Matemáticas 2

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MATEMÁTICAS 2

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MATEMÁTICAS 2

M. Albertí, A. Aragoneses, A. Bancells, A. Bosch, F. García, A. Hernández, B. Luque, R. A. Rovira, L. Sabater, J. A. Ysern

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Unidad

2

Los números fraccionarios La mitad de la mitad

Imaginemos un rectángulo. Dividiendo su longitud en tres partes iguales y su anchura en dos, conseguiremos seis celdas o rectángulos idénticos más pequeños que componen el rectángulo original y son más pequeños que él.

Si A y B son la longitud y la anchura respectivas del rectángulo de partida, su área es A · B. Por tanto, el área de cada uno de los rectángulos pequeños es una sexta parte de esta: A ⋅B 6

24

También podemos calcular el área de cada celda mulA tiplicando su longitud, es decir, , por su anchura, 3 B que es : 2 A B ⋅ 3 2 De todo ello deducimos que: A B A ⋅B ⋅ = 3 2 6 He aquí cómo se calcula el producto de dos fraccioa c nes. Al multiplicar por , se obtiene una fracción b d que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores: a c a ⋅c ⋅ = b d b ⋅d Todo el mundo es capaz de hacer un sencillo cálculo mental para saber que la mitad de veinte euros son diez euros. De forma parecida, somos capaces de deducir que la cuarta parte de ochenta pasos son veinte pasos, ya que la mitad de cuarenta es veinte.

Prestemos atención a estos hechos y centrémonos en el cambio que sufre una expresión lingüística corriente cuando se transforma en una de tipo matemático.

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Fijémonos primero en la expresión la mitad de veinte es diez. La operación que realizamos es dividir 20 en dos partes iguales, de forma que 20/2 = 10.

La transición de la expresión lingüística a la matemática es la siguiente: La mitad de veinte es diez ↔

1 20 de 20 = 10 ↔ = 10 2 2

La transformación se produce a partir de la preposición de. Cuando pasamos del lenguaje corriente al matemático, esta preposición se convierte en un signo de multiplicar: 1 1 20 1⋅ 20 20 ⋅ 20 = ⋅ = = = 10 2 2 1 2 ⋅1 2 De aquí que la mitad de la mitad de una cantidad Q sea lo mismo que la cuarta parte de Q: 1 1 de de Q ↔ 2 2 1 1 Q Q ↔ ⋅ ⋅Q = = 2 2 2⋅2 4

La mitad de la mitad de Q ↔

Analiza y resuelve 1. Tenemos un folio y doblamos el lado más largo en cinco partes y el corto, en cuatro. a) ¿Cuántas celdas tiene la retícula que se crea? b) ¿Qué fracción de la hoja representa cada una de las celdas de la retícula?

2. La fotografía de la página anterior que acompaña al texto es una obra del artista Piet Mondrian. Identifica qué celdas de su retícula son la mitad de otras.

3. Escribe la expresión matemática correspondiente a las expresiones lingüísticas siguientes y calcula la fracción resultante: a) La cuarta parte de la quinta parte de una cantidad. b) La mitad del tercio de una cantidad. c) El tercio de la mitad de una cantidad. d) La tercera parte de la tercera parte de una cantidad.

4. Escribe la expresión lingüística correspondiente a las

25

expresiones matemáticas siguientes. a)

1 1 ⋅ ⋅Q 3 4

c)

1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅Q 2 2 2

b)

1 1 ⋅ ⋅Q 2 5

d)

1 1 ⋅ ⋅Q 10 10

5. Tal como se explica en el texto, ¿en qué término, número o símbolo matemático se transforma la preposición de cuando una expresión lingüística referente a fracciones se escribe en términos matemáticos?

6. Qué fracción representa: a) La décima de la décima de la décima parte de una cantidad. b) La décima parte de la centésima parte.

Índice

Competencias básicas

1. Los números fraccionarios

Matemática. Operaciones con fracciones.

2. Trabajar con fracciones equivalentes

Comunicativa y lingüística. Expresión oral y escrita de

3. Operaciones básicas con fracciones

operaciones con fracciones.

4. Potencias y raíces cuadradas de fracciones

Tratamiento de la información y competencia digi-

5. Operaciones combinadas con fracciones

tal. Uso de herramientas de cálculo e informáticas.

Conocimiento e interacción con el mundo físico. Aplicación de los procedimientos de cálculo a situaciones reales.

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Los números fraccionarios

1

Los números fraccionarios 1.1 Recuerda

Las fracciones expresan el número de partes que se consideran de un todo.

Los números naturales se pue-

Términos de una fracción

Una fracción es un número real representado como un cociente entre dos números enteros a y b, el numerador y el denominador. a b

numerador denominador

El numerador indica cuántas de estas partes hay que tener en cuenta.

El denominador indica en cuántas partes iguales se ha de dividir una cosa.

den escribir en forma de fracción: 3 3= 1

Ejemplo

Se leería «tres enteros».

1. Al repartir un premio entre los 4 miembros de un equipo, cada uno recibe una cuar1 1 ta parte, , es decir, 0,25 del premio total. La fracción equivale al número real 0,25.

4 4

1.2

• Fracciones propias. Son fracciones que tienen, en valor absoluto, el numerador más pequeño que el denominador (|a| < |b|). Al hacer la división, el resultado es menor que la unidad y, por tanto, hacen referencia a un número que solo tiene parte decimal.

fracción propia 1<4

1 = — 4

26

1 = 0,25 — 4

fracción impropia 7>4

7 = — 4

7 = 1,75 — 4

• Fracciones impropias. Son fracciones que tienen, en valor absoluto, el numerador mayor que el denominador (|a| > |b|). Al hacer la división, el resultado es mayor que la unidad.

• Fracciones iguales a la unidad. Son fracciones que tienen, en valor absoluto, el numerador y denominador iguales (|a| = |b|).

3 — 4

1

Ejemplo

fracción igual a la unidad 4 = — 4

Fracciones propias y fracciones impropias

2. En una yincana, para llegar a la meta, Arturo camina seis cuartos de kilómetro mientras que Laura camina tres cuartos de kilómetro.

6 6 Arturo: = 1, 5 km es más de un kilómetro. es una fracción impropia.

4 4 3 3 Laura: = 0, 75 km es menos de un kilómetro. es una fracción propia.

4 4

4=4 4 =1 — 4

1.3

Los números mixtos

Las fracciones impropias hacen referencia a un número que tiene parte entera y parte decimal; por ello se pueden escribir como un número mixto, es decir, como la suma de un número entero más una fracción propia.

