Matemàtiques 4 - Unitat de mostra (ESO)

ELS TEUS RECURSOS DIGITALS A:

MATEMÀTIQUES 4

www.ecasals.net/alumnes/matematiques4eso

MATEMÀTIQUES 4

Miquel Albertí, Andrés Aragoneses, Antoni Bancells, Albert Bosch, Fernando García, Antonio Hernández, Bartolomé Luque, Ricard A. Rovira, Lluís Sabater, Juan A. Ysern

Mates 4 coberta CAT CS4.indd 1

13/03/12 16:40

Unitat

9

Funcions i gràfiques Una gràfica val més que mil imatges

Una funció fa palesa la relació de dependència entre dues variables quantificades. Pot manifestar-se amb una expressió verbal, amb una taula de valors, amb una gràfica o amb una fórmula.

A l’hora de descriure un fenomen es diu que val més una imatge que mil paraules. Hom pot descriure verbalment una casa o un paisatge, però més enllà de l’exercici literari, la idea que ens en podem fer a partir d’una fotografia és, en general, més aclaridora.

168

Una cosa semblant passa amb les funcions. A cada valor numèric assignat a la variable independent li correspon un valor numèric de la variable dependent.

D’aquest valor es diu que és la imatge de l’altre. En la funció y = x2, la imatge de x = 2 és y = 4; la imatge de x = 11 és y = 121; la de x = −3 és y = 9. Els parells de valors calculats, (2, 4), (11, 121) i (−3, 9), es poden representar en un sistema de coordenades. Calculant-ne molts més veuries que els punts creen una línia que encapsula i fa visible la funció. En el cas de y = x2 la gràfica és una paràbola formada d’infinits punts.

La gràfica és la foto de la funció; i la fórmula, la màquina que la retrata. Si una imatge val més que mil paraules, una gràfica val més que mil imatges.

Però no sempre els punts de la gràfica formen una línia contínua, com és el cas de la gràfica parabòlica de la funció y = x2. La funció dels quadrats dels nombres naturals també té forma parabòlica, però és discontínua perquè es compon d’una sèrie de punts aïllats. Les gràfiques sense talls ni interrupcions es poden traçar d’una tirada sense separar la punta del llapis del paper.

Una funció es diu contínua quan ho és la seva gràfica.

A l’àmbit quotidià trobem funcions discontínues, com ara la que determina l’import que cal pagar en funció del temps que un cotxe és en un aparcament.

Fins fa poc els pàrquings cobraven per hores. Els can-

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 168

15/02/12 16:25

Les funcions periòdiques també són força corrents.

Molts fenòmens naturals responen a aquesta característica. El nivell de l’aigua del mar en les marees, la posició d’un pèndol quan oscil·la, etc. es donen amb la mateixa regularitat periòdica.

El poder comunicatiu de les gràfiques les ha fet corrents als mitjans de comunicació (televisió, premsa, Internet…). Avui dia resulta difícil llegir una pàgina d’un diari en què no hi hagi una notícia il·lustrada amb una gràfica. Sovint serveix per fer més clara la informació, però de vegades se’n pot fer un ús tendenciós. Aleshores, les unitats dels eixos de coordenades es prenen de manera que els trets de la gràfica s’esbiaixin i es destaqui la informació desitjada. Les dues gràfiques següents corresponen a la mateixa funció, però en una les variacions no semblen tan grans com a l’altra.

30

60 50 40

20

30 10

20 10 0

0

1

2

3

4

5

6

0

0

1 2

3 4

5 6 7 8 9 10 11

Analitza i resol 1. Explica de quines maneres es pot expressar una funció.

Posa alguns exemples de funcions les gràfiques de les quals siguin línies discontínues.

2. Explica quines trans3 000 formacions faries en la gràfica següent 2 000 per donar suport 1 000 a la tesi que determinada empresa 0 ha millorat molt 2006 2008 2010 2012 any aquests últims anys.

I per donar suport a la idea que no n’hi ha per tant? beneficis (€)

vis de preu en cada hora feien la gràfica de l’import que calia pagar discontínua. En lloc d’una línia, la gràfica era esglaonada. Cada esglaó corresponia a un canvi de preu. Ara els preus es determinen en funció dels minuts, cosa que aproxima la funció a la idea de continuïtat.

3. Aquestes són les tarifes d’un aparcament públic: Des del minut 0 al 30 0,0376 €/min Des del minut 31 al 90 0,0339 €/min Des del minut 91 al 660 0,0452 €/min Des del minut 661 fins a un màxim de 24 h 28,90 € a) Indica quin és l’import corresponent a 15 min.

I a tres quarts d’hora? b) Escriu tots els imports que cal pagar en €/h. c) Fes la gràfica de l’import que s’ha de pagar en €/h. Indica si és contínua.

169

4. L’índex de massa corporal (IMC) d’una persona es calcula dividint la seva massa (kg) entre el quadrat de la seva estatura (m). a) Calcula l’IMC d’una persona de 65 kg i 1,7 m. b) Expressa l’IMC d’una persona d’1,7 m d’estatura en funció de la massa. c) Expressa l’IMC d’una persona de 50 kg en funció de l’estatura. d) Representa les dues gràfiques i respon: són contínues? Són creixents o decreixents? És a dir, l’augment d’estatura i/o massa va acompanyat d’un augment de l’IMC?

Índex

Competències bàsiques

1. Les funcions

Matemàtica. Observar, analitzar i interpretar fenòmens

2. Punts de tall i continuïtat

funcionals.

3. Creixement i decreixement d’una funció

Comunicativa lingüística i audiovisual. Llegir i ex-

4. Simetria i periodicitat

pressar en llenguatge simbòlic expressions del llenguatge

5. La taxa de variació mitjana

habitual.

Tractament de la informació i competència digital.

Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 169

15/02/12 16:25

Funcions i gràfiques

1

Les funcions Concepte de funció. Domini i recorregut

1.1

Quan entre dues variables, a cada valor de la variable independent x li correspon un únic valor de la variable dependent y, tenim una funció.

Recorda La relació entre variables es pot representar de tres maneres:

S’escriu y = f (x) i es diu que y és la imatge de x. També es diu que x és una antiimatge de y, i s’escriu x = f−1(y).

S’anomena domini de f, i s’escriu Dom(f ) o D(f ), el conjunt dels valors de la variable independent pels quals es pot trobar una imatge.

• Taula de valors • Gràfica

Els valors corresponents de la variable dependent formen el recorregut de f, i s’escriu Rec(f ) o R(f ).

• Fórmula

Una fórmula és l’expressió algebraica d’una funció, que permet calcular y a partir de x.

Una funció es pot simbolitzar a partir de la seva fórmula, el seu domini i el seu recorregut.

Exemples 1. Observa la funció que a cada valor de R li fa correspondre el seu quadrat: f(2) = 22 = 4

f(−3) = (−3) = 9

f(0) = 0

2

f(1,2) = 1,44

…

Així, Dom(f ) = R, perquè a tots els nombres reals se’ls pot calcular el seu quadrat, i Rec(f ) = [0, +∞) perquè els nombres negatius no són imatge de cap nombre.

2. La fórmula de la funció que a cada valor de R li fa correspondre el seu quadrat és f : R → [ 0, + ∞) i així, f(3) = 32 = 9, etc. f (x) = x2, i per tant  x → x 2 

170 Alerta Hi ha funcions en què la vari-

1.2

Gràfica d’una funció

able dependent depèn de més d’una variable independent.

Per exemple, l’àrea d’un rectangle depèn de la base i l’altura: A = a · b = f(a, b) b

Hi ha molts aspectes que cal considerar a l’hora de representar una funció però en qualsevol cas les dades obtingudes amb una taula de valors donen molta informació.

Exemple

a

x

La gràfica d’una funció f és la representació en un sistema de coordenades dels punts (x, f (x)), en què x és un valor del domini de f.

f (x ) =

x +2 2

x + 2.

2 En primer lloc cal fer una taula de valors. Fixa’t que Dom(f) = R i que, per tant, cal agafar valors positius i negatius.

3. Representa gràficament la funció f (x) =

Es representen cada un dels parells de punts obtinguts (−4, 0), (−2, 1), etc. i s’uneixen per obtenir una recta. Com que Dom(f) = R, cal allargar la recta pels dos extrems.

8

−4

0

6

−2

1

4

0

2

2

2

3

4

4

6

5

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 170

0 −6

−4

0

−2

2

4

6

8

−2 −4

15/02/12 16:25

1.3

Imatge i antiimatge d’una funció a partir de la gràfica

Quan es coneix la fórmula d’una funció y = f (x), per calcular la imatge de qualsevol valor, només cal substituir la x. La imatge i l’antiimatge també es pot trobar fàcilment a partir de l’anàlisi de la gràfica de la funció.

Exemple

10

4. La gràfica d’una funció determinada és la del marge. Troba a partir de la seva anàlisi: a) La imatge de x = 1. Localitza el punt 1 de l’eix d’abscisses i traça una línia vertical (en vermell en el dibuix). On s’intersequi amb la gràfica, traça una línia horitzontal fins a trobar l’eix d’ordenades. El punt on el talla és el 3, i per tant f (1) = 3. b) L’antiimatge de y = 2. Localitza el punt 2 de l’eix d’ordenades i traça una línia horitzontal (en blau en el dibuix). Aquesta línia s’interseca amb la gràfica en quatre punts. Des de cada un d’aquests punts traça una línia vertical fins a trobar l’eix d’abscisses. Els quatre punts on el talla són −2,4; −1,4; 1,4 i 2,4; i per tant:

8 6 4 2 0 −4 −3 −2 −1

0 1

2

4

3

5

−2 −4

f −1(2) = {−2,4; −1,4; 1,4; 2,4}

1.4

171

Domini i recorregut d’una funció a partir de la gràfica 3

El domini és el conjunt de tots els valors de l’eix d’abscisses que, en traçar una recta vertical, tallen la gràfica.

El recorregut és el conjunt de tots els valors de l’eix d’ordenades que, en traçar una recta horitzontal, tallen la gràfica.

2 1 0 −3

−2

−1

0

1

2

3

4

2

3

4

−1 −2

Exemples

5

5. En aquesta funció, el domini és Dom(f ) = [−2, 7] i el recorregut Rec(f ) = [−2, 5].

4

6. Fixa’t en les figures 1 i 2 del marge i indica el domini i el recorregut de la funció.

1 0

−3

fig. 1

3 2 3

−2 −1 0 1 −1

2

3

4

5

6

7

8

2

9

−2 Domini. Es tracta d’una gràfica en dos trossos. Fixa’t en la figura 1, que en el punt x = 1 sí que talla a la gràfica (rodona plena), mentre que en el punt x = 2 la funció s’hi acosta molt, però no talla la recta vertical. Per tant, podem afirmar que Dom(f ) = (−∞, 1] ∪ (2, +∞).

1 0 −3

−2

1

−1 −2 −3

Recorregut. Talla la gràfica en y = −2 i y = 1. Per tant, Rec(f ) = [−2, 0) ∪ [1, +∞).

Aplica

0

−1

fig. 2

3 ■■ Analitza la gràfica de l’exemple 6 i troba, si n’hi ha, les antiimatges de:

1 ■ Tenim la funció f (x) = + x .

a) −1

b) 0

c) 1

d) 2

a) Fes una taula de valors i representa-la gràficament.

Raona

b) Indica el seu domini i recorregut.

2 ■■ Analitza la gràfica de l’exemple 6 i troba, si n’hi ha, les

4 ■■ Explica per què la gràfica ad-

imatges de:

junta no correspon a una funció.

a) −1

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 171

b) 0

c) 1

d) 4

15/02/12 16:25

Funcions i gràfiques

2

Punts de tall i continuïtat 2.1

Punts de tall amb l’eix d’ordenades

Per trobar en quin punt una funció talla l’eix d’ordenades, cal substituir x per 0. És el punt (0, f(0)).

En el cas que el 0 no pertanyi al domini de la funció, no talla l’eix d’ordenades.

(0, –1)

Exemple

f(x) = 3x − 1

7. Troba els punts de tall amb l’eix d’ordenades de les funcions següents: a) f (x) = 3x − 1. Cal calcular f(0) = 3 · 0 − 1 = −1. La funció talla l’eix vertical en el punt (0, −1).

2 −x 2−0 + 2 . Cal calcular f (0) = b) f (x) = + 2 = 4. La funció talla l’eix ver1− x 1− 0 tical en el punt (0, 4).

