Álgebras de Lie by Editora da Unicamp

Á LG E B R A S D E L I E

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Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Coordenador Geral da Universidade Edgar Salvadori de Decca

Conselho Editorial Presidente Paulo Franchetti Alcir Pécora – Arley Ramos Moreno Eduardo Delgado Assad – José A. R. Gontijo José Roberto Zan – Marcelo Knobel Sedi Hirano – Yaro Burian Junior

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Luiz A. B. San Martin

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ficha catalográfica elaborada pelo sistema de bibliotecas da unicamp diretoria de tratamento da informação Sa58a

San Martin, Luiz Antonio Barrera. Álgebras de Lie / Luiz A. B. San Martin – 2a ed. – Campinas, sp: Editora da Unicamp, 2010. 1. Lie, Álgebra de. 2. Álgebra. 3. Matemática. I. Título. cdd 512.55 512 510

e-isbn 978-85-268-1402-8 Índices para catálogo sistemático:

1. Lie, Álgebra de 2. Álgebra 3. Matemática

512.55 512 510

1a edição, 1999

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Para

Nita, Chica e ZeĚ nesto com carinho

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Sumário Prefácio

Prefácio da segunda edição

1 Conceitos básicos 1.1 Definição e exemplos . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Generalidades algébricas . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Quocientes e teoremas de isomorfismo . 1.2.4 Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Extensão do corpo de escalares . . . . 1.3 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Representação adjunta . . . . . . . . . 1.3.2 Construções com representações . . . . 1.3.3 Decomposições de representações . . . 1.3.4 Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . 1.4 Derivações e produtos semidiretos . . . . . . . 1.4.1 Derivações . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Produtos semidiretos . . . . . . . . . . 1.5 Séries de composição . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Série derivada . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Série central descendente . . . . . . . . 1.6 Álgebras solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Álgebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Radicais solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Álgebras simples e álgebras semi-simples . . . 1.10 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Álgebras nilpotentes e solúveis 2.1 Álgebras nilpotentes . . . . . . . . 2.1.1 Representações nilpotentes . 2.1.2 Decomposições de Jordan de 2.2 Álgebras solúveis . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . representações . . . . . . . . .

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17 17 21 21 23 24 25 25 26 28 30 34 37 38 38 40 41 41 44 45 47 49 50 53

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59 59 59 64 70

2.3 2.4

Radicais nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Critérios de Cartan 3.1 Derivações e suas decomposições de Jordan 3.2 Critérios de Cartan . . . . . . . . . . . . . 3.3 Aplicações às álgebras semi-simples . . . . 3.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 75

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79 79 83 88 97

. . . .

101 101 112 115 120

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123 123 128 128 130 132 134 137 137 138 139 141

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147 147 150 157 161 167 167 173 176

7 Diagramas de Dynkin 7.1 Classificação dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Realizações dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179 179 190 192

4 Subálgebras de Cartan 4.1 Subálgebras de Cartan . . . . . 4.2 A abordagem algébrica . . . . . 4.3 Apêndice: Teorema da aplicação 4.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . aberta . . . .

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5 Cohomologia 5.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Interpretações de H1 e H2 . . . . . . . . . 5.2.1 Existência de complementares e H1 5.2.2 Extensões abelianas e H2 . . . . . . 5.2.3 Representações afins . . . . . . . . 5.3 Lemas de Whitehead . . . . . . . . . . . . 5.4 Teoremas de Weyl e Levi . . . . . . . . . . 5.4.1 Teorema de decomposição de Weyl 5.4.2 Teorema de decomposição de Levi . 5.5 Álgebras redutı́veis . . . . . . . . . . . . . 5.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Álgebras semi-simples 6.1 Representações de sl(2) . . . . . . . . . . . 6.2 Subálgebras de Cartan . . . . . . . . . . . 6.3 A fórmula de Killing . . . . . . . . . . . . 6.4 Sistemas simples de raı́zes . . . . . . . . . 6.5 Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin 6.5.1 Matrizes de Cartan . . . . . . . . . 6.5.2 Diagramas de Dynkin . . . . . . . . 6.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 Álgebras semi-simples. Complementos 8.1 Álgebras isomorfas . . . . . . . . . . . 8.2 Álgebras clássicas . . . . . . . . . . . . 8.3 Subálgebras semi-simples . . . . . . . . 8.4 Álgebras excepcionais . . . . . . . . . . 8.4.1 Construção de G2 . . . . . . . . 8.4.2 E6 , E7 e E8 . . . . . . . . . . . 8.4.3 F4 . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . .

