Estadística
Unitat
12
Com és la gent i com són les coses
L’estadística és un mètode d’investigació amb base científica basat en la idea d’inducció o inferència estadística. Això vol dir que estudiant un nombre particular de casos es poden deduir propietats generals.
230
Imagina’t que es vol estudiar la població d’una ciutat d’un milió d’habitants o més. A la pràctica, no es pot preguntar un per un quina opinió tenen sobre un tema concret, de quina marca és la seva nevera o si practiquen algun esport. Per esbrinar aquestes coses es fan enquestes només a una part, una «mostra», de la població. De les respostes de les persones enquestades, es dedueixen les de tota la resta. Així, si quatre de cada deu enquestats assegura que els caps de setmana passeja en bicicleta, s’infereix que quatre de cada deu habitants d’aquesta ciutat ho fan. Per atrevir-se a afirmar això, les enquestes han d’estar ben pensades, ben plantejades i adreçades a una part prou significativa i representativa de tota la població; així per exemple, en el cas d’una ciutat tan gran, no n’hi hauria prou preguntant a 100 persones, o enquestant només gent jove, etc. El fet que no es pregunti a tota la població comporta un cert grau d’incertesa. Així com en les matemàtiques un teorema no és donat per provat fins que no s’han demostrat els resultats, en estadística el grau de veracitat és gradual i depèn, sobretot, de la cura amb què s’hagi plantejat i fet l’estudi. Els estudis socials generalment s’elaboren a partir d’enquestes. Les enquestes es poden fer de moltes maneres: al carrer, a domicili, trucant per telèfon, per correu electrònic o correu postal, per un web, etc. En tot cas, cal tenir presents les persones que no tenen accés a alguns dels mitjans de comunicació actuals.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 230
13/12/10 16:45:59
Les dades estadístiques serveixen per un munt de coses. Des del punt de vista empresarial, són fonamentals per preveure si un negoci és viable. Per això, abans de posar a disposició dels consumidors un producte o un servei, es fan els anomenats estudis de mercat, basats en investigacions sobre els gustos i necessitats de la població.
Analitza i resol
Les estadístiques també serveixen per caracteritzar el nivell d’èxit d’un jugador en l’esport. Així, per exemple, després de cada partit de bàsquet es fa un recompte dels punts obtinguts i dels encerts en els diferents llançaments per tal d’obtenir una de les dades estadístiques més rellevants: la mitjana. La mitjana és el punt d’equilibri de la irregularitat. Així, si un jugador ha anotat 10, 12 i 26 punts en 3 partits, la mitjana és de (10 + 12 + 26) : 3 = 16 punts per partit. Així es pot dir que aquest jugador és millor que un altre de la seva categoria que només fa 10 punts per partit.
on vius? I la del teu país?
Una altra dada important és la moda. La moda és el que més s’usa, el valor més freqüent. Es pot dir que, entre els adolescents, la moda pel que fa al calçat és l’esportiu, ja que és el que porten la immensa majoria. Gràcies a la mitjana, la moda i altres paràmetres estadístics es pot descriure com és la gent i com són les coses.
jugadora de bàsquet en els dos últims partits. Quina és la
1. Quantes noies i quants nois hi ha a la classe? Si fóssiu 100 alumnes i la proporció fos la mateixa, quants n’hi hauria de cada sexe? 2. Amb aquesta dada estadística, penses que es pot inferir la proporció de noies i nois de tot el centre? I la de la ciutat
3. Imagina que l’ajuntament vol saber quantes persones de la teva localitat es connecten a Internet cada dia. Digues quina de les maneres següents de fer l’enquesta et sembla més eficaç per saber la resposta. a) Trucant al telèfon fix. b) Trucant al telèfon mòbil. c) Per correu electrònic. d) Per correu postal. e) Al carrer. 4. Completa la taula següent, que conté els resultats d’una mitjana de punts per partit? Quin percentatge d’encert té en els tirs de 3 punts? Partit 1 tipus de cistella
Partit 2
encerts
intents
encerts
intents
3
1
4
2
5
2
6
10
8
14
1
8
12
4
6
(punts)
Índex
Competències bàsiques
1. Conceptes bàsics d’estadística
Matemàtica. Observació, anàlisi i interpretació de fenòmens estadístics. Comunicativa lingüística i audiovisual. Representació i interpretació de gràfics estadístics. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics. Social i ciutadana. Observació, anàlisi i representació de fenòmens socials.
2. Les gràfiques estadístiques 3. Els paràmetres estadístics 4. Interpretació de gràfiques estadístiques
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 231
231
13/12/10 16:46:01
Estadística
1
Conceptes bàsics d’estadística 1.1 Alerta
La mostra només és una part de la població.
Població i variable estadística
L’estadística descriptiva s’ocupa de recopilar les dades d’un fenomen i de representarles, analitzar-les i interpretar-les. En les ciències experimentals les dades s’obtenen a partir d’observacions continuades de fenòmens naturals o bé fent experiments. En el camp de les ciències socials una de les eines més emprades són les enquestes. Els conceptes bàsics d’un estudi estadístic són: • Població. És el conjunt d’elements o individus sobre els quals es fa l’estudi. • Mostra. És una part representativa de la població que es pren com a base de l’estudi. La grandària de la mostra N és el nombre d’elements que conté. • Variable estadística Xi. És la característica estudiada, que pot tenir diferents valors (x1, x2, x3,…) per a cada element. Exemple 1. Es vol fer un estudi estadístic sobre el nombre de germans que tenen els 25 alumnes de 1r d’ESO A d’un centre. La població és el conjunt d’alumnes de 1r d’ESO A d’aquell centre. En aquest cas, la població i la mostra coincideixen, i la seva grandària és 25. La variable estadística és el nombre de germans de cada alumne i els valors que pot tenir són 0 (si no té germans), 1 (si en té 1), 2 (si en té 2), etc.
