A Construção dos Pontos Notáveis de um Triângulo Utilizando o Geogebra
Alexandra Caboclo de Oliveira Joselane dos Passos de Deus
Universidade do Estado da Bahia – UNEB Pós-graduação em Educação Matemática e as Novas Tecnologias Docente: Solange Maia Pereira Disciplina: Vídeos, Internet e Softwares como estratégia Didática para as aulas de Matemática Pós-graduandas: Alexandra Caboclo de Oliveira Joselane dos Passos de Deus
Barreiras - Bahia 2014 1
Índice Introdução..............................................................................................................................03 Metodologia...........................................................................................................................05 A Construção dos Pontos Notáveis..................................................................................06 A Construção do Baricentro de um Triângulo....................................................06 Processo de Construção de Baricentro..................................................................06 Compreendendo os Conceitos de Baricentro......................................................07 A Construção do Incentro de um Triângulo..................................................................07 Processo de Construção do Incentro.....................................................................08 Compreendendo os Conceitos do Incentro.........................................................08 A Construção do Circuncentro de um Triângulo..........................................................10 Processo de Construção do Circuncentro............................................................10 Compreendendo os Conceitos de Circuncentro.................................................11 A Construção do Ortocentro de um Triângulo.............................................................11 Processo de Construção do Ortocentro................................................................11 Compreendendo os Conceitos de Ortocento......................................................12 Leituras Recomendadas.......................................................................................................13 Referencias.............................................................................................................................14 Blogs de Matemática............................................................................................................15 Links Interessantes. ..............................................................................................................16 2
Introdução Este livro descreve uma oficina realizada no Colégio Municipal Eliezer José Gonçalves, em Cristópolis, Bahia. Nesta instituição, realizamos uma oficina com sete professores da rede pública municipal abordando a construção dos conceitos de baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro de um triângulo. Para a realização da oficina, foi utilizado o software matemático geogebra por este ser uma ferramenta pedagógica que nos possibilitou mediar os conceitos geométricos e atender as dificuldades vivenciadas por nós, professores de matemática, quanto às expectativas com relação ao do uso do computador na sala de aula. Considerando que as tecnologias fazem parte do contexto social, acreditamos que a escola deve possibilitar a inserção do computador na sala de aula comtemplando à exploração de softwares matemáticos que facilitem a aprendizagem dos alunos e desta forma, repensarmos modelos pedagógicos que atendam as necessidades dos novos tempos. Nesta perspectiva que nos posicionamos como possíveis agentes transformadores da realidade em que vivemos. E nos sentimos mais ainda nesta obrigação, de favorecer nossa comunidade com estes novos conhecimentos porque estamos cursando a pós-graduação, na modalidade de Especialização, em Educação Matemática e as Novas Tecnologias, na UNEB. 3
Essa especialização é essencial para a nossa formação profissional, pois nos insere em um ambiente cuja principal competência é a produção/aplicação de novos conhecimentos que nos auxiliarão no desempenho da nossa prática pedagógica. Assim, propomos nesta oficina uma atividade dirigida e construída na expectativa de que o professor cursista trabalhe de forma autônoma e o professor formador ficará na posição de mediador na qual deverá interferir quando solicitado. Nesse sentido, a atividade dirigida tem o objetivo de estimular a autonomia, a investigação da pesquisa, as descobertas e as análises do fazer Matemática.
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Metodologia A oficina foi realizada no dia dezoito de dezembro de dois mil e treze, no laboratório de informática, do Colégio Municipal Eliezer José Gonçalves que, dispunha de doze computadores com o software geogebra instalados, no qual foram mediados os conceitos de pontos notáveis de um triângulo. As atividades propostas no roteiro para o desenvolvimento da oficina foi realizada individualmente em quatro momentos: No primeiro momento, foi explorado a área de trabalho do Geogebra que consideramos essencial para a correta localização das ferramentas necessárias para a realização dos roteiros de atividades sugeridas. No segundo momento, foram distribuídos os roteiros de atividades para a construção dos pontos notáveis de um triângulo. E, no terceiro momento, foi mediada a construção do baricentro, ortocentro, incentro e o circuncentro de um triângulo.