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193 193 202 211 213 213 222 228 231

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235 235 244 249 257 261 263 266

10 Álgebras envelopantes 10.1 Álgebras universais envelopantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Teorema de Ado e complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271 271 279 287

11 Representações de álgebras semi-simples 11.1 Representações irredutı́veis . . . . . . . . 11.2 Representações fundamentais . . . . . . 11.3 Álgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . 11.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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289 289 304 311 322

9 Grupos de Weyl 9.1 Sistemas de raı́zes . . . . . . . . . 9.2 Câmaras de Weyl . . . . . . . . . 9.3 Decomposições minimais . . . . . 9.4 Os grupos de Weyl . . . . . . . . 9.4.1 Diagramas excepcionais . 9.4.2 Involução principal de E6 9.5 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . .

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12 Álgebras semi-simples reais 12.1 Formas reais e álgebras simples . . . . . . 12.2 Formas reais compactas . . . . . . . . . . 12.3 Decomposições de Cartan . . . . . . . . . 12.4 Abelianos maximais e formas reais normais 12.5 Álgebras clássicas . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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325 325 334 343 347 351 356

13 Sistemas de raı́zes com involuções 13.1 Sistemas restritos . . . . . . . . . 13.2 Diagramas de Satake . . . . . . . 13.2.1 Diagramas Normais . . . . 13.3 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . .

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359 359 368 372 386

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14 Álgebras semi-simples reais. 14.1 Automorfismos . . . . . . 14.2 Sistemas de raı́zes . . . . . 14.3 Diagramas de Satake . . . 14.4 Exercı́cios . . . . . . . . .

Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 Representações de álgebras reais 15.1 Tipos de representações . . . . . . . . . 15.2 Representações conjugadas . . . . . . . . 15.3 Índice de representações autoconjugadas 15.4 Álgebras semi-simples . . . . . . . . . . 15.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . A Álgebra Linear A.1 Quocientes . . . . . . . . . . . . A.2 Decomposição primária e formas A.3 Formas bilineares . . . . . . . . A.4 Espaços reais e complexos . . . A.4.1 Formas de Jordan reais . A.4.2 Realificações . . . . . . . A.5 Álgebra tensorial . . . . . . . .

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. . . . . . de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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387 387 393 399 409

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411 411 415 420 422 429 431

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433 433 434 435 438 438 440 441

