Matematica Financiera

INTERÉS SIMPLE La matemática financiera es una parte de la matemática aplicada que estudia los modelos matemáticos relacionados con los cambios cuantitativos que se producen en sumas de dinero, llamadas capitales. Sobre los inicios de la matemática financiera no se sabe gran cosa, simplemente que ésta ha existido desde tiempo inmemorial. La aritmética comercial estaba bien desarrollada para el 1500 a.C. y parece ser que la matemática financiera se desarrolló como un complemento a las transacciones comerciales. Sin embargo, no se conoce cuándo y quién introduce los conceptos fundamentales en los que se basa.

Por ejemplo, del concepto de interés simplemente sabemos que surgió cuando una persona se dio cuenta que si alguien le debía dinero, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.

La importancia de la matemática financiera radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las finanzas, ya que le permiten al administrador financiero tomar decisiones de forma rápida y acertada. Asimismo, es la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo.

INTERÉS SIMPLE Cuando una persona utiliza un bien que no le pertenece, por lo general debe pagar una renta por el uso de dicho bien. Las cosas que se pueden rentar son innumerables: casas, automóviles, salones para eventos sociales, ropa de ceremonia, computadoras, etcétera. El dinero no es la excepción, ya que se trata de un bien que se puede comprar, vender y, por supuesto, prestar. Cuando se pide dinero prestado, por lo general, se debe pagar una renta por su uso. En este caso la renta recibe el nombre de interés, intereses o rédito.

El interés se define como el dinero que se paga por el uso del dinero ajeno. También se puede decir que el interés es el rendimiento que se tiene al invertir en forma productiva el dinero. El interés se simboliza mediante la letra I.

Pág.

La cantidad de dinero tomada en préstamo o invertida se llama capital o principal, y se simboliza mediante la letra P. El monto o valor futuro se define como la suma del capital más el interés ganado, y se simboliza mediante la letra S Por tanto,

SPI Capital (P): Es todo aquello que se va ha prestar o alquilar para que luego de un período de tiempo genere una ganancia. El capital también es llamado Principal, Valor Actual, Monto inicial, Stock inicial.

Tiempo (n): Es el período durante el cual se va a ceder o depositar un determinado capital. También llamado Horizonte temporal Observaciones: De acuerdo al sistema legal vigente, si una persona deposita y retira de su cuenta en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo día, no habrá ganado interés alguno.

Lo contrario supondría percibir interés por hora, minutos, segundos, etc. situación que puede corresponder al cálculo del interés continuo y no contemplado en el sistema financiero. Para percibir interés es necesario que el dinero haya permanecido en la institución financiera como mínimo un día, transcurrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las cuales se excluye y la última se incluye, operación conocida como el “método de los días terminales” Ejemplo: Determinar cuántos días han transcurrido entre el 4 de mayo y el 18 de agosto del mismo año, fechas en que se depositó y retiró un capital de un banco.

Días del mes de mayo (31-4) = 27 Junio = 30 Julio = 31 Agosto = 18 En total han transcurrido 106 días.

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1

De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva (BCR), el año comercial o bancario consta de 360 días. De manera que cuando no se mencione fechas específicas el año se subdivide según sea el caso de la siguiente manera:

Unidad Año Semestre Trimestre Bimestre Mes Quincena Semana Día

Períodos en un año 1 2 4 6 12 24 52 360

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

En días 360 180 90 60 30 15 7 1

1. Rigoberto pidió prestado $12000 a pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es de 36% anual simple, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de interés?

Tasa de interés (j%) Es un indicador en tanto por ciento que nos indica la cantidad de unidades que se desea ganar por cada 100 unidades den un período de tiempo determinado.

Interés (I): El interés es el rédito o ganancia, producida por un préstamo, depósito o inversión. Se entiende por rédito al valor que se conviene pagar por el uso del dinero a través de un préstamo, un depósito o cualquier otra actividad financiera.

Interés Simple: El Interés es simple cuando al término de cada período el interés obtenido no se agrega al capital inicial (no se capitaliza) para producir nuevos intereses, es decir que el capital permanece invariable. Por lo general el interés simple se calcula entre la fecha de inicio de la operación y la fecha de liquidación establecida previamente llamado horizonte temporal.

I  P  jn CASOS EN EL CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE En el cálculo del interés simple se presentan varios casos como los siguientes: A.

Interés con Capital y Tasa Nominal Constante.

Es el caso clásico analizado líneas arriba.

Cuando durante el horizonte temporal el capital y la tasa de interés no han sufrido variaciones.

I  P  jn P

I jn

j

I P n

n

2. Marcela posee un capital de $60000. Invierte 70% de su capital a 3.6% trimestral y el resto a 5.1% semestral. ¿Cuánto recibe cada mes de interés total?

3. ¿Qué interés simple generó un principal de 12 700 dólares, en 1 año, 7 meses y 10 días, colocado a una TNM de 3%?

4. ¿En cuánto tiempo se duplicará una cierta cantidad de dinero, si se invierte a 20% de interés simple?

5. Sofía compra un televisor que cuesta $3750 de contado. Da un anticipo de 10% del precio de contado y acuerda pagar $3 37 de interés, en tres meses. ¿Qué tasa de interés simple anual paga?

6. Suponga que recibió un préstamo y al final de 4 meses debe pagar un monto de $19 600. Si el interés fue de $1200, ¿qué capital le prestaron?

7. ¿Cuánto interés pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fabrica de dulces y chocolates, al comprar mercancía por $7 890 a un mes de plazo, si le cargan una tasa de interés de 3.12% mensual?

8. Obtenga el interés simple que produce un capital de $5000 en 10 meses a 2.5% bimestral.

9. Calcule el interés simple de $13 500 a 4.25% trimestral durante un año y tres meses.

10. Obtenga el interés de un capital de $ 1000 a 1.61% quincenal en 11 meses.

11. Alfonso consigue un préstamo por $75 000 a un año y medio de plazo y una tasa de interés simple de 2.97% mensual. ¿Cuánto pagará por concepto de intereses?

I P j

12. Un empleado obtiene un préstamo de su empresa por $97 000, para la compra de un auto usado y acepta liquidar el préstamo tres años después. Existe el acuerdo que mientras exista la deuda, el empleado pagará intereses mensuales a razón de 18% anual. ¿Cuánto deberá pagar de intereses cada mes?

Pág.

2

13. Si se solicita un préstamo por $7 000 a 19.92% semestral de interés simple, ¿cuánto se debe pagar por concepto de intereses al término de 15 meses?

14. Rubén compra a crédito una estufa que tiene un precio de contado de $4765. Queda de acuerdo en dar un enganche de 15% y un pago final 2 meses más tarde. Si acepta pagar una tasa de interés de 48% sobre el saldo, ¿cuánto deberá pagar dentro de 2 meses?

15. El interés ganado por un préstamo de 800 dólares, en un plazo de 5 meses, fue de 20 dólares. Calcule la tasa de interés anual.

16. ¿A qué tasa de interés simple mensual equivale una tasa de interés simple de 18% cuatrimestral?

17. Un capital invertido se triplicó al cabo de 8 años. ¿Qué tasa de interés simple anual ganó?

18. Ana posee un capital de $200 000. Invierte 7 5% del dinero a 2% trimestral y el resto a 3.5% semestral. ¿Cuánto recibe cada mes de intereses?

19. Si la tasa de interés simple en una cuenta de ahorros es de 3.4% anual, ¿en cuánto tiempo se duplica un capital?

20. Una empresa obtuvo un préstamo por S/ 8 000, por un período de 10 meses a una tasa del 20% anual. ¿Cuál será el interés a pagar al término del período?

21. Calcule el importe con el que se apertura una cuenta colocada en un banco a una TNA de 12%, que durante el plazo de 9 meses generó un interés de simple de 110 soles.

interés simple que pagará la empresa al vencimiento del plazo?

27. El 25 de marzo se apertura una cuenta con S/ 6 000 soles en el Banco, el mismo que pagaba una TNA de 18%. Se requiere conocer el interés simple que generó la cuenta hasta el 20 de abril del mismo año, feche en que se cancelo la operación.

28. ¿Qué principal colocado entre el 15 de abril y 30 de junio del mismo año, a una TNM de 2%, producirá un interés simple de 96 dólares?

29. Calcule la TNT que se aplicó a un principal de S/ 4 000, que durante el plazo comprendido entre el 5 de marzo y 17 de julio del mismo año produjo un interés simple de 297,78 soles.

30. Una persona deposita S/ 20 000 en una entidad financiera a una tasa de interés simple mensual de 1.5%. ¿Cuál será el interés generado en un período de 8 meses?

31. Si Karen se presta de Consuelo S/ 3000 a una tasa de interés del 10%, pero ella ese mismo día presta a Gianina S/ 2000 a cierta tasa de interés. Calcule dicha tasa si al final de 2 años los intereses que cobra y que debe pagar Karen son iguales.

32. Un banco otorga a una empresa un préstamo de 120 000 dólares para ser devuelto dentro de 1 año y 6 meses, y cobra una TNA de 24%. ¿Cuál será el interés simple que pagará la empresa al vencimiento del plazo?

B.

22. Calcule la TNA que se aplicó a un principal de 15 000 soles, que durante un plazo de 3 meses produjo un interés de 300 soles.

S  P (1  j  n)

De donde:

23. Calcule el plazo al cual estuvo colocado un principal de 5 000 um, que generó una TNM de 2% y rindió un interés simple de 350 um.

