Unitat
10
Geometria a l’espai Natura platònica
Plató (ca 427 aC-347 aC) va ser un dels filòsofs més importants de la Grècia antiga. En l’aspecte matemàtic, Plató considerava les figures geomètriques com a entitats perfectes residents en el món de les idees.
196
Segons ell, el cercle ideal no existeix ni podrà existir mai, ni tan sols es pot traçar amb la tecnologia més avançada. Qualsevol representació real d’un cercle només és una aproximació al cercle platònic ideal. Sens dubte, un cercle traçat amb un programa de disseny assistit per ordinador s’acosta més al cercle ideal que un de fet amb un bastó a la sorra. Però el cercle ideal s’esmuny de la realitat. Aquest aspecte és el que determina una relació tan forta entre les matemàtiques i la filosofia platònica. Ens podem atansar als objectes ideals, però mai els podrem tocar ni veure. La forma aparent del Sol o la Lluna inspiren la idea de cercle; una taronja o una pilota inspiren la d’esfera, o la formació basàltica de la Calçada dels Gegants, a Irlanda del Nord, inspira la del prisma hexagonal; i també la que, potser, la natura és essencialment platònica. Una idea que es reflecteix en les espectaculars cristal·litzacions dels minerals. Segons Plató, el que és real no és ideal. Els poliedres existeixen en l’espai tridimensional. Com es genera el poliedre essencial representant de les tres dimensions? Comencem amb un punt, de dimensió zero. Un cop tenim el punt res ens impedeix considerar-ne un altre. Entre el punt original i el seu duplicat creem una relació anomenada segment. És la capacitat de duplicació la que crea una nova dimensió i dóna lloc al segment unidimensional. Però això que hem fet amb el punt també podem fer-ho amb el segment. Duplicant el segment creem un lligam entre l’original i la còpia anomenat cara.
Mates3ESO_U10.indd 196
24/1/11 13:14:29
Finalment, només hem de duplicar la cara per crear la tercera dimensió en una relació entre cares que anomenem cos. Així, partint del punt adimensional, mitjançant duplicacions creem totes les dimensions que vulguem.
Analitza i resol 1. Indica quin dels cercles següents s’aproxima més al cercle ideal platònic. a) Un cercle dibuixat a mà alçada. b) Un cercle traçat amb compàs.
Els poliedres estan fets de vèrtexs, arestes, cares i un cos, que és el poliedre en si. Els polígons consten de vèrtexs, arestes (costats) i una única cara, que és el polígon en si. En una dimensió no hi ha polígons, només segments fets de vèrtexs (els punts extrems) i una aresta, que és el segment en si. En la dimensió zero només hi ha un vèrtex, que és el punt en si. El pensament platònic se centra més en la forma ideal, o, més ben dit, en la idealització de la forma que en la dimensió. Va ser el matemàtic suís Leonhard Euler qui va caracteritzar els poliedres mitjançant un nombre directament lligat a la seva dimensió espacial. La fórmula d’Euler assegura que, per a qualsevol poliedre, la suma del nombre de cares i el nombre de vèrtexs supera sempre en dues unitats el nombre d’arestes. Aquest resultat no tan sols idealitza més els poliedres, sinó la tercera dimensió que els allotja.
c) El cercle determinat pels punts del pla que es troben a una distància menor o igual d’un punt anomenat centre. d) La Lluna plena. 2. Posa exemples de coses reals amb forma de prisma hexagonal. 3. Omple la taula se-
A
B
güent amb els nombres d’elements de les figures A i B: figura
cares (polígons)
vèrtexs (punts)
arestes (segments)
C+V−A
197
A B
4. Traça una figura plana semblant a les de l’activitat anterior, però en la qual el resultat de C + V − A no sigui cap dels obtinguts. 5. Completa la taula i fes una predicció sobre els resultats corresponents a l’hiperespai de quatre dimensions.
punt
dimensió
polígon
segment
objecte
vèrtexs arestes
cares
hipercossos
0
punt
1
0
0
0
1
segment
2
1
0
0
2
quadrat
4
4
1
0
3
cub
8
12
6
1
4
hipercub
total
poliedre
Índex 1. Angles a l’espai i poliedres 2. Els poliedres regulars. El teorema d’Euler 3. El teorema de Pitàgores a l’espai 4. Àrea dels poliedres 5. Volum dels poliedres 6. Cossos de revolució: el cilindre i el con 7. Simetria i semblança en els cossos geomètrics 8. L’esfera i el globus terraqüi
Mates3ESO_U10.indd 197
Competències bàsiques Matemàtica. Reconeixement dels elements i propietats dels poliedres i dels cossos de revolució. Comunicativa lingüística i audiovisual. Representació dels elements dels poliedres i dels cossos de revolució. Aprendre a aprendre. Aplicació de mètodes de resolució de problemes. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.
24/1/11 13:14:31
Angles a l’espai i poliedres
Geometria a l’espai
1
1.1 aresta
L’angle diedre
Dos plans secants determinen quatre regions, cadascuna de les quals s’anomena angle diedre. Els elements que formen un angle diedre són les cares i l’aresta. Com a mesura d’un angle diedre es pren l’angle format per dues rectes perpendiculars a cada cara per un mateix punt de l’aresta.
angle diedre
Exemple 1. Aquests angles diedres estan determinats per dues rectes secants i formen quatre angles iguals dos a dos de 94,09º i 85,91º respectivament.
cara
94,09º
85,91º
85,91º 94,09º
1.2 Recorda Un poliedre és una regió de l’espai limitada per polígons.
198
Un poliedre està format per diversos angles diedres.
L’angle poliedre
Quan tres plans secants o més coincideixen en un punt, determinen una regió de l’espai que s’anomena angle poliedre. Els plans que formen l’angle poliedre s’anomenen cares, les rectes determinades per dos dels plans que el formen s’anomenen arestes, i el punt comú, vèrtex. Per poder construir un angle poliedre, la suma dels angles de les cares que el formen ha de ser inferior a 360º. Exemples vèrtex
2. Un triedre és la regió de l’espai definida per tres plans secants. Es pot formar un angle triedre a partir de tres triangles equilàters iguals, ja que la seva suma és de 180º, és a dir menor de 360º. 3. Es pot obtenir un triedre a partir de tres rectangles quadrats, tal com passa en un racó d’una habitació. La seva suma és de 270º.
180º
aresta
cares
60º aresta
270º cara 90º 90º
1.3
vèrtex
Els poliedres
La combinació de diversos angles poliedres pot donar lloc a una regió de l’espai limitada per polígons. Aquesta regió de l’espai s’anomena poliedre. Exemple 4. Considera un triedre format per tres triangles. Si es talla aquest triedre per un pla secant, s’obté una figura geomètrica tancada, les cares de la qual seran triangles. Aquesta figura és un exemple de poliedre de quatre cares.
Mates3ESO_U10.indd 198
24/1/11 13:14:33
1.4
Elements d’un poliedre. Poliedres còncaus i convexos diagonal
Els elements que formen un poliedre són:
vèrtex
• Cares. Cadascun dels polígons que el limiten. • Arestes. Cadascun dels segments determinats per dues cares secants. • Vèrtexs. Cadascun dels punts comuns a tres arestes o més. • Diagonals. Cadascun dels segments que uneixen dos vèrtexs que pertanyin a cares diferents.
cara
aresta
Un poliedre és convex si dos punts qualssevol es poden unir amb un segment interior al cos; en cas contrari és còncau. Exemple 5. La figura mostra un poliedre convex i un de còncau. Fixa’t en l’analogia entre polígons còncaus i convexos i poliedres còncaus i convexos.
1.5
poliedre convex
poliedre còncau
polígon convex
polígon còncau
Prismes i piràmides
Un prisma és un poliedre format per dos polígons qualssevol, iguals i paral·lels, anomenats base, i per cares laterals, que són paral·lelograms. Si totes les cares laterals són perpendiculars a les bases, el prisma s’anomena recte. En cas contrari, oblic. L’altura d’un prisma és la distància entre les dues bases.
Alerta 199 Encara que no ho sembli, el poliedre B també és una pirà-
Els prismes formats per paral·lelograms s’anomenen paral·lelepípedes. Si els parallelograms són rectangles, el prisma s’anomena ortoedre.
mide.
A
B
Una piràmide és un poliedre format per una base, que pot ser un polígon qualsevol, i per cares laterals, que són triangles les arestes dels quals concorren en un punt anomenat cúspide. L’altura de la piràmide és la distància perpendicular entre la cúspide i la base de la piràmide. Si la base d’una piràmide és un polígon regular, es tracta d’una piràmide regular. Exemple 6. Les figures següents representen un prisma recte, un d’oblic, un ortoedre i una piràmide. base
base cares laterals
altura
base
altura
base
base
cúspide
altura
base
Aplica
cares laterals
altura
base
2 ■■ Digues en quines situacions es pot formar un angle poliedre. a) Amb dos rectangles i un quadrat.
1 ■ Identifica els poliedres: a)
b)
c)
d)
b) Amb tres pentàgons regulars. c) Amb un pentàgon regular i dos hexàgons regulars. d) Amb tres octàgons i un triangle equilàter.
