matematica realidade 9 by Editora FTD

Matemática

Realidade & Tecnologia

JOAMIR ROBERTO DE SOUZA Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Especialista em Estatística pela UEL-PR. Mestre em Matemática pela UEL-PR. Atua como professor de Matemática da rede pública de ensino. Autor de livros didáticos para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio.

MANUAL DO PROFESSOR

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

1˜ edição – São Paulo – 2018

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Copyright © Joamir Roberto de Souza, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editor de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Coordenadora de preparação e revisão Supervisora de preparação e revisão Revisão

Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Iconografia Licenciamento de textos Supervisora de arquivos de segurança Diretor de operações e produção gráfica

Antonio Luiz da Silva Rios Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva João Paulo Bortoluci Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Luís Felipe Porto Mendes Ana Cláudia Barreto, André Lima Rodrigues, Francisco Mariani Casadore, Josemar Carlos Marques, Teresa Dias/Atalante Editores, Willian Seigui Tamashiro Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Carolina Alves Ferreira Carolina Alves Ferreira bibiphoto/Shutterstock.com Isabel Cristina Ferreira Corandin Eduardo Benetorio Vanessa Novais, Adriana Maria Nery de Souza, Dayane Santiago, Débora Jóia, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin, Nadir Fernandes Rachetti Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Marcia Berne Lilian Semenichin Maria Clara Paes Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana, Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra, Yara Affonso Elaine Bueno Rosa André Carla Marques, Vanessa Trindade Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Souza, Joamir Roberto de Matemática realidade & tecnologia : 9o ano : ensino fundamental : anos finais / Joamir Roberto de Souza. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2018. Componente curricular: Matemática ISBN 978-85-96-01998-9 (aluno) ISBN 978-85-96-01999-6 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 18-20863

CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental

372.7

Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

EDITORA FTD. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. 0800 772 2300 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br central.relacionamento@ftd.com.br

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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APRESENTAÇÃO Caro Professor, As mudanças que vêm ocorrendo no mundo têm causado significativo impacto sobre as sociedades. As novas tecnologias da informação e comunicação, por exemplo, produziram profundas mudanças nas relações interpessoais e na democratização da informação. A internet, os programas de computador e aplicativos de smartphones e tablets tornaram possível o acesso a conhecimentos que, até pouco tempo atrás, eram restritos a determinados grupos de estudiosos. Todas essas mudanças afetaram diretamente a educação, sobretudo na sala de aula. Esta coleção foi elaborada considerando esse ambiente em transformação, nos aspectos social, tecnológico e cultural. Acreditamos que o estudo da Matemática é de fundamental importância na formação de cidadãos aptos a viver em sociedade, fazendo valer seus direitos e deveres individuais e coletivos. Modelos de práticas de aula mais atuais, que buscam considerar os alunos e os professores como protagonistas do processo de ensino-aprendizagem, têm sido cada vez mais adotados. Nesse sentido, estudos em Educação matemática têm produzido um amplo e variado repertório de concepções, ideias e teorias que buscam promover o ensino da Matemática. Neste Manual do professor, procuramos incluir elementos que compõem essa produção acadêmica, como textos sobre tendências em Educação matemática e avaliação. Outro fator relevante nesse ambiente educacional em mudança é a implementação da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Considerando também que o livro do aluno exige complementos que potencializem as aulas, propusemos aqui recursos importantes, como comentários específicos, que ampliam as discussões sobre conceitos em estudo, complementam as atividades propostas e indicam elementos externos ao livro didático, como sites e vídeos, entre outros recursos. Com isso, esperamos que a efetivação do uso dos livros da coleção em sala de aula seja a mais completa possível, valorizando o trabalho docente e estimulando a participação e o comprometimento dos alunos. O autor.

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SUMÁRIO Conhecendo a coleção ......................................................... V Material impresso .......................................................... V Material digital .......................................................... XIII

A Base Nacional Comum Curricular ...................................XIV A BNCC e os currículos................................................. XVI A área de Matemática ................................................ XVII A BNCC e a coleção ...................................................XXXI

Fundamentos teóricos e metodológicos da coleção ...... XXXV O livro didático de Matemática ................................. XXXV Proposta didático-pedagógica .................................. XXXVI Algumas tendências em Educação matemática........... XXXIX O papel do professor .................................................XLIV Orientações para avaliação ............................................. LI

Sugestões de leitura e de acesso à (in)formação do professor................................................LVIII Material de estudo para a formação continuada do professor ............................................ LVIII Revistas ......................................................................LIX Sites ............................................................................LX Livros .........................................................................LXI

Bibliografia consultada ................................................... LXIV Orientações específicas para o Volume 9 Unidade 1 ....................................................................12 Unidade 2 ....................................................................48 Unidade 3 ....................................................................78 Unidade 4 ..................................................................108 Unidade 5 ..................................................................138 Unidade 6 ..................................................................168 Unidade 7 ..................................................................196 Unidade 8 ..................................................................228 Resoluções................................................................. 257 Material de Apoio ...................................................... 286

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CONHECENDO A COLEÇÃO MATERIAL IMPRESSO MANUAL DO PROFESSOR Esta coleção é composta de quatro livros de Matemática destinados aos anos finais do Ensino Fundamental. Em cada volume estão presentes as Orientações gerais, comuns aos quatro livros da coleção, e as Orientações específicas. As Orientações gerais apresentam os pressupostos teórico-metodológicos que fundamentam a coleção, bem como reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática, além de discussões sobre tendências em Educação matemática. A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um dos documentos que nortearam as reflexões e a elaboração da obra. Nas Orientações específicas, o manual é organizado em formato de U. Nesse formato, o livro do aluno, com as respostas das atividades, é apresentado em tamanho reduzido, enquanto nas laterais e na parte inferior das páginas há comentários e orientações didáticas correspondentes às atividades propostas e aos conteúdos disponíveis nas páginas do livro do aluno. Nessa parte do manual, as orientações para o professor foram estruturadas como indicamos a seguir.

UNIDADES TEMÁTICAS Resposta pessoal.

UNIDADES TEMÁTICAS

• Números. • Grandezas e medidas. OBJETOS DE CONHECIMENTO

OBJETOS DE CONHECIMENTO São listados os objetos de conhecimento da BNCC abordados na Unidade.

• Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta. • Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica. • Potências com expoentes negativos e fracionários. • Números reais: notação científica e problemas. • Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas. • Unidades de medida utilizadas na informática.

São explicitados os códigos das habilidades da BNCC desenvolvidas no estudo da Unidade.

EF09MA01 EF09MA02 EF09MA03 EF09MA04 EF09MA18

COMPETÊNCIAS São destacadas as competências gerais e as competências específicas de Matemática da BNCC para as quais é dada maior ênfase no desenvolvimento da Unidade.

GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Você conhece outras uma língua indígena?

O tronco linguístico T linguística Tupari é co

De que outra maneir indicadas no esquema

Línguas indígenas

COMPETÊNCIAS

HABILIDADES

CONJUNTOS NUMÉRICOS, POTÊNCIAS E RAÍZES

Talvez você não saiba, mas muitas palavras que utilizamos no dia a dia têm origem em línguas indígenas. A palavra “pipoca”, por exemplo, tem origem tupi (pi’poka) e significa “pele rebentada”, fazendo referência ao grão de milho que estoura ao calor do fogo. No Brasil, estima-se que cerca de 150 línguas são faladas pelos indígenas e algumas delas possuem semelhanças entre si, o que pode indicar que elas têm origens comuns. Com base nisso, os especialistas em linguística organizam essas línguas em troncos e famílias linguísticas, dependendo se as semelhanças entre as línguas são mais sutis ou não, respectivamente. Por exemplo, as línguas indígenas, no Brasil, são organizadas em dois grandes troncos: Tupi e Macro-Jê. Cada tronco é composto de famílias, que por sua vez correspondem a grupos de línguas faladas pelos indígenas. Observe um exemplo no esquema apresentado nestas páginas. Nele está indicado o tronco linguístico Tupi, com todas as suas famílias linguísticas e todas as línguas que fazem parte de uma dessas famílias.

HABILIDADES • • • • •

Converse com os colegas

AMPLA ARENA

São apresentadas as unidades temáticas da BNCC trabalhadas na Unidade.

Acesse este site para obter mais informações sobre as línguas indígenas: • MIRIM POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Línguas indígenas. Disponível em: <http://livro.pro/vnfsio>. Acesso em: 5 out. 2018.

Árvore linguística do Tupi.

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2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da

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Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS São apresentadas orientações sobre os conteúdos propostos, bem como formas de articular a abordagem desses conteúdos ao desenvolvimento das habilidades de Matemática da BNCC. São propostas questões problematizadoras, sugestões de ampliação de algumas atividades, além de encaminhamentos que podem auxiliar o professor a esclarecer dúvidas e planejar estratégias de ensino.

Teorema de Tales

• 1o caso Seja um feixe de retas paralelas r, s e t, que determina na reta transversal u os segmentos de reta congruentes AB e BC. Uma outra reta transversal v cruza esse mesmo feixe de retas nos pontos D, E e F.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E EQUAÇÕES DO 2O GRAU

NYPL/SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES

[…] Segundo a tradição a geometria demonstrativa começou com Tales de Mileto, um dos “sete sábios” da Antiguidade, durante a primeira metade do sexto século a.C. Segundo parece, Tales começou sua vida como mercador, tornando-se rico o bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e a algumas viagens. Diz-se que ele viveu por algum tempo no Egito, e que despertou admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra […]. De volta a Mileto ganhou reputação, graças a seu gênio versátil, de estadista, conselheiro, engenheiro, homem de negócios, filósofo, matemático e astrônomo. Tales é o primeiro personagem conhecido a quem se associam descobertas matemáticas. […]

Fonte dos dados: GODOY, P. R. T. (Org.). História do pensamento geográfico e epistemologia em geografia. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2010. p. 17-18. Disponível em: <www.creasp.org.br/biblioteca/ wp-content/uploads/2012/05/ Historia_do_pensamento_geografico. pdf>. Acesso em: 16 out. 2018.

a Bprincipal

Escultura do busto de Tales de Mileto.

Um feixe de retas paralelas determina, em duas retas transversais, segmentos de reta ordenadamente proporcionais entre si. Com base nesse teorema, considerando um feixe de retas paralelas r, s e t e duas retas u e v transversais a esse feixe, podemos escrever as seguintes proporções:

r//s//t Os reservatórios cheios de água favorecem a geração de energia. Neste caso, a tarifa não tem acréscimos*.

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Ao enunciar o teorema de Tales, explicar aos alunos que um feixe de retas paralelas corresponde a um conjunto de retas de um mesmo plano e paralelas entre si.

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Veja no material audiovisual o vídeo sobre um feixe de retas paralelas cortadas por retas transversais.

Bandeira vermelha.

Os reservatórios com pouca água não são favoráveis à geração de energia. Neste caso, os valores para o acionamento dessa bandeira são divididos em dois patamares: Patamar 1: a tarifa tem acréscimo de R$ 0,03 por quilowatt-hora consumido; Patamar 2: a tarifa tem acréscimo de R$ 0,05 por quilowatt-hora consumido.

G • CPFL. Cartilha de utilização consciente da energia elétrica. Disponível em: C <http://livro.pro/9j6sjh>. Acesso em:F 22 out. t 2018. H

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Usinas hidrelétricas. MAR ABR 2016 2016

A resposta dependerá do mês em que este item for realizado. NOV DEZ 2016 2016

MAR ABR 2017 2017

JUN JUL AGO SET OUT 2017 2017 2017 2017 2017

DEZ JAN 2017 2018

MAIO 2018

Fontes dos dados: ANEEL. Por dentro da conta de luz. Disponível em: <www.aneel.gov.br/documents/656877/ 14913578/Por+dentro+da+conta+de+luz/9b8bd858-809d-478d-b4c4-42ae2e10b514>. ANEEL. Bandeiras tarifárias. Disponível em: <www.aneel.gov.br/bandeiras-tarifarias>. Acessos em: 9 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 2 e à competência específica 7 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema sobre bandeiras tarifárias permite ao

aluno investigar, refletir e analisar de maneira crítica para criar soluções para problemas de urgência social, como consumo consciente de energia elétrica, com base em princípios democráticos, sustentáveis e solidários. Aproveitar o tema e promover uma discussão sobre

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os motivos pelos quais alguns reservatórios ficam com pouca água em determinados períodos do ano, acarretando a redução da produção de energia elétrica e a mudança na cor da bandeira para amarela ou vermelha. Propor a eles que investiguem as causas e se os seres humanos interferem de

NO DIGITAL – 2o bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 3 e 4. • Desenvolver o projeto integrador sobre cuidados com a alimentação e a prática de atividade física como hábitos de vida mais saudáveis. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF09MA06, EF09MA07, EF09MA08 e EF09MA09. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

NO AUDIOVISUAL Indicações de materiais audiovisuais produzidos exclusivamente para a coleção.

Sugerir aos alunos que acessem este site para consultar a bandeira tarifária vigente no mês atual. • ANEEL. Bandeiras tarifárias. Disponível em: <http:// livro.pro/sa3zbm>. Acesso em: 2 out. 2018.

Explique como é calculado o acréscimo na tarifa de energia elétrica de uma 147 residência quando está em vigor a bandeira tarifária vermelha no patamar 2, segundo os valores e período apresentados.

NO AUDIOVISUAL Bandeiras tarifárias em vigor desde janeiro Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo de 2015 a maio de 2018 sobre um feixe de retas paralelas cortadas por retas transversais. Nesse vídeo abordam-se algumas relações entre ângulos determi-Bandeira Bandeira Bandeira Bandeira vermelha nados por verde duas retas que seamarela cruzam, bem como congruências entrevermelha JAN 2015 (Patamar 1) (Patamar 2) ângulos em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal. Além disso, apresenta-se o teorema de Tales, comentando como ele possivelmente teria chegado à conclusão que permitiu enunciar essa propriedade matemática. A Itaipu Binacional é a maior hidrelétrica do Brasil. Fotografia de 2014.

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AMPLIANDO

Assim, pelo caso de congruência entre triângulos LAAo, os triângulos DGE e EHF são conConverse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. gruentes. Logo, DE 9 EF. DE AB Qual é a principal fonte de geração de energia elétrica no Brasil? = = 1, ou seja, os segmentos de reta AB e BC são proporcionais aos Além disso, EF BC segmentos de reta DE e EF. Faça uma pesquisa e indique qual é a bandeira tarifária vigente no mês atual.

* Os acréscimos à tarifa são referentes aos valores em vigor em maioD3-MAT-F2-2049-V9-138-167-U05-LA-G20.indd de 2018. 11/22/18 10:08 AM 147

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periodicos.ufsc.br/index.php/revemat/ article/view/12993>. Acesso em: 11 out. 2018.

Os reservatórios, quando estão esvaziando, são menos favoráveis à geração de energia. Neste caso, a tarifa tem acréscimo de R$ 0,01 por quilowatt-hora consumido.

alguma maneira nesta redução da produção de energia. Dizer aos alunos que nas tarifas se considera a bandeira verde e que, apenas no caso de redução da produção de energia elétrica, a bandeira amarela ou a vermelha é acionada. Uma sugestão após este trabalho é propor aos alunos a elaboração de uma atividade cujo foco seja buscar soluções coletivas que visem reduzir o consumo de energia elétrica na escola. Inicialmente, os alunos podem se organizar em pequenos grupos e propor ações possíveis de serem implementadas pela escola. Eles podem pesquisar em revistas, livros, jornais, internet e discutir com os colegas do grupo quais ações seriam pertinentes. É importante que os grupos discutam e compartilhem as informações obtidas. Verificar a possibilidade de propor à escola as ações discutidas.

E fonte

Acesse este site para obter mais dicas de economia de energia elétrica.

ESTÚDIO AMPLA ARENA

Sistema D de Bandeiras Tarifárias r AB DE = • Bandeira Bandeira BC EF E verde. amarela. s AC DF • = BC EF F AC DF t • = AB DE EDITORIA DE ARTE

No Brasil, de geração de energia são as usinas hidrelétricas. Para s funcionarem, elas dependem do nível de água nos reservatórios, que são alimentados por C F t rios (que foram represados) e também pela água da chuva. Quando o nível de água nesses rervatórios é baixo, isso pode comprometer a capacidade de geração de energia elétrica. É, então, necessário utilizar fontesà alternativas de geração de energia, como as usinas terTraçando dois segmentos de reta DG e EH, paralelos reta u, obtemos os paralelogramos usinas são mais ABGD e BCHE, nos quais melétricas. AB 9 DG eEssas BC 9 EH. Assim, DGpoluentes 9 EH. e têm o custo de geração de energia maior do que o das hidrelétricas. u v Para compensar o aumento no custo de geração de energia no país, quando as termeléD A r em 2015, pela Agência Nacional de Energia Elétrica tricas são acionadas, foi regulamentado (Aneel), o chamado Tarifárias. Nele, são definidos acréscimos à tarifa B Sistema deE Bandeiras s cobrada do consumidor, G de acordo com as condições de custo de geração de energia no F mês, e estes sãoC sinalizados ao consumidor por meio de bandeiras com as mesmas cores t H do semáforo: verde, amarela e vermelha. No entanto, independentemente da bandeira tarifária em vigor, é importante que todos Como as retas DG e EH são paralelas entre si e cruzam as retas paralelas s e t, os ângulos DGE se preocupem em economizar energia elétrica no dia a dia, adotando atitudes como manter e EHF são congruentes. Note também que o par de ângulos GED e HFE também são congruentes, apagadas as lâmpadas em ambientes que não estão sendo utilizados, diminuir o tempo do pois são correspondentes entre si. Resposta esperada: Multiplica-se por R$ 0,05 o consumo banho, entre outras. de energia elétrica em quilowatt-hora. u v

Uma das contribuições de Tales à Geometria é o teorema que recebeu o seu nome e está enunciado a seguir.

Bandeiras tarifárias

EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 94-95.

Ler para os alunos o trecho a seguir, sobre a origem do nome teorema de Tales.

BONGIOVANNI, V. O Teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico. Revemat: Revista Eletrônica de Educação Matemática. Florianópolis, v. 2, n. 1, p.94-106, 2007. Disponível em: <https://

De acordo com o texto apresentado na página anterior, Tales é considerado por muitos o estudioso que deu início à chamada geometria demonstrativa, que se refere à maneira como apresentava os resultados de seus estudos matemáticos. Ele, diferentemente de outros estudiosos de seu tempo, se preocupava em deduzir de maneira lógica e organizada esses resultados. Seguindo essa ideia, verificaremos a seguir a validade do teorema de Tales por meio de dois casos: o 1o caso, quando um feixe de retas paralelas determina em uma reta transversal segmentos de reta congruentes; e o 2o caso, quando esse feixe determina nessa reta transversal segmentos de reta com medidas racionais quaisquer. Observe.

Você já ouviu falar de Tales de Mileto (c. 640 a.C.-c. 564 a.C.)? Leia o texto a seguir, que contém algumas informações a respeito dele.

JANTROYKA/ISTOCKPHOTO GETTY IMAGES

Teorema de Tales Os chamados setes sábios da Antiguidade viveram entre os séculos VII a.C. e VI a.C., na Grécia Antiga, e são reconhecidos por sua notória sabedoria. A lista dos sete sábios sofreu algumas variações no decorrer do tempo, porém a que se tornou conhecida cita: Tales de Mileto Periandro de Corinto (627 a.C.-585 a.C.), Pítaco de Mitilene (640 a.C.-568 a.C.), Brias de Priene (século VI a.C.), Cleóbulo de Lindos (por volta de 600 a.C.), Sólon de Atenas (640 a.C.-558 a.C.) e Quílon de Esparta (século VI a.C.).

[...] A questão da proporcionalidade era de grande importância para os gregos, principalmente na arquitetura e agrimensura. Por isso, conjectura-se que a primeira sistematização da geometria pode ter sido em torno da questão da proporcionalidade de segmentos determinados por um feixe de retas paralelas e outro de retas transversais. Essa questão durante muitos séculos foi denominada de teorema dos segmentos proporcionais. No final do século XIX, na França, alguns autores denominaram esse resultado de teorema de Tales, denominação que persiste até hoje. [...]

São apresentadas sugestões de sites e leituras complementares que podem contribuir para a formação continuada do professor, bem como para o trabalho em sala de aula, permitindo a ampliação das atividades propostas no livro do aluno. Há também a indicação de materiais extras destinados aos alunos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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NO DIGITAL Indicação de planos de desenvolvimento, projetos integradores, sequências didáticas e propostas de acompanhamento da aprendizagem que podem ser encontrados no Manual do professor – Material digital e que têm o propósito de enriquecer a prática pedagógica.

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LIVRO DO ALUNO Esta coleção é composta de quatro livros de Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental. Cada um desses livros é organizado em oito Unidades, que possuem abertura, atividades, seções e boxes. A seguir, apresentaremos algumas informações sobre cada um desses elementos. Atividades As atividades abordam e discutem os conteúdos ou conceitos matemáticos em estudo. É importante que as atividades realizadas pelos alunos sejam sempre corrigidas em sala de aula, inclusive as propostas definidas como extraclasse. Na parte final do Manual do professor de cada Volume são apresentadas resoluções detalhadas das atividades propostas no livro.

Atividades

Dica Nesse boxe o aluno encontra dicas ou lembretes que buscam auxiliá-lo no entendimento de alguma informação, contribuindo para a compreensão de algum aspecto conceitual ou para a resolução de uma atividade. Vocabulário Algumas palavras utilizadas no texto do livro são destacadas e o significado correspondente é apresentado nesse boxe, contribuindo para a compreensão das informações apresentadas. Para pensar Neste boxe são propostas ao aluno questões para que ele possa refletir, analisar e argumentar sobre informações necessárias para a compreensão de determinado assunto ou conceito em estudo. Conexões São apresentadas ao aluno sugestões de sites e de livros que ele pode consultar para ampliar o conhecimento sobre certo tema que está sendo estudado. Fique ligado No decorrer do livro, este boxe apresenta informações complementares ao tema em estudo, possibilitando que este seja ampliado. Este ícone indica que a resposta da atividade deve ser realizada oralmente pelo aluno. Nesses casos, tem-se a oportunidade de promover entre a turma o compartilhamento de ideias.

Nas atividades identificadas com este ícone é sugerido que o cálculo ou o procedimento de resolução seja realizado mentalmente. Nesses casos, é importante valorizar as diferentes estratégias utilizadas pelos alunos.

A realização das atividades indicadas com este ícone pode ser feita com a turma organizada em pequenos grupos, conforme orientação específica no enunciado.

As atividades identificadas com este ícone podem ser resolvidas pelo aluno com o auxílio de uma calculadora. Caso seja necessário, levar algumas calculadoras para a sala de aula ou organizar a turma em pequenos grupos.

fique ligado

As atividades que apresentam este ícone buscam trabalhar o desenvolvimento da competência leitora do aluno. As atividades com este ícone buscam trabalhar o desenvolvimento da competência escritora do aluno. Este ícone indica o uso de um recurso que tem por objetivo apresentar ao aluno a posição geográfica aproximada de localidades indicadas no texto.

VII

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Abertura de Unidade A abertura de cada Unidade é organizada em página dupla. Em geral, ela apresenta uma diversidade de recursos, como imagens, textos e infografias. Além disso, são propostas algumas questões com o objetivo de identificar a compreensão do aluno em relação ao tema e a aspectos de seu conhecimento prévio sobre algum conceito que será estudado na Unidade. É importante propor o trabalho com a abertura da Unidade de acordo com características próprias da turma ou objetivos específicos para a aula, como a realização da leitura individual ou coletiva e a discussão acerca das questões. Sempre que julgar oportuno, retomar com os alunos a abertura no decorrer do estudo da Unidade. Resposta pessoal.

10 famílias linguísticas. 5 línguas indígenas.

Algumas respostas possíveis: tabela; lista; diagrama.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.

CONJUNTOS NUMÉRICOS, POTÊNCIAS E RAÍZES

Você conhece outras palavras que utilizamos no dia a dia que tenha origem em uma língua indígena? O tronco linguístico Tupi é composto de quantas famílias linguísticas? A família linguística Tupari é composta de quantas línguas indígenas? De que outra maneira podemos representar a organização das línguas indígenas indicadas no esquema conforme a família e o tronco linguísticos a que pertencem?

AMPLA ARENA

Línguas indígenas Talvez você não saiba, mas muitas palavras que utilizamos no dia a dia têm origem em línguas indígenas. A palavra “pipoca”, por exemplo, tem origem tupi (pi’poka) e significa “pele rebentada”, fazendo referência ao grão de milho que estoura ao calor do fogo. No Brasil, estima-se que cerca de 150 línguas são faladas pelos indígenas e algumas delas possuem semelhanças entre si, o que pode indicar que elas têm origens comuns. Com base nisso, os especialistas em linguística organizam essas línguas em troncos e famílias linguísticas, dependendo se as semelhanças entre as línguas são mais sutis ou não, respectivamente. Por exemplo, as línguas indígenas, no Brasil, são organizadas em dois grandes troncos: Tupi e Macro-Jê. Cada tronco é composto de famílias, que por sua vez correspondem a grupos de línguas faladas pelos indígenas. Observe um exemplo no esquema apresentado nestas páginas. Nele está indicado o tronco linguístico Tupi, com todas as suas famílias linguísticas e todas as línguas que fazem parte de uma dessas famílias.

Fontes dos dados: POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Línguas. Disponível em: <https://pib.socioambiental.org/pt/L%C3% ADnguas#Troncos_e_fam.C3.ADlias>. RODRIGUES, A. D. Línguas indígenas brasileiras. Disponível em: <www. letras.ufmg.br/lali/PDF/L%C3%ADnguas_ indigenas_brasiliras_RODRIGUES,Aryon_ Dall%C2%B4Igna.pdf>. Acessos em: 5 out. 2018.

Árvore linguística do Tupi.

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Integrando com... Esta seção propõe o estudo de temas que relacionam a Matemática a outros componentes curriculares, o que possibilita a integração de conceitos de diferentes áreas do conhecimento. Nesse sentido, sugere-se dialogar com professores dos componentes curriculares relacionados para planejar a aula em que esta seção será realizada e avaliar a possibilidade de organizar a turma em pequenos grupos de discussão. Resoluções a partir da p. 257

integrando com história e língua portuguesa

Mundo nos eixos

Qual das alternativas a seguir corresponde a uma tradução dessa frase? Se necessário, faça uma pesquisa. a) Ser ou não ser. b) O Sol nasce para todos. c) Penso, logo existo. 4. Com base na lenda apresentada sobre Descartes, Patrícia representou em um plano cartesiano o caminho percorrido no teto por uma suposta mosca. Observe ao lado. a) Indique as coordenadas cartesianas correspondentes a três pontos desse caminho. b) Ao percorrer esse caminho, a mosca passou pelo ponto de coordenadas cartesianas (–2, 3)? Não. c) Quais quadrantes do plano cartesiano têm parte do caminho percorrido pela mosca? I, III e IV.

A mosca no teto Ao longo da história, foram sendo criadas diversas lendas sobre o desenvolvimento de teorias das ciências. Uma delas ilustra como supostamente René Descartes teria tido a ideia da localização de pontos no plano. De acordo com essa lenda ele, que tinha o hábito de ficar deitado até tarde, em momentos de abstração, com pensamentos relacionados à Filosofia e à Matemática, observou de sua cama uma mosca caminhando pelo teto do quarto, próxima a um dos vincos das paredes. A partir disso, Descartes teria percebido que o caminho percorrido por ela no teto somente poderia ser descrito indicando a distância dela às paredes em cada um dos pontos pelos quais havia passado.

y 5 4 3 2 1 _4 _3 _2 _1 0 _1

5 x

_2 _3 _4

EDITORIA DE ARTE

Você já ouviu dizer que certa pessoa é “cartesiana”? Esse termo faz referência a pessoas objetivas que pensam e agem com a razão, e deriva do sobrenome do filósofo francês René Descartes (1596-1650). Descartes nasceu no dia 31 de março de 1596, em La Haye, um pequeno município do distrito de Touraine, na França , que hoje é conhecido por La Haye-Descartes, em sua homenagem. Aos 11 anos, Descartes estudou em um colégio jesuíta, considerado na época um dos melhores da França e, em 1616, formou-se em Direito na Universidade de Poitiers. Parte de sua vida foi dedicada a servir o exército de vários países e ao estudo de Filosofia e Matemática. Em 1637, Descartes publicou seu famoso livro Discours de la Méthode pour Bien Conduire as Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences, que significa Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas Ciências. Esse livro era acompanhado de três apêndices “La dioptrique”, “Les météores” e “La géométrie”. E foi nesse último apêndice que Descartes fez sua maior contribuição à Matemática, apresentando as ideias de localização de pontos no plano por meio de coordenadas, fomentando o que mais tarde se tornaria a base da Geometria Analítica. Em sua homenagem, atualmente chamamos o plano com o sistema de eixos coordenados de plano cartesiano e os pares ordenados que indicam a localização dos pontos nesse sistema de coordenadas cartesianas.

Distância do ponto A até essa parede.

ARTUR FUJITA

Fontes dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 383-389. DESCARTES, R. Discurso do método. Tradução Paulo Neves. Porto Alegre: L&PM, 2009.

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Você conhece alguém que possa ser considerado cartesiano? Explique. Resposta pessoal.

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VIII

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Você cidadão Esta seção propõe ao aluno que, com base em conhecimentos matemáticos, desenvolva o pensamento crítico e possa inferir sobre temas sociais pautados na ética, na cidadania e no trabalho cooperativo. Em geral, apresenta como contexto algum tema contemporâneo, como saúde, educação financeira, educação ambiental, educação para o trânsito, entre outros. O debate com a turma sobre o tema tratado favorece o compartilhamento de ideias e a reflexão coletiva e individual.

Obesidade

IMC (kg/m2)

A quantidade de crianças e adolescentes obesos no mundo aumentou rapidamente nas últimas décadas. No Brasil, isso não é diferente. Pesquisas indicam que se essa tendência continuar, o país enfrentará um grande aumento nos casos de doenças associadas à obesidade, como pressão arterial elevada, diabetes e doenças do fígado. Um método muito utilizado para avaliar o estado nutricional das crianças e adolescentes são os gráficos de crescimento, com as curvas de Índice de Massa Corporal (IMC), desenvolvidos pela Organização Mundial de Saúde (OMS). Observe a seguir as etapas para essa avaliação. 1a) Verificar a massa, em quilogramas, e a altura, em metros. Depois, calcular o IMC por meio da fórmula indicada a seguir, em que m é a massa (em quilograma) e a é a altura (em metro). IMC =

3a) Por fim, comparar o intervalo obtido com os valores de referência do estado nutricional. Valores de referência de _2 e abaixo de +1

abaixo de _2

Obesidade

Sobrepeso

Peso normal

Abaixo do peso

Que legal! Estar com o peso dentro da faixa de normalidade é um ponto positivo e isso deve estar SEMPRE acompanhado de uma alimentação rica em vegetais e muita atividade física. [...]

Uma criança que está abaixo do peso deve SEMPRE ser avaliada pelo pediatra, pois é fundamental excluir a hipótese de desnutrição. [...]

Mudanças na casa à vista! A mudança é para a criança em conjunto com todos da casa, afinal o que faz bem para um, fará bem para todos. [...]

É preciso mudar a rotina da família. Procurar ajuda de um pediatra ou nutricionista para melhorar alguns hábitos alimentares agora irá garantir um futuro mais saudável para todos. [...]

Meninos – IMC de acordo com a idade 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12

3 36 34 32 2 30 28 1 26 24 0 22 20 _1 18 _2 16 _3 14 12

13 14 15 16 17 18 19 Idade (anos e meses completados)

Intervalo obtido: acima de +2.

Fonte dos dados: SBP. Gráficos de crescimento. Disponível em: <www.sbp.com.br/departamentoscientificos/endocrinologia/graficos-de-crescimento/>. Acesso em: 9 out. 2018.

2 ) Consultar o gráfico de crescimento de acordo com o sexo. No eixo vertical são indicados os valores do IMC, e no eixo horizontal, as idades. No encontro desses dois valores é obtido o intervalo do estado nutricional.

+1 e abaixo de +2

Intervalo obtido: de _2 e abaixo de +1.

13 14 15 16 17 18 19 Idade (anos e meses completados)

m a2

acima de +2

3 36 34 32 30 2 28 26 1 24 22 0 20 _1 18 _2 16 _3 14 12

36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

Meninas – IMC de acordo com a idade

cidadão

IMC (kg/m2)

você

Observe o cálculo do IMC de Camila:

Agora, vamos calcular o IMC de Yan:

• Idade: 13 anos e 9 meses.

• Idade: 14 anos e 3 meses.

• Massa: 54 kg.

• Massa: 81 kg.

• Altura: 1,60 m. 54 54 • IMC = 1 21, ou seja, = (1,60)2 2,56 21 kg/m2.

• Altura: 1,70 m. 81 81 • IMC = 1 28, ou seja, = (1,70)2 2,89 28 kg/m2.

2. Resposta esperada: Maior consumo de produtos industrializados, ricos em gorduras e açúcar, falta de atividades físicas e até mesmo fatores hormonais e genéticos. Resposta esperada: Praticar atividades físicas e seguir uma dieta balanceada, privilegiando o consumo de frutas, legumes e verduras e evitando alimentos que possuam em sua composição muita gordura, Resoluções a partir da p. 257 açúcar e sal. 1. Quais doenças podem ser causadas pela obesidade? Resposta esperada: Pressão arterial elevada, diabetes e doenças do fígado. 2. Faça uma pesquisa e responda: quais fatores têm contribuído para o aumento na quantidade de casos de obesidade infantil? Que cuidados devem ser considerados para evitar a obesidade? NÃO ESCREVA NO LIVRO.

3. Com que frequência você consome frutas, verduras e legumes? E alimentos ricos em gorduras, açúcar e sal? Respostas pessoais.

ROBERTO ZOELLNER

4. De acordo com os valores de referência apresentados, como podem ser indicados os estados nutricionais de Camila e Yan, no exemplo acima? Camila: Peso normal; Yan: Obesidade. 5. Leila tem 13 anos e 6 meses de idade, 56 kg e 1,50 m de altura. Já Tiago, tem exatamente 13 anos de idade, 51,2 kg e 1,60 m. Calcule o IMC dessas pessoas, depois consulte os gráficos e indique a avaliação nutricional de cada uma delas de acordo com os valores de referência apresentados. Leila _ IMC: 25 kg/m2; sobrepeso. Tiago _ IMC: 20 kg/m2; peso normal.

ABESO. Peso saudável na infância. Disponível em: <www.abeso.org.br/atitude-saudavel/z-imc-crianca>. Acesso em: 9 out. 2018.

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Você conectado Nesta seção, apresentada ao final de algumas Unidades, são propostas atividades que envolvem o estudo de conceitos matemáticos com o apoio do software de geometria dinâmica GeoGebra e da planilha eletrônica Calc, ambos de distribuição livre. As atividades propostas devem ser realizadas de acordo com a realidade na qual a escola está inserida, ou seja, podem ser desenvolvidas em um laboratório de informática, com os alunos organizados em pequenos grupos, coletivamente em um computador portátil que o professor pode levar para a sala de aula, acompanhado de um projetor ou, ainda, como atividade extraclasse.

você

conectado

Para calcular o montante ao final do 1o mês, temos de indicar na célula C3 a adição entre o capital e o juro obtido nesse mês. Para isso, selecionamos a célula C3, digitamos =C2+B3 e pressionamos a tecla Enter.

Calculando rendimentos de aplicação financeira com a planilha eletrônica Podemos utilizar a planilha eletrônica Calc para calcular o juro e o montante que será obtido a cada mês em uma aplicação financeira. Para isso, considere a situação a seguir. Laís pretende aplicar um capital de R$ 5 000,00 pelo período de 1 ano, ou seja, 12 meses. Após algumas pesquisas, optou por uma aplicação cuja taxa de juro fixa é de 0,8% ao mês. Observe como calcular o juro e o montante ao final de cada mês, com a planilha eletrônica Calc.

Para calcular o juro e o montante ao final dos demais meses da aplicação, selecionamos as células B3 e C3, clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a linha correspondente ao mês 12. Para que os valores dos juros e montantes representem quantias em reais, selecionamos as células correspondentes (B2:C14) e clicamos na opção .

Inicialmente, organizamos na planilha eletrônica os meses de aplicação, o juro e o montante em colunas, como indicado ao lado.

Observe que na célula C2 o montante correspondente ao mês zero indica o capital aplicado.

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

Para determinar o juro obtido no 1o mês, temos de indicar na célula B3 o produto entre o capital e a taxa de juro mensal da aplicação (0,8% ou 0,008). Para isso, selecionamos a célula B3, digitamos =C2*0,008 e pressionamos a tecla Enter.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

1. Em relação ao exemplo apresentado, qual é o montante obtido ao final da aplicação? Ao todo, quantos reais de juros são obtidos nessa aplicação? R$ 5 501,69. R$ 501,69. 2. Ricardo quer aplicar R$ 3 500,00 em um investimento cuja taxa de juro mensal fixa é de 0,75%. No mínimo, por quantos meses esse capital deve ficar aplicado para que o montante obtido seja de R$ 4 000,00? Use uma planilha eletrônica. 18 meses.

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O que estudei Esta seção, organizada ao final de cada Unidade, propõe um momento de reflexão e de autoavaliação, tanto para o aluno quanto para o professor. Em relação ao aluno, são consideradas suas atitudes comportamentais e sua compreensão diante dos conceitos estudados na Unidade. Já em relação ao professor, sua autoavaliação é condicionada às respostas dadas pelos alunos, podendo estas serem objetos de reflexão sobre a prática docente. Essa reflexão, por sua vez, pode propiciar ajustes nos planejamentos de aula das Unidades seguintes.

o que estudei

Na questão 1, o aluno deve fazer um retrospecto de sua postura nas aulas de Matemática. As respostas aos itens desta questão devem ser individuais, de maneira a evidenciar da melhor forma possível as atitudes comportamentais daquele aluno. Nesse sentido, o aluno pode eleger alguns itens para os quais respondeu “às vezes” ou “não” como pontos de atenção no estudo da próxima Unidade, buscando compreender melhor os assuntos que estiverem sendo estudados. Sob o ponto de vista do professor, além das análises individuais, cabe uma leitura ampla, para identificar ações que poderão ser tomadas para uma correção de rota coletiva. Um exemplo é o estabelecimento ou ajuste no contrato didático que mantém com a turma. No decorrer do ano, sugere-se reservar momentos para que o aluno possa comparar suas respostas a esta questão no decorrer do estudo das Unidades e verificar como seu comportamento evoluiu.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I ) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal. Número racional na forma de Conjuntos

fração e na forma de número

Conjuntos n, z, q, I eR

Conjunto finito e conjunto

Número p e número de

infinito

ouro o

Notação científica

decimal

Propriedades de potências

Potências com expoente fracionário

Potências

Raiz de um número negativo

Propriedades

Raízes

de raízes

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A questão 2 pode ser, em um primeiro momento, trabalhada de maneira individual, possibilitando a cada aluno identificar significados para os conceitos estudados na Unidade e indicados nas fichas. Em um segundo momento, a abordagem pode ser coletiva, permitindo ao professor perceber conceitos que uma parte significativa da turma pode não ter compreendido satisfatoriamente. Esses momentos caracterizam oportunidades para que o professor estabeleça um plano de ação para a turma. Nesse plano, por exemplo, podem ser estabelecidas monitorias, grupos de estudo, aulas de reforço, entre outras ações.

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL

ARTUR FUJITA

Na aula de Ciências, Tiago estudou informações a respeito do planeta Terra e confeccionou o cartaz representado a seguir.

PROBLEMAS

III

Cada um dos números que aparece no cartaz indicando o período de rotação e a temperatura da superfície da Terra pertence a quais conjuntos numéricos? Resposta esperada: 23,93: q e R; _58: z, q e R; 88: n, z, q e R. Conceitos: Conjuntos n, z, q, I e R. Sabendo que Tiago utilizou a figura de uma circunferência para representar o planeta Terra, que número corresponde à razão entre o comprimento e o diâmetro dessa figura de circunferência? A que conjunto numérico esse número pertence? Número p. Conjuntos I e R. Conceitos: Número p e número de ouro o; conjuntos n, z, q, I e R. Qual dos itens a seguir apresenta melhor aproximação da distância média da Terra ao Sol? • 1,5 milhões de quilômetros. • 15 milhões de quilômetros. • 150 milhões de quilômetros. 150 milhões de quilômetros. Conceitos: Potências; notação científica. Para confeccionar o cartaz, Tiago utilizou uma cartolina com formato de um quadrado de 1 600 cm² de área. Quantos centímetros de lado tem esse cartaz? 40 cm. Conceitos: Raízes.

A questão 3 é complementar à 2, uma vez que se propõe a identificar a compreensão dos conceitos matemáticos estudados na Unidade. Porém, aqui, busca-se que essa compreensão se dê à medida que o aluno resolve problemas propostos em um determinado contexto, fazendo para isso o uso de conceitos matemáticos estudados na Unidade. No entanto, caso a resolução proposta pelo aluno para certo problema seja efetivada por meio de uma estratégia na qual sejam utilizados conceitos diferentes dos estudados na Unidade, é importante que o professor valorize e compartilhe com a turma.

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Quadro de atividades e seções do Volume 9 No quadro a seguir estão indicadas a distribuição das atividades e seções de cada Unidade deste Volume da coleção. QUADRO-SÍNTESE DO VOLUME 9 DA COLEÇÃO

Unidade

Quantidade de atividades

Seção Integrando com...

Você conectado

• Integrando com Língua Portuguesa: Googol: um número “muito grande”

• Construindo um retângulo áureo

2. Circunferência, plano cartesiano e vistas

• Medindo o ângulo • Integrando com central e o ângulo História e Língua inscrito de um arco Portuguesa: Mundo • Construindo nos eixos polígonos regulares

3. Expressões algébricas e equações do 2o grau

• Obesidade

4. Proporcionalidade e funções

• Os riscos da velocidade no trânsito

1. Conjuntos numéricos, potências e raízes

5. Semelhança de figuras

Você cidadão

6. Educação financeira e relações métricas no triângulo retângulo

7. Estatística e probabilidade

8. Medidas de volume

• Construindo e analisando gráfico de função

• Integrando com História: Medindo sombras

• Estudando o ponto médio de um segmento de reta com o Geogebra

• Integrando com Geografia: Distribuição de renda

• Calculando rendimentos de aplicação financeira com a planilha eletrônica • Teorema de Pitágoras

• O Estatuto da Criança e do Adolescente

• Construindo gráficos com a planilha eletrônica

• Integrando com Ciências: Seca

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MATERIAL DIGITAL Além dos quatro Volumes impressos deste Manual do professor, a coleção apresenta quatro Volumes de Manual do professor – Material digital, que trazem recursos a fim de enriquecer o trabalho do professor e potencializar as relações de ensino-aprendizagem em sala de aula. Os materiais digitais estão organizados em bimestres e cada um deles possui a composição a seguir. Plano de desenvolvimento: documento que apresenta os temas que serão trabalhados ao longo do bimestre, relacionando-os aos objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC. Também são sugeridas estratégias didático-pedagógicas que auxiliam o professor na gestão da sala de aula e fontes de pesquisa complementares que podem ser consultadas pelo professor ou apresentadas para os alunos. Cada Plano de desenvolvimento apresenta um Projeto integrador, cujo objetivo é tornar a aprendizagem dos alunos mais concreta, articulando diferentes componentes curriculares a situações de aprendizagem relacionadas ao cotidiano da turma. Por meio dos projetos, é possível explorar temas transversais, estimular o desenvolvimento das competências socioemocionais e trabalhar com habilidades próprias de diferentes componentes curriculares. Sequências didáticas: conjunto de atividades estruturadas aula a aula que relacionam objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC, com o intuito de ajudar os alunos a alcançar um objetivo de aprendizagem definido. Nas sequências didáticas, são propostas atividades que podem ser aplicadas complementarmente ao trabalho com o livro impresso. Também estão presentes sugestões de avaliações que ajudam o professor a aferir se os alunos alcançaram os objetivos de aprendizagem propostos. Proposta de acompanhamento da aprendizagem: conjunto de dez atividades (e respectivos gabaritos) destinadas aos alunos, acompanhadas de fichas que podem ser preenchidas pelo professor. Este material tem o objetivo de ajudar a verificar se os alunos desenvolveram as habilidades previstas para o bimestre, e mapear as principais dificuldades apresentadas por eles, auxiliando o trabalho de planejamento do professor e a autoavaliação da sua prática pedagógica. Material digital audiovisual: vídeos e videoaulas produzidos para os alunos. Para esses materiais, houve a preocupação de trabalhar a Matemática com o fim de explorar as relações com a Arte, aspectos da História da Matemática e algumas propriedades, como a rigidez do triângulo e sua aplicação na construção de estruturas. Além disso, esses recursos trazem algumas demonstrações ou explicações de conceitos, como o princípio multiplicativo da contagem, demonstrações para o teorema de Pitágoras, entre outros.

XIII

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A BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um documento que define um conjunto de aprendizagens essenciais que os alunos devem desenvolver durante a Educação Básica, independentemente da região onde moram. O principal objetivo é garantir que todos os alunos brasileiros tenham a mesma oportunidade de aprender o que é considerado essencial. O documento é exclusivo à educação escolar e está orientado por princípios que visam uma formação humana integral e uma sociedade mais justa, democrática e inclusiva. Além da equiparação das oportunidades de aprendizagem, buscando reduzir as desigualdades históricas estabelecidas, o desenvolvimento de uma base comum curricular visa outros fatores, como assegurar as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica, orientar a elaboração de um currículo específico de cada escola ou rede escolar, pública ou privada, e instruir as matrizes de referência das avaliações e dos exames externos. Uma característica desse documento é que ele não define o modo como ensinar nem impede que sejam contempladas no dia a dia escolar as especificidades regionais. Assim, a BNCC (BRASIL, 2017) estabelece um conjunto de conhecimentos básicos que devem ser assegurados, sem interferir na diversidade cultural e regional e na autonomia dos educadores. Essas aprendizagens essenciais devem coexistir para assegurar aos alunos o desenvolvimento de dez competências gerais tendo em consideração que, segundo a BNCC (BRASIL, 2017, p. 8), [...] competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho. A seguir, estão listadas as dez competências gerais definidas pela BNCC.

COMPETÊNCIAS GERAIS DA EDUCAÇÃO BÁSICA 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

XIV

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3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. (BRASIL, 2017, 9-10).

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A BNCC E OS CURRÍCULOS O currículo pode ser definido como um “conjunto de práticas que proporcionam a produção, a circulação e o consumo de significados no espaço social e que contribuem, intensamente, para a construção de identidades sociais e culturais.” (BRASIL, 2013, p. 23). A BNCC e os currículos desempenham papéis complementares e ambos reconhecem o compromisso da educação na formação e no desenvolvimento global do ser humano, considerando suas dimensões intelectual, física, afetiva, social, ética, moral e simbólica. Conforme mencionado, a BNCC não define o modo de ensinar, como também não define o currículo escolar, que, por sua vez, fica a cargo das escolas ou sistemas escolares, tendo como ponto de partida a BNCC. É por meio de um conjunto de decisões, que caracterizam o currículo, que as aprendizagens essenciais preconizadas para cada etapa da Educação Básica poderão ser desenvolvidas. Também é por meio do currículo que se adequará a BNCC às realidades de cada localidade, aos contextos e às características dos alunos. Entre as decisões que competem ao currículo, a BNCC apresenta as seguintes ações:

• contextualizar os conteúdos dos componentes curriculares, identificando estratégias para apresentá-los, representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los significativos, com base na realidade do lugar e do tempo nos quais as aprendizagens estão situadas; • decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem; • selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferenciados e a conteúdos complementares, se necessário, para trabalhar com as necessidades de diferentes grupos de alunos, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades, seus grupos de socialização etc.; • conceber e pôr em prática situações e procedimentos para motivar e engajar os alunos nas aprendizagens; • construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos; • selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender; • criar e disponibilizar materiais de orientação para os professores, bem como manter processos permanentes de formação docente que possibilitem contínuo aperfeiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem; • manter processos contínuos de aprendizagem sobre gestão pedagógica e curricular para os demais educadores, no âmbito das escolas e sistemas de ensino. (BRASIL, 2017, p. 16-17).

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A ÁREA DE MATEMÁTICA Na BNCC, a Matemática é destacada como uma área do conhecimento essencial para os alunos da Educação Básica tanto por suas aplicações como também por suas potencialidades na formação de cidadãos críticos e engajados. Nesse sentido, o documento explicita que a Matemática não se restringe à quantificação de fenômenos determinísticos e a técnicas de cálculo, mas envolve, ainda, o estudo de fenômenos de caráter aleatório. Outro aspecto da BNCC em relação à Matemática consiste em estender a ideia dessa área como uma ciência hipotético-dedutiva. Na Educação Básica, é importante considerar o papel heurístico dessa área, pois são fundamentais as experimentações matemáticas feitas pelos alunos. O documento também apresenta o compromisso que se deve ter no Ensino Fundamental com o letramento matemático, definido como:

[...] as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. (BRASIL, 2017, p. 264)

Nesse compromisso, fica evidente a preocupação em utilizar os conhecimentos matemáticos para compreender o mundo e nele atuar. Para o desenvolvimento desse letramento e do pensamento computacional, a BNCC cita os processos matemáticos de resolução de problemas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da modelagem. Esses processos podem ser tomados como formas de organização da aprendizagem matemática e levam em consideração a análise de situações do cotidiano, de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática. Com base no que foi apresentado anteriormente, a BNCC delimita as seguintes competências específicas para a área de Matemática e, consequentemente, para esse componente curricular.

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

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3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (BRASIL, 2017, p. 265).

AS UNIDADES TEMÁTICAS A BNCC propõe cinco unidades temáticas para a Matemática. Essas unidades orientam a formulação das habilidades que deverão ser desenvolvidas no decorrer do Ensino Fundamental. A seguir, cada uma delas é brevemente discutida.

Números O trabalho com os números talvez seja um dos mais antigos e elementares na história da humanidade, e esta unidade temática tem como objetivo desenvolver o pensamento numérico dos alunos. Ao construir a noção de número, destacam-se algumas ideias que devem ser desenvolvidas, entre elas: aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem. Também devem ser explorados os campos numéricos por meio de situações que sejam significativas para os alunos. Para os anos finais do Ensino Fundamental, espera-se que os alunos saibam lidar com os conjuntos dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais, e percebam, diante de problemas geométricos, a necessidade de outros números: os irracionais.

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O estudo de conceitos básicos de finanças e economia também é destacado nesta unidade temática. Temas como taxa de juros, inflação, aplicações financeiras podem ser discutidos, inclusive por meio de um estudo interdisciplinar, envolvendo dimensões culturais, sociais, políticas e psicológicas. Nesta coleção, o trabalho com os números e seus diversos desdobramentos busca privilegiar o conhecimento prévio dos alunos e, com base nele, ampliar as diferentes ideias desta unidade temática. Busca-se também, na coleção, sempre que possível, integrar as diferentes unidades temáticas, como no trabalho com números na realização de medições ou comparações de medidas, no trabalho com análise de gráficos e tabelas ou no estudo das figuras geométricas.

Álgebra Esta unidade temática visa o desenvolvimento do pensamento algébrico. Se nos anos iniciais do Ensino Fundamental o trabalho com a Álgebra começa com a observação de padrões e regularidades, o estudo dos princípios da equivalência, da proporcionalidade e da interdependência entre grandezas, nos anos finais do Ensino Fundamental essas ideias são retomadas, aprofundadas e ampliadas. Nesta fase de ensino, os alunos devem não somente perceber padrões e regularidades mas também estabelecer generalizações, até mesmo utilizando uma linguagem algébrica própria. Também devem compreender os diferentes significados para uma variável numérica e indicar o valor desconhecido em uma sentença. É nos anos finais do Ensino Fundamental que os alunos têm contato com equações e funções e com técnicas de resolução de equações e de sistemas de equações. Utilizando uma linguagem algébrica, eles devem estabelecer a relação entre duas grandezas. O trabalho com funções, que é iniciado nessa fase do ensino, será consolidado no Ensino Médio. No cotidiano, são diversas as situações que podem ser expressas por meio de uma função, e um dos objetivos do trabalho com a Álgebra é possibilitar que os alunos saibam identificar essas situações, as variáveis envolvidas e a relação de interdependência entre essas variáveis. Eles também devem ser capazes de representar por meio de uma linguagem algébrica um problema enunciado em linguagem materna. Nesta coleção, espera-se que, por meio de um trabalho com diferentes situações, os alunos possam ampliar o desenvolvimento do pensamento algébrico e estabelecer relações entre esse tipo de pensamento e as demandas do cotidiano. Ao longo dos quatro volumes da coleção, os diferentes objetos de estudo da Álgebra foram tratados com o intuito de privilegiar possíveis conhecimentos prévios dos alunos e a relação deste conteúdo com outras unidades temáticas, buscando inicialmente retomar um conceito para, em seguida, ampliar o estudo.

Geometria Esta unidade temática tem como objetivo tratar os diferentes elementos que são próprios da Geometria e que permeiam tanto situações práticas do mundo físico como também diferentes áreas do conhecimento. O trabalho envolvendo transformação de figuras, vistas ortogonais, localização e deslocamento, figuras geométricas planas e espaciais busca o desenvolvimento do pensamento geométrico, importante para a vivência e a experiência nos mais diversos contextos. Além disso, o pensamento geométrico deve compreender as composições abstratas e as propriedades das figuras, contribuindo para a produção de argumentos que levem, por exemplo, a justificativas de categorizações de grupos de figuras.

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Nos anos finais do Ensino Fundamental é esperado que as aprendizagens dos anos iniciais sejam consolidadas e ampliadas e que os alunos sejam capazes de utilizar esses novos conhecimentos para realizar demonstrações simples, desenvolvendo o raciocínio hipotético-dedutivo. Outro aspecto da Geometria que é relevante nesta fase de ensino é sua relação com a unidade temática Álgebra, que pode ser explorada de maneira mais evidente ao serem utilizadas representações de retas no plano cartesiano para determinar a solução de um sistema de equações. Nesta coleção, buscou-se trabalhar a Geometria com base em conhecimentos próximos da realidade dos alunos, fazendo o uso de um variado repertório de contextos, como mapas, obras de arte, construções prediais, entre outros. Outro aspecto importante de se destacar é a proposta de uso, sempre que possível, de recursos digitais para a exploração de objetos geométricos, como o software livre GeoGebra. Além disso, buscou-se explorar atividades práticas, como construções geométricas usando instrumentos como régua, esquadros, transferidor e compasso.

Grandezas e medidas Os conceitos próprios desta unidade temática possivelmente estejam entre os mais próximos da realidade dos alunos e de outras áreas do conhecimento. O trabalho com Grandezas e medidas favorece as relações com outras unidades temáticas da área, como os Números, ao lidar com situações-problema que envolvem a comparação e a ordenação de medidas, por exemplo. O estudo desta unidade temática também propicia a abordagem de temas sociais e relacionados com a cidadania, como a discussão do uso consciente dos recursos naturais (medidas de capacidade e desperdício de água, por exemplo). Dada a diversidade étnica e cultural da população e do território brasileiros, é recomendado que nesse trabalho sejam consideradas as particularidades da região em que a escola está inserida, como a inclusão do estudo de medidas agrárias em ambientes rurais. Nos anos finais do Ensino Fundamental, além das grandezas comumente contempladas no currículo escolar, como comprimento, massa, capacidade, área, volume, temperatura e tempo, é destacado o trabalho com outras grandezas, como densidade, velocidade, energia. Também é nessa fase de ensino que são exploradas medidas utilizadas em informática.

Probabilidade e estatística Nesta unidade temática, o objetivo é que sejam trabalhadas as ideias relacionadas com a incerteza e o tratamento de dados. Esse estudo deve estar interligado a situações próximas da realidade dos alunos e a outras áreas do conhecimento. Algumas das fases mais importantes do trabalho com Estatística são as de coleta, organização, representação, interpretação e análise crítica dos dados. Nos anos finais do Ensino Fundamental, espera-se que os alunos saibam reconhecer, por exemplo, quando utilizar determinado tipo de gráfico, qual medida de tendência central é mais adequada para representar uma situação específica, em quais casos se deve utilizar uma amostra na realização de uma pesquisa. Além disso, busca-se desenvolver estratégias para validar informações veiculadas por diferentes mídias por meio de recursos estatísticos, identificando, quando for o caso, elementos que possam induzir a erros de leitura ou interpretação dos dados. Quanto ao estudo de Probabilidade, espera-se que os alunos compreendam que muitos acontecimentos do mundo físico são de natureza aleatória e que é possível, em certa medida, identificar prováveis resultados para esses acontecimentos. Nesta fase do ensino, é desejável que eles façam experimentos aleatórios e simulações comparando esses resultados com aqueles obtidos por meio de cálculos.

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 6o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 6o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 298-303). UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais Divisão euclidiana

Fluxograma para determinar a paridade de um número natural Múltiplos e divisores de um número natural Números primos e compostos

HABILIDADES

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Números (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. Frações: significados (parte/ todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações

(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

Aproximação de números para múltiplos de potências de 10

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Propriedades da igualdade

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Álgebra

Geometria

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas

Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

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UNIDADES TEMÁTICAS

Grandezas e medidas

OBJETOS DE CONHECIMENTO Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

Ângulos: noção, usos e medida

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Plantas baixas e vistas aéreas

(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista)

Probabilidade e estatística

HABILIDADES

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

Coleta de dados, organização e registro Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para o registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 7o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 7o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 304-309). UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Múltiplos e divisores de um número natural

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração. (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros. (EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

Números

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos. Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. (EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações

Álgebra

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias. (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Linguagem algébrica: variável e incógnita

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Equações polinomiais do 1o grau

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

HABILIDADES

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Simetrias de translação, rotação e reflexão

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

A circunferência como lugar geométrico

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

Geometria

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas. (EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos. (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

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UNIDADES TEMÁTICAS

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Problemas envolvendo medições

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. (EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Medida do comprimento da circunferência

(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Pesquisa amostral e pesquisa censitária Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 8o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 8o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 310-313). UNIDADES TEMÁTICAS

Números

Álgebra

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Notação científica

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

Potenciação e radiciação

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

O princípio multiplicativo da contagem

(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

Porcentagens

(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

Dízimas periódicas: fração geratriz

(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

Valor numérico de expressões algébricas

(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano

(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 = b

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax2 = b.

Sequências recursivas e não recursivas

(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes. (EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais

(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. (EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

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UNIDADES TEMÁTICAS

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas

(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência

(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

Volume de cilindro reto Medidas de capacidade

(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. (EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral

(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados

(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Organização dos dados de uma variável contínua em classes

(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

Medidas de tendência central e de dispersão

(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral

(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 9o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 9o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 314-317). UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

Números

HABILIDADES

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Potências com expoentes negativos e fracionários

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Números reais: notação científica e problemas

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

Álgebra

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UNIDADES TEMÁTICAS

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Semelhança de triângulos

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Relações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Polígonos regulares

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

Distância entre pontos no plano cartesiano

(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

Vistas ortogonais de figuras espaciais

(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas Unidades de medida utilizadas na informática

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Volume de prismas e cilindros

(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

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A BNCC E A COLEÇÃO Os quadros a seguir indicam as habilidades, competências gerais e competências específicas de Matemática da BNCC tratadas com mais ênfase em cada Unidade da coleção.

VOLUME 6 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA

1. Sistemas de numeração

• EF06MA01 • EF06MA02 • EF06MA04 • EF06MA12

•3 •5

•1 •4

2. Operações com números naturais

• EF06MA02 • EF06MA03 • EF06MA04 • EF06MA05 • EF06MA06 • EF06MA14 • EF06MA15

•5 •8

•1 •3 •5

3. Figuras geométricas

• EF06MA16 • EF06MA17 • EF06MA18 • EF06MA19 • EF06MA20 • EF06MA21 • EF06MA22 • EF06MA23 • EF06MA25 • EF06MA26 • EF06MA27 • EF06MA28

•1 •3 •5

•3 •5 •6

4. Medidas de comprimento, massa, tempo e temperatura

• EF06MA24

•7 •8 • 10

•7

5. Números racionais na forma de fração

• EF06MA07 • EF06MA08 • EF06MA09 • EF06MA10 • EF06MA15

•2 •5 •6

•1 •2 •3 •5

6. Números racionais na forma decimal

• EF06MA01 • EF06MA02 • EF06MA08 • EF06MA11 • EF06MA13

•2 •5 •7 •8

•5 •7 •8

7. Estatística e probabilidade

• EF06MA30 • EF06MA31 • EF06MA32 • EF06MA33 • EF06MA34

•1 •9

•6 •7

8. Medidas de superfície, capacidade e volume

• EF06MA24 • EF06MA28 • EF06MA29

•1 •3 •7

•4

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VOLUME 7 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA •1 •3 •5

1. Múltiplos, divisores, potências e raízes

• EF07MA01

•1 •2 •5

2. Números inteiros

• EF07MA03 • EF07MA04

•1 •5 •6 • 10

•2 •3 •5 •8

•3 •5 • 10

•5 •7

•2 •8 •9

•1 •6 •7

•1 •4 •5

•1 •5

•4 •5

•3 •5

•2 •7

•1 •4 •7

•5 •9

•4 •5 •7

• EF07MA19 • EF07MA22 • EF07MA23 3. Figuras geométricas planas

• EF07MA24 • EF07MA25 • EF07MA26 • EF07MA27 • EF07MA28 • EF07MA05 • EF07MA06 • EF07MA07 • EF07MA08

4. Os números racionais

• EF07MA09 • EF07MA10 • EF07MA11 • EF07MA12 • EF07MA33 • EF07MA13 • EF07MA14

5. Expressões algébricas e equações

• EF07MA15 • EF07MA16 • EF07MA18 • EF07MA02 • EF07MA13

6. Proporcionalidade e simetria

• EF07MA17 • EF07MA20 • EF07MA21 • EF07MA29

7. Medidas de superfície e volume

• EF07MA30 • EF07MA31 • EF07MA32 • EF07MA34

8. Estatística e probabilidade

• EF07MA35 • EF07MA36 • EF07MA37

XXXII

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VOLUME 8 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA

1. Potências e raízes

• EF08MA01 • EF08MA02

•4 •5 •8

•3 •8

2. Ângulos e simetria

• EF08MA15 • EF08MA17 • EF08MA18

•5 •7 •8

•3 •5 •7 •8

•2

•2 •4 •6

•5 •8 • 10

•5 •8

•3 •5 •9

•4 •5

•1 •5

•6

•4

•6 •8

•4 •8

• EF08MA05 • EF08MA06 • EF08MA07 3. Equação, sistema de equações e inequação

• EF08MA08 • EF08MA09 • EF08MA10 • EF08MA11

• EF08MA04 4. Proporcionalidade e porcentagem

• EF08MA12 • EF08MA13

• EF08MA14 5. Polígonos e círculo

• EF08MA15 • EF08MA16

6. Área de figuras planas

• EF08MA19

• EF08MA03 • EF08MA22 • EF08MA23 7. Estatística e probabilidade

• EF08MA24 • EF08MA25 • EF08MA26 • EF08MA27

8. Medidas de volume e de capacidade

• EF08MA20 • EF08MA21

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VOLUME 9 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA

•1 •3

•1 •2 •3

•1 •3 •4 •5 •6

•1 •3 •5

•1 •2 •8

•1 •4 •7

•1 •7 • 10

•1 •6 •8

•1 •5

•5 •6

•4 •5 •6

•5 •7 •9 • 10

•5 •6 •8

•4 •7

•3 •7

• EF09MA01 • EF09MA02 1. Conjuntos numéricos, potências e raízes

• EF09MA03 • EF09MA04 • EF09MA18

• EF09MA11 2. Circunferência, plano cartesiano e vistas

• EF09MA15 • EF09MA17

3. Expressões algébricas e equações do 2o grau

• EF09MA09

• EF09MA06 4. Proporcionalidade e funções

• EF09MA07 • EF09MA08

• EF09MA10 5. Semelhança de figuras

• EF09MA12 • EF09MA14 • EF09MA16

• EF09MA05 6. Educação financeira e relações métricas no triângulo retângulo

• EF09MA13 • EF09MA14 • EF09MA16

• EF09MA20 7. Estatística e probabilidade

• EF09MA21 • EF09MA22 • EF09MA23

8. Medidas de volume

• EF09MA19

XXXIV

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FUNDAMENTOS TEÓRICOS E METODOLÓGICOS DA COLEÇÃO Em uma sociedade globalizada, o ensino de Matemática tem papel fundamental na formação de cidadãos conscientes, críticos e participativos. O incentivo a práticas reflexivas no estudo da Matemática escolar pode favorecer o desenvolvimento de estratégias para resolução de problemas do dia a dia e a quebra de paradigmas. Nesta coleção, os fundamentos teóricos e metodológicos envolvidos nos processos de ensino e de aprendizagem buscam favorecer o trabalho coletivo e colaborativo como uma maneira de estimular a participação, reflexão e comunicação entre os alunos. Sempre que possível, procurou-se propor os conceitos matemáticos a partir dos conhecimentos prévios dos alunos, alicerces para a construção de novos conhecimentos. O encadeamento dos conteúdos matemáticos foi pensado com a finalidade de convidar os alunos a expor e escutar ideias, a formular, confrontar e comunicar procedimentos de resolução de problemas, a argumentar e validar pontos de vista. Os Volumes desta coleção foram organizados para apoiar o trabalho do professor procurando, quando possível, fazer uso de diferentes tendências metodológicas. As propostas interdisciplinares e as temáticas de caráter social permitem o desenvolvimento das competências como as da leitura, da escrita e da oralidade, e ainda oferecem elementos para a composição de situações contextualizadas para as atividades.

O LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA O livro didático é um importante instrumento no processo de ensino-aprendizagem. Considerando o trabalho de Gérard e Roegiers (1998), Pereira (2010) apresenta as funções do livro didático de acordo com duas perspectivas. Em relação ao aluno, são atribuídas aos livros didáticos múltiplas funções, entre as quais: a aprendizagem e o progresso de competências; a estabilização, avaliação e integração das aprendizagens; a apresentação da informação rigorosa e de fácil utilização e a educação social e cultural. Na perspectiva do professor, o livro didático tem, entre outros, o papel: de auxiliar o docente no desenvolvimento de suas funções; de colaborador na formação contínua dos docentes ao apresentar novos caminhos e estratégias para a renovação de suas práticas pedagógicas; de instrumento que auxilia na preparação de aulas e nos processos de avaliação.

A aprendizagem pode se tornar mais significativa, quando diferentes formas de representação são contempladas no livro didático. Além de valorizar uma abordagem interdisciplinar com diferentes textos, espera-se que o livro apresente números, equações, figuras, tabelas, gráficos, símbolos, desenhos, fotos, entre outros elementos que contribuem nas estratégias de articulação entre conteúdos e disciplinas. Quanto mais intensas forem a interatividade e a articulação, mais significativa será a aprendizagem. O aluno realiza articulações, quando consegue, por exemplo, a partir da leitura de um texto, montar uma tabela ou um gráfico, equacionar um problema ou descrever um argumento. Deve, ainda, ser estimulado a realizar movimentos em várias direções, tal como a passagem da leitura de uma tabela para a redação de um texto, para uma representação gráfica ou para o exercício da oralidade. Embora o interesse seja trabalhar com representações, não podemos esquecer que a apresentação do conteúdo pressupõe vínculos com os conhecimentos prévios dos alunos, considerando a possibilidade de uso de registros espontâneos (PAIS, 2007, p. 52-53).

XXXV

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Nesta coleção, os conteúdos foram organizados levando em consideração as diferentes formas de representação dos objetos matemáticos. Nesse sentido, os alunos são convidados, em diversos momentos, a dialogar entre si e com o professor e a realizar registros que podem se dar de diversas maneiras: utilizando linguagem matemática ou natural (materna), empregando gráficos ou diagramas, usando representações pictóricas ou outras, a fim de incentivar a reflexão e a autonomia do pensamento. Consideramos que o livro didático é um dos recursos educativos que o professor tem a seu dispor. Os recursos didáticos como os jogos educacionais, o material dourado, o ábaco, o laboratório de informática e o laboratório de ensino de matemática são outros elementos que compõem o ambiente educacional e podem auxiliar e enriquecer o processo de ensino-aprendizagem. A prática cotidiana da sala de aula exige cada vez mais que o professor seja dinâmico e procure despertar nos alunos a curiosidade, o interesse e o prazer de aprender.

PROPOSTA DIDÁTICO-PEDAGÓGICA A proposta didático-pedagógica desta coleção tem por objetivo contribuir para uma formação ampla do aluno, não apenas em aspectos cognitivos, mas também em sua formação cidadã. Nela, procurou-se articular, sempre que possível, temas contemporâneos e interdisciplinares a conceitos matemáticos, oferecendo ao professor diferentes estratégias metodológicas e o aprimoramento de sua prática pedagógica. O tratamento dado aos conteúdos matemáticos, em sala de aula, deve levar em consideração os recursos disponíveis para que o trabalho seja efetuado. O professor tem também em conta, naturalmente, os alunos, as suas capacidades e interesses. Há alunos que reagem bem a certo tipo de propostas, outros que preferem outro tipo, outros que têm uma atitude relativamente indiferente. Cada vez com maior frequência, encontramos alunos que revelam grande desinteresse em relação a tudo o que tem a ver com a escola em geral e com a Matemática em particular. Dentro de uma mesma turma, há, muitas vezes, alunos com características muito diversas no que respeita aos seus conhecimentos matemáticos, interesse pela Matemática, atitude geral em relação à escola, condições de trabalho em casa, acompanhamento por parte de família, etc. A diversidade dos alunos que o professor tem na sua sala de aula deve ser por ele ponderada, de modo a tentar corresponder, de modo equilibrado, às necessidades e interesses de todos. (PONTE, 2005, p. 19-20).

A fim de sinalizar a proposta didático-pedagógica que fundamentou a elaboração desta coleção, apresentam-se abordagens relacionadas à concepção de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental e ao ensino de Matemática.

CONCEPÇÃO DE MATEMÁTICA NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL A Matemática e suas ideias estão presentes nos currículos desde a Educação Infantil. Seu ensino e sua aprendizagem são marcados por diversas concepções do professor e dos alunos. Para Ponte (1992), as concepções, de forma geral, têm uma natureza essencialmente cognitiva e podem estruturar o sentido que damos às coisas e, por vezes, atuar como elemento que bloqueia e limita nossas possibilidades de atuação e compreensão. As concepções formam-se num processo simultaneamente individual (como resultado da elaboração sobre a nossa experiência) e social (como resultado do confronto das nossas elaborações com as dos outros). Assim, as nossas concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas experiências que nos habituamos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais dominantes. (PONTE, 1992, p. 185)

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Para entender melhor essas concepções, Ponte (1992, p.196) refere que o saber matemático abrange quatro características fundamentais: • a formalização segundo uma lógica bem definida; • a verificabilidade, que permite estabelecer consensos acerca da validade de cada resultado; • a universalidade, isto é, o seu caráter transcultural e a possibilidade de o aplicar aos mais diversos fenômenos e situações; • a generatividade, ou seja, a possibilidade de levar à descoberta de coisas novas.

Thompson (1992) destaca que, das concepções de Matemática, existem aquelas de ordem pedagógica, que podem estar centradas: no conteúdo com ênfase na compreensão conceitual; no conteúdo com ênfase na execução; no aluno; na organização da sala de aula; e no conteúdo com ênfase nas situações problemáticas. O surgimento de novas orientações curriculares, a participação em ações de formação ou a leitura de materiais educativos podem suscitar novas perspectivas em relação à prática pedagógica. No entanto, independentemente da concepção de Matemática, é importante que o professor tenha parâmetros em sua prática. De acordo com a BNCC, por exemplo, é necessário que o professor esteja ciente de que para

[...] o desenvolvimento das habilidades previstas para o Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais possam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações precisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da matemática, como equivalência, ordem, proporcionalidade, variação e interdependência. (BRASIL, 2017, p. 296)

O ENSINO DE MATEMÁTICA O ensino de Matemática precisa privilegiar a exploração de uma variedade de noções matemáticas que contribuam para que os alunos construam e desenvolvam seu conhecimento matemático, sem perder o prazer, o interesse e a curiosidade. Por isso, é importante conciliar o trabalho com os conceitos matemáticos a abordagens que valorizem a integração entre a Matemática e as outras disciplinas, a proposição de temáticas sociais nas atividades a serem desenvolvidas e o estímulo ao uso adequado das novas tecnologias da informação e comunicação no estudo. De acordo com a BNCC (BRASIL, 2017), no Ensino Fundamental deve-se ter o compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático, que, segundo o PISA (Programme for International Student Assessment), consiste na [...] capacidade do indivíduo de formular, aplicar e interpretar a matemática em diferentes contextos, o que inclui o raciocínio matemático e a aplicação de conceitos, procedimentos, ferramentas e fatos matemáticos para descrever, explicar e prever fenômenos. Além disso, o letramento em matemática ajuda os indivíduos a reconhecer a importância da matemática do mundo, e agir de maneira consciente ao ponderar e tomar decisões necessárias a todos os cidadãos construtivos, engajados e reflexivos (INEP, 2012, p. 18).

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Ainda de acordo com a BNCC, é [...] o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição). (BRASIL, 2017, p. 264)

Para tanto, faz-se necessário criar um ambiente propício que pode ter como base o diálogo e a comunicação. Assim, o professor deve estimular os alunos a se comunicar (oralmente, por exemplo) ou a registrar (por meio de desenhos, textos, esquemas e outras formas de registro) suas ideias matemáticas. O hábito de expressar as ideias matemáticas pode ser desenvolvido questionando os alunos sobre como pensaram para realizar determinada atividade ou para resolver algum problema ou desafio. As dramatizações também podem ser estimuladas como uma forma de expressão de ideias matemáticas. Em relação às características das intervenções por parte do professor, estas devem procurar ser construtivas, dando oportunidade para que os alunos revejam suas posições e percebam as incoerências, quando existirem, contribuindo, assim, para a construção do seu conhecimento. Algumas intervenções que o professor pode fazer são por meio de perguntas, como as indicadas a seguir. • Como você obteve esse valor? Que estratégias realizou? • O que você pode concluir a partir desse resultado? • Como você pode convencer alguém de que sua resposta está correta? • É possível obter esse mesmo resultado por meio de outra estratégia? • Vamos testar essa outra estratégia? • Você pode afirmar que os procedimentos que utilizou são válidos? Explique. • A estratégia que você utilizou nessa situação pode ser empregada em quais outros casos? É importante que os alunos sejam incentivados a buscar diferentes formas de pensar, ampliando sua capacidade cognitiva e sua atitude diante de novas situações. Aliado a isso, ressalta-se a realização de atividades coletivas e cooperativas, o que favorece a socialização, a troca de ideias, a observação de outros pontos de vista, o reconhecimento de outras formas de pensar e de realizar as atividades. Segundo a BNCC, a aprendizagem matemática nos anos finais do Ensino Fundamental está diretamente relacionada com a apreensão de significados dos objetos matemáticos. [...] Esses significados resultam das conexões que os alunos estabelecem entre os objetos e seu cotidiano, entre eles e os diferentes temas matemáticos e, por fim, entre eles e os demais componentes curriculares. Nessa fase, precisa ser destacada a importância da comunicação em linguagem matemática com o uso da linguagem simbólica, da representação e da argumentação (BRASIL, 2017, p. 296).

Estabelecer relações entre a Matemática e as situações do cotidiano contribui para aproximá-la da vida dos alunos, colaborando para a percepção de que ela está presente em várias situações do dia a dia, não constituindo um conhecimento restrito ao ambiente da sala de aula. Além disso, nessa fase final do Ensino Fundamental, é importante iniciar os alunos, gradativamente, na compreensão, análise e avaliação da argumentação matemática. Isso envolve a leitura de textos matemáticos e o desenvolvimento do senso crítico em relação à argumentação neles utilizada (BRASIL, 2017, p. 297).

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ALGUMAS TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Um dos questionamentos mais frequentes no âmbito do ensino da Matemática diz respeito ao que pode ser considerado como um ensino de qualidade. Entretanto, essa não é uma questão simples que admite uma resposta única, objetiva e definitiva, porque, dependendo do enfoque, da finalidade e da perspectiva que se admite, aliados a questões políticas, sociais e culturais, podem surgir diversas respostas. A Educação matemática, um campo de pesquisa em crescimento, tem envolvido pesquisadores que analisam práticas pedagógicas desenvolvidas nos diferentes contextos escolares. Nesses estudos vêm ganhando destaque a Resolução de problemas, a Modelagem matemática, a Investigação matemática e as Tecnologias da informação e comunicação, entre outras.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Iniciar a aula com a proposição de um problema, que para Onuchic e Allevato (2011, p. 81) “é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em fazer”, pode ser o ponto de partida para a construção de um novo conceito matemático. Ao trabalhar com a Resolução de problemas como uma proposta para o ensino de conteúdos matemáticos, faz-se necessário ocupar-se de uma prática na qual o conhecimento é construído por meio das interações sociais dos alunos. Essa tendência metodológica prioriza o trabalho em grupo, em que as discussões podem ser orientadas pelo professor. Onuchic e Allevato (2004, p. 223) defendem que a “Resolução de problemas coloca o foco da atenção dos alunos sobre ideias e sobre o ‘dar sentido’. Ao resolver problemas os alunos necessitam refletir sobre as ideias que estão inerentes e/ou ligadas ao problema; [...]”. Na sala de aula, o professor, ao trabalhar com a Resolução de problemas, proporciona aos alunos a oportunidade de mobilização de seus conhecimentos prévios e o gerenciamento das informações disponíveis. Esse processo, além de contribuir para o desenvolvimento da autonomia dos alunos, conduz a ampliação ou a construção de conhecimentos. Vale ressaltar que os alunos poderão desenvolver diferentes estratégias para resolver os problemas, cabendo ao professor valorizá-las. Onuchic e Allevato (2011, p. 83-85) elaboraram, com base nos resultados de suas pesquisas, um roteiro para auxiliar o professor a trabalhar com a Resolução de problemas. Esse roteiro considera nove etapas para a organização da aula: • Preparação do problema – Selecionar um problema, visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha, ainda, sido trabalhado em sala de aula. • Leitura individual – Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura. • Leitura em conjunto – Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos. [...] • Resolução do problema – A partir do entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como coconstrutores da matemática nova que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.

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• Observar e incentivar – Nessa etapa, o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles. [...] • Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. • Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos, a fim de discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. • Busca do consenso – Depois de sanadas as dúvidas, e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. • Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado formalização, o professor registra na lousa uma apresentação formal – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto.

Como pode se dar a resolução de um problema O esquema a seguir apresenta as etapas e as relações entre elas, com as quais a Resolução de problemas pode ser desenvolvida nas aulas de Matemática.

Leitura individual e em conjunto, interpretação, elabora um esquema, realiza estimativas.

COMPREENDE O PROBLEMA.

PROBLEMA.

Organiza os dados, estabelece uma meta.

ELABORA UM PLANO. PROFESSOR Observador, mediador, incentivador, questionador

Retrospectiva.

UMA SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA.

Interpreta as condições do problema com o resultado obtido, verifica se há variações de respostas.

Se houver impasse.

Segue o plano, realiza cálculos.

EXECUTA O PLANO. Caso a solução obtida não satisfaça o problema, é necessário pensar em outro plano.

VALIDA O PLANO.

Confere a execução do plano com as condições do problema.

Fonte dos dados: POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. p. 25-27.

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Os alunos, ao resolverem os problemas, podem, de acordo com a abordagem proposta, tornar-se participantes ativos de sua aprendizagem, inserindo-se em um contexto no qual o estudo de Matemática ocorre dentro de um movimento que possibilita fazer análises, discussões, conjecturas, construção de conceitos e formulação de ideias.

MODELAGEM MATEMÁTICA A Modelagem matemática traz para a aula de Matemática um ambiente investigativo e comunicativo, no qual se pode construir conhecimento. Entre as diferentes perspectivas de Modelagem matemática, optou-se neste texto pela apresentada por Almeida e Ferruzzi (2009), uma alternativa pedagógica na qual, com base em situações oriundas da realidade, os conteúdos matemáticos se desenvolvem. De acordo com Almeida, Silva e Vertuan (2009), trata-se de criar possibilidades para enxergar situações do cotidiano por lentes matemáticas, ou seja, de interpretar e analisar situações do cotidiano por meio de linguagem matemática, e, assim, tomar decisões acerca delas. Segundo Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 12), [...] uma atividade de modelagem matemática pode ser descrita em termos de uma situação inicial (problemática), de uma situação final desejada (que representa uma solução para a situação inicial) e de um conjunto de procedimentos e conceitos necessários para passar da situação inicial para a situação final.

Durante o processo de interpretação matemática da situação inicial, há a necessidade de transformar a linguagem natural em linguagem matemática. Nessa direção, Almeida e Silva (2012, p. 627) destacam que [...] um aspecto importante numa atividade de modelagem matemática é a necessidade de os próprios alunos, a partir de uma situação-problema não matemática, fazerem a associação com conceitos e/ou procedimentos matemáticos capazes de conduzir a uma solução para o problema e possibilitar a sua análise.

De forma geral, no desenvolvimento de uma atividade de modelagem, estão presentes ações como buscar informações sobre a situação inicial, identificar e selecionar variáveis, elaborar hipóteses, realizar simplificações, obter um modelo matemático, validação e resolução do problema. Essas ações podem ser subsidiadas por orientações do professor. Embora a construção de um modelo matemático seja importante em uma atividade de Modelagem matemática, ela não é considerada o fim desse tipo de proposta, mas uma alternativa que pode permitir a compreensão global da situação investigada e da matemática utilizada. Em sala de aula, uma atividade de Modelagem matemática pode ser desenvolvida por alunos reunidos em grupos, e aí o professor tem o papel de orientador. A situação-problema pode emergir de uma proposta do professor, dos alunos ou do material didático que está sendo utilizado. O trabalho com Modelagem matemática pode promover relações interdisciplinares, motivação, levantamento de conhecimentos prévios, trabalho cooperativo, desenvolvimento do pensamento matemático, uso de diferentes representações, uso do computador e de outros recursos didáticos, desenvolvimento do conhecimento crítico e reflexivo e aprendizagem significativa.

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Fases da Modelagem matemática e as ações cognitivas dos alunos Identificação do problema

Inteiração

Modelo matemático

2 Representação mental da situação

1 Situação inicial (problemática)

Situação final (resposta para o problema)

Matematização e resolução

Resultados matemáticos

Interpretação de resultados e validação

As ações cognitivas dos alunos 1. Compreensão da situação 2. Estruturação da situação 3. Matematização 4. Síntese 5. Interpretação e validação 6. Comunicação e argumentação

Fonte dos dados: ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. O que é Modelagem matemática na Educação matemática? In: _________. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012. p. 19.

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA Uma Investigação matemática, de forma geral, consiste em um processo que transforma uma situação aparentemente confusa em um ou mais problemas que podem ser esclarecidos, ordenados e organizados de tal modo que possam ser resolvidos por meio de um olhar matemático. De acordo com Ponte (2003, p. 2), [...] investigar não é mais do que conhecer, procurar compreender, procurar encontrar soluções para os problemas com os quais nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de primeira importância para todos os cidadãos e que deveria permear todo o trabalho da escola, tanto dos professores como dos alunos.

Em uma Investigação matemática estão presentes quatro momentos principais: 1) o reconhecimento e a exploração da situação e a formulação de questões; 2) a formulação de conjecturas; 3) a realização de testes e reformulações das conjecturas; 4) a argumentação e avaliação do trabalho realizado (PONTE, 2003). Uma tarefa desenvolvida segundo a perspectiva da Investigação matemática aproxima o trabalho dos alunos ao trabalho dos matemáticos, sendo tarefa de ambos estabelecer os problemas, as hipóteses para resolvê-los, testar suas hipóteses, refutá-las e elaborar suas conclusões. Todo esse processo se desenvolve segundo um cronograma próprio e envolve a apresentação da situação de forma oral ou escrita, a execução individual ou em grupo, o desenvolvimento da Investigação matemática e o momento no qual os alunos relatam aos colegas e ao professor o trabalho realizado. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2007, p. 41), a [...] fase de discussão é, pois, fundamental para que os alunos, por um lado, ganhem um entendimento mais rico do que significa investigar e, por outro, desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre o seu trabalho e o seu poder de argumentação.

O papel do professor em uma Investigação matemática é criar um ambiente propício ao diálogo, à interação e à pesquisa, provocando em seus alunos a vontade de resolver as atividades investigativas. Geralmente, em uma investigação, o ponto de partida é uma situação

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aberta, e a participação efetiva dos alunos na formulação das questões que serão estudadas é fundamental, cabendo a quem investiga a sua concretização. É essa dinâmica que favorece o envolvimento do aluno no processo de aprendizagem (BERTINI; PASSOS, 2008).

TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO O acelerado desenvolvimento tecnológico das últimas décadas tem provocado transformações sociais e culturais na relação do ser humano com o saber. As novas tecnologias propiciam a criação de ambientes de aprendizagem que ampliam os canais de informações, e, ao mesmo tempo, formam e transformam os processos de ensino e de aprendizagem. Howland, Jonassen e Marra (2011) argumentam que a tecnologia deve ser entendida como uma parceira intelectual e uma ferramenta com a qual os alunos podem aprender como organizar e resolver problemas, compreender novos fenômenos, construir modelos desses fenômenos, e, dada uma situação não conhecida, definir metas e regular a própria aprendizagem. Pesquisadores da área de Educação matemática, como Borba e Penteado (2016, p. 48), destacam a importância das diferentes mídias na produção de conhecimento que é “produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias ou seres-humanos-com-tecnologias”. Para esses pesquisadores, o computador provoca a reorganização da atividade humana. Muitas das novas tecnologias proporcionam interatividade, criando ambientes em que os alunos têm acesso a resultados intermediários que não poderiam ser observados em situações tradicionais. A interatividade é um dos aspectos mais relevantes desses instrumentos para o ensino e a aprendizagem. Com o software GeoGebra, por exemplo, podem ser exploradas estruturas algébricas ou geométricas de forma dinâmica e avaliada a influência de seus parâmetros, visualizando simultaneamente suas diferentes representações. Nesta coleção, a seção Você conectado, organizada ao final de algumas Unidades, propõe o uso do GeoGebra e da planilha eletrônica Calc para ampliar o estudo de diversos conceitos matemáticos. Além disso, nos comentários específicos deste Manual do professor, é sugerido em diversos momentos o uso de softwares ou sites.

TEMAS CONTEMPORÂNEOS Discussões acerca do papel da escola na sociedade contemporânea implicaram modificações metodológicas e curriculares na Educação. Os temas contemporâneos surgiram com a proposta de construção da cidadania, incorporando questões de ética, educação ambiental, saúde, direitos humanos, trabalho, consumo, ciência e tecnologia, diversidade cultural, entre outras. Esses temas transcendem e perpassam todas as disciplinas. Nas aulas de Matemática, as abordagens de temas sociais por meio de conhecimentos matemáticos, ao mesmo tempo que possibilitam estabelecer relações com outras disciplinas, contextualizações e a reflexão crítica, conferem ao trabalho do professor a possibilidade de contribuir para a formação cidadã dos alunos. De acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 19), [...] cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e competência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, preferencialmente de forma transversal e integradora.

Por essa perspectiva, rompe-se a barreira da fragmentação do conhecimento, proporcionando aos alunos uma visão de reintegração de conteúdos e procedimentos acadêmicos, isolados uns dos outros pelo método disciplinar.

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Nesta coleção, os temas contemporâneos são discutidos em diversos momentos, como no desenvolvimento dos conceitos, nas atividades propostas e em seções, com destaque para a seção Você cidadão.

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CRÍTICA A formação de cidadãos críticos no âmbito escolar está atrelada ao desenvolvimento, nos alunos, da capacidade de analisar situações reais de forma reflexiva. Skovsmose (2004) destaca que um dos pontos-chave da Educação crítica consiste no fato de o processo educacional estar relacionado com problemas existentes fora do universo educacional. E, nesse sentido, destaca que dois dos critérios fundamentais para a seleção de um problema são os seguintes: O subjetivo: o problema deve ser concebido como relevante na perspectiva dos estudantes, deve ser possível enquadrar e definir o problema em termos próximos das experiências e do quadro teórico dos estudantes. E o objetivo: o problema deve ter uma relação próxima com problemas sociais objetivamente existentes (SKOVSMOSE, 2004, p. 19-20).

A Matemática supõe a submissão da realidade a modelos matemáticos preestabelecidos, que dão suporte a decisões e moldam o cotidiano. Em muitos casos, a Matemática escolar apresenta os cálculos matemáticos como verdades absolutas. Ao se deparar com problemas que, além de conteúdos matemáticos, requerem uma reflexão crítica, os alunos têm a possibilidade de perceber seu papel de cidadãos atuantes na sociedade. Para Skovsmose (2007, p. 19), “[...] a educação não pode apenas representar uma adaptação às prioridades políticas e econômicas (quaisquer que sejam); a educação deve engajar-se no processo político, incluindo uma preocupação com a democracia”. Para esse autor, “democracia” se refere ao “modo de vida”, à maneira de negociar e fazer mudanças, às formas de ação em grupo e em comunidades. Se os alunos são capazes de analisar de forma reflexiva a Matemática que existe nos modelos prontos apresentados na sociedade, serão capazes de exercer sua cidadania. A Educação matemática crítica é um campo de investigação da Educação matemática que lhe confere o objetivo de promover a participação crítica dos alunos na sociedade em que estão inseridos, discutindo questões políticas, ambientais, econômicas, sociais, entre outras, nas quais a Matemática se faz presente.

O PAPEL DO PROFESSOR Na sala de aula, o professor é o agente condutor das situações instrucionais e interacionais. Confirmando o que foi apresentado nos Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (BRASIL, 1997), com o avanço das tecnologias de informação, à medida que o papel dos alunos foi se redefinindo diante do saber, o papel do professor que ensina Matemática foi se redimensionando. Os alunos são protagonistas da construção de sua aprendizagem, e o professor é o organizador, o facilitador, o incentivador, o mediador entre o saber matemático e os alunos. Utilizando diferentes práticas, o professor em sala de aula articula o conhecimento matemático com a formação da cidadania, promovendo assim não só a formação integral dos alunos, mas também importantes mudanças sociais. O professor mediador não oferece respostas prontas; ele dialoga. Não há como imaginar uma situação instrucional que não seja baseada no diálogo. O professor questiona, é questionado, dá voz aos alunos, valoriza, respeita, promove a autonomia deles. O professor do século XXI tem consciência de que aprende no ato de ensinar, considerando, portanto, a sala de aula como um local de aprendizagens mútuas.

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Em relação ao livro didático, procuramos dar autonomia e respeitar a atuação do professor, orientando-o a reconhecer os momentos nos quais deve desafiar, indagar e conduzir seus alunos à reflexão e à problematização de situações que vão além das apresentadas nesta coleção.

SABERES DOCENTES PARA OS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Um professor de Matemática que atua nos anos finais do Ensino Fundamental, além de conhecer as diferentes abordagens metodológicas, precisa ter os saberes necessários para construir novas práticas pedagógicas que permitam identificar avanços, dificuldades e possibilidades para a reconstrução das aprendizagens de seus alunos. De acordo com a BNCC, a área de Matemática no Ensino Fundamental, [...] por meio da articulação de seus diversos campos – Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade, precisa garantir que os alunos relacionem observações empíricas do mundo real a representações (tabelas, figuras e esquemas) e associem essas representações a uma atividade matemática (conceitos e propriedades), fazendo induções e conjecturas. Assim, espera-se que eles desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações. (BRASIL, 2017, p. 263)

A maneira como o professor compreende a Matemática irá influenciar o modo como trata tais articulações. Nesse sentido, saberes de conteúdo e saberes pedagógicos estão inter-relacionados. De acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Educação Básica (DCN) (BRASIL, 2013, p. 113), o professor precisa ter clareza do que espera dos alunos, “buscando coerência entre o que proclama e o que realiza, ou seja, o que realmente ensina em termos de conhecimento”. No mesmo documento é indicado que o caráter fragmentário das áreas precisa ser superado “[...] buscando uma integração no currículo que possibilite tornar os conhecimentos abordados mais significativos para os educandos e favorecer a participação ativa de alunos com habilidades, experiências de vida e interesses muito diferentes” (BRASIL, 2013, p. 118). O saber profissional do professor é um saber pluridimensional, uma vez que o professor é aquele que planeja, executa, avalia, ou seja, é aquele que na sala de aula é responsável pela gestão de um pequeno universo.

LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA (LEM): UM AMBIENTE EDUCACIONAL A expressão ambiente educacional é usada de modo geral para designar o contexto em que ocorrem o ensino e a aprendizagem. Neste texto, ao nos referirmos ao ambiente educacional, estamos considerando a perspectiva de Troncon (2014, p. 265), que define esse ambiente como o [...] conjunto de elementos, de ordem material ou afetiva, que circunda o educando, que nele deve necessariamente se inserir e que o inclui, quando vivencia os processos de ensino e aprendizado, e que exerce influência definida sobre a qualidade do ensino e a eficácia do aprendizado. Destaque-se que um aspecto particular deste conceito é a inclusão do educando como elemento que participa do ambiente, o que tem a implicação de lhe atribuir responsabilidades na manutenção e no aperfeiçoamento do ambiente que integra.

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Esse autor ainda destaca que o ambiente educacional tem impacto na construção do conhecimento dos alunos, o que, consequentemente, denota a importância e a atenção que deve receber, com o propósito de aprimorá-lo e de aperfeiçoar o processo educacional. Um ambiente educacional é composto basicamente de dois elementos: um de natureza material (mobiliário, iluminação, espaço físico etc.) e outro de caráter afetivo (respeito, segurança, entre outros). É necessário enfatizar que parte importante dos componentes do ambiente educacional é aquela relativa ao ambiente físico em que se dá o aprendizado, ou às condições materiais que cercam o ensino e a aprendizagem. Um Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) pode ser considerado um ambiente educacional que consiste em um espaço munido de material para que professor e alunos desenvolvam seus trabalhos de ensinar e aprender Matemática. O LEM pode potencializar o trabalho desenvolvido em sala de aula, evitando que o professor precise deslocar grande quantidade de material de um local para outro. Esse espaço pode ser uma sala, um armário ou outro local dentro da escola destinado a armazenar o material construído pelos próprios alunos em conjunto com o professor, material industrializado, livros e revistas que apresentam temas matemáticos, livros didáticos e paradidáticos, jogos, peças que representam sólidos geométricos, instrumentos de medida, calculadoras, computadores, lousa digital, televisor, pôsteres, cartolinas, papéis sulfite, tesouras, entre outros. Segundo Lorenzato (2006, p. 7), [...] o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço para facilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar, experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender.

Um laboratório com essas características pode ser estruturado por meio do trabalho conjunto entre professores das diferentes disciplinas e turmas, diretor e outros responsáveis da escola, além da colaboração dos alunos. Essas ações permitem estabelecer relações entre as disciplinas.

OUTROS AMBIENTES PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA A sala de aula é um espaço físico considerado um ambiente convencional de ensino e de aprendizagem. Todavia, não é o único espaço em que a construção do conhecimento pode ocorrer. De acordo com D’Ambrosio (2005, p. 22), o [...] cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios à sua cultura.

Nesse sentido, os espaços extraescolares, considerados ambientes não convencionais de ensino, podem promover a construção de conhecimentos e os desenvolvimentos cognitivo e comportamental. Por exemplo, ao propor uma visita a um supermercado, conhecimentos matemáticos podem ser construídos ou evidenciados na comparação de preços de mercadorias de diferentes marcas, na escolha de um produto, levando em consideração a quantidade de unidades e de massa ou o prazo de validade, entre outros aspectos. Além de promover a aprendizagem de conteúdos matemáticos, pode-se desenvolver a formação de um consumidor consciente: “Preciso comprar esse produto? Vou consumir o produto dentro do prazo de validade? Estou precisando dessa mercadoria?”. Museus, parques recreativos, jardins botânicos, zoológicos, unidades de conservação, feiras, exposições e planetários são exemplos de espaços não convencionais que também podem ser empregados para o desenvolvimento de atividades de educação formal.

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Para Xavier e Fernandes (2011, p. 226), [...] no espaço não convencional da aula, a relação de ensino e aprendizagem não precisa necessariamente ser entre professor e aluno(s), mas entre sujeitos que interagem. Assim, a interatividade pode ser também entre sujeito e objetos concretos ou abstratos, com os quais ele lida em seu cotidiano, resultando dessa relação o conhecimento.

Podemos considerar que os fazeres do cotidiano envolvem ideias matemáticas, e essas ideias podem não ser apreendidas na escola, mas no ambiente familiar, e recebidas de amigos, colegas e familiares. De forma geral, a utilização de ambientes não convencionais para o ensino e a aprendizagem é uma prática pouco explorada na educação formal. O professor interessado em utilizar um espaço não convencional deve fazer um planejamento para evidenciar a compreensão das funções, do funcionamento e das potencialidades desse espaço para a educação formal. Além disso, precisa considerar as limitações do espaço escolhido e solicitar à escola e aos pais ou responsáveis uma autorização em caso de necessidade de saída dos alunos do ambiente escolar. Algumas escolas mantêm projetos dentro da própria instituição, em espaços como laboratórios, ateliês, auditórios, bibliotecas, salas de vídeos, oficinas, hortas, jardins, entre outras dependências usadas para o desenvolvimento das aulas. Essa iniciativa promove uma ampliação do contexto escolar que ultrapassa as paredes da sala de aula e, em alguns casos, extrapola os limites da escola. Existem casos em que se articulam conceitos de empreendedorismo com os alunos, construindo modelos de estabelecimentos comerciais, por exemplo. Existe uma variedade de espaços não convencionais em diferentes contextos, que exibem alguma relação direta ou indireta com os conteúdos das disciplinas escolares e, em especial, com conteúdos matemáticos.

APRENDIZAGEM MATEMÁTICA A Matemática no contexto escolar é, muitas vezes, uma disciplina temida e considerada pouco importante para grande parte de alunos que não veem relação entre o que aprendem e o mundo fora dos muros da escola. Quando a abordagem é feita de forma exclusivamente tradicional, a Matemática escolar tende a afastar os alunos e precisa ser “reinventada” para propiciar um ensino e uma aprendizagem significativa, criativa, prática e contextualizada de acordo com a realidade social e cultural do aluno. Segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1980), para a ocorrência de aprendizagem significativa, por exemplo, além de considerar os conhecimentos prévios dos alunos, é necessária a existência de uma predisposição positiva deles para aprender e materiais de ensino potencialmente significativos. Ao distinguir a aprendizagem significativa de outras aprendizagens, esses autores afirmam que [...] a aprendizagem significativa ocorre quando a tarefa de aprendizagem implica relacionar, de forma não arbitrária e substantiva (não literal), uma nova informação a outras com as quais o aluno já esteja familiarizado, e quando o aluno adota uma estratégia correspondente para assim proceder. A aprendizagem automática, por sua vez, ocorre se a tarefa consistir de associações puramente arbitrárias, como na associação de pares, quebra-cabeça, labirinto, ou aprendizagem de séries e quando falta ao aluno o conhecimento prévio relevante necessário para tornar a tarefa potencialmente significativa, e também (independente do potencial significativo contido na tarefa) se o aluno adota uma estratégia apenas para internalizá-la de uma forma arbitrária, literal (por exemplo, como uma série arbitrária de palavras). (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p. 23)

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A disposição dos alunos para aprender não depende somente de sua estrutura cognitiva, mas também de motivação e materiais disponíveis no ambiente educacional. Os recursos materiais correspondem ao espaço físico que circunda os alunos e aos materiais dos quais fazem uso durante a realização das atividades. Os recursos de caráter afetivo dizem respeito às relações estabelecidas entre os alunos e entre aluno e professor. Situações que envolvem o cotidiano dos alunos tendem a motivá-los para o estudo dos conteúdos matemáticos e podem constituir elementos motivacionais em sua predisposição para aprender. Ambientes educacionais diferenciados, como o LEM, também podem estimular a motivação, mas sua ausência não pode limitar o trabalho do professor e tampouco inviabilizar o processo de aprendizagem. Ainda que a aprendizagem não seja um ato que se possa compartilhar, pois é algo individual, o trabalho em grupo favorece as interações e a negociação dos significados atribuídos aos objetos matemáticos durante a atividade. O uso de computadores, telefones celulares e tablets com fins pedagógicos, nesse nível de escolaridade, pode ser uma ação social de caráter motivacional que promove a interação entre os pares, estimula a elaboração de estratégias e de formas de representação por meio de expressões textual, gráfica e oral. As atividades matemáticas que trabalham com construções preestabelecidas podem ser consideradas situações que privilegiam a resolução de problemas. As habilidades e competências cognitivas e sociais desenvolvidas com esse tipo de atividade passam a fazer parte da estrutura mental dos alunos, que podem ser generalizadas em outras situações. O ensino de Matemática precisa despertar nos alunos o prazer de aprender matemática, e os conceitos matemáticos devem ser compreendidos como elementos que contribuirão para a vida social dos alunos. Tais conceitos, em algumas situações, podem ser desenvolvidos por meio de atividades lúdicas e desafiadoras, que favoreçam o raciocínio, a reflexão e o pensamento lógico. O professor conta com diferentes recursos para auxiliá-lo em seu trabalho, entre eles o livro didático. Esta coleção busca valorizar os conhecimentos prévios dos alunos, o trabalho em grupo, dentre outros recursos que ajudarão o professor em sala de aula.

OS ALUNOS NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, os alunos manifestam grande curiosidade e desejo de compreender o mundo à sua volta. Quando o professor se propõe a observar e ouvir, os alunos podem evidenciar suas explicações sobre os acontecimentos e os fenômenos do cotidiano. Para tanto, é necessário despertar o espírito investigativo e a curiosidade dos alunos, incentivando o levantamento de hipóteses, procurando conhecer suas explicações dos fenômenos cotidianos, propiciando o confronto de ideias para poder construir de forma gradativa os conceitos e procedimentos matemáticos. É importante promover uma ação pedagógica por meio de uma abordagem que favoreça a articulação dos conhecimentos de diversas áreas entre si e o contexto dos alunos, sempre considerando a cultura digital, que nos últimos anos tem promovido significativas alterações sociais nas relações humanas como um todo. [...] Em decorrência do avanço e da multiplicação das tecnologias de informação e comunicação e do crescente acesso a elas pela maior disponibilidade de computadores, telefones celulares, tablets e afins, os estudantes estão dinamicamente inseridos nessa cultura, não somente como consumidores. Os jovens têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multimidiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de modo cada vez mais ágil. (BRASIL, 2017, p. 59)

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Nesta coleção, além das situações que permeiam toda a obra, são propostas seções específicas que buscam estimular o trabalho com elementos da cultura digital. Na seção Você conectado, são apresentados exemplos que exploram conceitos matemáticos utilizando o software GeoGebra ou a planilha eletrônica Calc; em seguida, são propostas atividades para que os alunos realizem na prática. O boxe Conexões sugere aos alunos sites e livros que possibilitam articular o tema em estudo a algum elemento externo do livro.

A LEITURA E A ESCRITA NAS AULAS DE MATEMÁTICA A comunicação é essencial para a interação social, e o processo de apropriação da linguagem é fundamental para o desenvolvimento humano. É por meio da interação e da mediação que compartilhamos ideias e conhecimentos. Cabe ressaltar que a comunicação não se limita ao uso da fala, mas envolve também escrita, gestos, símbolos, expressões corporais e pictóricas, entre outros. O professor mediador deve, de acordo com a faixa etária, considerando o conhecimento prévio e respeitando o ritmo e perfil cognitivo, colocar seus alunos diante de situações que propiciem o desenvolvimento da percepção, atenção, memória, do raciocínio, da fala, por exemplo, e o desenvolvimento das funções mais complexas como a leitura e a escrita, os raciocínios lógico e dedutivo, a elaboração de estratégias, entre outras. A leitura, a escrita e a fala são meios pelos quais os conhecimentos são construídos. Essas competências são desenvolvidas principalmente no contexto escolar e não devem ser priorizadas somente na disciplina de Língua Portuguesa, mas também em outras, incluindo a Matemática. A decodificação de letras é uma das várias habilidades da competência leitora. Quando um aluno lê um texto, o enunciado de um problema, por exemplo, deve ser capaz de monitorar e avaliar a compreensão do que está lendo para conseguir interpretá-lo. Nesta coleção, existem momentos destinados à leitura de diferentes gêneros textuais, com destaque para as atividades identificadas com o ícone Você leitor. Ao responder a uma questão de forma escrita, ao elaborar um problema, ao redigir um relatório para comunicar dados expressos em tabelas e gráficos estatísticos ou ao registrar o desenvolvimento de um problema e sua solução, os alunos precisam ter competência para organizar o conjunto de estratégias que explicitaram em seu plano de ação e escrever de maneira coerente o que planejaram. Esta coleção estimula, em diversos momentos, com destaque para as atividades identificadas com o ícone Você escritor, a expressão oral e escrita dos alunos em situações variadas. Nas aulas de Matemática, os alunos devem usar a fala, a escrita, a leitura, os gestos e outros recursos para se comunicar matematicamente, uma vez que a representação dos objetos matemáticos, em diferentes domínios de expressão, constitui um instrumento para o desenvolvimento cognitivo.

O CÁLCULO MENTAL Alguns autores consideram que o cálculo mental é aquele feito “de cabeça”, sem uso de registros escritos; outros, porém, divergem dessa concepção e defendem o uso de papel para que cálculos auxiliares sejam efetivados. De qualquer forma, ao realizar um cálculo mental são mobilizadas estratégias que permitem rapidez e eficiência na obtenção da resposta. Essas estratégias desenvolvem nos alunos qualidades de ordem, lógica, reflexão e memória. Isso contribui para o desenvolvimento cognitivo e fornece ferramentas que possibilitam efetuar cálculos simples no cotidiano.

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Por meio do cálculo mental, é possível trabalhar de maneira simultânea a memória e a concentração. Segundo Buys (2001), o cálculo mental permite aos alunos calcular livremente, sem restrições, desenvolvendo novas estratégias de cálculo ou o uso de números de referência e estratégias que já possuem. Para esse autor, há três características presentes no cálculo mental: operar com números e não com dígitos; usar propriedades elementares das operações e relações numéricas; e permitir o recurso a registros auxiliares em papel. Com as aulas de Matemática previamente planejadas, o professor pode apresentar diversas estratégias para a realização de cálculos mentais, possibilitando aos alunos a escolha das estratégias que julgarem mais simples ou mais adequadas para determinadas situações. Nesta coleção, são propostas diversas atividades a serem realizadas por meio do cálculo mental, identificadas com um ícone próprio. Essas atividades, em geral, apresentam diferentes estratégias de cálculo, ampliando o repertório dos alunos. Todavia, é importante deixá-los criar e expressar as próprias estratégias, que podem ser compartilhadas com os colegas.

RELAÇÕES COM OUTROS COMPONENTES CURRICULARES A Matemática escolar é uma disciplina desafiadora, tanto para os alunos quanto para os professores. Observando os contextos social e tecnológico, pode-se identificar o descompasso que há entre esses contextos e o sistema educacional. Junto das críticas ao modelo escolar, desconfigurado e engessado, temos, por um lado, a Matemática como uma disciplina compartimentalizada, enquanto do outro lado temos uma sociedade hight tech que a desafia e exige inovações. Estabelecer relações entre conceitos e ideias próprias da Matemática e de outros componentes curriculares, com o propósito de superar a fragmentação dos saberes, possibilita abordar uma situação-problema sob diferentes perspectivas. Os conhecimentos, de maneira geral, devem dialogar entre si. Por exemplo, ao estudar os números, percebemos que a concepção que temos hoje é resultado de um processo sócio-histórico. Explorar esse tema pode favorecer a relação entre a Matemática e a História que, quando trabalhada a partir de uma proposta de ensino integrada, possibilita aos alunos compreenderem a importância do uso de um sistema de numeração. Durante as aulas de Matemática, algumas situações podem ser aproveitadas para o professor estabelecer relações com outras disciplinas. Uma pergunta feita por um aluno durante o desenvolvimento de um conteúdo matemático, por exemplo, pode ter potencial para desencadear abordagens de conteúdos de outras áreas do conhecimento. De maneira geral, os professores dos anos finais do Ensino Fundamental são especialistas em suas áreas. Com isso, é importante a prática de atividades integradoras entre eles, como o planejamento das aulas e a proposta de projetos, buscando correlacionar os conceitos tratados nos diferentes componentes curriculares. Para Tomaz e David (2008), os professores dos diversos componentes curriculares podem conversar para levantar aspectos comuns de sua prática e compará-los com os de outro professor que trabalha com os mesmos alunos, a fim de encontrar alternativas para potencializar as oportunidades de interdisciplinaridade em sala de aula, tornando essa prática mais usual. Nesta coleção, procurou-se estabelecer relações entre a Matemática e diversas outras áreas do conhecimento no decorrer das propostas de atividades. Cabe destacar a seção Integrando com..., na qual conceitos matemáticos e de outros componentes curriculares se articulam para possibilitar a investigação de situações oriundas do cotidiano ou do campo científico.

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TRABALHO COM PROJETOS No âmbito escolar, podemos entender projeto como uma atividade desenvolvida por um grupo de pessoas da comunidade escolar. Tal atividade, orientada de acordo com um objetivo comum e que estabelece relações com ações mobilizadas para a formação do cidadão, demanda certo tempo para ser concluída. Para isso, é importante que a comunidade envolvida no desenvolvimento do projeto se organize de maneira a planejá-lo, considerando o início e a conclusão. Nesse sentido, o desenvolvimento de um projeto pode ter as seguintes etapas: organização, planejamento, execução e finalização. Como uma atividade desenvolvida no âmbito educacional, o projeto precisa ser avaliado. Para isso, orienta-se que a avaliação seja realizada durante o desenvolvimento, analisando se cada etapa está de acordo com os objetivos propostos e como a ação de cada participante tem colaborado com a atividade. Ao se desenvolver um projeto, é possível estabelecer diálogos entre as pessoas, promovendo a troca de ideias. Isso viabiliza articulações entre conhecimentos de diferentes áreas, possibilitando aos alunos que realizem um processo investigativo para observar e analisar o mundo à sua volta, assumindo, assim, a postura de cidadãos críticos e atuantes. Os professores de diferentes componentes curriculares precisam interagir, de modo que sua atuação conjunta seja capaz de conduzir os interesses dos participantes do projeto, bem como articular os conteúdos a serem abordados, possibilitando a construção do conhecimento e do desenvolvimento da atitude crítica dos alunos.

ORIENTAÇÕES PARA AVALIAÇÃO Avaliar é uma ação que consiste em atribuir valor a algo. Provém do latim, valere, e pode ocorrer de maneira formal ou informal nas salas de aula. A avaliação, no contexto escolar, refere-se à atribuição de um valor para o rendimento escolar. Ao se referir ao processo de aprendizagem, não se pode reduzir a avaliação a um momento único no qual esse “valor” é atribuído. Ele deve ser tratado como um processo realizado de forma contínua e prolongada. Segundo pesquisadores como Hadji (1994), o objetivo da avaliação escolar é o de contribuir para a aprendizagem, tanto dos alunos quanto do professor. Com esse objetivo, a avaliação oferece ao professor informações sobre o processo de aprendizagem dos alunos e sua conduta de ensino em sala de aula. Aos alunos, a avaliação possibilita uma análise sobre sua própria aprendizagem, por permitir coletar informações sobre o percurso, êxitos e dificuldades apresentadas. Tradicionalmente a avaliação escolar se dá a partir da utilização de um ou mais instrumentos, entre os quais se destacam as provas escritas, que são aplicadas geralmente no final de um período escolar. Nessa perspectiva, uma das principais funções da avaliação é certificar por meio de notas ou conceitos, o que supostamente permite verificar se o aluno domina as competências e capacidades que faziam parte do objeto de ensino (HADJI, 1994). Há, nessa perspectiva, uma supervalorização de aspectos quantitativos no processo avaliativo. Além da função de certificar, cabe à avaliação regular a aprendizagem, de modo a contribuir com esse processo. Para Hadji (1994), uma avaliação cujos resultados possam ser utilizados pelo professor e pelos alunos para a tomada de decisão deve ter em vista que a aprendizagem dos alunos é considerada formativa e é realizada com o propósito de diagnosticar possíveis falhas nos processos de ensino e de aprendizagem. Nessa perspectiva, há maior valorização de aspectos qualitativos no processo avaliativo do que quantitativos.

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Concordamos com D’Ambrosio (2005, p. 78) quando o autor afirma que a [...] avaliação deve ser uma orientação para o professor na condução de sua prática docente e jamais um instrumento para reprovar ou reter alunos na construção de seus esquemas de conhecimento teórico e prático. Selecionar, classificar, filtrar, reprovar e aprovar indivíduos para isto ou aquilo não são missão de educador. Outros setores da sociedade devem se encarregar disso.

A avaliação em sala de aula em geral é condizente com a forma como as aulas ocorrem. Se a dinâmica da aula privilegia a repetição de exercícios, a execução de algoritmos, e esse é o processo de ensino que precisa ser aprimorado, naturalmente a avaliação, mesmo quando realizada na perspectiva da avaliação formativa, busca verificar os erros dos alunos na tentativa de eliminá-los. Ao verificar um erro, em geral pede-se aos alunos que realizem a atividade novamente, e novamente... e novamente, até responderem de maneira considerada correta. Desse modo, os erros são carregados de aspectos negativos, o que faz com que os alunos se sintam punidos ao cometê-los. Por outro lado, se a dinâmica da aula privilegia a investigação, a ação dos alunos ante tarefas que devem ser executadas, a avaliação pode compreender todos os processos que ocorrem durante a aula. De todo modo, a avaliação pode ser subsidiada por diferentes recursos – os instrumentos de avaliação. Estes devem fornecer ao professor informações – quanto à capacidade dos alunos para resolver situações-problema, saber utilizar a linguagem matemática, lidar com instrumentos de construção, utilizar-se de raciocínio matemático, comunicar-se por meio oral – para que possa inferir aspectos da aprendizagem e do raciocínio matemático.

ESTRATÉGIAS DE AVALIAÇÃO Concordamos com a conceitualização de Sacristán (1998, p. 298) que afirma que a avaliação pode ser entendida como: [...] qualquer processo por meio do qual alguma ou várias características de um aluno/a, de um grupo de estudantes, de um ambiente educativo, de objetivos educativos, de materiais, professores/as, programas, etc., recebem a atenção de quem avalia, analisam-se e valorizam-se suas características e condições em função de alguns critérios ou pontos de referência para emitir um julgamento que seja relevante para a educação.

Para esse autor, fica evidente que a avaliação tem, como um de seus propósitos, contribuir para os processos de ensino e de aprendizagem na escola. Nessa direção, de acordo com Hadji (1994), o papel da avaliação é compreender a situação dos alunos, de modo a regular os processos de ensino e de aprendizagem. Quando realizada sob esse aspecto, Hadji (1994) considera que esse tipo de avaliação é formativa. O autor atribui, também, outro propósito para a avaliação, o de inventário, ou seja, de certificar, atestar a aquisição de determinado conhecimento. Nesse caso, tem-se que a avaliação é somativa. O terceiro propósito apresentado por Hadji (1994) é o prognóstico, em que a avaliação tem por objetivo orientar os alunos em suas escolhas, informá-los sobre suas aptidões e capacidades. Nesse caso, a avaliação é do tipo diagnóstica. As estratégias de avaliação propostas por Hadji (1994) e que podem ser desenvolvidas por meio de diferentes instrumentos de avaliação valorizam as produções escritas dos alunos. Essas produções escritas revelam, além da execução de algoritmos específicos, o nível de compreensão dos conceitos envolvidos na resolução de um problema, pois, quando um aluno deve escrever um texto a respeito de problemas resolvidos por ele, esse texto deve ser o mais claro possível, deve convencer e esclarecer o leitor a respeito dos procedimentos utilizados na resolução, bem como das ideias matemáticas nela contidas.

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Ponte et al. (1997) afirmam que as produções escritas de alunos possuem um grande valor formativo, contribuindo para o desenvolvimento da autonomia e da reflexão desses alunos em relação à sua própria aprendizagem. Tais produções podem ser elaboradas individualmente ou em grupo, podendo ter diferentes formas. Por exemplo, pode-se solicitar aos alunos que comentem e expliquem a resolução de um problema ou um texto, bem como descrevam e analisem os resultados de alguma atividade de investigação da qual participaram. Assim, as produções escritas são, além de fator de aprendizagem, elementos importantes para a avaliação.

TRABALHANDO COM O ERRO No contexto educacional, no âmbito da avaliação da aprendizagem, o erro deve ser entendido como uma possibilidade de “enxergar” como os alunos lidam com uma questão ou um conteúdo matemático. Essa possibilidade pode orientar o trabalho do professor em sala de aula, além de servir de base para seu planejamento. Cabe ao professor parar e analisar os procedimentos que levaram os alunos a errar. Santos e Buriasco (2008) consideram essa abordagem como “maneiras de lidar”. Esses autores defendem que cada aluno apresenta um modo de lidar com o conhecimento matemático. Os diferentes modos [...] devem ser tomados como ponto de partida para construir um espaço de negociação e legitimação dos significados atribuídos a tais conhecimentos. Assim, as maneiras de lidar que são diferentes das consideradas corretas apresentam-se a favor da aprendizagem dos alunos, permitindo aos professores oportunidades de leitura do modo como os alunos pensam sobre um determinado conteúdo. A partir dessa leitura, eles podem planejar suas ações para promover a aprendizagem, as atividades e as discussões a serem estabelecidas com os alunos. Consequentemente, os professores podem deixar de “mostrar os caminhos” e passar a indagar sobre os caminhos que os alunos estão construindo, provocando momentos de instabilidade, reflexão e confirmação nos quais aconteçam suas aprendizagens. (SANTOS; BURIASCO, 2008, p. 105)

Recomenda-se ao professor afastar o paradigma de que o erro consiste em algo negativo, em que a falta é relacionada à ausência de conhecimento. O erro precisa ser trabalhado em sala de aula com o objetivo de ser transposto, de forma que os alunos avancem na aprendizagem de conteúdos matemáticos.

ALGUNS INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO Como aprender é um processo diferente entre as pessoas, é necessário adotar práticas avaliativas em que o foco seja ter indícios de ocorrência de aprendizagem por meio das informações obtidas. Nesse sentido, diferentes instrumentos de avaliação devem ser implementados nas aulas, em especial nas aulas de Matemática. Em muitos casos, a informação obtida por meio de um instrumento acaba por completar ou esclarecer uma informação que já fora obtida por outro. Entretanto é preciso se ter claro que um instrumento, muitas vezes, prioriza certos aspectos sobre outros. Por isso é importante saber o que cada instrumento é capaz de revelar, que informações é possível recolher com ele e que limitações ele possui. (SANTOS, 2008, p. 18)

Nesta coleção, a seção O que estudei possibilita tanto ao professor quanto ao aluno identificar a necessidade de retomar algum conteúdo, estabelecendo-se como um instrumento avaliativo.

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Na sequência, apresentamos de forma sucinta alguns instrumentos de avaliação que julgamos pertinentes às aulas de Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental: prova escrita e prova escrita em fases, prova-escrita-com-cola, trabalho em grupo, seminário, portfólio e autoavaliação. No entanto, o professor pode ser criativo e investir em outros instrumentos que deem suporte para investigar indícios de aprendizagem dos alunos.

Prova escrita e prova escrita em fases A prova escrita é um instrumento de avaliação que tem o objetivo de estabelecer uma comunicação que permite ao professor fazer uma análise da competência escritora do aluno. Na elaboração de uma prova escrita, o professor deve utilizar diferentes situações que promovam o uso de variadas representações e estratégias, além de estabelecer critérios de correção, considerando os “percursos” que os alunos podem utilizar. Para tanto, é necessário que os procedimentos sejam listados e pontuados, revendo-os sempre que preciso, antes ou durante a correção. A correção deve ser pautada nos procedimentos utilizados pelos alunos para obter a solução. Um professor atento aos indícios de aprendizagem não deve considerar somente a solução final apresentada. Combinando as vantagens da prova escrita com outras tarefas, De Lange (1999) propôs a prova escrita em duas fases. De forma geral, esse instrumento segue os mesmos pressupostos da prova escrita usual, diferenciando no modo como os alunos são solicitados a resolvê-la – em dois momentos, ou duas fases. Na primeira fase, os alunos respondem, em um tempo limitado, questões discursivas que abordam conhecimentos que deveriam ter aprendido, sem indicações do professor. A prova é recolhida e corrigida pelo professor, que deve inserir comentários e/ou questionamentos que permitam estabelecer uma comunicação escrita na qual os alunos possam explicar o que fizeram. Nessa fase o professor não valida as respostas, isto é, não coloca certo ou errado. Os comentários e questionamentos devem exigir reflexão por parte dos alunos. Na segunda fase, os alunos recebem a prova novamente e a resolvem considerando os comentários e/ou questionamentos inseridos. Eles têm a oportunidade de fazer uma complementação do que não foi feito na primeira fase, reelaborando sua solução ou mesmo resolvendo a questão pela primeira vez. Essa fase é realizada em casa, no momento em que o aluno julgar conveniente e sem tempo limitado para a resolução. Após o período combinado entre as partes, a prova é devolvida ao professor para que ele faça uma nova correção. Se o professor julgar necessário, podem ser feitas adaptações de acordo com a realidade de sua turma e outras fases podem ser implementadas. Com isso, prolonga-se o processo de avaliação de forma que o professor analise se o objetivo da aprendizagem foi alcançado.

Prova-escrita-com-cola Usualmente o ato de colar é visto como um dos problemas escolares que permeiam os mais diversos níveis de ensino, podendo ser entendido como desvio de conduta para tirar proveito ou um meio de corrupção. Esse ato “está associado à atitude de trazer para o momento da avaliação informações que não correspondem ao conhecimento já construído [...], trata-se de conceber a cola como uma forma de pesquisa ilícita” (ZANON; ALTHAUS, 2008, p. 24). Diversas situações podem ser consideradas como cola, por exemplo: consultar a prova, trocar de prova ou conversar com um colega no momento da prova, fazer registro em folhas de papel ou até mesmo no próprio corpo, consultar livros, cadernos ou aparelhos eletrônicos, entre outros.

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É inegável que a prova desperta uma forte carga emocional, como ansiedade (capaz de bloquear o desempenho, o pensamento e causar lapso de memória – “o branco”), medo da nota baixa e da reprovação, nervosismo, dúvidas, insegurança, esquecimento etc. Por isso, a cola pode se configurar como um meio de diminuir a ansiedade – se houver esquecimento, ela pode gerar segurança – como uma fuga ao fracasso, uma estratégia de defesa ou uma porta de escape à prova que tem poder de atribuir notas baixas, reprovar e refletir na imagem pessoal. (SOUZA, 2018, p. 19)

Uma maneira de utilizar um dos tipos de cola como recurso para oportunizar a aprendizagem é por meio do instrumento de avaliação prova-escrita-com-cola, que de acordo com Forster (2016) foi nomeado dessa maneira justamente para evidenciar a ideia de que é possível trazer a cola “oficialmente” para a prova. Esse mesmo autor informa que uma prova-escrita-com-cola é basicamente [...] uma prova escrita na qual o aluno tem a sua disposição um pedaço de papel, a cola, em que ele pode anotar as informações que julgar pertinentes para utilizar durante a realização da prova. Para que os alunos façam a cola, é desejável que seja estabelecido um padrão comum a todos. Por exemplo, é preciso definir as dimensões do papel, se o texto da cola deve ser manuscrito ou não, se deve ser feito individualmente ou não. (FORSTER, 2016, p. 27)

Esse tipo de instrumento de avaliação se diferencia de uma prova com consulta, principalmente porque os registros devem estar em um papel com dimensões delimitadas e os próprios alunos devem produzi-los. Segundo Forster (2016), a intenção é que eles utilizem esse instrumento como um meio de estudo, e a limitação do papel pode auxiliar nesse sentido, pois é necessário estudar o assunto para ter condições de recolher as informações mais relevantes para inserir na cola. Numa perspectiva subversiva, ela [cola] torna-se um recurso à aprendizagem, um meio de estudo e pesquisa. Demanda estudo prévio, escolhas (porque o espaço é limitado), análise, produção pessoal e reflexão. Torna-se a única fonte permitida de ser consultada no momento da realização da prova e elaborada pelo próprio estudante. Sua permissão evita a exclusiva memorização dos conteúdos. A natureza do instrumento de avaliação altera a essência da cola porque permite ao aluno dialogar por escrito com o professor, personalizando a prova, e com seus colegas fora da sala de aula, possibilitando trocas e aprendizagem. (SOUZA, 2018, p. 111)

Trabalho em grupo O trabalho em grupo tem como objetivo a troca de ideias entre os alunos, o que possibilita o desenvolvimento da colaboração, da cooperação, da comunicação e da argumentação. Cohen e Lotan (2017, p. 1) definem trabalho em grupo como “[...] alunos trabalhando juntos em grupos pequenos de modo que todos possam participar de uma atividade com tarefas claramente atribuídas”. O professor, além de explicar aos alunos suas ações como solucionadores de um problema, deve explicitar aspectos a serem considerados, tais como: os objetivos do trabalho e os critérios de avaliação. O trabalho em grupo não pode ser entendido pelos alunos como a junção das carteiras e cada um realizando sua atividade individualmente. “Trabalho em grupo não é a mesma coisa que agrupamento por habilidade, no qual o professor divide a sala por critério acadêmico para que possa ensinar para grupos mais homogêneos” (COHEN; LOTAN, 2017, p. 1-2).

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Para estimular a participação dos integrantes dos grupos, o professor pode entregar uma única folha com a atividade proposta, solicitar que organizem as ideias em conjunto e as escrevam em uma folha, circular entre os diferentes grupos de forma a perceber o que está sendo discutido e tendo cuidado para não dar a resposta quando sua ajuda for solicitada. Uma maneira de auxiliar na avaliação dos argumentos é pedir aos alunos que anotem o que considerarem relevante e que foi discutido entre eles.

Seminário Seminário é uma apresentação oral de um tema ou o desenvolvimento de um problema que tem como objetivo trabalhar a comunicação e a argumentação, pois geralmente ocorrem debates a respeito do assunto abordado. A proposta de seminário pode ser feita pelo professor com antecedência para que os alunos organizem o material a ser apresentado, façam anotações e ordenem as ideias por meio de textos, esquemas, cartazes, maquetes ou recursos tecnológicos, como slides digitais. A avaliação pode ser orientada por meio de uma ficha avaliativa na qual o professor considera, entre outros elementos, a organização do material, o uso do conhecimento matemático, a adequação da linguagem utilizada na comunicação e a argumentação.

Portfólio Portfólio pode ser entendido como uma coleção significativa, sistemática e organizada de atividades que os alunos desenvolveram em certa área ao longo de um período e evidenciem o nível de sua aprendizagem, incluindo suas reflexões sobre elas (BURIASCO; GOMES, 2004). Autores de textos de avaliação recomendam que as avaliações sejam significativas para que elas proporcionem, oportunidades de aprendizagem, melhorem o desempenho e permitam refletir sobre o próprio trabalho. O portfólio atende a este requisito porque inclui diversos tipos de atividades desenvolvidas pelos alunos e acima de tudo, porque elaboram autorreflexões relativas a essas atividades, focalizando, assim, seus processos de aprendizagem. (BURIASCO; GOMES, 2004, p. 6-7)

O professor pode utilizar o portfólio como um instrumento de avaliação ao considerá-lo por completo (produto final) ou, ainda, como um recurso de avaliação ao considerar todo o processo de sua elaboração, acompanhando e discutindo as atividades (SÁ-CHAVES, 2000). Quando o professor sugere a organização de um portfólio deve esclarecer os objetivos e orientar como ele deve ser estruturado. Um portfólio deve ser composto de vários itens que podem variar de acordo com a disciplina e as finalidades do professor. De forma geral, um portfólio deve incluir uma introdução, na qual se justifica a escolha das atividades, a descrição de cada atividade, a avaliação dos trabalhos e a projeção posterior com base nas atividades que foram selecionadas. As atividades que compõem o portfólio devem ser organizadas em uma pasta, por exemplo, e podem ser escolhidas pelo professor ou pelos alunos. De forma geral, são os alunos os responsáveis por escolher as atividades que refletem sua aprendizagem. Essas atividades, para Buriasco e Gomes (2004, p. 7), “[...] asseguram com mais clareza as intenções do ensino e representa adequadamente o conteúdo e habilidades que se desejam dos alunos”.

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Por fim, a avaliação do portfólio pode ser realizada por um avaliador externo, pelo professor ou mesmo pelos alunos.

Autoavaliação De acordo com Haydt (1995, p. 147), a autoavaliação é “[...] uma forma de apreciação normalmente usada quando nos dedicamos a atividades significativas, decorrentes de um comportamento intencional”. Assim, para realizar uma autoavaliação escolar os alunos precisam analisar e interpretar seus conhecimentos, o que lhes permite refletir de maneira crítica sobre o que fizeram ou deixaram de fazer na construção desses conhecimentos. A autoavaliação é um instrumento que possibilita aos alunos analisar e refletir sobre o que estudaram e como fizeram isso. Essa mesma autora afirma que, ao se autoavaliar, o aluno participa de forma mais ampla e ativa de sua aprendizagem. Isso ocorre “[...] porque ele tem oportunidade de analisar seu processo nos estudos (o quanto rendeu e quanto poderia ter rendido), bem como suas atitudes e comportamentos frente ao professor e aos colegas” (HAYDT, 1995, p. 147-148). Uma autoavaliação pode ser constituída de perguntas, respondidas de forma oral ou escrita, que possibilitam aos alunos realizar uma interpretação pessoal sobre o percurso de sua aprendizagem, tendo consciência de suas dificuldades e limitações. Por meio dessa tomada de consciência, eles podem rever seu processo de estudo, além de auxiliar o professor no planejamento de suas intervenções em sala de aula. O professor pode realizar a autoavaliação ao longo do ano por meio de questionários ou fichas. Dependendo do objetivo, pode ser realizada antes do início do estudo de um conteúdo ou ao final. Quando realizada no início, o que se autoavalia são os conhecimentos prévios. Quando realizada ao final do estudo de um conteúdo, permite aos alunos que trilhem a construção do conhecimento e reflitam sobre possíveis equívocos pelos quais passaram. Deve-se evitar entregar uma extensa ficha com perguntas que os alunos necessitam responder, pois a autoavaliação caracteriza-se como um momento de reflexão e não pode se tornar algo exaustivo. De forma geral, devem ser propostas perguntas específicas e objetivas. Em uma ficha de autoavaliação podem ser fornecidas algumas respostas-padrão para os alunos assinalarem, como: “sim”, “não” e “às vezes”. Entre os diferentes elementos presentes em uma autoavaliação, podem ser privilegiados aspectos procedimentais, de conteúdo, de convivência social, de conduta dos alunos, entre outros. Nesse sentido, a seção O que estudei, organizada ao final de cada Unidade da coleção, constitui um instrumento de autoavaliação.

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SUGESTÕES DE LEITURA E DE ACESSO À (IN)FORMAÇÃO DO PROFESSOR Apresentamos aqui algumas sugestões de instituições, revistas, sites e livros que podem contribuir com a formação continuada do professor e, por consequência, fomentar o processo de ensino e aprendizagem. Contudo, cabe destacar que diversas outras sugestões são realizadas ao longo deste Manual do professor, inclusive de documentos oficiais que norteiam a produção desta coleção e que julgamos importante consultar e estudar.

MATERIAL DE ESTUDO PARA A FORMAÇÃO CONTINUADA DO PROFESSOR ACADEMIA DE CIÊNCIAS DO ESTADO DE SÃO PAULO (ACIESP). São Paulo, 2018. Disponível em: <www.acadciencias.org.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. ASSOCIAÇÃO NACIONAL DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM EDUCAÇÃO (ANPEd). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.anped.org.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. ASSOCIAÇÃO NACIONAL DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA (ANPMat). 2018. Disponível em: <http://anpmat.sbm.org.br>. Acesso em: 11 jul. 2018. CENTRO DE APERFEIÇOAMENTO DO ENSINO DE MATEMÁTICA “JOÃO AFFONSO PASCARELLI” (CAEM). São Paulo, 2018. Disponível em: <www.ime.usp.br/caem/>. Acesso em: 11 jul. 2018. CENTRO DE ESTUDOS MEMÓRIA E PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (CEMPEM). Campinas, 2018. Disponível em: <www.cempem.fe.unicamp.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO (CNPq). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.cnpq.br>. Acesso em: 11 jul. 2018. COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL SUPERIOR (Capes). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.capes.gov.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. FENOMENOLOGIA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (FEM). São Paulo, 2018. Disponível em: <http://fem.sepq.org.br>. Acesso em: 11 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS CONTEMPORÂNEOS E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GECEM). Florianópolis, 2018. Disponível em: <http://gecem.ufsc.br/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS DE INFORMÁTICA APLICADA À APRENDIZAGEM MATEMÁTICA (GEIAAM). Florianópolis, 2018. Disponível em: <http://mtm.ufsc.br/geiaam/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM ETNOMATEMÁTICA (GEPEm). São Paulo, 2018. Disponível em: <www2.fe.usp.br/~etnomat/>. Acesso em: 11 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS DAS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GEPETICEM). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.gepeticem.ufrrj.br/portal/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE PESQUISA EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E/OU SUAS RELAÇÕES COM A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GPHM). Rio Claro, 2018. Disponível em: <https://sites.google. com/site/gphmat/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE PESQUISA EM INFORMÁTICA, OUTRAS MÍDIAS E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GPIMEM). Rio Claro, 2018. Disponível em: <http://igce.rc.unesp.br/#!/gpimem>. Acesso em: 14 jul. 2018.

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GRUPO DE PESQUISA EM PROCESSO DE FORMAÇÃO E TRABALHO DOCENTE DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA (GFP). Rio Claro, 2018. Disponível em: <www.rc.unesp. br/igce/pgem/gfp/>. Acesso em: 14 jul. 2018. RUMO À EDUCAÇÃO MATEMÁTICA INCLUSIVA. São Paulo, 2018. Disponível em: <www.matematicainclusiva.net.br>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (SBEM). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.sbembrasil.org.br>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO (SBHE). Uberlândia, 2018. Disponível em: <www.sbhe.org.br/>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA (SBHMat). 2018. Disponível em: <www.sbhmat.org>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA (SBM). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.sbm.org.br/>. Acesso em: 14 jul. 2018. SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL (SBMAC). São Carlos, 2018. Disponível em: <www.sbmac.org.br/>. Acesso em: 14 jul. 2018.

REVISTAS ACTA SCIENTIAE: Revista de Ensino de Ciências e Matemática. Canoas, 2018. Disponível em: <www.periodicos.ulbra.br/index.php/acta/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. BOLEMA: Boletim de Educação Matemática. Rio Claro, 2016. Disponível em: <www. periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/>. Acesso em: 16 jul. 2018. CAMINHOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Aracaju, 2018. Disponível em: <https://aplicacoes.ifs.edu.br/periodicos/index.php/caminhos_da_educacao_matematica>. Acesso em: 16 jul. 2018. C.Q.D.: Revista Eletrônica Paulista de Matemática. Bauru, 2017. Disponível em: <www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/>. Acesso em: 16 jul. 2018. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www. sbem.com.br/revista/index.php/emr>. Acesso em: 16 jul. 2018. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA – RS. Porto Alegre, 2018. Disponível em: <www.sbemrs.org/revista.htm>. Acesso em: 16 jul. 2018. EMP: Educação Matemática Pesquisa. São Paulo, 2018. Disponível em: <https:// revistas.pucsp.br/emp>. Acesso em: 16 jul. 2018. EM TEIA: Revista de Educação Matemática e Tecnológica Iberoamericana. Recife, 2018. Disponível em: <https://periodicos.ufpe.br/revistas/index.php/emteia>. Acesso em: 16 jul. 2018. HIPÁTIA: Revista Brasileira de História, Educação e Matemática. Campos do Jordão, 2017. Disponível em: <http://ojs.ifsp.edu.br/index.php/hipatia%20>. Acesso em: 16 jul. 2018. INVESTIGAÇÕES EM ENSINO DE CIÊNCIAS (Ienci). Porto Alegre, 2018. Disponível em: <www.if.ufrgs.br/cref/ojs/index.php/ienci/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. MATEMÁTICA CONTEMPORÂNEA. Rio de janeiro, 2016. Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://mc.sbm.org.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Blumenau, 2010. Disponível em: <http://proxy.furb.br/ojs/index.php/modelagem/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. NOTICIÁRIO ELETRÔNICO. Rio de Janeiro, 2016. Disponível em: <www.sbm.org.br/ noticiario-eletronico>. Acesso em: 16 jul. 2018. PROFESSOR DE MATEMÁTICA ONLINE (PMO). Rio de Janeiro, 2018. Revista eletrônica da Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://pmo.sbm.org.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018.