(0, 4)

f( x ) =

2− x +2 1− x

2.2 Recorda 172

L’eix vertical, o Y, és l’eix d’or-

Punts de tall amb l’eix d’abscisses

Per trobar en quin punt o punts una funció talla l’eix d’abscisses cal resoldre l’equació f (x) = 0.

Així, si k és una solució, la funció tallarà l’eix horitzontal en el punt (k, 0).

Exemple

denades.

L’eix horitzontal, o X, és l’eix

8. Troba els punts de tall amb l’eix d’abscisses de les funcions següents:

d’abscisses.

a) f (x) = 2x + 3. Resolent f (x) = 0, és a dir 2x + 3 = 0, s’obté x = −1,5.

Aquesta funció tan sols té un punt de tall amb l’eix horitzontal, el (−1,5; 0). x 2 −4 x2 − 4 b) f (x) = = 0 s’obtenen dues solucions: x1 = 2 i . Resolent 2x −1 2x − 1 x2 = −2. Aquesta funció té dos punts de tall amb l’eix horitzontal: (2, 0) i (−2, 0). c) f (x) = 2x. L’equació 2x = 0 no té solució, ja que si multipliquem diverses vegades el 2 per si mateix mai donarà 0 ni negatiu. Per tant, aquesta funció no talla l’eix abscisses.

Recorda La definició matemàtica de continuïtat a un punt és més

2.3

Concepte de continuïtat

complexa. Es diu que una funció és contínua a un interval si és contínua a cada un dels punts de l’interval.

Una funció és contínua en un punt x0 si hi està definida, és a dir, si existeix f(x0), i en aproximar-nos a x0 pels dos costats les imatges s’aproximen a f(x0).

Intuïtivament, una funció és contínua en un interval si per dibuixar-la no cal aixecar el llapis del paper.

Exemple 9. La gràfica de la funció f (x) = 2x + 3 és contínua, mentre que la de la funció x2 − 4 g(x) = és discontínua.

2x − 1 f(x) = 2x + 3

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 172

g( x ) =

x2 − 4 2x − 1

15/02/12 16:25

2.4

Tipus de discontinuïtats

Una funció és discontínua si la seva gràfica presenta alguna de les interrupcions següents: • Evitable. Quan f (x) no està definida en x0 i, en aproximar-nos a x0, les imatges s’aproximen a un cert valor k no infinit.

• De salt. Quan, en aproximar-nos a x0 pel cantó dret i pel cantó esquerre, les imatges s’aproximen a valors diferents, k1 i k2, no infinits. El salt és |k1 − k2|.

• Asimptòtica. Quan, en aproximar-nos a x0 per un dels cantons, o pels dos, les imatges se’n van cap a +∞ o −∞.

L’estudi de la continuïtat d’una funció a partir de la seva expressió algebraica, de vegades no és fàcil, en canvi, l’estudi a través de la gràfica és molt senzill.

Consells

Com aplicar-ho. Analitzar al domini i continuïtat d’una funció Analitza el domini, recorregut i continuïtat de la gràfica adjunta.

Pots aprofitar la gràfica per observar els punts de tall en els eixos. Així, talla l’eix vertical aproximadament al punt (0; 1,9); i l’eix horitzontal al punt (2, 0).

Pots observar que: • Cal posar atenció al final de cada tram de la gràfica, si és obert o tancat.

Pel que fa referència al domini, a (−1, −1) hi ha una rodona buida que vol dir que f(x) no hi està definida. La rodona plena del punt (1, −2) indica que f(1) = −2. Finalment, la rodona plena del punt (2, 0) vol dir que f(2) = 0. Per tant, Dom(f ) = R − {−1}.

3 2 1 0 −3

−2

0

−1

2

1

3

4

−1 −2

Observa que trobar els talls als eixos pot ser més fàcil si tens la fórmula de la funció que si tens la gràfica.

173

−3

Vegeu els exercicis

• Pel que fa referència al recorregut, observa que la rodona buida en el punt (−1, −1) indica que traçant una recta horitzontal pel punt −1 no es tallarà la gràfica. En canvi la rodona plena al punt (2, 0) fa que si es traça una horitzontal pel punt 0 sí que es talli la gràfica. Finalment, la rodona plena del punt (1, −2) indica que si es traça una recta horitzontal pel punt −2 també tallarà la gràfica, per tant, Rec(f ) = [−2, +∞).

6 i 7 pàg. 173; 23 pàg. 181; 26 i 27 pàg. 182.

• Hi ha una discontinuïtat evitable al punt x = −1. Tant si ens hi acostem pel cantó esquerre com pel cantó dret, les imatges s’acosten a −1.

• Té una discontinuïtat de salt al punt x = 1. El salt val |1 − (−2)| = 3, ja que quan ens hi acostem pel cantó esquerre, les imatges s’acosten a −2, i quan ens hi acostem pel cantó dret les imatges s’acosten a 1.

• Hi ha una discontinuïtat asimptòtica al punt 2. En acostar-nos-hi pel cantó dret, les imatges se’n van a +∞.

Aplica

6 ■■ Observa la gràfica i

3

indica’n:

2

5 ■ Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions

a) El domini.

següents:

b) El recorregut.

a) f (x) = 2x − 6

d) f (x) = x − 4

x +2 b) f (x) = x −1

1 e) f (x) = x

c) f (x) = x2 + 2x − 3

f) f (x) = ex

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 173

2

c) La continuïtat.

1 0 −3 −2 −1 0 1 −1

2

3

4

5

6

7

−2 −3

7 ■■■ Quin seria el domini i el recorregut de la gràfica de l’exercici 6 si totes les rodones estiguessin buides?

15/02/12 16:25

Funcions i gràfiques

3

Creixement i decreixement d’una funció 3.1

Concepte de creixement i decreixement

Una funció és creixent en un interval donat si agafant-ne dos valors qualssevol x1 i x2 es compleix que si x1 < x2, aleshores f(x1) ≤ f(x2).

Recorda Una funció pot tenir diferents intervals de creixement i decreixement, i també pot ser constant en algun interval.

Intuïtivament, «créixer» o «decréixer» té a veure amb el fet de si la gràfica, llegida d’esquerra a dreta, va «amunt» o «avall».

f (x) és estrictament creixent en un interval si x1 < x2 → f(x1) < f(x2) per a qualssevol x1 i x2 de l’interval.

Una funció és decreixent en un interval donat si agafant-ne dos valors qualssevol x1 i x2 es compleix que si x1 < x2, aleshores f(x1) ≥ f(x2).

f (x) és estrictament decreixent en un interval si x1 < x2 → f(x1) > f(x2) per a qualssevol x1 i x2 de l’interval.

L’estudi del creixement d’una funció a partir de la seva expressió algebraica pot ser complex i és més fàcil si se’n té l’expressió gràfica.

Les gràfiques sempre s’analitzen d’esquerra a dreta per evitar confusions.

Exemples 10. Fixa’t en els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) a partir de la gràfica:

4 3

Creixent als intervals (−∞, −2] i [−1, 2].

2

Decreixent als intervals [−2, −1] i [3, +∞).

Constant a l’interval [2, 3].

174

1 0

Fixa’t que els intervals de creixement sempre són oberts si la funció no està definida als extrems o no és contínua.

−4

−3

−2

aparegui als dos intervals; això passa perquè el concepte de creixement en un sol punt no

4

4 3 2 1

Fixa’t que no es pot dir que f (x) sigui creixent a l’interval (−∞, 3), perquè, per exemple, −3 < −1 i en canvi f (−3) > f(−1). Això passa perquè f (x) no és contínua a l’interval (−∞, 3).

contradicció en què el −2

3

−3

Constant a l’interval (3, +∞).

en (−∞, −2] i decreixent en [−2, –1] , sense que hi hagi

2

−2

Creixent als intervals (−∞, −2], (−2, 1) i (1, 3].

Observa que f(x) és creixent

1

−1

11. Observa els intervals de creixement i decreixement de la funció discontínua següent a partir de la gràfica:

Alerta

0

−1

0 −4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

−1 −2 −3 −4

existeix.

3.2

Els extrems són el valor més gran (màxim) o el més petit (mínim), que pren una funció, ja sigui entorn d’un punt (extrem local) o en tot el domini (extrem absolut).

6 màxim absolut

4

màxim local

• f (x) té un màxim absolut al punt x0 si f(x0) ≥ f (x) per a qualsevol altre x. És a dir, si la imatge de x0 és més gran o igual que la de qualsevol altre valor de x.

2 0 −2

• f (x) té un mínim absolut al punt x0 si f(x0) ≤ f (x) per a qualsevol altre x. És a dir, si la imatge de x0 és més petita o igual que la de qualsevol altre valor de x.

mínim local

−4

mínim absolut

−6 0

0,2

0,4

0,6

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 174

Els extrems: màxims i mínims

0,8

1

1,2

Es parla de màxims i mínims relatius o locals quan ens referim només a un entorn del punt x0, és a dir, en relació amb punts propers a x0.

15/02/12 16:26

3.3

Interpretació gràfica de màxims i mínims

L’estudi dels extrems d’una funció a partir de la seva expressió algebraica pot ser complex.

En aquest curs només els estudiaràs a partir de l’anàlisi de la gràfica.

Exemple 4

12. Troba els extrems de la funció de la gràfica adjunta:

3 2

f(x) té un màxim absolut al punt x = −2. És l’absolut perquè és el punt més alt.

1 0 0 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

f(x) té un mínim relatiu al punt x = 1.

2

3

4

5

6

−2

f(x) té un màxim relatiu al punt x = 3.

−3

En aquest cas, s’interpreta que la funció està definida a tot R, i que tant per la dreta com per l’esquerra decreix indefinidament. Si es considerés que el domini va de −4,5 a 4,5, caldria afegir que f(x) té un mínim absolut al punt −4,5.

Consells

Com aplicar-ho. Estudiar una funció a partir de la seva gràfica Analitza la gràfica i indica el domini, el recorregut, els intervals de creixement i decreixement, els punts de tall amb els eixos, els extrems i les discontinuïtats.

Comença sempre estudiant el domini, i expressa’l de la manera més senzilla possible:

3 2 1

Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ [0, +∞) − − {1, 2}

0 −6

−5

−4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

5

6

−1

175

S’interpreta que, tant per l’esquerra com per la dreta, la funció s’acosta molt a l’eix horitzontal però no el toca mai.

−2

• Observa que als punts (−1, 0) i (1, 0) les rodones són buides, mentre que al (0, −1) la rodona és plena. Per tant: Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞) Rec(f ) = [−1, +∞) − {0}

Vegeu els exercicis

• És creixent als intervals (−∞, −3], [−2, 1) i (1, 3] i decreixent als intervals [−3, −1) i (2, +∞).

8, 9 i 10 pàg. 175; 30, 31 i 32 pàg.

182.

• Només talla l’eix vertical en el punt (0, −1).

• Té un màxim relatiu en x = −3 i un mínim absolut en x = 0.

• Presenta una discontinuïtat evitable al punt x = 1 i una discontinuïtat asimptòtica al punt x = 2.

Aplica

10 ■■■ Fes un estudi complet de la funció de la gràfica

3

següent:

2 1

8 ■ Estudia el creixement, el domini i recor-

0 0 −3 −2 −1 −1

regut de la funció adjunta.

1

2

3

4

2

−2 −3

1

9 ■■ Copia i completa la taula següent i representa la funció; indica’n el domini, el recorregut, el creixement i els extrems: x

−5

f (x) = x + 1 2

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 175

−3

−1

0

1

3

5

0 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1 −2 −3

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

4

Simetria i periodicitat 4.1 Recorda

Si una funció té simetria parella, només cal estudiar-la a l’in-

Simetria

Una funció és simètrica respecte de l’eix d’ordenades (simetria parella) si per a cada valor x es compleix que f(x) = f(−x).

Una funció és simètrica respecte de l’origen de coordenades (simetria imparella) si per a cada valor x es compleix que f(x) = −f(−x).

Exemple

terval del 0 a +∞, ja que l’altre

13. La funció f (x) = x2 té simetria parella perquè per a tot x, f (x) = f (−x), ja que 2 x2 = (−x) .

cantó serà com la imatge d’un mirall.

La funció f (x) = x3 − 2x té simetria imparella perquè per a tot x es té que 3 f (x) = −f (−x), ja que x3 − 2x = −[(−x) − 2(−x)].

4.2

Periodicitat

Una funció f(x) és periòdica si hi ha un valor T tal que per a qualsevol valor de x es compleix que f(x + T) = f(x), és a dir, si cada cert «temps» (període) es van repetint els resultats.

El període és el mínim valor de T que verifica això.