232 1.2
Les taules de freqüències
Les taules de freqüències serveixen per recopilar les dades d’un estudi estadístic d’una manera senzilla i clara. Els elements que solen mostrar són: • Freqüència absoluta ni. És el nombre de vegades que es repeteix cada valor (xi). • Freqüència relativa fi. És el quocient entre la freqüència absoluta ni i la grandària de la n mostra N: fi = i . Indica el tant per u de cada dada respecte del total; i si es multiplica N per 100, indica el tant per cent. Exemple 2. S’ha fet una enquesta sobre el nombre de germans que tenen els 25 alumnes de 1r d’ESO A d’un centre. Les dades obtingudes han estat les següents: 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 2, 1, 4, 1 i 0. Primer cal determinar el valor més gran i el més petit, en aquest cas, 0 i 4. Per obtenir les freqüències absolutes cal fer el recompte de quants 0 hi ha (7), quants 1 (8), i així successivament fins al valor 4. Per obtenir les freqüències relatives cal dividir cada una de les freqüències absolutes per la mida de la població (25). La taula de freqüències resultant és: xi
0
1
2
3
4
ni
7
8
6
3
1
fi =
ni N
fi · 100
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 232
7/25 = 0,28 8/25 = 0,32 6/25 = 0,24 3/25 = 0,12 1/25 = 0,04 28
32
24
12
4
13/12/10 16:46:01
1.3
Tipus de variables estadístiques
Si la característica objecte d’estudi té valors numèrics, es tracta d’una variable estadística quantitativa, mentre que si té valors no numèrics es tracta d’una variable estadística qualitativa.
Alerta A mesura que facis el recomp-
Exemple
te de les vegades que apareix
3. En un grup d’alumnes, la variable estadística «nombre de germans» és de tipus quantitatiu, ja que, com a resultats, té valors numèrics: 0, 1, 2, etc.
cada valor per fer una taula de
En canvi, la variable estadística «color dels cabells» és de tipus qualitatiu, perquè els resultats possibles són pèl-roig, ros, morè o castany.
taràs descomptar-te.
En un estudi de variables qualitatives, si són de tipus progressiu −com per exemple bé, regular i malament−, s’ordenen gradualment. En els altres casos s’ordenen segons la freqüència absoluta. xi
pèl-roig
ros
morè
castany
ni
1
5
9
10
1.4
freqüències, marca’ls i així eviPer comprovar que no t’has equivocat, suma les freqüències absolutes i fixa’t si coincideix amb la mida de la població.
Agrupació de variables
Quan una variable estadística quantitativa té molta diversitat de valors, aquests es poden agrupar en intervals regulars (de 5 en 5, de 10 en 10, etc.).
233
Exemple 4. Les edats dels veïns d’un edifici són les següents: 40, 38, 8, 6, 65, 63, 35, 33, 82, 52, 51, 25, 22, 18, 38, 33, 9 i 6. Com que hi ha molta varietat i dispersió es considera que, per estudiar-les, és millor agrupar-les de 10 en 10. xi
fins a 10
d’11 a 20
de 21 a 30
de 31 a 40
de 41 a 50
de 51 a 60
de 61 a 70
de 71 a 80
de 81 en endavant
ni
4
1
2
6
0
2
2
0
1
Aplica
4 ■■ Durant 17 dies, un naturalista ha estat comptant les cigonyes que passaven en migració. Fes la taula de freqüències
1 ■ Fes la taula de freqüències absolutes i relatives associada a
absolutes i relatives, amb els valors agrupats en intervals d’am-
les dades següents i indica quin és el percentatge d’aparicions
plada 5, a partir de les dades següents:
del valor 4.
5, 35, 21, 35, 45, 21, 6, 6, 7, 59, 40, 23, 2, 27, 17, 26 i 41.
3, 2, 5, 1, 1, 4, 2, 3, 4, 4, 1, 6, 3, 6, 3, 1, 4, 2, 4 i 5.
Resol 2 ■ Dissenya una enquesta per fer als companys de classe en què obtinguis les dades de 3 característiques: una de qualitativa, una de quantitativa amb pocs valors possibles i una de quantitativa amb molta varietat de valors possibles.
Raona 5 ■ Digues de quin tipus són les variables estadístiques següents: a) el pes b) el nombre d’habitacions de la casa c) el partit polític votat d) les hores d’estudi a casa el cap de setmana 6 ■■ Digues per a cada apartat de l’exercici anterior una pobla-
3 ■■ Efectua les enquestes proposades en l’activitat anterior
ció en què aplicar l’estudi de la variable estadística, i 4 possibles
i mostra els valors en una taula de freqüències.
valors de la variable estadística.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 233
13/12/10 16:46:03
Les gràfiques estadístiques
Estadística
2
2.1
Diagrames de barres
Les gràfiques estadístiques serveixen per mostrar les dades estadístiques d’una manera visual i fàcil d’interpretar. Cada tipus de variable estadística té un tipus de gràfica que li és més apropiat. Els diagrames de barres s’utilitzen preferentment per representar variables qualitatives i quantitatives amb pocs valors possibles. A l’eix horitzontal hi ha les variables, i a l’eix vertical, els valors possibles (en freqüència absoluta o en tant per cent). A cada variable li correspon una barra l’altura de la qual equival a aquest valor. Exemple
nombre d’alumnes
5. Fixa’t en el diagrama de barres de la taula de freqüències següent:
234
xi
pèl-roig
ros
morè
castany
fi
1
5
9
10
15
10
5
0
pèl-roig
ros
morè
2.2
Recorda Si vols representar una variable que canvia gradualment en el
Diagrames de punts i línies
Els diagrames de punts i línies s’utilitzen sobretot per mostrar l’evolució al llarg del temps d’una variable. A l’eix horitzontal hi ha l’escala temporal, i a l’eix vertical, els valors possibles. A cada temps li correspon un valor, que es marca amb un punt. Després, els punts s’uneixen en segments si és convenient. Exemple
temps, és preferible emprar un diagrama de punts i línies.
6. Els imports de les factures telefòniques d’una família en el període de setembre a agost han estat els de la taula següent: mes import
despesa telefònica (€)
(€)
set
oct
nov
des
gen
feb
mar
abr
mai
jun
jul
ago
78,74
82,61
78,08
70,19
74,25
70,81
74,80
78,07
28,30
24,16
20,17
26,65
90,00 75,00 60,00 45,00 30,00 15,00 0 set
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 234
castany
oct
nov
des
gen
feb
mar
abr
mai
jun
jul
ago mes
La representació gràfica permet veure que al mes de maig va haver-hi una baixada important i que el consum abans i després del mes de maig es manté estable.
