GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Lección 2: suma y resta de números naturales Suma de números naturales Para empezar recordaremos la suma y haremos algunas reflexiones sobre ella. Recuerde que la suma también se llama adición y que los números que se suman se llaman sumandos. Hemos puesto aquí la tabla básica de suma con los dígitos y hemos llenado una parte. Cópiela en su cuaderno y complétela. Observe que cada cuadro es el cruce de una columna y un renglón y en el cuadro está la suma del dígito que está al pie de esa columna y el dígito que está a la izquierda de ese renglón. Como un ejemplo en la tabla se marcó con flechas cómo se obtiene 6 + 3 = 9. 9
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8
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3
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7
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7 6 5 4 3 2 1
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0
0
1
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3
4
5
6
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+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
LECCIÓN 2
Observe con cuidado la tabla que hizo y conteste las siguientes preguntas. Recuerde que se llaman suma la operación y el resultado. a) ¿Qué relación hay entre cada par de sumas en la lista siguiente? •3+8 y 8+3
•5+6 y 6+5
•4+7 y 7+4
•9+8 y 8+9
¿Sucede lo mismo con todas las sumas en que se cambia el orden de los sumandos? b) Encuentre todas las formas posibles de repartir once lápices en dos cajas iguales, de tal manera que en una caja queden al menos dos lápices. ¿Cuántas son? c) Encuentre todas las formas posibles de poner doce canastas en dos anaqueles iguales, de tal manera que en cada anaquel queden al menos tres canastas. ¿Cuántas son? d) ¿Qué diferencia encontró en las dos respuestas anteriores? Lo que usted observó al hacer el primer inciso del ejercicio anterior es cierto en general: cambiar el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. En la tabla estas sumas están en cuadros simétricos con respecto a la diagonal marcada.
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DE
MATEMÁTICAS I Recordemos ahora una manera de sumar números con más de una cifra, por ejemplo 47 y 25:
+
1 4 7 2 5 7 2
Sumamos las unidades: 7 + 5 = 12. Obtenemos una decena y dos unidades. En el resultado anotamos las unidades y agregamos la decena a las decenas de nuestros sumandos: 1 + 4 + 2 = 7. Esto es lo que estamos haciendo cuando decimos "llevo uno". Con esto obtenemos 7 decenas que anotamos en el lugar de las decenas en nuestro resultado.
Para sumar números con más cifras hacemos lo mismo. Por ejemplo, para sumar 365 y 4789, sumamos las unidades, obtenemos 5 + 9 = 14, anotamos en el resultado las 4 unidades y agregamos la decena a las 1 1 1 decenas de los sumandos; 3 6 5 sumamos las decenas y obtenemos 1 + 6 + 8 = 15 decenas, es decir + 4 7 8 9 5 decenas y 1 centena, anotamos 5 1 5 4 las 5 decenas en el lugar de las um c d u decenas en el resultado y sumamos la centena con las centenas de los sumandos y tenemos 1 + 3 + 7 = 11 centenas, es decir 1 centena y 1 millar; anotamos la centena en el lugar de las centenas del resultado y sumamos el millar a los millares de nuestros sumandos y tenemos 1 + 0 + 4 = 5 millares. Así al final tenemos cinco millares, una centena cinco decenas y cuatro unidades, es decir cinco mil ciento cincuenta y cuatro. El procedimiento anterior es el más usual, pero no es la única manera de llegar al resultado de una suma. Ahora veremos un segundo procedimiento para efectuar la suma. Este segundo procedimiento se parece a la forma en que acostumbramos contar el dinero, cuando contamos primero
16
LECCIÓN 2 los billetes grandes y luego los chicos para finalizar con las monedas.
Veamos cómo se suman 47 y 25 en esa forma. Primero sumamos las decenas (los billetes de diez pesos): 4 + 2 Obtenemos 6 decenas, que anotamos en el resultado dejando lugar para las unidades o poniendo cero en el lugar de las unidades. Luego sumamos las unidades (las monedas + de un peso): 7 + 5 = 12. Obtenemos una decena y dos unidades que anotamos abajo + de las decenas y unidades que ya teníamos y volvemos a sumar, decenas con decenas y unidades con unidades para obtener el resultado final.