Mates3ESO_U10.indd 199
24/1/11 13:14:35
Geometria a l’espai
2
Els poliedres regulars. El teorema d’Euler 2.1 Recorda
El desenvolupament pla d’un poliedre és un dibuix format per un conjunt de polígons units per les arestes, que es pot plegar, doblegant les arestes,
Els poliedres regulars
Un poliedre és regular si: • Les seves cares són polígons regulars iguals. • A cada vèrtex hi concorren el mateix nombre de cares. Només hi ha cinc poliedres que compleixen aquestes condicions: el tetraedre, el cub (o hexaedre), l’octaedre, el dodecaedre i d’icosaedre. Els poliedres regulars, també anomenats sòlids platònics, es poden obtenir a partir dels seus desenvolupaments plans:
per tal d’esdevenir les cares del poliedre.
tetraedre
cub
octaedre
dodecaedre
Exemples
Alerta No es pot construir un poliedre regular amb hexàgons perquè
200
la suma dels angles és de 360º i ha de ser de 270º.
icosaedre
180º
7. Amb triangles equilàters es poden formar angles poliedres de 3, 4 i 5 triangles.
240º
300º
60º 60º
60º
Tenim, doncs, poliedres amb 3, 4 i 5 triangles per vèrtex. Podem formar poliedres de 4, 8 i 20 cares respectivament, que corresponen al tetraedre, l’octaedre i l’icosaedre.
360º
tetraedre
120º
octaedre
icosaedre
8. Amb quadrats, només es pot formar un triedre constituït per tres quadrats. L’angle del triedre és de 270º. S’obté un poliedre regular de sis cares: el cub. 270º
90º
cub
9. Amb pentàgons regulars, només es poden formar triedres de tres polígons. S’obté un poliedre de 12 cares anomenat dodecaedre.
324º
108º
dodecaedre
No és possible, però, construir poliedres a partir de polígons regulars amb més costats que el pentàgon, ja que calen un mínim de tres polígons per construir un triedre i la suma dels angles seria igual o superior a 360º. Per tant, només hi ha cinc poliedres regulars: el tetraedre, el cub, l’octaedre, el dodecaedre i l’icosaedre.
Raona
4 ■ Comprova que la figura següent també correspon al desenvolupament d’un cub.
3 ■ Si s’uneixen dos tetraedres per la base s’obté un poliedre format per sis triangles equilàters. Explica per què aquest poliedre
5 ■ Per què no es pot construir un poliedre
no és un poliedre regular.
de cares hexagonals?
Mates3ESO_U10.indd 200
24/1/11 13:14:38
2.2
El teorema d’Euler
Un poliedre es compon de cares, arestes i vèrtexs. En un poliedre convex, sigui regular o no, hi ha una relació matemàtica entre aquests tres elements coneguda com el teorema d’Euler o fórmula d’Euler.
Alerta
Observa en la taula següent que la suma de cares C i vèrtexs V equival al nombre d’arestes A més 2.
El teorema d’Euler es compleix
C+V=A+2
sense forats, no només per als
poliedre
per a qualsevol polígon simple, regulars.
cares
arestes
vèrtexs
tetraedre
4
6
4
cub
6
12
8
octaedre
8
12
6
dodecaedre
12
30
20
icosaedre
20
30
12
201
Exemple 10. El prisma pentagonal de la figura té 7 cares, 15 arestes i 10 vèrtexs. Es compleix, doncs, la relació C + V = A + 2, ja que: 7 + 10 = 15 + 2
Aplica
Raona
6 ■ Comprova el teorema d’Euler per a tots els polígons regu-
8 ■ La figura adjunta és un poliedre? De
lars.
quin tipus? Compta el nombre de cares, arestes i vèrtexs que té i comprova si en
7 ■■ El poliedre de la figura està format per
aquest cas es verifica el teorema d’Euler. Per
sis octàgons i vuit triangles. Quantes arestes té?
què?
Calcula el nombre de vèrtexs fent servir la fórmula d’Euler.
Mates3ESO_U10.indd 201
24/1/11 13:14:39
Geometria a l’espai
3
El teorema de Pitàgores a l’espai 3.1 Recorda
En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa c és
Càlcul de la diagonal d’un ortoedre
Per calcular les diagonals d’un ortoedre d’amplada a, longitud b i alçada c cal aplicar el teorema de Pitàgores.
c =a +b 2
2
2
diagonal
c
Fixa’t que la diagonal D és el segment QR. Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle PQR; s’obté:
Q
P
b
a
D2 = (PQ) + c2 2
igual a la suma dels quadrats dels catets a i b.
R
S
D’altra banda, el triangle PQS, també és rectangle: els seus catets són a i b; per tant, (PQ)2 = a2 + b2. Combinant aquesta la fórmula amb l’anterior s’obté: D 2 = a2 + b2 + c 2
D = a2 + b2 + c 2
Aquesta darrera fórmula ens permet calcular la diagonal d’un ortoedre. c
a
Exemple
b
11. La diagonal d’un cub d’aresta unitat mesura: D = a 2 + b 2 + c 2 = 12 + 12 + 12 = 3 = 1,73 cm
c=1 b=1 a=1
3.2
202
Càlcul de l’apotema d’una piràmide regular
Recorda
En una piràmide regular, cal distingir entre l’apotema de la base i l’apotema d’una de les cares laterals. La relació entre aquestes magnituds ve donada pel teorema de Pitàgores.
B
L’apotema d’un polígon regular és el segment que va des
El triangle ABC és rectangle. L’apotema de la base és el segment AC, l’apotema d’una cara lateral és AB i l’altura de la piràmide és el segment BC. La relació que mantenen és AB 2 = AC 2 + BC 2 .
del centre del polígon al punt mitjà d’un dels seus costats; o dit d’una altra manera, el segment traçat des del centre del
Designant amb h l’altura de la piràmide, amb aC l’apotema d’una cara i amb aB l’apotema de la base, la relació anterior s’escriu:
A
C
polígon que és perpendicular a
aC2 = aB2 + h2
un dels seus costats.
Exemple 12. Calcula l’alçada d’una piràmide de base quadrada, el costat de la qual fa 10 m, i l’apotema d’una cara, 20 m. h = aC2
aB 2
h = 202
52
h = 375 = 19,36 m
Aplica
Resol
9 ■ Calcula la diagonal d’un ortoedre d’arestes 3, 4 i 12 cm.
12 ■■ L’àrea de la base d’un ortoedre de base quadrada és de 36 dm2. Calcula la diagonal de l’ortoedre si la seva altura és de
10 ■ Calcula l’apotema d’una piràmide de base quadrada,
45 cm.
l’apotema lateral de la qual fa 10 cm, i l’altura, 8 cm. Quina és l’àrea de la base?
13 ■■ La base d’una piràmide és un hexàgon de 3 cm de costat. L’altura de la piràmide és de 6 cm. Calcula les dimensions
11 ■ Calcula les dimensions de l’aresta d’una piràmide de base
de l’apotema de cada cara i les dimensions de l’aresta de la pi-
quadrada d’apotema lateral 10 cm i altura 8 cm.
ràmide.
Mates3ESO_U10.indd 202
24/1/11 13:14:42
4
Àrea dels poliedres
4.1
Àrea d’un prisma
L’àrea total AT d’un prisma és la suma de les àrees laterals AL i de l’àrea de les dues bases AB: AT = AL + 2AB
Recorda Les fórmules per calcular les àrees A dels principals polígons són: Rectangle: A = b · h
Exemple
Quadrat: A = c2
13. La figura mostra un prisma pentagonal recte amb el seu desenvolupament pla. L’àrea total s’obté a partir de l’àrea d’un dels pentàgons de la base multiplicada per 2, més l’àrea d’una de les cares rectangulars laterals multiplicada per 6.
Romboide: A = b · h D ·d Rombe: A = 2 b ·h Triangle: A = 2 Polígon regular: A = Trapezi: A =
(B · b)h
Cercle: A = πr 2
4.2
P ·a 2
2
Àrea d’una piràmide
L’àrea total AT d’una piràmide es calcula sumant l’àrea de la base AB i l’àrea lateral AL. B
AT = AB + AL Si la piràmide és regular, l’àrea lateral és a P AL = Base L , en què PBase és el perímetre 2 de la base i aL l’apotema lateral.
apotema lateral
203 C
aL (apotema lateral)
A
La utilització de formes polièdriques és una constant en l’arquitectura moderna.
Com aplicar-ho. Calcular l’àrea d’una piràmide regular
Consells
Calcula l’àrea d’una piràmide de base quadrada de costat c = 6 cm i altura 4 cm. • Primer cal calcular l’àrea de la base, que és un quadrat: AB = c2 = 62 = 36 cm2. En un quadrat, l’apotema fa la meitat que un costat, 3 cm. • Aplicant Pitàgores, l’apotema lateral mesurarà:
(aL)
2
Fes un esquema gràfic abans de començar. 4 cm
6 cm
= (aB) + h → (aL) = 3 + 4 = 25 → aL = 5 cm. 2
2
2
2
No confonguis l’apotema de la base amb l’apotema del triangle.
2
Vegeu els exercicis 14 pàg. 203; 69 i 71 pàg. 218.