Ejemplo 6 2 = 1, 5 km, que es lo mismo que 1+ = 1, 5 km. Fíjate en 4 4 cómo se puede pasar de una fracción impropia a número mixto dividiendo la fracción: 3. Arturo ha caminado

una unidad

6 4 2 1 1+

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2 4

D d

D d c r

c+

+

dos cuartas partes

r d

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1.4

Fracción de una cantidad

Hallar la fracción de una cantidad es multiplicar la fracción por esa cantidad. Para hacerlo, se puede considerar:

Atención

• La fracción como operador. En este caso se multiplica el numerador por la cantidad y después se divide por el denominador.

Para calcular la fracción de una cantidad, se multiplica la frac-

• La fracción como cociente. En este caso se hace la división correspondiente a la fracción y el resultado se multiplica por la cantidad.

ción por esa cantidad; a pesar de lo que podría parecer, no se divide la cantidad entre la

Ejemplo

fracción.

4. Hay que repartir un premio de 20 000 € en partes iguales entre 4 personas. Para 1 saber cuánto percibe cada ganador, se ha de calcular de 20 000 €: 4 20 000 • Fracción como operador: 20 000 ⋅ 1= 20 000 → = 5000 € 4 1 • Fracción como cociente: ⋅ 20 000 = 0, 25 ⋅ 20 000 = 5000 € 4

1.5

Así, por ejemplo, las tres cuartas partes de 20 L de aceite son: Correcto: 3 60 ⋅ 20 = = 15 L 4 4 Incorrecto:

3 80 20 : = = 26, 6 L 4 3

Representación en la recta

Para representar una fracción en la recta de los números enteros, se marcan el 0 y el 1 (o el −1 en caso de fracciones negativas), se divide la distancia entre sí en tantas partes como indica el denominador y, finalmente, se toman tantas partes de estas como indica el numerador.

Algunas fracciones pueden coincidir con números enteros, pero, en general, no lo hacen.

27

Ejemplos 3 5. Fíjate en cómo se representan − : 4 • Sobre la recta númérica se sitúan el 0 y el −1.

• Se divide este intervalo en 4 partes.

–1

0

3 –— 4

• Se marca la tercera señal empezando por el 0.

3 3 6. Observa que las fracciones propias y se hallan entre el 0 y el 1, mientras que 5 8 11 la fracción impropia está más allá del 1.

7

0

3 — 5

1

0

1

3 — 8

0

Aplica 1 ■ Indica cuál es el numerador y cuál es el denominador de las siguientes fracciones: 3 7 a) c) 5 4 23 2 b) d) 6 12

9 5 −4 f) 11 e)

1 7 −5 h) 3

g)

2 ■ Clasifica las fracciones siguientes en propias, impropias e iguales a la unidad: 3 a) 5

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b)

1 56

c)

23 24

d)

5 5

1

11 — 7

2

3 ■■ Escribe el número mixto correspondiente a cada fracción: 9 11 3 a) e) c) 5 7 2 31 −13 5 b) f) d) 5 3 2 4 ■■ Representa en la recta de los números las fracciones siguientes: a)

3 5

b)

6 5

c)

7 3

Resuelve 5 ■■ ¿Qué edad tiene Marc si tiene

7 de la edad de Judit?

3

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Los números fraccionarios

2

Trabajar con fracciones equivalentes 2.1

Fracciones equivalentes

Dos fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si, a pesar de que se escriben de forma distinta, a c corresponden al mismo número: = b d Se puede comprobar que dos fracciones son equivalentes de las siguientes formas:

representan la misma parte de

• Multiplicando en cruz –es decir, el numerador de una fracción por el denominador de

Recuerda

una cantidad.

la otra, se obtiene el mismo resultado: a c = → a ⋅d = c ⋅b b d • Dividiendo a : b y c : d, se obtiene el mismo resultado.

Ejemplo 7. Fíjate en cómo se comprueba que

7 21 equivale a : 5 15

7 21 7 ⋅ 15 = 105 → Multiplicando en cruz: , 5 15 5 ⋅ 21= 105

7  5 = 1, 4 Haciendo las divisiones:   21  = 1, 4 15

Se puede observar que 21 es múltiplo de 7 (3 · 7 = 21), que 15 es múltiplo de 5 (3 · 5 = 15) y que la razón de proporción es la misma.

28 2.2

Amplificación de una fracción

Amplificar una fracción es hallar una fracción equivalente en la que tanto el numerador como el denominador sean más grandes en valor absoluto que los originales.

Para amplificar una fracción, hay que multiplicar numerador y denominador por el mismo número. Se pueden hallar infinitas fracciones amplificadas de una fracción original.

Ejemplo

12 8. Fíjate en cómo se hallan varias fracciones amplificadas de 5 : 2 2 2 21 ⋅ → 42 ⋅ → 84 ⋅ → 168 ... → 30 ⋅ → 60 ⋅ → 120 15 ⋅ 2 2 2

3 2 21 ⋅ → 63 ⋅ → 126 ... → 45 ⋅ → 90 15 ⋅ 3 2

42, 84, 168, 63 y 126 son múltiplos de 21.

30, 60, 120, 45 y 90 son múltiplos de 15.

Aplica 6 ■■ Indica cuáles de las fracciones siguientes son equivalentes 6 : a 15 12 2 21 12 a) c) e) g) 30 5 15 20 3 30 60 42 d) h) f) b) 5 75 150 65

21 15

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b)

2 5

c)

1 12

d)

3 7

e)

Resuelve 7 9 ■ Si Pablo tiene de los deberes de verano y Marta ha hecho 9 21 , ¿han trabajado lo mismo?

27 10 ■■ Juan y Marta tienen que pintar cada uno una pared de

7 ■ Halla cinco fracciones equivalentes a las siguientes: a)

8 ■■ Halla cinco fracciones amplificadas de las siguientes: 20 4 2 3 1 c) e) b) d) a) 7 7 15 5 6

−5 8

10 m2. Juan ha pintado 3,5 m2 de la suya y Marta, tres quintos de la suya. ¿Han pintado lo mismo?

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2.3

Simplificación de una fracción

Simplificar una fracción es hallar una fracción equivalente en la que tanto el numerador como el denominador son más pequeños que los originales.

Para simplificar una fracción, hay que dividir el numerador y el denominador por un divisor común.

Una fracción irreductible es la que no se puede simplificar más. Para hallar la fracción irreductible equivalente a otra, es necesario dividir el numerador y el denominador por su máximo común divisor.

