11 minute read
Compararea și ordonarea numerelor naturale; aproximări, estimări
1.2 Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor. Compararea și ordonarea numerelor naturale; aproximări, estimări
A. BREVIAR TEORETIC
Advertisement
Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor
Șirul numerelor naturale 0, 1, 2, 3, ..., n, n + 1, ... este infinit, deci nu există un cel mai mare număr natural. Doi termeni vecini (care se scriu unul după altul) ai acestui șir, n și n + 1 se numesc numere naturale consecutive. Pentru n și n + 1, numere naturale consecutive: numărul n se numește predecesorul numărului n + 1; numărul n + 1 se numește succesorul numărului n. Axa numerelor este o dreaptă pe care: s-a fixat un punct O, numit originea axei; s-a stabilit un sens pozitiv, sensul de parcurgere a dreptei; s-a ales un segment, numit unitate de măsură, notat cu u; Reprezentarea pe axă a unui număr oarecare n se obține numărând exact n unități de măsură, începând de la origine, în sensul pozitiv al axei. În consecință, distanța dintre punctele O și P este n. Fiecărui număr natural n îi corespunde un singur punct P pe axă. Vom spune că: P este reprezentarea pe axă a numărului natural n. n este coordonata punctului P. Scriem P(n) și citim „P de coordonată n”, sau scriem xP = n și citim „coordonata punctului P este n”. A(1); B(2); M(5); P(6);
Compararea și ordonarea numerelor naturale
Pentru orice două numere naturale a și b, are loc una și numai una din relațiile: a < b (a mai mic decât b) sau a = b (a egal cu b) sau a > b, (a mai mare decât b).
Numărul a este mai mic sau egal cu b și scriem a ≤ b, dacă a < b sau a = b.
Numărul a este mai mare sau egal cu b și scriem a ≥ b, dacă a > b sau a = b. A compara două numere naturale a și b înseamnă a stabili care dintre relațiile a < b, a = b, a > b are loc. 0 x y
O A x < y B 0 y x
O B x > y A
Punctul A(x) este situat în stânga punctului B(y) dacă și numai dacă x < y.
Punctul A(x) este situat în dreapta punctului B(y) dacă și numai dacă x > y. Punctele A(x) și B(y) coincid dacă și numai dacă x = y.
Relația „ ≤ ” are proprietățile: 1. a ≤ a, oricare ar fi numărul natural a. 2. Dacă a ≤ b și b ≤ a, atunci a = b. 3. Dacă a ≤ b și b ≤ c, atunci a ≤ c. A ordona crescător două sau mai multe numere naturale înseamnă a stabili ordinea acestora, așa încât fiecare număr să fie mai mic decât cel de după el. A ordona descrescător două sau mai multe numere naturale înseamnă a stabili ordinea acestora, așa încât fiecare număr să fie mai mare decât cel de după el. Pentru a compara două numere naturale, avem în vedere: 1. Dacă a și b nu au același număr de cifre, atunci este mai mare numărul care are mai multe cifre. 2. Dacă a și b au același număr de cifre, atunci comparăm prima cifră a fiecăruia. Dacă cele două cifre sunt diferite, atunci este mai mare numărul pentru care prima cifră este mai mare. Dacă cifrele sunt egale, atunci se compară cifrele de ordin imediat inferior. Se continuă procedeul până când se identifică prima pereche de cifre de același ordin, distincte. În această situație, este mai mare numărul care are cifra cea mai mare.
Exemple: 1. Dacă a = 1750 și b = 20320, numărul a are 4 cifre, iar numărul b are 5 cifre și 4 < 5, deci a < b. 2. Dacă a = 3750 și b = 2320, numerele a și b au același număr de cifre. Din 3 > 2 rezultă a > b. 3. Dacă a = 3750 și b = 3720, numerele a și b au același număr de cifre. Din 3 = 3, 7 = 7, 5 > 2, rezultă a > b.