P

24. Una persona depositó 15 000 um en una institución financiera; este importe genera una TNM de 3,5%. ¿Qué interés simple habrá generado ese principal en tres meses?

Pág.

S 1 jn

S 1 j P n

S 1 n P j

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

25. ¿Qué interés simple devengó un principal de 10 000 dólares, en 1 año, 2 meses y 26 días, colocado a una TNM de 3%?

26. Un banco otorga a una empresa un préstamo de 10000 dólares para ser devuelto dentro de un año, y cobra una TNA de 24%. ¿Cuál será el

Monto con Principal y Tasa Nominal Constante Es el valor acumulado del capital más los intereses devengados y para su cálculo utilizaremos:

1. Calcular el monto que debe pagar una deuda de S/ 8 000 después de 150 días de su aceptación, al 18% de interés anual.

3

2. Se obtuvo un préstamo de S/ 8 000 para ser revertido en un período de 180 días la cantidad de S/ 8 960 ¿Cuál será la tasa de interés mensual impuesta durante el período?

3. ¿En qué tiempo un capital de 2 600 soles colocado al 20% anual, se convertirá en el doble?

4. Un ahorrista desea saber de cuanto dispone en el banco si hace 7 meses depositó en una cuenta de ahorros la cantidad de S/ 4 800 al 3% de interés simple mensual.

5. Un trabajador espera recibir dentro de 11 meses la cantidad de S/ 6 000 por beneficios sociales, pero existe la posibilidad de cobrarlo ahora y desea saber la cantidad a recibir, si la tasa de interés simple es de 18% anual.

6. ¿En qué tiempo se cuadriplicará la cantidad de S/ 2 500 si la tasa de interés simple es del 12% mensual?

7. ¿Qué monto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorros colocada a interés simple, si percibe una TNM de 3%, y su depósito inicial de 2500 soles, realizado el 4 de octubre, se canceló el 16 del mismo mes?

8. Encontrar el principal que a una tasa de interés simple mensual de 3%, durante 87 días, produjo un monto de 500 soles.

9. Se adquirió una máquina cuyo precio de contado es 6 000 dólares, pero se pagó una cuota inicial de 2 000 dólares y el saldo se financió con una letra a 45 días por el monto de 4 150 dólares. ¿Cuál fue la tasa mensual de interés simple cargada en esta operación?

10. ¿En qué tiempo el monto triplicará al principal constante colocado a una TNA de 20%?

11. Determinar el interés simple acumulado al 2 de junio, de una cuenta cuyo monto a tal fecha ascendió a 10 000 soles desde la apertura de la cuenta, el 1 de mayo del mismo año, la TNA se ha mantenido en 36% y el principal no ha sufrido variación.

Pág.

PROBLEMAS Propuestos Problema 01: Hallar el interés simple de S/ 4 000 colocados durante 6 días al 36% anual.

Rp. S/. 24 Problema 02: ¿Qué interés simple podrá disponerse el 18 de mayo, si el 15 de abril se invirtió S/. 5 000 a una tasa anual de 24%?

Rp. S/. 110 Problema 03: ¿Cuál es el interés simple de S/.

3000 en 8 meses al 48% anual?

Rp. S/. 960 Problema 04: ¿Cuánto habrá ganado un capital de S/. 10 000 en 1 año, 2 meses y 26 días al 24% anual de interés?

Rp. S/. 2 973.33 Problema 05: Calcular el interés simple de S/. 2 000 al 2,5% mensual desde el 12 de marzo al 15 de junio del mismo año.

Rp. S/. 158.33 Problema 06: ¿Qué capital colocado al 20% anual, ha producido S/. 300 de interés simple al término de 18 semanas?

Rp. S/. 4 285.71 Problema 07: ¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/. 800 en 7 trimestres al 26% anual?

Rp. S/. 1 758.24 Problema 08: Si deseo ganar un interés simple de S/. 3 000 en el período comprendido entre el 4 de abril y 31 de mayo del mismo año. ¿Qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa de interés simple mensual del 2%?

Rp. S/. 78 947.37 Problema 09: ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual aplicada para que un capital de S/. 8 000 colocado a 2 años y 6 meses haya ganado S/. 6 000?

Rp. 2.5% mensual Problema 10: Un capital de S/. 2 000 ha producido un interés de S/. 60 durante 36 días, calcule la tasa anual de interés simple.

Rp. 30% anual Problema 11: ¿En qué tiempo podré triplicar un capital a una tasa mensual de interés simple del 5%?

Rp. 40 meses Problema 12: ¿En qué tiempo podrá quintuplicarse un capital colocado a interés simple percibiendo una tasa trimestral del 15%?

Rp. 26.66 trimestres, 80 meses Problema 13: ¿Durante qué tiempo habrá estado impuesto un capital de S/. 15 000 al 28% anual, si el interés simple producido es de S/. 300?

Rp. 25.71 días, aprox. 26 días

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Problema 14: Un capital de S/. 12 000 ha producido S/. 541.68 de interés simple al 12.5% anual. Determinar el tiempo de la operación.

Rp. 130 días Problema 15: ¿Por cuánto tiempo ha estado impuesto un capital de S/. 10 000 que a la tasa del 2% de interés simple mensual ha producido un interés de S/. 2 000?

Rp. 10 meses Problema 16: ¿Qué interés habrá ganado una inversión de S/. 2 000 colocado el 3 de marzo al 28 de junio del mismo año a una tasa mensual del 3%, la cual varió el 16 de abril al 2.8% y posteriormente al 2.6% el 16 de junio? ¿Cuál es la tasa acumulada?

Rp. I= S/. 222.67; j=11.133% Problema 17: Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 8 000 para pagarlo dentro de 12 meses con interés simple, a una tasa del 36% anual y sujeta a las variaciones del mercado. Si al vencimiento de dicho contrato las tasa anuales fueron: 36% durante 2 meses, 34% durante 3 meses, 35% durante 4 meses y 34.5% durante 3 meses. ¿Qué interés deberá cancelarse al vencimiento del contrato? ¿Cuál es la tasa acumulada?

Rp. I= S/. 2 783.33; j=34.79% anual Problema 18: Una deuda de S/. 2 000 contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio y pactada originalmente a una tasa anual de interés simple del 24%, sufre las siguientes variaciones a partir de las siguientes fechas: día 12 de junio 2,5% mensual, día 24 de junio 9% trimestral, día 3 de julio 21% semestral. ¿Qué interés se pagará al vencimiento?

Rp. S/. 55 Problema 19: Una cuenta de ahorro abierta el 4 de abril con un depósito inicial de S/. 500 tuvo en ese mes el siguiente movimiento: día 8, depósito de S/. 100; día 17, retiro de S/. 400, día 23, depósito de S/. 500; día 23, retiro de S/. 200. ¿Qué interés simple se acumuló al 30 de abril percibiendo una tasa anual del 24%?

Rp. S/. 8.07 Problema 20: El 2 de junio se abre una cuenta de ahorros con S/. 2 000 y se efectúan depósitos de S/. 500y S/. 300 los días 8 y 16 y un retiro de S/.

200 el día 26 de junio. La tasa anual pactada fue 28% la cual bajo al 26% a partir del 16 de junio. ¿Cuál fue el interés simple acumulado y cuál es el saldo disponible al 1 de julio?

Rp. I= S/. 54.50; S=2 654.50 Problema 21: Habiendo colocado en una cuenta de ahorros S/. 3 000 a una tasa anual de interés simple del 24%, ¿Cuánto se habrá acumulado: a) al cabo de 46 días, b) al cabo de 46 días abonando los intereses al principal cada 30 días?

Rp. a) S/. 3 092 b) S/. 3 092.64 Problema 22: Un señor debía S/. 1 000.

Conviniéndole retrasar la deuda por 14 días, aceptó pagar una tasa de interés simple del 0.25% diario.

Pág.

¿Qué monto deberá cancelar transcurrido dicho plazo?

Rp. S/. 1 035 Problema 23: ¿Cuál es el monto simple que ha producido un capital de S/. 5 000 del 6 de abril al 26 de junio del mismo año a una tasa mensual del 2%?

Rp. S/. 5 270 Problema 24: El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 5 000. Calcule su monto al 30 de setiembre aplicando una tasa mensual de interés simple del 3%, considerando que la entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin de mes.

Rp. S/. 5 501.62 Problema 25: Una inversión de S/. 8 000 colocado durante 5.5 meses a interés simple rindió una tasa mensual del 3% durante los primeros cuatro meses, el quinto mes rindió 40% anual y la última quincena rindió una tasa del 12% trimestral. ¿Cuál fue el monto acumulado?

Rp. S/. 9 386.67 Problema 26: Calcule el monto simple de un depósito de ahorro de S/. 5 000 colocado el 9 de agosto y cancelado el 1 de setiembre. Las tasas anuales han sido: 30% a partir del 1 de agosto; 28% a partir del 16 de agosto y 26% a partir del 1 de setiembre.

Rp. S/. 5 091.39 Problema 27: Un artículo cuyo precio de contado es S/. 2 000 se vende con una cuota inicial de S/ 800 y sobre el saldo cancelable dentro de 60 días, se cobran las siguientes tasas: 24% anual durante 7 días, 0.1% diario durante 13 días, 14% semestral durante 15 días, 9% trimestral durante 25 días. ¿Qué monto simple deberá cancelarse al vencimiento del plazo?

