Resistência dos materiais vol 2

RESISTêNCIA dos materiais

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universidade estadual de campinas Reitor José Tadeu Jorge Coordenador Geral da Universidade Alvaro Penteado Crósta

Conselho Editorial Presidente Eduardo Guimarães Esdras Rodrigues Silva – Guita Grin Debert João Luiz de Carvalho Pinto e Silva – Luiz Carlos Dias Luiz Francisco Dias – Marco Aurélio Cremasco Ricardo Luiz Coltro Antunes – Sedi Hirano

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Aloisio Ernesto Assan

RESISTĂŠNCIA dos materiais volume ii

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Grafia atualizada segundo o Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa de 1990. Em vigor no Brasil a partir de 2009.

ficha catalográfica elaborada pelo sistema de bibliotecas da unicamp diretoria de tratamento da informação As72r

Assan, Aloisio Ernesto.

Resistência dos materiais / Aloisio Ernesto Assan. – Campinas, sp: Editora da Unicamp, 2013. vol. 2 1. Resistência dos materiais. 2. Teoria das estruturas. 3. Elasticidade.

4. Plasticidade. I. Título.

cdd 620.112 624.17 531.382 isbn 531.385 978-85-268-1012-9 Índices para catálogo sistemático: 1. Resistência dos materiais 2. Teoria das estruturas 3. Elasticidade 4. Plasticidade

620.112 624.17 531.382 531.385

Copyright © by Aloisio Ernesto Assan Copyright © 2013 by Editora da Unicamp

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` minha esposa e aos meus filhos.

A

O mundo se resume, talvez, em notas musicais e regras matem´ aticas. Tentamos compor um retrato compreensivo do Universo, imagem que nos deixa `a vontade e que nos d´a uma estabilidade que nossa vida externa n˜ao consegue oferecer.

Albert Einstein

Sum´ ario

Pref´ acio

13

1 Notas hist´ oricas 1.1 Introdu¸ca˜o . . . . . .

1.2 M´ usica e matem´atica 1.3 Preˆambulo . . . . . .

1.3.1 Idade M´edia .

1.3.2 Renascen¸ca .

1.4 Per´ıodos da m´ usica .

1.4.1 Barroco . . .

1.5 Per´ıodo cl´assico . . .

1.6 Per´ıodo romˆantico .

1.7 Per´ıodo moderno . .

. . . . . . . . . .

19 19 20 25 25 30 34 34 38 45 71

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 79 82 87 88 88 89 96 102 102 105 131 134 140 144 144 147 149 153 160 161 164 166

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2 Estados de tens˜ ao 2.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Estado uniaxial de tens˜oes . . . . . . . . . . .

2.2.1 Equil´ıbrio de for¸cas . . . . . . . . . . .

2.2.2 Tens˜oes principais . . . . . . . . . . . .

2.2.3 For¸ca normal excˆentrica . . . . . . . .

2.2.4 C´alculo gr´afico . . . . . . . . . . . . .

2.3 Estado bidimensional de tens˜ao . . . . . . . .

2.3.1 Representa¸ca˜o tensorial . . . . . . . . .

2.3.2 Tens˜oes tangenciais extremas . . . . .

2.3.3 C´alculo gr´afico . . . . . . . . . . . . .

2.3.4 Decomposi¸c˜ao de um estado de tens˜ao 2.3.5 Formula¸c˜ao matricial . . . . . . . . . .

2.3.6 Formula¸c˜ao vetorial . . . . . . . . . . .

2.4 Estado triplo de tens˜ao . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Formula¸c˜ao matricial . . . . . . . . . .

2.4.2 Tens˜oes principais . . . . . . . . . . . .

2.4.3 Formula¸c˜ao vetorial . . . . . . . . . . .

2.4.4 C´alculo gr´afico . . . . . . . . . . . . .

2.4.5 Tens˜oes tangenciais extremas . . . . .

2.4.6 Tens˜oes desviadoras . . . . . . . . . . .

2.4.7 Tens˜oes octa´edricas . . . . . . . . . . .

2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Cisalhamento em se¸c˜ oes delgadas 3.1 Cisalhamento em se¸co˜es abertas . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 C´alculo das tens˜oes tangenciais . . . . . . . . . . . . .

3.1.3 Centro de cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Obten¸c˜ao do centro de cisalhamento com a a´rea setorial . . . . ´ 3.2.1 Area setorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Rela¸c˜ao da ´area setorial com as coordenadas y e z . . .

3.2.3 Obten¸c˜ao do centro de cisalhamento . . . . . . . . . .

3.3 Cisalhamento em se¸co˜es vazadas sim´etricas . . . . . . . . . . .

3.3.1 C´alculo das tens˜oes de cisalhamento . . . . . . . . . . .

3.3.2 Centro de cisalhamento para se¸co˜es vazadas sim´etricas 3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171 . 171 . 171 . 172 . 184 . 203 . 203 . 205 . 207 . 214 . 215 . 218 . 221

4 Tor¸c˜ ao 4.1 Tor¸ca˜o de se¸co˜es circulares . . . . . . .

4.1.1 Se¸c˜ao cheia . . . . . . . . . . .

4.1.2 C´alculo da tens˜ao tangencial . .

4.1.3 C´alculo do ˆangulo de tor¸c˜ao ϕ .

4.2 Se¸co˜es anulares . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 Se¸c˜ao anular de parede espessa 4.2.2 Se¸c˜ao anular de parede fina . .