• El perímetre de la base és 6 · 4 = 24 cm. Per tant, l’àrea lateral serà: 24 5 = 60 cm2, i l’àrea total AT = 60 + 36 = 96 cm2 AL = 2
Resol
16 ■ La capsa d’un regal té forma de prisma hexagonal. Si el costat
14 ■ Calcula l’àrea total d’un ortoedre d’amplada a = 4 cm,
de l’hexàgon fa 5 cm i l’altura del
longitud b = 5 cm i altura c = 6 cm.
prisma, 10 cm, quina és la mínima
15 ■ Una piràmide de base quadrada té una base de 81 cm2. Calcula l’àrea total d’aquesta piràmide si la seva altura és de
quantitat de paper que cal per embolicar-lo?
6 cm.
Mates3ESO_U10.indd 203
24/1/11 13:14:45
Geometria a l’espai
5
Volum dels poliedres 5.1 Recorda
Volum d’un ortoedre
Si tenim un ortoedre d’amplada a, longitud b i alçada c, el seu volum V es calcula multiplicant les tres dimensions.
Un ortoedre és un paral-
V=a·b·c
lelepípede ortogonal, és a dir,
Com que l’àrea de la base AB d’un ortoedre és AB = a · b, i l’altura c es pot designar com a h, també es pot dir que el volum d’un ortoedre és igual al producte de l’àrea de la base per l’altura.
les cares formen entre si angles diedres rectes. Són prismes rectangulars rectes. Les cares opo-
c
a
b
V = AB · h
sades d’un ortoedre són iguals.
Exemple
Un cub és un cas especial d’ortoedre en què totes les cares
14. Les dimensions de l’ortoedre de la figura són a = 3 cm, b = 4 cm i c = 4 cm. El seu volum és V = 3 · 4 · 4 = 48 cm3.
són quadrats.
5.2
Volum d’un prisma. El principi de Cavalieri
Suposa dos cossos o més que compleixen les condicions següents: • Tenen la mateixa altura i les àrees de les seves bases són iguals. • Un pla paral·lel a la base determina seccions d’àrea igual.
204
Aleshores, el volum d’aquests cossos és igual. Aquesta propietat és general i rep el nom de principi de Cavalieri, i permet deduir que el volum d’un prisma és el mateix que el d’un ortoedre de base AB i altura h. V = AB · h Exemples 15. La figura següent representa un prisma recte de base triangular, un ortoedre de base quadrada i un prisma oblic de base quadrada. Fixa’t que els tres cossos verifiquen el principi de Cavalieri.
altura
L’àrea de les seves bases és la mateixa, tenen la mateixa altura i les seccions paral·leles a la base tenen la mateixa àrea, i, per tant, tenen el mateix volum. 16. Calcula el volum d’un prisma oblic, inclinat 45º, que té una base quadrada i de 10 cm2 i una alçada de 15 cm. El fet que estigui inclinat no influeix, i se’n pot calcular el volum aplicant la fórmula directament: V = AB · h → 10 · 15 = 150 cm2.
Aplica
Resol
17 ■ Calcula el volum d’un prisma de base quadrada de costat
19 ■ Un envàs de llet té forma d’ortoedre. Les mides de la seva
4 cm i d’altura 6 cm.
base són 64 i 72 mm. Si la capacitat de l’envàs és d’1 L, quina és l’altura? (recorda que una capacitat d’1 L és equivalent a un
18 ■ Un cub té un volum de 64 cm3. Calcula les dimensions de
volum d’1 dm3).
la seva aresta. Quina és l’àrea del cub?
Mates3ESO_U10.indd 204
24/1/11 13:14:47
5.3
Volum d’una piràmide
El volum d’una piràmide és la tercera part de l’àrea de la seva base per l’altura, i és equivalent a un terç del volum d’un prisma de la mateixa base i altura: 1 V = AB h 3 Exemple 17. Fixa’t com, en un cub d’aresta c, hi caben 6 piràmides iguals l’altura de les quals és la meitat de l’aresta. 1 Com que volum del cub és V = c3, aleshores, el volum de cada piràmide és V = c 3. 6 c Tenint en compte que l’alçada de la piràmide és h = , el volum es pot expressar 2 1 1 V = c 3 = c 2 h. Com que c2 és l’àrea de la base de la piràmide AB , finalment s’arriba 6 3 1 a l’expressió V = AB h. 3
5.4
c c — 2
Volum d’un tronc de piràmide
Un tronc de piràmide és el cos que resulta de seccionar una piràmide per un pla paral·lel a la base. En el cas que la piràmide sigui regular, les cares són trapezis isòsceles.
205
El volum d’un tronc de piràmide és igual al volum de la piràmide de la qual prové, menys el de la piràmide que se li talla.
Com aplicar-ho. Calcular el volum d’un tronc de piràmide
Consells
Se secciona una piràmide de base quadrada de 10 cm de costat i alçada 12 cm, per un pla paral·lel a 5 cm de la base. Calcula el volum del tronc.
Fes-te un esquema gràfic abans de començar.
• Primer cal calcular el volum de la piràmide original: 1 1 Vpiràmide original = AB h 100 12 = 400 cm3 3 3 • Per calcular el volum de la piràmide sobrant, cal tenint en compte que els triangles rectangles ABC i A’BC’ són semblants. Per calcular l’apotema de la base 5 x s’estableix per Tales la relació de proporcionalitat = x = 2,92 cm. 12 7 • La longitud de la base de la piràmide sobrant és el doble de l’apotema, b = 2,92 · 2 = 5,84 cm, i la seva àrea A és el quadrat de la base: A = b2 → A = 5,842 = 24,03 cm2 1 • El volum de la piràmide sobrant és Vpiràmide sobrant = 34,03 7 = 79, 40 cm3. 3 • El volum del tronc és: Vtronc = Vpiràmide original − Vpiràmide sobrant = 400 − 79,40 = 320,60 cm3
Recorda les relacions entre costats de triangles semblants.
Aplica
B
B
7 cm
12 cm C’
A’
C
C’ 5 cm
A
C
A’
5 cm
A
10 cm
Vegeu els exercicis 24 pàg. 207; 77 pàg. 219.
21 ■ Se secciona a 4 cm de la base una piràmide de base quadrada de 20 cm de costat i alçada 30 cm.
20 ■ Calcula el volum d’una piràmide de base quadrada de
Calcula el volum del tronc.
13 cm
costat a = 8 cm i altura h = 10 cm. 22 ■■ Calcula el volum de la piràmide.
Mates3ESO_U10.indd 205
10 cm
24/1/11 13:14:48
Geometria a l’espai
6
Cossos de revolució: el cilindre i el con r
altura
generatriu
eix altura
generatriu
r r
radi
6.1
Àrea i volum d’un cilindre
Els anomenats cossos de revolució s’obtenen fent girar 360º una figura plana al voltant d’un eix. Els principals cossos de revolució són el cilindre, el con i l’esfera. Un cilindre és un cos de revolució generat per la rotació d’un rectangle. L’eix de rotació és un dels costats del rectangle. L’àrea d’un cilindre és la suma de l’àrea de les bases i de l’àrea lateral, que és un rectangle:
base
eix de rotació
• Àrea de la base: AB = πr 2.
radi r
altura h
altura h
altura h
altura h
• Àrea lateral: AL = 2πr · h.
base rectangle: 2πr
radi base
volum cilindre = àrea base · altura
volum prisma = àrea base · altura
Per tant, l’àrea total és: A = 2AB + AL → A = 2πr 2 + 2πr · h El volum d’un cilindre es calcula aplicant el principi de Cavalieri. És, doncs, equivalent al volum d’un prisma de la mateixa base i altura. Com que l’àrea de la base és AB = πr 2: V = AB · h → V = πr 2 · h
Exemple 18. Per calcular l’àrea i el volum d’un cilindre amb un radi de 30 cm a la base i 60 cm d’altura, només cal aplicar les fórmules:
206
Àrea: A = 2πr 2 + 2πr · h = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 30(30 + 60) = 16 956 cm2. Volum: V = πr 2 · h = 3,14 · 302 · 60 = 169 560 cm3.
6.2
Àrea d’un con
Un con és un cos de revolució generat per un triangle rectangle que gira al voltant d’un catet. La generatriu g del con és la hipotenusa del triangle rectangle. El desenvolupament pla del con consta d’un sector circular el radi del qual és la generatriu, i d’un cercle.
vèrtex longitud de l’arc: 2πr
altura
generatriu
L’àrea del con s’obté sumant l’àrea del sector circular i l’àrea del cercle que forma la base. radi base
generatriu
eix de rotació
radi: r
Per calcular l’àrea del sector circular, cal tenir en compte la longitud del seu arc. Si r és el radi de la base, la longitud de l’arc és l = 2πr. Aleshores, l’àrea del sector és As = πr · g. Per tant, l’àrea total del con serà: A = πr · g + πr 2
Exemple 19. Calcula l’àrea d’un con de 30 cm d’alçada i 20 cm de radi. Per poder aplicar la fórmula cal la generatriu. Tenint en compte que equival a la hipotenusa d’un triangle de catets 30 cm i 20 cm, la generatriu es pot obtenir aplicant el teorema de Pitàgores: g = 302 + 202 = 900 + 400 = 36,05 cm. A = πr · g + πr2 → A = πr(g + r) → A = 3,14 · 20(36,05 + 20) = 3 519,94 cm3
Mates3ESO_U10.indd 206
24/1/11 13:14:49
6.3
Volum d’un con
El volum del con es pot obtenir per analogia al volum d’una piràmide aplicant el principi de Cavalieri. És a dir, el volum d’un con d’altura h és el mateix que el volum d’una piràmide de la mateixa altura: V=
1 A h 3 B
r2 h 3
V=
Recorda La secció d’un con i d’una piràmide amb la mateixa base i la mateixa altura, per un pla situat a la mateixa alçada, tenen la
V=
r 2 h 3,14 302 60 169 560 = = = 56 529 cm3 3 3 3
6.4
altura
20. Per calcular el volum d’un con amb una base de 30 cm de radi i una alçada de 60 cm només cal aplicar la fórmula:
altura
mateixa àrea.
