mathimatika-apanthseis by Εφημερίδα των Συντακτών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΓΕΛ

11:03

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4/6/2024

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Σελίδα 2 από 7 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ – ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΓΕΛ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α.2. Ορισμός, σχολικό βιβλίο σελ. 155

Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 216

α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β.1.   :1, g  με τύπο   1 gxx x    :1, h  με τύπο   1 hxx x    1, g D  και   1, hD        1,1,1, ghgh DDD   Για την συνάρτηση g f h    2 111 0000101 xx hxxxx xxx              :01,:11:11, fggh h DDxDhxxxxx       2 2 111 1 1 ,1 11 1 1 1 xx x xx gx xxx fx x hx xx x x xx x     

ΘΕΜΑ

Α.1.

Α.3.

Α.4.

Σελίδα 3 από 7 Για την συνάρτηση rgh          1,1, rghgh DDxDx     2 2 1111 ,1rghxxxxx x xxx     Β.2. Έχουμε   1 1 x fx x   με   1, fD  Η f είναι συνεχής στο   1, fD  ως ρητή με                222 1111 112 0 111 xxxx xx fx xxx     Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο   1, fD  άρα f 1-1 άρα αντιστρέφεται Έχουμε λοιπόν           1 11 1 1111 1 111 111 xfy yx x fxyyxyxyyxxyxyy x xfyfxyyx yyx       Αφού f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο   1, fD  ισχύει:         1 lim,lim f x x fDfxfx       1 limlimlim1 1 xxx xx fx xx         111 11 limlimlim12 11xxx x fxx xx    Διότι 1 lim10101 x xx ά      άρα 1 1 lim 1 x x    Τελικά   1 1 1 x fx x   με     1 1, f f DfD Β.3. Έχουμε     1 1, r rxxD x  Κατακόρυφες ασύμπτωτες δεν έχει διότι είναι συνεχής στο   1, r D 

Σελίδα 4 από 7 Πλάγιες ασύμπτωτες της r C   2 1 1 limlimlim1101 xxx x fx x xxx        11 lim1limlim0 xxx fxxxx xx       Άρα η πλάγια ασύμπτωτη στο  είναι 10 yxyx  Β.4.           2 1 14 ffxrx                0 2 12232 3222 144 1414144 440440410 x ffxrxxxxxxxxx xxx xxxxxxxx       Άρα    2 2 404 410 ή 101 ή1 xx xx xxx    Η λύση 4 x  είναι δεκτή ενώ οι λύσεις 1 x  και 1 x  απορρίπτονται αφού   1, x  ΘΕΜΑ Γ   2 24,02 , 43,2 xex fx xxx          Γ.1. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο  0,2 ως πράξεις συνεχών. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο   2,  ως πράξεις συνεχών. Αφού η f είναι συνεχής στο   0,  θα ίσχυει και ότι 0 2 x  :                 22 22 22 22 limlim2 limlim2422444 limlim43242348312 110 xx xx xx fxfxf fxxeeee fxxxf ee                     Θεωρούμε τη συνάρτηση     1,0, x gxexx

Σελίδα 5 από 7             " 11 0 0 0 11,0, 01010 01010 01010 x x x xx e xxx e xxx e xxx gxexex gxeeeex gxeeeex gxeeeex          1 2 Άρα η g είναι γνησίως αυξουσα για   0, x  και η εξίσωση   0 gx  θα έχει μοναδική λύση την 0 x  Επομένως 10 e    για 0  . Γ.2. Έχουμε       2 2 2 241,02 24,02 43,2 43,2 25,02 43,2 xx xex fxfx xxx xxx xx fx xxx                02 x   η f είναι συνεχής με   20 fx   άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  0,2 2 x   η f είναι συνεχής με   240fxx   άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο   2,  Για   1 0,2  η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα          1 2 lim,01,5 x ffxf      διότι   22 limlim25225451 xx fxx     02055 f  Για   2 2,  η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα          2 lim,2,1 x ffxf     διότι         22limlim43lim xxx fxxxx     2 224234831 f 

Σελίδα 6 από 7 Επομένως             12 1,5,1,5 f fDff Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο   0, fD  επομένως δεν παρουσίαζει ακρότατο στο 0 2 x  Άρα η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0 0 x  το   05 f  Γ.3. i)   2 241,02 43,2 xx fx xxx     ή   2 25,02 43,2 xx fx xxx     Η f είναι συνεχής στο  0,3 αφού η f είναι συνεχής στο 0 2 x  Η f είναι παραγωγίσιμη στο    0,22,3  ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε στο 0 2 x              2222 2 22 22222 2 251242 limlimlim2lim2 2222 22 43144 limlimlimlimlim20 2222 xxxx xxxxx fxf xxx xxxx fxfx xxxx x xxxx        Αφού         22 22 limlim 22xx fxffxf xx   , η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 2 x  Άρα δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ στο διάστημα  0,3 . ii) Αναζητούμε  0,3  τέτοιο ώστε      30 912355 3033 ff f     και   2,02 24,2 x fx xxx      Για 2 x  έχουμε: 5 2 3  αδύνατη Για 2 x  έχουμε: 551717 24242 3336 xxxxx  δεκτή αφού   17 0,3 6  .

Σελίδα 7 από 7 Γ.4. Για 0tt  το σημείο Μ κινούμενο κατακόρυφα προς τα πάνω θα συναντήσει την f C στην κορυφή της παραβολής  2,1  οπότε       00 , xtyt  γίνεται  2,1  άρα   0 2 xt  και   0 1 yt        22 yt y άt                        2 2 1111 222 tyttyttytt t      Για 0tt              222221455   0 2 5 t     Για 0tt            2 2 00000 112221 0,5 sec 22555 5 rad tyttytyt      ΘΕΜΑ Δ

προσεχώς Δ.2. προσεχώς

προσεχώς

Δ.1.

Δ.3.

Δ.4.