4.3 Tor¸ca˜o uniforme e tor¸ca˜o n˜ao uniforme 4.4 Se¸co˜es delgadas fechadas . . . . . . . .

4.4.1 Analogia da membrana . . . . .

4.5 Se¸co˜es delgadas abertas . . . . . . . . .

4.6 Tor¸ca˜o de se¸co˜es maci¸cas . . . . . . . .

4.7 Tor¸ca˜o de se¸co˜es celulares . . . . . . .

4.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

225 . 225 . 225 . 226 . 228 . 230 . 230 . 232 . 234 . 236 . 241 . 244 . 270 . 272 . 278

. . . . . . . . . . . . .

283 . 283 . 283 . 285 . 286 . 287 . 297 . 301 . 302 . 304 . 323 . 324 . 325 . 327

. . . . . . . . . . . . . .

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5 Estados de deforma¸c˜ ao 5.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Deforma¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1 Deforma¸c˜oes lineares . . . . . . . . .

5.2.2 Deforma¸c˜ao angular . . . . . . . . .

5.3 Rela¸co˜es entre tens˜oes e deforma¸co˜es . . . .

5.4 Estado bidimensional de deforma¸c˜ao . . . .

5.4.1 Deforma¸c˜oes principais . . . . . . . .

5.4.2 Deforma¸c˜oes angulares extremas . . .

5.4.3 C´alculo gr´afico pelo c´ırculo de Mohr 5.5 Estado triplo de deforma¸c˜ao . . . . . . . . .

5.5.1 Deforma¸c˜oes principais . . . . . . . .

5.5.2 C´alculo gr´afico . . . . . . . . . . . .

5.5.3 Deforma¸c˜oes angulares extremas . . .

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5.6

5.5.4 Deforma¸c˜oes octa´edricas 5.5.5 Deforma¸c˜oes desviadoras 5.5.6 Formula¸c˜ao vetorial . . .

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . .

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6 Introdu¸c˜ ao ` a teoria da elasticidade 6.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Equa¸co˜es constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Materiais isotr´opicos . . . . . . . . . . . . .

6.2.2 Materiais ortotr´opicos . . . . . . . . . . . .

6.2.3 Materiais transversalmente isotr´opicos . . .

6.3 Problemas em coordenadas cartesianas . . . . . . .

6.3.1 Rela¸c˜oes entre deslocamentos e deforma¸c˜oes 6.3.2 Equa¸c˜oes de equil´ıbrio . . . . . . . . . . . .

6.3.3 Problemas da elasticidade plana . . . . . . .

6.3.4 Fun¸ca˜o de Airy . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Problemas em coordenadas cil´ındricas . . . . . . . .

6.4.1 Equa¸c˜oes de equil´ıbrio . . . . . . . . . . . .

6.4.2 Rela¸c˜oes deforma¸co˜es×deslocamentos . . . .

6.4.3 Fun¸ca˜o de tens˜ao . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Tens˜oes e deforma¸co˜es em laminados comp´ositos . .

6.5.1 Tens˜oes em um material laminado . . . . . .

6.5.2 Esfor¸cos em placas finas . . . . . . . . . . .

6.5.3 Rela¸c˜oes entre deforma¸co˜es e deslocamentos 6.5.4 Placas laminadas anisotr´opicas . . . . . . .

6.6 Nota¸ca˜o indicial e conven¸c˜ao de soma . . . . . . . .

6.6.1 Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . .

6.6.2 Aplica¸c˜ao a` teoria j´a desenvolvida . . . . . .

6.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 M´ etodos de energia 7.1 Energia de deforma¸ca˜o . . . . . . . .

7.2 C´alculo com os esfor¸cos internos . . .

7.2.1 For¸ca normal . . . . . . . . .

7.2.2 Momento fletor . . . . . . . .

7.2.3 For¸ca cortante . . . . . . . . .

7.2.4 Momento torsor . . . . . . . .

7.3 C´alculo com as tens˜oes e deforma¸co˜es 7.3.1 Estado uniaxial de tens˜ao . .

7.3.2 Estado plano de tens˜oes . . .

7.3.3 Estado triplo de tens˜oes . . .

7.4 Energia de deforma¸ca˜o complementar 7.5 Teoremas de energia . . . . . . . . .

7.5.1 Teorema de Clapeyron . . . .

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328 328 331 332

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

335 . 335 . 336 . 340 . 347 . 348 . 348 . 348 . 354 . 356 . 358 . 369 . 369 . 371 . 372 . 377 . 382 . 383 . 384 . 387 . 391 . 392 . 393 . 400

. . . . . . . . . . . . .