Ejemplo 60 se puede simplificar. Para ello debes darte cuenta de 48 que 2, 3, 4, 6 y 12 son divisores comunes:

9. Fíjate en que la fracción

2 2 3 60 : → 30 : → 15 : → 5 ...   →   →   → 4 48 24 12 :2 :2 :3

Como el m. c. d. de (60, 48) = 12, la fracción irreductible es

2.4

12 60 : → 5 . → 4 48 : 12

Reducción a común denominador

Reducir a común denominador varias fracciones consiste en hallar las fracciones equivalentes, simplificando o ampliando, que tengan el mismo denominador.

Hay infinitas posibilidades, pero la más práctica es poner como denominador el mínimo común múltiplo.

29 0

10 — 12

0

9 — 12

5 — 6

1

Ejemplo 6 1 5 , y .

8 4 6 • Se busca el m. c. m. de los denominadores: m. c. m. (8, 4, 6) = 24.

10. Reduce a común denominador las fracciones

• Se divide el m. c. m. por cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por el numerador.

24 : 8 = 3 24 : 4 = 6 24 : 6 = 4

6 ⋅3 18  → 8 24

2.5

1 ⋅6 6  → 4 24

3 — 4

1

5 ⋅4 20 →  24 6

Comparación y ordenación de fracciones

Para comparar dos fracciones o más, se reducen a común denominador y se comparan los numeradores.

Ejemplo 11. Fíjate en cómo se comparan

3 5 y .

4 6

9  3  4 = 12 3 5 m. c. m. (4, 6) = 12 →  . Como 10 > 9 → > .  5 10 4 6  =  6 12

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Los números fraccionarios

3

Operaciones básicas con fracciones 3.1

Suma y resta de fracciones con el mismo denominador

Sumar y restar son operaciones equivalentes. La resta se puede interpretar como la suma de un número negativo.

Atención

Por tanto, para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantienen los denominadores.

a cuan1 do te encuentres con operacio-

Aplica la propiedad a =

Ejemplo

nes como la de este ejemplo: 4 −3 2

12. Fíjate en las operaciones siguientes: 4 5 2 4 + 5−2 7 1 + − = = = =1 7 7 7 7 7 1

2 12 2 + 12 14 + = = 5 5 5 5

Es más fácil si está escrita así: 4 3 − 2 1

Siempre que se pueda reducir el resultado, es conveniente hacerlo.

3.2

Suma y resta de fracciones con denominadores diferentes

Para sumar y restar fracciones con denominadores diferentes, es necesario reducir las fracciones a común denominador y después sumar o restar los denominadores.

Ejemplo 13. Fíjate en cómo se opera con denominadores distintos:

30

4 (30 : 3) 2 (30 : 5) (30 : 2) 40 + 12 − 15 37 4 2 1 − = = + − = + 5 2 30 30 30 30 30 3

m. c. m. (3, 5, 2) = 30

Este resultado no se puede reducir.

3.3

Fracción opuesta

Dada una fracción, su opuesta es una fracción tal que, al sumarlas, da cero.

Es la misma fracción cambiada de signo. a −a → b b Ejemplo 14. La fracción opuesta a

Aplica

13 ■■ Relaciona las fracciones con sus opuestas: a)

11 ■ Calcula y simplifica: 2 5 + 3 3 5 1 1 b) + + 2 2 2

a)

1 7 − 4 4 4 3 1 + − d) 5 5 5

c)

12 ■■ Resuelve: a)

 −2  +2 7 −7 −2 es . La fracción opuesta a es −  = .

5 5 3 3 3

4 3 2 + − 5 2 3

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b)

2 1 7 − + 3 5 4

7 5

b) −

A) 7 5

−5 7

B) −

7 5

c)

5 7

 7 C) −−   5

d)

−5 7

D)

5 7

1 2

E)

1 2

e) −

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3.4

Producto de fracciones

Para obtener el producto de distintas fracciones, se multiplican todos los numeradores entre sí para obtener el nuevo numerador, y se multiplican todos los denominadores entre sí para obtener el nuevo denominador. a c a ⋅c ⋅ = b d b ⋅d

Recuerda Multiplicar dos fracciones equivale a hallar la fracción de una fracción:

Ejemplo 15. Fíjate en cómo se multiplican y simplifican las fracciones siguientes:

1 — 2

3 10 4 3 ⋅ 10 ⋅ 4 120 :120 1 ⋅ ⋅ = =   →= 5 6 12 5 ⋅ 6 ⋅ 12 360 3

1.º se multiplican los numeradores 2.º se multiplican los denominadores

m. c. d. (120, 360) = 120

3.5

1 — 4

1 1 1 — de — = — 2 2 4 1 1 1·1 1 — · — = —— = — 2 2 2·2 4

División de fracciones

Para dividir dos fracciones, hay que multiplicar en cruz el numerador de una por el denominador de la otra:

Dividir dos fracciones equivale

• El primer numerador por el segundo denominador es el nuevo numerador.

fracción dentro de otra:

a hallar cuántas veces cabe una

• El primer denominador por el segundo numerador es el nuevo denominador. a c a ⋅d : = b d b ⋅c

1 — 4

1 — 2

Ejemplo

2 16. Han sobrado 3 de una pizza y al día siguiente queremos dividirla en porciones 1 iguales que representen de la pizza original. ¿En cuántas porciones se podrá dividir?

6 2 1 2 ⋅ 6 12 : = = = 4 porciones 3 6 1⋅ 3 3

3.6

31

1 — 4 1 2 de — 4

1 1 4 —:—=—=2 2 4 2

Fracción inversa

Dada una fracción, su inversa es otra fracción tal que, al multiplicarlas entre sí, el producto es la unidad.

Para obtener la fracción inversa de una fracción dada, se permutan numerador y denominador.

Fracción inversa de

a b → b a

Ejemplo 17. La fracción inversa de

3 4 3 4 12 = 1. es , ya que ⋅ = 4 3 4 3 12

Aplica 14 ■■ Relaciona las fracciones con sus inversas:

a)

7 5

A) −

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−3 5 7 B) 5 b)

7 5

5 7 −5 C) 3

c)

−5 7 5 D) 7

d)

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Los números fraccionarios

4

Potencias y raíces cuadradas de fracciones 4.1 Atención

Al elevar un número negativo

Potenciación de una fracción

Elevar una fracción a una potencia n es elevar el numerador y el denominador a esa potencia. n  a  a n   = n  b  b

a una potencia hay que tener

Ejemplo

en cuenta si el exponente es

6

par o impar.

18. Fíjate en cómo se calculan

Si es par, el resultado final es

5  2  y  −3  .      3  5

5

 2 2 2 2 2 2 Dado que   = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , entonces 3 3 3 3 3 3

positivo.

