Matematica finanziaria

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro

Matematica finanziaria Esercizi risolti con FinCalcPro

1a Edizione

di Francesco Grassi

www.educationalapps.ch

Š 2015 Francesco Grassi

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Indice INTRODUZIONE.......................................................................................................... 3 LISTA DEI SIMBOLI................................................................................................... 4 RACCOLTA DI FORMULE......................................................................................... 5 Capitolo 1 Percentuali.............................................................................................................. 7 Capitolo 2 Interessi................................................................................................................... 11 2.1 Interesse semplice........................................................................................................... 11 2.2 Interesse composto..........................................................................................................14 2.3 Interesse infrannuale...................................................................................................... 21 2.4 Interesse continuo........................................................................................................... 28 Capitolo 3 Calcolo delle rendite...............................................................................................31 3.1 Rendite anticipate, posticipate e valore attuale............................................................31 3.2 Rendite perpetue............................................................................................................. 38 Capitolo 4 Ammortamenti...................................................................................................... 41 4.1 Ammortamenti lineari.................................................................................................... 41 4.2 Ammortamenti degressivi.............................................................................................. 43

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INTRODUZIONE

In questo libro viene mostrato come risolvere in modo semplice e veloce esercizi di matematica finanziaria con l'aiuto della nuova app “FinCalcPro”.

- Concetto: per risolvere un'esercizio si deve semplicemente lasciare vuoto il campo di immissione corrispondente alla soluzione cercata.

- Gli interessi devono essere immessi nella forma p%, p.es. 2.5 per 2.5%.

- L'app é disponibile per iPhone/iPad/iPod touch:

https://geo.itunes.apple.com/us/app/fincalcpro/id1002896661?mt=8

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LISTA DEI SIMBOLI

i=interesse i ab = percentuale di ammortamento i eff =interesse effettivo i nom=interesse nominale i s =interesse continuo K 0 =capitale iniziale(valore attuale) K n =capitale finale m=numero di periodi infrannuali n= periodo R=rata R 0 =valore attuale rendita posticipata R n=valore finale rendita posticipata R ' 0 =valore attuale rendita anticipata R ' n =valore finale rendita anticipata R ∞0 =valore attuale rendita perpetua R(0)=valore oroginario(valore nuovo) R(n)=valore residuo

ABBREVIAZIONI p.a. = per anno p.m. = per mese p.t. = per trimestre

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RACCOLTA DI FORMULE Percentuali 1 %=

1 =0.01 100

100 %=

100 =1.0 100

25.75 %=

25 =0.2575 100

valore iniziale⋅(1±variazione percentuale )=valore nuovo

Interessi Interesse semplice (interesse lineare)

K n=K 0⋅(1+n⋅i) Interesse composto n n K n = K 0⋅(1+i) = K 0⋅q dove q=1+i Interesse infrannuale ( m⋅n) i K n=K 0⋅(1+ ) m Interesse continuo (i⋅n) K n=K 0⋅e

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Calcolo delle rendite Valore finale rendita posticipata n q −1 R n= R⋅ dove q=1+i q−1 Valore finale rendita anticipata n q −1 R ' n =R⋅ ⋅q q−1 Valore attuale rendita posticipata n q −1 1 R 0 =R⋅ ⋅ q−1 qn Valore attuale rendita anticipata n q −1 1 R ' 0 =R⋅ ⋅ q−1 qn−1

Ammortamenti Valore residuo ammortamento lineare R(n)=R (0)⋅(1−i ab⋅n) Valore residuo ammortamento degressivo n R(n)=R(0)⋅q dove q=1−i ab

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Capitolo 1 Percentuali 1) Il prezzo di listino di una bicicletta é di 8'423 €. Il cliente ottiene uno sconto del 15.5%.

Quanto ha pagato?

Soluzione: dati: valore iniziale=8423, percentuale=15.5 % cercato: valore finale (lasciare vuoto il campo di immissione ) Il cliente ha pagato 7'117.43 € Nota: selezionare “Diminuzione”

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2) Il prezzo di listino di una bicicletta nuova é di 2'220 €. Il cliente riceve la bicicletta per 1'980 €. A quanto ammonta lo sconto?