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REMATEC: Revista de Matemática, Ensino e Cultura. Natal, 2017. Disponível em: <www.rematec.net.br/index.php/rematec/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. REnCiMa: Revista de Ensino de Ciências e Matemática. São Paulo, 2018. Disponível em: <http://revistapos.cruzeirodosul.edu.br/index.php/rencima>. Acesso em: 16 jul. 2018. RME: Revista Metáfora Educacional. Feira de Santana, 2016. Disponível em: <www. valdeci.bio.br/revista.html>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVEMAT: Revista Eletrônica de Educação Matemática. Florianópolis, 2017. Disponível em: <https://periodicos.ufsc.br/index.php/revemat>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVISTA DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E MATEMÁTICA. Duque de Caxias, 2018. Disponível em: <http://publicacoes.unigranrio.edu.br/index.php/recm>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVISTA EUREKA! Rio de Janeiro, 2016. Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <www.obm.org.br/revista-eureka/>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVISTA MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA. Rio de Janeiro, 2015. Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://rmu.sbm.org.br/index.php>. Acesso em: 16 jul. 2018. REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Campo Mourão, 2018. Disponível em: <www.fecilcam.br/revista/index.php/rpem/index>. Acesso em: 16 jul. 2018. RPM: Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <http://rpm.org.br/default.aspx?m_id=1>. Acesso em: 16 jul. 2018. ZETETIKÉ: Revista de Educação Matemática. Campinas, 2018. Disponível em: <http:// ojs.fe.unicamp.br/ged/zetetike>. Acesso em: 16 jul. 2018.

SITES BANCO CENTRAL DO BRASIL (BCB). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.bcb. gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. BIBLIOTECA NACIONAL (BN). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.bn.gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. CENTRO DE PREVISÃO DE TEMPO E ESTUDOS CLIMÁTICOS (CPTEC). Cachoeira Paulista, 2018. Disponível em: <www.cptec.inpe.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. CULTURA ACADÊMICA. São Paulo. Disponível em: <www.culturaacademica.com.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. DIRETÓRIO DOS GRUPOS DE PESQUISA NO BRASIL. Brasília, DF. Disponível em: <http:// dgp.cnpq.br/dgp/faces/consulta/consulta_parametrizada.jsf>. Acesso em: 16 jul. 2018. FUNDAÇÃO ABRINQ. São Paulo, 2018. Disponível em: <www.fadc.org.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. FUNDAÇÃO LEMANN. São Paulo, 2018. Disponível em: <www.fundacaolemann.org.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA (IBGE). Rio de Janeiro, 2017. Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO BRASILEIRO DO MEIO AMBIENTE E DOS RECURSOS NATURAIS RENOVÁVEIS (Ibama). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.ibama.gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO DO PATRIMÔNIO HISTÓRICO E ARTÍSTICO NACIONAL (Iphan). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http://portal.iphan.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA (Inmetro). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.inmetro.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS (Inpe). São José dos Campos, 2018. Disponível em: <www.inpe.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018.

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MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA, INOVAÇÕES E COMUNICAÇÕES. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.mctic.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. MINISTÉRIO DA CULTURA (MinC). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.cultura. gov.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http://portal. mec.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. NOVA ESCOLA. São Paulo, 2018. Disponível em: <https://novaescola.org.br>. Acesso em: 16 jul. 2018. PORTAL GOVERNO DO BRASIL. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.brasil.gov. br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. PORTAL MINISTÉRIO DA SAÚDE. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http://portalsaude. saude.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018. PORTAL DOMÍNIO PÚBLICO. Disponível em: <www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/ PesquisaObraForm.jsp>. Acesso em: 16 jul. 2018. PORTAL DO PROFESSOR. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/link. html?categoria=15>. Acesso em: 26 jul. 2018. PORTAL DOS DIREITOS DA CRIANÇA E DO ADOLESCENTE. Disponível em: <www. direitosdacrianca.gov.br/>. Acesso em: 16 jul. 2018.

LIVROS ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012. ARAÚJO, J. de L. (Org.). Educação matemática crítica: reflexões e diálogos. Belo Horizonte: Argvmentvm Editora, 2007. BARBOSA, R. M. Conexões e educação matemática: brincadeiras, explorações e ações. Belo Horizonte: Autêntica, 2009. (O Professor de Matemática em Ação, v. 2). BARRETO, M. C. et al. (Org.). Matemática, aprendizagem e ensino. Fortaleza: EdUECE, 2013. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto, 2002. BASSANEZI, R. C. Modelagem matemática: teoria e prática. São Paulo: Contexto, 2015. BELINE, W.; COSTA, N. M. L. da (Org.). Educação matemática, tecnologia e formação de professores: algumas reflexões. Campo Mourão: Editora da FECILCAM, 2010. BORBA, M. de C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Tendências em Educação Matemática). BORBA, M. de C.; SILVA, R. S. R. da; GADANIDIS, G. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (Tendências em Educação Matemática). BRIZUELA, B. M. Desenvolvimento matemático na criança: explorando notações. Porto Alegre: Penso, 2016. BURIASCO, R. L. C. de. Avaliação e educação matemática. Recife: SBEM, 2008. CALDEIRA, A. M. de A. (Org.). Ensino de ciências e matemática II: temas sobre formação de conceitos. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2009. CANO, M. R. de O. (Org.); ABAR, C. A. A. P.; IGLIORI, S. B. C. Matemática: a reflexão e a prática no ensino. São Paulo: Blucher, 2012.

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CAZORLA, I. M.; SANTANA, E. R. dos S. Tratamento da informação para o ensino fundamental e médio. 2. ed. Ibicaraí: Via Litterarum, 2009. CAZORLA, I. M.; SANTANA, E. R. dos S. Do tratamento da informação ao letramento estatístico. Ibicaraí: Via Litterarum, 2010. CURI, E.; VECE, J. P. (Org.). Relações espaciais: práticas educativas de professores que ensinam matemática. São Paulo: Terracota, 2014. CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. (Tendências em Educação Matemática). CURY, H. N.; RIBEIRO, A. J. Álgebra para a formação de professores: explorando os conceitos de equação e de função. Belo Horizonte: Autêntica, 2015. (Tendências em Educação Matemática). CYRINO, M. C. de C. T. (Org.). Recurso multimídia para a formação de professores que ensinam matemática: elaboração e perspectivas. Londrina: Eduel, 2016. D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. DINIZ, L. do N.; BORBA, M. de C. Diferentes olhares, múltiplos focos e autoformação continuada de educadores matemáticos. São Paulo: Livraria da Física, 2009. DINIZ, M. I. de S. V.; SMOLE, K. C. S. O conceito de ângulo no ensino de geometria. São Paulo: Caem IME-USP, 2005. FERREIRA, M. K. L. (Org.). Ideias matemáticas de povos culturalmente distintos. São Paulo: Global, 2002. (Antropologia e Educação). FIORENTINI, D.; CRISTOVÃO, E. M. (Org.). Histórias e investigações de/em aulas de matemática. Campinas: Alínea, 2006. FIORENTINI, D.; PASSOS, C. L. B.; LIMA, R. C. R. de (Org.). Mapeamento da pesquisa acadêmica brasileira sobre o professor que ensina matemática: período 2001-2012. Campinas: Faculdade de Educação da Unicamp, 2016. GARNICA, A. V. M.; SOUZA, L. A. de. Elementos de história da educação matemática. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2012. GONÇALVES, C. F. F.; STRAPASSON, E. O tratamento da informação: estatística para o ensino fundamental. Londrina: EdUEL, 2007. GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Paulus, 2004. GRUPO GEOPLANO DE ESTUDO E PESQUISA (GGEP); BARBOSA, R. M. Aprendo com jogos: conexões e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (O Professor de Matemática em Ação). IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. 5. ed. São Paulo: Globo, 1992. KALEFF, A. M. M. R. Memórias de uma trajetória acadêmica de perseverança: vivências de uma educadora matemática em um curso de formação de professores de matemática. Niterói: Euff, 2016. LORENZATO, S. Para aprender matemática. Campinas: Autores Associados, 2006. LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem: componente do ato pedagógico. São Paulo: Cortez, 2011. LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e proposições. 22. ed. São Paulo: Cortez, 2011. MACEDO, L. de; PETTY, A. L. S.; PASSOS, N. C. Aprender com jogos e situações-problema. Porto Alegre: Artmed, 2000.

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MENDES, I. A. Matemática e investigação em sala de aula: tecendo redes cognitivas na aprendizagem. 2. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2009. MENDES, I. A.; CHAQUIAM, M. História nas aulas de matemática: fundamentos e sugestões didáticas para professores. Belém: SBHMat, 2016. MENDES, J. R.; GRANDO, R. C. (Org.). Múltiplos olhares: matemática e produção de conhecimento. São Paulo: Musa, 2007. MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. MONTEIRO, A.; POMPEU JUNIOR, G. A matemática e os temas transversais. São Paulo: Moderna, 2001. MOYSES, L. Aplicações de Vygotsky à educação matemática. Campinas: Papirus, 2015 (Edição digital). NACARATO, A. Mendes; LOPES, C. E. (Org.). Escritas e leituras na educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. NÓBRIGA, J. C. C.; ARAÚJO, L. C. L. de. Aprendendo matemática com o GeoGebra. Brasília, DF: Exato, 2003. OCHI, F. H. et al. O uso de quadriculados no ensino de geometria. São Paulo: Caem IME-USP, 2006. ONUCHIC, L. de la R.; LEAL JUNIOR, L. C.; PIRONEL, M. (Org.). Perspectivas para resolução de problemas. São Paulo: Livraria da Física, 2017. ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Os desafios do ensino de matemática na educação básica. Brasília, DF: EdUFSCar, 2016. PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. PAULA, S. C. R. de; RODRIGUES, C. K.; SILVA, J. C. da. Educação matemática e tecnologia: articulando práticas geométricas. Curitiba: Appris, 2016. PEREIRA, A. C. C.; CEDRO, W. L. (Org.). Educação matemática: diferentes contextos, diferentes abordagens. Fortaleza: EdUECE, 2015. PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Tendências em Educação Matemática). POWELL, A.; BAIRRAL, M. A. A escrita e o pensamento matemático: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. SAMPAIO, F. A. Matemágica: história, aplicações e jogos matemáticos. Campinas: Papirus, 2013. SANTOS, C. A. dos; NACARATO, A. M. Aprendizagem em geometria na educação básica: a fotografia e a escrita na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (Tendências em Educação Matemática). SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. de S. V. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2000. SPINILLO, A. G.; LAUTERT, S. L. A pesquisa em psicologia e suas implicações para a educação matemática. Recife: EdUFPE, 2012. VALENTE, W. R. (Org.). Avaliação e educação matemática. São Paulo: Livraria da Física, 2013. (História da Matemática para Professores). VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009. VILA, A.; CALLEJO, M. L. Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 2006. VILELA, D. S. Usos e jogos de linguagem na matemática: diálogo entre filosofia e educação matemática. São Paulo: Livraria da Física, 2013. (Contexto da Ciência).

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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ALMEIDA, L. M. W.; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria: Revista em Educação em Ciência e Tecnologia, Florianópolis, v. 2, n. 2, p. 117-234, 2009. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P. Semiótica e as ações cognitivas dos alunos em atividades de modelagem matemática: um olhar sobre os modos de inferência. Ciência e Educação, Bauru, v. 18, p. 623-642, 2012. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P.; VERTUAN, R. E. O registro gráfico em atividades de modelagem matemática – um estudo da conversão entre registros segundo a teoria dos registros de representação semiótica. In: II SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – SIEMAT. São Paulo, 2009. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012. AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Psicologia educacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980. BERTINI, L. F.; PASSOS, C. L. B. Uso da investigação matemática no processo de ensino e aprendizagem nas séries iniciais do ensino fundamental. 2008. Disponível em: <www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/ upload/135-1-A-gt8_bertini_ta.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2018. BORBA, M. de C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática). BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases, Lei no 9.394/96, de 20 dezembro de 1996. DOU, Brasília, 23 dez. 1996. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Versão final. Brasília, DF, 2017. Disponível em: <http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/06/BNCC_EI_ EF_110518_versaofinal_site.pdf>. Acesso em: 3 jul. 2018. BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC, SEB, DICEI, 2013. BRASIL. Ministério da Educação. Plano nacional de educação: PNE. Brasília, DF: Inep, 2014. BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. BRASIL. Senado Federal. Constituição da República Federativa do Brasil: 1988. Brasília, DF, 1988. BURIASCO, R. L.; GOMES, M. T. O portfólio na avaliação da aprendizagem escolar. In: VIII ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (ENEM), Recife, 2004. BUYS, K. Mental Arithmetic. In: HEUVEL-PANHUIZEN, M. van den (ed.). Children Learn Mathematics. Rotterdam/Taipei: Sense, 2001. p. 121-146. Developed by the TAL Team. Utrecht: Freudenthal Institute (FI), Utrecht University and National Institute for Curriculum Development (SLO). COHEN, E. G.; LOTAN, R. A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas [recurso eletrônico]. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. D’AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. 12. ed. Campinas: Papirus, 2005. (Perspectivas em Educação Matemática). D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Tendências em Educação Matemática). DE LANGE, J. Framework for Classroom Assessment in Mathematics. Utrecht: Freudenthal Institute and National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science, 1999. FORSTER, C. A utilização da prova-escrita-com-cola como recurso à aprendizagem. 2016. 123p. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática)–Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2016. GÉRARD, F.; ROEGIERS, X. Conceber e avaliar manuais escolares. Tradução de Júlia Ferreira e Helena Peralta. Porto: Porto Editora, 1998. HADJI, C. A avaliação, regras do jogo: das intenções aos instrumentos. 4. ed. Porto: Porto Editora, 1994. HAYDT, R. C. C. Avaliação do processo ensino-aprendizagem. São Paulo: Ática, 1995. HOWLAND, J. L.; JONASSEN, D.; MARRA, R. M. Meaningful Learning with Technology. 4. ed. Boston: Pearson, 2011.

INEP. Relatório Nacional PISA 2012: resultados brasileiros. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/resultados/2014/ relatorio_nacional_pisa_2012_resultados_brasileiros.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2018. LORENZATO, S. O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. (Formação de professores). ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. de C. (Org.). Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, 2011. PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. PEREIRA, A. B. Manuais escolares: estatutos e funções. Revista Lusófona de Educação, 2010. Disponível em: <www.scielo.mec.pt/scielo.php?script=sci_ arttext&pid=S1645-72502010000100014>. Acesso em: 24 set. 2018. POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Tendências em Educação Matemática). PONTE, J. P. da. Concepções dos professores de matemática e processos de formação. In: ___. Educação Matemática: Temas de investigação. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 1992. PONTE, J. P. da et al. Didáctica da matemática. Lisboa: Ministério da Educação. Departamento do Ensino Secundário, 1997. PONTE, J. P. da. Gestão curricular em matemática. In: GTI (Ed.). O professor e o desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, 2005. PONTE, J. P. da. Investigar, ensinar e aprender. Actas do ProfMat, Lisboa: APM, 2003. CD-ROM. SACRISTÁN, J. G. A avaliação no ensino. In: SACRISTÁN, J. G.; GÓMEZ, A. I. P. Compreender e transformar o ensino. 4. ed. Porto Alegre: Artmed, 1998. SANTOS, E. R. dos. Estudo da produção escrita de estudantes do ensino médio em questões discursivas não rotineiras de matemática. 2008. 166p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática)–Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008. SANTOS, J. R. V. dos; BURIASCO, R. L. C. Da ideia de erro para as maneiras de lidar: caracterizando nossos alunos pelo que eles têm e não pelo que lhes falta. In: BURIASCO, R. L. C. Avaliação e educação matemática. Recife: SBEM, 2008. p. 87-108. (Coleção SBEM). SÁ-CHAVES, I. Portfólios reflexivos: estratégia da formação e da supervisão. Aveiro: Universidade de Aveiro, 2000. SKOVSMOSE, O. Educação crítica: incerteza, matemática, responsabilidade. Tradução de Maria Aparecida Viggiani Bicudo. São Paulo: Cortez, 2007. SKOVSMOSE, O. Educação matemática crítica: a questão da democracia. 2. ed. Campinas: Papirus, 2004. (Perspectivas em Educação Matemática). SOUZA, J. A. de. Cola em prova escrita: de uma conduta discente a uma estratégia docente. 2018. 146p. Doutorado (Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática)–Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Campo Grande, 2018. THOMPSON, A. G. Teachers’ Beliefs and Conceptions: A Synthesis of the Research. In: GROUWS, D. A. (ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Nova York: MacMillan, 1992. p. 127-146. TOMAZ, V. S.; DAVID, M. M. M. S. Interdisciplinaridade e aprendizagem da matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Tendências em Educação Matemática). TRONCON, L. E. A. Ambiente educacional. Medicina, Ribeirão Preto, v. 47, n. 3, p. 264-271, 2014. XAVIER, O. S.; FERNANDES, R. C. A. A aula em espaços não convencionais. In: VEIGA, I. P. A. Aula: gênese, dimensões, princípios e práticas. 2. ed. Campinas: Papirus, 2011. (Magistério: Formação e Trabalho Pedagógico). ZANON, D. P.; ALTHAUS, M. M. Instrumentos de avaliação na prática pedagógica universitária. Ponta Grossa: UEPG, 2008. Semana Pedagógica.

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Matemática

Realidade & Tecnologia

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

1˜ edição – São Paulo – 2018

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Copyright © Joamir Roberto de Souza, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editor de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações Cartografia Coordenadora de preparação e revisão Supervisora de preparação e revisão Revisão

Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Iconografia Licenciamento de textos Supervisora de arquivos de segurança Diretor de operações e produção gráfica

Antonio Luiz da Silva Rios Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva João Paulo Bortoluci Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner e Luís Felipe Porto Mendes Francisco Mariani Casadore, Teresa Dias/Atalante Editores Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Carolina Alves Ferreira Carolina Alves Ferreira bibiphoto/Shutterstock.com Isabel Cristina Ferreira Corandin Eduardo Benetorio Aga Estúdio, Adriana Maria Nery de Souza, Dayane Santiago, Débora Jóia, Flávio Akatuka, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin, Nadir Fernandes Rachetti Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Marcia Berne Alex Rodrigues, Alex Silva, Ampla Arena, Artur Fujita, Danillo Souza, Dayane Raven, Lucas Farauj, Roberto Zoellner, Tel Coelho/Giz De Cera, Wandson Rocha Allmaps Lilian Semenichin Maria Clara Paes Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana, Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra, Yara Affonso Elaine Bueno Erika Neves do Nascimento, Rosa André Carla Marques, Vanessa Trindade Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental

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Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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APRESENTAÇÃO Olá! Onde está a Matemática? Talvez não percebamos, mas as respostas a essa pergunta estão em muitas situações do nosso dia a dia, como quando vamos ao supermercado e comparamos os preços dos produtos, verificamos o prazo de validade, observamos o formato das embalagens e estimamos o valor da compra e do troco. O avanço das tecnologias da informação e comunicação permitiu ampliar as aplicações matemáticas cotidianas: avaliar quantas fotografias digitais podem ser armazenadas em um pendrive e analisar gráficos e tabelas em notícias disponibilizadas na internet são apenas alguns exemplos disso. A Matemática está presente até mesmo quando estamos brincando com um jogo de tabuleiro ou eletrônico, seja na compreensão das regras e no jogar, seja no estudo das chances de vitória. Este livro foi escrito pensando em contribuir para seu aprendizado em Matemática, de maneira a possibilitar que você se desenvolva e se torne um cidadão crítico e participativo na sociedade. É muito importante que você acompanhe as orientações e explicações de seu professor e, sempre que tiver uma dúvida ou sugestão, que se expresse e as compartilhe com seus colegas. Por fim, desejo um ótimo ano de estudos. O autor.

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CONHEÇA SEU LIVRO Seu livro está dividido em oito unidades, que possuem abertura, atividades, seções e boxes.

Abertura de unidade

Resposta pessoal.

Organizada em página dupla, apresenta uma diversidade de imagens, textos e infográficos acompanhados de algumas questões sobre o tema proposto.

10 famílias linguísticas. 5 línguas indígenas.

Algumas respostas possíveis: tabela; lista; diagrama.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.

CONJUNTOS NUMÉRICOS, POTÊNCIAS E RAÍZES

AMPLA ARENA

Fontes dos dados: POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Línguas. Disponível em: <https://pib.socioambiental.org/pt/L%C3% ADnguas#Troncos_e_fam.C3.ADlias>.

Árvore linguística do Tupi.

RODRIGUES, A. D. Línguas indígenas brasileiras. Disponível em: <www. letras.ufmg.br/lali/PDF/L%C3%ADnguas_ indigenas_brasiliras_RODRIGUES,Aryon_ Dall%C2%B4Igna.pdf>. Acessos em: 5 out. 2018.

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Conexões

Aqui, são apresentadas sugestões de sites e livros que você pode consultar para ampliar seu conhecimento sobre certo tema que está sendo estudado.

Conteúdo Conjunto dos números naturais (n) e conjunto Resposta esperada: Na sequência dos números dos números inteiros (z) Infinito. naturais é sempre possível obter o próximo número

Conjunto dos números racionais (q) Observe a jarra a seguir.

adicionando 1 ao anterior. Assim, como é formado pelos números dessa sequência, temos que N é um conjunto infinito.

LUCAS FARAUJ

Leia a tirinha com atenção.

SOUSA, M. de. As tiras clássicas do Pelezinho 1. São Paulo: Editora Mauricio de Sousa, 2012. p. 29.

Na tirinha, para contar as embaixadinhas, Pelezinho utiliza a sequência dos números naturais. Em anos anteriores, estudamos que esses números são utilizados pela humanidade há muito tempo, como na contagem de dias, de animais, de membros de uma comunidade etc. Os números dessa sequência, incluindo o zero, formam o conjunto dos números naturais, indicado por n. O conjunto dos números naturais é finito ou infinito? Justifique.

z = {... , _4, _3, _2, _1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Esta seta indica que a sequência dos números inteiros continua infinitamente no sentido negativo.

O ponto O indica a origem da reta numérica e corresponde ao número zero. A partir da origem definimos os sentidos negativo e positivo.

_3 _2

• _3 =

_12 4

•0=

0 5

Para pensar

a apresentada. Em relação ao b

14 7 21 _7 ... = = = = . Escreva outras três maneiras de expressar o número inteiro _3 2 1 3 _1 _3 _6 9 a = = = ... . apresentada. Algumas respostas possíveis: _3 = 1 2 _3 b

exemplo a, temos: 7 = na forma

14 2

Note que um número inteiro pode ser expresso de diferentes maneiras na forma

sentido negativo O sentido positivo _7

É importante perceber que os números inteiros também são racionais, podendo ser expressos a na forma indicada acima. Observe os exemplos. b •7=

Observe a representação dos números inteiros na reta numérica.

Note que os números na forma mista e os números na forma decimal, na graduação da jarra, podem ser expressos a 1 5 1 250 5 = . na forma . Por exemplo, 1 = e 1,250 = b 4 4 1 000 4

a q = { |a [ Z, b [ Z e b 5 0} b

Utilizando diagramas, podemos relacionar os conjuntos n, z e q da maneira indicada ao lado: Observe alguns elementos de Q representados na reta numérica.

Esta seta indica que a sequência dos números inteiros continua infinitamente no sentido positivo.

Como todo elemento do conjunto dos números naturais também é elemento do conjunto dos números inteiros, dizemos que n é subconjunto de z, ou seja, n ¡ z.

EDITORIA DE ARTE

Todo número inteiro tem um antecessor e um sucessor. Por exemplo, o número –6 é o antecessor de –5 e o número –5 é o sucessor de –6.

_3,95 _4

_3,2 _3

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5 2

_1,68 _2

_ _1

3 4

12 5

0,7 1,26 0

2,9 3

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

n = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

3,71 4

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Os conteúdos ou conceitos matemáticos são desenvolvidos com o apoio de exemplos e questões que buscam a reflexão.

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Neste boxe são propostas questões para que você possa refletir e analisar situações que podem contribuir para a compreensão de determinados assuntos ou conceitos.

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Atividades

Fontes dos dados: SANTIAGO, T. Fiscalização para motorista que freia apenas no radar começa nesta quarta em SP. G1. Disponível em: <https://g1.globo.com/sao-paulo/noticia/fiscalizacao-de-motorista-por-velocidade-media-em-trajetoespecifico-em-sp-comeca-nesta-quarta.ghtml>. RIBEIRO, B. Teste de velocidade média em SP aponta 230 mil infrações em um mês. Disponível em: <https:// sao-paulo.estadao.com.br/noticias/geral,teste-de-velocidade-media-em-sp-aponta-230-mil-infracoes-em-ummes,70002105094>. Acessos em: 11 out. 2018.

4. Rafael é um atleta que pratica corrida. Para acompanhar seus treinos, ele utiliza um aplicativo no celular que registra a distância percorrida e o tempo gasto. Observe o resumo dos treinos de Rafael em alguns dias e resolva as questões.

Para resolver os itens c, d e e, considerem uma via em que dois desses radares foram instalados e delimitam um trecho de 6 km, onde a velocidade máxima permitida é de 60 km/h. c) Certo veículo passou pelo 1o radar às 10h40 e pelo 2o às 10h49. 9 min. 0,15 h. • Em quantos minutos esse veículo percorreu o trecho? Esse tempo corresponde a quantas horas?

Zona Central. Não. a) Qual é a região desse município com a Data Distância (m) Tempo (min) maior população? Essa também é a região 15/6 7 300 32 com a maior extensão territorial? 16/6 11 890 50 b) Calcule a densidade demográfica aproximada 17/6 8 200 28 de cada uma das regiões desse município. 18/6 10 150 36 c) A prefeitura pretende construir escolas nas regiões onde a densidade demográfica seja a) Em qual dia Rafael percorreu a maior dissuperior a 2 500 hab./km². Quais dessas tância no treino? E a menor distância? regiões possuem essa característica? 16/6. 15/6. b) O treino em que Rafael demorou menos Zona Norte e Zona Central. 3. Em 2008 foi criado o Programa Brasileiro tempo ocorreu em qual dia? E o que demorou mais tempo? 17/6. 16/6. de Etiquetagem Veicular (PBEV). Por meio dele, o Instituto Nacional de Metrologia, c) Calcule a velocidade média aproximada do Qualidade e Tecnologia (Inmetro) treino de Rafael em cada dia, em metros submete modelos de automóveis a testes por minuto (m/min). 2. b) Zona Norte: 2 740 hab./km²; Zona Central: 8 865 hab./km²; Zona Leste: 887 hab./km²; Zona Sul: 2 410 hab./km²; Zona Oeste: 632 hab./km². 112

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Assim que o veículo passa pelo primeiro radar, o horário, a velocidade e a placa do veículo são registrados.

• Qual é a velocidade média desse veículo no trecho, em quilômetros por hora? 40 km/h. • Essa velocidade ultrapassa a máxima permitida? Não. d) Nos itens a seguir estão indicados os horários em que alguns veículos passaram por esses radares. Calculem a velocidade média de cada um deles nesse trecho e indiquem quais ultrapassaram a velocidade máxima permitida. II e III. I. 1o radar: 10h40 III. 1o radar: 22h48 2o radar: 10h52 30 km/h. 2o radar: 22h52 90 km/h. II. 1o radar: 13h55 IV. 1o radar: 15h35 2o radar: 14h 2o radar: 15h43 45 km/h. 72 km/h. e) Determinem o tempo mínimo no qual um veículo pode percorrer esse trecho de maneira a não ultrapassar a velocidade máxima permitida. Justifiquem a resposta. 6 min. Resposta esperada: Ao percorrer esse trecho em 6 min, ou seja, em 1 de hora, a velocidade média no 10 trecho será de 60 km/h. 113

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Noção de função

Com base nessa informação, podemos relacionar em um quadro as grandezas quantidade de ovos e massa de proteína.

TAMARA KULIKOVA/SHUTTERSTOCK.COM

A proteína é uma substância presente em diversos alimentos e que, em nosso organismo, é responsável, por exemplo, pela formação e manutenção de tecidos, como músculos e pele. O ovo de galinha é um alimento rico em proteína. Um ovo de galinha médio, por exemplo, tem cerca de 6,5 g de proteína.

f(x) = 6,5x Lê-se: f de x é igual a 6,5x. Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 471-473.

Ovo de galinha médio.

Quantidade de ovos

Massa de proteína (g)

6,5

19,5

32,5

Com a lei de formação da função, podemos calcular, por exemplo, quantos gramas de proteína há em uma dúzia de ovos, considerando x = 12 e determinando f(12). Observe. f(12) = 6,5 ? 12 = 78

Fonte: UNICAMP. Tabela Brasileira de Composição de Alimentos − TACO. Disponível em: <www.nepa.unicamp.br/taco/contar/taco_4_edicao_ampliada_e_revisada.pdf? arquivo=taco_4_versao_ampliada_e_revisada.pdf>. Acesso em: 12 out. 2018.

Portanto, em uma dúzia de ovos há 78 g de proteína. Também podemos calcular, por exemplo, quantos ovos são necessários para se obter 52 g de proteína:

Note que, para cada quantidade de ovos, está associada uma única massa, em grama, correspondente de proteína: a 1 ovo está associada 6,5 g, a 2 ovos, 13 g e assim sucessivamente. Com essa característica, podemos dizer que a relação entre a quantidade de ovos e a massa de proteína correspondente é uma função. Denominando de x a quantidade de ovos e de y a massa de proteína correspondente, podemos escrever a seguinte sentença, chamada lei de formação da função. y = 6,5 ? x

52 = 6,5x 52 6,5x = 6,5 6,5 8=x Assim, para se obter 52 g de proteína são necessários 8 ovos.

massa de proteína (g) em 1 ovo

massa de proteína (g)

quantidade de ovos

Quantidade de proteína por porção (100 g) NITO/SHUTTERSTOCK.COM

Dizemos, nesse caso, que a massa y de proteína está em função da quantidade x de ovos, ou seja, a massa de proteína depende da quantidade de ovos considerada. Assim, podemos chamar y de variável dependente e x de variável independente da função.

Bacalhau salgado (cru): 29 g.

Lentilha (crua): 23,2 g.

SSS615/SHUTTERSTOCK.COM

As proteínas As proteínas são muito importantes para o funcionamento do nosso organismo, uma vez que, entre outras funções, influenciam na capacidade de contração dos músculos, produção de anticorpos e construção de novos tecidos. A quantidade diária necessária de proteína varia de acordo com as características do organismo de cada pessoa, ficando entre 0,8 g e 1,2 g por quilograma de massa da pessoa. Observe, alguns alimentos ricos em proteínas.

SOMMAI/SHUTTERSTOCK.COM

fique ligado

Amendoim (cru): 27,2 g.

Queijo minas: 17,4 g.

Carne bovina (grelhada): 35,9 g.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

AMENIC181/SHUTTERSTOCK.COM

Zona Leste População: 20 398 habitantes. Área: 23 km².

No trecho entre os radares, a velocidade máxima permitida não se altera.

Etanol (L) 6 7 5

MARAZE/SHUTTERSTOCK.COM

Zona Sul População: 60 241 habitantes. Área: 25 km².

Gasolina (L) 4 5,5 4,5

Ao passar pelo segundo radar, o horário, a velocidade e a placa do veículo são registrados e é calculada a velocidade média do veículo nesse trecho. Essa velocidade não deve ultrapassar a máxima permitida no trecho.

Dois radares são instalados em diferentes locais na via.

IULIIA TIMOFEEVA/ SHUTTERSTOCK.COM

Zona Central População: 106 379 habitantes. Área: 12 km².

Zona Norte População: 98 653 habitantes. Área: 36 km².

DAYANE RAVEN

Zona Oeste População: 13 901 habitantes. Área: 22 km².

Fonte dos dados: IPEA. Políticas de inovação pelo lado da demanda no Brasil. Disponível em: <www.ipea.gov. br/agencia/images/stories/PDFs/livros/livros/20170705_ politicas_de_inovacao.pdf>. Acesso em: 11 out. 2018.

Observe a seguir o resultado de um teste de consumo de combustível realizado com alguns modelos de automóveis para percorrer 50 km. Em seguida, resolva as questões. Modelo I II III

Propostas para serem realizadas individualmente ou em grupo, as atividades apresentam e discutem os conteúdos ou conceitos matemáticos em estudo. O uso de imagens, tirinhas, textos e outros recursos faz que as atividades fiquem ainda mais interessantes.

Em vias onde há radares de velocidade instalados, é comum os motoristas reduzirem momentaneamente a velocidade do veículo, apenas em um pequeno trecho monitorado por esse radar, para evitar serem multados, retomando uma velocidade maior logo em seguida. A fim de evitar esse procedimento, em outubro de 2017, alguns radares que medem a velocidade média dos veículos foram instalados em vias da cidade de São Paulo (SP). Observe como esses radares funcionam.

de consumo de combustível e de emissões de alguns poluentes.

LUCAS FARAUJ

1. Em cada item, escreva uma razão que representa a situação indicada. a) Amanda acertou 18 das 20 questões da Obmep. 18 ou 18 : 20. 20 b) A equipe de handebol de uma turma do 9º- ano venceu 9 das 12 partidas disputadas no torneio. 9 ou 9 : 12. 12 c) Para diluir uma tinta João misturou 18 L dessa tinta em 5 L de água. 18 ou 18 : 5. 5 2. Certa prefeitura está estudando como os habitantes se distribuem nas diferentes regiões do município com a finalidade de planejar investimentos. Observe.

5. Junte-se a um colega e resolvam a atividade a seguir.

Peito de frango (grelhado): 32 g.

Fontes dos dados: UNICAMP. Tabela Brasileira de Composição de Alimentos − TACO. Disponível em: <www.nepa. unicamp.br/taco/contar/taco_4_edicao_ampliada_e_revisada.pdf?arquivo=taco_4_versao_ampliada_e_revisada.pdf>. NUTRIWEB. Proteínas, lipídios e carboidratos: quanto você precisa ingerir por dia?. Disponível em: <www.nutriweb.org.br/n0202/recomend.htm>. Acessos em: 12 out. 2018.

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fique ligado Neste boxe são apresentadas informações complementares sobre o contexto em estudo, ampliando seu conhecimento sobre o tema.

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integrando com

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Você conhece alguém que possa ser considerado cartesiano? Explique. Resposta pessoal.

história e língua portuguesa

Mundo nos eixos

y 5 4 3 2

a) Indique as coordenadas cartesianas correspondentes a três pontos desse caminho.

1 _4 _3 _2 _1 0 _1

b) Ao percorrer esse caminho, a mosca passou pelo ponto de coordenadas cartesianas (–2, 3)? Não.

5 x

c) Quais quadrantes do plano cartesiano têm parte do caminho percorrido pela mosca? I, III e IV.

_2 EDITORIA DE ARTE

Distância do ponto A até essa parede.

ARTUR FUJITA

Fontes dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 383-389. DESCARTES, R. Discurso do método. Tradução Paulo Neves. Porto Alegre: L&PM, 2009.

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Integrando com... Já observou como Arte, Ciências, Educação Física, Geografia, História, Língua Portuguesa e Matemática mantêm um diálogo constante? Nesta seção são desenvolvidos momentos de integração em que você vai usar o que aprendeu em diferentes áreas e perceber que há muitas maneiras de estudar um assunto.

Você cidadão Esta seção possibilita a reflexão e o diálogo sobre o significado do que é ser cidadão! São trabalhados temas importantes da vida em sociedade e é mostrado como suas ações, com base em conhecimentos matemáticos, podem fazer a diferença no mundo.

m a2

2a) Consultar o gráfico de crescimento de acordo com o sexo. No eixo vertical são indicados os valores do IMC, e no eixo horizontal, as idades. No encontro desses dois valores é obtido o intervalo do estado nutricional. 3a) Por fim, comparar o intervalo obtido com os valores de referência do estado nutricional. Valores de referência acima de +2

Obesidade Mudanças na casa à vista! A mudança é para a criança em conjunto com todos da casa, afinal o que faz bem para um, fará bem para todos. [...]

+1 e abaixo de +2

Sobrepeso É preciso mudar a rotina da família. Procurar ajuda de um pediatra ou nutricionista para melhorar alguns hábitos alimentares agora irá garantir um futuro mais saudável para todos. [...]

de _2 e abaixo de +1

abaixo de _2

Peso normal

Abaixo do peso

Que legal! Estar com o peso dentro da faixa de normalidade é um ponto positivo e isso deve estar SEMPRE acompanhado de uma alimentação rica em vegetais e muita atividade física. [...]

Uma criança que está abaixo do peso deve SEMPRE ser avaliada pelo pediatra, pois é fundamental excluir a hipótese de desnutrição. [...]

IMC (kg/m2)

Obesidade

3 36 34 32 30 2 28 26 1 24 22 0 20 _1 18 _2 16 _3 14 12

36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12

Intervalo obtido: de _2 e abaixo de +1.

13 14 15 16 17 18 19 Idade (anos e meses completados)

Meninos – IMC de acordo com a idade 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12

3 36 34 32 2 30 28 1 26 24 0 22 20 _1 18 _2 16 _3 14 12

13 14 15 16 17 18 19 Idade (anos e meses completados)

Intervalo obtido: acima de +2.

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

Meninas – IMC de acordo com a idade

cidadão

IMC (kg/m2)

você

Fonte dos dados: SBP. Gráficos de crescimento. Disponível em: <www.sbp.com.br/departamentoscientificos/endocrinologia/graficos-de-crescimento/>. Acesso em: 9 out. 2018.

Observe o cálculo do IMC de Camila:

Agora, vamos calcular o IMC de Yan:

• Idade: 13 anos e 9 meses.

• Idade: 14 anos e 3 meses.

• Massa: 54 kg.

• Massa: 81 kg.

• Altura: 1,60 m. 54 54 • IMC = 1 21, ou seja, = (1,60)2 2,56 21 kg/m2.

• Altura: 1,70 m. 81 81 • IMC = 1 28, ou seja, = (1,70)2 2,89 28 kg/m2.

3. Com que frequência você consome frutas, verduras e legumes? E alimentos ricos em gorduras, açúcar e sal? Respostas pessoais.

ROBERTO ZOELLNER

4. De acordo com os valores de referência apresentados, como podem ser indicados os estados nutricionais de Camila e Yan, no exemplo acima? Camila: Peso normal; Yan: Obesidade.

ABESO. Peso saudável na infância. Disponível em: <www.abeso.org.br/atitude-saudavel/z-imc-crianca>. Acesso em: 9 out. 2018.

5. Leila tem 13 anos e 6 meses de idade, 56 kg e 1,50 m de altura. Já Tiago, tem exatamente 13 anos de idade, 51,2 kg e 1,60 m. Calcule o IMC dessas pessoas, depois consulte os gráficos e indique a avaliação nutricional de cada uma delas de acordo com os valores de referência apresentados. Leila _ IMC: 25 kg/m2; sobrepeso. Tiago _ IMC: 20 kg/m2; peso normal.

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você

Você conectado

conectado

São propostas atividades que envolvem conceitos matemáticos com o apoio de recursos tecnológicos, como o GeoGebra e a planilha eletrônica Calc. Por meio de construções, você vai analisar e discutir características de figuras geométricas planas, realizar transformações de figuras, construir tabelas e gráficos, estudar sequências numéricas, entre outras atividades. Na parte final do livro há instruções gerais sobre os recursos utilizados nesta seção.

Inicialmente, organizamos na planilha eletrônica os meses de aplicação, o juro e o montante em colunas, como indicado ao lado.

Observe que na célula C2 o montante correspondente ao mês zero indica o capital aplicado.

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

MÃos à obr a

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IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

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o que estudei

Dica

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

SITUAÇÃO INICIAL

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Neste boxe você encontra dicas ou lembretes importantes para a melhor compreensão de alguma informação.

Na aula de Ciências, Tiago estudou informações a respeito do planeta Terra e confeccionou o cartaz representado a seguir.

J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

O que estudei

na forma de fração e na forma de número decimal

Conjuntos n, z, q, I eR

Conjunto finito e conjunto infinito

Número p e número de ouro o

Notação científica

Propriedades de potências

Potências com expoente fracionário

Potências

Raiz de um número negativo

Propriedades

Raízes

de raízes

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Nas atividades identificadas com este ícone, o cálculo ou procedimento de resolução deve ser feito, de preferência, mentalmente. As atividades identificadas com este ícone podem ser resolvidas com o auxílio de uma calculadora. Nas atividades com este ícone é apresentada uma variedade de textos e imagens que buscam desenvolver sua competência como leitor.

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III

ícones

Neste momento do livro, você vai refletir sobre os conteúdos ou conceitos matemáticos estudados na Unidade. As questões propostas buscam o desenvolvimento de uma autoavaliação, de modo que você consiga identificar o que foi aprendido a contento e aquilo que precisa ser revisto.

Número racional Conjuntos

PROBLEMAS

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Nas atividades com este ícone, você é convidado a registrar seus pensamentos, suas reflexões ou conclusões de diferentes maneiras, como por meio de desenho e entrevista. Nas atividades identificadas com este ícone, a resposta deve ser realizada oralmente e compartilhada com os colegas. Este selo aparece em atividades cuja resolução deve ser feita com um ou mais colegas.

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SUMÁRIO unidade

Conjuntos numéricos, potências e raízes | 12

unidade

Conjuntos ................................................................................... 14 Atividades .................................................................................. 15 Conjunto dos números naturais (n) e conjunto dos números inteiros (z) ......................................................... 16 Conjunto dos números racionais (q) ....................................... 17 Atividades .................................................................................. 19 Conjunto dos números irracionais (I) ...................................... 20 Atividades .................................................................................. 22 Conjunto dos números reais (R) .............................................. 24 Atividades .................................................................................. 24 Potências .................................................................................... 26 Propriedades de potências ..................................................... 27 Atividades .................................................................................. 29 Notação científica .................................................................. 31 Atividades .................................................................................. 33 Raízes ......................................................................................... 35 Raiz de um número negativo ................................................. 36 Potências com expoente fracionário ....................................... 37 Atividades .................................................................................. 37 Propriedades de raízes ........................................................... 39 Atividades .................................................................................. 40 Integrando com Língua Portuguesa Googol: um número “muito grande” .............. 42 Você conectado Construindo a representação de um retângulo áureo ............................................. 44 O que estudei ............................................................................. 46

Circunferência, plano cartesiano e vistas | 48

Circunferência ............................................................................. 50 Comprimento da circunferência ............................................ 51 Construindo polígonos regulares ........................................... 52 Atividades .................................................................................. 54 Arco de circunferência ........................................................... 56 Ângulo inscrito em uma circunferência ................................. 57 Atividades .................................................................................. 59 Plano cartesiano ......................................................................... 61 Atividades .................................................................................. 62 Vistas ortogonais ........................................................................ 64 Perspectiva com ponto de fuga .............................................. 65 Projeção ortogonal ................................................................ 66 Atividades .................................................................................. 67 Integrando com História e Língua Portuguesa Mundo nos eixos ....... 70 Você conectado Medindo ângulo central e ângulo inscrito de um arco ............................. 72 Construindo polígonos regulares .....................74 O que estudei ............................................................................. 76

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unidade

Expressões algébricas e equações do 2o grau | 78

unidade

Expressões algébricas, monômios e polinômios .......................... 80 Polinômios ............................................................................. 82 Atividades .................................................................................. 83 Produtos notáveis ...................................................................... 84 Quadrado da soma de dois termos ........................................ 84 Quadrado da diferença de dois termos .................................. 85 Produto da soma pela diferença de dois termos .................... 86 Atividades .................................................................................. 87 Fatoração de polinômios ............................................................ 88 Fatoração de polinômios: fator comum em evidência ............ 88 Fatoração de polinômios: agrupamento ................................ 89 Fatoração de polinômios: trinômio quadrado perfeito .......... 90 Fatoração de polinômios: diferença de dois quadrados ......... 90 Atividades .................................................................................. 91 Equação do 2o grau com uma incógnita ..................................... 92 Atividades .................................................................................. 93 Resolução de equação do 2o grau com uma incógnita ........... 94 Atividades .................................................................................. 96 Atividades .................................................................................102 Você cidadão Obesidade ...........................................................104 O que estudei ........................................................................... 106

Proporcionalidade e funções | 108

Proporcionalidade ..................................................................... 110 Razão .................................................................................. 110 Atividades ................................................................................ 112 Proporção ................................................................................. 114 Atividades ................................................................................ 115 Grandezas diretamente proporcionais ................................. 116 Grandezas inversamente proporcionais ............................... 118 Atividades ................................................................................ 119 Noção de função ....................................................................... 122 Atividades ................................................................................ 124 Gráfico de uma função ........................................................ 127 Atividades ................................................................................ 129 Você cidadão Os riscos da velocidade no trânsito .....................132 Você conectado Construindo e analisando gráfico de função ..........................................134 O que estudei ........................................................................... 136

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unidade

Semelhança de figuras | 138

unidade

Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal ......... Atividades ................................................................................ Proporcionalidade entre segmentos de reta ............................. Atividades ................................................................................ Teorema de Tales ................................................................. Atividades ................................................................................ Semelhança de polígonos ........................................................ Atividades ................................................................................ Semelhança de triângulos .................................................... Atividades ................................................................................ Integrando com História Medindo sombras ........................... Você conectado Estudando o ponto médio de um segmento de reta com o GeoGebra ......... O que estudei ...........................................................................

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164 166

Educação financeira e relações métricas no triângulo retângulo | 168

Educação financeira .................................................................. Porcentagem ....................................................................... Atividades ................................................................................ Acréscimos e descontos sucessivos ........................................ Atividades ................................................................................ Relações métricas no triângulo retângulo ................................ Atividades ................................................................................ Teorema de Pitágoras .......................................................... Atividades ................................................................................ Integrando com Geografia Distribuição de renda ................. Você conectado Calculando rendimentos de aplicação financeira com a planilha eletrônica ........................................ Teorema de Pitágoras no GeoGebra .............. O que estudei ...........................................................................

140 142 144 145 146 150 153 154 156 159 162

170 170 173 175 176 178 181 183 185 188 190 192 194

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unidade

Estatística e Probabilidade | 196

unidade

Estatística ................................................................................. Gráficos ................................................................................ Atividades ................................................................................ Medidas de tendência central .............................................. Atividades ................................................................................ Pesquisa estatística .............................................................. Atividades ................................................................................ Probabilidade ........................................................................... Atividades ................................................................................ Você cidadão O Estatuto da Criança e do Adolescente ............ Você conectado Construindo gráficos com a planilha eletrônica ....................................... O que estudei ...........................................................................

198 198 203 207 208 210 212 214 217 220 222 226

Medidas de volume | 228

Volume de um bloco retangular ............................................... Atividades ................................................................................ Volume de um prisma e de um cilindro .................................... Atividades ................................................................................ Integrando com Ciências Seca ................................................ O que estudei ...........................................................................

230 232 234 237 240 242

VOCÊ CONECTADO Instruções gerais ........................................ 244 RESPOSTAS ............................................................................... 248 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................. 256

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UNIDADES TEMÁTICAS

• Números. • Grandezas e medidas. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta. • Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica. • Potências com expoentes negativos e fracionários. • Números reais: notação científica e problemas. • Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas. • Unidades de medida utilizadas na informática.

EF09MA01 EF09MA02 EF09MA03 EF09MA04 EF09MA18

AMPLA ARENA

Línguas indígenas

HABILIDADES • • • • •

CONJUNTOS NUMÉRICOS, POTÊNCIAS E RAÍZES

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Resposta pessoal.

10 famílias linguísticas. 5 línguas indígenas.

Algumas respostas possíveis: tabela; lista; diagrama.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Você conhece outras palavras que utilizamos no dia a dia que tenha origem em uma língua indígena? O tronco linguístico Tupi é composto de quantas famílias linguísticas? A família linguística Tupari é composta de quantas línguas indígenas? De que outra maneira podemos representar a organização das línguas indígenas indicadas no esquema conforme a família e o tronco linguísticos a que pertencem?

alunos alguns exemplos de palavras originadas da família Tupi-Guarani. • Caatinga (caá-t-enga): o mato ralo. • Pamonha (apá-mimõia): envolvido e cozido. • Tamanduá (ta-monduá): o caçador de formiga. • Urubu (uru): ave grande; (bu): negro. Fonte dos dados: FRANZIN, A. Palavras indígenas nomeiam a maior parte das plantas e animais do Brasil. Disponível em: <www.ebc. com.br/infantil/voce-sabia/2015/10/ palavras-indigenas-nomeiam-maiorparte-das-plantas-e-animais-dobrasil>. Acesso em: 4 out. 2018.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site para obter o significado de diversas palavras de origem indígena. • DICIONÁRIO ILUSTRADO TUPI GUARANI. Disponível em: <http://livro.pro/4x3zkv>. Acesso em: 24 set. 2018. Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre os povos indígenas. • POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Disponível em: <http://livro.pro/s4b5hs>. Acesso em: 24 set. 2018.

Fontes dos dados: POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Línguas. Disponível em: <https://pib.socioambiental.org/pt/L%C3% ADnguas#Troncos_e_fam.C3.ADlias>.

Árvore linguística do Tupi.

RODRIGUES, A. D. Línguas indígenas brasileiras. Disponível em: <www. letras.ufmg.br/lali/PDF/L%C3%ADnguas_ indigenas_brasiliras_RODRIGUES,Aryon_ Dall%C2%B4Igna.pdf>. Acessos em: 5 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 3 da BNCC, pois o tema língua indígena valoriza uma manifestação cultural brasileira.

Apesar da quantidade de línguas faladas parecer um número expressivo (150), estima-se que ela já foi bem maior: em torno de mil, antes da chegada dos portugueses ao Brasil. Explicar que a língua indígena, assim como qualquer

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outra, é mais do que um meio de comunicação, ela expressa a identidade de um povo. No primeiro item proposto, comentar que a língua portuguesa sofreu grande influência do Tupi e várias palavras utilizadas hoje têm origem desse tronco. Apresentar aos

NO DIGITAL – 1O bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 1 e 2. • Desenvolver o projeto integrador sobre o estudo do Sistema Solar e os planetas que o compõem. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04, EF09MA11, EF09MA15, EF09MA17 e EF09MA18. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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CONJUNTOS Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03 e EF09MA04. Ao explorar as línguas indígenas que compõem uma família linguística como um exemplo de ideia de conjunto, pedir aos alunos que pensem em outras situações que também apresentem esta ideia. Destacar que a ideia de conjunto está relacionada a elementos que possuem uma característica comum. No caso das cinco línguas indígenas mencionadas, a característica comum é que todas pertencem à família linguística Tupari. Veja a seguir alguns exemplos de situações com a ideia de conjunto. • Os alunos de uma turma do 9o ano. • Os professores da escola. • Os polígonos que são quadriláteros. Explicar que, de modo geral, os conjuntos em Matemática são indicados por letras maiúsculas do alfabeto brasileiro. Comentar sobre as maneiras de representar um conjunto, questionando-os em quais exemplos de conjunto é mais viável elencar os elementos e em quais é melhor escrever sua lei de formação. Por exemplo, em um conjunto com poucos elementos e cuja característica comum não é tão evidente, a opção mais viável parece ser a de elencar todos os elementos em um diagrama ou utilizando chaves. Em relação à representação utilizando chaves, é possível elencar os elementos do conjunto ou apresentar sua lei de formação. Dizer aos alunos que, ao mencionarmos os termos múltiplos, divisores, par, ímpar e afins, serão considerados os números naturais. Explicar que o conjunto vazio pode ser indicado por B = { } ou B = @.

Conjuntos Nas páginas de abertura desta Unidade, vimos que as línguas indígenas brasileiras podem ser agrupadas em famílias linguísticas, dependendo do grau de semelhança entre elas. Como exemplo, foram apresentadas as cinco línguas indígenas que compõem a família linguística Tupari. Tupari Akuntsu

Makuráp

Mekém (Sakirabiat)

Tupari

Wayoró (Ajuru)

Em Matemática, esse tipo de agrupamento apresenta a ideia de conjunto, em que os elementos que o compõem possuem certa característica comum. Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras. Observe, por exemplo, um mesmo conjunto A representado de duas maneiras. • Utilizando chaves e indicando todos os elementos.

• Utilizando diagrama. A 3

1 2 6

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4 12

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Também podemos representar um conjunto por meio de uma lei de formação, ou seja, expressando as condições que definem seus elementos. Observe o conjunto A representado dessa maneira. A = {x | x é divisor de 12} Lê-se: tal que.

Dizemos que o conjunto A é formado por todos os elementos x, tal que x é um divisor de 12.

Quando um elemento é de um conjunto, dizemos que ele pertence a esse conjunto. Já quando o elemento não é do conjunto, dizemos que ele não pertence a esse conjunto. Por exemplo, em relação ao conjunto A apresentado anteriormente, temos que: • 5{A

• 4[A Lê-se: pertence.

Lê-se: não pertence.

Agora, observe outros exemplos de conjuntos. • B = {x | x é um número negativo maior do que zero} • C = {x | x é um número ímpar} • D = {1, 3, 6} Note que o conjunto B não tem elemento algum, uma vez que não existe número negativo maior do que zero. Nesse caso, dizemos que B é um conjunto vazio. Já o conjunto C possui infinitos elementos, uma vez que existem infinitos número ímpares. Assim, dizemos que C é um conjunto infinito. O conjunto D possui três elementos, ou seja, uma quantidade finita de elementos. Dizemos, então, que D é um conjunto finito. 14

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Considere, agora, os conjuntos a seguir: • E = {_3, 0, 1, 5} • F = {0, 1} • G = {_1, 0, 1} Observe como podemos representar por diagrama: • os conjuntos E e G. • os conjuntos E e F. E

_3 F

5 0

G _3

Todos os elementos de F também são elementos de E. Assim, dizemos que F é um subconjunto de E ou, ainda, que F está contido em E. F¡E

Há elemento de G que não é elemento de E (–1). Assim, dizemos que G não é um subconjunto de E ou, ainda, que G não está contido em E. G£E Lê-se: não está contido.

Lê-se: está contido.

No caderno, represente por diagrama os conjuntos F e G e responda: F é subconjunto de G? Por quê? Sim, pois todos os elementos de F também são elementos de G. Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Considere o tronco linguístico Tupi e a família linguística Tupari como conjuntos A e B, respectivamente, em que os elementos são as línguas indígenas pertencentes a eles. a) Quantos elementos pertencem ao conjunto B? Esse conjunto é finito ou infinito? 5 elementos. Finito. b) Quais das fichas a seguir apresentam uma relação verdadeira entre A e B? I e IV. I. B ¡ A

II. A ¡ B

III. B £ A

• 6

B[ C{

• 10

• 16

d A

B C

g c h

IV. A £ B

2. Considere os conjuntos A = {x | x é estado da região Sudeste do Brasil}, B = {x | x é um número quadrado perfeito menor do que 50} e C = {x | x é um número par e primo}. a) Escreva os elementos de cada conjunto. b) Entre esses conjuntos, algum deles é subconjunto de outro? Justifique. c) Copie os itens a seguir, substituindo cada pelo símbolo [ ou {. • 25

3. Observe o diagrama em que estão representados os conjuntos A, B e C. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

AtividadeS

a) Copie os itens a seguir, substituindo cada pelo símbolo ¡ ou £. • A

B£

• C

B¡

A£ C£ • C • B b) Escreva os elementos de cada conjunto utilizando chaves. A = {a, b, e, f}; B = {a, b, c, d, f, g, h}; C = {b, c, g}. 4. Qual dos itens a seguir corresponde a uma outra representação do conjunto A = {x | x é múltiplo de 3}? II I. {1, 3, 9, 27} III. {1, 3} II. {0, 3, 6, 9, 12, ...} IV. {12, 123, 1234, 12345, ...}

• Sergipe A { • Rio de Janeiro A [ • O conjunto A é finito ou infinito? Infinito. 2. a) A = {Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo}; B = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}; C = {2}. 2. b) Resposta esperada: Não, pois nenhum dos conjuntos possui todos os elementos também pertencentes a um dos outros dois conjuntos. 15

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PARA PENSAR Os alunos podem representar os conjuntos F e G de duas maneiras: dois diagramas separados ou um diagrama contido no outro. Verificar as justificativas que eles utilizaram para determinar que F é um subconjunto de G.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha noções iniciais do conceito matemático de conjunto, como a determinação da quantidade de elementos de um conjunto, a classificação em finito ou infinito e a relação entre conjuntos. No item b, pedir aos

ao tronco Tupi (conjunto A), como as da família Tupi-Guarani, e, no entanto, essas línguas não pertencem à família Tupari (conjunto B). 2. Esta atividade trabalha noções iniciais do conceito matemático de conjunto, como a descrição dos elementos de um conjunto e a identificação de subconjuntos de um dado conjunto. Relembrar os alunos de que os quadrados perfeitos são números cuja raiz quadrada é um número natural, por exemplo: 1, 4, 9, 36 e 100. 3. Esta atividade trabalha noções iniciais do conceito matemático de conjunto, como a representação de um conjunto por meio de diagrama. 4. Esta atividade trabalha noções iniciais do conceito matemático de conjunto, como diferentes representações de um mesmo conjunto. Questionar os alunos sobre o significado das reticências que aparecem em alguns itens. Explicar que, para utilizar as reticências na representação de um conjunto, é necessário que o conjunto esteja definido. Caso contrário, as reticências não garantem os próximos elementos. Por exemplo, considerando o conjunto B = {0, 2, 4, 8, ...}, não podemos garantir que o próximo número do conjunto é 10, 16 ou qualquer outro número, pois não há uma lei de formação. Além disso, podem existir conjuntos nos quais não é possível expressar uma lei de formação, sendo necessário elencar todos os elementos.

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alunos que justifiquem que a ficha II apresenta uma relação falsa. Explicar que uma maneira de justificar, nesse caso, é apresentar um exemplo que comprove a falsa relação. Por exemplo, na ficha II, temos que A ¡ B, porém temos línguas indígenas que pertencem

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PARA PENSAR Para determinar se o conjunto dos números naturais é finito ou infinito, pedir aos alunos que citem o maior número natural que conseguem imaginar. Em seguida, propor a alguns alunos que digam qual foi o número imaginado e, conforme eles vão dizendo, apresentar um contraexemplo, acrescentando uma unidade ao número dito. Comentar que os números inteiros foram estudados em Volumes anteriores desta coleção. Pedir aos alunos que identifiquem outras situações em que os números inteiros negativos são utilizados, como situações relacionadas à temperatura ou à altitude em relação ao nível do mar.

Conjunto dos números naturais (n) e conjunto Resposta esperada: Na sequência dos números dos números inteiros (z) Infinito. naturais é sempre possível obter o próximo número adicionando 1 ao anterior. Assim, como é formado pelos números dessa sequência, temos que N é um conjunto infinito.

Leia a tirinha com atenção.

Conjunto dos números naturais (N) e conjunto dos números inteiros (Z) Para auxiliar os alunos na interpretação da tirinha, propor a eles os seguintes questionamentos. • O que Pelezinho estava fazendo quando sua amiga se aproximou para conversar? Resposta: Contando embaixadinhas. • Na contagem de Pelezinho, qual é o primeiro número apresentado na tirinha? E o último? Respostas: 22. 1 505. • Por que Pelezinho considerou que sua amiga foi rápida na conversa? Resposta possível: Porque, quando ela chegou, o Pelezinho estava na contagem de número 22 e, quando ela foi embora, na de número 1 505, não chegando ao número 2 000. Isso sugere que em ocasiões anteriores a amiga demorou mais na conversa, possibilitando ao Pelezinho contar mais embaixadinhas.

SOUSA, M. de. As tiras clássicas do Pelezinho 1. São Paulo: Editora Mauricio de Sousa, 2012. p. 29.

O conjunto dos números naturais é finito ou infinito? Justifique.

No decorrer da história, surgiram diversas outras situações que não podiam ser expressas apenas pelos números naturais, como nos casos que envolviam débitos, dívidas, entre outros. Com isso, se fez necessário o uso dos números inteiros negativos. A reunião dos números naturais e dos números inteiros negativos forma o conjunto dos números inteiros, indicado por z. z = {... , _4, _3, _2, _1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Observe a representação dos números inteiros na reta numérica. Esta seta indica que a sequência dos números inteiros continua infinitamente no sentido negativo.

O ponto O indica a origem da reta numérica e corresponde ao número zero. A partir da origem definimos os sentidos negativo e positivo.

sentido negativo O sentido positivo _7

_3 _2

Todo número inteiro tem um antecessor e um sucessor. Por exemplo, o número –6 é o antecessor de –5 e o número –5 é o sucessor de –6.

Esta seta indica que a sequência dos números inteiros continua infinitamente no sentido positivo.

Como todo elemento do conjunto dos números naturais também é elemento do conjunto dos números inteiros, dizemos que n é subconjunto de z, ou seja, n ¡ z.

EDITORIA DE ARTE

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Conjunto dos números racionais (q)

LUCAS FARAUJ

Observe a jarra a seguir.

Os números na graduação da jarra são elementos do conjunto dos números racionais, a indicado por q. Os elementos de q são aqueles que podem ser expressos na forma , em que b a e b são números inteiros com b 5 0. Assim, podemos representar o conjunto dos números racionais da seguinte maneira: Note que os números na forma mista e os números na forma decimal, na graduação da jarra, podem ser expressos a 1 5 1 250 5 = . na forma . Por exemplo, 1 = e 1,250 = b 4 4 1 000 4

a q = { |a [ Z, b [ Z e b 5 0} b

É importante perceber que os números inteiros também são racionais, podendo ser expressos a na forma indicada acima. Observe os exemplos. b •7=

14 2

• _3 =

_12 4

•0=

Note que um número inteiro pode ser expresso de diferentes maneiras na forma

0 5

a apresentada. Em relação ao b

14 7 21 _7 ... = = = = . Escreva outras três maneiras de expressar o número inteiro _3 2 1 3 _1 _3 _6 9 a = = = ... . na forma apresentada. Algumas respostas possíveis: _3 = 1 2 _3 b Q

Utilizando diagramas, podemos relacionar os conjuntos n, z e q da maneira indicada ao lado: Observe alguns elementos de Q representados na reta numérica. _3,95 _4

_3,2

5 2

_1,68 _2

_ _1

3 4

12 5

0,7 1,26 0

2,9 3

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

exemplo a, temos: 7 =

Conjunto dos números racionais (Q) Apresentar aos alunos como realizar a leitura da representação do conjunto dos números racionais: a Q = { \a [ z, b [ Z e b 5 0} b Lê-se: a dividido por b tal que a e b pertencem ao conjunto dos números inteiros, com b diferente de zero. No boxe Dica, relembrar aos alunos que um número na forma mista é formado pela parte inteira e pela parte fracionária. Explicar que, para transformar um número na forma mista em uma única fração, uma maneira é primeiramente representar a parte inteira por uma fração, cujo denominador seja igual ao da parte fracionária e, depois, adicionar as duas frações. Por exemplo, considerando o nú1 mero na forma mista 1 , te4 4 mos que, 1 = , logo: 4 4 1 5 + = 4 4 4 Ao explorar os números racionais indicados na reta numérica, destacar aqueles que representam dízimas periódicas: _3,2; 0,7 e 1,26. Relembrar os alunos de que os algarismos que se repetem indefinidamente na parte decimal correspondem ao período da dízima periódica.

3,71 4

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Ao trabalhar com a transformação de um número racional na forma de fração para a forma de número decimal, propor aos alunos que retornem à página anterior e verifiquem na jarra graduada se as graduações indicadas com fração correspondem às mesmas das indicadas com número decimal. Lembrar aos alunos qual é a diferença entre uma divisão exata e número decimal exato: em uma divisão cujo quociente é um número inteiro e o resto é zero, temos uma divisão exata. Quando o quociente é um número decimal e o resto é zero, temos que o quociente está na forma de um número decimal exato. No item b, na transformação de um número racional na forma de fração para a forma de número decimal, explicar aos alunos que o período da dízima periódica 2,6 é 6. Caso julgar necessário, relembrar aos alunos como utilizar os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade para resolver equações como a apresentada no item b, da transformação de um número racional na forma de número decimal para a forma de fração. Para complementar este item, propor que efetuem a divisão de 25 por 9 utilizando uma calculadora e verifiquem que a igualdade apresentada é verdadeira.

Os números racionais não inteiros podem ser expressos na forma de fração ou na forma de número decimal. Observe a relação entre essas representações.

Transformando um número racional na forma de fração para a forma de número decimal Exemplos 7 • 5 7 =7:5 5

5 7 _ 5 1, 4 2 0 _ 2 0 0 0

Nessa divisão, como o quociente é um número decimal e o resto é zero, dizemos que esse quociente está na forma de um número decimal exato.

7 Assim, temos que = 1,4. 5 8 • 3 8 3 8 =8:3 3 _ 6 2, 66 ... 2 0 _ 1 8 2 0 _ 1 8 2 0 ; 8 Assim, temos que = 2,6. 3

Essa transformação também poderia ser realizada usando fração decimal equivalente. 7 ?2 14 = = 1,4 5?2 10

Se continuarmos essa divisão, obteremos indefinidamente o algarismo 6 no quociente e não é possível ter resto igual a zero. Nesse caso, dizemos que esse quociente está na forma de dízima periódica. Os algarismos que se repetem indefinidamente são chamados período.

Transformando um número racional na forma de número decimal para a forma de fração Exemplos • 1,25

125:5 25:5 5 = :5 = :5 100 20 4 5 Assim, temos que 1,25 = . 4 • 2,7 Observe como podemos transformar uma dízima periódica em uma fração, ou seja, obter uma fração geratriz. x = 2,7777... Consideramos essa igualdade. 1,25 =

10x = 27,7777...

Multiplicamos cada membro da igualdade por 10.

10x _ x = 27,7777... _2,7777... 9x 25 = 9 9 25 x= 9 Assim, temos que 2,7 =

Subtraímos x de cada membro da igualdade. Dividimos cada membro da igualdade obtida por 9. Obtemos o resultado.

25 . 9

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AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

a) 5 0,416 12

c) 31 1,24 25

b) 18 4,5 4

d) 26 1,4 18

2. Escreva cada número decimal a seguir na forma de fração irredutível. 37 104 a) 4,16 c) 1,85 20 25 b) 3,6 11 d) 0,25 25 3 99 3. Copie os itens a seguir no caderno, subspelo símbolo [ ou {. tituindo cada e) 7,12

f) _5

c) 6,5 g) _12,91 q[ n{ d) 9 q[ 2 4. Cada letra na reta numérica corresponde a um dos números racionais indicados no quadro a seguir. Associe cada letra ao número racional correspondente. _1,3 _ A

7 4 14 6

3,78

1 10

0,8 B

_4 _3 _2 _1

11 5

Z c d

De acordo com o diagrama, a, b, c, d, e podem ser, respectivamente, os números: c) _2,8; 3 ; _7; _1; 3. a) 3; _2,8; _7; 3 ; _1. 8 8 b) _2,8; _7; _1; 3. d) 3 ; _7; _1; _2,8; 3. 8 7. (Enem-2016) No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 L de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é de 15 km/L de combustível. Ao sair para uma viagem de 600 km o motorista observou que o marcador de combustível estava exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do medidor, conforme figura a seguir.

_3,18

F G

H 3

5. Quais dos conjuntos indicados a seguir são subconjuntos de z? A, D e E.

ENEM 2018

b) 0

6. No diagrama a seguir, estão representados os conjuntos dos números naturais, dos inteiros e dos racionais. Nele, as letras em destaque correspondem a números. c.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1. Escreva as frações apresentadas a seguir na forma de número decimal.

a) 1,5

inteiros. No conjunto B, explicar aos alunos que costumamos utilizar o ponto e vírgula (;) para separar os elementos de um conjunto quando estes são números decimais e, caso utilizássemos apenas a vírgula (,) para separá-los, poderíamos nos confundir com a vírgula do número decimal. No conjunto E, propor aos alunos que escrevam alguns elementos desse conjunto, atribuindo a x números pares. 6. Esta atividade trabalha a identificação de elementos pertencentes aos conjuntos dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais na representação por diagrama. 7. Esta atividade trabalha o cálculo da fração de uma quantidade. Para auxiliar os alunos na resolução, se julgar necessário, propor a eles os seguintes questionamentos. • Em quantas partes iguais a capacidade do tanque é dividida no marcador? Resposta: 8 partes. • Qual fração da capacidade do tanque está com combustí6 3 vel? Resposta: ou . 8 4 • Quantos litros de combustível há no tanque? Resposta: 37,5 L. • O que significa dizer que o rendimento médio do carro é de 15 km/L? Resposta esperada: Significa que com 1 litro de combustível é possível percorrer, em média, 15 quilômetros.

Resoluções a partir da p. 257

Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu • A = {1, 2, 3, 4, 10, 30} destino, cinco postos de abastecimento de • B = {_12; _6; _21,7; _25,4} combustível, localizados a 150 km, 187 km, 450 km, 500 km e 570 km do ponto de C 9,8 12 7 partida. Qual a máxima distância, em _3 9 • 15 quilômetro, que poderá percorrer até ser 31 4,5 necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem combustível na estrada? • D = {x | x é um número ímpar} a) 570 c) 450 e) 150 x • E = { | x é um número par} b) 500 d) 187 2 Alternativa b. 11 1 7 14 4. A: _3,18; B: _ ; C: _1,3; D: _ ; E: 0,8; F: ; G: ; H: 3,78. 5 10 4 6 19

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a escrita de um número racional na forma de fração para a forma de número decimal. Para complementar, questionar os alunos em quais itens o número

racional obtido é uma dízima periódica (itens a e d). 2. Esta atividade trabalha a escrita de um número racional na forma de número decimal para a forma de fração. 3. Esta atividade trabalha a identificação de elementos pertencentes aos conjuntos

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dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais. 4. Esta atividade trabalha a representação de números racionais na reta numérica. 5. Esta atividade trabalha a identificação de subconjuntos do conjunto dos números

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Conjunto dos números irracionais (I)

Conjunto dos números irracionais (I) Iniciamos o trabalho com o conjunto dos números irracionais explorando o fato de que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não pode ser expresso por número racional, no caso, a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1 unidade. A demonstração de que a diagonal do quadrado de lado unitário é igual a 2 será realizada na Unidade 6 deste Volume, em que é desenvolvido o estudo do teorema de Pitágoras. Para complementar, ler para os alunos o trecho a seguir sobre os pitagóricos.

Observe como podemos demonstrar que 2 não é um número racional, ou seja, não pode a ser expresso na forma , em que a e b são números inteiros com b 5 0. b Para isso, vamos utilizar o método de demonstração por contradição. Nesse método, supomos que 2 é racional e vamos utilizar argumentações válidas até chegar a uma contradição, o que indica que esse número não é racional. Vejamos: a Como supomos 2 racional, temos que ele pode ser escrito como uma fração irredutível , b com a e b inteiros e b 5 0. Dessa maneira, segue que: a 2= b 2 a Elevamos ambos os membros ( 2)2 = [ ] da igualdade ao quadrado. b a2 2= 2 b a2 Multiplicamos ambos os 2 2 ? b = 2 ? b2 membros da igualdade por b2. b 2 2 2b = a Como 2b² = a², temos que a² é um número par e, por consequência, a também é par. Assim, podemos escrever o número a da seguinte maneira: a = 2m, sendo m um número inteiro. Substituindo a = 2m na igualdade obtida anteriormente, temos que:

ESCOLA PITAGÓRICA Em Crotona, [na costa sudeste do que atualmente é a Itália], Pitágoras fundou uma sociedade secreta dedicada ao estudo dos números. Julga-se que esta sociedade, cujos membros se tornaram conhecidos como pitagóricos, desenvolveu uma parte significativa de conhecimento matemático e isso em segredo absoluto. Pode considerar-se que os pitagóricos eram uma ordem religiosa e uma escola filosófica. Pensa-se que a sua filosofia se baseava no lema “O número é tudo”, isto é o “número era a substância de todas as coisas”. [...]

2b² = (2m)² 2b2 4m2 = 2 2 b² = 2m²

Dividimos ambos os membros da igualdade por 2.

Nas argumentações levantadas, utilizamos duas propriedades possíveis de se demonstrar: • Ao multiplicar por 2 qualquer número natural, o resultado é um número par. • Se o quadrado de um número é par, então esse número também é par.

Com base no resultado acima, podemos afirmar que b também é um número par. a Como a e b são números pares, a fração pode ser simplificada por 2. Isso, no entanto, é b uma contradição, pois supomos inicialmente que essa fração era irredutível. Portanto, podemos concluir, pelo método de demonstração por contradição, que 2 não é um número racional.

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE LISBOA. Escola Pitagórica. Disponível em: <www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/ icm17/escpita.htm>. Acesso em: 28 set. 2018.

Na demonstração por contradição, relembrar aos alunos que uma fração irredutível não pode ser simplificada, pois o numerador e o denominador são primos entre si, isto é, não possuem fatores primos em comum. Na primeira parte da demonstração, evidenciar a igualdade:

EDITORIA DE ARTE

Até certo momento do desenvolvimento da história da humanidade, muitos acreditavam que os números, que atualmente denominamos números racionais, eram suficientes para expressar todas as situações práticas, como as de medição, por exemplo. No entanto, os pitagóricos, como eram chamados os integrantes da Escola Pitagórica que se supõe ter existido há cerca de 2 500 anos, identificaram situações que não podiam ser expressas por números como esses. Uma dessas situações consistia em representar a medida da diagonal de um quadrado de lado unitário. Em seus cálculos, os pitagóricos indicaram como 2 (em notação atual) a medida dessa diagonal.

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2 = 2 ? 2 = 2 ? 2= = 4 =2 Para complementar as informações do boxe Dica, apresentar aos alunos alguns exemplos numéricos dessas propriedades.

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Números como esse formam o conjunto dos números irracionais, indicado por I. Quando representado na forma de número decimal, os números irracionais possuem infinitas casas decimais não periódicas. Observe alguns exemplos de números irracionais. • 5 = 2,236067977... • 2 = 1,414213562... • 3 = 1,732050807... • 3 7 = 1,912931182...

O número irracional p Em anos anteriores, estudamos que a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência qualquer corresponde a um número representado pela letra grega p (lê-se pi). Vimos que aproximações para esse número podem ser obtidas realizando medições, como apresentado a seguir.

Em uma folha de papel, contornamos objetos circulares, sobrepomos pedaços de barbantes e medimos o comprimento aproximado de cada um deles, obtendo 11,9 cm e 19,8 cm.

Depois, recortamos cada figura, dobramos ao meio e medimos o vinco correspondente ao diâmetro de cada uma delas, obtendo aproximadamente 3,8 cm e 6,3 cm. A

ILUSTRAÇÕES: ARTUR FUJITA

Por fim, calculamos valores aproximados de p com a razão aproximada entre o comprimento e o diâmetro de cada circunferência representada. A: p 1

11,9 1 3,1316 3,8

B: p 1

19,8 1 3,1429 6,3

O número p é um número irracional, ou seja, p [ I. Utilizando uma calculadora científica ou programas de computador específicos, podemos obter diversas casas decimais do número p. Observe: p = 3,1415926535897932384626433832795028841... Como p é um número irracional, sua representação na forma de número decimal possui infinitas casas decimais não periódicas.

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para visualizar os primeiros 10 mil dígitos do número irracional p. Este site está em inglês. • THE UNIVERSITY OF UTAH. Pi to 10,000 digits. Disponível em: <http://livro.pro/owc52a>. Acesso em: 28 set. 2018.

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre o dia do p. • DIA DO PI: para que se usa a mais famosa constante matemática. BBC News. Disponível em: <http://livro.pro/wn4nyo>. Acesso em: 5 out. 2018.

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Dizer aos alunos que o número p é uma das constantes matemáticas mais famosas da história. Nos Estados Unidos, desde 2009, o dia 14 de março é oficialmente comemorado como o Dia Nacional do Pi. A escolha desse dia se deve à maneira como ele é indicado naquele país, ou seja, mês 3 e dia 14, fazendo referência aos primeiros dígitos de p. Na língua inglesa, o mês é indicado antes do dia, diferente de como é feito no Brasil. Por isso, o dia 14 de março, em inglês, é indicado como 3/14 e, portanto, faz referência ao valor 3,14, que é uma aproximação de p. Por ser um número irracional, p tem infinita quantidade de casas decimais e algumas aproximações foram calculadas ao longo da história. Por exemplo, no oriente antigo foi obtida a aproximação p = 3; os egípcios chegaram a aproxi4 4 mação p = [ ] 1 3,16049... ; 3 Arquimedes obteve o seguin223 22 , p , , de te intervalo 71 7 maneira a que até a segunda casa decimal p é dado por 3,14. Em 2011, o executivo japonês Shigeru Kondo obteve uma aproximação de p com 5 trilhões de casas decimais, a maior aproximação obtida até então. Após o trabalho com o conteúdo destas páginas, verificar se os alunos compreenderam que um número irracional é um número real, cuja representação decimal é infinita e não periódica. Caso eles tenham dificuldades em reconhecer este aspecto da representação, sugerir que retomem os números irracionais apresentados nestas páginas, na forma decimal, e identifiquem se há alguma periodicidade na parte decimal.

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1. Observe o que a professora está falando.

É possível demonstrar que a raiz quadrada de um número natural é racional quando esse for um número quadrado perfeito e irracional, quando não for um número quadrado perfeito.

4. A: _ 8; B: _ 2; C: 1,5; D: 28 ; E: 29,5; 5 F: 20; G: 81 ; H: p 2 Verificamos que 27 está compreendido entre os quadrados de 5,1 e 5,2. Como 27 está mais próximo de 27,04 do que de 26,01, podemos dizer que 27 é aproximadamente 5,2. Calcule uma aproximação para os números irracionais a seguir com uma casa decimal. 98 9,9 c) a) 70 8,4 b)

2. Podemos calcular a raiz aproximada de um número utilizando estimativas. Observe como calcular uma aproximação de 27, que é um número irracional.

a) b) c) d)

23 4,8

a² 1

9 16 25 36 49 64 81 100

3a) Verificamos que 27 está compreendido entre os quadrados de 5 e 6. 25 , 27 , 36 62 52 a 4 ) Como não existem números naturais entre 5 e 6, calculamos o quadrado de números racionais entre eles com uma casa decimal.

3,10 e 3,11. 1,73 e 1,74. 1,70 e 1,71. 1,72 e 1,73.

2 3 2

4. As letras indicadas na reta numérica representam os números irracionais do quadro a seguir. Use uma calculadora e associe cada letra a um número do quadro. 28 p 5

1,5 _ 2

1a) Estimamos que 27 é um número entre 1 e 10, pois 27 está compreendido entre 1 e 100. 1 , 27 , 100 2a) Calculamos o quadrado dos números inteiros de 1 a 10. a

14 3,7

3. A medida da altura da figura de um triângulo equilátero cujo lado mede 2 corresponde, na unidade de medida de comprimento utilizada, ao número irracional 3 . Podemos afirmar que esse número está compreendido entre os números racionais: b.

De acordo com essa propriedade, indique a qual conjunto cada raiz quadrada a seguir pertence: ao conjunto dos racionais q ou dos irracionais I. c) 200 I e) 100 q a) 25 q 150 I b) 60 I d) 169 q f)

27 com duas casas decimais. Neste caso, como 27 está entre 5,1 e 5,2, primeiramente calculamos o quadrado de alguns números racionais entre esses dois números que tenham duas casas decimais e, depois, identificamos qual é o mais próximo de 27. • 5,112 = 26,1121 e 26,1121 , 27. • 5,122 = 26,2144 e 26,2144 , 27. • 5,132 = 26,3169 e 26,3169 , 27. • 5,142 = 26,4196 e 26,4196 , 27. • 5,152 = 26,5225 e 26,5225 , 27. • 5,162 = 26,6256 e 26,6256 , 27. • 5,172 = 26,7289 e 26,7289 , 27. • 5,182 = 26,8324 e 26,8324 , 27. • 5,192 = 26,9361 e 26,9361 , 27. • 5,202 = 27,04 e 27,04 . 27. Como 27 está mais próximo de 27,04 do que de 26,9361, podemos dizer que 27 é aproximadamente 5,20. Propor aos alunos que calculem uma aproximação com duas casas decimais para os números irracionais de cada item. 3. Esta atividade trabalha a identificação de que um triângulo equilátero de lado medindo 2 unidades tem a altura expres-

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

_4 _3 _2 _1

29,5 _ 8 C

D H 2

81 2

20 F

E G 5

Para indicar esses números na reta, foram utilizadas aproximações. 5. Em cada item a seguir está indicada a medida do raio da circunferência, em centímetros. Utilizando uma calculadora, determine o comprimento de cada circunferência para as seguintes aproximações de p: 3,1; 3,14; 3,1416. b)

a) r = 7,95

• (5,1)² = 26,01 e 26,01 , 27 • (5,2)² = 27,04 e 27,04 . 27

49,29 cm; 49,926 cm; 49,95144 cm.

r = 5,625

34,875 cm; 35,325 cm; 35,343 cm.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de números racionais e números irracionais. A propriedade enunciada pela professora pode ser demonstrada, no entanto, optamos por não realizar nesta coleção. 2. Esta atividade trabalha a determinação de aproximações racionais para números irracionais, o que pode contribuir para a localização aproximada de números irracionais na reta numérica. Complementar esta atividade, dizendo aos alunos que de maneira análoga podemos calcular

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

DANILLO SOUZA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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sa por uma medida irracional, nessa mesma unidade. A demonstração de que a altura de um triângulo equilátero de lado medindo 2 unidades é igual a 3 unidades será realizada na Unidade 6 deste Volume, em que é desenvolvido o estudo do Teorema de Pitágoras.

4. Esta atividade trabalha a estimativa da localização de um número irracional na reta numérica. 5. Esta atividade trabalha o cálculo do comprimento de uma circunferência com base em diferentes aproximações racionais para o número irracional p. Pedir aos alunos que

observem as diferenças entre os valores obtidos de acordo com as aproximações indicadas. Comentar que estas diferenças são significativas, conforme a exigência da situação.

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D3-MAT-F

18 3:27 PM

[...] O retângulo áureo é considerado a forma geométrica mais agradável a vista: durante muitos anos os pesquisadores encontraram exemplos disso em tudo, desde os edifícios da Grécia antiga até as obras-primas de arte. [...] O Partenon de Atenas se encaixa quase perfeitamente no retângulo áureo, reconstituindo-se a cúpula triangular de sua fachada. Embora seja dotado de várias proporções geometricamente equilibradas, provavelmente seus construtores, no século V a.C., não tinham senão conhecimento intuitivo da proporção áurea. [...] BERGAMINI, D. et al. As matemáticas. Rio de Janeiro: Biblioteca Científica Life, s/d. p. 94.

Observe como podemos construir a representação de um retângulo áureo com régua e compasso. 1a) Construímos a figura de um quadrado ABCD de lado com medida qualquer e traçamos as semirretas AB e DC. Depois, marcamos M, ponto médio do segmento de reta AB. D

2a) Com a ponta-seca do compasso em M e abertura MC, traçamos um arco cruzando a semirreta AB e marcamos o ponto E. D

3a) Pelo ponto E, traçamos uma reta perpendicular à semirreta AB. Marcamos o ponto F onde essa reta cruza na semirreta DC. D

4a) Construímos a representação do retângulo áureo AEFD. D

6. Esta atividade trabalha o número irracional o, com base na razão entre as medidas dos lados do retângulo áureo. Além disso, propicia uma abordagem relacionada às competências específicas 1 e 3 de Matemática da BNCC, uma vez que reconhece a Matemática como uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e estabelece relações entre dois diferentes campos da Matemática: Aritmética e Geometria. No item a, comentar com os alunos que é possível que eles obtenham diferentes valores em razão das imprecisões tanto na medição dos lados do retângulo, quanto na aproximação do cálculo.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

3,2 6. a) Resposta esperada: = 1,6. 2 6. Assim como p, outra constante matemática muito famosa é indicada pela letra grega o (lê-se: fi). Também chamado de número de ouro, o é um número irracional cujas aproximações podem ser obtidas por meio de calculadoras e programas de computador. Observe uma dessas aproximações. o 1 1,61803398874989484820 A figura do retângulo áureo é uma representação de retângulo cuja razão entre a medida de seu lado maior e a medida de seu lado menor é chamada razão áurea e corresponde ao número o.

a) Utilizando uma régua, meça os lados dessa figura de retângulo, faça cálculos e obtenha uma aproximação para o. b) Em uma folha de papel, use régua e compasso e construa uma figura de retângulo áureo. Resposta pessoal. • Qual é a medida aproximada dos lados maior e menor dessa figura de retângulo? • A partir das medidas dos lados dessa figura de retângulo, calcule uma aproximação de o. Resposta pessoal. Assista a este vídeo para mais informações sobre o número o. • Arte e Matemática – O número de Ouro. Disponível em: <http://livro.pro/8g8p7e>. Acesso em: 20 out. 2018.

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Conjunto dos números reais (R) Enfatizar aos alunos que para representar os números irracionais na reta numérica foram utilizadas aproximações para números racionais. Propor a eles que identifiquem quais dos números apresentados na reta numérica são racionais não inteiros e quais são irracionais. Neste caso, os números racionais não inteiros 7 são: _4,63; _ ; 0,555... e 3 9 ; já os números irracionais 2 são: _ 15; _ 2 ; o; 8 e p. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de subconjuntos dos conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e dos reais. Pedir aos alunos que escrevam alguns elementos dos conjuntos B e E, para verificar se eles compreenderam a lei de formação desses conjuntos. Por exemplo:

Conjunto dos números reais (R)

Já estudamos que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, que, por sua vez, está contido no conjunto dos números racionais (n ¡ z ¡ q). Além disso, estudamos o conjunto dos números irracionais (I). Quando reunimos os conjuntos dos números racionais e dos números irracionais, obtemos o conjunto dos números reais, indicado por R. Assim, temos que todo número racional e todo número irracional pertence ao conjunto dos números reais. R

Existe um número que pertença simultaneamente ao conjunto dos números racionais e ao conjunto dos números irracionais? Justifique.

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resposta esperada: Não, pois todo número racional pode ser escrito na forma a , em que a e b são números b inteiros com b 5 0; já os números irracionais não podem ser expressos dessa maneira.

z N

Na reta numérica, temos as seguintes relações com os números reais: • Para cada ponto da reta numérica há um único número real correspondente. • Para cada número real há um único ponto correspondente na reta numérica. Com base nessas relações, dizemos que os números reais e os pontos de uma reta numérica estabelecem uma correspondência um a um. Dessa maneira, também podemos chamar essa reta numérica de reta real. Observe a reta real com alguns números reais indicados. _

_4,63 _ 15 _5

7 3

0,555... o

_ 2 _3

9 2

Para representar os números irracionais na reta real, foram utilizadas aproximações.

p 2

• B = 0,1, 2 , 3 , 5 ,... 1 1 • E = ..., _ , _ , _1, 1, 3

1 , 1 ,... 2 3 2. Esta atividade trabalha a estimativa da localização de números racionais e de números irracionais na reta numérica. Dizer aos alunos que, para resolver esta atividade, uma sugestão é primeiramente obter o arredondamento de cada número para o décimo mais próximo com o uso da calculadora e, depois, com o uso da régua, representar a reta numérica com o intervalo de _4 a 4, de modo que seja utilizado 1 cm como unidade. Além disso, é possível utilizar a marcação do milímetro da régua para indicar as aproximações dos números. 3. Esta atividade trabalha, em um contexto da História da Matemática, aproximações racionais para o número irracional p. Além disso, propõe

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257

1. Dados os conjuntos A, B, C, D e E, copie pelo os itens a seguir substituindo cada símbolo ¡ ou £.

¡ a) D £ b) B

B = { x | x [ N} 5; 1,3; _15; 3,78;

7 9

D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} 1 E= Ix50ex[Z x 8 2. 11 1 3,3; 1 0,9; _ 3 1_1,7; 9 24

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a elaboração de problema envolvendo números reais. Para a resolução do item b, sugerir aos alunos que utilizem a calculadora. Ao final do item c, pedir aos alunos que compartilhem os problemas elaborados. Veja a seguir um exemplo de problema que pode ser elaborado pelos alunos.

11 5,92 2 1 1,4; _

• Considerando

n z

¡ c) C £ d) A

R I

¡ e) E

2. Represente no caderno uma reta numérica e indique nela os números do quadro. Para isso, use a calculadora e arredonde esses números ao décimo mais próximo.

A = {_5, 3, 12, _60, 9} C=

Veja no material audiovisual o vídeo sobre o Homem Vitruviano.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

p 4

8 9

1 _0,8; 5,92 1 5,9;

que uma aproximação do valor de p pode ser obtida calculando a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência, determine em qual dos itens esta razão fornece uma melhor aproximação de p. Resposta: III. I) Comprimento: 9,4 cm; diâmetro: 3 cm.

_ 3 _ 5

2 _

p 4

8 1 2,8; _ 5 1 _2,2.

II) Comprimento: 12,6 cm; diâmetro: 4 cm. III) Comprimento: 15,7 cm; diâmetro: 5 cm.

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THEPALMER/GETTY IMAGES

223 22 são racionais ou e 71 7 irracionais? Podemos afirmar que esses Racionais. Sim, pois são números reais? todo número racional é um número real. b) Quais números reais a seguir estão entre 223 22 311 e ? ; 3,141; 3,142. 71 7 99

1a) Construímos uma reta real com certa unidade de medida. Com os vértices A e B sobre a origem e a abscissa 2 dessa reta real, respectivamente, desenhamos a figura de um triângulo equilátero ABC de duas unidades de medida de lado. Marcamos o ponto médio M de AB.

311 99

a) Os números

3,141

3,143

3,142 A

c) Com base nas informações apresentadas, elabore um problema relacionado a aproximações do número p por meio de números racionais. Troque o problema com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

z c b N a d f

A _1

I g

2a) Com a abertura do compasso igual a CM e a ponta-seca na origem, no vértice A, traçamos um arco que cruza a reta real em um ponto correspondente a 3.

4. Observe o diagrama a seguir, em que cada letra representa um número real, e resolva as questões. Q

M 1

B 3 2

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

De maneira análoga, representem geometricamente 2 na reta numérica. Para isso, lembrem-se de que um quadrado de lado unitário tem diagonal medindo 2. Resposta nas Orientações para o professor. 25

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre o Homem Vitruviano e razões envolvendo medidas de partes do corpo humano. Nesse vídeo, aborda-se o estudo de Marcus Vitruvius sobre proporções entre partes do corpo humano e representações, inspiradas nesse estudo, feitas ao longo da história, com destaque para aquela feita por Leonardo da Vinci, conhecida como o Homem Vitruviano. Além disso, comenta-se sobre a sequência de Fibonacci e o número o, conhecido como número de ouro.

4. Esta atividade trabalha a identificação de elementos pertencentes aos conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e dos reais com base em uma representação por diagrama. Além disso, propõe a elaboração de problema envolvendo números reais. No item c, propor a alguns alunos que escrevam no quadro o número que indicaram em cada uma das letras do diagrama. É importante que eles compreendam que existem infinitas respostas para cada uma das letras. Veja a seguir um exemplo de problema para o item d. • Utilizando os símbolos de [ ou {, represente uma possível relação entre cada uma das letras apresentadas no diagrama e os conjuntos numéricos. Uma resposta possível: a [ N, b { N, c { I, d [ Z, e [ R, f [ Q, g [ I, h [ R. 5. Esta atividade trabalha uma estratégia para localizar de maneira aproximada o número irracional 3 na reta numérica. Para esta atividade, providenciar os materiais necessários, como régua e compasso, e reproduzir e entregar aos alunos a malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio. Auxiliar na construção do quadrado de lado unitário e explicar que a abertura do compasso deve corresponder a uma das diagonais desse quadrado. Orientá-los que, com essa abertura e a ponta-seca na origem, tracem um arco que cruze a parte positiva da reta numérica, obtendo o correspondente a 2 . Veja a seguir a resposta desta atividade.

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EDITORIA DE ARTE

8 10:14 AM

4. c) Uma resposta possível: a: 5; b: _12; c: _7; d: _50; e: 3; f: 2,7; g: p; h: 7 . 4 a) As letras a e b representam números 3. No decorrer da história, inteiros? Sim. várias aproximações do número irracional p b) A letra e corresponde a um número que foram calculadas. pode ser expresso como uma razão de Uma das mais dois números inteiros? E a letra g? Sim. Não. notáveis foi a c) Escreva um possível número corresponrealizada por dente a cada uma das letras indicadas no Arquimedes. Para diagrama. fazer a aproximação, Arquimedes d) Com base nesse diagrama, elabore uma (c. 287 a.C. –c. 212 a.C.). ele utilizou o questão e troque-a com um colega para perímetro de polígonos regulares que ele a resolva, enquanto você resolve inscritos e circunscritos em uma mesma aquela que ele elaborou. Ao final, conficircunferência, concluindo que p é um ram juntos as resoluções. 223 22 Resposta pessoal. e . número entre 5. Junte-se a um colega e observem como 71 7 Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história podemos representar geometricamente da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. 3 na reta real. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 142.

2 _1

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POTÊNCIAS Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF09MA04 e EF09MA18. Identificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre potências, uma vez que em Volumes anteriores foi explorada a potenciação de números racionais com expoente inteiro e fracionário. Verificar a possibilidade de copiar na lousa o esquema da reprodução celular e, junto com os alunos, representar a próxima etapa da divisão celular. Para complementar o tema sobre células, leia para os alunos o trecho a seguir. Todos os organismos vivos são constituídos de pequenas estruturas denominadas células. Essas estruturas, que representam a menor unidade de vida, são bastante complexas e diversas, sendo que nelas estão contidas as características morfológicas e fisiológicas dos organismos vivos. As propriedades de um determinado organismo dependem de suas células individuais, cuja continuidade ocorre por meio de seu material genético. A forma mais simples de vida ocorre em células isoladas, que se propagam por divisão celular. Já os organismos superiores, como o próprio homem, são constituídos de agregados celulares que desempenham funções especializadas. [...] ZAHA, A; FERREIRA, H. B.; PASSAGLIA, L. M. P. (Org.). Biologia molecular básica. Porto Alegre: Artmed, 2014. p. 2.

Potências Existem trilhões de células em nosso corpo que contribuem para muitas das capacidades funcionais do organismo. As células se reproduzem por meio do processo de divisão celular, que pode ocorrer de duas maneiras. Uma delas consiste em uma célula se dividir em duas com as mesmas características que a original, chamadas células-filha. Cada célula-filha, por sua vez, realiza o mesmo processo de duplicação. Observe um esquema com a quantidade de células-filha obtidas no processo de divisão celular a partir de uma única célula.

1a divisão

2 células-filha

2a divisão

4 células-filha

3a divisão

8 células-filha

ALEX SILVA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

; Podemos utilizar a potenciação para representar as quantidades de células-filha em cada divisão celular: • 1a divisão celular

2 células-filha: 2 ? 1 = 2 = 2¹

• 2 divisão celular

4 células-filha: 2 ? (2) = 2 ? 2 = 2²

• 3a divisão celular ;

8 células-filha: 2 ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 = 2³

Em uma potenciação, sendo a um número real e n um número natural, com a 5 0, temos: O expoente indica a quantidade de vezes em que o fator se repete na multiplicação.

an = a ? a ? a ? a ? ... ? a A base indica o fator que se repete na multiplicação.

A potência indica o produto dos fatores iguais.

• Uma potência com expoente 1 e a base um número real qualquer tem como resultado esse próprio número. • Uma potência com expoente 0 e a base um número real diferente de zero tem 1 como resultado. • Uma potência com expoente inteiro negativo e base diferente de zero tem como resuln 1 tado o inverso da base elevado ao oposto desse expoente, ou seja: a_n = [ ] , com a 5 0. a 26

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AMPLIANDO

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Sugerir aos alunos que acessem este site e assistam ao vídeo para obter mais informações sobre as células. • BIBLIOTECA DIGITAL DE CIÊNCIAS. Mídias. Viagem à célula. Disponível em: <http:// livro.pro/467bjn>. Acesso em: 8 out. 2018.

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D3-MAT-F

18 3:29 PM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Exemplos • 210 = 1

Propriedades de potências Para auxiliar na compreensão do conteúdo desta página, se possível, apresentar aos alunos mais exemplos numéricos a fim de explorar as propriedades I, II e III das potências. • Propriedade I:

• (_1)4 = (_1) ? (_1) ? (_1) ? (_1) = 1 _2

3 5 5 25 • [ ] =[ ] = 2= 5 3 3 9 • (0,6)² = 0,6 ? 0,6 = 0,36

• 7¹ = 7 3

1 13 1 • 2_3 = [ ] = 3 = 2 2 8

Propriedades de potências Ao realizar operações com potências é possível utilizar algumas propriedades. Observe. Propriedade I: Sendo a um número real, com a 5 0 e m e n números inteiros, temos:

52 ? 54 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 =

am ? an = am+n

Observe a demonstração dessa propriedade. m fatores

n fatores

2+4

• Propriedade II:

Note que am e an correspondem, respectivamente, ao produto de m e n fatores iguais a a.

am ? an = a ? a ? ... ? a ? a ? a ? ... ? a =

=5 =5 6

p2 p?p = = p3 p?p?p _ _ 1 = p 1 = p2 3 = p • Propriedade III: (8?(_3))2 = = (8 ? (_3)) ? (8 ? (_3)) = = 8 ? 8 ? (_3) ? (_3) = = 82 ? (_3)2

= a ? a ? ... ? a = am+n m + n fatores

Exemplo 65 ? 6² = 65+2 = 67 Propriedade II: Sendo a um número real, com a 5 0, e m e n números inteiros, temos: am = am_n an Observe a demonstração dessa propriedade. am 1 = am ? n = an a 1 Note que = a_n. = am ? a_n = an = am+(_n) =

Utilizamos a propriedade I.

m_n

Exemplo 38 = 38_6 = 32 36 Propriedade III: Sendo a e b números reais, com a 5 0 e b 5 0, e m um número inteiro, temos: (a ? b)m = am ? bm Observe a demonstração dessa propriedade. (a ? b)m = (a ? b) ? (a ? b) ? ... ? (a ? b) = m fatores iguais a (a ? b)

= (a ? a ? ... ? a) ? (b ? b ? ... ? b) = m fatores

= am ? bm

m fatores

Utilizamos a propriedade comutativa e associativa da multiplicação. Assim, obtemos m fatores iguais a a e m fatores iguais a b.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Exemplo

Para auxiliar na compreensão das propriedades IV e V, apresentar aos alunos os seguintes exemplos numéricos. • Propriedade IV:

(5 ? 9)³ = 5³ ? 9³ Propriedade IV: Sendo a e b números reais, com a 5 0 e b 5 0, e m um número inteiro, temos: m

a am [ ] = m b b

1 5 1 1 1 1 ] = ? ? ? ? 2 2 2 2 2 1 15 ? = 5 2 2 • Propriedade V: (9_1)5 = 9_1 ? 9_1 ? 9_1 ? 9_1 ? _1 ? 9 = 9(_1) + (_1) + (_1) + (_1) + (_1) = = 9_5 = 9(_1) ? 5 No exemplo a, evidenciar 2 aos alunos que 23 5 (23)2. Para isso, apresentar a eles os seguintes cálculos e, ao final, propor que comparem os resultados. 2 • 23 = 23 ? 3 = 29 = 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 512 • (23)2 = (2 ? 2 ? 2)2 = 82 = = 8 ? 8 = 64 [

Observe a demonstração dessa propriedade. m a a a a [ ] = ? ? ... ? = b b b b m fatores iguais a a b m fatores iguais a a

am bm Exemplo =

2 24 [ ] = 4 3 3 Propriedade V: Sendo a um número real, com a 5 0, e m e n números inteiros, temos: (am)n = am?n Observe a demonstração desta propriedade. (am)n = am ? am ? ... ? am = n fatores iguais am n parcelas

= am+m+...+m = = am?n = Exemplo

= 9 + 2 ? (2 ) _1 = = 9 + 29 ? 2_6 _1 =

= = = = = = = =

[Propriedade V]

= 9 + 29+(_6) _1 = [Propriedade I]

= 9 + 23 _1 = = 9 + 8 _1 = = 16

9+ 9+ 9+ 9+ 9+ 9+ 9+ 16

(3_1 ? 53)3 b) = (52)4 ? 3 (3_1)3 ? (53)3 = (52)4 ? 3 [Propriedade III]

? 53 ? 3 = 2?4 5 ?3

[Propriedade V]

3_3 59 = ? 8 = 3 5

Escrevemos a adição de parcelas iguais como um produto.

1 4 ? 2 ] _ 70 = 2 29 ? (2_1 ? 24)_2 _ 1 = 29 ? (2_1+4)_2 _ 1 = 29 ? (23)_2 _ 1 = 29 ? 2_6 _ 1 = 29+(_6) _ 1 = 23 _ 1= 8_1=

• 9 + 232 ? [

3 _2

(_1) ? 3

Utilizamos a propriedade I e obtemos uma potência cujo expoente é uma adição de n parcelas iguais a m.

(45)² = 45 ? 2 = 410 Agora, observe alguns cálculos com potências em que foram utilizadas essas propriedades.

[Propriedade I]

Utilizamos a multiplicação de frações.

m fatores iguais a b

PARA PENSAR Veja a seguir a resposta de cada item. _2 2 1 a) 9 + 23 ? [ ? 24] _70 = 2 9 = 9 + 2 ? (2_1 ? 24)_2 _1 = = 9 + 29 ? (2_1 + 4)_2 _1 = 9

a ? a ? ... ? a = b ? b ? ... ? b

•

(3_1 ? 53)3 = (52)4 ? 3 (3_1)3? (53)3 = = (52)4 ? 3 3(_1)?3 ? 53 ? 3 = = 52 ? 4 ? 3 3_3 59 = = ? 3 58 = 3_3_1 ? 59_8 = = 3_4 ? 51 = 1 = 4 ?5= 3 5 = 81

Em cada item, observe os cálculos realizados em cada etapa e identifique qual propriedade operatória de potência foi utilizada. Respostas nas Orientações para o professor.

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= 3_3_1 ? 59 _ 8 =

[Propriedade II]

= 3 ? 51 = 1 = 4 ?5= 3 5 = 81 _4

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

36 6:3 _2 NÃO ESCREVA 5. I) Resposta esperada: O erro está em escrever 3 como 3 e escrever 3² ∙ 3 6 3 NO LIVRO. 2(_2) 32 3 _2 como 3 ; (2 ) ? 3 ? 3 = 3 1. Calcule as potências. = 23 ? 2 ? 36_3 ? 3_2 = 26 ? 33 ? 3_2 = 26 ? 33+(_2) = 26 ? 31 = 26 ? 3 1 c) 2_2 e) (_3,2)² 10,24 a) 7³ 343 4 d) 105 100 000 f) _54 _625 b) 80 1

EDITORIA DE ARTE

2. Para realizar uma entrega, certa transportadora deverá enviar 15 empilhamentos de caixas cúbicas idênticas, conforme o empilhamento representado a seguir. Em cada caixa dessas há 15 unidades de um mesmo produto.

a) Represente por meio de uma potência quantas unidades do produto deverão ser entregues no total. Depois, resolva essa potência e determine a quantidade. 153. 3 375 unidades do produto. b) Cada empilhamento desses tem quantos metros de altura? 2,4 m. c) Escreva uma potência que represente o volume, em metro cúbico, de cada caixa. Depois, resolva essa potência e determine o volume. (0,8)³; 0,512 m³. d) Determine, em metros cúbicos, o volume de cada empilhamento de caixas. 7,68 m³. 3. Realize cálculos mentalmente e determine que número deve substituir cada a seguir de maneira que a igualdade seja verdadeira. 2 22 46 e) [ ] = 2 2 c) (7 )_1 = 78 –8 a) 2 = 4 4 8 8 4 d) 56 = 5 ? 5³ 3 b) (9 ? 2) = 95 ? 25 5

nos itens

4. Em cada item, utilize as propriedades estudadas e identifique no quadro a potência correspondente. 3_1

211

a) (2_1)¹0 2_10 14 b) 2 3 2¹¹ 2

618

2_10

2 9 c) [ 3 ] 2 4 d) 36 ? 3_8 ? 3³ 3

2_11

9 4

6 4

e) 39 ? 29 69

5. Na aula de Matemática, Pedro realizou alguns cálculos usando as propriedades de potências de maneira incorreta ao simplificar duas expressões numéricas. Observe, identifique esses erros e refaça os cálculos corretamente. I.

II.

54 ? 24 = 38 (5 ? 2)4+4 = = 6 _2 38 = 2 ? 3² ? 3 = 108 = 8 = = 26 ? 32(_2) = 3 6 _4 =2 ?3 = (10 _ 3)8 = = 78 108 4 4 4+4 5. II) Resposta esperada: O erro está em escrever 5 ? 2 como (5 ? 2) e escrever 8 como (10 _ 3)8; 3 4 4 4 4 5 ?2 (5 ? 2) 10 = = 8 8 8 3 3 3 36 ? 3_2 = 3 3 = 2³ ? ² ? 36 : 3 ? 3_2 = (2³)² ?

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo de potências com expoentes inteiros. 2. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de potência. No item b, explicar aos alunos que, como as caixas têm formato cúbico, suas três dimensões (comprimento, largura e altura) têm medidas iguais. No item c, relembrá-los que o volume de um cubo de aresta de medida a é dado por a3. No item d, comentar que existem pelo menos duas maneiras de resolvê-lo: multiplicar o volume obtido no item anterior por 15 (15 ? 0,512) ou determinar o comprimento, a largura e a altura de cada pilha de caixas e, depois, multiplicar esses valores (4 ? 0,8 ? 2,4). 3. Esta atividade trabalha as propriedades de potências. Para complementar, questionar os alunos qual é a propriedade utilizada em cada item. Neste caso, a: propriedade II, b: propriedade III, c: propriedade V, d: propriedade I, e: propriedade IV. 4. Esta atividade trabalha as propriedades de potências. 5. Esta atividade trabalha a identificação de aplicações incorretas das propriedades de potências. Tem como um dos objetivos verificar se os alunos são capazes de identificar o uso incorreto das propriedades de potência, justificando o equívoco.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES 6. Esta atividade trabalha com unidades de medida de armazenamento de dados em computadores, que podem ser expressas ou calculadas com o auxílio de potências. Além disso, propõe a elaboração de problema envolvendo números reais na forma de potência. Caso os alunos tenham dificuldades para resolver o item b, sugerir que escrevam as medidas apresentadas utilizando a mesma unidade de medida. Ao final do item c, se julgar conveniente, pedir aos alunos que compartilhem entre si os problemas elaborados, visto que estes problemas podem apresentar diferentes estruturas. A seguir, é apresentado um exemplo de problema que pode ser elaborado pelos alunos. • A capacidade de armazenamento de um DVD é de 17 GB. Quantos desses DVDs são necessários, no mínimo, para armazenar 1 TB de arquivos? Resposta: 61 DVDs.

6. Você já utilizou algum dispositivo de armazenamento de dados, como pendrive, DVD ou cartão de memória? Com eles é possível armazenar diferentes tipos de arquivos: fotografias, músicas, documentos etc. A capacidade desses dispositivos é indicada pela unidade de medida baite ou um de seus múltiplos. Observe. Quantidade equivalente em baites

Unidade de medida de armazenamento Quilobaite (kB)

1 kB = 1 024 B

Megabaite (MB)

1 MB = 1 024 kB = = 1 048 576 B

Gigabaite (GB)

1 GB = 1 024 MB = = 1 073 741 824 B

Terabaite (TB)

1 TB = 1 024 GB = = 1 099 511 627 776 B

MA TKU

B24

99/

SHU

TTE

RST

OCK

.CO

Pendrive.

Note que: 1 024 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 210. 10 fatores iguais a 2 Para realizar conversões de medidas entre essas unidades, podemos utilizar a igualdade 1 024 = 210 e estabelecer as relações indicadas no esquema a seguir:

? 2_10 B

? 2_10 kB

? 2_10 MB

? 2_10 GB

TB ?2

Se quisermos converter 3 MB para baites, por exemplo, realizamos os seguintes cálculos:

3 MB = 3 ? 210 ? 210 B = 3 ? 210+10 B = 3 ? 220 B 1 MB = 210 kB

1 kB = 210 B

a) Converta: • 5 kB em baites. 5 ? 210 B. • 7 TB em quilobaites. 7 ? 2030 kB. • 1 MB em gigabaites. 2_10 GB. • 3 B em terabaites. 3 ? 2_40 TB. • 1,5 GB em megabaites. 1,5 ? 210 MB. • 2 MB em terabaites. 2_19 TB. b) É possível armazenar 2¹¹ MB de arquivos em um pendrive com capacidade de armazenamento de 8 GB? Justifique. Resposta esperada: Sim, pois 8 GB = 2¹³ MB e 2¹³ . 2¹¹. c) Pesquise em algum dispositivo de armazenamento de dados qual sua capacidade de armazenamento e registre essa medida. Depois, elabore um problema com base nessas informações e troque-o com um colega para que ele resolva-o, enquanto você resolve àquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. 30

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Notação científica

Notação científica Iniciar este conteúdo conversando com os alunos sobre a importância da notação científica. Espera-se que eles reconheçam que esta notação tem como objetivo reduzir a escrita de alguns números, utilizando potências de base 10. Para complementar esta conversa, leia para eles o trecho a seguir.

Considere as seguintes situações.

ILUSTRAÇÕES: ARTUR FUJITA

Medir o tamanho de um vírus no laboratório.

Calcular a distância entre planetas.

Determinar o tempo de existência de um fóssil.

Em situações como essas, devido à natureza dos números obtidos nas medições ou cálculos, que podem conter muitos algarismos, pode ser utilizada a chamada notação científica. Na notação científica, os números são representados da seguinte maneira: a ? 10n Em que a é um número racional, com 1 < a , 10, e n é um número inteiro. Você já ouviu falar em Paleontologia? Essa ciência se dedica ao estudo das formas de vida existentes no passado, a partir de seus fósseis, contemplando todos os seus aspectos, como a reconstituição do desenvolvimento e sua relação com o meio ambiente ao longo do tempo geológico. Para conhecer a idade de um fóssil, por exemplo, os paleontólogos costumam determinar a idade da camada sedimentar onde ele está preservado. Apesar de existirem fósseis recentes, a maior parte são bem antigos, chegando a centenas de milhões de anos de idade. Nesses casos, podemos indicar essa idade utilizando a notação científica. Fontes dos dados: MUSEU NACIONAL DE HISTÓRIA NATURAL. Exposição plumas em dinossáurios! Afinal nem todos se extinguiram. Disponível em: <http://paleoviva.fc.ul.pt/pdfdivulgpaleo/Guiaprofs01.pdf>. SEARA DA CIÊNCIA. A Origem da Espécie Humana. Disponível em: <www.searadaciencia.ufc.br/especiais/biologia/ origemdohomo/origemdohomo02.htm>. Acessos em: 6 out. 2018.

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site e leiam o texto para obter mais informações sobre o surgimento da Paleontologia. • INSTITUTO DE BIOCIÊNCIAS. Fósseis e o nascimento de Paleontologia: Nicho-

las Steno (1/2). Disponível em: <http://livro.pro/b87dqy>. Acesso em: 30 set. 2018.

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[...] A notação científica usa potências de dez para representar números muito grandes e muito pequenos. [...] A notação científica é muito mais fácil de entender, e mais compacta para escrever, do que uma longa fileira de dígitos. O primeiro uso da notação científica não é conhecido, mas já era corrente em 1863, quando uma enciclopédia incluiu o seguinte texto: “uma força corrente igual a 10.000.000.000 vezes o valor dado pelo quociente de 1 metro por 1 segundo de tempo, ou seja, 1010 metros/segundos”. [...] ROONEY, A. A História da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. Tradução: Mario Fecchio. São Paulo: M.Books do Brasil, 2012. p. 34.

Ao explorar o conceito de notação científica, relembrar os alunos da potenciação de base 10 com expoente inteiro. Quando o expoente é um número inteiro positivo, a quantidade de zeros do resultado é igual ao número do expoente, por exemplo, 103 = = 1 000. Já quando o expoente é um número inteiro negativo, a quantidade de zeros antes do algarismo 1 corresponde ao módulo do expoente, por exemplo, 10_3 = 0,001.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Ao apresentar o cálculo da distância entre a Terra e a estrela Proxima Centauri, em ano-luz, mostrar aos alunos que existe uma proporção que permite realizar esse cálculo. Distância (ano-luz)

Distância (km)

9,46 ? 1012

4,02 ? 10

Observe, por exemplo, como pode ser expressa em notação científica a idade do fóssil de dinossauro apresentado a seguir. 300 milhões de anos = 300 000 000 anos = 3 ? 108 anos

1 9,46 ? 1012 = x 4,02 ? 1013 9,46 ? 1012 ? x = 1 ? 4,02 ? ? 1013 4,02 ? 1013 x= 9,46 ? 1012 Nesse cálculo, destacar para os alunos o uso da propriedade II de potências. am 1013 = am_n H = n a 1012 =1013_12

Fóssil de Mesossauro, encontrado na Bacia do Paraná (Brasil), que viveu no Período Permiano, há cerca de 300 milhões de anos.

FABIO COLOMBINI

Outra área do conhecimento que utiliza notação científica é a Astronomia, ao expressar medidas como distância entre astros, tamanho de planetas ou tempo de vida de estrelas. A unidade de medida ano-luz, que corresponde à distância que a luz percorre no vácuo em um ano, equivale aproximadamente a 9,46 ? 1012 km. Observe, por exemplo, como podemos obter em anos-luz a distância aproximada entre a Terra e a estrela Proxima Centauri, a mais próxima do nosso planeta após o Sol, a cerca de 4,02 ? 10¹³ km. distância aproximada entre a Terra e a estrela Proxima Centauri, em quilômetros

4,02 ? 1013 4,02 1013 = 1 0,42 ? 1013_12 = 0,42 ? 10 = 4,2, ou seja, 4,2 anos-luz . ? 12 9,46 ? 10 9,46 1012 medida aproximada correspondente a 1 ano-luz, em quilômetros

A notação científica também é utilizada para expressar medidas relacionadas a elementos microscópicos, como o tamanho de células, vírus ou bactérias. A seguir, está apresentada uma ampliação do vírus Ebola, cujo comprimento é de 0,00000097 m. Observe como podemos expressar essa medida utilizando a notação científica. 9,7 m = 9,7 ? 10_7 m 10 000 000

Vírus Ebola causa febre hemorrágica e é um dos mais mortais que existe.

NIXXPHOTOGRAPHY/ISTOCK / GETTY IMAGES

0,00000097 m =

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em cada item, escreva os números em notação científica. a) 600 000 6 ? 105 b) 0,000004 4 ? 10_6 c) 70 100 000 7,01 ? 107 d) 5 933 000 000 5,933 ? 109 e) 0,0028 2,8 ? 10_3 f) 0,0000000603 6,03 ? 10_8 2. Leia as informações a seguir sobre o Sol. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

[...]

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

O Sol é uma enorme bola de gás quente e luminosa. Em seu núcleo, hidrogênio é convertido em hélio, liberando a energia sentida na Terra como calor e luz. O Sol existe nessa forma há cerca de 4,6 bilhões de anos e provavelmente continuará assim por mais 5 bilhões.

c) Qual parte do Sol é mais quente: a superfície ou o núcleo? Núcleo. d) Utilizando notação científica, escreva: 4,6 ? 109 anos. • o tempo de existência do Sol, em anos. • o diâmetro do Sol, em quilômetros. 1,4 ? 106 km. • a distância média da Terra ao Sol, em quilômetros. 1,496 ? 108 km. • a temperatura do núcleo do Sol, em graus Celsius. 1,5 ? 107 °C.

Dados do Sol Diâmetro 1,4 milhão km Distância média da Terra 149,6 milhões km Período de rotação (equatorial) 25 dias terrestres Temperatura de superfície 5 500 °C Temperatura do núcleo 15 milhões °C [...]

USP. Centro de Divulgação da Astronomia. O Sol. Disponível em: <www.cdcc.usp.br/cda/aprendendobasico/sistema-solar/sol.html>. Acesso em: 30 set. 2018.

3. A supergigante Antares é uma estrela vermelha e a mais brilhante da constelação de Escorpião. Com cerca de 980 000 000 km de diâmetro, é centena de vezes maior que o Sol, cujo diâmetro mede 1 400 000 km.

JOHN CHUMACK/SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES

AtividadeS

um com um período diferente. Ele é o responsável pelo suprimento de energia da maioria dos planetas. [...] O Sol só é uma estrela por causa da grande quantidade de massa que ele tem, 332 959 vezes a massa da Terra. Ele é constituído, principalmente dos gases hidrogênio e hélio, os dois gases mais leves que temos. [...]

Resoluções a partir da p. 257

Antares, a estrela Alfa da constelação de Escorpião. Novo México (EUA). Fotografia de 2007.

a) Escreva, em quilômetros, os diâmetros das duas estrelas citadas utilizando notação 8 científica. Antares: 9,86 ? 10 km; Sol: 1,4 ? 10 km. b) Faça os cálculos e indique qual das alterRIDPATH, I. Astronomia. 4. ed. Rio de Janeiro: nativas a seguir está correta. Zahar, 2014. p. 84-85. O diâmetro de Antares corresponde a cerca de: IV. I. 7 vezes o do Sol. II. 8 vezes o do Sol. III. 80 vezes o do Sol. IV. 700 vezes o do Sol. c) Sabendo que essa supergigante está APHELLEON//SHUTTERSTOCK.COM a cerca de 500 anos-luz da Terra, a a) Segundo o texto, como o Sol é definido? quantos quilômetros equivale essa distância? Escreva essa medida em notação b) Qual é a fonte de energia do Sol sentida científica. 4,73 ? 1015 km. na Terra como calor e luz? 2. a) Resposta esperada: O Sol é definido como uma enorme bola de gás quente e luminosa. b) O hidrogênio, que é convertido em hélio no núcleo do Sol. 33

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a escrita de um número em notação científica. Antes de resolver a atividade, questionar os alunos em quais itens o

expoente da potência de base 10 será positivo e em quais será negativo. 2. Esta atividade trabalha a escrita de diferentes medidas relacionadas à Astronomia em notação científica. Para complementar as informações so-

3. Esta atividade trabalha a escrita de diferentes medidas relacionadas à Astronomia em notação científica. No item c, comentar que na página anterior foi apresentada a conversão de uma medida em quilômetro para ano-luz e que, neste item, deve-se converter uma medida em ano-luz para quilômetro. Uma maneira de fazer esta conversão é estabelecer a seguinte relação: Distância (ano-luz)

Distância (km)

9,46 ? 1012

500

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site e assistam ao vídeo para obter mais informações sobre a vida das estrelas. • ABC DA Astronomia – Estrelas. Produzido por: TV Escola, 2017. Disponível em: <http:// livro.pro/6fzhs8>. Acesso em: 30 set. 2018.

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bre o Sol, leia para os alunos o trecho a seguir. [...] O Sol é a estrela mais próxima de nós. Todos os planetas do sistema solar giram ao seu redor e cada

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AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem estes sites para mais informações sobre o fóssil Rhacolepis buccalis e a região em que foi encontrado. • JULIÃO, A. Coração de pedra. Pesquisa Fapesp. Disponível em: <http://livro.pro/ tffdd5>. Acesso em: 30 set. 2018.

0,0000001 m Orthopoxvirus, vírus da varíola, doença já erradicada no mundo.

b) 3 mm.

cm 2

CNRI/SPL/SCIENCE PHOTO LIBRARY/GETTY IMAGES

SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES

4. Em geral, medidas relacionadas aos microrgaNo item a, por exemplo, a escala indica nismos podem ser expressas pela unidade de que cada centímetro na fotografia corresponde medida micrômetro (mm), que equivale a 10_6 m. a 0,000001 m do microrganismo. As fotografias a seguir são ampliações de imagens de microrganismos e contêm a escala indicada. Junte-se a um colega, meçam o comprimento indicado de cada microrganismo e expressem, em micrômetros, a medida obtida. 0,15 mm. c) a) 0,2 mm.

SCIENCE PHOTO LIBRARY/GETTY IMAGES

ATIVIDADES 4. Esta atividade trabalha a escrita de medida relacionada a micro-organismos em notação científica. Além disso, propõe a elaboração de problemas envolvendo números expressos em notação científica. Auxiliar os alunos na resolução desta atividade, uma vez que envolve o uso de três unidades de medida. Em cada item, orientá-los a primeiramente medir o comprimento do micro-organismo e, depois, converter esta medida para metro. Por fim, eles devem se atentar à escala indicada e converter a medida calculada em metro para micrômetro, lembrando que 1 mm = 10_6 m. A seguir, é apresentado um exemplo de problema que pode ser elaborado pelos alunos. • Um centímetro equivale a quantos micrômetros? Escreva em notação científica. Depois, converta as medidas obtidas em cada item desta atividade de micrômetros para centímetros. Respostas:104 mm; a: 2 ? 10_5 cm; b: 3 ? 10_4 cm; c: 1,5 ? 10_5 cm. 5. Esta atividade trabalha a escrita da idade de um fóssil em notação científica. Depois da elaboração do cartaz, propor aos alunos que escrevam um problema relacionado às informações desse cartaz e ao cálculo envolvendo notação científica. Eles devem então trocar entre si os problemas elaborados para que sejam resolvidos. Ao final, juntos, os alunos devem conferir as respostas.

3 cm

0,00000005 m

Lyssavirus, vírus da raiva.

• Agora, elabore um problema com base nessas informações e troque-o com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. 0,0000015 m

Bactéria Escherichia coli, que pode ser encontrada no intestino grosso dos vertebrados.

5. Leia as informações a seguir. Cientistas encontram primeiro coração fossilizado; e ele é brasileiro […] O primeiro coração fóssil foi encontrado em rochas da bacia do Araripe, sítio geológico localizado no Ceará . […] Completamente preservado, o coração pré-histórico é do peixe Rhacolepis buccalis, que existiu entre 113 e 119 milhões de anos atrás. [...] CYMBALUK, F. Cientistas encontram primeiro coração fossilizado; e ele é brasileiro. UOL. Disponível em: <https:// noticias.uol.com.br/ciencia/ultimas-noticias/redacao/2016/04/29/cientistas-encontram-primeiro-coracao-fossilizado-eele-e-brasileiro.htm>. Acesso em: 6 out. 2018. SAMUEL MACEDO/FOLHAPRESS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Vista da Chapada do Araripe (Ceará), região onde foi encontrado o fóssil do peixe Rhacolepis buccalis contendo órgão em ótimo estado de preservação. Fotografia de 2017.

Escreva a idade do fóssil apresentado na reportagem utilizando notação científica. Depois, pesquise mais informações sobre esse fóssil e a região em que foi encontrado, e elabore um cartaz sobre esse tema. Idade do fóssil: entre 1,13 ∙ 108 anos e 1,19 ∙ 108 anos. Resposta pessoal. 34

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• KELLNER, A. Bacia do Ara-

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ripe: Uma viagem ao passado. Ciência Hoje. Disponível em: <http://livro.pro/n472hj>. Acesso em: 30 set. 2018.

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Raízes Em diversos monumentos e construções públicas é possível verificar uma integração entre arte e arquitetura. Como exemplo, podemos destacar revestimentos de superfícies constituídos de azulejos que utilizam elementos figurativos. Observe um exemplo.

J. L. BULCÃO/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS RAÍZES Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF09MA03 e EF09MA04. Identificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre radiciação, uma vez que em Volumes anteriores foi abordada a radiciação de números racionais. n

Na relação a = b, se e somente se bn = a, relembrar os alunos que a expressão “se e somente se”, nesse caso, significa que se tivermos n a = b então temos que bn = a e se tivermos bn = a enn tão temos que a = b.

Igrejinha Nossa Senhora de Fátima, em Brasília (DF). Fotografia de 2011.

Na construção acima, foram utilizadas peças de azulejo com formato quadrado de 225 cm2 de área cada uma. Quantos centímetros de lado tem cada peça de azulejo dessas? Para obter a medida do lado dessa peça de azulejo, em centímetros, temos de determinar um número positivo n que elevado ao quadrado resulta em 225, ou seja, calcular a raiz quadrada de 225. Observe algumas tentativas. n

n²

12² = 12 ? 12 = 144

13² = 13 ? 13 = 169

14² = 14 ? 14 = 196

15² = 15 ? 15 = 225

Com base nessas tentativas, temos que: índice 2

radical

225 = 15

radicando

Lê-se: a raiz quadrada de 225 é igual a 15.

raiz

Para representar uma raiz quadrada, costumamos não indicar o índice. Nesse exemplo, podemos indicar 225 = 15.

Assim, cada peça de azulejo dessas tem 15 cm de lado. Sendo a e b números reais não negativos e n um número natural maior do que 1, dizemos que n a = b se e somente se bn = a.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Raiz de um número negativo Antes de apresentar o conteúdo desta página, caso julgar necessário, retomar o trabalho com a Unidade 2 do Volume 7 desta coleção, em que foi explorado o estudo do sinal nos números inteiros. Ao explorar o 1o caso, explicar que o produto de um número real negativo e um positivo também é um número real negativo. Evidenciar que dado um número real p, diferente de zero, seu quadrado (p2) é sempre positivo, uma vez que p2 = p ? p, em que ambos os fatores têm o mesmo sinal. É importante chamar a atenção dos alunos para o fato de que, ao multiplicar uma quantidade par de fatores com o mesmo sinal, o resultado será positivo, pois podemos associá-los dois a dois, obtendo produtos positivos. Utilizando a mesma estratégia, ao multiplicar uma quantidade ímpar de fatores negativos, ao associá-los dois a dois, um fator negativo ficará sobrando, e, como o produto de um número real positivo e um negativo é um número real negativo, o resultado final também será negativo. Destacar que as justificativas apresentadas nos exemplos advém da definição estudada na página anterior: bn = a então n a = b, sendo a e b números reais não negativos e n um número natural maior do que 1.

Observe alguns exemplos. 100 = 10, pois 102 = 10 ? 10 = 100.

•

4,41 = 2,1; pois (2,1)2 = 2,1 ? 2,1 = 4,41. 3 3 2 3 3 9 9 = , pois [ ] = ? = . • 4 4 4 4 16 16

•

• 3 8 = 2, pois 23 = 2 ? 2 ? 2 = 8. • 4 625 = 5, pois 54 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 625. • 5 1 = 1, pois 15 = 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 = 1.

Raiz de um número negativo Você se lembra do estudo do sinal do produto de números positivos ou negativos? Observe o esquema.

1o caso

Número positivo ? Número negativo

O produto de um número real positivo e um negativo é um número real: negativo.

2o caso

Número positivo ?

Número positivo

O produto de dois números reais positivos é um número real: positivo.

3o caso

Número negativo ? Número negativo O produto de dois números reais negativos é um número real: positivo.

Note que o produto de dois números reais é positivo quando estes são ambos positivos ou ambos negativos. Com base nessa observação, vamos estudar a existência da raiz quadrada de –25 no conjunto dos números reais. Nesse caso, temos de determinar um número real p, diferente de zero, que elevado ao quadrado seja igual a –25. Porém, isso é impossível, pois p² = p ? p é sempre um número real positivo, como visto no esquema apresentado. Assim, dizemos que não se define _25 no conjunto dos números reais. Podemos calcular a raiz de um número real negativo quando o índice dessa raiz for um número natural ímpar maior do que 1. Observe alguns exemplos. _64 = _4, pois (_4)3 = (_4) ? (_4) ? (_4) = _64. • 3 _0,125 = _0,5, pois (_0,5)3 = (_0,5) ? (_0,5) ? (_0,5) = _0,125. •

• 5_

1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 = _ , pois [_ ] = [_ ] ? [_ ] ? [_ ] ? [_ ] ? [_ ] = _ . 2 2 2 2 2 2 2 32 32 Podemos afirmar que não se define, no conjunto dos números reais, a raiz quártica de _16? Explique.

Resposta esperada: Sim, pois não existe um número real p tal que p4 seja igual a _16.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potências com expoente fracionário Podemos estabelecer uma relação entre uma potência com expoente fracionário e uma raiz. Observe o exemplo. 5

Para representar a potência 9 2 como uma raiz, consideramos x = 9 2 , com x . 0. Assim, podemos realizar os seguintes cálculos: 5

x2 = x ? x = 9 2 ? 9 2 = 9 2 n n Como se b = a, então a = b, segue que: x2 = 95 H x = 5 2

Logo, 9 =

5 2

= 9 2 = 95

95 .

a potência 4 2 como uma raiz 2 ( 43 ), e, em seguida, calcular o valor desejado, que nesse caso é 8.

Sendo a um número real positivo, m e n números naturais tais que m . 0 e n . 1, tem-se que: m

an =

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo da raiz quadrada relacionado ao estudo da área de uma figura quadrada. Retomar com os alunos estratégias para obter a raiz quadrada de um número, como por tentativa e decomposição em fatores primos. Se julgar conveniente, resolver o item a junto com eles por meio da decomposição em fatores primos:

As propriedades de potências estudadas anteriormente também são válidas no caso de expoentes fracionários. Exemplos 2

• 67 =

• 54 =

8 4

•

38 = 3 3

10 = 10 2

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Determine a medida do lado de cada azulejo quadrado representado a seguir. 20 cm. a)

29 cm.

400 200 100 50 25 5 1

Área: 841 cm².

Área: 400 cm².

25 cm.

19 cm.

Área: 169 cm².

7,5 cm. Área: 56,25 cm².

KSU GANZ/SHUTTERSTOCK.COM

13 cm.

2 2 2 2 5 5

22 22 52

400 = 22 ? 22 ? 52 = = (2 ? 2 ? 5)2 = 202

Área: 361 cm². Área: 625 cm².

Potências com expoente fracionário Ao escrevermos uma potência na forma de radical ou um radical na forma de uma potência, não estamos alterando o resultado, apenas estamos escrevendo de uma maneira diferente, conforme for mais conveniente. Por exemplo, podemos reescrever

Decompondo 400 em fatores primos, obtemos 202 = 400, logo 400 = 20.

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ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha o cálculo da raiz cúbica relacionado ao estudo do volume de uma figura cúbica. Discutir sobre as estratégias utilizadas pelos alunos para resolver esta atividade. Se julgar conveniente, resolver o item a junto com eles por meio da decomposição em fatores primos, como apresentado a seguir. 2 2 2 2 2 2 2 2 2

V = a ? a ? a = a³ Calcule a medida da aresta de cada figura de cubo representada a seguir, cujo volume está indicado.

8 cm. Volume: 512 cm³.

9 cm.

Volume: 729 cm³.

15 cm. d)

11 cm.

512 = 23 ? 23 ? 23 = = (2 ? 2 ? 2)3 = 83 Decompondo 512 em fatores primos, obtemos 8³ = 512, 3 logo 512 = 8. 3. Esta atividade trabalha o cálculo da raiz quadrada aproximada de um número. 4. Esta atividade trabalha a análise da existência da raiz de um número negativo no conjunto dos números reais. Conversar sobre quais estratégias os alunos utilizaram para identificar os itens em que é possível obter o valor da raiz no conjunto dos números reais. Uma estratégia é utilizar a definição apresentada na página anterior, em que, de maneira geral, podemos calcular a raiz de um número real negativo quando o índice dessa raiz for um número natural ímpar maior do que 1. 5. Esta atividade trabalha a relação entre potências com expoente fracionário e raízes. 6. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo potências com expoente fracionário e a relação do resultado com raízes.

Volume: 3 375 cm³.

Volume: 1 331 cm³.

3. Observe como Douglas fez para obter a raiz quadrada aproximada de 10 com uma casa decimal.

Primeiro, determino entre quais números quadrados perfeitos está compreendido o número 10.

Em seguida, realizo algumas tentativas com números de uma casa decimal até obter aquele que elevado ao quadrado é mais próximo de 10. Neste caso, é 3,2.

10 ,

42 = 16 32 = 9 (3,1)² = 9,61 (3,2)² = 10,24 Agora, para cada item a seguir, determine a raiz quadrada aproximada com uma casa decimal. a) 11 3,3 b) 83 9,1 c) 125 11,2 d) 20 4,5 4. Sem efetuar cálculos, identifique quais das raízes indicadas a seguir podem ser calculadas no conjunto dos números reais. Em seguida, calcule essas raízes. I. Raiz quarta de _4. II: _6; III: _1 e VI: _2. II. Raiz cúbica de _216. III. Raiz sétima de _1. IV. Raiz quadrada de _81. V. Raiz sexta de _60. VI. Raiz quinta de _32. 5. Identifique qual das potências do quadro a seguir corresponde à raiz apresentada em cada item. 1

310

32 3 5

3 33

33 3 2 4

35 3 4

6. Qual dos itens corresponde, em centímetros quadrados, à área da figura do retângulo representado a seguir? a. 7

26 cm

22 cm

MARCIANO PALÁCIO

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

2. Você se lembra como calcular o volume da figura de um cubo cuja aresta mede a? Observe. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) b) c)

256 128 7 16

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades de raízes Assim como estudamos na potenciação, também há na radiciação propriedades operatórias. Observe algumas delas. Propriedade I: Sendo a um número real positivo e n um número natural maior do que 1, temos que: n

an = a

Observe a demonstração dessa propriedade. n n

an = a n = a1 = a

Caso n seja um número ímpar e maior do que 1, essa propriedade também é válida para quando a é um número real negativo.

Exemplo 8

Propriedades de raízes Na propriedade II, lembrar os alunos de que quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à inicial. Na propriedade III, destacar o uso das propriedades de potências (III e IV) apresentadas anteriormente nesta Unidade. • (a ? b)m = am ? bm H 1

5 =5

Propriedade II: Sendo a um número real positivo e m, n e p números naturais com m 5 0,

am =

n?p

am ? p

a = m

n:p

m:p

•

am = a

m?p n?p

n?p

am ? p

•

am = a

•

210 =

m n

m:p n:p

72 =

3?4

72 ? 4 =

4:2

210 : 2 =

n:p

am : p

temos que:

(_2)5 = (_2) 5 = (_2)1 = = _2

• Propriedade II 1

a?b=

a = b

n n

1 n

1 2 ? 2

a) 91 = 9 2 = 9 2

1?2 2?2

2?2

91 ? 2 = 92 3:3

1 n

a ? b = (a ? b) = a ? b =

•

a an a = [ ]n = 1 = b b bn

9:3

• Propriedade III

83 : 3 = 81 1

a) 5 ? 16 = (5 ? 16) 4 =

Exemplos •

6 ? 11 =

b) 83 = 8 9 = 89 : 3 =

Observe as demonstrações. •

Propriedade III: Sendo a e b números reais positivos e n um número natural maior do que 1,

Apresentar aos alunos os seguintes exemplos numéricos das propriedades trabalhadas nesta página. • Propriedade I

Exemplos •

1 n

Observe as demonstrações. m n

1 a m am a • [ ] = m H [ ]n =

n . 1 e p 5 0, temos que: n

H (a ? b) n = a n ? b n

•

4 = 3

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= 5 4 ? 16 4 = 5 ? 16

17 1 1 = [ ]7 = 1 = 2 2 77

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Na propriedade IV, destacar o uso da propriedade de potência (V) apresentada anteriormente: (a ) = a

m?n

m n

1 1 ? n p

1 p

Propriedade IV: Sendo a um número real positivo e n e p números naturais maiores do que 1, temos que: n p

H [a ] =

4?2

118 + 8 ?