Si es impar, el resultado final es negativo.

6

5

5  2    = 25 .   3  3

6

 −3  (−3) 36 Por otro lado,   = . =  5  56 56

(−a)n par = a n par (−a)n impar = −a n impar

4.2

Raíz cuadrada de una fracción

La raíz cuadrada de una fracción es la raíz cuadrada del numerador dividida por la raíz cuadrada del denominador. a a = b b

32

Ejemplos

En venta 4/9 km2

4 km2. Para averiguar la longi9 tud de cada lado, es necesario hallar la raíz cuadrada de su área:

19. Un labrador tiene un terreno cuadrado que mide 4 4 2 = = km 9 9 3

3

n  125 .

20. Fíjate en cómo se halla el número n que cumple la igualdad   = 3 27 Como 33 = 27 ↔ 3 = 3 27 , entonces n3 = 125 ↔ n = 3 125 = 5.

Aplica

17 ■■ Calcula:

15 ■ Escribe en forma de potencias los productos siguientes: 2 2 2

d) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

7 7 7 7 7 7 b) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9

12 12 12 12 12 12 12 e) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7

1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2

9 9 9 9 ⋅ ⋅ ⋅ 8 8 8 8

f)

 3   a)  7 

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b)

16 36

c)

9 49

d)

64 9

11

 8  b)  3 

Resuelve 18 ■■■ Di qué fracción tiene

5 como raíz cuadrada.

8

19 ■■■ Juan corta un palo de 10 cm en cuatro partes iguales y hace con él un cuadrado. ¿Cuál es el área de este cuadrado?

16 ■ Escribe sin paréntesis las fracciones siguientes: 5

81 25

3 3 3 3 3

a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3

c)

a)

9

 1 c)  5 

20 ■■■ La superficie de baldosa cuadrada es medio metro cuadrado. ¿Cuánto mide de largo y de ancho?

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5

Operaciones combinadas con fracciones

Con el fin de resolver correctamente operaciones con fracciones en las que aparezcan varias operaciones combinadas (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces cuadradas), se deben tener en cuenta los siguientes criterios de prioridad: 1. Resolver las operaciones que hay dentro de los paréntesis, de las interiores (paréntesis) hacia las exteriores si las hay (corchetes).

2. Hacer las potencias y las raíces cuadradas.

3. Resolver las multiplicaciones y las divisiones ordenadamente, de izquierda a derecha.

4. Calcular las sumas y las restas ordenadamente, de izquierda a derecha.

Ejemplos 21. Fíjate en los pasos seguidos para resolver la operación combinada siguiente: 2

 3 2       −  − 1− 1 ⋅  3  + 9  5 3   2   2  4

1.º Se resuelven las operaciones de dentro de los paréntesis. Se ha aplicado a la propiedad a = .

1 2.º Se efectúan las potencias y las raíces.

 3 2  9 10 −1  −  =  5 3  15 − 15 = 15

2

  1− 1 = 1− 1 = 2 − 1 = 1  2  1 2 2 2 2

→

−1 1  3  9 −   +   15 2 2 4

2

2  3    = 32 = 9  2  2 4

9 9 3 = = 4 4 2

→

−1 1 9 3 − ⋅ + 15 2 4 2

33

3.º Se resuelven las multiplicaciones.

1 9 1⋅ 9 9 −1 9 3 ⋅ = = → − + 2 4 2⋅4 8 15 8 2

4.º Se efectúan las sumas y las restas.

−1 9 3 −16 − 270 + 360 74 − + = = 15 8 2 120 120

74 37 :2 Al final, es conveniente simplificar el resultado: 120  → 60

22. Fíjate en cómo se simplifica

5 5 3 + ⋅ : 2 3 2

5 5 3 Aquí, a pesar de que no haya paréntesis, la raíz hace esa función, es decir,  + ⋅  . 2 3 2 Por eso hay que resolver primero lo que hay dentro de la raíz: 5 5 3 5 15 15 + 15 30 + ⋅ = + = = = 5 2 3 2 2 6 6 6

Aplica 21 ■■ Calcula:  2 4  1 3 a)  +  +  +   4 3  3 2 

22 ■■ Calcula: 2  2  5 a)  + 2 −  3  3

c)

 1 5   +   3 9 

3  3 2 1 b)  + −   2 5 3

d)

 2 3 27   + −   5 2 80 

 1  3 5  b) 2 +  −  +   3  2 4 

Resuelve

 2 3   6 3 3 2 c)  −  +  −  ⋅  +   5 4  4 2  2 5

23 ■■ Fátima recibe una paga semanal de 20 €. Cada día se 1 gasta . ¿Cuánto dinero le quedará para el fin de semana?

8

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 33

10/11/11 12:14

Todo son matemáticas

Las matemáticas de la democracia:

El sistema d’Hondt En las democracias los ciudadanos tienen derecho a votar a partir de la mayoría de edad y escoger así a sus representantes en los parlamentos y otras cámaras de poder.

TACIÓN, A VO_ L A D A B A C A Z N OS? PERO, UNA VE EN LOS ESCA T R A P E R E S CÓMO A NTATIVO PAR E S E R P E R Y O O? ES JUST ESTE REPART D A D IE C O S A TODA L

Congreso de los diputados

34

Según la Constitución Española, está compuesto por un mínimo de 300 diputados y un máximo de 400. El número actual es de 350, por determinación de la Ley Orgánica de Régimen Electoral General (1985). La Constitución establece que los diputados serán elegidos por provincias, de forma que cada provincia tenga como mínimo dos escaños, y las ciudades autónomas de Ceuta y Melilla, uno cada una.

El resto de los escaños se reparte de forma proporcional al número de habitantes de cada provincia.

HAY QUE escoger a los 8 representantes de una provincia.

Su censo electoral es de 1 000 000 de personas.

Se ordenan de mayor a menor los votos obtenidos por las candidaturas: Candidatura

Votos

Candidatura

Votos

Votos en blanco: 1 000 Votos nulos: 500 Solo se consideran los 534 000 votos válidos.

Para obtener representación, hay que sacar como mínimo el 3% de los votos. Las candidaturas que no alcanzan ese porcentaje se descartan.

descartada descartada

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 34

10/11/11 12:14

Los números fraccionarios

Victor d’Hondt (1841-1901) Fue un matemático y jurista belga que inventó, en 1878, el sistema que se aplica en España para repartir los escaños en el Congreso de los Diputados, en los parlamentos autonómicos, en los ayuntamientos y en el Parlamento Europeo.

