central. Segundo Weimer (2005) o Fachwerkbau designa um padrão construtivo centenário, originário da sociedade feudal, em que as paredes são estruturadas por um tramado de madeira onde as peças horizontais, verticais e inclinadas são encaixadas entre si em que os tramos são posteriormente preenchidos com taipa, adobe, pedra, tijolos [...] etc.

FRANZEN, Douglas Orestes; EIDT, Simone; TESSING, Daniele. A arquitetura enxaimel: identidade, memória e dimensão patrimonial em Itapiranga/SC. Revista de Arquitetura IMED, Passo Fundo, v. 7, n. 1, p. 5-27, jan./jun. 2018. Disponível em: https://seer.imed.edu.br/index.php/arqimed/article/view/2558/1867. Acesso em: 28 mar. 2022.

Analise a representação de uma construção baseada na arquitetura enxaimel, em que a torre (sem o telhado) lembra a forma de um prisma hexagonal cujas faces têm 2 m de largura. A estrutura de madeira des tacada na figura lembra um triângulo isósceles com 1 m de altura e 2 m de base.

Representação de construção baseada na arquitetura enxaimel.

Responda às questões no caderno.

1. Quantos metros de ripa de madeira foram utilizados em todas as estruturas triangulares da torre como a destacada na figura? Utilize uma calculadora para obter o resultado aproximado até o centímetro. Aproximadamente 28,97 m.

2. Elabore um problema a partir da representação da construção e peça a um colega que o resolva, enquanto você soluciona o problema que ele elaborou.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3. Converse com os colegas e com o professor sobre a importância da preservação dos patrimônios históricos e culturais. Depois, escreva um breve texto sobre o que vocês concluíram.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam a importância da preser vação dos patrimônios históricos e culturais para a construção e valorização da identidade de um povo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Nessa seção, aborda-se um pouco sobre a arquitetura enxaimel. Se possível, após a exploração do texto apresentado no Livro do estudante e das questões propostas, solicitar a eles que façam uma pesquisa em busca de mais detalhes sobre esse tipo de construção. Essa pesquisa pode trazer mais repertório, além de possibilitar a eles que valorizem e utilizem conhecimentos construídos ao longo da história. Ainda, essa pode ser uma interessante oportunidade para eles interagirem com os pares de maneira colaborativa e respeitosa, conforme orienta a competência geral 1 e as competências específicas 1 e 8 da área de Matemática. Esse estudo, favorece ainda o desenvolvimento do tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural. Incentivá-los a falar sobre a importância de reconhecer, valorizar e respeitar a diversidade cultural existente no país, manifestada das mais diversas maneiras, como na arquitetura e nas tradições.

Uma sugestão de encaminhamento para conduzir as questões propostas é solicitar a eles que as respondam no caderno para que depois possam fazer a correção na lousa, de maneira coletiva com a contribuição de toda a turma. Na atividade 3, incentivar os estudantes a falar sobre a importância da preservação dos patrimônios históricos e culturais. Se possível, solicitar a eles que busquem mais informações sobre o tema ou apenas compartilhem os conhecimentos com os colegas abrindo um diálogo. Essa discussão pode favorecer o desenvolvimento da competência específica 4 da área de Matemática.

Castelinho Caracol, construído entre 1913 e 1915 no município de Canela (RS), 2019, é um exemplo de arquitetura enxaimel.

BERNARD BARROSO/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Medida do comprimento de um arco de circunferência

Nesse tópico, é feita uma retomada de como calcular a medida do comprimento de uma circunferência quando se conhece a medida do diâmetro ou a medida do raio e da razão que determina uma aproximação do número irracional p. Ao abordar o conteúdo apresentado no Livro do estudante, verificar as dúvidas deles antes de dar continuidade ao estudo proposto.

Verificar se eles compreendem a diferença entre o cálculo da medida do comprimento de uma circunferência e o cálculo da medida do comprimento de um arco de circunferência. Explicar para eles, por exemplo, que a medida de determinado arco de circunferência, em grau, é o mesmo em qualquer circunferência, independentemente da medida do comprimento do raio da circunferência. No entanto, o comprimento do arco, em centímetro, muda de acordo com a medida do raio da circunferência em questão.

MEDIDA DO COMPRIMENTO DE UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

Vamos relembrar como podemos determinar a medida do comprimento (C) de uma circunferência quando se conhece a medida do diâmetro (d) ou a medida do raio (r).

Sabe-se que a medida do diâmetro de uma circunferência é o dobro da medida do raio. Então, se dividirmos o comprimento C de uma circunferência pelo comprimento 2r do diâmetro dela, encontraremos uma aproximação do número irracional p (isso ocorre sempre, qualquer que seja a circunferência).

C 2r =ph C = 2r ?ph C = 2p r

Essa fórmula permite calcular o comprimento de qualquer circunferência, desde que seja conhecida a medida r do raio dessa circunferência.

Para calcular a medida do comprimento de um arco de uma circunferência, podemos utilizar essa fórmula e uma regra de três simples. Acompanhe.

Na figura, observe o arco AB determinado pelo ângulo central de medida a. Vamos calcular o comprimento x desse arco.

Sabemos que a medida completa da circunferência, em grau, é 360 e que o comprimento da circunferência corresponde a 2pr. Assim, para calcular o comprimento do arco AB, podemos aplicar a seguinte regra de três simples.

360 2p r

Nos exemplos a seguir, considere p= 3,14.

1 Qual é a medida r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de comprimento? C

Logo, o raio da circunferência mede 3 cm.

2 Qual é o comprimento x de um arco de 60° em uma circunferência que tem 21 cm de raio?

Sabendo que a medida completa da circunferência, em grau, é 360 e aplicando uma regra de três simples, temos:

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ARCOS ARQUITETÔNICOS

Os arcos arquitetônicos são um exemplo da aplicação de arcos de circunferência. Muitas dessas estruturas, presentes em diversas construções pelo mundo, têm grande importância histórica e devem ser preservadas pelo patrimônio cultural que representam. Leia o texto a seguir.

O termo arco que vem do latim arcus [...] designa um elemento construtivo em curva, geralmente em alvenaria, que emoldura a parte superior de um vão (abertura, passagem) [...].

[...]

Os construtores da [A]ntiguidade dispunham de limitados materiais para fazer suas construções. [...] As pedras, apesar de difíceis de serem removidas e trabalhadas, apresentavam grande resistência [...].

Foram desenvolvidas, então, técnicas para melhor se aproveitar essas características da pedra. Os etruscos iniciaram e depois os romanos aperfeiçoaram a construção de arcos. Conseguem-se vãos muito maiores com arcos do que com vigas retas, por isso eles são muito usados na construção de pontes e viadutos. [...]

BARISON, Maria Bernadete. Desenho geométrico: aula 8T: arcos. Geométrica: Geometria e Arquitetura On line. [Londrina], [2007]. Disponível em: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_8t.php. Acesso em: 28 mar. 2022. Responda às questões no caderno.

1. Você conhece alguma construção que apresente arcos arquitetônicos?

Em caso afirmativo, descreva-a para os colegas.

Resposta pessoal.

2. Pesquise alguns tipos de arco arquitetônico e cite construções nas quais é possível identificá-los.

Arcos da Lapa, na cidade do Rio de Janeiro (RJ), 2018. Neles, é possível identificar arcos romanos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Nessa seção, explora-se um exemplo de aplicação de arcos de circunferência em estruturas da arquitetura. Explorar a seção com os estudantes de modo a desenvolver as competências específicas 1 e 2 da área de Matemática. É importante que eles reconheçam a Matemática como ciência viva, fruto das necessidades e preocupações de diversas culturas em diferentes momentos históricos, e desenvolvam o raciocínio lógico, conforme orientam as competências.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Caso julgue interessante, solicitar-lhes uma pesquisa sobre o uso de arcos em obras arquitetônicas no Brasil e em outros países. Em seguida, verificar a possibilidade de cada estudante ou grupo (caso opte em trabalhar com equipes) compartilhe a pesquisa com a comunidade escolar.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Para essas atividades, sugerir aos estudantes que formem duplas para facilitar a troca de ideias e estratégias. Pedir a eles que reproduzam as figuras no caderno e listem as informações importantes para facilitar o entendimento das questões. Incentivá-los a um trabalho que explore o diálogo, a discussão e o registro dos cálculos. É importante incentivar e orientar os estudantes a fazer os registros de modo cuidadoso e completo. Finalizar com a correção coletiva das atividades, procurando sanar as dúvidas. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA14. O desafio 9 explora a relação entre diversas unidades de comprimento que aparecem no texto. Pedir aos estudantes que identifiquem na fala da personagem a medida do diâmetro do pneu da bicicleta. Explicar que, para isso, devem imaginar o pneu como se fosse uma circunferência, desprezando a sua espessura. Para tanto, considerem a circunferência maior do pneu, a mais externa.

Responda às questões no caderno.

1. O comprimento do raio de uma circunferência corresponde, em centímetro, a uma das raízes da equação x2 16x 720 = 0. Qual é o comprimento dessa circunferência? (Use p = 3,14.)

226,08 cm

2. A medida do raio de uma circunferência corresponde à medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujos lados congruentes medem 10 2 cm. Nessas condições, calcule o comprimento dessa circunferência. (Use p = 3,14.)

125,6 cm

3. Suponha que o quadrado ABCD da figura tenha 360 cm de perímetro. Qual é a medida do raio r e qual é o comprimento da circunferência inscrita nesse quadrado? (Use p = 3,14.)

6. Em um jogo eletrônico, o formato da personagem lembra uma região circular com 2 cm de raio. A parte que falta no círculo representa a boca da personagem. • Qual é o comprimento do contorno dessa região circular? (Use p = 3,14.)

10,99 cm

7. Percorrendo uma estrada de 20 m de largura, um veículo inicia um retorno em um ponto A e passa pela trajetória circular representada pela figura cujo raio é 20 m. Quantos metros, aproximadamente, o veículo percorreu no arco AB? (Use p = 3,14.) Aproximadamente 104,67 m. 20m 20m 20m A

B 60°0

8. Descreva uma maneira de determinar o comprimento de um arco de medida a (0° <a< 360°) em uma circunferência de raio r

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

DESAFIO

B

60km A60km

4. Deseja-se construir um oleoduto que ligará os municípios A e B. Sabe-se que há duas possibilidades de trajeto para esse oleoduto: em linha reta ou em arco (formando uma semicircunferência), conforme a figura a seguir. Sabendo que o trajeto em linha reta tem o custo de 2 700 reais por quilômetro, e o trajeto em arco custa 1 600 reais por quilômetro, qual dos dois trajetos é o mais barato? (Use 2 = 1,41 e p = 3.)

r = 45 cm; C = 282,6 cm O trajeto em arco é o mais barato, pois 203 040 , 228 420.

5. Caminhando 50,24 m em uma praça circular, Débora descreveu um arco de 72°. Qual é o diâmetro da praça? (Use p = 3,14.) 80 m

9. Sabendo que 1 pole gada equivale a, aproximadamente, 2,54 cm, resolva. (Use p = 3,14.)

diâmetro do pneu da minha bicicleta mede 30 polegadas.

a) Uma volta do pneu da bicicleta de Helena corresponde a quantos centímetros?

b) No último domingo, Helena andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas, aproximadamente, cada pneu dessa bicicleta deu ? Aproximadamente 1 672 voltas.

9. a) Aproximadamente 239,3 cm.

CAPÍTULO4

RELAÇÕES MÉTRICAS DA CIRCUNFERÊNCIA

A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos. Vamos estudar algumas dessas relações.

RELAÇÃO ENTRE CORDAS

Na primeira circunferência, destacamos duas cordas, AB e CD, que se cruzam no ponto P, interno à circunferência. Dessa maneira, ficam determinados dois segmentos de retas sobre cada uma dessas cordas. Podemos, então, estabelecer uma relação métrica entre esses segmentos.

Considerando os triângulos APC e DPB, temos:

• A ˆ PC 2 D ˆ PB (são ângulos o.p.v.)

• 2 A D (são ângulos inscritos no mesmo arco)

Ângulos inscritos em uma circunferência e que determinam um mesmo arco têm a mesma medida.

Como qualquer par de triângulos que têm dois ângulos internos, respectivamente congruentes, são semelhantes, então: *APC /*DPB. Portanto:

PA PD = PC PB h PA PB = PD PC

RELAÇÃO ENTRE SEGMENTOS SECANTES

Na circunferência a seguir, temos duas secantes traçadas a partir de um mesmo ponto exterior

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Relações métricas da circunferência

O objetivo é levar os estudantes a aplicar a propriedade entre cordas, entre segmentos secantes e entre segmentos secante e tangente a uma mesma circunferência. Seguir a proposta abordada no Livro do estudante para justificar a proporcionalidade existente entre os segmentos determinados pelo encontro de duas cordas da circunferência. No momento das justificativas, se necessário, retomar as ideias de semelhança de triângulos.

É importante que os estudantes percebam as conexões entre a semelhança de triângulos e as relações entre as cordas na circunferência. O mesmo cuidado deve ser tomado na justificativa das relações entre duas retas secantes e entre uma reta tangente e uma reta secante. Desse modo, prossegue-se o desenvolvimento das habilidades EF09MA13 e EF09MA14.

PA é um segmento de reta secante, e PB é a parte desse segmento externa à circunferência.

PC é um segmento de reta secante, e PD é a parte desse segmento externa à circunferência.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ao abordar a relação entre um segmento secante e um segmento tangente, explorar o conteúdo abordado no Livro do estudante e verificar se os estudantes compreenderam a relação apresentada. Se julgar oportuno, retomar o vocabulário relacionado aos conceitos abordados.

Entre os quatro segmentos que destacamos na página anterior, podemos estabelecer mais uma relação métrica.

Considerando *PAD e *PCB, temos:

• ˆ P (ângulo comum)

• 2 ˆ A C (ângulos inscritos no mesmo arco)

Então, *PAD /*PCB. Portanto:

PA PC = PD PB h PA ? PB = PC ? PD

RELAÇÃO ENTRE SEGMENTO SECANTE E SEGMENTO TANGENTE

Na figura a seguir, são representados dois segmentos: um segmento secante e um segmento tangente a uma circunferência, traçados a partir de um mesmo ponto externo P

PA é um segmento de reta secante, e PB é a parte desse segmento externa à circunferência. PC é um segmento de reta tangente à circunferência.

Considerando *PAC e *PCB, temos:

• ˆ P 9 ˆ P (ângulo comum)

• 2 ˆ A ˆ C

Assim, temos: *PAC /*PCB. Portanto: PA PC = PC PB h PC2 = PA PB

Vamos resumir as três relações no quadro a seguir.

Responda às questões no caderno.

1. Usando as relações métricas da circunferência, calcule a medida x indicada em cada uma das figuras.

4. Na figura, PA = 3x, PB = x + 1, PC = x e PD = 4x 1. Nessas condições, determine:

a) a medida x ; 4

b) o comprimento de cada uma das cordas indicadas na figura. AB = 17; CD = 19

5. O raio de uma circunferência é 6 cm. A partir de um ponto P externo, traçamos um segmento tangente e um secante a essa circunferência. O segmento secante, que encontra a circunferência nos pontos  A e B, passa pelo centro e é tal que a parte externa desse segmento mede 8 cm. Determine a medida do segmento tangente que foi traçado a partir do ponto P

6. Uma corda AB, que mede 18 cm, corta uma corda CD de tal maneira que os segmentos determinados sobre CD medem x cm e 2x cm, respectivamente. Sabendo que a corda CD mede 12 cm, calcule a medida de cada um dos segmentos determinados sobre a corda AB 16 cm e 2 cm.

7. Por um ponto P, distante 18 cm do centro de uma circunferência, traça-se um segmento secante que determina, na circunferência, uma corda AB, que mede 8 cm. Se o comprimento do raio dessa circunferência é 12 cm, determine:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

Se considerar conveniente, orientar os estudantes a realizar esse bloco de atividades em duplas para facilitar a troca de ideias e colaborar com a escolha de estratégias na resolução dos problemas.

Solicitar aos estudantes que reproduzam as figuras no caderno e listem as informações importantes para melhor compreensão de cada atividade.

2. Considerando a figura, determine o valor da expressão x + y. 19

a) o comprimento do segmento secante traçado a partir do ponto P; 18 cm

b) o comprimento da parte externa do segmento secante. 10 cm

8. De um ponto P, situado a 3 cm de uma circunferência, traça-se um segmento tangente PC cuja medida é 9 cm. Nessas condições, determine o comprimento do raio dessa circunferência. 12 cm

3. Determine a medida r do raio da circunferência da figura.

9. Em uma circunferência de centro O e raio 6 cm, traça-se uma corda AB. Sobre essa corda, considera-se um ponto M de tal maneira que AM = 5 cm e OM = 4 cm. Determine a medida do segmento MB

4 10 cm 4 cm

Nas atividades 5 a 8, os estudantes podem representar cada situação por meio de esquemas ou desenhos para auxiliar na interpretação. Nesse caso, eles podem comparar os desenhos que fizeram com os do colega de dupla e conversar a respeito de possíveis diferenças que encontraram e o seu significado. Fazer a correção coletiva das atividades, procurando sanar as dúvidas dos estudantes.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

As questões apresentadas nessa seção visam retomar as relações métricas no triângulo retângulo e as relações métricas na circunferência, trabalhadas ao longo da Unidade, o que favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA13 e EF09MA14.

Incentivar os estudantes a socializar as estratégias que utilizaram e trocar ideias com os colegas a respeito de temas sobre os quais ainda tenham dúvida. Acompanhá-los e orientá-los nesse trabalho. Se necessário, explicar na lousa as dúvidas que ainda persistam.

Pode-se solicitar aos estudantes que resolvam as atividades em duplas ou trios, discutindo cada questão. Orientá-los também a destacar as informações importantes do enunciado e o que se pede. Se necessário, eles podem reproduzir os desenhos apresentados ou elaborar os desenhos que traduzem a situação descrita. Ao finalizar, pode-se fazer um levantamento das principais dificuldades e retomar os conteúdos na lousa.

Pode-se orientá-los também a consultar o Livro do estudante para tirar dúvidas e buscar informações. Conversar com eles a respeito de acertos e erros, indicando as correções com intervenções pontuais. Esse tipo de ação amplia a capacidade de comunicação e argumentação dos estudantes, conforme orienta a competência geral 7, além de beneficiar a cooperação entre eles, de acordo com a competência específica 8 da área de Matemática.

Nas atividades 1, 4 e 5, verificar se os estudantes aplicaram o teorema de Pitágoras no processo de resolução.

Responda às questões no caderno.

1. (IFRS) Na figura abaixo, o valor de x e y, respectivamente, é Alternativa a.

4. Considere que, na figura a seguir, o quadrado ABCD tem 16 5 cm de perímetro, e C e D pertencem ao diâmetro EF, de tal modo que OC OD 2

2006.

a) 42 e97

b) 22 e 97

c) 22 e2 27

d) 42 e2 27 e) 42 e 97

Nessas condições, a medida do raio da circunferência é, em centímetro:

a) 9.

b) 10.

c) 12.

d) 15. e) 16.

7hy

2. De acordo com o triângulo, qual é o valor de x2 + y2? Alternativa d. x6

a) 45

b) 65 c) 75 d) 85 e) 95

3. (Enem/MEC)

5. (Colégio Naval-RJ) Um ponto P, pertencente a uma circunferência de raio de 5 unidades, dista 4,8 unidades de um diâmetro dessa circunferência. Qual a soma das distâncias de P até os extremos desse diâmetro? Alternativa a.

a) 14

b) 12

c) 7

d) 6

e) 5

6. Para calcular a medida do lado AD na figura, pode-se dividi-la em dois triângulos: o triângulo BCD retânguloem C () e o triângulo ABD retânguloem ˆ B ()

A medida do lado AD é: Alternativa a.

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a Alternativa d.

a) 25.

d) 27.

a) 1,8 m.

b) 1,9 m. c) 2, 0 m. d) 2,1 m. e) 2,2 m.

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b) 15.

c) 30.

e) 32.

7. Na representação em escala a seguir, os quadrados são iguais, e cada centímetro representa 100 km. Um avião sai da cidade A, faz uma parada para abastecer na cidade C e chega à cidade B, conforme a figura. Alternativa e.

30°A

Se a medida do segmento OA é 5 cm, e adotando p= 3, qual é a distância percorrida pelo ponto A?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

Das alternativas dadas, assinale o valor mais próximo da distância percorrida pelo avião da cidade A até B, passando por C

a) 1 000 km

b) 950 km

c) 1 150 km

d) 1 400 km

e) 1 250 km

8. Um segmento OA descreve um arco de 30° em torno do ponto O, como indica a figura a seguir. Alternativa a.

a) 2,5

b) 5,5 c) 1,7 d) 3,4 e) 4,5

9. Uma pessoa que sai do ponto A e vai até o ponto B, seguindo o arco AB, conforme o esquema a seguir, percorre que distância? (Considere p= 3.) Alternativa d.

a) 600 m

b) 630 m

c) 700 m

d) 720 m

O 360m360m AB

Nas relações métricas do triângulo retângulo estudadas nesta Unidade, conhecemos o teorema de Pitágoras, alguns aspectos históricos que o envolvem e algumas de suas aplicações. Complementamos os estudos com outras relações métricas do triângulo retângulo e estudamos, ainda, a circunferência, o cálculo do comprimento de uma circunferência e as relações métricas da circunferência.

Na abertura desta Unidade, analisamos uma aplicação do teorema de Pitágoras em uma situação que implica medições inacessíveis, que são calculadas por meio de triângulos.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Entre as diversas demonstrações de que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos, pesquise uma delas e registre a diferença entre a demonstração encontrada e a exposta nesta Unidade.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• As relações métricas são obtidas utilizando triângulos semelhantes. Como podemos justificar a semelhança desses triângulos?

• Na abertura desta Unidade, foi perguntado como você resolveria o problema exposto. E agora, que solução você daria para a situação, considerando que uma das medidas conhecidas é 21 m, e a outra é 28 m? Qual é a distância que a engenheira precisa calcular? Espera-se que os estudantes utilizem o teorema de Pitágoras; 35 m.

• Quais são os principais elementos de uma circunferência?

Pelo caso AA, ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então eles são semelhantes.

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade permitem, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados, reflexões a respeito das aprendizagens individuais. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas aprendizagens e possíveis dúvidas de cada conteúdo abordado.

A primeira questão informa aos estudantes que há outras demonstrações para o teorema de Pitágoras. Uma possibilidade de condução para essa questão é sugerir a eles que realizem uma pesquisa prévia na internet ou em livros para conhecerem outras demonstrações possíveis para o teorema. Discutir com os estudantes os resultados da pesquisa para identificar qual é o pressuposto utilizado nas demonstrações que eles selecionaram. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da competência específica 2 da área de Matemática.

A segunda questão busca justificar as relações métricas estudadas em um triângulo retângulo. Na terceira questão, retoma-se o problema apresentado na abertura da Unidade e espera-se que os estudantes tenham clareza quanto ao uso do teorema de Pitágoras na resolução do problema em questão.

Ao finalizar a Unidade, conversar com eles sobre as aprendizagens e sugerir que façam uma autoavaliação e reflitam sobre a trajetória que fizeram ao longo da Unidade, verificando a necessidade ou não de fazerem retomadas pontuais antes de seguirem o estudo que virá posteriormente.

UM NOVO OLHAR 229

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BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2, 3, 7, 9 e 10

Competências específicas:

• 2, 5, 6 e 8

Habilidades:

Geometria

• EF09MA15

• EF09MA16

• EF09MA17

Grandezas e medidas

• EF09MA19

Estatística e probabilidade

• EF09MA22

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Ciência e Tecnologia

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes histórias e culturais Brasileiras

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em três capítulos, e os conteúdos são apresentados por meio de exemplos contextualizados e atividades diversificadas e seções com temas que contribuem para a formação integral dos estudantes, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 1, 2, 3, 7, 9 e 10.

O primeiro capítulo retoma o conceito de polígono regular e amplia seu estudo, favorecendo a habilidade EF09MA15.

No segundo capítulo, é explorada a determinação do ponto médio de um segmento de reta e do cálculo da distância entre dois pontos, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF09MA16. Na seção Tratamento da Informação, é abordada a interpretação e a construção de um gráfico de setores, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade EF09MA22.

No terceiro capítulo, são desenvolvidas as noções de vistas ortogonais de um objeto e o cálculo do volume de um prisma e de um cilindro, conforme orientam as habilidades EF09MA17 e EF09MA19.

FIGURAS PLANAS, FIGURAS ESPACIAIS E VISTAS 8

A impressora 3D, uma das maiores invenções tecnológicas das últimas décadas, foi criada em 1984 pelo estadunidense Charles Hull (1939-). Ele patenteou a invenção, fundou uma empresa que, até hoje, é uma das líderes de mercado em impressão 3D e criou diversos modos de impressão, iniciando a comercialização da tecnologia envolvida.

Para criar uma peça em uma impressora 3D, primeiramente é preciso elaborar um modelo tridimensional dela, por meio de um aplicativo de computador, e definir as dimensões do objeto e o material a ser utilizado (filamentos plásticos ou pó ultrafino de plástico e metal). Em seguida, o modelo é inserido no software da impressora, o qual compila todos os dados e os sistematiza em várias camadas para dar início à impressão.

Atualmente, existem vários tipos de impressora 3D que utilizam diferentes tecnologias e podem criar, com precisão, objetos para diversas finalidades, como peças de decoração, próteses e outros produtos de saúde, miniaturas, maquetes e brinquedos.

A seguir, observe algumas etapas de impressão 3D de um objeto decorativo.

Sequência de etapas de impressão 3D de um objeto decorativo de plástico amarelo.

OBJETIVOS

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• Compreender como construir polígonos regulares, utilizando instrumentos geométricos ou softwares de geometria dinâmica.

• Resolver problemas envolvendo polígonos inscritos em uma circunferência.

• Resolver problemas envolvendo cálculos de áreas de polígonos regulares, círculos e setores circulares.

• Determinar as coordenadas do ponto médio

de um segmento de reta, no plano cartesiano.

• Calcular a distância entre dois pontos, no plano cartesiano.

• Ler, interpretar e construir gráficos de setores, relacionados a situações reais.

• Identificar as três vistas ortogonais (frontal, lateral e superior) de um objeto.

• Calcular o volume de prismas e cilindros.

• Refletir sobre a relação de ciência e tecnologia, a partir de um texto sobre insumos agrícolas.

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IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

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Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Observando a sequência de imagens, que mostra a impressão 3D de um objeto decorativo, é possível notar que a impressão é feita de baixo para cima, camada por camada. Responda à questão no caderno.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Converse com um colega, e discutam a importância da impressão 3D. Elabore um pequeno texto sobre as conclusões a que vocês chegaram.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

A abertura desta Unidade aborda um pouco da trajetória da construção de figuras tridimensionais e o material utilizado na construção de modelos para a reprodução em impressoras 3D. Pode-se iniciar o trabalho sugerindo aos estudantes que analisem as imagens das páginas 230 e 231 do Livro do estudante e antes de explorar o texto apresentado, perguntar se eles sabem quem inventou a impressora 3D; se acham que essa invenção é algo recente, e caso eles respondam que sim, indagar quão recente acham que é. Desse modo, pode-se verificar o que eles sabem sobre essas impressoras. Também é possível fazer perguntas para verificar se eles já leram ou se conhecem o processo de impressão. Depois dessa conversa inicial, explorar o texto e a questão sugerida. Para ampliar a discussão a respeito de impressoras 3D, sugerir aos estudantes que se organizem em duplas e realizem uma pesquisa sobre o funcionamento desse tipo de impressora e como alguns profissionais de diferentes áreas podem utilizá-las. Ao final, eles podem compartilhar as informações com os colegas.

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JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresenta-se o estudo de figuras planas, figuras espaciais e vistas, aprofundando aspectos de construções geométricas. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento das habilidades

Na seção Tratamento da informação, os estudantes analisam informações de uma pesquisa a respeito do uso de produtos biológicos de controle na agricultura, propiciando o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, da competência geral 7 e da competência específica 5 da área de Matemática.

Aspectos da arte urbana, como o grafite, são destacados na seção Por toda parte, com o objetivo de contribuir para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e das competências gerais 1 e 3.

• Reconhecer características e a importância da cultura brasileira e da arte urbana.

EF09MA15, EF09MA16, EF09MA17 e EF09MA19.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Polígono regular

O trabalho com as noções gerais da Geometria no Ensino Fundamental inicia-se com o reconhecimento dos polígonos a partir da quantidade de lados, vértices e ângulos internos, passando pelas propriedades de algumas figuras planas particulares, como os triângulos e os quadriláteros.

Nesse capítulo, o objetivo é estudar as propriedades associadas aos polígonos regulares inscritos em uma circunferência. Esse estudo é fundamental para a resolução de problemas relacionados ao cálculo de área de polígonos regulares e problemas relativos às construções geométricas, com régua e compasso ou com softwares de geometria dinâmica, por exemplo. Desse modo, o conteúdo deste capítulo favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA15.

As questões do boxe Pense e responda podem ser exploradas em uma breve retomada para verificar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre polígonos regulares.

Pense e responda

Explorar a questão 2 com os estudantes, fazendo-os perceber o que observaram de comum no triângulo equilátero e no quadrado, ao responderem à questão 1. Se julgar necessário, apresentar outros exemplos de polígonos regulares, como o pentágono regular e o hexágono regular, para que os estudantes identifiquem as mesmas características em qualquer polígono regular. Comentar que todo polígono regular é equilátero e equiângulo.

Ampliar a questão 3 retomando os conceitos de ângulo interno e ângulo externo de um polígono convexo. Relembrar que o ângulo interno e o ângulo externo de um mesmo vértice do polígono são suplementares.

POLÍGONO REGULAR

3. Como a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é 360° e um polígono regular tem todos os ângulos externos de mesma medida, a medida a e de cada ângulo externo de um polígono regular de n lados é dada por: a 360° n e = . Então, a medida do ângulo externo de um triângulo equilátero é 120°, e a de um quadrado é 90°.

Ao longo dos estudos de Geometria, você provavelmente conheceu vários tipos de polígono. A seguir, vamos estudar um grupo de polígonos, do qual o quadrado e o triângulo equilátero fazem parte. Acompanhe.

PENSE E RESPONDA

Responda às questões a seguir no caderno.

1. O que caracteriza um triângulo equilátero e um quadrado?

2. Explique o que é um polígono regular.

3. Qual é a medida de cada ângulo externo de um triângulo equilátero?

E de um quadrado? E de um polígono regular de n lados? (Lembre-se de que a soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre 360°.)

Polígono regular é todo polígono convexo que tem todos os lados de mesma medida e todos os ângulos internos congruentes entre si.

POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA

Corda de uma circunferência é todo segmento de reta cujas extremidades são pontos da circunferência.

Na circunferência a seguir, os segmentos AB, BC , CD e DA são chamados de cordas consecutivas

1. O triângulo equilátero é um polígono de três lados de mesma medida, e cada um dos três ângulos internos mede 60°. O quadrado é um polígono de quatro lados de mesma medida e quatro ângulos internos de 90°.

BA CD

2. Um polígono regular é aquele que tem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos congruentes entre si. O triângulo equilátero e o quadrado são polígonos regulares.

Considerando três ou mais pontos distintos de uma circunferência, as cordas consecutivas que ligam esses pontos determinam polígonos inscritos nessa circunferência, como o polígono ABCD da figura anterior.

SAIBA QUE

Se um polígono estiver inscrito em uma circunferência, podemos dizer que a circunferência está circunscrita a esse polígono.

Verificar se todos os estudantes compreendem e se recordam dos conceitos de ângulos complementares e ângulos suplementares. Se necessário, registrar na lousa uma observação com essas definições.

Polígonos regulares inscritos em uma circunferência

Retomar o conceito de corda de uma circunferência, destacando que o diâmetro é uma corda

que passa pelo centro da circunferência e tem o maior comprimento possível.

Ao iniciar esse estudo, propor aos estudantes que respondam, oralmente, como é possível desenhar um polígono regular inscrito em uma circunferência. Espera-se que eles relacionem a quantidade de vértices do polígono à quantidade de pontos que serão marcados na circunferência.

Quando dividimos uma circunferência em n arcos congruentes (com n . 2), as cordas consecutivas delimitam um polígono regular inscrito, de n lados, nessa circunferência.

Observe alguns polígonos regulares inscritos em uma circunferência.

Em uma circunferência dividida em três arcos congruentes, as três cordas consecutivas, cujas extremidades coincidem com as extremidades desses arcos, delimitam um triângulo equilátero inscrito

Em uma circunferência dividida em quatro arcos congruentes, as quatro cordas consecutivas, cujas extremidades coincidem com as extremidades desses arcos, delimitam um quadrado inscrito

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Verificar se os estudantes compreenderam o conceito de cordas consecutivas. Para isso, pode-se solicitar que analisem e identifiquem as cordas consecutivas do triângulo equilátero inscrito e do quadrado inscrito apresentados no Livro do estudante. Na primeira ilustração, eles devem responder, por exemplo, AB, BC e CA

Elementos de um polígono regular inscrito em uma circunferência

Elementos de um polígono regular inscrito em uma circunferência

Vamos conhecer os elementos de um polígono regular inscrito.

Na figura a seguir, o raio de comprimento r da circunferência, na qual está inscrito um polígono regular, é também chamado de raio do polígono regular

O ângulo de medida a , cujo vértice está no centro da circunferência e cujos lados passam por dois vértices consecutivos do polígono inscrito, chama-se ângulo central do polígono regular (a c)

A medida a= a c é dada por = ° a 360 n c , em que n é a quantidade de lados do polígono inscrito.

Sabendo que em um polígono regular de n lados, inscrito ou não em uma circunferência, todos os ângulos internos são congruentes, então a medida ai de cada um dos ângulos internos é dada por = a n2 180º n i ()

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AMPLIANDO

Link

ÂNGULOS internos de um polígono regular. Khan Academy. [S l.], c2022. Disponível em: https://pt.khanacademy. org/math/em-mat-geometria/x44371671f5ceab6a:poligonos-regulares-e-pavimentacoes-no-plano/x44371671f 5ceab6a:construindo-poligonos-regulares/e/angulos-internos-de-um--poligono-regular. Acesso em: 13 jul. 2022. Nesse link, é possível praticar o cálculo da medida do ângulo interno de polígonos regulares.

Antes de abordar os elementos de um polígono regular inscrito e suas propriedades, propor a seguinte questão: “Um polígono está inscrito em uma circunferência quando está no interior dela?”. Espera-se que os estudantes respondam que nem sempre, pois o polígono deve ter todos os vértices pertencentes à circunferência para estar inscrito nela. Se considerar pertinente, solicitar, à medida que o estudo é aprofundado, que eles comecem a montar um pequeno glossário com as definições estudadas, de modo que, sempre que sentirem necessidade, possam retomá-las rapidamente.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades de um polígono regular inscrito em uma circunferência

Antes de abordar as três propriedades de um polígono regular inscrito em uma circunferência, retomar a ideia de semelhança entre figuras planas, considerando que ambas têm os ângulos internos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Enfatizar que, no caso dos polígonos regulares, é preciso que os ângulos internos correspondentes sejam congruentes e os lados homólogos, proporcionais.

Em seguida, apresentar as propriedades e discutir com os estudantes que todas relacionam um dos elementos referentes a comprimentos, vistos anteriormente, ao perímetro (1a propriedade: perímetros proporcionais às medidas dos raios; 2a propriedade: perímetros proporcionais às medidas dos lados; 3a propriedade: perímetros proporcionais às medidas dos apótemas).

Caso algum estudante manifeste dificuldades em compreender a resolução do exemplo mostrado no Livro do estudante, pode-se apresentar os dados do problema em um quadro, identificando a relação de proporcionalidade direta.

Neste hexágono, há seis ângulos internos congruentes entre si. Considerando n = 6 e ai a medida de cada um dos ângulos internos, temos:

O segmento que vai do centro O de uma circunferência até o ponto médio M de um dos lados do polígono regular inscrito nessa circunferência chama-se apótema do polígono regular, cuja medida é, normalmente, representada por a Como o triângulo AOB da figura é isósceles, o apótema OM representa a altura, a mediana e a bissetriz relativas ao lado AB desse triângulo.

Propriedades de um polígono regular inscrito em uma circunferência

Dois polígonos regulares que têm a mesma quantidade de lados são semelhantes, pois têm os ângulos internos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais. Assim, podemos destacar as propriedades a seguir.

1a propriedade

Em dois polígonos regulares inscritos em uma circunferência e com a mesma quantidade de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos raios

2a propriedade

Em dois polígonos regulares inscritos em uma circunferência e com a mesma quantidade de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados

3a propriedade

Em dois polígonos regulares inscritos em uma circunferência e com a mesma quantidade de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas

Acompanhe o exemplo a seguir.

Dois hexágonos regulares estão inscritos em circunferências de raios 14 cm e 21 cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na circunferência menor é 84 cm, vamos determinar o perímetro do outro hexágono.

Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1a propriedade, podemos escrever:

= 14 84 21 x h 14x = 84 21 h x 1 764 14 =h x = 126

Logo, o perímetro do outro hexágono regular é 126 cm.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cada um dos polígonos regulares inscritos em uma circunferência.

a) Triângulo equilátero

b) Quadrado

a c = 120° e ai = 60°.

a c = 90° e ai = 90°.

c) Hexágono regular.

d) Octógono regular.

48 cm e 60 cm, respectivamente. Quanto mede o apótema do polígono de maior perímetro, se o apótema do polígono de menor perímetro mede 43 cm?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

Para a resolução das atividades, considerar a possibilidade de os estudantes trabalharem em duplas ou em pequenos grupos, para trocar estratégias de resolução.

a c = 60° e ai = 120°.

a c = 45° e ai = 135°.

2. O perímetro de um polígono regular inscrito em uma circunferência, cujo raio mede x, é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular, com a mesma quantidade de lados, está inscrito em uma circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm de perímetro. Qual é o valor de x?

4. Os perímetros de dois polígonos I e II , regulares e com a mesma quantidade de lados, estão entre si assim como 2 está para 5. Sabendo que a medida do lado do polígono II é 20 2 cm, calcule a medida do lado do polígono I

x = 10 cm

3. Os perímetros de dois polígonos regulares, com a mesma quantidade de lados, são

5. Os perímetros de dois polígonos regulares, com a mesma quantidade de lados, são, respectivamente, 28,28 cm e 28 cm. Quanto medem o raio e o apótema do polígono de maior perímetro, sabendo que o raio e o apótema do polígono de menor perímetro medem, respectivamente, 3, 52 cm e 3,5 cm?

3, 535 2cme 3,535 cm

RELAÇÕES MÉTRICAS EM POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA

Considerando a medida l do lado de um polígono regular inscrito em uma circunferência, a medida a do apótema do mesmo polígono e a medida r do raio da circunferência em que esse polígono está inscrito, podemos estabelecer algumas relações métricas. Vamos conhecer algumas a seguir.

Quadrado inscrito

No quadrado inscrito, temos:

• l: medida do lado do quadrado;

• a: medida do apótema do quadrado;

• r : comprimento do raio da circunferência.

Podemos, pelo teorema de Pitágoras, relacionar o lado e o apótema do quadrado com o raio da circunferência. Acompanhe.

Considerando o *BOA da figura, temos:

l2 = r 2 + r 2 hl= r 2

Considerando o *OMA da figura:

AMPLIANDO

Vídeo

RELAÇÕES métricas do quadrado – Matemática – 9 o ano –Ensino Fundamental. 2020. Vídeo (15min6s). Publicado pelo Canal Futura. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?

v=UNZ2RwuvtkI. Acesso em: 13 jul. 2022.

Nesse link, é possível visualizar uma videoaula na qual são demonstradas as relações métricas para um quadrado inscrito em uma circunferência.

As atividades exploram os conceitos de ângulo central e de ângulo interno e as propriedades dos polígonos regulares inscritos. Se necessário, retomar o conceito de perímetro e indicar o registro em um quadro para a análise das relações de proporcionalidade direta, como apoio aos estudantes com dificuldades.

Relações métricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência

Como em todas as demonstra ções apresentadas, será aplicado o teorema de Pitágoras, é importante verificar se todos os estudantes conhecem e sabem aplicar esse teorema.

Quadrado inscrito

Identificar cada um dos elementos (lado, apótema e raio) do quadrado inscrito. Em seguida, destacar os triângulos BOA e OMA e, com os estudantes, estabelecer as relações direcionadas pelo teorema de Pitágoras. Perguntar aos estudantes se os triângulos são retângulos, e tanto em caso negativo quanto em caso afirmativo, pedir para indicarem que informações garantem esse fato. Esse tipo de questionamento contribui para o desenvolvimento da argumentação dos estudantes, além de oportunizar o desenvolvimento de aspectos relacionados à competência geral 7 e à competência específica 2 da área de Matemática.

Explicitar que tanto a medida do lado do quadrado inscrito quanto seu apótema são obtidos em função da medida do raio da circunferência circunscrita ao polígono.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Hexágono regular inscrito

Na demonstração das relações métricas referentes ao hexágono regular inscrito em uma circunferência, solicitar aos estudantes que analisem a ilustração apresentada no Livro do estudante e justifiquem por que o *OFA é equilátero.

Uma possibilidade de argumentação é identificar que o ângulo central mede 60° e que os dois lados do triângulo são iguais ao raio da circunferência. Portanto, o triângulo é isósceles e os ângulos da base são congruentes.

Assim, 180° 60° = 120°. Como ambos têm a mesma medida, cada ângulo da base mede 60°. Dessa maneira, o triângulo tem os três ângulos congruentes e é, portanto, equilátero.

Triângulo equilátero inscrito

Ao abordar o triângulo equilátero inscrito em uma circunferência, mostrar aos estudantes a semelhança entre os triângulos AMC e CMO. Para isso, indicar os ângulos internos de ambos os triângulos, considerando que OC é bissetriz do ângulo ACB

Hexágono regular inscrito

No hexágono regular inscrito, temos:

• l: medida do lado do hexágono;

• a: medida do apótema do hexágono;

• r : comprimento do raio da circunferência.

Sabemos que o *OFA é equilátero. Então, temos que = MA r 2 , pois FA = r, ou seja:

Triângulo equilátero inscrito

No triângulo equilátero inscrito, temos:

• l: medida do lado do triângulo;

• a: medida do apótema do triângulo;

• r : comprimento do raio.

Note que o * AMC e o *CMO são semelhantes pelo critério AA. Então, podemos escrever:

AMPLIANDO

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Link

RELAÇÕES métricas em polígonos regulares: triângulo equilátero –Aula 25. 2013. Vídeo (11min49s). Publicado pelo canal Portal da Matemática OBMEP. Disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=dNCfUxDVCzU. Acesso em: 13 jul. 2022.

Nesse link, é possível visualizar uma videoaula na qual são demonstradas as relações métricas para um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência.

CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES

Acompanhe as etapas para a construção de um polígono regular de n lados, utilizando instrumentos de desenho, conhecida a medida l do lado desse polígono. Fluxograma para construir um polígono regular de n lados

(Início) Escolher a quantidade de lados do polígono (n) e a medida de cada lado do polígono (l).

Determinar a medida do ângulo externo do polígono: = ° a 360 n e

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Construção de polígonos regulares

Construir uma reta suporte ao primeiro lado do polígono.

Marcar, sobre a reta suporte, o segmento de reta de comprimento l

Construir o ângulo externo, de medida a e , em uma das extremidades do segmento anterior.

Marcar o segmento de medida l na semirreta correspondente a um dos lados do ângulo âe, que não está contida na reta suporte.

Fim: polígono finalizado.

Colorir a região interna da figura obtida.

Seguindo as etapas de construção descritas no fluxograma, é possível construir qualquer polígono regular.

Observe, a seguir, como podemos descrever a construção de um pentágono regular.

Início: Inicialmente, escolhemos a quantidade de lados do polígono (n) e a medida do lado (l).

Nesse caso, temos: n = 5 e l= 2,5 cm.

Etapa I: Em seguida, calculamos a medida do ângulo externo do polígono.

° ° a 360

72 e ==

Etapa II: Usando uma régua, representamos uma reta suporte para a construção do primeiro lado do polígono.

Etapa III: Marcamos, na reta suporte, o segmento de reta cuja medida é igual à do lado do polígono; nesse caso, 2,5 cm.

AMPLIANDO

Texto

O desenho geométrico é parte fundamental para a aprendizagem dos conteúdos geométricos, sendo assim, as construções com régua, compasso e transferidor têm um papel especial, pois permitem uma interação entre essas ferramentas e a teoria estudada, ampliando os conceitos geométricos pertinentes ao tema dos polígonos regulares e aprofundando os conhecimentos acerca das demonstrações ge-

ométricas. O ensino do desenho geométrico é importante para desenvolver as habilidades de planejar, projetar e abstrair, estabelecendo uma relação entre o campo visual e o raciocínio espacial.

A geometria estuda as figuras relacionando-as com números, que são suas medidas. Já o desenho geométrico estuda as figuras, que são abstratas, e as relaciona com as representações, que são concretas, formalizando os conhecimentos teóricos da

Nessa página, é apresentado um fluxograma para a construção, com régua e compasso, de um polígono regular de n lados. Ler com os estudantes os passos apresentados no fluxograma e, sempre que necessário, explicar cada etapa, de modo que os estudantes compreendam todas as etapas que devem ser executadas para a construção. Esse tipo de abordagem contribui para o desenvolvimento do pensamento computacional Apresentar o passo a passo da construção de um polígono regular. Depois, incentivar a expressão oral dos estudantes e pedir que expliquem o que entenderam dos passos descritos.

Verificar se os estudantes dispõem de régua e transferidor para realizarem a construção. Se julgar pertinente, indicar a todos os estudantes que realizem a construção do pentágono regular com medida de lado igual a 2,5 cm. Checar se todos compreendem o cálculo do ângulo externo. Em seguida, distribuir papel sulfite para os estudantes. Iniciar a construção realizando, coletivamente, as etapas II e III, já que a etapa I, é dada no Livro do estudante.

geometria, definindo os conceitos, demostrando propriedades e resolvendo problemas.

Elaborado com base em: OLIVEIRA, Clézio Lemes de. Importância do Desenho Geométrico Trabalho acadêmico (Licenciatura em Matemática) – Universidade Católica de Brasília, Brasília, DF, [ca. 2005]. Disponível em: https://repositorio.ucb.br:94 43/jspui/bitstream/10869/1547/1/Clezio%20Lemes %20de%20Oliveira.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Verificar se os estudantes conseguem construir o ângulo de 72° corretamente, manuseando o transferidor de forma adequada.

Pense e responda

Com os instrumentos geométricos em mãos, propor aos estudantes que escolham um polígono de n lados e indiquem a medida do comprimento do lado, como orientado na etapa I. Ainda nessa etapa, devem calcular a medida do ângulo externo. Nesse momento, o foco da atividade está na construção do polígono regular, e pode-se permitir o uso de uma calculadora. Em seguida, devem construir as etapas II e III, que consistem em uma preparação inicial para a construção.

Construir as etapas IV e V repetidas vezes, até completar a figura. Propor a alguns estudantes que apresentem o polígono escolhido e compartilhem os procedimentos usados na construção.

Etapa IV: Usando um transferidor, construímos, em uma das extremidades do segmento, o ângulo externo de medida ae, que será o vértice desse ângulo e um dos vértices do polígono.

Etapa V: Usando uma régua, marcamos na semirreta representada na etapa IV o segmento de reta com 2,5 cm de comprimento.

Em seguida, repetimos as etapas IV e V, até que sejam representados todos os lados do polígono. Por fim, colorimos a região interior do polígono representado.

PENSE E RESPONDA

Agora, é sua vez! Escolha um valor para n e outro para l. Em uma folha avulsa, construa um polígono regular de n lados, cuja medida do lado é l. Em seguida, escreva, no caderno, o passo a passo para a construção desse polígono e troque de caderno com um colega para que cada um construa o polígono descrito pelo outro. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Considerando uma circunferência de 80 cm de diâmetro, calcule a medida do lado de:

a) um quadrado inscrito nessa circunferência;

b) um hexágono regular inscrito nessa circunferência;

c) um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.

2. Determine a medida do lado de um quadrado e de um triângulo equilátero inscritos em uma circunferência de 50 cm de raio. (Use 2 = 1,4; 3 = 1,7.)

Quadrado: 70 cm; triângulo equilátero: 85 cm.

3. Uma peça de vidro lembra um triângulo equilátero inscrito em um vitral circular, na parede de um teatro. Se o raio da circunferência mede 25 cm, qual é a medida do lado do triângulo equilátero?

(Use 3 = 1,73.)

4. Considerando que a figura a seguir representa um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência, calcule:

a) a medida do ângulo RÔS;

b) a medida do segmento RS ;

c) a medida do segmento OM;

d) a medida do segmento SM

5. O comprimento de uma circunferência é 157 cm. Um hexágono regular cujo lado mede x cm e apótema y cm está inscrito nessa circunferência. Considerando 3 = 1,73 e p= 3,14, determine o valor de x + y.

6. Sabe-se que o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r mede 40 2 cm. Nessas condições, elabore duas questões e troque-as com um colega. Cada um resolve as questões que o outro criou.

AMPLIANDO

Livro

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

7. Na figura, o raio da circunferência mede 3 cm, AB representa o lado de um hexágono regular inscrito, e BC representa o lado de um quadrado inscrito. Nessas condições, determine:

a) a medida de AB;

b) a medida de BC, considerando 2 = 1,4;

c) a distância de A até C, passando por B.

8. Em uma circunferência de 100 cm de raio, estão inscritos um quadrado e um triângulo equilátero. Faça o que se pede.

a) A medida do lado do quadrado representa quantos por cento da medida do lado do triângulo? (Use 2 = 1,4; 3 = 1,7.)

b) Explique a dois colegas como você pensou para responder ao item a e ouça a explicação deles. Vocês responderam à questão do mesmo modo? Obtiveram as mesmas respostas?

9. Uma pessoa observa uma pintura com o desenho de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de 40 cm de raio. Se a área de um triângulo equilátero é dada pela expressão l? 3 4 2 , qual é a área do triângulo observado por essa pessoa? (Use 3 = 1,73.)

10. Em uma circunferência de 50,24 cm de comprimento, estão inscritos um triângulo equilátero e um hexágono regular. Considerando 3 = 1,7 e p=  3,14, determine:

a) a medida do lado e o perímetro do triângulo equilátero;

b) a medida do apótema e o perímetro do hexágono regular

Nesse bloco, sugere-se que os estudantes se organizem em duplas para facilitar a troca de ideias. Em boa parte das atividades, os valores de 2 e de 3 foram fornecidos na forma decimal. Assim, avaliar permitir aos estudantes utilizarem a calculadora para realizar alguns cálculos. Verificar a necessidade de retomar as operações com números decimais. O momento da correção das atividades pode ser uma oportunidade interessante para realizar esse tipo de retomada.

A atividade 6 propõe aos estudantes que elaborem questões para os colegas responderem. A seguir, duas possibilidades de questões que podem ser discutidas com eles para ampliar a atividade:

• Qual é a medida r do raio da circunferência? (40 cm)

• Qual é a medida a do apótema desse quadrado inscrito? (20 2 cm)

O item b da atividade 8 solicita aos estudantes que expliquem para dois colegas como pensaram para responder à questão proposta no item a. É muito importante incentivar esse tipo de atividade, pois ela amplia a capacidade de comunicação e argumentação dos estudantes, de acordo com a competência geral 7, além de beneficiar a cooperação entre eles, de acordo com a competência geral 9.

SELVA, Ana Coelho Vieira; BORBA, Rute Elizabete S. Rosa. O uso da calculadora nos anos iniciais do Ensino Fundamental. 1. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. (Tendências em Educação Matemática).

Neste livro, as professoras Ana Coelho e Rute Borba abordam vários aspectos relacionados ao uso da calculadora nas aulas de Matemática.

Na atividade 10, os estudantes precisam determinar o valor do raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero e ao hexágono regular. Para isso, precisarão se recordar da fórmula do perímetro da circunferência. Circular pela sala de aula e verificar se todos os estudantes se recordam. Se julgar necessário, registrar essa informação na lousa.

8. b) Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

O trabalho com esta seção colabora para o desenvolvimento da habilidade EF09MA15. É importante dizer para os estudantes que existem outras maneiras de construir um polígono regular, além das apresentadas na seção e no fluxograma da página 237 do Livro do estudante, e incentivá-los a pesquisar outros métodos de construção, sejam eles softwares, sejam instrumentos como régua, compasso e transferidor.

Para realizar a atividade proposta ao final da seção, pedir aos estudantes que, após a elaboração do fluxograma com as etapas de construção do polígono, identifiquem inicialmente que ferramentas do GeoGebra serão utilizadas na construção. Assim, eles podem organizar o processo, além de ser uma oportunidade para que se familiarizem com o software e com as ferramentas que serão utilizadas nesse tipo de construção. Pode-se propor aos estudantes que elaborem um quadro associando cada etapa do fluxograma à ferramenta que será utilizada no GeoGebra. Observar o exemplo a seguir.

REPRESENTANDO POLÍGONOS REGULARES COM O USO DE UM SOFTWARE DE GEOMETRIA

A seguir, vamos utilizar o software GeoGebra para representar um polígono regular. Primeiramente, devemos escolher a quantidade de lados e a medida do lado do polígono que será representado. Neste exemplo, vamos construir um polígono regular de 9 lados (eneágono regular), cuja medida do lado é 3 cm. Acompanhe.

Acesse o link https://www.geogebra.org/classic?lang=pt (acesso em: 2 abr. 2022) para abrir uma tela do GeoGebra. Com o botão direito, clique na janela de visualização para ocultar os eixos e a malha, como descrito na página 138

Selecione a ferramenta (Reta) e clique em dois pontos na janela de visualização para construir a reta suporte AB

1 Para definir a medida do lado do polígono, selecione a ferramenta Reta e, em seguida, a opção (Segmento com Comprimento Fixo). Depois, clique na parte superior da janela de visualização, digite 3 no boxe Comprimento e clique em OK (Figura 1).

2 Depois, selecione a ferramenta (Compasso), clique no segmento CD, depois no ponto A para representar a circunferência de centro A e raio igual a 3 cm. Em seguida, utilize a ferramenta (Interseção de Dois Objetos) para marcar o ponto E correspondente à intersecção da reta AB e a circunferência construída anteriormente (Figura 2).

Etapa do fluxograma Ferramenta do GeoGebra que pode ser utilizada

I Nesse caso, não é necessário utilizar nenhuma ferramenta.

II Reta

III Segmento com Comprimento Fixo Compasso Interseção de Dois Objetos

IV Ângulo com Amplitude Fixa

V Semirreta

VI Compasso Interseção de Dois Objetos

VII Segmento (Nessa etapa, deve-se ligar os pontos construídos para obter os lados do polígono.)

Figura 1

Figura 2

3 A soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo de um polígono é igual a 180°. Assim, para calcular a medida do ângulo interno do polígono que será representado, fazemos:

a 180 aa 180 360 9 180 40 a 140 ie ii=°_h=° ° =°_°h=°

Para construir o ângulo interno desse polígono, selecione a ferramenta (Ângulo com Amplitude Fixa) e clique nos pontos E e A, nessa ordem. Em seguida, digite 140° no boxe Ângulo, selecione a opção sentido anti-horário e clique em OK (Figura 3).

Utilizando novamente a ferramenta (Ângulo com Amplitude Fixa), clique nos pontos A e E‘ , nessa ordem, digite 140° no boxe Ângulo, selecione a opção sentido anti-horário e clique em OK. Repita esse processo para obter os outros sete pontos (Figura 4).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A seguir, há uma possibilidade de construção para representar um polígono regular de 9 lados utilizando o GeoGebra, seguindo as etapas de fluxograma que deram origem ao quadro elaborado na página anterior.

4 Clique com o botão direito do mouse em cada indicação de ângulo para ocultá-la. Em seguida, utilize a ferramenta (Segmento) para ligar os pontos representados e obter os lados do eneágono regular (Figura 5), cuja medida de cada lado é 3 cm.

Repetir esse procedimento até obter um polígono de 9 lados.

1. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Escolha a quantidade n de lados e a medida do lado l de um polígono regular. Em seguida, utilize o GeoGebra para construir esse polígono regular.

2. Elabore, no caderno, um fluxograma com as etapas da construção do polígono obtido na atividade 1

Caso os estudantes tenham dúvida, em especial na etapa de construção dos ângulos internos, solicitar que insiram pontos auxiliares nas semirretas para construí-los. No final da construção, orientá-los a apagar os pontos auxiliares para visualizar apenas o polígono, como na referência a seguir.

Figura 4

Figura 3

Figura 5

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área de um polígono regular

Apresentar o exemplo do cálculo da área do pentágono regular e verificar se os estudantes compreendem que todo polígono regular pode ser dividido em triângulos isósceles e congruentes. A partir dessa ideia, é desenvolvida a expressão para o cálculo da área de qualquer polígono regular, usando o conceito de semiperímetro.

Solicitar aos estudantes que deem outros exemplos de polígonos regulares para que o cálculo da área seja realizado pela expressão obtida.

Área do círculo e de um setor circular

Para iniciar o trabalho com esse tópico, pode-se propor uma atividade como a apresentada a seguir.

• Em uma cartolina, desenhar um círculo (de raio medindo r), dividindo-o em 16 partes iguais. Depois, recortar o círculo, separando cada pedaço.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Juntar as partes recortadas, encaixando-as, conforme a figura a seguir. Notar que a altura é aproximadamente igual à medida do raio r

ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR

Considere o pentágono regular AEDCB representado a seguir. A partir do centro O, esse pentágono foi decomposto em cinco triângulos isósceles e congruentes. São eles: * AOB, *BOC, *COD, *DOE e *EOA.

Em cada um desses triângulos, temos:

• a base do triângulo corresponde ao lado do polígono, cuja medida indicaremos por l;

• a altura relativa à base do triângulo corresponde ao apótema do polígono, cuja medida indicaremos por a

A área * A () de cada um desses cinco triângulos é dada por A a 2 = l? *

Como são cinco triângulos, a área do pentágono A P () é dada por:

AP = 5 a 2 l? = 5a 2 l = 5 2 a l h AP = 5 2 a l

Sabendo que 5l é o perímetro do pentágono regular, temos que 5 2 l representa a metade do perímetro ou o semiperímetro do pentágono regular. Assim:

área do pentágono regular = l5 2 a

medida do apótema semiperímetro

Podemos dizer que, para todos os polígonos regulares, temos:

área de um polígono regular = semiperímetro medida do apótema

ÁREA DO CÍRCULO E DE UM SETOR CIRCULAR

Observe esta sequência de figuras que representam polígonos regulares inscritos em uma circunferência.

À medida que a quantidade de lados do polígono regular inscrito aumenta, o perímetro desse polígono se aproxima do comprimento da circunferência. Desse modo, a área desse polígono regular se aproxima da área do círculo determinado pela circunferência. Nessas condições, temos que:

• o perímetro do polígono regular se aproxima do comprimento da circunferência (C = 2p r);

• o semiperímetro do polígono regular tende ao valor p 2r 2 , ou seja, pr;

• a medida do apótema do polígono regular tende a ser igual à medida do raio da circunferência.

tângulo fica a figura formada. Assim, a área dessa figura, que é igual à área do círculo, cada vez mais se aproxima da área de um retângulo; então:

área do círculo =p r ? r

área do círculo =p r2

• Realizar os mesmos procedimentos, dividindo o círculo em mais partes iguais. Quanto maior for a quantidade de partes em que o círculo é dividido, mais próxima de um re -

Após essa atividade, apresentar a expressão da área do círculo a partir dos polígonos inscritos na circunferência.

Assim, a área do polígono regular inscrito tende a coincidir com a área do círculo determinado pela circunferência. Logo:

área do círculo =pr r =pr2

(p r = semiperímetro do polígono inscrito e r = medida do apótema do polígono inscrito)

Usando a fórmula da área do círculo, vamos resolver as situações a seguir.

1 Um pedaço de papelão lembra a forma de um círculo de raio 21 cm. Qual é, em centímetro quadrado, a área ocupada por essa representação de círculo, considerando p= 3,14?

A =p r2 h A = 3,14 (21)2 h A = 3,14 441 h A = 1 384,74

A área ocupada por esse pedaço de papelão é 1 384,74 cm2

2 A região colorida de azul na figura chama-se setor circular. Qual é a área desse setor circular?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

A atividade 1 propõe aos estudantes que encontrem a fórmula para o cálculo da área de um octógono regular, por meio da decomposição da figura em triângulos isósceles. Para isso, eles poderão se apoiar no desenvolvimento apresentado na página 242 do Livro do estudante. Atividades desse tipo ampliam a capacidade de argumentação dos estudantes conforme orienta a competência geral 7.

Logo, a área desse setor circular é, aproximadamente, 13,08 cm².

DESCUBRA MAIS

ÁUDIOS DA COLEÇÃO M3. (Série Problemas e Soluções) Tudo começa em pizza, 26 maio 2020. Anchor do Spotify. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1325. Acesso em: 8 maio 2022. Nesse podcast, apresenta-se uma aplicação da área de setores circulares em uma situação do cotidiano relacionada ao cálculo da área de pedaços de pizzas

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Observe a representação deste octógono regular. Utilizando o método de decomposição de um polígono regular em triângulos, como realizado na página 242 , mostre que a área de um octógono regular é dada por: l 8 2 a , em que l é a medida do lado do octógono e a é a medida do apótema dele. Faça uma figura e justifique cada etapa da resolução Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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A situação 2 aborda o cálculo da área de um setor circular. Uma possibilidade de abordagem é resolver a atividade na lousa e verificar se os estudantes compreendem a relação de proporcionalidade estabelecida entre o ângulo central e a área do círculo/setor circular.

Descubra mais

O podcast sugerido é composto de dois módulos. Se julgar pertinente, antes de propor as atividades da página 243 do Livro do estudante, apresentar o primeiro módulo do programa e pedir aos estudantes que, ao final, registrem as informações que julgarem relevantes. Em seguida, permitir que eles escutem o primeiro módulo até 1min54s e pedir que verifiquem se anotaram corretamente os tamanhos das pizzas que serão comercializas, identificadas pelas quantidades de pedaços (a tradicional com 8 pedaços e as pizzas de 6, 12 e 16 pedaços cada). O podcast é interrompido e propõe ao ouvinte que pense nessa questão. Fazer o mesmo questionamento ao grupo, registrar as hipóteses dos estudantes na lousa e, em seguida, ouvir o segundo módulo.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nas atividades 2 e 3, os estudantes devem calcular a área dos polígonos regulares indicados, usando o produto do semiperímetro pela medida do apótema do polígono.

Para resolver a atividade 4, os estudantes devem utilizar o conhecimento desenvolvido para determinar a área do círculo. Para resolver as atividades 5 e 7, os estudantes devem retomar o cálculo da área do setor circular. Se necessário, retomar a resolução do exemplo apresentado no Livro do estudante, relacionando o ângulo central e a área do círculo/setor circular.

Ler a atividade 6 com o grupo e questionar como, a partir do perímetro do quadrado, é possível calcular a área do círculo. Espera-se que os estudantes respondam que dado o perímetro do quadrado é possível determinar a medida de seu lado e, consequentemente, encontrar a medida do raio do círculo inscrito, que será igual à metade da medida do lado.

As atividades 8 a 10 são situações-problema que devem ser resolvidas a partir da aplicação do conceito de área do círculo. Os estudantes devem ler e interpretar os enunciados, fazendo inferências e construindo uma argumentação consistente, principalmente na atividade 9. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da competência geral 7.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Como atividade complementar, propor a seguinte situação:

Uma rodovia circular, construída a 36 km do centro de um município, limita uma região desse município. Nessa região, a população é cerca de 900 000 habitantes. Usando p= 3 para os cálculos, determine a densidade demográfica dessa região.

2. Uma região poligonal, em forma de hexágono regular, tem lado de 80 cm. Nessas condições, determine:

a) o semiperímetro desse hexágono;

b) a medida a do apótema do hexágono, sabendo que a 3 2 = l ;

c) a área da região poligonal, considerando 3 = 1,73.

3. Sabendo que um hexágono regular está inscrito em uma circunferência cujo raio mede 18 cm, determine:

a) a medida do lado desse hexágono;

b) o semiperímetro desse hexágono;

c) a medida do apótema desse hexágono;

d) a área desse hexágono.

4. O diâmetro de um disco de cobre mede 80 cm. Qual é a área desse disco?

5. Considere o setor circular (região colorida de amarelo) na circunferência da figura. Se O é o centro do círculo, e OA = 8 cm, qual é a área desse setor circular?

6. Na figura a seguir, há um círculo inscrito em um quadrado. Se o perímetro desse quadrado é 48 cm, qual é a área do círculo? (Use p= 3,14.)

8. No centro da sala de recepção de um edifício, há um tapete circular, como representado na figura.

7. Qual é a área do setor circular colorido de amarelo na figura? (Use p= 3,14.)

Sabendo que a sala é retangular, cujas dimensões são 4,5 m (largura) e 8 m (comprimento), e que o diâmetro do tapete equivale a 1 4 do comprimento da sala, qual é a área da superfície da sala que não ficará coberta pelo tapete? (Use p= 3,14.)

9. Esta figura representa um canteiro, no qual uma parte representa um semicírculo. Para cobrir todo esse canteiro, um jardineiro calculou que precisaria de uma lona com 170 m² de área. Você pode afirmar que a área da lona calculada é suficiente para cobrir completamente esse canteiro? Justifique.

Sim, pois 170 m2 . 139,25 m2.

10. Um vazamento no tanque de um navio provocou o aparecimento de uma mancha de óleo em formato circular. O raio r da mancha, t minutos depois do início do vazamento, é dado, em metro, pela fórmula = r t 5

a) Qual é, em metro, o raio da mancha, 4 minutos depois do início do vazamento?

b) No momento considerado no item a, qual é, em metro quadrado, a área da mancha? (Use p= 3,14.)

Resolução da atividade

É uma boa oportunidade para os estudantes mobilizarem seus conhecimentos a respeito de razões entre grandezas de espécies diferentes tratadas em estudos anteriores. Se necessário, relembrar que:

densidade demográfica = quantidade de habitantes área da região

Com isso, os estudantes devem calcular a área dessa região circular e, depois, a densidade demográfica, assim:

Área da região = 3 362

Área da região = 3 888 km2

Densidade demográfica = 900 000 3 888 =

= 231,48 hab./km 2

Assim, a densidade demográfica dessa região é de 231,48 hab./km2.

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

POLÍGONOS NAS OBRAS DE EDUARDO KOBRA

Leia o trecho de reportagem a seguir sobre o mural Etnias, criado pelo muralista brasileiro Eduardo Kobra (1975-), em homenagem aos Jogos Olímpicos de 2016.

O mural Etnias do artista Eduardo Kobra, pintado no Boulevard Olímpico, na Orla Conde, área portuária do Rio, recebeu o certificado do Guinness World Record, o Livro dos Recordes, como o maior grafite do mundo. O trabalho, que tem a extensão de 3 mil metros quadrados representa a união entre os povos dos cinco continentes estampada em rostos dos povos Huli da Nova Guiné, Mursi da Etiópia, Kayin da Tailândia, Supi da Europa e os Tapajós das Américas, em uma ligação com os cinco arcos olímpicos.

BRASIL, Cristina Indio do. Mural Etnias, de Kobra, entra para o Guinness como maior grafite do mundo. Agência Brasil. Rio de Janeiro, 23 ago. 2016. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/cultura/noticia/2016-08/ mural-etnias-de-kobra-entra-para-o-guinness-como-maior-grafite-do-mundo. Acesso em: 3 abr. 2022.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

, de Eduardo Kobra. Rio de Janeiro (RJ), 2016.

Responda às questões no caderno.

Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Observe a imagem dos rostos retratados no mural Etnias. Em relação aos recursos utilizados por Eduardo Kobra, em seu entendimento, o que esses rostos têm em comum?

2. Eduardo Kobra costuma representar polígonos nas composições dele. Junte-se a um colega, pesquisem outras obras de Kobra e analisem as características dos polígonos representados nessas obras.

3. A arte da grafitagem é um tipo de intervenção no espaço urbano muito comum nas grandes cidades e representa um modo de expressão associado a culturas populares. Como é a presença da grafitagem no município em que você vive?

AMPLIANDO

Link

SILVA, Camila. Grafite: arte que faz dos muros sua tela. Federação nacional dos arquitetos e urbanistas. Brasília, DF, 1 abr. 2019. Disponível em: http://www.fna.org.br/2019/04/01/grafite -arte-que-faz-dos-muros-sua-tela/. Acesso em: 3 ago. 2022. O texto apresentado no link pode ser utilizado para ampliar o conhecimento e as discussões sobre a arte do grafite.

Ao evidenciar a relevância do artista e muralista brasileiro Eduardo Kobra no mundo, valorizamos a cultura brasileira e, principalmente, a arte urbana, potencializando o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e das competências gerais 1 e 3. Antes de iniciar a atividade do Livro do estudante, levar para a sala de aula obras do artista para que os estudantes observem livremente. Conversar sobre o que chama a atenção dos estudantes nas imagens. Só então anunciar que conhecerão o artista e as suas técnicas para a produção dos painéis. Caso não seja possível realizar essa exploração, pedir aos estudantes que observem as imagens do Livro do estudante e conduzir uma roda de conversa a partir delas. Espera-se que, para responder à primeira pergunta, os estudantes se apoiem no texto introdutório e, também, no nome dado à obra. Podem, ainda, comentar sobre a imagem dos rostos, em estilo realista, apresentar cores fortes e padrões geométricos que lembram polígonos. Na segunda pergunta, além da identificação das figuras geométricas, é possível abordar o recobrimento de superfícies e as condições necessárias para que não haja sobreposição dos polígonos ou espaços vazios. Entre os polígonos regulares que satisfazem essa condição, estão o quadrado e o triângulo equilátero que aparecem com frequência nas obras de Eduardo Kobra. Atentar para a importância da discussão da terceira pergunta. O grafite, muitas vezes, é marginalizado e associado ao vandalismo, entretanto, muito se discute sobre a importância desse movimento como arte.

Mural Todos somos um (Etnias)

© KOBRA, EDUARDO/ AUTVIS, BRASIL, 2022 ALEXANDRE MACIEIRA/TYBA

OLEYNIK ALINE/SHUTTERSTOCK.COM, KLUVA/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Nessa seção, são abordadas informações de uma pesquisa a respeito do uso de produtos biológicos usados para controlar pragas e doenças nas lavouras. Esse tema favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, da competência geral 7 e da competência específica 5 da área de Matemática.

Aproveitar o tema para conversar com os estudantes sobre o uso de substâncias químicas naturais, classificadas em semioquímicos e bioquímicos, e os agentes biológicos de controle, que podem ser microbiológicos ou macrobiológicos.

Discutir com os estudantes a pertinência do gráfico apresentado. Espera-se que eles compreendam que esse tipo de gráfico é adequado para apresentar as informações. Esse tipo de discussão favorece o desenvolvimento de aspectos da habilidade EF09MA22.

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

LEITURA E CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO DE SETORES

O uso de produtos biológicos na agricultura tem se intensificado nos últimos anos no Brasil. Esses produtos têm o objetivo de controlar pragas e doenças nas lavouras agrícolas e oferecem menor impacto ambiental que os insumos tóxicos tradicionalmente utilizados na agricultura. No esquema a seguir, observe a classificação dos produtos biológicos de controle.

Classificação dos produtos biológicos de controle

Substâncias químicas naturais

Semioquímicos

Compostos que induzem respostas comportamentais nos organismos-alvo:

• feromônio

• aleloquímicos

Agentes biológicos de controle

Organismos vivos que controlam a população de pragas e doenças.

Microbiológicos Bioquímicos

Compostos de origem natural que controlam pragas e doenças:

• hormônios reguladores de crescimento

• enzimas

• vírus

• bactérias

• protozoários

• fungos

Macrobiológicos

• insetos

• ácaros

• nematoides

Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Classificação dos produtos biológicos de controle. Brasília, DF: MAPA, 2019. Disponível em: https://croplifebrasil.org/conceitos/conheca-osprotagonistas-dos-produtos-biologicos-disponiveis-no-brasil/. Acesso em: 5 abr. 2022.

Leia o trecho a seguir e analise o gráfico sobre o registro de produtos biológicos de controle.

[...]

O setor de biodefensivos [...] teve em 2021, 77 novos produtos registrados para o controle de pragas e doenças. Em 2020, já se identificou o crescimento no número de registros desses produtos [...]. Esse número reflete o maior interesse por produtos cada vez mais sustentáveis no campo e a necessidade de integração de tecnologias para a superação dos desafios da agricultura.

[...]

Produtos biológicos registrados

480 produtos

Microrganismos

Macro-organismos

Semioquímicos

Bioquímicos

Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/noticias/ sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobre-producao-de-alimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022.

BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobreproducao-de-alimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022. 246

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AMPLIANDO

Vídeo

PRODUTOS biológicos na agricultura ganham espaço e devem movimentar US$ 5 bi em 2020. 2019. Vídeo (3min46s). Publicado por Globoplay. Disponível em: https://globoplay.globo. com/v/8094066/. Acesso em: 14 jul. 2022.

A reportagem aborda o aumento do uso de produtos biológicos na agricultura brasileira.

Considerando os dados apresentados no gráfico da página 246, responda às questões no caderno.

1. Do total de 480 produtos biológicos registrados no Brasil até 2021, quantos correspondem a produtos formulados com base em microrganismos?

Aproximadamente 298 produtos.

2. De acordo com o gráfico, qual foi o tipo de produto biológico menos registrado no Brasil até 2021? Quantos produtos desse tipo foram registrados?

Semioquímicos; aproximadamente 49 produtos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

As questões 1 e 2 referem-se à leitura e interpretação dos dados apresentados no gráfico da página 246 do Livro do estudante.

Resposta

3. Junte-se a um colega, e façam uma pesquisa sobre a diferença entre produto biológico de controle e os chamados de agrotóxicos. Depois, debata com o professor e a turma sobre os efeitos de cada um desses tipos de defensivo agrícola. No gráfico da página anterior, os dados são representados por trechos de uma coroa circular. Podemos observar que a interpretação desse tipo de gráfico é semelhante à de um gráfico de setores.

Em um gráfico de setores, a porcentagem associada a cada setor circular é proporcional à área desse setor. Por sua vez, a área de um setor circular é proporcional à medida de seu ângulo central. Assim, se um setor corresponde a 30% da área do gráfico (círculo todo), o ângulo central deve corresponder a 30% do giro de uma volta completa (360°) que gera o círculo, ou seja, 30% de 360°, que é 108°.

Desse modo, para construir um gráfico de setores, podemos elaborar uma tabela com os dados da pesquisa em valores absolutos, as porcentagens correspondentes (valores relativos) e as medidas dos ângulos centrais de cada setor.

4. A partir dos dados do gráfico da página 246, elabore uma tabela como a apresentada a seguir e complete-a.

Produtos biológicos registrados

Produto biológico Quantidade de produtos Percentual correspondente Medida do ângulo central de cada setor do gráfico

Microrganismos

Macro-organismos

Semioquímicos

Bioquímicos

Total

Elaborada com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcouas-discussoes-sobre-producao-de-alimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022.

5. Utilizando os dados da tabela da atividade 4, construa um gráfico de setores correspondente ao gráfico da página anterior. Para isso, com o auxílio de compasso, régua e transferidor, represente um círculo e delimite cada setor circular de acordo com a medida do ângulo central correspondente. Lembre-se de registrar a porcentagem relativa a cada setor, pintar cada setor com uma cor diferente e inserir legenda, título e fonte dos dados

Resposta

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Como atividade complementar, propor aos estudantes que façam uma pesquisa com outros estudantes da escola a respeito de um assunto de interesse comum. É importante que eles se organizem planejem como serão feitas a coleta dos dados e a apresentação do resultado por meio de um gráfico de setores.

Já a atividade 3 propõe uma pesquisa, em duplas, sobre a diferença entre produtos biológicos de controle e os agrotóxicos. Essa atividade permite ampliar o debate sobre os biodefensivos, permitindo a troca de ideias e a refutação de hipóteses pré-concebidas, o que contribui para o desenvolvimento das competências gerais 2 e 10.

Ao explorar os procedimentos para construir um gráfico de setores, verificar se os estudantes apresentam alguma dúvida em relação aos passos de construção, fazendo as retomadas que considerar necessárias.

Por meio das atividades dessa seção, os estudantes são levados a interpretar os dados e representá-los em tabela de distribuição de frequência. É importante que eles notem que são utilizados conceitos diferentes para resolver uma situação estatística.

27/06/22 12:21

pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Representações no plano cartesiano

Nesse capítulo são feitas a retomada e a ampliação da noção de ponto médio de um segmento de reta. Propor aos estudantes que determinem o ponto médio de um segmento de reta usando régua e compasso. Espera-se que os estudantes relembrem que, para isso, precisam construir a mediatriz do segmento de reta.

Explorar a representação de segmentos de reta e de polígonos no plano cartesiano e a identificação das coordenadas cartesianas dos extremos dos segmentos traçados. Depois, mostrar, no plano cartesiano, a localização do ponto médio de segmentos (ou de lados de figuras planas) para obter as coordenadas desse ponto médio.

Apresentar o cálculo da distância entre dois pontos, conhecidas as coordenadas cartesianas deles. Verificar se os estudantes se recordam do teorema de Pitágoras, usado para chegar à fórmula da distância entre os pontos. Esse estudo favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA16.

REPRESENTAÇÕES NO

PLANO CARTESIANO

Conhecendo as coordenadas cartesianas (x, y) das extremidades de um segmento de reta, podemos representá-lo em um plano cartesiano. Já estudamos que o ponto médio de um segmento de reta é o ponto que divide esse segmento em duas partes de mesma medida.

Consideremos o segmento AB em cada caso a seguir e o ponto médio M desse segmento. Inicialmente, vamos determinar as coordenadas do ponto médio de AB , em três casos particulares, quando uma das extremidades do segmento está na origem dos eixos cartesianos.

Agora, para calcular as coordenadas do ponto médio M de um segmento AB qualquer, temos:

• xM é o valor médio de x A e xB: x xx 2 M AB = + ;

• yM é o valor médio de yA e yB: y yy 2 M AB = +

Conhecendo as coordenadas cartesianas (x, y) das extremidades de um segmento AB, também podemos determinar o comprimento desse segmento, que é a distância dAB () entre os pontos A e B. Para isso, vamos considerar o segmento AB representado a seguir.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: =_+_dx xy y AB 2 BA 2 AB 2 () () ()

Como dAB . 0 para A distinto de B, obtemos:

=_+_dx xy y  AB BA 2 AB 2 () ()

AMPLIANDO

Vídeo

FÓRMULA da distância. Khan Academy. [S. l.], c2022. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/geometry/hs-geoanalytic -geometry/hs-geo-distance-and-midpoints/v/distance-formula.

Acesso em: 14 jul. 2022.

Nesse link, é possível visualizar uma videoaula de como encontrar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Acompanhe a situação a seguir. Observe o triângulo com vértices em A(0,5; 0,5), B(3,5; 3,5) e C(0,5; 3,5).

a) Os pontos O, P e Q correspondem aos pontos médios dos lados do triângulo ABC. Determine as coordenadas desses pontos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Saiba que

Questionar os estudantes o porquê de as diferenças entre as respectivas coordenadas elevadas ao quadrado poderem ser tomadas em qualquer ordem. Mais uma vez, incentiva-se a inferência, a comunicação e a argumentação, aspectos relacionados ao desenvolvimento da competência geral 7.

b) Determine o perímetro do triângulo ABC e classifique-o quanto à medida dos lados.

Atividades

SAIBA QUE

5( 3, 5) 2

[] = 0, 5( 3, 5) 2[] h dCA = 4 cm

Logo, o perímetro do triângulo ABC é: 5 cm + 3 cm + 4 cm = 12 cm.

Esse triângulo é escaleno, pois tem os três lados com medidas diferentes entre si.

ATIVIDADES

1. a) A = ( 3, 4), B = ( 5, 2) e C = ( 1, 2).

b) D = ( 4, 3) e E = ( 2, 3).

c) 22 2 + (u.c.)

d) Triângulo isósceles; área: 1 (u.a.).

Responda às questões no caderno.

1. Na figura, os pontos D e E são pontos médios dos segmentos AB e AC , respectivamente.

No cálculo da distância entre dois pontos, como as diferenças entre as respectivas coordenadas são elevadas ao quadrado, podemos tomar os valores envolvidos em qualquer ordem.

b) Determine as coordenadas dos pontos D e E. Comprove que eles são os pontos médios dos respectivos segmentos.

c) Calcule o perímetro do triângulo ADE.

d) Classifique o triângulo ADE quanto às medidas dos lados e obtenha a área desse triângulo.

2. M( 0,5; 3) é ponto médio de BC Sabendo que B(2, 2), determine a medida do segmento BC

29 (u.c.)

Para a atividade 1, sugerir aos estudantes que reproduzam a figura no caderno e tracem o triângulo ADE para facilitar a resolução dos itens c e d. Assim, é possível observar que esse triângulo é isósceles (AD = AE) de base medindo 2 (u.c.) e cuja altura relativa a essa base mede 1 (u.c.).

Na atividade 3, acompanhar os estudantes na elaboração da situação e incentivá-los a compartilhar as situações elaboradas e as estratégias que utilizaram para resolvê-las.

a) Dê as coordenadas dos pontos A, B e C

3. Elabore uma situação, com base em um contexto real, que envolva o cálculo das coordenadas do ponto médio de um segmento de reta e da distância entre dois pontos. Em seguida, troque com um colega, e cada um resolve a situação criada pelo outro.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 249 D2-MAT-F2-2103-V9-U8-230-257-LA-G24_AV3.indd

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Projeção ortogonal

Explorar a ideia de projeção ortogonal. Propor aos estudantes que busquem, em um dicionário físico ou virtual, o significado da palavra ortogonal e façam um registro no caderno. Outra possibilidade de atividade complementar, para apresentar o conceito de projeção ortogonal, é utilizar sombras produzidas, por exemplo, com lanternas. Depois, mostrar a definição.

Ler os exemplos, coletivamente com os estudantes, destacando o fato de a projeção ortogonal nem sempre manter a forma original da figura que se projeta. Garantir que todos os estudantes compreendam esse fato, pois será fundamental para a resolução das atividades.

Para aplicar a ideia de projeção ortogonal, pode-se propor a atividade a seguir como atividade complementar.

FIGURAS ESPACIAIS

PROJEÇÃO ORTOGONAL

Projeção ortogonal é uma figura formada em um plano a partir de outra figura, que pode, ou não, estar contida nesse plano.

A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano a é o ponto de intersecção P‘ da reta perpendicular a esse plano e que passa por P (essa reta forma 90° com todas as retas do plano que passam por P‘). Se o ponto P pertence ao plano a, então sua projeção é o próprio ponto P

A projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre um plano é a figura formada pelas projeções ortogonais de todos os pontos da figura dada sobre esse plano.

Nesta imagem, o triângulo A‘B‘C‘ (contido no plano a) é a projeção ortogonal do triângulo ABC sobre o plano a Desse modo, existe um vínculo entre os pontos da figura que se projeta com os pontos projetados, mas nem sempre a projeção ortogonal manterá toda a forma original da figura que se projeta.

Acompanhe os exemplos a seguir.

1 O segmento ‘‘CD é a projeção ortogonal do segmento CD sobre o plano b. Nesse caso, como o segmento CD é paralelo ao plano b, sua projeção ortogonal ‘‘CD também é um segmento de reta, que é congruente a CD (de mesma medida).

AMPLIANDO

Atividade complementar

(Enem/MEC) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada em seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando assim o movimento da gangorra.

Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô:

2 O segmento ‘‘AB é a projeção ortogonal do segmento AB sobre o plano a. Nesse caso, como o segmento é oblíquo (não é paralelo nem perpendicular) ao plano a, sua projeção ortogonal ‘‘AB também é um segmento de reta, que tem comprimento menor do que o segmento AB (que foi projetado).

VISTAS ORTOGONAIS

A representação de uma figura não plana por meio de projeções ortogonais é feita por vistas dessa figura (objeto), tomadas de diferentes posições: vertical (vista frontal), horizontal (vista superior) e perfil (vista lateral – direita ou esquerda).

As projeções ortogonais são utilizadas para representar as figuras não planas por meio de figuras planas, que são as vistas ortogonais da figura não plana considerada. As vistas ortogonais são a representação de um mesmo objeto, que se encontra no espaço, em planos diferentes. Desse modo, podemos obter dois ou mais pontos de vista diferentes de um objeto observado.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Vistas ortogonais

SAIBA QUE

As projeções ortogonais também são denominadas projeções ortográficas

Observe, nas figuras a seguir, as projeções que geram as vistas de um dado cúbico. Esta projeção gera a vista frontal do objeto.

projeção ortogonal (gera a vista frontal)

A projeção a seguir produz a vista superior do objeto.

objeto observador

plano de projeção projeção ortogonal (gera a vista superior)

plano de projeção

objeto

observador

Esta terceira projeção gera a vista lateral do objeto (nesse caso, lateral esquerda).

plano de projeção

projeção ortogonal (gera a vista lateral)

observador

objeto

A utilização das projeções ortogonais é fundamental para o setor industrial, em que é necessário conhecer todas as perspectivas de um objeto antes de fabricá-lo. Também é utilizada em outras áreas, como na Arquitetura e no Urbanismo.

Na área de desenho técnico, a projeção ortogonal é indispensável para se obter a representação gráfica de um objeto.

Explorar o conceito de vista ortogonal de um objeto. Dependendo da vista que se toma, obtém-se um tipo de projeção ortogonal: a vista frontal, em que o plano de projeção é vertical; a vista superior, em que o plano de projeção é horizontal (é aquele que gera a planta baixa); a vista lateral, em que o plano de projeção é de perfil.

Colocar diferentes objetos sobre a mesa e pedir aos estudantes que verifiquem as diferentes vistas. Esse estudo contribui para o desenvolvimento da habilidade EF09MA17.

Saiba que

O boxe Saiba que traz um sinônimo para o termo projeções ortogonais: projeções ortográficas. Sugere-se que os estudantes façam o registro desses termos no caderno, o que permite que eles possam fazer uma breve consulta, sempre que considerarem necessário, além de contribuir para a familiarização e ampliação do vocabulário matemático,favorecendo a compreensão de enunciados e para construção de argumentos consistentes.

AMPLIANDO Vídeo

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta está em movimento, é:

a) A B c) ( A ) B e) A B

b) A B d) | A | B

Resolução da atividade

Para quem olha de cima, o ponto B (por exemplo) move-se em linha reta para trás e, depois, para a frente.

Projetando-se ortogonalmente cada ponto dessa trajetória no plano do chão, obtém-se a figura apresentada pela alternativa b.

DESENHO Técnico – passo a passopara desenhar vistas ortogonais – prisma com rebaixo. 2020. Vídeo (11 min). Publicado pelo canal Professor Novais. Disponível em: https://youtu.be/E8y jqBMYzMo. Acesso em: 15 jul. 2022. Nesse link, é possível assitir a uma videoaula que mostra como desenhar as vistas frontal, lateral e superior de um objeto.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O primeiro objeto proposto na análise é composto de oito partes, que foram destacadas com cores e com números. Fazer a leitura dessa imagem com os estudantes, destacando que, em lilás, encontram-se os números 1 e 2, que compõem a vista frontal; em amarelo, os números 3, 4, 5 e 6, que, juntos, formam a vista superior e, por fim, em vermelho, os números 7 e 8, compondo a vista lateral. Esse estudo favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA17.

Pedir aos estudantes que acompanhem a descrição dos passos simplificados para a obtenção de projeções, descritos no Livro do estudante. Cada um dos passos está associado a uma imagem ilustrativa, na parte inferior da página. Essa organização em passos ou etapas bem definidas favorece o desenvolvimento do pensamento computacional

Glossário

O vocábulo “rebatido” é explicado no boxe Glossário e usado logo a seguir, na descrição do 3 o passo para obtenção de projeções.

Em uma projeção ortogonal de um objeto, as linhas projetantes (raios de visão) sempre têm direção ortogonal em relação ao plano de projeção, ou seja, formam com o plano um ângulo de 90°. Dependendo do formato do objeto considerado, partes de sua superfície podem ficar ocultas em relação à posição de observação. Analise as projeções a seguir.

Projeção ortogonal que gera a vista frontal (plano vertical).

Rebatidos: dados dois planos a e b, cuja intersecção é a reta r, ao fazer a coincidir com b por meio de uma rotação em torno da reta r, dizemos que o plano a foi rebatido no plano b

AMPLIANDO

Atividade complementar

Projeção ortogonal que gera a vista lateral (plano de per l).

Projeção ortogonal que gera a vista superior (plano horizontal).

De maneira simplificada, vamos apresentar os passos para a obtenção das projeções que geram as vistas ortogonais de figura não plana.

1o passo: Definimos qual é a vista frontal do objeto que determina a disposição das outras vistas. Geralmente, é a vista com mais detalhes do formato do objeto ou a vista apresentada na posição de utilização da peça considerada.

2o passo: Visualizando a figura, identificamos as dimensões dela, definindo largura, altura e profundidade.

3o passo: Anotamos as vistas que serão usadas, imaginando os planos rebatidos

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Como atividade complementar, propor aos estudantes que reproduzam a peça representada a seguir.

Depois, destaquem com cores diferentes as partes dessa perspectiva que geram cada vista ortogonal da peça.

Resolução da atividade

Uma possível solução é apresentada a seguir.

A projeção ortogonal da parte verde gera a vista frontal.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4o passo: Desenhamos a vista frontal no local destinado a ela.

5o passo: Em seguida, desenhamos a vista superior, traçando linhas auxiliares (espessura fina).

6o passo: Depois, de maneira análoga, desenhamos a vista lateral direita do objeto.

SAIBA QUE

Linha tracejada representa um recorte na figura ou uma aresta oculta em determinada vista.

Atividades

vista frontal

vista lateral direita 5 2 2 4 4

1. Afirmação falsa, pois, se o segmento estiver sobre uma reta que é perpendicular ao plano, a projeção ortogonal do segmento será apenas um ponto.

Responda às questões no caderno.

1. Avalie se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

• A projeção ortogonal de um segmento de reta PQ sobre um plano a , que não tem pontos comuns com PQ , sempre é um segmento de reta.

2. (Enem/MEC) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

Na atividade 1, solicitar, por exemplo, que os estudantes apresentem um contraexemplo e uma justificativa para explicar por que a afirmação é falsa. No caso, se tomar um segmento de reta perpendicular ao plano, a projeção dele no plano será um ponto.

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha

A projeção ortogonal da parte amarela gera a vista superior.

A projeção ortogonal da parte azul gera a vista lateral.

É importante discutir com os estudantes a utilização de contraexemplos para comprovar ou não a falsidade ou a veracidade de uma afirmação. Ressaltar, no entanto, que exemplos não podem ser usados para provar a veracidade de uma afirmação. Tais procedimentos ampliam a capacidade de inferência e de argumentação dos estudantes, o que contribui para o desenvolvimento da competência geral 7.

c) d)

e)

reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C O desenho que Bruno deve fazer é: a) b)

observador DC AB DC AB DC AB DC AB DC AB

Alternativa c.

3. Observe a peça representada. Identifique, pela respectiva cor, as vistas frontal, superior e lateral dessa peça, em relação à posição indicada do observador.

A atividade 2, como trata da projeção ortogonal em relação ao plano da base, verificar se os estudantes percebem que se refere à vista superior do deslocamento. Discutir com a turma o fato de que há pontos desse deslocamento que já estão no plano de projeção e, sendo assim, suas projeções ortogonais são eles próprios.

A atividade 3 propõe aos estudantes que reconheçam as três vistas dadas por cores distintas, relacionadas ao objeto e ao olho do observador. Sugere-se que circule pela sala de aula a fim de observar como eles resolvem a atividade e, sempre que considerar necessário, fazer intervenções ou provocações que contribuam para o processo de aprendizagem.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Volume de prismas e de cilindros

Mostrar modelos de prismas retos para os estudantes identificarem diferenças e similaridades: todos têm duas bases poligonais paralelas e idênticas e faces laterais retangulares. O prisma se modifica de acordo com o polígono que determina suas bases. Isso faz que prismas tenham diferentes números de vértices, de arestas e de faces.

VOLUME DE PRISMAS E DE CILINDROS

Os prismas são sólidos do grupo dos poliedros, aqueles que têm apenas superfícies planas cujas faces são representadas por polígonos.

Um prisma reto é caracterizado por ter duas faces paralelas formadas por polígonos idênticos, que são as bases do prisma, e as demais faces formadas por retângulos, que são as faces laterais.

Em um prisma reto, as arestas laterais são perpendiculares às bases. Observe os exemplos a seguir.

1 O cubo é um prisma reto cujas faces são formadas apenas por quadrados.

aresta face lateral aresta base Prisma reto de base triangular.

face que é uma base

SAIBA QUE

Prisma Triangular Prisma Quadrangular

a a a O volume de um cubo é dado por:

=??= V aaa a cubo 3

área da base altura

Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal

Ampliar o estudo dos prismas apresentando o prisma oblíquo (aquele que não é reto) e o prisma regular (todo prisma reto que tem as bases formadas por polígonos regulares).

Prisma Reto Prisma Oblíquio Prisma Regular

É comum os estudantes confundirem prismas triangulares com pirâmides. Se possível, levar para a sala de aula modelos desses dois tipos de sólido, para ajudá-los a esclarecer possíveis dúvidas. Apresentar os modelos em diferentes posições também é importante para os estudantes se acostumarem com as representações.

Para explorar o cilindro circular reto, levar, também, modelos que possam ser desmontados para que os estudantes analisem as partes que formam a superfície desse

2 O bloco retangular, também chamado de paralelepípedo reto‑retângulo, é um prisma reto. c b a

O volume de um bloco retan gular é dado por:

=?Va bc blocoretangular

De modo geral, o volume de um prisma reto é dado por: Vprisma = área da base altura

Os cilindros são sólidos do grupo dos corpos redondos, aqueles que têm superfície arredondada.

Um cilindro circular reto (ou simplesmente cilindro reto) é caracterizado por ter duas superfícies planas e paralelas, formadas por círculos idênticos, que são as bases do cilindro.

A altura de um prisma reto é a distância entre as bases paralelas.

altura

área da base

Cilindro circular reto. Planificação da superfície do cilindro reto.

O segmento de reta que liga os centros das bases (círculos) do cilindro é o eixo do cilindro. Em um cilindro reto, o eixo é perpendicular aos planos das bases.

De maneira análoga ao volume do prisma reto, o volume de um cilindro reto também é dado pelo produto da área da base pela altura h do cilindro (distância entre as bases). Como cada base é um círculo de raio r, temos: Vcilindro =p r2 ? h

Acompanhe a situação seguinte.

• José fez o molde de uma caixa que vai construir, conforme esta figura.

a) Esta caixa montada lembra a forma de qual figura geométrica não plana?

Prisma reto hexagonal.

cilindro. Verificar se os estudantes compreendem o cálculo do volume de prismas e cilindros, assim como identificam as partes de um cilindro em sua planificação. Ressaltar, ainda, que no cálculo do volume de um prisma, a área da base dependerá do cálculo da área do polígono que a compõe. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da habilidade EF09MA19.

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b) Se a medida de cada um dos lados do polígono da base é l, o que podemos concluir acerca de cada base?

Cada base é delimitada por um hexágono regular de lado l

c) Qual é o volume dessa caixa para l= 10 cm e h = 30 cm?

Para um hexágono regular, temos que a medida l do lado é igual à medida r do raio do polígono, a medida a do apótema é dada por = a r3 2 e a área (A) é dada pelo produto do

do

ATIVIDADES

1. Um prisma triangular reto e um prisma pentagonal reto. O volume do primeiro é dado pela área do triângulo da base multiplicada pela altura do prisma. O volume do segundo é dado pelo produto da área do pentágono regular da base pela altura do prisma.

Responda às questões no caderno.

1. Identifique este s sólidos geométricos. Depois, explique como se obtém o volume de cada um deles.

2. Uma peça de metal tem o formato desta figura.

a) Esta peça lembra a forma de qual sólido geométrico?

b) Qual é o volume ocupado por essa peça? Organize por etapas a resolução deste item e compare-as com as etapas descritas por um colega.

3. Uma indústria produz organizadores para escritório. Observe o molde de um porta­lápis com tampa que um projetista fez.

a) Esse porta-lápis terá a forma de qual sólido geométrico?

Cilindro.

b) Determine o volume dessa peça. (Use p= 3.)

1 125 cm3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

2. a) Essa peça lembra a forma de um prisma reto triangular.

b) 810 m3. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

DESAFIOS

Junte ­ se a um colega, e resolvam os desafios a seguir.

4. (Enem/MEC) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

6 cm

8 cm 10 cm

O raio da perfuração da peça é igual a:

Na atividade 1, espera-se que os estudantes verifiquem que o primeiro sólido é um prisma triangular reto e o segundo, um prisma reto de base pentagonal. Como o primeiro prisma tem base triangular, seu volume será dado pela área do triângulo da base multiplicada pela altura do prisma. Como o segundo é um prisma cuja base é um pentágono, seu volume é dado pelo produto da área da base pela altura do prisma.

A figura da atividade 2 é um prisma de base triangular, sendo esse um triangulo isósceles.

Na atividade 3, verificar se os estudantes conseguem, a partir da medida de 30 cm, recuperar o raio da base do cilindro. Se julgar pertinente, retomar a fórmula para o cálculo do perímetro de uma circunferência (2p r).

No Livro do estudante, sugere-se que as atividades 4 e 5 sejam resolvidas em duplas, o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 8 da área de Matemática e da habilidade EF09MA19. Para determinar a medida do raio, os estudantes deverão trabalhar com os pontos de tangência indicados na figura, como mostrado na imagem.

a) 1 cm

b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm

5. Qual é o volume da peça representada na atividade 4? Justifique sua resposta.

(Use p= 3,14.)

Alternativa b. 114,4 cm3

6 r

6 r

r r r r8 r

8 r

Por isso, verificar se eles se recordam da seguinte propriedade: Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os segmentos de retas PA e PB tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente, então os segmentos PA e PB são congruentes. Com a medida do raio, os estudantes poderão determinar o volume da peça, na atividade 5, subtraindo a medida do volume do cilindro da medida do volume do prisma triangular.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

Propor aos estudantes que refaçam algumas atividades anteriores dos assuntos que despertarem dúvidas.

Na atividade 1, espera-se que os estudantes percebam que:

• no caso do triângulo equilátero, deve-se construir segmentos de 6 cm, e a cada segmento construído faz-se um giro de 120° (medida do ângulo externo do triângulo equilátero), até completar o triângulo (com a construção do 3o lado);

• no caso do pentágono regular, deve-se construir segmentos de 3 cm, e a cada segmento construído faz-se um giro de 72° (medida do ângulo externo do pentágono regular), até completar o pentágono (com a construção do 5o lado).

Na atividade 3, os estudantes devem perceber que o triângulo OPQ é um triângulo retângulo em O e isósceles, pois os catetos são raios da circunferência, cuja hipotenusa mede 4 cm. Ao aplicar o teorema de Pitágoras nesse triângulo, obtém-se r = 2 2 cm. Desse modo, ao usar a relação métrica l= = r 3 para o triângulo equilátero inscrito ABC, determina-se o perímetro do * ABC.

1. Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Descreva os passos de um procedimento para a construção de um:

a) triângulo equilátero de 6 cm de lado;

b) pentágono regular de 3 cm de lado.

2. (Saresp-SP) A figura a seguir representa um hexágono inscrito em uma circunferência cujo raio mede 8 cm.

Considerando 3 = 1,7, o lado e o apótema desse hexágono medem, respectivamente:

a) 8 cm e 6,8 cm.

b) 8 cm e 13,6 cm.

Alternativa a.

c) 5,8 cm e 8 cm.

d) 4 cm e 6,8 cm.

3. Na figura, o triângulo equilátero ABC está inscrito na circunferência de centro O Sendo P e Q pontos dessa circunferência, tal que PQ = 4 cm, o perímetro do * ABC é:

a) 36 cm.

b) 66 cm.

c) 12 cm.

4. (Saresp-SP) Uma circunferência de 10 cm de raio circunscreve um triângulo ABC equilátero. (Use: 3 = 1,7.)

Alternativa b.

d) 12 2 cm.

e) 12 3 cm.

esse pedaço de papel de seda. Fazendo 2 = 1,4, quanto medirá o lado desse quadrado?

a) 56 cm

b) 35 cm

c) 28 cm

d) 14 cm

6. A divisão do número 0,5 por x tem o mesmo resultado que a adição do número 0,5 com x. Se x é um número real positivo e considerando p= 3,14, qual é a área do círculo cujo raio mede x cm?

a) 0,685 cm2

b) 0,785 cm2

c) 0,885 cm2

d) 0,875 cm2

7. Qual é a área, em centímetro quadrado, desta figura? (Use p= 3,14.)

A área desse triângulo é de:

a) 255 cm2

b) 216,75 cm2

c) 105,5 cm2

d) 127,5 cm2

5. (Saresp-SP) Tenho um pedaço de papel de seda de forma circular cujo raio mede 20 cm. Quero fazer uma pipa quadrada, do maior tamanho possível, com

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a) 11

b) 11,04

c) 11,14

d) 11,24

e) 12,14

8. O desenho representa uma praça circular de 60 m de diâmetro. Os jardins estão representados pelas regiões pintadas de amarelo, que são setores circulares, cujo ângulo central é 30°. Qual é a área ocupada pelos jardins? (Use p= 3,14.)

a) 900 m2

b) 920 m2

c) 940 m2

d) 942 m2

e) 950 m2

Alternativa d.

O termo refere-se às dimensões do espaço tridimensional (largura, altura e profundidade).

Não, pois apresenta superfície arredondada. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam o esboço de um fio circular amarelo sem preenchimento interior, já que o objeto aparenta ter o interior vazado.

9. Na figura, AB = 6 cm e AC = 8 cm. Sabendo que BC é o diâmetro do círculo, qual é a área da região colorida de roxo? (Use p= 3,14.)

a) 63 cm2

b) 63,25 cm2

c) 63,50 cm2

d) 63,75 cm2 e) 64,25 cm2

Alternativa b.

10. Um quadrado ABCD tem um dos lados sobre o eixo x com A( 1, 2) e B(1, 2).

a) Represente esse quadrado em um plano cartesiano e determine as coordenadas dos outros dois vértices.

b) Localize M, ponto médio de AB , no plano cartesiano, e obtenha as coordenadas desse ponto.

c) Dê as coordenadas dos pontos médios N, O e P dos lados BC, CD e DA , respectivamente.

d) Calcule o perímetro e a área do quadrilátero MNOP.

10. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

UM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

11. Observe, a seguir, a perspectiva de um objeto.

Desenhe as projeções ortogonais que geram as vistas ortogonais desta peça: vista frontal, vista superior e vista lateral.

12. Observe, a seguir, a representação de um cilindro reto e da planificação de sua superfície. (Use p= 3,1.)

775

Um novo olhar

Esses questionamentos finais poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações, ampliando o desenvolvimento da competência específica 6 da área de Matemática. É importante que os estudantes respondam individualmente às questões para que possam perceber os conhecimentos adquiridos e possíveis dúvidas.

Qual é o volume desse cilindro?

11. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesta Unidade, ampliamos o estudo sobre polígonos regulares, explorando a construção, os elementos e as relações métricas desses polígonos. Estudamos áreas, trabalhando com a área de um polígono regular, do círculo e de um setor circular. Verificamos como obter as coordenadas cartesianas do ponto médio de um segmento de reta, a distância entre dois pontos, as vistas ortogonais de um objeto e o volume de um prisma reto e de um cilindro reto.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Na abertura desta Unidade, foram apresentadas imagens da impressão 3D de um objeto decorativo. O que significa o termo 3D?

• O objeto decorativo apresentado na abertura desta Unidade pode ser considerado um prisma? Por quê?

• Faça um esboço de como você imagina que seria a vista superior do objeto decorativo representado na abertura desta Unidade.

• Indique uma aplicação do cálculo da área de um polígono regular e do círculo.

• O cálculo da distância entre dois pontos possibilita obter que elementos de um polígono cujas coordenadas do vértice são conhecidas?

• Qual é a importância de conhecer as vistas ortogonais de um objeto?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na confecção de embalagens. Espera-se que os estudantes respondam: medida dos lados, perímetro e área (entre outros).

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para a construção de modelos de peças em uma indústria.

Na primeira questão, espera-se que os estudantes relacionem o termo 3D à palavra tridimensional. Na segunda questão, os estudantes devem argumentar que o objeto não pode ser considerado um prisma, por apresentar superfície arredondada. A resposta para a terceira questão é pessoal, mas o professor deve orientar os estudantes a fazer o esboço de um fio circular amarelo sem preenchimento interior, já que o objeto aparenta ter o interior vazado.

Na quarta questão, espera-se que os estudantes percebam que esse tema costuma aparecer nos setores industriais (fabricação de peças, de embalagens etc.), na Arquitetura, na Engenharia, entre outras áreas.

Na quinta questão, espera-se que os estudantes compreendam que esse cálculo possibilita determinar medidas de segmentos cujas coordenadas dos extremos sejam conhecidas. Isso pode ser útil no trabalho com polígonos, para determinar a medida dos lados, da altura, das diagonais (quando existirem), entre outros.

Na sexta questão, que trata da importância das vistas ortogonais, espera-se que os estudantes percebam a presença delas na confecção de moldes, modelos e protótipos, que podem, depois, ser construídos por meio da impressão 3D.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas:

• 2, 3, 4 e 8

Habilidades:

Álgebra

• EF09MA06 • EF09MA08

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Educação Financeira

• Educação para o Consumo

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

• Trabalho

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em três capítulos e apresenta os conteúdos por meio de exemplos, atividades e seções que propiciam a reflexão, a argumentação e o uso de diferentes linguagens para expressar informações, contribuindo para o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 5, 7 e 9. No primeiro capítulo, é explorada a noção de função em diferentes situações e a relação de dependência entre duas variáveis, além de definir o domínio, a imagem e o conjunto imagem de uma função, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA06. No segundo capítulo, aborda-se o estudo da função afim e seu gráfico, bem como algumas características. Discute-se também a relação de proporcionalidade direta entre duas grandezas, desenvolvendo aspectos da habilidade EF09MA08. No terceiro capítulo, é discutida as principais características da função quadrática, seu gráfico, além da análise de alguns pontos da parábola, reforçando aspectos da habilidade EF09MA06.

OBJETIVOS

• Compreender e identificar relações entre duas grandezas que podem ser representadas por uma função.

• Compreender a ideia de função por meio de vários contextos.

• Resolver problemas de juro simples e composto.

FUNÇÕES

Os modelos matemáticos são utilizados para estudar diversas situações do cotidiano. Um exemplo é o movimento em comum que observamos em diversas modalidades de esportes.

A maneira mais simples de conhecer o movimento de um corpo é relacionando a posição dele com o tempo durante o deslocamento a fim de obter a trajetória descrita por ele, a qual pode ser em linha reta ou curva.

Por exemplo, alguns movimentos observados na prática de skate, de futebol e de basquete são caracterizados, na Física, pelo movimento parabólico, que descreve o lançamento oblíquo de objetos e relaciona posição e tempo em uma trajetória curva.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Posição do corpo e tempo de deslocamento.

Agora, responda às questões a seguir no caderno.

• Os modelos que descrevem os movimentos são denominados funções e relacionam duas grandezas. Quais são essas grandezas?

• O que há em comum entre as trajetórias dos três movimentos apresentados nas imagens?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. D2-MAT-F2-2103-V9-U9-258-271-LA-G24_AV1.indd

• Representar uma função por meio de uma lei de formação e graficamente.

• Identificar o domínio, a imagem e o conjunto imagem de uma função.

• Reconhecer a função afim e a função linear e suas leis de formação.

• Construir o gráfico da função afim.

• Reconhecer a função quadrática e sua lei de formação.

• Construir a parábola que representa o gráfico da função quadrática.

• Determinar os zeros, o ponto de mínimo e o ponto de máximo da função quadrática.

• Determinar a concavidade e o vértice da parábola que representa a função quadrática.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresenta-se as funções afim e quadrática, destacando algumas de suas características e suas representações algébricas e gráficas, propiciando o desenvolvimento da habilidade EF09MA06.

Na seção Educação Financeira, busca-se incentivar os estudantes a discutir aspectos relacionados ao Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira.

Na seção Por toda parte – Artesanatos do Brasil, os estudantes conhecem um pouco do artesanato brasileiro e aplicam os conceitos estudados a respeito de funções, o que contribui para o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Explorar as imagens da abertura, perguntar aos estudantes, por exemplo, se praticam algum esporte fora da escola e solicitar a eles que comentem os elementos relacionados a essa prática, se precisam de trajes especiais, se o esporte é praticado em um local específico, entre outros aspectos.

Essa abertura busca relacionar a função quadrática com sua representação gráfica e levar os estudantes a percebê-la no cotidiano. Sugere-se que, neste momento, as concavidades voltadas para cima não sejam exploradas, pois há noções que fazem parte do senso comum e não são verdades matemáticas, por exemplo, a curva formada pelos cabos de energia, que não têm formato parabólico. No segundo questionamento, espera-se que os estudantes percebam que o padrão do movimento é o mesmo (parabólico).

Nas explorações a respeito do lançamento de um objeto, perguntar aos estudantes como eles imaginam a trajetória de um objeto que não seja lançado do solo e questioná-los se a curva permanecerá a mesma; retomar o assunto mais à frente na Unidade.

históricas e culturais Brasileiras, além de propiciar o trabalho com a competência geral 3.

Na seção Tratamento da informação, os estudantes interpretam dados e informações, além de trabalhar a argumentação com base em fatos matemáticos, desenvolvendo aspectos da competência geral 2 e da competência específica 2 da área de Matemática.

Na seção Tecnologias – Gráfico de funções, o objetivo é que os estudantes

se familiarizem com o software e as ferramentas para a construção de gráficos, além de realizar atividades que exploram a argumentação, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 7.

Na seção Tecnologias que encerra a Unidade, os estudantes são desafiados a escrever uma sequência lógica de instruções para serem processadas por um computador, desenvolvendo o pensamento computacional e a competência geral 5.

MARCOS GUILHERME

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Noções de função

Sugerir aos estudantes a leitura coletiva do texto do Livro do estudante para a compreensão da situação 1 proposta. Explorar o quadro, de modo a trabalhar o raciocínio indutivo, desafiando os estudantes a escrever uma regra para determinar o preço a pagar, de acordo com a quantidade de joelheiras compradas. Caso apresentem dificuldades, propor que copiem o quadro no caderno e insira algumas linhas para que possam incluir outras quantidades de joelheiras comparadas e o respectivo valor a pagar por elas, até que percebam que, se forem compradas x joelheiras, basta multiplicar x por 30 para obter o preço a pagar. Nessa abordagem, os estudantes trabalham o desenvolvimento de hipóteses testáveis, reconhecendo e descrevendo variáveis, habilidades que contribuem para a construção do pensamento científico e favorecem o desenvolvimento da competência geral 2.

Verificar se os estudantes compreendem o significado de variável dependente e variável independente. Caso tenham dificuldade nessa compreensão, usar valores numéricos em vez de variáveis pode ajudá-los.

Pense e responda

Nessa seção, os estudantes devem utilizar a lei de formação da função dada para determinar valores da variável dependente e da variável independente por meio de manipulações algébricas. É esperado que não apresentem dificuldades na resolução do item a. Verificar se compreendem que basta substituir x por 50 na expressão y = 50x e calcular o respectivo valor de y. Já no item b, o processo é inverso, eles precisam substituir y por 780 e calcular o respectivo valor de x, resolvendo a equação 780 = 50x.

NOÇÕES DE FUNÇÃO CAPÍTULO1

Com frequência, encontramos situações que envolvem relações entre duas grandezas variáveis. Acompanhe algumas dessas situações.

