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SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005 Tercera fase – Nivel 2 Respuestas y soluciones Octubre de 2005
RESPUESTAS Pregunta
Respuesta
Pregunta
Respuesta
1
76
6
1
2
20
7
8
3
252
8
12
4
24
9
139
5
772
10
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OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 1
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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004 Tercera fase Soluciones – Segundo nivel Octubre de 2005
1. En el triángulo ABC, los puntos D y M se encuentran sobre los lados AC y BC, respectivamente. Se sabe que AB BD , DBC 48 y ABD MAC BCA . Halla, en grados sexagesimales, el menor ángulo que forman los segmentos AM y BD.
Solución
Sea ABD MAC BCA . B
M
A
C
D
El ángulo BDA es exterior en el triángulo BDC. Por lo tanto,
BDA DBC BCD 48 Además, AB=BD. Por lo tanto, BAD BDA 48 . En consecuencia, en el triángulo ABD se cumple:
BAD BDA ABD 180
48 48 180 28 Sea X el punto de intersección de AM y BD. Entonces,
AXD 180 XAD XDA AXD 180 28 48 28 76
2. En el centro de un terreno rectangular de 60m 80m se construirá una piscina rectangular de modo que el espacio restante constituya un sendero de ancho uniforme que rodeará a
la piscina. El área que ocupará la piscina es
1 del área del terreno. ¿Cuántos metros 6
mide el ancho del sendero?
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Solución
Como el área que ocupa la piscina es restante es igual a
1 del área del terreno, entonces el área de la parte 6
5 del área del terreno. Pero esta área restante podemos dividirla en 6
cuatro rectángulos y cuatro rectángulos como se muestra en la siguiente figura:
60m
80m Sea x el ancho del sendero formado al borde de la piscina. Luego,
4 x 2 2(80 2 x) x 2(60 2 x) x
5 80 60 6
4 x 2 280 x 4000 0 Las soluciones de esta ecuación son 20 y 50. Sin embargo el ancho del sendero no puede ser 50 m, pues necesariamente debe cumplirse que 2 x 60m . En consecuencia, x 20m . 3. ¿Cuántos números enteros positivos de tres cifras tienen algún 7 en su escritura? Solución
Consideremos los números de tres cifras que no tienen ningún 7 en su escritura. Estos números tienen 8 posibles valores para su dígito de centenas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9), nueve posibles valores para su dígito de decenas (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9) y también nueve posibles valores para su dígito de unidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9). Por lo tanto, existen 8 9 9 648 números de tres dígitos que no tienen ningún 7 en su escritura. Finalmente, hay 900 648 252 números de tres dígitos que tienen al menos un 7 en su escritura. 4. Si x es un número real mayor que 1, simplifica
x 1
3x 1 4 x 1 6 x 1 41 x 61 x 81 x
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Solución
Sea M la expresión pedida. Luego,
M
3 x1 4 x1 6 x1 1 1 1 4 x1 6 x1 8 x1
x 1
3 x1 4 x1 6 x1 M x 1 x 1 6 4 x1 3 x1 x 1 24 M x1 24 x1
M 24 5. Si p y q son números enteros positivos tales que
5 p 7 ¿cuál es el menor valor de p 8 q 8
si se debe cumplir que p + q = 2005? Solución
Tenemos
5 p 8 q Luego,
5q 8 p 5 p 5q 13 p 10025 13 p 771 13 2 13 p
5 p . Luego, q 2005 772 1233 . Estos 8 q p 7 . valores de p y q satisfacen también la relación q 8 En consecuencia, el mínimo valor de p es 772.
De aquí, p 772 . Si p 772 , se satisface
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6. Sean x e y números enteros tales que 4x + 5y = 7. Halla el mínimo valor de 5|x| - 3|y|. Solución
Una solución de la ecuación 4x + 5y = 7 es x 3 , y 1 . Sean a y b números enteros tales que x 3 a , y 1 b . Luego,
43 a 5 1 b 7 4a 5b Necesariamente a es múltiplo de 5. Sea t un número entero tal que a 5t . Entonces, b 4t . Por lo tanto necesariamente, x 3 5t , y 1 4t donde t es un número entero cualquiera. Si t 0 se cumple que x 0 e y 0 . Entonces,
5 x 3 y 5 x 3 y 53 5t 3 1 4t 12 13t
cuyo mínimo valor es 12 cuando t 0 . Si t 0 se cumple que x 0 e y 0 . Entonces,
5 x 3 y 5 x 3 y 53 5t 3 1 4t 12 13t
cuyo mínimo valor es 1 cuando t 1 . En consecuencia, el mínimo valor de 5 x 3 y es 1 cuando x 2 e y 3 .
7. Dado el siguiente polinomio:
P ( n ) n 3 n 2 5n 2 Determina la suma de los valores absolutos de los enteros n , de modo que P 2 (n) sea el cuadrado de un número primo.