13/12/10 16:46:04
2.3
Comparació gràfica de dades estadístiques
Es pot comparar en un sol diagrama dues variables o més d’una mateixa població o bé una sola variable però de poblacions o èpoques diferents. • En els diagrames de barres, els valors es representen en parelles de barres (o trios, etc.), i cada barra és d’un color diferent. • En els diagrames de punts i línies cada línia o punt té un color diferent. Com aplicar-ho. Representar gràficament una variable de dues poblacions Representa en un sol diagrama el nombre de germans que tenen els alumnes de 1r ESO A i de 1r ESO B d’un centre. Les dades recollides són: 1r ESO A: 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 2, 1, 4, 1 i 0. 1r ESO B: 0, 1, 2, 3, 0, 0, 0, 4, 2, 3, 4, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 0 i 1. • Es fa el recompte de dades i es deter- • Es calcula la freqüència absoluta, la mina la grandària de cada mostra. freqüència relativa i el percentatge. recompte
ni
fi
%
categoria
1r A
1r B
1r A
1r B
1r A
1r B
1r A
1r B
0
|||||||
|||||||
7
7
0,28
0,32
28
32
1
||||||||
||||||
8
6
0,32
0,27
32
27
2
||||||
||||
6
4
0,24
0,18
24
18
3
|||
|||
3
3
0,12
0,14
12
14
4
|
||
1
2
0,04
0,09
4
9
N
25
22
• Es decideix si l’eix vertical s’ha d’expressar en funció de la freqüència absoluta o del percentatge. Com que la grandària de cada mostra és diferent (1r A = 25 i 1r B = 22), cal expressar-ho en funció del tant per cent. • Cal triar un color per a cada grup d’alumnes i indicar-ho a la llegenda.
% 35 30 25 20 15 10 5 0
Consells Només es poden comparar les freqüències absolutes si les dues poblacions tenen la mateixa grandària. Sinó, cal expressar-ho en percentatges. La suma de freqüències relatives ha de donar 1. Els eixos de coordenades i les seves unitats han de permetre apreciar les diferències. Han de cabre-hi bé les 8 barres separades de 2 en 2 i, per exemple, s’ha de distingir clarament un 4 d’un 5. La posició de la llegenda pot variar depenent de l’espai disponible. Per fer més clares les diferències o semblances, a sobre de cada barra hi pot haver el valor de la seva freqüència absoluta. Vegeu els exercicis 7 i 8 pàg. 235; 25 i 26 pàg. 244.
1r ESO A 1r ESO B
0
1
2
3
4 nombre de germans
Aplica
Resol
7 ■ Representa en un sol diagrama de barres la taula següent:
8 ■■ Fes una enquesta als companys de classe preguntant el mes de naixement i si practiquen algun esport. Després fes un
Precipitacions (L/m2)
diagrama de punts i línies referent al mes de naixement de tots
hivern
primavera
estiu
tardor
els companys i un altre diagrama que distingeixi el mes de nai-
any 2000
27
410
25
220
xement entre els que habitualment practiquen un esport i els
any 2010
52
420
30
340
que no. Hi ha cap diferència?
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 235
235
13/12/10 16:46:06
Estadística
2.4 Recorda Quan es fa una enquesta, pot ser que algunes persones no tinguin una opinió formada, no vulguin dir-la, donin una resposta no pertinent, etc. Totes aquestes dades es recullen sota l’epígraf «No ho sap / no contesta».
Diagrames de sectors
Els diagrames de sectors, també anomenats diagrames circulars o diagrames de pastís, es fan servir per representar tant variables quantitatives com qualitatives, i sobretot s’utilitzen en estudis d’opinió. Aquest tipus de diagrames consisteixen en un cercle dividit en tants sectors com valors diferents té la variable estadística. L’àrea (i l’angle) de cada sector és proporcional a la freqüència absoluta. Exemples 7. A les eleccions per a delegat d’una classe de 1r ESO, el nombre de vots que van rebre els candidats va ser el següent: Rosa
Sílvia
Carles
Joan
10
6
5
3
vots a eleccions a delegat
Rosa
Sílvia Carles Joan
8. A les eleccions municipals d’una gran ciutat, s’hi presentaven diversos partits polítics. El nombre de regidors que van obtenir cada un queda reflectit a la taula següent:
236
partit
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
regidors
18
12
10
6
2
2
1
1
0
0
Si es fa un diagrama de sectors directament amb aquestes dades (fig. 1.) pots veure que E, F, G i H gairebé no es distingeixen, i que els partits I i J estan indicats, però no tenen cap sector perquè no tenen cap regidor. Val més agrupar els partits minoritaris en la categoria altres (fig. 2). G: 1 F: 2
H: 1 altres: 6
I: 0
E: 2
J: 0 D: 6
D: 6 A: 18
A: 18
C: 10
C: 10
fig. 1
fig. 2
B: 12
B: 12
Sempre que sigui possible, els colors s’han de poder d’associar intuïtivament amb els valors de la variable (per exemple, si parlem de tendències polítiques, vermell per als progressistes, blau per als conservadors, etc.). 9. S’ha fet una enquesta a una mostra de 2 500 noies de 15 a 25 anys de tota la comarca per saber si practiquen habitualment algun esport. Ateses les dimensions de la mostra, és preferible fer el diagrama a partir dels percentatges. Els resultats han estat els següents:
practiquen algun esport
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 236
ni
fi
%
861
0,34
34
4% 34%
no practiquen cap esport
1 542
0,62
62
no ho saben / no contesten
97
0,04
4
practiquen algun esport no practiquen cap esport
62%
no ho saben / no contesten
13/12/10 16:46:07
Consells
Com aplicar-ho. Construir un diagrama de sectors A l’institut d’un petit municipi hi van alumnes de tots els pobles de la comarca. Aquests pobles són A, B, C, D, E, F i G, i el nombre d’alumnes de cada un és 30, 25, 20, 20, 15, 10 i 5 respectivament. Construeix el diagrama de sectors amb aquestes dades. • Suma totes les freqüències absolutes per determinar la grandària de la mostra N: 30 + 25 + 20 + 20 + 15 + 10 + 5 = 125 alumnes • Calcula el percentatge (fi · 100) que representen els alumnes de cada poble. En el cas del poble A és: n 30 100 = 24% % A = A 100 = N 125 • Calcula l’amplitud del sector circular que correspon al poble de freqüència absoluta més gran, en aquest cas, el poble A és: 360º 360º nA = 30 = 86, 4º amplitud de A = N 125 • Fes el mateix amb els altres pobles. A
B
C
D
E
F
G
ni
30
25
20
20
15
10
5
%
24
20
16
16
12
8
4
amplitud (º)
86,4
72
57,6
57,6
43,2
28,8
14,4
• Dibuixa un cercle amb el compàs, i amb un transportador i un regle, traça cada sector.
