Matematica realidade 8 by Editora FTD

Matemática

Realidade & Tecnologia

JOAMIR ROBERTO DE SOUZA Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Especialista em Estatística pela UEL-PR. Mestre em Matemática pela UEL-PR. Atua como professor de Matemática da rede pública de ensino. Autor de livros didáticos para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio.

MANUAL DO PROFESSOR

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

1˜ edição – São Paulo – 2018

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Copyright © Joamir Roberto de Souza, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editor de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações Coordenadora de preparação e revisão Supervisora de preparação e revisão Revisão

Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Iconografia Licenciamento de textos Supervisora de arquivos de segurança Diretor de operações e produção gráfica

Antonio Luiz da Silva Rios Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva João Paulo Bortoluci Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Luís Felipe Porto Mendes Ana Cláudia Barreto, Francisco Mariani Casadore, Teresa Dias/Atalante Editores, Willian Seigui Tamashiro Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Carolina Alves Ferreira Carolina Alves Ferreira Ventura/Shutterstock.com Isabel Cristina Ferreira Corandin Eduardo Benetorio Vanessa Novais, Dayane Santiago, Débora Jóia, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin, Nadir Fernandes Rachetti Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Marcia Berne Bentinho, Leo Teixeira Lilian Semenichin Maria Clara Paes Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana, Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra, Yara Affonso Elaine Bueno Rosa André Carla Marques, Vanessa Trindade Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Souza, Joamir Roberto de Matemática realidade & tecnologia : 8o ano : ensino fundamental : anos finais / Joamir Roberto de Souza. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2018. Componente curricular: Matemática ISBN 978-85-96-01996-5 (aluno) ISBN 978-85-96-01997-2 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 18-20862

CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental

372.7

Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

EDITORA FTD. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. 0800 772 2300 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br central.relacionamento@ftd.com.br

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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APRESENTAÇÃO Caro Professor, As mudanças que vêm ocorrendo no mundo têm causado significativo impacto sobre as sociedades. As novas tecnologias da informação e comunicação, por exemplo, produziram profundas mudanças nas relações interpessoais e na democratização da informação. A internet, os programas de computador e aplicativos de smartphones e tablets tornaram possível o acesso a conhecimentos que, até pouco tempo atrás, eram restritos a determinados grupos de estudiosos. Todas essas mudanças afetaram diretamente a educação, sobretudo na sala de aula. Esta coleção foi elaborada considerando esse ambiente em transformação, nos aspectos social, tecnológico e cultural. Acreditamos que o estudo da Matemática é de fundamental importância na formação de cidadãos aptos a viver em sociedade, fazendo valer seus direitos e deveres individuais e coletivos. Modelos de práticas de aula mais atuais, que buscam considerar os alunos e os professores como protagonistas do processo de ensino-aprendizagem, têm sido cada vez mais adotados. Nesse sentido, estudos em Educação matemática têm produzido um amplo e variado repertório de concepções, ideias e teorias que buscam promover o ensino da Matemática. Neste Manual do professor, procuramos incluir elementos que compõem essa produção acadêmica, como textos sobre tendências em Educação matemática e avaliação. Outro fator relevante nesse ambiente educacional em mudança é a implementação da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Considerando também que o livro do aluno exige complementos que potencializem as aulas, propusemos aqui recursos importantes, como comentários específicos, que ampliam as discussões sobre conceitos em estudo, complementam as atividades propostas e indicam elementos externos ao livro didático, como sites e vídeos, entre outros recursos. Com isso, esperamos que a efetivação do uso dos livros da coleção em sala de aula seja a mais completa possível, valorizando o trabalho docente e estimulando a participação e o comprometimento dos alunos. O autor.

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SUMÁRIO Conhecendo a coleção ......................................................... V Material impresso .......................................................... V Material digital .......................................................... XIII

A Base Nacional Comum Curricular ...................................XIV A BNCC e os currículos................................................. XVI A área de Matemática ................................................ XVII A BNCC e a coleção ...................................................XXXI

Fundamentos teóricos e metodológicos da coleção ...... XXXV O livro didático de Matemática ................................. XXXV Proposta didático-pedagógica .................................. XXXVI Algumas tendências em Educação matemática........... XXXIX O papel do professor .................................................XLIV Orientações para avaliação ............................................. LI

Sugestões de leitura e de acesso à (in)formação do professor................................................LVIII Material de estudo para a formação continuada do professor ............................................ LVIII Revistas ......................................................................LIX Sites ............................................................................LX Livros .........................................................................LXI

Bibliografia consultada ................................................... LXIV Orientações específicas para o Volume 8 Unidade 1 ....................................................................12 Unidade 2 ....................................................................34 Unidade 3 ....................................................................66 Unidade 4 ..................................................................100 Unidade 5 ..................................................................128 Unidade 6 ..................................................................164 Unidade 7 ..................................................................188 Unidade 8 ..................................................................226 Resoluções................................................................. 257 Material de Apoio ...................................................... 280

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CONHECENDO A COLEÇÃO MATERIAL IMPRESSO MANUAL DO PROFESSOR Esta coleção é composta de quatro livros de Matemática destinados aos anos finais do Ensino Fundamental. Em cada volume estão presentes as Orientações gerais, comuns aos quatro livros da coleção, e as Orientações específicas. As Orientações gerais apresentam os pressupostos teórico-metodológicos que fundamentam a coleção, bem como reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática, além de discussões sobre tendências em Educação matemática. A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um dos documentos que nortearam as reflexões e a elaboração da obra. Nas Orientações específicas, o manual é organizado em formato de U. Nesse formato, o livro do aluno, com as respostas das atividades, é apresentado em tamanho reduzido, enquanto nas laterais e na parte inferior das páginas há comentários e orientações didáticas correspondentes às atividades propostas e aos conteúdos disponíveis nas páginas do livro do aluno. Nessa parte do manual, as orientações para o professor foram estruturadas como indicamos a seguir.

UNIDADES TEMÁTICAS UNIDADES TEMÁTICAS

• Números. • Probabilidade e estatística. OBJETOS DE CONHECIMENTO

OBJETOS DE CONHECIMENTO São listados os objetos de conhecimento da BNCC abordados na Unidade.

• Princípio multiplicativo da contagem. • Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral. • Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados. • Organização dos dados de uma variável contínua em classes. • Medidas de tendência central e de dispersão. • Pesquisas censitária ou amostral. • Planejamento e execução de pesquisa amostral. HABILIDADES

HABILIDADES São explicitados os códigos das habilidades da BNCC desenvolvidas no estudo da Unidade.

COMPETÊNCIAS São destacadas as competências gerais e as competências específicas de Matemática da BNCC para as quais é dada maior ênfase no desenvolvimento da Unidade.

• • • • • • •

EF08MA03 EF08MA22 EF08MA23 EF08MA24 EF08MA25 EF08MA26 EF08MA27

ESPECÍFICA 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Converse com os colegas e

Há quanto tempo você mudanças na quantida

O país mais populoso d

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

Pense em outras mane de facilitar a compreen

Algumas respostas possíveis: Orga gráfico de barras; gráfico de coluna

Países com

Os maiores países do mundo: população e extensão territorial Em todo o planeta, somos mais de 7 bilhões de habitantes, que ocupam os países e continentes de maneira desigual. A China é o país mais populoso do mundo, com aproximadamente 1,4 bilhão de habitantes, ou seja, cerca de 1 em cada 5 pessoas no mundo são chinesas. Já a Rússia é o país de maior extensão territorial, com mais de 17 milhões de quilômetros quadrados, o que equivale a cerca do dobro da extensão do território brasileiro. Observe algumas informações sobre a população mundial e a extensão territorial.

Estados Unidos 9 831 510 km²

Canadá 9 984 670 km

Círculo Polar Ártico

Alasca (EUA)

Estimativa da população mundial (1955-2015) Ano

Respostas pessoais.

Trópico de Câncer

OCEANO PACÍFICO

População (em bilhões de habitantes)

Equador

Brasil 200 milhões de habitantes

1955

2,8

1965

3,3

1975

4,1

Índia

1985

4,9

1995

5,8

1,309 bilhão de habitantes

2005

6,5

2015

7,4

Fonte dos dados: UNITED NATIONS. World Population Prospects: the 2017 revision. Disponível em: <https://esa.un.org/unpd/wpp/DVD/ Files/1_Indicators%20(Standard)/ EXCEL_FILES/1_Population/WPP2017_ POP_F01_1_TOTAL_POPULATION_ BOTH_SEXES.xlsx>. Acesso em: 2 out. 2018.

Indonésia 258 milhões de habitantes

China 1,397 bilhão de habitantes

Trópico de Capricórnio

Círculo Polar Antártico

Estados Unidos

UNIT

320 milhões de habitantes

Fonte dos dados: UNITED NATIONS. World Population Prospects: the 2017 revision. Disponível em: <https://esa.un.org/unpd/wpp/DVD/Files/1_Indicators%20 (Standard)/EXCEL_FILES/1_Population/WPP2017_POP_F01_1_TOTAL_POPULATION_ BOTH_SEXES.xlsx>. Acesso em: 2 out. 2018.

Acesse este site pa

• IBGE. Países. D

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência específica 4 de Matemática da BNCC, pois permite fazer observações de aspectos quanti-

tativos presentes em elementos populacionais e territoriais. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com os professores das disciplinas de História e de Geografia para explorar os fatos que contribuem para que determinados países sejam popu-

losos e/ou tenham uma grande extensão territorial. Informar aos alunos que os dados relacionados aos países mais populosos e os de extensão territorial são aproximados.

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CANADÁ ESTADOS UNIDOS

Países mais populosos, em 2015

ARTUR FUJITA

São apresentadas as unidades temáticas da BNCC trabalhadas na Unidade.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS São apresentadas orientações sobre os conteúdos propostos, bem como formas de articular a abordagem desses conteúdos ao desenvolvimento das habilidades de Matemática da BNCC. São propostas questões problematizadoras, sugestões de ampliação de algumas atividades, além de encaminhamentos que podem auxiliar o professor a esclarecer dúvidas e planejar estratégias de ensino.

NO AUDIOVISUAL Indicações de materiais audiovisuais produzidos exclusivamente para a coleção. proximidades. Quando um dos motoristas aceitar a corrida, o aplicativo indicará no visor do smartphone o tempo estimado que o motorista chegará ao local de embarque e o preço do trajeto. Após o cliente confirmar o transporte, o aplicativo enviará uma fotografia do motorista, o modelo e a placa do veículo para auxiliar na identificação. Ao adentrar no veículo, o motorista confirmará o destino com o cliente e percorrerá o trajeto de acordo Local de destino. com o GPS ou com as indicações de rota do cliente. Você sabia que o maior aquário marinho da América do aos Sul fica no município Dizer alunos que emdo Rio de Janeiro? O AquaRio, como é chamado esse aquáriodiversos marinho, foi inaugurado em 2016. Observe municípios brasileiros, Tempo estimado para a algumas informações ele. geralmente, há superlotação Trajeto asobre ser chegada do veículo solicitado. realizado. nos transportes coletivos – ôniPossui cerca de bus, trens e metrô. Nesse sen8 mil animais de tido, os aplicativos de trans350 espécies. porte privado podem ser uma alternativa para a diminuição da quantidade de veículos que circulam diariamente, pois muitos dos veículos trafegam com uma única pessoa, Local de origem do passageiro. enquanto um único veículo estrutura física da construção com esse tipo deAserviço pode tem aproximadamente 26 mil transportar dezenas de quadrados pessometros de área. as em um dia, que tem como alternativa deixar seus veículos O preço é calculado Conta com 28 tanques que abrigam em casa, ajudando a diminuir Os veículos disponíveis adicionando um valor cerca de 4,5 milhões de litros de água. nas proximidades inicial fixo e dois valores os congestionamentos. No enFontes que dos dados: BRASIL.do Rio de Janeiro inaugura maior aquário marinho da América do Sul. Disponível em: <www. aparecem na tela. dependem tanto, é preciso enfatizar que tempo e dabrasil.gov.br/meio-ambiente/2016/10/rio-de-janeiro-inaugura-maior-aquario-marinho-da-america-do-sul>. distância AQUARIO deve ser inaugurado na próxima semana, na Zona Portuária. G1. Disponível em: <http://g1.globo.com/rio-de-janeiro/ esse tipo de serviço ainda não percorrida na viagem. noticia/2016/11/aquario-deve-ser-inaugurado-na-proxima-semana-na-zona-portuaria.html>. Acessos em: 4 out. 2018 está regulamentado em todos R$ 12,25 osespémunicípios brasileiros. Após visitar o AquaRio e admirar as centenas de cies de animais, Juliano quer comprar um aquário para criar um peixe de certa espécie. Ele pesquisou e descobriu que 2,1 dm CONFIRMAR CORRIDA um aquário para abrigar esse peixe tem de ter, no mínimo, capacidade para 8 L de água. O aquário representado ao 1,4 dm lado, que possui formato de bloco retangular e tem as 3 dm medidas internas indicadas, poderia abrigar esse peixe? Para responder a essa questão, temos de recordar inicialmente como podemos calcular o NO DIGITAL – 2O bimestre volume de um bloco retangular. Observe. • Ver o plano de desenvolvi67 mento para as Unidades 3 e 4. das três dimenPara calcular o volume de um bloco retangular, multiplicamos as medidas • Desenvolver projeto de bloco retangular, sões: comprimento, largura e altura. Como o cubo é um casooparticular integrador sobreda o combate em que as arestas têm medidas 11/13/18 iguais,9:59calculamos seu volume mesma maneira. D3-MAT-F2-2049-V8-066-099-U03-LA-G20.indd 67 AM bullying . ao ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS pelos alunos que moram• nos • Volume do cubo Volume Informar aos alunos que, de • Explorar as sequências a modo geral, os aplicativos de a médios e grandes municípios do bloco didáticas do bimestre, que ABERTURA DE UNIDADE transporte privado funcionam e imaginado pelos alunos que trabalham as habilidades retangular Esta abertura de Unidade moram em pequenos muni- da seguinte maneira: o cliente a EF08MA04, EF08MA05, l a propicia uma abordagem re- cípios, onde essa modalidade solicita o transporte, utilizanEF08MA06, EF08MA07, c EF08MA08, EF08MA09, lacionada à competência es- de transporte ainda pode não do um aplicativo específico V=c?l?a = a ? a ? a ou V = a³ EF08MA10,VEF08MA11, pecífica 6 de Matemática da estar em vigor. Além disso, com o smartphone conectado EF08MA12 e EF08MA13. BNCC, uma vez que o tema possibilita uma análise de situ- à internet e, em seguida, essa • Acessar a proposta de acomtratado envolve um contex- ações por meio de diferentes solicitação é enviada aos mopanhamento da aprendizagem. to que pode ser vivenciado registros e linguagens. toristas que se encontram nas 232

Observe algumas informações sobre certo aplicativo de transporte privado.

Volume do bloco retangular

sor sobre os itens a seguir.

stumam se deslocar pelo município onde moram?

AMPLA ARENA, EDITORIA DE ARTE

aplicativo de transporte privado? Como foi essa

Agora, vamos calcular a capacidade do aquário representado e verificar se é maior do que 8 L. V=c?l?a V = 3 ? 1,4 ? 2,1 = 8,82, ou seja, 8,82 dm³. Como 1 dm³ = 1 L, temos que a capacidade do aquário é de 8,82 L. Assim, esse aquário pode abrigar o peixe que Juliano quer criar, uma vez que 8,82 L . 8 L. Agora, vamos resolver o problema a seguir, proposto em uma edição da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (Obmep).

ISMAR INGBER/PULSAR IMAGENS

privado , a maneira como as pessoas se deslocam pelos afios atuais das administrações públicas. Enquanto tes coletivos, como trens, metrôs e ônibus, outras os automóveis ou motocicletas. s chamados aplicativos de transporte privado. Com costuma ocorrer por meio de carros particulares. orista é realizada por aplicativo para smartphone, o passageiro fazer um cadastro e, então, solicitar um local a outro. deslocar pelos municípios, o mais importante é tender à necessidade de transporte dos cidadãos, dade urbana, reduzindo os congestionamentos,

Resposta esperada: Os valores que dependem do tempo e da distância percorrida na viagem.

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capacidade da caixa-d’água

NO DIGITAL Indicação de planos de desenvolvimento, projetos integradores, sequências didáticas e propostas de acompanhamento da aprendizagem que podem ser encontrados no Manual do professor – Material digital e que têm o propósito de enriquecer a prática pedagógica.

quantidade de latas cheias de água necessárias para encher a caixa-d’água

2 = 55,5 0,036 capacidade da lata

Como cada lata cheia de água corresponde a uma ida de Manoel ao rio, temos que ele deve ir a esse rio, no mínimo, 56 vezes. Portanto, a alternativa d é a correta. Explique por que Manoel ir apenas 55 vezes ao rio não é suficiente para encher a caixa-d’água. Resposta esperada: Porque 55 latas cheias equivalem a 1,98 m3 de água (55 ? 0,036 = 1,98), volume de água menor do que a capacidade da caixa-d’água (2 m3). 233

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Temos de considerar que, para Manoel ir ao rio a menor quantidade de vezes, em cada vez a lata deve estar cheia de água. Note que a capacidade da caixa-d’água é indicada em metro cúbico. Assim, como 1 m = 100 cm, podemos determinar as dimensões da lata em metro e calcular a capacidade dessa lata em metro cúbico: Veja no material • 30 cm = 30 m = 0,3 m audiovisual o vídeo sobre 100 as pirâmides do Egito. • 40 cm = 40 m = 0,4 m 100 V=c?l?a V = 0,3 ? 0,3 ? 0,4 = 0,036, ou seja, 0,036 m³.

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Assim, como a caixa-d’água tem capacidade para 2 m3, segue que:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

põem o preço de uma viagem usando o aplicativo podem variar?

(Obmep-2005) Na casa de Manoel há uma caixa-d’água vazia com capacidade de 2 metros cúbicos. Manoel vai encher a caixa trazendo água de um rio próximo, em uma lata cuja base é um quadrado de lado 30 cm e cuja altura é 40 cm, como na figura. No mínimo, quantas vezes Manoel precisará ir ao rio até encher completamente a caixa-d’água? a) 53 c) 55 e) 57 b) 54 d) 56

OBMEP 2005

QUAÇÃO, SISTEMA EQUAÇÕES E EQUAÇÃO

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre o AquaRio e a Marinha do Brasil. • BRASIL. Ministério da Defesa. Recinto de Trindade é inaugurado no AquaRio. Disponível em: <http://livro.pro/yhc8qs>. Acesso em: 29 out. 2018.

Relembrar aos alunos que o aquário tem que ter, no mínimo, capacidade para 8 L de água, podendo ter capacidade superior a de 8 L, que é o caso do aquário com as dimensões apresentadas. Para complementar, questionar os alunos quantos mililitros correspondem a 0,82 L (820 mL). No problema proposto da OBMEP, verificar a possibilidade de fazer na lousa a divisão de 2 por 0,036 e, depois, pedir aos alunos que confiram o resultado com uma calculadora. Relembrá-los que o quociente 55,5 é uma dízima periódica, isto é, o algarismo 5 da parte decimal se repete indefinidamente e não é possível obter resto igual a zero. É possível resolver esse problema de outra maneira trabalhando com as unidades de medida cm e cm3. Para isso, convertemos 2 m3 em 2 000 000 cm3 e calculamos a capacidade da caixa-d’água em cm3: V=C?l?a V = 30 ? 30 ? 40 = 36 000 Nesse caso, a capacidade da caixa-d’água é de 36 000 cm3. Depois, dividimos 2 000 000 por 36 000 para obter a quantidade de latas cheias de água necessárias para encher a caixa-d’água: 2 000 000 = 55,5 36 000 Chamar a atenção dos alunos que, dessa maneira, também obtemos que a quantidade mínima de idas ao rio deve ser 56. É importante que eles compreendam que, utilizando cm e cm3 ou m e m3, o resultado será o mesmo. Comentar que outra possibilidade é obter o resultado trabalhando com dm e dm3.

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre as pirâmides do Egito, de modo particular a Pirâmide de Quéops. Nesse vídeo, aborda-se o cálculo da área da base dessa pirâmide, apresenta-se sua massa e são levantadas hipóteses de como os egípcios lidaram com o transporte e a instalação dos blocos de pedra usados na construção desse monumento. Propõe-se também uma discussão sobre as grandezas massa, volume, capacidade, densidade e são estabelecidas relações entre essas grandezas.

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AMPLIANDO São apresentadas sugestões de sites e leituras complementares que podem contribuir para a formação continuada do professor, bem como para o trabalho em sala de aula, permitindo a ampliação das atividades propostas no livro do aluno. Há também a indicação de materiais extras destinados aos alunos.

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LIVRO DO ALUNO Esta coleção é composta de quatro livros de Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental. Cada um desses livros é organizado em oito Unidades, que possuem abertura, atividades, seções e boxes. A seguir, apresentaremos algumas informações sobre cada um desses elementos. Atividades As atividades abordam e discutem os conteúdos ou conceitos matemáticos em estudo. É importante que as atividades realizadas pelos alunos sejam sempre corrigidas em sala de aula, inclusive as propostas definidas como extraclasse. Na parte final do Manual do professor de cada Volume são apresentadas resoluções detalhadas das atividades propostas no livro.

Atividades

Dica Nesse boxe o aluno encontra dicas ou lembretes que buscam auxiliá-lo no entendimento de alguma informação, contribuindo para a compreensão de algum aspecto conceitual ou para a resolução de uma atividade. Vocabulário Algumas palavras utilizadas no texto do livro são destacadas e o significado correspondente é apresentado nesse boxe, contribuindo para a compreensão das informações apresentadas. Para pensar Neste boxe são propostas ao aluno questões para que ele possa refletir, analisar e argumentar sobre informações necessárias para a compreensão de determinado assunto ou conceito em estudo. Conexões São apresentadas ao aluno sugestões de sites e de livros que ele pode consultar para ampliar o conhecimento sobre certo tema que está sendo estudado. Fique ligado No decorrer do livro, este boxe apresenta informações complementares ao tema em estudo, possibilitando que este seja ampliado. Este ícone indica que a resposta da atividade deve ser realizada oralmente pelo aluno. Nesses casos, tem-se a oportunidade de promover entre a turma o compartilhamento de ideias.

Nas atividades identificadas com este ícone é sugerido que o cálculo ou o procedimento de resolução seja realizado mentalmente. Nesses casos, é importante valorizar as diferentes estratégias utilizadas pelos alunos.

A realização das atividades indicadas com este ícone pode ser feita com a turma organizada em pequenos grupos, conforme orientação específica no enunciado.

As atividades identificadas com este ícone podem ser resolvidas pelo aluno com o auxílio de uma calculadora. Caso seja necessário, levar algumas calculadoras para a sala de aula ou organizar a turma em pequenos grupos.

fique ligado

As atividades que apresentam este ícone buscam trabalhar o desenvolvimento da competência leitora do aluno. As atividades com este ícone buscam trabalhar o desenvolvimento da competência escritora do aluno. Este ícone indica o uso de um recurso que tem por objetivo apresentar ao aluno a posição geográfica aproximada de localidades indicadas no texto.

VII

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Abertura de Unidade A abertura de cada Unidade é organizada em página dupla. Em geral, ela apresenta uma diversidade de recursos, como imagens, textos e infografias. Além disso, são propostas algumas questões com o objetivo de identificar a compreensão do aluno em relação ao tema e a aspectos de seu conhecimento prévio sobre algum conceito que será estudado na Unidade. É importante propor o trabalho com a abertura da Unidade de acordo com características próprias da turma ou objetivos específicos para a aula, como a realização da leitura individual ou coletiva e a discussão acerca das questões. Sempre que julgar oportuno, retomar com os alunos a abertura no decorrer do estudo da Unidade.

ÂNGULOS E SIMETRIA

Ginástica artística Mesmo não sendo muito popular no Brasil, a modalidade de ginástica artística brasileira vem conseguindo ótimos resultados em competições internacionais. Os diferentes aparelhos dessa modalidade exigem de seus praticantes força, equilíbrio e precisão. Considerado um dos aparelhos mais difíceis, a prova das argolas é exclusivamente masculina e possui diferentes exercícios obrigatórios. O paulista Arthur Zanetti foi medalhista de ouro na prova das argolas nos Jogos Olímpicos de Londres, em 2012, sendo essa a primeira medalha de ouro olímpica da ginástica brasileira. Na mesma prova, ele ganhou a medalha de prata nos Jogos Olímpicos do Rio de Janeiro em 2016.

Crucifixo: um dos exercícios mais difíceis na ginástica artística

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Você já praticou ou conhece alguém que pratica alguma modalidade de ginástica? Qual?

No exercício crucifixo na prova das argolas, qual deve ser a medida do ângulo formado entre o braço e o tronco do atleta? Cite elementos da sala de aula nos quais ângulos com essa medida podem ser identificados.

Se a abertura for maior ou menor do que 90°, o ginasta perderá pontos.

Fonte dos dados: DIAS, V. Pesquisa ajuda a aperfeiçoar treino para exercício entre os mais difíceis da ginástica artística. Jornal da USP. Disponível em: <http://jornal.usp.br/ciencias/ciencias-da-saude/pesquisa-ajudaa-aperfeicoar-treino-para-exercicio-entre-os-mais-dificeis-da-ginastica-artistica>. Acesso em: 15 jun. 2018.

JONNE RORIZ/ESTADÃO CONTEÚDO

Para que o ginasta não perca pontos, ao realizar esse exercício, os braços precisam formar um ângulo de 90° em relação ao tronco e permanecer parado por no mínimo 2 segundos.

O que os diferentes aparelhos da ginástica artística exigem dos atletas?

ILUSTRAÇÕES: LEO TEIXEIRA

Arthur Zanetti na prova de argolas nas Olimpíadas de Londres, em 2012.

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Integrando com... Esta seção propõe o estudo de temas que relacionam a Matemática a outros componentes curriculares, o que possibilita a integração de conceitos de diferentes áreas do conhecimento. Nesse sentido, sugere-se dialogar com professores dos componentes curriculares relacionados para planejar a aula em que esta seção será realizada e avaliar a possibilidade de organizar a turma em pequenos grupos de discussão. Resoluções a partir da p. 257

1. De acordo com as informações apresentadas, responda às questões.

integrando com

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

a) Que tipo de peça publicitária foi utilizada pela prefeitura de Salvador nessa campanha? Em sua opinião, qual é o público-alvo dessa campanha? Folder. Resposta esperada: A população de Salvador. b) O que é a febre amarela? A febre amarela é uma doença infecciosa, causada por um vírus e transmitida por mosquitos. c) Qualquer pessoa que não estiver vacinada pode contrair a febre amarela? Copie o trecho da peça publicitária que justifique sua resposta.Sim. “Qualquer pessoa que não estiver vacinada, independentemente da idade ou sexo, pode contrair a doença”. d) Podemos afirmar que os primatas não humanos podem transmitir a doença? Justifique. Não, a única forma de contágio é pela picada do mosquito infectado. e) Quais são os sinais e sintomas da febre amarela? Febre alta, calafrios, cansaço, dor de cabeça, dor muscular, icterícia, náuseas e vômitos. 2. Observe no esquema a seguir outros dados sobre a febre amarela e depois responda.

Ciências e língua portuguesa

Febre amarela Para divulgar um produto, um serviço ou uma campanha, é possível utilizar peças publicitárias como cartazes, folhetos, anúncios e propagandas em diferentes mídias. Leia a seguir o folder divulgado pela Prefeitura de Salvador (BA), em 2017.

A origem do vírus é africana.

No Brasil, a doença surgiu em 1685 em uma região onde atualmente é o estado de Pernambuco. O contágio pelo ciclo urbano ocorreu pela última vez em 1942.

Folder da campanha Febre Amarela de 2017, da Prefeitura de Salvador.

O contágio desse vírus ficou controlado durante muitos anos no Brasil. Porém, em 2017 começou a crescer a quantidade de casos, gerando um surto preocupante no país.

A fêmea do mosquito introduz aproximadamente de 1 000 a 100 000 partículas virais durante a picada.

Além da vacina, outra estratégia de prevenção é diminuir a exposição às picadas de mosquito, usando repelentes, evitando, na medida do possível, o deslocamento para áreas de mata, entre outras.

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

SUS/SECRETARIA DA SAÚDE/PREFEITURA DE SALVADOR

Esse vírus é da família Flaviviridae, e seu comprimento é entre 40 e 60 nanômetros.

Fontes dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Febre amarela. Disponível em: <http://bvsms.saude. gov.br/bvs/febreamarela/historico.php>. UIP, D. Febre amarela: a doença e a vacina. Veja. Disponível em: <https://veja.abril.com.br/blog/letra-de-medico/febre-amarela-a-doenca-e-a-vacina/>. Acessos em: 22 fev. 2018.

a) Use potências de base 10 e reescreva a informação sobre a quantidade de partículas virais que do mosquito introduz aproximadamente de a fêmea do mosquito introduz durante a picada. A fêmea 103 a 105 partículas virais durante a picada. b) Na informação sobre o tamanho do vírus foi utilizada a unidade de medida de comprimento nanômetro (nm), sendo que 1 nm = 1 ? 10_9 m. Escreva, em metros, o tamanho desse vírus. Entre 4 ? 10_8 m a 6 ? 10_8 m. c) Junte-se a dois colegas para produzir uma campanha sobre a febre amarela. Além das peças publicitárias já citadas, vocês podem optar por jingle, vídeo ou blog. Pode ser apresentada alguma informação tratada nesta seção ou outra que vocês pesquisarem. Resposta pessoal. 30

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VIII

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Você cidadão Esta seção propõe ao aluno que, com base em conhecimentos matemáticos, desenvolva o pensamento crítico e possa inferir sobre temas sociais pautados na ética, na cidadania e no trabalho cooperativo. Em geral, apresenta como contexto algum tema contemporâneo, como saúde, educação financeira, educação ambiental, educação para o trânsito, entre outros. O debate com a turma sobre o tema tratado favorece o compartilhamento de ideias e a reflexão coletiva e individual. você

A arte indígena

cidadão

Nas pinturas corporais e de cerâmicas de diversos povos indígenas, é possível observar padrões gráficos que são inspirados em elementos da natureza, como animais das florestas. Observe alguns exemplos.

O que é cultura? Leia com atenção o texto a seguir.

Cultura indígena

MUNDURUKU, D. Coisas de índio. São Paulo: Callis, 2000. p. 51-53.

Indígenas Yawalapiti em Gaúcha do Norte (MT). Fotografia de 2012.

ILUSTRAÇÕES: FROSA

Padrão gráfico do povo Kayapó inspirado na vértebra de cobra.

Padrão gráfico do povo Sharanahua inspirado na carapaça de tartaruga.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257 RENATO SOARES/PULSAR IMAGENS

A cultura é o que faz com que as pessoas de um povo, de uma sociedade, olhem e pensem o mundo e as coisas de uma determinada maneira, sempre muito própria. A partir da cultura, as pessoas estabelecem o seu modo de agir e de se relacionar com o mundo, com outras pessoas e com as coisas. [...] As manifestações artísticas de um povo ou a criação de objetos e utensílios que servem à vida cotidiana também são, necessariamente, expressões culturais. [...] Para os povos indígenas no Brasil, de maneira geral, não existe uma diferença ou um limite preciso entre arte e objetos utilitários (como uma ferramenta ou uma panela), uma vez que tudo garante as necessidades da vida cotidiana, ritual e artística. A cultura material (a criação e a produção de objetos) e a arte produzida pelos povos indígenas são chamadas nas cidades de “artesanato indígena”. E essa não é uma expressão adequada, porque é usada de forma pejorativa, desvalorizando as expressões culturais desses povos. [...] As diferenças entre os objetos utilitários e artísticos produzidos pelos povos indígenas são dadas pelas diferenças culturais existentes entre eles e também, pelos recursos materiais disponíveis, como fibras e barro e vegetais, dos quais se fabricam tinturas. [...] Vale a pena saber que não há especialistas entre os nativos: todos sabem confeccionar os objetos necessários à sua sobrevivência. O que existe são pessoas que se destacam em um ou outro tipo de objeto utilitário ou artístico, devido ao talento pessoal. [...]

1. O que você entende por cultura? Pesquise e escreva um texto breve sobre as manifestações culturais próprias da região onde você mora. Respostas pessoais. 2. Em sua opinião, por que é importante preservar e valorizar os patrimônios culturais indígenas? De acordo com o texto, por que é inadequado utilizar a expressão “artesanato indígena”? Resposta pessoal. Porque é usada de forma pejorativa, desvalorizando as expressões culturais desses povos. 3. Observe com atenção os elementos que compõem as imagens apresentadas acima. Quais figuras geométricas estudadas nesta unidade esses elementos lembram? Algumas respostas possíveis: Polígonos, triângulos, quadriláteros. 4. A imagem a seguir é um padrão gráfico do povo Trumai. Em sua opinião, esse padrão é inspirado em qual dessas opções: onça-pintada ou espinha de peixe? Explique. Resposta esperada: Espinha de peixe. Resposta pessoal.

Resposta pessoal. 5. Inspirado em algum animal que conheça, desenhe em uma folha de papel sulfite um padrão geométrico para representá-lo, como nos padrões gráficos apresentados. 158

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Você conectado Nesta seção, apresentada ao final de algumas Unidades, são propostas atividades que envolvem o estudo de conceitos matemáticos com o apoio do software de geometria dinâmica GeoGebra e da planilha eletrônica Calc, ambos de distribuição livre. As atividades propostas devem ser realizadas de acordo com a realidade na qual a escola está inserida, ou seja, podem ser desenvolvidas em um laboratório de informática, com os alunos organizados em pequenos grupos, coletivamente em um computador portátil que o professor pode levar para a sala de aula, acompanhado de um projetor ou, ainda, como atividade extraclasse.

você

conectado

Construindo polígonos regulares

De maneira análoga à etapa anterior, com a opção selecionada, clicamos nos pontos A e B’, digitamos 135o na caixa de texto, marcamos a opção sentido . Assim, obtemos o vértice A’ do octógono anti-horário e clicamos em regular. Repetimos o procedimento até obter os 8 vértices do octógono regular.

Utilizando o GeoGebra, vamos construir um octógono regular com 2,5 cm de lado.

Com a opção selecionada, marcamos o vértice A e, na caixa de texto . O segmento de reta AB obtido que abrir, digitamos 2.5 e clicamos em tem 2,5 cm de comprimento e é um dos lados do octógono.

Com a opção selecionada, clicamos no ponto B e, em seguida, em A. Na caixa de texto que abrir, digitamos 135o, que corresponde à medida de cada ângulo interno do octógono regular, marcamos a opção sentido . O ponto B’ obtido corresponde a um dos anti-horário e clicamos em vértices do octógono.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Com a opção selecionada, clicamos de maneira ordenada nos vértices, obtendo assim o octógono regular.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

MÃos à obr a

O ponto B’ corresponde à rotação do ponto B, em torno de A, em 135o no sentido anti-horário.

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. Em relação ao octógono regular construído no exemplo, responda. a) Por que na construção foi utilizado 135o como a medida de cada ângulo interno? b) Qual é o perímetro desse octógono regular? 20 cm. 1. a) Resposta esperada: Porque, no octógono 2. No GeoGebra, construa: Respostas pessoais. regular, os oito ângulos internos têm a mesma a) um hexágono regular com 3 cm de lado. medida e soma igual a 1 080o (1 080º : 8 = 135º). b) um pentágono regular com 16 cm de perímetro.

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O que estudei Esta seção, organizada ao final de cada Unidade, propõe um momento de reflexão e de autoavaliação, tanto para o aluno quanto para o professor. Em relação ao aluno, são consideradas suas atitudes comportamentais e sua compreensão diante dos conceitos estudados na Unidade. Já em relação ao professor, sua autoavaliação é condicionada às respostas dadas pelos alunos, podendo estas serem objetos de reflexão sobre a prática docente. Essa reflexão, por sua vez, pode propiciar ajustes nos planejamentos de aula das Unidades seguintes.

o que estudei

Na questão 1, o aluno deve fazer um retrospecto de sua postura nas aulas de Matemática. As respostas aos itens desta questão devem ser individuais, de maneira a evidenciar da melhor forma possível as atitudes comportamentais daquele aluno. Nesse sentido, o aluno pode eleger alguns itens para os quais respondeu “às vezes” ou “não” como pontos de atenção no estudo da próxima Unidade, buscando compreender melhor os assuntos que estiverem sendo estudados. Sob o ponto de vista do professor, além das análises individuais, cabe uma leitura ampla, para identificar ações que poderão ser tomadas para uma correção de rota coletiva. Um exemplo é o estabelecimento ou ajuste no contrato didático que mantém com a turma. No decorrer do ano, sugere-se reservar momentos para que o aluno possa comparar suas respostas a esta questão no decorrer do estudo das Unidades e verificar como seu comportamento evoluiu.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I ) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal. Medidas de Gráfico de colunas

Gráfico de barras

Gráfico de segmentos

Gráfico de setores

tendência central: média

Amplitude

aritmética, moda e mediana

Tabela de dupla entrada

Distribuição de frequência

Intervalo de classes

Pesquisa estatística

Probabilidade

Tabela simples

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A questão 2 pode ser, em um primeiro momento, trabalhada de maneira individual, possibilitando a cada aluno identificar significados para os conceitos estudados na Unidade e indicados nas fichas. Em um segundo momento, a abordagem pode ser coletiva, permitindo ao professor perceber conceitos que uma parte significativa da turma pode não ter compreendido satisfatoriamente. Esses momentos caracterizam oportunidades para que o professor estabeleça um plano de ação para a turma. Nesse plano, por exemplo, podem ser estabelecidas monitorias, grupos de estudo, aulas de reforço, entre outras ações.

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Uma academia de judô fez uma pesquisa estatística com todos os alunos matriculados. Observe como alguns dados obtidos foram organizados.

Alunos matriculados no judô, por sexo, em 2019

Alunos matriculados no judô, por faixa, em 2019 Quantidade de alunos

Azul

Amarela

Laranja

Verde

Marrom

10 Fonte: Secretaria da academia.

40% 60%

Masculino

Feminino

EDITORIA DE ARTE

Faixa do judô

Fonte: Secretaria da academia.

PROBLEMAS

I Em média, havia quantos alunos matriculados em cada faixa do judô?

16 alunos. Conceitos: Tabela simples; medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana. Quantos alunos do sexo masculino estão matriculados nessa academia? 32 alunos. Conceitos: Tabela simples; gráfico de setores.

III Para representar os mesmos dados da tabela, quais tipos de gráfico você usaria?

Resposta esperada: Gráfico de colunas ou gráfico de barras. Conceitos: Gráfico de colunas; gráfico de barras; tabela simples. Com outros dados coletados nessa pesquisa, deseja-se determinar a quantidade de alunos matriculados em diferentes intervalos de idade, como de 7 a 10 anos e de 11 a 14 anos. Explique que recurso pode ser utilizado para organizar essas informações. Resposta esperada: Distribuição de frequência e intervalo de classes. Conceitos: Distribuição de frequência; intervalo de classes. A direção dessa academia vai sortear, ao acaso, um aluno matriculado para ganhar um prêmio. É mais provável que o aluno sorteado esteja em qual faixa do judô? Justifique sua resposta. Resposta esperada: Azul, pois há mais alunos matriculados nessa faixa do que nas demais. Conceitos: Probabilidade; tabela simples. 225

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A questão 3 é complementar à 2, uma vez que se propõe a identificar a compreensão dos conceitos matemáticos estudados na Unidade. Porém, aqui, busca-se que essa compreensão se dê à medida que o aluno resolve problemas propostos em um determinado contexto, fazendo para isso o uso de conceitos matemáticos estudados na Unidade. No entanto, caso a resolução proposta pelo aluno para certo problema seja efetivada por meio de uma estratégia na qual sejam utilizados conceitos diferentes dos estudados na Unidade, é importante que o professor valorize e compartilhe com a turma.

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Quadro de atividades e seções do Volume 8 No quadro a seguir estão indicadas a distribuição das atividades e seções de cada Unidade deste Volume da coleção. QUADRO-SÍNTESE DO VOLUME 8 DA COLEÇÃO

Unidade

1. Potências e raízes

2. Ângulos e simetria

Quantidade de atividades

Seção Você cidadão

3. Equação, sistema de equações e inequação

4. Proporcionalidade e porcentagem

5. Polígonos e círculo

Você conectado

• Integrando com Ciências e Língua Portuguesa: Febre amarela

Integrando com...

• Acessibilidade

• Construindo mediatriz e bissetriz • Construindo figuras simétricas por translação

• Energia elétrica

• Resolvendo sistemas de equações • Resolvendo equações do 2o grau

• Integrando com Ciências: Cálcio

• Calculando porcentagens

• Construindo polígonos regulares

• O que é cultura?

• Integrando com Arte: Pixels

• Medindo a área de polígonos regulares e de círculos

7. Estatística e probabilidade

• Integrando com Geografia e História: O valor da idade

• Calculando medidas de tendência central

8. Medidas de volume e de capacidade

• Integrando com Ciências: Os males do refrigerante

6. Área de figuras planas

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MATERIAL DIGITAL Além dos quatro Volumes impressos deste Manual do professor, a coleção apresenta quatro Volumes de Manual do professor – Material digital, que trazem recursos a fim de enriquecer o trabalho do professor e potencializar as relações de ensino-aprendizagem em sala de aula. Os materiais digitais estão organizados em bimestres e cada um deles possui a composição a seguir. Plano de desenvolvimento: documento que apresenta os temas que serão trabalhados ao longo do bimestre, relacionando-os aos objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC. Também são sugeridas estratégias didático-pedagógicas que auxiliam o professor na gestão da sala de aula e fontes de pesquisa complementares que podem ser consultadas pelo professor ou apresentadas para os alunos. Cada Plano de desenvolvimento apresenta um Projeto integrador, cujo objetivo é tornar a aprendizagem dos alunos mais concreta, articulando diferentes componentes curriculares a situações de aprendizagem relacionadas ao cotidiano da turma. Por meio dos projetos, é possível explorar temas transversais, estimular o desenvolvimento das competências socioemocionais e trabalhar com habilidades próprias de diferentes componentes curriculares. Sequências didáticas: conjunto de atividades estruturadas aula a aula que relacionam objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC, com o intuito de ajudar os alunos a alcançar um objetivo de aprendizagem definido. Nas sequências didáticas, são propostas atividades que podem ser aplicadas complementarmente ao trabalho com o livro impresso. Também estão presentes sugestões de avaliações que ajudam o professor a aferir se os alunos alcançaram os objetivos de aprendizagem propostos. Proposta de acompanhamento da aprendizagem: conjunto de dez atividades (e respectivos gabaritos) destinadas aos alunos, acompanhadas de fichas que podem ser preenchidas pelo professor. Este material tem o objetivo de ajudar a verificar se os alunos desenvolveram as habilidades previstas para o bimestre, e mapear as principais dificuldades apresentadas por eles, auxiliando o trabalho de planejamento do professor e a autoavaliação da sua prática pedagógica. Material digital audiovisual: vídeos e videoaulas produzidos para os alunos. Para esses materiais, houve a preocupação de trabalhar a Matemática com o fim de explorar as relações com a Arte, aspectos da História da Matemática e algumas propriedades, como a rigidez do triângulo e sua aplicação na construção de estruturas. Além disso, esses recursos trazem algumas demonstrações ou explicações de conceitos, como o princípio multiplicativo da contagem, demonstrações para o teorema de Pitágoras, entre outros.

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A BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um documento que define um conjunto de aprendizagens essenciais que os alunos devem desenvolver durante a Educação Básica, independentemente da região onde moram. O principal objetivo é garantir que todos os alunos brasileiros tenham a mesma oportunidade de aprender o que é considerado essencial. O documento é exclusivo à educação escolar e está orientado por princípios que visam uma formação humana integral e uma sociedade mais justa, democrática e inclusiva. Além da equiparação das oportunidades de aprendizagem, buscando reduzir as desigualdades históricas estabelecidas, o desenvolvimento de uma base comum curricular visa outros fatores, como assegurar as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica, orientar a elaboração de um currículo específico de cada escola ou rede escolar, pública ou privada, e instruir as matrizes de referência das avaliações e dos exames externos. Uma característica desse documento é que ele não define o modo como ensinar nem impede que sejam contempladas no dia a dia escolar as especificidades regionais. Assim, a BNCC (BRASIL, 2017) estabelece um conjunto de conhecimentos básicos que devem ser assegurados, sem interferir na diversidade cultural e regional e na autonomia dos educadores. Essas aprendizagens essenciais devem coexistir para assegurar aos alunos o desenvolvimento de dez competências gerais tendo em consideração que, segundo a BNCC (BRASIL, 2017, p. 8), [...] competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho. A seguir, estão listadas as dez competências gerais definidas pela BNCC.

COMPETÊNCIAS GERAIS DA EDUCAÇÃO BÁSICA 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

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3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. (BRASIL, 2017, 9-10).

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A BNCC E OS CURRÍCULOS O currículo pode ser definido como um “conjunto de práticas que proporcionam a produção, a circulação e o consumo de significados no espaço social e que contribuem, intensamente, para a construção de identidades sociais e culturais.” (BRASIL, 2013, p. 23). A BNCC e os currículos desempenham papéis complementares e ambos reconhecem o compromisso da educação na formação e no desenvolvimento global do ser humano, considerando suas dimensões intelectual, física, afetiva, social, ética, moral e simbólica. Conforme mencionado, a BNCC não define o modo de ensinar, como também não define o currículo escolar, que, por sua vez, fica a cargo das escolas ou sistemas escolares, tendo como ponto de partida a BNCC. É por meio de um conjunto de decisões, que caracterizam o currículo, que as aprendizagens essenciais preconizadas para cada etapa da Educação Básica poderão ser desenvolvidas. Também é por meio do currículo que se adequará a BNCC às realidades de cada localidade, aos contextos e às características dos alunos. Entre as decisões que competem ao currículo, a BNCC apresenta as seguintes ações:

• contextualizar os conteúdos dos componentes curriculares, identificando estratégias para apresentá-los, representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los significativos, com base na realidade do lugar e do tempo nos quais as aprendizagens estão situadas; • decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem; • selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferenciados e a conteúdos complementares, se necessário, para trabalhar com as necessidades de diferentes grupos de alunos, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades, seus grupos de socialização etc.; • conceber e pôr em prática situações e procedimentos para motivar e engajar os alunos nas aprendizagens; • construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos; • selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender; • criar e disponibilizar materiais de orientação para os professores, bem como manter processos permanentes de formação docente que possibilitem contínuo aperfeiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem; • manter processos contínuos de aprendizagem sobre gestão pedagógica e curricular para os demais educadores, no âmbito das escolas e sistemas de ensino. (BRASIL, 2017, p. 16-17).

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A ÁREA DE MATEMÁTICA Na BNCC, a Matemática é destacada como uma área do conhecimento essencial para os alunos da Educação Básica tanto por suas aplicações como também por suas potencialidades na formação de cidadãos críticos e engajados. Nesse sentido, o documento explicita que a Matemática não se restringe à quantificação de fenômenos determinísticos e a técnicas de cálculo, mas envolve, ainda, o estudo de fenômenos de caráter aleatório. Outro aspecto da BNCC em relação à Matemática consiste em estender a ideia dessa área como uma ciência hipotético-dedutiva. Na Educação Básica, é importante considerar o papel heurístico dessa área, pois são fundamentais as experimentações matemáticas feitas pelos alunos. O documento também apresenta o compromisso que se deve ter no Ensino Fundamental com o letramento matemático, definido como:

[...] as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. (BRASIL, 2017, p. 264)

Nesse compromisso, fica evidente a preocupação em utilizar os conhecimentos matemáticos para compreender o mundo e nele atuar. Para o desenvolvimento desse letramento e do pensamento computacional, a BNCC cita os processos matemáticos de resolução de problemas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da modelagem. Esses processos podem ser tomados como formas de organização da aprendizagem matemática e levam em consideração a análise de situações do cotidiano, de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática. Com base no que foi apresentado anteriormente, a BNCC delimita as seguintes competências específicas para a área de Matemática e, consequentemente, para esse componente curricular.

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

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3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (BRASIL, 2017, p. 265).

AS UNIDADES TEMÁTICAS A BNCC propõe cinco unidades temáticas para a Matemática. Essas unidades orientam a formulação das habilidades que deverão ser desenvolvidas no decorrer do Ensino Fundamental. A seguir, cada uma delas é brevemente discutida.

Números O trabalho com os números talvez seja um dos mais antigos e elementares na história da humanidade, e esta unidade temática tem como objetivo desenvolver o pensamento numérico dos alunos. Ao construir a noção de número, destacam-se algumas ideias que devem ser desenvolvidas, entre elas: aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem. Também devem ser explorados os campos numéricos por meio de situações que sejam significativas para os alunos. Para os anos finais do Ensino Fundamental, espera-se que os alunos saibam lidar com os conjuntos dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais, e percebam, diante de problemas geométricos, a necessidade de outros números: os irracionais.

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O estudo de conceitos básicos de finanças e economia também é destacado nesta unidade temática. Temas como taxa de juros, inflação, aplicações financeiras podem ser discutidos, inclusive por meio de um estudo interdisciplinar, envolvendo dimensões culturais, sociais, políticas e psicológicas. Nesta coleção, o trabalho com os números e seus diversos desdobramentos busca privilegiar o conhecimento prévio dos alunos e, com base nele, ampliar as diferentes ideias desta unidade temática. Busca-se também, na coleção, sempre que possível, integrar as diferentes unidades temáticas, como no trabalho com números na realização de medições ou comparações de medidas, no trabalho com análise de gráficos e tabelas ou no estudo das figuras geométricas.

Álgebra Esta unidade temática visa o desenvolvimento do pensamento algébrico. Se nos anos iniciais do Ensino Fundamental o trabalho com a Álgebra começa com a observação de padrões e regularidades, o estudo dos princípios da equivalência, da proporcionalidade e da interdependência entre grandezas, nos anos finais do Ensino Fundamental essas ideias são retomadas, aprofundadas e ampliadas. Nesta fase de ensino, os alunos devem não somente perceber padrões e regularidades mas também estabelecer generalizações, até mesmo utilizando uma linguagem algébrica própria. Também devem compreender os diferentes significados para uma variável numérica e indicar o valor desconhecido em uma sentença. É nos anos finais do Ensino Fundamental que os alunos têm contato com equações e funções e com técnicas de resolução de equações e de sistemas de equações. Utilizando uma linguagem algébrica, eles devem estabelecer a relação entre duas grandezas. O trabalho com funções, que é iniciado nessa fase do ensino, será consolidado no Ensino Médio. No cotidiano, são diversas as situações que podem ser expressas por meio de uma função, e um dos objetivos do trabalho com a Álgebra é possibilitar que os alunos saibam identificar essas situações, as variáveis envolvidas e a relação de interdependência entre essas variáveis. Eles também devem ser capazes de representar por meio de uma linguagem algébrica um problema enunciado em linguagem materna. Nesta coleção, espera-se que, por meio de um trabalho com diferentes situações, os alunos possam ampliar o desenvolvimento do pensamento algébrico e estabelecer relações entre esse tipo de pensamento e as demandas do cotidiano. Ao longo dos quatro volumes da coleção, os diferentes objetos de estudo da Álgebra foram tratados com o intuito de privilegiar possíveis conhecimentos prévios dos alunos e a relação deste conteúdo com outras unidades temáticas, buscando inicialmente retomar um conceito para, em seguida, ampliar o estudo.

Geometria Esta unidade temática tem como objetivo tratar os diferentes elementos que são próprios da Geometria e que permeiam tanto situações práticas do mundo físico como também diferentes áreas do conhecimento. O trabalho envolvendo transformação de figuras, vistas ortogonais, localização e deslocamento, figuras geométricas planas e espaciais busca o desenvolvimento do pensamento geométrico, importante para a vivência e a experiência nos mais diversos contextos. Além disso, o pensamento geométrico deve compreender as composições abstratas e as propriedades das figuras, contribuindo para a produção de argumentos que levem, por exemplo, a justificativas de categorizações de grupos de figuras.

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Nos anos finais do Ensino Fundamental é esperado que as aprendizagens dos anos iniciais sejam consolidadas e ampliadas e que os alunos sejam capazes de utilizar esses novos conhecimentos para realizar demonstrações simples, desenvolvendo o raciocínio hipotético-dedutivo. Outro aspecto da Geometria que é relevante nesta fase de ensino é sua relação com a unidade temática Álgebra, que pode ser explorada de maneira mais evidente ao serem utilizadas representações de retas no plano cartesiano para determinar a solução de um sistema de equações. Nesta coleção, buscou-se trabalhar a Geometria com base em conhecimentos próximos da realidade dos alunos, fazendo o uso de um variado repertório de contextos, como mapas, obras de arte, construções prediais, entre outros. Outro aspecto importante de se destacar é a proposta de uso, sempre que possível, de recursos digitais para a exploração de objetos geométricos, como o software livre GeoGebra. Além disso, buscou-se explorar atividades práticas, como construções geométricas usando instrumentos como régua, esquadros, transferidor e compasso.

Grandezas e medidas Os conceitos próprios desta unidade temática possivelmente estejam entre os mais próximos da realidade dos alunos e de outras áreas do conhecimento. O trabalho com Grandezas e medidas favorece as relações com outras unidades temáticas da área, como os Números, ao lidar com situações-problema que envolvem a comparação e a ordenação de medidas, por exemplo. O estudo desta unidade temática também propicia a abordagem de temas sociais e relacionados com a cidadania, como a discussão do uso consciente dos recursos naturais (medidas de capacidade e desperdício de água, por exemplo). Dada a diversidade étnica e cultural da população e do território brasileiros, é recomendado que nesse trabalho sejam consideradas as particularidades da região em que a escola está inserida, como a inclusão do estudo de medidas agrárias em ambientes rurais. Nos anos finais do Ensino Fundamental, além das grandezas comumente contempladas no currículo escolar, como comprimento, massa, capacidade, área, volume, temperatura e tempo, é destacado o trabalho com outras grandezas, como densidade, velocidade, energia. Também é nessa fase de ensino que são exploradas medidas utilizadas em informática.

Probabilidade e estatística Nesta unidade temática, o objetivo é que sejam trabalhadas as ideias relacionadas com a incerteza e o tratamento de dados. Esse estudo deve estar interligado a situações próximas da realidade dos alunos e a outras áreas do conhecimento. Algumas das fases mais importantes do trabalho com Estatística são as de coleta, organização, representação, interpretação e análise crítica dos dados. Nos anos finais do Ensino Fundamental, espera-se que os alunos saibam reconhecer, por exemplo, quando utilizar determinado tipo de gráfico, qual medida de tendência central é mais adequada para representar uma situação específica, em quais casos se deve utilizar uma amostra na realização de uma pesquisa. Além disso, busca-se desenvolver estratégias para validar informações veiculadas por diferentes mídias por meio de recursos estatísticos, identificando, quando for o caso, elementos que possam induzir a erros de leitura ou interpretação dos dados. Quanto ao estudo de Probabilidade, espera-se que os alunos compreendam que muitos acontecimentos do mundo físico são de natureza aleatória e que é possível, em certa medida, identificar prováveis resultados para esses acontecimentos. Nesta fase do ensino, é desejável que eles façam experimentos aleatórios e simulações comparando esses resultados com aqueles obtidos por meio de cálculos.

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 6o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 6o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 298-303). UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais Divisão euclidiana

Fluxograma para determinar a paridade de um número natural Múltiplos e divisores de um número natural Números primos e compostos

HABILIDADES

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Números (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. Frações: significados (parte/ todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações

(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

Aproximação de números para múltiplos de potências de 10

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Propriedades da igualdade

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Álgebra

Geometria

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas

Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

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UNIDADES TEMÁTICAS

Grandezas e medidas

OBJETOS DE CONHECIMENTO Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

Ângulos: noção, usos e medida

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Plantas baixas e vistas aéreas

(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista)

Probabilidade e estatística

HABILIDADES

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

Coleta de dados, organização e registro Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para o registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 7o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 7o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 304-309). UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Múltiplos e divisores de um número natural

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração. (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros. (EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

Números

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos. Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. (EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações

Álgebra

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias. (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Linguagem algébrica: variável e incógnita

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Equações polinomiais do 1o grau

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

HABILIDADES

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Simetrias de translação, rotação e reflexão

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

A circunferência como lugar geométrico

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

Geometria

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas. (EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos. (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

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UNIDADES TEMÁTICAS

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Problemas envolvendo medições

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. (EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Medida do comprimento da circunferência

(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Pesquisa amostral e pesquisa censitária Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 8o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 8o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 310-313). UNIDADES TEMÁTICAS

Números

Álgebra

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Notação científica

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

Potenciação e radiciação

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

O princípio multiplicativo da contagem

(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

Porcentagens

(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

Dízimas periódicas: fração geratriz

(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

Valor numérico de expressões algébricas

(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano

(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 = b

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax2 = b.

Sequências recursivas e não recursivas

(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes. (EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais

(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. (EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

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UNIDADES TEMÁTICAS

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas

(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência

(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

Volume de cilindro reto Medidas de capacidade

(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. (EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral

(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados

(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Organização dos dados de uma variável contínua em classes

(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

Medidas de tendência central e de dispersão

(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral

(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 9o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 9o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 314-317). UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

Números

HABILIDADES

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Potências com expoentes negativos e fracionários

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Números reais: notação científica e problemas

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

Álgebra

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UNIDADES TEMÁTICAS

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Semelhança de triângulos

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Relações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Polígonos regulares

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

Distância entre pontos no plano cartesiano

(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

Vistas ortogonais de figuras espaciais

(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas Unidades de medida utilizadas na informática

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Volume de prismas e cilindros

(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

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A BNCC E A COLEÇÃO Os quadros a seguir indicam as habilidades, competências gerais e competências específicas de Matemática da BNCC tratadas com mais ênfase em cada Unidade da coleção.

VOLUME 6 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA

1. Sistemas de numeração

• EF06MA01 • EF06MA02 • EF06MA04 • EF06MA12

•3 •5

•1 •4

2. Operações com números naturais

• EF06MA02 • EF06MA03 • EF06MA04 • EF06MA05 • EF06MA06 • EF06MA14 • EF06MA15

•5 •8

•1 •3 •5

3. Figuras geométricas

• EF06MA16 • EF06MA17 • EF06MA18 • EF06MA19 • EF06MA20 • EF06MA21 • EF06MA22 • EF06MA23 • EF06MA25 • EF06MA26 • EF06MA27 • EF06MA28

•1 •3 •5

•3 •5 •6

4. Medidas de comprimento, massa, tempo e temperatura

• EF06MA24

•7 •8 • 10

•7

5. Números racionais na forma de fração

• EF06MA07 • EF06MA08 • EF06MA09 • EF06MA10 • EF06MA15

•2 •5 •6

•1 •2 •3 •5

6. Números racionais na forma decimal

• EF06MA01 • EF06MA02 • EF06MA08 • EF06MA11 • EF06MA13

•2 •5 •7 •8

•5 •7 •8

7. Estatística e probabilidade

• EF06MA30 • EF06MA31 • EF06MA32 • EF06MA33 • EF06MA34

•1 •9

•6 •7

8. Medidas de superfície, capacidade e volume

• EF06MA24 • EF06MA28 • EF06MA29

•1 •3 •7

•4

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VOLUME 7 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA •1 •3 •5

1. Múltiplos, divisores, potências e raízes

• EF07MA01

•1 •2 •5

2. Números inteiros

• EF07MA03 • EF07MA04

•1 •5 •6 • 10

•2 •3 •5 •8

•3 •5 • 10

•5 •7

•2 •8 •9

•1 •6 •7

•1 •4 •5

•1 •5

•4 •5

•3 •5

•2 •7

•1 •4 •7

•5 •9

•4 •5 •7

• EF07MA19 • EF07MA22 • EF07MA23 3. Figuras geométricas planas

• EF07MA24 • EF07MA25 • EF07MA26 • EF07MA27 • EF07MA28 • EF07MA05 • EF07MA06 • EF07MA07 • EF07MA08

4. Os números racionais

• EF07MA09 • EF07MA10 • EF07MA11 • EF07MA12 • EF07MA33 • EF07MA13 • EF07MA14

5. Expressões algébricas e equações

• EF07MA15 • EF07MA16 • EF07MA18 • EF07MA02 • EF07MA13

6. Proporcionalidade e simetria

• EF07MA17 • EF07MA20 • EF07MA21 • EF07MA29

7. Medidas de superfície e volume

• EF07MA30 • EF07MA31 • EF07MA32 • EF07MA34

8. Estatística e probabilidade

• EF07MA35 • EF07MA36 • EF07MA37

XXXII

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VOLUME 8 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA

1. Potências e raízes

• EF08MA01 • EF08MA02

•4 •5 •8

•3 •8

2. Ângulos e simetria

• EF08MA15 • EF08MA17 • EF08MA18

•5 •7 •8

•3 •5 •7 •8

•2

•2 •4 •6

•5 •8 • 10

•5 •8

•3 •5 •9

•4 •5

•1 •5

•6

•4

•6 •8

•4 •8

• EF08MA05 • EF08MA06 • EF08MA07 3. Equação, sistema de equações e inequação

• EF08MA08 • EF08MA09 • EF08MA10 • EF08MA11

• EF08MA04 4. Proporcionalidade e porcentagem

• EF08MA12 • EF08MA13

• EF08MA14 5. Polígonos e círculo

• EF08MA15 • EF08MA16

6. Área de figuras planas

• EF08MA19

• EF08MA03 • EF08MA22 • EF08MA23 7. Estatística e probabilidade

• EF08MA24 • EF08MA25 • EF08MA26 • EF08MA27

8. Medidas de volume e de capacidade

• EF08MA20 • EF08MA21

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VOLUME 9 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA

•1 •3

•1 •2 •3

•1 •3 •4 •5 •6

•1 •3 •5

•1 •2 •8

•1 •4 •7

•1 •7 • 10

•1 •6 •8

•1 •5

•5 •6

•4 •5 •6

•5 •7 •9 • 10

•5 •6 •8

•4 •7

•3 •7

• EF09MA01 • EF09MA02 1. Conjuntos numéricos, potências e raízes

• EF09MA03 • EF09MA04 • EF09MA18

• EF09MA11 2. Circunferência, plano cartesiano e vistas

• EF09MA15 • EF09MA17

3. Expressões algébricas e equações do 2o grau

• EF09MA09

• EF09MA06 4. Proporcionalidade e funções

• EF09MA07 • EF09MA08

• EF09MA10 5. Semelhança de figuras

• EF09MA12 • EF09MA14 • EF09MA16

• EF09MA05 6. Educação financeira e relações métricas no triângulo retângulo

• EF09MA13 • EF09MA14 • EF09MA16

• EF09MA20 7. Estatística e probabilidade

• EF09MA21 • EF09MA22 • EF09MA23

8. Medidas de volume

• EF09MA19

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FUNDAMENTOS TEÓRICOS E METODOLÓGICOS DA COLEÇÃO Em uma sociedade globalizada, o ensino de Matemática tem papel fundamental na formação de cidadãos conscientes, críticos e participativos. O incentivo a práticas reflexivas no estudo da Matemática escolar pode favorecer o desenvolvimento de estratégias para resolução de problemas do dia a dia e a quebra de paradigmas. Nesta coleção, os fundamentos teóricos e metodológicos envolvidos nos processos de ensino e de aprendizagem buscam favorecer o trabalho coletivo e colaborativo como uma maneira de estimular a participação, reflexão e comunicação entre os alunos. Sempre que possível, procurou-se propor os conceitos matemáticos a partir dos conhecimentos prévios dos alunos, alicerces para a construção de novos conhecimentos. O encadeamento dos conteúdos matemáticos foi pensado com a finalidade de convidar os alunos a expor e escutar ideias, a formular, confrontar e comunicar procedimentos de resolução de problemas, a argumentar e validar pontos de vista. Os Volumes desta coleção foram organizados para apoiar o trabalho do professor procurando, quando possível, fazer uso de diferentes tendências metodológicas. As propostas interdisciplinares e as temáticas de caráter social permitem o desenvolvimento das competências como as da leitura, da escrita e da oralidade, e ainda oferecem elementos para a composição de situações contextualizadas para as atividades.

O LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA O livro didático é um importante instrumento no processo de ensino-aprendizagem. Considerando o trabalho de Gérard e Roegiers (1998), Pereira (2010) apresenta as funções do livro didático de acordo com duas perspectivas. Em relação ao aluno, são atribuídas aos livros didáticos múltiplas funções, entre as quais: a aprendizagem e o progresso de competências; a estabilização, avaliação e integração das aprendizagens; a apresentação da informação rigorosa e de fácil utilização e a educação social e cultural. Na perspectiva do professor, o livro didático tem, entre outros, o papel: de auxiliar o docente no desenvolvimento de suas funções; de colaborador na formação contínua dos docentes ao apresentar novos caminhos e estratégias para a renovação de suas práticas pedagógicas; de instrumento que auxilia na preparação de aulas e nos processos de avaliação.

A aprendizagem pode se tornar mais significativa, quando diferentes formas de representação são contempladas no livro didático. Além de valorizar uma abordagem interdisciplinar com diferentes textos, espera-se que o livro apresente números, equações, figuras, tabelas, gráficos, símbolos, desenhos, fotos, entre outros elementos que contribuem nas estratégias de articulação entre conteúdos e disciplinas. Quanto mais intensas forem a interatividade e a articulação, mais significativa será a aprendizagem. O aluno realiza articulações, quando consegue, por exemplo, a partir da leitura de um texto, montar uma tabela ou um gráfico, equacionar um problema ou descrever um argumento. Deve, ainda, ser estimulado a realizar movimentos em várias direções, tal como a passagem da leitura de uma tabela para a redação de um texto, para uma representação gráfica ou para o exercício da oralidade. Embora o interesse seja trabalhar com representações, não podemos esquecer que a apresentação do conteúdo pressupõe vínculos com os conhecimentos prévios dos alunos, considerando a possibilidade de uso de registros espontâneos (PAIS, 2007, p. 52-53).

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Nesta coleção, os conteúdos foram organizados levando em consideração as diferentes formas de representação dos objetos matemáticos. Nesse sentido, os alunos são convidados, em diversos momentos, a dialogar entre si e com o professor e a realizar registros que podem se dar de diversas maneiras: utilizando linguagem matemática ou natural (materna), empregando gráficos ou diagramas, usando representações pictóricas ou outras, a fim de incentivar a reflexão e a autonomia do pensamento. Consideramos que o livro didático é um dos recursos educativos que o professor tem a seu dispor. Os recursos didáticos como os jogos educacionais, o material dourado, o ábaco, o laboratório de informática e o laboratório de ensino de matemática são outros elementos que compõem o ambiente educacional e podem auxiliar e enriquecer o processo de ensino-aprendizagem. A prática cotidiana da sala de aula exige cada vez mais que o professor seja dinâmico e procure despertar nos alunos a curiosidade, o interesse e o prazer de aprender.

PROPOSTA DIDÁTICO-PEDAGÓGICA A proposta didático-pedagógica desta coleção tem por objetivo contribuir para uma formação ampla do aluno, não apenas em aspectos cognitivos, mas também em sua formação cidadã. Nela, procurou-se articular, sempre que possível, temas contemporâneos e interdisciplinares a conceitos matemáticos, oferecendo ao professor diferentes estratégias metodológicas e o aprimoramento de sua prática pedagógica. O tratamento dado aos conteúdos matemáticos, em sala de aula, deve levar em consideração os recursos disponíveis para que o trabalho seja efetuado. O professor tem também em conta, naturalmente, os alunos, as suas capacidades e interesses. Há alunos que reagem bem a certo tipo de propostas, outros que preferem outro tipo, outros que têm uma atitude relativamente indiferente. Cada vez com maior frequência, encontramos alunos que revelam grande desinteresse em relação a tudo o que tem a ver com a escola em geral e com a Matemática em particular. Dentro de uma mesma turma, há, muitas vezes, alunos com características muito diversas no que respeita aos seus conhecimentos matemáticos, interesse pela Matemática, atitude geral em relação à escola, condições de trabalho em casa, acompanhamento por parte de família, etc. A diversidade dos alunos que o professor tem na sua sala de aula deve ser por ele ponderada, de modo a tentar corresponder, de modo equilibrado, às necessidades e interesses de todos. (PONTE, 2005, p. 19-20).

A fim de sinalizar a proposta didático-pedagógica que fundamentou a elaboração desta coleção, apresentam-se abordagens relacionadas à concepção de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental e ao ensino de Matemática.

CONCEPÇÃO DE MATEMÁTICA NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL A Matemática e suas ideias estão presentes nos currículos desde a Educação Infantil. Seu ensino e sua aprendizagem são marcados por diversas concepções do professor e dos alunos. Para Ponte (1992), as concepções, de forma geral, têm uma natureza essencialmente cognitiva e podem estruturar o sentido que damos às coisas e, por vezes, atuar como elemento que bloqueia e limita nossas possibilidades de atuação e compreensão. As concepções formam-se num processo simultaneamente individual (como resultado da elaboração sobre a nossa experiência) e social (como resultado do confronto das nossas elaborações com as dos outros). Assim, as nossas concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas experiências que nos habituamos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais dominantes. (PONTE, 1992, p. 185)

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Para entender melhor essas concepções, Ponte (1992, p.196) refere que o saber matemático abrange quatro características fundamentais: • a formalização segundo uma lógica bem definida; • a verificabilidade, que permite estabelecer consensos acerca da validade de cada resultado; • a universalidade, isto é, o seu caráter transcultural e a possibilidade de o aplicar aos mais diversos fenômenos e situações; • a generatividade, ou seja, a possibilidade de levar à descoberta de coisas novas.

Thompson (1992) destaca que, das concepções de Matemática, existem aquelas de ordem pedagógica, que podem estar centradas: no conteúdo com ênfase na compreensão conceitual; no conteúdo com ênfase na execução; no aluno; na organização da sala de aula; e no conteúdo com ênfase nas situações problemáticas. O surgimento de novas orientações curriculares, a participação em ações de formação ou a leitura de materiais educativos podem suscitar novas perspectivas em relação à prática pedagógica. No entanto, independentemente da concepção de Matemática, é importante que o professor tenha parâmetros em sua prática. De acordo com a BNCC, por exemplo, é necessário que o professor esteja ciente de que para

[...] o desenvolvimento das habilidades previstas para o Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais possam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações precisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da matemática, como equivalência, ordem, proporcionalidade, variação e interdependência. (BRASIL, 2017, p. 296)

O ENSINO DE MATEMÁTICA O ensino de Matemática precisa privilegiar a exploração de uma variedade de noções matemáticas que contribuam para que os alunos construam e desenvolvam seu conhecimento matemático, sem perder o prazer, o interesse e a curiosidade. Por isso, é importante conciliar o trabalho com os conceitos matemáticos a abordagens que valorizem a integração entre a Matemática e as outras disciplinas, a proposição de temáticas sociais nas atividades a serem desenvolvidas e o estímulo ao uso adequado das novas tecnologias da informação e comunicação no estudo. De acordo com a BNCC (BRASIL, 2017), no Ensino Fundamental deve-se ter o compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático, que, segundo o PISA (Programme for International Student Assessment), consiste na [...] capacidade do indivíduo de formular, aplicar e interpretar a matemática em diferentes contextos, o que inclui o raciocínio matemático e a aplicação de conceitos, procedimentos, ferramentas e fatos matemáticos para descrever, explicar e prever fenômenos. Além disso, o letramento em matemática ajuda os indivíduos a reconhecer a importância da matemática do mundo, e agir de maneira consciente ao ponderar e tomar decisões necessárias a todos os cidadãos construtivos, engajados e reflexivos (INEP, 2012, p. 18).

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Ainda de acordo com a BNCC, é [...] o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição). (BRASIL, 2017, p. 264)

Para tanto, faz-se necessário criar um ambiente propício que pode ter como base o diálogo e a comunicação. Assim, o professor deve estimular os alunos a se comunicar (oralmente, por exemplo) ou a registrar (por meio de desenhos, textos, esquemas e outras formas de registro) suas ideias matemáticas. O hábito de expressar as ideias matemáticas pode ser desenvolvido questionando os alunos sobre como pensaram para realizar determinada atividade ou para resolver algum problema ou desafio. As dramatizações também podem ser estimuladas como uma forma de expressão de ideias matemáticas. Em relação às características das intervenções por parte do professor, estas devem procurar ser construtivas, dando oportunidade para que os alunos revejam suas posições e percebam as incoerências, quando existirem, contribuindo, assim, para a construção do seu conhecimento. Algumas intervenções que o professor pode fazer são por meio de perguntas, como as indicadas a seguir. • Como você obteve esse valor? Que estratégias realizou? • O que você pode concluir a partir desse resultado? • Como você pode convencer alguém de que sua resposta está correta? • É possível obter esse mesmo resultado por meio de outra estratégia? • Vamos testar essa outra estratégia? • Você pode afirmar que os procedimentos que utilizou são válidos? Explique. • A estratégia que você utilizou nessa situação pode ser empregada em quais outros casos? É importante que os alunos sejam incentivados a buscar diferentes formas de pensar, ampliando sua capacidade cognitiva e sua atitude diante de novas situações. Aliado a isso, ressalta-se a realização de atividades coletivas e cooperativas, o que favorece a socialização, a troca de ideias, a observação de outros pontos de vista, o reconhecimento de outras formas de pensar e de realizar as atividades. Segundo a BNCC, a aprendizagem matemática nos anos finais do Ensino Fundamental está diretamente relacionada com a apreensão de significados dos objetos matemáticos. [...] Esses significados resultam das conexões que os alunos estabelecem entre os objetos e seu cotidiano, entre eles e os diferentes temas matemáticos e, por fim, entre eles e os demais componentes curriculares. Nessa fase, precisa ser destacada a importância da comunicação em linguagem matemática com o uso da linguagem simbólica, da representação e da argumentação (BRASIL, 2017, p. 296).

Estabelecer relações entre a Matemática e as situações do cotidiano contribui para aproximá-la da vida dos alunos, colaborando para a percepção de que ela está presente em várias situações do dia a dia, não constituindo um conhecimento restrito ao ambiente da sala de aula. Além disso, nessa fase final do Ensino Fundamental, é importante iniciar os alunos, gradativamente, na compreensão, análise e avaliação da argumentação matemática. Isso envolve a leitura de textos matemáticos e o desenvolvimento do senso crítico em relação à argumentação neles utilizada (BRASIL, 2017, p. 297).

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ALGUMAS TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Um dos questionamentos mais frequentes no âmbito do ensino da Matemática diz respeito ao que pode ser considerado como um ensino de qualidade. Entretanto, essa não é uma questão simples que admite uma resposta única, objetiva e definitiva, porque, dependendo do enfoque, da finalidade e da perspectiva que se admite, aliados a questões políticas, sociais e culturais, podem surgir diversas respostas. A Educação matemática, um campo de pesquisa em crescimento, tem envolvido pesquisadores que analisam práticas pedagógicas desenvolvidas nos diferentes contextos escolares. Nesses estudos vêm ganhando destaque a Resolução de problemas, a Modelagem matemática, a Investigação matemática e as Tecnologias da informação e comunicação, entre outras.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Iniciar a aula com a proposição de um problema, que para Onuchic e Allevato (2011, p. 81) “é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em fazer”, pode ser o ponto de partida para a construção de um novo conceito matemático. Ao trabalhar com a Resolução de problemas como uma proposta para o ensino de conteúdos matemáticos, faz-se necessário ocupar-se de uma prática na qual o conhecimento é construído por meio das interações sociais dos alunos. Essa tendência metodológica prioriza o trabalho em grupo, em que as discussões podem ser orientadas pelo professor. Onuchic e Allevato (2004, p. 223) defendem que a “Resolução de problemas coloca o foco da atenção dos alunos sobre ideias e sobre o ‘dar sentido’. Ao resolver problemas os alunos necessitam refletir sobre as ideias que estão inerentes e/ou ligadas ao problema; [...]”. Na sala de aula, o professor, ao trabalhar com a Resolução de problemas, proporciona aos alunos a oportunidade de mobilização de seus conhecimentos prévios e o gerenciamento das informações disponíveis. Esse processo, além de contribuir para o desenvolvimento da autonomia dos alunos, conduz a ampliação ou a construção de conhecimentos. Vale ressaltar que os alunos poderão desenvolver diferentes estratégias para resolver os problemas, cabendo ao professor valorizá-las. Onuchic e Allevato (2011, p. 83-85) elaboraram, com base nos resultados de suas pesquisas, um roteiro para auxiliar o professor a trabalhar com a Resolução de problemas. Esse roteiro considera nove etapas para a organização da aula: • Preparação do problema – Selecionar um problema, visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha, ainda, sido trabalhado em sala de aula. • Leitura individual – Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura. • Leitura em conjunto – Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos. [...] • Resolução do problema – A partir do entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como coconstrutores da matemática nova que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.

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• Observar e incentivar – Nessa etapa, o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles. [...] • Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. • Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos, a fim de discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. • Busca do consenso – Depois de sanadas as dúvidas, e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. • Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado formalização, o professor registra na lousa uma apresentação formal – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto.

Como pode se dar a resolução de um problema O esquema a seguir apresenta as etapas e as relações entre elas, com as quais a Resolução de problemas pode ser desenvolvida nas aulas de Matemática.

Leitura individual e em conjunto, interpretação, elabora um esquema, realiza estimativas.

COMPREENDE O PROBLEMA.

PROBLEMA.

Organiza os dados, estabelece uma meta.

ELABORA UM PLANO. PROFESSOR Observador, mediador, incentivador, questionador

Retrospectiva.

UMA SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA.

Interpreta as condições do problema com o resultado obtido, verifica se há variações de respostas.

Se houver impasse.

Segue o plano, realiza cálculos.

EXECUTA O PLANO. Caso a solução obtida não satisfaça o problema, é necessário pensar em outro plano.

VALIDA O PLANO.

Confere a execução do plano com as condições do problema.

Fonte dos dados: POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. p. 25-27.

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Os alunos, ao resolverem os problemas, podem, de acordo com a abordagem proposta, tornar-se participantes ativos de sua aprendizagem, inserindo-se em um contexto no qual o estudo de Matemática ocorre dentro de um movimento que possibilita fazer análises, discussões, conjecturas, construção de conceitos e formulação de ideias.

MODELAGEM MATEMÁTICA A Modelagem matemática traz para a aula de Matemática um ambiente investigativo e comunicativo, no qual se pode construir conhecimento. Entre as diferentes perspectivas de Modelagem matemática, optou-se neste texto pela apresentada por Almeida e Ferruzzi (2009), uma alternativa pedagógica na qual, com base em situações oriundas da realidade, os conteúdos matemáticos se desenvolvem. De acordo com Almeida, Silva e Vertuan (2009), trata-se de criar possibilidades para enxergar situações do cotidiano por lentes matemáticas, ou seja, de interpretar e analisar situações do cotidiano por meio de linguagem matemática, e, assim, tomar decisões acerca delas. Segundo Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 12), [...] uma atividade de modelagem matemática pode ser descrita em termos de uma situação inicial (problemática), de uma situação final desejada (que representa uma solução para a situação inicial) e de um conjunto de procedimentos e conceitos necessários para passar da situação inicial para a situação final.

Durante o processo de interpretação matemática da situação inicial, há a necessidade de transformar a linguagem natural em linguagem matemática. Nessa direção, Almeida e Silva (2012, p. 627) destacam que [...] um aspecto importante numa atividade de modelagem matemática é a necessidade de os próprios alunos, a partir de uma situação-problema não matemática, fazerem a associação com conceitos e/ou procedimentos matemáticos capazes de conduzir a uma solução para o problema e possibilitar a sua análise.

De forma geral, no desenvolvimento de uma atividade de modelagem, estão presentes ações como buscar informações sobre a situação inicial, identificar e selecionar variáveis, elaborar hipóteses, realizar simplificações, obter um modelo matemático, validação e resolução do problema. Essas ações podem ser subsidiadas por orientações do professor. Embora a construção de um modelo matemático seja importante em uma atividade de Modelagem matemática, ela não é considerada o fim desse tipo de proposta, mas uma alternativa que pode permitir a compreensão global da situação investigada e da matemática utilizada. Em sala de aula, uma atividade de Modelagem matemática pode ser desenvolvida por alunos reunidos em grupos, e aí o professor tem o papel de orientador. A situação-problema pode emergir de uma proposta do professor, dos alunos ou do material didático que está sendo utilizado. O trabalho com Modelagem matemática pode promover relações interdisciplinares, motivação, levantamento de conhecimentos prévios, trabalho cooperativo, desenvolvimento do pensamento matemático, uso de diferentes representações, uso do computador e de outros recursos didáticos, desenvolvimento do conhecimento crítico e reflexivo e aprendizagem significativa.

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Fases da Modelagem matemática e as ações cognitivas dos alunos Identificação do problema

Inteiração

Modelo matemático

2 Representação mental da situação

1 Situação inicial (problemática)

Situação final (resposta para o problema)

Matematização e resolução

Resultados matemáticos

Interpretação de resultados e validação

As ações cognitivas dos alunos 1. Compreensão da situação 2. Estruturação da situação 3. Matematização 4. Síntese 5. Interpretação e validação 6. Comunicação e argumentação

Fonte dos dados: ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. O que é Modelagem matemática na Educação matemática? In: _________. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012. p. 19.

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA Uma Investigação matemática, de forma geral, consiste em um processo que transforma uma situação aparentemente confusa em um ou mais problemas que podem ser esclarecidos, ordenados e organizados de tal modo que possam ser resolvidos por meio de um olhar matemático. De acordo com Ponte (2003, p. 2), [...] investigar não é mais do que conhecer, procurar compreender, procurar encontrar soluções para os problemas com os quais nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de primeira importância para todos os cidadãos e que deveria permear todo o trabalho da escola, tanto dos professores como dos alunos.

Em uma Investigação matemática estão presentes quatro momentos principais: 1) o reconhecimento e a exploração da situação e a formulação de questões; 2) a formulação de conjecturas; 3) a realização de testes e reformulações das conjecturas; 4) a argumentação e avaliação do trabalho realizado (PONTE, 2003). Uma tarefa desenvolvida segundo a perspectiva da Investigação matemática aproxima o trabalho dos alunos ao trabalho dos matemáticos, sendo tarefa de ambos estabelecer os problemas, as hipóteses para resolvê-los, testar suas hipóteses, refutá-las e elaborar suas conclusões. Todo esse processo se desenvolve segundo um cronograma próprio e envolve a apresentação da situação de forma oral ou escrita, a execução individual ou em grupo, o desenvolvimento da Investigação matemática e o momento no qual os alunos relatam aos colegas e ao professor o trabalho realizado. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2007, p. 41), a [...] fase de discussão é, pois, fundamental para que os alunos, por um lado, ganhem um entendimento mais rico do que significa investigar e, por outro, desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre o seu trabalho e o seu poder de argumentação.

O papel do professor em uma Investigação matemática é criar um ambiente propício ao diálogo, à interação e à pesquisa, provocando em seus alunos a vontade de resolver as atividades investigativas. Geralmente, em uma investigação, o ponto de partida é uma situação

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aberta, e a participação efetiva dos alunos na formulação das questões que serão estudadas é fundamental, cabendo a quem investiga a sua concretização. É essa dinâmica que favorece o envolvimento do aluno no processo de aprendizagem (BERTINI; PASSOS, 2008).

TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO O acelerado desenvolvimento tecnológico das últimas décadas tem provocado transformações sociais e culturais na relação do ser humano com o saber. As novas tecnologias propiciam a criação de ambientes de aprendizagem que ampliam os canais de informações, e, ao mesmo tempo, formam e transformam os processos de ensino e de aprendizagem. Howland, Jonassen e Marra (2011) argumentam que a tecnologia deve ser entendida como uma parceira intelectual e uma ferramenta com a qual os alunos podem aprender como organizar e resolver problemas, compreender novos fenômenos, construir modelos desses fenômenos, e, dada uma situação não conhecida, definir metas e regular a própria aprendizagem. Pesquisadores da área de Educação matemática, como Borba e Penteado (2016, p. 48), destacam a importância das diferentes mídias na produção de conhecimento que é “produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias ou seres-humanos-com-tecnologias”. Para esses pesquisadores, o computador provoca a reorganização da atividade humana. Muitas das novas tecnologias proporcionam interatividade, criando ambientes em que os alunos têm acesso a resultados intermediários que não poderiam ser observados em situações tradicionais. A interatividade é um dos aspectos mais relevantes desses instrumentos para o ensino e a aprendizagem. Com o software GeoGebra, por exemplo, podem ser exploradas estruturas algébricas ou geométricas de forma dinâmica e avaliada a influência de seus parâmetros, visualizando simultaneamente suas diferentes representações. Nesta coleção, a seção Você conectado, organizada ao final de algumas Unidades, propõe o uso do GeoGebra e da planilha eletrônica Calc para ampliar o estudo de diversos conceitos matemáticos. Além disso, nos comentários específicos deste Manual do professor, é sugerido em diversos momentos o uso de softwares ou sites.

TEMAS CONTEMPORÂNEOS Discussões acerca do papel da escola na sociedade contemporânea implicaram modificações metodológicas e curriculares na Educação. Os temas contemporâneos surgiram com a proposta de construção da cidadania, incorporando questões de ética, educação ambiental, saúde, direitos humanos, trabalho, consumo, ciência e tecnologia, diversidade cultural, entre outras. Esses temas transcendem e perpassam todas as disciplinas. Nas aulas de Matemática, as abordagens de temas sociais por meio de conhecimentos matemáticos, ao mesmo tempo que possibilitam estabelecer relações com outras disciplinas, contextualizações e a reflexão crítica, conferem ao trabalho do professor a possibilidade de contribuir para a formação cidadã dos alunos. De acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 19), [...] cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e competência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, preferencialmente de forma transversal e integradora.

Por essa perspectiva, rompe-se a barreira da fragmentação do conhecimento, proporcionando aos alunos uma visão de reintegração de conteúdos e procedimentos acadêmicos, isolados uns dos outros pelo método disciplinar.

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Nesta coleção, os temas contemporâneos são discutidos em diversos momentos, como no desenvolvimento dos conceitos, nas atividades propostas e em seções, com destaque para a seção Você cidadão.

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CRÍTICA A formação de cidadãos críticos no âmbito escolar está atrelada ao desenvolvimento, nos alunos, da capacidade de analisar situações reais de forma reflexiva. Skovsmose (2004) destaca que um dos pontos-chave da Educação crítica consiste no fato de o processo educacional estar relacionado com problemas existentes fora do universo educacional. E, nesse sentido, destaca que dois dos critérios fundamentais para a seleção de um problema são os seguintes: O subjetivo: o problema deve ser concebido como relevante na perspectiva dos estudantes, deve ser possível enquadrar e definir o problema em termos próximos das experiências e do quadro teórico dos estudantes. E o objetivo: o problema deve ter uma relação próxima com problemas sociais objetivamente existentes (SKOVSMOSE, 2004, p. 19-20).

A Matemática supõe a submissão da realidade a modelos matemáticos preestabelecidos, que dão suporte a decisões e moldam o cotidiano. Em muitos casos, a Matemática escolar apresenta os cálculos matemáticos como verdades absolutas. Ao se deparar com problemas que, além de conteúdos matemáticos, requerem uma reflexão crítica, os alunos têm a possibilidade de perceber seu papel de cidadãos atuantes na sociedade. Para Skovsmose (2007, p. 19), “[...] a educação não pode apenas representar uma adaptação às prioridades políticas e econômicas (quaisquer que sejam); a educação deve engajar-se no processo político, incluindo uma preocupação com a democracia”. Para esse autor, “democracia” se refere ao “modo de vida”, à maneira de negociar e fazer mudanças, às formas de ação em grupo e em comunidades. Se os alunos são capazes de analisar de forma reflexiva a Matemática que existe nos modelos prontos apresentados na sociedade, serão capazes de exercer sua cidadania. A Educação matemática crítica é um campo de investigação da Educação matemática que lhe confere o objetivo de promover a participação crítica dos alunos na sociedade em que estão inseridos, discutindo questões políticas, ambientais, econômicas, sociais, entre outras, nas quais a Matemática se faz presente.

O PAPEL DO PROFESSOR Na sala de aula, o professor é o agente condutor das situações instrucionais e interacionais. Confirmando o que foi apresentado nos Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (BRASIL, 1997), com o avanço das tecnologias de informação, à medida que o papel dos alunos foi se redefinindo diante do saber, o papel do professor que ensina Matemática foi se redimensionando. Os alunos são protagonistas da construção de sua aprendizagem, e o professor é o organizador, o facilitador, o incentivador, o mediador entre o saber matemático e os alunos. Utilizando diferentes práticas, o professor em sala de aula articula o conhecimento matemático com a formação da cidadania, promovendo assim não só a formação integral dos alunos, mas também importantes mudanças sociais. O professor mediador não oferece respostas prontas; ele dialoga. Não há como imaginar uma situação instrucional que não seja baseada no diálogo. O professor questiona, é questionado, dá voz aos alunos, valoriza, respeita, promove a autonomia deles. O professor do século XXI tem consciência de que aprende no ato de ensinar, considerando, portanto, a sala de aula como um local de aprendizagens mútuas.

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Em relação ao livro didático, procuramos dar autonomia e respeitar a atuação do professor, orientando-o a reconhecer os momentos nos quais deve desafiar, indagar e conduzir seus alunos à reflexão e à problematização de situações que vão além das apresentadas nesta coleção.

SABERES DOCENTES PARA OS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Um professor de Matemática que atua nos anos finais do Ensino Fundamental, além de conhecer as diferentes abordagens metodológicas, precisa ter os saberes necessários para construir novas práticas pedagógicas que permitam identificar avanços, dificuldades e possibilidades para a reconstrução das aprendizagens de seus alunos. De acordo com a BNCC, a área de Matemática no Ensino Fundamental, [...] por meio da articulação de seus diversos campos – Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade, precisa garantir que os alunos relacionem observações empíricas do mundo real a representações (tabelas, figuras e esquemas) e associem essas representações a uma atividade matemática (conceitos e propriedades), fazendo induções e conjecturas. Assim, espera-se que eles desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações. (BRASIL, 2017, p. 263)

A maneira como o professor compreende a Matemática irá influenciar o modo como trata tais articulações. Nesse sentido, saberes de conteúdo e saberes pedagógicos estão inter-relacionados. De acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Educação Básica (DCN) (BRASIL, 2013, p. 113), o professor precisa ter clareza do que espera dos alunos, “buscando coerência entre o que proclama e o que realiza, ou seja, o que realmente ensina em termos de conhecimento”. No mesmo documento é indicado que o caráter fragmentário das áreas precisa ser superado “[...] buscando uma integração no currículo que possibilite tornar os conhecimentos abordados mais significativos para os educandos e favorecer a participação ativa de alunos com habilidades, experiências de vida e interesses muito diferentes” (BRASIL, 2013, p. 118). O saber profissional do professor é um saber pluridimensional, uma vez que o professor é aquele que planeja, executa, avalia, ou seja, é aquele que na sala de aula é responsável pela gestão de um pequeno universo.

LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA (LEM): UM AMBIENTE EDUCACIONAL A expressão ambiente educacional é usada de modo geral para designar o contexto em que ocorrem o ensino e a aprendizagem. Neste texto, ao nos referirmos ao ambiente educacional, estamos considerando a perspectiva de Troncon (2014, p. 265), que define esse ambiente como o [...] conjunto de elementos, de ordem material ou afetiva, que circunda o educando, que nele deve necessariamente se inserir e que o inclui, quando vivencia os processos de ensino e aprendizado, e que exerce influência definida sobre a qualidade do ensino e a eficácia do aprendizado. Destaque-se que um aspecto particular deste conceito é a inclusão do educando como elemento que participa do ambiente, o que tem a implicação de lhe atribuir responsabilidades na manutenção e no aperfeiçoamento do ambiente que integra.

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Esse autor ainda destaca que o ambiente educacional tem impacto na construção do conhecimento dos alunos, o que, consequentemente, denota a importância e a atenção que deve receber, com o propósito de aprimorá-lo e de aperfeiçoar o processo educacional. Um ambiente educacional é composto basicamente de dois elementos: um de natureza material (mobiliário, iluminação, espaço físico etc.) e outro de caráter afetivo (respeito, segurança, entre outros). É necessário enfatizar que parte importante dos componentes do ambiente educacional é aquela relativa ao ambiente físico em que se dá o aprendizado, ou às condições materiais que cercam o ensino e a aprendizagem. Um Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) pode ser considerado um ambiente educacional que consiste em um espaço munido de material para que professor e alunos desenvolvam seus trabalhos de ensinar e aprender Matemática. O LEM pode potencializar o trabalho desenvolvido em sala de aula, evitando que o professor precise deslocar grande quantidade de material de um local para outro. Esse espaço pode ser uma sala, um armário ou outro local dentro da escola destinado a armazenar o material construído pelos próprios alunos em conjunto com o professor, material industrializado, livros e revistas que apresentam temas matemáticos, livros didáticos e paradidáticos, jogos, peças que representam sólidos geométricos, instrumentos de medida, calculadoras, computadores, lousa digital, televisor, pôsteres, cartolinas, papéis sulfite, tesouras, entre outros. Segundo Lorenzato (2006, p. 7), [...] o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço para facilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar, experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender.

Um laboratório com essas características pode ser estruturado por meio do trabalho conjunto entre professores das diferentes disciplinas e turmas, diretor e outros responsáveis da escola, além da colaboração dos alunos. Essas ações permitem estabelecer relações entre as disciplinas.

OUTROS AMBIENTES PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA A sala de aula é um espaço físico considerado um ambiente convencional de ensino e de aprendizagem. Todavia, não é o único espaço em que a construção do conhecimento pode ocorrer. De acordo com D’Ambrosio (2005, p. 22), o [...] cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios à sua cultura.

Nesse sentido, os espaços extraescolares, considerados ambientes não convencionais de ensino, podem promover a construção de conhecimentos e os desenvolvimentos cognitivo e comportamental. Por exemplo, ao propor uma visita a um supermercado, conhecimentos matemáticos podem ser construídos ou evidenciados na comparação de preços de mercadorias de diferentes marcas, na escolha de um produto, levando em consideração a quantidade de unidades e de massa ou o prazo de validade, entre outros aspectos. Além de promover a aprendizagem de conteúdos matemáticos, pode-se desenvolver a formação de um consumidor consciente: “Preciso comprar esse produto? Vou consumir o produto dentro do prazo de validade? Estou precisando dessa mercadoria?”. Museus, parques recreativos, jardins botânicos, zoológicos, unidades de conservação, feiras, exposições e planetários são exemplos de espaços não convencionais que também podem ser empregados para o desenvolvimento de atividades de educação formal.

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Para Xavier e Fernandes (2011, p. 226), [...] no espaço não convencional da aula, a relação de ensino e aprendizagem não precisa necessariamente ser entre professor e aluno(s), mas entre sujeitos que interagem. Assim, a interatividade pode ser também entre sujeito e objetos concretos ou abstratos, com os quais ele lida em seu cotidiano, resultando dessa relação o conhecimento.

Podemos considerar que os fazeres do cotidiano envolvem ideias matemáticas, e essas ideias podem não ser apreendidas na escola, mas no ambiente familiar, e recebidas de amigos, colegas e familiares. De forma geral, a utilização de ambientes não convencionais para o ensino e a aprendizagem é uma prática pouco explorada na educação formal. O professor interessado em utilizar um espaço não convencional deve fazer um planejamento para evidenciar a compreensão das funções, do funcionamento e das potencialidades desse espaço para a educação formal. Além disso, precisa considerar as limitações do espaço escolhido e solicitar à escola e aos pais ou responsáveis uma autorização em caso de necessidade de saída dos alunos do ambiente escolar. Algumas escolas mantêm projetos dentro da própria instituição, em espaços como laboratórios, ateliês, auditórios, bibliotecas, salas de vídeos, oficinas, hortas, jardins, entre outras dependências usadas para o desenvolvimento das aulas. Essa iniciativa promove uma ampliação do contexto escolar que ultrapassa as paredes da sala de aula e, em alguns casos, extrapola os limites da escola. Existem casos em que se articulam conceitos de empreendedorismo com os alunos, construindo modelos de estabelecimentos comerciais, por exemplo. Existe uma variedade de espaços não convencionais em diferentes contextos, que exibem alguma relação direta ou indireta com os conteúdos das disciplinas escolares e, em especial, com conteúdos matemáticos.

APRENDIZAGEM MATEMÁTICA A Matemática no contexto escolar é, muitas vezes, uma disciplina temida e considerada pouco importante para grande parte de alunos que não veem relação entre o que aprendem e o mundo fora dos muros da escola. Quando a abordagem é feita de forma exclusivamente tradicional, a Matemática escolar tende a afastar os alunos e precisa ser “reinventada” para propiciar um ensino e uma aprendizagem significativa, criativa, prática e contextualizada de acordo com a realidade social e cultural do aluno. Segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1980), para a ocorrência de aprendizagem significativa, por exemplo, além de considerar os conhecimentos prévios dos alunos, é necessária a existência de uma predisposição positiva deles para aprender e materiais de ensino potencialmente significativos. Ao distinguir a aprendizagem significativa de outras aprendizagens, esses autores afirmam que [...] a aprendizagem significativa ocorre quando a tarefa de aprendizagem implica relacionar, de forma não arbitrária e substantiva (não literal), uma nova informação a outras com as quais o aluno já esteja familiarizado, e quando o aluno adota uma estratégia correspondente para assim proceder. A aprendizagem automática, por sua vez, ocorre se a tarefa consistir de associações puramente arbitrárias, como na associação de pares, quebra-cabeça, labirinto, ou aprendizagem de séries e quando falta ao aluno o conhecimento prévio relevante necessário para tornar a tarefa potencialmente significativa, e também (independente do potencial significativo contido na tarefa) se o aluno adota uma estratégia apenas para internalizá-la de uma forma arbitrária, literal (por exemplo, como uma série arbitrária de palavras). (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p. 23)

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A disposição dos alunos para aprender não depende somente de sua estrutura cognitiva, mas também de motivação e materiais disponíveis no ambiente educacional. Os recursos materiais correspondem ao espaço físico que circunda os alunos e aos materiais dos quais fazem uso durante a realização das atividades. Os recursos de caráter afetivo dizem respeito às relações estabelecidas entre os alunos e entre aluno e professor. Situações que envolvem o cotidiano dos alunos tendem a motivá-los para o estudo dos conteúdos matemáticos e podem constituir elementos motivacionais em sua predisposição para aprender. Ambientes educacionais diferenciados, como o LEM, também podem estimular a motivação, mas sua ausência não pode limitar o trabalho do professor e tampouco inviabilizar o processo de aprendizagem. Ainda que a aprendizagem não seja um ato que se possa compartilhar, pois é algo individual, o trabalho em grupo favorece as interações e a negociação dos significados atribuídos aos objetos matemáticos durante a atividade. O uso de computadores, telefones celulares e tablets com fins pedagógicos, nesse nível de escolaridade, pode ser uma ação social de caráter motivacional que promove a interação entre os pares, estimula a elaboração de estratégias e de formas de representação por meio de expressões textual, gráfica e oral. As atividades matemáticas que trabalham com construções preestabelecidas podem ser consideradas situações que privilegiam a resolução de problemas. As habilidades e competências cognitivas e sociais desenvolvidas com esse tipo de atividade passam a fazer parte da estrutura mental dos alunos, que podem ser generalizadas em outras situações. O ensino de Matemática precisa despertar nos alunos o prazer de aprender matemática, e os conceitos matemáticos devem ser compreendidos como elementos que contribuirão para a vida social dos alunos. Tais conceitos, em algumas situações, podem ser desenvolvidos por meio de atividades lúdicas e desafiadoras, que favoreçam o raciocínio, a reflexão e o pensamento lógico. O professor conta com diferentes recursos para auxiliá-lo em seu trabalho, entre eles o livro didático. Esta coleção busca valorizar os conhecimentos prévios dos alunos, o trabalho em grupo, dentre outros recursos que ajudarão o professor em sala de aula.

OS ALUNOS NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, os alunos manifestam grande curiosidade e desejo de compreender o mundo à sua volta. Quando o professor se propõe a observar e ouvir, os alunos podem evidenciar suas explicações sobre os acontecimentos e os fenômenos do cotidiano. Para tanto, é necessário despertar o espírito investigativo e a curiosidade dos alunos, incentivando o levantamento de hipóteses, procurando conhecer suas explicações dos fenômenos cotidianos, propiciando o confronto de ideias para poder construir de forma gradativa os conceitos e procedimentos matemáticos. É importante promover uma ação pedagógica por meio de uma abordagem que favoreça a articulação dos conhecimentos de diversas áreas entre si e o contexto dos alunos, sempre considerando a cultura digital, que nos últimos anos tem promovido significativas alterações sociais nas relações humanas como um todo. [...] Em decorrência do avanço e da multiplicação das tecnologias de informação e comunicação e do crescente acesso a elas pela maior disponibilidade de computadores, telefones celulares, tablets e afins, os estudantes estão dinamicamente inseridos nessa cultura, não somente como consumidores. Os jovens têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multimidiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de modo cada vez mais ágil. (BRASIL, 2017, p. 59)

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Nesta coleção, além das situações que permeiam toda a obra, são propostas seções específicas que buscam estimular o trabalho com elementos da cultura digital. Na seção Você conectado, são apresentados exemplos que exploram conceitos matemáticos utilizando o software GeoGebra ou a planilha eletrônica Calc; em seguida, são propostas atividades para que os alunos realizem na prática. O boxe Conexões sugere aos alunos sites e livros que possibilitam articular o tema em estudo a algum elemento externo do livro.

A LEITURA E A ESCRITA NAS AULAS DE MATEMÁTICA A comunicação é essencial para a interação social, e o processo de apropriação da linguagem é fundamental para o desenvolvimento humano. É por meio da interação e da mediação que compartilhamos ideias e conhecimentos. Cabe ressaltar que a comunicação não se limita ao uso da fala, mas envolve também escrita, gestos, símbolos, expressões corporais e pictóricas, entre outros. O professor mediador deve, de acordo com a faixa etária, considerando o conhecimento prévio e respeitando o ritmo e perfil cognitivo, colocar seus alunos diante de situações que propiciem o desenvolvimento da percepção, atenção, memória, do raciocínio, da fala, por exemplo, e o desenvolvimento das funções mais complexas como a leitura e a escrita, os raciocínios lógico e dedutivo, a elaboração de estratégias, entre outras. A leitura, a escrita e a fala são meios pelos quais os conhecimentos são construídos. Essas competências são desenvolvidas principalmente no contexto escolar e não devem ser priorizadas somente na disciplina de Língua Portuguesa, mas também em outras, incluindo a Matemática. A decodificação de letras é uma das várias habilidades da competência leitora. Quando um aluno lê um texto, o enunciado de um problema, por exemplo, deve ser capaz de monitorar e avaliar a compreensão do que está lendo para conseguir interpretá-lo. Nesta coleção, existem momentos destinados à leitura de diferentes gêneros textuais, com destaque para as atividades identificadas com o ícone Você leitor. Ao responder a uma questão de forma escrita, ao elaborar um problema, ao redigir um relatório para comunicar dados expressos em tabelas e gráficos estatísticos ou ao registrar o desenvolvimento de um problema e sua solução, os alunos precisam ter competência para organizar o conjunto de estratégias que explicitaram em seu plano de ação e escrever de maneira coerente o que planejaram. Esta coleção estimula, em diversos momentos, com destaque para as atividades identificadas com o ícone Você escritor, a expressão oral e escrita dos alunos em situações variadas. Nas aulas de Matemática, os alunos devem usar a fala, a escrita, a leitura, os gestos e outros recursos para se comunicar matematicamente, uma vez que a representação dos objetos matemáticos, em diferentes domínios de expressão, constitui um instrumento para o desenvolvimento cognitivo.

O CÁLCULO MENTAL Alguns autores consideram que o cálculo mental é aquele feito “de cabeça”, sem uso de registros escritos; outros, porém, divergem dessa concepção e defendem o uso de papel para que cálculos auxiliares sejam efetivados. De qualquer forma, ao realizar um cálculo mental são mobilizadas estratégias que permitem rapidez e eficiência na obtenção da resposta. Essas estratégias desenvolvem nos alunos qualidades de ordem, lógica, reflexão e memória. Isso contribui para o desenvolvimento cognitivo e fornece ferramentas que possibilitam efetuar cálculos simples no cotidiano.

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Por meio do cálculo mental, é possível trabalhar de maneira simultânea a memória e a concentração. Segundo Buys (2001), o cálculo mental permite aos alunos calcular livremente, sem restrições, desenvolvendo novas estratégias de cálculo ou o uso de números de referência e estratégias que já possuem. Para esse autor, há três características presentes no cálculo mental: operar com números e não com dígitos; usar propriedades elementares das operações e relações numéricas; e permitir o recurso a registros auxiliares em papel. Com as aulas de Matemática previamente planejadas, o professor pode apresentar diversas estratégias para a realização de cálculos mentais, possibilitando aos alunos a escolha das estratégias que julgarem mais simples ou mais adequadas para determinadas situações. Nesta coleção, são propostas diversas atividades a serem realizadas por meio do cálculo mental, identificadas com um ícone próprio. Essas atividades, em geral, apresentam diferentes estratégias de cálculo, ampliando o repertório dos alunos. Todavia, é importante deixá-los criar e expressar as próprias estratégias, que podem ser compartilhadas com os colegas.

RELAÇÕES COM OUTROS COMPONENTES CURRICULARES A Matemática escolar é uma disciplina desafiadora, tanto para os alunos quanto para os professores. Observando os contextos social e tecnológico, pode-se identificar o descompasso que há entre esses contextos e o sistema educacional. Junto das críticas ao modelo escolar, desconfigurado e engessado, temos, por um lado, a Matemática como uma disciplina compartimentalizada, enquanto do outro lado temos uma sociedade hight tech que a desafia e exige inovações. Estabelecer relações entre conceitos e ideias próprias da Matemática e de outros componentes curriculares, com o propósito de superar a fragmentação dos saberes, possibilita abordar uma situação-problema sob diferentes perspectivas. Os conhecimentos, de maneira geral, devem dialogar entre si. Por exemplo, ao estudar os números, percebemos que a concepção que temos hoje é resultado de um processo sócio-histórico. Explorar esse tema pode favorecer a relação entre a Matemática e a História que, quando trabalhada a partir de uma proposta de ensino integrada, possibilita aos alunos compreenderem a importância do uso de um sistema de numeração. Durante as aulas de Matemática, algumas situações podem ser aproveitadas para o professor estabelecer relações com outras disciplinas. Uma pergunta feita por um aluno durante o desenvolvimento de um conteúdo matemático, por exemplo, pode ter potencial para desencadear abordagens de conteúdos de outras áreas do conhecimento. De maneira geral, os professores dos anos finais do Ensino Fundamental são especialistas em suas áreas. Com isso, é importante a prática de atividades integradoras entre eles, como o planejamento das aulas e a proposta de projetos, buscando correlacionar os conceitos tratados nos diferentes componentes curriculares. Para Tomaz e David (2008), os professores dos diversos componentes curriculares podem conversar para levantar aspectos comuns de sua prática e compará-los com os de outro professor que trabalha com os mesmos alunos, a fim de encontrar alternativas para potencializar as oportunidades de interdisciplinaridade em sala de aula, tornando essa prática mais usual. Nesta coleção, procurou-se estabelecer relações entre a Matemática e diversas outras áreas do conhecimento no decorrer das propostas de atividades. Cabe destacar a seção Integrando com..., na qual conceitos matemáticos e de outros componentes curriculares se articulam para possibilitar a investigação de situações oriundas do cotidiano ou do campo científico.

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TRABALHO COM PROJETOS No âmbito escolar, podemos entender projeto como uma atividade desenvolvida por um grupo de pessoas da comunidade escolar. Tal atividade, orientada de acordo com um objetivo comum e que estabelece relações com ações mobilizadas para a formação do cidadão, demanda certo tempo para ser concluída. Para isso, é importante que a comunidade envolvida no desenvolvimento do projeto se organize de maneira a planejá-lo, considerando o início e a conclusão. Nesse sentido, o desenvolvimento de um projeto pode ter as seguintes etapas: organização, planejamento, execução e finalização. Como uma atividade desenvolvida no âmbito educacional, o projeto precisa ser avaliado. Para isso, orienta-se que a avaliação seja realizada durante o desenvolvimento, analisando se cada etapa está de acordo com os objetivos propostos e como a ação de cada participante tem colaborado com a atividade. Ao se desenvolver um projeto, é possível estabelecer diálogos entre as pessoas, promovendo a troca de ideias. Isso viabiliza articulações entre conhecimentos de diferentes áreas, possibilitando aos alunos que realizem um processo investigativo para observar e analisar o mundo à sua volta, assumindo, assim, a postura de cidadãos críticos e atuantes. Os professores de diferentes componentes curriculares precisam interagir, de modo que sua atuação conjunta seja capaz de conduzir os interesses dos participantes do projeto, bem como articular os conteúdos a serem abordados, possibilitando a construção do conhecimento e do desenvolvimento da atitude crítica dos alunos.

ORIENTAÇÕES PARA AVALIAÇÃO Avaliar é uma ação que consiste em atribuir valor a algo. Provém do latim, valere, e pode ocorrer de maneira formal ou informal nas salas de aula. A avaliação, no contexto escolar, refere-se à atribuição de um valor para o rendimento escolar. Ao se referir ao processo de aprendizagem, não se pode reduzir a avaliação a um momento único no qual esse “valor” é atribuído. Ele deve ser tratado como um processo realizado de forma contínua e prolongada. Segundo pesquisadores como Hadji (1994), o objetivo da avaliação escolar é o de contribuir para a aprendizagem, tanto dos alunos quanto do professor. Com esse objetivo, a avaliação oferece ao professor informações sobre o processo de aprendizagem dos alunos e sua conduta de ensino em sala de aula. Aos alunos, a avaliação possibilita uma análise sobre sua própria aprendizagem, por permitir coletar informações sobre o percurso, êxitos e dificuldades apresentadas. Tradicionalmente a avaliação escolar se dá a partir da utilização de um ou mais instrumentos, entre os quais se destacam as provas escritas, que são aplicadas geralmente no final de um período escolar. Nessa perspectiva, uma das principais funções da avaliação é certificar por meio de notas ou conceitos, o que supostamente permite verificar se o aluno domina as competências e capacidades que faziam parte do objeto de ensino (HADJI, 1994). Há, nessa perspectiva, uma supervalorização de aspectos quantitativos no processo avaliativo. Além da função de certificar, cabe à avaliação regular a aprendizagem, de modo a contribuir com esse processo. Para Hadji (1994), uma avaliação cujos resultados possam ser utilizados pelo professor e pelos alunos para a tomada de decisão deve ter em vista que a aprendizagem dos alunos é considerada formativa e é realizada com o propósito de diagnosticar possíveis falhas nos processos de ensino e de aprendizagem. Nessa perspectiva, há maior valorização de aspectos qualitativos no processo avaliativo do que quantitativos.

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Concordamos com D’Ambrosio (2005, p. 78) quando o autor afirma que a [...] avaliação deve ser uma orientação para o professor na condução de sua prática docente e jamais um instrumento para reprovar ou reter alunos na construção de seus esquemas de conhecimento teórico e prático. Selecionar, classificar, filtrar, reprovar e aprovar indivíduos para isto ou aquilo não são missão de educador. Outros setores da sociedade devem se encarregar disso.

A avaliação em sala de aula em geral é condizente com a forma como as aulas ocorrem. Se a dinâmica da aula privilegia a repetição de exercícios, a execução de algoritmos, e esse é o processo de ensino que precisa ser aprimorado, naturalmente a avaliação, mesmo quando realizada na perspectiva da avaliação formativa, busca verificar os erros dos alunos na tentativa de eliminá-los. Ao verificar um erro, em geral pede-se aos alunos que realizem a atividade novamente, e novamente... e novamente, até responderem de maneira considerada correta. Desse modo, os erros são carregados de aspectos negativos, o que faz com que os alunos se sintam punidos ao cometê-los. Por outro lado, se a dinâmica da aula privilegia a investigação, a ação dos alunos ante tarefas que devem ser executadas, a avaliação pode compreender todos os processos que ocorrem durante a aula. De todo modo, a avaliação pode ser subsidiada por diferentes recursos – os instrumentos de avaliação. Estes devem fornecer ao professor informações – quanto à capacidade dos alunos para resolver situações-problema, saber utilizar a linguagem matemática, lidar com instrumentos de construção, utilizar-se de raciocínio matemático, comunicar-se por meio oral – para que possa inferir aspectos da aprendizagem e do raciocínio matemático.

ESTRATÉGIAS DE AVALIAÇÃO Concordamos com a conceitualização de Sacristán (1998, p. 298) que afirma que a avaliação pode ser entendida como: [...] qualquer processo por meio do qual alguma ou várias características de um aluno/a, de um grupo de estudantes, de um ambiente educativo, de objetivos educativos, de materiais, professores/as, programas, etc., recebem a atenção de quem avalia, analisam-se e valorizam-se suas características e condições em função de alguns critérios ou pontos de referência para emitir um julgamento que seja relevante para a educação.

Para esse autor, fica evidente que a avaliação tem, como um de seus propósitos, contribuir para os processos de ensino e de aprendizagem na escola. Nessa direção, de acordo com Hadji (1994), o papel da avaliação é compreender a situação dos alunos, de modo a regular os processos de ensino e de aprendizagem. Quando realizada sob esse aspecto, Hadji (1994) considera que esse tipo de avaliação é formativa. O autor atribui, também, outro propósito para a avaliação, o de inventário, ou seja, de certificar, atestar a aquisição de determinado conhecimento. Nesse caso, tem-se que a avaliação é somativa. O terceiro propósito apresentado por Hadji (1994) é o prognóstico, em que a avaliação tem por objetivo orientar os alunos em suas escolhas, informá-los sobre suas aptidões e capacidades. Nesse caso, a avaliação é do tipo diagnóstica. As estratégias de avaliação propostas por Hadji (1994) e que podem ser desenvolvidas por meio de diferentes instrumentos de avaliação valorizam as produções escritas dos alunos. Essas produções escritas revelam, além da execução de algoritmos específicos, o nível de compreensão dos conceitos envolvidos na resolução de um problema, pois, quando um aluno deve escrever um texto a respeito de problemas resolvidos por ele, esse texto deve ser o mais claro possível, deve convencer e esclarecer o leitor a respeito dos procedimentos utilizados na resolução, bem como das ideias matemáticas nela contidas.

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Ponte et al. (1997) afirmam que as produções escritas de alunos possuem um grande valor formativo, contribuindo para o desenvolvimento da autonomia e da reflexão desses alunos em relação à sua própria aprendizagem. Tais produções podem ser elaboradas individualmente ou em grupo, podendo ter diferentes formas. Por exemplo, pode-se solicitar aos alunos que comentem e expliquem a resolução de um problema ou um texto, bem como descrevam e analisem os resultados de alguma atividade de investigação da qual participaram. Assim, as produções escritas são, além de fator de aprendizagem, elementos importantes para a avaliação.

TRABALHANDO COM O ERRO No contexto educacional, no âmbito da avaliação da aprendizagem, o erro deve ser entendido como uma possibilidade de “enxergar” como os alunos lidam com uma questão ou um conteúdo matemático. Essa possibilidade pode orientar o trabalho do professor em sala de aula, além de servir de base para seu planejamento. Cabe ao professor parar e analisar os procedimentos que levaram os alunos a errar. Santos e Buriasco (2008) consideram essa abordagem como “maneiras de lidar”. Esses autores defendem que cada aluno apresenta um modo de lidar com o conhecimento matemático. Os diferentes modos [...] devem ser tomados como ponto de partida para construir um espaço de negociação e legitimação dos significados atribuídos a tais conhecimentos. Assim, as maneiras de lidar que são diferentes das consideradas corretas apresentam-se a favor da aprendizagem dos alunos, permitindo aos professores oportunidades de leitura do modo como os alunos pensam sobre um determinado conteúdo. A partir dessa leitura, eles podem planejar suas ações para promover a aprendizagem, as atividades e as discussões a serem estabelecidas com os alunos. Consequentemente, os professores podem deixar de “mostrar os caminhos” e passar a indagar sobre os caminhos que os alunos estão construindo, provocando momentos de instabilidade, reflexão e confirmação nos quais aconteçam suas aprendizagens. (SANTOS; BURIASCO, 2008, p. 105)

Recomenda-se ao professor afastar o paradigma de que o erro consiste em algo negativo, em que a falta é relacionada à ausência de conhecimento. O erro precisa ser trabalhado em sala de aula com o objetivo de ser transposto, de forma que os alunos avancem na aprendizagem de conteúdos matemáticos.

ALGUNS INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO Como aprender é um processo diferente entre as pessoas, é necessário adotar práticas avaliativas em que o foco seja ter indícios de ocorrência de aprendizagem por meio das informações obtidas. Nesse sentido, diferentes instrumentos de avaliação devem ser implementados nas aulas, em especial nas aulas de Matemática. Em muitos casos, a informação obtida por meio de um instrumento acaba por completar ou esclarecer uma informação que já fora obtida por outro. Entretanto é preciso se ter claro que um instrumento, muitas vezes, prioriza certos aspectos sobre outros. Por isso é importante saber o que cada instrumento é capaz de revelar, que informações é possível recolher com ele e que limitações ele possui. (SANTOS, 2008, p. 18)

Nesta coleção, a seção O que estudei possibilita tanto ao professor quanto ao aluno identificar a necessidade de retomar algum conteúdo, estabelecendo-se como um instrumento avaliativo.

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Na sequência, apresentamos de forma sucinta alguns instrumentos de avaliação que julgamos pertinentes às aulas de Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental: prova escrita e prova escrita em fases, prova-escrita-com-cola, trabalho em grupo, seminário, portfólio e autoavaliação. No entanto, o professor pode ser criativo e investir em outros instrumentos que deem suporte para investigar indícios de aprendizagem dos alunos.

Prova escrita e prova escrita em fases A prova escrita é um instrumento de avaliação que tem o objetivo de estabelecer uma comunicação que permite ao professor fazer uma análise da competência escritora do aluno. Na elaboração de uma prova escrita, o professor deve utilizar diferentes situações que promovam o uso de variadas representações e estratégias, além de estabelecer critérios de correção, considerando os “percursos” que os alunos podem utilizar. Para tanto, é necessário que os procedimentos sejam listados e pontuados, revendo-os sempre que preciso, antes ou durante a correção. A correção deve ser pautada nos procedimentos utilizados pelos alunos para obter a solução. Um professor atento aos indícios de aprendizagem não deve considerar somente a solução final apresentada. Combinando as vantagens da prova escrita com outras tarefas, De Lange (1999) propôs a prova escrita em duas fases. De forma geral, esse instrumento segue os mesmos pressupostos da prova escrita usual, diferenciando no modo como os alunos são solicitados a resolvê-la – em dois momentos, ou duas fases. Na primeira fase, os alunos respondem, em um tempo limitado, questões discursivas que abordam conhecimentos que deveriam ter aprendido, sem indicações do professor. A prova é recolhida e corrigida pelo professor, que deve inserir comentários e/ou questionamentos que permitam estabelecer uma comunicação escrita na qual os alunos possam explicar o que fizeram. Nessa fase o professor não valida as respostas, isto é, não coloca certo ou errado. Os comentários e questionamentos devem exigir reflexão por parte dos alunos. Na segunda fase, os alunos recebem a prova novamente e a resolvem considerando os comentários e/ou questionamentos inseridos. Eles têm a oportunidade de fazer uma complementação do que não foi feito na primeira fase, reelaborando sua solução ou mesmo resolvendo a questão pela primeira vez. Essa fase é realizada em casa, no momento em que o aluno julgar conveniente e sem tempo limitado para a resolução. Após o período combinado entre as partes, a prova é devolvida ao professor para que ele faça uma nova correção. Se o professor julgar necessário, podem ser feitas adaptações de acordo com a realidade de sua turma e outras fases podem ser implementadas. Com isso, prolonga-se o processo de avaliação de forma que o professor analise se o objetivo da aprendizagem foi alcançado.

Prova-escrita-com-cola Usualmente o ato de colar é visto como um dos problemas escolares que permeiam os mais diversos níveis de ensino, podendo ser entendido como desvio de conduta para tirar proveito ou um meio de corrupção. Esse ato “está associado à atitude de trazer para o momento da avaliação informações que não correspondem ao conhecimento já construído [...], trata-se de conceber a cola como uma forma de pesquisa ilícita” (ZANON; ALTHAUS, 2008, p. 24). Diversas situações podem ser consideradas como cola, por exemplo: consultar a prova, trocar de prova ou conversar com um colega no momento da prova, fazer registro em folhas de papel ou até mesmo no próprio corpo, consultar livros, cadernos ou aparelhos eletrônicos, entre outros.

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É inegável que a prova desperta uma forte carga emocional, como ansiedade (capaz de bloquear o desempenho, o pensamento e causar lapso de memória – “o branco”), medo da nota baixa e da reprovação, nervosismo, dúvidas, insegurança, esquecimento etc. Por isso, a cola pode se configurar como um meio de diminuir a ansiedade – se houver esquecimento, ela pode gerar segurança – como uma fuga ao fracasso, uma estratégia de defesa ou uma porta de escape à prova que tem poder de atribuir notas baixas, reprovar e refletir na imagem pessoal. (SOUZA, 2018, p. 19)

Uma maneira de utilizar um dos tipos de cola como recurso para oportunizar a aprendizagem é por meio do instrumento de avaliação prova-escrita-com-cola, que de acordo com Forster (2016) foi nomeado dessa maneira justamente para evidenciar a ideia de que é possível trazer a cola “oficialmente” para a prova. Esse mesmo autor informa que uma prova-escrita-com-cola é basicamente [...] uma prova escrita na qual o aluno tem a sua disposição um pedaço de papel, a cola, em que ele pode anotar as informações que julgar pertinentes para utilizar durante a realização da prova. Para que os alunos façam a cola, é desejável que seja estabelecido um padrão comum a todos. Por exemplo, é preciso definir as dimensões do papel, se o texto da cola deve ser manuscrito ou não, se deve ser feito individualmente ou não. (FORSTER, 2016, p. 27)

Esse tipo de instrumento de avaliação se diferencia de uma prova com consulta, principalmente porque os registros devem estar em um papel com dimensões delimitadas e os próprios alunos devem produzi-los. Segundo Forster (2016), a intenção é que eles utilizem esse instrumento como um meio de estudo, e a limitação do papel pode auxiliar nesse sentido, pois é necessário estudar o assunto para ter condições de recolher as informações mais relevantes para inserir na cola. Numa perspectiva subversiva, ela [cola] torna-se um recurso à aprendizagem, um meio de estudo e pesquisa. Demanda estudo prévio, escolhas (porque o espaço é limitado), análise, produção pessoal e reflexão. Torna-se a única fonte permitida de ser consultada no momento da realização da prova e elaborada pelo próprio estudante. Sua permissão evita a exclusiva memorização dos conteúdos. A natureza do instrumento de avaliação altera a essência da cola porque permite ao aluno dialogar por escrito com o professor, personalizando a prova, e com seus colegas fora da sala de aula, possibilitando trocas e aprendizagem. (SOUZA, 2018, p. 111)

Trabalho em grupo O trabalho em grupo tem como objetivo a troca de ideias entre os alunos, o que possibilita o desenvolvimento da colaboração, da cooperação, da comunicação e da argumentação. Cohen e Lotan (2017, p. 1) definem trabalho em grupo como “[...] alunos trabalhando juntos em grupos pequenos de modo que todos possam participar de uma atividade com tarefas claramente atribuídas”. O professor, além de explicar aos alunos suas ações como solucionadores de um problema, deve explicitar aspectos a serem considerados, tais como: os objetivos do trabalho e os critérios de avaliação. O trabalho em grupo não pode ser entendido pelos alunos como a junção das carteiras e cada um realizando sua atividade individualmente. “Trabalho em grupo não é a mesma coisa que agrupamento por habilidade, no qual o professor divide a sala por critério acadêmico para que possa ensinar para grupos mais homogêneos” (COHEN; LOTAN, 2017, p. 1-2).

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Para estimular a participação dos integrantes dos grupos, o professor pode entregar uma única folha com a atividade proposta, solicitar que organizem as ideias em conjunto e as escrevam em uma folha, circular entre os diferentes grupos de forma a perceber o que está sendo discutido e tendo cuidado para não dar a resposta quando sua ajuda for solicitada. Uma maneira de auxiliar na avaliação dos argumentos é pedir aos alunos que anotem o que considerarem relevante e que foi discutido entre eles.

Seminário Seminário é uma apresentação oral de um tema ou o desenvolvimento de um problema que tem como objetivo trabalhar a comunicação e a argumentação, pois geralmente ocorrem debates a respeito do assunto abordado. A proposta de seminário pode ser feita pelo professor com antecedência para que os alunos organizem o material a ser apresentado, façam anotações e ordenem as ideias por meio de textos, esquemas, cartazes, maquetes ou recursos tecnológicos, como slides digitais. A avaliação pode ser orientada por meio de uma ficha avaliativa na qual o professor considera, entre outros elementos, a organização do material, o uso do conhecimento matemático, a adequação da linguagem utilizada na comunicação e a argumentação.