Referências bibliográficas

447

Índice

451

Prefácio O objetivo deste livro é oferecer um texto introdutório às álgebras de Lie. O material apresentado fornece ao leitor os princı́pios fundamentais das álgebras de Lie de dimensão finita, desde as primeiras noções até resultados profundos que envolvem a classificação e as representações das álgebras semi-simples. As álgebras de Lie formam o aparato básico do que é conhecido genericamente por teoria de Lie. Essa teoria teve suas origens por volta de 1870 a partir da idéia, aparentemente singela, de abordar as equações diferenciais sob o mesmo ponto de vista que o adotado por Galois para equações algébricas. O programa, lançado por Sophus Lie e Felix Klein, consistia em estudar as equações diferenciais via seus grupos de simetrias. Esse programa colocou em evidência os grupos contı́nuos de transformações para os quais foi criada, ao longo dos anos, uma extensa teoria com ramificações nas mais diversas áreas da matemática e de suas aplicações. A alavanca básica na criação desse vasto corpo do conhecimento matemático foi a descoberta, feita por S. Lie, dos grupos infinitesimais ou – como se diz hoje em dia – das álgebras de Lie. Os resultados pioneiros da teoria, que foram posteriormente denominados de teoremas de Lie, estabelecem a relação entre os grupos de transformações – denominados atualmente grupos de Lie – e as álgebras de Lie, através da aplicação exponencial. Esses teoremas mostraram desde cedo uma das caracterı́sticas da teoria de Lie que é a de contrapor os conceitos complementares de grupos e álgebras de Lie. Os grupos de Lie têm uma natureza geométrica enquanto que as álgebras de Lie são objetos algébricos por excelência. Este livro considera apenas as álgebras de Lie. Virtualmente o único pré-requisito necessário para sua leitura é a álgebra linear, tanto no que diz respeito à linguagem quanto aos resultados preliminares. Boa parte dos argumentos se reduzem, em última instância, a uma aplicação do teorema das formas canônicas de Jordan. Aliás, os conceitos e resultados da teoria das álgebras de Lie de dimensão finita estendem os da álgebra linear, formando uma continuação natural da mesma. Com o objetivo de situar o leitor foi incluı́do, ao final do livro, um apêndice sobre álgebra linear, onde são comentados os principais resultados e a terminologia utilizada ao longo do texto. Os diferentes capı́tulos contêm uma introdução que descreve o seu conteúdo. É conveniente, no entanto, fazer aqui um comentário sobre os mesmos. No capı́tulo 1 são introduzidos os conceitos, a terminologia a ser usada ao longo de todo o texto. Sua leitura é imprescindı́vel àqueles que se deparam com as álgebras de Lie pela primeira vez. Este capı́tulo é recheado de exemplos: quase nenhum conceito é apresentado sem ser acompanhado dos exemplos que melhor o representem. O capı́tulo 2 apresenta dois 11

Prefácio

resultados que remontam os primórdios da teoria das álgebras de Lie. Eles descrevem, por alto, as álgebras nilpotentes e as álgebras solúveis como sendo – em essência – álgebras de matrizes triangulares superiores. Esses são os teoremas de Engel e de Lie, que aparecem de forma recorrente nos desenvolvimentos posteriores. Já o capı́tulo 3 é dedicado aos critérios de Cartan. Esses critérios servem para decidir se uma álgebra de Lie é solúvel ou semi-simples, em termos de uma forma bilinear na álgebra – a forma de Cartan-Killing. Eles desempenharam um papel fundamental tanto nos trabalhos de Elie Cartan de classificação das álgebras simples quanto nos trabalhos posteriores de formalização da teoria. O conceito de subálgebra de Cartan é onipresente na teoria das álgebras semi-simples. Esse conceito é introduzido no capı́tulo 4, cujo resultado principal é o teorema que garante que duas subálgebras de Cartan arbitrárias são conjugadas entre si por um automorfismo da álgebra. Esse resultado é demonstrado de duas formas diferentes: uma delas, de natureza mais concreta, restrita a álgebras sobre o corpo dos reais (ou complexos) e outra para corpos arbitrários. Nessas demonstrações aparecem um dos poucos casos, ao longo de todo o texto, em que é necessário lançar mão de recursos que extrapolam o contexto da álgebra linear. A demonstração, no caso das álgebras reais, se utiliza do teorema das funções implı́citas; já o caso geral requer resultados de geometria algébrica que generalizam, para funções polinomiais, o teorema da função implı́cita. O capı́tulo 5 contém uma introdução à cohomologia das álgebras de Lie. O termo introdução aqui deve ser tomado ao pé da letra, já que logo após as definições o objetivo é dirigido à demonstração de dois teoremas que fazem parte do folclore da teoria. São eles o teorema de Weyl sobre as representações das álgebras semi-simples e o teorema de Levi que decompõe uma álgebra de Lie arbitrária como soma direta de uma álgebra semi-simples e uma álgebra solúvel. Esses teoremas são demonstrados a partir dos lemas de Whitehead sobre cohomologias de álgebras semi-simples. Com os cinco primeiros capı́tulos se conclui o trabalho árduo de fundamentação da teoria das álgebras de Lie. A partir daı́, com o domı́nio da linguagem, o leitor pode apreciar os seus valores estéticos. Os capı́tulos 6 e 7 apresentam o cerne de uma das mais belas teorias em voga nos dias de hoje: a teoria de Killing e Cartan de classificação das álgebras simples. Essa teoria tira o leitor, entre surpreso e atônito, de uma postura abstrata e geral e o transporta a um mundo habitado por seres especiais como os ângulos de 120◦ , 135◦ e 150◦ ou os números inteiros ±1, ±2 e ±3. Esses capı́tulos são complementados pelo capı́tulo 8, onde, por um lado, se concluem alguns aspectos formais da classificação e, por outro, são apresentadas as álgebras simples de forma concreta. Essas se constituem das álgebras clássicas, que são realizadas como álgebras de matrizes, e das álgebras excepcionais. O capı́tulo 9 é, em princı́pio, independente das álgebras de Lie. São estudados aı́ certos grupos de transformações lineares gerados por reflexões, os grupos de Weyl. No entanto, esses grupos proporcionam uma visão panorâmica dos sistemas de raı́zes, em cima dos quais é feita a classificação das álgebras simples. Além do mais, os grupos de Weyl aparecem como uma ferramenta importante nos desenvolvimentos posteriores. Os nove primeiros capı́tulos formam o corpo central da teoria das álgebras de Lie de dimensão finita. A partir daı́ existem bifurcações e o leitor pode escolher o cami-