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A Construção dos Pontos Notáveis A partir deste momento, vamos aprofundar mais o nosso conhecimento a respeito dos conceitos bem como realizar a construção passo a passo dos pontos notáveis de um triângulo. http://www.youtube.com/watch?v=jGnZOJJNL2I http://www.youtube.com/watch?v=gHdot7CjCxo
A Construção do Baricentro de um Triângulo O primeiro ponto notável de um triângulo que iremos construir é o baricentro. Para saber mais sobre esse conceito geométrico é importante antes compreender o conceito de mediana. Acesse os links. Mediana: http://www.youtube.com/watch?v=jGnZOJJNL2I Baricentro: http://www.youtube.com/watch?v=sQceFtzy_gM Então, vamos construir o baricentro utilizando o software matemático geogebra seguindo o passo a passo.
Processo de Construção do baricentro 6
1º - Abrir um arquivo novo, desativar o eixo e a malha e criar um triângulo com vértices A, B e C. 2º - Representar o ponto médio do lado AB da figura. 3º - Traçar o segmento de reta que une os pontos D(ponto médio do lado AB do triângulo) e o ponto “C” (vértice oposto ao lado AB). O segmento obtido é chamado de mediana do triângulo em relação ao lado AB. 4º - Localizar o ponto médio “E” do lado AC do triângulo. 5º - Criar o segmento de reta com extremos em “E” e em “B”. O segmento obtido é chamado de mediana do triângulo em relação ao lado AC. 6º - Marcar a intersecção dos segmentos DC e EB, o ponto será nominado por “F”. 7º - Localizar o ponto médio “G” do lado BC.
Compreendendo os conceitos 1º - O que você entendeu por mediana? 2º - O ponto G obtido é o baricentro do triângulo, então, o que você entendeu por Baricentro? 3º - Mover os vértices A, B ou C. O que acontece com o triângulo e com o baricentro? E se movimentarmos os pontos médios dos lados do triângulo (D, E e G), o que ocorre? Fazer todos os registros. 4º - O que isso significa o baricentro do triângulo? Pesquisar e anotar todas as informações a esse respeito.
A Construção do Incentro de um Triângulo 7
O segundo ponto notável de um triângulo que iremos construir é o incentro. Para saber mais sobre esse conceito geométrico é importante antes compreender o conceito de bissetriz. Acesse os links. Bissetriz: http://www.youtube.com/watch?v=jGnZOJJNL2I Incentro: http://www.youtube.com/watch?v=XsgpT0kJrlQ Então, vamos construir o incentro utilizando o software matemático geogebra seguindo o passo a passo.
Processo de Construção do Incentro 1º - Ative a ferramenta polígono (janela 5) e clique em três lugares distintos na janela de visualização para formar um triângulo. Para fechar o triângulo clique novamente no primeiro ponto. Naturalmente que os pontos não podem estar alinhados. Um triângulo com vértices nos pontos A, B e C será criado. 2º - Ative a ferramenta bissetriz (janela 4) e clique sobre os vértices: A, C e B (nessa ordem). Posteriormente sobre os vértices C, B e A (nessa ordem). Duas bissetrizes foram criadas com os nomes “d” e “e”. 3º - Ative a ferramenta intersecção de dois objetos (janela 2) e crie o ponto D de intersecção das retas “d” e “e”. 4º - Queremos traçar a terceira bissetriz. A pergunta é: será que ela também passará pelo pondo D? 5º - Ative a ferramenta bissetriz (janela 4) e clique nos pontos B, A e C (nessa ordem).