Portfólio Portfólio pode ser entendido como uma coleção significativa, sistemática e organizada de atividades que os alunos desenvolveram em certa área ao longo de um período e evidenciem o nível de sua aprendizagem, incluindo suas reflexões sobre elas (BURIASCO; GOMES, 2004). Autores de textos de avaliação recomendam que as avaliações sejam significativas para que elas proporcionem, oportunidades de aprendizagem, melhorem o desempenho e permitam refletir sobre o próprio trabalho. O portfólio atende a este requisito porque inclui diversos tipos de atividades desenvolvidas pelos alunos e acima de tudo, porque elaboram autorreflexões relativas a essas atividades, focalizando, assim, seus processos de aprendizagem. (BURIASCO; GOMES, 2004, p. 6-7)

O professor pode utilizar o portfólio como um instrumento de avaliação ao considerá-lo por completo (produto final) ou, ainda, como um recurso de avaliação ao considerar todo o processo de sua elaboração, acompanhando e discutindo as atividades (SÁ-CHAVES, 2000). Quando o professor sugere a organização de um portfólio deve esclarecer os objetivos e orientar como ele deve ser estruturado. Um portfólio deve ser composto de vários itens que podem variar de acordo com a disciplina e as finalidades do professor. De forma geral, um portfólio deve incluir uma introdução, na qual se justifica a escolha das atividades, a descrição de cada atividade, a avaliação dos trabalhos e a projeção posterior com base nas atividades que foram selecionadas. As atividades que compõem o portfólio devem ser organizadas em uma pasta, por exemplo, e podem ser escolhidas pelo professor ou pelos alunos. De forma geral, são os alunos os responsáveis por escolher as atividades que refletem sua aprendizagem. Essas atividades, para Buriasco e Gomes (2004, p. 7), “[...] asseguram com mais clareza as intenções do ensino e representa adequadamente o conteúdo e habilidades que se desejam dos alunos”.

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Por fim, a avaliação do portfólio pode ser realizada por um avaliador externo, pelo professor ou mesmo pelos alunos.

Autoavaliação De acordo com Haydt (1995, p. 147), a autoavaliação é “[...] uma forma de apreciação normalmente usada quando nos dedicamos a atividades significativas, decorrentes de um comportamento intencional”. Assim, para realizar uma autoavaliação escolar os alunos precisam analisar e interpretar seus conhecimentos, o que lhes permite refletir de maneira crítica sobre o que fizeram ou deixaram de fazer na construção desses conhecimentos. A autoavaliação é um instrumento que possibilita aos alunos analisar e refletir sobre o que estudaram e como fizeram isso. Essa mesma autora afirma que, ao se autoavaliar, o aluno participa de forma mais ampla e ativa de sua aprendizagem. Isso ocorre “[...] porque ele tem oportunidade de analisar seu processo nos estudos (o quanto rendeu e quanto poderia ter rendido), bem como suas atitudes e comportamentos frente ao professor e aos colegas” (HAYDT, 1995, p. 147-148). Uma autoavaliação pode ser constituída de perguntas, respondidas de forma oral ou escrita, que possibilitam aos alunos realizar uma interpretação pessoal sobre o percurso de sua aprendizagem, tendo consciência de suas dificuldades e limitações. Por meio dessa tomada de consciência, eles podem rever seu processo de estudo, além de auxiliar o professor no planejamento de suas intervenções em sala de aula. O professor pode realizar a autoavaliação ao longo do ano por meio de questionários ou fichas. Dependendo do objetivo, pode ser realizada antes do início do estudo de um conteúdo ou ao final. Quando realizada no início, o que se autoavalia são os conhecimentos prévios. Quando realizada ao final do estudo de um conteúdo, permite aos alunos que trilhem a construção do conhecimento e reflitam sobre possíveis equívocos pelos quais passaram. Deve-se evitar entregar uma extensa ficha com perguntas que os alunos necessitam responder, pois a autoavaliação caracteriza-se como um momento de reflexão e não pode se tornar algo exaustivo. De forma geral, devem ser propostas perguntas específicas e objetivas. Em uma ficha de autoavaliação podem ser fornecidas algumas respostas-padrão para os alunos assinalarem, como: “sim”, “não” e “às vezes”. Entre os diferentes elementos presentes em uma autoavaliação, podem ser privilegiados aspectos procedimentais, de conteúdo, de convivência social, de conduta dos alunos, entre outros. Nesse sentido, a seção O que estudei, organizada ao final de cada Unidade da coleção, constitui um instrumento de autoavaliação.

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SUGESTÕES DE LEITURA E DE ACESSO À (IN)FORMAÇÃO DO PROFESSOR Apresentamos aqui algumas sugestões de instituições, revistas, sites e livros que podem contribuir com a formação continuada do professor e, por consequência, fomentar o processo de ensino e aprendizagem. Contudo, cabe destacar que diversas outras sugestões são realizadas ao longo deste Manual do professor, inclusive de documentos oficiais que norteiam a produção desta coleção e que julgamos importante consultar e estudar.

MATERIAL DE ESTUDO PARA A FORMAÇÃO CONTINUADA DO PROFESSOR ACADEMIA DE CIÊNCIAS DO ESTADO DE SÃO PAULO (ACIESP). São Paulo, 2018. Disponível em: <www.acadciencias.org.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. ASSOCIAÇÃO NACIONAL DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM EDUCAÇÃO (ANPEd). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.anped.org.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. ASSOCIAÇÃO NACIONAL DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA (ANPMat). 2018. Disponível em: <http://anpmat.sbm.org.br>. Acesso em: 11 jul. 2018. CENTRO DE APERFEIÇOAMENTO DO ENSINO DE MATEMÁTICA “JOÃO AFFONSO PASCARELLI” (CAEM). São Paulo, 2018. Disponível em: <www.ime.usp.br/caem/>. Acesso em: 11 jul. 2018. CENTRO DE ESTUDOS MEMÓRIA E PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (CEMPEM). Campinas, 2018. Disponível em: <www.cempem.fe.unicamp.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO (CNPq). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.cnpq.br>. Acesso em: 11 jul. 2018. COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL SUPERIOR (Capes). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.capes.gov.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. FENOMENOLOGIA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (FEM). São Paulo, 2018. Disponível em: <http://fem.sepq.org.br>. Acesso em: 11 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS CONTEMPORÂNEOS E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GECEM). Florianópolis, 2018. Disponível em: <http://gecem.ufsc.br/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS DE INFORMÁTICA APLICADA À APRENDIZAGEM MATEMÁTICA (GEIAAM). Florianópolis, 2018. Disponível em: <http://mtm.ufsc.br/geiaam/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM ETNOMATEMÁTICA (GEPEm). São Paulo, 2018. Disponível em: <www2.fe.usp.br/~etnomat/>. Acesso em: 11 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS DAS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GEPETICEM). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.gepeticem.ufrrj.br/portal/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE PESQUISA EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E/OU SUAS RELAÇÕES COM A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GPHM). Rio Claro, 2018. Disponível em: <https://sites.google. com/site/gphmat/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE PESQUISA EM INFORMÁTICA, OUTRAS MÍDIAS E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GPIMEM). Rio Claro, 2018. Disponível em: <http://igce.rc.unesp.br/#!/gpimem>. Acesso em: 14 jul. 2018.

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GRUPO DE PESQUISA EM PROCESSO DE FORMAÇÃO E TRABALHO DOCENTE DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA (GFP). Rio Claro, 2018. Disponível em: <www.rc.unesp. br/igce/pgem/gfp/>. Acesso em: 14 jul. 2018. RUMO À EDUCAÇÃO MATEMÁTICA INCLUSIVA. São Paulo, 2018. Disponível em: <www.matematicainclusiva.net.br>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (SBEM). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.sbembrasil.org.br>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO (SBHE). Uberlândia, 2018. Disponível em: <www.sbhe.org.br/>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA (SBHMat). 2018. Disponível em: <www.sbhmat.org>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA (SBM). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.sbm.org.br/>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL (SBMAC). São Carlos, 2018. Disponível em: <www.sbmac.org.br/>. Acesso em: 14 jul. 2018.

REVISTAS ACTA SCIENTIAE: Revista de Ensino de Ciências e Matemática. Canoas, 2018. Disponível em: <www.periodicos.ulbra.br/index.php/acta/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. BOLEMA: Boletim de Educação Matemática. Rio Claro, 2016. Disponível em: <www. periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/>. Acesso em: 16 jul. 2018. CAMINHOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Aracaju, 2018. Disponível em: <https://aplicacoes.ifs.edu.br/periodicos/index.php/caminhos_da_educacao_matematica>. Acesso em: 16 jul. 2018. C.Q.D.: Revista Eletrônica Paulista de Matemática. Bauru, 2017. Disponível em: <www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/>. Acesso em: 16 jul. 2018. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www. sbem.com.br/revista/index.php/emr>. Acesso em: 16 jul. 2018. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA – RS. Porto Alegre, 2018. Disponível em: <www.sbemrs.org/revista.htm>. Acesso em: 16 jul. 2018. EMP: Educação Matemática Pesquisa. São Paulo, 2018. Disponível em: <https:// revistas.pucsp.br/emp>. Acesso em: 16 jul. 2018. EM TEIA: Revista de Educação Matemática e Tecnológica Iberoamericana. Recife, 2018. Disponível em: <https://periodicos.ufpe.br/revistas/index.php/emteia>. Acesso em: 16 jul. 2018. HIPÁTIA: Revista Brasileira de História, Educação e Matemática. Campos do Jordão, 2017. Disponível em: <http://ojs.ifsp.edu.br/index.php/hipatia%20>. Acesso em: 16 jul. 2018. INVESTIGAÇÕES EM ENSINO DE CIÊNCIAS (Ienci). Porto Alegre, 2018. Disponível em: <www.if.ufrgs.br/cref/ojs/index.php/ienci/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. MATEMÁTICA CONTEMPORÂNEA. Rio de janeiro, 2016. Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://mc.sbm.org.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Blumenau, 2010. Disponível em: <http://proxy.furb.br/ojs/index.php/modelagem/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. NOTICIÁRIO ELETRÔNICO. Rio de Janeiro, 2016. Disponível em: <www.sbm.org.br/ noticiario-eletronico>. Acesso em: 16 jul. 2018. PROFESSOR DE MATEMÁTICA ONLINE (PMO). Rio de Janeiro, 2018. Revista eletrônica da Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://pmo.sbm.org.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018.

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D2-MAT-F2-2049-MP-V8-GERAL-G20.indd 59

11/15/18 1:21 PM

REMATEC: Revista de Matemática, Ensino e Cultura. Natal, 2017. Disponível em: <www.rematec.net.br/index.php/rematec/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. REnCiMa: Revista de Ensino de Ciências e Matemática. São Paulo, 2018. Disponível em: <http://revistapos.cruzeirodosul.edu.br/index.php/rencima>. Acesso em: 16 jul. 2018. RME: Revista Metáfora Educacional. Feira de Santana, 2016. Disponível em: <www. valdeci.bio.br/revista.html>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVEMAT: Revista Eletrônica de Educação Matemática. Florianópolis, 2017. Disponível em: <https://periodicos.ufsc.br/index.php/revemat>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVISTA DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E MATEMÁTICA. Duque de Caxias, 2018. Disponível em: <http://publicacoes.unigranrio.edu.br/index.php/recm>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVISTA EUREKA! Rio de Janeiro, 2016. Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <www.obm.org.br/revista-eureka/>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVISTA MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA. Rio de Janeiro, 2015. Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://rmu.sbm.org.br/index.php>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Campo Mourão, 2018. Disponível em: <www.fecilcam.br/revista/index.php/rpem/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. RPM: Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <http://rpm.org.br/default.aspx?m_id=1>. Acesso em: 16 jul. 2018. ZETETIKÉ: Revista de Educação Matemática. Campinas, 2018. Disponível em: <http:// ojs.fe.unicamp.br/ged/zetetike>. Acesso em: 16 jul. 2018.

SITES BANCO CENTRAL DO BRASIL (BCB). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.bcb. gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. BIBLIOTECA NACIONAL (BN). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.bn.gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. CENTRO DE PREVISÃO DE TEMPO E ESTUDOS CLIMÁTICOS (CPTEC). Cachoeira Paulista, 2018. Disponível em: <www.cptec.inpe.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. CULTURA ACADÊMICA. São Paulo. Disponível em: <www.culturaacademica.com.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. DIRETÓRIO DOS GRUPOS DE PESQUISA NO BRASIL. Brasília, DF. Disponível em: <http:// dgp.cnpq.br/dgp/faces/consulta/consulta_parametrizada.jsf>. Acesso em: 16 jul. 2018. FUNDAÇÃO ABRINQ. São Paulo, 2018. Disponível em: <www.fadc.org.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. FUNDAÇÃO LEMANN. São Paulo, 2018. Disponível em: <www.fundacaolemann.org.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA (IBGE). Rio de Janeiro, 2017. Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO BRASILEIRO DO MEIO AMBIENTE E DOS RECURSOS NATURAIS RENOVÁVEIS (Ibama). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.ibama.gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO DO PATRIMÔNIO HISTÓRICO E ARTÍSTICO NACIONAL (Iphan). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http://portal.iphan.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA (Inmetro). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.inmetro.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS (Inpe). São José dos Campos, 2018. Disponível em: <www.inpe.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018.

D2-MAT-F2-2049-MP-V8-GERAL-G20.indd 60

11/15/18 1:21 PM

MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA, INOVAÇÕES E COMUNICAÇÕES. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.mctic.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. MINISTÉRIO DA CULTURA (MinC). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.cultura. gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http://portal. mec.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. NOVA ESCOLA. São Paulo, 2018. Disponível em: <https://novaescola.org.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. PORTAL GOVERNO DO BRASIL. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.brasil.gov. br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. PORTAL MINISTÉRIO DA SAÚDE. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http://portalsaude. saude.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. PORTAL DOMÍNIO PÚBLICO. Disponível em: <www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/ PesquisaObraForm.jsp>. Acesso em: 16 jul. 2018. PORTAL DO PROFESSOR. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/link. html?categoria=15>. Acesso em: 26 jul. 2018. PORTAL DOS DIREITOS DA CRIANÇA E DO ADOLESCENTE. Disponível em: <www. direitosdacrianca.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018.

LIVROS ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012. ARAÚJO, J. de L. (Org.). Educação matemática crítica: reflexões e diálogos. Belo Horizonte: Argvmentvm Editora, 2007. BARBOSA, R. M. Conexões e educação matemática: brincadeiras, explorações e ações. Belo Horizonte: Autêntica, 2009. (O Professor de Matemática em Ação, v. 2). BARRETO, M. C. et al. (Org.). Matemática, aprendizagem e ensino. Fortaleza: EdUECE, 2013. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto, 2002. BASSANEZI, R. C. Modelagem matemática: teoria e prática. São Paulo: Contexto, 2015. BELINE, W.; COSTA, N. M. L. da (Org.). Educação matemática, tecnologia e formação de professores: algumas reflexões. Campo Mourão: Editora da FECILCAM, 2010. BORBA, M. de C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Tendências em Educação Matemática). BORBA, M. de C.; SILVA, R. S. R. da; GADANIDIS, G. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (Tendências em Educação Matemática). BRIZUELA, B. M. Desenvolvimento matemático na criança: explorando notações. Porto Alegre: Penso, 2016. BURIASCO, R. L. C. de. Avaliação e educação matemática. Recife: SBEM, 2008. CALDEIRA, A. M. de A. (Org.). Ensino de ciências e matemática II: temas sobre formação de conceitos. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2009. CANO, M. R. de O. (Org.); ABAR, C. A. A. P.; IGLIORI, S. B. C. Matemática: a reflexão e a prática no ensino. São Paulo: Blucher, 2012.

LXI

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11/15/18 1:21 PM

CAZORLA, I. M.; SANTANA, E. R. dos S. Tratamento da informação para o ensino fundamental e médio. 2. ed. Ibicaraí: Via Litterarum, 2009. CAZORLA, I. M.; SANTANA, E. R. dos S. Do tratamento da informação ao letramento estatístico. Ibicaraí: Via Litterarum, 2010. CURI, E.; VECE, J. P. (Org.). Relações espaciais: práticas educativas de professores que ensinam matemática. São Paulo: Terracota, 2014. CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. (Tendências em Educação Matemática). CURY, H. N.; RIBEIRO, A. J. Álgebra para a formação de professores: explorando os conceitos de equação e de função. Belo Horizonte: Autêntica, 2015. (Tendências em Educação Matemática). CYRINO, M. C. de C. T. (Org.). Recurso multimídia para a formação de professores que ensinam matemática: elaboração e perspectivas. Londrina: Eduel, 2016. D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. DINIZ, L. do N.; BORBA, M. de C. Diferentes olhares, múltiplos focos e autoformação continuada de educadores matemáticos. São Paulo: Livraria da Física, 2009. DINIZ, M. I. de S. V.; SMOLE, K. C. S. O conceito de ângulo no ensino de geometria. São Paulo: Caem IME-USP, 2005. FERREIRA, M. K. L. (Org.). Ideias matemáticas de povos culturalmente distintos. São Paulo: Global, 2002. (Antropologia e Educação). FIORENTINI, D.; CRISTOVÃO, E. M. (Org.). Histórias e investigações de/em aulas de matemática. Campinas: Alínea, 2006. FIORENTINI, D.; PASSOS, C. L. B.; LIMA, R. C. R. de (Org.). Mapeamento da pesquisa acadêmica brasileira sobre o professor que ensina matemática: período 2001-2012. Campinas: Faculdade de Educação da Unicamp, 2016. GARNICA, A. V. M.; SOUZA, L. A. de. Elementos de história da educação matemática. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2012. GONÇALVES, C. F. F.; STRAPASSON, E. O tratamento da informação: estatística para o ensino fundamental. Londrina: EdUEL, 2007. GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Paulus, 2004. GRUPO GEOPLANO DE ESTUDO E PESQUISA (GGEP); BARBOSA, R. M. Aprendo com jogos: conexões e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (O Professor de Matemática em Ação). IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. 5. ed. São Paulo: Globo, 1992. KALEFF, A. M. M. R. Memórias de uma trajetória acadêmica de perseverança: vivências de uma educadora matemática em um curso de formação de professores de matemática. Niterói: Euff, 2016. LORENZATO, S. Para aprender matemática. Campinas: Autores Associados, 2006. LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem: componente do ato pedagógico. São Paulo: Cortez, 2011. LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e proposições. 22. ed. São Paulo: Cortez, 2011. MACEDO, L. de; PETTY, A. L. S.; PASSOS, N. C. Aprender com jogos e situações-problema. Porto Alegre: Artmed, 2000.

LXII

D2-MAT-F2-2049-MP-V8-GERAL-G20.indd 62

11/15/18 1:21 PM

MENDES, I. A. Matemática e investigação em sala de aula: tecendo redes cognitivas na aprendizagem. 2. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2009. MENDES, I. A.; CHAQUIAM, M. História nas aulas de matemática: fundamentos e sugestões didáticas para professores. Belém: SBHMat, 2016. MENDES, J. R.; GRANDO, R. C. (Org.). Múltiplos olhares: matemática e produção de conhecimento. São Paulo: Musa, 2007. MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. MONTEIRO, A.; POMPEU JUNIOR, G. A matemática e os temas transversais. São Paulo: Moderna, 2001. MOYSES, L. Aplicações de Vygotsky à educação matemática. Campinas: Papirus, 2015 (Edição digital). NACARATO, A. Mendes; LOPES, C. E. (Org.). Escritas e leituras na educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. NÓBRIGA, J. C. C.; ARAÚJO, L. C. L. de. Aprendendo matemática com o GeoGebra. Brasília, DF: Exato, 2003. OCHI, F. H. et al. O uso de quadriculados no ensino de geometria. São Paulo: Caem IME-USP, 2006. ONUCHIC, L. de la R.; LEAL JUNIOR, L. C.; PIRONEL, M. (Org.). Perspectivas para resolução de problemas. São Paulo: Livraria da Física, 2017. ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Os desafios do ensino de matemática na educação básica. Brasília, DF: EdUFSCar, 2016. PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. PAULA, S. C. R. de; RODRIGUES, C. K.; SILVA, J. C. da. Educação matemática e tecnologia: articulando práticas geométricas. Curitiba: Appris, 2016. PEREIRA, A. C. C.; CEDRO, W. L. (Org.). Educação matemática: diferentes contextos, diferentes abordagens. Fortaleza: EdUECE, 2015. PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Tendências em Educação Matemática). POWELL, A.; BAIRRAL, M. A. A escrita e o pensamento matemático: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. SAMPAIO, F. A. Matemágica: história, aplicações e jogos matemáticos. Campinas: Papirus, 2013. SANTOS, C. A. dos; NACARATO, A. M. Aprendizagem em geometria na educação básica: a fotografia e a escrita na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (Tendências em Educação Matemática). SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. de S. V. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2000. SPINILLO, A. G.; LAUTERT, S. L. A pesquisa em psicologia e suas implicações para a educação matemática. Recife: EdUFPE, 2012. VALENTE, W. R. (Org.). Avaliação e educação matemática. São Paulo: Livraria da Física, 2013. (História da Matemática para Professores). VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009. VILA, A.; CALLEJO, M. L. Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 2006. VILELA, D. S. Usos e jogos de linguagem na matemática: diálogo entre filosofia e educação matemática. São Paulo: Livraria da Física, 2013. (Contexto da Ciência).

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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ALMEIDA, L. M. W.; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria: Revista em Educação em Ciência e Tecnologia, Florianópolis, v. 2, n. 2, p. 117-234, 2009. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P. Semiótica e as ações cognitivas dos alunos em atividades de modelagem matemática: um olhar sobre os modos de inferência. Ciência e Educação, Bauru, v. 18, p. 623-642, 2012. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P.; VERTUAN, R. E. O registro gráfico em atividades de modelagem matemática – um estudo da conversão entre registros segundo a teoria dos registros de representação semiótica. In: II SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – SIEMAT. São Paulo, 2009. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012. AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Psicologia educacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980. BERTINI, L. F.; PASSOS, C. L. B. Uso da investigação matemática no processo de ensino e aprendizagem nas séries iniciais do ensino fundamental. 2008. Disponível em: <www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/ upload/135-1-A-gt8_bertini_ta.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2018. BORBA, M. de C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática). BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases, Lei no 9.394/96, de 20 dezembro de 1996. DOU, Brasília, 23 dez. 1996. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Versão final. Brasília, DF, 2017. Disponível em: <http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/06/BNCC_EI_ EF_110518_versaofinal_site.pdf>. Acesso em: 3 jul. 2018. BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC, SEB, DICEI, 2013. BRASIL. Ministério da Educação. Plano nacional de educação: PNE. Brasília, DF: Inep, 2014. BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. BRASIL. Senado Federal. Constituição da República Federativa do Brasil: 1988. Brasília, DF, 1988. BURIASCO, R. L.; GOMES, M. T. O portfólio na avaliação da aprendizagem escolar. In: VIII ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (ENEM), Recife, 2004. BUYS, K. Mental Arithmetic. In: HEUVEL-PANHUIZEN, M. van den (ed.). Children Learn Mathematics. Rotterdam/Taipei: Sense, 2001. p. 121-146. Developed by the TAL Team. Utrecht: Freudenthal Institute (FI), Utrecht University and National Institute for Curriculum Development (SLO). COHEN, E. G.; LOTAN, R. A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas [recurso eletrônico]. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. D’AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. 12. ed. Campinas: Papirus, 2005. (Perspectivas em Educação Matemática). D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Tendências em Educação Matemática). DE LANGE, J. Framework for Classroom Assessment in Mathematics. Utrecht: Freudenthal Institute and National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science, 1999. FORSTER, C. A utilização da prova-escrita-com-cola como recurso à aprendizagem. 2016. 123p. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática)–Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2016. GÉRARD, F.; ROEGIERS, X. Conceber e avaliar manuais escolares. Tradução de Júlia Ferreira e Helena Peralta. Porto: Porto Editora, 1998. HADJI, C. A avaliação, regras do jogo: das intenções aos instrumentos. 4. ed. Porto: Porto Editora, 1994. HAYDT, R. C. C. Avaliação do processo ensino-aprendizagem. São Paulo: Ática, 1995. HOWLAND, J. L.; JONASSEN, D.; MARRA, R. M. Meaningful Learning with Technology. 4. ed. Boston: Pearson, 2011.

INEP. Relatório Nacional PISA 2012: resultados brasileiros. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/resultados/2014/ relatorio_nacional_pisa_2012_resultados_brasileiros.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2018. LORENZATO, S. O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. (Formação de professores). ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. de C. (Org.). Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, 2011. PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. PEREIRA, A. B. Manuais escolares: estatutos e funções. Revista Lusófona de Educação, 2010. Disponível em: <www.scielo.mec.pt/scielo.php?script=sci_ arttext&pid=S1645-72502010000100014>. Acesso em: 24 set. 2018. POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Tendências em Educação Matemática). PONTE, J. P. da. Concepções dos professores de matemática e processos de formação. In: ___. Educação Matemática: Temas de investigação. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 1992. PONTE, J. P. da et al. Didáctica da matemática. Lisboa: Ministério da Educação. Departamento do Ensino Secundário, 1997. PONTE, J. P. da. Gestão curricular em matemática. In: GTI (Ed.). O professor e o desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, 2005. PONTE, J. P. da. Investigar, ensinar e aprender. Actas do ProfMat, Lisboa: APM, 2003. CD-ROM. SACRISTÁN, J. G. A avaliação no ensino. In: SACRISTÁN, J. G.; GÓMEZ, A. I. P. Compreender e transformar o ensino. 4. ed. Porto Alegre: Artmed, 1998. SANTOS, E. R. dos. Estudo da produção escrita de estudantes do ensino médio em questões discursivas não rotineiras de matemática. 2008. 166p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática)–Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008. SANTOS, J. R. V. dos; BURIASCO, R. L. C. Da ideia de erro para as maneiras de lidar: caracterizando nossos alunos pelo que eles têm e não pelo que lhes falta. In: BURIASCO, R. L. C. Avaliação e educação matemática. Recife: SBEM, 2008. p. 87-108. (Coleção SBEM). SÁ-CHAVES, I. Portfólios reflexivos: estratégia da formação e da supervisão. Aveiro: Universidade de Aveiro, 2000. SKOVSMOSE, O. Educação crítica: incerteza, matemática, responsabilidade. Tradução de Maria Aparecida Viggiani Bicudo. São Paulo: Cortez, 2007. SKOVSMOSE, O. Educação matemática crítica: a questão da democracia. 2. ed. Campinas: Papirus, 2004. (Perspectivas em Educação Matemática). SOUZA, J. A. de. Cola em prova escrita: de uma conduta discente a uma estratégia docente. 2018. 146p. Doutorado (Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática)–Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Campo Grande, 2018. THOMPSON, A. G. Teachers’ Beliefs and Conceptions: A Synthesis of the Research. In: GROUWS, D. A. (ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Nova York: MacMillan, 1992. p. 127-146. TOMAZ, V. S.; DAVID, M. M. M. S. Interdisciplinaridade e aprendizagem da matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Tendências em Educação Matemática). TRONCON, L. E. A. Ambiente educacional. Medicina, Ribeirão Preto, v. 47, n. 3, p. 264-271, 2014. XAVIER, O. S.; FERNANDES, R. C. A. A aula em espaços não convencionais. In: VEIGA, I. P. A. Aula: gênese, dimensões, princípios e práticas. 2. ed. Campinas: Papirus, 2011. (Magistério: Formação e Trabalho Pedagógico). ZANON, D. P.; ALTHAUS, M. M. Instrumentos de avaliação na prática pedagógica universitária. Ponta Grossa: UEPG, 2008. Semana Pedagógica.

LXIV

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Matemática

Realidade & Tecnologia

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

1˜ edição – São Paulo – 2018

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Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Iconografia Licenciamento de textos Supervisora de arquivos de segurança Diretor de operações e produção gráfica

Antonio Luiz da Silva Rios Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva João Paulo Bortoluci Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Luís Felipe Porto Mendes Francisco Mariani Casadore, Teresa Dias/Atalante Editores Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Carolina Alves Ferreira Carolina Alves Ferreira Arina P Habich/Shutterstock.com Isabel Cristina Corandin Marques Eduardo Benetorio Aga Estúdio, Débora Jóia, Dayane Santiago, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva Lucas Trevelin, Nadir Fernandes Rachetti Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Marcia Berne Alex Silva, Ampla Arena, Artur Fujita, Bentinho, Daniel Bogni, Danillo Souza, Dayane Raven, Frosa, Leo Teixeira, Lucas Farauj, Marciano Palacio, Roberto Zoellner Lilian Semenichin Maria Clara Paes Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana, Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra, Yara Affonso Elaine Bueno Erika Neves do Nascimento, Rosa André Carla Marques, Vanessa Trindade Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental

372.7

Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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APRESENTAÇÃO Olá! Onde está a Matemática? Talvez não percebamos, mas as respostas a essa pergunta estão em muitas situações do nosso dia a dia, como quando vamos ao supermercado e comparamos os preços dos produtos, verificamos o prazo de validade, observamos o formato das embalagens e estimamos o valor da compra e do troco. O avanço das tecnologias da informação e comunicação permitiu ampliar as aplicações matemáticas cotidianas: avaliar quantas fotografias digitais podem ser armazenadas em um pendrive e analisar gráficos e tabelas em notícias disponibilizadas na internet são apenas alguns exemplos disso. A Matemática está presente até mesmo quando estamos brincando com um jogo de tabuleiro ou eletrônico, seja na compreensão das regras e no jogar, seja no estudo das chances de vitória. Este livro foi escrito pensando em contribuir para seu aprendizado em Matemática, de maneira a possibilitar que você se desenvolva e se torne um cidadão crítico e participativo na sociedade. É muito importante que você acompanhe as orientações e explicações de seu professor e, sempre que tiver dúvidas ou sugestões, que se expresse e as compartilhe com seus colegas. Por fim, desejo um ótimo ano de estudos. O autor.

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CONHEÇA SEU LIVRO Seu livro está dividido em oito unidades, que possuem abertura, atividades, seções e boxes.

Abertura de unidade

Organizada em página dupla, apresenta uma diversidade de imagens, textos e infográficos acompanhados de algumas questões sobre o tema proposto.

ÂNGULOS E SIMETRIA

Crucifixo: um dos exercícios mais difíceis na ginástica artística

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Você já praticou ou conhece alguém que pratica alguma modalidade de ginástica? Qual? O que os diferentes aparelhos da ginástica artística exigem dos atletas?

Se a abertura for maior ou menor do que 90°, o ginasta perderá pontos.

JONNE RORIZ/ESTADÃO CONTEÚDO

Para que o ginasta não perca pontos, ao realizar esse exercício, os braços precisam formar um ângulo de 90° em relação ao tronco e permanecer parado por no mínimo 2 segundos.

ILUSTRAÇÕES: LEO TEIXEIRA

Arthur Zanetti na prova de argolas nas Olimpíadas de Londres, em 2012.

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Conteúdo Probabilidade

Os conteúdos ou conceitos matemáticos são desenvolvidos com o apoio de exemplos e questões que buscam a reflexão.

Para representar esses resultados, podemos usar uma árvore de possibilidades. Veja no material audiovisual o vídeo sobre o princípio multiplicativo da contagem.

O professor de Educação Física de uma turma do 8o ano propôs aos alunos um jogo divertido. Observe como esse jogo é realizado.

1a) Um tabuleiro com casas coloridas de azul, verde e vermelho foi desenhado no chão. 2a) São usadas duas roletas.

Roleta dividida igualmente em três partes que indicam cor: azul, verde, vermelha.

DANIEL BOGNI

Roleta dividida igualmente em quatro partes que indicam membros do corpo humano: mão esquerda, mão direita, pé esquerdo, pé direito.

3a) Cada aluno, na sua vez, gira o ponteiro em cada roleta. O resultado indica o movimento que o aluno deve realizar. Com o resultado indicado nessa cena, por exemplo, o aluno tem de posicionar a mão esquerda em uma casa azul do tabuleiro.

Observando a árvore de possibilidades, podemos perceber que os resultados possíveis são todos distintos entre si, ou seja, não se repetem. Podemos calcular a probabilidade de o resultado obtido por um aluno ser, por exemplo, pé esquerdo em uma casa verde, da seguinte maneira: quantidade total de resultados possíveis

1 12

quantidade de resultados favoráveis

DANIEL BOGNI

Qual é a probabilidade de se obter o resultado mão direita em uma casa vermelha? E pé direito em uma casa azul?

Para pensar

Neste boxe são propostas questões para que você possa refletir e analisar situações que podem contribuir para a compreensão de determinados assuntos ou conceitos.

1. 1. 12 12

Ao adicionarmos a probabilidade de se obter cada um dos resultados possíveis, temos:

Podemos calcular a quantidade de resultados possíveis de se obter nesse jogo, realizando a seguinte multiplicação: quantidade de membros do corpo humano que podem ser sorteados

quantidade de cores que podem ser sorteadas

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 + + + + + + + + + + + = =1 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

4 ? 3 = 12

quantidade de resultados possíveis

Assim, ao adicionarmos as probabilidades de todos os possíveis resultados, obtemos 1.

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AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO NÃO ESCREVA ESCREVA NO NO LIVRO. LIVRO.

1. Observe o cartaz e leia o texto sobre a doação de órgãos.

SUS/MINISTÉRIO DA SAÚDE

Em alguns casos, o transplante de órgãos é a única esperança de vida de uma pessoa. Um único doador pode salvar até dez vidas. Quem deseja ser um doador, deve expressar essa vontade à família. Para obter mais informações sobre o transplante de órgãos, acesse este site e assista ao vídeo. • Campanha DOAÇÃO de órgãos. Produção: Ministério da saúde. 2018. Vídeo (2min5s). Disponível em: <http://livro.pro/iukzsu>. Acesso em: 4 out. 2018.

Cartaz da campanha sobre doação de órgãos A hora de lembrar, de 2017, do Ministério da Saúde.

Agora, analise as informações nos infográficos.

Porcentagem de transplantes realizados no Brasil por região, em 2016

Transplantes de alguns órgãos, realizados no Brasil, em 2016

2,7%

Córnea

14 641

transplantes

20,4%

Mortes no trânsito brasileiro por região, em 2015 Região Sul

6 064 12 191

Norte

3 419

Centro-Oeste

4 069

Sudeste

12 908

transplantes

Mortes no trânsito brasileiro por região, em 2015

Fígado

1 880

transplantes

Rim

Brasil

Medula óssea

49,7%

Norte Nordeste Centro-Oeste Sudeste Sul

2 363

19,3%

II.

2012

227

transplantes

2013

268

transplantes

2014

309

transplantes

2015

352

2016

transplantes

357

transplantes

Centro-Oeste

4 069 12 908 0

00 000 000 000 000 000 8 6 12 14 10 Quantidade de mortes

Fonte: OBSERVATÓRIO NACIONAL DE SEGURANÇA VIÁRIA. Estatísticas. Disponível em: <http://iris.onsv.org. br/iris-beta/#/stats/ tables>. Acesso em: 2 out. 2018.

a) Em qual região do Brasil foi registrada a maior quantidade de mortes no trânsito em 2015? E a menor quantidade de mortes? Sudeste. Norte. b) Ao todo, quantas mortes no trânsito brasileiro ocorreram em 2015? 38 651 mortes. c) Que tipo de gráfico foi apresentado acima? Em sua opinião, qual é a vantagem da escolha desse tipo de gráfico na representação desses dados se comparado à tabela? d) Que outros tipos de gráficos podemos utilizar para representar esses dados? Resposta esperada: Gráfico de colunas ou gráfico de setores.

THENATCHDL/SHUTTERSTOCK.COM

159

3 419

Sudeste

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Doação de órgãos: transplantes, lista de espera e como ser doador. Disponível em: <http://portalms.saude.gov.br/ acoes-e-programas/doacao-transplantes-de-orgaos/servicos/ estatisticas>. Acesso em: 2 out. 2018.

Transplantes de coração realizados no Brasil (2011-2016)

12191

Norte

EDITORIA DE ARTE

ALEX SILVA

transplantes

6 064

Nordeste Região

7,9%

transplantes

Sul

SIRINTRA PUMSOPA/SHUTTERSTOCK.COM

5492

transplantes

1. c) Resposta esperada: Infográfico I – gráfico de colunas ou de barras; infográfico II – gráfico de segmentos, de colunas ou de barras; infográfico III – gráfico de setores, de colunas ou de barras. Resposta pessoal. Fonte: OBSERVATÓRIO NACIONAL DE SEGURANÇA VIÁRIA. Estatísticas. Disponível em: <http://iris.onsv.org.br/ iris-beta/#/stats/tables>. Acesso em: 2 out. 2018.

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Pâncreas

2011

Quantidade de mortes

Nordeste

Coração

Pulmão

Propostas para serem realizadas individualmente ou em grupo, as atividades apresentam e discutem os conteúdos ou conceitos matemáticos em estudo. O uso de imagens, tirinhas, textos e outros recursos faz que as atividades fiquem ainda mais interessantes.

2. De acordo com a Organização Mundial da Saúde (OMS), acidentes de trânsito matam 1,25 milhão de pessoas por ano no mundo, dos quais quase metade corresponde a pedestres, ciclistas e motociclistas. Muitas dessas mortes poderiam ser evitadas se não fosse a imprudência daqueles que não respeitam as sinalizações e regras de trânsito. Observe a seguir dados sobre as mortes no trânsito brasileiro. 2. c) Gráfico de barras. Resposta esperada: O gráfico de barras facilita visualmente a comparação entre a quantidade de mortes em cada região do Brasil.

III.

Atividades

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Neste boxe você encontra dicas ou lembretes importantes para a melhor compreensão de alguma informação.

Conexões

Medidas de volume e medidas de capacidade

Podemos ter a noção do tamanho dessa dose de vacina imaginando que duas delas, ou seja, 1 mL de vacina, encham completamente um recipiente cúbico de 1 cm de aresta interna.

Nas páginas de abertura desta Unidade, vimos algumas informações sobre as embalagens longa vida. Diversos produtos, como sucos e leite, são comercializados nesse tipo de embalagem e possuem a quantidade indicada no rótulo por uma medida de capacidade. Estudaremos a seguir algumas situações envolvendo unidades de medida de capacidade: litro (L) e mililitro (mL).

Lembre-se de que um cubo de 1 cm de aresta tem volume igual a 1 cm3.

1 cm

ARTUR FUJITA

Aqui, são apresentadas sugestões de sites e livros que você pode consultar para ampliar seu conhecimento sobre certo tema que está sendo estudado.

Dica

De acordo com essas informações, temos que 1 mL corresponde a 1 cm3.

Situação I

1 cm3 = 1 mL Situação III Segundo recomendação da Organização das Nações Unidas (ONU), cerca de 1 000 L de água é suficiente para atender por 9 dias às necessidades de uma pessoa com atividades de higiene e consumo.

Lembre-se de que um cubo de 1 dm de aresta tem volume igual a 1 dm3.

Fonte dos dados: SABESP. Dicas de economia. Disponível em: <http://site.sabesp.com.br/site/interna/Default. aspx?secaoId=140>. Acesso em: 8 nov. 2018.

Lembre-se de que um cubo com 1 m de aresta tem volume igual a 1 m3.

1 dm3 = 1 L Situação II

capacidade 1 000 L

De acordo com essas informações, temos que 1 000 L correspondem a 1 m3.

Desde 1999, no Brasil, a vacina contra a influenza integra o calendário do Programa Nacional de Imunização (PNI). Para adultos ou crianças com 3 anos ou mais de idade, a dose dessa vacina é de 0,5 mL.

1 m³ = 1 000 L

fique ligado

Para garantir maior segurança, as vacinas disponíveis no Brasil são aprovadas pela Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa).

Vacinação No Brasil, o PNI foi criado em 1973 pelo Ministério da Saúde. Este programa assiste todas as pessoas em território brasileiro e é referência mundial de vacinação. As vacinas são utilizadas como medida de prevenção contra doenças que podem ser causadas por vírus ou bactérias.

Caixa-d’água 1m

Note que o recipiente ficou completamente cheio, indicando que 1 L corresponde a 1 dm3.

Nos postos de saúde pública, o PNI disponibiliza gratuitamente as vacinas recomendadas pela Organização Mundial da Saúde (OMS), entre elas: • 14 vacinas são para bebês e crianças; • 7 vacinas para adolescentes; • 5 vacinas para adultos e idosos.

É importante atentar às campanhas e ao calendário de vacinação. Todas as pessoas, independentemente da idade, devem manter a carteira de vacinação em dia.

Fontes dos dados: GOVERNO DO BRASIL. História da vacinação no Brasil: país é referência mundial em imunização. Disponível em: <www.brasil.gov.br/saude/2017/07/historia-da-vacinacao-no-brasil-pais-e-referencia-mundial-em-imunizacao>. ANVISA. Farmacovigilância de vacinas. Disponível em: <http://portal.anvisa.gov.br/vacinas>. BRASIL. Ministério da Saúde. Blog da saúde. Disponível em: <www.blog.saude.gov.br/index.php/entenda-o-sus/50027-programanacional-de-imunizacoes-pni>. Acessos em: 4 out. 2018.

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ARTUR FUJITA

Caso sejam despejados 1 000 L de água em um recipiente cúbico com 1 m de aresta interna, esse recipiente ficará completamente cheio.

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

Roger trabalha como confeiteiro em uma padaria. No preparo de uma receita, ele despejou 1 L de leite de uma embalagem longa vida em um recipiente cúbico cujas arestas internas tinham 1 dm de comprimento. 1 dm

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fique ligado Neste boxe são apresentadas informações complementares sobre o contexto em estudo, ampliando seu conhecimento sobre o tema.

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Resoluções a partir da p. 257

1. De acordo com as informações apresentadas, responda às questões.

integrando com

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Ciências e língua portuguesa

No Brasil, a doença surgiu em 1685 em uma região onde atualmente é o estado de Pernambuco. O contágio pelo ciclo urbano ocorreu pela última vez em 1942.

A origem do vírus é africana.

Folder da campanha Febre Amarela de 2017, da Prefeitura de Salvador.

O contágio desse vírus ficou controlado durante muitos anos no Brasil. Porém, em 2017 começou a crescer a quantidade de casos, gerando um surto preocupante no país.

A fêmea do mosquito introduz aproximadamente de 1 000 a 100 000 partículas virais durante a picada.

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

SUS/SECRETARIA DA SAÚDE/PREFEITURA DE SALVADOR

Esse vírus é da família Flaviviridae, e seu comprimento é entre 40 e 60 nanômetros.

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Integrando com... Já observou como Arte, Ciências, Educação Física, Geografia, História, Língua Portuguesa e Matemática mantêm um diálogo constante? Nesta seção são desenvolvidos momentos de integração em que você vai usar o que aprendeu em diferentes áreas e perceber que há muitas maneiras de estudar um assunto.

Você cidadão Esta seção possibilita a reflexão e o diálogo sobre o significado do que é ser cidadão! São trabalhados temas importantes da vida em sociedade e é mostrado como suas ações, com base em conhecimentos matemáticos, podem fazer a diferença no mundo.

você

A arte indígena

cidadão

O que é cultura? Leia com atenção o texto a seguir.

Cultura indígena

MUNDURUKU, D. Coisas de índio. São Paulo: Callis, 2000. p. 51-53.

Indígenas Yawalapiti em Gaúcha do Norte (MT). Fotografia de 2012.

ILUSTRAÇÕES: FROSA

Padrão gráfico do povo Kayapó inspirado na vértebra de cobra.

Padrão gráfico do povo Sharanahua inspirado na carapaça de tartaruga.

Resoluções a partir da p. 257 RENATO SOARES/PULSAR IMAGENS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resposta pessoal. 5. Inspirado em algum animal que conheça, desenhe em uma folha de papel sulfite um padrão geométrico para representá-lo, como nos padrões gráficos apresentados. 158

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conectado

Construindo polígonos regulares

Você conectado

São propostas atividades que envolvem conceitos matemáticos com o apoio de recursos tecnológicos, como o GeoGebra e a planilha eletrônica Calc. Por meio de construções, você vai analisar e discutir características de figuras geométricas planas, realizar transformações de figuras, construir tabelas e gráficos, estudar sequências numéricas, entre outras atividades. Na parte final do livro há instruções gerais sobre os recursos utilizados nesta seção.

Utilizando o GeoGebra, vamos construir um octógono regular com 2,5 cm de lado.

Com a opção selecionada, marcamos o vértice A e, na caixa de texto . O segmento de reta AB obtido que abrir, digitamos 2.5 e clicamos em tem 2,5 cm de comprimento e é um dos lados do octógono.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Com a opção selecionada, clicamos de maneira ordenada nos vértices, obtendo assim o octógono regular.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

O ponto B’ corresponde à rotação do ponto B, em torno de A, em 135o no sentido anti-horário.

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Resoluções a partir da p. 257

o que estudei

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

SITUAÇÃO INICIAL

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Uma academia de judô fez uma pesquisa estatística com todos os alunos matriculados. Observe como alguns dados obtidos foram organizados.

Amarela

Laranja

18 15 10 Fonte: Secretaria da academia.

40% 60%

Masculino

Feminino

Fonte: Secretaria da academia.

PROBLEMAS

I Em média, havia quantos alunos matriculados em cada faixa do judô?

16 alunos. Conceitos: Tabela simples; medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana.

II Quantos alunos do sexo masculino estão matriculados nessa academia?

Medidas de Gráfico de colunas

Gráfico de barras

Gráfico de segmentos

Gráfico de setores

tendência central: média aritmética, moda e mediana

32 alunos. Conceitos: Tabela simples; gráfico de setores. Amplitude

III Para representar os mesmos dados da tabela, quais tipos de gráfico você usaria?

Resposta esperada: Gráfico de colunas ou gráfico de barras. Conceitos: Gráfico de colunas; gráfico de barras; tabela simples.

IV Com outros dados coletados nessa pesquisa, deseja-se determinar

Tabela de dupla entrada

Distribuição de frequência

Intervalo de classes

Pesquisa estatística

Probabilidade

Tabela simples

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Nas atividades identificadas com este ícone, o cálculo ou procedimento de resolução deve ser feito, de preferência, mentalmente.

Nas atividades com este ícone é apresentada uma variedade de textos e imagens que buscam desenvolver sua competência como leitor.

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Quantidade de alunos

Azul

Marrom

As atividades identificadas com este ícone podem ser resolvidas com o auxílio de uma calculadora.

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Faixa do judô

Verde

ícones

Neste momento do livro, você vai refletir sobre os conteúdos ou conceitos matemáticos estudados na Unidade. As questões propostas buscam o desenvolvimento de uma autoavaliação, de modo que você consiga identificar o que foi aprendido a contento e aquilo que precisa ser revisto.

Alunos matriculados no judô, por faixa, em 2019

G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I ) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

O que estudei

Alunos matriculados no judô, por sexo, em 2019

EDITORIA DE ARTE

você

a quantidade de alunos matriculados em diferentes intervalos de idade, como de 7 a 10 anos e de 11 a 14 anos. Explique que recurso pode ser utilizado para organizar essas informações. Resposta esperada: Distribuição de frequência e intervalo de classes. Conceitos: Distribuição de frequência; intervalo de classes. A direção dessa academia vai sortear, ao acaso, um aluno matriculado para ganhar um prêmio. É mais provável que o aluno sorteado esteja em qual faixa do judô? Justifique sua resposta. Resposta esperada: Azul, pois há mais alunos matriculados nessa faixa do que nas demais. Conceitos: Probabilidade; tabela simples. 225

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Nas atividades com este ícone, você é convidado a registrar seus pensamentos, suas reflexões ou conclusões de diferentes maneiras, como por meio de desenho e entrevista. Nas atividades identificadas com este ícone, a resposta deve ser realizada oralmente e compartilhada com os colegas. Este selo aparece em atividades cuja resolução deve ser feita com um ou mais colegas.

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SUMÁRIO unidade

Potências e raízes | 12

Potências ................................................................................... 14 Potência com expoente inteiro negativo ................................ 15 Propriedades de potências...................................................... 16 Notação científica................................................................... 19 Atividades ................................................................................... 20 Radiciação ................................................................................... 22 Raiz de um número negativo ................................................. 23 Atividades ................................................................................... 24 Raiz quadrada exata e raiz quadrada aproximada de um número .................................................... 25 Atividades .................................................................................. 27 Potências com expoente fracionário ...................................... 28 Atividades .................................................................................. 29 Integrando com Ciências e Língua Portuguesa Febre amarela ............................................ 30

unidade

O que estudei ............................................................................. 32

Ângulos e simetria | 34

Ângulos ..................................................................................... 36 Ângulos notáveis ................................................................... 37 Atividades .................................................................................. 38 Distância entre um ponto e uma reta .................................... 40 Bissetriz de um ângulo .......................................................... 40 Mediatriz de um segmento de reta ........................................ 42 Atividades .................................................................................. 44 Simetria ...................................................................................... 46 Simetria de reflexão .............................................................. 46 Atividades .................................................................................. 48 Simetria de rotação ............................................................... 50 Atividades .................................................................................. 52 Simetria de translação ........................................................... 54 Atividades .................................................................................. 56 Você cidadão Acessibilidade ..................................................... 58 Você conectado Construindo mediatriz e bissetriz .................... 60 Construindo figuras simétricas por translação................................................. 62 O que estudei ............................................................................. 64

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unidade

Equação, sistema de equações e inequação | 66

unidade

Expressões algébricas ................................................................. 68 Atividades ................................................................................... 69 Sequências ................................................................................. 70 Atividades .................................................................................. 71 Equação do 1o grau com uma incógnita ..................................... 73 Atividades .................................................................................. 74 Equação do 1o grau com duas incógnitas ................................... 76 Atividades .................................................................................. 77 Sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas ........ 80 Atividades .................................................................................. 82 Resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas ............................................. 84 Atividades ................................................................................... 86 Inequação do 1o grau com uma incógnita .................................. 89 Atividades .................................................................................. 91 Equação do 2o grau com uma incógnita ..................................... 92 Atividades .................................................................................. 93 Você cidadão Energia elétrica ................................................... 94 Você conectado Resolvendo sistemas de equações ................... 96 Resolvendo equações do 2o grau ................... 97 O que estudei ............................................................................. 98

Proporcionalidade e porcentagem | 100

Proporção.................................................................................. 102 Atividades ................................................................................ 104 Grandezas proporcionais ...................................................... 106 Atividades ................................................................................ 108 Grandezas diretamente proporcionais ................................. 109 Atividades ................................................................................ 112 Grandezas inversamente proporcionais ............................... 114 Atividades ................................................................................ 116 Porcentagem ............................................................................. 118 Atividades ................................................................................ 120 Integrando com Ciências Cálcio ..............................................122 Você conectado Calculando porcentagens ..............................124 O que estudei ........................................................................... 126

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unidade

Polígonos e círculo | 128

unidade

Triângulos ................................................................................. 130 Relações envolvendo os ângulos internos e externos de um triângulo .................................................. 130 Atividades ................................................................................ 131 Congruência de figuras ............................................................. 132 Casos de congruência de triângulos...................................... 133 Atividades ................................................................................ 134 Pontos notáveis de um triângulo ............................................. 136 Mediatrizes e circuncentro do triângulo ............................... 136 Bissetrizes e incentro do triângulo ....................................... 137 Atividades ................................................................................. 137 Medianas e baricentro do triângulo ......................................139 Alturas e ortocentro do triângulo..........................................140 Atividades ................................................................................ 141 Polígonos .................................................................................. 142 Quantidade de diagonais de um polígono convexo...............143 Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo .......................................................144 Polígonos regulares .............................................................. 145 Atividades ..................................................................................146 Quadriláteros ........................................................................149 Atividades .................................................................................152 O círculo e a circunferência ....................................................... 154 Comprimento da circunferência ........................................... 155 Atividades .................................................................................156 Você cidadão O que é cultura? .................................................158 Você conectado Construindo polígonos regulares .................. 160 O que estudei ........................................................................... 162

Área de figuras planas | 164

Área de quadriláteros .............................................................. 166 Área do retângulo e do quadrado .........................................166 Área do paralelogramo ....................................................... 167 Área do losango ....................................................................... 168 Área do trapézio ...................................................................... 169 Atividades ...................................................................................... 170 Área do triângulo .......................................................................... 173 Área de um polígono regular .................................................. 174 Atividades ...................................................................................... 175 Área do círculo ............................................................................... 177 Atividades ...................................................................................... 179 Integrando com Arte Pixels ........................................................ 182 Você conectado Medindo a área de polígonos regulares e de círculos ..................................... 184 O que estudei ................................................................................ 186

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unidade

Estatística e Probabilidade | 188

unidade

Gráficos ........................................................................................... 190 Gráfico de colunas e gráfico de barras .................................... 190 Gráfico de segmentos ............................................................... 191 Gráfico de setores ..................................................................... 191 Atividades ...................................................................................... 192 Medidas de tendência central ....................................................... 196 Atividades ...................................................................................... 199 Distribuição de frequência ............................................................ 203 Atividades....................................................................................... 205 Intervalo de classes ................................................................... 206 Atividades ...................................................................................... 208 Pesquisa estatística ........................................................................ 209 Tipos de amostra ....................................................................... 210 Etapas de uma pesquisa ........................................................... 211 Atividades ...................................................................................... 214 Probabilidade ................................................................................. 216 Atividades....................................................................................... 218 Integrando com Geografia e História O valor da idade ..........220 Você conectado Calculando medidas de tendência central ......222 O que estudei ................................................................................ 224

Medidas de volume e de capacidade | 226

Medidas de volume e medidas de capacidade ............................ 228 Atividades ...................................................................................... 230 Volume do bloco retangular ......................................................... 232 Atividades ...................................................................................... 234 Volume do cilindro ......................................................................... 236 Atividades ................................................................................ 238 Integrando com Ciências Os males do refrigerante .................240 O que estudei ........................................................................... 242 VOCÊ CONECTADO Instruções gerais .........................................244 RESPOSTAS ................................................................................248 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................256

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UNIDADE TEMÁTICA

• Números. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Notação científica. • Potenciação e radiciação. HABILIDADES • EF08MA01 • EF08MA02 COMPETÊNCIAS GERAIS 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. ESPECÍFICAS 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos mate-

POTÊNCIAS E RAÍZES

Os baites Você já deve ter ouvido falar em baite (B). Mas você sabe o que é? Da mesma maneira que podemos medir um comprimento em metro, podemos usar o baite como unidade de medida de capacidade de armazenamento de dados. Um baite corresponde ao tamanho exato de um caractere e equivale a 8 bits, e bit é a menor unidade de medida de armazenamento de dados. Assim como o metro, o baite também possui múltiplos. Observe alguns deles.

Platters HD (Hard Disc) de um computador. Os dados de um computador são armazenados em discos magnéticos (platters) que ficam no interior do HD.

• Quilobaite (kB): 1 kB = 1 024 B • Megabaite (MB): 1 MB = 1 048 576 B • Gigabaite (GB): 1 GB = 1 073 741 824 B • Terabaite (TB): 1 TB = 1 099 511 627 776 B Essas medidas podem ser observadas em diversas situações, como na capacidade de armazenamento de dados de um celular ou no tamanho de um arquivo que desejamos enviar por e-mail.

Além dos HDs, existem vários dispositivos de armazenamento de dados com diferentes capacidades, como os representados ao lado.

CD: 700 MB.

DVD: 4,7 GB.

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máticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a

questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não, na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Algumas respostas possíveis: Computador, televisor, celular, videogame e tocador de música.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Cite equipamentos que você conheça que possam armazenar dados. Qual dos dispositivos apresentados tem a maior capacidade de armazenamento? Vimos que 1 terabaite equivale a uma grande quantidade de baites. Como podemos representar essa quantidade de baites de uma maneira simplificada? Resposta esperada: Escrevendo a quantidade utilizando potências.

GREGORY GERBER/SHUTTERSTOCK.COM, YURY ZAP/SHUTTERSTOCK.COM, ZACHARY HOOVER/SHUTTERSTOCK.COM, AUTSAWIN UTTISIN/SHUTTERSTOCK.COM, CAPTUREPB/SHUTTERSTOCK.COM, L MIRROR/SHUTTERSTOCK.COM

HD externo.

Cartão de memória: 128 GB.

Pen drive: 512 GB.

HD externo: 3 TB.

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ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade está relacionada à competência geral 5 e à competência específica 3 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema tratado envolve a utilização de tecnologias digitais de informação, abordando relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Explicar aos alunos que, em informática, caracteres são símbolos como letras do alfabeto, algarismos e sinais de pontuação, introduzidos em um computador e exibidos na tela, quando se trabalha com programas de edição de texto, por exemplo. Ao explorar os múltiplos da unidade de medida baite, chamar a atenção dos alunos para os prefixos quilo-, mega-, gigae tera-, que remetem à ideia de um múltiplo de 10, mas que nesse contexto são compreendidos de maneira diferente. Além disso, dizer a eles que os dispositivos indicados nestas páginas podem ter a capacidade de armazenamento diferente das apresentadas. No primeiro item proposto, pedir aos alunos que pesquisem a capacidade de armazenamento dos equipamentos que têm nas suas residências e comparem esses valores. No terceiro item, indicar aos alunos a relação entre terabaite e baite utilizando potência: 1 TB = 240 B. Esse estudo será aprofundado mais adiante. NO DIGITAL – 1O bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 1 e 2. • Desenvolver o projeto integrador sobre a conexão entre simetria e arte. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF08MA01, EF08MA02, EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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POTÊNCIAS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA01. Nesta página é apresentada a definição para potência de números racionais com expoente natural. Ainda nesta Unidade serão exploradas potências de expoente inteiro negativo e racional na forma de fração. Ao citar o sistema binário, relembrar aos alunos que o sistema de numeração que utilizamos é o decimal, cujos números são representados com dez algarismos. No trabalho com as potências de expoente 1 e de expoente 0, propor aos alunos o seguinte exemplo, a fim de que eles identifiquem que todo número elevado a 1 é igual a si mesmo e que todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1.

Potências Nas páginas de abertura desta Unidade, vimos que o baite e seus múltiplos são unidades de medida de armazenamento de dados.

JACEK CHABRASZEWSKI/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Criança usando o computador para fazer uma pesquisa.

No processamento das informações, o computador utiliza um sistema binário. Esse sistema é constituído de dois dígitos, o 0 e o 1. Combinando esses dois dígitos, o computador cria palavras, textos, números e faz cálculos. A relação entre o baite e seus múltiplos pode ser expressa como multiplicação de fatores iguais a 2. Observe o exemplo da relação entre baite (B) e quilobaite (kB): 1 kB = 1 024 B 2?2?2?2?2?2?2?2?2?2

Para representar uma multiplicação de fatores iguais, podemos utilizar a potenciação. Então, nesse exemplo, temos:

Expoente 5 H 35 = 243 :3

O expoente indica a quantidade de vezes que o fator se repete na multiplicação.

1 024 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2

Expoente 4 H 3 = 81 4

Expoente 3 H 33 = 27

A potência indica o produto dos fatores iguais.

A base indica o fator que se repete na multiplicação.

Expoente 2 H 32 = 9 :3

Expoente 1 H 31 = 3 Expoente 0 H 30 = 1

Em uma potenciação, sendo a um número racional e n um número natural, com a 5 0, temos que:

Enfatizar que, nesse esquema, conforme o expoente diminui uma unidade, a potência vai sendo dividida pelo valor da base e que, assim, temos 31 = = 3 e 30 = 1. Pedir aos alunos que façam o mesmo com outros números naturais, diferentes de zero, como base e que identifiquem quais regularidades é possível observar em relação às potências de expoente 1 e de expoente 0. Retomar a leitura de potências, destacando que temos de ficar atentos ao expoente. Observe alguns exemplos. • 50: cinco elevado a zero. • 21: dois elevado à primeira potência. • 74: sete elevado à quarta potência. • 810: oito elevado à décima potência.

expoente

an = a ? a ? a ? ... ? a base

n fatores

• Em uma potência com expoente 1 e a base um número racional qualquer, o resultado é esse próprio número. • Em uma potência com expoente 0 e a base um número racional qualquer diferente de zero, o resultado é 1.

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• 6_4: seis elevado a menos

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quatro. _3 1 • [ ] : um quarto elevado 4 a menos três.

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• Evitar levar as mãos aos olhos, nariz ou boca. • Lavar as mãos frequentemente com água e sabão, especialmente depois de tossir ou espirrar. Produtos a base de álcool podem ser utilizados para higienização das mãos. • Manter ambientes limpos e bem ventilados. • Evitar aglomerações de pessoas.

Potência com expoente inteiro negativo Leia a reportagem.

Cientistas descobrem vírus gigante Em 2016, pesquisadores descobriram o maior vírus conhecido até então. Os Pandoravirus foram encontrados no Chile (Pandoravirus salinus) e na Austrália (Pandoravirus dulcis) e têm cerca de 10_4 cm. Fonte dos dados: CIENTISTAS descobrem novo vírus “gigante”. Veja. Disponível em: <https://veja.abril.com.br/ciencia/cientistas-descobrem-novo-virus-gigante>. Acesso em: 12 fev. 2018.

Pandoravirus. Ampliação de cerca de 40 000 vezes.

[...] GOVERNO DO PARANÁ. Secretaria de Estado da Saúde. Superintendência de Vigilância em Saúde. Departamento de Vigilância e Controle em Agravos Estratégicos – DECA. Recomendações da Atenção Básica. Disponível em: <www.saude. pr.gov.br/arquivos/File/Influenza/ Recomendacoesatencaobasica_0306. pdf>. Acesso em: 18 out. 2018.

Na reportagem, o tamanho do vírus descoberto, em centímetros, é indicado por uma potência de expoente negativo: 10_4. Para calcular essa potência, podemos utilizar a sequência a seguir. 103 1 000

102 100

: 10

101 10 : 10

100 1 : 10

10_1 A : 10

10_2 B

10_3 C

: 10

10_4 D : 10

Para determinar o valor das letras em destaque e completar essa sequência, podemos realizar os seguintes cálculos: • A 10_1 = 1 : 10 = 1 ? • B 10_2 = • C

Que regularidade você pode observar nas igualdades ao lado?

1 1 = 10 10

1 1 1 1 2 : 10 = ? =[ ] 10 10 10 10

10_3 = [

• D

10_4 = [

1 1 1 1 1 1 1 ] : 10 = [ ] ? =[ ? ]? =[ ] 10 10 10 10 10 10 10 2

PARA PENSAR Para auxiliar os alunos na resolução do questionamento proposto, explorar outros exemplos, como o apresentado a seguir.

1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 4 ] : 10 = [ ] ? =[ ? ? ]? =[ ] 10 10 10 10 10 10 10 10

Resposta esperada: Elevar um número racional diferente de zero a um expoente negativo é o mesmo que elevar o inverso desse número ao número oposto desse expoente.

23 = 8 :2

22 = 4 :2

21 = 2 :2

20 = 1 :2

1 n Sendo a um número racional e n um número natural, com a 5 0, temos que: a_n = [ ] a Exemplos 1 4 1 1 1 1 1 ? ? = • 6_4 = [ ] = ? 6 6 6 6 6 1 296

2 _2 3 2 3 3 9 • [ ] =[ ] = ? = 3 2 2 2 4

1 _3 • [ ] = 43 = 4 ? 4 ? 4 = 64 4

1 2 1 1 1 • (_9)_2 = [_ ] = [_ ] ? [_ ] = 9 9 9 81 15

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potência com expoente inteiro negativo Aproveitar o assunto e explicar que algumas doenças são causadas por vírus, como a gripe H1N1, o sarampo, a raiva e a febre amarela; esta última será tratada na seção Integrando

com Ciências e Língua Portuguesa desta Unidade. Explicar que algumas das doenças causadas por vírus podem ser evitadas com medidas simples. Para complementar, ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta recomendações para evitar o vírus H1N1.

1 2 :2 1 _2 2 = 4 :2 1 _3 2 = 8 Caso julgar necessário, retomar os conceitos de números opostos e de números inversos, apresentados no Volume 7 desta coleção. Lembrar aos alunos que o inverso do número a, com a 5 0, é igual 1 a ; e o inverso do número a a , com a e b diferentes de b b zero, é igual a . Além disso, a lembrar que os números opostos são números cujos pontos correspondentes à reta numérica têm a mesma distância da origem. 2_1 =

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[...]

• Não compartilhar alimentos, copos, toalhas e objetos de uso pessoal. • Cobrir nariz e boca preferencialmente com lenço de papel descartável ao tossir ou espirrar. O lenço deve ser jogado no lixo depois do uso.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Propriedades de potências Para auxiliar os alunos na compreensão do conteúdo desta página, verificar a possibilidade de apresentar mais exemplos de cada uma das propriedades abordadas. Ver alguns exemplos a seguir. • 1a propriedade. (_5)2 ? (_5)2 = = (_5) ? (_5) ? (_5) ? (_5) =

Propriedades de potências Existem algumas propriedades que podemos utilizar ao realizar cálculos com potências. Observe. • 1a propriedade A multiplicação de potências de mesma base pode ser escrita como uma única potência, mantendo a base e adicionando os expoentes. Exemplo: 43 ? 42 = 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 = 45 = 43 + 2 43

Sendo a um número racional e m e n números inteiros, com a 5 0, temos que: am ? an = am + n • 2a propriedade A divisão de potências de mesma base pode ser escrita como uma única potência, mantendo a base e subtraindo os expoentes. Exemplo:

(_5)

= (_5) = (_5) • 2a propriedade. (_7)2 (_7)2 : (_7)3 = = (_7)3 4

2+2

38 : 36 =

3?3?3?3?3?3?3?3 = 3 ? 3 = 32 = 38 _ 6 3?3?3?3?3?3

Sendo a um número racional e m e n números inteiros, com a 5 0, temos que:

(_7) ? (_7) 1 = = (_7) ? (_7) ? (_7) (_7)

am : an = am _ n • 3a propriedade Uma potência elevada a um expoente pode ser escrita como uma única potência, mantendo a base e multiplicando os expoentes. Exemplo:

= (_7)_1 = (_7)2 _ 3

• 3a propriedade. (9_1)5 = 9_1 ? 9_1 ? 9_1 ? 9_1 ? ? 9_1 = 9(_1) + (_1) + (_1) + (_1) + (_1) = = 9_5 = 9(_1) ? 5 • 4a propriedade. [8 ? (_3)]3 = = [8 ? (_3)] ? [8 ? (_3)] ? ? [8 ? (_3)] = = 8 ? 8 ? 8 ? (_3)? (_3)? (_3) = = 83 ? (_3)3 • 5a propriedade. 5 1 1 1 1 (1 : 2)5 = [ ] = ? ? ? 2 2 2 2 1 1 15 ? ? = 5 2 2 2

(72)4 = 72 ? 72 ? 72 ? 72 = 72 + 2 + 2 + 2 = 78 = 72 ? 4 Sendo a um número racional e m e n números inteiros, com a 5 0, temos que: (am)n = am ? n • 4a propriedade Em uma potência cuja base é uma multiplicação, podemos elevar cada fator ao expoente dessa potência. Exemplo: (2 ? 6)2 = (2 ? 6) ? (2 ? 6) = 2 ? 2 ? 6 ? 6 = 22 ? 62 Sendo a e b números racionais e n um número inteiro, com a 5 0 e b 5 0, temos que: (a ? b)n = an ? bn • 5a propriedade Em uma potência cuja base é uma divisão, podemos elevar o dividendo e o divisor ao expoente dessa potência. Exemplo: 8 3 8 8 8 83 (8 : 5)3 = [ ] = ? ? = 3 5 5 5 5 5 Sendo a e b números racionais e n um número inteiro, com a 5 0 e b 5 0, temos que:

É importante destacar que serão apresentadas as demonstrações dessas propriedades no Volume 9 desta coleção.

a n an (a : b)n = [ ] = n b b

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3. a) Sete elevado ao cubo ou sete elevado à terceira potência. 343; b) Dois elevado à sexta potência. 64; c) Dez elevado à quarta potência. 10 000; d) Vinte elevado ao quadrado ou vinte elevado à segunda potência. 400; Resoluções a partir da p. 257 e) Três elevado a menos cinco. 1 ; AtividadeS 243 NÃO ESCREVA NO LIVRO. f) Cinco elevado a menos quatro. 1 . 625 1. Escreva os produtos de fatores iguais em 5. Os fractais (do latim fractus, que significa forma de potências. “quebrar” ou “fragmentar”) são formas geométricas que têm como uma de suas a) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 67 características o fato de poder ser decom5 5 5 5 5 4 b) ? ? ? [ ] postas em partes representativas do todo. 8 8 8 8 8 6 Um exemplo de fractal é o Triângulo de c) (_2) ? (_2) ? (_2) ? (_2) ? (_2) ? (_2) (_2) Sierpinski, que foi descrito pelo matemád) 1,5 ? 1,5 ? 1,5 ? 1,5 ? 1,5 (1,5)5 tico polonês Waclaw Sierpinski (1882-1969). Observe as primeiras etapas para a cons2. Você se lembra de que para calcular a trução desse fractal. área de um quadrado podemos elevar ao quadrado a medida de seu lado? Observe, por exemplo, como calcular a área de um quadrado de 14 cm de lado. a 1 Representamos um triângulo equilátero.

Área: 142 = 196, ou seja, 196 cm2. Agora, escreva para cada quadrado representado a seguir uma potência que indique a área em centímetros quadrados. Depois, resolva a potência e obtenha essa área. b) a)

2a Decompomos o triângulo em 4 triângulos equiláteros congruentes e “retiramos” o triângulo central.

[...]

25 cm

252. 625 cm2.

3. Escreva por extenso as potências indicadas a seguir. Depois, resolva-as. a) 73 c) 104 e) 3_5 6 2 b) 2 d) 20 f) 5_4 4. Você se lembra de que para calcular o volume de um cubo podemos elevar ao cubo a medida de sua aresta? Observe, por exemplo, como calcular o volume de um cubo de 8 cm de aresta. Volume: 83 = 512, ou seja, 512 cm3. Agora, escreva para cada cubo representado a seguir uma potência que indique o volume em centímetros cúbicos. Depois, resolva a potência e obtenha esse volume. b) a) 123. 1 728 cm3. 103. 10 cm 1 000 cm3.

3a Para cada triângulo obtido, repetimos a 2a etapa.

4a Para cada triângulo obtido na etapa anterior, repetimos a 2a etapa. Esse processo continua indefinidamente.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

16 cm

162. 256 cm2.

a) Qual é a quantidade de triângulos pretos em cada uma das etapas apresentadas? b) Escreva uma sequência de potências de mesma base para representar a quantidade de triângulos pretos obtida em cada etapa apresentada. 30, 31, 32, 33 c) Sem desenhar a figura da 5a etapa da construção do triângulo de Sierpinski, escreva uma potência que represente a quantidade de triângulos pretos que terá essa figura. Depois, resolva a potência e indique essa quantidade. 34. 81 triângulos pretos.

12 cm

5. a) 1a etapa: 1 triângulo preto; 2a etapa: 3 triângulos pretos; 3a etapa: 9 triângulos pretos; 4a etapa: 27 triângulos pretos. 17

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a representação de multiplicação com fatores iguais por meio de potências. 2. Esta atividade trabalha a representação da área de um quadrado por meio de potên-

cia. Caso julgar necessário, relembrar aos alunos que a área de um quadrado de lado que mede l é dada por l2. 3. Esta atividade trabalha a escrita por extenso e o cálculo de potência com expoente inteiro. 4. Esta atividade trabalha a representação do volume de

e Geometria. Antes de os alunos resolverem os itens, propor a seguinte questão. • O que você entendeu por fractal? E por Triângulo de Sierpinski? Resposta esperada: Fractais são formas geométricas que têm como uma de suas características o fato de poderem ser decompostas em partes representativas do todo. O Triângulo de Sierpinski é um exemplo de fractal formado com base em um triângulo equilátero, em que, a cada etapa da construção, os triângulos são decompostos em quatro triângulos equiláteros congruentes e é “retirado” o triângulo central. Para complementar, ler para eles o trecho a seguir, que apresenta mais informações sobre fractais.

7:55 PM um cubo por meio11/12/18 de potência. Caso julgar necessário, relembrar aos alunos que o volume de um cubo cuja aresta mede a é dado por a3. 5. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de potência e estabelece relação entre as unidades temáticas Números

Outros fractais Um fractal é uma estrutura na qual um padrão é repetido desde larga escala até pequena escala, de maneira que um exame mais próximo da estrutura revela as mesmas figuras ou similares. Há muitas formas quase fractais na natureza, incluindo flocos de neve, árvores, galáxias e ramificações dos vasos sanguíneos. [...] RONNEY, A. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Books do Brasil, 2012. p. 146.

AMPLIANDO Acessar este site para obter mais informações sobre os fractais. • BRASIL. WebEduc – O Portal de Conteúdos Educacionais do MEC. Guia do Professor: conteúdos digitais. Disponível em: <http://livro.pro/5kt95q>. Acesso em: 19 out. 2018. Sugerir aos alunos que acessem este site para observar exemplos de fractais na natureza. • CENTRO DE FÍSICA TEÓRICA E COMPUTACIONAL. Fractais e a geometria da natureza. Disponível em: <http://livro. pro/868vi2>. Acesso em: 19 out. 2018.

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ATIVIDADES 6. Esta atividade trabalha o cálculo de potência utilizando a calculadora. De acordo com o modelo do equipamento, pode haver variações nesse procedimento. Chamar a atenção dos alunos para a quantidade de vezes que devemos

7. a) Resposta esperada: Inicialmente, Rafaela utilizou a 3a propriedade para obter (32)7 = 32 ? 7; em seguida, ela 14 utilizou a 2a propriedade para obter 311 = 314 _ 11. 3 9. Gislaine é biomédica e faz pesquisas em 6. Observe como calcular 154 utilizando uma um laboratório. Investigando certa popucalculadora. lação de bactérias, ela identificou que, a o 1 ) Calculamos a multiplicação 15 ? 15 e cada 30 minutos, essa população duplica. 2 obtemos 15 . 1

225

2o) Em seguida, cada vez que digitamos

biomédica: especialista da área da biomedicina que se dedica à pesquisa de medicamentos.

= , multiplicamos o resultado por 15. 153

154

digitar a tecla = . No item a, por exemplo, após obter o produto 64, multiplicando 8 ? 8, é

Agora, calcule as potências a seguir.

necessário digitar a tecla =

a) 86 262 144

d) 134 28 561

quatro vezes seguidas para obter 86. 7. Esta atividade trabalha a aplicação de propriedades de potências em simplificações. No item a, verificar se os alunos perceberam que Rafaela utilizou a 3a propriedade de potências ao reescrever (32)7 = = 32 ? 7 e a 2a propriedade na 314 igualdade 11 = 314 _ 11. 3 8. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por meio de potência e sua resolução. Conversar com os alunos sobre quais estratégias eles utilizaram. 9. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por meio de potência e sua resolução. Se julgar necessário, lembrar aos alunos como ler as horas em um relógio de ponteiros. Dizer a eles que considerem as horas indicadas nos relógios do esquema como sendo após o meio-dia. No item b, no entanto, caso algum deles tenha considerado o horário antes do meio-dia, considerar corretas as respostas indicadas a seguir: • 13h30: 228 = 268 435 456; 268 435 456 bactérias. • 15 h: 231 = 2 147 483 648; 2 147 483 648 bactérias. • 18 h: 237 = 137 438 953 472; 137 438 953 472 bactérias. 10. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por meio de potência e sua resolução com base em propriedades de potências. Se julgar necessário, retomar o estudo da abertura desta Unidade.

b) 2 512 c) 78 5 764 801

e) 21³ 9 261 f) 175 1 419 857

3375

50625

7. Observe como Rafaela simplificou uma expressão utilizando propriedades de potências. 97 3 11

(3 2) 7 3 11

32 ? 7 3 11

3 14 3 11

= 3 14 _ 11 = 3 3

a) Explique como Rafaela fez para simplificar a expressão, descrevendo as propriedades de potências utilizadas por ela. b) Agora, no caderno, simplifique as expressões a seguir. 123 _3 • 2_2 ? 55 ? 27 105 • 3 66 2 6 8 ?3 • 1 • (36 ? 43) : 63 63 66 8. O professor de Educação Física da escola onde Arthur estuda vai promover uma competição de ginástica. Para isso, ele quer revestir completamente uma região quadrada no pátio. A escola tem disponível 200 placas de EVA idênticas com formato quadrado. Quantas placas de EVA no máximo serão utilizadas, considerando que elas não podem ser sobrepostas? Para resolver essa questão, escreva e calcule uma potência que expresse a quantidade máxima de placas de EVA que serão utilizadas. 142; 196 placas de EVA.

Essa população de bactérias duplica a cada 30 min.

BENTINHO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

21, 22, 23 a) Escreva uma sequência de potências de mesma base que indique a quantidade de bactérias nas observações apresentadas. b) Escreva e resolva, com uma calculadora, uma potência que represente a quantidade de bactérias nessa população às: 27; 128 bactérias. • 13h30. • 15 h. • 18 h. 213; 8 192 bactérias. 24; 16 bactérias. 10. Nas páginas de abertura desta Unidade estudamos os baites e alguns de seus múltiplos. A seguir, são apresentadas outras relações entre essas unidades de medida, usando potências. • 1 kB = 210 B

• 1 GB = 210 MB

• 1 MB = 2 kB

• 1 TB = 210 GB

Observe como podemos estabelecer a relação entre megabaite e baite.

1 MB = 210 ? 210 B = 210 + 10 B = 220 B 1 kB

Copie os itens a seguir no caderno, subspela potência de base tituindo cada 2 adequada. Para isso, utilize as relações entre os múltiplos do baite. a) 1 GB =

kB 220

c) 1 GB =

B 230

b) 1 TB =

kB 230

d) 1 TB =

B 240

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Notação científica

DENISK0/GETTY IMAGES/ISTOCKPHOTO

Quando queremos saber a nossa massa, basta subirmos em uma balança e obtemos o resultado. Mas e o planeta Terra, tem quantos quilogramas de massa?

Notação científica Iniciar o conteúdo desta página conversando com os alunos sobre a importância da notação científica. Espera-se que eles percebam que a notação científica tem como objetivo reduzir a escrita de alguns números, utilizando a potência de base 10. Relembrar aos alunos as regularidades da potenciação de base 10 com expoente natural, em que a quantidade de zeros do resultado é igual ao número do expoente; por exemplo 103 = 1 000. E para a potenciação de base 10 com expoente inteiro negativo, propor-lhes uma atividade investigativa para que calculem o resultado de cada uma das potências a seguir, utilizando a calculadora. _ • 10 1. Resposta: 0,1. _ • 10 2. Resposta: 0,01. _ • 10_3. Resposta: 0,001. • 10 4. Resposta: 0,0001. Em seguida, perguntar aos alunos qual regularidade pode ser observada em relação ao expoente e à quantidade de zeros, antes do algarismo 1. Espera-se que eles percebam que a quantidade de zeros do resultado, assim como a de casas depois da vírgula, corresponde ao módulo do expoente. Para finalizar o trabalho com notação científica nesta página, desenhar uma reta numérica na lousa e indicar alguns números racionais que podem ser assumidos no lugar de a na representação a ? 10n.

Essa questão foi respondida pelo físico britânico Henry Cavendish (1731-1810), que realizou cálculos com base no movimento da Lua ao redor da Terra. Observe a seguir um valor aproximado da massa do nosso planeta.

Retrato de Henry Cavendish.

kg Fontes dos dados: NASA SCIENCE. Solar System Exploration. Disponível em: <https://solarsystem.nasa.gov/planets/earth/by-thenumbers>. LEVADA, C. L. et al. O tributo pelo bicentenário da morte de Henry Cavendish. Caderno de Física da UEFS. n. 8, p. 69-74. jun. 2010. Disponível em: <http://dfisweb.uefs.br/caderno/vol8n12/a3CelsoCavendish.pdf>. Acessos em: 3 abr. 2018.

Note que esse número, que indica a massa em quilogramas, é representado pelos algarismos 5, 9 e 7, seguidos de 22 algarismos 0. Em casos assim, de números muito grandes, podemos utilizar uma escrita abreviada chamada notação científica, em que o número é representado utilizando potências de base 10. Por exemplo:

Assim, a massa aproximada da Terra pode ser indicada por 5,97 ? 1024 kg. Além de números “muito grandes”, também podemos utilizar notação científica para representar números “muito pequenos”. A espessura de um fio de uma teia de aranha, por exemplo, pode ser indicada da seguinte maneira: 0,00015 mm =

1,5 10 000

mm = 1,5 ?

1 10 000

ZITZKE/SHUTTERSTOCK.COM

5 970 000 000 000 000 000 000 000 = 5,97 ? 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 5,97 ? 1024

Teia de aranha.

mm = 1,5 ?

1 104

mm = 1,5 ? 10_4 mm

Fonte dos dados: TEIA de aranha: mais dura que aço. SUPERINTERESSANTE. Disponível em: <https://super.abril.com.br/ciencia/teia-de-aranha-mais-dura-que-aco/>. Acesso em: 15 fev. 2018.

Na notação científica, os números são representados da seguinte maneira: a ? 10n Em que a é um número racional, com 1 < a , 10, e n é um número inteiro.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a representação de números em notação científica usando potência de expoente inteiro. Conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas por eles. Por exemplo, no item a, podemos contar a quantidade de vezes que a vírgula deve ser deslocada para a esquerda, de modo a obtermos um valor de a maior ou igual a 1 e menor do que 10. A quantidade de vezes que a vírgula é deslocada corresponde ao expoente da base 10. No item b, podemos utilizar uma estratégia parecida, porém, nesse caso, contamos a quantidade de vezes que a vírgula é deslocada para a direita e o expoente da base 10 corresponde ao oposto desse valor. 2. Esta atividade trabalha a representação de números em situação contextualizada por meio de notação científica usando potência de expoente inteiro. 3. Esta atividade trabalha cálculos com números expressos em notação científica usando potência de expoente inteiro. Conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas por eles. No item a, por exemplo, a = 6 e o expoente da base 10 é _12. Para escrever esse item por um único número, podemos utilizar o deslocamento de vírgulas: a partir do 6, contamos doze casas decimais para a esquerda. No item b, em que a = 3,45 e o expoente da base 10 é 5, também podemos utilizar essa estratégia, porém deslocamos cinco casas decimais para a direita. 4. Esta atividade trabalha a representação de números em situação contextualizada por meio de notação científica usando potência de expoente inteiro. Explicar aos alunos que dizer que dois números são da mesma ordem de magnitude corresponde a dizer que são de mesma ordem de grandeza e, portanto,

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Escreva os números a seguir utilizando notação científica. c) 54 000 000 5,4 ? 107 a) 158 000 000 000 1,58 ? 1011 b) 0,00000002 2 ? 10_8 d) 1 000 000 000 000 1 ? 1012

e) 0,0000000097 9,7 ? 10_9 f) 0,00000206 2,06 ? 10_6

2. Em cada item, escreva as medidas em destaque utilizando notação científica. a) A massa de certa bactéria é cerca de 0,000000000001 g. 1 ? 10_12 g b) A menor distância observada entre Terra e Marte foi de aproximadamente 55,7 milhões de quilômetros. 5,57 ? 107 km 2,5 ? 10_2 cm c) As vespas Tinkerbella nana, encontradas na Costa Rica, têm cerca de 0,025 cm de comprimento. d) As células humanas têm, em média, cerca de 0,00076 mm de comprimento. 7,6 ? 10_4 mm 3. Efetue os cálculos e represente cada item por um único número. a) 6 ? 10_12 b) 3,45 ? 105 c) 1,07 ? 108 0,000000000006 107 000 000 345 000 4. Leia a reportagem e resolva as questões.

d) 2,6 ? 10_4 0,00026

Estudo derruba mito de que pessoas abrigam 10 bactérias para cada célula [...] O trabalho questiona a estimativa mais conhecida do público, segundo a qual os micro-organismos seriam dez vezes mais numerosos. O novo cálculo, feito por um trio de biólogos de Israel e do Canadá, usou uma versão mais sofisticada da fórmula que deu origem ao número clássico. [...] [...] Após encerrar o trabalho, os cientistas concluíram que um humano de referência – um homem de 20 a 30 anos, com 1,70 m de altura e 70 kg – abriga cerca de 39 trilhões de bactérias e possui cerca de 30 trilhões de células. Como a população de bactérias é muito variável, [...] os dois números são “da mesma ordem de magnitude”, e não diferem de 10 para 1, como se pensava. [...] ESTUDO derruba mito de que pessoas abrigam 10 bactérias para cada célula. G1. Disponível em: <https://g1.globo.com/cienciae-saude/noticia/estudo-derruba-mito-de-que-pessoas-abrigam-10-bacterias-para-cada-celula2.ghtml>. Acesso em: 16 fev. 2018.

a) Qual das afirmativas a seguir é defendida nessa reportagem? II. I. No corpo humano há cerca de 10 bactérias para cada célula. II. A quantidade de bactérias no corpo humano é similar à de células. b) Utilizando notação científica, escreva a quantidade de bactérias e de células no corpo humano calculadas nessa pesquisa. 3,9 ? 1013 bactérias; 3 ? 1013 células. 5. Observe como Célia realizou uma multiplicação e uma divisão com números representados com notação científica.

• (1,5 ? 109) ? (8 ? 105) = 1,5 ? 8 ? 109 ? 105 = 12 ? 1014 = 1,2 ? 1015 • (7,65 ? 108) : (9 ? 105) =

7,65 ? 108 9 ? 10

7,65 ? 103 ? 105 9 ? 10

7 650 9

= 850 = 8,5 ? 102

No caderno, realize os cálculos a seguir e indique a resposta em notação científica. c) (6,8 ? 106) ? (5,5 ? 104) 3,74 ? 1011 a) (2,25 ? 10_3) ? (4 ? 105) 9 ? 10² 7 8 _1 d) (2,94 ? 109) : (3,5 ? 10³) 8,4 ? 105 b) (8,4 ? 10 ) : (2,1 ? 10 ) 4 ? 10 20

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similares. No texto, por exemplo, a quantidade de bactérias e de células do corpo humano são da classe dos trilhões, décima quarta ordem: dezena de trilhão. É importante que eles compreendam essa relação para resolver o item a.

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cada uma delas. Reforçar que, apesar do nome ano-luz, esta é uma unidade utilizada para medir distância. Ao apresentar o cálculo para obter a distância entre a estrela Epsilon Crucis e a Terra, mostrar aos alunos que existe uma proporção que permite realizar esse cálculo.

6. As estrelas são corpos celestes que geram energia em seu interior. Por exemplo, o Sol é uma estrela, mas a Lua não, ela só parece estar iluminada devido à luz solar. Aliás, o Sol é a estrela mais próxima da Terra, estando a aproximadamente 1,5 ? 10 8 km de distância. Observe informações sobre cinco estrelas que compõem a constelação do Cruzeiro do Sul. Para identificá-las, podemos localizar no céu quatro estrelas entre as que aparentemente brilham mais e formam a figura de uma cruz, com a quinta estrela, Epsilon Crucis, próxima a elas.

É a menor das constelações, mas é uma das mais conhecidas por quem vive no Hemisfério Sul, onde é possível observá-las.

Delta Crucis (Pálida): distante 2,43 ? 1015 km da Terra.

Gama Crucis (Rubídea): distante 8,33 ? 1014 km da Terra.

Beta Crucis (Mimosa): distante 4,01 ? 1015 km da Terra.

Epsilon Crucis (Intrometida): distante 5,49 ? 1014 km da Terra.

Distância (em ano-luz)

Distância (em km)

9,46 ? 1012

5,49 ? 1014

1 9,46 ? 1012 = x 5,49 ? 1014 9,46 ? 1012 ? x = = 1 ? 5,49 ? 1014

Alfa Crucis (Magalhães): distante 3,4 ? 1015 km da Terra.

5,49 ? 1014 9,46 ? 1012 Esclarecer que o resultado corresponde a uma aproximação para a unidade inteira mais próxima e, uma sugestão, é também utilizar essa aproximação na resolução do item b. No item c, explicar que noite de céu limpo corresponde a uma noite com pouca ou nenhuma nuvem.

ARTUR FUJITA

Fonte dos dados: SOUZA, T. C. de. Cruzeiro do Sul (jardim do céu na Terra). Disponível em: <www.cdcc.usp.br/cda/jct/ cruzeiro-sul/index.html>. Acesso em: 1º- mar. 2018.

Podemos indicar as distâncias apresentadas no esquema com a unidade ano-luz, que é bastante utilizada pelos astrônomos: 1 ano-luz corresponde à distância que a luz percorre, no vácuo, em um ano e equivale a aproximadamente 9,46 ? 1012 km. Para expressar, em anos-luz, a distância entre a estrela Epsilon Crucis e a Terra, por exemplo, podemos realizar o seguinte cálculo: Distância entre a estrela e a Terra (em km)

5,49 ? 1014 9,46 ? 10

5,49 ? 102 ? 11012 9,46 ? 10 1

549 9,46

1 58, ou seja, aproximadamente 58 anos-luz.

Medida de 1 ano-luz (em km)

a) Quais são as estrelas da constelação do Cruzeiro do Sul apresentadas no esquema? b) Com uma calculadora, determine as distâncias aproximadas, em ano-luz, entre a Terra e cada uma das quatro estrelas do Cruzeiro do Sul que formam a figura de uma cruz no céu. c) Em uma noite de céu limpo, tente identificar a constelação do Cruzeiro do Sul. Em uma folha de papel sulfite, represente essa constelação, indicando o nome de cada estrela. Resposta pessoal. 6. a) Alfa Crucis (Magalhães), Beta Crucis (Mimosa), Delta Crucis (Pálida), Epsilon Crucis (Intrometida) e Gama Crucis (Rubídea). 6. b) Alfa Crucis: 359 anos-luz; Beta Crucis: 424 anos-luz; Delta Crucis: 257 anos-luz; Gama Crucis: 88 anos-luz. 21

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5. Esta atividade trabalha cálculos com números expressos em notação científica usando propriedades de potências de expoente inteiro. Nos exemplos apresentados, verificar se os alunos perceberam que em ambos foi utilizada a 1a propriedade de potências: na multiplicação, para escrever

109 ? 105 = 1014; e na divisão, para escrever 108 = 103 ? 105. Explicar aos alunos que, além de auxiliar na representação de números “muito grandes” ou “muito pequenos”, o uso da notação científica também pode contribuir na realização de cálculos com esses números.

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6. Esta atividade trabalha a representação de números em situações contextualizadas por meio de notação científica usando potência de expoente inteiro e cálculos com suas propriedades. Dizer aos alunos que o nome entre parênteses das estrelas se refere ao nome popularmente conhecido de

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RADICIAÇÃO Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA02. Iniciamos o trabalho com radiciação explorando a raiz de números racionais não negativos e, em seguida, apresentamos a raiz de números racionais negativos, bem como a existência ou não dessa raiz no conjunto dos números reais. Apresentar os seguintes exemplos aos alunos, questionando-os sobre as regularidades em relação ao índice da raiz e ao expoente do número na potência. 25 = 5, pois 52 = 5 ? 5 = = 25.

•

Radiciação Leia a tirinha e a situação apresentada em seguida.

ARMANDINHO, DE ALEXANDRE BECK

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

BECK, A. Armandinho Nove. Florianópolis: A. C. Beck, 2016. p. 11.

O jogo com o qual as crianças estão brincando foi confeccionado por eles. Para fazer o tabuleiro com 400 cm² de área, eles desenharam um quadrado em uma cartolina e o recortaram. Quantos centímetros tinha cada lado dessa figura de quadrado? Para resolver essa situação, ou seja, obter a medida do lado da figura de quadrado, em centímetros, temos de determinar um número que, elevado ao quadrado, resulta em 400. Observe algumas tentativas:

64 = 4, pois 43 =

= 4 ? 4 ? 4 = 64 3

81 = 3, pois 3 = = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 É importante ficar evidente que o índice da raiz corresponde à quantidade de vezes que um número deve ser multiplicado por ele si mesmo na relação com a potenciação.

•

Medida do lado do quadrado (cm)

Área do quadrado (cm2)

172 = 17 ? 17 = = 289

182 = 18 ? 18 = = 324

192 = 19 ? 19 = = 361

202 = 20 ? 20 = = 400

Assim, o quadrado desenhado pelas crianças tinha 20 cm de lado. Ao determinar o número positivo que, elevado ao quadrado, resulta em 400, obtemos a raiz quadrada de 400, que pode ser indicada da seguinte maneira: índice 2

radical

400 = 20

radicando

raiz

Lê-se: a raiz quadrada de 400 é igual a 20. Para representar uma raiz quadrada, costumamos não indicar o índice. Nesse exemplo, podemos escrever 400 = 20. Exemplos •

121 = 11, pois 112 = 11 ? 11 = 121.

•

6,25 = 2,5, pois (2,5) = 2,5 ? 2,5 = 6,25. Lê-se: a raiz quadrada de 6,25 é igual a 2,5.

•

4 = 2 , pois [ 2 ] = 2 ? 2 = 4 . 9 3 3 3 3 9

Lê-se: a raiz quadrada de 121 é igual a 11.

Lê-se: a raiz quadrada de

4 2 é igual a . 9 3

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• Existe um número racional que seja raiz quarta de _16, ou seja, existe um número que elevado a quarta potência seja igual a _16? • Considere as tentativas: I) (_2)4 = (_2) ? (_2) ? (_2) ? ? (_2) = (+4) ? (_2) ? (_2) = = (_8) ? (_2) = 16 II) 24 = 2 ? 2? 2? 2 = 16 Note que (_2)4 5 _16 e 24 5 _16. Assim, podemos concluir que a raiz quarta de _16 não é _2 ou 2. • Existe um número racional que seja raiz quinta de _243, ou seja, existe um número que elevado a quinta potência seja igual a _243? Considere as tentativas: I) (_3)5 = (_3) ? (_3)? ? (_3) ? (_3) ? (_3) = _243 II) 35 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 243

Também podemos calcular raízes com índices iguais a outros números naturais maiores do que 1. Observe os exemplos. •

27 Lê-se: a raiz cúbica de 27. Para calcular 3 27 temos que obter um número que, elevado ao cubo, seja igual a 27. Tentativas: 13 = 1 ? 1 ? 1 = 1 23 = 2 ? 2 ? 2 = 8 33 = 3 ? 3 ? 3 = 27 Assim,

27 = 3.

•

625 Lê-se: a raiz quarta de 625. Para calcular 4 625 temos que obter um número positivo que, elevado à quarta potência, seja igual a 625. Tentativas: 34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 44 = 4 ? 4 ? 4 ? 4 = 256 54 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 625 Assim,

625 = 5.

Sendo a e b números racionais não negativos e n um número natural maior do que 1, dizemos que n a = b se e somente se bn = a.

Raiz de um número negativo

Existe um número racional que seja raiz quadrada de –9?

Amanda estudou como calcular raízes de números não negativos. Agora, ela tem uma dúvida. Observe. Para responder à questão de Amanda, temos de relembrar que:

Nesse caso, _243 = _3. Ao explorar esses dois exemplos, evidenciar aos alunos que se elevarmos um número racional negativo a um expoente par, o resultado será positivo, e que se elevarmos a um expoente ímpar, o resultado será negativo.

• ao multiplicar dois números positivos, o produto é positivo. Exemplo: 3 ? 3 = 9. • ao multiplicar dois números negativos, o produto é positivo. Exemplo: (_3) ? (_3) = 9.

(_2) ? (_2) ? (_2) = (+4) ? (_2) = _8 Assim,

_8 = _2.

DAYANE RAVEN

Assim, podemos dizer à Amanda que não existe um número racional que seja raiz quadrada de _9, pois não existe número racional que elevado ao quadrado tenha resultado negativo. Agora, vamos analisar a raiz cúbica de um número negativo. Por exemplo, 3 _8 . Nesse caso, temos que determinar um número racional que elevado ao cubo seja igual a _8. Observe:

Lembre-se de que, ao multiplicar um número negativo por um número positivo, o produto é negativo.

Podemos calcular a raiz de um número racional negativo quando o índice dessa raiz for um número natural ímpar maior que 1.

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Na relação " a = b se e somente se bn = a", explicar aos alunos que a expressão “se e somente se”, nesse caso, signin fica que, se tivermos a = b, n então teremos b = a e se tivermos bn = a, então teremos n que a = b.

Raiz de um número negativo Antes de iniciar o trabalho com a raiz de um número negativo, se julgar necessário, retomar com os alunos as operações de multiplicação com dois fatores positivos e

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com dois fatores negativos. O estudo dessas operações foi apresentado na Unidade 2 do Volume 7 desta coleção. Para auxiliar os alunos na compreensão do cálculo da raiz de um número racional negativo, explorar os seguintes exemplos:

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tecla

, uma vez que não

são todos os modelos de calculadora que possuem esta tecla. 6. Esta atividade trabalha uma estratégia de cálculo envolvendo a relação entre potenciação e radiciação. Perguntar aos alunos o que eles acharam da estratégia utilizada por Mariana. É importante que eles percebam que calcular a raiz quadrada dessa maneira pode deixar o cálculo mais prático, uma vez que representamos o radicando na forma de fração decimal e, em seguida, calculamos a raiz quadrada de cada um dos termos da fração, que nesse caso são números naturais com raiz quadrada exata.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Calcule. a) b) c)

49 7

144 12

125 5

4 5

Agora, com uma calculadora, determine a medida do lado de cada quadrado cuja área está indicada. c) 16,8921 m2 4,11 m a) 38,44 m2 6,2 m 2 b) 15,21 m 3,9 m d) 29,8116 m2 5,46 m

1 1 36 6 h) 3 _64 g)

81 3 _32 −2

−4

1,96 1,4

2. Na aula de Geografia, os alunos de uma turma do 8o ano vão construir uma maquete do bairro onde fica a escola. Eles querem pintar em uma placa de isopor a figura de um quadrado, com 64 cm2 de área, para representar a região ocupada pela escola. Quais devem ser as medidas dos lados desse quadrado? 8 cm. 3. Fábio está com sua mãe em um petshop escolhendo um pequeno aquário para comprar. Observe duas opções de aquários de formato cúbico. Capacidade 27 L. R$ 38,50

6. Observe como Mariana fez para calcular a raiz quadrada do número decimal 0,09. 0,09 = Rascunho:

9 3 = 0,3 = 100 10

3 3 9 ? = 10 10 100

Escrevi o número 0,09 na forma de fração para calcular a raiz quadrada. Depois, escrevi o resultado na forma de número decimal.

Capacidade 8 L. R$ 29,90

a) Quantos decímetros de aresta tem o aquário menor? E o aquário maior? 2 dm. 3 dm. b) A mãe de Fábio comprou o aquário menor e pagou com uma cédula de R$ 100,00. Quanto ela recebeu de troco? R$ 70,10.

• Agora, no caderno, calcule as seguintes raízes:

4. Em cada item, determine um número que deve substituir o para que a igualdade seja verdadeira. a) b)

81 = 4

= 4 256

10 000 = 10 4 3

216 =

5. Você se lembra de como calcular a raiz quadrada de um número na calculadora? Observe, por exemplo, a sequência de teclas que devem ser pressionadas para obter a raiz quadrada de 4,2025. 4

0,16 0,4

0,81 0,9

1,44 1,2

0,0001 0,01

DAYANE RAVEN

7. A figura a seguir pode ser decomposta em cinco quadrados com áreas iguais a 25 cm2, 16 cm2, 9 cm2, 4 cm2 e 1 cm2. Qual é o perímetro dessa figura? 40 cm

EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo de raízes de números inteiros. Conversar com os alunos que uma estratégia para resolver esta atividade é por meio de tentativas, assim como foi trabalhado nas páginas anteriores. Sugestão: propor que resolvam esta atividade em duplas, uma vez que um pode auxiliar o outro. 2. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada por meio da relação entre potenciação e radiciação. 3. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada por meio da relação entre potenciação e radiciação. Relembrar com os alunos que 1 dm3 corresponde a 1 L. 4. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo raiz de número inteiro. 5. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação por meio de relação entre potenciação e radiciação com o uso da calculadora. Verificar a possibilidade de levar calculadoras para a sala de aula. Caso a quantidade de equipamentos não seja suficiente, organizar os alunos em grupos, para que possam realizar esta atividade. É importante também conferir se esses equipamentos têm a

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

BENTINHO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2.05

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7. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada por meio de relação entre potenciação e radiciação. Conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas por eles para resolver esta atividade. Uma estratégia é determinar, primeiramente, a medida do lado de cada fi-

gura de quadrado, utilizando a raiz quadrada.

• Quadrado de área 4 cm2:

• Quadrado de área 25 cm2:

• Quadrado de área 1 cm2:

25 = 5, ou seja, 5 cm.

• Quadrado de área 16 cm2: 16 = 4, ou seja, 4 cm.

• Quadrado de área 9 cm2:

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4 = 2, ou seja, 2 cm. 1 = 1, ou seja, 1 cm. Com isso, é possível obter os demais lados da figura, que não correspondem aos lados dos quadrados.

9 = 3, ou seja, 3 cm.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Raiz quadrada exata e raiz quadrada aproximada de um número

Raiz quadrada exata e raiz quadrada aproximada de um número Dizer aos alunos que a estratégia para determinar a raiz quadrada exata de um número por meio de estimativas e tentativas pode também ser utilizada para obter a raiz com outros índices. Ver a seguir o exemplo de como obter a raiz cúbica de 1 728. 1a) Podemos estimar que 3 1 728 é um número entre 10 e 20, pois 1 728 está compreendido entre 1 000 e 8 000. 1 000 , 1 728 , 8 000

Para calcular uma raiz quadrada, podemos utilizar diferentes estratégias. Uma delas é realizar estimativas e tentativas. Observe, por exemplo, como Raul calculou

1 849 com base

nessa estratégia.

Estimei que 1 849 é um número entre 10 e 100, pois 1 849 está compreendido entre 100 e 10 000.

100 , 1 849 , 10 000 102 1002

Calculei o quadrado das dezenas inteiras de 10 a 100.

2a a 10 20 30

103

2) a

100

203

Podemos

verificar

1 728 é maior ou menor do que 15. 15³ = 3 375 Como 1 728 , 3 375, te-

a2 100 400 900 1 600 2 500 3 600 4 900 6 400 8 100 10 000

1 600 , 1 849 , 2 500 502 402

mos que 1 728 é um número entre 10 e 15. 3a) Calculamos o cubo de alguns números naturais entre 10 e 15. 113 = 1 331 123 = 1 728

Verifiquei que o número 1 849 está compreendido entre os quadrados de 40 e 50.

4a 412 = 1 681 422 = 1 764 432 = 1 849

Calculei o quadrado de alguns números naturais entre 40 e 50 até obter 1 849. Assim, obtive 1 849 = 43.

LEO TEIXEIRA

Portanto, 1 728 = 12.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Agora, observe como Fátima calculou

Para complementar a explicação apresentada no boxe Dica, propor aos alunos que façam o cálculo da raiz quadrada com a aproximação de duas casas decimais. Como 85 está entre 9,2 e 9,3, explicar a eles que temos de calcular o quadrado de alguns números racionais entre 9,2 e 9,3 e identificar qual deles é o mais próximo de 85. (9,21)2 = 84,82411 e 84,8241 , 85. (9,22)2 = 85,0084 e 85,0084 . 85. Como 85 está mais próximo de 85,0084 do que de 84,8241, podemos dizer que 85 é aproximadamente 9,22.

1a 1 , 85 , 100 12 102

Estimei que 85 é um número entre 1 e 10, pois 85 está compreendido entre 1 e 100. 2a

Calculei o quadrado dos números inteiros de 1 a 10.

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Verifiquei que 85 está compreendido entre os quadrados de 9 e 10.

81 , 85 , 100 92 102

Como não existem números naturais entre 9 e 10, calculei o quadrado de alguns números racionais entre eles com uma casa decimal até obter um resultado próximo a 85.

Verifiquei que 85 está compreendido entre os quadrados de 9,2 e 9,3.

LEO TEIXEIRA

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a estimativa da raiz quadrada aproximada de um número natural e a associação dessa estimativa a um ponto na reta numérica. Conversar com os alunos que uma estratégia para resolver esta atividade é utilizar estimativas para determinar entre quais números naturais se encontra cada raiz quadrada. 2. Esta atividade trabalha o cálculo da raiz quadrada exata e aproximada de um número natural. Após a resolução, sugerir aos alunos que confiram as respostas com a calculadora. 3. Esta atividade trabalha a relação entre a potenciação e a radiciação em um contexto envolvendo o uso da calculadora. Dizer aos alunos que o resultado indicado no visor da calculadora corresponde a um valor aproximado. Para auxiliar os alunos, propor os seguintes questionamentos. • Se a raiz quadrada de um número é 3, qual é esse número? Como você fez para determinar esse número? Resposta: 9. Resposta esperada: Calculei 32. • Se a raiz quadrada de um número é 1,8, qual é esse número? Como você fez para determinar esse número? Resposta: 3,24. Resposta esperada: Calculei (1,8)2.

85 utilizando a mesma estratégia de Raul.

(9,1) 2 = 82,81 e 82,81 , 85. (9,2)2 = 84,64 e 84,64 , 85. (9,3)2 = 86,49 e 86,49 . 85.

5a 84,64 , 85 , 86,49 (9,3)2 (9,2)2

Como 85 está mais próximo de 84,64 do que de 86,49, podemos dizer que 85 é aproximadamente 9,2.

Podemos indicar que 85 é aproximadamente 9,2 da seguinte maneira: 85 1 9,2. Para obter um valor aproximado para 85 até os centésimos, podemos calcular o quadrado dos números entre 9,2 e 9,3 com duas casas decimais e proceder de maneira parecida com a realizada por Fátima.

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

484 22

1 225 35

b) 28 d) 124 Aproximadamente 11,1. Aproximadamente 5,3. 3. Com uma calculadora, Tiago obteve a raiz quadrada de um número natural. Observe o resultado que apareceu no visor.

8.0622577

Escreva a sequência de teclas que Tiago pressionou para obter esse resultado. 4. Junte-se a um colega e observem a sequência de figuras compostas por representações de quadrados idênticos. n

Figura Quantidade de quadrados

D Área: = 52 cm2

A: 30; B: 49; C: 70; D: 84; E: 95. 2. Determine o resultado exato ou aproximado, com uma casa decimal, de cada raiz quadrada a seguir. a)

84 D

5. Na figura a seguir, ABDE representa um quadrado.

… …

1² = 1 2² = 4 3² = 9 …

Nesta sequência, a Figura n é composta de n² representações de quadrados, sendo n um número natural. a) Quantas representações de quadrados compõem a Figura 4? E a Figura 10? b) Nessa sequência, há alguma figura composta de exatamente: • 225 representações de quadrados? Sim.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1. Realize cálculos mentais e, com estimativas, associe cada número do quadro a um ponto na reta numérica a seguir. 70

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

20 cm

Podemos dizer que o valor mais próximo de BC é: b. a) 10 cm. c) 12,4 cm. e) 13,5 cm. b) 12,8 cm. d) 13 cm. 6. Podemos verificar se certo número natural tem como raiz quadrada outro número natural realizando decomposição em fatores primos. Observe os exemplos. • 784 784 2 2 392 2 2 196 2 2 98 2 2 49 7 2 7 7 7 1 784 = 22 ? 22 ? 72 = (2 ? 2 ? 7)2 = 282 Como podemos decompor 784 em um produto de quadrados de números primos, temos que 784 é um número natural. Nesse caso, 784 = 28. 500 2 • 500 2 250 2 2 125 5 2 25 5 5 5 5 1 500 = 22 ? 52 ? 5 Como não podemos decompor 500 em um produto de quadrados de números primos, temos que 500 não é um número natural. Verifique quais das raízes quadradas a seguir têm como resultado um número natural e calcule-as. b: 18; d: 45; e: 44. c) 1 800 e) 1 936 a) 588

• 220 representações de quadrados? Não. Resposta pessoal. b) 324 Registrem como vocês resolveram esse item. 4. a) 16 representações de quadrados. 100 representações de quadrados.

2 025 27

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4. Esta atividade trabalha a relação entre a potenciação e a radiciação em um contexto envolvendo sequência numérica e figural. Explicar aos alunos que os números cuja raiz quadrada é um número natural são chamados de números quadrados perfeitos. Dizer a eles que os números 1, 4, 9, 16, 100 e 225, apresentados nesta atividade, são exemplos de números quadrados perfeitos. Verificar qual estratégia os alunos utilizaram para resolver o item b. Uma possível estratégia é considerar que a potenciação e a radiciação são operações inversas e que a quantidade de representações de quadrados de cada figura deve corresponder ao quadrado de um número natural. Assim, como 225 = 15, existe uma figura nessa sequência composta de 225 representações de quadrados (Figura 15). Já como 220 não é exata, não existe uma figura nessa sequência composta de exatamente 220 representações de quadrados. 5. Esta atividade trabalha o cálculo aproximado da raiz quadrada de um número natural em uma situação contextualizada. Para auxiliar os alunos na resolução, propor os seguintes questionamentos. • Quanto mede o segmento de reta AC? Resposta: 20 cm. • Qual é a relação entre os segmentos de reta AB e BC com o segmento de reta AC? Resposta: A medida do segmento de reta AC é igual a soma das medidas dos segmentos de reta AB e BC. • Como é possível determinar a medida de AB, em centímetros? Resposta esperada: Calculando o valor de 52. 6. Esta atividade trabalha uma estratégia para verificar se a raiz quadrada de um número natural também é um número natural por meio da relação entre a potenciação e a radiciação. Explicar aos alunos que podemos calcular a raiz quadrada aproximada de 500 utilizando a mesma estratégia apresentada na página anterior.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Potências com expoente fracionário As definições e propriedades utilizadas nos cálculos apresentados nesta página foram realizados considerando as restrições indicadas no desenvolvimento desta Unidade. Reforçar com os alunos que, ao escrevermos uma potência na forma de radical ou um radical na forma de uma potência, não estamos alterando o resultado, apenas estamos escrevendo de uma maneira diferente, conforme for mais conveniente. Por exemplo, com o que foi estudado até o momento, não conseguimos calcular o resultado de uma

Potências com expoente fracionário Nesta Unidade, até o momento, estudamos potências em que os expoentes são números inteiros: positivos, negativos ou zero. Observe a dúvida de Felipe. Para responder à questão de Felipe, inicialmente 3

vamos calcular a potência 4 2 como exemplo. Observe. 3

Como posso calcular uma potência cuja base é um número positivo e o expoente é um número racional na forma de fração?

1a) Considere x = 4 2 , com x . 0. Assim, usando a propriedade de potências am ? an = am + n, temos: 3

x2 = x ? x = 4 2 ? 4 2 = 4 2

3 2

= 4 2 = 43

2a) Como sabemos que se bn = a, então segue que: x2 = 43, então x =

a = b,

potência como 42 , porém, ao reescrevê-la na forma de um 2 radical 43 , podemos obter o resultado que, nesse caso, é 8.

3 2

concluir que 4 = cálculos: 3

42 =

43, podemos

43. Por fim, realizamos os

43 =

DAYANE RAVEN

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a relação entre raiz e potência de expoente fracionário. 2. Esta atividade trabalha a representação de uma raiz por meio de uma potência de expoente fracionário. Verificar se os alunos perceberam que o denominador da fração correspondente ao expoente da potência é igual ao índice da raiz inicial. 3. Esta atividade trabalha o cálculo de potência de expoente fracionário por meio da relação entre potenciação e radiciação.

3a) Das igualdades x = 4 2 e x =

64 = 8

Portanto, 4 2 = 8.

Sendo a um número racional positivo, m e n números naturais tais que m . 0 e n . 1, tem-se que: m n a n = am Assim, podemos dizer a Felipe que, para calcular uma potência cuja base é um número positivo e o expoente é um número racional na forma de fração, é possível escrevê-la como um radical. Um radical, por sua vez, também pode ser escrito como uma potência. Exemplos 4

• 73 =

2 3

•

• 95 =

112 = 11 5 1

5 = 52

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Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Para cada item, determine que número deve substituir cada letra para que a igualdade seja verdadeira. 9

a) 2 4 =

d) 149 = 9 14D D: 2.

29 A: 4.

b) 5 7 = 7 510 B: 10.

e) 3 E =

c) 6C =

f) 11 F =

65 C: 2.

610 6 9

15 15 10

113

132 13 5

3. Calcule as potências. 1

a) 49 2 7

c) 9 2 27

b) 8 3 4

6. Na sequência a seguir, cada termo, a partir do 2o, é igual ao quadrado do termo anterior. Determine o radical correspondente 16 32 a cada letra. A: 2 ; B: 2 ; C: 2 . A

3 E: 8.

2. Escreva os radicais a seguir na forma de potência. 3 7 4 4 2 3 7 4 22 c) e) 87 8 4 22 7 a) 9 9 b)

1. f) F e G correspondem a um mesmo número, que pode ser qualquer número natural maior que 1.

d) 4 2 32

• No caderno, elabore um problema envolvendo sequência de números expressos com radicais. Depois, troque esse problema com um colega para que um resolva o problema elaborado pelo outro. Juntos, confiram as respostas. Resposta pessoal. 7. Clara e Túlio estão brincando com um jogo de dardos na aula de Matemática, em que cada participante, na sua vez, lança três dardos e adiciona os pontos obtidos. O vencedor é o participante com a maior soma. Observe onde Clara e Túlio acertaram cada um dos três dardos.

9 5

a) 3 3

[ ] b) 3 6 7

c) 9 2 3

[ ] d) 3 15 6

BENTINHO

4. Associe cada potência a um valor do quadro.

e) (93) 9 3 2

7 8 4

[ ] f) 3 7 9

5. Observe os cálculos de Igor para determinar a área do retângulo cujos lados medem 5 cm e 4 5 cm.

Área: =

53 =

5 = 52 ? 54 = 52 125, ou seja,

1 4

= 54 =

125 cm2

Clara

Túlio

81 4

32 5

a) Determine a soma obtida por Clara e por Túlio. Clara: 13 pontos; Túlio: 10 pontos. b) Quem venceu essa partida? Clara. c) Descreva como é possível obter 12 pontos lançando e acertando três dardos nesse jogo.

a) Que propriedade de potências Igor utilizou em seus cálculos? am ? an = am + n

8. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo cálculos com potências b) Realize cálculos e expresse por meio de de expoente fracionário. Em seguida, junum radical a área de um retângulo te-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, de 3 10 cm de comprimento e 9 10 cm 9 de largura. 10 000 cm2. verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 7. c) Respostas possíveis: Acertando cada um dos três dardos na região roxa; acertando um dardo na região vermelha e dois na região amarela. 29

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4. Esta atividade trabalha a relação entre raiz e potência de expoente fracionário e propõe o uso de propriedades das potências. Sugerir aos alunos que retomem as propriedades de potência estudadas na página 16 desta Unidade. Chamar a atenção deles para o fato de que em

alguns itens é preciso simplificar as frações. 5. Esta atividade trabalha a relação entre raiz e potência de expoente fracionário e propõe o uso de propriedades das potências. 6. Esta atividade trabalha a resolução e a elaboração pelo aluno de problema envolven-

Espera-se que eles percebam que o valor do radicando não se altera, enquanto o valor do índice foi dividido por 2. É importante avaliar se os problemas elaborados pelos alunos contemplam ideias relacionadas a sequências de números expressos com radicais. 7. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, a relação entre raiz e potência de expoente fracionário e propõe o uso de propriedades das potências. Para resolver esta atividade, os alunos terão de determinar o valor de uma expressão numérica composta de adições, cujas parcelas são potências com expoentes fracionários. Caso eles tenham dificuldades, orientá-los a calcular primeiramente todas as potências e, depois, obter a soma. 8. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno envolvendo a relação entre potenciação e radiciação. É importante avaliar se os problemas elaborados pelos alunos contemplam ideias envolvendo cálculos com potências de expoente fracionário. É possível que eles proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si essas produções. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

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do a relação entre raiz e potência de expoente fracionário em uma situação envolvendo com sequência numérica. Para auxiliá-los a identificar o padrão da sequência, questioná-los sobre o que ocorreu com o valor do radicando e o do índice do terceiro para o quarto termo da sequência.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

integrando com Ciências e língua portuguesa

Folder da campanha Febre Amarela de 2017, da Prefeitura de Salvador.

SUS/SECRETARIA DA SAÚDE/PREFEITURA DE SALVADOR

INTEGRANDO COM CIÊNCIAS E LÍNGUA PORTUGUESA Esta seção propicia uma abordagem relacionada às competências gerais 4 e 8 e à competência específica 8 de Matemática da BNCC, uma vez que trata de um tema relacionado à saúde física, utilizando diferentes tipos de linguagem, como a verbal e a visual, bem como a exploração deste tema na interação dos alunos com seus colegas e professores, trabalhando de forma cooperativa para produzir uma campanha de conscientização. Visto que esta seção tem relação com as disciplinas de Ciências e de Língua Portuguesa, verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com os professores dessas disciplinas. Antes de trabalhar com as questões propostas, é importante explorar com os alunos o que é um folder e qual a sua importância. Para isso, promover uma conversa com eles, a partir de alguns questionamentos, como os apresentados a seguir. • Vocês já viram algum folder? Em caso afirmativo, qual era o tema tratado? • E este folder apresentado nesta página, do que se trata? • Vocês acham importante este tipo de divulgação? • Vocês sabem qual é o objetivo de um folder? Explicar aos alunos que o folder é uma impressão, geralmente uma folha com uma ou mais dobras, que tem por objetivo apresentar algum conteúdo informativo ou publicitário. No caso do folder apresentado nesta seção, o objetivo é informar sobre a febre amarela: o que é; quais são os sinais e os sintomas; quem pode contrair a doença etc. Chamar a atenção dos alunos para a importância deste tipo de divulgação em campanhas como estas. Por exemplo, se a população tem

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em mãos um folder desses com informações sobre a febre amarela, é provável que as pessoas identifiquem com mais facilidade os sintomas da doença e, com isso, procurem um médico o quanto antes.

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Resoluções a partir da p. 257

1. De acordo com as informações apresentadas, responda às questões.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Esse vírus é da família Flaviviridae, e seu comprimento é entre 40 e 60 nanômetros.

O contágio desse vírus ficou controlado durante muitos anos no Brasil. Porém, em 2017 começou a crescer a quantidade de casos, gerando um surto preocupante no país.

A fêmea do mosquito introduz aproximadamente de 1 000 a 100 000 partículas virais durante a picada.

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

A origem do vírus é africana.

No Brasil, a doença surgiu em 1685 em uma região onde atualmente é o estado de Pernambuco. O contágio pelo ciclo urbano ocorreu pela última vez em 1942.

Fontes dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Febre amarela: sintomas, tratamento, diagnóstico e prevenção. Disponível em: <http://saude.gov.br/saude-de-a-z/febre-amarela-sintomas-transmissao-e-prevencao>. UIP, D. Febre amarela: a doença e a vacina. Veja. Disponível em: <https://veja.abril.com.br/blog/ letra-de-medico/febre-amarela-a-doenca-e-a-vacina/>. Acessos em: 22 fev. 2018.

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2. No item c, explicar aos alunos que jingle se refere a uma mensagem em forma de música, que tem como característica ser lembrada facilmente e que geralmente é de curta duração. Para auxiliá-los na produção da campanha sobre a febre amarela, uma sugestão é definir algumas orientações, como as indicadas pelos questionamentos a seguir. • Qual será o público-alvo? • Qual será o meio utilizado para divulgar as informações (jingle, vídeo, blog)? • Como será feita a divulgação do jingle, vídeo ou blog? • Quais serão as informações apresentadas? • Por qual tarefa cada aluno do grupo vai ser responsável? • Quais materiais são necessários para a produção dessa campanha? Após a elaboração da campanha, é interessante que os alunos possam divulgar seus trabalhos para todos os outros da escola ou para a comunidade escolar.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre a febre amarela. • BRASIL. Ministério da saúde. Febre amarela: Causas, sintomas, diagnósticos, prevenção e tratamento. Disponível em: <http://livro.pro/iszs5g>. Acesso em: 19 out. 2018. Sugerir aos alunos que assistam a este vídeo sobre a febre amarela. • FEBRE AMARELA. Disponível em: <http://livro.pro/rfcvvi>. Acesso em: 19 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas com o propósito de construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Potenciação

Potência com

Propriedades

expoente inteiro

de potências

Raiz quadrada exata de um número

Raiz de um número negativo

Radiciação

Notação científica

Raiz quadrada aproximada de um número

Potências com expoente fracionário

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Potências e raízes

Radiciação

Potenciação Potência com expoente inteiro

Potências com expoente fracionário

Propriedades de potências

Notação científica

Raiz de um número negativo

Raiz quadrada exata de um número

Raiz quadrada aproximada de um número

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL As lâminas para microscopia são placas de vidro utilizadas em análises laboratoriais.

BENTINHO

Em certo experimento, Roger quantificou 230 000 bactérias na região quadrada de 2,25 cm2 de uma lâmina microscópica, conforme a figura seguir.

Região quadrada com as bactérias.

3. No item I, verificar a estratégia utilizada pelos alunos para obter a raiz quadrada de 2,25. Uma sugestão é utilizar a estratégia apresentada na atividade 6 da página 24 desta Unidade. Ver a seguir. 225 15 • 2,25 = 100 = 10 = 1,5, ou seja, 1,5 cm. Chamar a atenção dos alunos que, no item II, a segunda alternativa pode ser eliminada sem efetuar cálculo, uma vez que o expoente negativo _3, utilizado na notação científica, indica um número pequeno, menor do que 1, o que não é o caso da quantidade de bactérias. Para a resolução do item III, os alunos podem compor um esquema parecido com o apresentado a seguir e utilizar a propriedade fundamental das proporções. Caso julgar necessário, auxiliá-los nesse procedimento. Comprimento Comprimento (em (em metro) nanômetro)

PROBLEMAS

I Quantos centímetros tem a medida do lado da região quadrada onde

1 ? 10 9

estão as bactérias?

0,000001 _9

1,5 cm. Conceitos: Radiciação; raiz quadrada exata de um número.

1 1 ? 10 = _ x 1 ? 10 6 _ _ 1 ? 10 9 ? x = 1 ? 1 ? 10 6 _6 1 ? 10 3 x= _ = 1 ? 10 1 ? 10 9 x = 1 ? 103 nm

II Qual dos itens a seguir indica essa mesma quantidade de bactérias? a) 2,3 ? 104 c. Conceitos: Potenciação; potência com expoente inteiro; b) 2,3 ? 10_3 notação científica. c) 2,3 ? 105 d) 2,3 ? 108

III Cada bactéria dessas tem cerca de 0,000001 m de comprimento. Sabendo que 1 nanômetro corresponde a 1 ∙ 10_9 m, indique o comprimento dessa bactéria em nanômetros. 1 ? 10³ nanômetros ou 1 000 nanômetros. Conceitos: Potenciação; potência com expoente inteiro; propriedades de potências; notação científica. 33

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UNIDADE TEMÁTICA

• Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. • Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas. • Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação.

HABILIDADES • EF08MA15 • EF08MA17 • EF08MA18 COMPETÊNCIAS

ESPECÍFICAS 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Arit-

Crucifixo: um dos exercícios mais difíceis na ginástica artística

Respostas da página ao lado: 1o item: Respostas pessoais. 2o item: Resposta esperada: Força, equilíbrio e precisão. 3o item: Ângulo de 90°. Algumas respostas possíveis: Ângulo formado entre a parede e o piso, no canto da lousa, na quina da mesa etc. Para que o ginasta não perca pontos, ao realizar esse exercício, os braços precisam formar um ângulo de 90° em relação ao tronco e permanecer parado por no mínimo 2 segundos.

ILUSTRAÇÕES: LEO TEIXEIRA

GERAIS 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

ÂNGULOS E SIMETRIA

Se a abertura for maior ou menor do que 90°, o ginasta perderá pontos.

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mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Arthur Zanetti na prova de argolas nas Olimpíadas de Londres, em 2012.

JONNE RORIZ/ESTADÃO CONTEÚDO

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência específica 3 de Matemática da BNCC, uma vez que estabelece relações entre diferentes componentes curriculares como a Matemática e a Educação Física. Promover uma roda de conversa sobre a ginástica artística, questionando os alunos se já assistiram a alguma apresentação dessa modalidade. Esta conversa pode ser acompanhada pelo professor da disciplina de Educação Física. Comentar que as provas masculinas são seis: argolas, barra fixa, barras paralelas, cavalo com alças, salto e solo. Já as provas femininas são: solo, salto, barras assimétricas e trave de equilíbrio. Dizer a eles que a avaliação do atleta em cada prova é feita de acordo com o grau de dificuldade do exercício e a execução dos movimentos. Se julgar necessário, apresentar vídeos aos alunos. No primeiro item proposto, os alunos podem citar a ginástica rítmica e a ginástica de trampolim.

AMPLIANDO Sugerir que acessem este site para mais informações sobre a ginástica artística. • COB. Ginástica artística. Disponível em: <http://livro. pro/iqqa6h>. Acesso em: 20 out. 2018.

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8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e no desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos, bem como na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consen-

suais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

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Ângulos Nas páginas de abertura desta Unidade, estudamos um pouco sobre a ginástica artística. Vimos que no exercício crucifixo, na prova das argolas, para que o atleta não perca pontos é necessário que o ângulo formado entre o braço e o tronco seja de 90o. Agora, vamos relembrar o que é um ângulo. O ângulo é a figura geométrica delimitada no plano por duas semirretas de mesma origem. O ponto O é o vértice do ângulo AOB. O

OB é um lado do ângulo AOB.

OA é um lado do ângulo AOB.

Esse ângulo pode ser indicado por ângulo AOB, ângulo BOA, AÔB, BÔA ou apenas Ô. Nesse caso, a medida do ângulo é 90o (lê-se noventa graus).

Podemos classificar um ângulo de acordo com sua medida:

Ângulo reto Ângulo cuja medida é igual a 90°.

Ângulo obtuso Ângulo cuja medida é maior do que 90° e menor do que 180°.

Ângulo raso Ângulo cuja medida é igual a 180º.

Indicação de ângulo reto.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Ângulo agudo Ângulo cuja medida é menor do que 90°.

Para que o ginasta não perca pontos na prova das argolas ao realizar o exercício crucifixo, o ângulo formado entre o seu braço e tronco deve ser agudo, obtuso, reto ou raso? Reto.

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PARA PENSAR Para complementar, pedir aos alunos que retomem o esquema das páginas de abertura e classifiquem os dois ângulos, formados pelo braço do ginasta e seu tronco, em que há o desconto de pontos na execução do exercício crucifixo.