Verifica que els percentatges estan ben calculats. La suma ha de donar 100. Verifica que l’amplitud dels sectors circulars és correcta. Sumats han de donar 360º. De la mateixa manera que als valors amb freqüències iguals els corresponen els mateixos angles o percentatges, si entre les freqüències hi ha relacions com ser el doble, el triple, etc., aquestes relacions es mantenen per als angles i percentatges. Cal tenir en compte que amb un transportador no es poden traçar amb precisió angles amb decimals. Val més arrodonir-los a una xifra entera, o bé utilitzar les eines de representació d’un programa de gestió de fulls de càlcul.
237
Vegeu els exercicis 9 i 10 pàg. 237; 22 pàg. 244.
• Pinta cada sector d’un color diferent, de manera que pobles consecutius tinguin colors que no s’assemblin, i indica el tant per cert que correspon a cada sector. 1r pas: poble A
2n pas: poble A i B
A
4%
B
8% 24%
24%
24%
12%
D
16%
20%
C
20% 16%
E F G
Aplica
10 ■■ El diagrama següent correspon a una enquesta feta a 500 persones sobre quin esport els agrada més. Quanta gent ha
9 ■■ A la cavalcada de Reis, s’ha preguntat a 200 nens i nenes
dit el futbol? I el tennis?
quin era el seu rei mag preferit i s’han obtingut les respostes 8%
següents: Melcior 75
Gaspar 40
Baltasar 60
tots tres 25
futbol
7%
bàsquet
7% 48%
a) Fes el diagrama de sectors en tant per cent. b) Després s’han entrevistat 400 nens i s’han obtingut els mateixos percentatges. Fes la taula de freqüències i el diagrama de sectors.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 237
10%
tennis ciclisme
20%
atletisme altres
13/12/10 16:46:08
Estadística
3
Els paràmetres estadístics 3.1
Tipus de paràmetres
Els paràmetres estadístics són nombres associats a estudis estadístics amb la finalitat de donar-ne una informació resumida. Es classifiquen en:
Alerta Si has fet 3 exàmens i la mitjana és un 7, i fas un altre examen i treus un 9, la mitjana dels 4 exàmens no és un 8, sinó un
• Paràmetres de centralització. Informen sobre els valors centrals al voltant dels quals es distribueixen les dades. • Paràmetres de dispersió. Informen sobre el grau de separació o concentració de les dades. Exemple
7,5. Incorrecte:
10. En el diagrama A els valors tenen molta dispersió, mentre que en el B, tenen més concentració.
(7 + 9) : 2 = 8 Correcte:
[(3 · 7) + 9] : 4 = 7,5
y
y
x
A
x
B
3.2
Paràmetres de centralització
Els paràmetres de centralització més importants són:
238
• Mitjana aritmètica x. S’obté sumant totes les dades i dividint el resultat per la grandària de la mostra. • Moda Mo. És el valor que apareix més vegades, és a dir, el de més freqüència absoluta. Pot haver-hi més d’una moda. • Mediana Me. És el valor que ocupa el lloc central en una sèrie ordenada de dades. Si hi ha un nombre parell de dades, és la mitjana dels 2 valors centrals. No es calcula en variables qualitatives. El coneixement d’aquests tres paràmetres pot ser insuficient per distingir un grup de dades d’un altre, però si s’assemblen es pot dir que les dades tenen poca dispersió.
Amb la calculadora Per calcular la mitjana d’una sèrie de nombres amb la calculadora (1, 4, 8 i 9, per exemple), has de posar la calculadora en mode estadístic. Prem MODE i selecciona SD . Per introduir les dades cal teclejar: SHIFT
SAC
DATA
4
DATA
1
DATA
9
DATA .
8
Finalment la mitjana s’obté prement SHIFT
x .
Exemple 11. El resultat d’una enquesta sobre el nombre de germans que tenen els 25 alumnes de 1r d’ESO A d’un centre és el següent: 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 2, 1, 4, 1 i 0. Calcula’n els paràmetres estadístics. Primer cal fer la taula de freqüències:
xi
0
1
2
3
4
ni
7
8
6
3
1
fi
0,28
0,32
0,24
0,12
0,04
Es pot obtenir la mitjana aritmètica sumant totes les dades i dividint el resultat per la grandària de la mostra, o bé, de manera més senzilla: x n + x 2 n2 +…+ x n nn 0 7 +1 8+ 2 6+3 3+ 4 1 x= 1 1 = =1,32 N 25 La moda correspon al paràmetre de més freqüència relativa, en aquest cas, l’1. Per calcular la mediana s’ordenen les dades i es troba quina xifra queda al mig. En aquest cas, Me = 1. 000000011111 1112222223334
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 238
13/12/10 16:46:10
4
Interpretació de gràfiques estadístiques
4.1
Lectura d’un diagrama
En qualsevol camp de les ciències naturals i socials, l’estadística té un paper fonamental ja que permet descriure i preveure molts fenòmens. Exemple
envasos recollits (%)
12. La gràfica següent mostra el tant per cent d’envasos de plàstic que es recullen per reciclar en una gran ciutat, entre els anys 2005 i 2010. Durant els dos primers anys, el percentatge era baix (7 − 7,3%). A partir de 19,83 20 17,1 l’any 2006 va començar a créixer ràpidament, 14,4 15 fins al 2009, quan va començar a créixer més a 9,4 10 7,3 poc a poc. Si la gràfica segueix la tendència, és 7 previsible que el 2011 el reciclatge s’incrementi 5 una mica més, fins al 20% aproximadament. 0 2005
4.2
2006
2007
2008
2009
Alerta És molt important que et fixis en l’escala en què es representa l’evolució d’una variable abans de jutjar si els canvis són importants o no.