Rp. S/. 1 265.20 Problema 28: Una máquina tiene un precio al contado de $ 5 000. La empresa COLLPA pacta con su proveedor adquirir la máquina pagando una cuota inicial de $ 2 000 y el saldo dentro de 45 días con un recargo del 3% mensual de interés sobre el precio al contado. ¿Cuál fue la verdadera tasa mensual de interés simple que pago COLLPA? Rp. 5% Problema 29: Un paquete accionario es adquirido el 23 de mayo en S/. 24 000 y vendido el 18 de junio, recibiéndose en esta fecha un importe neto de S/. 26 800. Calcule la tasa mensual de interés simple de la operación.

Rp. 13.46% Problema 30: Un artefacto electrodoméstico tiene un precio al contado de S/. 3 000, pero puede adquirirse a crédito con una cuota inicial de S/ 1 000 y aceptando una letra de S/. 2 200 a 60 días. ¿Cuál es la tasa anual de interés simple cargada en este financiamiento?

Rp. 60% anual

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Problema 31: ¿A qué tasa mensual un capital de S/. 10 000 se habrá convertido en un monto de S/.

11 500 si dicho capital original fue colocado a interés simple durante 3 meses?

Rp. 5% Problema 32: Un artículo cuyo precio al contado es de S/. 120 es vendido con “tarjeta de crédito” para pagar S/. 127.20 dentro de 45 días. ¿Qué tasa mensual de interés simple se cargó al crédito?

Rp. 4% Problema 33: ¿A qué tasa mensual se invirtió un capital de S/. 2 000 colocado a interés simple el 20 de abril cuyo monto al 18 de junio fue S/. 2 500?

Rp. 12.71% Problema 34: Un capital de S/. 5 000 se ha incrementado en un 15% por razón de interés simple al 24% anual, hallar el tiempo de la operación.

Rp. 0.625 años; 7.5 mese ó 225 días Problema 35: ¿En cuántos días una inversión de S/. 7 000 se convertirá en un monto simple de S/.

7 933.34 percibiendo una tasa de rentabilidad anual del 24%?

Rp. 200 días Problema 36: ¿En cuántos días se triplicará un capital colocándolo a una tasa de interés simple anual de 24%?

Rp. 3 000 días Problema 37: La empresa COLLPA recibió S/. 5 000 el 24 de junio por el descuento de un pagaré con valor nominal de S/. 5 500, cuya tasa anual de interés simple fue de 24%. ¿Cuál fue la fecha de vencimiento?

Rp. A los 150 días; 21 de noviembre Problema 38: ¿Qué importe debe ser invertido a una tasa de interés simple del 24% anual para capitalizar S/. 5 000 dentro de 45 días?

Rp. S/. 4 854.37 Problema 39: Un departamento ubicado en la Av. Sucre de Pueblo Libre es ofertado para su venta con las siguientes alternativas: a) $ 17 500 al contado b) $ 10 000 al contado y el saldo a 60 días con una letra de $ 7 700. c) $ 8 000 al contado y el saldo con dos letras, una de $ 6 000 a 30 días y otra de $ 3 680 a 60 días. d) $ 6 000 al contado y el saldo con tres letras de $ 4 000 con vencimientos a 30, 60 y 90 días cada una respectivamente.

Si un cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede percibir una tasa anual de interés simple del 24%. ¿Cuál es la oferta más conveniente? Explique.

Rp. b) S/. 17 403.85 Problema 40: La suma de un capital y su interés generado desde el 30 de junio al 31 de diciembre de un mismo año, a una tasa del 2% mensual, es de S/. 20 000. Determine el capital original.

Rp. S/. 17 814.73

Pág.

Problema 41: ¿Qué capital fue colocado a una tasa de interés simple del 20% anual, si al cabo de 38 días se convirtió en S/. 5 000?

Rp. S/. 4 896.63 Problema 42: Se ha colocado un capital al 4% de interés simple trimestral, habiéndose convertido a los 4 meses en S/. 2 500. ¿Cuál fue el importe de ese capital?

Rp. S/. 2 373.42 Problema 43: Encuentre el capital que invertido a una tasa del 4% bimestral durante 87 días ha producido un monto simple de S/. 500.

Rp. S/. 472.59 Problema 44: Cierto capital y sus intereses hacen un total de S/. 2 000. Si la tasa aplicada ha sido del 4% cuatrimestral, habiendo estado colocado el capital inicial durante 6 meses, ¿Cuál ha sido el interés simple y el capital que lo ha producido?

Rp. P= S/. 1 886.79; I= S/. 113.21 Problema 45: Calcule el valor presente a interés simple de una letra cuyo valor nominal es de S/.

10 000, la misma que vence dentro de 90 días.

Utilice una tasa anual del 48%.

Rp. S/. 8 928.57 Problema 46: ¿Cuánto debe invertirse hoy, a interés simple para acumular S/. 20 000 dentro 120 días en una institución de crédito que paga una tasa del 36% anual?

Rp. S/. 17 857.14 Problema 47: Calcule el interés incluido en un monto de S/. 4 000 obtenido de un capital colocado a una tasa anual del 24% de interés simple durante 90 días.

Rp. S/. 226.42 Problema 48: Dos capitales iguales son colocados: el primero en el Banco del Norte al 24% anual durante 85 días; el segundo en el Banco del Sur durante 60 días al 28% anual. Por ambas operaciones se recibió un interés simple de S/.

500. ¿Cuál fue el importe de cada capital?

Rp. S/. 4 838.71 Problema 49: Un capital se impuso a interés simple al 3% durante 5 años, 2meses y 20 días y otro capital que esta con el anterior en la relación ¾, se impuso al 4% durante el mismo tiempo. Los capitales con sus interés han dado una suma de S/. 74 280. Determinar la suma de los capitales impuestos.

Rp. S/. 63 000 Problema 50: Liséth coloca los 4/7 de su capital al 40% y el resto al 5%, como resultado obtiene un interés anual de S/. 3 100. ¿Cuál fue el capital impuesto al 5%?

Rp. S/. 5 314.20

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INTERÉS COMPUESTO En el interés simple el capital que genera el interés permanece constante todo el tiempo que dura el préstamo. En cambio, en el interés compuesto el interés generado en un periodo dado se convierte en capital para el siguiente periodo.

Esto es, el interés simple generado al final del primer periodo se suma al capital original, formándose un nuevo capital. Con este nuevo capital se calcula el interés simple generado en el segundo periodo y el interés se suma al capital, y así sucesivamente.

La suma total obtenida al final del proceso se conoce como monto compuesto o valor futuro. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le llama interés compuesto; esto es: I  SP en donde I representa el interés compuesto; S, el monto compuesto y P, el capital original.

El interés compuesto se puede definir como la operación financiera en la que el capital aumenta al final de cada periodo por adición de los intereses vencidos.

El periodo convenido para convertir el interés en capital se llama periodo de capitalización o periodo de conversión. Así, por ejemplo, la expresión periodo de capitalización semestral (o periodo de conversión semestral) significa que el interés ganado por un cierto capital se capitaliza, es decir, se suma al capital al término de cada 6 meses. De igual forma, al decir que un periodo de capitalización es mensual se está indicando que al final de cada mes se capitaliza (se suma al capital) el interés ganado a lo largo del mes. El periodo de capitalización se define como el intervalo de tiempo al final del cual se capitalizan los intereses generados en dicho intervalo.

El interés puede capitalizarse anual, semestral, mensual o semanalmente entre otros. El número de veces que el interés se capitaliza en un año se conoce como frecuencia de capitalización o frecuencia de conversión.

Interés Compuesto Es el proceso mediante el cual el interés generado por un capital calculado al final de cada período no se retiran sino que se suman al capital (se capitalizan) para formar un nuevo capital y sobre la base de este, calcular el interés del siguiente período y así sucesivamente, entonces dicha operación financiera recibe el nombre de interés compuesto.

Pág.

S  P (1  i)n

La expresión (1  i)n que multiplica al capital se llama Factor Simple de Capitalización, simbólicamente lo podemos expresar por (FSC).

Dicho factor tiene por función llevar al futuro cualquier cantidad presente o viceversa.

CASOS EN EL CÁLCULO DENTRO DEL INTERÉS COMPUESTOS En el cálculo del monto y el interés compuesto se presentan varios casos como los siguientes: B. Monto con Principal y Tasa Efectiva Constante.

Es el caso analizado líneas anteriores. Cuando durante el horizonte temporal el capital y la tasa de interés no han sufrido variaciones.

S  P (1  i)n

P

S (1  i)n

1

 S n i     1 P

S L og  P n L og(1  i)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcular el monto acumulado al cabo de 6 años, a partir de un capital inicial de 18 000 soles, a una TEA de 20%.

2. Calcule el monto que produjo un capital inicial de S/. 14 000, colocado en un banco desde el 3 de abril al 15 de junio del mismo año. El capital genera una TET de 2.5%.

3. ¿Qué cantidad de dinero se habrá depositado para que al cabo de 10 años se acumule 28 000 um a 2% bimestral?

4. ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/.

10 000, se convirtió en un monto de S/ 10

7

519,24, si se colocó en un banco desde el 5 de agosto al 15 de noviembre del mismo año?