LEO TEIXEIRA

ÂNGULOS Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF08MA15 e EF08MA17. A construção de polígonos regulares utilizando instrumentos de desenho ou software de geometria, que também compõe a habilidade EF08MA15 da BNCC, será explorada na Unidade 5 deste Volume. Iniciar o trabalho questionando os alunos sobre situações do dia a dia em que seja possível identificar ângulos. Pedir a eles que classifiquem se estas situações estão relacionadas à ideia de giro, de abertura ou de inclinação. Se julgar necessário, apresentar os seguintes exemplos. • Ideia de giro: o giro de uma catraca de ônibus, o giro da roda de uma bicicleta, o giro dos ponteiros de um relógio, o giro de uma pessoa em torno de si mesma. • Ideia de abertura: a abertura de um notebook, a abertura de uma porta, a abertura de uma tesoura, a abertura de um compasso. • Ideia de inclinação: a inclinação de uma rampa, a inclinação do telhado de uma casa, a inclinação da parte superior do nosso corpo para frente. Ao abordar a classificação dos ângulos de acordo com suas medidas, relembrar os alunos que, para expressar a medida de um ângulo, podemos utilizar o grau como unidade. Ao dividir um círculo em 360 partes iguais, cada parte obtida corresponde a um ângulo de medida 1 grau, indicado por 1°. Relembrá-los também que para construir e medir ângulos podemos utilizar o transferidor.

LEO TEIXEIRA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resposta: Ângulo agudo.

Resposta: Ângulo obtuso.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos notáveis

Ângulos notáveis Antes de explorar o conteúdo desta página, questionar os alunos sobre o que eles entendem por “notável”. Se julgar necessário, propor a eles que pesquisem em dicionários o significado desta palavra. Veja a seguir o significado de notável em um dicionário:

Os ângulos de 30o, 45o, 60o e 90o, por serem utilizados com frequência em diversas situações, costumam ser chamados de ângulos notáveis. Ângulos com essas medidas podem ser construídos com um jogo de esquadros. Observe.

Nos esquemas, ângulos indicados com a mesma cor têm medidas iguais.

90°

[...] Notável, adj. Digno de nota; digno de apreço; importante; louvável; insigne; que tem boa posição social. [...]

30°

Esquadro de 60º.

BUENO, F. da S. Minidicionário da Língua Portuguesa. 2. ed. São Paulo: FTD, 2007. p. 543.

60°

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

90°

Esquadro de 45°.

45°

Além dos esquadros, que outro instrumento você conhece com o qual é possível construir ângulos com medida definida?

É importante que os alunos percebam que os ângulos de 30°, 45°, 60° e 90° são considerados notáveis por serem utilizados com mais frequência que ângulos de outras medidas. Lembrar os alunos de que o conjunto formado pelos esquadros de 45° e 60° é conhecido por jogo de esquadros. Verificar a possibilidade de levar jogos de esquadros para a sala de aula para que os alunos possam manipulá-los. PARA PENSAR Relembrar os alunos de que há transferidores de 180° e 360° e que ambos podem apresentar duas graduações, sendo uma graduação no sentido anti-horário e outra, no sentido horário.

Resposta esperada: Transferidor. 37

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1. Na ginástica artística, a prova na trave de equilíbrio é exclusivamente feminina. Nela, as ginastas fazem diversos exercícios sobre uma trave de madeira com 10 cm de largura. Dois desses exercícios são os giros de meia-volta e uma volta completa sobre um dos pés. 1. a) Meia-volta: 180º; uma volta completa: 360º. Em relação aos giros dos exercícios descritos no enunciado, resolva as questões. a) De quantos graus são esses giros? b) Observe a posição inicial e final de um exercício com giro que uma ginasta fez.

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for igual a 180º. E

Os ângulos DOE e EOF são suplementares. O

Com base nessas anotações, ajude Flávia a identificar os pares de ângulos complementares e suplementares a seguir. G

A B

84° C

Inicial.

62°

Final.

28° I K

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

2. Ângulos complementares: DÊF e GĤI; ângulos suplementares: AB̂C e JK̂L.

96° L

3. Algumas pontes possuem mecanismos para possibilitar a passagem de embarcações. A ponte basculante da fotografia a seguir, por exemplo, divide-se em duas partes que se inclinam.

• De quantos graus foi esse giro? 360º.

AGATHA KADAR/SHUTTERSTOCK.COM

Assista a este vídeo com a reprise da prova final na trave de equilíbrio nos Jogos Olímpicos Rio 2016. Este vídeo é em inglês. • RIO Replay: women’s balance beam Final. Disponível em: <http://livro.pro/umtj2w>. Acesso em: 15 jun. 2018. 2. Observe as anotações que Flávia fez no caderno em uma aula de Matemática. Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for igual a 90º. C

Agora, observe como certa ponte basculante estava ajustada em determinado momento. 115° x

Ponte da torre de Londres, Inglaterra. Fotografia de 2016.

Os ângulos AOB e BOC são complementares.

ARTUR FUJITA

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o conceito de ângulo com a ideia de giro. Para complementar o item b, questionar os alunos qual seria a posição final da ginasta caso o giro fosse de 180° (a ginasta ficaria na posição oposta àquela apresentada no item). 2. Esta atividade trabalha os conceitos de ângulos complementares e suplementares. Esses conceitos também foram estudados no Volume 7 desta coleção. É importante lembrar os alunos que, para que dois ângulos sejam complementares ou suplementares, não é necessário que sejam adjacentes (os ângulos não precisam estar no mesmo plano, ter o mesmo vértice e ter em comum apenas os pontos de um dos lados), assim como os representados por Flávia; basta que a soma das medidas dos ângulos seja igual a 90° ou 180°, respectivamente. 3. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, os conceitos de ângulos complementares e suplementares.

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

ARTUR FUJITA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

65º. a) Calcule a medida x do ângulo indicado. b) Os dois ângulos em destaque são complementares ou suplementares? Suplementares.

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4. Você lembra como construir um ângulo com o transferidor? Observe. Traçamos o lado OA do ângulo, ajustamos o centro do transferidor em O e a linha de fé sobre esse lado. Para construir o ângulo com 110º, por exemplo, identificamos essa medida no transferidor e marcamos o ponto B. Por fim, traçamos o lado OB.

d) 135°.

a) Com um transferidor, meça os ângulos a seguir. Depois, classifique-os de acordo com a medida obtida. 145°; ângulo

A obtuso.

III. H

II.

IV. D

180°; E ângulo raso.

35°; ângulo agudo.

6. Observe as etapas que Joana fez para construir certa figura usando o jogo de esquadros.

K F

e) 120°.

90°; ângulo I reto.

c) 105°.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

LUCAS FARAUJ

b) 150°.

1 L

b) Construa ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º usando um transferidor. Depois, troque com um colega para que ele meça esses ângulos enquanto você mede aqueles que ele construiu. Ao final, confiram as resoluções juntos. Resposta pessoal. 5. Douglas desenhou alguns ângulos fazendo composições com o jogo de esquadros. Observe e calcule mentalmente a medida de cada ângulo obtido.

item. Se julgar necessário, sugerir a eles que retornem à página 37 desta Unidade, em que esse instrumento é utilizado. Aproveitar para chamar a atenção dos alunos sobre a quantidade de ângulos que podem ser obtidos a partir dos ângulos notáveis 30°, 45°, 60° e 90°. A seguir, são apresentadas a composição dos ângulos de cada um dos itens a partir dos ângulos notáveis: a) 75° = 45° + 30° b) 150° = 90° + 60° c) 105° = 45° + 60° d) 135° = 45° + 90° e) 120° = 90°+ 30° Além dessas composições, é possível obter o ângulo de 180° (180° = 90° + 90°). 6. Esta atividade trabalha a construção e a identificação de medida de ângulo construído com auxílio do jogo de esquadros. Verificar a possibilidade de levar previamente jogos de esquadros para a sala de aula. Caso não haja materiais suficientes, organizar os alunos em grupos para que possam compartilhar os materiais. Esta atividade, assim como a anterior, permite explorar a quantidade de ângulos que podem ser obtidos a partir de ângulos notáveis.

a) Qual é a medida x do ângulo em destaque obtido por Joana? 15°. b) Pense em outra maneira de construir um ângulo com essa mesma medida usando esquadros. Depois, faça essa construção no caderno e verifique a medida do ângulo.

a) 75°.

6. b) Resposta esperada: Podemos traçar um ângulo de 45° com um esquadro e, em seguida, ajustar o outro esquadro a esse ângulo com a medida de 30° e traçar uma semirreta, de maneira que o menor ângulo formado seja o de 15°, como se desejava. 39

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4. Esta atividade trabalha a medição e a construção de ângulo com auxílio do transferidor e a classificação de um ângulo de acordo com sua medida. Para o trabalho com esta atividade, providenciar previamente réguas e transferidores. Caso não haja materiais suficientes, organizar os

alunos em grupos para que possam compartilhar os materiais. Dizer a eles que o modelo de transferidor apresentado é o de 180° com a graduação no sentido anti-horário. No item b, os ângulos notáveis que os alunos construíram com transferidor podem ser classificados de acordo com

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sua medida. Os ângulos de 30°, 45° e 60° são agudos e o ângulo de 90° é reto. 5. Esta atividade trabalha a medição de ângulo com auxílio do jogo de esquadros. Conversar com os alunos sobre a necessidade de estimar o ângulo nos esquadros para obter a medida do ângulo em cada

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PARA PENSAR As medidas dos demais segmentos de reta apresentados são aproximadamente: PA: 4,2 cm; PB: 3,5 cm; e PD: 6,2 cm.

Bissetriz de um ângulo Uma sugestão para iniciar o trabalho com bissetriz de um ângulo é propor aos alunos o uso de dobraduras. Para isso, providenciar previamente folhas de sulfite ou cartolinas, réguas, transferidores e tesoura com pontas arredondadas. Primeiro, pedir a cada aluno que represente na folha um ângulo (por exemplo, AÔB: 80°; CÔD: 100°; EÔF: 130°). É interessante que as medidas, em graus, sejam inteiras. Se necessário, sugerir a eles que retornem à atividade 4 da página anterior, na qual foram apresentados os procedimentos para a construção de ângulos. Em seguida, orientar os alunos a recortar os lados do ângulo representado e, depois, dobrá-los, de modo que um lado se sobreponha ao outro. Por fim, eles devem desdobrar o recorte e, com o auxílio da régua, traçar uma linha reta sobre o vinco formado. Neste momento, explicar aos alunos que a linha traçada dá a ideia de bissetriz de um ângulo. Para complementar, pedir a eles que meçam os dois ângulos formados em cada uma das partes com a linha reta traçada e verifiquem se existe alguma regularidade. Espera-se que os alunos concluam que a bissetriz de um

Distância entre um ponto e uma reta Rodrigo representou em uma folha de papel uma reta r e um ponto P fora dela. Depois, com uma extremidade em P e outra em algum ponto de r, ele traçou diversos segmentos de reta e mediu os ângulos formados entre cada um deles e a reta r. Observe. P

120º 60º 90º 90º 45º A B C

135º

150º

30º

Com uma régua, meça os segmentos de reta traçados e escreva no caderno o comprimento do menor deles.

O menor segmento de reta é PC , com 3 cm. Se medirmos esses segmentos de reta ou outro segmento que possamos traçar com extremidades em P e qualquer ponto de r, vamos constatar que o menor deles é PC, que forma ângulos de 90o com r. Dizemos que o comprimento de PC é a distância do ponto P à reta r. D

A distância entre um ponto P e uma reta r corresponde ao comprimento do segmento de reta perpendicular a r, com extremidades em P e em um ponto de r.

Bissetriz de um ângulo Agora, considere a seguinte situação:

Após uma tempestade, certo poste teve de receber o suporte de duas cordas para evitar que caísse, conforme mostra a figura. Buscando garantir segurança, esse poste vai receber o reforço de mais uma corda, que deverá ser instalada de maneira que cada ponto dela esteja a uma mesma distância das outras duas.

LUCAS FARAUJ

Distância entre um ponto e uma reta Verificar se os alunos compreenderam que a distância entre um ponto P e uma reta r é dada pelo comprimento do menor segmento de reta que pode ser traçado, unindo este ponto à reta perpendicularmente. Explicar aos alunos que, se o ponto P pertence à reta r, dizemos que a distância entre P e r é nula.

Podemos representar essa situação pela figura ao lado: Note que OC tem cada ponto equidistante a OA e OB. Por consequência, OC divide AÔB em dois ângulos congruentes, ou seja, de mesma medida. Assim, dizemos que OC é bissetriz de AÔB.

Representa o poste.

Representam as cordas já instaladas. A

B C

Representa uma corda a ser instalada.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ângulo divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. Na representação da situação apresentada, é importante observar com os alunos que a terceira corda a ser instalada também poderia ser colocada sobre a bissetriz do maior ângulo de AÔB, uma vez que

cada ponto dela também estaria a uma mesma distância das outras duas. Para complementar, propor aos alunos a seguinte questão. • Como você faria para determinar onde a terceira corda deveria ser instalada, utilizando o conceito de bissetriz?

Resposta esperada: Determinaria a medida do menor (ou maior) ângulo AÔB e, depois, calcularia a metade dessa medida. Com base nesse resultado, esticaria a corda.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Comentar com os alunos que a bissetriz de um ângulo é um lugar geométrico, uma vez que cada um de seus pontos é equidistante aos lados desse ângulo. Durante a construção da bissetriz utilizando régua e compasso, explicar aos alunos que a abertura conveniente na etapa 2 corresponde a uma abertura que seja maior que a metade da distância entre os pontos P e Q. Caso for menor, não será possível obter a intersecção entre os dois arcos na etapa 3. Na etapa 3, explicar aos alunos que a abertura do compasso deve ser a mesma que a da etapa anterior, devido ao próprio conceito de bissetriz de um ângulo, uma vez que esse procedimento garante que o ponto C seja equidistante dos lados do ângulo AOB.

A bissetriz de um ângulo AOB é a semirreta com origem no vértice O e que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. Qualquer ponto da bissetriz é equidistante aos lados do ângulo. A C B O

OC é a bissetriz de AÔB.

Construindo a bissetriz de um ângulo Com régua e compasso, podemos traçar a bissetriz de um ângulo AOB. Observe.

1 A P

P O

Q O

A A

B Q

2 A

O B

B Q

B B

Usando o compasso com a mesma abertura da etapa anterior e a ponta fixa em Q, traçar outro arco, cruzando aquele traçado anteriormente. No encontro dos arcos, indicar o ponto C.

P O O

C P C Q O B Q

P O

O Com uma Q abertura O B Q B ea conveniente ponta-seca fixa em P, traçar um novo arco.

Q O

3 A

P O

Com uma abertura qualquer, fixar a Q OnoBvértice Q O ponta-secaOdo compasso e traçar um arco que cruza os lados do ângulo nos pontos3P e Q. 3

A C

C Q O Q

C B Q

O B

B B ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Com a régua, traçamos OC, que é a bissetriz do ângulo AOB.

Meça os ângulos AOC e COB determinados pela bissetriz OC e verifique se são congruentes. Resposta esperada: Sim, esses dois ângulos são congruentes. 41

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Mediatriz de um segmento de reta Leia a situação-problema a seguir.

No sítio de Joaquim há duas casas construídas em um terreno plano, com 80 m de distância entre elas. Um poço artesiano será construído de maneira que fique a mesma distância de cada uma dessas casas.

BENTINHO

Mediatriz de um segmento de reta Uma sugestão para iniciar o trabalho com mediatriz de um segmento de reta é propor aos alunos o uso de dobraduras. Para isso, providenciar previamente folhas de sulfite e réguas. Primeiro, pedir a cada aluno que represente na folha um segmento de reta AB. Em seguida, orientá-los a dobrar a folha de modo que uma extremidade do segmento de reta se sobreponha a outra. Por fim, os alunos devem desdobrar a folha e, com auxílio da régua, traçar uma linha reta sobre o vinco formado. Neste momento, explicar aos alunos que a linha traçada dá a ideia de mediatriz de um segmento de reta. Para complementar, pedir aos alunos que marquem um ponto C na intersecção do segmento de reta AB e a linha traçada e, depois, meçam os segmentos de reta AC e CB para verificar se existe alguma regularidade. Espera-se que os alunos concluam que a mediatriz de um segmento de reta divide esse segmento em outros dois segmentos de reta congruentes. Em relação à situação-problema apresentada, explicar aos alunos que o fio deve ter no mínimo 80 m, pois esta é a distância entre as duas casas. Reforçar que, ao considerarmos pedaços de fios com distintos comprimentos, para obtermos diferentes pontos equidistantes das casas, continuamos levando em consideração um nó que divide cada pedaço de fio ao meio; de modo que a posição do nó, ao esticarmos o fio, corresponde à localização onde pode ser construído o poço. Para complementar o estudo desta situação-problema, dizer aos alunos que se esticarmos um fio de exatamente 80 m entre as duas casas, representadas pelos pontos A e B, esse fio ficará ajustado so-

Observe como podemos obter uma solução para essa situação-problema, supondo inicialmente que a distância do poço em relação a cada casa seja de 50 m. 1º-) Cortar um pedaço de fio de 100 m e fazer um nó no meio, obtendo duas partes com 50 m cada. Representa o pedaço de fio. Representa o nó. 50 m

50 m

2º-) Fixar cada ponta do pedaço de fio em uma casa e esticá-lo pelo nó. O ponto C, marcado na posição do nó, está a 50 m de cada casa. Representa a posição do poço artesiano. C 50 m Representa uma casa.

50 m

80 m

Representa uma casa.

Ao repetirmos esses procedimentos, com pedaços de fio de distintos comprimentos, de pelo menos 80 m, obteremos diferentes pontos equidistantes das casas, onde pode ser construído o poço artesiano. Na representação ao lado, a reta r que passa por esses pontos é perpendicular ao segmento de reta AB, em que A e B correspondem às casas.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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bre o segmento de reta AB, e o nó, que divide o fio ao meio, estará localizado de maneira que o segmento de reta fique dividido em duas partes congruentes. Nesse caso, o nó representa o ponto médio do segmento de reta AB.

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A mediatriz de um segmento de reta AB é a reta perpendicular a ele em seu ponto médio C, de maneira que AC = BC. r

A reta r é a mediatriz de AB. Temos que r é perpendicular a AB e cada ponto de r é equidistante de A e B.

Construindo a mediatriz de um segmento de reta Com régua e compasso, podemos traçar a mediatriz de um segmento de reta AB. Observe. 1

AMPLIANDO P

Agora, com a mesma abertura e a pontaQ -seca fixa em B, traçar dois arcos que cruzam aqueles traçados anteriormente. No encontro dos arcos, indicar os pontos P e Q.

Com abertura maior que a metade de AB, fixar a ponta-seca do compasso em A e 3 3 traçar r r dois arcos. P

B Q

Acessar este site para obter mais informações sobre o trabalho com mediatriz de um segmento de reta. • CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Brincando com Geometria: mediatriz de um segmento. Disponível em: <http://livro.pro/emvp6a>. Acesso em: 20 out. 2018.

P A

M M

A M

B Q

a régua, passando pelos B B Com pontos P e Q, traçar a reta r, que é a mediatriz de AB, e marcar M, que é ponto médio de AB.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Comentar com os alunos que a mediatriz de um segmento de reta é um lugar geométrico, uma vez que cada um de seus pontos é equidistante às extremidades desse segmento de reta. Na etapa 1 da construção da mediatriz de um segmento de reta, dizer aos alunos que, se a abertura do compasso for menor do que a metade de AB, não será possível obter a intersecção entre os dois arcos na etapa seguinte. É importante que essa abertura do compasso tenha um tamanho adequado para facilitar a construção.

Meça os comprimentos de AM e BM, determinados pela mediatriz de AB, e verifique se eles são segmentos de reta congruentes. Resposta esperada: Sim, esses dois segmentos de reta são congruentes. 43

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Na figura, OC é bissetriz de AÔB. Qual é a medida de: a) CÔB? 55º. b) AÔB? 110º. A

55º

3. Em qual dos itens a reta r é mediatriz de AB? Se necessário, faça medições com a régua ou o transferidor. III. r I. A

B r

II. O

2. Observe a figura na qual OC é bissetriz AÔB, cuja medida é 74º. Qual é a medida de: a) AÔC? 37º. b) CÔB? 37º.

P B r

III.

IV.

B r

C A

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a compreensão do conceito de bissetriz de um ângulo. Questionar os alunos sobre a relação entre as medidas de CÔB e AÔB. Espera-se que eles percebam que a medida de CÔB corresponde à metade da medida de AÔB ou, ainda, que a medida de AÔB corresponde ao dobro da medida de CÔB. 2. Esta atividade trabalha a compreensão do conceito de bissetriz de um ângulo. 3. Esta atividade trabalha a compreensão do conceito de mediatriz de um segmento de reta. Para auxiliar os alunos na resolução, propor a eles os seguintes questionamentos. • Qual é a medida do ângulo formado por um segmento de reta e sua mediatriz? Resposta: 90°. • Qual é a relação entre o ponto P localizado na intersecção do segmento de reta com sua mediatriz e cada extremidade desse segmento de reta? Resposta: O ponto P é equidistante às extremidades desse segmento de reta, ou seja, é ponto médio desse segmento de reta. Para complementar, pedir aos alunos que justifiquem que a reta r não é mediatriz de AB nos itens I, II e IV. No item I, a reta r não é perpendicular ao segmento de reta AB; no item II, a reta r não divide o segmento de reta AB em outros dois segmentos congruentes; no item IV, a reta r não é perpendicular ao segmento de reta AB e não divide esse segmento em outros dois segmentos congruentes. 4. Esta atividade trabalha a compreensão do conceito de bissetriz de um ângulo. Após a resolução, pedir aos alunos que justifiquem que OC% não é bissetriz nos itens I, III e IV. No item I, OC% é um dos lados de BÔC; no item III, OC% não divide AÔB em dois ângulos congruentes; no item IV, o ângulo AÔB não está representado.

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

4. Felipe está usando um programa de computador para desenhar figuras geométricas. Observe algumas construções que ele fez e identifique aquela em que OC é bissetriz de AÔB. Se necessário, faça medições com a régua ou o transferidor. II.

II.

III.

IV.

GEOGEBRA 2018

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EDITORIA DE ARTE

5. Junte-se a um colega. Cada um deve fazer dois desenhos no caderno: um segmento de reta e um ângulo quaisquer. Depois, vocês devem trocar as figuras para que o outro construa a mediatriz do segmento de reta e a bissetriz desse ângulo. Por fim, façam juntos as medições necessárias e verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

Poste de luz.

Para complementar, questionar os alunos sobre qual é a medida do ângulo formado em cada uma das representações da rua com a bissetriz construída (40°). 7. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, a compreensão do conceito de mediatriz de um segmento de reta como lugar geométrico. Além disso, propõe a representação dessa mediatriz. Veja a seguir uma possível representação para esta atividade.

Considere que o poste ilumina igualmente dois pontos caso seja equidistante a eles.

BENTINHO

Resposta esperada: Os alunos podem traçar a semirreta que representa os locais onde os postes de iluminação podem ser instalados como a bissetriz do ângulo formado pelas representações das ruas, uma vez que cada ponto dessa semirreta é equidistante aos lados do ângulo. No caderno, desenhe uma figura em que as ruas Pinheiro e Cedro sejam representadas por lados de um ângulo. Depois, trace uma semirreta para representar os locais onde os postes de iluminação podem ser instalados.

Para complementar, questionar os alunos qual é a posição que o depósito pode ser instalado de maneira que fique o mais próximo das filiais. Nesse caso, o depósito deve estar posicionado no local correspondente ao ponto médio do segmento de reta AB.

EDITORIA DE ARTE

7. Uma empresa precisa definir o melhor local para instalar um depósito para atender duas filiais. Uma das exigências é que esse depósito esteja equidistante a essas filiais.

EDITORIA DE ARTE

NIKOLAI LAN/SHUTTERSTOCK.COM

6. Em certo município, a prefeitura pretende instalar postes de iluminação entre duas ruas transversais – ruas Pinheiro e Cedro – de um novo bairro, de maneira que esses postes iluminem por igual ambas as ruas.

No caderno, desenhe um segmento de reta AB, em que A e B representem as filiais, e trace uma reta para representar as posições em que o depósito pode ser instalado. Resposta esperada: Os alunos podem traçar a mediatriz do segmento de reta AB, uma vez que cada ponto dessa reta é equidistante a A e B. 45

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5. Esta atividade trabalha a construção da bissetriz de um ângulo e da mediatriz de um segmento de reta utilizando instrumentos de desenho. 6. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, a compreensão do conceito de bissetriz de um ângulo como lugar geométrico. Além

disso, propõe a representação dessa bissetriz. No boxe Dica, verificar se os alunos relacionaram a ideia de o poste iluminar igualmente dois pontos que sejam equidistantes a ele ao conceito de bissetriz de um ângulo como lugar geométrico. Relembrá-los que a bissetriz de um ângulo é um lugar

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geométrico, em que cada um de seus pontos é equidistante aos lados do ângulo. Se julgar necessário, sugerir aos alunos que retomem a página 41 desta Unidade, em que foi apresentada a construção da bissetriz de um ângulo. Veja a seguir uma possível representação para esta atividade.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Simetria

SIMETRIA Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA18.

Simetria de reflexão Vamos fazer uma experiência? Feche devagar esta página e a seguinte e observe que a parte da figura desta página sobrepõe exatamente a parte que está na outra.

Simetria de reflexão O estudo com simetria de reflexão já foi apresentado na Unidade 6 do Volume 7 desta coleção. Relembrar os alunos que a simetria de reflexão em relação a um eixo pode ser também chamada de simetria axial. O termo axial se refere a eixo. Chamar a atenção dos alunos para os exemplos de simetria de reflexão explorados nestas páginas. Evidenciar que podemos ter uma figura que apresenta simetria de reflexão em relação a um eixo, como é o caso da imagem do fractal e das placas de trânsito apresentadas, ou podemos ter uma figura simétrica à outra por reflexão em relação a um eixo, que é o caso dos polígonos representados na malha quadriculada. Verificar se eles compreenderam que, independentemente da situação, a ideia de simetria de reflexão é a mesma: ao dobrarmos duas partes de uma figura ou ao dobrarmos duas figuras sobre o eixo de simetria, haverá uma sobreposição. Ao explorar os eixos de simetria das placas de trânsito, relembrar os alunos que é possível que uma figura tenha mais de um eixo de simetria e que este eixo não precisa ser necessariamente na horizontal ou na vertical. Se julgar necessário, apresentar um exemplo, como o indicado a seguir.

Ao fecharmos as duas páginas, observamos que as partes da imagem se sobrepõem. Nesse caso, dizemos que essa imagem apresenta ideia de simetria de reflexão em relação a um eixo. A linha imaginária que une essas páginas corresponde ao eixo de simetria.

Quando uma reta divide uma figura de maneira que, ao ser dobrada sobre essa reta, as partes obtidas são idênticas por sobreposição, dizemos que essa figura apresenta simetria de reflexão em relação a um eixo. Essa reta corresponde ao eixo de simetria. f

DETRAN

Essa figura apresenta simetria de reflexão em relação ao eixo e.

Essa figura apresenta simetria de reflexão em relação ao eixo e e ao eixo f.

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IMAGENS: DETRAN

EDITORIA DE ARTE

Para complementar, apresentar aos alunos o significado das placas de trânsito indicadas nestas páginas.

Estacionamento regulamentado: assinala que é permitido o estacionamento de veículos.

Alfândega: assinala ao condutor a presença de uma repartição alfandegária, onde a parada é obrigatória.

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Para complementar o conteúdo destas páginas, propor aos alunos que desenhem figuras em que seja possível identificar pelo menos um eixo de simetria. Depois, pedir que troquem com o colega as figuras desenhadas, para que identifiquem os possíveis eixos de simetria. Outra sugestão é reproduzir e entregar aos alunos a malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio, e réguas. Em seguida, pedir que desenhem nessa malha a figura de um polígono qualquer e um eixo de simetria e. Por fim, eles devem trocar com o colega a malha quadriculada, para que seja desenhado o polígono simétrico em relação a este eixo. PARA PENSAR Explicar aos alunos que eles podem fazer a verificação proposta utilizando uma régua. Evidenciar para eles que, ao determinar a distância entre os pontos correspondentes e o eixo e, estamos explorando a distância entre um ponto e uma reta, assunto tratado anteriormente nesta Unidade.

Padrões de caleidoscópio.

Se dobrarmos a malha quadriculada a seguir sobre a reta e, as figuras vão se sobrepor. Nesse caso, dizemos que uma figura é simétrica a outra por reflexão em relação ao eixo e (eixo de simetria). e C

B’

C’ D’

A’

E’

Quando duas figuras são simétricas por reflexão, os pontos correspondentes em cada uma delas são equidistantes ao eixo de simetria. No exemplo, os pontos correspondentes A e A’ estão a 1 cm de distância do eixo e.

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EDITORIA DE ARTE

Verifique se os pares de pontos correspondentes B e B’, C e C’, D e D’, E e E’ são equidistantes ao eixo e. Resposta esperada: Sim, são equidistantes. B e B’ estão a 1 cm do eixo e; C e C’ estão a 4 cm do eixo e; D e D’ estão a 5 cm do eixo e; E e E’ estão a 4 cm do eixo e. 47

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Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Leia a tirinha.

1. b) Ela fecha o olho direito e no reflexo aparece o olho esquerdo fechado. Resposta esperada: Porque a imagem da Mônica no espelho é um reflexo dela, de maneira que a lateralidade fica invertida: direita e esquerda. Essa situação corresponde a uma ideia de simetria de reflexão.

SOUZA, M. de. Turma da Mônica. Disponível em: <http://turmadamonica.uol.com.br>. Acesso em: 14 fev. 2018.

a) O que você entendeu sobre a tirinha? Converse com o professor e os colegas. Resposta pessoal. b) Qual olho a Mônica fecha e qual aparece fechado no reflexo do espelho? Por que isso acontece?

RUBENS CHAVES/PULSAR IMAGENS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, ideias da simetria de reflexão. Antes da resolução do item a, reservar um tempo para que os alunos conversem com os colegas sobre a tirinha. Em seguida, propor os seguintes questionamentos. • Com quem a Mônica está conversando? Resposta: Com o reflexo no espelho. • Em sua opinião, qual é a expressão facial da Mônica no segundo quadrinho? Por que ela está com esta expressão? Respostas pessoais. • O que a Mônica quis dizer no último quadrinho, quando utilizou a expressão “quem cala, consente”? Resposta esperada: Como o reflexo não lhe respondeu, ela tomou como resposta que seu reflexo concorda com ela. Para complementar o item d, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Qual é a palavra que identifica o veículo? Resposta: Bombeiros. • Quais outros veículos também são identificados desta maneira? Algumas respostas possíveis: Ambulâncias; viaturas de polícia. 2. Esta atividade trabalha a identificação de eixos de simetria de reflexão em figuras. Verificar se os alunos perceberam que nas representações das letras G, L e N não é possível observar simetria de reflexão. Para complementar, apresentar a eles outros exemplos de letras do nosso alfabeto em que isto também não é possível, como F, J, P, S.

AtividadeS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

c) Faça uma experiência: fique de frente para um espelho e levante seu braço esquerdo. Qual braço aparece levantado no reflexo? Braço direito. d) Observe ao lado como a palavra que identifica o veículo aparece escrita na parte da frente e explique por que isso acontece.

Carro do corpo de bombeiros. Fotografia de 2015.

2. É possível observar simetria de reflexão em algumas letras do nosso alfabeto. Essa simetria pode variar dependendo da grafia usada na escrita. Observe os exemplos.

Tem eixo de simetria vertical.

Tem eixo de simetria horizontal.

Tem eixos de simetria vertical e horizontal.

Agora, identifique entre as letras ao lado quais têm: a) eixo de simetria horizontal. E; B; H; O; X; D. b) eixo de simetria vertical. U; M; T; H; O; X; V. c) eixos de simetria horizontal e vertical. H; O; X.

U L E H O M T B X D N V G

1. d) Resposta esperada: Para que os motoristas que estão à frente desse veículo possam ler corretamente o que está escrito quando observam pelo espelho retrovisor, facilitando sua identificação. 48

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4. Em uma malha quadriculada, Suzana construiu uma figura simétrica ao hexágono ABCDEF em relação ao eixo e. Para isso, ela indicou um ponto simétrico em relação a esse eixo para cada vértice do hexágono e, depois, ligou esses pontos com segmentos de reta e coloriu o interior da figura.

B C A

D e

A’

D’ C’

B’

1 cm 1 cm

cem na malha o eixo de simetria e para depois representar o quadrilátero. Em seguida, eles devem indicar os vértices do polígono original, se atentando para a distância desses vértices em relação ao eixo e. Depois, ligar os pontos correspondentes aos vértices com segmentos de reta e colorir a figura. Para a construção da figura simétrica ao quadrilátero, orientá-los para que realizem os mesmos procedimentos de Suzana, isto é, indiquem os pontos simétricos em relação ao eixo para cada vértice do quadrilátero; liguem esses pontos com segmentos de reta e pintem o interior da figura. Veja a seguir uma resposta possível para o item d.

EDITORIA DE ARTE

3. Identifique o item cujos polígonos representados são simétricos por reflexão em relação ao eixo e. a. e e a) c)

e C

F E

e C

F D

A’

B’

C’

E’

D’

F’

A: 1 cm; B: 2 cm; C: 5 cm; D: 5 cm; E: 2 cm; F: 2 cm; A’: 1 cm; B’: 2 cm; C’: 5 cm; D’: 5 cm; E’: 2 cm; F’: 2 cm. a) Determine a distância de cada vértice das figuras ao eixo de simetria. b) Quais são os pares de vértices correspondentes dessas figuras? A e A’; B e B’; C e C’; D e D’; E e E’; F e F’. c) Com base nos itens a e b, responda: • O que você pôde perceber em relação à distância dos vértices correspondentes ao eixo de simetria? Resposta esperada: As distâncias são iguais. d) Agora, em uma malha quadriculada, represente um quadrilátero e um eixo e. Depois, construa a figura simétrica ao quadrilátero por reflexão em relação ao eixo e. Resposta pessoal. 49

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3. Esta atividade trabalha a identificação de figuras simétricas por reflexão em relação a um eixo. Para complementar, pedir aos alunos que justifiquem que os polígonos representados nos itens b, c e d não são simétricos por reflexão em relação ao eixo e. Espera-se que eles percebam que nos

itens b e d os pontos correspondentes não são equidistantes do eixo e; e no item c, os pontos correspondentes não são equidistantes do eixo e e um dos polígonos foi obtido a partir da rotação e transladação do outro. 4. Esta atividade trabalha a construção da simétrica de

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uma figura por reflexão, em relação a um eixo, utilizando instrumentos de desenho. Para a realização do item d, reproduzir e entregar aos alunos a malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio, e réguas. Primeiro, é importante que os alunos tra-

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

No dia a dia deparamos com muitos símbolos que são utilizados com o objetivo de transmitir um significado. Você é capaz de interpretar o símbolo ao lado? Ele foi criado em 1970 pelo norte-americano Gary Anderson (1947-), e atualmente é considerado o símbolo internacional da reciclagem. As setas, posicionadas no sentido horário, dão uma ideia de movimento. Quando uma embalagem apresenta essa simbologia, significa que o material pode ser reaproveitado na fabricação de um novo produto. Nesse símbolo, se considerarmos uma figura de seta como referência e girá-la em torno de certo ponto, é possível obter as demais setas. Observe. • Rotação da figura, em torno do ponto O, em 120o no sentido horário.

DRK_SMITH/SHUTTERSTOCK.COM

Simetria de rotação

Simetria de rotação Para iniciar o trabalho com simetria de rotação, verificar a possibilidade de levar para a sala de aula embalagens nas quais seja possível observar o símbolo internacional da reciclagem, contido nesta página. Ou ainda, pedir aos alunos que pesquisem e listem alguns produtos de suas residências que contenham este símbolo. Aproveitar o contexto para conversar com os alunos sobre a importância de saber o que cada símbolo representa, pois eles têm como objetivo transmitir uma informação, que deve ser a mais clara possível. Propor a eles que indiquem outros símbolos que sejam utilizados em diferentes situações do dia a dia. Veja a seguir alguns exemplos.

• Rotação da figura, em torno do ponto O, em 240o no sentido horário.

120º

O 240º

Essas transformações realizadas com a figura de seta correspondem à ideia de simetria de rotação.

• Símbolo Wi-Fi (Wireless Fi-

delity), indicando acesso à internet sem fio.

210º 90º O B

A figura B foi obtida a partir da figura A, por meio de simetria de rotação de 210°, em torno do ponto O, no sentido horário.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Símbolo indicando material inflamável.

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• Símbolo em placa de trânsito, indicando serviço telefônico.

Na simetria de rotação, cada ponto da figura é rotacionado de acordo com determinado ângulo e sentido em torno de um ponto O, chamado centro de rotação. O giro pode ocorrer no sentido horário (para a direita) ou anti-horário (para a esquerda).

A figura D foi obtida a partir da figura C, por meio de simetria de rotação de 90°, em torno do ponto O, no sentido anti-horário.

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Com régua, compasso e transferidor vamos construir uma figura por meio de rotação do quadrilátero ABCD em torno do ponto O, em 110o no sentido horário. Observe as etapas. 1a) Com uma régua, traçamos o segmento de reta AO.

2a) Ajustamos o centro do transferidor sobre o ponto O e a linha de fé sobre AO, e, em seguida, medimos um ângulo de 110o no sentido horário e efetuamos uma marcação.

C O A

O A

3a) Com uma régua, traçamos uma semirreta a partir de O, formando um ângulo de 110o com AO.

4a) Posicionamos a ponta-seca do compasso em O e, com abertura AO, marcamos o ponto A’ sobre a semirreta traçada. A’

O A

5a) Obtemos os demais pontos, B’, C’ e D’, de maneira análoga às etapas anteriores.

6a) Por fim, ligamos A’, B’, C’ e D’ com segmentos de reta, pintamos o interior da figura e obtemos a simétrica do quadrilátero ABCD por rotação de 110o, em torno do ponto O, no sentido horário.

D’

C’

A’ C

B’

O A

A’ ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Relembrar os alunos de que a palavra rotação se refere a giro, assim, na simetria de rotação, giramos cada ponto da figura em torno de um certo ponto. Evidenciar que nesta simetria é necessário definir a medida do ângulo e o sentido que a figura deve ser rotacionada. Na etapa 5, da construção da figura utilizando instrumentos de desenho, explicar aos alunos que, assim como foi traçado o segmento de reta AO e obtido o ângulo de 110° a partir desse segmento de reta, também foram traçados os segmentos de reta BO, CO e DO, sendo obtidos os demais ângulos de 110° a partir deles. Dizer aos alunos que os pontos A e A’, B e B’, C e C’ e D e D’ são correspondentes, uma vez que os pontos A’, B’, C’ e D’ foram obtidos a partir da rotação de 110° dos pontos A, B, C e D, respectivamente, em torno do ponto O, no sentido horário. Para complementar, questionar os alunos que se considerarmos o sentido anti-horário, ao invés do sentido horário, qual será o ângulo de rotação para obter o polígono A’B’C’D’ na mesma posição apresentada (250°). Verificar se eles perceberam que, adicionando o ângulo que o polígono ABCD foi rotacionado no sentido horário (110°) ao ângulo de 250°, obtemos 360°, isto é, a medida do ângulo correspondente a um giro completo.

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Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. (Enem-2017) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como mostra a figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte.

2. Em cada item a seguir, a figura II foi obtida por meio de rotação da figura I, tendo o ponto O como centro de rotação. Determine o ângulo de cada rotação no sentido indicado. a) Sentido anti-horário. 270°. II

b) Sentido horário. 145°.

B A

B 45°

Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360°.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha ideias da simetria de rotação em torno de um ponto. Para complementar, questionar os alunos sobre qual é a medida de outro ângulo inferior a 360°, e o sentido que a tela também poderia ser girada rente à parede, de modo que fosse recolocada na posição original (225° no sentido anti-horário). 2. Esta atividade trabalha a identificação da medida do ângulo em uma situação de simetria de rotação de figura. Para resolver esta atividade, os alunos podem utilizar o transferidor. Para complementar, pedir a eles que descrevam como determinar a medida do ângulo de rotação caso no item a fosse indicado o sentido horário e, no item b, o sentido anti-horário. Neste caso, os alunos poderiam calcular a diferença entre 360° e a medida obtida inicialmente em cada item (a: 360° _ 270° = 90°; b: 360° _ 145° = 215°). 3. Esta atividade trabalha características de figuras simétricas por rotação em relação a um ponto. Para complementar, propor a seguinte atividade: distribuir aos alunos uma malha quadriculada com um triângulo e um ponto O representados. Os alunos devem propor um ângulo e um sentido para construir uma figura simétrica ao triângulo original por rotação em relação ao ponto O. Ao final, eles devem compartilhar com os demais colegas a figura simétrica construída e trocar ideias sobre elas: se ângulos e sentidos adotados nas rotações são iguais ou diferentes.

AtividadeS

ENEM 2017

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3. A professora distribuiu aos alunos uma folha com um triângulo e um ponto O representados nela. Depois, pediu a eles que estabelecessem um ângulo e um sentido e, com base nisso, construíssem uma figura simétrica ao triângulo por rotação em relação ao ponto O. Observe como três alunos resolveram essa atividade. • Vítor: O ângulo de rotação escolhido foi 75° no sentido horário. • Taís: Escolheu o ângulo de rotação de 150° no sentido anti-horário. • Paula: Definiu como ângulo de rotação 285° no sentido anti-horário.

A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de: a) 90° no sentido horário. Alternativa b. b) 135° no sentido horário. c) 180° no sentido anti-horário. Após a construção, quais alunos obtived) 270° no sentido anti-horário. ram a mesma figura simétrica? Explique e) 315° no sentido horário. por que isso ocorreu. 3. Vítor e Paula. Resposta esperada: Rotacionar a figura original do triângulo, em relação ao ponto O, em 75° no sentido horário ou em 285° no sentido anti-horário fará com que a figura simétrica por rotação ocupe a 52 mesma posição, uma vez que 360° _ 285° = 75°.

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4. Beatriz fez uma composição artística usando simetria de rotação em um programa de computador. Para isso, ela desenhou uma figura e a rotacionou algumas vezes no sentido horário em torno do ponto O, obtendo as demais partes da composição.

O 90°

O ARTUR FUJITA

180°

270°

LUIZ SACILOTTO. COLEÇÃO PARTICULAR

Nas obras de alguns artistas é possível perceber a mesma ideia que Beatriz teve para fazer sua composição. Qual das obras representadas a seguir tem essa ideia? Nessa obra, determine os ângulos de rotação que podem ser identificados no sentido horário. Limite circular I. Resposta esperada: 120° e 240°.

SACILOTTO, L. C8860. 1988. Têmpera vinílica sobre tela, 110 cm x 110 cm. Coleção particular.

ESCHER, M. C. Limite circular I. 1958. Xilogravura, diâmetro de 42 cm. Coleção particular.

4. Esta atividade trabalha características de figuras simétricas por rotação em relação a um ponto. 5. Esta atividade trabalha a construção da simétrica de uma figura por rotação, em relação a um ponto, utilizando instrumentos de desenho. Para a resolução, reproduzir e entregar aos alunos a malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio. Orientá-los para que obtenham a figura que será rotacionada, indicando primeiro seus vértices, tomando como referência o ponto O, para depois traçar os segmentos de retas correspondentes a seus lados. Para a construção da figura simétrica, sugerir a eles que retornem à página 51 desta Unidade, na qual foi apresentada a construção de uma figura simétrica por rotação. Veja a seguir a resposta desta atividade.

EDITORIA DE ARTE

5. Reproduza o ponto O e a figura a seguir em uma malha quadriculada. Depois, obtenha a simétrica a ela por rotação de 135o no sentido horário em relação ao ponto O. Resposta nas Orientações para o professor.

EDITORIA DE ARTE

AMPLIANDO

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Sugerir aos alunos que acessem este site para visualizar mais obras do artista Maurits Cornelis Escher. Este site está em inglês. • M. C. ESCHER. Disponível em: <http://livro.pro/6a24p3>. Acesso em: 21 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Simetria de translação

Simetria de translação Aproveitar o contexto desta página e realizar a leitura para os alunos do trecho a seguir sobre a vida do artista Hélio Oiticica. Se julgar interessante, convidar o professor da disciplina de Arte para mais esclarecimentos.

CORTESIA PROJETO HÉLIO OITICICA ©CÉSAR E CLAUDIO OITICICA

Já estudamos que alguns artistas, ao produzirem suas obras, utilizam ideias relacionadas a conceitos matemáticos. Observe uma característica que pode ser identificada em uma obra do Resposta nas Orientações carioca Hélio Oiticica (1937-1980). para o professor.

Figura I.

Hélio Oiticica Artista plástico nascido na cidade do Rio de Janeiro em 1937, foi discípulo a partir de 1954 do artista plástico Ivan Serpa, no Museu de Arte Moderna do Rio de Janeiro (Mam-RJ). Juntamente com Serpa, Lygia Clark e Franz Weissmann, entre outros, integrou o Grupo Frente, dentro dos princípios da arte concreta. Entre 1957 e 1958 desenvolve a série dos metaesquemas, composições em guache sobre papel, nos quais quadrados e retângulos recortados sobre fundo branco simulam mobilidade. [...]

OITICICA, H. Metaesquema. 1950. Guache sobre papel. Coleção Adolpho Leirner.

Que outros pares de figuras, como o apresentado, podem ser identificados nessa obra?

Figura II.

Na obra foi indicado um par de figuras, nomeadas de I e II. Note que a figura II pode ser obtida deslocando a figura I sobre a obra, sem realizar rotação ou deformação. As figuras I e II, destacadas na obra, dão a ideia de uma transformação chamada simetria de translação. Na simetria de translação, o tamanho e o formato da figura são mantidos e seu deslocamento ocorre de acordo com a distância, a direção e o sentido, que podem ser indicados por meio de uma seta. Nesse tipo de transformação cada ponto da figura original é deslocado da mesma maneira. Observe o exemplo.

CENTRO DE PESQUISA E DOCUMENTAÇÃO DE HISTÓRIA CONTEMPORÂNEA DO BRASIL. Hélio Oiticica. Disponível em: <https://cpdoc.fgv.br/ producao/dossies/JK/biografias/helio_ oiticica>. Acesso em: 10 set. 2018.

II.

EDITORIA DE ARTE

A figura II foi obtida ao deslocar a figura I conforme a distância (8 unidades), a direção (horizontal) e o sentido (da esquerda para a direita) indicados pela seta.

PARA PENSAR Caso os alunos tenham dificuldade em identificar os pares de figuras correspondentes, apresentar a eles o esquema a seguir.

Acesse este site para obter mais informações sobre Hélio Oiticica. • ENCICLOPÉDIA ITAU CULTURAL. Hélio Oiticica. Disponível em: <http://livro.pro/x5pzxb>. Acesso em: 15 jun. 2018.

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G F

CORTESIA PROJETO HÉLIO OITICICA ©CÉSAR E CLAUDIO OITICICA

H A B

Com base nesse esquema, é possível verificar que os outros pares de figuras são A e F; B e G; C e H; D e I; E e J.

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Ao abordar o conceito de simetria de translação, comentar com os alunos que a palavra translação significa transferir ou mudar de um lugar para o outro. Relacionar este significado com a simetria de translação, em que uma figura é transladada de acordo com uma distância, direção e sentido, sem que seu tamanho e formato sejam alterados. Reforçar que a figura não é rotacionada, apenas deslocada. Relembrar com os alunos a diferença entre direção e sentido, dizendo que direção se refere, por exemplo, à direção horizontal ou vertical, e sentido é a orientação da direção, como da esquerda para a direita ou de cima para baixo. Para complementar, questionar os alunos sobre qual figura seria obtida a partir do triângulo ABC se tivéssemos transladado primeiro em relação à seta azul e depois transladarmos em relação à seta vermelha. Neste caso, obteríamos a mesma figura.

Na malha quadriculada vamos construir a figura simétrica por translação do quadrilátero ABCD representado, de acordo com a seta vermelha. Observe as etapas.

Para cada vértice do quadrilátero ABCD marcamos um ponto transladado de acordo com a distância (4 unidades), a direção (horizontal) e o sentido (da direita para a esquerda) indicados pela seta. A’

Por fim, ligamos esses pontos e pintamos o interior da figura, obtendo a simétrica por translação do quadrilátero ABCD de acordo com a distância, a direção e o sentido indicados. A’

A B’

D’

A B’

C’

D’

C’

Também é possível transladar uma figura por consecutivas vezes. Para isso, vamos construir a figura simétrica por translação do triângulo ABC representado de acordo com as indicações das setas vermelha e azul, respectivamente. Observe as etapas.

Para cada vértice do triângulo ABC marcamos um ponto transladado de acordo com a seta vermelha, obtendo os pontos A’, B’ e C’.

Em seguida, transladamos os pontos A’, B’ e C’ de acordo com a seta azul. A

A B B

A’

C B’

B’

A’’

C’ B’’

C’’

C’ A

Por fim, ligamos os pontos A”, B” e C” e pintamos o interior da figura, obtendo a simétrica por translação do triângulo ABC de acordo com a distância, a direção e o sentido indicados pelas setas vermelha e azul, respectivamente.

B’

A’

C’ B’’

A’’

C’’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

AtividadeS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha ideias da simetria de translação. Na composição III, verificar se os alunos perceberam que podemos identificar dois pares de figuras e, em cada par, uma figura foi obtida a partir da outra por simetria de rotação em torno de um certo ponto. 2. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, ideias da simetria de translação. O jogo batalha-naval tem relação com o plano cartesiano, estudado em Volumes anteriores desta coleção. Dizer aos alunos que, além da corveta, neste jogo é comum ter outros tipos de navios como a fragata, o navio-tanque e o submarino. Para complementar, reproduzir na lousa a imagem a seguir e propor aos alunos os seguintes questionamentos.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Paulo fez composições com polígonos usando um programa de computador. Em quais das composições é possível formar pares de figuras simétricas por translação com os polígonos representados? I e II. Composição I

Composição II

Composição III

2. Você já jogou batalha naval? Nesse jogo, há dois participantes. Cada um deve distribuir os navios, sem que o outro veja, em uma malha quadriculada organizada em letras e números. Um participante diz uma localização e o outro registra na malha e avisa se foi atingida parte do navio ou a água. No seu tabuleiro, Luís representou a corveta I e depois fez duas translações dele, obtendo as corvetas II e III, conforme representado a seguir.

Se o participante disser B2, acertará esta figura de quadrado, que é parte da corveta I.

1 2

III

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Resoluções a partir da p. 257

Para complementar esta atividade, se julgar conveniente, reproduzir e distribuir aos alunos o tabuleiro disponível no Material de apoio para que, em duplas, eles brinquem com o jogo batalha naval. • As figuras II e III representadas foram obtidas por translação da figura I. Explique como é possível obter a: a) figura II. Uma resposta possível: Transladar a figura I em 6 unidades na direção horizontal e no sentido da esquerda para a direita. b) figura III. Uma resposta possível: Primeiro, transladar a figura I em 3 unidades na direção horizontal e no sentido da direita para a esquerda e, depois, transladar novamente 3 unidades na direção vertical e no sentido de cima para baixo à figura obtida.

EDITORIA DE ARTE

III

7 8 9 10

Se o participante disser D7, acertará a água.

a) b) c) d)

Escreva a localização de cada parte da corveta II. B6, C6 e D6. A água. Uma parte da Se o adversário de Luís disser C3, o que ele vai atingir? E se disser D2? corveta I. Cite um lançamento que possa atingir a corveta III. Respostas possíveis: G2; H2; I2. Explique como Luís fez cada translação da corveta I, indicando a distância, a direção e o sentido, para obter as corvetas II e III. Corveta II: Translação da corveta I em 4 unidades, na direção vertical e no sentido de cima para baixo. Corveta III: Translação da corveta I em 5 unidades, na direção horizontal e no sentido da esquerda para a direita.

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3. A figura II a seguir foi obtida por translação da figura I, com base na distância, direção e sentido indicados por duas setas de maneira consecutiva. Identifique quais das setas a seguir indicam essa translação. C e D.

E D

3. Esta atividade trabalha a identificação da distância, direção e sentido, que definem a simetria de translação na qual uma figura foi obtida. 4. Esta atividade trabalha a construção da simétrica de uma figura por translação, dados a distância, a direção e o sentido dessa transformação, utilizando instrumentos de desenho. Para a resolução desta atividade, reproduzir e entregar aos alunos a malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio, e réguas. Veja a seguir a resposta do item a.

II. A’ E’

B’

D’

C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A E

Veja a seguir a resposta do item b.

4. Em cada item, reproduza a figura representada, em uma malha quadriculada, e construa a simétrica a ela por translação de acordo com a distância, a direção e o sentido indicados pelas setas. Resposta nas Orientações para o professor.

A C

A’ D’

C’

5. Vamos criar uma releitura da obra de Hélio Oiticica apresentada na página 54! Para isso, você pode utilizar uma malha quadriculada, desenhar figuras e realizar translações delas. Outra opção é fazer essa releitura utilizando um programa de computador. Resposta pessoal. 57

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B’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

5. Esta atividade trabalha a construção de uma composição artística com base no desenho de figuras simétricas por translação. Para esta releitura, reproduzir e entregar aos alunos a malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio, e réguas. Os alunos também podem fazer a releitura utilizando o GeoGebra ou outro programa de computador. Após as produções, propor aos alunos que realizem uma exposição na sala de aula ou em um local próprio no pátio da escola.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CIDADÃO Esta seção propicia uma abordagem relacionada às competências gerais 7 e 8 e às competências específicas 7 e 8 de Matemática da BNCC, uma vez que trata de questões de urgência social sobre a acessibilidade, que permitem aos alunos, em interação com seus colegas e professor, discutir e defender ideias que respeitem e promovam os direitos humanos, mais especificamente, sobre a saúde física e emocional do outro e de si mesmo. É importante iniciar este trabalho promovendo uma roda de conversa com os alunos a fim de que exponham suas opiniões sobre o tema. Para conduzir esta conversa, propor a eles os seguintes questionamentos. • O que vocês sabem sobre acessibilidade? • Qual é a importância de discutir esse tema? • Vocês conhecem alguém com algum tipo de deficiência? Em caso afirmativo, essa pessoa tem dificuldades em utilizar algum tipo de serviço devido a esta deficiência? Após a conversa, apresentar aos alunos uma definição formal de acessibilidade. Para isso, leia para eles o trecho a seguir. [...] Acessibilidade é um atributo essencial do ambiente que garante a melhoria da qualidade de vida das pessoas. Deve estar presente nos espaços, no meio físico, no transporte, na informação e comunicação, inclusive nos sistemas e tecnologias da informação e comunicação, bem como em outros serviços e instalações abertos ao público ou de uso público, tanto na cidade como no campo. [...] BRASIL. Secretaria Especial dos Direitos da Pessoa com Deficiência. Acessibilidade. Disponível em: <www. pessoacomdeficiencia.gov.br/app/ acessibilidade-0>. Acesso em: 14 set. 2018.

você

cidadão

Acessibilidade É direito de todo cidadão ir e vir, porém a acessibilidade em espaços públicos é um problema em muitos dos municípios brasileiros. Leia a seguir parte de uma reportagem que trata desse assunto.

Cegos apontam falhas na acessibilidade em Campinas: ‘Sem coragem, não sai às ruas’ [...] Sair de casa, atravessar a rua ou pegar um ônibus. Para alguns cidadãos de Campinas (SP), essas simples ações são verdadeiras “tarefas árduas”. Em comum, o fato de serem cegos e de se sentirem excluídos por parte da cidade que, para eles, falha no quesito acessibilidade. [...] “Meca” do comércio da região central, andar pela Rua Treze de Maio é um desafio para quem não enxerga. Além de enfrentar o vaivém de pessoas, não há ferramentas que auxiliem os deficientes. “No meio daquela multidão de pessoas, a referência que eu uso é uma canaleta para escoar água que tem no centro da rua. Só que a bengala às vezes prende ali, é um problema”, ressalta o baiano Leílson Bastos, que mora em Campinas desde 2014. Conterrânea de Bastos, Jaqueline Silva dos Santos, de 27 anos, vive no município desde os 5 anos. Enxergou até os 15 e, desde então, “vê” Campinas de outra forma. O terminal central é um ponto de passagem obrigatório, mas só anda por lá acompanhada. “É um local muito bagunçado. Eu pego ônibus lá, mas acompanhada. Sozinha, jamais! Tem muita barraca.” [...] EVANS, F. Cegos apontam falhas na acessibilidade em Campinas: “Sem coragem, não sai às ruas”. G1. Disponível em: <https://g1.globo.com/sp/campinas-regiao/noticia/cegos-apontam-falhas-naacessibilidade-em-campinas-sem-coragem-nao-sai-as-ruas.ghtml>. Acesso em: 21 fev. 2018.

Quando houver mudança de direção formando um ângulo maior que 150° e menor ou igual a 180°, não é necessário sinalizar a mudança com piso tátil de alerta.

O eixo central da faixa auxilia na orientação.

O piso tátil de alerta indica as mudanças de direção e de nível. O piso tátil direcional sinaliza e direciona o trajeto.

As áreas de alerta devem ter dimensões equivalentes ao dobro daquelas da sinalização tátil direcional.

D3-MAT-F2-2049-V8-034-065-U02-LA-G20.indd Para complementar, propor58 aos alunos que realizem uma entrevista com uma pessoa que tenha algum tipo de deficiência (visual, auditiva ou motora) ou com uma pessoa que conviva com alguém com deficiência. É possível que um aluno com deficiência da turma ou da escola seja o entrevistado.

Orientá-los para que eles questionem essas pessoas sobre suas rotinas e sobre quais são as dificuldades encontradas no dia a dia. Pedir a eles que anotem no caderno o que mais lhes chamou a atenção, para depois compartilhar com os demais colegas da turma.

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Resoluções a partir da p. 257

Ao abordar o esquema destas páginas, questionar os alunos se eles já observaram pisos táteis e, em caso afirmativo, se eles perceberam que existem dois modelos: o piso tátil direcional e o piso tátil de alerta. Se julgar conveniente, informar a eles que o órgão responsável por essas e outras normas do Brasil é a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 1. No item d, a pesquisa pode ser realizada em um dicionário ou na internet. Para complementar, questionar os alunos sobre qual rua do município onde moram é considerada a “Meca” do comércio. 2. Se julgar necessário, sugerir aos alunos que retomem o esquema apresentado, pedindo a eles que citem alguns ângulos que estão no intervalo em que é exigida a instalação de pisos táteis de alerta. 3. No item a, providenciar previamente os materiais necessários. Ao final, propor aos alunos que comparem os seus desenhos com os dos outros grupos e confiram se estão de acordo com as normas da ABNT, apresentadas no esquema. Para auxiliar no item b, os alunos podem pesquisar informações sobre acessibilidade na internet. Após a confecção dos cartazes, verificar a possibilidade de realizar uma exposição na sala de aula ou em um local próprio no pátio da escola.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em relação à reportagem apresentada, resolva as questões. a) Qual é o principal objetivo da reportagem? Resposta esperada: Apontar algumas falhas na acessibilidade do munícipio de Campinas. b) Quais pessoas foram entrevistadas? Que tipo de deficiência elas apresentam? Leílson Bastos e Jaqueline Silva dos Santos. Deficiência visual, eles são cegos. c) Identifique e descreva no caderno trechos que retratem os problemas de acessibilidade no município de Campinas. Algumas possíveis respostas: o vaivém de pessoas, não há ferramentas que auxiliem os deficientes, a bengala enrosca na canaleta, o terminal de ônibus é bagunçado e tem muita barraca. d) Localize na reportagem a expressão “Meca”. Depois, explique o que ela significa naquele contexto. Se necessário, faça uma pesquisa.Resposta esperada: Significa que a rua Treze de Maio é considerada o principal local das atividades do comércio central no município de Campinas. 2. Em certa calçada estão sendo instalados pisos táteis. Em certo trecho, haverá uma mudança de direção de 130°. Nessa mudança, devem ser instalados pisos táteis de alerta? Explique por quê. Resposta esperada: Sim, pois o ângulo dessa mudança de direção está entre 90° e 150°. 3. Junte-se a dois colegas e resolvam os itens a seguir. Respostas pessoais. a) Em uma folha, usem régua, transferidor e lápis para desenhar um trajeto com pisos táteis. Nele, representem duas mudanças de direção, sendo que apenas uma necessite de pisos táteis de alerta, e indiquem as medidas dos ângulos em cada uma delas. b) Pesquisem e conversem com alguns adultos sobre a acessibilidade no município em que vocês moram. Depois, façam um cartaz para relatar algum problema de acessibilidade ou informar ações realizadas no município para torná-lo mais acessível.

Quando houver mudança de direção formando um ângulo maior ou igual a 90° e menor ou igual a 150°, deve haver sinalização com piso tátil de alerta.

Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 16537. Disponível em: <www.pessoacomdeficiencia. gov.br/app/sites/default/ files/arquivos/%5Bfield_ generico_imagens-filefielddescription%5D_169.pdf>. Acesso em: 22 fev. 2018.

AMPLA ARENA

Pisos táteis Um recurso importante para a acessibilidade das pessoas com deficiência visual são os pisos táteis, que possibilitam a elas que se orientem ao caminhar. Para que o caminho a ser percorrido possa ser percebido de maneira adequada, a instalação dos pisos táteis deve seguir algumas normas. Observe, a seguir, exemplos de sinalização tátil quando ocorrem mudanças de direção no encontro de duas faixas.

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AMPLIANDO Sugerir que acessem estes sites para obter mais informações sobre acessibilidade. • BRASIL. Ministério do Planejamento, Desenvolvimento e Gestão. Manual de acessibilidade para prédios públicos. Disponível em: <http:// livro.pro/7vmw96>. Acesso em: 21 out. 2018. • BRASIL. Secretaria Especial dos Direitos da Pessoa com Deficiência. Disponível em: <http://livro.pro/jmrbii>. Acesso em: 21 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada ao desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5 de Matemática e às habilidades EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18 da BNCC, uma vez que aborda o uso de tecnologias digitais de forma significativa para produzir conhecimentos, resolver problemas e validar estratégias e resultados.

Construindo mediatriz e bissetriz No exemplo 1, dizer aos alunos que, para obter a mediatriz de um segmento de reta, basta realizarmos os procedimentos da etapa 1. A etapa 2 foi apresentada apenas para que eles pudessem verificar uma propriedade da mediatriz de AB: cada ponto da reta g é equidistante dos pontos A e B.

você

conectado

Construindo mediatriz e bissetriz Com as ferramentas do GeoGebra, podemos construir a representação da mediatriz de um segmento de reta e da bissetriz de um ângulo. Exemplo 1 – Construindo a mediatriz de um segmento de reta AB.

Para representar o segmento de reta AB, selecionamos a opção

marcamos os pontos A e B. Com a opção

selecionada, clicamos sobre AB.

A reta g obtida é a mediatriz de AB.

Com a opção

selecionada, marcamos um ponto C qualquer sobre a reta g.

Em seguida, com a opção

selecionada clicamos sobre A e C, depois sobre C e

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

B, obtendo, respectivamente, as medidas AC e BC.

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Exemplo 2 – Construindo a bissetriz de um ângulo BAC.

Para obter AB, um lado de BÂC, selecionamos a opção

e marcamos A e B.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Depois, para obter AC, o outro lado de BÂC, clicamos sobre A e marcamos C.

Com a opção

selecionada,

clicamos sobre C, A e B, nessa ordem. A reta h obtida é bissetriz de BÂC.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. b) Resposta esperada: As medidas AC e BC são alteradas ao movimentar o 1. Em relação ao exemplo 1, resolva. ponto C, porém a igualdade entre essas medidas é mantida. a) Qual é a relação entre as medidas AC e BC? Resposta esperada: Essas medidas são iguais. , movimente o b) No GeoGebra, faça a construção apresentada no exemplo 1. Com a opção ponto C. O que ocorre com as medidas AC e BC? A relação observada no item a se mantém? , 2. No GeoGebra, faça a construção apresentada no exemplo 2. Depois, com a opção , meça marque um ponto D sobre a reta h. Com a opção Para medir, no as distâncias entre o ponto D e as semirretas AB e AC. GeoGebra, a distância entre a) Qual é a relação das distâncias entre D e AB e entre D e AC? Resposta esperada: Essas distâncias são iguais. um ponto e uma semirreta, b) Com a opção , movimente o ponto D. O que ocorre podemos selecionar a opção e, em seguida, clicar no com as distâncias entre D e AB e entre D e AC? A relação ponto e na semirreta. observada no item a se mantém? Resposta esperada: As distâncias entre D e AB e entre D e AC são alteradas ao movimentar o ponto D, porém a igualdade entre essas distâncias é mantida. 61

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Na etapa 2 do exemplo 2, enfatizar aos alunos para que cliquem sobre os pontos citados e não sobre AB%% e AC%. Mãos à obra 1. No item b, comentar com os alunos que as medidas AC e BC, obtidas por eles após realizar os procedimentos do exemplo 1, não precisam ser

necessariamente iguais às apresentadas. O que importa é que a relação entre essas duas medidas seja a mesma que foi observada no item a. Aproveitar este item para relembrá-los que a mediatriz de um segmento de reta é o lugar geométrico em que cada um de seus pontos é equidistante

com a opção Ângulo selecionada, cliquem primeiro sobre o segmento de reta AB e depois sobre a mediatriz g. O ângulo obtido tem medida igual à 90°. Para complementar o item b, orientar os alunos para que movam o ponto C sobre a intersecção entre o segmento de reta AB e a reta g. Explicar que nesse caso o ponto C é o ponto médio de AB, ou seja, o ponto que divide AB em outros dois segmentos de reta congruentes. 2. Orientar os alunos para que façam a construção em um novo arquivo do GeoGebra. Verificar se eles conseguiram marcar o ponto D sobre a reta h e medir as distâncias entre esse ponto e AB% e AC%. No item b, relembrar os alunos que a bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico, em que cada um seus pontos é equidistante aos lados desse ângulo e, nesse caso, são equidistantes de AB% e AC%, que correspondem aos lados do ângulo BAC. Para complementar esta questão, propor aos alunos que meçam os ângulos BAC, BAD e DAC e verifiquem que a bissetriz h efetivamente divide o ângulo BAC em outros dois ângulos congruentes. Para isso, orientá-los que, com a opção Ângulo selecionada, cliquem primeiro sobre: • AB% e depois sobre AC%, para obter a medida do ângulo BAC; • AB% e depois sobre a bissetriz h, para obter a medida do ângulo BAD; • a bissetriz h e depois sobre AC%, para obter a medida do ângulo DAC.

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às extremidades desse segmento de reta. Para que os alunos verifiquem que a mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a este segmento em seu ponto médio, sugerir a eles que meçam o ângulo formado entre a mediatriz g e AB. Para isso, orientá-los que,

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Construindo figuras simétricas por translação Com as ferramentas do GeoGebra, podemos construir a representação de polígonos simétricos por translação.

Vamos construir a representação de um pentágono ABCDE no

GeoGebra. Para isso, selecionamos a opção

e marcamos os pontos

A, B, C, D e E. Para concluir o desenho da figura do polígono, clicamos novamente sobre A.

Para construir a seta que indica a distância, a direção e o

sentido da translação, selecionamos a opção

e marcamos

os pontos F e G.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Construindo figuras simétricas por translação Na etapa 2, a translação do polígono ABCDE é realizada de acordo com um vetor, nesse caso, vetor u, no entanto, nesse nível de ensino, optamos por utilizar a nomenclatura “seta”, uma vez que o estudo sobre vetores não será aprofundado. Na etapa 3, da próxima página, chamar a atenção dos alunos que, para obter a figura simétrica por translação, é necessário clicar na região interna do polígono original, uma vez que se eles clicarem sobre um de seus vértices ou sobre um de seus lados, apenas o simétrico deste elemento será representado. Comentar com os alunos que também poderíamos obter o pentágono A’B’C’D’E’ a partir de transladações consecutivas do pentágono ABCDE. Uma possibilidade seria, primeiro, transladar o pentágono em 5 unidades na direção horizontal e no sentido da esquerda para a direita e, depois, transladar em 2 unidades na direção vertical e no sentido de cima para baixo.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para construir a figura simétrica, selecionamos a opção

, clicamos sobre

o pentágono ABCDE e, em seguida, sobre a seta. O pentágono A’B’C’D’E’ é a figura simétrica ao pentágono ABCDE obtido por translação em relação à seta.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. No GeoGebra, faça a construção apresentada no exemplo.

GEOGEBRA 2018

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

, movimente um vértice do pentágono ABCDE. O que acontece com o a) Com a opção vértice correspondente do pentágono A’B’C’D’E’? Resposta esperada: O vértice correspondente do pentágono A’B’C’D’E’ se ajusta automaticamente. , movimente um dos pontos que determinam a seta: F ou G. O que b) Com a opção aconteceu com o pentágono A’B’C’D’E’? Resposta esperada: A posição do pentágono A’B’C’D’E’ se ajusta automaticamente. , movimente a posição da seta. Mas atenção, pois você não pode clicar c) Com a opção sobre os pontos F ou G. O que aconteceu com o pentágono A’B’C’D’E’? Resposta esperada: Nada, pois seu formato e sua posição foram mantidos. 2. No GeoGebra, reproduza a representação do quadrilátero ABCD a seguir. Depois, construa uma seta que indique uma distância, direção e sentido. Peça a um colega que construa a figura simétrica ao quadrilátero ABCD por translação em relação a essa seta. Por fim, juntos, confiram as figuras construídas e façam movimentações em vértices do quadrilátero ABCD e na seta, para verificar o que acontece. Resposta pessoal.

Mãos à obra 1. No item a, explicar aos alunos que o vértice correspondente ao pentágono A’B’C’D’E’ se ajusta automaticamente ao movermos um vértice do pentágono ABCDE, pois os vértices do polígono simétrico dependem do original. No item b, explicar a eles que a posição do pentágono A’B’C’D’E’ se ajusta automaticamente ao movermos um dos pontos da seta, pois esse pentágono foi obtido de acordo com ela e, portanto, dependem da sua distância, direção e sentido. No item c, enfatizar aos alunos para não clicarem sobre os pontos F ou G, pois o objetivo não é mudar a distância, direção e sentido representados pela seta. Para complementar, questioná-los sobre o porquê de, ao mudarmos apenas a posição da seta, o formato e a posição do polígono simétrico se manterem. Espera-se que eles compreendam que a posição da seta em relação às margens da Janela de Visualização não é importante nesse caso, mas sim a direção, o sentido e a distância representados por ela. 2. Ver a seguir uma resposta possível desta questão.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior desta página. Com base nos conceitos indicados pelos alunos e que precisam ser retomados para melhor compreensão, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

o que estudei

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

Classificação de ângulos: agudo, Ângulos

reto, obtuso ou raso

Mediatriz de um segmento de reta

Simetria de reflexão

Ângulos notáveis: 30°, 45°, 60° e 90°

Simetria de rotação

Distância entre um ponto e uma reta

Bissetriz de um ângulo

Simetria de translação

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Ângulos e simetria

Ângulos

Classificação de ângulos: agudo, reto, obtuso ou raso

Distância entre um ponto e uma reta

Bissetriz de um ângulo

Mediatriz de um segmento de reta

Simetria de reflexão

Simetria de rotação

Simetria de translação

Ângulos notáveis: 30º, 45º, 60º e 90º

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL

GEOGEBRA 2018

Com um programa de computador, Paula construiu a figura de um triângulo ABC. Depois, com uma opção desse programa, obteve uma simétrica dessa figura. Observe.

IV. Resposta esperada: Com uma abertura qualquer, fixar a ponta-seca do compasso no vértice O e traçar um arco que cruza os lados do ângulo nos pontos P e Q; com uma abertura conveniente e a ponta-seca fixa em P, traçar um novo arco; usando o compasso com a mesma abertura da etapa anterior e a ponta-seca fixa em Q, traçar outro arco, cruzando aquele traçado anteriormente; no encontro dos arcos, indicar o ponto D; com a régua, PROBLEMAS traçamos OD, que divide o ângulo AOA’ em dois ângulos de 60º. Resposta esperada: Bissetriz do ângulo AOA’. 4 cm. Conceitos: Bissetriz de um ângulo; distância entre um ponto e uma reta.

Qual foi o tipo de simetria realizada por Paula? Simetria de rotação. Conceitos: Simetria de rotação.

II As semirretas OA e OA’ determinam ângulos de quais medidas? Como o menor desses ângulos pode ser classificado em relação à sua medida? 120° e 240°; ângulo obtuso. Conceitos: Ângulos; classificação de ângulos: agudo, reto, obtuso ou raso.

III Considere que Paula trace uma reta r, mediatriz de OA e marque um P em r,

3. Aproveitar o item I e retomar com os alunos quais foram as simetrias estudadas na Unidade. Se julgar pertinente, questioná-los sobre quais são as principais características de cada uma delas. No item II, evidenciar aos alunos que as semirretas OA e OA’ determinam dois ângulos: um de 120°, apresentado na imagem, e o outro de 240°, que pode ser obtido calculando 360° _ 120° = 240°. No item III, relembrar com os alunos que cada um dos pontos da mediatriz é equidistante às extremidades do segmento de reta. No item IV, relembrar com os alunos que a bissetriz de um ângulo divide esse ângulo em outros dois congruentes e cada um dos pontos da bissetriz é equidistante aos lados do ângulo. Para a resolução do item, se necessário, sugerir a eles que retornem a página 41 desta Unidade, na qual foi apresentada a construção da bissetriz de um ângulo com régua e compasso. Para complementar esse item, propor aos alunos que reproduzam as figuras construídas por Paula em uma malha quadriculada ou no GeoGebra e construam a bissetriz do ângulo AOA’.

distante 3 cm de A. Qual é a medida OP? 3 cm. Conceitos: Mediatriz de um segmento de reta.

IV Explique como é possível traçar, com régua e compasso, uma semirreta com origem em O e que divida AÔA’ em dois ângulos de 60°. Como essa semirreta pode ser chamada? Ao marcar um ponto E nessa semirreta a 4 cm de OA, qual será a distância de E à OA’?

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UNIDADES TEMÁTICAS

• Números. • Álgebra. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Dízimas periódicas: fração geratriz. • Valor numérico de expressões algébricas. • Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano. • Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano. • Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 = b. • Sequências recursivas e não recursivas.

Aplicativos de transporte privado A mobilidade urbana, ou seja, a maneira como as pessoas se deslocam pelos municípios, é um dos grandes desafios atuais das administrações públicas. Enquanto algumas pessoas utilizam transportes coletivos, como trens, metrôs e ônibus, outras preferem usar táxis ou seus próprios automóveis ou motocicletas. Uma opção mais recente são os chamados aplicativos de transporte privado. Com eles, o transporte de passageiros costuma ocorrer por meio de carros particulares. A conexão entre passageiro e motorista é realizada por aplicativo para smartphone, que, uma vez instalado, permite ao passageiro fazer um cadastro e, então, solicitar um veículo para transportá-lo de um local a outro. Com tantas opções para se deslocar pelos municípios, o mais importante é buscar alternativas que, além de atender à necessidade de transporte dos cidadãos, possam contribuir com a mobilidade urbana, reduzindo os congestionamentos, por exemplo.

HABILIDADES • • • • • • •

EQUAÇÃO, SISTEMA DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÃO

EF08MA05 EF08MA06 EF08MA07 EF08MA08 EF08MA09 EF08MA10 EF08MA11

COMPETÊNCIAS GERAIS 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. ESPECÍFICAS 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar

Resposta pessoal.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Como você e seus responsáveis costumam se deslocar pelo município onde moram? Você já viu alguém utilizando um aplicativo de transporte privado? Como foi essa experiência? Considerando os valores que compõem o preço de uma viagem usando o aplicativo apresentado no esquema, quais podem variar? Respostas pessoais.

Resposta esperada: Os valores que dependem do tempo e da distância percorrida na viagem.

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informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas res-

postas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

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proximidades. Quando um dos motoristas aceitar a corrida, o aplicativo indicará no visor do smartphone o tempo estimado que o motorista chegará ao local de embarque e o preço do trajeto. Após o cliente confirmar o transporte, o aplicativo enviará uma fotografia do motorista, o modelo e a placa do veículo para auxiliar na identificação. Ao adentrar no veículo, o motorista confirmará o destino com o cliente e percorrerá o trajeto de acordo com o GPS ou com as indicações de rota do cliente. Dizer aos alunos que em diversos municípios brasileiros, geralmente, há superlotação nos transportes coletivos – ônibus, trens e metrô. Nesse sentido, os aplicativos de transporte privado podem ser uma alternativa para a diminuição da quantidade de veículos que circulam diariamente, pois muitos dos veículos trafegam com uma única pessoa, enquanto um único veículo com esse tipo de serviço pode transportar dezenas de pessoas em um dia, que tem como alternativa deixar seus veículos em casa, ajudando a diminuir os congestionamentos. No entanto, é preciso enfatizar que esse tipo de serviço ainda não está regulamentado em todos os municípios brasileiros.

Observe algumas informações sobre certo aplicativo de transporte privado.

Local de destino.

Tempo estimado para a chegada do veículo solicitado.

Trajeto a ser realizado.

Local de origem do passageiro.

O preço é calculado adicionando um valor inicial fixo e dois valores que dependem do tempo e da distância percorrida na viagem.

Os veículos disponíveis nas proximidades aparecem na tela.

CONFIRMAR CORRIDA

AMPLA ARENA, EDITORIA DE ARTE

R$ 12,25

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência específica 6 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema tratado envolve um contexto que pode ser vivenciado

pelos alunos que moram nos médios e grandes municípios e imaginado pelos alunos que moram em pequenos municípios, onde essa modalidade de transporte ainda pode não estar em vigor. Além disso, possibilita uma análise de situações por meio de diferentes registros e linguagens.

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Informar aos alunos que, de modo geral, os aplicativos de transporte privado funcionam da seguinte maneira: o cliente solicita o transporte, utilizando um aplicativo específico com o smartphone conectado à internet e, em seguida, essa solicitação é enviada aos motoristas que se encontram nas

NO DIGITAL – 2O bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 3 e 4. • Desenvolver o projeto integrador sobre o combate ao bullying. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF08MA04, EF08MA05, EF08MA06, EF08MA07, EF08MA08, EF08MA09, EF08MA10, EF08MA11, EF08MA12 e EF08MA13. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA06. O trabalho com expressões algébricas também foi apresentado na Unidade 5 do Volume 7 desta coleção; caso julgar necessário, é possível retomá-lo. Informar aos alunos que em uma multiplicação de dois fatores em que pelo menos um deles é uma letra, usualmente não se utiliza o símbolo de multiplicação (?). Por exemplo, 10 ? x é indicado por 10x e 5 ? a ? b é indicado por 5ab. Dizer também que, em uma multiplicação de dois fatores, na qual um deles é uma letra e o outro é o número 1, usualmente não se indica o fator 1. Por exemplo, 1 ? p é indicado por p. Verificar se os alunos perceberam que na indicação dos valores monetários na expressão, os reais correspondem à parte inteira e os centavos, à parte decimal. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo do valor numérico de expressão algébrica. 2. Esta atividade trabalha a associação de uma situação à expressão algébrica correspondente. Propor aos alunos que, em duplas, realizem um desafio. Um diz uma frase como as dos itens e o outro a representa com uma expressão. 3. Esta atividade trabalha a simplificação de expressões algébricas por meio de propriedades operatórias. No exemplo, inicialmente foi usada a propriedade comutativa da adição; na sequência, a propriedade distributiva da multiplicação e depois foram realizadas as subtrações que estavam entre parênteses. É importante destacar aos alunos que as expressões obtidas de uma etapa para a outra são expressões algébricas equivalentes.

E xpressões algébricas Nas páginas de abertura desta Unidade, vimos que os aplicativos de transporte privado surgiram como uma alternativa de meio de transporte urbano. Veja a seguir informações sobre os valores cobrados nas viagens em um desses aplicativos. Valor inicial fixo: R$ 3,00.

AZAMATOVIC/SHUTTERSTOCK.COM, SOLARIN/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Valor por quilômetro: R$ 1,00.

Valor por minuto: R$ 0,20.

Observe como podemos representar o preço de uma viagem usando esse aplicativo por meio de uma expressão algébrica:

quantidade de quilômetros

valor inicial fixo

3 + 1 ? d + 0,2 ? t valor por quilômetro

valor por minuto

quantidade de minutos

Também podemos representar a expressão algébrica ao lado da seguinte maneira: 3 + d + 0,2t Como 1 é o elemento neutro da multiplicação, temos que 1 ? d = d.

Uma multiplicação de dois fatores em que pelo menos um deles é uma letra pode ser indicada sem o símbolo de multiplicação.

Em uma expressão algébrica, as letras representam números e são chamadas de variáveis. Na expressão 3 + d + 0,2t, temos que d e t são as variáveis. Por exemplo, considere uma viagem realizada por meio desse aplicativo, em que a distância percorrida foi de 8 km e o tempo de deslocamento foi de 14 min. Para obter o preço cobrado por essa viagem, temos de calcular o valor numérico da expressão algébrica para d = 8 e t = 14, ou seja, substituir em 3 + d + 0,2t as variáveis d por 8 e t por 14. 3 + 8 + 0,2 ? 14 = 3 + 8 + 2,8 = 13,8 Assim, o preço cobrado por essa viagem é de R$ 13,80. 68

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Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Com base na situação apresentada na página anterior, calcule o preço de uma viagem de: a) 12 km em 26 min. R$ 20,20. b) 5,8 km em 13 min. R$ 11,40. c) 9 km em 18 min. R$ 15,60. 2. Relacione cada frase à expressão algébrica que a representa. Para isso, escreva a letra e o símbolo romano correspondentes. A-IV; B-III; C-I; D-II. A O dobro de x. B A terça parte de x mais 5. C O triplo de x menos a metade de y.

5. Podemos relacionar a quantidade D de diagonais e a quantidade n de lados de um polígono da seguinte maneira: D = n (n _ 3) 2 Calcule quantas são as diagonais de um: 2 diagonais. 44 diagonais. a) quadrilátero. c) undecágono. b) octógono. d) triângulo. Nenhuma diagonal. 20 diagonais. 6. Certo fabricante de painéis solares indica que cada metro quadrado de painel gera 18 kWh de energia elétrica por mês, de acordo com algumas condições. No telhado da casa de Henrique serão instalados painéis desses, de maneira a cobrir uma região retangular, como mostra o esquema.

D 5 menos a metade de x. I. 3x _

y 2

II. 5 _

x 2

III.

x +5 3

IV. 2x y

12x + 7y – 15 – 10x – 9 – 6y

ROBERTO ZOELLNER

3. Observe como Giovana simplificou uma expressão algébrica. x As letras x e y representam, em metros, as dimensões da região onde os painéis serão instalados.

12x – 10x + 7y – 6y – 15 – 9 x(12 – 10) + y(7 – 6) – 24 2x + y – 24 Agora, simplifique as expressões a seguir. a) 7(x – 3) + 2x + 1 9x – 20 b) 2(3x _ 1) _ 7 2x – 3 3 c) 2x – 4y + 3 – 15x + 6y 2y – 13x + 3

EDITORIA DE ARTE

A 4. Na figura, OC é bissetriz do ângulo AOB. C A medida de BÔC está representada, 3x + 5 em graus, por uma O B expressão algébrica. a) Represente, por uma expressão algébrica, a medida de AÔB em graus. 6x + 10. b) Calcule a medida de BÔC e AÔB para x = 9. BÔC: 32°; AÔB: 64°.

a) Qual expressão algébrica a seguir representa a quantidade de energia elétrica que será gerada, em quilowatts-hora por mês, pelos painéis solares na casa de Henrique? III. I. 18x + y III. 18xy II. x + y + 18 IV. 18(x + y) b) Calcule quantos quilowatts-hora serão gerados por mês, na casa de Henrique, para x = 6 e y = 4. 432 kWh. 7. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 69

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4. Esta atividade trabalha a escrita de uma expressão algébrica para representar uma situação e o cálculo do seu valor numérico. Lembrar aos alunos que a bissetriz de um ângulo o divide em dois ângulos congruentes. O estudo da bissetriz de um ângulo foi tratado na Unidade 2 deste Volume; se julgar necessário, é possível retomá-lo. 5. Esta atividade trabalha, em uma situação correspondente a uma propriedade de figura geométrica, o cálculo do valor numérico de expressão algébrica. Lembrar os alunos da nomenclatura dos polígonos de acordo com o número de lados. No item d, é importante que os alunos percebam que nas representações de triângulos não há diagonais, pois não existem segmentos de reta com extremidades em vértices não consecutivos. 6. Esta atividade trabalha a identificação de uma expressão algébrica correspondente a uma situação contextualizada e o cálculo do valor numérico de expressão algébrica. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Ciências sobre as energias limpas. No item a, lembrar aos alunos que para calcular a área de um retângulo basta multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura. 7. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelos alunos envolvendo o cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica. Os problemas elaborados pelos alunos podem envolver o cálculo da área ou do perímetro de figuras geométricas, por exemplo. É possível que os alunos proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, sugerir que ao final alguns desses problemas sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

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Sequências Mônica está pensando em como construir uma sequência numérica.

O 1o termo é 3. Para obter o próximo, multiplico o anterior por 2 e subtraio 1 do resultado.

Observe os cálculos que ela fez para obter os primeiros termos dessa sequência. ARTUR FUJITA

SEQUÊNCIAS Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF08MA10 e EF08MA11. O estudo com sequências numéricas também foi abordado na Unidade 5 do Volume 7 desta coleção, caso julgar necessário, é possível retomá-lo. Ao definir sequência recursiva, propor aos alunos que pesquisem o significado da palavra recursivo em um dicionário. Em seguida, explicar que essa palavra sugere algo que pode ser repetido em um processo que envolve a si mesmo. Nesse caso, como está se referindo a uma sequência, informá-los de que, de maneira geral, em uma sequência recursiva, para determinar o valor de um termo qualquer é necessário conhecer o valor de um ou mais termos que o antecedem. Apresentar alguns exemplos de sequências definidas de maneira recursiva e pedir aos alunos que determinem alguns termos, como os indicados a seguir. Antes, porém, verificar se perceberam que na indicação de um termo de uma posição genérica n, isto é, de uma posição qualquer, utilizamos a notação an. Como n indica uma posição qualquer, n tem de corresponder a um número natural maior do que zero. • Determine a2 sabendo que a1 = 6 e an = an _ 1 + 3. Resposta: 9. • Determine a5 sabendo que a4 = 7 e an = 2 ? an – 1 _ 4. Resposta: 10. • Determine a3 sabendo que a1 = 1 e an = 3 ? an – 1 + 1. Resposta: 13. Caso julgar necessário, lembrar aos alunos que fluxograma é um diagrama gráfico que pode ser utilizado para representar, de maneira resumida, a sequência de etapas de um procedimento. O trabalho com fluxograma foi abordado com mais ênfase na Unidade 7 do Volume 6 desta coleção.

a1 = 3 a2 = 2 ? a1 – 1 = 2 ? 3 – 1 = 6 – 1 = 5

Nessa sequência, o 1o termo foi indicado por a1, o 2o por a2, e assim por diante.

a3 = 2 ? a2 – 1 = 2 ? 5 – 1 = 10 – 1 = 9 a4 = 2 ? a3 – 1 = 2 ? 9 – 1 = 18 – 1 = 17

Considerando a1 = 3, temos que cada termo dessa sequência, a partir do 2º-, pode ser definido pela seguinte expressão: Termo de posição n.

an = 2 ? an _ 1 _ 1

Termo de posição n _ 1, ou seja, termo anterior ao de posição n.

Com essa expressão, em que n é um número natural maior que zero, é possível obter um termo qualquer da sequência a partir do termo anterior. Assim, dizemos que essa sequência está definida de maneira recursiva. Para obter a5, por exemplo, calculamos: a5 = 2 ? a5 _ 1 _ 1 = 2 ? a4 _ 1 = 2 ? 17 _ 1 = 34 _ 1 = 33 Também podemos obter os termos dessa sequência por meio de um fluxograma. Observe. Início.

Definimos a1 = 3.

Multiplicamos por 2.

Subtraímos 1.

Consideramos o último termo obtido.

Sim.

Registramos o resultado.

Calcular o próximo termo? Não. Fim.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de regularidade em sequência definida de maneira não recursiva. Veja ao lado a resposta do item b.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Podemos indicar essa sequência da seguinte maneira: (1, 4, 9, 16, ...). Para representar um termo qualquer dessa sequência, é possível usar a expressão: termo de posição n

an = n2 Note que, com essa expressão, é possível determinar qualquer termo da sequência sem que seja necessário conhecer termos anteriores. Assim, dizemos que essa sequência está definida de maneira não recursiva. Para obter a10, por exemplo, basta calcularmos: Resposta esperada: a10 = 102 = 100 Pode-se compor uma figura usando 100 pontos distribuídos igualmente Explique como o termo a10 pode ser representado em 10 linhas e 10 colunas, por meio de uma figura composta de pontos. de maneira que lembre um quadrado. Agora, observe como podemos obter um termo qualquer dessa sequência por meio de um fluxograma. Início.

Definimos a posição n do termo.

AtividadeS

Calculamos n2.

Registramos o resultado.

Fim.

1. a) Resposta esperada: A figura é formada pela quantidade de pontos indicada pelo número correspondente, organizados de maneira que lembre Resoluções a partir da p. 257 um quadrado, ou seja, em que cada linha e coluna tenha a mesma quantidade de pontos. NÃO ESCREVA NO LIVRO. 1. b) 49. Resposta nas Orientações para o professor.

Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Ed. Unicamp, 2004. p. 100-101.

1. Na sequência dos números quadrados perfeitos positivos estudada anteriormente, vimos que a cada termo pode ser associada uma figura composta de pontos. a) Explique a relação entre um número dessa sequência e a figura correspondente. b) Qual é o 7o termo dessa sequência? Desenhe no caderno a figura correspondente a esse termo. c) O número 150 faz parte dessa sequência? Explique por quê. 1. c) Não. Resposta esperada: Não existe um número natural que seja raiz quadrada de 150, ou seja, 150 não é um número quadrado perfeito. 71

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Ao trabalhar com a sequência dos números quadrados perfeitos, calcular a raiz quadrada desses números, para que os alunos percebam que a raiz obtida corresponde a um número natural que indica a quantidade de pontos tanto das linhas quanto das colunas das figuras compostas por pontos. Reforçar que a expressão que define a sequência dada por an = n² está na forma não recursiva, pois permite determinar qualquer termo da sequência sem que seja necessário conhecer o termo que o antecede. Informar aos alunos que além dos números quadrados perfeitos existem outros que expressam a quantidade de pontos em certas configurações geométricas e esses números são conhecidos como números figurados ou poligonais. Diversos historiadores matemáticos entendem que os números figurados se originaram com os primeiros membros da escola pitagórica. Tais números podem ser encarados como um dos elos entre o campo geométrico e o campo aritmético.

Um fluxograma pode ser utilizado para auxiliar nos procedimentos que devem ser efetuados para obter os termos de uma sequência. Nesse caso, a partir do 1o termo, realizamos as operações indicadas nas etapas ordenadas para obter o termo seguinte. Agora, vamos estudar outra sequência. Os números quadrados perfeitos são aqueles cuja raiz quadrada é um número natural. Observe como podemos representar os primeiros termos da sequência dos números quadrados perfeitos positivos por figuras formadas por pontos.

Verificar a possibilidade de apresentar aos alunos os números triangulares, que são outro exemplo de números figurados. Para isso, reproduzir na lousa as figuras compostas por pontos que estão indicadas na parte inferior desta página. Podemos indicar a sequência dos números triangulares da seguinte maneira: (1, 3, 6, 10, ...). Para representar um termo qualquer dessa sequência, é possível usar a expressão n(n + 1) . Se julgar conan = 2 veniente, solicitar aos alunos que determinem os próximos dois ou três termos da sequência dos números triangulares utilizando a expressão e depois confiram construindo sua representação com pontos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2. Observe como Murilo definiu duas sequências numéricas.

ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha a determinação de termos de sequências numéricas com base na expressão que as define. 3. Esta atividade trabalha a identificação de regularidade em sequência numérica e a construção de um fluxograma para obter os números seguintes. No item c, os alunos podem indicar diversas regularidades. Para a sequência I, por exemplo, eles podem indicar cada número a partir do segundo como sendo o anterior adicionado de 5 unidades, sendo o primeiro número igual a 4, ou que o número da posição n da sequência é dado pela expressão 5n _ 1. Já na sequência II, os alunos podem indicar que o número de posição ímpar é igual a 2 e o de posição par é igual a 8, ou ainda que cada número, a partir do segundo, é obtido subtraindo de 10 o número anterior. É importante valorizar as diferentes respostas e solicitar as devidas justificativas. Ver a seguir uma resposta possível para a sequência numérica I.

Definimos a posição n do termo.

I. an = 4n _ 3 II. an = 6 + an_1, dado a1 = 0

Dividimos n por 3.

a) Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência. Sequência I: 1, 5, 9, 13 e 17; Sequência II: 0, 6, 12, 18 e 24. b) Em sua opinião, qual das duas sequências definidas por Murilo é mais prática para ele determinar o 100o termo? Por quê? 3. O fluxograma a seguir apresenta os procedimentos para obter uma sequência numérica. 2. b) Resposta esperada: Início. A sequência I, pois ela foi definida de maneira Definimos a1 = _2. não recursiva.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Multiplicamos por 3.

Fim.

Sim.

Consideramos o último termo obtido.

3. b) Resposta esperada: an = 3an _ 1 + 5 e a1 = _2

a) Quais são os seis primeiros termos dessa sequência? _2, _1, 2, 11, 38 e 119. b) Escreva uma expressão para representar um termo qualquer dessa sequência. c) Agora, para cada sequência numérica a seguir, identifique a regularidade e construa um fluxograma que permita obter os Respostas números seguintes. possíveis nas I. (4, 9, 14, 19, 24, 29, ...) Orientações para o II. (2, 8, 2, 8, 2, 8, ...) professor.

Definimos a posição n do termo

Calculamos 5n _ 1

4. Letícia elaborou um fluxograma para obter os termos de uma sequência de figuras. Observe.

Registramos o resultado

O termo corresponde à figura .

Não. Sim.

O resto da divisão é 1?

O termo corresponde à figura .

Não. O termo corresponde à figura .

Qual das sequências de figuras pode ser determinada por esse fluxograma? a) , , , , , , , , ,... Alternativa c. b) , , , , , , , , ,... c) , , , , , , , , ,... Resposta nas Orientações para o professor. 5. Desenhe no caderno um fluxograma com o qual seja possível obter os termos da seguinte sequência de figuras:

Registramos o resultado.

Não.

Sim. A divisão é exata?

Fim.

Adicionamos 5.

Calcular o próximo termo?

Início

Fim

Observar na parte inferior desta página uma resposta possível para a sequência numérica II. 4. Esta atividade trabalha a identificação de regularidade em sequência figural representada por meio de fluxograma. É importante chamar a atenção dos alunos que um número natural dividido por 3 só pode ter resto zero (divisão exata), resto 1 ou resto 2; não existem outras possibilidades.

Início.

, ...

Nessa sequência, as figuras , e são repetidas, nesta ordem, indefinidamente. 6. Elabore e registre no caderno duas sequências numéricas, uma que possa ser definida de maneira recursiva e outra não recursiva, indicando os seis primeiros termos de cada uma delas. Depois, troque-as com um colega para que ele descreva as regularidades observadas e construa um fluxograma que permita obter os termos seguintes de cada uma dessas sequências. Você deve fazer o mesmo com as sequências que receber. Ao final, juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

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Início

Definimos a1 = 2

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Multiplicamos por _ 1

Adicionamos 10

Registramos o resultado

Consideramos o último termo obtido Sim.

Calcular o próximo termo? Não. Fim

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5. Esta atividade trabalha a identificação de regularidade em sequência figural e a construção de um fluxograma para obter as figuras seguintes. Os alunos podem proceder de maneira similar à apresentada na atividade anterior. Ver na parte inferior desta página uma resposta possível desta atividade. 6. Esta atividade trabalha a elaboração de sequências numéricas e a construção de fluxograma para representar as etapas que podem ser utilizadas para obter seus termos.

Equação do 1o grau com uma incógnita

Leia a tirinha com atenção.

SOUSA, M. de. Turma da Mônica. Disponível em: <http://turmadamonica.uol.com.br/ tirinhasdomarcelinho/index.php?a=56>. Acesso em: 2 mar. 2018.

EQUAÇÃO DO 1O GRAU COM UMA INCÓGNITA O estudo de equação do 1o grau com uma incógnita também foi abordado na Unidade 5 do Volume 7 desta coleção, caso julgar necessário, é possível retomá-lo. Aproveitar o contexto da tirinha e promover uma roda de conversa com os alunos a respeito das vantagens de poupar dinheiro por algum tempo e realizar compras à vista. Verificar se os alunos se lembram de que, quando o expoente de uma potência é 1, usualmente ele não é indicado. Por exemplo, x1 pode ser escrito como x. Na resolução da equação do 1o grau com uma incógnita, é importante que os alunos entendam que de uma linha para a seguinte se utilizam propriedades da igualdade de modo a obter equações equivalentes, ou seja, com a mesma raiz ou solução.

Para comprar a chuteira, cujo preço era R$ 85,00 à vista, Marcelinho guardou por 3 meses uma mesma quantia por mês e juntou com R$ 10,00, que seu avô lhe deu para inteirar. Quantos reais Marcelinho guardou por mês? Podemos representar essa situação por uma equação. Uma equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade em que as letras, que representam números desconhecidos, são chamadas incógnitas. Observe. quantidade de meses em que guardou a quantia

quantia que guardou por mês quantia que ganhou do avô

3 ? x + 10 = 85

1o membro da equação

preço pago pela chuteira 2o membro da equação

Note que 3x + 10 = 85 tem apenas uma incógnita (x) e com expoente 1. Assim, dizemos que esse é um exemplo de equação do 1o grau com uma incógnita. Para obter a quantia que Marcelinho guardou por mês, temos de resolver essa equação, ou seja, obter suas raízes ou soluções. Observe como podemos resolver a equação 3x + 10 = 85 utilizando as propriedades aditiva e multiplicativa da igualdade. Resposta esperada: Substituindo x por 25 na equação e, ao realizar os cálculos indicados, obtendo uma igualdade verdadeira. 3x + 10 = 85 Subtraímos 10 em cada membro da equação. 3x + 10 – 10 = 85 – 10 Explique 3x 75 como é possível Dividimos cada membro da equação por 3. = 3 3 verificar que 25 é raiz da equação Temos que 25 é raiz da equação. x = 25 3x + 10 = 85. Assim, para comprar a chuteira, Marcelinho guardou R$ 25,00 por mês. 73

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Início

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Definimos a posição n do termo

Dividimos n por 3

A divisão é exata?

Não.

O termo corresponde à figura

Fim

Sim. O termo corresponde à figura

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de raiz de equação do 1o grau com uma incógnita. Para resolvê-la, os alunos podem substituir as incógnitas pelos valores do quadro, um por vez. O valor que resultar em uma igualdade verdadeira é a raiz da equação. 2. Esta atividade trabalha as etapas de resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio das propriedades da igualdade. 3. Esta atividade trabalha a associação de uma situação contextualizada a uma equação do 1o grau com uma incógnita e a identificação da solução correspondente. 4. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio das propriedades da igualdade. É importante chamar a atenção dos alunos para o fato de que em uma das etapas da resolução das equações dos itens b e d, é necessário multiplicar ambos os membros da equação por um número conveniente, de modo a obter o denominador da fração igual a 1. 5. Esta atividade trabalha a associação de uma equação do 1o grau com uma incógnita a uma situação correspondente e a resolução por meio das propriedades da igualdade.

Agora, observe como podemos resolver a equação 4x + 15 = 6x _ 2. 4x + 15 = 6x _ 2 4x + 15 _ 15 = 6x _ 2 _ 15 4x _ 6x = 6x _ 6x _ 17 _2x ? (_1) = _17 ? (_1) 2x = 17 2 2 17 x= 2

Subtraímos 15 em cada membro da equação. Subtraímos 6x em cada membro da equação. Multiplicamos cada membro da equação por (_1). Dividimos cada membro da equação por 2. Temos que

Represente a raiz dessa equação por um número racional na forma decimal. x = 8,5.

17 é raiz da equação. 2

3. a) Resposta esperada: Nessa equação, a incógnita x representa 2x a quantidade total de funcionários do setor de produção; , 5 AtividadeS x NÃO ESCREVA os da etapa de corte; , os da etapa de modelagem e 90 é a NO LIVRO. 5 quantidade de funcionários da etapa de costura. b) Qual é a resposta do problema. 1. Em cada item, verifique qual número no 225 funcionários. quadro é raiz da equação. 4. Resolva as equações. a) 5x + 18 = 33 10 7 3 x = 3. a) 7x _ 29 = 13 x = 6. 3n _5=0 b) 9 15 12 n = 15. b) x + 10 = 78 x = 272. 9 4 _4 _7 _14 c) 4(6y + 7) = 15y _ 8 c) 10(2x _ 5) = 12x + 14 x = 8. y = _ 4. 2. Copie a resolução da equação a seguir 3x + 1 d) = _16 x = –11. adequadamente. substituindo cada 2 e) _21x + 45 = _3x + 27 x = 1 7x _ 24 = 3x + 20 25 f) _5x = _9x + 25 x = 7x _ 24 + = 3x + 20 + 4 7x _ = 3x + 44 _ 5. Para cada item, identifique entre as equa7x – 24 = 3x + 20 4x 44 ções do quadro aquela que representa o = 7x – 24 + 24 = 3x + 20 + 24 problema. Depois, resolva essa equação e 7x – 3x = 3x + 44 – 3x x= 4x 44 escreva a resposta do problema. = 4 4 3. Observe o problema abaixo. x = 11 2x _ 34 = 50 34 + x = 50 2 No setor de produção de uma fábrica 50 _ 2x = 34 x + x + 34 = _50 2 de roupas, 2 dos funcionários trabalham na 5 a) Em uma barraca na praia, João comprou 1 etapa de corte, na etapa de modelagem dois sucos de mesmo preço, pagou 5 com uma cédula de R$ 50,00 e recebeu e os 90 funcionários restantes, na etapa de R$ 34,00 de troco. Qual foi o preço de costura. Quantos funcionários trabalham cada suco? 50 _ 2x = 34; x = 8; R$ 8,00. no setor de produção dessa fábrica? b) Sabrina tem 34 anos e é irmã de Rafael. Ao adicionar a idade de Sabrina à metade Para representar esse problema, Luana da idade de Rafael, obtêm-se 50 anos. escreveu a equação a seguir. Qual é a idade de Rafael? 2x + x + 90 = x 6. Para fazer um canteiro em sua chácara, 5 5 Helena quer cercar uma região retangular a) Explique como Luana pensou para escreusando exatamente 100 m de tela. Esse ver essa equação. Indique, por exemplo, canteiro deve ter 7 m de comprimento qual é a incógnita e o que ela representa. x 5. b) 34 + = 50; x = 32; 32 anos. 2 74 Resoluções a partir da p. 257

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a mais que a largura, como representa a figura abaixo.

ROBERTO ZOELLNER

x+7

• Quais dimensões deve ter esse canteiro? Largura: 21,5 m; comprimento: 28,5 m. 7. Veja as etapas que Marcela fez para resolver a equação 2x _ x = 10. 3 4 1a) Como 2x e x têm denominadores 3 4 diferentes, calculou o mmc(3, 4) = 12. 2a) Depois, obteve frações equivalentes a 2x e x com denominador 12. 3 4 ?4

?3 8x 12

2x 3

x 4

3x 12

3a) Por fim, realizou os cálculos e determinou a raiz da equação. 2x x _ = 10 3 4 8x 3x = 10 _ 12 12 5x = 10 12 5x = 10 ? 12 12 ? 12 5x = 120 5x 120 = 5 5 x = 24 • Agora, resolva as equações. 3x x 10 + =1x= a) 11 5 2 2p p 1 ] = _ p = _ 9. b) 2 [ _ 9 4 2 4y _ 2 = 48 y = 14. c) 3y + 7 7n n _8= + 6 n = _ 56. d) 12 3

8. Para obtermos a fração geratriz de uma dízima periódica, ou seja, a representação fracionária desse número, podemos usar equações. Observe, por exemplo, como podemos obter cada fração geratriz das dízimas periódicas 0,4 e 2,14. • 0,4 = 0,444... x = 0,444... 10 ? x = 10 ? 0,444... 10x = 4,444... 10x = 4 + 0,444... x 10x = 4 + x 10x _ x = 4 + x _ x 9x 4 = 9 9 4 x= 9 • 2,14 = 2,1444... x = 2,1444... 10 ? x = 10 ? 2,1444... 10x = 21,444... 10x = 21 = 0,444... 8. a) 8 4 9 9 657 b) 4 999 10x = 21 = 9 193 c) 35 10x = 99 9 193 d) 296 ?9 10x ? 9 = 90 9 1 223 90x 193 e) = 9 900 90 90 193 4 f) 653 x= 9 990 90 Agora, obtenha a fração geratriz de cada dízima periódica a seguir. a) 0,8 c) 0,35 e) 0,1235 b) 0,657

d) 3,28

f) 0,4657

9. No caderno, escreva duas dízimas periódicas diferentes das apresentadas na atividade anterior. Em seguida, junte-se a um colega e troquem as dízimas periódicas para que cada um obtenha frações geratrizes correspondentes àquelas que recebeu. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

8. Esta atividade trabalha o reconhecimento e o uso de procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz de uma dízima periódica, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF08MA05 da BNCC. Caso julgar necessário, retomar o conceito de dízima periódica apresentado em Volumes anteriores desta coleção e mostrar aos alunos exemplos de dízimas periódicas e a maneira como são representadas. Propor a eles que façam as divisões correspondentes às frações geratrizes dos exemplos a fim de verificar sua veracidade. Isso também pode ser realizado após os alunos resolverem cada item e, assim, as divisões podem ser resolvidas com auxílio de uma calculadora. No segundo exemplo, ressaltar para os alu193 corresnos que a fração 9 ponde ao resultado da adição 4 de 21 + . 9 9. Esta atividade trabalha a obtenção de uma fração geratriz de uma dízima periódica, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF08MA05 da BNCC. Ao final desta atividade, propor aos alunos que compartilhem as resoluções e os pares de dízima periódica e fração geratriz correspondentes. As conferências podem ser realizadas com auxílio da calculadora.

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6. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma equação do 1o grau com uma incógnita e a resolução utilizando as propriedades da igualdade. Para complementar, propor aos alunos a seguinte questão. • Ênio trabalha realizando fretes, ou seja, transportando cargas. Para calcular o va-

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lor de um frete, ele estabelece uma taxa fixa de R$ 30,00 à qual adiciona R$ 8,00 por quilômetro percorrido. Determine a distância percorrida por Ênio em um frete que ele cobrou R$ 310,00. Resposta: 35 km. 7. Esta atividade trabalha uma estratégia para a resolução de equações do 1o grau com uma incógnita. A estra-

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tégia apresentada pode contribuir com o desenvolvimento da atividade 8, cujo objetivo é obter uma fração geratriz para uma dízima periódica. Lembrar aos alunos que “mmc” indica o mínimo múltiplo comum, conteúdo estudado no Volume 7 desta coleção.

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PARA PENSAR Verificar se os alunos perceberam que, para qualquer número que Cássio escrever, sempre haverá outro que, adicionado a este, resultará em 5. Isso porque existem infinitos pares de números cuja soma é 5. Lembrar os alunos de que o plano cartesiano tem essa nomenclatura em homenagem ao filósofo francês René Descartes, o precursor da ideia de localizar pontos em um plano com auxílio de eixos de referência. No plano cartesiano as escalas são as mesmas, isto é, a distância entre uma marcação e a seguinte deve ser a mesma em ambos os eixos. Para indicar um ponto no plano cartesiano, são utilizadas coordenadas representadas por um par ordenado na forma (x, y). A primeira coordenada indica a posição do ponto em relação ao eixo das abscissas (eixo x) e a segunda coordenada, a posição do ponto em relação ao eixo das ordenadas (eixo y). Aproveitar e ler para os alunos o trecho apresentado na parte inferior destas páginas, que apresenta informações a respeito da obra de René Descartes (1596-1650) que relacionou dois campos da Matemática, a Álgebra e a Geometria, e que deu origem à ideia do plano cartesiano e à Geometria Analítica.

Equação do 1o grau com duas incógnitas

A soma dos dois números é 5.

Cássio e Rita estão brincando com um jogo: um deles escreve dois números em um pedaço de papel e diz a soma, para que o outro tente adivinhá-los. Observe uma rodada. Se um dos números que Cássio escreveu foi zero, qual é o outro número escrito por ele? 5

Podemos expressar essa rodada por uma equação, em que as incógnitas x e y representam os números desconhecidos:

DANILLO SOUZA

EQUAÇÃO DO 1o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA07. Informar os alunos de que para uma equação ser caracterizada como sendo do 1o grau com duas incógnitas, é necessário que possua duas incógnitas distintas, e ambas com expoente 1.

x+y=5 Note que essa equação tem duas incógnitas (x e y), ambas com expoente 1. Esse é um exemplo de equação do 1o grau com duas incógnitas. Para obter as soluções de equações como essa, podemos atribuir um valor a uma das incógnitas e calcular o valor correspondente à outra. Observe. •x=1 1+y=5 1_1+y=5_1 y=4 x=1ey=4

•x=3 3+y=5 3_3+y=5_3 y=2 x=3ey=2

• y = _2 x + (_2) = 5 x_2+2=5+2 x=7 x = 7 e y = _2

•y=6 x+6=5 x+6_6=5_6 x = _1 x = _1 e y = 6

Assim, os números que Cássio anotou podem ser, entre outros, 1 e 4, 3 e 2, 7 e –2 ou –1 e 6. Mas perceba que existem outros pares de números cuja soma é 5. Essas soluções também podem ser indicadas por pares ordenados e representadas por pontos no plano cartesiano. Observe. y 6 5 4

x=1ey=4

(1, 4)

x=3ey=2

(3, 2)

x = 7 e y = –2

(7, _2)

x = –1 e y = 6

(_1, 6)

1 _6 _5 _4 _3 _2 _1 0 _1

7 8

x EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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[...] Em 1637, o filósofo francês, René Descartes, publicou La géométrie, que mostra como as formas e as figuras geométricas podem ser analisadas através da álgebra. O trabalho de Descartes influenciou a evolução da geometria analítica, um

ramo da matemática que contempla a representação de posições num sistema de coordenadas e em que os matemáticos analisam algebricamente essas posições. La géométrie demonstra também como resolver problemas matemáticos e discute a representação de

pontos de um plano através do uso de números reais e a representação e a classificação de curvas através do uso de equações. Curiosamente, La géométrie não usa, na verdade, os eixos “Cartesianos” de coordenadas ou qualquer outro sistema de coordenadas.

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É possível obtermos outros infinitos pares ordenados correspondentes a soluções dessa equação. Para isso, basta procedermos como apresentado anteriormente. Todas essas soluções podem ser representadas por pontos no plano cartesiano, determinando uma reta. Observe. y 6 5 4

Quais pares ordenados, correspondentes a soluções da equação x + y = 5, estão representados por pontos em destaque na reta?

53 22 1 1

253 2

7 8 x EDITORIA DE ARTE

_6 _5 _4 _3 _2 _1 0 _1 _2

(1, 4); (3, 2); (7, _2); (_1, 6); (5, 0); 5 5 [ , ]; (0, 5); (6, _1). 2 2

Note que essa reta não passa pelo ponto de coordenadas (2, 5). Isso indica que x = 2 e y = 5 não é solução da equação x + y = 5, o que pode ser verificado substituindo esses valores na equação e obtendo uma sentença falsa. Observe. x+y=5 2+5=5

AtividadeS

sentença falsa

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. b) Algumas respostas possíveis: x = 7 e y = 6; x = 8 e y = 5; x = _2 e y = 15; x = 0 e y = 13. b) Indique três soluções dessa equação. Depois, compare com as de um colega.

A soma

1. Na página 76 foi dos dois números apresentada uma é 13. situação na qual Cássio e Rita estão realizando uma brincadeira em que um deles escreve dois números e diz a soma, para que o outro tente adivinhar. Observe outra rodada dessa brincadeira. DANILLO SOUZA

a) Escreva uma equação para expressar essa rodada. x + y = 13.

2. Em cada item, verifique quais das fichas apresentam uma solução para a equação. a) 2x _ y = 7 I, II e IV. I. x = 4 e y = 1 II. x = 2 e y = _3 III. x = 0 e y = 8 IV. x = _1 e y = _9 b) 3(x + 4y) = _2 I. x = –3 e y = 7 1 II. x = e y = _2 4 2 III. x = 2 e y = _ 3 1 IV. x = 0 e y = _ 6

III e IV.

PARA PENSAR Propor aos alunos que substituam as incógnitas da equação x + y = 5 pelas coordenadas dos pontos em destaque na reta, realizem os cálculos e verifiquem que essas coordenadas são soluções da equação. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por uma equação do 1o grau com duas incógnitas e a determinação de raízes. No item b, é provável que os alunos indiquem diferentes respostas; nesse caso, listar algumas delas na lousa para evidenciar o fato de que uma equação do 1o grau com duas incógnitas possui infinitas soluções. 2. Esta atividade trabalha a identificação de raízes de uma equação do 1o grau com duas incógnitas. Para complementar, se julgar necessário, propor aos alunos os seguintes itens. • _x _ 6y = 20 I) x = 10 e y = _5. II) x = _8 e y = _2. III) x = _2 e y = _3. IV) x = 16 e y = _6. Resposta: I, II, III e IV. 3x

• 5 + 2 = 15

I) x = _5 e y = 15. II) x = 10 e y = 18. 1 III) x = 0 e y = _ . 2 IV) x = _10 e y = 8. Resposta: II.

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O livro presta tanta atenção à representação algébrica em formas geométricas quanto à interpretação geométrica através de procedimentos algébricos. [...] PICKOVER, C. A. O livro da Matemática: de Pitágoras à 57a dimensão, 250 marcos da história da matemática. Tradução Carlos Carvalho. Madrid: Librero, 2011. p. 136.

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y 5 4

6a _ b = _9 6a _ b = _ 9 e b 5 [a + ] = 0 3

2a _ 9b = 30 5[a +

2 1

b ]=0 3

_4 _3 _2 _1 0 _1

a 7 +b= 2 2

II.

a_b=4

y 6 5

4. Hugo encheu de água sete vezes um copo grande e quatro vezes um copo pequeno e despejou em uma jarra, obtendo 2 L.

4 3 2 1 _5 _4 _3 _2 _1 0 _1

_2 III. y 7. b) Algumas respostas 6 possíveis: pote azul: 400 g e pote vermelho: 5 250 g; pote azul: 4 300 g e pote vermelho: 3 400 g; pote azul: 2 500 g e pote vermelho: 2L 100 g; pote azul: 150 g 1 e pote Qual das equações a seguir representa vermelho: _5 _4 _3 _2 _1 0 _1 625 g. essa situação? 7x + 4y = 2.

7. a) 3x + 2y = 1 700; x: massa de cada pote azul; y: massa de cada pote vermelho. 1

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Capacidade: Capacidade: x y

x_y=7 4x + 7y = 2 x y + =4 7 2 7x + 4y = 2 7(x + 4y) = 2 5. Talita representou por (5, _3) uma das soluções de certa equação do 1o grau, cujas incógnitas eram x e y. Escreva no caderno essa possível equação. Depois, compare sua resposta com a de um colega.

_5x + y = 15 x _ 2y = _9 3x _ y = _2

_2x + y = 6 x y + =1 3 3

7. Na balança a seguir, os potes de mesma cor têm massas iguais.

ROBERTO ZOELLNER

ATIVIDADES 3. Esta atividade trabalha a identificação de equações do 1o grau com duas incógnitas correspondentes a uma dada raiz. Chamar a atenção dos alunos para o fato de que diferentes equações do 1o grau com duas incógnitas podem ter uma mesma solução. 4. Esta atividade trabalha a identificação de uma equação do 1o grau com duas incógnitas correspondente a determinada situação. Para complementar, pedir aos alunos que determinem possíveis soluções para a equação. Se julgar necessário, pedir a eles que utilizem 2 000 mL em vez de 2 L. 5. Esta atividade trabalha a escrita de uma equação do 1o grau com duas incógnitas, dada uma de suas raízes. É provável que os alunos indiquem diferentes respostas. Nesse caso, verificar a possibilidade de listar algumas delas na lousa para evidenciar o fato de que existe uma infinidade de equações do 1o grau com duas incógnitas que possuem uma mesma solução. 6. Esta atividade trabalha a associação das soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

x y + = 1; II: x _ 2y = _9; III: _2x + y = 6. 3 3 3. Quais das equações a seguir têm a = _1 e b = 3 como uma de suas soluções?

6. I:

BENTINHO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Escreva uma equação para expressar essa situação. b) Quantos gramas tem cada pote sobre a balança? x 5. Algumas respostas possíveis: 2x _ y = 13; x + y = 2; 6x _ y = 33; _x + y = _8; 2x + y = 7; _ y = 4. 5 78 6. Para cada reta no plano cartesiano, indique a equação de uma das fichas cujas soluções estão representadas por ela.

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8. c) Algumas respostas possíveis: 25 km e 10 min; 24,6 km e 12 min; 24 km e 15 min; 23 km e 20 min. a) Escreva uma equação para expressar a 8. Nas páginas 66 e 67, foram apresentaquantidade total de medalhas, de ouro e das informações sobre os aplicativos de prata, conquistadas por esse atleta. transporte privado, que surgiram como x + y = 9. uma alternativa de meio de transporte b) Indique quais desses pares ordenados corurbano. A expressão algébrica a seguir respondem a soluções dessa equação. representa o preço de uma viagem, em (7, 3) (3, 6) (7, 2) reais, usando um desses aplicativos. (6, 4) (8, 4) (6, 3) quantidade de (3, 5) (0, 9) valor (1, 8); (3, 6); (0, 9); quilômetros fixo (1, 8) (5, 6) (7, 2) e (6, 3). 3 + 1 ? d + 0,2 ? t c) A quantidade de medalhas de ouro convalor por quantidade quistadas por esse atleta é o dobro das quilômetro de minutos de prata. Quantas medalhas de ouro e valor por minuto quantas de prata ele conquistou? 6 medalhas de ouro e 3 medalhas de prata. a) Quantos quilômetros foram percorridos 10. (Enem-2016) Um terreno retangular cujas em uma viagem cujo preço foi R$ 25,00, medidas, em metro, são x e y será cercado realizada em 30 min? 16 km. para a construção de um parque de diverb) Em quantos minutos foi realizada uma sões. Um dos lados do terreno encontra-se viagem de 10 km cujo preço foi de às margens de um rio. Observe a figura. R$ 17,00? 20 min. c) Considere uma viagem cujo preço foi de R$ 30,00 e resolva os itens a seguir. • Escreva uma equação para representar essa situação. 3 + d + 0,2t = 30. • Indique uma opção de distância (em quilômetros) e tempo (em minutos) para essa viagem.

Luiz Claudio Pereira treinando no Rio de Janeiro (RJ). Fotografia de 1988.

AGÊNCIA O GLOBO

9. O atletismo faz parte dos Jogos Paralímpicos desde a primeira edição, em 1960. Esse esporte é praticado por atletas com deficiência física ou visual. Um dos maiores atletas paralímpicos é Luiz Cláudio Pereira, que conquistou ao todo 9 medalhas, entre as de ouro e de prata.

ENEM 2016

Para resolver esse item, considere que a viagem ocorreu em um intervalo de tempo entre 30 min e 60 min.

Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$ 7 500,00. O material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno paralelos ao rio e R$ 2,00 por metro para os demais lados. Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do material podem ser relacionados pela equação: a) 4(2x + y) = 7 500 Alternativa a. b) 4(x + 2y) = 7 500 c) 2(x + y) = 7 500 d) 2(4x + y) = 7 500 e) 2(2x + y) = 7 500 79

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7. Esta atividade trabalha a escrita de uma equação do 1o grau com duas incógnitas correspondente a uma situação e à determinação de algumas de suas raízes. No item a, informar os alunos de que a situação pode ser representada por uma igualdade que indica a soma das massas dos potes e a massa indicada no visor da balança. A equação 3x + 2y = =1 700 pode ser utilizada para representar essa situação, pois os números 3 e 2 indicam quantidades, x e y referem-se às massas dos potes azuis e vermelhos, respectivamente, e 1 700 indica a massa total: a massa dos 3 potes azuis mais a massa dos 2 potes vermelhos. Tanto nesta, quanto em outras atividades, os alunos podem utilizar as letras que preferirem para representar as incógnitas, não precisam necessariamente ser x e y. 8. Esta atividade trabalha a escrita de uma equação do 1o grau com duas incógnitas correspondente a uma situação e à determinação de algumas de suas raízes. Para a resolução dos itens, os alunos devem igualar a expressão indicada ao preço da viagem, obtendo equações. 9. Esta atividade trabalha a escrita de uma equação do 1o grau com duas incógnitas correspondente a uma situação e à determinação de algumas de suas raízes, expressas por pares ordenados que indicam pontos do plano cartesiano. Para resolver o item c, os alunos podem observar suas respostas apresentadas no item b. 10. Esta atividade trabalha a identificação de uma equação do 1o grau com duas incógnitas correspondente a uma situação. Verificar se os alunos perceberam que todos os lados do terreno serão cercados, inclusive o lado localizado às margens do rio.

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SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES DO 1o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA08. No problema dos canudos, caso julgar necessário, construir na lousa um quadro como o indicado na parte inferior desta página para evidenciar que, entre as soluções apresentadas para cada equação, apenas uma delas é solução de ambas as equações. Na segunda e terceira linhas do quadro, os valores atribuídos para x e y satisfazem apenas à equação 12x + 8y = 68. Nas três últimas linhas do quadro, os valores atribuídos para x e y satisfazem apenas à equação x + y = 7. Apenas para x = 3 e y = 4, linha em destaque, ambas as equações são satisfeitas; por isso, podemos dizer que essa é uma solução do sistema.

Sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas 12 canudos

A professora de Matemática da turma de 8o ano de uma escola levou canudos e barbante para que os alunos construíssem representações de cubos e pirâmides de base quadrada. Observe. Ao todo, foram utilizados 68 canudos para construir 7 representações de figuras. Quantas representações de cada figura foram construídas? Para esse problema, podemos escrever uma equação do 1o grau com duas incógnitas, uma para expressar a quantidade de canudos utilizados e outra para o total de representações de figuras. Observe. Canudos. quantidade de cubos representados

8 canudos

BENTINHO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Representações de figuras. quantidade de pirâmides representadas

12x + 8y = 68

quantidade de canudos em cada cubo

quantidade de cubos representados

quantidade total de canudos

x+y=7

quantidade de pirâmides representadas quantidade total de figuras

quantidade de canudos em cada pirâmide

Essas equações formam um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas, que pode ser representado da seguinte maneira: 12x + 8y = 68 { x+y=7 Em um sistema como esse, a solução tem de satisfazer as duas equações simultaneamente. Observe algumas soluções de cada equação desse sistema. 12x + 8y = 68 Soluções possíveis: (1, 7), (3, 4), (5, 1) x+y=7 Soluções possíveis: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3) Como (3, 4) é solução de cada equação, podemos dizer que essa é solução desse sistema. Assim, foram construídas 3 representações de cubos e 4 representações de pirâmides de base quadrada. 80

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Quantidade de cubos x 1 5 3 1 2 4

Quantidade de pirâmides y 7 1 4 6 5 3

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Quantidade total Quantidade total de canudos de figuras 12x + 8y x+y 12 + 56 = 68 1+7=8 60 + 8 = 68 5+1=6 36 + 32 = 68 3+4=7 12 + 48 = 60 1+6=7 24 + 40 = 64 2+5=7 48 + 24 = 72 4+3=7

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Podemos traçar, em um mesmo plano cartesiano, as retas que representam as soluções de cada uma das equações de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. Observe os exemplos. x_y=1 x+y=3 y • { x+y=3 x_y=1 3

Quando as retas que representam as soluções das equações de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas são concorrentes, ou seja, se cruzam em um único ponto, dizemos que o sistema tem uma única solução, que corresponde às coordenadas desse ponto.

2 1 _1 0

_1 _2

Assim, como essas retas se cruzam no ponto de coordenadas (2, 1), dizemos que x = 2 e y = 1 é a única solução do sistema. y 4 2x _ y = _2 • { 2x _ y = 1 2x _ y = 1 3

Quando as retas que representam as soluções das equações de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas são paralelas, ou seja, não se cruzam, dizemos que o sistema não tem solução.

2 1

2x _ y = _2

_1 0

_1 _2

Assim, como essas retas são paralelas, dizemos que o sistema não tem solução. • { x + 2y = 1 2x + 4y = 2 y 4 3 x + 2y = 1

2x + 4y = 2

_2 _1

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Quando as retas que representam as soluções das equações de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas são coincidentes, ou seja, têm infinitos pontos em comum, dizemos que o sistema tem infinitas soluções, que correspondem às coordenadas desses pontos.

Assim, como essas retas são coincidentes, dizemos que o sistema tem infinitas soluções. Algumas soluções correspondem aos pares ordenados (−3, 2), (−1, 1), (1, 0), (3, −1). 81

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Inconsistente. Sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. Consistente.

Não possui solução.

Possui apenas uma solução.

Antes de iniciar o conteúdo desta página, apresentar aos alunos um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas que não admita solução, para que eles comecem a se atentar ao fato de que nem todos os sistemas de equações possuem soluções. Por exemplo, o sistema x+y=1 não admite solu{ x+y=2 ção, porque não existem dois números que adicionados resultem em 1 e em 2, simultaneamente. Nos exemplos apresentados, conferir junto com os alunos que os pontos destacados nas retas traçadas no plano cartesiano indicam algumas soluções de cada uma das equações correspondentes. No segundo exemplo, foi afirmado que retas paralelas não se cruzam porque estamos considerando retas paralelas em um mesmo plano, como retas distintas que mantem sempre a mesma distância uma da outra. Para verificar que as retas indicadas no plano cartesiano são paralelas, os alunos podem usar esquadro. Ao apresentar o exemplo em que as retas são coincidentes, destacar que as infinitas soluções de uma equação também são soluções da outra equação. Após apresentar o conteúdo destas páginas, é importante reforçar a ideia de que em um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas, existem apenas três possibilidades: o sistema ter exatamente uma solução, não ter solução alguma ou ter uma infinidade de soluções. Caso julgar necessário, informar os alunos de que um sistema de equações que não possui solução é chamado de inconsistente e o sistema de equações que possui pelo menos uma solução, de consistente. Assim, é possível realizar uma organização da maneira apresentada na parte inferior desta página.

