Estadística
Unidad
12
Cómo es la gente y cómo son las cosas
La estadística es un método de investigación con base científica basado en la idea de inducción o inferencia estadística. Esto significa que estudiando un número particular de casos se pueden deducir propiedades generales.
230
Imagina que se quiere estudiar la población de una ciudad de un millón de habitantes o más. En la práctica, no es posible preguntarles a todos qué opinión tienen sobre un asunto, de qué marca es su frigorífico o si practican algún deporte. Para averiguar estas cosas se hacen encuestas a una parte de la población, una «muestra». De las respuestas de las personas encuestadas, se deducen las del resto. Así, si cuatro de cada diez encuestados aseguran que los fines de semana pasean en bicicleta, se infiere que cuatro de cada diez habitantes de esa ciudad lo hacen. Para atreverse a afirmar esto, las encuestas tienen que estar bien pensadas, bien planteadas y dirigidas a una parte suficientemente significativa y representativa de toda la población; así por ejemplo, en el caso de una ciudad tan grande, no sería suficiente preguntar a 100 personas, o encuestar solo a gente joven, etc. El hecho de que no se pregunte a toda la población comporta un cierto grado de incertidumbre. Así como en las matemáticas un teorema no se da por probado hasta que no se han demostrado los resultados, en estadística el grado de veracidad es gradual y depende, sobre todo, del esmero con que se haya planteado y hecho el estudio. Los estudios sociales generalmente se elaboran a partir de encuestas. Las encuestas se pueden hacer de muchas maneras: en la calle, a domicilio, llamando por teléfono, por correo electrónico o correo postal, en una página web, etc. En cualquier caso, hay que pensar en las personas que no tienen acceso a algunos de los medios de comunicación actuales.
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Los datos estadísticos sirven para un montón de cosas. En el ámbito empresarial, son fundamentales para prever si un negocio es viable. Por eso, antes de poner a disposición de los consumidores un producto o un servicio, se llevan a cabo los denominados estudios de mercado, basados en investigaciones sobre los gustos y las necesidades de la población.
Analiza y resuelve
Las estadísticas también sirven para caracterizar el nivel de éxito de un jugador en el deporte. Así, por ejemplo, después de cada partido de baloncesto se hace un recuento de los puntos obtenidos y de los aciertos en los lanzamientos a fin de obtener uno de los datos estadísticos más relevantes: la media. La media es el punto de equilibrio de la irregularidad. Así, si un jugador ha anotado 10, 12 y 26 puntos en 3 partidos, la media es de (10 + 12 + 26) : 3 = 16 puntos por partido. Así se puede decir que este jugador es mejor que otro de su misma categoría que solo anota 10 puntos por partido.
la ciudad donde vives? ¿Y la de tu país?
Otro dato importante es la moda. La moda es lo que más se usa, el valor más frecuente. Se puede decir que entre los adolescentes, la moda en lo que se refiere al calzado es el deportivo, ya que es el que lleva la inmensa mayoría. Gracias a la media, la moda y otros parámetros estadísticos se puede describir cómo es la gente y cómo son las cosas.
de una jugadora de baloncesto en los dos últimos partidos.
1. ¿Cuántas chicas y cuántos chicos hay en clase? Si fuerais 100 alumnos y la proporción fuera la misma, ¿cuántos habría de cada sexo? 2. Con este dato estadístico, ¿piensas que se puede inferir la proporción de chicas y chicos de todo el centro? ¿Y la de
3. Imagina que el Ayuntamiento quiere saber cuántas personas de tu localidad se conectan a Internet cada día. Di cuál de las siguientes maneras de realizar la encuesta te parece más eficaz para averiguar la respuesta. a) Llamando al teléfono fijo. b) Llamando al teléfono móvil. c) Por correo electrónico. d) Por correo postal. e) Por la calle. 4. Completa la siguiente tabla, que contiene los resultados ¿Cuál es la media de puntos por partido? ¿Qué porcentaje de acierto tiene en los tiros de 3 puntos? Partido 1 tipo de canasta (puntos)
Partido 2
aciertos intentos aciertos intentos
3
1
4
2
5
2
6
10
8
14
1
8
12
4
6
Índice
Competencias básicas
1. Conceptos básicos de estadística
Matemática. Observación, análisis e interpretación de fenómenos estadísticos. Comunicativa lingüística. Representación e interpretación de gráficas estadísticas. Tratamiento de la información y competencia digital. Uso de herramientas de cálculo e informáticas. Social y ciudadana. Observación, análisis y representación de fenómenos sociales.
2. Las gráficas estadísticas 3. Los parámetros estadísticos 4. Interpretación de gráficas estadísticas
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231
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Estadística
1
Conceptos básicos de estadística 1.1 Atención
La muestra solo es una parte de la población.
Población y variable estadística
La estadística descriptiva se ocupa de recopilar los datos de un fenómeno y de representarlos, analizarlos e interpretarlos. En las ciencias experimentales los datos se obtienen a partir de observaciones continuadas de fenómenos naturales o bien haciendo experimentos. En el campo de las ciencias sociales una de las herramientas más empleadas son las encuestas. Los conceptos básicos de un estudio estadístico son: • Población. Es el conjunto de elementos o individuos sobre los cuales se realiza el estudio. • Muestra. Es una parte representativa de la población que se toma como base del estudio. El tamaño de la muestra N es el número de elementos que contiene. • Variable estadística Xi. Es la característica estudiada, que puede tener diferentes valores (x1, x2, x3,…) para cada elemento. Ejemplo 1. Se quiere realizar un estudio estadístico sobre el número de hermanos que tienen los 25 alumnos de 1.º de ESO A de un centro. La población es el conjunto de alumnos de 1.º ESO A de ese centro. En este caso, la población y la muestra coinciden, y su tamaño es 25. La variable estadística es el número de hermanos de cada alumno y los valores que puede tener son 0 (si no tiene hermanos), 1 (si tiene 1), 2 (si tiene 2), etc.
