SSLC
¥ÀjÃPÁë «ÄvÀæ «μÀAiÀÄ : UÀtÂvÀ
ºÁ¸À£À f¯Áè ¥ËæqsÀ±Á¯Á ¸ÀºÀ²PÀëPÀgÀ ¸ÀAWÀ(j.)
HASSAN DISTRICT MATHEMATICS TEACHERS’ CLUB URL: http://hassanmathsclub.blogspot.com http://freeganita.com/ & www.eshale.org/qkosha/
DEPARTMENT OF PUBLIC INSTRUCTION
HASSAN
J¸ï.J¸ï.J¯ï.¹. ¥ÀjÃPÁë «ÄvÀæ «μÀAiÀÄ : UÀtÂvÀ ºÁ¸À£À f¯Áè ¥ËæqsÀ±Á¯Á ¸ÀºÀ²PÀëPÀgÀ ¸ÀAWÀ(j.)
PÀ£ÁðlPÀ ¸ÀPÁðgÀ
¸ÁªÀðd¤PÀ ²PÀët E¯ÁSÉ ºÁ¸À£À f¯Éè, ºÁ¸À£À.
²PÀëPÀgÀ ªÀiÁUÀð¸ÀÆa F ¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß §¼À¸À®Ä ²PÀëPÀgÀÄ C£ÀĸÀj¸À¨ÉÃPÁzÀ PÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ: 1)
F ¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß ¸ÀÄ®¨sÀªÁV 40 jAzÀ 50 CAPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀ½¸À®Ä «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß ¹zÀÞUÉƽ¸À®Ä ¹zÀÞ¥r À ¸À¯ÁVzÉ.
2)
F ¥ÀĸÀÛPz À À°è ¤ÃrgÀĪÀ ¸ÀªÄÀ ¸ÉåUÀ¼£ À ÀÄß UÀÄA¥ÀÄ CzsåÀ AiÀÄ£À ºÁUÀÆ «±ÉõÀ vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¸À®Ä ¸À®ºÉ ¤ÃqÀ¯ÁVzÉ.
3)
F ¥ÀĸÀÛPz À ° À è ¥ÀæªÄÉ ÃAiÀÄUÀ¼£ À ÀÄß, gÀZÀ£ÉUÀ¼£ À ÀÄß PÀ°¸À®Ä, ¸ÀªÄÀ ¸ÉåUÀ¼£ À ÀÄß ©r¸À®Ä C£ÀÄPÀÆ®ªÁUÀĪÀAvÉ ¸À®ºÉ, ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß vÉÆÃj¹zÀÄÝ CzÀgÀAvÉ C¨sÁå¸À ªÀiÁr¸ÀĪÀÅzÀÄ.
4)
¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è §gÀĪÀ PÉ®ªÀÅ ªÀiÁzÀj ¸ÀªÀĸÉåUÀ½UÉ, ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ ªÀiÁvÀæ ¹zÀÞ¥r À ¸À¯ÁVzÀÄÝ G½zÀ ªÀiÁzÀjAiÀÄ 1, 2, 3, 4 CAPÀUÀ¼À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ FUÁUÀ¯Éà ¤ÃrgÀĪÀ ¥Àæ±ÉßPÉÆÃpAiÀÄ£ÀÄß C£ÀĸÀj¸ÀĪÀÅzÀÄ.
5)
F ¥ÀĸÀÛPz À ° À è ¤ÃqÀ¯ÁzÀ ¥Àæ±Æ É ßÃvÀÛgÀU¼ À ÄÀ ¸ÀA¨sª À À¤ÃAiÀĪÁVzÀÄÝ EªÀÅUÀ¼£ À Éßà CAwªÀĪÉAzÀÄ wêÀiÁð¤¸ÀzÉà ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£ÉUÁV §¼À¸ÀĪÀÅzÀÄ.
6)
F ¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß ¸ÀzÀÄ¥ÀAiÉÆÃUÀ ¥Àr¹PÉÆAqÀÄ J¸ï. J¸ï. J¯ï.¹. ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß GvÀÛªÀÄ¥Àr¸ÀÄwÃÛgÉAzÀÄ D²¸À¯ÁVzÉ.
UÀtÂvÀ (CAPÀUÀtÂvÀ, ©ÃdUÀtÂvÀ, gÉÃSÁUÀtÂvÀ) DAiÀÄÄÝPÉÆArgÀĪÀ PÉëÃvÀæUÀ¼ÀÄ: WÀlPÀ/ G¥ÀWÀlPÀUÀ¼ÀÄ
CAPÀUÀ¼ÀÄ
1.
¸ÀASÁå ¥ÀzÀÞw : 1. UÀtUÀ¼ÀÄ 2. ªÀiÁzsÀåUÀ¼ÀÄ 3. ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼ÀÄ
02 02 01
2.
PÀæAiÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ «PÀ®àUÀ¼ÀÄ
02
3.
CAPÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
02
4.
C¥ÀªÀvÀð£À ªÀÄvÀÄÛ C¥ÀªÀwð¸ÀÄ«PÉ 1. ªÀÄ.¸Á.C. ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C 2. ZÀQæÃAiÀÄ ¸ÀªÀĸÀAUÀw 3.PÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ
01 02 02
5.
ªÀUÀð¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 1. ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 2. ªÀÄÆ®UÀ¼À ¸Àé¨sÁªÀ, £ÀPÉëUÀ¼ÀÄ
06 04
6.
ªÀiÁqÀįÉÆ UÀtÂvÀ
02
7.
¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ
06
8.
wæ¨sÀÄd, ªÀÈvÀÛUÀ¼À ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ
04
9.
PÉëÃvÀæ UÀtÂvÀ 1. PÉëÃvÀæ¥sÀ® ªÀÄvÀÄÛ WÀ£À¥sÀ® 2. ¥ÀæªÀiÁt £ÀPëÉ
01 02
10.