Exemple

176

14. La funció definida del conjunt dels nombres naturals N en el conjunt U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, que cada nombre li fa correspondre la seva xifra de les unitats, és periòdica i té període T = 10: f (1) = 1

f (2) = 2

f (3) = 3 … f (9) = 9

f (10) = 0

f (11) = 1 … f (5 024) = 4 ...

és a dir, f (0) = f (10) = f (20) = … = 0 f (1) = f (11) = f (21) = … = 1 ...

4.3

Estudi gràfic de la simetria i la periodicitat

Si f (x) té simetria parella, per cada punt P de la gràfica es pot fer passar una recta horitzontal r que talli la gràfica en un altre punt P′ tal que YP = YP′, en què Y és el punt de l’eix vertical que talla amb la recta r.

Si f (x) té simetria imparella per cada punt P de la gràfica es pot fer passar una recta r que passi també per l’origen de coordenades O. Aquesta recta tallarà la gràfica en un altre punt P′ tal que OP = OP′.

Si f (x) té període T, el seu estudi gràfic es pot reduir a l’interval [0, T ], ja que a partir d’aquest només cal anar afegint còpies.

Exemple 15. Fixa’t en cada cas en la simetria i la periodicitat de les funcions següents: P P’

y

O

P P’

simetria parella

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 176

simetria imparella

−T

T

2T

periodicitat

15/02/12 16:26

5

La taxa de variació mitjana

5.1

Càlcul de la taxa de variació mitjana

Moltes vegades, per interpretar correctament una gràfica és important determinar la rapidesa amb què creix o decreix la funció representada.

Així, donat un interval determinat [a, b], la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció f (x) a l’interval [a, b], inclòs dins el domini de la funció, és el quocient entre l’increment de la variable dependent i l’increment de la variable independent: f (b ) − f (a ) TVM[a , b ] (f ) = b −a

B

f(b)

a b

A

f(a)

La taxa de variació mitjana de la funció f(x) a l’interval [a, b] coincideix amb el pendent de la recta que uneix els punts A = (a, f(a)) i B = (b, f(b)).

Com aplicar-ho. Analitzar gràficament la taxa de variació mitjana Analitza la funció donada per la gràfica adjunta i calcula la taxa de variació mitjana als intervals [−2, 2], [−2, 1] i [1, 2].

• Interval [−2, 2]:

3

Tenim que a = −2 i b = 2, i que f (a) = −1 i f (b) = 2.

2 − (−1) 3 Per tant, TVM[−2, 2] (f ) = = .

2 − (−2) 4 • Interval [−2, 1]: En aquest cas a = −2, b = 1, f(a) = −1 i f (b) = 0.

0 − (−1) 1 Per tant, TVM[−2, 1] (f ) = = .

1− (−2) 3

B

2 1 0 −2

0

−1

1

2

−1

A

−2

Consells Generalment, la variable dependent es representa per x, però quan ens referim al temps se sol representar per t. Aleshores la rapidesa de creixement o decreixement és la velocitat, i la taxa de variació mitjana a l’interval [a, b] coincideix amb la velocitat mitjana a aquest interval.

177

Comprova que el pendent de la recta de la gràfica que passa pels punts A i B és 3/4.

Fixa’t que la taxa de variació mitjana a l’interval [−2, 2] no és la suma ni la mitjana de les taxes de variació mitjanes als intervals [−2, 1] i [1, 2].

• Interval [1, 2]: En aquest cas a = 1, b = 2, f (a) = 0 i f (b) = 2.

2−0 Per tant, TVM[1, 2] (f ) = = 2.

2 −1

Vegeu els exercicis 11, 12 i 13 pàg. 177; 42 i 45 pàg.

183.

13 ■■■ Calcula la taxa de variació mitjana de f (x) = x2 + 1 als

Aplica

intervals: 11 ■ Donada la funció f (x) = x2 + x:

a)

a) Fes una taula de valors.

[−3, 0]

b) [0, 3]

Raona

b) Representa-la gràficament. c) Indica si té alguna simetria.

14 ■■■ Taxa de variació: 12 ■ Calcula la taxa de variació mitjana de la funció f (x) = x

a) Fixa’t que si la funció és creixent a un interval [a, b],

als intervals:

la taxa de variació mitjana és positiva.

2

a) b)

[−1, 4] [0, 5]

c) Els dos intervals tenen la mateixa amplada, però a quin hi ha més creixement de la funció?

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 177

b) Dibuixa un exemple d’una funció que tingui f (b) − f (a ) > 0 i en canvi no sigui creixent a l’interval b −a [a, b].

15/02/12 16:26

Tot són matemàtiques

EL NOMBRE D’ERDÖS I ALTRES XARXES SOCIALS

Un matemàtic és una màquina que converteix cafè en teoremes.

PAUL ERDÖS (1913-1996) autor de 1 475 articles matemàtics.

178

Entre els matemàtics hi ha la tradició d’assignar-se l’anomenat nombre d’Erdös. Paul Erdös té nombre d’Erdös zero. Tots els coautors d’algun article seu tenen nombre d’Erdös 1: en total van ser 504.

Tots els coautors amb matemàtics de nombre d’Erdös 1 que no van publicar directament amb Paul Erdös tenen nombre d’Erdös 2, i així successivament.

Es pot definir la xarxa de col·laboracions d’Erdös assignant un node a cada autor i un enllaç entre autors que hagin col·laborat plegats en un article.

El nombre d’Erdös és un exemple de «distància» en una xarxa, en aquest cas de collaboracions científiques.

El nombre de Erdös no es restringeix a matemàtics: George Uhlenbeck John A. Wheeler John Maynard Smith Jule G. Charney Oskar Morgenstern Walter Alvarez

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 178

físic atòmic físic nuclear biòleg meteoròleg economista geòleg

2 3 4 4 4 7

15/02/12 16:26

S

EL JOC DE BACON

Pensa el nom d’un actor o actriu cinematogràfic:

Analitza i investiga

Funcions i gràfiques

S

El joc consisteix a establir la cadena més curta per al personatge cinematogràfic proposat. S’ha calculat que el nombre d’actors que es troba a un pas és 1 469, a dos passos 105 800, etc. I la mitjana de Bacon és de només 2,9.

179

1. Repartiu-vos a classe la llista de cientí-

Si aquest subjecte ha compartit repartiment amb Kevin Bacon en alguna pellícula, el seu nombre de Bacon és 1.

fics famosos que apareix a la taula i establiu per a cada un els nodes intermedis que els connectarien amb Erdös. Després, dibuixeu la xarxa d’Erdös en què apareguin tots.

2. Entra al lloc web The Oracle of Bacon (www.cs.virginia.edu/oracle) i explora les connexions entre els teus actors i actrius favorits. Construeix una petita xarxa i presenta-la a classe.

3. La distància mitjana per a Bacon de qualsevol actor és de només 2,9. Creus

Si mai ha participat amb Bacon en el mateix film, però ho ha fet amb algú que sí, se li assigna nombre de Bacon 2.

que això significa que Kevin Bacon és el centre de l’univers cinematogràfic?

4. Documenta’t i explica en què va consistir l’experiment Milgram, pioner en la

Així successivament.

investigació de les xarxes socials a la dècada de 1960, a partir del qual es va encunyar l’expressió «sis graus de separació».

De Santiago Segura a Kevin Bacon en només tres passos.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 179

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

Això és bàsic Funció. Relació de dependència entre dues variables y = f(x).

Per al seu estudi complet cal conèixer:

Domini. Conjunt dels valors de la variable independent pels quals existeix f (x).

Fórmula. Indica com tro-

Gràfica. Representació dels parells

Recorregut. Conjunt de les imat-

bar y a partir de x.

(x, f (x)) en un sistema de coordenades.

ges dels valors del domini.

A partir de la fórmula i la gràfica es determina: Característiques de les funcions

Imatges i antiimatges

Periodicitat

Punts de tall amb els eixos

Continuïtat i

Creixent si

Ordenades:

discontinuïtat

f (x1) ≤ f (x2).

(0, f (0))

(evitable, de salt

Decreixent si

Abscisses:

o asimptòtica).

f (x1) ≥ f (x2).

(k, 0)

Extrems

Una funció és

Simetria

Màxim entorn

periòdica, amb

Parella si

un punt k si

període T, si

f (x) = f (−x).

f (k) > f (x).

per a tot valor

Imparella si

Mínim entorn

x es compleix

f (x) = −f (−x)).

un punt k si

f (x) = f (x + T).

f (k) < f (x).

Taxa de variació mitjana TVM[a , b ] (f ) = =

f (b) − f (a ) b −a

180 3

discontinuïtat asimptòtica creixent

2

màxim

decreixent

decreixent creixent 1

0 −5

−4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

5

−1

punt de tall (0, 1) −2

Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞) i Rec(f ) =[−1, +∞) − {0}

Com es fa?

Procediment

Pas a pas

Determinar els punts

Eix d’ordenades. Donada la funció f (x), substitueix x per 0. És el punt (0, f (0)).

de tall amb els eixos

En el cas en què el 0 no pertanyi al domini de la funció, no talla l’eix d’ordenades.

Eix d’abscisses. Resol l’equació f (x) = 0. Si k és una solució, la funció tallarà l’eix horitzontal en el

punt (k, 0). Pot tenir més d’una solució o cap solució.

Determinar la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval [a, b ]

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 180

1. Calcula f (b) − f (a).

2. Divideix el resultat per b − a: TVM[a , b ] (f ) =

f (b) − f (a ) b −a

15/02/12 16:26

20 ■ Només una de les gràfiques següents correspon a una

Les funcions

funció: i)

15 ■■ Troba l’expressió algebraica de les funcions següents:

3

a) A cada valor se li assigna el quocient entre el seu qua-

2

2

drat i el quadrat que resulta de sumar-n’hi 2.

1 0

1 0

b) L’àrea d’un triangle de base b i altura a. c) El volum d’un cilindre amb radi de la base r i altura

0 1 −3 −2 −1 −1

4 m. d) La superfície d’una esfera de radi r. e) A cada valor se li assigna la diferència entre el seu qua-

5

6

3

ii)

iv)

g) A dos nombres se’ls assigna el quocient entre la suma

0 −1 −1

3

4

5

4

5

2

0 2

1

3

4

5

−3 −2

−1

0

1

2

3

−1 −2

−2

dels seus quadrats i la seva suma.

2

1

0 −3 −2

0 1 −4 −3 −2 −1 −1

−3

1

−3

−3

a) Indica quina és i per què les altres no ho són.

16 ■ Indica el domini i el recorregut de les funcions següents:

b) Indica el domini i el recorregut de la que és una funció.

c)

3

c) Troba les antiimatges de −2, 0 i 2 de la que és una

3

2

funció.

2

1

4

0

1 0 −1

−3 0

1

2

3

−2

−1

1

2

3

4

21 ■■ Indica el domini de les funcions següents: x +2 x 2x b) f (x) = x −3

a) f (x) =

−2

−1

d)

3

3

2

2

c) f (x) =

1

1 0

0 1 −3 −2 −1 −1

0

−1

4

4

b)

4

−2

f) A dos nombres, x i y, se’ls assigna la resta entre els

−2

3

−3

drat i el seu doble.

a)

2

−2

2

seus quadrats

−3

iii)

3

0 2

3

4

5

6

−3 −2

−1

0

1

2

3

4

5

−1

181

d) f (x) = x2 + 2x − 1

2x − 4

e) f (x) =

2x x2 − 9

f) f (x) =

1 x

22 ■ Troba les imatges de −2, −1, 0, 1 i 2 per a cada una de les funcions següents:

−2

−2

Funcions i gràfiques

Activitats

a) f (x) = −2x + 3 1 b) f (x) = 2x − 1

17 ■ De cada una de les funcions de l’exercici anterior:

c) f (x) = x2 − 2 1− x d) f (x) = 2 x + 6x + 9

a) Troba les imatges (si n’hi ha) dels valors −4, −2, 0, 2 i 4. b) Troba les antiimatges (si en tenen) dels valors −4, −2, 0, 2 i 4.