232 1.2
Las tablas de frecuencias
Las tablas de frecuencias sirven para recopilar los datos de un estudio estadístico de una manera sencilla y clara. Los elementos que suelen mostrar son: • Frecuencia absoluta ni. Es el número de veces que se repite cada valor (xi). • Frecuencia relativa fi. Es el cociente entre la frecuencia absoluta ni y el tamaño de la n muestra N: fi = i . Indica el tanto por uno de cada dato respecto del total; y si se mulN tiplica por 100, indica el tanto por ciento. Ejemplo 2. Se ha realizado una encuesta sobre el número de hermanos que tienen los 25 alumnos de 1.º de ESO A de un centro. Los datos obtenidos han sido los siguientes: 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 2, 1, 4, 1 y 0. Primero hay que determinar el valor más grande y el más pequeño, en este caso, 0 y 4. Para obtener las frecuencias absolutas, hay que hacer el recuento de cuántos 0 hay (7), cuántos 1 (8), y así sucesivamente hasta el valor 4. Para obtener las frecuencias relativas, hay que dividir cada una de las frecuencias absolutas por el tamaño de la población (25). La tabla de frecuencias resultante es: xi
0
1
2
3
4
ni
7
8
6
3
1
fi =
ni N
fi · 100
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7/25 = 0,28 8/25 = 0,32 6/25 = 0,24 3/25 = 0,12 1/25 = 0,04 28
32
24
12
4
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1.3
Tipos de variables estadísticas
Si la característica objeto de estudio tiene valores numéricos, se trata de una variable estadística cuantitativa, mientras que si tiene valores no numéricos se trata de una variable estadística cualitativa.
Atención A medida que hagas el recuen-
Ejemplo
to de las veces que aparece
3. En un grupo de alumnos, la variable estadística «número de hermanos» es de tipo cuantitativo, ya que, como resultados, tiene valores numéricos: 0, 1, 2, etc.
cada valor para hacer una tabla
En cambio, la variable estadística «color del pelo» es de tipo cualitativo, porque los resultados posibles son pelirrojo, rubio, moreno o castaño.
evitarás equivocarte.
En un estudio de variables cualitativas, si son de tipo progresivo −como por ejemplo bien, regular y mal−, se ordenan gradualmente. En los otros casos se ordenan según la frecuencia absoluta. xi
pelirrojo
rubio
moreno
castaño
ni
1
5
9
10
1.4
de frecuencias, márcalos y así Para comprobar que no te has equivocado, suma las frecuencias absolutas y fíjate en si coincide con el tamaño de la población.
Agrupación de variables
Cuando una variable estadística cuantitativa tiene mucha diversidad de valores, estos se pueden agrupar en intervalos regulares (de 5 en 5, de 10 en 10, etc.).
233
Ejemplo 4. La edades de los vecinos de un edificio son las siguientes: 40, 38, 8, 6, 65, 63, 35, 33, 82, 52, 51, 25, 22, 18, 38, 33, 9 y 6. Como hay mucha variedad y dispersión se considera que, para estudiarlas, es mejor agruparlas de 10 en 10. xi
hasta 10
de 11 a 20
de 21 a 30
de 31 a 40
de 41 a 50
de 51 a 60
de 61 a 70
de 71 a 80
de 81 en adelante
ni
4
1
2
6
0
2
2
0
1
Aplica
4 ■■ Durante 17 días, un naturalista ha estado contando las cigüeñas que pasaban en migración. Elabora la tabla de frecuen-
1 ■ Haz una tabla de frecuencias absolutas y relativas asociada
cias absolutas y relativas, con los valores agrupados en intervalos
a los siguientes datos e indica cuál es el porcentaje de aparición
de amplitud 5, a partir de los siguientes datos:
del valor 4.
5, 35, 21, 35, 45, 21, 6, 6, 7, 59, 40, 23, 2, 27, 17, 26 y 41.
3, 2, 5, 1, 1, 4, 2, 3, 4, 4, 1, 6, 3, 6, 3, 1, 4, 2, 4 y 5.
Resuelve 2 ■ Confecciona una encuesta para hacer a los compañeros de clase en la que obtengas los datos de 3 características: una cualitativa, una cuantitativa con pocos valores posibles y una cuantitativa con mucha variedad de valores posibles.
Razona 5 ■ Di de qué tipo son las siguientes variables estadísticas: a) el peso b) el número de habitaciones de la casa c) el partido político votado d) las horas de estudio en casa el fin de semana 6 ■■ Di para cada apartado del ejercicio anterior una pobla-
3 ■■ Efectúa las encuestas propuestas en el ejercicio anterior y
ción en la que aplicar el estudio de la variable estadística y 4
muestra los valores en una tabla de frecuencias.
posibles valores de la variable estadística.
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Las gráficas estadísticas
Estadística
2
2.1
Diagramas de barras
Las gráficas estadísticas sirven para mostrar los datos estadísticos de una manera visual y fácil de interpretar. Cada tipo de variable estadística tiene un tipo de gráfica que le es más apropiado. Los diagramas de barras se utilizan preferentemente para representar variables cualitativas y cuantitativas con pocos valores posibles. En el eje horizontal están las variables, y en el eje vertical, los valores posibles (en frecuencia absoluta o en tanto por ciento). A cada variable le corresponde una barra, cuya altura equivale a ese valor. Ejemplo
número de alumnos
5. Fíjate en el diagrama de barras de la siguiente tabla de frecuencias:
234
xi
pelirrojo
rubio
moreno
castaño
fi
1
5
9
10
moreno
castaño
15
10
5
0
pelirrojo
rubio
2.2
Recuerda Si quieres representar una variable que cambia gradualmen-
Diagramas de puntos y líneas
Los diagramas de puntos y líneas se utilizan sobre todo para mostrar la evolución a lo largo del tiempo de una variable. En el eje horizontal se halla la escala temporal, y en el eje vertical, los valores posibles. A cada tiempo le corresponde un valor, que se marca con un punto. Después, los puntos se unen en segmentos si es conveniente. Ejemplo
te en el tiempo, es preferible emplear un diagrama de pun-
6. Los importes de las facturas telefónicas de una familia en el periodo de septiembre a agosto han sido los de la tabla siguiente:
tos y líneas.
mes gasto
gasto telefónico (€)
(€)
sep
oct
nov
dic
ene
feb
mar
abr
may
jun
jul
ago
78,74
82,61
78,08
70,19
74,25
70,81
74,80
78,07
28,30
24,16
20,17
26,65
90,00 75,00 60,00 45,00 30,00 15,00 0 sep
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oct
nov
dic
ene
feb
mar
abr
may
jun
jul
ago mes
La representación gráfica permite ver que en el mes de mayo hubo una bajada importante y que el consumo antes del mes de mayo y después de él se mantiene estable.
