ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Δ΄ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝ ΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)
ΘΕΜ Α Α A1.
Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 10
A2.
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συ νεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 5
A3.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για
κάθε
lim f(x)
x
x0
ζεύγος
συναρτήσεων
f: και g : τότε lim [f(x) g(x)] 0 .
0 και lim g(x) x
x0
x
,
αν
x0
β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισ μού A, B αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f(A)
B
γ) Για κάθε συνάρτηση f :
. που είναι παραγωγίσιμη και δεν
παρουσιάζει ακρότατα , ισχύει f (x) δ) Αν lim f(x) x
0 για κάθε x
.
, τότε f(x)>0 κοντά στο x 0 .
x0
ε) Η εικόνα f( ) ενός διαστήματος
μέσω μιας συνεχούς και μη
σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f(x) B1.
Να δείξετε ότι
x2
x
, x
0
x 5,
x
0
5. Μονάδες 8
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Δ΄ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ B2.
Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0
0. Μονάδες 9
B3.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A( 1,f( 1)) . Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) Γ1.
1 και g(x)
x 1, x
3 5x , x x 2
2.
Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g . Μονάδες 7
Γ2.
Αν
φ(x)
(f g)(x)
5 6x ,x x 2
5 [ ,2) να μελετήσετε τη συνάρτηση φ 6
ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα . Μονάδες 10 Γ3.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(x)
x,
x
[ 1,0)
x,
x
[0, ]
Δ1.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ 1, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Μονάδες 8
Δ2.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 7
Δ3.
Να
αποδείξετε
ότι
υπάρχει
ένα
τουλάχιστον
(0, ) , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x 0 ,f(x 0 )) να διέρχεται από το σημείο M(0, 3) . x0
Μονάδες 10
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Δ΄ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέ νους) 1.
2.
3.
4. 5. 6.
Σ τ ο ε ξ ώ φυ λ λ ο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Σ τ ο ε σ ώ φ υ λ λ ο πά νω - π ά νω να σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ α α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μ α θ η τ ή . Σ τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α π α ντ ή σ ε ώ ν σ α ς να γρ ά ψ ε τ ε π ά νω - π ά νω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α κ α ι τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Ν α μ η ν α ντ ι γ ρά ψ ε τε τ α θ έ μ α τα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μ η γ ρά ψ ε τε π ο υ θ ε νά σ τ ι ς α π α ν τ ή σ ε ι ς σ α ς τ ο ό νο μ ά σ α ς . Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά τ η ν α π ο χ ώ ρ η σ ή σ α ς να π α ρ α δ ώ σ ε τ ε μ αζ ί μ ε τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τ α φ ω τ ο α ντ ί γ ρ α φ α . Ν α α π α ν τ ή σ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρά δ ι ό σ α ς σ ε όλ α τ α θ έ μ α τ α μ ό νο μ ε μ π λ ε ή μ ό νο μ ε μ α ύ ρ ο σ τ υ λ ό μ ε μ ε λ ά νι π ο υ δ ε ν σ β ή νε ι . Μο λ ύ β ι ε π ι τ ρ έ π ε τ α ι , μ ό νο α ν τ ο ζ η τ ά ε ι η εκ φ ώ νη σ η, κ α ι μ ό νο γ ι α π ί να κ ε ς , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κ λ π. Κ ά θ ε α π ά ντ η σ η ε π ι σ τ η μ ο νι κ ά τ ε κ μ η ρ ι ω μ έ νη ε ί να ι α π ο δ ε κ τ ή . Δ ι ά ρ κ ε ι α ε ξ έ τ α σ η ς : τρ ε ι ς ( 3 ) ώ ρ ε ς με τ ά τη δ ι α νο μ ή τ ω ν φ ω τ οα ντ ι γ ρ ά φ ω ν. Χ ρ ό νο ς δ υ να τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ .
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ Α ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