2010 any
L’estadística i la presentació dels fets
L’ús de gràfiques estadístiques en els mitjans de comunicació està molt estès, ja que simplifica les explicacions i permet entendre molts fets amb un cop d’ull. Tot i la veracitat de les dades, la manera de presentar-les permet destacar o dissimular els fets segons interessi.
239
Exemple 13. Fixa’t en els diagrames següents, referits tots dos al preu del gasoil (€/L) des del mes de gener fins al mes de juliol d’un any determinat. L’eix vertical de la fig. 1 comença per 0,9 i la unitat de l’escala és 0,1; mentre que el de la fig. 2 comença pel 0 i la unitat de l’escala és 0,5.
1,5
preu del gasoil (€/L)
preu del gasoil (€/L)
En el primer diagrama sembla que el preu hagi augmentat molt mentre que en el segon sembla que gairebé no s’ha incrementat.
1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9
1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2
gen
feb
fig. 1
mar
abr
mai
jun
jul mes
0
gen
feb
mar
abr
mai
jun
jul mes
fig. 2
Aplica
13 ■ Fes el mateix amb les dades resultants de sumar 1 a cada una de les edats de l’exercici anterior.
11 ■ Ordena i troba la mitjana, la moda i la mediana de 5, 6, 8, 4, 4, 5, 10, 3 i 5. 12 ■ Troba la mitjana, la moda i la mediana de les edats dels integrants d’un equip de bàsquet: 17, 19, 19, 20, 22, 28, 28, 28, 29 i 32.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 239
14 ■■ A la classe de llengua, l’Anna ha d’escriure 8 redaccions que es puntuen de 4 a 10 punts cadascuna. Quan ja n’ha escrit 6, l’Anna té una mitjana de 7,5 punts. Quina hauria de ser la mitjana de les dues redaccions que encara ha de fer per tal que la mitjana final global fos de 8 punts?
13/12/10 16:46:12
Tot són matemàtiques
WorldProcessor: el món d’un cop d’ull Els mètodes visuals per comunicar grans quantitats d’informació estadística de manera senzilla i eficient necessiten recórrer a especialistes del món de les arts gràfiques. Com podem, per exemple, visualitzar dades a escala mundial? Aquests globus terraqüis estan inspirats en l’obra de l’artista Ingo Günther (Dortmund, Alemanya, 1957) i desenvolupats en el marc del projecte WorldProcessor. Günther barreja art i estadística per mostrar situacions polítiques, socials o mediambientals. Només amb un cop d’ull, som capaços de localitzar punts calents, fluxos humans, desigualtats, etc.
240
70 78
67 52
47 47
70
76
71
51 51
69
71
76
63
70
70
76
71 68
53 50
52
47 47
67
70 72 50
48
66 70
44
La pol·lució emmascara el món Els cercles vermells indiquen abocaments de petroli, i el color gris, la contaminació terrestre i marina ocasionada pels fertilitzants químics. Per terme mitjà, cada tres mesos aquesta imatge es torna obsoleta a causa d’un altre gran abocament de petroli i l’augment continu de la contaminació.
Arribaré a fer-me vell?
Un dels indicadors més comuns de la qualitat de vida és l’esperança de vida, que és la mitjana aritmètica dels anys que viuran les persones d’un país que neixen el mateix any, si la mortalitat es manté fixa. Depèn de factors com l’alimentació, la higiene o l’accés a la sanitat. L’esperança de vida al nostre país és de quasi 80 anys, la cinquena en el rànquing mundial. Però si pertanys a un dels 35 països amb menys esperança de vida, localitzats tots a l’Àfrica subsahariana, no passa dels 50 anys. Una desigualtat esborronadora.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 240
13/12/10 16:46:17
Estadística
Consum d’energia
Els percentatges del consum mundial d’energia estan correlacionats amb gràfiques de barres que indiquen les xifres de població. El Japó, per exemple, consumeix 15 vegades més energia per capita que la Xina, i els Estats Units utilitzen 2,5 vegades més energia per capita que el Japó.
23
23 4
4
Analitza i investiga 1. Troba en el text el significat del concepte esperança de vida.
241
2. Les dades del projecte WorldProcessor que apareixen en aquest document no
Rius de refugiats
Els conflictes i les guerres segueixen sent la tònica general, no l’excepció. Segons l’Alt Comissionat de les Nacions Unides per als Refugiats (ACNUR), en aquests moments hi ha més de 34,4 milions de refugiats, la xifra més alta mai registrada. Les fletxes parteixen dels països de procedència dels desplaçats i l’amplada indica la quantitat relativa. En certa manera, els refugiats del planeta formen una nació sense país.
estan actualitzades i són de 1998 a 2005, segons el globus. Cerca a Internet dades actuals sobre l’esperança de vida de tots els països del món i comenta si la situació ha canviat substancialment. 3. Determina, explorant el lloc web
Muntanyes de deute
http://www.acnur.org, qui considera l’Alt
El deute extern dels països, els diners públics i privats que cadascun deu a l’estranger, està representat de manera proporcional a l’altitud de les seves muntanyes.
Comissionat de les Nacions Unides per als Refugiats (ACNUR) com a refugiat. 4. Esbrina què és el producte interior brut (PIB) d’un país i quina relació té amb la renda per capita. Busca una llista actualitzada dels països ordenats pel PIB i el PIB per capita.