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2.3
Comparación gráfica de datos estadísticos
Se puede comparar en un solo diagrama dos variables o más de una misma población o bien una sola variable, pero de poblaciones o períodos diferentes. • En los diagramas de barras, los valores se representan en parejas de barras (o tríos, etc.), y cada barra es de un color diferente. • En los diagramas de puntos y líneas, cada línea o punto tiene un color diferente. Cómo aplicarlo. Representar gráficamente una variable de dos poblaciones. Representa en un solo diagrama el número de hermanos que tienen los alumnos de 1.º ESO A y de 1.º ESO B de un centro. Los datos recogidos son: 1.º ESO A: 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 2, 1, 4, 1 y 0. 1.º ESO B: 0, 1, 2, 3, 0, 0, 0, 4, 2, 3, 4, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 0 y 1. • Se realiza el recuento de datos y se de- • Se calcula la frecuencia absoluta, la termina el tamaño de cada muestra. frecuencia relativa y el porcentaje. recuento
ni
fi
%
categoría
1.º A
1.º B
1.º A 1.º B 1.º A 1.º B 1.º A 1.º B
0
|||||||
|||||||
7
7
0,28
0,32
28
32
1
||||||||
||||||
8
6
0,32
0,27
32
27
2
||||||
||||
6
4
0,24
0,18
24
18
3
|||
|||
3
3
0,12
0,14
12
14
4
|
||
1
2
0,04
0,09
4
9
N
25
22
• Se decide si el eje vertical hay que expresarlo en función de la frecuencia absoluta o del porcentaje. Como el tamaño de cada muestra es diferente (1.º A = 25 y 1.º B = 22), hay que expresarlo en función del tanto por ciento. • Hay que elegir un color para cada grupo de alumnos e indicarlo en la leyenda.
% 35 30 25 20 15 10 5 0
1.º ESO A
Consejos Solo se pueden comparar las frecuencias absolutas si las dos poblaciones tienen el mismo tamaño. Si no, hay que expresarlo en porcentajes. La suma de frecuencias relativas tiene que dar 1. Los ejes de coordenadas y sus unidades tienen que permitir apreciar las diferencias. Tienen que caber bien las 8 barras separadas de 2 en 2 y, por ejemplo, se tiene que diferenciar claramente un 4 de un 5. La posición de la leyenda puede variar dependiendo del espacio disponible. Para hacer más claras las diferencias o semejanzas, encima de cada barra puede aparecer el valor de su frecuencia absoluta. Mira los ejercicios: 7 y 8 pág. 235, y 25 y 26 pág. 244.
1.º ESO B
0
1
2
3
4 número de hermanos
Aplica
Resuelve
7 ■ Representa en un solo diagrama de barras la tabla siguiente:
8 ■■ Haz una encuesta a los compañeros de clase para preguntarles el mes de nacimiento y si practican algún deporte.
Precipitación (L/m2)
Después haz un diagrama de puntos y líneas con el mes de na-
invierno
primavera
verano
otoño
cimiento de todos los compañeros y otro diagrama que distinga
año 2000
27
410
25
220
el mes de nacimiento entre los que habitualmente practican un
año 2010
52
420
30
340
deporte y los que no. ¿Hay alguna diferencia?
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235
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Estadística
2.4 Recuerda Cuando se realiza una encuesta, puede ser que algunas personas no tengan una opinión formada, no quieran darla, den una respuesta no pertinente, etc. Todos estos datos se recogen bajo el epígrafe «No sabe / no contesta».
Diagramas de sectores
Los diagramas de sectores, también denominados diagramas circulares o diagramas de pastel, se utilizan para representar tanto variables cuantitativas como cualitativas y sobre todo se usan en estudios de opinión. Este tipo de diagramas consiste en un círculo dividido en tantos sectores como valores diferentes tiene la variable estadística. El área (y el ángulo) de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta. Ejemplos 7. En las elecciones para delegado de una clase de 1.º de ESO, el número de votos que recibieron los candidatos fue el siguiente: Rosa
Silvia
Carlos
Juan
10
6
5
3
votos en las elecciones de delegado
Rosa
Silvia Carlos Juan
8. En las elecciones municipales de una gran ciudad, se presentaban diversos partidos políticos. El número de concejales que obtuvo cada uno queda reflejado en la siguiente tabla:
236
partido
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
concejales
18
12
10
6
2
2
1
1
0
0
Si se hace un diagrama de sectores directamente con estos datos (fig. 1) puedes observar que E, F, G, y H casi no se distinguen, y que los partidos I y J están indicados, pero no tienen ningún sector porque no tienen ningún concejal. Es mejor agrupar los partidos minoritarios en la categoría otros (fig. 2). G: 1 F: 2
H: 1 otros: 6
I: 0
E: 2
J: 0 D: 6
D: 6 A: 18
A: 18
C: 10
C: 10
fig. 1
fig. 2
B: 12
B: 12
Siempre que sea posible, los colores tienen que poder asociarse intuitivamente con los valores de la variable (por ejemplo, si hablamos de tendencias políticas, rojo para los progresistas, azul para los conservadores, etc.). 9. Se ha realizado una encuesta en una muestra de 2 500 chicas de 15 a 25 años de toda la comarca para saber si practican habitualmente algún deporte. Teniendo en cuenta las dimensiones de la muestra, es preferible hacer el diagrama a partir de porcentajes. Los resultados han sido los siguientes:
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ni
fi
%
practican algún deporte
861
0,34
34
no practican ningún deporte
1 542
0,62
62
no saben / no contestan
97
0,04
4
4% 34%
practican algún deporte no practican ningún deporte
62%
no saben / no contestan
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Consejos
Cómo aplicarlo. Construir un diagrama de sectores. Al instituto de un pequeño municipio van alumnos de todos los pueblos de la comarca. Estos pueblos son A, B, C, D, E, F y G, y el número de alumnos de cada uno es 30, 25, 20, 20, 15, 10 y 5, respectivamente. Construye el diagrama de sectores con estos datos. • Suma todas las frecuencias absolutas para determinar el tamaño de la muestra N: 30 + 25 + 20 + 20 + 15 + 10 + 5 = 125 alumnos • Calcula el porcentaje (fi · 100) que representan los alumnos de cada pueblo. En el caso del pueblo A es: n 30 100 = 24% % A = A 100 = N 125 • Calcula la amplitud del sector circular que corresponde al pueblo de frecuencia absoluta más grande, en este caso, el pueblo A es: 360º 360º nA = 30 = 86, 4º amplitud de A = N 125 • Haz lo mismo con los otros pueblos. A
B
C
D
E
F
G
ni
30
25
20
20
15
10
5
%
24
20
16
16
12
8
4
amplitud (º)
86,4
72
57,6
57,6
43,2
28,8
14,4
Verifica que los porcentajes están bien calculados. La suma tiene que dar 100. Comprueba que la amplitud de los sectores circulares es correcta. Sumados tienen que dar 360º. Hay que tener en cuenta que con un transportador no se pueden trazar con precisión ángulos con decimales. Es mejor redondearlos a una cifra entera, o bien utilizar las herramientas de representación de un programa de gestión de hojas de cálculo.