403 . 403 . 404 . 404 . 406 . 408 . 410 . 416 . 416 . 420 . 422 . 424 . 430 . 430

7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5

7.6

7.7

Teorema de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teorema de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teoremas de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teorema de Menabr´ea ou princ´ıpio do trabalho m´ınimo de Menabr´ea ou primeiro teorema de Castigliano . . .

7.5.6 Teorema de Crotti-Engesser . . . . . . . . . . . . . . .

Energia potencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6.1 Conceito de energia potencial . . . . . . . . . . . . . .

7.6.2 Princ´ıpio da m´ınima energia potencial total . . . . . .

7.6.3 M´etodo de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Crit´ erios de resistˆ encia 8.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . .

8.2 Envolt´oria de Mohr . . . . .

8.3 Crit´erio de Coulomb . . . .

8.3.1 Material sem coes˜ao 8.3.2 Material com coes˜ao 8.4 Crit´erio de Tresca . . . . . .

8.5 Crit´erio de Von Mises . . . .

8.6 Crit´erio de Drucker-Prager .

8.7 Materiais anisotr´opicos . . .

8.7.1 Crit´erio de Tsai-Hill 8.7.2 Crit´erio de Tsai-Wu 8.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . .

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9 Introdu¸c˜ ao ` a teoria da plasticidade 9.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2 Colapso pl´astico, r´otulas e momento pl´astico . . . . . . . . . .

9.2.1 Treli¸cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.2 Vigas e p´orticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.3 Influˆencia das for¸cas cortante e normal sobre o momento de plastifica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3 An´alise-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.1 Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.2 P´orticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4 Teoremas para estudo do colapso pl´astico . . . . . . . . . . . .

9.4.1 Teorema est´atico ou do limite inferior da carga . . . . .

9.4.2 Teorema cinem´atico ou do limite superior da carga . .

9.4.3 Teorema da unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.5 Plasticidade unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.5.1 Superf´ıcies de plastifica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . .

9.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 432 . 434 . 439 . . . . . . .

441 442 470 470 471 473 480

485 . 485 . 488 . 490 . 492 . 493 . 507 . 510 . 521 . 527 . 528 . 529 . 532 535 . 535 . 538 . 538 . 544 . . . . . . . . . . .

554 561 562 569 574 575 575 576 586 589 603

10 Instabilidade de barras 10.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2 Conceito de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3 M´etodo do equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.1 Flambagem com carga transversal . . . . . . . . . . . .

10.3.2 Exerc´ıcios com carga transversal nula . . . . . . . . . .

10.3.3 Exerc´ıcio com carga transversal . . . . . . . . . . . . .

10.3.4 Tens˜ao cr´ıtica ou tens˜ao de flambagem . . . . . . . . .

10.3.5 Flambagem em planos ortogonais . . . . . . . . . . . .

10.4 Flambagem por carga excˆentrica . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.4.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.4.2 C´alculo da deflex˜ao m´axima e da tens˜ao m´axima de compress˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.5 Flambagem de barras com imperfei¸co˜es geom´etricas . . . . . .

10.5.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.6 Influˆencia do cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.6.1 Pilares compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.7 Flambagem inel´astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.7.1 Teoria do m´odulo tangente . . . . . . . . . . . . . . . .

10.7.2 Teoria do m´odulo reduzido . . . . . . . . . . . . . . . .

10.8 M´etodo energ´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

607 . 607 . 609 . 611 . 630 . 631 . 633 . 639 . 640 . 643 . 643 . . . . . . . . . .

644 652 652 656 661 666 667 669 680 686

11 Exerc´ıcios complementares

693

A Referˆ encias bibliogr´ aficas

709

B Bibliografia consultada 713 B.1 Sites visitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 C Flex˜ ao geral 719 C.1 Tens˜ao normal em um ponto da se¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . 719 D Deslocamento longitudinal devido ao empenamento

721

E Equa¸c˜ ao diferencial da membrana deformada

725

F Equa¸c˜ ao diferencial da tor¸c˜ ao

727

G Sobre as elipses dos crit´ erios de resistˆ encia 733 G.1 Crit´erio de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 G.2 Crit´erio de Drucker-Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 H Princ´ıpio dos trabalhos virtuais (PTV) 739 H.1 C´alculo do trabalho virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 H.2 Igualdade dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741

I

Programas did´ aticos I.1 Primeiro programa: Estado Plano de Tens˜ao e Deforma¸c˜ao I.2 Segundo programa: Estado Triplo de Tens˜ao . . . . . . . .

I.3 Terceiro programa: Estado Triplo de Deforma¸ca˜o . . . . .

I.4 Quarto programa: Centro de Cisalhamento ou de Tor¸ca˜o . ´Indice remissivo

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743 . 743 . 744 . 744 . 745 751

Pref´ acio

Neste segundo volume da obra Resistˆencia dos materiais, tomamos os per´ıodos da hist´oria da m´ usica1 para mostrar a evolu¸c˜ao dos temas da teoria das estruturas, abordados no cap´ıtulo 1.