18 ■■

 Fes

23 ■ Indica els punts de tall en els eixos de cada una de les una taula de valors per a cada funció i

representar-les: a) f (x) =

1 x2

b) f (x) = −x2 + 4x − 4 c) f (x) =

Punts de tall i continuïtat

x x +1

d) f (x) = 2x + 1 e) f (x) = 2x2 + 5x + 3 f) f (x) =

−x x −1

funcions següents: a)

b)

3

3

2

2

1 0

1 0

0 1 −3 −2 −1 −1

2

3

4

5

0 1 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−3

−3

2

3

4

5

19 ■■ Indica a quins punts no es pot calcular f(x) en les funcions següents: a) f (x) =

x 1+ x

b) f (x) = 5x + 2

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 181

c) f (x) =

2x + 4

d) f ( x ) =

1 x

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

24 ■■

 Troba els punts de tall amb els eixos de cada una de

les funcions següents: a) f(x) = −2x + 4

d) f (x) = 2x − 1 2+ x e) f (x) = 2− x x f) f (x) = 2 x −1

b) f (x) = x2 + 1 c) f (x) =

1 x2

29 ■■ Dibuixa

a)

2 c) f (x) = x −4

0

0 1

2

−3

3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

ii)

0

1

2

3

ii)

−1

1

2

3

0 −3 −2

−2

iii)

2

3

4

3

2

2

1

1 1

2

0 0 −4 −3 −2 −1 −1

3

−2

−2

−3

−3

iv)

2

0 0 −4 −3 −2 −1 −1

1 0

1

−2

3

0 −4 −3 −2 −1 −1

3

1 −1

0

−1 −1

0

2

−2

−3 −2

1

2

3

2

1

2

−3

0

3

31 ■ Fixa’t en les funcions següents i indica per a cada una:

iv)

0

2

−3

2 1

1

−2

i)

1

1 0

−1 −1

iii)

182

−2

x d) f (x) = 2 x −1

2

tingui

2

0 −3

26 ■ Analitza les gràfiques següents i indica per a cada una: i)

que

3

b)

2 1

5x 2 − 2 x a) f (x) = 3x 3x + 1si x < 1 b) f (x) =  2 x si x ≥ 1

0

funció

30 ■ Estudia el creixement i extrems de les funcions següents:

discontinuïtat es tracta:

−1

d’una

Creixement i decreixement d’una funció

no són contínues. Troba aquests punts i digues de quin tipus de

−2

gràfica

punt 1.

25 ■■ Les funcions següents tenen com a mínim un punt on

−3

la

Dom(f) = [−2, 4) i que tingui una discontinuïtat asimptòtica al

−1

1

2

3

1

4

0 −3

−2 0

1

2

3

−1

−4

−1

0

1

2

3

4

−1

−3

4

−2

−2

−2

a) Els intervals de creixement o decreixement. b) El domini.

a) Els punts de discontinuïtat i de quin tipus són.

c) Els extrems (màxims i mínims).

b) El domini i el recorregut. c) Els punts de talls amb els eixos. d) Les imatges (si n’hi ha) dels punts 0, 1 i 2. e) Les antiimatges (si n’hi ha) dels punts 2, 0 i −2.

32 ■■

 Fixa’t en les funcions següents:

x A) f (x) = − + 1 2 B) g(x) = 2x − x2

C) h(x) = x − 1 D) j(x) = 2x

27 ■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−2, 1)

a) Fes una taula de valors per a cada una.

B(0; 0,8) i C(3, 0).

c) Analitza les gràfiques i indica’n els intervals de creixe-

28 ■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−2, 4),

d) Troba els extrems de cada funció, en cada un dels ca-

∪ [2, 4), Rec(f) = [−2, 1] i que talli els eixos en els punts A(−1, 0),

Rec(f) = [−2, 1) i que tingui una discontinuïtat de salt al punt 1.

b) Representa-les gràficament. ment i decreixement. sos següents: i) Si ens restringim a l’interval (−1, 1). ii) Si ens restringim a l’interval [−1, 1].

iii) Si ho considerem a tot el seu domini.

33 ■■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−3, 2],

Rec(f) = (−2, 3], que talli els eixos als punts (−2, 0) i (0, 2) i que

sigui decreixent als intervals (−3, −1) i (−1, 2).

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 182

15/02/12 16:26

34 ■■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−1, 3],

40 ■■ Dibuixa una funció que sigui periòdica amb període

sigui creixent a l’interval (−1, 1) i decreixent a l’interval (1, 3).

sigui (0, 3].

Rec(f) = (−1, +∞), que talli els eixos als punts (0, 0) i (2, 0) i que

T = 2, que el seu domini sigui (−4, 4] i que el seu recorregut

41 ■■ Completa a la llibreta cada una de les gràfiques següents, en el tros [0, 4], de manera que siguin:

Simetria i periodicitat

a) Periòdiques.

35 ■ Observa les funcions següents i indica si n’ha alguna que

b) Simètriques respecte de l’eix vertical.

presenti simetria. De quin tipus de simetria es tracta?

c) Simètriques respecte de l’origen de coordenades.

a)

−3

b)

2

−2

1

1

0

0

−1

0

1

2

−3

3

i)

2

−2

−1

−1 −2

0

1

2

ii) 2

2

1

1

0

3

−4

−3 −2 −1

0

0 1

2

3

4

−4

−3 −2 −1

−1

−1

−1

−2

−2

−2

0

1

2

3

Funcions i gràfiques

Activitats

4

−3

36 ■ Indica quin tipus de si-

2

metria té la funció següent i

La taxa de variació mitjana

1

quin és el seu període T.

0 −3

−2

−1

42 ■ Troba la taxa de variació mitjana de les funcions següents 0

1

2

3

4

−1 −2

37 ■■

 Estudia la simetria de les funcions següents: 2x x3 −1 1 e) f (x) = 1− x x −1 f) f (x) = x +1

a) f (x) = 2x2 − 3

d) f (x) =

b) f (x) = (x − 1)2 c) f (x) =

1 2x

a l’interval [−1, 2]:

a) f (x) = x2 − x 2 b) f (x) = 2+ x

d) f (x) = 5x + 2 x e) f (x) = 2 x +1

c) f (x) = 5x

f) f (x) = 2x − 1

43 ■■ Compara les TVM de les funcions f (x) = x2 i g(x) = 2x als intervals [0, 1], [0, 2] i [4, 5], i digues en cada cas quina creix més.

44 ■■ Respon: a) N’hi ha prou amb saber el signe de la TVM a un inter-

38 ■■ Dibuixa una funció que a l’interval (−4, −2) sigui decrei-

xent i que a l’interval (−2, 0) sigui creixent i que:

val per saber-ne el creixement? Per què? b) Dibuixa una funció que tingui TVM > 0 i en canvi no sigui creixent a un interval [a, b].

a) Tingui simetria imparella.

c) Dibuixa una funció que tingui TVM < 0 i en canvi no

b) Tingui simetria parella.

sigui decreixent a un interval [a, b].

39 ■■ Fixa’t en la gràfica següent i indica’n:

45 ■■ Observa la gràfica següent: 2

a) Troba la TVM de la funció

2

1

als intervals següents:

0 −3

−2

−1

0

1

2

3

−1

a) El domini i el recorregut. b) Els punts de tall amb els eixos. c) Els extrems. d) Els intervals de creixement i decreixement. e) Té alguna periodicitat? Quina. f) Té simetria? Quina.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 183

[−3, −2] ii) [0, 1] iii) [−3, −1] iv) [1, 3] v) [−1, 1] vi) [−3, 3]

i)

1

−4

183

4

0 −3 −2

−1

0

1

2

3

−1 −2

b) Indica quins són els intervals de creixement i decreixement. c) Què es pot dir del creixement d’aquesta funció segons els resultats obtinguts en el càlcul de la TVM?

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

Repte 46 ■■■ Troba una funció que sigui creixent entre −∞ i 0

48 ■■■ En el tradicional “ball de bastons” els participants

i decreixent entre 0 i ∞, però que no tingui un màxim a x = 0.

(bastoners) porten un bastó de fusta a cada mà. A més de

Representa-la gràficament i fes-ne un estudi complet.

moure’s al ritme de la música, colpegen els seus bastons, l’un amb l’altre, contra el terra o amb els d’un altre bastoner. Habitualment els bastoners són 8 i aquesta n’és una de les possibles

47 ■■■ Si et demanen quina és la teva edat, la resposta habitual no és el valor exacte sinó la seva part entera. Considera el cas de l’Amadeu, que va néixer l’1 de gener.

Resol els següents apartats amb l’ajut d’un programa de full de càlcul. a) Representa en un gràfic l’error absolut comès (en anys), en funció dels dies que han passat des de cap d’any, si l’Amadeu respon dient només la part entera de la seva edat. A l’eix d’abscisses, doncs, hi haurà els dies de l’any numerats de l’1 al 365; a l’eix d’ordenades, l’error comés expressat en anys. b) Calcula quant val l’error relatiu si l’Amadeu té 50 anys i li demanen l’edat el dia de Sant Joan. c) Representa en un gràfic l’error relatiu en funció de l’edat suposant que se li demana el dia de Sant Jordi. Fes que a l’eix d’abscisses l’edat vagi de 5 a 50 anys.

col·locacions:

Cada lletra representa un bastoner. Imagina un ball en què D sempre fa el mateix que A i C el mateix que B. El segon quadrat balla igual que el primer. Tots miren cap al centre dels seus respectius quadrats. El gràfic indica les accions d’A (blau) i B (vermell) durant els tres primers compassos. El codi de l’eix d’ordenades és 0, cap cop; 1, cop al terra; 2, cop amb el bastó de l’esquerra al bastó més proper del company que està a l’esquerra, ídem a la dreta; 3, cop amb els dos bastons als bastons del company en diagonal. L’eix d’abscisses indica les notes de la melodia, suposant que totes són negres. Com el ritme és 4 per 4, hi ha 4 negres a cada compàs.

3 2 1 0 1

184

A C E G B D F H

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Calcula quants cops va donar la colla, en total, durant el segon compàs.

Autoavaluació 3. Un cotxe ha anat a una velocitat constant de 80 km/h durant

Sé analitzar una gràfica?

3 h. Després ha estat aturat per descansar durant 1 h. Segui-

1. Donada la funció següent: a) Digues el domi-

3

ni i el recorregut.

2

b) Indica els inter-

100 km/h durant 2 h. a) Escriu les fórmules de la velocitat en funció del temps per

1

vals de creixement i decreixement.

dament ha continuat el viatge amb una velocitat constant de

0 −3

c) Indica els extrems.

−2

−1

a cada interval.

0

1

2

3

−1

d) Si en tenen, troba la imatge dels valors −3, −2, 0, 1 i 3. e) Si en tenen, troba l’antiimatge dels valors −1, 0 i 1. f) Troba i compara la taxa de variació mitjana als intervals

[−1, 0] i [0, 1].

Sé trobar la funció associada a un problema?

2. El preu de l’entrada a un festival de cinema és de 25 € i dóna dret a veure una pel·lícula gratis, i les altres que es vulguin veure costen 4 € cada una. a) Quant pagarà una persona que hagi vist 4 pel·lícules aquest cap de setmana? b) Escriu la fórmula que permet calcular el preu en funció del nombre de pel·lícules vistes.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 184

b) Escriu les fórmules de l’espai en funció del temps per a cada interval.

Sé trobar els punts de tall amb els eixos?

4. Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions següents: a) f (x) =

x +1 x −2

b) f (x) =

x2 − 4 x +1

Sé distingir els tipus de discontinuïtats?

5. Analitza la gràfica següent i

3

indica’n:

2

a) El domini i el

1

recorregut. b) La continuïtat.

0 −3

−2

−1

c) La simetria.

−1

d) El creixement.

−2

0

1

2

3

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

Competències que sumen El preu de les fotocòpies A la copisteria del barri hi ha penjat el cartell següent: Fotocòpia en

Fotocòpia

blanc i negre

en color

De 1 a 20

0,05 €

0,25 €

De 20 a 50

0,04 €

0,20 €

De 50 a 100

0,03 €

0,17 €

Més de 100

0,02 €

0,15 €

1. Indica quina de les gràfiques següents representa el valor d’una fotocòpia, en cèntims d’euro, segons el nombre de fotocòpies en blanc i negre que es facin. a) 6

b) 6

c) 6

d) 6

5

5

5

5

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0

0

0

0

20

40

60

80

100

0

20

40

60

80

100

2. Copia i completa la gràfica corresponent a les fotocòpies en

30

color.

25

0

20

40

60

80

100

0

185

0

20

40

60

80

80

90

100

100

20 15 10 5 0 0

10

20

30

40

50

60

70

110

3. Si et fixes únicament en el segon tram de les fotocòpies en blanc i negre, en què les fotocòpies van a 4 cèntims d’euro: a) Quina és l’equació que relaciona el nombre de fotocòpies que es fan i el valor de totes les fotocòpies fetes? Pots ajudar-te d’una taula. b) Fes a la llibreta una gràfica de l’interval corresponent.

4. Un amic només porta un euro per fer 20 fotocòpies en blanc i negre. Pot fer més fotocòpies? Quantes més? Explica per què.