237
• Dibuja un círculo con el compás, y con un transportador y una regla traza cada sector.
Mira los ejercicios: 9 y 10 pág. 237, y 22 pág. 244.
• Pinta cada sector de un color diferente, de manera que los pueblos consecutivos tengan colores que no se asemejen, e indica el tanto por ciento que corresponde a cada sector. 2.º paso: pueblos A y B
1.er paso: pueblo A
A
4%
B
8% 24%
24%
24%
12%
D
16%
20%
C
20% 16%
E F G
Aplica
10 ■■ El siguiente diagrama corresponde a una encuesta hecha a 500 personas sobre qué deporte les gusta más. ¿Cuánta
9 ■■ En la cabalgata de Reyes, se ha preguntado a 200 niños
gente ha dicho el fútbol? ¿Y el tenis?
cuál era su rey favorito; se han obtenido las siguientes respues8%
tas: Melchor 75
Gaspar 40
Baltasar 60
Los tres 25
fútbol
7%
baloncesto
7% 48%
a) Haz el diagrama de sectores en tanto por ciento. b) Después se ha entrevistado a 400 niños y se han obtenido los mismos porcentajes. Haz la tabla de frecuencias y el diagrama de sectores.
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10%
tenis ciclismo
20%
atletismo otros
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Estadística
3
Los parámetros estadísticos 3.1
Atención Si has hecho 3 exámenes y la nota media es un 7, y haces otro examen y sacas un 9, la media de los 4 no es un
Tipos de parámetros
Los parámetros estadísticos son números asociados a estudios estadísticos con la finalidad de dar un resumen de la información obtenida. Se clasifican en: • Parámetros de centralización. Informan sobre los valores centrales a cuyo alrededor se distribuyen los datos. • Parámetros de dispersión. Informan sobre el grado de separación o concentración de los datos. Ejemplo
8, sino un 7,5. Incorrecto:
10. En el diagrama A los valores tienen mucha dispersión, mientras que en el B tienen más concentración.
(7 + 9) : 2 = 8 Correcto:
[(3 · 7) + 9] : 4 = 7,5
y
y
x
A
x
B
3.2
Parámetros de centralización
Los parámetros de centralización más importantes son:
238
• Media aritmética x. Se obtiene sumando todos los datos y dividiendo el resultado por el tamaño de la muestra. • Moda Mo. Es el valor que aparece más veces, es decir, el de más frecuencia absoluta. Puede haber más de una moda. • Mediana Me. Es el valor que ocupa el lugar central en una serie ordenada de datos. Si hay un número par de datos, es la media de los 2 valores centrales. No se calcula en variables cualitativas. El conocimiento de estos tres parámetros puede ser insuficiente para distinguir un grupo de datos de otro, pero si se asemejan se puede decir que los datos tienen poca dispersión.
Con la calculadora Para calcular la media de una serie de números con la calculadora (1, 4, 8 y 9, por ejemplo), tienes que poner la calculadora en modo estadístico. Pulsa MODE y selecciona SD . Para introducir los datos, hay que teclear: SHIFT
SAC
DATA
4
DATA
1
DATA
9
DATA .
8
Finalmente la media se obtiene pulsando SHIFT
x .
Ejemplo 11. El resultado de una encuesta sobre el número de hermanos que tienen los 25 alumnos de 1.º de ESO A de un centro es el siguiente: 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 2, 1, 4, 1 y 0. Calcula los parámetros estadísticos. Primero hay que hacer la tabla de frecuencias.
xi
0
1
2
3
4
ni
7
8
6
3
1
fi
0,28
0,32
0,24
0,12
0,04
Se puede obtener la media aritmética sumando todos los datos y dividiendo el resultado por el tamaño de la muestra, o bien, de manera más sencilla: x n + x 2 n2 +…+ x n nn 0 7 +1 8+ 2 6+3 3+ 4 1 = =1,32 x= 1 1 25 N La moda se corresponde con el parámetro de más frecuencia relativa, en este caso, el 1. Para calcular la mediana, se ordenan los datos y se halla qué cifra queda en medio. En este caso, Me = 1. 000000011111 1112222223334
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4
Interpretación de gráficas estadísticas
4.1
Lectura de un diagrama
En cualquier campo de las ciencias naturales y sociales, la estadística tiene un papel fundamental ya que permite describir y prever muchos fenómenos. Ejemplo
envases recogidos (%)
12. La siguiente gráfica muestra el porcentaje de envases de plástico que se recogen para reciclar en una gran ciudad, entre los años 2005 y 2010. Durante los dos primeros años, el porcentaje era bajo (7–7,3%). A par19,83 20 17,1 tir del año 2006 empezó a crecer rápidamente, 14,4 15 hasta 2009, cuando comenzó a aumentar más 9,4 10 7,3 despacio. Si sigue la tendencia, es previsible que 7 en 2011 el reciclaje se incremente un poco más, 5 hasta el 20% aproximadamente. 0 2005
4.2
2006
2007
2008
2009
Atención Es muy importante que te fijes en la escala en la que se representa la evolución de una variable antes de juzgar si los cambios son importantes o no.
