Relaciones y funciones En este artículo se aborda el problema de la enseñanza de álgebra
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Relaciones binarias
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Funciones
¿Qué significa triunfar para usted? Póngase a prueba. Imagine las siguientes situaciones:¿Quién diría que es un verdadero triunfador?
Y
aneth es muy buena estudiante y le encanta aprender. Siempre saca buenas notas.
ÁLEX lex es honrado, trabajador y amable. Tiene
Á un negocio que marcha bien y le permite
YANETH
vivir cómodamente con su familia.
CARLOS
C
HELENA
H
arlos también tiene un negocio y gana elena saca mejores notas que Yaneth; de hecho, mucho más que Álex. Pero como quiere está entre las primeras de la clase. Pero hace superar a la competencia, se ha esclavizado al trampa en los exámenes y realmente no le interesa aprender. negocio y ahora está muy enfermo.
Si su respuesta fue Carlos y Helena, o los cuatro, es probable que para usted el éxito se mida por los resultados, sin importar cómo se hayan obtenido. En cambio, si su respuesta fue Álex y Yaneth, es probable que mida el éxito por el carácter y la ética de trabajo de la persona. Eso es mejor. Después de todo… ... ¿qué le conviene más a Yaneth? ¿Sacar las notas más altas, o aprender? ... ¿qué les conviene más a los hijos de Álex? ¿Que su padre pueda comprarles muchas cosas, o que pase tiempo con ellos? En conclusión, el triunfo imaginario es pura fachada. El triunfo de verdad no es superficial; se basa en valores y principios.
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Relaciones
Relación binarias Las relaciones binarias se utilizan en muchos ramas de las matemáticas para modelar conceptos como "es mayor que", "es igual a", y "se divide" adentro aritmética, "a "adentro geometría, "está adyacente" a adentro teoría de gráfico, y muchos más. El concepto todo-importante de función se define comoclase especial de relación binaria. Las relaciones binarias son también muy usadas adentro informática, especialmente dentro de modelo emparentado para bases de datos. En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. :
Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria
:
:
También puede expresarse
Ejemplo
En siglo XIX El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de
Dado el conjunto de los números reales, definimos la relación binaria P (x,y) de los puntos del plano, según la función cuadrática :
Galois
y
en
temas
de
la
contractibilidad
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Partiendo del conjunto A de los automóviles de una localidad y P de las personas, podemos definir la relación binaria C Conduce, formada por cada automóvil a, y quien lo conduce p:
Para las relaciones R y S de la ilustración 10 se tiene.
Definición. Dominio de una relación. Sea R una relación. Definimos el dominio de R como el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos D ( R ) o dom ( R ). Dicho conjunto lo representamos por comprensión así:
Consecuencias.
Representación graficas de relaciones, las usuales son: Representación cartesiana y sagital Definición. Rango de una relación.
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas Sea R una relación. sagitales o por medio de puntos en el plano Definimos el rango de R como el conjunto cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo. formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R y lo Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la notamos r ( R ) o ran ( R ). Dicho conjunto lo relación definida por la regla representamos por comprensión así: R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.
Consecuencias.
Solución: Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son: R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Relaciones R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.
Matriz de una relación
La construcción de arreglos en filas y columnas que cumplen con las reglas de una álgebra, la relación (que cumplen con y = 2x + 1)son: denotados entre ( ), l l o [ ]. (Nosotros las representaremos con [ ]). Se construye la matriz R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, aumentada A", del sistema AX=Y, Esta es la matriz 9)} mx(n+1) cuyas primeras n columnas son las de A Y la gráfica correspondiente es la siguiente: por X y la última columna es Y. Los pares ordenados que pertenecen a
Relación inversa Sea R una relación. Definimos la relación inversa de R y la notamos R -1 , al conjunto con la siguiente propiedad:
Consecuencias.