Analiza e investiga 1. Busca cuántos votos sacaron los cinco partidos más votados en las últimas elecciones al Congreso de los Diputados (350 escaños). Calcula cuántos escaños obtendría cada partido si fueran proporcionales a los votos, sin relación con la población de las provincias.

35

a) ¿Es muy diferente el resultado del que

Se dividen los votos que ha obtenido cada partido por números enteros progresivos desde el 1 hasta el número de escaños de la provincia (en este caso, 8), y se hace una tabla como la siguiente:

se obtiene aplicando el sistema D’Hondt? b) ¿Por qué crees que a todas las provincias les corresponden dos diputados, aunque tengan poca población?

Dividido por votos

2. Argumenta si es razonable que las candidaturas con menos del 3% de los votos no entren en el reparto de escaños. Invescandidatura

tiga alguna de las propuestas que se han planteado en nuestro país para reformar el sistema de reparto de escaños.

3. Accede al sitio http://icon.cat/util/eleccions, que contiene un simulador del sistema D’Hondt, y comprueba los resulta-

Se adjudica un escaño a cada uno de los cocientes más altos obtenidos en la tabla hasta agotar el número de escaños de la provincia.

4 escaños

1 escaño

2 escaños

1 escaño

ninguno

dos de unas elecciones cualesquiera.

4. Calcula el porcentaje de abstención del ejemplo; si hubiese un escaño más, deduce qué candidatura lo recibiría.

5. Formad grupos, con ayuda del profesor, y haced un mural o presentación de

CASOS RAROS Si los cocientes coinciden, se otorga el escaño a la formación con más votos.

En caso de empate a votos, el primer escaño se asigna por sorteo y los siguientes, de forma sucesiva.

diapositivas (Powerpoint) para explicar el sistema de cálculo electoral de otro país del mundo que no se rija por el sistema D’Hondt. Podéis repartiros los países para que todos sean distintos.

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10/11/11 12:14

Los números fraccionarios

Esto es básico Una fracción es un número representado por el cociente entre dos números enteros: a b

numerador denominador

El numerador indica cuántas unidades se consideran (5).

El denominador indica cuántas particiones se hacen de la unidad (7).

Conceptos básicos Fracción propia

5 7 Definición

El numerador es menor que el denominador (considerados en valor absoluto).

Fracción impropia

El numerador es mayor que el denominador (considerados en valor absoluto).

Fracción igual a la unidad

El numerador es igual al denominador (considerados en valor absoluto).

Fracción de una cantidad

Ejemplo a <b →

a <1 b

7 −3 −3 , , , 9 5 −7

a >b →

a >1 b

5 −9 −12 , , , 2 5 −8

a =b →

a =1 b

5 −12 73 , , , 5 12 73

Consiste en dividir una cantidad en varias partes y tomar solo unas cuantas de esas partes.

Fracción equivalente

12 ⋅

Fracción que se escribe de forma distinta a otra dada, pero que se

5 10 25 = = = ...

6 12 30

refiere a la misma cantidad.

36

Fracción irreductible

De todas las fracciones equivalentes a una dada, es la que tiene el

25 50 20 5 , , , → 15 30 12 3

numerador y el denominador más pequeños posibles.

Fracción inversa

Es la fracción que, al multiplicarla por la primera, da la unidad.

a una dada Fracción opuesta

Es la fracción que, al sumarla a la primera, da cero.

a una dada

5 12 ⋅ 5 60 = = = 20 3 3 3

7 3 → 3 7 −1⋅

6 −6 → 5 5

¿Cómo se hace?

Procedimiento

Paso a paso

Reducir a común

1. Halla el máximo común múltiplo (m. c. m.) de todos

denominador

los denominadores.

2. Divide el m. c. m. por los denominadores.

3. Multiplica el resultado anterior por los respectivos denominadores.

Comparar fracciones con

1. Reduce a común denominador las fracciones.

denominadores distintos

2. Compara los numeradores de las nuevas fracciones equivalentes. La mayor es la que tiene el numerador más grande.

Calcular la potencia

Eleva el numerador y el denominador a la potencia.

de una fracción Calcular la raíz

Saca la raíz del numerador y divídela por la raíz del

de una fracción

denominador.

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 36

24 : 8 = 3

6 ⋅3 18  → 8 24

24 : 4 = 6

1 ⋅6 6  → 4 24

24 : 6 = 4

5 ⋅4 20  → 6 24

 3  = 9  4 12 m. c. m. (4, 6) = 12 →   5 10  =  6 12 3 5 Como 10 > 9 → > 4 6 2

2  7    = 7 2  3  3

49 = 81

49 7 = 81 9

10/11/11 12:14

34 ■■ Escribe el número mixto correspondiente a las fracciones

Los números fraccionarios

siguientes:

fracciones siguientes: 1 a) 2 −2 b) 11 8 c) 21

4 d) 5 3 e) 12 −1 f) 3

7 g) 5 −30 h) 5 1 i) 5

25 ■ Escribe la fracción correspondiente a las expresiones siguientes: a) Cuatro tercios.

d) Cinco medios.

b) Menos veinte cuartos.

e) Doce novenos.

c) Tres séptimos.

f) Menos dos octavos.

26 ■■ Halla las fracciones irreductibles de: 6 8 1 b) 3 12 c) 20

a)

e)

c)

a)

f)

3 2 12 5

35 ■■ Representa las fracciones siguientes sobre la recta numérica: a)

5 2

b)

12 4

c)

3 3

9 2

d)

e)

11 4

36 ■ Indica qué números están representados en las siguientes rectas: a)

b)

0

1

2

0

1

37 ■■ Relaciona las fracciones siguientes con las porciones que

50 12 15 e) 8 90 f) 75

las representan:

d)

27 ■■ Reduce a común denominador: 1 3 5 , y .

12 8 6 6 3 2 y . b) , 8 15 48 6 7 4 , y . c) 3 4 5 3 3 2 d) , y .

7 4 6 a)

28 ■

7 6 23 d) 5

6 4 10 b) 7

24 ■ Indica cuál es el numerador y cuál el denominador de las

Los números fraccionarios

Actividades

a)

5 2

A)

b)

4 9

B)

c)

5 6

C)

d)

3 5

D)

e)

4 6

E)

37

4 de los cromos que tiene Marta, y esta 6 tiene 12, ¿cuántos tiene Julia?

38 ■■ Si Julia tiene

 ¿Qué fracción de una hora representan veinte minutos?

29 ■

 ¿Qué fracción del año representan ocho meses?

