2 .2 Înmulțirea numerelor naturale . Factor comun

II. Scrieți rezolvările complete. 20 p 1 Sandu scrie pe tablă: 86 − 64 − 42 − 20 = 44. Delia, colega sa, îl atenționează că a greșit. Puneți paranteze pentru a obține egalitate. 10 p 2 Fie numerele A = 97 − ( 53 − 31) și B = (97 − 53) − 31. Arătați că A + B = 88. 15 p 3 Numărul 97 este suma numerelor x și y, ambele de 2 cifre. Dacă suma cifrelor numărului x este 16, aflați suma cifrelor numărului y.

5 p 10 p 10 p

4 Se consideră șirul de numere naturale: 123, 116, 109, ... , 4. a) Completați șirul cu al patrulea și al cincelea termen al șirului. b) Determinați numărul de termeni ai șirului. c) Calculați diferența dintre al șaptelea și al cincisprezecelea termen al șirului.

Notă. Timpul de lucru: 50 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

A. BREVIAR TEORETIC

Înmulțirea numerelor naturale

Dacă n este număr natural, pentru suma n + n (de două ori n) folosim notația 2 × n sau 2·n. În general, suma (n + n + ... + n) se notează m·n (de m ori n).

Numărul m·n se numește produsul numerelor naturale m și n. Operația prin care pentru oricare două numere naturale a și b (numite factori) se asociază numărul natural a·b, numit produsul acestora, se numește înmulțirea numerelor naturale.

de m ori n Exemplu:

12 ⋅ 3 = 36

factori produs

Proprietățile înmulțirii:

Înmulțirea este asociativă: (a·b)·c = a·(b·c), oricare ar fi numerele naturale a, b, c. Înmulțirea este comutativă: a·b = b·a, oricare ar fi numerele naturale a, b. Numărul 1 este element neutru pentru înmulțire: a·1 = 1·a = a, oricare ar fi numărul natural a. (2·3)·5 = 6·5 = 30 și 2·(3·5) = 2·15 = 30, deci (2·3)·5 = 2·(3·5).

2·3 = 6 și 3·2 = 6, deci 2·3 = 3·2

5·1 = 1·5 = 5.

Operația de adunare și operația de înmulțire a numerelor naturale sunt legate prin proprietatea numită distributivitatea înmulțirii față de adunare: a·(b + c) = a·b + a·c, oricare ar fi numerele naturale a, b, c. Înmulțirea numerelor naturale este distributivă și față de scădere: a·(b – c) = a·b – a·c, oricare ar fi numerele naturale a, b, c, cu b ≥ c. Observație. 0·a = 0, oricare ar fi numărul natural a. Pornind de la o egalitate sau de la o inegalitate, folosind operația de înmulțire a numerelor naturale, obținem: 1. Dacă n = p, atunci n·a = p·a, oricare ar fi numărul natural a. 2. Dacă n și p sunt numere naturale cu n ≤ p, atunci n·a ≤ p·a, oricare ar fi numărul natural a. 3. Dacă n, p, a și b sunt numere naturale cu n ≤ p și a ≤ b, atunci n·a ≤ p·b. Observație. Pentru relația <, proprietățile 2, 3 devin: 2′. Dacă n și p sunt numere naturale cu n < p, atunci n·a < p·a, oricare ar fi numărul natural nenul a. 3′. Dacă n, p, a și b sunt numere naturale cu n < p și a < b, atunci n·a < p·b.

Factor comun al termenilor unei sume sau al termenilor unei diferențe

Dacă citim și scriem de la dreapta la stânga proprietatea de distributivitate a înmulțirii numerelor naturale față de adunare și față de scădere, obținem: 1. a·b + a·c = a·(b + c), oricare ar fi numerele naturale a, b, c. 2. a·b – a·c = a·(b – c), oricare ar fi numerele naturale a, b, c cu b ≥ c. Numărul natural a este factor al fiecărui termen din membrul stâng al egalității, motiv pentru care se va numi factor comun al termenilor sumei, respectiv al termenilor diferenței. Observație. În rezolvarea problemelor, uneori este avantajos ca înainte de a efectua calculele într-o sumă cu mai mulți termeni, să dăm factor comun.

B. ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE

I. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. 1 Rezultatul calculului 123·45 este:

A. 5535; B. 5545; C. 5555;

D. 5355. 2 Produsul dintre cel mai mare număr par de două cifre și cel mai mic număr de trei este:

A. 8900; B. 8888; C. 9800; D. 98 000. 3 Dacă a = 5, 2·b = 20, 3·c = 30, atunci 6·a·b·c este:

A. 2000; B. 3000; C. 6000; D. 1000. 4 Dacă a + b = 10 și x = 2·4·8, atunci numărul a·x + x·b este egal cu:

A. 64; B. 320; C. 32; D. 640. 5 Un creion costă 2 lei, un pix costă cu 4 lei mai mult decât un creion, iar un stilou costă de 11 ori mai mult decât un pix. Prețul stiloului este:

A. 264 lei; B. 60 lei; C. 66 lei; D. 246 lei.

II. Stabiliți asocierile corecte. Asociaţi fiecărei litere care identifică un calcul, scris în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, aflat în coloana B. A

a) 25·379 = b) 1·2·3·4·5·67 = c) 123·(975 − 753 − 135) = d) 29·157 + 29·143 =

B 1) 10 701 2) 9475 3) 8040 4) 10 107 5) 8700

III. Completați spațiile libere conform cerințelor 1 Calculați, apoi completați răspunsul corect. a) 27·69 = b) 110·53 = c) 567·100 + 89 = d) 9·37·218 = e) 3·55·707 = f) 43·(17·19 − 323) = 2 Efectuați calculele necesare și completați în casetele libere numerele corespunzătoare. a 48 509

b 36 206

a·b 84·a + 63·b

3 Se consideră numerele naturale a, b și p produsul lor. Completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor: Propoziția

p1: Dacă a și b sunt numere naturale pare, atunci p este număr natural par.

p2: Dacă a și b sunt numere naturale impare, atunci p este număr natural impar.

p3: Dacă a este număr par, iar b este număr impar, atunci p este număr natural par.

p4: Dacă a este număr impar, iar p este număr par, atunci b este număr natural impar. 4 În următoarele exerciții, s-a dat factor comun. Completați în fiecare casetă câte un număr natural astfel încât să obțineți afirmații adevărate: a) 10·11 + 10·19 = 10·(11 + ) b) 6·78 − 6·72 = 6·( − 72) c) 4·a + 4·b + 4·c = 4·(a + + c) d) 100·x − 100 = 100·(x − ) e) 25·13 + 25·12 = ·(13 + 12) f) 7·20 + 7·30 − 77 = ·(20 + 30 − )

A F IV. Scrieți rezolvările complete. 1 Efectuați înmulțirile: a) 38·9; g) 987·65; b) 147·16; h) 294·100; c) 49·357; i) 56·1347; d) 83·10; j) 1298·0·28; e) 123·89; k) 74·1·493; f) 52·425; l) 1005·10·17. 2 Completați tabelul următor după modelul dat: a 137 205 346 138 2021 1001 b 28 47 25 490 239 707 a·b 3836 3 Calculaţi în două moduri: a) 34·(26 + 99); b) 124·(56 – 46); c) 20·(9428 – 8288); d) 15·(84 + 46 – 30); e) 225·(17 + 197 + 7 – 200); f) (67 + 33)·85. 4 Folosind proprietăţile înmulţirii numerelor naturale, calculaţi avantajos: a) 30·5·2·17; d) 1234·123·0·12; b) 25·1·50·20; e) 45·(107 – 7); c) 10·(11 + 289); f) 145·2·25·4. 5 Aflaţi numărul: a) de 65 de ori mai mare decât 154. b) de 105 ori mai mare decât produsul numerelor 15 și 44. c) de 984 de ori mai mare decât diferența dintre cel mai mare număr par de patru cifre și 4443.