2010 año
La estadística y la presentación de los hechos
El uso de gráficas estadísticas en los medios de comunicación está muy extendido, ya que simplifica las explicaciones y permite entender muchos hechos a golpe de vista. A pesar de la veracidad de los datos, la manera de presentarlos permite destacar o disimular los hechos según interese.
239
Ejemplo 13. Fíjate en los siguientes diagramas; ambos representan el precio del gasoil (€/L) desde el mes de enero hasta el mes de julio de un año determinado. El eje vertical de la fig. 1 comienza por 0,9 y la unidad de la escala es 0,1; mientras que el de la fig. 2 comienza por el 0 y la unidad de escala es 0,5.
1,5
precio del gasoil (€/L)
precio del gasoil (€/L)
En el primer diagrama parece que el precio haya aumentado mucho mientras que en el segundo parece que casi no se ha incrementado.
1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9
ene
fig. 1
feb
mar
abr
may
jun
jul mes
1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
ene
feb
mar
abr
may
jun
jul mes
fig. 2
Aplica
13 ■ Haz lo mismo con los datos resultantes de sumar 1 a cada una de las edades del ejercicio anterior.
11 ■ Ordena y halla la media, la moda y la mediana de 5, 6, 8, 4, 4, 5, 10, 3 y 5. 12 ■ Halla la media, la moda y la mediana de las edades de los integrantes de un equipo de baloncesto: 17, 19, 19, 20, 22, 28, 28, 28, 29 y 32.
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14 ■■ En la clase de lengua, Ana tiene que escribir 8 redacciones que se puntúan de 4 a 10 puntos cada una. Cuando ya ha escrito 6, Ana tiene una media de 7,5 puntos. ¿Cuál debería ser la media de las dos redacciones que todavía tiene que hacer para que la media final fuera de 8 puntos?
13/12/10 18:45:46
Todo son matemáticas
En mundo, en un vistazo Los métodos visuales para comunicar grandes cantidades de información estadística de manera sencilla y eficiente necesitan recurrir a especialistas del mundo de las artes gráficas. ¿Cómo podemos, por ejemplo, visualizar datos a escala mundial? Estos globos terráqueos están inspirados en la obra del artista Ingo Günther (Dortmund, Alemania, 1957) y desarrollados en el marco del proyecto WorldProcessor. Günther mezcla arte y estadística para mostrar situaciones políticas, sociales o medioambientales. Solo con un golpe de vista, somos capaces de localizar puntos calientes, flujos humanos, desigualdades, etc.
240
70 78
67 52
47 47
70
71
63
51
69
71
76
51
¿Llegaré a hacerme viejo?
76
70
70
76
71 68
53 50
52
47 47
67
70 72 50
48
66 70
44
La polución enmascara el mundo
Los círculos rojos indican vertidos de petróleo, y el color gris, la contaminación terrestre y marina ocasionada por los fertilizantes químicos. Por término medio, cada tres meses esta imagen se vuelve obsoleta a causa de otro gran vertido de petróleo y el aumento continuo de la contaminación.
Uno de los indicadores más comunes de la calidad de vida es la esperanza de vida, que es la media aritmética de los años que vivirán las personas de un país que nacen el mismo año, si la mortalidad se mantiene fija. Depende de factores como la alimentación, la higiene y el acceso a la sanidad. La esperanza de vida de nuestro país es de casi 80 años, la quinta en el ranking mundial. Pero en los 35 países con menor esperanza de vida, localizados todos en el África subsahariana, no pasa de los 50 años. Una desigualdad espeluznante.
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 240
13/12/10 18:45:51
Estadística
Consumo de energía
Los porcentajes del consumo mundial de energía están correlacionados con gráficas de barras que indican las cifras de población. Japón, por ejemplo, consume 15 veces más energía per cápita que China, y Estados Unidos utiliza 2,5 veces más energía per cápita que Japón.
23
23 4
4
Analiza e investiga 1. Encuentra en el texto el significado del concepto esperanza de vida.
241
2. Los datos del proyecto WorldProcessor que aparecen en este documento no
Ríos de refugiados
Los conflictos y las guerras siguen siendo la tónica general, no la excepción. Según el Alto Comisionado de las Naciones Unidas para los Refugiados (ACNUR), en estos momentos hay más de 34,4 millones de refugiados, la cifra más alta jamás registrada. Las flechas parten de los países de procedencia de los desplazados y la anchura indica la cantidad relativa. En cierto modo, los refugiados del planeta forman una nación sin país.
están actualizados; son de 1998 a 2005, según el globo. Busca en Internet datos actuales sobre la esperanza de vida de todos los países del mundo y comenta si la situación ha cambiado sustancialmente. 3. Determina, explorando la página web
Montañas de deuda
http://www.acnur.org, a quién considera re-
La deuda externa de los países, el dinero público y privado que cada uno debe al extranjero, está representada de manera proporcional a la altitud de sus montañas.
fugiado el Alto Comisionado de las Naciones Unidas para los Refugiados (ACNUR). 4. Averigua qué es el producto interior bruto (PIB) de un país y qué relación tiene con la renta per cápita. Busca una lista actualizada de los países ordenados por el PIB y el PIB per cápita.
Guía completa del mundo
Es cierto que el mundo hoy es más complicado que nunca. Aunque eso no significa que entenderlo sea necesariamente imposible, como apunta Günther en este globo terráqueo que titula con ironía Guía completa del mundo.
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5. Visita la página web: http://worldprocessor.com/catalog/world y fíjate en el globo Company vs. Country. Determina qué Estados están renombrados como Siemens, Disney, UPS, Milton Hotels y NYT (New York Times).