Possui uma infinidade de soluções.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. Informar os alunos de que em cada item o sistema possui apenas uma solução. Verificar se eles perceberam que os valores apresentados em algumas fichas são soluções de apenas uma das equações do sistema e, portanto, não configuram uma solução do sistema. Para complementar, propor aos alunos o item a seguir. 2x y _ =2 • {3 2 x _ 3y = _6 I. x = 5 e y = 2. II. x = 3 e y = 0. III. x = 6 e y = 4. IV. x = 9 e y = 5. Resposta: III. 2. Esta atividade trabalha a representação das soluções das equações de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas por retas no plano cartesiano e a sua interpretação. No item a, uma maneira de determinar a reta correspondente a cada equação é substituir as incógnitas de uma das equações pelas coordenadas de um dos pontos destacados exclusivamente na reta verde ou exclusivamente na reta azul. Se obtiver uma igualdade verdadeira, aquela reta corresponde a tal equação; caso contrário, corresponde a outra equação. 3. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a verificação de sua solução. 4. Esta atividade trabalha a representação das soluções das equações de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas por retas no plano cartesiano e a sua interpretação. Verificar se os alunos perceberam que no item I estão representadas duas retas coincidentes.

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em cada item, verifique qual das fichas corresponde à solução do sistema. a) {x _ 2y = 1 3x + y = 10 II.

I. x = 5 e y = 2 II. x = 3 e y = 1

II. x = 15 e y = 20

III. x = 2 e y = 4

III. x = 20 e y = 15

IV. x = 0 e y = 1 b)

2x + 4y = 4 x + 3y = 5 2

I. x = 3 e y = _ 1

II. x = 4 e y = 1 1 IV. III. x = 1 e y = 2 IV. x = _ 2 e y = 2 2. Utilizando um programa de computador, Jorge representou por retas as soluções das equações do sistema {x + y = 2 . x + 2y = 5 Observe. y 4

b) Qual das fichas a seguir apresenta a solução do sistema que você indicou no item a? III. I. x = 25 e y = 10

c) Quantos meninos e quantas meninas estudam nessa turma? 20 meninos e 15 meninas. 4. Em cada item, as retas representam as soluções das equações de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. I. y 2x _ 6y = _8 3 2 x _ 3y = _4

_4 _3 _2 _1 0

2. a) x + 2y = 5 e x + y = 2.

II.

y 5

x _ 3y = _8

4 3

2 1

a) A reta em azul representa as soluções de qual equação do sistema? E a reta em verde? x _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5 x+y=4 b) Observando apenas a construção que Jorge fez no computador, responda: o III. y par ordenado (1, 3) corresponde à solução 5 desse sistema? Justifique. 4 x = _1 e c) Qual a solução desse sistema? 3 y = 3. 2 x + 5y = 12 3. Na turma de Natália estudam 35 alunos, 1 sendo que há 5 meninos a mais do que x + 5y = 4 meninas. _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5 6 7 x a) Considerando x a quantidade de meninos e y, a de meninas, qual sistema de equaEm qual item o sistema de equações ções a seguir representa essa situação? II. representado: x + y = 35 x + y = 35 I) { II) { II. (1, 3). x_y=5 x+y=5 a) tem uma única solução? Indique essa solução. b) tem infinitas soluções? Indique três soluções. III) {x _ y = 35 x+y=5 c) não tem solução? III. 2. b) Não. Resposta esperada: A solução do sistema corresponde às 4. b) I. Algumas respostas possíveis: coordenadas do ponto onde as retas se cruzam, ou seja, (_1, 3) neste caso. (_4,0); (_1, 1); (2, 2); (5, 3). 82

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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x + 3y = 5

5. Observe o que Lúcia e Jonas afirmaram 4x _ 2y = 8 . sobre o sistema y x_ =2 2

Esse sistema tem x=3ey=2 como solução.

ARTUR FUJITA

7,5 L de tinta amarela e 12,5 L de tinta azul. 7. Resolva o problema a seguir.

Sei que x = 2 e y = 0 é solução desse sistema. Resposta esperada: Ambos, pois x = 2 e y = 0, e x = 3 e y = 2 são soluções do sistema de equações apresentado.

ARTUR FUJITA

Para resolver o sistema, vocês podem realizar tentativas, ou seja, supor uma solução e fazer a verificação substituindo as incógnitas. Também é possível obter soluções para cada equação e identificar alguma em comum ou, ainda, representar graficamente o sistema.

Faça os cálculos necessários e verifique quem fez uma afirmação verdadeira: Lúcia ou Jonas. Depois, justifique.

LUCAS FARAUJ

6. Junte-se a um colega para resolver essa atividade. Observem quanto dois alunos de uma escola pagaram por alguns produtos da cantina.

Para preparar 20 L de tinta de certa tonalidade de verde, Murilo misturou tinta amarela e azul, de maneira que a quantidade de tinta amarela foi 5 L menor que a de tinta azul. Quantos litros de cada tinta foram utilizados na mistura? Para isso, você pode realizar as etapas seguintes. 1a) Compreender o problema. Leia o problema com atenção e pesquise o significado de palavras que desconheça. Anote as principais informações: aquilo que tem de ser obtido, os dados relevantes para a resolução etc. Se possível, construa uma figura ou tabela e estime uma resposta. 2a) Elaborar um plano. Tente lembrar se já resolveu um problema parecido. Veja se é possível resolvê-lo por partes. Pense e escreva um plano para resolver esse problema. 3a) Realizar o que planejou. Execute seu plano, fazendo os cálculos e registros necessários com atenção. 4a) Fazer a verificação. Reveja toda a resolução, observando se as etapas e cálculos estão corretos. Compare a resposta obtida com aquela que estimou anteriormente. Pense em outra maneira de resolver esse problema e se a solução obtida é a mesma.

8. Elabore e registre no caderno um proa) Escrevam um sistema de equações para expressar essa situação. Nele, uma incógblema que possa ser representado por nita deve representar o preço do pão de um sistema de equações do 1o grau com queijo e, a outra, o preço do suco de duas incógnitas. Junte-se a um colega laranja. {2x + y = 7 e troquem os problemas para que um x + 2y = 8 resolva o do outro. Por fim, verifiquem b) Agora, resolvam esse sistema e determise as respostas estão corretas. nem o preço de cada produto. Resposta pessoal. Pão de queijo: R$ 2,00; suco de laranja: R$ 3,00.

sua resolução por meio de uma estratégia associada às ideias da resolução de problemas, uma das tendências abordadas na parte geral deste Manual do professor. Por meio dessa estratégia é possível desenvolver a habilidade EF07MA07 da BNCC indicada para o 7o ano, pois ela propõe a resolução do problema, sugerindo etapas a serem seguidas. 8. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno envolvendo o conceito de sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. Caso os alunos tenham dificuldade na elaboração do problema, apresentar a eles situações que possam auxiliá-los, como o seguinte exemplo: “Suponha que Moises sacou em um caixa eletrônico 4 cédulas de R$ 10,00 e 3 cédulas de R$ 20,00.” A partir dessa situação hipotética, os alunos podem elaborar o problema com base na quantia em reais que Moises sacou e na quantidade de cédulas. • Moises sacou R$ 100,00 em um caixa eletrônico. Nesse saque, foram retiradas 7 cédulas, apenas nos valores de R$ 20,00 e R$ 10,00. Quantas cédulas de cada valor Moises sacou? Resposta: 10x + 20y = 100 ; x = 4 e { x+y=7 y = 3; 4 cédulas de R$ 10,00 e 3 cédulas de R$ 20,00.

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5. Esta atividade trabalha a discussão das soluções de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. Para complementar, pedir aos alunos que indiquem a relação entre as retas que representam esse sistema (as retas são coincidentes).

6. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a sua resolução. Aproveitar o contexto para chamar a atenção dos alunos sobre a importância de se ter uma alimenta-

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ção saudável, dando prioridade a alimentos assados em vez de fritos e aos sucos naturais em vez de refrigerantes. 7. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a

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Resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas No trabalho com a resolução do sistema por meio do método da substituição, dizer aos alunos que na etapa 1, geralmente, a equação escolhida é aquela escrita da maneira mais simplificada. Essa escolha é realizada principalmente para facilitar os cálculos nas próximas etapas. No exemplo do sistema que representa a massa dos pacotinhos, optou-se por escolher a equação x + y = 8 e isolar a incógnita x, mas poderia ser isolada a incógnita y que a solução seria a mesma. Além disso, se a equação escolhida fosse 2x + 3y = 21, poderia ser isolada qualquer uma das incógnitas que a solução também seria a mesma; a diferença estaria nos cálculos das próximas etapas. De modo geral, para resolver um sistema de equações do 1o grau com duas equações e duas incógnitas pelo método da substituição, é possível escolher qualquer equação e isolar qualquer incógnita de acordo com a que for mais conveniente para a situação. Na etapa 2 é necessário substituir a expressão equivalente à incógnita isolada na etapa anterior, na outra equação. Isso porque, se a substituição for feita na mesma equação utilizada na etapa 1, se obtém uma igualdade do tipo x = x ou y = y, o que não contribui na resolução do sistema. No sistema do exemplo, ao isolar x na equação x + y = 8, otém-se x = 8 _ y e, por isso, substitui-se a incógnita x na equação 2x + 3y = 21 por 8 _ y. Para complementar, propor aos alunos que resolvam o mesmo sistema isolando qualquer uma das incógnitas da equação 2x + 3y = 21, para que eles verifiquem se os resultados obtidos serão os mesmos. Outra possibilidade é construir no plano cartesiano, em uma malha quadriculada

Resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas Olívia confeccionou pacotinhos em duas cores, azuis e vermelhos, de maneira que aqueles de mesma cor ficassem com massas iguais. Observe duas pesagens que ela fez com alguns desses pacotes. pesagem I

pesagem II

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para calcularmos a massa de cada pacotinho, podemos escrever um sistema com as equações que representam cada pesagem, em que x corresponde à massa de cada pacotinho vermelho e y, à de cada pacotinho azul. Pesagem I.

x+y=8 { 2x + 3y = 21 Pesagem II.

Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição. Observe as etapas. 1a) Escolhemos uma das equações e, nela, isolamos uma incógnita. x+y=8 x+y_y=8_y x=8_y 2a) Na outra equação, substituímos a expressão equivalente à incógnita isolada anteriormente e realizamos os cálculos. 2 ? (8 _ y) + 3y = 21 16 _ 2y + 3y = 21 16 _ 16 + y = 21 _ 16 y=5 3a) Substituímos a incógnita calculada anteriormente em uma das equações e realizamos os cálculos. x+5=8 x+5_5=8_5 x=3 Portanto, a solução do sistema é x = 3 e y = 5, ou seja, o pacotinho vermelho tem 3 g e o azul, 5 g. 84

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ou no GeoGebra, as retas correspondentes às equações x + y = 8 e 2x + 3y = 21 para verificar se elas se intersectam no ponto de coordenadas (3, 5).

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Outra maneira de resolvermos um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas é por meio do método da adição. Leia o problema a seguir.

Fonte dos dados: FUNDAÇÃO CULTURAL PALMARES. Comunidades remanescentes de quilombos. Disponível em: <http://www.palmares.gov.br/wp-content/uploads/2018/01/ QUADRO-GERAL-29-01-2018.pdf>. Acesso em: 25 set. 2018.

CESAR DINIZ/PULSAR IMAGENS

Nas comunidades quilombolas, descendentes de pessoas escravizadas mantêm tradições culturais, de subsistência e religiosas. Até o ano de 2017, a Bahia e o Maranhão eram os estados com a maior quantidade dessas comunidades, com 1 446 ao todo. Calcule quantas comunidades quilombolas há em cada um desses estados, sabendo que na Bahia havia 48 comunidades a mais que no Maranhão. Comunidade quilombola. Rio de Contas (Bahia). Fotografia de 2014.

Para resolvermos esse problema, podemos escrever um sistema de equações, em que x e y representam, respectivamente, as quantidades de comunidades quilombolas na Bahia e no Maranhão. x + y = 1 446 { x _ y = 48 Observe as etapas para resolvermos esse sistema com o método da adição.

Aproveitar o contexto do problema desta página e ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta uma definição do que se entende por comunidade quilombola. [...] As comunidades quilombolas são grupos étnicos – predominantemente constituídos pela população negra rural ou urbana –, que se autodefinem a partir das relações com a terra, o parentesco, o território, a ancestralidade, as tradições e práticas culturais próprias. Estima-se que em todo o País existam mais de três mil comunidades quilombolas. [...] INSTITUTO NACIONAL DE COLONIZAÇÃO E REFORMA AGRÁRIA. Quilombolas. Disponível em: <www.incra. gov.br/estrutura-fundiaria/ quilombolas>. Acesso em: 23 out. 2018.

1a) Note que as equações do sistema apresentam os termos opostos y e _y. x + y = 1 446 { x _ y = 48 2a) Adicionamos essas equações membro a membro, eliminando a incógnita y. x + y = 1 446 x _ y = 48 2x + 0y = 1 494 H 2x = 1 494 3a) Resolvemos a equação 2x = 1 494. 2x = 1 494 1 494 2x = 2 2 x = 747 4a) Substituímos a incógnita calculada anteriormente em uma das equações e realizamos os cálculos. 747 + y = 1 446 747 – 747 + y = 1 446 – 747 y = 699 Portanto, a solução do sistema é x = 747 e y = 699, ou seja, na Bahia havia 747 comunidades quilombolas e no Maranhão, 699.

Na resolução do problema, verificar se os alunos identificaram o que corresponde a cada um dos termos das equações que compõem o sistema. Se julgar necessário, informar a eles que a equação x + y = 1 446 corresponde à quantidade total de comunidades quilombolas dos estados da Bahia e do Maranhão em 2017, e a equação x _ y = 48 corresponde à diferença entre a quantidade de comunidades quilombolas do estado da Bahia e a do Maranhão em 2017.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. 2. Esta atividade trabalha a representação das soluções das equações de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas por retas no plano cartesiano e a sua interpretação. Verificar se os alunos perceberam que as coordenadas do ponto P correspondem a uma única solução em comum de ambas as equações, o que pode ser entendido como a solução de um sistema formado por essas duas equações. 3. Esta atividade trabalha a elaboração pelos alunos de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. É provável que eles indiquem diferentes sistemas de equações; nesse caso, verificar a possibilidade de listar alguns deles na lousa para evidenciar o fato de que existe uma infinidade de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas que possuem uma mesma solução.

Em alguns sistemas, não há termos opostos nas equações. Nesse caso, para usarmos o método da adição, podemos multiplicar ambos os membros de uma das equações por um mesmo número diferente de zero. x+y=7 Observe, por exemplo, como podemos resolver o sistema { . 3x _ 2y = 6 1a) Multiplicamos por 2 a primeira equação. x+y=7 { 3x _ 2y = 6

H 2x + 2y = 14 { 3x _ 2y = 6

Observe que, no sistema obtido, os termos 2y e _2y são opostos.

2a) Agora, pelo método da adição, resolvemos o sistema obtido. 5x = 5x = 5 x=

2x + 2y = 14 3x _ 2y = 6 5x + 0y = 20

20 20 5 4

2 ? 4 + 2y = 14 8 _ 8 + 2y = 14 _ 8 2y 6 = 2 2 y=3

Portanto, a solução do sistema é x = 4 e y = 3.

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Resolva os sistemas de equações. a) {x + y = 2 x _ y = _4 x = _1 e y = 3. 3x _ y = 3 b) { x + 2y = 29 x = 5 e y = 12.

c) {4x + 3y = 37 _4x + 2y = _2 x = 4 e y = 7. 6x d) { + 4y = _6 5x _ 2y = 27 x = 3 e y = _6.

3. Algumas respostas possíveis: x+y=7 x _ 3y = _9 3x _ y = 5 { { { x _ y = _1 2x + 4y = 22 6x _ 2y = 10 o sistema que você recebeu e verifique a solução. 4. Observe o cartaz na bilheteria de um teatro.

2. As retas a seguir representam as soluções das equações indicadas. Calcule as coordenadas do ponto P. P(6, 8). y ARTUR FUJITA

Informar aos alunos que, ao multiplicar ambos os membros de uma equação por um mesmo número diferente de zero, se utiliza a propriedade multiplicativa da igualdade e, com isso, é possível obter equações equivalentes, ou seja, equações que possuem a mesma solução. No exemplo apresentado, comentar com os alunos que a primeira equação foi multiplicada por 2 por conveniência, pois desse modo foi possível obter uma equação equivalente à primeira com um dos termos oposto ao da segunda equação. Sugerir aos alunos que multipliquem a primeira equação por (_3) e resolvam o sistema de equações por meio do método da adição, para eles verificarem que os resultados obtidos são os mesmos.

P x _ 2y = _10 x + y = 14 0

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3. Escreva um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas em que o par ordenado (3, 4) seja solução. Em seguida, troque-o com um colega. Por fim, resolva

Para certa seção dessa peça, foram vendidos todos os ingressos, arrecadando ao todo R$ 950,00. Calcule quantos ingressos de cada tipo foram vendidos. 25 entradas inteiras e 45 meias-entradas. Nessa atividade, considere x a quantidade de entradas inteiras e y, de meia-entrada.

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4. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a sua resolução. As informações apresentadas no cartaz são fictícias.

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5. A São Silvestrinha, que é uma versão infanto-juvenil da corrida pedestre São Silvestre, ocorre em São Paulo (SP) e busca despertar de forma lúdica o interesse de jovens e crianças pelo esporte. Na edição de 2017, participaram, na categoria 13 anos, um total de 50 atletas, sendo 14 meninos a mais que meninas. Quantos meninos e quantas meninas participaram dessa prova? 32 meninos e 18 meninas. Fonte dos dados: SÃO SILVESTRINHA. Gazeta Esportiva. Disponível em: <https://www.gazetaesportiva.com/saosilvestrinha>. Acesso em: 26 set. 2018.

6. Observe como Gabriel fez para, no sistema

3x + 4y = 10 , obter termos opostos nas { 2x + 5y = 9 equações e poder resolvê-lo pelo método da adição.

8. Em certo estacionamento, a diária, ou seja, a permanência do veículo durante o dia inteiro, custa R$ 15,00 para motocicletas e R$ 30,00 para carros. Em certa semana, o estacionamento arrecadou R$ 2 700,00 com a cobrança de 100 diárias. Nessa semana, quantas diárias foram de motocicletas e quantas foram de carros? 80 carros e 20 motocicletas. 9. A professora de Matemática da turma de 8o ano de uma escola levou varetas de madeira e bolinhas de isopor para que os alunos, em grupo, construíssem representações de cubos e pirâmides de base quadrada. Observe. 5 representações de cubos e 6 de pirâmides de base quadrada. 12 varetas e 8 bolinhas

8 varetas e 5 bolinhas

DANILLO SOUZA

BENTINHO

Multipliquei a primeira equação por 2 e a segunda por _3.

?2 3x + 4y = 10 6x + 8y = 20 { ? (_3) { 2x + 5y = 9 _6x _ 15y = _27

Nas construções, foram usadas ao todo 70 bolinhas e 108 varetas. Quantas representações de cada figura foram construídas? 10. Em um campeonato de futebol feminino na escola, o time da turma de Suzana fez 28 pontos e foi campeão invicto, ou seja, não perdeu nenhum dos 12 jogos disputados. Nesse campeonato, a vitória correspondia a 3 pontos, o empate a 1 ponto e a derrota, a ponto algum. Quantas vitórias e quantos empates, esse time obteve? 8 vitórias e 4 empates.

a) No sistema obtido por Gabriel, quais os termos opostos das equações? 6x e _6x. b) Caso Gabriel tivesse multiplicado a primeira equação por 3 e a segunda por 2, ele obteria um sistema com termos opostos nas equações? Não. c) Pense em outra maneira que Gabriel pode multiplicar as equações desse sistema para 11. No caderno, elabore e escreva um proobter termos opostos. blema envolvendo sistema de duas d) Resolva esse sistema pelo método da adição. equações com duas incógnitas. Em x = 2 e y = 1. seguida, junte-se a um colega e troquem 7. Resolva os sistemas de equações. x = _2 e y = 5. os problemas para que um resolva o do x = 1 e y = _1. 6x _ 8y = 14 4x + 2y = 2 outro. Juntos, verifiquem se as respostas a) { b) { 5x + 6y = _1 7x + 3y = 1 estão corretas. Resposta pessoal. 6. c) Algumas respostas possíveis: Multiplicar a primeira equação por _5 e a segunda por 4. Multiplicar a primeira equação por _4 e a segunda, por 6. 87

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5. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a sua resolução. Esclarecer que na São Silvestrinha de 2017, os atletas da categoria 13 anos percorreram 100 metros e os atletas com deficiên-

cia poderiam participar desse evento em sete categorias: cadeirante, pessoas com deficiências visuais, amputados de membros inferiores, pessoas com deficiências andantes membros inferiores, pessoas com deficiências intelectuais, pessoas com deficiências nos membros superiores e pessoas

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com deficiência auditiva. 6. Esta atividade trabalha uma estratégia para a resolução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. No item b, mostrar que o sistema de equações obtido nesse caso é {9x + 12y = 30 . Portanto, 4x + 10y = 18

não há termos opostos. Para complementar esta atividade, solicitar aos alunos que resolvam o sistema obtendo os termos opostos com a variável y. Nesse caso, a primeira equação pode ser multiplicada por (_5), e a segunda, por 4. 7. Esta atividade trabalha a resolução de sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. 8. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a sua resolução. 9. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a sua resolução. Além disso, possibilita estabelecer relação entre as unidades temáticas Álgebra e Geometria. 10. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a sua resolução. 11. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelos alunos envolvendo o conceito de sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. A seguir, são apresentados exemplos de problemas que podem ser elaborados por eles. • Se a soma de dois números é 30 e a diferença entre eles é 12, quais são esses números? Resposta: 9 e 21. • Em uma sala de aula havia 28 alunos; se havia 4 meninas a mais do que meninos, quantos meninos e quantas meninas havia nessa sala? Resposta: 12 meninos e 16 meninas.

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ATIVIDADES 12. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a sua resolução. Os alunos podem utilizar calculadora para resolver esta atividade. Caso não haja calculadoras suficientes, organizar os alunos em grupos. Para complementar, verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Ciências sobre o tempo que alguns materiais demoram para se decompor na natureza e a importância da reciclagem. 13. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a sua resolução. 14. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas e a sua resolução. Informar aos alunos que as recomendações de ingestão diária de ferro variam de acordo com o momento da vida ou a situação do indivíduo, como as indicadas na tabela apresentada na parte inferior desta página. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com os professores das disciplinas de Ciências e de Educação Física sobre a importância da alimentação saudável e balanceada. Para auxiliar os alunos na compreensão do quadro apresentado no item b, propor os seguintes questionamentos. • Que quantidade de porções dos alimentos A e B corresponde aos 14,3 mg de ferro? Resposta: 2 porções do alimento A mais 1 porção do alimento B. • Que quantidade de porções dos alimentos A e B corresponde aos 14,9 mg de ferro? Resposta: 1 porção do alimento A mais 3 porções do alimento B.

12. Certa cooperativa de catadores vende os materiais que coletam a uma indústria de reciclagem, que paga R$ 1,70 pelo quilograma de garrafas PET e R$ 3,60 pelo quilograma de alumínio. Em certo mês, foram vendidos por R$ 4 060,00 um total de 1 550 kg desses materiais. Quantos quilogramas de garrafas PET e quantos de alumínio a cooperativa vendeu nesse mês? 800 kg de garrafas PET e 750 kg de alumínio. 13. Alfredo produz goiabas em seu sítio e, uma vez por semana, ele embala parte da produção em pacotes de dois tamanhos para vendê-los em uma feira. Nos pacotes de mesmo tamanho, ele coloca a mesma quantidade de goiabas. Em certa semana, para embalar sem sobra 120 goiabas, ele tinha duas opções: obter 10 pacotes pequenos e 6 grandes ou obter 5 pacotes pequenos e 9 grandes. Pacote pequeno: 6 goiabas; pacote grande: Quantas goiabas há em cada tamanho de pacote? 10 goiabas. 14. Na aula de Ciências, o professor apresentou aos alunos da turma de Bianca a seguinte reportagem.

A importância do ferro em nosso corpo Em nosso organismo, o ferro atua principalmente na fabricação das células vermelhas do sangue. A deficiência de ferro pode causar a anemia ferropriva, que está associada a problemas como: retardo do crescimento, comprometimento da capacidade de aprendizagem, da coordenação motora e da linguagem, fadiga e, em casos extremos, a morte. A quantidade diária de ferro necessária ao organismo pode ser obtida por meio de uma AS CORES IMAGENS FORA DE alimentação balanceada. NÃO SÃO REAIS.

PROPORÇÃO.

Quantidade de ferro em alguns alimentos, por porção (100 g)

Soja (farinha) 13,1 mg

Fígado de boi (grelhado) 5,6 mg Feijão (cozido) 1,3 mg

Alface roxa (crua) 2,5 mg

Coração de Agrião (cru) frango grelhado 3,1 mg 6,5 mg

Fontes dos dados: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Tabela Brasileira de Composição de Alimentos – TACO. Disponível em: <www.nepa.unicamp.br/taco/contar/taco_4_edicao_ampliada_e_revisada.pdf?arquivo=taco_4_versao_ ampliada_e_revisada.pdf>. SOCIEDADE BRASILEIRA DE PEDIATRIA. Temas de nutrição em pediatria. Disponível em: <www.sbp.com.br/fileadmin/user_upload/img/documentos/temas2001.pdf>. Acessos em: 26 set. 2018.

ILUSTRAÇÕES: BENTINHO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Quais alimentos indicados na reportagem você costuma ingerir? Nesses alimentos, há quantos miligramas de ferro por porção? Respostas pessoais. b) Com base nessa reportagem, Bianca elaborou as composições I e II com porções de dois dos alimentos apresentados. Observe. Composição I II

Quantidade de porções Alimento A Alimento B 2 1 1

Quantidade de ferro (mg) 14,3

14,9 Alimento A: 5,6 mg; • Quantos miligramas de ferro há em cada porção desses alimentos? alimento B: 3,1 mg. • Quais são os alimentos escolhidos por Bianca nessas composições? Alimento A: Fígado de boi (grelhado); alimento B: Agrião (cru). 88

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Recomendação de ingestão de ferro por dia Momento/situação da vida Quantidade de ferro (mg) 6 meses a 3 anos 10 Adolescente feminino 15 Adolescente masculino 12 Adulto feminino 15 Adulto masculino 10 Gestantes 30

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Fonte: SOCIEDADE BRASILEIRA DE PEDIATRIA. Temas de nutrição em pediatria. Disponível em: <www. sbp.com.br/fileadmin/user_upload/ img/documentos/temas2001.pdf>. Acesso em: 23 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Inequação do 1 grau com uma incógnita o

BENTINHO

O avô de Carla, que era feirante, deu à neta uma antiga balança de dois pratos e alguns pesos. Observe as pesagens que eles fizeram para tentar determinar a massa de dois pesos sem marcação.

Pesagem I

Pesagem II

Como a balança está em equilíbrio, ou seja, com os pratos no mesmo nível, a massa desses dois pesos sem marcação é a mesma.

Como a balança não está em equilíbrio, o prato no nível mais baixo está com mais massa que no outro.

Com base nessas pesagens, temos que os dois pesos sem marcação têm massas iguais e, juntos, têm mais de 300 g. Dessa maneira, podemos representar a 2a pesagem por uma inequação, ou seja, uma sentença matemática expressa por uma desigualdade com incógnitas. Observe. massa de cada peso sem marcação quantidade de pesos sem marcação

Uma inequação pode ser expressa pelos seguintes símbolos de desigualdade: . (maior que). , (menor que). > (maior ou igual a). < (menor ou igual a).

massa no prato da direita

2x . 300

1o membro

INEQUAÇÃO DO 1o GRAU COM UMA INCÓGNITA Ao apresentar a solução da inequação por uma parte destacada na reta numérica, ressaltar para os alunos que, para representar x . 150, se utilizou um intervalo aberto indicado com uma “bolinha aberta” no ponto correspondente a x = 150, isso porque x não pode assumir o valor 150; ele pode assumir apenas valores maiores do que 150. Ler para os alunos o trecho apresentado na parte inferior desta página, que apresenta informações a respeito de Thomas Harriot, que introduziu alguns símbolos de desigualdade.

2o membro

Essa inequação pode ser lida da seguinte maneira: 2x maior do que 300. Para resolver essa inequação, isolamos a incógnita x em um dos membros da desigualdade. 2x . 300 2x 300 . 2 2 x . 150

Dividimos cada membro por 2. Solução da inequação.

Podemos representar a solução dessa inequação por uma parte destacada na reta numérica. Observe. 0

150

A parte destacada na reta numérica representa a solução da inequação.

Assim, cada peso sem marcação tem mais de 150 g.

Nessa reta numérica, a marcação indica que o 150 não faz parte da solução da inequação.

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[...] Thomas Harriot (15601621) foi outro matemático que viveu a maior parte de sua vida no século XVI mas cujas publicações mais importantes apareceram no século XVII. Ele tem interesse especial para os americanos pois em 1585 foi enviado

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por Sir Walter Raleigh como agrimensor da expedição de Sir Richard Grenville ao Novo Mundo para fazer um mapa do que então se chamava Virgínia mas é agora a Carolina do Norte. Como matemático, considera-se comumente Harriot como o fundador da escola de algebristas ingleses. [...] São dele

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também os símbolos . e , para “maior que” e “menor que”, respectivamente; mas esses símbolos não foram aceitos imediatamente por outros autores. [...] EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Ed. Unicamp, 2004. p. 348.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS É importante que os alunos compreendam que dividir ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo é o mesmo que multiplicar ambos os membros da desigualdade pelo inverso desse número negativo. Por exemplo, dividir por (_2) é o mesmo que multiplicar por 1 [_ ]. Assim, podemos afir2 mar que apenas ao multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo, invertemos o sinal de desigualdade para manter a sentença verdadeira. Ao apresentar a solução da inequação _4x + 5 < 11 _ x por uma parte destacada na reta numérica, chamar a atenção dos alunos para o fato de que, ao representar x > _ 2, se utilizou um intervalo fechado indicado com uma “bolinha fechada” no ponto correspondente a x = _2, isso porque x pode assumir valores maiores do que _2 ou igual a _2. Solicitar aos alunos que substituam o valor da incógnita x por outros valores diferentes de _5, _2 e 3, incluindo valores não inteiros, para verificar a solução da inequação.

Vamos estudar o que ocorre com uma desigualdade quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros por um mesmo número negativo. Para isso, considere a desigualdade 4 . _6 e a representação de 4 e _6 na reta numérica.

Agora, observe: 4 . –6 (_1) ? 4 , _6 ? (_1) _4 , 6

Na reta numérica, podemos comparar dois números naturais: aquele que estiver representado mais à direita é o maior entre eles.

4 . _6

Ao multiplicarmos ambos os membros por _1, invertemos o sinal da desigualdade.

Ao dividirmos ambos os membros por _2, invertemos o sinal da desigualdade.

4 _6 , _2 _2 −2 , 3 _2

De maneira geral, ao multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo, invertemos o sinal da desigualdade para mantermos a sentença verdadeira. Agora, vamos resolver a inequação _4x + 5 < 11 _ x. _4x + 5 < 11 _ x _4x + 5 _ 5 < 11 _ 5 _ x

Subtraímos 5 de cada membro.

_4x + x < 6 _ x + x

Adicionamos x a cada membro.

6 _3x > _3 _3 x > _2

Dividimos cada membro por _3 e invertemos o sinal da desigualdade. Solução da inequação.

A parte destacada na reta numérica representa a solução da inequação.

Nessa reta numérica, a marcação indica que o –2 faz parte da solução da inequação.

Para validar a solução dessa inequação, podemos substituir x por alguns valores e realizar os cálculos indicados. x = _5

x = _2

x=3

_4 ? (_5) + 5 < 11 _ (_5) 20 + 5 < 11 + 5 25 < 16

_4 ? (_2) + 5 < 11 _ (_2) 8 + 5 < 11 + 2 13 < 13

_4 ? 3 + 5 < 11 _ 3 _12 + 5 < 8 _7 < 8

Sentença falsa.

Sentença verdadeira.

Note que, ao substituir x por _2 e por 3, que são números maiores ou iguais a _2, as sentenças obtidas são verdadeiras. Já, quando substituímos x por _5, que é um número menor que –2, obtemos uma sentença falsa. 90

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AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Nas pesagens a seguir, caixas de mesma cor têm massas iguais. Para cada pesagem, indique a inequação do quadro que a representa. a) 2b . 6

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

5. c) Resposta esperada: Sim, pois x = 4 satisfaz a inequação. Resposta esperada: Não, pois x = 1 não satisfaz a inequação. 4. Resolva as inequações. a) 6x + 4 . 22 x . 3 b) 3 + 5x < x _ 1 x < _1 c) 3x – 9 > 19 _ 4x x > 4 d) 4 , 2 ? (7 + x) x . _5 e) 5 + 2(3x _ 1) . 7x + 6 x , _3

ROBERTO ZOELLNER

2n + 3 , 10n 2n + 3 , 10n 3p + 5 . 2 2b . 6 3a + 2 . 5 _ 2a

x<5

x.3

5x _ 4

II. 2x + 22 , 10x + 6 III. 4(5x + 7) . 2x + 12 b) Resolva a inequação que você indicou no item a. x . 2 c) Nessas figuras, é possível termos x = 4? E x = 1? Justifique. 6. No pen drive de Ulisses, representado a seguir, havia 3 GB de arquivos armazenados.

b) x.3 x,3

I. x _ 11 , 5x + 3

x,5

a) Qual das inequações a seguir expressa essa situação? II.

2. Em cada item, identifique a desigualdade correspondente à parte destacada na reta numérica. a) x<5 x>5

EDITORIA DE ARTE

5. O triângulo representado a seguir tem o perímetro menor que o do retângulo.

x>3

x > _3 x > _3

x , _3

ROBERTO ZOELLNER

c) 0

x . _3

3. Em cada item, verifique em quais das fichas o número satisfaz a inequação. a) x + 13 . 17 II e IV. I. 0 II. 15 III. _3 IV. 20 b) 5x + 12 , _3x _ 36 IV. I. _6 II. 2 III. _1 c) 7x + 6 > 4x + 30 I, II, III e IV. I. 12 II. 8 III. 15

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IV. _8

IV. 9

Ao tentar transferir para esse pen drive cinco arquivos de mesmo tamanho que estavam em seu computador, Ulisses foi notificado que não havia espaço suficiente para o armazenamento. a) Escreva uma inequação para expressar essa situação. Depois, resolva-a. 5x + 3 . 8; x . 1. b) É possível que cada arquivo desses tenha 0,5 GB? Explique. Não. Resposta esperada: De acordo com o item a, cada arquivo tem mais de 1 GB. 91

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de inequação correspondente a uma situação. Em cada item, conferir se os alunos utilizaram uma incógnita para representar a massa de cada caixa indicada na balança. Para complementar, propor a eles que escrevam uma inequação para representar a situação seguinte, em que a balança de dois pratos está em desequilíbrio e tem apenas caixas de um único modelo. • Em uma balança, o prato da esquerda está mais elevado e nele há cinco caixas verdes idênticas e um peso indicando 1 kg. No prato da direita há um peso indicando 3 kg e duas caixas verdes idênticas. Resposta: 5a + 1 , 3 + 2a, em que a representa a massa de cada caixa verde. 2. Esta atividade trabalha a representação de um intervalo destacado na reta numérica por uma desigualdade. 3. Esta atividade trabalha a identificação de números que satisfazem uma dada inequação. Para complementar, se julgar necessário, propor aos alunos o seguinte item. • x _ 2(x + 5) < _ 12 I. 1 II. 2 III. 3 IV. 4 Resposta: II, III e IV. 4. Esta atividade trabalha a resolução de inequações. Propor aos alunos que representem a solução de cada inequação por uma parte destacada na reta numérica. 5. Esta atividade trabalha a identificação de uma inequação que representa uma situação e a sua resolução. No item c, é importante ressaltar para os alunos que a medida do lado das figuras deve ser positiva. 6. Esta atividade trabalha a representação de uma inequação que expressa uma situação contextualizada e a sua resolução.

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Equação do 2o grau com uma incógnita Clarissa faz aulas de pintura em tela. Para reproduzir uma obra de Luiz Sacilotto (1924-2003), cujo formato é de um quadrado com 3 600 cm2 de área, ela usou uma tela com as mesmas dimensões e, inicialmente, fez marcações dividindo-a em 16 figuras de quadrado idênticas. Quantos centímetros tem o lado de cada uma dessas figuras de quadrado?

SACILOTTO, L. C0254. 2002. Têmpera acrílica sobre tela, 60 cm x 60 cm. Coleção particular.

Para resolver esse problema, podemos denominar x a medida do lado de cada figura de quadrado na tela de Clarissa e escrever a seguinte equação: quantidade de figuras de quadrado

[...] Equações quadráticas hindus Um antigo texto hindu, um dos Sulba Sutras escrito por Baudhayaba por volta do século 8 a.C., primeiro cita e depois resolve equações quadráticas da forma ax2 = c e ax2 + bx = c. Essas equações ocorreram no contexto da construção de altares, e portanto se relacionam a problema prático em três dimensões. [...] ROONEY, A. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M.Books do Brasil, 2012. p. 127.

Questionar os alunos sobre quantas das 16 figuras de quadrados Clarissa tem de pintar de amarelo e quantas de preto para reproduzir a obra C0254 de Sacilotto. Nesse caso, 8 figuras de quadrado de amarelo e 8 de preto. Verificar se os alunos perceberam que a equação 16x2 = 3 600 tem apenas uma incógnita (x) e com expoente 2 e, por esse motivo, é uma equação do 2o grau com uma incógnita. Caso o expoente da incógnita fosse 1 (geralmente

Tela de Clarissa

Tela de Sacilotto

EDITORIA DE ARTE

EQUAÇÃO DO 2o GRAU COM UMA INCÓGNITA Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA09. Nesta Unidade vamos abordar apenas as equações do 2o grau com uma incógnita na forma ax2 + c = 0; as demais formas de equações do 2o grau com uma incógnita (ax2 + bx = 0 e ax2 + bx + c = 0) serão apresentadas no Volume 9 desta coleção. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações históricas a respeito das equações do 2o grau com uma incógnita. A intenção é que eles tenham noção de há quanto tempo a humanidade se interessa por esse tipo de equação.

LUIZ SACILOTTO. COLEÇÃO PARTICULAR.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

área de cada figura de quadrado

16x2 = 3 600

área da tela

Lembre-se de que a área de um quadrado é dada pelo quadrado da medida de seu lado. Área: x2.

Note que 16 x2 = 3 600 tem apenas uma incógnita (x) e com expoente 2. Assim, dizemos que esse é um exemplo de equação do 2o grau com uma incógnita. Agora, observe como podemos resolver essa equação. 16x2 = 3 600 16x2 3 600 = 16 16 x2 = 225 A igualdade x² = 225 indica que o valor de x corresponde a um número cujo quadrado é 225. Nesse caso, temos duas possibilidades: x2 = 225

225 = 15 ou x = _ 225 = _15

Assim, as raízes ou soluções da equação são 15 e –15. No entanto, como nesse caso x representa a medida, em centímetro, do lado de uma figura de quadrado, temos que x deve ser um número maior que zero. Portanto, cada figura de quadrado em que Clarissa dividiu a tela tem 15 cm de lado. 92

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não indicado na escrita), esse seria um exemplo de equação do 1o grau com uma incógnita. Uma diferença entre equações do 1o e do 2o grau com uma incógnita é o expoente da incógnita. Caso julgar necessário, retomar o estudo de radiciação na Unidade 1 deste Volume

para sanar eventuais dúvidas dos alunos a respeito da raiz quadrada de um número. É importante destacar que equações como x2 = _36 não possuem solução no conjunto dos números reais. O estudo desse conjunto numérico será apresentado no Volume 9 desta coleção.

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incógnita que pode ser expressa na forma ax2 + c = 0 e a sua resolução. Para auxiliar os alunos na resolução, propor a eles os seguintes questionamentos. • Quantas figuras de quadrado compõem o molde desse dado? Resposta: 6 figuras de quadrado. • Como podemos representar a medida do lado de cada figura de quadrado que compõe o molde desse dado? Resposta possível: x. • Como podemos indicar a área de cada figura de quadrado que compõe o molde desse dado? Resposta possível: x2. 5. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno envolvendo equação do 2o grau com uma incógnita que pode ser expressa na forma ax2 + c = 0 e sua resolução. A seguir, são apresentados exemplos de problemas que podem ser elaborados pelos alunos de acordo com a figura. • Escreva uma equação que represente a área total da figura e determine a medida correspondente à incógnita x. Resposta: x2 + 49 = 170; 11 cm. • Se a área total da figura fosse 218 cm2, qual seria a medida correspondente à incógnita x? Resposta: 13 cm.

Agora, vamos resolver a seguinte equação do 2o grau com uma incógnita: 2x2 + 72 = 0. 2x2 + 72 = 0 2x2 + 72 – 72 = _ 72 2x2 72 =_ 2 2 x2 = _36 A igualdade x² = _36 indica que o valor de x corresponde a um número cujo quadrado é _36. No entanto, já estudamos que não existe número real que elevado ao quadrado tenha resultado negativo. Assim, dizemos que 2x2 + 72 = 0 não tem raiz ou solução real. Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em cada item, identifique quais números no quadro são raízes da equação. a) 3x2 = 768 _10 3 9 _81 16 e _16. b) 4x2 _ 64 = 0 12 16 _14 10 4 e _4. 4 81 _4 _9 c) 2x2 _ 13 = 149 9 e2 _9. _3 _12 _16 14 d) 5x + 98 = 598 10 e _10. 2. Resolva as equações. Não tem raiz real. d) x2 + 64 = 0 a) x2 = 49 7 e _7. b) x2 _ 289 = 0 e) 2x2 + 25 = 25 0 17 e _17.2 c) 47 + 6x = 101 f) 3x2 + 68 = 20 3 e _3. Não tem raiz real. 3. Leia o problema a seguir. No vôlei de praia, a Área de jogo é composta pela Quadra de jogo e circundada por uma Zona livre. No parque de certo município, está sendo projetado um espaço para a prática desse esporte. Observe. Zona livre.

Sabendo que a Zona livre terá 356 m2, qual deve ser a medida do lado da Área de jogo? a) Entre as equações a seguir, qual representa esse problema? II. II. x 2 – 128 = 356 I. x 2 – 356 = 0 b) Agora, resolva a equação que você indicou no item a. 22 e _22. c) Responda à questão do problema. 22 m. 4. Para usar em um jogo de tabuleiro, Diego confeccionou um dado, com formato de cubo, cuja superfície tem 486 cm2 de área total. O cubo correspondente a esse dado tem quantos centímetros de aresta? 9 cm. 5. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo equações do 2o grau com uma incógnita. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Para elaborar o problema, você pode se inspirar na figura representada a seguir, cuja área é 170 cm2. Resposta pessoal. x

16 m

7 cm x LUCAS FARAUJ

Quadra de jogo.

7 cm

EDITORIA DE ARTE

AtividadeS

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita que pode ser expressa na forma ax2 + c = 0. Para resolvê-la, os alunos podem substituir as incógnitas pelos

valores do quadro, um por vez. Os valores que resultarem em uma igualdade verdadeira são as raízes da equação. 2. Esta atividade trabalha a resolução de equação do 2o grau com uma incógnita que pode ser expressa na forma ax2 + c = 0. 3. Esta atividade trabalha a

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identificação da equação do 2o grau com uma incógnita que pode ser expressa na forma ax2 + c = 0 que representa uma situação contextualizada e a sua resolução. 4. Esta atividade trabalha a representação de uma situação contextualizada por uma equação do 2o grau com uma

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Eficiência energética Eficiência significa fazer mais (ou, pelo menos, a mesma coisa) com menos, mantendo o conforto e a qualidade. Quando se discute energia, eficiência energética significa gerar a mesma quantidade de energia com menos recursos naturais ou obter o mesmo serviço (“realizar trabalho”) com menos energia. [...] Cada um de nós pode contribuir para um uso mais eficiente da energia, buscando equipamentos mais eficientes, ou seja, aqueles que usam menos recursos para proporcionar a mesma quantidade de energia útil. [...] BRASIL. Empresa de Pesquisa Energética. Eficiência energética. Disponível em: <www.epe.gov.br/pt/ abcdenergia/eficiencia-energetica>. Acesso em: 23 out. 2018.

3. Sugerir aos alunos que escrevam e resolvam uma equação para calcular a potência do ventilador. É importante lembrar que o mês de abril tem 30 dias. 4. Para a resolução, as informações necessárias do equipamento elétrico devem ser: a potência (em W), o tempo diário de uso (em horas) e a quantidade de dias de uso no

você

cidadão

Energia elétrica Leia o texto a seguir.

Vamos economizar energia! No Brasil, a energia elétrica é gerada em sua maior parte de forma limpa e renovável, por meio da água de rios. Para preservar nossos recursos naturais e ainda economizar na fatura da conta de energia, é necessário que façamos um uso consciente de energia elétrica. Com o objetivo de promover o uso eficiente dessa energia, foi criado o Programa Nacional de Conservação de Energia Elétrica, o Procel. Executado pela Eletrobras, o programa visa combater o desperdício e tem como seu principal símbolo o Selo Procel. O Selo Procel indica ao consumidor os produtos que apresentam os mais altos níveis de eficiência energética. Assim, é concedido a equipamentos que funcionam melhor gastando menos energia. [...]

INMETRO/ELETROBRAS/ GOVERNO FEDERAL

VOCÊ CIDADÃO Esta seção está relacionada à competência geral 2 e às competências específicas 2 e 4 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema pode favorecer a reflexão e a investigação do aluno a respeito do uso de energia elétrica com base nos conhecimentos das diferentes áreas, além de auxiliá-lo na maneira de compreender e atuar no mundo de maneira crítica e ética. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações sobre eficiência energética.

Selo Procel.

CENTRO BRASILEIRO DE INFORMAÇÃO E EFICIÊNCIA ENERGÉTICA. Dicas de Economia de Energia. Disponível em: <www.procelinfo.com.br/main.asp?View=%7BE6BC2A5F-E787-48AF-B485-439862B17000%7D &Team=&params=itemID=%7BC732DFAC-391A-4FD7-A9C7-D42A9E142E07%7D;LumisAdmin=1; &UIPartUID=%7BD90F22DB-05D4-4644-A8F2-FAD4803C8898%7D>. Acesso em: 26 set. 2018

Equipamentos: Para calcular o consumo médio de energia (kWh) de um equipamento de acordo com o seu hábito de uso, procure a potência do aparelho no manual do fabricante. Em seguida, faça o cálculo da seguinte forma: Potência do equipamento (W) ? no de horas utilizadas ? no de dias de uso ao mês 1 000 [...] Para achar o custo mensal em reais, multiplique o consumo médio em kWh pelo valor da tarifa cobrada pela concessionária local. [...] CENTRO BRASILEIRO DE INFORMAÇÃO E EFICIÊNCIA ENERGÉTICA. Dicas de Economia de Energia. Disponível em: <www.procelinfo.com.br/main.asp?View={E6BC2A5F-E787-48AF-B485-439862B17000}>. Acesso em: 26 set. 2018.

Potência do aparelho. Tempo de uso diário. Número de dias de uso no mês. 94

mês. No item b, levar faturas de energia elétrica para a sala de aula e orientar os alunos a localizar as informações disponíveis, como consumo, valor unitário, valor total, entre outras. No item c, apresentar exemplos de equipamentos elétricos e algumas propostas de economia de energia. Por

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exemplo, para reduzir o consumo de energia do chuveiro elétrico, uma sugestão é reduzir o tempo do banho; ajustar o termostato para a opção verão quando possível; desligar o chuveiro enquanto estiver se ensaboando; entre outras.

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1. Resposta esperada: Esse selo indica que o equipamento tem alto nível de eficiência energética. Assim, ao comprar um equipamento NÃO ESCREVA NO LIVRO. desses, gasta-se menos energia elétrica. 1. Em sua opinião, ao comprar um equipamento, qual a importância em dar preferência àqueles que possuem o selo Procel?

Resoluções a partir da p. 257

2. De acordo com o texto, é possível calcular o consumo médio de energia elétrica de um equipamento. Identifique esse trecho no texto e resolva as questões. a) Escreva uma expressão algébrica que representa esse cálculo. Use p para a potência (em W), t para o tempo de uso (em h) e d para a quantidade de dias. p ? t ? d 1 000 b) Calcule o consumo médio de energia elétrica dos equipamentos apresentados no esquema.

4. Escolha um equipamento elétrico de sua residência, pesquise informações sobre ele e resolva as questões. a) Qual é o consumo médio mensal de energia elétrica desse equipamento? Resposta pessoal. b) Consulte em uma fatura de energia elétrica o preço do quilowatt-hora. Depois, determine quantos reais são gastos no mês com o uso desse equipamento. Resposta pessoal. c) Com seus familiares, proponha maneiras de reduzir o consumo de energia elétrica com algum equipamento. Depois, produza um cartaz com essas propostas. Resposta pessoal. 2. b) Televisor: 21 kWh; geladeira: 93,6 kWh; ferro de passar roupas: 16 kWh; chuveiro: 84 kWh; ar-condicionado: 60 kWh; computador: 21,6 kWh. Observe no esquema a potência, o tempo de uso e o número de dias em que alguns equipamentos permaneceram em funcionamento em certo mês em uma residência onde moram quatro pessoas. DE FERRO FERRODE ROUPAS: PASSAR PASSARROUPAS:

ESTÚDIO AMPLA ARENA

3. Em abril, na casa de Beatriz o ventilador foi usado por 3 h todos os dias. Sabendo que o consumo médio mensal dele foi de 10,8 kWh, calcule a potência desse ventilador. 120 W.

AR-CONDICIONADO: AR-CONDICIONADO:

1 000 W

8 dias

20 dias

CHUVEIRO: CHUVEIRO: 3 500 W

GELADEIRA: GELADEIRA:

TELEVISOR: TELEVISOR:

130 W

100 W

24 h

30 dias

Fonte dos dados: COPEL. Simulador de consumo de energia elétrica. Disponível em: <www.copel.com/hpcopel/simulador/>. Acesso em: 26 set. 2018.

e revistas, feitas com moldes ou adesivas. O estilo da letra deve ser simples, sem rebuscamentos, para que o texto seja facilmente lido. O tamanho deve ser proporcional à distância da qual o cartaz será lido, evitando-se o uso de letras pequenas. [...] O uso de ilustrações ou imagens em um cartaz requer uma atenção especial. [...] A seleção da imagem deve considerar a exata finalidade da mensagem e o nível do público a que se destina. Um cartaz bem elaborado deve ser colorido, mas com cores que se harmonizam, que chamam a atenção na medida certa. Assim, preferencialmente, deve-se optar pelo uso de letras escuras em fundo claro, que facilitam a leitura. [...] Por fim, a disposição dos elementos que compõem um cartaz, o layout, deve ser bem equilibrada, [...] [...] FREITAS, O. Equipamentos e materiais didáticos. Brasília: Universidade de Brasília, 2009. p. 36-37. Disponível em: <http://portal.mec. gov.br/index.php?option=com_do cman&view=download&alias= 614-equipamentos-e-materiais-dida ticos&Itemid=30192>. Acesso em: 23 out. 2018.

0,8 h

COMPUTADOR: COMPUTADOR:

30 dias

300 W 4h 18 dias

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O trecho a seguir apresenta orientações para a produção de um cartaz. [...] Cartazes O cartaz é um meio de comunicação de massa, um recurso visual cuja finali-

dade é anunciar os mais diversos tipos de mensagens – comerciais, políticas, religiosas ou educativas. [...] [...] Como todo recurso didático, sua utilização requer planejamento, adequação ao conteúdo e aos objetivos planejados. Por isso, ao se confeccionar um

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cartaz, deve-se levar em conta alguns elementos, como o texto, a ilustração, a cor e o layout. [...] É importante escolher a letra adequada, que pode ser feita à mão, com o uso de pincéis ou utilizando-se letras recortadas de jornais

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

você

VOCÊ CONECTADO

Resolvendo sistemas de equações Utilizando o GeoGebra, vamos construir as retas que representam as soluções das equações x _ 2y = _6 de um sistema. Para isso, vamos considerar o sistema { . 2x + 3y = 16

Inicialmente, para construir a reta que representa as soluções da primeira equação,

clicamos no campo Entrada, digitamos x _ 2y = _6 e pressionamos a tecla Enter. Em seguida, da mesma maneira, representamos as soluções da segunda equação.

Para identificar o ponto A onde as retas se cruzam, selecionamos a opção e clicamos uma vez sobre cada reta.

As coordenadas de A correspondem à solução do sistema.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Resolvendo sistemas de equações Na etapa 1, antes de os alunos construírem a reta que representa as soluções da segunda equação, pedir a eles que explorem soluções da equação x _ 2y = _6. Para isso, com a opção Ponto selecionada, clicar algumas vezes sobre a reta construída. Na Janela de Álgebra aparecem as coordenadas dos pontos marcados, que correspondem às soluções. Caso os alunos apresentem dificuldades em construir a reta que representa as soluções da segunda equação, descrever os procedimentos conforme feito com a primeira equação. Na etapa 2, após determinar o ponto em que as retas se cruzam, é possível também identificar as coordenadas desse ponto de interseção passando o cursor do mouse sobre ele ou clicando sobre esse ponto com o botão direito do mouse e observando a primeira informação presente na aba que abrir.

conectado

As coordenadas do ponto A podem ser identificadas na Janela de Álgebra. Nesse caso, (2, 4) correspondem a x = 2 e y = 4, solução do sistema de equações.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. No GeoGebra, represente as soluções da equação 3x _ 2y = 8 por uma reta. Depois, usando a opção

GEOGEBRA 2018

, marque pontos nessa reta e, no caderno, escreva coordenadas correspondentes a algumas soluções da equação. Algumas respostas possíveis: (0, _4); (2, _1); (4, 2). 2. Usando o GeoGebra, resolva os sistemas de equações a seguir. 3x _ 5y = 1 a) { x + 4y = 6 x = 2 e y = 1.

b) {x + 4y = 11 x+y=2 x = _1 e y = 3.

c) {2x _ y = _2 4x + 3y = 16 x=1ey=4

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Mãos à obra

1. Nesta questão, chamar a atenção dos alunos para a Janela de Álgebra, onde aparecem as coordenadas dos pontos marcados correspondentes às soluções.

2. Nesta questão, se necessário, retomar os procedimentos para representar um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas no GeoGebra, conforme feito no exemplo apresentado.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resolvendo equações do 2o grau Utilizando a planilha eletrônica Calc, podemos obter as raízes de uma equação do 2o grau. Para isso, vamos considerar a equação 3x2 = 588.

Inicialmente, escrevemos a equação de maneira que o segundo membro seja igual a zero. 3x2 = 588 2 3x – 588 = 588 – 588 3x2 – 588 = 0

Ao digitarmos a expressão, o símbolo “*” corresponde ao de multiplicação e o símbolo “^” indica uma potência.

Na célula A1 da planilha eletrônica Calc digitamos =3*B1^2-588, indicando que o resultado dessa célula corresponde ao valor numérico de 3x2 _ 588 quando x for igual ao valor digitado na célula B1. Em seguida, pressionamos a tecla Enter.

Resolvendo equações do 2o grau Nesta página, a estratégia apresentada para a resolução de equações do 2o grau, utilizando a planilha eletrônica Calc, se dá por meio de tentativas e, por isso, nem sempre é possível determinar as raízes de uma equação de maneira ágil. Informar aos alunos que, ao obter uma das raízes, é interessante verificar se o número oposto à raiz obtida é a outra raiz. Por exemplo, se o número 15 é uma raiz de uma equação de 2o grau, conferir se o número _15 é a outra raiz. Mãos à obra

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

Na célula B1 digitamos diferentes números, a fim de obter resultado igual a zero em A1, indicando uma raiz da equação. Por exemplo, ao digitarmos 10 em B1 e pressionarmos a tecla Enter, obteremos em A1 um resultado diferente de zero, indicando que 10 não é raiz da equação. Já ao digitarmos 14, obteremos em A1 o resultado zero, indicando que 14 é uma raiz da equação.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. Na planilha eletrônica, faça a construção indicada no exemplo. Depois, verifique qual número do quadro também é raiz da equação 3x2 = 588. _ 14

_10

_14

2. Com o auxílio de uma planilha eletrônica, faça construções para obter as duas raízes de cada equação a seguir. b) 4x2 = 484 c) 3x2 + 25 = 172 a) _2x2 + 128 = 0 8 e _8. 11 e _11. 7 e _7.

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2. Orientar os alunos a digitar um número na planilha eletrônica e verificar se esse número é raiz da equação. Enquanto a raiz não for obtida, comentar que, a cada nova tentativa, as anteriores devem ser levadas em consideração como estratégia para se aproximar de uma das raízes da equação. Ver um exemplo, considerando o item a. • 1a tentativa: digita-se o número 5 _ o resultado obtido será 78. • 2a tentativa: digita-se o número 10 _ o resultado obtido será _72. Antes de realizar a 3a tentativa, é importante os alunos perceberem que uma das raízes é um número entre 5 e 10. Essa estratégia é fundamentada pelo seguinte teorema: [...] (Teorema do Valor intermediário). Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Então, f assume todos os valores entre f(a) e f(b), isto é, se z está entre f(a) e f(b), então existe c [ (a, b) tal que f(c) = z. [...] GIMENEZ, C. S. C. Cálculo I. Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2001. p. 141.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas com a intenção de construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, junto com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema está representado na parte inferior desta página. Com base nos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

Expressões algébricas

expressão algébrica

Resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

Sistema de duas equações do 1o grau com duas

Equação do 1o grau com uma incógnita

Sequências numéricas

Raiz de uma equação do 1o grau com uma incógnita

Resolução

Inequação do 1o grau com uma incógnita

de uma inequação do 1o grau

Equação do 2o grau com uma incógnita

com uma incógnita

incógnitas

Resolução de uma equação do 1o grau com

Equação do 1o grau com duas incógnitas

uma incógnita

Raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita

Resolução de uma equação do 2o grau com uma incógnita

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Equação, sistema de equações e inequação Expressões algébricas Valor numérico de uma expressão algébrica

Equação do 1o grau com uma incógnita

Sequências numéricas

Raiz de uma equação do 1o grau com uma incógnita

Resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita

Equação do 1o grau com duas incógnitas

Inequação do 1o grau com uma incógnita

Sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

Resolução de uma inequação do 1o grau com uma incógnita

Resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

Equação do 2o grau com uma incógnita Resolução de uma equação do 2o grau com uma incógnita

Raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL

ARTUR FUJITA

Na aula de Geografia, os alunos estão estudando as bandeiras dos estados brasileiros. Cláudio pesquisou e descobriu que a bandeira do Acre tem formato retangular cuja razão entre os lados é de 7 para 10. Observe a figura que Cláudio desenhou para representar essa bandeira.

PROBLEMAS

I Entre as opções a seguir, identifique aquelas que representam o perímetro e a área dessa figura. a) 10x2 b) 34x c) 70x2 Perímetro: 34x; área: 70x². Conceitos: Expressões algébricas.

III

d) 17x

Considerando x igual a 3 cm, calcule o perímetro e a área dessa figura. Perímetro: 102 cm; área: 630 cm². Conceitos: Expressões algébricas; valor numérico de uma expressão algébrica.

Qual deve ser o valor de x, para que essa figura tenha 272 cm de perímetro? 8 cm. Conceitos: Equação do 1o grau com uma incógnita; raiz de uma equação do 1o grau com uma incógnita; resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita.

IV Para garantir que o perímetro dessa figura seja maior que 425 cm, qual

[...] Os limites do Estado são formados por fronteiras internacionais com Peru (O) e Bolívia (S) e por divisas estaduais com os estados do Amazonas (N) e Rondônia (L). As cidades mais populosas são: Rio Branco, Cruzeiro do Sul, Feijó, Tarauacá e Sena Madureira. O nome Acre surgiu de “Aquiri”, que significa “rio dos jacarés” na língua nativa dos índios Apurinãs, os habitantes originais da região banhada pelo rio que empresta o nome ao estado. Os exploradores da região transcreveram o nome do dialeto indígena, dando origem ao nome Acre. Os primeiros habitantes da região eram os índios, até 1877, quando imigrantes nordestinos arregimentados por seringalistas para trabalhar na extração do látex, devido aos altos preços da borracha no mercado internacional, iniciaram a abertura de seringais. Este território, antes pertencente à Bolívia e ao Peru, foi aos poucos sendo ocupado por brasileiros. [...] PORTAL DO GOVERNO DO ACRE. Sobre o Acre. Disponível em: <www. ac.gov.br/wps/portal/acre/Acre/estado-acre/sobre-o-acre>. Acesso em: 23 out. 2018.

deve ser o valor de x? x deve ser maior que 12,5 cm. Conceitos: Inequação do 1o grau com uma incógnita; resolução de uma inequação do 1o grau com uma incógnita.

V Mantendo o formato apresentado, Cláudio desenhou uma bandeira do Acre com 2 520 cm2 de área. Quais as medidas das dimensões dessa bandeira? 42 cm e 60 cm. Conceitos: Equação do 2o grau com uma incógnita; raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita; resolução de uma equação do 2o grau com uma incógnita. 99

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3. Aproveitar o contexto e ler para os alunos o trecho, que apresenta informações sobre o estado do Acre.

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No item I, lembrar os alunos de que o perímetro de uma figura plana corresponde à soma das medidas de seus lados. Para complementar o item V, propor aos alunos o seguinte questionamento. • Supondo que, para desenhar a bandeira do Acre com 2 520 cm2 de área, Cláudio tenha emendado folhas de papel retangulares com lados medindo 30 cm e 40 cm. Quantas dessas folhas de papel, no mínimo, Cláudio utilizou? Resposta: 3 folhas de papel.

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UNIDADES TEMÁTICAS

• Números. • Álgebra. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Porcentagens. • Variação de grandezas: di-

retamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.

HABILIDADES • EF08MA04 • EF08MA12 • EF08MA13 COMPETÊNCIAS GERAIS 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. ESPECÍFICAS 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento

PROPORCIONALIDADE E PORCENTAGEM

Café: paixão nacional Você sabia que, depois da água, o café é a bebida mais consumida no Brasil? Essa bebida está presente no cardápio dos brasileiros desde o período colonial. Atualmente, o nosso país ocupa a segunda posição entre os países consumidores de café. Além disso, é o maior produtor e exportador do grão no mercado mundial. Apesar da popularidade do café, é importante avaliar o seu consumo, sobretudo pela presença da cafeína, substância que age sobre o sistema nervoso central. Se ingerida com moderação, a cafeína traz benefícios, como melhora na concentração e na memória. Quando consumida em excesso, pode levar a pessoa a apresentar taquicardia, crise de ansiedade e insônia. Alguns pesquisadores recomendam para os adultos o consumo máximo de 400 mg de cafeína por dia, aproximadamente, 450 mL de café. Fontes dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DA INDÚSTRIA DE CAFÉ. Café e Saúde. Disponível em: <http://abic.com.br/>. BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Café no Brasil. Disponível em: <www.agricultura. gov.br/assuntos/politica-agricola/cafe/cafeicultura-brasileira>. Acessos em: 27 set. 2018.

Em 2016, o Brasil produziu cerca de 3,1 milhões de toneladas de café, das quais aproximadamente 2 milhões foram exportadas.

O parque cafeeiro brasileiro é estimado em uma área de 2 milhões de hectares, presente em 1 900 municípios, com cerca de 300 mil produtores.

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de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

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O barista é o profissional tecnicamente especializado em preparar e servir cafés e bebidas derivadas do grão.

Água quente e café em pó. Resposta esperada: Sim, pois as quantidades de água quente e de café em pó utilizadas no preparo influenciam no sabor final da bebida.

O consumo per capita anual em 2016 no Brasil foi de 6,2 kg.

Uma das características que tornou o café uma bebida popular é a facilidade de seu preparo. Basta misturar dois ingredientes, água quente e café em pó, e filtrar.

LEO TEIXEIRA

Acesse este site para obter mais informações sobre o café. • ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DA INDÚSTRIA DE CAFÉ. Disponível em: <http://livro.pro/ca3fmh>. Acesso em: 29 set. 2018.

Respostas pessoais.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Você costuma beber café? Na região em que mora há produção de café? Quais são os benefícios do consumo moderado de café para a saúde? E quais são os malefícios quando consumido em excesso? Quais são os ingredientes necessários para o preparo do café? Você acredita que, no preparo, há uma relação entre as quantidades desses ingredientes? Explique. Respostas esperadas: Melhora na concentração e na memória. Taquicardia, crise de ansiedade e insônia.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 8 da BNCC, uma vez que trata do consumo do café e o cuidado com a saúde.

Explicar aos alunos que taquicardia é a aceleração dos batimentos cardíacos, e insônia refere-se à falta de sono ou dificuldade prolongada para adormecer. Esclarecer que a cafeína também é encontrada em outros produtos, como alguns tipos de chá, guaraná e mate.

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na recomendada para adultos por pesquisadores (400 mg). Em relação à infografia apresentada nestas páginas, relembrar aos alunos que 1 hectare equivale a 10 000 m2. Questioná-los sobre qual é a área, em metros quadrados, do parque cafeeiro brasileiro (20 000 000 000 m2). Explicar que a expressão “per capita” significa que, nesse contexto, no Brasil, em 2016, foram consumidos em média 6,2 kg de café por pessoa. Para auxiliar na resolução do primeiro item proposto, escrever na lousa os estados brasileiros em que há produção de café: Acre, Bahia, Ceará, Espírito Santo, Goiás, Distrito Federal, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Minas Gerais, Pará, Paraná, Pernambuco, Rio de Janeiro, Rondônia e São Paulo. Esclarecer que, devido à extensão territorial do Brasil, existe uma variedade de climas, relevos, altitudes e latitudes, o que propicia a produção de diferentes tipos (arábica e robusta) e qualidades de café. No terceiro item, questionar os alunos sobre o que aconteceria se aumentássemos ou diminuíssemos a quantidade de pó de café no preparo de 500 mL da bebida. Espera-se que eles respondam que, quanto mais pó de café, mais forte tende a ficar a bebida, com menos pó, ela tende a ficar mais fraca. Complementar esse item, questionando-os como proceder para preparar o dobro de certa quantidade da bebida, sem que o sabor seja alterado. É importante que eles percebam que a quantidade de água quente deve ser proporcional à quantidade de pó de café.

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Verificar a possibilidade de levar para a sala de aula um recipiente graduado com 450 mL de água a fim de que os alunos possam observar o que corresponderia a 450 mL de café. Relacionar essa quantidade com a quantidade máxima diária de cafeí-

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PROPORÇÃO Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF08MA12 e EF08MA13. O trabalho com razão, proporção e grandezas proporcionais também foi realizado no Volume 7 desta coleção. Dizer aos alunos que os nomes dos produtos apresentados nesta página são fictícios; e explicar a eles que a razão é uma das ideias de fração e expressa uma comparação entre dois números. Na situação apresentada, por exemplo, estamos comparando a quantidade de pó de café e a quantidade de água quente necessárias para o preparo da bebida. Explicar aos alunos que na razão entre dois números, a e b, nessa ordem e com a diferente de zero, o número a costuma ser chamado de antecedente e b, consequente. Enfatizar a importância da ordem dos números ao representar a razão por meio de um quociente, pois se alterarmos essa ordem, modificaremos o que queremos expressar com aquela razão.

Proporção Nas páginas de abertura desta Unidade, vimos diversas informações sobre o café. Observe a parte em destaque do modo de preparo indicado em certa embalagem de café.

Modo de preparo: 1. Coloque 40 g de pó no filtro de papel. 2. Adicione 500 mL de água quente.

ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Podemos escrever uma razão para relacionar as quantidades de pó de café e de água necessárias para esse preparo. Observe. quantidade de pó de café (g)

40 500

A razão ao lado também pode ser indicada por 40 : 500.

quantidade de água quente (mL)

Dessa maneira, dizemos que essa razão é de 40 g de pó de café para 500 mL de água. Considere dois números a e b, com b 5 0. A razão entre esses dois números, nessa a ordem, corresponde ao quociente a : b, que também pode ser indicada por . b Agora, observe a razão entre as quantidades de pó de café e de água necessárias para o preparo indicado em outra embalagem de café.

Modo de preparo: 1. Coloque 60 g de pó no filtro de papel. 2. Adicione 750 mL de água quente.

quantidade de pó de café (g)

60 750 quantidade de água quente (mL)

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Relembrar aos alunos que, quando simplificamos duas frações obtendo frações irredutíveis iguais, então essas frações são equivalentes, 40 60 como é o caso de e . 500 750 Nesta página a propriedade fundamental das proporções é verificada por meio de dedução. Após os exemplos apresentados, propor aos alunos que indiquem outros pares de frações e verifiquem se formam uma proporção. Outra sugestão é propor os itens a seguir e pedir apenas que verifiquem se há uma proporção (os itens II e IV formam uma proporção).

40 60 e são iguais, pois: Note que as razões 500 750 60 2 = 750 25

40 2 = 500 25 Nesse caso, dizemos que

40 60 = é uma proporção. 500 750

Quando as razões a e c são iguais, com b 5 0 e d 5 0, elas formam a proporção b d c a = , que pode ser lida da seguinte maneira: a está para b assim como c está para d b d. Os números a e d (primeiro e último termos) são os extremos e b e c (segundo e terceiro termos) são os meios da proporção. Na proporção apresentada anteriormente, temos: extremos

meios

3 12 e . 5 25 9 27 e . b) 7 21 4 10 e . c) 2 6 4 1 e . d) 32 8 a)

40 60 = 500 750 Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Essa é a chamada propriedade fundamental das proporções. Para verificarmos essa propriedade, considere a a c proporção = , com b 5 0 e d 5 0. b d a c = b d a c ?b= ?b b d c a?d=b? ?d d

Multiplicamos ambos os membros por b. Multiplicamos ambos os membros por d.

a?d=b?c Produto dos extremos.

Produto dos meios.

Observe os exemplos. a)

4 6 = 12 18

12 ? 6 = 72 4 ? 18 = 72

7 35 = 10 50

10 ? 35 = 350 7 ? 50 = 350

Verifique a propriedade fundamental das proporções 40 60 . em = 500 750 Resposta nas Orientações para o professor. 103

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PARA PENSAR Ver a resposta deste boxe: 40 60 = 500 750

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500 ? 60 = 30 000 40 ? 750 = 30 000

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site para informações sobre a etiqueta de automóveis que indica o consumo de combustível e a emissão de gases poluentes. • ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE DEFESA DO CONSUMIDOR. Selo ajuda a escolher carro que consome menos. Disponível em: <http://livro. pro/zud2g8>. Acesso em: 18 set. 2018. 2. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo a razão entre duas grandezas em situação contextualizada. No item a, conversar com os alunos sobre a justificativa apresentada. É importante que eles lembrem que, ao dividir um número positivo por outro também positivo, o quociente será maior do que 1 quando o dividendo for maior que o divisor. Caso o dividendo seja menor do que o divisor, o quociente estará entre 0 e 1. Se julgar necessário, apresentar aos alunos alguns exemplos numéricos. 3. Esta atividade trabalha a identificação dos termos de uma proporção. 4. Esta atividade trabalha a determinação de razão e a identificação de razões que compõem uma proporção. Relembrar os alunos de que uma fração é irredutível quando não pode ser simplificada. Conver-

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Alice é uma consumidora consciente e vai comprar um automóvel que emite uma menor quantidade de dióxido de carbono (CO2) no meio ambiente. Para isso, ela realizou uma pesquisa com três modelos de automóveis. Observe o resultado. Modelo I.

1 310 g de CO2 em 10 km.

Modelo II.

1. b) Modelo I: 131 g/km; modelo II: 115 g/km; modelo III: 98 g/km. Resposta esperada: Modelo III. a) Sem realizar cálculos por escrito, estime qual desses modelos de automóvel emite a menor quantidade de CO2 por quilômetro. b) Para cada modelo de automóvel desses, calcule a razão entre a quantidade de emissão de CO2 e a distância percorrida, em gramas por quilômetro (g/km). c) Com base na resposta do item b, verifique se você respondeu corretamente o item a. Resposta pessoal. 2. Segundo a Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel), em 2017, a razão entre a quantidade de linhas ativas de telefonia móvel e a de habitantes no Brasil era cerca de 1,1386. a) Em 2017, o que havia mais no Brasil: linhas ativas de telefonia móvel ou habitantes? Justifique. b) Sabendo que em 2017 havia 236 488 548 linhas ativas de telefonia móvel, estime a população brasileira naquele ano. Aproximadamente 207 701 166 habitantes. Fonte dos dados: ANATEL. Dados do Serviço Móvel Pessoal (SMP). Disponível em: <www.anatel.gov.br/Portal/ documentos/sala_imprensa/31-1-2018--14h34min9s-Dados_ SMP_Dezembro_2017.ods>. Acesso em: 27 set. 2018.

3. Em relação a proporção indicada na ficha, quais são os: 3 21 = 7 49 575 g de CO2 em 5 km.

a) termos? 3, 7, 21 e 49. b) extremos? 3 e 49. c) meios? 7 e 21.

Modelo III.

4. Em cada item, indique a razão por meio de uma fração. Depois, se possível, simplifique essa fração até torná-la irredutível. a) A razão entre 2 e 9. 2 . 9 b) A razão entre 8 e 4. 8 ; 2. 4 c) A razão entre 42 e 180. 42 ; 7 . 180 30 14 7 ; . d) A razão entre 14 e 60. 16 2 60 30 ; . e) A razão entre 16 e 72. 72 9 Agora, identifique os pares de razões que 1 960 g de CO2 em 20 km. formam uma proporção. A-E; C-D. 2. a) Resposta esperada: Linhas ativas de telefonia móvel, pois a razão entre a quantidade dessas linhas e a de habitantes era maior que 1. 104 ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, em situação contextualizada, a determinação da razão entre duas grandezas. No item a, trabalha-se a estimativa relacionando as diferentes distâncias percorridas com a quantidade de emissão de CO2. Verificar se os alunos perceberam que as distâncias apresentadas no esquema não são iguais. Questioná-los sobre quais estratégias eles utilizaram para estimar o automóvel que emite menor quantidade de CO2 por quilômetro.

sar sobre as estratégias utilizadas para identificar os pares de razões que formam uma proporção. Espera-se que eles percebam que, quando simplificamos frações e obtemos a mesma fração irredutível, essas frações são equivalentes e, portanto, formam uma proporção.

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6. a) Marca A: 26 ; marca B: 32 ; marca C: 130 . 200 180 1 000 5. Você já assistiu a uma prova de atletismo? Esse esporte, presente desde o início dos Jogos Olímpicos, tem diferentes modalidades, como as corridas de velocidade disputadas em provas de 100 m, 200 m e 400 m, em que o objetivo do atleta é percorrer a distância no menor tempo possível. Observe.

Medalhistas de ouro das provas femininas de corridas de velocidade nos Jogos Olímpicos Rio 2016

5. Esta atividade trabalha a determinação da razão com a ideia de velocidade média em situação contextualizada. Enfatizar que no cálculo da velocidade média comparamos as grandezas comprimento e tempo, como na situação envolvendo um veículo em movimento.

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No caso da atleta Tori Bowie, dizer aos alunos que se costuma dizer que, em média, a atleta percorreu 9,2 metros por segundo. Para complementar, realizar um trabalho com o professor da disciplina de Educação Física para obter a velocidade

LUCAS FARAUJ ARTUR FUJITA

É possível, nesse caso, relacionar as grandezas distância e tempo por meio de uma razão chamada velocidade média. Observe, por Fonte dos dados: OLYMPIC GAMES. Results. exemplo, o cálculo da velocidade média da Disponível em: <www.olympic.org/olympic-results>. atleta Tori Bowie na prova de 100 m. Acesso em: 27 set. 2018. distância (m) 48,75 7. a) Sabão líquido 5 L: ; 5 100 sabão líquido 3 L: 29,25 . velocidade média: 1 9,2, ou seja, 9,2 m/s. 3 10,9 7. b) Sim. Uma resposta possível: tempo (s) 48,75 ? 3 = 146,25 e 5 ? 29,25 = 146,25. Deajah Stevens: 8,9 m/s; Shaunae Miller: 8,1 m/s. a) Determine a velocidade média aproximada, em metros por segundo, obtida pelas demais atletas que disputaram as provas de 200 m e 400 m. b) Qual atleta obteve a maior velocidade média? E a menor velocidade média? Quais provas essas atletas disputaram? Tori Bowie, na prova de 100 m, obteve a maior velocidade média. Shaunae Miller, na prova de 400 m, obteve a menor velocidade média. 6. Nas embalagens de leite em pó costuMarca A Marca B Marca C mam estar indicadas as quantidades de água e de leite em pó necessárias para o preparo. Observe essas indicações em 32 g 130 g 26 g três marcas desse produto. a) Escreva, para cada marca, a razão 200 mL 180 mL 1 000 mL entre as quantidades de leite em pó (g) e de água (mL). b) Em quais dessas marcas a razão entre as quantidades de leite em pó e de água formam uma proporção? Justifique por meio da propriedade fundamental das proporções. Marcas A e C. 26 ? 1 000 = 26 000; 200 ? 130 = 26 000. 7. João foi ao supermercado comprar sabão líquido. Observe ao lado duas embalagens da marca de que ele mais gosta. a) Para cada produto, escreva a razão entre o preço (R$) e a quantidade de sabão (L). b) As razões que você escreveu no item a formam uma proporção? Justifique. c) João quer comprar o produto mais vantajoso em relação à razão preço por litro. Qual produto ele deve comprar? Explique. Resposta esperada: Em ambos os produtos, o preço por litro é o mesmo. Assim, em relação à razão preço por litro, nenhum produto é mais vantajoso que o outro. 105

BENTINHO

No esquema, a indicação de tempo é dada em segundos e centésimos de segundos. O tempo obtido por Tori Bowie, por exemplo, corresponde a 10,90 segundos.

trajeto e os colegas devem cronometrar e anotar o tempo. De volta à sala de aula, propor a eles que calculem qual foi a velocidade média aproximada de cada colega do grupo. 6. Esta atividade trabalha a determinação de razão e a identificação de razões que compõem uma proporção, em uma situação contextualizada. No item b, propor aos alunos que primeiramente estimem quais das razões do item a formam uma proporção e, depois, confirmem suas estimativas usando a propriedade fundamental das proporções. Outra maneira de resolver o item b é identificar quais frações são equivalentes à mesma fração irredutível. 7. Esta atividade trabalha a determinação de razão entre duas grandezas e a comparação entre razões, em uma situação contextualizada. Perguntar aos alunos se já passaram por uma situação parecida com a apresentada, na qual um mesmo produto é disponibilizado em diferentes modelos de embalagens. Conversar sobre quais estratégias eles utilizam para determinar qual é o mais vantajoso para a compra. Explicar que uma dessas estratégias é determinar em qual das embalagens a razão entre o preço e a quantidade de produto é menor.

média dos alunos em uma corrida. Para isso, providenciar fita métrica ou trena e cronômetro. Organizar os alunos em grupos e levá-los a uma quadra de esportes. Em seguida, marcar uma distância de 100 m em linha reta. Por fim, cada aluno deve percorrer o 11/13/18 1:10 PM

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Grandezas proporcionais Iniciar o conteúdo de grandezas proporcionais propondo uma conversa com os alunos a fim de que eles percebam que nem todas as grandezas relacionadas são grandezas diretamente proporcionais, por exemplo, as grandezas medida da aresta de um cubo e a medida de seu volume. Apesar de o volume do cubo variar conforme aumentamos ou diminuímos a medida de sua aresta, isso não ocorre na mesma proporção. Podemos verificar isso calculando o volume de dois cubos: um cuja aresta mede 1 cm e outro cuja aresta mede 2 cm. Apesar de a medida da aresta do segundo cubo ser o dobro da medida da do primeiro, a medida de seu volume é igual a 8 cm3 e não 2 cm3. No boxe Dica, chamar a atenção dos alunos para o fato de que em cada razão podemos relacionar a mesma grandeza ou grandezas diferentes, desde que haja uma relação entre elas.

Grandezas proporcionais No dia a dia, ocorrem muitas situações envolvendo diferentes grandezas que se relacionam. Observe os exemplos. Exemplo 1 Na mercearia próxima à casa de Lucas, diversos grãos e cereais são vendidos por quilograma. Veja o preço do quilograma de certo tipo de feijão. DANIEL BOGNI

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Note que as grandezas massa do feijão e preço a pagar se relacionam: ao dobrarmos a massa, o preço também dobra; ao triplicarmos a massa, o preço também triplica; ao reduzirmos a massa pela metade, o preço também se reduz à metade; e assim por diante.

Massa (kg)

Preço (R$)

1 2

2,50

:2 ?2

Assim, dizemos que a massa do feijão e o preço a pagar são grandezas diretamente proporcionais. Nesse caso, podemos escrever proporções entre a massa e o preço. Veja um exemplo.

Massa (kg)

Preço (R$)

2 10 = 3 15

Nessa situação, também poderia ser escrita a seguinte proporção: 2 3 = 10 15

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Exemplo 2 Certa gráfica recebeu uma encomenda para a impressão de livros. Observe o que diz o operador da máquina onde esses livros serão impressos.

DANIEL BOGNI

Para atender à encomenda, a máquina deve funcionar 6 horas diárias por 12 dias.

Vamos considerar que as grandezas tempo de funcionamento da máquina e quantidade de dias se relacionam da seguinte maneira: ao dobrarmos o tempo de funcionamento, a quantidade de dias reduz-se à metade; ao triplicarmos o tempo de funcionamento, a quantidade de dias reduz-se a um terço; ao reduzirmos o tempo de funcionamento pela metade, a quantidade de dias dobra; e assim por diante. Tempo de funcionamento (h)

Quantidade de dias

No exemplo 2, é importante que os alunos compreendam que, para atender a determinada encomenda, quanto mais tempo as máquinas funcionarem por dia, menos dias serão necessários. As grandezas tempo de funcionamento e quantidade de dias são inversamente proporcionais nesse caso, uma vez que, ao aumentarmos o tempo de funcionamento das máquinas, a quantidade de dias necessários para atender à encomenda diminuirá na mesma proporção. Enfatizar que, no caso de grandezas inversamente proporcionais, ao indicarmos uma razão e invertermos a outra, obteremos uma proporção. Para isso, utilizar a propriedade fundamental das proporções, como indicado a seguir, e mostrar a eles que os exemplos apresentados formam uma proporção. 6 4 = 18 12

18 ? 4 = 72 6 ? 12 = 72

18 12 = 6 4

6 ? 12 = 72 18 ? 4 = 72

?2 :2

Assim, dizemos que o tempo de funcionamento da máquina e a quantidade de dias para atender à encomenda são grandezas inversamente proporcionais. Nesse caso, escrevemos a proporção indicando uma razão e invertendo a outra. Veja um exemplo. Tempo de funcionamento (h)

Quantidade de dias

6 4 12 = ou 18 = 18 12 4 6

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Todos os anos, no dia do aniversário de Lívia, a mãe da menina mede a estatura dela e anota. Observe.

Idade (anos)

Estatura (cm)

104

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Note que existe relação entre a idade e a estatura da menina: enquanto aumenta a idade dela, a estatura também aumenta. Porém, a relação entre essas grandezas não é proporcional. Observe, por exemplo, que as razões entre a estatura (em centímetros) e a idade (em anos), quando Lívia completou 2 anos e 4 anos, são diferentes.

86 = 43 2

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Identifique os itens em que as grandezas indicadas se relacionam de maneira proporcional, classificando-as em diretamente ou inversamente proporcionais. a) A massa (kg) e a idade (anos) de uma pessoa. b) A medida do lado (cm) e o perímetro (cm) de um quadrado. c) A quantidade de suco de laranja (mL) e o valor energético ingerido (kcal). Grandezas diretamente proporcionais: b, c; grandezas inversamente proporcionais: d. 108

emD3-MAT-F2-2049-V8-100-127-U04-LA-G20.indd funcionamento e o tempo108 necessário para imprimir certa quantidade de páginas. • a quantidade de páginas lidas por dia e a quantidade de dias necessários para ler um livro.

104 = 26 4

HSYNFF/SHUTERSTOCK.COM

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação da natureza da variação entre duas grandezas, proporcionais ou não proporcionais. Explicar aos alunos que kcal é a sigla de quilocaloria, que é uma unidade de medida de energia. 2. Esta atividade trabalha a identificação da natureza da variação entre duas grandezas, proporcionais ou não proporcionais. A seguir, são apresentadas algumas respostas possíveis que podem ser registradas pelos alunos. Grandezas não proporcionais: • a quantidade de gols marcados e o tempo de uma partida de futebol. • a área de uma região e a quantidade de habitantes. • a idade de uma pessoa e o número do seu calçado. • a medida do lado de um quadrado e a medida de sua área. Grandezas diretamente proporcionais: • a distância percorrida por um veículo e o consumo médio de combustível. • a quantidade de um mesmo produto comprado e o valor total a pagar. • o tempo que uma lâmpada estiver acesa e a quantidade de energia consumida por ela. • a quantidade de receitas de um bolo e a quantidade de certo ingrediente. Grandezas inversamente proporcionais: • a vazão de uma torneira e o tempo necessário para encher um recipiente. • a quantidade de impressoras com o mesmo rendimento

Exemplo 3

ARTUR FUJITA

Ao apresentar o exemplo 3, é importante que fique evidente aos alunos que as grandezas idade e estatura estão relacionadas, porém não de forma proporcional. Basta visualizar no quadro que, ao completar 2 anos, o dobro de 1 ano, a estatura de Lívia não dobrou.

d) A velocidade média do carro (km/h) e o tempo (h) de uma viagem. 2. Pesquise e registre no caderno três exemplos de situações em que duas grandezas se relacionam das seguintes maneiras: não proporcional, diretamente proporcional, inversamente proporcional. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os exemplos para que um identifique a relação nos exemplos do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Grandezas diretamente proporcionais

Grandezas diretamente proporcionais Aproveitar o contexto desta página e perguntar aos alunos se eles conhecem alguma pessoa que é intolerante à lactose e, em caso afirmativo, se sabem qual é o grau de intolerância e quais são os cuidados que essa pessoa deve ter. O trecho a seguir apresenta mais informações sobre a intolerância à lactose.

Você sabe o que é lactose? Essa substância é o açúcar natural encontrado no leite e em alguns de seus derivados, como queijos e iogurtes. As pessoas com intolerância à lactose, ou seja, cujo organismo possui deficiência na digestão dessa substância, devem ter uma dieta com restrição de leite e seus derivados, substituindo esses alimentos por outros, sempre com a orientação de um profissional.

Cada pessoa possui um grau de intolerância à lactose, com sintomas que podem variar. Alguns sintomas são: • dores e inchaços abdominais;

• gases;

• diarreia;

• náuseas.

Nos rótulos dos alimentos é obrigatória a indicação de lactose, de forma clara e legível.

Observe, por exemplo, quanta lactose há, aproximadamente, em 200 mL de leite integral de vaca.

[...] Ao contrário do que muita gente pensa, a intolerância a lactose não é alergia ao leite. “Como o próprio nome diz, é uma intolerância. As alergias à proteína de leite de vaca são dependentes de mecanismos imunológicos. As reações são imediatas e os sintomas ocorrem em até duas horas após a exposição. As manifestações mais comuns são as reações cutâneas, gastrointestinais, respiratórias e sistêmicas, que em alguns casos podem levar a choque anafilático”, esclarece Kimielle. [...].

200 mL 12 g de lactose.

Se a quantidade de leite aumentar para mais de 200 mL, a quantidade de lactose será maior do que 12 g ou menor do que 12 g?

BENTINHO

Maior do que 12 g.

No café da manhã, Melina costuma tomar uma xícara de 150 mL de leite. Quantos gramas de lactose há nessa xícara? Note que as grandezas quantidade de leite e massa de lactose são diretamente proporcionais. Assim, podemos calcular a massa total de lactose (x), em 150 mL de leite, usando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo uma equação.

Quantidade de leite (mL)

Massa de lactose (g)

200

150

BRASIL. Governo do Brasil. Saiba como identificar a intolerância a lactose. Disponível em: <www.brasil. gov.br/eu-vou/saiba-comoidentificar-a-intolerancia-a-lactose>. Acesso em: 24 out. 2018.

200 12 = 150 x 200 ? x = 150 ? 12 200x 1 800 = 200 200 x=9

Portanto, na xícara de 150 mL de leite há 9 g de lactose. 109

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Destacar que as grandezas quantidade de leite e massa de lactose são diretamente proporcionais, uma vez que, ao dobrarmos a quantidade de leite, a massa de lactose também dobrará; ao triplicarmos a quantidade de leite, a massa de lactose também triplicará, e assim por diante. Para auxiliar no reconhecimento dessa relação, propor aos alunos os seguintes questionamentos, considerando que há 12 g de lactose em 200 mL de leite de vaca. • Quantos gramas de lactose há em 400 mL de leite? Resposta: 24 g. • Quantos gramas de lactose há em 100 mL de leite? Resposta: 6 g.

109

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Agora, considere a seguinte situação.

Antes de trabalhar o exemplo proposto nesta página, apresentar a seguinte situação, em que a escrita de uma sentença algébrica é utilizada para expressar a relação entre duas grandezas diretamente proporcionais: a quantidade y de lactose (em grama) e a quantidade x de leite (em mililitro). Essa situação pode ser expressa da seguinte maneira: Massa de lactose (g)

200

200 12 = x y 200y _ 12x = 0 A partir da proporção, obtemos uma equação do 1o grau com duas incógnitas, indicadas pelas letras x e y. Nesse caso, para obter as soluções, pode ser atribuído valor a uma das incógnitas e obtido o valor correspondente à outra. O estudo de equações do 1o grau com duas incógnitas foi apresentado na Unidade 3 deste Volume. Enfatizar que as grandezas comprimento do fio e preço são diretamente proporcionais, pois se Vicente tivesse comprado o dobro da quantidade de fio, pagaria o dobro do valor, e se tivesse comprado a metade da quantidade de fio, pagaria a metade do valor. No boxe Dica, é importante que os alunos compreendam o que significa dizer que cada ponto da reta representa uma solução da equação. Explicar que substituindo as coordenadas de um ponto pertencente à reta na equação 6x _ 5y = 0, temos que obter uma sentença verdadeira. Por exemplo, substituindo as coordenadas do ponto (4; 4,8) nessa equação, temos: x = 4 e y = 4,8 H H 6 ? 4 _ 5 ? 4,8 = = 24 _ 24 = 0

DMITRY KALINOVSKY/SHUTTERSTOCK.COM

Eletricista trabalhando.

Como as grandezas preço e comprimento do fio são diretamente proporcionais, podemos representar a relação entre elas da seguinte maneira: Preço (R$)

Quantidade de fio (m)

6 5 = y x 6?x=5?y 6x _ 5y = 5y _ 5y 6x _ 5y = 0

Note que, a partir da proporção, obtemos uma equação do 1o grau com duas incógnitas, em que x representa a quantidade de fios (em metros) e y o preço (em reais). As soluções dessa equação podem ser representadas por uma reta no plano cartesiano. y 10 9,6 9

Veja no material audiovisual o vídeo sobre o desperdício causado por uma torneira pingando.

8 7,2 7 6 5 4,8 4

3 2,4 2 1,2 1 _3 _2 _1 0 1 2 _1 _1,2 _2 _2,4

8 x EDITORIA DE ARTE

Quantidade de leite (mL)

Vicente é eletricista e, para fazer a instalação de uma luminária, comprou 5 m de fio por R$ 6,00.

Nessa reta, cada ponto representa uma solução da equação. Em relação à situação apresentada, temos de considerar somente os valores positivos de x e y, uma vez que correspondem ao comprimento do fio e ao preço, respectivamente. O ponto de coordenadas (4; 4,8), por exemplo, indica que 4 m desse fio custam R$ 4,80.

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Propor aos alunos que substituam os valores de outras coordenadas de um ponto pertencente à reta na equação e verifiquem se a sentença é verdadeira.

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre o desperdício de água causado por uma torneira pingando. Nesse vídeo é abordado um experimento que permite verificar a quantidade de água coletada de uma torneira pingando em um intervalo de tempo. Além disso, usando o conceito de grandezas diretamente proporcionais, é apresentado o cálculo de quantos litros de água essa torneira pingando pode desperdiçar em um dia, em uma semana e em um mês.

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Os Resíduos Sólidos Urbanos (RSU) são aqueles provenientes de atividades domésticas em residências e limpeza urbanas, ou seja, de varrição, limpeza de ruas e vias públicas, entre outras atividades. A geração de RSU no Brasil varia de acordo com a região. Em 2016 na região Sul, por exemplo, uma família de 4 pessoas, em 7 dias, gerou cerca de 21 kg de RSU, em média. Nesse mesmo ano e região, em média, uma família de 3 pessoas em 30 dias gerou quantos quilogramas de RSU? Fonte dos dados: ABRELPE. Panorama dos resíduos sólidos no Brasil 2016. Disponível em: <http://abrelpe.org.br/download-panorama-2016>. Acesso em: 27 set. 2018.

LUCIANA WHITAKER/PULSAR IMAGENS

Leia com atenção o problema a seguir.

Caminhão e funcionário de limpeza urbana. Camboriú (SC). Fotografia de 2016.

Nesse problema, podemos identificar três grandezas: quantidade de pessoas, tempo e quantidade de RSU. Podemos organizar as informações apresentadas da seguinte maneira: Quantidade de pessoas

Tempo (dias)

Quantidade de RSU gerado (kg)

Observe como podemos resolver esse problema em duas etapas. 1a) Como as grandezas quantidade de pessoas e quantidade de RSU são diretamente proporcionais, fixamos o tempo em 7 dias e calculamos: Quantidade de pessoas

Quantidade de RSU gerado em 7 dias (kg)

4 21 = 3 x 4 ? x = 3 ? 21 63 4x = 4 4 x = 15,75

Portanto, uma família com 3 pessoas gerou 15,75 kg de RSU em 7 dias. 2a) Agora, observe que as grandezas tempo e quantidade de RSU são diretamente proporcionais. Assim, fixamos a quantidade de pessoas em 3 e, com base no resultado da etapa anterior, calculamos: Tempo (dias)

Quantidade de RSU gerado por 3 pessoas (kg)

15,75

Na resolução do problema proposto, chamar a atenção dos alunos para o fato de que estamos trabalhando com três grandezas, relacionando-as duas a duas. As primeiras duas grandezas relacionadas são a quantidade de pessoas e a quantidade de resíduos sólidos urbanos (RSU). Evidenciar que essas duas grandezas são diretamente proporcionais, uma vez que, ao dobrarmos a quantidade de pessoas, a quantidade de RSU gerado também dobrará, e assim por diante. Explicar que as outras duas grandezas relacionadas, tempo e quantidade de RSU, também são diretamente proporcionais, pois ao dobrarmos o tempo, dado em dias, a quantidade de RSU gerado também dobrará, e assim por diante. Nas duas etapas apresentadas, é importante evidenciar que estamos considerando que cada pessoa gera em média a mesma quantidade de RSU por dia. Verificar se os alunos perceberam que utilizamos a propriedade fundamental das proporções em ambas as etapas da resolução. Além disso, na etapa 2 foi utilizado o resultado obtido na etapa 1, uma vez que não tínhamos até então, a quantidade de RSU gerada por 3 pessoas em 7 dias.

7 15,75 = 30 y 7 ? y = 30 ? 15,75 7y 472,5 = 7 7 y = 67,5

Portanto, uma família com 3 pessoas gerou em média 67,5 kg de RSU em 30 dias. 111

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2. b) Algumas respostas possíveis: x = _5 e y = _2; x = 0 e y = 0; x = 1 e y = 0,4; x = 5 e y = 2; x = 6 e y = 2,4; x = 10 e y = 4. 1. Na página 109, vimos que em 200 mL de leite há cerca de 12 g de lactose. a) Quantos gramas de lactose há em: • 250 mL de leite? 15 g. • 600 mL de leite? 36 g. • 1,5 L de leite? 90 g. b) Marcos realizou cálculos e determinou que no leite de certo copo há 27 g de lactose. Quantos mililitros de leite há nesse copo? 450 mL.

Resposta: _3x + 7y = 0. Algumas respostas possíveis: (_7, _3); (0, 0); (7, 3). 3. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas diretamente proporcionais, expressando a relação entre essas grandezas por meio de uma sentença algébrica. Dizer aos alunos que o nado borboleta é um dos estilos que compõem a modali-

NÃO NÃO ESCREVA ESCREVA NO NO LIVRO. LIVRO.

2. No quadro ao lado, A e B representam grandezas diretamente proporcionais. a) Utilizando proporção, represente por meio de uma equação do 1o grau com duas incógnitas a relação entre as grandezas A e B. 2x _ 5y = 0 b) Escreva três soluções da equação que você representou no item a. c) No plano cartesiano a seguir, qual reta representa as soluções dessa equação? y 8

A 2 y

B 5 x

Reta s.

7 6 5 4

_3 _2 _1 0 _1

1 1

8 x

3. Leia a tirinha.

BECK, A. Armandinho quatro. Florianópolis: A. C. Beck, 2015. p. 49.

Considere que, nesse caso, a quantidade de calorias e o tempo são grandezas diretamente proporcionais e responda às questões a seguir. a) Quantas calorias o pai de Armandinho vai gastar nadando borboleta por: 1 050 calorias. • 15 min? 175 calorias. • 36 min? 420 calorias. • 1 hora e meia? b) Quantos minutos o pai de Armandinho nadou borboleta, sabendo que ele gastou 140 calorias ao todo? 12 min. c) Para essa situação, represente por meio de uma equação do 1o grau com duas incógnitas a relação entre as grandezas tempo em minutos (x) e calorias gastas (y) pelo pai de Armandinho. 700x _ 60y = 0 ou 70x _ 6y = 0.

Resposta: 3x + y = 0. Algumas respostas possíveis: (_2, 6); (0, 0); (1, _3). b) A

Resoluções a partir da p. 257

EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas diretamente proporcionais. Conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas por eles. 2. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação que envolve grandezas diretamente proporcionais, expressando a relação entre essas grandezas por meio de uma sentença algébrica e sua representação no plano cartesiano. No item c, uma das estratégias que os alunos podem utilizar para identificar a reta que representa as soluções dessa equação, é verificar quais das retas contêm os pontos cujas coordenadas foram escritas no item b. Para complementar, apresentar os quadros a seguir, cujas letras A e B são grandezas diretamente proporcionais, para que eles representem por meio de equações, a relação entre A e B. Em seguida, pedir a eles que escrevam três soluções de cada uma das equações obtidas. a)

AtividadeS

ARMANDINHO DE ALEXANDRE BECK

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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dade natação nos Jogos Olímpicos. Se julgar conveniente, apresentar a eles um vídeo de uma prova de natação com o nado borboleta. No item c, verificar se os alunos estabeleceram a relação ao lado para obter a equação do 1o grau com duas incógnitas.

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Tempo (min) Calorias gastas 60

700

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4. André é artesão e confecciona pulseiras. Para fazer 8 pulseiras de certo modelo, ele utiliza 2 m de fio encerado, 40 miçangas e 8 fechos. André tem uma encomenda de 50 pulseiras desse modelo. Determine a quantidade de cada um dos materiais que ele vai precisar. 12,5 m de fio encerado, 250 miçangas e 50 fechos. 5. Leia o texto a seguir, que trata sobre as unidades geradoras de energia elétrica da Itaipu Binacional, a maior usina hidrelétrica do Brasil. A Itaipu tem 20 unidades geradoras. A última unidade instalada começou a gerar energia em 2007. Cada uma tem capacidade de 700 megawatts (MW), potência suficiente para abastecer uma cidade com 1,5 milhão de habitantes. Juntas, as 20 unidades geradoras somam 14 mil MW. […]

d) Para essa situação, represente por meio de uma equação do 1o grau com duas incógnitas a relação entre as grandezas quantidade de unidades geradoras (x) e a capacidade de geração de energia em megawatt (y) na usina hidrelétrica de Itaipu. 700x _ y = 0 6. Certa piscina, revestida por azulejos idênticos e com o formato de um bloco retangular, foi esvaziada para uma limpeza. A figura a seguir mostra a altura que a água atingiu na piscina 168 min após começar a ser enchida novamente. Considerando constante a vazão da água que enche a piscina, qual seta indica a altura que a água vai atingir 392 min após ela começar a ser enchida? C.

D C B

ITAIPU BINACIONAL. Unidades Geradoras. Disponível em: <www.itaipu.gov.br/energia/ unidades-geradoras>. Acesso em: 27 set. 2018.

Usina hidrelétrica de Itaipu. Fotografia de 2016.

ROBERTO ZOELLNER

CHANDRADHAS/ISTOCKPHOTO/GETTY IMAGES

7. Na página 111 estudamos sobre a geração de RSU por uma família da região Sul do Brasil, em 2016. Neste mesmo ano, na região Sudeste, por exemplo, uma família de 2 pessoas, em 15 dias, gerou cerca de 36 kg de RSU, em média. A família de Cristina é formada por 5 pessoas que moram em um município da região Sudeste. Neste mesmo ano, quantos quilogramas de RSU, em média, essa família gerou em 20 dias? 120 kg.

Com base nessas informações, resolva as questões. a) Você sabe onde está localizada essa usina? Se necessário, faça uma pesquisa. 2 800 MW. b) Qual é a capacidade de geração de energia de quatro dessas unidades geradoras? 5 600 MW. 8. Elabore e escreva no caderno um proc) Segundo o IBGE, em 2017, a população blema envolvendo grandezas diretamente do município de São Paulo, o mais popuproporcionais. Em seguida, junte-se a um loso do Brasil, era de cerca de 12 milhões colega e troquem os problemas para que de habitantes. Quantos megawatts de um resolva o do outro. Juntos, verifiquem energia, aproximadamente, são necessáse as respostas estão corretas. Resposta pessoal. rios para abastecer esse município? 5. a) Resposta esperada: Essa usina está localizada no Rio Paraná, no trecho de fronteira entre o Brasil e o Paraguai, nos municípios de Foz do Iguaçu, no Brasil, e Ciudad del Este, no Paraguai. 113

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre a Itaipu Binacional. • ITAIPU BINACIONAL. Unidades geradoras. Disponível em: <http://livro.pro/hotncg>. Acesso em: 15 set. 2018.

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4. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas diretamente proporcionais. 5. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas diretamente proporcionais, expressando a relação entre essas grandezas por meio de uma sentença algébrica. Para complementar o item c, perguntar aos alunos quantas unidades geradoras são necessárias para fornecer energia no município de São Paulo, considerando a população no ano de 2017 (oito unidades geradoras). Também propor a eles que calculem a quantidade de energia, em megawatts, necessária para abastecer o município onde moram. 6. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas diretamente proporcionais. Explicar que a vazão de enchimento da piscina é constante. Verificar as estratégias utilizadas por eles. Uma das estratégias é identificar a quantidade de azulejos cobertos pela água, em relação à altura, em 168 minutos e, com base nessa observação, compor o seguinte quadro. Quantidade de azulejos coberTempo (min) tos em relação à altura 168

392

7. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas diretamente proporcionais. 8. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno que envolve grandezas diretamente proporcionais. Ao final, uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

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Grandezas inversamente proporcionais É importante que os alunos compreendam a relação das grandezas inversamente proporcionais: ao aumentarmos uma das grandezas, a outra relacionada diminui na mesma proporção. Na situação-problema apresentada, explicar que as grandezas tempo (em dias) e porção diária de ração (em gramas) são inversamente proporcionais, pois ao dobrarmos a quantidade de dias, a quantidade de ração é reduzida pela metade. Após a resolução do primeiro problema, apresentar aos alunos a seguinte situação, em que a escrita da sentença algébrica é utilizada para expressar a relação entre duas grandezas inversamente proporcionais: a quantidade y de ração (em gramas) e a quantidade x de dias. Essa situação pode ser expressa da seguinte maneira:

Grandezas inversamente proporcionais Observe as informações em destaque no pacote de ração para cachorros.

Rendimento sugerido.

Porção diária: 200 g

LUCAS FARAUJ, ICONIC BESTIARY/SHUTTERSTOCK.COM, JANE KELLY/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tempo de duração: 45 dias

Se a quantidade da porção diária de ração aumentar para mais de 200 g, o tempo de duração desse pacote para alimentar um cachorro será maior do que 45 dias, ou menor do que 45 dias? Menor.

Por quantos dias esse pacote é suficiente para servir uma porção diária de 250 g de ração para um cachorro? Nesse caso, as grandezas quantidade de dias e quantidade de ração são inversamente proporcionais. Assim, podemos calcular a quantidade de dias (x) em que o pacote será suficiente para alimentar um cachorro com uma porção diária de 250 g de ração, usando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo uma equação. Observe.

Quantidade de dias

Quantidade de ração (g)

200

Quantidade de dias

Quantidade de ração (g)

200

250

45 y = x 200 xy _ 9 000 = 0 A partir da proporção, obtemos uma equação com duas incógnitas, indicadas pelas letras x e y. Para obter as soluções dessa equação, pode ser atribuído o valor a uma dessas incógnitas e obtido o valor correspondente à outra.

x 200 = 45 250 250 ? x = 45 ? 200 250x 9 000 = 250 250 x = 36 Portanto, esse pacote será suficiente para alimentar um cachorro por 36 dias, com uma porção diária de 250 g de ração. 114

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Em relação à situação apresentada sobre o backup, relembrar os alunos de que “GB” é o símbolo de gigabaite, uma unidade de medida de capacidade de armazenamento de dados. Além disso, explicar que “Mbps” é o símbolo de megabites por segundo e representa uma quantidade de dados que é transferida nesse intervalo de tempo. Na etapa 1, enfatizar que o tamanho dos arquivos e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois, ao dobrarmos o tempo de transferência, um arquivo com o dobro do tamanho será transferido.

Agora, leia a situação a seguir. Jonas quer fazer, em um HD externo, o backup de arquivos que estão em seu notebook. Na última vez que fez esse procedimento, ele anotou que para 10 GB de arquivos, com uma taxa de transferência de 60 Mbps, o tempo foi de 22 min. De quanto tempo será o backup se a taxa de transferência for de 50 Mbps e Jonas selecionar 15 GB de arquivos? Podemos organizar as informações apresentadas da seguinte maneira: Tamanho dos arquivos (GB)

Tempo (min)

Taxa de transferência (Mbps)

Observe como podemos resolver esse problema em duas etapas. 1a) As grandezas tamanho dos arquivos e tempo são diretamente proporcionais. Assim, fixamos a taxa de transferência em 60 Mbps e calculamos: Tamanho dos arquivos (GB)

Tempo (min), com uma taxa de transferência de 60 Mbps

10 22 = 15 x 10 ? x = 15 ? 22 10x 330 = 10 10 x = 33

Portanto, para 15 GB de arquivos, com uma taxa de transferência de 60 Mbps, o tempo é de 33 min. fique ligado

1a) O usuário seleciona de um dispositivo (computador, smartphone etc.) os arquivos que deseja fazer o backup, como fotografias, vídeos e documentos.

DEATH’S PIXEL/SHUTTERSTOCK.COM

Backup Você sabe o que é backup? Esse procedimento consiste em fazer uma cópia dos arquivos de um dispositivo para outro com o objetivo de recuperá-los, se necessário. Observe as informações. 2a) Uma cópia dos arquivos selecionados é enviada para outro dispositivo, como um HD externo.

3a) O tempo do backup depende do tamanho dos arquivos e da taxa de transferência, que corresponde à velocidade com a qual os arquivos são transferidos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

PARA PENSAR Se julgar necessário, auxiliar os alunos a converter 39,6 min para minutos e segundos utilizando a propriedade fundamental das proporções: Tempo (min)

Tempo (s)

0,6

1 60 = 0,6 x x = 36 Como 0,6 min corresponde a 36 s, temos que 39,6 min corresponde a 39min36s. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas inversamente proporcionais. Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos para resolver esta atividade. Chamar a atenção deles para o fato de que, conforme a quantidade de participantes aumenta, o valor que cada um terá de pagar pelo fretamento diminui na mesma proporção. 2. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas inversamente proporcionais. Relembrar aos alunos que, nesse caso, a vazão corresponde à água da chuva que flui para o reservatório e é expressa por uma razão que relaciona o volume e o tempo.

2a) As grandezas tempo e taxa de transferência são inversamente proporcionais. Assim, fixamos o tamanho dos arquivos em 15 GB e, com base no resultado da etapa anterior, calculamos: Tempo (min)

Taxa de transferência (Mbps)

y 60 = 33 50 50 ? y = 33 ? 60 50y 1 980 = 50 50 y = 39,6

Portanto, o tempo é de 39,6 min para o backup de 15 GB de arquivos, com uma taxa de transferência de 50 Mbps. A quantos minutos e segundos corresponde o tempo de 39,6 min?

AtividadeS

39min36s

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Para o transporte dos participantes de uma excursão, será fretado um ônibus com capacidade para 46 passageiros. O preço do fretamento é fixo, independentemente da quantidade de participantes da excursão. A despesa com esse fretamento será dividida igualmente entre os participantes: caso sejam 20 participantes, por exemplo, cada um deles terá de pagar R$ 92,00. Quantos reais, no mínimo, um participante dessa excursão pode pagar pelo fretamento do ônibus? R$ 40,00. 2. As inundações em áreas urbanas são problemas recorrentes em diversas regiões do Brasil e causam prejuízos ambientais, sociais e econômicos. Em certo município, foram construídos reservatórios para captar a água da chuva que escoa pelas galerias pluviais, diminuindo o risco de inundações. Para encher completamente um reservatório desses, com uma vazão de 18 m3 de água por segundo, leva-se 20 min. Qual é o tempo necessário para encher esse reservatório, com uma vazão de 30 m3 por segundo? 12 min. 3. Uma empresa de publicidade quer contratar pessoas para entregar alguns panfletos. Para a realização desse trabalho, será paga uma quantia fixa, a ser dividida igualmente entre os contratados. Observe um exemplo. TUKTUK DESIGN / SHUTTERSTOCK.COM

Em relação à etapa 2, as grandezas tempo e taxa de transferência são inversamente proporcionais, pois ao dobrarmos a taxa de transferência de dados, o tempo necessário será reduzido à metade. Na resolução do problema, esclarecer que utilizamos a propriedade fundamental das proporções em ambas as etapas. Além disso, na etapa 2 foi usado o resultado obtido na etapa 1, pois até então não tínhamos o tempo para transferir 15 GB de arquivo a uma taxa de transferência de 60 Mbps.

4 contratados R$ 350,00 para cada um

a) Caso sejam contratadas 5 pessoas, quanto cada uma vai receber? R$ 280,00. b) Para que cada uma receba R$ 175,00, quantas pessoas devem ser contratadas? 8 pessoas. 116

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3. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas inversamente proporcionais.

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LUIS SALVATORE/PULSAR IMAGENS

4. Os parques ou as usinas eólicas são espaços onde, com o uso de aerogeradores, a energia eólica é transformada em energia elétrica. 24 aerogeradores. Em uma usina eólica, 16 aerogeradores geraram certa quantidade de energia elétrica em 30 dias de funcionamento. Nesse ritmo, quantos aerogeradores desses seriam necessários para obter essa mesma quantidade de energia elétrica em 20 dias de funcionamento?

Usina eólica nas dunas de Trairi (CE). Fotografia de 2017.

5. Aroldo quer comprar uma geladeira a prazo. Mas, preocupado em não se endividar demais, ele limitou o valor da prestação a, no máximo, R$ 190,00.

Nessa loja, o preço da geladeira pode ser dividido em até 12 prestações sem acréscimos.

ARTUR FUJITA

Em quantas prestações, no mínimo, Aroldo pode comprar a geladeira do cartaz? 8 prestações.

6. Para alimentar as 150 galinhas poedeiras de certa granja, por 14 dias, são necessários 252 kg de ração. Qual é a quantidade de ração necessária para alimentar 96 galinhas como essas por 25 dias? 288 kg. 7. (Enem-2015) Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha de marketing, o número de encomendas cresceu de forma acentuada, aumentando a demanda diária para 21 600 camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalho necessita ser ajustada. Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda? Alternativa c. a) 1 hora e 30 minutos. c) 9 horas. e) 24 horas. b) 2 horas e 15 minutos. d) 16 horas. 8. No caderno, elabore e escreva dois problemas envolvendo os conceitos de grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva os do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 117

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4. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas inversamente proporcionais. É importante que os alunos compreendam que quanto mais aerogeradores em funcionamento, menos tempo será necessário para gerar certa quantidade fixa de energia elétrica. 5. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas inversamente proporcionais. Os alunos podem inicialmente calcular quanto custa a geladeira (R$ 1 500,00). Em seguida, dividir o resultado obtido pelo valor máximo de prestações que Aroldo pode pagar. Nesse momento, verificar se os alunos perceberam que é necessário arredondar o número decimal obtido para o inteiro maior mais próximo, uma vez que é pedida a quantidade mínima de prestações para comprar a geladeira. 6. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas inversamente proporcionais. 7. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada que envolve grandezas inversamente proporcionais. 8. Esta atividade trabalha a elaboração de problemas que envolvem grandezas diretamente e grandezas inversamente proporcionais. É possível que os alunos proponham problemas com diferentes estruturas. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma. Também é possível sugerir aos alunos que pesquisem contextos para o problema em revistas, jornais, rótulos de produtos etc.

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Velocidade (km/h)

Porcentagem (%)

100

60 100 = 75 x 60 ? x = 75 ? 100

Porcentagem Leia a notícia.

Os povos indígenas fazem parte da história do Brasil e constituem parte da população brasileira. Segundo o Censo 2010, no estado de Roraima , por exemplo, cerca de 12% da população é indígena, o maior porcentual entre os estados brasileiros. Fontes dos dados: IBGE. Sinopse do Censo Demográfico 2010. Disponível em: <https://censo2010.ibge.gov.br/sinopse/index.php?dados=4&uf=00>. FUNAI. Distribuição espacial da população indígena. Disponível em: <www.funai.gov.br/arquivos/conteudo/ ascom/2013/img/12-Dez/encarte_censo_indigena_02%20B.pdf>. Acessos em: 27 set. 2018.

Nessa notícia, o porcentual em destaque pode ser compreendido com base na ideia de razão: 12 em cada 100 habitantes de Roraima são indígenas. Essa razão pode ser indicada de diferentes maneiras. Observe:

12% =

12 = 0,12 100

A figura está dividida igualmente em 100 partes. Aquelas em azul correspondem a 12% da figura.

EDITORIA DE ARTE

PORCENTAGEM Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA04. Dizer aos alunos que ao todo são 32 Terras Indígenas no território de Roraima e que a Terra Indígena com a maior população é a Yanomami, que está localizada nos estados de Amazonas e Roraima. Já Uiramutã é o município de Roraima com o maior porcentual de indígenas: cerca de 88,1% da população desse município é indígena. Aproveitar o tema do exemplo 1 e promover uma roda de conversa sobre educação para o trânsito. Questionar os alunos sobre a importância de não exceder o limite de velocidade permitido em uma via e sobre as consequências que o excesso de velocidade pode acarretar. É importante que eles tenham consciência da gravidade de exceder o limite de velocidade e que, além da infração de trânsito, outras consequências bem mais graves podem ser ocasionadas, como ferir ou até levar a óbito uma pessoa. Para complementar, propor que pesquisem a velocidade máxima permitida nas ruas do entorno da escola. Para resolver o problema do exemplo 1, explicar aos alunos que podemos determinar o porcentual da velocidade excedida de outra maneira: podemos primeiramente considerar a velocidade máxima permitida de 60 km/h correspondente a 100%. Depois, estabelecer a seguinte relação:

Agora, vamos estudar exemplos de diferentes situações envolvendo porcentagem. Exemplo 1 Um dos principais fatores que causam acidentes de trânsito é o excesso de velocidade. Exceder a velocidade máxima permitida em uma via caracteriza uma infração de trânsito, conforme apresentado a seguir. Em uma avenida, cuja velocidade máxima permitida é 60 km/h, certo veículo trafegou a 75 km/h. Qual é a gravidade da infração que o motorista desse veículo cometeu? Para resolver esse problema, inicialmente determinamos em quanto esse veículo excedeu a velocidade máxima permitida. 75 _ 60 = 15, ou seja, 15 km/h.

Gravidade das infrações de acordo com o porcentual excedido da velocidade máxima permitida

Em seguida, podemos calcular o porcentual da velocidade excedida por meio da seguinte razão:

Infração média: até 20%

Infração grave: mais do que 20% e até 50%

Infração gravíssima: mais do que 50%

15 25 = 15 : 60 = 0,25 = = 25% 60 100 Assim, como o veículo excedeu a velocidade máxima permitida em 25%, o motorista cometeu uma infração grave. Fonte: BRASIL. Lei n. 9.503. Disponível em: <www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L9503 Compilado.htm>. Acesso em: 27 set. 2018.

Velocidade máxima permitida

BENTINHO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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60x 7 500 = 60 60 x = 125 Logo, subtraindo 100% de 125%, obtemos 25%.

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No exemplo 2, é importante que os alunos compreendam que, se dobrarmos a porcentagem, a massa corporal também dobrará; se reduzirmos a porcentagem pela metade, a massa corporal também será reduzida à metade. Para complementar, propor a eles que pesquisem a massa corporal de um familiar adulto e calculem a quantidade de sangue, em quilogramas, desse adulto. No exemplo 3, verificar se os alunos compreenderam que, se dobrarmos a quantidade de alunos, a porcentagem também dobrará. Dizer a eles que podemos estabelecer essa relação, para determinar o porcentual do total de alunos que gostam de ler, considerando que cada um poderia citar apenas uma opção.

Exemplo 2 O sangue constitui cerca de 8% da massa corporal de uma pessoa adulta de tamanho médio. Que quantidade de sangue, em quilogramas, possui um adulto com 70 kg? Para responder a essa questão, devemos determinar a quanto correspondem 8% de 70 kg. Observe duas maneiras para realizar esse cálculo. 1a) Podemos calcular 8% de 70 kg representando essa porcentagem por um número racional na forma de fração ou decimal. •

8 560 ? 70 = = 5,6, ou seja, 5,6 kg. 100 100

• 0,08 ? 70 = 5,6, ou seja, 5,6 kg. 2a) Podemos considerar a massa corporal de 70 kg correspondente a 100%. Note que, quanto menor a porcentagem, menor é, proporcionalmente, a massa corporal. Assim, podemos realizar o cálculo utilizando a propriedade fundamental das proporções. Porcentagem (%)

Massa corporal (kg)

100

100 70 = 8 x 100 ? x = 8 ? 70 100x 560 = 100 100 x = 5,6

Portanto, um adulto com 70 kg possui o equivalente a 5,6 kg de sangue. Exemplo 3 Em uma escola, foi realizada uma enquete com os alunos do 8o ano para verificar o que eles gostavam de fazer no seu tempo livre. Para responder, cada um podia citar apenas uma opção. Ao tabular o resultado da enquete, constatou-se que 48 alunos responderam que gostavam de praticar esportes, o que corresponde a 30% do total de alunos entrevistados. Sabendo que 56 alunos responderam que gostavam de ler, qual é o porcentual que eles representam do total de alunos? Observe como podemos resolver esse problema com base na ideia de proporção. Quantidade de alunos

Porcentagem (%)

48 56 48 ? x 48x 48 x

30 x = 56 ? 30 1 680 = 48 = 35 =

Portanto, 35% dos alunos entrevistados responderam que gostavam de ler no seu tempo livre. 119

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Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Certa marca de chocolate indica nas embalagens de seus produtos o porcentual de sua massa correspondente ao cacau.

3. a) Videogame : R$ 1 188,00; mochila: R$ 41,00; televisor: R$ 1 215,00.

Calcule mentalmente quantos gramas de cacau há em cada tablete a seguir. I. 6 g. II. 8 g. III. 14 g. IV. 11 g.

II.

III.

IV.

Para auxiliá-lo na realização dos cálculos, determine inicialmente a quantos gramas correspondem 10% da massa do tablete de chocolate.

2. A escola de música que Rosana frequenta está organizando um evento para que cada aluno se apresente tocando um único instrumento de sua preferência. Para esse evento, 30 alunos escolheram tocar bateria, 18 alunos escolheram flauta transversal, 45 alunos escolheram teclado e 32 alunos escolheram violão. Com o auxílio de uma calculadora, determine o porcentual dos alunos que escolheram cada instrumento. 3. Nos produtos e serviços que adquirimos, parte do valor pago corresponde a tributos. Denílson pesquisou o preço de alguns produtos e consultou em um site o porcentual aproximado de tributos incidentes nesses preços. Observe. 2. Bateria: 24%; flauta transversal: 14,4%; teclado: 36%; violão: 25,6%. 120

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ARTUR FUJITA

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentagem em uma situação contextualizada e com o uso de estratégias de cálculo mental. No boxe Dica, explicar que essa é uma estratégia possível, pois as porcentagens de cacau indicadas nas embalagens são valores múltiplos de 10% ou de 5%, isto é, metade de 10%. 2. Esta atividade trabalha a determinação de porcentagens em uma situação contextualizada e com o uso da calculadora. Para a resolução, é importante que os alunos determinem primeiramente a quantidade total de alunos da escola de música (125 alunos). 3. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentagem em uma situação de contexto da educação fiscal. Comentar que o cupom fiscal emitido em uma compra no supermercado também contém o valor de tributação cobrado em reais sobre a compra realizada. Após as resoluções dos itens b e c, explicar que o maior porcentual de tributação não implica necessariamente o maior valor cobrado em reais. Basta comparar as porcentagens de tributos incidentes no videogame e no televisor com seus respectivos valores cobrados em reais. Apesar do porcentual que incide no videogame (72%) ser maior do que aquele que incide no televisor (45%), o maior valor em tributos cobrados em reais é o do televisor. 4. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentagem em uma situação contextualizada. Para complementar, questionar os alunos sobre qual a quantidade de proteína diária necessária para Isabel (56 g). 5. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentagem em uma situação contextualizada. 6. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentagem com o uso da calculadora.

AtividadeS

ARTUR FUJITA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Calcule quanto se paga de tributos em cada produto. b) Em qual desses produtos incide o maior porcentual de tributos? Videogame. c) Qual desses produtos possui, em reais, o maior valor em tributos cobrados? Televisor. d) Caso não fossem cobrados os tributos sobre o preço desses produtos, quanto cada um custaria? Videogame: R$ 462,00; mochila: R$ 61,50; televisor: R$ 1 485,00. 4. Isabel sabe que 5,6 g de proteína correspondem a 10% da sua necessidade diária desse nutriente. Se ela ingerir 14 g de proteína em uma refeição, que porcentagem da sua necessidade diária ela estará ingerindo? 25%. 5. Samuel paga R$ 4,25 por uma passagem do ônibus que usa para ir ao trabalho. Ele ficou sabendo que o preço da passagem terá um aumento de 12%. Quanto Samuel passará a pagar pela passagem após esse aumento? R$ 4,76. 6. Júlio realizou uma compra de R$ 150,00. Caso ele pague à vista, receberá um desconto de 4%. Com uma calculadora, ele digitou as seguintes teclas para saber quanto pagaria à vista. 1

144

Agora, com uma calculadora, determine quanto Júlio pagaria se recebesse, na mesma compra, os seguintes descontos. a) 6%. R$ 141,00. c) 14%. R$ 129,00. b) 5%. R$ 142,50. d) 3,5%. R$ 144,75.

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diferentes tipos e com diferentes funções, responsáveis por garantir a defesa do organismo e por manter o corpo funcionando livre de doenças. [...]

7. Dormir é uma das necessidades básicas de nossas vidas, pois durante o sono nosso organismo realiza importantes funções, como descansar, consolidar a memória e fortalecer o sistema imunológico. Dormir pouco tempo e com interrupções, por exemplo, pode prejudicar o desempenho dessas funções, acarretando problemas de saúde e afetando a qualidade de vida. O tempo necessário de sono varia para cada pessoa, dependendo do seu organismo e do seu estilo de vida. Porém, estudos realizados estipulam uma média de acordo com a idade das pessoas. Observe.

BRASIL. Ministério da Saúde. O que é sistema imunológico. Disponível em: <www.aids.gov.br/ pt-br/publico-geral/o-que-e-hiv/ o-que-e-sistema-imunologico>. Acesso em: 24 out. 2018.

ARTUR FUJITA

Quantidade diária de horas de sono recomendada por faixa etária

Fonte dos dados: NATIONAL SLEEP FOUNDATION. National Sleep Foundation Recommends New Sleep Times. Disponível em: <https:// sleepfoundation. org/press-release/ national-sleepfoundationrecommendsnew-sleep-times/ page/0/1>. Acesso em: 27 set. 2018.

a) Escreva um breve texto explicando como é o seu sono. Para isso, procure responder às questões a seguir. Resposta pessoal. • Quantas horas, em média, você dorme por dia? • Você costuma acordar durante o sono? Com que frequência? • O horário que vai dormir e que acorda é o mesmo todos os dias da semana? De 0 a 3 meses. Com • Você já ficou sem dormir adequadamente? Como se sentiu? 65 anos ou mais. b) Com que idade uma pessoa deve dormir mais? E com que idade deve dormir menos? c) Vamos pesquisar! Junte-se a três colegas para realizar uma pesquisa. Resposta pessoal. • Escolham uma turma da escola e entrevistem cada aluno, registrando a idade e quantas horas, em média, ele dorme por dia. • Organizem os dados coletados e calculem, de acordo com a idade, que porcentagem dos entrevistados não dorme a quantidade diária de horas recomendada. • Elaborem um cartaz com os resultados obtidos e com as dicas para melhorar a qualidade do sono dos alunos da escola. 8. Observe em um cupom fiscal de compra de supermercado o valor aproximado dos tributos pagos pelo consumidor. Com base nessa informação, elabore um problema envolvendo porcentagem e troque-o com um colega para que um resolva o elaborado pelo outro. Depois, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. 121

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7. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentagem em uma situação contextualizada, a qual colabora para o desenvolvimento das competências gerais 8 e 10 e da competência específica 8 de Matemática da BNCC, uma vez que propõe um trabalho

relacionado aos cuidados com a saúde a serem realizados de modo coletivo, estimulando o debate e a troca de opiniões. Explicar aos alunos o que é o sistema imunológico. Para isso, leia para eles o trecho a seguir.