5. Observa que les fotocòpies en blanc i negre passen de 5 cèntims a 3 cèntims quan són més de 100; mentre que les fotocòpies en color passen de 25 a 15 cèntims. Raona quina oferta et sembla més bona.

6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 185

15/02/12 16:26

Unitat

9

Funcions i gràfiques Una gràfica val més que mil imatges

Una funció fa palesa la relació de dependència entre dues variables quantificades. Pot manifestar-se amb una expressió verbal, amb una taula de valors, amb una gràfica o amb una fórmula.

A l’hora de descriure un fenomen es diu que val més una imatge que mil paraules. Hom pot descriure verbalment una casa o un paisatge, però més enllà de l’exercici literari, la idea que ens en podem fer a partir d’una fotografia és, en general, més aclaridora.

168

Una cosa semblant passa amb les funcions. A cada valor numèric assignat a la variable independent li correspon un valor numèric de la variable dependent.

D’aquest valor es diu que és la imatge de l’altre. En la funció y = x2, la imatge de x = 2 és y = 4; la imatge de x = 11 és y = 121; la de x = −3 és y = 9. Els parells de valors calculats, (2, 4), (11, 121) i (−3, 9), es poden representar en un sistema de coordenades. Calculant-ne molts més veuries que els punts creen una línia que encapsula i fa visible la funció. En el cas de y = x2 la gràfica és una paràbola formada d’infinits punts.

La gràfica és la foto de la funció; i la fórmula, la màquina que la retrata. Si una imatge val més que mil paraules, una gràfica val més que mil imatges.

Però no sempre els punts de la gràfica formen una línia contínua, com és el cas de la gràfica parabòlica de la funció y = x2. La funció dels quadrats dels nombres naturals també té forma parabòlica, però és discontínua perquè es compon d’una sèrie de punts aïllats. Les gràfiques sense talls ni interrupcions es poden traçar d’una tirada sense separar la punta del llapis del paper.

Una funció es diu contínua quan ho és la seva gràfica.

A l’àmbit quotidià trobem funcions discontínues, com ara la que determina l’import que cal pagar en funció del temps que un cotxe és en un aparcament.

Fins fa poc els pàrquings cobraven per hores. Els can-

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 168

15/02/12 16:25

Les funcions periòdiques també són força corrents.

Molts fenòmens naturals responen a aquesta característica. El nivell de l’aigua del mar en les marees, la posició d’un pèndol quan oscil·la, etc. es donen amb la mateixa regularitat periòdica.

El poder comunicatiu de les gràfiques les ha fet corrents als mitjans de comunicació (televisió, premsa, Internet…). Avui dia resulta difícil llegir una pàgina d’un diari en què no hi hagi una notícia il·lustrada amb una gràfica. Sovint serveix per fer més clara la informació, però de vegades se’n pot fer un ús tendenciós. Aleshores, les unitats dels eixos de coordenades es prenen de manera que els trets de la gràfica s’esbiaixin i es destaqui la informació desitjada. Les dues gràfiques següents corresponen a la mateixa funció, però en una les variacions no semblen tan grans com a l’altra.

30

60 50 40

20

30 10

20 10 0

0

1

2

3

4

5

6

0

0

1 2

3 4

5 6 7 8 9 10 11

Analitza i resol 1. Explica de quines maneres es pot expressar una funció.

Posa alguns exemples de funcions les gràfiques de les quals siguin línies discontínues.

2. Explica quines trans3 000 formacions faries en la gràfica següent 2 000 per donar suport 1 000 a la tesi que determinada empresa 0 ha millorat molt 2006 2008 2010 2012 any aquests últims anys.

I per donar suport a la idea que no n’hi ha per tant? beneficis (€)

vis de preu en cada hora feien la gràfica de l’import que calia pagar discontínua. En lloc d’una línia, la gràfica era esglaonada. Cada esglaó corresponia a un canvi de preu. Ara els preus es determinen en funció dels minuts, cosa que aproxima la funció a la idea de continuïtat.

3. Aquestes són les tarifes d’un aparcament públic: Des del minut 0 al 30 0,0376 €/min Des del minut 31 al 90 0,0339 €/min Des del minut 91 al 660 0,0452 €/min Des del minut 661 fins a un màxim de 24 h 28,90 € a) Indica quin és l’import corresponent a 15 min.

I a tres quarts d’hora? b) Escriu tots els imports que cal pagar en €/h. c) Fes la gràfica de l’import que s’ha de pagar en €/h. Indica si és contínua.

169

4. L’índex de massa corporal (IMC) d’una persona es calcula dividint la seva massa (kg) entre el quadrat de la seva estatura (m). a) Calcula l’IMC d’una persona de 65 kg i 1,7 m. b) Expressa l’IMC d’una persona d’1,7 m d’estatura en funció de la massa. c) Expressa l’IMC d’una persona de 50 kg en funció de l’estatura. d) Representa les dues gràfiques i respon: són contínues? Són creixents o decreixents? És a dir, l’augment d’estatura i/o massa va acompanyat d’un augment de l’IMC?

Índex

Competències bàsiques

1. Les funcions

Matemàtica. Observar, analitzar i interpretar fenòmens

2. Punts de tall i continuïtat

funcionals.

3. Creixement i decreixement d’una funció

Comunicativa lingüística i audiovisual. Llegir i ex-

4. Simetria i periodicitat

pressar en llenguatge simbòlic expressions del llenguatge

5. La taxa de variació mitjana

habitual.

Tractament de la informació i competència digital.

Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 169

15/02/12 16:25

Funcions i gràfiques

1

Les funcions Concepte de funció. Domini i recorregut

1.1

Quan entre dues variables, a cada valor de la variable independent x li correspon un únic valor de la variable dependent y, tenim una funció.

Recorda La relació entre variables es pot representar de tres maneres:

S’escriu y = f (x) i es diu que y és la imatge de x. També es diu que x és una antiimatge de y, i s’escriu x = f−1(y).

S’anomena domini de f, i s’escriu Dom(f ) o D(f ), el conjunt dels valors de la variable independent pels quals es pot trobar una imatge.

• Taula de valors • Gràfica

Els valors corresponents de la variable dependent formen el recorregut de f, i s’escriu Rec(f ) o R(f ).

• Fórmula

Una fórmula és l’expressió algebraica d’una funció, que permet calcular y a partir de x.

Una funció es pot simbolitzar a partir de la seva fórmula, el seu domini i el seu recorregut.

Exemples 1. Observa la funció que a cada valor de R li fa correspondre el seu quadrat: f(2) = 22 = 4

f(−3) = (−3) = 9

f(0) = 0

2

f(1,2) = 1,44

…

Així, Dom(f ) = R, perquè a tots els nombres reals se’ls pot calcular el seu quadrat, i Rec(f ) = [0, +∞) perquè els nombres negatius no són imatge de cap nombre.

2. La fórmula de la funció que a cada valor de R li fa correspondre el seu quadrat és f : R → [ 0, + ∞) i així, f(3) = 32 = 9, etc. f (x) = x2, i per tant  x → x 2 

170 Alerta Hi ha funcions en què la vari-

1.2

Gràfica d’una funció

able dependent depèn de més d’una variable independent.

Per exemple, l’àrea d’un rectangle depèn de la base i l’altura: A = a · b = f(a, b) b

Hi ha molts aspectes que cal considerar a l’hora de representar una funció però en qualsevol cas les dades obtingudes amb una taula de valors donen molta informació.

Exemple

a

x

La gràfica d’una funció f és la representació en un sistema de coordenades dels punts (x, f (x)), en què x és un valor del domini de f.

f (x ) =

x +2 2

x + 2.

2 En primer lloc cal fer una taula de valors. Fixa’t que Dom(f) = R i que, per tant, cal agafar valors positius i negatius.

3. Representa gràficament la funció f (x) =

Es representen cada un dels parells de punts obtinguts (−4, 0), (−2, 1), etc. i s’uneixen per obtenir una recta. Com que Dom(f) = R, cal allargar la recta pels dos extrems.

8

−4

0

6

−2

1

4

0

2

2

2

3

4

4

6

5

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 170

0 −6

−4

0

−2

2

4

6

8

−2 −4

15/02/12 16:25

1.3

Imatge i antiimatge d’una funció a partir de la gràfica

Quan es coneix la fórmula d’una funció y = f (x), per calcular la imatge de qualsevol valor, només cal substituir la x. La imatge i l’antiimatge també es pot trobar fàcilment a partir de l’anàlisi de la gràfica de la funció.

Exemple

10

4. La gràfica d’una funció determinada és la del marge. Troba a partir de la seva anàlisi: a) La imatge de x = 1. Localitza el punt 1 de l’eix d’abscisses i traça una línia vertical (en vermell en el dibuix). On s’intersequi amb la gràfica, traça una línia horitzontal fins a trobar l’eix d’ordenades. El punt on el talla és el 3, i per tant f (1) = 3. b) L’antiimatge de y = 2. Localitza el punt 2 de l’eix d’ordenades i traça una línia horitzontal (en blau en el dibuix). Aquesta línia s’interseca amb la gràfica en quatre punts. Des de cada un d’aquests punts traça una línia vertical fins a trobar l’eix d’abscisses. Els quatre punts on el talla són −2,4; −1,4; 1,4 i 2,4; i per tant:

8 6 4 2 0 −4 −3 −2 −1

0 1

2

4

3

5

−2 −4

f −1(2) = {−2,4; −1,4; 1,4; 2,4}

1.4

171

Domini i recorregut d’una funció a partir de la gràfica 3

El domini és el conjunt de tots els valors de l’eix d’abscisses que, en traçar una recta vertical, tallen la gràfica.

El recorregut és el conjunt de tots els valors de l’eix d’ordenades que, en traçar una recta horitzontal, tallen la gràfica.

2 1 0 −3

−2

−1

0

1

2

3

4

2

3

4

−1 −2

Exemples

5

5. En aquesta funció, el domini és Dom(f ) = [−2, 7] i el recorregut Rec(f ) = [−2, 5].

4

6. Fixa’t en les figures 1 i 2 del marge i indica el domini i el recorregut de la funció.

1 0

−3

fig. 1

3 2 3

−2 −1 0 1 −1

2

3

4

5

6

7

8

2

9

−2 Domini. Es tracta d’una gràfica en dos trossos. Fixa’t en la figura 1, que en el punt x = 1 sí que talla a la gràfica (rodona plena), mentre que en el punt x = 2 la funció s’hi acosta molt, però no talla la recta vertical. Per tant, podem afirmar que Dom(f ) = (−∞, 1] ∪ (2, +∞).

1 0 −3

−2

1

−1 −2 −3

Recorregut. Talla la gràfica en y = −2 i y = 1. Per tant, Rec(f ) = [−2, 0) ∪ [1, +∞).

Aplica

0

−1

fig. 2

3 ■■ Analitza la gràfica de l’exemple 6 i troba, si n’hi ha, les antiimatges de:

1 ■ Tenim la funció f (x) = + x .

a) −1

b) 0

c) 1

d) 2

a) Fes una taula de valors i representa-la gràficament.

Raona

b) Indica el seu domini i recorregut.

2 ■■ Analitza la gràfica de l’exemple 6 i troba, si n’hi ha, les

4 ■■ Explica per què la gràfica ad-

imatges de:

junta no correspon a una funció.

a) −1

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 171

b) 0

c) 1

d) 4

15/02/12 16:25

Funcions i gràfiques

2

Punts de tall i continuïtat 2.1

Punts de tall amb l’eix d’ordenades

Per trobar en quin punt una funció talla l’eix d’ordenades, cal substituir x per 0. És el punt (0, f(0)).

En el cas que el 0 no pertanyi al domini de la funció, no talla l’eix d’ordenades.

(0, –1)

Exemple

f(x) = 3x − 1

7. Troba els punts de tall amb l’eix d’ordenades de les funcions següents: a) f (x) = 3x − 1. Cal calcular f(0) = 3 · 0 − 1 = −1. La funció talla l’eix vertical en el punt (0, −1).

2 −x 2−0 + 2 . Cal calcular f (0) = b) f (x) = + 2 = 4. La funció talla l’eix ver1− x 1− 0 tical en el punt (0, 4).

(0, 4)

f( x ) =

2− x +2 1− x

2.2 Recorda 172

L’eix vertical, o Y, és l’eix d’or-

Punts de tall amb l’eix d’abscisses

Per trobar en quin punt o punts una funció talla l’eix d’abscisses cal resoldre l’equació f (x) = 0.

Així, si k és una solució, la funció tallarà l’eix horitzontal en el punt (k, 0).

Exemple

denades.