+
3
6
5
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7
8
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4
0
0
0
1
0
0
0
1
4
0
1
4
5
4
+ 5
1
= 6.
4 7 2 5 6 0 1 2 7 2
Para sumar números de más cifras con este procedimiento hacemos lo mismo. Por ejemplo para sumar 365 y 4789 buscamos los números del orden mayor, en este caso los miles, los sumamos y anotamos la suma en el resultado dejando lugar para los órdenes menores o poniendo ceros en esos lugares. Sumamos los números del siguiente orden, aquí 3 + 7 = 10 centenas, que forman un millar. Anotamos el uno en el lugar de los miles y el cero en el de las centenas, rellenamos los lugares vacíos con ceros y continuamos.
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DE
MATEMÁTICAS I Sumamos las decenas: 6 + 8 = 14, obtenemos una centena y cuatro decenas, las acomodamos en su lugar y rellenamos con cero el lugar de las unidades. Sumamos las unidades: 5 + 9 = 14, obtenemos una decena y cuatro unidades, y las acomodamos en su lugar: Finalmente volvemos a sumar para obtener el resultado final: 5 154. Cuando en la última suma que se realiza con este procedimiento se obtienen más de diez unidades o decenas o centenas, etc., se puede repetir el método, sumando primero los millares (o decenas de millar, etc.), luego las centenas, decenas y unidades.
Haga las siguientes operaciones con el procedimiento que le resulte más cómodo.
a) +
7363 854 83 943
d)
18
b)
900234 + 3100133 12390012 9313
9453 + 93822 328342 13
e)
c) +
129823 + 3444 87683 343256
5431 2352 124
LECCIÓN 2
Cambie las interrogaciones por números que completen correctamente las operaciones. a) +
? ? 02 8? 5040
b)
d)
3538 + 3?556? 9?0 ? 2 2 ? 14
?78?02 + ?81?993? 94?2 32733659
c)
? ? 12 632 60 ? 8552
+
e)
4?693? + 5?8?9 ?34114 ?051?08
Cambie las letras por dígitos que completen correctamente las operaciones. Si una letra se repite en una suma debe cambiarse siempre por el mismo dígito en esa operación. a) +
966 AAB 8B1
b) +
2B92
d)
T2T KTT K4T
c) +
799
JNJ + NNJ 8NJ
e)
R64 R19Q 761Q RR14
GGGG + E E E E 14443
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MATEMÁTICAS I
a) De Mérida a Villahermosa hay 559 kilómetros, de Villahermosa a Tampico hay 974 kilómetros y de Tampico a Matamoros hay 501 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros hay entre Mérida y Matamoros? b) En una pequeña empresa se anotaron los siguientes gastos en una quincena: $23 837 de salarios, $1 208 de material, $890 de la compostura de una máquina y $1 500 de renta. ¿Cuánto se gastó en la quincena en esa empresa? c) En una región se tienen los siguientes cultivos: 10 548 Has. de maíz, 821 Has. de frijol, 472 Has de haba, 439 Has. de alverjón, 127 Has. de planta de ornato, 3 058 Has. de huertas de manzana, 2 109 Has. de huertas de pera y 502 Has. de huertas de ciruela. ¿Cuántas hectáreas de cultivo tiene la región?
Resta de números naturales Usaremos un ejemplo para aclarar qué tipo de restas vamos a hacer por el momento: Si tenemos $20 podemos ir a la tienda y gastarnos una parte o todo ese dinero, pero si queremos comprar unos chocolates que cuestan $27 no lo podemos hacer o tenemos que quedar a deber dinero en la tienda. Por ahora trabajaremos con restas en las que se quita una cantidad menor o igual a la que tenemos. Más adelante veremos cómo se expresa la situación del ejemplo en que "quedamos a deber". Recordemos cómo se restan dos números naturales. Empecemos con los dígitos, del mayor al menor. Nueve es el dígito más grande y le podemos restar cualquier dígito, aún el 9 mismo y quedarnos sin nada. Pero, ¿qué estamos haciendo al restar? Por ejemplo, si a 9 le restamos 5 lo que hacemos es descomponer el 9 en dos partes: una con 5 y lo que sobra.
