Análise de modelos de regressão linear by Editora da Unicamp

ANÁLISE DE MODELOS DE REGRESSÃO LINEAR COM APLICAÇÕES

UNIVERSIDADE E STADUAL JOSÉ

CAMPINAS

Reitor TADEU JORGE

Coordenador Geral da Universidade FERNANDO FERREIRA COSTA

Conselho Editorial Presidente PAULO F RANCHETTI A LCIR P ÉCORA – ARLEY R AMOS M ORENO E DUARDO D ELGADO A SSAD – J OSÉ A. R. G ONTIJO J OSÉ R OBERTO Z AN – M ARCELO K NOBEL S EDI H IRANO – Y ARO BURIAN J UNIOR

ANÁLISE DE MODELOS DE REGRESSÃO LINEAR COM APLICAÇÕES

Clarice Azevedo De Luna Freire Departamento de Estatística (UFPR)

Eugênia M. Reginato Charnet Departamento de Estatística (UNICAMP)

Heloísa Bonvino Departamento de Estatística (UNICAMP)

Reinaldo Charnet Departamento de Estatística (UNICAMP)

2 a EDIÇÃO

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELO S I S T E M A DE B I B L I O T E C A S D A U N I C A M P DIRETORIA DE TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

An13

Análise de modelos de regressão linear: com aplicações / Reinaldo Charnet et al. – 2a ed. – Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2008. 1. Análise de regressão. 2. Estatística matemática. I. Charnet, Reinaldo. II. Título. CDD

519.536 519.532

ISBN 978-85-268-0780-8 Índices para catálogo sistemático: 1. Análise de regressão 2. Estatística matemática

519.536 519.532

1a edição, 1999

Nenhuma parte desta publicação pode ser gravada, armazenada em sistema eletrônico, fotocopiada, reproduzida por meios mecânicos ou outros quaisquer sem autorização prévia do editor.

Editora da U NICAMP Rua Caio Graco Prado, 50 – Campus UNICAMP Caixa Postal 6074 – Barão Geraldo CEP 13083-892 – Campinas – SP – Brasil Tel./Fax: (19) 3521-7718/7728 www.editora.unicamp.br – vendas@editora.unicamp.br

Sum´ ario

Introdu¸c˜ ao

1 O Modelo de Regress˜ ao Linear Simples

1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Uma vari´avel auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 O modelo de regress˜ao linear simples − MRLS . . . . . . . . . . . . 11 1.4 O MRLS em forma matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 An´alise de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Ajuste de Reta por Quadrados M´ınimos

2.1 A f´ormula da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 O m´etodo de quadrados m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Resultados u ´teis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Propriedades do ajuste de quadrados m´ınimos . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Pontos influentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 i

´ SUMARIO

ii 3 Estima¸c˜ ao do MRLS

3.1 Estimadores de quadrados m´ınimos para o MRLS . . . . . . . . . . 52 3.2 Qual a escolha: modelo simples ou MRLS? . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 An´alise de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4 Amostra Bivariada e o MRLS

4.1 Coeficiente de correla¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2 Amostra de normal bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Estima¸c˜ao no modelo normal bivariado . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5 Adequa¸c˜ ao e Predi¸c˜ ao sob o MRLS

5.1 Coeficiente de determina¸cão − R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2 Teste da falta de ajuste do MRLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3 Intervalos de confian¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.4 Intervalos de predi¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.5 Análise de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6 An´ alise de Res´ıduos

115

6.1 Propriedade dos res´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.2 Análise gráfica dos res´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.3 Algumas transforma¸cões usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

´ SUMARIO

iii

6.4 An´alise de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7 Comparando Dois Modelos (MRLS)

147

7.1 Formula¸cão de dois MRLS’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.2 Testes para compara¸cão de dois MRLS’s . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.3 Análise de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8 O Modelo de Regress˜ ao Linear M´ ultipla

169

8.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.2 MRLM em forma matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.3 O método de quadrados m´ınimos geral . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.4 Estimadores de quadrados m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.5 Qual a escolha: modelo simples ou MRLM? . . . . . . . . . . . . . 182 8.6 Testes para os parâmetros: escolha entre modelos . . . . . . . . . . 185 8.7 Falta de ajuste do MRLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9 Correla¸c˜ oes M´ ultiplas e Parciais

201

9.1 Distribui¸cão normal multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9.2 O coeficiente de determina¸cão e o MRLM . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.3 Coeficientes de correla¸cão parciais e o MRLM . . . . . . . . . . . . 219 9.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