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Compreendendo os conceitos Pense sobre a construção feita. Será que as bissetrizes de qualquer triângulo se encontrarão sempre no mesmo ponto? Para lhe ajudar com a resposta faça o seguinte: aperte a tecla esc e arraste qualquer um dos vértices. Experimente colocar os pontos nas mais diferentes posições. O que você percebeu? Esse ponto (Intersecção das Bissetrizes) é chamado de incentro. 1.
Ative a ferramenta exibir/esconder objeto (janela 11), clique sobre as retas
d, e, f e aperte esc posteriormente. 2.
Vamos modificar o nome do ponto D para incentro. Para tal clique com o
botão do lado direito do mouse sobre o ponto D e selecione a opção renomear. Na nova janela que aparecerá, escreva incentro e clique ok. 3.
Ative a ferramenta reta perpendicular (janela 4), clique no ponto incentro e
no lado c do triângulo (que liga os pontos A e B). 4.
Ative a ferramenta intersecção de dois objetos (janela 2), clique na reta g e,
posteriormente, no lado c que liga os pontos A e B. Um ponto D será criado. 5.
Nosso interesse é apenas no pé da perpendicular (ponto D). Assim,
podemos esconder a reta g, usando a ferramenta exibir/esconder objeto (janela 10). Faça isto, aperte a tecla ESC. 6.
Ative a ferramenta círculo definido pelo centro e um de seus pontos (janela
6), clique no ponto Incentro e posteriormente no ponto D. O que aconteceu? 7.
Aperte a tecla esc e arraste qualquer um dos vértices e verifique se a
circunferência continua inscrita. A partir dessa ilustração, o que você percebe?
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A construção nos leva a crer que o Incentro é o centro de uma circunferência que tangencia os lados de um triângulo por dentro (nesse caso, dizemos que a circunferência está inscrita no triângulo).
A Construção do Circuncentro de um Triângulo O terceiro ponto notável de um triângulo que iremos construir é o circuncentro. Para saber mais sobre esse conceito geométrico é importante antes compreender o conceito de bissetriz. Acesse os links. Mediatriz: http://www.youtube.com/watch?v=LpZgr5ODKoA Circuncentro: http://www.youtube.com/watch?v=5Y3WmP7mz_k Seguindo o passo a passo e com o auxílio do software matemático geogebra vamos construir o circuncentro de um triângulo.
Processo de Construção do Circuncentro 1º - Criar um arquivo novo, desativar eixo e malha. 2º - Representar um triângulo qualquer ABC, com os nomes e as medidas dos seus ângulos internos. 3º - Marcar os pontos médios dos lados AB, AC e BC da figura. 4º - Traçar uma reta perpendicular em relação ao lado AB, passando pelo seu ponto médio. 5º - Construir a reta perpendicular em relação ao lado AC, passando pelo seu ponto médio.
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6º - Marcar a intersecção das duas perpendiculares, esse ponto será nomeado por “G”. 7º - Representar a reta perpendicular em relação ao lado BC, passando pelo seu ponto médio.
Compreendendo os conceitos 1º - O que você observa em relação a essa perpendicular e as duas outras que foram construídas anteriormente? Elas se interceptam num mesmo ponto? Em qual ponto? 2º - Cada reta perpendicular traçada representa a mediatriz de um lado do triângulo e cada lado do triângulo um segmento de reta. 3º - Pelas construções feitas anteriormente o que você entendeu por mediatriz? 4º - O ponto “G”, intersecção das três mediatrizes, recebe o nome de circuncentro. Por quê?
A Construção do Ortocentro de um Triângulo O quarto ponto notável de um triângulo que iremos construir é o ortocentro. Para saber mais sobre esse conceito geométrico acesse o link sobre o ortocentro. Acesse o link. Ortocentro: http://www.youtube.com/watch?v=XsgpT0kJrlQ Para construir o ortocentro utilizando o software matemático geogebra devemos seguir o passo a passo.
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Processo de Construção do Ortocentro 1º - Abrir um arquivo novo, desativar eixo e malha. 2º - Representar um triângulo qualquer com vértices A, B e C. 3º - Criar uma perpendicular ao lado AB, passando por C e outra ao lado BC passando por A; 4º - Marcar o ponto de intersecção das retas perpendiculares. Esse ponto será rotulado por “D”.