6 Scrieți: a) toate perechile de numere naturale al căror produs este 12. b) toate tripletele de numere naturale al căror produs este 16. 7 Numărul a este de zece ori mai mare decât numărul 3·5·7, iar numărul b este de nouă ori mai mare decât dublul lui a. Calculați diferența b – a. 8 Aflați trei numere naturale, ştiind că suma lor este 189, primul este triplul celui de-al doilea, iar al doilea este dublul celui de-al treilea. 9 Suma a șapte numere, diferite două câte două, este egală cu 21. Aflaţi produsul lor. 10 Determinați două numere naturale a căror sumă este 11, știind că produsul lor este cel mai mare posibil. 11 Arătaţi că dacă produsul a două numere naturale este 18, atunci suma numerelor este cel mult egală cu 19. 12 Se știe că a·b = 50 și a·c = 35. Calculați a·(b + c) și a·(b – c). 13 Se consideră șirul de numere 2·2, 2·4, 2·6, … a) Completați șirul cu următorii trei termeni. b) Aflați cel mai mic număr de trei cifre care este termen al șirului. c) Determinați al 300 – lea termen din șir. 14 Se consideră șirul de numere: 1·2, 1·2·3, 1·2·3·4, … a) Completați șirul cu următorii trei termeni. b) Aflați cel mai mic număr de șase cifre care este termen al șirului. c) Arătați că, începând cu al patrulea termen, numerele din șir au ultima cifră 0. 15 Calculați x + y – z, știind că x = 43·34 – 43, y = 43·23 – 43 și z = 54·5 + 13·54 +54·25. 16 Sonia are 35 de lei, Maria are o sumă de două ori mai mare, iar Elena are triplul sumei pe care o are Maria. Aflați câți lei au împreună cele trei fete. 17 La un spectacol participă băieți, fete și adulți, după cum urmează: 56 de băieţi, cu 27 mai puţini adulţi, iar fete, de patru ori mai multe decât adulţi. Aflați numărul spectatorilor prezenți la spectacol. 18 Din cei 100 de lei pe care-i avea, Marius a cumpărat două kilograme de cireșe cu 16 lei kilogramul, patru kilograme de mere cu 4 lei kilogramul și trei kilograme de banane cu 8 lei kilogramul. Aflați ce rest a primit Marius. 19 Determinaţi numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor 24. 20 a) Scrieți toate numerele de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 0 și suma cifrelor mai mică decât 3. b) Scrieți toate numerele naturale de forma abcd, știind că a + b = c·d și a + b < 5. 21 Subliniați factorul comun: a) 8·10 + 8·20; b) 125·27 + 125·54 + 19·125; c) 12·321 − 12·121; d) 44·33 + 44·55 − 44. 22 Efectuați calculele, dând factor comun: a) 46·37 + 46·63; b) 4·15 + 5·15 + 6·15; c) 5·21 + 5·8 − 5·19 + 55; d) 2022·6 + 130·2022 + 64·2022; e) 271·80 + 271·11 − 271; f) 27·28 + 282 − 8·55. 23 Fie numerele naturale a și b. a) Dacă a + b = 13, calculați 4∙a + 4∙b. b) Dacă a − b = 67, calculați 7∙a − 7∙b − 119. c) Dacă 2 ∙ a + 2∙b + 202 = 2002, calculați 1000 − (a + b). 24 Dacă x + y + z = 22, calculați: a) 9·x + 9·y + 9·z; b) 675 − (30·x + 30·y + 30·z); 25 Se consideră numerele naturale a, b, c cu a = 25 și b − c = 17. Calculați: a) 13·a + 13·b − 13·c; b) 7·a·b – 7·a·c.