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O que é sistema imunológico O corpo reage diariamente aos ataques de bactérias, vírus e outros micróbios, por meio do sistema imunológico. Muito complexa, essa barreira é composta por milhões de células de

No item c, é possível explorar ideias da Modelagem Matemática, uma das tendências abordadas na parte geral deste Manual do professor. A situação inicial pode ser “o sono dos nossos colegas” e os problemas podem ser definidos com os alunos. Uma sugestão é buscar um modelo que determine a quantidade diária de horas de sono dos colegas da escola. Para determinar esse modelo, os alunos podem realizar o primeiro item da pesquisa proposta. Nesse momento, é importante verificar a organização para realizar a entrevista e quais as perguntas elaboradas para a coleta das informações. A partir disso, os alunos podem tentar deduzir um modelo e buscar um padrão entre a quantidade diária de horas de sono e a idade dos colegas pesquisados. Para a validação do modelo, os alunos podem confrontar o modelo obtido com os dados de uma nova pesquisa com os demais colegas ainda não pesquisados. 8. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelos alunos envolvendo o cálculo de porcentagem. É possível que eles proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si essas produções.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

integrando com ciências

Cálcio Você sabe a importância do cálcio no corpo humano? Este mineral é um dos mais importantes no nosso corpo e tem como principal função auxiliar a formação dos ossos e dos dentes. Como nosso organismo não produz cálcio, uma alimentação equilibrada supre a necessidade deste mineral e garante ossos fortes e resistentes. Crianças, adolescentes e gestantes precisam de uma ingestão maior de cálcio. Mas cuidado: o excesso ou a falta desse mineral por um longo período pode ocasionar algumas doenças!

Cálcio nos alimentos* A quantidade necessária de cálcio recomendada para um adolescente é, em média, de 1 300 mg por dia. Observe quanto cálcio há em uma porção de alguns alimentos.

Iogurte natural desnatado 157 mg

Manjericão 211 mg

Brócolis cozido 86 mg

Couve refogada 177 mg

Leite de vaca integral 123 mg

Leite de vaca integral em pó 890 mg

Queijo prato 940 mg

Açúcar mascavo 127 mg

Sardinha assada 438 mg

LEO TEIXEIRA

INTEGRANDO COM CIÊNCIAS Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 8 da BNCC, uma vez que trata da apreciação e do cuidado da saúde física. Para iniciar o trabalho com esta seção, promover uma roda de conversa sobre a alimentação dos alunos. Questioná-los se costumam ingerir alimentos saudáveis como frutas e verduras e algum dos alimentos apresentados nestas páginas. Explicar aos alunos que para a absorção do cálcio pelo organismo é fundamental a presença de vitamina D; por isso, se expor ao sol de maneira moderada, nos horários recomendados, auxilia na absorção do nutriente, pois os raios ultravioleta incidindo sobre a pele estimulam a produção da vitamina. Explicar também que apesar do cálcio estar presente em alimentos de origem animal e de origem vegetal, nos de origem vegetal, o cálcio sofre ações de algumas substâncias, o que reduz a absorção do nutriente pelo organismo. Argumentar com os alunos que entre as doenças causadas pelo excesso de cálcio no organismo está o cálculo renal, doença também conhecida como pedra nos rins, e ocorre quando há a cristalização de sais minerais presentes na urina (mais de 70% das pedras são compostas por sais de cálcio).

* Porção de 100 g de parte comestível.

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AMPLIANDO

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Dizer aos alunos que o dia 20 de outubro é o Dia Mundial da Osteoporose e que foi criado com o objetivo de chamar a atenção da população para a doença. Sugerir a eles que acessem este site para obter mais informações sobre a osteoporose.

• SOCIEDADE BRASILEIRA DE

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ENDOCRINOLOGIA E METABOLOGIA. Prevenção da osteoporose: a dose ideal. Disponível em: <http://livro.pro/7sfj6o>. Acesso em: 24 out. 2018.

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to 266,9 mg corresponde de 1 300 mg por meio de uma razão ou podem utilizar a propriedade fundamental das proporções, estabelecendo a seguinte relação:

Contração dos músculos.

Regulação da pressão arterial.

Transmissão nervosa.

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IVECTORSTOCK /SHUTTERSTOCK.COM

PANDA VECTOR/SHUTTERSTOCK.COM

Contribuições do cálcio no organismo

Porcentagem Quantidade (%) de cálcio (mg)

Coagulação do sangue.

Doença silenciosa: osteoporose

Fontes dos dados: GOVERNO DO BRASIL. Ingerir fontes de cálcio é essencial para fortalecer os ossos. Disponível em: <www. brasil.gov.br/saude/2014/10/ingerir-fontes-de-calcio-e-essencialpara-fortalecer-os-ossos>. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Tabela Brasileira de Composição de Alimentos - TACO. Disponível em: <www.cfn.org.br/wp-content/uploads/2017/03/taco_4_edicao_ ampliada_e_revisada.pdf>. Acessos em: 27 set. 2018.

ALPA PROD/SHUTTERSTOCK.COM

A osteoporose é um dos grandes problemas ocasionados pela falta de cálcio, que ocorre quando há o enfraquecimento dos ossos. Os idosos, principalmente mulheres, são os que mais sofrem com essa doença. Uma alimentação saudável, exposição ao sol moderada e atividade física são algumas atitudes que ajudam a prevenir ou controlar a osteoporose.

No Brasil, aproximadamente uma em cada dezessete pessoas tem osteoporose.

Resoluções a partir da p. 257

100

1 300

266,9

5. Esta questão propõe a elaboração de problemas pelo aluno envolvendo grandezas proporcionais e porcentagem. 6. Verificar a possibilidade de confeccionar um caderno de receitas, com as receitas levadas pelos alunos. Outra sugestão é expô-las em um mural. Para complementar esta questão, propor a eles que determinem a quantidade de cálcio presente em outros ingredientes da receita.

AMPLIANDO

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Qual é a principal função do cálcio no corpo humano? Resposta esperada: Auxiliar a formação dos ossos e dos dentes. 2. Quanto de cálcio, aproximadamente, um adolescente deve ingerir por dia? 1 300 mg. 3. Quantos miligramas de cálcio há em uma porção com 350 g de queijo prato? 3 290 mg. 4. Camila é uma adolescente e, no café da manhã, costuma tomar um pote de 170 g de iogurte natural desnatado. Com esse iogurte, que porcentual aproximado da necessidade diária de cálcio Camila ingere? 20,5%. 5. Com base nas informações do esquema da página anterior, elabore dois problemas: um envolvendo grandezas proporcionais e outro envolvendo porcentagem. Em seguida, troque os problemas com um colega para que um resolva os elaborados pelo outro. Juntos, confiram as resoluções. Resposta pessoal.

Sugerir aos alunos que acessem este site para pesquisar a quantidade de cálcio de alguns alimentos em porções de 100 g. • UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Tabela Brasileira de Composição de Alimentos – TACO. Disponível em: <http://livro.pro/yc5yac>. Acesso em: 24 out. 2018.

6. Pesquise, em um livro ou na internet, uma receita culinária que, entre os ingredientes, tenha pelo menos um dos alimentos apresentados no esquema. Depois, reproduza essa receita em uma folha de sulfite. Resposta pessoal.

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3. Para responder a esta questão, verificar se os alunos perceberam que as grandezas quantidade de queijo prato e quantidade de cálcio são diretamente proporcionais, uma vez que, ao dobrarmos a quantidade de queijo, a quantidade de cálcio também dobrará, e assim por diante.

Além disso, é preciso identificar na infografia que em 100 g de queijo prato, há 940 mg de cálcio. 4. Para a resolução desta questão, os alunos devem considerar que as grandezas quantidade de iogurte natural desnatado e quantidade de cálcio são diretamente pro-

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porcionais e, depois, calcular quanto de cálcio há em 170 g de iogurte natural desnatado (considerando que em cada 100 g desse iogurte há 157 mg de cálcio). Para determinar a porcentagem de cálcio ingerido por Camila em relação à sua necessidade diária, os alunos podem calcular quan-

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VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, à competência específica 5 de Matemática e à habilidade EF08MA04 da BNCC.

Calculando porcentagens Na etapa 1, verificar se os alunos compreenderam como inserir os dados da tabela na planilha eletrônica Calc. Para formatar o título da tabela, orientá-los a, depois de digitar o título, selecionar as células A1, B1, C1, D1, E1 e F1, e clicar na opção Mesclar e centralizar células do menu. Também é possível formatar a tabela, ajustando o estilo ou o tamanho da fonte das palavras e destacar as bordas. Essas opções de ferramentas estão disponíveis no menu. Na etapa 2, explicar aos alunos que há versões dessa planilha eletrônica em que, ao clicar na opção Soma, automaticamente algumas células são selecionadas. Além disso, explicar a eles que existem outras maneiras de obter a soma dos valores indicados nas células. Uma dessas maneiras é selecionar a célula F3 e digitar =B3+C3+D3+E3; outra maneira é digitar =soma(B3:E3). Em ambos os casos, é preciso pressionar em seguida a tecla Enter.

você

conectado

Calculando porcentagens Vamos calcular porcentagens utilizando as planilhas eletrônicas? Veja a situação apresentada a seguir. O Ministério do Turismo divulgou o Anuário Estatístico de Turismo – 2017, com várias informações sobre o turismo no Brasil. Observe a tabela a seguir com algumas dessas informações.

Chegada de turistas ao Brasil, por vias de acesso, em 2016 Via de acesso

Aérea

Terrestre

Marítima

Fluvial

Quantidade de turistas

4 368 894

2 072 846

40 415

95 919

Fonte: BRASIL. Ministério do Turismo. Anuário Estatístico de Turismo 2017: ano base 2016. Disponível em: <www. dadosefatos.turismo.gov.br/2016-02-04-11-53-05/item/347-anuario-estatistico-de-turismo-2017-ano-base-2016/347anuario-estatistico-de-turismo-2017-ano-base-2016.html>. Acesso em: 27 set. 2018.

Observe as etapas a seguir para calcular, na planilha eletrônica Calc, as porcentagens de turistas que chegaram ao Brasil, de acordo com a via de acesso.

Organizamos os dados da tabela na planilha eletrônica. Depois, escrevemos Total na célula F2 e Porcentagem na célula A4.

Para obtermos o total de turistas em F3, selecionamos essa célula e clicamos na opção Soma. Depois, selecionamos as células B3, C3, D3 e E3 e pressionamos a tecla Enter.

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

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Na célula B4 digitamos =B3/6578074, que corresponde à razão entre a quantidade de turistas que chegaram por via aérea e o total de turistas, calculado na 2a etapa. Em seguida, pressionamos a tecla Enter.

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

Selecionamos a célula B4, clicamos na opção e, com o botão do mouse pressionado, arrastamos até a célula F4, para obter as razões entre as quantidades de turistas que chegaram pelas demais vias e o total de turistas. Para representar essas razões, por meio de porcentagem, selecionamos as células B4, C4, D4, E4 e F4 e clicamos na opção Formatar como porcentagem do menu.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

Norte: 8,1%; Nordeste: 32,2%; Sudeste: 29,9%; Centro-Oeste: 8,4% Sul: 21,4%.

1. Represente em uma planilha eletrônica Calc a tabela a seguir. Depois, calcule o percentual correspondente à quantidade de municípios de cada região do Brasil.

Municípios por região do Brasil, em 2017 Região

Norte

Nordeste

Sudeste

Centro-Oeste

Sul

Quantidade de municípios

450

1 794

1 668

467

1 191

Fonte: IBGE. Brasil em síntese. Disponível em: <https://brasilemsintese.ibge.gov.br/territorio/dados-geograficos. html>. Acesso em: 27 set. 2018.

Agora, elabore três questões explorando as informações que você organizou na planilha e troque-as com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve aquelas que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

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1. Dizer aos alunos que na Região Centro-Oeste foram considerados 466 municípios mais o Distrito Federal. Ver na parte inferior desta página uma possível representação da tabela na planilha eletrônica Calc. Ao determinar o porcentual correspondente à quantidade de munícipios de cada região do Brasil, chamar a atenção dos alunos para a quantidade de casas decimais para a qual a porcentagem foi arredondada. Na planilha apresentada, por exemplo, a porcentagem foi arredondada para duas casas decimais. É importante também lembrar que o total deve ser igual a 100%. Ao elaborar as três questões, de acordo com as informações da planilha, é possível que os alunos proponham questões com diferentes estruturas. Ao final, permitir que eles compartilhem e discutam a resolução dessas produções. A seguir, são apresentados exemplos de questões que podem ser elaboradas pelos alunos. • Qual região do Brasil possuía a maior quantidade de municípios? Resposta: Nordeste. • A região do Brasil com menor quantidade de municípios é também a região com a menor porcentagem de municípios em relação ao todo? Resposta: Sim. • As grandezas porcentagem e quantidade de municípios são diretamente proporcionais? Justifique. Resposta esperada: Sim, pois aumentando ou diminuindo uma das grandezas, a outra aumenta ou diminui, respectivamente, na mesma proporção.

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Mãos à obra a

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas com a intenção de construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, junto com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema está representado na parte inferior desta página. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Proporção

Razão

Grandezas inversamente proporcionais

Propriedade fundamental das proporções

Grandezas diretamente proporcionais

Porcentagem

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Proporcionalidade e porcentagem

Razão

Proporção

Propriedade fundamental das proporções

Grandezas diretamente proporcionais

Porcentagem

Grandezas inversamente proporcionais

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3. No item I, relembrar aos alunos que 1 hora corresponde a 60 minutos. Verificar se eles perceberam que as grandezas tempo e quantidade de água que sai da torneira são diretamente proporcionais, uma vez que, ao dobrarmos o tempo, a quantidade de água também dobrará. No item II, dizer aos alunos para considerarem que a jarra esteja vazia inicialmente. Relembrar-lhes que 1 litro corresponde a 1 000 mililitros. Conversar com eles sobre as estratégias utilizadas para resolver este item. Os alunos podem determinar a quantidade de água calculando a porcentagem de uma quantidade ou podem utilizar a propriedade fundamental das proporções, uma vez que as grandezas porcentagem e quantidade de água são diretamente proporcionais. No item IV, verificar se os alunos perceberam que não é necessário determinar o valor do dobro da vazão identificada, bastando reconhecer que as grandezas tempo e vazão são inversamente proporcionais.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Pietro descobriu que uma torneira da casa em que mora está com defeito e não para de gotejar. Então, ele colocou uma jarra com capacidade para 2 L sob essa torneira para guardar a água e não desperdiçá-la, enquanto não é feito o reparo. Observe o que ele diz.

DAYANE RAVEN

Em 8 minutos a torneira gotejou 50 mL de água.

PROBLEMAS

Nesse ritmo, quantos mililitros de água a torneira gotejará em 1 hora?

375 mL. Conceitos: Proporção; propriedade fundamental das proporções; grandezas diretamente proporcionais.

Para que a água na jarra atinja 80% de sua capacidade, quantos mililitros de água devem ser gotejados? 1 600 mL. Conceitos: Razão; porcentagem.

III

Qual é a vazão desse gotejamento da torneira, em mililitros por minuto (mL/min)? 6,25 mL/min. Conceitos: Razão.

Caso a vazão desse gotejamento fosse o dobro do identificado, o que ocorreria com o tempo necessário para encher essa jarra: dobraria ou seria reduzido à metade? Seria reduzido à metade. Conceitos: Grandezas inversamente proporcionais. 127

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UNIDADE TEMÁTICA

• Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros. • Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

POLÍGONOS E CÍRCULO

HABILIDADES • EF08MA14 • EF08MA15 • EF08MA16

GERAIS 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. ESPECÍFICAS 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

FOTOS: BJØRN CHRISTIAN TØRRISSEN

COMPETÊNCIAS

Fotografias da escultura Impossible Triangle, na Austrália. Fotografias de 2008.

A arte do impossível Você já ouviu falar sobre as figuras impossíveis? Elas se relacionam com a Arte, a Matemática e a Psicologia. Quando observamos o desenho dessas figuras no papel, por exemplo, nossa mente tenta interpretá-las como uma projeção de um objeto tridimensional, mesmo não sendo possível a sua construção em três dimensões. O Triângulo de Penrose é um exemplo de figura impossível, que ganhou destaque após uma publicação de 1958 do matemático inglês Roger Penrose (1931-). Ele o descreveu como “impossível em sua forma pura”, o que gerou fascínio e inspirou muitos estudiosos e artistas. É importante destacar que, mesmo sendo impossível reproduzir o Triângulo de Penrose no mundo físico, existem maneiras de construir esses tipos de objetos pois, ao serem observados de determinada posição, é possível percebê-los, como no monumento apresentado nas imagens destas páginas.

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Aproveitar o tema destas páginas e ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações sobre o Triângulo de Penrose.

Observe como podemos fazer um desenho que represente um Triângulo de Penrose.

O triângulo impossível Inspirados por uma exposição de Escher num congresso de matemática, em 1954, o matemático Roger Penrose e seu pai, o geneticista Lionel Penrose, interessaram-se pelas chamadas figuras impossíveis (o triângulo, a escada etc.), e publicaram seus achados numa revista de psicologia britânica, em 1958. O próprio Escher, simultaneamente, começou a criar as suas próprias figuras e transformou a ideia em arte. Entretanto o título de “pai” das figuras impossíveis é dado ao falecido artista Oscar Reutersvärd, que já as desenhava desde 1934, quando ainda não tinha completado 20 anos, durante suas aulas de latim. Reutersvärd nunca achou que elas teriam reconhecimento artístico e, por isso, não as divulgou até ver o artigo dos Penrose e a obra de Escher. [...]

8 Representação do Triângulo de Penrose.

Resposta esperada: Essas figuras sugerem ser tridimensionais, porém sua construção não é possível em três dimensões.

ARTUR FUJITA

Resposta pessoal.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.

MATEMATECA: IMEUSP. O triângulo impossível. Disponível em: <www.ime.usp.br/~matemateca/ triangulo_impossivel.html>. Acesso em: 21 set. 2018.

O que você entendeu por figuras impossíveis? Por que a figura impossível apresentada nestas páginas recebeu o nome de Triângulo de Penrose? No caderno, faça a representação do Triângulo de Penrose conforme as etapas apresentadas nestas páginas. Resposta esperada: Porque seu formato lembra um triângulo e foi apresentado em uma publicação do matemático Roger Penrose. 129

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 3 da BNCC, uma vez que o tema tratado busca valorizar manifestações artísticas mundiais e possibilita a inspiração

para produções artísticas. Verificar se os alunos perceberam que as três primeiras etapas da representação do Triângulo de Penrose são compostas pela construção de três contornos de triângulos. As representações nas etapas 4 e 5 são obtidas a partir do prolongamento de alguns lados

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específicos do triângulo menor e do triângulo médio. Nas etapas 6 e 7, respectivamente, são apagados alguns traços e construídos segmentos de reta próximos aos vértices do triângulo maior. Para obter a representação do Triângulo de Penrose, na etapa 8, é necessário apagar alguns traços.

NO DIGITAL – 3O bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 5 e 6. • Desenvolver o projeto integrador sobre energia e produção de energia elétrica. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF08MA14, EF08MA15, EF08MA16 e EF08MA19. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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TRIÂNGULOS O estudo do triângulo também foi realizado na Unidade 3, dos Volumes 6 e 7 desta coleção. Se julgar necessário, é possível retomá-lo. PARA PENSAR Relembrar aos alunos que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo representado no plano é 180°. Verificar se eles perceberam que o Triângulo de Penrose sugere três ângulos internos retos e, como a soma das medidas de três ângulos retos é 270, é impossível representar essa figura com materiais concretos. Ao apresentar a classificação dos triângulos quanto às medidas dos lados, é importante que os alunos relembrem que todo triângulo equilátero é também isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero. Isso porque todo triângulo equilátero satisfaz a caracterização de triângulo isósceles, isto é, ao menos dois de seus lados têm medidas iguais, mas nem todo triângulo isósceles satisfaz a caracterização de triângulo equilátero, isto é, os três lados têm medidas iguais. Na classificação dos triângulos em relação às medidas dos ângulos internos, lembrar que todo ângulo agudo possui medida menor do que 90°, todo ângulo reto possui medida igual a 90° e todo ângulo obtuso possui medida maior do que 90° e menor do que 180°. Se julgar necessário, retomar a Unidade 2 deste Volume, na qual foi apresentada a classificação de um ângulo de acordo com sua medida.

Triângulos Nas páginas de abertura desta Unidade, foram apresentadas informações sobre o Triângulo de Penrose. Vimos que é impossível representar essa figura com materiais concretos. Isso ocorre, por exemplo, porque o Triângulo de Penrose sugere três ângulos internos retos em uma figura de triângulo. Agora, vamos relembrar algumas características que já estudamos sobre os triângulos.

Elementos. • 3 vértices: A, B e C. • 3 lados: AB, AC e BC • 3 ângulos internos: BÂC, AB̂C, AĈB

Soma das medidas dos ângulos internos: 180º.

Classificação em relação às medidas dos ângulos internos.

Classificação em relação às medidas dos lados.

Acutângulo. Retângulo. Obtusângulo. Todos os Um dos Um dos ângulos internos ângulos internos ângulos internos são agudos. é reto. é obtuso.

A quantos graus corresponde a soma das medidas de três ângulos retos? 270o.

Escaleno. Isósceles. Equilátero. Todos os lados Ao menos dois Os três lados têm medidas lados têm têm medidas diferentes. medidas iguais. iguais.

Relações envolvendo os ângulos internos e externos de um triângulo No triângulo representado a seguir, a, b e c correspondem às medidas dos ângulos internos e e, f e g às medidas dos ângulos externos. A

e a

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o, temos: a + b + c = 180° (I) Além disso, como um ângulo interno e o ângulo externo adjacentes de um triângulo são suplementares, temos, por exemplo: a + e = 180° (II) 130

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Resposta nas Orientações para o professor.

Das igualdades I e II, segue que:

a+b+c=a+e 180º 180º a_a+b+c=a_a+e b+c=e

Como um ângulo interno e o ângulo externo adjacentes de um triângulo são suplementares, temos: c + g = 180° (II) Das igualdadas I e II, segue que: a + b +c = c + g

No caderno, mostre que a + c = f e que a + b = g.

Assim, a medida do ângulo externo e é igual à soma das medidas dos ângulos internos b e c. Em um triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. No caderno, desenhe um triângulo qualquer e nomeie seus vértices. Depois, troque-o com um colega. Com transferidor e régua, obtenha as medidas aproximadas de cada ângulo interno e lado do triângulo que você recebeu. Depois, responda às questões a seguir. a) Qual é o maior ângulo interno e o maior lado? Qual é a posição relativa entre esses elementos: adjacentes ou opostos? b) Qual é o menor ângulo interno e o menor lado? Qual é a posição relativa entre esses elementos: adjacentes ou opostos? Agora, junte-se com o colega e verifiquem as respostas dessas questões. Resposta pessoal. 2. Sheila desenhou um triângulo e indicou a medida de dois ângulos internos: 35° e 100°. Qual é a medida do ângulo interno desse triângulo que Sheila não indicou? E a medida do ângulo externo adjacente a ele? 45o. 135o. 2x _ 2 3. A figura ao lado representa um triângulo equilátero cujo perímetro é 36 m. Qual é o valor de x, em metro? 7 m. 4. Maicon desenhou um fluxograma para verificar se as medidas a, b e c para os lados satisfazem a condição de existência de um triângulo. Observe.

1. a) Resposta pessoal. Resposta esperada: O maior lado é oposto ao maior ângulo interno. 1. b) Resposta pessoal. Resposta esperada: O menor lado é oposto ao menor ângulo interno. Início. Atribuir as medidas a, b e c. Calcular a + b.

a + b . c?

Não.

Sim. Calcular a + c.

Não é possível Não. construir um a + c . b? triângulo cujos lados Sim. medem a, b e c. Calcular b + c.

b + c . a?

Não.

Sim. É possível construir um triângulo cujos lados medem a, b e c. Fim.

Com base nesse fluxograma, verifique em quais itens as medidas indicadas podem ser usadas como lados na construção de um triângulo. II e III. I. 5 cm, 20 cm e 8 cm. II. 15 cm, 12 cm e 9 cm. III. 30 cm, 45 cm e 60 cm. IV. 21 cm, 32 cm e 10 cm. 131

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Relações envolvendo os ângulos internos e externos de um triângulo

PARA PENSAR • Para mostrar que a + c = f, consideramos a soma das me-

didas dos ângulos internos do triângulo. a + b + c = 180° (I) Como um ângulo interno e o ângulo externo adjacentes de um triângulo são suplementares, temos: b + f = 180° (II) Das igualdades I e II, segue que:

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a+b+c=b+f 180°

180°

a+b+c_c=c_c+g a+b=g

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

AtividadeS

180°

a+b_b+c=b_b+f a+c=f • De maneira análoga, mostramos que a + b = g. Da soma das medidas dos ângulos internos do triângulo, temos: a + b + c = 180° (I)

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a compreensão de relações entre lados e ângulos internos em um triângulo. Ao final dela, espera-se que os alunos compreendam propriedades do triângulo: ao maior lado do triângulo opõe-se o maior ângulo interno e vice-versa; o mesmo ocorre com o menor ângulo interno e o menor lado. Essas propriedades podem ser demonstradas, mas nesta coleção iremos apenas considerá-las verdadeiras. 2. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e a relação entre um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele. Verificar se os alunos perceberam que a medida do ângulo externo pode ser obtida a partir do ângulo interno adjacente a ele ou por meio da adição das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. 3. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo a classificação de triângulos de acordo com a medida de seus lados. Sugerir aos alunos que escrevam uma equação do 1o grau com uma incógnita com base no perímetro do triângulo equilátero. 4. Esta atividade trabalha a compreensão das condições de existência de triângulos por meio de um fluxograma. Lembrar aos alunos que a construção de um triângulo é possível apenas quando a medida do maior lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Essa é a condição de existência de um triângulo.

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[...] Definição 1.1. Duas figuras geométricas planas são ditas congruentes se, por meio de movimentações livres pelo espaço, for possível mover uma delas, sem deformá-la, até fazê-la coincidir com a outra. [...] Surge, então, uma pergunta natural: Como fazer para movimentar figuras? Existem, basicamente, três maneiras de movimentar figuras sem deformá-las, a saber, elas podem ser transladadas, refletidas ou rotacionadas. Vale salientar que outros tipos de movimentos podem ser efetuados, mas [...] trata-se de composições desses três movimentos. [...] Definição 1.2. Quando todos os pontos de uma figura geométrica sofrem um deslocamento de mesma distância, direção e sentido, então o movimento dado à figura é denominado translação. [...] Definição 1.3. Quando todos os pontos de uma figura geométrica são refletidos em relação a uma reta fixa, então o movimento dado à figura é denominado reflexão em relação à reta em questão. [...]

Congruência de figuras Em Matemática, dizemos que existe congruência entre duas figuras se elas são idênticas no formato e no tamanho. Dois segmentos de reta, por exemplo, são congruentes quando possuem medidas iguais. O mesmo ocorre com os ângulos. Observe. C E A

3 cm

42º

B F

AB e CD são congruentes, o que pode ser indicado da seguinte maneira: AB 9 CD

42º I

EF̂G e HÎJ são congruentes, o que pode ser indicado da seguinte maneira: EF̂G 9 HÎJ

Agora, vamos estudar a congruência de polígonos. Observe a situação a seguir. Giovana desenhou um quadrilátero azul em um programa de computador. Depois, fez cópias dele e, em cada uma delas, realizou modificações. Mudou a cor e ampliou a figura.

Mudou a cor e ajustou um ângulo interno e dois lados.

GEOGEBRA 2018

CONGRUÊNCIA DE FIGURAS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA14. Conversar com os alunos sobre o significado da palavra congruência. Se possível, propor a eles que o pesquisem em dicionários de língua portuguesa. Depois, estabelecer uma relação entre os significados obtidos no dicionário e o significado dessa palavra para a Matemática. Veja a seguir algumas definições relacionadas à ideia de congruência de figuras.

Mudou a cor e rotacionou a figura.

Para verificar qual das três figuras modificadas é congruente ao quadrilátero azul, Giovana imprimiu os desenhos e os recortou. Depois, tentou ajustar cada uma delas à figura do quadrilátero azul, buscando que coincidissem. Observe.

ILUSTRAÇÃO: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Note que apenas a figura que teve a cor modificada e que foi rotacionada se ajustou ao quadrilátero azul. Isso ocorre pois esta foi a única cópia em que foram mantidos o formato e o tamanho do quadrilátero azul. Dizemos que essas duas figuras são congruentes. Dois polígonos são congruentes quando seus lados e ângulos internos são, respectivamente, congruentes.

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Definição 1.4. Quando todos os pontos de uma figura rodam um mesmo ângulo em torno de um ponto fixo, preservando as distâncias em relação a este ponto, então o movimento dado à figura é denominado rotação. [...]

ASSUNÇÃO, R. G. Um Estudo das Transformações Geométricas no Plano via Congruência e Semelhança de Figuras Planas. 2015. 95 f. Dissertação (PROFMAT – profissional) – Universidade Federal de Goiás, Catalão, 2015. p. 10-11.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Casos de congruência de triângulos

Casos de congruência de triângulos Verificar se os alunos perceberam que, de acordo com a definição de polígonos congruentes, para que dois triângulos sejam congruentes é necessário que exista uma correspondência entre seus vértices, de modo que ângulos internos correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes sejam congruentes. Porém, para realizar essa verificação, é necessário conhecer doze medidas, sendo elas: • três ângulos internos e três lados de um triângulo; • três ângulos internos e três lados do outro triângulo. Por meio das propriedades conhecidas como casos de congruência de triângulos ou critérios de congruência de triângulos, é possível concluir que dois triângulos são congruentes de modo mais prático: não é necessário verificar a congruência comparando as medidas de todos os pares de lados correspondentes e as medidas de todos os pares de ângulos internos correspondentes dos triângulos considerados (as doze medidas mencionadas anteriormente). Por exemplo, usando o critério LAL (lado, ângulo, lado), fazemos a comparação considerando as medidas de dois dos lados correspondentes dos triângulos e as medidas do ângulo interno formado por esses lados.

Para determinar se dois triângulos são congruentes, não é necessário verificar a congruência de todos os lados e todos os ângulos internos correspondentes. Observe os casos de congruência de triângulos indicados a seguir. LAL: Lado, ângulo, lado. Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo interno formado por esses lados respectivamente congruentes. Temos que DABC 9 DA’B’C’, pois AB 9 A’B’, AB̂C 9 A’B̂’C’ e BC 9 B’C’. B’

Nos pares de triângulos apresentados nessa página, os lados com a mesma marcação são congruentes. O mesmo ocorre com os ângulos.

C’ A

C A’

ALA: Ângulo, lado, ângulo. Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes. Temos que DABC 9 DA’B’C’, pois AB̂C 9 A’B̂’C’, BC 9 B’C’ e AĈB 9 A’Ĉ’B’. B’

C’ A’

LLL: Lado, lado, lado. Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes. Temos que DABC 9 DA’B’C’, pois AB 9 A’B’, BC 9 B’C’ e AC 9 A’C’. C’

B’

A’

B’

A B

C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

LAAo: Lado, ângulo, ângulo oposto. Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes. Temos que DABC 9 DA’B’C’, pois AC 9 A’C’, BÂC 9 B’Â’C’ e AB̂C 9 A’B̂’C’.

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Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de ângulos congruentes com base em medições. Para a realização desta atividade, providenciar previamente transferidores. 2. Esta atividade trabalha a construção de segmentos de reta congruentes com auxílio da régua. Para que os segmentos de reta desenhados pelos alunos sejam congruentes a ABx e CDx, devem medir 5 cm e 3,5 cm, respectivamente. Ao final, propor aos alunos que comparem os desenhos feitos com os de alguns colegas da turma. Espera-se que eles percebam que as medidas dos segmentos de reta são iguais, independentemente da posição. 3. Esta atividade trabalha a identificação de figuras congruentes representadas em malha quadriculada. 4. Esta atividade trabalha a determinação de medidas de ângulos internos e de lados de polígonos congruentes. Para complementar, reproduzir na lousa os polígonos congruentes indicados na parte inferior desta página e pedir aos alunos que determinem as medidas dos lados e ângulos representadas com letras. 5. Esta atividade trabalha a compreensão de característica que determina dois quadrados congruentes.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Meça os ângulos representados a seguir e identifique aqueles que são congruentes. a e e; b e f; c e d. d) a)

Em uma malha quadriculada, Lucas representou por figuras algumas peças desse jogo. Identifique, entre essas figuras, aquelas que são congruentes. C e E; B e F; D e H.

F D

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A B

2. No caderno, desenhe segmentos de reta congruentes a AB e CD, representados a Respostas pessoais. seguir. C

4. Em cada item, os polígonos representados são congruentes. Determine as medidas dos lados e ângulos indicadas com letras. x = 8 cm; y = 100º; z = 50º; w = 5 cm. a) x

7 cm 90º

5 cm

50º

120º

11,2 cm

8 cm 120º

11,2 cm 7 cm

3. Nos jogos eletrônicos do tipo block puzzle os participantes devem encaixar peças como em um quebra-cabeça. Em um desses jogos, as peças têm a mesma área. Observe.

100º 90º w

b) x = 135º; y = 7 cm; z = 5 cm; k = 6 cm; w = 110º; p = 120º.

7 cm

w 135º

6,25 cm

7,6 cm p

90º

5 cm 6,25 cm

85º LUKPEDCLUB/SHUTTERSTOCK.COM

85º

90º

6 cm 110º

120º

7,6 cm

5. Explique como podemos verificar se dois quadrados são congruentes realizando apenas uma medição em cada um. 5. Resposta esperada: Medindo um lado de cada um deles. Se essas medidas forem iguais, os quadrados são congruentes. 134

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4,6 cm

62° k

z EDITORIA DE ARTE

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68°

74° 10 cm

12 cm

62° 4,6 cm

w 156°

p 9 cm

Resposta: x = 12 cm; y = 9 cm; z = 156°; k = 74°; w = 10 cm; p = 68°.

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6. Em cada item, os pares de triângulos representados são congruentes. De acordo com as medidas destacadas, determine qual caso garante a congruência e justifique. a) LAAo, pois AC 9 DF, E AĈB 9 ED̂F e B 3,9 cm 69º AB̂C 9 DÊF.

75º 36º 6,2 cm C

8. Utilizando régua e transferidor, verifique quais dos triângulos apresentados a seguir são congruentes. Triângulos DEF e GHI.

6,2 cm F

LLL, pois AB 9 DE, BC 9 EF e AC 9 DF. E

A 3 cm

90°

75º

69º

5 cm

3 cm D

4 cm

5 cm

LAL, pois AB 9 EF, BÂC 9 DÊF e AC 9 ED. 7,62 cm

e, mesmo assim, ter o outro lado e os outros dois ângulos internos correspondentes não congruentes. Salientar que, nos itens b e c não estamos dizendo que os triângulos não são congruentes, apenas que não é possível garantir a congruência com as informações fornecidas. 8. Esta atividade trabalha a identificação de triângulos congruentes com base em medições com régua e transferidor. 9. Esta atividade trabalha uma situação cuja resolução é decorrente de características de triângulos congruentes. Propor aos alunos os seguintes questionamentos para auxiliá-los na resolução do item b. • Qual é a soma das medidas do ângulo destacado em vermelho e do ângulo interno correspondente ao vértice B do triângulo ABC? Resposta: 220°. • O ângulo destacado em vermelho e o ângulo interno correspondente ao vértice B do triângulo ABC possuem a mesma medida? Justifique. Resposta esperada: Sim, porque os triângulos ABC e DBC são congruentes.

c) *ABC e *DEF AB̂C 9 DÊF AB 9 DE AC 9 DF d) *ABC e *DEF AB̂C 9 DÊF BĈA 9 EF̂ D AC 9 DF

I 8,4 cm

10 cm

8,4 cm

H 55º

48º

55º

10 cm

ALA, pois BÂC 9 DÊF, AB 9 DE e AB̂C 9 ED̂F. E

B 5,1 cm A

5,1 cm

25º

120º

25º 7,7 cm

C F

9. Observe a figura a seguir e resolva as questões.

7. Em cada item, estão indicadas relações A D entre lados e ângulos internos de dois 140º triângulos. Em quais itens é possível afirB mar que os triângulos são congruentes? a e d. a) *ABC e *DEF 5,47 cm 5,47 cm AB 9 DE 39º 39º BC 9 EF AC 9 DF C b) *ABC e *DEF AB̂C 9 DÊF a) Os triângulos ABC e DBC são congruentes? BĈA 9 EF̂ D Justifique. 110º. CÂB 9 FD̂E b) Qual é a medida do ângulo em vermelho? 9. a) Sim, pelo caso de congruência LAL, pois BC é um lado comum, AĈB 9 DĈB e AC 9 DC.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

AMPLIANDO

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6. Esta atividade trabalha a identificação de casos de congruência de triângulos. 7. Esta atividade trabalha a determinação de par de triângulos congruentes com base na indicação de congruência entre lados e entre ângulos internos. Pedir aos alunos que justifiquem cada um dos itens.

Espera-se que eles percebam que o que garante a congruência no item a é o caso lado, lado, lado (LLL); já no item d, é o caso lado, ângulo, ângulo oposto (LAAo). No item b, não é possível garantir a congruência porque podemos obter triângulos com lados correspondentes com medidas

Sugerir aos alunos que acessem este site para verificar como construir triângulos que se enquadram no caso do item c da atividade 7 e que não são congruentes. • GEOGEBRA. Por que ALL ou LLA não é caso de congruência entre triângulos? Disponível em: <http://www. geogebra.org/m/tSNKZcPX>. Acesso em: 22 set. 2018.

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diferentes e, mesmo assim, possuir medidas dos ângulos internos correspondentes iguais. No item c, não é possível garantir a congruência porque podemos obter triângulos com dois lados correspondentes congruentes e um ângulo não formado por eles correspondentes congruentes

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PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Veja no trecho a seguir o que é a ceviana de um triângulo, elemento que está diretamente associado com os pontos notáveis de um triângulo. [...] uma ceviana de um triângulo é qualquer segmento que tem uma extremidade num vértice do triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse vértice. O nome genérico ceviana foi dado a esses segmentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva. Ele estabeleceu um resultado famoso, conhecido como o Teorema de Ceva, que dá uma condição necessária e suficiente para que três cevianas de um triângulo, cada uma partindo de um vértice diferente, sejam concorrentes [...] as cevianas notáveis de um triângulo são: as medianas, as bissetrizes internas e as alturas. [...] Os pontos de encontro das cevianas notáveis (baricentro, incentro e ortocentro) e das mediatrizes são denominados pontos notáveis de um triângulo. [...] PORTAL DA MATEMÁTICA OBMEP. Mais pontos notáveis de um triângulo. Disponível em: <https:// portaldosaber.obmep.org.br/uploads/ material_teorico/4rkez01h5tkw4. pdf>. Acesso em: 22 set. 2018.

Mediatrizes e circuncentro do triângulo Relembrar aos alunos que a mediatriz de um segmento de reta é um lugar geométrico, uma vez que cada um de seus pontos é equidistante das extremidades desse segmento de reta. Informar que todo triângulo admite apenas uma circunferência que passa pelos seus três vértices, que é chamada

Pontos notáveis de um triângulo Estudamos anteriormente alguns elementos dos triângulos: vértices, lados, ângulos internos e ângulos externos. Agora, ampliaremos esse estudo a outros elementos: mediatrizes e circuncentro, bissetrizes e incentro, medianas e baricentro, alturas e ortocentro.

Mediatrizes e circuncentro do triângulo As mediatrizes de um triângulo são retas perpendiculares aos lados em seus respectivos pontos médios. C

A reta r é a mediatriz do triângulo em relação ao lado AB.

Na Unidade 2, estudamos como traçar a mediatriz de um segmento de reta utilizando régua e compasso.

As mediatrizes de um triângulo qualquer se cruzam em um único ponto, chamado circuncentro. Observe. Mediatriz do triângulo em relação a AB.

Mediatriz do triângulo em relação a BC.

Circuncentro do triângulo.

Mediatriz do triângulo em relação a AC.

Como o circuncentro é o ponto em que as mediatrizes relativas aos lados do triângulo se cruzam, ele é equidistante aos vértices desse triângulo. Assim, esse ponto notável corresponde ao centro da circunferência que circunscreve esse triângulo, ou seja, que passa pelos seus três vértices. De maneira geral, o circuncentro pode estar localizado na região interna ao triângulo, sobre um de seus lados ou na região externa. C

F I

O D

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

B G

O circuncentro O está na região interna ao triângulo.

O circuncentro O está sobre um dos lados do triângulo.

O circuncentro O está na região externa ao triângulo.

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de circunferência circunscrita ao triângulo. Essa circunferência possui centro no ponto de intersecção das mediatrizes do triângulo, o circuncentro. Verificar se os alunos perceberam que a localização do circuncentro de um triângulo

está relacionada a sua classificação de acordo com a medida de seus ângulos internos. Assim, em um triângulo acutângulo o circuncentro localiza-se em sua região interna; em um triângulo retângulo o circuncentro localiza-se sobre um de

seus lados; e em um triângulo obtusângulo o circuncentro localiza-se em sua região externa. Essas propriedades podem ser demonstradas, mas nesta coleção vamos apenas considerá-las verdadeiras.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Bissetrizes e incentro do triângulo

Bissetrizes e incentro do triângulo Ao abordar o boxe Dica, enfatizar aos alunos que a bissetriz de um ângulo é uma semirreta com origem no vértice do ângulo, já a bissetriz de um triângulo é um segmento de reta com uma extremidade em um vértice e a outra no lado oposto. Explicar aos alunos que todo triângulo admite apenas uma circunferência contida nele e tangente aos seus lados (a circunferência toca cada um dos seus lados em um único ponto), que é chamada de circunferência inscrita ao triângulo. Essa circunferência possui centro no ponto de intersecção das bissetrizes do triângulo, o incentro.

As bissetrizes de um triângulo são os segmentos de reta que têm uma extremidade nos vértices, dividem os ângulos internos em dois ângulos congruentes e têm a outra extremidade nos lados opostos. C O segmento de reta AD é a bissetriz do triângulo em relação ao ângulo BAC.

Na Unidade 2, estudamos como traçar a bissetriz de um ângulo utilizando régua e compasso. Para traçar uma bissetriz de um triângulo, procedemos de maneira parecida.

As bissetrizes de um triângulo qualquer se cruzam em um único ponto, chamado incentro. Observe. C

Bissetriz do triângulo em relação a ACB. F Bissetriz do triângulo em relação a BÂC.

Incentro do triângulo. D

Bissetriz do triângulo em relação a ABC.

ATIVIDADE 1. Esta atividade trabalha a construção de triângulos, de suas bissetrizes e mediatrizes e a determinação do incentro e do circuncentro do triângulo. Para a resolução, providenciar previamente régua, transferidor e compasso e, se necessário, auxiliar os alunos na construção de cada triângulo com base nas medidas indicadas.

Como o incentro é o ponto em que as bissetrizes relativas aos ângulos internos do triângulo se cruzam, ele é equidistante aos lados desse triângulo. Assim, esse ponto notável corresponde ao centro da circunferência inscrita nesse triângulo, ou seja, que toca cada lado em um único ponto.

AtividadeS

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em cada item, faça a construção no caderno com régua, transferidor e compasso e responda à questão. a) Desenhe um triângulo em que um lado mede 7 cm e os ângulos adjacentes a ele medem 45° e 60°. Depois, trace as bissetrizes desse triângulo e marque o ponto P em que elas se cruzam. Resposta pessoal. • Como é chamado esse ponto notável P desse triângulo? Incentro. b) Desenhe um triângulo em que dois lados medem 5 cm e 4 cm e o ângulo formado por eles mede 120°. Depois, trace as mediatrizes desse triângulo e marque o ponto M em que elas se cruzam. Resposta pessoal. • Como é chamado esse ponto notável M desse triângulo? Circuncentro. 137

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3. Resposta esperada: Considerando o canteiro como uma figura de triângulo, o irrigador deve ser instalado no incentro, uma vez que esse ponto notável é equidistante aos lados do triângulo. y 2. No triângulo representado a seguir, AD é A 5 bissetriz em relação a BÂC. Determine o 4 valor de x, em graus. 92°. 3

2 B

_7 _6 _5 _4 _3 _2 _1 0 _1 x

52º B

48º C

_3 _4

3. Em uma praça de certo município, há um canteiro de plantas cujas laterais formam uma figura de triângulo. Observe.

2 3 x

5. Observe as etapas que André fez para determinar o circuncentro na figura de um triângulo acutângulo realizando dobraduras. 1a) Desenhou um triângulo acutângulo em uma folha de papel sulfite e recortou. 2a) Dobrou a figura unindo duas pontas, correspondentes a vértices do triângulo. Depois, desdobrou e traçou uma linha sobre o vinco.

ROBERTO ZOELLNER

ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo características da bissetriz de um triângulo. 3. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo características do incentro de um triângulo. 4. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo características do circuncentro de um triângulo representado em um plano cartesiano. Para a resolução, reproduzir e entregar aos alunos uma malha quadriculada, disponível no Material de apoio. Caso julgar necessário, propor as seguintes questões para auxiliar os alunos a perceber que o ponto D deve ser o circuncentro do triângulo ABC. • Ao ligar com segmentos de reta os pontos A e B, B e C e C e A, obtém-se a representação do contorno de qual figura geométrica plana? Resposta: Triângulo. • A qual ponto notável dos triângulos corresponde o ponto que fica localizado a uma mesma distância de seus três vértices? Resposta: Circuncentro. 5. Esta atividade trabalha, em uma situação prática, a característica da posição do circuncentro de acordo com a classificação do triângulo em relação às medidas dos ângulos internos. No item b, é importante que os alunos percebam que, ao realizar as etapas com o recorte da figura de triângulo obtusângulo, as linhas traçadas não se cruzam no interior da figura. No item c, explicar que no triângulo retângulo o circuncentro está localizado no ponto médio do lado de maior medida.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A prefeitura quer instalar um irrigador na região interna desse canteiro, de maneira que fique a uma mesma distância das laterais. Explique como pode ser determinada a localização em que esse irrigador deve ser instalado.

3a) Fez mais duas dobras, como realizado na etapa anterior, traçou as linhas sobre os vincos e marcou o circuncentro.

a) O que as linhas traçadas na figura repre4. Na construção de um condomínio com sentam no triângulo? três edifícios, a construtora pretende Mediatrizes do triângulo. b) Desenhe um triângulo retângulo, um disponibilizar um espaço para o depóacutângulo e um obtusângulo. Depois, sito de lixo, de maneira que fique realize as etapas feitas por André. localizado a uma mesma distância Resposta pessoal. desses edifícios. c) Em qual dessas figuras de triângulo, o No plano cartesiano a seguir, A, B e C circuncentro está localizado: representam esses edifícios. Reproduza • na região interna? Triângulo acutângulo. essa figura em uma malha quadricu• na região externa? Triângulo obtusângulo. lada e, com régua e compasso, obtenha • sobre um de seus lados? e indique um ponto D, onde deve ser Triângulo retângulo. disponibilizado esse espaço para o Converse com alguns colegas e compadepósito de lixo. Por fim, escreva as rem as respostas desse item. Registre as coordenadas do ponto D. (–2, 0) conclusões no caderno. 5. Resposta esperada: No triângulo retângulo o circuncentro está localizado sobre um de seus lados; no acutângulo o circuncentro está localizado na região interna ao triângulo; no obtusângulo, o circuncentro 138 está localizado na região externa ao triângulo.

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Medianas e baricentro do triângulo As medianas de um triângulo são os segmentos de reta que têm uma extremidade nos vértices e a outra nos pontos médios dos lados opostos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Mediana do triângulo em relação a AC.

Baricentro do triângulo.

Mediana do triângulo em relação a AB.

DG EG FG 1 = = = AG BG CG 2

fique ligado

Centro de equilíbrio

Em um papelão, desenhamos um triângulo, marcamos o baricentro dele e recortamos a figura.

ARTUR FUJITA

AMPLIANDO

Pelo baricentro marcado, fazemos um pequeno furo e passamos o barbante, pelo qual podemos suspender em equilíbrio a figura do triângulo.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Medianas e baricentro do triângulo Para complementar o boxe Dica, apresentar aos alunos mais detalhes das etapas para a construção da mediana do triângulo ABC relativa a BCx , utilizando régua e compasso.

1a) No triângulo ABC, com abertura do compasso maior que a metade do lado BCx, fixar a ponta-seca em B e traçar dois arcos. A

A propriedade do baricentro de um triângulo, que garante que esse ponto notável divida cada mediana na razão de 1 para 2, pode ser demonstrada, mas nesta coleção iremos apenas considera-la verdadeira. Verificar a possibilidade de realizar o experimento apresentado no boxe Fique ligado. Para isso, reproduzir e distribuir aos alunos o molde do triângulo com o baricentro indicado, disponível no Material de apoio. Além disso, providenciar previamente pedaços de papelão, barbante e tesouras com pontas arredondadas. Auxiliar os alunos ao furar o papelão para que não se machuquem.

Uma propriedade do baricentro de um triângulo é que ele divide cada mediana na razão de 1 para 2, ou seja, de maneira que uma parte tenha metade do comprimento da outra. Em relação ao triângulo acima, temos:

O baricentro é conhecido como centro de equilíbrio de um triângulo. Isso pode ser verificado na prática por meio de um experimento. Observe.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA D ARTE

4a) Com a régua, traçar ADx, que corresponde à mediana do triângulo em relação a BCx .

As medianas de um triângulo qualquer se cruzam em um único ponto, chamado baricentro. Observe. Mediana do triângulo em relação a BC.

Para traçar a mediana de um DABC relativa a BC, utilizando régua e compasso, marcamos D, ponto médio de BC, e traçamos essa mediana AD.

O segmento de reta AD é a mediana do triângulo em relação ao lado BC.

A 0

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3a) Ajustar a régua nos cruzamentos dos arcos traçados anteriormente e marcar o ponto D, ponto médio de BCx .

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2a) Com a mesma abertura do compasso da etapa anterior, fixar a ponta-seca em C e traçar dois arcos que cruzam aqueles traçados anteriormente.

Acessar este site que apresenta propostas de atividades práticas relacionadas ao baricentro e que podem ser desenvolvidas em sala de aula. • RAPHAEL, D. Experiências com o baricentro. Revista do Professor de Matemática. Disponível em: <http://livro.pro/ kubv3v>. Acesso em: 24 set. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Alturas e ortocentro do triângulo As alturas de um triângulo são os segmentos de reta que têm uma extremidade nos vértices e a outra nos lados opostos ou nos prolongamentos deles, formando com eles ângulos retos. O segmento de reta AD é a altura do triângulo em relação ao lado BC. Nesse caso chamamos o lado BC de base do triângulo.

As alturas de um triângulo qualquer, ou o prolongamento delas, se cruzam em um único ponto, chamado ortocentro. Observe. Ortocentro do A triângulo.

2o) Agora, com a ponta-seca do compasso fixa em M, e uma abertura conveniente, traçamos um arco. Com essa mesma abertura do compasso e a ponta-seca fixa em N, traçamos um arco que cruza aquele traçado anteriormente, determinando o ponto P.

E BE é a altura do triângulo em relação a AC. AD é a altura do triângulo em relação a BC.

F A

C N CF é a altura do triângulo em relação a AB. A

P L H

O ortocentro H está na região externa ao triângulo.

O ortocentro H está sobre um dos vértices do triângulo.

O ortocentro H está na região interna ao triângulo.

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alturas indica o ortocentro do triângulo.

essas etapas, as linhas traçadas não se cruzam no interior da figura.

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É importante enfatizar que no caso da construção de triângulos obtusângulos, ao realizar

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3o) Ajustamos a régua aos pontos A e P e traçamos a altura AD, com D sobre o lado BC.

B De maneira geral, o ortocentro C B pode estar localizadoC M N M N na região externa ao triângulo, sobre um de seus vértices ou na região interna. P H

2 ) Por fim, proceder de maneira análoga para obter as alturas referentes aos lados ABx e ACx. O ponto de intersecção dos vincos correspondentes às

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1o) Com uma abertura conveniente e a ponta-seca do compasso fixa em A, marcamos dois pontos, M e N, sobre BC (ou seu prolongamento). A

A B

Observe como podemos traçar a altura AD de um DABC relativa ao lado BC utilizando régua e compasso.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Alturas e ortocentro do triângulo No boxe Dica, ao abordar a construção da altura ADx de um triângulo ABC, relativa ao lado BCx , informar os alunos que, na etapa 1, uma abertura do compasso conveniente, neste caso, é uma abertura que cruze o lado BCx em dois pontos distintos; já na etapa 2, a abertura conveniente corresponde a uma abertura que seja maior do que a metade da distância entres os pontos M e N. Verificar se eles perceberam que a localização do ortocentro de um triângulo está relacionada a sua classificação de acordo com a medida de seus ângulos internos. Assim, em um triângulo acutângulo o ortocentro localiza-se em sua região interna; em um triângulo retângulo o ortocentro localiza-se sobre um de seus vértices; e em um triângulo obtusângulo o ortocentro localiza-se em sua região externa. Essas propriedades podem ser demonstradas, mas nesta coleção iremos apenas considerá-las verdadeiras. Para complementar, realizar com os alunos a construção das alturas e do ortocentro de triângulos por meio de dobraduras. Veja as etapas para essa construção: 1a) Com o auxílio de uma régua, construir uma figura de triângulo ABC qualquer em uma folha de papel e recortá-la. Para obter a altura relativa a BCx , dobrar o recorte de modo que o lado BCx recaia sobre si mesmo, e a dobra passe pelo vértice A. Em seguida, desdobrar e traçar uma linha sobre o vinco.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

1. Em cada triângulo representado a seguir, onde foram traçadas algumas retas, identifique se o ponto O é circuncentro, incentro, baricentro ou ortocentro. a) Ortocentro. t

3. As barras de ferro que compõem um portão foram representadas por um modelo matemático. Observe. F A

s A

35º

r B r

D t

Incentro.

Circuncentro.

r A

No modelo matemático, qual é a medida do ângulo azul, sabendo que FB̂C tem 35°, AD é a altura do triângulo isósceles ABC em relação ao lado BC? 70°. 4. No triângulo representado a seguir, H é o ortocentro e AĈ B e BÂC medem, respectivamente, 30 o e 110 o. Qual é a medida de BÂD? 50°.

H A

Baricentro.

2. Em cada item, faça a construção no caderno e responda à questão. a) Desenhe um triângulo cujos lados meçam 9 cm, 5 cm e 6 cm. Depois, trace as medianas desse triângulo e marque o ponto G em que elas se cruzam. Resposta pessoal. • Como é chamado esse ponto notável G do triângulo? Baricentro. b) Desenhe um triângulo acutângulo qualquer. Depois, trace as alturas desse triângulo e marque o ponto H em que elas se cruzam. Resposta pessoal. • Como é chamado esse ponto notável H do triângulo? Ortocentro.

5. No triângulo representado a seguir, em que G é o baricentro, suponha que uma formiga vai percorrer de uma só vez o caminho em vermelho, partindo de A e chegando em C. Sabendo que AC = 10 cm, BE = 6 cm e GD = 3,24 cm, calcule quantos centímetros a formiga vai percorrer. 13,48 cm. A

E G

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, de acordo com as características da figura, se o ponto em destaque é circuncentro, incentro, baricentro ou ortocentro do triângulo. Nela, os pontos notáveis foram determinados por retas, de maneira que, no caso do ortocentro, incentro e baricentro, essas retas foram determinadas, respectivamente, pela altura, bissetriz e mediana do triângulo. 2. Esta atividade trabalha a construção de triângulos, de suas medianas e alturas e a determinação do baricentro e do ortocentro do triângulo. No item a, caso julgar necessário, lembrar aos alunos como construir um triângulo ABC utilizando régua e compasso, conhecendo as medidas de seus três lados. Isso pode ser realizado por meio das etapas indicadas no fluxograma apresentado na parte inferior desta página. 3. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo características da altura de um triângulo. 4. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo características do ortocentro de um triângulo. Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução desta atividade. Uma delas é calcular primeiramente a medida do ângulo AB BC com base na soma dos ângulos internos do triângulo ABC e depois obter o ângulo BB AD. 5. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo características do baricentro de um triângulo.

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Início.

Com a régua, traçar ABx.

Usar a régua para definir a abertura do compasso com a medida AC. Fixar a ponta-seca do compasso em A e traçar um arco.

Usar a régua para definir a abertura do compasso com a medida BC. Fixar a ponta-seca do compasso em B e traçar um arco cruzando aquele traçado anteriormente.

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No encontro dos arcos, marcar o ponto C. Com a régua, traçar ACx

Fim.

e BCx. Colorir a região interna da figura.

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POLÍGONOS Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF08MA14, EF08MA15 e EF08MA16. Lembrar aos alunos que a palavra polígono é proveniente do grego que indica: poli (muitos) e gonos (ângulos). Para complementar a classificação de um polígono em relação à quantidade de vértices, lados e ângulos internos, informar aos alunos a nomenclatura dos polígonos que possuem de 12 a 20 vértices, lados e ângulos internos.

Polígonos Vamos relembrar algumas características que já estudamos sobre os polígonos. Polígono convexo ou não convexo.

Polígono regular

Quando é possível traçar um segmento de reta com extremidades no polígono, de maneira que algum ponto desse segmento de reta seja externo ao polígono, dizemos que esse é um polígono não convexo. Caso isso não seja possível, dizemos que esse é um polígono convexo.

Quando um polígono possui todos os lados e todos os ângulos internos com medidas iguais, dizemos que é um polígono regular. Perímetro de um polígono

O perímetro de uma figura geométrica plana é o comprimento do seu contorno. No caso dos polígonos, corresponde à soma das medidas de seus lados.

Quantidade de vértices, lados e ângulos internos

Nome

Dodecágono

Tridecágono

Tetradecágono

Elementos

Pentadecágono

Hexadecágono

Heptadecágono

Octadecágono

Eneadecágono

Icoságono

Lado Cada segmento de reta do contorno de um polígono é um lado. Vértice Cada ponto em que dois lados de um polígono se encontram é um vértice. Ângulo interno Cada ângulo interno de um polígono é determinado por um par de lados adjacentes. Diagonal Cada segmento de reta cujas extremidades são vértices não adjacentes de um polígono é uma diagonal.

Reforçar a ideia de que, em um polígono convexo, qualquer segmento de reta com extremidades no polígono tem todos os pontos desse segmento de reta internos ao polígono.

Polígono não convexo.

Polígono convexo.

C Classificação em relação à quantidade de vértices, lados e ângulos internos.

E D

Quantidade de vértices, lados e ângulos internos

Nome

Triângulo

Quadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Eneágono

Decágono

Undecágono

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Neste caso, BE é uma diagonal do pentágono ABCDE.

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Quantidade de diagonais de um polígono convexo Sabemos que a diagonal de um polígono convexo corresponde ao segmento de reta cujas extremidades são vértices não adjacentes desse polígono. Assim, em um polígono desses de n lados, sendo n um número natural maior do que 2, temos que de um único vértice partem n – 3 diagonais. Observe o exemplo. B A

Quais vértices desse polígono não são ligados a A por diagonal?

n_3=5_3=2

1a) Para n = 3 não há nada a mostrar, porque os triângulos não possuem diagonais e n ? (n _ 3) = 0 para n = 3. 2 2a) Considerando um polígono convexo genérico com vértices A1, A2, ..., An e n . 3, temos que de cada vértice partem exatamente n _ 3 diagonais, como apresentado no comentário inicial. 3a) Como tal polígono possui n vértices, temos um total de n ? (n _ 3) diagonais. Porém, cada uma das diagonais AiAjx foram contadas duas vezes: as diagonais que partem de Ai e as que partem de Aj. 4a) Assim, para determinar a quantidade total de diagonais de um polígono convexo, temos de dividir por 2 a quantidade n ? (n _ 3), o que resulta n ? (n _ 3) em diagonais. 2

Vértices A, B e F. F

Assim, de um único vértice do pentágono convexo partem 2 diagonais. Com isso, podemos supor que o total de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado por n ? (n _ 3). Contudo, nesse caso, estamos considerando cada diagonal em duplicidade. Por exemplo, no pentágono acima AC e CA correspondem à mesma diagonal. Portanto, a quantidade total de diagonais D de um polígono convexo de n lados é dada por: D=

n ? (n _ 3) 2

Em relação ao pentágono apresentado, temos: B A

Observe outros exemplos. a) Quadrilátero convexo. A

b) Hexágono convexo. A

B ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

5 ? (5 _ 3) 5?2 = =5 2 2

E B

4 ? (4 _ 3) 4?1 D= = = 2, ou seja, 2 2 2 diagonais.

6 ? (6 _ 3) 6?3 D= = = 9, ou seja, 2 2 9 diagonais. 143

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quantidade de diagonais de um polígono convexo Para mostrar que, em um polígono convexo de n lados, sendo n um número natural maior do que 2, partem n _ 3 diagonais de um único

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vértice, pedir aos alunos que considerem um polígono convexo genérico com vértices A1, A2, ..., An e n . 2. Ao ligar o vértice A1 aos demais vértices (A2, A3, ..., An) com segmentos de retas, obtêm-se n _ 1 segmentos de reta, dos quais dois deles são lados do polígono (A1A2x e A1Anx), e os n – 3

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segmentos de reta restantes são diagonais (A1A3x, ..., A1An –1x). An _ 1

A3 A1

EDITORIA DE ARTE

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PARA PENSAR Verificar se os alunos conseguem generalizar a todos os polígonos convexos que um vértice do polígono só não é ligado por diagonal a três vértices: ele próprio e os dois adjacentes a ele. Veja como demonstrar que todo polígono convexo de n lados possui exatamente n ? (n _ 3) diagonais. 2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo Ao trabalhar com a decomposição dos polígonos convexos em triângulos, reforçar aos alunos a ideia de que essa decomposição deve ser realizada de maneira que os vértices dos triângulos coincidam com os vértices do polígono que está sendo decomposto. Antes de mostrar a eles a fórmula para expressar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo, verificar a possibilidade de reproduzir na lousa um quadro, como o apresentado na parte inferior desta página, para que eles tenham a oportunidade de deduzir essa fórmula por meio de uma generalização. Para isso, deixar as linhas do quadro, indicado na parte inferior destas páginas, em destaque para que os alunos possam completar.

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo Para estudarmos a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo, vamos considerar, como exemplo, o hexágono decomposto em triângulos representado a seguir. B

Para decompor um polígono convexo em triângulos, podemos traçar todas as diagonais que partem de um único vértice. No exemplo ao lado, estão traçadas as diagonais que partem de A.

Como o hexágono foi decomposto em 4 triângulos, temos: Quantidade de triângulos em que o hexágono foi decomposto.

Soma das medidas dos ângulos internos do hexágono.

4 ? 180° = 720° Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo.

Agora, observe a soma das medidas dos ângulos internos de outros polígonos convexos. a) Quadrilátero convexo.

b) Pentágono convexo.

c) Heptágono convexo. A

D D

B D

2 ? 180° = 360°

3 ? 180° = 540°

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

5 ? 180° = 900°

Note que um polígono convexo de n lados, sendo n um número natural maior do que 2, é decomposto em n – 2 triângulos. Assim, podemos escrever a seguinte fórmula para expressar a soma S das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados: S = (n _ 2) ? 180°

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Quantidade de lados Quantidade de triângulos em que do polígono o polígono foi decomposto

Soma das medidas dos ângulos internos do polígono

2 ? 180° = 360°

3 ? 180° = 540°

4 ? 180° = 720°

5 ? 180° = 900°

…

n_2

(n _ 2) ? 180°

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Verificar a possibilidade de ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações a respeito do matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e sua relação com os polígonos regulares.

Polígonos regulares Estudamos anteriormente que um polígono regular possui todos os lados e todos os ângulos internos com medidas iguais. 2 cm 2 cm

135º

2 cm 135º

2 cm 2 cm

120º

2 cm

120º

Podemos afirmar que todo 2 cm 2 cm 120º 120º quadrado é um polígono regular? 135º 135º 2 cm 120º 2 cm 120º Justifique. 135º 135º 2 cm 2 cm Resposta esperada: Sim, 2 cm pois todos os lados e todos 2 cm os ângulos internos têm Octógono regular. Hexágono regular. medidas iguais. Agora, vamos estudar como construir um polígono regular utilizando régua e transferidor. Vamos construir, como exemplo, um pentágono regular ABCDE com 2 cm de lado.

Inicialmente, calculamos a medida de cada ângulo interno do pentágono regular. S = (5 _ 2) ? 180° = 540° 540º Quantidade de = 108° ângulos internos. 5

Soma das medidas dos ângulos internos. Medida de cada ângulo interno.

Com a régua, traçamos o lado AB com 2 cm. A

B 0

Ajustamos o centro do transferidor em B e a linha de fé em AB;; medimos um ângulo de 108o e marcamos o ponto P. B

LUCAS FARAUJ

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Com a régua ajustada em B e P, traçamos o lado BC com 2 cm.

P C

[...] Não tinha decidido ainda se se tornaria filólogo ou matemático, embora já tivesse descoberto e justificado o método dos mínimos quadrados – uma década antes de Legendre publicar o processo. Em 30 de março de 1796 ele [Gauss] se decidiu em favor da matemática, porque nesse dia, quando faltava um mês para completar dezenove anos, fez uma brilhante descoberta. Havia mais de 2 000 anos que os homens sabiam construir, com régua e compasso, o triângulo equilátero e o pentágono regular (assim como outros polígonos regulares, cujo número de lados seja múltiplo de dois, três e cinco), mas nenhum outro polígono com número primo de lados. Nesse dia crítico em 1796, Gauss construiu segundo as regras euclidianas o polígono regular de dezessete lados. No mesmo dia começou um diário em que registrava algumas de suas maiores descobertas, sendo o primeiro registro sobre o polígono regular de dezessete lados. [...] BOYER, C. B. História da matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 367.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Polígonos regulares Mostrar aos alunos que, para determinar a medida de cada ângulo interno de um polígono regular, podemos partir da fórmula da soma das medidas dos ângulos internos de um polígono.

Para isso, basta dividir essa fórmula pela quantidade de ângulos internos do polígono regular. Assim, podemos determinar a medida de cada ângulo interno de um polígono regular de n lados por meio da expressão: S (n _ 2) ? 180° = n n

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A construção do pentágono regular apresentada busca contribuir para o desenvolvimento da habilidade EF08MA15 da BNCC, na parte que trata da construção de polígono regular utilizando instrumentos de desenho. Essa habilidade também foi abordada na Unidade 2 deste Volume.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

P C

EDITORIA DE ARTE

P C

Para finalizar, colorimos o interior da figura.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Roger faz peças com tecido, que são comercializadas em uma feira de artesanato. Uma das peças mais vendidas por ele é um porta-moedas com formato de um hexágono regular de 4,5 cm de lado, em que toda borda é revestida com uma fita colorida. Quantos centímetros de fita, no mínimo, Roger precisa para confeccionar 20 porta-moedas desses? 540 cm. 2. Fernanda desenhou, em um programa de computador, um eneágono regular cujo perímetro era de 67,5 cm. Qual é a medida de cada lado dessa figura? 7,5 cm. 3. Em relação a cada polígono convexo indicado nas fichas, calcule: I: 35 diagonais; II: 44 diagonais; III: 27 diagonais. a) a quantidade total de diagonais. b) a soma das medidas dos ângulos internos. I: 1 440°; I. Decágono. II: 1 620°; III: 1 260°. II. Undecágono. III. Eneágono. 4. Podemos verificar a soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero convexo fazendo uma atividade prática. Observe as etapas. 1a) Desenhamos em uma folha de papel um quadrilátero convexo. Depois, indicamos os ângulos externos.

2a) Recortamos a figura destacando os ângulos externos, como indicado.

3a) Ajustamos as partes com os ângulos externos destacados, encaixando-os de maneira a obter um ângulo de 360°. ILUSTRAÇÕES: BENTINHO

AtividadeS

De maneira análoga, construímos os lados CD e DE. Por fim, ligamos os vértices A e E, obtendo o lado AE.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha uma situação que envolve características de um polígono regular. 2. Esta atividade trabalha uma situação que envolve características de um polígono regular. 3. Esta atividade trabalha o cálculo da quantidade de diagonais e da soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Para complementar, propor aos alunos que determinem a quantidade de diagonais e a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos convexos indicados a seguir. • Tridecágono. Respostas: 65 diagonais; 1 980°. • Hexadecágono. Respostas: 104 diagonais; 2 520°. • Icoságono. Respostas: 170 diagonais; 3 240°. 4. Esta atividade trabalha um experimento de verificação da soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer. No item c, estimular os alunos a realizar esta atividade com diferentes polígonos e, ao final, realizar um debate com toda a turma. Por fim, se julgar conveniente, mostrar que a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo é 360° da seguinte maneira: • Cada ângulo externo é suplementar a um ângulo interno de um polígono convexo. Assim, para determinar a soma das medidas de todos os ângulos internos e de todos os ângulos externos de um polígono convexo de n lados, sendo n um número natural maior do que 2, basta multiplicar a quantidade de lados por 180°. Considerando S a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo e Se a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo, temos: S + Se = n ? 180° S _ S + Se = n ? 180° _ S Se = n ? 180° _ S

a) Em uma folha de papel, desenhe um outro polígono convexo qualquer. Depois, siga as etapas apresentadas. Resposta pessoal. b) Qual é a soma das medidas dos ângulos externos do polígono convexo que você desenhou? 360o. Resposta pessoal. c) Agora, junte-se com um colega e respondam. • Vocês desenharam o mesmo polígono? • As somas das medidas dos ângulos externos desses polígonos são iguais? Sim.

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Como S = (n _ 2) ? 180°, segue que: Se = n ? 180° _ [(n _ 2) ? 180°] Se = n ? 180° _ n ? 180° + 360° Se = 360°

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5. Qual é o polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos mais a soma das medidas dos ângulos externos é igual 1 440o? Octógono.

8. (OBMEP-2015) Com retângulos iguais, quadrados iguais e triângulos isósceles iguais, foram montadas três figuras.

OBMEP 2015

6. Na aula de teatro da turma em que Alice estuda, a professora organizou os 10 alunos em uma roda. Ela quer formar uma dupla de alunos; porém, os escolhidos não podem estar sentados lado a lado. O contorno da Figura 1 mede 200 cm e o da Figura 2 mede 234 cm. Quanto mede o contorno da Figura 3? Alternativa a. a) 244 cm d) 334 cm b) 300 cm e) 468 cm c) 332 cm 9. Em cada item a seguir, calcule a medida do ângulo em destaque no polígono regular representado. 150o.

60o.

BENTINHO

EDITORIA DE ARTE

10. Utilizando régua e transferidor, construa no caderno: Respostas pessoais. a) um pentágono regular com 2,5 cm de lado. b) um quadrado com 4 cm de lado.

Pense nas duplas que podem ser formadas como as extremidades das diagonais de um polígono convexo. a) De quantas maneiras diferentes a professora pode formar uma dupla em que Alice seja um dos alunos escolhidos? 7 maneiras.

Para resolver esta atividade, uma sugestão é representar a medida do menor ângulo interno do pentágono por x e escrever uma equação.

BENTINHO

b) De quantas maneiras diferentes a professora pode formar essa dupla de alunos? 35 maneiras. 7. As medidas dos ângulos internos de um pentágono formam uma sequência em que, a partir do 2o termo, se adiciona 20o para obter o próximo. Qual é a medida do menor desses ângulos internos? 68°.

11. Na aula de Matemática, a professora de Marta desenhou na lousa um polígono regular, nomeou os vértices e indicou a medida de cada ângulo interno. No final da aula, um dos alunos apagou parte desse desenho. Observe como ficou.

Qual foi o polígono desenhado pela professora? Eneágono.

8. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o perímetro de figuras compostas por polígonos. Orientar os alunos a comparar as posições e as composições das figuras. 9. Esta atividade trabalha a determinação da medida de cada ângulo interno de um polígono regular. 10. Esta atividade trabalha a construção de um polígono regular utilizando régua e transferidor, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade EF08MA15 da BNCC. Informar os alunos que em construções geométricas realizadas manualmente com régua e transferidor as medidas obtidas não são precisas. Destacar que essas construções também podem ser realizadas utilizando algum tipo de software de geometria dinâmica, como o GeoGebra. Na seção Você conectado desta Unidade serão apresentadas as etapas para construção de polígonos regulares. 11. Esta atividade trabalha a determinação de um polígono regular, dada a medida de um de seus ângulos internos. Para auxiliar na resolução, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Que informação relacionada aos ângulos internos do polígono regular é apresentada no problema? Resposta: A medida de cada ângulo interno do polígono regular (140°). • Que expressão você pode utilizar para resolver este problema? Resposta: (n _ 2) ? 180° = 140°. n

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5. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo a soma das medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos de um polígono convexo. 6. Esta atividade trabalha uma situação cuja resolução tem como estratégia o cálculo da quantidade de diagonais de um polígono convexo. Para

auxiliar na resolução do item a, sugerir aos alunos que façam um esquema representando os 10 alunos em roda. No item b, é possível associar a resolução ao cálculo das diagonais de um polígono convexo. 7. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo a soma das medidas dos ângu-

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los internos de um polígono convexo. Além disso, possibilita uma relação das unidades temáticas Álgebra (equação e sequência) e Geometria. Caso julgar necessário, retomar o estudo de sequência numérica e equação do 1o grau com uma incógnita na Unidade 3 deste Volume.

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ATIVIDADES 12. Esta atividade trabalha a representação, por escrito e por meio de fluxograma, das etapas para a construção de um hexágono regular com base na medida do ângulo central e utilizando esquadros e compasso. Com isso, espera-se contribuir com o desenvolvimento da habilidade EF08MA16 da BNCC. Após a resolução do item a, verificar se os alunos perceberam que um hexágono regular pode ser composto por seis triângulos equiláteros com medidas dos lados iguais à medida dos lados do hexágono regular. Com base nisso, propor aos alunos que reescrevam o fluxograma apresentado, adequando-o para representar as etapas de construção de um hexágono regular cuja medida do lado seja conhecida. Nesse caso, uma possibilidade é adaptar a 4a etapa, de maneira que o compasso fique com a abertura correspondente à medida do lado que se definiu inicialmente.

12. Observe como Heitor construiu a representação de um hexágono regular com esquadro de 60o e compasso. Traçou uma semirreta com origem em um ponto O.

Em seguida, ajustou o esquadro à semirreta construída na etapa anterior, de maneira que a ponta correspondente ao ângulo de 60° coincidiu com o ponto O, e traçou outra semirreta com origem em O, formando um ângulo de 60°, como mostra a figura.

2a Repetiu o procedimento da etapa anterior, sempre ajustando o esquadro à semirreta traçada por último, obtendo ao final seis semirretas com origem em O. O

Com a ponta-seca do compasso fixa em O e uma mesma abertura, marcou nas semirretas traçadas os pontos A, B, C, D, E e F, vértices do hexágono.

E O

Traçou os lados do hexágono e pintou o interior da figura.

E O

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os procedimentos que Heitor fez podem ser representados pelo seguinte fluxograma.

Início.

Realizamos a 1a etapa.

Realizamos a 2a etapa. Não.

Foram traçadas seis semirretas?

Sim. Realizamos a 3a etapa.

Realizamos a 4a etapa.

Fim.

a) Com uma régua, meça um dos lados desse hexágono e a distância entre um de seus vértices e o ponto O. Qual é a relação entre essas medidas? Resposta esperada: Essas medidas são iguais. b) Com compasso e esquadro, construa no caderno a representação de um hexágono regular. Depois, verifique se a relação observada no item a também é válida nesse hexágono. Resposta pessoal. Resposta esperada: Sim. 148

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quadriláteros

Quadriláteros Nesta página, assim como nas páginas 150 e 151 são demonstradas propriedades de quadriláteros por meio da identificação de congruência de triângulos. Com isso, espera-se contribuir com o desenvolvimento da habilidade EF08MA14 da BNCC. É possível retomar a classificação dos quadriláteros de acordo com suas características, a qual foi apresentada na Unidade 3, do Volume 6 desta coleção. Além disso, podemos organizar os quadriláteros de acordo com o fluxograma indicado na parte inferior desta página. Reforçar com os alunos a ideia de que existem quadriláteros que não podem ser classificados em paralelogramo ou trapézio. Se julgar necessário, mostrar a eles alguns exemplos, como os indicados a seguir.

Estudamos em anos anteriores que alguns quadriláteros podem ser classificados em: • Trapézio

Quadrilátero com dois pares de lados opostos paralelos: AB // CD e AD // BC.

Quadrilátero com apenas um par de lados paralelos: BC // AD. Chamamos AD de base maior e BC de base menor.

Agora, estudaremos algumas propriedades dos paralelogramos e dos trapézios.

Paralelogramo

Considere o paralelogramo ao lado. Ao traçar cada uma de suas diagonais, podemos determinar algumas propriedades. A

1a propriedade

Dois lados opostos quaisquer de um paralelogramo são congruentes. Observe. Traçando a diagonal AC e sabendo que BC // AD, temos que AĈB 9 CÂD e CÂD 9 AĈD, pois são pares de ângulos alternos internos. Note que AC é um lado comum dos triângulos ABC e CDA. Assim, pelo caso de congruência de triângulos ALA, segue que DABC 9 DCDA. Portanto, BC 9 AD e AB 9 CD.

D C

D A

B B

2a propriedade Dois ângulos opostos quaisquer de um paralelogramo são congruentes.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Observe. Considerando o paralelogramo utilizado na 1a propriedade, no qual DABC 9 DCDA, segue que AB̂C 9 CD̂A. Traçando a diagonal BD, procedemos de maneira análoga e obtemos que DABD 9 DCDB. Assim, DÂB 9 BĈD. Portanto, AB̂C 9 CD̂A e DÂB 9 BĈD.

C A

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Início.

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O quadrilátero possui algum par de lados paralelos?

Sim.

Não. É um quadrilátero que não pode ser classificado em paralelogramo ou trapézio.

O quadrilátero possui apenas um par de lados paralelos?

Não.

É um paralelogramo.

Fim.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Paralelogramo

Para a realização das demonstrações das propriedades, é importante uma revisão nas relações entre os ângulos formados por um par de retas paralelas intersectadas por uma transversal, conteúdo apresentado na Unidade 3 do Volume 7 desta coleção. Para isso, lembrar aos alunos que os pares de ângulos opostos pelo vértice, de ângulos correspondentes e de ângulos alternos, são formados por ângulos de medidas iguais. Já os pares de ângulos adjacentes e os de ângulos colaterais são formados por ângulos suplementares.

Sim. É um trapézio.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

EDITORIA DE ARTE

Para auxiliar os alunos na compreensão da propriedade relacionada ao retângulo, se julgar conveniente, é possível desmembrar a figura de retângulo apresentada nesta página em dois triângulos (ACD e BDC). Verificar se os alunos perceberam que todo quadrado é simultaneamente um retângulo e um losango. Porém, nem todo retângulo é um quadrado, da mesma maneira que nem todo losango é um quadrado.

3a propriedade As diagonais de um paralelogramo se cruzam em seus respectivos pontos médios. Observe. B Traçamos as duas diagonais, que se cruzam no ponto O. Como BC // AD, temos que DÂO 9 BĈO e OD̂A 9 OB̂C, pois são pares de ângulos alternos internos. O Pela 1a propriedade, os lados opostos BC e AD são A D congruentes. Assim, pelo caso de congruência ALA, segue que DAOD 9 DCOB. Portanto, AO 9 OC e BO 9 OD, ou seja, O é ponto médio das diagonais AC e BD.

Classificação de um paralelogramo Alguns paralelogramos podem ser classificados em retângulo, losango ou quadrado. Nessas figuras, além das propriedades já estudadas para os paralelogramos, também são válidas outras em particular. • Retângulo É um paralelogramo que possui os quatro ângulos internos retos. Em um retângulo, as diagonais são congruentes. Observe. A

Consideramos o retângulo acima, com suas diagonais traçadas. Como um retângulo é um paralelogramo, temos que AD 9 BC. Além disso, BĈD e CD̂A são retos e CD é um lado comum do DACD e do DBDC. Pelo caso de congruência LAL, segue que DACD 9 DBDC. Portanto, AC 9 BD. • Losango A É um paralelogramo que possui os quatro lados com medidas iguais. Em um losango, as diagonais são perpendiculares entre si e elas correspondem às bissetrizes dos ângulos internos. Observe. Consideramos o losango ao lado, com suas diagonais traçadas. D Como um losango é um paralelogramo, o ponto O corresponde ao B O ponto médio das diagonais, ou seja, DO 9 OB e AO 9 OC. Além disso, todos os lados do losango são congruentes entre si. Pelo caso de congruência LLL, segue que DAOD 9 DAOB 9 DCOB 9 DCOD. Assim, como AÔD e AÔB são congruentes e suplementares, concluímos C que ambos são ângulos retos. Portanto, as diagonais AC e BD são perpendiculares entre si. Além disso, AC é bissetriz dos ângulos internos DAB e BCD, pois DÂO 9 BÂO 9 BĈO 9 DĈO. Procedendo de maneira análoga, obtemos que BD é bissetriz de AD̂C e AB̂C.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Reforçar com os alunos a ideia de que existem paralelogramos que não podem ser classificados em retângulo, losango ou quadrado. Se julgar necessário, mostrar a eles um exemplo, como o indicado a seguir.

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Trapézio De acordo com as características que possui, um trapézio pode ser classificado em: • Trapézio retângulo

• Trapézio escaleno

Trapézio que possui dois ângulos internos retos.

Trapézio que possui os lados não paralelos com medidas diferentes.

• Trapézio isósceles A

Trapézio que possui os lados não paralelos com medidas iguais.

Em um trapézio isósceles, as diagonais são congruentes entre si e os ângulos internos de cada base são congruentes. Observe. Podemos decompor o trapézio em um retângulo ABQP e os triângulos retângulos APD e BQC, em que AP 9 BQ. A

Após apresentar a classificação do trapézio, verificar se os alunos perceberam que o trapézio retângulo é um caso particular de trapézio escaleno. Para complementar, propor aos alunos uma atividade na qual eles representem trapézios em uma malha quadriculada e troquem com um colega para que ele classifique esses trapézios. Para isso, reproduzir a malha quadriculada, disponível no Material de apoio e entregá-la aos alunos. Para verificar que as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes, ou seja, têm medidas iguais, os alunos podem fazer construções no GeoGebra. Uma sugestão é que, com a malha da Janela de Visualização ativada, eles construam representações de trapézios isósceles utilizando a opção Polígono e, com a opção Distância, Comprimento e Perímetro, meçam as diagonais. Veja um exemplo na parte inferior desta página.

Marcamos um ponto D’ sobre CD de maneira que D’Q 9 DP. Pelo caso de congruência LAL, temos que DBQD’ 9 DAPD. A

D’

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• Quadrado É um paralelogramo que possui os quatro ângulos internos retos e os quatro lados com medidas iguais. Com essas características, temos que o quadrado é um caso particular de retângulo e losango. Dessa maneira, as propriedades estudadas do retângulo e do losango também são válidas para um quadrado. Em um quadrado, as diagonais são congruentes, perpendiculares entre si e correspondem às bissetrizes dos ângulos internos.

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Assim, BD’ 9 AD 9 BC e segue que DBCD’ é isósceles. Logo, BĈQ 9 BD̂’Q 9 AD̂P, ou seja, os ângulos internos da base maior são congruentes. A

D’

Note, ainda, que DBCQ 9 DADP. Dessa maneira, QB̂C 9 PÂD. Como PÂB 9 AB̂Q (ângulos retos), podemos concluir que DÂB 9 AB̂C, ou seja, que os ângulos internos da base menor são congruentes. Agora, se traçarmos as diagonais do trapézio e considerarmos os triângulos ACD e BDC, temos que AD 9 BC, CD̂A 9 DĈB e CD é lado comum a esses dois triângulos. Pelo caso de congruência LAL, temos DACD 9 DBDC. Portanto, AC 9 BD, isto é, as diagonais do trapézio são congruentes. A

2. a) Resposta esperada: Não, pois os ângulos internos de cada base não são congruentes entre si. NÃO ESCREVA 2. b) Resposta esperada: Sim, pois possui um par NO LIVRO. de ângulos internos retos: HEF e AHE. 1. O paralelogramo ABCD representado a seguir tem 72 cm de B C perímetro. AB = CD = 12 cm; BC = AD = 24 cm. a) Sabendo que BC tem o dobro da medida de AB, determine O quantos centímetros tem cada lado desse paralelogramo. A D b) Se BD mede 24 cm, qual é a medida de OD? 12 cm. A 2. A pipa é um brinquedo que consiste numa armação leve de varetas, recoberta por papel fino ou plástico. F 38° B 38° Ela pode ser confeccionada em G diferentes tamanhos e formatos. Observe um exemplo e resolva as questões. H

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha propriedades de quadriláteros por meio da identificação de congruência de triângulos. Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos para a resolução do item a. Uma estratégia pode ser utilizar uma equação de 1o grau com uma incógnita, obtida a partir da propriedade que lados opostos quaisquer de um paralelogramo têm medidas iguais. Outra estratégia pode ser utilizar o raciocínio aritmético, sem a necessidade de resolver a equação. 2. Esta atividade trabalha a classificação de um trapézio de acordo com suas características. Informar aos alunos que, de acordo com a região do Brasil, este brinquedo pode ser conhecido por diferentes nomes, como papagaio, quadrado, pandorga, raia, entre outros. Propor aos alunos os seguintes questionamentos para auxiliá-los na resolução do item c. • O triângulo CDH é isósceles? Justifique. Resposta: Sim, porque como CB DH e DB CH são congruentes e medem 45°, os lados CHx e DHx também são congruentes. • Se os lados CHx e DHx são congruentes, então qual deve ser a medida de DHx? Resposta: 16 cm.

34 cm

Para resolver o item c, uma sugestão é, inicialmente, obter a medida de cada ângulo interno do triângulo CHD.

45°

Pipa.

BENTINHO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

16 cm

Modelo matemático.

a) O trapézio ABCD é um trapézio isósceles? Justifique. b) O trapézio AHEF é um trapézio retângulo? Justifique. c) Qual é o perímetro do quadrilátero BCHG? Como ele pode ser classificado? 68 cm. Resposta esperada: Retângulo. 152

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3. Esta atividade trabalha propriedades de quadriláteros por meio da identificação de congruência de triângulos. 4. Esta atividade trabalha propriedades de quadriláteros por meio da identificação de congruência de triângulos. Para complementar, questionar os alunos sobre o tipo de trapézio que é apresentado nesta atividade (retângulo, isósceles ou escaleno). Neste caso, trapézio isósceles. 5. Esta atividade trabalha a classificação de um quadrilátero de acordo com suas características. No item a, é importante que os alunos compreendam que a figura C é um quadrilátero, porém não pode ser classificado em paralelogramo ou trapézio. Ver na parte inferior desta página uma resposta possível para o item c.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

3. a) DÂB: 80o; BĈD: 80o; AB̂C: 100o;CD̂A: 100o. 3. b) DÂB: 54o; BĈD: 54o; AB̂C: 126o; CD̂A: 126o. 3. Determine a medida de cada ângulo interno 4. Observe o trapézio representado a seguir dos losangos representados a seguir. e determine a medida: • da diagonal BD. 10 cm b) a) A B • do ângulo BCD e do ângulo ADC. BĈD: 115o; 80º B C AD̂ C: 65o. A C D B 27º

115º

6 cm

10 cm

5. Meire representou alguns quadriláteros em um programa de computador. Observe. C

F G

GEOGEBRA 2018

Paralelogramos: A, D, F e H. Trapézios: B, E e G. a) Quais dos quadriláteros representados são paralelogramos? E quais são trapézios? b) Observe um fluxograma que pode ser utilizado para classificar um paralelogramo. É um retângulo. Não. Possui os quatro ângulos internos retos?

Início.

Sim.

Possui os quatro lados congruentes?

Sim.

É um retângulo, um losango e um quadrado.

Fim.

Não. É um paralelogramo que não pode ser classificado em retângulo, losango ou quadrado.

Não.

Possui os quatro lados congruentes?

É um losango. Sim.

A: retângulo, losango e quadrado; D: retângulo; F: paralelogramo que não pode ser classificado em retângulo, losango ou quadrado; H: losango. • Com base nesse fluxograma, classifique os paralelogramos que Meire representou. c) Agora, desenhe no caderno um fluxograma para classificar um trapézio em escaleno, retângulo ou isósceles. Depois, classifique os trapézios que Meire representou. Resposta nas Orientações para o professor. B: trapézio isósceles; E: trapézio escaleno; G: trapézio escaleno e trapézio retângulo. 153

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Início.

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Os lados não paralelos têm medidas iguais?

Sim. É um trapézio isósceles.

Não.

É um trapézio escaleno.

Tem um ângulo interno reto?

Não. Fim.

Sim. É um trapézio retângulo.

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Qual a diferença entre círculo e circunferência? [...] [...] No ginásio e no colégio me ensinaram a distinguir entre circunferência e círculo. Na universidade, e em livros estrangeiros mais avançados, essa diferença desapareceu. Para ser mais exato, o que desapareceu quase inteiramente foi a palavra “circunferência”. Quanto ao termo “círculo” ele tornou-se ambíguo (como “polígono”); ora quer dizer a curva, ora a região por ela limitada. Para livrar-se da ambiguidade, quando isso é necessário, costuma-se usar a palavra “disco” para significar a região do plano limitada por uma circunferência. Aí não resta dúvida. Em resumo: circunferência e disco são palavras de sentido bastante claro, cada uma com um único significado na língua portuguesa. Por outro lado, círculo é uma palavra que tanto pode ser empregada no sentido de circunferência como no sentido de disco. (Paciência...) [...] O mais importante é ser coerente com a linguagem que você escolheu, a fim de evitar mal-entendidos. Lembrar sempre o que Humpty Dumpty falou para Alice (no País das Maravilhas): “Quando eu uso uma palavra, ela significa exatamente aquilo que eu decidi que ela significasse – nem mais nem menos”. (E lembrar também de avisar aos seus ouvintes qual foi esse significado escolhido.) [...] LIMA, E. L. Meu professor de matemática e outras histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991. p. 156-157.

O círculo e a circunferência Muito do desenvolvimento produtivo da agricultura deve-se ao aperfeiçoamento das técnicas de irrigação. Nesse sentido, uma técnica que trouxe grande avanço na agricultura foi o pivô de irrigação central, que surgiu por volta de 1950 nos Estados Unidos . Observe. Torre móvel: estrutura que realiza movimentos circulares e sustenta as tubulações de distribuição.

Tubulação de distribuição: estrutura onde estão localizados os aspersores, que lançam água nas plantações.

ERNESTO REGHRAN/PULSAR IMAGENS

O CÍRCULO E A CIRCUNFERÊNCIA O trecho a seguir apresenta informações relacionadas às nomenclaturas círculo e circunferência.

Plantação de batatas irrigadas por pivô central em Nova Fátima (PR). Fotografia de 2018.

Torre central fixa: localizada no centro da área circular, ancora toda a estrutura móvel.

Sistema que transporta água de uma fonte para as torres móveis.

Aspersor.

Tubulação de distribuição.

BENTINHO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Torre central fixa.

Torre móvel.

Agora, vamos considerar apenas a torre central fixa e um único aspersor girando e irrigando em torno dela. Observe a representação dessa situação por meio de figuras. A3 A

Aspersor.

A Torre central fixa.

A1 Linha demarcada pela água.

Note que qualquer posição sobre a linha demarcada pela água está a uma mesma distância da torre central fixa. Nesse caso, podemos associar essa linha a uma circunferência e a torre ao centro dessa circunferência. 154

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Relembrar aos alunos algumas maneiras de construir uma circunferência: • Contornar parte de um objeto circular. • Usar barbante: amarrar um lápis em cada extremidade de um barbante, fixar um lápis e girar o outro.

• Usar compasso: ajustar a

abertura do compasso, fixar a ponta-seca e girá-lo. Dizer a eles que na construção em que foi usado barbante, o ponto obtido com o lápis fixo corresponde ao centro da circunferência. De modo análogo, na construção

da circunferência com o compasso, o centro da circunferência corresponde ao ponto indicado pela ponta-seca do compasso.

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Informar aos alunos que a circunferência pode ser entendida como lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância de um ponto fixo, o centro da circunferência. Uma circunferência divide o plano em duas regiões: uma região limitada denominada interior da circunferência e outra região ilimitada, denominada exterior da circunferência. Dizer aos alunos que os pontos que estão sobre a circunferência são nomeados pontos da circunferência. Assim, os pontos A, B, C e D são pontos da circunferência de centro O. É importante que os alunos compreendam que o diâmetro possui o dobro da medida do raio. Além disso, o diâmetro é um caso particular de corda. Por conseguinte, todo diâmetro é uma corda, mas nem toda corda é um diâmetro. Esclarecer aos alunos que todo diâmetro divide um círculo em duas partes congruentes que são denominadas semicírculos. De maneira recíproca, se uma corda dividir um círculo em duas partes congruentes, então necessariamente essa corda é um diâmetro do círculo.

A reunião da circunferência com os pontos de seu interior corresponde ao círculo. Observe. A circunferência é a linha que limita o círculo.

A corda é qualquer segmento de reta com extremidades sobre a circunferência. O segmento de reta AD é um exemplo de corda. D O centro é o ponto O que está à mesma distância de qualquer ponto da circunferência.

B O diâmetro é qualquer segmento de reta que passe pelo centro, e cujas extremidades são pontos da circunO círculo é a figura ferência. O segmento de reta AB é um exemplo de diâmetro. geométrica formada pela circunferência e por todos os pontos de seu interior.

O ângulo central de uma circunferência é qualquer ângulo com vértice no centro da circunferência e lados passando por pontos dessa circunferência. O ângulo AOC é um exemplo de ângulo central.

O raio é qualquer segmento de reta com uma extremidade no centro e outra em um ponto qualquer da circunferência. O segmento de reta OC é um exemplo de raio.

Comprimento da circunferência

c = 3,14 cm d = 1 cm c = 3,14 d

c = 7,80 cm d = 2,5 cm c = 3,12 d

c = 9,42 cm d = 3 cm c = 3,14 d

c = 10,99 cm d = 3,5 cm c = 3,14 d

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Para realizar uma atividade proposta pela professora de Matemática, Tiago desenhou diversas circunferências com um programa de computador. Depois, mediu o comprimento (c) e o diâmetro (d) aproximados dessas figuras de circunferência. Por fim, calculou a razão entre o comprimento e o diâmetro. Observe.

De fato, a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é dada por um número chamado pi, representado pela letra grega p. Esse número será estudado com mais detalhes no próximo Volume desta coleção. Na prática, podemos utilizar um valor aproximado para p, como 3,14, por exemplo. 155

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Comprimento da circunferência Propor aos alunos que contornem três objetos circulares em uma folha de papel e, com barbante e régua, meçam o comprimento e o diâmetro aproximados dessas figuras de circunferência para conferir se a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro se aproxima das razões obtidas por Tiago. É importante destacar que, independentemente da maneira que foram realizadas, as medidas obtidas são aproximadas, pois as medições utilizando tais instrumentos não são precisas.

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[...] Ironicamente, as primeiras investigações acerca de pi foram feitas antes que o zero tivesse sido inventado. [...] Além de inventar alavancas, roldanas, bombas d’água espirais e dispositivos para destruir navios, Arquimedes passou grande parte de seu tempo preocupando-se com círculos e esferas. Escreveu vários livros (ou rolos, naquela época) sobre o assunto: Sobre a esfera e o cilindro, Sobre espirais, conoides e esferoides e Medição de um círculo. [...] Arquimedes foi o primeiro a perceber que pi era irracional, e que seu valor 22 . [...] não era 7 Arquimedes decidiu usar polígonos (formas feitas de lados retos) para se aproximar dos círculos. Desenhou um polígono fora do círculo e um dentro dele, e depois calculou qual era a razão entre o perímetro (circunferência) e o diâmetro para ambos os polígonos. Como a forma exterior era maior e a interior menor, ele sabia que o verdadeiro valor de pi situava-se entre as duas razões. [...] Arquimedes usou polígonos com 96 lados para mostrar que pi se situava 10 10 e 3 . Ou para entre 3 70 71 escrever isso numa forma 22 mais simplificada, entre 7 223 e . 71 [...] BENTLEY, P. O livro dos números: uma história ilustrada da matemática. Tradução Maria Luiza X. de A. Borges. Rio de Janeiro: Zahar, 2009. p. 141-142.

Assim, podemos escrever a seguinte relação entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência: c =p d c ?d=p?d d c=p?d Como o comprimento do diâmetro corresponde ao dobro da medida do raio (r), temos: c = p ? 2r c = 2pr Com a fórmula destacada acima, podemos calcular o comprimento de uma circunferência conhecendo a medida do raio. Observe, por exemplo, a circunferência cujo raio mede 2 cm. A 2 cm O

c=2?p?2 c=4?p c 1 4 ? 3,14 = 12,56

Nesse cálculo, utilizamos p com valor aproximado de 3,14.

Assim, a circunferência cujo raio mede 2 cm tem aproximadamente 12,56 cm de comprimento.

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Analise a circunferência de centro O representada a seguir e classifique em raio, diâmetro ou corda o segmento de reta: a) AO Raio. G C b) EF Diâmetro; A corda. c) GH Corda. d) AB Diâmetro; corda. F O e) OC Raio. E f) EO Raio. g) BD Corda. D B h) OF Raio. H i) OB Raio. 2. Para dar início a uma partida de futebol, a bola é posicionada na marca central, que corresponde ao centro da circunferência central, cuja medida oficial do raio é de 9,15 m.

Na figura a seguir, A, B, C, D e E correspondem a jogadores e O, à marca central.

C A

E O B

ROBERTO ZOELLNER

Se julgar conveniente, ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações históricas a respeito dos estudos relacionados a pi.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quais desses jogadores estão: a) a exatamente 9,15 m da marca central? Jogadores A e B. b) a menos de 9,15 m da marca central? Jogadores C e E. c) a mais de 9,15 m da marca central? Jogador D.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de elementos de uma circunferência. 2. Esta atividade trabalha uma situação que envolve a discussão da posição relativa entre pontos e uma circunferência no mesmo plano.

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3. Esta atividade trabalha a construção de uma circunferência, dada a medida do raio. Para a resolução do item b, providenciar com antecedência pedaços de barbante e réguas. Conversar com os alunos sobre a aproximação entre a medida calculada e a obtida por meio da medição. Explicar a eles que tais medidas devem ser próximas e que uma possível diferença se dá pelas imprecisões tanto da medição quanto da aproximação do cálculo. 4. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo de comprimento de circunferência. 5. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo de comprimento de circunferência. Além disso, contribui para o desenvolvimento da competência geral 9 da BNCC, uma vez que o tema basquete em cadeira de rodas possibilita uma discussão sobre o direito à acessibilidade e a valorização da diversidade de indivíduos na sociedade. Para auxiliar os alunos na compreensão da tirinha, propor a eles os seguintes questionamentos. • O que o pai de Armandinho pode ter pensado ao ver que seu filho não estava jogando basquete com o menino de boné? Resposta possível: Que seu filho não estava jogando basquete com o menino de boné porque ele é cadeirante. • Por que Armandinho considera que o menino de boné não é igual a ele? Resposta esperada: Porque o menino de boné joga basquete muito melhor que ele.

3. Com régua e compasso, construa uma circunferência cujo raio seja 5 cm.

31,4 cm. a) Calcule o comprimento aproximado dessa circunferência. Considere p aproximadamente 3,14.

ENEM 2015

b) Sobreponha toda essa circunferência com um pedaço de barbante. Depois, meça-o e registre no caderno. Compare essa medida com o comprimento calculado no item a. Resposta pessoal. 4. (Enem-2015) A figura é uma representação simplificada do carrossel de um parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3 m e 4 m, respectivamente, ambas centradas no ponto O. Em cada sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas.

Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C2 , em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para p. Alternativa b. a) 55,5 c) 175,5 e) 240,0 b) 60,0 d) 235,5

ARMANDINHO, DE ALEXANDRE BECK

5. Leia a tirinha.

BECK, A. Armandinho quatro. Florianópolis: A. C. Beck, 2015. p. 73.

Na tirinha, o menino de boné pratica basquete em cadeira de rodas. Nesse esporte, presente em todas as edições dos Jogos Paralímpicos, os atletas têm alguma deficiência físico-motora e se deslocam com cadeiras adaptadas e padronizadas. As duas rodas traseiras podem ter no máximo 69 cm de diâmetro, incluindo os pneus. Fonte dos dados: CONFEDERAÇÃO BRASILEIRA DE BASQUETE EM CADEIRA DE RODAS. O esporte. Disponível em: <www.cbbc.org.br/sobreoesporte>. Acesso em: 29 set. 2018.

Para resolver as questões, considere uma cadeira dessas em que as rodas traseiras tenham diâmetro máximo e o valor de p aproximadamente 3,14. 216,66 cm. a) Quantos centímetros a cadeira se desloca quando uma roda dessas completa uma volta? b) Para que a cadeira se desloque por 10 m, é suficiente que uma dessas rodas gire quatro voltas completas? Justifique. Resposta esperada: Não, pois quatro voltas completas correspondem ao deslocamento aproximado de 8,67 m. 157

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VOCÊ CIDADÃO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 3 e à competência específica 4 de Matemática da BNCC, uma vez que apresenta elementos que valorizam uma das diversas manifestações artísticas e culturais do nosso país, no caso a arte indígena, e pode despertar o interesse do aluno pela participação em práticas diversificadas da produção artístico-cultural. Além disso, sugere observações sistemáticas de aspectos qualitativos presentes em práticas sociais e culturais.

você

cidadão

O que é cultura? Leia com atenção o texto a seguir.

Cultura indígena A cultura é o que faz com que as pessoas de um povo, de uma sociedade, olhem e pensem o mundo e as coisas de uma determinada maneira, sempre muito própria. A partir da cultura, as pessoas estabelecem o seu modo de agir e de se relacionar com o mundo, com outras pessoas e com as coisas. [...] As manifestações artísticas de um povo ou a criação de objetos e utensílios que servem à vida cotidiana também são, necessariamente, expressões culturais. [...] Para os povos indígenas no Brasil, de maneira geral, não existe uma diferença ou um limite preciso entre arte e objetos utilitários (como uma ferramenta ou uma panela), uma vez que tudo garante as necessidades da vida cotidiana, ritual e artística. A cultura material (a criação e a produção de objetos) e a arte produzida pelos povos indígenas são chamadas nas cidades de “artesanato indígena”. E essa não é uma expressão adequada, porque é usada de forma pejorativa, desvalorizando as expressões culturais desses povos. [...] As diferenças entre os objetos utilitários e artísticos produzidos pelos povos indígenas são dadas pelas diferenças culturais existentes entre eles e também, pelos recursos materiais disponíveis, como fibras e barro e vegetais, dos quais se fabricam tinturas. [...] Vale a pena saber que não há especialistas entre os nativos: todos sabem confeccionar os objetos necessários à sua sobrevivência. O que existe são pessoas que se destacam em um ou outro tipo de objeto utilitário ou artístico, devido ao talento pessoal. [...] MUNDURUKU, D. Coisas de índio. São Paulo: Callis, 2000. p. 51-53.

Indígenas Yawalapiti em Gaúcha do Norte (MT). Fotografia de 2012.

RENATO SOARES/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para obterem mais informações sobre as técnicas de pintura e arte gráfica dos Wajãpi do Amapá, conhecidas como arte Kusiwa.

• MORIM, J. Arte Kusiwa. Fundação Joaquim Nabuco. Disponível em: <http://livro. pro/btr9jw>. Acesso em: 13 nov. 2018.

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A arte indígena Nas pinturas corporais e de cerâmicas de diversos povos indígenas, é possível observar padrões gráficos que são inspirados em elementos da natureza, como animais das florestas. Observe alguns exemplos.

ILUSTRAÇÕES: FROSA

Padrão gráfico do povo Kayapó inspirado na vértebra de cobra.

Padrão gráfico do povo Sharanahua inspirado na carapaça de tartaruga.

Resoluções a partir da p. 257

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Sugerir aos alunos que pesquisem em um dicionário o significado da palavra “cultura” para auxiliá-los na escrita do texto. 2. Nesta questão, de modo geral, é necessário que os alunos entendam que preservar e valorizar os patrimônios culturais indígenas é importante para que eles não sejam extintos e possam permanecer em nossa sociedade. Propor aos alunos que pesquisem “heranças” dos povos indígenas que utilizamos atualmente, como hábitos, culinária e palavras de origem indígenas. 3. Caso julgar conveniente, retomar com os alunos as figuras geométricas planas estudadas nesta Unidade. Propor uma dinâmica para que cada aluno identifique nas imagens uma figura geométrica estudada nesta Unidade e que explique como fez para identificá-la. 4. Nesta questão, os alunos podem justificar que o padrão é inspirado na espinha de peixe, pois as figuras do padrão geométrico apresentado lembram a disposição dessas espinhas em diversas espécies de peixes. 5. Nesta questão, verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Arte. Ao final, é interessante organizar uma exposição na escola com os desenhos produzidos pelos alunos.

Resposta pessoal. 5. Inspirado em algum animal que conheça, desenhe em uma folha de papel sulfite um padrão geométrico para representá-lo, como nos padrões gráficos apresentados. 159

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VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, à competência específica 5 de Matemática e à habilidade EF08MA15 da BNCC.

Construindo polígonos regulares Lembrar aos alunos que, no GeoGebra, o número decimal digitado para indicar a medida do lado do polígono deve ser com ponto (.) para separar a parte inteira da parte decimal, e não com vírgula (,). Informar aos alunos que existem outras maneiras de construir um octógono regular com 2,5 cm de lado no GeoGebra. Se julgar conveniente, apresentar a eles uma dessas maneiras, conforme indicadas pelas seguintes etapas: 1a) Com a opção Segmento com Comprimento Fixo selecionada, marcamos o vértice A e, na caixa de texto que abrir, digitamos 2.5 e clicamos em OK. 2a) Com a opção Polígono Regular selecionada, clicamos no ponto A e no ponto B. Na caixa de texto que abrir, digitamos a quantidade de vértices do polígono regular, neste caso 8, e clicamos em OK para obter o octógono regular, representado na parte inferior desta página.

você

conectado

Construindo polígonos regulares Utilizando o GeoGebra, vamos construir um octógono regular com 2,5 cm de lado.

Com a opção selecionada, marcamos o vértice A e, na caixa de texto . O segmento de reta AB obtido que abrir, digitamos 2.5 e clicamos em tem 2,5 cm de comprimento e é um dos lados do octógono.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O ponto B’ corresponde à rotação do ponto B, em torno de A, em 135o no sentido anti-horário.

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GEOGEBRA 2018

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Mãos à obra

Com a opção selecionada, clicamos de maneira ordenada nos vértices, obtendo assim o octógono regular.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

1. Para complementar o item a desta questão, propor aos alunos o seguinte questionamento. • É possível construir um octógono regular utilizando uma medida diferente de 135° para cada ângulo interno? Justifique. Resposta esperada: Não, porque um octógono tem a soma das medidas dos ângulos internos igual a 1 080° e, como o octógono regular tem os ângulos internos com medidas iguais, temos que cada ângulo interno do octógono regular necessariamente tem 135° (1 080° : 8 = 135°). No item b, explicar aos alunos que é possível determinar o perímetro de um polígono construído no GeoGebra. Para isso, com a opção Distância, Comprimento ou Perímetro selecionada, basta clicar sobre o polígono. 2. No item b desta questão, chamar a atenção dos alunos para o fato de que, antes de iniciar a construção, é necessário determinar a medida de cada lado do pentágono regular, pois nesse caso a única informação disponível é sobre o perímetro.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

Resoluções a partir da p. 257

o que estudei

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

Triângulos

Paralelogramo

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo

Quadriláteros

Congruência de figuras

Polígonos

Casos de Relações congruência envolvendo os de triângulos ângulos internos e externos de um triângulo

Classificação de um paralelogramo

Quantidade de diagonais de um polígono convexo

Alturas e ortocentro do triângulo

Comprimento da circunferência

Trapézio

Mediatrizes e circuncentro do triângulo

O círculo e a circunferência

Classificação de um trapézio

Medianas e baricentro do triângulo

Polígonos regulares

Bissetrizes e incentro do triângulo

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Polígonos Congruência de figuras

Triângulos Relações envolvendo os ângulos internos e externos de um triângulo

Mediatrizes e circuncentro do triângulo

Bissetrizes e incentro do triângulo

Medianas e baricentro do triângulo

Alturas e ortocentro do triângulo

Casos de congruência de triângulos

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Inspirada em pinturas indígenas, como as apresentadas nas páginas 158 e 159, Yara desenhou em uma malha quadriculada figuras geométricas para representar elementos da natureza. Observe as etapas. 1a) Desenhou três triângulos verdes. 1 cm 1 cm

2a) Em cada triângulo representado, desenhou uma circunferência inscrita. Por fim, pintou o restante da malha de azul. 1 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1 cm

3. Para complementar o item I desta questão, propor aos alunos que justifiquem suas respostas. Uma resposta possível que eles podem apresentar é que a circunferência tangencia cada lado do triângulo. No item II, os alunos podem justificar a congruência dos triângulos indicando outros casos de congruência. No item III, verificar se os alunos perceberam que nesse desenho há representações de dois quadriláteros e dois triângulos em azul. No item IV, a resposta apresentada considerou o raio da circunferência igual a 1,24 cm e o valor de p aproximadamente 3,14. Caso julgar necessário, sugerir aos alunos que realizem a medição do diâmetro dessas circunferências no sentido vertical, utilizando as linhas da malha quadriculada como referência.

II. Sim. Uma resposta possível: Esses triângulos possuem os três lados

PROBLEMAS respectivamente congruentes (caso LLL). Conceitos: Triângulos; congruência de figuras; casos de congruência de triângulos.

I Em cada uma das circunferências desenhadas, o centro corresponde II

a qual ponto notável do triângulo? Incentro. Conceitos: Bissetrizes e incentro do triângulo; o círculo e a circunferência. Podemos afirmar que os triângulos em verde representados são congruentes? Explique.

III Como os quadriláteros em azul podem ser classificados? IV

Resposta esperada: Trapézio isósceles. Conceitos: Polígonos; quadriláteros; trapézio; classificação de um trapézio. Realize medições e calcule, em centímetros, o comprimento de cada circunferência desenhada por Yara. Aproximadamente 7,8 cm. Conceitos: O círculo e a circunferência; comprimento da circunferência.

V Cada figura de triângulo tem quantos centímetros de altura relativa ao menor lado? 4 cm. Conceitos: Triângulo; alturas e ortocentro do triângulo.

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Polígonos e círculo O círculo e a circunferência Quantidade de diagonais de um polígono convexo

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo

Polígonos regulares

Quadriláteros

Comprimento da circunferência

Paralelogramo

Trapézio

Classificação de um paralelogramo

Classificação de um trapézio

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UNIDADE TEMÁTICA

• Grandezas e medidas. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Área de figuras planas. • Área do círculo e compri-

mento de sua circunferência.

HABILIDADE

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

• EF08MA19

GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

O papel Você já reparou quanto papel está disponível à nossa volta? Em cadernos, livros, embalagens e em várias outras situações. Porém, nem sempre foi assim. Há muito tempo, quando o ser humano iniciou o desenvolvimento da escrita, os registros eram realizados em tabuletas de argila. Por volta de 3000 a.C., os egípcios inventaram o papiro como suporte de escrita. Já os gregos, por volta do século II a.C., desenvolveram o pergaminho, que aos poucos foi substituindo o uso do papiro. Somente no século II d.C., os chineses inventaram o papel. A fabricação de papel é considerada uma das técnicas mais antigas desenvolvidas pela humanidade. No início, era preparada uma mistura umedecida feita de cascas de árvores, resto de roupas e produtos que continham fibras vegetais. Essa mistura era batida e peneirada até obter uma camada fina, posteriormente deixada ao sol para secar. Essa técnica foi mantida em segredo por vários anos, pois o comércio de papel era muito lucrativo. A partir do século XV, o consumo de papel aumentou muito, fazendo com que a técnica de fabricação fosse aperfeiçoada, passando a utilizar fibras da árvores e produtos químicos. Atualmente, estão disponíveis no mercado uma grande variedade de papéis, próprios para cada tipo de uso. Observe algumas características do papel sulfite, um dos mais populares.

Os primeiros suportes de escrita foram as tabuletas de argila, que eram moldadas em um tamanho possível de segurar com uma mão enquanto a outra, utilizando um estilete, realizava os registros.

ADAM JAN FIGEL/SHUTTERSTOCK.COM

COMPETÊNCIAS

4000 a.C.

Fonte dos dados: UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA. A origem do papel. Disponível em: <www2.ibb.unesp.br/Museu_Escola/Ensino_Fundamental/ Origami/Documentos/indice_origami_papel.htm>. Acesso em: 1º- out. 2018.

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Tabuleta de argila, papiro e pergaminho.

Resposta pessoal.

Após explorar os tipos de materiais empregados ao longo da história para o registro de informações, ler para os alunos o trecho a seguir sobre a fabricação do papel a partir da madeira de eucalipto.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Observe seu material escolar e identifique em quais deles o papel está presente. Quais suportes de escrita, precursores do papel, são citados no texto? Explique o que significa um papel sulfite ter uma gramatura de 75 g/m2.

PRIVATE COLLECTION / PHOTO © CHRISTIE’S IMAGES/ BRIDGEMAN IMAGENS/EASYPIX BRASIL

Os gregos desenvolveram o pergaminho com um material mais resistente, feito de couro de animais, que aos poucos foi substituindo o uso do papiro.

DMYTRO ZINKEVYCH/SHUTTERSTOCK.COM

Os antigos egípcios utilizavam a planta aquática Cyperus papyrus como material para confeccionar os papiros e, mesmo apresentando a desvantagem de não ser durável, foi utilizada para a escrita durante muitos séculos.

BRITISH MUSEUM, LONDON, UK / BRIDGEMAN IMAGES/EASYPIX

Resposta esperada: Significa que em 1 m² de área desse papel sulfite a massa é de 75 g.

Atualmente, os papéis são fabricados basicamente a partir da madeira de eucaliptos e produtos químicos. O papel sulfite, por exemplo, está disponível em diversas cores e dimensões, que são padronizadas. Outra característica a observar é sua gramatura, definida como a massa do papel em gramas em uma área de 1 m2. A gramatura ajuda a definir qual é o melhor papel para cada tipo de impressão; por exemplo, se a impressão é frente e verso, o ideal é uma gramatura acima de 115 g/m2, para não correr o risco de ver aquilo que foi impresso no lado oposto.

MORA, A. L.; GARCIA, C. H. A cultura do eucalipto no Brasil. São Paulo: SBS, 2000. p. 52-53. Disponível em: <www.ipef.br/publicacoes/a_cultura_ do_eucalipto_no_brasil>. Acesso em: 18 set. 2018.

3000 a.C.

Dias atuais

200 a.C.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 1 da BNCC, uma vez que o tema valoriza e utiliza os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo

social e cultural para entender e explicar a realidade, nesse caso, o desenvolvimento do sistema produtivo do papel. Promover uma roda de conversa questionando os alunos se eles conheciam a história do papel; que tipos de papel já utilizaram e com qual finalidade. Se possível, levar para

[...] A madeira de eucalipto é utilizada para a fabricação de papel para escrever, principalmente devido às características de alta densidade e bom rendimento na produção de pasta celulósica. Trata-se de uma fibra [...] que permite a fabricação de produtos com elevada absorção, maciez, além de opacidade e boa definição de impressão. Para a produção de 1 tonelada de papel para escrever são necessárias cerca de 30 árvores. Por sua vez, 1 hectare de plantação de eucalipto produz cerca de 50 toneladas de papel para escrever. [...]

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a sala de aula alguns tipos de papel, como papel sulfite, papel-manteiga, papel-alumínio, papel-kraft, papel-cartão, papel-carbono e o reciclado e reservar um tempo para que os alunos possam manuseá-los a fim de perceber as principais diferenças entre eles.

Aproveitar para conversar sobre a importância do uso de madeira de reflorestamento na indústria do papel. Explicar que dessa maneira se preservam as florestas nativas e se protegem os recursos hídricos devido à manutenção das matas ciliares. Comentar que no Brasil, o papel fabricado é obtido da extração da madeira de florestas plantadas para fins industriais. Complementar o primeiro item proposto, perguntando aos alunos quais tipos de papéis eles costumam utilizar no dia a dia. Chamar a atenção deles para a quantidade de papel utilizada em embalagens de diferentes produtos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área de quadriláteros

ÁREA DE QUADRILÁTEROS Neste tópico buscam-se estabelecer expressões para o cálculo da área de retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio, além de propor a resolução e elaboração de problemas envolvendo a área de figuras. Antes de iniciar o trabalho com a área dos quadriláteros, explorar os conhecimentos prévios dos alunos, pois eles podem ter estudado esse conteúdo em anos anteriores. Para isso, questionar se eles sabem como determinar a área de uma figura de retângulo. Espera-se que eles respondam que uma estratégia para obter a área de um retângulo, conhecendo as medidas de sua largura e de seu comprimento, é multiplicar uma dessas medidas pela outra.

Essa folha de sulfite tem o formato de qual quadrilátero? Resposta esperada: Retângulo.

A seguir, estudaremos a área de diferentes quadriláteros, o que possibilita, por exemplo, calcular a área da folha representada acima, dado necessário para determinar a gramatura do papel.

Área do retângulo e do quadrado Em anos anteriores, estudamos que para calcular a área de um retângulo multiplicamos a medida de seu comprimento pela medida de sua largura. Como o quadrado é um caso particular de retângulo, em que os quatro lados têm medidas iguais, podemos calcular sua área multiplicando a medida de um lado por si mesma.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Área do quadrado

• Área do retângulo

A = a ? b ou A = b ? a

A = a ? a ou A = a²

Utilizando essas fórmulas, podemos resolver diversos problemas. Observe, por exemplo, como resolver o problema a seguir, proposto em uma edição da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (Obmep).

OBMEP 2015

(Obmep-2015) A figura abaixo é formada por dois quadrados de lado 6 cm e dois triângulos. Se M é o ponto médio de AB, qual é a área total da figura?

a) 90 cm²

c) 100 cm²

b) 96 cm²

d) 108 cm²

e) 120 cm²

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3 cm 6 cm 9 cm 6 cm 3 cm 6 cm

6 cm 12 cm

12 ? 9 = 108, ou seja, 108 cm2.

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• 2a) Depois, determinamos

a área das duas partes triangulares que não compõem a figura original. Para isso, calculamos a área do retângulo de lados 6 cm e 3 cm que pode ser obtido com a composição dessas partes.

EDITORIA DE ARTE

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OBMEP 2015

Área do retângulo e do quadrado Na resolução da questão da Obmep, verificar se os alunos compreenderam como as medidas foram obtidas a partir das informações apresentadas no enunciado. Explicar que a medida igual a 3 cm, indicada na imagem, foi obtida a partir da informação de que M é o ponto médio de ABx. Relembrá-los de que o ponto médio de um segmento de reta divide esse segmento em outros dois congruentes. Assim, AMx é congruente a MBx e ambos medem 3 cm, pois ABx corresponde a um lado de um dos quadrados, que mede 6 cm. Chamar a atenção dos alunos para o fato de que as duas figuras de triângulo verde podem compor uma figura de retângulo com 18 cm2 de área. Se julgar conveniente, apresentar aos alunos outra estratégia para obter a área total da figura, indicada pelas seguintes etapas: • 1a) A partir das medidas indicadas, determinamos a área do retângulo de lados 12 cm e 9 cm.

Nas páginas de abertura desta Unidade, foram apresentadas informações sobre o papel. Vimos, por exemplo, que para determinar a gramatura de uma folha de papel sulfite como a representada abaixo temos que dividir sua massa (em grama) pela área (em metro quadrado).

3 cm

6 cm

6 ? 3 = 18, ou seja, 18 cm2.

• 3a) Por fim, calculamos a

área da figura original. A = 108 _ 18 = 90, ou seja, 90 cm2.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

OBMEP 2015

Podemos indicar as seguintes medidas na figura apresentada e calcular a área de um retângulo com lados medindo 6 cm e 3 cm (I), composto de dois triângulos, e a área de um quadrado com lados medindo 6 cm (II), considerando duas figuras de quadrado dessas. Assim, podemos calcular as áreas a seguir. I) Ar = 6 ? 3 = 18, ou seja, 18 cm². 3 cm II) Aq = 6² = 36, ou seja, 36 cm². 6 cm Assim, segue que: A = 2 ? 36 + 18 = 90, ou seja, 90 cm². Portanto, a alternativa a é a correta.

6 cm 3 cm 6 cm

Área do paralelogramo Na dedução da fórmula para calcular a área do paralelogramo, o trabalho de composição e decomposição de figuras pode ser amparado por quebra-cabeças, como o tangram. Na etapa 2, relembrar com os alunos a definição de retângulo (paralelogramo com os quatro ângulos internos retos) e questioná-los por que podemos afirmar que o polígono obtido é um retângulo. Destacar que no retângulo obtido a partir da decomposição do paralelogramo, a medida do comprimento corresponde à medida da base do paralelogramo e a medida da largura corresponde à medida da altura do paralelogramo. Esclarecer que os termos comprimento e largura são comumente utilizados para se referir às dimensões do retângulo. É importante que os alunos percebam que a altura de um paralelogramo corresponde à distância entre as retas que passam por dois de seus lados opostos paralelos, tomados como referência.

6 cm

Área do paralelogramo

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Observe como podemos, realizando decomposições e composições de figuras, deduzir uma fórmula para calcular a área de um paralelogramo, em que b é a medida da base e h é a medida da altura. 1a) Decompomos o paralelogramo. 2a) Deslocamos o triângulo e compomos um retângulo. h

3a) O retângulo obtido e o paralelogramo têm a mesma área, que podemos expressar por: A=b?h Vamos resolver o problema a seguir usando a fórmula obtida para a área de um paralelogramo.

40 m 100 m

ARTUR FUJITA

A figura ao lado representa parte de um bairro. A região em verde tem formato de paralelogramo e corresponde a uma praça, na qual será plantada grama ao custo de R$ 1,80 por metro quadrado. Quantos reais vai custar para plantar grama em toda essa praça?

Inicialmente, calculamos a área da praça. A = 100 ? 40 = 4 000, ou seja, 4 000 m². Como o plantio de cada metro quadrado de grama custa R$ 1,80, segue que: 4 000 ? 1,80 = 7 200 Portanto, o custo para plantar grama em toda essa praça é de R$ 7 200,00. 167

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do losango

Área do losango Na dedução da fórmula para calcular a área do losango, é possível verificar as congruências dos triângulos por meio do tangram, de recortes ou com dobraduras. É importante que os alunos percebam que, como o retângulo é composto por oito triângulos idênticos e o losango é formado por quatro desses triângulos, a área do losango corresponde à metade da área do retângulo. Além disso, a expressão D ? d indica a área de um retângulo de comprimento D e largura d. Na resolução do problema, verificar se os alunos compreenderam como foram obtidas as medidas da diagonal maior e da diagonal menor do losango. Se julgar necessário, auxiliá-los com a representação indicada na parte inferior desta página.

Observe como podemos deduzir uma fórmula para calcular a área de um losango em que D é a medida da diagonal maior e d, a medida da diagonal menor. 1a) Traçamos as diagonais do losango.

2 ) Construímos um retângulo traçando cada lado de maneira que passe por um vértice do losango e seja paralelo a uma de suas diagonais.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

3a) A área do losango corresponde à metade da área do retângulo obtido e pode ser expressa por: A=

D?d 2

Utilizando a fórmula para o cálculo da área do losango, vamos resolver o problema a seguir.

Para decorar a sala de sua casa, Heitor encomendou em uma vidraçaria um painel retangular com moldura em madeira e composto de placas de espelho idênticas, com formato de losango, como representado ao lado. Quantos centímetros quadrados deve ter cada placa de espelho?

BENTINHO

150 cm

240 cm

Para resolver esse problema, inicialmente note que a medida da diagonal maior (D) de cada placa de espelho corresponde à terça parte de 150 cm, e a da diagonal menor (d), à oitava parte de 240 cm. • d = 240 = 30, ou seja, 30 cm. • D = 150 = 50, ou seja, 50 cm. 3 8 Assim, a área de cada placa é dada por: A = 50 ? 30 = 1 500 = 750 2 2 Portanto, cada placa de espelho desse painel tem 750 cm². 168

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BENTINHO

50 cm

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30 cm

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do trapézio

Área do trapézio Destacar que a altura de um trapézio corresponde à distância entre as retas que passam por seus lados opostos paralelos. Uma possibilidade para realizar a dedução prática da fórmula da área do trapézio é propor aos alunos que representem em uma folha de papel dois trapézios idênticos. Em seguida, recortem-nos e façam a composição indicada na etapa 2. Com isso, espera-se que eles verifiquem que esses trapézios juntos possuem área equivalente à de um paralelogramo com base de medida igual à da soma das medidas da base menor e maior do trapézio, e cuja altura é a mesma do trapézio; o que justifica a divisão por 2 na fórmula. Na fórmula da área do trapézio, explicar que a expressão (B + b) ? h indica a área de um paralelogramo cuja base mede (B + b) e a altura mede h. Para complementar o problema proposto, pedir aos alunos que verifiquem, utilizando a fórmula da área do trapézio, que a região do terreno com formato de um trapézio tem área igual a 108 m2. Espera-se que eles determinem a medida da base maior e da base menor desse trapézio, com base nas medidas obtidas da região do terreno com formato retangular.