1 Um professor de Educação Física quer comprar joelheiras para aumentar a proteção dos estudantes durante as aulas. Para isso, ele fez uma pesquisa e decidiu comprar um modelo de joelheira que custa 30 reais cada. Se representarmos por x a quantidade de joelheiras, iguais à do modelo escolhido, e por y o preço, em reais, que o professor vai pagar, podemos organizar o quadro a seguir.

Quantidade de joelheiras (x) Preço a pagar em reais (y)

1 1 ? 30 = 30

2 2 ? 30 = 60

3 3 ? 30 = 90

10 10 ? 30 = 300

O preço y a pagar depende da quantidade  x de joelheiras que forem compradas.

Entre as grandezas representadas pelas variáveis  y e x existe uma relação que pode ser expressa pela sentença matemática y = x 30 ou y = 30x

Jovens praticando esporte.

Note que:

• a quantidade x de joelheiras varia de modo independente;

• o preço y a pagar varia de acordo com a quantidade de joelheiras;

• a todos os valores de x estão associados valores de y ;

• para cada valor de x está associado um único valor de y Nessas condições, dizemos que o preço y a pagar é dado em função da quantidade x de joelheiras adquiridas, e a sentença y = 30x é chamada de lei de formação dessa função.

Nesse caso, a variável x é chamada de variável independente, e y é a variável dependente ( y depende da variável x). Em uma função, os valores que y assumirá (valor da função) dependem dos valores de x. Para cada valor de x, temos um único valor correspondente de y

PENSE E RESPONDA

a) O professor vai pagar R$ 1.500,00.

Responda no caderno.

Considerando a relação entre as variáveis x (quantidade de joelheiras) e y (preço a pagar em reais) dada pela expressão y = 30x, responda às questões a seguir.

a) Quanto o professor vai pagar por 50 joelheiras iguais a essa?

b) Quantas joelheiras ele poderá comprar gastando R$ 780,00?

b) Ele poderá comprar 26 joelheiras.

2 Uma operadora oferece um pacote de dados para navegar na internet por uma mensalidade fixa de R$ 30,00, mais 15 centavos de real (R$ 0,15) por minuto de uso. Então, o valor a ser pago no fim do mês depende do tempo de uso da internet. Observe, a seguir, a relação entre o valor a ser pago (em reais) com o tempo de acesso à rede (em minuto).

Tempo de acesso em minuto (t) Valor a ser pago em reais (V)

1 30 + 0,15 ? 1 = 30,15

2 30 + 0,15 ? 2 = 30,30

3 30 + 0,15 ? 3 = 30,45 ;;

t 30 + 0,15 ? t

Podemos, então, estabelecer uma relação entre o valor a ser pago em reais (V) e o tempo de acesso em minuto (t) por meio da sentença: V = 30 + 0,15 t. Nessa relação, dizemos que t é a variável independente, e V é a variável que depende de t, ou seja, a variável V é dada em função da variável t

Considerando a relação obtida para esse pacote de internet, vamos responder às questões a seguir.

a) Quanto gastará uma pessoa que, durante um mês, utiliza a internet por 10h20min? Sabemos que 10h20min corresponde a 10 horas mais 20 minutos e que 1 hora corresponde a 60 minutos. Então, temos: 10 ? 60 min + 20 min = 620 min

V = 30 + 0,15 ? 620 = 123

Essa pessoa gastará R$ 123,00.

b) Quantas horas uma pessoa poderia utilizar a internet se quisesse gastar, no máximo, R$ 90,00 no mês?

Para V = 90, temos: 90 = 30 + 0,15 ? t h 60 = 0,15 ? t h t 60 0,15 == 400 h t = 400 min = 6h40min

Nesse caso, essa pessoa poderia utilizar a internet por 6h40min.

DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Quando relacionamos duas variáveis por meio de uma função, devemos estar atentos aos valores que as variáveis podem assumir em cada situação. Observe os casos a seguir.

1 O perímetro y de um quadrado, por exemplo, é dado em função da medida x do lado do quadrado, pela lei de formação y = 4x. Nesse caso, temos:

• Para x = 2,5 cm, o perímetro vale y = 4 ? 2,5 cm = 10 cm. Dizemos que y  =  10 é a imagem da função (valor da função) para x = 2,5.

• A variável x deve assumir apenas valores reais positivos (x . 0), pois não existe medida de lado menor ou igual a zero. Assim, x nunca poderá assumir o valor 2, por exemplo. Dizemos que o domínio (valores de x) dessa função é o conjunto dos números reais positivos.

• A variável y, portanto, também assumirá apenas valores positivos (y . 0). Dizemos que o conjunto imagem dessa função é o conjunto dos números reais positivos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na situação 2, proceder do mesmo modo que na situação anterior para que os estudantes determinem a expressão que fornece o valor a ser pago de acordo com o tempo de acesso por meio do raciocínio indutivo. Destacar na expressão obtida as variáveis dependente e independente.

No item b, retomar que 1 hora corresponde a 60 minutos e verificar se os estudantes percebem que, dividindo 400 por 60, obtém-se a quantidade de horas na representação decimal. Com isso, precisam considerar que 0,666... h correspondem a 0,666... ? 60 min = = 40 min. Assim, 400 min correspondem a 6 horas e 40 minutos.

Domínio e conjunto imagem de uma função

Pedir aos estudantes que expliquem o que é a lei de formação de uma função, o domínio, a imagem e o conjunto imagem da função. Anotar na lousa as explicações dadas e discutir com a turma a validade delas, estimulando a expressão oral dos estudantes.

Um erro comum é confundir a imagem da função e o conjunto imagem. Explicar que a imagem da função corresponde a determinado valor do domínio. Por exemplo, na situação do perímetro apresentada, se x = 4 cm, a imagem da função é dada por y = 4 ? 4 = = 16. Já o conjunto imagem reúne todas as imagens da função. Ou seja, fazendo x percorrer todo o domínio da função e calculando os respectivos valores de y, obtemos o conjunto de todas as imagens da função, ou seja, o conjunto imagem. Desse modo, nessa situação, se x pode assumir apenas valores reais maiores do que zero, então os valores calculados de y também serão números reais e maiores do que zero, formando o conjunto imagem da função.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Sugerir aos estudantes que realizem as atividades em dupla, incentivando a troca de ideias e o levantamento de hipóteses para a solução dos problemas propostos, exercitando a interação entre os colegas de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento das resoluções, promovendo, assim, aspectos relativos à competência geral 9 e à competência específica 8 da área de Matemática.

Na atividade 1, os estudantes precisam expressar a relação de dependência entre duas grandezas, o valor recebido por mês e a quantidade de aulas por meio de uma expressão matemática. Ressaltar que essa relação é de dependência unívoca, ou seja, para cada quantidade de aulas há apenas um valor a receber por mês, o que caracteriza uma função entre essas variáveis.

Pode-se ampliar a atividade 2 solicitando aos estudantes que determinem o conjunto imagem de cada função. Em seguida, pedir que apresentem as respostas obtidas para a turma, de modo que possam validá-las coletivamente. É esperado que eles percebam que, no item a, como o domínio da função é composto dos números reais positivos, o conjunto imagem também será formado por esses números, uma vez que x não poderá assumir valores negativos e nulos. Nos itens b e c, o conjunto imagem é formado por todos os números reais, pois não há restrição nos domínios das funções.

Na atividade 3, os estudantes precisam determinar a lei de formação que define uma função e utilizar os conhecimentos a respeito de função para resolver a situação-problema apresentada.

2 Na função dada pela lei = y 1 x , por exemplo, a variável x não pode assumir o valor zero, pois não existe divisão por zero. Assim, a variável x pode assumir qualquer valor real diferente de zero. Nesse caso, o domínio e o conjunto imagem dessa função são representados pelo conjunto dos números reais, exceto o número zero. De modo geral, em uma função:

• o conjunto de valores que a variável x pode assumir chama-se domínio da função e é indicado por D;

• o valor da variável y correspondente a determinado valor de x é chamado de imagem do número x dada pela função. Para cada valor de x existe um único valor de y correspondente;

• o conjunto formado por todos os valores de y que correspondem a algum x do domínio é chamado de conjunto imagem da função e é indicado por Im

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Os professores de uma academia comunitária recebem a quantia de 45 reais por aula, mais uma quantia fixa de 500 reais como abono mensal. Então, a quantia y que cada professor recebe por mês é dada em função da quantidade x de aulas de cada professor durante esse mês.

• Qual é a lei de formação da função que representa a relação entre essas duas grandezas? y = 500 + 45x

2. Escreva, algebricamente, a lei de formação de cada função descrita a seguir.

a) A cada número real positivo x, associar um número real y que represente o inverso de x y 1 x =

b) A cada número real x, associar um número real y que represente o quadrado de x menos 4. y = x 2 4

c) A cada número real x, associar um número real y que represente a metade de x aumentada de 5. y = 1 2 x + 5

3. Carla é arquiteta e trabalhou em um projeto durante o ano de 2022. O valor total desse trabalho (x reais) lhe foi pago em parcelas iguais e mensais durante o ano.

a) Para planejar financeiramente e economizar para realizar um curso, Carla decidiu gastar, mensalmente, 5% do valor total desse trabalho. Escreva uma sentença para expressar quanto ela poupou, no total, e justifique sua resposta.

b) O curso que Carla quer fazer é de pós-graduação, cujo valor é R$ 20.000,00. Para que ela pague integralmente esse curso com o dinheiro poupado, qual deve ser o menor valor de x, em reais? 50 mil reais.

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3 a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

A IMPORTÂNCIA DE POUPAR

Leia, a seguir, o trecho de um texto.

Ao poupar, você acumula valores financeiros no presente para serem utilizados no futuro. Os valores poupados no presente e investidos durante um, dois ou mais anos poderão fazer uma diferença significativa na qualidade de vida do poupador no futuro. Assim, são vários os motivos para poupar: precaver-se diante de situações inesperadas, preparar para aposentar-se, realizar sonhos etc. [...]

Poupança e investimento

[...] poupança é a diferença entre as receitas e as despesas, ou seja, entre tudo que ganhamos e tudo que gastamos.

E investimento? Investimento é a aplicação dos recursos que poupamos, com a expectativa de obtermos uma remuneração por essa aplicação

Você sabe a diferença entre poupança e caderneta de poupança?

A poupança é uma sobra financeira e deve ser direcionada para algum tipo de investimento para que seja remunerada. A caderneta de poupança ou conta de poupança é um tipo de investimento.

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Caderno de Educação Financeira: Gestão de Finanças Pessoais. Brasília, DF: BCB, 2013. p. 43. Disponível em: https://www.bcb.gov.br/content/cidadaniafinanceira/documentos_cidadania/ Cuidando_do_seu_dinheiro_Gestao_de_Financas_Pessoais/caderno_cidadania_financeira.pdf. Acesso em: 25 abr. 2022.

Como você observou no texto, é muito importante planejar os gastos e poupar regularmente. Ao estabelecer metas e prazos, pode-se ter uma ideia de quanto é preciso guardar por mês para realizar um sonho, por exemplo.

1. c) Diferença de R$ 1.815,18, que corresponde a

Responda no caderno.

1. Ricardo tem 14 anos e já está pensando no futuro: ele pretende economizar R$ 50,00 por mês. Por meio de uma função, pode-se relacionar a quantia total economizada por ele ao longo dos meses pela expressão y = 50x, em que y é o total economizado, e x, a quantidade de meses.

Considerando essa função, responda.

a) Quanto Ricardo terá economizado depois de 1 ano? R$ 600,00

b) Calcule quanto dinheiro ele terá, se guardar esse valor mensal durante nove anos.

R$ 5.400,00

c) Qual é a diferença entre o valor obtido no item b e o valor mostrado neste gráfico, que corresponde a colocar esse dinheiro em um investimento rendendo juro em vez de simplesmente guardá-lo? Essa diferença corresponde a que percentual do total economizado?

Elaborado com base em: APLICAÇÃO com depósitos regulares. Banco Central do Brasil. Brasília, DF, 30 maio 2022. Disponível em: https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/ exibirFormAplicacaoDepositosRegulares.do?method=exibir FormAplicacaoDepositosRegulares. Acesso em: 30 maio 2022.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Educação financeira

Discutir com os estudantes sobre a importância da educação financeira e o que entendem a respeito de poupança. Depois, ler o texto do Livro do estudante, trabalhando o Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira e aspectos da aplicação do conhecimento relacionados à competência geral 1, uma vez que os estudantes são levados a selecionar as informações do texto e do gráfico e articulá-las para organizar conhecimentos.

Saldo do investimento com depósito mensal de R$ 50,00 com incidência de juro de 0,51% ao

A atividade proposta aborda a importância de economizar para realizar sonhos. A forma de economizar também é discutida, pois mostra que o dinheiro guardado vai perdendo seu valor de compra. Os estudantes poderão comparar valores usando a função e a interpretação de gráfico de linha e compreender a importância do juro composto no aumento de uma quantia, mesmo quando o valor percentual parece baixo. Sugerir a eles que façam essa atividade individualmente e depois socializem as respostas dadas.

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cerca de 33,6% dos R$ 5.400,00 economizados.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Função afim

Pedir aos estudantes que reflitam a respeito do uso de funções no cotidiano, ressaltando que o estudo de função não se restringe apenas à Matemática, sendo relevante também para o entendimento de assuntos e conteúdos relacionados a várias áreas do conhecimento, como Física, Química, Economia, entre outras. É importante que os estudantes percebam que, diariamente, utilizam funções, mesmo sem perceber. Pedir a eles que relatem situações do dia a dia em que usam funções.

Esse diálogo é uma oportunidade de contextualizarem juntos a noção de função, relacionando as vivências no cotidiano com as situações apresentadas no Livro do estudante.

Discutir os exemplos apresentados para introduzir a ideia de função afim, destacando a relação entre esse conceito e o estudo da Geometria. Verificar se os estudantes percebem que o perímetro do pentágono e o do retângulo dependem do valor que x assume. Assim, y é a variável dependente, e x, a variável independente. Questioná-los sobre o domínio e o conjunto imagem da função perímetro, de modo que percebam que x pode assumir apenas valores reais positivos, pois representa a medida de um lado de uma figura geométrica. Desse modo, o conjunto imagem também terá apenas valores reais positivos. Essa abordagem favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática.

AMPLIANDO

Atividade complementar

FUNÇÃO

Acompanhe as situações seguintes.

1 Um hexágono regular, cujo lado mede x unidades, tem o perímetro indicado por  y. Nesse caso, o perímetro é dado em função da medida do lado, e essa relação é uma função definida pela lei de formação y = 6x.

2 Um retângulo, cujo comprimento mede x unidades e cuja largura mede 10 unidades, tem o perímetro indicado por y. Logo, o perímetro desse retângulo é dado em função do comprimento, e a função obtida dessa relação é definida por y = 2x + 20.

x x

1010

Podemos observar que, nas duas sentenças matemáticas obtidas, o 2o membro é um polinômio do 1o grau na variável x y = 6x y = 2x + 20 polinômio do 1o grau na variável x polinômio do 1o grau na variável x

Uma função é chamada de função afim quando é definida pela sentença matemática y = ax + b, com a [r , b [r e a 5 0.

Pela definição, são exemplos de funções afins:

• y = 3x 1

• y = 6x

• y = 1 2 x + 5

• y = 1 3 x 2x

• y = 7 5x

• y = 12x

Observe os exemplos a seguir, que envolvem função afim.

1 Dada a função definida por y = 7x + 5, determinar a imagem do número real 3 por essa função.

Para determinar essa imagem, substituímos x por 3 na lei de formação dessa função.

y = 7x + 5 h y = 7 ? ( 3) + 5 h y = 21 + 5 h y = 26

Logo, 26 é a imagem do número 3 pela função dada.

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Propor aos estudantes que construam um quadro, atribuam alguns valores para x e calculem os respectivos valores para y para a função afim cuja lei de formação é y =_7x + 5 e determinem a taxa de variação dessa função.

Caso apresentem dificuldades na resolução, oriente-os a aumentar os valores atribuídos a x de 1 em 1 unidade e verificar se os valores de y aumentam ou diminuem e se a taxa é constante. Desse modo, eles não devem ter dificuldade de obter que a taxa de variação dessa função é _7. Isso significa que, para cada aumento de 1 unidade em x, o valor de y diminui em 7 unidades. Acompanhe um exemplo de quadro.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2 Dada a função afim definida por y = 3x + 2, atribuir alguns valores para x e calcular os respectivos valores de y dados pela função. Observe o quadro. Podemos notar que, ao aumentarmos os valores de x em 1 unidade, os respectivos valores de y aumentam em 3 unidades. Nessa situação, dizemos que a taxa de variação da função é constante e igual a 3.

FUNÇÃO LINEAR

Em uma função afim dada por y = ax + b (com a 5 0), os valores a e b são os coeficientes da função. Quando b = 0, a lei da função afim é dada por y = ax (com a 5 0) e ela é denominada função linear Como exemplo, consideremos a função definida por y = 4x. Nesse caso, os coeficientes são a = 4 e b = 0, ou seja, a função afim é uma função linear (b = 0). Neste quadro, são apresentados alguns valores de x e y Observando o quadro, podemos verificar que:

• a razão entre os valores correspondentes das variáveis y e x é uma constante

y x 4, x0=5 Nessa situação, dizemos que as variáveis x e y determinam grandezas diretamente proporcionais, cuja constante de proporcionalidade k é igual a 4;

• o coeficiente a da função linear corresponde à constante de proporcionalidade: k = a = 4. Assim, a função linear definida por y = ax (com a 5 0) pode representar situações que envolvem grandezas diretamente proporcionais, em que o coeficiente a da função corresponde à constante de proporcionalidade;

• nesse exemplo, aumentando os valores de x em 1 unidade, os correspondentes valores de y aumentam em 4 unidades. Dizemos que a taxa de variação dessa função é constante e igual a 4.

ATIVIDADES

3. a) y = 4x. A função está definida para valores reais positivos, pois x é uma medida de comprimento.

b) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

e) Sim, pois a lei de formação é do tipo y = ax (com a 5 0). As grandezas perímetro e comprimento do lado de um quadrado são grandezas diretamente proporcionais.

Responda às questões no caderno.

1. Uma função afim é definida por y = 5x + 3. Determine a imagem do número 2 definida por essa função. 7

2. Dada a função definida por y = 8x + 4, determine o número real x cuja imagem definida por essa função é zero.

x 1 2 =

3. Considere o perímetro y de um quadrado que é dado em função da medida x do lado. Nessas condições, faça o que se pede.

a) Escreva a lei de formação dessa função e indique os valores de x para os quais essa função está definida.

b) Organize um quadro com os valores dessa função para as seguintes medidas x do lado: 5 cm; 7,2 cm; 11 cm; 20,5 cm; e 10 3 cm.

c) Qual é a imagem do número real 10 3 por essa função? 40 3

d) Qual é o número real x cuja imagem por essa função é 44? 11

e) Essa função é linear? O que se pode dizer sobre as grandezas perímetro e comprimento do lado de um quadrado relacionadas por essa função?

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Na situação 2, é apresentada a ideia de taxa de variação de uma função afim. O objetivo é que os estudantes percebam situações que podem ser modeladas por uma função afim, reconhecendo a característica desse tipo de função: a taxa de variação é constante, ou seja, aumentando em 1 unidade os valores de x, os respectivos valores de y aumentam de um valor constante, que chamamos de taxa de variação. Assim, situações que relacionam preço unitário de um produto ou serviço e preço total, distância percorrida e tempo, sendo a velocidade constante, podem ser descritas pela função afim.

Função linear

Apresentar aos estudantes o que faz com que uma função afim seja linear. Espera-se que eles concluam que toda função linear também é função afim; entretanto, o contrário não é válido. Aproveitar a discussão da função linear para retomar os conceitos de grandezas direta e inversamente proporcionais. Por meio de exemplos, mostrar que as grandezas diretamente proporcionais podem ser expressas por uma função linear; já as grandezas inversamente proporcionais não. Uma situação que pode ser discutida com a turma é a de um móvel se descolando com velocidade constante. Nessa situação, a distância e o tempo são grandezas diretamente proporcionais e podem ser descritas por uma função linear. Depois, discutir a situação em que o móvel tem de percorrer uma distância fixa. Nesse caso, tempo e velocidade são grandezas inversamente proporcionais, e essa relação não pode ser descrita pela função afim.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Gráfico da função afim Retomar com os estudantes o plano cartesiano e a representação de pontos nesse sistema de coordenadas. Representar um plano cartesiano na lousa e pedir a alguns estudantes que localizem pontos nele. Incluir também pontos sobre os eixos coordenados. Em seguida, trabalhar com a situação proposta e aproveitar o plano cartesiano da lousa para localizar os pontos que estão no quadro. Explicar à turma que o gráfico da função afim é sempre uma reta; então, para representá-lo, basta unir os pontos por meio de uma reta. Essa abordagem favorece o desenvolvimento da competência geral 4 e da competência específica 4 da área de Matemática, uma vez que os estudantes aprendem a se comunicar por meio de gráficos e da linguagem matemática de maneira adequada.

Fórum

Ao realizar a pesquisa solicitada, os estudantes vão perceber que o Brasil não está entre os primeiros países no ranking de conexão à internet. Explicar que a Anatel é a agência do governo do Brasil que regula os serviços de telecomunicações no país, incluindo o serviço de banda larga.

Para a realização da questão proposta, os estudantes podem ser organizados em trios. Orientá-los a buscar fontes confiáveis de pesquisa, como sites governamentais ou de universidades, por exemplo. Ao final, promover uma conversa em que os trios possam apresentar as conclusões a que chegaram. Durante esse momento, verificar se os estudantes são capazes de se expressar com clareza, mantendo discussões conectadas com as ideias dos outros, e se buscam o entendimento mútuo, desenvolvendo, assim, aspectos da competência geral 4.

GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM

Podemos representar graficamente uma função afim utilizando, para isso, um sistema de coordenadas cartesianas. Essa representação oferece todas as informações sobre o comportamento dessa função e é um recurso muito utilizado por ser de fácil visualização.

Já sabemos que, em uma função, cada valor de x corresponde a um único valor de y. Marcando, então, no plano cartesiano, os pontos de coordenadas (x, y), obtém-se um conjunto de pontos chamado de gráfico da função

É possível demonstrar que o gráfico de uma função afim, no plano cartesiano, com x [r, é sempre uma reta

Acompanhe os exemplos a seguir.

1 Traçar, no plano cartesiano, o gráfico da função definida por y = 2x, cujo domínio é o conjunto dos números reais, ou seja, x pode assumir quaisquer valores reais. Inicialmente, vamos atribuir valores arbitrários para x, calculando os correspondentes valores de y por meio da sentença y = 2x.

x y (x, y)

2 4 ( 2, 4)

1 2 ( 1, 2)

0 0 (0, 0)

1 2 (1, 2)

2 4 (2, 4)

Em seguida, localizamos esses pontos no plano cartesiano. A cada par ordenado (x, y) obtido, associamos um ponto do plano cartesiano. O gráfico da função no plano cartesiano é o conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = 2x. Observe que esse gráfico é uma reta.

FÓRUM

Acesso à internet

Leia um trecho de matéria a seguir.

Brasil tem 152 milhões de pessoas com acesso à internet

O internauta tem um dia dedicado a ele, 23 de agosto, data em que, no ano de 1991, a rede mundial de computadores foi aberta ao mundo. No Brasil, tem crescido, ano a ano, o número de pessoas com acesso à internet e a pandemia acelerou esse processo. [...] Pesquisa promovida pelo Comitê Gestor da Internet do Brasil revelou que, em 2020, o país chegou a 152 milhões de usuários – um aumento de 7% em relação a 2019. Com isso, 81% da população com mais de 10 anos têm internet em casa.

LEÓN, Lucas Pordeus. Brasil tem 152 milhões de pessoas com acesso à internet. Agência Brasil Brasília, DF, 23 ago. 2021. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/geral/noticia/2021-08/ brasil-tem-152-milhoes-de-pessoas-com-acesso-internet. Acesso em: 28 maio 2022.

• Pesquise os dados de acesso à internet em outros países do mundo e compare-os com os dados do Brasil informados no texto. Em seguida, debata com os colegas sobre as possíveis soluções para aumentar o acesso da população brasileira à internet. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

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2 Representar, no plano cartesiano, o gráfico da função definida por y = 2x 3, considerando  x um número real qualquer. Inicialmente, atribuímos alguns valores para x e calculamos os respectivos valores de y

x y = 2x 3 (x, y)

1 y = 2 ? ( 1) 3 = 5 ( 1, 5)

0 y = 2 ? 0 3 = 3 (0, 3)

1 y = 2 ? 1 3 = 1 (1, 1)

2 y = 2 ? 2 3 = 1 (2, 1)

Como sabemos, a cada par (x, y) associamos um ponto do plano cartesiano. O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = 2x 3, é o gráfico da função, o qual é uma reta.

SAIBA QUE

Como o gráfico de uma função afim é uma reta, e uma reta é determinada por dois pontos, para obter o gráfico da função afim basta definir dois pares (x, y) no plano cartesiano e traçar a reta que passa por esses pontos.

2. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. As coordenadas do ponto de intersecção das duas retas são (1, 1).

ATIVIDADES

3. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. São paralelas. Espera-se que os estudantes percebam que a inclinação das retas é a mesma e que elas não apresentam pontos em comum (essa observação, neste momento, será empírica e baseada no trecho do gráfico de cada reta que os estudantes tiverem representado no plano cartesiano).

Responda às questões no caderno.

1. Trace no plano cartesiano o gráfico de cada função afim definida a seguir, em que x é um número real qualquer.

a) y = x + 1

b) y = x

c) y = x + 4

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

As atividades desse bloco permitem que os estudantes associem o gráfico de uma função afim de domínio r a uma reta não vertical e não horizontal, bem como utilizem os conhecimentos a respeito dessas funções para traçar, no plano cartesiano, gráficos que representem essas funções.

d) y = 1 2x

e) y = 4x

f) y = 1 2 x + 2

2. Trace, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções definidas por y  = 3x   2 e y = 2x 1, em que x é um número real qualquer. Observando os gráficos obtidos, quais são as coordenadas do ponto de intersecção das duas retas?

3. Em um mesmo plano cartesiano, trace as retas que representam os gráficos das funções definidas por y = x + 3 e y = x 2, sendo x um número real qualquer. Qual

é a relação entre essas duas retas? Justifique sua resposta.

4. Um carro se movimenta em velocidade constante, de acordo com a função definida por y = 2x + 1, em que y representa a posição, em metro, do carro no instante x, em segundo. Esboce, no plano cartesiano, o gráfico que descreve a posição do carro em função do tempo. Lembre­se de que, nesse caso, a variável x assume apenas valores reais não negativos.

5. Usando o plano cartesiano, determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas que representam os gráficos das funções dadas por y = 6 x e y  = x   2. Converse com os colegas e compare as estratégias de resolução que vocês utilizaram.

1. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

4. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

5. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. As coordenadas do ponto de intersecção são (4, 2).

AMPLIANDO

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Atividade complementar Promover uma pesquisa por meio da qual os estudantes sejam levados a perceber o uso de gráfico traçado a partir de uma função afim. Orientar os estudantes a levar para a sala de aula revistas e jornais usados. Organizar a turma em grupos com quatro estudantes, pedindo a eles que encontrem artigos e notícias que apresentem gráficos da função afim.

Aproveitar o momento da pesquisa para reforçar que o traçado desse tipo gráfico no plano cartesiano, com x [r , é sempre uma reta. Encontrados os gráficos, os estudantes poderão discutir partindo das seguintes questões:

• O gráfico trata a respeito do quê?

• Há título no gráfico? E legenda?

• É possível identificar os eixos x e y no gráfico? O que cada eixo representa?

22/06/22 21:46

• A variável pode assumir qualquer valor real?

Depois da discussão, os estudantes poderão relacionar os assuntos que conhecem com os cálculos que vão realizar nas atividades. É importante que atribuam significado aos cálculos, relacionando-os com seus conhecimentos prévios. Se possível, além do traçado manual, orientar os estudantes a explorar os gráficos com o auxílio de softwares como o Winplot ou o GeoGebra.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Zero da função afim Explicar o que é o zero de uma função e mostrar como determiná-lo algebricamente e por meio do gráfico traçado da função. Espera-se que os estudantes percebam que determinar algebricamente o zero da função ajuda a levantar hipóteses sobre o traçado do gráfico. Apresentar outros gráficos de funções que tenham mais de um zero e pedir que indiquem os zeros da função e expliquem suas escolhas, destacando que, no zero da função, o gráfico corta o eixo das abscissas. Depois, solicitar que resolvam as atividades desse bloco.

ZERO DA FUNÇÃO AFIM

O valor do número real x, para o qual se obtém y = 0 (ou ax + b = 0), denomina-se zero (ou raiz) da função afim.

Vamos determinar, por exemplo, o zero da função definida por y = x 3. Algebricamente, devemos fazer x 3 = 0 e resolver a equação obtida.

x 3 = 0 h x = 3

Geometricamente, representamos o gráfico da função:

Pelo gráfico, observamos que y = 0 no ponto associado ao par ordenado (3, 0), ou seja, para y = 0, temos x = 3.

Logo, o zero da função é dado pelo valor x = 3. Geometricamente, o zero da função está associado ao ponto em que a reta corta o eixo x De modo geral, dada a função afim definida por y = ax + b, para y = 0, temos:

ax + b = 0 h ax = b h x b a =_

Portanto, algebricamente, o zero da função afim é dado por x b a =_ e, geometricamente, corresponde à abscissa do ponto em que a reta cruza o eixo x (x, 0).

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Determine, algebricamente, o zero de cada uma das funções definidas por:

a) y = x 6. x = 6

b) y = x 4. x = 4

c) y = x + 10. x = 10

d) y = 2x 3. x 3 2 =

e) y = 1 5x. x 1 5 =

f) y = 1 2 x + 3. x = 6

2. Con strua o gráfico e determine o zero de cada uma das funções definidas a seguir.

a) y = x + 1 x = 1 b) y = x + 3 x = 3 c) y = 2 x x = 2

AMPLIANDO

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Atividade complementar

Propor uma atividade para explorar o fato de que, por dois pontos, passam apenas uma reta. Incentivar os estudantes a construir o gráfico das funções da atividade 1 utilizando apenas dois pontos: o zero da função e o ponto em que x = 0. Ao final, verificar se eles percebem algo em comum com o ponto em que

x = 0 e a lei de formação da função. Espera-se que os estudantes percebam que esse ponto tem coordenadas (0, b). Desse modo, podem concluir que, conhecendo a lei de formação da função afim e determinando seu zero, é possível obter a reta que representa o gráfico dessa função. Essa abordagem favorece a argumentação com base em fatos matemáticos.

POR TODA PARTE

ARTESANATO NO BRASIL

Leia, a seguir, o trecho de um texto.

[...]

De Norte a Sul do país, o artesanato brasileiro tem características diferenciadas, cada qual com a influência de suas comunidades locais e matéria-prima disponível na região. No Norte, o artesanato tem forte influência indígena [...]. No Pará, destaque para a cerâmica Marajoara, produzida na Ilha de Marajó e que encanta com variadas formas e padrões de decoração. [...]

O DIA mundial do artesão é lembrado como meio de aumentar o turismo nas regiões brasileiras. Confederação Nacional de Municípios. Brasília, DF, 21 mar. 2016. Disponível em: https://www.cnm.org.br/comunicacao/noticias/o-diamundial-do-artesao-e-lembrado-como-meio-de-aumentar-o-turismo-nas-regioes-brasileiras. Acesso em: 28 maio 2022. Responda às questões no caderno.

1. Uma cooperativa de artesãos anunciou, na internet, a venda de vasos Marajoara por 275 reais cada um. Uma loja encomendou alguns desses vasos, cuja taxa de entrega foi de R$ 50,00. Chamando de x a quantidade de vasos encomendados e de y a despesa que essa loja teve ao adquirir essa encomenda, determine:

a) a lei de formação da função que descreve a dependência da despesa total com a quantidade de vasos encomendados. y = 50 + 275x

b) a quantidade de vasos encomendados, sabendo que a loja gastou R$ 3.350,00 nessa transação 12 vasos.

[...] A renda de bilros é produzida sobre uma almofada [...] E por cima da almofada ficam os moldes que serão traçado[s] com os bilros. Os bilros são objetos de madeira nos quais as linhas são enroladas, para a execução dos traçados.

[...]

[...] As rendeiras brasileiras estão espalhadas em vários estados, em especial, no Nordeste, Rio de Janeiro e Santa Catarina. A renda é um patrimônio de nossa cultura [...]

BRASIL. Biblioteca Nacional. Acervo da BN | Rendeiras de bilros. Rio de Janeiro: BN, 25 jun. 2020. Disponível em: https://www.bn.gov.br/acontece/ noticias/2020/06/acervo-bn-rendeiras-bilros. Acesso em: 28 maio 2022.

2. A venda de toalhas produzidas por uma rendeira no primeiro semestre deste ano teve o desempenho representado pela função y = 110x + 440, que relaciona a variação y do lucro/prejuízo com a quantidade x de meses decorridos.

a) Atribua alguns valores para x, calcule os valores de y correspondentes e construa o gráfico dessa função. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

b) No fim do primeiro mês, a rendeira teve lucro ou prejuízo? De quanto? Lucro de 330 reais.

c) Em que período a rendeira não teve lucro nem prejuízo? Justifique. No fim do quarto mês. O gráfico intersecta o eixo x no quarto mês, ou seja, para x = 4, o valor de y é zero.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

A seção mostra situações brasileiras e cotidianas em que os estudantes podem aplicar os conceitos estudados a respeito de funções. Isso dará mais significado ao aprendizado desse assunto. Observar que nessa seção os estudantes são convidados a conhecer um pouco do artesanato brasileiro e a perceber as habilidades dos artesãos e artesãs.

Se julgar conveniente, propor aos estudantes que tentem localizar no estado em que vivem um grupo de artesãos que realize algum trabalho manual e, se possível, entrar em contato com esse grupo para uma possível visita ou entrevista. Orientá-los a perceber que existe uma tradição que passa de geração em geração, e valorizar a cultura é uma importante ação que pode e deve ser promovida. Esse tipo de abordagem contribui para o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, além de propiciar vivência e favorecer a compreensão da importância de manter, celebrar, respeitar e valorizar as tradições dos povos originários, bem como de outros povos, favorecendo o trabalho com a competência geral 3.

Vasos Marajoara no Mercado Ver-o-Peso. Belém (PA), 2021.

Produção da renda de bilro. Aquiraz (CE), 2018.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Antes de propor a leitura do texto, explorar com a turma a leitura inferencial, destacando os títulos do texto, da tabela e do gráfico, bem como analisando a imagem da página. Perguntar aos estudantes que pistas os títulos e a imagem dão sobre o que será tratado nessa seção. Conduzir a conversa de modo que eles expressem os conhecimentos prévios que têm a respeito das categorias de empregos, afastamento do trabalho, isolamento social e pandemia de covid-19. Esclarecer as dúvidas que surgirem e, em seguida, propor a leitura do texto, que pode ser feita convidando alguns estudantes para realizá-la em voz alta para a turma.

A abordagem proposta favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Trabalho e pode ser explorada em parceria com o professor de Geografia.

Propor a análise da tabela por meio de algumas perguntas orais, como: “Quantos empregados do setor privado estavam ocupados em novembro de 2020?”

(40 580 000 pessoas); “E quantos empregados do setor público?”

(4 171 000). Espera-se que os estudantes percebam que, na tabela, as informações sobre essas categorias de emprego estão separadas em dois tipos: com carteira assinada e sem carteira assinada. Assim, para responder a essas perguntas, é preciso adicionar as quantidades correspondentes.

INTERPRETANDO INFORMAÇÕES

O impacto da pandemia no mercado de trabalho

A pandemia da Covid-19 teve um impacto profundo no mercado de trabalho, afetando principalmente os trabalhadores com menor proteção social e baixa escolaridade. No Brasil os efeitos foram particularmente significativos, não somente em função da queda sem precedentes da população ocupada e da população economicamente ativa, mas também pelo fato de que, diferentemente de recessões anteriores, desta vez os trabalhadores informais foram mais atingidos que os formais. Em particular, embora a redução do emprego formal em 2020 tenha sido expressiva ( 4,2%), a queda no emprego informal foi proporcionalmente três vezes maior ( 12,6%).

[...]

Além do forte impacto negativo da pandemia no mercado de trabalho no curto prazo, estudos recentes mostram que seus efeitos também serão significativos a médio e longo prazo. [...]

VELOSO, Fernando. O impacto da pandemia no mercado de trabalho. Blog do IBRE – FGV. Rio de Janeiro, 22 mar. 2021. Blogue. Disponível em: https://blogdoibre.fgv.br/posts/o-impacto-da-pandemia-no-mercado-de-trabalho. Acesso em: 28 maio. 2022. Em 2020, primeiro ano da pandemia de covid-19, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios – PNAD Covid-19. Um dos objetivos dessa pesquisa foi monitorar os impactos da pandemia no mercado de trabalho brasileiro. Os dados divulgados por essa pesquisa sobre a quantidade de pessoas ocupadas por categoria de emprego, em novembro de 2020, estão registrados a seguir.

GLOSSÁRIO

Pessoa ocupada: de acordo com o IBGE, é toda pessoa que exerce atividade profissional (formal ou informal, remunerada ou não).

Quantidade de pessoas ocupadas por categoria de emprego em novembro de 2020

Elaborada com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. PNAD Covid-19. Trabalho: desocupação, renda, afastamentos, trabalho remoto e outros efeitos da pandemia no trabalho. Rio de Janeiro, nov. 2020. Disponível em: https://covid19.ibge.gov.br/ pnad-covid/trabalho.php. Acesso em: 28 maio 2022.

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O PNAD Covid-19 também publicou dados sobre o afastamento do trabalho em decorrência do distanciamento social, indicando o percentual de trabalhadores afastados por ocupação e categoria de emprego, em novembro de 2020. Acompanhe.

4. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes indiquem a carência de estabilidade profissional e a dificuldade de acesso a itens de proteção social ou a seguros de vida e de saúde como possíveis causas para o desfavorecimento dos trabalhadores informais durante a pandemia de covid-19.

Representação de cena de teste de temperatura realizado em trabalhadores na chegada ao local de trabalho.

Percentual de pessoas afastadas do trabalho em decorrência do isolamento social em novembro de 2020

Categoria

Empregado do setor privado com carteira assinada

Empregado do setor privado sem carteira assinada

Trabalhador doméstico com carteira assinada

Trabalhador doméstico sem carteira assinada

Empregado do setor público com carteira assinada

Empregado do setor público sem carteira assinada

Militar e servidor estatutário

Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. PNAD Covid-19. Trabalho: desocupação, renda, afastamentos, trabalho remoto e outros efeitos da pandemia no trabalho. Rio de Janeiro, nov. 2020. Disponível em: https://covid19.ibge.gov.br/pnad-covid/trabalho.php. Acesso em: 28 maio 2022.

De acordo com as informações do texto, da tabela e do gráfico, responda às questões no caderno.

2. Categoria militar e servidor estatutário. Esse percentual corresponde a 553 420 trabalhadores.

1. Aproximadamente, quantos milhões de brasileiros tinham uma ocupação em novembro de 2020? Aproximadamente 84,7 milhões de brasileiros.

2. Que categoria de emprego teve o maior percentual de afastamento do trabalho em decorrência do distanciamento social em novembro de 2020? Esse percentual corresponde a quantos trabalhadores dessa categoria?

3. Que categoria teve a maior quantidade de trabalhadores afastados em decorrência do distanciamento social em novembro de 2020? Quantos trabalhadores foram afastados?

4. Junte-se a um ou mais colegas, e pesquisem a seguinte afirmação do texto: “diferentemente de recessões anteriores, desta vez os trabalhadores informais foram mais atingidos que os formais.”. Converse com os colegas e o professor sobre o resultado dessa pesquisa, e debatam sobre os principais impactos sociais da pandemia de covid-19.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Comparando os dados da tabela com os do gráfico, é possível determinar quantos trabalhadores de cada categoria de emprego ficaram afastados em decorrência do isolamento social em novembro de 2020. Para isso, basta aplicar o percentual do gráfico à quantidade de pessoas ocupadas na respectiva categoria de emprego. Mostrar alguns exemplos desse cálculo para a turma. Discutir as atividades 2 e 3, de modo que os estudantes percebam que, embora a categoria militar tenha tido o maior percentual de afastamento do trabalho, a categoria que mais teve trabalhadores afastados foi a do setor privado com carteira assinada. Perguntar a eles como isso é possível e incentivá-los a levantar hipóteses sobre esse questionamento. Espera-se que eles percebam que a categoria setor privado com carteira assinada corresponde a cerca de 32 milhões de pessoas, enquanto na categoria militar esse número é, aproximadamente, 8 milhões. Assim, 7% de 8 milhões é menor do que 6,6% de 32 milhões. Por meio dessa abordagem, os estudantes interpretam dados e informações de maneira precisa, considerando o contexto em que foram produzidos, além de trabalhar a argumentação com base em fatos matemáticos, espírito de investigação e capacidade de produzir argumentos convincentes, desenvolvendo aspectos da competência geral 2 e da competência específica 2 da área de Matemática.

Na atividade 4, propor uma roda de conversa para os estudantes apresentarem os resultados da pesquisa. Durante esse momento, verificar se são capazes de posicionar-se criticamente com base em critérios científicos e éticos, desfazendo-se de preconceitos.

3. Categoria de empregado do setor privado com carteira assinada. Foram afastados 673 365 trabalhadores.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Função quadrática

O objetivo é levar os estudantes a reconhecer e compreender funções quadráticas. Recomenda-se que a leitura e o entendimento do texto do Livro do estudante sejam feitos por etapas.

Antes de ler o texto sobre os números triangulares, explorar o quadro de modo que os estudantes possam encontrar uma lei de formação para a sequência. Pedir que, no caderno, completem o quadro para x = = 6 e x = 7, de modo que possam perceber a regularidade existente na formação dos números triangulares. Destacar que, para formar um novo triângulo, acrescenta-se uma linha de bolinhas na base. Essa abordagem favorece o raciocínio indutivo e a argumentação com base em conhecimentos matemáticos.

Estabelecer um diálogo com a turma por meio de perguntas a respeito do texto e as respostas dadas pelos estudantes. Assim, é possível verificar a compreensão deles e as possíveis dúvidas.

Se julgar pertinente, estender essa proposta para outras sequências numéricas, por exemplo, os números quadráticos.

Na segunda etapa, ler com os estudantes a história da soma de Gauss. Explorar o raciocínio que ele desenvolveu para chegar à resposta de maneira rápida, surpreendendo seu professor, a fim de que os estudantes percebam a relação entre os números triangulares e a soma de Gauss.

FUNÇÃO QUADRÁTICA CAPÍTULO3

Você sabe qual é a soma dos cinco primeiros números inteiros positivos? Para calcular, é simples: S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, ou seja, S5 = 15.

Os números dados por adições como essas indicam quantidades que podem ser representadas por pontos dispostos como figuras triangulares. Por isso, esses números são conhecidos como números triangulares. Observe alguns exemplos.

AMPLIANDO

Observe que a cada valor de x corresponde um único valor de Sx , que é a soma dos x primeiros números inteiros positivos.

E para obter a soma dos 100 primeiros números inteiros positivos, você conhece um método eficiente?

Conta-se que Carl Friedrich Gauss (1777-1855), um dos mais importantes matemáticos da história, teria feito esse cálculo em apenas alguns minutos. Acompanhe como Gauss calculou essa soma.

Atividade complementar

Solicitar aos estudantes uma pesquisa a respeito da vida de Gauss. O objetivo é incentivar o gosto dos estudantes pela Matemática, conhecendo um pouco da vida e da trajetória de um dos mais importantes matemáticos que a humanidade conheceu.

Aplicando a estratégia de Gauss à soma dos x primeiros números inteiros positivos, podemos associar a cada número x um único número y pela função definida por:

y x( x1) 2 = + ou y x 2 x 2 2 =+

polinômio do 2o grau na variável x

Agora, vamos analisar outra situação que pode ser expressa por um polinômio do 2o grau na variável x

Na figura representada a seguir, a área y do retângulo ABCD é dada em função da medida x indicada na figura.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do retângulo ABCD = área de 1 + área de 2 + área de 3 + área de 4 y = x ? x + 7 ? x + 4 ? x + 7 ? 4

y = x2 + 7x + 4x + 28

y = x 2 + 11x + 28

polinômio do 2o grau na variável x

Observe que, nas duas situações apresentadas, a função é definida por um polinômio do 2o grau na variável x

De modo geral:

Função quadrática é toda função definida pela sentença matemática y = ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a 5 0.

Observe alguns exemplos de funções quadráticas.

• y = x 2 + 2x 8

• y = x 2 + 9x 18

• y = x 2 9

• y = 4x 2 4x + 1

• y = 2x 2 + 6

• y = 3x 2 2x + 1

Considerando as definições dadas e os conhecimentos que você já tem, acompanhe o exemplo a seguir.

Dado o número real 7, vamos calcular a imagem desse número pela função dada por y = 3x 2 4x + 1.

Nesse caso, temos x = 7. Efetuamos, então:

y = 3 ? (7)2 4 ? (7) + 1 = 147 28 + 1 = 120

Logo, a imagem do número real 7, pela função dada, é 120.

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Na terceira etapa, explorar o exemplo que relaciona a Álgebra e a Geometria. Explicar que o retângulo ABCD foi decomposto em um quadrado de lado de medida x e três retângulos. Desse modo, a área do retângulo ABCD será dada em função da medida x Calcular, com a colaboração da turma, as respectivas áreas até obter o polinômio do 2o grau que representa a área do retângulo ABCD. Mostrar que o valor de y depende do valor de x e atribuir alguns valores para x para que a turma perceba essa relação de dependência.

Em seguida, definir a função quadrática, destacando seus coeficientes.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Os objetivos dessas atividades são levar os estudantes a reconhecer funções quadráticas, determinar a imagem de um elemento por meio de funções desse tipo e resolver problemas com essas funções.

Orientar os estudantes a relacionar as diferenças que encontram entre função afim e função quadrática.

Incentivar os estudantes a resolver a atividade 2 usando diferentes estratégias, como:

1 A subtração de áreas: Área colorida = Área do quadrado _ Área branca y = 5 5 _ (5 _ x)x y = 25 _ 5x + x 2

2 Decompor a figura e adicionar as áreas: Área colorida = Área 1 + + Área 2 , sendo Área 1 relacionada ao quadrado de lado x e Área 2 relacionada ao retângulo de lados 5 e 5 _ x. y = x ? x + 5 ? (5 _ x) y = x 2 + 25 _ 5x

Discutir com os estudantes qual estratégia eles consideram a melhor. Depois, pedir que justifiquem a resposta.

No desafio 8, orientar os estudantes a observar as regularidades geométricas nas figuras e os valores obtidos no quadro a fim de que possam identificar a relação entre o número de quadradinhos roxos e o número de cada figura. Uma vez estabelecida essa relação, eles podem escrever a lei de formação correspondente. Essa abordagem favorece o desenvolvimento do raciocínio indutivo, uma vez que os estudantes vão buscar uma regra para a formação da sequência, com base nos resultados obtidos anteriormente.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. O volume y do bloco retangular é dado em função da medida x indicada na figura. Qual é a sentença matemática que define essa função?

2. No quadrado representado, a área y da região colorida de laranja é dada em função da medida x. Escreva a lei que define a função dada por essa relação.

y = x 2 5x + 25

3. Considerando a função definida por y = x 2 15x + 26, determine a imagem do número real 10 por essa função. 24

4. Dada a função definida por y = 6x 2 x 3, qual é a imagem do número real 1 2 por essa função? 2

5. Utilizando a sentença matemática y  x( x1) 2 = + , que foi descrita no início deste capítulo, calcule:

DESAFIO

a) a soma y dos 1 000 primeiros números inteiros positivos. 500 500

b) o número inteiro positivo para que a soma y seja igual a 66. 11

6. A soma y dos x primeiros números ímpares positivos é uma função definida pela lei y = x 2 .

a) Calcule a soma dos 100 primeiros números ímpares positivos. 10 000

b) Calcule x, de modo que se tenha y = 256

c) Qual é a maior parcela (número ímpar) da adição referente ao item b? 31

7. Dadas as funções definidas por f = 0,7t e g = t 0,15t 2, responda às questões a seguir.

a) Considerando t = 1, qual será o valor de f ? E o valor de g? f = 0,7 e g = 0,85.

b) Existe algum valor positivo de t para o qual as funções f e g assumem o mesmo valor? Se sim, qual é esse valor? Sim, t = 2.

c) Para t = 4, qual dessas funções assume o maior valor?

Para t = 4, temos que f = 2,8 e g = 1,6. Portanto, f assume o maior valor.

8. Observe a sequência de figuras e faça o que se pede.

a) Copie e complete es te quadro para analisar como podemos calcular a quantidade de quadrinhos de qualquer uma das figuras dessa sequência.

b) A figura n tem:

• quantos quadrinhos no total? n2

• quantos quadrinhos roxos? n

• quantos quadrinhos azuis? n2 n

c) Escreva a lei de formação que fornece a quantidade y de quadrinhos azuis em função do número n da figura. y = n2 n

GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

No capítulo anterior, estudamos que o gráfico de uma função afim, dada por y = ax + b, para x [r, é uma reta.

Agora, vamos conhecer a curva que representa o gráfico de uma função quadrática. Acompanhe os exemplos.

1 Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função definida por y = x2 4, sendo x um número real qualquer.

Inicialmente, vamos atribuir alguns valores reais para x, como os valores 3, 2, 0, 2, 3, substituí-los na lei de formação da função e calcular os respectivos valores de y, determinando os seguintes pares ordenados (x, y).

x y (x, y)

3 5 ( 3, 5)

2 0 ( 2, 0)

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

3 5 (3, 5)

O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = x 2 4, é o gráfico da função. Esse gráfico é representado por uma curva chamada de parábola. O ponto V, indicado na figura, chama-se vértice da parábola

2 Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = x 2 + 4x, sendo x um número real qualquer. Inicialmente, vamos determinar alguns pontos (x, y).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ao trabalhar o gráfico da função quadrática, destacar as características da parábola, curva que representa o gráfico dessa função, como a simetria em relação ao eixo y e o vértice, ponto em que a parábola muda de comportamento. Exemplificar essas características usando as duas curvas representadas na página. Conhecer as características da parábola pode contribuir para a compreensão da construção do gráfico da função.

y (x, y)

(0, 0)

O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = x 2 + 4x, que é o gráfico da função, corresponde a esta parábola.

Localizando esses pontos no plano cartesiano, temos: D2-MAT-F2-2103-V9-U9-272-289-LA-G24_AV2.indd

AMPLIANDO

Link

ÁUDIOS DA COLEÇÃO M3. (Série O que é?) O que é parábola, 19 set. 2020. Anchor do Spotify. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1293.

Acesso em: 29 jul. 2022.

No link, você acessa um programa em que o apresentador discute com um convidado especial, contando com algumas participações de ouvintes, o significado da palavra parábola no contexto da Matemática.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Na atividade 1, os estudantes vão determinar as coordenadas do vértice da parábola de cada uma das funções apresentadas. Espera-se que eles apliquem as relações vistas anteriormente para x v e y v . Verificar se eles tomam cuidado com os sinais ao realizar os cálculos.

Na atividade 2, comentar que o gráfico traçado começa em (0, 150), pois o eixo x indica a quantidade de dias após o término da propaganda. Logo, não é possível considerar x negativo.

Nos exemplos dados, cada parábola possui um ponto V (um vértice), cujas coordenadas passaremos a indicar por (x v, y v)

É possível demonstrar que o vértice de uma parábola dada pela função y = ax 2 + bx + c pode ser obtido calculando-se:

• x v x b 2a v = • y v = ax 2 v + bx v + c

No exemplo 1 da página anterior (y = x2 4), verificamos que V(0, 4).

Considerando a = 1, b = 0 e c = 4, podemos calcular o valor de x v e y v

x v x b 2a (0) 21 0 2 0 v == ? ==

y v = x 2 v 4 = (0)2 4 = 4

Logo, V(0, 4).

No exemplo 2 (y = x 2 + 4x), verificamos que V(2, 4).

Considerando a = 1, b = 4 e c = 0, temos:

x b 2a (4) 2(

ATIVIDADES

O vértice tem um papel importante na parábola, conforme estudaremos mais adiante. Responda às questões no caderno.

1. Determine as coordenadas (x, y) do vértice da parábola que representa cada uma das funções definidas a seguir.

2. (UMC-SP) Uma loja fez campanha publicitária para vender seus produtos importados.

y (unidades)

yv 150 x (dias)

0 x v x‘

Suponha que x dias após o término da campanha as vendas diárias tivessem sido calculadas segundo a função y = 2x2 + + 20x + 150, conforme o gráfico.

a) Depois de quantos dias (x v), após encerrada a campanha, a venda atingiu o valor máximo? Depois de cinco dias.

b) Depois de quantos dias as vendas se reduziram a zero (y = 0)? Depois de 15 dias.

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ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Dada a função definida por y = ax 2 + bx + c, os valores reais de x para os quais se tem y  = 0 (ou ax 2 + bx + c = 0) são denominados zeros (ou raízes) da função quadrática Algebricamente, os zeros da função quadrática são obtidos ao resolvermos a equação do 2o grau ax 2 + bx + c = 0. Além disso, a quantidade de zeros da função depende do valor do discriminante ( D= b2 4ac) dessa equação. Assim:

• Quando D. 0, a função tem dois zeros (ou raízes) reais diferentes.

• Quando D= 0, a função tem dois zeros (ou raízes) reais iguais.

• Quando D, 0, a função não tem zeros (ou raízes) reais.

Acompanhe os exemplos a seguir.

1 Determinar os zeros da função definida por y = x2 + 2x 3.

x 2 + 2x 3 = 0

a = 1 b = 2 c = 3

D= b2 4ac = (2)2 4 ? (1) ? ( 3) = 4 + 12 = 16

x b  2a 216 2(1) 24 2 = _±D = _± ? = _±

Como D= 16 (D. 0), a função tem dois zeros reais, que são os números 1 e 3.

2 Determinar os zeros da função definida por y = x2 4x + 4.

x 2 4x + 4 = 0

a = 1 b = 4 c = 4

D= b2 4ac = ( 4)2 4 ? (1) ? (4) = 16 16 = 0

xx b 2a (4 ) 2(1) 4 2 2 ‘=’====

Como D= 0, a função tem dois zeros reais iguais, que é o número 2.

3 Determinar os zeros da função dada por y = x 2 + 4x 5.

x 2 + 4x 5 = 0

a = 1 b = 4 c = 5

D= b2 4ac = (4)2 4 ? ( 1) ? ( 5) = 16 20 = 4

Como D= 4 (D, 0), a equação não tem solução no conjunto dos números reais. Com isso, a função não tem zeros reais.

Geometricamente, os zeros da função correspondem aos valores de x nos pontos de intersecção da parábola com o eixo x, pois nesses pontos tem-se y = 0.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Zeros da função quadrática

Se preferir, organizar a turma em pequenos grupos e desafiá-los a descobrir quantos zeros a função quadrática admite. Combinar um tempo para que troquem ideias e possam levantar e validar hipóteses. Essa estratégia de aprendizagem em equipe favorece o desenvolvimento da argumentação, à medida que os estudantes fazem inferências, explicam suas hipóteses e identificam limitações nas argumentações do colega, bem como aprendem a ouvir e a colaborar com a turma, contribuindo para o trabalho com as competências gerais 7 e 9.

Retomar o conceito de zero da função com um exemplo de função afim. Em seguida, questionar os estudantes a respeito de quantos zeros eles imaginam que a função quadrática admite. Incentivá-los a responder à questão pensando no que conhecem do gráfico da função quadrática e das raízes da equação do 2o grau. Espera-se que eles percebam que, assim como a equação do 2o grau, a função quadrática pode ter dois, um ou nenhum zero, a depender do discriminante da equação y = 0.

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AMPLIANDO

Vídeo

FUNÇÃO QUADRÁTICA – Zeros ou raízes da função quadrática. 2018. Vídeo (5min56). Publicado pelo canal 300 segundos de Matemática. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=15dw_gOIM-Q. Acesso em: 29 jul. 2022.

