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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 Tercera fase – Nivel 1 Respuestas y soluciones Octubre de 2005
RESPUESTAS Pregunta
Respuesta
Pregunta
Respuesta
1
532
6
549
2
154
7
7
3
900
8
4
4
775
9
20
5
34
10
27
OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 1
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004 Tercera fase Soluciones – Primer nivel Octubre de 2005
1. Un número entero positivo tiene tres dígitos. El dígito de las centenas es igual a la suma de los otros dos dígitos, y el cuádruplo de las unidades es igual a la suma del dígito de las decenas y el de las centenas. Halla este número. Solución Sea n abc . Luego,
a bc 4c a b
Reemplazando la primera ecuación en la segunda:
4c a a c 5c 2a
De aquí se nota que a es múltiplo de 5. Pero como a 0 , entonces necesariamente a 5 . También, c 2 . Luego, b a c 5 2 3 . En conclusión, n 532 .
2. En un colegio hay 170 estudiantes en el primer año de secundaria. Algunos de ellos asisten a los talleres de matemática, de danza y de deportes, que se llevan a cabo por las tardes. Se sabe que: 65 estudiantes asisten al taller de matemática. 96 estudiantes asisten al taller de danza. 94 estudiantes asisten al taller de deportes. 35 estudiantes asisten solamente al taller de danza. 42 estudiantes asisten a los talleres de danza y deporte. 40 estudiantes asisten a los talleres de matemática y deporte. 22 estudiantes asisten a los tres talleres. ¿Cuántos estudiantes de primer año de secundaria asisten por lo menos a uno de estos tres talleres? Solución
Tenemos el siguiente diagrama, en donde las variables indicarán la cantidad de alumnos en cada intersección de conjuntos.
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Como 22 alumnos estudian los tres talleres, v 22 . Como 40 alumnos estudian matemática y deporte, s v 40 . De aquí, s 18 . De igual modo, como 42 alumnos estudian danza y deporte obtenemos u 20 . Así mismo, como 35 alumnos asisten solamente al taller de danza, q 35 . Se sabe que 96 estudiantes asisten al taller de danza, por tanto, t q v u 96 . De aquí, t 19 . De igual manera, como 65 estudiantes asisten al taller de Matemática, p t v s 65 . De aquí, p 6 . Así mismo, 94 estudiantes asisten al taller de deportes. Entonces, r s v u 94 . De aquí, r 34 . Finalmente,
los
que
asisten
por
p q r s t u v 154 estudiantes.
lo
menos
a
uno
de
los
talleres
son
3. El número de alumnos de un colegio está entre 500 y 1000. Si van de paseo de 3 en 3 no sobra ninguno y si van de 5 en 5 tampoco. Si el número de alumnos de cada salón es igual al número de salones, halla el número de alumnos. Solución
Sea n la cantidad de alumnos del colegio. Como es posible agrupar a los n alumnos de tres en tres, entonces n es múltiplo de 3. De igual modo, n es múltiplo de 5. Además, como la cantidad de alumnos por salón es igual a la cantidad de salones, entonces n es un cuadrado perfecto. Un cuadrado perfecto que es múltiplo de 3 es también múltiplo de 9. En forma similar, si n es un cuadrado perfecto que es múltiplo de 5, también debe ser múltiplo de 25. Dado que 9 y 25 son coprimos, entonces n es múltiplo de su producto, es decir, de 225. Pero los únicos múltiplos de 225 que se encuentran entre 500 y 1000 son 675 y 900. De estos dos valores solo 900 es un cuadrado perfecto. Finalmente, n = 900. 4. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que el producto de sus cifras sea un número par?