´ SUMARIO

iv 10 Vari´ aveis Fict´ıcias e An´ alise de Covariˆ ancia

235

10.1 Variáveis fict´ıcias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 10.2 Análise de covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 10.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 11 Sele¸ c˜ ao de Vari´ aveis Regressoras 11.1 Introdu¸cão

259

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

11.2 Todas as regressões poss´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 11.3 Método “passo atrás” (backward) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 11.4 Método “passo a frente”(forward) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.5 Método “passo a passo” (stepwise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 11.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12 An´ alise de Res´ıduos e Regress˜ ao Ponderada

275

12.1 Res´ıduos do ajuste de MRLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 12.2 Estat´ısticas de diagn´osticos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

12.3 Gráficos de res´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 12.4 Regressão ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 12.5 Análise de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Apˆ endices

303

A Estimadores de M´ axima Verossimilhan¸ca

305

´ B Algebra Linear

307

´ SUMARIO

C Distribui¸c˜ ao Normal

317

D Conjunto de Dados de Meninas Dan¸ carinas

325

E Tabelas

331

E.1 Tabela de Distribui¸cão Normal(0 ; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 E.2 Tabela de Distribui¸cão t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 E.3 Tabela de Distribui¸cão Qui-quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 E.4 Tabela de Distribui¸cão F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Respostas de Exerc´ıcios Selecionados

345

Referˆ encias Bibliogr´ aficas

349

´Indice Remissivo

351

Sobre os Autores

355

Introdu¸ c˜ ao Nas u ´ltimas décadas tem crescido consideravelmente o interesse pela Estat´ıstica ´ inegável a importância da metodologia nas mais diversas áreas de conhecimento. E estat´ıstica como ferramenta imprescind´ıvel à análise e confirma¸cão de hipóteses. No entanto, se por um lado percebemos esse crescente interesse pelos métodos estat´ısticos, o mesmo não ocorre com a produ¸cão de livros-texto, que nesta área tem sido bastante modesta. A falta de material didático voltado para as aplica¸cões de metodologias dificulta a aprendizagem daqueles interessados na sua utiliza¸cão. Este fato foi a grande motiva¸cão para a produ¸cão deste texto, que tem por objetivo apresentar a parte da Estat´ıstica que trata de modelos de regressão, resultando em um material que facilite a aprendizagem e principalmente as aplica¸cões dos modelos de regressão. O p´ ublico a que se destina esta obra é bastante diversificado. Os tópicos são aqui abordados de forma que o leitor com alguma familiaridade com estima¸cão e testes de hipóteses − geralmente abordados em cursos introdutórios de Estat´ıstica − está suficientemente preparado para entender os conceitos e aplica¸cões aqui desenvolvidas, sem maiores dificuldades. A inten¸cão é de que este livro possa ser utilizado como texto básico para disciplinas de regressão, tanto para alunos de gradua¸cão em estat´ıstica como para alunos de diferentes áreas para os quais usualmente são oferecidas. Os cap´ıtulos estão organizados de forma que seja poss´ıvel abordá-los em uma disciplina de 60 horas. O modelo de regressão linear simples e o método de quadrados m´ınimos são definidos, respectivamente, nos Cap´ıtulos 1 e 2 e a estima¸cão de parâmetros dos modelos é discutida no Cap´ıtulo 3. Nestes cap´ıtulos são também destacados alguns tópicos bastante importantes como a discussão sobre pontos influentes − no 1