§ºÀĪÀÄÄR WÀ£À, eÁ¯ÁPÀÈw
05
MlÄÖ
45 CAPÀUÀ¼ÀÄ
UÀtUÀ¼ÄÀ * UÀtUÀ¼À ªÉÄð£À ¤AiÀĪÀÄUÀ¼ÀÄ : 1) ¥ÀjªÀvÀð¤Ã¬Ä ¤AiÀĪÀÄ (a) AUB = BUA (b) A B = B A
2) ¸ÀºÀªÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ
(a) AU (BUC)= (AUB)UC (b) A (B C)= (A B) C
3) «¨sÁdPÀ ¤AiÀĪÀÄ
(a) UÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀªÀÅ CªÀÅUÀ¼À bÉÃzÀ£ÀzÀ ªÉÄÃ¯É «¨sÁdPÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ. AU (B C)= (A U B) (A U C) (b) UÀtUÀ¼À bÉÃzÀ£ÀªÀÅ CªÀÅUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀzÀ ªÉÄÃ¯É «¨sÁdPÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ. (b) A (B U C)= (A B)U (A C)
4) rªÉÆÃUÀð£ÀߣÀ ¤AiÀĪÀÄ I I I (a) (AUB) = A B I I I (b) (A B) = A U B * JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À UÀuÁA±ÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀ n(A)+n(B)=n(AUB)+n(A B) I * ¥ÀÆgÀPÀ UÀt A = U -A
* MAzÀÄ CAPÀzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ * U
1) A = { 0, 2, 4, 6} ªÀÄvÀÄÛ B = { 0, 2, 4} DzÀgÉ A B= ...................... 2) A = { a,b,c,d} ªÀÄvÀÄÛ B = { b,c,d,e} DzÀgÉ A U B =....................... 3) U = { 1,2,3,4,5,6,7} ªÀÄvÀÄÛ A = {3,4, 5,} DzÁUÀ AI= ................... 4) F ªÉ£ï avÀæzÀ°è JgÀqÀÆ ¢£À¥ÀwæPÉUÀ¼À£ÀÄß NzÀĪÀªÀgÀ ¸ÀASÉå A) 600
U ¥ÀæeÁªÁtÂ
«dAiÀÄ PÀ£ÁðlPÀ
B) 200 C) 100
600
200
100
D) 400
5) A = { 1,3,5,7,9}, B = {3, 5, 9} DzÀgÉ A- B= -----------
* JgÀqÀÄ CAPÀzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ * 1) M§â ºÀÆ ªÀiÁgÀĪÀªÀ£À §½ PÉ®ªÀÅ ºÁgÀUÀ½ªÉ. 110 ºÁgÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀA¦UÉ ºÀÆUÀ½AzÁVªÉ, 50 ºÁgÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄ°èUÉ ºÀÆUÀ½AzÁVªÉ ªÀÄvÀÄÛ 30 ºÁgÀUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÆ §UÉAiÀÄ ºÀÆUÀ½AzÁVªÉ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀ£À §½ EgÀĪÀ ºÁgÀUÀ¼À ¸ÀASÉå JµÀÄÖ ?
* ±ÉæÃrüUÀ¼ÀÄ * ¸ÀÆvÀæUÀ¼ÀÄ : 1) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ n £Éà ¥ÀzÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæ Tn= a+(n-1)d 2) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥À a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+ --------3) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ªÀåvÁå¸À d=T2-T1 4) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ n ªÉÆzÀ® ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ Sn=n [2a+(n-1)d] 2 5) ‘n’ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ n = n(n+1) 2 6) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ªÉÆzÀ® ¥ÀzÀ (a) ºÁUÀÆ PÉÆ£ÉAiÀÄ ¥ÀzÀ (L)PÉÆmÁÖUÀ ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ ¸ÀÆvÀæ Sn=n ( a+L) 2 7) a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀiÁzsÀå A= a+b 2 8) UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥À a+ar+ar2+ar3+....... 9) UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ n £Éà ¥ÀzÀ
Tn =arn-1
10) UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ n £Éà ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ Sn =a(rn-1) r-1
r>1
EzÁÝUÀ
Sn =a(1-rn) 1-r
r<1
EzÁÝUÀ
11) UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ C£ÀAvÀ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÀgÉV£À ªÉÆvÀÛ S = a 1-r 12) a ªÀÄvÀÄÛ bUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ªÀiÁzsÀå G= ab 13) ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ n ü£Éà ¥ÀzÀ Tn=
1 a+(n-1)d
14) a ªÀÄvÀÄÛ bUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ºÀgÁvÀäPÀ ªÀiÁzsÀå
H= 2ab a+b
* MAzÀÄ CAPÀzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ * 1) 3, 6, 12, 24 .... F UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå C£ÀÄ¥ÁvÀ r= ........ 2) 4, 6, 8, 10, 12 ..... F ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ªÀåvÁå¸À d= ........ 3) 4+7+10+ ............ F ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃtÂAiÀÄ 7£Éà ¥ÀzÀ ........................ 4) Tn= n2+1 DzÁUÀ T4 gÀ ¨É¯É
* JgÀqÀÄ CAPÀzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ * 1) 5 ªÀÄvÀÄÛ 17gÀ £ÀqÀÄ«£À ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀiÁzsÀå PÀAqÀÄ»r¬Äj 2) 4 ªÀÄvÀÄÛ 16gÀ £ÀqÀÄ«£À UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ªÀiÁzsÀå PÀAqÀÄ»r¬Äj 3) 9 ªÀÄvÀÄÛ 16gÀ £ÀqÀÄ«£À ºÀgÁvÀäPÀ ªÀiÁzsÀå PÀAqÀÄ»r¬Äj 4) 3,7,11,15 ----- F ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ 10£Éà ¥ÀzÀ PÀAqÀÄ»r¬Äj
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼ÀÄ 1) A = 5 6
DzÀgÉ A = ............... |
2 3
[
2) (A|)| =............
3) A+ A ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀiÁvÀÈPÉ A-A «µÀªÀÄ ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀiÁvÀÈPÉ |
|
4) A = 2 4 DzÀgÉ (A|)| = ............... 6 8
JgÀqÀÄ CAPÀzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ 1) A = 2 3 B= 3 1
5 1
2)
2 3
4 2
+
5 4
DzÀgÉ (a) A+B (b) A-B UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
3 4 = 5 7 DzÀgÉ X £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.. 5 6 10 2x
3) A=
2 3 DzÀgÉ (a) AA | 5 1 (b) A2 UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
4) A=
1 2
3 4
ªÀÄvÀÄÛ B= 3 2 1 5
DzÀgÉ AB AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj..
PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É ªÀÄvÀÄÛ «PÀ®à 1) npr £À CxÀðªÉãÀÄ ?
1
2) 6p2 £ÀÀ CxÀðªÉãÀÄ ?
1
3) 5p3 AiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj
1
4) 2! +1!+ 0! £À ¨É¯É K£ÀÄ ?
1
5) n! =120 DzÀgÉ ‘n’ ¨É¯É K£ÀÄ ?
2
6) 11pr =990 DzÀgÉ ‘r’ ¨É¯É K£ÀÄ ? 7
)
2
np =56 DzÀgÉ ‘n’ ¨É¯É K£ÀÄ ? 2
2
8) (a) ‘MILK’ ¥ÀzÀzÀ°ègÀĪÀ J¯Áè CPÀëgÀUÀ¼À PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É PÀAqÀÄ»r¬Äj
1
(b) ‘SUNIL’ ¥ÀzÀzÀ°ègÀĪÀ J¯Áè CPÀëgÀU¼À À PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É PÀAqÀÄ»r¬Äj 1
9) JtÂPÉAiÀÄ ªÀÄÆ® vÀvÀéªÀ£ÀÄß ¤gÀƦ¹
1
10) ncr£À CxÀðªÉãÀÄ ? 11) 1! X 3!X 2! £ÀÀ ¨É¯ÉAiÉÄãÀÄ ?
1
12) npr ºÁUÀÆ ncrUÀ¼À ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß §gɬÄj 13) nc1- np1 = ................
1
14) 20c
2
18
gÀ ¨É¯ÉK£ÀÄ?