5. Se invirtieron $30 000 a 1.65% de interés compuesto mensualmente por un año y 5 meses. a) Obtenga el valor futuro al final de ese tiempo. b) ¿Cuánto más se ganó con el interés compuesto que lo que se hubiera ganado con el interés simple?

6. En la compra de un automóvil, el señor Soto da un enganche de $20000 y acuerda pagar $106 577.73 cuatro meses después (cantidad que incluye los intereses por el financiamiento). Si la tasa de interés es de 35% compuesto cada mes, encuentre el precio de contado del automóvil.

C. Monto en Función de Tasa Nominal En las operaciones de carácter financiero a interés compuesto, el cálculo y las capitalizaciones de los intereses no siempre se realizan a plazos anuales, sino que pueden ser semestrales, trimestrales, mensuales e incluso en períodos de tiempo más cortos y en estos casos interviene el elemento (m) frecuencia de capitalización. m

P eríodo de la T as a N ominal P eríodo de C apitaliza c ion

dentro de 25 años y para entonces desea tener 12 000 000 soles en el fondo. ¿Qué parte de la herencia deberá invertir ahora si el dinero estará ganando una tasa de interés de 13.25% anual cada mes?

5. Una persona tiene que elegir entre invertir $ 80 000 a 9% capitalizable cada 14 días, por un año, o hacerlo a 10.4% con capitalización bimestral, por un año. ¿Qué es mejor?

6. Alejandro está vendiendo un departamento y recibe las siguientes ofertas: a) Daniel le ofrece S/ 21 000 de contado. b) Armando le ofrece un anticipo de S/ 10 000 y el saldo en dos pagarés de S/ 7 143 cada uno a 6 y 10 meses de plazo.

Si Alejandro puede invertir a 1.2% mensual con capitalización mensual, ¿cuál alternativa le conviene más?

D. Interés Compuesto con Principal y Tasa Efectiva Constante La diferencia entre el monto y el capital inicial constituye el interés, que podemos representarlo por: I  S  P .

Esta relación nos indica que hay para determinar el monto, para luego sustraer el capital.

Pero se puede determinar directamente deduciendo la siguiente fórmula: Si: I  S  P Reemplazamos S por P (1  i)n y obtenemos I  P (1  i)n  P Sacando factor común tenemos:

Donde la tasa efectiva obtenida será: i

j P eríodo de C apitaliza c ión m

I  P (1  i)n  1  

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

P

1. Calcule el monto compuesto que rindió un capital de S/ 1 000 en el plazo de medio año, el mismo que se colocó a una TNM de 2% capitalizable cada quincena.

2. Calcule el monto compuesto devengado en un trimestre por una inversión de S/ 3 000, colocada a una TNA de 18% con capitalización trimestral.

3. ¿Qué capital se convertirá en un monto de 10000 soles en un plazo de 45 días, si ese capital devenga una TNA de 18% capitalizable mensualmente?

4. Luis recibió una herencia de medio millón de soles y quiere invertir una parte de este dinero en un fondo de jubilación. Piensa jubilarse

Pág.

I n

(1  i)  1

1

I n i    1  1 P 

I  L og  1 P   n L og(1  i)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. El 20 de marzo se apertura una cuenta con un principal de S/ 8 000 en el banco, en una cuenta a una TEA de 18%. Se requiere conocer el interés compuesto que generó ese capital hasta la fecha de cancelación, el 15 de abril del mismo año.

2. Calcule el importe con que se apertura una cuenta a una TEM de 2%, en el cual 7 meses

8

luego de su apertura se acumuló un interés compuesto de 112.

3. ¿Qué capital colocado a una TEM de 2% producirá un interés compuesto de 96 soles en el período comprendido entre el 19de abril y 30 de junio del mismo año?

4. Calcule la TEA que se aplicó en una cuenta abierta con S/ 5 000, en la cual 3 meses después de su apertura se acumuló un interés compuesto de S/ 300.

5. Calcule la TET que se aplicó un capital inicial de S/4000, el cual durante el plazo comprendido entre el 5 de marzo y 17 de julio del mismo año produjo un interés compuesto de 301,39.

6. Calcule el plazo al que se colocó un capital de S/4245,93 que, al generar una TEM de 2%, rindió un interés compuesto de S/ 350.

PROBLEMAS Propuestos Problema 01: Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un préstamo bancario de S/. 50 000 que devenga una tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual.

Rp. S/. 57963.70 Problema 02: Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazos de S/. 20 000 colocado durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36% capitalizable diariamente.

Rp. S/. 23942.19 Problema 03: ¿Qué monto debe dejarse en letras con vencimientos dentro de 38 días, si después de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/. 20 000, sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual del 3.5%?

Rp. S/. 20890.77 Problemas 04: Asumiendo que la población actual es de 22 millones de habitantes y su tasa promedio de crecimiento neto anual es del 2.01%, ¿Cuántos habitantes seremos dentro de año y medio?

Rp. 22.77 millones Problema 05: En el último semestre el precio de la gasolina ha venido incrementándose en 2% cada 18 días en promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿Cuánto costará un galón de gasolina dentro de un año, si el precio es hoy S/. 11.79?

Rp. S/. 17.53

Pág.

Problema 06: ¿Cuánto debo invertir hoy para acumular S/. 20 000 dentro de 120 días en una institución de crédito que paga una tasa nominal anual del 24% con capitalización diaria?

Rp. S/. 18 462.82 Problema 07: ¿Cuál sería el precio de contado de un artículo ofertado al crédito con una cuota inicial de S/. 2 000 y 4 cuotas de S/. 500 cada una pagadera cada fin de mes? Se requiere ganara una tasa efectiva mensual del 3%.

Rp. S/. 3 858.55 Problema 08: Después de 3 meses de haber colocado un capital de S/. 3 000 se obtuvo un monto de S/. 3 500. ¿A qué tasa de interés efectivo mensual se colocó el capital?

Rp. i=5.27266% mensual Problema 09: La población de una ciudad se triplica cada 25 años. Asumiendo un crecimiento exponencial, ¿qué tasa de crecimiento promedio anual tiene?

Rp. 4.49% anual Problema 10: ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que los intereses generados por un capital sean igual al mismo capital colocado a una tasa del 5% de interés efectivo mensual?

Rp. 14.2066 meses = 14 meses y 6 días Problema 11: ¿Qué tiempo debe transcurrir para que un capital S/. 5 000 colocado a una tasa efectiva mensual del 6% iguale al monto producido por otro capital de S/ 8 000 colocado a una tasa efectiva mensual del 4%?

Rp. 24.6744 meses= 740 días Problema 12: Calcule el interés producido por un capital de S/ 7 000, colocado a una TEM de 1%, por el período comprendido entre el 3 de abril y 6 de junio del mismo año.

Rp. S/. 150.18 Problema 13: Calcular el interés bimestral que habrá ganado un depósito de ahorros de S/. 5 000 colocado a una tasa nominal anual del 24% con capitalización trimestral.

Rp. S/. 198.05 Problema 14: Una inversión efectuada en la Bolsa de Valores produjo un interés de S/. 1 300 durante 77 días; en ese lapso de tiempo la tasa acumulada fue de 5.4%. ¿Cuál fue el importe general de la inversión?

Rp. S/. 24 074.07 Problema 15: El 18 de enero la compañía SHEEN compró en la bolsa un paquete accionario en 90 000 soles, el cual vendió el 26 de febrero del mismo año y obtuvo una rentabilidad neta de 6 500 soles. Calcule la Tasa de rentabilidad efectiva mensual que obtuvo SHEEN en esa operación.

Rp. 5.5106% Problema 16: Un depósito de S/ 20 000 estuvo colocado en un banco durante 90 días y gano una TNA de 36% con capitalización diaria. ¿Qué interés se ganó el día 46 y el día 87?

Rp. día 46=S/.20.92 ; día 87=S/. 21.80

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Problema 17: Calcule el monto y el interés compuesto al cabo de 6 meses de $60 000, invertidos a 28.8% anual capitalizable cada mes.

Rp. S=$ 69 175.29 ; I=$ 9 175.29 Problema 18: ¿A qué TEM una inversión de S/ 10 000 se convirtió en un monto de S/ 10 915,44, si se colocó durante 67 días?

Rp. 4% mensual Problema 19: ¿En cuántos meses se acumularán S/ 5 341,18 si se coloca un capital de S/ 5 000 en un banco que paga TET de 2%?

Rp. 10 meses Problema 20: ¿Cuánto debe invertirse hoy para acumular S/ 20 000 dentro de 120 días en una institución de crédito que paga una TNA de 12% con capitalización trimestral?

Rp. S/. 19 227.10 Problema 21: Si usted comienza en un trabajo con un sueldo de S/. 1 300 al mes y se le va a conceder un aumento de 4% cada cuatrimestre, ¿cuánto estará ganando dentro de 3 años?

Rp. S/. 19 227.10 Problema 22: Calcule la TEM que rindió un bono comprado en S/ 2 000 y vendido al cabo de 90 días en S/ 2 315,25.

Rp. 4.996% Problema 23: ¿Qué TEM debe aplicase a un capital de S/ 5 000 colocado en un banco para que produzca una ganancia de S/ 800 durante 4 meses?

Rp. 3.78% Problema 24: Calcule el interés de un capital que generó una TEA de 12% y se convirtió en un monto de S/ 10 000 en el plazo de medio año.

Rp. S/. 2028.06 Problema 25: ¿En qué tiempo podrá triplicarse un colocado a una TEA de 20,1%?