Pode parecer estranho que, em um livro sobre t´opicos da mecˆanica das estruturas, a m´ usica possa ocupar um lugar destacado e ditar a cronologia para os acontecimentos de uma ciˆencia.

Das artes2 , a m´ usica ´e a u ´nica que parece ser parte ´ıntrinseca do ser humano, despertando nas pessoas os mais diversos sentimentos. Ser´a que h´a algu´em que n˜ao aprecie algum tipo de m´ usica?

3 Plat˜ao considerava a m´ usica t˜ao importante que, no livro III dos di´alogos de sua obra A Rep´ ublica 4 , escreveu que a m´ usica ´e a parte principal da educa¸c˜ao – que a cadˆencia e harmonia tˆem, no mais alto grau, a tendˆencia de se insinuarem na alma, dominando-a, do mesmo modo que nela introduzem beleza e a gra¸ca – quando esta parte da educa¸c˜ ao ´e dada de modo conveniente, o contr´ario sucedendo quando se negligencia. E tamb´em, porque um jovem, educado como conv´em na m´ usica, perceber´a com a m´axima agudeza o que h´ a de imperfeito e defeituosos nas obras da natureza e da arte, indignando-se contra isso, com incoerc´ıvel avers˜ao, louvar´a com transportes o que nelas se lhe deparar belo, recebˆe-lo-´a com alvoro¸co na alma, disso se nutrir´ a tornando-se destarte honrado e virtuoso.

O ensino da m´ usica era levado t˜ao a s´erio, que na Idade M´edia ele fazia parte das universidades ao lado do ensino das ciˆencias matem´atica, geometria e astronomia, para que “os homens estudados tivessem a compreens˜ao do mundo”5 .

Al´em disso, das artes, a m´ usica ´e a u ´nica que, embora tenha sua cria¸c˜ao ditada pela sensibilidade, inspira¸c˜ao e intui¸ca˜o, atributos do compositor que parecem ser subjetivos, tem sua manifesta¸c˜ao sonora, isto ´e, o conjunto de 1

A hist´ oria da m´ usica ´e dividida em per´ıodos caracterizados pela evolu¸c˜ao das formas musicais que ocorreram em intervalos de tempo. Esses per´ıodos, e sua dura¸c˜ao, s˜ao mostrados no cap´ıtulo seguinte.

2 As sete artes s˜ ao: m´ usica, pintura, escultura, literatura, dan¸ca, teatro e cinema.

3 Plat˜ ao de Atenas (428? a.C.-347 a.C.), fil´osofo grego.

4 Plat˜ ao, A Rep´ ublica. Vol. XXXVIII. 5a ed. Trad. Albertino Pinheiro. S˜ao Paulo, Atena, 1955, Biblioteca Cl´ assica.

5 <http://www.amarilli.co.uk/piano/theory/mus-sci.asp>.

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14 sons que ouvimos, diretamente relacionada com temas objetivos, racionais, que comp˜oem a teoria das estruturas, como matem´atica e dinˆamica.

Einstein6 disse que “a m´ usica e a pesquisa em f´ısica se originam de fontes diferentes, mas s˜ao intimamente relacionadas e ligadas por um fio comum, que ´e o desejo de exprimir o desconhecido. As rea¸co˜es divergem, mas os resultados s˜ao complementares”, referindo-se ao que acabamos de expor.

O som ´e produzido pela vibra¸ca˜o de cordas, pelo ar soprado em um tubo, pela percuss˜ao de uma membrana etc. A vibra¸ca˜o produzida por qualquer uma dessas maneiras ´e tema de estudo da dinˆamica, que tem como suporte a teoria da elasticidade. Um instrumento musical, como qualquer instrumento de cordas, por exemplo, ´e uma caixa ac´ ustica formada por material el´astico homogˆeneo que amplifica as vibra¸c˜oes das cordas, produzindo sonoridade que varia com o tamanho do instrumento, com o tipo de madeira utilizada na sua confec¸ca˜o, com o tipo de verniz empregado para revesti-lo etc. Notamos que a rela¸c˜ao com temas da engenharia n˜ao se limita `as vibra¸co˜es, mas envolvem propriedades dos materiais, elasticidade etc.

A m´ usica ´e constitu´ıda por acordes sonoros, cujas notas musicais guardam, entre si, rela¸co˜es num´ericas especiais, para que esses acordes sejam agrad´aveis aos nossos ouvidos. Essas rela¸co˜es s˜ao conhecidas desde o trabalho de Pit´agoras e seus disc´ıpulos, e foram, no decorrer do tempo, modificadas e ampliadas por matem´aticos e music´ologos.