Guia completa del món
És cert que el món avui és més complicat que mai. Encara que això no significa que entendre’l sigui necessàriament impossible, com apunta Günther en aquest globus terraqüi que titula amb ironia Guia completa del món.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 241
5. Visita la pàgina web: http://worldprocessor.com/catalog/world i fixa’t en el globus Company vs. Country. Determina quins estats estan reanomenats com a Siemens, Disney, UPS, Hilton Hotels i NYT (New York Times).
13/12/10 16:46:21
Estadística
Això és bàsic Població. Conjunt d’elements o individus sobre els quals es fa l’estudi. Mostra. Part representativa de la població que es pren com a base de l’estudi. La grandària de la mostra N és el nombre d’elements que conté (en aquest cas, 7). Variable estadística. Característica, que pren valors diferents per a cada element. Pot ser quantitativa o qualitativa. Taula de freqüències Variable
Nombre de vegades que es repeteix cada valor. freqüència absoluta ni
Quocient entre la freqüència absoluta i la grandària de la n mostra. f i = i N
freqüència relativa fi percentatge %
rodó
quadrat
3
4
0,43
0,57
43
57
Possibles valors de la variable.
Freqüència relativa multiplicada per 100. A l’eix vertical hi ha les freqüències absolutes o els %. diagrama de barres
242
diagrama de línies i punts euros
12 10
75,00 60,00
6
45,00
4
30,00
2
15,00 pèl-roig
ros
morè
castany
A l’eix horitzontal hi ha les variables.
0,00
Dora: 3
Isaac: 5
Toni: 1
Rosa: 10
Marta: 6 s
A l’eix horitzontal hi ha l’escala temporal.
Com es fa?
diagrama de sectors
90,00
8
0
Cercle dividit en tants sectors com valors diferents pren la variable estadística.
A l’eix vertical hi ha les freqüències absolutes o els %.
o
n
d g
f m a
m
j
j
a
L’àrea (i l’angle) de cada sector és proporcional a la freqüència absoluta
A cada temps li correspon un valor que es marca amb un punt. Els punts s’uneixen amb segments.
Procediment
Pas a pas
Construir un
1. Dibuixa amb un compàs un cercle prou gran i un radi qualsevol.
diagrama de sectors
2. Començant per la freqüència absoluta de valor més alt, calcula l’angle que correspon a cada sector 360 aplicant ni . N 3. Dibuixa ordenadament amb l’ajut d’un regle i un transportador cada sector. 4. Pinta els sectors de colors que permetin diferenciar-los. 5. Calcula el percentatge corresponent a cada variable aplicant nent.
Calcular els paràmetres de centralització
100 ni , i indica-ho al sector correspoN
• Mitjana aritmètica x : suma totes les freqüències absolutes i divideix el resultat per la grandària de la mostra. • Moda Mo: equival a la variable de més freqüència absoluta. • Mediana Me: escriu ordenadament totes dades i localitza la que ocupa la posició central. Si hi ha un nombre parell de dades, és la mitjana dels 2 valors centrals.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 242
13/12/10 16:46:23
18 ■ Respecte de les variables de l’exercici 15 indica en quina és
Conceptes bàsics d’estadística
més convenient fer agrupacions per facilitar la construcció de la
15 ■ Indica, de cada una de les variables estadístiques següents,
taula de freqüències. Justifica la resposta.
si és quantitativa o qualitativa i digues quatre valors possibles: a) Estatura en metres dels alumnes de la classe.
19 ■ Construeix la taula de freqüències corresponent a les notes
b) Nombre d’ocupants dels cotxes que passen per una
d’un control de matemàtiques d’un grup de 25 alumnes: 5, 3, 7,
cabina de peatge d’una autopista un dia concret.
7, 8, 4, 6, 7, 9, 2, 0, 8, 9, 10, 5, 2, 4, 6, 8, 8, 0, 1, 6, 10 i 8.
Estadística
Activitats
c) Equips de futbol que han guanyat la Champions League els darrers vint anys.
20 ■■ S’ha preguntat a la clientela d’una cafeteria quins esports
d) Nombre d’excel·lents que han tingut el primer trimes-
practicaven i els resultats han estat els següents:
tre els alumnes de la classe.
ni futbol
24
bàsquet
13
tennis
6
altres
12
cap
5
fi
a) Completa la taula de freqüències. b) Si l’enquesta s’hagués fet a un grup de persones dels EUA, creus que hauria donat resultats semblants? Per
16 ■ Completa la taula de freqüències següent, corresponent
què?
al nombre de vots que ha obtingut cada partit (A, B, C i D) en
c) Digues un altre país on creguis probable que hi hagi
les eleccions municipals d’un poble, i després contesta les pre-
resultats diferents.
guntes: xi
A
ni
80
fi
B
C
D
100
60
0,30
0,15
243
altres
Les gràfiques estadístiques 0,10
a) Quin ha estat el nombre total de vots emesos? b) Quin tant per cent correspon al partit C? c) Si la majoria absoluta s’obté a partir del 51% dels vots,
21 ■ Completa la taula de freqüències de la variable estadística que té per diagrama de barres la figura següent: 15
quines possibles coalicions de, com a màxim, tres partits podrien obtenir la majoria absoluta? 17 ■■ Fes l’activitat següent:
10
5
a) Fes una enquesta entre els companys de classe sobre les dues variables estadístiques següents: •
Nombre d’ordinadors que hi ha a casa.
•
Tenir germans més grans.
b) A continuació, buida els resultats de l’enquesta en tres taules de freqüències relatives amb la variable «nombre d’ordinadors que hi ha a casa» segons les poblacions següents: •
Tots els alumnes de la classe.
•
Els que no tenen germans grans.
•
Els que tenen germans més grans.
c) Compara les tres taules i digues si hi ha alguna relació entre si.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 243
0
xi
ni
fi
groc blau vermell verd blanc
13/12/10 16:46:24
26 ■■■ Fixa’t en el diagrama comparatiu de l’estatura mitjana
que té per diagrama de sectors la figura següent:
dels nois i les noies d’un poble determinat i contesta les pregun-
xi
ni
pollancres: 100
fi
pins: 50
pins alzines
alzines: 25
roures àlbers
tes següents: estatura mitjana (m)
Estadística
22 ■ Completa la taula de freqüències de la variable estadística
roures: 75
àlbers: 50
1,8 nois noies
1,7
1,6
1,5
pollancres 1,4
23 ■■ Fixa’t en el diagrama següent, que correspon al tant per
1,3
13
cent d’alumnes d’un centre que han tret més d’un 6 a la selectivitat, i després contesta les preguntes:
14
15
16
edat
a) La diferència entre les estatures mitjanes dels nois i les noies augmenta o es manté constant?