15) ‘CAKE’ ¥ÀzÀzÀ J¯Áè CPÀëgÀUÀ¼À «PÀ®àUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
1 1 2
16) ‘n’ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀļÀî §ºÀĨsÀÄeÁPÀÈwAiÀÄ°è J¼ÉAiÀÄ §ºÀÄzÁzÀ PÀtðUÀ¼À ¸ÀASÉå.............
1
17) ¥ÀAZÀ¨sÀÄeÁPÀÈwAiÀÄ°ègÀĪÀ PÀtðUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj 2 18) nc8- nc12 DzÀgÉ ‘n’ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
2
¸ÀASÁå ±Á¸ÀÛç * CªÀVÃðPÀÈvÀ zÀvÁÛA±ÀU½ À UÉ ¸ÀgÁ¸Àj
X=
ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É X
d2 N
=
X=
d2
X
fX
fx N
fd2
ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É
f
x , N = zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå N
d=X-X
* ªÀVÃðPÀÈvÀ zÀvÁÛA±ÀUÀ½UÉ ¸ÀgÁ¸Àj
C.I
M
¸ÀÆvÀæUÀ¼ÀÄ
N
d=x-x
f= DªÀÈwÛ x= ªÀÄzsåÀ ©AzÀÄ N= DªÀÈwÛUÀ¼À ªÉÆvÀÛ d2
¸ÀÆZÀ£É :‘f’EgÀĪÀ PÀA§ ¸Á®ÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ PÉÆqÀ¨ÉÃPÀÄ ‘
* ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ
C.V =
[x
fx=fx UÀ¼À MlÄÖ ªÉÆvÀÛ fD2=fD2 UÀ¼À MlÄÖ ªÉÆvÀÛ
X 100
fXd2
* MAzÀÄ CAPÀzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ * 1) 1-5 F ªÀUÁðAvÀgÀzÀ ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ ................................. 2) 10-15gÀ ªÀUÁðAvÀgÀzÀ UÁvÀæ ............................................. 3) ¹ÜgÀvÉ ªÀÄvÀÄÛ C¹ÜgÀvÉAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¤zsÀðj¸ÀÄvÀÛzÉ ? 4) ¥Àæ¸ÀgÀt «ZÀ®£É 25 DzÁUÀ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É ..................... 5) ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É 7 DzÁUÀ ¥Àæ¸ÀgÀt «ZÀ®£É .......................
ªÀÄÆgÀÄ CAPÀzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ 1) PÉÆnÖgÀĪÀ zÀvÁÛA±ÀUÀ½AzÀ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®vÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
C.I.
20-24
25-29
30-34
35-39
f
4
6
12
8
2) PɼÀV£À zÀvÁÛA±ÀUÀ½AzÀ ¸ÀgÁ¸Àj ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É PÀAqÀÄ»r¬Äj
x.
5
15
25
35
45
f
5
8
15
16
6
3) M§â DlUÁgÀ£ÀÄ 8 E¤ßAUïìUÀ¼À°è ¥ÀqÉzÀ gÀ£ÀÄßUÀ¼ÀÄ EAwªÉ. CªÀÅUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj, ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É PÀAqÀÄ»r¬Äj 35, 42, 23, 34, 39, 36, 32 ªÀÄvÀÄÛ 31
*©ÃdUÀtÂvÀ*
ªÀÄ.¸Á.C. ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C (1 CAPÀ) 1) ‘A’ ªÀÄvÀÄÛ ‘B’©eÉÆÃQÛUÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C UÀ¼ÀÄ ‘H ªÀÄvÀÄÛ ‘L’ CzÀgÉ F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸Àj. (A) AXH = BXL
(B) A = H B L (D) A = B L H
(c) A = L H B
2) AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C.ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C.UÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀÅ D ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À --------------PÉÌ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ. 3) (a2-b2) ªÀÄvÀÄÛ (a+b) UÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C ................... 4) (a2-b2) ªÀÄvÀÄÛ (a+b) UÀ¼À ®.¸Á.C ................... 5) (a2-9) ªÀÄvÀÄÛ (a2+6a+9) gÀÀ ªÀÄ.¸Á.C ................... 6) (a2-9) ªÀÄvÀÄÛ (a2+6a+9) UÀ¼À ®.¸Á.C ...................
ZÀQæÃAiÀÄ ¸ÀªÀĸÀAUÀw M
1)
a (a-b)AiÀÄ£ÀÄß «¸ÀÛj¹zÁUÀ .........................
abc
(B) a(b-c)+b (c-a)+c (a-b)
(C) a-b-c
(D) a(a-b)+ b(b-c) +c (c-a)
abc
b)
M
¸ÀAPÉÃvÀ G¥ÀAiÉÆÃV¹ §gÉzÁUÀ .............................
ab-bc-ca
abc
c)
abc
a2+b2+c2
D)
abc
a2
-
M
a2+b2
M
(A)
M
3) a2+b2+c2-ab-bc-ca £ÀÄß
M
xyz
(y-z)2 £ÀÄß «¸ÀÛj¹zÁUÀ .........................
M
2)
M
(A) (a-b)+(a-c) +(c-a)
ab
abc
4) EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ¸ÀªÄÀ ¸ÀAUÀwAiÀÄ°èzÉ? a) x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx b) x2+2xy+y2 c) x2-xy+y2 d) x3-3x2y+3xy-y3
«¸ÀÛj¹ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀAPÉëæ¹
2
M
5)
a(b-c)
abc
¤§A¢üvÀ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ
1
a+b+c=0 DzÀgÉ (b+c) (b+a) AiÀÄÄ AiÀiÁªÀÅzÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ? A) a-c B) ac C) -bc D) bc
ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀt 1)
F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è ±ÀÄzÀÞ ªÀUÀð¸À«ÄÃPÀgÀt AiÀiÁªÀÅzÀÄ ? A) 2x2+x=5 C) x2-x-7=0
2)
V=
A) 2x2+1+28 D) x-x2=0
r2H DzÀgÉ r £À ¨É¯É ....................
A) ± Vh
B) ±
h
C) ± V
V 3)
1
D) ± h
V h
ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ DzÀ±ÀðgÀÆ¥À ...............................
4)
ax2+bx+c+0 ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ±ÉÆÃzsÀPÀ ......................................
5)
ax2+bx+c+0 ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ ..................................
6)
y=x2 £ÀPÉëAiÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ ......................................
2 CAPÀzÀ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ
7)
l2=r2+h2 CzÀgÉ ‘h’ £ÀÄß ©r¹, l=15, r=9 DzÀgÉ ‘h’£À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.
8)
x2-5x=9 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼À ªÉÆvÀÛ UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
9)
3+ 2ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß 3- 2 ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀt gÀa¹.