L’eix horitzontal, o X, és l’eix

8. Troba els punts de tall amb l’eix d’abscisses de les funcions següents:

d’abscisses.

a) f (x) = 2x + 3. Resolent f (x) = 0, és a dir 2x + 3 = 0, s’obté x = −1,5.

Aquesta funció tan sols té un punt de tall amb l’eix horitzontal, el (−1,5; 0). x 2 −4 x2 − 4 b) f (x) = = 0 s’obtenen dues solucions: x1 = 2 i . Resolent 2x −1 2x − 1 x2 = −2. Aquesta funció té dos punts de tall amb l’eix horitzontal: (2, 0) i (−2, 0). c) f (x) = 2x. L’equació 2x = 0 no té solució, ja que si multipliquem diverses vegades el 2 per si mateix mai donarà 0 ni negatiu. Per tant, aquesta funció no talla l’eix abscisses.

Recorda La definició matemàtica de continuïtat a un punt és més

2.3

Concepte de continuïtat

complexa. Es diu que una funció és contínua a un interval si és contínua a cada un dels punts de l’interval.

Una funció és contínua en un punt x0 si hi està definida, és a dir, si existeix f(x0), i en aproximar-nos a x0 pels dos costats les imatges s’aproximen a f(x0).

Intuïtivament, una funció és contínua en un interval si per dibuixar-la no cal aixecar el llapis del paper.

Exemple 9. La gràfica de la funció f (x) = 2x + 3 és contínua, mentre que la de la funció x2 − 4 g(x) = és discontínua.

2x − 1 f(x) = 2x + 3

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 172

g( x ) =

x2 − 4 2x − 1

15/02/12 16:25

2.4

Tipus de discontinuïtats

Una funció és discontínua si la seva gràfica presenta alguna de les interrupcions següents: • Evitable. Quan f (x) no està definida en x0 i, en aproximar-nos a x0, les imatges s’aproximen a un cert valor k no infinit.

• De salt. Quan, en aproximar-nos a x0 pel cantó dret i pel cantó esquerre, les imatges s’aproximen a valors diferents, k1 i k2, no infinits. El salt és |k1 − k2|.

• Asimptòtica. Quan, en aproximar-nos a x0 per un dels cantons, o pels dos, les imatges se’n van cap a +∞ o −∞.

L’estudi de la continuïtat d’una funció a partir de la seva expressió algebraica, de vegades no és fàcil, en canvi, l’estudi a través de la gràfica és molt senzill.

Consells

Com aplicar-ho. Analitzar al domini i continuïtat d’una funció Analitza el domini, recorregut i continuïtat de la gràfica adjunta.

Pots aprofitar la gràfica per observar els punts de tall en els eixos. Així, talla l’eix vertical aproximadament al punt (0; 1,9); i l’eix horitzontal al punt (2, 0).

Pots observar que: • Cal posar atenció al final de cada tram de la gràfica, si és obert o tancat.

Pel que fa referència al domini, a (−1, −1) hi ha una rodona buida que vol dir que f(x) no hi està definida. La rodona plena del punt (1, −2) indica que f(1) = −2. Finalment, la rodona plena del punt (2, 0) vol dir que f(2) = 0. Per tant, Dom(f ) = R − {−1}.

3 2 1 0 −3

−2

0

−1

2

1

3

4

−1 −2

Observa que trobar els talls als eixos pot ser més fàcil si tens la fórmula de la funció que si tens la gràfica.

173

−3

Vegeu els exercicis

• Pel que fa referència al recorregut, observa que la rodona buida en el punt (−1, −1) indica que traçant una recta horitzontal pel punt −1 no es tallarà la gràfica. En canvi la rodona plena al punt (2, 0) fa que si es traça una horitzontal pel punt 0 sí que es talli la gràfica. Finalment, la rodona plena del punt (1, −2) indica que si es traça una recta horitzontal pel punt −2 també tallarà la gràfica, per tant, Rec(f ) = [−2, +∞).

6 i 7 pàg. 173; 23 pàg. 181; 26 i 27 pàg. 182.

• Hi ha una discontinuïtat evitable al punt x = −1. Tant si ens hi acostem pel cantó esquerre com pel cantó dret, les imatges s’acosten a −1.

• Té una discontinuïtat de salt al punt x = 1. El salt val |1 − (−2)| = 3, ja que quan ens hi acostem pel cantó esquerre, les imatges s’acosten a −2, i quan ens hi acostem pel cantó dret les imatges s’acosten a 1.

• Hi ha una discontinuïtat asimptòtica al punt 2. En acostar-nos-hi pel cantó dret, les imatges se’n van a +∞.

Aplica

6 ■■ Observa la gràfica i

3

indica’n:

2

5 ■ Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions

a) El domini.

següents:

b) El recorregut.

a) f (x) = 2x − 6

d) f (x) = x − 4

x +2 b) f (x) = x −1

1 e) f (x) = x

c) f (x) = x2 + 2x − 3

f) f (x) = ex

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 173

2

c) La continuïtat.

1 0 −3 −2 −1 0 1 −1

2

3

4

5

6

7

−2 −3

7 ■■■ Quin seria el domini i el recorregut de la gràfica de l’exercici 6 si totes les rodones estiguessin buides?

15/02/12 16:25

Funcions i gràfiques

3

Creixement i decreixement d’una funció 3.1

Concepte de creixement i decreixement

Una funció és creixent en un interval donat si agafant-ne dos valors qualssevol x1 i x2 es compleix que si x1 < x2, aleshores f(x1) ≤ f(x2).

Recorda Una funció pot tenir diferents intervals de creixement i decreixement, i també pot ser constant en algun interval.

Intuïtivament, «créixer» o «decréixer» té a veure amb el fet de si la gràfica, llegida d’esquerra a dreta, va «amunt» o «avall».

f (x) és estrictament creixent en un interval si x1 < x2 → f(x1) < f(x2) per a qualssevol x1 i x2 de l’interval.

Una funció és decreixent en un interval donat si agafant-ne dos valors qualssevol x1 i x2 es compleix que si x1 < x2, aleshores f(x1) ≥ f(x2).

f (x) és estrictament decreixent en un interval si x1 < x2 → f(x1) > f(x2) per a qualssevol x1 i x2 de l’interval.

L’estudi del creixement d’una funció a partir de la seva expressió algebraica pot ser complex i és més fàcil si se’n té l’expressió gràfica.

Les gràfiques sempre s’analitzen d’esquerra a dreta per evitar confusions.

Exemples 10. Fixa’t en els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) a partir de la gràfica:

4 3

Creixent als intervals (−∞, −2] i [−1, 2].

2

Decreixent als intervals [−2, −1] i [3, +∞).

Constant a l’interval [2, 3].

174

1 0

Fixa’t que els intervals de creixement sempre són oberts si la funció no està definida als extrems o no és contínua.

−4

−3

−2

aparegui als dos intervals; això passa perquè el concepte de creixement en un sol punt no

4

4 3 2 1

Fixa’t que no es pot dir que f (x) sigui creixent a l’interval (−∞, 3), perquè, per exemple, −3 < −1 i en canvi f (−3) > f(−1). Això passa perquè f (x) no és contínua a l’interval (−∞, 3).

contradicció en què el −2

3

−3

Constant a l’interval (3, +∞).

en (−∞, −2] i decreixent en [−2, –1] , sense que hi hagi

2

−2

Creixent als intervals (−∞, −2], (−2, 1) i (1, 3].

Observa que f(x) és creixent

1

−1

11. Observa els intervals de creixement i decreixement de la funció discontínua següent a partir de la gràfica:

Alerta

0

−1

0 −4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

−1 −2 −3 −4

existeix.

3.2

Els extrems són el valor més gran (màxim) o el més petit (mínim), que pren una funció, ja sigui entorn d’un punt (extrem local) o en tot el domini (extrem absolut).

6 màxim absolut

4

màxim local

• f (x) té un màxim absolut al punt x0 si f(x0) ≥ f (x) per a qualsevol altre x. És a dir, si la imatge de x0 és més gran o igual que la de qualsevol altre valor de x.

2 0 −2

• f (x) té un mínim absolut al punt x0 si f(x0) ≤ f (x) per a qualsevol altre x. És a dir, si la imatge de x0 és més petita o igual que la de qualsevol altre valor de x.

mínim local

−4

mínim absolut

−6 0

0,2

0,4

0,6

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 174

Els extrems: màxims i mínims

0,8

1

1,2

Es parla de màxims i mínims relatius o locals quan ens referim només a un entorn del punt x0, és a dir, en relació amb punts propers a x0.

15/02/12 16:26

3.3

Interpretació gràfica de màxims i mínims

L’estudi dels extrems d’una funció a partir de la seva expressió algebraica pot ser complex.

En aquest curs només els estudiaràs a partir de l’anàlisi de la gràfica.

Exemple 4

12. Troba els extrems de la funció de la gràfica adjunta:

3 2

f(x) té un màxim absolut al punt x = −2. És l’absolut perquè és el punt més alt.

1 0 0 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

f(x) té un mínim relatiu al punt x = 1.

2

3

4

5

6

−2

f(x) té un màxim relatiu al punt x = 3.

−3

En aquest cas, s’interpreta que la funció està definida a tot R, i que tant per la dreta com per l’esquerra decreix indefinidament. Si es considerés que el domini va de −4,5 a 4,5, caldria afegir que f(x) té un mínim absolut al punt −4,5.

Consells

Com aplicar-ho. Estudiar una funció a partir de la seva gràfica Analitza la gràfica i indica el domini, el recorregut, els intervals de creixement i decreixement, els punts de tall amb els eixos, els extrems i les discontinuïtats.

Comença sempre estudiant el domini, i expressa’l de la manera més senzilla possible:

3 2 1

Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ [0, +∞) − − {1, 2}

0 −6

−5

−4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

5

6

−1

175

S’interpreta que, tant per l’esquerra com per la dreta, la funció s’acosta molt a l’eix horitzontal però no el toca mai.

−2

• Observa que als punts (−1, 0) i (1, 0) les rodones són buides, mentre que al (0, −1) la rodona és plena. Per tant: Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞) Rec(f ) = [−1, +∞) − {0}

Vegeu els exercicis

• És creixent als intervals (−∞, −3], [−2, 1) i (1, 3] i decreixent als intervals [−3, −1) i (2, +∞).

8, 9 i 10 pàg. 175; 30, 31 i 32 pàg.

182.

• Només talla l’eix vertical en el punt (0, −1).

• Té un màxim relatiu en x = −3 i un mínim absolut en x = 0.

• Presenta una discontinuïtat evitable al punt x = 1 i una discontinuïtat asimptòtica al punt x = 2.

Aplica

10 ■■■ Fes un estudi complet de la funció de la gràfica

3

següent:

2 1

8 ■ Estudia el creixement, el domini i recor-

0 0 −3 −2 −1 −1

regut de la funció adjunta.

1

2

3

4

2

−2 −3

1

9 ■■ Copia i completa la taula següent i representa la funció; indica’n el domini, el recorregut, el creixement i els extrems: x

−5

f (x) = x + 1 2

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 175

−3

−1

0

1

3

5

0 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1 −2 −3

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

4

Simetria i periodicitat 4.1 Recorda

Si una funció té simetria parella, només cal estudiar-la a l’in-

Simetria

Una funció és simètrica respecte de l’eix d’ordenades (simetria parella) si per a cada valor x es compleix que f(x) = f(−x).

Una funció és simètrica respecte de l’origen de coordenades (simetria imparella) si per a cada valor x es compleix que f(x) = −f(−x).

Exemple

terval del 0 a +∞, ja que l’altre

13. La funció f (x) = x2 té simetria parella perquè per a tot x, f (x) = f (−x), ja que 2 x2 = (−x) .

cantó serà com la imatge d’un mirall.

La funció f (x) = x3 − 2x té simetria imparella perquè per a tot x es té que 3 f (x) = −f (−x), ja que x3 − 2x = −[(−x) − 2(−x)].

4.2

Periodicitat

Una funció f(x) és periòdica si hi ha un valor T tal que per a qualsevol valor de x es compleix que f(x + T) = f(x), és a dir, si cada cert «temps» (període) es van repetint els resultats.

El període és el mínim valor de T que verifica això.

Exemple

176

14. La funció definida del conjunt dels nombres naturals N en el conjunt U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, que cada nombre li fa correspondre la seva xifra de les unitats, és periòdica i té període T = 10: f (1) = 1

f (2) = 2

f (3) = 3 … f (9) = 9

f (10) = 0

f (11) = 1 … f (5 024) = 4 ...

és a dir, f (0) = f (10) = f (20) = … = 0 f (1) = f (11) = f (21) = … = 1 ...