30 ■

 ¿Qué fracción de una barra de pan de medio kilo re-

10 de una autopista, que 12 son 150 km. Calcula la longitud final de la autopista.

39 ■■ Una empresa ha construido

presenta ciento veinticinco gramos de pan?

31 ■■

 ¿Qué fracción del día representan treinta minutos?

32 ■ Clasifica las fracciones siguientes en propias, impropias e iguales a la unidad: 3 a) 2 4 b) 5 73 c) 73

7 8 9 e) 10 −12 f) −12 d)

3 3 8 h) 7 5 i) 9 g)

33 ■■ Escribe el nombre mixto correspondiente a las fracciones impropias del ejercicio anterior.

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 37

40 ■■ En el examen de matemáticas de la unidad 1, Teresa ha 3 sacado de la nota que ha sacado Laura. Si Laura ha sacado un 4 8, ¿qué nota ha sacado Teresa?

10/11/11 12:14

Los nĂşmeros fraccionarios

49 â&#x2013; â&#x2013;

Trabajar con fracciones equivalentes 41 â&#x2013;

ď &#x160;

d)

2 9

50 â&#x2013; â&#x2013;

42 â&#x2013; Encuentra tres fracciones amplificadas de: 10 5 1 b) c) a) 3 4 2

5 15 y .

7 21 45 15 y . d) 15 3 c)

ď &#x160; Di cuĂĄles de las fracciones siguientes son equivalen-

44 â&#x2013; â&#x2013; 15 tes a : 6

a) 45 â&#x2013; â&#x2013;

38

12 4

b)

30 12

45 c) 18

d)

140 50

e)

5 2

ď &#x160; Copia y rellena los espacios vacĂ­os con el fin de que

b)

e)

50 35

f)

50 12

ď&#x20AC;¸ Reduce a comĂşn denominador:

5 6 . y 16 14 12 8 y . b) 30 20 5 6 y . c) 6 4 1 7 y . d) 8 12 51 â&#x2013; â&#x2013;

ď&#x20AC;¸ Reduce a comĂşn denominador las fracciones siguientes:

8 6 5 . , y 6 8 12 1 2 5 , y . b) 10 5 6 1 3 15 , y . c) 6 4 8 1 5 7 y . d) , 4 12 9 a)

las fracciones planteadas sean equivalentes: a)

60 24 60 d) 14

c)

a)

ď &#x160; Indica quĂŠ parejas de las fracciones siguientes son

equivalentes: 3 12 y . a) 2 3 20 10 y . b) 4 2

8 18 12 b) 140

a)

Halla cinco fracciones equivalentes a: 5 3 7 b) c) a) 2 4 2

43 â&#x2013; â&#x2013;

ď &#x160; Simplifica al mĂĄximo las fracciones siguientes:

3 = 2 12

c)

5 2

d)

30

=

24 = 15 5 126

=

52 â&#x2013; ÂżPuede haber una fracciĂłn equivalente a

16 21

denominador sea 15? Razona la respuesta.

3 46 â&#x2013; â&#x2013; RamĂłn ha contestado correctamente de las pregun4 tas de un examen, mientras que Pablo ha contestado correcta15 . ÂżQuiĂŠn sacarĂĄ mejor nota? mente 20

53 â&#x2013; â&#x2013; ÂżExiste una fracciĂłn equivalente a minador sea 15? Razona la respuesta.

7 en la que el 9

12 en la que el deno45

54 â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013; ÂżQuĂŠ relaciĂłn han de tener numerador y denominador para formar una fracciĂłn irreductible?

55 â&#x2013; â&#x2013; Copia y completa con los signos <, > o =: 7 5 3 2

c)

a) 3 2 8 6 20 15 21 105

d)

b) 9 6 16 80 56 â&#x2013; â&#x2013; Ordena las fracciones siguientes de menor a mayor: 10 6 36 50 15 . , , , y 12 10 12 30 10

47 â&#x2013; â&#x2013;

ď &#x160; Halla las fracciones irreductibles de:

a) 48 â&#x2013; â&#x2013;

12 4

b)

15 5

c)

45 30

d)

24 90

e)

b)

6 13

121 11

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 38

36 12 64 d) 16 c)

58 â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013; La mitad de los alumnos ya han celebrado el cumpleaĂąos. Del resto, un tercio cumplirĂĄ aĂąos antes de terminar el curso.

ď &#x160; Calcula las fracciones irreductibles de:

a)

80 50

57 â&#x2013; â&#x2013; Ordena las fracciones siguientes de mayor a menor: 5 6 7 8 10 14 , , , , y .

2 3 4 5 3 8

e)

55 25

a) Calcula quĂŠ fracciĂłn del total de la clase no habrĂĄ

f)

49 10

b) Si en la clase hay 30 alumnos, ÂżcuĂĄntos no habrĂĄn

cumplido los aĂąos al acabar el curso. cumplido aĂąos al acabar el curso?

10/11/11 12:14

59 ■■■ La madre de Enrique ha ganado un premio. Quiere repartir la cuarta parte, en partes iguales, entre Enrique y sus dos hermanos. a) ¿Qué fracción corresponde a cada hermano? b) Si cada hermano recibe 10 €, ¿de cuánto era el premio?

64 ■■ Relaciona cada fracción con su opuesta: 3 −5 A) a) 5 3 7 5 B) b) − 9 7 c)

5 3

 7 C) −−   9

d)

−5 7

D)

−3 5

65 ■ Escribe en forma de potencia los productos siguientes: 5⋅5⋅5 7 ⋅7 ⋅7 ⋅7 ⋅7 3⋅3⋅3⋅3 b) 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 3 3 3 3 3 3 c) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 2

a)

d)

Operaciones básicas con fracciones 60 ■■



Calcula y simplifica: 5 7 + c) a) 3 3 7 1 2 − − d) b) 3 3 3

61 ■■

 Calcula y simplifica:

3 1 2 + − 4 2 5 1 10 8 + − b) 6 4 3 3 6 7 + − c) 4 5 2 8 4 1 − − d) 2 3 4

a)

62 ■■

 Calcula y simplifica:

a) b) c) d)

6 5 1 3 + − + 5 2 3 6 1 1 1 1 − + − 4 5 6 3 3 2 5 3 + − − 2 3 3 6 2 3 5 4 − + + 3 2 4 6

63 ■■■ Calcula y simplifica: a)

6  5 1 3 − −  + 5  2 3  6

b)

2  2 1 2  − + −  4  5 6 3 

3  3 2  5  c) − −  +  −  6  2 3 3 d)