Exemple
Àrea i volum d’un tronc de con
Quan se secciona un con per un pla paral·lel a la base s’obté una figura anomenada tronc de con.
con sobrant
L’àrea d’un tronc de con és la suma de l’àrea de les bases més l’àrea lateral:
207 r r
• Àrea de les bases: AB = πR2 + πr2, en què R és el radi de la base gran, i r, el de la petita.
generatriu r
• Àrea lateral: és un trapezi circular limitat per dos arcs de longituds 2πR i 2πr, respectivament. L’àrea lateral és, doncs, la d’un trapezi de bases 2πR i 2πr i d’altura g (g és la generatriu del tronc de con), per tant:
(2
2πr
R
R + 2 r)g
= (R + r ) g 2 El volum s’obté restant el volum del con gran i el con sobrant V = Vcon gran − Vcon sobrant. AL =
2πr
Recorda Dos triangles rectangles amb un angle comú són semblants.
Exemple
A
21. Per calcular l’àrea d’un troc de con amb una base gran de 30 cm de radi, una de petita de 15 cm, i una generatriu de 10 només cal aplicar les fórmules: AB = πR2 + πr2 → AB = 3,14(302 + 152) → AB = 3 532,5 cm2 AL = π(R + r) = 3,14(30 + 15)10 = 1 413 cm
AC CB AB —— = —— = —— AC’ CB’ AB’ C
B
2
A = AB + AL = 3 532,5 + 1 413 = 4 945,5 cm2
Resol
C’
B’
25 ■ Una llauna de refresc fa 6,5 cm de diàmetre i 10,5 cm d’altura. Quin volum té? Quant de material cal per construir-la?
23 ■ Calcula l’àrea i el volum d’un cilindre de 10 cm d’altura si té un diàmetre de 5 cm. Quina capacitat en litres té?
26 ■■ La generatriu d’un con mesura 15 cm i la base té un radi de 9 cm. Calcula el volum del con i la seva àrea. Si aquest
24 ■ Calcula el volum i l’àrea d’un con de 12 cm d’altura si el
se secciona per un pla situat a 4 cm de la base, calcula l’àrea i el
radi de la base és de 4 cm.
volum del tronc de con resultant.
Mates3ESO_U10.indd 207
24/1/11 13:14:51
Geometria a l’espai
7
Simetria i semblança en els cossos geomètrics 7.1
Els elements de simetria. El pla de simetria
Els elements de simetria que pot tenir un polígon són: • En el pla, els eixos de simetria i els centres de simetria. • En l’espai, els plans de simetria, que són els que estudiaràs en aquesta unitat. Un pla de simetria és una superfície que divideix l’objecte en dues meitats especulars iguals. Exemple 22. Els punts M1, M2, M3 i M4 són els punts mitjans de dos parells d’arestes paral·leles. El pla que determinen divideix el cub en dues meitats iguals. Fixa’t que els dos vèrtexs A i A’, situats en la mateixa aresta, són punts simètrics respecte del punt M1.
Els minerals cristal·litzen en forma de poliedres. L’halita o sal gemma, per exemple, cristal·litza en forma
El pla determinat pels punts M1, M2, M3 i M4 és un dels diversos plans de simetria d’un cub.
de cubs.
7.2
A’ M2
M1 A
M3
M4
Plans de simetria dels poliedres regulars
Tots els poliedres regulars tenen plans de simetria.
Alerta
208
Exemple 23. Fixa’t en el nombre de plans de simetria de cada poliedre regular en la taula següent:
Tost els poliedres regulars tenen plans de simetria, però no tots els poliedres en tenen, com, per exemple, aquest prisma de cares romboèdriques: C ` A
_ & ` & a & 90º
plans de simetria
tetraedre
Té sis plans de simetria. Cada pla passa per una aresta i pel punt mitjà de l’aresta oposada.
cub
Té nou plans de simetria. Hi ha tres plans de simetria que passen pel punt mitjà d’arestes paral·leles, i sis plans de simetria que passen per dues arestes oposades.
octaedre
Té nou plans de simetria. Sis plans que passen pels punts mitjans de dues arestes oposades i tres plans que passen per un parell de vèrtexs oposats.
dodecaedre
El dodecaedre té quinze plans de simetria. A la figura pots observar-ne un.
icosaedre
L’icosaedre té quinze plans de simetria. A la figura pots observar-ne un.
_ a
Mates3ESO_U10.indd 208
poliedre
exemple
B
24/1/11 13:14:53
7.3
Plans de simetria d’altres poliedres i dels cossos de revolució
• Els prismes rectes tenen tants plans de simetria com eixos de simetria tinguin les bases, i a més un pla paral·lel a una de les bases que el secciona per la meitat. • Pel que fa a les piràmides rectes, la situació és la mateixa que la dels prismes pel que fa als eixos de simetria de la base, però no tenen pla de simetria paral·lel a la base. • Els cossos de revolució tenen infinits plans de simetria perpendiculars a la base que conté l’eix de rotació. En el cas de l’esfera, tot pla que seccioni l’esfera i passi pel seu centre és un eix de simetria. Exemples 24. Un triangle equilàter té tres eixos de simetria, per tant, un prisma amb aquesta base tindrà tres plans perpendiculars a les bases i un pla paral·lel a les bases que el seccioni per la meitat. La figura mostra els eixos de simetria d’un triangle equilàter i la seva correspondència amb els plans de simetria del prisma. 25. Fixa’t en alguns dels infinits plans d’un cos de revolució. En el con i el cilindre, els plans de simetria són perpendiculars a la base i contenen l’eix de rotació. En l’esfera, qualsevol pla que passi pel centre és un pla de simetria.
7.4
plans de simetria perpendiculars a les bases
pla de simetria paral·lel a les bases eix de rotació
eix de rotació
eix de rotació
209
Semblança en cossos geomètrics
La raó de semblança k entre les àrees de dos poliedres construïts a partir de polígons semblants és k2 i la raó entre els volums és k3. Exemple 26. Els dos paral·lelepípedes de la figura estan construïts a partir de paral·lelograms semblants. La raó de semblança entre les arestes és 2 (2 : 1 = 2). Fixa’t que la raó de les àrees dels paral·lelograms que formen els dos cossos és el quadrat de la raó de semblança (22 = 4), i que caben 8 cossos com el primer en el segon. Per tant, la raó entre volums és el cub de la raó de semblança (23 = 8).
Aplica
29 ■ Quants plans de simetria té una piràmide regular de base quadrada?
27 ■ Dibuixa els eixos de simetria d’un rectangle i fes-los servir per deduir els eixos de simetria d’un ortoedre. 28 ■ Quants plans de simetria té un prisma recte la base del qual és un hexàgon regular?
30 ■ Un cub té 2 cm d’aresta, i un altre té una aresta de 8 cm. Quina relació hi ha entre els dos volums? 31 ■■ Un tetraedre té una aresta de 4 cm. Calcula’n l’àrea. Quin serà l’àrea d’un tetraedre d’aresta 6 cm?
Mates3ESO_U10.indd 209
24/1/11 13:14:54
L’esfera i el globus terraqüi
Geometria a l’espai
8
8.1
Concepte d’esfera i els seus elements
Una esfera és un cos de revolució generat per un gir de 360º d’un semicercle al voltant del seu diàmetre. Tots els punts de la superfície esfèrica equidisten d’un punt anomenat centre. La distància d’un punt al centre s’anomena radi de l’esfera, i es correspon amb el radi de la semicircumferència que la genera. A més, en l’esfera cal considerar els elements següents:
Alerta
• Cercles. Són seccions determinades per un pla que talla l’esfera. Si el pla passa pel centre, el cercle és màxim, en cas contrari, el cercle s’anomena menor. • Pols. Són els dos extrems oposats al diàmetre perpendicular a un cercle.