Soluzione: dati: valore iniziale=2220, valore finale =1' 980 cercato: percentuale (lasciare vuoto il campo di immissione) Lo sconto é del 10.81% Nota: qui non c'é bisogno di selezionare “Diminuzione”, l'app capisce che qui si tratta di una diminuzione.

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3) Il piccolo Luigino Cazzino ha pagato la sua nuova bicicletta 300 Fr. Il venditore gli ha fatto uno sconto del 16.20%. Quanto avrebbe pagato Cazzino senza lo sconto?

Soluzione: dati: valore finale=300, diminuzione percentuale =16.20 % cercato: valore iniziale Cazzino avrebbe pagato 358 Fr. Nota: qui devi selezionare “Diminuzione”.

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4) Il prezzo di un aereo é aumentato da 1'450'000 $ a 1'549'243 $ perché é stato comprato in leasing.

A quanto ammonta l'aumento percentuale?

Soluzione: dati: valore iniziale=1' 450' 000, valore finale=1' 549' 243 cercato: variazione percentuale L'aumento é del 6.84%.

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Capitolo 2 Interessi 2.1 Interesse lineare

1) Un capitale di 15'000 £ frutta un interesse semplice del 2.5% p.a.

A quanto ammonta il capitale dopo 12 anni?

Soluzione: dati: capitale iniziale=K 0=15 ' 000, interesse=i=2.5% p.a. , periodo=n=12 cercato: capitale finale=K n (lasciare vuoto) Il capitale dopo 12 anni é 19'500 £.

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2) Un capitale in regime di interesse semplice ĂŠ raddoppiato in 20 anni.

A quanto ammonta l'interesse?

Soluzione: dati: capitale iniziale=K 0=( p.es.)1' 000, capitale finale=K n =2 ' 000 cercato: interesse L'interesse ĂŠ del 5% p.a.

Nota: il tasso d'interesse non dipende dal capitale iniziale. Si sarebbe potuto scegliere p.es. 10'000 e 20'000 ottenendo lo stesso risultato.

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3) Un capitale di 2'000'000 Fr. viene investito durante 15 mesi con un interesse (lineare) del 3% per trimestre.

A quanto ammonta il capitale finale?

Soluzione: dati: K 0 =2 ' 000' 000, i=3 % p.a. , n=15/3=5 cercato: K n (lasciare vuoto) Il capitale finale ammonta a 2'300'000 Fr.

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2.3 Interesse composto 1) Calcolare il montante ad interesse composto di 123'000 $ all' 1.5% p.a. durante un periodo di 14 anni.

Soluzione: dati: K 0 =123' 000, i=1.5% p.a. , n=14 cercato: K n (lasciare vuoto) Il capitale finale ammonta a 151'505.95 $

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2) Il Signor Felice Della Sega ha investito 750'000 euro al tasso di 7.5% p.a. (interesse composto). Fra quanti anni Della Sega sarĂ milionario?

Soluzione: dati: K 0 =750' 000, i=7.5 % p.a. , K n=1 ' 000 ' 000 cercato: n Il Dopo circa 4 anni (precisamente 3,98)

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3) Quanto tempo impiega un capitale a triplicare con: a) un interesse composto del 7.5% p.a.? b) un interesse composto del 0.15% p.a.?

Soluzione a) ca. 15 anni (esattamente 15.19) Soluzione b) ca. 733 anni (esattamente 732.96)

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4) Un capitale di 5'000 Fr. viene impiegato per 2 anni ad interesse composto al tasso di 5% p.a. in seguito al tasso di 6% p.a. per 4 anni e infine al tasso di 8% p.a. per 5 anni.

Calcolare il tasso di interesse medio.

Soluzione:

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Il tasso di interesse medio ĂŠ del 6.72% p.a.

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2.4 Interesse infrannuale 1) Un credito di 50'000 â‚Ź viene offerto ad un tasso di interesse (nominale) del 8% p.a.