10 : 2

1 1 ? p

a p = [a p ] n = a n

= an ? p = n?p a

9 = 3 ? 6 9 = 18 9 Agora, observe alguns cálculos com raízes em que foram utilizadas essas propriedades. 3 6

•

= = = = = =

118 + 5 8 ? 10 24 = 4?2 118 + 5 8 ? 10 : 2 24 : 2 = 8 118 + 5 8 ? 5 22 = 11 + 5 8 ? 22 = 11 + 5 32 = 11 + 2 = 13

•

24:2 =

[Propriedades IV e II] 8

= 118 + 8 ? 22 = 5

= 11 + 8 ? 22 = [Propriedades I e III]

2 ? 3 = 6 12

2?3

[Propriedade II] 6

= 6

23 ? 3 = 6 12 23 ? 3 6

[Propriedade III]

5 5

4. Observe o que Bianca fez para escrever 3 6 de outra maneira.

(_21)7 –21 _1 –1

2. Em cada item, escreva a expressão por meio de um único radical. 4 900 ou 30 9 14 9 9 8 6 9 c) 4 ? 10 a) 2 ? 9 7 10 4 6 360 5 4 4 d) 6 5 ? 2 ? 3 3 5 6 b) 2 10 3 ? 10 3 e) 4 4 ? 7 8 112 3. Qual das fichas a seguir não possui o mesmo resultado que as demais fichas? I. I.

8?3 = 12

[Propriedade III]

64 2 16 4 49 7

21 ? 3 ? 3

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Utilize as propriedades e calcule. a) 8 998 99 d) 4 3 ? 4 27 3

II.

2? 63 = 6 12 2?3 1?3 2 ? 63 = = 6 12 6 23 ? 6 3 = = 6 12 6 3 2 ?3 = 6 = 12 =6 8?3= 12 = 62

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

= 11 + 32 = = 11 + 2 = = 13

Exemplo

64 = 2 ? 2 64 = 4 64 Em cada exemplo dos cálculos com raízes, questionar quais propriedades operatórias de raízes foram utilizadas em cada etapa. 118 + 5 8 ? 10 24 =

1 1

n p

=a Para complementar, apresentar o seguinte exemplo numérico:

n?p

Observe a demonstração desta propriedade.

1 n

III.

IV.

Como 3 = 32 , utilizo a n propriedade a ? b = n a ? n b e realizo cálculos.

MARCIANO PALÁCIO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3 6 = 32 ? 6 = 32 ? 6 = 54 Escreva cada item indicado a seguir realizando os mesmos procedimentos de Bianca. Em seguida, escreva as raízes obtidas em ordem crescente. 40 • 4 5

80 • 7 2 98 • 51 51 • 2 10 40 , 51 , 80 , 98

= 2 ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo as propriedades de raízes. É importante que os alunos justifiquem seus cálculos por meio das propriedades. 2. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo as propriedades de raízes, inclusive

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correspondentes a potências com expoente fracionário. É importante que os alunos justifiquem seus cálculos por meio das propriedades. 3. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo as propriedades de raízes, inclusive correspondentes a potências com expoente fracionário.

4. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo as propriedades de raízes.

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5. a) Propriedades n a ? b = n a ? n b e n an = a. 5. Em cálculos envolvendo radicais podemos, em algumas ocasiões, realizar simplificações. Observe, por exemplo, as etapas que podemos realizar para simplificar 3 875 .

Fatoramos o radicando. 875 5 175 5

35 5 7 7 1 Assim, 875 = 5 ? 5 ? 5 ? 7. Então, segue que: 3 875 = 3 5 ? 5 ? 5 ? 7 = 3 53 ? 7

Utilizamos propriedades de raízes e calculamos:

7. Em algumas situações, temos de realizar cálculos envolvendo frações cujo denominador é uma raiz. Nesses casos, podemos utilizar um procedimento chamado racionalização de denominador, que consiste em obter uma fração equivalente sem radical no denominador. Observe como Aliara e Leonardo fizeram para racionalizar o denominador da fração 5 . 2 7 • Aliara. 5 2 7 =

4 162 3 2

128 2 4

•

3 2 058 7 6

•

6. Observe a expressão numérica que a professora de Matemática de uma turma de 9º- ano propôs e a resposta obtida por quatro alunos, sendo que apenas um deles acertou.

Ana: 4 2 476

EDITORIA DE ARTE

450 _ 72 +

Beto:

5 2 7 =

540 6 15

Cláudio: 16 2 Diana:

280

• Qual aluno acertou a resposta dessa expressão numérica? Cláudio.

5 7 2 72

5 7 2?7

• Leonardo.

•

53 ? 7 = 3 53 ? 3 7 = 5 3 7 Portanto, 3 875 = 5 3 7

•

2 7

5 7

a) Na 2a etapa do exemplo apresentado, quais propriedades de raízes foram utilizadas? b) Simplifique as raízes como realizado no exemplo.

2 7

2 7 2 7

10 7 28

10 7 4 7

10 7 4?7

5 7 14

a) Os cálculos realizados por Aliara e Leonardo estão corretos?Sim. b) Que estratégia eles utilizaram, inicialmente, para realizar a racionalização do denominador da fração 5 ? 2 7 c) Racionalize os denominadores das frações 7. b) Resposta esperada: a seguir. Multiplicaram a fração inicial 1 8 por outra cujo numerador e • 8 8 denominador fossem iguais, de modo que o produto 9 9 5 • obtido no denominador não 2 5 10 tivesse radical. 4 2 6 • 3 6 9 •

7 21 3 3

5. Esta atividade trabalha a simplificação de raízes com o auxílio das propriedades de raízes. Relembrar os alunos que na fatoração completa de um número, o reescrevemos como o produto de fatores primos. Nesse sentido, como apresentado no exemplo, realizamos sucessivas divisões por números primos, até obtermos quociente igual a 1. Comentar que a fatoração completa do radicando tem como objetivo reescrever os fatores utilizando potências cujos expoentes sejam iguais ao índice da raiz. No item b, auxiliar os alunos nas simplificações. 6. Esta atividade trabalha cálculos com raízes por meio da simplificação. Comentar que uma estratégia para resolver a expressão numérica é primeiramente fatorar o radicando, como apresentado na atividade anterior. 7. Esta atividade trabalha o cálculo envolvendo a racionalização dos denominadores de frações. Ao explorar as estratégias de racionalização do denominador, sugerir aos alunos que realizem algumas tentativas de cálculos envolvendo raízes e digam qual eles consideram mais fácil de calcular, 2 , por exemplo, 2 ou 2 2 considerando 2 = 1,41. É importante chamar a atenção dos alunos que, na estratégia de Aliara,

7 7

= 1 e na estra-

7 tégia de Leonardo, 2 = 1. 2 7 41

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS INTEGRANDO COM LÍNGUA PORTUGUESA Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 1, à competência específica 2 de Matemática e à habilidade EF09MA18 da BNCC, uma vez que o tema sobre o número googol valoriza os conhecimentos historicamente construídos no mundo digital e os alunos são levados a desenvolver o raciocínio lógico e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos. Comentar que a palavra “bytes”, citada no texto, é o mesmo que “baites”. Para a exploração do texto, uma sugestão é pedir aos alunos que façam uma leitura individual e, depois, discutam com o colega sobre o que compreenderam. Após este primeiro momento, promover uma roda de conversa com todos os alunos, propondo a eles os seguintes questionamentos. • O que mais chamou a atenção de vocês no texto? • Vocês já conheciam o número googol? E o número googolplex? • Vocês acharam que o título do texto faz sentido, isto é, o número googol é realmente muito grande? • O que vocês acharam de atribuir um nome para um número tão grande? • Vocês conhecem na Matemática outros números famosos? Em seguida, propor que escrevam o número googol com algarismos, isto é, o número 1 seguido de 100 zeros. Nesse momento, enfatizar a importância da notação científica.

integrando com língua portuguesa

Googol: um número “muito grande” Leia o texto a seguir com atenção. Resposta da questão 3 da página ao lado. Uma resposta possível: 100 000 000 000 ? 1 000 000 000 ? 1080 = 1011 ? 109 ? 1080 = 1011+9+80 = 10100. 1 googol 100 bilhões de bilhões quantidade de [...] átomos no universo Por volta de 1920, o matemático norte-americano Edward Kasner (1878-1955) estava buscando um nome para um número muito grande – 10100, ou seja, 1 seguido de 100 zeros – que despertasse a atenção das crianças. O sobrinho Milton, de 9 anos, propôs chamar “googol” e esse nome foi popularizado por Kasner em seu livro “Matemática e imaginação”. O googol é um número enorme. Para dar uma ideia, estima-se que o número de átomos em todo o universo observável seja 1080, quer dizer, 1 seguido de “apenas” 80 zeros. O googol é 100 bilhões de bilhões de vezes maior! Mas o pequeno Milton sabia bem que há números ainda maiores, e até propôs um nome para um deles: “googolplex” é 10googol, ou seja, 1 seguido de um googol de zeros. […] Muitos anos depois, em 1997, os criadores de um novo site de buscas decidiram chamar seu produto “Googol”, para dizer que ele seria capaz de processar enormes quantidades de informação. Só que alguém se enganou na hora de escrever e acabou ficando “Google”. Aliás, é um exagero: mesmo hoje em dia, a quantidade total de informação armazenada na internet não alcança 1023 bytes – cem trilhões de gigabytes –, o que não chega nem perto de um googol. Mesmo assim, a sede da empresa na Califórnia é chamada Googleplex… [...]

VIANA, M.‘Google’, ou como ideia de infinito sempre intrigou a humanidade. Folha de S. Paulo. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2018/02/google-ou-como-ideia-de-infinito-sempre-intrigou-a-humanidade. shtml?loggedpaywall?loggedpaywall>. Acesso em: 5 out. 2018.

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2. Chamar a atenção dos alunos para o fato de que o número indicado no item a corresponde à representação do número googol. 3. Para o cálculo da multiplicação de 100 bilhões por 1 bilhão, sugerir aos alunos que utilizem a base 10, como apresentado a seguir: • 1 bilhão: 109 • 100 bilhões: 1011 4. Após a resolução do item b desta questão, pedir aos alunos que justifiquem que 101050 é maior do que 1 googol. 1 googol equivale a 10100, que é igual a 10102 102 , 1050 H 10100 , 101050 Aproveitar o item c para relembrar os alunos de que o conjunto dos números naturais é infinito, ou seja, por maior que seja o número natural, nesse caso 1 googolplex, sempre haverá um número maior, basta adicionarmos 1 unidade. Verificar se os alunos perceberam que os números googol e googolplex são números naturais.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. Quem propôs o nome ao número googolplex? Copie no caderno o trecho do texto que justifica sua resposta. Milton, o sobrinho do matemático Edward Kasner. “Mas o pequeno Milton sabia bem que há números ainda maiores, e até propôs um nome para um deles: 'googolplex'”. 2. Qual dos itens a seguir corresponde a 1 googolplex? d. 10 100 b) 101 000 c) 10100 d) 1010 a) 10100 3. No segundo parágrafo do texto, o autor afirma que 1 googol é 100 bilhões de bilhões de vezes a quantidade 1080 de átomos em todo o universo observável. Mostre, por meio de cálculos, que essa afirmativa está correta. Considere que “100 bilhões de bilhões” corresponde a 100 bilhões multiplicado por 1 bilhão.

No total, são possíveis 50 1010 jogadas em uma partida de xadrez.

MR.WIJANNARONGK KUNCHIT /SHUTTERSTOCK.COM

PLANILASTRO/SHUTTERSTOCK.COM

SEBASTIAN ENACHE/SHUTTERSTOCK.COM

4. Observe a seguir algumas informações que são expressas por números “muitos grandes”. I. II. III.

Cientistas acreditam que o diâmetro do universo observável é de quase 1023 km.

Estima-se que em todo o planeta Terra há cerca de 1031 grãos de areia.

ESTÚDIO AMPLA ARENA

a) Escreva, em ordem crescente, os números apresentados nas informações dadas. 1023, 1031 e 1010 . 50 b) Compare o maior desses números com 1 googol e indique qual deles é maior. 1010 . c) Deu para perceber que 1 googol é um número “muito grande” e que 1 googolplex é ainda maior. Existe algum número que seja maior que 1 googolplex? Em caso afirmativo, cite um deles. 101 100 1 000 100 100 100 Sim. Algumas respostas possíveis: 1010 . 1010 ; 1010 . 1010 ; 1010 + 1 . 1010 .

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site, que apresenta o maior número primo encontrado até hoje. • IMPA. Maior número primo do mundo tem 23 milhões de dígitos. Disponível em: <http://livro.pro/xxuhz4>. Acesso em: 2 out. 2018.

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VOCÊ CONECTADO Essa seção propicia uma abordagem relacionada às habilidades EF09MA01 e EF09MA02 da BNCC.

conectado

Construindo uma representação de um retângulo áureo No GeoGebra, vamos construir a representação de um retângulo áureo de acordo com as etapas a seguir.

Utilizando a opção , clicamos em A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1) e novamente em A(0, 0) para construir uma representação de quadrado de lado medindo 1 unidade. Em seguida, com a opção selecionada, clicamos sobre AB e obtemos o ponto médio E desse segmento de reta. De maneira análoga, obtemos F, ponto médio de CD.

Com a opção selecionada, clicamos sobre C e D, construindo a reta CD. Em seguida, para obter a figura da circunferência de centro E e que passa por C, selecionamos a opção e clicamos em E e C, respectivamente. De maneira análoga, obtemos a figura da circunferência de centro F e que passa por B.

GEOGEBRA 2018

Construindo uma representação de um retângulo áureo Após a realização da etapa 3, sugerir aos alunos que “escondam” alguns objetos na Janela de Álgebra, de modo que na Janela de Visualização fique visível apenas o retângulo AHJD. Para isso, orientá-los que na Janela de Álgebra selecionem um dos objetos que se deseja “esconder”, clicando sobre ele com o botão esquerdo do mouse. Em seguida, utilizando o botão direito do mouse, cliquem novamente sobre o objeto. Nesse momento, clicar na opção Exibir Objeto na aba que abrir, que o objeto deixará de ser exibido na Janela de Visualização. Veja a seguir a opção para “esconder” o ponto C = (1, 1).

você

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Orientar os alunos que repitam este procedimento para todos os elementos que se deseja “esconder”. Outra opção para “esconder” um objeto é, na Janela de Álgebra, clicar sobre o ponto indicado antes do nome do objeto, tirando sua marcação. O fato de o ponto estar sem a marcação (o interior fica em branco) indica que o objeto está invisível na Janela de Visualização.

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Médio ou Centro selecionada, clicar sobre ABx , obtendo o ponto médio D desse segmento de reta.

Com a opção selecionada, marcamos o ponto H clicando sobre a figura da circunferência de centro E e, em seguida, sobre o eixo das abscissas. De maneira análoga, marcamos o ponto J, clicando na figura da circunferência de centro F e na reta CD. Por fim, com a opção selecionada, clicamos nos pontos A, H, J, D e A, nessa ordem, construindo a representação do retângulo áureo AHJD.

2a) Com a opção Círculo dados Centro e Um de seus Pontos selecionada, clicar em D e C respectivamente, obtendo a circunferência de centro D e que passa por C. Em seguida, com a opção Interseção de Dois Objetos selecionada, clicar sobre a circunferência de centro D e sobre o eixo das abscissas, obtendo os pontos E e F.

Observe que, ao clicar na figura da circunferência de centro E e no eixo das abscissas utilizando a , automaticamente são marcados dois pontos, que correspondem aos dois pontos em que esses opção elementos se cruzam. O mesmo ocorre com a figura da circunferência de centro F e a reta CD.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. Na página 23 estudamos que, ao dividirmos a medida do maior pela medida do menor lado da figura do retângulo áureo, obtemos a razão áurea. A que número real essa razão corresponde? Esse número é racional ou irracional? Número o. Irracional. IMAGENS: GEOGEBRA 2018

2. No GeoGebra, construa a representação de um retângulo áureo conforme apresentado selecionada, clique nos pontos A e H e obtenha no exemplo. Depois, com a opção AH e obtenha uma a medida aproximada de AH. Por fim, calcule no caderno a razão AD aproximação do número o. o 1 1,62.

4. Suponha que ao final da 1ª- etapa do exemplo apresentado tivéssemos construído a figura de uma circunferência de centro A e que passa por C, conforme a figura ao lado. Essa figura de circunferência cruzaria o eixo das abscissas em um ponto J correspondente a que número real? Justifique. Resposta esperada: Número real 2 , pois a distância AJ é a mesma que AC, que corresponde à diagonal do quadrado de lado de medida 1 unidade.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

3. No exemplo apresentado, qual ponto indica no eixo das abscissas o número o? Ponto H.

Explicar aos alunos que o ponto F, obtido da intersecção entre a circunferência de centro D e o eixo das abscissas, correspondente ao número real 3 , uma vez que a distância DF é a mesma que DC, que corresponde à altura do triângulo equilátero de lado medindo 2 unidades.

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Mãos à obra 2. Verificar se os alunos perceberam que a medida do segmento de reta AD corresponde ao valor unitário, ou seja, 1 unidade de medida. Na atividade 5 da página 25, o número 3 foi represen-

tado geometricamente na reta numérica, com uso de régua e compasso. Para complementar esta seção, propor aos alunos que façam uma construção análoga, porém utilizando o GeoGebra. Para isso, apresentar as seguintes etapas.

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1a) Com a opção Polígono Regular selecionada, clicar em A(_1, 0) e B(1, 0) e, na caixa de texto que abrir, digitar 3 e clicar em OK. O polígono ABC que aparece corresponde a um triângulo equilátero. Depois, com a opção Ponto

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo que se construa um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

o que estudei

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Propriedades de potências

fração e na forma de número decimal

Potências com expoente fracionário

Conjuntos n, z, q, I eR

Potências

Conjunto finito e conjunto infinito

Raiz de um número negativo

Número p e número de ouro o

Propriedades

Notação científica

Raízes

de raízes

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Conjuntos

Conjunto finito e conjunto infinito

Conjuntos N, Z, Q, I e R

Número racional na forma de fração e na forma de número decimal

Número p e número de ouro

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3. No item I, chamar a atenção dos alunos para o fato de que cada número pertence a mais de um conjunto numérico. Pedir a eles que indiquem todos estes conjuntos. No item II, verificar se os alunos perceberam que, independentemente da circunferência, a razão entre seu comprimento e seu diâmetro sempre corresponderá ao número irracional p. Conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas para resolver o item III. Uma delas é multiplicar 1,496 por 100 000 000, obtendo aproximadamente 150 milhões. No item IV, pedir aos alunos que compartilhem com os colegas as estratégias utilizadas para resolvê-lo. Eles podem, por exemplo, resolver por tentativa ou utilizar a decomposição em fatores primos.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL

ARTUR FUJITA

Na aula de Ciências, Tiago estudou informações a respeito do planeta Terra e confeccionou o cartaz representado a seguir.

PROBLEMAS

III

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Conjuntos numéricos, potências e raízes Raízes

Potências

Propriedades de potências

Notação científica

Potências com expoente fracionário

Raiz de um número negativo

Propriedades de raízes

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UNIDADE TEMÁTICA

• Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Relações entre arcos e ân-

gulos na circunferência de um círculo. • Polígonos regulares. • Vistas ortogonais de figuras espaciais.

CIRCUNFERÊNCIA, PLANO CARTESIANO E VISTAS

HABILIDADES • EF09MA11 • EF09MA17 • EF09MA15

Roda de capoeira A capoeira faz parte da cultura brasileira e é praticada atualmente em mais de 160 países. Ela é, ao mesmo tempo, compreendida como dança, luta, esporte e arte. Foi desenvolvida no Brasil pelos africanos escravizados, no século XVII, como uma maneira de lidarem com a opressão e a violência às quais eram submetidos. Era uma forma de resistência. Até meados de 1930, chegou a ser proibida no Brasil. Depois disso, foi se tornando um dos símbolos da identidade de nosso país e reconhecida como patrimônio cultural imaterial da humanidade em 2014. A roda de capoeira é um importante símbolo de combate ao racismo e outras formas de opressão. Sua função, por exemplo, é de socializar e criar laços de cooperação entre seus integrantes. A prática se dá por um grupo de pessoas que formam uma roda e, ao centro dela, uma dupla pratica a capoeira ao ritmo da música conduzida pelo berimbau, um dos instrumentos utilizados na roda.

COMPETÊNCIAS GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as

Fonte dos dados: IPHAN. Roda de capoeira Brasil. Disponível em: <http://portal.iphan.gov.br/uploads/ ckfinder/arquivos/Roda%20de%20Capoeira%20-%20 Patrim%C3%B4nio%20Mundial%20Imaterial%20-%20 Brasil%202014.pdf>. Acesso em: 8 out. 2018.

Roda de Capoeira em Paraty (RJ). Fotografia de 2016.

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relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana,

fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

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presente no Brasil e no mundo e utiliza-se de uma linguagem própria, expressa por palavras e movimentos corporais. Aproveitar o tema e apresentar mais informações a respeito da capoeira. Para isso, ler para os alunos o trecho a seguir.

Respostas pessoais.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. De acordo com o texto, por qual motivo a capoeira foi desenvolvida no Brasil? Você já participou de alguma brincadeira, esporte ou dança que tenha formação em roda? Quais são as vantagens desse tipo de formação? Que figura geométrica plana lembra uma roda de capoeira? Cite características dessa figura.

[...] A “roda” é um elemento estruturante da Capoeira. É onde acontece o “jogo”. As duas dimensões sempre estão presentes: o lado lúdico da festa, da brincadeira e o outro da resistência, da reação contra o sistema opressor. Os capoeiristas cantam e batem palmas. Tocam-se instrumentos percussivos. No centro, duplas jogam revezando-se. Os movimentos são de muita destreza. Podem ser sutis, vigorosos e até acrobáticos. [...] A Roda de Capoeira expressa a história da resistência negra no Brasil, durante e após a escravidão. Seu reconhecimento como patrimônio demarca a conscientização sobre o valor da herança cultural africana. [...]

Circunferência. Resposta pessoal.

Resposta esperada: Para lidar com a opressão e a violência às quais os africanos escravizados eram submetidos.

EDSON SATO/PULSAR IMAGENS

IPHAN. Roda de capoeira Brasil. Disponível em: <http://portal.iphan. gov.br/uploads/ckfinder/arquivos/ Roda%20de%20Capoeira%20-%20 Patrim%C3%B4nio%20Mundial%20 Imaterial%20-%20Brasil%202014. pdf>. Acesso em: 11 set. 2018.

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desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada às competências gerais 3 e 4 da BNCC, uma vez que trata da capoeira, que é uma manifestação cultural

No segundo item proposto, os alunos podem apresentar como resposta brincadeiras como “Ciranda, cirandinha”, “A canoa virou”, ou algumas danças, por exemplo: quadrilha, samba de roda, carimbó, danças indígenas. Algumas das vantagens da formação em roda são: todos os integrantes do grupo podem se ver; os integrantes ficam a uma mesma distância do centro etc. No terceiro item, é importante listar na lousa as características de circunferência que os alunos citarem, uma vez que isso pode revelar elementos do conhecimento prévio deles.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Circunferência Nas páginas de abertura desta Unidade, vimos que a capoeira é praticada, em geral, com os participantes organizados em roda. Diversas outras atividades também são desenvolvidas de maneira parecida, como o samba de roda, em que as pessoas que formam a roda batem palma e cantam. Outra atividade praticada em roda é a ciranda, que costuma ser acompanha por músicas.

Acesse este site para obter mais informações sobre o samba de roda. • UNESCO. Samba de roda do Recôncavo Baiano. Disponível em: <http://livro.pro/7yfrcp>. Acesso em: 20 out. 2018.

GALERIA JACQUES ARDIES

ROCHLITZ, B. Vamos cirandar. Acrílico sobre tela, 30 cm x 40 cm. Coleção Particular.

Agora, vamos relembrar algumas propriedades e elementos da circunferência. O centro é o ponto O, que está à mesma distância de qualquer ponto da circunferência.

A circunferência é a linha que limita o círculo.

O raio é qualquer segmento de reta com uma extremidade no centro e outra em um ponto qualquer da circunferência. OB é um exemplo de raio.

A corda é qualquer segmento de reta, com extremidades sobre a circunferência. DE é um exemplo de corda.

O diâmetro é qualquer segmento de reta que passe pelo centro e cujas extremidades são pontos da circunferência. A medida do diâmetro é o dobro da medida do raio. AC é um exemplo de diâmetro.

EDITORIA DE ARTE

CIRCUNFERÊNCIA Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF09MA11 e EF09MA15. No trabalho com algumas propriedades e elementos da circunferência, enfatizar que o diâmetro é um caso especial de corda. Neste momento, questioná-los se todo diâmetro é uma corda ou se toda corda é um diâmetro. A intenção é que eles verifiquem que todo diâmetro é uma corda, mas nem toda corda é um diâmetro. Dizer aos alunos que todo diâmetro divide uma circunferência em duas partes congruentes que são denominadas semicircunferências. De maneira recíproca, se uma corda divide uma circunferência em duas partes congruentes, então essa corda necessariamente é um diâmetro. É importante ressaltar que a circunferência pode ser compreendida como lugar geométrico e, além disso, costuma ser utilizada, entre outras finalidades, para realizar composições artísticas e para resolver problemas que envolvam objetos equidistantes a um ponto fixo, devido a suas características.

O ângulo central AOB tem vértice em O e lados passando pelos pontos A e B da circunferência.

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AMPLIANDO

Acessar este site para obter mais informações sobre o samba de roda. • IPHAN. Samba de Roda do Recôncavo Baiano. Disponível em: <http://livro.pro/8j758d>. Acesso em: 14 set. 2018.

Sugerir aos alunos este livro, que apresenta elementos característicos do samba de roda. • GRAEFF, N. Os ritmos da roda: tradição e transformação no samba de roda. Salvador: EDUFBA, 2015.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Comprimento da circunferência

Comprimento da circunferência O estudo do comprimento da circunferência foi realizado em Volumes anteriores desta coleção e, nesta Unidade, será retomado e ampliado. Para iniciar o trabalho com o comprimento da circunferência, propor um experimento prático a fim de estimular os alunos no exercício de investigação para testar uma hipótese que pode levar a reflexões a respeito do número irracional p. Para isso, pedir que, em uma folha de papel, tracem o contorno de diversos objetos com partes circulares e, depois, com barbante e régua, meçam o comprimento e o diâmetro aproximados das figuras de circunferência obtidas. Por fim, os alunos devem calcular a razão entre o comprimento e o diâmetro de cada uma para obter aproximações para o número irracional p. Eles podem utilizar a calculadora e os resultados devem ser organizados em um quadro. Para complementar, conversar sobre o número irracional pi, que é denotado pela letra do alfabeto grego p. Dizer que, ao longo da história, diferentes civilizações já demonstravam ter conhecimento dessa razão e utilizavam valores aproximados para ela. Na questão do Enem apresentada, explicar que em algumas situações é indicada uma aproximação de p para a realização dos cálculos necessários.

Já estudamos que a razão entre as medidas do comprimento (c) e do diâmetro (d) de uma circunferência corresponde ao número irracional p.

EDITORIA DE ARTE

c =p d

Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por d, temos: c ?d=p?d d c=p?d Como a medida do diâmetro corresponde ao dobro da medida do raio (r) da circunferência, segue que: c=p?d c = p ? 2r c = 2pr Com essa fórmula, podemos resolver situações-problema relacionadas ao comprimento da circunferência. Observe a questão do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). (Enem-2014) Um homem, determinado a melhorar sua saúde, resolveu andar diariamente numa praça circular que há em frente à sua casa. Todos os dias ele dá exatamente 15 voltas em torno da praça, que tem 50 m de raio. Use 3 como aproximação para p. Qual é a distância percorrida por esse homem em sua caminhada diária? a) 0,30 km. b) 0,75 km. c) 1,50 km. d) 2,25 km. e) 4,50 km. Com base nas informações do enunciado, podemos considerar o contorno dessa praça como uma circunferência de 50 m de raio. Assim, usando p 1 3, calculamos a distância percorrida por esse homem em uma única volta em torno da praça. c = 2pr c 1 2 ? 3 ? 50 c 1 300, ou seja, aproximadamente 300 m. Como na caminhada diária esse homem realiza 15 voltas em torno da praça, calculamos a distância total percorrida por ele. 15 ? 300 = 4 500, ou seja, 4 500 m. Por fim, como as alternativas de resposta estão expressas em quilômetros, convertemos o resultado obtido de metro para quilômetro. 4 500 = 4,5, ou seja, 4,5 km. Lembre-se de que 1 km equivale a 1 000 m. 1 000 Portanto, a alternativa e é a correta. 51

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Construindo polígonos regulares Nesta página, inicia-se o trabalho com a habilidade EF09MA15 da BNCC. Optamos por apresentar este conteúdo nesta Unidade, pois nos procedimentos para as construções dos polígonos regulares são construídas circunferências com o compasso. Propor aos alunos que calculem a soma S das medidas dos ângulos internos de cada um dos polígonos regulares apresentados: S = (n _ 2) ? 180°, em que n é um número natural maior do que 2 e corresponde à quantidade de lados do polígono. O estudo da soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo foi apresentado na Unidade 5 do Volume 8 desta coleção. A construção de um triângulo equilátero pode ser relacionada à ideia de circunferência como lugar geométrico. Neste caso, é importante que os alunos percebam que nessa construção, após traçar o segmento de reta AB medindo 3 cm e abrir o compasso com essa mesma medida, ao fixar a ponta-seca do compasso nas extremidades de AB e traçar os arcos que se cruzam para obter o terceiro vértice do triângulo, eles indicaram um dos pontos em que as duas circunferências que possuem centro nas extremidades de AB se cruzam. Como se trata de um triângulo equilátero, cada vértice deve ser equidistante aos outros dois vértices para que os lados possuam a mesma medida, neste caso, 3 cm. Em outras palavras, considerando cada vértice do triângulo equilátero como o centro de uma circunferência, os outros dois vértices devem ser pontos dessa mesma circunferência.

Construindo polígonos regulares Em anos anteriores, estudamos que os polígonos regulares são aqueles que possuem os ângulos internos com medidas iguais e os lados com a mesma medida de comprimento. Observe as representações de polígonos a seguir.

Triângulo regular ou triângulo equilátero.

Quadrilátero regular ou quadrado.

Pentágono regular.

Hexágono regular.

Com régua e compasso, e utilizando a propriedade de que a distância de um ponto qualquer da circunferência ao seu centro é a mesma, podemos construir alguns polígonos regulares conhecida a medida do lado. Observe os exemplos. • Triângulo equilátero com lado medindo 3 cm.

1a Traçar um segmento de reta AB com 3 cm.

2a Abrir o compasso com 3 cm, fixar a ponta-seca em A e traçar um arco.

3a Com a mesma abertura do compasso,

fixar a ponta-seca em B e traçar outro arco, cruzando aquele traçado anteriormente.

4a Marcar o ponto C no encontro dos

arcos e, com a régua, traçar AC e BC. Por fim, colorir a região interna da figura obtida. C

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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Traçar um segmento de reta AB com

Com a mesma abertura do compasso, fixar

1a 2 cm. Depois, abrir o compasso com a

2a a ponta-seca em B e traçar outra circun-

medida AB, fixar a ponta-seca em A e traçar uma circunferência.

ferência. Marcar o ponto O em um dos cruzamentos das circunferências.

4a)

Com a mesma abertura do compasso,

3a fixar a ponta-seca em O e traçar uma cir-

cunferência. No cruzamento desta com as demais circunferências, marcar os pontos C e F.

Com a mesma abertura do compasso,

4a fixar a ponta-seca em C, traçar um arco

6a) Sem desfazer a última dobra, dobrar novamente conforme indicado a seguir.

que cruza a última circunferência traçada e marcar o ponto D. De maneira análoga, fixar a ponta-seca do compasso em F e marcar o ponto E. E

5a)

7a) A

8a) E

9a)

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Com a régua, traçar BC, CD, DE, EF e FA. Por fim,

3a colorir a região interna da figura obtida.

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Antes do trabalho com as etapas de construção, com régua e compasso, de um hexágono regular de lado medindo 2 cm, propor aos alunos a representação de um pentágono regular por meio de dobraduras, conforme as etapas indicadas a seguir.

11/21/18 2:44 PM

• Representando um pen-

tágono regular por meio de dobraduras: 1a)

2a )

10a)

11a) Abrir o pedaço de papel, deixando dobrados apenas os vincos correspondentes às cordas das circunferências que serão lados do pentágono representado. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

18 2:44 PM

3a)

• Hexágono regular com lado medindo 2 cm.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha elementos relacionados à circunferência, como raio, corda e diâmetro. No item c, é importante verificar se os alunos indicaram os diâmetros CD, GH e IJ, que são casos particulares de corda. 2. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, o cálculo do comprimento de uma circunferência dada a medida do raio ou do diâmetro. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, o cálculo do comprimento de circunferências e a comparação das medidas obtidas. É importante que os alunos percebam que a medida apresentada referente à altura da forma não é utilizada na resolução desta atividade. 4. Esta atividade trabalha a representação de circunferências com régua e compasso, com base na medida do raio, do diâmetro ou de seu comprimento. Se julgar necessário, relembrar aos alunos como é feita a construção de circunferências utilizando esses instrumentos de desenho. No item c, é importante que os alunos obtenham, inicialmente, que medidas de raio a circunferência pode ter, de acordo com os comprimentos indicados. Nesse caso, é possível que eles construam circunferências cujos raios tenham medida entre 3,5 cm e 8 cm. Outra estratégia para resolver o item c é o aluno posicionar um pedaço de barbante

Essas etapas da construção de um hexágono regular com régua e compasso, conhecida a medida de cada lado, podem ser representadas pelo seguinte fluxograma.

Início.

Abrir o compasso com a medida AB, fixar a ponta-seca em A e traçar uma circunferência.

Com a régua, traçar AB com a medida correspondente ao lado do hexágono.

Com a mesma abertura do compasso, fixar a ponta-seca em O e traçar uma circunferência. No cruzamento desta com as demais circunferências, marcar os pontos C e F.

AtividadeS

Com a mesma abertura do compasso, fixar a ponta-seca em C, traçar um arco que cruza a última circunferência traçada e marcar o ponto D. De maneira análoga, fixar a ponta-seca do compasso em F e marcar o ponto E.

Com a mesma abertura do compasso, fixar a ponta-seca em B e traçar outra circunferência. Marcar o ponto O em um dos cruzamentos das circunferências.

Com a régua, traçar BC, CD, DE, EF e FA. Por fim, colorir a região interna da figura obtida.

Fim.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

18 cm

Nas atividades das páginas 54 e 55, utilize 3,14 como uma aproximação de p.

8 cm 12 cm

1. Analise a figura de circunferência de centro O a seguir e, no caderno, indique os segmentos de reta que representam: OC, OD, OG, OH, OI e OJ. A a) raios. b) diâmetros. CD, GH e IJ. I c) cordas. AB, CD, EF, GH e IJ. G

B F J

O E D

DANILLO SOUZA

As etapas da construção de um hexágono regular com régua e compasso, dadas as medidas de seus lados, foram descritas também por meio de um fluxograma. A representação gráfica da sequência de etapas para a construção desse polígono regular corresponde à decomposição de um procedimento relativamente complexo em partes mais simples (etapas), de modo ordenado.

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2. Em certa loja são vendidos dois modelos de mesa circular. O modelo A tem tampo com 120 cm de diâmetro e, o modelo B, com 25 cm de raio. Calcule o comprimento do contorno de cada tampo. Modelo A: 376,8 cm; modelo B: 157 cm. 3. Em uma loja, Lucas vai comprar uma forma de pudim. Ele observa que os contornos da base e da parte superior dessa forma lembram circunferências de diâmetros com medidas diferentes. Essas medidas são apresentadas em destaque na embalagem. Com base nessas informações, resolva a questão.

De quantos centímetros é a diferença entre os comprimentos das circunferências correspondentes ao contorno da base e da parte superior dessa forma? 18,84 cm. 4. No caderno, utilizando régua e compasso, construa uma circunferência: Respostas pessoais. a) com 2,7 cm de raio. b) com 68 mm de diâmetro. c) cujo comprimento esteja entre 21,98 cm e 50,24 cm. 5. Mônica mora em um sítio e está montando uma horta com formato circular, na qual foram utilizados 78,5 m de tela para cercá-la completamente. Ela quer instalar um irrigador nessa horta de maneira que fique a uma mesma distância de qualquer parte da tela. A que distância da tela esse irrigador será instalado? 12,5 m.

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no entorno de um objeto de formato circular e verificar se o comprimento desse barbante está no intervalo indicado; se sim, poderá traçar o contorno da parte desse objeto que lembra uma circunferência.

5. Esta atividade trabalha a ideia de circunferência enquanto lugar geométrico. Verificar se os alunos perceberam que o irrigador deve ser instalado no local correspondente ao centro da circunferência.

11/21/18 6:23 PM

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11/24/18 6:47 PM

D3-MAT-F

18 6:23 PM

ALEX SILVA

6. Samuel é atleta e pratica corrida diariamente. Em certo dia, para saber a distância que percorreu ao realizar um treino de 8 voltas completas em torno de uma pista circular, Samuel utilizou um aplicativo de smartphone. Observe ao lado. 180 m. a) Determine a medida aproximada do raio dessa pista circular em metros. b) Em média, quanto tempo aproximadamente Samuel demorou para completar cada volta? 5 minutos e 15 segundos. c) Qual é a velocidade média, em metros por minuto, em que Samuel realizou esse treino? Aproximadamente 215,24 m/min. 7. Junte-se a um colega e construam um fluxograma para indicar as etapas necessárias na representação de um triângulo equilátero, com régua e compasso, conhecida a medida do lado. Resposta nas Orientações para o professor. Na página 52 foram apresentadas as etapas para a construção de um triângulo equilátero, com lado medindo 3 cm, utilizando régua e compasso. 8. Utilizando régua e compasso, construa no caderno a representação de: a) um triângulo equilátero com lado medindo 4,5 cm. Resposta pessoal. b) um hexágono regular com lado medindo 3 cm. Resposta pessoal. 9. Para representar um quadrado com régua e compasso, conhecida a medida do lado, podemos realizar as etapas indicadas no fluxograma a seguir.

Com a régua, traçar uma reta r e nela marcar um segmento de reta AB, de medida correspondente a um lado do quadrado.

Início.

Com uma régua, traçar uma reta s que passa por A e P. Abrir o compasso com a medida AB, fixar a ponta-seca em A e marcar o ponto D na reta s. Marcar o segmento de reta AD, correspondente a um lado do quadrado.

Fixar a ponta-seca do compasso em A e, com uma abertura qualquer, traçar dois arcos de maneira a marcar os pontos M e N na reta r.

Repetir as três etapas anteriores, com base no ponto B, para traçar o segmento de reta BC, correspondente a um lado do quadrado.

Fixar a ponta-seca do compasso em M e, com uma abertura maior que AM, traçar uma circunferência. Com essa mesma abertura do compasso, fixar a ponta-seca em N e traçar outra circunferência. Marcar o ponto P em um dos cruzamentos das circunferências.

Com a régua, traçar o segmento de reta CD, correspondente a um lado do quadrado. Por fim, colorir a região interna da figura obtida.

Fim.

• Com base nesse fluxograma, construa no caderno a figura de um quadrado com lado medindo 4 cm. Respostas pessoal. 55

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Início.

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Com uma régua, traçar AB com a medida correspondente ao lado do triângulo.

Abrir o compasso com a medida AB, fixar a ponta-seca em A e traçar um arco.

Com a mesma abertura do compasso, fixar a ponta-seca em B e traçar um arco cruzando aquele traçado anteriormente.

No encontro dos arcos, marcar o ponto C. Com a régua, traçar AC e BC. Colorir a região interna da figura obtida.

6. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, o cálculo do raio de uma circunferência dado o seu comprimento. No item a, verificar se os alunos perceberam que, inicialmente, devem dividir a distância total percorrida por Samuel pela quantidade de voltas completas realizadas, e que devem realizar a conversão de quilômetros para metros. No item b, após obter o tempo médio de cada volta, é necessário converter o resultado para minutos e segundos. No item c, relembrar que velocidade média é a razão entre uma distância percorrida e o tempo gasto para realizar esse percurso. 7. Esta atividade trabalha a descrição, por escrito e por meio de um fluxograma, da construção de um triângulo equilátero, utilizando régua e compasso. Ver uma resposta esperada da atividade na parte inferior desta página. 8. Esta atividade trabalha a construção de polígonos regulares, cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso. 9. Esta atividade trabalha a descrição, por escrito e por meio de um fluxograma, da construção de um quadrado cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso. É possível relacionar essa construção à ideia de circunferência como lugar geométrico. Comentar que, por se tratar de um quadrado, cada vértice deve ser equidistante aos outros dois vértices não opostos a ele para que os lados possuam a mesma medida. Assim, se considerarmos um vértice do quadrado como o centro de uma circunferência, os dois vértices não opostos a ele devem ser pontos dessa mesma circunferência.

Fim.

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11/24/18 6:47 PM

[...] Arcos da Lapa (Aqueduto da Carioca) – Construído durante o governo de Aires de Saldanha (1719-1725), o aqueduto (mais tarde conhecido como Arcos da Lapa) trazia a água das nascentes do rio da Carioca, ao longo das encostas da serra de Santa Teresa, até o Largo da Carioca. Para atravessar o vale existente entre os morros de Santa Teresa e de Santo Antônio, foi executada a obra arquitetônica mais notável do Brasil, no período colonial: uma construção ciclópica de alvenaria, com dupla arcada e considerável extensão. O aqueduto passou a ser usado como viaduto para os bondes do Bairro de Santa Teresa. [...]

Arco de circunferência Os Arcos da Lapa, também conhecidos como Aqueduto da Carioca, são um dos cartões postais do município do Rio de Janeiro (RJ). Em cada vão dessa construção é possível perceber uma figura cujo contorno lembra um arco de circunferência. Observe.

Os Arcos da Lapa foram construídos durante o período colonial do Brasil. Rio de Janeiro (RJ). Fotografia de 2015. Fonte dos dados: MAPA DE CULTURA RJ. Arcos da Lapa. Disponível em: <http://mapadecultura.rj.gov.br/manchete/ arcos-da-lapa>. Acesso em: 8 out. 2018.

Dois pontos distintos de uma circunferência dividem-na em duas partes, chamadas arcos de circunferência.

IPHAN. Monumentos e Espaços Públicos Tombados – Rio de Janeiro (RJ). Disponível em: <http://portal.iphan.gov.br/pagina/ detalhes/1515>. Acesso em: 16 set. 2018.

Explicar que podemos utilizar outra indicação para nomear um arco de circunferência marcando um ponto entre as extremidades desse arco. Na circunferência apresentada nesta página, podemos marcar os pontos C e D e nomear os arcos da seguinte maneira: • Arco de circunferência menor: (ACB • Arco de circunferência maior: A ( DB A EDITORIA DE ARTE

B Arco de circunferência menor.

B Arco de circunferência maior.

Podemos associar um arco de circunferência ao ângulo central correspondente. Observe ao lado.

A O

O ângulo central AOB define o arco de circunferência em vermelho, que pode ser indicado por AB. B

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ANDRE LUIZ MOREIRA/SHUTTERSTOCK.COM

Arco de circunferência Aproveitar o contexto desta página e ler para os alunos o trecho a seguir sobre os Arcos da Lapa.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

É importante enfatizar que a medida do ângulo, em graus, que determina um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre o método utilizado por Eratóstenes para calcular a medida de comprimento da circunferência da Terra. Nesse vídeo, conta-se um pouco sobre a vida de Eratóstenes e sobre como ele pensou e usou conhecimentos de geometria para calcular o perímetro da circunferência da Terra há aproximadamente 2 200 anos.

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Na circunferência de raio 2 cm representada ao lado, qual é o comprimento do arco AB definido pelo ângulo central AOB de 144º?

144º

Veja no material audiovisual o vídeo sobre o método utilizado para calcular a medida de comprimento da circunferência da Terra.

Para resolver essa questão, é importante compreender que a medida do ângulo central e o comprimento do arco de circunferência correspondente são grandezas diretamente proporcionais, ou seja, ao dobrar a medida do ângulo central, o comprimento do arco também dobra; ao reduzir a medida do ângulo central pela metade, o comprimento do arco também se reduz à metade; e assim por diante. Nesse caso, podemos escrever a seguinte proporção. Medida do ângulo central (em graus)

Comprimento do arco (em centímetros)

360

2?p?2

144

2?p?2 360 = x 144 360x = 576p 360x 576p = 360 360 x = 1,6p

Considerando 3,14 como aproximação de p, temos: x 1 1,6 ? 3,14 = 5,024 Assim, esse arco AB tem aproximadamente 5,024 cm de comprimento.

Ângulo inscrito em uma circunferência

Chamamos de ângulo inscrito todo ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e os lados passam por outros pontos distintos dessa circunferência.

Na circunferência de centro O, AB̂C é um ângulo inscrito.

B O

O 30º 60º

C A

80º

40º

50º

100º

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Em cada figura a seguir, estão indicados o ângulo central e um ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Observe.

3a) Sobrepor na outra figura de circunferência os ângulos recortados, como indicado a seguir, e verificar que a medida do ângulo central é igual ao dobro da medida de um ângulo inscrito correspondente a um mesmo arco de circunferência.

Em cada figura, compare as medidas dos ângulos central e inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Que regularidade você percebeu? Resposta esperada: A medida do ângulo central é o dobro da medida de um ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência.

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Para a resolução da questão proposta foi utilizada a propriedade fundamental das proporções, cujo conceito foi apresentado em Volumes anteriores desta coleção e será retomado e ampliado na Unidade 4 deste Volume.

Ângulo inscrito em uma circunferência Na primeira circunferência de centro O, é importante destacar as seguintes características: • O vértice B é um ponto da circunferência;

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• Os lados de AÅ BC determi-

nam duas cordas na circunferência (BA e BC);

• O arco )AC correspondente

a AÅ BC não contém o vértice deste ângulo.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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PARA PENSAR Para auxiliar os alunos na verificação da regularidade das medidas dos ângulos central e inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência, é possível propor um experimento. Para isso, providenciar folhas de papel sulfite, réguas, transferidores e compassos e apresentar aos alunos as seguintes etapas: 1a) Construir três figuras de circunferência idênticas, representando um ângulo central com certa medida e um ângulo inscrito correspondente ao mesmo arco determinado pelo ângulo central. 2a) Recortar o ângulo inscrito de duas dessas figuras de circunferência.

Agora, observe a questão a seguir.

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No 1o caso da demonstração da propriedade apresentada, é importante relembrar os alunos de que, em um triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. O estudo das relações envolvendo os ângulos internos e externos de um triângulo foi apresentado na Unidade 5 do Volume 8 desta coleção. Enfatizar aos alunos que as demonstrações dos 2o e 3o casos foram feitas com base na validade do 1o caso. Explicar que as relações entre as medidas dos ângulos central e inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência serão retomadas de maneira prática e com o uso do GeoGebra na seção Você conectado desta Unidade.

Relação entre o ângulo central e um ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência Leia a propriedade destacada a seguir. Em uma circunferência, quando um ângulo central e um ângulo inscrito correspondem a um mesmo arco, a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito. Essa propriedade pode ser demonstrada considerando os três casos a seguir.

O centro da circunferência está sobre um dos lados do ângulo inscrito. Como OA e OB são raios dessa circunferência, o triângulo ABO é isósceles e os ângulos OBA e OAB têm a mesma medida. Como AÔC é um ângulo externo ao triângulo ABO, temos:

B x O y A

y=x+x

y = 2x

B x x

O y

A C

AMPLIANDO Acessar este site para obter mais informações sobre o trabalho com ângulo central e ângulo inscrito de uma circunferência. • CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Ângulo Central e Ângulo Inscrito – Dedução da relação. Disponível em: <http://livro.pro/rb7gsz>. Acesso em: 16 set. 2018.

O centro da circunferência está no exterior do ângulo inscrito. Podemos traçar um diâmetro EG dessa circunferência obtendo outros dois ângulos de medidas m e n. De acordo com o 1o caso, temos: Considerando o ângulo central FOG e o ângulo inscrito GEF: n = 2m (I) Considerando o ângulo central DOG e o ângulo inscrito DEG: n + y = 2(m + x) (II) Substituindo I em II, segue que:

E x O

F E m

2m + y = 2(m + x) n

2m + y = 2m + 2x

O n

y = 2x

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O centro da circunferência está no interior do ângulo inscrito. Podemos traçar um diâmetro HK dessa circunferência dividindo os ângulos central e inscrito em duas partes e obtendo outros quatro ângulos de medidas m, n, p e q. De acordo com o 1o caso, temos: Considerando o ângulo central IOK e o ângulo inscrito IHK: p = 2m (I) Considerando o ângulo central JOK e o ângulo inscrito JHK: q = 2n (II) Adicionando as igualdades I e II membro a membro, segue que: p + q = 2m + 2n p + q = 2(m + n) Como y = p + q e x = m + n, temos: y = 2x m+n

p+q

y I

J H

m n O p

q J

96º

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

1. a) 3,9 m. b) 141,3 dm. c) 2,1 m. d) 17,4 m.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Nas atividades das páginas 59 e 60, utilize 3,14 como uma aproximação de p. 1. Em cada item, calcule o comprimento aproximado do arco de circunferência em vermelho determinado pelo ângulo central indicado. Nas circunferências o ponto O é o centro, e a medida do raio está indicada. A c) a) B

2. Uma arquiteta projetou a construção da entrada de um edifício compondo o contorno da figura de um retângulo e de um arco de circunferência, conforme o croqui a seguir.

2,8 m 44º

C G O

3,7 m 270º

180º D

B 125º

45 dm

Com base nessa propriedade, podemos determinar a medida x do ângulo inscrito ABC na circunferência representada ao lado. 96 = 2 ? x 96 2x = 2 2 48 = x, ou seja, 48° .

3 m 75º

y = 2x

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo do comprimento de um arco de circunferência determinado por um ângulo central. É importante lembrar os alunos de que a medida do ângulo central e o comprimento do arco de circunferência correspondente são grandezas diretamente proporcionais. Para complementar, providenciar previamente réguas, compassos e transferidores. Propor aos alunos que representem em uma folha uma circunferência, indicando um ângulo central e destacando o arco correspondente a esse ângulo. Em seguida, eles devem trocar a representação que fizeram com um colega para que este calcule o comprimento do arco de circunferência destacado. Ao final, pedir aos alunos que confiram se as respostas estão corretas. 2. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo do comprimento de um arco de circunferência determinado por um ângulo central. Lembrar os alunos de que croqui corresponde a um esboço ou rascunho de planta arquitetônica.

2,82 m

O D

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

No croqui, a figura ABCD corresponde ao contorno de um retângulo e O, ao centro da circunferência em que o arco AB é determinado pelo ângulo central AOB de 125o. Calcule quantos metros, aproximadamente, vai ter o contorno da entrada desse edifício. 15,15 m. 59

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3. Em cada circunferência, representada a seguir, os ângulos central e inscrito em destaque correspondem ao mesmo arco de circunferência. Determine, em graus, as medidas desses ângulos. AÔB: 54o; AĈB: 27o. a) B

A 6 dm O

135º

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 3. Esta atividade trabalha a resolução de um problema por meio da relação entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência. 4. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo do comprimento de arcos de circunferência determinados por um ângulo central. Antes de os alunos resolverem esta atividade, solicitar que estimem qual formiga deve chegar primeiro em A. Em seguida, propor que realizem os cálculos para verificar se a estimativa estava correta. Para auxiliá-los nos cálculos, questionar qual é a medida do ângulo central determinado pelo arco de circunferência em vermelho (225°, pois 360° _ 135° = = 225°). 5. Esta atividade trabalha de maneira prática o estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência. 6. Esta atividade trabalha o cálculo do comprimento de arcos de circunferência dada a medida do raio. Para auxiliar na resolução, questionar os alunos sobre qual é a medida do raio das circunferências de centros A, B, C e D cujos arcos estão sendo considerados. Neste caso, os raios medem 1 cm, 2 cm, 3 cm e 4 cm, respectivamente.

B A

C 2x _ 5º

O 3x + 6º

DÔE: 160o; DF̂E: 80o.

32x D

O 12x + 20º F

GÔH: 48o; GÎH: 24o.

H G

3x 4

x _ 8º 2 O

JÔK: 90o; JL̂K: 45o.

6x O L

8x + 21º 5

4. Na circunferência de centro O representada a seguir, suponha que uma formiga vai percorrer, de uma só vez, o caminho em vermelho, partindo de B e chegando em A. Suponha também que outra formiga vai percorrer, de uma só vez, o caminho em azul, partindo de O e chegando em A. Considerando que a velocidade das formigas é igual, qual delas vai chegar primeiro em A? A formiga que percorreu o caminho em azul.

5. No caderno, desenhe uma figura de circunferência cujo raio tenha uma medida qualquer e, com um transferidor, represente um ângulo central. Depois, troque esse desenho com um colega para que ele resolva as questões propostas a seguir, enquanto você também resolve essas questões, porém com base no desenho do colega. Ao final, confiram juntos as resoluções. Escolha uma medida de sua preferência para o ângulo central. Mas atenção, essa medida não pode ser indicada no desenho ou informada ao colega. Resposta pessoal. a) Qual é a medida desse ângulo central? b) Quantos centímetros tem o arco de circunferência definido por esse ângulo central? Resposta pessoal. c) Ao traçar um ângulo inscrito correspondente ao mesmo arco de circunferência que esse ângulo central, qual será a medida dele? Trace um ângulo inscrito desse tipo e verifique essa medida. Resposta pessoal. 6. (Obmep-2008) A figura mostra um quadrado ABCD de lado 1 cm e arcos de circunferência DE, EF, FG e GH com centros A, B, C e D, respectivamente. Qual é a soma dos comprimentos desses arcos? a) 5p cm c) 7p cm e) 9p cm Alternativa a. b) 6p cm d) 8p cm

OBMEP 2008

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Plano cartesiano

PLANO CARTESIANO O trabalho com o plano cartesiano busca contribuir para, posteriormente na Unidade 4 deste Volume, desenvolver com maior ênfase a habilidade EF09MA06 da BNCC, principalmente na representação gráfica de funções. No entanto, é importante destacar que o estudo do plano cartesiano já foi abordado em Volumes anteriores desta coleção, e que nesta Unidade esse estudo será retomado e ampliado. Comentar que, além do jogo batalha naval, existem outros exemplos em que são utilizadas as ideias de plano cartesiano: o jogo de xadrez; a localização de uma rua em um guia do município; a organização das vagas de estacionamentos de veículos, o sistema de coordenadas geográficas etc.

AMPLIANDO

ZIRALDO

Leia a tirinha com atenção.

PINTO, Z. A. O menino maluquinho: as melhores tiras. Porto Alegre: L&PM. 1995. p. 39.

Na tirinha, as crianças estão brincando de batalha naval. Nesse jogo, inicialmente, em segredo, cada participante deve distribuir figuras de embarcações em uma malha quadriculada na qual a localização das células é feita com letras e números. Para jogar, um participante diz uma localização, como apresentado na tirinha, e o outro registra na sua malha e avisa se foi atingida parte de uma das suas embarcações ou apenas a água. A maneira como a localização das células é indicada nesse jogo apresenta as mesmas ideias do plano cartesiano. Observe alguns elementos do plano cartesiano. y

eixo das ordenadas ou eixo y

Sugerir aos alunos este jogo para complementar o estudo do plano cartesiano, no qual devem indicar coordenadas cartesianas da localização de um submarino. • GEOGEBRA. Batalha Naval no Plano Cartesiano. Disponível em: <http://livro. pro/z9h66q>. Acesso em: 20 set. 2018.

3 sentido negativo no eixo das abscissas _4

sentido positivo no eixo das ordenadas

origem _2

1 0

_1 sentido negativo no eixo das ordenadas

_2 _3 _4 _5

sentido positivo no eixo das abscissas

eixo das abscissas ou eixo x

x II

I x

III

O plano cartesiano pode ser organizado em quadrantes, como indicado nessa figura.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Enfatizar aos alunos que o primeiro elemento de um par ordenado corresponde à abscissa (x) do ponto e, o segundo elemento, à ordenada (y) do ponto representado no plano cartesiano. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a determinação das coordenadas de pontos representados no plano cartesiano. Para representar as coordenadas cartesianas de cada ponto, o primeiro elemento do par ordenado deve corresponder ao eixo x (eixo das abscissas) e o segundo elemento, ao eixo y (eixo das ordenadas). 2. Esta atividade trabalha a identificação do quadrante

y 3

A localização de cada ponto do plano cartesiano é indicada por coordenadas cartesianas, que são representadas por um par ordenado na forma (x, y), em que x é abscissa e y é a ordenada do ponto. Observe, ao lado, por exemplo, como indicar o ponto A(_3, 2).

ordenada do ponto A

2 1

abscissa do ponto A

Agora, observe um retângulo e uma circunferência representados no plano cartesiano. y

y A

2 _3

x 1

C _4

O retângulo tem vértices A(_2, 3), B(_2,_1), C(4, _1), D(4, 3).

A circunferência tem centro em E(1, 2) e passa por F(4, 2). Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Identifique as coordenadas cartesianas de cada ponto representado a seguir. y 5

3 2

1 _4 _3 _2 _1 0 _1 F

B 1

4 5 x

_2 _3 D _4

A(2, 3); B(3, 0); C(_4, 2); D(_1, _4); E(4, _3); F(_2, _2); G(2, _3); H(_3, 4); I(0, 2).

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Comentar com os alunos que a nomenclatura “plano cartesiano” faz referência ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), que apresentou na obra Discurso do método, ideias sobre a localização de pontos em um plano por meio de coordenadas. Destacar também algumas características do plano cartesiano. • Ele é composto de duas retas perpendiculares entre si, chamadas eixos cartesianos. • O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas e o eixo vertical, eixo das ordenadas. • O ponto em que os eixos se cruzam é a origem, representada por O (0, 0). • Cada eixo é numerado a partir da origem e a distância entre uma marcação e a seguinte, correspondente à unidade, deve ser a mesma. Explicar que os eixos cartesianos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes: • quadrante I ou 1o quadrante; • quadrante II ou 2o quadrante; • quadrante III ou 3o quadrante; • quadrante IV ou 4o quadrante.

2. Em quais quadrantes do plano cartesiano estão localizados os pontos indicados a seguir? a) A(2, _1) IV. d) D(8, 6) I. b) B(4, 2) I. e) E(_2, 1) II. c) C(_5, _3) III. 3. Mateus representou um plano cartesiano em uma malha quadriculada cujas figuras de quadradinhos tinham 1 cm de lado. Depois, ele desenhou um retângulo cujos vértices tinham coordenadas cartesianas A(3, 1), B(3, 4), C(7, 4) e D(7, 1). Determine o perímetro e a área desse retângulo. Perímetro: 14 cm; área: 12 cm2.

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onde está localizado um ponto no plano cartesiano dadas suas coordenadas. Após a resolução desta atividade, representar na lousa um plano cartesiano e pedir para que alguns alunos indiquem os pontos apresentados na atividade e confiram se as respostas estão corretas.

3. Esta atividade trabalha o cálculo da área e do perímetro da figura de um retângulo representado em um plano cartesiano. Para auxiliar na resolução, reproduzir e entregar aos alunos malha quadriculada com figuras de quadradinho com 1 cm de lado, disponível

no Material de apoio. Além disso, relembrá-los como calcular o perímetro e a área de um retângulo.

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4. Observe uma circunferência de centro O representada em um plano cartesiano. y 5 4 3 2 1 0 _9 _8 _7 _6 _5 _4 _3 _2 _1 _1 O

4 x

_2 _3 _4 _5 _6 _7

a) Quais são as coordenadas cartesianas do ponto O? (_5, _2). b) Quais coordenadas cartesianas indicadas no quadro correspondem a pontos que estão na região:

b) Identifique as coordenadas de dois pontos que estão:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

(1, _3) (_5, 1) (_7, _6) (_4, 1) (_6, _1) (2, 3) (1, _3); (_7, _6); (_5, 1); (_4, 1); • interna dessa circunferência? • externa dessa circunferência? (2, 3). (_6, _1). c) Essa circunferência está localizada em quais quadrantes do plano cartesiano? II e III. d) Sabendo que as figuras de quadradinhos da malha têm 0,5 cm de lado, calcule o comprimento do raio dessa circunferência. 2 cm. e) Considerando 3,14 uma aproximação de p, calcule o comprimento dessa circunferência. 12,56 cm. 5. Em uma malha quadriculada, utilize régua e construa um plano cartesiano. Depois, resolva os itens a seguir. a) No plano cartesiano que você construiu, indique os pontos representados a seguir. Resposta nas B(0, 4) C(4, 2) D(5, 0) E(3, _2) F(_2, _3) G(_4, _1) Orientações para o professor. b) Ao traçar os segmentos de reta BC, CD, DE, EF, FG e GB obtém-se o contorno de qual polígono? Hexágono. 6. Um bairro planejado de certo munícipio está y A D 5 representado pela figura de um quadrilátero 4 no plano cartesiano ao lado, em que a unidade 3 utilizada nos eixos corresponde a 1 km. Nesse 2 quadrilátero, os lados correspondem a ruas que B C 1 0 contornam o bairro. _5 _4 _3 _2 _1 1 2 3 4 5 6 7 8 x a) Quais são as coordenadas cartesianas dos pontos _1 _2 A(3, 5), B(1, 2), C(8, 2) e D(8, 5). A, B, C e D? _3 _4

• na região interna desse bairro. _5 Algumas respostas possíveis: (4, 3); (6, 3); (7, 4). • na região externa desse bairro. Algumas respostas possíveis: (1, 1); (5, 6); (1, 4). c) Nesse bairro, qual é a menor distância para se deslocar do ponto A até B, passando por D e C. 15 km. d) Determine a área desse bairro em quilômetros quadrados. 18 km2. 63

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y B 4 3 2 1 _5_4_3_2_1 0 _1 G _2 F _3

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4. Esta atividade explora de diferentes maneiras uma circunferência representada em um plano cartesiano. Para complementar, propor aos alunos que indiquem as coordenadas de outros pontos que estejam na região interna dessa circunferência. Dizer que a reunião de todos os pontos da região interna da circunferência e da própria circunferência corresponde ao círculo. 5. Esta atividade trabalha a representação de um plano cartesiano em uma malha quadriculada e a indicação de pontos nesse plano cartesiano. Para esta atividade, reproduzir e entregar aos alunos malha quadriculada com figuras de quadradinho com 1 cm de lado, disponível no Material de apoio. Antes de resolver o item a, pedir aos alunos que indiquem o quadrante correspondente a cada um dos pontos indicados ou se o ponto está sobre um dos eixos. Para complementar, questionar os alunos sobre as características das coordenadas dos pontos que estão sobre cada um dos eixos: pontos sobre o eixo x têm ordenada zero e pontos sobre o eixo y têm abscissa zero. Ver na parte inferior desta página a resposta para o item a desta questão. 6. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, o cálculo da área da figura de um quadrilátero representado em um plano cartesiano. Questionar os alunos como pode ser classificado esse quadrilátero; nesse caso, trapézio retângulo. No item d, relembrar os alunos que a área do trapézio (B + b) ? h , é dada por A = 2 em que B corresponde à medida da base maior; b, à medida da base menor; e h, à medida da altura do trapézio.

D 1 2 3 4 5 6 x E

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Fontes dos dados: GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ. Os desafios da escola pública paranaense na perspectiva do professor PDE 2016. Disponível em: <www.diaadiaeducacao.pr.gov. br/portals/cadernospde/pdebusca/ producoes_pde/2016/2016_ artigo_mat_unespar-paranavai_ valeriapereiradefreitas.pdf>. Acesso em: 4 out. 2018.

Vistas ortogonais Você já tentou desenhar um objeto de três dimensões em uma folha de papel? De maneira geral, costumamos ter dificuldade em representar a profundidade de objetos em superfícies planas, uma vez que nelas há apenas duas dimensões. Uma solução para isso é fazer uso de uma técnica de perspectiva, ou seja, representar a tridimensionalidade desse objeto reproduzindo, no papel, a sensação de profundidade. Observe duas obras e leia as informações sobre o uso (ou não) de técnicas de perspectiva em sua produção.

O artista pernambucano José Francisco Borges (1935-) iniciou sua carreira como cordelista, mas se destacou pelas xilogravuras. É possível perceber que as obras de J. Borges não apresentam uma preocupação rigorosa com perspectiva e proporção. ACERVO MEMORIAL J. BORGES

VISTAS ORTOGONAIS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF09MA17. Além disso, propicia o desenvolvimento das competências gerais 3 e 4 e da competência específica 3 de Matemática da BNCC, uma vez que a abordagem inicial ocorre por meio da linguagem visual, explorando as ideias intuitivas do conceito que será trabalhado, evidenciando as relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Também é possível aproveitar as obras apresentadas e realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Arte para explorar a diversidade cultural retratada nelas. Explicar aos alunos que o recurso utilizado na obra Lampião e Maria Bonita é a xilogravura, que é uma técnica de gravação sobre prancha de madeira. Propor a eles que pesquisem outras obras produzidas com essa técnica. Em relação a essa obra também pode-se discutir as vestimentas dos personagens Já em relação à tela Mestiço, é possível explorar características da paisagem que compõe o cenário, e perguntar aos alunos por que a tela recebeu esse nome. Espera-se que eles respondam que o nome da tela faz referência ao homem retratado nela. Comentar com os alunos que, na história das artes visuais, o uso da perspectiva começou a ser aperfeiçoado em meados do século XIV e um dos pioneiros no uso desta técnica foi o arquiteto e escultor florentino Filippo Brunelleschi (1377-1446).

ACERVO PROJETO/PORTINARI/REPRODUÇÃO AUTORIZADA POR JOÃO CÂNDIDOPORTINARI

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

BORGES, J. Lampião e Maria Bonita. Xilogravura. 60 cm x 40 cm. Acervo Memorial J. Borges.

O artista paulista Candido Portinari (1903-1962) é reconhecido por retratar em suas obras, na maioria das vezes, a cultura brasileira e os temas sociais. Um exemplo é a tela Mestiço, em que Portinari mostra um homem em uma lavoura de café. Nessa obra, é possível observar que o artista usou uma técnica de perspectiva. A ideia de profundidade, neste caso, está presente em alguns elementos da tela, como nas pedras localizadas à direita ou na cerca do cafezal à esquerda. PORTINARI, C. Mestiço. 1934. Óleo sobre tela. 81 cm x 65 cm. Coleção Pinacoteca do Estado de São Paulo.

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MASON, A. Coleção arte ao redor do mundo: no tempo de Michelangelo. Tradução Regina Gomes de Souza. São Paulo: Callis, 2004. p. 16.

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Nas perspectivas cônicas, os objetos distantes se apresentam menores, mas têm o mesmo formato e as mesmas proporções que teriam se estivessem bem próximos. Em outras palavras, à medida que os objetos se afastam, eles se tornam menores e parece que vão desaparecer. O princípio geral por trás da perspectiva cônica é simples e compartilha características com a forma como as pessoas de fato percebem o espaço e os objetos localizados nele. [...] As perspectivas cônicas podem ser desenhadas como representações artísticas para apresentar paisagens ou grandes edificações. Elas também podem ser empregadas para mostrar uma representação realista de peças mecânicas ou leiautes de móveis e acessórios em um cômodo. [...]

Perspectiva com ponto de fuga Existem diferentes técnicas de representação em perspectiva. Uma delas, é conhecida como perspectiva cônica com um ponto de fuga. Observe as etapas para representar um bloco retangular usando essa técnica. Traçamos uma reta r e marcamos o ponto

Traçamos os segmentos de reta AP, BP, CP

1a de fuga P. Depois, representamos o con-

2a e DP.

torno do retângulo ABCD. P

Traçamos a reta s paralela a AB e mar-

3a camos os pontos E e F, respectivamente,

s D

Por fim, ligamos os pontos correspondentes aos vértices do bloco retangular e pintamos as faces, conforme a figura.

P t

KUBBA, S. A. A. Desenho Técnico: para a construção. Tradução Alexandre Salvaterra. Porto Alegre: Bookman, 2014. p. 91.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Traçamos a reta t, paralela a AD, passando

4a por E. Depois, marcamos o ponto H no

cruzamento de t com DP. Traçamos a reta u, paralela a BC, passando por F, e marcamos o ponto G em CP.

sobre AP e BP.

Verificar a possibilidade de apresentar aos alunos outras obras para que eles identifiquem elementos que indicam o uso, ou o não uso, da técnica de perspectiva. Para complementar, realizar na lousa a representação de um poliedro, utilizando a técnica de perspectiva cônica com um ponto de fuga, seguindo as etapas descritas nesta página.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Perspectiva com ponto de fuga Para mais informações sobre a técnica de perspectiva, realizar para os alunos a leitura do trecho a seguir.

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[...] Um bom entendimento dos princípios da perspectiva é necessário para criar um trabalho artístico preciso e atraente. [...] As perspectivas cônicas são um sistema para representar o

espaço tridimensional em uma superfície plana. Elas utilizam um, dois ou três pontos para onde as linhas de recuo se afastam. Esses pontos de fuga são colocados ao longo de uma linha horizontal chamada linha do horizonte. [...]

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Projeção ortogonal Nestas páginas inicia-se o trabalho com a habilidade EF09MA17 da BNCC. É importante desenvolver esse trabalho de maneira que os alunos compreendam que a visualização de uma figura geométrica espacial ou de um objeto tridimensional é possível com base na associação das diversas vistas utilizadas na sua representação. E que a partir destas vistas, é possível desenhar a figura geométrica espacial ou o objeto correspondente a elas. Explicar que a geometria descritiva é a área de estudo da Matemática que tem como um dos objetivos a representação de objetos tridimensionais em um plano bidimensional. O matemático francês Gaspar Monge (1746-1818) é considerado precursor desse estudo. Para complementar, ler para os alunos o trecho a seguir.

Projeção ortogonal Além dos desenhos com a técnica de perspectiva cônica com um ponto de fuga, é possível fazer representações de objetos tridimensionais usando a ideia de projeção ortogonal sobre um plano. A projeção ortogonal de um ponto P em um plano, em que ele não está, corresponde ao ponto P1 desse plano, de maneira que PP1 seja uma reta perpendicular a tal plano, ou seja, forme ângulos retos com ele. Observe. ponto que será projetado plano de projeção

Enfatizar que na projeção ortogonal, as linhas projetantes são paralelas entre si e perpen-

Já a projeção ortogonal de uma figura geométrica plana ou espacial em um plano, corresponde à projeção ortogonal de cada ponto dessa figura. Observe. • Projeção ortogonal de um cilindro em um plano.

plano de projeção

• Projeção ortogonal de um cubo em um plano.

[...] A geometria descritiva de Monge é hoje estudada nos primeiros anos de todas as áreas de engenharia. Vários projetos são baseados nela. É também estudada nas escolas de artes porque tem aplicação no estudo das perspectivas das pinturas dos quadros. Pode ser empregada também na análise da veracidade de fotografias, para saber se são montagens ou não. Quadros e fotografias são projeções, e geometria descritiva é o estudo das projeções. [...] KAWANO, C. O revolucionário projetista do exército de Napoleão. Galileu. Disponível em: <http://revistagalileu.globo. com/Galileu/0,6993,ECT 498444-1944-2,00.html> Acesso em: 30 set. 2018.

ponto correspondente à projeção ortogonal P de P no plano

plano de projeção

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Projeção ortogonal de uma pirâmide de base quadrada em um plano.

plano de projeção

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diculares ao plano de projeção. Além disso, a figura plana obtida pela projeção é reproduzida em verdadeira grandeza, ou seja, tem a dimensão real da parte do objeto projetado.

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Comentar com os alunos que o bloco retangular representado nesta página está entre o observador e os planos de projeção. Antes de representar uma figura geométrica espacial ou um objeto tridimensional por meio de suas vistas ortogonais, é necessário estabelecer referenciais de posição, determinando aquelas que serão as vistas ortogonais frontal, superior e lateral, por exemplo. E que se outra posição for estabelecida como frontal, por exemplo, as demais vistas ortogonais podem ser diferentes da apresentada. Para auxiliar no desenvolvimento dos conceitos estudados nestas páginas, é importante que os alunos investiguem o objeto apresentado, de modo a perceber suas propriedades e características. Uma possibilidade é fazer uso de programas de computadores, como o GeoGebra. Neste programa, no menu Exibir, na opção Janela de Visualização 3D, é possível construir e explorar representações de figuras geométricas espaciais.

Agora, observe a representação de um bloco retangular com projeção ortogonal em três planos distintos: I, II e III. A figura obtida em cada um desses planos de projeção corresponde a uma vista ortogonal, estabelecida de acordo com uma referência.

plano I

plano III

plano II vista ortogonal lateral

vista ortogonal superior

plano I

vista ortogonal frontal

plano II

plano III

Essas três projeções ortogonais, correspondentes às vistas ortogonais frontal, superior e lateral da figura do bloco retangular, podem contribuir para representá-lo em perspectiva. Observe. correspondente ao plano II

correspondente ao plano III

Resoluções a partir da p. 257

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a construção, em perspectiva com um ponto de fuga, de uma representação de figura geométrica espacial. Caso julgar necessário, retomar com os alunos as explicações apresentadas na página 65 sobre como representar um bloco retangular utilizando essa técnica.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em uma malha quadriculada, desenhe as figuras da reta r, do ponto P e do retângulo ABCD indicados ao lado. Depois, siga as etapas apresentadas na página 65 e desenhe a figura de um bloco retangular utilizando perspectiva com o ponto de fuga P. Resposta pessoal.

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AtividadeS

correspondente ao plano I

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LEMOS, S.; ANDE, E. Egito: arte na idade antiga. São Paulo: Callis, 2011. p. 26.

3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a projeção ortogonal de ponto

VATICAN MUSEUMS AND GALLERIES, VATICAN CITY

SANZIO, R. Escola de Atenas. 1509. Afresco. 5 m x 7,7 m. Museu do Vaticano.

Ilustração de papiro mostrando a rainha egípcia Nefertari.

II.

SEVERINO, F. Futebol de lazer. 2017. Oléo sobre tela. 37 cm x 45 cm. Galeria Jacques Ardies.

3. (Enem-2013) Gangorra é um brinquedo que consiste em uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes B do pivô: Pivô ENEM 2013

[...] A Arte no Egito Antigo é antes de tudo uma forma de comunicação e estava a serviço da religião. A produção artística raramente era assinada, pois era fruto de um trabalho coletivo, estava ligada a uma funcionalidade e era encontrada em templos, tumbas e palácios. Era uma arte elitizada na qual as classes dominantes eram privilegiadas, pois somente elas tinham condições financeiras para sua realização. [...] Durante o Antigo e o Médio Império, os egípcios utilizavam nas pinturas apenas cores chapadas, isto é, sem volume. No Novo Império, já observamos pinturas que recebem uma variação de escala tonal, facilitando a interpretação da perspectiva e da transparência.

2. Observe as imagens a seguir produzidas com diferentes técnicas e indique em quais delas é possível identificar perspectiva entre os elementos representados, gerando a impressão de profundidade. Resposta esperada: II e III. III. I.

GALERIA JACQUES ARDIES

ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha a identificação de elementos em perspectiva que possam ser percebidos em obras de arte. Após a resolução, promover uma roda de conversa a fim de que os alunos compartilhem suas justificativas na identificação dos elementos que apresentam a ideia de profundidade ou perspectiva. Se julgar conveniente, realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Arte para que os alunos possam desenvolver algumas técnicas de desenho com perspectiva. No item I, é apresentada uma imagem com elementos da arte egípcia. Para aproveitar este tema, ler para os alunos o trecho a seguir.

JOSE IGNACIO SOTO/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: Alternativa b. c) e) a) A

d) A

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no plano. Verificar se os alunos compreenderam que, neste caso, é preciso considerar que o observador está olhando a projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B sobre o plano do chão pela vista superior.

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plano III

plano I plano II

• Agora, em uma malha quadriculada, desenhe a figura obtida na projeção ortogonal da peça em cada plano. Resposta nas Orientações para o professor. 5. Identifique qual dos itens a seguir corresponde à plano III projeção ortogonal da figura geométrica espacial plano I em cada plano: I, II e III. I-e; II-d; III-a.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

plano II

• Agora, com base nessas projeções, faça o esboço dessa figura geométrica espacial no caderno. Resposta pessoal. 69

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4. Esta atividade trabalha a representação de uma figura geométrica espacial em perspectiva com base em sua projeção ortogonal em diferentes planos. Além disso, o contexto apresentado propicia uma abordagem relacionada à competência geral 6 e à competência especifica 1 de Matemática da BNCC, uma vez que é possível mostrar aos alunos que estes conceitos são utilizados por engenheiros mecânicos, que, entre outras funções, projetam equipamentos por meio de desenhos representando as vistas ortogonais que melhor os descrevem. Aproveitar este momento para reforçar que a Matemática é uma ciência viva, presente no cotidiano dos cidadãos e no mundo do trabalho, sendo utilizada para facilitar a organização dos processos e sendo instrumento de solução de problemas. Veja a resposta desta atividade na parte inferior desta página. 5. Esta atividade trabalha o reconhecimento de vistas ortogonais de uma figura geométrica espacial em diferentes planos. Verificar se os alunos perceberam que há itens que não correspondem às projeções ortogonais da figura geométrica espacial representada. Ao final, propor aos alunos que compartilhem com os colegas o esboço da figura geométrica espacial e as estratégias que eles utilizaram para realizá-lo.

4. Em um programa de computador, um engenheiro mecânico desenhou uma peça e observou a projeção ortogonal dessa peça em três planos distintos. Observe.

Plano I.

Plano II.

Plano III.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS INTEGRANDO COM HISTÓRIA E LÍNGUA PORTUGUESA Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 1 e às competências específicas 1 e 3 de Matemática da BNCC, uma vez que apresenta um contexto histórico relacionado à noção de sistema de coordenadas no plano que se desenvolveu e foi aperfeiçoado ao longo dos anos, se tornando de fundamental importância para diversas áreas do conhecimento. Se julgar conveniente, é possível trabalhar com esta seção com os professores das disciplinas de História e de Língua Portuguesa. Comentar que o livro Discours de la Méthode pour Bien Conduire as Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences, de René Descartes, é considerada por muitos estudiosos sua única publicação matemática. Além disso, explicar que Descartes é responsável por algumas notações que costumamos utilizar, como as letras do alfabeto para designar incógnitas e potências representadas por a2, a3, e assim por diante. O trecho a seguir apresenta mais informações a respeito da vida e obra do filósofo francês René Descartes. Se julgar conveniente, realizar a leitura para os alunos. Rene Descartes [...] era um pequeno descendente da nobreza francesa que era mais famoso como filósofo do que como matemático. A explanação de seu sistema de geometria analítica está em um apêndice de seu texto filosófico, Discourse on Method, como uma demonstração de como ele usou a razão para chegar aos seus resultados. [...] Descartes achava que nem a geometria nem a álgebra eram inteiramente satisfatórias, e procurava tirar o melhor de ambas. [...]

integrando com história e língua portuguesa

Mundo nos eixos Você já ouviu dizer que certa pessoa é “cartesiana”? Esse termo faz referência a pessoas objetivas que pensam e agem com a razão, e deriva do sobrenome do filósofo francês René Descartes (1596-1650). Descartes nasceu no dia 31 de março de 1596, em La Haye, um pequeno município do distrito de Touraine, na França , que hoje é conhecido por La Haye-Descartes, em sua homenagem. Aos 11 anos, Descartes estudou em um colégio jesuíta, considerado na época um dos melhores da França e, em 1616, formou-se em Direito na Universidade de Poitiers. Parte de sua vida foi dedicada a servir o exército de vários países e ao estudo de Filosofia e Matemática. Em 1637, Descartes publicou seu famoso livro Discours de la Méthode pour Bien Conduire as Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences, que significa Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas Ciências. Esse livro era acompanhado de três apêndices “La dioptrique”, “Les météores” e “La géométrie”. E foi nesse último apêndice que Descartes fez sua maior contribuição à Matemática, apresentando as ideias de localização de pontos no plano por meio de coordenadas, fomentando o que mais tarde se tornaria a base da Geometria Analítica. Em sua homenagem, atualmente chamamos o plano com o sistema de eixos coordenados de plano cartesiano e os pares ordenados que indicam a localização dos pontos nesse sistema de coordenadas cartesianas.

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Descartes propôs que a posição de um ponto em um plano podia ser identificada pela referência a dois eixos que se interceptam, usados como guias de medidas, desenvolvendo assim o sistema de coordenadas que agora é

conhecido como sistema cartesiano. [...]

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ROONEY, A. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. Tradução: Mario Fecchio. São Paulo: M.Books, 2012. p. 141.

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Resoluções a partir da p. 257

1. Para complementar esta questão, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Você se considera uma pessoa cartesiana? • Em que aspectos você acha bom ou ruim ser uma pessoa cartesiana? 4. No item a, os alunos podem apresentar diferentes respostas, neste caso, pedir a eles que compartilhem e comparem com as respostas dos demais colegas da turma. É importante destacar que os alunos podem estimar e indicar algum ponto do plano cartesiano, que não esteja destacado, baseando-se na observação do caminho representado. Eles podem, por exemplo, indicar o ponto de coordenadas (4; 3,5).

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Você conhece alguém que possa ser considerado cartesiano? Explique. Resposta pessoal.

2. Qual foi a maior contribuição de Descartes à Matemática? Resposta esperada: As ideias que possibilitaram o desenvolvimento do plano cartesiano. 3. Uma das frases mais conhecidas de Descartes no livro Discurso do Método está reproduzida 4. a) Algumas respostas possíveis: a seguir em latim. c. (_3, _2); (0, _1); (2, 0); (3, 2). Cogito ergo sun. Qual das alternativas a seguir corresponde a uma tradução dessa frase? Se necessário, faça uma pesquisa. a) Ser ou não ser. b) O Sol nasce para todos. c) Penso, logo existo. 4. Com base na lenda apresentada sobre Descartes, Patrícia representou em um plano cartesiano o caminho percorrido no teto por uma suposta mosca. Observe ao lado.

y 5

a) Indique as coordenadas cartesianas correspondentes a três pontos desse caminho.

c) Quais quadrantes do plano cartesiano têm parte do caminho percorrido pela mosca? I, III e IV.

3 1 _4 _3 _2 _1 0 _1

5 x

_2 EDITORIA DE ARTE

b) Ao percorrer esse caminho, a mosca passou pelo ponto de coordenadas cartesianas (–2, 3)? Não.

_3 _4

Distância do ponto A até essa parede.

ARTUR FUJITA

Fontes dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 383-389. DESCARTES, R. Discurso do método. Tradução Paulo Neves. Porto Alegre: L&PM, 2009.

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AMPLIANDO

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Acessar este site para obter mais informações a respeito de René Descartes. • E-CÁLCULO – USP. René Descartes (1596-1650). Disponível em: <http://livro.pro/ gk8vaf>. Acesso em: 4 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, à competência específica 5 de Matemática e às habilidades EF09MA11 e EF09MA15 da BNCC.

conectado

Medindo ângulo central e ângulo inscrito de um arco No GeoGebra, vamos construir um arco de circunferência e estudar a relação entre as medidas do ângulo central e de um ângulo inscrito correspondentes a esse arco. Observe estas etapas.

Para construir a circunferência, com a opção

, marcamos os pontos A, centro da

circunferência, e B, um ponto por onde a circunferência passa. Em seguida, com a opção selecionada, clicamos no centro da circunferência e, depois, marcamos os pontos C e D sobre ela, determinando o arco CD.

Com a opção

selecionamos a opção

selecionada, marcamos o ponto E sobre a circunferência. Em seguida, e clicamos nos pontos C e E e nos pontos D e E para representar

o ângulo inscrito CED. De maneira análoga, representamos o ângulo central CAD.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Medindo ângulo central e ângulo inscrito de um arco Na etapa 1, verificar se os alunos compreenderam que ao utilizar a opção Arco Circular do GeoGebra, o arco será indicado na circunferência, no sentido anti-horário a partir do primeiro ponto marcado. Na etapa 2, orientar os alunos que, nessa construção, o ponto E não deve estar sobre o arco )CD . Na etapa 3, orientar os alunos que a ordem estabelecida para clicar nos pontos ao medir os ângulos se deve a dois motivos: • ao utilizar a opção Ângulo, o segundo ponto em que se deve clicar é o vértice do ângulo. • o ângulo é medido no sentido anti-horário. Assim, de acordo com a ordem dos pontos em que se clica, é obtida a medida de um dos ângulos. Se julgar necessário, orientar os alunos a realizar a medição seguindo a ordem inversa da apresentada para observarem que será medido o ângulo replementar ao ângulo medido anteriormente.

você

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Com a opção

Mãos à obra 2. No item a, a resposta apresentada foi obtida sem realizar ajustes no zoom da Janela de Visualização do GeoGebra. Caso os alunos aumentem ou diminuam esse zoom antes de realizar a construção, as medidas obtidas podem variar. Orientá-los a fazer a construção sem ajustar o zoom da Janela de Visualização. Após o trabalho com o item c desta questão, orientar os alunos a, com opção Mover, movimentar o ponto E e observar o que acontece com as medidas dos ângulos CAD e CED. Espera-se que eles percebam que, independentemente da posição do ponto E, as medidas desses ângulos não se alteram, uma vez que são relativos ao mesmo arco de circunferência determinado incialmente.

selecionada, clicamos sobre C, A e D, nessa ordem, para

GEOGEBRA 2018

medir o ângulo central CAD. De maneira análoga, medimos o ângulo inscrito CED.

MÃos à obr a

1. A medida do ângulo central é o dobro da medida de um ângulo inscrito correspondente a um mesmo arco de circunferência. Sim, pois no exemplo a medida de CÂD é 90º, que corresponde ao dobro da medida de CÊD, que é de 45º. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. Nas páginas 57, 58 e 59 estudamos uma regularidade entre as medidas do ângulo central e de um ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Qual regularidade é essa? Ela se mantém no exemplo apresentado? Justifique. 2. No GeoGebra, reproduza a construção realizada no exemplo apresentado.

a) Com a opção

selecionada, clique sobre o arco CD. Qual é a medida obtida?4,71 cm.

selecionada, movimente o ponto B, reduzindo e ampliando a circunb) Com a opção ferência. O que acontece com a medida do: • arco CD? Resposta esperada: Se ajusta automaticamente, de acordo com a posição do ponto B. • ângulo CAD? Resposta esperada: Não se altera, independentemente da posição de B. • ângulo CED? Resposta esperada: Não se altera, independentemente da posição de B. selecionada, movimente o ponto C. O que acontece com as medidas c) Com a opção dos ângulos CAD e CED? A regularidade entre as medidas desses ângulos, observada na questão 1, se mantém? Resposta esperada: Se ajustam automaticamente, de acordo com a posição do ponto C. Sim.

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Construindo polígonos regulares Nas etapas 2 e 3, conversar com os alunos sobre o fato de, ao utilizar a opção Interseção de Dois Objetos e clicar sobre dois objetos, todos os pontos de intersecção entre esses objetos são marcados. No caso apresentado na etapa 2, por exemplo, são marcados os pontos C e D, que correspondem a todos os pontos de intersecção entre as duas circunferências representadas inicialmente. Orientá-los ainda que as nomenclaturas desses pontos variam de acordo com o objeto que clicamos primeiro. Mãos à obra 2. Verificar se os alunos compreenderam que, como o hexágono é regular, todos os lados devem ter a mesma medida. Assim, para determinar a medida de cada lado basta dividir a medida do perímetro por 6 (24 : 6 = 4), ou seja, o hexágono regular deve ter 4 cm de lado. 3. Observar a seguir as etapas para a construção sugerida nesta atividade. 1a) Com a opção Segmento com Comprimento Fixo, construímos um segmento de reta AB com medida 5 cm. Para isso, marcamos o ponto A, e na caixa de texto que abrir, digitamos 5 e clicamos em OK. Utilizando a opção Circunferência dados Centro e Um de seus Pontos, clicamos em A e depois em B, para construir a circunferência de centro A e que passa por B. De maneira análoga, construímos a circunferência de centro em B e que passa por A.

Construindo polígonos regulares No GeoGebra, vamos construir um hexágono regular de lado 6 cm.

Com a opção

, construímos um segmento de reta AB de 6 cm. Para isso, marcamos

o ponto A, digitamos 6 na caixa de texto que abrir e clicamos em OK. Utilizando a opção , clicamos em A e depois em B, para construir a circunferência de centro A e que passa por B. De maneira análoga, construímos a circunferência de centro em B e que passa por A.

Com a opção

selecionada, marcamos o ponto C clicando sobre a circunferência de

centro A e a de centro B. Utilizando a opção

, clicamos em C e depois em A, para construir

a circunferência de centro C e que passa por A.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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IMAGENS: GEOGEBRA 2018

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Com a opção

selecionada, marcamos o ponto F clicando sobre a circunferência de centro

C e, em seguida, sobre a de centro A. Ainda com essa opção selecionada, marcamos o ponto H clicando sobre a circunferência de centro C e, em seguida, sobre a de centro B. Utilizando a opção

, clicamos em F e depois em C, para construir a circunferência de centro F e que passa

por C. De maneira análoga, construímos a circunferência de centro H e que passa por C.

Com a opção

selecionada, marcamos o ponto J clicando sobre a circunferência de centro

C e, em seguida, sobre a de centro F. Ainda com essa opção selecionada, marcamos o ponto K clicando sobre a circunferência de centro C e, em seguida, sobre a de centro H. Utilizando a opção

, clicamos em A, B, H, K, J, F e A, nessa ordem, e construímos o hexágono regular

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

ABHKJF, com lados medindo 6 cm.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. No exemplo apresentado, as figuras de circunferência têm raios com medidas iguais ou diferentes? Justifique. Medidas iguais. Resposta esperada: Todas essas figuras de circunferência têm raio com medida correspondente ao do lado do hexágono, ou seja, 6 cm. 2. De maneira análoga ao exemplo apresentado, construa um hexágono regular com 24 cm de perímetro. Resposta pessoal. 3. Utilizando apenas as opções do GeoGebra apresentadas no exemplo, construa um triângulo equilátero de lado 5 cm. Resposta pessoal. 75

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2a) Com a opção Interseção de Dois Objetos selecionada, marcamos o ponto C clicando sobre as circunferência de centro A e de centro B. Utilizando a opção Polígono, clicamos em A, B, C e A, nessa ordem, e obtemos a representação de um triângulo equilátero ABC, com lados medindo 5 cm.

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IMAGENS: GEOGEBRA 2018

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, junto com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

Circunferência

Comprimento da circunferência

Polígonos regulares

Arco de

Ângulo inscrito

Ângulo central

circunferência

em uma circunferência

Relação entre o ângulo central e um ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência

Plano cartesiano

Perspectiva

Vistas ortogonais

Projeção ortogonal

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Circunferência, plano cartesiano e vistas

Circunferência Comprimento da circunferência

Ângulo central em uma circunferência

Plano cartesiano Polígonos regulares

Arco de circunferência

Ângulo inscrito em uma circunferência

Relação entre o ângulo central e um ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência

Vistas ortogonais

Perspectiva

Projeção ortogonal

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3. Veja a seguir a resposta do item I. • Plano I.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução. plano III

plano I

SITUAÇÃO INICIAL Com um programa de computador, Luísa desenhou a figura de um cilindro. Na representação ao lado, as bases do cilindro estão paralelas ao plano II e perpendiculares aos planos I e III.

• Plano II. plano II

PROBLEMAS

I No caderno, desenhe as projeções ortogonais desse cilindro em cada um dos planos.

• Plano III. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Resposta nas Orientações para o professor. Conceitos: Perspectiva; projeção ortogonal; vistas ortogonais. Luísa representou em um plano cartesiano uma dessas vistas ortogonais e destacou os pontos A, B, C, D e E sobre a circunferência e o arco AD. y 5 4 3

_4 _3 _2 _1 0 _1 E _2

No item II, verificar se os alunos perceberam que o ângulo central AOD corresponde ao ângulo formado entre os eixos cartesianos e, portanto, mede 90°. Além disso, é importante que eles compreendam que a menor distância entre os pontos A e D na circunferên1 do comcia corresponde a 4 primento dessa circunferência. Assim, para obter esse comprimento basta determinar o comprimento da circunferência e dividir o resultado por 4.

_3 _4

ILUSTRAÇÃO: EDITORIA DE ARTE

(_2, 0). Conceitos: Plano cartesiano; vistas ortogonais. a) Quais são as coordenadas cartesianas do ponto B?

b) Qual é a medida do ângulo central AOD correspondente ao arco de o circunferência destacado? 90 . Conceitos: Ângulo central em uma circunferência; arco de circunferência. c) Qual é a medida do ângulo inscrito AED correspondente ao arco de circunferência destacado? d) Nessa circunferência, qual é a menor distância entre os pontos A e D? 3,14 unidades de medida de comprimento. Conceitos: Circunferência; comprimento da circunferência; arco de circunferência. II. c) 45o. Conceitos: Relação entre o ângulo central e um ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência; arco de circunferência. 77

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UNIDADE TEMÁTICA

• Álgebra. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis. • Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E EQUAÇÕES DO 2O GRAU

HABILIDADE • EF09MA09 COMPETÊNCIAS

ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Sistema de Bandeiras Tarifárias Bandeira verde.

Bandeira vermelha.

Bandeira amarela.

ESTÚDIO AMPLA ARENA

GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Os reservatórios cheios de água favorecem a geração de energia. Neste caso, a tarifa não tem acréscimos*.

Os reservatórios, quando estão esvaziando, são menos favoráveis à geração de energia. Neste caso, a tarifa tem acréscimo de R$ 0,01 por quilowatt-hora consumido.

* Os acréscimos à tarifa são referentes aos valores em vigor em maio de 2018.

Bandeiras tarifárias em vigor desde janeiro de 2015 a maio de 2018 Bandeira verde

Bandeira amarela

Bandeira vermelha (Patamar 1)

Bandeira vermelha (Patamar 2)

JAN 2015

A Itaipu Binacional é a maior hidrelétrica do Brasil. Fotografia de 2014.

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4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

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Bandeiras tarifárias No Brasil, a principal fonte de geração de energia são as usinas hidrelétricas. Para funcionarem, elas dependem do nível de água nos reservatórios, que são alimentados por rios (que foram represados) e também pela água da chuva. Quando o nível de água nesses rervatórios é baixo, isso pode comprometer a capacidade de geração de energia elétrica. É, então, necessário utilizar fontes alternativas de geração de energia, como as usinas termelétricas. Essas usinas são mais poluentes e têm o custo de geração de energia maior do que o das hidrelétricas. Para compensar o aumento no custo de geração de energia no país, quando as termelétricas são acionadas, foi regulamentado em 2015, pela Agência Nacional de Energia Elétrica (Aneel), o chamado Sistema de Bandeiras Tarifárias. Nele, são definidos acréscimos à tarifa cobrada do consumidor, de acordo com as condições de custo de geração de energia no mês, e estes são sinalizados ao consumidor por meio de bandeiras com as mesmas cores do semáforo: verde, amarela e vermelha. No entanto, independentemente da bandeira tarifária em vigor, é importante que todos se preocupem em economizar energia elétrica no dia a dia, adotando atitudes como manter apagadas as lâmpadas em ambientes que não estão sendo utilizados, diminuir o tempo do Resposta esperada: Multiplica-se por R$ 0,05 o consumo banho, entre outras. de energia elétrica em quilowatt-hora.

Acesse este site para obter mais dicas de economia de energia elétrica. • CPFL. Cartilha de utilização consciente da energia elétrica. Disponível em: <http://livro.pro/9j6sjh>. Acesso em: 22 out. 2018.

AMPLIANDO

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.

Qual é a principal fonte de geração de energia elétrica no Brasil? Faça uma pesquisa e indique qual é a bandeira tarifária vigente no mês atual.

Usinas hidrelétricas. MAR ABR 2016 2016

JANTROYKA/ISTOCKPHOTO GETTY IMAGES

Explique como é calculado o acréscimo na tarifa de energia elétrica de uma residência quando está em vigor a bandeira tarifária vermelha no patamar 2, segundo os valores e período apresentados.

A resposta dependerá do mês em que este item for realizado. NOV DEZ 2016 2016

MAR ABR 2017 2017

JUN JUL AGO SET OUT 2017 2017 2017 2017 2017

DEZ JAN 2017 2018

MAIO 2018

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Expressões algébricas, monômios e polinômios Nas páginas de abertura desta Unidade, foram apresentadas informações sobre as bandeiras tarifárias na fatura de energia elétrica. Vimos que, no patamar 2 da bandeira vermelha, o acréscimo na tarifa de energia elétrica era de R$ 0,05 por quilowatt-hora (kWh) consumido. Podemos representar, nessa situação, o valor do acréscimo na tarifa de acordo com o consumo de energia elétrica por meio de uma expressão algébrica.

ESTÚDIO AMPLA ARENA

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS, MONÔMIOS E POLINÔMIOS O estudo de expressões algébricas foi realizado na Unidade 5 do Volume 7 e na Unidade 3 do Volume 8 desta coleção. Se julgar necessário, é possível retomá-las. Relembrar aos alunos que em uma expressão algébrica há letras representando números, que são denominadas variáveis. Além disso, o valor numérico de uma expressão é o resultado obtido quando substituímos cada variável por um número e realizamos os cálculos indicados. Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, como a apresentada, é preciso indicar o sinal de multiplicação entre os dois fatores, por exemplo, 0,05 ? 86. Na expressão algébrica 0,05c, é importante que os alunos compreendam que, ao calcular seu valor numérico para determinado número c, o resultado obtido corresponde a quanto a mais é cobrado na tarifa em comparação com o valor da bandeira verde, que é a bandeira tomada como referência. Após apresentar a definição de monômios, pedir aos alunos que justifiquem que as expressões algébricas indicadas nos itens b, c, d e e não representam monômios. Espera-se que eles percebam que no item b a expressão algébrica possui uma variável no denominador; no item c, o expoente da variável não é um número natural; no item d, há uma variável no radical; no item e, o expoente da variável não é um número natural. Mostrar aos alunos que é possível reescrever a expressão algébrica do item c de maneira que a variável fique 1 no radical (5m 2 H 5 m ) e a do item e, de maneira que a variável fique no denomina1 dor [7y_3 H 7 3 ]. y Caso julgar necessário, apresentar outros exemplos

0,05 ? c acréscimo por quilowatt-hora (R$)

consumo de energia (kWh)

Uma multiplicação de dois fatores, em que pelo menos um deles é uma letra, pode ser indicada sem o símbolo de multiplicação. Assim, podemos representar a expressão algébrica acima da seguinte maneira: 0,05c.

Em uma expressão algébrica, as letras representam números e são chamadas de variáveis. Em 0,05c temos que c é a variável. Como exemplo, considere que em certo mês estava em vigor o patamar 2 da bandeira vermelha e foram consumidos em uma residência 86 kWh de energia elétrica. Para determinar quantos reais de acréscimo na tarifa serão pagos, temos de calcular o valor numérico da expressão algébrica para c = 86. Observe. 0,05c H 0,05 ? 86 = 4,30 Assim, nessa residência serão pagos R$ 4,30 de acréscimo na tarifa. Observe outros exemplos de expressões algébricas. 1

a) _2x5y b)

3 a

c) 5m 2

e) 7y_3

2 2 3 ab 3

2 Note que, entre esses exemplos, as expressões algébricas _2x5y e a2b3 têm apenas variáveis 3 em que os expoentes são números naturais, de maneira que não possuem variáveis em radical ou no denominador de uma fração. Expressões algébricas como elas são chamadas monômios. De maneira geral, em um monômio podemos destacar uma parte numérica, chamada coeficiente, e uma parte literal. Observe. 2 2 3 _2 x5y ab 3 coeficiente

parte literal

coeficiente

parte literal

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de expressões algébricas que não são monômios.

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• ab 4 1

• 5 ac • m7n_2 •

1 4

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Quando dois ou mais monômios apresentam a mesma parte literal, dizemos que são monômios semelhantes. Em cada item a seguir, por exemplo, os monômios são semelhantes. 1 b) ab2 e 2ab2 a) 5x³y4 e _x³y4 3

Adição e subtração com monômios Quando uma expressão algébrica apresenta monômios semelhantes, podemos simplificá-la adicionando ou subtraindo os coeficientes desses monômios. Considere, por exemplo, a figura representada a seguir, decomposta em dois retângulos. Observe como podemos indicar a área de cada um deles. área: 5x ? 2y = 10xy área: 2x ? y = 2xy

y 5x

Note que a área de cada retângulo é representada por monômios semelhantes. Assim, podemos obter a área total dessa figura adicionando esses monômios: 10xy + 2xy = (10 + 2)xy = 12xy Também podemos calcular a diferença entre as áreas dos retângulos em azul e em verde efetuando uma subtração de monômios: 10xy _ 2xy = (10 _ 2)xy = 8xy

Multiplicação com monômios

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Outra operação que podemos efetuar com monômios é a multiplicação. Para determinar o produto de dois monômios, multiplicamos os coeficientes deles e multiplicamos as variáveis da parte literal. Observe, por exemplo, como podemos indicar o volume do bloco retangular representado a seguir.

2ab3

Qual propriedade das potências, estudadas na Unidade 1, foi utilizada ao multiplicar as variáveis correspondentes? A propriedade am ? an = am+n, em que a é um número real, com a 5 0, e m e n são números inteiros.

3a b 2

3a²b ? 4a ? 2ab³ = 3 ? 4 ? 2 ? a² ? a ? a ? b ? b³ = 24a4b4 A seguir, observe outros exemplos de multiplicação de monômios. a) 3x³y² ? 8x²y = 24x5y³

b) 8a²b5 ?

1 4 a = 4a6b5 2

c) 3b²c ? (_a³c5) = _3a³b²c6 81

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Relembrar aos alunos que para determinar a área de um retângulo multiplicamos as medidas do comprimento e da largura. No caso do retângulo representado em azul, o comprimento é 5x e a largura, 2y. No retângulo representado em verde, o comprimento é 2x e a largura, y. É importante que os alunos compreendam que podemos adicionar ou subtrair monômios apenas quando eles são semelhantes. Nos exemplos apresentados, explicar que colocamos a parte literal comum em evidência, para, em seguida, realizar a operação apenas com os coeficientes. No entanto, não é necessário realizar este procedimento na prática, podendo fazer a adição ou a subtração de monômios semelhantes. Explicar que, no caso da multiplicação, os monômios que correspondem aos fatores não necessitam ser semelhantes, como ocorre na adição e na subtração. PARA PENSAR Caso julgar necessário, retomar as propriedades de potências abordadas na Unidade 1 deste Volume. É importante enfatizar que, para adicionar os expoentes, a base deve ser a mesma. Nos exemplos de multiplicação de monômios, detalhar para os alunos na lousa os cálculos efetuados, como apresentado a seguir. a) 3x3y2 ? 8x2y = = 3 ? 8 ? x3 ? x2 ? y2 ? y = = 24x3+2 ? y2+1 = 24x5y3 1 4 a = 2 1 ? a2 ? a4 ? b5 = =8? 2 = 4 ? a2+4 ? b5 = 4a6b5 c) 3b2c ? (_a3c5) = = 3 ? (_1) ? b2 ? c ? c5 ? a3 = = _3 ? b2 ? c1+5 ? a3 = = _3a3b2c6 b) 8a2b5 ?

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Verificar se os alunos perceberam que a estratégia utilizada na divisão de monômios é parecida com a que foi utilizada na multiplicação. Assim, é importante enfatizar que, para subtrair os expoentes, a base deve ser a mesma.

Polinômios Relembrar aos alunos que para determinar a área de um retângulo multiplicamos as medidas do comprimento e da largura; para determinar a área de um quadrado, multiplicamos a medida de um lado por ela mesma; e, para a área de um triângulo, multiplicamos a medida da base pela medida da altura e dividimos o resultado por 2. Detalhar para os alunos, na lousa, como foram obtidas as áreas das figuras: • Ar = 2xy ? 4x2 = = 2 ? 4 ? x ? x2 ? y = = 8 ? x1+2 ? y = 8x3y xy ? 4x2 4 ? x ? x2 ? y = = 2 2 4 ? x1+2 ? y 4x3y = = = 2 2 4 = ? x3y = 2x3y 2 • Aq = x2 ? x2 = x2+2 = x4

Divisão com monômios Para determinar o quociente de monômios, dividimos os coeficientes e dividimos as variáveis da parte literal. Observe os exemplos. Qual propriedade das 15x5 15 x5 5_2 3 ? = = 5 ? x = 5x a) 15x5 : 3x2 = potências, estudadas na 3x2 3 x2 Unidade 1, foi utilizada 9x2y9 9 x 2y 9 9 2_1 9_7 9 2 ao dividir as variáveis ? ? x xy b) 9x2y9 : 4xy 7 = = = ? y = 4xy 7 xy7 4 4 4 correspondentes? 3 8 12x y 12 x3y8 3 8 3 2 3_3 8_2 6 ? c) 12x y : 2x y = = =6?x ?y = 6y A propriedade am = am_n, 2x3y 2 2 x3y 2 an em que a é um número real, Polinômios com a 5 0, e m e n são números inteiros. Considere a situação a seguir. De uma folha de papel retangular foram recortados um pedaço quadrado e outro triangular, conforme a figura a seguir. Como podemos calcular a área restante dessa folha de papel? x2

4x2

2xy

Para calcular a área restante da folha de papel após os recortes, podemos obter a expressão algébrica correspondente à área inicial dessa folha e subtrair do resultado a soma das áreas dos pedaços recortados. Observe. Área inicial da folha de papel: Ar = 2xy ? 4x² = 8x³y

• At =

No boxe Dica, comentar com os alunos que o prefixo corresponde ao elemento que antecede a base do significado da palavra. Nesse caso, “nômio” constitui a base do significado das palavras monômio, binômio, trinômio e polinômio, e os elementos mono-, bi-, tri-, poli-, respectivamente, constituem os prefixos.

4x2

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

xy ? 4x2 = 2x3y 2 Área do pedaço quadrado: Aq = x² ? x² = x4 Área do pedaço triangular: At =

Calculando Ar _ At _ Aq, temos: 8x³y _ 2x³y _ x4 = (8 _ 2)x³y _ x4 = 6x³y _ x4 A expressão acima é denominada polinômio, pois corresponde a uma adição algébrica de monômios. Cada um desses monômios é um termo do polinômio. De acordo com a quantidade de termos, um polinômio pode receber uma nomenclatura em particular. Observe os exemplos. 5a³b: O monômio é um polinômio de um único termo. 3m9n _ 2m: O binômio é um polinômio de dois termos. 1 2 x y³ + y³ _ 5: O trinômio é um polinômio de três termos. 2 a4 _ b²c + 5ac4 + b6: Esse polinômio tem quatro termos. Os prefixos mono-, bi- e tri- indicam nas palavras “um”, “dois” e “três”, respectivamente. Já o prefixo poli- indica “vários” na palavra.

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D3-MAT-F

8 11:16 AM

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. A empresa Entregas Rápidas realiza entrega de encomendas com motocicletas. Para calcular o preço cobrado em cada entrega, são considerados três valores. Observe:

5. Escreva uma potência de monômio que represente a área de um quadrado cujo lado mede 4x²y. Em seguida, efetue essa potência e determine o monômio que representa essa área. (4x²y)²; 16x4y².

Valor por minuto de percurso: R$ 0,15

a) Represente, por meio de uma expressão algébrica, o preço a ser cobrado por uma entrega em que serão percorridos x quilômetros em y minutos. 3 + 0,5x + 0,15y. b) Com base na expressão algébrica que você escreveu, calcule o preço cobrado por uma entrega em que são percorridos: • 10 km em 20 min. R$ 11,00. • 19 km em 38 min. R$ 18,20. 2. Observe como Bruno efetuou uma potenciação com monômio. (6x²y)³ = 6³ ? (x²)³ ? y³ = 216 ? x² ? ³ ? y³ = 216x6y³ Agora, efetue as potenciações a seguir. a) (3ab)² 9a²b². c) (_2xy²)4 16x4y8. d) (3m²n³)³ 27m6n9. b) (10m³)² 100m6. 3. Considere os monômios indicados nas fichas e calcule: A: 2x²y

B: 5x²y

I. A ? B 10x y². 2 II. A : B 5 4

C: _5x

D: 4y³

III. A _ B + C _ D _3x²y _ 5x _ 4y³. IV. (B _ C) ? D 20x²y4 + 20xy³.

6. Calcule o monômio que indica o volume do bloco retangular representado a seguir. 30x²y². 5x 3y 2xy

7. Uma folha de papel retangular, como a representada a seguir, foi dividida, sem sobra, em pedaços cuja área pode ser expressa por 4x²y². Em quantos pedaços essa folha foi dividida? 25 pedaços.

5xy2

20x

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Valor por quilômetro percorrido: R$ 0,50

= (5 + 3)x²y + (2 _ 5)x = = 8x²y _ 3x Agora, simplifique os polinômios a seguir de maneira análoga. a) 2a _ 9ab² + 5a + 2ab² _ 10 7a _ 7ab² _ 10. b) m³n + 5mn _ 3m³n + mn _2m³n + 6mn. c) ac³ _ 3ac + 8ac + 10ac³ 11ac³ + 5ac.

DANILLO SOUZA

Valor inicial fixo: R$ 3,00

4. Para simplificar um polinômio, Raquel efetuou adições e subtrações com os termos semelhantes. Observe. 5x²y + 2x + 3x²y _ 5x =

8. Observe como podemos calcular (5x² + 2y)². (5x² + 2y)² = (5x² + 2y) ? (5x² + 2y) = = 5x² ? 5x² + 5x² ? 2y + 2y ? 5x² + 2y ? 2y = = 25x4 + 10x²y + 10x²y + 4y² = = 25x4 + 20x²y + 4y² Agora, calcule: a) (3m² + n)². 9m4 + 6m²n + n².

b) (4p _ 2q²)². 16p² _ 16pq² + 4q4. 83

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma expressão algébrica e o cálculo do valor numérico dessa expressão. O nome da empresa apresentada nesta atividade

é fictício. No item a, é importante chamar a atenção dos alunos que o valor total cobrado pela distância percorrida e o total cobrado pelo tempo de percurso podem variar, ao contrário do valor inicial, que é fixo. No item b, verificar se eles perceberam que estão determinando o valor numérico

com a 5 0 e b 5 0, e m e n números inteiros, temos o uso das seguintes propriedades: • (6x2y)3 = 63 ? (x2)3 ? y3 Propriedade: (a ? b)m = am ? bm • 63 ? (x2)3 ? y3 = 216 ? x2?3 ? y3 Propriedade: (am)n = am?n 3. Esta atividade trabalha as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com monômios. 4. Esta atividade trabalha a simplificação de polinômios. Explicar que termos semelhantes correspondem a monômios semelhantes. Comentar que Raquel fez associações considerando os termos semelhantes para simplificar o polinômio. 5. Esta atividade trabalha a representação da área de um quadrado por meio de um monômio. 6. Esta atividade trabalha a representação do volume de bloco retangular por meio de monômios. Nesta atividade, as dimensões dos blocos retangulares correspondem a monômios. 7. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a divisão de monômios. Conversar com os alunos sobre as estratégias utilizadas por eles para resolvê-la. Uma delas é obter a área da folha de papel retangular e dividir o resultado obtido por 4x2y2, uma vez que não há sobras de papel. 8. Esta atividade trabalha a operação de potenciação com polinômios. Comentar que no exemplo foram utilizadas a propriedade distributiva da multiplicação e a propriedade de potência: am ? an = am+n, sendo a e b números reais, com a 5 0 e b 5 0, e m e n números inteiros.

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de uma expressão algébrica. 2. Esta atividade trabalha a operação de potenciação com monômios. É importante apresentar aos alunos as propriedades de potências utilizadas no exemplo do cálculo de Bruno, o que pode ser consultado na Unidade 1 deste Volume. Sendo a e b números reais,

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PRODUTOS NOTÁVEIS Antes de iniciar o conteúdo destas páginas, verificar a possibilidade de levar para a sala de aula dicionários de língua portuguesa e pedir aos alunos que pesquisem o significado da palavra “notável”. Destacar que os produtos notáveis apresentados são apenas alguns deles. Caso julgar pertinente, apresentar os seguintes produtos notáveis, que não costumam ser abordados neste nível de ensino. • Cubo da soma de dois termos: (a + b)3 = a3 + 3a2b + + 3ab2 + b3 • Cubo da diferença de dois termos: (a _ b)3 = a3 _ 3a2b + + 3ab2 – b3

Quadrado da soma de dois termos Comentar que, para obter o quadrado da soma de dois termos, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, usamos a adição e a multiplicação de monômios. Propor aos alunos que, utilizando exemplos numéricos, verifiquem que a igualdade (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 é verdadeira. Ver um exemplo, considerando a = 2 e b = 3. (2 + 3)2 = 22 + 2 ? 2 ? 3 + 32 52 = 4 + 12 + 9 25 = 25 Se julgar conveniente, resolver com os alunos os exemplos apresentados por meio de figuras, calculando a área de cada parte e adicionando-as. • a) (3x + 2y)2 2y

3x 6xy

9x2

6xy

4y2

25a2

10 100

50a

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

5a 50a

Em Matemática, certos produtos de polinômios, por apresentarem características particulares ou aplicações importantes, são chamados de produtos notáveis. Alguns deles são: quadrado da soma de dois termos; quadrado da diferença de dois termos; produto da soma pela diferença de dois termos.

Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos pode ser indicado da seguinte maneira: (a + b)² ou (a + b) ? (a + b) 1o termo

2o termo

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos: (a + b)² = (a + b) ? (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² A expressão obtida possui três termos e é chamada trinômio quadrado perfeito. É possível justificar, por meio de figuras, a igualdade acima para a e b positivos. Para isso, inicialmente consideramos uma figura de quadrado cujos lados medem a + b, decomposto em quatro partes: duas quadradas e duas retangulares. b

a b

Podemos calcular a área dessa figura de duas maneiras. 1a) Considerando o quadrado de lado a + b. 2a) Calculando a área de cada parte e adicionando-as. a+b

a+b

(a + b)² = (a + b) ? (a + b)

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² Como nessas duas maneiras as expressões obtidas correspondem à área de uma mesma figura, justificamos a igualdade: (a + b)² = (a + b) ? (a + b) = a² + 2ab + b Exemplos a) (3x + 2y)² = (3x + 2y) ? (3x + 2y) = 9x² + 6xy + 6xy + 4y² = 9x² + 12xy + 4y² 1o termo

2o termo

b) (5a + 10)² = (5a + 10) ? (5a + 10) = 25a² + 50a + 50a + 100 = 25a² + 100a + 100 1 termo o

2o termo

9x2 + 6xy + 6xy + 4y2 = = 9x2 + 12xy + 4y2 • b) (5a + 10)2 10

Produtos notáveis

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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25a2 + 50a + 50a + 100 = = 25a2 + 100a + 100 É importante que fique evidente que o quadrado da soma de dois termos é dado por a2 + 2ab + b2 e que, de maneira geral, (a + b)2 5 a2 + b2. Caso os alunos apresentem

esta dificuldade, propor a eles o seguinte exemplo numérico, considerando a = 1 e b = 5. (a + b)2 5 a2 + b2 (1 + 5)2 5 12 + 52 62 5 1 + 25 36 5 26

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença de dois termos pode ser indicado da seguinte maneira: (a _ b)² ou (a _ b) ? (a _ b) 2o termo

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos: (a _ b)² = (a _ b) ? (a _ b) = a² _ ab _ ab + b² = a² _ 2ab + b²

Vamos justificar, por meio de figuras, a igualdade acima para a e b positivos e a . b. Para isso, inicialmente consideramos uma figura de quadrado cujos lados medem a, decomposto em três partes: uma quadrada e duas retangulares.

a b

Podemos calcular a área da parte quadrada em verde de duas maneiras. 1a) Considerando a parte quadrada em verde. a_b

a_b b

a_b

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A expressão obtida também é chamada trinômio quadrado perfeito.

(a _ b)² = (a _ b) ? (a _ b)

a_b

2a) Calculando a área total da figura e subtraindo dela a área das partes retangulares. a b

área da parte retangular em vermelho

a_b

a² _ (ab + ab _ b²) = a² _ 2ab + b² b

a_b

área total da figura

10b

área da parte retangular em azul 2a _ 10b

Note que no cálculo da área da parte retangular em vermelho, temos:

2a 10b 2a _ 10b

(a _ b) ? b = ab _ b²

4a _ (20ab + 20ab _ 100b2) = = 4a2 _ 40ab + 100b2 b) (8 _ x)2 2

Como nessas duas maneiras as expressões obtidas correspondem à área de uma mesma figura, justificamos a igualdade:

8 x

(a _ b)² = (a _ b) ? (a _ b) = a² _ 2ab + b² Exemplos

8_x

a) (2a _ 10b)² = (2a _ 10b) ? (2a _ 10b) = 4a² _ 20ab _ 20ab + 100b² = 4a² _ 40ab + 100b² 1o termo

2o termo

64 _ (8x + 8x _ x2) = = 64 _ 16x + x²

b) (8 _ x)² = (8 _ x) ? (8 _ x) = 64 _ 8x _ 8x + x² = 64 _ 16x + x² 1o termo

2o termo

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8_x

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1o termo

Quadrado da diferença de dois termos Comentar que, para obter o quadrado da diferença de dois termos, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, usamos a subtração e a multiplicação de monômios. Propor aos alunos que, utilizando exemplos numéricos, verifiquem que a igualdade (a _ b)2 = a2 _ 2ab + b2 é verdadeira. Ver um exemplo, considerando a = 7 e b = 4. (7 _ 4)2 = 72 _ 2 ? 7 ? 4 + 42 32 = 49 _ 56 + 16 9=9 Se julgar conveniente, resolver com os alunos os exemplos apresentados por meio de figuras, calculando a área total da figura e subtraindo dela a área das partes retangulares (não quadradas). a) (2a _ 10b)2

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É importante que fique evidente que o quadrado da diferença de dois termos é dado por a2 – 2ab + b2 e que, de maneira geral, (a _ b)2 5 5 a2 _ b2. Caso os alunos apresentem esta dificuldade, propor a eles o seguinte exemplo numérico, considerando a = 6 e b = 2. (a _ b)2 5 a2 _ b2 (6 _ 2)2 5 62 _ 22 42 5 36 _ 4 16 5 32

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Produto da soma pela diferença de dois termos Propor aos alunos que, utilizando exemplos numéricos, verifiquem que a igualdade (a + b) ? (a _ b) = a2 _ b2 é verdadeira. Ver a seguir um exemplo, considerando a = 2 e b = 5. (a + b) ? (a _ b) = a2 _ b2 (2 + 5) ? (2 _ 5) = 22 _ 52 7 ? (_3) = 4 _ 25 _21 = _21 ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação do desenvolvimento de diferentes produtos notáveis. Propor aos alunos que, antes de resolver esta atividade, identifiquem o tipo de produto notável em cada item e quais características deve ter o polinômio correspondente ao seu desenvolvimento. Por exemplo, o polinômio correspondente ao quadrado da soma de dois termos, no item b, é um trinômio quadrado perfeito, dado pelo primeiro termo elevado ao quadrado, adicionado ao dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo e adicionado ao segundo termo elevado ao quadrado. 2. Esta atividade trabalha o desenvolvimento do produto notável quadrado da diferença de dois termos e está relacionada com fatoração, conteúdo que será abordado mais adiante nesta Unidade. Caso os alunos apresentem dificuldades para obter o termo apagado, orientá-los a analisar o trinômio quadrado perfeito. Uma estratégia para determinar o termo apagado é considerá-lo como ab, em que a é o seu coeficiente e b, sua parte literal. Assim, analisando o segundo termo do trinômio, temos que o coeficiente 24 é dado pelo produto 24 = 2 ? 3 ? a, logo, a = 6 4. Além disso, como a parte literal do segundo termo do trinômio é xy3, dado por xy3 = y3. x ? b, temos que b = x

Produto da soma pela diferença de dois termos O produto da soma pela diferença de dois termos pode ser indicado da seguinte maneira: (a + b) ? (a _ b) soma de dois termos

diferença de dois termos

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos: (a + b) ? (a _ b) = a² _ ab + ab _ b² = a² _ b² Chamamos a expressão obtida de diferença de quadrados. Vamos justificar, por meio de figuras, essa igualdade para a e b positivos e a . b. Para isso, consideramos inicialmente uma figura de retângulo cujos lados medem a e a + b, decomposto em duas partes retangulares. b a

a_b a+b

Podemos calcular a área da parte retangular em azul de duas maneiras. 1a) Considerando a parte retangular em azul. a_b a+b

(a + b) ? (a _ b) a 2 ) Calculando a área total da figura e subtraindo dela a área da parte retangular em verde. b a

a_b a+b

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a ? (a + b) _ b ? (a + b) = a² + ab _ ab _ b² = a² _ b² área total da figura

área da parte retangular em verde

Como nessas duas maneiras as expressões obtidas correspondem à área de uma mesma figura, justificamos a igualdade: (a + b) ? (a _ b) = a² _ b² Exemplos a) (8x + 4y) ? (8x _ 4y) = 64x² _ 32xy + 32xy _ 16y² = 64x² _ 16y²

b) (3a + 5) ? (3a _ 5) = 9a² _ 15a + 15a _ 25 = 9a² _ 25

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Portanto, o segundo termo da diferença é 4y3. Uma outra estratégia é calcular a raiz quadrada do terceiro termo do trinômio: 16y6 = 4y3. 3. Esta atividade trabalha a representação de trinômios quadrados perfeitos por meio de figuras geométricas planas.

Verificar se os alunos perceberam que, no item a, eles devem calcular o quadrado da soma de dois termos e, no item b, o quadrado da diferença de dois termos.

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

4y³ 3. Em cada item a seguir, determine o trinômio quadrado perfeito que representa a área da figura de quadrado em lilás. 7m b) a) n2 7m

WANDSON ROCHA

97² = = (100 _ 3)² = = 100² _ 2 ? 100 ? 3 + 3² = = 10 000 _ 600 + 9 = = 9 409 De maneira análoga, calcule mentalmente as potências a seguir. a) 102² 10 404 c) 107² 11 449 e) 101² 10 201 b) 99² 9 801

d) 93² 8 649

6. (Obmep-2017) Se a _ b = 1 e ab = 1, qual é o valor de a² + b² ? Alternativa c. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Para resolver esta atividade, use um dos produtos notáveis estudados.

y+1

7. Escreva e simplifique um polinômio que represente a área da parte em azul da figura a seguir. 2x² + y² + 1

2x _ (x + y) x_y

x+y

49m² _ 14mn² + n . 64x² + 32xy + 4y². 4. Desenvolva os produtos notáveis a seguir e obtenha um trinômio quadrado perfeito ou uma diferença de quadrados. a) (5x² _ 8y)² 25x4 _ 80x²y + 64y² b) (4a + 2b³)² 16a² + 16ab³ + 4b6 c) (3m _ n²) ? (3m + n²) 9m² _ n4 d) (a² _ 3ab)² a4 _ 6a³b + 9a²b² 4

4. Esta atividade trabalha o desenvolvimento de diferentes produtos notáveis. Caso os alunos tenham resolvido esta atividade utilizando propriedades de potências e a propriedade distributiva da multiplicação, propor a eles que também resolvam uti-

y_1 x+y x_y 2x

lizando as igualdades estudadas em cada produto notável. 5. Esta atividade trabalha ideias do quadrado da soma e do quadrado da diferença de dois termos como estratégia de cálculo mental com números naturais.

III

y_1

x+y

II 2x

y+1

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7. Esta atividade trabalha a representação da área de uma figura geométrica plana por meio de um polinômio e a simplificação desse polinômio por meio de produtos notáveis. Caso julgar necessário, orientar os alunos a, inicialmente, obter a seguinte representação e, depois, determinar o polinômio correspondente à área de três figuras (I, II e III). x+y

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

(3x _ )² = 9x² _ 24xy³ + 16y

105² = = (100 + 5)² = = 100² + 2 ? 100 ? 5 + 5² = = 10 000 + 1 000 + 25 = = 11 025

EDITORIA DE ARTE

2. A professora de Joice escreveu uma igualdade na lousa, porém um dos alunos apagou um termo dessa igualdade. Observe e determine o termo apagado.

5. Observe como Flávio e Gabriela calcularam mentalmente 105² e 97² utilizando, respectivamente, as ideias de quadrado da soma e de quadrado da diferença de dois termos.

ARTUR FUJITA

1. Em cada item, indique qual dos polinômios corresponde ao desenvolvimento do produto notável. a) (6m _ 7n)² II. I. 36m² + 84mn + 49n² II. 36m² _ 84mn + 49n² III. 36m² _ 49n² b) (5a + 4b)² I. I. 25a² + 40ab + 16b² II. 25a² _ 40ab + 16b² III. 25a² _ 16b² c) (11 _ 9p)² II. I. 121 + 198p + 81p² II. 121 _ 198p + 81p² III. 121 _ 81p² d) (3x _ 2y³) ? (3x + 2y³) III. I. 9x² + 12xy³ + 4y6 II. 9x² _ 12xy³ + 4y6 III. 9x² _ 4y6

desenvolvimento a expressão algébrica a2 + b2? Resposta: Nos trinômios quadrados perfeitos. • Das expressões algébricas apresentadas, existe alguma que elevada ao quadrado resulte em um trinômio quadrado perfeito? Em caso afirmativo, qual? Respostas: Sim. a _ b. • Qual é o trinômio quadrado perfeito correspondente ao desenvolvimento de (a _ b)2? Resposta: a2 _ 2ab + b2. • Qual é o valor numérico de (a _ b)2? Resposta: 1. Espera-se que os alunos a partir destes questionamentos estabeleçam a seguinte relação: 1 = (a _ b)2 = a2 _ 2ab + b2.

}

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AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257

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6. Esta atividade trabalha o desenvolvimento de produtos notáveis. Caso julgar necessário, orientar os alunos nesta resolução a partir dos seguintes questionamentos. • Em qual dos produtos notáveis estudados temos em seu

I) Retângulo de lados x _ y e 2x _ (x + y) = x _ y: (x _ y)2 = x2 _ 2xy + y2 II) Quadrado de lado x + y: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 III) Retângulo de lados y + 1 e y _ 1: (y + 1) ? (y _ 1) = y2 _ 12 = = y2 _ 1 Por fim, adicionar as áreas das figuras I e II e subtrair do resultado a área da figura III.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS Antes de iniciar este trabalho, relembrar com os alunos o que são múltiplos e divisores e como fatorar um número natural. Explicar que um número natural é múltiplo de outro, caso o primeiro seja resultado da multiplicação do segundo por um número natural qualquer. Por exemplo, os números 0, 5, 10, 15, 20, 25 e 30 são alguns dos múltiplos de 5, pois podem ser obtidos multiplicando números naturais por 5. Já um número natural, diferente de zero, é divisor de outro, caso a divisão do segundo pelo primeiro seja exata. Por exemplo, os números 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são os divisores de 12. Esses conceitos foram estudados em Volumes anteriores desta coleção. Ao explorar a fatoração de um número natural, reforçar com os alunos que fatorar, neste caso, significa reescrever um número como um produto cujos fatores podem ser números primos ou não. Quando todos os fatores são números primos, a fatoração é chamada de fatoração completa do número ou a decomposição em fatores primos. Caso julgar necessário, explorar a fatoração de outros números naturais. PARA PENSAR Se julgar necessário, relembrar os alunos de que decompor um número natural em fatores primos significa reescrevê-lo como um produto de números primos. Após explorar as duas maneiras de expressar a área do retângulo, propor aos alunos que, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, calculem a ? (a + b + c) para verificar que a igualdade a ? ? (a + b + c) = a2 + ab + ac é verdadeira. Explicar que fatorar, no caso dos polinômios, significa decompor um polinômio em um produto. No exemplo apresentado, o polinômio

Fatoração de polinômios Em anos anteriores, estudamos que um número natural pode ser escrito na forma fatorada, ou seja, como um produto de dois ou mais números. Observe diferentes maneiras de escrever os números 30 e 12 na forma fatorada. 2 ? 15 3 ? 10 30 Qual é a decomposição 5?6 do número 30 em fatores 2?3?5 primos? E do número 12? 2?6 2 ? 3 ? 5. 2 ? 2 ? 3. 12 3?4 2 2?2?3=2 ?3 Estudaremos agora como fatorar, quando possível, um polinômio. Para exemplificar, observe diferentes maneiras de expressar a área da figura representada a seguir.

1 ) Considerando a figura de retângulo de lados medindo a e a + b + c. a ? (a + b + c) a

2a) Calculando a área de cada parte e adicionando-as. a² + ab + ac

Note que essas duas expressões correspondem à área de uma mesma figura. Assim, as duas expressões são equivalentes. Podemos dizer que a ? (a + b + c), correspondente a um produto de polinômios, é uma forma fatorada de a² + ab + ac.

Fatoração de polinômios: fator comum em evidência Em alguns casos, quando os termos do polinômio possuem fator comum, podemos fatorar esse polinômio colocando em evidência tal fator. Observe, por exemplo, como podemos fatorar dessa maneira o polinômio 15x²y² + 6x³y. 1a) Para cada termo desse polinômio, decompomos o coeficiente em fatores primos e decompomos a parte literal. 3?5?x?x?y?y+2?3?x?x?x?y 15

2 ) Note que 3 e x²y são fatores comuns aos dois termos. Assim, usando a propriedade distributiva da multiplicação, colocamos em evidência o fator 3x²y no polinômio: 15x²y² + 6x³y = = 3x²y ? 5y + 3x²y ? 2x = = 3x²y ? (5y + 2x) Portanto, 3x²y ? (5y + 2x) é uma forma fatorada do polinômio 15x²y² + 6x³y em que 3x²y é o fator comum em evidência. a

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a2 + ab + ac, foi escrito como a ? (a + b + c). Comentar que existem diferentes maneiras de fatorar um polinômio, sendo que algumas delas serão abordadas nesta Unidade.

Fatoração de polinômios: fator comum em evidência Explicar que há outras maneiras de fatorar um polinômio colocando o fator comum em evidência.

Propor aos alunos que, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, verifiquem que a igualdade 3x2y ? ? (5y + 2x) = 15x2y2 + 6x3y é verdadeira.

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Observe agora outros exemplos de fatoração de polinômios utilizando essa mesma estratégia. a) 6a³b² _ 9a4c = =2?3?a?a?a?b?b_3?3?a?a?a?a?c= = 3a³ ? 2b² _ 3a³ ? 3ac = = 3a³ ? (2b² _ 3ac) b) 14x²y4 _ 10x4y³ + 2xy³ =

Fatoramos o coeficiente e a parte literal de cada termo. Colocamos o fator comum 3a³ em evidência. Fatoramos o coeficiente e a parte literal de cada termo.

=2?7?x?x?y?y?y?y_2?5?x?x?x?x?y?y?y+2?x?y?y?y= = 2xy³ ? 7xy _ 2xy³ ? 5x³ + 2xy³ ? 1 = = 2xy³ ? (7xy _ 5x³ + 1)

Colocamos o fator comum 2xy3 em evidência.

Resposta esperada: Não, pois o único fator comum entre os termos desse polinômio é o número 1. É possível fatorar o polinômio 7a³c + 5b²d _ 8 colocando um fator comum em evidência? Justifique.

Fatoração de polinômios: agrupamento Outra estratégia de fatoração de polinômios é realizando agrupamentos de termos que possuem fator comum. Observe, por exemplo, as etapas para fatorar o polinômio 3ab + 2b² _ 2b _ 3a com essa estratégia. 1a) Note que não há um fator, diferente de 1, comum a cada termo. Assim, comutamos e agrupamos os termos que possuem fator comum de maneira conveniente e colocamos esse fator em evidência em cada agrupamento. 3ab + 2b² _ 2b _ 3a = = 3ab _ 3a + 2b² _ 2b = = 3a(b _ 1) + 2b(b _ 1) 2a) Na expressão obtida, os termos possuem b _ 1 como fator comum. Assim, segue que: 3a(b _ 1) + 2b(b _ 1) = = (b _ 1)(3a + 2b) Portanto, (b _ 1)(3a + 2b) é uma forma fatorada do polinômio 3ab + 2b² _ 2b _ 3a. Agora, observe exemplos de outros polinômios fatorados por agrupamento. a) 7xy² _ y³ _ 14x + 2y = = 7xy² _ 14x _ y³ + 2y =

Comutamos e agrupamos os termos que possuem fator comum.

= 7x(y² _ 2) _ y(y² _ 2) =

Em cada agrupamento colocamos o fator comum em evidência.

= (y² _ 2)(7x _ y)

Colocamos o fator comum (y² _ 2) em evidência.

b) 8m4 _ 3n³ _ 6mn + 4m³n² = = 8m4 _ 6mn + 4m³n² _ 3n³ = = 2m(4m³ _ 3n) + n²(4m³ _ 3n) = (4m³ _ 3n)(2m + n²)

Após abordar os exemplos desta página, explicar que é possível apresentar outras formas fatoradas desses polinômios. Veja alguns exemplos. a) 3a2 ? (2ab2 _ 3a2c); 3a ? (2a2b2 _ 3a3c) b) 2x ? (7xy4 _ 5x3y3 + y3); 2y3 ? (7x2y _ 5x4 + x)

Fatoração de polinômios: agrupamento Explicar que, na etapa 1, a maneira “conveniente” consiste em agrupar os termos de modo que seja possível fatorar partes do polinômio, separadamente, colocando um fator comum em evidência. Mostrar que uma maneira “não conveniente” de agrupar os termos do polinômio dado, por exemplo, é (3ab _ 2b) + (2b2 _ 3a), uma vez que, apesar de ser possível fatorar 3ab _ 2b, colocando b em evidência, não é possível utilizar esta estratégia para 2b2 _ 3a. Propor aos alunos que, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, verifiquem que a igualdade (b _ 1) ? ? (3a + 2b) = 3ab + 2b2 _ 2b _ _ 3a é verdadeira, ou seja, a partir da forma fatorada é possível obter o polinômio inicial. No item b, explicar que podemos realizar outro agrupamento, sem alterar o resultado 8m4 _ 3n³ _ 6mn + 4m3n2 = = 8m4 + 4m3n2 _ 3n3 _ 6mn = = 4m3(2m + n2) _ 3n(n2 + + 2m) = (2m + n2)(4m3 _ 3n)

Comutamos e agrupamos os termos que possuem fator comum. Em cada agrupamento, colocamos o fator comum em evidência. Colocamos o fator comum (4m³ _ 3n) em evidência.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Fatoração de polinômios: trinômio quadrado perfeito Caso julgar necessário, retomar com os alunos o estudo do trinômio quadrado perfeito. Evidenciar aos alunos que (a + b)2 está na forma fatorada do polinômio, uma vez que ao reescrevê-lo temos: (a + b) ? ? (a + b). O mesmo é válido para (a _ b)2, que, ao ser reescrito, temos: (a _ b)(a _ b). No boxe Dica, reforçar aos alunos que esta é uma estratégia que eles podem utilizar para confirmar se a forma fatorada do polinômio está correta.

Fatoração de polinômios: trinômio quadrado perfeito Nesta Unidade, estudamos anteriormente os chamados trinômios quadrados perfeitos. Reveja os dois casos: quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferença de dois termos. (a + b)² = a² + 2ab + b² Quadrado da soma de dois termos.

(a _ b)² = a² _ 2ab + b² Quadrado da diferença de dois termos.

Trinômio quadrado perfeito.

Como (a + b)² = a² + 2ab + b² e (a _ b)² = a² _ 2ab + b², dizemos que: • (a + b)² é uma forma fatorada do polinômio a² + 2ab + b²; • (a _ b)² é uma forma fatorada do polinômio a² _ 2ab + b². Observe exemplos de fatoração de trinômios quadrados perfeitos: a) x² + y² _ 2xy = = x² _ 2xy + y² = = (x _ y)²

Fatoração de polinômios: diferença de dois quadrados Caso julgar necessário, retomar com os alunos o estudo da diferença de dois quadrados. Nos exemplos apresentados, verificar se os alunos perceberam que, antes de obtermos o produto da soma pela diferença de dois termos, cada termo foi fatorado. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a associação de um polinômio a uma de suas formas fatoradas. Antes de os alunos realizá-las, pode-se propor a eles que fatorem alguns números naturais; por exemplo: 500 (2 ? 250; 2 ? 25 ? 10; 4 ? 5 ? 25), 150 (3 ? 50; 5 ? 5 ? 6; 2 ? 5 ? 15) e 154 (2 ? 77; 7 ? 22; 11 ? 14). 2. Esta atividade trabalha a fatoração de polinômios. Propor aos alunos que compartilhem com os colegas a forma fatorada obtida em cada item, uma vez que existe mais de uma resposta possível. No item d, conversar sobre a impossibilidade de fatorar o polinômio indicado, uma vez que não há fator comum entre os termos.

Trinômio quadrado perfeito.

b) 12xy + 4x² + 9y² =

Comutamos os termos do polinômio. Fatoramos o polinômio escrevendo-o como um quadrado da diferença de dois termos. Comutamos os termos do polinômio.