Prefácio

nho de acordo com seus interesses. Uma possibilidade é a teoria de representação das álgebras semi-simples. Uma introdução a essa teoria é feita no capı́tulo 11 onde são apresentados os teoremas sobre as representações com pesos máximos e são caracterizadas as representações irredutı́veis de dimensão finita das álgebras semi-simples sobre corpos algebricamente fechados. Essas representações são dadas por conjuntos finitos de inteiros não-negativos e dentre elas são selecionadas algumas – ditas fundamentais – a partir das quais se obtêm as demais representações via o produto tensorial. As representações fundamentais das álgebras clássicas são apresentadas com detalhes. Isso exigiu que se fizesse uma discussão sobre as álgebras de Clifford, uma vez que algumas das representações das álgebras das matrizes anti-simétricas são spinoriais. A teoria de representação de álgebras semi-simples é imensa, sendo ainda hoje em dia um objeto de pesquisa. Nesse sentido, o conteúdo do capı́tulo 11 é apenas introdutório e não discute assuntos relevantes como, por exemplo, os caráteres das representações de dimensão finita. A leitura do capı́tulo 11 requer o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt sobre álgebras universais envelopantes, que é o objetivo principal do capı́tulo 10. Nesse capı́tulo foi incluı́do ainda o teorema de Ado sobre representações de dimensão finita de álgebras de Lie. Numa outra vertente, os capı́tulos 12 a 15 são dedicados às álgebras semi-simples reais. O capı́tulo 12 contém as construções básicas tais como a das formas reais compactas e a decomposição de Cartan de uma álgebra real não-compacta. O material deste capı́tulo é suficiente para a leitura de boa parte dos textos que envolvem álgebras semi-simples reais como, por exemplo, a literatura sobre espaços simétricos ou a estrutura dos grupos de Lie semi-simples não-compactos. Independente disso, o capı́tulo 12 abre caminho para a classificação das álgebras simples reais que é feita nos dois capı́tulos subseqüentes. A abordagem adotada aqui para essa classificação, que não é a mais comum na literatura do gênero, consiste em determinar os diagramas de Satake, o que é feito no capı́tulo 13, com a classificação propriamente dita sendo feita no capı́tulo 14. Por fim, o capı́tulo 15 é dedicado à representação das álgebras semisimples reais não-compactas. O que se faz aı́ não é uma classificação detalhada dessas representações, mas apenas uma indicação de como essas representações são extraı́das das representações das álgebras complexas correspondentes. Os capı́tulos todos são acompanhados de listas de exercı́cios. A maioria deles são resolvidos por uma aplicação direta dos resultados do texto e têm o propósito, como em qualquer lista de exercı́cios, de auxiliar o leitor a desenvolver uma intuição sobre o assunto. Alguns dos exercı́cios, porém, contêm resultados relevantes e interessantes, que por uma razão ou outra não encontraram espaço no texto, mas foram incluı́dos como exercı́cios para efeito de informação ao leitor. Muitos desses exercı́cios têm uma demonstração envolvente e por isso eles aparecem com sugestões detalhadas ou com uma referência à literatura. Ao final de muitos capı́tulos foi incluı́da uma seção intitulada “Notas”, que contém comentários adicionais sobre a teoria, principalmente de caráter histórico e bibliográfico. Essas notas não têm pretensão à erudição e servem apenas para dar algumas indicações dos caminhos (e descaminhos) percorridos no desenvolvimento da teoria. O fato é que a história da teoria de Lie é amplamente documentada, com diversos