Solución
Factorizando el polinomio:
P (n) n 2 n 2 3n 1
Para que P 2 (n) sea el cuadrado de un número primo, uno los factores de P(n) debe ser 1 ó -1, mientras que el otro factor debe ser un número primo o un número primo con signo negativo.
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Si Si
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n 2 1 , obtenemos n 1 . Luego, P 1 5 que es primo. n 2 1 , obtenemos n 3 . Luego, P 3 19 que es el negativo de un primo.
Si n 2 3n 1 1 , tenemos la ecuación n 2 3n 0 cuyas raíces son 0 y 3. Además, P 0 2 ,
P 3 5 ,
que son ambos números primos. Si n 2 3n 1 1 , tenemos la ecuación n 2 3n 2 0 cuyas raíces son 1 y 2. Además, P 1 3 ,
P 2 4 ,
el primero de los cuales es el negativo de un número primo y el segundo no es un número primo ni el negativo de un número primo. Finalmente, los valores de n para los cuales P 2 (n) es el cuadrado de un número primo son -3, -1, 0, 1 y 3. La suma de los valores absolutos de estos cinco números es 8. 8. Las fichas de dominó son rectángulos cada uno de los cuales está formado por dos cuadrados. Cada uno de estos cuadrados tiene un número de puntos entre 0 y 6, inclusive. El siguiente gráfico muestra lãs 28 fichas de dominó existentes.
Se coloca en cierto orden las 28 fichas de dominó en un rectángulo de 7×8. En el diagrama se muestra la cantidad de puntos existentes en cada posición. 6 0 4 2 2 3 3 6 4 4 2 1 5 3 5 1 0 4 6 5 6 1 5 2 0 5 1 1 1 0 2 4 1 4 2 3 0 2 1 0 4 5 2 0 6 6 3 5 3 6 6 3 4 5 3 0 OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 1
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¿Cuál es el número de fichas que se encuentran completamente incluídos en la zona sombreada del rectángulo? Solución
En el tablero solo hay una posibilidad para la ficha 0-0 y una posibilidad para la ficha 5-5, como se muestra a continuación:
De otro lado, solo hay dos posibilidades para la ficha 2-2, solo hay dos posibilidades para la ficha 2-3 y solo hay dos posibilidades para la ficha 2-5, casillas que están sombreadas en la figura siguiente:
Como hay casillas comunes, solo hay una posibilidad para que estas tres fichas puedan ser ubicadas. Esto se debe realizar de la siguiente forma:
De igual modo, solo hay dos opciones para la ficha 3-4 como se muestra en la siguiente figura:
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Pero si la ficha 3-4 fuera la que se encuentra en la parte central del tablero, también sería una ficha el par 6-6 junto a ella y también el otro par 3-4 se convierte necesariamente en una ficha. Esto no es posible, pues solo debe haber una ficha 3-4. Luego, tenemos en el tablero las siguientes fichas:
Si continuamos trabajando de esta forma, podemos seguir obteniendo las posiciones del resto de fichas hasta llegar a la única solución para el problema, la cual se muestra a continuación:
Finalmente, en la parte central sombreada se encuentran 12 fichas.
9. Si
b c (a b)(b c)(c a ) 19 a , calcula E 99 . (a b)(b c)(c a ) 99 ab bc ca
Solución
Tenemos:
a(b c)(c a) b(a b)(c a) c(a b)(b c) E 99 a b b c c a 2 2 2 2 2 2 2a b 2b c 2c a a c b a c b 3abc E 99 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a c b a c b abc Sean P a 2 b b 2 c c 2 a abc y Q a 2 c b 2 a c 2 b abc . Luego,
2P Q E 99 PQ Además,
(a b)(b c)(c a) 19 (a b)(b c)(c a) 99 OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Segunda Fase – Nivel 1
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a 2 c b 2 a c 2b a 2b b 2c c 2 a 19 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a c b a c b 2abc 99 Q P 19 P Q 99 1
2P 19 P Q 99
P 40 P Q 99 Finalmente,
2P Q P 40 991 991 139 E 99 99 PQ PQ 10. En un tablero de ajedrez de 8×8 casillas, un rey se encuentra en la casilla R. El rey se mueve una casilla a la vez horizontalmente, verticalmente o en diagonal.
S
R ¿De cuántas formas puede un rey ir de la casilla R a la casilla S en exactamente 8 movimientos?
Solución
Para que el rey llegue a la casilla S en ocho pasos debe dar necesariamente seis pasos en diagonal (hacia la derecha y hacia arriba), un paso hacia la derecha () y un paso hacia arriba (). El paso hacia la derecha puede ser cualquiera de los ocho (8 posibilidades) y el paso hacia arriba puede ser cualquiera de los otros siete (7 posibilidades). Los otros seis pasos son necesariamente en diagonal. Luego, existen 8 7 56 formas para llegar de la casilla R a la casilla S en exactamente 8 pasos.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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