10)
¸ÀÆvÀæ G¥ÀAiÉÆÃV¹ 2P2-P=15 ¸À«ÄÃ¥ÀPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
11) ªÀÄÆ®UÀ¼À ¸Àé¨sÁªÀªÀ£ÀÄß «ªÉÃa¹ : 2x2-5x-1=0 12)
x2-6x+2=0 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ ‘m’ ªÀÄvÀÄÛ ‘n’ DzÀgÉ (i) (m+n)mn (ii) 1 + 1 UÀ¼À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj m n
ªÀUÀð¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß £ÀPÉëAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ (4 CAPÀ) 13) y=x2 £ÀPÉë J¼ÉzÀÄ CzÀgÀ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ 7 gÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj 14)
y=2x2 £ÀPÉë J¼ÉzÀÄ CzÀgÀ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ
15)
y=x2 ªÀÄvÀÄÛ y=2x+3 £ÀPÉë J¼ÉzÀÄ CzÀjAzÀ x2-2x-3=0 ¸À«ÄÃPÀgÀt ©r¹
16)
x2-x-2=0 ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß £ÀPÉëAiÀÄ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ ©r¹
3 gÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj
14) y=x2
x
0
1
-1
2
-2
3
-3
y
0
1
1
4
4
9
9
x
0
1
-1
3
y
3
5
1
9
y=2x+3
ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ -1, CxÀªÁ 3
1) 2)
PÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ
2 5 gÀ PÀæªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÀgÀtÂÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj
1
a n x EzÀgÀ°è PÀgÀtÂÃAiÀÄ PÀæªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÀgÀtÂÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj
1
3)
5 a - 3 b AiÀÄ£ÀÄß 8 a+5 b ¬ÄAzÀ PÀ¼ÉzÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ GvÀÛgÀ .... 1
4)
2 - 3 jAzÀ
5)
2 - 8 + 50 gÀ ¨É¯ÉAiÉÄãÀÄ ?
6)
32 +
7)
2 x-
y £ÀÄß 5 x +2 y
8)
50 + 6
2+
9)
5
10)
9 x = 12 + 147
11)
1 2
50 gÀ ¨É¯ÉAiÉÄãÀÄ ?
a+3
2x3
3 - 2 £ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ ¥sÀ°vÁA±À ..........
jAzÀ PÀ¼ÉzÀ zÉÆgÀPÀĪÀ ¥sÀ°vÁA±À ....... 1
128 £ÀÄß ¸ÀÄ®©üÃPÀj¹zÁUÀ DUÀĪÀ ªÉÆvÀÛ ..........
b AiÀÄ£ÀÄß 8
a+5
2
b jAzÀ PÀ¼ÉzÁUÀ §gÀĪÀ GvÀÛgÀ ......1
DzÀgÉ x £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
3 gÀ UÀÄt®§ÞªÉãÀÄ ?
2 2
12)
3 x 3 6 gÀ UÀÄ®§ÞªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
2
13)
3 5 ºÁUÀÆ (
2
14)
2 X 3 5 gÀ UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
2
15)
x 1/2 - y 1/2 gÀ CPÀgÀtÂÃPÁgÀPÀ (¸ÀAAiÀÄÄVä) ................
1
16)
a b +c AiÀÄ CPÀgÀtÂÃPÁgÀPÀªÀÅ ........................
1
17)
5 p-q
gÀ CPÀgÀtÂÃPÁgÀPÀ ........................
1
18)
x+y
AiÀÄ ¸ÀAAiÀÄÄVä (CPÀgÀtÂÃPÁgÀPÀ) .............
1
3 - 2) EªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÉãÀÄ ?
19) bÉÃzÀªÀ£ÀÄß CPÀgÀtÂÃPÀj¹ ¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀ¤ßj ....
a)
5
+
3
5
-
3
3
b) 7 3 10c)
3 3
2
+
3
3 - 2 d)
4
3 + 2
3 2
+ 2
3
3 2
- 2
3
3
ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà UÀtÂvÀ 1.
EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ ¸Àj ? a)2= (ªÀiÁqï 5) c)7 = 13 (ªÀiÁqï 5)
1
b) 3 = 5 (ªÀiÁqï 5) d) 7 = 12 (ªÀiÁqï 5)
2)
a =b(ªÀiÁqï m) DzÀgÉ (a-b) AiÀÄÄ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ................ a) mVAvÀ C¢üPÀ a) m VAvÀ PÀrªÉÄ c) mVAvÀ UÀÄtPÀ d) m=0
1
3)
2y = 1 (ªÀiÁqï 5) DzÀgÉ y £À ¨É¯É .......... a) 3 b) 6 c) 5 d) 2
1
4)
y x y =1 (ªÀiÁqï 8) DzÀgÉ y £À ¨É¯ÉAiÉÄãÀÄ? a) 3 b) 2 c) 7 d) 8
1
5)
3y =2 (ªÀiÁqï 5) DzÀgÉ y £À ¨É¯ÉAiÉÄãÀÄ? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
1
6)
x +10 x=2 DzÀgÉ x £À ¨É¯ÉAiÉÄãÀÄ?
1
a) 5 c) 6 7)
b) 4 d) 10
y + y =1 (ªÀiÁqï e) DzÁUÀ y £À ¨É¯ÉAiÉÄãÀÄ? a) 0 c) 4
1
b) 3 d) 3
8)
¢£ÀzÀ 17£Éà UÀAmÉAiÀÄÄ 5£Éà UÀAmÉUÉ ¸ÀªÀĪÁVzÉ F ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß §gÉAiÀÄĪÀ PÀæªÀÄ. 1
9)
ªÀÄAUÀ¼ÀÆj¤AzÀ ¨ÉAUÀ¼ÀÆjUÉ vÉgÀ¼ÀĪÀ §¹ì£À ¤UÀðªÀÄ£À ¸ÀªÀÄAiÀĪÀÅ 21:00 UÀAmÉ, EzÀPÉÌ ¸ÀªÀĪÀ£ÀÄß §gÉAiÀÄĪÀ PÀæªÀÄ
1
10) 4 x 7 8 gÀ ¨É¯ÉAiÉÄãÀÄ ?
1
11)
5 x 11 10gÀ UÀÄt®§ÞªÉãÀÄ ?
1
12)
(5 + 5 5) + 5 5 ªÉÆvÀÛªÉãÀÄ ?
1
13)
(3 + 7 6) + 7 5 gÀ ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj
1
14)
ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà 4gÀ CªÀ±ÉõÀUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄ §gɬÄj
1
15)
ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà 3gÀ CªÀ±ÉõÀUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß §gɬÄj
1
16)
MAzÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß (m+1)jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ UÀjµÀ× CªÀ±ÉÃ¥À AiÀiÁªÀÅzÀÄ? 1
17)
Z3gÀ ªÉÄð£À ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà 3gÀ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ PÉðPÉÆõÀÖPÀ gÀa¹
2
18)
Z4gÀ ªÉÄð£À ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà 4gÀ UÀÄuÁPÁgÀzÀ PÉðPÉÆõÀÖPÀ gÀa¹
2
19)
S={2,4,6,8} EzÀgÀ ªÉÄð£À X ªÀiÁqï 10gÀ PÉðPÉÆõÀ×PÀ gÀa¹
2
20)
Q={1,5,7,11} EzÀgÀ ªÉÄð£À + ªÀiÁqï 12gÀ PÉðPÉÆõÀÖPÀ gÀa¹
2
gÉÃSÁUÀtÂvÀ ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ £É£À¦£À°r è 1)
ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà eÁåUÉ J¼ÉzÀ ®A§ªÀÅ eÁå ªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
2)
ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸ÀªÀÄeÁåUÀ¼ÀÄ PÉÃAzÀæ¢AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À CAvÀgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ.
