ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1.
α. Σχολικό βιβλίο σελ. 15. β. i. Η συνάρτηση έχει αντίστροφη όταν είναι 1-1 στο Α. ii. Σχολικό βιβλίο σελ. 35.
Α2.
Σχολικό βιβλίο σελ. 142
Α3.
Σχολικό βιβλίο σελ. 135
Α4.
α) Λάθος
1 , x < 0 Έστω η συνάρτηση f ( x ) = 2 , x > 0 Είναι f ′ ( x ) = 0, για κάθε x ∈ ( −∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ ) , αλλά η f δεν είναι σταθερή στο
( −∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ ) . Α4.
β) Λάθος
Α5.
γ)
x , x ≠ 0 Έστω η f ( x ) = . Είναι lim f ( x ) = 0 ≠ f ( 0) = 5. x →0 5 , x = 0
ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει ότι lim f ( x ) = 2 ⇔ lim ( e − x + l ) = 2 ⇔ l = 2 x →+∞
x →+∞
Β2. Έστω συνάρτηση g με g ( x )= f ( x ) − x= e − x − x + 2, x ∈ [ 2,3] . Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [2, 3], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. g ( 2 )= e −2 − 2 + 2= e −2 > 0 g ( 2 ) ⋅ g ( 3) < 0 . 1 −3 g ( 3) = e − 3 + 2 = 3 − 1 < 0 e Από το Θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ ( 2,3) τέτοιο ώστε g ( x0 ) = 0 ⇔ f ( x0 ) = x0 .
Επίσης g ′ ( x ) =−e − x − 1 < 0 για κάθε x ∈ [ 2,3] .
1
Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα, συνεπώς είναι 1-1, οπότε το x0 είναι μοναδική λύση. Β3. f ′ ( x ) = −e − x < 0 . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , οπότε είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται. y =f ( x ) ⇔ y = e− x + 2 ⇔ y − 2 = e − x ⇔ ln ( y − 2 ) = −x ⇔ x = − ln ( y − 2 ) y >2
Άρα f
−1
− ln ( x − 2 ) , x > 2 ( x) =
Β4. Είναι lim+ f −1 ( x ) = −∞ . Διότι: x→2
Θέτουμε x − 2 = u . Όταν x → 2+ ⇒ u → 0+ . Οπότε lim+ f −1 ( x ) = lim+ − ln ( x − 2 ) = − lim+ ln ( x − 2 ) = lim+ ln u = −∞ . x→2
x→2
x→2
u →0
Άρα η x = 2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f .
ΘΕΜΑ Γ Γ1. Η f είναι συνεχής στο x0 = 1 ως παραγωγίσιμη. Οπότε lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ 1 + β = 1 + a ⇔ a = β x →1
x →1
0
f ( x ) − f (1) e x −1 + β x − 1 − a e x −1 + β x − 1 − β 0 e x −1 + β = lim− = lim− = lim− = β +1 lim− ( DLH ) x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 1 f ( x ) − f (1) x2 + a −1 − a = lim+ lim = 2 x →1 x →1+ x −1 x −1 2
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 1, πρέπει β + 1 =2 , άρα β = 1 , οπότε και α=1. Γ2. Για x > 1, Για x < 1,
f ′ ( x= ) 2x > 0
f ′( x= ) e
x −1
+1 > 0
και f συνεχής στο
(1) (2) (3)
Από (1), (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι η f
είναι γνησίως αύξουσα στο .
lim f ( x ) = lim ( x 2 + 1) = +∞
x →+∞
x →+∞
lim f ( x ) = lim ( e x −1 + x ) = −∞
x →−∞
x →−∞
Άρα f ( ) = . Γ3. i. lim f ( x ) = −∞ . Άρα υπάρχει κ < 0 τέτοιο ώστε f (κ ) < 0 και x →−∞
1 >0 (2) e Άρα από Θεώρημα Bolzano στο [κ, 0], υπάρχει x0 ∈ (κ , 0 ) , ώστε f ( x0 ) = 0 . Το f ( 0 )= e −1=
x0 είναι μοναδική λόγω μονοτονίας της f .
ii. f 2 ( x ) − x0 f ( x ) =0 ⇔ f ( x ) ⋅ ( f ( x ) − x0 ) =0 (1) Ισχύει f ( x ) ≠ 0 για κάθε x > x0 άρα η (1) στο
( x0 , +∞ )
είναι ισοδύναμη με την
f ( x ) − x0 =0 ⇔ f ( x ) =x0 .
Η τελευταία είναι αδύνατη στο
( x0 , +∞ )
διότι f γνησίως αύξουσα, άρα
f ( x ) > f ( x0 ) ⇔ f ( x ) > 0 ενώ x0 < 0 .