% 100 90
b) Digues si hi ha cap any en què els nois hagin crescut
80
molt més respecte de l’any anterior, o bé han anat crei-
70
xent regularment. I les noies?
60 50 40
Els paràmetres estadístics
30 20
244
27 ■ Troba els paràmetres de centralització dels tres conjunts de
10 0
2005
2006
2007
2008
2009
any
a) Quin any hi va haver un percentatge més alt de qualificacions superiors a 6? b) Quin any hi va haver un percentatge més baix de qualificacions superiors a 6? c) Es pot predir què passarà l’any 2010? Per què? d) Es pot saber, a partir d’aquesta gràfica, si hi ha hagut algun alumne que hagi suspès mai la selectivitat?
24 ■
Fes el diagrama de barres corresponent a l’opinió que
tenen uns espectadors sobre una pel·lícula que han vist. molt bona
bona
regular
dolenta
molt dolenta
22
55
20
10
5
25 ■
Compara mitjançant un sol diagrama de punts i línies les
factures telefòniques de dues famílies al llarg de 6 mesos. despesa de la família Garcia (€)
despesa de la família Ferrer (€)
gen
74,25
46,12
feb
70,81
49,00
mar
74,80
50,10
abr
78,07
48,40
mai
28,30
47,30
jun
24,16
55,18
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 244
dades següents: a) 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8 i 8. b) 4, 4, 8, 8, 12, 12, 16 i 16. c) 6, 6, 12, 12, 18, 18, 24 i 24. 28 ■ Amb els resultats de les dades de l’exercici anterior, què es pot deduir? Escriu dos conjunts de cinc dades diferents, però que tinguin la mateixa mitjana i mediana. 29 ■■ Un noi no recorda les notes de dos dels controls que ha fet, però sap que la mitjana és de 6 i que les dues notes que ha oblidat són iguals. Si les notes dels altres tres exàmens són 7, 3 i 5, calcula quines són les notes que no recorda. 30 ■■
Les notes mitjanes de les proves de selectivitat de Ma-
temàtiques i Matemàtiques aplicades a les ciències socials, els darrers 7 anys, han estat les següents: Matemàtiques: 3,86; 5,25; 6,54; 6,81; 4,72; 5,38 i 5,28. Matemàtiques aplicades a les ciències socials: 3,60; 4,18; 5,38; 4,55; 4,64; 5,19 i 4,58. a) Calcula la mitjana de cada assignatura. b) Fes una diagrama de punts i línies conjunt. c) Segons la gràfica, penses que es podria fer alguna predicció per als propers anys? 31 ■■ Un noi no recorda la nota d’un dels controls que ha fet, però sap que la mitjana és de 6. Si en els altres quatre exàmens havia tret 7, 7, 4 i 9, calcula quina és la nota que no recorda.
13/12/10 16:46:25
32 ■ A partir d’aquest diagrama, que correspon al nombre d’excel·lents que han obtingut un grup de 15 alumnes al segon
Interpretació de gràfiques 35 ■■ Fixa’t en la gràfica següent, que correspon als milions de
metres de centralització.
persones aturades d’un país determinat de la UE, entre el primer
6
trimestre de 2008 i el quart trimestre de 2009, i contesta les
5
preguntes:
nombre d’excel·lents
trimestre, fes la taula de freqüències absolutes i calcula els parà-
a) En quin trimestre o trimestres hi ha hagut més atur?
4
b) Analitza la tendència de la gràfica i fes una hipòtesi de
3
com podria evolucionar l’atur en el trimestre següent.
2
c) Com modificaries la gràfica de manera que la gent interpretés que l’atur s’ha reduït encara molt més del que
1
sembla? 1
2
3
4
5 nombre d’alumnes
33 ■■■ En un grup d’amics hi ha 3 nois per cada 2 noies. La mitjana d’edat dels nois és 15 anys i la de les noies és 14 anys.
aturats (en milions)
0
Estadística
Activitats
5 4,1 4
4
3,7
4,2 3,8 3,2
3,1 2,7
3
Calcula la mitjana d’edat de tot el grup. 2
34 ■■■ Fes el treball estadístic següent:
1
a) Feu grups de 5 alumnes, i que cada membre del grup tiri un dau 100 vegades (en total cada grup farà 500 tira-
0
1r 2008
2n 2008
3r 2008
4t 2008
1r 2009
2n 2009
des). Cada alumne ha d’anotar els seus resultats en una
3r 2009
4t 2009
trimestre
taula com la següent: xi
ni
fi
1
36 ■■ Amb les dades següents, que corresponen al percentatge d’aturats entre la població d’una ciutat costanera, completa les gràfiques de punts i línies i comenta quines diferències trobes:
2 3 4
mes
atur (%)
mes
atur (%)
gener
15
juliol
12
febrer
25
agost
12
març
23
setembre
15
abril
23
octubre
20
maig
20
novembre
25
juny
16
desembre
15
5 6 b) Sumeu les ni de cada puntuació de tots els membres del grup (comproveu que en total sumen 500) i feu una
c) Compara la teva taula amb la del grup. S’assemblen gaire les teves freqüències relatives amb les del grup? I les
aturats (%)
taula com l’anterior tornant a calcular les freqüències relatives.
245
30
20
de cada membre del grup entre si? d) Sumeu les ni de cada taula de grup i feu una taula de
10
freqüències de tota la classe. 0
e) Compara les freqüències relatives del teu grup amb que les d’abans? I les de cada grup? f) Digues si, com més vegades es repeteix un experiment, més s’assemblen les freqüències relatives entre si, o bé que és imprevisible i no hi ha cap relació. (Si algun alumne queda sense grup, podeu fer grups de quatre o bé repartir els que quedin entre els grups i així algun grup serà de sis).