Rp. 6 años Problema 26: ¿Cuánto interés se pagará por un préstamo de S/ 6 000 que devenga una TET de 2%? El crédito se ha utilizado durante 17 días Rp. S/. 22.49 Problema 27: ¿Cuál es el valor presente de $14 986.15 a pagar dentro de 5 meses, si la tasa de interés es 2.2% mensual capitalizable cada quincena?

Rp. S/. 13 433.17 Problema 28: Noemí le presta a su primo $7000 durante 6 meses, cobrándole una tasa de interés simple de 1.5% mensual. Al final de este tiempo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorro que le paga 24% capitalizable cada mes. ¿Cuánto dinero tendrá Noemí al cabo de 2 años?

Rp. S/. 115 812.94 Problema 29: Miriam deposita cierta cantidad de dinero en un banco que le paga 12% capitalizable cada bimestre. ¿En cuánto tiempo los intereses generados serán iguales a 113% del capital invertido?

Rp. 38.18 bimestres

Pág.

Problema 30: ¿Qué cantidad debe invertirse en este momento a 7.8% capitalizable cada mes para convertirse en S/. 10 000 en 15 años? ¿Cuánto interés se habrá ganado?

Rp. P=S/. 3 115.44 y I= S/. 6884.56

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ANUALIDADES y AMORTIZACIÓN Al tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último se llama plazo de la anualidad.

ANUALIDADES

1. Anualidad: Una anualidad es una serie de flujos de cajas iguales o constantes que se realizan a intervalos iguales de tiempo, que no necesariamente son anuales, sino que pueden ser diarios, quincenales o bimensuales, mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales, anuales.

El concepto de anualidad, es importante en el área de las finanzas, entre otras consideraciones, porque es el sistema de amortización más utilizado en las instituciones financieras en sus diferentes modalidades de créditos. Además, es muy frecuente que las transacciones comerciales se realicen mediante una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago único realizado al final del plazo establecido en la negociación.

Es conveniente, antes de seguir con el estudio de las anualidades, tener en cuenta las definiciones de los siguientes términos:

Los flujos de caja (pagos) de los créditos comerciales y financieros, normalmente tienen las características de ser iguales y periódicos, estos se denominan anualidades, series uniformes, por ejemplo; son anualidades las cuotas periódicas para pagar período a período un electrodoméstico, de un vehículo, los salarios mensuales, las cuotas de los seguros, los pagos de arrendamientos, entre otros, siempre y cuando, no varíen de valor durante algún tiempo.

En esta unidad, se trataran las anualidades más comunes y de mayor aplicación en la vida cotidiana. Por lo cual, se calculará el valor presente de una anualidad y su valor futuro, de la misma manera se determinará el valor de la cuota igual y periódica y el número de períodos de la negociación. De la misma manera, se realizará el estudio el estudio de la anualidad conocida como impropia, es decir, aquella en que no todos los pagos son iguales.

Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales realizados en intervalos de tiempo iguales. El término anualidad parece implicar que los pagos se efectúan cada año, sin embargo, esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser mensuales, quincenales, etcétera.

Son ejemplos de anualidades el cobro quincenal del sueldo, el pago mensual de la renta de la casa, los abonos mensuales para pagar una computadora comprada a crédito, el pago anual de la prima del seguro de vida, los dividendos semestrales sobre acciones, los depósitos bimestrales efectuados a un fondo de jubilación, etcétera.

El concepto de anualidad es de gran importancia en matemática financiera ya que es muy frecuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos en intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago único realizado al final del plazo.

Los términos de renta, pago periódico, abono u otros, pueden utilizarse en lugar de anualidad.

El tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivos se llama periodo de pago o periodo de renta. El periodo de pago puede ser anual, semestral o mensual, entre otros.

Pág.

1.2.

Renta o Pago: Es un pago periódico que se efectúa de manera igual o constante. A la renta también se le conoce con el nombre: cuota, depósito. Cualquier de estos términos pueden ser utilizados en lugar de anualidad.

1.3.

Periodo de Renta: Es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos o sucesivos. El periodo de renta puede ser anual, semestral, mensual, etc.

Plazo de una anualidad: Es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer período de pago y el final del último período de pago.

1.4.

2. Requisitos Para Que Exista Una Anualidad Para que exista una anualidad se debe cumplir con las siguientes condiciones: a. Todos los flujos de caja deben ser iguales o constantes. b. La totalidad de los flujos de caja en un lapso de tiempo determinado deben ser periódicos.

11

c.

Todos los flujos de caja son llevados al principio o al final de la serie, a la misma tasa de interés, a un valor equivalente, es decir, a la anualidad debe tener un valor presente y un valor futuro equivalente. d. El número de períodos debe ser igual necesariamente al número de pagos.

4.

Anualidades diferidas: Son aquellas en las cuales la serie de flujos de caja (Ingresos ó Desembolsos), se dan a partir de un período de gracia. Este se puede dar de dos maneras: a) Período de gracia muerto, b) Período de gracia con cuota reducida.

En el periodo de gracia muerto, no hay abonos a capital, ni pagos de interés, lo que implica que el valor de obligación financiera al final del período de gracia se acumula por efecto de los intereses, incrementándose el saldo de la obligación financiera, por lo tanto, a partir de este nuevo valor se determina el valor de la cuota ó de la anualidad.

En el periodo de gracia con cuota reducida, se hacen pagos de intereses, pero no abono al capital, por lo cual, el valor de la obligación financiera, no cambia por efecto de los intereses, ya que estos se han venido cancelando a través del tiempo, por lo tanto, el valor de la obligación financiera al final del periodo de gracia, es el inicial, y a partir de él, se calcula o se determina el valor de la cuota o de la anualidad.

Para el cálculo del valor presente y del valor futuro de una anualidad diferida, se pueden utilizar las expresiones que se demostraran para las anualidades vencidas y anticipadas, posteriormente; sé vera como se pueden adaptar las fórmulas para aplicarlas sobre las anualidades diferidas.

3. Clasificación De Las Anualidades Según El Tiempo: Las anualidades según el uso del tiempo se clasifican en ciertas y contingentes.

Anualidades Ciertas: Son aquellas en las cuales los flujos de caja (ingresos o desembolsos) inician y terminan en periodos de tiempos definidos. Por ejemplo, cuando una persona compra en un almacén un electrodoméstico a crédito, se establecen en forma inmediata las fechas de iniciación y terminación de la obligación financiera.

Las anualidades perpetuas o indefinidas, son una variante de las anualidades ciertas.

Los flujos de caja de las anualidades indefinidas comienzan en un periodo específico o determinado y la duración es por tiempo ilimitado.

Anualidades contingentes: Son aquellas en las cuales la fecha del primer flujo de caja, la fecha del último flujo de caja, o ambas dependen de algún evento o suceso que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. El ejemplo más clásico, es el contrato de un seguro de vida, se sabe que hay un beneficiario, al cual hay que realizarle una serie de pagos en un tiempo plenamente definido, pero no se sabe cuándo empezarán, por desconocerse fecha en que morirá el asegurado.

3.

Clasificación de las anualidades según los intereses: Según el uso de los intereses las anualidades se clasifican en anualidades simples y generales.

Anualidades simples: Son aquellas en que el periodo de capitalización de los intereses coincide con el periodo de pago. Por ejemplo, cuando se realizan depósitos trimestrales en una cuenta de cuenta de ahorros intereses capitalizables cada trimestre.

Anualidades inmediatas: Son aquellas en la que serie de flujos de caja (Ingresos o Desembolsos) no tiene aplazamiento algunos de los flujos, es decir, los flujos se realizan en el periodo inmediato a la firma del contrato o del pagaré.

5.

Clasificación de las anualidades según los pagos: Según los pagos las anualidades pueden ser vencidas u ordinarias y anticipadas.

Anualidades Vencidas: Son aquellas en las que la serie de flujos de caja se realizan al final de cada periodo, por ejemplo, el salario mensual de un trabajador, en general las cuotas mensuales e iguales que se generan en todo tipo de transacciones comerciales, como la compra de vehículos, electrodomésticos, etc.

Anualidades Generales: Son aquellas en que el periodo de capitalización de los intereses no coincide con el periodo de pago.

Por ejemplo, cuando se realizan depósitos mensuales en una cuenta de ahorro pero los intereses se capitalizan cada bimestre.

Pág.

Clasificación de las anualidades según el momento de iniciación: Las anualidades se clasifican según el momento de iniciación en diferidas e inmediatas.

Anualidades anticipadas: Son aquellas en las que la serie de flujos de caja se realizan al inicio de cada periodo, por ejemplo, el valor

12

del canon de arrendamiento que se cancelan al comienzo de cada periodo.

6.

Monto de una Anualidad Simple Vencida:  (1  i)n  1   SR  i  

Ejemplo 1: Calculemos entonces el valor del depósito mensual que debe hacer una empresa en una institución financiera que paga 14,4% anual, capitalizable mensualmente, a fin de obtener $ 6.400 en 6 años. Así como los intereses que ganara.

Dónde: R: Renta o Pago i: Tasa de interés n: Número de periodos S: Monto de una anualidad, valor futuro Ejemplo 1: Calcular el valor nominal de una serie de 6 depósitos de S/. 1 000 efectuados cada uno de ellos al final de cada 15 días. Los depósitos perciben una TNA del 36% capitalizable mensualmente.