Ilustración Para las relaciones R 1 y R 2 , presentadas anteriormente se tiene:
COMPOSICIÓN DE RELACIONES sea
una relación de A en B y
una relación de B
en C. La composición de y es una relación consistente de los pares ordenados (a, c), donde a Ayc (a, b)
C y para los cuales existe un b y (b, c)
, es decir a
byb
B tal que c.
Relaciones
La composición se denota por relaciones.
, si
y
son
ejemplos : a) Sea A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4} y C={0, 1, 2} y sean ={(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} ={(1 ,0),(2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} Entonces
={(1, 0), (3, 0), (1, 1), (3, 1), (2, 1), (2, 2)}
b) Sean A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6, 8} C={s, t, u} y sean ={(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} ={(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} Entonces u)}
={(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3,
c) Sean A={a, b, c, d}, B={s, t, u, v} C={1, 2, 3, 4, 5} y sean ={(a, s), (a, t), (c, v), (d, u)} ={(s, 2), (t, 1), (t, 4), (u, 3)} Entonces
={(a, 1), (a, 2), (a, 4), (d, 3)}
y gráficamente se puede representar como
Con los ojos cerrados Chiste de informática Que haces en frente de la computadora con los ojos c e r r a d o s ? ? ? Nada hijo es que Windows me dijo que cierre las pestañas
Relaciones Relación en un conjunto En esta sección y en los siguientes nos , ocuparemos de estudiar las relaciones Sea definidas en un conjunto; es decir, de las reflexiva, pero es. relaciones en las que el conjunto de partida coincide con el de llegada Sea , En el conjunto R de los números reales se reflexiva. ,, tienen dos relaciones de esencial importancia. La relación de igualdad y la relación “menor o igual”. Uno de nuestros objetivos es generalizar estas dos relaciones, para obtener las relaciones de equivalencia y las relaciones de ordenes de orden, respectivamente. A cada una de estas le dedicaremos una sección de partes.
Sea reflexiva.
RELACIÓN REFLEXIVA
Sea
Sea reflexiva.
,
("menor o igual que") es ("menor estricto que") no lo
(la igualdad matemática), es
(la inclusión de conjuntos), es
,
(la
divisibilidad)
es
Sea el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de paralelismo || entre Sean R una relación de un conjunto x. Se dice rectas es reflexiva, porque toda recta es que la paralela a sí misma. el conjunto de todas las rectas en el
plano, la relación de perpendicularidad Una relación binaria R sobre un conjunto A, es entre dos rectas es antirreflexiva, porque no reflexiva o refleja si todo elemento de A está hay rectas que sean perpendiculares a sí relacionado consigo mismo mediante R. mismas. Es decir,
Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de sí mismo.
Ejemplos Sea A un conjunto cualquiera: Sea , es reflexiva, porque todo conjunto está contenido en sí mismo. Sea
,
reflexiva, pero es.
("mayor o igual que") es ("mayor estricto que") no lo
RELACIÓN SIMÉTRICA Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con el primero Es decir
Relaciones ,Ejemplos
Sea , ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que ("menor Sea A un conjunto cualquiera: estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se Sea , (la igualdad matemática), es cumple. La relación "ser más alto que" es simétrica. antisimétrica, pues el hecho que a sea Sea , es simétrica. más alto que b y b sea al mismo tiempo "Estar casado con" es una relación simétrica, más alto que a, es imposible. mientras que "ser más alto que" no lo es. Relación transitiva Sea , al igual que
("mayor estricto que") es asimétrica, Una relación binaria sobre ("menor estricto que"). conjunto es transitiva cuando cumple: siempre que un elemento relaciona con otro y éste último con Sea , (la inclusión estricta de conjuntos), tercero, entonces el primero es asimétrica. relaciona con el tercero.
Relación antisimétrica
un se se un se
Esto es:
Una relación binaria sobre un conjunto es antisimétrica cuando se da que si dos elementos de se relacionan entre sí mediante estos elementos son iguales.