Galileu, conhecido como o pai da resistˆencia dos materiais, na primeira jornada do livro Duas novas ciˆencias 7 , apresenta sua conclus˜ao sobre os intervalos musicais, advinda de seus estudos experimentais de vibra¸c˜ao: Digo que a raz˜ ao primeira e imediata das formas dos intervalos musicais n˜ ao ´e o comprimento das cordas, nem sua tens˜ao, nem sua espessura, mas antes a propor¸c˜ ao entre as frequˆencias das vibra¸c˜oes e as percuss˜oes das ondas do ar que ferem o t´ımpano de nosso ouvido, o qual vibra tamb´em nos mesmos intervalos de tempo. Estabelecido este ponto, podemos por acaso determinar uma raz˜ao bastante precisa pela qual se verifica que, desses sons de diferentes tons, alguns pares sejam recebidos por nossos sentidos com grande satisfa¸c˜ao, e outros com menor, e outros ainda com muito desagrado; o que ´e fornecer as raz˜oes das consonˆ ancias mais ou menos perfeitas e das dissonˆancias. Acredito que o desagrado produzido por estas u ´ltimas nasce das vibra¸c˜oes discordantes de duas notas diferentes, que batem de modo desproporcional em nosso t´ımpano, e as discordˆancias ser˜ao ´asperas quando as frequˆencias das vibra¸c˜ oes forem incomensur´aveis.

Continuando, ele explica como se obt´em uma dissonˆancia.

6

Albert Einstein (1879-1955) foi um f´ısico nascido na Alemanha.

Galileu Galilei, Duas novas ciˆencias. 2a ed. Trad. Letizio Mariconda, Pablo R. Mariconda. Rio de Janeiro, Museu de Astronomia e Ciˆencias Afins; S˜ao Paulo, Nova Stella, 1988.

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15 Esse estudo, por si s´o, ´e suficiente para justificar a inclus˜ao da m´ usica em um texto sobre o tema deste livro; todavia, lembramos que Euler foi um estudioso da m´ usica, tendo apresentado o texto em latim Tentamen Novae Theoriae Musicae Ex Certissiis Harmonie Principiis Dilucide Exposita (Uma tentativa para uma nova teoria da m´ usica, exposta claramente seguindo os mais bem fundamentados princ´ıpios da harmonia), em 1739, a` Academia Scientiara de S˜ao Petersburgo, R´ ussia. Nesse trabalho ele apresentou uma nova teoria musical seguindo os princ´ıpios estabelecidos por Pit´agoras8 .

Outros matem´aticos e f´ısicos apresentaram sua contribui¸ca˜o para o desenvolvimento da teoria musical, como Robert Smith9 , que publicou o trabalho Harmonics, or The Philosophy of Musical Sounds em 1749, e Helmholtz10 , que foi f´ısico e m´edico especialista em fisiologia e psicologia fisiol´ogica11 . Estudou matem´atica e ac´ ustica, publicando um trabalho sobre teoria musical e percep¸ca˜o do som em 1862, intitulado Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage f¨ ur die Theorie der Musik (Sobre as sensa¸c˜oes do tom como um fundamento psicol´ogico para a teoria da m´ usica). Nesse livro, que exerceu grande influˆencia sobre os music´ologos do s´eculo XX, Helmholtz mostrou que a compreens˜ao de como o ouvido transforma as vibra¸c˜oes em sensa¸co˜es de tons pode dar informa¸c˜oes de como combinar sons simples para formar acordes consonantes e dissonantes.

No pr´oximo cap´ıtulo mostramos mais matem´aticos e f´ısicos que estiveram ligados `a teoria das estruturas e que participaram do desenvolvimento da m´ usica.

Mas o que nos levou a adotar os ciclos da m´ usica como referˆencia cronol´ogica foi uma curiosidade que temos h´a muito tempo: Ser´a que alguns dos estudiosos da teoria das estruturas assistiu a algum concerto de famosos m´ usicos ou teve contato com os compositores de seu tempo?

Essa pergunta n˜ao sabemos responder, somente imaginar se isso ocorreu.

Ser´a que os matem´aticos franceses do s´eculo XIX, como Navier, Poisson e Cauchy, ouviram Paganini, Chopin, Liszt ou Berlioz? E Timoshenko foi a algum concerto de Tchaikovski ou Borodin? Teria Shanley visto e ouvido Rachmaninoff? Para aqueles que tamb´em tˆem essa curiosidade, serve nossa proposta; comparando os per´ıodos e locais em que viveram, podemos imaginar que isso foi poss´ıvel.

Sabemos que desses compositores um foi cientista, Borodin12 , que foi um importante qu´ımico, sendo professor e pesquisador na a´rea de qu´ımica orgˆanica na Academia Militar de S˜ao Petersburgo, e que se considerava um compositor 8

Pit´ agoras de Samos (570? a.C.-495? a.C.) foi um fil´osofo e matem´atico grego.

Robert Smith (1689-1768), matem´atico e te´orico musical inglˆes, professor do Trinity College em Cambridge, Inglaterra.

10 Hermann Ferdinand Ludwig von Helmholtz (1821-1894), m´edico e f´ısico alem˜ao.

11 <http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/˜history/Extras/Archibald music 3.html>.

12 <http://pt.wikipedia.org/wiki/Aleksandr Borodin>.

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16 e m´ usico de fim de semana; por´em, dentre os cientistas, muitos13 foram apaixonados pela m´ usica, e alguns foram compositores e m´ usicos, como Einstein e 14 15 Shanley , que eram violinistas, e Rankine , que foi celista, pianista e cantor, e outros eram grandes admiradores da m´ usica cl´assica, como Prager16 , que a ouvia toda manh˜a, antes de ir para o trabalho.