No confonguis superfície esfèrica amb esfera: Quan parlem d’esfera ens refe-
• Casquets esfèrics. Són la part menor de la superfície esfèrica determinada per la secció d’un pla. Exemple
rim a tot el cos. Quan parlem de superfície es-
pol
27. Fixa’t en els elements d’aquesta esfera:
fèrica ens referim a la superfície que la limita.
cercle menor
90º radi
cercle màxim
pol
casquet
210 8.2
Àrea i volum d’una esfera
L’àrea A d’una superfície esfèrica de radi r és: A = 4πr 2 A diferència del cilindre i el con, l’esfera no admet un desenvolupament pla. Això fa que l’àrea d’una superfície esfèrica no sigui fàcil de deduir. El volum V es pot deduir aplicant el principi de Cavalieri. Arquimedes va imaginar una semiesfera un con i un cilindre amb la mateixa altura i la mateixa base. Va deduir que seccionant els tres cossos per un pla horitzontal que els tallés per la meitat de l’altura, la secció del cilindre seria la suma de les àrees de les seccions del con i de la semiesfera. r d
d
r
r
Per tant, aplicant el principi de Cavalieri, tindrem: Vcilindre = Vcon + Vsemiesfera, i per tant: 1 2 2 3 Vsemiesfera = Vcilindre Vcon = r 2 r r r= r 3 3 Finalment, el volum de l’esfera s’obté multiplicant per 2 el volum de la semiesfera, és a dir: 4 3 Vesfera = r 3 Exemple 28. Calcula l’àrea de la superfície esfèrica i el volum d’una esfera de 2 dm de radi. A = 4πr 2 → A = 4 · 3,14 · 22 = 50,27 dm2 4 3 4 V= r V= 8 = 33,51 dm3 3 3
Mates3ESO_U10.indd 210
24/1/11 13:14:56
8.3
El globus terraqüi
La Terra té forma d’esfera lleugerament aixafada pels pols a causa del moviment de rotació. La seva superfície també presenta altres irregularitats. En termes relatius, la diferència entre una esfera perfecta i la forma real de la Terra és molt petita i, a la pràctica, es parla de l’esfera terrestre o globus terraqüi. Cal distingir-hi els elements següents: • Eix de rotació. És l’eix imaginari al voltant del qual la Terra efectua diàriament un moviment de rotació. • Pols. Són els punts en què l’eix de rotació talla la superfície terrestre. Es distingeix el pol Nord i el pol Sud. • Cercle equatorial. És el cercle màxim perpendicular a l’eix de rotació. Divideix l’esfera terrestre en dues meitats iguals, que s’anomenen hemisferi Nord i hemisferi Sud. La circumferència que correspon al cercle equatorial és l’equador.
Imatge de la Terra vista des de l’espai. S’hi pot apreciar un lleuger aixafament pels pols (21 km) a causa de la rotació.
• Meridians. Són les circumferències màximes que passen pels pols. Hi ha infinits meridians. • Paral·lels. Són les circumferències menors paral·leles a l’equador. Hi ha infinits paral·lels, i tots són perpendiculars a l’eix de rotació. • Fus esfèric o fus terrestre. És la part de la superfície terrestre limitada per dos meridians. Exemple
Alerta Tots els meridians tenen la mateixa longitud, mentre que la longitud dels paral·lels decreix de l’equador als pols.
211
29. Identifica els elements del globus terraqüi. pol Nord paral·lel
equador
meridià eix de rotació
pol nord paral·lel pol Sud equador
cercle equatorial
fus esfèric
pol sud
Resol
34 ■ Quina és la distància màxima que hi pot haver entre dos punts de la Terra?
32 ■ Calcula l’àrea i el volum d’una esfera de 4 dm de radi. 35 ■ Quin és el radi d’una esfera si té un volum de 100 m3? 33 ■ El radi de la Terra és d’uns 6 370 km. Calcula: a) La longitud d’una circumferència màxima.
36 ■■ Ens diuen que el volum d’una esfera és igual al valor
b) L’àrea de la superfície terrestre.
numèric de la seva àrea. Quant mesura el radi si prenem com a
c) El seu volum.
unitat de mesura el metre?
Mates3ESO_U10.indd 211
24/1/11 13:14:58
Geometria a l’espai
8.4
Longitud i latitud
Els meridians i els paral·lels formen una quadrícula imaginària que permet definir la posició d’un punt qualsevol de la superfície terrestre coneixent la seva latitud i longitud.
Fins fa pocs anys, per determinar les coordenades d’un punt s’utilitzaven instruments, com el sextant, basats en la posició del Sol. Actualment s’utilitzen els GPS.
A
212
València 39º 28’ 12’’ N 0º 22’ 36’’ O Buenos Aires 35º 29’ 18’’ S 62º 58’ 31’’ O
Per definir aquests conceptes es necessita un meridià de referència, que és el meridià de Greenwich o meridià zero, i un paral·lel de referència, que és l’equador. • La latitud geogràfica d’un punt P és la mesura de l’arc comprès entre l’equador i aquest punt. Els valors de la latitud estan compresos entre 0º (que correspondria a un punt sobre l’equador) i 90º (que correspondria a un punt situat sobre un dels pols). Un punt té latitud nord si està situat al nord de l’equador; o latitud sud si és al sud de l’equador.
pol nord
meridià de Greenwich
meridià que passa per P P equador A
B
pol sud La longitud de P és la mesura, en graus, de l’arc AB. pol nord paral·lel que passa per P
P equador A
pol sud La latitud de P és la mesura, en graus, de l’arc AP.
• La longitud geogràfica d’un punt P és la mesura en graus de l’arc comprès entre el meridià de Greenwich fins al meridià que passa pel punt P. Els valors de la longitud estan compresos entre 0º i 180º. Un punt té longitud est si està situat a l’est del meridià de Greenwich o longitud oest si està situat a l’oest d’aquest meridià. Exemple 30. Fixa’t en la quadrícula terrestre. El punt A té latitud nord i longitud oest, i el punt B té latitud sud i longitud est.
B
8.5
Les coordenades geogràfiques
Les coordenades geogràfiques d’un punt són la seva latitud i la seva longitud. S’indica primer la latitud i després la longitud, normalment separades per una coma. Exemple 31. Les coordenades geogràfiques de València són 39° 28’ 12” N, 0° 22’ 36” O. Això vol dir que està situada 39° 28’ 12” al nord de l’equador i 0° 22’ 36” a l’oest del meridià de Greenwich. Les coordenades de la ciutat de Buenos Aires (Argentina) són 35° 29’ 18” S, 62° 58’ 31” O. Això vol dir que està situada 35° 29’ 18” al sud de l’equador i 62° 58’ 31” a l’oest del meridià de Greenwich.
Aplica
39 ■ Busca en un atles o per Internet les coordenades geogràfiques de Madrid, Barcelona, Berlín, Moscou i Ciutat del Cap.
37 ■ Sabent que la circumferència de la Terra és d’uns 40 000 km, quina distància sobre un meridià hi haurà entre dos punts sepa-
Raona
rats per una latitud de 2º? 40 ■ Hi ha un punt de la Terra que tingui una latitud de 38 ■ Calcula la distància entre el pol Nord i el pol Sud.
Mates3ESO_U10.indd 212
92º N?
24/1/11 13:15:00
8.6
Rotació i diferència horària
La Terra tarda 24 hores a fer una volta sencera sobre si mateixa (moviment de rotació). Com que té forma esfèrica, els rajos solars no il·luminen alhora tota la seva superfície i el Sol descriu en el cel un moviment aparent d’est a oest. En conseqüència, dos punts allunyats (en longitud) de la Terra tenen una hora solar diferent. D’altra banda, dos punts situats sobre el mateix meridià reben la mateixa il·luminació i tenen la mateixa hora. Exemple 32. Tenint en compte que la Terra tarda 24 h a fer un gir de 360º, cada hora girarà 360o = 15o. 24 Per tant, si entre dos punts de la Terra hi ha una diferència de longituds de 15º, la seva diferència horària solar és d’1 h.
8.7
Les diferències horàries s’expliquen per la forma i la rotació de la Terra.
Les zones horàries
Alerta Et pots trobar que les coorde-
213
expressades en el sistema secanvi de data
meridià de Greenwich
nades d’un indret no estiguin
canvi de data
Les zones horàries o fusos horaris es corresponen, aproximadament amb meridians separats per 15º, dins dels quals s’estableix una hora oficial. Per simplificar, s’estableix que dos punts situats dins del mateix fus horari tenen la mateixa hora oficial, encara que la seva hora solar no sigui exactament la mateixa.
xagesimal, sinó en metres. Es tracta del sistema de coorde-
Les zones horàries presenten límits –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 –11 irregulars que sovint no coincideixen amb els 15º d’amplitud, fruit de la seva acomodació a les fronteres estatals i regionals.
nades UTM (Universal Transver-
Les zones horàries tenen com a referència el meridià de Greenwich. Com que la Terra gira d’oest a est, s’afegeix una hora cada 15º a l’est i es resta una hora cada 15º a l’oest.
a E 430698,8; N 4582145,4.
sal de Mercator). Barcelona, en coordenades UTM, està situada
Exemple 33. Barcelona té una longitud de 2º 10’ E i Buenos Aires de 62º 58’ O. Quina és la diferència horària solar que hi ha entre les dues ciutats? Cal prendre les longituds est com a positives i les oest com a negatives i restar: 2º 10’ − (−62º 58’) = 64º 68’ = 65º 8’ = 65,13º (en forma incomplexa). Com que cada hora gira 15º, tenim que: 65 : 15 = 4,35 h = 4h 20 min.