Ejemplo 2: Collpa y Likeder han celebrado un contrato por medio del cual la primera le alquila a la segunda un terreno por un período de dos años y por una renta de $ 500 mensuales., los cuales deberá depositar a fin de cada mes en una cuenta bancaria que le reportará a Collpa una TEA del 15%. Asumiendo que Likeder cumplirá con su compromiso ¿qué importe habrá acumulado Collpa al finalizar el contrato de alquiler?

7.

R: Renta o Pago i: Tasa de interés n: Número de periodos P: Valor presente de una anualidad S: Monto de una anualidad, valor futuro

Ejemplo 2: Calcular el valor de la cuota bimestral que debe pagar una empresa que tiene una deuda de $ 40.000,00 a 8 años de plazo, con una tasa de interés del 6% anual capitalizable bimestralmente.

Ejemplo 3: Si deseamos acumular S/. 5 000 en un banco, mediante 5 depósitos iguales a fin de trimestre ganando una TEM del 3%, ¿cuál será el importe de cada depósito?

Ejemplo 4: Un automóvil cuyo precio al cash es de $ 10 000, es vendido al crédito con una cuota inicial del 35% y 12 cuotas mensuales uniformes vencidas. Calcule el importe de cada cuota si por el financiamiento cobran una TEM del 5%.

9.

Valor presente de una Anualidad Simple Vencida:

Cálculo de los periodos en una anualidad simple vencida: P  i  L og 1  R   n L og (1  i)

 (1  i)  1   P R   i  (1  i)n  n

S  i  L og   1 R   n L og (1  i)

Dónde: R: Renta o Pago i: Tasa de interés n: Número de periodos P: Valor presente de una anualidad S: Monto de una anualidad, valor futuro

Dónde: R: Renta o Pago i: Tasa de interés n: Número de periodos P: Valor presente de una anualidad Ejemplo1: Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 10.000 cada trimestre durante 5 años y 6 meses al 12% capitalizable trimestralmente (anualidad vencida simple).

Ejemplo 1: ¿Cuantos depósitos de $ 25.000 debe hacer una empresa cada trimestre para obtener $ 750.000, considerando una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente?

Ejemplo2: Calcule el importe a depositar hoy en el banco que paga una TEM del 3%, el cual permitirá retirar durante 5 meses (a fin de cada mes) una renta S/. 900.

Ejemplo 2: Se necesita adquirir una máquina evaluada en $ 8 000. ¿Dentro de cuántos meses podrá disponerse ese importe, ahorrando cada fin de mes una suma constante de $ 1 800 en una institución financiera que paga una TEM del 2%?

8.

Cálculo de la renta o pago periódico:   i  RS n  (1  i)  1 

Ejemplo 3: ¿En cuánto tiempo podrá cancelarse un préstamo de S/. 15 000 con pagos de S/. 2 000 cada fin de trimestre? La entidad financiera cobra una TNA del 24% capitalizable trimestralmente.

 i  (1  i)n   R P   (1  i)n  1 

Dónde:

Pág.

13

10. Monto de Anticipada:

una

Anualidad

Simple

 (1  i)n  1   S  R a (1  i)  i  

n: Número de periodos P: Valor presente de una anualidad S: Monto de una anualidad, valor futuro Ejemplo 1: ¿Cuantos imposiciones mensuales de S/ 500 serán necesarias ahorrar, para acumular un monto de S/ 5 584.36 en un banco que paga una TNA del 24% con capitalización mensual?

Dónde: R a : Renta o Pago anticipado i: Tasa de interés n: Número de periodos S: Monto de una anualidad, valor futuro Ejemplo 1: ¿Qué monto se habrá acumulará al término del cuarto mes, si hoy y durante 3 meses consecutivos se depositan S/ 100 en una cuenta de ahorros percibiendo una TNA del 24% con capitalización mensual?

Ejemplo 2: Francisco deposita $2000 al principio de cada mes, en una cuenta de inversión. Si la tasa de interés compuesto es de 1% mensual a) Obtenga el monto al cabo de 3 años. b) ¿Cuál es el interés ganado en los 3 años? c) Calcule el valor presente de la anualidad.

Ejemplo 2: ¿Cuántos depósitos semestrales anticipados de $18 781.27 cada uno se deben hacer para acumular un monto de $250 000? La tasa de interés es de 5.14% semestral capitalizable cada semestre.

Ejemplo 3: ¿Con cuántas imposiciones trimestrales de S/ 500 se podrá amortizar un préstamo de S/. 5 000? La entidad financiera cobra una TET del 6.1208% 13. Valor presente de una Anualidad Simple diferida vencida:  (1  i)n  1    (1  i) k P R   i  (1  i)n 

11. Valor presente de una Anualidad Simple Anticipada:

Dónde: R: Renta o Pago i: Tasa de interés n: Número de periodos P: Valor presente de una anualidad k: plazo diferido

 (1  i)n  1   P  R a (1  i)   i  (1  i)n 

Dónde: R: Renta o Pago anticipado i: Tasa de interés n: Número de periodos P: Valor presente de una anualidad

Ejemplo 1: Calcule el valor presente de una renta ordinaria de S/ 1 000 mensuales a recibirse después de transcurridos tres meses y durante el plazo de un año. Utilice una TEM del 4%.

Ejemplo 1: Un local comercial es alquilado por cuatro meses con pagos anticipados de S/. 500. ¿Cuál es el valor actual del contrato de arriendo aplicando una TEM del 3%?

14. Valor presente de una Anualidad Simple diferida anticipada:  (1  i)n  1   P  R a(1  i)1  k   i  (1  i)n 

Ejemplo 2: Un automóvil se puede comprar a crédito mediante 48 pagos mensuales anticipados de $4 800. Si la tasa de interés anual es de 16% capitalizable cada mes, ¿cuál es el valor de contado del automóvil?

Dónde: R a : Renta o Pago anticipado i: Tasa de interés n: Número de periodos P: Valor presente de una anualidad K: plazo diferido

12. Cálculo de los periodos en una anualidad simple vencida:  P i  Log 1   R a(1  i)   n Log (1  i)

Ejemplo 1:¿Qué capital debe colocarse hoy en un banco a una TEM del 4%, para disponer, después de transcurrido un año, una renta mensual de S/.

500 al comienzo de cada mes durante un año?

 Si  L og   1  R a(1  i)  n L og (1  i)

Dónde: R: Renta o Pago i: Tasa de interés

Pág.

14

AMORTIZACIÓN La palabra amortizar proviene del latín y que su significado literal es "dar muerte". En matemáticas financieras amortizar significa pagar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales o abonos, los que pueden ser iguales en valor o variables, efectuados a intervalos de tiempo iguales o diferentes.

En los sistemas que se estudiarán en esta unidad, se utilizará el sistema PILP (Primero los intereses y luego el Principal). Ello significa que de cada pago, cuota o servicio, una parte se aplica a cubrir el interés generado por la deuda; si la cuota es mayor que el interés, la diferencia disminuye el saldo insoluto. Se infiere que si el pago parcial efectuado es tan pequeño que no puede cubrir ni siquiera el interés generado por el saldo insoluto, entonces la diferencia no cubierta se capitaliza.

Al partir del día siguiente al vencimiento de cada cuota, si ésta no hubiera sido amortizada completamente, la parte no amortizada de ella entrará en mora y generará a diario un interés de mora, independientemente del interés compensatorio que genera el saldo insoluto.

Cuando un préstamo está en mora, cada pago, hasta donde alcance, debe aplicarse para cancelar la deuda en el siguiente orden: Interés de mora.

Interés compensatorio.

Principal vencido.

Para amortizar un préstamo, formalizado mediante un contrato con una entidad financiera y regulado por las entidades competentes, pueden aplicarse diversos sistemas de repago, limitados soló por el principio de equivalencia financiera, por medio del cual, la suma de las cuotas evaluadas a valor presente con la tasa de interés o combinación de tasas pactadas deben ser iguales al importe del crédito original.

Amortización: Proceso financiero mediante el cual una deuda u obligación y el interés que genera, se extinguen de manera progresiva por medio de pagos periódicos o servicios parciales.

Tabla De Amortización: La tabla de amortización muestra la forma como se amortiza una deuda; esto es, nos permite ver cómo se va reduciendo la deuda con cada abono efectuado. Una tabla de amortización puede tener diversos elementos o datos, de acuerdo con los criterios de la empresa que otorga los préstamos. Puede considerarse los siguientes: Elementos que amortización:

la

tabla

de

a) Número de Cuota: Es un valor entero que toma el valor cero para aquellas fechas a las cuales no le corresponde cuota alguna.

Para las demás fechas toma un valor igual al número de la cuota correspondiente. En una anualidad anticipada. la renta número 1 se realiza en el momento 0. b) Fecha: Registra la fecha del desembolso del préstamo y las fechas de vencimiento de cada cuota que amortizará el préstamo. c) Plazo: Es el número de días que va a transcurrir entre dos fechas registradas consecutivamente en la tabla de amortización. Los plazos pueden ser uniformes o variables. d) Cuota: Es el importe destinado a remunerar el costo del préstamo generado por su saldo deudor durante el plazo de la cuota. e) Cuota Interés: Es el importe que reduce el saldo del interés del préstamo. f) Amortización de principal o cuota principal: Es el importe de la cuota destinado a reducir el saldo de principal. g) Saldo insoluto o deuda residual: Es el importe del préstamo que se encuentra pendiente de pago; por tanto, en el momento 0 es igual al importe recibido en préstamo y en cualquier momento posterior es igual a la diferencia que existe entre el importe del préstamo y su respectiva deuda extinguida. h) Deuda extinguida: Es el importe acumulado de las cuotas principales pagadas. Al vencimiento del préstamo la

Si del pago efectuado quedara algún remanente, la diferencia se aplicará para cubrir: - El interés no vencido, pero devengado hasta la fecha del pago.