No link, há uma videoaula apresentando exemplos de funções quadráticas, analisando seus gráficos e raízes de acordo com o discriminante, utilizando o software GeoGebra como ferramenta.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Durante a discussão sobre os zeros da função quadrática, incentivar os estudantes a justificar as hipóteses levantadas representando esboços do gráfico de uma função quadrática quando ela tem dois zeros, um zero ou nenhum zero. Pedir também que variem a concavidade da parábola nessas representações.

Atividades

Ao responder à atividade 1, espera-se que os estudantes identifiquem os zeros de cada função para determinarem os pontos em que o gráfico intersecta o eixo x e analisem o que ocorre com o valor do discriminante. Assim, no item d, vão concluir que o gráfico não intersecta o eixo x, pois vão encontrar _3 para o valor do discriminante.

Na atividade 3, os estudantes devem se lembrar de que os pontos em que a parábola corta o eixo x correspondem aos zeros da função que ela representa.

• No gráfico da função dada por y = x 2 + 2x 3, do exemplo 1, em que D. 0, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos: ( 3, 0) e (1, 0).

• No gráfico da função y = x 2 4x + 4, do exemplo 2, em que D= 0, a parábola tangencia o eixo x, isto é, tem um único ponto em comum com esse eixo, no caso, o ponto (2, 0).

• No gráfico da função y = x 2 + 4x 5, do exemplo 3, em que D, 0, a parábola não intersecta o eixo x

As condições verificadas nos gráficos têm relação com o valor do discriminante D. Acompanhe.

• Quando D. 0, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos.

• Quando D= 0, a parábola e o eixo x têm apenas um ponto em comum, ou seja, a parábola tangencia o eixo x

• Quando D, 0, a parábola não intersecta o eixo x

1. a) Intersecta.

b) Intersecta.

c) Intersecta.

d) Não intersecta.

Responda às questões no caderno.

1. Verifique se a parábola que representa o gráfico das funções definidas em cada item intersecta ou não o eixo x.

a) y = x2 2x 24 c) y = x2 + 9x 14

b) y = x2 6x + 9 d) y = x2 7x + 13

2. Determine, algebricamente, os zeros das funções quadráticas definidas por:

3. Sem construir o gráfico das funções a seguir, determine as coordenadas (x, y) dos pontos em que o gráfico dessas funções corta o eixo x.

CONCAVIDADE DA PARÁBOLA

Considere as funções quadráticas definidas a seguir e os esboços dos gráficos de cada uma delas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Concavidade da parábola

Se julgar conveniente, propor aos estudantes que trabalhem com o simulador sugerido no Ampliando, de modo que possam construir o gráfico de diferentes funções quadráticas visando perceber a condição para que a concavidade da parábola seja voltada para cima ou para baixo. Preparar de antemão as funções para as quais eles devem construir o gráfico, além das funções trabalhadas no Livro do estudante. Essa abordagem favorece o desenvolvimento do raciocínio inferencial, à medida que buscam explicar uma regra por meio de diversos exemplos.

Observe, nessas funções, que a . 0, e a parábola tem a concavidade voltada para cima.

De modo geral, temos:

Observe, nessas funções, que a , 0, e a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

• Quando a . 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima

• Quando a , 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo

AMPLIANDO

Simulador

GERADOR de gráfico de uma função. c-online. [S l.], c2022. Disponível em: https://www.calc-online.xyz/ gerador-de-grafico-de funcao#. Acesso em: 29 jul. 2022.

No link, há uma calculadora on-line com um simulador de gráficos de função. É possível entrar com a lei de formação da função e ajustar o intervalo que se quer a representação.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para concluir o estudo do gráfico da função quadrática, é apresentado um quadro mostrando os fatores que influenciam nessa representação. Como sugestão de abordagem, reproduzir o quadro na lousa sem as informações destacadas com fundo colorido. Em seguida, convidar alguns estudantes para completar as informações que estão faltando. Desse modo, eles podem retomar esses conceitos e esclarecer possíveis dúvidas. Traçando o gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano

O objetivo é levar os estudantes a determinar os zeros de uma função quadrática, observar que a parábola pode intersectar o eixo x em dois pontos, em um ponto (tangenciando) ou em nenhum ponto, associar o discriminante da função quadrática ao fato de a parábola intersectar ou não o eixo x e associar os zeros da função às abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x. Considerando esses fatos, espera-se que compreendam como traçar o gráfico da função quadrática no plano cartesiano.

Trabalhar os procedimentos destacados, construindo os gráficos de algumas funções. Ao final, propor aos estudantes que elaborem um fluxograma descrevendo os passos para a construção do gráfico de uma função quadrática. Essa abordagem favorece o desenvolvimento do pensamento computacional, uma vez que eles devem pensar em uma sequência de instruções que podem ser processadas por um computador, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 5.

Podemos fazer um resumo dessas características das funções quadráticas, por meio de esboços dos gráficos dessas funções, como mostrado no quadro a seguir.

a . 0 Concavidade voltada para cima

D. 0

A função tem dois zeros reais distintos, e a parábola corta o eixo x em dois pontos.

D= 0

A função tem dois zeros reais iguais, e a parábola tangencia o eixo x x

D, 0

A função não tem zeros reais, e a parábola não corta o eixo x x

a , 0 Concavidade voltada para baixo

TRAÇANDO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA NO PLANO CARTESIANO

Para traçar uma parábola, é conveniente seguir um planejamento para obter o gráfico desejado. Acompanhe o roteiro a seguir.

A B

Determinar as coordenadas do vértice: V(x v, y v)

Atribuir à variável x alguns valores menores do que xv , alguns valores maiores do que xv e obter os valores de y correspondentes. Em seguida, organizar esses pares ordenados em um quadro.

C D

Marcar, no plano cartesiano, os pontos (x, y) determinados.

Unir esses pontos e traçar a parábola.

Seguindo esse roteiro, vamos traçar os gráficos, no plano cartesiano, de algumas funções quadráticas.

1 Esboçar, no plano cartesiano, o gráfico da função quadrática definida por y = x 2 + + 2x 3, sendo x um número real qualquer. A Inicialmente, determine as coordenadas do vértice.

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B Determine e organize os

2 Traçar o gráfico da função definida por y = x 2 + 4x 5, sendo x um número real qualquer. A Determine as coordenadas do vértice.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Apresentar diferentes parábolas que representem funções quadráticas e pedir aos estudantes que identifiquem os zeros da função, explicando seu significado. Retomar com eles esse conceito na lousa para que, em seguida, façam as atividades.

B Determine e organize os pares ordenados.

ATIVIDADES

1. a) a = 1 (a . 0); concavidade para cima.

b) a = 3 (a . 0); concavidade para cima.

c) a = 1 (a , 0); concavidade para baixo.

d) a = 6 (a , 0); concavidade para baixo.

Responda às questões no caderno.

1. Sem construir o gráfico e observando apenas o coeficiente a, verifique se a parábola que representa o gráfico de cada uma das funções definidas a seguir tem a concavidade voltada para cima ou para baixo.

a) y = x2 7x + 10 c) y = x2 + 25

b) y = 3x2 7x + 4 d) y = 6x2 + x + 1

2. Os esboços seguintes são de gráficos de funções quadráticas definidas pela lei y = ax 2 + bx + c, com a 5 0 e x [r

A atividade 3 tem como objetivos levar os estudantes a representar graficamente, no plano cartesiano, a função quadrática, a associar a ela o gráfico de uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenadas (eixo y) e a identificar o vértice da parábola.

Organizar os estudantes em quatro grupos. Um representante de cada grupo realizará um item da atividade diretamente na lousa, podendo ser ajudado pelos colegas. Assim, todos terão a oportunidade de acompanhar as hipóteses construídas pelos grupos, possibilitando a elucidação de dúvidas.

b) x

Para cada esboço, escreva a condição do coeficiente a e do discriminante D a) x

a . 0 e D, 0. a , 0 e D. 0. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3. Para cada uma das funções definidas a seguir, dê as coordenadas do vértice, organize um quadro com alguns pares ordenados convenientes e esboce o gráfico no plano cartesiano, sendo x um número real qualquer.

a) y = x2 1 c) y = x2 + 2x 8

b) y = x 2 d) y = x 2 + 6x 9

27/06/22 12:35

de simetria é o próprio

Incentivar os estudantes a encontrar o eixo de simetria em cada função. Por exemplo, o item a: y = x 2 _ 1, em que o

das ordenadas ( y ).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ponto de mínimo e ponto de máximo da função quadrática

Associar o estudo do ponto de máximo e do ponto de mínimo ao gráfico da função quadrática. Retomar com a turma quando a parábola tem a concavidade para baixo e quando ela apresenta a concavidade para cima. Em seguida, por meio do comportamento de cada gráfico, definir, com a colaboração da turma, se a parábola apresenta ponto de mínimo ou de máximo. Além disso, os estudantes não devem ter dificuldades em reconhecer que esses pontos coincidem com o vértice da função.

Destacar que o ponto de mínimo ou de máximo correspondem à abscissa do vértice, ou seja, ao ponto x v . Já o valor de mínimo ou de máximo que a função assume corresponde à ordenada do vértice y v Saiba que

O boxe retoma o comportamento da função quadrática e a alteração que ocorre no vértice. Destacar que o trecho da função é crescente quando os valores de x aumentam e os valores de y também aumenta. Já a função é decrescente no trecho em que os valores de x aumentam e os valores de y diminuem.

Descubra mais

O recurso sugerido pode ser usado no estudo do comportamento do gráfico da função quadrática. Os estudantes podem realizar as atividades propostas ao longo do capítulo e depois conferi-las usando o simulador gráfico indicado ou outro. Pode-se também propor que investiguem situações por meio do simulador, como o estudo da concavidade da parábola e o número de zeros da função quadrática, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 5.

PONTO DE MÍNIMO E PONTO DE MÁXIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Observe o gráfico da função definida por y = x2 + 2x 3, em que a . 0, representado a seguir.

Percorrendo o gráfico da esquerda para a direita, notamos que os valores de y vão diminuindo até atingir o vértice. Depois, esses valores vão aumentando. Nesse caso, dizemos que o vértice é o ponto de mínimo da função, e o menor valor para y corresponde a yv

Agora, analise o gráfico da função definida por y = x2 + + 4x 5, em que a , 0.

Percorrendo o gráfico, da esquerda para a direita, notamos que os valores de y vão aumentando até atingir o vértice. Depois, os valores de y vão diminuindo. Nesse caso, dizemos que o vértice é o ponto de máximo da função, e o maior valor para y corresponde a yv

SAIBA QUE

O vértice da parábola é o ponto em que o comportamento da função muda. Se antes do vértice os valores de y diminuem, depois do vértice eles começam a aumentar, indicando que y v é o menor valor que a função pode assumir. Isso ocorre apenas quando a parábola tem a concavidade voltada para cima (a . 0).

Do mesmo modo, se antes do vértice os valores de y aumentam, depois do vértice eles começam a diminuir, indicando que y v é o menor valor que a função pode assumir. Isso ocorre apenas quando a parábola tem a concavidade voltada para baixo (a , 0).

De modo geral, temos:

• Quando a . 0, a função definida por y  = ax 2 + bx  + c tem um valor mínimo, e o vértice é o ponto de mínimo

• Quando a , 0, a função definida por y  = ax 2 + bx  + c tem um valor máximo, e o vértice é o ponto de máximo

DESCUBRA MAIS

GRÁFICO de quadráticas. PhET Interactive Simulations. Colorado, c2002-2022. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 28 maio 2022.

O simulador Gráfico de quadráticas é um material manipulativo que envolve a representação e o estudo da função quadrática. As seções Explore e Forma Padrão desse material auxiliam na aprendizagem da construção de gráficos de funções quadráticas por meio do estudo dos coeficientes.

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Acompanhe os exemplos a seguir.

1 A função definida por y = x 2 3x 18 tem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Quais são as coordenadas desse ponto?

Pela função dada, a = 1; então, a . 0. Portanto, essa função tem um ponto de mínimo, cujas coordenadas são:

v x b 2a (3) 2(1) 3 2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O objetivo dessas atividades é determinar o ponto de mínimo ou o ponto de máximo de uma função quadrática.

A função tem ponto de mínimo de coordenadas

. Nesse caso, o valor mínimo da função é 81 4 , que corresponde a y v

2 A função definida por y = x2 2x + 24 tem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Quais são as coordenadas desse ponto?

Como na função dada a = 1; então, a , 0. Portanto, essa função tem um ponto de máximo, cujas coordenadas são:

x v x b 2a (2) 2 (1) 2 2 1 v ====_

y v = x 2 v 2x v + 24 = ( 1)2 2 ? ( 1) + 24 = 25

ATIVIDADES

V( 1, 25)

A função tem ponto de máximo de coordenadas ( 1, 25). Nesse caso, o valor máximo da função é 25, que corresponde a y v Responda às questões no caderno.

1. Verifique se cada uma das funções definidas a seguir tem ponto de mínimo ou ponto de máximo e dê as coordenadas desse ponto.

a) y = x2 8x + 6 Ponto de mínimo; (4, 10).

b) y = x2 + 4x + 5 Ponto de máximo; (2, 9).

c) y = 6x2 + 6x Ponto de máximo;

d) y = x2 16 Ponto de mínimo; (0, 16).

e) y = x2 4x 45 Ponto de mínimo; (2, 49).

f) y = 3x2 + 6x Ponto de mínimo; ( 1, 3).

g) y = x2 + 9 Ponto de máximo; (0, 9).

h) y = 5x2 8x + 3

Ponto de máximo; 4 5 , 1 5   

2. Sabe-se que a função definida por y = = 3x2 6x 2 tem um ponto de mínimo. Quais são as coordenadas desse ponto?

(1, 5)

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3. Um dardo é lançado da origem, segundo determinado referencial, e percorre a trajetória de uma parábola. A função que representa essa parábola é dada por y  = x2 + 4x. Quais são as coordenadas do ponto em que esse dardo atinge a altura máxima durante essa trajetória?

(2, 4)

Ao trabalhar a atividade 3, pode-se realizar uma observação prática, de modo que os estudantes possam lançar uma bola cuja trajetória se pareça com uma parábola. Se possível, levar os estudantes à quadra da escola, próximo à cesta de basquete, e providenciar uma bola. Eles deverão se posicionar em fila única e, um a um, arremessar a bola na cesta de basquete. Antes de iniciar a atividade, pedir que observem o movimento que a bola faz. Caso não seja possível utilizar a quadra, providenciar uma lata e realizar a mesma atividade, nesse caso, arremessando uma bola de papel na lata. Lembrar de garantir uma distância de pelo menos 4 metros entre o estudante e a lata para que a parábola, no percurso da bola de papel, fique evidente. Pedir aos estudantes que observem a altura máxima atingida pela bola em seu percurso descrito por uma parábola; ressaltar que essa altura máxima é o valor máximo da função, dado pela ordenada y v do ponto de máximo.

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

O GeoGebra é um software livre e dinâmico de Matemática que pode ser utilizado para o estudo de diversos conteúdos de Álgebra e de Geometria e em todos os níveis de ensino. Além do acesso on-line, é possível fazer o download desse software em: www.geogebra.org/download (acesso em: 29 jul. 2022).

Explicar aos estudantes que, para construir gráficos no GeoGebra, precisamos digitar a lei de formação da função. Iniciar com a construção da reta, gráfico da função afim. Pode-se solicitar a eles que simulem a construção de outros gráficos de função afim, variando os valores dos coeficientes a e b, e observar o que acontece com a representação.

TECNOLOGIAS

GRÁFICOS DE FUNÇÕES

Nesta seção, utilizaremos o software gratuito GeoGebra para construir gráficos de funções afins e gráficos de funções quadráticas e estudar algumas características dessas funções. Para realizar as atividades descritas a seguir, acesse o GeoGebra on-line, disponível em: https://www.geogebra.org/classic#graphing (acesso em: 27 maio 2022).

Gráfico da função afim

Vamos construir o gráfico da função afim definida por y = 2x + 4 e determinar os pontos de intersecção desse gráfico com os eixos coordenados. Para isso, acompanhe os passos descritos a seguir.

1 Abra o programa e, com o botão esquerdo do mouse, clique no campo Entrada e digite y  =  2x + 4. Em seguida, pressione o botão Enter do teclado. Na tela, aparecerá a reta correspondente ao gráfico dessa função.

2 Clique no ícone , localizado ao lado da expressão que você digitou. Em seguida, clique no ícone de três pontos, abaixo do botão anterior, e selecione a opção Pontos Especiais

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Os pontos A e B aparecerão no gráfico, e as coordenadas desses pontos estarão indicadas abaixo da sentença que define a função.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

De acordo com o gráfico obtido, podemos observar que:

• o ponto A corresponde ao ponto em que o gráfico da função cruza o eixo x, ou seja, representa o zero da função;

• o ponto B corresponde ao ponto em que o gráfico da função cruza o eixo y

Gráfico da função quadrática

Vamos construir o gráfico da função quadrática definida por y = x² 5x + 4 e determinar os pontos de intersecção da parábola com os eixos coordenados e as coordenadas do vértice. Para isso, acompanhe os passos descritos a seguir.

1 Abra novamente o programa e, com o botão esquerdo do mouse, clique no campo Entrada e digite y = x² 5x + 4. Em seguida, pressione o botão Enter do teclado. Na tela, aparecerá a parábola correspondente ao gráfico dessa função.

Realizar as explorações com os estudantes e propor a construção do gráfico de outras funções do 1o grau e do 2o grau para que eles se apropriem das ferramentas e funcionalidades desse software Se possível, organizar uma aula no laboratório de informática para que a atividade seja realizada com a sua supervisão. Desse modo, os estudantes poderão esclarecer dúvidas durante o processo. Acompanhar a execução de cada etapa e verificar se os estudantes são capazes de realizá-las com autonomia. Pode-se propor aos estudantes que trabalhem em duplas para que possam exercer a colaboração entre eles.

AMPLIANDO

Texto

DORIGO, Marcio. Função quadrática: um estudo sobre as representações gráficas. Monografia (Especialização em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2006. Disponível em: http:// www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/ artigos_teses/MATEMATICA/Monografia_Dorigo.pdf.

Acesso em: 30 jul. 2022.

Outras sugestões de atividades com gráficos de funções quadráticas podem ser encontradas neste documento. Sugerimos que essas atividades sejam realizadas no GeoGebra para que os estudantes possam focar no comportamento das curvas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Depois que os estudantes já estiverem familiarizados com o software e as ferramentas para a construção de gráficos, propor a realização das atividades. As atividades exploram a argumentação com base em conhecimentos matemáticos, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 7.

Na atividade 1, espera-se que os estudantes percebam que, se pudéssemos dobrar a representação no eixo y, as retas se sobreporiam perfeitamente, indicando que as retas são simétricas em relação a esse eixo.

A atividade 2 explora o ponto em que cada parábola cruza o eixo y. Esse ponto tem coordenadas (0, c). Caso os estudantes não indiquem esse fato, pedir que observem esse ponto no gráfico das funções quando os construírem.

2 Clique no ícone , localizado ao lado da expressão que você digitou. Em seguida, clique no ícone de três pontos abaixo do ícone anterior e selecione a opção Pontos Especiais. Os pontos A, B, C e D aparecerão no gráfico, e as coordenadas desses pontos estarão indicadas abaixo da sentença que define a função.

De acordo com o gráfico, podemos observar que:

• A e B são os pontos em que a parábola cruza o eixo x, ou seja, são os zeros da função;

• o ponto C corresponde ao vértice da parábola e, nesse caso, ele é ponto de mínimo da função;

• D indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y Utilizando o software GeoGebra, faça as atividades a seguir. Responda às questões no caderno.

1. Construa o gráfico das funções definidas por y = 3x + 3 e g = 3x + 3 no mesmo plano cartesiano. Compare essas representações e responda.

a) Quais são as coordenadas dos pontos em que a função dada por y = 3x + 3 cruza os eixos coordenados? Eixo x: ( 1, 0); e eixo y: (0, 3).

b) Quais são as coordenadas dos pontos em que a função dada por g = 3x + 3 cruza os eixos coordenados? Eixo x: (1, 0); e eixo y: (0, 3).

c) Os gráficos dessas funções são simétricos em relação ao eixo y. Você concorda com essa afirmação?

Espera-se que os estudantes observem os gráficos e concordem com a afirmação, pois o eixo y representa um eixo de simetria em relação aos gráficos.

2. Considere as funções quadráticas definidas a seguir.

I. y = x 2 4x + 4

II. y = x 2 + 3x 5

III. y = x 2 + 2x + 1

IV. y = x 2 + 4x + 4

V. y = x 2 + 6x 9

VI. y = x 2 + 2x + 6

a) Apenas analisando a lei de formação das funções, o que é possível afirmar sobre o gráfico de cada uma delas? Há várias respostas possíveis. Exemplo de resposta: As parábolas terão concavidade voltada para cima, exceto para as funções definidas em II e V.

b) Agora, construa o gráfico de cada uma das funções e verifique se a resposta ao item a está correta. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

c) Observando o gráfico de cada uma das funções, indique o ponto em que a parábola cruza o eixo y I: (0, 4); II: (0, 5); III: (0, 1); IV: (0, 4); V: (0, 9); VI: (0, 6)

d) Você observa algo em comum entre a ordenada y do ponto em que cada parábola cruza o eixo y e a lei de formação da respectiva função?

Espera-se que os estudantes percebam que o gráfico de cada função cruza o eixo y no ponto (0, c), considerando y = ax² + bx + c.

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DE OLHO NA BANDEIRA

Você já ouviu falar nas bandeiras tarifárias? A cor da bandeira na cobrança da conta de energia elétrica pode interferir diretamente no orçamento mensal e anual de uma casa. As bandeiras tarifárias indicam para os consumidores o custo da geração de energia elétrica no Brasil. Por exemplo, em períodos de escassez de água, chamados de crises hídricas, o custo de geração de energia elétrica aumenta; por causa disso, a cobrança da bandeira vermelha na conta de energia entra em vigor. Sobre esse tema, leia o trecho da reportagem a seguir.

[...] Criadas em 2015 pela Aneel, as bandeiras tarifárias refletem os custos variáveis da geração de energia elétrica [...]. Elas indicam quanto está custando para o Sistema Interligado Nacional (SIN) gerar a energia usada nas casas, em estabelecimentos comerciais e nas indústrias. Quando a conta de luz é calculada pela bandeira verde, significa que a conta não sofre nenhum acréscimo.

A bandeira amarela significa que as condições de geração de energia não estão favoráveis, e a conta sofre acréscimo de R$ 1,874 por 100 quilowatt-hora (kWh) consumido. A bandeira vermelha mostra que está mais caro gerar energia naquele período. A bandeira vermelha é dividida em dois patamares. No primeiro patamar, o valor adicional cobrado passa a ser proporcional ao consumo, na razão de R$ 3,971 por 100 kWh; o patamar 2 aplica a razão de R$ 9,492 por 100 kWh.

“Com as bandeiras tarifárias, o consumidor ganha um papel mais ativo na definição de sua conta de energia. Ao saber, por exemplo, que a bandeira está vermelha, o consumidor pode adaptar seu consumo e diminuir o valor da conta (ou, pelo menos, impedir que ele aumente)”, explica a Aneel.

MÁXIMO, Wellton; BRANDÃO, Marcelo. Agência Brasil explica: como funciona nova bandeira tarifária de luz. Agência Brasil. Brasília, DF, 2 set. 2021. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2021-09/ agencia-brasil-explica-como-funciona-nova-bandeira-tarifaria-de-luz. Acesso em: 28 maio 2022.

Responda às questões no caderno

Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Analise uma conta de luz, de preferência do local onde você reside, e responda.

a) Na conta de luz, é possível observar a cobrança de impostos e da bandeira tarifária? Identifique, na conta que você analisou, o valor dos impostos e como foi a cobrança da bandeira tarifária. Em seguida, faça uma pesquisa para descobrir qual é a finalidade desses impostos.

b) No período de bandeira verde, podemos concluir que há uma função linear que define o valor total a ser pago em decorrência do consumo de energia? É possível definir a lei de formação dessa função de acordo com a conta de energia que você analisou?

2. Você concorda com a afirmação da Aneel de que “Com as bandeiras tarifárias, o consumidor ganha um papel mais ativo na definição de sua conta de energia”? Converse com os colegas e o professor.

3. Debata com os colegas e o professor sobre ações que poderiam ser realizadas para que as pessoas passassem a utilizar a energia elétrica de modo mais eficiente e sem desperdícios. Em seguida, elaborem em grupo um plano de ações que possa efetivar algumas das sugestões apresentadas pela turma.

287

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Sugerir uma discussão coletiva para, inicialmente, explorar o que é consumo eficiente de energia elétrica, destacando hábitos inadequados que causem desperdícios de energia e prejuízo para toda a sociedade, além de aspectos de uso adequado da energia, favorecendo o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo.

Discutir o uso de energia pelas empresas visando à otimização dos processos e economia de energia. Depois, explorar o texto do Livro do estudante que trata das cores das bandeiras tarifárias. Se julgar pertinente, comentar que, no Brasil, a maior parte da energia elétrica produzida vem de usinas hidrelétricas e que estas dependem das águas das chuvas para manter os reservatórios em nível satisfatório. Quando esse nível diminui, outras usinas são acionadas e os custos de produção aumentam e por meio das bandeiras tarifárias esse custo é repassado ao consumidor. Por isso, medidas de consumo consciente de energia são importantes para evitar desperdícios e economizar.

Promover uma roda de conversa para discutir as questões propostas. Por meio das respostas, verificar se os estudantes reconhecem causas e consequências de questões ambientais e interesses e necessidades de diferentes atores na temática da energia elétrica, bem como se apresentam consciência sobre os impactos de decisões nos grupos sociais, desenvolvendo, assim, aspectos das competências gerais 7, 9 e 10.

BILLION PHOTOS/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

Antes de iniciar a resolução das atividades desse bloco, pedir aos estudantes que façam um resumo dos principais conceitos estudados na Unidade. Se necessário, eles podem consultar o Livro do estudante. Depois, solicitar a eles que caracterizem as funções afim e quadrática e seus gráficos. Anotar as características levantadas por eles na lousa, de modo que as ideias principais também fiquem expostas. Em seguida, pedir que resolvam as atividades.

Esse bloco de atividades pode ser usado como avaliação de processo. Espera-se consolidar os conhecimentos dos estudantes construídos na Unidade. Sugerir que refaçam algumas atividades anteriores dos assuntos que surgirem dúvidas. Ressaltar tais temas ao corrigir as atividades. Na atividade 3, os estudantes são levados a elaborar um problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Comentar que essa relação entre as grandezas pode ser descrita por uma função linear tal que y = ax, em que a corresponde ao fator de proporcionalidade. Por exemplo, podemos relacionar o preço pago pela compra de x produtos, y, e o preço unitário a do produto. Convide os estudantes a apresentar os problemas elaborados, destacando a relação de proporcionalidade entre as variáveis envolvidas.

Responda às questões no caderno.

1. (Enem /MEC) O valor cobrado por uma corrida de táxi é calculado somando-se a bandeirada, um valor fixo que é cobrado em qualquer corrida, a um valor variável que depende da distância percorrida. Uma empresa de táxi cobra pela bandeirada o valor de R$ 4,50. Para corridas de até 200 metros, é cobrada somente a bandeirada, e para corridas superiores a 200 metros é cobrado o valor de R$ 0,02 para cada metro adicional percorrido. Para analisar o valor cobrado, em real, em função da distância percorrida, em metro, a empresa elaborou um gráfico, com uma simulação para uma distância de 600 metros. O gráfico que representa o valor da corrida, em real, em função da distância percorrida, em metro, é

Alternativa d.

288

288

IMAGENS:

2. A figura mostra o gráfico da função definida por y = x + 2.

Nessas condições, responda.

a) Para qual valor real de x temos y = 0?

b) Observando o gráfico, é possível afirmar que, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y aumentam ou diminuem? Explique.

3. Elabore uma questão envolvendo uma função que relacione duas grandezas, de modo que elas sejam diretamente proporcionais. Em seguida, troque o caderno com um colega, e cada um resolve a questão criada pelo outro.

4. (Unifor-CE) Dos números a seguir, o único que NÃO pertence ao conjunto imagem da função do segundo grau definida por y = x 2 3x + 2 é:

a) 1

c) 0 d) 1 6 REPRODUÇÃO/ENEM, 2020. EDITORIA DE ARTE x

e) 1 3

Uma função quadrática definida por y = ax2 + + bx + c (com a 5 0 e x [r) também pode ser chamada de função do segundo grau

3. Resposta pessoal. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

22/06/22 22:12 288

RETOMANDO APRENDEU O QUE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

5. Para cada função quadrática definida a seguir, indique as coordenadas do vértice, organize um quadro de valores conveniente e faça o gráfico no plano cartesiano.

a) y = x 2 + 9 V(0, 9)

b)

6. Uma função quadrática é dada pela lei y = (k 3)x 2 + x. Para que valores de k o gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para cima?

5. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. k . 3

7. Para cada função quadrática a seguir, identifique o ponto de máximo ou de mínimo e dê as coordenadas desse ponto.

a) y = x 2 25 Ponto de mínimo; (0, 25).

b) y = x 2 + 25 Ponto de máximo; (0, 25).

c) y = x 2 + 10x Ponto de máximo; (5, 25).

d) y = 4x2 + 4x + 1 Ponto de mínimo; 1 2 ,0

8. (Prefeitura de Colômbia-SP) Sendo o ponto P(4, 13) o ponto máximo da função y = x2 + mx + n, então, a soma entre os valores de m e n é: Alternativa a.

a) 5 b) 8 c) 9 d) 11

OLHAR

9. (Vunesp-SP) A parábola de equação y =  ax 2 passa pelo vértice da parábola y  =  4x  x 2 . Ache o valor de a: Alternativa a.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 1

e) nda

10. (Fatec-SP) A distância do vértice da parábola y = x 2 + 8x 17 ao eixo das abscissas é: Alternativa a.

a) 1

b) 4

c) 8

d) 17

11. (Vunesp-SP) O gráfico da função quadrática definida por y = x2 mx + (m 1), onde m [r , tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é: Alternativa d.

a) 2

b) 1

c) 0

d) 1

e) 2

O sinal do coeficiente a da função quadrática definida por ax 2 + bx + c (a 5 0 e x [r).

Nesta Unidade, estudamos a noção de função e conjuntos domínio e imagem de uma função. Após reflexões sobre esses temas, prosseguimos com o estudo da função, observando os zeros da função e analisando o gráfico desse modelo de função. Estudamos, também, a função quadrática, seu gráfico, como obter os zeros da função, e a concavidade da parábola. Na abertura, verificamos a aplicação da função quadrática no movimento parabólico. Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Como é a representação gráfica de uma função afim? Uma reta.

• Qual é a generalização do zero de uma função afim? b a

• Quantos zeros uma função quadrática pode ter? Nenhum ou dois (iguais ou diferentes).

• O que define o sentido da concavidade da parábola?

• Cite duas aplicações para o conceito de função quadrática.

Na atividade 5, é possível pedir aos estudantes que indiquem se o vértice de cada função quadrática representa o ponto de mínimo ou o ponto de máximo da função. Comentar que, se a concavidade da parábola estiver voltada para cima, o vértice representa o ponto de mínimo e, se a concavidade da parábola estiver voltada para baixo, o vértice representa o ponto de máximo. Destacar também que a concavidade da parábola depende do sinal do coeficiente a da função. Quando a . 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e, quando a , 0, a concavidade da parábola é para baixo.

Um novo olhar

As questões apresentadas no encerramento desta Unidade buscam retomar os assuntos discutidos ao longo dela e sistematizar alguns aspectos estudados sobre as funções afim e quadráticas e seus gráficos. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas a respeito de cada conteúdo abordado.

A primeira e a segunda questões retomam as representações gráficas e os zeros da função afim.

A terceira e quarta questões retomam os zeros e a concavidade de uma função quadrática. Se julgar conveniente, é possível explorar a quantidade de zeros a partir do discriminante.

A última questão solicita aos estudantes que citem aplicações da função quadrática. Isso pode ser compartilhado entre todos.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Altura máxima atingida por um objeto em um lançamento oblíquo e preço mínimo cobrado por um produto para que o lucro seja máximo.

UM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Explicar aos estudantes que Scracth é uma linguagem de programação criada para iniciantes, contendo um conjunto de regras e comandos para criar animações, jogos e outros programas interativos. O download pode ser feito pelo link https://scratch. mit.edu/download (acesso em: 3 ago. 2022); ou pode-se usar a versão on-line, disponível em: https://scratch.mit.edu/ (acesso em 3 ago. 2022).

Comentar que, nessa seção, eles vão escrever um código em uma linguagem de programação que pode ser lido por uma máquina. Esse código é escrito por meio de comandos em uma sequência lógica. Essa abordagem favorece o desenvolvimento do pensamento computacional, uma vez que os estudantes vão escrever uma sequência lógica de instruções que podem ser processadas por um computador, contribuindo para a competência geral 5.

Se possível, levar os estudantes para a sala de informática e realizar as atividades propostas em pequenos grupos para que você possa acompanhá-los, esclarecendo possíveis dúvidas. Caso não seja possível, projete o software para a turma em sala de aula. Nesse caso, convide os estudantes para realizar alguns comandos de modo que todos tenham a oportunidade de explorar o software.

Depois de acessar o link indicado na página do Livro do estudante, mostrar onde se localizam os códigos (canto esquerdo da tela) e como estão separados por categoria. No canto inferior direito estão os ícones Selecionar cenário e Selecionar um Ator. Clicando sobre eles, aparecem as opções. Acompanhar o passo a passo proposto no texto da seção e esclarecer possíveis dúvidas.

LOCALIZAÇÃO DE UM PONTO NO PLANO CARTESIANO UTILIZANDO O COMPUTADOR

Nesta seção, vamos utilizar ferramentas do Scratch para localizar e deslocar objetos em uma representação do plano cartesiano.

O Scratch é uma linguagem de programação em blocos gratuita. Voltada para crianças e jovens, essa linguagem foi desenvolvida para facilitar, de modo prático e intuitivo, a criação de programas.

No exemplo a seguir, vamos considerar uma situação em que se deseja levar um personagem de menino até o cachorro dele, sabendo que o personagem se move apenas vertical ou horizontalmente.

Observe a localização dos personagens na malha quadriculada que representa o plano cartesiano na interface do Scratch (Figura 1). O lado de cada quadrado da malha mede 20 unidades.

Para obter a Figura 1, acesse a página inicial do Scratch, disponível em: https://scratch.mit.edu/projects/ editor/?tutorial=getStarted (acesso em: 6 jun. 2022) e acompanhe os passos a seguir.

1 Para inserir o cenário de plano cartesiano, clique no botão Selecionar cenário e selecione o cenário Xy-grid-20px

2 Em seguida, exclua o personagem de gato e clique no botão Selecione um Ator para inserir o personagem de menino e o de cachorro. Selecione cada personagem, clique no botão Tamanho, digite o número 20 e digite Enter para reduzir os personagens.

3 Na Figura 1, o ponto de intersecção das linhas em cinza no plano cartesiano representa a origem, ou seja, o ponto (0, 0). Para posicionar o menino na origem, selecione esse personagem, digite 0 (zero) nos dois campos do bloco do menu Movimento e clique nesse bloco.

4 Observa-se que o cachorro está localizado, em relação à origem, a uma distância equivalente a oito vezes a medida do lado do quadrado da malha na direção do eixo x e a essa mesma distância na direção do eixo y. Como o lado de cada quadrado da malha mede 20 unidades, conclui-se que o cachorro está no ponto cujas coordenadas são (160, 160). Assim, selecione o cachorro, digite 160 em cada um dos campos do bloco e clique nesse bloco.

Figura 1.

5 Vamos, agora, determinar os passos para o menino chegar até o cachorro. Selecione o menino e arraste o bloco do menu Eventos e o bloco do menu Movimento. Para que o menino se movimente para a direita e para cima, digite 160 em cada um dos campos dos blocos e do menu Movimento e arraste-os.

Observe a sequência de etapas definida pelos blocos descritos (Figura 2) cujo objetivo é levar o menino até o cachorro, como mostra a Figura 3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Orientar os estudantes sobre os movimentos dos personagens no plano cartesiano. Caso tenham dificuldades, lembre-os de que:

• x é responsável pelo movimento do personagem na horizontal;

• y é responsável pelo movimento do personagem na vertical.

Verifique, agora, outro modo de resolver o problema anterior. Considere que o menino se movimente por uma distância equivalente à medida do lado de um quadrado da malha na direção do eixo x e pela mesma distância na direção do eixo y, cuja sequência de blocos é mostrada na Figura 4

Para o menino chegar até o cachorro, nesse caso, os dois últimos blocos teriam de se repetir oito vezes.

Para simplificar essa ação, podemos usar um comando de repetição. Para isso, selecione o bloco no menu Controle, digite 8 no campo desse bloco e posicione os blocos e “dentro” do bloco de repetição. Assim, com a sequência de blocos da Figura 5, também é possível levar o menino até o cachorro.

Junte-se a um colega para realizar as atividades a seguir utilizando o Scratch.

1. Utilizando o comando de repetição, construam outras duas sequências de blocos que executem a ação de levar o menino até o cachorro.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Insira e posicione dois personagens no cenário de plano cartesiano do Scratch utilizado no exemplo desta seção. Em seguida, peça a um colega que, utilizando os blocos do Scratch, elabore um algoritmo (sequência de etapas) para que um personagem seja deslocado até a posição do outro personagem.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Incentivá-los a explorar novas ferramentas do Scracth e a resolver a situação inicial de outras maneiras. Para melhorar a compreensão das ferramentas básicas do Scratch e desenvolver autonomia na aprendizagem, oriente os estudantes a pesquisar vídeos e sites que ensinam a explorar os recursos dessa linguagem de programação. Uma opção é indicar os tutoriais do Scratch, os quais podem ser acessados na própria interface do Scratch na aba Tutoriais

Depois de realizada a atividade 1, incentive os estudantes a compartilhar as estratégias usadas com os colegas para que percebam que há muitas maneiras de organizar os comandos para obter o resultado pretendido. Para a realização da atividade 2, sugerir aos estudantes que utilizem outros comandos de movimento, como os de giro ou passos. Permitir que façam simulações e explorem outros comandos para que se familiarizem com as ferramentas do software

Figura 4

Figura 5

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/SCRATCH

Figura 2

Figura 3

RESPOSTAS

UNIDADE 1

Números reais, potências e radicais Abertura de Unidade – p. 12

• Resposta pessoal.

• Uma aproximação para o número p pode ser obtida dividindo a medida do comprimento de uma circunferência qualquer por duas vezes a medida do raio dessa circunferência.

• Resposta pessoal.

1. A Geometria e a descoberta do número irracional Atividades – p. 18

1. a) 8 b) c) 2,83

2. a) 5 b)

2. a) 64 b) 1 024 c) 2n

Atividades – p. 27

1. a) 64

b) +169

c) 343

2. a) 7 777

d) 0,9 e) 125 f) +10,24

g) 225 h) 32 243 i) +81

Educação financeira – p. 35

R$ 2.275,00

4. Radicais Pense e responda – p. 36

3. 2,23

4. 7; 2,64 Atividades – p. 20

1. a) 50,24 cm b) 2,826 cm c) 15,7 cm d) 43,96 cm

2. a) 1,884 m b) 9 420 m

3. Aproximadamente 69,08 cm (considerando p= 3,14)

4. 25 voltas.

5. 314 mudas.

2. Os números reais Atividades – p. 22

1. a) 7 b) 3 e 7. c) 3 d) 3 2 ; 1,4; 0,3333...

2.

0 1

3. a) V b) V c) F d) F

3. Potências Pense e responda – p. 24

1. 2; 4; 8; 16; 32; 64

292

Não. 9 é o oposto de 9 ; logo, _=93. Já 9 não se define em r Atividades – p. 37

1. Duas: 16 4 e 1

2. 36; 144; 10; 100; 25

3. Sim; 11.

54

4. Sim, pois 25 5 =

a) +1 b) 1 c) +1 d) 1

Alternativa e.

a) 380 b) Resposta pessoal.

Atividades

109 0,25 d) 0,0625

5. a) 0,5 b) 0,2 c) 8 d) 10 e) 1 f) 5 Atividades – p.

40

– p. 31 1. a) 3

3 e) 0,015625 f) 0,1 g) 0,001 h) 0,04 3. a) 7 5 c) 5 6 b) 10 9 d) 2 10 4. a) 2 b) 25

Não é raiz. c) 8 125 d) 64 5. a) 2 3 c) 8 81 b) 8 d) 1 6. 6 7. a) 73 b) 2 1 c) 8 5 d) 512 e) 8 f) 23 g) 2 3 h) 3 1 8. a) x² b) x² c) x 12 d) a 3 9. a) 10² c) 2 5 b) 57 d) 3 3 10. a) 7 2 13 2 b) 9 3 : 5 3 c) 2 2 ? 5 4

b)

1

e) 1 27 f) 1 81 2. a) 0,5 b) 0,03125 c)

a) 5 b) = c) 5 d) = d) 3 4 : 10 e) 2 10 34 11² f) 7 2 : 104 11. x = 3 e A = 5 6 12. Resposta pessoal. Atividades – p. 33 1. 1 1010 ou 10 10 2. a) 8,7 106; 6 106; 1,1 106 b) Resposta pessoal. 3. a) 2,3 1022 b) 6,8 10³ e 2,05 108 c) 1,06 ? 10 8 4. a) 1 10 2 m b) 1 106 L c) 1 10 6 g

a)

b) x = 1 c) x = 1 d) x =2 4. a) 2 3 b) 3 c) 10 4 d) 54 5 5. a) 2 b) 3 3 c) 3 4 d) 22 3 e) 23 4 f) 25 6 6. a) x = 4 b) x = 3 7. a) 57 b) 3 3 ax c) 311 2 7 7 d) 6 6 xy e) 2a b f) 33xxyy 8. a) 2 5 d) 2 7 3 7 5 7 b) 3 6 7 6 e) 3 10 5 10 c) 5 9 7 9 f) 2 3 7 3 11 3

a)

11 3

6. Resposta pessoal.

8. a) 2 b) 10

Por toda parte – p. 43

1. 128 14 ou 473,6 m².

2. Resposta pessoal.

Atividades – p. 44

1. a) 162 b) 28

c) 500

2. a) x5 18

b) xy73 10

3. a b

d) 250 3 e) 64 5 f) 64a

g) 4a3 h) x13 10 i) 432 b4 3

29/07/22 12:46 292

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p. 57

1. a) 8 b) 28 c) 36 d) 4 e) 2 f) 2 g) 11 h) 9

Retomando o que aprendeu – p. 58

1. a) V b) V c) F d) V e) F

2. a) Finita.

b) Infinita e periódica.

c) Infinita e não periódica.

3. a) Sim; 49 7

b) 97; 49 7

c) 3 e p d) 3 e p e) 1,25; 49 7 ;97; 3 5

4. Resposta pessoal.

5. Alternativa c.

6. Alternativa a.

7. Alternativa e.

8. Alternativa d.

9. Alternativa c.

10. Alternativa e.

Um novo olhar – p. 59

11. Alternativa a.

12. Alternativa d.

13. Alternativa a.

14. Alternativa d.

15. Alternativa c.

16. Alternativa b.

• Podemos obter uma aproximação para o número p dividindo o comprimento de uma circunferência pelo comprimento do diâmetro, ou seja, pelo dobro da medida do raio.

• Respostas pessoais.

• Traçando a diagonal de um quadrado cujo lado mede 1.

• No conjunto dos números reais, não é possível obter a raiz de um número negativo quando o índice for um número par.

UNIDADE 2

Produtos notáveis e fatoração

Abertura de Unidade – p. 60 Respostas pessoais.

1. Produtos notáveis

Pense e responda – p. 65

(x + y) (x y) = x2 xy + xy y2 = x2 y2

Atividades – p. 67

1. a) 64x2 1

b) 100 + 60x + 9x2

c) 49a2 14ab + b2

d) x2 + xy + 0,25y2

e) a2x2 b2

f) a4 8a2y + 16y2

g) 1,96 a2b2c2

h a6 + 2a3b3 + b6

i) x8 + 10x4y3 + 25y6

j) b2c2 1 4 a4

2. a) 9x4 4c2 b) a4b4 6,25c2

3. Alternativa a.

4. Alternativa d.

5. a) 9x10 3x5 + 0,25

b) 3 c) 6,75

6. a) V c) V

b) F; 9y2 a2

7. (2ax + 5)2 = 4a2x2 + 20ax + 25

8. 16

9. 2ab

10. xy + a3

11. 450

12. Alternativa d.

13. Alternativa d.

14. Alternativa c.

15. Não. A resposta correta é 4x2 4xy3 + y6

16. a) 4 x b) 3x2 293

17. Alternativa a.

18. O polinômio procurado é 8x 8y.

Atividades – p. 69

1. a) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b) b3 3b2c + 3bc2 c3

c) 8a3 + 12a2 + 6a + 1

d) 1 6a + 12a2 8a³

e) 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³

f) 27y³ 27y² + 9y 1

2. a) a2b ab2

b) 2y³ 20x²y + 2xy²

c) 3a² 7a + 2

Tratamento da informação – p. 70

1. a) Aproximadamente 142,5 óbitos por dia.

b) 140,5

2. a) Observa-se que a linha laranja (média móvel) se aproxima mais da linha azul (quantidade total diária de óbitos) do que a linha cinza (média). Com isso, pode-se concluir que a média móvel representou melhor a variação da quantidade total diária de óbitos do que a média usual no período considerado.

b) Resposta pessoal.

3. a) A média móvel.

b) A média usual é aproximadamente 132, e a média móvel é 186. Sim.

2. Fatorando polinômios

Atividades – p. 72

1. a) 2 27; 3 18; 6 9

b) Resposta pessoal.

2. a) (x + y)(x y)

b) (5b + 2c)(5b 2c)

Atividades – p. 76

1. a) 10(x + y)

b) y(y + 9x)

c) 0,5(x 2y)

d) ab(1 a2b2)

2. a) b(b a 1)

b) 8x3(3x2 x 7)

c) a3(a4 + a2 + 1)

d) 20ax(6x2 5x + 3)

e) 1 2 ab 1 4 1 2 ab       +

3. 2 014

4. a) (x + y)(a b)

b) (p + h)(x + y)

5. 5a(x2 y2); 2 500

6. xy(y2 + 7y 3); 102

7. (2x y)(a + b + c); 2 000

8. a) (a + b)(a + x)

b) (a 1)(x + b)

c) (a2 + 1)(a3 + 2)

d) (x2 2y)(b + 5)

e) (b2 +1)(2 k)

9. 2,75

10.

a) (a b + c)(x + y)

b) (a + b + 1)(m n)

c) 2(a + b)(x + y)

11. (x z)(x + 2y); 135

12. 117

Atividades – p. 78

1. a) (a + 8)(a 8)

b) (10 + b)(10 b)

c) (x + 0,5)(x 0,5)

d) (4b + 3c)(4b 3c)

e) (1 + xy)(1 xy)

f) (a2 + c2)(a2 c2)

g) (a3b3 + 0,1)(a3 b3 0,1)

h) (x2 + 10)(x2 10)

i) (3 + y3)(3 y3)

j) (9r + s2)(9r s2) 2.

b)

k) y(x 1)(x2 + x + 1)

l) (a + b)(x + 1)(x 1)

m) (a + b)(a + 1)2

n) 2x(x + y)(x y)(x2 + xy + y2)(x2 xy + y2)

o) (a + b)2(a b)(a2 ab + b2)

3. 180

4. (a + b)(b + c)(b c)

5. xy(x + y)2; 250

6. x(a + b)(x + 1)(x 1)

7. a) 0 e 9.

b) 9 e 9.

c) 8 e 8.

d) 20 e 0.

e) 0 e 1.

8. Alternativa a.

9. Alternativa b.

f) 0,5 e 0,5.

g) 1 e 1.

h) 0,6 e 0.

i) 0,1 e 0,1.

j) 0 e 1 4

10. Para x = 0: 2x 3 2x 3 + = 1

3. 40

4. (ab + x)(ab x); 105

5. a) x(x 8)

b) (y + 6)(y 4)

c) (a + b + c)( a + b c)

d) (n + 11)(n 1)

e) (4x 1)(2x 1)

f) 3(2a3 + 3)

g) y(2x + y)

h) 1(2a + 1)

Atividades – p. 80

1. a) Sim.

Para x = 1: 2x 3 2x 3 + = 5

11. Resposta pessoal.

12. 60

Por toda parte – p. 84

• Respostas pessoais.

• Respostas pessoais.

• Pesquisa do estudante.

Retomando o que aprendeu – p. 86

1. Alternativa b.

e) ax(a + b)

f) x2y2(1 x3y3)

g)

h) 2,5a(x2 1)

c) (a x)(b c)

f) (5y 4)(y2 + 2)

g) (a4 + 1)(a8 1)

h) (2a + 1)(n m)

i) (x + 1)       y 1 2 +

b) Não. c) Sim.

2. (x + 9)2

3. (x 0,2)2

4. 2a

5. 189

6. a) (2x 3y)2

b) (y + 11)2

c) (9p 1)2

d) (2b + 4x)2

e) (10p x)2

7. 121

Atividades – p. 83

1.

a) (x + y)(x2 xy + y2)

b) (b c)(b2 + bc + c2)

c) (a 1)(a2 + a + 1)

d) (x + 2)(x2 2x + 4)

f)

d) Sim.

2. Alternativa c.

3. Alternativa a.

4. 2

5. Alternativa e.

6. Alternativa a.

7. Alternativa a.

f) (12xy + 1)2

g) (m 6)2

h) (4a2 + b)2

i) (10 bc)2

j) (x5 + 2y3)2

e) (3 m)(9 + 3m + m2)

1 5 c 1 25 c 5 c 2 +_+

2. a) (a2 + b2)(a + b)(a b)

b) 3(x 1)2

c) x(m + 1)(m 1)

d) 5(a + 3b)2

e) xy(x + y)(x y)

f) (m4 + n4)(m2 + n2)(m + n)(m n)

g) (x + y)2(x y)

h) a(a x)(a2 + ax + x2)

i)

8. a) 9x2 1

b) 100 + 40x + 4x2

c) 49a2 28ab + 4b2

d) 4x2 + 2xy + 0,25y2

e) 16x2 b2

f) a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3

g) 8a3 12a2b + 6ab2 b3

h) 8 36a + 54a2 27a³

9. a) b(b 2a + 1)

b) 6x3(3x2 + x 7)

c) 2a(a4 + a2 + 1)

d) 20ax(5x2 3x + 6)

10. 4a

11. 252

12. Alternativa b.

13. Alternativa e.

Um novo olhar – p. 87

Respostas pessoais.

UNIDADE 3

Equações do 2o grau

e) (a + 7)(a 7)

f) (8 + b)(8 b)

g) (2 + ab)(2 ab)

Abertura de Unidade – p. 88

• A incógnita é t, e o expoente é 2. Não, pois em uma equação do 1o grau, o expoente da incógnita é 1, e na equação apresentada, o expoente é 2.

• Aproximadamente 2,67 s.

1. Equação do 2o grau com uma incógnita

Pense e responda – p. 90

1. a) x2

b) 3x

c) x2 3x = 4

Atividades – p. 92

1. Itens a, d, e, f.

2. a) Completa.

b) Completa.

c) Incompleta.

3. a) a = 10, b = 3, c = 1

b) a = 1, b = 2, c = 8

d) O número é 4. e) Resposta pessoal.

d) Completa. e) Incompleta. f) Incompleta.

c) a = 1, b = 3, c = 4

d) a = 7, b = 10, c = 3

e) a = 4, b = 6, c = 0

f) a = 1, b = 0, c = 16

g) a = 6, b = 1, c = 1

h) a = 5, b = 10, c = 0

4. a) x2 + 6x + 9 = 0

b) 4x2 6x + 2 = 0 c) 4x2 25 = 0 d) 21x2 7x = 0

Atividades – p. 93

1. a) x2 + 2x 35 = 0

b) Resposta pessoal.

2. a) x2 x 12 = 0

b) x2 5x + 6 = 0

2. Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita

5. A raiz comum é 17, e as não comuns são 5 e 3. Logo, 5 + 3 = 2.

6. A raiz, que é uma fração, é 5 4 ; logo, 5 + 4 = 9.

7. a) { 4, 1} b) { 5, 1}

8. 2

9. A maior raiz dessa equação é 1, e 1 não é primo. Portanto, não podemos afirmar que a maior raiz é um número primo.

2. A equação do item b

3. Resposta pessoal.

4. x2 7x + 10 = 0

5. Resposta pessoal.

3. Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita

Atividades – p. 110

1. a) x‘ + x” = 1; x‘ x” = 20

b) x‘ + x” = 1 2; x‘ x” = 1 16

c) x‘ + x” = 2 3; x‘ x” = 1 2

d) x‘ + x” = 3 10 ; x‘ x” = 2 5

2. a) 6

b) 16

c) 3 8

3. a) S = 3 e P = 18.

b) S = 7 5 e P = 6 5

c) S = 9 2 e P = 9 2

4. 17

5. 0,5

6. a) S = 4 2 e P = 3.

b) S = 2 e P = 3.

7. c = 1,25

8. 2 ou 2.

9. 5

10. h = 7

11. k = 1

12. Resposta pessoal.

13. a) 3 e 2.

b) 6 e 4.

c) 6 e 2.

14. x‘ = 1 e x” = 4; A = 4 e P = 10.

4. Mais equações

Atividades – p. 112

12. 1 ou 6.

13. 6 ou 1.

14. 10 ou 1.

15. 50 m e 22 m.

16. 4 ou 5.

17. 14 horas.

18. 15

19. a) 6 lados. b) 8 lados.

20. a) 10 m e 7 m. b) 34 m

21. a) 14 m e 10 m. b) Resposta pessoal.

22. a) 20; 80 b) 82

23. 15 m

24. 5 cm

Tecnologias – p. 106

1. a) 3

b) Não tem raiz real.

c) 0 e 53 3

d) 4 e 4.

1. a) { 3, 3}

b) { 2, 2} c) {0, 4, 4} d) { 2, 2}

2. 5 + 1 6

3. Duas: 2, 2.

4. 1 e 1.

5. a) { 3, 2, 2, 3} b) {} 2, 2

c) { 2, 2} d) {} 5, 5, 2, 2

6. Sim; pois as raízes são 1, 1, 2 e 2

Atividades – p. 113

1. a) {2}

b) {1, 4}

2. 4 ou 2.

3. {2}

4. { 4, 5}

5. x = 4 ou x = 3. 295

D2-MAT-F2-2103-V9-PFI-290-304-LA-G24_AV2.indd 295 25/06/22 16:59

Tratamento da informação – p. 114

1. a) 25%

b) Não está correta, pois a escala do eixo vertical vai de 0% a 100% e o tamanho da barra indica uma preferência de quase 90%.

c) Sim, pois as alturas das colunas não estão proporcionais. Por exemplo, 40% dos consumidores entrevistados não usam roupas de marca, mas a coluna que representa esse percentual é mais baixa do que a coluna que representa 25% dos consumidores.

d) Marcas de roupas preferidas pelos consumidores

Um novo olhar – p. 117

• Quando o discriminante é maior do que zero.

• Pela soma e pelo produto das raízes, utilizando a equação x2 Sx + P = 0, em que S é a soma e P é o produto.

• Resposta pessoal.

UNIDADE 4

Relações entre ângulos

Abertura de Unidade – p. 118

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

RoupaXRoupa Bela Roupa Mais Nãousa roupas demarca

Não sabe

Marca de roupa

Fonte: Pesquisa da empresa Roupa X

2. a) Não, pois o gráfico não mostra a evolução da venda de carros em determinado período.

• No primeiro caso, trata-se de uma circunferência, e, no outro, de um círculo.

1. Ângulos determinados por retas transversais

Atividades – p. 122

1. a) 10° b) Cada um dos ângulos mede 60°.

2. 45°

3. a) x 60° e y 135°. b) x 20° e y 140°.