3)
C¢üPÀ ªÀÈvÀÛ RAqÀzÀ°è£À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ®WÀÄPÉÆãÀ UÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
4)
®WÀÄ ªÀÈvÀÛ RAqÀzÀ°è£À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ C¢üPÀPÉÆãÀ UÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
5)
MAzÉà ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ°è£À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀªÀÅ.
6)
CzsÀð ªÀÈvÀÛ RAqÀzÀ°è£À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ®A§ PÉÆãÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
7)
AiÀiÁªÀÅzÉà ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸Àà±Àð©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ wædåªÀÅ ¸ÀàÀ ±ÀðPÀPÉÌ ®A§ ªÁVgÀĪÀÅzÀÄ.
8)
ªÀÈvÀÛPÉÌ ºÉÆgÀV£À MAzÀÄ ©AzÀÄ«¤AzÀ PÉêÀ® JgÀqÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
9)
MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ ¨ÁºÀå©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ ªÁVgÀÄvÀÛªÉ.
10)
ªÀÈvÀÛ bÉÃzÀPÀ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ.
11)
MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¸ÀàÀ ±ÀðPÀªÀÅ MAzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è ¸Àà²ð¸ÀÄvÀÛzÉ.
12)
ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀzÀ MAzÉà ¥Á±ÀéðzÀ°èzÀÝgÉ D ¸Àà±ÀðPÀªÀ£ÀÄß £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÀ£ÀÄß J£ÀÄßvÁÛgÉ.
13)
ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀzÀ G¨sÀAiÀÄ ¥Á±ÀéðUÀ¼À°èzÀÝgÉ, D ¸Àà±ÀðPÀªÀ£ÀÄß ªÀåvÀå¸ÀÜ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ J£ÀÄßvÁÛgÉ.
1 £Éà jÃw (Type) : (1) 3 ¸ÉA«ÄÃ. wædåzÀ°è ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ p £À°è MAzÀÄ ¸Àà±ÀðPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹j.
(2)
2
4 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀżÀî ªÀÈvÀÛzÀ°è 1100 PÉÆãÀ K¥ÀðqÀĪÀAvÉ JgÀqÀÄ wædåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹, wædåzÀ CAvÀå ©AzÀÄUÀ¼À°è ¸Àà±ÀðUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹.
AXªÀÄvÀÄÛ BYUÀ¼ÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ
0
3) 3¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀżÀî ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀ 60 EgÀĪÀAvÉ JgÀqÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹. ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀ =600 , wædåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀ = 1800-600=1200 avÀæzÀ°è
APªÀÄvÀÄÛ BPUÀ¼ÀÄ
¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ
2 £Éà jÃw (Type) (1) 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀżÀî ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ 8 ¸ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ MAzÀÄ ©AzÀÄ«¤AzÀ JgÀqÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ AB= 8CM ªÀÄvÀÄÛ P C1 wædå = 3.5 CM C1
A
8¸ÉA.«ÄÃ
B
Q BP ªÀÄvÀÄÛ BQ UÀ¼ÀÄ ¨ÁºÀå©AzÀÄ B ¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ (2) ªÀÈvÀÛ¢AzÀ 2.5¸ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀå ©AzÀÄ«¤AzÀ 4.5¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀżÀî MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ JgÀqÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ A OP=4.5+2.5=7cm C1 wædå = 4.5 CM O
2.5cm
P
C1 B PA ªÀÄvÀÄÛ PB UÀ¼ÀÄ ¨ÁºÀå©AzÀÄ P ¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ. 3 £Éà jÃw (Type) 1) 3 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀżÀî ªÀÈvÀÛzÀ°è 4 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀݪÀżÀî eÁåªÀ£ÀÄß gÀa¹, ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåVgÀĪÀ zÀÆgÀªÀ£ÀÄß C¼ÀvɪÀiÁr.
O A
4c
m M
B
ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁå AB VgÀĪÀ zÀÆgÀ =OM=2.2cm
4 £Éà jÃw (Type) (1) PÉÃAzÀæUÀ¼À CAvÀgÀªÀÅ 9 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀAvÉ wædåUÀ¼ÀÄ 3¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ MAzÀÄ £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹.
M
N
3¸ÉA«ÄÃ.
9¸ÉA«ÄÃ.
3¸ÉA«ÄÃ.
C1
C2 MN ¨ÉÃPÁzÀ £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÁVzÉ.
KPÀPÉÃA¢æÃAiÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ : MAzÉà PÉÃAzÀæ ºÁUÀÆ ¨ÉÃgÉ, ¨ÉÃgÉ wædåUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ
:
¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ wædåUÀ¼£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ PÉÃAzÀæUÀ½gÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ
5 £Éà jÃw (Type) (1) PÉÃAzÀæUÀ¼À CAvÀgÀªÀÅ 8 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀAvÉ wædåUÀ¼ÀÄ 3.5¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ 2¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀżÀî JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹, ¸Àà±ÀðPÀzÀ GzÀÝ C¼É¬Äj. d= 8cm C1 R= 3.5cm C2 r= 2cm C3 R-r =3.5-2 C1 1.5cm
M P
k A
B
8cm
C2
L Q
£ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ MP ªÀÄvÀÄÛ NQ
N
¸Àà±ÀðPÀzÀ GzÀÝ t = +
d2-(R-r)2
t= 7.8cm.
(2) ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæUÀ¼À CAvÀgÀªÀÅ 9 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀAvÉ wædåUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«Ä ªÀÄvÀÄÛ 2¸ÉA.«ÄÃ. EgÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ ªÀåvÀå¸ÀÜ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹j. d= 9cm C1 R= 3cm C2 r= 2cm C3 R+r =3+2 C3 5cm
K
M
Q
A
B
9cm
C2 C1
P N L
¸Àà±ÀðPÀzÀ GzÀÝ
ªÀåvÀå¸ÀÜ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ MP ªÀÄvÀÄÛ NQ
t = d2 -(R+r)2
¸ÀÆZÀ£É : - gÀZÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁqÀĪÁUÀ ¥ÀæwºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV ²PÀëPÀgÀÄ ¸ÀàµÀÖ¥Àr¸ÀĪÀÅzÀÄ. EzÉà jÃwAiÀÄ ºÀ®ªÁgÀÄ gÀZÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄß C¨sÁå¸À ªÀiÁr¸ÀĪÀÅzÀÄ.
¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼ÀÄ 1. ªÀÄÆ® ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: (xÉîì£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ) wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV J¼ÉzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.
2.
(xÉîì£À G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ) wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼ÉzÁUÀ GAmÁUÀĪÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ zÀvÀÛ wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ.
3.
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ºÉýPÉ : MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ°è «PÀtðzÀ ªÉÄð£À ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÄð£À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀÅzÀÄ.
4.
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï «¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ºÉýPÉ : wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«£À ªÉÄð£À ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÄð£À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀĪÁzÀgÉ, D JgÀqÀÄ, ¨ÁºÀÄUÀ½AzÀ K¥ÀðlÖPÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
5.
¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï wæªÀUÀ½UÀ¼ÀÄ : GzÁ: 3, 4, 5, 5, 12, 13, 8, 15, 17
GzÁ : 3, 4, 5 6, 8, 10 x 2jAzÀ UÀÄt¹ 9, 12, 15, x 3jAzÀ UÀÄt¹
ABC &
DEF
UÀ¼À°è
EF
DF
AXY &
DEF UÀ¼À°è
ABC
. . . AB = AC = BC DE DF EF
. . . XY II BC . . . AB = AC = BC AX AY XY
1 ªÀÄvÀÄÛ 2jAzÀ AXY = ABC
DEF =
. .. AXY = DEF . . . XY = EF & AXY = DEF
A= B
¸ÁzsÀ£É :
gÀZÀ£É : AX=DE& AY=DF DUÀĪÀAvÉ AB=AC UÀ¼À: ªÉÄÃ¯É X & Y ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄwð¹, XY ¸ÉÃj¹
DE
¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ :- AB = BC = AC
BAC = BAC, ABC = DEF , ACB = DFE
zÀvÀÛ :
2
1
1) JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäAiÀÄUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹. A D x y F B C E
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ-1
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ-3 [¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ]
L
C
E M
=
DEF £À «¹ÛÃtð =
ABC «¹ÛÃtð
F
1/2 EF.DM
1/2 BC.AL
BAL = EDM . . . ALB III DME . . . AL = AB 2 DM DE . . . AB = BC 3 DE EF 4 2 & 3 jAzÀ AL= BC DM EF 1 & 4 jAzÀ ABC «¹ÛÃtð = BC BC X DEF «¹ÛÃtð = EF EF ABC «¹ÛÃtð = BC2 DEF «¹ÛÃtð = EF2
ALB & DME UÀ¼° À è = BC AL X EF DM ABL =DEM ABL =DEM
s¸ÁzsÀ£É :-
sgÀZÀ£É : AL BC & DM EF J¼É¬Äj
2 DEF £À «¹ÛÃtð = EF
zÀvÀÛ : ABC ªÀÄvÀÄÛ DEF UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ BC& EF UÀ¼ÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ s¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ :- ABC «¹ÛÃtð = BC2
B
1
...
AB2 = BC. DB DAC UÀ¼À°è
BA
. 2 2 2 . . BC = AB +AC
BAC = ADC =900 ACB = ACD ... ABC III DAC . . . BC = AC AC DC ... AC2= BC.DC 1 & 2 jAzÀ AB2+AC2 = BC.DB+BC.DC = BC(DB+DC) = BC(BC) 2 2 AB +AC =BC2
ABC &
DB
BAC = BDA = 900 ABC = ABD ... ABC III DBA . .. AB = BC
¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ : BC2 = AB2+AC2 gÀZÀ£É : AD BC gÀa¹ ¸ÁzsÀ£É : ABC & DBA UÀ¼À°è
zÀvÀÛ :
C B D ABC AiÀÄ°è BAC = 900
2
1
2) ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹. 3) MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæ¨ÀÄs dzÀ°è «PÀtðzÀ ªÉÄð£À ªÀUð À ªÀÅ A D G½zÉgÀqÀÄ ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀÅzÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹. A
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ-2
b) CAvÀB ¸Àà±Àð
zÀvÀÛ:- ‘A’ ªÀÄvÀÄÛ ‘B’ PÉÃAzÀæªÀżÀî JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ (a)£À°è ¨ÁºÀåªÁVAiÀÄÆ (b)£À°è CAvÀB¸ÀܪÁVAiÀÄÆ ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ A, ªÀÄvÀÄÛB ‘P’©AzÀÄ«£À°è ¸Àà²ð¸ÀÄvÀÛzÉ. ¸Àà±Àð©AzÀÄ P ¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ:A,B ªÀÄvÀÄÛ P UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÁUÀvÀ. gÀZÀ£É:- ‘RQ’ £ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÁV P £À°è J¼ÉzÀÄ AP ªÀÄvÀÄÛ BP UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹. ¸ÁzsÀ£É:(a)¨ÁºÀå ¸Àà²ð ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ: 1) APQ =900 (¸Àà±Àð ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ wædåªÀÅ ¸Àà±ÀðPÀPÉÌ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛzÉ) 2) BPQ =900 APQ + BPQ = 900+900 (1 & 2 £ÀÄß PÀÆrzÁUÀ) APB=1800(¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä) A, B ªÀÄvÀÄÛ P UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÁUÀvÀªÁVªÉ. (b) CAvÀB¸Àà²ð ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ: AP PQ (¸Àà±Àð©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ wædå BP PQ ªÀÄvÀÄÛ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛªÉ) AP ªÀÄvÀÄÛ BP UÀ¼ÉgÀqÀÆ MAzÉà gÉÃSÉ ‘PQ’ UÉ ®A§ªÁVªÉ ºÁUÀÆ JgÀqÀÄ MAzÉà gÉÃSÉUÀ¼ÁVªÉ. A, B ªÀÄvÀÄÛ P UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÁUÀvÀ.
a) ¨ÁºÀå ¸Àà±Àð
“JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸Àà²ð¹zÀgÉ, ¸Àà±Àð©AzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÁUÀvÀªÁVgÀÄvÀ۪ɔ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ : 4
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ-4
¸ÁzsÀ£É:-
AOP ªÀÄvÀÄÛ BOP UÀ¼À°è OAP = OBP = 900(¸Àà±ÀðPÀ©AzÀÄ«£À°è J¼ÉzÀ wædåUÀ¼ÀÄ) «PÀtð OP = «PÀtð OP (G¨sÀAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå) OA = OB (MAzÉà ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ) AOP = BOP (®A.PÉÆÃ.¨Á ¹zÁÝAvÀ) 1. PA =PB 2. APO = BPO (¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À 3. AOB = BOP UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ)
zÀvÀÛ:- ‘O’ PÉÃAzÀæªÀżÀî ªÀÈvÀÛPÉÌ, ‘P’ MAzÀÄ ¨ÁºÀå©AzÀÄ. PA ªÀÄvÀÄÛ PB UÀ¼ÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ. OA, OB ªÀÄvÀÄÛ OP UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÉ. ¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ:1. PA =PB 2. APO = BPO 3. AOB = BOP
¸Àà±Àð ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ wædåªÀÅ ¸Àà±ÀðPÀUÀ½UÉ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛªÉ.
“¨ÁºÀå ©AzÀÄ«¤AzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ1. ¸ÀªÀÄ£ÁVAiÀÄÆ 2. ¨ÁºÀå©AzÀÄ«¤AzÀ PÉÃAzÀæPÉÌ J¼ÉzÀ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÉÆqÀ£É ¸ÀªÀÄ£ÁzÀPÉÆãÀªÀ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ 3. PÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß K¥Àðr¸ÀÄvÀ۪ɔ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ : 5
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ-5
110
A
10
B
EC = 88 «ÄÃlgï
10 EC = 8 X 110 EC = 8 X 110 10
EC = 110 8 10
EC = ED = CD EA EB AB
C
D
8J
E J
1) 10«Äà GzÀÝzÀ MAzÀÄ PÀA§ªÀÅ ¢£ÀzÀ ¤²ÑvÀ ªÉüÉAiÀÄ°è 8«Äà GzÀÝzÀ £ÉgÀ¼À£ÀÄß GAlÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.CzÀgÀ ¥ÀPÀÌzÀ°ègÀĪÀ 110«ÄÃGzÀÝzÀ E£ÉÆßAzÀÄ PÀA§¢AzÀ GAmÁUÀĪÀ £ÉgÀ½£À GzÀݪÉãÀÄ?