- El principal por vencer.

Contablemente, amortizar es el proceso que consiste en disminuir el valor de un activo, para cargar este importe a gastos. En la presente unidad se tomará el concepto financiero de amortización, no el contable.

En un problema de amortización intervienen: - El importe de los pagos periódicos que pueden ser uniformes o irregulares.

- El número de pagos cuyos plazos pueden ser uniformes o irregulares.

- La tasa de interés que puede ser fija, variable, explícita o implícita (explicita: tasa anunciada en las operaciones mercantiles y financieras; implícita: tasa incluida en el costo total) - La formulación de las tablas de amortización conocidas también como cuadros de servicio de la deuda o de reembolsos de préstamos.

Pág.

componen

15

deuda extinguida es igual a su importe original.

SISTEMAS DE REPAGO DE PRÉSTAMOS: Para determinar el pago de intereses y el control de la amortización o reembolso del capital en préstamo suele aplicarse uno de los tres sistemas siguientes: -

Sistema de Cuotas constantes o Sistema Francés.

Sistema Amortización Constante o Sistema Alemán.

Sistema de Interés Constante o Sistema Americano.

Sistema Cuotas constantes o Sistema Francés: Este sistema está basado en la teoría de rentas, pues los pagos se calculan como si fuesen los términos de una renta. La equivalencia se calcula como si fuesen los términos de una renta.

La equivalencia se plantea entre los pagos y el principal y utilizando la tasa pactada en la operación.

En este sistema las cuotas de capital crecen en progresión geométrica, siendo la razón (1+i), donde i es la tasa pactada. Así, las cuotas de interés deben decrecer en forma exponencial de modo tal que al sumarlas el pago resulte constante.  i  (1  i)n   R P   (1  i)n  1 

Ejemplo 1: Se tiene un préstamo por amortizar bajo el sistema de cuotas constantes a una tasa efectiva anual del 47.64% y con 36 mensualidades.

Sabiendo que la deuda residual al comenzar el mes 31 es S/ 5 000, calcular el monto de préstamo Ejemplo 2: Una empresa requiere constituir un fondo de amortización de $ 50.000 mediante depósitos trimestrales durante 4 años, con el propósito de reemplazar cierta maquinaria. Si se considera una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente, ¿cuál será el valor acumulado inmediatamente después de haber hecho el deposito 12?

Ejemplo 3: Calcule el valor de la cuota anual necesaria para amortizar una deuda de $ 90 000 en 18 años, considerando una tasa de interés efectiva del 12% anual.

Ejemplo 4: La empresa ABC S.A. solicita al Banco del Sur el siguiente crédito Principal : S/. 85 000 Tasa de interés : 34.49% efectivo anual Plazo : 4 meses Modalidad : Pagos constantes Hallar el cuadro de amortización correspondiente

Pág.

Ejemplo 5: Prepare la tabla referencial de reembolso para un préstamo de S/ 10 000 otorgado el 16 de agosto, para amortizarse con cuatro cuotas uniformes trimestrales anticipadas, a una TET del 5%.

Sistema Amortización Constante o Sistema Alemán: Como su nombre lo indica, en este sistema las cuotas de capital o amortización son constantes o iguales. Así, éstas se calculan dividiendo el principal entre el número de períodos de pago.

Con el dato anterior podemos calcular los saldos de la deuda y, por tanto, las cuotas de interés. Finalmente sumamos ambas cuotas para hallar el monto por pagar en cada período de pago.

Como característica de este sistema se puede mencionar que dado que los saldos disminuyen, las cuotas de interés también deben disminuir y, por lo tanto, este método es también conocido como el de pagos decrecientes.

A mortizacón i 

P r és tamo N umerode C uotas

Ejemplo 1: Prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de S/ 10 000 otorgado el 8 de marzo, el mismo que debe ser reembolsado en 6 cuotas trimestrales vencidas con amortizaciones constantes a una TET del 5% Ejemplo 2: La empresa Ferretera COLLPA S.A.C. ha obtenido el siguiente crédito: Principal : S/. 85 000 Tasa de interés : 2.5% mensual Plazo : 4 meses Modalidad : Amortización constantes Pago de intereses : Vencidos Hallar el cuadro de amortización correspondiente.

Sistema de Interés Constantes o Sistema Americano: En este sistema conocido también como método inglés, los pagos al vencimiento de cada cuota incluyen sólo el interés devengado por el saldo insoluto, permaneciendo la deuda original sin variación hasta el vencimiento de la última cuota, la cual incluye además del interés generado en el último período, la devolución total del préstamo.

Este sistema es usado generalmente cuando las empresas se financian con la emisión de bonos, pagando durante el plazo pactado sólo intereses y redimiendo el capital en la fecha del vencimiento de la obligación.

Ejemplo 1: Prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de S/ 10 000 otorgado el 8 de marzo, el mismo que debe ser reembolsado

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en 6 cuotas trimestrales vencidas amortizaciones constantes a una TET del 5%

con

Ejemplo 2: La empresa Ferretera COLLPA S.A.C. ha obtenido el siguiente crédito: Principal : S/. 85 000 Tasa de interés : 2.5% mensual Plazo : 4 meses Modalidad : Interés constantes Pago de intereses : Vencidos Hallar el cuadro de amortización correspondiente.

PROBLEMAS Propuestos Problema 01: Una persona deposita en una cuenta de ahorros al final de cada trimestre un importe constante de S/. 2 000. ¿Qué monto acumulará en el plazo de dos años percibiendo una TNA del 24% capitalizable trimestralmente?

Rp. S/.19 794,94.

Problema 02: ¿Qué monto puede acumularse durante 3 años consecutivos depositando S/. 1 000 cada fin de mes y percibiendo una TNA del 24% con capitalización mensual?

Rp. S= 51 994,31.

Problema 03: ¿Qué monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si a fin de mes y durante 8 meses consecutivos se depositó S/. 800 en un banco que paga una TNA del 36% Rp. S = S/. 6616,63.

Problema 04: Una máquina es vendida con una cuota inicial de S/. 2 000 y 12 cuotas de S/. 300 cada una a pagarse cada 30 días. Calcule el respectivo precio de contado equivalente utilizando una TET del 9%.

Rp. P= S/. 5 001,55.

Problema 05: La empresa Alfa alquila un local comercial durante 5 años por una merced conductiva (La Merced Conductiva es el pago al que se obligan los conductores de los puestos de los mercados municipales por su uso, por lo que tiene un origen contractual y no tributario.) de $ 3 000 por trimestre vencido. Alfa recibe como alternativa del arrendatario la propuesta de efectuar un único pago de $ 17 000 al inicio del contrato de 5 años. Considerando que Alfa puede invertir el importe de los alquileres que percibirá a una TEM del 5%, ¿le conviene la alternativa propuesta?

Rp. No, ya que el VP de los alquileres es $18013,60.

Pág.

Problema 06: Dentro de. 70 días se recibirá S/ 2 000, ¿cuál es su valor actual aplicando una TNA del 18% con capitalización mensual?

Rp. P = S/. 1 931.7 Problema 07: ¿Cuál ha sido el capital que al cabo de 6 meses se convirtió en S/. 2 000 aplicando una TEA del 20 %?

Rp. P=S/. 1 825.74 Problema 08: Un órgano electrónico mod. MT280 es ofrecido por una casa comercial al precio de $ 430 al contado; al crédito lo oferta con una cuota inicial de $ 200 y, una letra que puede otorgarse a los siguientes plazos: a 15 días por $ 235, a 30 días por $.239, a 45 días por $ 245. ¿Cuál es la mejor oferta para un cliente suponiendo que su costo de oportunidad es del 5% mensual y que le es indiferente disponer del bien ahora o dentro de 45 días?

Rp. La mejor oferta sería a 30 días con un valor presente de $ 427,62.

Problema 09: Calcule el importe de la renta constante que colocada al final de cada trimestre durante 4 años permita constituir un monto de S/ 20 000. La TNA aplicable es del 36% con capitalización mensual.

Rp. R = S/. 592.08 Problema 10: La empresa Productos Industriales S.A. (PRODINSÁ) planea adquirir dentro de seis meses un equipo de computación interconectado para toda su empresa a un costo de $ 10 000.

Para tal fin, la Gerencia Financiera de PRÓDINSÁ puede colocar sus excedentes (El excedente es la parte de la producción que sobra una vez cubiertas las necesidades básicas y el consumo corriente.) mensuales de caja (estimados en $ 3000) en una institución financiera que paga una TEM del 2%. ¿Qué importe constante de fin de mes deberá ahorrar para acumular los $ 10 000' al final del sexto mes?

Rp. R = $ 1585.26.

Problema 11: Un préstamo de S/. 5 000 debe cancelarse en el plazo de un año con cuotas uniformes cada fin de mes, aplicando una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Calcule el impone de cada cuota.