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LECCIÓN 2 Aquí lo que sobra después de apartar 5 son 4; saber cuánto hay en esta parte es ①①①①① ①①①① lo que se llama restar y esa cantidad es el resultado de la resta: 9 - 5 = 4. Cuando 4 5 hacemos una resta (también llamada sustracción), al número del que restamos lo llamamos minuendo, al que se le resta lo llamamos sustraendo y al resultado lo llamamos resta. Así, en nuestro ejemplo, 9 es el minuendo, 5 es el sustraendo y 4 es la resta. 9
Observe que con lo que acabamos de hacer averiguamos varias cosas al mismo tiempo: •9-5=4
•9-4=5
•5+4=9
•4+5=9
Si conocemos todas las formas de descomponer 9 en dos partes podemos restarle cualquier dígito. Hagámoslo y anotemos la información que obtenemos: 9 ①①①①①
①①①①
4
5
①①①①①① ①①① 6
3
①①①①①①① ①① 7
2
①①①①①①①① ① 8
1
①①①①①①①①① 9
9-5=4 y 9-4=5
5+4=9 y 4+5=9
9-6=3 y 9-3=6
6+3=9 y 3+6=9
9-7=2 y 9-2=7
7+2=9 y 2+7=9
9-8=1 y 9-1=8
8+1=9 y 1+8=9
9-9=0 y 9-0=9
9+0=9 y 0+9=9
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MATEMÁTICAS I También podemos obtener esta información de la tabla de suma de dígitos. Observe que en ella aparecen todas las formas de descomponer los dígitos en dos sumandos. Nosotros hemos marcado en la tabla la descomposición de 9 como 2 + 7 y como 5 + 4. Encuentre usted las otras formas de descomponer 9 como la suma de dos dígitos. 9
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8
9
7
7
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9
6
6
7
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5
5
6
7
8
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6
7
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3
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5
6
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2
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
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0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Encuentre todas las maneras de descomponer 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 y 0 como suma de dos dígitos.
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LECCIÓN 2 Ahora que hemos revisado todas las restas que se pueden hacer de un dígito menos uno menor o igual que él, recordemos cómo se restan números mayores. Si tenemos un minuendo de dos cifras y un sustraendo de un dígito, el de dos cifras es el 1 9 mayor, por ejemplo, entre 19 y 8 el mayor es – 8 19, entre 32 y 7 el mayor es 32. Si queremos 1 1 restar 19 - 8, primero observamos que 19 es una decena y nueve unidades, tiene más unidades sin agrupar que el dígito que queremos restar, entonces simplemente restamos 9 - 8 = 1, lo acomodamos en el lugar de las unidades y dejamos la decena intacta como parte del resultado.
10 10 10 10
Veamos ahora cómo restar 32 - 7, y para ello observemos que 32 es tres decenas y dos unidades. Como 2 es menor que 7, no podemos usar el procedimiento anterior. 10 10 ①① En este caso tenemos que desagrupar en unidades una 10 ①①①①①①①①①① ①① de las tres decenas de 32, juntar esas unidades con 10 ①①①①① ①①①①① ①① las 2 que teníamos y quitar 10 ①①①①① de ahí las 7 unidades que queremos restar. Vemos cuántas unidades nos sobraron, las anotamos en el resultado y como no hay más que restar, anotamos en el resultado las decenas que quedaron. Podemos escribir esta operación de la siguiente manera: 2 12 3 2 – 7 2
5
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DE
MATEMÁTICAS I Para restar números más grandes el procedimiento es similar. 5 13 6 3 – 2 8 3
5
Si queremos restar por ejemplo 63 - 28 tenemos que desagrupar una de las decenas de 63, restar 13 - 8 = 5 unidades y restar las 2 decenas de 28 de las 5 decenas que quedaron de 63, es decir 5 - 2 = 3 decenas.
Con números mayores el procedimiento sigue siendo el mismo, por ejemplo si queremos restar 128 - 79, tenemos que desagrupar una de las decenas de 128 y restamos 18 - 9 = 9 unidades. Como nos quedó una decena y queremos restar 7 decenas tenemos que desagrupar una centena, y restar 11 - 7 = 4 decenas.