= 4x² + 12xy + 9y² = = (2x)² + 2 ? 2x ? 3y + (3y)² = = (2x + 3y)²

Fatoramos cada termo para identificar o trinômio quadrado perfeito. Fatoramos o polinômio escrevendo-o como o quadrado da soma de dois termos.

Podemos verificar que (2x + 3y)² é uma forma fatorada do polinômio 12xy + 4x² + 9y² realizando os seguintes cálculos: (2x + 3y)² = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4x² + 6xy + 6xy + 9y² = 4x² + 12xy + 9y2

Fatoração de polinômios: diferença de dois quadrados Também estudamos nesta Unidade o produto notável correspondente à diferença de dois quadrados. (a + b)(a _ b) = a² _ b² Produto da soma pela diferença de dois termos.

Diferença de quadrados.

Note que o produto (a + b)(a _ b) corresponde a uma forma fatorada do polinômio a² _ b². Observe alguns exemplos de fatoração da diferença de dois quadrados. a) 4x² _ 25y² = = (2x)² _ (5y)² = = (2x + 5y) ? (2x _ 5y)

1 2 y = 4 2 1 = (3x2)2 _ [ y] = 2 1 1 2 = [3x + y] ? [3x2 _ y] 2 2

b) 9x4 _

c) 16x²y4 _ 81 = = (4xy²)² _ 9² = = (4xy² + 9) ? (4xy² _ 9)

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AtividadeS

• Retângulo com lados y2 e 2x:

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

4. d) 2xy² + 12x + 5y² + 30 = 2x(y² + 6) + 5(y² + 6) = (2x + 5)(y² + 6) d) Fatore o polinômio que você escreveu no 1. Em cada item, identifique o polinômio item c e mostre que é equivalente ao policorrespondente ao produto indicado. nômio que você escreveu no item b. a) 3y(6x + 9) III. I. 18xy + 27 5. A expressão indicada em cada item corresponde à área da figura de retângulo. II. 18x + 27y Determine, em cada item, binômios para III. 18xy + 27y representar as dimensões de cada retângulo. b) (3a + 2b)(5 _ b²) II. a) Respostas possíveis: I. 15a + 3ab² + 10b + 2b³ 2m3 _ n2 _ 2mn + m2n (2m + n)(m² _ n). II. 15a _ 3ab² + 10b _ 2b³ b) III. 15a _ 3ab² _ 10b + 2b³ 6a2 + 2ab + 3a + b (2a + 1)(3a + b). c) (m² _ 5)(1 _ 3n) I. c) I. m² _ 5 _ 3m²n + 15n 5 2 3 2 3x _ 18x y + x y _ 6y

(3x² + y)(x³ _ 6y).

III. 3m²n _ m² _ 15n + 5 2. Em cada item a seguir, se possível, fatore o polinômio. c) m4n³p + 6m³p³ a) 8x³y _ 2xy² 4 d) 12p4q _ 7 mn4 b) 12a²b³c + 9a b²c² 3. Qual dos itens a seguir não corresponde a uma forma fatorada do polinômio: 16x4y + 8x²y²z _ 12x³y4 c. a) 4xy(4x³ + 2xyz _ 3x²y³) b) x²y(16x² + 8yz _ 12xy³) c) 2xy²(4x³ + 2z _ 3x²y²) 4. De acordo com a figura, responda às questões a seguir. y2

6 5 2x

6. Fatore os polinômios a seguir escrevendo o produto notável correspondente. a) 4x4 + 12x² + 9 (2x² + 3)². b) 9a² _ 30ab² + 25b4 (3a _ 5b²)². c) 25m² _ n6 (5m + n³)(5m _ n³). d) 16p4 + 9q² _ 24p²q (4p² _ 3q)². , 7. A qual número natural corresponde o sabendo que a forma fatorada do polinômio a seguir é um trinômio quadrado perfeito? xy² + 9y4 6 x² _ • Agora, escreva a forma fatorada desse polinômio. (x _ 3y²)². 8. Junte-se a um colega e escrevam uma situação-problema relacionada à figura a seguir, cuja resolução envolva fatoração de polinômios. Em seguida, troquem-na com outra dupla e peçam que a resolvam, enquanto vocês resolvem aquela que receberam. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. 2x

2x + 5 e y² + 6. a) Quais são os binômios que representam 3y _ 10 8 as medidas dos lados do retângulo maior? b) Represente a área do retângulo maior 10 10 como um produto de binômios. (2x + 5)(y² + 6). c) Calcule a área do retângulo maior por meio da soma das áreas dos retângulos menores. 5x 2xy² + 12x + 5y² + 30. 2. a) Uma resposta possível: 2xy(4x² _ y). b) Uma resposta possível: 3a²b²c(4b + 3a²c). c) Uma resposta possível: m³p(mn³ + 6p²). d) Não é possível fatorar.

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3. Esta atividade trabalha diversas formas fatoradas de um mesmo polinômio. É importante verificar se os alunos compreenderam que é possível obter diversas formas fatoradas de um polinômio, colo-

cando diferentes fatores em comum em evidência. Complementar esta atividade, pedindo aos alunos que indiquem outra maneira de fatorar esse polinômio, por exemplo, colocando apenas o fator y em evidência.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

II. 3m²n + m² _ 5 _ 15n

2xy2 • Retângulo com lados 6 e 2x: 12x • Retângulo com lados y2 e 5: 5y2 • Retângulo com lados 6 e 5: 30 No item d, os alunos devem utilizar a fatoração por agrupamento. 5. Esta atividade trabalha a fatoração de polinômios. 6. Esta atividade trabalha o processo de fatoração de polinômios com base em produtos notáveis. 7. Esta atividade trabalha o processo de fatoração de um trinômio quadrado perfeito por meio do quadrado da diferença de dois termos. Discutir qual é a forma de um trinômio quadrado perfeito e como o coeficiente do termo central é obtido. Espera-se que eles percebam que o coeficiente desconhecido é dado pelo dobro do produto das raízes quadradas dos coeficientes do primeiro e do terceiro termo: 2 ? ( 1 ? 9 ) = 6. 8. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema envolvendo a fatoração de um polinômio. Avaliar se os problemas elaborados pelos alunos contemplam as ideias relacionadas ao conceito proposto. Ao final, pedir a eles que compartilhem entre si essas produções. A seguir, é apresentado um exemplo de problema que pode ser elaborado pelos alunos. • Represente a área da figura na forma fatorada de um polinômio. Uma dica: divida a figura em duas representações de retângulos. Uma resposta possível: 6x(y + 5).

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4. Esta atividade trabalha o processo de fatoração de um polinômio. A seguir, estão indicadas as áreas dos retângulos menores para a resolução do item c.

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EQUAÇÃO DO 2O GRAU COM UMA INCÓGNITA Relembrar com os alunos que na expressão algébrica as letras são denominadas variáveis e nas equações, incógnitas. É importante que os alunos percebam que, enquanto nas expressões algébricas, as letras podem assumir diferentes valores com os quais se determina o valor numérico daquela expressão, isto não acontece com as incógnitas, que são valores já estabelecidos que, de maneira geral, pretendemos determinar na equação. Em relação ao contexto apresentado, comentar com os alunos sobre o hasteamento da bandeira do Brasil. Explicar que, de acordo com a legislação, o hasteamento da bandeira nacional deve ser feito pela manhã, sendo que à tarde a bandeira deve ser recolhida. A exposição da bandeira também é permitida durante a noite desde que esteja bem iluminada. Além do hasteamento obrigatório em alguns locais, a bandeira é hasteada todos os dias nos edifícios do governo e também em situações em que o Brasil é representado perante outros países, como em encontros governamentais.

Equação do 2 o grau com uma incógnita A bandeira do Brasil tem formato de retângulo e suas dimensões _ comprimento e largura _ possuem uma proporção oficial, regulamentada pela legislação. Utilizando essas dimensões oficiais, Bruno desenhou uma representação da bandeira do Brasil com 70 cm2 de área e escreveu as dimensões como polinômios. Observe.

x+2

Consulte este livro, que apresenta informações sobre equações do 2o grau com uma incógnita por meio das aventuras vivenciadas pelos personagens. • ROSA, E. As mil e uma equações. São Paulo: Ática, 2001. (A Descoberta da Matemática).

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para determinar as medidas das dimensões dessa bandeira, podemos utilizar a fórmula do cálculo da área do retângulo e escrever a seguinte equação: área da bandeira (cm2)

2x ? (x + 2) = 70 medida do comprimento

medida da largura

Em anos anteriores, estudamos que uma equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade cujas letras, que representam números desconhecidos, são chamadas incógnitas.

Desenvolvendo essa equação, temos: 2x ? (x + 2) = 70 2x ? x + 2x ? 2 = 70 2x² + 4x = 70 2x² + 4x _ 70 = 0 A equação 2x² + 4x _ 70 = 0 tem apenas uma incógnita, indicada pela letra x, que possui somente expoentes naturais, dos quais o maior deles é o número 2. Equações com essas características são chamadas equações do 2o grau com uma incógnita. As soluções ou raízes de uma equação são os números que, ao substituírem a incógnita, determinam uma igualdade verdadeira. Em relação à equação 2x² + 4x _ 70 = 0, por exemplo, temos que: • 5 é solução, pois: 2 ? 5² + 4 ? 5 _ 70 = 0 2 ? 25 + 4 ? 5 _ 70 = 0 50 + 20 _ 70 = 0 0=0

igualdade verdadeira

• _7 é solução, pois: 2 ? (_7)² + 4 ? (_7) _ 70 = 0 2 ? 49 + 4 ? (_7) _ 70 = 0 igualdade 98 _ 28 _ 70 = 0 verdadeira 0=0

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AMPLIANDO

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Sugerir aos alunos que acessem este site para mais informações sobre a bandeira do Brasil. • BRASIL. Presidência da República. Bandeira Nacional. Disponível em: <http://livro. pro/6vuiph>. Acesso em: 4 out. 2018.

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• 3 não é solução, pois:

2 ? 3² + 4 ? 3 _ 70 = 0 2 ? 9 + 4 ? 3 _ 70 = 0 18 + 12 _ 70 = 0 _40 = 0

igualdade falsa

Assim, dizemos que 5 e _7 são raízes ou soluções dessa equação e que 3 não é. No caso particular da situação apresentada, em que x corresponde a uma medida de comprimento, consideramos apenas a solução positiva. Observe como ficam as medidas. • Comprimento da bandeira: 2x = 2 ? 5 = 10, ou seja, 10 cm. • Largura da bandeira: x + 2 = 5 + 2 = 7, ou seja, 7 cm. Toda equação do 2o grau com uma incógnita (x) pode ser expressa na forma reduzida da seguinte maneira: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes e correspondem a números reais, com a 5 0. Nesse caso, dizemos que a é o coeficiente de x², b é o coeficiente de x, e c é o termo independente. Podemos classificar uma equação do 2o grau com uma incógnita em: • completa, quando os coeficientes b e c são diferentes de zero; • incompleta, quando os coeficientes b, c ou ambos são iguais a zero. Observe os exemplos. Equações do 2o grau com uma incógnita Incompleta Completa b50ec=0

b=0ec50

b=0ec=0

• _x² _ 8x + 12 = 0 a = _1; b = _8; c = 12

• 7x² _ x = 0 a = 7; b = _1; c = 0

• x² _ 36 = 0 a = 1; b = 0; c = _36

• 3x² = 0 a = 3; b = 0; c = 0

• 5x² _ 3x _ 2 = 0 a = 5; b = _3; c = _2

• _4x² + 2x = 0 a = _4; b = 2; c = 0

• 8x² _ 800 = 0 a = 8; b = 0; c = _800

• _10x² = 0 a = _10; b = 0; c=0

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Escreva, na forma reduzida, as equações do 2o grau com uma incógnita. a) 12x² + 20x = _4x _ 36 + 8x² 4x² + 24x + 36 = 0 b) _x + 42 = 6x² _ x 6x² _ 42 = 0. c) x² _ 5 = _2x² + 6x + 4 3x² _ 6x _ 9 = 0 d) x(x + 3) = 40 x² + 3x _ 40 = 0. 2. Leia o problema a seguir. O produto de um número natural x e seu antecessor é 132. Que número é esse?

a) Qual das equações a seguir representa esse problema? II. I. (x + 1)(x _ 1) = 132 II. x(x _ 1) = 132 III. x(x + 1) = 132 b) Escreva, na forma reduzida, a equação que você indicou no item a. x² _ x _ 132 = 0 c) Faça tentativas para determinar as raízes dessa equação e obtenha a resposta do problema. Raízes da equação: _11 e 12; 12. 93

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Ao abordar as raízes da equação do 2o grau com uma incógnita, explicar aos alunos que, para um número ser raiz de uma equação, ao substituí-lo na incógnita, temos de obter uma igualdade verdadeira. É importante enfatizar que o coeficiente a é sempre diferente de zero. Comentar que, se substituíssemos a = 0 em ax2 + bx + c = 0, não teríamos uma equação do 2o grau. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a escrita de uma equação do 2o grau com uma incógnita na forma reduzida. Para complementar, pedir aos alunos que identifiquem os coeficientes a, b e c de cada equação reduzida e as classifiquem em completas ou incompletas. a) a = 4, b = 24, c = 36; completa. b) a = 6, b = 0, c = –42; incompleta. c) a = 3, b = –6, c = –9; completa. d) a = 1, b = 3, c = –40; completa. Se julgar conveniente, pedir aos alunos que obtenham as raízes dessas equações por meio de tentativas. 2. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita, a sua escrita na forma reduzida e a obtenção das raízes por tentativas. No item c, promover um momento para que os alunos possam compartilhar as estratégias utilizadas. É importante que eles percebam que a resposta do problema deve ser 12, uma vez que o número correspondente à resposta do problema é natural.

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Resolução de equação do 2o grau com uma incógnita O trecho a seguir apresenta mais informações sobre a obra Suma, de Luca Pacioli. Se julgar conveniente, realizar a leitura para os alunos. [...] Esse trabalho, uma compilação livre de muitas fontes, pretendia ser um sumário da aritmética, da álgebra e da geometria da época. [...] A parte aritmética da Suma começa com algoritmos para as operações fundamentais e para a extração de raiz quadrada. A abordagem é bastante completa, contendo, por exemplo, nada menos que oito esquemas para se efetuar a multiplicação. A aritmética mercantil é focalizada extensamente e ilustrada com vários problemas; há um tratamento relevante da escrituração mercantil de partidas dobradas. A regra de falsa posição é discutida e aplicada. Apesar dos muitos erros numéricos, a parte aritmética do trabalho tornou-se o padrão para as práticas da época. A álgebra da Suma chega até equações quadráticas e contém muitos problemas que levam a essas equações. [...] Depois da Suma, a álgebra, que por dois séculos fora negligenciada, experimentou um crescimento intenso na Itália, progredindo também na Alemanha, na Inglaterra e na França. [...] EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 298.

Reforçar que as raízes da equação 3x2 – 6x = 0 são 0 e 2, isto é, substituindo x por 0 na equação inicial, obtemos uma igualdade verdadeira, e substituindo x por 2 na equa-

Resolução de equação do 2o grau com uma incógnita No decorrer da história, diversos estudiosos se dedicaram a resolver o que atualmente chamamos de equações do 2o grau com uma incógnita, como o frei italiano Luca Pacioli (c. 1445-1509), que tratou de problemas relacionados com essas equações em sua famosa obra Summa de arithmetica, geometrica, proportion et proportionalita, habitualmente chamada de Suma.

DEA / A. DAGLI ORTI/DEAGOSTINI/GETTY IMAGES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A imagem retrata, à frente, o frei Luca Pacioli. Um fato curioso é que Leonardo da Vinci (1452-1519) foi aluno de Pacioli e fez ilustrações para uma de suas obras. Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 118, 298.

A seguir, estudaremos a resolução de equações incompletas e completas do 2o grau com uma incógnita.

Resolução de equação do 2o grau incompleta, com b 5 0 e c = 0 Para resolvermos equações desse tipo, podemos utilizar como estratégia a fatoração colocando o fator comum em evidência. Observe, por exemplo, a resolução da equação 3x² _ 6x = 0. 3x² _ 6x = 0 x ? (3x _ 6) = 0

Colocamos o fator comum x em evidência.

Note que para o produto x ? (3x _ 6) ser igual a zero, como indicado, temos que pelo menos um desses fatores deve ser zero. Assim, segue que: x=0

3x _ 6 = 0 3x _ 6 + 6 = 0 + 6 3x 6 = 3 3 x=2

Portanto, as raízes da equação 3x² _ 6x = 0 são 0 e 2. Podemos verificar que essas são as raízes da equação substituindo cada uma delas na incógnita e obtendo uma igualdade verdadeira. • x=0 3 ? 0² _ 6 ? 0 = 0 3?0_6?0=0 0_0=0 0=0

• x=2 3 ? 2² _ 6 ? 2 = 0 3?4_6?2=0 12 _ 12 = 0 0=0

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ção inicial, também obtemos uma igualdade verdadeira. Apesar de serem duas raízes, substituímos uma por vez na equação inicial para fazer a validação. Esta é uma estratégia para verificar se as raízes obtidas estão corretas, ou seja, se satisfazem a equação dada.

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Ao trabalhar com a resolução das equações incompletas em que b 5 0 e c = 0, é importante que os alunos percebam que, utilizando a fatoração em que o fator comum é colocado em evidência, obtemos uma das raízes (zero), sendo que para determinar a outra raiz é preciso resolver uma equação do 1o grau com uma incógnita. Se julgar necessário, relembrar a resolução deste tipo de equação, além dos princípios aditivo e multiplicativo da igualdade.

Agora, observe como podemos obter as raízes da equação x² + 9x = 0. x² + 9x = 0 x ? (x + 9) = 0 Assim, segue que: •

x=0

•

x+9=0 x+9_9=0_9 x = _9

Portanto, as raízes dessa equação são 0 e _9. Resposta esperada: Uma das raízes é sempre igual a zero. Observando esse exemplo e aquele apresentado na página anterior, que regularidade você pode perceber em relação às raízes de equações incompletas do 2o grau, com uma incógnita, com b 5 0 e c = 0?

Toda equação do 2o grau incompleta, com uma incógnita, com b 5 0 e c = 0, tem duas raízes reais, uma delas igual a zero.

Resolução de equação do 2o grau incompleta, com b = 0 e c = 0 A seguir, observe como podemos resolver de maneira geral equações do 2o grau incompletas, com uma incógnita, com b = 0 e c = 0. Para isso, vamos considerar a equação ax² = 0, em que a é um número real e a 5 0. ax² = 0 ax2 0 = a a x² = 0 x?x=0 Note que, nesse caso, para o produto ser igual a zero, temos que pelo menos um desses fatores deve ser zero. Portanto, equações desse tipo têm duas raízes reais e iguais a zero. Observe outros exemplos. 1 b) _ x2 = 0 a) 3x² = 0 4 3x2 0 = 1 _ x2 3 3 0 4 x² = 0 = 1 1 _ _ x?x=0 4 4 Portanto, essa equação tem duas raízes 2 x =0 reais e iguais a zero. x?x=0 Portanto, essa equação tem duas raízes reais e iguais a zero. Toda equação do 2o grau incompleta, com uma incógnita, com b = 0 e c = 0, tem duas raízes reais e iguais a zero.

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PARA PENSAR Uma outra regularidade que pode ser observada em relação às raízes de equações do 2o grau com uma incógnita, incompletas com b 5 0 e c = 0, é que a outra raiz é b igual a _ . Para que os a alunos percebam isto, uma sugestão é propor a eles que primeiramente identifiquem quais são os coeficientes a e b das duas equações apresentadas e a raiz da equação que é diferente de zero. Observe os exemplos. • 3x2 _ 6x = 0 a = 3 e b = _6; x = 2 x • 2 + 9x = 0 a = 1 e b = 9; x = _9 A partir disso, auxiliar os alunos a estabelecer uma relação entre esses coeficientes e a raiz que é diferente de zero. Outra estratégia para identificar que a raiz diferente de b zero é dada por _ , é partir a da equação incompleta ax2 + + bx = 0, em que a 5 0. Colocando x em evidência, obtemos x(ax + b) = 0, em que x = 0 ou ax + b = 0. Resolvendo a equação do 1o grau, temos que: ax + b = 0 ax + b _ b = 0 _ b ax _b = a a b x=_ a Destacar para os alunos que a equação do 2o grau incompleta com b = 0 e c = 0 tem duas raízes iguais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Para iniciar o trabalho com o conteúdo desta página, relembrar os alunos a relação entre potenciação e radiciação estudada na Unidade 1 deste Volume: Sendo a e b números reais não negativos e n um número natural maior do que n 1, dizemos que a = b se e somente se bn = a. Com isso, é possível explorar com os alunos a resolução de equação do 2o grau com uma incógnita do tipo ax2 + + c = 0, com a 5 0, da seguinte maneira: ax2 + c = 0 ax2 + c _ c = 0 _ c ax2 _c = a a c x2 = _ a A partir desse resultado, conversar com eles a fim de que percebam que, quando c _ for maior do que zero, a as raízes da equação serão c c _ e _ _ , isto é, númea a c ro opostos. Quando _ for a menor do que zero, a equação não tem raiz real. Na resolução da equação x2 + 25 = 0, reforçar para os alunos que não existe número real que elevado ao quadrado resulte em _25. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita incompletas. No item b, verificar se os alunos perceberam que a equação tem duas raízes iguais a zero. 2. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 2o grau com uma incógnita incompleta. 3. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita incompleta e sua resolução. Uma estratégia para resolver esta atividade é primeiramente determinar o valor de x, a

Resolução de equação do 2o grau incompleta, com b = 0 e c 5 0 Agora, estudaremos equações do 2o grau incompletas, com uma incógnita, com b = 0 e c 5 0. Observe, por exemplo, a resolução da equação 2x² _ 18 = 0. 2x² _ 18 = 0 2x² _ 18 + 18 = 0 + 18 2x2 18 = 2 2 x² = 9 A igualdade x² = 9 indica que o valor de x corresponde a um número cujo quadrado é 9. Nesse caso, temos duas possibilidades: x= 9=3 ou x = _ 9 = _3

x² = 9

Observando esse exemplo, o que você pode perceber em relação às raízes dessa equação?

Resposta esperada: As raízes são números opostos. Assim, as raízes dessa equação são 3 e _3. Agora, vamos estudar as raízes da equação x² + 25 = 0. x² + 25 = 0 x² + 25 _ 25 = 0 _ 25 x² = _25 Estudamos na Unidade 1 que não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte em um número negativo. Assim, dizemos que a equação x² + 25 = 0 não tem raiz real.

Toda equação do 2o grau incompleta, com uma incógnita, com b = 0 e c 5 0, tem duas raízes reais distintas e opostas ou não tem raiz real. Observe outros exemplos. a) x² _ 100 = 0 x² _ 100 + 100 = 0 + 100 x² = 100

x = 100 = 10 ou x = _ 100 = _10

Portanto, 10 e _10 são as raízes dessa equação.

AtividadeS

b) 7x² + 56 = 0 7x² + 56 _ 56 = 0 _ 56 7x2 _56 = 7 7 x² = _8 Portanto, essa equação não tem raiz real.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Calcule, quando existirem, as raízes reais das equações a seguir. Não tem raiz real. a) 2x² + 4x = 0 0 e _2. c) x² _ 1 = 0 1 e _1. e) 15x² + 180 = 0 b) _5x² = 0 0. d) 6x² _ 9x = 0 0 e 3. f) 9x² = _72x 0 e _8. 2 2. Considere r e s as raízes da equação x² _ 64 = 0, com r , s. s a) Quais são os valores de r e s? b) Calcule o valor de 2r + . _14 4 r = _8 e s = 8. 96

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partir da resolução da equação 16x2 = 6x2 + 30x, em que o primeiro membro da igualdade representa a área do quadrado e o segundo membro, a área do triângulo. Após a obtenção das raízes, conversar com os alunos que,

devido ao contexto, não se deve considerar x = 0 como solução da situação, uma vez que x corresponde a medidas de comprimento nas figuras do quadrado e do triângulo.

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3. O quadrado e o triângulo representados a seguir têm áreas iguais e as medidas indicadas são expressas em centímetros.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Com base nessas informações, responda ao que se pede, em centímetro.

6. O professor de Matemática escreveu na lousa uma equação do 2o grau com uma incógnita que não tinha raiz real. Ao final da aula, um aluno apagou um número no segundo membro dessa equação. Observe. x² _ 7 =

4x 3x + 15

12 cm. a) Qual é a medida da altura desse triângulo? b) Qual é o perímetro desse quadrado? 48 cm. c) Determine a área dessas figuras. 144 cm2.

O que podemos afirmar sobre o número que foi apagado? Resposta esperada: O número é menor do que _7. 7. Certo fabricante de laticínios quer desenvolver uma embalagem de iogurte natural que tenha o formato de um bloco retangular de base quadrada, com altura interna de 8 cm e que tenha capacidade para 240 mL, conforme mostra a figura a seguir. ALEX SILVA

4. Certo terreno de 486 m2 de área tem formato de um trapézio com as seguintes características: a base maior tem o dobro da medida da base menor e a da altura. a) Faça um desenho no caderno para representar esse trapézio. Para isso, indique por x a medida da altura desse trapézio, 4. a) 2 em metros. 4. b) 3x = 486 ou 3x² _ 972 = 0. x 2 b) Com base na figura que você desenhou x no item a, escreva uma equação para x representar a área desse terreno. 2x 4. c) 18 m. c) A quantos metros corresponde a medida x a) Escreva uma equação para representar a na figura que você representou no item a? capacidade dessa embalagem. 8x² = 240. 5. Leia o que Camila está dizendo, escreva uma equação que represente a informação apresentada e resolva-a para determinar a idade dela. 2x² = 30x; 15 anos.

Ao calcular o dobro do quadrado da minha idade em anos, obtenho o mesmo resultado que ao multiplicar essa idade por 30.

b) Qual ficha a seguir indica a medida mais próxima daquela que a aresta interna da base dessa embalagem deve ter? 5,48 cm. 5,75 cm

5,48 cm

6,58 cm

4,74 cm

8. Escreva uma equação do 2o grau incompleta, com uma incógnita, que: Respostas pessoais. a) tenha duas raízes reais e iguais a zero. b) tenha duas raízes reais, mas apenas uma igual a zero. c) tenha duas raízes reais distintas e opostas. d) não tenha raiz real.

DANILLO SOUZA

• Agora, troque essas equações com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve aquelas que ele escreveu. Ao final, confiram juntos as resoluções. 97

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4. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita incompleta e sua resolução. Relembrar os alunos que, considerando um trapézio de base maior medindo B, base menor medindo b e altura medindo h, sua área é dada por

(B + b) ? h . 2 5. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita incompleta e sua resolução. Discutir com os alunos que neste contexto não se deve considerar x = 0 como soluA=

portante que eles percebam que a equação pode ser escrita na forma ax2 + c = 0, de maneira que ao isolar x2 em um membro, no outro membro deve-se obter um número negativo. 7. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita incompleta e sua resolução. Relembrar os alunos que 1 cm3 equivale a 1 mL. No item b, se julgar necessário, retomar o cálculo aproximado da raiz quadrada de um número, abordado na Unidade 1 deste Volume. Outra possibilidade é sugerir o uso de calculadora. 8. Esta atividade trabalha a escrita de uma equação do 2o grau com uma incógnita incompleta de acordo com a quantidade de raízes reais que possui. Veja a seguir algumas respostas possíveis. a) b = 0 e c = 0. • 5x2 = 0; raiz: 0. • _3x2 = 0; raiz: 0. b) b 5 0 e c = 0. • 3x2 + 15x = 0; raízes: 0 e _5. 2 _4x + 10x = 0; raízes: • 5 0e . 2 c) b = 0 e c 5 0, com c _ . 0. a • 2x2 _ 8 = 0; raízes: _2 e 2. • _x2 + 7 = 0; raízes: _ 7 e 7. d) b = 0 e c 5 0, com c _ , 0. a • x2 + 9 = 0; não tem raiz real. • 3x2 + 2 = 0; não tem raiz real.

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ção do problema, uma vez que x corresponde à idade de Camila. 6. Esta atividade trabalha condições de existência de raízes reais de uma equação do 2o grau com uma incógnita incompleta. Conversar sobre as estratégias utilizadas pelos alunos para resolvê-la. É im-

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS As estratégias utilizadas para resolver as equações do 2o grau completas, abordadas nesta página, estão relacionadas com os produtos notáveis e a fatoração de polinômios, conceitos apresentados anteriormente nesta Unidade. Se julgar necessário, é possível retomá-los. Verificar se os alunos perceberam que, para resolver estas equações, utilizando a fatoração, primeiramente é preciso identificar qual dos membros é um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, para escrevê-lo como produto notável, é necessário fatorar cada termo separadamente, para depois identificar quais são os termos do quadrado da soma ou do quadrado da diferença de dois termos.

Resolução de equação completa Nos itens anteriores, estudamos como resolver equações incompletas do 2o grau com uma incógnita. Agora, estudaremos como resolver as equações completas do 2o grau com uma incógnita. Inicialmente, vamos resolver a equação x² _ 6x + 9 = 4 e a equação 4x² + 4x + 1 = 9 utilizando fatoração. Observe que, nessas equações, o 1o membro é um trinômio quadrado perfeito. • x² _ 6x + 9 = 4 Como o 1o membro é um trinômio quadrado perfeito, podemos escrevê-lo como um produto notável. x² _ 6x + 9 = 4 x² _ 2 ? 1 ? 3x + 3² = 4 (x _ 3)² = 4 A igualdade (x _ 3)² = 4 indica que o valor de (x _ 3) corresponde a um número cujo quadrado é igual a 4. Assim, segue que: ou (x _ 3) = _ 4 (x _ 3) = 4 x_3+3=2+3 x _ 3 + 3 = _2 + 3 x=5

x=1

Portanto, as raízes dessa equação são 5 e 1. • 4x² + 4x + 1 = 9 Escrevemos o 1o membro, que é um trinômio quadrado perfeito, como um produto notável. 4x² + 4x + 1 = 9 (2x)² + 2 ? 2 ? x + 1² = 9 (2x + 1)² = 9 Assim, segue que: (2x _ 1) = 9 2x + 1 _ 1 = 3 _ 1 2x 2 = 2 2

(2x + 1) = _ 9 2x + 1 _ 1 = _3 _ 1 2x _4 = 2 2

x=1 Portanto, as raízes dessa equação são 1 e _2.

x = _2

Em algumas situações, precisamos resolver uma equação do 2o grau com uma incógnita, completa, em que o 1o membro não corresponde a um trinômio quadrado perfeito. Nesses casos, podemos utilizar a estratégia conhecida como completar quadrados, que consiste em obter uma equação equivalente em que o 1o membro seja um trinômio quadrado perfeito. Observe, por exemplo, como podemos resolver a equação x² + 10x _ 11 = 0. Inicialmente, isolamos no 2o membro o termo independente. x² + 10x _ 11 = 0 x² + 10x _ 11 + 11 = 0 + 11 x² + 10x = 11 98

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De maneira conveniente, escrevemos o 1o membro da equação obtida e o representamos por uma figura cuja área é dada pela equação: x² + 10x = 11 x² + 2 ? 5x = 11 área de um quadrado de lado x

área de um retângulo de lados 5 e x

Note que, para completar a figura e obter a representação de um quadrado de lado x + 5, é necessário acrescentar um quadrado de lado 5. Assim, na equação, adicionamos 5² em ambos os membros e obtemos, no 1o membro, um trinômio quadrado perfeito que expressa a área da figura completa. x

x² + 2 ? 5x + 5² = 11 + 5² (x + 5)² = 36

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Assim, segue que: (x + 5) =

x+5_5=6_5

(x + 5) = _ 36 x + 5 _ 5 = _6 _ 5

x=1

Agora, observe outros exemplos. a) x² _ 4x _ 21 = 0 x² _ 2 ? 2x = 21 x² _ 2 ? 2x + 2² = 21 + 2² (x _ 2)² = 25

[...] Segundo alguns historiadores da matemática, há rudimentos de problemas do segundo grau em tábulas babilônicas antigas. Os babilônios habitaram a Mesopotâmia por volta de 2000 a 1600 a.C. e produziram centenas de tábulas de argila, às quais devemos nossas informações sobre a matemática babilônica antiga. Embora numa estrutura bem diferente da atual, há registros que indicam que os babilônios eram capazes de resolver algumas equações quadráticas, principalmente usando um método similar ao que conhecemos hoje como método de completar quadrados. [...] SOUZA, R. C. de. Equações algébricas: estudos e sala de aula. Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2017. p. 11.

x = _11

Portanto, as raízes dessa equação são 1 e _11.

x² _ 4x _ 21 + 21 = 0 + 21

Após trabalhar com o conteúdo destas páginas, ler para os alunos o trecho a seguir que apresenta um fato histórico sobre o método de completar quadrados.

Isolamos o termo independente no 2o membro. Escrevemos o 1o membro de maneira conveniente. Adicionamos 22 em ambos os membros. Fatoramos o trinômio quadrado perfeito obtido no 1o membro.

(x _ 2) = 25 x_2+2=5+2

(x _ 2) = _ 25 x _ 2 + 2 = _5 + 2

x=7

x = _3

Portanto, as raízes dessa equação são 7 e _3. 99

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Lembrar os alunos que duas equações são equivalentes quando apresentam a mesma solução. Assim, utilizando a estratégia de completar quadrados, para obter uma equação equivalente, cujo 1o membro seja um trinômio quadrado perfeito, ao resolver esta equação, obtém-se a sua

solução e da equação inicial. A validação pode ser feita substituindo as raízes da equação equivalente na equação inicial e verificando que as igualdades obtidas são verdadeiras. Por exemplo, substituindo as raízes 1 e _11 na equação x2 + 10x _ 11 = 0, tem-se que:

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• 12 + 10 ? 1 _ 11 =

= 1 + 10 _ 11 = 0 • (_11)2 + 10 ?(_11) _ 11 = = 121 _ 110 _ 11 = 0 Na representação do 1o membro da equação obtida por meio de figuras, dizer aos alunos que as indicações no interior delas correspondem a área de cada uma de suas partes.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

[...] A Índia produziu muitos matemáticos na segunda metade da Idade Média, mas descreveremos apenas a obra de um deles Bhaskara (1114 a cerca de 1185), o mais importante matemático do século doze. Foi ele quem preencheu algumas lacunas na obra de Brahmagupta, [matemático hindu que viveu no século VII] [...]. [...] Bhaskara foi o último matemático medieval importante da Índia, e sua obra representa a culminação de contribuições hindus anteriores. Em seu tratado mais conhecido, o Lilavati, ele compilou problemas de Brahmagupta e outros, acrescentando observações próprias novas. [...] BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 161-162.

Comentar que a dedução da fórmula resolutiva utiliza a estratégia de completar quadrados, estudada anteriormente. Explicar que, na etapa 1, a

b) x² + 8x + 17 = 0 x² + 8x + 17 _ 17 = 0 _ 17 x² + 2 ? 4x = _17 x² + 2 ? 4x + 4² = _17 + 4² (x + 4)² = _1

Isolamos o termo independente no 2o membro. Escrevemos o 1o membro de maneira conveniente. Adicionamos 42 em ambos os membros. Fatoramos o trinômio quadrado perfeito obtido no 1o membro.

Como não existe número real que elevado ao quadrado resulte em um número negativo, dizemos que essa equação não tem raiz real.

Fórmula resolutiva Com base na estratégia de completar quadrados, podemos deduzir a chamada fórmula resolutiva, com a qual é possível resolver uma equação do 2o grau com uma incógnita a partir de seus coeficientes. As ideias gerais envolvidas na fórmula resolutiva já eram conhecidas há centenas de anos por antigos povos, como babilônios e gregos. No entanto, foi difundida com mais expressividade pelos hindus, sobretudo na obra O Lilavati, de Bhaskara (1114-c.1185). Fonte dos dados: BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

A seguir, veja as etapas para deduzir essa fórmula para a equação ax² + bx + c = 0, com a, b e c reais e a 5 0. 1a) Dividimos cada membro por a e isolamos o termo independente no 2o membro. ax2 bx c 0 + = + a a a a bx c c 0 c 2 + _ = _ x + a a a a a bx c =_ x2 + a a 2a) Escrevemos de maneira conveniente o 1o membro da equação obtida e o representamos por uma figura. b c ?x=_ x2 + 2 ? 2a a área de um quadrado de lado x b 2a

bx 2a

área de um retângulo b ex de lados 2a x

b x 2a

EDITORIA DE ARTE

No trabalho com a fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau com uma incógnita, é possível realizar uma abordagem relacionada à competência geral 1 e à competência específica 1 de Matemática da BNCC, uma vez que trata da Matemática como uma ciência humana, que se desenvolveu e continua a se desenvolver por meio de contribuições de diversos povos ao longo da história. Nesse sentido, a atividade 9 da página 103 desta Unidade contribui também com esta abordagem. Se julgar conveniente, ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta o desenvolvimento da Matemática a partir de contribuições anteriores, destacando a importância de Bhaskara.

b 2a

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ideia é isolar a incógnita em um dos membros da equação bx e, na etapa 2, multiplicar a 2 por , obtendo-se uma equa2 ção equivalente, uma vez que 2 = 1. 2

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b ,é 3a) Para completar a figura e obter a representação de um quadrado de lado x + 2a 2 b b . Assim, na equação, adicionamos [ ] em necessário acrescentar um quadrado de lado 2a 2a ambos os membros e fatoramos o trinômio quadrado perfeito obtido no 1o membro. b 2a

bx 2a

x2 + 2 ?

b b c b ?x+[ ] =_ +[ ] 2a 2a a 2a [x +

b c b2 ] =_ + 4a2 2a a

b2 _ 4ac b2 _ 4ac e _ . 2 4a 4a2 Além disso, ainda nesta etapa, é importante detalhar para os alunos a transição da segunda para a terceira linha, como apresentado a seguir.

[ ]

b 2 2a

b x 2a

b 2a

b b2 _ 4ac ] = [x + 2a 4a2

4a) Considerando b² _ 4ac > 0, isolamos a incógnita x no 1o membro. b =± 2a b b _ =± x+ 2a 2a x+

b2 _ 4ac 4a2 2 b _ 4ac b _ 4a2 2a

Na etapa 3, verificar se os alunos perceberam que na segunda linha foi desenvolvido o b . Além disso, quadrado de 2a na terceira linha foi obtido o mínimo múltiplo comum de a e 4a2 e organizada a expressão de maneira conveniente. Na etapa 4, explicar que a notação “±” se refere a

Na fórmula obtida, costuma-se chamar b² – 4ac de discriminante.

x=±

_b ± b2 _ 4ac 2a Observe exemplos de resolução de equações do 2o grau com uma incógnita utilizando a fórmula resolutiva. _(_1) ± (_1)2 _ 4 ? 1 ? (_2) x= a) x² _ x _ 2 = 0 2?1 a=1 1± 9 1+3 4 x= b = _1 x= = =2 2 2 2 c = _2 ou 1±3 x= 2 1_3 _2 = = _1 x= 2 2 Portanto, as raízes dessa equação são 2 e _1. x=

_(_8) ± (_8)2 _ 4 ? 1 ? 16 x= b) x² _ 8x + 16 = 0 2?1 a=1 8+0 8 8± 0 x= = =4 x= b = _8 2 2 2 c = 16 ou 8±0 x= 2 8_0 8 = =4 x= 2 2 Portanto, essa equação tem duas raízes reais e iguais a 4. _12 ± 122 _ 4 ? 3 ? 15 x= c) 3x² + 12x + 15 = 0 2?3 a=3 _12 ± _36 b = 12 x= c = 15 6 Como a raiz quadrada de um número negativo não é definida no conjunto dos números reais, dizemos que essa equação não tem raiz real. 101

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x=± x=_

b b2 _ 4ac _ 2a 4a2 b2 _ 4ac 4a

b ± 2a

b 2a

b2 _ 4ac 2a

_b ± b2 _ 4ac 2a Explicar que, a partir desta fórmula, temos que x=

x =

_b + b2 _ 4ac 2a

_b _ b2 _ 4ac . As2a sim, as raízes da equação do 2o grau com uma incógnita completa, ax2 + bx + c = = 0, com a, b e c números reais e a 5 0, quando existix

rem, são

_b + b2 _ 4ac e 2a

_b _ b2 _ 4ac . 2a No boxe Dica, discutir com os alunos se é possível estabelecer alguma relação entre o discriminante e as raízes da equação. O objetivo é que eles percebam que as raízes da equação do 2o grau existem, no conjunto dos números reais, quando o discriminante for maior ou igual a zero, uma vez que não existe número real que elevado ao quadrado seja negativo.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita completa por meio da fatoração de trinômios quadrados perfeitos. 2. Esta atividade trabalha a representação de situações por meio de equações do 2o grau com uma incógnita completa e a resolução dessas equações pela estratégia de completar quadrados e fatorar trinômios quadrados perfeitos. Nesse contexto devem ser consideradas apenas as raízes que sejam positivas, uma vez que a raiz, em cada item, corresponde a uma medida de comprimento. 3. Esta atividade trabalha a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita completa por meio da estratégia de completar quadrados e fatorar trinômios quadrados perfeitos. 4. Esta atividade trabalha a obtenção de coeficientes de equações do 2o grau com uma incógnita completa por meio de uma de suas raízes. 5. Esta atividade trabalha relações entre a quantidade de raízes reais distintas de uma equação do 2o grau com uma incógnita e seus coeficientes. No item c, relembrar os alunos que o discriminante corresponde a b2 _ 4ac. A partir disso, como na fórmula resolutiva da equação do 2o grau com uma incógnita temos b2 _ 4ac , espera-se que eles compreendam que: • se o discriminante for igual a zero, sua raiz quadrada também será igual a zero, tendo a equação duas raízes reais iguais; • se o discriminante for negativo, a equação não terá raízes reais, uma vez que não existe número real que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. • se o discriminante for positivo, sua raiz quadrada também será positiva, tendo a equação duas raízes reais distintas.

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Determine as raízes de cada equação utilizando fatoração. a) x² + 14x + 49 = 0 _7 x2 _ 5x + 25 = 121 32 e _12. b) 4 9 3 c) 4x² _ 12x + 9 = 36 2 e _2. 1 d) 9x² + 6x + 1 = 0 _ 3 2. Nos itens a seguir, está indicada, em certa unidade, a área de uma figura decomposta em retângulos e quadrados. Escreva para cada item uma equação e, utilizando a estratégia de completar quadrados, resolva-a. a) Área: 32 unidades. x² + 14x _ 32 = 0; x = 2. x

4. Em cada item, calcule o valor de m de maneira que _4 seja uma raiz da equação. a) mx² + (m _ 2)x _ 20 = 0 m = 1. 3 b) (m + 1)x² _ mx + 14 = 0 m = _ . 2 5. Considere as equações a seguir: 5. a) I: não tem raiz I. 3x² _ 2x + 1 = 0 real; II: 8 e 2; III: II. x² _ 10x + 16 = 0 não tem raiz real; III. 4x² + 2x + 1 = 0 1 IV. 5x² _ 11x + 2 = 0 IV: 2 e ; V: 8; 5 V. _x² + 16x _ 64 = 0 VI: _1. 3 VI. 9x² + 6x + 1 = 0 a) Resolva essas equações utilizando a fórmula resolutiva. b) Para cada equação, indique o valor do discriminante. I: _8; II: 36; III: _12; IV: 81; V: 0; VI: 0. c) Observando as respostas dos itens a e b, copie e complete cada frase a seguir com “maior do que”, “menor do que” ou “igual a”.

• A equação cujo discriminante é possui duas raízes reais iguais.

b) Área: 117 unidades. 9x² + 12x _ 117 = 0; x = 3. 2

3. Resolva as equações utilizando a estratégia de completar quadrados. Se necessário, desenhe figuras. a) x² _ 4x _ 5 = 0 5 e _1.

zero

Igual a. zero • A equação cujo discriminante é não possui raízes reais. Menor do que. zero • A equação cujo discriminante é possui duas raízes reais distintas. Maior do que. 6. Jorge quer construir um aquário com formato de bloco retangular com 320 L de capacidade, medida da altura 4 dm e do comprimento da base 2 dm a mais do que a medida da largura. Observe o desenho que ele fez para representar esse aquário e calcule as medidas de suas dimensões.

4 dm

b) x² + 18x _ 19 = 0 1 e _19. c) x² + 2x _ 8 = 0 2 e _4. 3x _ 2 = 5 7 e _2. d) x² _ 2 2

x+2

10 dm, 8 dm e 4 dm.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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6. Esta atividade trabalha a resolução de um problema por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita. Verificar se os alunos perceberam que as dimensões do aquário podem ser obtidas por meio da equação 4x2 + + 8x _ 320 = 0. Nesse contexto deve ser considerada

apenas a raiz positiva como solução do problema, uma vez que x corresponde à medida da largura do aquário.

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7. Para determinar a quantidade de diagonais D de um polígono convexo, podemos utilizar a fórmula indicada a seguir, em que n representa a quantidade de lados desse polígono. n(n _ 3) , com n > 3. D= 2 Observe, por exemplo, como podemos calcular a quantidade de diagonais de um hexágono com essa fórmula. 6 ? (6 _ 3) 18 = 9, = D= 2 2 ou seja, 9 diagonais. a) Calcule quantas diagonais tem um: • pentágono convexo. 5 diagonais. • eneágono convexo. 27 diagonais. b) Escreva uma equação do 2o grau com uma incógnita e determine o número de lados de um polígono convexo com: • 14 diagonais. n² _ 3n _ 28 = 0; 7 lados.

ENEM 2016

• 54 diagonais. n² _ 3n _ 108 = 0; 12 lados. c) Pesquise e escreva no caderno como é classificado cada polígono indicado no item b de acordo com a quantidade de lados. 7 lados: heptágono; 12 lados: dodecágono. 8. (Enem-2016) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

b?h , em que b 2 corresponde a medida da base e h, a medida da altura. 9. Esta atividade trabalha a resolução de um problema, em contexto da História da Matemática, por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita. Além disso, propõe a elaboração de problema pelo aluno. No item a, caso os alunos tenham dificuldade para obter a equação que representa o problema, orientá-los a partir dos seguintes questionamentos. • Como podemos representar a quantidade de macacos que brincavam no bosque? 1 2 Resposta esperada: [ x] . 8 • Como podemos representar a quantidade de macacos que sobraram no alto da colina em relação ao total x de macacos? Resposta esperada: 1 2 x _[ x] . 8 • Quantos eram os macacos no alto da colina? Resposta: 12 macacos. No item d, os alunos podem elaborar problemas com diferentes estruturas. Nesse caso, propor a eles que compartilhem suas produções com os demais colegas da turma. fórmula A =

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a a) 7,5 e 14,5. d) 10,0 e 17,0. b) 9,0 e 16,0. e) 13,5 e 20,5. Alternativa b. c) 9,3 e 16,3. 9. Na página 100 estudamos algumas informações sobre o hindu Bhaskara, que viveu no século XII. Em suas obras, Bhaskara propunha diversos problemas, muitos dos quais eram escritos em versos e falavam de elementos da natureza, como plantas e animais. Leia a tradução de um desses problemas. Um bando barulhento de macacos se divertia. Um oitavo ao quadrado brincava no bosque. Doze, os que sobraram, gritavam ao mesmo tempo, no alto da colina verdejante. Quantos eram os macacos no total? ROQUE, T.; CARVALHO, J. B. P. Tópicos de História da Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012. p. 197.

a) Qual das equações a seguir corresponde a esse problema, em que x é a quantidade total de macacos do bando? III. 1 I. x _ x2 = 12 8 1 II. 12 _ x2 = x 8 2 1 III. x _ [ x] = 12 8 2 1 1 IV. [ x] = 12 + x 8 8 b) Resolva a equação que você indicou no item a. 16 e 48. c) Quantos macacos tem o bando descrito nesse problema? O bando de macacos pode ter 16 ou 48 macacos. d) De maneira parecida à de Bhaskara, elabore e escreva no caderno um problema que possa ser resolvido por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita. Depois, troque esse problema com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. 103

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7. Esta atividade trabalha a resolução de um problema por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita. Além disso, estabelece uma relação entre as unidades temáticas Álgebra e Geometria. O estudo da quantidade de diagonais de um polígono convexo foi realizado na Uni-

dade 5 do Volume 8 desta coleção. No item b, lembrar que nesse contexto devem ser consideradas apenas as raízes correspondentes à números naturais como solução do problema, uma vez que n indica a quantidade de diagonais de um polígono convexo. 8. Esta atividade trabalha

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a resolução de um problema por meio de uma equação do 2o grau com uma incógnita. Explicar aos alunos que a área total da figura B pode ser obtida a partir da soma das áreas de dois triângulos retângulos. Se julgar necessário, relembrá-los de que podemos calcular a área de um triângulo com a

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

você

cidadão

Obesidade A quantidade de crianças e adolescentes obesos no mundo aumentou rapidamente nas últimas décadas. No Brasil, isso não é diferente. Pesquisas indicam que se essa tendência continuar, o país enfrentará um grande aumento nos casos de doenças associadas à obesidade, como pressão arterial elevada, diabetes e doenças do fígado. Um método muito utilizado para avaliar o estado nutricional das crianças e adolescentes são os gráficos de crescimento, com as curvas de Índice de Massa Corporal (IMC), desenvolvidos pela Organização Mundial de Saúde (OMS). Observe a seguir as etapas para essa avaliação. 1a) Verificar a massa, em quilogramas, e a altura, em metros. Depois, calcular o IMC por meio da fórmula indicada a seguir, em que m é a massa (em quilograma) e a é a altura (em metro). IMC =

m a2

+1 e abaixo de +2

Obesidade

de _2 e abaixo de +1

Sobrepeso

Mudanças na casa à vista! A mudança é para a criança em conjunto com todos da casa, afinal o que faz bem para um, fará bem para todos. [...]

É preciso mudar a rotina da família. Procurar ajuda de um pediatra ou nutricionista para melhorar alguns hábitos alimentares agora irá garantir um futuro mais saudável para todos. [...]

abaixo de _2

Peso normal

Abaixo do peso

Que legal! Estar com o peso dentro da faixa de normalidade é um ponto positivo e isso deve estar SEMPRE acompanhado de uma alimentação rica em vegetais e muita atividade física. [...]

Uma criança que está abaixo do peso deve SEMPRE ser avaliada pelo pediatra, pois é fundamental excluir a hipótese de desnutrição. [...]

ROBERTO ZOELLNER

VOCÊ CIDADÃO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 8 e à competência específica 4 de Matemática da BNCC, uma vez que apresenta um tema relacionado a cuidados com alimentação e saúde e as informações são representadas por meio de diferentes recursos, estimulando a observação sistemática de dados quantitativos e qualitativos, como as tabelas de IMC e os valores de referência, respectivamente. Promover uma roda de conversa para que os alunos façam uma reflexão sobre seus hábitos alimentares e a prática de atividades físicas. Os seguintes questionamentos podem auxiliá-lo nessa conversa: • Quais alimentos vocês costumam ingerir com frequência? • Vocês consideram esses alimentos saudáveis? • Pesquisem informações nutricionais sobre um dos alimentos que vocês ingerem com mais frequência. Em seguida, identifiquem se esse alimento possui gordura, açúcar e sal em excesso. • Vocês praticam alguma atividade física? Qual atividade e com que frequência?

ABESO. Peso saudável na infância. Disponível em: <www.abeso.org.br/atitude-saudavel/z-imc-crianca>. Acesso em: 9 out. 2018.

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Para complementar, ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta mais informações sobre alimentação na adolescência.

[...] O crescimento estatural e o desenvolvimento normal da puberdade sofrem

importante influência de uma alimentação adequada e balanceada. A necessidade de energia aumenta para que o crescimento rápido (também chamado de estirão) aconteça e o adolescente alcance a estatura alvo geneticamente determinada. Nos meninos,

a quantidade de calorias necessária por dia é ainda maior, por causa do maior crescimento em altura e maior quantidade de massa muscular. Na presença de obesidade, é frequente observar alta estatura, além de adiantamento do início da puberdade, prin-

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Intervalo obtido: de _2 e abaixo de +1.

13 14 15 16 17 18 19 Idade (anos e meses completados)

36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12

3 36 34 32 2 30 28 1 26 24 0 22 20 _1 18 _2 16 _3 14 12

13 14 15 16 17 18 19 Idade (anos e meses completados)

Intervalo obtido: acima de +2.

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

3 36 34 32 30 2 28 26 1 24 22 0 20 _1 18 _2 16 _3 14 12

36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12

Meninos – IMC de acordo com a idade

IMC (kg/m2)

Meninas – IMC de acordo com a idade

Fonte dos dados: SBP. Gráficos de crescimento. Disponível em: <www.sbp.com.br/departamentoscientificos/endocrinologia/graficos-de-crescimento/>. Acesso em: 9 out. 2018.

Observe o cálculo do IMC de Camila:

Agora, vamos calcular o IMC de Yan:

• Idade: 13 anos e 9 meses.

• Idade: 14 anos e 3 meses.

• Massa: 54 kg.

• Massa: 81 kg.

• Altura: 1,60 m. 54 54 • IMC = 1 21, ou seja, = 2 (1,60) 2,56 2 21 kg/m .

• Altura: 1,70 m. 81 81 • IMC = 1 28, ou seja, = 2 (1,70) 2,89 2 28 kg/m .

2. Resposta esperada: Maior consumo de produtos industrializados, ricos em gorduras e açúcar, falta de atividades físicas e até mesmo fatores hormonais e genéticos. Resposta esperada: Praticar atividades físicas e seguir uma dieta balanceada, privilegiando o consumo de frutas, legumes e verduras e evitando alimentos que possuam em sua composição muita gordura, NÃO ESCREVA Resoluções a partir da p. 257 NO LIVRO. açúcar e sal. 1. Quais doenças podem ser causadas pela obesidade? Resposta esperada: Pressão arterial elevada, diabetes e doenças do fígado. 2. Faça uma pesquisa e responda: quais fatores têm contribuído para o aumento na quantidade de casos de obesidade infantil? Que cuidados devem ser considerados para evitar a obesidade? 3. Com que frequência você consome frutas, verduras e legumes? E alimentos ricos em gorduras, açúcar e sal? Respostas pessoais.

No trabalho com os gráficos de IMC, conduzir os alunos a realizar a sua leitura e interpretação. Por exemplo, em relação a Camila, primeiramente determinamos o IMC de acordo com a fórmula indicada. Depois, como Camila é do sexo feminino, o valor obtido será comparado de acordo com o gráfico das meninas, uma vez que há diferença entre o crescimento e o desenvolvimento de meninas e de meninos. A partir disso, localizamos no eixo horizontal a idade de Camila e no eixo vertical, o IMC obtido, ressaltando que nem sempre é possível localizar os valores exatos em ambos os eixos. Depois de determinado o encontro desses dois valores e, consequentemente, o intervalo do estado nutricional, temos que, de acordo com valores de referência, Camila está no intervalo entre –2 e abaixo de +1, o que indica peso normal. 5. Após a resolução desta questão, sugerir aos alunos que verifiquem sua massa (em quilograma) e sua estatura (em metros) e façam a própria avaliação nutricional. Com intuito de evitar qualquer constrangimento, é importante que os alunos não se sintam obrigados a compartilhar a sua avaliação com os demais colegas da turma.

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cipalmente em meninas. Já se existe desnutrição, o início e a progressão do crescimento e da puberdade podem ficar atrasados. A prevenção de doenças crônicas, como diabetes e doenças cardiovasculares deve começar precocemente. Obesidade, diabetes,

hipertensão arterial e aumento de colesterol no sangue têm sido cada vez mais observados em adolescentes, sobretudo na presença de erros alimentares e excesso de peso corporal. Uma vez diagnosticadas essas doenças, a mudança de comportamento alimentar

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é uma das principais estratégias para o tratamento. [...] ABESO. Recomendações de alimentação na adolescência. Disponível em: <www.abeso.org.br/coluna/ obesidade-infantil/recomendacoes-de-alimentacao-na-adolescencia>. Acesso em: 8 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Valor numérico de uma expressão

Expressão algébrica

algébrica

Operações com monômios: adição,

Monômios, binômios,

subtração, multiplicação e divisão

trinômios e polinômios

Trinômio quadrado perfeito

Produtos notáveis: Diferença de quadrados

Fatoração de polinômios

Equação do 2o grau com uma incógnita

Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita

Quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos e produto da soma pela diferença de dois termos

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Expressões algébricas e equações do 2o grau Equação do 2o grau com uma incógnita

Expressão algébrica

Valor numérico de uma expressão algébrica

Monômios, binômios, trinômios e polinômios

Operações com monômios

Produtos notáveis

Trinômio quadrado perfeito

Fatoração de polinômios

Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita

Diferença de quadrados

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Em um terreno com formato retangular, cuja largura é 10 metros menor do que o comprimento, será construído um barracão ocupando uma região quadrada, conforme indicado a seguir.

EDITORIA DE ARTE

Área do barracão

PROBLEMAS

Escreva uma expressão para representar a largura desse terreno. x _ 10. Conceitos: Expressão algébrica; monômios, binômios, trinômios e polinômios. Identifique dois itens a seguir que expressam a área desse terreno. a) (x _ 10)²

c) x² + 20x + 100

b) x² _ 10x

d) x(x _ 10)

b e d. Conceitos: Expressão algébrical; operações com monômios: adição, subtração, multiplicação e divisão; fatoração de polinômios.

III

Por meio de uma potência, represente a área da região ocupada por esse barracão. (x _ 10)². Conceitos: Expressão algébrica; monômios, binômios, trinômios e polinômios; trinômio quadrado perfeito. Supondo que esse terreno tenha 30 m de comprimento, qual seria sua área? E qual seria a área da região ocupada pelo barracão?

3. No item I, é importante que os alunos compreendam que a medida do comprimento do terreno é indicada por x e, portanto, a medida da largura é indicada por x – 10. No item II, verificar se os alunos perceberam que a expressão indicada no item d corresponde à expressão indicada no item b, porém em sua forma fatorada. Para complementar o item III, pedir aos alunos que representem, por meio de uma expressão, a área da parte do terreno onde não será construído o barracão. Neste caso, a área corresponde à diferença entre a área total do terreno e a área do barracão, que pode ser obtida da seguinte maneira: (x2 _ 10x) _ (x _ 10)2 = = x2 – 10x _ (x2 _ 20x + 100) = = x2 _ 10x _ x2 + 20x _ 100 = = 10x _ 100 Assim, a expressão que representa a área da parte do terreno onde não será construído o barracão é 10x _ 100 ou em sua forma fatorada 10(x _ 10). No item V, reforçar para os alunos que, nesse contexto, devemos considerar apenas as raízes positivas das equações com solução, uma vez que x corresponde à medida do comprimento do terreno.

600 m². 400 m². Conceitos: Valor numérico de uma expressão algébrica.

Calcule as medidas dos lados desse terreno, para cada suposição a seguir. 25 m e 15 m. Conceitos: Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita. a) A área da região ocupada pelo barracão é 225 m². b) A área total do terreno é 200 m². 20 m e 10 m. Conceitos: Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita.

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UNIDADE TEMÁTICA

• Álgebra. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Funções: representações numérica, algébrica e gráfica. • Razão entre grandezas de espécies diferentes. • Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais.

PROPORCIONALIDADE E FUNÇÕES

HABILIDADES

A Revolta dos Quebra-Quilos

• EF09MA06 • EF09MA07 • EF09MA08

Você já parou para pensar como eram as relações comerciais antes do estabelecimento das unidades de medida padronizadas? Por um longo período da história da humanidade, cada povo, em sua região, criou suas próprias unidades de medida de comprimento, massa, capacidade, entre outras, para medir suas propriedades e seus produtos. O fato de essas unidades não serem iguais nem precisas, além de variarem de um lugar para outro, dificultava o comércio entre os povos. Visando facilitar o comércio e desenvolver a economia, os franceses do século XVIII tentaram unificar e padronizar as unidades de medida. Desse esforço resultou o sistema métrico decimal que, pouco a pouco, foi sendo implantado na maioria dos países. No Brasil, a introdução desse sistema de unidades contribuiu para a ocorrência de uma revolta social conhecida como Revolta dos Quebra-Quilos. A revolta começou em 1874, na Paraíba , quando os sertanejos, que já estavam insatisfeitos com o governo imperial em razão do alto custo de vida, se rebelaram contra a imposição das novas unidades de medida: metro, quilograma e litro, que não condiziam com aquelas a que estavam acostumados: braça, libra, quartilho, entre outras. Observe no esquema apresentado nestas páginas a relação entre algumas unidades de medida utilizadas no Brasil antes e depois do estabelecimento de unidades de medida padronizadas do sistema métrico decimal.

COMPETÊNCIAS GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar

Acesse este site para obter mais informações sobre o Sistema Internacional de Unidades. • IPEM-SP. Almanaque do IPEM-SP. Disponível em: <http://livro.pro/6kgdd7>. Acesso em: 22 out. 2018. Consulte este livro para obter mais informações sobre a Revolta dos Quebra-Quilos. • SECRETO, M. V. (Des)medidos: a revolta dos quebra-quilos (1874-1876). Rio de Janeiro: Mauad X, 2011. Fonte dos dados: SECRETO, M. V. (Des) medidos: a revolta dos quebra-quilos (1874-1876). Rio de Janeiro: Mauad X, 2011. IPEADATA. Unidades de medidas históricas. Disponível em: <www.ipeadata.gov.br/doc/Unidades %20de%20Medidas%20Historicas.xls>. Acesso em: 11 out. 2018.

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descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões,

utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no pla-

nejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

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unidades de medida antes da padronização.

NABUCO ACERVO DIGITAL/FUNDAÇÃO JOAQUIM

Resposta esperada: Teve início na Paraíba em 1874, e o motivo de uma das manifestações foi o descontentamento com a substituição das unidades de medida tradicionalmente utilizadas pela população por aquelas padronizadas do sistema métrico decimal.

Uma resposta possível: As unidades de medida padronizadas servem como referência. Dessa maneira, independentemente da região, é possível realizar uma medição e expressar a medida obtida em uma mesma unidade, facilitando, por exemplo, a venda e a compra de mercadorias. Ilustração da Revolta dos Quebra-Quilos. Litogravura. 6,4 cm x 10,4 cm. Fundação Joaquim Nabuco.

unidades de medida depois da padronização.

braça

DANIEL FUNG/SHUTTERSTOCK.COM, ERIC ISSELEE/SHUTTERSTOCK.COM, COPRID/SHUTTERSTOCK.COM, EDITORIA DE ARTE

medida de comprimento 1 braça = 2,2 metros metro

medida de massa 1 libra = 0,459 quilograma libra

quilograma

medida de capacidade 1 quartilho = 0,703 litro quartilho

litro

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Em sua opinião, qual é a importância das unidades de medidas padronizadas? Onde teve início e quando ocorreu a Revolta dos Quebra-Quilos? Qual é a relação desse movimento com as unidades de medida? Observando o esquema, explique como é possível obter, em metro, o comprimento de uma corda com 10 braças. Resposta esperada: Como 1 braça corresponde a 2,2 metros, temos de multiplicar os números 2,2 e 10 para obter o comprimento da corda em metros.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 1 e à competência específica 1 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema

tratado busca relacionar um acontecimento histórico ao desenvolvimento de conhecimentos matemáticos, como as unidades de medidas padronizadas. Para complementar, ler o trecho a seguir sobre a Revolta dos Quebra-quilos.

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a rebelião se agravou na proximidade do fim do ano. Próximo ao Natal, cuja missa era, há tempos imemoriais, ocasião para a leitura das novas leis, multidões de livres e pobres se reuniam em torno das igrejas para evitar a leitura das novas leis que as prejudicariam. [...] Essa revolta não se tratou de uma rebelião dos “vencidos da história”. Na prática, foi uma revolta que, relativamente, teve êxito. Conseguiu postergar a generalização do sistema métrico decimal, o registro civil dos nascimentos, casamentos e óbitos, e dificultou enormemente a realização do alistamento militar. SECRETO, M. V. (Des) medidos: a revolta dos quebra-quilos (1874-1876). Rio de Janeiro: Mauad X, 2011.

Promover um debate com os alunos sobre a importância das unidades de medidas padronizadas. Realizar uma atividade prática para que eles identifiquem as vantagens dessa padronização. Para isso, levar para a sala de aula réguas, fita métrica e trena e pedir a eles que, em grupos de três ou quatro integrantes, e utilizando diferentes instrumentos, meçam e anotem as medidas das dimensões de alguns objetos da sala de aula, como carteira, janela, porta etc. Em seguida, orientá-los que realizem as mesmas medições utilizando unidades não padronizadas, como o palmo da mão, o passo ou o pé. Por fim, pedir que comparem essas medições.

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Nos últimos meses de 1874 e durante 1875, várias províncias do atual Nordeste se viram afetadas por revoltas populares. Mas na província de Minas Gerais, essa revolta se alastrou pelo ano de 1876. Conhecida pelo nome de Quebra-quilos [...],

Sugerir aos alunos que acessem este site para mais informações sobre as unidades de medida. • IPEM-SP. Sistema Internacional de Unidades – SI. Disponível em: <http://livro. pro/3nfarb>. Acesso em: 11 set. 2018.

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PROPORCIONALIDADE

Razão Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF09MA07. No exemplo apresentado, comentar que também podemos expressar o consumo médio de combustível pela razão entre a quantidade de litros de combustível consumido e a distância percorrida, obtendo um valor em litro por quilômetro (L/km), ou seja, quantos litros de combustível são necessários para percorrer 1 km. Citar outras unidades de medida que podem ser utilizadas para representar as grandezas velocidade média (m/s, km/s, m/min, km/min) e consumo médio de combustível (L/m, L/100 km). No trabalho com densidade demográfica, informar que a população de cada região brasileira apresentada, em 2017, corresponde a uma estimativa. Verificar se os alunos perceberam que a distribuição da população brasileira é heterogênea, se concentrando mais em algumas regiões do país do que em outras. Conversar com eles sobre alguns dos motivos que influenciam essa distribuição desigual, como a proximidade com o litoral, devido principalmente ao fato de que esses foram os primeiros pontos de povoamento. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações sobre os fatores que influenciam a distribuição populacional do Brasil.

Proporcionalidade Razão Nas páginas de abertura desta Unidade, lemos sobre a Revolta dos Quebra-Quilos, ocorrida no Brasil no século XIX, em decorrência da implantação do sistema métrico decimal pelo governo imperial. Vimos, por exemplo, que uma unidade de comprimento utilizada naquela época era a braça, sendo que 1 braça correspondia a 2,2 metros. Podemos escrever uma razão para relacionar uma medida em braça e uma medida em metro. Observe. medida em braça

A razão ao lado também pode ser indicada por 1 : 2,2.

1 2,2 medida em metro

Considere dois números reais a e b, com b 5 0. A razão entre esses dois números, nessa ordem, corresponde ao quociente a : b, que também pode ser indicado por a . b Na situação apresentada anteriormente, a razão relaciona duas unidades de comprimento: braça e metro. Estudaremos a seguir alguns exemplos de razões entre grandezas de diferentes naturezas.

Velocidade média e consumo médio de combustível Quando realizamos uma viagem de automóvel, duas medidas que podemos determinar são a velocidade média no percurso e o consumo médio de combustível. A velocidade média (V) é dada pela razão entre a distância percorrida (d) e o tempo gasto no percurso (t). V= d t

O consumo médio de combustível (C) é dado pela razão entre a distância percorrida (d) e a quantidade de combustível consumido (q). d C= q

Exemplo Luiza e os filhos fizeram uma viagem de automóvel de Bom Jesus (RN) a Mamanguape (PB), onde foram visitar familiares. Observe algumas informações no painel de instrumentos do automóvel de Luiza e calcule a velocidade média do automóvel e o consumo médio de combustível nessa viagem.

Distância percorrida:

Tempo de percurso:

Consumo de combustível:

156 km

12 L

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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[...] Entre os fatores determinantes se incluem, obrigatoriamente, os fatores físicos. “As praias brasileiras, por exemplo, são fatores de atração por serem faixas de planície e por terem um clima tropical. Quando nos referimos à floresta, há uma dificuldade de penetração e, consequentemente, o clima equatorial.

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Neste local, a concentração populacional será menor.” Em relação aos fatores histórico-culturais, ele comenta que a administração que o Brasil teve, como as capitanias hereditárias e governos gerais, tem influência sobre a distribuição populacional.

“A primeira capital do Brasil foi estabelecida em Salvador. Em 1763, quando foi deslocada para o Rio de Janeiro, houve uma concentração maior de população na nova capital. O movimento da agricultura e da indústria são fatores econômicos de atração da

Região Sudeste. Por conta disso, as concentrações populacionais serão maiores.” [...]

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SAIBA mais sobre a distribuição populacional do Brasil. G1. Disponível em: <http://g1.globo.com/Noticias/ Vestibular/0,,MUL1356865-5604,00SAIBA+MAIS+SOBRE+A+DISTRIBUI CAO+POPULACIONAL+DO+BRASIL. html>. Acesso em: 11 set. 2018.

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PARA PENSAR Verificar se os alunos perceberam que a razão obtida no cálculo da densidade demográfica indica a média de habitantes por quilômetro quadrado naquela região. Em relação à região Centro-Oeste, por exemplo, a densidade demográfica indica que em 2017 havia, em média, cerca de 9,9 habitantes por quilometro quadrado naquela região.

Para resolver esse problema, calculamos as razões correspondentes: Velocidade média V= d t 156 = 52, ou seja, 52 km/h. V= 3

Consumo médio de combustível d C= q 156 C= = 13, ou seja, 13 km/L . 12

Nesse caso, como a distância percorrida é dada em quilômetros, o tempo em horas e o consumo de combustível em litros, temos que: • a velocidade média é dada em quilômetros por hora (km/h); • o consumo médio de combustível é dado em quilômetros por litro (km/L).

Densidade demográfica Uma maneira de medir a distribuição da população em certa região é por meio do cálculo da densidade demográfica, que corresponde à razão entre a quantidade de habitantes e a extensão territorial dessa região. Em geral, a densidade demográfica é expressa em habitantes por quilômetro quadrado (hab./km2). A distribuição da população brasileira no território nacional, por exemplo, ocorre de maneira desigual. Essa afirmação pode ser observada ao calcularmos a densidade demográfica de cada região do país.

Densidade demográfica das regiões do Brasil em 2017 Região Nordeste População: 57 254 159 habitantes. Área: 1 554 291 km². Densidade demográfica:

Região Norte População: 17 936 201 habitantes. Área: 3 853 841 km². Densidade demográfica: 17 936 201 1 4,7, ou seja, 3 853 841 4,7 hab./km2.

57 254 159 1 36,8, ou seja, 36,8 hab./km2. 1 554 291 Região Sudeste População: 86 949 714 habitantes. Área: 924 609 km². Densidade demográfica:

Região Centro-Oeste População: 15 875 907 habitantes. Área: 1 606 234 km². Densidade demográfica: 15 875 907 1 9,9, ou seja, 1 606 234 9,9 hab./km2. 740

Região Sul População: 29 644 948 habitantes. Área: 576 784 km². Densidade demográfica: 29 644 948 1 51,4, ou seja, 51,4 hab./km2. 576 784

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86 949 714 1 94, ou seja, 94 hab./km2. 924 609

Fontes: IBGE. Atlas geográfico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. p. 94. IBGE. Áreas dos Municípios. Disponível em: <ww2.ibge.gov.br/home/geociencias/cartografia/default_territ_area.shtm>. IBGE. População residente enviada ao Tribunal de Contas da União Brasil, Grandes Regiões e Unidades da Federação – 2001-2015. Disponível em: <ftp://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_Populacao/ Estimativas_2017/serie_2001_2017_TCU.pdf>. Acessos em: 11 out. 2018.

Qual é a densidade demográfica da região brasileira onde você mora? Explique o que esse valor significa. Respostas pessoais.

Para complementar o trabalho com o conteúdo destas páginas, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Qual é a região brasileira com a maior extensão territorial? E qual é a região com a menor extensão territorial? Respostas: Norte. Sul. • Calcule a diferença entre a quantidade de habitantes da região brasileira com a maior população e da região com a menor população. Resposta: 71 073 807 habitantes. • Utilizando os dados apresentados, podemos calcular a densidade demográfica do Brasil? Explique. Resposta esperada: Sim, calculando a razão entre a soma das populações das regiões brasileiras e a soma das extensões territoriais. • A região brasileira com a menor população também é a região com a menor densidade demográfica? Por que isso ocorre? Resposta esperada: Não, pois o cálculo da densidade demográfica não depende apenas da quantidade de habitantes, mas também da extensão territorial da região.

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Sugerir aos alunos que acessem este site para obter informações sobre a densidade demográfica no Brasil. • IBGE. Agência IBGE Notícias. Disponível em: <http:// livro.pro/5v439u>. Acesso em: 11 set. 2018.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a escrita de razões em diferentes situações. 2. Esta atividade trabalha a resolução de um problema envolvendo a razão correspondente à densidade demográfica. No item b, sugerir aos alunos que arredondem os resultados para o inteiro mais próximo. Questioná-los sobre as possíveis causas da diferença entre as densidades demográficas das regiões desse munícipio. Assim como ocorre no país, em um município também pode haver desigualdade na distribuição da população em suas regiões, influenciada por fatores como a presença de setores comerciais, industriais e residenciais. Se possível, junto com os alunos, estudar a distribuição da população do município em que fica a escola com base na densidade demográfica de diferentes regiões. 3. Esta atividade trabalha a resolução de um problema envolvendo a razão correspondente ao consumo médio de combustível. A diferença no consumo de combustível de acordo com o tipo (etanol ou gasolina) acontece porque a queima da gasolina gera mais energia do que a queima do etanol, considerando uma mesma quantidade de combustível, e assim, para compensar a diferença, mais etanol é consumido para percorrer uma mesma distância. Explicar que o Programa Brasileiro de Etiquetagem Veicular (PBEV) é um programa de etiquetagem de eficiência energética para veículos, que visa incentivar a fabricação de veículos mais eficientes e econômicos e apresentar informações úteis para auxiliar o consumidor em sua decisão de compra. A principal ferramenta de informação para o consumidor, apresentada pelo PBEV, é a Etiqueta Nacional de Conservação de Energia.

4. c) 15/6: 228 m/min; 16/6: 238 m/min; 17/6: 293 m/min.; 18/6: 282 m/min. Resoluções a partir da p. 257 3. a) Modelo I: Gasolina – 12,5 km/L; Etanol – 8,3 km/L. AtividadeS Modelo II: Gasolina – 9,1 km/L; Etanol – 7,1 km/L. NÃO ESCREVA Modelo III: Gasolina – 11,1 km/L; Etanol – 10 km/L. NO LIVRO. 1. Em cada item, escreva uma razão que representa a situação indicada. a) Amanda acertou 18 das 20 questões da Obmep. 18 ou 18 : 20. 20 b) A equipe de handebol de uma turma do 9º- ano venceu 9 das 12 partidas disputadas no torneio. 9 ou 9 : 12. 12 c) Para diluir uma tinta João misturou 18 L dessa tinta em 5 L de água. 18 ou 18 : 5. 5 2. Certa prefeitura está estudando como os habitantes se distribuem nas diferentes regiões do município com a finalidade de planejar investimentos. Observe. Zona Oeste População: 13 901 habitantes. Área: 22 km².

Zona Central População: 106 379 habitantes. Área: 12 km².

Zona Sul População: 60 241 habitantes. Área: 25 km².

de consumo de combustível e de emissões de alguns poluentes. Fonte dos dados: IPEA. Políticas de inovação pelo lado da demanda no Brasil. Disponível em: <www.ipea.gov. br/agencia/images/stories/PDFs/livros/livros/20170705_ politicas_de_inovacao.pdf>. Acesso em: 11 out. 2018.

Observe a seguir o resultado de um teste de consumo de combustível realizado com alguns modelos de automóveis para percorrer 50 km. Em seguida, resolva as questões. Modelo I II III

Zona Norte População: 98 653 habitantes. Área: 36 km².

DAYANE RAVEN

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Zona Leste População: 20 398 habitantes. Área: 23 km².

Gasolina (L) 4 5,5 4,5

Etanol (L) 6 7 5

a) Calcule o consumo médio aproximado de combustível dos modelos apresentados para cada tipo de combustível. b) Letícia pretende comprar um carro em que o consumo médio de combustível tanto de gasolina quanto de etanol seja igual ou superior a 10 km/L. Qual dos modelos apresentados satisfaz essas condições? III. 4. Rafael é um atleta que pratica corrida. Para acompanhar seus treinos, ele utiliza um aplicativo no celular que registra a distância percorrida e o tempo gasto. Observe o resumo dos treinos de Rafael em alguns dias e resolva as questões.

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4. Esta atividade trabalha a resolução de um problema envolvendo a razão correspondente à velocidade média. No item c, sugerir aos alunos o uso de calculadora e orientá-los a arredondarem os resultados para o inteiro mais próximo.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site para obter a extensão territorial e a população do munícipio onde moram. • IBGE. Conheça Cidades e Estados do Brasil. Disponível em: <http://livro.pro/f492h3>. Acesso em: 11 set. 2018.

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre o PBEV. • PROGRAMA BRASILEIRO DE ETIQUETAGEM VEICULAR. Disponível em: <http://livro. pro/vsr79s>. Acesso em: 11 set. 2018.

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5. Junte-se a um colega e resolvam a atividade a seguir. Em vias onde há radares de velocidade instalados, é comum os motoristas reduzirem momentaneamente a velocidade do veículo, apenas em um pequeno trecho monitorado por esse radar, para evitar serem multados, retomando uma velocidade maior logo em seguida. A fim de evitar esse procedimento, em outubro de 2017, alguns radares que medem a velocidade média dos veículos foram instalados em vias da cidade de São Paulo (SP). Observe como esses radares funcionam. Ao passar pelo segundo radar, o horário, a velocidade e a placa do veículo são registrados e é calculada a velocidade média do veículo nesse trecho. Essa velocidade não deve ultrapassar a máxima permitida no trecho.

Dois radares são instalados em diferentes locais na via.

No trecho entre os radares, a velocidade máxima permitida não se altera.

LUCAS FARAUJ

Assim que o veículo passa pelo primeiro radar, o horário, a velocidade e a placa do veículo são registrados.

Algumas respostas possíveis: Acidentes entre veículos; atropelamentos. a) Citem riscos que são causados pelo excesso de velocidade dos veículos nas vias públicas? b) Pesquisem e registrem a velocidade máxima permitida em alguma rua ou avenida próxima à escola em que estudam. Nessa via há algum radar de velocidade instalado? Respostas pessoais. Para resolver os itens c, d e e, considerem uma via em que dois desses radares foram instalados e delimitam um trecho de 6 km, onde a velocidade máxima permitida é de 60 km/h. c) Certo veículo passou pelo 1o radar às 10h40 e pelo 2o às 10h49. 9 min. 0,15 h. • Em quantos minutos esse veículo percorreu o trecho? Esse tempo corresponde a quantas horas? • Qual é a velocidade média desse veículo no trecho, em quilômetros por hora? 40 km/h. • Essa velocidade ultrapassa a máxima permitida? Não. d) Nos itens a seguir estão indicados os horários em que alguns veículos passaram por esses radares. Calculem a velocidade média de cada um deles nesse trecho e indiquem quais ultrapassaram a velocidade máxima permitida. II e III. I. 1o radar: 10h40 III. 1o radar: 22h48 o 2 radar: 10h52 30 km/h. 2o radar: 22h52 90 km/h. II. 1o radar: 13h55 IV. 1o radar: 15h35 o 2 radar: 14h 2o radar: 15h43 45 km/h. 72 km/h. e) Determinem o tempo mínimo no qual um veículo pode percorrer esse trecho de maneira a não ultrapassar a velocidade máxima permitida. Justifiquem a resposta. 6 min. Resposta esperada: Ao percorrer esse trecho em 6 min, ou seja, em 1 de hora, a velocidade média no 10 trecho será de 60 km/h. 113

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Nome da via

Trecho escolhido

Distância percorrida

Velocidade máxima permitida

Tempo mínimo do percurso

5. Esta atividade trabalha a resolução de um problema envolvendo a razão correspondente à velocidade média. No item c, orientar os alunos na conversão de horas para minutos. No item d, propor uma discussão sobre a importância de respeitar as regras de trânsito para evitar acidentes e sobre o objetivo dos radares, como o de flagrar os motoristas que desrespeitam a sinalização. Após a realização do item e, é possível propor uma atividade com ideias da Investigação matemática, uma das tendências abordadas na parte geral deste Manual do professor. Para isso, os alunos podem investigar o tempo mínimo necessário para percorrer trechos de algumas vias do município em que a escola se localiza. Uma sugestão é organizar os alunos em grupos e definir com cada grupo uma diferente via do município. Nesse sentido, é importante escolher vias com diferentes características, como vias expressas, vias de regiões centrais e de bairros, privilegiando aquelas com histórico de frequência de acidentes de trânsito. Em seguida, cada grupo tem de pesquisar dois dados em relação ao trecho da via definida: distância percorrida e a velocidade máxima permitida. Com esses dados, o grupo tem de calcular o tempo mínimo que um veículo pode percorrer esse trecho de maneira a não ultrapassar a velocidade máxima permitida. Os grupos podem reunir os resultados obtidos em um único quadro, como o apresentado na parte inferior desta página. Por fim, se possível, promover uma campanha de conscientização da importância de se respeitar a legislação de trânsito, com destaque ao limite de velocidade nas vias. Essa campanha pode ser desenvolvida por meio de diferentes recursos, como cartaz, banner, vídeo e blog, e deve trazer também os resultados da investigação realizada.

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Proporção

Note que essas razões são iguais. I

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20 45

3 2

20 cm

30 cm

45 30

Assim, dizemos que as razões

30 20

45 30

formam uma proporção.

Sejam a, b, c e d números reais, com b 5 0 e d 5 0, dizemos que se a razão entre a e b e a razão entre c e d são iguais, então elas formam uma proporção. a b

Lê-se: a está para b assim como c está para d.

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo a e d os extremos e b e c os meios da proporção.

A verificação dessa propriedade será trabalhada de maneira geral na atividade 6 da página 115. Explicar que a recíproca dessa propriedade também é válida, ou seja, sempre que, dadas duas razões, se o produto dos extremos for igual ao produto dos meios, essas razões formarão uma proporção. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de termos em proporções representadas por uma igualdade de razões. Pedir aos alunos que realizem cálculos e façam a verificação da proporção. Para a resolução, eles podem obter a forma irredutível de cada razão ou calcular os produtos dos meios e dos extremos. 2. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, a escrita de razões e a identificação de pares de razões que formam uma proporção. Se possível, relacionar esta atividade às ideias iniciais de figuras semelhantes que serão tratadas na Unidade 5 deste Volume. Para complementar, pedir aos alunos que indiquem as dimensões de um

ROBERTO ZOELLNER

Algumas lojas na internet oferecem o serviço de impressão de fotografias, que funciona da seguinte forma: os clientes enviam os arquivos digitais das fotografias, escolhem o tamanho e a quantidade de cópias e recebem as fotografias impressas em suas residências pelo correio. Observe dois tamanhos de impressão em formato retangular oferecidos por um desses sites. Para cada uma dessas impressões, podemos escrever uma razão entre o comprimento (maior medida) e a largura (menor medida), em centímetros.

45 cm

Proporção Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF09MA08. Relembrar com os alunos que, quando duas frações têm a mesma forma irredutível, então elas são equivalentes. Além disso, é importante que eles compreendam a relação entre razão e proporção, isto é, temos uma proporção quando duas razões são iguais. Explicar aos alunos que podemos verificar a propriedade fundamental das proporções, multiplicando ambos os membros da proporção pelos denominadores das frações e realizando simplificações. Observe um exemplo com a proporção 30 45 = . 20 30 30 45 ? 20 ? 30 = ? 20 ? 30 H 20 30 H 30 ? 30 = 45 ? 20

30 cm

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Em relação à proporção apresentada anteriormente, temos: extremos

meios

30 20

45 30

Para todas as proporções, é válida a seguinte propriedade. Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Essa é a chamada propriedade fundamental das proporções. Observe nas proporções a seguir a verificação dessa propriedade. a)

20 16

15 12

H 16 ? 15 = 240 H 20 ? 12 = 240

36 27

28 21

H 27 ? 28 = 756 H 36 ? 21 = 756

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modelo de fotografia cuja razão entre o comprimento e a largura forme uma proporção com o modelo IV. Neste caso, os alunos podem indicar, por exemplo, uma fotografia com 4 cm de comprimento e 3 cm de largura ou 16 cm de comprimento e 12 cm de largura.

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1. a) Termos: 5, 15, 2 e 6; extremos: 5 e 6; meios: 15 e 2. b) Termos: 21, 6, 56 e 16; extremos: 21 e 16; meios: 6 e 56. c) Termos: 20, 45, 32 e 72; extremos: 20 e 72; meios: 45 e 32. d) Termos: 12, 10, 60 e 50; extremos: 12 e 50; meios: 10 e 60. Resoluções a partir da p. 257 5. c) Algumas respostas possíveis: Contratar 1 mulher. AtividadeS Contratar 9 mulheres e 15 homens. NÃO ESCREVA a c a c b?c NO LIVRO. 6. = H b ? = b ? H d ? a = d ? Ha?d=b?c b d b d d 1. Nas proporções a seguir, identifique quais b) Observe as embalagens de outros sucos concentrados. Qual deles apresenta uma são os termos, os extremos e os meios. 5 2 20 32 razão entre a quantidade de suco concenc) = = a) 15 6 45 72 trado e a de água utilizada no preparo, que forma uma proporção com a do 21 56 12 60 b) d) = = refresco preparado por João. II. 6 16 10 50 I. 2. Observe no quadro as medidas em que as fotografias podem ser impressas em formato retangular por certa loja na internet.

I II III IV V

Comprimento (cm) 15 30 25 40 60

Largura (cm) 10 24 20 30 40

II. ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

Modelo

a) Escreva, para cada modelo, a razão entre o comprimento e a largura da fotografia impressa. I: 15 ; II: 30; III: 25 ; IV: 40; V: 60. 10 24 20 30 40 b) Agora, determine todas as proporções que podem ser formadas com as razões que você escreveu no item a. 15 60 30 25 = ; = . 10 40 24 20 3. Copie no caderno apenas as fichas cuja 4 razão forma uma proporção com a razão . 3 44 70 20 120 100 18 33

175

300

36 44 20 100 ; ; . 33 15 75 4. Para fazer uma jarra de refresco de fruta, João vai utilizar certo volume de suco concentrado e preparar de acordo com as indicações na embalagem. 4. a) 200 . 800

c) O que a proporção observada no item anterior significa em relação aos sucos indicados? 5. Certa empresa fez um levantamento da quantidade de funcionários nas suas duas filiais. Observe. Filial I

15 mulheres 30 homens

Filial II

32 mulheres 60 homens

a) Para cada filial, escreva uma razão entre a quantidade de funcionárias mulheres e funcionários homens. I: 15 ; II: 32 . 30 60 b) Essas filiais têm a razão entre a quantidade de funcionárias mulheres e de funcionários homens formando uma proporção? Não. c) Explique o que pode ser feito na filial I para que a razão entre a quantidade de funcionárias mulheres e de funcionários homens forme uma proporção com a razão correspondente a outra filial.

a c ?b= ?b b d

6. Utilizando a propriedade multiplicativa da igualdade, verifique a validade da propriedade fundamental das proporções, em que dados a, b, c e d números reais, a) Escreva uma razão entre a quantidade de c a com b 5 0 e d 5 0, se = , então temos suco concentrado e a de água, em mililib d tros, utilizada no preparo desse refresco. a ? d = b ? c. 4. c) Resposta esperada: Que as quantidades de suco concentrado e de água são proporcionalmente iguais no caso do preparo desses dois refrescos. 115

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3. Esta atividade trabalha a identificação de razões que formam proporção com uma dada razão. Para a resolução, os alunos podem obter a forma irredutível das razões indicadas nas fichas. 4. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a escrita e a identificação de

razões que formam proporção com uma dada razão. No item c, verificar se os alunos compreenderam que, como as razões formam uma proporção, a quantidade de água necessária para preparar certa quantidade de suco é a mesma ao utilizar qualquer uma das duas embalagens. Propor

a escrita de razões e a identificação de pares de razões que formam uma proporção. Verificar qual estratégia os alunos utilizaram para resolver o item c. Uma delas é obter a 32 fração equivalente a cujo 60 denominador seja 30 (mesmo 15 denominador da razão 30 obtida para a filial I); neste 16 caso, . Agora, como os de30 nominadores são iguais, basta igualar os numeradores para que as razões formem uma proporção. Para isso, basta adicionar 1 ao numerador da 15 fração , ou seja, contratar 30 uma mulher na filial I. Discutir com os alunos sobre outras respostas possíveis, em que possam ser contratados homens e mulheres. 6. Esta atividade trabalha a verificação geral da propriedade fundamental das proporções. Veja a seguir essa verificação de maneira mais detalhada, com b e d diferentes de zero, em que ambos os termos da proporção são multiplicados pelos denominadores das frações e são realizadas as simplificações. a c = b d Multiplicamos

c a?d=b? ?d d a?d=b?c

ambos os membros por b. Multiplicamos ambos os membros por d. Produto dos extremos. Produto dos meios.

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que calculem a quantidade de água que deve ser utilizada na mistura com 200 mL do suco indicado na embalagem II e, em seguida, comparem essa quantidade com a quantidade de água utilizada no suco preparado por João. 5. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada,

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Grandezas diretamente proporcionais O estudo das grandezas diretamente e inversamente proporcionais já foi realizado em Volumes anteriores desta coleção. Nesta Unidade, este estudo será retomado e ampliado. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Geografia para explorar outros elementos fundamentais na confecção de um mapa, além de outras escalas utilizadas. Explicar aos alunos que a distância obtida entre Fortaleza e Natal é aproximada, devido à medição realizada. Compor com os alunos um quadro como o apresentado a seguir para obter algumas distâncias no mapa e a distância real correspondente. Distância no mapa (cm)

Distância real (km)

160

240

320

400

Em seguida, utilizando os valores do quadro, identificar com eles as proporções:

•

Grandezas diretamente proporcionais Para confeccionar um mapa, um dos elementos fundamentais é a escala adotada, que indica a razão entre as dimensões reais da região e as dimensões de sua representação nesse mapa. Na aula de Geografia, Helena mediu com a régua a distância em linha reta entre os municípios de Fortaleza (CE) e Natal (RN) no mapa representado a seguir. Qual é a distância real aproximada, O em linha reta, entre40ºesses dois municípios?

Distância entre Fortaleza (CE) e Natal (RN) Na escala, esse traço de 1 cm indica que 1 cm no mapa corresponde a 80 km na distância real.

•

1 80 = 5 400

Para complementar, levar para a sala de aula outro mapa dessa mesma região, com uma escala diferente, e pedir aos alunos que meçam a distância no mapa entre Fortaleza e Natal e, em seguida, calculem a distância real, a fim de comparar com os dados do mapa apresentado nesta página e perceber que a distância obtida é a mesma ou próxima.

RN Natal

AL 10° S

Fontes: IPECE. Ceará em números: 2016. Disponível em: <www2.ipece.ce.gov. br/publicacoes/ceara_em_ numeros/2016/tabelas/ Tabela%201.8.xls>. Acesso em: 12 jun. 2018. IBGE. Atlas geográfico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. p. 99.

Para resolver esse problema, temos de observar que as grandezas distância no mapa e distância real são diretamente proporcionais. Assim, com base na escala do mapa e na medição feita por Helena, podemos calcular a distância real aproximada em linha reta entre Fortaleza (CE) e Natal (RN) usando a propriedade fundamentalOCEANO das proporções.

1 80 = • 3 240 1 80 = 4 320

Fortaleza

1 80 = 2 160

•

ALLMAPS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Distância no mapa (cm)

Distância real (km)

5,5

ATLÂNTICO 1 80 =

5,5 x 1 ? x = 5,5 ? 80 x = 440

Veja no material audiovisual o vídeo sobre o uso de escalas em representações cartográficas e em plantas arquitetônicas.

Assim, temos que a distância real aproximada, em linha reta, entre esses municípios é de 440 km. 116

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre o uso de escalas em representações cartográficas e em plantas arquitetônicas. Nesse vídeo, aborda-se o conceito de escala e sua aplicação na cartografia, explicitando como esse cálculo é realizado e refletindo sobre como a escala aumenta ou diminui, de acordo com a região representada. Além disso, é proposta uma verificação da relação entre medidas reais e medidas correspondentes na representação de uma sala de aula.

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Agora, considere a seguinte situação. Em sua casa, Silas utiliza o ferro de passar roupas 8 dias por mês por 30 minutos em cada dia, consumindo ao todo 4,3 kWh. Observe a estratégia que ele pretende utilizar para economizar energia elétrica. Para

DANILLO SOUZA

economizar, vou acumular as roupas e passá-las apenas 4 dias por mês, utilizando o ferro por 45 min em cada dia.

Quantos quilowatts-hora aproximadamente Silas deve consumir em um mês utilizando o ferro de passar roupas com essa nova estratégia? Para resolver esse problema, podemos organizar as informações apresentadas da seguinte maneira: Quantidade de dias por mês

Tempo de uso do ferro por dia (min)

Consumo mensal de energia elétrica (kWh)

4,3

Observe como podemos resolver esse problema em duas etapas. 1 ) Como as grandezas quantidade de dias por mês e consumo mensal de energia elétrica (kWh) são diretamente proporcionais, fixamos o tempo de uso do ferro por dia em 30 minutos e calculamos: a

4,3 = 4 x 8 ? x = 4 ? 4,3 8

Quantidade de dias por mês 8 4

Consumo mensal de energia elétrica (kWh) 4,3 x

17,2 = 8 8 x = 2,15 Portanto, utilizando o ferro de passar roupas 4 dias por mês por 30 minutos em cada dia, Silas vai consumir 2,15 kWh de energia elétrica mensalmente. 2a) Agora, observe que as grandezas tempo de uso do ferro por dia (min) e consumo mensal de energia elétrica (kWh) são diretamente proporcionais. Assim, fixamos a quantidade de dias em 4 e, com base no resultado da etapa anterior, calculamos: Tempo de uso do ferro por dia (min) 30 45

Consumo mensal de energia elétrica (kWh) 2,15 y

Portanto, Silas vai consumir 3,225 kWh de energia elétrica por mês se utilizar o ferro de passar roupas 4 dias por mês por 45 minutos em cada dia.

2,15 = 45 y 30 ? y = 45 ? 2,15 30y

96,75 = 30 30 y = 3,225

Com essa nova estratégia, quantos quilowatts-hora Silas vai economizar mensalmente com o ferro de passar roupas? 1,075 kWh.

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Nesta página é apresentada uma estratégia para a economia de energia elétrica. Para complementar, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Com a estratégia utilizada por Silas, qual será a economia de energia, em kWh, durante um ano? Resposta: 12,9 kWh.

• Com essa estratégia, quan-

to Silas irá gastar anualmente com a energia elétrica consumida pelo ferro de passar roupas, considerando que o valor cobrado por quilowatt-hora é de R$ 0,78? Resposta: Aproximadamente R$ 30,19. • Qual será, em reais, a economia anual com energia elé-

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trica, com a estratégia adotada por Silas? Resposta: Aproximadamente R$ 10,06. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta algumas dicas para economizar energia elétrica na residência.

Dicas de Consumo Inteligente […] Chuveiro Elétrico O chuveiro elétrico é o aparelho que mais consome energia em uma residência. Representa de 25% a 35% do valor da sua conta. [...] • Nos dias quentes, coloque o chuveiro na posição Verão. Assim, o consumo será cerca de 30% menor. • Deixe o chuveiro ligado apenas o tempo necessário. Banhos demorados custam muito caro. [...] Lâmpada A iluminação representa de 15% a 25% do valor da sua conta de energia. [...] • Evite acender lâmpadas durante o dia, aproveite a luz natural. • Abra as janelas, cortinas, persianas e deixe a luz do dia iluminar sua casa. • Apague sempre as lâmpadas dos ambientes desocupados. • Limpe sempre as lâmpadas e luminárias. • Dê preferência a lâmpadas de LED ou fluorescentes. Elas iluminam melhor, duram mais e consomem menos energia. Televisor [...] O consumo mensal de energia elétrica de um televisor fica entre 10 e 30 kWh, e ele é responsável por 6% da sua conta. [...] • Desligue a TV quando ninguém estiver assistindo. • Não deixe o aparelho ligado enquanto estiver dormindo, utilize a função timer ou sleep de desligamento automático. [...] CPFL. Dicas de Consumo Inteligente. Disponível em: <www. cpfl.com.br/energias-sustentaveis/ eficiencia-energetica/uso-consciente/ dicas-de-consumo/Paginas/default. aspx>. Acesso em: 19 set. 2018.

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Grandezas inversamente proporcionais Ao trabalhar com a situação apresentada nesta página, conversar com os alunos sobre a importância de se respeitar as sinalizações de trânsito. Leia para eles o trecho a seguir, sobre os limites de velocidade em vias no Brasil. Respeite os limites de velocidade das vias [...] a infração por excesso de velocidade é considerada uma das principais causas de acidentes graves, além de ser uma das mais cometidas pelos motoristas em todo o País. Deve-se levar em consideração que para cada tipo de via há uma velocidade máxima permitida, definida pelo Código de Trânsito Brasileiro (CTB). [...] No Brasil, os limites de velocidade estabelecidos são: 30 km/h nas vias locais, 40 km/h nas vias coletoras, 60 km/h nas vias arteriais e 80 km/h nas vias de trânsito rápido. [...] Listamos alguns bons motivos para respeitar os limites de velocidade.

Tempo de reação O cérebro demora pelo menos 1 segundo para reagir diante de um novo estímulo. A 80 km/h, em pista seca, o carro percorre 22 metros neste tempo, antes de o motorista pisar no freio. Frenagem controlada Abusar da velocidade é precisar de mais tempo e espaço para frenagens. Ainda a 80 km/h, depois de acionado o freio, são mais 30 metros até o carro parar. Evitar acidentes Circular dentro da velocidade permitida na via ajuda a evitar acidentes justamente pelo controle das reações do motorista diante de obstáculos ou riscos. Multas Abusar do acelerador dói no bolso. Pode custar entre

Grandezas inversamente proporcionais Um trecho considerado perigoso de uma estrada tem a velocidade máxima permitida de 80 km/h, possibilitando que os veículos o percorram em 9 minutos no mínimo. Para reduzir a quantidade de acidentes que frequentemente ocorrem, a administração dessa rodovia vai reduzir a velocidade máxima para 60 km/h nesse trecho. Com essa mudança, em quanto tempo no mínimo será possível percorrer esse trecho da estrada?

RUBENS CHAVES/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tráfego na Rodovia dos Imigrantes (SP-160). Fotografia de 2018.

Para responder a essa questão, note que as grandezas velocidade máxima permitida e tempo mínimo do percurso são inversamente proporcionais, pois, por exemplo, quando dobramos a velocidade máxima permitida, o tempo mínimo do percurso é reduzido à metade; quando reduzimos a velocidade máxima permitida à metade, o tempo mínimo do percurso dobra, e assim por diante. Assim, escrevemos a proporção indicando uma razão e invertendo a outra. Velocidade máxima permitida (km/h) 80 60

Tempo mínimo do percurso (min) 9 x

80 x = 60 9 60 ? x = 80 ? 9 720 60x = 60 60 x = 12

Portanto, com a redução da velocidade máxima permitida para 60 km/h, o tempo mínimo para percorrer esse trecho da rodovia será de 12 min. Agora, considere a questão a seguir, proposta em uma edição do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). (Enem-2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a: a) 2. b) 4. c) 5. d) 8.

e) 9.

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R$ 130,16 e R$ 880,41, dependendo da porcentagem da velocidade excedida. Lugar certo

As ruas da cidade não são lugar para corridas de carro. Apressadinhos podem acelerar em competições especialmente organizadas para a prática.

GOVERNO DO ESTADO DO MATO GROSSO DO SUL. DETRAN-MS. Disponível em: <www.detran.ms.gov. br/respeite-os-limites-de-velocidadedas-vias-alerta-detran-ms>. Acesso em: 19 set. 2018.

Para complementar o trabalho com a habilidade EF09MA08 da BNCC, propor aos alunos que, com base

nessas informações, elaborem dois problemas envolvendo grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Em seguida, pedir aos alunos que os troquem com um colega para que ele os resolva, enquanto resolve aqueles que o colega elaborou. Ao final, devem conferir juntos as resoluções.

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Durante o trabalho com a resolução da questão proposta no Enem, explicar aos alunos que as grandezas tempo para escoar a água do reservatório e quantidade de ralos são inversamente proporcionais, uma vez que, ao reduzir o tempo para escoar certa quantidade de água, é necessária uma quantidade proporcionalmente maior de ralos. Em seguida, verificar se eles compreenderam o porquê da capacidade do reservatório e a quantidade de ralos serem diretamente proporcionais, uma vez que, ao aumentar a capacidade do reservatório, aumenta-se proporcionalmente a quantidade de água a ser escoada e, dessa maneira, são necessários mais ralos para realizar o escoamento no mesmo tempo.

Podemos organizar as informações apresentadas da seguinte maneira: Tempo para escoar a água (h) 6

Capacidade do reservatório (m³) 900

Quantidade de ralos 6

500

Observe como podemos resolver esse problema em duas etapas. 1 ) As grandezas tempo para escoar a água e quantidade de ralos são inversamente proporcionais. Assim, fixamos a capacidade do reservatório em 900 m³ e calculamos: a

6 x = 4 6 4?x=6?6 4x 36 = 4 4 x=9 Portanto, para um reservatório cheio com 900 m³ de capacidade, são necessários 9 ralos para escoar a água em 4 horas. Tempo para escoar a água (h) 6 4

Quantidade de ralos 6 x

2a) As grandezas capacidade do reservatório e quantidade de ralos são diretamente proporcionais. Assim, fixamos o tempo para escoar a água em 4 horas e, com base no resultado da etapa anterior, calculamos: 9 900 = y 500 Capacidade do Quantidade de 900 ? y = 500 ? 9 reservatório (m³) ralos 900y 4 500 = 900 9 900 900 500 y y=5

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Propor uma discussão sobre a importância da doação de objetos, como roupas, brinquedos, calçados, que, mesmo estando em boas condições, não usamos mais e podem ser ainda muito úteis para outras pessoas. Verificar a possibilidade de realizar uma campanha de doação na escola em benefício a alguma instituição do município, como asilos ou orfanatos.

Portanto, para escoar a água do novo reservatório em 4 horas, serão necessários 5 ralos. Assim, a alternativa c é a correta.

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Mantendo esse ritmo de arrecadações, calcule a estimativa da quantidade de agasalhos, calçados e brinquedos que serão arrecadados até o final da campanha. Agasalhos: 375 unidades; calçados: 90 pares; brinquedos: 370 unidades.

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1. Durante cinco semanas, uma instituição realiza uma campanha de arrecadação de agasalhos, calçados e brinquedos. Observe ao lado o que foi arrecadado até o final da 2ª- semana da campanha.

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3. Resposta esperada: Não, pois, mantendo a mesma média de pontos por partida, a equipe terminará o campeonato com cerca de 53 pontos, ou seja, menos de 55 pontos. 2. Para pintar a parte externa do muro de uma escola, que tem 85 m de comprimento e 2,5 m de altura, será utilizada tinta de latas de 3,6 L, com a qual é possível cobrir 25 m² do muro. a) Qual é a área do muro que será pintada? 212,5 m². b) Quantos litros de tinta serão necessários para pintar esse muro? 30,6 L. c) No mínimo, quantas latas como essa será necessário comprar para a pintura da parte externa 9 latas. desse muro?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3. Em um campeonato de futebol, cada time disputa ao todo 38 partidas.

Mantendo essa média de pontos por partida, terminaremos o campeonato com mais de 55 pontos.

Você acha que a afirmação da técnica é verdadeira? Justifique sua resposta. 4. Leia a tirinha com atenção.

DANILLO SOUZA

Certo time havia conquistado 14 pontos nas dez primeiras partidas. Observe ao lado o que a técnica desse time disse aos jogadores.

©MAURICIO DE SOUSA EDITORA LTDA.

ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. No item a, verificar se os alunos compreenderam que a parte externa do muro tem a mesma área de um retângulo com dimensões 85 m e 2,5 m. No item c, conversar com eles sobre o resto ou a parte decimal do quociente obtido na divisão da área do muro pelo rendimento da tinta. Neste caso, serão necessárias 8,5 latas de tinta para pintar o muro; porém, considerando que não é possível comprar lata de tinta fracionada, será necessário comprar 9 latas. 3. Esta atividade trabalha a análise de uma situação em relação à proporcionalidade. É importante que os alunos compreendam que, ao fixar a média de pontos por partida, a quantidade de partidas é diretamente proporcional à quantidade de pontos, ou seja, considerando essa média de pontos, quanto mais partidas forem jogadas, mais pontos proporcionalmente a equipe vai conquistar. 4. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Explicar aos alunos que, de acordo com a tirinha, o tempo que uma pessoa com 40 anos de idade terá dormido é uma medida aproximada, que pode ser calculada da seguinte maneira. • Um ano tem 365 dias, então, uma pessoa com 40 anos viveu cerca de 14 600 dias (40 ? ? 365 = 14 600). • 365 dias têm aproximadamente 8 760 horas (24 ? 365 = = 8 760). • Como a pessoa dormiu em média 8 horas por dia, temos que em 40 anos ela viveu 14 600 dias e dormiu 116 800 horas (14 600 ? 8 = 116 800). • Dividindo a quantidade de horas que uma pessoa com 40 anos terá dormido pela quantidade de horas em um ano,

SOUZA, M de. Turma da Mônica. Disponível em: <http://turmadamonica.uol.com.br/tirinhasdomarcelinho/index.php?a=10>. Acesso em: 12 out. 2018.

a) Converse com os colegas sobre o que você entendeu dessa tirinha. Resposta pessoal. b) Considerando a fala de Marcelinho no primeiro quadrinho, calcule o equivalente a quantos anos aproximadamente um adulto de 40 anos terá dormido, se diariamente ele dormir 10 h. E se ele dormir 6 h diárias? 16,25 anos ou 16 anos e 3 meses. 9,75 anos ou 9 anos e 9 meses. c) Em média, quantas horas você dorme por dia? Considerando essa média e a fala de Marcelinho, calcule o equivalente a quantos anos aproximadamente você terá dormido ao completar a idade de 40 anos. Respostas pessoais. 5. A zeladora de uma escola identificou que uma torneira da cozinha estava com vazamento. Para recolher a água que estava gotejando, ela utilizou uma jarra. Observe as anotações que ela fez após algum tempo.

Tempo de gotejamento: 30 min. Quantidade de água na jarra: 960 mL.

• Com base nessas informações, elabore um problema que envolva cálculos com grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Depois, troque-o com um colega para que ele resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. 120

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116800 = 13,3, ou se8 760 ja, a pessoa terá dormido cerca de 13,3 anos ou, aproximadamente, 13 anos. 5. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema pelo aluno envolvendo as ideias de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. A seguir, são

temos

apresentados exemplos de problemas que podem ser elaborados pelos alunos.

• Sabendo que essa torneira demorou 3 h para ser consertada após a zeladora ter identificado o vazamento, calcule a quantidade de água que gotejou nesse período. Resposta: 5 760 mL ou 5,76 L.

• Ao identificar o vazamento,

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a zeladora apertou um pouco mais o registro da torneira, para a vazão diminuir para 32 mL/min. Supondo que antes disso, a vazão era de 40 mL/min, calcule quanto tempo era necessário para a torneira gotejar os mesmos 960 mL. Resposta: 24 min.

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• Considerando que o consumo médio de combustível do carro de Ricardo se mantenha, de quanto será o gasto com combustível, em reais, para realizar uma viagem de 320 km e pagando R$ 4,20 o litro do combustível? R$ 84,00.

ARTUR FUJITA

7. Para fazer um trabalho escolar, Mariana fez o download de um programa de computador para construir gráficos. Observe as informações desse download.

• Ainda para esse trabalho, ela precisa fazer o download de outro programa de computador que tem 600 MB. Supondo que a taxa média de transferência para fazer esse novo download seja de 3,2 Mbps, em quanto tempo ele será concluído? 25 min. 8. Marcos, Luiza e André são amigos e fazem artesanato com argila. Para economizar, eles decidiram juntar as quantias que possuíam e comprar uma quantidade maior de argila, de maneira a gastar menos que comprando individualmente. Observe o preço da argila que eles compraram e com que quantia, em reais, cada um contribuiu.

Marcos: R$ 320,00. Luiza: R$ 192,00. André: R$ 128,00.

Bloco de argila para escultura.

A divisão da argila comprada será feita de maneira diretamente proporcional à quantia com que cada um deles contribuiu. Para calcular a quantidade de argila que Marcos vai receber, podemos construir o seguinte quadro: Quantidade de argila (kg) 100 x

Quantia (R$) 640 320

a) Quantos quilogramas de argila Marcos vai receber? 50 kg. b) Agora, calcule quantos quilogramas de argila cada um dos outros amigos vai receber. Luiza: 30 kg; André: 20 kg. 9. (OBMEP-2017) Para obter tinta de cor laranja, devem-se misturar 3 partes de tinta vermelha com 2 partes de tinta amarela. Para obter tinta de cor verde, devem-se misturar 2 partes de tinta azul com 1 parte de tinta amarela. Para obter tinta de cor marrom, deve-se misturar a mesma quantidade de tintas laranja e verde. Quantos litros de tinta amarela são necessários para obter 30 litros de tinta marrom? Alternativa e. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

OBMEP 2017

Preço por litro de combustível: R$ 4,60. Gasto total com combustível: R$ 51,75. Distância percorrida: 180 km.

Argila para escultura 100 kg R$ 640,00 NITO/SHUTTERSTOCK.COM

6. Ricardo fez uma viagem de carro e para avaliar sua despesa e o desempenho do seu carro anotou as seguintes informações.

10. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo três grandezas que se relacionam de maneira direta ou inversamente proporcional. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

8. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo a ideia de divisão em partes proporcionais. Para complementar, propor aos alunos o seguinte questionamento. • Antes de decidir comprar a argila com os amigos, André havia pesquisado o preço em uma loja onde compraria 20 kg de argila e pagaria R$ 45,00 em cada pacote de 5 kg. Quanto ele economizou, no total, ao optar por comprar a argila com os amigos? Resposta: R$ 52,00. 9. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo a ideia de divisão em partes proporcionais. Orientar os alunos a, inicialmente, determinar a quantidade de tinta verde e laranja para obter a tinta marrom. Em seguida, utilizando as proporções indicadas no enunciado, calcular a quantidade de tinta amarela utilizada para obter a tinta verde e a quantidade de tinta amarela utilizada para obter a tinta laranja. Por fim, basta adicionar as quantidades obtidas. 10. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema pelo aluno envolvendo as ideias de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Ao final, uma sugestão é propor que alguns dos problemas sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

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6. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. 7. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais.

Relembrar com os alunos que download corresponde à ação de transferir dados de um computador remoto (como na internet) para um computador local e a taxa de transferência corresponde à velocidade do download, ou

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seja, a velocidade em que os dados são transferidos. Por exemplo, uma taxa de transferência de 20 Mbps significa uma transferência de 20 megabites de dados por segundo, em média.

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c) 6 ovos. Resposta:

8 2 ou . 52 13 • Qual é a relação entre as razões que você calculou no item anterior? O que isso significa? Resposta esperada: Todas as razões são equivalentes, ou seja, independentemente da quantidade de ovos considerada, a razão entre essa quantidade e a massa de proteínas correspondente é a mesma. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com os professores das disciplinas de Ciências e de Educação Física sobre outras funções das proteínas no organismo e de outros alimentos ricos em proteínas. O trecho a seguir, que apresenta informações sobre funções da proteína em nosso organismo, pode auxiliar nesse trabalho. Resposta:

[...] As funções das proteínas estão bem além de fazer alguém ganhar massa. Dentre as várias funções, as mais importantes são: • Reconstruir tecidos lesionados;

Ovo de galinha médio.

Quantidade de ovos

Massa de proteína (g)

6,5

19,5

32,5

y = 6,5 ? x

6 2 ou . 39 13

d) 8 ovos.

TAMARA KULIKOVA/SHUTTERSTOCK.COM

Noção de função

massa de proteína (g) em 1 ovo

massa de proteína (g)

quantidade de ovos

fique ligado

Lentilha (crua): 23,2 g.

SSS615/SHUTTERSTOCK.COM

NOÇÃO DE FUNÇÃO Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF09MA06. No exemplo apresentado, comentar com os alunos que a quantidade de proteína correspondente a um ovo cru é de cerca de 50 g. Para complementar, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Qual é a massa de proteína presente em 7 ovos? E em 8 ovos? Respostas: 45,5 g. 52 g. • Calcule a razão entre a quantidade de ovos e a massa corresponde à proteína para: a) 2 ovos. 2 Resposta: . 13 b) 4 ovos. 4 2 ou . Resposta: 26 13

SOMMAI/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Amendoim (cru): 27,2 g.

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• Regenerar a musculatura; • Realizar o transporte de

substâncias em todo o organismo;

• Fonte de energia, embora não seja a melhor;

• Regula muitos hormônios; • Compõe o citoesqueleto de várias células;

• Tem importante papel no

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sistema imunológico; [...]

DINO. A importância das proteínas na alimentação. Disponível em: <https://exame.abril. com.br/negocios/dino/a-importanciadas-proteinas-na-alimentacaodino89085625131/>. Acesso em: 21 set. 2018.

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Neste estudo de funções, optamos por não trabalhar uma definição formal para esse conceito, uma vez que nesse nível de ensino o mais importante é o aluno compreender a relação unívoca entre as grandezas e a ideia de variáveis em uma função. A seguir, apresenta-se uma definição formal de função.

Ao longo da História, diversos matemáticos se dedicaram ao estudo das funções, como o suíço Leonhard Euler (1707-1783). Uma entre as diversas contribuições de Euler é uma notação própria para funções em que, por exemplo, a variável dependente y é substituída por f(x) na lei de formação. No caso da função, cuja lei de formação é dada por y = 6,5x, temos: f(x) = 6,5x Lê-se: f de x é igual a 6,5x. Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 471-473.

Com a lei de formação da função, podemos calcular, por exemplo, quantos gramas de proteína há em uma dúzia de ovos, considerando x = 12 e determinando f(12). Observe.

[...] Uma função f é uma lei que associa cada elemento x em um conjunto D exatamente a um elemento f(x), em um conjunto E.

f(12) = 6,5 ? 12 = 78 Portanto, em uma dúzia de ovos há 78 g de proteína. Também podemos calcular, por exemplo, quantos ovos são necessários para se obter 52 g de proteína: 52 = 6,5x 52 6,5x = 6,5 6,5 8=x Assim, para se obter 52 g de proteína são necessários 8 ovos.

IULIIA TIMOFEEVA/ SHUTTERSTOCK.COM

Carne bovina (grelhada): 35,9 g.

AMENIC181/SHUTTERSTOCK.COM

Bacalhau salgado (cru): 29 g.

Queijo minas: 17,4 g.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

MARAZE/SHUTTERSTOCK.COM

NITO/SHUTTERSTOCK.COM

Quantidade de proteína por porção (100 g)

Peito de frango (grelhado): 32 g.

Em geral, consideramos as funções para as quais D e E são conjuntos de números reais. O conjunto D é chamado domínio da função. O número f(x) é o valor de f em x e deve ser lido como "f de x". A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia por todo o domínio. O símbolo que representa um número arbitrário no domínio de uma função f é denominado variável independente, e o que representa um número qualquer na imagem de f é chamado de variável dependente. [...] STEWART, J. Cálculo, Volume I. Tradução: Antônio Carlos Moretti, Antônio Carlos Gilli Martins. São Paulo: Cengage Learning, 2011. p. 3.

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter informações sobre a necessidade de proteínas no organismo.

• BROWN, J. News Brasil.

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Qual é de fato a quantidade de proteína de que nosso corpo precisa? Disponível em: <http://livro.pro/sgh95a>. Acesso em: 23 set. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

g(x)

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Em seguida, promover uma discussão para evidenciar a relação unívoca entre as grandezas quantidade de água no reservatório e tempo após o acionamento do comando. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a análise de situações que envolvem variáveis que podem ser relacionadas por meio de função. Observe alguns exemplos de situações para o item c. • Quantidade de litros de combustível abastecido (variável independente) e o preço total a pagar (variável dependente). • Quantidade total de soja produzida (variável dependente) e a quantidade de hectares plantados (variável independente). • A velocidade constante de um carro (variável independente) e o tempo de viagem (variável dependente). 2. Esta atividade trabalha o cálculo de valores numéricos por meio de funções. 3. Esta atividade trabalha a identificação da lei de formação de uma função por meio de uma de suas características. Para complementar, apresentar aos alunos outras funções em que g(8) = 4 para que eles percebam que essa

Agora, leia com atenção a situação a seguir. Em uma companhia de saneamento havia, inicialmente, em um tanque, 125 m3 de água em tratamento. Então, foi acionado um comando permitindo a entrada de 2 m3 de água por minuto. Podemos determinar uma função para expressar a quantidade g(x) de água nesse tanque de acordo com o tempo x, em minutos, após o momento em que o comando para entrada de água foi acionado. Observe. quantidade inicial de água no tanque (m³)

g(x) = 125 + 2x

tempo em que o comando ficou acionado (min) quantidade de água que entra no tanque por minuto (m³)

quantidade de água no tanque (m³)

Para calcular quanta água havia no tanque 45 minutos após o comando ser acionado, por exemplo, determinamos g(45): g(45) = 125 + 2 ? 45 = 125 + 90 = 215, ou seja, 215 m³ . Quanto tempo após o comando ser acionado o tanque atingiu 151 m3 de água? 13 min.

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Lucas tem uma barraca na feira livre. Observe o preço da cenoura nessa barraca.

Cenoura R$ 3,85 o quilograma

DAYANE RAVEN

No trabalho com a situação apresentada nesta página, propor aos alunos que construam um quadro como o apresentado a seguir indicando a quantidade de água no tanque g(x) em função do tempo x, em minutos.

a) Nessa situação, é possível associar dois diferentes valores em reais a pagar para uma mesma massa de cenouras? Explique. b) Lucas quer escrever uma função para calcular o valor a pagar (R$) de acordo com a massa de cenouras compradas (kg). Nessa

1. a) Resposta esperada: Não; para cada massa de cenouras, obtemos um único valor a pagar, o que pode ser calculado multiplicando essa massa pelo preço por quilograma. função, qual será a variável dependente: a que representa a massa de cenouras ou o valor a pagar? A variável que representa o valor a pagar. c) Pense em uma situação que possa ser expressa por uma função e registre no caderno. Depois, indique para essa função a variável dependente e a variável independente. Resposta pessoal. f(6) = 33 e 2. Resolva cada item a seguir. f(20) = 5. a) Sendo f(x) = 45 _ 2x, calcule f(6) e f(20). b) Sendo g(x) = x² _ 3, calcule g(1) e g(12). g(1) = _2 e g(12) = 141. 3. Com certa função, Karina calculou corretamente g(8) = 4. Qual lei de formação indicada a seguir pode corresponder a uma função utilizada por Karina? d. 2 a) g(x) = 3x _ 16 c) g(x) = x _ 10 2 d) g(x) = 20 _ 2x b) g(x) = 9 + 5x

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única característica não define de maneira geral a lei de formação da função. x • g(x) = 2 • g(x) = x _ 4 • g(x) = 12 _ x

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4. b) f(4) = 16 e f(2,5) = 6,25. Resposta esperada: Temos que f(4) = 16 indica que um quadrado com 4 cm de lado tem área igual a 16 cm²; f(2,5) = 6,25 indica que um quadrado com 2,5 cm de lado tem área igual a 6,25 cm². • 12 h de uso. 2,4 kWh. 4. Já estudamos que a área de um quadrado é dada • 20 h de uso. 4 kWh. 24 kWh. pelo quadrado da medida • 4 h de uso diário em um mês de 30 dias. de seu lado. Considere o e) Sabendo que em certo mês Moacir calcux lou que esse televisor consumiu 30 kWh quadrado representado ao de energia elétrica, determine quantas lado, em que x corresponde a uma medida horas aproximadamente o televisor teve em centímetros. de uso. 150 h. a) Qual das sentenças a seguir corresponde à lei de formação de uma função que 6. Gabriele coleciona figurinhas de seus relaciona a área f(x) desse quadrado à personagens favoritos de histórias em quamedida x de seu lado? II. drinhos. Observe o que ela está dizendo. I. f(x) = 4x III. f(x) = 2x EDITORIA DE ARTE

4. Esta atividade trabalha uma situação que envolve variáveis que podem ser relacionadas por meio de função. Destacar que, como x expressa o comprimento do lado do quadrado, ele pode representar apenas medidas positivas, em centímetros. No item a, lembrar aos alunos que a área do quadrado é dada pelo produto da medida de um lado por ela mesma. No item c, os alunos devem resolver a seguinte equação do 2o grau com uma incógnita: x2 = 81. O estudo desse tipo de equação foi tratado na Unidade 3 deste Volume, se julgar necessário, é possível retomá-lo. 5. Esta atividade trabalha a representação pelo aluno da relação de duas variáveis por meio de uma função. Essa é a primeira atividade em que os alunos devem escrever a lei de formação de uma função. Para auxiliá-los na resolução do item c, propor os seguintes questionamentos. • Nessa relação, qual é a variável dependente? E a variável independente? Respostas: Consumo de energia elétrica (kWh). Tempo de uso do televisor (h). • Qual é a razão entre o consumo de energia elétrica e o tempo, para o uso desse televisor por 3 h? E por 7 h? Res0,6 1,4 postas: ou 0,2. ou 0,2. 3 7 6. Esta atividade trabalha a representação pelo aluno da relação de duas variáveis por meio de uma função. Veja a resposta do item a na parte inferior desta página.

II. f(x) = x² b) Com a lei de formação que você indicou no item a, calcule f(4) e f(2,5). O que esses cálculos indicam? c) Utilizando a lei de formação da função indicada, determine qual deve ser a medida do lado do quadrado para que sua área seja de 81 cm2. 9 cm.

Cada pacote desse contém 5 figurinhas.

Tempo de 1 2 3 4 5 6 7 uso (h) Consumo de energia 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 elétrica (kWh)

DAYANE RAVEN

5. Moacir está pesquisando o consumo de energia elétrica do modelo de televisor que tem em casa. Observe as anotações que ele fez.

Resposta nas Orientações para o professor. a) No caderno, construa um quadro para relacionar a quantidade de pacotes como esse e a quantidade de figurinhas correspondentes. Para isso, considere 1, 2, 3, 4, 5 e 6 pacotes de figurinhas.

Com base nessas anotações, resolva as questões. a) Quantos quilowatts-hora esse televisor consome em 3 h de uso? 0,6 kWh. b) Para que esse televisor consuma 1 kWh, quanto tempo ele tem de ficar em uso? 5 h. c) Escreva a lei de formação de uma função que indica o consumo c(x) de energia elétrica desse televisor, em quilowatts-hora, de acordo com o tempo x de horas de uso. c(x) = 0,2x. d) Com base na resposta do item c, calcule o consumo de energia elétrica desse televisor em:

b) Agora, com base no quadro que você construiu, escreva a lei de formação de uma função que relaciona a quantidade g(x) de figurinhas à quantidade x de pacotes. g(x) = 5x. c) Com a lei de formação que você escreveu no item b, calcule quantas figurinhas há em: • 8 pacotes. 40 figurinhas. • 15 pacotes. 75 figurinhas. • 20 pacotes. 100 figurinhas. d) Para obter 60 figurinhas, são necessários quantos pacotes como esses? 12 pacotes. 125

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Quantidade de pacotes

Quantidade de figurinhas

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ATIVIDADES 7. Esta atividade trabalha a representação pelo aluno da relação de duas variáveis por meio de uma função. Para complementar, propor aos alunos a seguinte situação. • Arnaldo paga R$ 3,40 por litro de óleo diesel. Escreva a lei de formação de uma função que relaciona o gasto g(x) com óleo diesel para esse trator, em reais, de acordo com o tempo x de horas de trabalho. Resposta: g(x) = 42,5x. 8. Esta atividade trabalha a representação pelo aluno da relação de duas variáveis por meio de uma função. Na resposta apresentada no item c, a porcentagem das vendas recebidas por Mario foi representada na forma de número decimal, em que 7% = 0,07. Para complementar o item d, propor aos alunos o seguinte questionamento. • Quanto Mário precisa vender em um mês para que seu salário seja maior do que R$ 2 380,00? Resposta: Mário precisa vender mais do que R$ 20 000,00. 9. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema pelo aluno envolvendo a noção de função. É importante avaliar se os problemas elaborados pelos alunos contemplam ideias relacionadas a funções. É possível que eles proponham problemas com uma função que relaciona um dos elementos da tabela nutricional apresentada com a quantidade de porções, porém, com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si essas produções. Aproveitar o contexto desta atividade e conversar com os alunos sobre a importância de olhar não apenas a tabela nutricional, mas todo o rótulo dos produtos, uma vez que as informações presentes nestes possibilitam, por exemplo, orientar se o consumidor pode ou não ingerir o produto caso seja portador de alguma restrição alimentar, como intolerância a glúten ou lactose.

7. Em seu sítio, Arnaldo utiliza um trator para realizar diversas atividades como arar a terra, moer e transportar ração para o gado. Ele calculou que, em média, esse trator consome 12,5 L de óleo diesel por hora de trabalho.

THOMAZ VITA NETO/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Trator arando a terra. Fotografia de 2016.

a) Escreva a lei de formação de uma função que indica o consumo c(x) de óleo diesel desse trator, em litros, de acordo com o tempo x de horas de trabalho. c(x) = 12,5x. b) Em média, Arnaldo utiliza o trator 22 dias por mês, trabalhando 5 h diárias. Quantos litros de combustível, em média, esse trator consome por mês? Considerando o preço de R$ 4,25 o litro do óleo diesel, quantos reais podemos estimar como gasto mensal com combustível por esse trator? 1 375 L. R$ 5 843,75. c) O tanque de combustível desse trator tem capacidade para 100 litros de combustível. Quantas horas de trabalho, sem reabastecimento, são possíveis de realizar com esse trator quando está, inicialmente, com o tanque de combustível cheio? 8 h.

Janeiro

Fevereiro

Março

R$ 8 900,00

R$ 15 600,00

R$ 12 980,00

a) Sem realizar cálculos por escrito, estime em qual dos meses indicados o salário de Mário foi maior. Fevereiro. b) Com uma calculadora, determine o salário de Mário nos meses indicados. c) Escreva a lei de formação de uma função que relaciona o salário mensal de Mário s(x), em reais, de acordo com a quantia x referente às vendas mensais realizadas por ele. s(x) = 980 + 0,07x. d) Utilizando a lei de formação que você escreveu no item c, calcule: • o salário de Mário em um mês em que ele venda R$ 10 000,00 em materiais. R$ 1 680,00. • a quantia total das vendas de Mário em um mês cujo salário dele foi de R$ 1 890,00. R$ 13 000,00. 9. Tobias está observando as informações nutricionais no rótulo de um pacote de biscoito.

Informação nutricional Quantidade por porção de 30 g (3 biscoitos) Valor energético

131 kcal

Carboidratos

19 g

Açúcares

Proteínas

Gorduras totais

5,2 g

Fibra alimentar

Sódio 56 mg 8. Mário é vendedor em uma loja de mate• Com base nessas informações nutricioriais esportivos. Seu salário é composto nais, elabore uma questão em que a de uma parte fixa de R$ 980,00 e uma resolução envolva uma função. Depois, parte variável, correspondente a 7% do troque-a com um colega para que ele valor em reais das vendas que ele realizar a resolva, enquanto você resolve a que no mês. Observe as quantias referentes às recebeu. Ao final, confiram juntos as vendas realizadas por ele nos três primeiresoluções. Resposta pessoal. ros meses do ano. 8. b) Janeiro: R$ 1 603,00; fevereiro: R$ 2 072,00; março: R$ 1 888,60. 126

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AMPLIANDO

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Sugerir aos alunos que acessem este site para obter informações sobre a importância de ler os rótulos dos alimentos. • A IMPORTÂNCIA de ler os rótulos dos alimentos. Jornal da USP. Disponível em: <http://livro.pro/94ty6s>. Acesso em: 24 set. 2018.

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em 100 graus. [...] o kelvin é a unidade de SI básica de temperatura; é a escala de temperatura absoluta. Por absoluto entende-se que o zero na escala Kelvin, representado por 0 K, é a temperatura mais baixa que se pode atingir em teoria. Por outro lado, 0 ºF e 0 ºC baseiam-se no comportamento de uma substância escolhida arbitrariamente, a água. [...] O tamanho de um grau na escala Fahrenheit é ape5 nas 100 , ou , de um grau 9 180 na escala Celsius. [...] As unidades das escalas Kelvin e Celsius têm o mesmo tamanho; isto é, um grau Celsius é equivalente a um kelvin. Estudos experimentais mostraram que o zero absoluto na escala Kelvin é equivalente a _273,15 ºC na escala Celsius. [...]

Gráfico de uma função Logo que acordou, o pai de Mateus consultou a temperatura ambiente em um aplicativo no celular. Observe.

61%

Criciúma (SC) 20 °C/68 °F

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Temper T emperatur atura a

Note que, no aplicativo, a temperatura foi indicada em duas escalas: Celsius (ºC), utilizada no Brasil, e Fahrenheit (oF), utilizada nos Estados Unidos. Podemos escrever a lei de formação de uma função dada por f(x) = 1,8x + 32 para converter uma temperatura x expressa em graus Celsius para graus Fahrenheit. No exemplo apresentado, ou seja, com a temperatura de 20 oC, consideramos x = 20 e calculamos: f(20) = 1,8 ? 20 + 32 = 36 + 32 = 68, ou seja, 68 °F . Além da lei de formação, também podemos representar essa função por meio de um gráfico no plano cartesiano. Observe. Este eixo contém os valores da variável dependente: temperatura em graus Fahrenheit.

y 68

CHANG, R.; GOLDSBY, K. A. Química. Porto Alegre: AMGH Editora Ltda., 2013. p. 15-16.

O ponto de coordenadas (20, 68) indica que 20 °C corresponde a 68 °F.

70 60

Para complementar a situação apresentada nesta página, pedir aos alunos que verifiquem se todos os pontos indicados no gráfico são pontos correspondentes à função, conforme indicado a seguir. • f(20) = 1,8 ? 20 + 32 = = 36 + 32 = 68; (20, 68) • f(10) = 1,8 ? 10 + 32 = = 18 + 32 = 50; (10, 50) • f(0) = 1,8 ? 0 + 32 = = 0 + 32 = 32; (0, 32) • f(–10) = 1,8 ? (_10) + 32 = = _18 + 32 = 14; (_10, 14) • f(_20) = 1,8 ? (_20) + 32 = = _36 + 32 = _4; (_20, _4) • f(_30) = 1,8 ? (_30) + 32 = = _54 + 32 = _22; (_30, _22)

50 32

40 30 20

10 _20 _10 0 _30 _4 _10 _22

_20 _30

30 x

Este eixo contém os valores da variável independente: temperatura em graus Celsius.

Em relação à função apresentada, calcule f(_20), f(0) e f(10). Depois, relacione esses resultados a pontos do gráfico anterior. f(_20) = _4, f(0) = 32 e f(10) = 50. Esses cálculos podem ser relacionados, respectivamente, aos pontos de coordenadas (_20, _4); (0, 32) e (10, 50) representados no gráfico.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Gráfico de uma função Antes de iniciar o conteúdo desta página, se julgar necessário, retomar o estudo do plano cartesiano trabalhado na Unidade 2 deste Volume. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta

informações sobre escalas de temperatura. Escalas de temperatura

Há atualmente três escalas de temperatura em uso. As suas unidades são ºF (graus Fahrenheit), ºC (graus Celsius) e K (kelvin). A escala Fahrenheit, que

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é a escala mais usada nos Estados Unidos fora do laboratório, define os pontos de fusão e de ebulição normais da água como 32 ºF e 212 ºF, respectivamente. A escala Celsius divide o intervalo entre o ponto de fusão (0 ºC) e o ponto de ebulição (100 ºC) da água

Sugerir aos alunos que acessem este site, façam o download e assistam ao vídeo para obter mais informações sobre as escalas de temperatura. • SECRETARIA DA EDUCAÇÃO. Temperatura: Escalas Termométricas. Disponível em: <http://livro.pro/oy324k>. Acesso em: 24 set. 2018.

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Na construção do gráfico desta página, explicar que os valores atribuídos a x são arbitrários, ou seja, outros valores poderiam ter sido indicados. Verificar se os alunos associam corretamente cada par ordenado ao ponto correspondente por ele representado no gráfico. Para complementar este trabalho, propor aos alunos que atribuam outros valores para x, além dos apresentados, e verifiquem que os pares ordenados obtidos correspondem a pontos do gráfico da função g(x). Veja alguns exemplos no quadro a seguir. x

y = g(x)

(x, y)

1 2

[ 2 , _2]

3 2

[ 2 , 0]

7 2

[ 2 , 4]

5 [_ 2 , _8]

5 _2

Agora, observe, nas etapas a seguir, como podemos construir o gráfico da função g(x) = 2x _ 3, em que x representa um número real.

Na lei de formação da função, atribuímos alguns valores a x e calculamos os valores correspondentes a y = g(x), obtendo pares ordenados (x, y) que correspondem a pontos desse gráfico. x

y = g(x)

(x, y)

x = _ 3 H g(_3) = 2 ? (_3) _ 3 = _6 _ 3 = _9

(_3, _9)

x = _2 H g(_2) = 2 ? (_2) _ 3 = _4 _ 3 = _7

(_2, _7)

x = _1 H g(_1) = 2 ? (_1) _ 3 = _2 _ 3 = _5

(_1, _5)

x = 0 H g(0) = 2 ? 0 _ 3 = 0 _ 3 = _3

(0, _3)

x = 1 H g(1) = 2 ? 1 _ 3 = 2 _ 3 = _1

(1, _1)

x = 2 H g(2) = 2 ? 2 _ 3 = 4 _ 3 = 1

(2, 1)

x = 3 H g(3) = 2 ? 3 _ 3 = 6 _ 3 = 3

(3, 3)

Em um plano cartesiano, indicamos os pontos correspondentes aos pares ordenados (x, y) obtidos. y 4 3

Note que podemos atribuir a x qualquer número real. Assim, podemos obter, por meio da lei de formação da função, coordenadas de outros pontos do gráfico. Nesse caso, o gráfico corresponde a uma reta.

2 1 _4 _3 _2_1 0 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _10

1 2

3 4 x 1,8

y 4 3 2 1

_4 _3 _2 _1 0 _1 _ 3 _2 2 _3

1 2 3 4x 2,4

_4 _5 _6 _7 _8 _9 _10

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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1. Para construir o gráfico de certa função, Rita utilizou a lei de formação para obter pares ordenados que correspondem a pontos desse gráfico. Depois, ela destacou esses pontos em um plano cartesiano e traçou uma reta, correspondente ao gráfico dessa função. y 5

a) Quais são as coordenadas dos pontos do gráfico que Rita destacou antes de traçar a reta? (_3, 4); (_1, 3); (1, 2); (3, 1) e (5, 0) b) A função cujo gráfico Rita traçou tem como lei de formação qual das opções a seguir? III. x_5 I. f(x) = 2 II. f(x) = 5 _ x

4 2 1 1 2 3 4 5 6 x

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

III. f(x) =

_4 _3_2_1 0 _1

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de uma função com base em seu gráfico. Para a resolução do item b, orientar os alunos a substituírem as coordenadas dos pontos destacados no gráfico nas leis de formação das funções apresentadas e verificar em qual delas se obtém a sentença verdadeira. 2. Esta atividade trabalha a identificação de características de uma função com base em seu gráfico. Comentar com os alunos que o gráfico destacado corresponde ao gráfico de uma função quadrática, cuja lei de formação é dada por x2 f(x) = x _ . Se julgar con10 veniente, para comparação, apresentar gráficos de uma função polinomial do 1o grau, de uma função polinomial do 2o grau e de uma função polinomial do 3o grau, como nos exemplos apresentados na parte inferior desta página. Explicar a eles que esses exemplos e outros tipos de funções e gráficos serão estudados com mais detalhes no Ensino Médio. No boxe Dica, verificar se os alunos compreenderam que a distância horizontal percorrida pela bola corresponde à distância entre a posição no campo em que a bola foi chutada e a posição em que a bola tocou o campo novamente. O estudo da projeção ortogonal foi realizado na Unidade 2 deste Volume; se julgar necessário, é possível retomá-lo.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

5_x 2

c) Identifique quais das coordenadas a seguir correspondem a pontos desse gráfico. (2; 1,5)

(4; 5)

(−2; 3,5)

(−4; 0,5)

(2; 1,5) e (_2; 3,5).