Gli interessi vengono calcolati e capitalizzati ogni trimestre. a) A quanto ammonta il credito dopo 20 anni? b) Calcolare il tasso d'interesse effettivo. c) Che interesse mensile deve essere scelto per corrispondere all'interesse effettivo calcolato in b) ?

Soluzione a) dati: K 0 =50 ' 000, i =8% p.a. , m=4, n=20 cercato: Kn Il capitale ammonta a 243'771.96 â‚Ź

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Soluzione b) dati: i nom=8 % p.a. , m=4 cercato: i eff Interesse effettivo = 8.2432% p.a.

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Soluzione c) dati: i eff =8.2432 % p.a. , m=12 cercato: i nom interesse nominale = 7.9472% p.a. cioè 7.9472% / 12 = 0.6623% p.m.

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2) Che interesse effettivo annuo si ottiene con un interesse semestrale di 0.75% ?

Soluzione: dati: i nom=0.75 % â‹…2=1.5 % p.a. , m=2 cercato: i eff interesse effettivo = 1.5056% p.a.

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3) Quanti anni impiega un capitale di 6'000 Fr., impiegato al tasso del 5.6% p.a., con capitalizzazione degli interessi trimestrale, per arrivare a 7'706.10 Fr.?

Soluzione: dati: K 0 =6' 000, i nom=6 % p.a. , m=4 cercato: n 4.5 anni

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4) Quale interesse, applicato mensilmente, offre un interesse effettivo del 12% p.a.?

Soluzione: dati: i eff =12 % p.a. , m=12 cercato: i nom 11.3866% / 12 = 0.9489% p.m.

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5) Quale capitale deve essere investito al 1.5% p.a. in un periodo di 10 anni, per ottenere un capitale di 12'000 euro, se gli interessi sono capitalizzati ogni trimestre?

Soluzione: dati: i nom=1.5 % p.a. , m=4, K n =12 ' 000 cercato: K0 10'331.39 euro

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2.4 Interesse continuo 1) Un capitale di 100'000 Fr. É stato investito con un interesse continuo del 5% per un periodo di 15 anni. a) A quanto ammonta il capitale finale? b) Interesse effettivo?

Soluzione a) dati: K 0 =100' 000, i nom=5 % p.a. , n=15 cercato: Kn 211'700 Fr. Soluzione b) 5.1271% p.a.

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2) Quale interesse continuo corrisponde ad un interesse effettivo del 7% ?

Soluzione: dati: i eff =7 % p.a. cercato: is 6.7659% p.a.

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3) Quale interesse effettivo bisogna scegliere, per ottenere un interesse continuo del 4.5% p.a.?

Soluzione:

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Capitolo 3 Calcolo delle rendite 3.1 Rendite anticipate, posticipate e valore attuale 1) Enzo Cazzaniga ha un conto risparmio con un deposito di 45'000 Fr. che gli offre un interesse del 1.5% p.a. Alla fine di ogni anno Cazzaniga versa 13'000 Fr. sul suo conto.

Di quanto potrĂ disporre dopo 7 anni?

Soluzione:

(montante + valore finale della rendita posticipata) 49'943.02 + 95'198.92 = 145'141.94 Fr. Š 2015 Francesco Grassi

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2) Di quale capitale bisogna disporre per poter prelevare 25'000 Fr. alla fine di ogni anno durante 10 anni, se l'interesse é del 2% ?

Soluzione:

La soluzione é data dal valore attuale della rendita posticipata cioè 224'564.63 Fr.

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3) Un lavoratore indipendente cinquantenne vuole impiegare un capitale per percepire una rendita posticipata di 8'000 euro all' anno al compimento dei suoi 65 anni.

Quale capitale deve impiegare il lavoratore se l'interesse annuale ĂŠ del 4% ?

Soluzione:

Il lavoratore deve impiegare 36'029.54 euro al compimento dei suoi 50 anni.