4.3

Estudi gràfic de la simetria i la periodicitat

Si f (x) té simetria parella, per cada punt P de la gràfica es pot fer passar una recta horitzontal r que talli la gràfica en un altre punt P′ tal que YP = YP′, en què Y és el punt de l’eix vertical que talla amb la recta r.

Si f (x) té simetria imparella per cada punt P de la gràfica es pot fer passar una recta r que passi també per l’origen de coordenades O. Aquesta recta tallarà la gràfica en un altre punt P′ tal que OP = OP′.

Si f (x) té període T, el seu estudi gràfic es pot reduir a l’interval [0, T ], ja que a partir d’aquest només cal anar afegint còpies.

Exemple 15. Fixa’t en cada cas en la simetria i la periodicitat de les funcions següents: P P’

y

O

P P’

simetria parella

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 176

simetria imparella

−T

T

2T

periodicitat

15/02/12 16:26

5

La taxa de variació mitjana

5.1

Càlcul de la taxa de variació mitjana

Moltes vegades, per interpretar correctament una gràfica és important determinar la rapidesa amb què creix o decreix la funció representada.

Així, donat un interval determinat [a, b], la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció f (x) a l’interval [a, b], inclòs dins el domini de la funció, és el quocient entre l’increment de la variable dependent i l’increment de la variable independent: f (b ) − f (a ) TVM[a , b ] (f ) = b −a

B

f(b)

a b

A

f(a)

La taxa de variació mitjana de la funció f(x) a l’interval [a, b] coincideix amb el pendent de la recta que uneix els punts A = (a, f(a)) i B = (b, f(b)).

Com aplicar-ho. Analitzar gràficament la taxa de variació mitjana Analitza la funció donada per la gràfica adjunta i calcula la taxa de variació mitjana als intervals [−2, 2], [−2, 1] i [1, 2].

• Interval [−2, 2]:

3

Tenim que a = −2 i b = 2, i que f (a) = −1 i f (b) = 2.

2 − (−1) 3 Per tant, TVM[−2, 2] (f ) = = .

2 − (−2) 4 • Interval [−2, 1]: En aquest cas a = −2, b = 1, f(a) = −1 i f (b) = 0.

0 − (−1) 1 Per tant, TVM[−2, 1] (f ) = = .

1− (−2) 3

B

2 1 0 −2

0

−1

1

2

−1

A

−2

Consells Generalment, la variable dependent es representa per x, però quan ens referim al temps se sol representar per t. Aleshores la rapidesa de creixement o decreixement és la velocitat, i la taxa de variació mitjana a l’interval [a, b] coincideix amb la velocitat mitjana a aquest interval.

177

Comprova que el pendent de la recta de la gràfica que passa pels punts A i B és 3/4.

Fixa’t que la taxa de variació mitjana a l’interval [−2, 2] no és la suma ni la mitjana de les taxes de variació mitjanes als intervals [−2, 1] i [1, 2].

• Interval [1, 2]: En aquest cas a = 1, b = 2, f (a) = 0 i f (b) = 2.

2−0 Per tant, TVM[1, 2] (f ) = = 2.

2 −1

Vegeu els exercicis 11, 12 i 13 pàg. 177; 42 i 45 pàg.

183.

13 ■■■ Calcula la taxa de variació mitjana de f (x) = x2 + 1 als

Aplica

intervals: 11 ■ Donada la funció f (x) = x2 + x:

a)

a) Fes una taula de valors.

[−3, 0]

b) [0, 3]

Raona

b) Representa-la gràficament. c) Indica si té alguna simetria.

14 ■■■ Taxa de variació: 12 ■ Calcula la taxa de variació mitjana de la funció f (x) = x

a) Fixa’t que si la funció és creixent a un interval [a, b],

als intervals:

la taxa de variació mitjana és positiva.

2

a) b)

[−1, 4] [0, 5]

c) Els dos intervals tenen la mateixa amplada, però a quin hi ha més creixement de la funció?

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 177

b) Dibuixa un exemple d’una funció que tingui f (b) − f (a ) > 0 i en canvi no sigui creixent a l’interval b −a [a, b].

15/02/12 16:26

Tot són matemàtiques

EL NOMBRE D’ERDÖS I ALTRES XARXES SOCIALS

Un matemàtic és una màquina que converteix cafè en teoremes.

PAUL ERDÖS (1913-1996) autor de 1 475 articles matemàtics.

178

Entre els matemàtics hi ha la tradició d’assignar-se l’anomenat nombre d’Erdös. Paul Erdös té nombre d’Erdös zero. Tots els coautors d’algun article seu tenen nombre d’Erdös 1: en total van ser 504.

Tots els coautors amb matemàtics de nombre d’Erdös 1 que no van publicar directament amb Paul Erdös tenen nombre d’Erdös 2, i així successivament.

Es pot definir la xarxa de col·laboracions d’Erdös assignant un node a cada autor i un enllaç entre autors que hagin col·laborat plegats en un article.

El nombre d’Erdös és un exemple de «distància» en una xarxa, en aquest cas de collaboracions científiques.

El nombre de Erdös no es restringeix a matemàtics: George Uhlenbeck John A. Wheeler John Maynard Smith Jule G. Charney Oskar Morgenstern Walter Alvarez

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 178

físic atòmic físic nuclear biòleg meteoròleg economista geòleg

2 3 4 4 4 7

15/02/12 16:26

S

EL JOC DE BACON

Pensa el nom d’un actor o actriu cinematogràfic:

Analitza i investiga

Funcions i gràfiques

S

El joc consisteix a establir la cadena més curta per al personatge cinematogràfic proposat. S’ha calculat que el nombre d’actors que es troba a un pas és 1 469, a dos passos 105 800, etc. I la mitjana de Bacon és de només 2,9.

179

1. Repartiu-vos a classe la llista de cientí-

Si aquest subjecte ha compartit repartiment amb Kevin Bacon en alguna pellícula, el seu nombre de Bacon és 1.

fics famosos que apareix a la taula i establiu per a cada un els nodes intermedis que els connectarien amb Erdös. Després, dibuixeu la xarxa d’Erdös en què apareguin tots.

2. Entra al lloc web The Oracle of Bacon (www.cs.virginia.edu/oracle) i explora les connexions entre els teus actors i actrius favorits. Construeix una petita xarxa i presenta-la a classe.

3. La distància mitjana per a Bacon de qualsevol actor és de només 2,9. Creus

Si mai ha participat amb Bacon en el mateix film, però ho ha fet amb algú que sí, se li assigna nombre de Bacon 2.

que això significa que Kevin Bacon és el centre de l’univers cinematogràfic?

4. Documenta’t i explica en què va consistir l’experiment Milgram, pioner en la

Així successivament.

investigació de les xarxes socials a la dècada de 1960, a partir del qual es va encunyar l’expressió «sis graus de separació».

De Santiago Segura a Kevin Bacon en només tres passos.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 179

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

Això és bàsic Funció. Relació de dependència entre dues variables y = f(x).

Per al seu estudi complet cal conèixer:

Domini. Conjunt dels valors de la variable independent pels quals existeix f (x).

Fórmula. Indica com tro-

Gràfica. Representació dels parells

Recorregut. Conjunt de les imat-

bar y a partir de x.

(x, f (x)) en un sistema de coordenades.

ges dels valors del domini.

A partir de la fórmula i la gràfica es determina: Característiques de les funcions

Imatges i antiimatges

Periodicitat

Punts de tall amb els eixos

Continuïtat i

Creixent si

Ordenades:

discontinuïtat

f (x1) ≤ f (x2).

(0, f (0))

(evitable, de salt

Decreixent si

Abscisses:

o asimptòtica).

f (x1) ≥ f (x2).

(k, 0)

Extrems

Una funció és

Simetria

Màxim entorn

periòdica, amb

Parella si

un punt k si

període T, si

f (x) = f (−x).

f (k) > f (x).

per a tot valor

Imparella si

Mínim entorn

x es compleix

f (x) = −f (−x)).

un punt k si

f (x) = f (x + T).

f (k) < f (x).

Taxa de variació mitjana TVM[a , b ] (f ) = =

f (b) − f (a ) b −a

180 3

discontinuïtat asimptòtica creixent

2

màxim

decreixent

decreixent creixent 1

0 −5

−4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

5

−1

punt de tall (0, 1) −2

Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞) i Rec(f ) =[−1, +∞) − {0}

Com es fa?

Procediment

Pas a pas

Determinar els punts

Eix d’ordenades. Donada la funció f (x), substitueix x per 0. És el punt (0, f (0)).

de tall amb els eixos

En el cas en què el 0 no pertanyi al domini de la funció, no talla l’eix d’ordenades.

Eix d’abscisses. Resol l’equació f (x) = 0. Si k és una solució, la funció tallarà l’eix horitzontal en el

punt (k, 0). Pot tenir més d’una solució o cap solució.

Determinar la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval [a, b ]

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 180

1. Calcula f (b) − f (a).

2. Divideix el resultat per b − a: TVM[a , b ] (f ) =

f (b) − f (a ) b −a

15/02/12 16:26

20 ■ Només una de les gràfiques següents correspon a una

Les funcions

funció: i)

15 ■■ Troba l’expressió algebraica de les funcions següents:

3

a) A cada valor se li assigna el quocient entre el seu qua-

2

2

drat i el quadrat que resulta de sumar-n’hi 2.

1 0

1 0

b) L’àrea d’un triangle de base b i altura a. c) El volum d’un cilindre amb radi de la base r i altura

0 1 −3 −2 −1 −1

4 m. d) La superfície d’una esfera de radi r. e) A cada valor se li assigna la diferència entre el seu qua-

5

6

3

ii)

iv)

g) A dos nombres se’ls assigna el quocient entre la suma

0 −1 −1

3

4

5

4

5

2

0 2

1

3

4

5

−3 −2

−1

0

1

2

3

−1 −2

−2

dels seus quadrats i la seva suma.

2

1

0 −3 −2

0 1 −4 −3 −2 −1 −1

−3

1

−3

−3

a) Indica quina és i per què les altres no ho són.

16 ■ Indica el domini i el recorregut de les funcions següents:

b) Indica el domini i el recorregut de la que és una funció.

c)

3

c) Troba les antiimatges de −2, 0 i 2 de la que és una

3

2

funció.

2

1

4

0

1 0 −1

−3 0

1

2

3

−2

−1

1

2

3

4

21 ■■ Indica el domini de les funcions següents: x +2 x 2x b) f (x) = x −3

a) f (x) =

−2

−1

d)

3

3

2

2

c) f (x) =

1

1 0

0 1 −3 −2 −1 −1

0

−1

4

4

b)

4

−2

f) A dos nombres, x i y, se’ls assigna la resta entre els

−2

3

−3

drat i el seu doble.

a)

2

−2

2

seus quadrats

−3

iii)

3

0 2

3

4

5

6

−3 −2

−1

0

1

2

3

4

5

−1

181

d) f (x) = x2 + 2x − 1

2x − 4

e) f (x) =

2x x2 − 9

f) f (x) =

1 x

22 ■ Troba les imatges de −2, −1, 0, 1 i 2 per a cada una de les funcions següents:

−2

−2

Funcions i gràfiques

Activitats

a) f (x) = −2x + 3 1 b) f (x) = 2x − 1

17 ■ De cada una de les funcions de l’exercici anterior:

c) f (x) = x2 − 2 1− x d) f (x) = 2 x + 6x + 9

a) Troba les imatges (si n’hi ha) dels valors −4, −2, 0, 2 i 4. b) Troba les antiimatges (si en tenen) dels valors −4, −2, 0, 2 i 4.