11 18 1 2 8 – 7 9 4
9
Si queremos restar 48527 - 29688 el procedimiento será el mismo: desagrupamos una decena de 48527 y restamos 17 - 8 = 9 unidades; desagrupamos una centena en decenas, las 3 17 14 11 17 agregamos a la decena que quedó 4 8 5 2 7 y restamos 11 - 8 = 3 decenas; – 2 9 6 8 8 desagrupamos un millar en centenas, las agregamos a las 4 1 8 8 3 9 que quedan y restamos 14 - 6 = 8 dm um c d u centenas; desagrupamos una decena de millar en millares, los agregamos a los 7 millares que quedan y restamos 17 - 9 = 8 millares; de las 3 decenas de millar que quedan restamos las 2 que faltan, 3 - 2 = 1 decena de millar. Podríamos hacer todas estas restas de otra forma muy parecida. Con este procedimiento, para restar por ejemplo 32 - 7, en vez de desagrupar una de las decenas de 32, le agregamos 10 a las dos unidades de 32 para poder restar 12 - 7, y luego restamos a las decenas esa decena adicional que usamos. Esto es lo que hacemos cuando decimos "siete para doce
24
12 3 2 – 1 7 2
5
LECCIÓN 2 son cinco, y llevo uno". Esa operación se puede escribir como se muestra a la derecha. Para restar números más grandes el procedimiento es parecido, pero ahora hay que sumar la decena adicional a las decenas del sustraendo, y a veces hay que utilizar centenas o millares etc. adicionales.
13 6 3 – 32 8 3
5
Si queremos restar por ejemplo 63 - 28 le agregamos 10 a las tres unidades de 43, restamos 13 - 8 = 5 unidades, le agregamos la decena adicional que usamos a las 2 decenas de 28 y restamos 6 - 3 = 3 decenas. Algunas personas dicen así este procedimiento: "cinco para trece son cinco y llevo una; una y dos son tres, para seis son tres". Veamos cómo restar 128 - 79 con este procedimiento. Usamos una decena para restar 18 - 9 = 9 unidades. La decena adicional se la agregamos a las 7 decenas del minuendo, y ahora usamos una centena adicional para restar 12 - 8 = 4 decenas. Esa centena adicional se la restamos a la centena del minuendo y nos queda 1 - 1 = 0 ninguna centena.
4 – 2 1 dm
12 18 1 2 8 – 1 87 9 4
9
Por último repitamos la resta 48527 - 29688 con este procedimiento. Utilizamos una decena para restar 17 - 8 = 9 unidades, y se la agregamos a las 8 decenas de 29688, con lo que ahora tenemos 9; utilizamos una centena para restar 12 - 9 = 3 decenas y se la agregamos a las 6 centenas de 29688, con lo que 18 15 12 17 ahora tenemos 7; utilizamos un millar 8 5 2 7 para restar 15 - 7 = 8 centenas y se 9 6 8 8 lo agregamos a los 9 millares de 29688, 8 8 3 9 con lo que ahora tenemos 10; utilizamos um c d u una decena de millar para restar 18 - 10 = 8 millares y se la agregamos
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DE
MATEMÁTICAS I a las 2 decenas de millar de 29688; con lo que ahora tenemos 3; restamos 4 - 3 = 1 decena de millar. Como usted puede ver, los números que se manejan en cada uno de estos dos procedimientos son distintos, pero los resultados son los mismos. Es importante darse cuenta de que sea cual sea el procedimiento de la resta que se utilice, la operación se reduce a saber restar los dígitos de los números menores que veinte, y si manejamos con agilidad estas pequeñas restas podremos hacer cualquier otra, por grande que sea.
Haga las siguientes operaciones con el procedimiento que prefiera. a)
b)
-
7021 6490
e)
-
7664 5383
d)
26
c)
-
6650 3593
f)
-
6184 1476
7827 7627
-
3191 - 273
g) 4032 - 356
h) 58037 - 721
i) 8888 - 999
j) 704038 - 50920
LECCIÓN 2
Cambie las interrogaciones por números que completen correctamente las operaciones. a) -
68?6 ? ? 07
b) -
5639 d) -
4 ?13 ?3?5
??9? 10 ? 5
c) -
687 e) -
3008
6204 ????