4. 16,8°

5. Alternativa a.

6. Alternativa b. Atividades – p. 126

1. 15°

2. Alternativa c.

3. Alternativa a.

4. Alternativa c.

Bens de consumo duráveis

b) Bem de consumo Quantidade

Carro 6 Fogão 3

Geladeira 2 Televisão 9

Fonte: Dados fictícios.

c) Bens de consumo duráveis adquiridos nos últimos 4 meses

5. Alternativa e.

6. Alternativa b.

7. a) 15°

b) a = 35° e b = 55°.

c) 180°

d) BA ^ C e AB ^ C são agudos, e AC ^ B é reto.

e) Ângulos complementares.

2. Circunferência

Atividades – p. 130

1. 9 cm. Resposta pessoal.

2. x = 90° e y = 60°.

3. 2x + y

4. a) 3 cm

b) 15 cm

5. a) 20 cm

6. a) a = 11 cm, b = 25 cm e c = 31 cm.

b) 134 cm

7. a) 2 cm

c) 15 cm

d) 44 cm

b) 3 cm

c) (2a + 16) cm

Bem de consumo Carro FogãoGeladeira Televisão

Fonte: Dados fictícios.

d) Não. O gráfico de linhas é indicado para mostrar uma tendência, crescente ou decrescente, em um período, por exemplo. Retomando o que aprendeu – p. 116

b) 8 cm

Atividades – p. 132

1. a) med () AB = 75°

med () ACB = 285°

2. 80°

3. x = 45°; y = 90°

4. a) 120°

d) Resposta pessoal.

b) med () AB = 90° med () ACB = 270°

b) 45°

5. med () AB = med () BC = med () CA = 120°

6. x = y = 110°

7. 20°

8. Sim; caso LLL.

Atividades – p. 136

1. p = t 2 ou t = 2p.

D2-MAT-F2-2103-V9-PFI-290-304-LA-G24_AV3.indd

2. x = 46° e y = 92°.

3. 12°

4. x = 36° e y = 30°.

5. a) 82° b) 41°

6. x = 40°, a = 140°, b = 20° e c = 20°.

7. s = 104° e t = 38°.

8. med () AOC ˆ = 168° e med () AB C = 84°.

9. 60°

10. med () CD 130° e x 65°.

11. a = 54°, b = 101°, c = 126° e d = 79°.

12. a) 60° b) 85°

13. 45°. Resposta pessoal.

Tecnologias – p. 138

1. Verificação da propriedade de que a medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central correspondente.

2. Resposta pessoal.

Atividades – p. 141

1. a) x = ts 2 + b) x = ts 2

2. a) 57° b) 18°

3. a = 30°, b = 95° e c = 85°.

4. 87°

Retomando o que aprendeu – p. 142

1. Alternativa c.

2. Alternativa a.

3. Alternativa c.

4. Alternativa c.

5. Alternativa e.

6. Alternativa b.

Um novo olhar – p. 143

7. Alternativa c.

8. Alternativa b.

9. Alternativa a.

10. Alternativa e.

11. Alternativa c.

12. Alternativa d.

• Ângulos complementares são ângulos cuja soma das medidas é igual a 90°; e ângulos suplementares são ângulos cuja soma das medidas é igual a 180°.

• Ângulos correspondentes em retas paralelas são ângulos de mesma medida que coincidem por translação; ângulos congruentes são quaisquer ângulos de mesma medida entre si. Ângulos correspondentes são pares de ângulos congruentes, mas nem todo par de ângulos congruentes são ângulos correspondentes.

• Resposta pessoal.

UNIDADE 5

Proporção e semelhança

Abertura de Unidade – p. 144

• Resposta pessoal.

• É possível identificar a distorção na imagem cuja modificação foi apenas na direção vertical.

• Podemos considerar a imagem original e a imagem reduzida em que a proporção entre as medidas nas direções horizontal e vertical foi fixada.

1. Segmentos proporcionais

Pense e responda – p. 146

1. a) 14 20 = 7 10 ou 0,7.

b) 35 50 = 7 10 = 0,7.

Atividades – p. 149

1. Não, pois a razão 540 : 6 = 90 é diferente da razão 331 : 4 = 82,75. Ou seja, o caminhão e o carro apresentaram velocidades médias não proporcionais.

2. a) 300 000 km/s

b) Cerca de 8 minutos e 20 segundos.

3. 2 5 ou 0,4.

4. 3,2 m

5. a = 9; b = 15; AB BC = 3 5 ou 0,6.

6. 1 : 300

7. 80 km

8. A distância real aproximada, em linha reta, entre Boa Vista e Brasília é de 2 500 km.

Atividades – p. 151

1. Sim, pois AB CD = MN PQ = 2 3

2. 12,8 cm

3. 8 cm

4. 40 cm, 60 cm, 80 cm e 120 cm.

2. Feixe de retas paralelas

Atividades – p. 155

1. a) 80 b) 3,6

2. 63 cm

3. 6,9

4. 20

5. 8 ou 0,5.

6. x = 1 e y = 9.

7. Lote 1: 54 metros; lote 3: 90 metros.

8. Resposta pessoal.

Atividades – p. 158

1. 3

2. 127,5

3. AB = 8 cm; AC = 16 cm; perímetro = 38 cm

4. x = 18,75 cm; y = 11,25 cm

5. x = 7,5

6. Resposta pessoal.

7. 60 m e 96 m.

8. 3,2 m

Atividades – p. 160

1. a) 5 b) 2,5

2. AC = 8, BD = 3 e DC = 4.

3. AD = 6 cm e DC = 9 cm.

4. a) 52,5 b) 40,8

3. Figuras semelhantes

Fórum – p. 161 Resposta pessoal.

Atividades – p. 165

1. a) A afirmação é verdadeira, pois os ângulos internos correspondentes são congruentes, e os lados correspondentes são proporcionais, cuja razão de proporção é 3 5

b) A afirmação é verdadeira, pois os ângulos internos correspondentes são congruentes, mas os lados correspondentes não são proporcionais.

2. a) F b) V c) F

3. 4 3

d) V e) V

4. a) 64 cm b) 6 cm e 8 cm.

5. a) 2

b) x = 15; y =20; z = 31

c) 2

6. a) 3 2 ou 1,5.

b) 108° c) 1,4 cm

Atividades – p. 168

1. a) Não. b) Sim. c) Sim.

2. B ^ 2 E ^ e C ^ 2 D ^

3. x z = y x ou x2 = y z.

4. x = ab

5. 28,8 m

6. 125 m

Atividades – p. 171

1. x = 21,6 e y = 26,4.

2. AB = 30 e AD = 40.

3. 96 cm2

4. 3,2

5. Alternativa b.

6. 250 m

7. 50 m

8. Alternativa d.

9. 20,5 m

Por toda parte – p. 173

1. 146 m

Retomando o que aprendeu – p. 174

1. Alternativa d.

2. Alternativa b.

3. Alternativa c.

4. Alternativa a.

5. Alternativa e.

Um novo olhar – p. 175

• Respostas pessoais.

UNIDADE 6

6. Alternativa b.

7. Alternativa a.

8. Alternativa c.

9. Alternativa e.

10. Alternativa c.

Porcentagem, probabilidade e estatística

Abertura de Unidade – p. 176

• Resposta pessoal.

• Em 2021, o maior índice foi registrado em novembro, e o menor, em janeiro. A inflação nesse período pode ser calculada pela subtração

10,74% 4,56% = 6,18%.

• Resposta pessoal.

1. Porcentagem e problemas envolvendo juros

Pense e responda – p. 178

18,8%. Não, pois a soma das taxas percentuais é dada por 8% + 10% = 18%, e a taxa percentual de reajuste foi de 18,8%.

Atividades – p. 181

1. a) R$ 39,69

b) R$ 34,69

2. Sim.

3. Sim.

c) Não. Embora os percentuais de aumentos sucessivos e os de descontos sucessivos sejam iguais, eles foram aplicados em preços diferentes, resultando valores diferentes.

2. R$ 708,00

3. R$ 66.240,00

4. R$ 30.240,00

5. R$ 6.200,00

6. R$ 2.138,64

7. 100% ao mês.

8. R$ 4.776,84

9. R$ 6,83

10. Resposta pessoal.

11. R$ 1.932,00

Tecnologias – p. 182

1. a) No regime de capitalização a juro composto. Ele receberá R$ 27,27 a mais.

b) No regime de capitalização a juro simples.

c) A partir de 1 mês, o montante a juro composto passa a aumentar mais rapidamente do que o montante a juro simples.

2. Probabilidade

Atividades – p. 186

1. 1 6 ; 1 2

2. a) 1 8 b) 1 2 c) 1 16

3. Alternativa d.

4. 4 15

5. 24%

6. a) 1 17 b) 4 17

7. 3 7

8. 1 36

9. É menor, pois 3 16 18,75%.

10. 400 rodadas distintas.

3. Analisando gráficos

Atividades – p. 190

1. Alternativa d.

2. a) Possivelmente, a chapa B, pois a coluna referente à quantidade de votos dessa chapa, aparentemente de modo proposital, tem mais destaque em relação às demais.

b) Para representar a porcentagem de voto da chapa B , foram usadas letras maiores do que nas demais chapas. Além disso, a altura da coluna da chapa B está desproporcional em relação à coluna referente à chapa A , que detém 60,3% das intenções de voto, enquanto a chapa B detém apenas 30%.

c) Intenção de voto para a diretoria do centro acadêmico

3. a) Resposta pessoal.

Fonte:

b) Desmatamento na Amazônia

Área desmatada

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021

Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. PRODES: Monitoramento do desmatamento da Floresta Amazônica brasileira. São José dos Campos: INPE, 2021. Disponível em: http://www.obt.inpe.br/OBT/assuntos/programas/amazonia/prodes. Acesso em: 11 abr. 2022.

c) 113,23%

d) 8 971,14 km² por ano.

e) Não há moda. A mediana é 7 893 km².

4. a) Para cada ano (coluna inteira), cada cor representa um dos produtos exportados. De acordo com a legenda, temos: cor azul representa as exportações de soja, cor laranja, as de café, e cor roxa, as de milho.

b) Sim, o milho.

c) Soja: 2019; café: 2020; milho: 2021.

d) Em 2019.

5. a) O gráfico de linhas. Porque esse tipo de gráfico também mostra a evolução dos dados ao longo do tempo.

b) Média: 322,4 registros por ano; mediana: 340,5 registros.

c) De 2017 a 2021.

d) 14%

e) Resposta pessoal.

6. Resposta pessoal.

4. Elaborando uma pesquisa

Atividades – p. 196

1. a) Sim, pois, para mostrar os componentes de um todo, o gráfico de setores é o mais adequado, e, para comparar categorias, o mais adequado é o gráfico de barras (no caso, barras duplas).

b) Resposta pessoal.

2. Realização de pesquisa e construção de gráfico.

Fórum – p. 197 Resposta pessoal.

Por toda parte – p. 198

• a) Com o passar dos anos, a base da pirâmide etária tem ficado mais estreita, e o topo tem ficado mais largo, o que indica que a população brasileira, no futuro, tende a ser predominantemente composta de pessoas mais velhas.

b) Por ser a maneira mais eficaz de reduzir a mortalidade causada pela doença.

c) Não. O esquema vacinal completo foi composto de três ou quatro doses da vacina contra a covid-19.

d) Resposta pessoal.

Pesquisa de intenção de votos para a diretoria do centro acadêmico.

Tecnologias – p. 200

1. a) Pesquisa para prefeito – Intenção de votos

Intenção

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Candidato B Candidato C Fonte: Dados fictícios.

b) Para o candidato A, a intenção de voto cresceu mês a mês, e para o candidato C, a intenção de voto decresceu mês a mês ou ficou constante (manteve o percentual), mas não houve crescimento algum.

2. Realização de pesquisa e construção de gráfico.

Retomando o que aprendeu – p. 202

1. R$ 1.264,00

2. Alternativa c.

3. Alternativa c.

4. 30%

5. Alternativa b.

6. a) 20 c) 35

b) 9A; 25 estudantes usam óculos. d) Apenas na turma 9A.

7. a) A evolução do faturamento ao longo do tempo (de 2011 a 2021).

b) Resposta pessoal.

c) Sim, inicialmente, o período é de 2 em 2 anos, mas o último período é de 4 anos, o que acentua o crescimento do último período.

Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

Abertura de Unidade – p. 204

• Resposta pessoal.

• Triângulo retângulo.

• Resposta pessoal.

1. Teorema de Pitágoras

Pense e responda – p. 206

1. a) A1 = 6,25 cm2 b) A2 = 4 cm2 c) A3 = 2,25 cm2 d) A1 = A2 + A3

Por toda parte – p. 211

e) Resposta pessoal.

1. 12 cúbitos. A justificativa depende das etapas utilizadas no cálculo.

2. Resposta pessoal.

Atividades – p. 212

1. Como 262 = 242 + 102, o triângulo é retângulo.

2. a) 35 b) 7 c) 2 5 d) 2

3. a) 2 5 b) 4 5 c) 10 d) 28

4. 4,90 cm

5. a) 45 b) 51

6. 9 5

7. a) 20 b) 12 10

8. a + b + c = 7,0

9. 24 cm e 18 cm.

10. a) 10 km b) 5 horas. c) Resposta pessoal.

11. a) 63,2 m b) 31,6 m

12. 25 m

13. 4 m

14. 9 m

Atividades – p. 216

1. 12 2 cm

2. 20 2 cm

b) 6,5 m2

Flor 2 4 6 8 10 12 CravoLírioRosaTulipa

Fonte: Equipe de jardinagem.

0

9. Resposta pessoal.

Um novo olhar – p. 203

• A inflação e o IPCA são expressos em percentuais que indicam a variação dos preços de mercadorias e serviços em determinado período. Assim, conhecendo o conceito de porcentagem, podemos realizar cálculos, comparar índices, bem como fazer outras análises envolvendo situações financeiras e econômicas.

• No cálculo de juro simples, a taxa de juro é aplicada sempre sobre o capital a cada período; já no cálculo de juro composto, a taxa de juro é aplicada sobre o montante do período imediatamente anterior.

• Resposta pessoal.

3. l= 15 cm; perímetro = 60 cm

4. 33,84 cm

5. 800 cm2

6. a) 10 2 cm b) 40 2 cm c) 200 cm2

7. 12 3 cm 8. 10,38 cm 9. 30 cm 10. 15,57 cm2 11. 5 6 cm 12. Resposta pessoal. 13. 3 4 2l

Atividades – p. 220

1. a) m = 4; n = 12 b) b = 18; h = 12 2 c) a = 34; n = 25

2. a = 100 mm; h = 48 mm; b = 80 mm; c = 60 mm

3. 280 cm

4. a) 20 cm b) 10 3 cm c) 5 3 cm

5. x = 6 cm; y = 2 13 cm; z = 3 13 cm

6. 48 km

7. x = 25 cm

Por toda parte – p. 221

1. Aproximadamente 28,97 m.

2. Resposta pessoal.

3. Resposta pessoal. 299

12:45

UNIDADE 7

3. Medida do comprimento de um arco de circunferência

Por toda parte – p. 223

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

Atividades – p. 224

1. 226,08 cm

2. 125,6 cm

3. r = 45 cm; C = 282,6 cm

4. O trajeto em arco é o mais barato, pois 203 040  ,  228 420.

5. 80 m

6. 10,99 cm

7. Aproximadamente 104,67 m.

8. Resposta pessoal.

9. a) Aproximadamente 239,3 cm. b) Aproximadamente 1 672 voltas.

4. Relações métricas da circunferência

Atividades – p. 227

1. a) 6 b) 10 c) 8 d) 9

2. 19

3. 6 3

4. a) 4 b) AB = 17; CD = 19

5. 4 10

6. 16 cm e 2 cm.

7. a) 18 cm b) 10 cm

8. 12 cm

9. 4 cm

Retomando o que aprendeu – p. 228

1. Alternativa a.

2. Alternativa d.

3. Alternativa d.

4. Alternativa b.

5. Alternativa a.

Um novo olhar – p. 229

• Resposta pessoal.

6. Alternativa a.

7. Alternativa e.

8. Alternativa a.

9. Alternativa d.

• Pelo caso AA, ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então eles são semelhantes.

• 35 m

• Centro, corda, raio, diâmetro e arco.

UNIDADE 8

Figuras planas, figuras espaciais e vistas Abertura de Unidade – p. 230

• Resposta pessoal.

1. Polígono regular

Pense e responda – p. 232

1. O triângulo equilátero é um polígono de três lados de mesma medida, e cada um dos três ângulos internos mede 60°. O quadrado é um polígono de quatro lados de mesma medida e quatro ângulos internos de 90°.

2. Um polígono regular é aquele que tem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos congruentes entre si. O triângulo equilátero e o quadrado são polígonos regulares.

3. Como a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é 360° e um polígono regular tem todos os ângulos externos de mesma medida, a medida ae de cada ângulo externo de um polígono regular de n lados é dada por: a 360° n e = . Então, a medida do ângulo externo de um triângulo equilátero é 120°, e a de um quadrado é 90°.

Atividades – p. 235

1. a) a c = 120° e a = 60°.

b) a c = 90° e a = 90°.

2. x = 10 cm

3. 5 3 cm

4. 8 2 cm

5. 3,535 2 cm e 3,535 cm.

Pense e responda – p. 238

Resposta pessoal.

Atividades – p. 239

c) a c = 60° e a = 120°. d) a c = 45° e a = 135°.

1. a) 40 2 cm b) 40 cm c) 40 3 cm

2. Quadrado: 70 cm; triângulo equilátero: 85 cm.

3. 43,25 cm

4. a) 120° b) 93 cm c) 4,5 cm d) 13,5 cm

5. 46,625 cm

6. Resposta pessoal.

7. a) 3 cm b) 4,2 cm c) 7,2 cm

8. a) Aproximadamente 82,35%. b) Respostas pessoais.

9. 2 076 cm2

10. a) l= 13,6 cm e P = 40,8 cm. b) a = 6,8 cm e P = 48 cm.

Tecnologias – p. 240

1. Resposta pessoal.

2. O fluxograma depende do polígono construído na atividade 1

Atividades – p. 243

1. Resposta pessoal.

2. a) 240 cm

b) 40 3 ou 69,2 cm.

c) 16 608 cm2

3. a) 18 cm b) 54 cm c) 9 3 cm d) 486 3 cm2

4. 5 024 cm2

5. 25,12 cm2

6. 113,04 cm2

7. 94,2 cm2

8. 32,86 cm2

9. Sim, pois 170 m2 . 139,25 m2

10. a) 0,4 m b) 0,5024 m2

Por toda parte – p. 245

1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal. Tratamento da informação – p. 246

1. Aproximadamente 298 produtos.

2. Semioquímicos; aproximadamente 49 produtos.

3. Resposta pessoal.

4. Produtos biológicos registrados

Produto biológico Quantidade de produtos Percentual correspondente Medida do ângulo central de cada setor do gráfico

Elaborada com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https:// croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobre-producao-dealimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022.

5. Produtos biológicos registrados

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

UNIDADE 9

Funções

Abertura de Unidade – p. 258

• Posição do corpo e tempo de deslocamento.

Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobre-producaode-alimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022.

2. Representações no plano cartesiano

Atividades – p. 249

1. a) A = ( 3, 4), B = ( 5, 2) e C = ( 1, 2).

b) D = ( 4, 3) e E = ( 2, 3).

c) 22 2 + (u.c.)

d) Triângulo isósceles; área: 1 (u.a.).

2. 29 (u.c.)

3. Resposta pessoal.

3. Figuras espaciais Atividades – p. 253

1. Afirmação falsa, pois, se o segmento estiver sobre uma reta que é perpendicular ao plano, a projeção ortogonal do segmento será apenas um ponto.

2. Alternativa c.

3. Amarelo: vista frontal; verde: vista lateral; laranja: vista superior.

Atividades – p. 255

1. Um prisma triangular reto e um prisma pentagonal reto. O volume do primeiro é dado pela área do triângulo da base multiplicada pela altura do prisma. O volume do segundo é dado pelo produto da área do pentágono regular da base pela altura do prisma.

2. a) Essa peça lembra a forma de um prisma reto de base triangular.

b) 810 m3. Resposta pessoal.

3. a) Cilindro.

b) 1 125 cm3

4. Alternativa b.

5. 114,4 cm3

Retomando o que aprendeu – p. 256

1. a) Resposta pessoal

b) Resposta pessoal.

2. Alternativa a.

3. Alternativa b.

4. Alternativa d.

10. a) C( 1, 0) e D(1, 0).

b) M(0, 2)

c) N(1, 1), O(0, 0) e P( 1, 1).

d) Perímetro: 42 (u.c.); área: 2 (u.a.).

11.

5. Alternativa c.

6. Alternativa b.

7. Alternativa c.

8. Alternativa d.

9. Alternativa b.

• Resposta pessoal.

1. Noções de função

Pense e responda – p. 260

a) O professor vai pagar R$ 1.500,00.

b) Ele poderá comprar 26 joelheiras. Atividades – p. 262

1. y = 500 + 45x

2. a) y 1 x =

b) y = x2 4

c) y = 1 2 x + 5

3. a) Resposta pessoal.

b) 50 mil reais.

Educação financeira – p. 263

1. a) R$ 600,00

b) R$ 5.400,00

c) Diferença de R $ 1.815,18, que corresponde a cerca de 33,6% dos R $ 5.400,00 economizados.

2. Função afim

Atividades – p. 265

1. 7

2. x 1 2 =

3. a) y = 4x. A função está definida para valores reais positivos, pois x é uma medida de comprimento.

b) x y = 4x

Vista frontal Vista superior Vista lateral

12. 775 cm3

Um novo olhar – p. 257

• O termo refere-se às dimensões do espaço tridimensional (largura, altura e profundidade).

• Não, pois apresenta superfície arredondada.

D2-MAT-F2-2103-V9-PFI-290-304-LA-G24_AV1.indd

c) 40 3

d) 11

e) Sim, pois a lei de formação é do tipo y = ax (com a 5 0). As grandezas perímetro e comprimento do lado de um quadrado são grandezas diretamente proporcionais.

Fórum – p. 266 Resposta pessoal.

Atividades – p. 267

1. a)

b) Lucro de 330 reais.

c) No fim do quarto mês. O gráfico intersecta o eixo x no quarto mês, ou seja, para x = 4, o valor de y é zero.

Tratamento da informação – p. 270

1. Aproximadamente 84,6 milhões de brasileiros.

2. Categoria militar e servidor estatutário. Esse percentual corresponde a 553 420 trabalhadores.

3. Categoria de empregado do setor privado com carteira assinada. Foram afastados 673 365 trabalhadores.

4. Respostas pessoais.

3. Função quadrática

Atividades – p. 276

1. a) ( 3, 1)

b) (1, 9)

c) (4, 1)

d) 3 4 , 9 4

e) ( 3, 2) f) (0, 36)

g) 7 2 , 9 4

h) (5, 1) i) (1, 3)

j) 1 4 , 1 4

2. a) Depois de cinco dias.

b) Depois de 15 dias.

Atividades – p. 278

1. a) Intersecta nos pontos (6, 0) e ( 4, 0).

b) Intersecta apenas no ponto (3, 0).

c) Intersecta nos pontos (2, 0) e (7, 0).

d) Não intersecta o eixo x

2. a) 5 e 5.

b) 0 e 6.

c) 2 e 3.

d) 1 3 e 1 3

e) 1 2

f) 0 e 1.

3. a) ( 4, 0) e (4, 0).

b) (6, 0)

c) (0, 0) e (7, 0).

Atividades – p. 281

1. a) a = 1 (a . 0); concavidade para cima.

b) a = 3 (a . 0); concavidade para cima.

c) a = 1 (a , 0); concavidade para baixo.

d) a = 6 (a , 0); concavidade para baixo.

2. a) a . 0 e D, 0.

b) a , 0 e D. 0.

3. a) V(0, 1)

que f = 2,8 e g = 1,6. Portanto, f assume maior valor.

8. a)

b) V(0,

Atividades – p. 283

1. a) Ponto de mínimo; (4, 10).

b) Ponto de máximo; (2, 9).

c) Ponto de máximo;

d) Ponto de mínimo; (0, 16).

e) Ponto de mínimo; (2, 49).

f) Ponto de mínimo; ( 1, 3).

g) Ponto de máximo; (0, 9).

h) Ponto de mínimo;

2. (1, 5)

3. (2, 4)

Tecnologias – p. 284

1. a) Eixo x : ( 1, 0) e eixo y : (0, 3).

b) Eixo x : (1, 0) e eixo y : (0, 3).

c) Resposta pessoal.

2. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

c) I: (0, 4); II: (0, 5); III: (0, 1); IV: (0, 4); V: (0, 9); VI: (0, 6)

d) Resposta pessoal.

Por toda parte – p. 287

1. a) Respostas pessoais.

b) Sim, podemos afirmar que o valor pago varia em função do consumo; a definição da lei de formação da função dependerá da conta analisada.

2. Resposta pessoal.

3. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu – p. 288

1. Alternativa d.

2. a) x = 2

b) Diminuem. Os valores de y diminuem à medida que os valores de x aumentam.

3. Resposta pessoal.

4. Alternativa e.

D2-MAT-F2-2103-V9-PFI-290-304-LA-G24_AV3.indd

6. k . 3

7. a) Ponto de mínimo; (0, 25).

b) Ponto de máximo; (0, 25).

c) Ponto de máximo; (5, 25). d) Ponto de mínimo;

8. Alternativa a.

9. Alternativa a.

10. Alternativa a.

11. Alternativa d.

Um novo olhar – p. 289

• Uma reta. • b a

• Nenhum ou dois (iguais ou diferentes).

• O sinal do coeficiente a da função quadrática definida por ax2 + bx + c (a 5 0 e x [r).

• Resposta pessoal.

Tecnologias – p. 290

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessôa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2016.

Esse livro destaca como situações do dia a dia podem contribuir para a motivação do estudo da matemática e para a compreensão e aplicação de vários conceitos trabalhados nessa área.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018.

Apresenta um conjunto de artigos que abordam estudos e aplicações de metodologias ágeis na educação para o desenvolvimento do protagonismo estudantil de maneira inovadora.

BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta Caecilia. História da matemática. Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.

Esse livro apresenta episódios da construção histórica do conhecimento matemático destacando a solução de problemas, abertos há muito tempo, e o papel dos computadores na pesquisa em matemática.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular : educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento oficial composto de orientações que norteiam a (re)elaboração dos currículos de referência das escolas das redes pública e privada de ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos essenciais, as competências, as habilidades e as aprendizagens pretendidas para crianças e jovens em cada etapa da Educação Básica. BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB: DICEI, 2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/ julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/ file. Acesso em: 8 jun. 2022.

As Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) são normas obrigatórias para a Educação Básica que orientaram a elaboração da BNCC. Elas são discutidas, concebidas e fixadas pelo Conselho Nacional de Educação (CNE).

BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias= 182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192.

Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento que define normas sobre Computação na Educação Básica, em complemento à BNCC.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental –Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento que apresenta uma seleção de conhecimentos de cada componente, considerados fundamentais para o exercício da cidadania, além de uma proposta de organização curricular.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas contemporâneos transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basena cionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextuali zacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento explicativo acerca dos Temas Contemporâneos Transversais a serem abordados na Educação Básica.

BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.

Esse material propõe a análise de dados, e apresenta conceitos de probabilidade. Compreende, também, tópicos de inferência estatística.

COSTA, Erick John Fidelis. Pensamento computacional na Educação Básica: uma abordagem para estimular a capacidade de resolução de problemas na matemática. Dissertação (Mestrado em Ciência da Computação) – Centro de Engenharia Elétrica e Informática, Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande, 2017.

Essa dissertação aborda a importância do desenvolvimento de competências relacionadas ao pensamento computacional desde os anos iniciais da educação básica com o objetivo de estimular a capacidade de resolver problemas.

COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (org.). As ideias da álgebra. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

Conceitos de álgebra são explorados nesse livro por meio de ideias fundamentais que auxiliam a aprendizagem do pensamento algébrico.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática

Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

Esse livro apresenta uma narrativa da história da matemática baseada em resultados obtidos, obras e dados biográficos de estudiosos, e explicita os panoramas culturais de cada época.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos et al Fundamentos de matemática elementar. 8. ed. São Paulo: Atual, 2019. 11 v. (Fundamentos de matemática elementar).

Os livros dessa coleção apresentam conceitos fundamentais de matemática, que servem de introdução a estudos nessa área.

IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Tradução: Stella Maria de Freitas Senra. 11. ed. Rio de Janeiro: Globo, 2001.

Esse livro apresenta o desenvolvimento histórico do conceito de números e de outros conceitos matemáticos.

KENSKI, Vani Moreira. Educação e tecnologias: o novo ritmo da informação. 8. ed. Campinas: Papirus, 2012.

Nesse livro, busca-se mostrar como os avanços tecnológicos podem contribuir para as situações de ensino e aprendizagem, discutindo, diversas compreensões do termo tecnologias e sua aplicação.

LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (org.). Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

O livro apresenta um conjunto de artigos que abordam desafios do ensino de Geometria e recursos para o desenvolvimento do pensamento geométrico.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. Nesse livro, a resolução de problemas é apresentada como ferramenta para o desenvolvimento cognitivo.

ROCHA-FILHO, Romeu Cardozo. Grandezas e unidades de medida: o sistema internacional de unidades. São Paulo: Ática, 1988.

Nesse livro são apresentados conceitos fundamentais de grandezas, de unidades de medida, e o surgimento e a importância do Sistema Internacional de Unidades.

ROSALE, André Rodrigues. Argumentação e prova matemática na Educação Básica. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2017.

Essa dissertação aborda a importância da argumentação matemática para o desenvolvimento da aprendizagem matemática.

ROSEN, Kenneth H. Matemática discreta e suas aplicações 6.ed. [S l.]: McGraw Hill, 2009.

Esse livro apresenta conceitos de matemática aplicada, entre eles a definição de inferência, fundamental para o desenvolvimento do raciocínio matemático.

RESOLUÇÕES COMENTADAS

Unidade 1 • Números reais, potências e radicais

Abertura de Unidade – p. 12

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 2, 3 e 5 , entre outros números irracionais. Todos esses números, assim como o p, têm infinitas casas decimais não periódicas e não podem ser escritos na forma a b , com a e b números inteiros e b 5 0.

• Uma aproximação para o número p pode ser obtida dividindo a medida do comprimento de uma circunferência qualquer por duas vezes a medida do raio dessa circunferência.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Aproximando o valor do número p para um valor conveniente.

1. A Geometria e a descoberta do número irracional

Atividades – p. 18

1. a) Primeiro, traçamos a diagonal do quadrado, obtendo, assim, dois triângulos retângulos isósceles.

3. Sabendo que o valor aproximado de 5 está entre 2 e 3, podemos fazer as tentativas a seguir.

• (2,1)2 = 4,41 , 5

• (2,2)2 = 4,84 , 5

• (2,3)2 = 5,29 . 5

Verificamos que 5 está entre 2,2 e 2,3. Desse modo, podemos calcular:

• (2,22)2 = 4,9284 , 5

• (2,23)2 = 4,9729 , 5

• (2,24)2 = 5,0176 . 5

Verificamos que um valor aproximado para 5 é 2,23.

4. x7 = ; Para calcular 7 , podemos fazer as seguintes tentativas:

• (2,5)2 = 6,25 , 7

• (2,6)2 = 6,76 , 7

• (2,7)2 = 7,29 . 7

Verificamos que 7 está entre 2,6 e 2,7. Desse modo, podemos calcular:

• (2,61)2 = 6,8121 , 7

• (2,62)2 = 6,8644 , 7

• (2,63)2 = 6,9169 , 7

• (2,64)2 = 6,9696 , 7

• (2,65)2 = 7,0225 . 7

Verificamos que um valor aproximado para 7 é 2,64.

Atividades – p. 20

5. Primeiramente, calculamos a medida do comprimento da circunferência determinada pelo contorno do jardim:

C = 2 ?p? r = 2 ? 3,14 ? 25

C = 157 m

Agora, calculamos a quantidade x de mudas que serão plantadas.

x ? 0,5 = 157 h x = 314

Serão plantadas 314 mudas.

2. Os números reais

Atividades – p. 22

1. a) 7

b) 3 e 7.

c) 3

d) 3 2 ; 1,4; 0,3333...

2. 27 10 . 7 , pois 7 1 2,65 e 27 10 = 2,7.

3. a) V

b) V

c) F, pois a raiz quadrada de um número negativo não pertence ao conjunto dos números reais.

De acordo com a propriedade estudada, dado um triângulo retângulo qualquer, a área do quadrado construído com um lado comum ao maior lado do triângulo será igual à soma das áreas dos quadrados construídos com um lado comum a cada um dos outros dois lados do triângulo.

Indicando a medida da diagonal do quadrado por x, temos:

x² = 2² + 2² h x² = 8 h x = 8 b)

1. Sabemos que: medida do comprimentodacircunferência(C) medida do diâmetro (d) =p Como a medida do diâmetro é igual a duas vezes a medida do raio (r), podemos calcular: C = 2 ?p? r.

d) F, pois _p pertence ao conjunto dos números reais negativos.

3. Potências

Pense e responda – p. 24

1.

c) 82,8 3 1

2. a) De acordo com a propriedade estudada, calculamos:

x² = 2² + 1² h x² = 5 (x . 0) h x = 5 b)

2. a) Podemos calcular o comprimento da circunferência externa do pneu fazendo:

C 0,60 3,14 =h C3,1 40 ,6 01, 884 =?=

C = 1,884 m

b) Podemos calcular:

5 000 1,884 = 9 420 Portanto, 9 420 m.

3. Considerando p= 3,14, podemos calcular:

C = 2 ?p? r = 2 ? 3,14 ? 11

C = 69,08 cm

A medida do comprimento de fita é, aproximadamente, 69,08 cm.

4. Seja n o número de voltas e d a distância percorrida

(em metro), podemos calcular:

d = n ? 2 ?p? r

15 700 = n ? 2 ? 3,14 ? 100

n = 25

Portanto, foram dadas 25 voltas nessa pista.

2. a) Para saber a quantidade de bactérias depois dos seis primeiros intervalos de tempo, podemos calcular: 26 = 64.

b) Depois de dez intervalos de tempo: 210 = 1 024.

c) Para representar a quantidade de bactérias depois de n intervalos de tempo, podemos escrever n2

Atividades – p. 27

1.

b)

c)

d)

e)

equação dada.

7. a) ( 10)² 5 10², pois ( 10)² = 100 e 10² =_100

b) ( 3)³ = 3³, pois ( 3)³ = 27 e 3³ = 27

d) 2 4 = 1 24 = 1 16 = 0,0625

e) ( 4) 3 = () 1 4 3 = 1 64 = 0,015625

f) ( 10) 1 = 1 10 = 1 10 = 0,1

g) 10 3 = 1 103 =

8.

9. a) 100 =+1

b) 100 = 1

c) ( 10)0 =+1

d) ( 10)0 = 1

10. A quantidade, em litro, de água potável contaminada por semana é dada por:

10² ? 107 = 109

Alternativa e.

11. a) 20² 20 = 400 20 = 380

O campeonato tem 380 jogos.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Considerando as mesmas regras apresentadas para as duplas jogarem entre si (turno e returno) e a quantidade de duplas reduzida para 15, quantos jogos teria o campeonato? (210 jogos).

Atividades – p. 31

1. a) 31 = 3

A

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: () () 100 22 28 0 4 2 +_+?

Atividades – p. 33

1. Podemos escrever ? 1 10 1 1 000 000 000 = 1 10 000 000 000 = 1 1010 ou 10 10

2. a) 8 700 000 = 8,7 106; 6 000 000 = 6 106; 1 100 000 = 1,1 106

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual era a quantidade dos outros veículos, além de automóveis e motocicletas, que compunham a frota de veículos do município de São Paulo em 2020? Escreva a resposta em notação científica. (1,6 106).

3. a) 23 000 000 000 000 000 000 000 = 2,3 1022

b) 6 800 = 6,8 ? 10³ 205 000 000 = 2,05 ? 108

c) 0,0000000106 = 1,06 ? 10 8

4. a) 1 100 = 1 ? 10 2; 1 ? 10 2 m

b) 1 000 000 = 1 ? 106; 1 ? 106 L

c) 1 1 000 000 = 1 10 6; 1 10 6 g

Por toda parte – p. 34

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam uma pesquisa sobre a população e a área do estado e do município onde moram, calculem as respectivas densidades demográficas e façam comparações dos resultados obtidos. É esperado que os valores obtidos utilizando aproximações sejam próximos dos valores obtidos usando a calculadora.

Educação financeira – p. 35

• 5 455 = 2 275

Eles precisarão gastar R$ 2.275,00 da reserva.

4. Radicais

Pense e responda – p. 36

• Não. 9 é o oposto de 9 ; logo, 9 = 3. Já 9 não se define em r

Atividades – p. 37

1. Duas expressões não são definidas no conjunto dos números reais: 1 e 16 4

2. 36; 144; 10; 100; 25.

3. Sim, a expressão é definida no conjunto dos números reais. Sabendo que a = 10, b = 21 e c = 8, podemos calcular:

_=?=b4 ac (2 1) 41 08 22 441 320 121 11 _==

O valor da expressão é 11.

4. xy22 = () 13 12 2 2 = 169 144 == 25 5

Sim, a expressão é definida no conjunto dos números reais.

5. a) 0, 25 = () 0,5 2 = 0,5

b) 0, 008 3 = () 0, 2 3 3 = 0,2

c) () 8 2 = 64 = 8

d) 100 = 102 = 10

Atividades – p. 40

1. Aplicando a 1a propriedade dos radicais, temos:

a) 35 5 = 3

b) 73 3 = 7

c) (2 5)7 7 ?= 10

d) () 5a2 2 = 5a²

2. a) 49 = 72 = 7

b) 729 6 = 36 6 = 3

c) 625 4 = 54 4 = 5

4.

b) 27 = 3 3 = 3 ? 1,73 = 5,19

c) 150 = 5 6 = 5 2,44 = 12,2

d) 500 = 10 5 = 10 2,23 = 22,3

5. Seja x a medida do lado, então, podemos calcular:

x = 5184 = 72

Cada lado mede 72 m.

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é a medida, em metro, de cada lado de um terreno quadrangular que tem área igual a 6 561 m2? (81 m).

7. x = 2 304 = 2382 x

y = 64 6 = 26 6

y = 2

Assim: x y = 48 2 = 24.

8. a) 4 096 3 = 212 12 = 2

b) 10 000 = 10 4 4 = 10

Por toda parte – p. 43

1. Considerando a = 24, b = 48 e c = 40, temos:

p = a   b c 2 ++ = 24 48 40 2 ++ = 112 2 = 56

Usando a fórmula deduzida por Heron, temos:

A = () () () pp ap bp c = () () () 56 56 24 56 48 56 40 =

= 56 32 81 6  = 128 14 = 128 3,7 = 473,6

Logo, a área desse terreno é igual a 473,6 m2

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem problemas envolvendo a área de triângulos em que as medidas dos lados são conhecidas. Exemplo de resposta: Qual é a área de um triângulo cujos lados medem 6 m, 6 m e 10 m?

Considerando a = 6, b = 6 e c = 10, temos:

p = a   b c 2 ++ = ++ 6   6 10 2 = 22 2 = 11

Utilizando a fórmula deduzida por Heron, temos:

A = () () () pp ap bp c = () () () 11 11 61 16 11 10 = 11 55 1 = = 51 1

A

do triângulo é 51 1 m2 ou 16,6 m2 Atividades

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Podemos introduzir um fator externo em um radical, sem alterar o valor da expressão, utilizando as propriedades dos radicais. Por exemplo, o número 75 pode ser escrito de modo que o fator externo 7 fique no radicando. Para isso, aplicamos a 1a propriedade dos radicais e escrevemos o fator externo 7 como uma raiz de índice 2 e, depois, aplicamos a 3a propriedade dos radicais. Assim, temos:

Atividades – p. 46

1.

12 + 75

b) 4 125 + 3 45 30 5 = 20

c) 54 + 6 150 + 2 24 = 3 6 + 6 5

2. P = 72 + 3 200 + 392

P = 6 2 + 30 2 + 14 2

P = 50 2 = 50 ? 1,41 = 70,5

3. Simplificando os radicais que indicam as medidas dos lados do triângulo, temos:

• 4 486 = 36 6 • 4 96 = 16 6 • 5 216 = 30 6

Agora, podemos calcular o perímetro:

36 6 + 16 6 + 30 6 = 82 6 = 82 ? 2,45 = 200,9

Logo, o perímetro desse triângulo é igual a 200,9 cm.

b) 15 () 35+= 35 33 55 +?= 3 5 + 5 3

c) 8 () 26 = 22 () 26 = 22 22 26 42 43 ?=

5. () 75 3 () 28 3 = 7 2 7 83 _ 53 2 + 53 83 =

= 14 66 3 + 120 = 134 66 3

6. a) () 11 0 2 += 1 + 21 0 +10 = 11 + 21 0

b) () 35 2 = 9 65 + 5 = 14 65

4.

b)

200

5. Simplificando os radicais que indicam as medidas dos lados do terreno, temos:

• 7 28 = 14 7

• 5 112 = 20 7

• 3 175 = 15 7

Calculando o perímetro, obtemos:

14 7 + 20 7 + 15 7 = 49 7 = 49 2,65 = 129,85

Portanto, o perímetro do terreno é 129,85 m.

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Calcule a soma das medidas dos lados de um retângulo, cujos lados medem 18 me 75 m . Considere = 21 ,4 1 e = 31 ,7 3

A soma das medidas dos lados é igual a 25,76 m.

Perímetro: 68 2 cm; área: 570 cm².

50 51 05 2 A5 05 5 h=h=??

A = 1 250 m² Portanto, o valor de x é 2.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Considere a medida da base maior e a medida da altura e calcule o perímetro de um terreno retangular cujas medidas correspondem aos dados apresentados. () 80 5m

3. a) 3 10 = 3 10 10 10 30 10 ?=

Atividades – p. 55

b)

b) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por 52

b)

c) É possível simplificar um radical quando o índice do radical e o radicando têm divisores comuns.

c) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por 22 9 , temos:

5. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem expressões com operações em que possam aplicar as propriedades das potências. Exemplo de resposta:

Atividades – p. 57

1. a) 32 768 8 5 =

b) 784  2 8 =

d) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por 35 10 , temos:

c) 46 656 36 3 =

d) 1 048 576 4 10 =

e) 160,25 = 2

e) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por 81

f) 320,2 = 2

g) 1210,5 = 11

h) 2430,4 = 9

Retomando o que aprendeu – p. 58

1. a) V

b) V

c) F

d) V

e) F

2. a) Finita.

b) Infinita e periódica.

c) Infinita e não periódica.

3.

a) Sim; 49 7

b) 97; 49 7

c) 3 e p

d) 3 e p

e) 1, 25; 49 7 ;  97; 3 5

4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para localizar o número irracional 7 , podemos fazer uma construção similar à feita para localizar o número irracional 3

A medida do lado maior do triângulo é a medida cujo valor será calculado, e as medidas dos outros dois lados do triângulo são 2 e 3

x2 3 22 2 =+

x4 3 2 =+

x7 =

5. () () 55 55 5 ?+= () () () 55 5  55 ?+=

() ()

Um novo olhar – p. 59

• Podemos obter uma aproximação para o número p dividindo a medida do comprimento de uma circunferência pela medida de seu diâmetro, ou seja, o dobro da medida do raio.

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes consigam indicar um número irracional, por exemplo 2, e o descrevam como um número cuja representação decimal é sempre infinita e não periódica.

• Traçando a diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 unidade de comprimento.

• No conjunto dos números reais, não é possível obter a raiz quando o índice for um número par.

Unidade 2 • Produtos notáveis e fatoração

Abertura de Unidade – p. 60

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes identifiquem padrões e representações de figuras geométricas nos vitrais apresentados. Se julgar oportuno, apresentar outros exemplos de vitrais aos estudantes e analisar as obras com eles.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes obtenham a medida da área desejada multiplicando x por (y x) e, posteriormente, multiplicando o resultado por dois.

1. Produtos notáveis

Pense e responda – p. 65

• A área desse retângulo pode ser expressa algebricamente por:

(x + y) (x y) = x2 xy + xy y2 = x2 y2

Atividades – p. 67

1. a) (8x + 1) (8x 1) = 64x2 8x + 8x 1 = 64x2 1

b) (10 + 3x)2 = (10)2 + 2 ? (10) ? (3x) + (3x)2 = 100 + 60x + 9x2

c) (7a b)2 = (7a)2 2 ? (7a) ? (b) + (b)2 = 49a2 14ab + b2

d) (x + 0,5y)2 = (x)2 + 2 ? (x) ? (0,5y) + (0,5y)2 = x2 + xy + 0,25y2

e) (ax + b)(ax b) = a2x2 abx + abx b2 = a2x2 b2

f) (a2 4y)2 = (a2)2 2 ? (a2) ? (4y) + (4y)2 = a4 8a2y + 16y2

g) (1,4 abc)(1,4 + abc) = 1,96 1,4abc + 1,4abc a2b2c2 = 1,96 a2b2c2

h) (a3 + b3)2 = (a3)2 + 2 ? (a3) ? (b3) + (b3)2 = a6 + 2a3b3 + b6

i) (x4 + 5y3)2 = (x4)2 + 2 ? (x4) ? (5y3) + (5y3)2 = x8 + 10x4 y3 + 25y6

2.

b) (a2b2 + 2,5c) (a2b2 2,5c) = (a2b2)2 (2,5c)2 = a4b4 6,25c2

3. (3x + 5)(3x 5) = (3x)2 (5)2 = 9x2 25

Alternativa a.

4. (x a)(x + a) = (x)2 (a)2 = x2 a2

Alternativa d.

5.

b) 3

c) 9 ( 3) 0,25 = 6,75

6. a) V

b) F; (3y a)(3y + a) = 9y2 3ay + 3ay a2 = 9y2 a2

c) V

7. (2ax + 5)2 = (2ax)2 + 2 (2ax) (5) + (5)2 = 4a2x2 + 20ax + 25

8. (x + 4)2 = (x)2 + 2 (x) (4) + (4)2 = x2 + 8x + 16

O termo que deve ser adicionado ao polinômio é 16.

9. (a 2b)2 = (a)2 2 (a) (2b) + (2b)2 = a2 4ab + 4b2

Para que a2 2ab + 4b2 seja igual a (a 2b)2 devemos acrescentar o termo 2ab.

10. (xy a3) (xy + a3) = (xy)2 (a3)2 = x2y2 a6

O outro polinômio é xy + a3

11. (x + y)2 = (x)2 + 2 ? (x) ? (y) + (y)2 = 306 + 2 ? 72 = 450

O valor de (x + y)2 é 450.

12. (x + y)2 = 64

(x)2 + 2 (x) (y) + (y)2 = 64

(x)2 + 2 ? 15 + (y)2 = 64

(x)2 + (y)2 = 34

Portanto:

x2 + 6xy + y2 = 34 + 6 ? 15 = 124

Alternativa d.

13. (x y)2 (x + y)2 = 20

(x)2 2 ? (x) ? (y) + (y)2 [(x)2 + 2 ? (x) ? (y) + (y)2] = 20 4xy = 20 h xy = 5

Alternativa d.

14. A expressão que representa a situação “o quadrado da soma de dois números, mais 5 unidades” é: (x + y)2 + 5.

Alternativa c.

15. Não. A resposta correta é:

2x y 3 2() = (2x)2 2 (2x) (y3) + y 3 2() = 4x2 4xy3 + y6

16. a) (x + 1)2 x + (x 1)2 2 (x2 1) =

= x2 + 2x + 1 x + x2 2x + 1 2x2 + 2 = 4 x

b) (2x + y)2 6xy (x y)2 = 4x2 + 4xy + y2 6xy x2 + 2xy y2 = 3x2

17. A pessoa pode ter calculado da seguinte maneira:

(a + 10) (b + c) = ab + ac + 10b + 10c.

Alternativa a.

18. (x y + 2)2 (x y 2)2 = = (x y + 2 + x y 2) (x y + 2 x + y + 2) =

= (2x 2y) (4) = 8x 8y

O polinômio procurado é 8x 8y.

Fórum – p. 68

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam a importância de realizar uma pesquisa de preços e de outras condições (modos de pagamento, valor do frete, facilidades da entrega, entre outras) para que a compra seja segura e econômica.

Atividades – p. 69

1. a) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b) (b c)3 = b3 3b2c + 3bc2 c3

c) (2a + 1)3 = (2a)3 + 3 (2a)2 (1) + 3 (2a) (1)2 + (1)3 =

= 8a3 + 12a2 + 6a + 1

d) (1 2a)3 = (1)3 3 (1)2 (2a) + 3 (1) (2a)2 (2a)3 =

= 1 6a + 12a2 8a³

e) (2x + y)3 = (2x)3 + 3 (2x)2 (y) + 3 (2x) (y)2 + (y)3 =

= 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³

f) (3y 1)3 = (3y)3 3 ? (3y)2 ? (1) + 3 ? (3y) ? (1)2 (1)3 =

= 27y³ 27y² + 9y 1

2. a) (a b)3 (a3 b3) + 4ab(a b) = a3 3a2b + 3ab2 b3 a3 + b3 + + 4a2b 4ab2 = a2b ab2

b) (2x y)3 (2x + y)3 + 2xy(2x + y) = (2x)3 3 (2x)2 (y) + + 3 (2x) (y)2 (y)3 (2x)3 3 (2x)2 (y) 3 (2x) (y)2 (y)3 + 4x²y + + 2xy² =_2y³ 20x²y + 2xy²

c) (1 a)3 + 2a(

4 274 30 142,4 6 1

Aproximadamente 142,46 óbitos por dia.

b) 137 144 2 + = 140,5

2. a) Observa-se que a linha laranja (média móvel) se aproxima mais da linha azul (quantidade total diária de óbitos) do que a linha cinza (média). Com isso, pode-se concluir que a média móvel representou melhor a variação da quantidade total diária de óbitos do que a média usual no período considerado.

b) Espera-se que os estudantes respondam que a média móvel semanal corresponde à média dos resultados dos sete dias anteriores a determinado dia. Nesse caso, o primeiro dado referente à média móvel semanal, registrado no dia 8 de abril de 2020, representa a média da quantidade de óbitos registrados de 1o a 7 de abril de 2020 na cidade do Rio de Janeiro.

3. a) Espera-se que os estudantes respondam que a média móvel no dia 26 de abril de 2020 representa melhor a quantidade total de óbitos nesse dia, pois a linha que representa a média móvel praticamente coincide com a linha que representa a quantidade total de óbitos, enquanto a linha que representa a média está mais afastada da linha que representa essa quantidade.

b) A média usual é aproximadamente 132 e a média móvel de sete dias é 186. Como a quantidade de óbitos registrada na cidade do Rio de Janeiro em 26 de abril de 2020 foi 191 óbitos, podemos concluir que a média móvel representou melhor a quantidade total de óbitos nesse dia do que a média usual, como é indicado na resposta do item a

2. Fatorando polinômios

Atividades – p. 72

1. a) 2 ? 27; 3 ? 18; 6 ? 9

b) Essas são algumas possibilidades de respostas, mas existem outras.

2 ? 60; 4 ? 30; 10 ? 12

2. a) (x + y) (x y)

b) (5b + 2c) (5b 2c)

Atividades – p. 76

1. a) 10x + 10y = 10(x + y)

b) y2 + 9xy = y(y + 9x)

c) 0,5x 1y = 0,5(x 2y)

d) ab a3b3 = ab(1 a2 b2)

e) a2x + abx = ax(a + b)

f) x2y2 x5y5 = x2y2(1 x3 y3)

g) 1 3 a 1 9 b += 1 3 a 1 3 b       +

h) 2,5ax2 2,5a = 2,5a(x2 1)

2. a) b2 ab b = b(b a 1)

b) 24x5 8x4 56x3 = 8x3(3x2 x 7)

c) a7 + a5 + a3 = a3(a4 + a2 + 1)

d) 120ax3 100ax2 + 60ax = 20ax(6x2 5x + 3)

e) 1 8 ab 1 4 ab 1 2 ab 22 +_= 1 2 ab 1 4 1 2 ab       +_

3. ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (a + b) (c + d) = 53 38 = 2 014

4. a) a(x + y) b(x + y) = (x + y)(a b)

b) x(p + h) + y(p + h) = (p + h)(x + y)

c) b(a x) c(a x) = (a x)(b c)

5. 5ax2 5ay2

Forma fatorada:

5ax2 5ay2 = 5a(x2 y2)

Valor numérico do polinômio:

a = 20 e x2 y2 = 25

5a(x2 y2) = 5 20 25 = 2 500

6. xy3 + 7xy2 3xy

Forma fatorada:

xy3 + 7xy2 3xy = xy(y2 + 7y 3)

Valor numérico do polinômio:

xy = 6 e y2 + 7y = 20

xy(y2 + 7y 3) = 6 (20 3) = 6 17 = 102

7. a(2x y) + b(2x y) + c(2x y)

Forma fatorada:

a(2x y) + b(2x y) + c(2x y) = (2x y)(a + b + c)

Valor numérico do polinômio:

2x y = 20 e a + b + c = 100

(2x y)(a + b + c) = 20 100 = 2 000

8. a) a2 + ab + ax + bx = a(a + b) + x(a + b) = (a + b) (a + x)

b) ax x + ab b = x(a 1) + b(a 1) = (a 1) (x + b)

c) a5 + a3 + 2a2 + 2 = a3 (a2 + 1) + 2(a2 + 1) = (a2 + 1) (a3 + 2)

d) bx2 2by + 5x2 10y = b(x2 2y) + 5(x2 2y) = (x2 2y) (b + 5)

e) 2b2 + 2 b2k k = 2(b2 + 1) k(b2 + 1) = (b2 + 1) ? (2 k)

f) 5y3 4y2 + 10y 8 = y2(5y 4) + 2(5y 4) = (5y 4) (y2 + 2)

g) a12 + a8 a4 1 = a8(a4 + 1) 1(a4 + 1) = (a4 + 1) (a8 1)

h) 2an + n 2am m = n(2a + 1) m(2a + 1) = (2a + 1) ? (n m)

Valor numérico do polinômio:

c + d = 2,5 e a b = 1,1

(a b)(c + d) = ( 1,1) 2,5 = 2,75

10. a) ax bx + cx + ay by + cy = x(a b + c) + y(a b + c) =

= (a b + c)(x + y)

b) am + bm + m an bn n = m(a + b + 1) n(a + b + 1) =

= (a + b + 1)(m n)

c) a(x + y) + b(x + y) + x(a + b) + y(a + b) =

= (x + y)(a + b) + (a + b)(x + y) = 2(a + b)(x + y)

11. x2 xz + 2xy 2yz

Forma fatorada:

x2 xz + 2xy 2yz = x(x z) + 2y(x z) = (x z)(x + 2y)

Valor numérico do polinômio:

x z = 5 e x + 2y = 27

(x z)(x + 2y) = 5 ? 27 = 135

12. • 2a + 2b = 18 h a + b = 9

• 2b + 2c = 26 h b + c = 13

• ab + b2 + ac + bc = b(a + b) + c(a + b) = (a + b) (b + c) = 9 ? 13 = 117

Atividades – p. 78

1. a) a2 64 = a2 82 = (a + 8)(a 8)

b) 100 b2 = 102 b2 = (10 + b)(10 b)

c) x2 0,25 = x2 (0,5)2 = (x + 0,5)(x 0,5)

d) 16b2 9c2 = (4b)2 (3c)2 = (4b + 3c)(4b 3c)

e) 1 x2y2 = 12 (xy)2 = (1 + xy)(1 xy)

f) a4 c4 = a2 2() c 2 2() = (a2 + c2)(a2 c2)

g) a6b6 0,01 = ab33 2() (0,1)2 = (a3b3 +0,1)(a3b3 0,1)

h) x4 100 = x 2 2() (10)2 = (x2 + 10)(x2 10)

i) 9 y6 = (3)2 y 3 2() = (3 + y3)(3 y3)

j) 81r2 s4 = (9r)2 s2 2() = (9r + s2)(9r s2)

y2 = (5x)2 (y)2 = (5x + y)(5x y) (5x + y)(5x y) = ( 2) ( 20) = 40

4. a2b2 x2

Forma fatorada: a2b2 x2 = (ab)2 (x)2 = (ab + x)(ab x)

Valor numérico do polinômio: ab + x = 21 e ab x = 5 (ab + x)(ab x) = 21 5 = 105

5.