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ-1 (ªÀiÁzÀj ¯ÉPÀÌ)
B
...
...
1) DEF BC = 2.5
E 5
?
D
= 6.25 25
625 25
F
= 480 ZÀ.¸ÉA.«ÄÃ.
= 12000X 25
480
DEF «¹ÛÃtð = 120x25
DEF
120
6.25
EF2
= (2.5)2 DEF«¹ÛÃtð 52
120
DEF «¹ÛÃtð
ABC «¹ÛÃtð = BC2
120 ¸ÉA.«Äà C 2.5
A
ABC «¹ÛÃtð =120¸ÉA.«ÄÃ. ZÀ.¸ÉA.«Ä DzÁUÀ DEF £À «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»r¬Äj
ABC III
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ-2 (ªÀiÁzÀj ¯ÉPÀÌ)
A
12
6.25
BC= 169 ...BC = 13 ¸ÉA.«ÄÃ.
BC2 = AB2 + AC2 BC2 = 122 + 52 BC2 = 144+25
C
B
1) MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV 5 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ 12 ¸ÉA.«ÄÃ. DVªÉ, CzÀgÀ «PÀtðzÀ C¼ÀvÉ PÀAqÀÄ»r¬Äj
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ-3 (ªÀiÁzÀj ¯ÉPÀÌ)
PÉëÃvÀæUÀtÂvÀ 1.
¸ÀÛA¨sÁPÀÈw (¹°AqÀgï) : CAiÀÄÄvÀzÀ ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß ¹ÜgÀªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ DAiÀÄvÀ ¥Àj¨sÀæ«Ä¹zÁUÀ GAmÁUÀĪÀ DPÀÈw
2.
±ÀAPÀÄ : MAzÀÄ ®A¨sÀPÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ ®A§PÉÆãÀªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«£À ªÉÄÃ¯É ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdªÀÅ ¥Àj¨sÀæ«Ä¹zÀgÉ GAmÁUÀĪÀ DPÀÈw.
3.
UÉÆüÀ : MAzÀÄ CzsÀðªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¤¢üðµÀÖ ªÁå¸ÀzÀ ªÉÄÃ¯É wgÀÄV¹zÁUÀ GAmÁUÀĪÀ WÀ£ÁPÀÈw
4.
CzsÀðUÉÆüÀ: PÉÃAzÀæzÀ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®ªÀÅ UÉÆüÀª£ À ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀĨsÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¹zÁUÀ GAmÁUÀĪÀ DPÀÈw. WÀ£ÁPÀÈwAiÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ
¥Á±Àéð (ªÀPÀæ) ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð
¥ÀÆtð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð
¹°AqÀgï (¸ÀÛA¨sÀ)
2IIrh
2IIr(r+h)
IIr2h
±ÀAPÀÄ
IIrl
IIr(r+l)
1/3IIr2h
UÉÆüÀ
_
4 IIr2
4/3IIr3
CzsÀðUÉÆüÀ
2IIr2
3 IIr2
2/3IIr3
Wˣ˴s˨
¸ÉÌïï 20«Äà = 1 ¸ÉA.«ÄÃ. 30«ÄÃ.= 30 = 1.5 ¸ÉA«ÄÃ. 20 150«ÄÃ. 150 = 7.5 ¸ÉA.«ÄÃ. 20 100«Äà 100 = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. 20 80«ÄÃ. 80 = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. 20 70«ÄÃ. 70 = 3.5 ¸ÉA.«Äà 20 40«ÄÃ. 40 = 2¸ÉA.«ÄÃ. 20 A
F
40 30 B
1) PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ £ÀPÁ±É ¥ÀĸÀÛPÀzÀ zÁR¯ÉUÀ½AzÀ d«Ää£À £ÀPÉë J¼ÉzÀÄ d«Ää£À «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ »r¬Äj. D “D” UÉ «ÄÃ.UÀ¼À°è 50 150 70 H C CUÉ 70 100 20 80 EUÉ 80 80 G E BUÉ 40 30 50 A¬ÄAzÀ 3) MAzÀÄ ºÉPÃÉÖ gï = 10,000 ZÀ.«ÄÃ.
¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÆvÀÛ)
2) vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð = 1/2 X JvÀÛgÀ X(¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
1) wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtð = 1/2 X ¥ÁzÀ XJvÀÛgÀ
¸ÉÌïï qÁæ¬ÄAUï ¥ÀæªÀiÁtÀ £ÀPÉë
§ºÀĪÀÄÄR WÀ£ÁPÀÈwUÀ½UÉ DAiÀÄègÀ£À ¸ÀÆvÀæ vÁ¼É £ÉÆÃqÀĪÀÅzÀÄ PÀæªÀÄ ¸ÀASÉå
WÀ£ÁPÀÈw
¥Àæw ªÀÄÄRzÀ DPÁgÀ
F+V
E+2
1
ZÀvÀÄðªÀÄÄR WÀ£À
¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd
4+4
6+2
2
µÀtÄäR WÀ£À
ZËPÀ
6+8
12+2
3
CµÀÖªÀÄÄR WÀ£À
¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd
8+6
12+2
4
zÁézÀ±À WÀ£À
¤AiÀÄ«ÄvÀ ¥ÀAZÀ¨sÀÄd
12+20
30+2
5
«A±Àw WÀ£À
¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd
20+12
30+2
6
wæ¨sÀÄd ¥ÁzÀ¥ÀlÖPÀ
¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd
5+6
9+2
7
ªÀUÀð¥ÁzÀ¥ÀlÖPÀ
ZËPÀ
6+8
12+2
8
ªÀUÀð¥ÁzÀUÉÆÃ¥ÀÄgÀ
---
5+5
8+2
ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ CA±ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ
¸ÀASÉå
= 2X PÀA¸ÀUÀ¼À
B C 3 0 0 2 2 0
12 = 2X6 12 = 12
}
230 M 3 02 0 20
A A 2 B 3 C 0
1) PɼÀV£À eÁ¯ÁPÀÈwUÉ ªÀiÁUÀð ¸ÀASÁåAiÀÄvÀ gÀa¹
5 (¨É¸À) 5 (¨É¸)À 5 (¸ÀªÀÄ)
A B C
}
12=2X6 12=12
¸ÀA¥ÁvÀ ©AzÀÄUÀ¼À PÀæªÀÄUÀ¼À ªÉÆvÀÛ
2X
PÀA¸ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå
JgÀqÀÄ ¨É¸À ¸ÀA¥ÁvÀ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ EgÀĪÀÅ zÀjAzÀ EzÀÄ ¥ÁgÀªÁºÀPÀ eÁ¯ÁPÀÈw
ªÀUÀð CxÀªÁ PÀª æ ÀÄ
¸ÀA¥ÁvÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ
2) PɼÀV£À eÁ¯ÁPÀÈwAiÀÄÄ ¥ÁgÀªÁºÀPÀªÉÃ? ¥ÀjÃQë¹
N+R =A+2 3+5 =6+2 8=8
DAiÀÄègï£À ¸ÀÆvÀæ.