Considere a representação de um trapézio, em verde, em que b é a medida da base menor, B é a medida da base maior e h é a medida da altura. Observe como podemos deduzir uma fórmula para calcular a área desse trapézio. 1a) Construímos um novo trapézio congruente ao inicial, porém em outra posição. b

h B

2 ) Compomos um paralelogramo utilizando os dois trapézios. a

h B+b

3a) A área do trapézio em verde corresponde à metade da área do paralelogramo obtido e pode ser expressa por: A=

(B + b) ? h 2

Paulo tem um terreno com formato de trapézio retângulo e cujas medidas estão representadas ao lado. Com uma cerca paralela a AB, Paulo vai dividir o terreno em duas regiões de mesma área: uma com formato de retângulo e a outra, de trapézio. Quais são as medidas das dimensões da região retangular que serão obtidas?

16 m

12 m

20 m

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Com essa fórmula, vamos resolver o problema a seguir.

Inicialmente, calculamos a área total do terreno. A = (20 + 16) ? 12 = 36 ? 12 = 432 = 216, ou seja, 216 m². 2 2 2 Como as duas regiões em que o terreno será dividido devem ter a mesma área, fazemos: 216 = 108, ou seja, 108 m². 2 Assim, como a região retangular deverá ter 108 m², com 12 m de comprimento, temos que a medida de sua largura é dada por: 108 = 9, ou seja, 9 m. 12 Portanto, a região retangular que será obtida deverá ter dimensões com 12 m e 9 m. 169

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Calcule a área dos quadriláteros a seguir.

18 cm

12 cm 25 cm

b) Paralelogramo. 315 cm².

7 cm 1 cm

24 cm 10 cm

MFC

1 cm

d) Losango. 160 cm².

Qual é a área da parte vermelha dessa figura? 24,5 cm². 20 cm

21 cm

16 cm 15 cm

4. No jogo de damas, o tabuleiro é dividido igualmente em 64 casas quadradas. O tabuleiro de damas, representado a seguir, tem 1 024 cm² de área. Qual é a medida do lado de cada casa desse tabuleiro? 4 cm. COM

450 cm².

c) Trapézio. 180 cm².

BENTINHO

a) Retângulo.

Observe.

NI OVA ANTO

NA/SHUTT

ERSTOCK.

2. Na aula de Arte, Renata utilizou uma malha com figuras de quadradinhos de 1,5 cm de lado para representar a obra C9216 do artista Luiz Sacilotto (1924-2003). Nessa representação, quantos centímetros quadrados tem ao todo a região em azul?

GERMAN

22,5 cm².

Tabuleiro de damas.

5. Estudamos nas páginas 164 e 165 que a gramatura de um papel é definida como a massa do papel em gramas em uma área de 1 m2. A folha de papel A4 representada a seguir tem gramatura de 75 g/m2. Quantos gramas, aproximadamente, têm 500 folhas? 2 338,875 g. 3. Joana joga no time de futebol do bairro em que mora: Meninas Futebol Clube. Ela está desenhando em um programa de computador uma figura para o escudo do time, que será impresso nas camisas das jogadoras. Essa figura é composta de um losango sobre uma região retangular.

297 mm

210 mm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo da área de quadriláteros. É importante ressaltar aos alunos que, independentemente da posição de cada quadrilátero, é preciso estar atento às suas características para utilizar a fórmula correspondente. 2. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos: uma delas pode ser compor uma região azul com dez figuras de quadrado de 1,5 cm de lado; outra estratégia pode ser decompor a região azul em seis figuras de trapézio, sendo quatro delas com 3 cm de base maior, 1,5 cm de base menor e 1,5 cm de altura; e duas delas com 4,5 cm de base maior, 1,5 cm de base menor e 1,5 cm de altura. Para complementar, propor aos alunos que façam representações das obras do artista Luiz Sacilotto utilizando malha quadriculada. Para isso, reproduzir e entregar a eles uma malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio. Depois, pedir a eles que calculem a área de algumas regiões das representações. 3. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. 4. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. Verificar se os alunos perceberam que uma estratégia para determinar a medida do lado de cada casa do tabuleiro é realizar o cálculo de raiz quadrada. 5. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. Dizer aos alunos que uma resma é um termo utilizado para se referir a uma quantidade de 500 folhas de papel. Para auxiliá-los na resolução, propor os seguintes questionamentos.

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

5 cm

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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• Qual é a área de uma fo-

lha de papel A4 em milímetro quadrado? E em metro quadrado? Respostas: 62 370 mm2. 0,06237 m2. • Qual é a área ocupada por 500 dessas folhas de papel A4, ajustadas sem sobreposição, em metro quadrado? Resposta: 31,185 m2.

• Considerando que a gra-

matura da folha de papel A4 representada é 75 g/m2, qual é a massa desse papel, em grama, em 1 m2 de área? E em 31,185 m2 de área? Respostas: 75 g. 2 338,875 g.

AMPLIANDO

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Sugerir aos alunos que acessem este site para obter informações sobre o artista Luiz Sacilotto e suas obras. • SACILOTTO. Disponível em: <http://livro.pro/tc2zya>. Acesso em: 8 nov. 2018.

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6. Em cada item, calcule a área total da figura, de acordo com a legenda. a) 100 cm².

6 cm

2 cm

Retângulo.

Trapézio.

Losango.

Paralelogramo.

b) 132 cm².

10 cm

Se julgar conveniente, sugerir aos alunos que utilizem calculadoras. 8. Esta atividade trabalha o cálculo da área de quadriláteros. No item b, conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas. Questioná-los se é possível obter a área do quadrilátero representado em azul, sem utilizar uma fórmula. Uma estratégia é inicialmente decompor a figura azul em dois triângulos: um de base BCx e outro de base MBx. Em seguida, calcular a área de cada um desses triângulos por meio da área do quadrado obtida no item a: a área do triângulo de base BCx cor1 responde a da área do qua4 1 drado ( ? 25 = 6,25, ou seja, 4 6,25 cm2); a área do triângulo de base MBx corresponde a 1 da área do quadrado 8 1 ( ? 25 = 3,125, ou seja, 8 3,125 cm2). Assim, a área da figura azul é dada por: 6,25 + 3,125 = 9,375, ou seja, 9,375 cm2. 9. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. É importante avaliar se os problemas contemplam ideias relacionadas ao conceito proposto. Ao final, se julgar conveniente, pedir aos alunos que compartilhem entre si essas produções, visto que esses problemas podem apresentar diferentes estruturas.

6 cm

4 cm 4 cm

6 cm

4 cm

6 cm

10 cm

14 cm

7. Leia a tirinha a seguir.

SOUSA, M. Turma da Mônica, nº- 5157.

Para construir um carrinho como o apresentado na tirinha, o avô de Mateus vai cortar pedaços de madeira com formatos de retângulos, quadrados e de trapézios retângulo, com as medidas indicadas a seguir. 60 cm

84 cm 48 cm

60 cm

60 cm 48 cm

120 cm 120 cm

84 cm 48 cm

60 cm 120 cm

8. O quadrado ABCD representado ao lado tem 20 cm de perímetro e M é o ponto médio de AB. a) Qual é a área do quadrado ABCD? 25 cm². b) Como pode ser classificado o quadrilátero representado em azul? Qual é a área dessa figura? A B M Resposta esperada: Trapézio retângulo; 9,375 cm². 9. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo da área de um quadrilátero ou de uma figura formada por quadriláteros. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Para pintar a parte externa do carrinho, será utilizada uma tinta que cobre 10 m² por litro. Quantos mililitros de tinta serão necessários? 234,72 mL.

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6. Esta atividade trabalha o cálculo da área de figuras compostas por quadriláteros. 7. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. Orientar os alunos em relação à conversão de medidas. Verificar se eles perceberam que é necessário converter as

medidas de centímetros para metros ou de centímetros quadrados para metros quadrados, já que as medidas do carrinho foram dadas em centímetros e o rendimento da tinta, em metros quadrados. Para indicar a resposta em mililitros, os alunos podem utilizar a propriedade fundamental

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das proporções considerando que a quantidade de tinta que será utilizada é proporcional à área da parte externa do carrinho a ser pintada. Área pintada Quantidade (m2) de tinta (mL) 10

1 000

2,3472

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10. Bianca representou uma figura geométrica espacial montando um molde, conforme indicado. 4 cm 5 cm

Certo televisor com formato widescreen tem uma tela com 48 cm de largura. Qual é a área da tela desse televisor? 4 096 cm². 13. Um terreno com formato de paralelogramo foi dividido por um muro em duas regiões idênticas, com formato de trapézio retângulo, cada uma com 175 m². Observe.

12 cm

Calcule a área total da superfície dessa figura geométrica, sabendo que as arestas das bases têm medidas iguais e as arestas laterais, também. 266 cm². 11. (Enem-2017) A figura traz o esboço da planta baixa de uma residência. Algumas medidas internas dos cômodos estão indicadas. A espessura de cada parede externa da casa é 0,20 m e das paredes internas, 0,10 m. Sabe-se que, na localidade onde se encontra esse imóvel, o Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU) é calculado conforme a área construída da residência. Nesse cálculo, são cobrados R$ 4,00 por cada metro quadrado de área construída. O valor do IPTU desse imóvel, em real, é: a) 250,00. c) 258,64. e) 286,00. b) 250,80. d) 276,48. Alternativa e. 12. Algumas telas de televisores e computadores têm um formato padrão chamado widescreen. Nele, é mantida a proporção 16 : 9 entre as medidas das dimensões da tela retangular, ou seja, a cada 16 unidades no comprimento, têm-se 9 unidades na largura.

15 m

10 m

a) Qual é o comprimento do muro que divide o terreno? 14 m. b) Qual é a área total desse terreno? 350 m². 14. Para realizar uma atividade na aula de Arte, Marta traçou dois segmentos de reta dividindo uma folha de papel quadrada em quatro figuras idênticas. Depois, ela recortou essas figuras, ajustou-as sobre uma folha de papel azul, determinando a figura de um quadrado azul ao centro da composição. Observe. 12 cm 3 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 10. Esta atividade trabalha o cálculo da área de quadriláteros que compõem a superfície de um prisma. Para o cálculo da área total da superfície dessa representação de prisma, orientar os alunos a utilizarem as medidas indicadas no molde, desconsiderando as abas para montagem. 11. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. Caso os alunos tenham dificuldade para obter a área construída da residência, orientá-los a inicialmente determinar a medida do comprimento (11 m) e da largura (6,5 m) total da área construída, considerando as medidas dos cômodos e das paredes, indicadas na imagem. Em seguida, eles devem calcular a área da região retangular correspondente a toda a construção. 12. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. 13. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. Conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas por eles. É possível que resolvam esta atividade utilizando o cálculo da área do paralelogramo ou o cálculo da área do trapézio. 14. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. É importante que os alunos compreendam como foi obtida a figura do quadrado azul, a partir das partes recortadas. Orientá-los a observar as indicações dos ângulos retos na primeira imagem e, depois, as indicações desses mesmos ângulos na última imagem, para obter as medidas dos lados de cada peça e, consequentemente, dos lados do quadrado em azul ao centro da composição.

ENEM 2017

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Qual é a área da figura de quadrado azul ao centro da composição obtida? 81 cm². b) Qual é a área total da composição obtida? 306 cm².

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D3-MAT-F

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do triângulo

ÁREA DO TRIÂNGULO Neste tópico busca-se estabelecer expressões para o cálculo da área de triângulos e propor a resolução e elaboração de problemas envolvendo a área de figuras. É importante que os alunos compreendam que a altura de um triângulo corresponde à medida de um segmento de reta perpendicular a um de seus lados ou ao seu prolongamento (tomado como referência), com uma extremidade nesse lado ou prolongamento e outra no vértice oposto. Além disso, chamar a atenção deles para o fato de que, na fórmula para calcular a área do triângulo, a expressão b ? h corresponde à área de um paralelogramo cuja base mede b e a altura mede h. O estudo da fórmula de Herão também foi realizado na Unidade 7 do Volume 7 desta coleção. Para complementar, ler para os alunos o trecho a seguir sobre os trabalhos desse matemático, que também é conhecido como Herão de Alexandria.

h b

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Observe como podemos obter uma fórmula para calcular a área de um triângulo em que b é a medida da base e h é a medida da altura. 1a) Construímos um triângulo congruente 2a) Compomos um paralelogramo utilizando ao inicial, porém em posição diferente. os dois triângulos.

3a) A área de cada triângulo corresponde à metade da área do paralelogramo obtido. Assim, podemos expressar a área do triângulo inicial por: A=

b?h 2

Também podemos utilizar a fórmula de Herão para calcular a área de um triângulo, conhecendo a medida de seus lados: a, b e c. A = s ? (s _ a) ? (s _ b) ? (s _ c) Lembre-se de que o semiperímetro de um polígono corresponde à metade de seu perímetro.

Na fórmula, s é o semiperímetro do triângulo. Observe o cálculo da área dos triângulos representados a seguir utilizando essas fórmulas. a)

Nesse caso, como conhecemos as medidas de uma base 10 cm

do triângulo e da altura relativa a ela, podemos utilizar a b?h fórmula A = . 2

12 cm

15 cm

12 ? 10 120 = = 60, ou seja, 60 cm². 2 2

Nesse caso, como conhecemos as medidas dos três lados do triângulo, podemos utilizar a fórmula de Herão.

13 cm 14 cm

• Semiperímetro 13 + 14 + 15 42 = = 21, ou seja, 21 cm. s= 2 2

• Área A = 21 ? (21 _ 13) ? (21 _ 14) ? (21 _ 15) =

21 ? 8 ? 7 ? 6 = 7 056, ou seja, 84 cm². 173

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[...] Seus trabalhos sobre matemática e física são tão numerosos e variados que é costume apresentá-lo como um enciclopedista dessas áreas. [...] seus escritos, que com tanta frequência enfatizam mais as aplicações práticas do que o acabamento teórico, mostram uma fusão curiosa do grego com o oriental. Ele se empenhou em fornecer uma fundamentação científica para a engenharia e a agrimensura. Cerca de quatorze tratados de Herão, alguns visivelmente editados muitas vezes, chegaram até nós, e há referências a outros que se perderam. [...] EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 205.

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Área de um polígono regular Antes de iniciar o trabalho com esta página, relembrar aos alunos que um polígono é regular quando possui todos os lados e todos os ângulos internos com medidas iguais. Além disso, é importante considerar que em alguns polígonos regulares que serão apresentados as medidas indicadas são aproximadas. Na etapa 1, lembrar aos alunos que a mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento em seu ponto médio. Explicar que, como os lados de um polígono são segmentos de reta, podemos obter a mediatriz de cada um de seus lados. Na etapa 3, verificar se os alunos compreenderam a utilização do caso de congruência dos triângulos. Explicar a eles que ABx, BCx, CDx, DEx e EAx são congruentes entre si, pois correspondem aos lados do pentágono regular ABCDE e que OAx , OBx , OCx , ODx e OEx também são congruentes entre si, pois correspondem ao raio da circunferência de centro O. Se julgar necessário, apresentar aos alunos a seguinte representação.

Área de um polígono regular Podemos calcular a área de um polígono regular decompondo-o em triângulos. Observe, por exemplo, como podemos calcular a área de um pentágono regular ABCDE, representado a seguir. 1a) Ao traçar a mediatriz de cada lado do pentágono regular, obtemos um ponto O onde tais mediatrizes se cruzam. Dizemos que esse ponto é o centro do polígono. B

O D

2a) Com centro em O, traçamos uma circunferência contendo todos os vértices do pentágono, ou seja, que o circunscreve. B

C O

3 ) Traçamos segmentos de reta com uma extremidade em O e a outra em cada vértice do pentágono, obtendo cinco triângulos. Pelo caso LLL, esses triângulos são congruentes entre si. a

C O

Portanto, para determinar a área do pentágono regular, basta calcular a área de um dos triângulos congruentes em que ele foi decomposto e multiplicar pela quantidade total de triângulos. Assim, considerando o pentágono regular a seguir e sabendo que a altura de cada triângulo em que ele foi decomposto tem 2 cm, temos que sua área é dada por:

quantidade de triângulos C 3 cm

A O

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

B D

2 cm A

3?2 6 = 5 ? = 5 ? 3 = 15, ou seja, 15 cm² . 2 2 área de um dos triângulos

De maneira similar, para calcular a área de um polígono regular de n lados podemos decompô-lo em n triângulos congruentes.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Para complementar o boxe Dica, apresentar outros exemplos de polígonos regulares decompostos em triângulos congruentes, como os indicados a seguir, explorando o caso LLL (lado, lado, lado) de congruência de triângulos. O estudo dos casos de congruência de triângulos foi realizado na Unidade 5 deste Volume.

A=5?

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

1. Calcule a área dos triângulos representados a seguir. a) 8 cm². 4 cm

a) Qual é a área desse tangram? 16 cm². b) Qual é a área de cada figura de triângulo do tangram? I: 4 cm²; II: 4 cm²; III: 1 cm²; V: 1 cm²; VII: 2 cm². c) Calcule a área das figuras a seguir, compostas por peças desse tangram. • Figura A. 2 cm².

4 cm

b) 12 cm².

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo da área de triângulos. Pedir aos alunos que justifiquem o uso da fórmula escolhida em cada item para obter a área dos triângulos. É importante que eles percebam que essa escolha depende das medidas que estão indicadas. 2. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de triângulos. Para complementar, sugerir aos alunos que façam a representação do tangram conforme apresentada nesta atividade. Para isso, reproduzir e entregar a eles uma malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio. Para complementar esta atividade, se julgar conveniente, reproduzir e distribuir aos alunos o tangram disponível no Material de apoio para que, em duplas, eles recortem as peças e formem figuras de diferentes áreas. 3. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de triângulo representado no plano cartesiano. Relembrar aos alunos que o plano cartesiano é composto de duas retas numeradas e perpendiculares entre si. As retas horizontal e vertical, denominadas eixo das abscissas (eixo x) e eixo das ordenadas (eixo y), respectivamente, cruzam-se, denominado origem.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

6 cm

5 cm

• Figura B. 4 cm². 5 cm

c) 15,6 cm².

4,8 cm

• Figura C. 8 cm².

6,5 cm

d) 7,5 cm 13,5 cm².

4,5 cm

6 cm

I II

• Figura D. 8 cm². ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2. O tangram é um quebra-cabeça chinês muito antigo, construído a partir de uma figura de quadrado que é decomposto em sete peças com formato de polígonos. Com essas peças é possível, sem sobrepô-las, montar diversas figuras, como animais e objetos. Observe a representação de um tangram na malha quadriculada, e responda às questões.

3. Larissa desenhou o seguinte triângulo em um plano cartesiano, sendo que nos eixos a unidade utilizada foi de 1 cm. Determine a área desse triângulo. 25 cm².

III

y 4 3

V VI

VII 0,5 cm 0,5 cm

_3 _2 _1 0 _1 C

2 3 4

5 6

7 x B

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Dado de 8 faces.

Molde do dado.

2 cm A

LUCAS FARAUJ

ATIVIDADES 4. Esta atividade trabalha a identificação de característica do cálculo das áreas de triângulos. Propor aos alunos que, antes de responder à pergunta da atividade, façam uma construção parecida com a de Cristiano utilizando régua e esquadro. Para a construção das retas paralelas r e s, apresentar aos alunos as seguintes etapas. 1a) Com a régua, traçar uma reta vertical. 2a) Ajustar um dos lados do esquadro a essa reta e, apoiando a régua de maneira fixa no lado do esquadro que está sobre a reta, deslizar o esquadro sobre a régua, nos dois sentidos. 3a) Traçar duas retas, r e s, de acordo com as posições do esquadro. Após as retas traçadas, orientar os alunos para que marquem os pontos A e B em r e os pontos C, D, E e F em s e, depois, representem triângulos de maneira que A e B sejam dois de seus vértices e que o terceiro vértice seja um dos pontos em s. Esclarecer que não é necessário que a distância entre as retas r e s construídas por eles seja a mesma obtida por Cristiano. O importante é que os alunos compreendam a relação entre as áreas dos triângulos obtidos com base nesses procedimentos. Se julgar necessário, atribuir valores numéricos às medidas da base e da altura e calcular a área desses triângulos. 5. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de triângulos e de quadrilátero. 6. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de triângulo e de quadrilátero. 7. Esta atividade trabalha o cálculo da área de triângulos que compõem a superfície de um octaedro. Esclarecer que o dado de oito faces apresentado tem o formato de um octaedro regular. Explicar que

4. Resposta esperada: Temos que os triângulos ABC, ABD, ABE e ABF possuem AB como lado comum. Além disso, as alturas desses triângulos em relação ao lado AB têm medidas iguais, pois r e s são retas paralelas. Portanto, esses triângulos têm áreas iguais. 7. Para brincar com um jogo, Renan e seus 4. Para resolver esta atividade, reúna-se com amigos montaram um dado de oito faces, um colega. que correspondem a triângulos equiláteCom régua e esquadro, Cristiano traçou ros congruentes. Observe. duas retas paralelas r e s. Depois, marcou os pontos A e B em r e outros quatro pontos em s. Por último, ele desenhou alguns triângulos de maneira que A e B fossem dois de seus vértices e que o terceiro vértice fosse um dos pontos em s. Observe.

Que relação pode ser observada entre as áreas dos triângulos desenhados por Cristiano?

Com auxílio de uma calculadora, determine a área total aproximada da superfície desse dado. 3,46 cm².

5. Josemar trabalha em uma serralheria e, para produzir uma peça, ele corta uma chapa de metal retangular em quatro pedaços idênticos, cada um com 750 cm², descartando os dois pedaços menores que sobram, conforme indicado a seguir.

8. Calcule a área dos polígonos regulares representados a seguir, cujo centro é o ponto O.

a) 84 cm².

7 cm

30 cm 120 cm

a) Qual é a área total dos pedaços que vão sobrar da chapa? 600 cm². b) Quais são as medidas x e y, em centímetros? x = 50 cm; y = 20 cm. 6. Elza possui um terreno representado pela figura de retângulo ABCD a seguir. Ela quer instalar uma cerca, indicada por BE, com E sobre AD, de maneira que a região em azul tenha o dobro da área da região em verde, onde será feito um jardim. A quantos metros de A deve ficar o ponto E? 8 m. B 12 m C 8m

b) 70,2 cm².

9 cm

5,2 cm

c) 120 cm².

12 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

9. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo da área de um triângulo ou de uma figura formada por triângulos. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

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o octaedro regular é um dos176 D3-MAT-F2-2049-V8-164-187-U06-LA-G20.indd cinco poliedros regulares que existem. 8. Esta atividade trabalha o cálculo da área de polígonos regulares por meio da decomposição em triângulos. 9. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema pelo aluno envolvendo o

cálculo da área de triângulos. Ao final, uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados por eles sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do círculo

ÁREA DO CÍRCULO Para complementar o trabalho com o conteúdo destas páginas, leia para os alunos o trecho a seguir, que apresenta mais informações sobre o Disco de Newton.

Você sabe o que é o Disco de Newton? Observe como podemos confeccionar um Disco de Newton.

Recorte de um papelão um disco circular. Com régua e transferidor, divida-o em 7 partes aproximadamente iguais.

Pinte, com tinta guache, cada parte com uma cor: vermelha, laranja, amarela, verde, azul, anil e violeta.

Pelo centro do disco, passe um lápis. Depois, gire esse disco rapidamente até visualizar a cor branca (na verdade, é provável que você visualize um tom de cinza claro, pois as cores não são puras).

[...]

ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

Fonte dos dados: SILVEIRA, M. V.; BARTHEM, R. B. D. DISCO de Newton com LEDs. Revista Brasileira De Ensino De Física, Rio de Janeiro, n. 4, jun. 2016. Disponível em: <www.scielo.br/ scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172016000400602&lng=pt&tlng=pt>. Acesso em: 1º- out. 2018.

fique ligado

Newton

GEORGIOS KOLLIDAS/SHUTTERSTOCK.COM

O físico inglês Sir Isaac Newton (1642-1727) fez contribuições a diversas áreas do conhecimento, como à Matemática e à Física. Em um de seus estudos, Newton observou que as cores do arco-íris resultam da decomposição da luz branca, o que foi representado no experimento do disco colorido, conhecido por Disco de Newton. Retrato de Isaac Newton (1837). Fonte dos dados: ROONEY, A. A História da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Books do Brasil Editora, 2012. p. 157.

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Isaac Newton [...] estudou profundamente a propriedade de dissociação da luz branca, ao atravessar um prisma de vidro, em feixes de luzes de diversas outras cores. Newton teria encontrado sete cores, coincidência ou não, o mesmo número das notas musicais. No segundo problema da 6ª proposição do seu livro Optics, na edição de 1730, Newton utiliza um círculo com sete fatias, como uma pizza, propondo que cada uma das sete fatias represente uma das sete cores observadas, a saber: vermelha, laranja, amarela, verde, azul, anil e violeta. Usando uma forma de cálculo geométrico, Newton descreve as cores resultantes a partir da combinação das sete cores que ele considerou como sendo primárias. [...] SILVEIRA, M. V.; BARTHEM, R. B. Disco de Newton com LEDs. Revista Brasileira de Ensino de Física, Rio de Janeiro, n. 4, jun. 2016.

Propor aos alunos a confecção do Disco de Newton. Para isso, providenciar previamente os materiais necessários (papelão, régua, transferidor, compasso, tinta guache nas cores indicadas e lápis) e orientá-los para que dividam o disco circular em setores de aproximadamente 51° cada. Explicar a eles que a cor anil desse disco corresponde a uma tonalidade de azul.

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Durante o trabalho da composição da figura que lembra o paralelogramo, com base no círculo, explicar aos alunos que, conforme aumentamos a quantidade de partes iguais em que o círculo é dividido, cada vez mais a figura composta por essas partes se aproxima do formato de um paralelogramo. No boxe Dica, se julgar necessário, retomar com os alunos o estudo do comprimento da circunferência, tratado na Unidade 5 deste Volume.

Aline confeccionou seu Disco de Newton desenhando e pintando um círculo com 10 cm de raio em um pedaço de papelão. Qual é a área desse círculo? Antes de resolvermos esse problema, vamos deduzir uma fórmula para o cálculo da área de um círculo. Para isso, considere o círculo a seguir, de centro O e raio de medida r, dividido igualmente em 15 partes.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Agora, compomos com essas 15 partes uma figura que lembra um paralelogramo. Observe. A medida da altura corresponde aproximadamente à medida do raio do círculo. r pr A medida da base corresponde a cerca da metade do comprimento da circunferência.

Lembre-se que o comprimento de uma circunferência de raio com medida r é dado por c = 2pr, em que p é aproximadamente 3,14. Assim, a metade desse comprimento é dada por: pr.

Utilizando a fórmula da área do paralelogramo, temos: medida da base

medida da altura

Ap = pr ? r = pr2 Assim, como a figura que lembra o paralelogramo foi composta com as partes do círculo, temos que a área do círculo é dada por: A = pr²

Veja no material audiovisual o vídeo sobre a dedução da expressão usada para calcular a área do círculo.

Com essa fórmula e utilizando 3,14 como uma aproximação de p, podemos resolver o problema proposto inicialmente: A = p ? 10² A = p ? 100 A 1 3,14 ? 100 = 314 Portanto, o círculo que Aline desenhou tem cerca de 314 cm2 de área. 178

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre o cálculo da área do círculo. Nesse vídeo aborda-se uma maneira de deduzir a expressão utilizada para calcular a área de um círculo por meio de polígonos regulares inscritos na circunferência que o delimita. Além disso, apresenta-se também possíveis métodos usados por povos da antiguidade para calcular o valor aproximado do número p.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

r = 2 cm O 135º

EDITORIA DE ARTE

Agora, vamos calcular a área do setor circular em azul, representado a seguir.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo da área de círculos. 2. Esta atividade trabalha a construção de um círculo dada a medida de sua área. Se julgar necessário, auxiliar os alunos na construção do círculo a partir da obtenção de seu raio. Orientá-los a abrir o compasso com uma abertura de 5 cm, com o auxílio de uma régua, e a marcar um ponto O. Em seguida, eles devem fixar a ponta-seca em O e girar o compasso até completar uma volta e obter a representação de uma circunferência. Por fim, solicitar que pintem a região interna dessa circunferência.

Um setor circular é uma região do círculo determinada por um ângulo central. Na figura ao lado, o setor circular em azul é determinado por um ângulo central de 135o.

Inicialmente, calculamos a área total aproximada do círculo cujo raio mede 2 cm. A = p ? 2² A = 4p A 1 4 ? 3,14 = 12,56, ou seja, 12,56 cm2. Note que a medida do ângulo central é diretamente proporcional a área do setor circular correspondente, ou seja, se dobrar a medida do ângulo central, a área do setor circular também dobra; se reduzir a medida do ângulo central à metade, a área do setor circular também é reduzida à metade e assim por diante. Assim, podemos determinar a área do setor circular em azul por meio da seguinte proporção: 360 = 12,56 135 x Medida do ângulo central (em graus) Área do setor (cm²) 360 ? x = 135 ? 12,56 360 12,56 360x = 1 695,6 360 360 135 x x = 4,71 Portanto, o setor circular em azul tem área aproximada de 4,71 cm2.

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

b) 113,04 cm2. Nas atividades das páginas 179 e 180, utilize 3,14 como uma aproximação de p. 1. Calcule a área dos círculos representados, em que O é o centro. a)

12 cm

38,465 cm2. O

3,5 cm

2. Desenhe no caderno um círculo cuja área seja aproximadamente 78,5 cm2. Qual deve ser o raio desse círculo? 5 cm. 179

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3. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo da área de um círculo ou de uma figura formada por círculos. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 4. Em cada figura, observe a informação apresentada e calcule a área aproximada do setor circular em verde. Raio: 8 cm. a) 61,4 cm2.

6. (Enem-2015) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

b) 34,2 cm2.

ENEM 2015

110º

Raio: 7 cm. 280º

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.

5. A bandeira do Japão é composta por um círculo vermelho sobre uma região retangular branca. De acordo com as dimensões oficiais, nessa bandeira a razão entre o comprimento e a largura deve ser de 10 para 7, sendo que o círculo tem de ter a medida do 3 diâmetro correspondente a da largura. 5

Na bandeira do Japão, o círculo vermelho simboliza o Sol.

Alternativa a. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura em quilômetros quadrados foi ampliada em a) 8p c) 16p e) 64p b) 12p d) 32p 7. Certa pista de atletismo, que possui 491,2 m de comprimento, foi representada de maneira simplificada pela figura a seguir, formada por dois segmentos de reta paralelos e duas semicircunferências idênticas. Observe.

Fonte dos dados: CONSULADO GERAL DO JAPÃO EM SÃO PAULO. A bandeira e seu protocolo. Disponível em: <www.sp.br.emb-japan.go.jp/pdf/info_simbolos_bandeira. pdf>. Acesso em: 1o out. 2018.

Considere uma bandeira do Japão, confeccionada com as dimensões oficiais, cujo comprimento seja de 1 m. a) Qual é a largura dessa bandeira em centímetros? 70 cm. b) Qual é a medida do diâmetro do círculo vermelho em centímetros? 42 cm.

Semicircunferência

EDITORIA DE ARTE

c) Quantos centímetros quadrados tem a região branca dessa bandeira? 5 615,26 cm2.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 3. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelos alunos envolvendo o cálculo da área de círculos. Propor a eles que, ao final, compartilhem os problemas elaborados com os demais colegas da turma. 4. Esta atividade trabalha o cálculo da área de setor circular. Pedir aos alunos que aproximem a área do setor circular para o décimo mais próximo. 5. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de círculos. No item c, verificar se os alunos compreenderam que, para obter a área da região branca, é necessário subtrair a área do círculo em vermelho da área do retângulo de lados 100 cm e 70 cm. 6. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de círculos. Explicar aos alunos que tangenciar, nesse caso, corresponde às circunferências se intersectarem em um único ponto. 7. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo da área de círculo e de quadrilátero. Para complementar o boxe Dica, mostrar aos alunos a representação a seguir para auxiliá-los na compreensão de que a semicircunferência corresponde à metade de uma circunferência.

NED SNOWMAN/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Diâmetro

120 m

Uma semicircunferência corresponde à metade de uma circunferência. • Qual é a área da região interna limitada por essa pista? 14 624 m2.

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ENGLAND, LONDON, BRITISH MUSEUM/GETTY IMAGES/DE AGOSTINI/GETTY IMAGES

EDITORIA DE ARTE

8. a) A palavra Geometria tem origem em duas palavras gregas: geo (Terra) e metria (medida), ou seja, “medida da Terra”. 8. Em Matemática, o estudo do espaço, das Um círculo com diâmetro 9. formas e das propriedades das figuras Qual é a sua área? planas e espaciais compõe o que chamaFontes dos dados: EVES, H. Introdução à história da mos de Geometria. Mas você sabe a origem matemática. 2. ed. Tradução: Hygino H. Domingues. dessa palavra? Geometria tem origem em Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 69-84. BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução: Elza F. duas palavras gregas: geo (Terra) e metria Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 2003. p. 12. (medida), ou seja, “medida da Terra”. Esse MORAIS FILHO, D. C. de. Manual de Redação Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2014. p. 141. significado remete aos problemas práticos, relacionados a medições de terras, que Na resolução desse problema, apresentada possivelmente deram origem à Geometria no papiro, a área do círculo é considerada no passado. correspondente a de um quadrado cujo A civilização egípcia, por exemplo, 8 lado tem do diâmetro desse círculo. contribuiu significativamente para o 9 desenvolvimento da Geometria sendo que muitas dessas contribuições chegaram até nós pelos papiros. O papiro de Rhind, um dos mais famosos, é organizado em 8 de 9 proposições e resoluções de problemas e 9 data de cerca de 1650 a.C. Alguns desses problemas tratam de situações relacionadas a área do círculo, o que possivelmente tem relação com o cálculo do volume dos 9 armazéns cilíndricos onde os egípcios estoa) Qual é a origem da palavra Geometria? cavam grãos. b) Calcule a área do círculo, cujo diâmetro é 9 cm, usando: • a fórmula A = pr² e considerando p aproximadamente 3,14. 63,585 cm2.

Atualmente o papiro de Rhind está exposto no Museu Britânico, em Londres, na Inglaterra.

O texto a seguir é uma adaptação do problema 50 proposto no papiro de Rhind.

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8. Esta atividade trabalha o cálculo da área de círculos em um contexto da História da Matemática. Com isso, contribui-se para o desenvolvimento da competência específica 1 de Matemática da BNCC, uma vez que apresenta a Matemática como uma ciência em construção e fruto da contri-

• a estratégia apresentada no papiro de Rhind para o problema 50. 64 cm2. c) Compare as respostas obtidas no item b. A diferença entre elas é maior ou menor que 1 cm2? Menor que 1 cm2. d) Ao generalizar a estratégia apresentada no problema 50 do papiro de Rhind, para um círculo cujo diâmetro mede d, obtemos qual das fórmulas a seguir. 2 8 8 A=2 d d] A = [ 9 9 A=

8 2 d 9

obtido e a fórmula A = pr², considerando p 1 3,14. Após a resolução do item b, leia para os alunos o trecho a seguir sobre o problema 50 do papiro de Rhind, no qual os egípcios possivelmente consideravam que a área obtida pela estratégia apresentada no papiro era exatamente igual à dada pela fórmula, e não uma aproximação. [...] No Prob. 50 o escriba Ahmes assume que a área de um campo circular com diâmetro de nove unidades é a mesma de um quadrado com lado de oito unidades. Comparando com a fórmula moderna A = pr² vemos que a regra egípcia equivale aproximadamente a 1 atribuir a p o valor 3 uma 6 aproximação bastante elogiável; mas novamente não há sinal de que Ahmes soubesse que as áreas de seu círculo e seu quadrado não eram exatamente iguais. [...] BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 2003. p. 12.

No item d, comentar com os alunos que, dependendo da quantidade de casas decimais utilizadas para realizar aproximações, é possível haver algumas diferenças no valor da área obtida.

8 2 A = [ d] 9

• Com essa fórmula, resolva novamente a atividade 1 da página 179. Depois, compare as respostas expressando as diferenças em centímetros quadrados. a) 38,716 cm2; 0,251 cm2. b) 113,778 cm2; 0,738 cm2. 181

buição de diferentes povos ao longo do tempo. Verificar a possibilidade de explorar esta atividade com base nas ideias da Modelagem Matemática, uma das tendências abordadas na parte geral deste Manual do professor. A situação inicial pode ser “a área do círculo” e os alunos podem,

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em grupos, buscar um modelo próprio para determinar a área do círculo, como utilizando triângulos equiláteros ou outro polígono regular (hexágono, por exemplo). Para validar o modelo, os alunos podem comparar a área de alguns círculos, com diferentes medidas de raios, utilizando o modelo

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

integrando com ARTE

Pixels Quando tiramos uma fotografia com um smartphone, geramos uma imagem digital. Essa imagem é formada por um conjunto de pontos. Cada um desses pontos, que lembram figuras de quadrados, é chamado de pixel e estão dispostos lado a lado em linhas e colunas. A cor de cada pixel é formada por meio da combinação da tonalidade de três cores básicas, que geram mais de 16 milhões de possibilidades de cores na imagem digital. A quantidade de pixels influencia a resolução da imagem, determinando melhor ou pior definição. Observe, no esquema a seguir, a resolução de uma mesma imagem, em que as dimensões foram mantidas e a quantidade de pixels foi alterada. 2 pixels

5 pixels

10 pixels

100 pixels

Esta imagem é compos de 10 000 pixels: 100 pixe cada coluna e 100 pixe em cada linha.

10 pixels

5 pixels

AMPLA ARENA

100 pixels

10 pixels

5 pixels

2 pixels

[...] a palavra [pixel] surgiu da união de dois termos em inglês: picture e element, ou seja, imagem e elemento. E é isso mesmo que eles são: os elementos com os quais Esta imagem é composta Esta imagem é composta Esta imagem é composta são construídas as imagens de 4 pixels: 2 pixels em de 25 pixels: 5 pixels em de 100 pixels: 10 pixels em cada coluna e 2 pixels cada coluna e 5 pixels cada coluna e 10 pixels digitais. Um pixel é a menor em cada linha. em cada linha. em cada linha. unidade que consegue con5 pixels 10 pixels 100 pixels ter uma informação indivi- 2 pixels dual de cor. Portanto, quanto mais pixels tiver uma imagem, melhor definição ela terá. Quando alguém fala a respeito de uma máquina fotográfica de 5.0 megapixels, está querendo dizer que aquele aparelho tem a Esta imagem é composta Esta imagem é composta Esta imagem é composta Esta imagem é composta de 4 pixels: 2 pixels em de 25 pixels: 5 pixels em de 100 pixels: 10 pixels em de 10 000 pixels: 100 pixels em capacidade de gerar imacada coluna e 2 pixels cada coluna e 5 pixels cada coluna e 10 pixels cada coluna e 100 pixels gens com 5 milhões (mega) em cada linha. em cada linha. em cada linha. em cada linha. de pixels. Cada pixel é comFonte dos dados: RAMALHO, J. A. Fotografia digital. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004. posto de um pontinho azul, um amarelo e um vermelho. Normalmente, cada um desses pontos consegue apresentar 256 tonalidades Acesse esse site para obter mais informações sobre os pixels. diferentes, variando desde o • SUPERINTERESSANTE. O que é um pixel? Disponível em: <http://livro.pro/cmwiw6>. Acesso em: 2 out. 2018. mais claro até o mais escuro. A combinação de tonalidades permite configurar 16 milhões de cores distintas. 182 É por isso que a qualidade das máquinas fotográficas aumenta proporcionalmenD3-MAT-F2-2049-V8-164-187-U06-LA-G20.indd 182 te ao número de megapixels de suas imagens. O mesmo acontece com os monitores de vídeo. WOLFFENBÜTTEL, A. O que é? Pixel. IPEA. Desafios do Desenvolvimento. Disponível em: <http://desafios.ipea. gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=2118: catid=28&Itemid=23>. Acesso em: 22 set. 2018.

100 pixels

INTEGRANDO COM ARTE Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5 da BNCC, uma vez que o tema trata da resolução de uma imagem digital, de acordo com a quantidade de megapixels e o formato da fotografia, envolvendo a compreensão de tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, para se comunicar e disseminar informações. Para complementar as informações sobre pixels, leia para os alunos o trecho a seguir.

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Verificar a possibilidade de trabalhar com esta seção com o professor da disciplina de Arte para explorar a fotografia do ponto de vista da Arte. Para isso, os alunos podem realizar uma pesquisa, procurando responder aos seguintes questionamentos. • Por que a fotografia é considerada uma arte, assim como o cinema e a música? • Em que época surgiram as primeiras câmeras fotográficas? • Qual é a finalidade da fotografia? • Quais são os principais fotógrafos brasileiros? Após a pesquisa, pedir aos alunos que compartilhem com os colegas as informações obtidas. Esclarecer que, entre os fotógrafos brasileiros reconhecidos mundialmente, está o mineiro Sebastião Salgado (1944-). Os temas retratados por Salgado são principalmente a globalização e a desigualdade social e sua intenção é propor uma reflexão profunda a partir das imagens. Para finalizar esse trabalho, se possível, propor aos alunos uma dinâmica para que eles possam tirar fotografias com câmeras digitais e/ou com smartphones, que devem ser providenciados com antecedência. Para isso, sugerir que se desloquem para o pátio da escola e façam diferentes retratos de alguma paisagem, utilizando variados formatos e resoluções. Nesse momento, auxiliá-los na configuração dos smartphones. Ao retornarem para a sala de aula, pedir aos alunos que comparem as fotografias, a fim de verificar possíveis diferenças.

Ajustando a resolução da câmera Em um smartphone podemos ajustar a resolução da câmera de acordo com a quantidade de megapixels e o formato que se deseja para a fotografia. Observe o exemplo. 2 560 x 1 440 Para determinar a quantidade de pixels na imagem obtida, calculamos: 2 560 ? 1 440 = 3 686 400 H 3 686 400 pixels quantidade de pixels por coluna quantidade de pixels por linha

3,7 M De maneira geral, essa resolução é indicada em megapixels, sendo 1 megapixel igual a 1 000 000 pixels. 3 686 400 1 3,7 1 000 000

100 pixels

Assim, dizemos que essa resolução é de aproximadamente 3,7 megapixels.

Esta imagem é composta 10 000 pixels: 100 pixels em cada coluna e 100 pixels em cada linha.

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2 560:160 16 = 1 440:160 9 Assim, a imagem obtida terá o formato retangular, cujas medidas dos lados estarão na razão de 16 para 9.

ILUSTRAÇÕES: AMPLA ARENA

16 : 9 A maneira como os pixels estão distribuídos definem o formato da imagem obtida. Nesse caso, temos:

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA

NO LIVRO. 1. Além do smartphone, que outros dispositivos geram imagem digital? Algumas respostas possíveis: Câmera fotográfica digital, tablet, webcam. 2. Em uma imagem digital, como ficam distribuídos os pixels? Qual é a relação entre a quantidade de pixels e a resolução da imagem? Respostas esperadas: Em linhas e colunas. Quanto maior a quantidade de pixels, maior a resolução da imagem. 3. Considere os ajustes de resolução da câmera fotográfica de certo smartphone.

II.

III.

a) Quantos megapixels a imagem obtida tem em cada um desses ajustes? Arredonde o resultado ao décimo mais próximo. I: 3,7 megapixels; II: 3,1 megapixels; III: 2,4 megapixels. b) Identifique, entre as opções a seguir, aquela que corresponde ao formato das imagens obtidas em cada um desses ajustes. I: 1:1; II: 4:3; III: 16:9.

4:3

16:9

1:1

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência específica 5 de Matemática e à habilidade EF08MA19 da BNCC.

Medindo a área de polígonos regulares e de círculos Na etapa 1, chamar a atenção dos alunos para o fato de que o número digitado na caixa de texto corresponde à quantidade de vértices do polígono regular que se deseja construir. Na etapa 4, reforçar aos alunos que para obter a área do círculo é necessário clicar exatamente sobre seu contorno. Caso contrário, sua área não será apresentada.

você

conectado

Medindo a área de polígonos regulares e de círculos Utilizando o GeoGebra, vamos construir um heptágono regular e um círculo circunscrito a ele, e medir a área dessas figuras.

Com a opção

selecionada, marcamos os vértices A e B, na caixa

de texto que abrir, digitamos 7 e clicamos em

. O polígono obtido

é um heptágono regular.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Para medir a área aproximada do heptágono regular, selecionae clicamos sobre mos a opção o heptágono.

O número que aparece junto à figura corresponde à área, em centímetros quadrados.

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ou decágono? Resposta: Heptágono regular. • Conforme aumentamos a quantidade de lados do polígono regular, o que acontece com a porcentagem calculada? Resposta esperada: Diminui. • Com base na sua resposta anterior, em um polígono regular de 20 lados, a porcentagem correspondente será maior ou menor do que a obtida do decágono regular? Com o auxílio do GeoGebra e de uma calculadora, obtenha essa porcentagem e verifique sua resposta. Respostas: Menor. Aproximadamente 1,64%. • Por que você acha que essa porcentagem tende a diminuir? Resposta pessoal. Neste último item, espera-se que os alunos compreendam que, conforme aumentamos a quantidade de lados do polígono regular, mais nos aproximamos do formato do círculo que circunscreve esse polígono; logo, a área do polígono tende a ficar mais próxima da área do círculo e, portanto, a porcentagem da diferença entre suas áreas, em relação à área do círculo, tende a diminuir.

Para construir o círculo que circunscreve o heptágono, selecionamos a e clicamos sobre três vértices opção quaisquer do heptágono.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Para medir a área aproximada do e clicacírculo, selecionamos a opção mos sobre seu contorno (circunferência).

Podemos calcular, em relação à área do círculo, a porcentagem correspondente à diferença entre as áreas dessas figuras. Para isso, realizamos os seguintes cálculos. diferença entre as áreas das figuras

83,46 _ 72,70 10,76 ? 100 = ? 100 1 0,129 ? 100 = 12,9% P= 83,46 83,46 área do círculo

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. No GeoGebra, construa outro heptágono regular e um círculo circunscrito a ele e meça suas áreas. Depois, em relação à área do círculo, calcule a porcentagem correspondente à diferença entre as áreas dessas figuras. Compare essa resposta com a porcentagem apresentada no exemplo. Respostas pessoais. 2. No GeoGebra, construa um octógono regular e um círculo circunscrito a ele. Em seguida, meça a área de cada um deles e calcule, em relação à área do círculo, a porcentagem correspondente à diferença entre as áreas dessas figuras. Faça o mesmo para a figura de decágono regular. Aproximadamente 9,97%. Aproximadamente 6,45%. 3. O que você observou após realizar as questões 1 e 2 com relação aos resultados obtidos? Resposta esperada: A porcentagem diminui à medida que se aumenta a quantidade de lados do polígono regular circunscrito, ou seja, quanto mais lados tem o polígono, mais sua área se aproxima da área do círculo. 185

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Mãos à obra

1. Conversar com os alunos a fim de perceberem que, independentemente da medida do lado do heptágono regular, as porcentagens correspondentes à diferença entre as áreas obtidas por eles das figuras em relação à área do círculo que as circunscrevem são

aproximadamente iguais. Pedir aos alunos que comparem a porcentagem obtida nessa questão com a de um colega e façam essa verificação. 2. Após a resolução desta questão, promover uma discussão com os alunos a fim de perceberem que, quanto mais lados tiver o polígono regular,

11/14/18 1:38 PM

menor será a porcentagem correspondente à diferença entre as áreas deste polígono em relação a área do círculo que o circunscreve. Para isso, propor a eles os seguintes questionamentos: • A porcentagem maior é obtida a partir de qual polígono regular: heptágono, octógono

185

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11/16/18 2:39 PM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas para construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

Resoluções a partir da p. 257

o que estudei

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Área de q

uadriláte ros: retângulo , quadrad o, paralelog ramo, losa ngo e trapéz io

Área de um polígono regular

Área do triângulo

Fórmula de Herão

Área do

Área do setor circular

círculo

186

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11/14/18 1:39 PM

Área de figuras planas

Área de quadriláteros

Área do triângulo Fórmula de Herão

Área de um polígono regular

Área do círculo

Área do setor circular

186

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D3-MAT-F

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL

ROBERTO ZOELLNER

Em certo município será construída uma praça de convivência. A figura a seguir, na malha quadriculada, é um esboço dessa praça.

5m 5m

PROBLEMAS

I Na malha utilizada, cada figura de quadradinho representa que área? 25 m2. Conceitos: Área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio.

II Essa praça terá mais ou menos de 1 600 m2 de área? III

Mais de 1 600 m2. Conceitos: Área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. A região da praça reservada para o parque infantil será toda coberta por areia. Estima-se o uso de 1 m3 de areia para cobrir cada 25 m2 de área desse parque. Ao todo, quantos metros cúbicos de areia estima-se usar? 9 m3 de areia. Conceitos: Área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. Qual é a área reservada para o jardim de flores? Represente no caderno um paralelogramo, indicando as medidas da base e da altura de maneira que tenha a mesma área desse jardim.

V Qual das opções a seguir mais se aproxima da área que o chafariz

50 m2

75 m2

78 m2

90 m2

EDITORIA DE ARTE

vai ocupar nessa praça? 78 m2. Conceitos: Área do círculo.

IV. 75 m2. Algumas respostas possíveis: Paralelogramo com 15 m de base e 5 m de altura; Paralelogramo com 20 m de base e 3,75 m de altura; Paralelogramo com 25 m de base e 3 m de altura. Conceitos: Área do triângulo; área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. 187

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11/14/18 4:21 PM

15 cm 5 cm

25 cm 3 cm

EDITORIA DE ARTE

18 1:39 PM

3. No item IV, é importante que os alunos percebam que a altura do triângulo corresponde a três lados de figuras de quadradinhos da malha, ou seja, 15 m. Observe na parte inferior desta página algumas representações de paralelogramos que podem ser feitas pelos alunos. No item V, conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas por eles para estimar o valor que mais se aproxima da área que o chafariz ocupa. Uma estratégia é considerar que a medida do raio do círculo azul é igual a 5 m e por meio da fórmula da área do círculo determinar a área.

187

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UNIDADES TEMÁTICAS

• Números. • Probabilidade e estatística. OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES • • • • • • •

EF08MA03 EF08MA22 EF08MA23 EF08MA24 EF08MA25 EF08MA26 EF08MA27

Estimativa da população mundial (1955-2015) Ano

COMPETÊNCIAS GERAL 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. ESPECÍFICA 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

Países mais populosos, em 2015

População (em bilhões de habitantes)

Brasil 200 milhões de habitantes

1955

2,8

1965

3,3

1975

4,1

Índia

1985

4,9

1995

5,8

1,309 bilhão de habitantes

2005

6,5

2015

7,4

Indonésia 258 milhões de habitantes

China 1,397 bilhão de habitantes

Estados Unidos

ARTUR FUJITA

320 milhões de habitantes

Fonte dos dados: UNITED NATIONS. World Population Prospects: the 2017 revision. Disponível em: <https://esa.un.org/unpd/wpp/DVD/Files/1_Indicators%20 (Standard)/EXCEL_FILES/1_Population/WPP2017_POP_F01_1_TOTAL_POPULATION_ BOTH_SEXES.xlsx>. Acesso em: 2 out. 2018.

188

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência específica 4 de Matemática da BNCC, pois permite fazer observações de aspectos quanti-

losos e/ou tenham uma grande extensão territorial. Informar aos alunos que os dados relacionados aos países mais populosos e os de extensão territorial são aproximados.

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188

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Respostas pessoais.

tas que o explorador Américo Vespúcio (1454-1512) enviou ao monarca italiano Lorenzo di Piero de Mediei (1492-1519), existe um mapa no qual as terras do nordeste brasileiro, supostamente descobertas por Vespúcio, são designadas Terra Ameriei, ou Terra de Américo. Para harmonizar-se com os outros nomes femininos, Américo tomou-se América. Antártida deve a denominação a uma estrela. A palavra deriva do grego árktos, que significa ursa, usada para denominar as constelações da Ursa, no hemisfério norte. Como o continente está no hemisfério sul, acrescentou-se o prefixo anti. Antártida é, então, o antiártico.

Não.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Há quanto tempo você mora no mesmo município? Nesse período, você percebeu mudanças na quantidade de habitantes? Como você percebeu isso? O país mais populoso da Terra também é aquele de maior extensão territorial? Pense em outras maneiras para representar os dados do esquema com o objetivo de facilitar a compreensão das informações. Algumas respostas possíveis: Organizar os dados em uma lista; tabela; gráfico de linhas; gráfico de setores; gráfico de barras; gráfico de colunas.

Países com maior extensão territorial, em 2015 Estados Unidos 9 831 510 km²

China 9 600 000 km²

Brasil 8 515 767 km² Canadá 9 984 670 km²

Rússia 17 098 240 km² 0º

OCEANO GLACIAL ÁRTICO

Círculo Polar Ártico

Alasca (EUA)

RÚSSIA

CANADÁ ESTADOS UNIDOS

Trópico de Câncer

QUAL a origem do nome dos continentes? Superinteressante. Disponível em: <super.abril.com.br/ comportamento/qual-a-origemdo-nome-dos-continentes/>. Acesso em: 27 out. 2018.

CHINA

OCEANO ATLÂNTICO

OCEANO PACÍFICO

OCEANO PACÍFICO Equador

0º

BRASIL

Para responder ao primeiro item, o aluno pode citar construções novas: casas, prédios, edifícios comerciais, bairros novos; o aumento do trânsito etc.

OCEANO ÍNDICO Meridiano de Gr eenwich

Trópico de Capricórnio

2 167

OCEANO GLACIAL ANTÁRTICO

ALLMAPS

Círculo Polar Antártico

Fontes: IBGE. Atlas geográfico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. p. 34. UNITED NATIONS. Statistical Yearbook 2017 edition. Disponível em: <https://unstats.un.org/ unsd/publications/statistical-yearbook>. Acesso em: 2 out. 2018.

EDITORIA DE ARTE

Acesse este site para obter mais informações sobre os países. • IBGE. Países. Disponível em: <http://livro.pro/wz5sk4>. Acesso em: 2 out. 2018.

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Ler para os alunos o texto a seguir, que apresenta curiosidades sobre a origem do nome dos continentes. [...] África, Ásia, Europa e Oceania são nomes emprestados de divindades gregas. Europa, segundo a mitologia gre-

ga, foi uma ninfa muito bela que despertou os amores de Zeus, deus-rei do Olimpo. Arrebatado pela paixão, ele transformou-se em touro branco e raptou-a. A Ásia e a Oceania não são continentes próximos apenas na geografia. As divindades que têm esse nome também são parentes. Oceano,

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o deus dos rios, deu origem à Oceama, e sua filha Asia, mãe das fontes e rios, ao continente de mesmo nome. África é uma deusa com porte oriental que carrega um chifre numa mão e um escorpião na outra. Ao contrário dos outros continentes, a América e a Antártida têm origens pagãs. Nas car-

NO DIGITAL – 4O bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 7 e 8. • Desenvolver o projeto integrador sobre o consumo de energia elétrica no Brasil. • Explorar as sequências didáticas do bimestre que trabalham as habilidades EF08MA03, EF08MA20, EF08MA21, EF08MA22, EF08MA23, EF08MA24, EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Gráficos

GRÁFICOS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA23. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta ideias gerais a respeito dos gráficos.

Em anos anteriores, vimos que os gráficos são recursos que podem ser utilizados para representar resultados de uma pesquisa estatística, o que, de maneira geral, contribui para que o leitor compreenda mais facilmente as informações apresentadas. Estudamos também diferentes tipos de gráficos e como construí-los utilizando recursos tecnológicos, como as planilhas eletrônicas de um computador. A escolha do tipo mais adequado de gráfico depende de alguns fatores, como a natureza dos dados que se pretende representar. Nas páginas de abertura desta Unidade, foram apresentados diversos dados estatísticos sobre população e extensão territorial. Agora, discutiremos o uso de diferentes tipos de gráficos para representar tais dados.

[...] A representação gráfica das séries estatísticas tem por finalidade representar os resultados obtidos, permitindo que se chegue a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do analista. Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados, quando da elaboração de um gráfico.

Para facilitar visualmente a comparação, entre si, dos dados obtidos em uma pesquisa, podemos utilizar o gráfico de colunas ou o gráfico de barras. Isso ocorre porque a altura de cada coluna ou o comprimento de cada barra é proporcional ao valor por ela representado. Observe os exemplos. Coluna correspondente à China. Resposta esperada: Gráfico de colunas Indica que a China é o país mais populoso do mundo.

População (em milhões de habitantes)

Países mais populosos, em 2015

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

• Simplicidade – o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise morosa ou sujeita a erros. • Clareza – o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo. • Veracidade – o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.

Gráfico de colunas e gráfico de barras

1 397

1 309

320

206

258

China Estados Índia Indonésia País Unidos

Brasil

Países com maior extensão territorial, em 2015 País Rússia

CORREA, S. M. B. B. Probabilidade e estatística. 2. ed. Belo Horizonte: PUC Minas Virtual, 2003. p. 22.

17,1

Estados Unidos

9,8

China

9,6

Canadá

Brasil

8,5 0

Fonte: UNITED NATIONS. World Population Prospects: the 2017 revision. Disponível em: <https://esa.un.org/unpd/ wpp/DVD/Files/1_Indicators%20(Standard)/ EXCEL_FILES/1_Population/WPP2017_POP_ F01_1_TOTAL_POPULATION_BOTH_SEXES. xlsx>. Acesso em: 2 out. 2018.

Coluna correspondente ao Brasil. Algumas respostas possíveis: Indica que o Brasil é o país menos populoso entre os apresentados; indica que o Brasil é o 5o país mais populoso do mundo.

Gráfico de barras

[...]

Gráfico de colunas e gráfico de barras Informar que, de maneira geral, os dados apresentados em um gráfico de colunas também podem ser apresentados em um gráfico de barras, e vice-versa. Verificar se os alunos perceberam que no gráfico de colunas a população dos países mais populosos, em 2015, está indicada em milhões de habitantes. Para auxiliar os alunos na interpretação e análise desses gráficos, propor a eles os seguintes questionamentos.

1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 0

Observe e compare as colunas desse gráfico. • Qual é a coluna mais alta? O que ela indica? • Qual é a coluna mais baixa? O que ela indica?

5 10 15 20 Extensão territorial (milhões de km2)

Observe e compare as barras desse gráfico. Em seguida, escreva no caderno o nome desses países em ordem decrescente segundo a extensão territorial de cada um. Rússia, Canadá, Estados Unidos, China e Brasil.

Fonte: UNITED NATIONS. Statistical Yearbook 2018 edition. Disponível em: <https://unstats.un.org/unsd/ publications/statistical-yearbook>. Acesso em: 2 out. 2018.

190

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• Quais eram os dois países

mais populosos, em 2015? Resposta: China e Índia. • Podemos afirmar que em 2015 não havia país nenhum com extensão territorial entre 11 e 17 milhões de km2? Justifique. Resposta esperada: Sim, porque o gráfico apresenta os cinco países com as maiores ex-

tensões territoriais, e nenhum deles tem a extensão territorial no intervalo indicado. O 5o país é o Brasil, que tem extensão territorial inferior a 11 milhões de km2, e o 1o país é a Rússia, que tem extensão territorial superior a 17 milhões de km2. • A Rússia possuía em 2015 mais que o dobro da extensão

territorial de qual dos países apresentados no gráfico? Resposta: Brasil.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Gráfico de segmentos Quando queremos representar os dados obtidos em uma pesquisa de maneira a facilitar a observação de como tais dados se comportam ou variam no decorrer do tempo, podemos utilizar o gráfico de segmentos. Observe o exemplo.

Estimativa da população mundial (1955-2015) População (em bilhões de habitantes)

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

• Podemos afirmar que a população mundial mais que dobrou no período apresentado? Explique.

7,4

6,5 5,8

4,9

Sim. Resposta esperada: Pois a população em 2015 é maior do que o dobro da população em 1955, ou seja, 7 400 000 000 . 5 600 000 000.

4,1

4 3

2,8

3,3

2 1 0

Observe esse gráfico com atenção e responda.

1955 1965 1975 1985 1995 2005 2015 Ano

Fonte: UNITED NATIONS. World Population Prospects: The 2017 Revision. Disponível em: <https://esa.un.org/unpd/ wpp/DVD/Files/1_Indicators%20(Standard)/EXCEL_FILES/1_ Population/WPP2017_POP_F01_1_TOTAL_POPULATION_ BOTH_SEXES.xlsx>. Acesso em: 2 out. 2018.

Gráfico de setores Quando queremos comparar as partes de um conjunto de dados de uma pesquisa com o todo e entre si, podemos utilizar o gráfico de setores. Isso ocorre porque o setor correspondente a cada parte do conjunto de dados é proporcional aos valores por ele representados, e o círculo corresponde ao valor total desse conjunto de dados. Observe o exemplo.

Distribuição da extensão territorial dos continentes, em 2015 31%

24% 17%

22%

África América Ásia Europa Oceania

Observe e compare os setores desse gráfico. • Entre os cinco continentes considerados no gráfico, quais deles possuem extensão territorial maior do que a da África? América e Ásia.

Fonte: UNITED NATIONS. Statistical Yearbook 2018 edition. Disponível em: <https://unstats. un.org/unsd/publications/statistical-yearbook>. Acesso em: 2 out. 2018.

Nesse gráfico, o setor em azul representa o porcentual ocupado pelo continente africano em relação à extensão territorial dos cinco continentes. Como no gráfico a medida do ângulo central e o porcentual correspondente a cada setor são diretamente proporcionais, temos: Porcentual (%)

Medida do ângulo central (em graus)

100

360

22 = x 100 360 100x = 7 920 100x = 7 920 100 100 x = 79,2, ou seja, 79,2°. 191

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Gráfico de segmentos Informar que o gráfico de segmentos também é chamado de gráfico de linhas. Reforçar a ideia de que os segmentos que ligam dois pontos do gráfico representam uma tendência do comportamento dos dados em cada intervalo. Nesse caso, uma tendência na variação da população mundial em um intervalo de dez anos. Para auxiliar os alunos na interpretação e análise do gráfico, propor o seguinte questionamento. • Em qual período de 10 anos apresentado no gráfico a população mundial teve o menor aumento? Resposta: No período de 1955 a 1965. Gráfico de setores Informar aos alunos que o gráfico de setores também é conhecido como gráfico de pizza. De maneira prática, para determinar a medida do ângulo central de um setor circular de um gráfico de setores, basta multiplicar o número decimal correspondente à proporção de cada categoria por 360°. Por exemplo, para determinar a medida do ângulo central do setor circular que representa o continente africano (22% = 0,22), calculamos 0,22 ? 360° = 79,2°. Para auxiliar os alunos na interpretação e análise do gráfico, propor o seguinte questionamento. • Qual é a extensão territorial aproximada dos cinco continentes, juntos, sabendo que a América ocupa aproximadamente 42 322 000 km2 desse total? Resposta: 136 522 581 km2.

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Resoluções a partir da p. 257 NÃO NÃO ESCREVA ESCREVA NO NO LIVRO. LIVRO.

1. Observe o cartaz e leia o texto sobre a doação de órgãos.

SUS/MINISTÉRIO DA SAÚDE

Cartaz da campanha sobre doação de órgãos A hora de lembrar, de 2017, do Ministério da Saúde.

Agora, analise as informações nos infográficos.

III.

Porcentagem de transplantes realizados no Brasil por região, em 2016

Transplantes de alguns órgãos, realizados no Brasil, em 2016

2,7%

Córnea

14 641

transplantes

20,4%

Coração

Pulmão

357

transplantes

Fígado

Pâncreas

1 880

transplantes

Rim

5492

SIRINTRA PUMSOPA/SHUTTERSTOCK.COM

transplantes

7,9%

transplantes

Brasil

Medula óssea

49,7%

Norte Nordeste Centro-Oeste Sudeste Sul

2 363

transplantes

19,3%

II.

Transplantes de coração realizados no Brasil (2011-2016) 2011

159

transplantes

2012

227

transplantes

2013

268

transplantes

2014

309

transplantes

2015

352

transplantes

2016

357

transplantes

THENATCHDL/SHUTTERSTOCK.COM

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a avaliação do tipo de gráfico mais adequado para representar um conjunto de dados de acordo com sua natureza. Inicialmente, explorar com os alunos as informações de cada infográfico. Para isso, propor a eles questionamentos como os indicados a seguir. • Quais informações são apresentadas no infográfico: a) I? Resposta: Quantidade de transplantes de alguns órgãos realizados no Brasil em 2016. b) II? Resposta: Quantidade de transplantes de coração realizados no Brasil no período de 2011 a 2016. c) III? Resposta: Porcentagem de transplantes realizados no Brasil por região, em 2016. • Em quais infográficos os dados estão indicados em valor absoluto? Em quais estão indicados em porcentagem? Respostas: Infográficos I e II. Infográfico III. • De acordo com os infográficos, é possível determinar a quantidade de transplantes de rins realizados em 2013 no Brasil? Justifique. Resposta esperada: Não, pois o único infográfico que apresenta dados de 2013 está relacionado aos transplantes de coração. No item c, espera-se que os alunos percebam que alguns gráficos não são adequados para serem usados na representação dos dados de determinados infográficos. Por exemplo, o gráfico de segmentos não pode ser usado para representar os dados do infográfico I, pois não se trata do comportamento ou da variação de dados no decorrer de um período de tempo. Aproveitar o contexto dessa atividade e promover uma roda de conversa com os alunos sobre milhares de brasileiros que estão na lista de espera de transplantes de órgãos e sobre a importância de ser doador. Por exemplo, em junho de 2018, no Brasil, havia 21 962 brasileiros ativos na

AtividadeS

ALEX SILVA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

192

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lista de espera de transplantes de rim e 8 574 na espera de transplantes de córnea.

Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE TRANSPLANTE DE ÓRGÃOS. Registro Brasileiro de Transplantes. Disponível em: <www. abto.org.br/abtov03/Upload/file/ RBT/2018/rbt2018-1-populacao.pdf>. Acesso em: 21 set. 2018.

AMPLIANDO

11/14/18 10:27 AM

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre a doação de órgãos. • ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE TRANSPLANTE DE ÓRGÃOS. Disponível em: <http://livro.pro/ cbof9d>. Acesso em: 27 out. 2018.

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1. a) Resposta esperada: Conscientizar as pessoas sobre a importância de avisar a família quando se deseja ser um doador de órgãos. Com base nas informações apresentadas sobre transplante de órgãos, resolva as questões. a) Qual é o objetivo do cartaz apresentado? b) Resolva cada questão. Depois, indique o infográfico que você observou para a resolução. • Em qual ano ocorreu a maior quantidade de transplantes de coração? 2016. Resposta pessoal. • Que porcentual dos transplantes realizados em 2016 ocorreu na região em que você mora? • Quantos transplantes de córnea foram realizados em 2016? 14 641 transplantes. c) Para cada infográfico, indique um tipo de gráfico – barras, colunas, segmentos ou setores – que pode ser utilizado para representar os dados da maneira como estão. Explique o porquê dessa escolha. 2. De acordo com a Organização Mundial da Saúde (OMS), acidentes de trânsito matam 1,25 milhão de pessoas por ano no mundo, dos quais quase metade corresponde a pedestres, ciclistas e motociclistas. Muitas dessas mortes poderiam ser evitadas se não fosse a imprudência daqueles que não respeitam as sinalizações e regras de trânsito. Observe a seguir dados sobre as mortes no trânsito brasileiro. 2. c) Gráfico de barras. Resposta esperada: O gráfico de barras facilita visualmente a comparação entre a quantidade de mortes em cada região do Brasil.

Mortes no trânsito brasileiro por região, em 2015 Região

Quantidade de mortes

Sul

6 064

Nordeste

12 191

Norte

3 419

Centro-Oeste

4 069

Sudeste

12 908

Mortes no trânsito brasileiro por região, em 2015 Sul

6 064

Região

Nordeste

12191

Norte

3 419

Centro-Oeste

4 069

EDITORIA DE ARTE

Sudeste

12 908 0

000 2 000 4 000 1 1 10 Quantidade de mortes 00

Fonte: OBSERVATÓRIO NACIONAL DE SEGURANÇA VIÁRIA. Estatísticas. Disponível em: <http://iris.onsv.org. br/iris-beta/#/stats/ tables>. Acesso em: 2 out. 2018.

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2. Esta atividade trabalha a comparação entre dados organizados em tabela e em gráfico e a avaliação do tipo de gráfico mais adequado para representar um conjunto de dados de acordo com sua natureza. Aproveitar o tema e comentar sobre a campanha governamental de abrangên-

cia nacional “Maio Amarelo”, que mobiliza forças do Estado e da sociedade civil com o intuito de sensibilizar e conscientizar a população sobre os altos índices de mortes e feridos no trânsito. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta explicações sobre essa campanha.

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[...] A cor amarela foi escolhida em alusão à sinalização de advertência, utilizada nos semáforos. Por isso ficou conhecida como a cor da atenção pela vida. Assim como os movimentos de conscientização de combate ao câncer de mama, de próstata e contra o vírus HIV, o Maio Amarelo também é simbolizado pelo laço, nesse caso, amarelo. O mês de maio foi escolhido em comemoração ao Dia Mundial da Segurança Viária e do Pedestre, com a realização da Semana Mundial de Segurança do Pedestre, lançada em 2013. A semana também é conhecida como Campanha Zenani Mandela, em memória da neta de Nelson Mandela, vítima de acidente de trânsito na África do Sul em 2010, com apenas 13 anos. [...] BRASIL. Governo do Brasil. Campanha Maio Amarelo começa na próxima terça (2). Disponível em: <www.brasil.gov.br/cidadania-ejustica/2017/04/campanha-maioamarelo-comeca-na-proximaterca-2>. Acesso em: 27 out. 2018.

Apresentar dicas aos alunos para que eles possam evitar acidentes de trânsito, como fazer as travessias das vias com calma e sem correr, olhando bem para ambos os lados antes de atravessá-las; fazer a travessia sempre sobre a faixa de pedestres ou passarelas; atravessar uma via de cada vez em cruzamentos, nunca na diagonal; utilizar o cinto de segurança em veículos; ao descer do ônibus, esperá-lo sair para atravessar a via; entre outras.

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3. Nos produtos e serviços que adquirimos, parte do valor pago corresponde a tributos. No Brasil, o valor total aproximado de tributos cobrados em cada compra tem de ser apresentado no cupom ou na nota fiscal, que, além de assegurar a arrecadação desses tributos, garante ao consumidor a possibilidade de troca de produtos defeituosos. A porcentagem do valor correspondente a tributos varia de acordo com o produto. Observe.

Porcentagem aproximada de tributos em alguns produtos da cesta básica ÓLEO DE SOJA

AÇÚCAR

31%

23% FEIJÃO

ARROZ

17%

Cesta básica: conjunto de produtos considerados essenciais para uma família durante um mês.

17%

CAFÉ

CARNE BOVINA

17%

24%

Resposta nas Orientações para o professor. a) Utilizando a malha quadriculada ou uma planilha eletrônica, construa um gráfico com os dados apresentados anteriormente. Explique por que você optou por esse tipo de gráfico. b) Observe o preço de alguns produtos que Karina pesquisou em um supermercado. Fonte dos dados: QUANTO pagamos de impostos? G1. Disponível em: <http://especiais. g1.globo.com/economia/2015/quanto-pagamos-de-impostos/>. Acesso em: 2 out. 2018.

AÇÚCAR R$ 4,95

ÓLEO DE SOJA R$ 3,18

ARROZ R$ 4,25

CARNE BOVINA R$ 22,00

FEIJÃO R$ 3,69

ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

CAFÉ R$ 12,90

Agora, com base no gráfico que você construiu e na pesquisa realizada por Karina, elabore três questões. Troque as questões com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve as que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. 194

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35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

Porcentagem aproximada de tributos em alguns produtos da cesta básica 31% 24% 23% 17% 17%

17%

Café

Feijão

Açúcar

Arroz

Óleo de Carne soja bovina Produto

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Porcentagem

3. Esta atividade trabalha a avaliação do tipo de gráfico mais adequado para representar um conjunto de dados de acordo com sua natureza e propõe aos alunos a elaboração de questões de interpretação. Verificar se eles compreenderam o significado das porcentagens apresentadas para cada produto, por exemplo, ao comprar um pacote de 5 kg de arroz por R$ 20,00, cerca de R$ 3,40 são tributos. No item a, é importante discutir os motivos pelos quais os alunos optaram por aquele tipo de gráfico. Espera-se que eles construam um gráfico de colunas ou de barras, pois assim é possível comparar visualmente entre si as porcentagens. Os alunos podem optar por construir o gráfico na malha quadriculada; nesse caso, reproduzir e entregar a eles a malha quadriculada, disponível no Material de apoio, e dar orientações sobre essa construção; por exemplo, considerar cada figura de quadradinho da malha como duas unidades. Caso os alunos utilizem uma planilha eletrônica, auxiliá-los nas etapas para a construção. Na seção Você conectado da Unidade 8 do Volume 7 desta coleção, foi apresentada a construção de um gráfico de colunas. A seguir, são apresentados exemplos de questões que podem ser elaboradas pelos alunos no item b, considerando o supermercado em que Karina fez a pesquisa. • Quantos reais em tributo são cobrados por um pacote de açúcar de 2 kg? Resposta: Aproximadamente R$ 1,53. • Supondo que uma pessoa compre uma unidade de cada produto indicado, em qual deles pagaria a maior quantia em tributos? Quantos reais? Respostas: Carne bovina. R$ 5,28. Veja ao lado uma resposta esperada do item a.

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Fonte: QUANTO pagamos de impostos? G1. Disponível em: <http://especiais.g1.globo. com/economia/2015/quanto-pagamos-de-impostos/>. Acesso em: 2 out. 2018.

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4. (Enem-2015) Doenças relacionadas ao saneamento ambiental inadequado (DRSAI) podem estar associadas ao abastecimento deficiente de água, tratamento inadequado de esgoto sanitário, contaminação por resíduos sólidos ou condições precárias de moradia. O gráfico apresenta o número de casos de duas DRSAI de uma cidade:

ENEM, 2015

O mês em que se tem a maior diferença entre o número de casos das doenças de tipo A e B é: Alternativa d. a) janeiro. b) abril. c) julho. d) setembro. e) novembro.

Disponível em: http://dados.gov.br. Acesso em: 7 dez. 2012 (adaptado).

5. No Brasil, a quantidade de indígenas em universidades públicas e privadas vem aumentando nos últimos anos. Observe a tabela e o gráfico a seguir e resolva as questões.

Indígenas matriculados em cursos de graduação no Brasil, por região, em 2016 Quantidade de indígenas

Norte

12 747

Nordeste

19 360

Sudeste

10 681

Sul

2 354

Centro-Oeste

3 884

Fonte: INEP. Sinopses Estatísticas da Educação Superior – Graduação. Disponível em: <http:// inep.gov.br/web/guest/ sinopses-estatisticasda-educacao-superior>. Acesso em: 2 out. 2018.

a) Em qual região do Brasil havia a maior Indígenas matriculados em quantidade de indígenas matriculados em cursos de graduação em 2016? No gráfico, cursos de graduação no Brasil, qual setor representa essa região? por região, em 2016 Nordeste. Setor alaranjado. b) Qual é o total de indígenas matriculados em cursos de graduação em 2016? Você Norte consultou o gráfico ou a tabela para resNordeste ponder a essa questão? 49 026 indígenas Sudeste matriculados. Tabela. c) Calcule o porcentual aproximado, corresponSul dente a cada setor do gráfico apresentado. Centro-Oeste Se necessário, use uma calculadora. d) Em 2016, havia 8 048 701 alunos matriculados Fonte: INEP. Sinopses Estatísticas da Educação em cursos de graduação no Brasil. Qual porSuperior - graduação. Disponível em: <http://inep. centual desses alunos era indígena? Com base gov.br/web/guest/sinopses-estatisticas-da-educacaosuperior>. Acesso em: 2 out. 2018. nessa resposta e nas informações apresentadas anteriormente, elabore um texto sobre a participação dos indígenas em cursos de graduação no Brasil. Se necessário, faça também uma pesquisa. Aproximadamente 0,61%. Resposta pessoal. c. Azul: 26%; alaranjado: 39,5%; cinza: 21,8%; amarelo: 4,8%; vermelho: 7,9%.

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Região

4. Esta atividade trabalha a leitura e a interpretação de dados representados em um gráfico de segmentos. 5. Esta atividade trabalha a compreensão da estrutura de um gráfico de setores e a leitura e a interpretação de dados representados nesse tipo de gráfico. No item d, para auxiliar os alunos na produção textual, informá-los de que, apesar de a quantidade de indígenas nas universidades estar aumentando no decorrer dos anos, ela ainda é muito pequena em relação ao total de alunos matriculados. Sugerir aos alunos que façam inferências a respeito de uma possível relação entre a quantidade de indígenas em cada região do país, o que pode ser obtido em uma pesquisa, e a quantidade de indígenas matriculados em cursos de graduação nessas regiões.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Medidas de tendência central

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA25. Os dados apresentados em relação às notas do Enem são fictícios. Informar aos alunos que qualquer pessoa pode fazer o Enem, porém a utilização dos resultados para acesso à Educação Superior e aos programas governamentais de financiamento ou apoio ao estudante nessa etapa de ensino é destinada exclusivamente aos participantes com mais de 18 anos que tenham concluído o Ensino Médio. Se julgar conveniente, comentar que a finalidade principal do Enem consiste na avaliação do desempenho escolar e acadêmico ao final do Ensino Médio. Em seguida, ler para eles os principais objetivos decorrentes do resultado do Enem:

Média aritmética O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), realizado anualmente, é composto de uma redação e quatro provas objetivas. Algumas instituições utilizam as cinco notas do Enem como critério de seleção para o candidato ingressar em cursos universitários. Para ingressar no curso de Pedagogia de certa instituição, Heloísa precisa obter a média aritmética das cinco notas do Enem superior a 580. Observe as notas dela e verifique se é possível que ela ingresse nesse curso.

enem 2017

EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO – ENEM 2017 Resultado ENEM 2017

Número da inscrição: 112234567890 Nome: HELOÍSA OLIVEIRA CPF: 402387201 Língua estrangeira: ESPANHOL Prova objetiva Áreas de conhecimento Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Ciências Humanas e suas Tecnologias Ciências da Natureza e suas Tecnologias Matemática e suas Tecnologias

Nota 598 450,5 520 782

Situação Presente Presente Presente Presente

Nota 675

Situação Presente

Qual é a amplitude das notas obtidas por Heloísa no Enem, ou seja, a diferença entre a maior e a menor dessas notas? 331,5

Redação Redação EDITORIA DE ARTE

• possibilitar a constituição de parâmetros para a autoavaliação do participante, visando a continuidade de sua formação e a sua inserção no mercado de trabalho; • permitir a criação de referência nacional para o aperfeiçoamento dos currículos do Ensino Médio; • ser usados como mecanismo único, alternativo ou complementar para acesso à Educação Superior, especialmente, a ofertada pelas instituições federais de educação superior; • permitir o acesso do participante a programas governamentais de financiamento ou apoio ao estudante da Educação Superior; • ser utilizados como instrumento de seleção para ingresso nos diferentes setores do mundo do trabalho; • viabilizar o desenvolvimento de estudos e indicadores sobre a educação brasileira.

Em algumas situações, é necessário resumir dados obtidos em uma pesquisa por um único valor ou alguns poucos valores. Em casos como esses, podemos utilizar as medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana.

enem 2017

Ministério da Educação

INEP

Imprimir

3.0.745

Fonte dos dados: INEP. Enem. Disponível em: <http://inep.gov.br/web/ guest/enem>. Acesso em: 2 out. 2018.

3.0.1553

Para resolver esse problema, temos de dividir a soma das notas pela quantidade de notas: soma das notas

Ma =

598 + 450,5 + 520 + 782 + 675 3 025,5 = = 605,1 5 5 quantidade de notas

Assim, como a média aritmética das notas de Heloísa no Enem foi 605,1, ou seja, superior a 580, é possível que ela ingresse no curso de Pedagogia daquela instituição. A média ou média aritmética é uma medida de tendência central que pode ser usada para apresentar de maneira resumida um conjunto de dados. Para calcular a média de dois ou mais números, adicionamos esses números e dividimos a soma obtida por essa quantidade de números.

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[...]

INEP. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_basica/ enem/edital/2018/edital_enem_2018. pdf>. Acesso em: 9 nov. 2018.

Dizer aos alunos que o critério de calcular a média aritmética das notas é utilizado por algumas instituições e cursos. Entretanto, podem existir variações, como a utilização de pesos diferentes para algumas provas específicas.

PARA PENSAR Lembrar aos alunos que a amplitude de um conjunto de dados corresponde à diferença entre o maior e o menor valor do conjunto.

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Moda A professora de História realizou a seguinte enquete com os alunos de uma turma do 8o ano. Quantos moradores têm em sua residência, incluindo você? As respostas dos alunos foram registradas em uma folha de sulfite. Observe. 3 5 4 4 3 4 5 7 6 7 3 4 4 3 4 4 4 3 4 5 6 3 6 3

Em seguida, as respostas dos alunos foram organizadas em um quadro indicando a frequência de cada resposta dos alunos. Quantidade de moradores na residência

Frequência

3 moradores

4 moradores

5 moradores

6 moradores

7 moradores

No trabalho com a moda, sugerir aos alunos que, após organizar as frequências dos elementos de um conjunto de dados, adicionar as frequências e comparar a soma com a quantidade de elementos. Isso pode auxiliar a identificar se foi esquecido ou registrado mais de uma vez um mesmo elemento. Se julgar conveniente, apresentar outros exemplos de conjuntos de dados e pedir aos alunos que determinem a moda de cada um deles.

Note que a maior frequência é de 4 moradores na residência, resposta dada por 9 alunos. Assim, dizemos que a moda das respostas dos alunos nessa enquete foi de 4 moradores, o que pode ser indicado por Mo = 4. A moda é uma medida de tendência central que corresponde ao dado de maior frequência entre aqueles de um conjunto de dados de uma pesquisa. Exemplo: Observe a moda de cada conjunto de dados. a)

Mo = 18 b)

Nesse caso, como 54 e 60 são os dados com a maior frequência, dizemos que ambos são a moda e o conjunto de dados é bimodal. c) 200

600

500

700

100

300

Nesse caso, como os dados são únicos, ou seja, não se repetem, dizemos que esse conjunto de dados é amodal. 197

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É importante chamar a atenção dos alunos que, para determinar a mediana de um conjunto de dados, os elementos também podem ser organizados em ordem decrescente. Por exemplo, em um conjunto de dados com 5 elementos, organizados em ordem crescente ou decrescente, o termo central é o terceiro. Tanto faz contarmos da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda. Em Estatística, essa organização dos elementos de um conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente é chamada de rol. Para complementar, apresentar aos alunos as informações a seguir. Seleção brasileira masculina de ginástica artística, Jogos Olímpicos 2016 Altura Atleta (em metros) Arthur Nory 1,69 Arthur Zanetti 1,56 Diego 1,70 Hypolito Francisco 1,75 Barretto Sergio Sasaki 1,64 Fonte: COMITÊ OLÍMPICO DO BRASIL. Disponível em: <www.cob.org.br/pt/ Atletas>. Acesso em: 27 out. 2018.

Seleção brasileira masculina de basquete, Jogos Olímpicos 2016 Altura Atleta (em metros) Alex Garcia 1,92 Augusto Lima 2,08 Cristiano 2,08 Felício Guilherme 2,04 Giovannoni Leandrinho 1,94 Marcelo 1,91 Huertas Marquinhos 2,07 Nenê Hilário 2,11 Rafael Luz 1,88 Rafael 2,08 Hettsheimeir Raulzinho 1,85 Vitor Benite 1,91 Fonte: COMITÊ OLÍMPICO DO BRASIL. Disponível em: <www.cob.org.br/pt/ Atletas>. Acesso em: 27 set. 2018.

Mediana A Rio 2016 foi a edição dos Jogos Olímpicos em que o Brasil participou com a maior delegação: 465 atletas, entre homens e mulheres. Esses atletas possuíam biótipos distintos, isto é, alguns mais altos e outros mais baixos, alguns mais pesados e outros mais leves, por exemplo. Observe a seguir as alturas, em centímetros, dos atletas da equipe masculina de ginástica artística do Brasil nesses jogos. 169

156

170

175

164

Podemos representar as alturas desses atletas usando uma medida de tendência central chamada mediana. Para isso, inicialmente, organizamos essas alturas em ordem crescente. Depois, como a quantidade de dados é ímpar (5 alturas), identificamos aquele que ocupa a posição central. 156

164

169

170

CLIVE BRUNSKILL/GETTY IMAGES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Diego Hypolito nos Jogos Olímpicos de 2016 no Rio de Janeiro (RJ).

175

Assim, dizemos que a mediana das alturas dos atletas da equipe masculina de ginástica artística era de 169 cm. Agora, observe as alturas dos 12 atletas da equipe masculina de basquete do Brasil nesses jogos, já organizadas em ordem crescente. 185

188

191

192

194

204

207

208

211

Nesse caso, a quantidade de dados é par. Então, para determinar a mediana das alturas, calculamos a média dos dois dados que ocupam as posições centrais. 194 + 204 398 = = 199 2 2 Assim, dizemos que a mediana das alturas dos atletas da equipe masculina de basquete era de 199 cm. Md =

Fonte dos dados: COMITÊ OLÍMPICO DO BRASIL. Atletas. Disponível em: <www.cob.org.br/pt/atletas>. Acesso em: 2 out. 2018.

A mediana é uma medida de tendência central que, para ser determinada, é necessário que os dados da pesquisa estejam organizados em ordem crescente ou decrescente. Quando a quantidade de dados é ímpar, a mediana corresponde ao dado central. Já quando a quantidade de dados é par, a mediana corresponde à média dos dois dados centrais. Agora, considere o seguinte exemplo. Rodrigo está preocupado com o consumo de água em sua casa que, nesse mês, foi de 21 m3. Observe ao lado o consumo de água na casa de Rodrigo nos seis meses anteriores.

Consumo de água nos seis meses em ordem crescente (em m3) 9

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Verificar se os alunos perceberam que a moda sempre é um elemento do conjunto de dados em questão, quando houver. Já a média aritmética e a mediana podem ser valores que não estão no conjunto de dados. Por exemplo, a mediana das alturas dos atletas da equipe masculina de bas-

quete que participaram desses jogos era de 199 cm, porém não havia atleta algum nessa equipe com 199 cm de altura.

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Vamos calcular as medidas de tendência central do consumo de água nesses seis meses e a amplitude desses dados, ou seja, a diferença entre o maior e o menor consumo nesses meses. 9 + 15 + 18 + 13 + 15 + 14 84 = = 14, ou seja, 14 m³. 6 6 • Mo = 15 m³.

• Ma =

• Md =

14 + 15 29 = = 14,5, ou seja, 14,5 m³. 2 2

• Amplitude: 18 – 9 = 9, ou seja, 9 m³. Observando a amplitude, é possível perceber que entre dois desses meses o consumo variou em até 9 m3. Também é possível notar que a média (14 m3), a moda (15 m3) e a mediana (14,5 m3) são diferentes entre si. Porém, essas três medidas são menores do que 21 m3, correspondente ao consumo de água no mês atual na casa de Rodrigo. Em sua opinião, o que pode ter ocorrido para que o consumo de água na casa de Rodrigo no mês atual tenha sido maior que a média, a moda e a mediana do consumo nos seis meses anteriores? Algumas respostas possíveis: Aumento na quantidade de moradores da casa; vazamento em torneiras e chuveiros; banhos demorados; escovações de dentes com a torneira aberta; lavagem do carro e do quintal com mangueira.

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Na página 196 vimos que algumas Nota instituições de ensino superior utiProva objetiva/Redação Cíntia Sandro lizam as notas do Enem para que os candidatos possam ingressar em Linguagens, Códigos e suas Tecnologias 628,9 680,4 cursos universitários. Observe no Ciências Humanas e suas Tecnologias 672,1 602,8 quadro ao lado as notas obtidas Ciências da Natureza e suas Tecnologias 550 605,6 por dois candidatos no Enem. a) Na prova de Ciências Humanas e Matemática e suas Tecnologias 765 563,7 suas Tecnologias, qual dos candiRedação 440 700 datos obteve a maior nota? Cíntia. b) Para cada candidato, calcule a média das cinco notas. Qual candidato obteve a maior média? Cíntia: 611,2; Sandro: 630,5. Sandro. c) É possível Cíntia ingressar em um curso universitário no qual é necessário obter a média das cinco notas do Enem superior a 600? Sim. 2. Calcule a média, a moda e a mediana dos números indicados em cada item. a) 76 56 68 76 76 53 64 Média: 67; moda: 76; mediana: 68. b) 90 73 78 75 86 86 78 82 78 86 Média: 81,2; moda: 78 e 86; mediana: 80. c) 76 84 50 84 Média: 73,5; moda: 84; mediana: 80. d) 50 46 64 40 50 50 48 50 67 46 64 50 51 Média: 52; moda: 50; mediana: 50. e) 40 54 45 63 65 45 Média: 52; moda: 45; mediana: 49,5. • Em quais desses itens a média dos números é igual? E em quais itens a mediana dos números é igual? d e e. b e c.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Para complementar, sugerir aos alunos que pesquisem uma fatura de água da residência em que moram e calculem a média, a moda, a mediana e a amplitude dos dados relacionados ao consumo de água dos últimos seis meses. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo e a compreensão da média aritmética de um conjunto de dados, em uma situação contextualizada. Informar aos alunos que as informações são fictícias. No item c, informar-lhes que a nota média exigida no Enem para o ingresso nos cursos universitários varia de acordo com o curso e a instituição de ensino. Para complementar, propor aos alunos o seguinte questionamento. • Qual tipo de gráfico é o mais indicado para representar as notas obtidas por Cíntia e Sandro no Enem? Justifique. Resposta esperada: Gráfico de barras duplas ou gráfico de colunas duplas, porque esses gráficos geralmente são utilizados com a finalidade de comparar, entre si, os dados pesquisados. 2. Esta atividade trabalha o cálculo e a compreensão da média aritmética, moda e mediana de conjuntos de dados e a comparação dos resultados obtidos. É importante que os alunos compreendam que diferentes conjuntos de dados podem ter a mesma média, moda ou mediana.

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3. Em cada dia de certa semana, no mesmo horário, Carlos consultou a temperatura do município em que mora em um aplicativo de celular. Com esses dados, ele construiu um gráfico de segmentos em uma planilha eletrônica. Observe. Média: 24 °C; moda: 21 °C; mediana: 25 °C. a) Em relação a essas tempeTemperatura do município em cada dia de raturas, determine a média, certa semana a moda e a mediana. 40 b) A diferença entre a maior e a menor temperatura 28 30 27 26 25 registradas é denominada 21 21 20 amplitude térmica. Qual é 20 a amplitude térmica neste caso? 8 °C. 10 c) Em quais dias a tempera0 tura registrada foi maior do dom. seg. ter. qua. qui. sex. sáb. que a média da semana? Dia da semana Domingo, segunda-feira, terça-feira Fonte: Anotações de Carlos. e quarta-feira. 4. Observe a seguir o consumo de água na casa de Helena nos últimos cinco meses. Temperatura (ºC)

ATIVIDADES 3. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo e a compreensão da média aritmética, moda e mediana de um conjunto de dados e a relação com a amplitude. No item b, é proposto aos alunos o cálculo da amplitude da temperatura registrada naquela semana. Esse resultado pode ser utilizado para apresentar o significado das medidas de tendência central calculadas no item a. 4. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo e a compreensão da média aritmética de um conjunto de dados e a relação com a amplitude. No boxe Dica, é importante que os alunos percebam que, para que a média aritmética de seis elementos seja igual a 12, é necessário que a soma desses seis elementos seja igual a 72 (6 ? 12 = 72). Para determinar o consumo no próximo mês, basta subtrair de 72 m3 o consumo total dos cinco primeiros meses. 5. Esta atividade trabalha o cálculo e a compreensão da média aritmética de um conjunto de dados, em uma situação contextualizada. É importante ficar claro aos alunos que esta situação é fictícia e, para fazer qualquer tipo de viagem de automóvel, existem outros elementos que precisam ser levados em consideração, além do consumo de combustível, por exemplo, o conforto e o espaço disponível, as condições de conservação e a segurança do automóvel.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Mês

Fevereiro

Março

Abril

Maio

Junho

Consumo de água (m3)

De quantos metros cúbicos deve ser o consumo de água no próximo mês na casa de Helena para que a média mensal de consumo nos seis meses seja de 12 m3? Nesse caso, de quantos metros cúbicos será a diferença entre o mês de maior e o mês de menor consumo nesses seis meses, ou seja, a amplitude do consumo mensal de água no período? 11 m³; 3 m³. Para resolver essa atividade, uma estratégia é determinar inicialmente o consumo total de água nos seis meses para que a média mensal nesse período seja 12 m3. 5. (Enem-2015) Cinco amigos marcaram uma viagem à praia em dezembro. Para economizar, combinaram de ir num único carro. Cada amigo anotou quantos quilômetros seu carro fez, em média, por litro de gasolina, nos meses de setembro, outubro e novembro. Ao final desse trimestre, calcularam a média dos três valores obtidos para escolherem o carro mais econômico, ou seja, o que teve a maior média. Os dados estão representados na tabela: Carro

Desempenho médio mensal (km/litro) Setembro

Outubro

Novembro

6,2

9,0

9,3

6,7

6,8

9,5

III

8,3

8,7

9,0

8,5

7,5

8,5

8,0

Qual carro os amigos deverão escolher para a viagem? Alternativa c. a) I b) II c) III d) IV

e) V

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8 10:27 AM

mônio Mundial Natural pela UNESCO, no ano de 1986. [...]

6. O Parque Nacional do Iguaçu é um dos grandes pontos turísticos do Brasil e recebe visitantes de toda parte do mundo. Observe o gráfico e resolva as questões.

BRASIL. Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade. Parque Nacional do Iguaçu. Disponível em: <www.icmbio.gov.br/parnaiguacu/>. Acesso em: 27 set. 2018.

120 000 100 000

117 371

114 661 97 517

80 000

88 812

64 595 57 871

60 000

86 861 72 826 69 650

93 578 69 611

57 005

40 000 20 000 0

Julho

Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Mês Brasileiro Estrangeiro

Fonte: PREFEITURA MUNICIPAL DE FOZ DO IGUAÇU. Inventário Técnico de Estatísticas Turísticas. Disponível em: <www.pmfi.pr.gov.br/ArquivosDB?idMidia=103743>. Acesso em: 3 out. 2018.

No Parque Nacional do Iguaçu, Foz do Iguaçu (PR), está localizado o conjunto de quedas-d’água que formam as Cataratas. Fotografia de 2016.

JUNIOR BRAZ/SHUTTERSTOCK.COM

140 000

EDITORIA DE ARTE

Quantidade de visitantes

Visitantes do Parque Nacional do Iguaçu no 2o semestre de 2017

a) Nesse gráfico, o que indicam as colunas em azul? E as colunas em verde? b) Podemos afirmar que em cada um desses meses a quantidade de visitantes brasileiros foi maior do que a de estrangeiros? Por quê? Resposta esperada: Não, pois no mês de agosto a quantidade de visitantes estrangeiros foi maior do que a de brasileiros. c) Ao todo, quantos foram os visitantes do Parque Nacional do Iguaçu no mês de novembro de 2017? 163 189 visitantes. d) Nesse semestre, em relação aos visitantes brasileiros, qual é a diferença entre a quantidade de visitantes dos meses que apresentaram maior e menor quantidade de visitantes? E em relação aos visitantes estrangeiros? 59 500 visitantes brasileiros. 40 512 visitantes estrangeiros. e) Para o semestre apresentado, calcule a média e a mediana da quantidade mensal de: • visitantes estrangeiros. • visitantes brasileiros. Média: 93 192 visitantes; mediana: 91 195 visitantes. Média: 71 867 visitantes; mediana: 69 630,5 visitantes.

Milena: 7 anos.

Gael: 12 anos. Diogo: 10 anos.

6. a) Quantidade de visitantes brasileiros em cada mês do 2o semestre de 2017. Quantidade de visitantes estrangeiros em cada mês do 2o semestre de 2017.

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6. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo e a compreensão da média aritmética, moda e mediana de um conjunto de dados e a relação com a amplitude. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações a respeito do Parque Nacional do Iguaçu.

8+x 2

= 10 .

• Pensar de imediato que, para que a média aritmética de dois valores seja igual a 10, a soma dos elementos deve ser igual a 20 e, a partir disso, calcular 20 – 8 = 12.

DANILLO SOUZA

7. Caíque tem 8 anos de idade e pratica natação em uma escola. Para a realização de um festival, a professora de natação está organizando os alunos em duplas. Qual dos alunos indicados a seguir pode formar dupla com Caíque, de maneira que a média da idade dos integrantes dessa dupla seja de 10 anos? Gael.

No item d, é proposto aos alunos o cálculo da amplitude da quantidade de visitantes mensais brasileiros e estrangeiros no semestre. Esses resultados podem ser utilizados para compreender melhor o significado das medidas de tendência central calculadas no item e. 7. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo e a compreensão da média aritmética de um conjunto de dados. Para a resolução, os alunos podem utilizar diferentes estratégias: • Utilizar tentativas, adicionando a idade dos outros alunos à idade de Caíque e dividindo o resultado por dois. • Utilizar uma equação do 1o grau com uma incógnita

[...] O Parque Nacional do Iguaçu [...] abriga o maior remanescente de floresta Atlântica (estacional semidecídua) da região sul do Brasil. O Parque Nacional protege uma riquíssima biodiversidade, constituída por espécies representati-

201

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vas da fauna e flora brasileiras [...] Essa expressiva variabilidade biológica somada à paisagem [...] das Cataratas do Iguaçu, fizeram do Parque Nacional do Iguaçu a primeira Unidade de Conservação do Brasil a ser instituída como Sítio do Patri-

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Produção de ovos no Brasil em cada trimestre de 2017 (em mil dúzias) Trimestre

270 661

269 936

281 224

288 326

250 989

278 764

285 160

283 022

268 896

271 698

277 524

286 860

Mês o o

Fonte: IBGE. Sidra. Disponível em: <https://sidra.ibge.gov.br/tabela/915>. Acesso em: 4 out. 2018.

a) b) c) d)

Do que trata essa tabela? Fevereiro. Junho. A qual mês do ano corresponde o 2o mês do 1o trimestre? E o 3o mês do 2o trimestre? Em qual mês desse ano houve a maior produção de ovos no Brasil? Qual foi essa produção? Outubro. 288 326 mil dúzias de ovos. Calcule a média mensal aproximada da produção de ovos em cada trimestre de 2017. o • Em qual trimestre essa média foi maior? 4 trimestre.

9. Em uma partida do campeonato escolar de basquete, estavam em quadra as jogadoras de um dos times, cujas alturas estão indicadas ao lado. Eliana. a) Qual dessas jogadoras é a mais alta? b) Determine a média, a moda e a mediana das alturas dessas jogadoras. Média: 155,8 cm; moda: 157 cm; mediana: 157 cm. c) Em certo momento da partida, Eliana foi substituída por Isabele, que tem 165 cm de altura. Estime o que ocorreu com a média, a moda e a mediana das alturas das jogadoras do time em quadra após a substituição: aumentou, diminuiu ou permaneceu a mesma?

DANILLO SOUZA

ATIVIDADES 8. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo e a compreensão da média aritmética de conjuntos de dados e a comparação dos resultados obtidos. 9. Esta atividade trabalha o cálculo e a compreensão da média aritmética, da moda e da mediana de um conjunto de dados e a relação dos resultados obtidos ao trocar um desses dados do conjunto. No item c, verificar se os alunos perceberam que a média deve aumentar, pois entrou na partida uma jogadora mais alta do que a que saiu. Isso ocorre, porque cada dado influencia no cálculo da média do conjunto de dados. Já a moda deve permanecer a mesma, pois a jogadora que saiu e a que entrou na partida não influenciaram na altura de maior frequência. A mediana também deve permanecer a mesma, porque, nesse caso, a substituição alterou apenas um dos dados da extremidade do rol das alturas. 10. Esta atividade trabalha o cálculo e a compreensão da mediana de um conjunto de dados, em uma situação contextualizada.

8. d) 1o trimestre: 263 515 mil dúzias de ovos; 2o trimestre: 273 466 mil dúzias de ovos; 3o trimestre: 281 303 mil dúzias de ovos; 4o trimestre: 286 069 mil dúzias de ovos. 8. Observe a tabela de dupla entrada a seguir e resolva as questões com auxílio de uma calculadora.

Ana: 157 cm.

Eliana: 162 cm.

Noemi: 157 cm.

Bruna: 148 cm.

Diana: 155 cm.

8. a) Resposta esperada: Da produção de ovos no Brasil nos meses de cada trimestre de 2017.

• Agora, realize os cálculos da média, da moda e da mediana das alturas das atletas desse time após a substituição e verifique se suas estimativas estavam corretas. Média: 156,4 cm; moda: 157 cm; mediana: 157 cm. 10. (Enem-2017) O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %) para o período de março de 2008 a abril de 2009, obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre. A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de Alternativa b. d) 7,7% a) 8,1% Fonte: IBGE. Pesquisa mensal de emprego. Disponível em: b) 8,0%

e) 7,6%

ENEM 2017

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

www.ibge.gov.br. Acesso em: 30 jul. 2012 (adaptado).

c) 7,9% 9. c) A média aumentou e a moda e a mediana permaneceram as mesmas. 202

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18 2:28 PM

Distribuição de frequência

Iniciante 12 alunos

Básico 36 alunos

Intermediário 24 alunos

Avançado 8 alunos

ROBERTO ZOELLNER

Certa escola de idiomas organiza os cursos de inglês nos níveis de conhecimento iniciante, básico, intermediário e avançado, respectivamente. A coordenadora dessa escola realizou um levantamento de quantos alunos estão matriculados em cada nível. Observe.

Agora, considere as seguintes questões: Quantos alunos estão matriculados no nível intermediário ou em um nível inferior a ele? Que porcentagem dos alunos está matriculada no nível básico? Para responder a questões como essas, podemos organizar os dados em uma tabela com a distribuição de frequências. Observe as etapas para a construção desta tabela.

Indicamos a frequência (f), ou seja, quantos alunos estão matriculados em cada nível. Depois, indicamos a frequência acumulada (fa), que corresponde à quantidade de alunos que estão matriculados em cada nível ou em um nível inferior a ele.

Matrículas nos cursos de inglês Nível de conhecimento

Frequência (f)

Frequência acumulada (fa)

Iniciante

Básico

Intermediário

Avançado

Total

80 Fonte: Secretaria da escola de idiomas.

Iniciante fa = 12

Intermediário fa = 48 + 24 = 72

Básico fa = 12 + 36 = 48

Avançado fa = 72 + 8 = 80

203

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA24. As informações da escola de idiomas são fictícias.

Comentar que, quando a variável da pesquisa estatística permite a ordenação dos dados obtidos, é possível determinar a frequência acumulada e, consequentemente, a frequência acumulada relativa. No exemplo apresentado, a ordem está nos níveis de co-

[...] Algumas variáveis, como sexo, educação, estado civil, apresentam como possíveis realizações uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado, ao passo que outras, como número de filhos, salário, idade, apresentam como possíveis realizações números resultantes de uma contagem ou mensuração. As variáveis do primeiro tipo são chamadas qualitativas, e as do segundo tipo, quantitativas. Dentre as variáveis qualitativas, ainda podemos fazer uma distinção entre dois tipos: variável qualitativa nominal, para a qual não existe nenhuma ordenação nas possíveis realizações, e variável qualitativa ordinal, para a qual existe uma ordem nos seus resultados. [...] De modo análogo, as variáveis quantitativas podem sofrer uma classificação dicotômica: (a) variáveis quantitativas discretas, cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números, e que resultam, frequentemente, de uma contagem, como número de filhos (0, 1, 2, ...); (b) variáveis quantitativas contínuas, cujos possíveis valores pertencem a um intervalo de números reais e que resultam de uma mensuração, como por exemplo estatura e peso (melhor seria dizer massa) de um indivíduo. [...] MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. de O. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. p. 12-13.

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nhecimento dos alunos dos cursos de inglês. Essa característica da variável pode ser compreendida de acordo com uma classificação que é possível realizar entre os tipos de variáveis. Leia o texto a seguir.

203

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Variável

Discreta

Contínua

Qualitativa Ordinal

Nominal

A frequência acumulada também pode ser entendida como a soma das frequências absolutas até determinado dado. Em relação à situação apresentada, temos: • Iniciante: fa = 12 • Básico: fa = 12 + 36 = 48 • Intermediário: fa = 12 + 36 + 24 = 72 • Avançado: fa = 12 + 36 + 24 + 8 = 80 É importante notar também que a última frequência acumulada corresponde ao total da frequência absoluta. Verificar se os alunos perceberam que, para calcular a frequência relativa, basta determinar o porcentual que a frequência correspondente representa em relação ao total. Se julgar necessário, retomar o cálculo de porcentagem, estudado na Unidade 4 deste Volume. Enfatizar que a soma das frequências relativas sempre resulta em 100%, caso não ocorram arredondamentos.

Fonte: Secretaria da escola de idiomas.

fr =

Iniciante 12 = 0,15 H 15% 80

Básico 36 = 0,45 H 45% 80

Intermediário 24 = 0,3 H 30% 80

Iniciante far = 15%

Intermediário far = 60% + 30% = = 90%

Básico far = 15% + 45% = = 60%

Avançado far = 90% + 10% = = 100%

fr =

Avançado 8 = 0,1 H 10% 80

Com base nessa tabela, ao observarmos a frequência acumulada, podemos dizer que 72 alunos estão matriculados no nível intermediário ou em um nível inferior a ele. Já ao observarmos a frequência relativa, identificamos que 45% dos alunos estão matriculados no nível básico. Também podemos utilizar os dados organizados nessa tabela com as distribuições de frequência para construir gráficos. Observe os exemplos.

Matrículas nos cursos de inglês Quantidade de alunos

Quantitativa

Indicamos a frequência relativa (fr), ou seja, a porcentagem de alunos matriculados em cada nível. Depois, indicamos a frequência acumulada relativa (far), que corresponde à porcentagem de alunos matriculados em cada nível ou em um nível inferior a ele. Matrículas nos cursos de inglês Frequência Nível de Frequência Frequência Frequência acumulada relativa conhecimento (f) acumulada (fa) relativa (fr) (far) Iniciante 12 12 15% 15% Básico 36 48 45% 60% Intermediário 24 72 30% 90% Avançado 8 80 10% 100% Total 80 100%

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Matrículas nos cursos de inglês

10% 24

45%

Iniciante

Básico

Intermediário Avançado

Nível de conhecimento Fonte: Secretaria da escola de idiomas.

Veja a seguir a resposta do item b, da atividade 2, da página 205.

15%

30% 12

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

De maneira geral, essa classificação das variáveis estatísticas pode ser representada pelo esquema a seguir.

Iniciante Intermediário

Básico Avançado

Fonte: Secretaria da escola de idiomas.

204

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Funcionários da empresa

Cargo de atendente

Frequência (f)

Frequência acumulada (fa)

Frequência relativa (fr)

Frequência acumulada relativa (far)

Júnior

50%

Pleno

30%

80%

Sênior

20%

100%

Total

100%

Fonte: Departamento de recursos humanos da empresa.

204

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8 10:27 AM

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

2. Em uma empresa, os funcionários de cada cargo de atendente são classificados em júnior, pleno ou sênior, respectivamente. Por exemplo, um atendente sênior já passou pelos níveis júnior e pleno, nessa ordem. O departamento de recursos humanos dessa empresa listou os funcionários que ocupam o cargo de atendente de acordo com essa classificação. Observe.

c) Os atendentes com classificação pleno ou inferior receberão um treinamento. Quantos atendentes realizarão esse treinamento? Que porcentual do total de atendentes eles representam? 24 atendentes. 80%. 3. A escola em que Marina estuda organizou uma feira cultural, em que os alunos realizaram apresentações. O evento recebeu ao todo 1 080 visitantes em cinco dias de certa semana, como representado no gráfico a seguir.

Visitantes da feira cultural

20%

22,50%

12,50% 15% 30%

Segunda-feira Quarta-feira Sexta-feira

Terça-feira Quinta-feira EDITORIA DE ARTE

1. Em relação à tabela com a distribuição de frequências apresentada na página anterior, com as frequências das matrículas de alunos nos níveis de conhecimento dos cursos de inglês da escola de idiomas, responda. a) Qual nível tem a maior quantidade de alunos matriculados? E a menor quantidade? Nível básico. Nível avançado. b) Qual é o porcentual de alunos matriculados no nível iniciante? 15%. 48 alunos. c) Quantos alunos estão matriculados no nível básico ou em um nível inferior a ele? d) Qual é o porcentual de alunos que estão matriculados no nível intermediário ou em um nível inferior a ele? 90%.

J: júnior P: pleno S: sênior

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

Fonte: Diretoria da escola.

a) Quantos visitantes o evento recebeu em cada dia da semana? b) Construa uma tabela e indique a frequência, a frequência acumulada, a frequência relativa e a frequência acumulada relativa da quantidade de visitantes da feira cultural em cada dia da semana. Resposta nas Orientações para o professor. c) Com base na tabela, elabore três questões e troque-as com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve aquelas que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

a) Ao todo, essa empresa tem quantos atendentes? 30 atendentes. b) Construa uma tabela e indique a frequência, a frequência acumulada, a frequência relativa e a frequência acumulada relativa da classificação dos atendentes dessa empresa. Resposta nas Orientações para o professor. 3. a) Segunda-feira: 216 visitantes; terça-feira: 135 visitantes; quarta-feira: 324 visitantes; quinta-feira: 162 visitantes; sexta-feira: 243 visitantes.

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Dia da semana Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Total

Visitantes da feira cultural Frequência (f) 216 135 324 162 243 1 080

Frequência acumulada (fa) 216 351 675 837 1 080

Frequência relativa (fr) 20% 12,50% 30% 15% 22,50% 100%

205

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a interpretação de dados organizados em uma tabela com a distribuição de frequências. 2. Esta atividade trabalha a organização de dados em uma tabela com a distribuição de frequências e a interpretação desses dados. Informar aos alunos que usualmente a classificação em júnior, pleno e sênior é realizada de acordo com alguns critérios, como qualificação, experiência, desenvolvimento, entre outros, nas funções específicas. 3. Esta atividade trabalha a organização de dados em uma tabela com a distribuição de frequências e a interpretação desses dados. Informar aos alunos que as informações apresentadas são fictícias. Para o item a, sugerir o uso da calculadora. Veja a resposta do item b na parte inferior desta página. A seguir, são apresentados exemplos de questões que podem ser elaboradas pelos alunos no item c. • Em qual dia da semana compareceu a menor quantidade de visitantes na feira cultural? Que porcentagem do total essa quantidade representa? Respostas: Terça-feira. 12,50%. • Quantos visitantes compareceram à feira cultural até a quinta-feira? Resposta: 837 visitantes. • Ao final de quarta-feira já havia comparecido à feira cultural mais da metade do total de visitantes? Justifique. Resposta esperada: Sim, pois havia comparecido à feira 62,50% dos visitantes, mais da metade do total (50%).

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Frequência acumulada relativa (far) 20% 32,50% 62,50% 77,50% 100% Fonte: Diretoria da escola.

205

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11/16/18 3:23 PM

Intervalo de classes Caso julgar necessário, ler para os alunos o trecho a seguir que apresenta algumas informações a respeito do estado de Sergipe. História Em 8 de julho de 1820, o Rei do Brasil e Portugal, Dom João VI, assinava a Carta Régia elevando Sergipe à categoria de Capitania Independente. A independência do território de Sergipe da Bahia foi marcada por conturbadas lutas políticas e contestada na época pelos líderes baianos e senhores de engenho. Tanto que essa data entra em conflito com outra. A data de emancipação considerada até a década de 1990, foi 24 de outubro, quando se comemora a recuperação da Independência de Sergipe. No fim dos anos de 1990, a Assembleia Legislativa cancela a data, e a mesma passa a ser considerada como Dia da Sergipanidade. O território sergipano foi conquistado em 1590 por Cristóvão de Barros e, desde essa época, ficou sob a tutela da Bahia. Cristóvão de Barros conseguiu vencer os índios e dividiu as terras em sesmarias. Sergipe, durante quase dois séculos e meio, foi de capitania subalterna, dedicada a abastecer Bahia com sua produção agropecuária. Dela, recebia as famílias dos dominantes, os encargos, autoridades e os produtos de seu comércio. Sergipe é um dos estados do Nordeste brasileiro. Tem como limites o Oceano Atlântico, os estados da Bahia a oeste e ao sul e Alagoas ao norte. É o menor estado brasileiro em extensão, com 21 918 443 km2. Possui 75 municípios. [...]

Intervalo de classes Na aula de Geografia, o professor organizou os alunos de uma turma do 8o ano em grupos para que pesquisassem informações sobre o estado de Sergipe. O grupo de Alisson fez a pesquisa na internet e identificou que Sergipe é o estado brasileiro com a menor extensão territorial. Os alunos desse grupo registraram em um quadro a extensão territorial aproximada de cada um dos 75 municípios desse estado, em quilômetros quadrados. 35

360

182

199

148

206

149

201

170

901

442

238

128

644

183

399

654

243

315

337

739

366

408

969

162

138

102

408

341

757

482

155

373

156

205

1 233

440

531

259

103

248

325

237

438

102

168

1 024

306

118

637

493

183

266

877

145

564

Em seguida, o grupo de Alisson organizou esses dados em ordem crescente, ou seja, da menor para a maior extensão territorial. 20

102

103

118

128

138

145

148

149

155

156

162

168

170

182

183

199

201

205

206

237

238

243

248

259

266

306

315

325

337

341

360

366

373

399

408

438

440

442

482

493

531

564

637

644

654

739

757

877

901

969

1 024 1 233

DELFIM MARTINS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Aracaju (SE). Fotografia de 2018.

206

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IBGE. Sergipe: história & fotos. Disponível em: <https://cidades. ibge.gov.br/brasil/se/historico>. Acesso em: 3 out. 2018.

11/14/18 10:28 AM

Informar aos alunos que a organização dos dados relacionados à extensão territorial dos municípios também pode ser feita em ordem decrescente.

206

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11/16/18 3:24 PM

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8 10:28 AM

Para analisar melhor a extensão territorial desses 75 municípios, o grupo de Alisson vai construir uma tabela de distribuição de frequência. Porém, eles perceberam que poucos municípios de Sergipe possuem a mesma extensão territorial. Assim, optou-se por agrupar esses dados por faixas, chamadas de intervalos de classe. Observe.

Definiram os intervalos de classe, de maneira que a extensão territorial de cada município fosse representada em um único intervalo de classe. Extensão territorial (km2) 0 ¿ 250 250 ¿ 500 500 ¿ 750 750 ¿ 1 000 1 000 ¿ 1 250

A notação 250 ¿ 500 indica que esse intervalo de classe corresponde aos municípios cuja extensão territorial é igual ou maior do que 250 km2 e menor do que 500 km2. A diferença entre as extremidades do intervalo de classe é chamada amplitude desse intervalo, que, nesse caso, é dada por: 500 _ 250 = 250, ou seja, 250 km2.

Identificaram a frequência de cada intervalo de classe.

Extensão territorial (km2)

Frequência (f)

0 ¿ 250

250 ¿ 500

500 ¿ 750

750 ¿ 1 000

1 000 ¿ 1 250

Total

Essa frequência indica que 18 municípios têm a extensão territorial igual ou maior do que 250 km2 e menor do que 500 km2.

Fonte dos dados: MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. de O. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. p. 16.

Com base nas frequências dos intervalos de classe, determinaram a frequência acumulada, a frequência relativa e a frequência acumulada relativa. Por fim, definiram o título e informaram a fonte dos dados.

Verificar se os alunos perceberam que os valores extremos do primeiro e do último intervalo, 0 e 1 250, não precisam necessariamente fazer parte do conjunto de dados. Entretanto, é necessário que todos os dados estejam considerados no intervalo definido. Dizer a eles que na tabela, na etapa 3, os valores 5,3% e 2,7% da coluna de frequência relativa (fr) e o valor 97,3% da coluna de frequência relativa acumulada (far) são aproximados.

Extensão territorial dos munícipios de Sergipe, em 2016 Extensão territorial (km2)

Frequência (f)

Frequência Frequência Frequência acumulada acumulada (fa) relativa (fr) relativa (far)

0 ¿ 250

60%

250 ¿ 500

24%

84%

500 ¿ 750

92%

750 ¿ 1 000

5,3%

97,3%

1 000 ¿ 1 250

2,7%

100%

Total

As tabelas de distribuição de frequências em intervalos de classe são úteis principalmente para organizar de maneira resumida um conjunto de dados de modo a fornecer um comportamento geral dos dados. Porém, ao organizar os dados em intervalos, limita-se o acesso a algumas informações. Por exemplo, não é possível determinar a extensão territorial de cada um dos seis municípios da classe 500 ¿ 750 apenas observando os intervalos de classes. A escolha da quantidade de intervalos de classe pode variar de acordo com os dados. Mas se houver poucos intervalos de classe, perdem-se informações, e se houver muitos intervalos de classe, a ideia de resumir os dados pode ficar prejudicada. Geralmente, utilizam-se entre 5 a 15 intervalos de classe com a mesma amplitude.

100%

Fonte: IBGE. Áreas dos municípios. Disponível em: <www.ibge.gov.br/geociencias-novoportal/organizacao-doterritorio/estrutura-territorial/15761-areas-dos-municipios.html?=&t=downloads>. Acesso em: 3 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a leitura e a interpretação de tabela com a distribuição de frequências para dados agrupados em intervalos de classe. 2. Esta atividade trabalha a construção de uma tabela com a distribuição de frequências para dados agrupados em intervalos de classe. Além disso, propõe a elaboração de questões de leitura e interpretação dos dados com o objetivo de tomar decisões. Informar que nanograma é uma unidade de medida de massa, submúltiplo do grama, sendo que 1 nanograma (ng) equivale a 10–9 grama ou, ainda, 0,000000001 g. Na etapa 2, reforçar aos alunos a ideia de que a notação 40 ¿ 60, por exemplo, indica que esse intervalo de classe corresponde aos dados cuja concentração de vitamina D é igual ou maior do que 40 ng/mL e menor do que 60 ng/mL. Veja a resposta do item a na parte inferior desta página. A seguir, são apresentados exemplos de questões que podem ser elaboradas pelos alunos no item c. • Quantas pessoas desta amostra têm a concentração de vitamina D menor do que 40 ng/mL? Resposta: 27 pessoas. • Apenas observando a tabela de distribuição de frequência, é possível afirmar que a mediana da concentração de vitamina D nessas pessoas está no intervalo 20 ¿ 40? Justifique. Resposta esperada: Sim, porque, como a amostra tem 30 elementos, a mediana equivale à média aritmética entre o 15o e o 16o elementos, organizados em ordem crescente ou decrescente, e esses termos estão no intervalo 20 ¿ 40 como pode ser observado na frequência acumulada.

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Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. De acordo com a tabela de distribuição de frequência apresentada na página 207, resolva as questões. a) Aracaju, capital de Sergipe, tem aproximadamente 182 km2 de extensão territorial. Em qual intervalo de classe essa extensão territorial foi representada? 0 ¿ 250. b) Quantos municípios apresentam extensão territorial menor do que 500 km2? 63 municípios. c) Qual é o porcentual de municípios que apresentam extensão territorial: Aproximadamente 2,7%. • maior ou igual a 1 000 km2? • menor do que 750 km2? 92%. d) Observando apenas essa tabela de distribuição de frequência, é possível listar a extensão territorial de todos os municípios de Sergipe? Justifique. 2. Junte-se a um colega para resolver esta atividade. A vitamina D é um pré-hormônio essencial para uma boa saúde óssea. A principal fonte de produção dessa vitamina é a pele, por meio de exposição solar. O déficit de vitamina D no organismo pode ser comprovado por meio de exames de sangue específicos. Fonte dos dados: SOCIEDADE BRASILEIRA DE PATOLOGIA CLÍNICA. Intervalos de referência da vitamina D - 25(OH)D. Disponível em: <www.sbpc.org. br/wp-content/uploads/2017/12/PosicionamentoOficial_ SBPCML_SBEM.pdf>. Acesso em: 3 out. 2018.

Pesquisadores de uma universidade realizaram exames para verificar a concentração da vitamina D em uma amostra de 30 pessoas adultas. Observe a seguir os resultados obtidos em nanograma por mililitro (ng/mL). 16 33 24 15 9

25 28 13 18 23

30 43 14 21 28

20 10 22 31 16

19 12 45 25 23

17 35 51 37 29

1. d) Resposta esperada: Não, pois nessa tabela de distribuição de frequências os dados estão agrupados em intervalos de classe, não apresentando a extensão territorial de cada município. a) Com base nesses resultados, construam uma tabela de distribuição de frequência com dados agrupados em intervalos de classe. Para isso, sigam as etapas a seguir. Resposta nas Orientações para o professor.

Organizem os resultados dos exames em ordem crescente.

2 Distribuam esses resultados em intervalos de classe com a mesma amplitude, sendo o primeiro 0 ¿ 20 e o último, 40 ¿ 60.

3 Para cada intervalo de classe, determinem a frequência, a frequência acumulada, a frequência relativa e a frequência acumulada relativa dos resultados dos exames. b) Esses pesquisadores consideram que as pessoas adultas com a concentração de vitamina D igual ou menor do que 20 ng/mL devem receber certo tratamento médico, que inclui a reposição por meio de suplementação. • Quantas das pessoas dessa amostra precisam receber esse tratamento? 12 pessoas. • Que porcentual elas representam do total de pessoas da amostra? 40%. c) Com base nos itens a e b, elaborem um texto e três questões. Depois, troquem essas questões com uma dupla para que eles as resolvam, enquanto vocês resolvem aquelas que eles elaboraram. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre a vitamina D. • BRASIL. Ministério da Saúde. Saúde dos ossos é garantida pela ingestão de alimentos ricos em vitamina D. Disponível em: <http://livro.pro/bhggpy>. Acesso em: 2 out. 2018.

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Concentração da vitamina D em pessoas adultas Frequência Nanograma Frequência Frequência Frequência acumulada por mililitro acumulada relativa (f) relativa (ng/mL) (fa) (fr) (far) 0 ¿ 20 11 11 36,67% 36,67% 16 27 53,33% 90% 20 ¿ 40 3 30 10% 100% 40 ¿ 60 Total 30 100% Fonte: Pesquisadores da universidade.

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lação pode ser impossível para o pesquisador, porque levaria muito tempo e seria muito caro. Outra razão para estudar amostras é o fato de existirem populações tão grandes que estudá-las por inteiro seria impossível. Por exemplo, quantos peixes tem o mar? [...] Outras vezes é impossível estudar toda a população porque o estudo destrói as unidades. Uma empresa que fabrica fósforos e queira testar a qualidade do produto que fabrica não pode acender todos os fósforos que fabricou – mas apenas alguns deles. O uso de amostras tem, ainda, outra razão: o estudo cuidadoso de uma amostra tem maior valor científico do que o estudo sumário de toda a população. [...]

Pesquisa estatística No Brasil, a cada 10 anos, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza o Censo, sendo que o último foi o de 2010. Essa é uma pesquisa censitária, ou seja, uma pesquisa cujo objetivo é realizar a contagem da população do território nacional e identificar algumas características dessa população e dos domicílios brasileiros. Para a realização de uma pesquisa censitária como essa são necessários muitos recursos, como tempo e investimento financeiro.

Censo 2010: algumas informações

Foram contratados cerca de 192 mil recenseadores. Mais de 67 milhões de domicílios foram visitados.

As despesas totalizaram cerca de 1,4 bilhão de reais.

DAYANE RAVEN

A pesquisa contemplou os 5 565 municípios brasileiros.

Fonte dos dados: IBGE. Metodologia do Censo Demográfico 2010. Disponível em: <https:// biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv95987.pdf>. Acesso em: 3 out. 2018.

Em algumas situações, não há tempo ou recursos disponíveis para a realização de uma pesquisa censitária. Nesses casos, pode ser realizada uma pesquisa por amostra. Em Estatística, chamamos população o conjunto de todos os elementos que estão sendo investigados na pesquisa. Quando essa pesquisa é censitária, cada elemento da população é investigado. Chamamos amostra um conjunto formado por parte dos elementos da população. Assim, em uma pesquisa por amostra, é investigada apenas parte da população, que busca retratar as características dessa população. Considere, por exemplo, um município com 30 000 eleitores aptos a votar em uma eleição. Para realizar uma pesquisa de intenção de voto, um instituto entrevistou 200 desses eleitores. Nesse caso, os 30 000 eleitores do município correspondem à população, e os 200 eleitores entrevistados, à uma amostra dessa população.

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VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. p. 4-5.

Informar aos alunos que, para a realização do Censo no Brasil, envolve-se uma grande quantidade de pessoas, porque é necessário percorrer um país heterogêneo com cerca de 8 milhões de quilômetros quadrados. No Censo 2010 foram recenseados os 5 565 municípios do país, com visitas a 67 569 688 domicílios; trabalho para cerca de 240 000 pessoas contratadas e treinadas (coleta, supervisão, apoio e administrativo). Fonte dos dados: IBGE. Censo 2010. Dimensões do censo 2010. Disponível em: <https://censo2010. ibge.gov.br/sobre-censo/ dimensoes-do-censo-2010.html>. Acesso em: 28 set. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

PESQUISA ESTATÍSTICA Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF08MA26 e EF08MA27. Nestas páginas são apresentadas diferentes técnicas

de amostragem, o que colabora para o desenvolvimento da habilidade EF08MA26. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta algumas razões para a utilização de amostras em vez da população em pesquisas estatísticas.