©MAURICIO DE SOUSA EDITORA LTDA.

2. Você já reparou que, no futebol, em alguns chutes a bola descreve uma trajetória curva, como a apresentada a seguir?

SOUSA, M. de. As tiras clássicas do Pelezinho 1. São Paulo: Editora Mauricio de Sousa, 2012. p. 13.

Para representar a trajetória da bola após um desses chutes, do momento do chute até a bola tocar o campo novamente, Solange usou um programa de computador e construiu o gráfico de uma função, em que a variável dependente y indica a altura da bola (em metros) e a variável independente x, a distância horizontal (em metros). Observe. y 3 2,5 2 1,6 1 0

A distância horizontal corresponde à projeção ortogonal da bola na região plana do campo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

a) Qual é a distância entre o local em que a bola foi chutada e aquele em que tocou o campo pela primeira vez? 10 m. b) O que representa, em relação ao chute, o ponto de coordenadas (8; 1,6) desse gráfico? c) Após ter percorrido horizontalmente 2 m, qual é a altura da bola após esse chute? 1,6 m. d) A altura máxima que a bola atingiu nesse chute ocorreu após ter percorrido exatamente 5 m horizontalmente. Qual foi essa altura? 2,5 m. 2. b) Resposta esperada: Quando a bola havia percorrido uma distância horizontal de 8 m, ela estava a 1,6 m de altura. 129

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g(x) = x² + 2x – 1

f(x) = 2x _ 5 y 5

h(x) = x³ _ 3x² + x + 1

y 5

0 _1

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6 x

_4 _3 _2 _1 0 _1 _2

_1 0 _1 _2

4 x

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

129

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3. Cada gráfico a seguir representa uma função cuja lei de formação está indicada em uma das fichas a seguir. Associe cada gráfico à lei de formação da função que ele representa, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes. I-B; II-C; III-A. y I.

A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é: a) L(t) = 20t + 3 000 b) L(t) = 20t + 4 000 c) L(t) = 200t d) L(t) = 200t _ 1 000 e) L(t) = 200t + 3 000

3 2 1

_2_1 0 _1 _2

5. Para resolver esta atividade, junte-se a um colega. 1 2 3 x

Isabel construiu o gráfico de uma função do tipo f(x) = ax + b, em que a e b são número reais diferentes de zero e x um número real. Observe.

y 4

II.

y 4

3 2 1 _4 _3 _2 _1 0

3 2 1

1 2x

_1 0 _1 _2

y 4

III.

3 2 1 _2 _1 0 _1

_3 _4 1 2 x

A) f(x) = x² _ 1 B) f(x) = 1 _ x

C) f(x) =

x+6 2

4. (Enem-2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30. Alternativa d.

1 2 3 4

5 x

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 3. Esta atividade trabalha a associação de gráfico à lei de formação da função correspondente. Verificar quais estratégias os alunos utilizaram para resolver esta atividade. Uma estratégia pode ser substituir as coordenadas de cada um dos pontos destacados nos gráficos, nas leis de formação das funções apresentadas, e verificar em qual delas é obtida sentença verdadeira. 4. Esta atividade trabalha a identificação da lei de formação de uma função com base em seu gráfico. Para complementar, propor aos alunos os questionamentos a seguir. • Qual é o lucro dessa loja até o dia 20? Resposta: R$ 3 000,00. • Até qual dia o “lucro” dessa loja era negativo, ou seja, era prejuízo? Resposta: Até o dia 5. • Utilizando a função que indicou na resposta, calcule qual foi o lucro dessa empresa até o dia 30. Resposta: R$ 5 000,00. Após o trabalho com a seção Você conectado desta Unidade, retomar esta atividade e propor aos alunos que construam o gráfico das funções indicadas nas alternativas. 5. Esta atividade trabalha a representação gráfica de uma função pelo aluno. No item a, os alunos podem associar f(0) e f(2) aos pontos em que o gráfico cruza os eixos y, ponto (0, _4), e x, ponto (2, 0), respectivamente. Para a resolução do item b, orientar os alunos a utilizar os valores obtidos no item a. Para isso, a partir da função f(x) = ax + b, eles podem calcular os valores de f(0) e f(2) e, em seguida, substituir os valores obtidos no item a, da seguinte maneira. • Para x = 0, temos: f(0) = a ? 0 + b f(0) = b Como f(0) = _4, temos que b = _4. Assim, f(x) = ax _ 4.

a) Nessa função, qual é o valor de f(0)? E de f(2)? f(0) = _4. f(2) = 0. b) Escrevam a lei de formação da função cujo gráfico Isabel construiu. f(x) = 2x _ 4. c) Agora, em uma malha quadriculada, representem um plano cartesiano e construam o gráfico da função g(x) = 3x + 1, em que x é um número real. Resposta nas Orientações para o professor. 6. Leia as informações a seguir. Os alunos do 9o ano de uma escola vão fazer uma excursão ao final do ano. Observe o valor que uma companhia de ônibus vai cobrar no transporte dessa excursão. Taxa fixa de R$ 400,00 mais R$ 25,00 por passageiro.

ENEM 2017

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• Com base nessas informações, escreva no caderno um problema que envolva gráfico de função. Depois, troque-o com um colega para que ele resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

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• Para x = 2, temos:

f(2) = a ? 2 _ 4 f(2) = 2a _ 4 Como f(2) = 0, temos: 0 = 2a – 4 2a = 4 a=2 Assim, f(x) = 2x – 4.

É importante que os alunos percebam que o valor de b é numericamente igual à coordenada y do ponto em que o gráfico cruza o eixo y. Para o item c, reproduzir e entregar aos alunos malha quadriculada, disponível no

Material de apoio. Uma estratégia para a construção do gráfico é utilizar a lei de formação da função para calcular as coordenadas de alguns pontos do gráfico, indicar esses pontos no plano cartesiano representado na malha e traçar a reta.

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600 560 520 480 440 400 360 Este ponto indica que, em 5 h de viagem, foram percorridos 360 km.

320 280 240 200 160 120 80 40

40 30 20

_1 0

10 _1 0

y 640

1 2 3 4

Fontes dos dados: G1. Geração solar fotovoltaica: dá pra ter em casa?. Disponível em: <http://g1.globo. com/pernambuco/especial-publicitario/celpe/desligue-odesperdicio/noticia/2016/05/geracaosolar-fotovoltaica-da-pra-ter-em-casa.html>. INMETRO. Programa Brasileiro de Etiquetagem. Disponível em: <www.inmetro.gov.br/consumidor/pbe/ tabela_fotovoltaico_modulo.pdf>. Acessos em: 12 out. 2018.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 x

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

y 90 80 70 60 50

8. O gráfico a seguir é de uma função que relaciona o tempo de viagem x de um carro (em horas) e a distância y = f(x) percorrida por ele (em quilômetros) desde o início dessa viagem até o destino. Observe.

a) Quantas horas durou essa viagem? Quantos quilômetros ao todo foram percorridos? 9 h. 600 km. b) Qual foi a distância percorrida por esse carro nas primeiras 3 h de viagem? 200 km. c) Para calcular a velocidade média desse carro entre os tempos x1 e x2, em horas de viagem, com x2 . x1, podemos deter-

f(x2) _ f(x1) . Observe, por minar a razão De acordo com o gráfico, resolva. x2 _ x1 a) Qual é a capacidade mensal de geração exemplo, a velocidade média desse carro de energia elétrica de painéis fotovoltaicos entre 3 h e 5 h de viagem. com 3 m² de área? 60 kWh. b) Qual deve ser a área ocupada pelos painéis f(5) _ f(3) 160 360 _ 200 fotovoltaicos instalados em uma residência, = = 80, = 2 5_3 2 para que a capacidade mensal de geração ou seja, 80 km/h. de energia elétrica seja de 40 kWh? 2 m². c) Escreva a lei de formação dessa função. f(x) = 20x. d) Utilizando a lei de formação da função que De maneira análoga, calcule a velocidade você escreveu no item c, explique como média desse carro: pode ser obtida a capacidade mensal de • entre 5 h e 9 h de viagem. 60 km/h. geração de energia elétrica com 12 m2 de • em toda a viagem. Aproximadamente 66,7 km/h. painéis fotovoltaicos instalados. 7. d) Resposta esperada: Calculando f(12) = 20 ? 12 = 240, obtemos que com 12 m² de painéis solares instalados a capacidade mensal de geração de energia elétrica é de 240 kWh. 131

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y = g(x)

(x, y)

(_2, _5)

(_1, _2)

(0, 1)

(1, 4)

(2, 7)

Veja ao lado a resposta do item c.

6 5 4 3 2

6. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema pelo aluno envolvendo a construção do gráfico de uma função. É possível que os alunos proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si suas produções. A seguir, são apresentados exemplos de problemas que podem ser elaborados pelos alunos. • No total, quanto será cobrado pelo transporte nessa excursão no caso de 10 passageiros? E 20 passageiros? Respostas: R$ 650,00. R$ 900,00. • Escreva a lei de formação de uma função que expressa o valor total v(x) a pagar pelo transporte nessa excursão, de acordo com a quantidade x de passageiros. Resposta: v(x) = = 25x + 400. 7. Esta atividade trabalha a identificação de características e a escrita da lei de formação de uma função com base em seu gráfico. Conversar sobre a diferença nas escalas utilizadas nos eixos do gráfico, em que uma unidade no eixo horizontal corresponde a 10 unidades no eixo vertical. Esse artifício é utilizado quando os valores da grandeza representada em um eixo são muito maiores do que os valores correspondentes da grandeza representada no outro eixo. No item c, questionar os alunos se as grandezas apresentadas são diretamente ou inversamente proporcionais. Pedir que calculem e comparem a razão entre a capacidade de geração de energia e a área dos painéis solares para x = 2 e para x = 3 e verifiquem a proporção. 8. Esta atividade trabalha a análise de uma situação representada pelo gráfico de uma função, envolvendo a ideia de taxa de variação. Verificar se os alunos perceberam que as escalas dos eixos são diferentes entre si.

1 0 _3 _2 _1 _1 _2 _3 _4 _5

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y 7

EDITORIA DE ARTE

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7. A geração de energia elétrica em residências por meio de sistema fotovoltaico é uma prática que, além de acarretar economia na fatura de energia elétrica, contribui com o meio ambiente. Nesse sistema, em que são utilizados painéis fotovoltaicos e que convertem a luz solar em energia elétrica, a capacidade de geração de energia em quilowatt-hora (kWh) por mês varia proporcionalmente à área dos painéis instalados. O gráfico a seguir representa a função que relaciona a capacidade y = f(x) de geração de energia elétrica (kWh) por mês e a área x dos painéis fotovoltaicos instalados (m2), de certo modelo.

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VOCÊ CIDADÃO Esta seção propicia uma abordagem relacionada às competências gerais 7 e 10 e às competências específicas 6 e 8 de Matemática da BNCC, uma vez que trata de acidentes causados pela velocidade excessiva no trânsito. Isso permite aos alunos, em interação com seus colegas e o professor, discutir e defender ideias que promovam a segurança e a responsabilidade no trânsito, bem como a obediência às sinalizações, argumentando com base nos dados, fatos e informações apresentadas, mais especificamente. É importante iniciar o trabalho com esta seção promovendo uma roda de conversa com os alunos a fim de que exponham suas opiniões sobre o tema. Para conduzir essa conversa, propor a eles os seguintes questionamentos. • Vocês já observaram, no município em que moram, placas indicando a velocidade máxima permitida em uma via? E que outras sinalizações de trânsito vocês conhecem? • Vocês acham importante respeitar as sinalizações de trânsito? Justifiquem. • Qual é a importância de discutir esse tema?

você

cidadão

Os riscos da velocidade no trânsito Leia com atenção as informações do infográfico elaborado pela Organização Mundial da Saúde (OMS). WORLD HEALTH ORGANIZATION

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Infográfico a respeito de velocidade excessiva no trânsito divulgado na Quarta Semana Global da Segurança Rodoviária das Nações Unidas de 2017.

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Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta dicas de segurança no trânsito para pedestres e ciclistas.

Dicas de Segurança – No trânsito [...] Ao Pedestre • Procure ser visto pelos motoristas.

• Pare e olhe para os dois

lados, antes de atravessar a rua.

• Cuidado, o semáforo nem

sempre significa segurança total.

• Ao desembarcar de um

ônibus, aguarde sua saída para poder atravessar com segurança.

• Num cruzamento, quando

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tiver que atravessar as duas ruas, atravesse primeiro uma, depois a outra. Nunca em diagonal. • Faça as travessias sempre com calma, nunca correndo. Um tombo pode significar um atropelamento. • Execute as travessias sempre pela faixa de segurança.

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Resoluções a partir da p. 257

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Resolva as questões a seguir. a) Quais são as principais informações apresentadas neste infográfico?

b) Qual é o porcentual de pessoas que dirigem acima do limite de velocidade? De 40% a 50% das pessoas. c) Ao aumentar a velocidade do veículo, o risco de lesões e morte para o pedestre no caso de um acidente aumenta ou diminui? Justifique. d) Se o veículo está trafegando a 60 km/h, quantos metros são necessários para o motorista conseguir frear e parar o veículo? 36 m. • Agora, com base em sua vivência, nas respostas e na interpretação das informações apresentadas nesta seção, redija um texto argumentativo sobre o tema “Perigos da velocidade excessiva”. É importante que você escolha um título que destaque a relação com o tema proposto. Resposta pessoal. 2. O gráfico a seguir é de uma função que relaciona, de maneira aproximada, a velocidade y do carro de Lídia (em quilômetros por hora) e o tempo x (em minutos), gasto em certo trajeto. Este ponto indica que, 3 minutos após iniciar o trajeto, o carro de Lídia estava a 40 km/h. y 100 80 60 40 20 0

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 x

EDITORIA DE ARTE

1. c) Resposta esperada: Aumenta, porque considerando uma distância entre um pedestre e um carro em movimento, a uma velocidade mais baixa, o carro precisa de um espaço menor para frear, ou seja, consegue parar antes de atingir o pedestre. Um carro em velocidade maior precisa de mais espaço para frear e com isso pode atingir o pedestre.

1. a) Algumas respostas possíveis: Os riscos da velocidade excessiva; o porcentual de pessoas que dirigem acima do limite de velocidade; a distância de parada em relação à velocidade do veículo.

a) Quanto tempo Lídia gastou nesse trajeto? 10 min. b) Explique o que o ponto de coordenadas (1, 20) desse gráfico indica em relação à situação Resposta esperada: Indica que 1 min após iniciar o trajeto, a apresentada. velocidade do carro de Lídia era de 20 km/h.

II.

Entre 20 km/h e 40 km/h.

ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

c) Qual opção a seguir indica a velocidade do carro de Lídia no momento em que ela completou 7 min do trajeto? III III.. III.

Entre 40 km/h e 60 km/h.

Entre 60 km/h e 80 km/h.

d) Em todo o trajeto percorrido por Lídia, a velocidade máxima permitida é de 60 km/h. Durante quanto tempo o carro esteve acima da velocidade máxima permitida? 3 min.

f) Com base nesse gráfico, escreva no caderno uma questão que envolva a ideia de função. Depois, troque-a com um colega para que ele resolva, enquanto você resolve àquela que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

EDITORIA DE ARTE

e) Sabendo que o trajeto percorrido tem 8 km, calcule a velocidade média do carro, em quilômetros por hora, nesse trajeto utilizando a ideia de razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso. 48 km/h.

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• Utilize as faixas e ande pe-

la direita. Ao Ciclista • Evite andar sozinho em lugares desertos. Pedale com amigos. • Nunca ande segurando em veículos em movimento. • Não utilize aparelhos de som enquanto pedala. A audição garante sua segurança.

• Leve sempre algum tipo de documento onde constem informações pessoais.

• Circule com cautela, evite exibicionismo. [...]

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SECRETARIA DE SEGURANÇA PÚBLICA E ADMINISTRAÇÃO PENITENCIÁRIA. Polícia Militar do Paraná. Dicas de segurança. Disponível em: <www.pmpr.pr.gov.br/modules/con teudo/conteudo.php?conteudo=393>. Acesso em: 28 set. 2018.

1. No item d, fornecer elementos que possam auxiliar o aluno nessa composição de texto, o que pode ser feito em forma de perguntas, como as apresentadas a seguir. Tentar indicar elementos locais, como as vias mais perigosas do município etc. • Quais são as ruas mais movimentadas do município em que você mora? Nessas ruas ocorrem muitos acidentes de trânsito? • Em sua opinião, os motoristas no município em que você mora trafegam em uma velocidade adequada? Justifique. • Ao aumentar a velocidade, a distância para o motorista conseguir parar o veículo aumenta ou diminui? Qual é a relação desse fato com os acidentes causados? 2. No item d, verificar se os alunos compreenderam que o período de tempo em que o carro estava acima da velocidade máxima permitida foi entre 6 min e 9 min após iniciar o trajeto. No item e, orientar os alunos na conversão de horas para minutos e retomar o estudo da velocidade média apresentado anteriormente nesta Unidade. Comentar sobre a conversão de minutos para horas. No item f, é importante avaliar se as questões elaboradas pelos alunos contemplam ideias relacionadas a funções. A seguir, é apresentado um exemplo de questão que pode ser elaborada pelos alunos. • Considere que o carro de Lídia tivesse mantido a velocidade média de 48 km/h durante todo o trajeto. Escreva a lei de formação da função que expressa a distância d(x) percorrida pelo carro de Lígia em função do tempo x. Utilizando a lei de formação que você escreveu, calcule em quantos minutos Lídia faria o percurso de 8 km. Respostas: d(x) = = 48x. 10 min.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à habilidade EF09MA06 da BNCC.

conectado

Construindo e analisando gráfico de função Utilizando o GeoGebra podemos construir e analisar o gráfico de uma função a partir da sua lei de formação. Observe, por exemplo, como construir o gráfico da função f(x) = 2x² _ 2x _ 4, em que x é um número real.

Para construir o gráfico da função f, clicamos no campo Entrada, digitamos f(x)=2x^2 _2x_4 e pressionamos a tecla Enter.

Podemos obter as coordenadas de um ponto A do gráfico dessa função.

Para isso, com a opção

selecionada, clicamos sobre o gráfico da função f.

As coordenadas de A aparecem indicadas na Janela de Álgebra.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Construindo e analisando gráfico de função Verificar se os alunos compreenderam que, ao digitar as leis de formação das funções no campo Entrada do GeoGebra, utilizamos o símbolo “^” para representar um expoente. No exemplo apresentado, temos que x2 é representado por x^2. Propor aos alunos que indiquem como devem representar outras potências no campo Entrada do GeoGebra para verificar se eles compreenderam a utilização dessa simbologia. Veja a seguir alguns exemplos. • x3. Resposta: x^3. • z –2. Resposta: z^– 2. • 2a4. Resposta: 2a^4. No boxe Dica, associar a informação apresentada ao estudo da construção do gráfico de uma função. Propor aos alunos que utilizem a função f(x) = 2x2 _ 2x _ 4 para calcular f(1) e verificar que a informação é verdadeira. De maneira análoga, propor aos alunos que obtenham os valores de f(_1) e f(2) e verifiquem as coordenadas dos pontos correspondentes.

você

No exemplo, o ponto A tem coordenadas (1, _4), indicando que f(1) = _4.

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Podemos obter as coordenadas de outros pontos do gráfico da função f movimentando selecionada, clicamos sobre o ponto A e, com o botão

o ponto A. Para isso, com a opção

esquerdo do mouse pressionado, arrastamos o ponto sobre o gráfico até uma localização

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

desejada. As novas coordenadas de A aparecem indicadas na Janela de Álgebra.

Nesses exemplos, as novas coordenadas do ponto A são (−1, 0) na figura da esquerda e (2, 0) na figura da direita. MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. No GeoGebra, reproduza a construção realizada no exemplo apresentado. selecionada, movimente o ponto A e obtenha as coordenadas de outros a) Com a opção Algumas respostas possíveis: (0,5; _4,5), quatro pontos pertencentes ao gráfico dessa função. (1,5; _2,5), (3, 8), (_2, 8), (0, _4) e (_3, 20). b) Para indicar determinado ponto de abscissa a no gráfico dessa função, sendo a um número real, podemos digitar (a, f(a)) no campo Entrada e pressionar a tecla Enter. Além de indicar o ponto no gráfico, na Janela de Álgebra aparecem as coordenadas desse ponto. Verifique quais dos pontos cujas coordenadas estão indicadas a seguir pertencem ao gráfico da função f. (2,5; 3,5), (3,8; 17,28), (_2,5; 13,5) e (0,2; _4,32).

(_0,5; 2,5)

(2,5; 3,5)

(3,8; 17,28)

(_2,5; 13,5)

(1,5; 2,5)

(_3,5; _13,5)

(0,2; _4,32)

(_1,4; _2,72)

No GeoGebra, para indicar um número decimal utilizamos ponto (.) no lugar da vírgula. Para indicar 1,5, por exemplo, digitamos 1.5.

2. No item c da atividade 5 da página 130, você construiu o gráfico da função g(x) = 3x + 1 em uma malha quadriculada. Agora, construa esse gráfico no GeoGebra, compare com a construção na malha e resolva as questões a seguir. a) Em sua opinião, foi mais prático construir o gráfico na malha quadriculada ou utilizando o GeoGebra? Resposta pessoal. selecionada, marque um ponto sobre o gráfico da função que você b) Com a opção construiu e, em seguida, com a opção selecionada, movimente esse ponto e obtenha coordenadas de três pontos pertencentes ao gráfico da função g. Algumas respostas possíveis: (1, 4), (5, 16), (0, 1), (_2, _5), (_3, _8) e (_5, _14). 135

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Mãos à obra 1. No item b, uma estratégia que os alunos podem utilizar para verificar quais pontos pertencem ao gráfico é, para cada ponto indicado, representar no GeoGebra um ponto com a mesma abscissa e com ordenada calculada pela função. Em seguida, comparar as coordenadas indicadas na Janela de Álgebra com as coordenadas do ponto. Por exemplo, para verificar se o ponto (1,5; 3) pertence ao gráfico, digitamos no GeoGebra (1.5, f(1.5)) e, em seguida, comparamos as coordenadas indicadas na Janela de Álgebra com as coordenadas do ponto indicadas no item, ou seja, (1,5; _2,5) e (1,5; 3). Como o valor da ordenada é diferente, concluímos que o ponto (1,5; 3) não pertence ao gráfico de f. Reforçar que no GeoGebra deve-se separar as coordenadas digitadas sempre por vírgula, mesmo que alguma coordenada seja um número decimal. 2. Caso julgar necessário, orientar os alunos que, para plotar o gráfico da função g(x) = 3x + 1 devem digitar, no campo Entrada, g(x) = 3x + 1. Após o trabalho com esta seção, sugerir aos alunos que retomem a Unidade e representem, no GeoGebra, algumas das funções apresentadas ou obtidas nas atividades. Orientar os alunos a observar as diferenças entre os gráficos de funções do tipo f(x) = = ax + b e f(x) = ax, com a e b diferentes de zero. Uma dessas diferenças é que o gráfico de funções do tipo f(x) = ax + + b cruza o eixo y no ponto de coordenadas (0, b) e o gráfico de funções do tipo f(x) = = ax passa pela origem. Ou ainda, que observem a diferença na concavidade da parábola ao representar os gráficos das funções quadráticas f(x) = = x2 e g(x) = _x2. Esses conceitos serão trabalhados e aprofundados no Ensino Médio.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, junto com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior desta página. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Proporção

Razão

Propriedade fundamental das proporções

Lei de formação de

Grandezas diretamente

uma função

proporcionais

Gráfico de uma função

Grandezas inversamente proporcionais

Função

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Proporcionalidade e funções

Razão Propriedade fundamental das proporções

Proporção Grandezas diretamente proporcionais

Função Grandezas inversamente proporcionais

Lei de formação de uma função

Gráfico de uma função

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3. Propor uma discussão com os alunos sobre a importância da reciclagem, não apenas do óleo de cozinha, mas também de outros materiais como plástico, metal, vidro e papel. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta algumas informações sobre o óleo de cozinha descartado de maneira inadequada.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Em sua casa, o que é feito com o óleo de cozinha usado? É muito importante não jogar esse óleo na pia ou nos ralos, uma vez que parte dele pode ficar grudada nas paredes das tubulações, causando entupimentos, além de poder contaminar o solo e os rios. A melhor solução para o descarte correto é encaminhar o óleo de cozinha usado para reciclagem. Certa empresa compra e coleta óleo de cozinha usado para reciclagem. Observe no gráfico o valor y = f(x), em reais, que essa empresa paga de acordo com a quantidade x de litros de óleo de cozinha coletados. y

[...] O consumo de óleo no país é de quinze litros por brasileiro/ano. Quando o óleo é despejado na pia e cai na rede de esgoto doméstica, boa parte dele gruda nas paredes das tubulações e absorve restos de alimentos. Como consequência, sistemas de encanamento e caixas de gordura ficam entupidos e isso pode estimular o aparecimento de baratas e ratos. É importante notar que as estações de tratamento de água e esgoto não estão preparadas para receber grandes volumes de óleos despejados diariamente pelas residências. A Sabesp informa que 1 litro de óleo de fritura pode contaminar até 25 mil litros de água. Para evitar a contaminação do solo e dos rios, jamais jogue óleo de fritura na pia ou no ralo. Existe uma boa solução para toda essa sujeira: a reciclagem.

120 108 100 81 80 60 54 40

100

EDITORIA DE ARTE

27 20

PROBLEMAS

Nesse gráfico, o que o ponto de coordenadas (20, 27) indica nessa situação? Indica que essa empresa paga R$ 27,00 por 20 L de óleo de cozinha usado. Conceitos: Gráfico de uma função.

Quantos reais essa empresa paga em cada litro de óleo de cozinha usado? R$ 1,35. Conceitos: Razão; proporção. III Em certo ponto de coleta havia 65 L de óleo de cozinha usado. Quantos reais essa empresa pagou por essa quantidade de óleo? R$ 87,75. Conceitos: Proporção; propriedade fundamental das proporções; grandezas diretamente proporcionais.

ÓLEO SUSTENTÁVEL. Dicas e Curiosidades. Disponível em: <www.oleo sustentavel.org.br/?page=curio sidades>. Acesso em: 29 jun. 2018.

Escreva a lei de formação da função que relaciona a quantia paga em reais y = f(x) e a quantidade x de litros de óleo de cozinha usado coletados. Depois, calcule f(120) e escreva o que esse cálculo indica.

f(x) = 1,35x e f(120) = 162. Resposta esperada: Esse cálculo indica que a empresa paga R$ 162,00 por 120 L de óleo de cozinha usado. Conceitos: Função; lei de formação de uma função. 137

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Para complementar o item IV, propor aos alunos que calculem quantos reais essa empresa paga por: • 300 L de óleo de cozinha usados. Resposta: R$ 405,00. • 500 L de óleo de cozinha usados. Resposta: R$ 675,00.

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UNIDADE TEMÁTICA • Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. • Semelhança de triângulos. • Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais. • Distância entre pontos no plano cartesiano. HABILIDADES • • • •

EF09MA10 EF09MA12 EF09MA14 EF09MA16

COMPETÊNCIAS GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Resposta do 3o item da página ao lado. Resposta pessoal. Resposta esperada: Esse tipo de estacionamento costuma ter as demarcações das vagas, permitindo que os veículos estacionem em uma posição diagonal, o que possibilita uma maior quantidade de veículos estacionados em relação ao tipo convencional, em que os veículos estacionam paralelo ao tráfego.

SEMELHANÇA DE FIGURAS

Os desafios na mobilidade urbana Você já ouviu falar de mobilidade urbana? Ela está relacionada com a capacidade de deslocamento de pessoas no perímetro urbano para realizar as atividades cotidianas – trabalho, estudo, lazer etc. – de maneira rápida e eficiente. Com o crescimento excessivo do uso de transportes individuais, como carros e motocicletas, surgiram problemas como acúmulo de gases poluentes, aumento no tempo gasto no trânsito e na quantidade de acidentes, o que afetou a qualidade de vida em muitos dos municípios brasileiros. O desafio do poder público é buscar medidas que favoreçam a mobilidade urbana, como ampliar a oferta e a qualidade dos transportes coletivos, implantar ciclovias, adotar o sistema de rodízios veiculares, investir na infraestrutura do município, criar novas vagas de estacionamentos que otimizem o espaço etc. Porém, essa responsabilidade não é apenas do poder público, é possível que pequenas atitudes dos cidadãos no dia a dia contribuam para melhorar a mobilidade urbana no município em que moram. Algumas sugestões são: compartilhar o veículo por meio de caronas, dar preferência ao uso de bicicletas, deslocar-se a pé quando a distância assim o permitir, optar por transporte coletivo, planejar o trajeto e programar as atividades para otimizar os deslocamentos.

Tráfego intenso na Avenida Paulista. São Paulo (SP). Fotografia de 2018.

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5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ABERTURA DE UNIDADE Nesta abertura de Unidade, uma sugestão é promover uma roda de conversa, questionando os alunos sobre o que eles entendem por mobilidade urbana; se a consideram importante

para o funcionamento dos municípios; e como é a mobilidade urbana no município onde moram. Esta conversa pode ser acompanhada pelo professor da disciplina de Geografia. Para complementar as informações, ler para os alunos o trecho a seguir.

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Priorizar o uso de transporte coletivo. Os ônibus, por exemplo, transportam mais pessoas e reduzem a quantidade de veículos na malha viária.

Combinar carona com os amigos. O ato de compartilhar o veículo contribui para diminuir a poluição e a quantidade de carros em circulação.

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

Optar pela bicicleta sempre que possível. É importante consultar o Código de Trânsito Brasileiro para saber dos direitos e deveres dos ciclistas. Resposta pessoal.

desenvolve vai necessitar de meios e infraestrutura adequados para os deslocamentos das pessoas e bens naquele local. Pensar a mobilidade urbana é, portanto, pensar sobre como se organizam os usos e a ocupação da cidade e a melhor forma de garantir o acesso das pessoas e bens ao que a cidade oferece (locais de emprego, escolas, hospitais, praças e áreas de lazer) não apenas pensar os meios de transporte e o trânsito. [...]

Planejar o trajeto. Ao utilizar um veículo individual é importante planejar o trajeto com antecedência, priorizando vias menos movimentadas e otimizando o tempo de deslocamento.Resposta pessoal.

Valorizar a economia local. Ao realizar compras de produtos e serviços, procurar escolher estabelecimentos localizados no bairro de residência, o que reduz o tráfego de veículos, além de fortalecer o comércio local.

Otimizar o espaço para estacionamento público. É importante buscar soluções que permitam mais veículos sendo estacionados em locais públicos em um menor espaço possível, como nos estacionamentos tipo “espinha de peixe”.

ALF RIBEIRO/SHUTTERSTOCK.COM

INSTITUTO PÓLIS. Mobilidade urbana é desenvolvimento urbano! Disponível em: <http://polis.org.br/ publicacoes/mobilidade-urbana-edesenvolvimento-urbano>. Acesso em: 9 out. 2018.

Fonte dos dados: SASAKI, F. O desafio da mobilidade urbana no Brasil. Disponível em: <https://guiadoestudante.abril.com.br/blog/atualidades-vestibular/ o-desafio-da-mobilidade-urbana-no-brasil/>. Acesso em: 7 jun. 2018.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Em sua opinião, o que caracterizaria uma mobilidade urbana de qualidade?

No primeiro item proposto, é importante que os alunos compreendam que municípios diferentes apresentam desafios diferentes, assim, uma mobilidade urbana de qualidade depende das particularidades de cada munícipio. Ações que podem ser eficazes para grandes metrópoles podem não resolver o problema de um município menor, por exemplo. Neste item, os alunos podem tomar o município onde moram como referência e pensar o que caracterizaria uma mobilidade urbana de qualidade nesta região.

Como você classifica a mobilidade urbana do município em que mora? Você já viu um estacionamento do tipo “espinha de peixe”? Explique como ele funciona. NO DIGITAL – 3O bimestre 139

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O que é mobilidade urbana? A mobilidade urbana é um atributo das cidades e se refere à facilidade de deslocamentos de pessoas e bens no espaço urbano. Tais deslocamentos são feitos através de veículos, vias e toda a infraestrutu-

ra (vias, calçadas, etc.) que possibilitam esse ir e vir cotidiano. Isso significa que a mobilidade urbana é mais do que o que chamamos de transporte urbano, ou seja, mais do que o conjunto de serviços e meios de deslocamento de pessoas e bens. É o resultado da in-

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teração entre os deslocamentos de pessoas e bens com a cidade. Por exemplo, a disponibilidade de meios e infraestrutura adequados para os deslocamentos de pessoas e bens numa área da cidade pode ajudar a desenvolver tal área. Do mesmo modo, uma área que se

• Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 5 e 6. • Desenvolver o projeto integrador sobre o poder de compra do brasileiro. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF09MA05, EF09MA10, EF09MA12, EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Vimos nas páginas de abertura desta Unidade, entre outras informações, que os estacionamentos do tipo “espinha de peixe” são uma alternativa de otimização do espaço para estacionamento público. Observe na figura ao lado um exemplo desse tipo de vaga. Podemos representar parte das linhas de demarcação desse tipo de estacionamento com a figura a seguir, composta de um par de retas paralelas, r e s, intersectadas por uma transversal t. Estão destacados nessa figura os ângulos formados por essas retas.

LUCAS FARAUJ

Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal

t â d̂ ê ĥ

b̂

ĉ

f̂

ĝ

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF09MA10. Relembrar aos alunos o que são retas paralelas e transversal: duas retas distintas em um mesmo plano são paralelas quando elas nunca se cruzam, ou seja, não possuem pontos em comum. Já a transversal é uma reta desse mesmo plano e que intersecta essas retas paralelas. Com relação às notações utilizadas para ângulos, utilizamos letras minúsculas sem acento circunflexo para indicar a medida de um ângulo e letra minúscula com acento circunflexo para indicar o nome do ângulo. Por exemplo, a notação a indica a medida do ângulo representado por â. Ao explorar a figura apresentada, informar que tanto os pares de ângulos alternos quanto os pares de ângulos colaterais podem ainda ser classificados como internos ou externos: • Ângulos alternos internos: ĉ e ê; d̂ e f̂. • Ângulos alternos externos: â e ĝ; b̂ e ĥ. • Ângulos colaterais internos: ĉ e f̂; d̂ e ê. • Ângulos colaterais externos: â e ĥ; b̂ e ĝ. Para complementar, propor aos alunos que pesquisem em um dicionário os significados das palavras “oposto”, “correspondente”, “colateral” e “alterno”. Para isso, providenciar previamente dicionários de língua portuguesa, auxiliá-los nessa pesquisa e, com eles, estabelecer relações entre esses significados e os pares de ângulos indicados. Por exemplo, no caso de um par de ângulos opostos pelo vértice, os alunos podem relacionar um dos significados da palavra “oposto” com a posição desses dois ângulos em relação ao vértice. A seguir, é apresentado um exemplo para cada uma das palavras pesquisadas.

Nesse caso, ou seja, quando uma reta cruza um par de retas paralelas, podemos nomear alguns pares de ângulos formados da seguinte maneira: Ângulos opostos pelo vértice â e ĉ b̂ e d̂

Ângulos correspondentes

ê e ĝ f̂ e ĥ

âeê b̂ e f̂

ĉ e ĝ d̂ e ĥ

Ângulos alternos â e ĝ b̂ e ĥ

Ângulos colaterais ĉ e ê d̂ e f̂

â e ĥ b̂ e ĝ

ĉ e f̂ d̂ e ê

A seguir, estudaremos algumas relações entre esses pares de ângulos. • Ângulos opostos pelo vértice Dois ângulos opostos pelo vértice formados por duas retas concorrentes têm medidas iguais. Observe a demonstração a seguir. Consideramos os ângulos opostos pelo vértice â e ĉ de t medidas a e c, respectivamente, e o ângulo b̂ de medida b. Como os ângulos â e b̂ e os ângulos b̂ e ĉ são suplementares, temos que â b̂ a + b = 180° e b + c = 180°. Assim, segue que: r a+b=b+c ĉ a+b_b=b+c_b a=c Portanto, â e ĉ têm medidas iguais. Realizando procedimentos análogos para os demais pares de ângulos opostos pelo vértice, obtemos que eles têm medidas iguais entre si. 140

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ALTERNO, adj. Revezado; diz-se das folhas inseridas de cada lado do caule, mas não em frente uma da outra. al.ter.no [...] COLATERAL, adj. Que está ao lado; paralelo; que é parente, mas não em linha reta. co.la.te.ral

[...] CORRESPONDENTE, adj. e s. Apropriado, simétrico; pessoa que se corresponde com alguém; pessoa que escreve para jornais, estando em outro país, representante. cor.res.pon.den.te

OPOSTO (ô), adj. Fronteiro; contraposto; contrário; s.m. coisa oposta, contrária. o.pos.to [...]

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BUENO, S. Minidicionário da língua portuguesa. 2. ed. São Paulo: FTD, 2007, p. 51, 175, 201, 556.

[...]

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Observar a seguir as etapas detalhadas da demonstração das relações de ângulos correspondentes, enunciadas nesta página. É importante realizá-la na lousa junto com os alunos, antes de trabalhar as demonstrações para os ângulos alternos e para os ângulos colaterais. 1a) Consideramos as retas r e s paralelas, intersectadas por uma transversal t, formando os ângulos Åa e Åb correspondentes.

• Ângulos correspondentes Dois ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas e uma reta transversal têm medidas iguais.

Essa propriedade, que pode ser demonstrada, é importante para verificar outras relações entre pares de ângulos formados por duas retas paralelas e uma reta transversal. • Ângulos alternos Dois ângulos alternos formados por duas retas paralelas e uma reta transversal têm medidas iguais.

t a

Consideramos os ângulos alternos â e ĝ de medidas a e g, respectivamente, e o ângulo ĉ de medida c. Como os ângulos â e ĉ são opostos pelo vértice e os ângulos ĉ e ĝ são correspondentes, temos que a = c e c = g. Assim, segue que a = g.

t ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

â r ĉ

Portanto, â e ĝ têm medidas iguais.

Realizando procedimentos análogos para os demais pares de ângulos alternos, obtemos que eles têm medidas iguais entre si.

ĝ

EDITORIA DE ARTE

Observe a demonstração. s

2a) Para demonstrar que os ângulos correspondentes Åa e Åb são congruentes, traçamos uma reta u perpendicular a r e s, conforme indicado, de maneira a obter os ângulos Åc e Åd. u

t c r

Dois ângulos colaterais formados por duas retas paralelas e uma reta transversal são suplementares.

Observe a demonstração. Consideramos os ângulos colaterais â e ĥ de medidas a e h, respectivamente, e o ângulo d̂ de medida d. Como os ângulos â e d̂ são suplementares e os ângulos d̂ e ĥ são correspondentes, temos que a + d = 180° e d = h. Assim, segue que a + h = 180°.

t â d̂

Portanto, â e ĥ são ângulos suplementares. Realizando procedimentos análogos para os demais pares de ângulos colaterais, obtemos que eles são suplementares entre si.

ĥ

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EDITORIA DE ARTE

• Ângulos colaterais

Temos que o ângulo Åa é complementar ao ângulo Åc, que por sua vez é oposto pelo vértice ao ângulo Åd. 3a) Consideramos que as medidas dos ângulos Åa, Åb, Åc e Åd sejam, respectivamente, a, b, c e d. Assim, temos c = 90° _ _ a e d = 90° _ a, uma vez que c = d. 4a) Como Åb, Åd e o ângulo reto formado pelas retas perpendiculares u e s são ângulos internos de um triângulo, segue que: b + d + 90° = 180° b + (90° _ a) + 90° = 180º b + 90° _ a + 90° _ 180° = = 180° _ 180° b _ a + a = 0° + a b=a Portanto, os ângulos Åa e Åb são congruentes, ou seja, têm medidas iguais.

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Considere os ângulos formados por um par de retas paralelas e uma reta transversal. Copie no caderno cada item a pela palavra seguir, substituindo o “congruentes” ou “suplementares”, de maneira que a frase obtida fique correta. Congruentes. a) Dois ângulos opostos pelo vértice são . Congruentes. b) Dois ângulos correspondentes são . c) Dois ângulos alternos são . Congruentes. d) Dois ângulos colaterais são . Suplementares. 2. Em cada item a seguir, determine a medida x em graus. a) x = 8°.

r//s

30°

ĉ

6x + 16º

b̂

d̂

ê

r s 8x

b) x = 22°.

3. Para otimizar o espaço disponível no estacionamento de um supermercado e acomodar uma quantidade maior de carros, foram realizadas demarcações para vagas do tipo “espinha de peixe”, conforme representado pela figura a seguir. Esse tipo de demarcação é composto de segmentos de retas paralelos cruzados por uma transversal. Qual é a medida de cada ângulo destacado em amarelo nessa figura? â: 30°; b̂: 30°; ĉ : 150°; d̂: 30°; ê: 150°.

ROBERTO ZOELLNER

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação das relações entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. 2. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação com base em relações entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. Antes da resolução, pedir aos alunos que classifiquem os pares de ângulos em cada item. Neste caso, a: ângulos alternos; b: ângulos opostos pelo vértice; c: ângulos correspondentes; d: ângulos colaterais. 3. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação com base em relações entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. 4. Esta atividade trabalha a determinação de medidas de ângulos internos e externos em paralelogramos com base em relações entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. Relembrar os alunos de que paralelogramos são quadriláteros com dois pares de lados opostos paralelos. 5. Esta atividade trabalha a determinação de incógnitas com base em relações entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. Para a resolução, é importante que os alunos percebam algumas relações entre as medidas dos ângulos, como as apresentadas a seguir. • Considerando as retas paralelas t e u e a transversal r, temos: (7y + 4°) + (5x + 7°) = 180° 7y + 4° = 180° _ (5x + 7°) (I) • Considerando as retas paralelas r e s e a transversal t, temos: 7y + 4° = 3x _ 19° (II) Assim, de I e II, segue que: 180° _ (5x + 7°) = 3x _ 19° x = 24° Com base nesse resultado, é possível determinar as medidas y e z.

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

r//s

7x _ 19º

4. Calcule as medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos em destaque nos paralelogramos a seguir. c) a) â: 115°; b̂: 65°; ĉ : 65°. 65º

r 6x + 3º

â ĉ

b̂

â b̂

115º d̂

ĉ

78º

c) x = 13°. t

r//s

â: 78°; b̂: 102°; ĉ : 78°; d̂: 102°.

d̂ 146º â

4x _ 1º 5x _ 14º

d) x = 40°.

r//s

ĉ

b̂

â: 34°; b̂: 146°; ĉ : 34°; d̂: 146°. 5. Determine, em graus, o valor de x, y e z na figura a seguir. x = 24°; y = 7°; z = 15°. t

5x + 7º

3x + 4º 7x 5

r//s t//u

u r

7y + 4º 3x _ 19º

s 9z _ 8º

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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dadas nesta Unidade. 9. Esta atividade trabalha as ideias iniciais de triângulos semelhantes, conceito que será estudado mais adiante nesta Unidade. 10. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação com base em relações entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal e está relacionada com o chamado teorema dos bicos. Nele, consideram-se duas retas paralelas e segmentos de retas formando “bicos”, como na figura a seguir. Esse teorema garante que a soma das medidas dos ângulos com vértices “em um sentido” é igual à soma das medidas dos ângulos com vértices “no sentido oposto”.

118º G H

DF // HB e AH // FC

Considere os ângulos destacados nesse modelo matemático e responda. a) O ângulo AEF forma par de ângulos alternos com quais outros ângulos? EF̂G. b) Quais pares de ângulos são correspondentes? AÊF e EĤG; DÊH e EF̂G; EĤG e BĜF; EF̂G e CĜH. c) Determine as medidas dos ângulos internos do paralelogramo EFGH. FÊH: 62°; EĤG: 118°; FĜH: 62°; EF̂G: 118°. 7. Na página 141 estudamos a propriedade em que dois ângulos correspondentes, formados por duas retas paralelas e uma transversal, têm medidas iguais. A recíproca dessa propriedade também é verdadeira:

Se duas retas distintas e uma reta transversal determinam dois ângulos correspondentes congruentes, então essas duas retas são paralelas. Com base nessas informações, realize medições com o transferidor e classifique, em cada item, se as retas indicadas em vermelho são paralelas ou concorrentes. c) a) Retas paralelas. Retas paralelas.

1 3 a) Escreva a razão entre a medida do menor e do maior ângulo marcado por Maísa. b) Qual é a medida de cada ângulo marcado por Maísa? 45° e 135°. 9. Ricardo desenhou um triângulo ABC. Depois, traçou os segmentos de reta DE e FG, paralelos a BC e com as extremidades sobre os lados desse triângulo, conforme segue. A

A D F

s b2

Podemos afirmar que os triângulos ABC, ADE e AFG possuem os ângulos internos correspondentes com medidas iguais? Justifique.

Nessa figura, temos que r e s são paralelas e, pelo teorema dos bicos, segue que: a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3

10. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. 10. a) Resposta pessoal. r

Fonte dos dados: SOUZA, D. M. de. Uso de transformações geométricas na revigoração do ensino de geometria plana. 2014. 125 f. Dissertação (PROFMAT – profissional) – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2014. p. 46.

a) Sem realizar medições, mostre que a medida do ângulo em azul é igual à soma das medidas dos ângulos em vermelho. Retas Para isso, você pode desenhar figuras. concorrentes. b) Agora, meça os ângulos destacados e verifique a igualdade mencionada no item a. 10. b) O ângulo em azul mede 80° e os ângulos em vermelho 45° e 35°. Logo, 45° + 35° = 80° e, portanto, a medida do ângulo em azul é igual à soma das medidas dos ângulos em vermelho. 143

paralelas intersectadas por uma transversal. Para a resolução, providenciar previamente transferidores. Caso não haja transferidores suficientes, organizar os alunos em grupos. 8. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação com base em relações entre ângulos formados por retas pa-

6. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação com base em relações entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. 7. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação com base em relações entre ângulos formados por retas

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

E D

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ralelas intersectadas por uma transversal. Se possível, realizar com os alunos esta atividade na prática. Para isso, disponibilizar folha de papel retangular, réguas e transferidores. Orientá-los para que realizem o mesmo procedimento que Maísa e meçam os ângulos formados, identificando as relações estu-

Para resolver o item a, podemos traçar uma reta t paralela a r e s, passando pelo vértice do ângulo em azul. Assim, obtemos dois pares de ângulos alternos e, consequentemente, um par de ângulos com medida x e outro par de ângulos com medida y. A medida do ângulo em azul é igual a x + y que, por sua vez, é igual à soma das medidas dos ângulos em vermelho. r

x x y

t y

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9. Resposta esperada: Sim, pois os três triângulos possuem o ângulo interno formado no vértice A em comum e, como BC// DE // FG são intersectadas por AB e AC, os demais e respectivos ângulos internos de cada triângulo são ângulos correspondentes e, portanto, de mesmas medidas. 6. Roger mora em um sítio e, em uma ati8. Maísa dobrou uma folha de papel retanvidade para a aula de Matemática, ele gular e, após desdobrá-la, traçou um representou a estrutura da porteira desse segmento de reta sobre o vinco e marcou sítio por um modelo matemático. Observe. dois ângulos, um deles com o triplo da F medida do outro. A B

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PROPORCIONALIDADE ENTRE SEGMENTOS DE RETA Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF09MA14. Caso julgar necessário, retomar com os alunos o estudo de razão e proporção, abordado na Unidade 4 deste Volume. Na comparação entre os segmentos de reta AB e CD, explicar que, nesse tipo de comparação, as medidas dos segmentos de reta devem ser expressas na mesma unidade de medida. Ao explorar a razão entre os lados de cada retângulo representado, chamar a atenção dos alunos para a ordem em que ela foi estabelecida: a razão entre o menor e o maior lado. Enfatizar a necessidade de manter esta mesma ordem para formar uma proporção. Na situação em que Bruna quer ampliar uma fotografia 3 x 4, conversar com os alunos que, quando reduzimos ou ampliamos uma fotografia, a ideia é que a imagem mantenha a mesma proporção. Por isso, utilizamos como estratégia a escrita de uma proporção para determinar a medida desconhecida, considerando a razão entre o comprimento e a largura, tanto na fotografia quanto na representação da ampliação.

Proporcionalidade entre segmentos de reta Na Unidade 4 estudamos diversas razões entre grandezas, como a densidade demográfica, que corresponde à razão entre a quantidade de habitantes e a extensão territorial de certa região. Agora, estudaremos a razão entre segmentos de reta, que corresponde ao quociente de suas medidas. Observe o exemplo. 4 cm

2 cm

• Razão entre AB e CD: • Razão entre CD e AB: AB 4 CD 2 1 = =2 = = CD 2 AB 4 2 Vamos considerar os retângulos representados a seguir e calcular as razões entre EF e FG e entre IJ e JK. Observe. E

H I

8 cm F

12 cm

EF 8 2 = = FG 12 3

6 cm J

9 cm

IJ 6 2 = = JK 9 3

EF IJ = . Nesse caso, dizemos que FG JK os segmentos de reta EF e FG são proporcionais aos segmentos de reta IJ e JK. Considere, agora, a seguinte situação. Note que essas duas razões formam uma proporção, pois

Bruna quer ampliar uma fotografia 3 x 4 (3 cm de largura por 4 cm de comprimento), de maneira que as razões entre as medidas do maior e do menor lado da fotografia e da ampliação sejam iguais. Qual deve ser a medida do menor lado dessa ampliação, sabendo que o maior lado deve ter 6 cm? Podemos representar essa situação por meio de figuras de retângulo e escrever uma proporção. Observe. • Representação da ampliação: • Representação da fotografia: A

4 cm B 3 cm C

6 cm

AB EF = BC FG 4 6 = 3 x 4x = 3 ? 6 4x 18 = 4 4 x = 4,5

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Assim, o menor lado da ampliação da fotografia deve ter 4,5 cm. 144

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Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Observe os segmentos de reta representados a seguir e determine a razão entre: B E

8 cm A D C G

a) b) c) d)

6 cm

10 cm

6 EF e CD 5 1 CD e GH 52 CD e AB 48 AB e EF 3

4. Felipe traçou em uma folha de papel sulfite os segmentos de reta a seguir.

5 cm

e) f) g) h)

3. Em seu caderno, trace um segmento de reta AB medindo 8 cm. Sobre esse segmento marque um ponto C de maneira AC 2 que = . A que distância do ponto A AB 5 você marcou o ponto C? 3,2 cm.

4 cm

3 EF e AB 4 GH e CD 2 8 AB e CD 55 GH e EF 3

6 cm

Qual deve ser a medida de um segmento de reta DE, que Felipe deve traçar, para obter a proporção:

ARTUR FUJITA

2. Para brincar de caça ao tesouro na escola, Maria e seus colegas consultaram um mapa em que linhas retas tracejadas indicavam o trajeto da quadra de esportes até o local em que o tesouro estava escondido. Observe.

BC 12 = ? 8 cm. AB DE

AC 5 = ? 4 cm. DE 2

DE AB = ? 2 cm. 3 BC

DE AC = ? 15 cm. BC AB

5. A professora de Matemática de uma turma de 9o ano projetou uma imagem retangular na parede. Com uma trena, os alunos verificaram que a imagem na parede tinha 160 cm de comprimento e 120 cm de largura. Em seguida, a professora mudou a posição do projetor algumas vezes, mantendo a proporção entre os lados da figura. Observe algumas das imagens obtidas e determine a medida da dimensão que não está indicada. a)

a) Considerando apenas o trajeto indicado no mapa, determine a razão entre o percurso: 5 3 • da cantina até a biblioteca e da biblioteca até a secretaria. 9 • da quadra de esportes até a cantina e 19 da quadra de esportes até a biblioteca. b) Os percursos da cantina até a biblioteca e da biblioteca até a secretaria são proporcionais aos percursos da biblioteca até a secretaria e da secretaria até o tesouro. Qual é a distância de todo o trajeto indicado no mapa? 143 m.

136 cm

180 cm LUCAS FARAUJ

Note que a distância entre a secretaria e o tesouro está borrada.

102 cm. b)

135 cm.

120 cm.

90 cm

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a determinação da razão entre segmentos de reta. Para complementar, propor aos alunos que desenhem em uma folha dois segmentos de reta AB e CD sem indicar as medidas e

troquem com um colega para que ele meça cada segmento de reta e determine a razão entre AB e CD e a razão entre CD e AB. 2. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a determinação da razão entre segmentos de reta. Se julgar necessário, antes da resolução dos

pessoa percorrerá para chegar ao tesouro? Resposta: O trecho da secretaria até o tesouro. 3. Esta atividade trabalha a determinação da razão entre segmentos de reta. Conversar sobre as estratégias utilizadas pelos alunos para determinar a localização do ponto C. Enfatizar que é dada a razão entre o comprimento de parte do segmento de reta pelo comprimento total do segmento de reta. 4. Esta atividade trabalha cálculos de proporção de razões entre segmentos de reta. 5. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, cálculos de proporção de razões entre segmentos de reta. Enfatizar que nos itens a e c deseja-se determinar a medida da largura da projeção, enquanto no item b, a medida do comprimento. É importante que eles fiquem atentos à ordem para a escrita das razões. Se possível, realizar com os alunos uma atividade prática semelhante. Para isso, providenciar previamente projetores (ou retroprojetores) e trenas ou fitas métricas. Primeiramente, projetar uma imagem inicial e realizar a medição de suas dimensões. Em seguida, mudar a posição do projetor, afastando ou aproximando da parede na qual a imagem é projetada. Em cada mudança, realizar as medições e verificar se são proporcionais às obtidas na primeira medição. É importante ressaltar que as imagens podem não estar proporcionais devido às configurações do projetor ou à maneira como ele é deslocado.

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itens, propor aos alunos os seguintes questionamentos para auxiliá-los na leitura do mapa. • Por quais locais uma pessoa tem de passar para chegar ao tesouro, saindo da quadra de esporte? Resposta: Cantina, biblioteca e secretaria. • Com base nesse mapa, qual é o menor trecho que uma

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Teorema de Tales Você já ouviu falar de Tales de Mileto (c. 640 a.C.-c. 564 a.C.)? Leia o texto a seguir, que contém algumas informações a respeito dele. […] Segundo a tradição a geometria demonstrativa começou com Tales de Mileto, um dos “sete sábios” da Antiguidade, durante a primeira metade do sexto século a.C. Segundo parece, Tales começou sua vida como mercador, tornando-se rico o bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e a algumas viagens. Diz-se que ele viveu por algum tempo no Egito, e que despertou admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra […]. De volta a Mileto ganhou reputação, graças a seu gênio versátil, de estadista, conselheiro, engenheiro, homem de negócios, filósofo, matemático e astrônomo. Tales é o primeiro personagem conhecido a quem se associam descobertas matemáticas. […]

Escultura do busto de Tales de Mileto.

EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 94-95.

Uma das contribuições de Tales à Geometria é o teorema que recebeu o seu nome e está enunciado a seguir.

Ler para os alunos o trecho a seguir, sobre a origem do nome teorema de Tales. [...] A questão da proporcionalidade era de grande importância para os gregos, principalmente na arquitetura e agrimensura. Por isso, conjectura-se que a primeira sistematização da geometria pode ter sido em torno da questão da proporcionalidade de segmentos determinados por um feixe de retas paralelas e outro de retas transversais. Essa questão durante muitos séculos foi denominada de teorema dos segmentos proporcionais. No final do século XIX, na França, alguns autores denominaram esse resultado de teorema de Tales, denominação que persiste até hoje. [...]

NYPL/SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES

v D

r E

s F

AB DE = BC EF AC DF • = BC EF AC DF • = AB DE •

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Veja no material audiovisual o vídeo sobre um feixe de retas paralelas cortadas por retas transversais.

r//s//t

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periodicos.ufsc.br/index.php/revemat/ article/view/12993>. Acesso em: 11 out. 2018.

Ao enunciar o teorema de Tales, explicar aos alunos que um feixe de retas paralelas corresponde a um conjunto de retas de um mesmo plano e paralelas entre si.

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre um feixe de retas paralelas cortadas por retas transversais. Nesse vídeo abordam-se algumas relações entre ângulos determinados por duas retas que se cruzam, bem como congruências entre ângulos em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal. Além disso, apresenta-se o teorema de Tales, comentando como ele possivelmente teria chegado à conclusão que permitiu enunciar essa propriedade matemática.

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8 10:08 AM

Na demonstração do 1o caso do teorema de Tales, é importante apresentar aos alunos mais detalhadamente a congruÅ E e EH Å Fa ência dos ângulos DG partir das seguintes etapas. 1a) Traçamos as retas DG% e EH%.

s F

v D

r E

G C

s F

r E

G C

s F

r E

G C

F H

Como ângulos correspondentes são congruentes, teÅ E é congruente mos que DG a Å E que, por sua vez, é conÅ F. Portanto, por gruente a EH transitividade, podemos conÅ E e cluir que os ângulos DG Å F são congruentes. EH

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Como as retas DG e EH são paralelas entre si e cruzam as retas paralelas s e t, os ângulos DGE e EHF são congruentes. Note também que o par de ângulos GED e HFE também são congruentes, pois são correspondentes entre si. A

$ G% e $EH& são pa2a) Como D ralelas entre si e intersectadas pela reta transversal v, temos Å E é correspondente a que DG Å E, formado pelas retas EH e s. Por outro lado, temos que Å E também é correspondente a Å F, uma vez que as retas s e EH t são paralelas e intersectadas pela transversal $EH&.

Traçando dois segmentos de reta DG e EH, paralelos à reta u, obtemos os paralelogramos ABGD e BCHE, nos quais AB 9 DG e BC 9 EH. Assim, DG 9 EH.

F H

r E

G D

r E

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Assim, pelo caso de congruência entre triângulos LAAo, os triângulos DGE e EHF são congruentes. Logo, DE 9 EF. DE AB = = 1, ou seja, os segmentos de reta AB e BC são proporcionais aos Além disso, EF BC segmentos de reta DE e EF. 147

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A demonstração do 2o caso do teorema de Tales refere-se a casos gerais, para os segmentos de reta com medidas racionais quaisquer. Nas imagens são considerados, por exemplo, a divisão de AB em 5 partes iguais de medida x e BC em 4 partes iguais de medida x, sendo x uma medida racional. Como apresentado no boxe Dica, é possível obter a validade desse teorema para outros valores nessas condições. O teorema de Tales também é válido para os segmentos de reta AB e BC com medidas irracionais. Porém, optamos por não explicitar e/ou demonstrar tal afirmação nesta coleção. Explicar que a afirmação “é possível dividir AB e BC em m e n segmentos de reta de medida x, respectivamente” significa que existe um segmento de reta de medida igual a x que “cabe” uma quantidade inteira de vezes em AB e BC.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site e realizem simulações a fim de verificar o teorema de Tales. • GEOGEBRA. Teorema de Tales. Disponível em: <http:// livro.pro/hddq36>. Acesso em: 10 out. 2018.

• 2o caso Seja um feixe de retas paralelas r, s e t, que determina em uma reta transversal u os segmentos de reta AB e BC com medidas racionais quaisquer. Dessa maneira, é possível dividir AB e BC em m e n segmentos de reta de medida x, respectivamente. u A

B C

u D

x x x x B x x x x C x

s F

Nessa figura, consideramos m = 5 e n = 4, ou seja, AB dividido em 5 partes de medida x e BC dividido em 4 partes de medida x. Porém, é possível utilizar os mesmos procedimentos apresentados para quaisquer m e n naturais, maior do que zero, em que x é uma medida racional.

Traçando retas paralelas às do feixe, passando pelas extremidades dos segmentos de reta de medida x determinados em AB e BC, obtemos m segmentos de reta dividindo DE e n segmentos de reta dividindo EF, respectivamente, na reta transversal v. u

x x x x B x x x x C x

s F

Pelo 1o caso, como temos um feixe de retas paralelas que determina na reta transversal u segmentos de reta congruentes de medida x, os segmentos de reta determinados em v também são congruentes entre si, de medida y, por exemplo. u A

x x x x x B x x x C x

v D

y y y E y y y y F

s t

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

AB mx m DE my m AB DE = = e = = , ou seja, = . Portanto, os segmentos de BC nx n EF ny n BC EF reta AB e BC são proporcionais aos segmentos de reta DE e EF. Assim,

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rar

m 16

14 m

II 7m

Rua Siriema

ROBERTO ZOELLNER

A as

Rua Tucanos

Rua Faisão

Um terreno foi dividido em dois lotes (I e II) por um muro construído paralelamente à Rua Faisão e à Rua Tucanos, conforme representado no esquema ao lado. Qual é a medida x da frente do lote II para a Rua das Araras?

Ao abordar a situação do início desta página, caso julgar necessário, construir na lousa uma representação do terreno, para que os alunos identifiquem as retas paralelas e as retas transversais. x 16 m

Utilizando o teorema de Tales, observe como podemos determinar a medida x: 14 16 = 7 x 14x = 7 ? 16 14x 112 = 14 14 x=8 Portanto, a medida x é igual a 8 m.

14 m

Relacionar o teorema de Tales com o que foi estudado sobre proporções anteriormente. Lembrar os alunos que quando temos uma proporção, podemos escrever uma igualdade de frações, conforme apresentado na resolução do problema. No trabalho com o teorema de Tales e os triângulos, mostrar aos alunos outros exemplos para que eles possam compreender melhor a propriedade apresentada. Veja a seguir um exemplo, considerando o triângulo ABC e a reta DE paralela ao lado BC.

Teorema de Tales e os triângulos Uma das aplicações do teorema de Tales pode ser observada nos triângulos por meio da propriedade indicada a seguir. Em um triângulo, qualquer reta paralela a um dos lados divide os outros dois lados em segmentos de reta proporcionais. Com base nessa propriedade, é possível determinar a medida do segmento de reta AD na figura a seguir, sabendo que DE é paralelo a AB.

6m B

3m E

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Podemos traçar as retas paralelas r, s e t passando por AB, DE e C, respectivamente. Assim, utilizando o Teorema de Tales, temos: A

D 6m B r

3m E

C t

r//s//t

AD BE = CD CE AD 3 = 6 5 5 ? AD = 6 ? 3 5AD 18 = 5 5 AD = 3,6, ou seja, 3,6 m.

Neste exemplo, explicar que traçando duas retas paralelas a reta DE, uma contendo o lado BC e a outra passando pelo ponto A (vértice do triângulo), e traçando as retas AB e AC, podemos utilizar o teorema de Tales e mostrar que os segmentos de reta são proporcionais, conforme indicado a seguir.

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Agora, leia com atenção a situação a seguir.

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AD AE = DB EC

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a resolução de situações envolvendo o teorema de Tales. Ressaltar aos alunos a importância da ordem ao escrever as razões entre as medidas dos segmentos de reta. Por exemplo, no item a, para determinar a medida x podemos escrever as seguintes proporções: 3,5

• 7 = 8 7

• AC = DF • AC = DF

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Determine a medida x em cada item a seguir, em que as retas r, s e t são paralelas. a) u v 4 cm. 3,5 cm

r s

7 cm

8 cm t

b) 10 cm.

• 3,5 = x

2. Esta atividade trabalha a resolução de situação contextualizada envolvendo o teorema de Tales. Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos para resolvê-la. Espera-se que eles determinem inicialmente a medida da altura da figura de trapézio correspondente à parte da região para plantar couve. Em seguida, para obter a área total da região, os alunos podem calcular a área da figura de trapézio de bases 8 m e 17 m ou calcular a área de cada parte da região, separadamente, e depois adicionar os resultados. Lembrar os alunos que a área de um trapézio é dada por (B + b) ? h , em que B A = 2 corresponde à medida da base maior, b, à medida da base menor e h, à medida da altura. 3. Esta atividade trabalha a resolução de situação envolvendo o teorema de Tales. 4. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo o teorema de Tales. Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos para resolver esta atividade, uma vez que foi dada a medida DF, que corresponde a soma das medidas DE e EF. A partir disso, é possível estabelecer as seguintes proporções:

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

2. Na chácara em que mora, Cássio reservou uma região com formato de trapézio para fazer uma horta. Com uma cerca, ele dividiu essa região em duas partes, uma para plantar alface e outra para plantar couve, conforme representado a seguir. Qual é a área total da região que Cássio reservou para a horta? 270 m². 17 m

Couve 8m

c) 7,2 cm.

r 6 cm

4,8 cm

3. Determine as medidas x e y em cada item. a//b//c//d a) r s x = 48 cm; y = 22 cm. a 24 cm

b) x = 35 cm; y = 54 cm.

9,6 cm

s 10,8 cm t

e) 4 cm.

b c

4. Calcule a medida dos segmentos de reta DE e EF na figura a seguir, sabendo que DF = 7,2 cm. DE = 4,5 cm; EF = 2,7 cm. u v A

s 6 cm

6,3 cm

42 cm

45 cm

4,2 cm

48 cm

a//b//c//d

40 cm

5 cm B

3 cm v

44 cm

b 55 cm c

t u

60 cm

9 cm

8 cm

10,4 m

d) 9 cm.

13 m

12 m

8,4 cm

5 cm

Alface

12 m

r 4,2 cm s

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

r E

s F

r//s//t

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5. Esta atividade trabalha a resolução de situação contextualizada envolvendo o teorema de Tales. No item a, os alunos primeiramente devem obter a medida de x utilizando o teorema de Tales. Para isso, é necessário determinar a medida AD com base na soma das medidas AB, BC e CD

(4x + 60 + 7x = 60 + 11x) e, em seguida, estabelecer a pro4x 52 = . porção: 60 + 11x 208

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5. Daniel é marceneiro e projetou em um programa de computador uma estante que ele vai confeccionar. Nessa estante, as prateleiras são paralelas entre si. Observe esse projeto.

H 52 cm

B Q R

60 cm F

C 7x

3a) Com uma régua, traçou o segmento de reta SB.

a) Calcule as distâncias AB e CD entre as prateleiras representadas por AH e BG, e, CF e DE, respectivamente. AB = 48 cm; CD = 84 cm. b) Determine a altura dessa estante, representada pelo segmento de reta AD. 192 cm. 6. Observe a figura a seguir, em que as retas r, s e t são paralelas entre si.

8 cm B

7 cm

4a) Por fim, com um jogo de esquadros, traçou retas paralelas a SB, passando por P, Q e R, que determinaram respectivamente em AB os pontos C, D e E, que dividem esse segmento de reta em quatro partes de mesma medida.

s t

C A

P a) Entre os segmentos de reta indicados nas Q fichas a seguir, por quais deles Rpassa a reta u? E a reta v? AB e BC. BD e BE.S

Q R

5,6 cm

u A

208 cm

1a) Traçou um segmento de reta AB com medida qualquer. Em seguida, com origem em A, traçou uma semirreta auxiliar. B

C P

b) Qual é a medida do segmento de reta BC? 10 cm. 7. Observe as etapas que Luana realizou para dividir um segmento de reta em quatro partes de mesma medida.

C P

Q R

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A 4x

2a) Utilizando um compasso com uma mesma abertura qualquer, marcou, a partir de A, os pontos P, Q, R e S sobre a semirreta auxiliar, obtendo pontos equidistantes.

Na etapa 4, relembrar os alunos como traçar segmentos de reta paralelos utilizando esquadros, assunto tratado na Unidade 3 do Volume 6 desta coleção. Veja a seguir a resposta desta atividade. a) Traçar AB com 8 cm e uma semirreta auxiliar com origem em A. Utilizando um compasso com uma mesma abertura qualquer, a partir de A, marcar os pontos P, Q e R sobre a semirreta auxiliar, obtendo pontos equidistantes. Em seguida, traçar RB e as retas paralelas à RB, passando por P e Q, dividindo AB em três partes de mesma medida. b) Traçar AB com 11 cm e uma semirreta auxiliar com origem em A. Utilizando um compasso com uma mesma abertura qualquer, a partir do ponto A, marcar os pontos P, Q, R, S e T sobre a semirreta auxiliar, obtendo pontos equidistantes. Em seguida, traçar TB e as retas paralelas à TB, passando por P, Q, R e S, dividindo AB em cinco partes de mesma medida. Para finalizar, propor que verifiquem, com uso de régua, B as medidas obtidas em cada se parte dos segmentos de reta AB são iguais. No item a, cada parte terá aproximadamente 2,7 cm e no item b, 2,2 cm.

Agora, utilizando procedimentos análogos aos de Luana, trace em seu caderno um segmento de reta de: Respostas nas Orientações para o professor. a) 8 cm e divida-o em três partes de mesma medida. b) 11 cm e divida-o em cinco partes de mesma medida.

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6. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo o teorema de Tales. No item b, questionar qual a proporção que podemos estabelecer para determinar a medida x. É importante que os alunos percebam que tem de relacionar, em uma mesma razão, segmentos de reta que

estão contidos numa mesma reta. Neste caso, AB e BC, contidos em u, e BD e BE, contidos em v. 7. Esta atividade trabalha a divisão de um segmento de reta em partes de mesma medida com base no teorema de Tales. Providenciar previamente esquadros e compassos. Na

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etapa 2, dizer aos alunos que com a ponta-seca do compasso em A, foi marcado um ponto P sobre a semirreta auxiliar. Em seguida, com a mesma abertura do compasso, foi posicionada a ponta-seca em P e obteve-se o ponto Q. De maneira análoga, foram marcados os pontos R e S.

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ATIVIDADES 8. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo o teorema de Tales. A recíproca do teorema de Tales é válida e pode ser demonstrada. Nesta coleção optamos apenas por enunciá-la. 9. Esta atividade trabalha a resolução de situações envolvendo o teorema de Tales em triângulos. 10. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo o teorema de Tales em triângulos. Os itens b e c exploram a ideia de semelhança de triângulos, conteúdo que será abordado mais adiante nesta Unidade. No item b, uma sugestão é propor aos alunos que desenhem os triângulos separadamente. 11. Esta atividade trabalha a elaboração pelo aluno de um problema envolvendo o teorema de Tales. É importante avaliar se os problemas elaborados pelos alunos contemplam as ideias relacionadas ao conceito proposto. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

8. O teorema de Tales garante que um feixe de retas paralelas determina, em duas retas transversais, segmentos de reta ordenadamente proporcionais entre si. A recíproca desse teorema também é válida, ou seja, se um feixe de retas dividir duas transversais em segmentos de reta ordenadamente proporcionais entre si, então as retas desse feixe são paralelas. Com base nisso, faça os cálculos necessários e identifique o item no qual r, s e t formam um feixe de retas paralelas. c a)

b) C 42 cm.

28 cm

D 22 cm A

E 33 cm B

c) 32 cm.

30 cm

24 cm D

12 cm

15 cm

40 cm u

11 cm 14 cm r

b) r 13 cm

15 cm s

11 cm

10 cm t u

c) 16 cm 20 cm

20 cm 25 cm r

9. Determine a medida do segmento de reta CE em cada figura, sabendo que AB // DE. a) 34 cm.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

10. A partir da representação de um triângulo ABC, Maria traçou um segmento de reta DE paralelo ao lado AB, de maneira que D e E estivessem sobre um dos lados do triângulo. Observe. 10. a) AB = 4 cm, BC = 3 cm e CA = 4 cm; DE = 2 cm, EC = 1,5 cm e CD = 2 cm. A

10. b)

CA CB = CD CE

a) Com uma régua, determine a medida dos lados dos triângulos ABC e DEC. b) Utilizando o teorema de Tales, que relação podemos indicar entre as medidas dos lados CA e CD e dos lados CB e CE dos triângulos ABC e DEC? c) O que podemos dizer sobre as medidas dos ângulos internos dos triângulos ABC e DEC? Justifique.

11. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o teorema de Tales. Em seguida, junte-se a um colega e troquem 40 cm os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas C B E 17 cm estão corretas. Resposta pessoal. 10. c) Resposta esperada: Os respectivos ângulos dos triângulos ABC e DEC são congruentes entre si. O ângulo Ĉ é comum aos dois triângulos e, como AB // DE, temos que CÂB e CD̂E são pares de ângulos correspondentes e consequentemente congruentes, assim como CB̂A e CÊD. 20 cm D

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Semelhança de polígonos

SEMELHANÇA DE POLÍGONOS Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF09MA12 e EF09MA16.

Um dos monumentos mais conhecidos e visitados do mundo é a torre Eiffel, que fica no município de Paris, na França. Projetada pelo engenheiro francês Gustave Eiffel (1832-1923), essa torre foi inaugurada em 1889, até então a torre mais alta do mundo. No município brasileiro de Umuarama (PR), foi construída uma réplica da torre Eiffel em uma escala de 1 : 10. Observe. IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

RAYINTS/SHUTTERSTOCK.COM

RENÉ RUSCHEL/CARTACAPITAL

Explicar aos alunos que a expressão “mesmo formato” significa que as proporções são mantidas, diferenciando apenas o tamanho e a posição.

Torre Eiffel, em Paris, França. Fotografia de 2018.

Réplica da torre Eiffel, em Umuarama (PR). Fotografia de 2016.

Fontes dos dados: LA TOUR EIFFEL. Le monument. Disponível em: <www.toureiffel.paris/en/the-monument>. RUSCHEL, R. Paris, Paraná. Carta Capital. Disponível em: <www.cartacapital.com.br/revista/893/paris-parana>. Acessos em: 13 out. 2018.

Assim como acontece com as torres de Paris e do Paraná, também podemos construir representações de polígonos com o mesmo formato e que se diferenciam apenas pelo tamanho. Polígonos com essa característica são chamados polígonos semelhantes. Dois polígonos são semelhantes se os ângulos internos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais entre si. A razão entre lados correspondentes desses polígonos é chamada razão de semelhança. Observe, por exemplo, os polígonos semelhantes representados a seguir. A’ A

3 cm

4,5 cm

B’ 53º

2 cm

2,4 cm

3 cm

127º D

1,6 cm

3,6 cm 127º

C D’

2,4 cm

C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

53º

Consulte este livro, que apresenta informações sobre semelhanças de figuras. • IMENES, L. M. P.; LELLIS, M.; JAKUBO, J. Semelhanças. 14a ed. São Paulo: Atual, 2005.

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4 cm

A 90°

D 90°

3 cm 90° 4 cm

3 cm

A’ 90°

D’ 90°

2 cm

2 cm 90°

90°

B’

3 cm

C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

a) Em relação aos ângulos internos correspondentes: • DÅAB 9 D’ÅA’B’ • AÅ BC 9 A’Å B’C’ • BÅCD 9 B’ÅC’D’ • CÅDA 9 C’ÅD’A’ b) Em relação aos lados correspondentes: AB

• DÂB 9 D’Â’B’ • AB̂C 9 A’B̂’C’ Em relação aos lados correspondentes, temos: AB 3 2 BC 2,4 2 = = • = = • A’B’ 4,5 3 B’C’ 3,6 3

• A’B’ = 2 • B’C’ = 3 • C’D’ = 2 • A’D’ = 3 Observar que, neste caso, não existe uma razão de semelhança entre os retângulos representados, uma vez que obtemos dois valores diferentes. É importante destacar que é necessário que a razão entre os lados correspondentes seja a mesma. Portanto, apesar de os ângulos correspondentes serem congruentes, os retângulos não são semelhantes. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de figuras semelhantes e a determinação da razão de semelhança entre elas. Ao final desta atividade, propor aos alunos que expliquem por que no item a as figuras não são semelhantes. Nesse caso, é importante eles perceberem que apesar de os

• BĈD 9 B’Ĉ’D’

• CD̂A 9 C’D̂’A’

AD 2 = A’D’ 3 2 Nesse caso, a razão de semelhança entre os polígonos ABCD e A’B’C’D’ é dada por . 3 •

CD 1,6 2 = = C’D’ 2,4 3

•

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

3 cm 90°

Em relação aos ângulos internos correspondentes, temos:

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Verifique em qual dos itens a seguir é apresentado um par de figuras semelhantes. Em seguida, determine para esse item a razão de semelhança entre a maior e a menor figura. b; 2. a) b) 12 m 15 m 12 m 10 m 8m

105º 75º 75º 105º

13 m

105º 75º

75º

97º

13 m

105º

14 m

15 m

10 m

120º

97º

113º 113º 14 m

6m 120º 97º 97º 7 m 7 m 113º 113º 5m

10 m

2. Qual das figuras a seguir é semelhante à figura A? Figuras B e C. A

3. José utilizou uma máquina copiadora para obter uma imagem retangular reduzida em 25%. Observe a representação da imagem original ao lado e responda os itens propostos. 12 cm a) Quais são as dimensões da imagem retangular obtida por José? 12 cm e 9 cm. b) Determine a razão de semelhança entre a imagem retangular original e a imagem reduzida obtida por 4 José. 16 cm 3 c) Considerando a imagem retangular original e a imagem reduzida, respectivamente, determine a razão entre: • seus perímetros 4 3 • suas áreas 16 9 d) A razão que você obteve no item b é igual a cada uma das razões que obteve no item c? Explique. Resposta esperada: A razão obtida no item b é igual à obtida entre os perímetros das imagens e diferente daquela obtida entre as áreas das imagens, no item c. 154

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ângulos internos correspondentes serem congruentes, os lados correspondentes não são proporcionais. 2. Esta atividade trabalha a identificação de figuras semelhantes. Para complementar, pedir aos alunos que determinem a razão de semelhança

entre as figuras A e B e entre as figuras A e C, que neste caso, é 3 e 2, respectivamente. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, uma situação envolvendo a razão de semelhança entre figuras. No item d, o objetivo é que os alunos compreendam

que a razão de semelhança entre figuras é igual a razão entre os perímetros dessas figuras, mas não é igual a razão entre as áreas delas.

MOHSINMAJEED001/SHUTTERSTOCK.COM

É interessante mostrar aos alunos alguns polígonos que não são semelhantes. Uma sugestão é representar na lousa os retângulos a seguir e estabelecer algumas relações.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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4. Esta atividade trabalha a ampliação e a redução de figuras por homotetia. Na etapa 2, explicar aos alunos que com o compasso com abertura OB e com a ponta-seca em B, marcamos o ponto B’ sobre a semirreta OB. De maneira análoga, marcamos os pontos A’ e C’. No item b, as etapas a serem realizadas pelos alunos são parecidas com as do exemplo; porém, na etapa 2, eles devem marcar sobre as semirretas de origem em O e passando pelos vértices do polígono os pontos equivalentes a cada um desses vértices, respectivamente, de maneira que a distância de O até cada um desses pontos seja o triplo daquela entre O e os vértices correspondentes desse polígono.

4. Para ampliar ou reduzir uma figura, podemos utilizar uma transformação chamada homotetia. Observe, por exemplo, como podemos ampliar um triângulo ABC na razão de 1 para 2 por homotetia. 1o) Marcamos um ponto O externo ao triângulo e, com origem nesse ponto, traçamos semirretas passando pelos vértices A, B e C.

B A

O C

2o) Com auxílio de um compasso, marcamos sobre as semirretas os pontos A’, B’ e C’, de maneira que OA’ = 2 ? OA, OB’ = 2 ? OB e OC’ = 2 ? OC.

B’ B A’

A O C

C’

3o) Por fim, traçamos e pintamos o triângulo A’B’C’, que é semelhante ao triângulo ABC. B’

A’

A O C

C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

a) Considerando que os lados do triângulo ABC medem 1,5 m, 2,5 m e 2 m, determine a medida dos lados do triângulo A’B’C’. 3 m, 5 m e 4 m. b) Desenhe um polígono qualquer em uma folha de sulfite. Depois, troque seu desenho com um colega e obtenha uma ampliação da representação de polígono que você recebeu na razão de 1 para 3 utilizando homotetia, enquanto o colega faz o mesmo com o seu desenho. Ao final, confiram juntos as respostas. Resposta pessoal. 155

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Semelhança de triângulos Ao explorar o 1o caso de semelhança de triângulos, comentar com os alunos que a sigla AA indica “ângulo-ângulo”, uma maneira simplificada de se referir a esse caso. A respeito do boxe Fique ligado, informar aos alunos que o pantógrafo foi desenvolvido pelo matemático e astrônomo alemão Christoph Scheiner, no início do século XVII, e que o seu funcionamento se baseia no conceito de semelhança de triângulos.

Semelhança de triângulos Carlos utilizou um pantógrafo para construir um triângulo A’B’C’ a partir do triângulo ABC. Observe.

A’

C’

B’

ARTUR FUJITA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Esses triângulos possuem os ângulos internos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais. Assim, de acordo com a definição de polígonos semelhantes que estudamos anteriormente, podemos afirmar que esses dois triângulos são semelhantes. No entanto, para garantir a semelhança de triângulos, podemos estudar alguns casos particulares. Observe. • 1o caso (AA) Dois triângulos são semelhantes se possuem dois ângulos correspondentes congruentes. A

B’

C’

EDITORIA DE ARTE

A’

Como CÂB é congruente a C’Â’B’ e AB̂C é congruente a A’B̂‘C’, temos que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.

fique ligado

Pantógrafo Ampliações e reduções de figuras podem ser obtidas manualmente, por exemplo, com auxílio de um instrumento chamado pantógrafo. Observe.

DOTTA2

• As hastes que compõe o pantógrafo são mantidas paralelas duas a duas.

• Inicialmente, o ponto A deve ser fixado sobre a mesa ou outro local externo à figura original. • Nos pontos E e F é onde devem ser colocados o lápis e a ponta-seca. A ponta-seca é utilizada para contornar a figura original. O lápis é utilizado para traçar a figura ampliada ou reduzida. 156

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D3-MAT-F

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Na verificação do 1o caso nesta página, explicar que após concluirmos que todos os pares de ângulos correspondentes são congruentes, de acordo com a definição de polígonos semelhantes, é preciso verificar se os lados correspondentes são proporcionais. Além disso, podemos concluir que AÅCB 9 QÅ PB, pois estes ângulos são correspondentes, uma vez que são formados pelas retas paralelas $AC& e $QP&, intersectadas pela reta transversal que contém o lado BC do triângulo ABC. Comentar que, antes de demostrarmos que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes, é preciso demonstrar a congruência dos triângulos QBP e A’B’C’. Explicar aos alunos que o caso ALA se refere a “ângulo, lado, ângulo” e que temos as seguintes congruências: QÅ BP 9 A’Å B’C’ (ângulo), BP 9 B’C’ (lado) e QÅ PB 9 9 A’Å C’B’ (ângulo). Ao utilizar o teorema de Tales, destacar para os alunos que estamos considerando as retas paralelas $AC& e $QP&.

Observe uma maneira de verificar a validade desse caso de semelhança de triângulos. Temos que CÂB 9 C’Â’B’ e AB̂C 9 A’B̂’C’. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, a medida de BĈA deve ser igual à medida de B’Ĉ’A’, ou seja, BĈA 9 B’Ĉ’A’. A A’

B’

C’

Sobre o lado BC marcamos um ponto P de maneira que BP = B’C’ e, com uma extremidade nesse ponto, traçamos um segmento de reta paralelo a AC, obtendo o ponto Q sobre o lado AB. Como AC // QP, temos que AĈB 9 QP̂ B. Assim, pelo caso ALA, os triângulos QBP e A’B’C’ são congruentes. A’

B’

C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

AB BC = . QB BP Como o triângulo QBP é congruente ao triângulo A’B’C’, segue que QB = A’B’ e BP = B’C’. AB BC Logo, = . A’B’ B’C’ AB CA Procedendo de maneira análoga, podemos obter que = . Consequentemente, A’B’ C’A’ AB BC CA = = . A’B’ B’C’ C’A’ Portanto, como os ângulos internos correspondentes dos triângulos ABC e A’B’C’ são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais entre si, temos que esses dois triângulos são semelhantes. Além disso, utilizando o Teorema de Tales no triângulo ABC temos que

• Os ajustes nas posições dos pontos B e D determinam a razão de semelhança entre a figura original e a figura ampliada ou reduzida.

Exemplo de utilização de um pantógrafo para uma ampliação.

Exemplo de utilização de um pantógrafo para uma redução.

FOTOS: DOTTA2

• Se o lápis for colocado em E, a figura obtida será uma ampliação da figura original, e se for colocado em F, será uma redução.

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site e assistam ao vídeo para aprender a fazer um pantógrafo e obter mais informações sobre seu funcionamento. • AMPLIADOR de desenhos (pantógrafo). Manual

do mundo. Disponível em: <http://livro.pro/x7ps84>. Acesso em: 12 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado outro triângulo, este será semelhante ao primeiro. Caso julgar necessário, auxiliar os alunos nessa verificação. Para isso, apresentar a eles as seguintes etapas. 1a) Considere o triângulo ABC, no qual foi traçado um segmento de reta DE, paralelo ao lado BC, determinando um outro triângulo: ADE.

D B

E C

EDITORIA DE ARTE

$ C% / D $ E%, temos 2a) Como B que AÅBC 9 AÅDE e AÅCB 9 AÅED, uma vez que estes pares de ângulos são correspondentes. Portanto, pelo 1o caso de semelhança de triângulos (AA), temos que os triângulos ABC e ADE são semelhantes. De maneira análoga, podemos traçar os segmentos de reta paralelos aos outros dois lados do triângulo ABC e verificar que essa afirmação também é verdadeira.

Agora, observe o enunciado de outros dois casos de semelhança de triângulos. • 2o caso (LAL) Dois triângulos são semelhantes se possuem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo interno formado por eles congruentes. Observe o exemplo. C’

6 cm

4 cm A

6 cm

A’

B’

9 cm

CA AB 2 = = e CÂB é congruente a C’Â’B’, temos que os triângulos ABC e A’B’C’ C’A’ A’B’ 3 são semelhantes. Como

• 3o caso (LLL) Dois triângulos são semelhantes se possuem os três lados correspondentes proporcionais. Observe o exemplo. A’ A 3 cm

5 cm 6 cm

10 cm

C’

C 6 cm

12 cm

B B’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Optamos por enunciar apenas o 2o e o 3o casos de semelhança de triângulos, porém estes também podem ser verificados, assim como o 1o caso apresentado na página anterior. No 2o caso, explicar aos alunos que a sigla LAL indica “lado, ângulo, lado” e, no 3o caso, a sigla LLL indica “lado, lado, lado”; estas são maneiras simplificadas de se referir a esses casos de semelhança de triângulos. Para complementar o trabalho com os casos de semelhança de triângulos, propor aos alunos que verifiquem se a seguinte afirmação é válida, sendo que esta afirmação costuma ser indicada como propriedade fundamental de semelhança de triângulos.

AB BC CA 1 = = = , temos que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes. Como A’B’ B’C’ C’A’ 2 Considere agora a seguinte situação. Um poste com 12 m de altura, perpendicular ao solo, é sustentado por um cabo de aço esticado, com uma extremidade fixa no topo do poste e a outra no solo, a 18 m do pé do poste. Para reforçar essa sustentação, uma haste de 3 m de altura será instalada perpendicular ao solo, como indica o esquema ao lado. A quantos metros de distância do local onde o cabo de aço está fixado no solo esta haste deve ser instalada?

cabo de aço haste E 3m x D 18 m

B poste 12 m pé do A poste

Note que podemos garantir pelo caso AA que os triângulos ABC e DEC são semelhantes, pois os ângulos correspondentes BĈA e EĈD são congruentes (ângulo comum) e CÂB e CD̂E também são congruentes (ângulos retos). Assim, podemos estabelecer a seguinte proporção: CA AB = CD DE 18 12 = x 3 12x = 3 ? 18 12x 54 = 12 12 x = 4,5 Assim, a haste deve ser instalada a 4,5 m do local onde o cabo de aço está fixado no solo. 158

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Identifique os pares de triângulos representados que são semelhantes entre si. 4,8 cm Depois, indique o caso de semelhança 2,7 cm que utilizou para identificá-los. a e c: caso LAL; b e d: caso AA. 4,5 cm a) 8 cm 38º 7,2 cm

80º

x 4,5 cm 8 cm

3. Duas semirretas, com origem no ponto O, passam por alguns vértices dos quadrados ABCD e DEFG, conforme indicado a seguir. Considerando que OC = 27 cm e CD = 18 cm, determine a medida do lado do quadrado maior. 30 cm.

5 cm

b) 62º 8 cm

45º B

c) O 7,5 cm

4. Perto do sítio em que Danilo mora há um lago e, às margens dele, há uma pequena plataforma que é sustentada por duas colunas de madeira paralelas entre si. Observe um modelo matemático que representa essa situação e determine a distância entre as duas colunas, indicada por AD. 4 m.

62º 12 cm

d) 73º

45º

62º

x 4,8 cm

A 4,5 cm

2,7 cm 4,5 cm

12,5 m

8 cm

3,4 m E

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2. Determine a medida x sabendo que o par de triângulos representados é semelhante entre si. 7,5 cm.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de triângulos semelhantes com base nos casos de semelhança estudados. Verificar quais estratégias os alunos utilizaram para resolver esta atividade. Promover um momento da aula para que eles possam compartilhá-las com os colegas. 2. Esta atividade trabalha a determinação de medidas de lados em triângulos semelhantes. Discutir com os alunos as estratégias que eles utilizaram para determinar quais são os lados correspondentes. Eles podem relacionar diferentes lados correspondentes para determinar a medida x, por exemplo, estabelecendo as se2,7 4,5 = ou guintes relações: 4,5 x 4,8 4,5 = . 8 x 3. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação com base na identificação de triângulos semelhantes. Para a resolução desta atividade, é importante que os alunos percebam que os triângulos BOC e GOD são semelhantes pelo caso AA, uma vez que BÅOC 9 GÅOD (ângulo comum) e OÅCB 9 OÅDG (ângulos retos). 4. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada com base na identificação de triângulos semelhantes. Conversar com os alunos para que percebam que a medida pedida corresponde a 12,5 m menos a medida de CD, sendo que CD é um dos lados do triângulo CDE, semelhante ao triângulo CAB, pelo caso AA.

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5. Para estimar a largura de um rio, representado no esquema a seguir por AB, Roseli realizou algumas medições. Se a medida de cada passo de Roseli é de cerca de 75 cm, qual é a largura aproximada desse rio, em metros? 120 m. B

A 60 passos

64 passos

2o) Deixou o espelho no chão entre o local em que estava e o prédio, de maneira que conseguisse enxergar o topo do prédio no centro do espelho.

C 24 passos E

6. A professora de Maria representou no quadro de giz um triângulo de lados 8 cm, 10 cm e 12 cm. Em seguida, ela propôs aos alunos que desenhassem no caderno um triângulo semelhante a esse de maneira que seu perímetro fosse igual a 9 cm. Quais devem ser as medidas dos lados do triângulo que os alunos devem desenhar? 2,4 cm, 3 cm e 3,6 cm. 7. Junte-se a um colega para resolver esta atividade. Vocês sabiam que é possível determinar a altura aproximada de um edifício utilizando apenas um espelho plano e uma fita métrica? Observem, por exemplo, alguns procedimentos e anotações que Elton realizou para obter algumas medidas em relação ao edifício em que mora com o auxílio desses dois objetos. 1o) Ele mediu a altura de seus olhos até o chão e o comprimento da sola do calçado que estava utilizando.

0,27 m

1,70 m

ILUSTRAÇÕES: ARTUR FUJITA

ATIVIDADES 5. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada com base na identificação de triângulos semelhantes. Verificar se os alunos compreenderam que DÅCE 9 BÅCA uma vez que eles são ângulos opostos pelo vértice. 6. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação com base na semelhança de triângulos. Explicar que a razão de semelhança entre os perímetros de dois polígonos semelhantes, no caso de dois triângulos semelhantes, é igual à razão de semelhança entre eles, como visto na atividade 3 da página 154 desta Unidade. 7. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada com base na identificação de triângulos semelhantes. Discutir sobre os procedimentos utilizados por Elton para determinar a altura da parede. Comentar que Elton poderia ter medido a distância do espelho até a parede do prédio utilizando uma fita métrica ou, dependendo da situação, com seus passos ou outra unidade de medida que julgasse mais conveniente. No 2o procedimento, dizer aos alunos que os ângulos destacados têm medidas iguais, devido às leis da reflexão da óptica na Física. No item b, conversar com os alunos sobre os registros realizados por eles no caderno. É importante que eles identifiquem e anotem que os dois triângulos ABC e DEC são semelhantes pelo caso AA, pois AÅCB 9 DÅCE (são congruentes devido às leis de reflexão) e AÅBC 9 DÅEC (ângulos retos). 8. Esta atividade trabalha a elaboração pelo aluno de problema envolvendo semelhança de triângulos. É importante avaliar se os problemas elaborados pelos alunos contem-

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

0,5 m

25 pés

3o) Por fim, mediu a distância entre o centro do espelho e a ponta do pé com a fita métrica e entre o centro do espelho e a parede do prédio com seus pés.

As dimensões dos elementos apresentados nessa imagem não estão proporcionais entre si. Agora, responda às questões a seguir. a) Qual é a distância entre o centro do espelho e a parede do edifício, em metros? 6,75 m. b) A partir das anotações de Elton, qual é a altura aproximada do edifício em que ele mora? Registrem no caderno os procedimentos que vocês utilizaram. 22,95 m. Resposta pessoal. 8. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo semelhança de triângulos. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

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plam as ideias relacionadas ao conceito proposto. Ao final, se julgar conveniente, pedir a eles que compartilhem entre si essas produções, visto que esses problemas podem apresentar diferentes estruturas.

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9. a) Resposta esperada: Para calcular a medida de um segmento de reta paralelo ao eixo x, calculamos a diferença entre as abscissas de suas extremidades e, para um segmento de reta paralelo ao eixo y, calculamos a diferença entre as ordenadas de suas extremidades. 9. Para resolver esta atividade, junte-se a um AM ME p_1 = H1= H 13 _ p = colega. Leiam a questão a seguir que foi MB BD 13 _ p proposta pelo professor de Matemática 14 Hp=7 = p _ 1 H 2p = 13 + 1 H p = 2 de Bárbara. AM AE 7_q = H1= Hq_3= MB MD q_3 Considere um segmento de reta AB, 10 Hq=5 = 7 _ q H 2q = 7 + 3 H q = representado no plano cartesiano, 2 em que A(1, 7) e B(13, 3). Quais são as coordenadas do ponto médio desse segmento de reta? Observem que AM e MB têm medidas iguais, AM pois M é ponto médio de AB. Portanto, = 1. Observem as etapas que Bárbara fez para MB resolver esse problema. 1a) Em um plano cartesiano desenhado em uma folha de papel, ela indicou os pontos A(1, 7) e B(13, 3) e o segmento de reta AB. Depois, indicou o ponto C(1, 3) e representou o triângulo retângulo ABC. Em seguida, indicou um ponto M(p, q) para representar o ponto médio de AB. Então, traçou ME paralelo a BC e traçou MD paralelo a AC. y

q 3

M E C 1

D p

EDITORIA DE ARTE

13 x

9. Esta atividade trabalha a determinação das coordenadas do ponto médio de um segmento de reta representado no plano cartesiano. Além disso, tem relação com parte da habilidade EF09MA16 da BNCC. No item a, sugerir aos alunos que retornem à segunda imagem apresentada e localizem os segmentos de retas mencionados. No item b, discutir com os alunos as estratégias utilizadas por eles para a obtenção das coordenadas do ponto médio quando o segmento de reta é paralelo a algum dos eixos. No item d, para validar a identificação das relações, sugerir aos alunos que proponham a verificação dessa relação em um outro segmento de reta. A generalização dessa relação costuma ser estudada no Ensino Médio.

Assim, o ponto médio de AB é M(7, 5). a) Em seus cálculos, Bárbara obteve as medidas de ME e BD paralelos ao eixo x, sendo que cada um desses segmentos de reta tem extremidades com ordenadas iguais. Ela também obteve as medidas de AE e MD paralelos ao eixo y, sendo que cada um desses segmentos de reta tem extremidades com abscissas iguais. Expliquem como é possível calcular o comprimento de qualquer segmento de reta que seja paralelo a um dos eixos do plano cartesiano com base nas coordenadas de suas extremidades. b) Calculem as coordenadas do ponto médio de cada segmento de reta indicado a seguir. • AB, em que A(1, 4) e B(7, 4). (4, 4) • CD, em que C(_2, 3) e D(_2, _1). (_2, 1)

2a) Ela observou que, pelo caso AA, os: • triângulos ABC e AME são semelhantes, pois os ângulos CÂB e EÂM são congruentes (ângulo comum) e BĈ A e MÊA também são congruentes (ângulos retos).

• EF, em que E(_1, 2) e F(7, _2). (3, 0)

• GH, em que G(5, 1) e H(9, 3). (7, 2) c) Agora, desenhem um segmento de reta em uma folha de papel escrevendo as coordenadas das extremidades. Depois, troquem o desenho com outra dupla para que ela • triângulos ABC e MBD são semedetermine as coordenadas do ponto médio lhantes, pois os ângulos AB̂ C e MB̂D desse segmento de reta, enquanto vocês são congruentes (ângulo comum) e fazem o mesmo com aquele que recebeBĈA e BD̂M também são congruentes ram. Ao final confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. (ângulos retos). d) Com base nos itens anteriores, busquem Com isso, ela concluiu que os triângulos identificar relações entre as coordenadas AME e MBD são semelhantes entre si e do ponto médio e as coordenadas das estabeleceu as seguintes proporções: extremidades de um segmento de reta. 9. d) Resposta esperada: Em um segmento de reta, a abscissa do ponto médio corresponde à média aritmética das abscissas das extremidades, e a ordenada, à média aritmética das ordenadas dessas extremidades. 161

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site e assistam ao vídeo para mais informações sobre como medir prédios utilizando um prato.

• COMO medir prédios com

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um prato. Manual do mundo. Disponível em: <http:// livro.pro/7boixy>. Acesso em: 12 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

[...] Uma história contada por Aristóteles diz como ele [Tales de Mileto] era hábil em prever uma boa colheita a partir de observações dos padrões de clima, e comprou todas as prensas de azeitonas de Mileto para provar como a matemática podia torná-lo rico. Diógenes Laércio diz que Tales era capaz de calcular a altura das pirâmides medindo suas sombras, e conta-se que ele usou seu conhecimento de geometria para determinar a distância de um navio até a costa. Ele colocou sua habilidade matemática em uso militar também. Conta-se que ele previu um eclipse que levou a um acordo de paz em uma guerra, e mais tarde ele ajudou o Rei Creso a atravessar um rio com seu exército sugerindo a ele que cavasse um desvio rio acima para reduzir o fluxo até que fosse possível atravessá-lo. [...]

integrando com história

Medindo sombras Podemos dizer que a evolução da ciência, e da Matemática em particular, está ligada à evolução da civilização. Por muito tempo ela foi direcionada principalmente para atender às necessidades práticas dos povos como nas atividades relacionadas à agricultura e à engenharia, ou seja, direcionada para resolver problemas envolvendo situações específicas. Apenas a partir do início do século VI a.C. desenvolveu-se na Matemática uma maior preocupação em justificar logicamente uma verdade ou um resultado. Tales de Mileto, que viveu nessa época, é considerado um dos primeiros estudiosos a escrever trabalhos com essa característica. Tales realizou importantes estudos que contribuíram para diversas áreas do conhecimento, como Matemática, Astronomia e Filosofia. Apesar de se conhecer muito pouco, de fato, a respeito de Tales, existem muitos relatos que mencionam seus feitos e sua história. Como mencionado na página 146, por exemplo, Tales supostamente viveu durante um tempo no Egito e calculou a altura de uma pirâmide por meio do comprimento de sombras. Existem duas versões para explicar como ele calculou essa altura, já sabendo que os raios solares que atingem a Terra são paralelos entre si. A versão mais antiga conta que Tales fincou um bastão verticalmente no chão e esperou que o comprimento da sombra fosse igual à altura desse bastão que a projetava. Nesse momento, ele solicitou que medissem o comprimento da sombra projetada pela pirâmide no chão, pois sabia que também seria igual à altura dessa pirâmide. Porém, precisava adicionar metade da medida do comprimento da base dessa pirâmide, visto que coincidia com parte do comprimento da sombra. Observe um esquema que representa esse fato. ARTUR FUJITA

INTEGRANDO COM HISTÓRIA Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 1 e à competência específica 1 de Matemática da BNCC, uma vez que trata do desenvolvimento histórico de conceitos matemáticos, possibilitando aos alunos compreenderem a Matemática como uma ciência em construção e fruto da contribuição de diferentes povos. Para complementar as informações sobre Tales de Mileto, ler para os alunos o trecho a seguir.

B’

raios solares

As dimensões do bastão e da pirâmide não estão proporcionais entre si. B

C’ C

comprimento da sombra do bastão

A’ comprimento da sombra projetada pela pirâmide

metade do comprimento da base

Após realizar esses procedimentos, Tales utilizou as medidas obtidas e os conhecimentos acerca de semelhança de triângulos para calcular a altura da pirâmide. Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004.

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ROONEY, A. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. Tradução: Mario Fecchio. São Paulo: M.Books do Brasil, 2012. p. 77.

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1. Resposta esperada: Determinar que um resultado não é válido NÃO ESCREVA apenas para um caso específico, generalizando esse resultado NO LIVRO. sob determinadas condições. 1. Em sua opinião, qual é a importância de se justificar logicamente um resultado matemático?

Resoluções a partir da p. 257

2. De acordo com o texto, quais eram as principais finalidades da ciência e da Matemática antes do período em que Tales viveu? 3. No esquema apresentado no texto, relacionado à estratégia utilizada por Tales para determinar a altura de uma pirâmide, podemos destacar dois triângulos retângulos, observe. 2. Resposta esperada: As necessidades práticas, como atividades relacionadas à agricultura e à engenharia, resolver problemas envolvendo situações específicas.

B’

A’

3. b) Sim, como CÂB 9 C’Â’B’ e BĈA 9 B’Ĉ’A’, pelo caso AA de semelhança de triângulos, podemos afirmar que esses triângulos são semelhantes entre si.

C’

A altura do bastão. A altura da pirâmide. a) O que representa o segmento de reta BC? E o segmento de reta B’C’? b) Esses dois triângulos são semelhantes? Justifique. c) Como cada triângulo desses pode ser classificado de acordo com a medida de seus lados? Triângulo isósceles. 4. Além da versão apresentada, uma outra versão dessa mesma história conta que Tales procedeu de maneira parecida, porém não condicionou as medições a um momento específico do dia em que o comprimento da sombra fosse igual à altura do que a projetava. Podemos representar essa outra versão por meio dos dois triângulos retângulos indicados a seguir.

altura da pirâmide

altura do bastão A

comprimento da sombra projetada pelo bastão

A’

C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

B’

comprimento da sombra projetada pela pirâmide adicionada da metade do comprimento da base

a) Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes? Sim. b) Considerando as medidas destacadas de dois lados desses triângulos, escreva uma razão que indica a altura da pirâmide representada por B’C’. BC ? A’C’ . AC 5. Junte-se a mais dois colegas e escolham, por exemplo, uma árvore, um poste ou uma edificação para determinar sua altura utilizando a mesma estratégia de Tales. Em seguida, apresentem por meio de cartazes ou relatos os procedimentos que realizaram para obter essa altura. Resposta pessoal.

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1. Para complementar, relembrar os alunos de que Tales de Mileto se preocupava em deduzir de maneira lógica e organizada os resultados de seus estudos matemáticos, diferentemente de outros estudiosos de seu tempo. 3. No item b desta questão, explicar aos alunos que CÅAB 9 C’ÅA’B’, dado que consideramos que os raios solares são paralelos. Além disso, BÅCA 9 B’ÅC’A’, pois são ângulos retos, uma vez que correspondem à altura do bastão e à altura da pirâmide, respectivamente. 4. No item b, conversar com os alunos para que percebam que a versão apresentada na questão é uma generalização da versão apresentada anteriormente. Explicar que, na primeira versão, a estratégia exigia que as medições fossem realizadas no momento específico em que o comprimento da sombra fosse igual à altura do que a projetava, e que isso ocorre em um único momento do dia. 5. Para a realização desta questão, disponibilizar aos alunos os materiais necessários, como fitas métricas e bastões, e procurar um local apropriado fora da sala de aula para realizar as medições. É importante que os alunos compreendam que, caso utilizem a primeira versão, é necessário observar se a medida da sombra é igual à altura do que a projeta. Uma sugestão para fazer essa verificação é medir a altura do bastão (ou de outro objeto utilizado) e verificar se essa medida é igual à de sua sombra. Ao final, promover uma roda de conversa para que os alunos possam compartilhar como realizaram as medições, o motivo de escolher a primeira ou a segunda versão e qual foi o resultado obtido.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, à competência específica 5 de Matemática e à habilidade EF09MA16 da BNCC.

Estudando o ponto médio de um segmento de reta com o GeoGebra Relembrar os alunos de que o ponto médio de um segmento de reta o divide em outros dois segmentos de reta congruentes. Na etapa 2, eles podem verificar que, na obtenção do ponto médio do segmento de reta AB, tanto AC quanto BC medem 5 cm, o que corresponde à metade da medida do segmento de reta AB. No boxe Dica, chamar atenção dos alunos para o fato de que o ponto C foi obtido a partir do segmento de reta AB, logo, ao movimentarmos as extremidades desse segmento de reta, o ponto C se ajustará automaticamente.

você

conectado

Estudando o ponto médio de um segmento de reta com o GeoGebra Utilizando o GeoGebra, vamos estudar características do ponto médio de um segmento de reta construído no plano cartesiano. Para isso, consideramos as etapas a seguir.

Com a opção

selecionada, construímos um segmento de reta AB qualquer. Para

isso, clicamos em dois pontos quaisquer da malha. Depois, com a opção

selecionada,

clicamos sobre AB, obtendo a medida desse segmento de reta.

Utilizando a opção

selecionada, clicamos sobre AB. O ponto C que aparece sobre

AB corresponde ao ponto médio desse segmento de reta e suas coordenadas, nesse caso, C(1, 1) podem ser observadas na Janela de Álgebra. Depois, com a opção

selecionada,

clicamos sobre os pontos A e C, obtendo a medida de AC. De maneira análoga, obtemos

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

a medida de BC.

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IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Com a opção selecionada, podemos movimentar o ponto A, modificando os segmentos de reta AB, AC e CB. Para isso, clicamos sobre o ponto A e, com o botão do mouse pressionado, arrastamos até uma posição desejada.

• AB, em que A(1, 4) e B(7, 4). Observe que a posição do ponto médio C, ao movimentar o ponto A, se ajusta automaticamente, assim como as medidas de AB, AC e CB.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1. No exemplo apresentado, indique as coordenadas dos extremos e do ponto médio do segmento de reta AB em dois momentos: antes e depois do ajuste da posição do ponto A. Antes: A(_3, 4); B(5, _2) e C(1, 1); depois: A(1, 3); B(5, _2) e C(3; 0,5). 2. No GeoGebra, reproduza o triângulo representado a seguir. Depois, escreva as coordenadas de cada vértice e do ponto médio de cada lado desse triângulo.

• CD, em que C(_2, 3) e D(_2, _1).

A(_4, 1); B(4, 3) e C(2, _3). Ponto médio de AB: (0, 2); ponto médio de BC: (3, 0); ponto médio de AC: (_1, _1).

• EF, em que E(_1, 2) e F(7, _2).

3. Agora, vamos retomar a atividade 9 da página 161 para resolver os itens a seguir. • No GeoGebra, represente os segmentos de reta indicados no item b e obtenha as coordenadas do ponto médio de cada um deles e verifique se suas respostas estavam certas. Resposta pessoal. • Para o item d, construa um segmento de reta no GeoGebra e indique o ponto médio dele. Depois, movimente uma das extremidades desse segmento de reta e, ao observar na Janela de Álgebra as coordenadas dos pontos indicados, verifique se as relações que você indicou se confirmam. Resposta pessoal.

• GH, em que G(5, 1) e H(9, 3).

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Mãos à obra 1. Destacar para os alunos que as coordenadas do ponto B se mantiveram, uma vez que este ponto não teve a posição modificada. 3. Veja a seguir a representação no GeoGebra de cada um dos segmentos de reta indicados e as coordenadas de seus respectivos pontos médios.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, junto com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

o que estudei

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

Teorema de Tales e os triângulos

Teorema de Tales

Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal

Semelhança de triângulos

Proporcionalidade entre segmentos de reta

Semelhança de polígonos

Razão de semelhança

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Semelhança de figuras

Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal

Proporcionalidade entre segmentos de reta Teorema de Tales

Semelhança de polígonos Razão de semelhança

Semelhança de triângulos

Teorema de Tales e os triângulos

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3. Para a realização do item I, providenciar previamente réguas e esquadros. Veja a seguir a resposta deste item.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Maicon e Sara estudam em uma mesma turma de 9o ano e formaram uma dupla para realizar um trabalho de Matemática. Em uma etapa desse trabalho, eles mediram a altura de uma placa de trânsito instalada próximo a um poste, o comprimento da sombra dessa placa e da sombra do poste, projetadas em um mesmo horário. Observe a representação que eles fizeram.

C 4,5 m

A’

C’

ROBERTO ZOELLNER

B’

1,5 m

II. Resposta esperada: Sim, pois como CÂB 9 C’Â’B’ e BC BĈA 9 B’C B’Ĉˆ ‘A’ (ângulos formados

PROBLEMAS pelos raios solares e o chão), pelo caso AA de semelhança de triângulos segue que os

triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes entre si. Conceitos: Semelhança de triângulos.

II III

C’

No item II, é importante que os alunos compreendam que os ângulos CÅAB e C’ÅA’B’ são ângulos retos, uma vez que os segmentos de reta AB e A’B’ correspondem à altura do poste e à da placa de trânsito, respectivamente. Complementar o item III, pedindo aos alunos que determinem a razão de semelhança entre o triângulo ABC e A’B’C’. Neste caso, a razão de semelhança é 3. No item IV, verificar se os alunos perceberam que a altura do poste pode ser determinada a partir da razão de semelhança. Para isso, basta multiplicar a altura da placa por 3.

Os raios solares que atingem a Terra são paralelos entre si.

2,7 m

EDITORIA DE ARTE

B’

Com base nos triângulos destacados e utilizando esquadros, trace em seu caderno três retas: AC, BC e B’C’. Depois, pinte os ângulos formados por essas retas, de maneira que ângulos congruentes fiquem com a mesma cor. Resposta nas Orientações para o professor. Conceitos: Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal. Podemos afirmar que esses triângulos são semelhantes? Justifique.

Sem calcular a altura desse poste, é possível determinar o quociente da divisão dessa altura pela altura da placa? Justifique.

Faça os cálculos necessários e auxilie Maicon e Sara a determinar a altura do poste. 8,1 m. Conceitos: Semelhança de triângulos; Teorema de Tales e os triângulos. III. Resposta esperada: Sim, como esses triângulos são semelhantes, esse quociente é igual ao quociente da divisão do comprimento da sombra do poste pelo da sombra da placa. Conceitos: Semelhança de triângulos; razão de semelhança. 167

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UNIDADES TEMÁTICAS

• Números. • Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos. • Relações métricas no triângulo retângulo. • Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração. • Distância entre pontos no plano cartesiano. HABILIDADES • • • •

EF09MA05 EF09MA13 EF09MA14 EF09MA16

COMPETÊNCIAS GERAIS 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. ESPECÍFICAS 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA E RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Consumo consciente Vivemos em uma sociedade em que comprar produtos e serviços faz parte do cotidiano. Alimentação, habitação, saúde, água, energia elétrica, vestuário, material escolar, entre outros itens, têm um custo financeiro, ambiental e social. Quando compramos um lápis, por exemplo, além da quantia que pagamos por ele, temos de avaliar como e quem o produziu. Pensando nisso, é importante consumir sem excessos e adotar algumas medidas simples que, a curto e longo prazos podem garantir que as pessoas continuem tendo acesso a esses bens essenciais. Veja no esquema apresentado nestas páginas dicas, de uma ONG, de como ser um consumidor consciente.

Conheça os 12 princípios do consumo consciente Consumir com consciência é consumir diferente, tendo no consumo um instrumento de bem-estar e não um fim em si mesmo.

1. Planeje suas compras Não seja impulsivo nas compras. A impulsiv idade é inimiga do consumo consciente. Planeje antecipadamente e, com isso, compre menos e melhor.

2. Avalie os impactos de seu consumo Leve em consideração o meio ambiente e a sociedade em suas escolhas de consumo.

as o ma apen 3. Consu o ri necessá

reais bre suas Reflita so cure ro p ades e necessid s. o n me v iver com

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6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros

e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

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Não compre outra vez o que você pode consertar, transfor mar e reutilizar.

7. Conheça e valorize as práticas de responsabilidade social das empresas Em suas escolhas de consumo, não olhe dade apenas preço e quali as ize lor Va to. do produ de sua ção fun em sas empre com a par de ida bil nsa respo iedade soc a s, rio ná cio fun os e o meio ambiente.

10. Divulgue o consumo consciente Seja um militante da causa: sensibilize outros consumidores e dissemine informações, valores e práticas do consumo consciente. Monte grupos para mobilizar seus familiares, amigos e pessoas mais próximas.

Recicle e contribua para a economia de recursos naturais, a redução da degradação ambiental e a geração de empregos.

8. Não compre produtos piratas ou contrabandeados Compre sempre do comércio legalizado e, dessa forma, contribua para gerar empregos estáveis e para combater o crime organizado e a violência.

Consumo consciente é consumir com o melhor impacto Consumo consciente não significa deixar de consumir, mas consumir melhor e diferente, sem excessos, para que haja o suficiente, para todos, para sempre. [...] Significa ter a visão de que o ato de consumir um produto ou serviço está num contexto maior de ciclo de produção, trazendo consequências positivas e negativas não apenas ao consumidor, mas também ao meio ambiente, à economia e à sociedade, que vão além dos impactos imediatos. […]

ue você m se o q Pense be dito não rar a cré vai comp eja certo erar e est pode esp g ar oderá pa de que p ções. as presta

9. Contribua pa ra a melhoria de pr odutos e serviços Adote uma post ura at iva. Envie às empresas sugestões e cr íti cas construtivas so bre seus produtos e serv iços.

11. Cobre dos políticos Exija de partidos, antes candidatos e govern e qu es açõ e s proposta em nd ofu apr e m viabilize o sum con de a tic a prá consciente.

[…]

dito 6. Use cré temente conscien

5. Separe seu lixo

INEGVIN/SHUTTERSTOCK.COM, JESSICAHYDE/SHUTTERSTOCK.COM

4. Reutilize produtos e embalagens

12. Reflita sobr e seus valores Avalie constant emente os pr incípios qu e guiam suas escolhas e seus hábitos de cons umo.

AKATU. Conheça os 12 princípios do consumo consciente. Disponível em: <www.akatu.org.br/noticia/conheca-os-12-principios-do-consumo-consciente/>. Acesso em: 15 out. 2018.

Resposta pessoal. Não.

Resposta pessoal.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Você se considera um consumidor consciente? Justifique sua resposta com exemplos. No consumo consciente, além do preço dos produtos e serviços que compramos, que outros aspectos temos de considerar?

Resposta esperada: Os impactos ao meio ambiente e à sociedade. 169

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 6 da BNCC, pois trata da prática do consumo consciente.

São apresentados os 12 princípios desse tipo de consumo, envolvendo aspectos relacionados às compras, reutilização de produtos e embalagens, separação de lixo, entre outros. Destacar que é importante sempre fazer uma análise

No primeiro item proposto, apresentar aos alunos algumas características de um consumidor consciente, por exemplo, planejar suas compras, não comprar por impulso, entre outras. É importante que eles analisem se essas práticas fazem parte do seu cotidiano. No terceiro item, há diferentes possibilidades de resposta, como: endividamento, compra de itens desnecessários, entre outros.

AMPLIANDO

Comprar por impulsividade, ou seja, sem planejamento, pode trazer que tipo de consequências? Essa é uma prática de consumo consciente?

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AKATU. Sobre o Akatu. Disponível em: <www.akatu.org.br/sobre-oakatu>. Acesso em: 12 set. 2018.

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prévia antes de adquirir um produto, pensar se realmente é preciso comprá-lo. Para complementar esse tema, ler para os alunos o trecho a seguir.

Sugerir aos alunos que acessem este site e assistam aos vídeos relacionados ao tema consumo consciente. • AKATU. Vídeos. Disponível em: <http://livro.pro/rk2g2r>. Acesso em: 12 set. 2018. Acessar este site para obter mais informações sobre o consumidor consciente. • MEU BOLSO FELIZ. Perfil do consumidor consciente. Disponível em: <http://livro. pro/xmwe2z>. Acesso em: 12 set. 2018.

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Porcentagem Nesta página é retomada e ampliada a ideia de porcentagem como razão entre duas grandezas, conteúdo já abordado na Unidade 6 do Volume 6, na Unidade 6 do Volume 7 e na Unidade 4 do Volume 8 desta coleção.

Educação financeira Nas páginas de abertura desta Unidade vimos, entre outras informações, os princípios básicos do consumo consciente. Alguns deles, como planejar as compras, consumir apenas o necessário, não comprar produtos piratas e comprar a prazo com consciência, se relacionam à chamada educação financeira. Na educação financeira, por exemplo, também estudamos os juros, as aplicações financeiras, os tributos e a inflação. Esse é um conhecimento importante para nossa formação como cidadãos. Observe alguns exemplos.

Comprar à vista ou a prazo?

Onde devo investir meu dinheiro?

A seguir estudaremos conceitos de elementos próprios da educação financeira. Consulte este livro, que apresenta informações sobre educação financeira com uma linguagem simples e acessível. • HORNOS, A. P. Educação financeira e valores. São Paulo: FTD, 2015.

Porcentagem Em anos anteriores estudamos que a porcentagem pode ser compreendida com base na ideia de razão. Por exemplo, quando dizemos que cerca de 16% da população brasileira, em 2010, viviam na zona rural, indicamos que 16 em cada 100 brasileiros viviam na zona rural. No esquema ao lado, o conjunto de todas as figuras representa a população brasileira em 2010, e as figuras em vermelho, as que viviam na zona rural.

ZERN LIEW/SHUTTERSTOCK.COM

EDUCAÇÃO FINANCEIRA Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF09MA05. Nesta página são apresentados alguns exemplos de situações relacionadas à educação financeira, tais como: compra à vista ou compra a prazo e investimento. Em relação ao exemplo que apresenta um homem em dúvida entre comprar um par de tênis à vista ou a prazo, perguntar aos alunos qual opção de pagamento eles escolheriam. Propor que calculem o valor a ser pago na compra à vista (R$ 159,90) e na compra a prazo (4 ? 45 = 180; R$ 180,00). Com base nas opiniões dos alunos, discutir as vantagens e desvantagens de cada condição de pagamento. À vista, o consumidor pagaria um valor total menor, porém teria de desembolsar toda a quantia no momento da compra. Já a prazo, o consumidor poderia desembolsar uma quantia menor no momento da compra (ou mesmo quantia nenhuma), mas teria de pagar um valor total maior pelo par de tênis. Dizer que, em situações como essa, é importante calcular e analisar o valor total que deverá ser pago pelo produto em cada opção. Comentar que para anunciar o desconto no preço ou no pagamento de alguns produtos também costuma-se utilizar a porcentagem.

ARTUR FUJITA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fonte dos dados: IBGE. Sinopse do Censo Demográfico 2010. Disponível em: <https://censo2010.ibge.gov.br/sinopse/index.php?dados=8>. Acesso em: 15 out. 2018.

Estudamos também que podemos representar uma porcentagem por meio de fração e de número decimal. Observe: 16 = 0,16 16% = 100 170

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No exemplo 1, explicar que a multa é uma cobrança referente ao pagamento em atraso. Independentemente do tempo de atraso do pagamento, a multa corresponde a um valor fixo, geralmente estabelecida em forma de porcentagem, e é paga apenas uma vez na liquidação do boleto. Diferente da multa, o juro é uma cobrança que considera um determinado período de atraso, como no pagamento de um boleto bancário ou no rendimento de uma aplicação financeira. Por exemplo, o juro cobrado ao pagar um boleto com dois meses de atraso costuma ser maior do que o juro cobrado ao pagar o mesmo boleto com atraso de um mês. Enfatizar a importância de manter as contas em dia para evitar a cobrança de multa e juro e o acúmulo de dívidas. Para isso, algumas atitudes podem ajudar na organização financeira: planejar as compras para evitar gastar em excesso, listar as despesas fixas e variáveis para ter o controle de onde o dinheiro está sendo gasto, evitar muitos parcelamentos, entre outras. Informar aos alunos que os nomes dos estabelecimentos que aparecem no exemplo 2 são fictícios. Relacionar o tema abordado neste exemplo aos 12 princípios do consumo consciente apresentados na abertura desta Unidade, mais especificamente aos princípios 1 e 7.

O valor deste boleto é R$ 185,00. Como atrasei o pagamento, terei um acréscimo de 4%. Quanto vou pagar ao todo?

Agora, estudaremos situações da educação financeira que envolvem a ideia de porcentagem. Exemplo 1

Em geral, quando um boleto bancário é pago após seu vencimento, seu valor é acrescido de taxas correspondentes a multas e juro. Por isso, é importante ter a vida financeira organizada de modo a planejar o pagamento das despesas – como faturas de água e energia elétrica e boletos bancários – até as datas de vencimento. Veja ao lado o que Laís está dizendo. Observe as etapas que podemos utilizar para responder à pergunta de Laís.

2a) Adicionamos o acréscimo calculado ao valor do boleto bancário: 185 + 7,40 = 192,40, ou seja, R$ 192,40.

DANILO SOUZA

1a) Calculamos o valor do acréscimo, ou seja, 4% de R$ 185,00. Como 4 4% = = 0,04, temos: 100 0,04 ? 185 = 7,40, ou seja, R$ 7,40.

Exemplo 2 Antes de comprar um produto é importante pesquisar, comparar preços e formas de pagamento, verificar a qualidade e avaliar como e quem o produz. Jonas pesquisou o preço de uma mochila em dois estabelecimentos. Observe ao lado. Calculando a diferença entre os preços pesquisados, temos: 75 _ 60 = 15, ou seja, R$ 15,00.

Papelaria Jardim: R$ 60,00

DESIGN56/SHUTTERSTOCK.COM

Assim, Laís pagará ao todo R$ 192,40.

Loja das Bolsas: R$ 75,00

Assim, dizemos que a mochila custa R$ 15,00 a mais na Loja das Bolsas do que na Papelaria Jardim, ou ainda, que custa R$ 15,00 a menos na Papelaria Jardim do que na Loja das Bolsas. Agora, observe duas maneiras de comparar esses preços usando porcentagem. 1a maneira Considerando como referência o preço na Papelaria Jardim. diferença entre os preços

15 = 0,25 = 25% 60 preço na Papelaria Jardim

Nesse caso, dizemos que o preço da mochila na Loja das Bolsas é 25% maior em relação ao preço na Papelaria Jardim. 171

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Destacar que são apresentadas duas maneiras para comparar os preços de um mesmo produto (uma mochila) em dois estabelecimentos, dependendo de qual deles for considerado como referência. Na 1a maneira, a comparação é feita em relação ao preço da mochila na Papelaria Jardim e, na 2a maneira, em relação ao preço na Loja das Bolsas. Informar aos alunos que o nome do estabelecimento que aparece no exemplo 3 é fictício. Depois de discutir esse exemplo, propor aos alunos que façam uma conferência do resultado. Para isso, eles podem calcular o valor do desconto de 5% em relação ao preço inicial da blusa (0,05 ? 86 = = 4,30) e, em seguida, subtraiam o resultado obtido desse preço inicial (86,00 – 4,30 = = 81,70), a fim de verificar o preço final de R$ 81,70.

2a maneira Considerando como referência o preço na Loja das Bolsas. Observe ao lado. Nesse caso, dizemos que o preço da mochila na Papelaria Jardim é 20% menor em relação ao preço na Loja das Bolsas.

diferença entre os preços

15 = 0,20 = 20% 75 preço na Loja das Bolsas

Exemplo 3 Em geral, comprar um produto à vista garante algumas vantagens ao consumidor em relação à compra a prazo. Essas vantagens podem ser: evitar o pagamento de juro, não se endividar e poder negociar um valor de desconto. Naomi optou por comprar à vista uma blusa em certa loja, o que lhe permitiu negociar um desconto com o vendedor. Observe o diálogo.

À vista tem 5% de desconto. Assim, o preço final será R$ 81,70.

Vou pagar à vista. Tem desconto?

DANILO SOUZA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para calcular o preço inicial p da blusa (antes do desconto), temos de considerar que o preço após o desconto corresponde a 95% de p, pois: porcentagem correspondente ao preço inicial

porcentagem correspondente ao desconto sobre o preço inicial

100% _ 5% = 95% porcentagem correspondente ao preço final em relação ao preço inicial

Assim, segue que: 0,95 ? p = 81,70 95%

0,95p 81,70 = 0,95 0,95 p = 86, ou seja, R$ 86,00. Portanto, o preço inicial da blusa antes do desconto de 5% era R$ 86,00. 172

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ou 10% para pagamento a prazo; ou ainda calcular 85% para pagamento à vista ou 90% para pagamento a prazo em relação ao preço total dos quatro pneus. Para complementar, solicitar que calculem quanto Moisés economizaria se pagasse à vista pelos quatro pneus, ao invés de comprar a prazo (1 004,40 _ 948,60 = = 55,80; R$ 55,80). 3. Esta atividade trabalha o cálculo da taxa porcentual de desconto em um contexto da educação financeira. Verificar se os alunos perceberam que o valor do desconto em reais, sobre o preço de etiqueta, na compra à vista do produto corresponde a R$ 27,48 (229,00 – 201,52 = 27,48). 4. Esta atividade trabalha o cálculo do porcentual de uma quantia e da taxa porcentual em um contexto da educação financeira. Nela, são trabalhadas comparações de dois preços de um mesmo produto utilizando porcentagem. Informar aos alunos que os nomes das lojas mencionadas são fictícios. 5. Esta atividade trabalha o cálculo do porcentual de uma quantia em um contexto da educação financeira. Destacar para os alunos que o dia 20 está incluso no período em que ocorre o desconto. Dizer também que, de acordo com as condições apresentadas no cartaz, o valor da mensalidade é mantido em R$ 250,00 para os pagamentos que forem realizados do dia 21 ao dia 25 do mês correspondente.

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

• Loja Encanto

1. Calcule: a) 12% de R$ 30,00. R$ 3,60. b) 48,5% de R$ 250,00. R$ 121,25.

R$ 49

c) 60% de R$ 490,00. R$ 294,00.

0,00

d) 27,8% de R$ 145,00. R$ 40,31. • Loja Pinheiro CHAMP008/SHUTTERSTOCK.COM

2. Uma loja, buscando incentivar a reciclagem de pneus usados, elaborou a promoção indicada no cartaz. Observe.

R$ 42 1,40

ILUSTRAÇ˜OES: ARTUR FUJITA

Moisés quer comprar quatro pneus nessa loja, como o tipo indicado a seguir.

Com base nessas informações, realize os cálculos necessários e, depois, copie e complete as frases a seguir. a) O monitor custa a mais na Loja Encanto do que na Loja Pinheiro, ou ainda, custa a menos na Loja Pinheiro do que na Loja Encanto. R$ 68,60; R$ 68,60. b) O preço do monitor na Loja Pinheiro é % menor em relação ao preço na Loja Encanto. 14 c) O preço do monitor na Loja Encanto é cerca de % maior em relação ao preço na Loja Pinheiro. 16,3 5. Veja o cartaz exposto na secretaria de um clube e responda às questões a seguir.

Entregando os quatro pneus usados na loja, quanto Moisés vai gastar nessa compra se realizar o pagamento à vista? E se realizar o pagamento a prazo? R$ 948,60. R$ 1 004,40. 3. Em uma loja, o preço de etiqueta de certo produto é R$ 229,00. Para o pagamento à vista, a loja oferece um desconto e o preço desse produto passa a ser R$ 201,52. Qual é o porcentual de desconto sobre o preço de etiqueta? 12%. 4. Observe o preço de um mesmo monitor de computador em duas lojas diferentes.

Mensalidade Valor: R$ 250,00. Vencimento: dia 25 de cada mês. • Pagamento até dia 20, desconto de 8%. • Pagamento após a data de vencimento, acréscimo de 5%. a) Marcela é sócia desse clube. Qual é o valor da mensalidade caso ela faça o pagamento no dia: • 16? R$ 230,00. • 24? R$ 250,00. • 20? R$ 230,00. • 28? R$ 262,50. b) Qual é a diferença no valor da mensalidade se o pagamento for feito até o dia 20 e depois da data de vencimento? R$ 32,50. 173

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo do porcentual de uma quantia, em reais. Para calcular as porcentagens indicadas nos itens b e d, os alunos podem representar as porcentagens por meio de uma fração

ou de um número decimal da seguinte maneira: 48,5 485 = = • 48,5% = 100 1000 = 0,485 27,8 278 = = • 27,8% = 100 1000 = 0,278 2. Esta atividade trabalha o cálculo do porcentual de uma quantia em um contexto de

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educação financeira. Verificar quais estratégias os alunos utilizaram para resolver esta atividade e conversar com eles a respeito delas. Uma estratégia é calcular a soma dos preços de quatro pneus e subtrair desse resultado o valor do desconto correspondente aos 15% para pagamento à vista

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Valor da Cesta Básica de Alimentos no mês de janeiro, em Vitória (ES), de 2015 a 2018

438,42

400,00 300,00

422,38 417,73

348,30

200,00 0,00 2016

2017

2018

Ano Fonte: DIEESE. Cesta Básica de Alimentos. Disponível em: <www.dieese.org.br/cesta>. Acesso em: 15 out. 2018.

Com base nessas informações, responda às questões a seguir. a) Em qual desses anos o valor da cesta básica no mês de janeiro foi maior? 2016. b) Qual é a diferença entre o valor da cesta básica no mês de janeiro dos anos 2015 e 2018? R$ 69,43.

7. Nos produtos e serviços que adquirimos, uma parte do valor pago corresponde a tributos que são cobrados pelo governo federal, estadual ou municipal. Copie o quadro a seguir, com os tributos cobrados sobre alguns produtos, e complete com as informações que estão faltando. 7. Bola de futebol: R$ 31,97; arroz: R$ 2,54; jogo de videogame: R$ 63,36; colchão: R$ 98,00; papel 174 higiênico: R$ 2,03; perfume: R$ 82,80.

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desconto que Paulo receberia, ao todo, se comprasse apenas a camisa xadrez e a bermuda? Resposta: Aproximadamente 20%.

17%

R$ 14,95

Jogo de videogame

R$ 24,64

72%

R$ 88,00

Colchão

R$ 252,00

28%

R$ 350,00

Papel higiênico

R$ 3,04

40%

R$ 5,07

Perfume

R$ 37,20

69%

R$ 120,00

8. Observe duas opções que certa loja está oferecendo aos clientes em uma liquidação. Opção I: Na compra de duas peças, desconto de 50% no preço da peça de menor valor. Opção II: Na compra de três peças, a de menor valor é grátis. a) Natália e Paulo foram a essa loja. Observe as peças de roupa que eles compraram e calcule quanto cada um gastou. Natália: R$ 149,85; Paulo: R$ 163,90. Natália

c) Qual foi o porcentual de aumento do valor da cesta básica no mês de janeiro de 2016 em relação a janeiro de 2015? Aproximadamente 25,87%. d) É possível afirmar que em janeiro de 2017 houve uma redução no valor da cesta básica entre 3% e 4% em relação a janeiro de 2016? Justifique.

• Determine o porcentual de

R$ 12,41

Fonte dos dados: A SOMBRA DO IMPOSTO. Veja o quanto você paga de imposto. Disponível em: <www. fiepr.org.br/sombradoimposto/veja-o-quanto-voce-paga-deimposto-1-14466-115735.shtml>. Acesso em: 15 out. 2018.

100,00 2015

Arroz

AMPLIANDO

R$ 59,90

R$ 119,9 0

Paulo DAYANE RAVEN

500,00 Valor (R$)

ATIVIDADES 6. Esta atividade trabalha o cálculo do porcentual de uma quantia e da taxa porcentual em um contexto da educação financeira. No item c, verificar se os alunos realizaram os cálculos considerando como referência o valor da Cesta Básica de Alimentos no mês de janeiro de 2015 e, no item d, seu valor como referência no mês de janeiro de 2016. Para complementar, sugerir aos alunos que pesquisem e comparem os valores da Cesta Básica de Alimentos em algumas capitais em um mesmo mês e ano. Nessa comparação, os alunos podem usar porcentual e valores em reais. 7. Esta atividade trabalha o cálculo do porcentual de uma quantia em reais e da taxa porcentual em um contexto da educação financeira. Dizer aos alunos que os preços dos produtos são fictícios e os porcentuais de tributos que incidem sobre seus preços podem variar de acordo com a região do país. 8. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno envolvendo o cálculo do porcentual de uma quantia ou da taxa porcentual em um contexto da educação financeira. Propor aos alunos que se reúnam em duplas para realizar esta atividade. No item a, solicitar que os alunos discutam em qual das compras realizadas o porcentual de desconto em relação ao total da compra foi maior. Para isso, eles podem calcular o porcentual aproximado de desconto recebido sobre o valor total de cada compra (17% e 23% nas compras realizadas por Natália e Paulo, respectivamente). A seguir, são apresentados exemplos de questões que podem ser elaboradas pelos alunos no item b. • Quanto Natália economizou na compra que realizou? Resposta: R$ 29,95.

6. d) Resposta esperada: Sim, pois essa redução foi de aproximadamente 3,66%. 6. O Departamento Intersindical de Estatística Depois, calcule quantos reais são pagos e Estudos Socioeconômicos (DIEESE) realiza em tributos em cada produto desses. uma pesquisa mensal do valor da Cesta Valor sem Tributo Valor com Básica de Alimentos em diversos municíProduto tributo (%) tributo pios do Brasil. Observe o gráfico. Bola de 46% R$ 69,50 R$ 37,53 futebol

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

R$ 98,00

R$ 49,90

R$ 65,90

b) Com base nessas informações, elabore duas questões e troque-as com um colega para que cada um resolva as elaboradas pelo outro. Resposta pessoal.

11/21/18 5:20 PM

Sugerir aos alunos que acessem este site para consultar o valor da Cesta Básica de Alimentos em alguns municípios. • DIEESE. Cesta Básica de Alimentos. Disponível em: <http://livro.pro/mg6d6t>. Acesso em: 25 set. 2018.

174

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D3-MAT-F

18 5:20 PM

variáveis econômicas que podem influenciar o resultado esperado. Geralmente os rendimentos são maiores nas aplicações de maior risco. […]

Acréscimos e descontos sucessivos

Capital: quantia investida.

BANCO CENTRAL DO BRASIL. FAQ – Aplicações financeiras. Disponível em: <www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/ port/aplica.asp>. Acesso em: 28 set. 2018.

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Quando uma pessoa poupa uma parte de seu salário, ela tem a oportunidade de realizar os chamados investimentos ou aplicações financeiras. O investimento mais conhecido é a poupança, mas existem muitos outros tipos. No estudo dos investimentos, costumam ser utilizados termos próprios, como veremos a seguir.

Juro: rendimento obtido Taxa de juro: porcentual no investimento. recebido de rendimento em certo período de tempo.

Explicar aos alunos que o 13o salário é um direito constitucional do trabalhador brasileiro. Ao final de cada ano, o trabalhador deve receber uma gratificação salarial correspon1 da remuneração dente a 12 por mês trabalhado no ano, ou seja, ele deve receber um salário extra ou um valor proporcional ao tempo trabalhado. Recomenda-se que essa quantia extra recebida seja utilizada para pagar as possíveis dívidas ou parte delas. Caso sobre algum dinheiro após pagar essas dívidas ou o trabalhador esteja com as contas em dia, é importante se programar para os gastos de fim de ano e do início do ano seguinte, período em que as famílias costumam ter despesas extras, como o pagamento de impostos, compra de material escolar etc. Ou, ainda, pode-se poupar ou realizar algum outro investimento com o 13o salário.

Tempo: período em que o capital fica investido.