13/12/10 18:45:55
Estadística
Esto es básico Población. Conjunto de elementos o individuos sobre los cuales se realiza el estudio. Muestra. Parte representativa de la población que se toma como base del estudio. El tamaño de la muestra N es el número de elementos que contiene (en este caso, 7). Variable estadística. Característica que toma valores diferentes para cada elemento. Puede ser cuantitativa o cualitativa. Tabla de frecuencias Variable
Número de veces que se repite cada valor. frecuencia absoluta ni
Cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la n muestra. f i = i . N
frecuencia relativa fi porcentaje %
redondo
cuadrado
3
4
0,43
0,57
43
57
Posibles valores de la variable.
Frecuencia relativa multiplicada por 100.
diagrama de barras
242
diagrama de líneas y puntos euros
12 10
75,00 60,00
6
45,00
4
30,00
2
15,00 pelirrojo
rubio
moreno
0,00
castaño
En el eje horizontal están las variables.
Toni: 1
Dora: 3
Isaac: 5
Rosa: 10
Marta: 6 s
En el eje horizontal está la escala temporal.
¿Cómo se hace?
diagrama de sectores
90,00
8
0
Círculo dividido en tantos sectores como valores diferentes toma la variable estadística.
En el eje vertical están las frecuencias absolutas o los %.
En el eje vertical están las frecuencias absolutas o los %.
o
n
d g
f m a
m
j
j
a
A cada período le corresponde un valor que se marca con un punto. Los puntos se unen con segmentos.
El área (y el ángulo) de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta.
Procedimiento
Paso a paso
Construir
1. Dibuja con un compás un círculo suficientemente grande y un radio cualquiera.
un diagrama
2. Comenzando por la frecuencia absoluta de valor más alto, calcula el ángulo que corresponda a cada 360 sector aplicando ni . N 3. Dibuja ordenadamente con la ayuda de una regla y un transportador cada sector.
de sectores
4. Pinta los sectores de colores que permitan diferenciarlos. 5. Calcula el porcentaje correspondiente a cada variable aplicando pondiente. Calcular los parámetros de centralización
100 ni e indícalo en el sector corresN
• Media aritmética x : suma todas las frecuencias absolutas y divide el resultado por el tamaño de la muestra. • Moda Mo: equivale a la variable de más frecuencia absoluta. • Mediana Me: escribe ordenadamente todos los datos y localiza el que ocupa la posición central. Si hay un número par de datos, es la media de los 2 valores centrales.
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13/12/10 18:45:57
18 ■ Respecto a las variables del ejercicio 15, indica en cuál es
Conceptos básicos de estadística
más conveniente hacer agrupaciones para facilitar la construc-
15 ■ Indica, de cada una de las siguientes variables estadísticas,
ción de la tabla de frecuencias. Justifica la respuesta.
si es cuantitativa o cualitativa y di cuatro valores posibles: a) Estatura en metros de los alumnos de la clase.
19 ■ Construye la tabla de frecuencias correspondiente a las no-
b) Número de ocupantes de los coches que pasan por
tas de un control de matemáticas de un grupo de 25 alumnos: 5,
una cabina de peaje de una autopista un día concreto.
3, 7, 7, 8, 4, 6, 7, 9, 2, 0, 8, 9, 10, 5, 2, 4, 6, 8, 8, 0, 1, 6, 10 y 8.
Estadística
Actividades
c) Equipos de fútbol que han ganado la Champions League en los últimos 20 años.
20 ■■ Se ha preguntado a la clientela de una cafetería qué de-
d) Número de sobresalientes que han obtenido en el pri-
portes practicaban y los resultados han sido los siguientes:
mer trimestre los alumnos de la clase.
ni fútbol
24
baloncesto
13
tenis
6
otros
12
ninguno
5
fi
a) Completa la tabla de frecuencias. b) Si la encuesta se hubiera hecho a un grupo de personas de Estados Unidos, ¿crees que hubiera dado resulta-
16 ■ Completa la siguiente tabla de frecuencias, correspondien-
dos semejantes? ¿Por qué?
te al número de votos que ha obtenido cada partido (A, B, C y D)
c) Di otro país donde creas probable que haya resultados
en las elecciones municipales de un pueblo, y después contesta
diferentes.
las preguntas: xi
A
ni
80
fi
B
C
D
100
60
0,30
0,15
243
otros
Las gráficas estadísticas 0,10
a) ¿Cuál ha sido el número total de votos emitidos? b) ¿Qué tanto por ciento corresponde al partido C? c) Si la mayoría absoluta se obtiene a partir del 51% de
21 ■ Completa la tabla de frecuencias de la variable estadística que tiene por diagrama de barras la figura siguiente: 15
los votos, ¿qué posibles coaliciones de, como máximo, tres partidos podrían obtener la mayoría absoluta? 17 ■■ Haz la siguiente actividad:
10
5
a) Haz una encuesta entre los compañeros de clase sobre las dos siguientes variables estadísticas: •
Número de ordenadores que hay en casa.
•
Tener hermanos más mayores.
b) A continuación, vuelca los resultados de la encuesta en tres frecuencias relativas con la variable «número de ordenadores que hay en casa» según las siguientes poblaciones: •
Todos los alumnos de clase
•
Los que no tienen hermanos mayores
•
Los que tienen hermanos mayores
c) Compara las tres tablas y di si tienen hay alguna relación entre sí.
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0
xi
ni
fi
amarillo azul rojo verde blanco
13/12/10 18:45:58
26 ■■■ Fíjate en el diagrama comparativo de la estatura media
que tiene por diagrama de sectores la siguiente figura:
de los chicos y las chicas de un pueblo determinado y contesta
xi
ni
chopos: 100
fi
pinos : 50
pinos encinas
encinas: 25
robles álamos
las siguientes preguntas: estatura media (m)
Estadística
22 ■ Completa la tabla de frecuencias de la variable estadística
robles: 75
álamos: 50
1,8
1,7
chicos chicas
1,6
1,5
chopos 1,4
23 ■■ Fíjate en que el siguiente diagrama, que corresponde al
1,3
tanto por ciento de alumnos de un centro que han sacado más de un 6 en la selectividad, y después contesta las preguntas:
13
14
15
16
edad
a) ¿La diferencia entre las estaturas medias de los chicos y las chicas aumenta o se mantiene constante?