Resol
43 ■■ Busca les coordenades geogràfiques del Cap de Creus i Finisterre i calcula’n la diferència horària solar.
41 ■ Un fus horari equival a una diferència de longitud de 15º. Quina distància sobre l’equador hi haurà entre dos punts separats per un fus horari?
44 ■■ Observa el mapa i troba la diferència horària entre l’Espanya peninsular i l’Argentina. 45 ■■ En un bitllet d’avió hi llegim la informació següent: sortida
42 ■ Busca les coordenades geogràfiques de París i Nova York
de Màlaga: 12.35 h; hora d’arribada a Istanbul: 16.50 h. Quant
i calcula’n la diferència horària.
ha durat el vol?
Mates3ESO_U10.indd 213
24/1/11 13:15:04
Tot són matemàtiques
Les matemàtiques d’Escher Maurits Cornelis Escher (1898-1972) és l’artista més admirat pel món matemàtic. Després de deixar els estudis d’arquitectura, va destacar especialment com a dibuixant i gravador. Una part important de la seva obra s’exposa al Museu Escher de La Haia (Països Baixos). Les construccions d’Escher s’inspiren en la matemàtica i els temes que tracten es poden dividir en tres grans grups: la forma de l’espai, la lògica de l’espai i l’autoreferència. LA FORMA DE L’ESPAI (geometria no euclidiana)
214
Aquestes obres es basen en un esquema del matemàtic francès Henri Poincaré, que descrivia el comportament d’un espai hiperbòlic, un tipus de geometria no euclidiana, és a dir, en la qual no es compleixen els clàssics postulats d’Euclides, com ara que el camí més curt entre dos punts és la línia recta.
Imagina que fossis bidimensional i que visquessis a dins d’aquest gravat. Començant des del centre, a mesura que t’acostessis a la vora, t’aniries fent petit i, així, mai hi podries arribar, perquè les teves passes serien també cada vegada més curtes.
LA LÒGICA DE L’ESPAI Per lògica de l’espai s’entenen les relacions habituals que hi ha entre els objectes en l’espai segons la nostra percepció. Quan es viola aquesta lògica, apareixen les paradoxes visuals i les il·lusions òptiques. En la seva obra, Escher ens repta a determinar si són possibles o no alguns volums en l’espai, juga amb els conceptes de dins i fora (triangle de Penrose), crea paradoxes infinites (com l’efecte Droste) o escales que pugen i baixen a la vegada. Una imatge que exhibeix l’efecte Droste inclou una versió més petita de si mateixa, que alhora inclou una altra versió en un lloc similar encara més petita i així successivament.
Mates3ESO_U10.indd 214
24/1/11 13:15:14
Geometria a l’espai
AUTOREFÈRENCIA L’autoreferència és la capacitat de referir-se a un mateix, i està relacionada amb la consciència, la possibilitat dels éssers humans de pensar en la seva pròpia existència. Escher aborda l’autoreferència en la seva obra de manera clàssica: «Qui mira a qui quan ens mirem en un mirall?». O amb efectes totalment nous com «L’obra que es crea a si mateixa».
Analitza i investiga 1. Busca quins són els axiomes o postulats d’Euclides, i com els van modificar matemàtics com Gauss, Lobachevski, Bolyai o Riemann per definir altres geometries no euclidianes. Busca exemples d’imatges
215
que aparentment violin algun dels postulats d’Euclides. 2. Explica què és la lògica de l’espai. Com es pot relacionar amb la creació artística? 3. Formeu parelles, amb ajuda del professor o professora, i amb una càmera fotogràfica digital i algun sistema de reflexió (miralls) o un ordinador, intenteu crear imatges amb l’efecte Droste. Confeccioneu un petit treball, mural, o presentació de diapositives, sobre l’obra creada, i expliqueu-ne els detalls més rellevants. 4. Busqueu informació sobre el joc d’ordinador Echochrome. En què es basa? Com es relaciona amb l’obra d’Escher? 5. Els escriptors i guionistes sovint utilitzen el recurs de la «història circular» o l’«autoreferència». Explica en què consisteixen aquests recursos i troba exemples d’obres literàries o cinematogràfiques en què s’utilitzin.
Mates3ESO_U10.indd 215
24/1/11 13:15:20
Geometria a l’espai
Això és bàsic Poliedre. Regió de l’espai limitada per polígons. vèrtex
diagonal
Fórmula d’Euler. Relació entre el
Poliedre convex. Tot segment entre
poliedre còncau
nombre de cares C, arestes A i vèr-
dos punts és completament interior. Poliedre còncau. Cas contrari.
texs V d’un poliedre simple, sense forats. cara
C+V=A+2
aresta
poliedre convex
Poliedres regulars. Les seves cares són polígons regulars iguals i a cada vèrtex hi concorren el mateix nombre de cares. tetraedre
cub
octaedre
dodecaedre
icosaedre
Prismes. Poliedres formats per dues bases poligonals iguals i ca-
Piràmides. Poliedres formats per una base poligonal i per cares
res laterals rectangulars. Poden ser rectes o oblics.
laterals triangulars. Poden ser rectes o obliqües.
base
base cares laterals
altura
base prisma recte
cúspide
base altura
base paral·lelepípede
altura
A = 2AB + AL V = AB · h
cares laterals
altura
base prisma oblic
A = 2AB + AL 1 V = AB h 3
base
Figura de revolució. Cos generat per una figura plana quan gira 360º al voltant d’un eix.
216
Cilindre. Cos generat per la revolució
Con. Cos generat per la revolució d’un tri-
Esfera. Cos generat per la revolució d’un
d’un rectangle.
angle rectangle.
semicercle.
base
eix de rotació
A = 2πr2 + 2πr · h V = πr · h
altura h
1 2 V= r h 3 A = πr · g + πr2
cercle menor 90º radi
cercle màxim
A = 4πr 2 4 3 V= r 3
radi
radi
base eix de rotació
base
El globus terraqüi
generatriu
altura h
2
vèrtex
pol Nord
casquet
eix de rotació
Longitud. Mesura de l’arc comprès entre el meridià de Greenwich i el que passa per un punt donat.
pol Nord
equador equador 90º
Fus horari. Zona entre dos meridians separats per una longitud de 15º. La diferència horària entre dos fusos és una hora.
Latitud. Mesura de l’arc sobre el meridià entre l’equador i un punt donat. Meridians. Circumferències màximes que passen pels pols.
pol Sud
Paral·lels. Circumferències menors paral·leles a l’equador.
cercle equatorial pol Sud
Com aplicar-ho Procediment
Pas a pas
Aplicar el principi de
1. Assegura’t que els dos cossos tenen la mateixa altura.
Cavalieri per deduir el
2. Verifica que les àrees de les seves bases respectives són iguals.
volum d’un cos qualsevol
3. Verifica que dues seccions paral·leles a la base tinguin la mateixa àrea.
a partir d’un altre
4. Si es compleixen totes aquestes condicions, el volum dels dos cossos és igual i pots aplicar la fórmula del cos de forma més regular.
Calcular la diferència horària
1. Resta les longituds dels punts respectius. Cal prendre les longituds est com a positives i les oest
solar entre dos punts
com a negatives. 2. Divideix la diferència obtinguda entre 15º. El resultat és la diferència en hores solars.
Mates3ESO_U10.indd 216
24/1/11 13:15:22
52 ■ Per comptar les arestes d’un poliedre format per més d’un
Angles a l’espai i poliedres
tipus de polígon, es pot fer el següent: 1. Es multiplica el nombre de cares de cada tipus pel nombre de
46 ■ Defineix els termes següents: a) Angle diedre
d) Aresta
g) Diagonal
costats que té cadascuna.
b) Angle poliedre
e) Vèrtex
h) Poliedre
2. Se sumen els resultats i es divideix el total per 2, per no comp-
c) Triedre
f) Cara
tar una mateixa aresta dues vegades. Calcula aplicant aquest mètode, el nombre d’arestes d’una pirà-
47 ■ Classifica els cossos següents en poliedres còncaus, conve-
mide hexagonal.
xos i formes no polièdriques. c) a)
d)
Geometria a l’espai
Activitats
b)
48 ■ Observa els diferents desenvolupaments plans d’alguns poliedres. Identifica cada desenvolupament amb el poliedre corresponent. a)
b)
c) 53 ■■ Fixa’t en aquest poliedre anomenat cubooctaedre. Està format per 6 quadrats i 8 triangles equilàters. Calcu-
217
la el nombre de cares, arestes i vèrtexs que té. 54 ■■ Si s’uneix el centre de cada cara d’un cub s’obté un octaedre. L’octaedre així obtingut s’anomena poli-
Els poliedres regulars. El teorema d’Euler
edre dual del cub. a) Troba la relació hi ha entre el
49 ■ Els poliedres amb cavitats no han de complir necessàriament
nombre d’arestes dels dos polie-
la relació d’Euler. Comprova-ho amb aquests exemples:
dres.
a)
b)
b) Troba la relació que hi ha entre el nombre de cares del cub i el nombre de vèrtexs de l’octaedre. c) Troba la relació que hi ha entre el nombre de vèrtexs del cub i el nombre de cares de l’ortoedre. 55 ■■ Quins són els poliedres duals d’un tetraedre i d’un oc-
50 ■ Per comptar les arestes d’un cub, es pot fer el següent:
taedre?