Aproximări, estimări
Aproximarea prin lipsă la zeci, sute, mii, ... este cel mai mare număr natural, format numai din zeci respectiv sute, mii, ..., mai mic sau egal decât numărul dat. Aproximarea prin adaos la zeci, sute, mii, ... este cel mai mic număr natural, format numai din zeci respectiv sute, mii, ..., mai mare sau egal decât numărul dat. Consecință. Orice număr natural este mai mare sau egal decât orice aproximare prin lipsă a acestuia. Orice număr natural este mai mic sau egal decât orice aproximare prin adaos a acestuia. Rotunjirea unui număr natural la zeci, sute, mii, ... este aproximarea acestui număr prin lipsă sau prin adaos, după cum urmează: Dacă diferența dintre numărul dat și cele două aproximări este aceeași, atunci se aproximează prin adaos. Dacă diferența dintre numărul dat și cele două aproximări este diferită, atunci se folosește aproximarea pentru care diferența este mai mică. Observație. Cifra de ordinul la care se face rotunjirea rămâne neschimbată (se face aproximare prin lipsă) dacă cifra următoare este mai mică decât 5. Cifra de ordinul la care se face rotunjirea crește cu o unitate (se face aproximare prin adaos) dacă cifra următoare este mai mare sau egală cu 5. Estimarea este o evaluare a unei cantități, având date incomplete sau insuficiente. Dacă în cazul aproximărilor, eroarea este mai mică decât 10, 100, 1000, …, în cazul estimărilor nu știm cât de aproape suntem de valoarea exactă. Observație. Rezultatul obținut prin efectuarea unor calcule cu aproximări ale unor numere este o estimare a rezultatului exact.
B. ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE
I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. 1 În desenul alăturat, sunt reprezentate pe axa numerelor mai multe puncte. 0 u
A B C D E F G
a) Punctele care au coordonata un număr natural par sunt: A. B, D, F; B. A, C, E, G; C. O, B, D, F; D. A, B, D, F. b) Punctele care au coordonata un număr mai mic decât 3 sunt: A. A, B, C; B. O, A, B, C; C. A, B; D. O, A, B. c) Punctele care au coordonata un număr mai mare sau egal cu 5 sunt: A. E, F, G; B. F, G; C. D, E, F, G; D. E. 2 Punctele A(2), B(5) și D(7) sunt reprezentate pe axa numerelor. Știind că O este originea axei, atunci: a) Punctul O este reprezentat: A. în stânga punctelor A, B, D; B. în stânga punctului C și în dreapta punctelor A și B; C. în dreapta punctului B și în stânga punctelor C și D; D. în dreapta punctelor A, B, D. b) Punctul A este: A. mijlocul segmentului OB; B. între punctele O și B; C. între punctele B și D; D. mai aproape de B decât de O. II. Completați spațiile libere, conform cerințelor. 1 Observând în desenul alăturat axa numerelor, completați simbolul × în caseta corespunzătoare valorii de adevăr a fiecărei propoziții: A
u B C D E
propoziția p1: Originea axei este punctul A.
p3: Punctul C are coordonata 6. A F propoziția p2: Toate punctele reprezentate pe axă au coordonatele numere pare. p4: Numărului 8 este coordonata punctului E. A F
2 Comparați numerele naturale și completați în casetă unul dintre simbolurile <, =, >, astfel încât relația să fie adevărată. a) 1336 1309; b) 843927 843926; c) 22222 2229; d) 1011 1100; e) 50505 5055; f) 1131 1112; g) 12987 12897; h) 123 × 10 1230; j) 800 × 0 700; k) 999 abcd.
III. Scrieți rezolvările complete. 1 Rigla gradată din imagine are mai multe numere șterse.
a) Reprezentați printr-un desen axa numerelor, apoi completați numerele care lipsesc. b) Notați cu M punctul de coordonată 10, apoi cu N punctul de coordonată 15. 2 Pe caietul de matematică, reprezentați acest desen.
a) Scrieți coordonata punctului A, știind că unitatea de măsură este segmentul OM. b) Scrieți coordonata punctului B, știind că unitatea de măsură este de OP. 3 Reprezentați pe axă numerele naturale: 1; 4; 8; 15; 3; 10. 4 Considerând unitatea de măsură 5 mm, reprezentați pe axă numerele naturale: 2; 6; 0; 14; 9; 18. 5 Scrieți coordonatele punctelor reprezentate pe axă: 8 Determinaţi toate numerele de forma 72x astfel încât 72x > 726. 9 Scrieți: a) toate numerele de forma aaa, mai mari decât 450. b) toate numerele de forma b00, mai mici decât 450. 10 Determinați cifra impară a, știind că 475a6 < 4a650. 11 Comparați următoarele numere, analizând toate cazurile posibile:
6 Ordonați crescător numerele naturale: a) 57; 43; 29; 96; 67; 7; 15; 34; 20; 35; 81; 53; 71. b) 1 234; 1 342; 1 423; 1 243; 2 431; 4; 2 412; 3 412; 3 421; 4 321. c) 16 016; 16 015; 15 016; 15 015; 15 916. 7 Ordonați descrescător şirurile de numere naturale: a) 7; 3; 71; 43; 19; 73; 11; 21; 35; 78; 41; 102; 201; 91; 88. b) 137; 107; 307; 701; 7 531; 7 703: 3 733; 3 337. c) 920 029; 290 092; 90 099; 90 092; 992 900; 900 099; 920.