% 100 90
b) Di si hay alguna edad en la que los chicos hayan creci-
80
do mucho más respecto al año anterior, o bien si han ido
70
creciendo regularmente. ¿Y las chicas?
60 50 40
Los parámetros estadísticos
30 20
244
27 ■ Halla los parámetros de centralización de los siguientes tres
10 0
2005
2006
2007
2008
2009
año
a) ¿En qué año hubo un porcentaje más alto de calificaciones superiores a 6? b) ¿En qué año hubo un porcentaje más bajo de calificaciones superiores a 6? c) ¿Se puede predecir qué pasará en 2010? ¿Por qué? d) ¿Se puede saber, a partir de la gráfica, si algún alumno ha suspendido alguna vez la selectividad?
24 ■
Haz el diagrama de barras correspondiente a la opinión
que tienen unos espectadores sobre una película que han visto. muy buena
buena
regular
mala
muy mala
22
55
20
10
5
25 ■
Compara mediante un solo diagrama de puntos y lí-
neas el gasto telefónico de dos familias a lo largo de 6 meses. gasto de la familia García (€)
gasto de la familia Ferrer (€)
ene
74,25
46,12
feb
70,81
49,00
mar
74,80
50,10
abr
78,07
48,40
may
28,30
47,30
jun
24,16
55,18
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 244
conjuntos de datos: a) 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8 y 8. b) 4, 4, 8, 8, 12, 12, 16 y 16. c) 6, 6, 12, 12, 18, 18, 24 y 24. 28 ■ Con los resultados de los datos del ejercicio anterior, ¿qué se puede deducir? Escribe dos conjuntos de cinco datos diferentes, pero que tengan la misma media y mediana. 29 ■■ Un chico no recuerda las notas de dos de los controles que ha hecho; sabe que la media es de 6 y que las dos notas que ha olvidado son iguales. Si las notas de los otros tres exámenes son 7, 3 y 5, calcula cuáles son las notas que no recuerda. 30 ■■
Las notas medias de las pruebas de selectividad de
Matemáticas y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, los últimos 7 años, han sido las siguientes: Matemáticas: 3,86; 5,25; 6,54; 6,81; 4,72; 5,38 y 5,28. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales: 3,60; 4,18; 5,38; 4,55; 4,64; 5,19 y 4,58. a) Calcula la media de cada asignatura. b) Haz un diagrama de puntos y líneas conjunto. c) Según la gráfica, ¿piensas que se podría hacer alguna predicción para los próximos años? 31 ■■ Un chico no recuerda la nota de uno de los controles, pero sabe que la media es de 6. Si en los otros cuatro exámenes había sacado 7, 7, 4 y 9, calcula la nota que no recuerda.
13/12/10 18:45:58
32 ■ A partir de este diagrama, que corresponde al número de sobresalientes que han obtenido un grupo de 15 alumnos en el
Interpretación de gráficas estadísticas 35 ■■ Fíjate en la siguiente gráfica, que corresponde a los mi-
los parámetros de centralización.
llones de personas paradas de un país determinado de la UE,
número de sobresalientes
segundo trimestre, haz la tabla de frecuencias absolutas y calcula 6
entre el primer trimestre de 2008 y el cuatro trimestre de 2009,
5
y contesta las preguntas: a) ¿En qué trimestre ha habido más paro?
4
b) Analiza la tendencia de la gráfica y haz una hipótesis de
3
cómo podría evolucionar el paro en el siguiente trimestre.
2
c) ¿Cómo modificarías la gráfica de manera que la gente interpretara que el paro se ha reducido mucho más de lo
1
que parece? 1
2
3
4 5 número de alumnos
33 ■■■ En un grupo de amigos hay 3 chicos por cada 2 chicas. La media de edad de los chicos es 15 años y la de las chicas es 14 años. Calcula la media de edad de todo el grupo.
parados (en millones)
0
Estadística
Actividades
5 4,1 4
4,2
4
3,7
3,8 3,2
3,1 2,7
3
2
34 ■■■ Haz el siguiente trabajo estadístico:
1
a) Formad grupos de 5 alumnos, y que cada miembro del grupo tire un dado 100 veces (en total cada grupo
0
1.º 2008
2.º 2008
3.º 2008
4.º 2008
1.º 2009
2.º 2009
hará 500 tiradas). Cada alumno tiene que anotar sus re-
3.º 2009
4.º 2009
trimestre
sultados en una tabla como la siguiente: xi
ni
fi
1
36 ■■ Con los siguientes datos, que corresponden al porcentaje de parados entre la población de una ciudad costera, completa las gráficas de puntos y líneas; comenta qué diferencias hallas:
2 3 4 5
mes
paro (%)
mes
paro (%)
enero
15
julio
12
febrero
25
agosto
12
marzo
23
septiembre
15
abril
23
octubre
20
mayo
20
noviembre
25
junio
16
diciembre
15
6 b) Sumad las ni de cada puntuación de todos los miembros del grupo (comprobad que en total suman 500) y
c) Compara tu tabla con la del grupo. ¿Se parecen mucho tus frecuencias relativas a las del grupo? ¿Y las de
parados (%)
haced una tabla como la anterior volviendo a calcular las frecuencias relativas.
245
30
20
cada miembro del grupo entre sí? d) Sumad las ni de cada tabla de grupo y haced una tabla
10
de frecuencias de toda la clase. 0
e) Compara las frecuencias relativas de tu grupo con las las de antes? ¿Y las de cada grupo? f) Di si, cuantas más veces se repite un experimento, más se asemejan las frecuencias relativas entre sí, o bien es imprevisible y no hay ninguna relación. (Si algún alumno se queda sin grupo, podéis hacer grupos de cuatro o bien repartir los que queden entre los grupos y así algún grupo será de 6.)