18 ■■

 Fes

23 ■ Indica els punts de tall en els eixos de cada una de les una taula de valors per a cada funció i

representar-les: a) f (x) =

1 x2

b) f (x) = −x2 + 4x − 4 c) f (x) =

Punts de tall i continuïtat

x x +1

d) f (x) = 2x + 1 e) f (x) = 2x2 + 5x + 3 f) f (x) =

−x x −1

funcions següents: a)

b)

3

3

2

2

1 0

1 0

0 1 −3 −2 −1 −1

2

3

4

5

0 1 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−3

−3

2

3

4

5

19 ■■ Indica a quins punts no es pot calcular f(x) en les funcions següents: a) f (x) =

x 1+ x

b) f (x) = 5x + 2

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 181

c) f (x) =

2x + 4

d) f ( x ) =

1 x

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

24 ■■

 Troba els punts de tall amb els eixos de cada una de

les funcions següents: a) f(x) = −2x + 4

d) f (x) = 2x − 1 2+ x e) f (x) = 2− x x f) f (x) = 2 x −1

b) f (x) = x2 + 1 c) f (x) =

1 x2

29 ■■ Dibuixa

a)

2 c) f (x) = x −4

0

0 1

2

−3

3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

ii)

0

1

2

3

ii)

−1

1

2

3

0 −3 −2

−2

iii)

2

3

4

3

2

2

1

1 1

2

0 0 −4 −3 −2 −1 −1

3

−2

−2

−3

−3

iv)

2

0 0 −4 −3 −2 −1 −1

1 0

1

−2

3

0 −4 −3 −2 −1 −1

3

1 −1

0

−1 −1

0

2

−2

−3 −2

1

2

3

2

1

2

−3

0

3

31 ■ Fixa’t en les funcions següents i indica per a cada una:

iv)

0

2

−3

2 1

1

−2

i)

1

1 0

−1 −1

iii)

182

−2

x d) f (x) = 2 x −1

2

tingui

2

0 −3

26 ■ Analitza les gràfiques següents i indica per a cada una: i)

que

3

b)

2 1

5x 2 − 2 x a) f (x) = 3x 3x + 1si x < 1 b) f (x) =  2 x si x ≥ 1

0

funció

30 ■ Estudia el creixement i extrems de les funcions següents:

discontinuïtat es tracta:

−1

d’una

Creixement i decreixement d’una funció

no són contínues. Troba aquests punts i digues de quin tipus de

−2

gràfica

punt 1.

25 ■■ Les funcions següents tenen com a mínim un punt on

−3

la

Dom(f) = [−2, 4) i que tingui una discontinuïtat asimptòtica al

−1

1

2

3

1

4

0 −3

−2 0

1

2

3

−1

−4

−1

0

1

2

3

4

−1

−3

4

−2

−2

−2

a) Els intervals de creixement o decreixement. b) El domini.

a) Els punts de discontinuïtat i de quin tipus són.

c) Els extrems (màxims i mínims).

b) El domini i el recorregut. c) Els punts de talls amb els eixos. d) Les imatges (si n’hi ha) dels punts 0, 1 i 2. e) Les antiimatges (si n’hi ha) dels punts 2, 0 i −2.

32 ■■

 Fixa’t en les funcions següents:

x A) f (x) = − + 1 2 B) g(x) = 2x − x2

C) h(x) = x − 1 D) j(x) = 2x

27 ■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−2, 1)

a) Fes una taula de valors per a cada una.

B(0; 0,8) i C(3, 0).

c) Analitza les gràfiques i indica’n els intervals de creixe-

28 ■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−2, 4),

d) Troba els extrems de cada funció, en cada un dels ca-

∪ [2, 4), Rec(f) = [−2, 1] i que talli els eixos en els punts A(−1, 0),

Rec(f) = [−2, 1) i que tingui una discontinuïtat de salt al punt 1.

b) Representa-les gràficament. ment i decreixement. sos següents: i) Si ens restringim a l’interval (−1, 1). ii) Si ens restringim a l’interval [−1, 1].

iii) Si ho considerem a tot el seu domini.

33 ■■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−3, 2],

Rec(f) = (−2, 3], que talli els eixos als punts (−2, 0) i (0, 2) i que

sigui decreixent als intervals (−3, −1) i (−1, 2).

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 182

15/02/12 16:26

34 ■■■ Fes la gràfica d’una funció que tingui Dom(f) = [−1, 3],

40 ■■ Dibuixa una funció que sigui periòdica amb període

sigui creixent a l’interval (−1, 1) i decreixent a l’interval (1, 3).

sigui (0, 3].

Rec(f) = (−1, +∞), que talli els eixos als punts (0, 0) i (2, 0) i que

T = 2, que el seu domini sigui (−4, 4] i que el seu recorregut

41 ■■ Completa a la llibreta cada una de les gràfiques següents, en el tros [0, 4], de manera que siguin:

Simetria i periodicitat

a) Periòdiques.

35 ■ Observa les funcions següents i indica si n’ha alguna que

b) Simètriques respecte de l’eix vertical.

presenti simetria. De quin tipus de simetria es tracta?

c) Simètriques respecte de l’origen de coordenades.

a)

−3

b)

2

−2

1

1

0

0

−1

0

1

2

−3

3

i)

2

−2

−1

−1 −2

0

1

2

ii) 2

2

1

1

0

3

−4

−3 −2 −1

0

0 1

2

3

4

−4

−3 −2 −1

−1

−1

−1

−2

−2

−2

0

1

2

3

Funcions i gràfiques

Activitats

4

−3

36 ■ Indica quin tipus de si-

2

metria té la funció següent i

La taxa de variació mitjana

1

quin és el seu període T.

0 −3

−2

−1

42 ■ Troba la taxa de variació mitjana de les funcions següents 0

1

2

3

4

−1 −2

37 ■■

 Estudia la simetria de les funcions següents: 2x x3 −1 1 e) f (x) = 1− x x −1 f) f (x) = x +1

a) f (x) = 2x2 − 3

d) f (x) =

b) f (x) = (x − 1)2 c) f (x) =

1 2x

a l’interval [−1, 2]:

a) f (x) = x2 − x 2 b) f (x) = 2+ x

d) f (x) = 5x + 2 x e) f (x) = 2 x +1

c) f (x) = 5x

f) f (x) = 2x − 1

43 ■■ Compara les TVM de les funcions f (x) = x2 i g(x) = 2x als intervals [0, 1], [0, 2] i [4, 5], i digues en cada cas quina creix més.

44 ■■ Respon: a) N’hi ha prou amb saber el signe de la TVM a un inter-

38 ■■ Dibuixa una funció que a l’interval (−4, −2) sigui decrei-

xent i que a l’interval (−2, 0) sigui creixent i que:

val per saber-ne el creixement? Per què? b) Dibuixa una funció que tingui TVM > 0 i en canvi no sigui creixent a un interval [a, b].

a) Tingui simetria imparella.

c) Dibuixa una funció que tingui TVM < 0 i en canvi no

b) Tingui simetria parella.

sigui decreixent a un interval [a, b].

39 ■■ Fixa’t en la gràfica següent i indica’n:

45 ■■ Observa la gràfica següent: 2

a) Troba la TVM de la funció

2

1

als intervals següents:

0 −3

−2

−1

0

1

2

3

−1

a) El domini i el recorregut. b) Els punts de tall amb els eixos. c) Els extrems. d) Els intervals de creixement i decreixement. e) Té alguna periodicitat? Quina. f) Té simetria? Quina.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 183

[−3, −2] ii) [0, 1] iii) [−3, −1] iv) [1, 3] v) [−1, 1] vi) [−3, 3]

i)

1

−4

183

4

0 −3 −2

−1

0

1

2

3

−1 −2

b) Indica quins són els intervals de creixement i decreixement. c) Què es pot dir del creixement d’aquesta funció segons els resultats obtinguts en el càlcul de la TVM?

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

Repte 46 ■■■ Troba una funció que sigui creixent entre −∞ i 0

48 ■■■ En el tradicional “ball de bastons” els participants

i decreixent entre 0 i ∞, però que no tingui un màxim a x = 0.

(bastoners) porten un bastó de fusta a cada mà. A més de

Representa-la gràficament i fes-ne un estudi complet.

moure’s al ritme de la música, colpegen els seus bastons, l’un amb l’altre, contra el terra o amb els d’un altre bastoner. Habitualment els bastoners són 8 i aquesta n’és una de les possibles

47 ■■■ Si et demanen quina és la teva edat, la resposta habitual no és el valor exacte sinó la seva part entera. Considera el cas de l’Amadeu, que va néixer l’1 de gener.

Resol els següents apartats amb l’ajut d’un programa de full de càlcul. a) Representa en un gràfic l’error absolut comès (en anys), en funció dels dies que han passat des de cap d’any, si l’Amadeu respon dient només la part entera de la seva edat. A l’eix d’abscisses, doncs, hi haurà els dies de l’any numerats de l’1 al 365; a l’eix d’ordenades, l’error comés expressat en anys. b) Calcula quant val l’error relatiu si l’Amadeu té 50 anys i li demanen l’edat el dia de Sant Joan. c) Representa en un gràfic l’error relatiu en funció de l’edat suposant que se li demana el dia de Sant Jordi. Fes que a l’eix d’abscisses l’edat vagi de 5 a 50 anys.

col·locacions:

Cada lletra representa un bastoner. Imagina un ball en què D sempre fa el mateix que A i C el mateix que B. El segon quadrat balla igual que el primer. Tots miren cap al centre dels seus respectius quadrats. El gràfic indica les accions d’A (blau) i B (vermell) durant els tres primers compassos. El codi de l’eix d’ordenades és 0, cap cop; 1, cop al terra; 2, cop amb el bastó de l’esquerra al bastó més proper del company que està a l’esquerra, ídem a la dreta; 3, cop amb els dos bastons als bastons del company en diagonal. L’eix d’abscisses indica les notes de la melodia, suposant que totes són negres. Com el ritme és 4 per 4, hi ha 4 negres a cada compàs.

3 2 1 0 1

184

A C E G B D F H

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Calcula quants cops va donar la colla, en total, durant el segon compàs.

Autoavaluació 3. Un cotxe ha anat a una velocitat constant de 80 km/h durant

Sé analitzar una gràfica?

3 h. Després ha estat aturat per descansar durant 1 h. Segui-

1. Donada la funció següent: a) Digues el domi-

3

ni i el recorregut.

2

b) Indica els inter-

100 km/h durant 2 h. a) Escriu les fórmules de la velocitat en funció del temps per

1

vals de creixement i decreixement.

dament ha continuat el viatge amb una velocitat constant de

0 −3

c) Indica els extrems.

−2

−1

a cada interval.

0

1

2

3

−1

d) Si en tenen, troba la imatge dels valors −3, −2, 0, 1 i 3. e) Si en tenen, troba l’antiimatge dels valors −1, 0 i 1. f) Troba i compara la taxa de variació mitjana als intervals

[−1, 0] i [0, 1].

Sé trobar la funció associada a un problema?

2. El preu de l’entrada a un festival de cinema és de 25 € i dóna dret a veure una pel·lícula gratis, i les altres que es vulguin veure costen 4 € cada una. a) Quant pagarà una persona que hagi vist 4 pel·lícules aquest cap de setmana? b) Escriu la fórmula que permet calcular el preu en funció del nombre de pel·lícules vistes.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 184

b) Escriu les fórmules de l’espai en funció del temps per a cada interval.

Sé trobar els punts de tall amb els eixos?

4. Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions següents: a) f (x) =

x +1 x −2

b) f (x) =

x2 − 4 x +1

Sé distingir els tipus de discontinuïtats?

5. Analitza la gràfica següent i

3

indica’n:

2

a) El domini i el

1

recorregut. b) La continuïtat.

0 −3

−2

−1

c) La simetria.

−1

d) El creixement.

−2

0

1

2

3

15/02/12 16:26

Funcions i gràfiques

Competències que sumen El preu de les fotocòpies A la copisteria del barri hi ha penjat el cartell següent: Fotocòpia en

Fotocòpia

blanc i negre

en color

De 1 a 20

0,05 €

0,25 €

De 20 a 50

0,04 €

0,20 €

De 50 a 100

0,03 €

0,17 €

Més de 100

0,02 €

0,15 €

1. Indica quina de les gràfiques següents representa el valor d’una fotocòpia, en cèntims d’euro, segons el nombre de fotocòpies en blanc i negre que es facin. a) 6

b) 6

c) 6

d) 6

5

5

5

5

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0

0

0

0

20

40

60

80

100

0

20

40

60

80

100

2. Copia i completa la gràfica corresponent a les fotocòpies en

30

color.

25

0

20

40

60

80

100

0

185

0

20

40

60

80

80

90

100

100

20 15 10 5 0 0

10

20

30

40

50

60

70

110

3. Si et fixes únicament en el segon tram de les fotocòpies en blanc i negre, en què les fotocòpies van a 4 cèntims d’euro: a) Quina és l’equació que relaciona el nombre de fotocòpies que es fan i el valor de totes les fotocòpies fetes? Pots ajudar-te d’una taula. b) Fes a la llibreta una gràfica de l’interval corresponent.

4. Un amic només porta un euro per fer 20 fotocòpies en blanc i negre. Pot fer més fotocòpies? Quantes més? Explica per què.

5. Observa que les fotocòpies en blanc i negre passen de 5 cèntims a 3 cèntims quan són més de 100; mentre que les fotocòpies en color passen de 25 a 15 cèntims. Raona quina oferta et sembla més bona.

6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 185

15/02/12 16:26