2  3  5 4  −  −  +  3  2  4 6 

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 39

1 7 + 3 3 5 3 1 + + 4 4 4

66 ■

Los números fraccionarios

Actividades

5 5 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5  3 3 3  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  2 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2  2 2 2 

 Calcula y simplifica: 3 5 ⋅ 5 2 5 6 ⋅ b) 3 4 7 3 ⋅ c) 9 5 8 2 d) 12 ⋅ 5

a)

39

67 ■ Haz las siguientes multiplicaciones: 3 2 ⋅ 5 9 1 6 ⋅ b) 3 2

a)

5 21 ⋅ 7 10 7 1 d) ⋅ 5 8 c)

68 ■■ Haz las siguientes multiplicaciones: a)

6 2 2 ⋅ ⋅ 5 3 7

b)

3 5 8 ⋅ ⋅ 4 2 6

c)

16 8 5 ⋅ ⋅ 6 15 4

d)

6 15 7 ⋅ ⋅ 35 8 12

c)

6 10 2 ⋅ ⋅ 8 3 5

69 ■■ Calcula y simplifica: 3 4 10 ⋅ ⋅ 5 9 6 14 4 3 b) ⋅ ⋅ 10 7 10

a)

70 ■■ Calcula y simplifica: 4 15 9 6 12 15 21 a) ⋅ ⋅ ⋅ c) ⋅ ⋅ ⋅3 3 8 5 4 5 9 10 3 4 10 21 3 14 10 9 ⋅ ⋅ ⋅ d) ⋅ ⋅ ⋅ b) 15 3 7 8 6 6 7 30 71 ■■ Calcula y simplifica: 4 7 : 5 3 12 12 : b) 6 5 a)

24 12 : 7 5 1 1 d) : 5 3 c)

10/11/11 12:14

Los números fraccionarios

72 ■■ Calcula y simplifica:

77 ■■ Escribe sin paréntesis:

14 21 : 10 15 4 5 : b) 5 4 8 7 : c) 14 6 16 64 : d) 25 100

11

7  a)    5

a)

8

 −2  b)    7 

9

 −1 c)   3

5

 −3  d)    12 

73 ■■ Divide y simplifica 3 2 : 5 7 6 2 b) : 7 3 12 18 c) : 15 3

a)

78 ■■ Halla el valor de n para que estas igualdades sean ciertas: 3

n  8 a)   =  5 125 6

n  1 b)   =  2 64

74 ■■ Realciona las fracciones de la derecha con sus inversas: a) b) c)

40

d) e) f)

7 5 −1 5 5 7 −5 7 1 7 −1 7

7 5 −7 B) 5 A)

C) −5 5 7 −7 E) 1 D)

F) 7

75 ■■■ Halla el valor de n para que las igualdades siguientes sean ciertas:

5

n  −32 d)   = 3 243 n

3 27 e)   =  4 64 n

f)

 −1   = −1  3  2 187

79 ■■ Calcula: a)

16 25

b)

144 9

a)

n 5 4 = − 6 2 3

c)

49 36

b)

3n 7 23 = − 5 2 10

d)

81 225

c)

13 1 4 = + n 2 5

80 ■■ Di qué fracción tiene como raíz cuadrada

d)

37 1 3 = + +1 2n 4 5

81 ■■ ¿Cuál es el área de una baldosa de medio metro de lado?

Potencias y raíces cuadradas de fracciones 76 ■

n

 −2  32 c)   =  3  243

 Escribe en forma de potencia: a) b) c) d) e)

2 2 2 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 7 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 9 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 5 5

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 40

7 .

6

82 ■■■ Berta hace ocho trozos iguales de un palo de 48 cm que ha encontrado en el patio y construye dos cuadrados con ellos. ¿Cuál es el área de cada cuadrado?

83 ■■■ Isaac hace un dibujo y quiere ampliarlo con la fotocopiadora. El dibujo está dentro de un cuadrado de un decímetro de lado. Si quiere que la longitud mida la mitad más, es decir, 1 1+ , ¿cuál será su área?

2 84 ■■■ En la película de ciencia ficción Attack of the 50 foot woman (1958, EE. UU.), una mujer que al principio mide 170 cm pasa a medir 15 m. Calcula cuántas veces aumenta de altura.

10/11/11 12:14

85 ■■■ Un inventor sueña que ha creado una máquina que encoge los objetos y que pone en la máquina una baldosa cuadrada de un metro de lado. Si la máquina reduce la longitud en 1 , ¿qué superficie tenía después la baldosa? un factor 10 86 ■■■ En la película The incredible shrinking man (1957, EE. UU.), al protagonista se le encoge el cuerpo progresivamente.

Operaciones combinadas con fracciones 89 ■ Calcula: a)

144 121

b)

16 169

c)

225 196

d)

15 625 25

Si suponemos que al principio él mide 180 cm y lleva un billete en la cartera que mide 8 × 15 cm, ¿qué altura tendrá y cuál será la superficie del billete:

2 ?

5 1 ? b) cuando el factor de reducción sea de 10 a) cuando el factor de reducción sea de

90 ■■ Resuelve y simplifica: a)

5  5 1 ⋅ +  3  6 3 

b)

4  5  5 4  ⋅  −  +  3  3  2 3 

Los números fraccionarios

Actividades

 2 2   1 1 c)  +  ⋅  +   3 5   2 3   8 7  7 3 d)  −  ⋅  −   3 5   2 5  91 ■ Calcula y simplifica:  6 9   3 7  a)  5 + 4  :  2 + 3  b) c)

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7  5 5  : −  5  2 3  4 9

 5 5 :  −   2 3

92 ■■■ Halla y simplifica:

87 ■■■ En un plano se indica que la escala es de 1:25, que quiere decir que cada centímetro del plano corresponde a 25 centímetros de la realidad.

1 m en la realidad, ¿con cuántos 2 centímetros estará representado en el plano?

 3  1 1 3 a)  ⋅  +  : 4 2 3  5  5 2   3  3  b)  +  :  − 4 ⋅   4 3   2  8  7 5  1  2 3  ⋅ −  −  −  4 4  2  3 5 

a) Si un armario mide

c)

b) Si el plano indica que una ventana tiene una anchura

5     2  4 d)  − 1 : 3 − 1−  ⋅  + 2  4     3 3

de 3 cm, ¿a qué fracción de metro corresponde esta distancia de la realidad?

3 c) Si un niño mide m de altura, ¿con cuántos centíme2 tros hay que representarlo en el plano?