A quantia correspondente à soma do capital e do juro recebido no investimento é chamada montante. Acesse este site para obter mais informações sobre o hábito de poupar. • BANCO CENTRAL DO BRASIL. O Hábito de Poupar. Disponível em: <http://livro.pro/a749zg>. Acesso em: 15 out. 2018.

Agora, observe o exemplo. A mãe de Caíque, no final do ano, reservou a quantia que recebeu de 13o salário da empresa em que trabalha para realizar uma aplicação financeira. Observe a conversa dela com o gerente do banco.

Quero aplicar R$ 1 500,00 por 2 anos.

DAN

ILO

SOU

Uma opção é este investimento com taxa de juro de 8% ao ano.

O investimento ao qual o gerente do banco se refere tem A quantos reais uma taxa de juro anual de 8%. Vamos calcular a seguir o juro corresponde o juro total obtido nesse investimento em 2 anos? e o montante que será obtido nesse investimento no tempo de R$ 249,60. 2 anos com o capital de R$ 1 500,00. • Calculamos o juro obtido no 1o ano: • Calculamos o juro obtido no 2o ano: 0,08 ? 1 620 = 129,60, ou seja, 0,08 ? 1 500 = 120, ou seja, R$ 120,00. 8%

• Calculamos o montante ao final do 1o ano: 1 500 + 120 = 1 620, ou seja, R$ 1 620,00.

R$ 129,60. • Calculamos o montante ao final do 2o ano: 1 620 + 129,60 = 1 749,60, ou seja, R$ 1 749,60. 175

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Acréscimos e descontos sucessivos Nesta página são trabalhados termos relacionados às aplicações financeiras e aos cálculos de porcentuais sucessivos, o que possibilita o desenvolvimento da habilidade EF09MA05 da BNCC.

Existem diversos tipos de aplicações financeiras, algumas das quais estão citadas no trecho a seguir. […] As aplicações mais comuns no mercado financeiro são a Poupança, o Certificado de Depósito Bancário

11/21/18 5:20 PM

(CDB), o Recibo de Depósito Bancário (RDB) e os Fundos de Investimento. […] Toda aplicação financeira está sujeita a riscos. Para reduzi-los, deve-se procurar informações sobre o tipo de aplicação, sobre a instituição financeira e sobre as

PARA PENSAR Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos para resolver o questionamento proposto. Algumas delas podem ser apresentadas na lousa. Uma estratégia é adicionar o juro obtido após cada ano de investimento (120,00 + 129,60 = 249,60; R$ 249,60). Outra estratégia é calcular a diferença entre o montante obtido no final do 2o ano de investimento e o capital investido (1 749,60 _ 1 500,00 = = 249,60; R$ 249,60).

175

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

PARA PENSAR Os alunos podem considerar a situação apresentada como exemplo e calcular qual preço Marcelinho pagaria pela bola de R$ 80,00 caso recebesse um desconto único de 30%. Neste caso, o valor a pagar seria de R$ 56,00 (80 _ 0,30 ? ? 80 = 80 _ 24 = 56), que é diferente do valor R$ 57,60 que ele pagou pela bola. Outra sugestão é generalizar essa comparação para um preço p arbitrário do produto comprado. Observe. • Valor final do produto cujo preço inicial é p reais, com um único desconto de 30%. p _ 0,3p = 0,7p Assim, o preço final do produto corresponde a 70% do preço inicial. • Valor final do produto cujo preço inicial é p reais, com dois descontos sucessivos de 20% e 10%. (p _ 0,2p) _ 0,1(p _ 0,2p) = = 0,8p _ 0,1 ? 0,8p = 0,72p Assim, o preço final do produto corresponde a 72% do preço inicial.

Agora, leia a tirinha com atenção.

©MAURICIO DE SOUSA EDITORA LTDA.

Para auxiliar na interpretação da tirinha, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Marcelinho aparentava estar feliz, triste ou nervoso? Por qual motivo? Resposta esperada: Nervoso, pois o seu time não ganhou o jogo. • Que esporte você acredita que eles estavam praticando? O que você identificou para indicar esse esporte? Resposta esperada: Futebol, pois as crianças estão com uniformes típicos desse esporte (camisa, calção, meias e chuteiras) e, no último quadrinho, aparece uma bola de futebol. Explicar aos alunos que, em relação à compra da bola por Marcelinho, o desconto de 10% é calculado sobre o preço da bola com o desconto da promoção já calculado. Assim, eles devem calcular quanto é o desconto de 10% sobre R$ 64,00, e não sobre R$ 80,00.

SOUSA, M. de. Turma da Mônica. Disponível em: <http://turmadamonica.uol.com.br/tirinhasdomarcelinho/index.php?a=19>. Acesso em: 15 out. 2018.

Marcelinho costuma ser um consumidor consciente: pesquisa preços e economiza dinheiro para comprar à vista. A bola que ele comprou para o time, por exemplo, custava R$ 80,00 e teve um desconto de 20% por estar em promoção na loja. Por pagar à vista, Marcelinho conseguiu mais 10% de desconto sobre o preço da bola na promoção. Quantos reais Marcelinho pagou nessa bola? Para responder a essa questão, podemos realizar as seguintes etapas. 1a) Calculamos o preço da bola após o desconto de 20% da promoção. • 0,20 ? 80 = 16, ou seja, R$ 16,00.

valor do desconto

20%

• 80 _ 16 = 64, ou seja, R$ 64,00.

preço da bola após o desconto da promoção

2a) Em seguida, calculamos o preço da bola após o desconto de 10% pelo pagamento à vista. • 0,10 ? 64 = 6,40, ou seja, R$ 6,40.

valor do desconto

10%

• 64 _ 6,40 = 57,60, ou seja, R$ 57,60.

preço da bola após o desconto pelo pagamento à vista

Assim, Marcelinho pagou R$ 57,60 pela bola. Podemos dizer que um desconto único de 30% sobre certo valor é equivalente a um desconto de 20% sobre esse certo valor, seguido de um desconto de 10% sobre o valor obtido após o primeiro? Justifique. Resposta esperada: Não, pois considerando a situação apresentada, por exemplo, um único desconto de 30% resultaria no preço de R$ 56,00 para a bola, valor diferente do obtido nos descontos sucessivos de 20% e 10%.

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. No ano de 2019, a passagem de ônibus metropolitano de certo município, que custava R$ 4,40, teve dois aumentos: o primeiro de 5% e o segundo de 4%. a) Quantos reais de aumento essa passagem teve em 2019? R$ 0,40. b) Após esses aumentos, de quantos reais passou a ser o preço dessa passagem? R$ 4,80.

2. Davi realizou um investimento de R$ 14 000,00 a uma taxa de juro anual de 6% no tempo de três anos. R$ 14 000,00. a) Qual é o valor do capital investido por Davi? b) Quantos reais de juro são obtidos ao final do 1o ano nesse investimento? E ao final dos três anos? R$ 840,00. R$ 2 674,22. c) Qual é o montante obtido após esses três anos? R$ 16 674,22.

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Portanto, o preço final do produto é diferente em cada caso.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentuais sucessivos. Os alunos devem arredondar os resultados obtidos

ao centésimo mais próximo por se tratar de valores em reais. Esse tipo de arredondamento deve ser considerado em todas as atividades que seja necessário. 2. Esta atividade trabalha o cálculo de aplicações com

porcentuais sucessivos. Caso os alunos tenham dificuldade na resolução, sugerir que retomem as etapas apresentadas na página anterior, em que são calculados o juro e o montante do investimento sugerido para a mãe de Caíque. Os alunos podem utilizar a calculadora.

11/21/18 5:20 PM

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Caso Elza opte pelo pagamento por boleto bancário, quantos reais ela: a) vai gastar? R$ 155,08. b) vai receber de desconto no total? R$ 30,42. 4. O preço de uma mercadoria teve um acréscimo de 10% e, algum tempo depois, outro acréscimo de 15%. Nesse caso, esses dois acréscimos correspondem a um único acréscimo de: c. a) 25%. d) 50%. b) 56,2%. e) 18,6%. c) 26,5%. 5. Para resolver esta atividade, junte-se a um colega. Gabriel consultou o gerente de seu banco para realizar uma aplicação de R$ 2 000,00 pelo período de três anos. Observe as duas opções que o gerente apresentou. • Opção 1: taxa de juro anual de 10%. • Opção 2: taxa de juro de 32% para todo o período. Realizem os cálculos necessários e indiquem qual dessas opções apresenta o melhor

10,67

10 8

6,41

6,29

6 4

2,95

2 0

2014

2015

Ano

2016

EDITORIA DE ARTE

Note que o frete nessa compra é grátis e considere que o desconto de 5% para pagamento por boleto bancário é calculado sobre o preço do tênis com o desconto do cupom já aplicado.

preço dessa mercadoria após o acréscimo de 10% e, em seguida, após o outro acréscimo de 15%. 100 + 0,10 ? 100 = 110

Índice de Preços ao Consumidor Amplo anual no Brasil (2014-2017)

IPCA (%)

ARTUR FUJITA

6. b) 2014. Resposta esperada: Indica que os preços de bens, produtos e serviços no Brasil, em geral, aumentaram mais no ano de 2014 do que em 2016. 5. A opção 1, pois nela o rendimento é de R$ 662,00, enquanto na opção 2 o rendimento é de R$ 640,00. rendimento para a aplicação que Gabriel 3. Elza costuma realizar compras em lojas quer fazer. Não esqueçam de justificar. virtuais, pois desta maneira ela consegue fazer pesquisa de preço sem sair de casa. 6. A inflação é o aumento sucessivo de Para comprar um par de tênis em uma preços de bens, produtos e serviços em loja virtual, Elza recebeu um cupom de uma região durante um período. Existem desconto de 12% a ser calculado sobre o diferentes índices para indicar a inflação, preço indicado a seguir. sendo o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) um dos mais utilizados. Observe o gráfico.

2017

Fonte: IBGE. Sistema Nacional de Índices de Preços ao Consumidor. Disponível em: <ww2.ibge. gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/inpc_ipca/ defaultseriesHist.shtm>. Acesso em: 15 out. 2018.

a) Nesse período, em qual ano a inflação foi menor? 2017. b) Em qual ano a inflação foi maior: 2014 ou 2016? O que isso indica? c) Rafaela e Jorge trabalham em uma empresa e nos anos de 2016 e 2017 tiveram dois reajustes salariais referentes à inflação do ano correspondente, medido pelo IPCA. Sabendo que antes desses reajustes o salário de Rafaela era R$ 4 030,00 e de Jorge, R$ 2 318,00, determine com uma calculadora o salário de cada um deles após esses reajustes. Rafaela: R$ 4 409,85; Jorge: R$ 2 536,48. 7. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo acréscimos ou descontos sucessivos em um contexto da educação financeira. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 177

3. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentuais sucessivos em um contexto de educação financeira. Perguntar aos alunos se os adultos responsáveis por eles já realizaram uma compra on-line. Conversar sobre as vantagens e os cuidados que se deve ter ao realizar uma compra desse tipo. Algumas

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das vantagens são a comodidade e a possibilidade de comparar preços de maneira mais ágil e organizada. No entanto, para evitar possíveis transtornos, é importante verificar se a loja virtual é confiável, se o produto é de qualidade e tem garantia, o custo do frete, o prazo de entrega, entre outros.

5:20 PMa 4. Esta atividade11/21/18 trabalha determinação de taxa porcentual em uma situação envolvendo cálculo de porcentuais sucessivos. Para a resolução, os alunos podem utilizar as seguintes estratégias: • Atribuir um valor qualquer para a mercadoria, por exemplo, R$ 100,00. Calcular o

110 + 0,15 ? 110 = = 126,50 Logo, o aumento no preço após os acréscimos é de R$ 26,50 (126,50 _ 100,00 = = 26,50), o que corresponde à 26,50% do preço inicial da mercadoria. • Calcular o preço da mercadoria de preço inicial p após o acréscimo de 10%. Em seguida, calcular o preço após outro acréscimo de 15%. (p + 0,10 ? p) + 0,15 ? (p + + 0,10 ? p) = = p + 0,1p + 0,15p + + 0,015p = 1,265p Logo, o aumento no preço da mercadoria foi de 26,5% (1,265 – 1 = 0,265 = 26,5%). 5. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentuais sucessivos em um contexto de educação financeira. Para auxiliar os alunos na resolução, propor os seguintes questionamentos. • Se Gabriel escolher a opção 1, qual será o rendimento de sua aplicação no 1o ano? E no 2o ano? E no 3o ano? Respostas: R$ 200,00. R$ 220,00. R$ 242,00. • Se Gabriel escolher a opção 2, qual será o rendimento de sua aplicação após três anos? Resposta: R$ 640,00. 6. Esta atividade trabalha o cálculo de porcentuais sucessivos em um contexto de educação financeira. No item c, orientar os alunos como esses cálculos podem ser realizados em uma calculadora comum. 7. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno envolvendo cálculo de porcentuais sucessivos em um contexto de educação financeira. Alguns dos problemas elaborados podem ser reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16. Nestas páginas, assim como na página 180, serão demonstradas as relações métricas no triângulo retângulo. Para realizar essas demonstrações, é traçada a altura do triângulo em relação à hipotenusa. Lembrar aos alunos que a altura de um triângulo corresponde à medida de um segmento de reta perpendicular a um de seus lados ou ao prolongamento dele, com uma extremidade nesse lado ou nesse prolongamento e outra extremidade no vértice oposto a ele. Assim, a altura relativa à hipotenusa corresponde ao segmento de reta perpendicular ao maior lado do triângulo ou ao prolongamento dele. Podemos dizer, também, que, em um triângulo, cada um de seus lados corresponde à projeção ortogonal dos outros dois lados. Assim, podemos dizer que a hipotenusa corresponde à projeção ortogonal de seus catetos. Se julgar necessário, retomar com os alunos o conteúdo de projeção ortogonal trabalhado na Unidade 2 deste Volume. PARA PENSAR Para responder ao questionamento proposto, lembrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º. Assim, no triângulo retângulo, como a medida de um de seus ângulos internos é 90°, a soma das medidas dos seus dois outros ângulos internos (AÅBC e AÅCB) deve ser igual a 90° (180° _ 90° = 90°).

Relações métricas no triângulo retângulo Você se lembra do que é um triângulo retângulo? Estudamos, em anos anteriores, que um triângulo é classificado dessa maneira quando possui um ângulo interno reto, ou seja, medindo 90o. Agora, ampliaremos esse estudo discutindo relações em um triângulo retângulo. Para isso, inicialmente, observe como podem ser nomeados os lados de um triângulo retângulo. A

ângulo reto

Cateto: um dos lados que formam o ângulo reto.

Nesse triângulo, qual é a soma das medidas de AB̂C e AĈB? 90°.

B C Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto. Esse é o maior lado do triângulo retângulo.

Agora, vamos traçar o segmento de reta AD correspondente à altura desse triângulo relativa à hipotenusa. medida da altura relativa à hipotenusa medida do cateto AC

A medida do cateto AB medida da projeção de AB sobre a hipotenusa B

h n

medida da projeção de AC sobre a hipotenusa

medida da hipotenusa

Assim, podemos considerar três triângulos retângulos obtidos: ABC, DBA e DAC. Observe. A

Triângulo ABC

Triângulo DBA

D Triângulo DAC

Vamos verificar que esses triângulos são semelhantes dois a dois. Observe. • Triângulos ABC e DBA. A

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Note que esses triângulos possuem dois pares de ângulos internos correspondentes congruentes: ângulos BAC e BDA e ângulos ABC e DBA. Portanto, pelo caso AA, temos que os triângulos ABC e DBA são semelhantes. 178

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11/22/18 10:16 AM

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8 10:16 AM

Após relembrar com os alunos os casos de semelhança de triângulos, verificar se algum aluno ainda tem dúvidas e, se julgar necessário, retomar os exemplos estudados na Unidade 5 deste Volume. Para verificar que os triângulos indicados dois a dois são semelhantes entre si, reproduzir esses triângulos na lousa de maneira que os lados e ângulos internos correspondentes fiquem na mesma posição, a fim auxiliar os alunos na sua identificação. Por exemplo, para o par de triângulos ABC e DBA, apresentar as seguintes figuras:

• Triângulos ABC e DAC. A

Note que esses triângulos possuem dois pares de ângulos internos correspondentes congruentes: ângulos BAC e ADC e ângulos ACB e DCA. Portanto, pelo caso AA, temos que os triângulos ABC e DAC são semelhantes. • Triângulos DBA e DAC. A

C B

Como já concluímos que cada um desses dois triângulos é semelhante ao triângulo ABC, podemos afirmar que os triângulos DBA e DAC são semelhantes entre si. Em um triângulo retângulo ABC, quando traçamos a altura relativa à hipotenusa, obtemos dois triângulos semelhantes ao triângulo ABC e semelhantes entre si. Agora, considere o triângulo retângulo ABC a seguir cuja altura AD relativa à hipotenusa está traçada.

A A

h n

D a

Com base nas semelhanças de triângulos observadas anteriormente, podemos escrever proporções envolvendo as medidas dos lados dos triângulos obtidos. Observe.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Se possível, ao reproduzir cada par de triângulos na lousa, destacar os ângulos de mesma medida com cores iguais, para facilitar a visualização.

• Triângulos ABC e DBA. A

EDITORIA DE ARTE

a b = H ah = bc c h a c = H c2 = an c n b c = H ch = bn h n 179

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179

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• Triângulos ABC e DAC.

Verificar se os alunos compreenderam como foram obtidas todas as proporções envolvendo as medidas dos lados dos triângulos retângulos ABC, DBA e DAC, semelhantes entre si e analisados dois a dois. Destacar que, ao final, foram organizadas todas as relações obtidas a partir das semelhanças entre os triângulos retângulos e adicionada a relação a = m + n, que indica que a medida da hipotenusa do triângulo ABC é igual à soma das projeções dos catetos desse triângulo sobre essa hipotenusa. E ainda que as relações repetidas foram consideradas apenas uma vez. Reforçar com os alunos que essas demonstrações garantem, exclusivamente, que essas relações são válidas para triângulos retângulos.

a c = H ah = bc b h a b = H b2 = am b m c b = H cm = bh h m

• Triângulos DBA e DAC. A

c h = H bh = cm b m h n = H h2 = mn m h c n = H ch = bn b h

Observando os triângulos e organizando as relações indicadas, temos: a=m+n ah = bc

c² = an c

ch = bn

b² = am

bh = cm

h² = mn

Exemplo Utilizando essas relações, vamos determinar os valores de m, b, c e h na figura a seguir.

4 dm

m D

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

12 dm

• a=m+n 12 = 4 + m 12 _ 4 = 4 + m _ 4 m = 8, ou seja, 8 dm . 180

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180

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D3-MAT-F

18 5:20 PM

No exemplo apresentado, identificar com os alunos as medidas indicadas no triângulo, a fim de auxiliar na determinação da relação que pode ser utilizada para obter uma outra medida desconhecida. Para complementar o trabalho com esse exemplo, questionar os alunos sobre outras estratégias ou relações que poderiam ter sido utilizadas para determinar as medidas desconhecidas. Por exemplo, após calcular m, b e c, poderia ter sido utilizada a relação ah = bc para determinar o valor de h.

• b² = am b² = 12 ? 8 b = 96 1 9,8, ou seja, 9,8 dm . ou b = _ 96 1 _9,8 (desconsideramos)

b2 = 96 • c² = an c² = 12 ? 4

c = 48 1 6,9, ou seja, 6,9 dm . ou c = _ 48 1 _6,9 (desconsideramos)

c = 48 2

• h² = mn h² = 8 ? 4 h = 32 . 5,7, ou seja, 5,7 dm . ou h = _ 32 . _5,7 (desconsideramos)

h2 = 32

ATIVIDADES 1. Essa atividade trabalha a identificação dos catetos e da hipotenusa em um triângulo retângulo. Para resolver a atividade, os alunos podem identificar, inicialmente, a hipotenusa observando o lado oposto ao ângulo reto ou realizando medições para determinar o lado de maior comprimento. Ou, ainda, eles podem identificar os catetos observando quais são os lados dos triângulos que formam um ângulo interno reto. 2. Essa atividade trabalha a identificação de elementos de um triângulo retângulo e a construção dos triângulos com régua e compasso.

Nos cálculos para determinar as medidas b, c e h foram desconsideradas as raízes negativas das equações, uma vez que b, c e h correspondem a medidas de comprimento de segmentos de reta.

AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Para cada triângulo retângulo representado a seguir, indique os catetos e a hipotenusa. a)

Catetos: AB e BC; hipotenusa: AC.

c) G

Catetos: GH e HI; hipotenusa: GI. I

L J K

D E

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Catetos: JL e KL; hipotenusa: JK.

Catetos: DF e EF; hipotenusa: DE. 2. No caderno, utilize régua e compasso e desenhe um triângulo retângulo qualquer. Depois, indique os lados correspondentes aos catetos e à hipotenusa desse triângulo. Resposta pessoal. 181

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3. Em cada triângulo retângulo a seguir, calcule o valor da medida x. a)

182

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varetas de bambu

18 cm

C 4,5 cm. A

8 cm

4 cm

6 cm 10 cm

6. b) Resposta esperada: Não, pois a área da superfície da pipa é de aproximadamente 374,12 cm². a) Qual é o comprimento aproximado de cada vareta de bambu utilizada para fazer essa pipa? 18,8 cm e 39,8 cm.

B A

3 cm

x Aproximadamente 4,2 cm. B

Aproximadamente 6,7 cm.

A 4 cm

3 cm

b) Podemos afirmar que é possível encapar essa pipa com um pedaço de papel de 300 cm²? Justifique.

4. Em um triângulo retângulo ABC as projeções dos catetos AB e BC sobre a hipotenusa medem 7,2 cm e 12,8 cm, respectivamente. Qual é a medida de cada lado desse triângulo? 20 cm, 16 cm e 12 cm.

7. Calcule o perímetro e a área do triângulo retângulo a seguir. Perímetro: 12 m; área: 6 m². B

5. Junte-se a um colega e resolvam a atividade a seguir. No triângulo retângulo ABC representado a seguir, determinem a medida da hipotenusa e da altura relativa a ela. B Hipotenusa: 4 2 cm; altura: 2 2 cm. 4 cm

5. Essa atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo as relações métricas no triângulo retângulo. É importante que os alunos percebam que, no boxe Dica, é apresentada a informação de que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são congruentes, ou seja, m = n. 6. Essa atividade trabalha a resolução de uma situação contextualizada envolvendo as relações métricas no triângulo retângulo. Relembrar a fórmula para o cálculo da área do D?d , em que D losango A = 2 é a medida da diagonal maior

12 cm 13 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

7,2 cm

12,8 cm

Aproximadamente 4,6 cm.

C 5 cm

6. Para fazer uma pipa em formato de losango, Fábio amarra duas varetas de bambu de tamanhos diferentes, passa um fio por suas extremidades e encapa com papel de seda. Observe.

C 1,8 m

3,2 m

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 3. Essa atividade trabalha a resolução de situações envolvendo as relações métricas no triângulo retângulo. Em cada um dos itens, os alunos podem determinar o valor de x de diferentes maneiras. Verificar quais estratégias e quais das relações os alunos utilizaram para a resolução. No item a, podem ser utilizadas as seguintes relações: • ah = bc • c2 = an e ch = bn • b2 = am e bh = cm • c2 = an, b2 = am e h2 = mn Dizer aos alunos que pode ocorrer de não ser necessário utilizar todas as medidas indicadas na figura. No item b, por exemplo, a medida x pode ser obtida sem utilizar a medida BC, por meio da relação h2 = mn. 4. Essa atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo as relações métricas no triângulo retângulo. Antes de os alunos resolverem a atividade, orientá-los a desenhar, no caderno, um esboço do triângulo ABC, indicando as medidas dadas. Se julgar necessário, representar esse triângulo na lousa, conforme representado a seguir.

4 cm

8. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo relações métricas no triângulo retângulo. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

Como o triângulo ABC é isósceles, D é o ponto médio de AC. 182

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e d é a medida da diagonal menor e também da área do b?h triângulo A = , em que 2 b é a medida da base e h é

a medida da altura relativa a essa base. 7. Essa atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo as relações métricas no tri-

ângulo retângulo. Para complementar, propor aos alunos que calculem o perímetro e a área do triângulo a seguir, que pode ser reproduzido na lousa. A

4,8 cm B

6 cm

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resposta: Perímetro: 18 cm; área: 13,5 cm2. 8. Essa atividade trabalha a resolução de um problema envolvendo as relações métricas no triângulo retângulo. Ao final, uma sugestão é reproduzir na lousa alguns desses problemas e discutir com a turma.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Teorema de Pitágoras Estudaremos agora uma outra importante relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Essa relação consiste em um dos teoremas mais conhecidos na Matemática: o Teorema de Pitágoras. Em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

A c B

O nome dado a esse teorema é uma homenagem ao matemático grego Pitágoras (c. 586 a.C.-c. 500 a.C.), considerado o primeiro a verificar essa propriedade, ou seja, sua validade para qualquer triângulo retângulo. No entanto, há registros de que essa propriedade entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo já era conhecida por povos mais antigos, como os babilônios mil anos antes do tempo de Pitágoras. Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 103-104.

Podemos verificar o Teorema de Pitágoras a partir das relações no triângulo retângulo que estudamos anteriormente. Para isso, considere o triângulo retângulo ABC representado a seguir, cuja altura AD relativa à hipotenusa está traçada.

DE AGOSTINI /G. DAGLI ORTI/GETTY IMAGES

a² = b² + c²

Acredita-se que Pitágoras tenha nascido e vivido a maior parte de sua vida na ilha de Samos, na Grécia.

h n

m D

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Das relações, temos que: b² = am e c² = an. Adicionando essas igualdades membro a membro e colocando a em evidência no 2o membro, segue que: b² + c² = am + an b² + c² = a(m + n) Como a = m + n, temos: b² + c² = a ? a b² + c² = a² Portanto, a² = b² + c².

Consulte este livro, que apresenta informações sobre Pitágoras. • STRATHERN, P. Pitágoras e seu teorema em 90 minutos. Rio de Janeiro: Zahar, 1998.

[…] O teorema de Pitágoras é considerado, por vários estudiosos, um dos teoremas mais importantes e atraentes da história antiga da Matemática. Vários resultados em geometria e na solução de problemas práticos relacionados a medidas foram descobertos por meio dele [...]. […] Encontramos a utilização do teorema de Pitágoras nos registros matemáticos das civilizações egípcia, indiana, chinesa. As versões originais das obras indianas e chinesas nas quais o teorema aparece provavelmente datam do tempo de Pitágoras ou lhe são anteriores. [...] GASPAR, M. T. J. O teorema de Pitágoras na Antiguidade: um olhar sobre a História da Matemática Indiana. Revista do Professor de Matemática. Disponível em: <http:// rpm.org.br/cdrpm/87/2.html>. Acesso em: 29 set. 2018.

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Teorema de Pitágoras Promover uma roda de conversa com os alunos a respeito de Pitágoras e o teorema que recebe seu nome. Pouco se sabe com certeza sobre Pitágoras devido à perda de documentos da época, bem como de várias biografias e relatos que o mencionavam. Ao que parece, Pitágoras realizou diversas viagens e fundou a escola pitagórica, uma sociedade comunitária e secreta que se dedicava, entre outras coisas, ao estudo de matemática e filosofia. Para complementar, ler o texto a seguir.

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Caso julgar necessário, retomar com os alunos as relações métricas no triângulo retângulo estudadas anteriormente para auxiliar na verificação do teorema de Pitágoras utilizando algumas delas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Agora, vamos realizar uma verificação geométrica desse teorema. Para isso, considere as figuras I e II a seguir, que correspondem a quadrados congruentes de lado medindo b + c, decompostas de maneiras diferentes. Observe. • Figura I

• Figura II

Essa figura está decomposta em quatro triângulos retângulos congruentes, de catetos medindo b e c e hipotenusa medindo a, e dois quadrados, um de lado b e um de lado c. c

c c

a b

Essa figura está decomposta em quatro triângulos retângulos congruentes, de catetos medindo b e c e hipotenusa medindo a, e um quadrado de lado a.

a b

Assim, subtraindo de cada figura as áreas dos quatro triângulos retângulos, temos que a soma das áreas dos quadrados de lado b e c restantes na figura I é igual à área do quadrado de lado a, restante na figura II. b2

Veja no material audiovisual o vídeo sobre o teorema de Pitágoras.

Portanto, a² = b² + c². Exemplo Observe como podemos determinar a medida da hipotenusa do triângulo retângulo representado a seguir utilizando o Teorema de Pitágoras. a² = b² + c² a² = 5² + 12² a² = 25 + 144

5 cm

12 cm

a = 169 2

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Ao trabalhar com a verificação geométrica do teorema de Pitágoras, comentar que as áreas das figuras I e II, inicialmente, são iguais, pois correspondiam a quadrados congruentes. Assim, após serem subtraídas de cada uma delas quatro figuras de triângulos congruentes entre si e, portanto, de mesma área, temos que as áreas restantes na figura I e na figura II são iguais também. Propor aos alunos que realizem uma verificação geométrica do teorema de Pitágoras. Para isso, reproduzir e entregar aos alunos a malha quadriculada, disponível no Material de apoio, e pedir a eles que reproduzam nela as figuras I e II, apresentadas nesta página. Orientá-los a representar os dois quadrados congruentes iniciais, de maneira que sejam formados por figuras de quadradinhos inteiros da malha quadriculada e, em seguida, realizar as seguintes etapas. 1a) Decompor cada figura em triângulos retângulos e quadrados, conforme as figuras apresentadas, de maneira que os catetos dos triângulos correspondam a uma quantidade inteira de lados de figuras de quadradinhos da malha. 2a) Colorir com a mesma cor os triângulos e quadrados que forem congruentes entre si. 3a) Calcular a área total da figura I e da figura II, e subtrair de cada uma a área dos triângulos, considerando cada lado da figura de quadradinho da malha com medida igual a 1 unidade de comprimento. 4a) Verificar se as áreas obtidas na etapa anterior, referentes às regiões restantes das figuras I e II, são iguais. Garantir que todos os alunos consigam realizar essas etapas, procurando auxiliá-los naquilo que tiverem dificuldade ou dúvida. Para complementar o exemplo apresentado, propor aos alunos que calculem a medida x correspondente a um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 25 cm e o outro cateto, 24 cm. Espera-se que eles utilizem o teorema de

a = 169 = 13 ou a = _ 169 = _13 (desconsideramos)

Portanto, a hipotenusa desse triângulo retângulo mede 13 cm. 184

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Pitágoras para determinar essa medida (7 cm). 252 = 242 + x2 x2 = 625 – 576

x2 = 49

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre o teorema de Pitágoras. Nesse vídeo aborda-se uma demonstração do teorema de Pitágoras e se comenta que, embora haja indícios de que essa propriedade matemática 49 x= =7 fosse conhecida por povos mais antigos, ela leva ou o nome do matemático grego por acreditar-se que x = _ 49 = _7 (desconsideramos) ele tenha sido o primeiro a demonstrá-la.

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em cada triângulo retângulo a seguir, determine a medida x. a) 15 cm.

c) x

9 cm

20 mm

12 cm

b) 8 dm.

10 mm

17 dm

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

2. Sem realizar medições de ângulos, determine em quais dos itens a seguir a figura representa um triângulo retângulo. a e c. c) a) 6 cm

8 cm

10 cm

3 cm

4 cm

12 cm

b) 9 cm

4. Calcule as medidas das diagonais de cada figura a seguir. 3 2 cm ou a) aproximadamente 4,24 cm.

3 cm

300 mm ou aproximadamente 17,3 mm.

15 dm x

3. Sendo d a medida da diagonal do quadrado, temos: d2 = a2 + a2 H d2 = 2a2 H d = 2 a2 H d = a 2.

7 cm

Para resolver essa atividade, considere verdadeira a recíproca do Teorema de Pitágoras, ou seja, se em um triângulo de lados medindo a, b e c é satisfeita a igualdade a² = b² + c², então esse é um triângulo retângulo.

2 5 cm ou aproximadamente 4,47 cm.

3 cm

2 cm 4 cm

5. Você já ouviu falar sobre o papiro matemático Cairo? Esse documento egípcio data de aproximadamente 300 a.C. e contém 40 problemas matemáticos, sendo que 9 tratam exclusivamente do que atualmente denominamos Teorema de Pitágoras. Leia o problema a seguir, que corresponde a uma tradução de um dos problemas encontrados nesse papiro. [...] uma escada de 10 cúbitos está com seus pés a 6 cúbitos da parede. Que distância a escada alcança? [...] EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 87.

3. Observe a seguinte afirmativa. Um quadrado cujo lado mede a tem a medida de sua diagonal igual a a 2. No caderno, desenhe um quadrado cuja medida do lado seja representada por a e trace sua diagonal. Depois, utilize o Teorema de Pitágoras e mostre a validade da afirmativa anterior.

a) Sabendo que “cúbitos” era uma unidade de medida de comprimento utilizada pelos egípcios, represente esse problema no caderno por meio de um desenho e resolva-o. 8 cúbitos. b) De maneira análoga à apresentada nesse papiro, elabore um problema envolvendo o Teorema de Pitágoras. Depois, troque com um colega para que ele resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. 185

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a resolução de situações envolvendo o teorema de Pitágoras. Pode ocorrer da medida de algum lado de um triângulo não ser expressa por um número racional. No item c, por exemplo,

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a medida x é igual a 300 mm ou aproximadamente 17,3 mm. A medida aproximada pode ser obtida com uma calculadora. 2. Esta atividade trabalha a identificação de triângulo retângulo a partir do teorema de Pitágoras. Após a resolução, propor aos alunos que, com o auxílio de um transferidor, meçam os

ângulos internos dos triângulos para verificarem suas respostas. No boxe Dica, afirmamos que a recíproca do teorema de Pitágoras é verdadeira. Essa afirmação pode ser demonstrada, porém optamos por apenas enunciá-la nesta coleção. 3. Esta atividade trabalha o cálculo da medida da diagonal

de um quadrado a partir do teorema de Pitágoras. A medida obtida, na situação apresentada, não é expressa por um número racional, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EF09MA01 da BNCC. Se julgar conveniente, retomar com os alunos a situação apresentada na Unidade 1 deste Volume, na qual é mencionado que os pitagóricos indicaram que a diagonal de um quadrado de lado 1 mede 2 (em notação atual). 4. Esta atividade trabalha o cálculo da medida da diagonal de quadrados e de retângulo a partir do teorema de Pitágoras. Verificar que estratégias os alunos utilizaram na resolução desta atividade. Para resolver o item a, eles podem utilizar os resultados obtidos na atividade anterior. Já no item b, é importante que fiquem atentos, uma vez que a figura não corresponde a um quadrado, o que não possibilita aplicar tal resultado. 5. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema pelo aluno envolvendo o teorema de Pitágoras. No item a, verificar se os alunos perceberam que devem determinar a altura (h) que a escada atinge ao ser apoiada na parede:

10 cúbitos

6 cúbitos

EDITORIA DE ARTE

AtividadeS

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Resoluções a partir da p. 257

Para complementar, propor aos alunos as questões a seguir, que são a tradução de outros dois problemas do papiro matemático Cairo. [...] Um retângulo de área 60 cúbitos quadrados tem diagonal de 13 cúbitos. Determine os lados do retângulo. [...] Um retângulo de área 60 cúbitos quadrados tem diagonal de 15 cúbitos. Determine os lados do retângulo. […] EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 87.

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6. Na figura a seguir, T representa um triângulo retângulo e A, B e C representam quadrados, sendo que a área de A é 169 cm² e de B, 25 cm². Qual é a área do quadrado C? 144 cm².

ENEM 2014

ATIVIDADES 6. Esta atividade trabalha a resolução de situações envolvendo o teorema de Pitágoras. Questioná-los sobre a estratégia que pode ser utilizada para resolver esta atividade. Uma delas é utilizar o teorema de Pitágoras após determinar a medida dos lados do quadrado A e do quadrado B, que corresponderão às medidas dos lados do triângulo T. 7. Esta atividade trabalha a resolução de situações envolvendo o teorema de Pitágoras. Propor aos alunos que, sem realizar cálculos, identifiquem qual dos itens é possível desconsiderar como resposta. É importante que eles compartilhem com os colegas suas estratégias. Uma delas é fazer estimativas e eliminar os itens a e e como resposta, visto que: • como a base da escada deverá ser afastada, a distância da base da escada à base do muro não será menor ou igual a 1,5 m; • como a escada tem 3 m de comprimento, a distância entre a base da escada e a base do muro não pode ser maior do que 3 m. 8. Esta atividade trabalha a resolução de situações envolvendo o teorema de Pitágoras. Verificar se os alunos consideraram a escala 1 : 500 ao resolver esta atividade, seja antes ou após calcular o perímetro da figura e converter a medida obtida para metro. 9. Esta atividade trabalha a resolução de situações envolvendo o teorema de Pitágoras. Caso julgar conveniente, propor uma discussão relacionada à rigidez do triângulo, conteúdo apresentado na Unidade 3 do Volume 6 desta coleção. 10. Esta atividade trabalha a elaboração e a resolução de situações envolvendo o teorema de Pitágoras. Verificar se os alunos percebem que a estrutura representada é composta de figuras de triângulos retângulos. A seguir, são apresen-

A B

De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em metros, é: a) 110 c) 124 e) 144 b) 120 d) 130 Alternativa c.

7. Heloísa apoiou uma escada com 3 m de comprimento em um muro, conforme indicado na imagem a seguir.

9. Alberto é marceneiro e está confeccionando uma porteira. Inicialmente, ele montou uma estrutura retangular, conforme apresentado a seguir. A

1,6 m

escada 1,2 m muro

2,5 m

Para garantir rigidez à porteira, Alberto vai fixar uma viga de madeira com as extremidades em A e C. É possível que, para isso, ele utilize uma viga com 1,8 m de comprimento? E com 2,5 m de comprimento? Explique.

1,5 m

Heloísa vai ajustar a posição dessa escada de maneira que o topo dela coincida com o topo do muro. Após esse ajuste, podemos afirmar que a base da escada vai ficar, em relação ao muro, a uma distância: c. a) entre 1,25 m e 1,5 m. b) maior que 1,5 m e menor que 2 m. c) maior que 2 m e menor que 2,5 m. d) maior que 2,5 m e menor que 3 m. e) maior que 3 m.

10. A figura a seguir representa uma estrutura em madeira que será utilizada na construção do telhado de uma casa.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resposta pessoal. 8. (Enem-2014) Um construtor pretende murar Com base nessa figura, elabore um um terreno e, para isso, precisa calcular o problema envolvendo o Teorema de seu perímetro. O terreno está representado Pitágoras. Depois, troque com um colega no plano cartesiano, conforme a figura, para que ele resolva, enquanto você no qual foi usada a escala 1 : 500. Use 2,8 resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. como aproximação para 8. 9. Respostas esperadas: Não é possível utilizar a viga de 1,8 m, pois a distância AC é de 2 m. Já a viga de 2,5 m pode ser utilizada desde que cortada de maneira que uma das partes obtidas tenha 2 m de comprimento. 186

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tados exemplos de problemas que podem ser elaborados pelos alunos. • Essa estrutura tem formato de triângulo isósceles com altura medindo 3 m e base medindo 8 m. Determine quantos metros de madeira, no mínimo, são necessários para compor toda a estrutura. Resposta: 21 m.

• Essa estrutura tem forma-

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to de triângulo isósceles com lados medindo 4 m, 4 m e 6,4 m. Quantos metros tem a altura dessa estrutura? Resposta: 2,4 m.

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No plano cartesiano, qual é a distância entre os pontos A(1, 7) e B(9, 1)?

ALEX RODRIGUES

11. A professora de Matemática de Leandro propôs o seguinte problema.

Observe as etapas que Leandro seguiu para resolver esse problema. 1a) Em uma malha quadriculada, desenhou um plano cartesiano e indicou os pontos A e B. A(1, 7)

6 5 4 3 2

B(9, 1)

1 _1 0 _1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

A(2, 0) e B(2, 12) 12 unidades de comprimento. C(6, _4) e D(6, 3) 7 unidades de comprimento. E(1, _2) e F(9, _2) 8 unidades de comprimento. G(_2, 2) e H(_4, 2) 2 unidades de comprimento.

2a) Em seguida, indicou o ponto C(1, 1) e representou o triângulo retângulo ABC. y 7

Assim, a distância entre os pontos A(1, 7) e B(9, 1) é 10 unidades de comprimento. a) No triângulo ABC representado por Leandro, o lado AC é paralelo a qual eixo? E o lado BC? Eixo y. Eixo x. b) Qual lado corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC? AB. c) Calcule as distâncias entre os pontos cujas coordenadas estão indicadas nas fichas. Se necessário, faça desenhos para auxiliar na resolução.

I(_5, 4) e J(7, _1) 13 unidades de comprimento. K(_1, _5) e L(3, _2) 5 unidades de comprimento. d) Calcule o perímetro e a área do triângulo representado no plano cartesiano a seguir.

A(1, 7)

3 2 1 _1 0 _1

A(_3, 1) C(1, 1)

B(9, 1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

3 ) Então, ele observou que a medida do cateto BC desse triângulo retângulo corresponde a

B(3,5; 1)

_4 _3 _2 _1 0 _1

C(_3; _1,5) _2 _3

6 x

11. Esta atividade trabalha a determinação da distância entre dois pontos quaisquer no plano cartesiano, dadas as suas coordenadas. Além disso, propõe o cálculo da área e do perímetro de figuras representadas no plano cartesiano dadas as coordenadas de seus vértices, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade EF09MA16 da BNCC. Para o trabalho com esta atividade, reproduzir e distribuir aos alunos a malha quadriculada disponível no Material de apoio. Dizer a eles que a unidade de medida de comprimento utilizada corresponde à medida do lado da figura de um quadradinho da malha e a unidade de medida de área, à área de uma figura de quadradinho de malha. Observar se eles utilizam essas unidades de medida para indicar as respostas nos itens c e d. Para resolver esses itens, os alunos podem utilizar a mesma estratégia que Leandro. Para complementar o trabalho com o item c, se julgar conveniente, relembrar com os alunos como determinar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta representado no plano cartesiano dadas as coordenadas de suas extremidades, conforme estudado na Unidade 5 deste Volume.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

y 7

à diferença entre as abscissas dos pontos B e C, e a do cateto AC, à diferença entre as ordenadas de A e C. Com base nisso, utilizou o Teorema de Pitágoras e determinou a medida AB, correspondente à distância entre os pontos A e B. (AB)² = (BC)² + (AC)² (AB)² = (9 – 1)² + (7 _ 1)² (AB)² = 8² + 6² (AB)² = 64 + 36 AB = 100 = 10 ou (AB)2 = 100 AB = _ 100 = _10 (desconsideramos)

Perímetro: aproximadamente 15,96 unidades de comprimento; área: 8,125 unidades de área. 187

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

integrando com geografia

Distribuição de renda Leia o texto a seguir.

10% da população concentram quase metade da renda do país O módulo Rendimento de todas as fontes da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua (PNAD Contínua), divulgada hoje (11/04) pelo IBGE, mostrou que, em 2017, a massa de rendimento domiciliar per capita do país foi de R$ 263,1 bilhões. Desse total, 43,3% ficaram concentrados nos 10% da população brasileira com os maiores rendimentos, parcela superior à dos 80% com os menores rendimentos. [...] Em 2017, do total de 207,1 milhões de pessoas residentes no Brasil, 124,6 milhões (60,2%) possuíam algum tipo de rendimento, seja proveniente de trabalho (41,9% das pessoas) ou de outras fontes (24,1% das pessoas), como aposentadoria, aluguel e programas de transferência de renda. IMAGENS: IBGE

INTEGRANDO COM GEOGRAFIA Esta seção propicia uma abordagem relacionada às competências específicas 4 e 6 de Matemática da BNCC, uma vez que trata da distribuição de renda no Brasil. Este é um tema de contexto social no qual os alunos estão inseridos e que permite o uso de diferentes registros e linguagens para representar e expressar as informações relacionadas. Dizer aos alunos que, no texto, as quantias em reais mencionadas estão indicadas sem expressar os centavos e que esse tipo de notação é comum em notícias de jornais, por exemplo.

Se todas as pessoas que têm algum tipo de rendimento no Brasil recebessem o mesmo valor mensal, ele seria de R$ 2.112, mas não é isso que acontece. A metade dos trabalhadores com menores rendimentos recebe, em média, R$ 754, enquanto o 1% com os maiores rendimentos ganha, em média, R$ 27.213, ou seja, 36,1 vezes mais.

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1. Para responder a esta questão, sugerir que os alunos realizem os cálculos necessários com uma calculadora e arredondem o resultado para o décimo mais próximo. 2. Verificar que estratégia os alunos utilizaram para responder a esta questão. Uma estratégia é calcular quantas pessoas correspondem a 39,8% do total de 207,1 milhões de pessoas residentes no Brasil ou subtrair 124,6 milhões de 207,1 milhões. 3. Antes de os alunos elaborarem um texto sobre a distribuição de renda no Brasil e as consequências que ela implica para a sociedade, conforme proposto nesta questão, sugerir que eles pesquisem o significado e mais informações a respeito dos termos apresentados na tirinha: produto interno bruto, renda per capita, distribuição de renda. Esse trabalho pode ser desenvolvido com o professor da disciplina de Geografia.

IBGE

Outra forma de observar a distribuição de rendimento no Brasil é através da renda domiciliar per capita, que é calculada da seguinte forma: soma-se todos os rendimentos de um domicílio e divide-se pelo número de moradores. Em 2017, o rendimento médio domiciliar per capita foi de R$ 1.271. Mas, da massa de R$ 263,1 bilhões gerados, os 20% da população com os maiores rendimentos ficaram com uma parte superior à dos 80% com os menores rendimentos.

[...] AGÊNCIA IBGE NOTÍCIAS. 10% da população concentram quase metade da renda do país. Disponível em: <https:// agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2012-agencia-de-noticias/noticias/20844-10-da-populacao-concentramquase-metade-da-renda-do-pais.html>. Acesso em: 15 out. 2018.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

ALEXANDRE BECK

1. Em 2017, cerca de quantos bilhões de reais da massa de rendimento domiciliar per capita ficaram concentrados nos 10% da população brasileira com os maiores rendimentos? R$ 113,9 bilhões. 2. Em 2017, que porcentual das pessoas residentes no Brasil não possuíam algum tipo de rendimento? Esse porcentual corresponde a cerca de quantas pessoas? 39,8%. 82 milhões de pessoas. 3. As informações apresentadas evidenciam características da distribuição de renda no Brasil. Com base nessas informações e na tirinha a seguir, junte-se a um colega e elaborem um texto sobre como é a distribuição de renda no Brasil e as consequências dela para a sociedade. Vocês podem utilizar recursos como gráficos, tabelas e dados porcentuais. Resposta pessoal.

BECK, A. Armandinho seis. Florianópolis: A. C. Beck, 2015. p. 6.

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AMPLIANDO

Acessar este site para obter mais informações a respeito da distribuição de renda no Brasil em 2017. • 10% DA POPULAÇÃO concentrava 43,3% da renda do país em 2017, diz IBGE. UOL. Disponível em: <http://

livro.pro/7g53ry>. Acesso em: 16 out. 2018.

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Sugerir aos alunos que acessem este site e assistam ao vídeo sobre o Produto Interno Bruto. • IBGE EDUCA. PIB (Produto Interno Bruto). Disponível em: <http://livro.pro/otn5wa>. Acesso em: 16 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, e à competência específica 5 de Matemática e à habilidade EF09MA05 da BNCC.

conectado

Inicialmente, organizamos na planilha eletrônica os meses de aplicação, o juro e o montante em colunas, como indicado ao lado.

Observe que na célula C2 o montante correspondente ao mês zero indica o capital aplicado.

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

Calculando rendimentos de aplicação financeira com a planilha eletrônica Na etapa 2, comentar com os alunos que, para indicar os cálculos a serem realizados, a taxa de juro é expressa por um número racional na forma decimal e não na forma de porcentagem. Nesse caso, 0,8% é expresso por 0,008, 0,8 8 = = pois 0,8% = 100 1000 = 0,008. Caso seja necessário, relembrar aos alunos que, ao digitar uma expressão como =C2*0,008 em uma célula da planilha eletrônica, o símbolo “*” indica uma multiplicação; nesse caso, a multiplicação do valor na célula C2 por 0,008.

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Na etapa 4, na opção , o destaque em vermelho foi inserido apenas para indicar que se deve clicar no quadrinho em preto, no canto inferior direito da célula. Destacar para os alunos que a notação B2:C14 faz referência a todas as células nas linhas 2 até 14 nas colunas B e C.

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

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Mãos à obra 1. Nesta questão, verificar se os alunos, ao responderem quantos reais de juro são obtidos na aplicação que Laís escolheu, indicaram a soma dos juros obtidos em cada mês da aplicação e não o valor apresentado na última célula da coluna referente aos juros. Dizer que, para obter essa soma, eles não precisam realizar cálculos, basta selecionar todas as células que contêm um valor referente ao juro de algum mês e clicar na opção E (Soma). O valor da soma é automaticamente indicado na célula B15. 2. Orientar os alunos a utilizar a planilha eletrônica Calc para resolver esta questão. Para isso, basta proceder da mesma maneira que a apresentada no exemplo, ou seja, indicar os meses nas células da coluna A, as fórmulas para o cálculo do juro nas células da coluna B e as fórmulas para o cálculo do montante nas células da coluna C. Por fim, verificar em qual mês o montante é maior ou igual a 4 000. Após os alunos resolverem a questão 2, propor que elaborem um problema que envolva a aplicação de um capital com uma taxa de juro fixa. Em seguida, sugerir que troquem esse problema com um colega para que um resolva o do outro, utilizando uma planilha eletrônica, e, por fim, confiram as resoluções juntos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Teorema de Pitágoras no GeoGebra Na etapa 1, verificar se o triângulo construído pelos alunos é retângulo. Uma maneira de obterem um triângulo retângulo é marcar seus vértices de maneira que dois de seus lados fiquem sobre as linhas da malha, visto que linhas horizontais são perpendiculares às linhas verticais. Na etapa 3, dizer aos alunos que os valores correspondentes às medidas dos lados a, b e c, indicadas na figura obtida, são apresentados na Janela de Álgebra. Para o exemplo apresentado, esses valores são a = 3, b = 5 e c = 4. Utilizando essas medidas, de acordo com o triângulo que cada um representou, solicitar aos alunos que verifiquem a validade do teorema de Pitágoras nesses casos.

Teorema de Pitágoras no GeoGebra Utilizando o GeoGebra, vamos verificar geometricamente o Teorema de Pitágoras. Para isso, consideramos as etapas a seguir.

Com a opção

selecionada, construímos

um triângulo retângulo ABC qualquer. Nesse caso, o ângulo ABC é reto.

Utilizando a opção

, construímos, com base nos lados do triângulo, os quadrados

ABED, ACFG e BCIH. Por exemplo, para construir o quadrado ABED, com a opção que mencionamos selecionada, clicamos em B e em A, nessa ordem. Na caixa de texto que abrir,

IMAGENS: GEOGREBRA 2018

digitamos 4 e clicamos em OK. De maneira análoga, construímos os demais quadrados.

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Note que a área de cada quadrado corresponde à medida de um dos lados do triângulo

ABC elevada ao quadrado. Por exemplo, a área do quadrado ACFG corresponde ao quadrado da medida de AC, hipotenusa do triângulo retângulo ABC. e clicamos

Assim, para verificar o Teorema de Pitágoras, selecionamos a opção

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uma vez na região interna de cada quadrado para obter a área dele.

1. Resposta esperada: A área do quadrado ACFG é 25 u.a. e corresponde à (AC)2, a área do quadrado ABED é 16 u.a. e corresponde à (AB)² e a área do quadrado BCIH é 9 u.a. e corresponde à (BC)². Como 25 = 16 + 9, temos que (AC)² = (AB)² + (BC)². MÃos à obr a

2. a) Resposta esperada: As áreas dos quadrados ABED e ACFG se alteraram e suas medidas foram ajustadas automaticamente e a área do quadrado BCIH não se alterou. 1. Com base no exemplo apresentado, explique por que podemos afirmar que o Teorema de Pitágoras é verificado no triângulo retângulo ABC construído. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

2. No GeoGebra, reproduza a construção realizada no exemplo apresentado. Com a opção selecionada, movimente o ponto A verticalmente sobre o mesmo fio da malha. Com isso, o triângulo obtido continua tendo o ângulo AB BC reto.

a) O que aconteceu com as áreas dos quadrados? b) O Teorema de Pitágoras continua sendo verificado no triângulo retângulo obtido com esse ajuste? Resposta esperada: Sim. c) Agora, movimente o ponto A de maneira que nenhum ângulo do triângulo ABC seja reto. Com esse ajuste, é obtido um triângulo retângulo? De acordo com as áreas dos quadrados obtidos, o Teorema de Pitágoras pode ser verificado nesse triângulo? Justifique.

3. Construa no GeoGebra um triângulo ABC cujos vértices têm coordenadas cartesianas A(2, 6), B(6, 9) e C(12, 1). Utilizando os procedimentos apresentados, verifique se esse triângulo é um triângulo retângulo. O triângulo ABC é um triângulo retângulo. 2. c) Não. Resposta esperada: Não, pois ao movimentar o ponto A o triângulo obtido não é um triângulo retângulo, de maneira que o Teorema de Pitágoras não é satisfeito.

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Mãos à obra 2. Para verificar que o triângulo obtido, antes e após mover o ponto A verticalmente, possui um ângulo reto, propor aos alunos que, com a opção Ângulo selecionada, meçam o ângulo ABC antes e depois de movimentarem o ponto A. No item c, é importante que os alunos percebam que, ao obter um triângulo que não possui um ângulo interno reto, a área do quadrado maior não é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados. Dizer a eles que a área do quadrado maior será igual à soma das áreas dos outros dois quadrados apenas no caso de o triângulo ter um ângulo interno reto. Em outras palavras, que o teorema de Pitágoras é válido apenas para triângulos retângulos. 3. Nesta questão, os alunos devem construir um triângulo no GeoGebra dadas as coordenadas de seus vértices, obtendo a figura indicada na parte inferior desta página. Verificar se os alunos utilizaram a relação entre as áreas dos quadrados cujos lados são lados do triângulo dado para verificar se ele é um triângulo retângulo. Caso eles tenham utilizado outra estratégia, como medir os ângulos internos do triângulo, orientá-los a construir os quadrados com a opção Polígono Regular e verificar a relação entre as áreas. Após realizarem os procedimentos para verificar se esse triângulo é retângulo, sugerir que meçam, no GeoGebra, os ângulos internos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata esta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata esta seção.

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

Educação financeira

Capital, juro, taxa de juro e montante

Compra à vista e compra a prazo

Investimento ou aplicação financeira

Porcentagem

Relações métricas no triângulo retângulo

Acréscimos e descontos sucessivos

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Educação financeira e relações métricas no triângulo retângulo

Educação financeira Compra à vista e compra a prazo

Relações métricas no triângulo retângulo Porcentagem

Acréscimos e descontos sucessivos Capital, juro, taxa de juro e montante

Investimento ou aplicação financeira

Teorema de Pitágoras

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL

50 cm fim da rampa

ARTUR FUJITA

Antônio tem uma loja no centro do município. Para se adequar à legislação, ele vai construir na entrada da 625 cm loja uma rampa de acesso início da rampa conforme indicado no modelo ao lado, em que o piso será totalmente revestido com pastilhas antiderrapantes. Antônio orçou a construção da rampa em duas empreiteiras. Observe.

120 cm

Empreiteira X R$ 1 400,00 em 10 parcelas iguais e sem acréscimos ou 15% de desconto no pagamento à vista. Empreiteira Y R$ 1 200,00 para pagamento à vista ou em 10 parcelas iguais de R$ 126,00.

PROBLEMAS

Com uma calculadora, obtenha o comprimento aproximado que essa rampa vai ter. Que área da rampa será revestida com pastilhas antiderrapantes? 627 Conceitos: Teorema Teorema de de Pitágoras. Pitágoras. 627 cm. cm. 75 75240 240 cm². cm2. Conceitos:

Ao todo, quanto Antônio vai gastar caso opte pela Empreiteira Y e efetue o pagamento em 10 parcelas? Nesse caso, que porcentual de acréscimo esse valor corresponde ao preço à vista? R$ 1 260,00. 5%. Conceitos: Educação financeira; compra à vista e compra a prazo; porcentagem.

III

Optando pela construção da rampa pela Empreiteira X e pelo pagamento à vista, quanto Antônio vai gastar?

Comparando os dois orçamentos, em qual empreiteira é mais vantajoso financeiramente Antônio optar caso o pagamento seja feito à vista?

Se Antônio conseguir negociar mais um desconto de 5% sobre o preço à vista para a construção da rampa com a Empreiteira X, quanto ele vai gastar? Nesse caso, qual será o porcentual total de desconto em relação ao preço a prazo nessa empreiteira?

R$ 1 190,00. Conceitos: Educação financeira; compra à vista e compra a prazo; porcentagem.

Empreiteira X. Conceitos: Educação financeira.

R$ 1 130,50. 19,25%. Conceitos: Descontos sucessivos; porcentagem. 195

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3. Esta questão aborda um contexto relacionado à acessibilidade ao tratar a construção de uma rampa de acesso na entrada de uma loja. Aproveitar o tema para promover uma conversa com a turma a respeito da importância de existirem leis e políticas públicas que procurem garantir às pessoas com deficiência ou mobilidade reduzida viver de maneira independente e com qualidade. Perguntar aos alunos se eles conhecem algum cadeirante e que tipos de desafios eles enfrentam no dia a dia. Caso haja algum cadeirante na turma, ele pode contribuir com essas informações. No item I, verificar se os alunos conseguiram identificar o triângulo retângulo no esquema. No item II, espera-se que os alunos calculem quantos reais a mais Antônio gastaria no pagamento a prazo em relação ao valor à vista e, em seguida, determinem o porcentual correspondente a esse acréscimo considerando o valor à vista como referência. Após a resolução do item IV, solicitar aos alunos que comparem, utilizando porcentagem, os valores que Antônio gastaria no pagamento à vista em cada empreiteira. Para isso, eles podem utilizar como referência o preço à vista na Empreiteira X ou na Empreiteira Y. No item V, verificar se os alunos calcularam o porcentual de desconto considerando o valor final que Antônio pagaria após conseguir mais 5% de desconto sobre o valor à vista, em relação ao valor a prazo na Empreiteira X. É importante que os alunos se atentem que isso não equivale a calcular 20% (15% + 5%) do valor a prazo.

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UNIDADE TEMÁTICA

• Probabilidade e estatística. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes. • Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação. • Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos. • Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório. HABILIDADES • • • •

EF09MA20 EF09MA21 EF09MA22 EF09MA23

COMPETÊNCIAS GERAIS 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se res-

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

Notícias falsas Você já leu em algum site ou rede social uma notícia e depois descobriu que ela era falsa? A prática de publicar por meio da internet esse tipo de notícia é conhecida pelo termo inglês fake news (notícias falsas). As fake news, normalmente, têm como objetivo criar uma polêmica em torno de uma situação ou pessoa, mas também podem ser utilizadas para espalhar vírus digital ou aplicar golpes. O avanço das novas tecnologias de informação e comunicação possibilita a qualquer pessoa produzir ou compartilhar uma publicação, facilitando a rápida disseminação das informações, inclusive das fake news. O combate à viralização das notícias falsas tem sido objetivo de diversas instituições, como redes sociais, plataformas de busca e aplicativos de mensagens instantâneas. Contudo, de maneira geral, a sociedade usuária desses meios digitais de comunicação também deve ter a iniciativa de combater as fake news. Observe ao lado algumas medidas indicadas por um instituto. Resposta esperada: Normalmente são publicadas para criar polêmica em torno de uma situação ou pessoa, mas também podem ser utilizadas para espalhar algum vírus digital ou aplicar golpes.

Resposta pessoal.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. De acordo com o texto, por que as notícias falsas costumam ser publicadas? Você já identificou alguma fake news? Explique como essas notícias falsas podem ser combatidas. Explique como você imagina que o conhecimento sobre Estatística pode contribuir na identificação de notícias falsas. Uma resposta possível: Conhecer e compreender diferentes elementos estatísticos pode contribuir para a análise crítica das informações, o que favorece reconhecer a credibilidade e veracidade das notícias. Ao avaliar o título e a fonte de um gráfico ou de uma tabela apresentado em uma notícia, por exemplo, é possível identificar onde os dados foram obtidos, a época em que eles foram coletados, entre outras informações importantes. 196

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peitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, respon-

sabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

ESPECÍFICAS 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais dispo-

níveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-

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VIOLETKAIPA/SHUTTERSTOCK.COM, IFLA/HTTPS://WWW.IFLA.ORG/

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

IFLA. How To Spot Fake News. Disponível em: <www.ifla.org/publications/node/ 11174>. Acesso em: 16 out. 2018.

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-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não

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na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 7 da BNCC, uma vez que o tema notícias falsas trata da importância da argumentação com base em fatos, dados e informações confiáveis para formular e defender ideias e pontos de vista de maneira ética. Ao explorar as informações destas páginas, questionar os alunos sobre quais as consequências negativas e os impactos das chamadas fake news. É importante que eles se conscientizem que, publicando este tipo de notícias, estão contribuindo com a disseminação de mentiras e boatos que podem prejudicar a vida de pessoas ou instituições, por exemplo, simplesmente pelo fato de não pesquisar se aquela informação é verdadeira. Conversar com os alunos como se sentiriam se um colega espalhasse um boato falso sobre eles na escola e o quão trabalhoso seria desmentir o que foi falado. No segundo item, para a condução da conversa, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Você já compartilhou alguma fake news? • Em algum momento vocês já desconfiaram que uma notícia era falsa? • Que tipo de informação a notícia apresentava? • Qual era a fonte das informações? NO DIGITAL – 4O bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 7 e 8. • Desenvolver o projeto integrador sobre espécies ameaçadas de extinção. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF09MA19, EF09MA20, EF09MA21, EF09MA22 e EF09MA23. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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[...] Não basta ao cidadão entender as porcentagens expostas em índices estatísticos, como o crescimento populacional, taxas de inflação, desemprego... É preciso analisar/relacionar criticamente os dados apresentados, questionando/ponderando até mesmo sua veracidade. Assim como não é suficiente ao aluno desenvolver a capacidade de organizar e representar uma coleção de dados, faz-se necessário interpretar e comparar esses dados para tirar conclusões. No mundo das informações no qual estamos inseridos, torna-se cada vez mais “precoce” o acesso do cidadão a questões sociais e econômicas em que tabelas e gráficos sintetizam levantamentos; índices são comparados e analisados para defender ideias. Dessa forma, faz-se necessário que a escola proporcione ao estudante, desde os primeiros anos da escola básica, a formação de conceitos que o auxiliem no exercício de sua cidadania. Entendemos que cidadania também seja a capacidade de atuação reflexiva, ponderada e crítica de um indivíduo em seu grupo social.[...] LOPES, C. E. O ensino da estatística e da probabilidade na educação básica e a formação dos professores. Cadernos Cedes, Campinas, v. 28, n. 74, p. 57-73, 2008. p. 60.

Gráficos Ressaltar aos alunos que o título do gráfico deve ser claro e completo, de maneira a orientar o leitor na sua interpreta-

Estatística Nas páginas de abertura desta Unidade estudamos sobre as fake news, como são chamadas as notícias falsas publicadas e compartilhadas na internet. Em muitas ocasiões, conhecer diferentes recursos estatísticos, como tabelas, gráficos e medidas de tendência central, pode contribuir para que possamos analisar informações de maneira mais crítica, como aquelas apresentadas em diferentes meios de comunicação. Nesse sentido, retomaremos e ampliaremos a seguir o estudo de Estatística realizado em anos anteriores.

Gráficos Em Estatística, os gráficos são recursos visuais utilizados para representar um conjunto de dados. Estudar os diferentes tipos de gráficos, suas características e seus elementos possibilita escolher o tipo de gráfico mais adequado de acordo com os dados a serem representados. Já em relação à sua leitura, esse estudo permite evitar interpretações equivocadas de dados apresentados em gráficos, que podem ter sido produzidos com erros de maneira involuntária ou até mesmo de maneira proposital. Dois elementos fundamentais em gráficos são o título, que indica as principais informações apresentadas, e a fonte, que indica onde os dados foram obtidos. Observe o gráfico a seguir. Neste caso, o título indica que este gráfico trata da produção agrícola de mandioca, referente à safra de 2017, em cada região do Brasil. Caso o título do gráfico fosse apenas Produção agrícola, por exemplo, não poderíamos identificar a qual produto, local ou época correspondem os dados apresentados.

Nesta fonte, podemos identificar que os dados utilizados para construir o gráfico foram consultados no site do IBGE, no dia 30 de julho de 2018. A ausência de fonte ou a apresentação incompleta dela, em alguns casos, pode indicar que os dados não tenham uma origem confiável.

Produção agrícola de mandioca no Brasil, por região, safra de 2017

8 000 000

7 434 781

7 000 000 6 000 000

5 172 156

5 000 000

4 556 462

4 000 000 3 000 000 2 000 000 1 000 000

2 254 348 1 188 290

Centro- Nordeste -Oeste

Norte

Sudeste

Sul

Região

EDITORIA DE ARTE

ESTATÍSTICA Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF09MA21, EF09MA22 e EF09MA23. A seguir é apresentado um trecho sobre a importância do ensino de Estatística na atual sociedade.

Produção (em toneladas)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fonte: IBGE. Sidra. Disponível em: <https://sidra.ibge.gov.br/tabela/1618>. Acesso em: 30 jul. 2018.

Além dos elementos fundamentais já apresentados, as características dos diferentes tipos de gráficos podem evidenciar erros ou imprecisões nas informações. Agora, estudaremos características dos gráficos de colunas e de barras, de segmentos e de setores. 198

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ção, apresentando informações como: o tema; o período de tempo abrangido; a localidade. Sugerir aos alunos que realizem uma pesquisa em sites, revistas, jornais, entre outros materiais, buscando identificar diferentes tipos de gráficos. Pedir a eles que, se possível, levem para a sala de

aula os gráficos pesquisados. Para este trabalho, organizar os alunos em grupos a fim de que compartilhem com os colegas o que foi pesquisado, identificando do que se trata cada um dos gráficos, qual é o título e a fonte de pesquisa. Questionar os alunos que tipo de gráfico é apresentado

nesta página. Neste caso, gráfico de colunas. Comentar que, de maneira geral, os dados representados por esse tipo de gráfico também podem ser expressos por um gráfico de barras e vice-versa.

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Durante o trabalho com o gráfico de colunas e de barras, conversar com os alunos sobre o que significa as alturas das colunas ou os comprimentos das barras serem proporcionais entre si. Para podermos comparar as informações visualmente, sem termos uma leitura equivocada, é necessário que as alturas das colunas ou os comprimentos das barras sejam proporcionais aos valores por elas representados. Por exemplo, se a coluna de um gráfico que representa 10 unidades tem 6 cm de altura, então uma coluna representando 5 unidades deve ter 3 cm. Destacar que, caso, de maneira incorreta, a coluna que representa 5 unidades tivesse uma altura diferente de 3 cm, é possível que o leitor fosse induzido a uma interpretação incorreta dos dados. Após o trabalho com este conteúdo, é esperado que os alunos compreendam a importância das colunas ou das barras estarem na mesma proporção e o quanto esta falta de proporção pode induzir a interpretações equivocadas.

Gráfico de colunas e gráfico de barras O gráfico de colunas ou o gráfico de barras costumam ser utilizados com a finalidade de comparar, entre si, os dados pesquisados. As alturas das colunas ou os comprimentos das barras devem ser proporcionais entre si, possibilitando a comparação visual. Observe o gráfico de barras a seguir.

Municípios com iniciativa de coleta seletiva no Brasil, por região, em 2016 Este eixo indica as regiões.

Sul

1 070

Esta barra indica que 889 munícipios da região Nordeste tinham iniciativa de coleta seletiva em 2016. Este eixo indica as quantidades de municípios.

Região

Sudeste

1 454

Norte

263

Nordeste

889

Centro-Oeste

202 0

200

400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 Quantidade de municípios

Fonte: ABRELPE. Panorama dos Resíduos Sólidos no Brasil 2016. Disponível em: <www.abrelpe.org.br/download-/panorama-2016.pdf>. Acesso em: 16 out. 2018.

Agora, suponha que uma pessoa ao construir um gráfico com essas mesmas informações representou de maneira errada a barra correspondente à região Centro-Oeste, deixando-a com o comprimento desproporcional ao das demais barras, e não indicou a escala no eixo horizontal, conforme segue.

Ao não indicar a escala no eixo horizontal, a leitura do gráfico fica prejudicada, pois dificulta a identificação de alguma barra que possa ter sido representada de maneira incorreta, como ocorreu com a barra correspondente à região Centro-Oeste.

Municípios com iniciativa de coleta seletiva no Brasil, por região, em 2016 Sul

1 070

Sudeste Norte

1 454

Nordeste Centro-Oeste

PARA PENSAR Em relação ao segundo questionamento proposto, os alunos podem apresentar como resposta, por exemplo, que o leitor pode interpretar que a Região Centro-Oeste possuía um pouco menos da metade de municípios com iniciativa de coleta seletiva do que a Região Nordeste.

263 889 202

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

Neste caso, por exemplo, ao comparar o comprimento das barras visualmente, o leitor pode interpretar equivocadamente que a região Centro-Oeste tinha mais municípios com iniciativa de coleta seletiva do que a região Norte.

Fonte: ABRELPE. Panorama dos Resíduos Sólidos no Brasil 2016. Disponível em: <www.abrelpe.org.br/download-/panorama-2016.pdf>. Acesso em: 16 out. 2018.

Em sua opinião, por que um leitor pode interpretar que a região Centro-Oeste possuía mais municípios com iniciativa de coleta seletiva do que a região Norte? Que outras interpretações equivocadas um leitor pode fazer como consequência das indicações incorretas nesse gráfico? Resposta esperada: Porque, nesse gráfico, a barra correspondente à região Centro-Oeste está mais comprida que a barra correspondente à região Norte. Resposta pessoal. 199

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Gráfico de segmentos Os gráficos de segmentos costumam ser utilizados quando queremos representar os dados de maneira a analisar o comportamento de certa variável no decorrer de um determinado intervalo de tempo. Isso é possível porque as alturas dos pontos devem ser proporcionais aos valores por eles representados. Observe o gráfico de segmentos a seguir. Este eixo indica as taxas de fecundidade total.

Taxas de fecundidade total estimadas e projetadas na região Norte do Brasil (1960-2060)*

Este eixo indica o ano.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

8,6 6,4 3,14

1,83 1,8 EDITORIA DE ARTE

Este ponto indica a projeção da taxa de fecundidade total na região Norte no ano 2020.

1960 1980 2000 2020 2040 2060 Ano

Fontes: IBGE. Projeção da População 2018: número de habitantes do país deve parar de crescer em 2047. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-sala-de-imprensa/2013-agencia-de-noticias/ releases/21837-projecao-da-populacao-2018-numero-de-habitantes-do-pais-deve-parar-de-crescer-em-2047.html>. IBGE. Taxas de Fecundidade Total Brasil e Grandes Regiões: 1940-2000. Disponível em: <ww2.ibge.gov.br/ home/presidencia/noticias/08052002fecundidade.shtm>. Acessos em: 16 out. 2018. * Para os anos 1960, 1980 e 2000, os dados são estimados e, para 2020, 2040 e 2060, os dados são projetados.

Vamos considerar que uma pessoa, ao construir em uma planilha eletrônica um gráfico com essas mesmas informações, fez alterações nos eixos vertical e horizontal, induzindo a leituras equivocadas das informações, conforme segue. Ao modificar o espaçamento na escala do eixo vertical do gráfico, o leitor pode, por exemplo, interpretar de maneira equivocada a variação na taxa de fecundidade total nos anos apresentados.

No eixo horizontal, o deslocamento das indicações dos anos, deixando-as desalinhadas aos pontos correspondentes do gráfico, prejudica a identificação da taxa de fecundidade total em cada ano representado.

LIBREOFFICE 2018

Ao explorar o gráfico de segmentos, lembrar os alunos que esse tipo de gráfico também é chamado de gráfico de linhas. Os segmentos desses gráficos indicam uma tendência entre dois pontos consecutivos e o conjunto desses segmentos representa o comportamento de uma ou mais variáveis de maneira aproximada. Explicar que a taxa de fecundidade total se refere ao número médio de filhos nascidos vivos de uma mulher durante todo o seu período reprodutivo, entre os 15 e os 49 anos de idade. Ao explorar o gráfico de setores, lembrar os alunos que esse tipo de gráfico também é conhecido como gráfico de pizza. Em relação ao primeiro gráfico de setores apresentado, explicar que sedentarismo se refere a pessoas que não praticam qualquer atividade física e costumam não se movimentar muito. Além disso, é importante que fique clara a diferença entre esporte e atividade física: • Atividade física: consiste no movimento voluntário, que tenha gasto calórico, e visa a promoção de saúde e melhora na qualidade de vida. • Esporte: é uma atividade que respeita determinadas regras e entre seus objetivos estão o de exprimir ou melhorar a condição física e obter resultados em competições de todos os níveis.

Taxa de fecundidade total

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fontes: IBGE. Projeção da População 2018: número de habitantes do país deve parar de crescer em 2047. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-sala-de-imprensa/2013-agencia-de-noticias/releases/ 21837-projecao-da-populacao-2018-numero-de-habitantes-do-pais-deve-parar-de-crescer-em-2047.html>. IBGE. Taxas de Fecundidade Total Brasil e Grandes Regiões: 1940-2000. Disponível em: <ww2.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/08052002fecundidade.shtm>. Acessos em: 16 out. 2018. * Para os anos 1960, 1980 e 2000, os dados são estimados e, para 2020, 2040 e 2060, os dados são projetados.

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AMPLIANDO

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Sugerir aos alunos que acessem este site para mais informações da pesquisa realizada no Brasil sobre a prática de esporte. • BRASIL. Ministério do Esporte. A prática de esporte no Brasil. Disponível em: <http: //livro.pro/56757f>. Acesso em: 15 out. 2018.

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física com mais facilidade e se manter nela por mais tempo. Além disso, permitirá que você perceba o quão prazeroso e bom para a saúde é ser fisicamente ativo. • Pratique atividade física com seus amigos da escola, seus vizinhos ou os amigos do bairro onde vive. Praticar atividades físicas com amigos vai dar suporte para você permanecer na atividade e tornar-se uma criança/adolescente ativa. Além disso, vai deixá-lo mais feliz e disposto para fazer outras tarefas do dia a dia, como estudar! • Pratique esportes coletivos, como voleibol, futebol, basquetebol, handebol, entre outros! A participação em esportes coletivos poderá te ajudar a fazer amigos, a respeitar os limites de seus colegas e fazer-se respeitar também. • Participe ativamente das aulas de Educação Física escolar. A aula de Educação Física escolar é o espaço mais oportuno para você se movimentar e aprender a ser ativo. Poderá te ajudar a descobrir as práticas corporais e/ou esportes que você tem mais habilidade e/ou que te proporciona mais prazer. Isso certamente será imprescindível para que você se torne um adulto ativo. [...]

Gráfico de setores Os gráficos de setores costumam ser utilizados quando queremos comparar partes de um conjunto de dados com o total dos dados e entre si. Isso é possivel porque o setor correspondente a cada parte do conjunto de dados é proporcional ao valor por ele representado, e o círculo corresponde ao valor total desse conjunto de dados. Observe o gráfico de setores a seguir.

Pessoas, entre 14 e 75 anos de idade, sedentárias ou praticantes de esportes ou atividade física no Brasil, em 2013

25,6% 45,9%

Sedentárias Praticantes de esportes Praticantes de atividade física EDITORIA DE ARTE

28,5%

Este setor e este elemento da legenda indicam o porcentual de pessoas praticantes de atividade física.

Fonte: BRASIL. Ministério do Esporte. A prática de esporte no Brasil. Disponível em: <www.esporte.gov.br/diesporte/2.html>. Acesso em: 16 out. 2018.

Agora, vamos considerar uma pesquisa realizada em certa escola em que foi feita a seguinte pergunta aos alunos: Quais esportes você pratica? Observe um gráfico construído de maneira incorreta com os dados obtidos nessa pesquisa. LIBREOFFICE 2018

Note que, ao adicionarmos os porcentuais correspondentes a cada setor, não obtemos 100%, como é esperado em um gráfico de setores. Nesse caso, isso ocorreu porque na pesquisa um mesmo aluno entrevistado poderia indicar mais de um esporte. O setor azul, por exemplo, indica que 50% dos entrevistados responderam praticar futebol, sendo que, desses, alguns podem também ter indicado outro esporte.

Fonte: Dados da pesquisa.

SBP. Promoção da Atividade Física na Infância e Adolescência. Disponível em: <www.sbp.com.br/ fileadmin/user_upload/19890d-MOPromo_AtivFisica_na_Inf_e_Adoles. pdf>. Acesso em: 15 out. 2018.

Em situações como essa, o gráfico de setores não é o mais indicado para representar os dados, pois prejudica a comparação de cada parte de um conjunto de dados com o todo. Para representar esses mesmos dados da pesquisa anterior, que tipo de gráfico você acredita ser o mais adequado? Justifique. Resposta esperada: Gráfico de colunas ou gráfico de barras, pois estes tipos de gráfico têm como uma de suas características a possibilidade de comparar, entre si, os dados da pesquisa. 201

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Aproveitar o tema desta página e conversar com os alunos sobre a importância da prática de atividade física e/ou esportes. Para complementar, ler para os alunos algumas orientações propostas pela Sociedade Brasileira de Pediatria (SBP) sobre a prática de atividades físicas.

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[...] Orientações para Crianças e Adolescentes • Pratique atividades físicas todos os dias, pelo menos 60 minutos por dia. Ser fisicamente ativo fará com que você cresça saudável e tenha menos chance de ficar doen-

te agora e quando for adulto. Seja um exemplo para seus familiares e seus colegas! • Procure fazer a atividade física que você mais gosta, pode ser andar de bicicleta, dançar, brincar de pega-pega, esconde-esconde ou jogos com bola. Isso o ajudará a aderir à prática de atividade

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Os dados apresentados na tabela e no gráfico desta página são fictícios. Explicar aos alunos que também podemos expressar os dados de um gráfico de setores em valores absolutos, frações etc. Para a construção do gráfico, na etapa 2, lembrá-los de que o círculo completo corresponde a um ângulo central de 360° e representa, nesse caso, o total de votos (100%). Além disso, o ângulo central correspondente a cada setor é proporcional à parte do todo que cada informação representa. Assim, podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções e estabelecer uma relação para determinar a medida de cada ângulo central. Por exemplo, para determinar a medida do ângulo central do setor circular correspondente à porcentagem de votos obtidos por André, temos: Porcentagem (%)

Medida do ângulo central (em graus)

100

360

Construindo um gráfico de setores Para eleger o síndico, os moradores de um condomínio realizaram uma votação. Observe a tabela com o resultado dessa votação, na qual 180 moradores votaram e cada um indicou apenas um dos candidatos. Resultado da eleição para síndico Quantidade de votos

André

Bianca

Cláudio

Danieli

9 Fonte: Súmula da votação.

Com base nos dados dessa tabela, podemos construir um gráfico de setores. Observe.

30 x = 100 360 100x = 10 800 100x 10 800 = 100 100 x = 108, ou seja, 108°. Explicar que, em algumas situações, as medidas dos ângulos precisam ser arredondadas para facilitar a construção do gráfico de setores com instrumentos de desenho. Mas, é importante que eles compreendam que, mesmo com os arredondamentos, a soma das medidas dos ângulos deve ser 360°.

Candidato

Calculamos o porcentual de votos que cada candidato recebeu, considerando um total de 180 votos. 54 • André: = 0,3 = 30% 180 81 = 0,45 = 45% • Bianca: 180 36 = 0,2 = 20% • Cláudio: 180 9 = 0,05 = 5% • Danieli: 180

2a • • • •

Calculamos a medida do ângulo central de cada setor circular correspondente às porcentagens obtidas. 30 ? 360° = 108° André: 30% de 360° → 100 45 ? 360° = 162° Bianca: 45% de 360° → 100 20 ? 360° = 72° Cláudio: 20% de 360° → 100 5 ? 360° = 18° Danieli: 5% de 360° → 100

Para desenhar o gráfico, traçamos uma circunferência com um compasso. Depois, com um transferidor e uma régua, marcamos um ângulo central de 108°, correspondente aos votos recebidos por André. De maneira análoga, a partir desse ângulo central, traçamos os correspondentes aos votos de cada um dos demais candidatos. Por fim, colorimos cada setor do gráfico, construímos a legenda correspondente e indicamos o título e a fonte.

18° 108°

72°

108°

162°

Resultado da eleição para síndico 5% 30%

20%

45%

André Bianca Cláudio Danieli

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fonte: Súmula da votação.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Você lembra o que é um pictograma? Eles são gráficos estilizados com imagens relacionadas ao tema da pesquisa. Observe o pictograma a seguir.

5 000

4 784 4 029

4 000 3 000

3 438 2 612

2 000 1 000 0

2000

2005

Ano

2010

2015

ALEX SILVA

Quantidade (em toneladas)

Papel reciclado no Brasil (2000 – 2015)

Fonte: ANAP. Relatório estatístico anual 2015-2016. Disponível em: <www.anap.org.br/anap/wp-content/uploads/2016/09/ANAP-RelatórioAnual-2015-2016.pdf>. Acesso em: 17 out. 2018.

ENEM 2016

a) Quais informações são apresentadas nesse pictograma? De onde essas informações foram obtidas? Quantidade de papel reciclado no Brasil nos anos 2000, 2005, 2010 e 2015. Do relatório estatístico anual 2015-2016 da ANAP. b) Esse pictograma pode ser associado a que tipo de gráfico: de colunas, de barras, de segmentos ou de setores? Resposta esperada: Gráfico de colunas. c) Escolha um dos gráficos apresentados nesta Unidade e descreva como ele poderia ser representado por um pictograma: que imagens seriam utilizadas, o que elas representariam etc. Resposta pessoal. 2. (Enem-2016) Ano após ano, muitos brasileiros são vítimas de homicídio no Brasil. O gráfico apresenta a quantidade de homicídios registrados no Brasil, entre os anos 2000 e 2009.

WAISELFISZ, J.J. Mapa da violência 2012: os novos padrões da violência homicida no Brasil. São Paulo: Instituto Sangari, 2011 (adaptado).

Se o maior crescimento anual absoluto observado nessa série se repetisse de 2009 para 2010, então o número de homicídios no Brasil ao final desse período seria igual a: Alternativa d. a) 48 839.

b) 52 755.

c) 53 840.

d) 54 017.

e) 54 103. 203

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a análise, a leitura e a interpretação de dados organizados em um pictograma. Questionar os alunos se eles costumam encontrar dados estatísticos apresentados em pictogramas e se consideram que este tipo de gráfico pode chamar a atenção do leitor quando apresentado em uma notícia, por exemplo. A seguir, é apresentada uma resposta possível para o item c. • Gráfico de barras “Munícipios com iniciativa de coleta seletiva no Brasil, por região, em 2016”, da página 199: As barras poderiam ser representadas por algum material que costuma ser recolhido em coletas seletivas, como latas de alumínio, garrafas PET e copos plásticos. 2. Esta atividade trabalha a análise, a leitura e a interpretação de dados organizados em um gráfico de segmentos. Explicar aos alunos que o crescimento anual absoluto, neste caso, se refere à quantidade de homicídios que aumentou de um ano para o outro. Conversar sobre as estratégias utilizadas para a resolução desta atividade. Uma estratégia para determinar a maior variação do número de homicídios de um ano para o outro é calcular a diferença de homicídios em anos consecutivos. É importante que os alunos compreendam que, como queremos determinar o maior crescimento anual, podemos calcular a diferença apenas entre os anos consecutivos em que houve um aumento no número de homicídios, ou seja, não é necessário calcular a diferença de 2003 para 2004, de 2004 para 2005 e de 2006 para 2007. Após determinar o maior crescimento anual absoluto, verificar se eles adicionaram este valor ao número de homicídios de 2009.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3. d) Resposta esperada nas Orientações para o Professor. Resposta pessoal. 3. De acordo com a legislação brasileira, nas eleições, cada partido político têm de preencher o mínimo de 30% e o máximo de 70% para candidaturas de cada sexo. Mesmo que o porcentual de candidaturas de homens ainda permaneça consideravelmente maior do que a de mulheres, nas últimas eleições para prefeito é possível identificar um crescimento no número de candidatas. Observe o gráfico de colunas duplas.

ATIVIDADES 3. Esta atividade trabalha a análise, a leitura e a interpretação de dados organizados em gráfico de colunas duplas. Além disso, propõe a construção de tabela de dupla entrada e a escolha do tipo de gráfico mais adequado de acordo com a situação apresentada. Comentar com os alunos que, apesar dessa lei de representatividade por sexo, a quantidade de mulheres no cenário político brasileiro ainda é pequena se comparada à dos homens. A quantidade de mulheres eleitas prefeitas no Brasil, em 2016, por exemplo, corresponde a apenas 11,6% do total. No item d, relembrar aos alunos o que são tabelas de dupla entrada e como realizamos a sua leitura. É importante que os alunos apresentem justificativas da escolha do recurso, por exemplo, caso eles considerem que o gráfico de colunas duplas é o mais indicado, podem argumentar com base na facilidade de comparar os dados visualmente. Veja a resposta do item d na parte inferior desta página. No item e, os alunos também podem responder gráfico de barras ou gráfico de colunas simples.

2 500 2 000

2 032

1 786

2 039

1 500 1 000

663

537

500

639

0 2008

2012 Ano da eleição Candidatas

2016

Eleitas

EDITORIA DE ARTE

Quantidade de mulheres

Mulheres candidatas e mulheres eleitas prefeitas no Brasil, em 2008, 2012 e 2016

Fonte: MONTEIRO, A. Número de eleitas cai e mulheres perdem representação política. Folha de S.Paulo. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/poder/eleicoes-2016/2016/10/1819610numero-de-eleitas-cai-e-mulheres-perdem-representacao-politica.shtml>. Acesso em: 16 out. 2018.

ACERVO ICONOGRAPHIA

Quantidade de mulheres candidatas a prefeita na eleição. Quantidade de mulheres eleitas prefeitas na eleição. a) Para cada ano de eleição indicado no gráfico, o que representa a coluna azul? E a coluna laranja? b) No ano de 2016, quantas foram as mulheres candidatas a prefeita no Brasil? Quantas se elegeram? 2 039 mulheres. 639 mulheres. c) Em que ano o porcentual de mulheres eleitas prefeitas no Brasil foi maior em relação à quantidade de candidatas em uma mesma eleição? Que porcentual é esse? 2012. Aproximadamente 32,6%. d) No caderno, construa uma tabela de dupla entrada para representar as mesmas informa- Luiza Alzira Soriano Teixeira (1896-1963) foi a ções que esse gráfico. Depois, indique qual primeira prefeita eleita no Brasil.o Ela tomou posse da prefeitura de Lajes (RN) em 1 de janeiro de desses recursos você acredita que seja o mais 1929, sendo eleita com 60% dos votos. apropriado para apresentar as informações: o gráfico de colunas duplas ou a tabela de dupla entrada. Use argumentos para justificar a sua escolha. e) Suponha que se deseje, com base nessas informações, representar por meio de um gráfico apenas a quantidade de mulheres eleitas prefeitas nessas três eleições, de maneira que seja possível perceber visualmente a variação dessa quantidade no período. Qual tipo de gráfico você acredita que seja o mais apropriado? Justifique. Resposta esperada: Gráfico de segmentos, pois esse tipo de gráfico costuma ser utilizado quando queremos analisar o comportamento de certa variável no decorrer de um determinado intervalo de tempo. 204

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Mulheres candidatas e mulheres eleitas prefeitas no Brasil, em 2008, 2012 e 2016 Mulheres

Candidatas

Eleitas

2008

1 786

537

2012

2 032

663

2016

2 039

639

Ano da eleição

Fonte: MONTEIRO, A. Número de eleitas cai e mulheres perdem representação política. Folha de S.Paulo. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/poder/ eleicoes-2016/2016/10/1819610-numero-de-eleitas-cai-emulheres-perdem-representacao-politica.shtml>. Acesso em: 16 out. 2018.

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4. Junte-se a um colega para resolver esta atividade.

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Certa escola mantém uma planilha eletrônica com o controle da quantidade de alunos matriculados nos anos finais do Ensino Fundamental. Observem. 4. a) Resposta queremos analisar esperada: I – o comportamento gráfico de setores, de certa variável pois esse tipo de no decorrer de um gráfico costuma determinado intervalo ser utilizado de tempo; III – quando queremos gráfico de barras ou comparar as partes gráfico de colunas, de um conjunto pois esses tipos de de dados com gráfico costumam o todo e entre ser utilizados com si; II – gráfico a finalidade de de segmentos, comparar, entre si, os pois esse tipo de dados apresentados. gráfico costuma ser utilizado quando Considerando os dados dessa planilha, a escola pretende elaborar um relatório em que serão apresentados gráficos para expressar cada informação indicada nas fichas a seguir. I. Comparação, por meio de porcentagem, entre a quantidade de alunos matriculados em cada ano escolar e o total de alunos matriculados em 2019. II. Variação do total de alunos matriculados, por ano, de 2015 a 2019. III. Comparação entre as quantidades de alunos matriculados em cada ano escolar em 2015. a) Para cada ficha, escolham um tipo de gráfico adequado para expressar a informação indicada e justifiquem a escolha. Mas, atenção, não escolham o mesmo tipo de gráfico para mais de uma ficha. b) Agora, em uma malha quadriculada, construam os gráficos que indicaram no item a. Depois, para cada um desses gráficos, elaborem duas questões de interpretação e troquem com outra dupla para que os colegas as resolvam, enquanto vocês resolvem as elaboradas por eles. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

5. No caderno, elabore um texto explicando o que você entendeu da tirinha a seguir. Nele, procure comentar sobre o contexto em que os gráficos foram utilizados e indique erros que algum deles possa conter. Resposta pessoal.

SILVA, W. R.; SILVA, C. Humor com Ciência. Disponível em: <www.humorcomciencia.com/blog/131-matematica>. Acesso em: 16 out. 2018.

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4. Esta atividade trabalha a escolha e a construção do tipo de gráfico mais adequado para a situação apresentada. Os dados da planilha são fictícios. Para o item b, reproduzir e entregar aos alunos malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material

de apoio, e providenciar outros materiais necessários para a construção dos gráficos, como réguas, transferidores e compasso. Para a construção do gráfico de segmentos, discutir com os alunos qual é a escala mais adequada para o eixo vertical. Nesse caso, um recurso que

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pode facilitar a visualização da variação de dados é considerar como ponto de partida a quantidade 80, ao invés de 0, uma vez que a quantidade total mínima de alunos matriculados ao longo dos anos é 85. Dizer aos alunos que este recurso pode ser observado no gráfico da atividade 2 da

página 203. Explicar que, apesar desta alteração, as alturas dos pontos devem ser proporcionais aos valores por eles representados. Para a construção do gráfico de barras ou de colunas, uma sugestão é considerar cada figura de quadradinho da malha como cinco unidades. A seguir, são apresentados exemplos de questões que podem ser elaboradas pelos alunos no item b. • Gráfico de setores (ficha I). a) Qual é a porcentagem de alunos matriculados no 6o ano em relação ao total de alunos matriculados em 2019? Resposta: 30%. b) Qual ano escolar tem a menor porcentagem de matrículas, em 2019? Resposta: 9o ano. • Gráfico de segmentos (ficha II). a) Em qual ano houve o maior crescimento na quantidade de matrículas comparado ao ano anterior? Resposta: 2017. b) Em qual ano houve a menor quantidade de matrículas? Resposta: 2015. • Gráfico de barras ou de colunas (ficha III). a) Em quais anos escolares a quantidade de matrículas foi a mesma? Resposta: 8o ano e 9o ano. b) Em qual ano escolar houve a maior quantidade de matrículas? Resposta: 6o ano. 5. Esta atividade trabalha a elaboração de texto pelos alunos com base na análise de tirinha e de gráficos. Além disso, propõe ao aluno a identificação de elementos que podem induzir a leitura e a interpretação incorreta dos gráficos. No gráfico de colunas, os alunos podem indicar que as escalas utilizadas são diferentes, o que leva a uma comparação incorreta das notas. No gráfico de setores, são apresentados valores em porcentagens, no entanto, o pai fala em quantidade de tablets, que são números naturais. Além disso, o pai cita a cor roxa, que não aparece no gráfico.

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[...] De acordo com o estabelecido pela Diretoria de Políticas de Educação Especial da Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão, do Ministério da Educação – DPEE/SECADI/MEC, o Censo Escolar coleta dados de oito tipos de deficiência (baixa visão, cegueira, deficiência auditiva, deficiência física, deficiência intelectual, surdez, deficiência múltipla e surdocegueira), quatro tipos de Transtorno Global do Desenvolvimento (TGD/ TEA) (autismo, Síndrome de Rett, Síndrome de Asperger e Transtorno Desintegrativo da Infância) e altas habilidades/superdotação. [...] INEP. Perguntas frequentes. Disponível em: <http://portal.inep.gov.br/ web/guest/perguntas-frequentes2>. Acesso em: 15 out. 2018.

7. Esta atividade trabalha a identificação de elementos que podem levar à leitura e à interpretação incorreta de dados organizados em gráficos, colaborando para o desenvolvimento da habilidade EF09MA21 da BNCC. 8. Esta atividade trabalha a análise, expressa por meio de texto, de elementos que podem induzir a leitura e a interpretação incorreta de dados organizados em gráficos. Para auxiliar os alunos, questioná-los se eles concordam com os leitores que criticaram o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, ou seja, se eles consideram que houve prejuízo visual para o candidato B. Verificar a possibilidade de promover um debate a fim de que eles exponham suas opiniões e as defendam com base no que foi estudado nesta Unidade.

6. Para realizar um trabalho da escola, Márcio selecionou a seguinte reportagem de uma revista.

b) Identifique no gráfico construído por Márcio os erros que ele cometeu. Depois, explique o que pode ser feito para corrigir esses erros.

A inclusão de alunos com deficiência no ensino regular Em 2017, nos anos finais do Ensino Fundamental no Brasil, 275 798 alunos com deficiência estavam incluídos nas 1 classes comuns. Mais de desses alunos 3 estudavam em escolas da região Sudeste.

7. (Enem-2017) O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a preferência dos eleitores em relação a dois candidatos, foi representado por meio do Gráfico 1.

Distribuição dos alunos com deficiência incluídos em classes comuns dos anos finais do Ensino Fundamental no Brasil, por região, em 2017 Região

Porcentagem

Norte

Nordeste

27%

Centro-Oeste

Sudeste

36%

Sul

19%

Ao ser divulgado esse resultado em jornal, o Gráfico 1 foi cortado durante a diagramação, como mostra o Gráfico 2.

Fonte: INEP. Censo escolar. Disponível em: <http:// download.inep.gov.br/informacoes_estatisticas/sinopses_ estatisticas/sinopses_educacao_basica/sinopse_estatistica_ educacao_basica_2017.zip>. Acesso em: 16 out. 2018. ENEM 2017

ATIVIDADES 6. Esta atividade trabalha a construção de gráfico de setores. Ler para os alunos o trecho a seguir, informando-os sobre os tipos de deficiência coletadas pelo Censo Escolar.

Com base nessa tabela, Márcio construiu o gráfico a seguir. Porém, nessa construção, ele cometeu alguns erros que prejudicaram a leitura e a interpretação das informações. Observe.

Apesar de os valores apresentados estarem corretos e a largura das colunas ser a mesma, muitos leitores criticaram o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo visual para o candidato B. A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna A nos gráficos 1 e 2 é: 1 8 a) 0 e) c) 5 35 1 2 Alternativa e. b) d) 2 15

Distribuição dos alunos com deficiência incluídos em classes comuns dos anos finais do Ensino Fundamental, por região 19%

9% Norte Nordeste Centro-Oeste Sudeste Sul

8. Na atividade anterior, foi citado que o Gráfico 2, impresso incorretamente por um jornal, foi criticado por muitos leitores 36% 9% que alegaram que houve prejuízo visual para o candidato B. Com base na resposta a) Que tipo de gráfico Márcio optou por à atividade anterior e ao que estudamos construir para representar as informações nesta Unidade, escreva um texto que justida tabela? Gráfico de setores. fique as críticas dos leitores. Resposta pessoal. 6. b) Resposta esperada: No título falta indicar a data correspondente aos dados pesquisados e a fonte dos dados, os elementos apresentados na legenda não correspondem aos respectivos setores. Resposta esperada: Para ajustar o gráfico, pode ser inserida a data no título, incluída a fonte dos dados e ajustados os elementos da 206 legenda, de acordo com os setores correspondentes. 27%

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conjuntos de dados para que eles determinem a moda de cada um. • 29, 34, 17, 20, 24, 35, 19 e 33. • 5, 7, 10, 14, 13, 11, 7 e 5. Espera-se que eles percebam que o primeiro conjunto de dados é amodal, uma vez que os dados são únicos, ou seja, não se repetem. Já o segundo conjunto de dados é bimodal, pois 5 e 7 são os dados com maior frequência e ambos são a moda. No trabalho com a mediana, explicar que, em Estatística, a organização dos elementos de um conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente é chamada de rol. É importante enfatizar que a moda sempre é um elemento do conjunto de dados analisado. Já a média aritmética e a mediana de um conjunto de dados podem ser um valor que não está no conjunto de dados. Por exemplo, a mediana das idades das atletas dos times de basquete feminino é 24 anos, porém não há atleta alguma nessa equipe com 24 anos de idade.

Medidas de tendência central Em anos anteriores, estudamos que as medidas de tendência central, como a média aritmética, a moda e a mediana, podem ser utilizadas para representar, por um único valor ou alguns poucos valores, um conjunto de dados obtidos em uma pesquisa. Observe, por exemplo, a situação a seguir. João é técnico de um time de basquete feminino e, para seu controle, registrou a idade das atletas no quadro a seguir. Nome

Ana

Beatriz

Idade (anos)

Carla Diana 19

Elis 20

Fátima Giane 25

Hilda

Inês

Júlia

Nessa situação, o conjunto de dados formado pelas idades das dez atletas pode ser representado por uma medida de tendência central. Observe. • Média ou média aritmética Para calcular a média de dois ou mais números, adicionamos esses números e dividimos o resultado obtido pela quantidade de números adicionados. Em relação ao exemplo, temos: Ma =

30 + 21 + 19 + 31 + 20 + 25 + 32 + 21 + 23 + 28 250 = = 25, ou seja, 25 anos . 10 10

• Moda A moda corresponde ao dado de maior frequência entre os dados de uma pesquisa. Um conjunto de dados pode ter um ou mais valores correspondentes à moda, ou não ter moda, e neste caso, o conjunto é denominado amodal. No exemplo apresentado, como a idade de maior frequência é 21 anos, sendo que duas atletas têm essa idade, temos que a moda da idade das atletas é dada por: Mo = 21, ou seja, 21 anos .

PARA PENSAR Destacar para os alunos que, diferentemente do exemplo anterior, a quantidade de dados nesta lista de números é ímpar e, portanto, após organizá-los em ordem crescente ou decrescente, a mediana pode ser obtida apenas analisando o dado central, sem a necessidade de cálculos. Verificar se eles perceberam que, como o conjunto de dados tem 5 elementos, o termo central é o terceiro. Tanto faz contarmos da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda.

• Mediana Para determinar a mediana, é necessário organizar os dados em ordem crescente ou decrescente. Quando a quantidade de dados é ímpar, a mediana corresponde ao dado central. Já quando a quantidade de dados é par, a mediana corresponde à média dos dois dados centrais. Em relação ao exemplo apresentado, temos: 19

Md =

23 + 25 48 = = 24, ou seja, 24 anos . 2 2

Qual é a mediana da seguinte lista de números: 15, 9, 23, 18 e 12? 15

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Medidas de tendência central As medidas de tendência central foram abordadas em Volumes anteriores desta coleção e aqui serão retomadas e ampliadas.

Iniciar este trabalho propondo aos alunos os seguintes questionamentos para a interpretação dos dados do quadro. • Qual é a jogadora mais jovem? Resposta: Carla. • Qual é a jogadora mais velha? Resposta: Giane.

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• Quantas jogadoras têm mais

do que 30 anos? Resposta: Duas jogadoras. • Quantas jogadoras têm menos do que 20 anos? Resposta: Uma jogadora. Ao explorar a medida de tendência central moda, apresentar aos alunos os seguintes

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a determinação de medidas de tendência central e a amplitude de conjuntos de dados. 2. Esta atividade trabalha a identificação de aplicação de uma medida de tendência central ou amplitude em situação do cotidiano. Questionar os alunos se apenas com as informações do enunciado é possível calcular alguma das medidas de tendência central para o conjunto dos preços pesquisados para o apontador de lápis. Nesse caso, não. 3. Esta atividade trabalha a análise de dados apresentados em gráfico, incluindo a determinação de medidas de tendência central e a amplitude. 4. Esta atividade trabalha a determinação de medidas de tendência central e a amplitude de conjunto de dados expressos em gráfico construído pelo aluno. Para complementar, propor a eles os seguintes questionamentos. • Em relação à situação II, o que a amplitude representa? Resposta: Representa a diferença da quantidade total de alunos matriculados entre o ano que houve mais e o ano que houve menos matrículas. • Em relação à situação III, o que a amplitude representa? Resposta: Representa a diferença da quantidade de alunos matriculados entre o ano escolar que houve mais e o ano escolar que houve menos matrículas. 5. Esta atividade trabalha a determinação da média aritmética e a amplitude de um conjunto de dados e o uso crítico dessas medidas. No item

32 _ 19 = 13, ou seja, 13 anos . Assim, podemos dizer que a média, a moda e a mediana das idades das atletas desse time de basquete são, respectivamente, 25 anos, 21 anos e 24 anos. Já a amplitude possibilita afirmar que a diferença de idade entre a atleta mais velha e a mais jovem é de 13 anos. 3. c) Média: aproximadamente 122,7 filmes; conjunto de dados amodal; mediana: 129 filmes. Resoluções a partir da p. 257 4. Ficha II – média: 107 alunos; moda: 120 alunos; AtividadeS mediana: 110 alunos; amplitude: 35 alunos; Ficha III NÃO ESCREVA – média: 21,25 alunos; moda: 15 alunos; mediana: NO LIVRO. 1. a) Média: 178 cm; moda: 184 cm; mediana: 181 cm; 20 alunos; amplitude: 15 alunos. amplitude: 43 cm. 1. Para cada item, obtenha a média, a Filmes brasileiros lançados moda, a mediana e a amplitude dos (2011-2017) dados apresentados. a) Altura dos jogadores de vôlei do time da escola: 180 cm, 152 cm, 195 cm, 184 cm, 177 cm, 182 cm, 170 cm, 184 cm. b) Preço do litro da gasolina nos postos do bairro: R$ 4,80; R$ 4,76; R$ 4,82; R$ 4,70; R$ 4,82. Média: R$ 4,78; moda: R$ 4,82; mediana: R$ 4,80; amplitude: R$ 0,12. c) Quantidade de chuva em cada dia de uma semana em um município: 8 mm, 0 mm, 3 mm, 12 mm, 4 mm, 0 mm e 8 mm. Média: 5 mm; moda: 0 mm e 2. Leia a notícia. 8 mm; mediana: 4 mm; amplitude: 12 mm. A compra dos materiais escolares deve ser feita após muita pesquisa de preços. Em certo município, uma pesquisa constatou, por exemplo, que o preço de um modelo de apontador de lápis variava em até R$ 3,00 entre diferentes papelarias consultadas. O valor em reais destacado na notícia corresponde, em relação aos preços pesquisados do apontador de lápis nas diferentes papelarias, a qual medida: média, moda, mediana ou amplitude? Justifique.

200 150 100 50 0

100

129 83

114

158 133 142

2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 Ano

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Explicar que o fato de organizarmos os dados em um rol para determinar a mediana auxilia na identificação do menor e do maior valor desse conjunto de dados e, consequentemente, no cálculo da amplitude.

3. d) 75 filmes. Representa a diferença da quantidade de filmes entre o ano em que foram lançados mais filmes brasileiros (ano de 2017, com 158 filmes) e o ano em que foram lançados menos filmes brasileiros (ano de 2012, com 83 filmes) no período apresentado no gráfico. Outra medida que podemos utilizar para analisar um conjunto de dados é a amplitude, que corresponde à diferença entre o maior e o menor desses dados e auxilia na compreensão de como eles estão distribuídos. No exemplo apresentado da idade das atletas, temos que a amplitude é dada por:

Quantidade de filmes

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Fonte: ANCINE. Brasil fecha 2017 com recorde de lançamentos de filmes nacionais. Disponível em: <www. ancine.gov.br/pt-br/sala-imprensa/noticias/brasil-fecha2017-com-recorde-de-lan-amentos-de-filmes-nacionais>. Acesso em: 16 out. 2018.

a) Qual é o título do último filme brasileiro a que você assistiu? Resposta pessoal. b) Que outro tipo de gráfico poderia ter sido escolhido para representar esses mesmos dados? Resposta esperada: Gráfico de segmentos ou gráfico de barras. c) Calcule a média, a moda e a mediana da quantidade de filmes brasileiros lançados anualmente de 2011 a 2017. d) Qual é a amplitude dos dados apresentados? O que essa medida representa?

4. Na atividade 4 da página 205, foi proposta a construção de diferentes tipos de gráficos para representar algumas informações. Agora, reúna-se novamente com aquele 3. De acordo com a Agência Nacional do colega e, para os gráficos de barras, colunas Cinema (Ancine), em 2017 o Brasil bateu ou segmentos que vocês construíram na o recorde de lançamentos de filmes. malha quadriculada, determinem a média, Observe o gráfico a seguir. a moda, a mediana e a amplitude dos dados. 2. Amplitude, pois corresponde à diferença entre o maior e o menor preço do apontador de lápis nas papelarias consultadas. 208

c, D3-MAT-F2-2049-V9-196-227-U07-LA-G20.indd verificar se os alunos com-208 preenderam que, apesar de as notas finais de Marta e Paulo serem iguais, Marta ficou melhor colocada, pois a amplitude de suas notas é menor.

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7. a) 150 apartamentos. Resposta esperada: adicionando os valores representados nas colunas. a) 5,97. c) 6,50. e) 10,10. 5. Em certo concurso, os candidatos são avaliados em três provas com notas de 0 a 10: b) 6,24. d) 8,07. prova específica, prova geral e prova prática. 7. O síndico de um condomínio realizou Quanto maior a nota final, correspondente uma pesquisa sobre a quantidade de à média das três notas obtidas nas provas, moradores em cada apartamento. Para melhor classificado o candidato fica. Em apresentar os resultados ele elaborou o caso de empate, aquele que obter a menor gráfico indicado a seguir. amplitude das notas fica melhor classifi-

Prova Candidato João Souza Marta Rodrigues Paulo Marques

Específica

Geral

Prática

9,5

8,3

9,4

8,9

7,5

Fonte: Concurso.

ENEM 2017

João Souza. Paulo Marques. a) Entre esses candidatos, qual obteve a maior nota na prova específica? E na prova prática? b) Calcule a nota final de cada candidato. c) Determine a colocação de cada um desses candidatos no concurso e explique essa colocação. 5. b) João Souza: 8,6; Marta Rodrigues: 8,8; Paulo Marques: 8,8. 6. (Enem-2017) Um dos principais indicadores de inflação é o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA). O gráfico apresenta os valores do IPCA nos anos de 1994 a 2011.

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

Moradores por apartamento do condomínio, em 2020 40 35 30 25 20 15 10 5 0

37 30

1 2 3 4 5 Quantidade de moradores

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Notas dos candidatos com melhor classificação

Quantidade de apartamentos

cado. Observe as notas dos três candidatos mais bem classificados nesse concurso.

Fonte: Pesquisa do síndico de um condomínio.

a) Qual é o total de apartamentos desse condomínio? Explique como calculou esse total. b) Quantos apartamentos têm um único morador? E quantos têm 4 ou mais moradores? 30 apartamentos. 37 apartamentos. c) Calcule a média, a moda e a mediana de moradores por apartamento nesse condomínio. Média: 2,4 moradores; moda: 3 moradores; mediana: 2 moradores. 8. (Enem-2017) Numa turma de inclusão de jovens e adultos na educação formal profissional (Proeja), a média aritmética das idades dos seus dez alunos é de 32 anos. Em determinado dia, o aluno mais velho da turma faltou e, com isso, a média aritmética das idades dos nove alunos presentes foi de 30 anos. Disponível em: http://portal.mec.gov.br. Acesso em: 10 mar. 2012 (adaptado).

Qual é a idade do aluno que faltou O valor mais próximo da mediana de naquela turma? Alternativa d. todos os valores da inflação indicados no a) 18 c) 31 e) 62 gráfico é: Alternativa b. b) 20 d) 50 5. c) 1o: Marta Rodrigues; 2o: Paulo Marques; 3o: João Souza. Marta Rodrigues ficou em 1º- lugar pois a amplitude de suas notas foi menor do que a amplitude das notas de Paulo Marques, que obteve nota final igual à dela. 209

6. Esta atividade trabalha a determinação da mediana de um conjunto de dados expressos em gráfico. Leia para os alunos o trecho a seguir sobre o IPCA.

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[...] O Sistema Nacional de Índices de Preços ao Consu-

midor – SNIPC produz contínua e sistematicamente o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo – IPCA que tem por objetivo medir a inflação de um conjunto de produtos e serviços comercializados no varejo, referentes ao consumo pessoal das famílias. [...]

Atualmente, a população-objetivo do IPCA abrange as famílias com rendimentos de 1 a 40 salários mínimos, qualquer que seja a fonte, residentes nas áreas urbanas das regiões de abrangência do SNIPC, as quais são: regiões metropolitanas de Belém, Fortaleza, Recife, Salvador, Belo Horizonte, Vitória, Rio de Janeiro, São Paulo, Curitiba, Porto Alegre, além do Distrito Federal e dos municípios de Goiânia e Campo Grande. [...] IBGE. Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo – IPCA. Disponível em: <www.ibge.gov.br/ estatisticas-novoportal/economicas/ precos-e-custos/9256-indicenacional-de-precos-ao-consumidoramplo.html?=&t=o-que-e>. Acesso em: 16 out. 2018.

7. Esta atividade trabalha a análise de gráfico de colunas que expressa frequências e a determinação de medidas de tendência central desses dados. No item c, conversar sobre as estratégias utilizadas pelos alunos. Para obter a média, é preciso dividir a quantidade total de moradores pela quantidade total de apartamentos; para a moda, basta identificar no gráfico a quantidade de moradores por apartamento que é mais frequente; para a mediana, é preciso listar o conjunto de dados em um rol. 8. Esta atividade trabalha uma situação-problema envolvendo o cálculo da média aritmética de um conjunto de dados.

11/21/18preços 6:53 PM Esse índice de tem como unidade de coleta estabelecimentos comerciais e de prestação de serviços, concessionária de serviços públicos e internet e sua coleta estende-se, em geral, do dia 01 a 30 do mês de referência.

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Pesquisa estatística A escola onde Joana estuda promove anualmente um evento chamado “Semana das profissões”, quando são realizadas diversas atividades, como palestras de profissionais de diferentes áreas, cursos e oficinas.

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Pesquisa estatística As informações apresentadas nestas páginas são fictícias. Aproveitar o tema desta página e promover uma roda de conversa sobre os interesses profissionais dos alunos. Apesar de a entrada no mercado de trabalho se dar em anos posteriores, este pode ser um bom momento para que eles comecem a refletir sobre seu futuro, com o que pretendem trabalhar. Pensar apenas na área de conhecimento que eles têm mais afinidade não deve ser o suficiente na hora de escolher uma profissão, é preciso levar em conta aspectos relacionados à personalidade de cada um e à oferta no mercado de trabalho, por exemplo. Algumas questões podem ajudar nesta reflexão: em qual situação eles se sentem bem, em que tipo de ambiente gostariam de trabalhar e com o que gostariam de lidar (crianças, adultos, números, animais, entre outros). Explicar que existem ainda os chamados testes vocacionais, que são realizados por psicólogos para avaliar os interesses e as aptidões de cada pessoa para indicar qual é a profissão que mais se identifica com aquele perfil. Na etapa 2, ao definir o público entrevistado para a realização da pesquisa, explicar que o sorteio foi realizado de maneira que cada aluno da escola tivesse a mesma probabilidade de ser sorteado para compor a amostra. Nesse caso, a amostra corresponde aos 80 alunos sorteados e a população são todos os alunos da escola.

Outra atividade que ocorre nesse evento é uma pesquisa com os alunos para identificar áreas profissionais de maior interesse entre eles. Observe as etapas com as quais essa pesquisa foi realizada nesta edição.

Elaboração do questionário Com base no tema da pesquisa, foi elaborada a questão a seguir, sobre a qual cada entrevistado deveria indicar apenas uma das alternativas como resposta. Qual dessas áreas de atuação profissional você tem maior interesse? ( ) Área I: Ciências sociais, humanas e artes. ( ) Área II: Ciências biológicas, da natureza e saúde. ( ) Área III: Ciências exatas, engenharia e informática. ( ) Área IV: Administração, negócios e serviços.

Definição do público entrevistado Essa escola possui muitos alunos, de maneira que entrevistar cada um deles tornaria a pesquisa muito demorada. Assim, optou-se pela realização de uma pesquisa amostral. A definição dos elementos dessa amostra, ou seja, de quais alunos seriam entrevistados, foi realizada por meio de um sorteio, no qual um programa de computador indicou aleatoriamente 80 alunos de um banco de dados onde estavam listados uma única vez todos os alunos da escola.

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Sugerir aos alunos que acessem este site para realizar o teste vocacional proposto. • TESTE vocacional. G1. Disponível em: <http://especiais. g1.globo.com/educacao/guia - d e - c a r re i r a s / 2 0 1 7 / t e s t e -vocacional>. Acesso em: 16 out. 2018.

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Coleta de dados Os entrevistadores da pesquisa aplicaram o questionário aos 80 alunos sorteados, que indicaram cada um deles uma única resposta entre as alternativas apresentadas.

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O tipo de amostra utilizada nessa pesquisa é a casual simples, também conhecida como amostra aleatória simples ou amostra probabilística simples, que é utilizada quando se tem uma população finita constituída por unidades homogêneas, na qual é possível listar todas as unidades. Caso julgar conveniente, retomar com os alunos as técnicas de amostragem, conteúdo abordado na Unidade 7 do Volume 8 desta coleção. Relembrá-los também que outro tipo de amostra é a amostra estratificada, utilizada quando se tem uma população constituída por unidades heterogêneas, e a amostra sistemática, constituída a partir de unidades retiradas de uma população segundo um sistema preestabelecido. Ler para os alunos o trecho a seguir sobre a diferença entre população e amostra.

Organização dos dados Os dados coletados nas entrevistas foram reunidos em uma planilha eletrônica.

Análise e apresentação dos resultados A direção da escola elaborou um relatório em que foram apresentadas informações sobre o resultado da pesquisa, como as áreas de atuação profissional que despertam maior interesse entre os alunos, comparativos dos resultados da pesquisa deste ano com as de anos anteriores e características dos alunos entrevistados. Nesse relatório, com os dados organizados da pesquisa deste ano e de anos anteriores, foram inseridos diferentes tipos de gráficos.

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[...] População ou universo é o conjunto de unidades sobre o qual desejamos obter informação. Amostra é todo subconjunto de unidades retiradas de uma população para obter a informação desejada. É importante entender que população é o termo que os estatísticos usam para descrever um grande conjunto de unidades que têm algo em comum. [...] A distinção entre os dados realmente coletados (amostra) e a vasta quantidade de dados que poderiam ser observados (população) é a chave para o bom entendimento da Estatística. O uso de amostras permite obter respostas razoáveis, com margem de erro conhecida. Considere a questão das prévias eleitorais. Os resultados – desde que obtidos de amostras representativas – são confiáveis. Na maioria das vezes, a predição do ganhador da eleição é correta. [...] VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. p. 4.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a análise das etapas de uma pesquisa estatística. Além disso, propõe ao aluno a escolha e a construção do gráfico mais adequado para expressar um conjunto de dados e a elaboração de um relatório contendo a avaliação por meio de medidas de tendência central e amplitude. No item e, é esperado que os alunos construam um gráfico de segmentos ou um gráfico de colunas ou barras, pois a intenção é representar a variação na quantidade de alunos em uma área de interesse no decorrer dos anos. Veja a seguir as medidas de tendência central e a amplitude que os alunos podem utilizar para escrever a frase que expressa as informações do gráfico. • Área I Média: 12,75 alunos. Moda: conjunto amodal. Mediana: 13 alunos. Amplitude: 7 alunos. • Área II Média: 27,25 alunos. Moda: conjunto amodal. Mediana: 27 alunos. Amplitude: 15 alunos. • Área III Média: 22,75 alunos. Moda: conjunto amodal. Mediana: 21 alunos. Amplitude: 13 alunos. • Área IV Média: 17,25 alunos. Moda: conjunto amodal. Mediana: 16 alunos. Amplitude: 11 alunos.

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Com base nas informações das duas páginas anteriores, sobre a pesquisa realizada na escola de Joana, resolva as questões a seguir. a) A pesquisa foi realizada por amostra ou com toda a população, que nesse caso corresponde a todos os alunos da escola? Por amostra. Resposta pessoal. b) Caso você fosse entrevistado nessa pesquisa, qual resposta daria à questão proposta? c) No relatório elaborado pela direção da escola, há uma frase que busca dar um destaque ao resultado obtido na pesquisa daquele ano. Qual das alternativas a seguir pode indicar essa frase? Copie-a no caderno. A Área II foi a mais escolhida entre os alunos entrevistados. • Mais da metade dos alunos entrevistados tem maior interesse na Área III. • A Área I teve mais interesse entre os alunos do que a Área II. • A Área II foi a mais escolhida entre os alunos entrevistados. • A Área IV foi escolhida por 22 alunos. d) O gráfico de setores a seguir representa os dados obtidos nessa pesquisa. Nele, os porcentuais correspondentes a cada setor e os nomes nas legendas foram substituídos por letras em destaque. No caderno, escreva o que cada letra em destaque representa.

Área de atuação profissional de maior interesse dos alunos, em 2020 D

A E F G

C B

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fonte: Pesquisa por amostra realizada na escola.

e) Observe a seguir uma tabela de dupla entrada, que consta no relatório elaborado pela escola e que apresenta dados desta pesquisa e daquelas que ocorreram nos anos anteriores.

Quantidade de alunos por área de atuação profissional de maior interesse (2017-2020) Área

Área I

Área II

Área III

Área IV

2017

2018

2019

2020

Ano

Fonte: Pesquisa por amostra realizada na escola.

Com base nessa tabela, escolha uma das áreas de atuação profissional pesquisadas. Para essa área de atuação, construa um gráfico que represente a variação na quantidade de alunos que a indicaram como aquela de maior interesse. Depois, escreva uma frase que expresse as informações indicadas pelo gráfico, utilizando inclusive alguma medida de tendência central estudada e a amplitude. Resposta pessoal. 1. d) A: 11,25%; B: 43,75%; C: 27,5%; D: 17,5%; E: Área I; F: Área II; G: Área III; H: Área IV. 212

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2. Vamos realizar uma pesquisa por amostra! Para isso, reúna-se com colegas formando um grupo de três ou quatro integrantes. Depois, sigam as etapas indicadas a seguir. Resposta pessoal.

Elaboração do questionário Realizem um debate e escolham para a pesquisa um tema que seja de interesse social e cujo resultado possa contribuir para a melhoria da sua comunidade. Algumas sugestões de tema são: educação ambiental, educação para o trânsito, alimentação saudável, cuidados com a saúde, valorização dos idosos, uso consciente da tecnologia, educação financeira etc. Escolhido o tema, elaborem uma questão para a entrevista.

Definição do público entrevistado Em grupo, definam a população da pesquisa: alunos da escola, moradores da rua ou do bairro, entre outras populações. Em seguida, decidam quantas pessoas dessa população vão compor a amostra e serão entrevistadas na pesquisa. É importante que a composição da amostra seja feita de maneira que todas as pessoas da população tenham a mesma probabilidade de participar, o que pode ocorrer por meio de sorteio.

Coleta de dados Organizem os materiais necessários, definam como serão anotadas as respostas das entrevistas e dividam entre os integrantes as tarefas a serem realizadas na coleta dos dados.

Organização dos dados Com todas as entrevistas já realizadas, reúnam-se e organizem as respostas obtidas. Para isso, construam uma lista ou quadro em uma planilha eletrônica.

Análise e apresentação dos resultados Com os dados organizados na planilha eletrônica, escolham recursos para representar os resultados da pesquisa, como tabelas e gráficos. É importante que os tipos de gráficos sejam escolhidos de acordo com as características das informações que se deseja expressar. Calculem também medidas de tendência central e amplitude dos dados coletados, de maneira que estes contribuam para a compreensão dos resultados. Por fim, escrevam um relatório que, entre outras informações, apontem a importância do tema escolhido e os objetivos da pesquisa, descrevam as etapas realizadas e apresentem conclusões justificadas com base nas tabelas, gráficos e medidas calculadas.

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2. Esta atividade trabalha o planejamento e a realização de uma pesquisa estatística pelos alunos. Além disso, propõe a elaboração de relatório contendo gráficos, tabelas e avaliação por meio de medidas de tendência central e amplitude. Esta atividade favorece o de-

senvolvimento da competência geral 9 e a competência específica 8 de Matemática da BNCC, uma vez que estimula o trabalho cooperativo no planejamento e desenvolvimento de pesquisa na busca de soluções para problemas próximos à realidade local e

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possibilita o exercício do diálogo e a valorização da diversidade em grupos sociais. Para a realização da pesquisa, é importante que os alunos escolham um tema que seja interessante para eles e que torne a pesquisa mais significativa, sendo pertinente para

uma ação posterior. Em relação à elaboração do questionário, orientá-los a optar por questões cujos dados sejam quantitativos, o que possibilita o cálculo de medidas de tendência central e amplitude. Também é imprescindível que a questão elaborada esteja intimamente relacionada ao tema. Para o tema alimentação saudável, por exemplo, os alunos podem questionar os moradores do bairro sobre a frequência com que eles ingerem frutas e verduras na semana. Já para o tema cuidados com a saúde, podem questionar a frequência com que praticam alguma atividade física. Para a organização dos dados e a construção dos gráficos, os alunos podem utilizar uma planilha eletrônica. Nesta Unidade, na seção Você conectado será apresentada a construção de diferentes tipos de gráficos na planilha eletrônica Calc. Na etapa 5, cada grupo pode apresentar os dados utilizando um tipo de recurso, como tabelas de frequência, gráficos ou infográficos, que costumam utilizar imagens, desenhos, diagramas, entre outros elementos. Promover um momento para que os grupos exponham e discutam os resultados obtidos com a turma. Em relação ao relatório, sugerir aos alunos que realizem pesquisas na internet para obter mais informações sobre o tema escolhido. Explicar que o objetivo de um relatório de pesquisa é apresentar os dados obtidos e que ele deve conter os seguintes elementos: objetivos da pesquisa, descrição de como a pesquisa foi realizada, resultados obtidos e conclusão. No final, propor aos alunos uma exposição na escola apresentando cartazes com os relatórios elaborados.

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Estudos relacionados à probabilidade são bastante úteis para diversas áreas. Por exemplo, um meteorologista pode calcular a probabilidade de ocorrência de chuva em determinado local e período do dia, seguradoras fazem cálculos probabilísticos para definir planos de seguros de vida ou de bens etc. Apesar de as ideias relacionadas à probabilidade remeterem à Antiguidade, o desenvolvimento das bases da teoria das probabilidades é creditado aos matemáticos Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), a partir de correspondências que trocaram a respeito de um problema envolvendo jogos de azar. Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004.

Retrato de Blaise Pascal de 1833 por H. Meyer.

Retrato de Pierre de Fermat de 1843.

O professor de Ciências de uma turma do 9o ano propôs a realização de duas atividades: uma pesquisa e um seminário. Cada uma dessas atividades poderia tratar de um dos temas indicados ao lado. O professor explicou aos alunos que o tema para cada atividade seria determinado por sorteio. Em pedaços idênticos de papel, cada tema foi escrito uma única vez. Depois, esses papéis seriam colocados em uma caixa e misturados. Sem olhar, o primeiro papel sorteado indicaria o tema da pesquisa e o segundo, o tema do seminário. Os alunos Fábio e Júlia, então, propuseram duas maneiras diferentes para a realização do sorteio. Observe.

Sugiro que, após o primeiro sorteio, o papel retirado seja devolvido à caixa.

Já eu prefiro que o primeiro papel sorteado não seja devolvido à caixa.

ROBERTO ZOELLNER

A seguir, estudaremos uma situação que envolve noções de probabilidade. Observe.

DANILLO SOUZA

[...] Ele foi o primeiro a estudar o lançamento de dados, baseado na hipótese de que existia um princípio científico fundamental governando as probabilidades de se obter um par de “seis”, além de mera sorte. Não seria fora de propósito considerar Cardano como o pioneiro do cálculo de probabilidade, pois foi o primeiro a introduzir técnicas de combinatória no cálculo dos casos possíveis de um evento e também a considerar a probabilidade de um evento como a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Ele, também, conhecia a ideia de eventos independentes e a regra da multiplicação entre eles. Seus estudos, no entanto, ficaram limitados a casos concretos de jogos de azar principalmente o de dados. [...]

Probabilidade

MARZOLINO/SHUTTERSTOCK.COM

PROBABILIDADE Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF09MA20. Iniciar o conteúdo desta página conversando sobre outras aplicações da probabilidade, como: o controle de qualidade de uma produção industrial e a tomada de decisões e elaboração de estratégias. Comentar com os alunos que Girolamo Cardano (15011576), antecessor de Pascal e Fermat, também abordou algumas questões relacionadas à probabilidade, apresentadas em um manual de jogos, publicado apenas em 1663. O trecho a seguir apresenta as contribuições de Cardano nesta área. Se julgar conveniente, realizar a leitura para os alunos.

GEORGIOS KOLLIDAS/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na proposta de qual aluno é possível que as duas atividades sejam sobre o mesmo tema? Explique.

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Resposta esperada: Na proposta de Fábio, pois, se o papel retirado no primeiro sorteio for devolvido à caixa, ele poderá ser retirado novamente no segundo sorteio.

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VIALI, L. Algumas considerações sobre a origem da teoria da probabilidade. In: Revista Brasileira de História da Matemática, v. 8, n. 16, p. 143-153, out.2008/mar. 2009. Disponível em: <www.rbhm.org.br/ issues/RBHM%20-%20vol.8,%20 no16,%20outubro%20(2008)/3%20 -%20Viali%20-%20final.pdf>. Acesso em: 16 out. 2018.

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Nesta página, para verificar se os alunos compreenderam a representação dos possíveis resultados dos sorteios por meio da árvore de possibilidades, propor a eles alguns questionamentos, como os sugeridos a seguir. • O que representa o resultado (B, A)? Resposta esperada: Representa que o tema da pesquisa sorteado é Biodiversidade e o tema do seminário é Astronomia. • As indicações (B, A) e (A, B) representam o mesmo resultado? Por quê? Resposta esperada: Não, pois na primeira indicação o tema da pesquisa é Biodiversidade e o do seminário é Astronomia, enquanto na segunda indicação, o tema da pesquisa é Astronomia e o tema do seminário é Biodiversidade. Comentar que também podemos obter a quantidade de resultados possíveis por meio do Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também conhecido como princípio multiplicativo. Para isso, basta multiplicar a quantidade de temas do primeiro sorteio (4 temas) pela quantidade de temas do segundo sorteio (4 temas): 4 ? 4 = 16. Após determinar a probabilidade de se obter o tema Biodiversidade no primeiro sorteio e o tema Tecnologia no segundo, dizer aos alunos que, ao adicionar as probabilidades de todos os possíveis resultados, obtemos 1 como resultado, o que equivale a 100%. Isso porque, ao adicionar dezesseis parcelas iguais a 1 = 6,25%, que correspon16 de à probabilidade de cada resultado possível, obtém-se 1 ou 100%.

Essas duas propostas possuem algumas características parecidas. Porém, há uma característica que as diferencia: na proposta de Fábio, o papel do primeiro tema sorteado é devolvido à caixa para o segundo sorteio, já na proposta de Júlia, o primeiro papel sorteado não é recolocado na caixa. Utilizando noções de probabilidade, vamos analisar o que essa diferença nas propostas pode causar nos resultados. Em relação à proposta de Fábio, vamos representar todos os possíveis resultados dos sorteios por meio de uma árvore de possibilidades. E (A, E)

E (E, E) E

B (E, B) A (E, A)

B (A, B) A (A, A)

T (E, T)

T (A, T)

E (B, E)

E (T, E)

B (B, B)

B (T, B)

A (B, A)

T (B, T)

A (T, A) T (T, T)

Legenda E: Energia B: Biodiversidade A: Astronomia T: Tecnologia

( Tema do primeiro sorteio.

) Tema do segundo sorteio.

Note que, com essa proposta de Fábio, é possível obter 16 diferentes resultados nos sorteios. Observe, por exemplo, duas questões que podemos responder com base na análise dessa proposta. • Qual é a probabilidade de no primeiro sorteio ser obtido o tema Biodiversidade e no segundo, Tecnologia? Temos um resultado favorável, indicado na árvore de possibilidades por (B, T). quantidade de resultados favoráveis

1 16 quantidade de resultados possíveis

1 também pode ser 16 expressa na forma de número decimal e de porcentagem: 1 = 0,0625 = 6,25% 16 A probabilidade indicada por

Assim, a probabilidade de no primeiro sorteio ser obtido o tema Biodiversidade e no 1 segundo, Tecnologia, é de . 16 • Qual é a probabilidade de ser obtido o mesmo tema nos dois sorteios? Nesse caso, temos quatro resultados favoráveis, indicados por (E, E), (B, B), (A, A), (T, T). quantidade de resultados favoráveis

1 4 = 4 16 quantidade de resultados possíveis

Como pode ser expressa na forma de número decimal 1 e de porcentagem a probabilidade indicada por ? 4 0,25 ou 25%.

Assim, a probabilidade de ser obtido o mesmo tema nos dois sorteios é de

1 . 4 215

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PARA PENSAR Veja a seguir a relação que os alunos devem estabelecer: 1 = 0,25 = 25% 4

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Na situação apresentada nesta página, optamos por não definir alguns termos referentes ao estudo de probabilidade, como: evento, eventos dependentes e independentes e espaço amostral. A intenção é que os alunos compreendam a aleatoriedade do experimento e reconheçam a dependência ou a independência entre os eventos, sem a necessidade de um tratamento formal, que será realizado no Ensino Médio. Dizer aos alunos que, assim como na situação anterior, podemos obter a quantidade de resultados possíveis por meio do Princípio Fundamental da Contagem (PFC). Para isso, multiplicamos a quantidade de temas que podemos obter no primeiro sorteio (4 temas) pela quantidade de temas que podemos obter no segundo sorteio (3 temas): 4 ? 3 = 12. Enfatizar que, neste caso, no segundo sorteio temos 3 temas pois o tema sorteado no primeiro sorteio não foi devolvido à caixa.

Agora, vamos analisar a proposta de Júlia, em que o papel com o tema obtido no primeiro sorteio não é devolvido à caixa para o segundo sorteio. Observe a árvore de possibilidades relacionada a essa proposta. E (A, E)

B (E, B) E

A (E, A)

T (A, T)

T (E, T)

E (T, E)

E (B, E) B

A (B, A) T (B, T)

B (A, B)

B (T, B) A (T, A)

Que diferenças você pode perceber ao comparar essa árvore de possibilidades àquela representada para a proposta de Fábio? Resposta esperada: Nesta árvore de possibilidades não há resultados que indiquem o mesmo tema para os dois sorteios. Com a proposta de Júlia é possível obter 12 diferentes resultados nos sorteios. Observe, por exemplo, como as mesmas duas questões que respondemos anteriormente podem ser resolvidas com base na proposta de Júlia.

• Qual é a probabilidade de no primeiro sorteio ser obtido o tema Biodiversidade e no segundo, Tecnologia? Temos um resultado favorável, indicado por (B, T). quantidade de resultados favoráveis

1 12 quantidade de resultados possíveis

Assim, com a proposta de Júlia, a probabilidade de no primeiro sorteio ser obtido o tema 1 Biodiversidade e no segundo, Tecnologia, é de . 12 • Qual é a probabilidade de ser obtido o mesmo tema nos dois sorteios? Nesse caso, não temos resultado favorável algum. quantidade de resultados favoráveis

0 =0 12 quantidade de resultados possíveis

Assim, com essa proposta, a probabilidade de ser obtido o mesmo tema nos dois sorteios é zero, ou seja, é um acontecimento impossível de ocorrer. Ao compararmos as duas propostas, podemos concluir que, na proposta de Fábio, o primeiro tema sorteado não influencia o segundo tema a ser sorteado, caracterizando um experimento aleatório com eventos independentes. Já na proposta de Júlia, o primeiro tema sorteado influencia o segundo tema a ser sorteado, uma vez que ele não poderá ser repetido, caracterizando um experimento aleatório com eventos dependentes. 216

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AtividadeS

Resoluções a partir da p. 257 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Considere as propostas de Fábio e de Júlia apresentadas nas páginas anteriores e, em relação a cada uma, determine a probabilidade de ser obtido o tema: 1 1 a) Astronomia no primeiro sorteio e Tecnologia no segundo sorteio. Fábio: ; Júlia: . 16 12 1 1 b) Biodiversidade no primeiro sorteio. Fábio: ; Júlia: . 1 1 4 4 c) Energia no segundo sorteio. Fábio: ; Júlia: . 4 4 9 1 Fábio: ; Júlia: . d) Tecnologia em nenhum dos dois sorteios. 16 2 2. Leia cada situação a seguir e responda à questão. Sim. a) Trezentos bilhetes idênticos, diferenciando-se apenas pela numeração, foram colocados em uma urna para a realização de um sorteio de dois prêmios: um celular e um televisor. Para isso, sem olhar e de maneira consecutiva, serão retirados dois bilhetes, sem que sejam recolocados na urna. O primeiro bilhete sorteado influencia o sorteio do segundo bilhete? Não. b) Um dado honesto é lançado duas vezes consecutivas a fim de se obter, considerando as marcações que ficam voltadas para cima, uma soma igual a 12. A pontuação obtida no primeiro lançamento influencia a pontuação obtida no segundo lançamento? Sim. c) De um monte com 20 cartas embaralhadas, com a face de cor laranja ou verde voltada para baixo, são retiradas duas cartas consecutivas, sem que sejam devolvidas ao monte. Para ganhar o jogo, deve-se obter as duas cartas de mesma cor. A primeira carta sorteada influencia o sorteio da segunda carta? 3. Clarice está em uma sorveteria e vai pedir uma casquinha com duas bolas de sorvete. Ela está em dúvida entre quatro sabores de sua preferência. Observe no quadro a seguir as possibilidades que ela tem. Sabor do sorvete

Abacaxi

Chocolate

Morango

Uva

Abacaxi

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Chocolate Morango Uva

a) Quantas possibilidades Clarice tem para compor a casquinha da maneira que deseja? 16 possibilidades. b) Se o sabor de cada uma das duas bolas de sorvete for escolhido ao acaso entre aqueles de sua preferência, qual é a probabilidade de se obter: • uma bola de sabor uva e uma de chocolate? 1 ou 12,5%. • apenas uma bola de sabor morango? 3 8 • duas bolas de sabores diferentes? ou 37,5%. 8 3 ou 75%. 4

Considere, por exemplo, que uma casquinha com uma bola de sorvete de abacaxi embaixo e uma de uva em cima é diferente de uma casquinha com uma bola de sorvete de uva embaixo e uma de abacaxi em cima. 217

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo de probabilidade de ocorrência de eventos dependentes e eventos independentes em experimentos aleatórios. Para resolvê-la, sugerir aos alunos que retomem

as árvores de possibilidades referentes a cada proposta, uma vez que nelas é possível visualizar todas as possibilidades de resultado para os dois sorteios. 2. Esta atividade trabalha o reconhecimento de eventos dependentes e eventos independentes em experimentos

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aleatórios. No item b, explicar que no dado honesto a probabilidade de ocorrência de cada uma das faces é a mesma, isto 1 é, . Em cada um dos itens, 6 propor aos alunos questionamentos que os auxiliem na resolução, como os sugeridos a seguir.