Solución
Los números de tres cifras cuyo producto de cifras es impar están formados únicamente por las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. Luego, la cifra de centenas puede tomar 5 valores distintos, la cifra de decenas también puede tomar 5 valores distintos y lo mismo sucede con la cifra de unidades. Por lo tanto, existen 555 = 125 números de tres cifras cuyo producto de cifras es impar. Como existen 900 números de tres cifras, entonces hay 900 – 125 = 775 números de tres cifras con producto de cifras par. 5. Ricardo, Sara y Teresa tienen 12, 15 y 19 años de edad, respectivamente. Ricardo escribió en la pizarra el número 0,88... , Sara escribió
0,888 y Teresa 0,888 . Halla la suma de las
edades de quienes escribieron el mayor y el menor número. Solución
Sean R, S y T los números de Ricardo, Sara y Teresa. Tenemos
S 0,888
888 1 9 . 88,8 1000 10 10
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Además,
R
8 9 9 10
Luego, el número de Sara es mayor que el de Ricardo. Así mismo, R = 0,888... 0,888 0,0008888... 0,888 = T, es decir, el número de Ricardo es mayor que el de Teresa. En consecuencia, el mayor número es el de Sara y el menor el de Teresa. La suma de sus edades es 15 + 19 = 34 años. 6. Un entero positivo es llamado bueno si los dígitos de dicho entero se pueden dividir en dos grupos de tal forma que la suma de dígitos de un grupo sea igual a la suma de dígitos del otro. Por ejemplo, 725 y 48103 son buenos, pues 7 = 2 + 5 y 8 + 0 = 4 + 1 + 3. Halla el menor entero positivo n de tal forma que n y n+1 sean buenos. Solución
Es claro que el entero positivo n no puede ser bueno si solo tiene un dígito. Si n tiene dos dígitos, solo puede ser bueno si sus dos dígitos son iguales. Pero eso significa que n + 1 no es bueno. Sea n un número bueno de tres dígitos. Como sus dígitos se pueden dividir en dos grupos con igual suma, entonces la suma de dígitos de n es par. Lo mismo debe suceder con n+1. Luego, n y n + 1 tienen suma de dígitos par. Pero esto solo puede ocurrir si el dígito de las unidades de n es 9, pues de lo contrario n + 1 tendría la misma suma de dígitos que n pero aumentado en 1. Entonces:
n ab9 ,
n 1 ac0
donde c b 1 . Luego, como n sea bueno, y como n 1 es bueno, Luego,
ab 9, a c.
a (c 1) 9 a (a 1) 9 a5
De aquí, b 4, c 5 . En consecuencia, n = 549.
7. Se tiene inicialmente el número 11; un paso consiste en multiplicar el número que se tiene por 2 o disminuirlo en 3 para así obtener un nuevo número. ¿Cuál es el menor número de pasos que se deben realizar para obtener el número 25?
Solución
El número 25 es el resultado de realizar el último paso. Luego, como 25 es impar, el último paso no pudo consistir en multiplicar por 2 el número anterior. Entonces, el penúltimo número debe ser 28.
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El antepenúltimo número (el anterior a 28) pudo ser 14 ó 31, dependiendo de que el paso para llegar a 28 sea una multiplicación por 2 o una resta de 3 unidades. De este modo podemos construir el siguiente árbol de posibilidades comenzando por el último número: 4 8
5
11 10
7
8 16
13
14
19 10 13
20 26
17
23
29
28
25
17 34
31
20 40 46
37
43
En el diagrama se observa que para llegar a 25 partiendo del número 11 se debe realizar como mínimo 7 pasos. 8. Ana y su hermana Frida tienen nueve monedas cada una. Las monedas que ellas tienen son solamente de 10 céntimos y de 20 céntimos. Ana coloca sus monedas sobre una hoja de papel y dibuja cuatro circunferencias cada una de las cuales encierra a cuatro monedas de la siguiente manera:
10
20
20
10
10
10
20
20
10
Las cantidades de dinero que las circunferencias de Ana contienen son 50 céntimos, 60 céntimos, 60 céntimos y 50 céntimos. Frida hace algo similar con sus monedas y nota que sus cuatro circunferencias contienen exactamente 50 céntimos cada una. Si Frida tiene en total M céntimos, ¿cuántos valores posibles tiene M?