H´a relatos, nas biografias, de encontros entre cientistas, como ocorria com os matem´aticos franceses do s´eculo XIX, e mesmo entre cientistas de pa´ıses diferentes. O mesmo acontecia com os compositores.

Conhecemos tamb´em algumas disputas e desacordos entre cientistas e tamb´em entre compositores, mas n˜ao sabemos se cientistas conheceram compositores ou vice-versa. Essa possibilidade aumenta `a medida que consideramos ´epocas mais recentes.

A partir de 1825, quando as estradas de ferro come¸caram a se espalhar em profus˜ao pela Europa Central e Inglaterra, as viagens ficaram mais r´apidas e agrad´aveis. Antes elas eram feitas por carruagens, o que dificultava a locomo¸ca˜o devido a`s condi¸c˜oes ruins das estradas de rodagem, cujo estado se agravava durante o inverno, e do desconforto dos ve´ıculos, tornando-as muito demoradas e desagrad´aveis.

A navega¸ca˜o tamb´em se tornou uma op¸ca˜o mais segura para viagens de longa distˆancia, como para as Am´ericas, com a constru¸c˜ao de grandes navios com cascos de a¸co e movidos a vapor.

Indicamos as datas de nascimento e morte dos personangens envolvidos, assim como as datas e os t´ıtulos de seus principais trabalhos, de modo que o leitor curioso possa situar cada um dos personagens no ambiente hist´orico da sua ´epoca. Por exemplo, sabemos que, entre o final do s´eculo XVIII e o come¸co do s´eculo XIX, Fourier, Poisson, Navier, Cauchy vivenciaram a Revolu¸c˜ao Francesa, a Revolu¸ca˜o Industrial estava tomando conta da Europa e os brasileiros viram a chegada da comitiva de dom Jo˜ao VI ao Rio de Janeiro.

Entre o final do s´eculo XIX e a metade do s´eculo XX, havia Engesser, Galerkin, Von K´arm´an, Timoshenko, que vivenciaram as duas guerras mundiais e viram o desenvolvimento da telefonia, da eletricidade, da avia¸ca˜o, da explora¸ca˜o espacial etc.

Conhecer a ´epoca em que os cientistas viveram e um pouco sobre a vida deles d´a-nos uma ideia das dificuldades pelas quais eles passaram e ressalta a tenacidade com que desenvolveram seus trabalhos.

Optamos por introduzir neste volume alguns assuntos que n˜ao est˜ao presentes em outros livros de resistˆencia dos materiais, como as formula¸c˜oes vetorial e matricial das tens˜oes e deforma¸co˜es, a obten¸ca˜o do centro de cisalhamento empregando a a´rea setorial, a introdu¸c˜ao a`s teorias da elasticidade e da plas13

Talvez a grande maioria, ou todos. <http://content.cdlib.org/xtf/view?docId=hb229003hz&doc.view=frames&chunk.id =div00008&toc.depth=1&toc.id=>.

15 <http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/˜history/Biographies/Rankine.html>.

16 <http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Prager.html>.

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17 ticidade, o conceito da energia potencial e o princ´ıpio da m´ınima energia potencial total e uma s´erie de apˆendices em que h´a demonstra¸c˜oes necess´arias para acompanhar os textos de alguns cap´ıtulos. Em todos eles h´a uma extensa lista de exerc´ıcios resolvidos e, no final de cada cap´ıtulo, aparecem exerc´ıcios propostos.

No u ´ltimo cap´ıtulo h´a uma descri¸c˜ao de alguns programas de computador did´aticos, que foram desenvolvidos pelo autor.

No cap´ıtulo 2 est˜ao os estados de tens˜ao em uma, duas e trˆes dimens˜oes.

Al´em da formula¸ca˜o usual anal´ıtica e gr´afica, tamb´em apresentamos as formula¸c˜oes vetorial e matricial. O cap´ıtulo 3 cont´em o c´alculo das tens˜oes tangenciais e do centro de cisalhamento em se¸co˜es delgadas com e sem simetria, abertas e fechadas.

O estudo da tor¸ca˜o uniforme em se¸co˜es circulares e n˜ao circulares cheias e anulares ´e apresentado no cap´ıtulo 4. S˜ao obtidas as tens˜oes tangenciais e os ˆangulos de tor¸c˜ao. Tamb´em mostramos como essas tens˜oes e esses aˆngulos podem ser obtidos com a teoria da membrana.

No cap´ıtulo 5 o leitor encontra os estados de deforma¸c˜ao em uma, duas e trˆes dimens˜oes. Al´em da formula¸ca˜o usual anal´ıtica e gr´afica, tamb´em apresentamos as formula¸co˜es vetorial e matricial. O cap´ıtulo 6 cont´em a introdu¸ca˜o a` teoria da elasticidade. Aqui mostramos as propriedades dos materiais isotr´opicos, ortotr´opicos e anisotr´opicos. Apresentamos as formula¸co˜es em coordenadas cil´ındricas e cartesianas. Abordamos os materiais laminados comp´ositos e as placas finas anisotr´opicas. Introduzimos a nota¸ca˜o indicial, tamb´em conhecida como nota¸c˜ao de Einstein.