9. ac bc + ad bd

Forma fatorada:

+ d)

d) (n + 5)2 36 = (n + 5)2 (6)2 = (n + 5 + 6)( n + 5 6) = (n + 11)(n 1)

e) (3x 1)2 x2 = (3x 1)2 (x)2 = (3x 1 + x)(3x 1 x) =

= (4x 1)(2x 1)

f) a3 3 2() + a6 = a3 3 2() + a3 2() =

= (a3 + 3 + a3)(a3 + 3 a3) = 3(2a3 + 3)

g) x2 (x + y)2 = (x)2 (x + y)2 =

= (x + x + y)(x x y) = y(2x + y)

h) a2 (a + 1)2 = (a)2 (a + 1)2 =

= (a + a + 1)(a a 1) = 1(2a + 1)

Atividades – p. 80

1. a) a2 10ab + 25b2 = (a 5b)2

Sim, representa um trinômio quadrado perfeito.

b) x2 8x + 25 5 (x + 5)2 ou (x 5)2

Não representa um trinômio quadrado perfeito.

c) 9x2 6x + 1 = (3x 1)2

Sim, representa um trinômio quadrado perfeito.

d) 16y2 + 24xy + 9x2 = (4y + 3x)2

Sim, representa um trinômio quadrado perfeito.

2. x2 + 18x + 81 = (x + 9)2

3. x2 0,4x + 0,04 = (x 0,2)2

4. (3a + 2)2 = 9a2 + 12a + 4

Para obter (3a + 2)2, deve-se acrescentar o termo 2a ao trinômio 9a2 + 10a + 4.

5. x + y = 15 e x y = 6 (x2 + 2xy + y2) (x2 2xy + y2) = (x + y)2 (x y)2 = (15)2 ( 6)2 =

= 225 36 = 189

6. a) 4x2 12xy + 9y2 = (2x 3y)2

b) y2 + 22y + 121 = (y + 11)2

c) 81p2 18p + 1 = (9p 1)2

d) 4b2 + 16bx + 16x2 = (2b + 4x)2

e) 100p2 20px + x2 = (10p x)2

f) 144x2y2 + 24xy + 1 = (12xy + 1)2

g) m2 12m + 36 = (m 6)2

h) 16a4 + 8a2b + b2 = 4a b 2 2() +

i) 100 20bc + b2c2 = (10 bc)2

j) x10 + 4x5y3 + 4y6 = x2 y 53 2() +

7. 2a 3 = 11

4a2 12a + 9 = (2a 3)2 = ( 11)2 = 121

Atividades – p. 83

1. a) x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2)

b) b3 c3 = (b c)(b2 + bc + c2)

c) a3 1 = (a 1)(a2 + a + 1)

d) x3 + 8 = (x + 2)(x2 2x + 4)

e) 27 m3 = (3 m)(9 + 3m + m2)

g) x3 xy2 + x2y y3 = x(x2 y2) + y(x2 y2) = (x2 y2)(x + y) =

= (x + y)(x y)(x + y) = (x + y)2 (x y)

h) a4 ax3 = a(a3 x3) = a(a x)(a2 +

k) x3y y = y(x3 1) = y(x 1)(x2 + x + 1)

l) ax2 a + bx2 b = a(x2 1) + b(x2 1) =

= (a + b)(x2 1) = (a + b)(x + 1)(x 1)

m) a3 + 2a2 + a + a2b + 2ab + b = a(a2 + 2a + 1) + b(a2 + 2a + 1) =

= (a + b)(a2 + 2a + 1) = (a + b)(a + 1)2

n) 2x7 2xy6 = 2x(x6 y6) = 2x x y

= 2x(x3 y3)(x3 + y3) = 2x(x + y)(x y)(x2 + xy + y2)(x2 xy + y2)

o) a5 + a2b3 a3b2 b5 = a2(a3 + b3) _ b2(a3 + b3) = (a2 b2)(a3 + b3) = = (a + b)2 (a b)(a2 ab + b2)

3. x y = 6

5x2 10xy + 5y2 = 5(x2 2xy + y2) = 5(x y)2 = 5 ? (6)2 = 180

4. ab2 ac2 + b3 bc2 = a(b2 c2) + b(b2 c2) = (a + b)(b2 c2) = = (a + b)(b + c)(b c)

5. x3y + 2x2y2 + xy3

Forma fatorada:

x3y + 2x2y2 + xy3 = xy(x2 + 2xy + y2) = xy(x + y)2

Valor numérico do polinômio: xy = 10 e x + y = 5

xy(x + y)2 = 10 ( 5)2 = 250

6. ax3 ax + bx3 bx = a(x3 x) + b(x3 x) = (a + b)(x3 x) =

= (a + b) x(x2 1) = x(a + b)(x + 1)(x 1)

7. a) x2 9x = 0

     0 e 9.

b) x2 81 = 0

= _=h=

x(x 9) = 0 h x0 ou x9 0x 9

     9 e 9.

c) x2 64 = 0

+=h= _=h=

(x + 9)(x 9) = 0 h x9 0x 9 ou x9 0x 9

  

+=h= _=h=

(x + 8)(x 8) = 0 h x8 0x 8 ou x8 0x 8

8 e 8.

f) 1 125 c 3 += 1 5 c 1 25 c 5 c 2   

+_+

2. a) a4 b4 = (a2 + b2)(a2 b2) = (a2 + b2)(a + b)(a b)

b) 3x2 6x + 3 = 3(x2 2x + 1) = 3(x 1)2

c) m2x x = x(m2 1) = x(m + 1)(m 1)

d) 5a2 + 30ab + 45b2 = 5(a2 + 6ab + 9b2) = 5(a + 3b)2

e) x3y xy3 = xy(x2 y2) = xy(x + y)(x y)

f) m8 n8 = (m4)2 (n4)2 = (m4 + n4)(m4 n4) = (m4 + n4)((m2)2 (n2)2) = =

d) x2 + 20x = 0

     20 e 0.

e) x2 x = 0

     0 e 1.

= +=h=

x(x + 20) = 0 h x0 ou x2 00 x2 0

= _=h= 315

9. (x + y)2 (2x + y)( x + y) = x2 + 2xy + y2 + 2x2 xy y2 = 3x2 + xy =

2

++ = 2x 3 2x 32x3

2() () () + +_ = 2x 3 2x  3 () () +

11. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 9x2 18xb + 9b2; 225.

12. Temos de calcular P = 2 (3a 2b) (6a + 4b), sabendo que 9a2 4b2 = 15.

P = 2 ? (3a 2b) ? (6a + 4b)

P = 2 (18a2 + 12ab 12ab 8b2)

P = 2 (18a2 8b2)

P = 4 ? (9a2 4b2)

P = 4 (15)

P = 60

Por toda parte – p. 84

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes reconheçam e citem manifestações da cultura afro-brasileira que fazem parte do cotidiano deles.

• Respostas pessoais. Incentivar os estudantes a compartilhar as experiências deles com aspectos da cultura afro-brasileira, apresentando exemplos de manifestações dessa cultura.

• Pesquisa do estudante. Exemplos de resposta: cafuné (afago na cabeça de alguém para provocar sono); fubá (farinha de milho); fuzuê (algazarra, barulho, confusão); zabumba (bumbo) etc.

Retomando o que aprendeu – p. 86

1. • n2 + 3n + 1= 12 + 3 1 + 1 = 5

• n2 + 3n + 1= 22 + 3 2 + 1 = 11

• n2 + 3n + 1= 32 + 3 3 + 1 = 19

Alternativa b.

2. b = 3

2b2 + 8 = 2 ? ( 3)2 + 8 = 2 ? 9 + 8 = 26

Alternativa c.

3. xy 4 , xy 2 2 , x3y, 2x4y, 4x5y, 8x6y, 16x7y.

Alternativa a.

4. • a = 2x + 3

• b = 2x 1

• a2 b2 = 40

Determinamos o valor de x fazendo:

(2x + 3 + 2x 1)(2x + 3 2x + 1) = 40 h (4x + 2)(4) = 40 h x = 2

5. V = R S3 + = 28,8 1,53 + = 28,8 4,5

V = 6,4

Alternativa e.

6. Do enunciado, temos: 1 2 3

ab b c

Assim, a área do retângulo cor-de-rosa será a c.

Alternativa a.

7. 3x3 4x + 6 5x3 + 8x2 + 9 = 2x3 + 8x2 4x + 15

Assim: 2 + 8 4 + 15 =+17

Alternativa a.

8. a) (3x + 1)(3x 1) = 9x2 1

b) (10 + 2x)2 = 100 + 40x + 4x2

c) (7a 2b)2 = 49a2 28ab + 4b2

d) (2x + 0,5y)2 = 4x2 + 2xy + 0,25y2

e) (4x + b)(4x b) = 16x2 b2

f) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3

g) (2a b)3 = 8a3 12a2b + 6ab2 b3

h) (2 3a)3 = 8 36a + 54a2 27a³

9. a) b2 2ab + b = b(b 2a + 1)

b) 18x5 + 6x4 42x3 = 6x3(3x2 + x 7)

c) 2a5 + 2a3 + 2a = 2a(a4 + a2 + 1)

d) 100ax3 60ax2 + 120ax = 20ax(5x2 3x + 6)

e) a2 49 = (a + 7)(a 7)

f) 64 b2 = (8 + b)(8 b)

g) 4 a2b2 = (2 + ab)(2 ab)

10. (4a + 3)2 = 16a2 + 24a + 9

Para obter (4a + 3)2, devemos adicionar o termo 4a.

11. x 2y = 6

7x2 28xy + 28y2 = 7(x2 4xy + 4y2) = 7(x 2y)2 = 7 (6)2 = 252

12. a2 + b2 = 2,25 e x + y = 0,8

a2x + b2x + a2y + b2y = x(a2 + b2) + y(a2 + b2) = (x + y)(a2 + b2) =

= 0,8 2,25 = 1,8

Alternativa b.

13. x2 9 = (x + 3)(x 3)

Assim:

2(x + 3) + 2(x 3) = 32

2x + 6 + 2x 6 = 32

4x = 32

x = 8

Portanto, a área será:

A = (8 + 3)(8 3) = 11 5 = 55

Alternativa e.

Um novo olhar – p. 87

• Respostas pessoais. Espera-se que, ao concluir o estudo da Unidade, os estudantes tenham clareza sobre o cálculo da área do vitral e consigam realizá-lo e compreender as implicações desse resultado, por exemplo, em relação à quantidade de material necessária para confeccionar cada peça do vitral.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes consigam associar o cálculo de áreas de figuras geométricas com as operações envolvendo polinômios, fatoração e casos de produtos notáveis abordados na Unidade. Assim, utilizando o que aprenderam sobre operações com polinômios e fatoração, podem obter a medida da área de uma superfície.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes considerem os produtos notáveis ferramentas úteis na resolução de problemas, uma vez que alguns cálculos podem ser abreviados pelos resultados que esses produtos fornecem.

Unidade 3 • Equações do 2o grau

Abertura de Unidade – p. 88

• A incógnita é t, e o expoente é 2. Não, pois em uma equação do 1o grau, o expoente da incógnita é 1, e na equação apresentada, o expoente é 2.

• Aproximadamente 2,67 s.

1. Equação do 2o grau com uma incógnita

Pense e responda – p. 90

1. a) x ? x = x2

b) x ? 3 = 3x

c) x2 3x = 4

d) O número é 4, pois 42 3 4 = 4.

e) Resposta pessoal. Os estudantes podem escrever a forma fatorada do polinômio: x(x 3) = 4 e analisar como o número 4 pode ser escrito como produto de dois números inteiros positivos (1 4; 4 1; 2 2). Assim, eles podem substituir cada fator, a fim de descobrir o valor de x na multiplicação, para que o produto seja igual a 4.

Atividades – p. 92

1. As equações que são do 2o grau são aquelas que têm um termo com a incógnita com expoente 2. Assim, os itens que apresentam equações do 2o grau são a,

d, e, f.

2. a) Completa.

b) Completa.

c) Incompleta.

d) Completa.

e) Incompleta.

f) Incompleta.

b) x2 + 2x 8 = 0

a = 1, b = 2, c = 8

c) y2 3y 4 = 0

a = 1, b = 3, c = 4

d) 7p2 + 10p + 3 = 0

a = 7, b = 10, c = 3

e) 4x2 + 6x = 0

a = 4, b = 6, c = 0

f) r2 16 = 0

a = 1,

Exemplo de resposta: O quadrado de um

5 3) 2x x3 x3 x3 () () () + _+ = x1 x3 x3 x3 +_ +_ () () () ()

2x(x + 3) = (x + 1)(x 3) 2x2 + 6x = x2 3x + x 3 x2 + 8x + 3 = 0

3. (3x 1)2 = 64

9x2 6x + 1 = 64

9x2 6x 63 = 0

3x2 2x 21 = 0

2. Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita

5.

8. x3x 2 ? = 24

3x2 = 48

x2 = 16 h x =± 16 h x = 4 ou x = 4 Como x é a medida da altura do triângulo, não pode ser um valor negativo; a medida da altura é 4 cm e a medida da base é 12 cm.

Pense e responda – p. 96

1. a) Mariana vai precisar de mais quatro quadrados.

b) 1 1 = 1; 1 cm2

c) 5 5 = 25; 25 cm2

Atividades

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: x2 6x + 9 = 0.

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o valor

7.

As raízes reais da equação são iguais a 4.

2. a) x2 3x 28 = 0.

Nessa equação, temos: a = 1, b = 3 e

c = 28.

D= ( 3)2 4(1) ? ( 28) = 9 + 112 = 121

Como D. 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por:

x =  3 121 21 () ±

x = 31 1 2 + h x = 7 ou

x = 31 1 2 h x = 4

Os números 4 e 7 são as raízes reais da equação. Então, S = { 4, 7}.

b) x2 + 12x + 36 = 0

Nessa equação, temos: a = 1, b = 12 e c = 36.

D= (12)2 4(1) (36) = 144 144 = 0

Como D= 0, a equação tem duas raízes reais iguais, dadas por:

x = 12 0 21 () _±

x = 12 2 h x = 6

O número 6 é a raiz real da equação. Então, S = { 6}.

c) 6x2 x 1 = 0

Nessa equação, temos: a = 6, b = 1 e c = 1.

D= ( 1)2 4(6) ( 1) = 1 + 24 = 25

Como D. 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por:

x = 12 5 26 () ± ?

x = 1 5 12 + h x = 1 2 ou

x = 15 12 h x = 1 3

Os números 1 3 e 1 2 são as raízes reais da equação. Então, S = 1 3 , 1 2      

d) 9x2 + 2x + 1 = 0

Nessa equação, temos: a = 9, b = 2 e c = 1.

D= (2)2 4(9) (1) = 4 36 = 32 Como D, 0, a equação não tem raízes reais. A equação não possui raízes reais. Então, S =@ 3. a) x2 2x = 2x 4

x2 4x + 4 = 0

D= ( 4)2 4(1)

4. Primeiro, calculamos as raízes reais da equação x2 2x 15 = 0.

D= ( 2)2 _ 4(1) ( 15) = 4 + 60 = 64

x = 26 4 21 () ±

x = 2  8 2 + h x = 5 ou

x = 28 2 h x = 3

Como as raízes são 3 e 5, existem sete números inteiros entre as duas raízes: 2, 1, 0, 1, 2, 3 e 4.

5. Primeiro, resolvemos as equações:

• x2 12x = 85

x2 12x 85 = 0

D= ( 12)2 _ 4(1) ( 85) = 144 + 340 = 484

x = 12 484

21 () ± ?

x = 12 22 2 + h x = 17 ou

x = 12 22 2 h x = 5

• x2 + 51 = 20x

x2 20x + 51 = 0

D= ( 20)2 _ 4(1) (51) = 400 204 = 196

x = 20 196 21 () ±

x = 20 14 2 + h x = 17 ou

x = 20 14 2 h x = 3

A raiz comum é 17, e as não comuns são 5 e 3.

A soma das raízes não comuns é: 5 + 3 = 2.

6. Primeiro, resolvemos a equação 4x2 21x + 20 = 0.

D= ( 21)2 4(4) (20) = 441 320 = 121

x = 21 121 24 () ±

A maior raiz dessa equação é 1, e 1 não é primo. Portanto, não podemos afirmar que a maior raiz é um número primo. 10.

4x = 6 + x2 3x

x2 7x + 6=0

D= ( 7)2 4(1) (6) = 49 24 = 25

x = 72 5 21 () ±

x = 75 2 + h x = 6 ou

x = 75 2 h x = 1

1 ou 6.

13. x2 = 7x 6 h x2 7x + 6 = 0

D= ( 7)2 4(1) ? (6) = 49 24 = 25

x = 72 5 21 () ±

x = 7 5 2 + h x = 6 ou

x = 75 2 h x = 1

6 ou 1.

14. (x 3)2 = 5x 1

x2 6x + 9 + 1 5x = 0

x2 11x + 10 = 0

D= ( 11)2 4(1) (10) = 121 40 = 81

x = 11 81 21 () ±

x = 11  9 2 + h x = 10 ou

x = 11 9 2 h x = 1

10 ou 1. 15. x(x 28) = 1 100 h x2 28x 1 100 = 0

D= ( 28)2 4(1) ( 1 100) = = 784 + 4 400 = 5 184

x 28 5 184 21 = ± ()

x 28 72 2  =h x = 22

As dimensões do terreno são 50 m e 22 m.

16. x2 7 + 6x = 6x + 13 x

x2 + x 20 = 0

D= (1)2 4(1) ( 20) = 1 + 80 = 81

x = 18 1 21 () _±

x = 19 2 _+ h x = 4 ou

x = 19 2 h x = 5 4 ou

4 = x2 24x + 144

D= ( 24)2 4(1) (140) = 576 560 = 16

x = 24 16 21 () ±

x = 24 4 2 + = 14 ou

x = 24 4 2 = 10

14 horas. Como 10 horas corresponde a um período da manhã, não consideramos essa resposta.

21. a) (x + 2)(x + 6) = 140

x2 + 8x 128 = 0

D= (8)2 4(1) ( 128) = 64 + 512 = 576

x = 8 576 2 1 _± ? ()

x = 82 4 2 _+ h x = 8 ou

x = 8   2 4 2 h x = 16

8 + 2 = 10 e 8 + 6 = 14

Assim, os lados medem: 14 m e 10 m.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o perímetro desse painel? (48 m).

22. a) x2 = 16x + 80

x2 16x 80 = 0

D= (1)2 4(1) ? ( 240) = 1 + 960 = 961

x = 1  961 21 () _±

x = 13 1 2 _+ h x = 15 ou

x = 13 1 2 h x = 16

15 crianças.

19. a) d = nn 3 2 ()

9 = nn 3 2 ()

n2 3n 18 = 0

D= ( 3)2 4(1) ( 18) = 9 + 72 = 81

n = 38 1 21 () ±

n = 39 2 + h n = 6 ou

n = 39 2 h n = 3

6 lados.

b) d = nn 3 2 ()

20 = nn 3 2 ()

n2 3n 40 = 0

D= ( 3)2 4(1) ( 40) = 9 + 160 = 169

n = 3 169 2 1 () ± ?

n = 31 3 2 + h n = 8 ou

n = 3   1 3 2 h n = 5

8 lados.

20. a) (2 + x)(5 + x) = 7 10 10 + 7x + x2 = 70

x2 + 7x 60 = 0

D= (7)2 4(1) ( 60) = 49 + 240 = 289

D= ( 16)2 4(1) ( 80) = 256 + 320 = 576

x = 16 576 21 () ±

x = 16 24 2 + h x = 20 ou

x = 16 24 2 h x = 4

Assim, a medida do lado do quadrado é 20 e o perímetro será 4 20 = 80.

b) P = 16 + 16 + 25 + 25 = 82

23. (80 2x)(50 2x) = 1 000 x2 65x + 750 = 0

D= ( 65)2 4(1) (750) = 4 225 3 000 = 1 225

x = 65 1225 2   1 () ± ?

x = 65 35 2 + h x = 50 ou

x = 65

x = 7 289

2   1 () _±

x = 71 7 2 _+ h x = 5 ou

x = 7 17 2 h x = 12

As medidas dos lados do novo retângulo são:

2 + 5 = 7 e 5 + 5 = 10. Portanto: 10 m e 7 m.

b) P = 10 + 10 + 7 + 7 = 34

As raízes reais são 0 e 53 3 d)

As raízes reais são 4 e 4.

2. A equação do item b

3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes insiram os resultados exibidos pelo software no lugar de x e verifiquem que a igualdade obtida é verdadeira.

4. x2 7x + 10 = 0

5 Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Fixando a = 2, b = 14 e sabendo que as raízes da equação são 1 e 6, espera-se que os estudantes concluam, com o auxílio do software, que a equação correspondente é 2x2 14x + 12 = 0.

3. Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita Atividades – p. 110 1.

3. a) x   1 4 = 5 x 2

x2 3x + 2 = 20

x2 3x 18 = 0

S = 3 e P = 18.

b) 1 x + 1 x1 + = 5 6

6x 16 x 6x x1 () () ++ + = 5x x1 6x x1 () () + +

6x + 6 + 6x = 5x2 + 5x

5x2 7x 6 = 0

S = 7 5 e P = 6 5 c) x x   2 + 4 x   1 = 5 xx 14 x   2 x   2 x   1 () () () () _+ = 5x  2 x   1 x   2 x   1 () () () ()

x2 x + 4x 8 = 5x2 15x + 10 4x2 18x + 18 = 0

S = 18 4 () = 9 2 e P = 18 4 = 9 2

4. S = 11 e P = 28.

Assim: S P = 11 28 = 17.

5. S = 0,8 e P = 1,6.

Assim: S P = 0, 8 1, 6 = 0,5.

6. a) S = 4 2 e P = 3.

b) S = 2 e P = 3.

7. c 10 = 1 8 h c = 1,25

8. 8 m m = 2 8 m = 2m 2m2 = 8 m =±2 2 ou 2.

9. 3t = 15 t = 5 P = t = 5

10. x‘ = 1 x ’ x‘ x’ = 1 h5 2 = 1 h 5 = 2 h = 7

11. Se as raízes são opostas ou simétricas, então, a soma das raízes é zero. Assim: S = 0 2k 1 4 () = 0 h k = 1

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 5 e 6; x2 11x + 30 = 0.

13. a) Devemos procurar dois números cuja soma é 5 e o produto é 6. Esses números são 3 e 2.

b) Devemos procurar dois números cuja soma é 10 e o produto é 24. Esses números são 6 e 4.

c) Devemos procurar dois números cuja soma é 4 e o produto é 12. Esses números são 6 e 2.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/OFICALC

14. 3x2 15x + 12 = 0.

S = 15 3 () = 5

P = 12 3 = 4

Portanto, as raízes são 1 e 4. Assim, a área A e o perímetro P do retângulo são: A = 4 1 = 4.

P = 4 + 4 + 1 + 1 = 10.

4. Mais equações

Atividades – p. 112

1. a) x4 8x2 9 = 0

t2 8t 9 = 0

D= ( 8)2 4(1) ( 9) = 64 + 36 = 100

t = 8 100 21 () ±

t = 81 0 2 + h t = 9 ou

t = 81 0 2 h t = 1

Como t deve ser maior do que zero:

x2 = t

x =± 9

x =±3 { 3, 3}

b) x4 4 = 3x2

t2 3t 4 = 0

D= ( 3)2 4(1) ( 4) = 9 + 16 = 25

t = 3 25 21 () ±

t = 35 2 + h t = 4 ou

t = 35 2 h t = 1

Como t deve ser maior do que zero:

x2 = t

x =± 4

x =±2

{ 2, 2}

c) x4 16x2 = 0

t2 16t = 0

t(t 16) = 0

t = 0 ou t = 16

Assim: x2 = t

x =± 0 h x = 0

x2 = t

x =± 16 h x =±4

{0, 4, 4}

d) x4 8x2 + 16 = 0

t2 8t + 16 = 0

D= ( 8)2 4(1) ? (16) = 64 64 = 0

t = 8 0 21 () ± ?

t = 8 2 h t = 4

Assim: x2 = t

x =± 4 h x =±2

{ 2, 2}

2. x4 26x2 + 25 = 0

t2 26t + 25 = 0

D= ( 26)2 4(1) ? (25)

676 100 = 576

t = 26 2 _+ h t = 2 ou

t = 26 2 h t = 4

Como t deve ser maior do que zero:

x2 = t x =± 2 2, 2 {}

c) (x + 2)(x 2)(x + 1)(x 1) + 5x2 = 20

x4 16 = 0

t2 16 = 0 h t = 4 ou t = 4

Como t deve ser maior do que zero:

x2 = t x =± 4 h x =±2 { 2, 2}

d) x2(x2 9) = 20 x4 9x2 + 20 = 0 t2 9t + 20 = 0

D= ( 9)2 4(1) (20) = 81 80 = 1 t = 9  1 21 () ±

t = 91 2 + h t = 5 ou t = 91 2 h t = 4 Assim: x2 = t x =± 5 x2 = t

=± 4 h x =±2 5, 5, 2, 2 {}

6. x2 + 2 x 2 = 3

Portanto, S = { 4, 5}.

5. xx 4 2 _+= 4 x2 x 12 = 0

Assim,

Tratamento da informação – p. 114

1. a) 25%

b) Não está correta, pois a escala do eixo vertical vai de 0% a 100%, e a altura da barra indica uma preferência de quase 90%.

c) Sim, pois as alturas das colunas não estão proporcionais. Por exemplo, 40% dos consumidores entrevistados não usam roupas de marca, mas a coluna que representa esse percentual é mais baixa do que a coluna que representa 25% dos consumidores.

d)

RoupaXRoupaBela RoupaMaisNãousaroupasdemarcaNãosabe

Fonte: Pesquisa da empresa Roupa X.

2. a) Não, pois o gráfico não mostra a evolução da venda de carros em determinado período.

b) Bens de consumo duráveis

c)

Fonte: Dados fictícios.

Bens de consumo duráveis adquiridos nos últimos 4 meses

d) Não. O gráfico de linhas é indicado para mostrar uma tendência, crescente ou decrescente, em um período, por exemplo.

Retomando o que aprendeu – p. 116

1. 5x + 9 = 5 + 1 x 5x + 4 = 1 x 5x2 + 4x 1 = 0

D= (4)2 4(5) ? ( 1) = 16 + 20 = 36

x = 4  3 6 2 5 () _± ?

x = 46 10 _+ h x = 1 5 ou

x = 4   6 10 h x = 1

Alternativa d.

2. x(4x 1) = 3(x + 1) 4x2 4x 3 = 0

D= ( 4)2 4(4) ( 3) = 16 + 48 = 64

x = 46 4 2  4 () ±

x = 48 8 + h x = 3 2 ou

x = 4  8 8 h x = 1 2

Alternativa a.

3. x 12 x = 1

x 1 = 12 x x2 x 12 = 0

S = 1

P = 12

Assim: x‘ = 4 e x” = 3.

Portanto: [4 ( 3)]2 = 49.

1 + 5 =

+ 3) . 0

x = 0 ou x = 4.

=

Portanto, o valor de x é 4.

Alternativa c.

16. x 3 = 2 x

x2 10x + 9 = 0

Soma das raízes = 10

Produto das raízes = 9

Assim: x‘ = 1 e x” = 9.

Para x = 1:

x 3 = 2 x h 1

Para x = 9:

x 3 = 2 x h 9 3 = 2 9

Alternativa b.

Um novo olhar – p. 117

• Quando seu discriminante é maior do que zero.

• Pela soma e pelo produto das raízes, utilizando a equação x2 Sx + P = 0, em que S é a soma e P é o produto.

• Resposta pessoal. O mais importante neste momento é verificar se os estudantes conseguiram utilizar a fórmula resolutiva para resolver a equação. 325

Unidade 4 • Relações entre ângulos

Abertura de Unidade – p. 118

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes construam diferentes rosáceas. Eles podem, por exemplo, realizar composições inspiradas na construção apresentada na abertura.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Construção de uma rosácea de 6 pétalas. Após abrir o programa e, com o botão direito do mouse, os estudantes precisam ocultar os eixos e a malha da Janela de Visualização. Para isso, eles devem clicar no símbolo de assinalado do botão Exibir Eixos e na opção Sem Malha do botão Exibir Malha. Feito isso, eles devem realizar o passo a passo apresentado a seguir.

1. Selecionar a ferramenta Circunferência (Centro, Ponto) e clicar em dois pontos distintos quaisquer, A e B, na Janela de Visualização. (Figura 1)

4. Clicar no ponto E e construir uma circunferência com mesma medida de raio das anteriores. (Figura 4)

b) Ao substituir o valor de x encontrado no item a, na sentença que representa a medida de cada um dos ângulos, tem-se:

• 2 10°+ 40° = 60°

• 3 ? 10°+ 90° = 60°

Cada um dos ângulos mede 60°

2. Como dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, tem-se:

3x 75° = x + 15°

2x = 90°

x = 45°

5. Clicar no ponto F e, mais uma vez, construir uma circunferência com mesma medida de raio das anteriores. (Figura 5)

3. a) Ao analisar a imagem, percebe-se que os ângulos indicados em verde são correspondentes; logo, são congruentes. Assim, tem-se:

3 4 x = 2x 75°

3x = 8x 300°

5x = 300°

x = 60°

Já os ângulos em rosa e em verde, cujos vértices encontram-se na reta r, são suplementares. Assim, tem-se:

y + 3 4 x = 180°

Substituindo o valor de x encontrado (60°) na equação acima, temos:

2. Clicar no ponto B e construir outra circunferência com a mesma medida de raio da circunferência anterior. (Figura 2)

6. Por fim, clicar no ponto G e construir outra circunferência com a mesma medida de raio das anteriores. (Figura 6)

y + 3 4 60° = 180°

y = 135°

x = 60°; y = 135°

b) Ao analisar a imagem, percebe-se que o ângulo y é oposto ao vértice do ângulo de medida 140°. Assim:

y = 140°

Como os ângulos 7x e y são correspondentes, tem-se:

7x = 140°

x = 20°

x = 20°; y = 140°

4. Pela análise da imagem, percebe-se que os ângulos indicados em verde são opostos pelo vértice e, desse modo, são congruentes. Assim:

4x 5° = 3x 2 + 37°

3. Construir outras duas circunferências com a mesma medida de raio das anteriores, clicando nos pontos formados pela intersecção das duas circunferências. (Figura 3)

Os estudantes podem continuar construindo circunferências com a mesma medida de raio das anteriores e com centro nas intersecções das circunferências já construídas, ou em outros pontos, para compor rosáceas diferentes.

No fim da construção, se possível, imprimir ou digitalizar as construções para os estudantes.

• No primeiro caso, trata-se de uma circunferência, e, no outro, de um círculo.

1. Ângulos determinados por retas transversais

Atividades – p. 122

1. a) Dois ângulos correspondentes formados por retas paralelas cortadas por uma transversal são congruentes. Assim:

2x + 40

5x = 50° x = 10°

° = 3x + 90°

4x 42° = 3x 2

8x 84° = 3x

5x = 84°

x = 16,8°

5. Pela análise da imagem, percebe-se que o ângulo de 120° é correspondente ao ângulo 2x + 4x. Assim:

2x + 4x = 120°

6x = 120°

x = 20°

Os ângulos y e 4x são suplementares, ou seja:

4x + y = 180°

Ao substituir o valor de x encontrado (20°) na equação acima, tem-se:

4 20°+ y = 180°

y = 100°

Alternativa a.

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

6. Como ângulos opostos pelo vértice são congruentes, tem-se:

3x + 10° = x + 50°

2x = 40°

x = 20°

Substituindo o valor de x encontrado em qualquer uma das sentenças que representa a medida dos ângulos, podemos encontrar o valor correspondente:

3 20°+ 10° = 70° ou 20°+ 50° = 70°

Alternativa b.

Atividades – p. 126

1. Os ângulos indicados em verde são alternos internos. Assim:

x 3 + 42° = 2x + 17°

x 3 + 25° = 2x

x + 75° = 6x

5x = 75°

x = 15°

2. Uma reta paralela às retas r e s divide o ângulo de 112° em dois, com medidas 40° e x, como ilustrado a seguir.

40° 40°

Alternos internos Alternos internos x

x

Assim: 40°+ x = 112°

x = 72°

Alternativa c.

r r // s t // r s

3. Colocando em um sistema a sentença dada pelo enunciado e as sentenças que são possíveis deduzir ao analisar a imagem, tem-se:

5. Retas paralelas às retas r e s, passando pelo vértice dos ângulos ˆ b e ˆ c , dividem esses ângulos em partes, como mostra a figura a seguir.

Assim, B AC é agudo, ABC é agudo e AC B é reto.

e) Ângulos complementares.

2. Circunferência

Atividades – p. 130

1. 9 cm

Do enunciado, tem-se que ˆ b = 71° e que

b = 42°+ x.

Assim:

ˆ b = 71° = 42°+ x x = 29°

Também é possível observar que c = x + 33° Assim: c = 29°+ 33° = 62° Alternativa e.

6. Traçando, pelo ponto C, uma reta paralela à reta suporte de AB , prolongando o segmento DE e sabendo que med A ˆ BC () = 34° e med B ˆ CD () = 68°, tem-se:

Os estudantes podem utilizar o fato de que, considerando que se trata de uma medida representada por um número inteiro, se d for igual a 10 cm, d = r, o que contraria o fato de que t é secante à circunferência. Assim, o maior valor inteiro que d pode assumir é 9 cm.

2. Como a reta r é tangente à circunferência, x = 90° Assim:

x + y + 30° = 180° 90°+ y + 30° = 180° y = 60°

x = 90° e y = 60°

3. Como PA = PB = x, o perímetro será 2x + y.

4. a) Como PA = PB, tem-se: 4x + 3 = 5 3 x + 10

4x = 5 3 x + 7

12x = 5x + 21

7x = 21 x = 3

Portanto, a medida de x é igual a 3 cm.

b) Ao substituir o valor de x, encontrado no item anterior, na sentença que representa a medida do segmento PA , tem-se:

PA = 4x + 3 = 4 3 + 3 = 15 h PA = 15 cm

med CDE () = 34°+ 68° = 102° Alternativa b.

7. a) Os ângulos ˆ b e ˆ f são alternos internos; desse modo b 2 f . Pela análise da imagem, tem-se:

a + c = d. Assim:

9x 10°+ 3x + 10° = 180°

12x = 180°

x = 15°

b) Ao substituir o valor de x, encontrado no item a, na sentença que representa a medida do ângulo ˆ a , tem-se:

a = 2x + 5°

Fazendo (I) (II), obtém-se: x + y + z = 210° (IV).

Fazendo (IV) (III), obtém-se: y = 30°

Alternativa a.

4. Do enunciado:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

a = 2 15°+ 5° = 35° Pela análise da imagem, percebe-se que os ângulos ˆ b e ˆ d são suplementares. Assim:

b + 9x 10° = 180°

Ao substituir na sentença anterior, o valor de x já encontrado (15°), tem-se:

b + 9 15° 10° = 180°

b = 55°

a = 35° e b = 55°

c) Como ˆ a , b e ˆ c são os ângulos internos de um triângulo, e a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, tem-se:

a + b + c = 180°

d) Como as medidas de a e ˆ b já foram determinadas, é necessário calcular a medida de c para classificar os ângulos. Substituindo na sentença anterior, os valores de a e b, tem-se:

a + b + c = 180°

35°+ 55°+ c = 180°

c = 90°

c) Como PA = PB, então PB = 15 cm.

d) Perímetro = 15 + 15 + 7 + 7 = 44

Então: Perímetro = 14 cm

5. a) CN = CM = 8 cm

BP = BM = 12 cm

Assim: x = (12 + 8) = 20 cm

b) Seja AP = AN = t. Assim: 20 + 12 + 8 + t + t = 46

2t = 6 t = 3

Portanto, AN = 3 cm.

6. a) AP = AM = a = 11; BM = BN = c = 31;

CP = CN = b = 25;

a = 11 cm, b = 25 cm e c = 31 cm.

b) Como a = 11, b = 25 e c = 31, então:

P = 25 + 25 + 11 + 11 + 31 + 31 = 134

Assim, P = 134 cm.

7. a) BP = BM = 6

Assim: AM = AN = 8 6 = 2 = r

Portanto, r = 2 cm.

b) Perímetro = 4r = 4 ? 2 = 8 h Perímetro = 8

c) PC = NC = a

Perímetro = 6 + 8 + 2 + a + a = 16 + 2a

Portanto, perímetro = (2a + 16) cm.

d) Espera-se que os estudantes observem os dados da figura e elaborem questões envolvendo medidas de segmentos de retas ou de perímetro. Por exemplo: Qual é o perímetro, em centímetro, do quadrilátero BMOP? (Perímetro = 6 + 6 + 2 + 2 = 16; Perímetro = 16 cm).

Atividades – p. 132

1. a) med AB () = 75

ACB () = 360

b) med AB () = 90°

75

285°

() = 360° 90° = 270°

2. x = 360° 5 56° x = 360° 280°

3.

45°

x = 45°; y = 90°

4. a) A medida x do ângulo central é igual à medida do arco AB, ou seja, 120°

b) A medida x do ângulo central é igual à medida do arco AB, ou seja, 45°

5. Seja a = b = c = x.

Assim: x + x + x = 360°

x = 120°

Portanto:

med AB () = med BC () = med CA () = 120°

6. A medida x do ângulo central é igual à medida do arco AB , ou seja, x = y.

Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Assim:

x + 35°+ 35° = 180°

x = 110°

x = y = 110°

7. Do enunciado, x = 80° Assim:

x + y + 180° = 360° 80°+ y = 180°

y = 100°

Portanto: y x = 100° 80° = 20°

8. Sim, pois, além de AB = RS, temos que OR = OS = OB = = OA (são raios da circunferência). Assim, os triângulos AOB e ROS são congruentes pelo caso LLL.

Atividades – p. 136

1. Como a medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco determinado por ele na circunferência, tem-se que p = t 2

Ou, ainda, t = 2p.

2. y = med BC () = 92°

x = ) ( medB C 2 = 92 2 ° = 46°

Assim, x = 46° e y = 92°

3. x = 86 2 ° = 43°

y = 62 2 ° = 31°

Assim: x y = 43° 31° = 12°

4. med AB () = 360 5 ° = 72°

x = medAB 2 () = 72 2 ° = 36°

med CD () = 360 6 ° = 60°

y = ) ( medCD 2 = 60 2

° = 30°

Assim, x = 36° e y = 30°

x = 45 x 2 °+ h 2x = 45°+ x h x = 45°

Espera-se que os estudantes utilizem estratégias que envolvam o conhecimento das relações entre ângulo central e ângulo inscrito em uma circunferência.

Tecnologias – p. 138

1. Espera-se que os estudantes verifiquem a propriedade de que a medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central de mesmo arco determinado por ele na circunferência.

2. Resposta pessoal. Os estudantes podem resolver a atividade 7 da página 137 com o auxílio do GeoGebra. Construir a circunferência, os segmentos AB,AC, BC,OBe OC () e os ângulos central B ˆ OC (), inscrito (52°) e t. Uma alteração que pode ser proposta é modificar o triângulo para que ele se torne equilátero, assim a medida do ângulo central B OC será 60°. O trio pode solicitar aos colegas que determinem a medida do ângulo inscrito BAC, a qual eles verificarão, com o software de geometria dinâmica, que é a metade da medida do ângulo central correspondente, ou seja, 30°

Atividades – p. 141

Retomando o que aprendeu – p. 142

1. Uma reta paralela às retas r e s que passa pelo vértice de ˆ c , divide esse ângulo em dois outros de medidas 60° e 80°, pois são alternos internos aos ângulos ˆ a e b

Assim, c = 60°+ 80° = 140°

Alternativa c.

2. 4 3 x + 11 = 1 2 x + 26

Mas x = 2y e med AB () + med BC () + + med CA () = 360°

Assim:

120°+ 2y + 4y = 360°

6y = 240° y = 40°

Então: x = 2 40° = 80°

Portanto: x y = 80° 40° = 40°

Alternativa b.

• Espera-se que os estudantes respondam que é possível identificar a distorção na imagem cuja modificação foi apenas na direção vertical.

• Espera-se que os estudantes respondam que podemos considerar semelhantes a imagem original e a imagem reduzida em que a proporção entre as medidas nas direções horizontal e vertical foi fixada.

1. Segmentos proporcionais

4

3 x = 1 2 x + 15

8x = 3x + 90

5x = 90 x = 18

med CD () = 4 3 x + 11 =

3 ? 18 + 11 = 35

med CB () = 1 2 x + 26 = 1 2 18 + 26 = 35

Assim, o perímetro do quadrilátero ABCD será:

35 + 35 + 20 + 20 = 110; 110 cm.

Alternativa a.

3. Do enunciado, pode-se concluir que:

• AS 2 AR

• SC 2 CT 2 BT 2 RB

Portanto, o polinômio que expressa o perímetro P do triângulo ABC será:

P = a + a + b + b + b + b = 2a + 4b

Alternativa c.

4. 1 3 3x = 2 3 + x

9. • No triângulo AOC: y + y + 114° = 180°

2y = 66° y = 33°

• x = 114 2 ° = 57°

Portanto: x y = 57° 33° = 24°

Alternativa a.

10. Da figura, pode-se concluir que:

• med CB () = 2x

• med AD () = 170°

Assim:

120° = 2x 170 2 ° +

2x = 70°

x = 35°

Alternativa e.

11. Da figura:

• x + y = 90° I

• y = 2x II

Substituindo II em I :

Pense e responda – p. 146

1. a) 14 20 = 7 10 ou 0,7.

b) 35 50 = 7 10 = ou 0,7.

2. Sim, pois 14 20 0, 7e 35 50 0, 7. ==

3. Sim, pois 14 20 35 50 7 10 0, 7 ===

Atividades – p. 149

1. Não, pois a razão 540 : 6 = 90 é diferente da razão 331 : 4 = 82,75. Ou seja, o caminhão e o carro apresentaram velocidades médias não proporcionais.

2. a) 150 000 000 km 500 s = 300 000 km/s

b) A luz do Sol leva cerca de 500 segundos para atingir a Terra, então, 500 = 60 8 + 20. Portanto, a luz do Sol leva em torno de 8 minutos e 20 segundos para atingir a Terra.

3. AB CD = 16 40 = 2 5 ou 0,4.

1

3 = 2 3 + 4x

4x = 1

x = 1 4

Assim, o diâmetro dessa circunferência, em metro, mede:

D = 2 1 4 = 1 2 = 0,5

Alternativa c.

5. • 3x + y + 2x + y = 29

5x + 2y = 29 I

• x y = 6,5

x = 6,5 + y II

Substituindo II em I :

5 (6,5 + y) + 2y = 29

32,5 + 5y + 2y = 29

7y = 3,5 y = 0,5

Alternativa e.

6. Considerando med O ˆ TB () = x, temos:

x + 75°+ 90°+ 90° = 360°

x = 105°

Alternativa b.

7. 100° = 120 y 2 °+ y = 80°

x = 120 80 2 ° °_

x = 20°

Assim: x y = 20 80

Alternativa c.

°

° = 1 4 = 0,25

8. Do enunciado, tem-se: med AB () = 120° , med BC () = 2y, med CA () = 2x.

x + 2x = 90°

3x = 90°

x = 30°

Assim: y = 2 ? 30° = 60°

Alternativa c.

12. Da figura, pode-se concluir que:

• med MN () = 62°

• med PQ () = 130°

Assim:

x = 130 62 2 ° °_

x = 34°

Alternativa d.

Um novo olhar – p. 143

• Ângulos complementares são ângulos cuja soma das medidas é igual a 90°; ângulos suplementares são ângulos cuja soma das medidas é igual a 180°

• Ângulos correspondentes em retas paralelas são ângulos de mesma medida que coincidem por translação; ângulos congruentes são quaisquer ângulos de mesma medida entre si. Ângulos correspondentes são pares de ângulos congruentes, mas nem todo par de ângulos congruentes são ângulos correspondentes.

• Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano, chamado de centro da circunferência. Círculo é a figura geométrica formada pela reunião de uma circunferência com a região interna a essa circunferência.

Unidade 5 • Proporção e semelhança

Abertura de Unidade – p. 144

• Resposta pessoal. Em caso afirmativo, espera-se que os estudantes respondam que tenham procurado manter as proporções das medidas nas direções horizontal e vertical.

4. x 8 = 0,4

x = 3,2 3,2 m

5. x2 24x + 135 = 0

x = 15 ou x = 9

Assim, a = 9 e b = 15. Por fim, a razão entre AB e BC é:

AB BC = 9 15 = 3 5 ou 0,6.

Portanto, a = 9, b = 15; AB BC = 3 5 ou 0,6.

6. 15 m = 1 500 cm escala medida do comprimentonodesenho medida do comprimentoreal ==

= 5 1 500 = 1 300

A escala usada no desenho foi 1 : 300.

7. Primeiramente, é preciso descobrir a escala utilizada: 20 km = 2 000 000 cm

= 2 2 000 000 1 1 000 000

Depois, calcula-se a medida de comprimento real de um segmento de 8 cm, utilizando a escala encontrada.

= 1 1 000 000 8 x h x = 8 000 000

Assim, 8 000 000 cm = 80 km.

8. Ao utilizar uma régua para medir o segmento de reta que representa a distância em linha reta entre a cidade de Boa Vista e Brasília, os estudantes encontrarão 5 cm.

Com a escala dada no enunciado, tem-se:

= 1 50 000 000 5 x h x = 250 000 000 Assim, 250 000 000 cm = 2 500 km. Logo, a distância real aproximada, em linha reta, entre Boa Vista e Brasília é de 2 500 km.

Atividades – p. 151

1. •

2. 3, 2 x = 6,5 26 h x = 12,8

Então, CD = 12,8 cm.

3. x x6 + = 16 28

28x = 16x + 96 12x = 96 x = 8

Logo, EF = 8 cm.

4. Ao considerar a a medida do barbante proporcional a 2, b a medida proporcional a 3, c a medida proporcional a 4 e d a medida proporcional a 6, tem-se que as medidas das partes do barbante são:

x = 6 ou x = 2

Como x . 0, x = 6.

Assim: P = (6 1) + 3 + (6 + 4) + 6 + 14 = 38

AB = 5 + 3 = 8

AC = 10 + 6 = 16

Assim: AB = 8 cm; AC = 16 cm; perímetro = 38 cm.

4. Um possível esboço da figura seria: 15 cm 9 cm

Do enunciado: y = 30 x.

x 15 = 30 x 9

450 15x = 9x

x = 18,75

Assim: y = 30 18,75 = 11,25.

Portanto: x = 18,75 cm; y = 11,25 cm.

5. 8 12 = 5 x h x = 7,5

Assim, x = 7,5.

a

2 b 3 c 4 d 6 x ====

ab cd 23 46 300 15 20 +++ +++ ==

• a 2 20 =h a = 40

Ou seja, 40 cm.

• b 3 20 =h b = 60

Ou seja, 60 cm.

• c 4 20 =h c = 80

Ou seja, 80 cm.

• d 6 20 =h d = 120

Ou seja, 120 cm.

2. Feixe de retas paralelas

Atividades – p. 155

1. a) 40 32 = 100 x h x = 80

b) 5, 4 x = 4,5 3 h x = 3,6

2. 21 27 = 49 x h x = 63

DF = 63 cm.

3. 5 x = 8 4 h x = 5 2 5 2, 75 = 8 y h y = 22 5

x + y = 5 2 + 22 5 = 25 44 10 + = 6,9

4. Do enunciado, y = 45 x.

a medida da frente do lote 1 para a rua B é

6. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes formulem perguntas envolvendo as medidas x ou y, ou, ainda, que envolvam o perímetro de cada lote. Por exemplo: Qual é o perímetro de cada lote?

160 120 = 100 x h x = 75

160 120 = 60 y h y = 45

Perímetro do lote 1: P = 100 + 75 + 30 = 205.

Perímetro do lote 2: P = 30 + 45 + 50 + 60 = 185.

Portanto, o perímetro do lote 1 é 205 m e o do lote 2 é 185 m.

7. 50 y   3 6 = 80 y

50y = 80y 2 880

y = 96

x = y 36 = 96 36 = 60 x = 60

Portanto, os comprimentos dos quarteirões da segunda avenida são: 60 m e 96 m.

8. Sendo x a distância entre o ponto no qual o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele, tem-se:

x 4 = x4 9 +

9x = 4x + 16

x = 3,2

Logo, a distância procurada é de 3,2 m.

Atividades – p. 160

1. a) 4 2 = 10 x h x = 5

b)

5

x = 13 45 x 13x = 225 5x

Como x . 0, então x = 4.

Assim:

AC = x + 4 = 4 + 4 = 8

BD = x 1 = 4 1 = 3

DC = 4

Portanto, AC = 8, BD = 3 e DC = 4.

3. Seja x a medida de DC

e) Verdadeira. Dois polígonos regulares com a mesma quantidade de lados serão sempre semelhantes, pois os ângulos correspondentes serão congruentes, e os lados correspondentes, proporcionais.

3. 20 15 = 4 3

1, 8 0, 75 300 x =

1,8x = 0,75 300

1,8x = 225

x = 225 1, 8 = 125

12

15 x = 18 x

30x = 270

x = 9

Assim: DC = 9 e AD = 15 9 = 6.

Portanto, AD = 6 cm e DC = 9 cm.

4. Aplicando o teorema de Tales no triângulo ABC, tem-se:

4. a) 3 4 = 48 P2 h P2 = 64 Portanto, o perímetro do octógono O2 é igual a 64 cm.

b) x = 48 8 = 6 y = 64 8 = 8

Assim, x é igual a 6 cm e y é igual a 8 cm.

5. a) 24 12 = 2

Logo, a distância do navio à praia é de 125 m. Atividades p. 171

1. 18 15 = x 18 h x = 21,6 15 15 18 + = 12 y h y = 26,4

Portanto: x = 21,6 e y = 26,4.

10

x = 4 6 h x = 15

a) 10 7 = 15 y h y = 10,5

Assim, o perímetro do triângulo ABC será igual a:

P = 10 + 4 + 7 + 10,5 + 15 + 6 = 52,5

b) 10 z = 15 8 h z 1 5,3

Assim, o perímetro do trapézio PBCM será igual a:

P 1 5,3 + 4 + 7 + 10,5 + 6 + 8 = 40,8

3. Figuras semelhantes

Fórum – p. 161

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que é importante considerar dados de fontes confiáveis e o contexto dos dados apresentados em mapas e em outras representações cartográficas, de modo que seja possível utilizar esses dados para auxiliar na interpretação da realidade, minimizando as distorções e limitações inerentes a esse tipo de representação.

Atividades – p. 165

1. a) 24 40 = 15 25 = 3 5

A afirmação é verdadeira, pois os ângulos internos correspondentes são congruentes, e os lados correspondentes são proporcionais, cuja razão de proporção é 3 5 .

b) 24 30 5 15 20

A afirmação é verdadeira, pois os ângulos internos correspondentes são congruentes, mas os lados correspondentes não são proporcionais.

2. a) Falsa. Para que duas figuras sejam semelhantes, elas precisam ter ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Contudo, nem todos os retângulos têm lados correspondentes proporcionais, como verificamos na atividade 1

b) Verdadeira. Os ângulos correspondentes de dois quadrados serão sempre congruentes e as medidas dos lados correspondentes serão sempre proporcionais.

c) Falsa. Em dois triângulos quaisquer, os ângulos correspondentes podem não ser congruentes e os lados correspondentes não serem proporcionais. Por exemplo:

A razão de semelhança é 2.

b) 30 x = 2 h x = 15 40 y = 2 h y = 20

62 z = 2 h z = 31

Portanto: x = 15 cm; y = 20 cm; z = 31 cm.

c) A razão entre o perímetro ABCD e o perímetro MQPN é igual à razão de semelhança entre essas figuras, ou seja, 2.

6. a) 3 2 ou 1,5.

b) Como ABCDE é semelhante a A‘B‘C‘D‘E‘, o ângulo D é congruente a D‘ . Assim, a medida do ângulo D‘ é igual a 108°

c) 3 2 = 2,1 x h x = 1,4

Assim, A‘B‘ mede 1,4 cm.

Atividades – p. 168

1. a) Seja a a medida do ângulo  e q a medida do ângulo Q Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos que: a = 60° e q = 45°. Então, como os ângulos internos dos triângulos não são congruentes, os triângulos não são semelhantes.

b) Nesse caso, os ângulos com vértice em C são congruentes, e ˆ E ˆ B 2 , então os triângulos são semelhantes.

c) Seja c a medida do ângulo C e t a medida do ângulo T Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos que: c = 40° e t = 30°. Então, como M S 2 , C P 2 e T D 2 , os triângulos são semelhantes.

2. B 2 E (ambos medem 90°) e ˆ C 2 D (ambos medem 50°).

3. x z = y x h x2 = yz

4. a ax + = 1 1b + h x = ab

5. h 8, 4 = 19,2 5, 6 h h = 28,8

Portanto, a altura do prédio é igual a 28,8 m.

6. A partir da imagem, e utilizando a semelhança de triângulos, temos:

= +

dh

2. • + AB AB 10 = 27 36 h AB = 30

• AD = AB + 10 h AD = 40

Portanto: AB = 30 e AD = 40.

3. 20 20 8 = 15 DE h DE = 9

Assim: S = ()81 59 2 ?+ = 96

Portanto, a área é igual a 96 cm2

4. 15 15 17 + = y y1 3, 6 + h y = 12 15 15 17 + = 18 x h x = 38,4

Assim: x y = 38,4 12 = 3,2.

5. Sendo h a altura do poste, em metro, temos: 1, 8 h = 2, 7 2, 76,3 + h h = 6 Alternativa b.

6. 200 80 = L 100 h L = 250

Portanto, o lago tem 250 m de largura.

7. OP OP 30 + = 25 40 h OP = 50

Assim, a distância do observador até o ponto P é igual a 50 m.

8. Sendo x a distância do ponto A até o segmento EF , temos: x3 x + = 4,5 3 h x = 6

Assim: h = 6 + 3 = 9. Alternativa d.

9. Para auxiliar na resolução, podemos fazer um esquema com os dados apresentados no enunciado.

12,3 cm

x 4 m 1,5 m

Utilizando o teorema fundamental da semelhança, podemos escrever:

d) Verdadeira. Em dois triângulos equiláteros, os ângulos correspondentes serão sempre congruentes, pois será sempre igual a 60° (180°: 3) e as medidas dos lados serão sempre proporcionais.

1,5

4 = 12,3

12,3 x +

1,5 (12,3 + x) = 12,3 4

18,45 + 1,5x = 49,2

1,5x = 49,2 18,45

1,5x = 30,75

x = 20,5

Logo, a pessoa ainda deve caminhar 20,5 metros para chegar ao ponto mais alto da rampa.

Por toda parte – p. 173

• 1, 80  m

5, 40  m = x 438  m h x = 146 m

Assim, a altura da pirâmide de Quéops é igual a 146 m.

Retomando o que aprendeu – p. 174

1. 3,2 3, 2x + = 0, 8  2, 2  h

h 7,04 = 2,56 + 0,8x h x = 5,6

Ou seja, a distância que o paciente deve andar é 5,6 metros.

Alternativa d.

2. 14 3 = x 0, 9 h x = 4,2

Assim, o comprimento do carro da mãe de Caio é igual a 4,2 m.

Alternativa b.

3. 30 4 = h 5 h h = 37,5

Logo, a altura da árvore é igual a 37,5 m.

Alternativa c.

4. 5 2 = 6 x h x = 2,4

A altura da porta é igual a 2,4 m.

Alternativa a.

5. 3 12 = 12 x 14 h x = 8,5

Alternativa e.

6. 20 20 x = 5 x h x = 4

O perímetro do losango será: 4 4 = 16.

Alternativa b.

7. 300 36 = x 30 h x = 250

Assim, a largura do lago é 250 m.

Alternativa a.

8. x 1, 6 = 10 2,5 h x = 6,4

Portanto, a altura da árvore é igual a 6,4 m.

Alternativa c.