Prefácio

textos acessı́veis (veja, por exemplo, Borel [5], Cartan [6], Fritzsche [17], Hawkins [19] e Wussing [52]); torna-se irresistı́vel reproduzir algumas de suas passagens. As referências bibliográficas procuram fornecer um amplo espectro de textos e artigos de pesquisa sobre a teoria de Lie, não se restringindo às álgebras de Lie especificamente. Ao percorrê-la o leitor encontrará referências aos grupos de Lie, aos grupos algébricos, à teoria de representação (de dimensão finita ou infinita), à teoria de semigrupos de Lie e a aplicações da teoria de Lie. Este livro foi escrito ao longo dos últimos quatro ou cinco anos. Durante esse perı́odo tive a oportunidade de utilizar parte do material em cursos de pós-graduação no Instituto de Matemática (Imecc) da Unicamp, para estudantes de mestrado e doutorado. Nesses cursos (semestrais) adotava como conteúdo mı́nimo os capı́tulos de 1 a 7 e parte dos capı́tulos 8 (incluindo as álgebras clássicas) e 9; dependendo das circunstâncias, apresentava uma exposição mais detalhada do capı́tulo 9 ou o capı́tulo 11 (incluindo os pré-requisitos da seção 10.1) ou ainda o capı́tulo 12 sobre álgebras semisimples reais. Espero que esta experiência sirva como sugestão àqueles que pretendam utilizar este texto em algum projeto didático envolvendo a teoria de Lie. Por fim, gostaria de expressar meus agradecimentos às diversas pessoas que, de alguma forma, participaram da confecção deste livro, apresentando sugestões, apontando diversas falhas nas versões preliminares e manifestando o seu apoio. Em particular, sou grato a todos estudantes que participaram dos cursos de álgebras de Lie no Imecc. Agradeço em especial à colaboração de meus amigos e colegas Carlos Braga Barros, José Adonai Seixas, Marco Antonio Fernandes, Marcelo Firer, Osvaldo do Rocio, Paulo Ruffino e Pedro Catuogno. Barão Geraldo, fevereiro, 1999 Luiz A. B. San Martin

Prefácio da 2a edição Para esta edição o texto original foi revisado e algumas (poucas) modificações foram feitas. As mais significativas estão nos capı́tulos 4 (subálgebras de Cartan) e 5 (cohomologia). A abordagem algébrica da seção 4.2 se iniciava com a demonstração do teorema da aplicação aberta da geometria algébrica (e fatos relacionados). Essa demonstração foi colocada na nova seção 4.3, como um apêndice ao capı́tulo 4. Agora a seção 4.2 inclui apenas a demonstração geral da conjugação das sugálgebras de Cartan, usando livremente o teorema da aplicação aberta. Já no capı́tulo 5 a subseção 5.2.3, sobre representações afins, foi reescrita e ampliada. O texto original estava impreciso e incompleto. Afora isso foram feitas modificações localizadas, tais como a inclusão de uma ou outra proposição ou corolário para melhor explicitar afirmações que poderiam passar desapercebidas. Isso sem contar, é claro, os inevitáveis erros de impressão ou digitação. Foram incluı́dos também novos exercı́cios ao final dos capı́tulos. Agradeço a todos da comunidade de professores e estudantes que manifestaram o apreço pela primeira edição, alguns de forma calorosa. Agradeço também aos alunos e professores que usaram o livro ao longo desses dez anos e apontaram defeitos e apresentaram sugestões. Barão Geraldo, setembro de 2009 Luiz A. B. San Martin