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 245
aturats (%)
les de tota la classe. S’assemblen entre si més o menys
gen
feb
gen
feb
25
20
15
10
13/12/10 16:46:26
Estadística
Repte 37 ■■■ La frase xifrada següent pertany a un científic molt
39 ■■■ Un professor de matemàtiques calcula la nota global
conegut. Les lletres han estat substituïdes per símbols, s’han
G fent una mitjana ponderada dels conceptes C, procediments
respectat els signes de puntuació i els espais entre paraules,
P i actitud A. C, P i A són nombres naturals. La fórmula és: G = 0,5C + 0,3P + 0,2A
però s’ha prescindit dels accents: $%$*¿ (*¿ ]*&+$¡$¿ ¿%) [¡=+(¿ @’*)$*)@&* {) =%€ ¿%)
Sabent que la nota de conceptes és la mitjana de les notes de
@*¿=%#*&$*¿, *( =¡¿ *¿ @*¿=%#&+&-(*¿. }¡(+(*% }¡(+(*+.
quatre exàmens, resol:
La freqüència amb què apareix cada lletra en el text és:
a) El professor descobreix un error en la correcció d’un
a: 5,81%; b: 2,33%; c: 5,81%; d: 4,65%; e: 17,44%; f: 1,16%;
examen d’un alumne i decideix apujar-li 2 punts la nota
g: 2,33%; i: 6,98%; l: 9,3%; n: 5,81%; o: 8,14%; p: 1,16%;
d’aquest examen. Com afectarà això la nota global?
r: 5,81%; s: 13,95%; t: 6,98%; u: 1,16%; v: 1,16%. A partir
b) Un alumne ha obtingut en els exàmens les qualifica-
d’aquestes dades, desxifra el text.
cions següents: 8,5; 9,5; 9 i 10; i la seva nota d’actitud és 9. Calcula quines notes globals pot obtenir en funció de la nota de procediments.
38 ■■■ En molts jocs s’utilitzen daus de 6 cares. Se suposa que és igual de probable treure qualsevol del 6 resultats possibles. Si llances el dau un gran nombre de vegades, pots esperar que la mitjana dels valors obtinguts sigui propera a (1 + 2 +
246
+3 + 4 + 5 + 6) : 6. Comprova-ho fent 40 llançaments o més
40 ■■■ S’ha fet un estudi estadístic, en un grup de 200 per-
(sense canviar de dau). Calcula la mitjana dels resultats i fes un
sones, de les mides de calçat que gasten. Els valors van de 40
gràfic de barres.
a 44. Sabem que 30 persones calcen el 40, 50 el 42 i 70 el 43.
Pot ser interessant que tot l’alumnat faci l’experiment amb el
Quins són els valors màxim i mínim que pot prendre la mitjana
mateix dau i comparar les gràfiques i mitjanes respectives. Si
aritmètica?
es fan molts llançaments és recomanable utilitzar un full de càlcul.
Autoavaluació
Sé distingir els diferents tipus de variables?
Sé construir i interpretar gràfiques estadístiques?
1. Digues si les variables següents són qualitatives o quantitatives:
4. La gràfica següent mostra l’evolució dels beneficis (en desenes
a) Guanyadors de la Copa Davis dels darrers 10 anys.
de milers d’euros) d’una empresa durant l’últim any. desenes de milers d’euros
b) Edat del pare. c) Marca de l’ordinador. d) Nombre d’alumnes de la classe.
Sé construir i interpretar taules? 2. Les dades obtingudes d’una classe de 20 alumnes, referides a les hores que dediquen a estudiar durant el cap de setmana, són
7 6 5 4 3 2 1 0 gen
feb
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
oct
nov
des mes
0, 4, 2, 4, 0, 0, 8, 4, 6, 5, 1, 5, 6, 7, 2, 2, 7, 1, 0 i 0.
a) Digues de quin tipus de gràfica es tracta.
Calcula les freqüències absolutes i relatives.
b) Digues respecte dels beneficis del mes de gener se-
3. Completa la taula de freqüències següent i digues quina és la
güent, si pujaran o baixaran.
mida de la població: xi
ni
blanc
5
verd groc
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 246
5. Troba els paràmetres referits a les dades de l’exercici 2. b) moda
c) mediana
6. Troba la mitjana, la mediana i la moda dels tres conjunts de dades següents:
2 0,1 4
Sé calcular i interpretar els paràmetres estadístics? a) mitjana aritmètica
0,35
negre taronja
fi
0,2
a) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 b) 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2 c) 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2
13/12/10 16:46:26
Estadística
Competències que sumen Enquesta a les famílies S’ha preguntat a 20 parelles sobre el nombre de fills que tenen i s’han obtingut els resultats següents: 3, 1, 2, 3, 4, 2, 0, 3, 3, 2, 5, 4, 0, 6, 1, 5, 1, 2, 4 i 3. 1. A partir de la llista anterior, completa la taula de freqüències següent: nombre de fills
freqüència absoluta
freqüència relativa
0
2
2/20
1
3
3/20
2
4/20
3
5
4 5
2/20
6
1
2. Quant sumen les freqüències absolutes? a) El mateix que les freqüències relatives.
247
b) El nombre total de dades. c) Depèn dels intervals. d) Cap de les anteriors. 3. Utilitzant la freqüència relativa, es pot afirmar que el nombre de famílies amb 1 fill és del 15%. Explica la relació que hi ha entre la freqüència relativa i el percentatge de famílies amb un nombre determinat de fills. 4. Indica quin dels següents diagrames de barres es correspon amb les dades del problema. a)
c)
5
6 5
4
4
3
3 2
2
1 0
b)
1 0
1
2
3
4
5
0
6
d)
6
5
4
4
3
3
2
2
1
1 0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
6
5
0
0
0
5. Es va preguntar a les parelles si els agradaria tenir més fills. El 60% va contestar que sí, el 25% va contestar que no i el 15% restant va respondre que no ho sabia. Representa gràficament aquests resultats. 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 247
13/12/10 16:46:29