ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝ ΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)
ΘΕΜ Α Α A1.
Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ . Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7
A2.
Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής στο x 0 , είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. » α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησ ή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες 4
A3.
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 4
A4.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για
κάθε
lim f(x)
x
x0
ζεύγος
συναρτήσεων
0 και lim g(x) x
x0
f: και g : , τότε lim [f(x) g(x)] 0 . x
,
αν
x0
β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A, B αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f(A)
B
γ) Για κάθε συνάρτηση f :
. που είναι παραγωγίσιμη και δεν
παρουσιάζει ακρότατα , ισχύει f (x) δ) Αν 0
1, τότε lim x
x
0 για κάθε x
.
.
ε) Η εικόνα f( ) ενός διαστήματος
μέσω μιας συνεχούς και μη
σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 10
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) B1.
0 και g(x)
nx, x
x 1 x
, x
1.
Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g . Μονάδες 5
B2.
Αν h(x)
(f g)(x)
n
x
, x
1 x
(0,1) , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 6 B3.
Αν φ(x)
h 1(x)
ex ex
, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς
, x 1
τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 7 B4.
Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό .) Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(x) Γ1.
[0, ] , και το σημείο A
x, x
2
,
.
2 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες ( 1 ), ( 2 ) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8
Γ2.
Αν ( 1 ): y
x και ( 2 ): y
τότε να σχεδιάσετε τις ( 1 ), (
E αποδείξετε ότι 1 E2
x 2
είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ1,
) και τη γραφική παράσταση της f , και να
2
8
1, όπου:
E1 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες ( 1 ), (
2
) , και
E 2 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x ' x . Μονάδες 6 Γ3.
Να υπολογίσετε το όριο lim x
f(x) x f(x) x
. Μονάδες 4
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ e
Γ4.
Να αποδείξετε ότι 1
f(x) dx x
e 1
. Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ 3
Δίνεται η συνάρτηση f(x)
x4 ,
ex
x x, x
[ 1,0) [0, ]
Δ1.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ 1, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Μονάδες 5
Δ2.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6
Δ3.
Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική 5x παράσταση της f , τη γραφική παράσταση της g , με g(x) e , x , τον άξονα y ' y και την ευθεία x
. Μονάδες 6
Δ4.
Να λύσετε την εξίσωση 16 e
3 4
f(x) e
3 4
(4x 3 )2
8 2. Μονάδες 8
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέ νους) 1.
2.
3.
4. 5. 6.
Σ τ ο ε ξ ώ φυ λ λ ο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Σ τ ο ε σ ώφ υ λ λ ο πά νω - π ά νω να σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ α α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μ α θ η τ ή . Σ τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α π α ντ ή σ ε ώ ν σ α ς να γρ ά ψ ε τ ε π ά νω - π ά νω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α κ α ι τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Ν α μ η ν α ντ ι γ ρά ψ ε τε τ α θ έ μ α τα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μ η γ ρά ψ ε τε π ο υ θ ε νά σ τ ι ς α π α ν τ ή σ ε ι ς σ α ς τ ο ό νο μ ά σ α ς . Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά τ η ν α π ο χ ώ ρ η σ ή σ α ς να π α ρ α δ ώ σ ε τ ε μ αζ ί μ ε τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τ α φ ω τ ο α ντ ί γ ρ α φ α . Ν α α π α ν τ ή σ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρά δ ι ό σ α ς σ ε όλ α τ α θ έ μ α τ α μ ό νο μ ε μ π λ ε ή μ ό νο μ ε μ α ύ ρ ο σ τ υ λ ό μ ε μ ε λ ά νι π ο υ δ ε ν σ β ή νε ι . Μο λ ύ β ι ε π ι τ ρ έ π ε τ α ι , μ ό νο α ν τ ο ζ η τ ά ε ι η εκ φ ώ νη σ η, κ α ι μ ό νο γ ι α π ί να κ ε ς , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κ λ π. Κ ά θ ε α π ά ντ η σ η ε π ι σ τ η μ ο νι κ ά τ ε κ μ η ρ ι ω μ έ νη ε ί να ι α π ο δ ε κ τ ή . Δ ι ά ρ κ ε ι α ε ξ έ τ α σ η ς : τρ ε ι ς ( 3 ) ώ ρ ε ς με τ ά τη δ ι α νο μ ή τ ω ν φ ω τ οα ντ ι γ ρ ά φ ω ν. Χ ρ ό νο ς δ υ να τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ .
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ Α ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