a) 9a76 și 987a; b) 53a73 și 537a3. 12 Se consideră următoarele cifre: 1; 9; 7; 5; 4. a) Scrieți cel mai mic, respectiv cel mai mare număr natural de cinci cifre, care se pot forma folosind numai cifrele date; b) Scrieți cel mai mic, respectiv cel mai mare număr de cinci cifre distincte, care se pot forma folosind numai cifrele date. 13 În tabelul următor, sunt redate înălțimile unor vârfuri muntoase de pe teritoriul României. Vârful Bucura Moldoveanu Negoiu Omu Parângul Mare Peleaga Viștea Mare Înălțimea (m) 2 503 2 544 2 535 2 514 2 519 2 509 2 527 a) Scrieți înălțimile în ordine descrescătoare. b) Scrieți numele vârfurilor din tabel, în ordinea descrescătoare a înălțimilor lor.
14 În tabelul următor, sunt redate suprafețele unor lacuri de pe teritoriul României. Lacul Bicaz Cinciș Colibița Fântânele Oașa Vidra Vidraru Suprafața (ha) 3 000 261 314 980 453 1035 893 a) Scrieți în ordine crescătoare numerele care reprezintă suprafețele. b) Scrieți numele lacurilor, în ordinea crescătoare a suprafețelor lor.
15 Determinați toate numerele naturale n, de trei cifre, care verifică simultan condițiile: a) n este număr par; b) suma cifrelor numărului este 13; c) 237 < n < 327. 16 Determinați numerele naturale de forma abcd, care verifică simultan condițiile: a) cifra unitaților este cea mai mare cifră impară; b) cifra miilor este cea mai mare cifră pară; c) b + c = 16. 17 Fie numărul A = 653210. Scrieți numărul care are în plus cifra 4 și care este cel mai mare posibil. 18 Fie numărul B = 45362718. Ștergeți o cifră dintre cele ale numărului B, astfel încât numărul obținut să fie cel mai mic posibil. 19 Scrieți aproximarea prin lipsă la zeci a următoarelor numere: 1007; 379; 46; 4835; 18; 1 240 000; 10. 20 Scrieți aproximarea prin adaos la zeci a următoarelor numere: 78; 253; 20 000; 45; 56 789; 10 401; 152; 3 806. 21 Scrieți aproximarea prin lipsă la mii, a următoarelor numere: 72 500; 86 698; 9 999; 789; 49 000; 1 234 567. 22 Rotunjiți la zeci, la sute și apoi la mii, fiecare dintre numerele: 8 837 320; 270 671; 53 987; 69 702; 2 288; 99 999; 128 976; 100 000 043. 23 Scrieți: a) cel mai mare număr par de patru cifre; b) cel mai mare număr par de patru cifre diferite; c) cel mai mic număr impar de trei cifre; d) cel mai mic număr impar de trei cifre diferite; e) toate numerele naturale pare de forma a333a; f) toate numerele naturale impare de forma 197aa. 24 a) Aflați numărul natural a, știind că între 36 și a sunt cuprinse 13 numere pare; b) Aflați numărul natural b, știind că între b și 101 sunt cuprinse 23 numere impare; c) Scrieți o pereche de numere a și b astfel încât între a și b să fie cuprinse 33 numere pare și 34 numere impare.
C. TEST DE EVALUARE
I. Completați în căsuță litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este falsă: 5 p 1 Cel mai mic număr natural care are cifra sutelor egală cu dublul cifrei unităților este 102. 5 p 2 Cel mai mare număr natural de patru cifre diferite, care este mai mic decât 2013, este 1987. 5 p 3 Dacă 1 < a < 3 < b < 6 < c < 10, atunci a + b + c < 17. 5 p 4 Rotunjind numărul 28765 la sute, se obține un număr mai mare decât 28777.
II. Scrieți rezolvările complete. 15 p 1 Scrieți toate numerele de trei cifre care au două cifre identice și suma cifrelor 7.
10 p 10 p
2 Scrieți cu cifre romane: a) succesorul numărului 37; b) predecesorul numărului 100. 10 p 3 Alegeți din șirul 100, 101, 110, 111, 112, 121, 211 numerele care au 11 zeci.
10 p 10 p 5 p
4 Numerele naturale 50, n, 100 sunt scrise în ordine crescătoare. a) Scrieți toate valorile naturale pare pe care le poate lua n. b) Scrieți toate numerele n care au suma cifrelor 14. c) Scrieți valoarea numărului n, pentru care M(n) este situat pe axa numerelor la distanță egală față de A(50) și B(100).