CxÀªÁ
M
2 3 0 3 0 2 0 2 0
A A 2 B 3 C 0
B C 3 0 0 2 2 0
3) F eÁ¯ÁPÀÈwUÉ CAiÀÄègï£À 4) F ¸ÀASÁåAiÀÄÄvÀPÉÌ (ªÀiÁUÀð ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß C£Àé¬Ä¹ ¥ÀjÃQë¹ ¸ÀASÁåAiÀÄvÀPÉÌ) eÁ¯ÁPÀÈw gÀa¹ CxÀªÁ DAiÀÄègï£À ¸ÀÆvÀæ vÁ¼Éà £ÉÆÃr.
eÁ¯ÁPÀÈwUÀ¼ÀÄ
¥ÀæzsÁ£À ¸À®ºÉUÁgÀgÄÀ :
²æà J. n. ZÁªÀÄgÁd, G¥À¤zÉÃð±ÀPÀgÄÀ
¸ÁªÀðd¤PÀ ²PÀët E¯ÁSÉ, ºÁ¸À£.À
ªÀiÁUÀðzÀ±Àð£À ªÀÄvÀÄÛ ªÉÄðéZÁgÀuÉ ²æà ¸ÉÊAiÀÄzï jAiÀiÁeï, «zÁå¢üPÁjUÀ¼ÄÀ ºÁUÀÆ ²æêÀÄw ºÉZï.r. ¥Àæ¨sÁªÀÄt «µÀAiÀÄ ¥ÀjÃPÀëPÀgÀÄ, G¥À¤zÉÃð±ÀPÀgÀ PÀbÉÃj, ¸ÁªÀðd¤PÀ ²PÀët E¯ÁSÉ, ºÁ¸À£À f¯Éè, ºÁ¸À£À.
¹zÀÞ¥Àr¹zÀ ¸ÀA¥À£ÀÆä® ²PÀëPÀgÀÄ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14
15 16
AiÀÄÄ.J£ï. ¨sÁ¸ÀÌgÀ ¸À.². ¸ÀPÁðj ¥ÀzÀ«¥ÀƪÀð PÁ¯ÉÃdÄ, D®ÆgÀÄ. C¥Áà¸ÁºÉç ¸ÁvÀégÀ ¸À.². ¸ÀPÁðj ¸ÀAAiÀÄÄPÀÛ ¥ËæqsÀ±Á¯É, PÀÄAzÀÆgÀÄ, D®ÆgÀÄ vÁ®ÆèPÀÄ r. ©. ªÉÆúÀ£ïPÀĪÀiÁgï ¸À.². ¸ÀPÁðj ¥Ëæq± sÀ Á¯É, ªÀÄÄzÀÄr, CgÀ¹ÃPÉgÉ vÁ®ÆèPÄÀ . ºÉZï. J¸ï. ¤Ã®PÀAoÀÀ¥Àà ¸À.². ¸ÀPÁðj ¥ÀzÀ«¥ÀƪÀð PÁ¯ÉÃdÄ, ¨ÁuÁªÀgÀ, CgÀ¹ÃPÉgÉ vÁ®ÆèPÀÄ. ©. J¸ï. ¸ÀÄgÉÃ±ï ¸À.². ¨Á®QAiÀÄgÀ ¸ÀPÁðj ¥ÀzÀ« ¥ÀƪÀð PÁ¯ÉÃdÄ, CgÀ¹ÃPÉgÉ. PÉ. J¸ï. zÉêÀgÁdÄ ªÀÄÄ.². qÁ|| CA¨ÉÃqÀÌgï ¥Ëæq± sÀ Á¯É, eÁªÀU¯ À ï, CgÀ¹ÃPÉgÉ vÁ®ÆèPÄÀ . ²æà ¨sÀªÁ¤ PÉ. ¸À.². ¸ÀPÁðj ¨Á®QAiÀÄgÀ ¥ÀzÀ«¥ÀƪÀð PÁ¯ÉÃdÄ, ºÉƼɣÀgÀ¹Ã¥ÀÄgÀ. ¥Àg² À ªÀªÀÄÆwð JA.J¸ï. ¸À.². ¨Á®QAiÀÄgÀ ¸ÀPÁðj ¥ËæqsÀ±Á¯É, ºÉƼɣÀgÀ¹Ã¥ÀÄgÀ ªÀĺÉÃ±ï ©.gÀÄzÀæ¥Àà ¸À.². ¨Á®PÀgÀ ¸ÀPÁðj ¥ÀzÀ«¥ÀƪÀð PÁ¯ÉÃdÄ, ºÉƼɣÀgÀ¹Ã¥ÀÄgÀ. ¸ÀÄgÉñÀ JA.f. ¥Àæ.ªÀÄÄ.². ¸ÀPÁðj ¥ËæqsÀ±Á¯É, ºÀ½îªÉÄʸÀÆgÀÄ, ºÉƼɣÀgÀ¹Ã¥ÀÄgÀ vÁ®ÆèPÀÄ. gÉêÀtÚ ©. ¸À.². ¸ÀPÁðj ¥Ëæq± sÀ Á¯É, zÉêÀgÀ ªÀÄÄzÀÝ£º À ½ À î, ºÉƼɣÀgÀ¹Ã¥ÀÄgÀ vÁ®ÆèPÀÄ. ²æäªÁ¸À ¥Àæ.ªÀÄÄ.². ¸ÀPÁðj ¥Ëæq± sÀ Á¯É, £ÀUg À £ À Àº½ À î, ºÉƼɣg À ¹ À Ã¥ÀÄgÀ vÁ®ÆèPÄÀ . ¸ÀwÃ±ï ©.¹. ¸À.². ¸ÀPÁðj ¥ËæqsÀ±Á¯É, ¸ÉÆêÀÄ£ÀºÀ½î, ºÉƼɣÀgÀ¹Ã¥ÀÄgÀ vÁ®ÆèPÀÄ. ªÀÄ°èPÁdÄð£À ºÉZï.r. ¸À.². ¸ÀPÁðj ¥ÀzÀ« ¥ÀƪÀð PÁ¯ÉÃdÄ ¸ÀPÀ¯ÃÉ ±À¥ÄÀ gÀ. J£ï. ªÀÄAdÄ£ÁxÀ ¸À.². ²æà ZÀ£ÀßPÉñÀªÀ¸Áé«Ä ¨Á°PÁ ¥Ëæq± sÀ Á¯É, ºÁ¸À£À. ¸ÉÊAiÀÄzï ªÉƺÀªÀÄÆzï µÁ SÁ¢æ ¸À.². ²æà ZÀ£ÀßPÉñÀªÀ¸Áé«Ä ¨Á°PÁ ¥Ëæq± sÀ Á¯É, ºÁ¸À£À.