• Quantos bilhetes há na urna para o primeiro sorteio? E para o segundo sorteio? Respostas: 300 bilhetes. 299 bilhetes. • Considere que esse sorteio dos prêmios foi promovido por uma loja, em que cada um dos trezentos clientes tenha recebido um único bilhete. Nesse caso, é possível que um mesmo cliente ganhe o celular e a televisão? Resposta: Não. b) • Quantos são os resultados possíveis no primeiro lançamento do dado? E no segundo lançamento? Respostas: 6 resultados. 6 resultados. • Considerando que tenha obtido a marcação 1 no primeiro lançamento, é possível obter novamente esta marcação no segundo lançamento? Resposta: Sim. c) • Na primeira retirada, quantas cartas há no monte? E na segunda retirada? Respostas: 20 cartas. 19 cartas. • Considerando que no monte haja 10 cartas de cada cor, se na primeira retirada sair uma carta alaranjada, a quantidade de cartas dessa mesma cor que sobrou no monte é maior ou menor do que a quantidade de cartas verdes? Resposta: Menor. 3. Esta atividade trabalha o reconhecimento de eventos independentes em experimentos aleatórios e o cálculo da probabilidade de suas ocorrências. Além disso, trabalha o Princípio Fundamental da Contagem. No contexto apresentado, a casquinha pode conter bolas de sorvete de mesmo sabor. No item b, explicar que nos casos de uma bola de um sabor ou que as duas bolas sejam de sabores diferentes, significa que os sabores das duas bolas não podem ser repetidos, isto é, a casquinha não pode conter bolas de sorvete de um único sabor. Se julgar necessário, pedir aos alunos que indiquem todas as possibilidades para cada item.

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AA BA PA RA VA

AB BB PB RB VB

AP BP PP RP VP

AR BR PR RR VR

AV BV PV RV VV

II. • Árvore de possibilidades

Verde.

Cinza.

• Quadro de possibilidades 1o sorteio A 2o sorteio

Laranja.

Com dificuldade para decidir qual camiseta usar, Fernando resolveu fazer um sorteio e escreveu uma única vez o nome da cor de cada uma delas em pedaços idênticos de papel e os colocou dentro de um saco de pano não transparente. Em seguida, sem olhar, ele vai sortear dois papéis, um após o outro.

20 15

18 12

Menina Menino

5 0

B Turma

EDITORIA DE ARTE

Alunos de turmas de 9o ano em que Elis é professora de Matemática Quantidade de alunos

ATIVIDADES 4. Esta atividade trabalha o reconhecimento de eventos dependentes e eventos independentes em experimentos aleatórios e o cálculo da probabilidade de suas ocorrências. Veja a seguir a resposta do item a, considerando: A: camiseta azul. B: camiseta laranja. P: camiseta cinza. R: camiseta vermelha. V: camiseta verde. I. • Árvore de possibilidades

4. b) Resposta esperada: Se o sorteio for realizado da maneira I, é possível que se obtenha duas cores iguais, ou seja, que Fernando utilize a mesma camiseta nas duas gravações, o que não acontece se o sorteio for realizado da maneira II. b) Considerando os resultados possíveis que 4. Fernando produz e publica vídeos em você apresentou no item a, descreva as um site para divulgar os eventos cultudiferenças entre as duas maneiras que o rais e esportivos realizados nas escolas do sorteio pode ser realizado. município onde mora. Em um mesmo dia, ele se organizou para gravar dois vídeos c) A probabilidade de serem sorteadas as cores cinza e verde é maior se o sorteio for realidiferentes. Para isso, ele tinha disponível zado da maneira I ou da maneira II? cinco camisetas de cores diferentes para Maneira II. utilizar nas gravações. Observe. 5. O gráfico a seguir apresenta a quantidade de alunos de três turmas de 9º- ano em que Elis é professora de Matemática. Ela pretende sortear dois livros entre todos esses alunos, sem que um mesmo aluno receba os dois livros, ou seja, o primeiro Vermelha. Azul. aluno sorteado não participa do segundo sorteio. 5. a) Turma A: 35 alunos; turma B: 35 alunos; turma C: 30 alunos. 100 alunos.

INCOMIBLE/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

1 Fonte: Arquivo da escola. ou 1%. 100 a) Quantos alunos há em cada uma dessas três turmas em que Elis é professora? Ao Agora, considere duas maneiras que esses todo, quantos são esses alunos? sorteios podem ser realizados. b) O que é mais provável que aconteça no primeiro sorteio: um menino da turma A I. Após sortear o primeiro papel, Fernando ou uma menina dessa mesma turma ser anota a cor escrita nele e o devolve no sorteado? Justifique. saco de pano. c) Lucas estuda em uma dessas turmas. Qual II. Após sortear o primeiro papel, Fernando é a probabilidade de ele ser o primeiro anota a cor escrita nele e reserva o papel sorteado? fora do saco de pano. d) Calcule a probabilidade de que o primeiro Respostas nas Orientações para o professor. aluno sorteado seja uma menina da turma C. a) Em relação a cada uma das maneiras apresentadas, construa uma árvore de e) Se for sorteado um menino da turma B no possibilidades ou um quadro para repreprimeiro sorteio, qual é a probabilidade de sentar todos os resultados possíveis após que o segundo aluno sorteado também a realização dos dois sorteios. seja um menino dessa turma? 5. b) Um menino da turma A, pois nessa turma há 18 14 5. d) ou 18%. 5. e) ou aproximadamente 14,14%. mais meninos do que meninas. 100 99 218 5. c)

• Quadro de possibilidades 1o sorteio A 2 sorteio o

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BA PA RA VA

A B

AP BP

AR BR PR

AV BV PV RV

PB RB VB RP VP VR

5. Esta atividade trabalha o reconhecimento de eventos dependentes em experimentos aleatórios e o cálculo da probabilidade de suas ocorrências. No item e, verificar se os alunos perceberam que, como o primeiro aluno sorteado não participa do segundo sorteio, o total de alunos a ser considerado é 99.

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6. a) Um número par, pois no início há mais peças cuja soma das marcações 6. b) 4 ou aproximadamente 67%. é um número par (4 peças) do que um número ímpar (3 peças). 6 isso, calculem a probabilidade de cada 6. Vilma separou todas as peças de seu jogo cor ser sorteada ao se lançar o dado de dominó que continham pelo menos aleatoriamente. Resposta pessoal. uma das duas partes da peça com seis marcações. Observe. Probabilidade de a cor Cor ser sorteada

Ela dispôs todas essas peças sobre uma mesa, de maneira que as marcações ficassem voltadas para baixo, e as misturou. Depois, Vilma vai virar uma das peças, anotar a soma da quantidade total de marcações dessa peça e reservá-la. Então, ela virará outra peça da mesa e fará o mesmo. a) É mais provável que a soma referente à primeira peça que Vilma vai virar seja um número par ou um número ímpar? Por quê? b) Se a soma referente à primeira peça virada for um número ímpar, qual é a probabilidade de que a soma referente à segunda peça a ser virada seja um número par? c) Após ser obtido um número par como soma da primeira peça virada, é maior a probabilidade de que a soma referente à segunda peça a ser virada seja número par ou número ímpar?

Cinza Vermelha b) Lancem o dado aleatoriamente 30 vezes consecutivas e anotem a cor da face que ficar voltada para cima a cada lançamento. Ao final, calculem e registrem a quantidade de vezes que cada cor foi obtida. Resposta pessoal. c) Considerando as frequências obtidas no item b, calculem a estimativa da probabilidade de cada cor ser sorteada ao lançar o dado, de acordo com o experimento. Construam um quadro parecido ao apresentado no item a e registrem esses Resposta pessoal. resultados. d) De acordo com o quadro do item a, qual cor tem maior probabilidade de ser obtida em um lançamento aleatório do dado? Isso ocorreu no item b? Respostas pessoais. e) Comparem os resultados apresentados nos dois quadros que vocês preencheram e discutam o que vocês podem dizer a respeito deles. 8. Com base na imagem a seguir, elabore um problema que envolva cálculo de probabilidade. Em seguida, troque-o com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal. 6. c) A probabilidade de se obter um número par com a soma da segunda peça virada é a mesma de se obter um número ímpar.

7. Junte-se a um colega para realizar um experimento. Providenciem o molde de um cubo para ser utilizado como um dado. Com apenas as cores amarela, cinza e vermelha, pintem cada uma das faces do dado como preferirem. Por exemplo, pintem duas faces de amarelo, uma de cinza e três de vermelho. Mas, atenção: as três cores devem ser utilizadas e cada face do dado deve ter apenas uma cor. Após confeccionarem o dado colorido, resolvam as questões propostas. a) Reproduzam o quadro a seguir no caderno e preencham a parte hachurada com as informações necessárias. Para 7. e) Resposta esperada: É provável que as probabilidades calculadas no item a e as probabilidades estimadas no item c, com base na frequência das cores sorteadas no experimento, sejam próximas, mas não necessariamente iguais. Porém, isso pode não ocorrer na prática. 219

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6. Esta atividade trabalha o reconhecimento de eventos dependentes em experimentos aleatórios e o cálculo da probabilidade de suas ocorrências. No item b, é importante que os alunos compreendam que, após virar a primeira peça cuja soma das marcações é um número ímpar, sobram seis

peças disponíveis para serem viradas, das quais quatro têm como a soma das marcações um número par. 7. Esta atividade trabalha a realização de experimento aleatório, com eventos independentes, e a comparação entre a probabilidade calculada (esperada) e o resultado

DANILLO SOUZA

VALEO5/SHUTTERSTOCK.COM

Amarela

cada cor obtida pelo total de lançamentos. Por exemplo, se a cor vermelha foi obtida em 7 lançamentos de um total de 7 30, calculamos . 30 Dizer aos alunos que não são todas as situações em que é possível calcular a probabilidade de algo ocorrer por meio da divisão da quantidade de resultados favoráveis pela quantidade de resultados possíveis. Nessas situações, uma estratégia é estimar a probabilidade utilizando frequências, como o que foi realizado por eles nos itens b e c. 8. Esta atividade trabalha a elaboração pelo aluno de problema envolvendo o cálculo de probabilidade. A seguir, é apresentado um exemplo de problema que pode ser elaborado por eles. • Considerando dois sorteios consecutivos sem reposição, qual é a probabilidade de obter uma bolinha azul no segundo sorteio, caso no primeiro sorteio tenha saído também uma 1 bolinha azul? Resposta: ou 3 aproximadamente 33%.

11/21/18 6:53 PM

desse experimento. Para a realização do experimento, reproduzir e entregar aos alunos o molde de um cubo, disponível no Material de apoio. No item c, explicar que, para determinar a probabilidade de cada cor ser sorteada, a partir das frequências obtidas no item b, dividimos o total de

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VOCÊ CIDADÃO Esta seção propicia uma abordagem relacionada às competências gerais 7 e 10 e às competências específicas 6 e 8 de Matemática da BNCC, uma vez que possibilita aos alunos interagirem com seus colegas, buscando argumentos com base em dados e informações confiáveis, como aqueles indicados nos gráficos e tabela. Utilizando diferentes registros e linguagens, eles serão capazes de formular e defender ideias que promovam os direitos humanos, mas especificamente o direito das crianças e dos adolescentes. Após explorar o texto citado desta página, conversar sobre a importância para a sociedade, como um todo, de respeitar os direitos estabelecidos às crianças e aos adolescentes. Ampliar a discussão, estimulando a leitura do texto e dos gráficos sobre o trabalho infantil no Brasil. Explicar a eles que, em 2014 no Brasil, o tipo de atividade do trabalho principal para crianças e adolescentes era a agricultura, pecuária, silvicultura e aquicultura. Estimular os alunos a comentarem situações que eles possam conhecer em que há trabalho infantil. Comentar também sobre a condição de aprendiz, que é regulamentada pela lei no 10 097, de 19 de dezembro de 2000. Ressaltar que, para essa condição, os jovens devem ter idade entre 14 anos e 24 anos e que o contrato de trabalho pode ter duração de até 2 anos.

você

cidadão

O Estatuto da Criança e do Adolescente Você sabe o que é o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA)? Leia o texto a seguir. [...] O ECA (Estatuto da Criança e do Adolescente) é o documento que traz a doutrina da proteção integral dos direitos da criança, que coloca a criança e o adolescente como sujeitos de direito com proteção e garantias específicas [...]. Para que isso seja alcançado, estruturou-se em dois princípios fundamentais: 1. Princípio do interesse do menor: todas as decisões que dizem respeito ao menor devem levar em conta seu interesse superior. Ao Estado, cabe garantir que a criança ou o adolescente tenham os cuidados adequados quando pais ou responsáveis não são capazes de realizá-los; 2. Princípio da prioridade absoluta: contido na norma constitucional (artigo 227), ele estabelece que os direitos das crianças e dos adolescentes devem ser tutelados com absoluta prioridade. Considerando esses princípios, o ECA tenta garantir aos menores os direitos fundamentais que todo sujeito possui: vida, saúde, liberdade, respeito, dignidade, convivência familiar e comunitária, educação, cultura, esporte, lazer, profissionalização e proteção no trabalho. Enfim, tudo para que possam exercer a cidadania plena. [...] CHILDFUND BRASIL. ECA: conheça o Estatuto da Criança e do Adolescente! Disponível em: <www.childfundbrasil.org.br/blog/eca-estatuto-da-crianca-e-adolescente/>. Acesso em: 7 nov. 2018.

O trabalho infantil Uma das preocupações do ECA está relacionada ao trabalho infantil. No Brasil, é

Crianças e adolescentes de 5 a 17 anos ocupados por tipo de atividade do trabalho principal, no Brasil, em 2014

considerado trabalho infantil toda atividade econômica e de sobrevivência, realizada por crianças ou adolescentes menores de 16 anos. Porém, é permitido ao adolescente

31% 45%

trabalhar a partir dos 14 anos na condição

24%

de aprendiz, na qual o adolescente estuda normalmente, recebe uma bolsa-aprendizagem e tem direitos trabalhistas. Observe algumas informações.

Agricultura, pecuária, silvicultura, pesca e aquicultura Comércio e reparação Outros

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fonte: FNPETI. O trabalho infantil: nos principais grupamentos de atividades econômicas do Brasil. Disponível em: <www.fnpeti.org. br/arquivos//biblioteca/bc9f7b232c179601a4cef519bf2e91c6.pdf>. Acesso em: 16 nov. 2018.

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para mais informações sobre o trabalho infantil. • GOVERNO DO BRASIL. Denúncias de trabalho infantil são registradas pelo Disque 100. Disponível em: <http:// livro.pro/ffhsg7>. Acesso em: 18 nov. 2018.

Sugerir aos alunos que acessem este site para mais informações sobre o jovem aprendiz. • APRENDIZ LEGAL. Disponível em: <http://livro.pro/c8djk3>. Acesso em: 18 nov. 2018.

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1. Resposta esperada: O ECA é a sigla de Estatuto da Criança e do Adolescente, que tem como finalidade garantir os NÃO ESCREVA NO LIVRO. direitos das crianças e dos adolescentes. 1. De acordo com o texto, explique o que é o ECA e qual é sua finalidade. 2. a) Laranja. Indica o porcentual 2. Com base no gráfico de setores apresentado, responda. correspondente às crianças e adolescentes de 5 a 17 anos ocupados no tipo de a) Qual é a cor do menor setor desse gráfico? O que ele indica? atividade comércio e reparação, no Brasil, em 2014. b) Sabendo que a quantidade total de crianças e adolescentes de 5 a 17 anos ocupados, em 2014, era de 3 331 378 pessoas, use a calculadora e determine cerca de quantas pessoas eram ocupadas por tipo de atividade. Agricultura, pecuária, silvicultura, pesca e aquicultura: 1 032 727 pessoas; comércio e reparação: 799 531 pessoas; outros: 1 499 120 pessoas. 3. Em relação ao gráfico de colunas apresentado, responda.

Resoluções a partir da p. 257

a) Podemos afirmar que a quantidade de crianças e adolescentes ocupados em 1996 era cerca de o dobro daqueles ocupados em 2014? Justifique. Resposta esperada: Sim, pois 6 606 000 pessoas é aproximadamente o dobro de 3 331 000 pessoas. b) Calcule a amplitude dos dados apresentados. O que isso significa? 4. Reúna-se com um colega e realize uma pesquisa sobre o programa Menor aprendiz. Com base nessa pesquisa e nos dados da tabela apresentada, escrevam um texto sobre esse tema. Nesse texto, podem ser indicadas as medidas de tendência central e a amplitude dos dados. Além disso, pode ser feita a construção de gráficos utilizando uma planilha eletrônica. Resposta pessoal. 3. b) 3 275 000 pessoas. Resposta esperada: Significa a diferença entre o ano de maior e o ano de menor quantidade de crianças e adolescentes ocupados. Acesse este site para obter informações sobre o programa Menor aprendiz. • APRENDIZ LEGAL. Disponível em: <http://livro.pro/c8djk3>. Acesso em: 18 nov. 2018.

Aprendizes contratados no Brasil (2010-2016) Ano

Contratações

2010

201 097

2011

264 866

2012

310 387

2013

348 381

3 000

2014

404 376

2 000

2015

401 951

2016

388 794

7 000

6 606

6 000

5 546

5 000

4 517

4 000

3 331

1 000 0

1996

2002

2008

2014 Ano

Fonte: FNPETI. O trabalho infantil: nos principais grupamentos de atividades econômicas do Brasil. Disponível em: <www.fnpeti. org.br/arquivos//biblioteca/bc9f7b232c179601a4cef519bf2e91c6. pdf>. Acesso em: 16 nov. 2018.

EDITORIA DE ARTE

Quantidade de crianças e adolescentes (mil pessoas)

Crianças e adolescentes de 5 a 17 anos ocupados no Brasil em 1996, 2002, 2008 e 2014

Fonte: GOVERNO DO BRASIL. Mais de 200 mil aprendizes foram contratados em 2017. Disponível em: <www.brasil.gov.br/economia-e-emprego/2017/08/ mais-de-200-mil-aprendizes-foram-contratados-em-2017>. Acesso em: 16 nov. 2018.

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1. Para responder a esta questão, o aluno pode basear-se no texto citado e em pesquisas a sites. 2. Aproveitar esta questão para propor aos alunos outros questionamentos, como os sugeridos a seguir. • No setor correspondente a “Outros”, quais tipos de atividade do trabalho principal podem estar sendo contemplados? Algumas respostas possíveis: Serviços de alojamento, alimentação, transportes, financeiros e imobiliários; indústria de transformação, extração mineral, petróleo, gás, eletricidade e água; administração pública, educação, saúde, serviços sociais, coletivos e pessoais; construção; serviços domésticos. • É possível afirmar que mais da metade das crianças e adolescentes de 5 a 17 anos que em 2014 estavam ocupadas tinha como trabalho principal os tipos “Agricultura, pecuária, silvicultura, pesca e aquicultura” ou “Comércio e reparação”? Explique. Resposta: Sim, pois juntos esses dois tipos de trabalho principal correspondem a 55% do total. 3. No item a, espera-se que os alunos compreendam que em 2014 a quantidade de crianças e adolescentes de 5 a 17 anos ocupados no Brasil reduziu-se à metade, quando comparado à quantidade correspondente em 1996, o que pode mostrar avanço nesse campo. 4. Na elaboração do texto, os alunos podem construir, por exemplo, gráficos de segmentos, de barras ou de colunas para representar os dados da tabela. Já, em relação ao cálculo das medidas de tendência central e da amplitude das contratações de aprendizes, por ano, no período de 2010 a 2016, temos: • média: aproximadamente 331 407 contratações. • mediana: 348 381 contratações. • o conjunto de dados é amodal. • amplitude: 203 279 contratações.

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VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, à competência específica 5 de Matemática e à habilidade EF09MA22 da BNCC.

Construindo gráficos com a planilha eletrônica Para auxiliar os alunos na organização e formatação da tabela antes da construção dos gráficos apresentados nesta seção, é possível mostrar a eles algumas orientações, como as indicadas a seguir. • Para formatar o título da tabela, selecionar as células ocupadas pelo título e clicar na opção Mesclar e centralizar células do menu. • Para que os textos que compõe a tabela fiquem centralizados nas células, selecionar toda a tabela e clicar na opção Centralizar horizontalmente do menu. • As ferramentas para ajustar o estilo ou o tamanho da fonte do texto e para destacar as bordas estão disponíveis no menu. No boxe Dica desta página, é apresentada uma maneira de inserir alguns elementos do gráfico de colunas (título, título dos eixos e rótulos) utilizando o menu. Também é possível inserir esses elementos realizando os seguintes procedimentos. 1o) Após construir o gráfico de colunas, com o gráfico selecionado, excluir a legenda localizada ao lado do gráfico. Para isso, clicar sobre ela e deletar.

você

conectado

Construindo gráficos com a planilha eletrônica Nesta Unidade, estudamos as características de alguns tipos de gráficos e as situações em que cada um deles costuma ser utilizado. Vimos também que, entre as etapas da realização de pesquisas estatísticas, uma delas é a apresentação dos resultados, que pode utilizar tabelas e gráficos como recurso. A seguir, estudaremos como construir gráficos de colunas, de segmentos e de setores na planilha eletrônica Calc. • Gráfico de colunas Neste exemplo, vamos construir um gráfico de colunas. Para isso, considere os dados a seguir, reproduzidos na planilha eletrônica Calc.

Para construir o gráfico, selecionamos as células conforme indicado a seguir e clicamos na opção Inserir Gráfico do menu.

Em seguida, ao abrir a caixa de diálogo Assistente de gráficos, na opção 1. Tipo

de gráfico, selecionamos as opções Coluna e Normal. Por fim, clicamos em Concluir e obtemos o gráfico de colunas.

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para inserir alguns elementos do gráfico, como título, título dos eixos e rótulos, podemos, com o gráfico selecionado, clicar em Inserir, no menu, e ajustar esses elementos nas opções Títulos... e Rótulos de dados...

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2o) Ainda com o gráfico selecionado, clicar com o botão direito do mouse sobre o gráfico e selecionar a opção Inserir títulos... na aba que abrir. Em seguida, digitar o título do gráfico na caixa referente ao Título e o título dos respectivos eixos na caixa referente aos Eixo X e Eixo Y e, por fim, clicar em OK. Relembrar os alunos que o eixo x corresponde ao eixo horizontal e o eixo y, ao eixo vertical. 3o) Para inserir os rótulos, com o gráfico selecionado, clicar com o botão direito do mouse sobre alguma coluna do gráfico e selecionar a opção Inserir rótulos de dados... na aba que abrir e, automaticamente, os rótulos das demais colunas serão indicados. No boxe Dica é apresentado uma maneira de inserir alguns elementos do gráfico de setores (título do gráfico e rótulos). Há outra maneira de inserir esses elementos no gráfico, realizando procedimentos análogos aos apresentados anteriormente para o gráfico de colunas. Porém, nesse caso, não é necessário excluir a legenda e, ao inserir os rótulos, é necessário clicar com o botão direito do mouse sobre algum setor do gráfico.

• Gráfico de setores Neste exemplo, vamos construir um gráfico de setores. Para isso, considere os dados a seguir, reproduzidos na planilha eletrônica Calc.

Para construir o gráfico, selecionamos as células conforme indicado a seguir e

clicamos na opção Inserir Gráfico do menu.

Em seguida, ao abrir a caixa de diálogo Assistente de gráficos, na opção

1. Tipo de gráfico, selecionamos as opções Pizza e Normal. Por fim, clicamos em

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

Concluir e obtemos o gráfico de setores.

Para inserir alguns elementos do gráfico, como título e rótulos, podemos, com o gráfico selecionado, clicar em Inserir, no menu, e ajustar esses elementos nas opções Títulos... e Rótulos de dados...

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• Gráfico de segmentos

Na etapa 2, é importante chamar a atenção dos alunos que na opção 2. Intervalo de dados, além da opção Primeira coluna como rótulo, as outras duas opções Série de dados em colunas e Primeira linha como rótulo também devem estar marcadas. No boxe Dica, é apresentada uma maneira de inserir alguns elementos do gráfico de segmentos (título, título dos eixos e rótulos) utilizando o menu. É possível mostrar outra maneira de inserir esses elementos no gráfico, realizando procedimentos análogos aos apresentados para o gráfico de colunas. Porém, nesse caso, para inserir os rótulos é necessário clicar com o botão direito do mouse sobre cada um dos segmentos do gráfico.

Neste exemplo, vamos construir um gráfico de segmentos. Para isso, considere os dados a seguir, reproduzidos na planilha eletrônica Calc.

Para construir o gráfico, selecionamos as células conforme indicado a seguir e

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

clicamos na opção Inserir Gráfico do menu.

Em seguida, ao abrir a caixa de diálogo Assistente de gráficos, na opção 1. Tipo

de gráfico, selecionamos as opções Linha e Pontos e linhas. Na opção 2. Intervalo

Mãos à obra Auxiliar os alunos na reprodução da tabela apresentada, orientando-os na organização e formatação. Algumas orientações referentes à organização e formatação de tabelas foram apresentadas nos comentários das páginas 222 e 223. 1. Veja a seguir uma resposta possível do item a.

de dados, marcamos a opção Primeira coluna como rótulo.

População (%)

Projeção da proporção de pessoas de 60 anos ou mais de idade, no Brasil (2020-2060) 35 30 25 20 15 14,2 10 5 0 2020

18,7

2030

23,5

2040 Ano

28,5

2050

32,2

2060

Fonte: IBGE. Projeções da População. Disponível em: <www.ibge.gov.br/estatisticasnovoportal/sociais/populacao/9109-projecaoda-populacao.html?=&t=downloads>. Acesso em: 16 out. 2018

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Veja ao lado uma resposta possível do item b. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Projeção da proporção de pessoas por grupo etário, no Brasil, em 2060

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14,7% 32,2%

60%

53,1%

0 a 14 anos 15 a 59 anos 60 anos ou mais

Fonte: IBGE. Projeções da População. Disponível em: <www.ibge.gov.br/estatisticasnovoportal/sociais/populacao/9109-projecaoda-populacao.html?=&t=downloads>. Acesso em: 16 out. 2018.

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LIBREOFFICE 2018

Por fim, clicamos em Concluir e obtemos o gráfico de segmentos.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

Reproduza em uma planilha eletrônica Calc as informações apresentadas na tabela a seguir.

Projeção da proporção de pessoas por grupo etário, no Brasil (2020-2060) Ano

2020

2030

2040

2050

2060

0 a 14 anos

20,9%

19%

16,8%

15,4%

14,7%

15 a 59 anos

64,9%

62,3%

59,7%

56,1%

53,1%

60 anos ou mais

14,2%

18,7%

23,5%

28,5%

32,2%

Grupo etário

Fonte: IBGE. Projeções da População. Disponível em: <www.ibge.gov.br/estatisticas-novoportal/sociais/populacao/9109projecao-da-populacao.html?=&t=downloads>. Acesso em: 16 out. 2018.

1. De acordo com o que você estudou nesta Unidade, escolha o tipo de gráfico mais adequado para representar cada informação a seguir e construa-o na planilha eletrônica Calc. a) Variação da projeção da proporção de pessoas no grupo etário de 60 anos ou mais de idade, entre 2020 e 2060, no Brasil. Resposta esperada: Gráfico de segmentos, de colunas ou de barras. Resposta nas Orientações para o professor. b) Comparação entre a projeção da proporção de pessoas por grupo etário e entre cada grupo etário e a população total, em 2060, no Brasil. Resposta esperada: Gráfico de setores. Resposta nas Orientações para o professor. c) Comparação entre a projeção da proporção de pessoas por grupo etário, em 2040, no Brasil. Resposta esperada: Gráfico de colunas, de barras ou de setores. Resposta nas Orientações para o professor. 2. Para cada gráfico que você construiu na atividade anterior, elabore duas questões de leitura ou interpretação. Depois, troque as questões com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve as que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

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Veja ao lado uma resposta possível do item c.

Projeção da proporção de pessoas por grupo etário, no Brasil, em 2040

População (%)

70 60

EDITORIA DE ARTE

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2. É importante avaliar se os problemas elaborados pelos alunos envolvem a leitura e interpretação de cada um dos gráficos construídos por eles. Ao final, se julgar conveniente, pedir a eles que compartilhem entre si essas produções.

59,7

50 40 30 20

23,5 16,8

10 0

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0 a 14 anos

15 a 59 60 anos anos ou mais Grupo etário

Fonte: IBGE. Projeções da População. Disponível em: <www.ibge.gov. br/estatisticas-novoportal/sociais/ populacao/9109-projecao-da-populacao. html?=&t=downloads>. Acesso em: 16 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções a partir da p. 257

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

Gráfico de colunas

Gráfico de segmentos

Gráfico de barras

Tabela de dupla entrada

Pesquisa estatística

Probabilidade

Gráfico de setores

Tabela simples

Medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana

Amplitude

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Estatística e probabilidade

Gráficos

Gráfico de colunas

Gráfico de barras

Gráfico de segmentos

Medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana

Amplitude

Gráfico de setores

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3. Os dados apresentados nesta questão são fictícios. Aproveitar o tema para conversar com os alunos sobre a importância da doação de sangue. Comentar que é um ato voluntário e solidário, uma vez que pode salvar vidas de pessoas que dependem de transfusões, transplantes ou outros tipos de intervenções médicas, por exemplo. A doação de sangue é simples e segura, e existem requisitos mínimos para ser um doador. Os principais são: ter idade entre 16 anos e 69 anos, desde que menores de 18 anos tenham consentimento formal do responsável e que pessoas acima de 60 anos tenham feito sua primeira doação antes dos 60; pesar no mínimo 50 kg e apresentar um documento com fotografia, emitido por um órgão oficial. No item I, questionar os alunos sobre o porquê da escolha de cada tipo de gráfico. Para expressar a primeira informação, os alunos também podem utilizar um gráfico de barras ou de colunas. E para expressar a terceira informação, eles também podem utilizar um gráfico de setores. É importante enfatizar que, nesse item, o mesmo tipo de gráfico não pode ser indicado mais de uma vez. No segundo questionamento do item IV, verificar se os alunos compreenderam que, como o sorteio é realizado sem reposição, o total de possibilidades para o segundo sorteio é igual ao total de doadores menos 1.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Em certo município foi realizada uma campanha de doação de sangue durante 5 dias de uma semana. Observe a tabela a seguir com a quantidade de doadores por dia, sendo que cada um deles doou apenas uma vez.

Quantidade de doadores na campanha de doação de sangue, em certa semana de 2020 Dia

Segunda-feira

Terça-feira

Quarta-feira

Quinta-feira

Sexta-feira

Tipo sanguíneo A

Total

Fonte: Secretaria de Saúde do município.

PROBLEMAS Resposta esperada: Gráfico de segmentos. Conceitos: Tabela de dupla entrada; gráfico de segmentos.

Qual tipo de gráfico você acredita ser o mais adequado para expressar cada informação a seguir? Mas atenção: não indique o mesmo tipo de gráfico mais de uma vez. • Variação do total de doadores, por dia da semana, na campanha.

• Comparação, por meio de porcentagem, entre a quantidade de doadores de cada tipo sanguíneo e o total de doadores na segunda-feira. Resposta esperada: Gráfico de setores. Conceitos: Tabela de dupla entrada; gráfico de setores. • Comparação entre as quantidades totais de doadores na semana de cada tipo sanguíneo. Resposta esperada: Gráfico de barras ou de colunas. Conceitos: Tabela de dupla entrada; gráfico de barras; gráfico de colunas.

II III

Usando uma medida de tendência central, represente a quantidade total diária de doadores nessa campanha. Respostas possíveis: Média: 28 doadores; moda: 24 doadores; mediana: 24 doadores. Conceitos: Tabela de dupla entrada; medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana. Em que dia houve mais doadores ao todo? E em qual houve menos doadores ao todo? Qual foi a diferença no número de doadores entre esses dois dias? Sexta-feira. Terça-feira. 28 doadores. Conceitos: Tabela de dupla entrada; amplitude. Suponha que sejam feitos dois sorteios entre doadores dessa campanha, de maneira que o primeiro doador sorteado não participe do segundo sorteio. • O que é mais provável que ocorra no primeiro sorteio: seja sorteado alguém que doou sangue na segunda-feira ou que doou na quinta-feira? Quinta-feira. Conceitos: Tabela de dupla entrada; probabilidade. • Sabendo que o primeiro sorteado doou sangue na quarta-feira, qual é a probabilidade de o segundo sorteado ter doado na quinta-feira? 26 . Conceitos: Tabela de dupla entrada; probabilidade. 139 227

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Tabela simples

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Pesquisa estatística

Probabilidade

Tabela de dupla entrada

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• Grandezas e medidas. OBJETO DE CONHECIMENTO • Volume de prismas e cilindros. HABILIDADE • EF09MA19

MEDIDAS DE VOLUME

Compostagem

GERAIS 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Você já parou para pensar no que acontece com os restos de alimentos que descartamos? No Brasil, estima-se que 50% de todo o lixo gerado seja de resíduos orgânicos, ou seja, restos de alimentos crus ou cozidos, borra de café, grãos etc. Esses resíduos, se forem dispostos em lixões ou aterros que não estão de acordo com as normas ambientais, acabam produzindo líquidos e gases que podem contaminar a atmosfera, o solo e o lençol freático, o que prejudica o meio ambiente e a nossa qualidade de vida. Todo esse resíduo orgânico pode ser reciclado por meio da compostagem, que é um processo natural em que microrganismos, como fungos e bactérias, são responsáveis pela decomposição da matéria orgânica, transformando-a em um composto orgânico que pode ser utilizado para adubar a terra, por exemplo, de hortas e jardins. Observe, a seguir, como fazer uma compostagem doméstica.

ESPECÍFICAS 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência

EDITORIA DE ARTE

COMPETÊNCIAS

Como coletar os resíduos orgânicos? Deixar na pia da cozinha, ou próximo a ela, um recipiente para coletar os resíduos orgânicos. Manter esse recipiente bem fechado para evitar que mosquitos botem ovos nos resíduos. Veja alguns exemplos de resíduos orgânicos que podem ou não ser coletados para fazer a compostagem.

Coletar à vontade:

Frutas, legumes e verduras.

Sachê de chá, sem etiqueta.

Cascas de ovos.

Evitar coletar em grandes quantidades:

Frutas cítricas.

Alimentos cozidos.

Laticínios.

Carnes.

Limão.

Óleos e gorduras.

Não coletar:

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

UNIDADE TEMÁTICA

• Assista a este vídeo para obter mais informações sobre a compostagem. • SUSTENTABILIDADE em 1 minuto: o que é compostagem? Disponível em: <http://livro.pro/bqo54j>. Acesso em: 17 out. 2018.

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social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 7 e à competência específica 7 de Matemática da BNCC, pois o tema compos-

tagem permite discutir uma estratégia de redução nos impactos ambientais pelo acúmulo de resíduos orgânicos. Além disso, é possível debater com os alunos propostas para o consumo consciente para evitar o desperdício de alimentos.

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Resposta esperada: Frutas, verduras, legumes, cascas de ovos, alimentos cozidos, laticínios, sachê de chá sem etiqueta. Resposta esperada: Diminuir a quantidade de resíduos orgânicos em lixões e aterros, onde podem poluir o meio ambiente e produzir adubo para hortas e jardins.

manho do empreendimento e tratamento de chorume. No Brasil, é o sistema mais adequado, de acordo com o Ministério do Meio Ambiente.

O primeiro recipiente é chamado de digestor. Nele, para forrar o fundo, é inserido substrato para plantas e as minhocas. É importante manter esse recipiente fechado.

Como preparar a composteira? A composteira é formada por três recipientes plásticos que se encaixam um no outro. A capacidade da composteira deve ser escolhida de acordo com a quantidade de resíduos orgânicos gerados, em 30 dias, na residência.

Aterro controlado Local onde os resíduos são dispostos com algum tipo de controle, mas ainda assim contra as normas ambientais brasileiras. Geralmente, têm o mínimo de gestão ambiental, como isolamento, acesso restrito, cobertura dos resíduos com terra e controle de entrada de resíduos, mas não atendem às recomendações da Política Nacional de Resíduos Sólidos.

O segundo recipiente, assim como o primeiro, também é chamado de digestor. Para forrá-lo, é espalhado substrato para plantas.

A torneira é fixada no terceiro recipiente e serve para coletar o líquido produzido pela compostagem.

O terceiro recipiente é conhecido como coletor de líquido.

Como compostar os resíduos orgânicos?

1o) Quando possível, cortar ou triturar os resíduos orgânicos. Dessa maneira, as minhocas vão digeri-los em menos tempo. Depois, misturar no primeiro recipiente esses resíduos com os substratos para plantas e as minhocas.

2o) Quando o primeiro recipiente encher, fazer a troca de posição com o segundo recipiente. Não é necessário inserir mais minhocas nesse primeiro recipiente, elas subirão do segundo em busca de alimentos.

3o) A troca de recipientes é sugerida a cada 30 dias. Esse período é suficiente para gerar o composto orgânico por meio da compostagem.

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

Depois de montar a composteira, é necessário inserir nela os resíduos orgânicos coletados.

Fonte dos dados: COMPOSTA SÃO PAULO. Manual de compostagem doméstica com minhocas. Disponível em: <https://compostasaopaulo.eco.br/compostasp_manual.pdf>. Acesso em: 17 out. 2018.

Resposta pessoal. Resposta esperada: O composto orgânico gerado por meio da compostagem é fértil e abundante de nutrientes e pode ser utilizado como adubo para a terra onde está a horta. Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.

Na residência ou bairro em que você mora existe alguma horta? Como a compostagem poderia contribuir para que essa horta seja mais produtiva? O que deve ser observado para definir a escolha da capacidade da composteira? Explique como é possível calcular a capacidade de um recipiente com formato de bloco retangular utilizado em uma composteira.

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Aproveitar o tema e ler para os alunos o trecho a seguir, com informações sobre aterro sanitário, aterro controlado e lixão. [...] Aterro sanitário Espécie de depósito no qual são descartados re-

síduos sólidos, prioritariamente materiais não recicláveis. Devem estar fora de áreas de influência direta em manancial de abastecimento público, distante 200 metros de rios, nascentes e demais corpos hídricos, a 1 500 metros de núcleos po-

GIMENES, E.; HISING, E. Aterros sanitários, aterros controlados e lixões: entenda o destino do lixo no Paraná. Disponível em: <https://cetesb.sp.gov.br/biogas/ 2017/08/01/aterros-sanitarios -aterros-controlados-e-lixoes -entenda-o-destino-do-lixo-no-parana>. Acesso em: 10 set. 2018.

No último item proposto, é possível estabelecer uma relação entre possíveis conhecimentos prévios dos alunos e o conteúdo desta Unidade. Se julgar conveniente, realizar um projeto em conjunto com o professor da disciplina de Ciências para confeccionar composteiras para o uso nas residências ou na escola.

Que tipos de resíduos orgânicos podem ser utilizados na compostagem? Cite alguns benefícios da compostagem doméstica.

Resposta esperada: A quantidade de resíduos orgânicos gerados na residência, em 30 dias. Resposta esperada: É possível calcular a capacidade de um recipiente com formato de bloco retangular multiplicando as medidas das três dimensões: comprimento, largura e altura.

Lixão Vazadouro a céu aberto, sem controle ambiental e nenhum tratamento ao lixo, onde pessoas têm livre acesso para mexer nos resíduos e até montar moradias em cima deles. [...]

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pulacionais e 300 metros de residências isoladas. Além disso, precisam de sistema de impermeabilização, cobertura diária dos resíduos, projeção de vida útil superior a 15 anos, sistema de monitoramento de águas subterrâneas do ta-

Acessar este site para mais informações sobre como confeccionar uma composteira caseira. AKATU. Aprenda a fazer uma composteira caseira. Disponível em: <http://livro. pro/j6xqsu>. Acesso em: 10 set. 2018.

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[...] Capacidade é a propriedade que tem um recipiente de conter alguma coisa. Volume é a medida do espaço ocupado por um corpo tridimensional. A unidade de medida de capacidade é o litro, e a de volume é o metro cúbico. Entretanto, graças à relação [...] (1 L = = 1 dm3), é possível expressar a capacidade usando como unidade o metro cúbico. [...]

Volume de um bloco retangular Vimos nas páginas de abertura desta Unidade algumas informações sobre a compostagem caseira. Uma dessas informações indica que a capacidade da composteira deve ser escolhida de acordo com a quantidade de resíduos orgânicos que ela deve processar, ou seja, quanto mais resíduos uma família gera, maior capacidade deve ter a composteira. A composteira a seguir, por exemplo, é formada por três caixas idênticas com formato de bloco retangular, cujas dimensões internas estão indicadas e, de acordo com o fabricante, é recomendada para uma família com cerca de seis pessoas.

6 dm 3 dm

Consulte este livro, que apresenta informações sobre volume de maneira curiosa e divertida. • POSKITT, K. Medidas desesperadas: Comprimento, área e volume. Rio de Janeiro: Melhoramentos, 2006.

Para determinar a capacidade de cada uma dessas caixas, vamos relembrar como é possível calcular o volume de um bloco retangular. Para calcular o volume de um bloco retangular, podemos multiplicar as medidas das três dimensões: comprimento, largura e altura. Como em um bloco retangular a base é um retângulo, também podemos calcular o volume multiplicando a área da base do bloco retangular pela sua altura. a

V=c?l?a

V = Ab ? a

Como o cubo é um caso particular de bloco retangular, em que as arestas têm medidas iguais, podemos calcular seu volume da mesma maneira.

TOLEDO, M; TOLEDO, M. Teoria e Prática Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2010. p. 307.

Para que os alunos verifiquem na prática a relação 1 L = 1 dm3, é possível realizar um experimento usando um recipiente cúbico de 1 dm de aresta e uma jarra graduada que indique o volume de 1 litro de água. Para isso, encher com água a jarra até a marcação de 1 L e despejar todo o conteúdo no recipiente cúbico, enchendo-o completamente.

4 dm

ALEX SILVA

VOLUME DE UM BLOCO RETANGULAR No trabalho com este tópico, verificar se os alunos lembram como determinar o volume de um bloco retangular, conteúdo abordado em Volumes anteriores desta coleção. Verificar se os alunos compreenderam que as fórmulas de volume apresentadas são equivalentes, uma vez que a base do bloco retangular corresponde a um retângulo de lados com medidas c e l e, portanto, tem área igual a c ? l na unidade de medida considerada. Essa compreensão auxiliará no cálculo do volume do cilindro, que será trabalhado mais adiante nesta Unidade. Ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta os conceitos de volume e de capacidade.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

V=a?a?a a

V = a³

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A partir da igualdade 1 L = = 1 dm3, é possível obter outras relações entre as unidades de medida de volume e de capacidade. Como 1 dm3 = = 1 000 cm3 e 1 L = 1 000 mL, podemos afirmar que: • 1 000 cm3 = 1 000 mL, ou seja, 1 cm3 = 1 mL • 1 dm3 = 1 000 mL • 1 L = 1 000 cm3 Sugerir aos alunos que estabeleçam outras relações similares com o metro cúbico. Como 1 m3 = 1 000 dm3 e 1 000 dm3 = 1 000 L, podemos afirmar que 1 m3 = 1 000 L. Para complementar este estudo, reproduzir na lousa as afirmativas a seguir e pedir aos alunos que as copiem no caderno, substituindo cada pelo número adequado. • A capacidade de uma jarra é 3 L ou dm3. Resposta: 3. • O volume de água de uma piscina é 24,84 m3 ou L. Resposta: 24 840. • A capacidade de um copo é de 200 mL ou cm3. Resposta: 200. Na resolução da questão do Enem, é importante que os alunos compreendam que foi utilizado o conceito de proporção, uma vez que o volume de água da piscina e a quantidade de mililitro do produto são grandezas diretamente proporcionais. O trabalho com proporção foi realizado na Unidade 4 deste Volume, se julgar necessário, é possível retomá-la.

Utilizando a fórmula do cálculo do volume do bloco retangular, podemos calcular a capacidade de cada caixa da composteira da seguinte maneira: V = 4 ? 6 ? 3 = 72, ou seja, 72 dm3. Assim, como 1 dm3 = 1 L, temos que cada caixa da composteira tem capacidade de 72 L. Agora, observe como resolver a questão a seguir, proposta em uma edição do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). (Enem-2017) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1 000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina. A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é: 5 m, 3 m e 1,2 m. A água nessa piscina tem o formato de a) 11,25 d) 32,25 um bloco retangular. Quais são as medidas b) 27,00 e) 49,50 das dimensões desse bloco retangular? c) 28,80 Com base nas informações apresentadas, podemos construir a figura a seguir. lâmina d’água

0,5 m

1,7 m

EDITORIA DE ARTE

1,2m

Observe que, como o nível da lâmina d’água está a 50 cm (0,5 m) da borda, a distância do fundo da piscina até essa lâmina d’água é 1,2 m (1,7 _ 0,5 = 1,2).

Para determinar a quantidade de água na piscina, devemos calcular o volume de um bloco retangular cuja base tem dimensões 3 m e 5 m e a altura é de 1,2 m. Área da base: Ab = 3 ? 5 = 15, ou seja, 15 m². Volume de água: V = 15 ? 1,2 = 18, ou seja, 18 m³. Assim, o volume de água na piscina é 18 m³ ou 18 000 L, uma vez que 1 m³ = 1 000 L. Como deve ser adicionado 1,5 mL do produto a cada 1 000 L de água, para obter a quantidade de produto a ser utilizado na piscina podemos escrever a seguinte proporção: 1 000 18 000 = 1,5 x 1 000x = 27 000 1 000x 27 000 = 1 000 1 000 x = 27, ou seja, 27 mL. Portanto, a alternativa b é a correta. 231

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo do volume de blocos retangulares. As figuras apresentadas não estão em verdadeira grandeza. 2. Esta atividade trabalha o cálculo do volume de sólidos por meio da decomposição em blocos retangulares. Espera-se que os alunos decomponham primeiramente o sólido em blocos retangulares, calculem o volume de cada um deles separadamente e, por fim, adicionem os resultados. 3. Esta atividade trabalha uma situação contextualizada envolvendo o cálculo do volume de blocos retangulares. Para resolver cada item, relembrar aos alunos as seguintes relações: 1 cm3 = 1 mL; 1 mL = 0,001 L. No item d, questioná-los sobre o parâmetro que é necessário para a escolha da composteira. Neste caso, a quantidade de moradores da residência. 4. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, a determinação das medidas das dimensões da base de um bloco retangular de acordo com sua altura e seu volume. Conversar com os alunos sobre quais estratégias eles utilizaram na resolução. Uma estratégia é determinar, inicialmente, a área da base desse bloco retangular a partir da equação: V = Ab ? a H 240 = Ab ? 4 Em seguida, identificar quais dos retângulos apresentados têm essa área. Um dos objetivos desta atividade é os alunos perceberem que blocos retangulares com dimensões de diferentes medidas podem ter um mesmo volume. Na situação apresentada, as medidas das dimensões da base do bloco retangular são diferentes, porém a medida da altura é a mesma. 5. Esta atividade trabalha uma situação contextualizada envolvendo o cálculo do volume de blocos retangulares. Dizer aos alunos que o enfeite de metal tem formato irregular e, nesse caso, não é simples

Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Determine o volume dos blocos retangulares representados a seguir. 64 cm³. c) a) 135 cm³. 4 cm

9 cm

4 cm

8 cm

35 cm

43 cm

11 cm

6 cm

2. Cada sólido representado a seguir pode ser decomposto em dois blocos retangulares. Calcule o volume de cada um desses sólidos. a) 105 cm³.

Modelo P.

3 cm

5 cm

b) 120 cm³.2,5 cm

4 cm

Em certa loja, ele encontrou composteiras formadas por caixas com formato de bloco retangular nos seguintes modelos.

Modelo M.

39 cm

52 cm

18 cm

1 cm

3 cm 6 cm

b) 280 cm³.

7 cm

Modelo G. 60 cm

2 cm 2 cm 2 cm

4 cm

2 cm

14 cm 2 cm 8 cm

3. Marcos pretende comprar uma composteira doméstica formada por três caixas idênticas. Ele foi informado de que a capacidade de cada caixa deve ser adequada à quantidade de pessoas que moram na casa: • 1 ou 2 moradores: caixa de pelo menos 15 L. • 3 ou 4 moradores: caixa de pelo menos 40 L. • 5 ou 6 moradores: caixa de pelo menos 60 L. 232

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determinar seu volume a partir de fórmulas pré-estabelecidas. A partir disso, é importante que eles compreendam que o volume do enfeite corresponde ao volume de água deslocada, ou seja, o volume de um bloco retangular com arestas da base medindo 4 dm e altura medindo 1 dm.

40 cm 20 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Sabendo que na casa de Marcos moram quatro pessoas, responda às questões. a) Cada caixa da composteira escolhida por Marcos deve ter capacidade de pelo menos quantos litros? 40 L. b) Qual é a capacidade de cada caixa dos modelos de composteira indicados anteriormente, em litros? 3. c) Modelo G. c) Qual desses modelos de composteira Marcos pode comprar, de maneira a atender às informações que recebeu? d) Se você fosse comprar uma dessas composteiras para a residência onde você mora, quais modelos poderia escolher para atender às informações apresentadas? Justifique. Resposta pessoal. 3. b) Modelo P: 16,555 L; modelo M: 36,504 L; modelo G: 48 L.

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4. Para um trabalho de Matemática proposto pela professora do 9o ano, Cássia separou uma peça de sabão em barra que possui formato de bloco retangular. Ela fez medições com a régua e realizou cálculos determinando que essa barra de sabão tem 240 cm³ de volume e 4 cm de altura. Qual dos retângulos representados a seguir pode corresponder à base dessa barra de sabão? a e c. c)

a) 10 cm

12 cm

6 cm

5 cm

b) 8 cm 5 cm

d) 8 cm 3 cm

5. Para determinar o volume de um enfeite de metal, Sílvia fez o seguinte procedimento: primeiro colocou água em um recipiente transparente com formato de cubo com capacidade para 64 dm³. Em seguida, mediu a altura da água nesse recipiente. Colocou então o enfeite dentro do recipiente de modo a ficar completamente coberto por água e, na sequência, mediu novamente a altura da água. Observe os valores obtidos nas medições que Silvia fez e calcule o volume do enfeite de metal. 16 dm³. Medição 1.

2,5 dm

3,5 dm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Medição 2.

Se possível, realizar outro experimento utilizando como objeto um recipiente cuja capacidade seja conhecida, como uma garrafa de vidro com capacidade de 1 L. Nesse experimento, é necessário garantir que o objeto esteja aberto, vazio e que, ao ser colocado no recipiente com água, fique totalmente submerso e cheio dessa água. Com isso, explorar com os alunos a diferença entre a capacidade e o volume desse objeto; nesse caso, sua capacidade corresponde a quanto é possível armazenar em seu interior (1 L) e seu volume, ao espaço ocupado pelo material do qual é feito (vidro). Para a elaboração do relatório, pode ser sugerido um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Língua Portuguesa. 7. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo o cálculo do volume de blocos retangulares. Verificar se os alunos perceberam que, para acondicionar o objeto cúbico, todas as medidas das dimensões da caixa devem ser iguais ou maiores do que as medidas das dimensões do objeto. Neste caso, apesar da capacidade da caixa 2 ser mais próxima do volume do objeto cúbico, uma das medidas das dimensões da caixa é menor do que as do objeto, o que o impede de ser acondicionado nela.

6. Utilizando um recipiente transparente com formato de bloco retangular, realize um experimento parecido com o descrito na atividade anterior. Para isso, siga as etapas indicadas a seguir e faça anotações. 1a) Meça as dimensões da base do recipiente; 2a) Despeje água no recipiente até que ocupe aproximadamente metade de sua capacidade e, com um pincel, marque o nível da água; 3a) No recipiente, coloque um objeto qualquer de maneira que fique totalmente submerso e, novamente, marque o nível da água. a 4 ) Com a régua, meça em centímetros o deslocamento da água no recipiente. 5a) Por fim, com base nas medições que realizou, calcule o volume aproximado do objeto. Agora, elabore e escreva no caderno um relatório desse experimento. Indique nesse relatório o objetivo do experimento, os materiais utilizados, os resultados e a conclusão. Resposta pessoal. 7. (Enem-2017) Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito: • Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm • Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm • Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm • Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 82 cm • Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior. A caixa escolhida pelo casal deve ser a de Alternativa c. número: a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 233

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6. Esta atividade trabalha um experimento envolvendo o cálculo do volume de blocos retangulares. Além disso, propõe a elaboração de um relatório. É possível propor um trabalho com esta atividade utilizando ideias da Investigação matemática, uma das ten-

dências abordadas na parte geral deste Manual do professor. Para isso, uma sugestão é levar para a sala de aula diferentes objetos para que os alunos explorem e formulem suas próprias conjecturas. Veja a seguir alguns questionamentos que podem ser realizados.

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• O “maior” objeto apresen-

ta o maior volume? • O objeto de menor massa apresenta o menor volume? • Ao inserir o objeto de maior volume no recipiente com água, podemos concluir que a quantidade de água deslocada também será a maior?

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Volume de um prisma e de Sabonete com formato de bloco retangular: retângulo; um cilindro sabonete com formato de prisma de base triangular: triângulo; sabonete com formato de cilindro: círculo.

VOLUME DE UM PRISMA E DE UM CILINDRO Para o trabalho com o conteúdo destas páginas, relembrar aos alunos os conceitos de prismas e cilindros. • Os prismas são figuras geométricas espaciais que possuem duas faces opostas idênticas e paralelas chamadas de bases, que podem ser um polígono qualquer. As demais faces são paralelogramos, chamadas de faces laterais.

Sabonete com formato de bloco retangular.

Sabonete com formato de prisma de base triangular.

Sabonete com formato de cilindro.

Esses sabonetes têm formato de figuras geométricas espaciais. Quais figuras correspondem à base de cada uma dessas figuras geométricas espaciais?

Para embalar os sabonetes desses modelos, Jorge fez empilhamentos com cinco unidades cada, conforme segue. O que podemos afirmar sobre o volume de sabonete nesses empilhamentos?

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Prisma de base hexagonal.

• Os cilindros são figuras geométricas espaciais que possuem duas faces opostas idênticas e paralelas chamadas de bases, que têm formato de círculo, e uma superfície arredondada. base superfície arredondada base

Cilindro

Note que esses empilhamentos são formados pela mesma quantidade de sabonetes e, como esses sabonetes têm todos o mesmo volume, podemos afirmar que os empilhamentos possuem volumes iguais. Essa comparação entre os volumes dos empilhamentos de sabonetes envolve ideias do chamado princípio de Cavalieri. Com esse princípio, podemos afirmar que o volume de um prisma qualquer ou de um cilindro pode ser calculado de maneira análoga à do bloco retangular: multiplicando a área da base do sólido e sua altura.

fique ligado

O princípio de Cavalieri O italiano Bonaventura Cavalieri nasceu em 1598, em Milão. Aos quinze anos de idade, foi aluno de Galileu Galilei (1564-1642); anos mais tarde atuou como professor de Matemática da Universidade de Bolonha. Cavalieri escreveu várias obras com temas matemáticos, da óptica e da astronomia. Uma de suas grandes contribuições é uma publicação de 1635, Geometria indivisibilibus, na qual apresenta um estudo sobre o cálculo de volume de figuras geométricas espaciais, que ficou conhecido como o princípio de Cavalieri. Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 425.

LUCHINO/SHUTTERSTOCK.COM

uma das faces lateriais

bases

Jorge trabalha em uma saboaria artesanal. Ele confeccionou, em certo dia, sabonetes com formatos representando figuras geométricas espaciais, de mesma altura e mesmo volume. Observe.

Estátua de Bonaventura Cavalieri em Milão (Itália).

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Antes de explorar o exemplo 1, promover uma roda de conversa com os alunos a fim de identificar o que eles compreenderam sobre o princípio de Cavalieri. Caso algum aluno tenha dificuldade, uma sugestão é realizar o experimento a seguir, que apresenta ideias intuitivas desse princípio. Para isso, providenciar previamente fichas retangulares idênticas e empilhá-las, de modo que os empilhamentos fiquem com formatos diferentes, porém, cada um com a mesma quantidade de fichas.

Nesse caso, temos a representação de um prisma cuja base é um retângulo, ou seja, é a representação de um bloco retangular.

Nesse caso, temos a representação de um prisma cuja base é um triângulo, ou seja, é a representação de um prisma de base triangular.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

O volume de um prisma qualquer ou de um cilindro pode ser calculado multiplicando a área da base (Ab) e a altura do sólido. V = Ab ? a

Nesse caso, temos a representação de um cilindro, em que a base é um círculo. Como a área de um círculo de raio r é dada por pr², também podemos indicar o volume de um cilindro por: V = pr² ? a .

Agora, vamos resolver os exemplos a seguir. Exemplo 1 O reservatório de água de uma indústria tem o formato cilíndrico e suas medidas internas estão indicadas na figura ao lado. Qual é a capacidade máxima de armazenamento, em litros, desse reservatório? Para resolver essa questão, identificamos na figura que o reservatório com formato cilíndrico tem 12,5 m de altura e o raio da base tem 2 m, correspondente à metade do diâmetro indicado. Considerando p aproximadamente igual a 3,14, realizamos os cálculos.

12,5 m

Como 1 m³ = 1 000 L, temos que a capacidade máxima de armazenamento desse reservatório é 157 000 L.

O Princípio de Cavalieri pode ser demostrado, mas nesta coleção iremos apenas considerá-lo verdadeiro. Observe como ele pode ser enunciado. Considere os sólidos A e B de mesma altura a apoiados em um plano horizontal I. Se qualquer plano horizontal II, paralelo ao plano I, determina nesses sólidos duas regiões planas de áreas iguais, então o volume de A é igual ao volume de B. Neste caso, qualquer que seja o plano II paralelo ao plano I, as figuras A1 e B1, determinadas respectivamente nos sólidos A e B, têm áreas iguais. Com isso, podemos afirmar que esses sólidos têm volumes iguais.

B B1 a

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EDITORIA DE ARTE

ALEX SILVA

V = pr² ? a 1 3,14 ? 2² ? 12,5 = 3,14 ? 4 ? 12,5 = 157, ou seja, 157 m³.

Explicar aos alunos que o volume de cada empilhamento corresponde à soma dos volumes de cada ficha e, como as fichas são idênticas e os empilhamentos são formados pela mesma quantidade de fichas, podemos afirmar que os empilhamentos têm o mesmo volume, independentemente de como as fichas foram empilhadas. Para finalizar, propor aos alunos que retomem a leitura do trecho da página 234 – “Com esse princípio, podemos afirmar que o volume de um prisma qualquer ou de um cilindro pode ser calculado de maneira análoga à do bloco retangular: multiplicando a área da base do sólido e sua altura” – e expliquem porque isso é válido. É importante que os argumentos utilizados pelos alunos sejam fundamentados pelo princípio de Cavalieri.

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No exemplo 2, explicar aos alunos que foram desconsiderados os volumes das ferragens utilizadas na construção da rampa, que servem de sustentação. Além disso, destacar que essa rampa tem formato de um prisma de base triangular. Eles podem não ter percebido isso, pois nessa situação uma das partes correspondente às bases desse prisma não está apoiada em um plano horizontal (chão). No cálculo da área da base do prisma, se julgar necessário, relembrar os alunos que podemos calcular a área do triângulo pela fórmula b?h A= , em que b corres2 ponde à medida da base do triângulo e h, à medida da altura. Esse conteúdo foi abordado na Unidade 6 do Volume 8 desta coleção. No exemplo 3, ao determinar a altura (h) dos triângulos equiláteros, explicar aos alunos que foi realizada a simplificação do radical 12 . Caso julgar necessário, realizar essa simplificação com os alunos a partir das seguintes etapas. 1a) Fatoramos o radicando. 12 2 6 2 3 3 1

Exemplo 2 Um arquiteto está projetando uma rampa para a pista de skate de certa praça pública. Essa rampa será construída de concreto maciço e terá o formato de um 0,6 m 2,4 m prisma de base triangular, conforme as medidas indicadas na figura ao lado. Quantos metros cúbicos de concreto 3,5 m serão necessários para a construção dessa rampa? Para resolver essa questão, podemos inicialmente calcular a área da base do prisma, que corresponde a um triângulo retângulo. Assim, temos: medida da base do triângulo

Ab =

3,5 ? 0,6 2,1 = = 1,05, ou seja, 1,05 m². 2 2

Depois, determinamos o volume do prisma de base triangular. V = Ab ? a = 1,05 ? 2,4 = 2,52, ou seja, 2,52 m³. Portanto, serão necessários 2,52 m3 de concreto para 4 cm a construção dessa rampa. Exemplo 3 Uma fábrica de embalagens deverá produzir um modelo com formato de prisma, cuja base representa um hexágono regular, conforme mostra a figura ao lado. Qual é a capacidade máxima de armazenamento dessa embalagem? 12 cm Para resolver essa questão, inicialmente podemos decompor o hexágono correspondente às bases do prisma em seis triângulos equiláteros congruentes. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determinamos a altura de cada triângulo desses. 2 4 42 = h2 + [ ] 2 16 = h2 + 4 16 _ 4 = h2 + 4 _ 4 h 12 = h2 h = 12 = 2 3 4 cm h2 = 12 ou h = _ 12 = _2 3 (desconsideramos)

4 cm

12 cm

4 cm

Agora, vamos calcular a área da base desse prisma, ou seja, do hexágono regular de lado 4 cm. Para isso, multiplicamos por seis a área do triângulo equilátero cuja altura obtemos anteriormente. quantidade de triângulos

Assim, 12 = 2 ? 2 ? 3. Então:

Ab = 6 ?

12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3

4?2 3 = 6 ? 4 3 = 24 3, ou seja, 24 3 cm2. 2 área de cada triângulo

2a) Utilizamos propriedades de raízes e calculamos: 22 ? 3 = 22 ? 3 = 2 3 Portanto, 12 = 2 3 . Neste exemplo, foi determinado que a capacidade máxima de armazenamento da embalagem é 288 3 cm3. Para complementar, propor aos alunos que realizem o cálculo aproximado dessa medida, utilizando 1,73 como uma aproximação de 3 . 288 ? 1,73 = 498,24, ou seja, 498,24 cm3.

medida da altura do triângulo

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por fim, calculamos o volume do prisma de base hexagonal. V = Ab ? a = 24 3 ? 12 = 288 3, ou seja, 288 3 cm3. Portanto, a capacidade máxima de armazenamento dessa embalagem é 288 3 cm³. 236

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo do volume de cilindros. Dizer aos alunos que nas figuras de cilindro estão indicadas as medidas da altura e do diâmetro da base. Dessa maneira, antes de calcular o volume, é

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necessário determinar o raio da base de cada cilindro. Para auxiliar na resolução, levar algumas calculadoras para a sala de aula e, caso não haja calculadoras suficientes, organizar os alunos em grupos.

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h =

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Nas atividades das páginas 237, 238 e 239, utilize 3,14 como uma aproximação de p.

h2 =

1. Com auxílio de uma calculadora, determine o volume dos cilindros representados a seguir. a)

1 020,5 cm³.

188,4 cm³.

13 cm

769,3 cm³. 5 cm

4 cm

84,78 cm³. 3 cm 6 cm

14 cm

ILLO

SOU

DAN 2. Gabriela comprou um doce de amendoim cuja embalagem tem formato de prisma, em que a base corresponde a um triângulo equilátero. Após consumir o doce, Gabriela vai utilizar a embalagem para acondicionar 30 cm glitter para fazer artesanato. Observe as medidas internas dessa embalagem e calcule quantos centímetros 5 cm cúbicos de glitter ela pode acondicionar, no máximo. 187,5 3 cm3. 3. Elizeu separou para um experimento os dois recipientes representados a seguir. O recipiente I tem formato de cilindro e o recipiente II, de bloco retangular.

20 cm

22 cm

10 cm 12 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Recipiente II

Recipiente I

10 cm

Durante o experimento, Elizeu encheu completamente de água o recipiente I e despejou todo conteúdo no recipiente II. Ao final desse experimento, podemos afirmar que o recipiente II: c. a) não ficou completamente cheio. b) ficou completamente cheio e a água não transbordou. c) ficou completamente cheio e transbordou menos de 100 mL de água. d) ficou completamente cheio e transbordou mais de 200 mL de água.

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2. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo do volume de prisma de base triangular. Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos para calcular a área da base do prisma, visto que a base corresponde a um triângulo equilátero. Uma es-

tratégia é, inicialmente, obter a altura do triângulo equilátero aplicando o Teorema de Pitágoras e, depois, calcular a área do triângulo. O trabalho com o Teorema de Pitágoras foi realizado na Unidade 6 deste Volume. Se julgar necessário, é possível retomá-la.

5 3 2 ou

h =_ 75 = 4 5 3 (des2 considerado)

15 cm

10 cm

75 4

75 = 4

= _

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5 cm h

5 cm 2

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Resoluções a partir da p. 257

AtividadeS

Nesse cálculo, é importante realizar com os alunos a simplificação do radical 75 . 4 3. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, a comparação do volume de um bloco retangular e de um cilindro. Antes de resolvê-la, sugerir aos alunos que estimem qual dos recipientes tem a maior capacidade de armazenamento. Após a resolução, pedir a eles que analisem se a estimativa estava correta. É importante que eles percebam que, mesmo a medida da altura do recipiente II sendo maior, este não é o recipiente com maior capacidade. Isso ocorre porque, além da medida da altura, é necessário também considerar a medida da área de sua base. Para complementar, propor um experimento parecido com o apresentado nesta atividade. Para isso, providenciar objetos com formato de bloco retangular e de cilindro, com diferentes capacidades, e organizar os alunos em grupos. Cada grupo deve escolher dois recipientes, encher completamente de água um deles e despejar todo o conteúdo no outro recipiente. Porém, antes de transferir o líquido de um recipiente para outro, eles devem estimar qual deles tem a maior capacidade. Ao final, propor que classifiquem os objetos em ordem crescente de acordo com a capacidade de armazenamento.

5 2 52 = [ ] + h2 2 25 25 = + h2 4

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ATIVIDADES 4. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo do volume de um cilindro. Além disso, possibilita ao aluno perceber que cilindros com alturas e/ou raio da base com medidas diferentes podem ter o mesmo volume. Conversar com os alunos sobre quais estratégias eles utilizaram para resolver o item b. Como as medidas dos volumes dos cilindros devem ser iguais (339,12 cm3), uma estratégia é atribuir um valor para o raio, por exemplo, 2 cm, e determinar a altura a partir da equação 339,12 = 3,14 ? 4 ? a, que nesse caso é igual a 27 cm. 5. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo do volume de um prisma. Verificar se os alunos perceberam que o formato da caçamba lembra um prisma cuja base é um hexágono, representado na imagem correspondente à vista lateral. Para calcular a área da base, sugerir a eles que decomponham a figura do hexágono em dois trapézios, como indicado a seguir.

4. b) Algumas respostas possíveis: Raio da base igual a 4 cm e altura igual a 6,75 cm; raio da base igual a 5 cm e altura igual a 4,32 cm. 4. A professora de Matemática do 9o ano pediu aos alunos que indicassem as medidas do raio (r) e da altura (a) de um cilindro diferente do desenhado por ela na lousa; porém cujo volume fosse igual. Observe a seguir o cilindro desenhado pela professora e as respostas de três alunos.

Respostas: João: r = 2 cm e a = 27 cm

12 cm

Marcos: r = 5 cm e a = 20 cm Taís: r = 6 cm e a = 3 cm 6 cm a) Quais alunos deram respostas corretas? João e Taís. b) Indique outros valores para o raio da base e para a altura de outro cilindro, que sejam diferentes dos apresentados, mas cujo volume seja igual ao do cilindro desenhado pela professora. c) Desenhe em seu caderno a representação de um cilindro e indique as medidas do raio da base e da altura. Em seguida, troque esse desenho com um colega para que ele indique as dimensões de um cilindro diferente do desenhado por você, porém com volume igual, enquanto você faz o mesmo com o que recebeu. Por fim, confiram juntos as respostas. Resposta pessoal. 5. Uma empresa de coleta de resíduos de construção civil utiliza caçambas com formatos de prisma. Observe as dimensões internas de uma delas. Vista superior.

Vista lateral. 2,5 m 0,5 m

2,5 m

0,5 m 3m

1,5 m EDITORIA DE ARTE

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

1,5 m

6. Esta atividade trabalha a elaboração pelo aluno de um problema envolvendo o cálculo do volume de um cilindro e de um prisma. É importante avaliar se os problemas elaborados pelos alunos contemplam ideias relacionadas aos conceitos propostos. Ao final, uma sugestão é que alguns desses problemas sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

Calcule o volume máximo de resíduo que pode ser colocado nessa caçamba, sabendo que não pode haver resíduos ultrapassando suas bordas. 7,25 m³. 6. No caderno, elabore e escreva dois problemas: um deles envolvendo o volume de um cilindro e outro, o volume de um prisma. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão Resposta pessoal. corretas. 238

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9. b) Modelo I: 1 120 cm²; modelo II: 1 088 cm²; modelo III: 1 232 cm². 9. c) Modelo I: 2 304 cm³; modelo II: 2 304 cm³; modelo III: 2 304 cm³. Todos os modelos têm a mesma capacidade. Após a silagem, a quantidade máxima de 7. Sob certas condições, ao congelar, a água forragem que cabe no silo, em toneladas, é: aumenta seu volume em cerca de 9% em relação ao da sua forma líquida. Em um a) 110 experimento, determinada quantidade de Alternativa a. b) 125 água foi colocada em um recipiente transc) 130 parente e cilíndrico de 8 cm de diâmetro d) 220 da base e, em seguida, foi colocado em e) 260 um freezer até que a água congelasse e atingisse 16 cm de altura nesse recipiente. a) Qual é o volume do bloco de gelo formado? 803,84 cm³. b) Quanta água, aproximadamente, foi utilizada no experimento para formar esse bloco de gelo? 737,47 cm³.

ENEM

109%

9. Em um supermercado atacadista, as latas de ervilhas são vendidas em embalagens com 4 latas cada. Com o objetivo de diminuir os custos, está sendo feito um estudo para analisar o modelo de embalagem com formato de bloco retangular que utiliza menos papelão. Observe as dimensões internas dos modelos de embalagem em estudo. Modelo I

Modelo II

18 cm

2014

8. (Enem-2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

alunos tenham dificuldades, propor a eles que escrevam e resolvam a seguinte equação: 1,09 ? v = 803,84, em que v

8 cm

9 cm 16 cm

16 cm

Modelo III C

9 cm

b 8 cm

Legenda: b: largura do fundo B: largura do topo C: comprimento do silo h: altura do silo

Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m³ desse tipo de silo. EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: <www.cnpgc.embrapa.br>. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

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7. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo do volume de um cilindro. Se possível, realizar um trabalho junto ao professor da disciplina de Ciências sobre a propriedade da água se expandir ao congelar.

ILUSTRAÇÕES: DANILLO SOUZA

32 cm

452,16 cm³. a) Calcule o volume da lata de ervilhas. b) Considerando que todos os modelos de caixa terão tampa e desprezando as sobreposições do papelão, calcule a área de papelão utilizada em cada modelo de caixa. c) Calcule a capacidade das caixas de cada modelo. Qual desses modelos tem a maior capacidade? d) De acordo com o objetivo do estudo realizado pelo supermercado atacadista, qual deve ser o modelo de caixa adotado? Justifique. Resposta esperada: Modelo II, pois entre as opções, é o que utiliza menos papelão. 239

No item a, é importante que os alunos percebam que o bloco de gelo tem formato cilíndrico, assim como o recipiente, com uma altura de 16 cm. No item b, discutir com os alunos o fato de que calcular 9% do volume do

corresponde à quantidade aproximada de água que foi colocada no recipiente. 8. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo do volume de um prisma. É importante que os alunos compreendam que para obter a área da base desse prisma é preciso calcular a área de um trapézio. Para isso, é necessário determinar a largura do fundo do silo (base menor do trapézio). Propor a eles que identifiquem no enunciado qual informação auxiliará para determinar essa largura (“para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a altura do fundo”). Com base nisso, verificar se algum aluno indicou a equação: B = 0,5h + b. 9. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo do volume de bloco retangular e de cilindro. Dizer aos alunos que, para a resolução do item d, basta considerar as respostas obtidas no item b.

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bloco de gelo e subtrair esse valor de 803,84 cm3 não está correto. É necessário considerar que o volume determinado no item a corresponde à 109% da quantidade de água utilizada no experimento antes dela se expandir. Caso os

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre porque a água se expande ao congelar. • POR QUE a água se expande ao congelar? Mundo Estranho. Disponível em: <http://livro.pro/qpikbj>. Acesso em: 18 set. 2018. Sugerir aos alunos que acessem este site e assistam ao vídeo para obter mais informações sobre o que ocorre com o volume da água quando ela congela. • POR QUE a água dilata ao congelar? Globo Ciência. Disponível em: <http://livro. pro/vpiy7o>. Acesso em: 18 set. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS INTEGRANDO COM CIÊNCIAS Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 4 e à competência específica 3 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema aborda uma questão socioambiental e faz o uso de diferentes linguagens para expressar e partilhar informações e experiências, explorando relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Para o desenvolvimento desta seção, é possível realizar um trabalho em conjunto com os professores da disciplina de Ciências.

integrando com ciências

Seca Você já ouviu falar em período de seca? A seca é um fenômeno natural climático, que pode ser entendido como ausência de chuva por um extenso período de tempo. No Brasil, esse fenômeno não é exclusivo do sertão nordestino. É também recorrente em outras áreas do país, como no norte de Minas Gerais. A escassez da pluviosidade pode afetar de maneira negativa o ecossistema e as atividades socioeconômicas da região em que ocorre. Os efeitos do período de seca sobre a população podem ser amenizados com algumas políticas públicas, como perfuração de poços, instalação de cisternas, construção de açudes e barragens, entre outros.

Paisagem retratando o bioma da Caatinga na Região Nordeste do Brasil. Fotografia de 2018.

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

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1. A região onde você mora já vivenciou algum período de seca? Se necessário, converse com adultos sobre isso e relate aos colegas como foi essa experiência. Resposta pessoal.

2,4 m ALEX SILVA

2. As cisternas, citadas no texto, são reservatórios de águas da chuva. O armazenamento de águas pluviais possibilita seu uso em residências, indústrias, escolas etc. Observe as dimensões internas de uma cisterna, cuja água é própria para o consumo humano. A parte dessa cisterna onde a água é armazenada tem formato cilíndrico. a) Quantos metros cúbicos de água, no máximo, podem ser armazenados nessa cisterna? 16,956 m3. b) Segundo a Organização das Nações Unidas (ONU), 110 litros de água por dia são suficientes para atender às necessidades básicas de uma pessoa. Considerando essa cisterna cheia de água, por quantos dias, no máximo, essa quantidade de água é suficiente para garantir o consumo, recomendado pela ONU, por uma família com quatro pessoas? 38 dias.

3,0 m

3. Você conhece a música “Asa Branca”, composta por Luiz Gonzaga (1912-1989) e Humberto Teixeira (1915-1979)? Ela aborda a questão da seca no sertão. Junte-se a um colega e pesquisem a letra dessa música. Depois, façam um desenho que represente o cenário retratado nela. Resposta pessoal.

seca, características do sertanejo, como o seu dialeto, que é uma herança cultural do sertão. 4. Esta questão explora a pesquisa pelos alunos de informações sobre a cisterna caseira. É esperado que eles percebam que a instalação de um sistema de captação de água da chuva é uma alternativa para enfrentar uma crise de água e uma maneira de reaproveitar de maneira consciente esse recurso. Esse contexto propicia uma abordagem relacionada à seguinte habilidade do componente curricular de Ciências da BNCC: [...] (EF09CI13) Propor iniciativas individuais e coletivas para a solução de problemas ambientais da cidade ou da comunidade, com base na análise de ações de consumo consciente e de sustentabilidade bem-sucedidas. [...]

PAULA MONTENEGRO/SHUTTERSTOCK.COM

4. O reaproveitamento da água da chuva também pode ocorrer em nossas residências. A cisterna caseira é uma alternativa simples que auxilia no consumo consciente da água. Junte-se com dois colegas e pesquisem informações sobre esse tipo de cisterna: como funciona, qual a capacidade de armazenamento, como pode ser utilizada a água armazenada etc. Depois, elaborem um cartaz com essas informações explicitando a opinião de vocês sobre o uso da cisterna caseira e os benefícios que ela pode oferecer para a família e para o meio ambiente. Resposta pessoal.

BRASIL. Ministério da Educação. Base nacional comum curricular: educação é a base. Versão final. Brasília, DF, 2017. p. 349.

Verificar a possibilidade de realizar um projeto em conjunto com o professor da disciplina de Ciências para a construção de uma cisterna do tipo caseira na escola.

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1. Para complementar esta questão, disponibilizar para os alunos recortes de notícias sobre os períodos de seca em diferentes regiões do Brasil. Outra possibilidade é levá-los ao laboratório de informática para realizarem uma pesquisa sobre o tema. Depois, promo-

ver um momento para que eles compartilhem suas experiências, dúvidas e opiniões e, caso houver, as informações pesquisadas. 3. Em relação à letra da música pesquisada pelos alunos, questioná-los sobre o motivo pelo qual o sertanejo espera a

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chuva para voltar para o sertão. Espera-se que eles respondam que as condições do sertão vão melhorar. Se possível, providenciar o áudio da música Asa Branca. É importante que os alunos percebam que os compositores retrataram, além do cenário de

Acessar este site para obter mais informações sobre a música Asa Branca. • BRASIL. Ministério da Cultura. Sucesso do cancioneiro sertanejo, Asa Branca completa 70 anos. Disponível em: <http://portal -cultura.apps.cultura.gov.br/ sucesso-do-cancioneiro -sertanejo-asa-branca -completa-70-anos>. Acesso em: 23 set. 2018. Acessar este site para obter mais informações sobre cisternas e como construí-las. • SÃO PAULO (Município). Secretaria da Saúde. Cartilha de Orientações para a Captação e Armazenamento da Água da Chuva. Disponível em: <http://livro. pro/wwgt2g>. Acesso em: 24 set. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior desta página. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

o que estudei 1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

Medidas de volume

Volume de

Volume de um cubo

um bloco retangular

Volume de um prisma

Volume de um cilindro

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Medidas de volume

Volume de um bloco retangular

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Volume de um cilindro

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3. No item II, se julgar necessário, retomar com os alunos as relações 1 cm3 = 1mL e 1 mL = 0,001 L. Após a resolução, verificar se os alunos consideraram que Pedro utiliza 288 mL de sabonete líquido cada vez que enche o frasco com formato de bloco retangular e que, dessa maneira, a quantidade de sabonete líquido que tem no refil é suficiente para encher o frasco três vezes e sobrar sabonete líquido no refil. Propor a eles que determinem quantos mililitros de sabonete líquido corresponde a essa sobra (136 mL). No item III, é importante que os alunos percebam que os três modelos de frasco têm formato de prisma de base com formato de hexágono regular de 6 cm de aresta. Sugerir a eles que, para determinar a área dessa base, realizem os cálculos utilizando 1,73 como 3. uma aproximação de Para auxiliar na resolução, levar algumas calculadoras para a sala de aula e, caso não haja calculadoras para todos os alunos, organizá-los em grupos. No item IV, propor aos alunos que troquem seus desenhos com os colegas para que calculem a capacidade de armazenamento do frasco representado. Ao final, eles devem conferir juntos as resoluções.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Pedro compra sabonete líquido em refil e acondiciona-o em frascos reutilizáveis para reduzir o consumo de embalagens e economizar no valor do produto. Observe a representação de dois frascos: um cilíndrico e outro com formato de bloco retangular com as medidas internas indicadas.

8 cm

10 cm

8 cm

6 cm

PROBLEMAS

Quanto sabonete líquido, no máximo, pode ser acondicionado no frasco cilíndrico? 502,4 mL. Conceitos: Medidas de volume; volume de um cilindro.

Pedro enche completamente os frascos com sabonete líquido apenas quando eles estão vazios. Com 1 L de sabonete líquido, quantas vezes Pedro pode encher o frasco com formato de bloco retangular? 3 vezes. Conceitos: Medidas de volume; volume de um bloco retangular.

III

Os modelos de frasco representados a seguir, cujas medidas internas estão indicadas, têm formato de prisma em que a base é um hexágono regular. Qual desses modelos tem a capacidade mais próxima daquela do frasco cilíndrico. a. Conceitos: c) a) Medidas de volume; volume 5 cm de um prisma. 7 cm

6 cm 6 cm

6 cm

ILUSTRAÇÕES: DANILLO SOUZA

6 cm

No caderno, desenhe um frasco com formato de prisma cuja base é um triângulo equilátero. Indique as medidas internas desse frasco e calcule quanto sabonete líquido pode ser acondicionado nele. Resposta pessoal. Conceitos: Medidas de volume; volume de um prisma.

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você

conectado

Instruções gerais Ao longo das Unidades deste livro, na seção Você conectado, exploramos atividades em que foi proposto

BARRA DE MENUS Encontramos nela opções que auxiliam o trabalho com a planilha eletrônica. Ela está dividida em grupos de opções.

o uso de dois softwares: a planilha eletrônica Calc e o GeoGebra. As planilhas eletrônicas são próprias para organizar informações, realizar cálculos, construir tabelas e gráficos, além de diversas outras funções. Os recursos que essas planilhas possuem contribuem para a realização do trabalho de diversos profissionais e costumam ser utilizados até mesmo para controlar as despesas domésticas. No estudo de Matemática, podemos utilizar planilhas eletrônicas para compreender melhor muito daquilo que estudamos, como a organização de dados em tabelas e a construção de gráficos de colunas, de barras, de segmentos e de setores. Já o GeoGebra é um software próprio para representar e estudar figuras geométricas. Com ele, podemos construir diversas figuras e analisar algumas de suas características, além de fazer uma abordagem mais dinâmica por meio de modificações nas construções. Tanto a planilha eletrônica Calc quanto o GeoGebra não têm custo, ou seja, têm a distribuição gratuita. Eles podem ser baixados acessando os sites a seguir. • Planilha eletrônica Calc: <http://livro.pro/bixzay>. Acesso em: 11 out. 2018.

Seleciona todas as células da planilha eletrônica.

• GeoGebra: <http://livro.pro/tgwm9a>. Acesso em: 11 out. 2018. Veja ao lado as indicações de algumas opções da planilha eletrônica Calc.

SOMA Calcula a soma dos valores das células selecionadas da planilha eletrônica.

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ORDENAR CRESCENTE Organiza os valores das células selecionadas em ordem crescente.

ORDENAR DECRESCENTE Organiza os valores das células selecionadas em ordem decrescente.

LIBREOFFICE 2018

FORMATAR Este grupo apresenta várias opções de formatação da planilha eletrônica.

FORMATAR COMO MOEDA Formata os valores das células para a forma de valores monetários em reais.

Esta célula está na COLUNA C e na LINHA 4. Assim, dizemos que sua localização é C4.

GUIA DE PREENCHIMENTO AUTOMÁTICO Cria alguns tipos de sequência.

FORMATAR COMO PORCENTAGEM Formata os valores das células para a forma de porcentagem.

INSERIR GRÁFICO Abre uma janela com o assistente para construir gráficos com os dados selecionados da planilha eletrônica.

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Veja as indicações de algumas opções do GeoGebra.

BARRA DE FERRAMENTAS Encontramos nela as opções que auxiliam nas construções dos objetos matemáticos. Ela está dividida em grupos de opções. Cada um desses grupos possui várias opções. Ao clicar no ícone, vão aparecer as opções referentes a esse grupo.

CAMPO DE ENTRADA Podemos criar e modificar objetos matemáticos por meio de comandos.

JANELA DE ÁLGEBRA Encontramos nela uma lista dos objetos construídos, com algumas informações algébricas sobre eles.

Grupo 1 MOVER: seleciona objetos e move elementos de uma construção geométrica.

Grupo 2 PONTO: constrói um ponto. INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS: constrói o(s) ponto(s) de interseção entre dois objetos. PONTO MÉDIO ou CENTRO: constrói o ponto médio de um segmento de reta ou entre dois pontos, ou o centro de um objeto.

Grupo 3

SEGMENTO COM COMPRIMENTO FIXO: constrói um segmento de reta dados um extremo e o comprimento desse segmento de reta. SEMIRRETA: constrói uma semirreta, dados a origem e outro de seus pontos. VETOR: constrói um vetor dados os pontos extremos.

Grupo 4 RETA PERPENDICULAR: constrói uma reta perpendicular a outra, passando por um ponto selecionado. RETA PARALELA: constrói uma reta paralela a outra, passando por um ponto selecionado.

RETA: constrói uma reta passando por dois pontos.

MEDIATRIZ: constrói uma reta mediatriz a um segmento de reta.

SEGMENTO: constrói um segmento de reta dados os pontos extremos.

BISSETRIZ: constrói uma reta bissetriz de um ângulo.

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Neste ícone, podemos habilitar ou desabilitar a malha quadriculada e inserir ou retirar os eixos de um gráfico da janela de visualização.

GEOGEBRA 2018

JANELA DE VISUALIZAÇÃO Podemos criar, modificar e visualizar objetos matemáticos.

Grupo 5 POLÍGONO: constrói um polígono dados seus vértices. POLÍGONO REGULAR: constrói um polígono regular dados dois de seus vértices e a quantidade de lados.

Grupo 6 CÍRCULO DADOS O CENTRO E UM DE SEUS PONTOS: constrói um círculo dados o centro e um de seus pontos. CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS: constrói um círculo dados três pontos. ARCO CIRCULAR: constrói um arco de circunferência dados o centro do círculo e os extremos desse arco de circunferência.

Grupo 7

DISTÂNCIA, COMPRIMENTO ou PERÍMETRO: mede a distância entre dois pontos, o comprimento de um segmento de reta ou o perímetro de uma figura geométrica plana. ÁREA: mede a área de uma figura geométrica plana.

Grupo 8 REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UMA RETA: constrói a figura simétrica de uma figura dada, por reflexão em relação a uma reta. ROTAÇÃO EM TORNO DE UM PONTO: constrói a figura simétrica de uma figura dada, por rotação em relação a um ponto.

ÂNGULO: mede um ângulo dados seus lados ou o vértice e um ponto em cada um de seus lados.

TRANSLAÇÃO POR UM VETOR: constrói a figura simétrica de uma figura dada, por translação em relação a um vetor.

ÂNGULO COM AMPLITUDE FIXA: constrói um ângulo dados o vértice, um ponto de um dos lados ou um dos lados e a amplitude.

HOMOTETIA: constrói ampliações ou reduções de uma figura, dados o ponto central e a razão de homotetia.

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Atividades p. 24 e 25

respostas

8 1 0,9; _ 3 1 _1,7; 9 p 2 1 1,4; _ 1 _0,8; 5,92 1 5,9; 4

311 ; 3,141; 3,142. 99 c) Resposta pessoal.

2. a) A = {Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de

4. a) Sim.

Janeiro, São Paulo}; B = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}; C = {2}. b) Resposta esperada: Não, pois nenhum dos conjuntos possui todos os elementos também pertencentes a um dos outros dois conjuntos. c) • [ •{ •{ •{ •{ •[

b) Sim. Não. c) Uma resposta possível: a: 5; b: _12; c: _7; 3 d: _50; e: ; f: 2,7 ; g: p; h: 7 . 4 d) Resposta pessoal. 5. Se construirmos um quadrado de lado unitário

e traçarmos sua diagonal, temos um segmento com medida 2. Logo, temos:

•£

b) A = {a, b, e, f}; B = {a, b, c, d, f, g, h}; C = {b, c, g}. 4. II • Infinito.

2 _1

Atividades p. 19 c) 1,24 d) 1, 4

b) 4,5

b) [

b) 11

c) [ d) [

37 20

e) { f) [

25 99

g) {

5 7 14 E: 0,8; F: ; G: ; H: 3,78. 4 6

b) 5 4. a) 2

_10

b) 2¹¹

6. c.

c) _8 d) 3 9 c) 4 d) 3

Atividades p. 22 e 23 c) I d) q b) 3,7

e) q f) I c) 9,9

d) 4,8

3. b. 4. A:_ 8; B:_ 2; C: 1,5; D:

28 ; 5

81 E: 29,5; F: 20; G: ; H: p. 2 5. a) 49,29 cm; 49,926 cm; 49,95144 cm.

b) 34,875 cm; 35,325 cm; 35,343 cm. 3,2 = 1,6. 6. a) Resposta esperada: 2 b) • Resposta pessoal. • Resposta pessoal.

3. a) Antares: 9,8 ? 108 km; Sol: 1,4 ? 106 km.

b) IV.

c) 4,73 ? 1015 km.

4. a) 0,2 mm.

b) 3 mm. c) 0,15 mm. • Resposta pessoal. 5. Idade do fóssil: entre 1,13 ? 108 anos e

1,19 ? 108 anos. Resposta pessoal. Atividades p. 37 e 38 1. a) 20 cm.

c) 13 cm. d) 29 cm.

b) 25 cm.

e) 19 cm. f) 7,5 cm.

c) 9 cm. d) 11 cm.

b) 15 cm. 3. a) 3,3

c) 11,2 d) 4,5

b) 9,1 4. II: _6; III: _1 e VI: _2. 2

5. a) 35

b) 3 3

c) 32

d) 3 4

6. a.

Atividades p. 40 e 41

e) 2

4 7 d) 3

1. a) 99

e) 6

36 como 36 : 3 e escrever 3² ? 3_2 como 32(_2); 33 36 (23 )2 ? 3 ? 3_2 = 23 ? 2 ? 36 _ 3 ? 3_2 = 3 = 26 ? 33 ? 3_2 = 26 ? 33 +(_2) = = 26 ? 31 = 26 ? 3. II. Resposta esperada: O erro está em escrever 108 54 ? 24 como (5 ? 2)4 + 4 e escrever 8 como 3 54 ? 24 (5 ? 2)4 104 8 = = 8 (10 _ 3) ; 38 38 3 6. a) • 5 ? 210 B.

uma enorme bola de gás quente e luminosa. b) O hidrogênio, que é convertido em hélio no núcleo do Sol. c) Núcleo. d) • 4,6 ? 109 anos. • 1,4 ? 106 km. • 1,496 ? 108 km. • 1,5 ? 107 °C.

2. a) 8 cm.

5. I. Resposta esperada: O erro está em escrever

7. Alternativa b.

2. a) 8,4

d) 100 000 b) 1 e) 10,24 f) _625 c)_ 1 4 2. a) 153. 3 375 unidades do produto. b) 2,4 m. c) (0,8)3; 0,512 m3. d) 7,68 m3. 3. a) 4

5. A, D e E.

b) I

1. a) 343

4. A: _3,18; B: _11 ; C: _1,3; D: _ 1 ;

1. a) q

Atividades p. 29 e 30

1. a) 0,416

3. a) {

EDITORIA DE ARTE

•¡

d) 5,933 ? 109 e) 2,8 ? 10_3 f) 6,03 ? 10_8

2. a) Resposta esperada: O Sol é definido como

b) I e IV.

1. a) 6 ? 105

b) 4 ? 10_6 c) 7,01 ? 107

um número real.

1. a) 5 elementos. Finito.

104 25

e) ¡

3. a) Racionais. Sim, pois todo número racional é

Atividades p. 15

2. a)

d) £

8 1 2,8; _ 5 1 _2,2.

Conjuntos numéricos, potências e raízes

• £

Atividades p. 33 e 34 c) ¡

11 1 3,3;

UNIDADE 1

3. a) • £

b) £

1. a) ¡

• 3 ? 2_40 TB. 30 • 1,5 ? 210 MB. • 7 ? 20 kB. _10 • 2_19 TB. • 2 GB. b) Resposta esperada: Sim, pois 8 GB = 213 MB e 213 . 211. c) Resposta pessoal.

e) _21

b) 2 2. a)

900 ou 30

f) _1 d)

360

112

3. I. 4. •

• 98

• 51

• 40

40 , 51 , 80 , 98 5. a) Propriedades

a ? b = n a ? n b e n an = a..

4 b) • 3 2

3 •7 6

5 •2 4

• 6 15

6. • Cláudio. 7. a) Sim.

b) Resposta esperada: Multiplicaram a fração inicial por outra cujo numerador e denominador fossem iguais, de modo que o produto obtido no denominador não tivesse radical.

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8 8 9 5 • 10

c) •

2. Modelo A: 376,8 cm; modelo B: 157 cm.

3. Perímetro: 14 cm; área: 12 cm2.

3. 18,84 cm.

4. a) (_5, _2).

b) • (_5, 1); (_4, 1); (_6, _1). • (1, _3); (_7, _6); (2, 3). c) II e III. d) 2 cm. e) 12,56 cm.

4. Respostas pessoais. 5. 12,5 m.

2 6 9 21 • 3

•

6. a) 180 m.

b) 5 minutos e 15 segundos. c) Aproximadamente 215,24 m/min.

Integrando com Língua Portuguesa p. 42 e 43 1. Milton, o sobrinho do matemático Edward Kasner. “Mas o pequeno Milton sabia bem que há números ainda maiores e até propôs um nome para um deles: 'googolplex'”.

5. a)

Início. Com a régua, traçar AB com a medida correspondente ao lado do triângulo.

_5_4_3_2_1 0 _1 G _2 F _3

2. d. 3. Uma resposta possível:

Abrir o compasso com a medida AB, fixar a ponta-seca em A e traçar um arco.

100 000 000 000 ? 1 000 000 000 ? 100 bilhões de bilhões

= 10 ? 10 ? 10 =

quantidade de átomos no Universo

1 googol 23

1050

4. a) 10 , 10 e 10

b) 1010 . c) Sim. Algumas respostas possíveis: 101

100

1 000

1010 . 1010 ; 1010 100

No encontro dos arcos, marcar o ponto C. Com a régua, traçar AC e BC. Colorir a região interna da figura obtida.

100

. 1010 ;

100

1010 + 1 . 1010 . Você conectado p. 44 e 45 Mãos à obra p. 45 1. Número o. Irracional. 2. o 1 1,62. 3. Ponto H.

2, pois a distância AJ é a mesma que AC, que corresponde à diagonal do quadrado de lado de medida 1 unidade.

4. Resposta esperada: Número real

O que estudei p. 46 e 47 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. Resposta esperada: 23,93: q e R; −58: z, q

e R; 88: n, z, q e R. Conceitos: Conjuntos n, z, q, I e R. II. Número p. Conjuntos I e R. Conceitos: Número p e número de ouro o; conjuntos n, z, q, I e R. III. 150 milhões de quilômetros. Conceitos: Potências; notação científica. IV. 40 cm. Conceitos: Raízes.

UNIDADE 2 Circunferência, plano cartesiano e vistas Atividades p. 54 e 55 1. a) OC, OD, OG, OH, OI e OJ.

b) CD, GH e IJ. c) AB, CD, EF, GH e IJ.

C D 1 2 3 4 5 6 x E

b) Hexágono. 6. a) A(3, 5), B(1, 2), C(8, 2) e D(8, 5).

b) • Algumas respostas possíveis: (4, 3); (6, 3); (7, 4).

Com a mesma abertura do compasso, fixar a ponta-seca em B e traçar um arco cruzando aquele traçado anteriormente.

= 1011 + 9 + 80 = 10100 .

y B 4 3 2 1

• Algumas respostas possíveis: (1, 1); (5, 6); (1, 4). c) 15 km. d) 18 km2. Atividades p. 67 a 69 1. Resposta pessoal. 2. Resposta esperada: II e III. 3. Alternativa b. 4.

Fim.

8. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal. 9. Resposta pessoal. Plano I.

Atividades p. 59 e 60 1. a) 3,9 m.

b) 141,3 dm. c) 2,1 m. d) 17,4 m. 2. 15,15 m. ^

3. a) AOB: 54º; ACB: 27º. ^

Plano II.

b) DOE: 160º; DFE: 80º. ^

c) GOH: 48º; G I H: 24º. ^

d) JOK: 90º; JLK: 45º. 4. A formiga que percorreu o caminho em azul. 5. a) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal. 6. Alternativa a.

Atividades p. 62 e 63 1. A(2, 3); B(3, 0); C(_4, 2); D(_1, _4); E(4, _3);

F(_2, _2); G(2, _3); H(_3, 4); I(0, 2). 2. a) IV.

b) c) d) e)

I. III. I. II.

Plano III.

5. I-e; II-d; III-a.

• Resposta pessoal. Integrando com História e Língua Portuguesa p. 70 e 71 1. Resposta pessoal. 2. Resposta esperada: As ideias que possibilitaram

o desenvolvimento do plano cartesiano.

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4. a) Algumas respostas possíveis:

(_3, _2); (0, _1); (2, 0); (3, 2). b) Não. c) I, III e IV. Você conectado p. 72 a 75 Mãos à obra p. 73 1. A medida do ângulo central é o dobro da

medida de um ângulo inscrito correspondente a um mesmo arco de circunferência. Sim, pois ^ no exemplo a medida de CAD é 90º, que ^ corresponde ao dobro da medida de CED, que é de 45º. 2. a) 4,71 cm.

b) • Resposta esperada: Ajusta-se automaticamente, de acordo com a posição do ponto B. • Resposta esperada: Não se altera, independentemente da posição de B. • Resposta esperada: Não se altera, independentemente da posição de B. c) Resposta esperada: Ajusta-se automaticamente, de acordo com a posição do ponto C. Sim. Mãos à obra p. 75 1. Medidas iguais. Resposta esperada: Todas essas

figuras de circunferência têm raio com medida correspondente ao do lado do hexágono, ou seja, 6 cm. 2. Resposta pessoal.

b) 90o. Conceitos: Ângulo central em uma circunferência; arco de circunferência. c) 45o. Conceitos: Relação entre o ângulo central e um ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência; arco de circunferência. d) 3,14 unidades de medida de comprimento. Conceitos: Circunferência; comprimento da circunferência; arco de circunferência.

b) x² _ x _ 132 = 0. c) Raízes da equação: _11 e 12; 12. Atividades p. 96 e 97 1. a) 0 e _2.

1. a) 3 + 0,5x + 0,15y. 2. a) 9a²b².

c) 16x4y8. d) 27m6n9.

b) 100m6. 3. I. 10x4y².

2. a) r = _8 e s = 8.

III. _3x²y _ 5x _ 4y³.

2 5 4. a) 7a _ 7ab² _ 10. b) _2m³n + 6mn. II.

IV. 20x²y4 + 20xy³.

5. (4x²y)²; 16x4y².

d) III.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

c) 11 449 d) 8 649

e) 10 201

7. 2x² + y² + 1.

b) II.

c) I.

2. a) Uma resposta possível: 2xy(4x² _ y).

Conceitos: Perspectiva; projeção ortogonal; vistas ortogonais. II. a) (_2, 0). Conceitos: Plano cartesiano; vistas ortogonais.

Uma resposta possível: 3a²b²c(4b + 3a²c). Uma resposta possível: m³p(mn³ + 6p²). Não é possível fatorar.

2x + 5 e y² + 6. (2x + 5)(y² + 6). 2xy² + 12x + 5y² + 30. 2xy² + 12x + 5y² + 30 = 2x(y² + 6) + + 5(y² + 6) = (2x + 5)(y² + 6). 5. Respostas possíveis: a) (2m + n)(m² _ n). b) (2a + 1)(3a + b). c) (3x² + y)(x³ _ 6y). 6. a) (2x² + 3)².

b) (3a _ 5b²)². c) (5m + n³)(5m _ n³). d) (4p² _ 3q)².

b) 5,48 cm.

Atividades p. 102 e 103

9 3 e_ . 2 2 1 b) 32 e _12. d) _ 3 2. a) x² + 14x _ 32 = 0; x = 2. b) 9x² + 12x _ 117 = 0; x = 3. 1. a) _7

b) 16a² + 16ab³ + 4b6. c) 9m² _ n4. d) a4 _ 6a³b + 9a²b².

6. Alternativa c.

7. a) 8x² = 240. 8. Respostas pessoais.

4. a) 25x4 _ 80x²y + 64y².

• Plano III.

6. Resposta esperada: O número é menor do que _7.

c) II.

3. a) 64x² + 32xy + 4y².

b) c) d) 3. c. 4. a) b) c) d)

5. 2x² = 30x; 15 anos.

b) 49m² _ 14mn² + n4.

• Plano II.

4. a)

c) 144 cm2.

3x2 b) = 486 ou 3x2 _ 972 = 0. 2 c) 18 m.

b) 16p² _ 16pq² + 4q4.

Atividades p. 91 1. a) III.

b) _14

b) 48 cm.

6. 30x²y².

8. a) 9m4 + 6m²n + n².

b) 9 801

3. a) 12 cm.

c) 11ac³ + 5ac.

7. 25 pedaços.

5. a) 10 404

d) 0 e 3 . 2 e) Não tem raiz real. f) 0 e _8.

b) 0. c) 1 e _1.

b) • R$ 11,00. • R$ 18,20.

2. 4y³

• Plano I.

b) 6x² _ 42 = 0. c) 3x² _ 6x _ 9 = 0. d) x² + 3x _ 40 = 0.

Atividades p. 83

O que estudei p. 76 e 77 2. Resposta pessoal.

Atividades p. 93 1. a) 4x² + 24x + 36 = 0.

Expressões algébricas e equações do 2o grau

3. Resposta pessoal.

3. I.

• (x _ 3y²)². 8. Resposta pessoal.

2. a) II.

UNIDADE 3

Atividades p. 87 1. a) II. b) I.

1. Respostas pessoais.

7. 6

EDITORIA DE ARTE

3. c.

3. a) 5 e _1.

b) 4. a) 5. a)

c) 2 e _4. 7 e _2. 1 e _19. d) 2 m = 1. b) m = _ 3 . 2 I: não tem raiz real; II: 8 e 2; III: não tem raiz 1 1 real; IV: 2 e ; V: 8; VI: _ . 3 5 I: _8; II: 36; III: _12; IV: 81; V: 0; VI: 0.

c) • Igual a. • Menor do que.

• Maior do que.

6. 10 dm, 8 dm e 4 dm. 7. a) • 5 diagonais.

• 27 diagonais. b) • n² _ 3n _ 28 = 0; 7 lados. • n² _ 3n _ 108 = 0; 12 lados. c) 7 lados: heptágono; 12 lados: dodecágono.

8. Alternativa b. 9. a) III.

b) 16 e 48. c) O bando de macacos pode ter 16 ou 48 macacos. d) Resposta pessoal.

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/18 13:57

Você cidadão p. 104 e 105

d) II e III. I. 30 km/h. II. 72 km/h.

1. Resposta esperada: Pressão arterial elevada,

diabetes e doenças do fígado. 2. Resposta esperada: Maior consumo de produtos industrializados, ricos em gorduras e açúcar, falta de atividades físicas e até mesmo fatores hormonais e genéticos. Resposta esperada: Praticar atividades físicas e seguir uma dieta balanceada, privilegiando o consumo de frutas, legumes e verduras e evitando alimentos que possuam em sua composição muita gordura, açúcar e sal.

e) 6 min. Resposta esperada: Ao percorrer esse 1 de hora, a trecho em 6 min, ou seja, em 10 velocidade média no trecho será de 60 km/h. Atividades p. 115 1. a) Termos: 5, 15, 2 e 6; extremos: 5 e 6; meios:

15 e 2. b) Termos: 21, 6, 56 e 16; extremos: 21 e 16; meios: 6 e 56. c) Termos: 20, 45, 32 e 72; extremos: 20 e 72; meios: 45 e 32. d) Termos: 12, 10, 60 e 50; extremos: 12 e 50; meios: 10 e 60.

3. Respostas pessoais. 4. Camila: Peso normal; Yan: Obesidade. 5. Leila – IMC: 25 kg/m2; sobrepeso.

Tiago – IMC: 20 kg/m2; peso normal. O que estudei p. 106 e 107 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. x – 10. Conceitos: Expressão algébrica;

monômios, binômios, trinômios e polinômios. II. b e d. Conceitos: Expressão algébrica; operações com monômios: adição, subtração, multiplicação e divisão; fatoração de polinômios. III. (x – 10)². Conceitos: Expressão algébrica; monômios, binômios, trinômios e polinômios; trinômio quadrado perfeito. IV. 600 m². 400 m². Conceitos: Valor numérico de uma expressão algébrica. V. a) 25 m e 15 m. Conceitos: Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita. b) 20 m e 10 m. Conceitos: Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita.

UNIDADE 4 Proporcionalidade e funções Atividades p. 112 e 113 1. a)

b) 2. a)

18 18 ou 18 : 20. c) ou 18 : 5. 20 5 9 ou 9 : 12. 12 Zona Central. Não. Zona Norte: 2 740 hab./km²; Zona Central: 8 865 hab./km²; Zona Leste: 887 hab./km²; Zona Sul: 2 410 hab./km²; Zona Oeste: 632 hab./km². Zona Norte e Zona Central.

3. a) Modelo I: Gasolina – 12,5 km/L;

etanol – 8,3 km/L. Modelo II: Gasolina – 9,1 km/L; etanol – 7,1 km/L. Modelo III: Gasolina – 11,1 km/L; etanol _ 10 km/L. b) III. 4. a) 16/6. 15/6.

b) 17/6. 16/6. c) 15/6: 228 m/min; 16/6: 238 m/min; 17/6: 293 m/min; 18/6: 282 m/min. 5. a) Algumas respostas possíveis: Acidentes entre

veículos; atropelamentos. b) Respostas pessoais. c) • 9 min. 0,15 h. • Não. • 40 km/h.

2. a) f(6) = 33 e f(20) = 5.

III. 90 km/h. IV. 45 km/h.

15 30 25 40 60 ; II: ; III: ; IV: ; V: . 10 24 20 30 40 15 60 30 25 = . ; b) = 10 40 24 20 44 20 100 ; ; . 3. 33 15 75 200 4. a) 800 b) II. c) Resposta esperada: Que as quantidades de suco concentrado e de água são proporcionalmente iguais no caso do preparo desses dois refrescos. 15 32 5. a) I: ; II: . 30 60 b) Não. 2. a) I:

c) Algumas respostas possíveis: Contratar 1 mulher. Contratar 9 mulheres e 15 homens. a c a c = H b? =b? H b d b d b?c H d?a=d? H a?d=b?c d Atividades p. 119 a 121 1. Agasalhos: 375 unidades; calçados: 90 pares; brinquedos: 370 unidades. 6.

2. a) 212,5 m².

b) 30,6 L.

c) 9 latas.

3. Resposta esperada: Não, pois, mantendo a

mesma média de pontos por partida, a equipe terminará o campeonato com cerca de 53 pontos, ou seja, menos de 55 pontos. 4. a) Resposta pessoal.

b) 16,25 anos ou 16 anos e 3 meses. 9,75 anos ou 9 anos e 9 meses. c) Respostas pessoais. 5. Resposta pessoal.

6. R$ 84,00.

7. 25 min. 8. a) 50 kg. 9. Alternativa e.

b) g(1) = −2 e g(12) = 141. 3. d. 4. a) II.

b) f(4) = 16 e f(2,5) = 6,25. Resposta esperada: Temos que f(4) = 16 indica que um quadrado com 4 cm de lado tem área igual a 16 cm²; f(2,5) = 6,25 indica que um quadrado com 2,5 cm de lado tem área igual a 6,25 cm². c) 9 cm. 5. a) 0,6 kWh.

b) c) d) e) 6. a)

5 h. c(x) = 0,2x. • 2,4 kWh. 150 h.

• 4 kWh.

Quantidade de pacotes

• 24 kWh. 1 2 3 4 5 6

Quantidade de figurinhas 5 10 15 20 25 30

b) g(x) = 5x. c) • 40 figurinhas. • 75 figurinhas. • 100 figurinhas. d) 12 pacotes. 7. a) c(x) = 12,5x.

c) 8 h.

b) 1 375 L. R$ 5 843,75. 8. a) Fevereiro.

b) Janeiro: R$ 1 603,00; fevereiro: R$ 2 072,00; março: R$ 1 888,60. c) s(x) = 980 + 0,07x. d) • R$ 1 680,00. • R$ 13 000,00. 9. Resposta pessoal.

Atividades p. 129 a 131 1. a) (_3, 4); (_1, 3); (1, 2); (3, 1) e (5, 0)

b) III. c) (2; 1,5) e (_2; 3,5). 2. a) 10 m.

b) Resposta esperada: Quando a bola havia percorrido uma distância horizontal de 8 m, ela estava a 1,6 m de altura. c) 1,6 m. d) 2,5 m. 3. I-B; II-C; III-A. 4. Alternativa d. 5. a) f(0) = _4. f(2) = 0.

b) f(x) = 2x _ 4. c)

y 7 6 5 4 3

b) Luiza: 30 kg; André: 20 kg.

10. Resposta pessoal.

Atividades p. 124 a 126 1. a) Resposta esperada: Não; para cada massa de cenouras, obtemos um único valor a pagar, o que pode ser calculado multiplicando essa massa pelo preço por quilograma. b) A variável que representa o valor a pagar. c) Resposta pessoal.

_3 _2 _1 0 _1

3 x

_2 _3 _4 _5

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11/21/18 7:35 PM

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11/25/18 2:55 PM

6. • Resposta pessoal. 7. a) 60 kWh.

b) 2 m². c) f(x) = 20x. d) Resposta esperada: Calculando f(12) = 20 ? 12 = 240, obtemos que com 12 m² de painéis solares instalados a capacidade mensal de geração de energia elétrica é de 240 kWh. 8. a) 9 h. 600 km.

b) 200 km. c) • 60 km/h. • Aproximadamente 66,7 km/h. Você cidadão p. 132 e 133 1. a) Algumas respostas possíveis: Os riscos da velocidade excessiva; o porcentual de pessoas que dirigem acima do limite de velocidade; a distância de parada em relação à velocidade do veículo. b) De 40% a 50% das pessoas. c) Resposta esperada: Aumenta, porque, considerando uma distância entre um pedestre e um carro em movimento, a uma velocidade mais baixa, o carro precisa de um espaço menor para frear, ou seja, consegue parar antes de atingir o pedestre. Um carro em velocidade maior precisa de mais espaço para frear, e com isso pode atingir o pedestre. d) 36 m. • Resposta pessoal. 2. a) 10 min.

b) Resposta esperada: Indica que 1 min após iniciar o trajeto, a velocidade do carro de Lídia era de 20 km/h. c) III. d) 3 min. e) 48 km/h. f) Resposta pessoal. Você conectado p. 134 e 135 Mãos à obra p. 135 1. a) Algumas respostas possíveis: (0,5; _4,5),

(1,5; _2,5), (3, 8), (_2, 8), (0, _4) e (_3, 20). b) (2,5; 3,5), (3,8; 17,28), (_2,5; 13,5) e (0,2; _4,32). 2. a) Resposta pessoal.

b) Algumas respostas possíveis: (1, 4), (5, 16), (0, 1), (_2, _5), (_3, _8) e (_5, _14).

UNIDADE 5

Semelhança de figuras Atividades p. 142 e 143 1. a) Congruentes.

c) Congruentes. d) Suplementares.

b) Congruentes. 2. a) x = 8°.

c) x = 13°. d) x = 40°.

b) x = 22°. 3.

a: 30°; b: 30°; c : 150°; d: 30°; e: 150°. ^

4. a) a: 115°; b: 65°; c : 65°. ^

b) a: 34°; b: 146°; c: 34°; d: 146°.

9. a) 34 cm.

5. x = 24°; y = 7°; z = 15°. ^

b) AEF e EHG; DEH e EFG; EHG e BGF; EFG e CGH. ^ ^ ^ ^ c) FEH: 62°; EHG: 118°; FGH: 62°; EFG: 118°. 7. a) Retas paralelas.

c) Retas paralelas. b) Retas concorrentes. 1 b) 45° e 135°. 8. a) 3 9. Resposta esperada: Sim, pois os três triângulos possuem o ângulo interno formado no vértice A em comum e, como BC // DE // FG são intersectados por AB e AC, os demais e respectivos ângulos internos de cada triângulo são ângulos correspondentes e, portanto, de mesmas medidas. 10. a) Resposta pessoal.

b) O ângulo em azul mede 80° e os ângulos em vermelho 45° e 35°. Logo, 45° + 35° = 80° e, portanto, a medida do ângulo em azul é igual à soma das medidas dos ângulos em vermelho. Atividades p. 145 6 5 1 b) 2

1. a)

5 3 b) 143 m. 3. 3,2 cm. 4. a) 8 cm. b) 2 cm. 5. a) 102 cm.

5 8 4 d) 3 c)

2. a) •

b) 42 cm.

c) 32 cm.

10. a) AB = 4 cm, BC = 3 cm e CA = 4 cm;

3 4

8 5 5 h) 3

f) 2 •

9 19

DE = 2 cm, EC = 1,5 cm e CD = 2 cm. CA CB = b) CD CE c) Resposta esperada: Os respectivos ângulos dos triângulos ABC e DEC são congruentes entre si. O ângulo C é comum aos dois ^ triângulos e, como AB // DE, temos que CAB ^ e CDE são pares de ângulos correspondentes e consequentemente congruentes, assim ^ ^ como CBA e CED. 11. Resposta pessoal.

Atividades p. 154 e 155 1. b; 2.

2. Figuras B e C.

3. a) 12 cm e 9 cm.

4 3 4 16 • c) • 3 9 d) Resposta esperada: A razão obtida no item b é igual à obtida entre os perímetros das imagens e diferente daquela obtida entre as áreas das imagens, no item c.

4. a) 3 m, 5 m e 4 m.

b) Resposta pessoal.

Atividades p. 159 a 161 1. a e c: caso LAL; b e d: caso AA. 2. 7,5 cm.

3. 30 cm.

4. 4 m.

5. 120 m.

6. 2,4 cm, 3 cm e 3,6 cm.

c) 4 cm. d) 15 cm. b) 120 cm. c) 135 cm.

O que estudei p. 136 e 137 1. Respostas pessoais.

Atividades p. 150 a 152 1. a) 4 cm. c) 7,2 cm. b) 10 cm. d) 9 cm.

2. Resposta pessoal.

2. 270 m².

3. I. Indica que essa empresa paga R$ 27,00 por

3. a) x = 48 cm; y = 22 cm.

20 L de óleo de cozinha usado. Conceitos: Gráfico de uma função. II. R$ 1,35. Conceitos: Razão; proporção. III. R$ 87,75. Conceitos: Proporção; propriedade fundamental das proporções; grandezas diretamente proporcionais. IV. f(x) = 1,35x e f(120) = 162. Resposta esperada: Esse cálculo indica que a empresa paga R$ 162,00 por 120 L de óleo de cozinha usado. Conceitos: Função; lei de formação de uma função.

8. c.

c) a: 78°; b: 102°; c: 78°; d: 102°.

6. a) EFG.

equidistantes. Em seguida, traçar RB e as retas paralelas a RB, passando por P e Q, dividindo AB em três partes de mesma medida. b) Traçar AB com 11 cm e uma semirreta auxiliar com origem em A. Utilizando um compasso com uma mesma abertura qualquer, a partir do ponto A, marcar os pontos P, Q, R, S e T sobre a semirreta auxiliar, obtendo pontos equidistantes. Em seguida, traçar TB e as retas paralelas a TB, passando por P, Q, R e S, dividindo AB em cinco partes de mesma medida.

e) 4 cm.

b) x = 35 cm; y = 54 cm. 4. DE = 4,5 cm; EF = 2,7 cm. 5. a) AB = 48 cm; CD = 84 cm.

b) 192 cm. 6. a) AB e BC. BD e BE.

b) 10 cm.

7. a) Traçar AB com 8 cm e uma semirreta auxiliar

com origem em A. Utilizando um compasso com uma mesma abertura qualquer, a partir de A, marcar os pontos P, Q e R sobre a semirreta auxiliar, obtendo pontos

7. a) 6,75 m.

b) 22,95 m. Resposta pessoal.

8. Resposta pessoal. 9. a) Resposta esperada: Para calcular a medida

de um segmento de reta paralelo ao eixo x, calculamos a diferença entre as abscissas de suas extremidades e, para um segmento de reta paralelo ao eixo y, calculamos a diferença entre as ordenadas de suas extremidades. b) • (4, 4) • (_2, 1) • (3, 0) • (7, 2) c) Resposta pessoal. d) Resposta esperada: Em um segmento de reta, a abscissa do ponto médio corresponde à média aritmética das abscissas das extremidades, e a ordenada, à média aritmética das ordenadas dessas extremidades. Integrando com História p. 162 e 163 1. Resposta esperada: Determinar que um

resultado não é válido apenas para um caso específico, generalizando esse resultado sob determinadas condições.

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25/11/18 19:36

11/26/18 11:13

D3-MAT

/18 13:57

2. Resposta esperada: As necessidades práticas,

como atividades relacionadas à agricultura e à engenharia, resolver problemas envolvendo situações específicas. 3. a) A altura do bastão. A altura da pirâmide. ^ ^ b) Sim, como CAB 9 C'A'B' e BCA 9 B'C'A', pelo caso AA de semelhança de triângulos, podemos afirmar que esses triângulos são semelhantes entre si. c) Triângulo isósceles. BC ? A'C' . 4. a) Sim. b) AC 5. Resposta pessoal.

c) Aproximadamente 25,87%. d) Resposta esperada: Sim, pois essa redução foi de aproximadamente 3,66%.

2. A(−4, 1); B(4, 3) e C(2, −3). Ponto médio de AB:

(0, 2); ponto médio de BC: (3, 0); ponto médio de AC: (−1, −1). 3. • Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

O que estudei p. 166 e 167 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I.

B’

C’

EDITORIA DE ARTE

Conceitos: Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal. II. Resposta esperada: Sim, pois^ como ^ ^ ^ CAB 9 C'A'B' e BCA 9 B'C'A' (ângulos formados pelos raios solares e o chão), pelo caso AA de semelhança de triângulos segue que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes entre si. Conceitos: Semelhança de triângulos. III. Resposta esperada: Sim, como esses triângulos são semelhantes, esse quociente é igual ao quociente da divisão do comprimento da sombra do poste pelo da sombra da placa. Conceitos: Semelhança de triângulos; razão de semelhança. IV. 8,1 m. Conceitos: Semelhança de triângulos; Teorema de Tales e os triângulos.

UNIDADE 6

Atividades p. 173 e 174 1. a) R$ 3,60. c) R$ 294,00. b) R$ 121,25. d) R$ 40,31. 2. R$ 948,60. R$ 1 004,40. 3. 12%. 4. a) R$ 68,60; R$ 68,60. b) 14 c) 16,3 5. a) • R$ 230,00.

• R$ 230,00. b) R$ 32,50.

• R$ 250,00. • R$ 262,50.

6. a) 2016.

b) R$ 69,43.

b) Resposta pessoal.

6. 144 cm².

7. c.

Bola de futebol

R$ 37,53

46%

R$ 69,50

9. Respostas esperadas: Não é possível utilizar a

Arroz

R$ 12,41

17%

R$ 14,95

Jogo de videogame

R$ 24,64

72%

R$ 88,00

Colchão

R$ 252,00

28%

R$ 350,00 R$ 5,07

Papel higiênico

R$ 3,04

40%

Perfume

R$ 37,20

69% R$ 120,00

Bola de futebol: R$ 31,97; arroz: R$ 2,54; jogo de videogame: R$ 63,36; colchão: R$ 98,00; papel higiênico: R$ 2,03; perfume: R$ 82,80. 8. a) Natália: R$ 149,85; Paulo: R$ 163,90.

b) Resposta pessoal. Atividades p. 176 e 177 1. a) R$ 0,40. b) R$ 4,80. 2. a) R$ 14 000,00. c) R$ 16 674,22. b) R$ 840,00. R$ 2 674,22. 3. a) R$ 155,08. b) R$ 30,42. 4. c. 5. A opção 1, pois nela o rendimento é de R$ 662,00, enquanto na opção 2 o rendimento é de R$ 640,00. 6. a) 2017.

b) 2014. Resposta esperada: Indica que os preços de bens, produtos e serviços no Brasil, em geral, aumentaram mais no ano de 2014 do que em 2016. c) Rafaela: R$ 4 409,85; Jorge: R$ 2 536,48. 7. Resposta pessoal.

Atividades p. 181 e 182 1. a) Catetos: AB e BC; hipotenusa: AC.

b) Catetos: DF e EF; hipotenusa: DE. c) Catetos: GH e HI; hipotenusa: GI. d) Catetos: JL e KL; hipotenusa: JK. 2. Resposta pessoal. 3. a) Aproximadamente 4,6 cm.

Educação financeira e relações métricas no triângulo retângulo

5. a) 8 cúbitos.

Produto

4. 6.

7. 8.

b) 2 5 cm ou aproximadamente 4,47 cm.

Valor sem Valor com Tributo tributo tributo (%) (em reais) (em reais)

Você conectado p. 164 e 165 Mãos à obra p. 165 1. Antes: A(−3, 4); B(5, −2) e C(1, 1); depois: A(1, 3); B(5, −2) e C(3; 0,5).

4. a) 3 2 cm ou aproximadamente 4,24 cm.

b) 4,5 cm. c) Aproximadamente 4,2 cm. d) Aproximadamente 6,7 cm. 20 cm, 16 cm e 12 cm. Hipotenusa: 4 2 cm; altura: 2 2 cm. a) 18,8 cm e 39,8 cm. b) Resposta esperada: Não, pois a área da superfície da pipa é de aproximadamente 374,12 cm². Perímetro: 12 m; área: 6 m². Resposta pessoal.

Atividades p. 185 a 187 1. a) 15 cm. b) 8 dm. c) 300 mm ou aproximadamente 17,3 mm. 2. a e c. 3. Sendo d a medida da diagonal do quadrado temos: d2 = a2 + a2 → d2 = 2a2 → → d = 2a2 → d = a 2.

8. Alternativa c.

viga de 1,8 m, pois a distância AC é de 2 m. Já a viga de 2,5 m pode ser utilizada desde que cortada de maneira que uma das partes obtidas tenha 2 m de comprimento. 10. Resposta pessoal. 11. a) Eixo y. Eixo x.

b) AB. c) • 12 unidades de comprimento. • 7 unidades de comprimento. • 8 unidades de comprimento. • 2 unidades de comprimento. • 13 unidades de comprimento. • 5 unidades de comprimento. d) Perímetro: aproximadamente 15,96 unidades de comprimento; área: 8,125 unidades de área. Integrando com Geografia p. 188 e 189 1. R$ 113,9 bilhões. 2. 39,8%. 82 milhões de pessoas. 3. Resposta pessoal.

Você conectado p. 190 a 193 Mãos à obra p. 191 1. R$ 5 501,69. R$ 501,69. 2. 18 meses. Mãos à obra p. 193 1. Resposta esperada: A área do quadrado ACFG

é 25 u.a. e corresponde a (AC)2, a área do quadrado ABED é 16 u.a. e corresponde a (AB)² e a área do quadrado BCIH é 9 u.a. e corresponde a (BC)². Como 25 = 16 + 9, temos que (AC)² = (AB)² + (BC) ². 2. a) Resposta esperada: As áreas dos quadrados

ABED e ACFG se alteraram e suas medidas foram ajustadas automaticamente e a área do quadrado BCIH não se alterou. b) Resposta esperada: Sim. c) Não. Resposta esperada: Não, pois ao movimentar o ponto A o triângulo obtido não é um triângulo retângulo, de maneira que o Teorema de Pitágoras não é satisfeito. 3. O triângulo ABC é um triângulo retângulo.

O que estudei p. 194 e 195 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. 627 cm. 75 240 cm². Conceitos: Teorema

de Pitágoras. II. R$ 1 260,00. 5%. Conceitos: Educação financeira; compra à vista e compra a prazo; porcentagem. III. R$ 1 190,00. Conceitos: Educação financeira; compra à vista e compra a prazo; porcentagem. IV. Empreiteira X. Conceitos: Educação financeira. V. R$ 1130,50. 19,25%. Conceitos: Descontos sucessivos; porcentagem.

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UNIDADE 7

c) Média: 5 mm; moda: 0 mm e 8 mm; mediana: 4 mm; amplitude: 12 mm.

Estatística e probabilidade Atividades p. 203 a 206 1. a) Quantidade de papel reciclado no Brasil nos anos 2000, 2005, 2010 e 2015. Do relatório estatístico anual 2015-2016 da ANAP. b) Resposta esperada: Gráfico de colunas. c) Resposta pessoal. 2. Alternativa d. 3. a) Quantidade de mulheres candidatas à prefeita na eleição. Quantidade de mulheres eleitas prefeitas na eleição. b) 2 039 mulheres. 639 mulheres. c) 2012. Aproximadamente 32,6%. Mulheres candidatas e mulheres eleitas d)

2. Amplitude, pois corresponde à diferença entre

prefeitas no Brasil, em 2008, 2012 e 2016 Quantidade de mulheres Candidatas Ano da eleição 2008 1 786 2012 2 032 2016 2 039

4. Eleitas 537 663 639

Fonte: MONTEIRO, A. Número de eleitas cai e mulheres perdem representação política. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/poder/eleicoes2016/2016/10/1819610-numero-de-eleitas-cai-emulheres-perdem-representacao-politica.shtml>. Acesso em: 16 out. 2018.

5. 6.

7. 8.

Resposta pessoal. e) Resposta esperada: Gráfico de segmentos, pois esse tipo de gráfico costuma ser utilizado quando queremos analisar o comportamento de certa variável no decorrer de um determinado intervalo de tempo. a) Resposta esperada: I _ gráfico de setores, pois esse tipo de gráfico costuma ser utilizado quando queremos comparar as partes de um conjunto de dados com o todo e entre si; II _ gráfico de segmentos, pois esse tipo de gráfico costuma ser utilizado quando queremos analisar o comportamento de certa variável no decorrer de um determinado intervalo de tempo; III _ gráfico de barras ou gráfico de colunas, pois esses tipos de gráfico costumam ser utilizados com a finalidade de comparar, entre si, os dados apresentados. b) Resposta pessoal. Resposta pessoal. a) Gráfico de setores. b) Resposta esperada: No título falta indicar a data correspondente aos dados pesquisados e a fonte dos dados, os elementos apresentados na legenda não correspondem aos respectivos setores. Resposta esperada: Para ajustar o gráfico, pode ser inserida a data no título, incluída a fonte dos dados e ajustados os elementos da legenda, de acordo com os setores correspondentes. Alternativa e. Resposta pessoal.

Atividades p. 208 e 209 1. a) Média: 178 cm; moda: 184 cm;

mediana: 181 cm; amplitude: 43 cm. b) Média: R$ 4,78; moda: R$ 4,82; mediana: R$ 4,80; amplitude: R$ 0,12.

I) • Árvore de possibilidades.

6. 7.

o maior e o menor preço do apontador de lápis nas papelarias consultadas. a) Resposta pessoal. b) Resposta esperada: Gráfico de segmentos ou gráfico de barras. c) Média: aproximadamente 122,7 filmes; conjunto de dados amodal; mediana: 129 filmes. d) 75 filmes. Representa a diferença da quantidade de filmes entre o ano em que foram lançados mais filmes brasileiros (ano de 2017, com 158 filmes) e o ano em que foram lançados menos filmes brasileiros (ano de 2012, com 83 filmes) no período apresentado no gráfico. Ficha II _ média: 107 alunos; moda: 120 alunos; mediana: 110 alunos; amplitude: 35 alunos; Ficha III _ média: 21,25 alunos; moda: 15 alunos; mediana: 20 alunos; amplitude: 15 alunos. a) João Souza. Paulo Marques. b) João Souza: 8,6; Marta Rodrigues: 8,8; Paulo Marques: 8,8. c) 1o: Marta Rodrigues; 2o: Paulo Marques; 3o: João Souza. Marta Rodrigues ficou em 1o lugar, pois a amplitude de suas notas foi menor do que a amplitude das notas de Paulo Marques, que obteve nota final igual à dela. Alternativa b. a) 150 apartamentos. Resposta esperada: Adicionando os valores representados nas colunas. b) 30 apartamentos. 37 apartamentos. c) Média: 2,4 moradores; moda: 3 moradores; mediana: 2 moradores. Alternativa d.

b) Resposta pessoal. c) A área II foi a mais escolhida entre os alunos entrevistados. d) A: 11,25%; B: 43,75%; C: 27,5%; D: 17,5%; E: Área I; F: Área II; G: Área III; H: Área IV. e) Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal.

Atividades p. 217 a 219 1 1 1 1 1. a) Fábio: ; Júlia: 12 . c) Fábio: ; Júlia: . 4 4 16 1 1 9 1 b) Fábio: ; Júlia: . d) Fábio: ; Júlia: . 4 4 2 16 2. a) Sim. b) Não. c) Sim. 3. a) 16 possibilidades.

3 • ou 75%. 4

3 ou 37,5%. 8 4. a) A: camiseta azul. R: camiseta vermelha. B: camiseta alaranjada. V: camiseta verde. P: camiseta cinza.

• Quadro de possibilidades. 1o sorteio

2o sorteio

II) • Árvore de possibilidades.

• Quadro de possibilidades. 2o sorteio

1. a) Por amostra.

•

1o sorteio

Atividades p. 212 e 213

1 b) • ou 12,5%. 8

VR RV

b) Resposta esperada: Se o sorteio for realizado da maneira I, é possível que se obtenham duas cores iguais, ou seja, que Fernando utilize a mesma camiseta nas duas gravações, o que não acontece se o sorteio for realizado da maneira II. c) Maneira II. 5. a) Turma A: 35 alunos; turma B: 35 alunos;

turma C: 30 alunos. 100 alunos. b) Um menino da turma A, pois nessa turma há mais meninos do que meninas. 1 ou 1%. c) 100 18 ou 18%. d) 100 14 e) ou aproximadamente 14,14%. 99

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Projeção da proporção de pessoas por grupo etário, no Brasil, em 2060

32,2%

60%

Resposta pessoal. Resposta pessoal. Respostas pessoais. Resposta esperada: É provável que as probabilidades calculadas no item a e as probabilidades estimadas no item c, com base na frequência das cores sorteadas no experimento, sejam próximas, mas não necessariamente iguais. Porém, isso pode não ocorrer na prática.

Medidas de volume Atividades p. 232 e 233

14,7%

7. a) Resposta pessoal.

b) c) d) e)

UNIDADE 8

b) Resposta esperada: Gráfico de setores.

cuja soma das marcações é um número par (4 peças) do que um número ímpar (3 peças). 4 b) ou aproximadamente 67%. 6 c) A probabilidade de se obter um número par com a soma da segunda peça virada é a mesma de se obter um número ímpar.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

6. a) Um número par, pois no início há mais peças

53,1%

0 a 14 anos 60 anos ou mais

15 a 59 anos

Fonte: IBGE. Projeções da População. Disponível em: <www.ibge.gov.br/estatisticas-novoportal/ sociais/populacao/9109-projecao-da-populacao. html?=&t=downloads>. Acesso em: 16 out. 2018.

c) Resposta esperada: Gráfico de colunas, de barras ou de setores. Projeção da proporção de pessoas por grupo etário, no Brasil, em 2040

8. Resposta pessoal. 70 60

1. Resposta esperada: O ECA é a sigla de Estatuto

da Criança e do Adolescente, que tem como finalidade garantir os direitos das crianças e dos adolescentes. 2. a) Laranja. Indica o porcentual correspondente

às crianças e adolescentes de 5 a 17 anos ocupados no tipo de atividade comércio e reparação, no Brasil, em 2014. b) Agricultura, pecuária, silvicultura, pesca e aquicultura: 1 032 727 pessoas; comércio e reparação: 799 531 pessoas; outros: 1 499 120 pessoas. 3. a) Resposta esperada: Sim, pois 6 606 000

pessoas é aproximadamente o dobro de 3 331 000 pessoas. b) 3 275 000 pessoas. Resposta esperada: Significa a diferença entre o ano de maior e o ano de menor quantidade de crianças e adolescentes ocupados.

Você conectado p. 222 a 225 Mãos à obra p. 225 1. a) Resposta esperada: Gráfico de segmentos, de

colunas ou de barras. Projeção da proporção de pessoas de 60 anos ou mais de idade, no Brasil (2020 e 2060) População (%)

59,7

28,5

32,2

23,5 18,7

23,5 16,8

10 0 a 14 anos

15 a 59 anos

60 anos ou mais

Grupo etário Fonte: IBGE. Projeções da População. Disponível em: <www.ibge.gov.br/estatisticas-novoportal/ sociais/populacao/9109-projecao-da-populacao. html?=&t=downloads>. Acesso em: 16 out. 2018.

2. Resposta pessoal.

O que estudei p. 226 e 227 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. • Resposta esperada: Gráfico de segmentos.

Conceitos: Tabela de dupla entrada; gráfico de segmentos.

• Resposta esperada: Gráfico de barras ou de colunas. Conceitos: Tabela de dupla entrada; gráfico de barras; gráfico de colunas. II. Respostas possíveis: Média: 28 doadores; moda: 24 doadores; mediana: 24 doadores. Conceitos: Tabela de dupla entrada; medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana. III. Sexta-feira. Terça-feira. 28 doadores. Conceitos: Tabela de dupla entrada; amplitude.

2030

2040 Ano

2050

2060

Fonte: IBGE. Projeções da População. Disponível em: <www.ibge.gov.br/estatisticas-novoportal/ sociais/populacao/9109-projecao-da-populacao. html?=&t=downloads>. Acesso em: 16 out. 2018.

b) 280 cm³.

3. a) 40 L.

b) Modelo P: 16,555 L; modelo M: 36,504 L; modelo G: 48 L. c) Modelo G. d) Resposta pessoal. 4. a e c. 5. 16 dm³. 6. Resposta pessoal. 7. Alternativa c.

Atividades p. 237 a 239 c) 188,4 cm³. d) 84,78 cm³.

3 2. 187,5 3 cm .

2. a) 105 cm³.

b) 769,3 cm³.

c) 64 cm³.

b) 120 cm³.

1. a) 1 020,5 cm³.

• Resposta esperada: Gráfico de setores. Conceitos: Tabela de dupla entrada; gráfico de setores.

4. Resposta pessoal.

35 30 25 20 14,2 15 10 5 0 2020

População (%)

Você cidadão p. 220 e 221

1. a) 135 cm³.

IV. • Quinta-feira. Conceitos: Tabela de dupla entrada; probabilidade. 26 . Conceitos: Tabela de dupla entrada; • 139 probabilidade.

3. c. 4. a) João e Taís.

b) Algumas respostas possíveis: Raio da base igual a 4 cm e altura igual a 6,75 cm; raio da base igual a 5 cm e altura igual a 4,32 cm. c) Resposta pessoal. 5. 7,25 m³. 6. Resposta pessoal. 7. a) 803,84 cm³.

b) 737,47 cm³.

8. Alternativa a. 9. a) 452,16 cm³.

b) Modelo I: 1 120 cm²; modelo II: 1 088 cm²; modelo III: 1 232 cm². c) Modelo I: 2 304 cm³; modelo II: 2 304 cm³; modelo III: 2 304 cm³. Todos os modelos têm a mesma capacidade. d) Resposta esperada: Modelo II, pois entre as opções é o que utiliza menos papelão. Integrando com Ciências p. 240 e 241 1. Resposta pessoal. 2. a) 16,956 m3.

b) 38 dias.

3. Resposta pessoal. 4. Resposta pessoal.

O que estudei p. 242 e 243 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. 502,4 mL. Conceitos: Medidas de volume;

volume de um cilindro. II. 3 vezes. Conceitos: Medidas de volume; volume de um bloco retangular. III. a. Conceitos: medidas de volume; volume de um prisma. IV. Resposta pessoal. Conceitos: Medidas de volume; volume de um prisma.

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Referências bibliográficas ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012. AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Psicologia educacional. Tradução: Eva Nick et al. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980. BORBA, M. de C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática). BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da Matemática. Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012. BROUSSEAU, G. Introdução ao estudo das situações didáticas: conteúdos e métodos de ensino. São Paulo: Ática, 2008. CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva, 2012. COLL, C.; TEBEROSKY, A. Aprendendo Matemática. São Paulo: Ática, 2000. D’AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. 23. ed. Campinas: Papirus, 2017. EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. FAINGUELERNT, E. K.; NUNES, K. R. A. Fazendo arte com a Matemática. 2. ed. Porto Alegre: Penso, 2015. FERREIRA, M. K. L. Ideias matemáticas de povos culturalmente distintos. São Paulo: Global, 2002. (Antropologia e Educação). FERREIRA, M. K. L. Madikauku: os dez dedos das mãos – matemática e povos indígenas no Brasil. Brasília: MEC, 1998. FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 43. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2011. IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução: Alberto Muñoz; Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. 2 v. KAMII, C.; DECLARK, G. Reinventando a Aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1996. LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Org.). Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução: Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e proposições. 22. ed. São Paulo: Cortez, 2011.