Capı́tulo 1 Conceitos básicos Este é um capı́tulo introdutório, formado em sua maior parte pelas definições dos conceitos que formam a linguagem básica da teoria das álgebras de Lie. Esses conceitos são fartamente ilustrados por exemplos que devem servir de guia na leitura dos capı́tulos subseqüentes. Os resultados (proposições, teoremas etc.) incluı́dos aqui não têm um caráter profundo e servem, em sua maioria, para dar continuidade à exposição e articular entre si os diferentes conceitos.

1.1

Definição e exemplos

Uma maneira natural de iniciar um texto sobre álgebras de Lie é, sem dúvida, com a definição do que vem a ser uma álgebra de Lie. Por isso, Definição 1.1 Uma Álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial g munido de um produto (colchete ou comutador) [ , ] : g × g −→ g com as seguintes propriedades: 1. é bilinear, 2. anti-simétrico, isto é, [X, X] = 0 para todo X ∈ g (o que implica [X, Y ] = −[Y, X] para todo X, Y ∈ g e é equivalente se o corpo de escalares não é de caracterı́stica dois) e 3. satisfaz a identidade de Jacobi , isto é, para todo X, Y, Z ∈ g, [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0. Esta igualdade pode ser reescrita alternativamente de uma das duas formas (a) [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X, Z]] 17

Capı́tulo 1. Conceitos básicos (b) [[X, Y ], Z] = [[X, Z], Y ] + [X, [Y, Z]]. Existem razões especiais para escrever a identidade de Jacobi nestas formas; veja a seguir representações adjuntas e derivações de álgebras de Lie.

Em geral, uma álgebra é um espaço vetorial g munido de um produto, isto é, uma aplicação de g × g a valores em g. Qualquer aplicação deste tipo que mereça o nome de produto deve ser bilinear. A anti-simetria e a identidade de Jacobi são caracterı́sticas das álgebras de Lie. Outros tipos de álgebras têm outros tipos de propriedades que a definem. Existem por exemplo as álgebras associativas , para as quais a propriedade adicional é x(yz) = (xy)z. Aqui convém observar que o colchete de Lie não é, em geral, associativo, pois em qualquer circunstância [[X, X], Y ] = 0 e no entanto [X, [X, Y ]] nem sempre se anula. Existe uma grande variedade de exemplos de álgebras de Lie, todos eles interessantes, desde o ponto de vista da teoria em si como das aplica ções desta teoria aos grupos de Lie. Antes de ver alguns destes exemplos, no entanto, é conveniente introduzir a noção, óbvia, de subálgebra de Lie. Definição 1.2 Seja g uma álgebra de Lie. Uma subálgebra de g é um subespaço vetorial h de g que é fechado pelo colchete, isto é, [X, Y ] ∈ h se X, Y ∈ h. Evidentemente, uma subálgebra de Lie é uma álgebra de Lie com a estrutura herdada pela estrutura de g. Exemplos: A maioria dos exemplos que serão apresentados aqui são de subálgebras da álgebra de Lie das transformações lineares. Por isso, o primeiro exemplo deve ser: 1. gl(n, K) : o espaço de todas as transformações lineares de um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo K que é o mesmo que o espaço das matrizes n × n com coeficientes em K. O colchete é dado por [X, Y ] = XY − Y X com X e Y matrizes. Estas álgebras aparecerão adiante com bastante freqüência. Muitas vezes elas serão indicadas por gl(n) apenas, sem especificar o corpo quando este não for relevante. Da mesma forma, a álgebra das transformações lineares de um espaço vetorial V será denotada por gl(V ). Este exemplo se estende para espaços de transformações lineares de espaços vetoriais que não são de dimensão finita, com o colchete dado da mesma forma pelo comutador. Um exemplo mais geral ainda é formado pela seguinte famı́lia de álgebras de Lie. 2. Álgebras de Lie provenientes de álgebras associativas: Seja A uma álgebra associativa e em A defina o colchete pelo comutador [x, y] = xy − yx

x, y ∈ A.