˜ INTRODUC ¸ AO

Cap´ıtulo 2 − assunto este retomado nos Cap´ıtulos 6 e 12, quando são discutidas algumas estat´ısticas utilizadas no diagnóstico desses pontos influentes bem como a forma de sua utiliza¸cão. Ainda no Cap´ıtulo 3, a questão da escolha entre o modelo simples e o modelo de regressão linear simples é cuidadosamente discutida, visando a compreensão do leitor para a importância da aplica¸cão dos métodos de regressão. No Cap´ıtulo 4 revisitamos o modelo Normal Bivariado e sua estima¸cão e no Cap´ıtulo 5 trabalhamos com adequa¸cão dos modelos de regressão linear simples. Destacamos no Cap´ıtulo 6 a importância da análise dos res´ıduos na verifica¸cão das suposi¸cões dos modelos, apresentando propriedades e análises gráficas desses res´ıduos. Esta discussão é retomada no Cap´ıtulo 12, considerando os modelos de regressão m´ ultipla. No Cap´ıtulo 7 analisamos o problema do ajuste de modelos para dados que constituem grupos distintos de observa¸cões, estudo que prepara para a utiliza¸cão de modelos de regressão linear m´ ultipla. Os Cap´ıtulos 9 a 13 tratam dos modelos de regressão m´ ultipla. No Cap´ıtulo 8 esses modelos são introduzidos também na forma matricial e no Cap´ıtulo 9 são discutidas correla¸cões m´ ultiplas e parciais. As chamadas variáveis fict´ıcias são abordadas no Cap´ıtulo 10 e as questões relacionadas com a sele¸cão de variáveis regressoras são tratadas no Cap´ıtulo 11, onde apresentamos os métodos usuais utilizados para esse fim. Finalmente, no Cap´ıtulo 12 discutimos a regressão ponderada. Em todos os cap´ıtulos a ênfase é dada às aplica¸cões. Esta ênfase em parte resulta da experiência didática dos autores ao longo de vários anos ministrando cursos seja para alunos do curso de gradua¸cão em Estat´ıstica seja para alunos de outras áreas. Sempre que poss´ıvel, um conjunto de dados reais é analisado para ilustrar conceitos e a metodologia discutida. Além disso, no final de cada cap´ıtulo são propostos exerc´ıcios envolvendo os tópicos apresentados que servem de est´ımulo ao aluno para a aplica¸cão e fixa¸cão de todo o material exposto. Os Apêndices inclu´ıdos no final do livro completam o material necessário para a compreensão de alguns tópicos. No Apêndice A, por exemplo, os estimadores de máxima verossimilhan¸ca são revistos e o Apêndice B apresenta uma revisão de álgebra linear, necessária para o tratamento dos modelos na forma matricial. A distribui¸cão normal e suas propriedades são revistas no Apêndice C. Um dos conjuntos de dados extensivamente trabalhado em vários cap´ıtulos está descrito no Apêndice D. Finalmente o Apêndice E contém as tabelas das distribui¸cões utilizadas ao longo do texto.

˜ INTRODUC ¸ AO

Com este trabalho esperamos contribuir para o aprendizado de todos aqueles que, no decorrer de suas carreiras, necessitam utilizar os métodos de análise de regressão para o estudo de fenômenos ligados à sua área de conhecimento. O texto produzido foi enriquecido devido à inclusão de alguns conjuntos de dados reais. Trata-se de simplifica¸cões de conjuntos oriundos de pesquisas em áreas diversas. Agradecemos à Profa. Dra. Maria da Consola¸cão Tavares, FEF−Unicamp, pelo “conjunto de dados de dan¸carinas”, que utilizamos em vários cap´ıtulos. Este conjunto é parte da pesquisa “Determina¸cão da varia¸cão de rota¸cão externa dos quadris e da angula¸cão dos pés em crian¸cas dan¸carinas”, a ser publicada. Agradecemos à pesquisadora da Embrapa, Aline de Holanda Maia, por informa¸cões sobre várias pesquisas. O “conjunto de dados de girassois” é parte integrante da pesquisa “Estimativa de perda, comportamento e efeito no meio ambiente da aplica¸cão aérea de herbicidas em arroz irrigado”, projeto de n´ umero 11.0.94.224 da Embrapa Meio Ambiente, do pesquisador Aldemir Chaim. Agradecemos à Profa. Suely Ruiz Giolo, DE−UFPR, pelo “conjunto de dados de tomografia”, parte do Relatório de Análise Estat´ıstica de n´ umero 49/97, do Laboratório de Estat´ıstica−UFPR. Agradecemos ao Prof. Dr. Jonathan Biele, DE−UFPR, pela contribui¸cão na elabora¸cão deste livro-texto, com muitas sugestões sobre a teoria e desenvolvimento de programa¸cão em S-Plus para a constru¸cão de várias ilustra¸cões gráficas e elabora¸cão de tabelas de distribui¸cões de probabilidades. Finalmente, agradecemos a José Em´ılio Maiorino do IMECC pelas sugestões e dedicado trabalho na elabora¸cão da parte gráfica deste livro.

Cap´ıtulo 1 O Modelo de Regress˜ ao Linear Simples Este cap´ıtulo enfoca um modelo estat´ıstico que descreve a rela¸cão mais simples entre duas variáveis − uma linha reta. Trata-se do modelo estat´ıstico de regressão linear simples. Se¸c˜ ao 1.1 Conduzimos, inicialmente, uma breve revisão em probabilidade e inferência estat´ıstica, sob o modelo normal. Se¸c˜ ao 1.2 Abordamos a transi¸cão do estudo de uma variável aleatória, usando apenas o seu próprio modelo de probabilidade para a análise, com o apoio de uma outra variável denominada auxiliar. Quais as vantagens? Se¸c˜ ao 1.3 Apresentamos, formalmente, o modelo estat´ıstico de regressão linear simples. Uma simula¸cão é desenvolvida para deixar bem claras as suposi¸cões do modelo. Se¸c˜ ao 1.4 Expressamos o modelo de regressão linear simples amostral com nota¸cão matricial. Se¸c˜ ao 1.5 Analisamos um conjunto de dados de medidas de ângulos de rota¸cão dos pés de meninas dan¸carinas. Se¸c˜ ao 1.6 Apresentamos exerc´ıcios sobre os tópicos abordados.