, entonces
Es decir,
Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c. La propiedad anterior se conoce como transitividad. Ejemplos
Ejemplos Sea
un conjunto cualquiera:
Sea , ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación de orden "menor o igual que" vemos que es transitiva:
Relaciones Relaciones de equivalencia
simplificadamente, 2. La igualdad matemática. Las relaciones de equivalencia son relaciones entre La relación de congruencia módulo M en el los elementos de un conjunto cualquiera y su conjunto de los números enteros (i.e. característica principal es que abstraen el concepto de igualdad. ), donde se define: si y sólo si La importancia de estas relaciones consiste en que dividen a los elementos del conjunto en diferentes es múltiplo de M. clases, llamadas clases de equivalencia, de tal suerte que cada elemento pertenece a una y sólo una clase. Esta relación es de equivalencia porque: Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida sobre
. Se dice Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M. que es una relación de equivalencia si Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M. cumple las siguientes propiedades: Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a Reflexividad: Todo elemento de está - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto relacionado consigo mismo. Es decir, un múltiplo de M. En particular, si M = 2 . tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares. Sea H un subgrupo de un grupo G. Definiendo Simetría: Si un elemento de está relacionado con otro, entonces ese otro
para elementos del grupo
si y sólo si
, tendremos la relación de equivalencia llamada congruencia módulo H.
Definiendo, para elementos del grupo, elemento también se relaciona con el si y sólo si existe g en G talque , se primero. Es decir, llama relación de conjugación. Sus clases: Transitividad: Si un elemento de está clases de conjugación. Las clases de equivalencia reciben el nombre de órbita o clase de conjugación. relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, Ejemplos Sea N= {0,1,2, 3...}. Se define una relación de equivalencia en NxN, como sigue: (a;b)~ (c;d) s.s.s. a+d = b +c. Esta es una relación de equivalencia en NxN y cada clase de equivalencia es un número entero. [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) se llama representante canónico y se denota,
Construcción de los enteros El conjunto de los números enteros puede ser formalmente construido como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales (a, b) La intuición marca que (a, b) referirá al resultado de restar a - b, por supuesto que esta definición obliga a que los enteros representados por 1-2 y 4-5 sean el mismo número, para confirmar esto definiremos una relación ~ sobre estos pares co n la s s ig u i e nt es c ar a ct er í s t i cas (a, b) ~ (c, d) si a + d = b + c
Relaciones Construcción de los racionales
Una relación de orden
sobre un conjunto
En el conjunto Z × Z* de todas las posibles puede denotarse con el par ordenado parejas ordenadas de enteros, donde el segundo es
.
distinto de cero, definimos la relación de En matemáticas, un diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un equivalencia conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se (p, q) (r, s) si y solo si p × s = q × r. consigue eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin Relación de orden haber otros elementos intermedios. En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría del orden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto.
Diagrama de Hasse En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar:
ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden parcial es Sea un conjunto dado no vacío y una reflexiva. relación binaria definida en , entonces se aristas que se deducen de la transitividad de la dice que es una relación de orden[1] si relación cumple las siguientes propiedades: Sea A un conjunto parcial o totalmente ordenado. Reflexividad: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, . Los elementos a y b de A son consecutivos si y sólo si: 1. Antisimetría: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, 2.
Orden parcial y orden total Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
Un orden parcial es una relación binaria R sobre un conjunto X que es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para cualesquiera a, b, y c en X se tiene que: aRa (reflexividad). Si aRb y bRa, entonces a = b (antisimetría). Si aRb y bRc, entonces aRc (transitividad).
Relaciones Un conjunto con un orden parcial se denomina Relación de orden total. Sea un conjunto conjunto parcialmente ordenado o poset. A es una relación de orden total si y veces se usa la expresión conjunto ordenado dado, para uno parcialmente ordenado, siempre que solo si todos los elementos de se relacionan quede claro que no se hará referencia a otras entre sí, es decir, clases de orden. En particular, a un conjunto totalmente ordenado también se lo llama ordenado a secas, en especial en campos . donde éstos son más comunes que los parcialmente ordenados. Ejemplo es totalmente ordenado. En efecto, es: Usualmente se usa la notación de "≤" en lugar Reflexivo: entonces (porque de "R" para el orden total, ya que este cumple por definición, ) con la tricotomía Antisimétrico: si y Ejemplos entonces El conjunto de los naturales con su orden usual Transitivo: si y (la relación "menor o igual"). Este orden es además un orden total. entonces El conjunto de los enteros con su orden usual. Este orden es también total.