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parados (%)
de toda la clase. ¿Se asemejan entre sí más o menos que
ene
feb
ene
feb
25
20
15
10
13/12/10 18:45:59
Estadística
Reto 37 ■■■ La siguiente frase cifrada pertenece a un científico
39 ■■■ Un profesor de Matemáticas calcula la nota global
muy conocido. Las letras se han sustituido por símbolos, se han
G calculando una media ponderada de los conceptos C, pro-
respetado los signos de puntuación y los espacios entre pala-
cedimientos P y actitud A. C, P y A son números naturales. La
bras, pero se ha prescindido de los acentos:
fórmula es: G = 0,5C + 0,3P + 0,2A
$%$*¿ (*¿ ]*&+$¡$¿ ¿%) [¡=+(¿ @’*)$*)@&* {) =%€ ¿%) @*¿=%#*&$*¿, *( =¡¿ *¿ @*¿=%#&+&-(*¿. }¡(+(*% }¡(+(*+.
Sabiendo que la nota de conceptos es la media de las notas de
La frecuencia con la que aparece cada letra en el texto es:
cuatro exámenes, resuelve:
a: 5,81%; b: 2,33%; c: 5,81%; d: 4,65%; e: 17,44%; f: 1,16%;
a) El profesor descubre un error en la corrección de un
g: 2,33%; i: 6,98%; l: 9,3%; n: 5,81%; o: 8,14%; p: 1,16%; r:
examen de un alumno y decide subirle 2 puntos la nota
5,81%; s: 13,95%; t: 6,98%; u: 1,16%; v: 1,16%. A partir de
de este examen. ¿Cómo afectará esto a la nota global?
estos datos, descifra el texto.
b) Un alumno ha obtenido en los exámenes las siguientes calificaciones: 8,5; 9,5; 9 y 10; y su nota de actitud es 9. Calcula qué notas globales puede obtener en fun-
38 ■■■ En muchos juegos se utilizan dados de 6 caras. Se
ción de la nota de procedimientos.
supone que es igual de probable sacar cualquiera de los 6 resultados posibles. Si lanzas un dado un gran número de veces, puedes esperar que la media de los valores obtenidos sea cer-
246
cana a (1 + 2 + +3 + 4 + 5 + 6) : 6. Compruébalo haciendo
40 ■■■ Se ha hecho un estudio estadístico, en un grupo de
40 lanzamientos o más (sin cambiar de dado). Calcula la media
200 personas, del número que calzan. Los valores van de 40 a
de los resultados y haz un gráfico de barras.
44. Sabemos que 30 personas calzan el 40, 50 el 42 y 70 el 43.
Puede ser interesante que todo el alumnado haga el experi-
¿Cuáles son los valores máximo y mínimo que puede tener la
mento con el mismo dado y comparar las gráficas y medias
media aritmética?
respectivas. Si se hacen muchos lanzamientos es recomendable utilizar una hoja de cálculo.
Autoevaluación
¿Sé distinguir los diferentes tipos de variables?
¿Sé construir e interpretar gráficamente estadísticas?
1. Di si las siguientes variables son cualitativas o cuantitativas:
4. La siguiente gráfica muestra la evolución de los beneficios (en
a) Ganadores de la Copa Davis de los últimos 10 años.
decenas de miles de euros) de una empresa durante el último año. decenas de miles de euros
b) Edad del padre. c) Marca del ordenador. d) Número de alumnos en clase.
¿Sé construir e interpretar tablas? 2. Los datos obtenidos de una clase de 20 alumnos, referidos a las horas que dedican a estudiar durante el fin de semana, son 0, 4, 2,
7 6 5 4 3 2 1 0 en
feb
mar
abr
may
jun
jul
ago
sep
oct
nov
dic mes
4, 0, 0, 8, 4, 6, 5, 1, 5, 6, 7, 2, 2, 7, 1, 0 y 0.
a) Di de qué tipo de gráfica se trata.
Calcula las frecuencias absolutas y relativas.
b) Di respecto a los beneficios del mes de enero siguiente
3. Completa la siguiente tabla de frecuencias y di cuál es el tama-
si subirán o bajarán.
ño de la población: xi
ni
blanco
5
verde amarillo
MatesESO1-U12 (K6-E5).indd 246
5. Halla los parámetros referidos a los datos de ejercicio 2. b) moda
c) mediana
6. Halla la media, la mediana y la moda de los siguientes tres conjuntos de datos:
2 0,1 4
¿Sé calcular e interpretar los parámetros estadísticos? a) media aritmética
0,35
negro naranja
fi
0,2
a) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 b) 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2 c) 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2
13/12/10 18:46:00
Estadística
Competencias que suman Encuesta a las familias Se ha preguntado a 20 parejas sobre el número de hijos que tienen y se han obtenido los siguientes resultados: 3, 1, 2, 3, 4, 2, 0, 3, 3, 2, 5, 4, 0, 6, 1, 5, 1, 2, 4 y 3. 1. A partir de la lista anterior, completa la siguiente tabla de frecuencias: número de hijos
frecuencia absoluta
frecuencia relativa
0
2
2/20
1
3
3/20
2
4/20
3
5
4 5
2/20
6
1
2. ¿Cuánto suman las frecuencias absolutas? a) Lo mismo que las frecuencias relativas.
247
b) El número total de datos. c) Depende de los intervalos. d) Ninguna de las anteriores. 3. Utilizando la frecuencia relativa, se puede afirmar que las familias con 1 hijo son el 15%. Explica la relación que hay entre la frecuencia relativa y el porcentaje de familias con un número determinado de hijos. 4. Indica cuál de los siguientes diagramas de barras se corresponde con los datos del problema. a)
c)
5
6 5
4
4
3
3 2
2
1 0
b)
1 0
1
2
3
4
5
0
6
d)
6
5
4
4
3
3
2
2
1
1 0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
6
5
0
0
0
5. Se les preguntó a las parejas si les gustaría tener más hijos. El 60% contestó que sí, el 25% contestó que no y el 15% restante respondió que no lo sabía. Representa gráficamente estos resultados. 6. Haz una aproximación a la puntuación que crees que obtendrás en esta prueba. Tienes que intentar que sea lo más ajustada y sincera posible, aunque pienses que no te haya salido demasiado bien.
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13/12/10 18:46:02