9. O perímetro do triângulo ABC é igual a 60 cm. Então: 60 20 = 27 XZ h XZ = 9

Assim, a medida de XZ é igual a 9 cm.

Alternativa e.

10. 6 8 = x 6, 4 h x = 4,8 y 4, 8 = 6 8 h y = 3,6

x + y = 4,8 + 3,6 = 8,4

Alternativa c.

Um novo olhar – p. 175

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes tenham percebido as alterações em cada fotografia, considerando a preservação ou não da proporção entre as medidas de cada imagem.

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes notem que as figuras semelhantes têm a mesma forma, ainda que não tenham as mesmas medidas.

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes percebam que, no caso de dois polígonos, é necessário verificar se os ângulos correspondentes são congruentes e se os lados correspondentes são proporcionais. No caso de triângulos, basta verificar se dois de seus ângulos são congruentes ou, ainda, se os lados homólogos são proporcionais.

Unidade 6 • Porcentagem, probabilidade e Estatística

Abertura de Unidade – p. 176

• Respostas pessoais. Os estudantes podem conhecer esse tema, em especial, ao acompanhar o aumento dos preços de produtos do mercado ou por meio de notícias.

• Espera-se que os estudantes identifiquem que, em 2021, o maior índice foi registrado em novembro, e o menor, em janeiro. A inflação nesse período pode ser calculada pela subtração 10,74% 4,56% = 6,18%. Portanto, a inflação nesse período foi de 6,18%.

• Auxilie os estudantes na elaboração da pesquisa, fornecendo dados e fontes confiáveis para que eles possam conhecer as condições de instabilidade econômica que eram enfrentadas no país nessa época, bem como os planos econômicos que foram implantados para amenizar essa situação. Para obter mais informações sobre esse tema, pode-se consultar a reportagem de Carlos Alberto Guimarães, da Agência IBGE Notícias, disponível em: https://agenciadenoticias.ibge.gov. br/lentes-doc/26571-40-anos-ipca-inpc.html (acesso em: 8 jun. 2022).

1. Porcentagem e problemas envolvendo juros

Pense e responda – p. 178

A diferença entre o valor da mercadoria após os aumentos e seu valor inicial é R$ 94,00 (R$ 594,00 R$ 500,00). Ao fazer a razão entre essa diferença e o valor inicial, obtém-se o percentual dos aumentos. Assim: 94 500 0,188 =

== = 0,188 0,188 100 100 18,8 100 18,8%

A taxa percentual do reajuste da mercadoria, após os dois aumentos sucessivos, foi de 18,8%. Podemos perceber que essa taxa não é igual à soma das taxas percentuais. A soma dessas taxas é dada por 8% + 10% = 18%, e a taxa percentual de reajuste foi de 18,8%.

Atividades – p. 181

1. a) Após o aumento de 5%, a mercadoria passou a custar:

R$ 35,00 + 5 100 R3 5, 00 ?$=

= R$ 35,00 + R$ 1,75 = R$ 36,75 Agora, o aumento de 8% será calculado sobre o valor após o primeiro aumento, ou seja, será sobre

R$ 36,75. Desse modo, temos:

R$ 36,75 + 8 100 R3 6, 75 ?$=

= R$ 36,75 + R$ 2,94 = R$ 39,69 Assim, após os dois aumentos a mercadoria passou a custar R$ 39,69.

b) Após o desconto de 5%, a mercadoria passou a custar:

R$ 39,69 5 100 R3 9, 69 ?$=

= R$ 39,69 R$ 1,98 = R$ 37,71 Com o desconto de 8% para pagamento à vista, a mercadoria passou a custar:

R$ 37,71 8 100 R3 7, 71 ?$1

1 R$ 37,71 R$ 3,02 = R$ 34,69 Portanto, o cliente pagaria R$ 34,69 pelo produto.

c) Não. Espera-se que os estudantes percebam que, embora os percentuais de aumentos sucessivos e os de descontos sucessivos sejam iguais, eles foram aplicados a valores diferentes, o que fornece resultados distintos.

2. R$ 600,00 0,03 = R$ 18,00

Em 6 meses: R$ 18,00 6 = R$ 108,00.

Assim: R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00.

Então, o valor creditado deve ser R$ 708,00.

3. Após a primeira redução, o valor do carro será:

R$ 80.000 ?$ 10 100 R 80.000 =

= R$ 80.000 R$ 8.000 = R$ 72.000

Após a redução percentual do segundo ano, o carro passou a custar:

R$ 72.000 ?$ 8 100 R 72.000 =

= R$ 72.000 R$ 5.760 = R$ 66.240

Assim, depois de dois anos de uso, o carro custará

R$ 66.240,00.

4. Ainda falta Paulo pagar:

R$ 45.000,00 R$ 18.000,00 = R$ 27.000,00

M = R$ 27.000,00 + R$ 27.000,00 3 0,04

M = R$ 30.240,00

Portanto, ao fim dos três meses, Paulo deverá pagar o valor de R$ 30.240,00.

5. M = R$ 5.000,00 + R$ 5.000,00 24 0,01

M = R$ 6.200,00

Lucas receberá um montante de R$ 6.200,00.

6. M = R$ 1.500,00 (1,03)12 = R$ 2.138,64

O montante que Lilian receberá é de R$ 2.138,64.

7. R$ 64.000,00 = R$ 8.000,00 (1 + n)3

8 = (1 + n)3

1 + n = 2

n = 1

Portanto, a taxa de juro será de 100% ao mês.

8. M = R$ 4.500,00 (1,01)6

M = R$ 4.500,00 1,06152

M = R$ 4.776,84

9. Juro simples:

M = R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 ? 0,01 ? 12

M = R$ 1.120,00

Juro composto:

M = R$ 1.000,00 ? (1,01)12 = R$ 1.126,83

Diferença:

R$ 1.126,83 R$ 1.120,00 = R$ 6,83

A diferença entre os rendimentos obtidos é R$ 6,83.

10. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que a capitalização das aplicações financeiras é calculada, geralmente, a juro composto e usem a taxa pesquisada para elaborar um problema envolvendo esse tipo de juro. Exemplo de resposta: Uma aplicação de R$ 5.000,00 na poupança, à taxa de 0,5% ao mês, renderá quantos reais em 5 meses, considerando que essa taxa não varie?

M = R$ 5.000,00 (1,005)5 1 R$ 5.126,26

R$ 5.126,26 R$ 5.000 = 126,26

Renderá aproximadamente R$ 126,26.

11. Empréstimo: R$ 2.300,00

Taxa de juro (simples): 5% ao mês (0,05)

Tempo do empréstimo: 1 ano = 12 meses

Dívida após 4 meses:

R$ 2.300,00 + R$ 2.300,00 ? 0,05 ? 4 = R$ 2.760,00

Valor pago: R$ 2.760,00 : 2 = R$ 1.380,00

Dívida após 8 meses:

R$ 1.380,00 + R$ 1.380,00 0,05 8 = R$ 1.932,00

Jorge deverá pagar R$ 1.932,00.

Tecnologias – p. 182

a) No regime a juro simples, a aplicação renderá:

M = R$ 10.000,00 + R$ 10.000,00 0,03 3 =

= R$ 10.900,00

No regime a juro composto, a aplicação renderá:

M = R$ 10.000,00 (1,03)3 = R$ 10.927,27

R$ 10.927,27 R$ 10.900,00 = R$ 27,27

Comparando o rendimento da aplicação nos dois regimes, percebe-se que no regime de capitalização a juro composto o rendimento será maior. Ele receberá

R$ 27,27 a mais.

b) No regime a juro simples, a aplicação renderá:

M = R$ 10.000,00 + R$ 10.000,00 ? 0,03 ? 1 2 = = R$ 10.150,00

No regime a juro composto, a aplicação renderá:

M = R$ 10.000,00 () 1, 03 1 2 1 R$ 10.148,90

R$ 10.150,00 R$ 10.148,90 = R$ 1,10

Comparando o rendimento da aplicação nos dois regimes, podemos perceber que no regime de capitalização a juro simples o rendimento será maior.

c) No regime de juro simples a aplicação renderá:

M1 = R$ 10.000,00 + R$ 10.000,00 0,03 1 = R$ 10.300,00

M2 = R$ 10.000,00 + R$ 10.000,00 ? 0,03 ? 2 = R$ 10.600,00

No regime de juro composto a aplicação renderá:

M1 = R$ 10.000,00 ? (1,03)1 = R$ 10.300,00

R$ 10.300,00 R$ 10.000,00 = R$ 300,00

M2 = R$ 10.000,00 (1,03)2 = R$ 10.609,00

Pelos cálculos, a partir de 1 mês o montante a juro composto passa a aumentar mais rapidamente que o montante a juro simples.

2. Probabilidade

Atividades – p. 186

1. Entre as seis possibilidades de resultado do dado (1, 2, 3, 4, 5 e 6), há apenas uma possibilidade de sair o número 4, assim:

P(4) = 1 6

Entre as seis possibilidades de resultado do dado, há três possibilidade de sair um número ímpar (1, 3 e 5), assim:

P(ímpar) = 3 6 = 1 2

2. a) Entre as oito possibilidades, há apenas um resultado com o número 1, assim:

P(1) = 1 8

b) Entre as oito possibilidades, há quatro resultados com um número par (2, 4, 6 e 8), assim:

P(par) = 4 8 = 1 2

c) Como há reposição da bola retirada, os eventos são independentes. Logo:

P(1 e par) = 1 8 1 2 = 1 16

3. Os eventos são independentes, então: 1 2 ? 1 2 = 1 4 = 0,25

Alternativa d.

4. Depois de sorteada a bola azul, haverá 15 bolas na urna. Como se quer saber a possibilidade de sortear uma bola amarela, tem-se:

P(amarela)= quantidade de bolas amarela s quantidade de bolas na urna = 4 15

A probabilidade de sair bola amarela é igual a 4 15

5. 37 75 36 74 = 1 332 5 550 = 0,24 = 24%

A probabilidade de as duas primeiras bolinhas sorteadas (sem reposição) apresentarem um número par é de 24%.

6. Como não há reposição, os eventos são dependentes; então:

a) 13 52 12 51 = 1 17

b) 4 13

=

7. Os eventos são dependentes, então:

3 7 2 6 + 4 7 3 6 = 18 42 = 3 7

8. Os eventos são independentes, assim:

6 ? 1 6 ? 1 6 ? 1 6 = 1 36

9. A probabilidade de a bola vermelha sair na 1a, 2a ou 3a retirada é de:

3 1 16 = 3 16 = 0,1875 = 18,75%.

A probabilidade de retirar a bola vermelha é menor do que 20%, pois

3 16 = 18,75%.

10. O enunciado informa que o peão e o cavalo podem se movimentar de duas maneiras distintas no primeiro movimento. Como há oito peões e dois cavalos no conjunto de peças de cada jogador, há 20 possibilidades (8 2 + 2 2) de cada jogador fazer o seu primeiro movimento no jogo.

Desse modo, cada jogador tem 20 maneiras diferentes de iniciar o seu jogo. Portanto, existem 400 (20 ? 20) rodadas possíveis.

3. Analisando gráficos

Atividades – p. 190

1. Alternativa d.

2. a) Possivelmente a chapa B, pois a coluna referente à quantidade de votos dessa chapa, aparentemente de modo proposital, tem mais destaque em relação às demais.

b) Espera-se que os estudantes percebam que, para representar a porcentagem de voto da chapa B, foram usadas letras maiores do que nas demais chapas. Além disso, a altura da coluna da chapa B está desproporcional em relação à coluna referente à chapa A, que detém 60,3% das intenções de voto, enquanto a chapa B detém apenas 30%.

c)

Intenção de votos para a diretoria do centro acadêmico

Fonte: Pesquisa de intenção de votos para a diretoria do centro acadêmico.

3. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O gráfico de linhas, pois compara a área desmatada ao longo dos anos.

b)

Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. PRODES: Monitoramento do desmatamento da Floresta Amazônica brasileira por satélite. São José dos Campos: INPE, 2021. Disponível em: http://www.obt.inpe.br/OBT/assuntos/ programas/amazonia/prodes. Acesso em:

7 028

6 207 1 1,1323

1,1323 100 = 113,23% 113,23%

d) Média = ++++++ 6 207 7 893 6 947 7 536 10 129 10 851 13 235 7 1

1 8 971,14

Assim, a média da área devastada é 8 971,14 km² por ano.

e) Como não há dados repetidos, não há moda.

Como são sete dados, a mediana é o dado que ocupa a posição quatro, quando estes estão ordenados de modo crescente ou decrescente:

6 207 6 947 7 536 7 893 10 129 10 851 13 235

Assim, a mediana é 7 893 km².

4. a) Espera-se que os estudantes percebam que, para cada ano (coluna inteira), cada cor representa um dos produtos exportados. De acordo com a legenda: a cor azul representa a quantia arrecadada em exportações de soja, a cor laranja representa a do café, e a cor roxa, a do milho.

b) Sim, o milho.

c) Soja: 2019; café: 2020; milho: 2021.

d) Em 2019.

5. a) O gráfico de linhas. Porque esse tipo de gráfico também mostra a evolução dos dados ao longo do tempo.

b) Média = = +++++++ ++ 168 110 148 139 277 404 449 474 493 562 10 = = 322,4

Ou seja, 322,4 registros por ano. Organizando os dados de maneira crescente, temos: 110 139 148 168 277 404 449 474 493 562

Como a quantidade de dados é par, a mediana é dada pela média dos dados que ocupam as posições centrais (posições cinco e seis). Assim, temos:

277 404 2 + = 340,5

Portanto 340,5 registros.

Média: 322,4 registros por ano; mediana: 340,5 registros.

c) De 2017 a 2021.

d) Ao fazer a razão entre a diferença dos anos citados e a quantidade de registros em 2020, teremos o percentual de aumento de 2020 para 2021. Assim, temos: 562 493 = 69

2. Realização de pesquisa e construção de gráfico.

a) Exemplo de resposta: Verificar a preferência dos estudantes por cursos extracurriculares que a escola poderá oferecer.

b) Exemplo de resposta: Coletar os dados de toda a população estatística, que será composta pelos estudantes do 9o ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e da 1a a 3a série do Ensino Médio.

c) Exemplo de resposta: A coleta de dados se dará por meio de uma votação. Os integrantes do grupo podem combinar com o professor o momento mais oportuno para que ela ocorra.

d) A resposta depende dos dados coletados.

e) A resposta depende dos dados coletados.

f) A resposta depende dos dados coletados.

Fórum – p. 197

1. Espera-se que os estudantes debatam sobre o fato de que conhecer ferramentas estatísticas pode facilitar a análise correta de informações e, por exemplo, a identificação de fakes news, muito comuns nos dias de hoje, bem como avaliar a qualidade de um produto ou serviço por meio das informações divulgadas sobre eles.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A disseminação de informações erradas ou falsas pode prejudicar campanhas de vacinação, incentivar o uso de medicamentos, difamar a imagem de uma pessoa, prejudicar a vida profissional de indivíduos, entre outras.

Por toda parte – p. 198

a) Espera-se que os estudantes percebam que, com o passar dos anos, a base da pirâmide tem ficado mais estreita, e que o topo tem ficado mais largo, o que indica que a população brasileira, no futuro, tende a ser predominantemente composta de pessoas mais velhas.

b) Por ser a maneira mais eficaz de reduzir a mortalidade causada pela doença.

c) Não. O esquema vacinal completo foi composto de três ou quatro doses da vacina contra a covid-19.

d) Resposta pessoal. Exemplo de política pública voltada para a população idosa: lei no 8.842, que dispõe sobre a política nacional do idoso. Tecnologias – p. 200

1. a)

Pesquisa para prefeito – Intenções de voto

EDITORIA DE ARTE

e) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Pode-se observar que, desde 2016, a quantidade de registros de agrotóxicos vem aumentando no país, permanecendo acima da média desde 2017. Além disso, no período retratado no gráfico, a maior quantidade de agrotóxicos registrada ocorreu em 2021, aumentando 14% em relação ao ano anterior.

6. Resposta pessoal. Sugestões de manipulações que os estudantes podem aplicar na construção dos gráficos: as representações das barras ou dos setores estarem desproporcionais em relação à quantidade de dados, ou ainda, a posição dos pontos, em um gráfico de linhas, pode estar de modo que favoreça certo aspecto ou interpretação, entre outras.

4. Elaborando uma pesquisa

Atividades – p. 196

1. a) Espera-se que os estudantes percebam que sim, pois, para mostrar os componentes de um todo, o gráfico de setores é o mais adequado, e para comparar categorias, o mais adequado é o gráfico de barras (no caso, barras duplas).

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para os estudantes da escola pública, a área mais escolhida foi a de Ciências Exatas, e a menos escolhida foi a de Ciências Humanas. Para os estudantes da escola privada, a área mais escolhida foi a de Engenharia, e a menos escolhida foi a de Ciências Sociais. Algumas ações possíveis são o incentivo aos cursos das áreas mais escolhidas e a divulgação e a melhoria da infraestrutura de cursos das áreas menos escolhidas.

Intenções de voto

Janeiro Março Maio Julho Setembro

Fonte: Dados fictícios.

b) Para o candidato A, a intenção de voto cresceu mês a mês, e para o candidato C, a intenção de voto decresceu mês a mês ou ficou constante (manteve o percentual), mas não houve crescimento algum.

2. Realização de pesquisa e construção de gráfico. Espera-se que os estudantes consigam coletar e registrar os dados da pesquisa e que, em seguida, organizem esses dados em uma planilha eletrônica de acordo com as orientações desta seção. Retomando o que aprendeu – p. 202

1. M = R$ 800,00 + R$ 800,00 ? 0,02 ? 4 = R$ 864,00

Custo da geladeira = R$ 400,00 + R$ 864,00 = R$ 1.264,00 R$ 1.264,00

2. M = R$ 5.000,00 (1,018)18 h M = R$ 6.893,34

Rendimento = R$ 6.893,34 R$ 5.000,00 = R$ 1.893,34

Alternativa c.

3. Porcentagem de loiro:

100% 30% 16% 24% = 30%

Quantidade de pessoas que têm cabelo loiro:

0,3 1 200 = 360

Alternativa c.

4. 360 1200 = 0,3 = 30%

5. P = 6 15 5 14

↓

• No cálculo de juro simples, a taxa de juro é aplicada sempre sobre o capital a cada período; já no cálculo de juro composto, a taxa de juro é aplicada sobre o montante do período imediatamente anterior.

Isolando os termos com incógnitas no 1o membro e resolvendo a equação, temos:

64x = 768

Dividindo os dois membros por 64:

x = 12

Logo, o bambu foi quebrado a 12 cúbitos de altura, a partir do chão.

Atividades – p. 212

+ 5 15 4 14 Pbranca

= 0,295 = 29,5%

Alternativa b.

? ↓

6. a) M = 18 20 22 3 ++ = 20

20 estudantes não usam óculos.

? ↓

+ 4 15 3 14 Pvermelha

= 62 210 =

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tenham compreendido que dois eventos aleatórios são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de outros eventos terem ocorrido ou não. Dois eventos aleatórios são dependentes quando a ocorrência de um influencia na ocorrência do outro.

1. Para mostrar que o triângulo é retângulo, o quadrado da medida do lado maior deve ser igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados. Verificando:

b) Turma 9A; 25 estudantes usam óculos.

c) Turma 9B: 15 + 20 = 35 estudantes.

d) Apenas na turma 9A.

7. a) A evolução de seu faturamento ao longo do tempo (de 2011 a 2021).

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sim, o gráfico de linhas é um gráfico mais adequado para enfatizar as mudanças dos dados ao longo do tempo.

c) Não há distorção no gráfico apresentado.

8. a)

b) Áreamédia = 464 12 4 +++ = 6,5

Pontanto, a área média é 6,5 m2

9. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes retomem e apliquem os conhecimentos sobre as etapas de realização de uma pesquisa. Depois de escolhido o tema, uma possibilidade é coletar os dados em fontes confiáveis na internet. Por exemplo, se o tema for relativo aos resultados do Brasil em Jogos Olímpicos, os estudantes podem consultar sites oficiais sobre os Jogos Olímpicos e a delegação brasileira que participou de cada um deles. Em seguida, os estudantes podem organizar os dados coletados e apresentá-los por meio de tabelas, gráficos e textos de conclusão da pesquisa.

Um novo olhar – p. 203

• A inflação e o IPCA são expressos em percentuais que indicam a variação dos preços de mercadorias e serviços em determinado período. Assim, conhecendo o conceito de porcentagem, podemos realizar cálculos, comparar índices, bem como fazer outras análises envolvendo situações financeiras e econômicas.

• Para realizar uma pesquisa estatística, é preciso definir um objetivo, ou seja, formular uma pergunta ou uma hipótese que se quer testar. Com isso, pode-se determinar a população que fará parte da pesquisa, definindo se a pesquisa será censitária ou por amostragem. Caso seja por amostragem, é preciso definir a amostra. O próximo passo é elaborar os instrumentos de pesquisa e como será feita a coleta de dados. Com essas definições, é possível aplicar a pesquisa, coletar e organizar os dados e analisá-los por meio de tabelas, gráficos e medidas estatísticas. Por fim, é feito um relatório com as explicações sobre o planejamento da pesquisa, a coleta dos dados, as análises e as conclusões.

Unidade 7 • Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

Abertura de Unidade – p. 204

• Espera-se que os estudantes respondam que é necessário conhecer o comprimento das ruas indicadas e considerar que o ângulo formado entre elas é de 90°

• Triângulo retângulo.

• Resposta pessoal. Espera-se que, ao analisar a imagem do esquema, os estudantes percebam que os segmentos cujos comprimentos representam as distâncias, em linha reta, entre os pontos indicados lembram lados de um triângulo retângulo. Portanto, será necessário determinar a medida do lado oposto ao ângulo reto, ou seja, da hipotenusa.

1. Teorema de Pitágoras

Pense e responda – p. 206

a) A1 = 2,5 2,5 = 6,25; 6,25 cm2

b) A2 = 2 2 = 4; 4 cm2

c) A3 = 1,5 1,5 = 2,25; 2,25 cm2

d) A1 = A2 + A3

e) Espera-se que os estudantes percebam que a área do quadrado com lado comum à hipotenusa é igual à soma dos quadrados com lado comum a cada um dos catetos.

Por toda parte – p. 211

• Como o bambu quebrado forma com o chão um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Seja x a medida da altura a partir do chão até o ponto no qual o bambu foi quebrado, temos:

(32 x)2 = x2 + 162

Resolvendo o quadrado da diferença e o quadrado de 16:

262 = 242 + 102

676 = 576 + 100

676 = 676, o triângulo é retângulo.

2. a) x2 = 212 + 282 = 441 + 784

x = 1225 = 35

b) 252 = x2 + 242

x2 = 625 576

x = 49 = 7

c) x2 = () 10 2 + 10 2()

x2 = 20

x = 20 = 2 5

d) 29 2() = x2 + 52

x2 = 29 25

x = 4 = 2

3. a) A medida a é a hipotenusa do triângulo QMR.

Então:

a2 = 22 + 42 = 4 + 16

a = 20 = 2 5

b) A medida b é a hipotenusa do triângulo RNP. Então:

b2 = 42 + 82 = 16 + 64

b = 80 = 4 5

c) A medida c é a hipotenusa do triângulo QRP. Então: c2 = a2 + b2

c2 = 25 2() + 45 2()

c2 = 20 + 80

c = 100 = 10

d) O perímetro P é dado pela soma das medidas dos lados do trapézio:

P = 10 + 2 + 4 + 4 + 8 = 28

4. O triângulo ABC é retângulo e o segmento AC é um dos catetos desse triângulo. Então:

52 = 12 + BC2

BC2 = 25 1

BC = 24

BC = 2 6 = 2 2,45 = 4,90

O segmento AC mede 4,90 cm.

5. a) Para descobrir a medida BD, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo ABD.

BD2 = 92 + 122 = 81 + 144

BD = 225 = 15

Como BD também é um dos lados do triângulo equilátero BCD, os lados BC e CD também medem 15. Assim:

P = 3 15 = 45

O perímetro do triângulo BCD mede 45 cm.

b) O perímetro do quadrilátero ABCD é dado pela soma das medidas dos lados. Então:

P = 15 + 15 + 9 + 12 = 51

O perímetro do quadrilátero mede 51 cm.

Cravo Lírio Rosa Tulipa Fonte: Equipe de jardinagem.

6. Sabe-se que y é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos medem 4 e 8. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

y2 = 42 + 82 = 16 + 64

y = 80 = 4 5

Sabendo que x é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos medem 3 5 e y, sendo y = 4 5 , temos:

x2 = 45 2() + 35 2() = 80 + 45

x = 125 = 5 5

Assim: x + y = 5 5 + 4 5 = 9 5

7. a) Como x é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos medem 12 e 16, aplicando o teorema de Pitágoras temos:

x2 = 122 + 162

x2 = 144 + 256

x = 400 = 20

b) Sabendo que y é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos medem

12 e 16 + DB, sendo DB = x = 20, temos:

y2 = 122 + 362

y2 = 144 + 1 296

y = 1440 = 12 10

8. Para determinar a mediada de a, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo cujos catetos medem 0,9 e 1,2 cm.

a2 = 0,92 + 1,22

a2 = 0,81 + 1,44

a = 2, 25

a = 1,5

Sabendo a medida de a, é possível determinar a medida de b pelo mesmo processo.

b2 = 22 + 1,52

b2 = 4 + 2,25

b = 6, 25

b = 2,5

Agora, determinamos a medida de c e calculamos o valor da expressão a + b + c.

c2 = 2,42 + 1,82

c2 = 5,76 + 3,24

c = 9

c = 3

Assim: a + b + c = 1,5 + 2,5 + 3 = 7,0.

9. Considerando x a medida de um dos lados do monitor do notebook, o outro lado medirá 3 4 x . Como a diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, temos:

(30)2 = (x)2 + 3 4 x 2

x2 = 900 ? 16 25

x = 576 = 24

Logo, um lado mede 24 cm e o outro lado mede

3 4 ? 24 = 18 cm.

10. a) Na figura, podemos determinar um ponto P por meio de duas retas suportes. Uma paralela ao eixo x passando pelo ponto A e outra reta, paralela ao eixo y, passando por B

Assim, os pontos A, B e P determinam um triângulo retângulo e podemos aplicar o teorema de Pitágoras.

(dA,B)2 = (dA,P)2 + (dP,B)2

(dA,B)2 = (10 2)2 + (10 4)2

(dA,B)2 = (8)2 + (6)2 = 64 + 36

dA,B = 100 = 10

Logo, a distância entre as cidades A e B é de 10 km.

b) Pelo enunciado, João navega a uma velocidade de 2 km/h, ou seja, ele percorre 2 km a cada 1 hora. Então, o tempo t é dado por:

t = 10  km

2 km/h = 5 h

João levará 5 horas para ir da cidade A até a cidade B

c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O estudante pode determinar outra cidade às margens do lago, por exemplo a cidade C, no ponto C(10,2), e fazer o seguinte questionamento: João precisa ir da cidade

A até a cidade C e, depois, da cidade C até a cidade

B. Ele não está considerando a correnteza da água e pretende navegar no menor tempo possível. Quantos quilômetros João navegará no total?

Resolução:

Na figura, podemos determinar um ponto P por meio de duas retas suportes: uma paralela ao eixo x passando pelo ponto A, e uma reta paralela ao eixo y passando por C

Assim, os pontos A, P e C determinam um triângulo retângulo, e podemos aplicar o teorema de Pitágoras.

(dA,C)2 = (dA,P)2 + (dP,C)2

(dA,C)2 = (10 2)2 + (4 – 2)2

(dA,C)2 = (8)2 + (2)2 = 64 + 4

dA,C = 68 = 2 17

Logo, a distância entre as cidades A e C é 2 17 km.

Já a distância entre as cidades C e B é: 10 2 = 8. Logo, 8 km.

No total, João navegará (2 17 + 8) km, ou, aproximadamente, 16,25 km.

11. a) Do esquema, temos:

(dA,B)2 = (50 – 30)2 + (20 + 40)2

(dA,B)2 = (20)2 + (60)2 = 400 + 3 600

dA,B = 4 000 = 20 10 = 20 ? 3,16 = 63,2

Assim, a distância do ponto A até o ponto B mede 63,2 m.

b) Como M é ponto médio entre os pontos A e B, temos:

dA,M = 63,2 2 = 31,6

Logo, a distância do ponto A até o ponto M é 31,6 m.

12. Do esquema, temos que o cabo representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos medem 20 m e 15 m. Então:

(dA,C)2 = (20)2 + (15)2

(dA,C)2 = 400 + 225

dA,C = 625 = 25

Assim, o comprimento do cabo é 25 m.

13. Seja x a medida da altura do tronco da árvore que restou em pé, temos:

(9 x)2 = (x)2 + (3)2

18x = 72

A altura do tronco da árvore que restou em pé mede 4 m.

14. Seja x a medida da altura da janela em relação ao chão, temos:

102 = 62 + x2

x2 = 100 36

x = 64 = 8

Portanto, a altura dessa janela em relação ao chão é de 1 m + 8 m = 9 m.

Atividades – p. 216

1. A diagonal d de um quadrado o divide em dois triângulos retângulos congruentes. Essa diagonal representa a hipotenusa dos triângulos cujos catetos são dois lados do quadrado. Daí, temos:

d2 = 122 + 122 = 288

d = 288 = 12 2

Logo, a diagonal desse quadrado mede 12 2 cm.

2. Se o perímetro de um quadrado mede 80 cm, cada lado mede 20 cm. Como a diagonal d de um quadrado representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são dois lados do quadrado, temos:

d2 = 202 + 202 = 800

d = 800 = 20 2

Logo, a diagonal desse quadrado mede 20 2 cm.

3. Uma diagonal e dois lados l do quadrado formam um triângulo retângulo. Então:

15 2 2() = (l)2 + (l)2

2l2 = 450

l= 15

Assim, o lado desse quadrado mede 15 cm e o perímetro é dado por 4 15 cm = 60 cm.

4. Seja x a medida do lado do quadrado, temos:

A = x x

x2 = 576

x = 576 = 24

Sabendo a medida do lado do quadrado, usamos o teorema de Pitágoras para encontrarmos a medida da diagonal.

d2 = 242 + 242 = 2 576

d = 24 2 = 24 1,41 = 33,84

Assim, a diagonal do quadrado mede 33,84 cm.

5. Para determinarmos a área do quadrado, é preciso saber a medida do lado. Dada a medida da diagonal e sendo x a medida do lado do quadrado, temos:

402 = x2 + x

2x2 =1 600

x = 20 2

A área do quadrado é dada por x2. Então:

A = 20 2 2() = 800

A área desse quadrado é 800 cm2

6. a) Seja x a medida do lado do quadrado BDPQ, temos:

x2 = 102 + 102 = 200

x = 10 2

Logo, x = 10 2 cm.

b) O perímetro P é dado por 4x. Utilizando o valor encontrado no item a, temos:

P = 4 10 2 cm = 40 2 cm

c) A área A é dada por x2. Utilizando mais uma vez o valor de x encontrado, temos:

A = 10 2cm 2) ( = 200 cm2

24 12

Logo:

242 = h2 + 122

h2 = 576 144

h = 432 = 12 3

h

A medida da altura h desse triângulo é 12 3 cm.

8. Seja x a medida do lado do triângulo, temos:

x = 36 3 = 12

Observe o esquema a seguir. 12 6

Logo:

122 = h2 + 62

h2 = 144 36

h = 108 = 6 3

h = 6 1,73 = 10,38

h

A medida h da altura desse triângulo é 10,38 cm.

9. A medida da altura h do triângulo equilátero é dada

por: h = 3 2 l

Com as informações apresentadas, temos:

5 3 = 3 2 l

l= 10

Assim, o perímetro do triângulo é: 3 10 cm = 30 cm.

10. A medida da altura h do triângulo equilátero é dada por: h = 3 2 l . Então:

h = 63 2 = 3 3

Do enunciado, temos que a área A de um triângulo é dada por: A = h 2 l?

Então:

A = 6  33 2 = 9 3 = 9 ? 1,73 = 15,57

A área desse triângulo é 15,57 cm2

11. A medida da diagonal d de um quadrado é dada por: d =l 2

Então:

d = 10 2 cm

Sabendo que a medida da altura h do triângulo equilátero é dada por h = 3 2 l e que, do enunciado, a medida da diagonal do quadrado e a medida do lado do triângulo são iguais, temos:

h = 10 2  3 2 = 5 6

A altura desse triângulo mede 5 6 cm.

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Calcule o perímetro desse triângulo.

Resolução:

Calculando o perímetro do triângulo do enunciado e considerando x a medida do lado desse triângulo, temos:

h = x3 2

30 = x3 2

x = 60 3

x = 20 3

Assim, o perímetro P do triângulo é dado por:

P = 3 ? 20 3 = 60 3 = 60 ? 1,73 = 103,8

Portanto, P = 103,8 cm.

13. (1) área A do triângulo: A = h 2 l?

(2) a medida da altura h do triângulo equilátero é dada por: h = 3 2 l

Substituindo (2) em (1), temos:

A 3 2 2 3 4 2 = l? l = l

Logo, a área do triângulo em função do lado é 3 4 2l

2. As relações métricas do triângulo retângulo

Atividades – p. 220

1.

a) Utilizando a 1a relação:

82 = m 16 h m = 4

Como m + n = 16, temos:

4 + n = 16 h n = 12

b) Indicando por a a medida do segmento de reta que vai do ponto C até o pé da altura indicada, temos:

a = 54 48 = 6

Utilizando a 2a relação:

h2 = 6 48

h = 12 2

Utilizando a 4a relação:

b2 = 62 + 12 2 2() = 36 + 288

b = 324 = 18

c) Utilizando a 2a relação:

152 = 9 ? n h n = 25

Como:

a = 9 + n h a = 9 + 25 = 34

2. Da figura, temos: a = 36 + 64 = 100

Utilizando a 2a relação:

h2 = 36 64

h = 48

Utilizando a 4a relação:

b2 = h2 + 642 = 2 304 + 4 096

b = 6 400

b = 80

Utilizando a 4a relação:

c2 = h2 + 362 = 2 304 + 1 296

c = 3 600

c = 60

Então: a = 100 mm, h = 48 mm, b = 80 mm e

c = 60 mm.

3. Do enunciado, temos: b

h a 36cm 64cm

Utilizando a 2a relação:

h2 = 64 ? 36

h = 48

Utilizando a 1a relação:

a2 = 36 (36 + 64)

a = 60

Utilizando a 1a relação:

b2 = 64 (36 + 64)

b = 80

Assim, o perímetro P do retângulo é dado por:

P = 60 + 60 + 80 + 80

P = 280

O perímetro é 280 cm.

4. a) Utilizando a 1a relação e considerando a a hipotenusa, temos: 102 = 5 a h a = 20

Logo, a medida da hipotenusa é 20 cm.

b) Utilizando a 4a relação:

202 = x2 + 102 h x2 = 400 100

x = 300

x = 10 3

Logo, a medida do outro cateto é 10 3 cm.

c) Utilizando a 3a relação: 10 10 3 = 20 h

h = 5 3

Logo, a medida da altura relativa à hipotenusa é 5 3 cm.

5. Utilizando a 2a relação:

x2 = 4 9

x = 6

Utilizando a 1a relação:

y2 = 4 ? (4 + 9)

y = 2 13

Utilizando a 1a relação:

z2 = 9 ? (4 + 9)

z = 3 13

Então: x = 6 cm, y = 2 13 cm e z = 3 13 cm.

6. Do enunciado, obtemos a figura a seguir, na qual h representa a estrada que será construída.

A B

80 km pq 100 km C

Utilizando a 1a relação:

802 = p 100

p = 64

Da figura, temos que:

p + q = 100

64 + q = 100

q = 36

Utilizando a 2a relação:

h2 = 36 ? 64

h = 48

h

O comprimento da estrada será 48 km.

Utilizando a 1a relação:

152 = p (p + 16)

p2 + 16p 225 = 0

Resolvendo a equação:

D= 162 4 1 ( 225) = 256 + 900 = 1 156

p = 16 1156 21 _± ? = 16 34 2 _±

p = 9 ou p = 25

Como p . 0, p = 9.

Assim, a hipotenusa mede: (9 + 16) = 25 cm.

Por toda parte – p. 221

1. Os lados do triângulo medem 2 m, 2 m e 2 m.

Logo, em cada triângulo foram utilizados (2 + 2 2 ) m de ripa de madeira. Portanto, nos seis triângulos foram utilizados:

6 (2 + 2 2 ) = 12 + 12 2 1 28,97

Aproximadamente 28,97 metros de ripa de madeira.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Utilizando a mesma figura destacada na questão 1, responda: Quantos metros de ripa de madeira foram utilizados em todos os triângulos menores da torre?

Considere que no lado comum entre dois triângulos foi utilizado uma ripa. Utilize uma calculadora para obter o resultado aproximado em centímetro.

Resolução:

Os lados de cada triângulo menor medem 1 m, 1 m e 2 m.

Logo, em cada triângulo foram utilizados (2 + 2 ) m de ripa de madeira. Então, multiplicamos essa medida por 12 (quantidade de triângulos menores da torre) e subtraímos 6 (lados duplicados). Assim: 12 ? (2 + 2 ) 6 = 18 + 12 2 1 34,97

Aproximadamente 34,97 metros de ripa de madeira.

3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam a importância da preservação dos patrimônios históricos e culturais para a construção e valorização da identidade de um povo.

3. Medida do comprimento

de circunferência

Por toda parte – p. 223

1. Resposta pessoal.

de um arco

O comprimento da circunferência é dado por:

C = 2 p r.

C = 2 3,14 36 = 226,08

Portanto, C = 226,08 cm.

2. Para determinar a hipotenusa do triângulo, utilizamos o teorema de Pitágoras. Como, do enunciado, sabemos que a medida dessa hipotenusa corresponde à mesma medida do raio da circunferência, vamos representá-la por r

r2 = () 10 2 2 + () 10 2 2 = 200 + 200

r = 400 = 20

Logo: r = 20 cm.

Assim, o comprimento da circunferência é:

C = 2 p r = 2 3,14 20 cm

C = 125,6 cm

3. Seja x a medida do lado do quadrado.

x = 360 4 = 90

Assim:

r = 90 2 = 45

Então: r = 45 cm.

E a medida do comprimento da circunferência é:

C = 2 p r = 2 3,14 45 cm

C = 282,6 cm

4. Na figura, o oleoduto em linha reta corresponde à diagonal de um quadrado de lado 60 km, e o arco corresponde à metade de uma circunferência. Então, sendo C o custo da obra, temos:

• Custo em linha reta:

Creta = 60 2 ? 2 700 = 60 ? 1,41 ? 2 700 = = 228 420

O custo do trajeto em linha reta é R$ 228.420,00.

• Custo do trajeto em arco:

C arco = ?p 2r 2 = 233 01,4 1 2 ? 1 600 = = 203 040

O custo do trajeto em arco é R$ 203.040,00.

Logo, o trajeto em arco é o mais barato, pois R$ 203.040,00 , R$ 228.420,00.

5. Temos que:

C 1 104,67

O veículo percorreu aproximadamente 104,67 metros no arco representado por AB

8. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Pode-se utilizar a regra de três simples e direta, fazendo a relação: 360° está para 2pr assim como o ângulo a está para o comprimento que se deseja descobrir. Fazendo a multiplicação, temos que o comprimento desconhecido é igual ao produto de a e 2pr, dividido por 360.

9. a) Como o diâmetro mede 30 polegadas, o raio mede 15 polegadas.

Fazendo a conversão de polegada para centímetro, temos:

r = 15 2,54 = 38,1.

Também podemos fazer a conversão de 30 polegadas para centímetros: 30 2,54 = 72,2

Logo, o diâmetro do pneu da bicicleta mede 72,2 cm e o raio mede 38,1.

Como a medida de uma volta do pneu da bicicleta é igual à medida do comprimento do pneu, temos:

C = 2 ?p? r = 2 ? 3,14 ? 38,1

C 1 239,3

Então, uma volta do pneu corresponde a aproximadamente 239,3 cm.

b) 239,3 cm = 2,393 m

Então:

quantidade de voltas = 4 000  m

2, 393 m 1 1 672,2

Aproximadamente 1 672 voltas.

4. Relações métricas da circunferência

Atividades – p. 227

1. a) Utilizando a relação entre cordas, temos:

4 ? x = 3 ? 8

x = 6

b) Utilizando a relação entre cordas, temos:

6 ? x = (x + 2) ? 5

6x = 5x + 10

x = 10

c) Utilizando a relação entre segmentos secantes, temos:

4 (4 + x) = 6 (6 + 2)

16 + 4x = 36 + 12

x = 8

d) Utilizando a relação entre segmento secante e segmento tangente, temos:

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Arco gótico, na Catedral da Sé, em São Paulo (SP); arco abatido, presente na Ponte da Cadeia, em São João del-Rei (MG), entre outros.

Atividades – p. 224

1. Resolvendo a equação:

D= ( 16)2 4 1 ( 720) = 256 + 2 880 = = 3 136

x = () 16  3136 21 ± = 16 56 2 ±

x = 36 ou x = 20

Como x . 0, x = 36.

6. A medida, em grau, do setor da figura é:

x2 = 8,1 (8,1 + 1,9) = 8,1 10

x = 9

2. Para determinar o valor de x e de y, utilizamos a relação entre segmento secante e segmento tangente.

x2 = 8 ? (8 + 10) = 8 ? 18

x = 12

C = 315 2r 360 p? = 315 23,1 42 360 = 10,99

Portanto, o comprimento do contorno é 10,99 cm.

7. A medida, em grau, do setor da figura é: 360

122 = 9 (9 + y)

9 + y = 16

y = 7

Assim: x + y = 12 + 7 = 19

3. Utilizando a relação entre segmento secante e segmento tangente, temos:

182 = r (r + 2r)

324 = 3r2

r2 = 108

r =

4. a) Utilizando a relação entre cordas, temos:

3x ? (x + 1) = x ? (4x 1)

3x2 + 3x = 4x2 x = x2 4x = 0

x(x 4) = 0

x = 0 ou x = 4

Como x não pode ser zero, x = 4.

b) Corda AB:

AB = 3x + x + 1 = 4x + 1

AB = 4 4 + 1 = 17

Corda CD:

CD = x + 4x 1 = 5x 1

CD =5 4 1 = 19

5. Do enunciado, temos:

Assim, pela relação entre segmento secante e segmento tangente:

92 = 3 (3 + 2r)

81 = 9 + 6r

r = 12

Logo, o comprimento do raio é 12 cm.

9. Na figura descrita no enunciado, podemos indicar os pontos C e D, determinando a corda CD

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ODB, temos:

r2 = () 45 2 + () 25 2 = 80 + 20

r = 100

r = 10

Alternativa b.

5. Sabendo que todo triângulo inscrito em uma circunferência é retângulo e possui um dos lados como diâmetro dessa circunferência, temos: P

Assim:

x2 = 8 ? (8 + 12) = 8 ? 20

x = 4 10

Portanto, a medida do segmento tangente é 4 10 cm.

6. Do enunciado:

x + 2x = 12

x = 4

Assim: A D

Portanto: y (18 y) = 4 8 18y y2 = 32 y2 18y + 32 = 0

Resolvendo a equação:

C y x = 4 cm 2x = 8 cm

B

18 y

D= ( 18)2 4 1 32 = 324 128 = 196 y = () 18 196 21 ± = 18 14 2 ±

y = 16 ou y = 2

Logo, os segmentos sobre a corda AB são: 16 cm e 2 cm.

Da relação entre cordas, temos:

MA MB = MC MD

5 MB = 2 10

Assim: MB = 4 cm

Retomando o que aprendeu – p. 228

1. Para determinar o valor de x e de y, vamos aplicar o teorema de Pitágoras.

Valor de x:

x2 = 42 + 42

x = 32

x = 4 2

Valor de y:

y2 = 42 + 92

y = 97

Alternativa a.

2. Temos que:

72 = h2 + x2

b c 10

4,8

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

102 = c2 + b2

c2 + b2 = 100

Utilizando também a 3a relação métrica no triângulo retângulo: bc = ah.

bc = 10 4,8 = 48

Para descobrir o valor de b + c, elevamos essa soma ao quadrado.

(b + c)2 = b2 + 2bc + c2

Como calculado anteriormente, c2 + b2 = 100 e

bc = 48. Então:

(b + c)2 = 100 + 2 48

b + c = 196

b + c = 14

Alternativa a.

6. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

BD2 = CB2 + CD2 = 122 + 162 = 144 + 256

BD = 400 = 20

B A B

h2 + x2 = 49 I

AD2 = BA2 + BD2 = 152 + 202 = 225 + 400

7. a) Do enunciado, temos: 6 cm 12 cm

8 cm 12 cm P

6 ? (24 + 6) = x ? (x + 8)

6 30 = x2 + 8x

x2 + 8x 180 = 0

Resolvendo a equação:

x

D= 82 4 1 ( 180) = 64 + 720 = 784

x = () 8 784 2   1 _± = 8   2 8 2 _±

x = 10 ou x = 18

Como x não pode ser negativo, x = 10.

Assim: PB = 10 + 8 = 18 cm.

b) 10 cm

y2 = h2 + 62

y2 h2 = 36 II

Adicionando I e II : x2 + y2 = 85

Alternativa d.

3. Seja x o comprimento da escada:

x2 = 902 + (5 24)2 = 8 100 + 14 400

x = 25500

x = 150

A medida do comprimento total do corrimão, em centímetro, é: 30 + 150 + 30 = 210

Transformando a medida em metro: 210 cm = 2,1 m

Alternativa d.

4. Seja x a medida do lado do quadrado, temos:

AD = 625 = 25

Alternativa a.

7. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

AC2 = 22 + 82 = 4 + 64

AC = 68

Logo: AC = 2 17 cm

Assim: AC 1 2 4,123 100 km 1 824,6 km

CB2 = 32 + 32 = 9 + 9

CB = 18

Logo: CB = 3 2 cm

Assim: CB 1 3 ? 1,414 ? 100 km 1 424,2 km

Portanto, a distância percorrida pelo avião é:

824,6 km + 424,2 km = 1 248,80 km.

Alternativa e.

d = ?p 30 2r 360 = 30 2   3 5 360

d = 2,5

Alternativa a.

9. Temos que:

° ° = p 360 120 2r D

D = ?p 120 2r 360 = 120  2 3  360 360 ??? = 720

Portanto, a pessoa percorre 720 m. Alternativa d.

Um novo olhar – p. 229

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A partir de quatro triângulos retângulos, de catetos medindo a e b e hipotenusa medindo c, vamos montar um quadrado.

1. Polígono regular

Pense e responda – p. 232

1. O triângulo equilátero é um polígono de três lados de mesma medida, e cada um dos três ângulos internos mede 60°. O quadrado é um polígono de quatro lados de mesma medida e quatro ângulos internos de 90° .

2. Um polígono regular é aquele que tem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos congruentes entre si. O triângulo equilátero e o quadrado são polígonos regulares.

3. Como a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é 360° e um polígono regular tem todos os ângulos externos de mesma medida, a medida ae, de cada ângulo externo de um polígono regular de n lados é dada por: ae = ° 360 n Então, a medida do ângulo externo de um triângulo equilátero é 120°, e de um quadrado é 90

Logo, a medida do lado do polígono I é 8 2 cm.

5. Seja r a medida do raio do polígono de maior perímetro. Temos, pela proporcionalidade:

28,2 8 r = 28 3,52 h r = 3,535 2

Seja a a medida do apótema do polígono de maior perímetro. Temos, pela proporcionalidade:

28,2 8 a = 28 3,5 h a = 3,535

Pense e responda – p. 238

Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Passo a passo:

Quantidade (n) de lados do polígono: 6

Medida (l) dos lados do polígono: 4 cm

I. Determine a medida do ângulo externo do polígono:

° a 360 n e =

II. Construa uma reta suporte ao primeiro lado do polígono.

b c c c c a a a

a b b b

a b

c a b

Note que os lados desse quadrado são as hipotenusas de medida c dos triângulos e que a figura possui em seu interior um quadrado (vazado) de lado medindo a b. Da figura, temos que:

• a área do quadrado maior é dada por c2

• a área do quadrado menor é dada por (a b)2

• a área dos quatro triângulos retângulos juntos é

4 ? ab 2 = 2ab.

Como a área do quadrado maior é composta da soma das áreas de todas as figuras que o compõe, temos:

c2 = 2ab + (a b)2 = 2ab + a2 2ab + b2

c2 = a2 + b2

Essa demonstração difere da demonstração exposta nesta Unidade porque parte de quatro triângulos retângulos iguais, e não da semelhança de triângulos.

• Pelo caso AA, ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então eles são semelhantes.

• Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

x = 21 28 22 +

x = 35

A distância é 35 m.

• Centro, corda, raio, diâmetro e arco.

Unidade 8 • Figuras planas, figuras espaciais e vistas

Abertura de Unidade – p. 230

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes considerem a importância da impressora 3D para os avanços tecnológicos conquistados em diversas áreas. Por exemplo, na área da saúde foi possível obter próteses, por meio da impressão 3D, com mais rapidez e precisão em relação às obtidas por métodos tradicionais de produção.

2. Seja x a medida do raio desconhecido. Pela 1a propriedade de um polígono regular inscrito, temos:

x 60 = 25 150 h 150x = 1 500 h x = 10

Logo, o raio mede 10 cm.

3. Seja x a medida do apótema desconhecido. Pela 3a propriedade de um polígono regular inscrito, temos: 48 43 = 60 x h 48x = 60 4 3 h x = 5 3

Logo, o apótema mede 5 3 cm.

4. Seja x o número de lados dos polígonos e t a medida do lado do polígono I . Os perímetros são:

P1 = x t

P2 = x 20 2

Do enunciado, temos que

III. Marque, sobre a reta suporte, o segmento de reta de comprimento l

IV. Construa o ângulo externo, de medida ae, em uma das extremidades do segmento anterior.

V. Marque o segmento de medida l na semirreta correspondente a um dos lados do ângulo ae, que não está contida na reta suporte.

VI. Repita os passos IV e V até fechar a linha poligonal.

VII. Pinte o interior da figura obtida.

Construção:

° a 360 n e =

° ° a 360

60 e ==

Atividades – p. 239

1. A medida do raio da circunferência é 40 cm.

a) Como a medida do lado de um quadrado inscrito em uma circunferência é dada por l= r 2 , temos: l= 40 2 cm.

b) Como a medida do lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência é dada por l= r, temos: l= 40 cm.

c) Como a medida do lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência é dada por l= r 3, temos:

l= 40 3 cm.

2. • Medida do lado do quadrado inscrito em uma circunferência: l= r 2

l= 50 2 = 50 ? 1,4 hl= 70

• Medida do lado do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência: l= r 3

l= 50 3 = 50 1,7 hl= 85

Quadrado: 70 cm; triângulo equilátero: 85 cm.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

3. Medida do lado do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência: l= r 3

l= 25 3 = 25 ? 1,73 hl= 43,25

Portanto, o lado do triângulo mede 43,25 cm.

4. a) O ângulo R ˆ OS é ângulo central do triângulo e sua medida é dada por: ° 360 n

Então: (med) R OS = ° 360 3 = 120°

b) RS é lado do triângulo equilátero e sua medida é dada por: r 3

Então: RS = 9 3 cm

c) med () OM corresponde à metade da medida do raio. Então:

med () OM = r 2 = 9 2 = 4,5

Então: med () OM = 4,5 cm

d) SM corresponde à soma da medida do raio com a medida de OM . Então:

med () SM = 9 + 4,5 = 13,5

Então: med () SM = 13,5 cm

5. O comprimento de uma circunferência é dado por:

C = 2 ?p? r.

Do enunciado, temos que o comprimento da circunferência é 157 cm. Então:

157 cm = 2 3,14 r

r = 25 cm

Como em um hexágono regular inscrito a medida do lado é igual à medida do raio: x = 25 cm.

A medida do apótema do hexágono regular é dada por:

y = r3 2 . Então:

y = 25 3 2 = 25 1, 73 2 = 21,625

Tecnologias – p. 240

Logo: y = 21,625 cm

Assim: x + y = (25 + 21,625) = 46,625 cm

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

a) Qual é a medida do raio da circunferência?

A medida do lado do quadrado inscrito em uma circunferência é dada por: l= r 2

Então: 40 2 = r 2 h r = 40

Logo, o raio da circunferência mede 40 cm.

b) Qual é a medida do apótema do quadrado?

A medida do apótema do quadrado inscrito em uma circunferência é dado por: a = r2 2

Então: a = 40 2 2 h a = 20 2

Logo, o apótema do quadrado mede 20 2 cm.

7. a) A medida do lado um hexágono regular inscrito é igual à medida do raio: med () AB = 3 cm.

b) A medida do lado do quadrado inscrito em uma circunferência é dada por: l= r 2 med () BC = 3 2 = 3 1,4 = 4,2

Então: med () BC = 4,2 cm

c) med () AB + med () BC = 3 cm + 4,2 cm = 7,2 cm

8. a) • Medida do lado do quadrado (em centímetro):

l= 100 2 = 100 ? 1,4 = 140

• Medida do lado do triângulo equilátero (em centímetro):

l= 100 3 = 100 1,7 = 170

Assim: 140 170 1 0,8235

Logo, a medida do lado do quadrado representa, aproximadamente, 82,35% da medida do lado do triângulo.

b) Respostas pessoais. Exemplo de resposta: O estudante pode dizer que primeiro calculou a medida

do lado do quadrado (140 cm); em seguida, calculou o lado do triângulo (170 cm) e, por fim, calculou a razão entre as medidas dos lados, obtendo o resultado 0,8235, que é o mesmo que 82,35%.

9. Medida do lado do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência:

l= r 3

l= 40 3 cm

Do enunciado, temos que a área de um triângulo equilátero é dada pela expressão  3 4 2 l?

Então: A = () 40 3  3 4

2 cm2 = 1600 3 1,73 4 cm2

A = 2 076 cm2

10. O comprimento de uma circunferência é dado por:

C = 2 p r.

Do enunciado, temos que o comprimento da circunferência é 50,24 cm. Então:

50,24 = 2 3,14 r

r = 8

a) A medida do lado do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência é dada por: l= r 3

Assim:

l= 8 3 = 8 1,7 = 13,6

P = 13,6 3 = 40,8

Portanto, a medida do lado é 13,6 cm e o perímetro do triângulo equilátero é 40,8 cm.

b) A medida do apótema do hexágono regular inscrito em uma circunferência é dada por: a = r3 2

Assim:

a = 83 2 = 4 1,7 = 6,8

Como no hexágono regular l= r:

P = 8 6 = 48

Portanto, a medida do apótema é 6,8 cm e o perímetro do hexágono regular é 48 cm.

1. Resposta pessoal. Para a construção do polígono, o estudante pode seguir o passo a passo apresentado no Livro do estudante, alterando apenas a quantidade n de lados, a medida l do lado e a medida dos ângulos internos de acordo com o polígono escolhido.

2.

Início: Escolha a quantidade de lados e a medida do lado do polígono que será representado.

Selecione a ferramenta Reta e clique em dois pontos na janela de visualização para construir a reta suporte AB

Selecione a ferramenta Reta e, em seguida, a opção Segmento com Comprimento Fixo para definir a medida do lado do polígono.

Selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos para marcar o ponto E correspondente à intersecção da reta AB e a circunferência construída anteriormente.

Selecione a ferramenta Compasso, clique no segmento CD, depois, no ponto A para representar a circunferência de centro A e raio igual ao comprimento do lado do polígono.

Clique na parte superior da janela de visualização, digite, no boxe, o Comprimento do lado e clique em OK

Calcule a medida do ângulo interno do polígono.

Fim: Selecione a ferramenta Segmento para ligar os pontos representados e obter os lados do polígono regular.

Selecione a ferramenta Ângulo com Amplitude Fixa e clique nos pontos E e A, nessa ordem. Em seguida, digite a medida do ângulo interno no boxe Ângulo, selecione a opção sentido anti-horário e clique em OK

Selecione novamente a ferramenta Ângulo com Amplitude Fixa, clique nos pontos A e E‘, nessa ordem, digite novamente a medida do ângulo interno no boxe Ângulo, selecione a opção sentido anti-horário e clique em OK

Clique com o botão direito do mouse em cada indicação de ângulo para ocultá-la. Polígono fechado?