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Solución
Para que las circunferencias de Frida tengan 50 céntimos cada una (usando solo monedas de 10 y 20 céntimos), dentro de cada una de ellas debe haber solo una moneda de 20 céntimos y tres de 10 céntimos. Como entre las cuatro circunferencias cubren las 9 monedas, entonces si hubieran más de 4 monedas de 20 céntimos, necesariamente alguna de las circunferencias tendría al menos dos monedas de 20 céntimos lo cual no puede ocurrir. Entonces la cantidad de monedas de 20 céntimos solo puede ser 1, 2, 3 ó 4. A continuación hallamos los posibles valores de la cantidad total de dinero M que tiene Frida en cada uno de estos casos:
Cantidad de monedas de 20 céntimos 1 2 3 4
Cantidad de monedas de 10 céntimos 8 7 6 5
Cantidad de dinero M 1 sol 1 sol y 10 céntimos 1 sol y 20 céntimos 1 sol y 30 céntimos
La forma de ubicar en estos cuatro casos pueden ser las siguientes:
9. Un entero positivo N está compuesto únicamente por los dígitos 0 y 1, y es divisible por 2475. Halla la menor cantidad posible de dígitos que puede tener N. Solución
Tenemos que 2475 9 25 11 , donde 9, 11 y 25 son primos dos a dos. Para que N sea múltiplo de 2475 debe serlo de 9, de 24 y de 11. Como N será múltiplo de 25 necesariamente debe terminar en 00. Para que N sea múltiplo de 9 la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de 9.
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Supongamos que la suma de las cifras de N es 9. Esto significa que N está formado por 9 unos y el resto de sus dígitos son ceros. Pero como N debe ser un múltiplo de 11, la suma de sus cifras de lugar par menos la suma de sus cifras de lugar impar debe ser múltiplo de 11. Pero la suma de sus cifras de lugar par es un número entre 0 y 9, inclusive. Lo mismo sucede con la suma de las cifras de lugar impar. Luego, Al restar estos valores el único múltiplo de 11 que se puede obtener es 0. Pero esto significa que la suma de cifras de lugar par es igual a la suma de cifras de lugar impar. Esto implica que la suma de las cifras debe ser un número par, lo cual no ocurre pues partimos de suponer que la suma de cifras es 9. En consecuencia, la suma de cifras de N debe ser un múltiplo de 9 mayor que 9. El menor número cumple esta condición y termina en 00 es 11111111111111111100 el cual, se puede verificar que es múltiplo de 11 (utilizando el criterio de divisibilidad por 11). Por lo tanto, N debe tener como mínimo 20 cifras.
10. En las caras de un cubo se escriben diferentes enteros positivos, un número en cada cara, de tal forma que los números en cualesquiera dos caras vecinas (que comparten una arista) difieren al menos en 2. Halla el menor valor posible de la suma de estos seis números. Solución
Un cubo tiene tres pares de caras una frente a la otra. Las caras adyacentes no pueden tener números consecutivos pero las caras que están frente a frente si pueden tener números consecutivos. Luego, si numeramos las caras de la siguiente manera 2
7
5
4 1
8
tenemos que la suma de los números usados es 1+2+4+5+7+8 = 27.
Demostraremos que 27 es, en efecto, el mínimo valor de la suma de los seis números. Consideremos que los números usados son a b c d e f . Como una cara C cualquiera del cubo tiene 4 caras adyacentes y una cara que no es adyacente (que está frente a C), entonces entre los seis números usados no pueden haber tres números consecutivos a, a+1, a+2, pues la cara con el número a +1 tendría al menos una cara adyacente a ella con un número consecutivo a ella.
Entonces,
a 1, b 2
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Como los números 1, 2 y 3 no pueden ser usados los tres para enumerar las caras del cubo, entonces de estos tres números a lo más se usarán dos. Por ello,
c 4, d 5 Es claro que e d 1 c 2 . Pero si e c 2 , entonces c, d , e serían tres números consecutivos. Como esto es imposible, entonces e c 3 4 3 7 , es decir,
e7 f 8 De esta forma, queda probado que a b c d e f 1 2 4 5 7 8 27 .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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