Este colchete define em A uma estrutura de álgebra de Lie.

1.1. Definição e exemplos

3. Álgebras abelianas : [ , ] = 0. Neste caso, a estrutura de álgebra de Lie não acrescenta nada à estrutura de espaço vetorial. Exemplos de álgebras abelianas (a) Se dim g = 1, g é abeliana. (b) Todo subespaço de dimensão 1 de uma álgebra de Lie qualquer é uma subálgebra abeliana. (c) O espaço das matrizes diagonais é uma subálgebra abeliana de gl(n, K). (d) O espaço das matrizes da forma  a1 −b1  b1 a1     

 ..

. ak −bk bk ak

   ,  

como subálgebra de gl(2k, K), é uma álgebra abeliana. Todo subespaço de uma álgebra abeliana é uma subálgebra. 4. Subálgebras de gl(n, K): (a) so (n, K) = {X ∈ gl (n, K) : X + X t = 0} onde X t indica a transposta da matriz X. O espaço das matrizes simétricas {X ∈ gl(n, K : X = X t } não é subálgebra se n ≥ 2, pois se X e Y são simétricas, então [X, Y ] é anti-simétrica. (b) sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) : tr X = 0}. Como no caso de gl(n), muitas vezes se denotará estas álgebras apenas por sl(n). (c) O subespaço das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal   0 ∗   .. {X ∈ gl (n, K) : X =  } . 0 0 é uma subálgebra. (d) O subespaço das matrizes triangulares superiores   a1 ∗   ... {X ∈ gl(n, K) : X =  } 0 an é uma subálgebra.

Capı́tulo 1. Conceitos básicos (e) sp (n, K) = {X ∈ gl(2n, K) : XJ + JX t = 0} onde J é escrito em blocos n × n como µ ¶ 0 −1 J= 1 0 com 0 representando a matriz nula e 1 a matriz identidade n × n. Para ver que este subespaço é de fato uma subálgebra, observe em primeiro lugar que J 2 = −1 e, portanto, X ∈ sp (n, K) se e só se X t = JXJ. Se X, Y ∈ sp (n, K), então [X, Y ]t = = = = =

(XY − Y X)t −X t Y t + Y t X t −JXJ 2 Y J + JY J 2 XJ J(XY − Y X)J J[X, Y ]J,

isto é, [X, Y ] ∈ sp (n, K). (f) so (p, q, K) = {X ∈ gl (n, K) : XJ + JX t = 0} onde µ ¶ −1p×p 0 J= . 0 1q×q Para ver que este subespaço é uma subálgebra, procede-se como no exemplo anterior, utilizando o fato de que J 2 = 1 e, portanto, que X ∈ so (p, q, K) se e só se X t = −JXJ. Os casos p = 0 ou q = 0 se reduzem a so (n). t

(g) u (n) = {X ∈ gl(n, C) : X + X = 0} onde X é a matriz obtida de X por conjugação de suas entradas. Este conjunto não é um subespaço vetorial complexo de gl (n, C) (por exemt t plo, iX + (iX) = iX − iX , que em geral é não-nulo). Mas é subespaço vetorial real de gl(n, C) quando este é considerado como espaço vetorial sobre R. u(n) é álgebra de Lie sobre o corpo dos reais (não é difı́cil verificar que é fechado pelo colchete). Ela é denominada de á lgebra unitária por ser a álgebra de Lie do grupo das matrizes unitárias. (h) su(n) = {X ∈ u(n) : tr X = 0}. 5. Álgebras de dimensão ≤ 2 : (a) dim g = 1. Então, g é abeliana. (b) dim g = 2. Existem duas possibilidades i. g é abeliana ii. Existe uma base {X, Y } de g tal que [X, Y ] = Y