1.1

Ë&#x153; LINEAR SIMPLES CAPÂ´ITULO 1. O MODELO DE REGRESSAO

IntroduÂ¸ cË&#x153; ao

Iniciamos com o estudo de uma variÂável aleatÂória normal. Aproveitamos para revisar alguns aspectos da distribuiÂ¸cË&#x153;ao de probabilidade normal que serÂá muito utilizada. Faremos em seguida a transiÂ¸cË&#x153;ao para um estudo com o apoio de uma outra variÂável denominada auxiliar. Seja Y uma variÂável aleatÂória de interesse. Podemos usar a esperanÂ¸ca de Y, Âľ, e a variË&#x2020;ancia de Y, Ď&#x192;y2, para descrever de maneira resumida a sua natureza. A esperanÂ¸ca Âé uma medida de tendË&#x2020;encia central e a variË&#x2020;ancia Âé uma medida da dispersË&#x153;ao em torno da esperanÂ¸ca. Podemos expressar a variÂável Y como uma soma: Âľ + , onde Âé uma variÂável aleatÂória com esperanÂ¸ca igual a zero e variË&#x2020;ancia igual à variË&#x2020;ancia de Y, Ď&#x192;y2. Assim, representa os inÂ´ umeros fatores que, conjuntamente, fazem as observaÂ¸cË&#x153;oes de Y oscilarem em torno de Âľ. Este modo de expressË&#x153;ao de Y serÂá chamado de modelo simples.

Modelo simples Y=Âľ + Âľ:

constante

E[ ] = 0 Var[ ] = Ď&#x192;y2

No caso particular de Y ter distribuiÂ¸cË&#x153;ao normal, a esperanÂ¸ca e a variË&#x2020;ancia sË&#x153;ao os u Âńicos parË&#x2020;ametros necessÂários para a definiÂ¸cË&#x153;ao completa do modelo de probabilidade. Usaremos a notaÂ¸cË&#x153;ao N(Âľ ; Ď&#x192;y2) para a distribuiÂ¸cË&#x153;ao normal, com esperanÂ¸ca igual a Âľ e variË&#x2020;ancia igual a Ď&#x192;y2 . Neste caso temos o modelo simples com a suposiÂ¸cË&#x153;ao de distribuiÂ¸cË&#x153;ao normal para a variÂável aleatÂória , destacado a seguir.

Ë&#x153; 1.1. INTRODUC Â¸ AO

Modelo simples normal Y=Âľ + Âľ:

constante

â&#x2C6;ź N(0 ; Ď&#x192;y2)

Uma propriedade do modelo normal Â´e que, se expressamos um evento em funÂ¸cË&#x153;ao da esperanÂ¸ca e da variË&#x2020;ancia, a probabilidade deste evento independe dos valores especÂ´Äąficos da esperanÂ¸ca e da variË&#x2020;ancia. Por exemplo: Prob {Âľ â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x192;y < Y < Âľ + Ď&#x192;y } = 0, 68 e Prob {Âľ â&#x2C6;&#x2019; 2Ď&#x192;y < Y < Âľ + 2Ď&#x192;y } = 0, 95. Dada uma amostra aleatÂ´oria de observaÂ¸cË&#x153;oes de Y, y1, ..., yn , estimadores nË&#x153;ao viciados de Âľ e Ď&#x192;y2, ou seja, as esperanÂ¸cas desses estimadores sË&#x153;ao iguais aos parË&#x2020;ametros a serem estimados, sË&#x153;ao definidos, respectivamente, por n 1X yi n i=1

y = e S2 =

n 1 X (yi â&#x2C6;&#x2019; y)2 . n â&#x2C6;&#x2019; 1 i=1

(1.1)

(1.2)

