Τα θέματα στα Μαθηματικά (Ημερήσια)

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝ ΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)

ΘΕΜ Α Α A1.

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ . Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7

A2.

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής στο x 0 , είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. » α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησ ή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες 4

A3.

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 4

A4.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για

κάθε

lim f(x)

x

x0

ζεύγος

συναρτήσεων

0 και lim g(x) x

x0

f: και g : , τότε lim [f(x) g(x)] 0 . x

,

αν

x0

β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A, B αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f(A)

B

γ) Για κάθε συνάρτηση f :

. που είναι παραγωγίσιμη και δεν

παρουσιάζει ακρότατα , ισχύει f (x) δ) Αν 0

1, τότε lim x

x

0 για κάθε x

.

.

ε) Η εικόνα f( ) ενός διαστήματος

μέσω μιας συνεχούς και μη

σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 10

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) B1.

0 και g(x)

nx, x

x 1 x

, x

1.

Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g . Μονάδες 5

B2.

Αν h(x)

(f g)(x)

n

x

, x

1 x

(0,1) , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 6 B3.

Αν φ(x)

h 1(x)

ex ex

, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς

, x 1

τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 7 B4.

Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό .) Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(x) Γ1.

[0, ] , και το σημείο A

x, x

2

,

.

2 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες ( 1 ), ( 2 ) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8

Γ2.

Αν ( 1 ): y

x και ( 2 ): y

τότε να σχεδιάσετε τις ( 1 ), (

E αποδείξετε ότι 1 E2

x 2

είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ1,

) και τη γραφική παράσταση της f , και να

2

8

1, όπου:

E1 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες ( 1 ), (

2

) , και

E 2 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x ' x . Μονάδες 6 Γ3.

Να υπολογίσετε το όριο lim x

f(x) x f(x) x

. Μονάδες 4

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ e

Γ4.

Να αποδείξετε ότι 1

f(x) dx x

e 1

. Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ 3

Δίνεται η συνάρτηση f(x)

x4 ,

ex

x x, x

[ 1,0) [0, ]

Δ1.

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ 1, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Μονάδες 5

Δ2.

Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6

Δ3.

Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική 5x παράσταση της f , τη γραφική παράσταση της g , με g(x) e , x , τον άξονα y ' y και την ευθεία x

. Μονάδες 6

Δ4.

Να λύσετε την εξίσωση 16 e

3 4

f(x) e

3 4

(4x 3 )2

8 2. Μονάδες 8

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέ νους) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Σ τ ο ε ξ ώ φυ λ λ ο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Σ τ ο ε σ ώφ υ λ λ ο πά νω - π ά νω να σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ α α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μ α θ η τ ή . Σ τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α π α ντ ή σ ε ώ ν σ α ς να γρ ά ψ ε τ ε π ά νω - π ά νω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α κ α ι τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Ν α μ η ν α ντ ι γ ρά ψ ε τε τ α θ έ μ α τα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μ η γ ρά ψ ε τε π ο υ θ ε νά σ τ ι ς α π α ν τ ή σ ε ι ς σ α ς τ ο ό νο μ ά σ α ς . Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά τ η ν α π ο χ ώ ρ η σ ή σ α ς να π α ρ α δ ώ σ ε τ ε μ αζ ί μ ε τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τ α φ ω τ ο α ντ ί γ ρ α φ α . Ν α α π α ν τ ή σ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρά δ ι ό σ α ς σ ε όλ α τ α θ έ μ α τ α μ ό νο μ ε μ π λ ε ή μ ό νο μ ε μ α ύ ρ ο σ τ υ λ ό μ ε μ ε λ ά νι π ο υ δ ε ν σ β ή νε ι . Μο λ ύ β ι ε π ι τ ρ έ π ε τ α ι , μ ό νο α ν τ ο ζ η τ ά ε ι η εκ φ ώ νη σ η, κ α ι μ ό νο γ ι α π ί να κ ε ς , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κ λ π. Κ ά θ ε α π ά ντ η σ η ε π ι σ τ η μ ο νι κ ά τ ε κ μ η ρ ι ω μ έ νη ε ί να ι α π ο δ ε κ τ ή . Δ ι ά ρ κ ε ι α ε ξ έ τ α σ η ς : τρ ε ι ς ( 3 ) ώ ρ ε ς με τ ά τη δ ι α νο μ ή τ ω ν φ ω τ οα ντ ι γ ρ ά φ ω ν. Χ ρ ό νο ς δ υ να τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ .

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ Α ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