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[...] A primeira razão para estudar uma amostra, em lugar de toda a população, é a questão do custo e da demora dos censos. Por exemplo, qual é, em média, o peso ao nascer de nascidos vivos no Brasil em determinado ano? Avaliar toda a popu-

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre o Censo 2010. • IBGE. Censo 2010. Disponível em: <http://livro.pro/gi8kk6>. Acesso em: 28 set. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tipos de amostra A amostra casual simples, também conhecida como amostra aleatória simples ou amostra probabilística simples, geralmente é utilizada quando se tem uma população finita constituída por unidades homogêneas, em que é possível listar todas essas unidades. Porém, esse tipo de amostragem torna-se inviável quando a população é muito grande, por exemplo. A amostra estratificada, também conhecida como amostra aleatória estratificada ou amostra probabilística estratificada, geralmente é utilizada quando se tem uma população constituída por unidades heterogêneas. Assim, as unidades da população devem ser identificadas e divididas em subgrupos homogêneos chamados estratos, de acordo com as unidades similares. Cada unidade deve fazer parte de apenas um estrato. Por fim, o sorteio é realizado em cada um dos estratos. Na situação do condomínio, os blocos podem ter características diferentes. Por exemplo, se certo bloco recebe mais iluminação da parte comum do condomínio, é possível que os moradores desse bloco não sintam necessidade de melhorias na iluminação. Porém, se há um bloco mais afastado dessa área comum mais iluminada, é possível que os moradores necessitem de tal melhoria. De modo geral, a amostra sistemática, considerada uma amostra semiprobabilística, é constituída a partir de unidades retiradas de uma população de modo que a primeira unidade é selecionada aleatoriamente e, as demais, são selecionadas a partir da primeira por meio de alguns processos preestabelecidos.

Tipos de amostra Para que uma pesquisa por amostra retrate, da melhor maneira possível, as características da população investigada, é necessário que a amostra seja escolhida adequadamente. Existem diversas técnicas de amostragem, ou seja, de selecionar os elementos da população para compor a amostra. Observe informações sobre três técnicas de amostragem.

Amostra casual simples O professor de Ciências de uma turma do 8o ano quer realizar uma pesquisa para obter informações a respeito de seus alunos, como idade, altura, massa, entre outras. Para que possa realizar a pesquisa de maneira mais ágil, esse professor decide fazê-la por amostra. Observe as etapas que o professor vai utilizar para compor a amostra.

Em pedaços idênticos de papel, o professor escreve o nome de cada aluno da turma uma única vez.

O professor coloca esses pedaços de papel em um pacote não transparente.

Sem olhar, o professor retira sete desses pedaços de papel, que indicarão os alunos que vão compor a amostra.

Note que, para obter os elementos dessa amostra, cada aluno da turma, ou seja, da população, tem a mesma probabilidade de ser sorteado. Essas etapas indicam a chamada amostra casual simples.

Amostra estratificada Certo condomínio residencial possui 6 blocos, cada um com a mesma quantidade de apartamentos ocupados. O síndico vai realizar uma pesquisa a respeito da necessidade de melhoria da iluminação nas áreas comuns. Para que a pesquisa seja menos trabalhosa e o resultado mais próximo à opinião dos moradores dos diferentes blocos, ela será realizada por amostra. As etapas para compor a amostra estão indicadas a seguir.

Para cada bloco, o síndico vai sortear 5 apartamentos ocupados.

Em seguida, um morador de cada apartamento sorteado será entrevistado.

Para obter os elementos dessa amostra, foram sorteados apartamentos de cada um dos 6 blocos do condomínio. Dessa maneira, buscou-se representar na amostra possíveis características particulares dos moradores de cada bloco. Essas etapas indicam a chamada amostra estratificada. 210

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Amostra sistemática Em uma fábrica de chocolates, certa máquina é utilizada na produção de barras de 20 g cada. Buscando garantir que essas barras tenham a massa correta, todos os dias é realizada uma pesquisa por amostra, na qual algumas barras são pesadas em uma balança de precisão. Observe como as barras de chocolate da amostra são selecionadas em cada dia.

É sorteado um número natural de 1 até 100, que indicará a posição da primeira barra de chocolate da amostra, considerando a ordem em que elas são produzidas.

Em seguida, a cada 100 barras produzidas a partir da que foi sorteada, a última é selecionada para a amostra. E assim por diante.

Coleta de dados O terceiro passo é essencialmente operacional, compreendendo a coleta das informações propriamente ditas. [...]

Por exemplo, caso o número 35 seja o sorteado, as barras de chocolate que vão compor a amostra, na ordem em que elas são produzidas, ocupam as posições 35, 135, 235, 335, 435, 535 e assim por diante.

Os procedimentos utilizados na obtenção dessa amostra indicam a chamada amostra sistemática, na qual um elemento da população é selecionado periodicamente para compor a amostra de acordo com um critério estabelecido.

Etapas de uma pesquisa Leia a notícia a seguir.

KIMRAWICZ/SHUTTERSTOCK.COM

Fontes dos dados: GALILEU. 7 provas de que ler faz bem para sua saúde. Disponível em: <https://revistagalileu.globo.com/Ciencia/ noticia/2016/12/7-provas-de-que-ler-faz-bempara-sua-saude.html>. INSTITUTO PRÓ-LIVRO. Retratos da leitura no Brasil – 4a edição. Disponível em: <http://prolivro. org.br/home/images/2016/Pesquisa_Retratos_da_ Leitura_no_Brasil_-_2015.pdf>. Acessos em: 3 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Etapas de uma pesquisa Nesta página, assim como nas páginas 212 e 213, são trabalhadas as etapas de uma pesquisa estatística amostral e uma discussão a respeito da escolha da técnica de amostra-

Apuração dos dados Antes de começar a analisar os dados, é conveniente que lhes seja dado algum tratamento prévio, a fim de torná-los mais expressivos. A quarta etapa do processo é, então, a da apuração ou sumarização, que consiste em resumir os dados através de sua contagem e agrupamento. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. Apresentação dos dados Por mais diversa que seja a finalidade, os dados devem ser apresentados sob forma adequada, tornando mais fácil o exame do fenômeno que está sendo objeto de tratamento estatístico. [...]

A leitura contribui para melhorar o vocabulário e resulta em diversos benefícios relacionados à criatividade e ao bom funcionamento da memória, por exemplo. Uma pesquisa realizada no Brasil apontou que cada brasileiro leu, em média, 2,43 livros inteiros em 2015, média abaixo das registradas em outros países.

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necessário para se resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto, objeto do estudo. É preciso planejar o trabalho a ser realizado tendo em vista o objetivo que se pretende atingir. [...]

gem mais adequada, o que colabora para o desenvolvimento da habilidade EF08MA27. Dependendo do tipo de pesquisa, pode haver outras etapas ou fases para realizar uma pesquisa estatística. De modo geral, as principais fases do método estatístico são:

[...]

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Análise e interpretação dos dados Nesta última etapa, o interesse maior reside em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A análise dos estatísticos está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno. [...] CORREA, S. M. B. B. Probabilidade e estatística. 2. ed. Belo Horizonte: PUC Minas Virtual, 2003. p. 13-15.

Definição do problema A primeira fase do trabalho consiste em uma definição ou formulação correta do problema a ser estudado. [...] Planejamento [...] consiste em se determinar o procedimento

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Na etapa 2, ao definir o público entrevistado, o sorteio foi realizado de maneira que cada aluno da escola tivesse a mesma probabilidade de ser sorteado. Atualmente, é comum esse tipo de sorteio ser realizado com o auxílio de ferramentas computacionais, o que não impede que um sorteio como esse seja feito com papéis idênticos em uma caixa ou com bolas idênticas em uma urna. A planilha eletrônica Calc, por exemplo, possui um recurso de sorteio aleatório, que pode ser utilizada nessas situações.

Preocupada em incentivar a leitura entre os alunos, a diretora de uma escola realizou, no final do ano letivo, uma pesquisa para verificar quantos livros inteiros, em média, cada aluno leu durante o ano. Com base no resultado da pesquisa, a diretora definirá uma ação a ser realizada para o incentivo à leitura dos alunos no ano letivo seguinte. Observe, de maneira resumida, as etapas realizadas nessa pesquisa.

Elaboração do questionário Considerando o tema da pesquisa, foi elaborada a seguinte questão para a entrevista: Quantos livros inteiros você leu neste ano?

Definição do público entrevistado Como a escola possui uma grande quantidade de alunos, optou-se por realizar a pesquisa por amostra. Para definir os elementos dessa amostra, um programa de computador sorteou 60 alunos de uma lista contendo os nomes de todos os alunos da escola.

Coleta de dados Cada um dos 60 alunos sorteados foi entrevistado, respondendo ao questionário da pesquisa.

Nessa pesquisa, qual é a população? Qual técnica de amostragem você acredita que tenha sido utilizada: casual simples, sistemática ou estratificada? A população corresponde a todos os alunos da escola. Resposta esperada: Amostra casual simples.

Organização dos dados Os dados coletados nas entrevistas foram reunidos em um quadro. Quantidade de livros inteiros lidos

Quantidade de alunos

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No boxe Dica, explicar aos alunos que, no cálculo da média aritmética, cada parcela no numerador foi considerada como sendo o produto entre a quantidade de alunos e a quantidade de livros lidos por eles, a fim de resumir os cálculos. Por exemplo, 12 alunos informaram não ter lido livro algum, isto é, leram 0 livro durante o ano. A adição de 12 parcelas iguais a 0 pode ser expressa pelo produto 12 ? 0. No entanto, essa média aritmética pode ser determinada por meio da adição de parcelas iguais, como apresentado na parte inferior desta página.

Análise e apresentação dos resultados Com os dados organizados, foi construída uma tabela de frequências. Em seguida, a partir dessa tabela, foram construídos um gráfico de colunas, um gráfico de setores e calculada a média aritmética da quantidade de livros inteiros lidos por aluno durante o ano.

Livros inteiros lidos, por aluno, durante o ano Quantidade de livros

Frequência (f)

0 1 2 3 4 5 Total

12 21 15 6 3 3 60

Frequência acumulada (fa) 12 33 48 54 57 60

Frequência acumulada relativa (far) 20% 55% 80% 90% 95% 100%

Frequência relativa (fr) 20% 35% 25% 10% 5% 5% 100%

Fonte: Pesquisa por amostra realizada na escola.

20%

12 6

5 0

5% 5% 10%

20 15

Distribuição dos alunos pela quantidade de livros inteiros lidos durante o ano

25% 3

1 2 3 4 Quantidade de livros

3 5

0 livros 1 livros

Fonte: Pesquisa por amostra realizada na escola.

35% 2 livros 3 livros

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

Quantidade de alunos

Livros inteiros lidos, por aluno, durante o ano

4 livros 5 livros

Fonte: Pesquisa por amostra realizada na escola.

• Cálculo da média aritmética 12 ? 0 + 21 ? 1 + 15 ? 2 + 6 ? 3 + 3 ? 4 + 3 ? 5 = 60 96 0 + 21 + 30 + 18 + 12 + 15 = = 1,6, ou seja, 1,6 livro. = 60 60

Ma =

Nesse cálculo da média, cada parcela no numerador corresponde ao produto da quantidade de alunos pela quantidade de livros inteiros lidos por eles durante o ano. Temos que 15 ? 2, por exemplo, corresponde aos 15 alunos que responderam ter lido 2 livros inteiros durante o ano.

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Ma =

12 vezes

21 vezes

15 vezes

6 vezes

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0 + ··· + 0 + 1 + ··· + 1 + 2 + ··· + 2 + 3 + ··· + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 60

= 1,6

213

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a análise das etapas da realização de uma pesquisa, a discussão dos motivos pela escolha de uma pesquisa por amostra e a interpretação dos dados organizados em tabela de frequências e gráficos. Verificar se os alunos perceberam que a média de livros lidos pelos alunos ficou abaixo da média nacional de 2015, que já era considerada baixa. Com base nisso, propor a eles os seguintes questionamentos. • Em sua opinião, o que a baixa média de livros lidos pelos alunos pode indicar? Resposta pessoal. • A média de livros inteiros que você lê por ano está acima ou abaixo da média nacional de 2015? Resposta pessoal. 2. Esta atividade trabalha a classificação de uma pesquisa em censitária ou amostral, de acordo com a descrição de etapas de sua realização. Para complementar, propor aos alunos que descrevam no caderno pelo menos mais uma pesquisa que pode ser realizada por meio censitário ou por amostra, nesse caso, indicando a técnica de amostragem.

1. a) Resposta esperada: Verificar quantos livros inteiros cada aluno leu, em média, durante o ano NÃO ESCREVA para identificar a melhor ação a ser realizada para o NO LIVRO. incentivo à leitura dos alunos no ano letivo seguinte. 1. Considere a pesquisa descrita nas páginas 212 e 213 para resolver os itens a seguir.

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257

a) Qual era o objetivo da diretora dessa escola ao realizar essa pesquisa? b) Essa pesquisa foi censitária ou por amostra? Por qual motivo a diretora da escola optou por esse tipo de pesquisa? Por amostra. Resposta esperada: A escola possui uma grande quantidade de alunos. c) Quantos alunos responderam ao questionário da pesquisa? 60 alunos. d) Na etapa de análise e apresentação dos resultados, qual dos tipos de frequências indicados na tabela foi utilizado na construção de cada gráfico? Gráfico de colunas: frequência; gráfico de setores: frequência relativa. e) A média de livros inteiros lidos pelos alunos entrevistados durante o ano foi maior ou menor do que a média dos brasileiros em 2015? Menor. f) Observe as seguintes ações que poderão ser realizadas pela escola, no ano letivo seguinte, de acordo com o resultado da pesquisa. Pesquisa censitária: III; Caso a média de livros inteiros lidos por aluno tenha sido: pesquisa por amostra: I, II e IV. I. maior do que 4 livros, serão mantidos os investimentos anuais na biblioteca. II. igual ou menor do que 4 livros, será realizada uma campanha de incentivo à leitura. III. menor do que 2 livros, será aumentado o investimento na biblioteca. Com base no resultado da pesquisa, quais dessas ações devem ser realizadas pela escola? Justifique. 2. Leia cada situação a seguir e identifique se a pesquisa mencionada é censitária ou por amostra. I. Denise fez uma pesquisa de satisfação entre os clientes de sua loja. A cada quatro clientes que realizavam uma compra, ela pedia ao último que assinalasse uma dentre três opções: insatisfeito, satisfeito ou muito satisfeito com o atendimento.

III. Certa escola precisava conhecer a estatura média dos 140 alunos das turmas de 8 o ano. Então, foi realizada uma pesquisa na qual a estatura de cada um desses alunos foi obtida por medição.

II. Certa prefeitura precisou estimar a renda média das famílias do município para determinar o destino de parte das verbas disponíveis. Para isso, foram sorteadas e entrevistadas cinco famílias de cada bairro.

IV. Para definir o tema de uma festa, a direção de um clube vai sortear, entre todos os associados, 30 sócios para realizar uma pesquisa.

I: sistemática; II: estratificada; IV: casual simples.

ILUSTRAÇÕES: ROBERTO ZOELLNER

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• Agora, para as situações que indicam pesquisa por amostra, identifique qual técnica de amostragem é sugerida: casual simples, sistemática ou estratificada. 1. f) Ações II e III, pois a pesquisa apontou que, em média, cada aluno leu 1,6 livros inteiros durante o 214 ano (1,6 < 4 e 1,6 , 2).

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3. Vamos pesquisar! Reúnam-se em grupos para realizar uma pesquisa. Para isso, procedam conforme as etapas a seguir. Resposta pessoal.

Elaboração do questionário Discutam possíveis temas para a pesquisa e elaborem uma questão para a entrevista. Procurem escolher um tema que esteja relacionado ao contexto em que vivem cujo resultado possa ser de interesse de outros colegas ou instigar soluções para um possível problema como, por exemplo, atividade extracurricular, esporte na escola, meios de locomoção para chegar à escola.

Definição do público entrevistado Definam a população da pesquisa: alunos da turma ou da escola, moradores da rua ou do bairro, entre outras. Em seguida, avaliem se a pesquisa será censitária ou por amostra. Caso a pesquisa seja por amostra, discutam qual técnica de amostragem é mais adequada, de acordo com o resultado que se deseja obter, e a população a ser representada.

Coleta de dados Se organizem e definam como será realizada a entrevista: materiais necessários, anotação da resposta da entrevista, divisão de tarefas entre os membros do grupo, entre outros.

Organização dos dados Após coletarem todos os dados, ou seja, terem terminado as entrevistas, organizem as respostas obtidas em uma mesma lista ou um quadro.

Análise e apresentação dos resultados Com os dados organizados, escolham recursos para representar os resultados da pesquisa: tabela, gráficos, tabela de frequências e medidas de tendência central. Vocês podem apresentar esses recursos em painéis ou cartazes.

Ao final, elaborem um texto indicando e discutindo os principais resultados da pesquisa.

de modo que sejam obtidos dados que facilitem para o aluno a sua representação em tabelas e gráficos. A questão elaborada deve estar intimamente relacionada ao tema. Caso algum grupo opte por realizar uma pesquisa por amostra, orientá-los a utilizar uma das técnicas de amostragem apresentada nesta Unidade. Na organização dos dados, enfatizar que todas as entrevistas realizadas devem ser registradas. Esse registro pode ser feito por meio de marcações ou da maneira que eles julgarem mais conveniente. É possível que cada grupo opte por apresentar os resultados com diferentes recursos, como tabelas de frequência, gráficos ou infográficos, que costumam utilizar imagens, desenhos, diagramas, entre outros elementos. Assim, ao final, solicitar aos grupos que exponham e discutam com os demais colegas da turma os resultados obtidos nas pesquisas. Propor uma exposição na escola apresentando cartazes com os resultados obtidos pelos grupos. Essa apresentação também pode ser realizada por meio de vídeos. Nesse caso, orientar os alunos na elaboração de roteiros e na gravação de pequenos vídeos comunicando os resultados obtidos e mostrando as etapas utilizadas na pesquisa. Na elaboração do texto, os alunos podem realizar pesquisas na internet para obter mais informações a respeito do tema escolhido.

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3. Esta atividade trabalha a realização de uma pesquisa pelos alunos, envolvendo etapas como planejamento, execução, organização dos dados coletados e apresentação dos resultados, e a discussão da escolha por uma pesquisa censitária ou por amostra. Assim, são abordadas simul-

taneamente as habilidades EF08MA26 e EF08MA27 da BNCC. Nesta atividade, os alunos serão os pesquisadores. É importante que o tema da pesquisa seja interessante para eles e surja da curiosidade deles, de maneira que torne a pesquisa mais significativa.

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Caso julgar necessário, apresentar na lousa algumas sugestões de temas; por exemplo, melhorias na estrutura da escola; a disciplina escolar favorita dos alunos; o gênero literário que eles costumam ler, entre outras. Procurar conduzir a elaboração da questão da pesquisa

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PROBABILIDADE Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF08MA03 e EF08MA22. Nestas páginas são apresentados exemplos de aplicações do Princípio Fundamental de Contagem (PFC), utilizado para determinar a quantidade total de possibilidades de ocorrência de um evento, o que colabora para o desenvolvimento da habilidade EF08MA03. Além disso, também é apresentada a ideia geral que norteia o cálculo de probabilidades. Verificar a possibilidade de realizar na prática o jogo apresentado nestas páginas. Para isso, podem-se confeccionar previamente as roletas utilizando papelão e desenhar o tabuleiro em um local apropriado no pátio ou na quadra da escola. Em uma das versões desse jogo, duas duplas competem de cada vez, sendo um integrante de cada dupla responsável por se posicionar sobre o tabuleiro e o outro, por girar a roleta. Um participante de cada dupla deve se posicionar alternadamente sobre o mesmo tabuleiro conforme as indicações obtidas com o giro das roletas. Quando um deles não conseguir realizar a indicação das roletas, a outra dupla vence a partida.

Probabilidade O professor de Educação Física de uma turma do 8o ano propôs aos alunos um jogo divertido. Observe como esse jogo é realizado.

1a) Um tabuleiro com casas coloridas de azul, verde e vermelho foi desenhado no chão. 2a) São usadas duas roletas.

Roleta dividida igualmente em quatro partes que indicam membros do corpo humano: mão esquerda, mão direita, pé esquerdo, pé direito.

Roleta dividida igualmente em três partes que indicam cor: azul, verde, vermelha.

DANIEL BOGNI

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Podemos calcular a quantidade de resultados possíveis de se obter nesse jogo, realizando a seguinte multiplicação: quantidade de membros do corpo humano que podem ser sorteados

quantidade de cores que podem ser sorteadas

4 ? 3 = 12

quantidade de resultados possíveis

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eda uma única vez – está fornecendo, como resposta, a proporção de caras que obteria se jogasse a moeda um grande número de vezes. E a pessoa não sabe o que vai acontecer em uma única jogada. Nesse exemplo, ficam claras duas características dos fenômenos probabilísticos:

Para representar esses resultados, podemos usar uma árvore de possibilidades. Veja no material audiovisual o vídeo sobre o princípio multiplicativo da contagem.

• Não se pode antecipar um resultado. • Existe um padrão de comportamento previsível no longo prazo.

DANIEL BOGNI

Todo fenômeno probabilístico tem, como resultado, um evento (acontecimento) e o conjunto de eventos possíveis é chamado espaço amostral. [...] VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. p. 163.

1 12

PARA PENSAR Espera-se que os alunos percebam que a probabilidade de se obter qualquer um dos 12 resultados possíveis é a mes1 ma, ou seja, . 12 É importante que eles compreendam que, ao adicionar as probabilidades de todos os possíveis resultados, obtém-se 1 como resultado, que equivale a 100%. Isso porque, ao adicionar doze parcelas iguais a 1 = 8,3%, que corresponde 12 a probabilidade de cada resultado possível, obtém-se 1 ou 100%, o que pode contribuir para o desenvolvimento da habilidade EF08MA22 da BNCC.

quantidade de resultados favoráveis

Qual é a probabilidade de se obter o resultado mão direita em uma casa vermelha? E pé direito em uma casa azul?

1. 1. 12 12

Ao adicionarmos a probabilidade de se obter cada um dos resultados possíveis, temos:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 + + + + + + + + + + + = =1 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 Assim, ao adicionarmos as probabilidades de todos os possíveis resultados, obtemos 1. 217

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Ler o trecho a seguir, que apresenta uma introdução da ideia de probabilidade e que pode auxiliar os alunos na compreensão desse conceito.

[...] Você já sabe o que é probabilidade: se alguém perguntar qual é a probabilidade de sair cara no jogo de moeda, você responde: 1 ou 50%. A questão, aqui, 2 é saber como se chega a esse resultado. Mas você deve ter pensado: quando

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se joga uma moeda, tanto pode sair cara como coroa; as duas faces não podem ocorrer ao mesmo tempo [...]. Portanto, quando alguém diz que a probabilidade de sair cara num jogo de moe1 – mesmo que estedas é 2 ja pensando em jogar a mo-

NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre o princípio multiplicativo da contagem. Nesse vídeo aborda-se uma situação prática em que é possível construir uma árvore de possibilidades para determinar de quantas maneiras é possível combinar, por exemplo, duas calças e três camisetas sem repetir a composição. Inspirando-se nessa ideia, é enunciado o princípio multiplicativo da contagem.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a contagem, por meio do princípio multiplicativo, em uma situação que envolve o cálculo de probabilidade de eventos aleatórios, a construção do espaço amostral e o reconhecimento de que a soma das probabilidades de ocorrência de cada elemento desse espaço amostral é igual a 1. No item b, uma sugestão para facilitar o cálculo é que os alunos adicionem as probabilidades correspondentes cujas frações obtidas no item anterior têm denominadores iguais a 36. Esclarecer que nem sempre quem tem a maior probabilidade de vencer realmente vence ao realizar um experimento aleatório. 2. Esta atividade trabalha uma situação de cálculo de probabilidade de eventos aleatórios e reconhecimento de que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1. No item b, propor os seguintes questionamentos aos alunos para auxiliá-los a compreenderem que a probabilidade de ocorrer empates é zero. • O que deve ocorrer para que haja um empate? Resposta esperada: O valor referente à categoria sorteada deve ser o mesmo. • Nas cartas de Sabrina e Cássio, existe alguma categoria com valores iguais? Resposta: Não.

5 6

2ª-) Cada jogador, na sua vez, lança os dois dados e determina a soma dos pontos obtidos.

3ª-) Vence a rodada aquele que acertou a soma dos pontos em seu lançamento. Note que podem ocorrer empates.

a) Quais são as possíveis somas obtidas nesse jogo? Qual é a probabilidade de obter cada uma dessas somas em um lançamento dos dois dados? b) Adicione as probabilidades calculadas no item a. 1 c) Observe os palpites de três amigos em uma rodada desse jogo. Alan: 3

Laís: 9

Maurício: 6

• Qual desses amigos tem a maior probabilidade de vencer essa rodada? E qual tem a menor probabilidade? Maurício; Alan. • Agora, observe os lançamentos deles e identifique o vencedor da rodada. Laís. Alan

Laís

Maurício

FABIO COLOMBINI

ARCO IMAGES GMBH / ALAMY/FOTOARENA

Sabrina Cássio 2. Em um jogo, há cartas com informações sobre algumas aves, com as categorias: comprimento, massa e longevidade. Nele, cada participante vira uma carta de um monte. Depois, um deles gira uma roleta, igualmente dividida em 3 partes Mutum-do-sudeste Arara-azul que representam as categorias. Comprimento (cm) 90 Comprimento (cm) 100 Vence o participante que tiver o Massa (g) 3 250 Massa (g) 1 500 maior valor na categoria sorteada. Longevidade (meses) 120 Longevidade (meses) 420 Observe as cartas que dois participantes viraram nesse jogo. a) Quem será o vencedor desse jogo caso a categoria sorteada seja: • comprimento? Cássio. • massa? Sabrina. • longevidade? Cássio. 1 2 b) Qual é a probabilidade de Sabrina vencer esse jogo? E de Cassio vencer? E de empatar? ? ? 0 3 3 c) Ao adicionarmos as probabilidades calculadas no item b, qual resultado obtemos? 1

Veja a seguir a resposta do item c, da atividade 4, da página 219. 1

1ª-) No início da rodada, cada jogador faz um palpite da soma dos pontos que serão obtidos nos dois dados em seu lançamento. O quadro indica todos os possíveis resultados.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1. a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12. Soma 2: 1 ; soma 3: 2 ou 1 ; soma 4: 3 ou 1 ; soma 5: 4 ou 1 ; 36 36 36 12 18 9 36 Resoluções a partir da p. 257 soma 6: 5 ; soma 7: 6 ou 1 ; soma 8: 5 ; soma 9: AtividadeS 36 6 36 36 NÃO ESCREVA 4 ou 1 ; soma 10: 3 ou 1 ; soma 11: 2 ou 1 ; soma 12: 1 . NO LIVRO. 36 9 36 12 36 18 36 1. Observe como é realizado certo jogo em que são utilizados dois dados honestos, ou seja, cuja probabilidade de obter cada face em um lançamento é a mesma.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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3. b) Menina, pois a probabilidade de sortear o nome de uma menina é maior do que a de sortear o nome de 3 2 um menino, ou seja, . . 5 5 • número 12 1 3. Para brincar de amigo secreto, a professora • par? 24 ou 2 . natural? 1. de uma turma de 30 alunos cortou pedaços • ímpar? 12 ou 1 . idênticos de papel e entregou a cada aluno 24 2 para que escrevesse o próprio nome. 5. Na aula de Geografia, a professora de Depois, ela colocou todos os pedaços de o ano propôs aos alunos uma turma de 8 papel em uma caixa de sapatos, para que um trabalho de pesquisa sobre um dos cada aluno sorteasse um nome. temas a seguir e todos os alunos irão votar Rafael será o primeiro aluno a realizar o para escolher o tema. O mais votado será sorteio. A probabilidade de ele sortear o trabalhado pela classe. 3 nome de uma menina é de . I. Povos indígenas. 5 a) Qual é a probabilidade de Rafael sortear: II. Diversidade ambiental. 1 III. Fontes e tipos de energia. • o próprio nome? 30 2 IV. Recursos hídricos. • o nome de um menino? 5 Observe o voto de cada aluno. • o nome de uma menina ou de um menino? 1 b) O que é mais provável Rafael sortear: o nome de um menino ou de uma menina? Justifique.

ARTUR FUJITA

4. Em uma brincadeira com dois dados honestos, são formados números a partir dos algarismos obtidos em cada dado. O algarismo obtido no dado com formato de tetraedro indica a dezena e o obtido no dado com formato de cubo, a unidade do número a ser formado. Por exemplo, os dados a seguir indicam o número 46. BY SH TIMQ UT TER UO/ ST OC K

UNDORIK/ SHUTTERSTOCK.COM

.CO

Todos os pedaços de papel têm tamanhos iguais, de maneira que a probabilidade de sorteio de cada um deles é a mesma. Resposta nas Orientações para o professor. a) Organize esses dados em uma tabela, indicando quantos votos cada tema recebeu. b) Qual é a probabilidade de o tema sor8 2 teado ser: ou . 5 5 ou 1 . • Povos indígenas? 20 20 4 • Diversidade ambiental? 2 1 ou • Fontes e tipos de energia? 20 10 . c) Ao adicionar as probabilidades calculadas no item b obtemos 1 como resultado? Por quê?

35, 42, 11, 23 ou 44. a) Quais dos números a seguir podem ser formados nessa brincadeira? 35

b) Quantos números diferentes podem ser 6. No caderno, elabore e escreva um problema formados nessa brincadeira? 24 números. envolvendo o cálculo de probabilidade e a c) Construa uma árvore de possibilidades construção de uma árvore ou quadro de para indicar todos os números que podem possibilidades. Em seguida, junte-se a um ser formados nessa brincadeira. colega e troquem os problemas para que Resposta nas Orientações para o professor. um resolva o do outro. Juntos, verifiquem d) Qual é a probabilidade de o número formado após um lançamento ser: se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 5. c) Resposta esperada: Não, pois, para obter 1, devemos adicionar as probabilidades de todas possíveis ocorrências. 5 1 Nesse caso, faltaria adicionar a probabilidade de o tema sorteado ser “Recursos hídricos”[ ou ]. 20 4 219

Votação para a escolha do tema da pesquisa

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Tema

Quantidade de votos

Povos indígenas

Diversidade ambiental

Fontes e tipos de energia

Recursos hídricos

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Fonte: Alunos do 8o ano.

3. Esta atividade trabalha uma situação de cálculo de probabilidade de eventos aleatórios e reconhecimento de que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1. 4. Esta atividade trabalha a contagem, por meio do princípio multiplicativo, em uma situação que envolve o cálculo de probabilidade de eventos aleatórios e a construção do espaço amostral. Conversar com os alunos a respeito do funcionamento do dado com formato de tetraedro, em que o algarismo obtido é indicado no vértice do dado que fica voltado para cima. Se possível, levar dados com formato de tetraedro e de cubo para a sala de aula e realizar essa brincadeira com os alunos ou, ainda, reproduzir e entregar a eles os moldes dos dados, que estão disponíveis no Material de apoio. No item a, é importante que os alunos compreendam que o número a ser formado só pode ter dezena com algarismo 1, 2, 3 ou 4, pois esses são os valores possíveis de serem obtidos no dado com o formato de tetraedro. Já a unidade do número formado pode ser os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, conforme o valor obtido no dado com formato de cubo. No item b, os alunos podem utilizar o princípio multiplicativo (4 ? 6 = 24). 5. Esta atividade trabalha uma situação de cálculo de probabilidade de eventos aleatórios, construção do espaço amostral e reconhecimento de que a soma das probabilidades de todos os elementos desse espaço amostral é igual a 1. Veja a resposta do item a na parte inferior desta página. 6. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema de contagem, com aplicação do princípio multiplicativo e cálculo de probabilidade. Esse encaminhamento pode contribuir para o desenvolvimento da habilidade EF08MA03 da BNCC.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS INTEGRANDO COM GEOGRAFIA E HISTÓRIA Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 6 e à competência específica 4 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema busca valorizar os idosos, possibilitando ao aluno fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. Além disso, é possível realizar observações sistemáticas de aspectos qualitativos presentes na sociedade, de modo a investigar e comunicar informações relevantes. Informar aos alunos que, no Brasil, a lei no 10.741, de 1o de outubro de 2003, corresponde ao Estatuto do Idoso, no qual são estabelecidos os direitos dos idosos e estão previstas punições para o caso do descumprimento desses direitos. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta alguns direitos assegurados pelo Estatuto do idoso. [...] Transporte urbano

Art. 39 – Estatuto do Idoso O transporte coletivo urbano é gratuito para os maiores de 65 anos. Não é necessário carteira especial, basta qualquer documento pessoal que comprove a idade. Vagas em estacionamento Art. 41 – Estatuto do Idoso É assegurada a reserva, para os idosos, nos termos da lei local, de 5% das vagas nos estacionamentos públicos e privados. É necessária a credencial do Detran, que pode ser feita de forma fácil e gratuita. Lazer Art. 23 – Estatuto do Idoso A participação dos idosos em atividades culturais e de lazer será proporcionada mediante descontos de pelo

integrando com geogr afia e história

O valor da idade Envelhecer é um processo natural e contínuo. O modo como o envelhecimento acontece pode variar para cada indivíduo, pois isso depende de vários fatores além do processo fisiológico, como estilo de vida, condições sociais e econômicas. Nas diferentes culturas, o envelhecimento é vivenciado e aceito de maneiras distintas. Em alguns povos indígenas, por exemplo, os mais velhos desempenham um importante papel ao Casal de idosos. WAVEBREAKMEDIA/SHUTTERST OCK.COM compartilhar as experiências de vida, os costumes e as tradições, despertando o respeito e a admiração dos mais jovens. No Brasil, uma pessoa é considerada idosa quando tem 60 anos de idade ou mais, quando, por lei, é assegurada de seus direitos. Porém, somente a legislação não é suficiente para garantir a proteção e a valorização dos idosos. É nosso dever, da família e do Estado, garantir a pessoas dessa faixa etária uma vida digna, com direito à cidadania e ao acesso à saúde e ao lazer. Resoluções a partir da p. 257

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Pense nas pessoas idosas com quem você convive – familiares, amigos, vizinhos – e responda. a) Qual é a importância delas para você e para a sociedade? Resposta pessoal. b) Cite aquilo que você considera essencial para que os idosos tenham sua cidadania garantida. Resposta pessoal. 2. Leia a seguir um trecho de um livro do escritor indígena Daniel Munduruku: Resposta esperada: Neste trecho, o escritor relata a contribuição de seu avô na aceitação e valorização por ele da cultura de seu povo, corroborando com as informações apresentadas no [...] texto, em que é destacada a importância do papel das pessoas idosas. Todo mundo dizia que o índio é um habitante da selva, da mata, e que se parece muito com os animais. Tinha gente que dizia que o índio é preguiçoso, traiçoeiro, canibal. [...] Foi meu avô quem me ajudou a superar estas dificuldades. Ele me mostrou a beleza de ser o que eu era. Foi ele quem me disse um dia que eu deveria mostrar para as pessoas da cidade esta beleza e a riqueza que os povos indígenas representam para a sociedade brasileira. [...] MUNDURUKU, D. Coisas de índio: versão infantil. São Paulo: Callis, 2003. p. 6-7.

• Explique a relação entre esse trecho e o texto apresentado na página anterior. 220

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menos 50% nos ingressos para eventos artísticos, culturais, esportivos e de lazer, bem como o acesso preferencial aos respectivos locais. Atendimento prioritário Art. 1o – Lei 10.048 de 2000 Os idosos com idade igual ou superior a 60 anos

terão atendimento prioritário, nos termos desta Lei. [...]

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TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO DISTRITO FEDERAL E DOS TERRITÓRIOS. Cartaz dia do idoso. Disponível em: <www.tjdft.jus.br/institucional/ imprensa/noticias/arquivos/cartaz_ dia_do_idoso.pdf/view>. Acesso em: 3 out. 2018.

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3. Nas últimas décadas, vem aumentando a participação dos idosos na composição da população brasileira. Alguns fatores que contribuíram para isso foi o aumento na expectativa de vida e a redução na taxa de fecundidade da população. Observe alguns dados estatísticos sobre esses assuntos.

Projeção da população brasileira, por grupo de idade 1980

2015

6% 26%

12%

68%

Até 29 anos

48%

40%

De 30 a 59 anos

60 anos ou mais

Expectativa de vida (em anos)

Expectativa de vida ao nascer no Brasil (1940-2015) 80 70 60 50 40 30 20 10 0

45,5

52,5

57,6

62,5

66,9 69,8

73,9 75,5

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 Ano

Fontes: IBGE. Projeção da população. Disponíveis em: <ww2.ibge.gov.br/ home/estatistica/populacao/projecao_da_ populacao/2008/piramide/piramide.shtm> e <www.ibge.gov.br/estatisticas-novoportal/ sociais/populacao/9109-projecao-dapopulacao.html?=&t=resultados>. Acessos em: 3 out. 2018.

Fonte: IBGE. Tábua completa de mortalidade para o Brasil – 2015. Disponível em: <ftp://ftp. ibge.gov.br/Tabuas_Completas_de_ Mortalidade/Tabuas_Completas_ de_Mortalidade_2015/tabua_de_ mortalidade_analise.pdf>. Acesso em: 3 out. 2018.

7 6 5 4 3 2 1 0

6,16 6,21 6,28 5,76 4,35 2,85

2,38

1,87 1,72

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 Ano

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

Fontes: IBGE. Fonte: Taxa de fecundidade total. Disponível em: <https://seriesestatisticas.ibge.gov.br/ series.aspx?no=10&op=2&vcodigo=P OP263&t=taxa-fecundidade-total>; IBGE. População: Taxas de facundidade total. Disponível em: <https://brasilemsintese.ibge.gov.br/ populacao/taxas-de-fecundidade-total. html>. Acessos em: 3 out. 2018.

Taxa de fecundidade total

Taxa de fecundidade total no Brasil (1940-2015)

que os dados 2,85 e 1,72 referem-se aos anos de 1991 e 2015, respectivamente. Para auxiliar os alunos na interpretação dos gráficos apresentados, propor a eles os seguintes questionamentos. • Ao comparar os gráficos da projeção da população brasileira, por grupo de idade, em 1980 e em 2015, o que é possível afirmar além do aumento do porcentual de idosos na composição da população brasileira nesse período? Resposta esperada: O aumento do porcentual da população com idade de 30 a 59 anos e a redução do porcentual da população com idade até 29 anos. • De acordo com o gráfico de segmentos da expectativa de vida ao nascer no Brasil (19402015), estime qual era aproximadamente a expectativa de vida ao nascer em 1975. Resposta esperada: Aproximadamente 60 anos. • De acordo com o gráfico da taxa de fecundidade total no Brasil (1940-2015), em qual período de 10 anos essa taxa teve a maior redução? Resposta: No período de 1980 a 1990. Promover uma roda de conversa a respeito das possíveis causas de os brasileiros estarem vivendo mais e sobre a redução da quantidade de filhos por mulheres. A produção do texto argumentativo propicia uma abordagem relacionada também à disciplina de Língua Portuguesa.

• A partir da leitura das informações apresentadas nesta seção e com base na análise e na interpretação desses dados estatísticos, elabore um texto argumentativo sobre o tema “Valorização e papel do idoso na sociedade”. Resposta pessoal. 221

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1. Solicitar aos alunos que citem pessoas idosas que conhecem, indicando o nome ou alguma referência e explicitem o papel dessas pessoas na sociedade, indicando se ainda trabalham, qual o papel delas na família etc. Algumas respos-

tas do item b: a contribuição do trabalho dos idosos para o progresso da sociedade ou a própria questão do direito à cidadania para toda a população, independentemente da faixa etária ou condição social.

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3. Nesta questão, explicar que a taxa de fecundidade é uma estimativa da quantidade média de filhos que uma mulher teria até o fim de seu período reprodutivo. No gráfico de segmentos relacionado a esse assunto, dizer aos alunos

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à habilidade EF08MA25 da BNCC.

conectado

Calculando medidas de tendência central Vamos calcular as medidas de tendência central – média aritmética, moda e mediana – de um conjunto de dados utilizando funções estatísticas da planilha eletrônica Calc. Para isso, considere as informações a seguir sobre os funcionários de certa empresa.

Jean R$ 1 400,00

Salários dos funcionários do setor de vendas Cláudia Júlio Sara R$ 3 500,00 R$ 1 600,00 R$ 2 000,00

Nestor R$ 1 400,00

Yuri R$ 3 000,00

Catarina R$ 1 200,00

Maria R$ 1 400,00

Sofia R$ 1 500,00

Adriane R$ 1 800,00

José R$ 2 500,00

Brenner R$ 1 800,00

Para preparar um relatório visando promoções e aumentos, a direção da empresa vai calcular a média, a moda e a mediana dos salários desses funcionários. Observe as etapas para realizar esses cálculos na planilha eletrônica Calc.

Inicialmente, registramos na planilha cada salário em uma célula da coluna A, sem nos preocuparmos com a ordem. É importante ficar atento para não esquecer algum salário ou digitar o mesmo mais de uma vez. Em seguida, digitamos média, moda e mediana, nas células C1, C2 e C3, respectivamente.

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

Calculando medidas de tendência central Durante o trabalho com esta seção, deixar que os alunos explorem a opção Assistente de funções no menu, bem como as diferentes funções relacionadas à Estatística que estão presentes nela. Nessa opção, dizer aos alunos que a maioria das funções apresentadas não são trabalhadas nesse nível de ensino, porém algumas podem ser utilizadas, como as funções MÁXIMO e MÍNIMO, para obter o valor máximo e o valor mínimo em um conjunto de dados, respectivamente. Na etapa 1, é possível registrar cada salário em células de outra coluna que não seja a coluna A, assim como a média, a moda e a mediana não precisam necessariamente ser indicadas nas células C1, C2 e C3, respectivamente. É importante apenas que os registros sejam feitos de maneira organizada.

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Na etapa 2, orientar os alunos a sempre que escreverem uma função em uma célula da planilha eletrônica, pressionarem logo em seguida a tecla ENTER, uma vez que, se clicarem em outra célula antes de pressionar ENTER, os valores dessa célula serão anexados à fórmula digitada. Além disso, é importante chamar a atenção deles em relação à escrita das fórmulas, =MÉDIA(A1:A12), =MODO(A1:A12) e =MED (A1:A12), para que sejam digitadas conforme indicadas.

Digitamos =MÉDIA(A1:A12) em D1, =MODO(A1:A12) em D2 e =MED(A1:A12) em D3 para calcular a média aritmética, a moda e a mediana, respectivamente.

=MÉDIA(A1:A12) =MODO(A1:A12)

LIBREOFFICE 2018

=MED(A1:A12)

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Após digitar a fórmula em uma célula, pressione a tecla ENTER.

Resoluções a partir da p. 257

1. De acordo com o exemplo apresentado, responda. a) Qual desses funcionários recebe o maior salário? E qual recebe o menor? Cláudia. Catarina. b) Qual valor é maior: a média, a moda ou a mediana dos salários? Média. c) Quantos desses funcionários têm o salário: • igual à média? • menor do que a média? • maior do que a média? 8 funcionários. 4 funcionários. Nenhum. 2. Observe os salários dos funcionários do setor de produção dessa mesma empresa. Com a planilha eletrônica Calc, determine a média, a moda e a mediana desses salários. Depois, elabore três questões e troque-as com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve as que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Média: R$ 1 516,00; moda: R$ 1 300,00; mediana: R$ 1 450,00. Resposta pessoal.

R$ 1 300,00

Salários dos funcionários do setor de produção R$ 1 300,00 R$ 2 000,00 R$ 1 500,00 R$ 1 500,00

R$ 1 800,00

R$ 2 500,00

R$ 1 800,00

R$ 1 300,00

R$ 1 400,00

R$ 1 300,00

R$ 1 750,00

R$ 1 650,00

R$ 1 550,00

R$ 1 300,00

R$ 1 350,00

R$ 1 200,00

R$ 1 600,00

R$ 1 800,00

R$ 1 200,00

R$ 1 250,00

R$ 1 500,00

R$ 1 450,00

R$ 1 300,00

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Mãos à obra 1. O item a pode ser resolvido com o auxílio da planilha eletrônica Calc. Para isso, é necessário registrar cada salário em uma célula, selecionar todos os valores correspondentes a esses salários e utilizar as opções Ordenar crescente ou Ordenar decrescente do menu, para que os salários dos funcionários sejam organizados do menor para o maior ou do maior para o menor, respectivamente. 2. Após os alunos resolverem esta questão, orientá-los a manipular os dados e observar o que acontece com as medidas de tendência central calculadas. A seguir, são apresentados exemplos de questões que podem ser elaboradas pelos alunos. • Qual é o menor salário dos funcionários desse setor? E o maior salário? Respostas: R$ 1 200,00. R$ 2 500,00. • Ao substituir o menor salário por R$ 1 000,00, qual das medidas de tendência central será alterada? Resposta: Média. • Se no salário de todos os funcionários forem acrescidos R$ 500,00, o que acontecerá com cada valor correspondente às medidas de tendência central? Resposta: Aumentará em R$ 500,00.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo que construam um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Gráfico de

Gráfico de barras

segmentos

Gráfico de setores

tendência central: média

Amplitude

aritmética, moda e mediana

Tabela de dupla entrada

Intervalo de classes

Distribuição de frequência

Pesquisa estatística

Probabilidade

Tabela simples

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Gráficos

Gráfico de colunas

Gráfico de barras

Medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana

Gráfico de segmentos

Gráfico de setores

Amplitude

Tabela simples

Tabela de dupla entrada

Distribuição de frequência

Pesquisa estatística

Probabilidade

EDITORIA DE ARTE

Estatística e probabilidade

Intervalo de classes

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Uma academia de judô fez uma pesquisa estatística com todos os alunos matriculados. Observe como alguns dados obtidos foram organizados.

Alunos matriculados no judô, por sexo, em 2019

Alunos matriculados no judô, por faixa, em 2019 Quantidade de alunos

Azul

Amarela

Laranja

Verde

Marrom

10 Fonte: Secretaria da academia.

40% 60%

Masculino

EDITORIA DE ARTE

Faixa do judô

Feminino

Fonte: Secretaria da academia.

PROBLEMAS

I Em média, havia quantos alunos matriculados em cada faixa do judô?

16 alunos. Conceitos: Tabela simples; medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana. Quantos alunos do sexo masculino estão matriculados nessa academia?

AMPLIANDO

32 alunos. Conceitos: Tabela simples; gráfico de setores.

III

Para representar os mesmos dados da tabela, quais tipos de gráfico você usaria? Resposta esperada: Gráfico de colunas ou gráfico de barras. Conceitos: Gráfico de colunas; gráfico de barras; tabela simples. Com outros dados coletados nessa pesquisa, deseja-se determinar a quantidade de alunos matriculados em diferentes intervalos de idade, como de 7 a 10 anos e de 11 a 14 anos. Explique que recurso pode ser utilizado para organizar essas informações. Resposta esperada: Distribuição de frequência e intervalo de classes. Conceitos: Distribuição de frequência; intervalo de classes. A direção dessa academia vai sortear, ao acaso, um aluno matriculado para ganhar um prêmio. É mais provável que o aluno sorteado esteja em qual faixa do judô? Justifique sua resposta. Resposta esperada: Azul, pois há mais alunos matriculados nessa faixa do que nas demais. Conceitos: Probabilidade; tabela simples. 225

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3. Para complementar esta questão, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Ao construir um gráfico de barras utilizando os dados da tabela, qual barra será a mais comprida? O que ela indica? Respostas esperadas: Barra correspondente à quantidade de alunos matriculados na faixa azul. Indica que há mais alunos matriculados nessa faixa do que nas outras. • Em 2019, qual o total de alunos matriculados nessa academia, no judô? Resposta: 80 alunos. • Qual é o porcentual dos alunos matriculados no judô, por faixa, em 2019? Resposta: Azul: 30%; amarela: 16,25%; laranja: 22,5%; verde: 18,75%; marrom: 12,5%. • Construa uma tabela e indique a frequência, a frequência acumulada, a frequência relativa e a frequência acumulada relativa da quantidade de alunos matriculados no judô, por faixa, em 2019. Resposta pessoal.

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter informações sobre o regulamento para exames e outorga de faixas e graus do judô. BRASI• CONFEDERAÇÃO LEIRA DE JUDÔ. Regulamento para exame e outorga de faixas e graus. Disponível em: <http://livro.pro/2z2yvq>. Acesso em: 3 out. 2018.

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UNIDADE TEMÁTICA

• Grandezas e medidas. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Volume de cilindro reto. • Medidas de capacidade. HABILIDADES • EF08MA20 • EF08MA21 COMPETÊNCIAS GERAIS 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. ESPECÍFICAS 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

MEDIDAS DE VOLUME E DE CAPACIDADE

Embalagem longa vida Quando observamos as prateleiras no supermercado, elas costumam estar lá: as embalagens cartonadas, mais conhecidas como embalagens longa vida. Atualmente, uma grande variedade de alimentos é armazenada nesse tipo de embalagem, como leite, suco de frutas e molhos. Criadas em 1951 pelo sueco Ruben Rausing (1895-1983), elas possuem diversas vantagens em relação às de outros tipos, pois conservam o alimento por muito mais tempo, sem necessidade de conservantes e refrigeração, por exemplo. As embalagens longa vida são recicláveis e podem ser reaproveitadas na produção de telhas, papel kraft, cadernos, entre outros materiais.

A embalagem longa vida é composta de camadas de papel, plástico (polietileno de baixa densidade) e alumínio, que impedem a entrada de luz, ar, água, microrganismos e odores externos.

A primeira embalagem cartonada, lançada em 1952 na Suécia, tinha o formato de um tetraedro.

A PIRIT

CK.C

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UT /SH

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Resposta pessoal. Resposta esperada: Porque mantêm os alimentos conservados por muito mais tempo do que embalagens de outros tipos.

coleta seletiva, algumas ações são importantes. Uma delas é deixar a embalagem limpa antes de separar, isto é, sem resíduos orgânicos aparentes. A outra é dobrar as embalagens, para diminuir o volume, contribuindo com seu transporte e armazenamento. No primeiro item proposto, pedir aos alunos que descrevam o formato das embalagens que eles conhecem, não sendo necessário associar o formato delas ao formato de figuras geométricas espaciais. Nesse sentido, eles podem citar as características dessas embalagens. Para complementar, propor aos alunos que pesquisem, em suas residências ou no supermercado, alguns produtos que costumam ser comercializados em embalagens longa vida. Nessa pesquisa, pedir que identifiquem: a unidade de medida que indica o conteúdo da embalagem, o prazo de validade (sem a embalagem ser aberta) e o tempo em que o produto pode ser consumido após aberto. Após os alunos terem realizado a pesquisa, pedir a eles que compartilhem com os colegas os dados obtidos para que possam: • identificar os produtos mais frequentes; • identificar as unidades de medida mais frequentes; • comparar o prazo de validade de cada produto com o tempo em que pode ser consumido após aberto.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Cite diferentes formatos de embalagens longa vida que você conhece. Por que você acha que as embalagens cartonadas são conhecidas como longa vida? Em geral, nas embalagens longa vida de leite, qual unidade de medida costuma indicar o volume do conteúdo? Resposta esperada: Litro, mililitro. Outra vantagem é que elas ocupam menos espaço e são mais leves que embalagens de outros tipos, resultando em uma grande economia com transportes.

ILUSTRAÇÕES: ALEX SILVA

Em 2017, a produção de leite longa vida no Brasil passou dos 7 bilhões de litros, segundo estimativas.

Fontes dos dados: TETRA PAK. História da Tetra Pak. Disponível em: <www.tetrapak.com/br/about/history>. CEMPRE. Embalagens longa vida. Disponível em: <http://cempre.org.br/artigo-publicacao/ficha-tecnica/id/9/ embalagens-longa-vida>. Acessos em: 4 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 6 da BNCC, uma vez que o tema tratado valoriza a diversidade de saberes, possibilita entender relações próprias do

mundo do trabalho e fazer escolhas com consciência crítica e responsabilidade. Promover uma roda de conversa questionando os alunos se eles costumam utilizar esse tipo de embalagem, qual produto é consumido etc. Comentar que, apesar de as embalagens cartonadas

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serem recicláveis, esse não é um processo simples. Como são compostas de três materiais diferentes, o processo de separação desses materiais é complexo. Reforçar que, mesmo assim, a reciclagem é importante. Explicar que ao separar as embalagens cartonadas para a

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MEDIDAS DE VOLUME E MEDIDAS DE CAPACIDADE Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA20. Relembrar aos alunos que existe diferença entre as medidas de volume e as medidas de capacidade. Nestas páginas, algumas relações entre essas medidas são exploradas. Na situação I, questionar os alunos sobre quais outros produtos são comercializados em embalagens de 1 litro. Alguns exemplos podem ser: água mineral, alvejante, sabonete líquido e amaciante. Nesse caso, destacar que embalagens com diferentes formatos podem ter a mesma capacidade. Antes de apresentar a situação II, ler para os alunos o trecho a seguir sobre a influenza.

Medidas de volume e medidas de capacidade Nas páginas de abertura desta Unidade, vimos algumas informações sobre as embalagens longa vida. Diversos produtos, como sucos e leite, são comercializados nesse tipo de embalagem e possuem a quantidade indicada no rótulo por uma medida de capacidade. Estudaremos a seguir algumas situações envolvendo unidades de medida de capacidade: litro (L) e mililitro (mL). Situação I

Note que o recipiente ficou completamente cheio, indicando que 1 L corresponde a 1 dm3. 1 dm3 = 1 L Situação II

Gripe/Influenza O que é gripe A influenza ou gripe é uma infecção aguda do sistema respiratório, ocasionada pelo vírus influenza, com elevado potencial de transmissão. Inicia-se com febre, dor muscular, e tosse seca. Em geral, tem evolução por período limitado, em geral de um a quatro dias, mas pode se apresentar forma grave. [...]

fique ligado

BRASIL. Ministério da Saúde. Gripe/ Influenza – sintomas, prevenção, causas, diagnóstico e tratamento. Disponível em: <http://portalms. saude.gov.br/saude-de-a-z/gripe>. Acesso em: 29 out. 2018.

Aproveitar o tema do boxe Fique ligado e questionar os alunos se as carteiras de vacinação deles estão em dia. Em caso negativo, os alunos devem conversar com um adulto responsável para regularizar suas vacinas.

Lembre-se de que um cubo de 1 dm de aresta tem volume igual a 1 dm3. ARTUR FUJITA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre a vacinação e sua importância. • BRASIL. Ministério da Saúde. Vacinação. Disponível em: <http://livro.pro/zvmbiw>. Acesso em: 29 out. 2018.

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Lembre-se de que um cubo de 1 cm de aresta tem volume igual a 1 cm3.

1 cm

ARTUR FUJITA

Podemos ter a noção do tamanho dessa dose de vacina imaginando que duas delas, ou seja, 1 mL de vacina, encham completamente um recipiente cúbico de 1 cm de aresta interna.

De acordo com essas informações, temos que 1 mL corresponde a 1 cm3. 1 cm3 = 1 mL Situação III Segundo recomendação da Organização das Nações Unidas (ONU), cerca de 1 000 L de água é suficiente para atender por 9 dias às necessidades de uma pessoa com atividades de higiene e consumo. Fonte dos dados: SABESP. Dicas de economia. Disponível em: <http://site.sabesp.com.br/site/interna/Default. aspx?secaoId=140>. Acesso em: 8 nov. 2018.

Caso sejam despejados 1 000 L de água em um recipiente cúbico com 1 m de aresta interna, esse recipiente ficará completamente cheio. 1m

Lembre-se de que um cubo com 1 m de aresta tem volume igual a 1 m3.

ARTUR FUJITA

Caixa-d’água capacidade 1 000 L

De acordo com essas informações, temos que 1 000 L correspondem a 1 m3.

AMPLIANDO

É importante atentar às campanhas e ao calendário de vacinação. Todas as pessoas, independentemente da idade, devem manter a carteira de vacinação em dia.

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

1 m³ = 1 000 L

Para garantir maior segurança, as vacinas disponíveis no Brasil são aprovadas pela Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa).

Aproveitar o tema da situação III para conversar com os alunos sobre a importância de se economizar água no dia a dia. Comentar que é possível fazer economia a partir de ações rotineiras como: diminuir o tempo do banho, fechar a torneira ao escovar os dentes e reutilizar a água da lavagem de roupa para lavar o quintal e as calçadas. Ainda sobre o estudo do metro cúbico e sua relação com o litro, pode ser interessante pesquisar o consumo de água na escola. As informações podem ser obtidas por meio de uma fatura de água, e a capacidade da caixa-d’água da escola pode ser obtida junto à direção. Com os dados obtidos, é possível promover uma campanha de conscientização na escola, buscando incentivar o uso racional da água pelos alunos, professores e funcionários.

Sugerir aos alunos que acessem este site e, utilizando o recurso disponível, obtenham uma estimativa do consumo individual de água por dia. • MENOS é mais – Calculadora do consumo de água. G1. Disponível em: <http://livro.pro/ hbbkhk/>. Acesso em: 29 out. 2018.

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Resoluções a partir da p. 257 NÃO NÃO ESCREVA ESCREVA NO NO LIVRO. LIVRO.

1. Copie e complete as igualdades a seguir. Para isso, faça os cálculos necessários. mL 4 a) 4 cm3 = dm3 = 15 L 15 b) m3 = 2 800 L 2,8 c) L 120 d) 0,12 m3 = 3 cm = 37,6 mL 37,6 e) mL 700 f) 0,7 dm3 = 2. Você já experimentou chá-mate? Esta é uma bebida produzida a partir da erva-mate e muito consumida entre a população de alguns estados brasileiros. Para preparar 300 mL desse chá são necessários 5 g da erva-mate. Quantos litros de chá podem ser preparados com toda erva-mate da embalagem a seguir? 15 L.

160 min. 4. A caixa-d’água de certo edifício, que tem capacidade de 24 m3, foi esvaziada para limpeza. Após o término da limpeza, a bomba-d’água que abastece essa caixa foi religada com vazão de 150 L/min. Qual é o tempo necessário para que esta caixa-d’água fique completamente cheia?

Considere que a água da caixa começará a ser utilizada apenas após ela ser completamente cheia. 5. Você provavelmente já ouviu que a água doce é um recurso escasso, e que devemos ser consumidores conscientes para evitar o desperdício. Na página anterior, vimos que de acordo com a ONU, cerca de 1 000 L de água são suficientes para suprir as necessidades de uma pessoa por 9 dias. Porém, o consumo de cada brasileiro pode chegar a essa quantidade de água em 5 dias apenas. Fonte dos dados: SABESP. Dicas de economia. Disponível em: <http://site.sabesp.com.br/site/interna/Default. aspx?secaoId=140>. Acesso em: 8 nov. 2018.

a) Em média, a quantos litros de água pode chegar o consumo de cada brasileiro por dia? 200 L. b) Em 90 dias, quantos metros cúbicos de água em média cada brasileiro consome, além do recomendado pela ONU? 8 m3.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a relação entre as unidades de medida mililitro e centímetro cúbico, litro e decímetro cúbico, litro e metro cúbico e mililitro e decímetro cúbico. Se julgar necessário, retomar com os alunos as regularidades nas multiplicações e divisões de números racionais na forma decimal por potências de base 10, estudadas em Volumes anteriores desta coleção. 2. Esta atividade trabalha a relação entre as unidades de medida mililitro e litro, em uma situação contextualizada. Comentar com os alunos que as grandezas quantidade de água e massa da erva-mate são diretamente proporcionais, uma vez que, aumentando ou diminuindo uma das grandezas, a outra aumenta ou diminui, respectivamente, na mesma proporção. 3. Esta atividade trabalha a relação entre as unidades de medida mililitro e litro, em uma situação contextualizada. Conversar com os alunos sobre o que eles entenderam da tirinha. Verificar se eles compreendem que, apesar de o Snoopy ter dito que a água é sempre amiga, na situação de caminhada a água da chuva pode atrapalhar. 4. Esta atividade trabalha a relação entre as unidades de medida litro e metro cúbico, em uma situação contextualizada. Explicar aos alunos que, nesse caso, vazão corresponde à água que sai da bomba-d’água e é expressa por uma razão que relaciona o volume e o tempo. Comentar que as grandezas tempo e vazão são inversamente proporcionais, pois, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção. 5. Esta atividade trabalha a relação entre as unidades de medida litro e metro cúbico, em uma situação contextualizada.

AtividadeS

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

SCHULZ, C. M. Snoopy: É Natal! Porto Alegre: L&PM, 2014. p. 120.

2 300 mL. Considere que o cantil do Snoopy tem capacidade para 1,5 L e dos outros quatro personagens seja de 200 mL cada. Quantos mililitros de água são necessários para encher todos esses cantis?

Cantil: pequeno recipiente utilizado para transportar líquidos em viagem.

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7. O banheiro é um dos lugares onde ocorre o maior desperdício de água nas residências. Para diminuir este desperdício, é possível realizar algumas mudanças, como o tipo de descarga do vaso sanitário. Observe o consumo de água em dois diferentes tipos de descarga. 1 ) Descarga com acionamento simples o

Este tipo de descarga, ao ser acionado, tem uma vazão de cerca de 6 L. 2o) Descarga com acionamento duplo Este tipo de descarga possibilita a escolha da vazão de água no acionamento do sistema. Para dejetos líquidos, o consumo é de cerca de 3 L, e, para dejetos sólidos, cerca de 6 L de água. a) Considere a residência de uma família que aciona a descarga do vaso sanitário 24 vezes ao dia. Em 30 dias, qual será o consumo de água, em metros cúbicos, com esse vaso sanitário, caso seja utilizada: • uma descarga com acionamento simples? 4,320 m3. • a descarga com acionamento duplo, sendo, 20 vezes com a vazão para dejetos líquidos e 4 vezes com a vazão para dejetos sólidos? 2,520 m3. b) Em relação ao item a, quantos metros cúbicos de água são economizados em 30 dias com a descarga de acionamento duplo comparada com a de acionamento simples? Em 1 ano, de quanto será essa economia? 1,8 m3. 21,9 m3. 8. A vacinação é a medida mais importante na prevenção da febre amarela. O Ministério da Saúde utiliza a dose-padrão da vacina de 0,5 mL. Em casos de

emergência, quando ocorrem surtos da doença, pode ser aplicada a dose fracionada de 0,1 mL, correspondente a 1 da 5 dose-padrão.

CESAR DINIZ/PULSAR IMAGENS

Resposta nas Orientações para o professor. 6. Maria precisa obter quantidades de água utilizando um recipiente grande com capacidade para 700 mL e outro pequeno, para 300 mL. Com apenas esses dois recipientes, descreva uma maneira para Maria obter: a) 400 mL de água. c) 800 mL de água. b) 900 mL de água.

Fachada de posto de saúde em Bom Jesus da Lapa (BA). Fotografia de 2014.

a) A quantas doses fracionadas corresponde uma dose-padrão? 5 doses. b) Um frasco com 10 doses-padrão da vacina de febre amarela pode vacinar quantas pessoas com a dose fracionada? 50 pessoas. c) Leia a notícia a seguir, do mês de janeiro de 2018, e responda à questão. [...] Entre janeiro e março [de 2018], 77 municípios dos estados de São Paulo, Rio de Janeiro e Bahia irão realizar campanha de vacinação com doses fracionadas e padrão contra a febre amarela. O objetivo é evitar a expansão do vírus para áreas próximas de onde há circulação atualmente. No total, 21,7 milhões de pessoas destes municípios deverão ser vacinadas na campanha, sendo 16,5 milhões com a dose fracionada e outras 5,2 milhões com a dose padrão. [...] BRASIL. Ministério da Saúde. Ministério da Saúde atualiza casos de febre amarela. Disponível em: <http://portalms.saude.gov. br/noticias/agencia-saude/42327-ministerioda-saude-atualiza-casos-de-febre-amarela-2>. Acesso em: 4 out. 2018.

• Considerando que todas as pessoas esperadas na campanha foram vacinadas, calcule, em litros, a quantidade total de vacina utilizada. 4 250 L. 231

água do recipiente grande. No recipiente grande vai sobrar 100 mL. Descartar a água do recipiente pequeno e despejar nele o restante da água do recipiente grande. Encher o recipiente grande. No recipiente grande há 700 mL de água, enquanto no recipiente pequeno há 100 mL, totalizando 800 mL de água. 7. Esta atividade trabalha a relação entre as unidades de medida litro e metro cúbico, em uma situação contextualizada. No item b, pedir aos alunos que considerem 1 ano com 365 dias. Para complementar, propor aos alunos que pesquisem o tipo de acionamento de descarga nos banheiros da escola e da residência em que moram. Outra sugestão é os alunos estimarem o consumo de água com descargas na residência em que moram, em um mês, com base na quantidade de descargas aproximada e no tipo de acionamento. 8. Esta atividade trabalha a relação entre as unidades de medida mililitro e litro, em uma situação contextualizada. Conversar com os alunos sobre a eficácia da dose fracionada da vacina. No item c, verificar as estratégias utilizadas pelos alunos. Se julgar necessário, propor a eles os seguintes questionamentos. • Considerando que todas as pessoas esperadas na campanha foram vacinadas: a) quantos litros da vacina foram utilizados com a dose fracionada? Resposta: 1 650 L. b) quantos litros da vacina foram utilizados com a dose padrão? Resposta: 2 600 L.

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6. Esta atividade trabalha a capacidade de recipientes utilizando a unidade de medida mililitro, em uma situação contextualizada. Veja a seguir uma resposta possível para cada item desta atividade. a) Encher o recipiente grande e depois despejar a água no recipiente pequeno. No recipiente

grande vai sobrar 400 mL de água. b) Encher o recipiente pequeno e depois despejar a água no recipiente grande. Encher novamente o recipiente pequeno e então despejar a água no recipiente grande. Encher o recipiente pequeno. No recipiente grande há 600 mL de

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água, enquanto no recipiente pequeno há 300 mL de água, totalizando 900 mL de água. c) Encher o recipiente grande e na sequência despejar a água no recipiente pequeno. No recipiente grande vai sobrar 400 mL de água. Descartar a água do recipiente pequeno e enchê-lo novamente com

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter informações sobre a dose fracionada da vacina de febre amarela. • BRASIL. FIOCRUZ. Instituto de Tecnologia em Imunobiológicos. Disponível em: <http://livro.pro/3wtbmv>. Acesso em: 29 out. 2018.

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comprimento

largura

EDITORIA DE ARTE

altura

O conceito de volume do bloco retangular foi trabalhado em Volumes anteriores desta coleção. Caso julgar necessário, é possível retomá-lo para detalhar a explicação neste momento. No trabalho com o volume do bloco retangular, se julgar conveniente, reproduzir e distribuir aos alunos o molde do bloco retangular disponível no Material de apoio para que recortem e montem uma representação dessa figura, de maneira que possam manipulá-la e reconhecer as suas dimensões.

Volume do bloco retangular Você sabia que o maior aquário marinho da América do Sul fica no município do Rio de Janeiro? O AquaRio, como é chamado esse aquário marinho, foi inaugurado em 2016. Observe algumas informações sobre ele. Possui cerca de 8 mil animais de 350 espécies.

A estrutura física da construção tem aproximadamente 26 mil metros quadrados de área.

ISMAR INGBER/PULSAR IMAGENS

VOLUME DO BLOCO RETANGULAR Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF08MA21. Relembrar aos alunos que no bloco retangular podemos estabelecer três dimensões: comprimento, largura e altura. Quando essas três dimensões têm a mesma medida, isto é, têm todas as arestas congruentes, o bloco retangular corresponde a um cubo. Se possível, representar na lousa o bloco retangular a seguir, exemplificando suas três dimensões.

Conta com 28 tanques que abrigam cerca de 4,5 milhões de litros de água. Fontes dos dados: BRASIL. Rio de Janeiro inaugura maior aquário marinho da América do Sul. Disponível em: <www. brasil.gov.br/meio-ambiente/2016/10/rio-de-janeiro-inaugura-maior-aquario-marinho-da-america-do-sul>. AQUARIO deve ser inaugurado na próxima semana, na Zona Portuária. G1. Disponível em: <http://g1.globo.com/rio-de-janeiro/ noticia/2016/11/aquario-deve-ser-inaugurado-na-proxima-semana-na-zona-portuaria.html>. Acessos em: 4 out. 2018

Após visitar o AquaRio e admirar as centenas de espécies de animais, Juliano quer comprar um aquário para criar um peixe de certa espécie. Ele pesquisou e descobriu que 2,1 dm um aquário para abrigar esse peixe tem de ter, no mínimo, capacidade para 8 L de água. O aquário representado ao 1,4 dm lado, que possui formato de bloco retangular e tem as 3 dm medidas internas indicadas, poderia abrigar esse peixe? Para responder a essa questão, temos de recordar inicialmente como podemos calcular o volume de um bloco retangular. Observe. Para calcular o volume de um bloco retangular, multiplicamos as medidas das três dimensões: comprimento, largura e altura. Como o cubo é um caso particular de bloco retangular, em que as arestas têm medidas iguais, calculamos seu volume da mesma maneira. • Volume do bloco retangular

a l c

V=c?l?a

• Volume do cubo

a a a

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

V = a ? a ? a ou V = a³

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OBMEP 2005

quantidade de latas cheias de água necessárias para encher a caixa-d’água

2 = 55,5 0,036 capacidade da lata

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3. Algumas respostas possíveis: 4 dm x 3 dm x 2,5 dm; 6 dm x 2 dm x 2,5 dm; 5 dm x 2 dm x 3 dm.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Calcule o volume de cada bloco retangular representado a seguir. 525 cm³. a)

• ÓLEO SUSTENTÁVEL. Ciclo do Óleo. Disponível em: <http://livro.pro/3hs2r4>. Acesso em: 6 out. 2018.

7 cm 15 cm

810 cm³.

3. Lorena vai comprar um aquário cujo formato é um bloco retangular. Esse aquário tem de ter capacidade de 30 L e cada dimensão interna, no mínimo 1,5 dm. Quais podem ser as dimensões desse aquário para satisfazer essas condições?

9 cm 9 cm 10 cm

2 560 cm³.

4. Utilizando pedaços de madeira com formato de bloco retangular, um marceneiro montou a peça a seguir. Qual é o volume de madeira dessa peça? 198 000 cm³.

16 cm

8 cm

25 cm ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

5 cm

Acesse este site para obter mais informações sobre como descartar o óleo de cozinha.

20 cm

2. O óleo de cozinha usado pode ser reciclado de diferentes maneiras. Renato utiliza esse óleo para fazer sabão. No preparo, ele mistura os ingredientes em um balde e depois despeja o conteúdo em uma caixa plástica, com formato de bloco retangular, enchendo-a completamente. Por fim, após a mistura endurecer, Renato corta o sabão em 20 pedaços de mesmo tamanho. Observe.

20 cm

6 cm 50 cm

Qual é o volume de cada pedaço de sabão que Renato fez? 300 cm³.

35 cm

50 cm

80 cm

60 cm

5. A figura a seguir representa a piscina pública de certo município, que tem formato de bloco retangular e água atingindo 1,2 m de altura. Para que ela seja esvaziada para manutenção, será utilizada uma bomba de imersão com uma vazão de 360 L/min, pos15 m sibilitando que essa água seja reutilizada posteriormente. Quantas horas 30 m são necessárias para esvaziar essa piscina? 25 h.

LUCAS FARAUJ

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo do volume de bloco retangular. 2. Esta atividade trabalha o cálculo do volume de bloco retangular, em uma situação contextualizada. Comentar com os alunos sobre os problemas causados pelo descarte incorreto do óleo de cozinha. Quando descartado em pias ou ralos, esse óleo tende a grudar nas paredes das tubulações, o que faz que restos de alimentos também fiquem ali grudados. A consequência é o entupimento de encanamentos e caixas de gordura, além da contaminação do solo e dos rios, pois, por causa da alta demanda, as estações de tratamento de água e de esgoto não dão conta dessa quantidade de óleo que é despejada diariamente em pias e ralos. Para complementar, sugerir aos alunos que, em conjunto com o professor da disciplina de Ciências, pesquisem pontos de coleta de óleo de cozinha usado no município e divulguem essa informação na comunidade. 3. Esta atividade trabalha o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um bloco retangular, em uma situação contextualizada. Verificar se, na resolução, os alunos consideraram a restrição de a aresta do bloco retangular ter no mínimo 1,5 dm. 4. Esta atividade trabalha o cálculo do volume de bloco retangular, em uma situação contextualizada. Propor aos alunos que compartilhem as estratégias utilizadas, pois eles podem ter decomposto a peça em madeira de diferentes maneiras. 5. Esta atividade trabalha o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um bloco retangular, em uma situação contextualizada. Os alunos devem compreender que a água na piscina pode ser associada a um bloco retangular cujas dimensões têm 15 m, 30 m e 1,2 m.

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

ROBERTO ZOELLNER

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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6. Esta atividade trabalha o cálculo do volume de bloco retangular, em uma situação contextualizada. Discutir com os alunos as estratégias utilizadas por eles. Uma delas é calcular o volume do bloco retangular e, em seguida, determinar a raiz cúbica desse valor. O estudo da raiz cúbica foi realizado na Unidade 1 deste Volume.

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D3-MAT-F

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9. c) I: bloco retangular: 216 mL; embalagem: 200 mL. II: bloco retangular: 216 mL; embalagem: 200 mL. Não. Algumas respostas possíveis: As medições realizadas por Eleonora para a representação dos modelos matemáticos não foram I. 6. Qual deve ser a medida da aresta de um cubo para que ele tenha o volume igual ao de um bloco retangular cujas arestas medem 16 cm, 8 cm e 4 cm? 8 cm.

A densidade (d) de um material é dada pela razão entre a massa (m) e o volume (V) desse material.

9 cm

4 cm 6 cm

II.

10 cm

3,6 cm

ILUSTRAÇÕES: ALEX SILVA

7. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um bloco retangular. Nesse problema, você pode desenhar figuras com medidas indicadas. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 8. Ulisses é metalúrgico e na fábrica em que trabalha confecciona peças de metal. Para fazer certa peça, ele aqueceu um metal, cuja densidade é de 2,7 g/cm³, até derretê-lo. Depois, encheu com esse líquido um recipiente cúbico com 25 cm de aresta interna. Qual é a massa, em quilogramas, da peça confeccionada por Ulisses? Aproximadamente 42,19 kg.

propicia o desenvolvimento da competência específica 8 de Matemática da BNCC, pois propõe aos alunos trabalharem coletivamente, planejarem e realizarem uma pesquisa, discutirem e buscarem consenso para os resultados obtidos. Comentar que, apesar de a água de coco em caixinha ser mais saudável do que bebidas açucaradas, como refrigerantes e sucos industrializados, ainda assim é um produto industrializado e deve ser consumido de maneira moderada. No item b, destacar para os alunos que blocos retangulares, com diferentes medidas em suas dimensões, podem ter o mesmo volume. No item c, discutir se a resposta apresentada por Eleonora pode ser considerada um bom modelo para determinar a quantidade de produto em uma embalagem, isto é, se o modelo apresentado fornece uma boa aproximação. No item d, pedir antecipadamente aos alunos que levem as embalagens para a sala de aula. Com uma régua, eles podem verificar as medidas das três dimensões da embalagem e anotar no caderno. Para calcular o volume, eles podem utilizar a calculadora. Após a resolução, os alunos podem compartilhar com os colegas os resultados obtidos.

6 cm

Embalagens de água de coco.

a) Determinem o volume, em centímetros cúbicos, desses blocos retangulares m d= representados. I: 216 cm3; II: 216 cm3. V b) Esses blocos retangulares têm as dimensões com as mesmas medidas? Eles têm 9. Junte-se a um colega e resolvam esta volumes iguais? Não. Sim. atividade. c) Indiquem o volume de cada bloco retangular em mililitros e comparem A água de coco é uma bebida saborosa com a quantidade de água de coco na e refrescante. Além da versão in natura, embalagem correspondente. Em cada também é comercializada em embalagens comparação, as medidas são iguais? Em longa vida. Com uma régua, Eleonora sua opinião, por que isso ocorreu? fez medições em duas caixinhas de água Resposta pessoal. de coco e as representou por meio de d) Separem uma embalagem com formato de bloco retangular e cuja quantidade modelos matemáticos correspondentes a do conteúdo esteja indicada em litros ou blocos retangulares. mililitros. Depois, façam medições com a régua e construam um modelo matemáIn natura: que tico, como fez Eleonora. Por fim, calculem está no estado o volume desse bloco retangular e comnatural, ou seja, parem com a quantidade do conteúdo sem processamento indicada na embalagem. Registrem todas industrial. as etapas realizadas no caderno. precisas. As medições realizadas por Eleonora para a representação dos modelos matemáticos correspondem à parte externa das caixinhas. A quantidade de água de coco em cada caixinha não ocupa todo o espaço interno. 235

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7. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelos alunos envolvendo o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um bloco retangular. É possível que eles alunos proponham problemas com diferentes estruturas. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados se-

jam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma. 8. Esta atividade trabalha o cálculo do volume de um recipiente cúbico, em uma situação contextualizada. Se julgar necessário, retomar com os alunos o estudo da densidade de materiais, tema abordado na Unidade 7, do Volume 7

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desta coleção. Explicar que a densidade do metal, 2,7 g/cm3, significa que 1 cm3 desse metal tem 2,7 g de massa. 9. Esta atividade trabalha o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um bloco retangular, em uma situação contextualizada. Além disso, a atividade

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EDITORIA DE ARTE

Na etapa 1 do experimento apresentado, caso julgar necessário, retomar com os alunos o estudo da área do círculo, realizado na Unidade 6 deste Volume. Comentar que a área obtida corresponde a um valor aproximado, uma vez que utilizamos um valor aproximado para p. Na etapa 2, verificar se os alunos perceberam que a jarra é graduada a cada 10 mL. Assim, partindo da marcação de 1 550 mL, temos que a água atingiu duas marcações acima, o que corresponde a 1 570 mL (1 550 + 10 + 10 = 1 570). Na etapa 3, comentar que esta relação entre o volume e a altura do cilindro, obtendo a medida da área de sua base, pode ser demonstrada como válida qualquer que seja o cilindro reto, o que optamos por não realizar neste momento. No trabalho com o volume do cilindro, se julgar conveniente, reproduzir e distribuir aos alunos o molde do cilindro disponível no Material

Volume do cilindro A professora de Matemática está realizando com uma turma de 8o ano um experimento para estudar o cálculo do volume de um cilindro. Para isso, eles utilizaram uma jarra graduada e um copo cilíndrico com as dimensões internas indicadas nas representações ao lado.

altura: 20 cm

Observe as etapas que eles realizaram nesse experimento.

ARTUR FUJITA

VOLUME DO CILINDRO Este tópico busca desenvolver o trabalho com o objeto de conhecimento Volume de cilindro reto, indicado para a unidade temática Grandezas e medidas do 8o ano da BNCC. Esse assunto será retomado e ampliado no próximo Volume desta coleção. Relembrar aos alunos que o cilindro é formado por duas bases paralelas em formato de círculos e nele podemos destacar sua altura (a) e o raio da base (r). Se possível, representar na lousa o cilindro a seguir, indicando esses elementos.

raio da base: 5 cm

Utilizando a fórmula A = r² e considerando aproximadamente igual a 3,14, os alunos calcularam a área da figura do círculo da base do copo, que tem 5 cm de raio.

A = pr² A 1 3,14 ? 5² = 3,14 ? 25 = 78,5, ou seja, 78,5 cm².

Depois, os alunos encheram o copo com água e despejaram na jarra. Assim, eles identificaram a capacidade desse copo, ou seja, o volume de água.

ARTUR FUJITA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A capacidade do copo é de 1 570 mL, que corresponde a 1 570 cm3.

Os alunos calcularam a razão entre o volume obtido e a altura do copo. volume, em centímetros cúbicos

1 570 = 78,5 20 altura, em centímetros

Por fim, os alunos fizeram comparações e notaram que a razão entre o volume e a altura do copo corresponde à área da base desse copo, em centímetros quadrados, calculado na 1a etapa.

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de apoio para que recortem e montem uma representação dessa figura, de maneira que possam manipulá-la e reconhecer seus elementos, como a base e a altura.

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D3-MAT-F

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Destacar para os alunos que na página anterior obtemos a seguinte relação.

Assim como ocorreu nesse experimento, em qualquer cilindro a razão entre seu volume e altura corresponde à área de sua base, o que pode ser provado. De outro modo, podemos dizer que o volume de um cilindro é dado pelo produto da área de sua base e altura. Para calcular o volume de um cilindro, podemos multiplicar a área de sua base (Ab) e sua altura (a): área da base do cilindro

A= área da base do cilindro

altura do cilindro

V = Ab ? a

V = pr² ? a

volume do cilindro

a altura do cilindro

Com base nesta relação, podemos obter uma fórmula do volume do cilindro em função da área da base e da altura:

Agora, observe os exemplos a seguir. Exemplo 1 Qual é o volume do cilindro representado a seguir, sabendo que sua base corresponde a um círculo com 314 cm2 de área.

V a

A?a=

V a

A?a=V 40 cm

Após explorar as fórmulas para o cálculo do volume do cilindro, é importante que os alunos percebam que, em ambas as fórmulas apresentadas, o resultado é o mesmo. No exemplo 1, chamar a atenção dos alunos para as unidades de medida que estão sendo trabalhadas: centímetro, centímetro quadrado e centímetro cúbico. Já no exemplo 2, explicar que o volume obtido do cilindro é uma medida aproximada, uma vez que o valor de p utilizado é aproximado.

Para resolver esse problema, consideramos que o cilindro tem 40 cm de altura, e a base tem 314 cm2 de área. Depois, realizamos os cálculos: V = Ab ? a V = 314 ? 40 = 12 560 Assim, esse cilindro tem 12 560 cm3 de volume.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Exemplo 2 A figura a seguir representa um cilindro com sua altura e medida do raio da base indicados. Qual é o volume desse cilindro?

6 dm

1,5 dm

Considerando

aproximadamente igual a 3,14, temos: V = pr² ? a V 1 3,14 ? (1,5)² ? 6 = 3,14 ? 2,25 ? 6 = 42,39 Assim, esse cilindro tem aproximadamente 42,39 dm3 de volume. 237

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Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Nas atividades das páginas 238 e 239, utilize 3,14 como uma aproximação de p.

10 cm

15 cm

1 413 cm³.

6 cm

753,6 cm³. 2. Os silos de armazenamento são construções, geralmente com formato cilíndrico, utilizados para estocagem e conservação de produtos agrícolas, como milho, trigo e cevada. Existem relatos de que antigas civilizações, como a egípcia e a babilônica, utilizavam esse tipo de armazenamento há milhares de anos.

18 cm

8 cm

Observe ao lado a representação de dois silos de certa propriedade rural, onde o armazenamento ocorre apenas na parte cilíndrica.

Silo I Silo II

LUCAS FARAUJ

1 130,4 cm³.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1. Calcule o volume dos cilindros representados a seguir. b) c) a)

• Qual desses silos tem a maior capacidade de armazenamento? Quantos metros cúbicos tem a mais do que o outro? Silo I. 4,71 m3. 3. André preparou 2 L de suco de laranja. Com esse suco, é possível encher no máximo quantos copos cilíndricos cujo diâmetro interno da base tem 5 cm e a altura, 14 cm? 7 copos. 4. Rose separou dois recipientes: um cheio de água, com formato de bloco retangular; e outro vazio, com formato de cilindro. Observe. • Com base nessas informações, elabore e escreva no caderno uma 15 cm situação-problema e troque com um colega para que ele resolva, enquanto você resolve àquela que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

18 cm LUCAS FARAUJ

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo do volume de cilindro reto. Verificar se os alunos perceberam que no item a é indicada a medida do raio da base do cilindro e que nos itens b e c são indicadas as medidas do diâmetro da base dos cilindros. 2. Esta atividade trabalha o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um cilindro reto, em uma situação contextualizada. Para complementar, questionar os alunos se eles já viram silos e se sabem que tipos de grãos são armazenados neles. 3. Esta atividade trabalha o cálculo da capacidade de um recipiente com formato de um cilindro reto, em uma situação contextualizada. Conversar com os alunos que, calculando a capacidade do copo, obtemos 274,75 mL. Para determinar a quantidade máxima de copos, que podemos encher com 2 L de suco, uma estratégia é converter 2 L em 2 000 mL e dividir por 2 000 por 274,75. Ao fazer essa divisão, obtemos aproximadamente 7,3 copos; isto significa que com 2 L de suco enchemos 7 copos e mais parte de um oitavo copo. Como queremos a quantidade máxima de copos, a resposta é 7 copos. 4. Esta atividade trabalha o cálculo da capacidade de recipientes com formatos de um cilindro reto e de um bloco retangular, em uma situação contextualizada. A seguir, são apresentados alguns exemplos de problemas que podem ser elaborados pelos alunos. • A água do recipiente com formato de bloco retangular é suficiente para encher completamente o recipiente com formato de cilindro? Justifique. Resposta esperada: Não, pois a capacidade do recipiente com formato de bloco retangular (1 200 mL) é menor do que a do recipiente com formato de cilindro (1 413 mL).

AtividadeS

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

10 cm

8 cm 10 cm

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• Ao despejar a água do re-

cipiente com formato de bloco retangular no recipiente com formato de cilindro, este recipiente ficará completamente cheio? Em caso negativo, quantos mililitros de água a mais serão necessários para enchê-lo completamente? Respostas: Não. 213 mL.

5. Esta atividade trabalha o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um cilindro reto, em uma situação contextualizada.

11/14/18 2:04 PM

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11/15/18 1:04 PM

D3-MAT-F

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5. As cisternas são reservatórios que armazenam a água da chuva. Antônio e sua família vivem em um sítio onde há uma cisterna, representada a seguir, que abastece a casa.

de fórmulas preestabelecidas, como a do bloco retangular ou a do cilindro reto. Para a realização desse item, providenciar os recipientes para colocar a água, objetos com formato irregular e réguas. É importante ficar atento para a quantidade de água a ser colocada em cada um dos recipientes, uma vez que, ao emergir o objeto, a água subirá e poderá transbordar, o que não é desejável. Ao final do experimento, para evitar o desperdício, dar um destino adequado à água usada, regando as plantas na escola, por exemplo. Os registros dos alunos podem incluir informações práticas do experimento e fotografias das etapas realizadas. 8. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno envolvendo o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um cilindro reto. É possível que os alunos proponham problemas com diferentes estruturas. Ao final, os problemas elaborados podem ser redistribuídos entre os alunos e alguns deles reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

7. Jéssica fez um experimento para calcular o volume de uma pedra. Observe. 1a) Jéssica despejou água em um recipiente cilíndrico com 6 cm de raio interno da base e fez uma marcação no nível atingido pela água.

tampa da cisterna 0,5 m 4m A parte da cisterna onde a água é armazenada tem formato cilíndrico.

ENEM 2015

6. (Enem-2015) Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.

Disponível em: www.cbra.org.br. Acesso em: 3 mar. 2012.

A medida da altura desconhecida vale: Alternativa b. a) 8 cm. c) 16 cm. e) 40 cm. b) 10 cm. d) 20 cm.

Para resolver essa atividade, você pode considerar p aproximadamente igual a 3.

2a) Depois, ela mergulhou uma pedra no recipiente e fez outra marcação no nível atingido pela água deslocada.

ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

a) Quantos litros de água, no máximo, é possível armazenar nessa cisterna? 6 280 L. b) Considere que essa cisterna esteja totalmente cheia de água e que será a única fonte de abastecimento da casa da família de Antônio por 8 dias. Em média, quantos litros de água, no máximo, essa família poderá usar por dia? 785 L.

3a) Por fim, com uma régua, Jéssica verificou que o nível da água aumentou em 4 cm. Com isso, ela calculou o volume da pedra, que corresponde ao volume da água deslocada. 452,16 cm3. a) De acordo com as informações do experimento, calcule o volume dessa pedra. b) Com um colega, realizem um experimento parecido ao de Jéssica para calcular o volume de um objeto de formato irregular. Registre as etapas desse experimento no caderno. Resposta pessoal.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site que disponibiliza um folheto com informações sobre cisternas. • BRASIL. Embrapa. Cisternas. Disponível em: <http://livro.pro/36yqum>. Acesso em: 29 out. 2018.

8. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um cilindro. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 239

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6. Esta atividade trabalha o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um cilindro reto, em uma situação contextualizada. Caso julgar necessário, auxiliar os alunos na resolução da atividade a partir dos seguintes questionamentos. • Qual é o volume do cilindro V1? Resposta: 452,16 cm3.

• Sabendo o volume do cilin-

dro V1, qual é o volume do cilindro V2? Resposta: 282,6 cm3. • Sabendo o volume do cilindro V2, como é possível determinar a medida desconhecida da altura? Resposta esperada: Dividindo o volume do cilindro V2 (282,6 cm3) pela área da base do mesmo cilindro (28,26 cm2).

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7. Esta atividade trabalha o cálculo da capacidade de um recipiente cujo formato é o de um cilindro reto, em uma situação contextualizada. No item b, explicar aos alunos que um objeto com formato irregular, nesse caso, corresponde a um objeto que não conseguimos determinar seu volume a partir

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

integrando com CIÊNCIAS

Você tem o hábito de consumir refrigerante? Nos últimos anos, é possível observar que os brasileiros têm diminuído o consumo dessa bebida. Mesmo assim, a quantidade ingerida regularmente ainda é muito alta, o que pode ocasionar diversos problemas de saúde. O refrigerante tem alta concentração de açúcar e é pobre em nutrientes, ou seja, acrescenta pouco à alimentação, somente calorias. E nas versões light ou diet, a história não é diferente: apesar de não ter açúcar em suas composições, os fabricantes utilizam adoçantes artificiais, o que também é prejudicial para o nosso organismo. Observe no esquema alguns malefícios que podem ser ocasionados pelo consumo de refrigerantes.

Cáries A grande quantidade de açúcar na composição dos refrigerantes aumenta as chances do surgimento de cáries.

Elevação da acidez do sangue e do estômago O pH do refrigerante é 2,5, bem distante do pH do corpo humano que gira em torno de 7,35. Essa diferença provoca acidez no organismo.

Hipertensão arterial A grande quantidade de sódio eleva a pressão sanguínea.

Maior chance de desenvolver câncer As grandes quantidades de açúcar, sódio e o gás presente na composição do refrigerante aumentam as chances de desenvolvimento de câncer.

Doença cardiovascular O acúmulo de açúcar no corpo pode provocar o entupimento das artérias, causando doenças cardiovasculares.

Osteoporose O ácido fosfórico presente na bebida atrapalha a absorção de cálcio, o que ao longo do tempo pode provocar osteoporose.

Gastrite A acidez do refrigerante pode provocar ou agravar uma gastrite.

Obesidade O açúcar em excesso na composição da bebida provoca o acúmulo de glicose no corpo, provocando a obesidade.

Diabetes O elevado nível de açúcar provoca picos de produção de insulina, o que com o tempo pode provocar uma resistência do corpo ao hormônio, provocando o diabetes tipo 2.

EDITORIA DE ARTE

Os males do refrigerante

ALEX SILVA

INTEGRANDO COM CIÊNCIAS Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 8 e à competência específica 4 de Matemática da BNCC, pois o tema malefícios do refrigerante aborda cuidados com a saúde física, de modo que os alunos são convidados a fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos para organizar, representar e comunicar informações relevantes a partir da produção de argumentos convincentes. Comentar com os alunos que a principal função do alimento é fornecer nutrientes para o nosso organismo. Além do refrigerante não cumprir esta função, por ser pobre em nutrientes, ele apresenta componentes prejudiciais à nossa saúde. Explicar que os nutrientes são substâncias indispensáveis para o funcionamento do organismo e são divididos em dois grupos: os macronutrientes, que são os carboidratos, as gorduras e as proteínas; e os micronutrientes, que são as vitaminas e os minerais. Explicar aos alunos a diferença entre bebida light e bebida diet. Na bebida light, existe uma redução do seu valor calórico em comparação com a original; já na bebida diet, há a isenção de algum tipo de nutriente em relação à original, como açúcar ou leite. Os refrigerantes “zero açúcar” são bebidas diet. Após a exploração do esquema contendo os malefícios do refrigerante, uma sugestão é propor aos alunos que pesquisem mais a respeito de cada um desses males. Esta pesquisa pode ser feita em livros, revistas, jornais e artigos na internet em conjunto com o professor da disciplina de Ciências. É importante promover um momento em que os alunos possam compartilhar as informações obtidas.

Cálculos renais Pesquisas apontam que o consumo de bebidas açucaradas como o refrigerante aumenta o risco de cálculo renal.

Fonte dos dados: Azevedo, E. Refrigerante pode causar doenças como osteoporose e diabetes. Extra 20. Disponível em: <https://extra. globo.com/noticias/saude-e-ciencia/refrigerante-pode-causar-doencas-como-osteoporose-diabetes-22077532.html>. Acesso em: 4 out. 2018.

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Observe no pictograma a seguir a quantidade de refrigerante consumido pela população brasileira ao longo de alguns anos.

Consumo per capita de refrigerantes, em litros, no Brasil (2010-2016)

87,2

86 80

2010

2011

2012

2013

80,6 75,1

2014

2015

ALEX SILVA

88,9

2016

Fonte: ABIR. Refrigerantes. Disponível em: <https://abir.org.br/o-setor/dados/refrigerantes/>. Acesso em: 4 out. 2018.

3. a) Resposta esperada: Não, pois com exceção de 2014, os demais anos indicam que o consumo per capita de refrigerantes diminuiu em relação ao ano anterior. 1. Você consome refrigerante? Com que frequência? Respostas pessoais.

Resoluções a partir da p. 257

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

2. De acordo com o texto, qual das afirmações a seguir é verdadeira? c. a) O refrigerante light é considerado mais saudável, por isso deve ser consumido com frequência. b) O consumo de refrigerante é essencial para nossa alimentação. c) Ingerir refrigerante regularmente pode ocasionar diversos problemas de saúde. 3. Em relação ao pictograma apresentado, responda. a) Podemos afirmar que, no Brasil, o consumo de refrigerantes per capita aumentou em todo período apresentado? Explique. b) No ano de 2016, o consumo per capita de refrigerante correspondeu a quantas latas de 350 mL? Considere uma pessoa que consuma essa quantidade de latas de refrigerante de uma marca onde cada lata tem 37 g de açúcar. Ao todo, quantos quilogramas de açúcar essa pessoa terá ingerido? 200 latas de 350 mL. 7,4 kg. 4. Junte-se com dois colegas. Com base nas informações apresentadas nestas páginas, usem a criatividade para elaborar uma campanha publicitária para conscientizar e combater o consumo excessivo de refrigerante. Vocês podem optar, por exemplo, em fazer cartaz, banner, folheto, vídeo etc. Nessa produção, podem ser utilizadas informações obtidas na resolução das questões anteriores. Resposta pessoal. 241

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Relembrar aos alunos que os pictogramas são gráficos cuja representação dos dados estatísticos é feita por meio de imagens, geralmente ligadas ao contexto da pesquisa. Explicar que a expressão “per capita”, nesse gráfico, corresponde à quantidade de refrigerante

consumida em média por pessoa no Brasil nesses anos. 1. Caso os alunos respondam que consomem refrigerante, principalmente com grande frequência, conversar com eles a fim de propor uma mudança de hábito. Sugerir que troquem o consumo de

que os brasileiros cada vez mais têm consciência dos males que o refrigerante pode causar à saúde. Uma sugestão é pesquisar se essa diminuição continua ocorrendo em anos posteriores aos apresentados. No item b, dizer aos alunos que 37 g de açúcar equivalem a aproximadamente 7 colheres e meia de chá. 4. Esta questão envolve o planejamento de uma campanha publicitária sobre um tema significativo para a turma e para a comunidade escolar em geral. O objetivo é que os alunos produzam e editem uma peça publicitária (cartaz, banner, folheto, vídeo), a partir da decisão de quais informações serão apresentadas sobre o tema, da definição do público-alvo e das estratégias de persuasão e convencimento que serão utilizadas. Esta produção pode ser realizada com apoio do professor da disciplina de Língua Portuguesa. Para auxiliá-los na produção dessa campanha para conscientizar e combater o consumo excessivo de refrigerante, uma sugestão é definir algumas orientações como as indicadas pelos seguintes questionamentos. • Qual será o público-alvo? • Qual será a peça publicitária utilizada (cartaz, banner, folheto, vídeo)? • Quais serão as informações apresentadas? • Qual tarefa cada aluno do grupo vai ser responsável? • Quais materiais serão necessários para a produção da campanha? Após a elaboração da campanha, é interessante que os alunos possam divulgar seus trabalhos para todos os alunos da escola e para a comunidade escolar em geral.

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refrigerante por água e suco natural, por exemplo. 3. Para complementar o item a, questionar os alunos sobre o que pode ter ocasionado a diminuição do consumo per capita de refrigerante, no Brasil, nesses anos apresentados. Comentar que uma possibilidade é

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, junto com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

o que estudei

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

do bloco retangular e volume do cubo

Centímetro cúbico, decímetro cúbico e metro cúbico

Medidas de capacidade

Mililitro e litro

Volume do cilindro

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Medidas de volume e capacidade

Medidas de volume

Centímetro cúbico, decímetro cúbico e metro cúbico

Volume do bloco retangular e volume do cubo

Medidas de capacidade

Volume do cilindro

Mililitro e litro

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3. No item I, verificar se os alunos perceberam que as medidas da assadeira estão em centímetros e pede-se a capacidade em litros. Explicar que uma estratégia é converter as unidades dadas em centímetro para decímetro e obter a capacidade em litros. Outra possibilidade é calcular a capacidade utilizando centímetros e, depois, converter de mililitros para litros. Relembrá-los de que 1 cm3 corresponde a 1 mL. No item II, pedir aos alunos que considerem que a massa do bolo é crua e que não transbordará nestas condições. No item III, comentar que Talita está apenas considerando a assadeira que tem maior capacidade e não outros aspectos como o que ela pretende assar ou o preço da assadeira. No item IV, conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas para determinar as medidas da assadeira. Após a resolução, sugerir a eles que troquem com o colega o desenho, para que um verifique no desenho do outro se a capacidade da assadeira atende às exigências do enunciado.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Talita quer comprar uma assadeira de bolo e está em dúvida entre dois modelos: um cilíndrico e outro com formato de bloco retangular. Observe a representação dessas assadeiras com as medidas internas indicadas.

6 cm 24 cm 20 cm

37 cm

24 cm

5 cm 20 cm

37 cm

EDITORIA DE ARTE

6 cm

MARCIANO PALÁCIO

5 cm

PROBLEMAS

I A assadeira que tem o formato de bloco retangular tem capacidade para quantos litros?

5,328 L. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade; volume do bloco retangular e volume do cubo.

II É possível despejar 1 500 mL de massa de bolo na assadeira cilíndrica sem que transborde? Justifique.

III

Resposta esperada: Sim, pois a assadeira cilíndrica tem capacidade para aproximadamente 1 570 mL. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade; volume do cilindro. Por qual dos modelos de assadeira Talita deve optar comprar caso sua escolha seja pelo de menor capacidade? Assadeira cilíndrica. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade.

IV Desenhe no caderno uma assadeira cilíndrica, indicando as

medidas internas dela, de maneira que tenha capacidade entre 1,2 L e 1,3 L.

Algumas possíveis respostas: 18 cm de diâmetro e 5 cm de altura; 20 cm de diâmetro e 4 cm de altura. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade; volume do cilindro.

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você

conectado

Instruções gerais Ao longo das Unidades deste livro, na seção Você conectado, exploramos atividades em que foi proposto

BARRA DE MENUS Encontramos nela opções que auxiliam o trabalho com a planilha eletrônica. Ela está dividida em grupos de opções.

o uso de dois softwares: a planilha eletrônica Calc e o GeoGebra. As planilhas eletrônicas são próprias para organizar informações, realizar cálculos, construir tabelas e gráficos, além de diversas outras funções. Os recursos que essas planilhas possuem contribuem para a realização do trabalho de diversos profissionais e costumam ser utilizados até mesmo para controlar as despesas domésticas. No estudo de Matemática, podemos utilizar planilhas eletrônicas para compreender melhor muito daquilo que estudamos, como a organização de dados em tabelas e a construção de gráficos de colunas, de barras, de segmentos e de setores. Já o GeoGebra é um software próprio para representar e estudar figuras geométricas. Com ele, podemos construir diversas figuras e analisar algumas de suas características, além de fazer uma abordagem mais dinâmica por meio de modificações nas construções. Tanto a planilha eletrônica Calc quanto o GeoGebra não têm custo, ou seja, têm a distribuição gratuita. Eles podem ser baixados acessando os sites a seguir. • Planilha eletrônica Calc: <http://livro.pro/bixzay>. Acesso em: 24 jul. 2018.

Seleciona todas as células da planilha eletrônica.

• GeoGebra: <http://livro.pro/tgwm9a>. Acesso em: 24 jul. 2018. Veja ao lado as indicações de algumas opções da planilha eletrônica Calc.

SOMA Calcula a soma dos valores das células selecionadas da planilha eletrônica.

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ORDENAR CRESCENTE Organiza os valores das células selecionadas em ordem crescente.

ORDENAR DECRESCENTE Organiza os valores das células selecionadas em ordem decrescente.

LIBREOFFICE 2018

FORMATAR Este grupo apresenta várias opções de formatação da planilha eletrônica.

FORMATAR COMO MOEDA Formata os valores das células para a forma de valores monetários em reais.

Esta célula está na COLUNA C e na LINHA 4. Assim, dizemos que sua localização é C4.

GUIA DE PREENCHIMENTO AUTOMÁTICO Cria alguns tipos de sequência.

FORMATAR COMO PORCENTAGEM Formata os valores das células para a forma de porcentagem.

INSERIR GRÁFICO Abre uma janela com o assistente para construir gráficos com os dados selecionados da planilha eletrônica.

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Veja as indicações de algumas opções do GeoGebra.

BARRA DE FERRAMENTAS Encontramos nela as opções que auxiliam nas construções dos objetos matemáticos. Ela está dividida em grupos de opções. Cada um desses grupos possui várias opções. Ao clicar no ícone, vão aparecer as opções referentes a esse grupo.

CAMPO DE ENTRADA Podemos criar e modificar objetos matemáticos por meio de comandos.

JANELA DE ÁLGEBRA Encontramos nela uma lista dos objetos construídos, com algumas informações algébricas sobre eles.

Grupo 1 MOVER: seleciona objetos e move elementos de uma construção geométrica.

Grupo 2 PONTO: constrói um ponto. INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS: constrói o(s) ponto(s) de interseção entre dois objetos. PONTO MÉDIO ou CENTRO: constrói o ponto médio de um segmento de reta ou entre dois pontos, ou o centro de um objeto.

Grupo 3

SEGMENTO COM COMPRIMENTO FIXO: constrói um segmento de reta dados um extremo e o comprimento desse segmento de reta. SEMIRRETA: constrói uma semirreta, dados a origem e outro de seus pontos. VETOR: constrói um vetor dados os pontos extremos.

Grupo 4 RETA PERPENDICULAR: constrói uma reta perpendicular a outra, passando por um ponto selecionado. RETA PARALELA: constrói uma reta paralela a outra, passando por um ponto selecionado.

RETA: constrói uma reta passando por dois pontos.

MEDIATRIZ: constrói uma reta mediatriz a um segmento de reta.

SEGMENTO: constrói um segmento de reta dados os pontos extremos.

BISSETRIZ: constrói uma reta bissetriz de um ângulo.

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Neste ícone, podemos habilitar ou desabilitar a malha quadriculada e inserir ou retirar os eixos de um gráfico da janela de visualização.

GEOGEBRA 2018

JANELA DE VISUALIZAÇÃO Podemos criar, modificar e visualizar objetos matemáticos.

Grupo 5 POLÍGONO: constrói um polígono dados seus vértices. POLÍGONO REGULAR: constrói um polígono regular dados dois de seus vértices e a quantidade de lados.

Grupo 6 CÍRCULO DADOS O CENTRO E UM DE SEUS PONTOS: constrói um círculo dados o centro e um de seus pontos. CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS: constrói um círculo dados três pontos. ARCO CIRCULAR: constrói um arco de circunferência dados o centro do círculo e os extremos desse arco de circunferência.

Grupo 7

DISTÂNCIA, COMPRIMENTO ou PERÍMETRO: mede a distância entre dois pontos, o comprimento de um segmento de reta ou o perímetro de uma figura geométrica plana. ÁREA: mede a área de uma figura geométrica plana.

Grupo 8 REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UMA RETA: constrói a figura simétrica de uma figura dada, por reflexão em relação a uma reta. ROTAÇÃO EM TORNO DE UM PONTO: constrói a figura simétrica de uma figura dada, por rotação em relação a um ponto.

ÂNGULO: mede um ângulo dados seus lados ou o vértice e um ponto em cada um de seus lados.

TRANSLAÇÃO POR UM VETOR: constrói a figura simétrica de uma figura dada, por translação em relação a um vetor.

ÂNGULO COM AMPLITUDE FIXA: constrói um ângulo dados o vértice, um ponto de um dos lados ou um dos lados e a amplitude.

HOMOTETIA: constrói ampliações ou reduções de uma figura, dados o ponto central e a razão de homotetia.

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6. a) Alfa Crucis (Magalhães), Beta Crucis

respostas

(Mimosa), Delta Crucis (Pálida), Epsilon Crucis (Intrometida) e Gama Crucis (Rubídea). b) Alfa Crucis: 359 anos-luz; Beta Crucis: 424 anos-luz; Delta Crucis: 257 anos-luz; Gama Crucis: 88 anos-luz. c) Resposta pessoal.

UNIDADE 1 Potências e raízes Atividades p. 17 e 18 1. a) 67

Atividades p. 24

c) (−2)6

5 b) 8

1. a) 7

d) (1,5)5

2. a) 162. 256 cm2.

b) 252. 625 cm2.

3. a) Sete elevado ao cubo ou sete elevado à

b) c) d) e) f)

terceira potência. 343. Dois elevado à sexta potência. 64. Dez elevado à quarta potência. 10 000. Vinte elevado ao quadrado ou vinte elevado à segunda potência. 400. 1 . Três elevado a menos cinco. 243 1 Cinco elevado a menos quatro. . 625

4. a) 103. 1 000 cm3. b) 123. 1 728 cm3. 5. a) 1a etapa: 1 triângulo preto; 2a etapa:

b) c) 6. a) b) c)

3 triângulos pretos; 3a etapa: 9 triângulos pretos; 4a etapa: 27 triângulos pretos. 30, 31, 32, 33. 34. 81 triângulos pretos. 262 144 d) 28 561 512 e) 9 261 5 764 801 f) 1 419 857

7. a) Resposta esperada: Inicialmente, Rafaela

propriedade para obter 311 = 314 _11. 3 b) • 105 •1 • 3_3 • 63

e) −2

c) 5

f) 1,4

2. 8 cm. 3. a) 2 dm. 3 dm.

b) R$ 70,10.

4. a) 9

c) 4

5. a) 6,2 m.

b) 3,9 m. 6. a) 0,4

b) 0,9 c) 1,2 d) 0,01 7. 40 cm.

Atividades p. 27 1. A:

b) Aproximadamente 5,3. c) 35 d) Aproximadamente 11,1.

2. a) 1 ? 10_12 g

b) 5,57 ? 107 km 3. a) 0,000000000006

b) 345 000

10000 cm2

6. A: 32 2 ; B: 16 2 ; C: 2 .

• Resposta pessoal. 7. a) Clara: 13 pontos; Túlio: 10 pontos.

b) Clara. c) Respostas possíveis: Acertando cada um dos três dardos na região roxa; acertando um dardo na região vermelha e dois na região amarela. Integrando com Ciências e Língua Portuguesa p. 30 e 31 1. a) Folder. Resposta esperada: A população de Salvador. b) A febre amarela é uma doença infecciosa, causada por um vírus e transmitida por mosquitos. c) Sim. “Qualquer pessoa que não estiver vacinada, independentemente da idade ou sexo, pode contrair a doença”. d) Não, a única forma de contágio é pela picada do mosquito infectado. e) Febre alta, calafrios, cansaço, dor de cabeça, dor muscular, icterícia, náuseas e vômitos. 2. a) A fêmea do mosquito introduz aproximadamente de 103 a 105 partículas virais durante a picada. b) Entre 4 ? 10_8 m a 6 ? 10_8 m. c) Resposta pessoal. O que estudei p. 32 e 33 1. Respostas pessoais.

2. Resposta pessoal.

3. I. 1,5 cm. Conceitos: Radiciação; raiz quadrada

exata de um número. II. c. Conceitos: Potenciação; potência com expoente inteiro; notação científica. III. 1 ? 103 nanômetros ou 1 000 nanômetros. Conceitos: Potenciação; potência com expoente inteiro; propriedades de potências; notação científica.

4. a) 16 representações de quadrados.

UNIDADE 2

Atividades p. 29 1. a) A: 4.

c) 230

d) 240

Atividades p. 20 e 21 b) 2 ? 10 c) 5,4 ? 107

30 ; B: 49 ; C: 70 ; D: 84 ; E: 95 .

2. a) 22

6. b: 18; d: 45; e: 44.

b) • 24; 16 bactérias. • 27; 128 bactérias. • 213; 8 192 bactérias.

d) 6

c) 4,11 m. d) 5,46 m.

5. b.

9. a) 21, 22, 23.

1. a) 1,58 ? 1011

b) 256

8. Resposta pessoal.

100 representações de quadrados. b) • Sim. • Não. Resposta pessoal.

8. 142; 196 placas de EVA.

b) 230

1 6 h) −4 g)

d) 3

b) 12

utilizou a 3a propriedade para obter

(32)7 = 32 ? 7; em seguida, ela utilizou a 2a

10. a) 220

5. a) am ? an = am + n

d) 1 ? 1012 e) 9,7 ? 10_9 f) 2,06 ? 10_6 c) 2,5 ? 10_2 cm d) 7,6 ? 10_4 mm c) 107 000 000 d) 0,00026

4. a) II.

b) 3,9 ? 1013 bactérias; 3 ? 1013 células. 5. a) 9 ? 102

b) 4 ? 10_1 c) 3,74 ? 1011 d) 8,4 ? 105

b) c) d) e) f)

B: 10. C: 2. D: 2. E: 8. F e G correspondem a um mesmo número, que pode ser qualquer número natural maior que 1.

2. a) 9

b) 6

4 7

c) 22

10 9

d) 15

3 2 1 10

e) 8

7 4

f) 13

b) 4 c) 27 d) 32 4. a)

Atividades p. 38 e 39 1. a) Meia-volta: 180°; uma volta completa: 360°.

b) 360°.

2. Ângulos complementares: DEF e GHI; ângulos ^

suplementares: ABC e JKL. 3. a) 65°.

b) Suplementares.

4. a) I. 145°; ângulo obtuso. 2 5

3. a) 7

Ângulos e simetria

II. 180°; ângulo raso. III. 90°; ângulo reto. IV. 35°; ângulo agudo. b) Resposta pessoal. 5. a) 75°.

c) 3

3 3

e) 3

f) 9

b) c) d) e)

150°. 105°. 135°. 120°.

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b) Resposta esperada: Podemos traçar um ângulo de 45° com um esquadro e, em seguida, ajustar o outro esquadro a esse ângulo com a medida de 30° e traçar uma semirreta, de maneira que o menor ângulo formado seja o de 15°, como se desejava.

4. Limite circular I. Resposta esperada: 120° e 240°.

Mãos à obra p. 63

1. a) Resposta esperada: O vértice correspondente O

Atividades p. 44 e 45 1. a) 55°.

b) 37°.

2. a) 110°.

b) 37°.

1. I e II.

4. II.

2. a) B6, C6 e D6.

6. Resposta esperada: Os alunos podem traçar

a semirreta que representa os locais onde os postes de iluminação podem ser instalados como a bissetriz do ângulo formado pelas representações das ruas, uma vez que cada ponto dessa semirreta é equidistante aos lados do ângulo. 7. Resposta esperada: Os alunos podem traçar a

mediatriz do segmento de reta AB, uma vez que cada ponto dessa reta é equidistante de A e B. Atividades p. 48 e 49 1. a) Resposta pessoal.

b) Ela fecha o olho direito, e no reflexo aparece o olho esquerdo fechado. Resposta esperada: Porque a imagem da Mônica no espelho é um reflexo dela, de maneira que a lateralidade fica invertida: direita e esquerda. Essa situação corresponde a uma ideia de simetria de reflexão. c) Braço direito. d) Resposta esperada: Para que os motoristas que estão à frente desse tipo de veículo possam ler corretamente o que está escrito quando observam pelo espelho retrovisor, facilitando sua identificação. 2. a) E; B; H; O; X; D.

b) U; M; T; H; O; X; V. c) H; O; X. 3. a. 4. a) A: 1 cm; B: 2 cm; C: 5 cm; D: 5 cm; E: 2 cm;

F: 2 cm; A’: 1 cm; B’: 2 cm; C’: 5 cm; D’: 5 cm; E’: 2 cm; F’: 2 cm. b) A e A’; B e B’; C e C’; D e D’; E e E’; F e F’. c) Resposta esperada: As distâncias são iguais. d) Resposta pessoal. Atividades p. 52 e 53 1. Alternativa b. 2. a) 270°.

b) 145°. 3. Vítor e Paula. Resposta esperada: Rotacionar

a figura original do triângulo, em relação ao ponto O, em 75° no sentido horário ou em 285° no sentido anti-horário fará com que a figura simétrica por rotação ocupe a mesma posição, uma vez que 360° − 285° = 75°.

2. Resposta pessoal.

O que estudei p. 64 e 65

Atividades p. 56 e 57

3. III. 5. Resposta pessoal.

do pentágono A’B’C’D’E’ se ajusta automaticamente. b) Resposta esperada: A posição do pentágono A’B’C’D’E’ se ajusta automaticamente. c) Resposta esperada: Nada, pois seu formato e sua posição foram mantidos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

6. a) 15°.

1. Respostas pessoais.

b) A água. Uma parte da corveta I. c) Respostas possíveis: G2; H2; I2. d) Corveta II: Translação da corveta I em 4 unidades, na direção vertical e no sentido de cima para baixo. Corveta III: Translação da corveta I em 5 unidades, na direção horizontal e no sentido da esquerda para a direita. 3. C e D. 4. a)

2. Resposta pessoal.

3. I. Simetria de rotação. Conceitos: Simetria de

b) A

A’ E’

B’

D’ E

A C’ B

A’ C D’

C’

B’

5. Resposta pessoal.

Você cidadão p. 58 e 59 1. a) Resposta esperada: Apontar algumas falhas

na acessibilidade do município de Campinas. b) Leílson Bastos e Jaqueline Silva dos Santos. Deficiência visual, eles são cegos. c) Algumas possíveis respostas: O vaivém de pessoas, não há ferramentas que auxiliem os deficientes, a bengala enrosca na canaleta, o terminal de ônibus é bagunçado e tem muita barraca. d) Resposta esperada: Significa que a rua Treze de Maio é considerada o principal local das atividades do comércio central no município de Campinas. 2. Resposta esperada: Sim, pois o ângulo dessa

mudança de direção está entre 90o e 150o. 3. Respostas pessoais.

Você conectado p. 60 a 63 Mãos à obra p. 61 1. a) Resposta esperada: Essas medidas são iguais.

b) Resposta esperada: As medidas AC e BC são alteradas ao movimentar o ponto C, porém a igualdade entre essas medidas é mantida. 2. a) Resposta esperada: Essas distâncias são

iguais. b) Resposta esperada: As distâncias entre D e AB e entre D e AC são alteradas ao movimentar o ponto D, porém a igualdade entre essas distâncias é mantida.

rotação. II. 120° e 240°; ângulo obtuso. Conceitos: Ângulos; classificação de ângulos: agudo, reto, obtuso ou raso. III. 3 cm. Conceitos: Mediatriz de um segmento de reta. IV. Resposta esperada: Com uma abertura qualquer, fixar a ponta-seca do compasso no vértice O e traçar um arco que cruza os lados do ângulo nos pontos P e Q; com uma abertura conveniente e a ponta-seca fixa em P, traçar um novo arco; usando o compasso com a mesma abertura da etapa anterior e a ponta-seca fixa em Q, traçar outro arco, cruzando aquele traçado anteriormente; no encontro dos arcos, indicar o ponto D; com a régua, traçamos OD, que divide o ângulo AOA’ em dois ângulos de 60°. Resposta esperada: Bissetriz do ângulo AOA’. 4 cm. Conceitos: Bissetriz de um ângulo; distância entre um ponto e uma reta.

UNIDADE 3 Equação, sistema de equações e inequação Atividades p. 69 1. a) R$ 20,20.

c) R$ 15,60.

b) R$ 11,40. 2. A-IV; B-III; C-I; D-II. 3. a) 9x _ 20

c) 2y _ 13x + 3

b) 2x _ 3 4. a) 6x + 10

b) BÔC: 32°; AÔB: 64°. 5. a) 2 diagonais.

b) 20 diagonais. c) 44 diagonais. d) Nenhuma diagonal. 6. a) III.

b) 432 kWh.

7. Resposta pessoal.

Atividades p. 71 e 72 1. a) Resposta esperada: A figura é formada pela

quantidade de pontos indicada pelo número correspondente, organizados de maneira que lembre um quadrado, ou seja, em que cada linha e coluna tenham a mesma quantidade de pontos.

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6. Resposta pessoal.

b) 49.

8. a) 16 km.

Atividades p. 74 e 75 1. a) x = 3

c) y = _4

b) n = 15 2. 7x _ 24 = 3x + 20

c) Não. Resposta esperada: Não existe um número natural que seja raiz quadrada de 150, ou seja, 150 não é um número quadrado perfeito. 2. a) Sequência I: 1, 5, 9, 13 e 17; Sequência II: 0,

6, 12, 18 e 24. b) Resposta esperada: A sequência I, pois ela foi definida de maneira não recursiva. 3. a) _2, _1, 2, 11, 38 e 119.

b) Resposta esperada: an = 3an _ 1 + 5 e a1 = _2. c) I. Uma resposta possível: Início. Definimos a posição n do termo. Calculamos 5n _ 1. Registramos o resultado. Fim.

3. a) Resposta esperada: Nessa equação, a

incógnita x representa a quantidade total de funcionários do setor de produção; 2x , 5 os da etapa de corte; x , os da etapa 5 de modelagem e 90, a quantidade de funcionários da etapa de costura. b) 225 funcionários. 4. a) x = 6

Multiplicamos por _1.

Registramos o resultado. Sim.

Consideramos o último termo obtido.

Não. Fim.

c) y = 14 d) n = _56 296 d) 90

657 b) 999

1 223 e) 9 900

35 99

f) 4 653 9 990

A divisão é exata?

Sim.

Não. O termo corresponde à figura . Fim.

e x = 3 e y = 2 são soluções do sistema de equações apresentado. ⎧2x + y = 7 ⎩ x + 2y = 8

6. a) ⎨

b) Pão de queijo: R$ 2,00; suco de laranja: R$ 3,00. 7. 7,5 L de tinta amarela e 12,5 L de tinta azul. 8. Resposta pessoal.

Atividades p. 86 a 88

2. P(6, 8). 3. Algumas respostas possíveis:

b) Algumas respostas possíveis: x = 7 e y = 6; x = 8 e y = 5; x = _2 e y = 15; x = 0 e y = 13. b) III e IV.

O termo corresponde . à figura

5. Resposta esperada: Ambos, pois x = 2 e y = 0,

1. a) x + y = 13

x + y = 2; 6x _ y = 33; _x + y = _8; x 2x + y = 7; _y = 4. 5 y x 6. I: + = 1; II: x _ 2y = _9; 3 3 III: _2x + y = 6.

Dividimos n por 3.

b) I. Algumas respostas possíveis: (_4, 0); (_1, 1); (2, 2); (5, 3). c) III.

Atividades p. 77 a 79

5. Algumas respostas possíveis: 2x _ y = 13;

Definimos a posição n do termo.

c) 20 meninos e 15 meninas.

4. a) II. (1, 3).

b) x = 5 e y = 12.

Início.

b) Não. Resposta esperada: A solução do sistema corresponde às coordenadas do ponto em que as retas se cruzam, ou seja, (_1, 3), nesse caso. c) x = _1 e y = 3.

9. Resposta pessoal.

b 3. 6a _ b = _9 e 5 a + =0 3 4. 7x + 4y = 2

5. Uma resposta possível:

b) IV.

2. a) x + 2y = 5 e x + y = 2.

1. a) x = _1 e y = 3.

2. a) I, II e IV. 4. c.

Atividades p. 82 e 83 1. a) II.

b) III.

Adicionamos 10.

10. Alternativa a.

3. a) II.

8 8. a) 9

Definimos a1 = 2.

b) (1, 8); (3, 6); (0, 9); (7, 2) e (6, 3). c) 6 medalhas de ouro e 3 medalhas de prata.

e) x = 1 25 f) x = c) x = 8 4 5. a) 50 _ 2x = 34; x = 8; R$ 8,00. x b) 34 + = 50; x = 32; 32 anos. 2 6 Largura: 21,5 m; comprimento: 28,5 m. b) x = 272

10 11 b) p = _9

Início.

9. a) x + y = 9

d) x = _11

7. a) x =

II. Uma resposta possível:

Calcular o próximo termo?

7x _ 24 + 24 = 3x + 20 + 24 7x _ 3x = 3x + 44 _ 3x 4x 44 = 4 4 x = 11

b) 20 min. c) • 3 + d + 0,2t = 30 • Algumas respostas possíveis: 25 km e 10 min; 24,6 km e 12 min; 24 km e 15 min; 23 km e 20 min.

7. a) 3x + 2y = 1 700; x: massa de cada pote

azul; y: massa de cada pote vermelho. b) Algumas respostas possíveis: pote azul: 400 g e pote vermelho: 250 g; pote azul: 300 g e pote vermelho: 400 g; pote azul: 500 g e pote vermelho: 100 g; pote azul: 150 g e pote vermelho: 625 g.

c) x = 4 e y = 7. d) x = 3 e y = _6.

⎧ x + y = 7 ⎧3x _ y = 5 ⎧ x _ 3y = _9 . ;⎨ ;⎨ ⎨ x _ y = _ 1 22 = 4y + 2x ⎩ ⎩ ⎩6x _ 2y = 10 4. 25 entradas inteiras e 45 meias-entradas. 5. 32 meninos e 18 meninas. 6. a) 6x e _6x.

b) Não. c) Algumas respostas possíveis: Multiplicar a primeira equação por _5, e a segunda, por 4. Multiplicar a primeira equação por _4, e a segunda, por 6. d) x = 2 e y = 1. 7. a) x = _2 e y = 5.

b) x = 1 e y = _1.

8. 80 carros e 20 motocicletas. 9. 5 representações de cubo e 6 de pirâmide de

base quadrada. 10. 8 vitórias e 4 empates. 11. Resposta pessoal. 12. 800 kg de garrafas PET e 750 kg de alumínio. 13. Pacote pequeno: 6 goiabas; pacote grande: 10

goiabas.

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Mãos à obra p. 97

14. a) Respostas pessoais.

b) • Alimento A: 5,6 mg; alimento B: 3,1 mg. • Alimento A: Fígado de boi (grelhado); alimento B: Agrião (cru). Atividades p. 91 1. a) 2b . 6

b) 2n + 3 , 10n

2. a) x < 5

b) x . 3 c) x > _3 3. a) II e IV.

c) I, II, III e IV.

b) IV. 4. a) x . 3

b) x < _1

c) x > 4 d) x . _5

e) x , _3

5. a) II.

b) x . 2 c) Resposta esperada: Sim, pois x = 4 satisfaz a inequação. Resposta esperada: Não, pois x = 1 não satisfaz a inequação. 6. a) 5x + 3 . 8; x . 1.

b) Não. Resposta esperada: De acordo com o item a, cada arquivo tem mais de 1 GB. Atividades p. 93 1. a) 16 e _16.

b) 4 e _4.

c) 9 e _9. d) 10 e _10.

2. a) 7 e _7.

b) c) d) e) f)

c) 22 m.

b) 22 e _22. 4. 9 cm. 5. Resposta pessoal.

Você cidadão p. 94 e 95 1. Resposta esperada: Esse selo indica que o

equipamento tem alto nível de eficiência energética. Assim, ao comprar um equipamento desses, gasta-se menos energia elétrica. p?t?d 2. a) 1 000 b) Televisor: 21 kWh; geladeira: 93,6 kWh; ferro de passar roupas: 16 kWh; chuveiro: 84 kWh; ar-condicionado: 60 kWh; computador: 21,6 kWh. 3. 120 W. 4. a) Resposta pessoal.

2. a) 8 e _8.

c) 7 e _7.

b) 11 e _11. O que estudei p. 98 e 99 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. Perímetro: 34x; área: 70x2. Conceitos: Expressões algébricas. II. Perímetro: 102 cm; área: 630 cm2. Conceitos: Expressões algébricas; valor numérico de uma expressão algébrica. III. 8 cm. Conceitos: Equação do 1o grau com uma incógnita; raiz de uma equação do 1o grau com uma incógnita; resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita. IV. O valor de x deve ser maior do que 12,5 cm. Conceitos: Inequação do 1o grau com uma incógnita; resolução de uma inequação do 1o grau com uma incógnita. V. 42 cm e 60 cm. Conceitos: Equação do 2o grau com uma incógnita; raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita; resolução de uma equação do 2o grau com uma incógnita.

UNIDADE 4 Proporcionalidade e porcentagem

17 e _17. 3 e _3. Não tem raiz real. 0 Não tem raiz real.

3. a) II.

1. _14

c) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal. Você conectado p. 96 e 97 Mãos à obra p. 96 1. Algumas respostas possíveis: (0, _4); (2, _1);

(4, 2). 2. a) x = 2 e y = 1.

b) x = _1 e y = 3. c) x = 1 e y = 4.