Se essa amostra aleatÂ´oria Â´e de modelo N(Âľ ; Ď&#x192;y2 ), temos Ď&#x192;y2 y â&#x2C6;ź N Âľ; n

nâ&#x2C6;&#x2019;1 2 S â&#x2C6;ź Ď&#x2021;2(nâ&#x2C6;&#x2019;1), 2 Ď&#x192;y

sendo que Ď&#x2021;2(nâ&#x2C6;&#x2019;1) representa a distribuiÂ¸cË&#x153;ao Qui-Quadrado com (n â&#x2C6;&#x2019; 1) graus de liberdade e, com base nessas distribuiÂ¸cË&#x153;oes, obtemos intervalos de confianÂ¸ca para Âľ e Ď&#x192;y2, respectivamente, h

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; i y â&#x2C6;&#x2019; t( Îą2 ,nâ&#x2C6;&#x2019;1) S/ n ; y + t( Îą2 ,nâ&#x2C6;&#x2019;1) S/ n

(1.3)

˜ LINEAR SIMPLES CAP´ITULO 1. O MODELO DE REGRESSAO 



(n − 1)S 2 (n − 1)S 2   ; , χ2(α ,n−1) χ2(1− α ,n−1) 2

(1.4)

onde t(α,n−1) é o quantil (1 − α) de distribui¸cão t de Student com n graus de liberdade (α < 0, 5) e χ2(α,n−1) é o quantil (1 − α) de distribui¸cão χ2 com n graus de liberdade. Exemplo 1.1 O peso de meninas de 7 a 11 anos de uma certa comunidade é a variável aleatória de interesse. Suponha que esta variável seja normal com média 35 kg e variância 100 kg2. Assim, num sorteio, onde cada menina tenha a mesma chance de ser escolhida, com probabilidade 0,68, observamos um peso na faixa [25 ; 45]. Por outro ângulo, podemos dizer que aproximadamente 68% das meninas têm pesos neste intervalo. A Figura 1.1 ilustra este modelo de probabilidade.

Figura 1.1: Peso de meninas − a probalilidade de uma menina pesar de 25 kg a 45 kg.

´ 1.2. UMA VARIAVEL AUXILIAR

1.2

Uma vari´ avel auxiliar

Consideremos, agora, a existência de uma outra variável, X, com alguma rela¸cão com a variável Y, o que sugere uma maneira alternativa de estudar Y, tendo como base informa¸cões sobre X. Agora, as quantidades que descrevem Y são esperanças e variâncias condicionadas a valores espec´ıficos de X, denotadas por E[Y|x] e Var[Y|x], onde “x”é um valor particular de X. Dada uma forte associa¸cão entre X e Y, talvez os valores de E[Y|x] sigam um padrão e os valores de Var[Y|x] sejam menores do que Var[Y]. Se isso ocorre, a variável X é denominada variável auxiliar. A Figura 1.2 apresenta amostras de pares de valores de variáveis X e Y, para três configura¸cões. Na situa¸cão a não há rela¸cão entre as variáveis. Nas situa¸cões b e c nota-se rela¸cão entre as variáveis, sendo mais acentuada em c. Observe que nas situa¸cões b e c podemos destacar pequenos intervalos disjuntos no eixo de X, tal que os correspondentes valores de Y sejam observados em intervalos também disjuntos, em menor dispersão.

Figura 1.2: Amostras de (X,Y) (a) Y n˜ao relacionado a X, (b) e (c) Y relacionado a X.

˜ LINEAR SIMPLES CAPÍTULO 1. O MODELO DE REGRESSAO Exemplo 1.2 No Exemplo 1.1 supomos que o peso de meninas, de 7 a 11 anos, de uma certa comunidade é normal com esperan¸ca 35 kg e variância 100 kg2 . Vamos usar o fato de que a altura é altamente relacionada ao peso. Assim, o peso de meninas de determinada altura está mais concentrado em uma faixa espec´ıfica. Vamos supor que o peso, vinculado à altura, seja normal com esperan¸ca dependendo do valor da altura e com variância 36 kg2. Por exemplo, esperan¸cas 30 kg, 36 kg e 40 kg, correspondentes às alturas 1,35 m, 1,40 m e 1,50 m. Temos os seguintes resultados: Altura (m) 1,35 1,40 1,50

faixa de pesos (kg) com probabilidade 0,68 [24 ; 36] [30 ; 42] [34 ; 46]

faixa de pesos (kg) com probabilidade 0,95 [18 ; 42] [24 ; 48] [28 ; 52]

Comparando os intervalos de probabilidade 0,68 com os valores apresentados no Exemplo 1.1, vemos que agora h´a mais precis˜ao: intervalos espec´ıficos e mais concentrados. A Figura 1.3 ilustra estes modelos de probabilidade.

Figura 1.3: Distribui¸cão do peso de meninas − a densidade mais dispersa é a densidade de pesos em geral; a densidade mais concentrada é a densidade de pesos de meninas com 1,35 m de altura.