1. Com que un cub té 6 cares que són quadrats, es multiplica el nombre de cares pel nombre de costats: 6 · 4 = 24. 2. Es divideix el nombre resultant per 2, per no comptar la mateixa aresta dues vegades. El nombre d’arestes és, doncs, 12. Comprova, seguint aquest mètode, que el nombre d’arestes dels
El teorema de Pitàgores a l’espai 56 ■ Calcula la diagonal d’un cub de 2 cm d’aresta.
poliedres regulars és: Tetraedre: 6, cub: 12, octaedre: 12, dodecaedre: 30, i icosaedre:
57 ■ Quina és la distància màxima que hi pot haver entre dos
30.
punts d’un cub d’aresta 5 cm?
51 ■ Aplica la fórmula d’Euler per deduir el nombre de vèrtexs
58 ■ Calcula la diagonal d’una capsa de sabates de:
dels poliedres regulars.
Mates3ESO_U10.indd 217
3 × 20 × 15 cm
24/1/11 13:15:25
Geometria a l’espai
59 ■ Per posar els llapis fem servir un pot
65 ■■ Tenim un tetraedre d’aresta 10 cm.
cilíndric amb les dimensions representa-
a) Calcula l’àrea de cada triangle.
des a la figura. Quin és el llapis més llarg
b) Calcula l’àrea total del tetraedre.
que s’hi pot posar sense que sobresurti?
18 cm
Les bases de cert prisma són
66 ■■
9 cm
6 cm
triangles isòsceles. Calcula l’àrea total del prisma, les dimensions del qual s’especifiquen en la figura següent:
8 cm
12 cm
60 ■ La caixa de transport d’una furgoneta fa 2 m de llargada, 1,25 d’amplada i 1,10 m d’alçada i s’ha de transportar un llistó de 2,5 m. a) Calcula si aquest llistó hi cap ficat en diagonal, recolzat sobre el terra de la caixa. b) Calcula si hi cap ficat en diagonal, d’un angle superior a un angle inferior.
67 ■
Calcula l’àrea d’un octaedre d’aresta 10 cm.
68 ■ Calcula la diagonal d’un cub si la seva àrea total és de 54 cm2. 69 ■■ L’aresta d’una piràmide de base 13 cm
quadrada mesura 13 cm, mentre que la seva aresta bàsica mesura 10 cm. Calcula l’àrea total de la piràmide.
10 cm
218
70 ■■ Calcula les àrees dels troncs de piràmide regulars següents: 61 ■ Calcula l’alçada d’una piràmide de base quadrada, el cos-
12 cm
5 cm
6 dm
tat de la qual fa 20 m i l’apotema d’una cara, 45 m.
8 dm
62 ■ L’apotema de la base d’una piràmide hexagonal fa 20 m, i l’apotema d’una cara, 45 m. Calcula l’alçada d’aquesta
15 dm
piràmide.
8 cm
71 ■■■ Tenim una piràmide regular de base quadrada. L’aresta de la base mesura 12 cm, i l’altura, 15 cm.
Àrea dels poliedres 63 ■
a) Calcula’n l’àrea.
Calcula l’àrea total de:
b) Calcula l’àrea del tronc de piràmide resultant de sec-
a) Un cub de 4 cm d’aresta.
cionar-la per un pla paral·lel a la base, de manera que
b) Un ortoedre d’arestes 3, 6 i 9 dm.
l’altura del tronc resultant és de 3/5 parts de l’altura de la piràmide.
64 ■■ Un hexàgon regular es pot descompondre en triangles equilàters tal com indica la figura:
Volum dels poliedres
a) Troba l’apotema d’un hexà-
60º
gon regular de costat l = 6 cm. b) Calcula l’àrea total d’un prisma
72 ■ 60º
Calcula el volum dels poliedres següents: a) Un cub d’aresta 5 dm.
60º
b) Un ortoedre de dimensions:
hexagonal regular d’aresta bàsica
a = 5, b = 12 i c = 13 cm
l = 6 cm i d’altura h = 12 cm. 12 cm
c) Una piràmide de base quadrada de 6 cm d’aresta bàsica i 7 cm d’altura. d) Un prisma pentagonal de 10 cm d’aresta bàsica,
6 cm
Mates3ESO_U10.indd 218
6,88 cm d’apotema i 15 cm d’altura.
24/1/11 13:15:27
Les dimensions d’un bric de llet són 21,7 cm d’altu-
73 ■■ Calcula el volum d’una piràmide de base quadrada sa-
81 ■■
bent que l’aresta bàsica i l’aresta lateral són iguals i mesuren
ra, 6,4 cm d’amplada i 7,2 cm de longitud.
6 cm.
a) Quina és la capacitat aproximada en litres?
74 ■■
b) Quines serien les dimensions d’un envàs cúbic que
Calcula el volum d’un octaedre d’aresta 6 cm.
tingués la mateixa capacitat? c) Quin creus que és l’envàs
75 ■ Calcula l’àrea d’un cub si sabem que té un volum de
més econòmic (és a dir, que
100 dm .
requereix menys material)
3
per al fabricant: el cúbic o el 76 ■■ Calcula el volum de l’octaedre
21,7 cm
prismàtic?
de la figura si sabem que l’aresta del cub
Geometria a l’espai
Activitats
mesura 10 cm. 6,4 cm
82 ■ Dibuixa els plano de simetria d’un quadrat i fes-los servir
77 ■■■ Calcula el volum dels troncs de piràmide següents: a)
b)
per deduir els eixos de simetria d’un ortoedre.
12 cm
5 cm
7,2 cm
6 dm
83 ■ Dibuixa els plano de simetria d’un triangle isòsceles i fes-
8 dm
los servir per deduir els eixos de simetria d’un prisma que tingui aquesta base.
15 dm
84 ■ Dibuixa els plano de simetria d’un hexàgon regular i fes-
8 cm
los servir per deduir els eixos de simetria d’un prisma de base
219
hexagonal.
78 ■■ Calcula el volum del poliedre següent: 2 cm
85 ■■ Dibuixa un ortoedre de base quadrada i oblic i fes un esquema dels plans de simetria.
2 cm
2 cm
86 ■■ Dibuixa una piràmide de base pentagonal i fes un esque-
5 cm
ma dels plans de simetria.
6 cm
87 ■■ Un cub té 4 cm d’aresta, i un altre cub té una aresta de 79 ■■ Les dimensions d’una femella
8 cm.
1 cm
a) Calcula’n el volum de cada un.
són les que s’indiquen en la figura se-
b) Quina relació de proporcionalitat hi ha entre els dos
güent: 3 cm
Calcula’n el volum.
volums? c) I entre les àrees?
2 cm
88 ■■ Un tetraedre regular té una aresta de a = 3 cm. 80 ■■ Es vol construir una sitja
a) Calcula’n el volum (V =
1,5 m
per a farratge amb forma d’orto-
b) Quin serà el volum d’un tetraedre d’aresta 6 cm?
edre, amb una piràmide invertida tal com es pot veure en la
3m
figura següent. a) Calcula
els
2 3 · a ). 12
c) Quina relació hi haurà entre dos? 89 ■■ L’aresta lateral d’una piràmide de base quadrada és de
metres
13 cm i l’aresta bàsica en mesura 10. Calcula’n el volum.
quadrats de planxa metàllica que caldran.
90 ■■ Se secciona una piràmide quadrangular regular de 20 cm
b) Calcula el volum de farratge que podrà emmagatzemar.
Mates3ESO_U10.indd 219
1,5 m
d’aresta bàsica i de 30 cm d’altura per un pla paral·lel a 10 cm de la base. Calcula el volum del tronc de la piràmide resultant.
24/1/11 13:15:29
Geometria a l’espai
Cossos de revolució: el cilindre i el con
99 ■■ Explica si és possible calcular el volum d’una columna com la de la figura aplicant el principi de Cavalieri.
91 ■■ El perímetre de la base d’un con mesura 80 cm. Si l’altura del con és de 20 cm, calcula’n el volum i l’àrea. 92 ■ La generatriu d’un con mesura 25 cm. Calcula l’àrea i el volum del con si el diàmetre de la base d’aquest fa 14 cm. 93 ■ Calcula el volum i l’àrea d’un con de 12 cm d’altura si el radi de la base és de 9 cm. 100 ■ Es vol construir un embut cònic de volum 400 cm3. El dià94 ■ Calcula l’àrea i el volum dels cossos de revolució següents:
metre ha de ser de 20 cm. Calcula quant mesura la generatriu.
a) Un cilindre de 5 cm de radi i 8 cm d’altura. b) Un con de 8 cm de radi i 10 cm de generatriu.
101 ■■ Se secciona un con de 15 cm de generatriu i 9 cm de radi per un pla situat a 4 cm de la base. Calcula l’àrea i el volum
95 ■■ Tenim un tronc de con de diàmetres 8 i 5 cm i d’altura
del tronc del con resultant.