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4) Un debito deve essere ripagato con rate annuali posticipate di 3'000 euro per un periodo di 10 anni. Con quale capitale si puo' ripagare il debito se l'interesse ĂŠ del 6% p.a. a) oggi b) Dopo 3 anni (senza pagamenti preventivi) Soluzione a) 22'080.26 euro Soluzione b) 26'297.94 euro

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5) Un debito di 150'000 Fr. Deve essere ripagato in 10 anni con rate posticipate (i=9% p.a.). Calcolare la rata.

Soluzione: 23'373.10 Fr.

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6) Per ripagare un debito il signor Roberto Cazzone deve versare all'inizio degli anni 2000, 2004 e 2009 un importo di 10'000 €.

Cazzone preferisce pagare 12 rate, cominciando dal 1. gennaio 2001.

A quanto ammontano le rate (i=7% p.a.) ?

Soluzione: valore attuale del debito al 1.1.2001: −3 −8 10 ' 000⋅1.07+10 ' 000⋅1.07 +10 ' 000⋅1.07 =24683.07 => 2'904.24 € per rata

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7) Un debito deve essere ripagato con 20 rate di 10'000 Fr./anno (la prima rata tra un anno a partire da oggi). Con quale somma si puo'pagare il debito oggi (i=12% p.a.) ?

Soluzione: 74'694.44 Fr. (valore attuale della rendita posticipata)

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3.2. Rendite perpetue 1) Una fondazione dona annualmente 12'000 Fr. (rendita perpetua) come premio a giovani poeti.

Di quanto deve disporre la fondazione al 01.01.2014 se la prima donazione deve esser fatta al 01.01.2015 ? (i=6% p.a.)

Soluzione:

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2) Un capitale di 4'000'000 Fr. viene impiegato al 5% p.a. in modo da poter riscuotere una rendita perpetua a partire dal 01.01.2019.

A quanto ammonta la rata della rendita perpetua?

Soluzione: la rata ammonta a 243'101.25 Fr.

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3) A quanto ammonta al 01.01.2013 il valore equivalente di una rendita perpetua della quale la prima rata di 700'000 $/anno viene riscossa al 01.01.2020 ?

Soluzione: 8'750'000 $ = valore della rendita al 01.01.2019 Il valore della rendita al 01.01.2013 ĂŠ di 5'513'984.24 $

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Capitolo 4 Ammortamenti 4.1 Ammortamento lineare 1) Una macchina (costo iniziale 180'000 $) con una durata di vita di 10 anni e un valore di rottamazione del 10% del costo viene ammortizzata linearmente.

Si determini la prima rata di ammortamento e il valore residuo dopo 6 anni.

Soluzione: Valore di rottamazione = 180'000*0.1 = 18'000 $ Prima rata di ammortamento = 180'000*0.09=16'200 $ Valore residuo dopo 6 anni=82'200 $

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2) Un valore nuovo (costo iniziale) R(0)=100'000 ÂŁ deve essere ammortizzato nel corso di 20 anni a un valore residuo di 5'000 ÂŁ. A quanto ammonta il tasso di ammortamento?

Soluzione: 4.75%

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4.2 Ammortamento degressivo 1) a) Si calcoli il valore residuo di una macchina (costo iniziale 300'000 €), che viene ammortizzata per 7 anni con un tasso del 18% (ammortamento geometrico degressivo). b) Dopo quanti anni si ottiene un valore residuo di 135'636.53 € ?

Soluzione a) 74'785.64 € Soluzione b) 4 anni

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2) Dopo 5 anni una macchina ha un valore residuo di 10'000 Fr. A quanto ammonta il valore iniziale, se la stessa ĂŠ stata ammortizzata in modo geometrico degressivo con un tasso del 10% ?

Soluzione: R(0)=16'935.09 Fr.

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3) Un impianto (valore nuovo = 250'000 Fr.) deve essere ammortizzato in modo geometrico degressivo. Dopo 5 anni il valore ĂŠ di 75'000 Fr. Calcolare la percentuale di ammortamento.

Soluzione: 21.40%

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4) Dopo quanti anni una macchina del valore iniziale di 400'000 $ ha un valore residuo di 40'000 $ ? Ammortamento geometrico degressivo con tasso del 15%.

Soluzione: 14.17 anni

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