Os m´etodos de energia com os teoremas correspondentes s˜ao mostrados no cap´ıtulo 7. Esse cap´ıtulo tamb´em cont´em o conceito da energia potencial e o princ´ıpio da m´ınima energia potencial total, que s˜ao importantes para o leitor que se interessar pelo m´etodo dos elementos finitos17 . No cap´ıtulo 8 temos os crit´erios de resistˆencia, incluindo dois crit´erios para materiais anisotr´opicos.

A introdu¸ca˜o a` teoria da plasticidade est´a no cap´ıtulo 9. Iniciamos esse cap´ıtulo com a apresenta¸ca˜o dos conceitos de r´otula pl´astica, momento pl´astico e colapso pl´astico. Depois vem a an´alise-limite de vigas e p´orticos, os teoremas para o estudo do colapso pl´astico e finalmente a plasticidade unidimensional, que prepara o leitor para o estudo da plasticidade bi e tridimensional, que n˜ao s˜ao tratadas neste livro.

O estudo da flambagem, ou instabilidade de barras, est´a no cap´ıtulo 10.

Mostramos a flambagem com e sem carga transversal e com carga excˆentrica.

Tratamos tamb´em da flambagem de barras com imperfei¸co˜es geom´etricas, da influˆencia do cisalhamento na instabilidade e a flambagem inel´astica.

No cap´ıtulo 11 inclu´ımos alguns exerc´ıcios complementares, em que s˜ao utilizados os conceitos dos diversos cap´ıtulos, dando uma ideia ao leitor de 17

Ver A. E. Assan, M´etodo dos elementos finitos. Primeiros passos. 2a ed. 1a reimpr.

Campinas, Editora da Unicamp, 2010.

18 como ´e feito o c´alculo estrutural de estruturas de barras. As Referˆencias bibliogr´aficas citadas e consultadas est˜ao listadas na sequˆencia.

H´a ainda seis apˆendices com dedu¸c˜oes de express˜oes que constam dos diversos cap´ıtulos ou que complementam o que neles ´e exposto. O Apˆendice I cont´em a explana¸ca˜o de alguns programas did´aticos desenvolvidos pelo autor, como o que permite o c´alculo do centro de cisalhamento de se¸c˜oes delgadas abertas e uma pequena anima¸ca˜o18 mostrando como a se¸c˜ao gira quando uma for¸ca cortante passeia pelo plano da se¸ca˜o, aproximando-se e afastando-se do seu centro de cisalhamento, al´em de outros programas que podem ser usados para calcular estados de tens˜ao e deforma¸c˜ao em elementos que tˆem algumas tens˜oes e deforma¸co˜es conhecidas.

Agrade¸co aos colegas do Departamento de Estruturas da FEC19 , notadamente aos professores doutores Newton de Oliveira Pinto Jr., que me forneceu fotografias que ilustram este livro, Mario Conrado Cavichia e Leandro Palermo Jr., que leram e apresentaram sugest˜oes de melhoria em alguns cap´ıtulos, e Francisco Antonio Menezes, que sempre me ajuda a resolver os problemas de configura¸ca˜o do texto.

Aos funcion´arios da Editora da Unicamp, que trabalharam na edi¸ca˜o deste livro, meu agradecimento pela cordialidade e paciˆencia com que me orientaram na elabora¸c˜ao da vers˜ao final deste volume.

A elabora¸c˜ao deste trabalho n˜ao teria sido poss´ıvel sem o apoio, a compreens˜ao, a paciˆencia e o incentivo de minha esposa.

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A anima¸c˜ ao refere-se apenas a se¸c˜oes com trechos retos.

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo, Universidade Estadual de Campinas – Unicamp.

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Cap´ıtulo 1

Notas hist´ oricas 1.1 Introdu¸c˜ ao Neste cap´ıtulo continuaremos a apresenta¸c˜ao das notas hist´oricas do primeiro volume, mostrando de forma resumida a hist´oria da resistˆencia dos materiais, das teorias da elasticidade e da plasticidade, al´em de outros temas que s˜ao abordados neste volume.

Como os temas deste volume foram desenvolvidos em sua maioria a partir do final do s´eculo XVII, que marcou um grande avan¸co nas ciˆencias, optamos por mostrar a evolu¸c˜ao daquelas ´areas da mecˆanica das estruturas, citando os principais fatos e realiza¸co˜es ocorridos principalmente na Europa. Embora a alquimia tenha feito parte do cotidiano de in´ umeros cientistas e fil´osofos dos diversos per´ıodos enfocados, dentre eles Sir Isaac Newton (1643-1727), n˜ao a abordaremos por n˜ao ser uma ciˆencia; a prop´osito, Paolo Rossi1 cita um trecho da obra de Westfall2 , em que ele diz que a alquimia “era a derradeira flor de uma planta que estava morrendo, enquanto a matem´atica do s´eculo XVII era a primeira flor de uma robusta planta perene”.