Γ4. M ( x ( t ) , y ( t ) ) ⇒ y ( t ) = x 2 ( t ) + 1 x ( t0 ) = 3 , y ( t0 ) = 10 , x′ ( t0 ) = 2
1 x (t ) y (t ) ⇒ 2 t = t0 1 1 E ′ ( t ) = x′ ( t ) y ( t ) + x ( t ) y ′ ( t ) ⇒ 2 2 1 1 = E ′ ( t0 ) x′ ( t0 ) y ( t0 ) + x ( t0 ) y ′ ( t0 ) 2 2 Ισχύει: y′ ( t0 ) = 2 x ( t0 ) x′ ( t0 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12 E (t ) =
Άρα E ′ ( t0 ) =
0
1 1 ⋅ 2 ⋅10 + ⋅ 3 ⋅12 = 28 τ.μ/sec. 2 2
3
ΘΕΜΑ Δ Δ1. f ( x ) = ( x − 1) ⋅ ln ( x 2 − 2 x + 2 ) + ax + β
ε : y =− x + 2 f (1) =1 ⇒ a + β =1 f ′ (1) = −1
f ′ ( x= ) ln ( x 2 − 2 x + 2 ) + ( x − 1) f ′ (1) =−1 ⇒ a =−1 και β = 2
Δ2. f ( x ) =
( x − 1) ln ( x 2 − 2 x + 2 ) − x + 2 .
∫ ( x − 1) ln ( x όπου ( x − 1) ⋅ ln ( x
= Ε
2
2
1
= E ln 2 −
2x − 2 +a x − 2x + 2 2
2
Η f είναι συνεχής στο άρα και στο [1, 2]
− 2 x + 2 ) − x/ + 2/ + x/ − 2/ dx =
∫ ( x − 1) ln ( x 2
1
− 2 x + 2 ) ≥ 0 για κάθε x ∈ [1, 2] . Οπότε
2
− 2 x + 2 ) dx
1 τ.μ. 2
2 ( x − 1) 2 Δ3. i. Eίναι f ′ ( x= − 1, x ∈ ) ln ( x − 1) + 1 + 2 ( x − 1) + 1 2
2 ( x − 1) 2 ≥ 0. Προφανώς για κάθε x ∈ , θα ισχύει ln ( x − 1) + 1 + ( x − 1)2 + 1 2
Η ισότητα ισχύει μόνο για x = 1 , επομένως f ′ ( x ) ≥ −1, ∀x ∈ . 1 3 ii. Είναι για λ ∈ , f l + + l ≥ ( l − 1) ln ( l 2 − 2l + 2 ) + ⇔ 2 2 1 1 ⇔ f λλ + ≥ f ( )− . 2 2 1 Θεωρώντας τη συνάρτηση f στο διάστημα λλ , + ικανοποιούνται οι 2 1 προϋποθέσεις του Θ. Μ. Τ., επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ λλ , + 2 1 f λλ + − f ( ) 2 τέτοιο ώστε f ′ (ξ ) = . 1 2 Όμως από Δ3 (i) έχουμε f ′ (ξ ) ≥ −1.
1 f λλ + − f ( ) 1 1 2 Άρα ≥ −1 ⇔ f λλ + − f ( ) ≥ − δηλαδή η (1). 1 2 2 2
4
Δ4. Η g είναι παραγωγίσιμη στο με g ′ ( x ) = −3 x 2 − 1 . Εξετάζουμε αν η εφαπτομένη της C f στο Α εφάπτεται της Cg στο σημείο της Θα πρέπει τότε g ′ ( x0 ) = −1 ⇔ −3 x − 1 ⇔ x0 = 0 .
( x , g ( x )) . 0
0
2 0
Έτσι η εφαπτομένη της Cg στο Β (0,2) είναι y − 2 =−1( x − 0 ) ⇔ y =− x + 2 . Άρα η ε κοινή εφαπτομένη των C f , Cg στα σημεία τους Α, Β αντίστοιχα. Η παραπάνω κοινή εφαπτομένη είναι μοναδική γιατί: • f ′ ( x1 ) ≥ −1, x1 ∈ και η ισότητα ισχύει για x1 = 1 •
g ′ ( x2 ) ≤ −1, x2 ∈ και η ισότητα ισχύει για x2 = 0
Οπότε f ′ ( x1 ) > g ′ ( x2 ) για κάθε ζεύγος
( x1 , x2 )
με
( x1 , x2 ) ≠ (1, 0 )
Επομένως η παραπάνω εφαπτομένη y =− x + 2 είναι μοναδική.
5