?425 6?2? 1?0
f) -
3363
???? 4863 2398
Cambie las letras por dígitos que completen correctamente las operaciones. Si una letra se repite en una resta debe cambiarse siempre por el mismo dígito en esa operación.
a)
A A 8 9 - A 0 B B
b)
2 2 3
d)
H H H D H D D 1 9 9 0
2 R R 0 - 1 3 R R
c)
1 1 9 R
e)
1 1 2 1 F M F 7 F M
T 7 5 3 - 3 P P T 5 0 T 5
f)
7 X 2 5 X X 2 X 9 X 3
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MATEMÁTICAS I
a) En una fábrica de vidrio soplado, todo el proceso de confección de una pieza toma 203 horas. Si la primera parte, hasta antes del enfriado, toma 17 horas, ¿cuánto tiempo lleva el enfriado? b) En la misma fábrica, la temperatura del horno de cocido es de 1230ºC. Si al finalizar el proceso de enfriado las piezas están a 45ºC, ¿cuántos grados centígrados baja la temperatura con el enfriado? c) A un tanque que contenía 183 500 litros de agua se le vaciaron 95 432 litros. ¿Cuánta agua quedó en el tanque? d) A un tanque que contenía 209 346 litros de agua se le vació una cantidad, y quedaron 46 067 litros. ¿Qué cantidad se le vació? e) En una bodega había 12 536 toneladas de producto. Cuando terminaron los repartidores de llevarse sus cargas quedaron 789 toneladas. ¿Cuántas toneladas se llevaron los repartidores? f) Un rollo de tela mide 206 metros, y de él se corta una pieza de 14 metros. ¿Cuántos metros quedan?
A continuación se muestra una página del cuaderno de cuentas de una cooperativa de consumo.
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LECCIÓN 2 Fecha
Concepto
Entró a la caja
Salió de la caja
Saldo de mayo
Total 837
1 de junio
Compra de fruta
377
1 de junio
Aportación de RR
2 de junio
Compra de aceite
2 de junio
Aportación de JO
104
4 de junio
Aportación de MF
152
4 de junio
Aportación de LL
236
4 de junio
Compra de fruta
402
5 de junio
Compra de papel
231
5 de junio
Aportación de MS
251
6 de junio
Aportación de TS
560
6 de junio
Compra de granos
437
6 de junio
Compra de azúcar
187
6 de junio
Aportación de AZ
7 de junio
Compra de fruta
7 de junio
Aportación de AV
263
7 de junio
Aportación de TR
68
183 264
167 568
Las organizadoras de la cooperativa desean saber cuánto dinero hay en la caja al finalizar el 7 de junio. Lidia propone hacer las cuentas así: calcular en cada renglón el total, sumando o restando al total anterior las aportaciones o compras, con lo que el último total será la cantidad en la caja. Mariana propone hacerlas así: sumar los números de la columna de "entrada", sumar los de la columna de "salida" y al final sumarle al total de mayo el resultado de "entrada" y restarle al resultado el resultado de "salida".
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DE
MATEMÁTICAS I a) Realice las cuentas según el procedimiento propuesto por Lidia. ¿Cuánto dinero hay al finalizar el 7 de junio? b) Realice las cuentas según el procedimiento propuesto por Mariana. ¿Cuánto dinero hay al finalizar el 7 de junio? c) Compare ambos resultados. ¿Qué ventajas y desventajas tiene cada uno? ¿Cuál es mejor?
a) A un rollo de 500 metros de alambre se le agregaron 275 metros más. Después se utilizaron 692 metros. ¿Cuánto alambre quedó? b) De una caja en la que hay $21 879 se sacan estas cantidades: $506, $987, $46 y $5 618. ¿Cuánto queda en la caja? c) Una compañía que fabrica pan recoge de las tiendas el pan entregado dos días antes que no se vendió. Un camión de la compañía recorre tres tiendas. En la primera tienda había dejado 180 bolsas y se vendieron 162, en la segunda había dejado 50 bolsas y se vendieron 47, y en la tercera había dejado 96 bolsas y se vendieron 43. ¿Cuántas bolsas recoge el camión? d) De un rollo de tela se cortan piezas que miden 26 metros, 11 metros, 18 metros, 2 metros, 46 metros, 10 metros y 28 metros. Al final queda un pedazo de 9 metros. ¿Cuántos metros de tela tenía el rollo?
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