4 cm. Calcula: a) El volum. b) L’àrea lateral.
L’esfera i el globus terraqüi
c) L’àrea total.
102 ■ Una esfera té un volum de 100 dm3. Calcula’n l’àrea. 96 ■■ Un llum de taula té una pantalla en forma de tronc de con
220
que té les dimensions següents: radis, 35 i 25 cm i 20 cm d’al-
103 ■ Els dipòsits de gas es construeixen normalment de forma
tura. Calcula la quantitat de material que es necessita per cons-
esfèrica i no cúbica. Raona per què.
truir-la. 104 ■■ L’àrea d’un cub és de 150 cm2. Calcula l’àrea d’una esfera amb el mateix volum que aquest cub. 105 ■■ Se submergeix una esfera de 1 dm de diàmetre en un recipient cúbic de 1 L de capacitat ple d’aigua fins dalt. Quin volum de líquid es vessarà? 106 ■ Tenim una esfera inscrita en 97 ■■ Tenim un con amb un volum de 50 cm i una altura de
un cub d’aresta 5 cm. Calcula el per-
12 cm. Calcula:
centatge de volum del cub que no
3
a) La generatriu.
està ocupat pel volum de l’esfera.
b) L’àrea lateral. c) L’àrea total. 98 ■■ Aplica el principi de Cavalieri per calcular el volum d’un cos
5 cm
recte que té una altura de 10 cm i una base de la forma següent:
107 ■ Calcula la capacitat del dipòsit de gas propà de la figura:
4 cm
5m
Mates3ESO_U10.indd 220
2m
24/1/11 13:15:31
108 ■ El radi de la Terra és, aproximadament, de 6 400 km.
116 ■■ El paral·lel corresponent a una latitud de 30º N divideix
Quina és la distància màxima que separa dos punts de la Terra?
el semieix de rotació en dues parts iguals. Quin és el perímetre d’aquest paral·lel?
109 ■■ Calcula l’àrea i el volum de la figura següent:
eix de rotació
1 dm
3 dm
30º
2 dm
Geometria a l’espai
Activitats
117 ■ Busca les coordenades geogràfiques de Tòquio i Madrid i calcula’n la diferència horària. 110 ■■■ S’ha submergit una esfera de 5 cm de radi en un recipient cilíndric ple d’aigua. Després de submergir-la, l’aigua ha quedat just arran del recipient, però no s’ha vessat. Calcula quina altura tenia l’aigua abans de submergir-hi l’esfera.
221
25 cm
15 cm
118 ■■ La diferència horària entre dos punts de la Terra és de
111 ■■ Calcula el volum del cos representat en la figura: 14 cm
3 hores i 20 minuts. Quina és la seva diferència de longitud? 119 ■■ La diferència entre la latitud de dos punts situats en un mateix meridià és de 5º. Quina és la distància entre aquests dos
4 cm 6 cm
punts? 120 ■■ Una pilota de futbol reglamentària ha de ser una circumferència no superior a 70 cm i no inferior a 68 cm. Calcula:
2 cm
112 ■■ S’ha de repintar un dipòsit esfèric de gas que té un perímetre de 30 m. Si els pintors cobren 30 €/m2, quant costarà fer-ho?
a) El radi màxim i mínim que pot tenir una pilota de futbol. b) El volum màxim i mínim que pot tenir una pilota de futbol. c) La diferència de volum entre una i l’altra en tant per cent.
113 ■ Calcula l’àrea aproximada de la superfície de la Terra. 121 ■■ Una pilota de tennis té un radi de 32,5 mm, i una de 114 ■■ La distància entre dos punts situats en un mateix meridià és de 2 500 km. Quina és la seva diferència de latitud?
tennis taula, 20 mm. Calcula: a) La raó de semblança entre radis. b) La raó de semblança entre àrees.
115 ■ Les longituds de dos punts A i B són respectivament 5º E
c) La raó de semblança entre volums.
i 45º O. Quin angle formen els dos punts respecte del centre de
d) Comprova si la raó de semblança entre les àrees és k2
la Terra si estan situats sobre l’equador?
i la raó entre els volums, k3.
Mates3ESO_U10.indd 221
24/1/11 13:15:33
Geometria a l’espai
Repte 122 ■■■ Hi ha una esfera de 10 cm de radi inscrita en un cilin-
124 ■■■ Suposa que una empresa de joguines de platja t’en-
dre. Quina proporció del volum del cilindre queda fora de l’es-
carrega que dissenyis una pilota que tingui l’aspecte de les de
fera? Troba també la resposta per al cas general d’una esfera de
futbol de reglament, però amb unes dimensions tals que la seva
radi r. Com depèn la proporció de volums del radi de l’esfera?
superfície en dm2 sigui igual que el seu volum en dm3. Tingues en compte que la seva superfície està formada per pentàgons i hexàgons. Es pot considerar, doncs, que el volum de la pilota és la suma dels volums de diverses piràmides pentagonals i
r
hexagonals les cúspides de les quals coincideixen al centre de 2r
la pilota. a) Quin serà el diàmetre d’aquesta pilota? b) Un cop calculat el diàmetre es veu que el resultat
r
obtingut és diferent de la mida reglamentària. Cerca informació sobre aquesta mida. Inventa’t una nova unitat
123 ■■■ Uns amics es disposen a menjar crispetes en uns cu-
de longitud (que tindrà el símbol fu) tal que les pilotes
curutxos de cartolina. Els han fet retallant uns sectors circulars
de reglament compleixin que l’àrea en fu2 sigui igual
de 270º amb 12 cm de radi i convertint-los en cons. Quin és el
que el volum en fu3.
radi de la base d’aquests cons?
270º 12 cm
222
Autoavaluació 5. Calcula l’àrea i el volum dels cossos de la figura:
Classifico correctament els cossos geomètrics?
a)
1. Classifica els poliedres següents en prismes, piràmides o cap dels dos. a)
b)
c)
radi de la semiesfera = 4 cm
d)
b)
3 dm
altura = 10 cm altura del tronc de la piràmide = 4 dm 3 dm
Aplico correctament el teorema d’Euler?
Reconec la raó de semblança?
2. Un poliedre té 15 arestes i 10 vèrtexs. Quantes cares té?
6. Un cub té 3 cm d’aresta i un altre, 9. Troba’n la raó de semblança.
Aplico
correctament el teorema de Pitàgores en
l’espai? 3. Calcula la diagonal d’un cub que té un volum de 125 cm . 3
Reconec els elements de simetria? 7. Quants plans de simetria té una piràmide de base pentagonal?
Sé calcular àrees i volums de cossos geomètrics? 4. Calcula l’àrea total i el volum de:
Sé fer càlculs amb coordenades geogràfiques?
a) Un ortoedre de dimensions 6, 7 i 8 dm.
8. Les coordenades de París són 48º 51’ N, 2º 20’ E, les de Bar-
b) Un cilindre de diàmetre 8 dm i d’altura 10 dm.
celona, 41º 23’ N, 2º 11’ E , i les de Moscou, 55° 44’ 47,24” N,
c) Un con que té una altura de 10 dm amb un radi de la
37° 37’ 54,82” E. Troba la diferència horària:
base de 5 dm.
a) Entre Barcelona i París.
d) Una esfera de 20 cm de diàmetre.
b) Entre París i Moscou.
Mates3ESO_U10.indd 222
24/1/11 13:15:35
Geometria a l’espai
Competències que sumen Transport de mercaderies L’empresa de logística Transfor S. L. disposa de dos tipus diferents de camions per transportar mercaderies per tot el país. Els camions estàndard arrosseguen un contenidor per a mercaderies de forma ortoèdrica que mesura 6 m de llarg, 2,3 m d’ample i 1,8 m d’alt. Els camions tipus cisterna consten d’un dipòsit cilíndric que mesura 5,25 m de llarg i 2 m d’ample (1 m de radi). Els alumnes poden utilitzar la calculadora científica en totes les proves.
1. S’han de transportar capses cúbiques d’1 dm3. Quantes capses es poden portar al contenidor del camió estàndard? a) 24 b) 25
223
c) 24 840 d) Cap de les anteriors. 2. Contesta a les qüestions següents: a) Quina capacitat té el dipòsit del camió cisterna? b) Si un litre de llet ocupa 1 dm3 i pesa aproximadament 1 kg, quantes tones de llet pot transportar el camió cisterna? 3. Es vol transportar un vidre de 6,5 m de llarg i 1,7 m d’alt. Explica raonadament si és possible portar-lo en el contenidor del camió estàndard. 4. Es vol transportar una biga d’acer de 6,5 m. La Maria creu que és possible transportar-la en el contenidor posant-la de través des d’un vèrtex al vèrtex oposat. En canvi, en Lluc creu que no hi cap. Qui té raó? Per què?
B
A
5. Certa empresa vol transportar un con d’acer d’1 m d’alçada i una base de 0,5 m de radi. Sabent que la densitat de l’acer és de 7 850 kg/m3: a) Calcula la massa d’un d’aquests cons. b) Si el PMA (pes màxim admès) del tràiler és de 8 500 kg, quants cons pot transportar? 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.
Mates3ESO_U10.indd 223
24/1/11 13:15:35