Compreendendo os conceitos 1º - Mover um dos vértices do triângulo e observar se o ponto “D” permanece na intersecção das retas perpendiculares; 2º - Representar a perpendicular ao lado AC, passando por B. Essa reta passa pelo ponto “D”? É possível mover o ponto “D”? Por quê? 3º - Ocultar as perpendiculares e Marcar os ângulos internos do triângulo com seus nomes e medidas. Caso os ângulos não fiquem visíveis, ativar a ferramenta mover e arrastar as medidas dos ângulos para fora do triângulo. 4º - O ponto “D” é o ortocentro da figura. Escreva o que você entendeu sobre o que vem a ser ortocentro, por meio das construções.
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Leituras Recomendadas Matemática, Mídias Digitais e Didática – tripé para a formação do professor de Matematica. Disponível em: http://www.ufrgs.br/espmat/livros/livro2-matematica_midiasdigitais_didatica.pdf
Mapas conceituais: uma metodologia inovadora para introduzir conceitos matemáticos no ensino médio. Disponível em: http://www.gvaa.com.br/revista/index.php/REBES/article/viewFile/1962/1561
Objetos de Aprendizagem – Diálogos entre conceitos e uma nova proposição aplicada à educação. Disponível em: http://www.educacao.ufrj.br/artigos/n10/objetos_de_aprendizagem.pdf
Utilização de webquest na aula de matemática. Disponível em: http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_rosana_ga gliotti_dio.pdf
Nativos Digitais, Imigrantes Digitais. Disponível em:
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http://poetadasmoreninhas.pbworks.com/w/file/fetch/60222961/Prensky%20%20Imigrantes%20e%20nativos%20digitais.pdf
Links Interessantes http://portaldoprofessor.mec.gov.br http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/ http://matvirtual.pbworks.com/w/page/20595383/MatVirtual http://www.math-play.com/ http://www.coolmath-games.com/ http://www.mathplayground.com/games.html http://www.playkidsgames.com/mathGames.htm http://www.multiplication.com/games/all-games http://m3.ime.unicamp.br/recursos/midia:video http://issuu.com/ http://issuu.com/projectofinal/docs/tutorial_livro_digital http://www.webquestfacil.com.br/ https://www.blendspace.com/
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Blogs de Matemรกtica 1-
www.somatematica.com.br
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www.matematiques.com.br
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matematica.com.br/site
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matematicamuitofacil.com
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ginasiomental.com
6-
www.estudarmatematica.com.br
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www.matematica.br
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www.brasilescola.com/matematica
9-
professorwaltertadeu.mat.br
10- www.mundovestibular.com.br /Matematica 15
Referencias BORBA, Marcelo de Carvalho. PENTADO, Miriam Gody. Informátiva e Educação Matemática. 3ed. = Belo Horizonte: Autêntica, 2007. HOHENWARTER, Markus; HOHENWARTER, Judith. Manual do geogebra 3.2 (Tradução: António Ribeiro). Disponível em: <http://www.geogebra.org> Acesso em 11 de abr de 2014. MORAN, José Manuel. Mudar a forma de ensinar e de aprender com tecnologias. Disponível
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http://www.educacao.salvador.ba.gov.br/site/documentos/espacovirtual/espaco-edu-com > Acesso em 11 de abr de 2014. ODA, Felipe. Professores são inseguros para usar tecnologia. Estadão/Educação. Disponível
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PRENSKY, Marc. Nativos Digitais Imigrantes Digitais, 2001. Disponivel em: http://poetadasmoreninhas.pbworks.com/w/file/fetch/60222961/Prensky%20 %20Imigrantes%20e%20nativos%20digitais.pdf Acesso em 12 de abr de 2014. Roman, Ângelo Edval. Os Desafios para o Professor na Era Digital. Cadernos da Escola
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