MORAIS FILHO, D. C. de. Manual de redação matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2018. MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. NEVES, I. C. B. et al. Ler e escrever: compromisso de todas as áreas. 9. ed. Porto Alegre: Ed. da UFRGS, 2011. NUNES, T. et al. Educação matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2007. OLIVEIRA, V. B. de. Jogos de regras e a resolução de problemas. 4. ed. Petrópolis: Vozes, 2010. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. de C. (Org.). Educação matemática: pesquisa em movimento. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2012. PAIS, L. C. Educação escolar e as tecnologias da informática. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Trajetória). PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2001. POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática). SOUZA, E. R. de et al. A Matemática das sete peças do tangram. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2008. (Ensino Fundamental). TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Teoria e prática de Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2010. TOMAZ, V. S.; DAVID, M. M. M. S. Interdisciplinaridade e aprendizagem da Matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2012. (Tendências em Educação Matemática).

Documentos oficiais BRASIL. Ministério da Educação. Base nacional comum curricular: educação é a base. Brasília, 2017. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/ uploads/2018/06/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site. pdf>. Acesso em: 3 jul. 2018.

MACHADO, N. J. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação mútua. 6. ed. São Paulo: Cortez, 2001.

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes curriculares nacionais gerais da educação básica. Brasília: SEB: Dicei, 2013.

MONTEIRO, A.; POMPEU JUNIOR, G. A Matemática e os temas transversais. São Paulo: Moderna, 2001.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: SEF, 1997.

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RESOLUÇÕES Unidade 1 Conjuntos numéricos, potências e raízes

c) 1,85 =

d) x = 0,25 100x = 25,25

Atividades – p. 15

100x _ x = 25,25 _ 0,25 99x = 25 25 x= 99

1. a) 5 elementos. Finito. b) I e IV. 2. a) A = {Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo}; B = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}; C = {2}. b) Resposta esperada: Não, pois nenhum dos conjuntos possui todos os elementos também pertencentes a um dos outros dois conjuntos. c) • 25 [ B. • 6 { C. • 10 { B. • 16 { C. • Rio de Janeiro [ A. 3. a) • A £ B. •C£A

• C ¡ B. • B £ C.

b) A = {a, b, e, f}; B = {a, b, c, d, f, g, h}; C = {b, c, g}. 4. II. • Infinito.

Atividades – p. 19 5 12 18 b) 4 31 c) 25 26 d) 18

= 5 ÷ 12 = 0,416. = 18 ÷ 4 = 4,5. = 31 ÷ 25 = 1,24. = 26 ÷ 18 = 1,4.

2. a) 4,16 = b) x = 3,6

3. a) 1,5 { Z. b) 0 [ N. c) 6,5 [ Q. d) 9 [ Q. 2 e) 7,12 { N. f) _5 [ Z. g) −12,91 { N. 1 7 14 = _0,1; = 1,75; = 2,3; 10 4 6 11 11 _ = _2,2; _3,18 , _ , 5 5 1 7 , _1,3 , _ , 0,8 , , 10 4 14 , , 3,78 6 Resposta: 11 A: _3,18; B: _ ; C: −1,3; 5 1 7 D: _ ; E: 0,8; F: ; 10 4 14 G: ; H: 3,78. 6

4. _

• Sergipe { A.

1. a)

185 37 . = 100 20

416 104 . = 100 25

10x = 36,6 10x _ x = 36,6 _ 3,6 9x = 33 33 11 x= = 9 3

5. A, D e E. 6. c. 7. O tanque possui 37,5 L de combustível, pois o marcador indica 6 de sua que há combustível em 8 6 ⎞ capacidade ⎛⎜50 ⋅ = 37,5⎟ . ⎝ ⎠ 8 Desse modo, como cada litro faz 15 km, com o combustível do tanque é possível andar mais 562,5 km (37,5 ? 15 = 562,5). Logo, a máxima distância que pode percorrer para não ficar sem combustível na estrada é 500 km. Resposta: Alternativa b.

Atividades – p. 22 e 23 1. a) Q, pois 5² = 25. b) I, pois 60 não é quadrado perfeito. c) I, pois 200 não é quadrado perfeito. d) Q, pois 13² = 169. e) Q, pois 10² = 100. f) I, pois 150 não é quadrado perfeito. 2. a) Primeiro observamos que: 64 , 70 , 81 → 82 , 70 , 92. Realizando alguns cálculos, temos: (8,1)2 = 65,61; (8,2)2 = 67,24; (8,3)2 = 68,89; (8,4)2 = 70,56; (8,5)2 = 72,25. Observamos que 8,3 , 70 , 8,4. Resposta: 70 1 8,4 . b) Primeiro observamos que: 9 , 14 , 16 → 32 , 14 , 42 . Realizando alguns cálculos, temos: (3,5)2 = 12,25; (3,6)2 = 12,96; (3,7)2 = 13,69; (3,8)2 = 14,44. Observamos que 3,7 , 14 , 3,8. Resposta: 14 1 3,7 . c) Primeiro observamos que: 81 , 98 , 100 → → 92 , 98 , 102 . Realizando alguns cálculos temos: (9,5)2 = 90,25; (9,6)2 = 92,16; (9,7)2 = 94,09; (9,8)2 = 96,04; (9,9)² = 98,01. Observamos que 9,8 , 98 , 9,9. Resposta: 98 1 9,9. d) Primeiro observamos que: 16 , 23 , 25 → 42 , 23 , 52. Realizando alguns cálculos, temos: (4,5)2 = 20,25; (4,6)2 = 21,16; (4,7)2 = 22,09; (4,8)2 = 23,04. Observamos que 4,7 , 23 , 4,8. Resposta: 23 1 4,8.

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1,5 1 1,22; _ 2 1 _1,41; 28 1 2,37; p 1 3,14; 5 29,5 1 5,43; _ 8 1 2,83; 81 20 1 4,47; 1 6,36; 2 28 _ 8 , _ 2 , 1,5 , , 5 81 , p , 20 , 29,5 , 2 A: _ 8 ; B: _ 2 ; C: 1,5 ; D: G:

28 ; E: 29,5 ; F: 5 81 ; H: p. 2

20 ;

5. a) c = 2πr → c = 2 ? 3,1 ? 7,95 = = 49,29; c = 2πr → c = 2 ? 3,14 ? 7,95 = = 49,926; c = 2πr → c = 2 ? 3,1416 ? 7,95 = = 49,95144. Resposta: 49,29 cm; 49,926 cm; 49,95144 cm. b) c = 2πr → c = 2 ? 3,1 ? 5,625 = = 34,875; c = 2πr → c = 2 ? 3,14 ? 5,625 = = 35,325; c = 2πr → c = = 2 ? 3,1416 ? 5,625 = = 35,343. Resposta: 34,875 cm; 35,325 cm; 35,343 cm. 3,2 6. a) Resposta esperada: = 1,6 . 2 b) Respostas pessoais.

Atividades – p. 24 e 25 1. a) D ¡ N

d) A £ I

b) B £ Z

e) E ¡ Q

c) C ¡ r

c) (0,8)3 = 0,8 ? 0,8 ? 0,8 = 0,512. Resposta: (0,8)3. 0,512 m3.

8 1 0,9; 9 C: _ 3 1 _1,7; D: 2 1 1,4; π E: _ 1 _0,8; F: 5,92 1 5,9; 4 G: 8 1 2,8; H: _ 5 1 _2,2.

2. A: 11 1 3,3; B:

_3 _2 _1

BD 0

GA 2

d) 0,512 ? 15 = 7,68. Resposta: 7,68 m3. 3. a) 4

( )

4. a) 2

b) 223 ÷ 71 = 3,14084507 e 22 ÷ 7 = 3,142857143. 311 10 1 3,16; 1 3,1414. 99 311 Resposta: ; 3,141; 3,142. 99 c) Resposta pessoal.

= 26 ? 31 = 26 ? 3.

5. Se construirmos um quadrado de lado unitário e traçarmos sua diagonal, temos um segmento com medida 2 . Logo, temos:

Atividades – p. 29 e 30 1. a) 73 = 7 ? 7 ? 7 = 343. b) 80 = 1. 1 1 = . 22 4 d) 105 = 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 = = 100 000.

c) 2−2 =

e) (_3,2)2 = (_3,2) ? (_3,2) = = 10,24. 4

f) _5 = _(5 ? 5 ? 5 ? 5) = _625. 2. a) 153 = 15 ? 15 ? 15 = 3 375. Resposta: 153. 3 375 unidades do produto. b) Como 5 caixas cúbicas juntas medem 4 m de comprimento, temos: 4 ÷ 5 = 0,8. Então, 0,8 ? 3 = 2,4. Resposta: 2,4 m.

32 9 ⎛ 3⎞ c) ⎜ ⎟ = 2 = ⎝ 2⎠ 2 4 6 _8 3 6 _ 8 +3 d) 3 ? 3 ? 3 = 3 =3

()

c) Uma resposta possível: a: 5; b: _12; c: _7; d: _50; 3 e: ; f: 2,7; g: p; h: 7 . 4 d) Resposta pessoal.

214 = 214 _ 3 = 211 23

5. I. Resposta esperada: O erro está em 36 escrever 3 como 36 : 3 e escrever 3 32 ? 3_2 como 32 ? (_2); 2 36 23 ? 3 ? 3_2 = 23 ? 2 ? 36 _ 3 ? 3_2 = 3 = 26 ? 33 ? 3_2 = 26 ? 33 + (_2) =

b) Sim. Não.

= 2_1 ? 10 = 2_10

e) 39 ? 29 = (3 ? 2)9 = 69

4. a) Sim.

e) 2

d) 3 −1 10

3. a) Racionais. Sim, pois todo número racional é um número real.

c) −8

b) 5

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

3. 1 , 3 , 4 H 12 , 3 , 22. Calculando alguns quadrados, temos: (1,5)2 = 2,25; (1,6)2 = 2,56; (1,7)2 = 2,89; (1,8)2 = 3,24. Logo, (1,7)2 , 3 , (1,8)2. Calculando quadrados entre 1,7 e 1,8, temos: (1,71)2 = 2,9241; (1,72)2 = 2,9584; (1,73)2 = 2,9929; (1,74)2 = 3,0276. Portanto, (1,73)2 , 3 , (1,74)2 H H 1,73 , 3 , 1,74. Resposta: b.

II. Resposta esperada: O erro está em escrever 54 ? 24 como (5 ? 2)4 + 4 108 e escrever 8 como (10 _ 3)8; 3 54 ? 24 (5 ? 2)4 104 . = = 38 38 38 6. a) • 5 kB = 5 ? 210 B. • 7 TB = 7 ? 210 ? 210 ? 210 = = 7 ? 230 kB. • 1 MB = 2_10 GB. • 3 B = 3 ? 2_10 ? 2_10 ? 2_10 ? ? 2_10 = 3 ? 2_40 TB. • 1,5 GB = 1,5 ? 210 MB. • 2 MB = 2 ? 2_10 ? 2_10 = = 21 _ 20 = 2_19 TB. b) Resposta esperada: Sim, pois 8 GB = 213 MB e 213 . 211. c) Resposta pessoal.

Atividades – p. 33 e 34 1. a) 6 ? 105

d) 5,933 109

b) 4 ? 10_6

e) 2,8 ? 10_3

c) 7,01 ? 107

f) 6,03 ? 10_8

2. a) Resposta esperada: O Sol é definido como uma enorme bola de gás quente e luminosa. b) O hidrogênio é convertido em hélio no núcleo do Sol.

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11/26/18 7:02 PM

c) Núcleo. 9

d) • 4,6 ? 10 anos. • 1,4 ? 106 km. 8

• 1,496 ? 10 km. • 1,5 ? 107 °C.

3375 = 15, pois 15³ = 3375. Resposta: 15 cm.

729 = 9, pois 9³ = 729. Resposta: 9 cm.

3. a) Antares: 9,8 ? 108 km; Sol: 1,4 ? 106 km. b)

1331 = 11, pois 11³ = 1 331. Resposta: 11 cm.

3. a)

9 , 11 , 2

(3,1)² = 9,61

Resposta: IV.

(3,2)² = 10,24

3 =9

4. a) 2 ? 0,0000001 = 2 ? 10 ; 2 ? 10_7 = 2 ? 10_1 = 0,2 10_6 Resposta: 0,2 mm. b) 2 ? 0,0000015 = 2 ? 1,5 ? 10_6 = 3 ? 10_6 = 3 ? 10_6; =3 10_6 Resposta: 3 mm. c) 3 ? 0,00000005 = 3 ? 5 ? 10_8 = 15 ? 10_8 = 15 ? 10_8; = 10_6 = 15 ? 10_2 = 0,15 Resposta: 0,15 mm.

2. a)

102 = 100

83 1 9,1.

c) % 121 , 125 , !##144 "##$ 112 = 121

122 = 144

(11,1)² = 123,21 (11,2)² = 125,44 Resposta: 125 1 11,2. 16 ,

20 ,

42 = 16

52 = 25

(4,4)² = 19,36 (4,5)² = 20,25 Resposta:

b) c) d)

625 = 25, pois 25² = 625. Resposta: 25 cm.

20 1 4,5 .

169 = 13, pois 13² = 169. Resposta: 13 cm. 841 = 29, pois 29² = 841. Resposta: 29 cm.

361 = 19, pois 19² = 361. Resposta: 19 cm.

56,25 = 7,5, pois 7,5² = 56,25. Resposta: 7,5 cm.

2. a)

II: 3 _216 = _6. 7

III: _1 = _1.

2 5 1

6. 2 ? 2 = 2 =

2 =

9+7 6

64 = 10 3 ? 10 3

16 6

5 4

8 3

9 ? 8 106 = 10 9 =4 ? 8 : 2 106 : 2 = 10 9 =4 ? 4 103 = 10 4

9 ? 102 =

900 =

30 .

5 ? 2 ?33 =

5 ? 2 ? 3 23 ? 3 ? 2 32 =

5 ? 6 23 ? 6 32 =

5?8?9 =

360 .

4 ?

4 ? 7 =

4?2

4 ? 2

4 ?

7 =

7 = 16 ? 7 =

42 ? 5 =

64 =

7 ?

72 ? 2 =

• 2 10 = =

2 = 98

22 ?

22 ? 10 = 40 ,

42 ? 5 =

•

1. a) 99, pela propriedade I. 64 =

10 2 64 : 2 6 = 10 = 9 9 36 = 10 4 = 9

• 7 2 =

=2 =

Atividades – p. 40 e 41

2 ? 14 = 4

256 .

2?3

20 : 2

4. • 4 5 =

Resposta: a.

14 = 4

3. I.

3 2

51 ,

10 = 40 80 ,

98 .

5. a) Propriedades

512 = 8, pois 8³ = 512. Resposta: 8 cm.

= 112.

d) 3 7 6

_1 =

c) 3

b) 3 3 3 2

= 16 ?

VI: 5 _32 = _2. 5. a) 3

2 ?

4. II, III e VI.

400 = 20, pois 20² = 400. Resposta: 20 cm.

5?5

_1 = _1.

= 10 22 =

(9,2)² = 84,64

= 10

(9,1)² = 82,81 Resposta:

81 = 3.

_1 =

83 , !##100 "##$

92 = 81

3 ? 27 =

5 4

Resposta: 11 1 3,3 .

5. Idade do fóssil: entre 1,13 ? 108 anos e 1,19 ? 108 anos. Resposta pessoal.

1. a)

(3,4)² = 11,56

Resposta pessoal.

Atividades – p. 37 e p. 38

5 5

4 = 16

81 , b) %

e) _21, pela propriedade I.

(3,3)² = 10,89

c) 500 ? 9,46 ? 1012 = = 4 730 ? 1012 = 4,73 ? 1015 Resposta: 4,73 ? 1015 km.

16 4 = . 49 7

3 ? 4 27 =

9,8 ? 108 = 7 ? 102 = 700 1,4 ? 106

16 = 49

64 = 2.

a?b =

a ?nb e

an = a.

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11/26/18 1:28 PM

b) •

162 = 4

3?3?3?3?2 =

3 ?2 =

3 ?

2 =

=3 2 • 5 128 = =

2?2?2?2?2?2?2 =

25 ? 4 =

25 ?

4 =

= 25 4 •

1. Milton, o sobrinho do matemático Edward Kasner. “Mas o pequeno Milton sabia bem que há números ainda maiores, e até propôs um nome para um deles: ‘googolplex’”. 2. d.

2058 = 3

Unidade 2

Integrando com Língua Portuguesa – p. 42 e 43

7⋅7⋅7⋅2⋅3 =

7 ⋅6 = 3

7 ⋅ 6 = 7 6 3

3. Uma resposta possível: 100 000 000 000 ? 1000 000 000$ ? !############### "############### 100 bilhões de bilhões

2?2?3?3?3?5 = 2

2 ?3 ?3?5 = 2

2 ? 3 ? 15 =

= 2 ? 3 ? 15 = 6 15

80 10 %

quantidade de átomos no Universo

= 1011 ? 109 ? 1080 = 100 = 1011+ 9 + 80 = 10 %

1 googol

1050

4. a) 10 , 10 e 10 . 50

b) 1010

450 _ 72 + 98 =

c) Sim. Algumas respostas possíveis:

= 15 2 _ 6 2 + 7 2 =

101

100

1000

= 16 2

1010 . 1010 ; 1010

Resposta: Cláudio.

1010 + 1 . 1010

100

7. a) Sim. b) Resposta esperada: Multiplicaram a fração inicial por outra cujo numerador e denominador fossem iguais, de modo que o produto obtido no denominador não tivesse radical. c) • =

•

1 = 8 8 82

1 8 =

8 8

9 9 5 = ? = 2 5 2 5 5 9 5 9 5 9 5 = = = 2 ? 2 5 10 2 5 4 4 6 = ? = 3 6 3 6 6 4 6 4 6 = = = 2 3?6 3 6 4 6 2 6 = = 18 9

• =

7 = 3 21 2

7 3 ? = 3 3 21 = 3

Atividades – p. 54 e 55 1. a) OC, OD, OG, OH, OI e OJ. b) CD, GH e IJ. c) AB, CD, EF, GH e IJ.

• 540 =

Circunferência, plano cartesiano e vistas

100

. 1010 ;

100

2. Modelo A: c = 2πr = 2 ? 3,14 ? 60 = 376,8 Resposta: 376, 8 cm. Modelo B: c = 2πr = 2 ? 3,14 ? 25 = 157 Resposta: 157 cm. 3. Comprimento da parte superior: c = 2πr = 2 ? 3,14 ? 9 = 56,52, ou seja, 56,52 cm. Comprimento da parte inferior: c = 2πr = 2 ? 3,14 ? 6 = 37,68 , ou seja, 37,68 cm. Diferença: 56,52 _ 37,68 = 18,84 Resposta: 18,84 cm.

Mãos à obra – p. 45

4. Respostas pessoais.

1. Número o. Irracional.

5. c = 2πr → 78,5 = 2 ? 3,14 ? r → → 78,5 = 6,28 ? r → 78,5 →r= = 12,5 6,28 Resposta: 12,5 m.

2. ϕ 1 1,62. 3. Ponto H. 4. Resposta esperada: Número real 2 , pois a distância AJ é a mesma que AC, que corresponde à diagonal do quadrado de lado de medida 1 unidade.

6. a) 9,04 : 8 = 1,13, ou seja, 113 km em cada volta. c = 2πr → 1,13 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → → 1,13 = 6,28 ⋅ r → 1,13 →r= 1 0,180, 6,28

O que estudei – p. 46 e 47 1. Respostas pessoais.

ou seja, 0,180 km de raio. Realizando a conversão, temos: 0,180 ? 1000 = 180. Resposta: 180 m.

2. Resposta pessoal. 3. I. Resposta esperada: 23,93: Q e r; _58: Z, Q e r; 88: N, Z, Q e r. Conceitos: Conjuntos N, Z, Q, I e r. II. Número p. Conjuntos I e r. Conceitos: Número p e número de ouro o; conjuntos N, Z, Q, I e r. III. 150 milhões de quilômetros. Conceitos: Potências; notação científica. IV. 1600 = 40 . Resposta: 40 cm. Conceito: Raízes.

b) 42 : 8 = 5,25, ou seja, 5,25 min, o que corresponde a 1 de minuto, isto é, 5 minutos e 4 ele demorou 5 minutos e 15 segundos. c)

9 040 1 215,24 42 Resposta: Aproximadamente 215,24 m/min.

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11/26/18 8:30 PM

Início. Com a régua, traçar AB com a medida correspondente ao lado do triângulo. Abrir o compasso com a medida AB, fixar a ponta-seca em A e traçar um arco. Com a mesma abertura do compasso, fixar a ponta-seca em B e traçar um arco cruzando aquele traçado anteriormente. No encontro dos arcos, marcar o ponto C. Com a régua, traçar AC e BC. Colorir a região interna da figura obtida. Fim.

8. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. 9. Resposta pessoal.

Atividades – p. 59 e 60 1. a) 360 = 2 ? π ? 3 → 75 x → 360x = 450π → 450π → x= → 360 1413 → x= = 3,925. 360 Resposta: 3,9 m. b)

360 2 ? π ? 45 = → 180 x → 360x = 16200π → 16 200π → x= → 360 50 868 → x= = 141,3. 360 Resposta: 141,3 dm.

c) 360 = 2 ? π ? 2,8 → 44 x → 360x = 246,4π → 246,4π → x= → 360 773,696 → x= 1 2,1 360 Resposta: 2,1 m.

d) 360 2 ? π ? 3,7 = → 270 x → 360x = 1998π → 6 273,72 → x= → 360 → x = 17,427. Resposta: 17,4 m. 2. O comprimento do arco de circunferência terá: 360 2 ? π ? 2,82 → = 125 x → 360x = 705π → 2 213,7 → x= 1 6,15, 360 ou seja, 6,15 m. Então, adicionamos a medida do comprimento do arco com as medidas correspondentes aos três lados do contorno do retângulo que compõe a entrada do edifício. 6,15 + 2 + 2 + 5 = 15,15. Resposta: 15,15 m. 3. a) Inicialmente determinamos o valor de x: 3x + 6° = 2 ? (2x _ 5°) H H 3x + 6° = 4x _ 10° H x = 16°. Com isso, temos que o ângulo 4. central e o ângulo inscrito, respectivamente, medem: ABOB: 3 ? 16° + 6° = 54° e ABCB: 2 ? 16° _ 5° = 27°. b) Inicialmente, determinamos o valor de x: 32x = 2 ? (12x + 20°) → → 32x = 24 x + 40° → → 8 x = 40° → 40° = 5º. → x= 8 Com isso, temos que o ângulo central e o ângulo inscrito medem, respectivamente: DBOE: 32 ? 5° = 160° e 5. DB FE: 12 ? 5° + 20° = 80°. c) Inicialmente, determinamos o valor de x: 3x ⎛x ⎞ 6. = 2 ?⎜ _ 8°⎟ → ⎝2 ⎠ 4 3x → = x _ 16° → 4 3x _ x = _16° → → 4 3x 4x _ = _16°360 → → = 2π ? 2 4 4 90 x → _x = _16° ? 4 → x = 64°. Com isso, temos que o ângulo central e o ângulo inscrito medem, respectivamente:

3 ? 64° = 48° e 4 64° G ÎH: _ 8° = 24°. 2 d) Inicialmente, determinamos o valor de x: ⎛ 8x ⎞ 6x = 2 ? ⎜ + 21°⎟ → ⎝ 5 ⎠ 16 x + 42° → → 6x = 5 16x = 42° → → 6x _ 5 30x 16x _ = 42° → → 5 5 14x = 42° → → 5 → 14x = 42° ? 5 → 210° = 15° → x= 14 Com isso, temos que o ângulo central e o ângulo inscrito medem, respectivamente: JBOK: 6 ? 15° = 90° e 8 ? 15° 120° B + 21° = + JLK: 5 5 + 21° = 24° + 21° = 45°. GÔH:

• Comprimento do arco em vermelho: 360 2?p?6 = H x 1 23,55, 225 x ou seja, 23,55 dm. • Comprimento do arco em azul: 360 2?p?6 = H x 1 14,13, ou 135 x seja, 14,13 dm. • Comprimento do caminho em vermelho: 23,55 dm. • Comprimento do caminho em azul: 14,13 + 6 = 20,13, ou seja, 20,13 dm. A formiga que percorreu o caminho em azul. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. 360 2π ? 1 2π ? 1 360 = =→ → Arco DE: 90 x 90 x 180π π 180π π → x= → x= = = 360 2 360 2 360π 360 2π ? 2 Arco EF: = → x= =π 90 x 360 360π → x= =π 360 360? 3 2π ? 3 360 FG: 2π Arco =→ → = 90x x 90 540π 3π 540π 3π = → x = → x == 360 2 360 2

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11/26/18 7:03 PM

– p. 67 a 69 Arco GH: 360 = 2π ? 4 → x = 720π Atividades = 2π 90 x 360 1. Resposta pessoal. 360 2π ? 4 720π = →x= = 2π 90 x 360 2. Resposta esperada: II e III. Adicionando a medida do 3. Alternativa b. comprimento desses arcos, temos: 4π + 2π + 3π + π4. 10π π 3π 2π + π + + = = = 5π 2 2 2 2 4π + 2π + 3π + π 10π 3π π 2π + π + + = = = 5π 2 2 2 2 Plano I. Resposta: Alternativa a.

Mãos à obra – p. 75 1. Medidas iguais. Resposta esperada: Todas essas figuras de circunferência têm raio com medida correspondente à do lado do hexágono, ou seja, 6 cm. 2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal.

Plano III.

O que estudei – p. 76 e 77

Atividades – p. 62 e 63

1. Respostas pessoais.

1. A(2, 3); B(3, 0); C(_4, 2); D(_1, _4); E(4, _3); F(_2, _2); G(2, _3); H(_3, 4); I(0, 2).

2. Resposta pessoal.

b) I.

y 4

c) III.

d) I.

e) II.

2 1 0

A 1

7 x

Perímetro: 3 + 4 + 4 + 3 = 14, ou seja, 14 cm. Área: 3 ? 4 = 12, ou seja, 12 cm². 4. a) (_5, _2). b) • Interna: (_ 5, 1); (_ 4, 1); (_6, _1). • Externa: (1, _3); (_7, _6); (2, 3). c) II e III. d) 0,5 ? 4 = 2 Resposta: 2 cm. e) c = 2πr = 2 ? 3,14 ? 2 = 12,56 Resposta: 12,56 cm. 5. a)

y B 4 3 2 1

• Resposta pessoal.

1. Resposta pessoal.

D 3

5. I-e; II-d; III-a.

Integrando com História e Língua Portuguesa – p. 70 e 71

D _5_4_3_2_1 0 1 2 3 4 5 6 x _1 G E _2 F _3

b) Hexágono. 6. a) A(3, 5), B(1, 2), C(8, 2) e D(8, 5). b) • Algumas respostas possíveis para região interna: (4, 3); (6, 3); (7, 4). • Algumas respostas possíveis para região externa: (1, 1); (5, 6); (1, 4). c) 15 km. d) (B + b) ⋅ h = (7 + 5) ? 3 = 2 2 12 ? 3 = = 18. 2 Resposta: 18 km².

3. • Plano I.

• Plano II.

2. Resposta esperada: As ideias que possibilitaram o desenvolvimento do plano cartesiano. • Plano III.

3. c. 4. a) Algumas respostas possíveis: (_3, _2); (0, _1); (2, 0); (3, 2). b) Não. c) I, III e IV.

Mãos à obra – p. 73 1. A medida do ângulo central é o dobro da medida de um ângulo inscrito correspondente a um mesmo arco de circunferência. Sim, pois no exemplo a medida de CÂD é 90°, que corresponde ao dobro da medida de CÊD, que é de 45°.

Conceitos: Perspectiva; projeção ortogonal; vistas ortogonais. II. a) (_2, 0). Conceitos: Plano cartesiano; vistas ortogonais. b) 90o. Conceitos: Ângulo central em uma circunferência; arco de circunferência. c)

2. a) 4,71 cm. b) • Resposta esperada: Ajusta-se automaticamente, de acordo com a posição do ponto B. • Resposta esperada: Não se altera, independentemente da posição de B. • Resposta esperada: Não se altera, independentemente da posição de B. c) Resposta esperada: Ajustam-se automaticamente, de acordo com a posição do ponto C. Sim.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2. a) IV.

Plano II.

90° = 45°. Conceitos: 2 Relação entre o ângulo central e um ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência; arco de circunferência. 360 2?π?2 = → 90 x 360π → x= = π. 360 3,14 unidades de medida de comprimento. Conceitos: Circunferência; comprimento da circunferência; arco de circunferência.

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11/26/18 1:28 PM

Unidade 3

b) (4p – 2q2)2 = (4p – 2q2) ? ? (4p – 2q2) = 4p ? 4p + + 4p ? (_2q2) + (_2q2) ? 4p + + (_2q2) ? (_2q2) = = 16p2 _ 16pq2 + 4q4

Expressões algébricas e equações do 2o grau Atividades – p. 83 1. a) 3 + 0,5x + 0,15y. b) • 3 + 0,5 ? 10 + 0,15 ? 20 = = 3 + 5 + 3 = 11 Resposta: R$ 11,00.

Atividades – p. 87 1. a) (6m _ 7n)2 = (6m)2 _ 2 ? 2

? 6m ? 7n + (7n) = = 36m2 _ 84mn + 49n2

• 3 + 0,5 ? 19 + 0,15 ? 38 = = 3 + 9,5 + 5,7 = 18,2 Resposta: R$ 18,20.

Resposta: II. 2

b) (5a + 4b) = (5a) + 2 ? ? 5a ? 4b + (4b)2 =

2. a) (3ab) = 3 ? a ? b = 9a b 2

2 2

= 25a2 + 40ab + 16b2

b) (10m3)2 = 102 ? (m3)2 = = 100 ? m3 ? 2 = 100m6

Resposta: I. 2

? 11 ? 9p + (9p) = = 121 _ 198p + 81p Resposta: II. d) (3x _ 2y3 ) ? (3x + 2y3) = 2

II.

4. a) 2a – 9ab2 + 5a + 2ab2 – 10 = = (2 + 5)a + (_9 + 2)ab2 – 10 = = 7a – 7ab2 _ 10 b) m3n + 5mn _ 3m3n + mn = = (1 _ 3)m3n + (5 + 1)mn = = _2m3n + 6mn c) ac3 – 3ac + 8ac + 10ac3 = = (1 + 10)ac3 + (–3 + 8)ac = = 11ac3 + 5ac

6. 5x ? 2xy ? 3y = 30x2y2 7. Área da folha: 5xy2 ? 20x = 100x2y2. Quantidade de pedaços: 100x2y2 : 4x2y2 = 25. Resposta: 25 pedaços. 8. a) (3m2 + n)2 = (3m2 + n) ? (3m2 + + n) = 3m2 ? 3m2 + 3m2 ? n + + n ? 3m2 + n ? n = 9m4 + + 6m2n + n2

? 100 ? 7 + 72 = 10000 + + 1400 + 49 = 11449 d) (100 _ 7)2 = 1002 _ 2 ? ? 100 ? 7 + 72 = 10 000 _ 1400 + + 49 = 8649 e) (100 + 1)2 = 1002 + 2 ? ? 100 ? 1 + 12 = 10 000 + + 200 + 1 = 10 201 6. Alternativa c. (a _ b)2 = 12 a2 + b2 _ 2 ? 1 = 1 a2 + b2 = 3 7. A = (x + y)2 _ [(y + 1) ? (y _ 1)] + +[(x _ y) ? (2x _ (x + y)] =

(3x)2 _ (2y3 ) = 9x2 _ 4y6

= (x + y)2 _ (y2 _ 1) + [(x − y) ?

Resposta: III.

? (x _ y)] = x2 + 2xy + y2 _ y2 +

16y = 4y

+ 1 + x2 _ 2xy + y2 = 2x2 + y2 + 1.

Atividades – p. 91

3. a) (8x + 2y)2 = = (8x)2 + 2 ? 8x ? 2y + (2y)2 = 2

= 64x + 32xy + 4y . 2

b) (7m _ n2) = (7m)2 _ 2 ? 2

? 7m ? n2 + (n2) = = 49m2 _ 14mn2 + n4 2

2 2

4. a) (5x _ 8y) = (5x ) _ 2 ? ? 5x2 ? 8y + (8y)2 = = 25x 4 _ 80x2y + 64y2 3 2

b) (4a + 2b ) = (4a) + 2 ? 4a ? 3

5. (4x2y)2; 16x4y2.

c) (100 + 7)2 = 1002 + 2 ?

a2 + b2 = 1 + 2 2

3. I. 2x2y ? 5x2y = 10x4y2

IV. (5x2y + 5x) ? 4y3 = = 20 x2y4 + 20 xy3

c) (11 _ 9p) = (11) _ 2 ?

d) (3m2n3)3 = 33 ? (m2)3 ? (n3)3 = = 27 ? m2 ? 3 ? n3 ? 3 = 27m6n9

? 100 ? 1 + 12 = 10000 _ 200 + + 1 = 9801

a2 _ 2ab + b2 = 1

c) (_2xy2)4 = (_2)4 ? x4 ? (y2)4 = = 16 ? x4 ? y2 ? 4 = 16x4y8

2x2y 2 = 5x2y 5 III. 2x2y _ 5x2y – 5x _ 4y3 = = _3x2y _ 5x _ 4y3

b) (100 _ 1)2 = 1002 _ 2 ?

3 2

? 2b + (2b ) = 2

= 16a + 16ab + 4b

c) (3m _ n2) ? (3m + n2) = 2

(3m)2 _ (n2) = 9m2 _ n4 2

d) (a2 − 3ab)2 = (a2) _ 2 ? ? a2 ? 3ab + (3ab)2 =

1. a) 3y(6x + 9) = 18xy + 27y. Resposta: III. b) (3a + 2b) ? (5 _ b2) = = 3a ? 5 _ 3a ? b2 + 2b ? 5 + +2b ? (_b2) = 15a _ 3ab2 + +10b _ 2b3 Resposta: II. c) (m2 _ 5) ? (1 _ 3n) = = m2 _ m2 ? 3n _ 5 ? 1 + 5 ? ? 3n = m2 _ 5 _ 3m2n + 15n m2 _ 5 _ 3m2n + 15n Resposta: I. 2. a) Uma resposta possível: 8x3y _ 2xy2 = = 2 ? 4 ? xy ? x2 _ 2xy ? y = = 2xy(4x2 _ y)

= a4 _ 6a3b + 9a2b2

b) Uma resposta possível:

12a2 b3c + 9a4 b2c2 =

5. a) (100 + 2) = 100 + 2 ? 100 ? ? 2 + 22 = 10000 + 400 + + 4 = 10404

= 3a2 b2c ? 4b + 3a2 b2c ? 3a2c = = 3a2 b2c ? (4b + 3a2c)

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11/26/18 7:10 PM

1. a) 12x2 + 20x = _4x − 36 + 8x2 2

12x _ 8x + 20x + 4x + 36 = 0 2

4x + 24x + 36 = 0

d) Não é possível fatorar.

b) _x + 42 = 6x2 _ x

3. c.

6x2 _ x + x _ 42 = 0

4. a) 2x + 5 e y2 + 6.

6x2 _ 42 = 0 c) x2 _ 5 = _2x2 + 6x + 4

b) (2x + 5)(y2 + 6)

x2 + 2x2 _ 5 _ 4 _ 6x = 0

c) (y ? 5) + (6 ? 5) + (6 ? 2x) + 2

3x2 _ 6x _ 9 = 0

+ (y ? 2x) = 5y + 30 +

d) x(x + 3) = 40

+ 12x + 2xy2

x2 + 3x _ 40 = 0

d) 2xy2 + 12x + 5y2 + 30 = = 2x(y2 + 6) + 5(y2 + 6) = = (2x + 5)(y2 + 6) 2

→ x2 _ x _ 132 = 0 c) Raízes da equação: –11 e 12; 12.

2m _ n _ 2mn + m n = = 2m3 _ 2mn _ n2 +

Atividades – p. 96 e 97

+ m n = 2m ? (m − n) +

1. a) 2x2 + 4x = 0 → → x ? (2x + 4) = 0 Assim, temos: x = 0 ou

+ n ? (m _ n) = = (2m + n) ? (m2 _ n) b) Resposta possível: 2

6a + 2ab + 3a + b = = 6a2 + 3a + 2ab + b = = 3a ? (2a + 1) + b ? (2a + 1) = = (2a + 1) ? (3a + b) c) Resposta possível:

2x + 4 = 0 → 2x = _4 → _4 = _2 → x= 2 Raízes: 0 e _2. b) _5x2 = 0 H x = 0. Raiz: 0.

Raízes: 1 e _1.

? (x _ 6y) = (3x + y) ?

d) 6x2 _ 9x = 0 → → x ? (6x _ 9) = 0

? (x _ 6y) 6. a) 4x 4 + 12x2 + 9 = (2x)2 + 2 ⋅

Assim, temos: x = 0 ou

⋅ 3 ⋅ 2x + (3) = (2x + 3) 2

b) 9a2 _ 30ab2 + 25b4 = 2

= (3a)2 _ 2 ? 3a ? 5b2 + (5b2) = 2

= (3a _ 5b2)

c) 25m2 _ n6 = (5m + n3) ? (5m _ n3) d) 16p4 + 9q2 _ 24p2q = 2

= (4p2) _ 2 ? 4p2 ? 3q + (3q)2 = = (4p2 _ 3q)2 7. Número 6. • x2 _ 6xy2 + 9y 4 = 2

= (x)2 _ 2 ? x ? 3y2 + (3y2) = 2 2

= (x _ 3y )

8. Resposta pessoal.

3. Área do quadrado: 4x ? 4x = 16x2. Área do triângulo: 4x ? (3x + 15) 12x2 + 60x = = 2 2 = 6x2 + 30x a) 16x2 = 6x2 + 30x → → 10x2 _ 30x = 0 → → x ? (10x _ 30) = 0 Assim, temos: x = 0 ou 10x _ 30 = 0 → 10x = 30 → 30 → x= = 3. 10 Logo, como se trata de medida de comprimento, x = 3. Sendo assim, a altura do triângulo é de 12 cm (4 ? 3 = 12). b) 48 cm (12 + 12 + 12 + + 12 = 48). c) 144 cm2 (12 ? 12 = 144). 4. a)

x x

→ x = ± 1 → x = ±1

= 3x2 ? (x3 _ 6y) + y ?

Resposta: r = _8 e s = 8. 8 = _16 + b) 2 ? (_8) + 4 + 2 = _14

c) x2 _ 1 = 0 → x2 = 1 →

3x5 _ 18x2y + x3y _ 6y2 = 3

→ x = ± 64 → x = ±8

2. a) II. b) x(x _ 1) = 132 →

5. a) Resposta possível: 3

2. a) x2 _ 64 = 0 → x2 = 64 →

6x _ 9 = 0 → 6x = 9 → 9 3 → x= = . 6 2 3 Raízes: 0 e . 2 e) 15x2 + 180 = 0 → 15x 2 = _180 = _180 → x2 = 15 Não possui raiz real. f) 9x2 = _72x → 9x2 + + 72x = 0 → x ? ? (9x + 72) = 0. Assim, temos: x = 0 ou 9x + 72 = 0 → 9x = _72 → _72 → x= = _8 9 Raízes: 0 e _8.

EDITORIA DE ARTE

Atividades – p. 93

c) Uma resposta possível: m4n3p + 6m3p3 = = m3p ? mn3 + m3p ? 6p2 = = m3p(mn3 + 6p2)

2x 2

3x = 486 ou 3x2 _ 972 = 0. 2 c) 3x2 _ 972 = 0 → 3x2 = 972 → 972 → x2 = → x2 = 324 → 3 → x = ± 324 → x = ±18

Resposta: 18 m. 5. 2x2 = 30x. Resolvendo a equação, temos: 2x2 = 30x → 2x2 _ 30x = 0 → → x ? (2x _ 30) = 0 Assim, temos que 0 é uma raiz da equação e a outra é obtida por meio da seguinte resolução da equação do 1o grau com uma incógnita: 2x _ 30 = 0 → 2x = 30 → 30 → x= = 15. 2 Logo, a idade de Camila é 15 anos.

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11/26/18 2:27 PM

6. Resposta esperada: O número é menor que –7. 7. a) 8x2 = 240.

240 → b) 8x = 240 → x = 8 → x2 = 30 → x = ± 30 → → x 1 ± 5,48 2

Resposta: 5,48 cm.

+ 2 ? 7x = 32 → x2 + + 2 ? 7x + 72 = 32 + 72 →

Atividades – p. 102 e 103 1. a) x + 14x + 49 = 0 → 2

→ x +2 ? x ? 7+7 = 0 → 2

→ (x + 7)2 = 0 → → x +7 = ± 0 → → x + 7 = 0 → x = _7. 2 b) x _ 5x + 25 = 121 → 4 2 x ⎛ x⎞ ? 5 + 52 = → ⎜ ⎟ _2? ⎝ 2⎠ 2 2 ⎛x ⎞ = 121 → ⎜ − 5⎟ = 121 → ⎝2 ⎠ x → _ 5 = ± 121 → 2 x → _ 5 = ±11. 2 Assim, temos: x x _ 5 = 11 → = 11 + 5 → 2 2 → x = 16 ? 2 → x = 32 ou x _ 5 = _11 → 2 x → = _11 + 5 → 2 → x = _6 ? 2 → x = _12.

→ (x + 7) = ± 81 →

c) x2 + 2x _ 8 = 0 → (x)2 +

→ x + 7 = ±9.

c) 4x _ 12x + 9 = 36 → 2

x +7 = 9 → → x = 9 _ 7 → x = 2. Resposta: x2 + 14x – 32 = 0; x = 2. b) (3x) + 6x + 6x = 117 → 2

→ (3x)2 + 2 ? 3x ? 2 = 117 → → (3x)2 + 2 ? 3x ? 2 + 22 = = 117 + 22 → (3x + 2)2 = = 121 → (3x + 2) = ± 121 → → 3x + 2 = ±11. Assim, temos:

3x + 2 = _11 → 13 . 3

Resposta: 9x + 12x – 117 = 0; x = 3. 2

3. a) x2 _ 4x _ 5 = 0 →

→ (2x)2 _ 2 ? 2x ? 3 + 32 = 36 →

→ (x)2 _ 2 ? x ? 2 + 22 =

→ (2x _ 3)2 = 36 → 2x _ 3 =

= 5 + 22 → (x _ 2)2 = 9 →

= ± 36 → 2x _ 3 = ±6

→ (x _ 2) = ± 9 → → x _ 2 = ±3

2x _ 3 = 6 → 2x = 9 = 6+3 → x = ou 2 2x _ 3 = _6 → 2x = 3 = _6 + 3 → x = _ . 2 d) 9x2 + 6x + 1 = 0 → (3x)2 +

Assim, temos: x_2=3 → x = = 3 + 2 → x = 5 ou x _ 2 = _3 → → x = _3 + 2 → x = _1. b) x2 + 18x _ 19 = 0 →

+ 2 ? 3x ? 1 + 12 = 0 →

→ (x)2 + 2 ? x ? 9 = 19 →

→ (3x + 1)2 = 0 →

→ (x)2 + 2 ? x ? 9 + (9)2 =

→ 3x + 1 = ± 0 →

= 19 + (9)2 → (x + 9)2 =

→ 3x + 1 = 0 → x = _

1 . 3

+ 2 ? x ? 1 + (1)2 = 8 + (1)2 → → (x + 1)2 = 9 → (x + 1) = =±

9 → x + 1 = ±3

Assim, temos: x +1= 3 → x = = 3 _ 1 → x = 2 ou x + 1 = _3 → x = = _3 _ 1 → x = _4. 3x _2=5→ 2 3 =7→ → (x)2 _ 2 ? x ? 4 2 3 ⎛ 3⎞ +⎜ ⎟ = → (x)2 _ 2 ? x ? ⎝ 4⎠ 4

d) x2 _

3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ = 7 + ⎜ ⎟ → ⎜x _ ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 121 3⎞ ⎛ → ⎜x _ = ⎟ = ⎝ 16 4⎠ 121 3 11 → x_ =± 16 4 4 Assim, temos: =±

→ 3x = _11 _ 2 →

→ (x)2 _ 2 ? x ? 2 = 5 →

Assim, temos:

+ 2 ? x ? 1 = 8 → (x)2 +

3x + 2 = 11 → 3x = 11 _ 2 → → 3x = 9 → x = 3 ou

→ 3x = _13 → x = _

Assim, temos: x + 9 = 10 → → x = 10 _ 9 → x = 1 ou x + 9 = _10 → x = = _10 _ 9 → x = _19.

→ (x + 7)2 = 81 →

Assim, temos: x + 7 = _9 → → x = _9 _ 7 = _16 ou

8. Respostas pessoais.

2. a) x2 + 7x + 7x = 32 → x2 +

= 100 → (x + 9) = ± 100 → → x + 9 = ±10

3 11 11 + 3 = → x= → 4 4 4 14 7 → x= → x= ou 4 2 x_

3 11 =_ → 4 4 _11 + 3 → x= → 4 x_

→ x=

_8 → x = _2. 4

4. a) m ? (_4)2 + (m _ 2) ? ? (_4) _ 20 = 0 16m _ 4m + 8 _ 20 = 0 12m _ 12 = 0 12 m= =1 12 b) (m + 1) ? (_4)2 _ m ? ? (_4) + 14 = 0 16m + 4m + 16 + 14 = 0 20m + 30 = 0 3 30 =_ m=_ 20 2

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5. a) I. x = =

2±

(_2)2 _ 4 ? 3 ? 1 = 2?3 _8 .

6 Não possui raiz real.

II. (_10)2 _ 4 ? 1 ? 16 = 2?1 10 ± 6 10 ± 36 = = . 2 2 16 10 + 6 = =8 e Logo, x1 = 2 2 4 10 _ 6 x2 = = = 2. 2 2 III. x=

10 ±

x= =

_2 ±

_2 ± 8

(2)2 _ 4 ? 4 ? 1 = 2?4 _12 .

Não possui raiz real. IV.

c) • Igual a • Menor do que • Maior do que 6. (x + 2) ? x ? 4 = 320 → → 4x2 + 8x _ 320 = 0 Dividindo ambos os membros por 4, temos a equação equivalente: x2 + 2x _ 80 = 0. Resolvendo a equação, temos: (2)2 _ 4 ? 1 ? (_80) = 2⋅1 _2 ± 324 _2 ± 18 . = = 2 2

V. _16 ± (16)2_4 ? (_1) ? (_64) x= = 2 ? (−1) _16 ± 0 _16 ± 0 = . _2 _2 _16 = 8. Logo, x = _2 VI. (6)2 _ 4 ? 9 ? 1 x= = 2⋅9 _6 ± 0 _6 ± 0 = = . 18 18 1 6 =_ Logo, x = _ 18 3 _6 ±

b) Cálculos indicados no item a. I: _8 II: 36 III: _12 IV: 81 V: 0 VI: 0

21 ? 3 ⎛ 15 ? 15 ⎞ + = 144⎟ . ⎜⎝ ⎠ 2 2 21 m

16 _2 + 18 = =8 e 2 2 _2 _ 18 _20 x2 = = = _10 . 2 2 Assim, as dimensões são 4 dm, 8 dm e 10 dm.

15 m

x1 =

7. a) • Pentágono:

(_11)2 _ 4 ? 5 ? 2 x= = 2⋅5 11 ± 9 11 ± 81 = = . 10 10 20 11 + 9 Logo, x1 = = =2 e 10 10 2 1 11 _ 9 x2 = = = . 10 10 5

8. Dividindo o terreno B em duas representações de triângulos, temos que sua área é 144 m2

Logo,

11 ±

_2 ±

3 + 21 24 = = 12 e 2 2 3 _ 21 _18 x2 = = = _9. 2 2 Resposta: 12 lados. c) 7 lados: heptágono; 12 lados: dodecágono. Logo, x1 =

5 ? (5 _ 3) 10 = = 5, 2 2 ou seja, 5 diagonais. D=

• Eneágono: 9 ? (9 _ 3) 54 = = 27, 2 2 ou seja, 27 diagonais.

n ? (n _ 3) → 2 → n2 _ 3n _ 28 = 0

b) • 14 =

Resolvendo, temos: (_3)2 _ 4 ? 1 ? (_28) = 2?1 3 ± 11 3 ± 121 = = 2 2 x=

3±

14 3 + 11 = =7 2 2 3 _ 11 8 = _ = _4 . e x2 = 2 2 Logo, x1 =

Resposta: 7 lados. n ? (n _ 3) → 2 → n2 _ 3n _ 108 = 0

• 54 =

Resolvendo, temos: (_3)2 _ 4 ? 1 ? (_108) x= = 2?1 3 ± 21 3 ± 441 = = 2 2 3±

15 m

Assim, pelo cálculo da área do terreno A, podemos determinar as medidas do comprimento e da largura. Temos: x ? (x + 7) = 144 H H x2 + 7x _ 144 = 0. Resolvendo a equação, temos: (7)2 _ 4 ? 1 ? (_144) = 2?1 _7 ± 625 _7 ± 25 = = . 2 2 x=

_7 ±

Logo, temos: x1 =

18 _7 + 25 = =9 e 2 2

_7 _ 25 _32 = = _16 . 2 2 Assim, as dimensões do terreno A serão 9 m e 16 m. Resposta: Alternativa b. x2 =

9. a) III. b) ⎛ 1 ⎞ (1)2_4 ? ⎜_ ? (_12) ⎝ 64 ⎟⎠ x= = ⎛ 1 ⎞ 2 ? ⎜_ ⎟ ⎝ 64 ⎠ ⎛ 1⎞ 1 _1 ± ⎜ ⎟ _1 ± ⎝ 4⎠ 2 = = 1 1 _ _ 32 32 _1 ±

_1 + Logo, x1 = _ =_

1 2

1 32

1 2 = = 1 _ 32 _

1 ⎛ 32 ⎞ ? ⎜_ ⎟ = 16 e 2 ⎝ 1 ⎠

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_1 _ x1 = _ =_

1 32

1 2

3 2 = = 1 _ 32 _

3 ⎛ 32 ⎞ ? ⎜_ ⎟ = 48 2 ⎝ 1 ⎠

Respostas: 16 e 48. c) O bando de macacos pode ter 16 ou 48 macacos. d) Resposta pessoal.

III. (x _ 10)2. Conceitos: Expressão algébrica; monômios, binômios, trinômios e polinômios; trinômio quadrado perfeito.

Unidade 4

IV. Área do terreno: 30 ? 20 = 600, ou seja, 600 m2. Área do barracão: 20 ? 20 = 400, ou seja, 400 m2. Conceitos: Valor numérico de uma expressão algébrica.

1. a)

V. a) (x _ 10)2 = 225 →

Você Cidadão – p. 104 e 105

x= =

20 ± 30 . 2

Logo, x1 =

50 20 + 30 = = 25 e 2 2

x2 =

20 _ 30 _10 = = _5 . 2 2

Como se trata de comprimentos de lados, temos que x = 25 e, portanto, os lados medem 25 m e 15 m. Conceitos: Resolução de uma equação do 2o grau; fatoração de polinômios. b) x(x _ 10) = 200 → → x2 _ 10x _ 200 = 0. Resolvendo, temos:

Tiago: IMC:

3. I. x _ 10. Conceitos: Expressão algébrica; monômios, binômios, trinômios e polinômios. II. b e d. Conceitos: Expressão algébrica; operações com monômios: adição, subtração, multiplicação e divisão; fatoração de polinômios.

900 2

56 56 = 1 25 , (1,50)2 2,25 ou seja, 25 kg/m². Sobrepeso.

2. Resposta pessoal.

2. a) b)

(_20)2_4 ?(1)?(_125) = 2?(1)

20 ±

5. Leila: IMC:

1. Respostas pessoais.

Resolvendo, temos:

4. Camila: Peso normal; Yan: Obesidade.

O que estudei – p. 106 e 107

→ x2 _ 20x _ 125 = 0

3. Respostas pessoais.

51,2 51,2 = = 20, 2 (1,60) 2,56 ou seja, 20 kg/m². Peso normal.

Atividades – p. 112 e 113

→ x2 _ 20x + 100 = 225

1. Resposta esperada: Pressão arterial elevada, diabetes e doenças do fígado. 2. Resposta esperada: Maior consumo de produtos industrializados, ricos em gorduras e açúcar, falta de atividades físicas e até mesmo fatores hormonais e genéticos. Resposta esperada: Praticar atividades físicas e seguir uma dieta balanceada, privilegiando o consumo de frutas, legumes e verduras e evitando alimentos que possuam em sua composição muita gordura, açúcar e sal.

Proporcionalidade e funções

x= =

(_10)2_4 ?(1)?(_200) = 2?(1)

10 ±

900 2

10 ± 30 . 2

Logo, x1 =

40 10 + 30 = = 20 e 2 2

x2 =

10 _ 30 _20 = = _10. 2 2

Logo, as medidas são 20 m e 10 m. Conceitos: Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita.

18 ou 18 : 20. 20 9 ou 9 : 12. 12 18 ou 18 : 5. 5 Zona Central. Não. Zona Norte: 98 653 1 2 740 hab./km²; 36 Zona Central: 106 379 1 8 865 hab./km²; 12 Zona Leste: 20 398 1 887 hab./km²; 23 Zona Sul: 60 241 1 2 410 hab./km²; 25 Zona Oeste: 13 901 1 632 hab./km². 22 Zona Norte e Zona Central.

3. a) Modelo I:

50 = 12,5, ou seja, 4 50 1 8,3, 12,5 km/L; Etanol: 6 ou seja, 8,3 km/L. 50 1 9,1, Modelo II: Gasolina: 5,5 ou seja, 9,1 km/L; 50 1 7,1, ou seja, 7,1 km/L. Etanol: 7 50 Modelo III: Gasolina: 1 11,1, 4,5 ou seja, 11,1 km/L; Etanol: Gasolina:

50 = 10 , ou seja, 10 km/L. 5 b) III. 4. a) 16/6. 15/6. b) 17/6. 16/6. 7 300 c) 15/6: 1 228 , 32 ou seja, 228 m/min; 16/6: 11890 1 238 , ou seja, 50 8 200 238 m/min; 17/6: 1 293, 28 ou seja, 293 m/min; 18/6: 10 150 1 282, 36 ou seja, 282 m/min.

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5. a) Algumas respostas possíveis: Acidentes entre veículos; atropelamentos. b) Respostas pessoais. c) • 9 min. 0,15 h.

9 = 0,15, ou seja, 60

6 = 40 , ou seja, 40 km/h. 0,15 • Não.

•

d) II e III. 12 I. = 0,2, ou seja, 0,2 h. 60 6 = 30. 0,2 Resposta: 30 km/h. 5 1 0,083, ou seja, II. 60 6 1 72. 0,083 h. 0,083 Resposta: 72 km/h. 4 III. 1 0,067, ou seja, 60 6 0,067 h. 1 90. 0,067 Resposta: 90 km/h. 8 IV. = 0,133, ou seja, 60 6 0,133 h. 1 45. 0,133 Resposta: 45 km/h. 6 6 e) = 60 → h = = 0,1, h 60 ou seja, 0,1h. Convertendo o tempo de horas para minutos, temos: 0,1 ? 60 = 6, ou seja, 6 min. Resposta esperada: Ao percorrer esse trecho em 6 min, ou seja, 1 de hora, a velocidade em 10 média no trecho será de 60 km/h.

IV:

15 60 30 25 = ; = . 10 40 24 20 44 20 100 3. . ; ; 33 15 75 200 4. a) . 800 200 1 = b) II. 800 4 500 1 100 1 = = I. . . II. 4 500 9 400 4 c) Resposta esperada: Que as quantidades de suco concentrado e de água são proporcionalmente iguais no caso do preparo desses dois refrescos.

d) Termos: 12, 10, 60 e 50; extremos: 12 e 50; meios: 10 e 60. 2. a) I:

25 30 15 ; II: ; III: ; 20 24 10

8 13 = → 8x = 130 → 10 x 130 → x = = 16,25 8 8 13 = → 8x = 78 → 6 x 78 → x= = 9,75 8 Resposta: 16,25 anos ou 16 anos e 3 meses. 9,75 anos ou 9 anos e 9 meses. c) Respostas pessoais. b)

5. Resposta pessoal. 6.

32 15 ; II: . 60 30 b) Não.

a c a c = →b? =b? → b d b d b?c → a?d= ? d → a ? d = b ? c. d

Atividades – p. 119 a 121 150 ? 5 = 375. 2 36 Calçados: ? 5 = 90. 2 148 ? 5 = 370. Brinquedos: 2 Resposta: Agasalhos: 375 unidades; calçados: 90 pares; brinquedos: 370 unidades.

1. Agasalhos:

2. a) 85 ? 2,5 = 212,5, ou seja, 212,5 m². b)

212,5 = 8,5, isto é, 8,5 latas. 25 8,5 ? 3,6 = 30,6. Resposta: 30,6 L.

c) 9 latas. 3.

10 14 = → 10x = 532 → 38 x 532 → x= = 53,2. 10 Resposta esperada: Não, pois mantendo a mesma média de pontos por partida, a equipe terminará o campeonato com cerca de 53 pontos, ou seja, menos de 55 pontos.

51,75 x

180 320

Fixamos a distância percorrida em 180 km. Temos: 4,60 51,75 = → 4,60x = 4,20 x 217,35 = 217,35 → x = = 47,25. 4,60 Assim, será gasto R$ 47,25 para percorrer 180 km com o combustível custando R$ 4,60 o litro. Então, para percorrer 320 km, temos:

c) Algumas respostas possíveis: Contratar 1 mulher. Contratar 9 mulheres e 15 homens. 6.

Preço por litro Gasto total com Distância de combustível combustível percorrida (R$) (R$) (km)

4,60 4,20

5. a) I:

1. a) Termos: 5, 15, 2 e 6; extremos: 5 e 6; meios: 15 e 2.

c) Termos: 20, 45, 32 e 72; extremos: 20 e 72; meios: 45 e 32.

4. a) Resposta pessoal.

Atividades – p. 115

b) Termos: 21, 6, 56 e 16; extremos: 21 e 16; meios: 6 e 56.

60 40 ; V: . 40 30

47,25 180 = → 180x = x 320 15 120 = 15 120 → x = = 84. 180 Logo, serão gastos R$ 84,00. 7.

Tamanho Tempo de Taxa média de do arquivo download transferência (MB) (min) (Mbps)

900 600

6 x

20 3,2

Podemos fixar a taxa média de transferência em 20 Mbps. Assim, o tempo de download de um arquivo de 600 MB seria: 900 6 = → 900x = 3 600 → 600 x 3 600 → x= = 4, 900 ou seja, 4 min. Assim, será gasto 4 minutos para baixar um arquivo de 600 MB a uma taxa média de

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20 Mbps. Logo, a uma taxa média de 3,2 Mbps, o tempo seria: 4 3,2 = → 3,2x = 80 → x 20 80 → x= = 25. 3,2 Resposta: 25 minutos. 100 640 8. a) = → 640x = x 320 32 000 = 32 000 → x = = 50, 640 ou seja, 50 kg. b) Luiza: 100 640 = → 640x = x 192 19 200 = 19 200 → x = = 30, 640 ou seja, 30 kg. André: 100 640 = → 640x = x 128 12 800 = 12 800 → x = = 20, 640 ou seja, 20 kg. 9. Para obter 30 L de tinta marrom, precisamos de 15 L de tinta verde e 15 L de tinta laranja. Para obter 15 L de tinta laranja, 2 ? 15 = 6 , ou seja, precisamos de 5 6 L de amarela. Para obter 15 L de tinta verde, 1 precisamos de ? 15 = 5 , ou seja, 3 5 L de amarela. Desse modo, para obter 30 L de tinta marrom, precisamos de 11 L (6 + 5 = 11) de tinta amarela. Alternativa e.

b) g(1) = 12 _ 3 H g(1) = 1 _ 3 = = _2 e g(12) = 122 _ 3 H H g(12) = 144 _ 3 = 141.

Resposta: 8 h.

3. a) g(8) = 3 ? 8 _ 16 = 8.

8. a) Fevereiro.

b) g(8) = 9 + 5 ? 8 = 49. 82 c) g(8) = _ 10 = 22. 2 d) g(8) = 20 _ 2 ? 8 = 4. Resposta: d.

b) Janeiro: 0,07 ? 8 900 = 623; 623,00 + 980,00 = 1 603,00. Resposta: R$ 1 603,00.

4. a) II. f(x) = x ? x = x2. b) f(4) = 42 = 16. f(2,5) = (2,5)2 = = 6,25. Resposta esperada: Temos que f(4) = 16 indica que um quadrado com 4 cm de lado tem área igual a 16 cm²; f(2,5) = 6,25 indica que um quadrado com 2,5 cm de lado tem área igual a 6,25 cm². c) 81 = x2 → x = 81 → x = 9. Resposta: 9 cm. 5. a) b) c) d)

0,6 kWh. 5 h. c(x) = 0,2x. • c(12) = 0,2 ? 12 = 2,4. Resposta: 2,4 kWh. • c(20) = 0,2 ? 20 = 4. Resposta: 4 kWh. • c(4) = 0,2 ? 4 = 0,8; 0,8 ? 30 = 24. Resposta: 24 kWh. 30 e) 30 = 0,2 ? x → x = = 150 0,2 Resposta: 150 horas.

6. a)

Pacote de figurinhas

Quantidade 5 de figurinhas

b) g(x) = 5x.

Atividades – p. 124 a 126

c) • g(8) = 5 ? 8 = 40. Resposta: 40 figurinhas. • g(15) = 5 ? 15 = 75. Resposta: 75 figurinhas. • g(20) = 5 ? 20 = 100. Resposta: 100 figurinhas. 60 d) 60 = 5 ? x → x = = 12. 5 Resposta: 12 pacotes.

b) A variável que representa o valor a pagar. c) Resposta pessoal. 2. a) f(6) = 45 _ 2 ? 6 H H f(6) = 45 _ 12 = 33 e f(20) = 45 _ 2 ? 20 H H f(20) = 45 _ 40 = 5.

Fevereiro: 0,07 ? 15 600 = 1 092; 1 092,00 + 980,00 = 2 072,00. Resposta: R$ 2 072,00. Março: 0,07 ? 12 980 = 908,60; 908,60 + 980,00 = 1 888,60. Resposta: R$ 1 888,60. c) s(x) = 980 + 0,07x. d) • s(10 000) = 980 + 0,07 ? ? 10 000 H s(10 000) = 980 + + 700 = 1 680 Resposta: R$ 1 680,00. • 1890 = 980 + 0,07 ? x → → 1890 _ 980 = 0,07 ? x → → 910 = 0,07 ? x → 910 = 13 000 → x= 0,07 Resposta: R$ 13 000. 9. Resposta pessoal.

Atividades – p. 129 a 131 1. a) (–3, 4), (–1, 3), (1, 2), (3, 1) e (5, 0). 5 (_3) = 4; 2 5 _ (_1) = 3. f(_1) = 2 Resposta: III.

b) f(_3) = 6

10 15 20 25 30

10. Resposta pessoal.

1. a) Resposta esperada: Não; para cada massa de cenouras, obtemos um único valor a pagar, o que pode ser calculado multiplicando essa massa pelo preço por quilograma.

c) 100 = 12,5 ? x → 100 =8 → x= 12,5

7. a) c(x) = 12,5x. b) c(5) = 12,5 ? 5 = 62,5; 62,5 ? 22 = 1 375. 1 375 ? 4,25 = 5 843,75. Resposta: 1 375 L. R$ 5 843,75.

3 5_2 = = 1,5; 2 2 5_4 1 = = 0,5; f(4) = 2 2 7 5 _ (_2) f(_2) = = = 3,5; 2 2 9 5 _ (_4) f(_4) = = = 4,5. 2 2 Resposta: (2; 1,5) e (–2; 3,5).

c) f(2) =

2. a) 10 m. b) Resposta esperada: Quando a bola havia percorrido uma distância horizontal de 8 m, ela estava a 1,6 m de altura. c) 1,6 m. d) 2,5 m.

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3. A: f(_2) = (_2)2 – 1 = 3; f(_1) = = (_1)2 – 1 = 0; f(0) = (0)2 – 1 = _1. B: f(_2) = 1 – (_2) = 3; f(_1) = = 1 – (_1) = 2; f(0) = 1 – (0) = 1. _4 + 6 C: f(_4) = = 1; f(_2) = 2 _2 + 6 0+6 = = 2; f(0) = =3 2 2 Resposta: I-B; II-C; III-A. 4. L(0) = 200 ? 0 _ 1 000 = _ 1 000; L(20) = 200 ? 20 _ 1 000 = = 4 000 _ 1 000 = 3 000. Resposta: Alternativa d.

Como f(1) = 20 e b = 0, temos: 20 = a ? 1 + 0 H a = 20. Resposta: f(x) = 20x. d) Resposta esperada: Calculando f(12) = 20 ? 12 = 240, obtemos que com 12 m² de painéis solares instalados a capacidade mensal de geração de energia elétrica é de 240 kWh.

Resposta: f(x) = 2x _ 4. c) Inicialmente, escolheremos alguns pontos da função. x = _2 H g(_2) = 3 ? (_2) + 1 = = _6 + 1 = _5; x = _1 H H g(_1) = 3 ? (_1) + 1 = _3 + + 1 = _2; x = 0 H g(0) = = 3 ? (0) + 1 = 0 + 1 = 1; x = 1 H g(1) = 3 ? 1 + 1 = 3 + + 1 = 4; x = 2 H g(2) = = 3 ? 2 + 1 = 6 + 1 = 7. Agora, indicamos os pontos (_2, _5); (_1, _2); (0, 1); (1, 4); (2, 7) no plano cartesiano, e traçamos a reta. y 7 6 5 4 3 2 1 _3 _2 _1 0 _1

3 x

_3 _4 _5

EDITORIA DE ARTE

6. Resposta pessoal. 7. a) 60 kWh. b) 2 m². c) • f(0) = a ? 0 + b H f(0) = b Como f(0) = 0, temos: b = 0. • f(1) = a ? 1 + b

1 h. 6 Logo, a velocidade média é: 8 = 48. 1 6 Resposta: 48 km/h.

e) 10 min =

8. a) 9 horas. 600 km. b) 200 km. f(x2) _ f(x1) f(9) _ f(5) = = x2 _ x1 9_5

c) •

5. a) f(0) = –4. f(2) = 0. b) • f(0) = a ? 0 + b H f(0) = b Como f(0) = _4, temos: _4 = b. • f(2) = a ? 2 + b Como f(2) = 0 e b = _4, temos: 0 = a ? 2 – 4 H a = 2.

d) Durante 3 minutos, especificamente no intervalo do 6 o ao 9o minuto. Resposta: 3 min.

600 _ 360 240 = = 60. 4 4 Resposta: 60 km/h. =

f(x2) _ f(x1) f(9) _ f(0) = = x2 _ x1 9_0

•

600 _ 0 600 = 1 66,7 9 9 Resposta: aproximadamente 66,7 km/h. =

Você Cidadão – p. 132 e 133 1. a) Algumas respostas possíveis: Os riscos da velocidade excessiva; o porcentual de pessoas que dirigem acima do limite de velocidade; a distância de parada em relação à velocidade do veículo. b) De 40% a 50% das pessoas. c) Resposta esperada: Aumenta, porque considerando uma distância entre um pedestre e um carro em movimento, a uma velocidade mais baixa, o carro precisa de um espaço menor para frear, ou seja, consegue parar antes de atingir o pedestre. Um carro em velocidade maior precisa de mais espaço para frear, e com isso pode atingir o pedestre. d) 36 m. • Resposta pessoal. 2. a) 10 min. b) Resposta esperada: Indica que 1 min após iniciar o trajeto, a velocidade do carro de Lídia era de 20 km/h. c) III

f) Resposta pessoal.

Você conectado – p. 134 e 135 Mãos à obra – p. 135 1. a) Algumas respostas possíveis: (0,5; –4,5), (1,5; –2,5), (3, 8), (–2, 8), (0, –4) e (–3, 20). b) Pertencem ao gráfico da função: (2,5; 3,5), (3,8; 17,28), (–2,5; 13,5) e (0,2; –4,32). 2. a) Resposta pessoal. b) Algumas respostas possíveis: (1, 4), (5, 16), (0, 1), (–2, –5), (–3, –8) e (–5, –14).

O que estudei – p. 136 e 137 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. Indica que essa empresa paga R$ 27,00 por 20 L de óleo de cozinha usado. Conceitos: Gráfico de uma função. II.

27 = 1,35. 20 Resposta: R$ 1,35. Conceitos: Razão; proporção.

III.

20 27 = → 20x = 1755 → 65 x 1755 → x= = 87,75 20 Resposta: R$ 87,75. Conceitos: Proporção; propriedade fundamental das proporções; grandezas diretamente proporcionais.

IV. f(x) = 1,35x e f(120) = 1,35 ? ? 120 H f(120) = 162. Resposta esperada: Esse cálculo indica que a empresa paga R$ 162,00 por 120 litros de óleo de cozinha usado. Conceitos: Função; lei de formação de uma função.

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Unidade 5 Semelhança de figuras Atividades _ p. 142 e 143 1. a) Congruentes. b) Congruentes. c) Congruentes. d) Suplementares. 2. a) 6x + 16° = 8x H H 16° = 8x _ 6x H

+16º = 8x H 16º = 8x _ 6x H 16º = 2x H x =

16º = 8º. 2

b) 7x _ 19° = 6x + 3° H H 7x _ 6x = 3° + 19° H H x = 22°. c) 4x _ 1° = 5x _ 14° H H _1° + 14° = 5x _ 4x H H 13° = x. 7x = 180º H d) 3x + 4º + 5 7x H 3x + = 180º _ 4º H 5 15x + 7x = 176º H H 5 22x H = 176º H 5 H 22x = 176º 5 H H x=

880º = 40º. 22

3. A a é oposto pelo vértice ao ângulo de 30°, portanto, mede 30°. A b é

correspondente ao ângulo A a, e A d é correspondente ao ângulo de 30°. Desse modo, A b e A a medem 30°

cada um. A d e ê são suplementares, portanto, temos:

30° + e = 180° H H e = 180° _ 30° = 150°.

Como A c é correspondente a ê, c = 150°.

Resposta: A a: 30°; A b: 30°; A c: 150°; A d: 30°; A e: 150°.

4. a) 65° + a = 180° H H a = 180° _ 65° = 115°.

A b é correspondente ao ângulo

de 65°. Logo, b = 65° e, como

A c é suplementar a A a, c = 65°. Resposta: A a: 115°; A b: 65°; A c: 65°.

b) 146° + a = 180° H H a = 180° _ 146° = 34°. Como A a e A b são suplementares, b = 146°. Como A b e A c são suplementares, c = 34°. Como A c e A d são suplementares, d = 146°. Resposta: â: 34°; A b: 146°; A c: 34°; d: 146º.

c) 78° + d = 180° H H A d = 180° _ 78° = 102°. A b é congruente a A d, e A a é correspondente ao ângulo de 78°, portando a = 78° e b = 102°. Como A c é congruente ao ângulo â, A c tem medida igual a 78°. Resposta: A a: 78°; A b: 102°; A c: 78°; A d: 102°. 5. Inicialmente, fazemos: 5x + 7º + 3x _ 19º = 180º H H 8x _12º = 180º H H 8x = 180º +12º H 192º H 8x = 192º H x = = 24º. 8 Assim, temos que 5 ? 24° + 7° = 120° + 7° = 127° e, com isso, fazemos: 127º +7y + 4º = 180º H H 7y = 180º _127º _ 4º H 49º H 7y = 49º H y = = 7º. 7

8. a)

127º = 9z _ 8º H H 127º + 8º = 9z H 135º = 15º. 9

Assim, temos que um ângulo mede: 45° e o outro mede: 3x = 3 ? 45° = 135°. Resposta: 45° e 135°. 9. Resposta esperada: Sim, pois os três triângulos possuem o ângulo interno formado no vértice A em comum e, como BC//DE//FG são intersectados por AB e AC, os demais e respectivos ângulos internos de cada triângulo são ângulos correspondentes e, portanto, de mesmas medidas. 10. a) Resposta pessoal. b) O ângulo em azul mede 80°, e os ângulos em vermelho, 45° e 35°. Logo, 45° + 35° = 80° e, portanto, a medida do ângulo em azul é igual à soma das medidas dos ângulos em vermelho.

Atividades _ p. 145

b) AA EF e EA HG; DA EH e EA FG; EA HG e BA GF; EA FG e CA GH. c) FA EH é suplementar ao ângulo de 118°, logo, ele mede 180° _ 118° = 62°. EA FG é suplementar a FA EH, logo, mede 118°. FA GH é suplementar a EA FG, logo, mede 62°. EA HG é suplementar a FA GH, logo, mede 118°. Resposta: FA EH: 62°; EA HG: 118°; FA GH: 62°; EA FG: 118°.

EF 6 = CD 5

CD 5 1 = = GH 10 2

CD 5 = AB 8

AB 8 4 = = EF 6 3

EF 6 3 = = AB 8 4

GH 10 = =2 CD 5

AB 8 = CD 5

GH 10 5 = = EF 6 3

Resposta: x = 24°; y = 7°; z = 15°. 6. a) EA FG

x 1 = . 3x 3

b) x + 3x = 180º H H 4x = 180º H 180º H x= = 45º. 4

1. a)

Por fim,

H 135º = 9z H z =

7. a) Retas paralelas. b) Retas concorrentes. c) Retas paralelas.

2. a) •

50 5 = 30 3

•

45 9 = 95 19

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11/26/18 7:14 PM

b) Distância da secretaria até o tesouro: 50 30 = H 50x = 900 H 30 x 900 H x= = 18, 50 ou seja, 18 m. Distância de todo o trajeto: 45 + 50 + 30 + 18 = 143. Resposta: 143 m. AC 2 3. = H 5 AC = 16 H 8 5 16 H AC = H AC = 3,2 5 Resposta: 3,2 cm. 4. a)

6 12 = H 6 DE = 48 H 4 DE 48 H DE = H DE = 8, 6 ou seja, 8 cm.

b) DE = 4 H 6 DE = 12 H 3 6 12 H DE = H DE = 2, 6 ou seja, 2 cm. c)

10 5 = H 5 DE = 20 H DE 2 20 H DE = H DE = 4, 5 ou seja, 4 cm.

d) DE = 10 H 4 DE = 60 H 6 4 60 H DE = H DE = 15, 4 ou seja, 15 cm. 5. a) 160 = 120 H 136 x H 160x = 16 320 H 16 320 H x= H x = 102, 160 ou seja, 102 cm. b)

160 120 = H 120x = 14 400 H x 90 14 400 H x = 120, H x= 120 ou seja, 120 cm. 160 120 = H 180 x H 160x = 21600 H 21600 H x= H x = 135, 160 ou seja, 135 cm.

Atividades _ p. 150 a 152 1. a)

3,5 x = H 7x = 28 H 7 8 28 H x= H x = 4, 7 ou seja, 4 cm.

35 42 = H 35y = 1890 H 45 y 1890 Hy= H y = 54 35

x 8,4 = H 4,2x = 42 H 5 4,2 42 H x= H x = 10, 4,2 ou seja, 10 cm. 6 4,8 = H 6x = 43,2 H 9 x 43,2 H x= H x = 7,2, 6 ou seja, 7,2 cm.

d) 8 = 9,6 H 9,6x = 86,4 H x 10,8 86,4 H x= H x = 9, 9,6 ou seja, 9 cm. e)

b) Uma possível estratégia seria: 40 48 = H 48x = 1680 H x 42 1680 Hx= H x = 35 48

x 4,2 = H 6,3x = 25,2 H 6 6,3 25,2 Hx= H x = 4, 6,3 ou seja, 4 cm.

Resposta: x = 35 cm; y = 54 cm. 4. AC = DF H 8 = 7,2 H AB DE 5 DE 36 H 8 DE = 36 H DE = H 8 H DE = 4,5 AC DF 8 7,2 = H = H 8 EF = 21,6 H BC EF 3 EF 21,6 H EF = 2,7 H EF = 8 Resposta: DE = 4,5 cm; EF = 2,7 cm. 5. a) Primeiro, determinamos o valor de x: 11x + 60 208 = H 4x 52 H 208 4x = 52 (11x + 60) H H 832x = 572x + 3 120 H H 832x _ 572x = 3 120 H

2. Primeiro, determinamos a medida da altura do trapézio menor, utilizando o teorema de Tales. 12 13 = H 13x = 124,8 H x 10,4 124,8 Hx= H x = 9,6, 13 ou seja, 9,6 m. Assim, a altura do trapézio correspondente à região total é de: 9,6 + 12 = 21,6, ou seja, 21,6 m. Por fim, calculamos a área total: (B + b) h (17 + 8) 21,6 = = 2 2 540 = = 270, ou seja, 270 m2. 2 A=

3. a) Uma possível estratégia seria: y 24 = H 60y = 1320 H 60 55 1320 Hy= H y = 22 60 60 55 = H 55x = 2 640 H x 44 2 640 Hx= H x = 48 55 Resposta: x = 48 cm; y = 22 cm.

H 260x = 3 120 H x =

3 120 = 12 260

Assim, AB = 4 ? 12 = 48 e CD = 7 ? 12 = 84. Resposta: AB = 48 cm; CD = 84 cm. b) 48 + 60 + 84 = 192, ou seja, 192 cm. 6. a) Reta u: AB e BC. Reta v: BD e BE. b)

8 5,6 = H 5,6 x = 56 H x 7 56 H x= = 10, ou seja, 5,6 10 cm.

7. a) O aluno deverá inicialmente traçar um segmento de reta AB medindo 8 cm com o auxílio de uma régua. Em seguida, deverá traçar uma semirreta auxiliar partindo do ponto A e com uma mesma abertura qualquer do compasso,

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marcar os pontos P, Q e R, nessa ordem, na semirreta auxiliar, a partir de A. Então, deverá traçar o segmento de reta BR e, com o auxílio de esquadros, traçar segmentos de reta paralelos ao segmento de reta BR, passando por P e Q, determinando dois pontos no segmento de reta AB que o divide em três partes iguais. b) O aluno deverá inicialmente traçar um segmento de reta AB medindo 11 cm com o auxílio de uma régua. Em seguida, deverá traçar uma semirreta auxiliar partindo do ponto A e, com uma mesma abertura qualquer do compasso, marcar os pontos P, Q, R, S e T, nessa ordem, na semirreta auxiliar, a partir de A. Então, deverá traçar o segmento de reta BT e, com o auxílio de esquadros, traçar segmentos de reta paralelos ao segmento de reta BT, passando por P, Q, R e S, determinando quatro pontos no segmento de reta AB que o divide em cinco partes iguais. 8. a)

12 15 5 . 11 14

16 20 = . 20 25

13 15 5 b) . 11 10 Resposta: c. 9. a)

17 20 = H 20x = 680 H x 40 680 H x= = 34, ou seja, 20 34 cm.

x 28 = H 22x = 924 H 33 22 924 Hx= = 42, ou seja, 22 42 cm.

c) 30 = 24 H 30x = 960 H 40 x 960 Hx= = 32, ou seja, 30 32 cm. 10. a) AB = 4 cm; BC = 3 cm e CA = 4 cm; DE = 2 cm, EC = 1,5 cm e CD = 2 cm. CA CB = b) CD CE

c) • Perímetro da figura original: 16 + 16 + 12 + 12 = 56, ou seja, 56 cm. Perímetro da figura reduzida: 12 + 12 + + 9 + 9 = 42, ou seja, 42 cm. 56 4 = . Razão: 42 3 • Área da figura original: 16 ? 12 = 192, ou seja, 192 cm². Área da figura reduzida: 12 ? 9 = 108, ou seja, 108 cm². Razão: 192 = 48 = 16 . 108 27 9

c) Resposta esperada: Os respectivos ângulos dos triângulos ABC e DEC são congruentes entre si. O ângulo A C é comum aos dois triângulos e, como AB//DE, temos que CA AB e CA DE são pares de ângulos correspondentes e consequentemente congruentes, assim como CA BA e CA ED. 11. Resposta pessoal.

Atividades _ p. 154 e 155 1. O item a não apresenta figuras semelhantes, pois os lados dos polígonos não são proporcionais, 10 8 5 visto que . O item b 15 13 apresenta figuras semelhantes, pois todos os ângulos internos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais, visto que 12 14 10 = = = 2 , sendo 2 a 6 7 5 razão de semelhança. Resposta: b; 2. 2. As figuras B e C, pois todos os lados dessas figuras são proporcionais aos lados correspondentes na figura A. Na figura B, por exemplo, a medida de cada lado é o triplo da medida do lado correspondente na figura A. Na figura C, a medida de cada lado é o dobro da medida do lado correspondente na figura A. Além disso, todos os ângulos internos correspondentes dessas figuras (A A, A B e A C) têm mesma medida. 3. a) As dimensões da imagem obtida devem ser reduzidas em 25%, ou seja, devem corresponder a 75% das dimensões da figura original. 3 Como 75% = , temos: 4 3 16 = 12 e 3 12 = 9 . 4 4 Resposta: 12 cm e 9 cm. b) 16 = 12 = 4 . 12 9 3

d) Resposta esperada: A razão obtida no item b é igual à obtida entre os perímetros das imagens e diferente daquela obtida entre as áreas das imagens, no item c. 4. a) 1,5 ? 2 = 3; 2,5 ? 2 = 5; 2 ? 2 = 4. Resposta: 3 m, 5 m e 4 m. b) Resposta pessoal.

Atividades _ p. 159 a 161 1. a e c: caso LAL; b e d: caso AA. 2.

4,5 2,7 = H 2,7x = 20,25 H x 4,5 20,25 H x= = 7,5 2,7 Resposta: 7,5 cm.

3. Temos que CD = 18 e BC = 18, pois ABCD é um quadrado. Como BA OC e GA OD são congruentes (ângulo comum) e OA CB e OA DG também são congruentes entre si (ângulos retos), pelo caso de semelhança AA, temos que os triângulos OCB e ODG são semelhantes. Assim: OC OD 27 45 = H = H BC GD 18 GD 810 H 27 GD = 810 H GD = = 30 27 Resposta: 30 cm. 4. Como os triângulos ABC e DEC são semelhantes, temos que: 12,5 DC = H 5 ? DC = 42,5 H 5 3,4 42,5 H DC = = 8,5. 5 Assim, AD = 12,5 _ 8,5 = 4 Resposta: 4 m.

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5. Note que os triângulos ABC e EDC são semelhantes. Assim: 60 x = H 24x = 3 840 H 24 64 3 840 H x= = 160, ou seja, 24 160 passos. Como a largura do rio corresponde a 160 passos e cada passo de Roseli mede cerda de 75 cm, fazemos: 160 ? 75 = 12 000, ou seja, 12 000 cm. Dividindo por 100, obtemos essa medida em metros: 12 000 : 100 = 120 Resposta: 120 m. 6. O perímetro do triângulo desenhado pela professora é de: 8 + 10 + 12 = 30, ou seja, 30 cm. Se o perímetro de um triângulo semelhante a esse é igual a 9 cm, calculamos a razão entre os perímetros para determinarmos a 9 3 = . razão de semelhança: 30 10 Assim, determinamos as medidas dos lados do triângulo que os alunos devem desenhar: 8

3 = 2,4 ; 10

3 3 = 3,6 . = 3 e 12 10 10 Resposta: 2,4 cm, 3 cm e 3,6 cm. 10

7. a) 0,27 ? 25 = 6,75. Resposta: 6,75 m. b) Uma possível estratégia: 1,70 h = H 0,5h = 11,475 H 0,5 6,75 11,475 = 22,95 H h= 0,5 Resposta: 22,95 m. Resposta pessoal. 8. Resposta pessoal. 9. a) Resposta esperada: Para calcular a medida de um segmento de reta paralelo ao eixo x, calculamos a diferença entre as abscissas de suas extremidades e, para um segmento de reta paralelo ao eixo y, calculamos a diferença entre as ordenadas de suas extremidades.

b) • Como as ordenadas dos pontos A e B são iguais a 4, a ordenada do ponto médio de AB também será igual a 4. Como o segmento de reta AB é paralelo ao eixo x, sua medida é igual a 7 _ 1 = 6. Assim, a abscissa do ponto médio de AB é igual a: 6 8 1+ = =4 2 2 Resposta: (4, 4). • Como as abscissas dos pontos C e D são iguais a _2, a abscissa do ponto médio de CD também será igual a _2. Como o segmento de reta CD é paralelo ao eixo y, sua medida é igual a 3 _ (_1) = 4. Assim, a ordenada do ponto médio de CD é igual a: 4 2 = =1 −1 + 2 2 Resposta: (_2, 1). • Considerando E(_1, 2), F(7, _2) e M(p, q), temos: p _ (_1) H 7 _ p = p +1H 7 _p 6 H 2p = 6 H p = = 3 2 2_q 1= H q+2=2_q H q _ (_2) H 2q = 0 H q = 0

Resposta: (3, 0). • Considerando G(5, 1), H(9, 3) e M(p, q), temos: p _5 H 9_ p = p _ 5 H 9 _p 14 H 2p = 14 H p = =7 2 1_q 1= H q _ 3 = 1_ q H q_ 3 4 H 2q = 4 H q = = 2 2 1=

Resposta: (7, 2). c) Resposta pessoal. d) Resposta esperada: Em um segmento de reta, a abscissa do ponto médio corresponde à média aritmética das abscissas das extremidades, e a ordenada, à média aritmética das ordenadas dessas extremidades.

Integrando com História _ p. 162 e 163 1. Resposta esperada: Determinar que um resultado não é válido apenas para um caso específico, generalizando esse resultado sob determinadas condições. 2. Resposta esperada: As necessidades práticas, como atividades relacionadas à agricultura e à engenharia, resolver problemas envolvendo situações específicas. 3. a) A altura do bastão. A altura da pirâmide. b) Sim, como CA AB 9 C'A A'B' e BA CA 9 B'A C'A', pelo caso AA de semelhança de triângulos, podemos afirmar que esses triângulos são semelhantes entre si. c) Triângulo isósceles. 4. a) Sim. b)

BC AC = H B'C' A'C' BC A'C' H B'C' = . AC

5. Resposta pessoal.

Você conectado _ p. 164 e 165 Mãos à obra _ p. 165 1. Antes: A(_3, 4), B(5, _2) e C (1, 1); depois: A(1, 3), B(5, _2) e C(3; 0,5). 2. A(_4, 1), B(4, 3) e C (2, _3). Ponto médio de AB: (0, 2); ponto médio de BC: (3, 0); ponto médio de AC: (_1, _1). 3. • Resposta pessoal. • Resposta pessoal.

O que estudei _ p. 166 e 167 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. Após traçar as retas AC, BC e B’C’ e indicar, usando a mesma cor, os ângulos congruentes formados por essas retas, os alunos devem obter uma representação parecida com a apresentada a seguir.

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B’

C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Conceitos: Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal. II. Resposta esperada: Sim, pois como CA AB 9 C'A A'B' e BA CA 9 B'A C'A' (ângulos formados pelos raios solares e o chão), pelo caso AA de semelhança de triângulos segue que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes entre si. Conceitos: Semelhança de triângulos. III. Resposta esperada: Sim, como esses triângulos são semelhantes, esse quociente é igual ao quociente da divisão do comprimento da sombra do poste pelo da sombra da placa. Conceitos: Semelhança de triângulos; razão de semelhança. IV.

AB 2,7 = H 1,5 ? AB = 12,15 H 4,5 1,5 12,15 = 8,1 H AB = 1,5 Resposta: 8,1 m. Conceitos: Semelhança de triângulos; teorema de Tales e os triângulos.

Unidade 6

Educação financeira e relações métricas no triângulo retângulo Atividades _ p. 173 e 174 12 = 0,12. 100 Assim, 12% de R$ 30,00 é dado por: 0,12 ? 30 = 3,6. Resposta: R$ 3,60.

1. a) 12% =

48,5 = 0,485. 100 Assim, 48,5% de R$ 250,00 é dado por: 0,485 ? 250 = 121,25. Resposta: R$ 121,25.

b) 48,5% =

60 = 0,60. 100 Assim, 60% de R$ 490,00 é dado por: 0,60 ? 490 = 294. Resposta: R$ 294,00.

c) 60% =

27,8 = 0,278. 100 Assim, 27,8% de R$ 145,00 é dado por: 0,278 ? 145 = 40,31. Resposta: R$ 40,31.

d) 27,8% =

2. Realizando o pagamento à vista, Moisés terá 15% de desconto na compra de cada pneu. Desse modo, o desconto será: 0,15 ? 279 = 41,85, ou seja, R$ 41,85. Assim, o preço a pagar por cada pneu será: 279,00 _ 41,85 = 237,15, ou seja, R$ 237,15. Como ele comprará 4 pneus, o valor da compra será: 237,15 ? 4 = 948,60, ou seja, R$ 948,60. Realizando o pagamento a prazo, Moisés terá 10% de desconto na compra de cada pneu. Desse modo, o desconto será: 0,10 ? 279 = 27,90, ou seja, R$ 27,90. Assim, o preço a pagar por cada pneu será: 279,00 _ 27,90 = = 251,10, ou seja, R$ 251,10. Como ele comprará 4 pneus, o valor da compra será: 4 ? 251,10 = 1 004,40, ou seja,R$ 1 004,40. Respostas: R$ 948,60. R$ 1 004,40. 3. Podemos determinar a porcentagem correspondente a R$ 201,52 em relação a R$ 229,00. Temos: 201,52 = 0,88 . Logo, o valor 229,00 com desconto corresponde a 88% do preço original. Desse modo, o desconto foi de 100% _ 88% = = 12%. Resposta: 12%. 4. Primeiro encontramos a diferença de valor: 490,00 _ 421,4 = 68,60. Agora, o percentual dessa diferença em relação às lojas: 68,60 68,60 = 0,14 e = 0,163. 490,00 421,40 a) R$ 68,60; R$ 68,60. b) 14. c) 16,3. 5. 8% de desconto corresponde a R$ 20,00 (0,08 ? 250 = 20). 5% de acréscimo corresponde a R$ 12,50 (0,05 ? 250 = 12,50). a) • 250,00 _ 20,00 = 230,00 Resposta: R$ 230,00.

• 250,00 _ 20,00 = 230,00 Resposta R$ 230,00. • Resposta: R$ 250,00. • 250 + 12,50 = 262,50 Resposta: R$ 262,50. b) 262,50 _ 230,00 = 32,50. Resposta: R$ 32,50. 6. a) 2016. b) 417,73 _ 348,30 = 69,43. Resposta: R$ 69,43. c) Primeiro, calculamos a diferença entre os valores da cesta básica: 438,42 _ 348,30 = 90,12, ou seja, R$ 90,12. Depois, calculamos o porcentual correspondente ao aumento do valor em relação ao ano de 2015: 90,12 = 0,2587. 348,30 Resposta: 25,87%. d) 438,42 _ 422,38 = 16,04. 16,04 Temos: = 0,0366. 438,42 Resposta esperada: Sim, pois essa redução foi de aproximadamente 3,66%. 7. Bola de futebol: 0,54 ? 69,50 = 37,53, ou seja, R$ 37,53. Arroz: 14,95 _ 12,41 = 2,54. 2,54 Então, 10,17, ou seja, 17%. 14,95 Jogo de videogame: 24,64 0,28 p = 24,64 H p = = 88, 0,28 ou seja, R$ 88,00. Colchão: 0,72 ? 350 = 252, ou seja, R$ 252,00. Papel higiênico: 3,04 0,60 p = 3,04 H p = = 5,07, 0,60 ou seja, R$ 5,07. Perfume: 120,00 _ 37,20 = 82,28, ou seja, R$ 82,28. 82,28 Então, 1 0,69, ou seja, 69%. 120,00 Produto

Valor sem tributo

Tributo (%)

Valor com tributo

Bola de futebol

R$ 37,53

46%

R$ 69,50

Arroz

R$ 12,41

17%

R$ 14,95

Jogo de videogame

R$ 24,64

72%

R$ 88,00 R$ 350,00

Colchão

R$ 252,00

28%

Papel higiênico

R$ 3,04

40%

R$ 5,07

Perfume

R$ 37,20

69%

R$ 120,00

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Quantia paga de tributo em cada produto, em reais: Bola de futebol: R$ 31,97 (69,50 _ 37,53 = 31,97). Arroz: R$ 2,54 (14,95 _ 12,41 = = 2,54). Jogo de videogame: R$ 63,36 (88,00 _ 24,64 = 63,36). Colchão: R$ 98,00 (350,00 _ 252,00 = 98,00). Papel higiênico: R$ 2,03 (5,07 _ 3,04 = 2,03). Perfume: R$ 82,80 (120,00 _ 37,20 = 82,80). 8. a) Natália • Desconto: 0,50 ? 59,90 = 29,95, ou seja, R$ 29,95. Preço pago: 119,90 + 29,95 = = 149,85, ou seja, R$ 149,85. Paulo • Preço pago: 98,00 + 65,90 = 163,90, ou seja, R$ 163,90. Resposta: Natália: R$ 149,85; Paulo: R$ 163,90. b) Resposta pessoal.

Atividades _ p. 176 e 177 1. a) Valor do primeiro aumento: 0,05 ? 4,40 = 0,22, ou seja, R$ 0,22. Valor do segundo aumento: 0,04 ? 4,62 = 0,18, ou seja, R$ 0,18. Total de aumento: 0,22 + 0,18 = 0,40, ou seja, R$ 0,40. Resposta: R$ 0,40. b) 4,40 + 0,40 = 4,80. Resposta: R$ 4,80. 2. a) R$ 14 000,00. b) Rendimento do juro no 1o ano: 0,06 ? 14000,00 = 840,00, ou seja, R$ 840,00. Rendimento do juro no 2o ano: 0,60 ? 14840,00 = 890,40, ou seja, R$ 890,40. Rendimento do juro no 3o ano: 0,60 ? 15730,40 = 943,82, ou seja, R$ 943,82.

Rendimento do juro ao final dos três anos: 840,00 + 890,40 + + 943,82 = 2674,22, ou seja, R$ 2674,22. Respostas: R$ 840,00. R$ 2674,22. c) 14000,00 + 2674,00 = 16674,22. Resposta: R$ 16 674,22. 3. a) Desconto de 12%: 0,12 ? 185,50 = 22,26, ou seja, R$ 22,26. Valor a ser pago com o desconto de 12%: 185,50 _ 22,26 = 163,24, ou seja, R$ 163,24. Desconto de 5%: 0,05 ? 163,24 = 8,16, ou seja, R$ 8,16. Valor a ser pago: 163,24 _ 8,16 = 155,08, ou seja, R$ 155,08. Resposta: R$ 155,08. b) 22,26 + 8,16 = 30,42. Resposta: R$ 30,42. 4. 1,10 ? 1,15 = 1,265. A parte inteira corresponde aos 100%, e a parte decimal corresponde ao acréscimo. Desse modo, o desconto foi de 26,5%. Resposta: c. 5. Opção 1: 1o ano: 1,10 ? 2 000 = 2 200, ou seja, R$ 2 200,00. 2o ano: 1,10 ? 2 200 = 2 420, ou seja, R$ 2 420,00. 3o ano: 1,10 ? 2 420 = 2 662, ou seja, R$ 2 662,00. Opção 2: 1,32 ? 2 000 = 2 640, ou seja, R$ 2 640,00. Resposta: A opção 1, pois nela o rendimento é de R$ 662,00, enquanto na opção 2 o rendimento é de R$ 640,00. 6. a) 2017. b) 2014. Resposta esperada: Indica que os preços de bens, produtos e serviços no Brasil, em geral, aumentaram mais no ano de 2014 do que em 2016.

c) Taxas de inflação: 6,29 = 0,0629 e 100 2,95 2,95% = = 0,0295. 100

6,29% =

Rafaela Valor do primeiro aumento: 4030,00 ? 1,0629 = 4283,49, ou seja, R$ 4 283,49. Valor do segundo aumento: 4283,49 ? 1,0295 = 4409,85, ou seja, R$ 4 409,85. Jorge Valor do primeiro aumento: 2318,00 ? 1,0629 = 2463,80, ou seja, R$ 2 463,80. Valor do segundo aumento: 2463,80 ? 1,0295 = 2536,48, ou seja, R$ 2 536,48. Resposta: Rafaela: R$ 4 409,85; Jorge: R$ 2 536,48. 7. Resposta pessoal.

Atividades _ p. 181 e 182 1. a) Catetos: AB e BC; hipotenusa: AC. b) Catetos: DF e EF; hipotenusa: DE. c) Catetos: GH e HI; hipotenusa: GI. d) Catetos: JL e KL; hipotenusa: JK. 2. Resposta pessoal. 3. a) 13x = 12 ? 5 H 13x = 60 H 60 1 4,6, ou seja, 13 aproximadamente 4,6 cm. H x=

b) 62 = 8x H 8x = 36 H 36 H x= = 4,5, 8 ou seja, 4,5 cm. c) x2 = 3 ? 6 H x2 = 18 Como x corresponde à medida de um lado de triângulo, temos: x = 18 1 4,2, ou seja, aproximadamente 4,2 cm. d) Sendo n a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa, temos: 42 = 3 n H 16 = 3n H 16 H n= 1 5,33 3 x2 = 8,33 ? 5,33 H x2 1 44,40

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Como x corresponde à medida de um lado de triângulo, temos:

Como L corresponde à medida

x = 44,40 1 6,7, ou seja,

temos:

aproximadamente 6,7 cm.

L = 396 1 19,9

4. Temos que o lado AC é a hipotenusa do triângulo e mede 20 cm (7,2 + 12,8 = 20). Temos ainda, a partir das relações métricas, as seguintes igualdades: (AB)2 = 7,2 ? 20 H (AB)2 = 144 Como AB corresponde à medida de um lado de triângulo, temos: AB = 144 = 12 , ou seja, 12 cm. (BC)² = 12,8 ? 20 H (BC)² = 256 H Como BC corresponde à medida de um lado de triângulo, temos: BC = 256 = 16 , ou seja, 16 cm. Resposta: As medidas dos lados do triângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm. 5. Como D é ponto médio de AC, temos pelas relações métricas que 42 = AD ? 2AD e que 42 = DC ? 2DC. Assim, temos: 42 = DC ? 2DC H 16 = 2(DC)2 Como DC corresponde à medida da projeção do cateto BC sobre a hipotenusa, temos: DC = 8 = 2 2, ou seja, 2 2 cm. Logo, a hipotenusa mede 4 2 cm. Em relação à altura, temos: AC BD = BC AB H 4 2 BC = 4 4 H H BD =

16 4 4 2 = = =2 2 2 4 2 2

Respostas: Hipotenusa: 4 2 cm; altura: 2 2 cm. 6. a) Seja l a metade da medida da diagonal menor e L a metade da medida da diagonal maior, em centímetros. Pela relações métricas, temos: l2 = 4 ? 22 H l2 = 88. Como l corresponde à medida da metade da diagonal maior, menor, temos: l = 88 1 9,4. Logo, a diagonal menor tem aproximadamente 18,8 cm (9,4 + 9,4 = 18,8). L2 = 18 ? 22 H L2 = 396

da metade da diagonal maior,

Logo, a diagonal maior tem aproximadamente 39,8 cm (19,9 + 19,9 = 39,8). 39,8 18,8 748,24 b) A = = = 2 2 = 374,12, ou seja, 374,12 cm2. Resposta esperada: Não, pois a área da superfície da pipa é de aproximadamente 374,12 cm². 7. Pelas relações métricas, temos: (BC)2 = 3,2 ? 5 H (BC)2 = 16 Como BC corresponde à medida do lado de um triângulo, temos: BC = 16 = 4, ou seja, 4 m. 2 AB = = 3, (AB) =91,8 ? 5ou H seja, (AB)2 3 = m. 9

Como AB corresponde à medida do

c) 202 = x 2 +102 H H 400

x 2 +100 H

2 H _2 100 +10 H H 202x ==x 2400

x 2 = 300 H 400 x 2 +100 H Como x 400 corresponde medida x =x 2 = 300 1 17,3, H _ 100ouHàseja, do lado aproximadamente 17,3temos: mm. H x 2 = de 300um triângulo, x = 300 1 17,3, ou seja, aproximadamente 17,3 mm. Resposta:

300 mm ou

aproximadamente 17,3 mm. 2. a) 102 = 62 + 82 H H 100 = 36 + 64 H H 100 = 100. É triângulo retângulo. b) 122 = 92 + 72 H H 144 = 81 + 49 H 144 5 130. Não é triângulo retângulo. c) 82 = 42 + (4 3 )2 H H 64 = 16 + 48 H 64 = 64.

lado um=triângulo, temos: BC =de16 4, ou seja, 4 m.

É triângulo retângulo.

AB = 9 = 3, ou seja, 3 m.

3. Sendo d a medida da diagonal do

Logo, o perímetro é dado por 3 + 4 + 5 = 12, ou seja, 12 m; 4 3 12 e a área, por: A = = = 6, 2 2 ou seja, 6 m2. Resposta: Perímetro: 12 m; área: 6 m². 8. Resposta pessoal.

Atividades _ p. 185 a 187 1. a) x2 = 92 + 122 H x2 = 81 + 144 H H x2 = 225 Como x corresponde à distância que a escada alcança, temos: H x = 225 = 15, ou seja, 15 cm. Resposta: 15 cm. b) 172 = x 2 +152 H H 289 = x 2 + 225 H 2 2 2 172x= +15_ H 225 H H =x 289 2 H 289 x 2 == 64x + 225 H

225 H x 2== _8, Como x 289 corresponde à medida 64 = ouHseja, 8 dm. 2 do x = de 64 um triângulo, temos: H lado H x = 64 = 8, ou seja, 8 dm. Resposta: 8 dm.

quadrado, temos: d2 = a2 + a2 H d2 = 2a2 H Hd=

2a2 H d = a 2

4. a) Sendo x a medida da diagonal do quadrado, temos: x 2 = 32 + 32 H x 2 = 9 + 9 H H x 2 = 18 H x = 18 = 3 2 Resposta: 3 2 cm ou aproximadamente 4,24 cm. b) Sendo x a medida da diagonal do retângulo, temos: x 2 = 22 + 42 H x 2 = 4 +16 H H x 2 = 20 H x = 20 = 2 5 Resposta: 2 5 cm ou aproximadamente 4,47 cm. 5. a) 102 = 62 + x 2 H 100 = 36 + x 2 H H x 2 = 100 _ 36 H x 2 = 64 2 Como corresponde =x8, x =2 =64 seja, 8distância cúbitos. 10 6x2 + Hou100 =à36 + x2 H quex 2a=escada temos: H 100 _alcança, 36 H x 2 = 64

x = 64 = 8, ou seja, 8 cúbitos.

Resposta: 8 cúbitos. b) Resposta pessoal.

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6. Sendo x a medida do lado do quadrado C, temos: 169 = 25 + x2 H x2 = 169 _ 25 H H x2 = 144 Resposta: 144 cm². 7. Sendo h a medida da altura do muro em metros, temos: (2,5)2 = (1,5)2 + h2 H 2

H 6,25 = 2,25 + h H 2

H h = 6,25 _ 2,25 H H h2 = 4 H h = 4 = 2, ou seja, 2 m. Logo, com a altura do muro sendo 2 m e o tamanho da escada sendo 3 m, conseguimos, pelo teorema de Pitágoras, determinar a distância (d) do muro à escada, em metros. 32 = 22 + d2 H 9 = 4 + d2 H H d2 = 9 _ 4 H d2 = 5 H H d = 5 1 2,24, ou seja, aproximadamente 2,24 m.

d2 = 22 + 22 H d2 = 4 + 4 H 2

H d = 8 H d = 8 1 2,8 Assim, o perímetro é dado por: 2,8 + 6 + 5 + 8 + 3 = 24,8, ou seja, 24,8 cm. Desse modo, em tamanho real temos: 124 m (24,8 ? 500 : 100 = 124). Resposta: Alternativa c. 9. Sendo v o comprimento da viga em metros, temos: 2

v = (1,6) + (1,2) H H v 2 = 2,56 +1,44 H 2

H v =4H v = 4 =2 Respostas esperadas: Não é possível utilizar a viga de 1,8 m, pois a distância AC é de 2 m. Já a viga de 2,5 m pode ser utilizada desde que cortada de maneira que uma das partes obtidas tenha 2 m de comprimento. 10. Resposta pessoal. 11. a) Eixo y. Eixo x. b) AB.

AC = 1 _ (_1,5) = 1 + 1,5 = = 2,5, ou seja, 2,5 unidades de comprimento. BC é a hipotenusa do triângulo retângulo ABC e pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras. Seja x a medida do segmento de reta BC, temos: x 2 = (6,5)2 + (2,5)2 H H x 2 = 42,25 + 6,25 H x 2 = 48,5 H H x = 48,5 1 6,96 Desse modo, o perímetro é de aproximadamente 15,96 unidades de comprimento (6,5 + 2,5 + 6,96 = 15,96). A área é dada por: 6,5 2,5 16,25 A= = = 8,125, 2 2

4 3 2 1

_5 _4 _3 _2 _1 0 _1

7 x J

IJ é a hipotenusa do triângulo retângulo IJC. Assim, considerando x a medida do segmento de reta IJ, temos: H x 2 = 169 H x = 169 = 13, ou seja, 13 unidades de comprimento. • Considere o segmento de reta KL e um ponto M como representado a seguir. y _2 _1 0 _1 _2

4 x

_3 _4 K _5

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

8. Sendo d a medida do menor lado do terreno, em centímetros, temos:

y 5

x 2 = 122 + 52 H x 2 = 144 + 25 H

Resposta c.

c) • 12 _ 0 = 12; 12 unidades de comprimento. • 3 _ (_4) = 7; 7 unidades de comprimento. • 9 _ 1 = 8; 8 unidades de comprimento. • _2 _(_4) = 2; 2 unidades de comprimento. • Considere o segmento de reta IJ e um ponto C como representado a seguir.

KL é a hipotenusa do triângulo retângulo KLM. Assim, considerando x a medida do segmento de reta KL, temos: x 2 = 32 + 42 H x 2 = 9 +16 H H x 2 = 25 H x = 25 = 5, ou seja, 5 unidades de comprimento. d) Para calcular o perímetro, vamos determinar a medida de cada lado do triângulo. Temos: AB = 3,5 _ (_3) = 3,5 + 3 = = 6,5, ou seja, 6,5 unidades de comprimento.

ou seja, 8,125 unidades de área.

Integrando com Geografia _ p. 188 e 189 1.

263,1 100 = H 11392,23 = x 43,3 11392,23 1 113,9 = 100x H x = 100 Resposta: R$ 113,9 bilhões.

2. 100% _ 60,2% = 39,8%. 207,1 ? 0,398 1 82. Respostas: 39,8%. 82 milhões de pessoas. 3. Resposta pessoal.

Você conectado – p. 190 a 193 Mãos à obra – p. 191 1. O juro obtido corresponde à diferença entre o montante e o capital, ou seja, R$ 501,69 (5 501,69 _ 5 000,00 = 501,69). 2. Utilizando a planilha eletrônica como no exemplo, podemos verificar que serão necessários 18 meses.

Mãos à obra _ p. 193 1. Resposta esperada: A área do quadrado ACFG é 25 u.a. e corresponde a (AC)2, a área do quadrado ABED é 16 u.a. e corresponde a (AB)² e a área do quadrado BCIH é 9 u.a. e corresponde a (BC)². Como 25 = 16 + 9, temos que (AC)2 = (AB)² + (BC)².

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2. a) Resposta esperada: As áreas dos quadrados ABED e ACFG se alteraram e suas medidas foram ajustadas automaticamente e a área do quadrado BCIH não se alterou. b) Resposta esperada: Sim. c) Não. Resposta esperada: Não, pois ao movimentar o ponto A o triângulo obtido não é um triângulo retângulo, de maneira que o teorema de Pitágoras não é satisfeito. 3. O triângulo ABC é um triângulo retângulo.

O que estudei _ p. 194 e 195

2. O maior crescimento anual absoluto foi do ano de 2000 para o ano de 2001. Esse crescimento é dado por: 47 943 _ 45 360 = 2 583. Assim, se a situação se repetisse, teríamos: 51 434 + 2 583 = 54 017, ou seja, 54 017 homicídios. Resposta: Alternativa d. 3. a) Quantidade de mulheres candidatas a prefeita na eleição. Quantidade de mulheres eleitas prefeitas na eleição. b) 2 039 mulheres. 639 mulheres. 537 c) 2008: 1 0,300. 1786 2012:

1. Respostas pessoais.

639 1 0,313. 2 039 Resposta: 2012. Aproximadamente 32,6%. 2016:

2. Resposta pessoal. 3. I. Sendo x a medida do comprimento da rampa, em centímetros, temos: 2

663 1 0,326. 2 032

x = 625 + 50 H x = 390 625 + 2500 H H x 2 = 393125 H x = 393125 1 627 A área é dada por: 627 ? 120 = 75 240. Respostas: 627 cm. 75 240 cm2. Conceitos: Teorema de Pitágoras. II. R$ 1 260,00 (10 ? 126 = 1 260). (1260 1200) 60 = = 0,05 = 5% 1200 1200 Conceitos: Educação financeira; compra à vista e compra a prazo; porcentagem. III. R$ 1 190,00 (0,85 ? 1 400 = 1 190). Conceitos: Educação financeira; compra à vista e compra a prazo; porcentagem. IV. Empreiteira X. Conceitos: Educação financeira. V. R$ 1 130,50 (0,95 ? 1 190 = 1 130,50). (1 400,00 _ 1130,50) 269,50 = = 1 400 1 400 = 0,1925 = 19,25% Conceitos: Descontos sucessivos; porcentagem.

Unidade 7 Estatística e probabilidade Atividades – p. 203 a 206 1. a) Quantidade de papel reciclado no Brasil nos anos 2000, 2005, 2010 e 2015. Do relatório anual 20152016 da ANAP. b) Resposta esperada: Gráfico de colunas. c) Resposta pessoal.

Quantidade de mulheres candidatas e mulheres eleitas prefeitas no Brasil, em 2008, 2012 e 2016 Mulheres

Candidatas

Eleitas

2008

1 786

537

2012

2 032

663

2016

2 039

639

Ano da eleição

Fonte: MONTEIRO, A. Número de eleitas cai e mulheres perdem representação política. Disponível em: <www1.folha.uol.com. br/poder/eleicoes-2016/2016/10/1819610-numero-de-eleitas-cai-emulheres-perdem-representacao-politica.shtml>. Acesso em: 16 out. 2018.

Resposta pessoal.

e) Resposta esperada: Gráfico de segmentos, pois esse tipo de gráfico costuma ser utilizado quando queremos analisar o comportamento de certa variável no decorrer de um determinado intervalo de tempo. 4. a) Resposta esperada: I – gráfico de setores, pois esse tipo de gráfico costuma ser utilizado quando queremos comparar as partes de um conjunto de dados com o todo e entre si; II – gráfico de segmentos, pois esse tipo de gráfico costuma ser utilizado quando queremos analisar o comportamento de certa variável no decorrer de um determinado intervalo de tempo; III – gráfico de barras ou gráfico de colunas, pois esses tipos de gráfico costumam ser utilizados com a finalidade de comparar, entre si, os dados apresentados. b) Resposta pessoal. 5. Resposta pessoal. 6. a) Gráfico de setores. b) Resposta esperada: No título falta indicar a data correspondente aos dados pesquisados e a fonte dos dados, os elementos apresentados na legenda não correspondem aos respectivos setores. Resposta esperada: Para ajustar o gráfico, pode ser inserida a data no título, incluída a fonte dos dados e ajustados os elementos da legenda, de acordo com os setores correspondentes.

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3 1 15 _ 7 8 _ = = . 7 5 35 35 Resposta: Alternativa e.

8. Resposta pessoal.

Atividades – p. 208 e 209 1. a) Média: 180+152+195+184 +177+182+170+184 = 8 1424 = = 178, ou seja, 178 cm. 8 Moda: 184 cm. Para determinar a mediana, organizamos os dados em ordem crescente: 152, 170, 177, 180, 182, 184, 184, 195. Mediana: 180 +182 = 181, ou seja, 181 cm. 2 Amplitude: 95 _ 152 = 43, ou seja, 43 cm. b) Média: 4,80 + 4,76 + 4,82 + 4,70 + 4,82 = 5 23,9 = = 4,78, ou seja, R$4,78. 5 Moda: R$ 4,82. Para determinar a mediana, organizamos os dados em ordem crescente: 4,70; 4,76; 4,80; 4,82; 4,82. Mediana: R$ 4,80. Amplitude: 4,82 _ 4,70 = 0,12, ou seja, R$ 0,12. c) Média: 8 + 0 + 3 +12 + 4 + 0 + 8 35 = = 5, ou seja, 5 mm. 7 7 Moda: 0 mm e 8 mm. Para determinar a mediana, organizamos os dados em ordem crescente: 0 mm, 0 mm, 3 mm, 4 mm, 8 mm, 8 mm, 12 mm. Mediana: 4 mm. Amplitude: 12 _ 0 = 12, ou seja, 12 mm. 2. A amplitude, pois corresponde à diferença entre o maior e o menor preço do apontador de lápis nas papelarias consultadas. 3. a) Resposta pessoal. b) Resposta esperada: Gráfico de segmentos ou gráfico de barras. c) Média: 100 + 83 +129 +114 +133 +142 +158 = 7 859 = 1122,7, ou seja, aproximadamente 7 122,7 filmes. Moda: conjunto de dados amodal. Para determinar a mediana, organizamos os dados em ordem crescente: 83, 100, 114, 129, 133, 142, 158. Mediana: 129 filmes.

d) 158 – 83 = 75. Resposta: 75 filmes. Representa a diferença da quantidade de filmes entre o ano em que foram lançados mais filmes brasileiros (ano de 2017, com 158 filmes) e o ano em que foram lançados menos filmes brasileiros (ano de 2012, com 83 filmes) no período apresentado no gráfico. 4. Ficha II (85 + 100 + 120 + 110 + 120) 535 = 107, = 5 5 ou seja, 107 alunos. Moda: 120 alunos. Para determinar a mediana, organizamos os dados em ordem crescente: 85, 100, 110, 120, 120. Mediana: 110 alunos. Amplitude: 120 _ 85 = 35, ou seja, 35 alunos.

Média:

Ficha III (30 + 25 + 15 + 15) 85 , ou seja, 21,25 alunos. = 4 4 Moda: 15 alunos Para determinar a mediana, organizamos os dados em ordem crescente: 15, 15, 25, 30.

Média:

(25 + 15) 40 = 20, ou seja, 20 alunos. = 2 2 Amplitude: 30 _ 15 = 15, ou seja, 15 alunos.

Mediana:

5. a) João Souza. Paulo Marques. b) João Souza: 9,5 + 8 + 8,3 25,8 = = 8,6. 3 3 Marta Rodrigues: 8 + 9,4 + 9 26,4 = = 8,8. 3 3 Paulo Marques: 8,9 + 7,5 +10 26,4 = = 8,8. 3 3 c) Amplitude Marta: 9,4 _ 8 = 1,4. Amplitude Paulo: 10 _ 7,5 = 2,5. Resposta: 1a: Marta Rodrigues; 2o: Paulo Marques; 3o: João Souza. Marta Rodrigues ficou em 1o lugar, pois a amplitude de suas notas foi menor do que a amplitude das notas de Paulo Marques, que obteve nota final igual à dela. 6. Organização dos dados: 1,65; 3,14; 4,31; 4,46; 5,22; 5,69; 5,90; 5,91; 5,97; 6,50; 7,60; 7,67; 8,94; 9,30; 9,56; 12,53; 18,57; 22,41. Mediana: 5,97 + 6,50 12,47 = = 6,235. 2 2 Resposta: Alternativa b. 7. a) 16 + 30 + 30 + 37 + 26 + 11 = 150. Resposta: 150 apartamentos. Resposta esperada: Adicionando os valores representados nas colunas.

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b) 30 apartamentos. 37 apartamentos. c) Média:

2. a) Sim. b) Não.

(16 ⋅ 0) + (30 ⋅ 1) + (30 ⋅ 2) + (37 ⋅ 3) + (26 ⋅ 4) + (11⋅ 5) = 150 360 = = 2,4, ou seja, 2,4 moradores. 150 Moda: 3 moradores. Mediana: 2 moradores.

c) Sim. 3. a) 16 possibilidades. b) • 2 = 1 = 0,125 ou 12,5%. 16 8 •

6 3 = = 0,375 ou 37,5%. 16 8

•

12 3 = = 0,75 ou 75%. 16 4

8. Temos que: x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x10 = 10 = 32 H x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x 6 + x 7 + x 8 + +x 9 + x10 = 320 Logo, x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x10_ x10 = 9 = 30 H x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 +

4. a) A: camiseta azul. B: camiseta alaranjada. P: camiseta cinza. R: camiseta vermelha. V: camiseta verde. Em relação à 1a maneira, temos: 1o sorteio

2o sorteio

+x10_x10 = 270 320 _ x10 = 270 H x10 = 320 _ 270 H x10 = 50. Resposta: Alternativa d.

Atividades – p. 212 e 213 1. a) Por amostra.

Em relação à 2a maneira, temos:

b) Resposta pessoal.

1o sorteio

c) A Área II foi a mais escolhida entre os alunos entrevistados.

2o sorteio A

9 = 0,1125 = 11,25%. d) Área I: 80

35 = 0,4375 = 43,75%. Área II: 80 22 = 0,275 = 27,5%. Área III: 80 14 = 0,175 = 17,5%. Área IV: 80 Resposta: A: 11,25%; B: 43,75%; C: 27,5%; D: 17,5%; E: Área I; F: Área II; G: Área III; H: Área IV. e) Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal.

Atividades – p. 217 a 219 1. a) Fábio:

1 1 ; Júlia: . 16 12

VP VR

b) Resposta esperada: Se o sorteio for realizado da maneira I, é possível que se obtenha duas cores iguais, ou seja, que Fernando utilize a mesma camiseta nas duas gravações, o que não acontece se o sorteio for realizado da maneira II. c) Maneira II. 5. a) Turma A: 14 + 21 = 35, ou seja, 35 alunos. Turma B: 20 + 15 = 35, ou seja, 35 alunos. Turma C: 18 + 12 = 30, ou seja, 30 alunos. Total: 35 + 35 + 30 = 100, ou seja, 100 alunos.

b) Fábio:

1 1 ; Júlia: . 4 4

b) Um menino da turma A, pois nessa turma há mais meninos do que meninas.

c) Fábio:

1 1 ; Júlia: . 4 4

1 ou 1%. 100

d) Fábio:

9 1 ; Júlia: . 16 2

18 9 = ou 18%. 100 50

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e) Como já teremos sorteado um menino da turma B, agora teremos 14 meninos na turma B de um total de 99 alunos. Então, 14 ou a probabilidade será: 99 aproximadamente 14,14%.

c) A probabilidade de se obter um número par com a soma da segunda peça virada é a mesma de se obter um número ímpar. 7. a) Resposta pessoal.

24 ? 3 331 378 1 799 531, ou 100 seja, 799 531 pessoas; outros:

3. a) Resposta esperada: Sim, pois 6 606 000 pessoas é aproximadamente o dobro de 3 331 000 pessoas.

4. Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

Você conectado – p. 222 a 225

e) Resposta esperada: É provável que as probabilidades calculadas no item a e as probabilidades estimadas no item c, com base na frequência das cores sorteadas no experimento, sejam próximas, mas não necessariamente iguais. Porém, isso pode não ocorrer na prática. 8. Resposta pessoal.

Você cidadão – p. 200 e 201 1. Resposta esperada: O ECA é a sigla de Estatuto da Criança e do Adolescente, que tem como finalidade garantir os direitos das crianças e dos adolescentes. 2. a) Laranja. Indica o porcentual correspondente às crianças e adolescentes de 5 a 17 anos ocupados no tipo de atividade comércio e reparação, no Brasil, em 2014. b) Agricultura, pecuária, silvicultura, pesca e aquicultura: 31 ? 3 331 378 1 1 032 727, 100

59,7

60 50 40 30 20

23,5 16,8

0 a 14 anos

15 a 59 anos

60 anos ou mais

2. Resposta pessoal.

O que estudei – p. 226 e 227 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. • Resposta esperada: Gráfico de segmentos. Conceitos: Tabela de dupla entrada; gráfico de segmentos.

Mãos à obra – p. 225 1. a) Resposta esperada: Gráfico de segmentos, de colunas ou de barras.

População (%)

d) Resposta pessoal.

b) 6 606 000 _ 3 331 000 = = 3 275 000 Resposta: 3 275 000 pessoas. Resposta esperada: Significa a diferença entre o ano de maior e o ano de menor quantidade de crianças e adolescentes ocupados.

b) Resposta pessoal.

Projeção da proporção de pessoas por grupo etário, no Brasil, em 2040

População (%)

45 ? 3 331 378 1 1 499 120, ou 100 seja, 1 499 120 pessoas.

Projeção da proporção de pessoas de 60 anos ou mais de idade, no Brasil (2020 e 2060)

• Resposta esperada: Gráfico de setores. Conceitos: Tabela de dupla entrada; gráfico de setores.

35 30 25 20 14,2 15 10 5 0 2020

• Resposta esperada: Gráfico de barras ou de colunas. Conceitos: Tabela de dupla entrada; gráfico de barras; gráfico de colunas.

28,5

32,2

23,5 18,7

2030

2040 Ano

2050

2060

Fonte: IBGE. Projeções da População. Disponível em: <www.ibge.gov.br/estatisticas-novoportal/ sociais/populacao/9109-projecao-da-populacao. html?=&t=downloads>. Acesso em: 16 out. 2018.

b) Resposta esperada: Gráfico de setores. Projeção da proporção de pessoas por grupo etário, no Brasil, em 2060 14,7% 32,2%

60%

53,1%

0 a 14 anos 60 anos ou mais

15 a 59 anos

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

6. a) Um número par, pois no início há mais peças cuja soma das marcações é um número par (4 peças) do que um número ímpar (3 peças). 4 2 = 10,67 ou b) 6 3 aproximadamente 67%.

c) Resposta esperada: Gráfico de colunas, de barras ou de setores.

ou seja, 1 032 727 pessoas; comércio e reparação:

Fonte: IBGE. Projeções da População. Disponível em: <www.ibge.gov.br/estatisticas-novoportal/ sociais/populacao/9109-projecao-da-populacao. html?=&t=downloads>. Acesso em: 16 out. 2018.

II. Respostas possíveis: Média: 24 +19 + 24 + 26 + 47 = 5 140 = = 28, ou seja, 5 28 doadores; moda: 24 doadores; mediana: 24 doadores. Conceitos: Tabela de dupla entrada; medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana. III. Sexta-feira. Terça-feira. 47 _ 19 = 28, ou seja, 28 doadores. Conceitos: Tabela de dupla entrada; amplitude.

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IV. • Na quinta-feira, pois o número de doadores é maior do que na segunda. Conceitos: Tabela de dupla entrada; probabilidade. •

26 . Conceitos: Tabela de 139 dupla entrada; probabilidade.

Unidade 8 Medidas de volume Atividades – p. 232 e 233 1. a) V = 5 ? 3 ? 9 = 135, ou seja, 135 cm³. b) V = 8 ? 6 ? 2,5 = 120, ou seja, 120 cm³. c) V = 4 ? 4 ? 4 = 64, ou seja, 64 cm³. 2. a) V = V1 + V2 = (1 ? 3 ? 7) + + (3 ? 4 ? 7) = 21 + 84 = 105, ou seja, 105 cm³. b) V = V1 + V2 = (2 ? 2 ? 14) + + (2 ? 8 ? 14) = 56 + + 224 = 280, ou seja, 280 cm³. 3. a) 40 L. b) Modelo P: V = 43 ? 35 ? 11 = = 16 555, ou seja, 16 555 cm³. Convertendo para litros, temos 16,555 L. Modelo M: V = 52 ? 39 ? 18 = = 36 504, ou seja, 36 504 cm³. Convertendo para litros, temos 36,504 L. Modelo G: V = 60 ? 40 ? 20 = = 48 000, ou seja, 48 000 cm³. Convertendo para litros, temos 48 L. c) Modelo G. d) Resposta pessoal. 4. Se a barra de sabão tem 240 cm³ de volume e 4 cm de altura, a área do retângulo da base deve ser: V = Ab ? a H 240 = Ab

4 H

240 = Ab H Ab = 60, 4 ou seja, 60 cm². H

Logo, devemos verificar quais retângulos possuem essa área. a) A = 6 ? 10 = 60, ou seja, 60 cm². b) A = 5 ? 8 = 40, ou seja, 40 cm². c) A = 5 ? 12 = 60, ou seja, 60 cm². d) A = 3 ? 8 = 24, ou seja, 24 cm². Resposta: Os retângulos representados nos itens a e c podem corresponder à base dessa barra de sabão. 5. Temos que o volume inicial de água é: V = 2,5 ? 4 ? 4 H V = 40, ou seja, 40 dm³. Após colocar o objeto, o volume passou a ser: V = 3,5 ? 4 ? 4 H H V = 56, ou seja, 56 dm³. Então, a diferença entre esses resultados corresponde ao volume do objeto. Sendo assim, 56 _ 40 = 16. Resposta: 16 dm³. 6. Resposta pessoal. 7. Volume do objeto: V = 80 ? 80 ? 80 H V = 512 000, ou seja, 512 000 cm³

Volume das caixas disponíveis: Caixa 1: V = 86 ? 86 ? 86 H V = 636 056, ou seja, 636 056 cm³. Caixa 2: V = 75 ? 82 ? 90 H V = 553 500, ou seja, 553 500 cm³. Caixa 3: V = 85 ? 82 ? 90 H V = 627 300, ou seja, 627 300 cm³. Caixa 4: V = 82 ? 95 ? 82 H V = 638 780, ou seja, 638 780 cm³. Caixa 5: V = 80 ? 95 ? 85 H V = 646 000, ou seja, 646 000 cm³. Desconsideramos a caixa 2, pois uma de suas dimensões é 75 cm, sendo menor que as dimensões do objeto cúbico. Logo, a caixa que acondiciona o objeto sobrando o menor espaço livre é a caixa 3. Resposta: Alternativa c.

Atividades – p. 237 a 239 1. a) Área da base: A = pr2 = p ? 52 = = 25 ? 3,14 = 78,5, ou seja, 78,5 cm². Volume: V = Ab ? a H H V = 78,5 ? 13 H H V = 1 020,5, ou seja, 1 020,5 cm³. b) Área da base: A = pr2 = p ? 72 = = 49 ? 3,14 = 153,86, ou seja, 153,86 cm². Volume: V = Ab ? a H H V = 153,86 ? 5 H H V = 769,3, ou seja, 769,3 cm³. c) A = pr2 = p ? 22 = 4 ? 3,14 = = 12,56, ou seja, 12,56 cm². Volume: V = Ab ? a H H V = 12,56 ? 15 H H V = 188,4, ou seja, 188,4 cm³. d) A = pr2 = p ? 32 = 9 ? 3,14 = = 28,26, ou seja, 28,26 cm². Volume: V = Ab ? a H H V = 28,26 ? 3 H H V = 84,78, ou seja, 84,78 cm³. 2. A área do triângulo equilátero é dada por: A=

52 3 25 3 , = 4 4

ou seja,

25 3 cm². 4

Volume: V = Ab ⋅ a H 25 3 ⋅ 30 H 4 750 3 H V= H 4 H V = 187,5 3 , HV=

ou seja, 187,5 3 cm³. 3. Recipiente I: Área da base: A = pr2 = p ? 62 = = 36 ? 3,14 = 113,04, ou seja, 113,04 cm².

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Capacidade: V = A ? a H H V = 113,04 ? 20 H H V = 2 260,8, ou seja, 2 260,8 cm³. Recipiente II: Área da base: A = 10 ? 10 = 100, ou seja, 100 cm². Capacidade: V = A ? a = 100 ? 22 = = 2 200, ou seja, 2 200 cm³. Ao compararmos as capacidades, temos que o recipiente I possui 60,8 cm³ a mais de capacidade do que o recipiente II. Logo, essa será a quantidade de água que transbordará. Resposta: Alternativa c. 4. a) Inicialmente, vamos calcular o volume do cilindro desenhado pela professora. Área da base: A = pr2 = p ? 32 = = 9 ? 3,14 = 28,26, ou seja, 28,26 cm². Volume: V = Ab ? a H H V = 28,26 ? 12 H H V = 339,12, ou seja, 339,12 cm³. Agora, vamos calcular o volume dos cilindros indicados pelos alunos. João: Área da base: A = pr2 = p ? 22 = = 4 ? 3,14 = 12,56, ou seja, 12,56 cm². Volume: V = Ab ? a H H V = 12,56 ? 27 H H V = 339,12, ou seja, 339,12 cm³. Marcos: Área da base: A = pr2 = p ? 52 = = 25 ? 3,14 = 78,5 cm². Volume: V = Ab ? a H H V = 78,5 ? 20 H H V = 1 570, ou seja, 1 570 cm³. Taís: Área da base: A = pr2 = p ? 62 = = 36 ? 3,14 = 113,04 cm², ou seja, 113,04 cm². Volume: V = Ab ? a H

H V = 113,04 ? 3 H H V = 339,12, ou seja, 339,12 cm³. Resposta: João e Taís. b) Algumas respostas possíveis: Raio da base igual a 4 cm e altura igual a 6,75 cm; raio da base igual a 5 cm e altura igual a 4,32 cm. c) Resposta pessoal. 5. Decompondo o polígono que representa a lateral da caçamba em dois trapézios, temos que a caçamba é formada por dois prismas de base trapezoidal cujos volumes podem ser obtidos da seguinte maneira: Prisma I: (B + b) h (3 + 1,5) 1 = = 2 2 4,5 = = 2,25, ou seja, 2,25 m2. 2 Logo, o volume é: V = Ab ? a H H V = 2,25 ? 2 H V = 4,5, ou seja, 4,5 m³. Prisma II: A=

(B + b) h (3 + 2,5) 0,5 = = 2 2 5,5 0,5 2,75 = = = 1,375, 2 2 A=

ou seja, 1,375 m². Logo, o volume é: V = Ab ? a H V = 1,375 ? 2 H H V = 2,75, ou seja, 2,75 m³. Portanto, o volume da caçamba é a soma dos dois volumes, ou seja: 4,5 + 2,75 = 7,25, ou seja, 7,25 m3. 6. Resposta pessoal. 7. a) Ab = pr2 = p ? 42 = 16 ? 3,14 = = 50,24, ou seja, 50,24 cm². V = Ab ? a H V = 50,24 ? 16 H H V = 803,84, ou seja, 803,84 cm3. Resposta: 803,84 cm³. b) Como o volume da água congelada é 9% maior do que na forma líquida, denominamos x o volume da água em forma líquida em centímetros cúbicos e calculamos:

9 x = 803,84 H 100 109 x = 803,84 H H 100 H 1,09x = 803,84 H 803,84 H x= 1737,47. 1,09 x+

Resposta: 737,47 cm³. 8. Como a cada metro de altura, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a do fundo e o silo tem 2 m de altura, temos que a largura do fundo é 5 m. Assim, a área do trapézio que compõe a base desse prisma é dada por: (B + b) h (6 + 5) 2 = = 2 2 11 2 = = 11, ou seja, 11 m2. 2 Logo, o volume é dado por: V = Ab ? a H V = 11 ? 20 H H V = 220, ou seja, 220 m³. Como cada 1 tonelada ocupa 2 m³, temos que: 220 = 110, ou seja, 110 t. 2 Resposta: Alternativa a. A=

9. a) É possível utilizar qualquer modelo de embalagem para calcular o volume das latas de ervilha. Utilizando o modelo I, temos que o raio do círculo da base do cilindro mede 4 cm e a altura, 9 cm. Sendo assim, temos: Área da base: Ab = pr2 = = p ? 42 = 16 ? 3,14 = 50,24, ou seja, 50,24 cm². Volume: V = Ab ? 9 H H V = 50,24 ? 9 H V = 452,16, ou seja, 452,16 cm³. b) Modelo I: A = 2 ? (16 ? 18) + + 2 ? (8 ? 18) + 2 ? (8 ? 16) = = 576 + 288 + 256 = 1 120, ou seja, 1 120 cm². Modelo II: A = 2 ? (16 ? 16) + + 4 ? (16 ? 9) = 512 + 576 = = 1 088, ou seja, 1 088 cm². Modelo III: A = 2 ? (8 ? 32) + + 2 ? (8 ? 9) + 2 ? (9 ? 32) = = 512 + 144 + 576 = 1 232, ou seja, 1 232 cm².

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c) Modelo I: V = Ab ? a H H V = 16 ? 8 ? 18 H H V = 2 304, ou seja, 2 304 cm³. Modelo II: V = Ab ? a H H V = 16 ? 16 ? 9 H H V = 2 304, ou seja, 2 304 cm³. Modelo III: V = Ab ? a H H V = 8 ? 32 ? 9 H H V = 2 304, ou seja, 2 304 cm³. Todos os modelos têm a mesma capacidade. d) Resposta esperada: Modelo II, pois, entre as opções, é o que utiliza menos papelão.

Integrando com Ciências – p. 240 e 241 1. Resposta pessoal. 2. a) Área da base: Ab = pr2 = p ? (1,5)2 = 2,25 ? 3,14 = 7,065, ou seja, 7,065 m². Volume: V = Ab ? a H H V = 7,065 ? 2,4 H H V = 16,956, ou seja, 16,956 m³. b) Como 1 m³ = 1 000 L, temos que o volume em litros é: 16,956 ? 1 000 = 16 956, ou seja, 16 956 L. Dividindo esse resultado por 4, temos a quantidade de litros de água distribuída igualmente para cada membro dessa família: 16 956 = 4 239 L, ou ou seja, seja, 4 4 239 L. Como a quantidade de água necessária por pessoa diariamente é 110 L, calculamos:

4239 1 38,5. Ou seja, é 110 possível que essa quantidade de água da cisterna garanta o consumo de uma família de quatro pessoas por 38 dias.

4. Resposta pessoal. O que estudei – p. 242 e 243 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. I. Área da base: Ab = pr2 = p ? 42 = = 16 ? 3,14 = 50,24 cm². Volume: V = Ab ? a H V = = 50,24 ? 10 H V = 502,4, ou seja, 502,4 cm3. Como 1 cm3 = 1 mL, temos que pode ser acondicionado nesse frasco 502,4 mL. Conceitos: Medidas de volume; volume de um cilindro. II. V = Ab ? a H V = 6 ? 6 ? 8 H H V = 288, ou seja, 288 cm³, que equivale a 288 mL. Como 1 L = 1 000 mL, calculamos: 1000 1 3,47. 2 88 Logo, é possível encher esse frasco 3 vezes. Conceitos: Medidas de volume; volume de um bloco retangular. III. a) A área da base é 6 vezes a área do triângulo equilátero de lado 6 cm. Então, temos: 62 3 = 4 36 3 =6 = 54 3 , 4 ou seja, 54 3 cm2. Ab = 6

Volume: V = Ab ? a H H V = 54 3 ⋅ 5 H H V = 270 3 1467,65, ou seja, aproximadamente 467,65 cm³. b) A área da base é 6 vezes a área do triângulo equilátero de lado 6 cm. Então, temos: 62 3 = 4 36 3 =6 = 54 3 , 4 Ab = 6

ou seja, 54 3 cm². Volume: V = Ab ? a H H V = 54 3 6 H H V = 324 3 1561,18, ou seja, aproximadamente 561,18 cm³. c) A área da base é 6 vezes a área do triângulo equilátero de lado 6 cm. Então, temos: 62 3 = 4 36 3 =6 = 54 3 , 4 Ab = 6

ou seja, 54 3 cm². Volume: V = Ab a H V = 54 3 7 H H V = 378 3 1654,72, ou seja, aproximadamente 654,72 cm³. Resposta: a. Conceitos: Medidas de volume; volume de um prisma. IV. Resposta pessoal. Conceitos: Medidas de volume; volume de um prisma.

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MATERIAL DE APOIO Malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado

EDITORIA DE ARTE

Esta malha quadriculada serรก utilizada nas Unidades 1, 2 e 7.

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Malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 0,5 cm de lado

EDITORIA DE ARTE

Esta malha quadriculada serรก utilizada nas Unidades 4 e 6.

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Molde de uma representação de cubo

EDITORIA DE ARTE

Este molde será utilizado na Unidade 7.

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