Atividades p. 104 e 105 1. a) Resposta esperada: Modelo III. b) Modelo I: 131 g/km; modelo II: 115 g/km; modelo III: 98 g/km. c) Resposta pessoal. 2. a) Resposta esperada: Linhas ativas de telefonia móvel, pois a razão entre a quantidade dessas linhas e a de habitantes era maior do que 1. b) Aproximadamente 207 701 166 habitantes. 3. a) 3, 7, 21 e 49. c) 7 e 21. b) 3 e 49. 2 4. a) 9 8 b) ; 2. 4 42 7 ; . c) 180 30

14 7 ; . d) 60 30 16 2 ; . e) 72 9 • a-e; c-d.

5. a) Deajah Stevens: 8,9 m/s; Shaunae Miller: 8,1 m/s.

b) Tori Bowie, na prova de 100 m, obteve a maior velocidade média. Shaunae Miller, na prova de 400 m, obteve a menor velocidade média. 26 32 ; ; marca B: 200 180 130 marca C: . 1 000 b) Marcas A e C. 26 ? 1 000 = 26 000; 200 ? 130 = 26 000. 48,75 ; 7. a) Sabão líquido 5 L: 5 29,25 sabão líquido 3 L: . 3 6. a) Marca A:

b) Sim. Uma resposta possível: 48,75 ? 3 = 146,25 e 5 ? 29,25 = 146,25. c) Resposta esperada: Em ambos os produtos, o preço por litro é o mesmo. Assim, em relação à razão preço por litro, nenhum produto é mais vantajoso que o outro. Atividades p. 108 1. Grandezas diretamente proporcionais: b, c;

grandezas inversamente proporcionais: d. 2. Resposta pessoal.

Atividades p. 112 e 113 1. a) • 15 g.

• 36 g. • 90 g. b) 450 mL. 2. a) 2x _ 5y = 0.

b) Algumas respostas possíveis: x = _5 e y = _2; x = 0 e y = 0; x = 1 e y = 0,4; x = 5 e y = 2; x = 6 e y = 2,4; x = 10 e y = 4. c) Reta s. 3. a) • 175 calorias.

• 420 calorias. • 1 050 calorias. b) 12 min. c) 700x _ 60y = 0 ou 70x _ 6y = 0. 4. 12,5 m de fio encerado, 250 miçangas e 50

fechos. 5. a) Resposta esperada: Essa usina está localizada

no Rio Paraná, no trecho de fronteira entre o Brasil e o Paraguai, nos municípios de Foz do Iguaçu, no Brasil, e Ciudad del Este, no Paraguai. b) 2 800 MW. c) 5 600 MW. d) 700x _ y = 0. 6. C.

7. 120 kg.

8. Resposta pessoal.

Atividades p. 116 e 117 1. R$ 40,00. 2. 12 min. 3. a) R$ 280,00.

b) 8 pessoas.

4. 24 aerogeradores. 5. 8 prestações. 6. 288 kg.

7. Alternativa c. 8. Resposta pessoal.

Atividades p. 120 e 121 1. I. 6 g.

II. 8 g.

III. 14 g. IV. 11 g.

2. Bateria: 24%; flauta transversal: 14,4%; teclado:

36%; violão: 25,6%. 3. a) Videogame: R$ 1 188,00; mochila: R$ 41,00;

televisor 50”: R$ 1 215,00. b) Videogame. c) Televisor. d) Videogame: R$ 462,00; mochila: R$ 61,50; televisor: R$ 1 485,00. 4. 25%. 5. R$ 4,76.

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6. a) R$ 141,00.

c) R$ 129,00. d) R$ 144,75.

b) R$ 142,50. 7. Resposta pessoal.

b) De 0 a 3 meses. Com 65 anos ou mais. c) Resposta pessoal. Integrando com Ciências p. 122 e 123 1. Resposta esperada: Auxiliar a formação dos

ossos e dos dentes.

3. a) DAB: 80°; BCD: 80°; ABC: 100°; CDA: 100°.

b) DAB: 54°; BCD: 54°; ABC: 126°; CDA: 126°.

Atividades p. 137 e 138

4. • 10 cm

1. a) Resposta pessoal. Incentro.

b) Resposta pessoal. Circuncentro. 2. 92°.

• BCD: 115°; ADC: 65°. 5. a) Paralelogramos: A, D, F e H. Trapézios: B, E e G.

b) A: retângulo, losango e quadrado; D: retângulo; F: paralelogramo que não pode ser classificado em retângulo, losango ou quadrado; H: losango. c) Uma resposta possível:

3. Resposta esperada: Considerando o canteiro

2. 1 300 mg.

como uma figura de triângulo, o irrigador deve ser instalado no incentro, uma vez que esse ponto notável é equidistante aos lados do triângulo.

3. 3 290 mg. 4. 20,5%. 5. Resposta pessoal.

4. (_2, 0).

6. Resposta pessoal.

5. a) Mediatrizes do triângulo.

Você conectado p. 124 e 125 Mãos à obra p. 125 1. Norte: 8,1%; Nordeste: 32,2%; Sudeste: 29,9%;

Centro-Oeste: 8,4%; Sul: 21,4%. Resposta pessoal. O que estudei p. 126 e 127 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. 375 mL. Conceitos: Proporção; propriedade

fundamental das proporções; grandezas diretamente proporcionais. II. 1 600 mL. Conceitos: Razão; porcentagem. III. 6,25 mL/min. Conceitos: Razão. IV. Seria reduzido à metade. Conceitos: Grandezas inversamente proporcionais.

UNIDADE 5 Polígonos e círculo Atividades p. 131 1. a) Resposta pessoal. Resposta esperada: O

maior lado é oposto ao maior ângulo interno. b) Resposta pessoal. Resposta esperada: O menor lado é oposto ao menor ângulo interno. • Resposta pessoal. 3. 7 m.

b) Resposta esperada: Sim, pois possui um par de ângulos internos retos: HEF e AHE. c) 68 cm. Resposta esperada: Retângulo.

9. a) Sim, pelo caso de congruência LAL, pois BC é

ˆ 9 DCB ˆ e AC 9 DC. um lado comum, ACB b) 110°.

8. a) Resposta pessoal.

2. 45°. 135°.

8. Triângulos DEF e GHI.

4. II e III.

Atividades p. 134 e 135 1. a e e; b e f; c e d. 2. Respostas pessoais. 3. C e E; B e F; D e H. 4. a) x = 8 cm; y = 100°; z = 50°; w = 5 cm.

b) x = 135°; y = 7 cm; z = 5 cm; k = 6 cm; w = 110°; p = 120°. 5. Resposta esperada: Medindo um lado de cada

um deles. Se essas medidas forem iguais, os quadrados são congruentes. ˆ 9 EDF ˆ e ABC ˆ 9 DEF. ˆ 6. a) LAAo, pois AC 9 DF, ACB b) LLL, pois AB 9 DE, BC 9 EF e AC 9 DF. ˆ 9 DEF ˆ e AC 9 ED. c) LAL, pois AB 9 EF, BAC ˆ 9 DEF, ˆ AB 9 DE e ABC ˆ 9 EDF. ˆ d) ALA, pois BAC 7. a e d.

b) Resposta pessoal. c) • Triângulo acutângulo. • Triângulo obtusângulo. • Triângulo retângulo. Resposta esperada: No triângulo retângulo, o circuncentro está localizado sobre um de seus lados; no acutângulo, o circuncentro está localizado na região interna ao triângulo; no obtusângulo, o circuncentro está localizado na região externa ao triângulo. Atividades p. 141 1. a) Ortocentro.

b) Incentro.

Início.

Sim. É um trapézio isósceles.

Não. Tem um ângulo interno reto?

Fim.

Sim. É um trapézio retângulo.

B: trapézio isósceles; E: trapézio escaleno; G: trapézio escaleno e trapézio retângulo. Atividades p. 156 e 157

c) Circuncentro. d) Baricentro.

1. a) Raio.

2. a) Resposta pessoal.

• Baricentro. b) Resposta pessoal. • Ortocentro. 3. 70°. 4. 50°.

Não. Os lados É um não trapézio paralelos têm escaleno. medidas iguais?

2. 5. 13,48 cm.

Atividades p. 146 a 148 1. 540 cm. 2. 7,5 cm. 3. a) I: 35 diagonais; II: 44 diagonais; III: 27 diagonais. b) I: 1 440°; II: 1 620°; III: 1 260°. 4. a) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. b) 360°. • Sim. 5. Octógono. 6. a) 7 maneiras. b) 35 maneiras. 7. 68°. 8. Alternativa a. 9. a) 150°. b) 60°. 10. Respostas pessoais. 11. Eneágono. 12. a) Resposta esperada: Essas medidas são iguais. b) Resposta pessoal. Resposta esperada: Sim. Atividades p. 152 e 153 1. a) AB = CD = 12 cm; BC = AD = 24 cm.

b) 12 cm. 2. a) Resposta esperada: Não, pois os ângulos

internos de cada base não são congruentes entre si.

3. 4. 5.

f) Raio. b) Diâmetro; corda. g) Corda. c) Corda. h) Raio. d) Diâmetro; corda. e) Raio. i) Raio. a) Jogadores A e B. b) Jogadores C e E. c) Jogador D. a) 31,4 cm. b) Resposta pessoal. Alternativa b. a) 216,66 cm. b) Resposta esperada: Não, pois quatro voltas completas correspondem ao deslocamento aproximado de 8,67 m.

Você cidadão p. 158 e 159 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. Porque é usada de forma

pejorativa, desvalorizando as expressões culturais desses povos. 3. Algumas respostas possíveis: Polígonos; triângulos; quadriláteros. 4. Resposta esperada: Espinha de peixe. Resposta pessoal. 5. Resposta pessoal. Você conectado p. 160 e 161 Mãos à obra p. 161 1. a) Resposta esperada: Porque, no octógono

regular, os oito ângulos internos têm a mesma medida e soma igual a 1 080° (1 080°: 8 = 135°) b) 20 cm. 2. Respostas pessoais.

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8 4:10 PM

O que estudei p. 162 e 163 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. Incentro. Conceitos: Bissetrizes e incentro do triângulo; o círculo e a circunferência. II. Sim. Uma resposta possível: Esses triângulos possuem os três lados respectivamente congruentes (caso LLL). Conceitos: Triângulos; congruência de figuras; casos de congruência de triângulos. III. Resposta esperada: Trapézio isósceles. Conceitos: Polígonos; quadriláteros; trapézio; classificação de um trapézio. IV. Aproximadamente 7,8 cm. Conceitos: O círculo e a circunferência; comprimento da circunferência. V. 4 cm. Conceitos: Triângulo; alturas e ortocentro do triângulo.

UNIDADE 6 Área de figuras planas c) 180 cm2. d) 160 cm2.

1. a) 38,465 cm2.

Estatística e probabilidade

b) 113,04 cm2. 2. 5 cm.

Atividades p. 192 a 195

3. Resposta pessoal.

1. a) Resposta esperada: Conscientizar as pessoas

4. a) 61,4 cm2. 5. a) 70 cm.

b) 42 cm. c) 5 615,26 cm2. 6. Alternativa a. 7. 14 624 m2. 8. a) A palavra geometria tem origem em duas

palavras gregas: geo (Terra) e metria (medida), ou seja, “medida da Terra”. b) • 63,585 cm2. • 64 cm2. c) Menor que 1 cm2. d) A =

⎛ ⎜8 ⎝9

b) 38 651 mortes. c) Gráfico de barras. Resposta esperada: O gráfico de barras facilita visualmente a comparação entre a quantidade de mortes em cada região do Brasil. d) Resposta esperada: Gráfico de colunas ou gráfico de setores.

• a) 38,716 cm2; 0,251 cm2. b) 113,778 cm2; 0,738 cm2. Integrando com Arte p. 182 e 183

3. 24,5 cm2.

1. Algumas respostas possíveis: Câmera fotográfica

digital, tablet, webcam.

3. a) Uma resposta possível: Porcentagem aproximada de tributos em alguns produtos da cesta básica

2. Respostas esperadas: Em linhas e colunas.

5. 2 338,875 g. 6. a) 100 cm2.

2. a) Sudeste. Norte.

⎛2 d⎜⎝

2. 22,5 cm2. 4. 4 cm.

sobre a importância de avisar a família quando se deseja ser um doador de órgãos. b) • 2016. • Resposta pessoal. • 14 641 transplantes. c) Resposta esperada: Infográfico I _ gráfico de colunas ou de barras; infográfico II _ gráfico de segmentos, de colunas ou de barras; infográfico III _ gráfico de setores, de colunas ou de barras. Resposta pessoal.

b) 34,2 cm2.

b) 132 cm2.

7. 234,72 mL. 8. a) 25 cm2.

b) Resposta esperada: Trapézio retângulo; 9,375 cm2. 9. Resposta pessoal.

Quanto maior a quantidade de pixels, maior a resolução da imagem. III: 2,4 megapixels. b) I: 1:1; II: 4:3; III: 16:9. Você conectado p. 184 e 185

11. Alternativa e.

Mãos à obra p. 185

12. 4 096 cm . 13. a) 14 m.

b) 350 m2. 14. a) 81 cm2. b) 306 cm2. Atividades p. 175 e 176 1. a) 8 cm2. c) 15,6 cm2. b) 12 cm2. d) 13,5 cm2. 2. a) 16 cm2. b) I: 4 cm2; II: 4 cm2; III: 1 cm2; V: 1 cm2; VII: 2 cm2. c) Figura A: 2 cm2. Figura B: 4 cm2. Figura C: 8 cm2. Figura D: 8 cm2. 3. 25 cm2. 4. Resposta esperada: Temos que os triângulos ABC, ABD, ABE e ABF possuem AB como lado comum. Além disso, as alturas desses triângulos em relação ao lado AB têm medidas iguais, pois r e s são retas paralelas. Portanto, esses triângulos têm áreas iguais. 5. a) 600 cm2. b) x = 50 cm; y = 20 cm. 6. 8 m. 7. 3,46 cm2. 2 8. a) 84 cm . b) 70,2 cm2. c) 120 cm2. 9. Resposta pessoal.

3. a) I: 3,7 megapixels; II: 3,1 megapixels;

10. 266 cm2. 2

Porcentagem

Atividades p. 170 a 172 1. a) 450 cm2. b) 315 cm2.

UNIDADE 7

Atividades p. 180 e 181

40 31%

30 20

24%

17%

1. Respostas pessoais. 2. Aproximadamente 9,97%. Aproximadamente

6,45%.

jão

Fei

3. Resposta esperada: A porcentagem diminui à

medida que se aumenta a quantidade de lados do polígono regular circunscrito, ou seja, quanto mais lados tem o polígono, mais sua área se aproxima da área do círculo. O que aprendi p. 186 e 187 1. Respostas pessoais.

23%

2. Resposta pessoal.

3. I. 25 m2. Conceitos: Área de quadriláteros:

retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. II. Mais de 1 600 m2. Conceitos: Área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. III. 9 m3 de areia. Conceitos: Área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. IV. 75 m2. Algumas respostas possíveis: Paralelogramo com 15 m de base e 5 m de altura; paralelogramo com 20 m de base e 3,75 m de altura; paralelogramo com 25 m de base e 3 m de altura. Conceitos: Área do triângulo; área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. V. 78 m2. Conceitos: Área do círculo.

r eo rne roz çúca Ca vina Ól soja Ar A o e b d

fé

Produto

Fonte: QUANTO pagamos de impostos?. G1. Disponível em: ,http://especiais.g1.globo.com/economia/2015/quantopagamos-de-impostos/>. Acesso em: 20 jun. 2018.

b) Resposta pessoal. 4. Alternativa d. 5. a) Nordeste. Setor alaranjado.

b) 49 026 indígenas matriculados. Tabela. c) Azul: 26%; alaranjado: 39,5%; cinza: 21,8%; amarelo: 4,8%; vermelho: 7,9%. d) Aproximadamente 0,61%. Resposta pessoal. Atividades p. 199 a 202 1. a) Cíntia.

b) Cíntia: 611,2; Sandro: 630,5. Sandro. c) Sim. 2. A: Média: 67; moda: 76; mediana: 68. B: Média:

81,2; moda: 78 e 86; mediana: 80. C: Média: 73,5; moda: 84; mediana: 80. D: Média: 52; moda: 50; mediana: 50. E: Média: 52; moda: 45; mediana: 49,5. • d e e. b e c.

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3. a) Média: 24 °C; moda: 21 °C; mediana: 25 °C.

b) 8 °C. c) Domingo, segunda-feira, terça-feira e quarta-feira. 4. 11 m3; 3 m3. 5. Alternativa c. 6. a) Quantidade de visitantes brasileiros em cada

c) d) e)

mês do 2o semestre de 2017. Quantidade de visitantes estrangeiros em cada mês do 2o semestre de 2017. Resposta esperada: Não, pois no mês de agosto a quantidade de visitantes estrangeiros foi maior do que a de brasileiros. 163 189 visitantes. 59 500 visitantes brasileiros. 40 512 visitantes estrangeiros. • Média: 71 867 visitantes; mediana: 69 630,5 visitantes. • Média: 93 192 visitantes; mediana: 91 195 visitantes.

7. Gael. 8. a) Resposta esperada: Da produção de ovos no

Brasil nos meses de cada trimestre de 2017. b) Fevereiro. Junho. c) Outubro. 288 326 mil dúzias de ovos. d) 1o trimestre: 263 515 mil dúzias de ovos; 2o trimestre: 273 466 mil dúzias de ovos; 3o trimestre: 281 303 mil dúzias de ovos; 4o trimestre: 286 069 mil dúzias de ovos. • 4o trimestre. 9. a) Eliana.

b) Média: 155,8 cm; moda: 157 cm; mediana: 157 cm. c) A média aumentou e a moda e a mediana permaneceram as mesmas. • Média: 156,4 cm; moda: 157 cm; mediana: 157 cm. 10. Alternativa b.

Atividades p. 205

2. Pesquisa censitária: III; pesquisa por amostra: I,

b) Visitantes da feira cultural Dia da semana

Frequência Frequência Frequência Frequência acumulada acumulada relativa (f) relativa (fa) (fr) (far) 216

216

20%

Terça-feira

135

351

12,50%

32,50%

1 1 2 1 3 ; soma 3: ou ; ou ; soma 4: 36 36 12 36 18

Quarta-feira

324

675

30%

62,50%

soma 5:

Quinta-feira

162

837

15%

77,50%

Sexta-feira

1 5 4 1 ; soma 8: ; soma 9: ou ; soma 10: 6 9 36 36

243

1 080

22,50%

100%

Total

1 080

3 1 2 1 1 ou ; soma 11: ou ; soma 12: . 36 12 36 18 36 b) 1 c) • Maurício; Alan. • Laís.

100% Fonte: Diretoria da escola.

c) Resposta pessoal. 1. a) 0 ¿ 250.

b) 63 municípios. c) • Aproximadamente 2,7%. • 92%. d) Resposta esperada: Não, pois nessa tabela de distribuição de frequências os dados estão agrupados em intervalos de classe, não apresentando a extensão territorial de cada município. 2. a) Concentração da vitamina D em pessoas adultas NanograFrequência Frequência Frequência ma por Frequência acumulada acumulada relativa mililitro (f) relativa (fa) (fr) (ng/mL) (far) 0 ¿ 20

• Sabrina. • Cássio. 1 2 ? ? 0. b) 3 3 c) 1 1 2 • •1 30 5 b) Menina, pois a probabilidade de sortear o nome de uma menina é maior do que a

3. a) •

de sortear o nome de um menino, ou seja, 3 2 . . 5 5 4. a) 35, 42, 11, 23 ou 44. b) 24 números. c) 1 11 1 21

36,67%

53,33%

90%

40 ¿ 60

10%

100%

Total

100%

Atividades p. 214 e 215

1. a) Resposta esperada: Verificar quantos livros

Funcionários da empresa Frequência Frequência Frequência Cargo de Frequência acumulada acumulada relativa atendente (f) relativa (fa) (fr) (far) 50% 30% 20% 100%

36,67%

20 ¿ 40

2. a) 30 atendentes.

50% 80% 100%

Fonte: Departamento de recursos humanos da empresa.

b) c) d)

c) 24 atendentes. 80%. 3. a) Segunda-feira: 216 visitantes; terça-feira:

135 visitantes; quarta-feira: 324 visitantes; quinta-feira: 162 visitantes; sexta-feira: 243 visitantes.

e) f)

4 1 5 6 ou ; soma 6: ; soma 7: ou 36 9 36 36

2. a) • Cássio.

Atividades p. 208

b) • 12 pessoas. • 40%. c) Resposta pessoal.

15 24 30

Atividades p. 218 e 219 1. a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12. Soma 2:

Segunda-feira

b) 15%. c) 48 alunos. d) 90%.

15 9 6 30

3. Resposta pessoal.

Fonte: Pesquisadores da universidade.

1. a) Nível básico. Nível avançado.

Júnior Pleno Sênior Total

II e IV. I: sistemática; II: estratificada; IV: casual simples.

inteiros cada aluno leu, em média, durante o ano para identificar a melhor ação a ser realizada para o incentivo à leitura dos alunos no ano letivo seguinte. Por amostra. Resposta esperada: A escola possui uma grande quantidade de alunos. 60 alunos. Gráfico de colunas: frequência; gráfico de setores: frequência relativa. Menor. Ações II e III, pois a pesquisa apontou que, em média, cada aluno leu 1,6 livro inteiro durante o ano (1,6 < 4 e 1,6 , 2).

12 1 ou . 24 2 12 1 ou . • 24 2

d) •

•1 5. a)

Votação para a escolha do tema da pesquisa Tema

Quantidade de votos

Povos indígenas

Diversidade ambiental

Fontes e tipos de energia

Recursos hídricos

5 Fonte: Alunos do 8o ano.

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8 2 ou . 20 5 5 1 ou . • 20 4 2 1 ou . • 20 10 c) Resposta esperada: Não, pois, para obter 1, devemos adicionar as probabilidades de todas as possíveis ocorrências. Nesse caso, faltaria adicionar a probabilidade de o tema sorteado ser “Recursos hídricos” b) •

1⎞ ⎞5 ⎟⎠ ou ⎟⎠ . 20 4

8. Aproximadamente 42,19 kg.

Medidas de volume e de capacidade Atividades p. 230 e 231 1. a) 4

b) 15 c) 2,8

d) 120 e) 37,6 f) 700

2. 15 L. 3. 2 300 mL. 4. 160 min. 5. a) 200 L.

b) 8 m3.

6. a) Uma resposta possível: Encher o recipiente

6. Resposta pessoal.

Integrando com Geografia e História p. 220 e 221 1. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

2. Resposta esperada: Neste trecho, o escritor

relata a contribuição de seu avô em sua aceitação e valorização da cultura de seu povo, corroborando com as informações apresentadas no texto, onde é destacada a importância do papel das pessoas idosas. 3. Resposta pessoal.

Você conectado p. 222 e 223 Mãos à obra p. 223 1. a) Cláudia. Catarina.

b) Média. c) • Nenhum. • 8 funcionários. • 4 funcionários. 2. Média: R$ 1 516,00; moda: R$ 1 300,00;

mediana: R$ 1 450,00. Resposta pessoal. O que estudei p. 224 e 225 1. Respostas pessoais.

UNIDADE 8

2. Resposta pessoal.

3. I. 16 alunos. Conceitos: Tabela simples;

medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana. II. 32 alunos. Conceitos: Tabela simples, gráfico de setores. III. Resposta esperada: Gráfico de colunas ou gráfico de barras. Conceitos: Gráfico de colunas; gráfico de barras; tabela simples. IV. Resposta esperada: Distribuição de frequência e intervalo de classes. Conceitos: Distribuição de frequência; intervalo de classes. V. Resposta esperada: Azul, pois há mais alunos matriculados nessa faixa do que nas demais. Conceitos: Probabilidade; tabela simples.

grande e despejar a água no recipiente pequeno. No recipiente grande vai sobrar 400 mL de água. b) Uma resposta possível: Encher o recipiente pequeno e despejar a água no recipiente grande. Encher novamente o recipiente pequeno e despejar a água no recipiente grande. Encher o recipiente pequeno. No recipiente grande há 600 mL de água, enquanto no recipiente pequeno há 300 mL de água, totalizando 900 mL de água. c) Uma resposta possível: Encher o recipiente grande e despejar a água no recipiente pequeno. No recipiente grande vão sobrar 400 mL de água. Descartar a água do recipiente pequeno e enchê-lo novamente com água do recipiente grande. No recipiente grande vão sobrar 100 mL. Descartar a água do recipiente pequeno e despejar nele o restante da água do recipiente grande. Encher o recipiente grande. No recipiente grande há 700 mL de água, enquanto no recipiente pequeno há 100 mL, totalizando 800 mL de água. 7. a) • 4,320 m3.

c) 4 250 L.

Atividades p. 234 e 235 c) 2 560 cm3.

b) 810 cm3. 2. 300 cm3. 3. Algumas respostas possíveis:

4 dm x 3 dm x 2,5 dm; 6 dm x 2 dm x 2,5 dm; 5 dm x 2 dm x 3 dm. 4. 198 000 cm3. 5. 25 h. 6. 8 cm. 7. Resposta pessoal.

Atividades p. 238 e 239 1. a) 1 130,4 cm3.

c) 1 413 cm3.

b) 753,6 cm . 3

2. Silo I. 4,71 m3. 3. 7 copos. 4. Resposta pessoal. 5. a) 6 280 L.

b) 785 L. 6. Alternativa b. 7. a) 452,16 cm3.

b) Resposta pessoal. 8. Resposta pessoal.

Integrando com Ciências p. 240 e 241 1. Respostas pessoais. 2. Alternativa c. 3. a) Resposta esperada: Não, pois, com exceção

de 2014, os demais anos indicam que o consumo per capita de refrigerantes diminuiu em relação ao ano anterior. b) 200 latas de 350 mL. 7,4 kg. O que estudei p. 242 e 243

b) 50 pessoas. 1. a) 525 cm3.

b) Não. Sim. c) I: bloco retangular: 216 mL; embalagem: 200 mL. II: bloco retangular: 216 mL; embalagem: 200 mL. Não. Algumas respostas possíveis: As medições realizadas por Eleonora para a representação dos modelos matemáticos não foram precisas. As medições realizadas por Eleonora para a representação dos modelos matemáticos correspondem à parte externa das caixinhas. A quantidade de água de coco em cada caixinha não ocupa todo o espaço interno. d) Resposta pessoal.

4. Resposta pessoal.

• 2,520 m3. b) 1,8 m3. 21,9 m3. 8. a) 5 doses.

9. a) I: 216 cm3; II: 216 cm3.

1. Respostas pessoais.

2. Resposta pessoal.

3. I. 5,328 L. Conceitos: Medidas de volume;

medidas de capacidade; volume do bloco retangular e volume do cubo. II. Resposta esperada: Sim, pois a assadeira cilíndrica tem capacidade para aproximadamente 1 570 mL. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade; volume do cilindro. III. Assadeira cilíndrica. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade. IV. Algumas possíveis respostas: 18 cm de diâmetro e 5 cm de altura; 20 cm de diâmetro e 4 cm de altura. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade; volume do cilindro.

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Referências bibliográficas ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012. AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Psicologia educacional. Tradução: Eva Nick et al. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980. BORBA, M. de C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática). BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da Matemática. Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012. BROUSSEAU, G. Introdução ao estudo das situações didáticas: conteúdos e métodos de ensino. São Paulo: Ática, 2008. CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva, 2012. COLL, C.; TEBEROSKY, A. Aprendendo Matemática. São Paulo: Ática, 2000. D’AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. 23. ed. Campinas: Papirus, 2017. EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. FAINGUELERNT, E. K.; NUNES, K. R. A. Fazendo arte com a Matemática. 2. ed. Porto Alegre: Penso, 2015. FERREIRA, M. K. L. Ideias matemáticas de povos culturalmente distintos. São Paulo: Global, 2002. (Antropologia e Educação). FERREIRA, M. K. L. Madikauku: os dez dedos das mãos – Matemática e povos indígenas no Brasil. Brasília: MEC, 1998. FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 43. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2011. IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução: Alberto Muñoz; Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. 2 v. KAMII, C.; DECLARK, G. Reinventando a Aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1996. LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Org.). Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e proposições. 22. ed. São Paulo: Cortez, 2011.

MORAIS FILHO, D. C. de. Manual de redação matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2018. MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. NEVES, I. C. B. et al. Ler e escrever: compromisso de todas as áreas. 9. ed. Porto Alegre: Ed. da UFRGS, 2011. NUNES, T. et al. Educação matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2007. OLIVEIRA, V. B. de. Jogos de regras e a resolução de problemas. 4. ed. Petrópolis: Vozes, 2010. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. de C. (Org.). Educação matemática: pesquisa em movimento. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2012. PAIS, L. C. Educação escolar e as tecnologias da informática. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Trajetória). PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2001. POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática). SOUZA, E. R. de et al. A Matemática das sete peças do tangram. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2008. (Ensino Fundamental). TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Teoria e prática de Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2010. TOMAZ, V. S.; DAVID, M. M. M. S. Interdisciplinaridade e aprendizagem da Matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2012. (Tendências em Educação Matemática).

Documentos oficiais BRASIL. Ministério da Educação. Base nacional comum curricular: educação é a base. Brasília, 2017. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/ uploads/2018/06/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site. pdf>. Acesso em: 3 jul. 2018.

MACHADO, N. J. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação mútua. 6. ed. São Paulo: Cortez, 2001.

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes curriculares nacionais gerais da educação básica. Brasília: SEB: Dicei, 2013.

MONTEIRO, A.; POMPEU JUNIOR, G. A Matemática e os temas transversais. São Paulo: Moderna, 2001.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: SEF, 1997.

256

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11/14/18 11:28 AM

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RESOLUÇÕES Unidade 1

seguida, ela utilizou a 2a propriedade para obter 314 = 314 _ 11 311

Potências e raízes Atividades – p. 17 e 18

b) • 2_2 ? 55 ? 27 = 2_2 ? 27 ? 55 = = 2_2 + 7 ? 55 = 25 ? 55 = = (2 ? 5)5 = 105

1. a) 67 5 4 b) [ ] 8 c) (_2)6

82 ? 36 (23)2 ? 36 • = = 66 66

d) (1,5)5 2

b) 252 = 625, ou seja, 625 cm2. 3. a) Sete elevado ao cubo ou sete elevado à terceira potência. 343. b) Dois elevado à sexta potência. 64. c) Dez elevado à quarta potência. 10 000. d) Vinte elevado ao quadrado ou vinte elevado à segunda potência. 400. e) Três elevado a menos cinco.

26 ? 36 (2 ? 3)6 66 = = =1 66 66 66

2. a) 16 = 256, ou seja, 256 cm . 2

•

123 123 123 = 3 3 = = 6 6 6 ?6 (6 ? 6)3

12 3 1 3 ] = [ ] = 3_3 6?6 3 36 ? 43 • (36 ? 43) : 63 = = 63 36 ? (22)3 36 ? 26 = = 3 3 = 3 (2 ? 3) 2 ?3

= 23 ? 33 = (2 ? 3)3 = 63 1 . 243

f) Cinco elevado a menos quatro. 1 . 625 3

b) 123 = 1 728, ou seja, 1 728 cm3. 5. a) 1a etapa: 1 triângulo preto; 2a etapa: 3 triângulos pretos; 3a etapa: 9 triângulos pretos; 4a etapa: 27 triângulos pretos. b) 30, 31, 32, 33 c) 34 = 81 Resposta: 81 triângulos pretos. 6. a) 262 144 b) 512 c) 5 764 801 d) 28 561 e) 9 261 f) 1 419 857 7. a) Resposta esperada: Inicialmente, Rafaela utilizou a 3a propriedade para obter (32)7 = 32 ? 7; em

f) 2,06 ? 10_6 2. a) b) c) d)

1 ? 10_12 g 5,57 ? 107 km 2,5 ? 10_2 cm 7,6 ? 10_4 mm

3. a) b) c) d)

0,000000000006 345 000 107 000 000 0,00026

4. a) II. b) 39 trilhões de bactérias: 3,9 ? 1013 bactérias; 30 trilhões de células: 3 ? 1013 células. 5. a) 2,25 ? 10 −3 ? 4 ? 105 = = 2,25 ? 4 ? 10 −3 ? 105 = = 9 ? 10_3 + 5 = 9 ? 102 b)

8. 142 = 196 Resposta: 196 placas de EVA.

• 18 h: 2 = 8 192 Resposta: 8 192 bactérias. 13

10. a) 1 GB = 2 MB = 2 ? 2 kB = = 220 kB 10

b) 1 TB = 210 GB = 210 ? 210 MB = = 210 ? 210 ? 210 kB = 230 kB c) 1 GB = 210 MB = 210 ? 210 kB = = 210 ? 210 ? 210 B = 230 B d) 1 TB = 210 GB = 210 ? 210 MB = = 210 ? 210 ? 210 kB = = 210 ? 210 ? 210 ? 210 B = 240 B

Atividades – p. 20 e 21 1. a) 1,58 ? 10

b) 2 ? 10_8 c) 5,4 ? 107 d) 1 ? 1012

= 4 ? 107 _ 8 = 4 ? 10_1

• 15 h: 27 = 128 Resposta: 128 bactérias.

8,4 ? 107 8,4 107 ? = = 2,1 ? 108 2,1 108

c) 6,8 ? 106 ? 5,5 ? 104 = = 6,8 ? 5,5 ? 106 + 4 = = 37,4 ? 1010 = 3,74 ? 1011

9. a) 21, 22, 23. b) • 13h30: 24 = 16 Resposta: 16 bactérias.

4. a) 10 = 1 000, ou seja, 1 000 cm . 3

e) 9,7 ? 10_9

2,94 ? 109 2,94 109 ? = = 3 3,5 ? 10 3,5 103 = 0,84 ? 109 _ 3 = 0,84 ? 106 = = 8,4 ? 105

6. a) Alfa Crucis (Magalhães), Beta Crucis (Mimosa), Delta Crucis (Pálida), Epsilon Crucis (Intrometida) e Gama Crucis (Rubídea). b) Alfa Crucis: 3,4 ? 1015 3,4 1015 ? = 1 12 9,46 ? 10 9,46 1012 1 0,359 ? 1015 _ 12 = 0,359 ? 103 = = 359 Resposta: 359 anos-luz. Beta Crucis: 4,01 ? 1015 4,01 1015 ? = 1 9,46 ? 1012 9,46 1012 1 0,424 ? 1015 _ 12 = 0,424 ? 103 = = 424 Resposta: 424 anos-luz.

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Delta Crucis:

2,43 ? 1015 2,43 1015 ? = 1 9,46 ? 1012 9,46 1012 1 0,257 ? 1015 _ 12 = 0,257 ? 103 = = 257

15,21 = 3,9 Resposta: 3,9 m.

16,8921 = 4,11 Resposta: 4,11 m.

Resposta: 257 anos-luz. Gama Crucis:

29,8116 = 5,46 Resposta: 5,46 m.

8,33 ? 10 8,33 10 ? = 1 12 9,46 ? 10 9,46 1012 1 0,88 ? 1014 _ 12 = 0,88 ? 102 = = 88 Resposta: 88 anos-luz.

49 = 72 = 7 144 = 122 = 12

125 = 5

81 = 3

_32 = (2) = _2 5

1,96 = (1,4)2 = 1,4

1 1 = 36 6

_64 = _4

2. Seja L a medida do lado do quadrado de 64 cm2 de área. Assim: A = L2. L= A L = 64 L = (8)2 cm2 L = 8 cm. 3. a) Aquário menor: 3 8 L = 8 dm³; 8 = 2 Aquário maior: 3 27 L = 27 dm³; 27 = 3 Resposta: 2 dm; 3 dm. b) 100 _ 29,90 = 70,10 Resposta: R$ 70,10. 4. a)

16 = 100

0,16 =

6. a)

Atividades – p. 24

D: 84 e E: 95 2. a) 22 b) Aproximadamente 5,3.

c) Resposta pessoal.

1. a)

Resposta: A: 30 ; B: 49 ; C: 70 ;

4 = 0,4 10

4 2 [ ] = 10

d) Aproximadamente 11,1.

0,81 =

9 81 = 0,9 = 100 10

1,44 =

12 144 = 1,2 = 100 10

0,0001 =

c) 35

3. 8,0622577 ? 8,0622577 1 65. Portanto, Tiago deve ter digitado o número 65 e, em seguida, a tecla .

1 1 = 0,01 = 10 000 100

7. Os lados dos quadrados de áreas iguais a 25 cm2, 16 cm2, 9 cm2, 4 cm2 e 1 cm2 medem, respectivamente, 5 cm, 4 cm, 3 cm, 2 cm e 1 cm. Assim: 5

1 1 1

2 3 4

1 1 1 1

EDITORIA DE ARTE

Como 95 . 84 , temos que 95 corresponde ao ponto E e 84 , ao ponto D.

Perímetro: 5 + 5 + 5 + 1 + 4 + +1+3+1+2+1+1+1+ + 1 + 2 + 3 + 4 = 40 Resposta: 40 cm.

Atividades – p. 27 1. •

64 , 70 , 81

Logo, 8 , 70 , 9. Assim, 70 corresponde ao ponto C. •

49 = 7

Assim, 49 corresponde ao ponto B. •

b) Sim, pois como 225 = 15, temos que existe uma figura nessa sequência composta de 225 representações de quadrados. • Não, pois como 220 não é exata, temos que não existe uma figura nessa sequência composta de exatamente 220 representações desses quadrados. 5. Seja L a medida do lado do quadrado. Assim: L = 52 cm, ou seja, aproximadamente 7,2 cm. Como AC = AB + BC e AB 1 7,2 cm, então BC 1 1 20 _ 7,2 = 12,8. Resposta: Alternativa b. 6. a) b)

588 = 22 ? 3 ? 72 324 = 22 ? 32 ? 32 = = (2 ? 3 ? 3)2 = 182 = 18

25 , 30 , 36

81 = 92 = 9

Logo, 5 , 30 , 6.

1 800 = 22 ? 2 ? 32 ? 52

2 025 = 32 ? 32 ? 52 =

256 = 4

Assim, 30 corresponde ao ponto A.

10 000 = 10

•

216 = 6

Logo, 9 , 95 , 10.

5. a)

4. a) 42 = 16; 102 = 100 Resposta: 16 representações de quadrados; 100 representações de quadrados.

38,44 = 6,2 Resposta: 6,2 m.

•

= (3 ? 3 ? 5)2 = 452 = 45

81 , 95 , 100

81 , 84 , 100

Logo, 9 , 84 , 10.

1 936 = 22 ? 22 ? 112 = = (2 ? 2 ? 11)2 = 442 = 44

Resposta: b: 18; d: 45; e: 44.

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11/17/18 4:53 PM

Atividades – p. 29

1. a) A: 4

= [2 16 ] 2 H A = 2 32 = 32 2

b) B: 10

1 2

C = ( 2 ) H C = [2 4 ] H C = 4

c) C: 2

= [2 2 ] H C = 2

d) D: 2 e) E: 8 f) F e G correspondem a um mesmo número, que pode ser qualquer número natural maior do que 1. 4

7. Primeiro, vamos determinar os valores das pontuações: 1

• 83 = 8 = 2 1

• 81 4 = 81 = 3 2

2. a) 9 7

• 32 5 = 1 024 = 4

b) 6 9

• 4 2 = 64 = 8

a) Clara: 13 pontos (3 + 8 + 2 = 13); Túlio: 10 pontos (3 + 3 + 4 = 10).

c) 22 2 1

d) 15 10 e) 8

A2 = 16 2 H A2 = 2 16 H (A2) 2 =

b) Clara.

7 4

c) Respostas possíveis: Acertando cada um dos três dardos na região roxa; acertando um dardo na região vermelha e dois na região amarela.

f) 13 5 1 2

3. a) 49 = 49 = 7 2 3

8. Resposta pessoal.

b) 8 = 82= 64 = 4

Integrando com Ciências e Língua Portuguesa – p. 30 e 31

3 2

c) 9 = 93 = 729 = 27 5

d) 4 2 = 45 = 1 024 = 32 5 3

1. a) Folder. Resposta esperada: A população de Salvador.

4. a) 3 = 35 7 3 6

7 2

b) A febre amarela é uma doença infecciosa, causada por um vírus e transmitida por mosquitos.

b) [3 ] = 3 = 3

c) Sim. “Qualquer pessoa que não estiver vacinada, independentemente da idade ou sexo, pode contrair a doença”.

c) 9 2 = 9 = 3 3 2

6 15

d) [3 ] = 3 30 = 3 5 = 33 2

e) (93) 9 = 9 9 = 9 3 = 92 8 7

7 4

f) [3 ] = 3

56 28

d) Não, a única forma de contágio é pela picada do mosquito infectado.

=3 =9 2

e) Febre alta, calafrios, cansaço, dor de cabeça, dor muscular, icterícia, náuseas e vômitos.

5. a) am ? an = am + n b)

10 ? 10 = 10 3 ? 10 9 =

= 10

1 1 + 3 9

4 9

= 10 = 10 =

= 10 000, ou seja, 10 000 cm

6. B2 = 2 H B2 = 2 8 H (B2) 2 = 1

1 2

= [2 8 ] H B = 2 16 =

2. a) A fêmea do mosquito introduz aproximadamente de 103 a 105 partículas virais durante a picada. b) Entre 40 nm (40 ? 10_9 m) a 60 nm (60 ? 10_9 m), ou seja, entre 4 ? 10_8 m a 6 ? 10_8 m. c) Resposta pessoal.

O que estudei – p. 32 e 33 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. 2,25 = 1,5. Resposta: 1,5 cm. Conceitos: Radiciação; raiz quadrada exata de um número. II. c, pois 230 000 = 2,3 ? 105. Conceitos: Potenciação; potência com expoente inteiro; notação científica. III. 0,000001 m corresponde a 10_6 m ou 1 000 ? 10_9 m ou 1 000 nm ou 103 nm. Conceitos: Potenciação; potência com expoente inteiro; propriedades de potências; notação científica.

Unidade 2 Ângulos e simetria Atividades – p. 38 e 39 1. a) Meia-volta: 180°; uma volta completa: 360°. b) 360° 2. Ângulos complementares: DB EF e GB HI, pois 62° + 28° = 90°; ângulos suplementares: AB BC e JB KL, pois 84° + 96° = 180°. 3. a) 115° + x = 180° x = 180° _ 115° = 65° b) Suplementares. 4. a) I. 145°; ângulo obtuso. II. 180°; ângulo raso. III. 90°; ângulo reto. IV. 35°; ângulo agudo. b) Resposta pessoal. 5. a) 45° + 30° = 75° b) 90° + 60° = 150° c) 60° + 45° = 105° d) 90° + 45° = 135° e) 90° + 30° = 120° 6. a) 60° _ 45° = 15°

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11/16/18 7:19 PM

b) 55° + 55° = 110° 74° = 37° 2 b) 37°

2. a)

3. Item III, pois a distância de qualquer ponto de r aos pontos A e B é a mesma. 4. II 5. Resposta pessoal. 6. Resposta esperada: Os alunos podem traçar a semirreta que representa os locais onde os postes de iluminação podem ser instalados como a bissetriz do ângulo formado pelas representações das ruas, uma vez que cada ponto dessa semirreta é equidistante aos lados do ângulo. 7. Resposta esperada: Os alunos podem traçar a mediatriz do segmento de reta AB, uma vez que cada ponto dessa reta é equidistante a A e B.

Atividades – p. 48 e 49 1. a) Resposta pessoal. b) Ela fecha o olho direito e no reflexo aparece o olho esquerdo fechado. Resposta esperada: Porque a imagem da Mônica no espelho é um reflexo dela, de maneira que a lateralidade fica invertida: direita e esquerda. Essa situação corresponde a uma ideia de simetria de reflexão. c) Braço direito. d) Resposta esperada: Para que os motoristas que estão à frente desse tipo de veículo possam

2. a) E; B; H; O; X; D. b) U; M; T; H; O; X; V.

270°

c) H; O; X.

3. Para que dois polígonos sejam simétricos por reflexão, os seus pontos correspondentes são equidistantes ao eixo de simetria. Isso ocorre nos polígonos do item a. 4. a) A: 1 cm; B: 2 cm; C: 5 cm; D: 5 cm; E: 2 cm; F: 2 cm; A’: 1 cm; B’: 2 cm; C’: 5 cm; D’: 5 cm; E’: 2 cm; F’: 2 cm. b) A e A’; B e B’; C e C’; D e D’; E e E’; F e F’. c) Resposta esperada: As distâncias são iguais.

145° II

3. Vítor e Paula. Resposta esperada: Rotacionar a figura original do triângulo, em relação ao ponto O, em 75° no sentido horário ou em 285° no sentido anti-horário fará com que a figura simétrica por rotação ocupe a mesma posição, uma vez que 360° _ 285° = 75°. 4. Limite circular I. Resposta esperada: 120° e 240°.

d) Resposta pessoal. Uma resposta possível:

120°

B C D

A A’

120°

D’ C’

1. a) 55°

2. a)

B’

Atividades – p. 52 e 53 1. Representando o segmento de reta BC na figura, verifica-se que, para o quadro ser colocado na posição original, deve-se girar 90° + 45° = 135° no sentido horário. Alternativa b. A

O 135°

Atividades – p. 56 e 57 1. I e II. Composição I

90° B 45°

Composição II ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Atividades – p. 44 e 45

ler corretamente o que está escrito quando observam pelo espelho retrovisor, facilitando sua identificação.

ENEM 2017

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2. a) b) c) d)

B6, C6 e D6. A água. Uma parte da corveta. Respostas possíveis: G2; H2; I2. Corveta II: Translação da corveta I em 4 unidades, na direção vertical e no sentido de cima para baixo. Corveta III: Translação da corveta I em 5 unidades, na direção horizontal e no sentido da esquerda para a direita.

3. 8 unidades na direção horizontal e no sentido da esquerda para a direita e 7 unidades na direção vertical e no sentido de cima para baixo. Setas C e D. 4. a) A’ B’

D’ E

A C’ B

A D C A’ D’ C’

1. a) Resposta esperada: Essas medidas são iguais. b) Resposta esperada: As medidas AC e BC são alteradas ao movimentar o ponto C, porém a igualdade entre essas medidas é mantida. 2. a) Resposta esperada: Essas distâncias são iguais. b) Resposta esperada: As distâncias t B - e entre D e A t C - são entre D e A alteradas ao movimentar o ponto D, porém a igualdade entre essas distâncias é mantida.

Mãos à obra – p. 63

B’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

E’

Você conectado – p. 60 a 63 Mãos à obra – p. 61

5. Resposta pessoal.

Você cidadão – p. 58 e 59 1. a) Resposta esperada: Apontar algumas falhas na acessibilidade do município de Campinas. b) Leílson Bastos e Jaqueline Silva dos Santos. Deficiência visual, eles são cegos. c) Algumas possíveis respostas: O vaivém de pessoas, não há ferramentas que auxiliem os deficientes, a bengala enrosca na canaleta, o terminal de ônibus é bagunçado e tem muita barraca. d) Resposta esperada: Significa que a rua Treze de Maio é considerada o principal local das atividades do comércio central no município de Campinas. 2. Resposta esperada: Sim, pois o ângulo dessa mudança de direção tem entre 90° e 150°. 3. Respostas pessoais.

1. a) Resposta esperada: O vértice correspondente do pentágono A’B’C’D’E’ se ajusta automaticamente. b) Resposta esperada: A posição do pentágono A’B’C’D’E’ se ajusta automaticamente. c) Resposta esperada: Nada, pois seu formato e sua posição foram mantidos. 2. Resposta pessoal.

O que estudei – p. 64 e 65 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. Simetria de rotação. Conceitos: Simetria de rotação. II. 360° _ 120° = 240°. Resposta: 120° e 240°; ângulo obtuso. Conceitos: Ângulos; classificação de ângulos: agudo, reto, obtuso ou raso. III. 3 cm. Conceitos: Mediatriz de um segmento de reta. IV. Resposta esperada: Com uma abertura qualquer, fixar a ponta-seca do compasso no vértice O e traçar um arco que cruza os lados do ângulo nos pontos P e Q; com uma abertura conveniente e a ponta-seca fixa em P, traçar um novo arco; usando o compasso

com a mesma abertura da etapa anterior e a ponta-seca fixa em Q, traçar outro arco, cruzando aquele traçado anteriormente; no encontro dos arcos, indicar o ponto D; com t D,- que divide a régua, traçamos O o ângulo AOA’ em dois ângulos de 60°. Resposta esperada: Bissetriz do ângulo AOA’. 4 cm. Conceitos: Bissetriz de um ângulo; distância entre um ponto e uma reta.

Unidade 3 Equação, sistema de equações e inequação Atividades – p. 69 1. Seja P o preço da viagem. Assim: a) Para d = 12 km e t = 26 min: P = 3 + d + 0,2t H P = = 3 + 12 + 0,2 ? 26 H H P = 20,20 Resposta: R$ 20,20. b) Para d = 5,8 km e t = 13 min: P = 3 + d + 0,2t H P = 3 + + 5,8 + 0,2 ? 13 H P = 11,40 Resposta: R$ 11,40. c) Para d = 9 km e t = 18 min: P = 3 + d + 0,2t H H P = 3 + 9 + 0,2 ? 18 H H P = 15,60 Resposta: R$ 15,60. 2. A-IV; B-III; C-I; D-II. 3. a) 7(x _ 3) + 2x + 1 = = 7x _ 21 + 2x + 1 = 9x _ 20 b)

2(3x _ 1) _ 7 6x _ 2 _ 7 = = 3 3 =

6x _ 9 6x 9 = _ = 2x _ 3 3 3 3

c) 2x _ 4y + 3 _ 15x + 6y = = 2y _ 13x + 3 t C - é bissetriz, então 4. Se O B C 9 BO B C. Assim: AO

B B: 3x + 5 + 3x + 5 = a) AO = 6x + 10

B C: 3x + 5 = 3 ? 9 + 5 = 32 b) BO Resposta: 32° B B: 6x + 10 = 6 ? 9 + 10 = 64 AO Resposta: 64°

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5. a) n = 4; n(n _ 3) H D= 2 4(4 _ 3) HD= HD=2 2 Resposta: 2 diagonais. b) n = 8; n(n _ 3) H D= 2 8(8 _ 3) HD= H D = 20 2 Resposta: 20 diagonais. c) n = 11; n(n _ 3) H D= 2 11(11 _ 3) HD= H D = 44 2 Resposta: 44 diagonais. d) n = 3; n(n _ 3) H D= 2 3(3 _ 3) HD= HD=0 2 Resposta: Nenhuma diagonal. 6. a) Expressão III. Se 1 m2 de painel gera 18 kWh de energia, então x ? y m2 irão gerar 18xy kWh de energia. b) Seja E a energia gerada. Assim: E = 18xy H H E = 18 ? 6 ? 4 = 432. Resposta: 432 kWh.

Atividades – p. 71 e 72 1. a) Resposta esperada: A figura é formada pela quantidade de pontos indicada pelo número correspondente, organizados de maneira que lembre um quadrado, ou seja, em que cada linha e coluna tenha a mesma quantidade de pontos. b) a7 = 72 H a7 = 49 c) Não. Resposta esperada: Não existe um número natural que seja raiz quadrada de 150, ou seja, 150 não é um número quadrado perfeito.

2. a) Sequência I: a1 = 4 ? 1 _ 3 = 1 a2 = 4 ? 2 _ 3 = 5 a3 = 4 ? 3 _ 3 = 9 a4 = 4 ? 4 _ 3 = 13 a5 = 4 ? 5 _ 3 = 17 Sequência II: a1 = 0 a2 = 6 + a1 = 6 a3 = 6 + a2 = 6 + 6 = 12 a4 = 6 + a3 = 6 + 12 = 18 a5 = 6 + a4 = 6 + 18 = 24 b) Resposta esperada: A sequência I, pois ela foi definida de maneira não recursiva. 3. a) a1 = _2 a2 = _2 ? 3 + 5 = _1 a3 = _1 ? 3 + 5 = 2 a4 = 2 ? 3 + 5 = 11 a5 = 11 ? 3 + 5 = 38 a6 = 38 ? 3 + 5 = 119 b) an = 3 ? an – 1 + 5 e a1 = _2 c) I. Uma resposta possível:

A divisão de 3 por 3 é exata. Então, .

•n=4 A divisão de 4 por 3 não é exata e o resto da divisão é 1. Então, é

•n=5 A divisão de 5 por 3 não é exata e o . resto da divisão é 2. Então, é •n=6 A divisão de 6 por 3 é exata. Então, . é A sequência segue este padrão: Portanto, a sequência correta é a sequência c. 5. Uma resposta possível: Início. Definimos a posição n do termo. Dividimos n por 3.

Início.

A divisão é exata?

Definimos a posição n do termo.

Sim.

O termo corresponde . à figura

Não. O termo corresponde à figura .

Calculamos 5n _ 1. Registramos o resultado.

Fim.

6. Resposta pessoal.

II. Uma resposta possível:

Atividades – p. 74 e 75

Início. Definimos a1 = 2.

1. a) 5x + 18 = 33 H 5x = = 33 _ 18 H 5x = 15 H x = 3

Multiplicamos por _1.

Adicionamos 10. Registramos o resultado.

Calcular o próximo termo?

Sim.

Consideramos o último termo obtido.

Não. Fim.

4. • n = 1 A divisão de 1 por 3 não é exata e o resto da divisão é 1. Então, é . •n=2 A divisão de 2 por 3 não é exata e o resto da divisão não é 1. Então, é . •n=3

3n 3n _5=0H =5H 9 9 H 3n = 9 ? 5 H 3n = 45 H H n = 15

c) 4(6y + 7) = 15y _ 8 H H 24y + 28 = 15y _ 8 H H 24y – 15y = _28 _ 8 H H 9y = –36 H y = _4 2. 7x _ 24 = 3x + 20 7x _ 24 + 24 = 3x + 20 + 24 7x _ 3x = 3x + 44 _ 3x 4x 44 = 4 4 x = 11

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3. a) Resposta esperada: Nessa equação, a incógnita x representa a quantidade total de funcionários do setor de 2x os da etapa produção, 5 x os da etapa de de corte, 5 modelagem e o número 90, os funcionários da etapa de costura. b)

2x x + + 90 = x H 5 5 H 2x + x + 450 = 5x H H 2x = 450 H x = 225 Resposta: 225 funcionários.

4. a) 7x _ 29 = 13 H 7x = 13 + 29 H 42 Hx=6 H 7x = 42 H x = 7 b)

x x + 10 = 78 H = 68 H 4 4 H x = 4 ? 68 H x = 272

c) 10(2x _ 5) = 12x + 14 H H 20x _ 50 = 12x + 14 H 64 Hx=8 H 8x = 64 H x = 8 3x + 1 d) = _16 H 3x + 1 = 2 = _32 H 3x = _33 H _33 H x = _11 Hx= 3 e) _21x + 45 = _3x + 27 H H _18x = _18 H x = 1 f) _5x = _9x + 25 H 4x = 25 H 25 Hx= 4 5. a) 50 _ 2x = 34 H 2x = 16 H Hx=8 Resposta: R$ 8,00. x x = 50 H = 16 H 2 2 H x = 32 Resposta: 32 anos.

b) 34 +

6. x + x + (x + 7) + (x + 7) = 100 H H 4x + 14 = 100 H 4x = 86 H H x = 21,5 Assim, temos: x + 7 H H 21,5 + 7 = 28,5. Resposta: Largura: 21,5 m; comprimento: 28,5 m.

7. a)

x 3x 5x + 6x + =1H = 2 5 10

= 12 + 0,3535... H 100x = 35 H 9 900x = = 12 + 99 item c

10 10 H 11x = 10 H x = 10 11

p 2p 1 p 2p _ ]=_ H[ _ ]= 4 9 2 4 9 1 9p _ 8p 9 =_ H[ ]=_ H 4 36 36

= 1188 + 35 H 9900x =

b) 2 [

H 10x = 4,657657... H H 10x = 4 + 0,657657... H 657 H 9990x = 999 item b

4y _ 2 = 48 H 7

H 3y +

H 10x = 4 +

4y 21y + 4y = 50 H = 7 7

= 3996 + 657 H 9990x =

350 H 25y = 350 H y = 14 7

= 4653 H x =

n 7n n 7n _8= +6H _ = d) 3 12 3 12 4n _ 7n 168 = H 12 12 H _3n = 168 H n = _56

= 14 H

4653 9990

9. Resposta pessoal.

Atividades – p. 77 a 79 1. a) x + y = 13

8. a) x = 0,8888... H 10x = 8,888... H H 10x = 8 + 0,8888... H H 10x = 8 + x H 9x = 8 H 8 Hx= 9 b) x = 0,657657657... H 1 000x = = 657,657657... H 1 000x = = 657 + 0,657657... H H 1 000x = 657 + x H 999x = 657 = 657 H x = 999

b) Algumas respostas possíveis: x = 7 e y = 6; x = 8 e y = 5; x = _2 e y = 15; x = 0 e y = 13. 2. a) I, II e IV. I. 2 ? 4 _ 1 = 7 II. 2 ? 2 _ (_3) = 7 III. 2 ? 0 _ 8 = _8 5 7 IV. 2 ? (_1) _ (_9) = 7 b) III e IV. I. 3(_3 + 4 ? (7)) = 75 5 _2 1 93 + 4 ? (_2)] = _ 5 _2 4 4 2 III. 3(2 + 4 ? [_ ]) = _2 3 1 IV. 3(0 + 4 ? [_ ]) = _2 6

II. 3[

c) x = 0,353535... H 100x = = 35,3535... H 100x = = 35 + 0,3535... H 100x = = 35 + x H 99x = 35 H x =

1223 9900

f) x = 0,4657657... H

p 9 =_ H p = _9 36 36

c) 3y +

= 1223 H x =

35 99

d) x = 3,28888... H 10x =

3. 6a _ b = _9; 5 ? [a +

b ]=0 3

= 32,8888... H 10x =

• 6 ? (_1) _ 3 = _9

= 32 + 0,888... H 10x =

• 2 ? (_1) _ 9 ? (3) = _29 5 30

8 H 90x = 288 + 8 H = 32 + 9 item a 296 H 90x = 296 H x = 90 e) x = 0,12353535... H 100x = = 12,353535... H 100x =

• 5 ? [(_1) + •

3 ]=0 3

_1 5 7 +3= 5 2 2 2

• _1 _ 3 = _4 5 4 4. 7x + 4y = 2

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5. Algumas respostas possíveis: 2x _ y = 13; x + y = 2; 6x _ y = 33; _x + y = _8; 2x + y = 7; x _ y = 4. 5 x y + = 1; II: x _ 2y = _9; 6. I. 3 3 III: _2x + y = 6 Isso pode ser verificado substituindo o valor de 2 pontos de cada reta. x y + =1 3 3 x y I. + =1 3 3

II. x _ 2y = _9 ? 6 = _9 II. x _ 2y = _9 ? 5 = _9 III. _2x + y = 6 +0=6 III. _2x + y = 6 +6=6

(0, 3) (3, 0) (3, 6)

(1, 5)

0 3 + =1 3 3 3 0 + =1 3 3 3_2? 1_2?

(_3, 0)

(0, 6)

_2 ? (_3) + _2 ? (0) +

7. a) 3x + 2y = 1 700; x: massa de cada pote azul; y: massa de cada pote vermelho. b) Algumas respostas possíveis: pote azul: 400 g e pote vermelho: 250 g; pote azul: 300 g e pote vermelho: 400 g; pote azul: 500 g e pote vermelho: 100 g; pote azul: 150 g e pote vermelho: 625 g. 8. a) 3 + d + 0,2 ? 30 = 25 H d = 16 Resposta: 16 km. b) 3 + 10 + 0,2 ? t = 17 H t = 20 Resposta: 20 minutos. c) • 3 + d + 0,2t = 30 • Algumas respostas possíveis: 25 km e 10 min; 24,6 km e 12 min; 24 km e 15 min; 23 km e 20 min. 9. a) x + y = 9. b) (1, 8); (3, 6); (0, 9); (7, 2) e (6, 3). c) Se p corresponde ao número de medalhas de prata, o número de medalhas de ouro será 2p. Assim: 2p + p = 9 H 3p = 9 H Hp=3

Portanto, esse atleta ganhou 6 medalhas de ouro e 3 medalhas de prata. 10. Os lados do terreno paralelos ao rio têm ao todo medida 2x e os não paralelos têm ao todo medida 2y. Assim, o custo do material será de: 2x ? 2y ? = 7 500,00 H H 4(2x + y) = 7 500 Alternativa a.

Atividades – p. 82 e 83 1. a) II. x _ 2y = 1 3_2?1=1 H{ { 3x + y = 10 3 ? 3 + 1 = 10 b) IV.

{

2x + 4y = 4 H x + 3y = 5 2

{

2 ? (_2) + 4 ? 2 = 4 H _2 +3?2=5 2 2. a) Reta azul: x + 2y = 5; reta alaranjada: x + y = 2. b) Não. Resposta esperada: A solução do sistema corresponde às coordenadas do ponto onde as retas se cruzam, ou seja, (_1, 3) neste caso. c) x = _1 e y = 3 3. a) II b) III x + y = 35 20 + 15 = 35 H{ { x_y=5 20 _ 15 = 5 c) 20 meninos e 15 meninas. 4. a) II. (1, 3). b) I. Algumas respostas possíveis: (_4, 0); (_1, 1); (2, 2); (5, 3). c) III. 5. Ambos, pois x = 2 e y = 0, e x = 3 e y = 2 são soluções do sistema de equações apresentado. 2x + y = 7 6. a) { x + 2y = 8 b) Pão de queijo: R$ 2,00; suco de laranja: R$ 3,00.

7. 7,5 L de tinta amarela e 12,5 L de tinta azul. 8. Resposta pessoal.

Atividades – p. 86 a 88 1. a) x = _1 e y = 3. Adicionando, membro a membro, as duas equações, x+y=2 + tem-se: { x _ y = _4 2x = _2 x = _1 Substituindo o valor de x na 2a equação: x _ y = _4 H _1 _ y = _4 H Hy=3 b) x = 5 e y = 12. Isolando y na primeira equação e substituindo na 2a equação, tem-se: x + 2 ? (3x _ 3) = 29 H H x + 6x _ 6 = 29 H H 7x = 35 H x = 5 Substituindo o valor de x na 2a equação: 5 + 2y = 29 H 2y = 24 H H y = 12 c) x = 4 e y = 7. Adicionando, membro a membro, as duas equações, tem-se: 4x + 3y = 37 + _4x + 2y = _2

{

5y = 35 y=7 Substituindo o valor de y na 1a equação: 4x + 3 ? 7 = 37 H 4x = 16 H Hx=4 d) x = 3 e y = _6. 6x + 4y = _6 H { 5x _ 2y = 27 (x2) 6x + 4y = _6 H{ + 10x _ 4y = 54 16x = 48 x=3 Substituindo o valor de x na 1a equação: 6 ? 3 + 4y = _6 H 4y = _24 H H y = _6

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2. P(6, 8) x + y = 14 (x2) { x _ 2y = _10 2x + 2y = 28 x _ 2y = _10

{

3x = 18 x=6 Substituindo o valor de x na 1a equação: 6 + y = 14 H y = 8 3. Algumas respostas possíveis: x+y=7 3x _ y = 5 ;{ ; { x _ y = _1 2x + 4y = 22 x _ 3y = _9 6x _ 2y = 10

{

4. Do enunciado, tem-se: x + y = 70 20x + 10y = 950 Multiplicando a 1a equação por _10: _10x _ 10y = _700 { 20x + 10y = 950 Adicionando, membro a membro, as duas equações: 10x = 250 H x = 25 Substituindo o valor de x na 1a equação: 25 + y = 70 H y = 45 Portanto, foram vendidas 25 entradas inteiras e 45 meias-entradas.

{

5. Seja x o número de meninos e y o número de meninas. x + y = 50 { x _ y = 14 Adicionando, membro a membro, as equações: 2x = 64 H x = 32 Substituindo o valor de x na 1a equação: 32 + y = 50 H y = 18 Portanto, participaram dessa prova 32 meninos e 18 meninas. 6. a) 6x e _6x. b) Não. c) Algumas respostas possíveis: Multiplicar a primeira equação por _5 e a segunda por 4. Multiplicar a primeira equação por _4 e a segunda por 6.

d) x = 2 e y = 1. Adicionando, membro a membro, as equações: _7y = _7 H y = 1 Substituindo o valor de y na 1a equação: 6x + 8 ? 1 = 20 H 6x = 12 H Hx=2 7. a) x = _2 e y = 5. Multiplicando a 1a equação por _3 e a 2a por 2, tem-se: _12x _ 6y = _6 { 14x + 6y = 2 Adicionando, membro a membro, as equações: 2x = _4 H x = _2 Substituindo o valor de x na 1a equação: 4 ? (_2) + 2y = 2 H 2y = 10 H Hy=5 b) x = 1 e y = _1. Multiplicando a 1a equação por 6 e a 2a por 8, tem-se: 36x _ 48y = 84 { 40x + 48y = _8 Adicionando, membro a membro, as equações: 76x = 76 H x = 1 Substituindo o valor de x na 2a equação: 5 ? 1 + 6y = _1 H 6y = _6 H H y = _1 8. Seja x o número de carros e y o número de motos. Assim: x + y = 100 { 30x + 15y = 2700 Multiplicando a 1a equação por _15 e, em seguida, adicionando as duas equações, tem-se: _15x _ 15y = _1500 { + 30x + 15y = 2700 15x = 1200 x = 80 Substituindo o valor de x na 1a equação: 80 + y = 100 H y = 20 Portanto, havia 80 carros e 20 motocicletas. 9. Seja x o número de representações de cubos e y o número de representações de pirâmides. Assim:

12x + 8y = 108 8x + 5y = 70 Multiplicando a 1a equação por _5 e a 2a equação por 8 e, em seguida, adicionando, membro a membro, as duas equações, tem-se: _60x _ 40y = _540 { + 64x + 40y = 560

{

4x = 20 x=5 Substituindo o valor de x na 1a equação: 12 ? 5 + 8y = 108 H y = 6 Portanto, há 5 representações de cubo e 6 representações de pirâmide. 10. Seja x o número de partidas ganhas e y o número de partidas nas quais houve empate. Assim: x + y = 12 { 3x + y = 28 Multiplicando a 1a equação por _1, e em seguida, adicionando, membro a membro, as duas equações, tem-se: _x _ y = _12 + 3x + y = 28

{

2x = 16 x=8 Substituindo o valor de x na 1a equação: 8 + y = 12 H y = 4 Portanto, houve 8 vitórias e 4 empates. 11. Resposta pessoal. 12. Seja x a quantidade de quilogramas de garrafas PET e y a quantidade de quilogramas de alumínio. Assim: x + y = 1550 { 1,7x + 3,6y = 4060 Multiplicando a 1a equação por _3,6 e, em seguida, adicionando, membro a membro, as duas equações, tem-se: _3,6x _ 3,6y = _5 580 + 1,7x + 3,6y = 4 060

{

_1,9x = _1520 x = 800 Substituindo o valor de x na 1a equação: 800 + y = 1 550 H y = 750

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Portanto, a cooperativa vendeu nesse mês 800 kg de garrafas PET e 750 kg de alumínio. 13. Seja x o número de goiabas dentro do pacote pequeno e y o número de goiabas dentro do pacote grande. Assim: 10x + 6y = 120 { 5x + 9y = 120 Multiplicando a 2a equação por _2 e adicionando, membro a membro, as duas equações, tem-se: _12y = _120 H y = 10 Substituindo o valor de y na 1a equação, tem-se: 10x + 6 ? 10 = 120 H x = 6 Portanto, no pacote pequeno há 6 goiabas e no pacote grande 10 goiabas. 14. a) Respostas pessoais. b) Seja x a quantidade de ferro no alimento A e y a quantidade de ferro no alimento B. Assim: 2x + y = 14,3 { x + 3y = 14,9 Multiplicando a 2a equação por _2 e, em seguida, adicionando, membro a membro, as duas equações, tem-se: 2x + y = 14,3 { _2x _ 6y = _29,8

_5y = _15,5 H y = 3,1 Substituindo o valor de y na 1a equação, tem-se que: 2x + 3,1 = 14,3 H 2x = 11,2 H H x = 5,6 • Portanto, há 5,6 mg de ferro no alimento A e 3,1 mg de ferro no alimento B. • Alimento A: Fígado de boi (grelhado); alimento B: Agrião (cru).

Atividades – p. 91 1. a) 2b . 6 b) 2n + 3 , 10n 2. a) x < 5 b) x . 3 c) x > _3

3. a) II e IV x + 13 . 17 H x . 4 b) IV 5x + 12 , _3x _ 36 H H 8x , _48 H x , _6 c) I, II, III e IV 7x + 6 > 4x + 30 H 3x > 24 H Hx>8 4. a) 6x + 4 . 22 H 6x . 18 H x . 3 b) 3 + 5x < x _ 1 H 4x < _4 H H x < _1 c) 3x _ 9 > 19 _ 4x H 7x > 28 H Hx>4 d) 4 , 2 ? (7 + x) H 4 , 14 + 2x H H _10 , 2x H 2x . _10 H H x . _5 e) 5 + 2(3x _ 1) . 7x + 6 H H 5 + 6x _ 2 . 7x + 6 H _x . 3 H x , _3 5. a) II 2x + 22 , 14 + 10x _ 8 H H 2x + 22 , 10x + 6 b) 2x + 22 , 14 + 10x _ 8 H H _8x , _16 H x . 2 c) Sim, pois x = 4 satisfaz à inequação. Não, pois x = 1 não satisfaz à inequação. 6. a) 5x + 3 . 8; x . 1. 5x + 3 . 8 H 5x . 5 H x . 1 b) Não. Resposta esperada: De acordo com o item a, cada arquivo tem mais de 1 GB.

Atividades – p. 93 1. a) 16 e _16 3x2 = 768 H x2 = 256 H H x = ± 16 b) 4 e _4 4x2 _ 64 = 0 H 4x2 = 64 H H x2 = 16 H x = ± 4 c) 9 e _9 2x2 _ 13 = 149 H 2x2 = 162 H H x2 = 81 H x = ± 9 d) 10 e _10 5x2 + 98 = 598 H 5x2 = 500 H H x2 = 100 H x = ± 10 2. a) 7 e _7 x2 = 49 H x = ± 7

b) 17 e _17 x2 _ 289 = 0 H x2 = 289 H H x = ± 17 c) 3 e _3 6x2 = 54 H x2 = 9 H x = ± 3 d) Não tem raiz real. x2 = _64 e) 0 2x2 = 0 H x = 0 f) Não tem raiz real. 3x2 = _48 3. a) II. b) 22 e _22. x2 _ 128 = 356 H x2 = 484 H H x = ± 22 c) A medida deve ser de 22 m. 4. 9 cm 6x2 = 486 H x2 = 81 H x = ± 9 Portanto, a aresta do cubo deve ser de 9 cm. 5. Resposta pessoal.

Você cidadão – p. 94 e 95 1. Resposta esperada: Esse selo indica que o equipamento tem alto nível de eficiência energética. Assim, ao comprar um equipamento desses, gasta-se menos energia elétrica. p?t?d 2. a) 1000 100 ? 7 ? 30 = 21. b) Televisor: 1000 Resposta: 21 kWh. 130 ? 24 ? 30 Geladeira: = 93,6. 1000 Resposta: 93,6 kWh. Ferro de passar roupas: 1 000 ? 2 ? 8 = 16. 1000 Resposta: 16 kWh. 3 500 ? 0,8 ? 30 = Chuveiro: 1000 = 84. Resposta: 84 kWh. 1 000 ? 3 ? 20 Ar-condicionado: = 1000 = 60. Resposta: 60 kWh. 300 ? 4 ? 18 Computador: = 1000 = 21,6. Resposta: 21,6 kWh.

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11/16/18 7:19 PM

P ? 3 ? 30 = 10,8 1000 P = 120 Resposta: 120 W.

4. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal.

Mãos à obra – p. 97

Unidade 4

1. _14 3x2 = 588 H x2 = 196 H x = ± 14

Proporcionalidade e porcentagem

2. a) 8 e _8. _2x2 = _128 H x2 = 64 H Hx=±8

Atividades – p. 104 e 105

c) Resposta pessoal.

b) 11 e _11. 4x2 = 484 H x2 = 121 H H x = ± 11

Você conectado – p. 96 e 97 Mãos à obra – p. 96

3x _ 5y = 1 + _3x _ 12y = _18 _17y = _17 H y = 1 Substituindo o valor de y na 2a equação, tem-se: x+4?1=6Hx=2

{

b) x = _1 e y = 3. x + 4y = 11 { x+y=2 Multiplicando a 2a equação por _1 e, em seguida, adicionando as equações, tem-se: x + 4y = 11 + { _x _ y = _2 3y = 9 H y = 3 Substituindo o valor de y na 2a equação, tem-se: x + 3 = 2 H x = _1 c) x = 1 e y = 4. 2x _ y = _2 { 4x + 3y = 16 Multiplicando a 1a equação por 3 e, em seguida, adicionando as equações, tem-se: 6x _ 3y = _6 + { 4x + 3y = 16 10x = 10 H x = 1 Substituindo o valor de x na 2a equação, tem-se: 4 ? 1 + 3y = 16 H 3y = 12 H Hy=4

1 310 = 131. 10 Resposta: 131 g/km

b) • Modelo I:

575 = 115. 5 Resposta: 115 g/km

• Modelo II:

c) 7 e _7. 3x2 = 147 H x2 = 49 H x = ± 7

1. Algumas respostas possíveis: (0, _4); (2, _1); (4, 2). 2. a) x = 2 e y = 1. 3x _ 5y = 1 { x + 4y = 6 Multiplicando a 2a equação por _3 e, em seguida, adicionando as equações, tem-se:

1. a) Resposta esperada: Modelo III.

1 960 = 98. 20 Resposta: 98 g/km • Modelo III:

O que estudei – p. 98 e 99 1. Respostas pessoais. 2. Respostas pessoais. 3.

I. Perímetro: 10x + 10x + 7x + + 7x = 34x; área: 10x ? 7x = 70x2. Conceitos: Expressões algébricas. II. Perímetro: 34 ? 3 = 102, ou seja, 102 cm; área: 70 ? 32 = 630, ou seja, 630 cm². Conceitos: Expressões algébricas; valor numérico de uma expressão algébrica. III. 34x = 272 H x = 8, ou seja, 8 cm. Conceitos: Equação do 1o grau com uma incógnita; raiz de uma equação do 1o grau com uma incógnita; resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita. IV. 34x . 425 H x . 12,5. Logo, x deve ser maior que 12,5 cm. Conceitos: Inequação do 1o grau com uma incógnita; resolução de uma inequação do 1o grau com uma incógnita. V. 70x2 = 2 520 H x2 = 36 H H x = ± 6, ou seja, 6 cm. Assim, as dimensões da bandeira são: 60 cm (10 ? 6 = 60) e 42 cm (7 ? 6 = 42). Conceitos: Equação do 2o grau com uma incógnita; raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita; resolução de uma equação do 2o grau com uma incógnita.

c) Resposta pessoal. 2. a) Resposta esperada. Linhas ativas de telefonia móvel, pois a razão entre a quantidade dessas linhas e a de habitantes era maior do que 1. b) Seja L o número de linhas ativas de telefonia móvel e H o número de habitantes. Assim: L 236 488 548 = 1,1386 H = H H = 1,1386 H H =

236 488 548 H 1,1386

H 207 701 166 Resposta: Aproximadamente 207 701 166 habitantes. 3. a) 3, 7, 21 e 49. b) 3 e 49. c) 7 e 21. 2 9 8 b) ; 2 4 42 7 c) ; 180 30

4. a)

14 7 ; 60 30

16 2 ; 72 9

• a _ e; c _ d 5. a) Deajah Stevens: Shaunae Miller:

200 = 8,9; 22,45 400 = 8,1. 49,44

Resposta: Deajah Stevens: 8,9 m/s; Shaunae Miller: 8,1 m/s.

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11/16/18 7:20 PM

b) Tori Bowie, na prova de 100 m, obteve a maior velocidade média. Shaunae Miller, na prova de 400 m, obteve a menor velocidade média.

3. a) Sabendo que 1 hora é equivalente a 60 minutos: 700 60 = H x = 175 x 15 Resposta: 175 calorias. •

26 32 ; marca B: ; 200 180 130 marca C: . 1 000

700 60 = H x = 420 x 36 Resposta: 420 calorias.

6. a) Marca A:

•

700 60 • = H x = 1 050 x 90 Resposta: 1 050 calorias.

b) Marcas A e C. 26 ∙ 1 000 = = 26 000; 200 ? 130 = 26 000. 48,75 ; 5 29,25 sabão líquido 3 L: . 3

7. a) Sabão líquido 5 L:

700 60 b) = H x = 12 140 x Resposta: 12 minutos. c) 700x _ 60y = 0 ou 70x _ 6y = 0. 4. •

2. Resposta pessoal.

Atividades – p. 112 e 113 1. a) •

200 12 = H x = 15 250 x

Resposta: 15 g.

•

5. a) Resposta esperada: Essa usina está localizada no Rio Paraná, no trecho de fronteira entre o Brasil e o Paraguai, nos municípios de Foz do Iguaçu, no Brasil, e Ciudad del Este, no Paraguai. b)

200 12 = H x = 90 1 500 x Resposta: 90 g.

14 000 20 = H x = 2800 x 4 Resposta: 2 800 MW. 700 x = H 1 500 000 12 000 000 H x = 5 600 Resposta: 5 600 MW.

200 12 = H x = 450 x 27 Resposta: 450 mL.

c) Reta s.

8 pulseiras 8 = H x = 50 50 pulseiras x

Resposta: 50 fechos.

•

b) Algumas respostas possíveis: (_5, _2); (0, 0); (1; 0,4); (5, 2); (6; 2,4); (10, 4).

d) 700x _ y = 0. 6.

3 x = Hx=7 168 392 Resposta: c.

7. • Fixando a quantidade de dias em 15, temos: 2 36 H x = 90 = 5 x

20 x = H x = 40 46 92 Resposta: R$ 40,00.

18 x = H x = 12 30 20 Resposta: 12 minutos. 4 x = H x = 280 5 350 Resposta: R$ 280,00.

3. a)

8 2m = H x = 12,5 50 x

8 40 = H x = 250 50 x Resposta: 250 miçangas.

200 12 = H x = 36 600 x Resposta: 36 g.

2 5 = H 2x = 5y H 2. a) y x H 2x _ 5y = 0

Atividades – p. 116 e 117

350 x = Hx=8 175 4 Resposta: 8 pessoas.

•

8. Resposta pessoal.

Resposta: 12,5 m de fio encerado.

Atividades – p. 108 1. Grandezas diretamente proporcionais: b, c; grandezas inversamente proporcionais: d.

• Fixando a quantidade de pessoas em 5 e considerando o resultado anterior, temos: 15 90 H y = 120 = 20 y

16 20 = H x = 24 x 30 Resposta: 24 aerogeradores.

12 190 = H x 1 7,9 x 125 Resposta: 8 prestações.

6. • Fixando a quantidade de galinhas em 150, temos: 14 252 = H x = 450 25 x • Fixando a quantidade de dias em 25 e considerando o resultado anterior, temos: 150 450 = H y = 288 96 y Resposta: 288 kg. 7. • Fixando a quantidade de camisetas em 5 400, temos: 36 x = H x = 2,25 96 6 • Fixando a quantidade de funcionários em 96 e considerando o resultado anterior, temos: 5 400 2,25 = Hy=9 21 600 y Resposta: Alternativa c. 8. Resposta pessoal.

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11/17/18 5:02 PM

Atividades – p. 120 e 121 1. I.

• Televisor: 2 700,00 _ 1 215,00 = = 1 485,00. Resposta: R$ 1 485,00

30 ? 20 = 6. 100

Resposta: 6 g. II.

40 ? 20 = 8. 100

Resposta: 25%.

Resposta: 8 g. III.

70 ? 20 = 14. 100

Resposta: R$ 4,76.

55 IV. ? 20 = 11. 100

6. a) R$ 141,00.

Resposta: 11 g.

b) R$ 142,50.

2. 30 + 18 + 45 + 32 = 125 30 = 0,24. 125

Resposta: 24%.

c) R$ 129,00. d) R$ 144,75. 7. a) Resposta pessoal. b) De 0 a 3 meses. Com 65 anos ou mais.

18 • Flauta transversal: = 0,144. 125 Resposta: 14,4%. • Teclado:

45 = 0,36. 125

Resposta: 36%. 32 • Violão: = 0,256. 125 Resposta: 25,6%. 72 ? 1 650,00 = 3. a) • Videogame: 100 = 1 188,00.

40 ? 102,50 = 100

= 41,00. Resposta: R$ 41,00 • Televisor 50”:

45 ? 2 700,00 = 100

= 1 215,00. Resposta: R$ 1 215,00 b) Videogame. c) Televisor. d) • Videogame: 1 650,00 _ 1 188,00 = 462,00. Resposta: R$ 462,00 • Mochila: 102,50 _ 41,00 = = 61,50. Resposta: R$ 61,50

1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 8 50 = H x = 375 60 x Resposta: 375 mL. Conceitos: Proporção; propriedade fundamental das proporções; grandezas diretamente proporcionais. II. 2 000 ? 0,8 = 1 600. Resposta: 1 600 mL. Conceitos: Razão; porcentagem. 50 III. = 6,25. 8 Resposta: 6,25 mL/min.

3. I.

Conceitos: Razão. IV. Seria reduzido à metade. Conceitos: Grandezas inversamente proporcionais.

c) Resposta pessoal. 8. Resposta pessoal.

Integrando com Ciências – p. 122 e 123 1. Resposta esperada: Auxiliar a formação dos ossos e dos dentes. 2. 1 300 mg. 100 940 3. = H x = 3 290 350 x Resposta: 3 290 mg.

Resposta: R$ 1 188,00 • Mochila:

12 ? 4,25 = 0,51; 4,25 + 100 + 0,51 = 4,76.

Resposta: 14 g.

• Bateria:

5,6 10 = H x = 25 14 x

O que estudei – p. 126 e 127

100 157 = H x = 266,9 170 x 1 300 100 = H y 1 20,5 266,9 y Resposta: 20,5%

5. Resposta pessoal. 6. Resposta pessoal.

Você conectado – p. 124 e 125 Mãos à obra – p. 125 1. Norte: 8,1%; Nordeste: 32,2%; Sudeste: 29,9%; Centro-Oeste: 8,4%; Sul: 21,4%. Resposta pessoal.

Unidade 5 Polígonos e círculos Atividades – p. 131 1. a) Resposta pessoal. Resposta esperada: O maior lado é oposto ao maior ângulo interno. b) Resposta pessoal. Resposta esperada: O menor lado é oposto ao menor ângulo interno. ● Resposta pessoal. 2. Seja x a medida de um ângulo interno do triângulo e y, a medida do ângulo externo adjacente a ele. Assim: x + 100° + 35° = 180° H H x = 180° _ 100° _ 35° H H x = 45° x + y = 180° H 45° + y = 180° H H y = 180° _ 45° H y = 135° Resposta: 45° e 135°. 3. Seja t a medida de cada lado do triângulo. Assim: t + t + t = 36 H 3t = 36 H H t = 12 Então: 2x _ 2 = 12 H 2x = 14 H Hx=7 Resposta: 7 m.

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11/17/18 6:08 PM

4. II e III. I. 5 + 8 , 20 II. 15 + 9 . 12 e 12 + 9 . 15 III. 30 + 60 . 45 e 45 + 60 . 30 IV. 21 + 10 , 32

Atividades – p. 134 e 135 1. a e e; b e f; c e d;. 2. Respostas pessoais. 3. C e E; B e F; D e H. 4. a) x = 8 cm; y = 100°; z = 50°; w = 5 cm. b) x = 135°; y = 7 cm; z = 5 cm; k = 6 cm; w = 110°; p = 120°.

Como AD é bissetriz de BBAC, então 80 = 40]. a medida de DBAC é 40° [ 2 Então: x + 40° + 48° = 180° H H x = 92° 3. Resposta esperada: Considerando o canteiro como uma figura de triângulo, o irrigador deve ser instalado no incentro, uma vez que esse ponto notável é equidistante aos lados do triângulo. 4. O ponto D deve ser o circuncentro da figura de triângulo formada pelos pontos A, B e C. Traçando as mediatrizes, verifica-se que elas se intersectam em (_2, 0).

5. Resposta esperada: Medindo um lado de cada um deles. Se essas medidas forem iguais, os quadrados são congruentes.

6. a) LAA0, pois AC 9 DF, AB CB 9 EB DF e AB BC 9 DB EF. b) LLL, pois AB 9 DE, BC 9 EF e AC 9 DF. c) LAL, pois AB 9 EF, BBAC 9 DB EF e AC 9 ED. d) ALA, pois BB AC 9 DB EF, AB 9 DE e AB BC 9 EB DF. 7. a (LLL) e d (LAAo). 8. Triângulos DEF e GHI, pois os lados e ângulos correspondentes são congruentes. 9. a) Sim, pelo caso de congruência LAL, pois BC é um lado comum, AB CB 9 DBCB e AC 9 DC. b) Seja x a medida de AB BC e de CB BD (ângulos congruentes). x + x + 140° = 360° H H 2x = 220° H x = 110°.

Atividades – p. 137 e 138 1. a) Resposta pessoal. • Incentro. b) Resposta pessoal. • Circuncentro. 2. Seja a a medida do ângulo BAC. a + 52° + 48° = 180° H a = 80°

EDITORIA DE ARTE

6 5 4 3 2 1

_7_6_5_4_3_2_1 0 _1 _2 _3 _4 _5

x 1 2 3 4 5 6 7

5. a) Mediatrizes do triângulo. b) Resposta pessoal. c) • na região interna: Triângulo acutângulo. • na região externa: Triângulo obtusângulo. • sobre um de seus lados: Triângulo retângulo. Resposta esperada: No triângulo retângulo, o circuncentro está localizado sobre um de seus lados; no acutângulo, o circuncentro está localizado na região interna ao triângulo; no obtusângulo, o circuncentro está localizado na região externa ao triângulo.

Atividades – p. 141 1. a) Ortocentro, pois as retas são mediatrizes do triângulo. b) Incentro, pois as retas são bissetrizes do triângulo. c) Circuncentro, pois as retas são as mediatrizes do triângulo. d) Baricentro, pois as retas são as medianas do triângulo.

2. a) Resposta pessoal. • Baricentro b) Resposta pessoal. • Ortocentro 3. Como o triângulo ABC é isósceles, os ângulos AB BC e BB CA são congruentes e o ângulo azul é um ângulo externo ao triângulo ABC. Assim, se x corresponde à medida do ângulo azul, tem-se que: x = 35° + 35° = 70°. 4. Considerando x a medida de DBAC, temos: x + 30° + 90° = 180° H x = 60° Considerando y a medida de BBAD, temos: x + y = 110 H 60° + y = 110° H H y = 50°. Resposta: 50°. 5. Como G é o baricentro, tem-se que: AC 10 EC = = =5 2 2 AG = 2 ? GD = 2 ? 3,24 = 6,48 BE 6 GE = = =2 3 3 Assim, a distância percorrida será de: 5 + 6,48 + 2 = 13,48 Resposta: 13,48 cm.

Atividades – p. 146 a 148 1. Para cada porta-moeda serão necessários 27 cm (6 ? 4,5 = 27) de fita. Para 20 porta-moedas serão necessários 540 cm (20 ? 27 = 540) de fita. 2.

67,5 = 7,5 9 Resposta: 7,5 cm. n ? (n _ 3) H 2 10 ? (10 _ 3) HD = H D = 35 2 Resposta: 35 diagonais. n ? (n _ 3) H Undecágono: D = 2 11 ? (11 _ 3) HD = H D = 44 2 Resposta: 44 diagonais.

3. a) Decágono: D =

Eneágono: D =

n ? (n _ 3) H 2

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11/17/18 5:22 PM

9 ? (9 _ 3) H D = 27 2

Resposta: 27 diagonais. b) Decágono: S = (n _ 2) ? 180° H H S = (10 _ 2) ? 180° H H S = 1 440° Undecágono: S = (n _ 2) ? 180° H H S = (11 _ 2) ? 180° H H S = 1 620° Eneágono: S = (n _ 2) ? 180° H H S = (9 _ 2) ? 180° H H S = 1 260° 4. a) Resposta pessoal. b) 360°. c) • Resposta pessoal. • Sim.

Resposta: Octógono. 6. a) n _ 3 = 10 _ 3 = 7 Resposta: 7 maneiras.

Resposta: 244 cm. (n _ 2) ? 180° 9. a) n (12 _ 2) ? 180° = 150° 12 (n _ 2) ? 180° b) n (3 _ 2) ? 180° = 60° 3

(n _ 2) ? 180° H n (n _ 2) ? 180° H H 140° = n H 140° ? n = 180° ? n _ 360° H H 40° ? n = 360° H n = 9

11. 140° =

Resposta: Eneágono.

10 ? (10 _ 3) = 35 2 Resposta: 35 maneiras.

b) D =

12. a) Resposta esperada: Essas medidas são iguais.

7. A soma dos ângulos internos de um pentágono é: S = (n _ 2) ? 180° H H S = (5 _ 2) ? 180° H S = 540° Assim, se x representa a medida do menor dos ângulos internos, tem-se que as medidas dos outros ângulos internos são: x + 20°; x + 40°; x + 60°; x + 80°. Portanto: x + x + 20° + x + 40° + x + + 60° + x + 80° = 540° H H 5x = 340° H x = 68° 8. Alternativa a. Considere as dimensões das figuras indicadas a seguir. t

Da figura 3, tem-se que: 4t + 4y = 2 ? (2t + 2y) = = 2 ? 122 = 244

10. Respostas pessoais.

5. (n _ 2) ? 180° + 360° = 1 440° H H (n _ 2) ? 180° = 1 080° H Hn_2=6Hn=8

Da figura 1, tem-se que: 2t + 2y + k = 200 H H 2t + 2y + 78 = 200 H H 2t + 2y = 122

x y

Verifica-se que a altura do retângulo é igual à medida do lado do quadrado. Da figura 2, tem-se que: 3k = 234 H k = 78 cm.

b) Resposta pessoal. Resposta esperada: Sim.

quadrilátero BCHG será: P = 18 + 18 + 16 + 16 = 68 cm. Retângulo. 3. a) DB AB 9 BBCD e, portanto, ambos têm medida igual a 80°. AB BC 9 CB DA e têm medida igual a (360° _ 80° _ 80°) : 2 = 100°. B B e BA B D tem medida b) • CB AD 9 CA dada por 27° + 27° = 54°. B D e ambos têm • BB CD 9 BA medida igual a 54°.

• AB BC 9 AB DC e têm medida igual a (360° _ 54° _ 54°) : 2 = = 126°. 4. • BD = AC = 10 cm B D 9 AB BC e, portanto, ambos • BC

têm medida igual a 115°. B B e têm medida igual a • AB DC 9 DA (360° _ 115° _ 115°) : 2 = 65°.

5. a) Paralelogramos: A, D, F e H. Trapézios: B, E e G. b) A: retângulo, losango e quadrado; D: retângulo; F: paralelogramo que não pode ser classificado em retângulo, losango ou quadrado; H: losango. c) Uma resposta possível:

Atividades – p. 152 e 153 1. a) Seja AB = CD = x e BC = AD = 2x. Assim: x + x + 2x + 2x = 72 H H 6x = 72 H x = 12 Portanto: AB = CD = 12 cm e BC = AD = 24 cm. BD 24 = = 12 2 2 Resposta: 12 cm. b) OD =

2. a) Resposta esperada: Não, pois os ângulos internos de cada base não são congruentes entre si. b) Resposta esperada: Sim, pois possui um par de ângulos internos retos: HB EF e AB HE.

c) Como o triângulo DHC é isósceles, HC = HD = 16 cm. Assim: GH = 34 _ 16 = 18 cm. Portanto, o perímetro (P) do

Início.

Não. Os lados É um não trapézio paralelos têm escaleno. medidas iguais? Sim. É um trapézio isósceles.

Não. Tem um ângulo interno reto?

Fim. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

HD =

Sim. É um trapézio retângulo.

B: trapézio isósceles; E: trapézio escaleno; G: trapézio escaleno e trapézio retângulo.

Atividades – p. 156 e 157 1. a) Raio. b) Diâmetro; corda. c) Corda. d) Diâmetro; corda. e) Raio. f) Raio.

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g) Corda. h) Raio. i) Raio. 2. a) Jogadores A e B.

b) 2,5 ? 8 = 20; 20 cm. 2. Respostas pessoais.

O que estudei – p. 162 e 163

b) Jogadores C e E.

1. Respostas pessoais.

c) Jogador D.

2. Resposta pessoal.

3. a) C = 2 ? p ? r = 2 ? 3,14 ? 5 = 31,4 Resposta: 31,4 cm. b) Resposta pessoal. 4. Comprimento de 1 volta: C1: 2 ? p ? r = 2 ? 3 ? 4 = 24 C2: 2 ? p ? r = 2 ? 3 ? 3 = 18 Distância percorrida em 10 voltas: C1: 24 ? 10 = 240, ou seja, 240 m. C2: 18 ? 10 = 180, ou seja, 180 m. Assim, a criança sentada no cavalo C1 irá percorrer 60 m (240 _ 180 = = 60) a mais que a criança sentada no cavalo C2. Resposta: Alternativa b. 69 = 34,5 H r = 35,5 cm. 5. a) r = 2 C = 2 ? p ? r = 2 ? 3,14 ? 34,5 = = 216,66 Resposta: 216,66 cm. b) Resposta esperada: Não, pois quatro voltas completas correspondem ao deslocamento aproximado de 8,67 m (4 ? 2,1666 1 8,67).

Você cidadão – p. 158 e 159 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. Porque é usada de forma pejorativa, desvalorizando as expressões culturais desses povos. 3. Algumas respostas possíveis: Polígonos, triângulos, quadriláteros. 4. Resposta esperada: Espinha de peixe. Resposta pessoal. 5. Resposta pessoal.

Você conectado – p. 160 e 161 Mãos à obra – p. 161 1. a) Resposta esperada: Porque, no octógono regular, os 8 ângulos internos têm a mesma medida e soma igual a 1 080° (1 080° : 8 = 135°).

3. I. Incentro. Conceitos: Bissetrizes e incentro do triângulo; o círculo e a circunferência. II. Sim. Uma resposta possível: Esses triângulos possuem os três lados respectivamente congruentes (caso LLL). Conceitos: Triângulos; congruência de figuras; casos de congruência de triângulos. III. Resposta esperada: Trapézio isósceles. Conceitos: Polígonos; quadriláteros; trapézio; classificação de um trapézio. IV. Aproximadamente 7,8 cm. Conceitos: O círculo e a circunferência; comprimento da circunferência. V. 4 cm. Conceitos: Triângulo; alturas e ortocentro do triângulo.

= 35 _ 10,5 = 24,5 Resposta: 24,5 cm2. 4. Área de cada casa:

16 cm2 Portanto, a medida do lado de um quadrado cuja área é 16 cm2 é 4 cm. 5. • Área de 1 folha (em m2) = = 0,297 ? 0,210 = 0,06237 75 g 1 m2 x 0,06237 m2 x = 0,06237 ? 75 = 4,67775; 4,67775 g • Massa de 500 folhas: 4,67775 ? 500 = 2 338,875. Resposta: 2 338,875 g. 6. a) A = +

Área de figuras planas Atividades – p. 170 a 172 1. a) A = 18 ? 25 = 450; 450 cm2 b) A = 15 ? 21 = 315; 315 cm2 (24 + 12) ? 10 = 180; 2 180 cm2

c) A =

d) A =

16 cm ? 20 cm = 160 cm2 2

2. A área em azul corresponde à metade da área do quadro. Assim: 7,5 ? 6,0 = 22,5 2 Resposta: 22,5 cm2.

3. De acordo com a figura, as diagonais do losango medem: 3 cm e 7 cm. Assim, a área da parte vermelha será a diferença entre as áreas do retângulo e do losango. 3?7 = Avermelha = 5 ? 7 _ 2

(10 + 6)4 + 4 ? 10 + 2

(8 + 4)2 4?8 + = 2 2

= 32 + 40 + 12 + 16 = 100 Resposta: 100 cm2. b) A = +

Unidade 6

1 024 = 16; 64

(10 + 6)4 +6?6+ 2

(14 + 6)4 +6?4= 2

= 32 + 36 + 40 + 24 = 132 Resposta: 132 cm2. 7. • Área dos trapézios: (1,2 + 0,84)0,48 = 0,9792; 2? 2 0,9792 m2. • Área do quadrado: 0,6 ? 0,6 = 0,36; 0,36 m2. • Área do retângulo menor: 0,6 ? 0,48 = 0,288; 0,288 m2. • Área do retângulo maior: 0,6 ? 1,2 = 0,72; 0,72 m2. • Área total: 0,9792 + 0,36 + + 0,288 + 0,72 = 2,3472; 2,3472 m2 1 000 mL 10 m2 x 2,3472 m2 x = 234,72 Resposta: 234,72 mL. 8. a) Seja L a medida do lado do quadrado. Assim: 4L = 20 H L = 5; 5 cm Portanto, a área do quadrado será: A = 5 ? 5 = 25 Resposta: 25 cm2.

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b) Resposta esperada: Trapézio retângulo. A=

(5 + 2,5) ? 2,5 = 9,375 2

Resposta: 9,375 cm2.

10. A = 2 ? 5 ? 5 + 2 ? 12 ? 4 + 2 ? 12 ? 5 A = 50 + 96 + 120 = 266 Resposta: 266 cm2. 11. Alternativa e. A = (0,2 + 4,4 + 0,1 + 2 + + 0,1 + 4 + 0,2) ? (0,2 + 3 + + 0,1 + 3 + 0,2) = 11 ? 6,5 = 71,5 Valor do IPTU: 4 ? 71,5 = 286; R$ 286,00

A = 9 ? (9 _ 6) ? (9 _ 7,5) ? (9 _ 4,5) A = 9 ? 3 ? 1,5 ? 4,5 = 13,5

2. a) Atangram = 4 ? 4 = 16 Resposta: 16 cm2. 4?2 4?2 = 4; II: = 4; 2 2 1?2 1?2 III: = 1; V: = 1; 2 2

b) I:

2?2 VII: =2 2 Respostas: 4 cm2; 4 cm2; 1 cm2; 1 cm2; 2 cm2.

9 48

c) Figura A:

2?2 =2 2

Figura B:

4?2 =4 2

Figura C:

4?4 =8 2

(15 + 10)h = 175 9

Figura D:

4?4 =8 2

25h = 350 H h = 14 Resposta: h = 14 m.

Respostas: 2 cm2; 4 cm2; 8 cm2; 8 cm2.

16 ? 48 256 = 9 3

Assim, a área da tela será de: 48 ?

256 = 4 096 3

Resposta: 4 096 cm2. 13. a)

6 + 7,5 + 4,5 =9 2

Resposta: 13,5 cm2.

9. Resposta pessoal.

12. 16 x

d) s =

b) A = 14 ? 25 = 350 Resposta: 350 m2. 14. a) A = (12 _ 3)2 = 81 Resposta: 81 cm2. b) A = 15 ? 15 + 81 = 306 Resposta: 306 cm2.

Atividades – p. 175 e 176 1. a) A =

4?4 =8 2

Resposta: 8 cm2. b) s =

6+5+5 =8 2

A = 8 ? (8 _ 6) ? (8 _ 5) ? (8 _ 5) H H A = 8 ? 2 ? 3 ? 3 = 12 Resposta: 12 cm . 2

6,5 ? 4,8 = 15,6 2 Resposta: 15,6 cm2.

c) A =

(7 + 3) ? (3 + 2) = 25 2 Resposta: 25 cm2.

3. A =

4. Resposta esperada: Temos que os triângulos ABC, ABD, ABE e ABF possuem AB como lado comum. Além disso, as alturas desses triângulos em relação ao lado AB têm medidas iguais, pois r e s são retas paralelas. Portanto, esses triângulos têm áreas iguais. x ? 30 H x = 50 5. a) • 750 = 2 • y + x + x = 120 y + 100 = 120 H y = 20 • Área dos pedaços: 20 ? 30 2? = 600 2 Resposta: 600 cm2. b) x = 50 cm; y = 20 cm.

6. Seja ED = x. Assim: (x + 12)8 (12 _ x)8 =2? 2 2 x + 12 = 2(12 _ x) H x = 4 Portanto, AE = 12 _ 4 = 8. Resposta: 8 m. 7. A medida de cada lado dos triângulos equiláteros é 1 cm. Assim: • Semiperímetro = 1,5 cm.

1+1+1 = 1,5; 2

• Área de cada triângulo: 1,5 ? (1,5 _ 1) ? (1,5 _ 1) ? (1,5 _ 1) = = 1,5 ? 0,5 ? 0,5 ? 0,5 1 0,43; aproximadamente 0,433 cm2. • Área da superfície: 8 ? 0,43 = = 3,46 Resposta: 3,46 cm2. 7 ? 4,8 = 84 2 Resposta: 84 cm2.

8. a) A = 5 ?

5,2 ? 4,5 = 70,2 2 Resposta: 70,2 cm2.

b) A = 6 ?

5?6 = 120 2 Resposta: 120 cm2.

c) A = 8 ?

9. Resposta pessoal.

Atividades – p. 179 a 181 1. a) A = p ? r2 H A = 3,14 ? (3,5)2 H H A = 38,465 Resposta: 38,465 cm2. b) A = p ? r2 H A = 3,14 ? (6)2 H H A = 113,04 Resposta: 113,04 cm2. 2. A = p ? r2 H 78,5 = 3,14 ? r2 H H r2 = 25 H r = 5, pois r . 0. Resposta: 5 cm. 3. Resposta pessoal. 4. a) A =

110 ? p ? 82 360

110 ? 3,14 ? 64 = 61,4 360 Resposta: 61,4 cm2.

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b) A =

Integrando com Arte – p. 182 e 183

80° ? p ? (7)2 360°

80° ? 3,14 ? 49 = 34,2 360° Resposta: 34,2 cm2.

1. Algumas respostas possíveis: Câmera fotográfica digital, tablet, webcam.

2. Respostas esperadas: Em linhas e colunas. Quanto maior a quantidade de pixels, maior a resolução da imagem.

5. a) Seja x a medida da largura: 10 1m = H x = 0,7; 0,7 m ou 7 x 70 cm.

3. a) I: 1 920 ? 1 920 = 3 686 400

3 ? 70 = 42 5 Resposta: d = 42 cm.

b) d =

3 686 400 1 3,7 megapixels; 1 000 000 II: 2 048 ? 1 536 = 3 145 728

c) A = 100 ? 70 _ 3,14 ? (21)2 = = 7000 _ 1384,74 = 5 615,26 Resposta: 5 615,26 cm2.

3 145 728 1 3,1 megapixels; 1 000 000 III: 2 048 ? 1 152 = 2 359 296

6. Alternativa a. A = p ? 42 _ 2 ? p ? 22 A = 16p _ 8p H A = 8p

2 359 296 1 2,4 megapixels. 1 000 000 b) I:

7. C = 2 ? p ? r H (491,2 _ 240) = = 2 ? 3,14 ? r H r = 40 Resposta: 40 m. A = 80 ? 120 + p ? 402 A = 9 600 + 5 024 H A = 14 624 Resposta: 14 624 m2. 8. a) A palavra “geometria” tem origem em duas palavras gregas: geo (Terra) e metria (medida), ou seja, “medida da Terra”. b) • A = p ? (4,5)2 = 3,14 ? 20,25 = = 63,585 Resposta: 63,585 cm2. 2 8 • A = [ ? 9] = 64 9

Resposta: 64 cm . 2

2 8 ? d] 9

•A=[ A=[

II:

2 048 : 512 4 = H4:3 : 512 1 536 3

III:

2 048 : 512 16 H 16 : 9 = 1 536 : 512 9

Você conectado p. 184 e 185 Mãos à obra – p. 185 1. Respostas pessoais. 2. Uma resposta possível: • octógono Aproximadamente 9,97%. • decágono Aproximadamente 6,45%. 3. Resposta esperada: A porcentagem diminui à medida que se aumenta a quantidade de lados do polígono regular circunscrito, ou seja, quanto mais lados tem o polígono, mais sua área se aproxima da área do círculo.

c) Menor que 1 cm2 d) A = [

1 920 1 = H1:1 1920 1

2 8 ? d] 9

2 8 ? 7] 9

O que estudei – p. 186 e 187

A = 38,716, ou seja, 38,716 cm .

1. Respostas pessoais.

diferença: 0,251 cm2.

2. Resposta pessoal.

8 8 ? d] H A = [ ? 12] H 9 9 H A = 113,778, ou seja, •A=[

113,778 cm2. diferença: 0,738 cm2

3. I. 5 ? 5 = 25; 25 m2. Conceitos: Área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. II. Apraça = 55 ? 30 = 1 650

Mais de 1 600 m2. Conceitos: Área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. III. Apraça = 1 m3 x

(15 + 30)10 = 225 2 25 m2 225 m2

225 = 9, ou seja, 9 m3 25 de areia. Conceitos: Área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. x=

10 ? 15 = 75; 75 m2. 2 Algumas respostas possíveis: Paralelogramo com 15 m de base e 5 m de altura; paralelogramo com 20 m de base e 3,75 m de altura; paralelogramo com 25 m de base e 3 m de altura. Conceitos: Área do triângulo; área Área de quadriláteros: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. V. 78 m2 A = p ? 52 = 78,5. Resposta: 78,5 m2. Conceitos: Área do círculo. IV. A =

Unidade 7 Estatística e probabilidade Atividades – p. 192 a 195 1. a) Resposta esperada: Conscientizar as pessoas sobre a importância de avisar a família quando se deseja ser um doador de órgãos. b) • 2016. Infográfico II. • Resposta pessoal. Infográfico III. • 14 641 transplantes. Infográfico I. c) Resposta esperada: Infográfico I – gráfico de colunas ou de barras; infográfico II – gráfico de segmentos, de colunas ou de barras; infográfico III – gráfico de setores, de colunas ou de barras. Resposta pessoal. 2. a) Sudeste. Norte.

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b) 6 064 + 12 191 + 3 419 + + 4 069 + 12 908 = 38 651. Resposta: 38 651 mortes. c) Gráfico de barras. Resposta esperada: O gráfico de barras facilita visualmente a comparação entre a quantidade de mortes em cada região do Brasil. d) Resposta esperada: Gráfico de colunas ou gráfico de setores. 3. a) Uma resposta possível:

EDITORIA DE ARTE

Porcentagem

50 40 31%

24%

628,9 + 672,1 + 550 + 765 + 440 = 5 = 611,2 Sandro: 680,4 + 602,8 + 605,6 + 563,7 + 700 = 5 = 630,5. Sandro obteve a maior média. 2. a) Média:

b) Média: 90 + 73 + 78 + 75 + 86 + 10

23% 17%

17%

10 o

jã Fei

r eo rne roz çúca Ca vina Ól soja Ar A bo de

fé

Produto

Fonte dos dados: QUANTO pagamos de impostos? G1. Disponível em: ,http://especiais.g1.globo.com/economia/2015/quanto-pagamos-deimpostos/>. Acesso em: 20 jun. 2018.

b) Resposta pessoal. 4. 1 200 _ 100 = 1 000; 1 100 casos. Resposta: Alternativa d. 5. a) Nordeste. Setor alaranjado. b) 12 747 + 19 360 + 10 681 + + 2 354 + 3 884 = 49 026 Resposta: 49 026 indígenas matriculados. Tabela. c) Azul:

12 747 = 0,26; 26%. 49 026

Alaranjado:

19 360 = 0,395; 49 026

39,5%. Cinza:

10 681 = 0,218; 21,8%. 49 026

Amarelo:

2 354 = 0,048; 4,8%. 49 026

3 884 Vermelho: = 0,079; 7,9%. 49 026 49 026 d) 1 0,0061 8 048 701 Resposta: Aproximadamente 0,61%. Resposta pessoal.

c) Domingo, segunda-feira, terça-feira e quarta-feira.

b) Cíntia:

76 + 56 + 68 + 76 + 76 + 53 + 64 = 7 = 67; moda: 76; mediana: 68.

b) 28 _ 20 = 8 Resposta: 8 °C.

1. a) Cíntia.

c) Sim.

Porcentagem aproximada de tributos em alguns produtos da cesta básica

Atividades – p. 199 a 202

+ 86 + 78 + 82 + 78 + 86 = 81,2; 10 moda: 78 e 86; mediana: 78 + 82 = 80. 2 76 + 84 + 50 + 84 = 4 = 73,5; moda: 84; mediana: 76 + 84 = 80. 2

c) Média:

d) Média: 50 + 46 + 64 + 40 + 50 + 13 + 50 + 48 + 50 + 67 + 46 + 13 + 64 + 50 + 51 = 52; 13 moda: 50; mediana: 50. e) Média: 40 + 54 + 45 + 63 + 65 + 45 = 6 = 52; moda: 45; 45 + 54 mediana: = 49,5. 2 • d e e. b e c. 3. a) Média: 27 + 28 + 26 + 25 + 21 + 21 + 20 = 7 = 24, ou seja, 24 °C; moda: 21 °C; mediana: 25 °C.

11 + 12 + 14 + 13 + 11 + x = 6 = 12 H x = 11 14 _ 11 = 3 Resposta: 11 m3. 3 m3.

5. I.

6,2 + 9,0 + 9,3 1 8,17. 3

II.

6,7 + 6,8 + 9,5 1 7,67. 3

III.

8,3 + 8,7 + 9,0 1 8,67. 3

IV.

8,5 + 7,5 + 8,5 1 8,17. 3

8,0 + 8,0 + 8,0 = 8,0. 3 Resposta: Alternativa c.

6. a) Quantidade de visitantes brasileiros em cada mês do 2o semestre de 2017. Quantidade de visitantes estrangeiros em cada mês do 2o semestre de 2017. b) Resposta esperada: Não, pois no mês de agosto a quantidade de visitantes estrangeiros foi maior do que a de brasileiros. c) 93 578 + 69 611 = 163 189 Resposta: 163 189 visitantes. d) 117 371 _ 57 871 = 59 500; 97 517 _ 57 005 = 40 512. Resposta: 59 500 visitantes brasileiros. 40 512 visitantes estrangeiros. e) • Visitantes estrangeiros: Média: 97 517 + 64 595 + 69 650 + 6 + 72 826 + 69 611 + 57 005 1 6 1 71 867, ou seja,

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aproximadamente 71 867 visitantes; mediana: 69 650 + 69 611 = 2 = 69 630,5, ou seja, 69 630 visitantes. • visitantes brasileiros: Média: 114 661 + 57 871 + 88 812 + 6 + 86 861 + 93 578 + 117 371 1 6

9. a) Eliana. b) Média: 157 + 162 + 157 + 148 + 155 = 5 = 155,8, ou seja, 155,8 cm; moda: 157 cm; mediana: 157 cm. c) A média aumentou e a moda e a mediana permaneceram as mesmas. • Média: 157 + 165 + 157 + 148 + 155 = 5 = 156,4 cm; moda: 157 cm; mediana: 157 cm.

1 93 192, ou seja, aproximadamente 93 192 visitantes; mediana: 88 812 + 93 578 = 91 195, ou 2 seja, 91 195 visitantes. (8 + x) 7. = 10 H x = 12; 12 anos 2 Resposta: Gael. 8. a) Resposta esperada: Da produção de ovos no Brasil nos meses de cada trimestre de 2017. b) Fevereiro. Junho. c) Outubro. 288 326 mil dúzias de ovos. d) 1o trimestre: 270 661 + 250 989 + 268 896 1 3 1 263 515; 263 515 mil dúzias de ovos 2o trimestre: 269 936 + 278 764 + 271 698 1 3 1 273 466; 273 466 mil dúzias de ovos 3o trimestre: 281 224 + 285 160 + 277 524 1 3 1 281 303; 281 303 mil dúzias de ovos 4o trimestre: 288 326 + 283 022 + 286 860 1 3 1 286 069; 286 069 mil dúzias de ovos • 4o trimestre.

15 ? 1 080 = 162; 100 162 visitantes.

Quinta-feira:

22,5 ? 1 080 = 100 = 243; 243 visitantes. Sexta-feira:

b) Visitantes da feira cultural Dia da semana

Frequência Frequência Frequência Frequência acumulada acumulada relativa (f) relativa (fa) (fr) (far)

Segunda-feira

216

Terça-feira

135

351

Quarta-feira

324

675

30%

62,50%

Quinta-feira

162

837

15%

77,50%

Sexta-feira

243

1 080

22,50%

100%

Total

1 080

(7,9 + 8,1) = 8; 8%. 10. mediana: 2 Resposta: Alternativa b.

20%

12,50% 32,50%

100% Fonte: Diretoria da escola.

c) Resposta pessoal.

Atividades – p. 205 1. a) Nível básico. Nível avançado. b) 15%.

Atividades – p. 208 1. a) 0 ¿ 250.

c) 12 + 36 = 48 Resposta: 48 alunos.

b) 45 + 18 = 63 Resposta: 63 municípios.

d) 90%

c) • Aproximadamente 2,7%. • 60% + 24% + 8% = 92%.

2. a) 30 atendentes. b) Funcionários da empresa Frequência Frequência Frequência Frequência acumulada acumulada relativa Classificação (f) relativa (fa) (fr) (far) Júnior

50%

Pleno

30%

80%

Sênior

20%

100%

Total

100%

Fonte: Departamento de recursos humanos da empresa.

c) 24 atendentes. 80%. 20 ? 1 080 = 3. a) Segunda-feira: 100 = 216; 216 visitantes. Terça-feira: 12,5 ? 1 080 = 135; 135 100 visitantes. Quarta-feira:

30 ? 100

? 1 080 = 324; 324 visitantes.

d) Resposta esperada: Não, pois nessa tabela de distribuição de frequências os dados estão agrupados em intervalos de classe, não apresentando a extensão territorial de cada município. 2. a) Concentração da vitamina D em pessoas adultas NanograFrequência Frequência Frequência ma por Frequência acumulada acumulada relativa (f) mililitro relativa (fa) (fr) (ng/mL) (far) 0 ¿ 20

36,67% 36,67%

20 ¿ 40

53,33%

90%

40 ¿ 60

10%

100%

Total

100% Fonte: Pesquisadores da universidade.

b) • 12 pessoas. •

12 = 0,4 30 Resposta: 40%.

c) Resposta pessoal.

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1. a) Resposta esperada: Verificar quantos livros inteiros cada aluno leu, em média, durante o ano para identificar a melhor ação a ser realizada para o incentivo à leitura dos alunos no ano letivo seguinte. b) Por amostra. Resposta esperada: A escola possui uma grande quantidade de alunos.

c) • Maurício. Alan. • Laís. 2. a) • comprimento: Cássio.

e) Menor. f) Ações II e III, pois a pesquisa apontou que, em média, cada aluno leu 1,6 livro inteiro durante o ano (1,6 < 4 e 1,6 , 2). 2. Pesquisa censitária: III; pesquisa por amostra: I, II e IV. I: sistemática; II: estratificada; IV: casual simples.

1 2 . . 0. 3 3

c) 1 3. a) •

1 30

•1_

4. a) 35, 42, 11, 23 ou 44.

Soma 2:

2 1 + =1 36 36

2 1 ou . 20 10

d) •

12 1 ou 24 2

•

12 1 ou 24 2

1. a) Resposta pessoal.

Você conectado – p. 222 e 223 Mãos à obra – p. 223 1. a) Cláudia. Catarina. b) Média. c) • Nenhum. • 8 funcionários. • 4 funcionários.

Tema

Quantidade de votos

Povos indígenas

Diversidade ambiental

Fontes e tipos de energia

Recursos hídricos

5 Fonte: Alunos do 8o ano.

8 2 ou . 20 5

Integrando com Geografia e História – p. 220 e 221

3. Resposta pessoal.

Votação para a escolha do tema da pesquisa

b) •

6. Resposta pessoal.

2. Resposta esperada: Neste trecho, o escritor relata a contribuição de seu avô na aceitação e valorização por ele da cultura de seu povo, corroborando com as informações apresentadas no texto, em que é destacada a importância do papel das pessoas idosas.

•1 5. a)

5 1 ou ]. 20 4

b) Resposta pessoal.

b) 4 ? 6 = 24 Resposta: 24 números.

1. a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12.

•

[

b) Menina, pois a probabilidade de sortear o nome de uma menina é maior que a de sortear o nome de um menino.

Atividades – p. 218 e 219

1 2 3 4 5 + + + + + b) 36 36 36 36 36 6 5 4 3 + + + + + 36 36 36 36

3 2 = 5 5

•1

3. Resposta pessoal.

1 2 ; soma 3: ou 36 36 1 3 1 ; soma 4: ou ; soma 5: 18 36 12 4 1 5 ou ; soma 6: ; soma 7: 36 9 36 6 1 5 ou ; soma 8: ; soma 9: 36 6 36 4 1 3 ou ; soma 10: ou 36 9 36 1 2 1 ; soma 11: ou ; soma 12 36 18 1 12: . 36

5 1 ou . 20 4

c) Resposta esperada: Não, pois para obter 1 devemos adicionar as probabilidades de todas as possíveis ocorrências. Nesse caso, faltaria adicionar a probabilidade de o tema sorteado ser “Recursos hídricos”

• longevidade: Cássio.

c) 60 alunos. d) Gráfico de colunas: frequência; gráfico de setores: frequência relativa.

•

• massa: Sabrina.

EDITORIA DE ARTE

Atividades – p. 214 e 215

2. Média: R$ 1 516,00; moda: R$ 1 300,00; mediana: R$ 1 450,00. Resposta pessoal.

O que estudei – p. 224 e 225 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I.

24 + 13 + 18 + 15 + 10 = 16. 5

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Resposta: 16 alunos. Conceitos: Tabela simples; medidas de tendência central; média aritmética, moda e mediana. 40 ? 80 = 32. II. 100 Resposta: 32 alunos. Conceitos: Tabela simples; gráfico de setores. III. Resposta esperada: Gráfico de colunas ou de barras. Conceitos: Gráfico de colunas; gráfico de barras; tabela simples. IV. Resposta esperada: Distribuição de frequências e intervalo de classes. Conceitos: Distribuição de frequências; intervalo de classes. V. Resposta esperada: Azul, pois há mais alunos matriculados nessa faixa do que nas demais. Conceitos: Probabilidade; tabela simples.

Unidade 8 Medidas de volume e capacidade Atividades – p. 230 e 231 1. a) 4 b) 15 c) 2,8 d) 120 e) 37,6 f) 700 2. 300 mL x

5g 250 g

300 ? 250 = 15 000; 15 000 mL 5 ou 15 L.

3. 1 500 mL + 200 mL + 200 mL + + 200 mL + 200 mL = 2 300 mL 4. 24 m3 = 24 000 L 150 L 24 000 L x= 5. a)

1 min x

24 000 ? 1 = 160; 160 min 150 1 000 L 5

= 200; 200 L

b) 18 000 L _ 10 000 = 8 000; 8 000 L, ou seja, 8 m3.

6. a) Uma resposta possível: Encher o recipiente grande e despejar a água no recipiente pequeno. No recipiente grande vão sobrar 400 mL de água. b) Uma resposta possível: Encher o recipiente pequeno e despejar a água no recipiente grande. Encher novamente o recipiente pequeno e despejar a água no recipiente grande. Encher o recipiente pequeno. No recipiente grande há 600 mL de água, enquanto no recipiente pequeno há 300 mL de água, totalizando 900 mL de água. c) Uma resposta possível: Encher o recipiente grande e despejar a água no recipiente pequeno. No recipiente grande vão sobrar 400 mL de água. Descartar a água do recipiente pequeno e enchê-lo novamente com água do recipiente grande. No recipiente grande vão sobrar 100 mL. Descartar a água do recipiente pequeno e despejar o restante da água do recipiente grande. Encher o recipiente grande. No recipiente grande há 700 mL de água, enquanto no recipiente pequeno há 100 mL, totalizando 800 mL de água. 7. a) • 24 ? 30 ? 6 = 4 320; 4 320 L. • 20 ? 30 ? 3 + 4 ? 30 ? 6 = = 2 520; 2 520 L. b) 4 320 _ 2 520 = 1 800; 1 800 L, ou seja, 1,8 m3. 365 ? [(24 ? 6) _ (20 ? 3 + 4 ? 6)] = = 21 900; 21 900 L, ou seja, 21,9 m3. 8. a) 5 doses. b) 0,5 mL 5 mL

5 pessoas x

5?5 = 50 0,5 Resposta: 50 pessoas.

c) 16 500 000 ? 0,1 + + 5 200 000 ? 0,5 = 4 250 000; 4 250 000 mL, ou seja, 4 250 L.

Atividades – p. 234 e 235 1. a) 15 ? 7 ? 5 = 525, ou seja, 525 cm3. b) 10 ? 9 ? 9 = 810, ou seja, 810 cm3. c) 20 ? 16 ? 8 = 2 560, ou seja, 2 560 cm3. 20 ? 6 ? 50 = 300, ou seja, 300 cm³. 20 3. Algumas respostas possíveis: 4 dm x 3 dm x 2,5 dm; 6 dm x 2 dm x 2,5 dm; 5 dm x 2 dm x 3 dm.

4. 60 ? 80 ? 35 + 15 ? 25 ? 80 = = 198 000; 198 000 cm3 5. Cálculo do volume em dm3: V = 12 ? 150 ? 300 = = 540 000; 540 000 dm3, ou seja, 540 000 L 360 L 1 minuto 540 000 L x 540 000 = 1 500; 1 500 x= 360 minutos ou = 25 h 6. Vbloco = 4 ? 16 ? 8 = 512; 512 cm3 A medida da aresta de um cubo para que ele tenha o volume igual a 512 cm3 deve ser de 8 cm, pois 8 ? 8 ? 8 = 512; 512 cm3. 7. Resposta pessoal. 8. V = 25 ? 25 ? 25 = = 15 625; 15 625 cm3 2,7 g 1 cm3 x 15 625 cm3 x = 2,7 ? 15 625 = 42 187,5; 42 187,5 g, ou seja, aproximadamente 42,19 kg 9. a) I: V = 9 ? 6 ? 4 = 216; II: V = 10 ? 3,6 ? 6 = 216 Respostas: 216 cm3; 216 cm3. b) Não. Sim. c) I: bloco retangular: 216 mL; embalagem: 200 mL. II: bloco retangular: 216 mL; embalagem: 200 mL. Não. Algumas respostas possíveis: As medições realizadas por Eleonora para a representação dos modelos matemáticos não foram precisas. As medições realizadas por

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Eleonora para a representação dos modelos matemáticos correspondem à parte externa das caixinhas. A quantidade de água de coco em cada caixinha não ocupa todo o espaço interno.

4. Resposta pessoal. 5. a) V = p ? r2 ? h = 3,14 ? (2)2 ? 0,5 = = 6,28 Resposta: 6,28 m3 ou 6 280 L. b)

d) Resposta pessoal.

6 280 = 785; 785 L 8

6. Alternativa b.

Atividades – p. 238 e 239 1. a) V = p ? r ? h = 3,14 ? (6) ? 10 = = 1 130,4 Resposta: 1 130,4 cm3. 2

b) V = p ? r ? h = 3,14 ? (4) ? 15 = = 753,60 Resposta: 753,60 cm3. 2

c) V = p ? r2 ? h = 3,14 ? (5)2 ? 18 = = 1 413 Resposta: 1 413 cm3. 2. Silo I. VI _ VII = 3,14 ? (2,5)2 ? 6 _ 3,14 ? ? (3)2 ? 4 = 117,75 _ 113,04 = 4,71 Resposta: 4,71 m3. 3. Vcopo = p ? r2 ? h = 3,14 ? (2,5)2 ? 14 = = 274,75 1 copo 274,75 cm3 x 2 000 cm3 2 000 1 7,3 274,75 Portanto, será possível encher, no máximo, 7 copos.

V1 = 1,6 ? V2 H 3,14 ? (6)2 ? 4 = = 1,6 ? 3,14 ? (3)2 ? x H x = 10 Resposta: x = 10 cm. 7. a) V = p ? r2 ? h = 3,14 ? (6)2 ? 4 = = 452,16 Resposta: 452,16 cm3. b) Resposta pessoal. 8. Resposta pessoal.

Integrando com Ciências – p. 240 e 241 1. Respostas pessoais. 2. Alternativa c. 3. a) Resposta esperada: Não, pois com exceção de 2014, os demais anos indicam que o consumo de refrigerantes per capita diminuiu em relação ao ano anterior. b)

70 000 = 200; 200 latas 350

1 lata 37 g 200 latas x x = 200 ? 37 = 7 400 Resposta: 7 400 g ou 7,4 kg. 4. Resposta pessoal.

O que estudei – p. 242 e 243 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. V = 6 ? 24 ? 37 = 5 328. Resposta: 5 328 cm3 ou 5,328 L. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade; volume do bloco retangular e volume do cubo. II. Sim, pois a assadeira cilíndrica tem capacidade para aproximadamente 1 570 cm3 (3,14 ? (10)2 ? 5 = 1 570). Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade; volume do cilindro. III. Assadeira cilíndrica. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade. IV. Algumas possíveis respostas: 18 cm de diâmetro e 5 cm de altura; 20 cm de diâmetro e 4 cm de altura. Conceitos: Medidas de volume; medidas de capacidade; volume do cilindro.

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MATERIAL DE APOIO Malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado

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Esta malha quadriculada serรก utilizada nas Unidades 2 e 7.

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Tabuleiro Batalha naval Este tabuleiro serรก utilizado na Unidade 2.

1 2 3 4 5 6 7 8

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Malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 0,5 cm de lado

EDITORIA DE ARTE

Esta malha quadriculada serรก utilizada nas Unidades 5 e 7.

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Molde de um triângulo com o baricentro indicado

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Este molde será utilizado na Unidade 5.

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Tangram

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Este tangram serรก utilizado na Unidade 6.

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Molde de uma representação de tetraedro

EDITORIA DE ARTE

Este molde será utilizado na Unidade 7.

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Molde de uma representação de cubo

EDITORIA DE ARTE

Este molde será utilizado na Unidade 7.

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Molde de um bloco retangular

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Este molde serรก utilizado na Unidade 8.

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Molde de um cilindro

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Este molde serรก utilizado na Unidade 8.

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