88 ■■■ En un laboratorio químico hay yodo-131. Esta sustancia se desintegra de tal forma que, al cabo de 8 días, queda la mitad de lo que había. Al cabo de 8 días más, la mitad de la mitad, y así sucesivamente. ¿Qué fracción de los átomos originales habrá al cabo de 32 días?

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93 ■■■ Resuelve y simplifica: 2 3  6 9   3  7 a)  +  :   +   5 4   2  3  

b)

2 9 5  1  2 3   ⋅ −  −  −   4 4  2  3 5  

2 5     16 2  4 c)  − 1 : 3 − 1−  ⋅  + 2 + 4     3  25 3  

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Los números fraccionarios

Reto 94 ■■■ La fórmula que se utiliza para pasar de un número mixb a ⋅ c +b , en la que c ≠ 0. to a una fracción impropia es a + = c c Demuestra que este procedimiento de cálculo es correcto.

es el número de puntos del cuadrado superior y el denominador, el número de puntos del inferior; por ejemplo, si la ficha 2-5 queda con el 2 hacia arriba y el 5 abajo, representa la fracción 2/5.

95 ■■■ Los ingresos de la familia Sánchez son los 7/5 de los de la familia Rodríguez. Los Sánchez ahorran 1/20 de lo que ingresan y los Rodríguez, 1/25. a) Expresa en forma de fracción la razón entre los gastos de los Sánchez y los Rodríguez. b) Si los Rodríguez ahorran 120 € mensualmente, ¿cuánto ahorran los Sánchez?

Quien tenga el seis doble ha de decidir y anunciar si se jugará a la grande o a la chica. En ambos casos, cada jugador escogerá cuatro de las siete fracciones de las que dispone y escribirá una operación matemática en la que cada una de las cuatro fracciones escogidas aparezca solo una vez. En esta operación solo podrán utilizarse los símbolos de la multiplicación, la división y los paréntesis.

Si se juega a la grande, gana quien obtenga el resultado mayor, y si es a la chica, quien obtenga el más pequeño.

96 ■■■ Se propone el siguiente juego para tres personas (es necesario que cada jugador disponga de papel y lápiz): Se retiran de un juego de dominó todas las fichas que tengan

a) ¿Cuál es el resultado mayor que se puede obtener?

Indica diversas maneras de conseguirlo. b) Supón que te han tocado todos los dobles y la frac-

a cada uno). Cada jugador coloca sus fichas, una al lado de la

ción 2/5. ¿Cuáles son los resultados posibles?

3 6 1 5 3 1 4 , y , , , , ; si estáis c) Tu mano es 4 2 5 4 2 6 4 jugando a la chica, ¿qué fracciones elegirás? ¿Qué ope-

otra, en posición vertical, sin que los otros jugadores puedan

ración efectuarás?

un cuadrado en blanco (incluida la doble blanca), y las 21 fichas que quedan se reparten al azar entre los 3 jugadores (7

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Cada ficha representa una fracción, en la que el numerador

ver cuáles son.

Autoevaluación ¿Sé hallar el número mixto de una fracción impropia?

1. De las fracciones siguientes, indica cuáles son propias, cuáles son impropias y cuáles son iguales a la unidad. De las fracciones impropias escribe el número mixto: 12 4 21 b) 21

a)

3 7 13 d) 6 c)

e) f)

23 23 19 4

55 56 −1 h) 2

g)

¿Sé hallar la fracción equivalente?

2. Copia y rellena los espacios para obtener fracciones equiva-

¿Sé comparar fracciones?

4. Ordena de menor a mayor las fracciones siguientes: 1 , 2 4 b) , 3

a)

b)

35 = 75 15

c)

66 = 7 42

d)

8

=

a) 2 ⋅

¿Sé simplificar una fracción?

60 150 15 b) 18

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9 3 108 d) 378

c)

3  9 1 − −  4  5 3 

2  1 2  : +  5  2 3 

 3 1  4 2  c)  +  :  −  7 6   5 3 

120 135

e) f)

45 15 15 6

3 3 4 9 3 6 , , , , y .

4 3 3 9 4 −4 12 9 5 20 80 d) , , , y .

5 4 3 8 32 c)

5. Haz las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

b)

3. Reduce a la fracción irreductible: a)

−3 4 y .

4 2 4 4 4 , y .

9 10 −3

¿Sé operar con fracciones?

lentes: 5 = a) 7 21

2 , 2 4 , 6

 9 1 1 2 d)  −  :  ⋅  5 3  3  5 3

2 3 e)  +   5 2 f)

 4 6 15   ⋅ ⋅   3 3 10 

¿Sé interpretar y resolver problemas con fracciones?

2 6. En una competición que dura tres días, de los partici15 pantes abandonan el primer día y la cuarta parte de los que quedan abandonan el segundo día. Calcula la fracción de los participantes que llegan al tercer día.

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Los números fraccionarios en el jardín botánico Laura y Patricia visitan el jardín botánico de su ciudad. En la guía han leído que la mitad de las flores que hay son de invernadero, una tercera parte son flores de exterior y el resto son árboles.

1. Laura y Patricia hacen un esquema del tipo de plantas que hay en el jardín. Utilizan el color naranja para representar las flores de invernadero, el azul para las flores de exterior y el verde para los árboles. ¿Cuál de los esquemas siguientes es el correcto? a)

c)

b)

d)

Los números fraccionarios

Competencias que suman

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2. Laura observa que en la guía del jardín botánico aparece la fracción de flores de invernadero y la fracción de las flores de exterior, pero no aparece la fracción que corresponde a los árboles. a) ¿Cuánto suman las fracciones correspondientes a las flores? b) ¿Qué fracción corresponde a los árboles?

3. Patricia ha leído en la guía que hay un total de 1800 plantas entre flores y árboles. a) Si se suman las flores del invernadero y las del exterior, ¿cuántas flores hay? b) ¿Cuántos árboles hay en el jardín botánico?

4. La quinta parte de las flores que hay en el invernadero son orquídeas. a) ¿Cuántas orquídeas hay en el jardín? b) ¿Qué fracción del total de plantas corresponde a las orquídeas?

5. Laura y Patricia se han presentado voluntarias para regar las rosas que hay en el invernadero con un nuevo sistema de riego por goteo 3 L. Laura piensa que con 90 botellas hay suficiente, con botellas de plástico. En total, hay que distribuir 120 L de agua en botellas de 4 mientras que Patricia cree que no serán suficientes y que harán falta más. Explica quién tendrá razón.

6. Haz una aproximación a la puntuación que crees que obtendrás en esta prueba. Has de intentar que sea tan ajustada y sincera como sea posible, aunque pienses que no te ha salido muy bien.

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