Atividades – p. 243

1. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Ligando o centro do polígono a cada um de seus vértices, obtêm-se oito triângulos congruentes. Sabendo que a área de um triângulo é dada pelo produto da medida da base pela medida da altura dividido por dois, temos: a 2 l?

Logo, a área do octógono é: 8 a 2 l? ou 8 2 l a. a l

2. a) semiperímetro = 80  6 2 = 240

Portanto, o semiperímetro é 240 cm.

b) a = 3 2 l = 80 3 2

a = 40 3 1 69,2

Logo, a medida do apótema é aproximadamente 69,2 cm.

c) área do polígono = semiperímetro apótema

A = 240 40 3 = 240 40 1,73

Portanto: A = 16 608 cm2

3. a) A medida do lado do hexágono é igual à medida do raio da circunferência.

Portanto, o lado do hexágono mede 18 cm.

b) A medida do semiperímetro é igual à metade da medida do perímetro. Então:

semiperímetro = 18 6 2 cm = 54 cm

c) A medida do apótema do hexágono regular é dada por: a = r3 2

a = 18 3

2 cm

a = 9 3 cm

d) área do polígono = medida do semiperímetro ? medida do apótema

A = 54 ? 9 3 cm2

A = 486 3 cm2

4. A área do círculo é dada por: A =pr2

A = 3,14 402 = 5 024

Assim, a área do disco é 5 024 cm2

5. Seja x a área do setor circular destacado na figura. Pela proporcionalidade, temos:

Para determinar a área da superfície da sala que não ficará coberta pelo tapete, subtraímos a área do tapete da área da sala. Então:

(4,5 8) (p 12) = 36 3,14 = 32,86

Assim, a área da superfície da sala que não ficará coberta pelo tapete é 32,86 m2

9. A área do canteiro pode ser calculada adicionando-se a área do quadrado à área do semicírculo. Assim:

A = 10 ? 10 + 3,14  5 2 2 = 100 + 39,25 = 139,25

Então: A = 139,25 m2

Do enunciado, temos que a área da lona é 170 m2. Como 170 m2 . 139,25 m2, podemos afirmar que a área da lona é suficiente para cobrir completamente o canteiro.

10. a) Do enunciado, temos que o raio da mancha de óleo é dado por: r = t 5

Então: r = 4 5 m = 0,4 m

b) Como a mancha de óleo tem formato circular, temos:

A =p? r2 = 3,14 ? (0,4)2 m2

A = 0,5024 m2

Por toda parte – p. 245

1. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A imagem dos rostos, em estilo realista, apresenta cores fortes e padrões geométricos que lembram polígonos.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O artista representa, em grande parte de suas obras, triângulos e quadriláteros. Nem todos os polígonos representados parecem regulares.

3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam um relato de possíveis ocorrências de obras de grafitagem no município em que vivem e analisem as características dessas obras. É importante esclarecer aos estudantes que a grafitagem é uma expressão de arte permitida e que deve ser valorizada, ao contrário de pichações, que são atos de vandalismo. Tratamento da informação – p. 246

1. Como os produtos formulados com base em microrganismos representam 62,1% dos 480 produtos, temos:

62,1 100 ? 480 1 298

Ou seja, dos 480 produtos registrados, aproximadamente 298 são formulados com base em microrganismos.

2. O produto menos registrado foi do tipo semioquímicos, que corresponde a 10,2% dos 480 produtos registrados.

10,2 100 480 1 49

Dos 480 produtos registrados, aproximadamente 49 são semioquímicos.

2 = p

° ° 360 45 8 x

x = ° ° 45 3,14   8 360 2 = 25,12

Assim, a área do setor destacado é 25,12 cm2

6. O lado do quadrado mede 48 4 cm = 12 cm.

Logo, o raio do círculo mede 12 2 cm = 6 cm.

A =p r2 = 3,14 62 = 113,04

Assim, a área do círculo é 113,04 cm2

7. O ângulo central do setor amarelo é: 360° 60° = 300°

Seja x a área do setor amarelo. Pela proporcionalidade, temos:

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Os produtos biológicos são produtos agrícolas desenvolvidos a partir de um ingrediente ativo com origem natural. Esses produtos eliminam doenças ou pragas que estejam prejudicando a lavoura e não agridem o meio ambiente.

Já os agrotóxicos, apesar de eficazes em combater pragas e doenças nas lavouras, são produtos tóxicos, e seu uso requer diversos cuidados, pois oferecem risco às pessoas e ao meio ambiente.

Elaborado com base em: SILVA, Rafaela. Defensivos biológicos: saiba tudo sobre os produtos. AgriQ Receituário Agronômico. Santa Genoveva, 28 ago. 2022. Disponível em: https://agriq.com.br/defensivos-biologicos/#:~:text=Os%20 defensivos%20biol%C3%B3gicos%20(ou%20biodefensivos,sem%20agredir%20 o%20meio%20ambiente. Acesso em: 5 set. 2022.

4. Produtos biológicos registrados

Produto biológico Quantidade de produtos Percentual corres-

do ângulo

° ° 360 300 6 x

x =

2 = p

° ° 300 3,14   6 360 2 = 94,2

Assim, a área do setor amarelo é 94,2 cm2

8. Diâmetro do tapete = 1 4 8 m = 2 m

Elaborada com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/ noticias/sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobre-producao-de-alimentos-em-2021/.

em:

Produtos biológicos registrados

Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcou-asdiscussoes-sobre-producao-de-alimentos-em-2021/. Acesso em: 10 jun. 2022.

2. Representações no plano cartesiano

Atividades – p. 249

1. a) A = ( 3, 4), B = ( 5, 2) e C = ( 1, 2).

b) D = ( 4, 3) e E = ( 2, 3).

Comprovando que D e E são pontos médios:

• D =

+ = ( 4, 3)

+ = ( 2, 3)

c) Seja AD a diagonal de um quadrado de lado medindo 1, cuja medida é 2

Assim:

med () AD = med () AE = 2

med () DE = 2

Logo, o perímetro P do triângulo ADE é:

P = 2 + 2 2 (u.c.)

d) O triângulo ADE é isósceles, e sua área é:

A = 21 2 = 1 (u.a.)

2. A medida BC é o dobro da medida MB.

A distância MB é:

dMB = () () xx yy MB 2 MB 2 _+

dMB = () () 0,52 32 22 +_+

dMB = 6,25 1 +

dMB = 7, 25

med () BC = 2 dMB = 2 7, 25 = 47 ,2 5

med () BC = 29 (u.c.)

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Então:

dAB = () () xx yy BA 2 BA 2 _+

dAB = () () 100 10 50 10 22 _+= 9 700

dAB 1 98,5

Logo, Aline precisa percorrer aproximadamente 98,5 m para visitar Bruno. Do enunciado, temos que Cecília mora exatamente no meio do caminho entre as casas de Aline e de Bruno. Assim, na representação do plano cartesiano, as coordenadas são:

100 10 2 , 50 10 2 ++ , ou seja, C(55, 30).

3. Figuras espaciais

Atividades – p. 253

1. Afirmação falsa, pois, se o segmento estiver sobre uma reta que é perpendicular ao plano, a projeção ortogonal do segmento será apenas um ponto.

2. Alternativa c.

Aline, Cecília e Bruno moram na mesma rua. A figura a seguir mostra o trecho da rua entre a casa de Aline (A) e a casa de Bruno (B) representado no plano cartesiano (escala em metro). Escreva as coordenadas da casa de cada um e calcule a distância que Aline precisa percorrer para visitar Bruno. Depois, determine as coordenadas da casa de Cecília (C) no plano cartesiano, sabendo que ela mora exatamente no meio do caminho entre as casas de Aline e de Bruno.

3. Amarelo: vista frontal; verde: vista lateral; laranja: vista superior.

Atividades – p. 255

1. Um prisma triangular reto e um prisma pentagonal reto. O volume do primeiro é dado pela área do triângulo da base multiplicada pela medida da altura do prisma. O volume do segundo é dado pelo produto da área do pentágono regular da base pela altura do prisma.

2. a) Essa peça lembra a forma de um prisma reto triangular.

b) O volume é dado pelo produto da área do triângulo da base pela medida da altura do prisma.

Área do triângulo da base = 18  9

2 = 81

Volume do prisma:

V = 81 ? 10 = 810

O volume ocupado pela peça é 810 m3

3. a) O porta-lápis lembrará um cilindro.

b) Para determinar o volume da peça precisamos obter primeiro a medida do raio da base.

C = 2 p r

30 = 2 3 r

r = 5

Casa de Aline: A(10, 10)

Casa de Bruno: B(100, 50)

A distância entre a casa de Aline e de Bruno é dada por:

dAB =

O volume é dado pelo produto da área da base pela medida da altura.

Vcilindro =pr2 ? h = 3 ? 52 ? 15

Vcilindro = 1 125

O volume da peça é 1 125 m3

6 r

6 r

Assim:

r r 8 r 8 r

6 r + 8 r = 10

2r = 6 + 8 10

2r = 4

r = 2

Logo, o raio é 2 cm. Alternativa b.

5. Semiperímetro da base: 6   8 10 2 ++ = 12

Assim:

área da base = semiperímetro ? medida do apótema

Abase = 12 2 = 24

Então: volume sólido = volume do prisma volume do cilindro

Vsólido = 24 10 3,14 22 10 h

h Vsólido = 240 125,6 = 114,4

Então, o volume da peça é 114,4 cm3

Retomando o que aprendeu – p. 256

1. Respostas pessoais. Exemplo de resposta:

A descrição a seguir serve para a construção dos dois polígonos.

Passo a passo:

I. Determine a medida do ângulo interno do polígono:

a (n 2) 180° n =

II. Construa um segmento horizontal de comprimento l

III. Construa o ângulo de medida a em uma das extremidades do segmento anterior.

IV. Trace um segmento de medida l correspondente ao outro lado do ângulo a

V. Repita os passos III e IV até fechar a linha poligonal.

VI. Pinte o interior da figura obtida.

a) Construção do triângulo equilátero:

Quantidade (n) de lados do polígono: 3

Medida (l) dos lados do polígono: 6 cm

a (n 2) 180°

n =

a (3 2) 180 3 = °

ai = 60°

b) Construção do pentágono:

Quantidade (n) de lados do polígono: 5

Medida (l) dos lados do polígono: 3 cm

2. A medida do lado do hexágono é igual à medida do raio, portanto: Lado do hexágono = r = 8 cm

A medida do apótema é dada por: a = r3 2

Então:

a = 83 2 cm = 4 1,7 cm = 6,8 cm Alternativa a.

3. PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQO de catetos de medida r (raios da circunferência). Então:

r 2 = 4

r = 2 2

A medida do lado do triângulo ABC é dada por:

l= r 3

Assim:

l= 2 2 3

l= 2 6

Portanto, o perímetro é: 3 2 6 cm = 6 6 cm. Alternativa b.

4. A medida do lado do triângulo equilátero inscrito é dada por:

l= r 3

Então: l= 10 3 cm

mais 1 4 de círculo. Então:

A = 2 ? 2 ? 2 + 3,14 2 4 2

A = 8 + 3,14 = 11,14

A área da figura é 11,14 cm2

Alternativa c.

8. Seja x a área de um setor amarelo. Pela proporcionalidade, temos:

° ° 360 30 30 x

2 = p ()

x = 30 3,14   3 0 360 2 ° ° = 235,5

Então: x = 235,5 m2

Logo, a área ocupada pelos jardins é: 4 235,5 m2 = 942 m2

Alternativa d.

9. Seja a medida de BC igual a x. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

x2 = 62 + 82 = 36 + 64

x = 100 x = 10

A área da região colorida de roxo é a área do triângulo

ABC mais a área do semicírculo:

A = 6  8 2 + 3,14  5 2 2

A = 24 + 39,25

A = 63,25

Assim, a área da região é 63,25 cm2

Alternativa b.

10. a) C( 1, 0) e D(1, 0).

l?

A = 3 a 2 l? = 3 r 2 2

A = 3 10 31 0 4 ?

A = 75 3 = 75 1,7 = 127,5

A área do triângulo é 127,5 cm2 Alternativa d.

5. Nesse caso, a medida do diâmetro da circunferência deve corresponder à medida da diagonal do quadrado.

D =l 2

40 =l 2

l= 20 2 = 20 ? 1,4 = 28

Portanto, o lado medirá 28 cm. Alternativa c.

6. Do enunciado, temos: 0,5 x = 0,5 + x.

Daí: 0,5 = 0,5x + x2

x2 + 0,5x 0,5 = 0

D= 0,52 4 ? 1 ? ( 0,5) = 0,25 + 2 = 2,25

x = 0,5   2,2 5 2   1 _± = 0,5   1,5 2 _±

x = 0,5 ou x = 1

Como x . 0, x = 0,5.

Assim, a área do círculo é: A =p? (0,5)2

A = 3,14 0,25 = 0,785

a (n 2) 180

n

° = a (5 2) 180

Portanto, a área é 0,785 cm2 Alternativa b.

7. A figura é composta de dois quadrados de lado 2 cm

11.

d) O lado do quadrilátero MNOP mede 2 . Logo, o perímetro é igual a 4 2 (u.c.).

A área é igual a () 2 2 , ou seja, 2 (u.a.).

12. O volume é dado pelo produto da área da base pela medida da altura. Então:

V =p? r2 ? h = 3,1 ? 52 ? 10

V = 775

Assim, o volume do cilindro é 775 cm2

Um novo olhar – p. 257

• O termo refere-se às dimensões do espaço tridimensional (largura, altura e profundidade).

• Não, pois apresenta superfície arredondada.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam o esboço de um fio circular amarelo sem preenchimento interior, já que o objeto aparenta ter o interior vazado.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na confecção de embalagens.

• Espera-se que os estudantes respondam: medida dos lados, perímetro e área (entre outros).

• Exemplo de resposta: Para a construção de modelos de peças em uma indústria.

Unidade 9 • Funções

Abertura de Unidade – p. 258

• Posição do corpo e tempo de deslocamento.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que as trajetórias dos movimentos são iguais.

1. Noções de função

Pense e responda – p. 260

a) Do enunciado, temos que x é a quantidade de joelheiras. Então:

y = 30x h y = 30 50 = 1 500

Logo, o professor vai pagar R$ 1.500,00.

b) Do enunciado, temos que y é o preço a pagar. Então:

y = 30x h 780 = 30x h x = 780 30 = 26

Logo, o professor poderá comprar 26 joelheiras.

Atividades – p. 262

1. Sendo 500 reais um valor fixo, x a quantidade de aulas e y a quantia que o professor recebe por mês, a lei de formação dessa função é: y = 500 + 45x.

2. a) y = 1 x

b) y = x2 4

c) y = 1 2 x + 5

3. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Carla gastou, mensalmente, 5% de x por 12 meses.

Assim, a quantia g gasta é dada por:

g = 0,05x 12, ou seja, g = 0,6x. Como a quantia poupada p é dada por p = x g, temos:

p = x 0,6x h p = 0,4x. Portanto, a quantia poupada corresponde a 0,4x.

b) Do enunciado, temos que a quantia poupada deve ser igual ao valor do curso de pós-graduação. Então:

0,4x = 20 000

x = 20 000 0, 4 = 50 000

O menor valor de x deve ser 50 mil reais.

Educação financeira – p. 263

1. a) 1 ano tem 12 meses. Então, substituímos x por 12 na equação apresentada.

y = 50x = 50 12 = 600

Assim, em 1 ano Ricardo terá economizado R$ 600,00.

b) 9 anos têm 108 meses. Então, substituímos x por 108 na equação.

y = 50x = 50 108 = 5 400 Em 9 anos, Ricardo terá R$ 5.400,00.

c) Diferença de R$ 7.215,18 R$ 5.400,00 = = R$ 1.815,18, que corresponde a cerca de 33,6% dos R$ 5.400,00 economizados.

2. Função afim

Atividades – p. 265

1. Para determinar a imagem de 2, substituímos x por 2 na função.

y = 5x + 3 = 5 ( 2) + 3 = 7

Logo, a imagem é 7.

2. Sabendo que a imagem é zero, substituímos y por 0 na função.

y = 8x + 4

0 = 8 x + 4

x = 1 2

Logo, o número é 1 2

3. a) Lei de formação: y = 4x

A função está definida para valores reais positivos, pois x é uma medida de comprimento.

b) Substituindo o x da função pelas medidas dadas no enunciado, temos:

usuários de internet em relação à população do país pesquisado e que façam o mesmo para o Brasil, a fim de comparar os percentuais. Se julgar pertinente, nessa comparação, pedir aos estudantes que informem se o país pesquisado é desenvolvido, em desenvolvimento ou pouco desenvolvido e se eles acham que isso faz diferença.

Já no debate entre os estudantes, pode ser citada, como solução para ampliar o acesso à internet, a necessidade de aumento da qualidade do sinal e da velocidade de conexão em banda larga e a instalação de antenas com Wi-fi em áreas públicas de baixa conectividade. Para mais informações, consultar:

• CONHEÇA os países mais conectados do mundo. BBC News Brasil, São Paulo, 14 jul. 2019. Disponível em: https://www.bbc.com/portuguese/geral-48877552. Acesso em: 10 jun. 2022.

• EXCLUSÃO digital: o que fazer para ampliar o acesso dos brasileiros à Internet? 2021. Vídeo (25min26s). Publicado pelo canal TV Senado. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=bhpgRvcbORk. Acesso em: 10 jun. 2022.

Atividades – p. 267

1. Para traçar o gráfico de cada item, é necessário determinar pelo menos dois pontos (x, y), atribuindo valores arbitrários para x e determinando os valores correspondentes para y

c) Para x = 10 3 , o y vale 40 3

Logo, a imagem é 40 3

d) Para y = 44, o x vale 11.

Logo, o número é 11.

e) Sim, pois a lei de formação é do tipo y = ax (com a 5 0 e b = 0). As grandezas perímetro e comprimento do lado de um quadrado são grandezas diretamente proporcionais.

Fórum – p. 266

• Resposta pessoal. Orientar os estudantes a pesquisar a quantidade de usuários de internet em outros países, no ano de 2020, para que os números possam ser comparados. Sugerir que calculem o percentual de

Vista frontal Vista superior Vista lateral

2. Atribuindo valores arbitrários para x e determinando os valores correspondentes para y nas duas funções, temos:

3. Atribuindo valores arbitrários para x e determinando os valores correspondentes para y nas duas funções, temos:

Como a inclinação das retas é a mesma e elas não apresentam pontos em comum, as retas são paralelas.

4. Atribuindo valores arbitrários para x e determinando os valores correspondentes para y, temos:

As coordenadas do ponto de intersecção são (4, 2).

Atividades – p. 268

1. Em cada item, calculamos o valor de x para que y seja igual a zero.

5. Atribuindo valores arbitrários para x e determinando os valores correspondentes para y nas duas funções, temos:

2 Para cada item, podemos calcular o zero da função e outro ponto qualquer para esboçarmos o gráfico. Assim, atribuiremos valores arbitrários para x e determinaremos os valores correspondentes para y

Como a reta cruza o eixo x no ponto ( 1, 0), o zero da função é dado por x = 1.

b) Substituindo x por 1 na função, temos que a rendeira teve lucro de R$ 330,00.

c) Podemos concluir que a rendeira não teve lucro nem prejuízo no fim do 4o mês, pois o gráfico intersecta o eixo x no quarto mês, ou seja, para x = 4, o valor de y é zero.

Tratamento da informação – p. 270

1. Somando a quantidade de pessoas ocupadas da tabela Quantidade de pessoas ocupadas por categoria de emprego em novembro de 2020, obtemos 84 661 000 pessoas, ou seja, aproximadamente, 84,7 milhões de brasileiros.

2. Categoria militar e servidor estatutário. Dos 7 906 000 trabalhadores dessa categoria, 7% foram afastados do trabalho, o que corresponde a 553 420 trabalhadores.

3. Calculando o total de pessoas afastadas em cada categoria, a que teve maior quantidade foi a categoria de empregado do setor privado com carteira assinada. Dessa categoria, foram afastados 673 365 trabalhadores.

Como a reta cruza o eixo x no ponto (3, 0), o zero da função é dado por x = 3.

4. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes indiquem a carência de estabilidade profissional e a dificuldade de acesso a itens de proteção social ou a seguros de vida e de saúde como possíveis causas para o desfavorecimento dos trabalhadores informais durante a pandemia de covid-19.

3. Função quadrática

Atividades – p. 274

1. O volume é dado pelo produto entre as medidas do comprimento, da largura e da altura do bloco retangular. Então: y = (x + 1) x 1 = x2 + x

Assim, a sentença matemática que define essa função é y = x2 + x.

2. Podemos calcular a área da região laranja subtraindo a área cinza da área total do quadrado. Então:

y = 5 5 x (5 x) = 25 5x + x2

Logo, a lei que define a relação é y = x2 5x + 25.

3. Substituindo x por 10 na função y = x2 15x + 26, temos:

Como a reta cruza o eixo x no ponto (2, 0), o zero da função é dado por x = 2.

Por toda parte – p. 269

1. a) A lei de formação da função é: y = 50 + 275x.

b) Substituindo y por 3 350 na lei de formação, temos:

3 350 = 50 + 275x

x = 12

Logo, foram encomendados 12 vasos.

2. a) Montando o gráfico dos seis primeiros meses, temos:

y = (10)2 15 ? 10 + 26 = 24

Assim, nessa função, a imagem de 10 é 24.

4. Substituindo x por 1 2 na função y = 6x2 x 3, temos:

Logo, pela função, a imagem de 1 2 é 2.

5. a) Substituindo x por 1 000 na função y = xx 1 2 + () , temos:

y = 1 000 1 000 1 2 + () = 500 500

Logo, a soma dos 1 000 primeiros números inteiros positivos é 500 500.

b) Para obter o número cuja soma y seja 66, substituímos y por 66 na função e determinamos o número x y = xx 1 2 + ()

a) Substituindo x por 100 na função y = x2, temos:

y = 1002

y = 10 000

Logo, a soma dos 100 primeiros números ímpares positivos é 10 000.

b) Para obter o número cuja soma y seja 256, substituímos y por 256 na função e determinamos o número x y = x2

256 = x2

x =±16

Como x . 0, o número é 16.

c) Escrevendo as 16 parcelas, temos que a maior delas é 31.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31

7. a) Substituindo t por 1 nas duas funções, temos:

f = 0,7t

f = 0,7

g = t 0,15t2

g = 1 0,15 12

g = 0,85

b) Igualando as duas funções, temos:

0,7t = t 0,15t2

0,3t 0,15t2 = 0

0,15t(2 t) = 0

t = 0 ou t = 2

Como o enunciado pede que o valor seja positivo, o valor é 2. Portanto, a resposta é sim, para t = 2.

c) Substituindo t por 4 nas duas funções, temos:

f = 0,7 4 = 2,8

g = 4 0,15 42 = 4 2,4 = 1,6

Para t = 4, temos que f = 2,8 e g = 1,6. Portanto, f assume o maior valor.

8. a)

b) Observando o quadro do item a, podemos perceber que a figura n tem:

• n2 quadrinhos no total.

• n quadrinhos roxos.

• n2 n quadrinhos azuis.

c) y = n2 n

Atividades – p. 276

1. Para determinar as coordenadas do vértice de uma parábola, devemos obter os valores x v e yv, que são dados por: • x v = b

• yv = ax v 2 + bx v + c

2. a) A coordenada x v é dada por: xv = b 2a

Então:

x v = 20 2  2 () = 5

Depois de 5 dias.

b) Do enunciado, temos a função: 2x2 + 20x + 150 = 0.

Então:

D= 202 4 ( 2) 150 = 400 + 1 200 = 1 600

x = 20 1 600 2  2 _± ) ( = 20 40 4 _±

x = 5 ou x = 15

Depois de 15 dias.

Atividades – p. 278

1. Para verificar se o gráfico da função intersecta ou não o eixo x, precisamos resolver as equações.

a) x2 2x 24 = 0

D= ( 2)2 4 ? 1 ? ( 24) = 100

x = 2 100 2   1 ± ? () = 21 0 2 ±

x = 6 ou x = 4

Intersecta o eixo x nos pontos (6, 0) e ( 4, 0).

b) x2 6x + 9 = 0

D= ( 6)2 4 ? 1 ? 9 = 36 36 = 0

x = 60 2  1 ± ? () = 6 2

x = 3

Intersecta o eixo x apenas no ponto (3, 0).

c) x2 + 9x 14 = 0

D= 92 4 ( 1) ( 14) = 81 56 = 25

x = 9   2 5 2   1 _± ?_() = 9   5 2 _±

x = 2 ou x = 7

Intersecta o eixo x nos pontos (2, 0) e (7, 0).

d) x2 7x + 13 = 0

D= ( 7)2 4 1 13 = 49 52 = 3

Não intersecta o eixo x

2. Para determinar os zeros das funções, precisamos resolver as equações.

a) x2 25 = 0

D= 02 4 1 ( 25) = 100

x = 0 100 2   1 _± ()

x = 5 ou x = 5

Os zeros da função são 5 e 5.

b) x2 + 6x = 0

D= 62 4 ? ( 1) ? 0 = 36

x = 63 6 2   1 _± () = 66 2 _±

x = 0 ou x = 6

Os zeros da função são 0 e 6.

c) x2 + x + 6 = 0

D= 12 4 ? ( 1) ? 6 = 1 + 24 = 25

x = 1  25 2   1 _± () = 15 2 _±

x = 2 ou x = 3

Os zeros da função são 2 e 3.

d) 9x2 1 = 0

D= 02 4 9 ( 1) = 36

x = 03 6 2   9 _± ? ()

x = 1 3 ou x = 1 3

Os zeros da função são 1 3 e 1 3

e) 4x2 + 4x 1 = 0

D= 42 4 ( 4) ( 1) = 0

x = 40 2   4 _± ?_()

x = 1 2

O zero da função é 1 2

f) 6x2 + 6x = 0

D= 62 4 6 0 = 36

x = 63 6 2   6 ± ? = 66 12 _±

x = 0 ou x = 1

Os zeros da função são 0 e 1.

3. Para determinar as coordenadas dos pontos em que o gráfico cruza o eixo x, precisamos resolver as equações.

a) x2 16 = 0

x2 = 16

x = 4 ou x = 4

O gráfico cruza o eixo x nos pontos ( 4, 0) e (4, 0).

b) x2 + 12x 36

D= 122 4 ( 1) ( 36) = 144 144 = 0

x = 12 0 2   1 _± ?_() x = 6

O gráfico cruza o eixo x no ponto (6, 0).

c) 3x2 21x = 0

3x(x 7) = 0

x = 0 ou x = 7

O gráfico cruza o eixo x nos pontos (0, 0) e (7, 0).

Atividades – p. 281

1. Para verificar se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo, analisamos se o valor de a na equação é maior ou menor do que zero.

a) a = 1 (a . 0); concavidade para cima.

b) a = 3 (a . 0); concavidade para cima.

c) a = 1 (a , 0); concavidade para baixo.

d) a = 6 (a , 0); concavidade para baixo.

2. a) Como a concavidade da parábola é voltada para cima, a . 0. Como a função não tem raízes reais, D, 0.

b) Como a concavidade da parábola é voltada para baixo, a , 0. Como a função tem duas raízes reais, D. 0. 3.

Atividades – p. 283

1. Primeiro, calculamos o vértice da parábola encontrando, em cada item, os valores x v e yv , que são dados por:

• x v = b 2a

• yv = ax v 2 + bx v + c

Depois, analisamos a concavidade da parábola para determinar se o vértice é ponto de mínimo ou de máximo.

a) y = x2 8x + 6

x v = 8

2  1 = 4

yv = 1 ? 42 8 ? 4 + 6 = 10

Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo; V(4, 10).

b) y = x2 + 4x + 5

x v = 4

2   1?_() = 2

yv = 1 22 + 4 2 + 5 = 9

Como a , 0, temos que o vértice é ponto de máximo; V(2, 9).

c) y = 6x2 + 6x

f) y = 3x2 + 6x

x v = 6 2   3 = 1 yv = 3 ( 1)2 + 6 ( 1) = 3

Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo; V( 1, 3).

g) y = x2 + 9

x v = 0 2  1?_() = 0

yv = 1 02 + 9 = 9

Como a , 0, temos que o vértice é ponto de máximo; V(0, 9).

h) y = 5x2 8x + 3

x v = 8

Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo;

2. As coordenadas do ponto de mínimo são dadas por:

• x v = b 2a

x v = 6

2  6 () = 1 2 yv = 6 ? 1

Como a , 0, temos que o vértice é ponto de máximo; V

d) y = x2 16

x v = 0

2  1 = 0 yv = 1 02 16 = 16

Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo; V(0, 16).

e) y = x2 4x 45

x v = 4

2   1 = 2

yv = 1 22 4 2 45 = 49

Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo; V(2, 49).

Tecnologias – p. 284

1.

• yv = ax v 2 + bx v + c

Então, da função y = 3x2 6x 2, temos que:

x v = 6 2   3 = 1

yv = 3 ? 12 6 ? 1 2 = 5

As coordenadas são (1, 5).

3. As coordenadas do ponto de máximo são dadas por:

• x v = b 2a

• yv = ax v 2 + bx v + c

Então, da função y = x2 + 4x, temos que:

x v = 4 2  1?_() = 2

yv = 1 22 + 4 2 = 4

As coordenadas são (2, 4).

a) Observando o gráfico, podemos concluir que a função y = 3x + 3 cruza o eixo x no ponto ( 1, 0) e o eixo y no ponto (0, 3).

b) Observando o gráfico, podemos concluir que a função g = 3x + 3 cruza o eixo x no ponto (1, 0) e o eixo y no ponto (0, 3).

c) Espera-se que os estudantes observem os gráficos e concordem com a afirmação, pois o eixo y representa um eixo de simetria em relação aos gráficos.

2. a) Há várias respostas possíveis. Exemplo de resposta: As parábolas terão concavidade voltada para cima, exceto para as funções definidas em II e V.

b) Resposta pessoal. Seguem alguns exemplos de resposta.

REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

II. y = x2 + 3x 5

III. y = x2 + 2x + 1

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

V. y = x2 + 6x 9

VI. y = x2 + 2x + 6

c) I: (0, 4); II: (0, 5); III: (0, 1); IV: (0, 4), V: (0, 9); VI: (0, 6).

d) Espera-se que os estudantes percebam que o gráfico de cada função cruza o eixo y no ponto (0, c), considerando y = ax² + bx + c.

Por toda parte – p. 287

1.

a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes verifiquem que, na conta de energia, são cobrados tarifas e tributos cujas principais finalidades são o financiamento e a manutenção de iniciativas públicas.

b) Sim, podemos afirmar que o valor pago varia em função do consumo. A definição da lei de formação da função dependerá da conta analisada pelos estudantes. De modo geral, na bandeira verde, o valor a ser pago y pode ser obtido pelo produto do valor do quilowatt-hora (kWh) pela quantidade x de kWh consumidos durante o mês, mais as taxas de impostos.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concordem com a afirmação, uma vez que as bandeiras tarifárias possibilitam ao consumidor se planejar para economizar energia e evitar acréscimos no valor da conta. Além disso, a economia de energia favorece o meio ambiente e toda a sociedade.

3. Resposta pessoal. Entre as ações possíveis, os estudantes podem citar: adquirir produtos que apresentem baixo consumo energético, evitar banhos longos, optar por lâmpadas LED, aproveitar a presença de luz natural.

Retomando o que aprendeu – p. 288

1. O enunciado diz que até 200 m é cobrado apenas a bandeirada (R$ 4,50). Depois de 200 m é cobrado R$ 0,02 para cada metro adicional. Com isso, temos que de 0 a 200 m o valor é fixo, ou seja, nesse intervalo o gráfico é uma reta paralela ao eixo x. De 200 m a 600 m o gráfico é crescente, pois o valor aumenta R$ 0,02 a cada metro.

Assim, obtemos a equação y = 0,02 d + 4,50, sendo d os metros adicionais (600 200 = 400).

Logo:

y = 0,02 400 + 4,5

y = 12,5

Portanto, o gráfico que representa o valor da corrida é o da alternativa d.

2. a) Do gráfico, é possível observar que y = 0 quando x = 2.

b) Diminuem. Espera-se que os estudantes observem o comportamento do gráfico, atribuam alguns valores para x e calculem os valores de y correspondentes, e percebam que os valores de y diminuem à medida que os valores de x aumentam.

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um estacionamento cobra R$ 10,00 pela primeira hora e R$ 2,00 para cada hora adicional.

a) Escreva a função que representa o valor cobrado por x horas nesse estacionamento.

y = 2x + 10

b) Quanto um cliente pagará por deixar o carro 4 horas nesse estacionamento?

y = 2x + 10 = 2 3 + 10

y = 16

O cliente pagará R$ 16,00.

4. O gráfico da função dada é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Então, vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola para descobrir o valor mínimo que a função assume.

b 2a =

Portanto, 1 4 é o valor mínimo da função.

Assim, o conjunto imagem da função é Im = y| y

Portanto, o valor que não pertence ao conjunto imagem da função é 1 3 Alternativa e.

5. a) y = x2 + 9

• Coordenadas do vértice:

x v = b 2a = 0 2  1 () = 0 yv = 02 + 9 = 9 V(0, 9)

b) y = x2 5x

• Coordenadas do vértice:

c) y = x2 4x 5

• Coordenadas do vértice:

d) y = x2 + x + 1 4 •

6. Para que o gráfico da função tenha concavidade para cima, (k 3) deve ser maior do que zero. Então:

k 3 . 0

k . 3

Logo, a concavidade é para cima, para k maior do que 3.

7. a) Como a . 0, o vértice é ponto de mínimo. Coordenadas do vértice:

xV = b 2a = 0 2   1 = 0

yV = 02 25 = 25

Ponto de mínimo; (0, 25).

b) Como a , 0, o vértice é ponto de máximo. Coordenadas do vértice:

xV = b 2a = 0 2   1?_() = 0

yV = (0)2 + 25 = 25

Ponto de máximo; (0, 25).

c) Como a , 0, o vértice é ponto de máximo. Coordenadas do vértice:

xV = b 2a = 10 2   1?_() = 5

yV = (5)2 + 10 5 = 25

Ponto de máximo; (5, 25).

d) Como a . 0, o vértice é ponto de mínimo. Coordenadas do vértice:

xV =_ b

8. Do enunciado, temos que P é vértice da parábola e que xV = 4 e yV = 13. Então:

xV = b 2a

4 = m 2   1()

4 = m 2

m = 8 yV = x2 + mx + n

13 = (4)2 + 8 4 + n

13 = 16 + n

n = 3

Logo, 8 3 = 5.

Alternativa a.

9. Coordenadas do vértice da parábola: y = 4x x2

xV = b 2a = 4 21() = 2

yV = 4 2 (4)2 = 4

Como (2, 4) é ponto comum das parábolas das duas funções, temos: y = ax2

4 = a ? 22

a = 1

Alternativa a.

10. Coordenadas do vértice da parábola:

xV = b 2a = 8 21() = 4

yV = (4)2 + 8 ? 4 17 = 1

A distância do vértice ao eixo das abscissas é dada pelo módulo de yV, ou seja, 1. Alternativa a.

11. Como o gráfico da função tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas, concluímos que esse ponto é vértice da parábola. Portanto, D= 0.

D= b2 4ac

0 = ( m)2 4 ? 1 ? (m 1)

m2 4m + 4 = 0

m = 40 21 ± ()

m =

Sendo m = 2 e x = 2 (do enunciado), temos:

y = x2 mx + (m 1)

y = 22 2 2 + (2 1)

y = 1

Alternativa d.

Um novo olhar – p. 289

• Uma reta.

• b a

• Nenhum ou dois (iguais ou diferentes).

• O sinal do coeficiente a da função quadrática definida por ax2 + bx + c (a 5 0 e x [r).

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Altura máxima atingida por um objeto em um lançamento oblíquo e preço mínimo cobrado por um produto para que o lucro seja máximo.

Tecnologias p. 290

1 Existem várias possibilidades de resposta. Exemplo de resposta:

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Para que a menina vá até o gatinho, uma possibilidade de sequências de bloco está indicada a seguir.

QUESTÕES PROPOSTAS

1. (Enem/MEC) Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos. Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:

Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é:

a)

b)

3. Em um edifício, as instalações de TV a cabo são feitas a partir do térreo, pela parte externa. Para instalar a TV a cabo em um apartamento, o profissional mediu a distância do térreo ao apartamento e encontrou a medida 101 580 + () metros.

A quantidade de cabo necessária, em metros, para realizar a instalação é de, aproximadamente:

a) 27,9

b) 54,8

c) 67,3

d) 134,6

4. (Enem /MEC ) O quadro representa os gastos mensais, em real, de uma família com internet, mensalidade escolar e mesada do filho.

No início do ano, a internet e a mensalidade escolar tiveram acréscimos, respectivamente, de 20% e 10%. Necessitando manter o valor da despesa mensal total com os itens citados, a família reduzirá a mesada do filho.

Qual será a porcentagem da redução da mesada?

a) 15,0

b) 23,5

c) 30,0

d) 70,0

e) 76,5

5. (OBMEP) Uma loja de roupas ofereceu um desconto de 10% em uma camiseta, mas não conseguiu vendê-la. Na semana seguinte, aplicou um desconto de 20% sobre esse novo preço, e a camiseta foi vendida por R$ 36,00. Qual era o preço original da camiseta?

a) R $ 40,00

b) R $ 45,00

c) R $ 47,00

d) R $ 48,00

e) R $ 50,00

O enunciado a seguir refere-se às questões 6 e 7 (PISA) Os faróis são torres com um sinal de luz na parte superior, que ajudam os navios a encontrar seus caminhos à noite quando estão navegando próximos ao litoral.

O farol envia sinais luminosos em sequência regular e fixa. Cada farol possui a sua própria sequência.

No diagrama abaixo, podemos observar o padrão de um determinado farol. Os sinais luminosos alternam-se com períodos de escuridão.

Trata-se de uma sequência regular. Após um certo tempo, a sequência se repete. A duração de uma sequência completa, antes que ela comece a se repetir, chama-se período. Quando se determina o período de uma sequência, é fácil estender o diagrama para os segundos, minutos ou, até mesmo, as horas seguintes.

6. Qual das opções a seguir corresponderia ao período da sequência desse farol?

a) 2 segundos.

b) 3 segundos.

c) 5 segundos.

d) 12 segundos.

7. Por quantos segundos o farol envia sinais luminosos durante 1 minuto?

a) 4

b) 12

c) 20

d) 24

8. (Enem/MEC) Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desempenho.

Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados:

Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas.

Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas.

Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas.

Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas.

Jogador V – Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas.

Qual desses jogadores apresentou maior desempenho?

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

9. Em uma caixa temos bolas brancas e vermelhas. O total de bolas brancas é 6 e o total de bolas vermelhas corresponde a 70%. Quantas bolas vermelhas devem ser retiradas da caixa para que o total de bolas brancas seja de 50%?

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

10. (Saresp) Para as comemorações de aniversário de uma cidade, foi construído um grande painel de forma triangular na fachada de um edifício, sendo AB paralelo a CD.

Dados: VA = 10 m; AC = 5 m e CD = 18 m. Portanto, AB mede:

a) 9 m

b) 12 m

c) 15 m

d) 16 m

11. (Saresp) As hipotenusas de quatro triângulos retângulos isósceles coincidem com os lados de um quadrado, de cor branca, como indica a figura a seguir.

Se os lados desse quadrado medem 4 cm, a soma das áreas dos triângulos coloridos é igual a:

a) 32 cm2

b) 16 cm2

c) 8 cm2

d) 4 cm2

12. (PISA) Veja abaixo a planta da sorveteria de Maria, que ela está reformando. A área de serviço é rodeada por um balcão.

Observação: Cada quadrado da grade representa 0,5 metro por 0,5 metro. Maria deseja instalar uma nova borda ao longo da parede externa do balcão. Qual é o comprimento total da borda de que ela precisa? Demonstre seu raciocínio.

13. (OBMEP) Na figura, dois vértices do hexágono regular maior coincidem com dois vértices do hexágono regular menor. O hexágono menor tem área igual a 10 cm². Qual é a área do hexágono maior?

a) 20 cm²

b) 30 cm²

c) 35 cm²

d) 36 cm²

e) 40 cm²

14. (OBMEP) A figura mostra um polígono regular de dez lados com centro O. Qual é a medida do ângulo a?

a) 15°

b) 18°

c) 20°

d) 30°

e) 36°

15. (Enem/MEC) A unidade de medida utilizada para anunciar o tamanho das telas de televisores no Brasil é a polegada, que corresponde a 2,54 cm Diferentemente do que muitos imaginam, dizer que a tela de uma TV tem X polegadas significa que a diagonal do retângulo que representa sua tela mede X polegadas, conforme ilustração.

O administrador de um museu recebeu uma TV convencional de polegadas, que tem como razão do comprimento (C ) pela altura ( A) a proporção 4 : 3, e precisa calcular o comprimento (C ) dessa TV a fim de colocá-la em uma estante para exposição.

A tela dessa TV tem medida do comprimento C em centímetro, igual a:

a) 12,00

b) 16,00

c) 30,48

d) 40,64

e) 50,80

16. Considere o retângulo ABCD representado no plano cartesiano a seguir cuja unidade dos eixos é de 1 cm.

Construindo os pontos médios dos lados do retângulo ABCD obtém-se um novo quadrilátero. O perímetro, em centímetros, desse novo quadrilátero é:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12

17. (Saresp) Na figura a seguir, a figura B é uma ampliação da figura A. Para esta transformação podemos afirmar que:

a) o perímetro de B se manteve o mesmo de A, e os ângulos internos correspondentes dobraram de valor.

b) o perímetro de B passou a ser o triplo do perímetro de A, e os ângulos internos nos correspondentes não se alteram.

c) o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes não se alteram.

d) o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes também dobraram de valor.

18. (Enem/MEC) Utiliza-se o termo download para designar o processo pelo qual um arquivo é transferido de algum sítio da internet para o dispositivo do usuário (computador, tablet, celular). Quando a transferência é interrompida, diz-se que o download travou. O esboço do gráfico representa a evolução do download de um arquivo que demorou 16 segundos para ser concluído.

Por quanto tempo, em segundo, esse download ficou travado?

a) 9

b) 5 c) 3 d) 2 e) 0

19. (PISA) Os gráficos abaixo fornecem informações relacionadas às exportações da Zedelândia, um país que utiliza o zed como sua moeda corrente.

Qual foi o valor total das exportações de suco de frutas da Zedelândia em 2000?

a) 1,8 milhão de zeds.

b) 2,3 milhões de zeds.

c) 2,4 milhões de zeds.

d) 3,4 milhões de zeds.

e) 3,8 milhões de zeds.

20. (PISA) Um repórter de TV apresentou o gráfico abaixo e disse:

– O gráfico mostra que, de 1998 para 1999, houve um grande aumento no número de assaltos.

Você considera que a afirmação do repórter é uma interpretação razoável do gráfico? Dê uma explicação que justifique a sua resposta.

21. (Saresp) Um aquário possui o formato de um bloco retangular, cujas dimensões da base são 50 cm e 20 cm, e a água contida em seu interior está atingindo um nível de altura 15 cm (Figura 1). Mergulhando, a seguir, 5 bolas coloridas de metal, de volumes iguais, o nível de água do aquário atinge uma altura de 25 cm (Figura 2).

Calcule o volume, em cm3 , ocupado por cada bola.

REPRODUÇÃO/PISA

REPRODUÇÃO/SARESP

22. (OBMEP) O professor Michel aplicou duas provas a seus dez alunos e divulgou as notas por meio do gráfico mostrado abaixo.

Por exemplo, o aluno A obteve notas 9 e 8 nas provas 1 e 2, respectivamente; já o aluno B obteve notas 3 e 5. Para um aluno ser aprovado, a média aritmética de suas notas deve ser igual a 6 ou maior do que 6. Quantos alunos foram aprovados?

a) 6

b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

23. (Saresp) Um quadrado cuja medida do lado é (x + k) tem área dada por x 2 + 8x + 16. Pode-se concluir que o valor de k é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

24. Pedro lançou um dado de 6 faces e o número da face superior foi o 2. Suponha que Pedro tenha resolvido lançar o dado novamente, neste caso, a probabilidade de que no segundo lançamento a face superior seja o 2 no segundo lançamento é:

a) 1 5 b) 1 6 c) 1 18 d) 1 36

25. (OBMEP) Em uma caixa há cinco bolas idênticas, com as letras O, B, M, E e P. Em uma segunda caixa, há três bolas idênticas, com as letras O, B e M. Uma bola é sorteada da primeira caixa e, a seguir, outra bola é sorteada da segunda caixa.

Qual é a probabilidade de que essas bolas tenham a mesma letra?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na questão 1, os estudantes precisam reconhecer o número x como um número irracional e localizar números reais na reta numérica, o que favorece a habilidade EF09MA02.

Na questão 2, os estudantes têm a oportunidade de explorar cálculos com números reais, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA03, além de aplicar fatoração para realizar os cálculos, o que contribui também para o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

A questão 3 explora o cálculo com números reais, em particular com radicais, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF09MA04. A questão foi elaborada a partir da Matriz de Referência de Matemática do SAEB, de acordo com a habilidade MA9N1, e os estudantes têm a oportunidade de efetuar cálculos com valores aproximados de radicais. As alternativas incorretas preveem erros no descritor, como realizar uma multiplicação pelo número inteiro, antes de encontrar o valor da raiz quadrada.

As questões 4 e 5 proporcionam a oportunidade de trabalhar Educação Financeira no contexto de situações cotidianas, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF09MA05. Na questão 4, os estudantes precisam pensar em estratégias para enfrentar o aumento no custo de vida, e na questão 5, trabalham-se descontos sucessivos. Para ampliar o trabalho em Educação Financeira, aproveitar a oportunidade para explorar situações que envolvam pesquisa de preços e promoções para elaborar estratégias de planejamento financeiro e adequação do orçamento pessoal e familiar, principalmente em contextos inflacionários.

Nas questões 6 e 7, os estudantes devem explorar as relações entre variáveis a partir de um gráfico, favorecendo, assim, o desenvolvimento da habilidade EF09MA06. A questão 6 envolve a compreensão da repetição da sequência de luzes do farol, e a questão 7 utiliza essa compreensão da repetição para obter os sinais luminosos em um tempo maior do que os 13 segundos apresentados, ou seja, deve-se extrapolar a construção do gráfico.

A questão 8 envolve o cálculo de razão, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF09MA07. Sempre que possível, procurar trabalhar questões como essa em que, além de calcular a razão, os estudantes precisam avaliar qual dos valores está de acordo com a proposta apresentada.

A questão 9 permite explorar a habilidade EF09MA08, abordando uma situação que envolve divisão proporcional. A questão foi elaborada com base na Matriz de Referência de Matemática do SAEB, de acordo com a habilidade MA9N23 que destaca a resolução de problemas envolvendo porcentagem.

A questão 10 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA14 por meio da proporcionalidade que envolve retas paralelas cortadas por secantes. A proposta da questão 11 também contribui para o desenvolvimento da habilidade EF09MA14, mas relacionada à aplicação do teorema de Pitágoras. A questão também permite a exploração de outra solução, por composição de triângulos, a partir da congruência dos 8 triângulos que formam a figura.

Na questão 12, há a possibilidade de desenvolver as habilidades EF09MA08 e EF09MA14, pois envolve o uso de escala, e a solução mais usual é a que utiliza o teorema de Pitágoras. Uma possibilidade de solução prevista no PISA é a solução utilizando medições, por esse motivo admitem-se respostas no intervalo de 4,45 a 4,55, permitindo o erro de precisão de ± 1 mm.

A questão 13 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA08, pois envolve a proporcionalidade entre áreas de figuras semelhantes.

A questão 14 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA11 ao explorar os ângulos na circunferência (ângulos centrais e ângulos inscritos). Caso seja possível, propor a construção, em um software de geometria dinâmica, para que os estudantes possam investigar e perceber que o ângulo identificado na figura tem a mesma medida em qualquer decágono regular.

A questão 15 favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA08 e EF09MA14, pois é necessário determinar uma medida por meio da proporcionalidade entre duas grandezas e aplicar o teorema de Pitágoras.

A questão 16 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA16, pois explora o cálculo do ponto médio e do perímetro no plano cartesiano. Na Matriz de Referência de Matemática do SAEB está associada à habilidade MA9G28. Pode-se aproveitar o contexto da questão para explorar o cálculo de distâncias e de áreas.

A questão 17 possibilita destacar que, em dois polígonos semelhantes, os ângulos correspondentes são congruentes e que os lados correspondentes têm medidas proporcionais, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA12.

Na questão 18, há a possibilidade de que o estudante explore o significado de uma representação em um gráfico no plano cartesiano. Na questão 19, há a oportunidade de que se realize uma análise baseada em duas representações gráficas diferentes. A questão 20 apresenta uma situação de análise de confrontar uma afirmação de reportagem e um gráfico, na qual os estudantes avaliam a coerência entre as duas informações. Trata-se de uma questão na qual os estudantes podem expressar suas ideias e justificá-las, utilizando o conhecimento matemático, de acordo com seu entendimento. Desse modo, as questões 18, 19 e 20 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA21.

A questão 21 auxilia no desenvolvimento da habilidade EF09MA19, pois uma situação que envolve o cálculo do volume de prismas, além de abordar o princípio de Arquimedes, propiciando a oportunidade para que se apresente o problema da coroa de ouro do rei Hierão e a utilização da expressão Eureka

A questão 22 aborda uma medida de tendência central a partir da análise de dados em uma representação gráfica, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA22. No tratamento de informações, reforçar a importância das medidas que resumem um conjunto de dados e seus significados.

Na questão 23, é proposta a comparação dos termos de um produto notável para obter o valor do termo independente, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.

As questões 24 e 25 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA20. Tanto a questão 24, quanto a questão 25 exploram eventos independentes e o cálculo de probabilidade em contextos diferentes: no lançamento de um dado de seis faces e na retirada de determinadas letras de duas caixas diferentes, respectivamente.

RESOLUÇÕES

Questão 1

A representação decimal aproximada de x é 1,7 e as representações decimais de y e z são 0,5 e 1,5, respectivamente. Com isso, temos que t , y , z , x.

vermelhas é 14. Como há 6 bolas brancas e elas devem representar 50% das bolas da caixa, deve-se ter apenas 6 bolas vermelhas, ou seja, é necessário retirar 8 bolas vermelhas da caixa.

Alternativa d.

Questão 10

Como o triângulo VAB é semelhante ao triângulo VCD, temos 10 15 AB 18 = , portanto AB = 12 cm.

Alternativa b.

Questão 11

A hipotenusa de cada triângulo colorido mede 4 cm.

Questão 3

Para encontrar uma aproximação, pode-se utilizar valores de raízes quadradas conhecidas, as raízes quadradas de 100 e 81, respectivamente. Tem-se (10 + 5 ? 9) metros = 55 metros.

Alternativa b.

Questão 4

A mesada inicial do filho é de R$ 400,00. O valor total de reajustes com a internet e com a mensalidade da escola é de 20% 120 + 10% 700 = 24 + 70 = R$ 94,00

O percentual de redução da mesada deve ser de 94 400 0,235 23,5% ==

Alternativa b.

Questão 5

Considerando o preço original como x, o preço após o primeiro desconto é expresso por: 0,9x. Após o segundo desconto, o preço será: 0,2 0,9x = 0,72x. Igualando a expressão final obtida ao valor de venda, tem-se: 0,72x = 36; logo, x = 50.

Portanto, o preço original era de R$ 50,00.

Alternativa e.

Questão 6

Observa-se o padrão: escuridão, escuridão, luz, escuridão, luz. Esse padrão se repete a cada 5 segundos.

Alternativa c.

Questão 7

Se em 5 segundos há 2 segundos de luz, logo, em 1 minuto haverá (60 : 5) 2 = 24 segundos com luz.

Alternativa d.

Questão 8

O desempenho de cada jogador corresponde à razão entre o número de vezes que todos os pinos foram derrubados e o número de jogadas. Assim, temos 50 85 0,59; 1

Como os catetos dos triângulos são congruentes, chamando a medida do comprimento do cateto de x, pelo teorema de Pitágoras, temos, x2 + x2 = 42. Logo, x8 = cm.

Com isso, a área de cada triângulo é 88 2 4 ? = cm2 e a soma das áreas dos triângulos coloridos é igual a 4 4 = 16 cm2

Alternativa b.

Questão 12

Como cada quadrado da malha mede 0,5 m, a borda externa do balcão é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1,5 m e 2 m. Pelo teorema de Pitágoras: x2 = 22 + 1,52; logo, x = 2,5 m.

Questão 13

Traçando diagonais nos dois hexágonos, observa-se por simetria que a área do triângulo ABC equivale a 1 6 da área do hexágono menor e a 1 18 da área do hexágono maior. A

40

65 0,62; 1 20 65 0,31; 1 30 40 0,75 1 e 48 90 0,53. 1

Alternativa d.

Questão 9

O número de bolas brancas corresponde a 30%. Logo, considerando x o número de bolas vermelhas temos: 6 x 3 7 , = o que permite concluir que o total de bolas

Sendo assim, tem-se:

Área do hexágono maior = 1 6 10 18 30 = cm2

Alternativa b.

Questão 14

Observando a figura, como OA = OB, â = OB A.

AOB 4 10 360° 144° =?=

2â = 180° 144°. Logo, â = 18°

Alternativa b.

Questão 15

A partir da proporção C A 3 4 = , obtém-se a relação A 3C 4 =

Como X = 20, pelo teorema de Pitágoras, tem-se que:

X2 = C2 + A2 h

h C = 16

16 polegadas correspondem a 16 2,54 = 40,64 cm.

Alternativa d.

Questão 16

Na figura, temos o retângulo MNOP formado pelos pontos médios dos lados do retângulo ABCD.

Questão 18

O download ficou travado entre 3 e 6 segundos e entre 10 e 12 segundos, totalizando 5 segundos.

Alternativa b.

Questão 19

O total de exportações no ano 2000 foi 42,6 milhões de zeds e o suco de frutas corresponde a 9% do total de exportações do ano. Ao calcular 9% de 42,6 milhões de zeds, obtém-se 3,834 milhões de zeds.

Alternativa e.

Questão 20

Resposta pessoal. Espera-se que o estudante perceba que a afirmação do repórter não é correta e que justifique baseado na análise e comparação dos valores de cada ano apresentados no gráfico.

Questão 21

Volume de água da Figura 1: V1 = 50 ? 20 ? 15 = 15 000 cm3

Volume de água da Figura 2: V2 = 50 20 25 = 25 000 cm3

O volume das 5 bolas juntas é a diferença dos volumes das figuras 2 e 1:

V = 25 000 15 0000 = 10 000 cm3

Como as 5 bolas tem volumes idênticos, o volume de cada bola é 10 000 5 2 000 = cm3

Questão 22

Para solucionar o problema, pode-se calcular a média de cada ponto, e identificar a quantidade de alunos com média maior ou igual a 6.

Prova 1 Prova 2 Média aritmética

As dimensões desse retângulo são 4 e 2. Logo o perímetro mede 12 cm.

Alternativa d.

Questão 17

Observa-se que as medidas dos lados da figura B são o dobro das medidas dos lados correspondes na figura A. Sendo assim, o perímetro de B será o dobro do perímetro de A. Além disso, na ampliação, as figuras são semelhantes e, portanto, se mantêm os ângulos internos.

Alternativa c.

Alternativa a.

Questão 23

Área do quadrado: (x + k) (x + k) = x2 + 8x + 16 = x2 + 2kx + k2. Como 2k = 8, k = 4. Alternativa c.

Questão 24

A probabilidade de aparecer o 2 no segundo lançamento é 1 6 e independe do número que apareceu no primeiro lançamento.

Alternativa b.

Questão 25

Como a primeira caixa tem 5 bolas e a segunda 3, temos 5 3 = 15 possibilidades de escolher uma bola em cada caixa. Desse total, apenas três repetem a mesma letra. Logo, a probabilidade é 3 15 1 5 = Alternativa b.

ISBN 978-85-96-03444-9

9 788596 034449