Orden total, pues
entonces m Un subconjunto finito {1, 2,..., n} de los Sean m y n dos números naturales, [3] ≤ n ó n ≤ m. naturales. Este orden es también total. El conjunto de naturales ordenado por la relación de divisibilidad. El conjunto de subconjuntos de un conjunto dado (i.e. su conjunto de partes) ordenado por inclusión. El conjunto de subespacios de un espacio vectorial, ordenado por inclusión.
Contraejemplo, (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, " a divide b"; pues 5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h. Ilusión óptica
El conjunto de subespacios de una topología, ordenado por inclusión.
¿vez los p u n t o s negros? yo también los veía, pero, descubrí que en realidad estos, no están, para comprobarlo, trata de agarrar uno de los puntos negros. JAJAJA buenísimo.
Funciones En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado condominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
Igualdad de funciones Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, son iguales o idénticas si se cumple: Tienen el mismo dominio: A = C Tienen el mismo codominio: B = D Asignan las mismas imágenes: para cada x ∈ A = B, se tiene que f(x) = g(x)
imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti-imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido. Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyección entre ambos conjuntos: Una función f : A → B se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio: cada hFunción inyectiva y suryectiva elemento en A tiene una única «pareja» en B — Se dice que una función f : A → B es inyectiva si como todas las funciones—, y a cada elemento las imágenes de elementos distintos son de B le corresponde uno solo en A —al menos distintas: uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva. o, de modo equivalente, si sólo asigna Ejemplos. imágenes idénticas a elementos idénticos: La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectaba porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.
Una función f : A → B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio: La función «inverso» g: R \ {0} → R es inyectiva, ya que el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado todo que Im(g) = R \ {0}.
o, de modo equivalente, si elemento del codominio es la imagen mamíferos hay clasificada al menos una de algún elemento del dominio: especie de mamíferos.
distintos con el mismo área. Las funciones inyectivas no repiten las
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Funciones La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ (Yak) = γ(Toro) = . Sin embargo sí es suprayectiva, en cada género . La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R+. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad triángulos
Composición de funciones
(h1 ∘ h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, y (h2 ∘ h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x2) = x2 + 1 La función γ que clasifica los mamíferos en géneros puede componerse con la función
ω: G → Or que clasifica los géneros de mamíferos en órdenes —que forman el conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada mamífero su orden:
Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales (ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ) que el recorrido de la primera esté contenido (Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla en el dominio de la segunda, m(f) ⊆ C. Entonces puede formarse la composición de g Función inversa con f, la función g ∘ f : A → D que a cada a en el Dada una función f : A → B, se dice dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f que g : B → A es la inversa o (a)). recíproca de f si se cumple: Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen que se obtenga: La inversa se denota por g = f−1, y tanto f como − La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente f 1 se dicen invertibles. que este segundo paso se pueda Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4 llevar a cabo. Ejemplos La imagen de la función «inverso» g es R \ {0} —puesto que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y por tanto está contenido en el dominio de la función cubo f, que es R. La composición f ∘ g: R \ {0} → R actúa entonces como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)3 = 1/x3. Dadas las funciones reales h1: R → R y h2: R → R dadas por h1(x) = x2 y h2(x) = x + 1, puede tomarse la composición en ambos órdenes, h1 ∘ h2 y h2 ∘ h1. Sin embargo, son funciones distintas, ya que:
Sopa de letras
Autores: Richard le贸n C.I.:25.570.467 Eduardo P茅rez 22.181.338 Ariannys Veliz 26.568.768