A cronologia que usaremos ´e a que norteia o estudo da hist´oria da m´ usica ou dos estilos musicais – referimo-nos nesse caso a` m´ usica dita cl´assica ou erudita ocidental –, inserindo em cada per´ıodo as contribui¸co˜es para a hist´oria da resistˆencia dos materiais, da teoria da elasticidade e da plasticidade, at´e o in´ıcio da d´ecada de 1930.

A motiva¸ca˜o para esse enfoque vem da estreita rela¸ca˜o entre m´ usica e matem´atica e, claro, engenharia. A m´ usica ´e produto de sons, e estes s˜ao produzidos por vibra¸co˜es; a a´rea da engenharia que lida com vibra¸c˜oes3 ´e a dinˆamica, que, embora n˜ao seja tratada neste volume, sempre esteve presente nos estudos dos matem´aticos, engenheiros e cientistas que mostraremos neste cap´ıtulo.

Como n˜ao tivemos acesso `as obras originais, o trabalho tem como referˆencias livros, artigos de peri´odicos e os textos obtidos pela Internet e na 1

P. Rossi, O nascimento da ciˆencia moderna na Europa. Trad. Antonio Angonese.

Bauru, Edusc, 2001.

2 R. S. Westfall, Never at Rest: a Biography of Isaac Newton. Cambridge, Cambridge University Press, 1980.

3 Outra ´ area da engenharia que lida com sons e que hoje tem sido muito estudada ´e a ac´ ustica aplicada no isolamento de ambientes contra barulho e na melhoria da difus˜ao de sons em teatros e casas de shows.

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Cap´ıtulo 1. Notas hist´oricas

Wikip´edia, que est˜ao relacionados nas Referˆencias bibliogr´aficas, que s˜ao listadas nos Apˆendices A e B.

1.2 M´ usica e matem´ atica A m´ usica est´a presente em todas as manifesta¸c˜oes humanas: de alegria ou de tristeza, em festas, eventos religiosos, funerais, desfiles c´ıvicos e militares, e sua origem remonta a` idade da humanidade, estando presente nos cursos das universidades antigas.

Ao longo da Idade M´edia, as universidades, em sua maioria, tinham faculdades de artes, teologia, medicina e direito, n˜ao havia faculdades de engenharia. O ensino nessas faculdades compreendia inicialmente a gam´atica, a dial´etica e a ret´orica, que formavam o trivium (trˆes caminhos), que preparavam os estudantes para o quadrivium, que continha matem´atica, geometria, astronomia e m´ usica. Essas disciplinas eram as sete artes liberais que constitu´ıam o fundamento do ensino (ver Verger).

Notamos, dessa organiza¸ca˜o pedag´ogica, que a m´ usica fazia parte do conjunto de disciplinas que abrangia as ciˆencias mais estudadas naquela ´epoca, embora ela mesma n˜ao seja considerada uma ciˆencia.

Podemos fazer um contraponto entre a evolu¸c˜ao da m´ usica e das ciˆencias.

Cada uma delas seguindo uma trajet´oria diferente, mas com sonoridade consonante.

A m´ usica vem da combina¸ca˜o de sons que s˜ao agrad´aveis ao nossos ouvidos.

Esses sons s˜ao produzidos pela vibra¸c˜ao de uma corda, ou de uma palheta, ou do ar que percorre um tubo, e cada nota musical corresponde a uma frequˆencia de vibra¸ca˜o.

Os ouvidos humanos captam sons entre 20 Hz e 20.000 Hz. Na faixa entre 20 Hz e 100 Hz est˜ao os sons graves e acima de 400 Hz situam-se os sons agudos.

Quando uma corda vibra, ela assume diversas formas, chamadas modos de vibra¸c˜ao. Esses modos s˜ao m´ ultiplos inteiros do primeiro modo, chamado modo fundamental, e s˜ao chamados modos harmˆonicos. Na Figura 1.1 vemos os trˆes primeiros modos de vibra¸ca˜o de uma corda.

A nota musical pura, aquela que ´e dada apenas pelo modo fundamental de vibra¸ca˜o, ´e muito dif´ıcil de ser obtida, apenas ´e conseguida pelo diapas˜ao; as notas s˜ao formadas pelo conjunto dos modos de vibra¸ca˜o.

Na Figura 1.2 mostramos, na primeira linha do desenho, uma corda de viol˜ao, de comprimento l, fixada nas suas extremidades, e nas linhas abaixo dela outras seis cordas idˆenticas `a primeira com outro ponto de fixa¸c˜ao interno.

Esse novo ponto de fixa¸ca˜o reduz o comprimento l para um comprimento lc .

A seta indica que a corda ´e percutida. Cada uma dessas cordas, ao ser percutida, emite um som. De acordo com a rela¸c˜ao entre l e lc o som corresponde a uma das sete notas musicais, indicadas na figura. Mostramos tamb´em