Rp. R = S/. 502.31 Problema 12: La empresa Equipos S.A. vende sus máquinas al contado en $ 10 000 pero debido a que ha conseguido un financiamiento del exterior está planeando efectuar ventas al crédito con una cuota inicial de $ 5 000 y seis cuotas mensuales uniformes. Si la TEA a cargar al financiamiento es del 25%, calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plazo.

Rp. R = $ 588.93 Problema 13: Se compró un auto cuyo precio de contado fue $ 12 000, pagando una cuota inicial de $ 2 000 yel saldo cancelable en cuatro armadas mensuales iguales. ¿Cuál será el importe de cada cuota si el costo del financiamiento es del 2% efectivo mensual?

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Rp. R = S/. 2 626.24 Problema 14: Prepare una alternativa de financiamiento para una máquina que se vende al contado a un precio de $ 4 000. Al crédito se otorgará con una cuota inicial equivalente al 25% del precio de contado y seis cuotas uniformes pagaderas cada 30 días. Se cargará una TEM del 5% sobre el saldo deudor.

Rp. R = S/. 591.05 Problema 15: ¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de S/. 2 000 efectuando depósitos de S/. 150 cada fin de quincena, en un banco que paga una TNA del 24% anual con capitalización mensual?

Rp. 12,58222416 quincenas.

Problema 16: ¿Por cuántos meses una persona debe depositar S/. 250 cada fin de mes, en un banco para formar un monto de S/ 2 000 en la fecha del último depósito, si percibe una TEM del 3%?

Rp. 7,277405148.

Problema 17: ¿En cuántas cuotas de S/. 1 576.14 pagaderas cada fin de mes se podrá amortizar un préstamo de S/. 8 000? La entidad financiera cobra una TEM del 5%.

Rp. 6.

Problema 18: Cuántas cuotas mensuales vencidas de S/. 1 650 serán necesarias para cancelar un préstamo de S/. 8 500? La deuda será contraída en un banco que cobra una TNA del 24% anual con capitalización trimestral.

Rp. 5.48 cuotas.

Problema 19: Por campaña escolar una casa comercial ofrece "paquetes escolares" en productos por un importe de S/. 1 200 cobrando una cuota inicial de S/ 200 y 11 cuotas mensuales de S/.

120. ¿Cuál es la tasa mensual de interés cargada?

Rp. TEM = 4,9384%.

Problema 20: Si se efectúan cuatro depósitos de inicio de mes de S/. 1 000 cada uno en una institución bancaria que paga una TNA del 36% con capitalización mensual, ¿qué importe se acumulará al final del cuarto mes?

Rp. S = S/. 4 309.14 Problema 21: El primer día útil de cada mes la compañía JETS coloca en un banco el 20% de sus excedentes de caja ascendentes a S/ 500. Si por dichos depósitos percibe una TEM del 3%, ¿cuánto habrá acumulado al término del sexto mes?

Rp. S = S/.3 331.23 Problema 22: El alquiler de un local comercial es de S/.500, pago que debe efectuarse a inicios de cada mes. El dueño del local le propone al arrendatario efectuar un descuento del 4% mensual en el caso que le abone anticipadamente los alquileres correspondientes a un año. Calcule el valor presente de los doce pagos anticipados.

Rp. P = S/. 4 880,24.

Pág.

Problema 23: Un crédito mutual fue contratado para ser amortizado con 20 imposiciones trimestrales fijas de S/. 250 a una TNA del 36%. Al vencimiento de la imposición 12, el cliente decide cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas, ¿cuál es el importe total a cancelar en esa fecha?

Rp. P = S/. 1 633.70 Problema 24: Calcule el precio de contado de una maquinaria vendida al crédito en 12 cuotas mensuales anticipadas de S/. 200 utilizando una TEM del 2%.

Rp. P = S/. 2 157.37 Problema 25: Calcule el importe total del interés a pagar en la amortización de un préstamo pactado a una TEM del 4% durante medio año con imposiciones iguales mensuales de S/. 500.

Rp. I= S/. 274.09 Problema 26: La compañía LIDER ha tomado la decisión de adquirir, dentro de seis meses, una nueva camioneta para distribuir sus productos (se estima que el precio de la camioneta será de $ 13 000).

Para este efecto decide ahorrar mensualmente, en ese plazo, una cantidad uniforme a inicio de cada mes. Calcule el importe de la cuota constante anticipada que le permita formar dicho fondo a fines del sexto mes, si sus ahorros perciben una TEM del 4%.

Rp. Ra = $ 1 884.52 Problema 27: Se estima que dentro de 4 meses deberá adquirirse una máquina cuyo precio será de S/. 5 000. Empezando el día de hoy, ¿qué cantidad uniforme deberá depositarse cada 30 días durante ese período de tiempo, en un banco que paga una TEM del 5%, a fin de comprar dicha máquina con los ahorros capitalizados?

Rp. Ra = S/ 1 104,82.

Problema 28: Calcule el importe de la imposición uniforme que colocada cada mes en un banco ganando una TEM del 4,5% durante el plazo de 4 años nos permita acumular un fondo para sustituir una maquinaria cuyo precio se estima al finalizar ese período en S/ 32 000.

Rp. Ra = S/.189.51 Problema 29: Un préstamo de S/. 5 000 debe cancelarse en 12 cuotas uniformes mensuales anticipadas pagando una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de cada cuota.

Rp. Ra = S/. 481.68 Problema 30: ¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de S/. 2 000 efectuando depósitos quincenales anticipados de S/. 150? El banco paga una TNA del 24% capitalizable mensualmente.

Rp. En 12,46560198 quincenas.

Problema 31: ¿Cuántas cuotas mensuales anticipadas de S/. 1 650 serán necesarias para cancelar un préstamo de S/. 8 500? La deuda ha sido contraída en un banco que cobra una TNA del 24% con capitalización trimestral.

Rp. n = 5.3726304

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Problema 32: Por campaña escolar una casa comercial ofrece "paquetes escolares" por un importe de S/. 1 200 cobrando 12 cuotas mensuales anticipadas de S/ 120 c/u ¿Cuál es la TEM cargada?

Rp. TEM = 3.5031% Problema 33: Si se efectúan cuatro depósitos de inicio de mes de S/. 1 000 cada uno en una institución bancaria que paga una TNA del 36% con capitalización mensual, ¿qué importe se acumulará al final del cuarto mes?

Rp. S = S/. 4 309.14 Problema 34: El primer día útil de cada mes la compañía JYTS coloca en un banco el 20% de sus excedentes de caja ascendentes a S/ 500. Si por dichos depósitos percibe una TEM del 3%, ¿cuánto habrá acumulado al término del sexto mes?

Rp. S = S/.3 331.23 Problema 35: El alquiler de un local comercial es de S/.500, pago que debe efectuarse a inicios de cada mes. El dueño del local le propone al arrendatario efectuar un descuento del 4% mensual en el caso que le abone anticipadamente los alquileres correspondientes a un año. Calcule el valor presente de los doce pagos anticipados.

Rp. P = S/. 4 880,24.

Problema 36: Un crédito mutual fue contratado para ser amortizado con 20 imposiciones trimestrales fijas de S/. 250 a una TNA del 36%. Al vencimiento de la imposición 12, el cliente decide cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas, ¿cuál es el importe total a cancelar en esa fecha?

Rp. P = S/. 1 633.70 Problema 37: Calcule el precio de contado de una maquinaria vendida al crédito en 12 cuotas mensuales anticipadas de S/. 200 utilizando una TEM del 2%.

Rp. P = S/. 2 157.37 Problema 38: Calcule el importe total del interés a pagar en la amortización de un préstamo pactado a una TEM del 4% durante medio año con imposiciones iguales mensuales de S/. 500.

Rp. I= S/. 274.09 Problema 39: Se estima que dentro de 4 meses deberá adquirirse una máquina cuyo precio será de S/. 5 000. Empezando el día de hoy, ¿qué cantidad uniforme deberá depositarse cada 30 días durante ese período de tiempo, en un banco que paga una TEM del 5%, a fin de comprar dicha máquina con los ahorros capitalizados?

Rp. Ra = S/ 1 104,82.

Problema 40. Calcule el importe de la imposición uniforme que colocada cada mes en un banco ganando una TEM del 4,5% durante el plazo de 4 años nos permita acumular un fondo para sustituir una maquinaria cuyo precio se estima al finalizar ese período en S/ 32 000.

Rp. Ra = S/.189.51

Pág.

Problema 41: Un préstamo de S/. 5 000 debe cancelarse en 12 cuotas uniformes mensuales anticipadas pagando una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de cada cuota.

Rp. Ra = S/. 481.68 Problema 42: ¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de S/. 2 000 efectuando depósitos quincenales anticipados de S/. 150? El banco paga una TNA del 24% capitalizable mensualmente.

Rp. En 12,46560198 quincenas.

Problema 43: ¿Cuántas cuotas mensuales anticipadas de S/. 1650 serán necesarias para cancelar un préstamo de S/. 8 500? La deuda ha sido contraída en un banco que cobra una TNA del 24% con capitalización trimestral.

Rp. n = 5.3726304 Problema 44: Por campaña escolar una casa comercial ofrece "paquetes escolares" por un importe de S/. 1 200 cobrando 12 cuotas mensuales anticipadas de S/ 120 c/u ¿Cuál es la TEM cargada?

Rp. TEM = 3.5031% Problema 45: Efectúe las seis transformaciones financieras entre stocks y flujos equivalentes, considerando un capital inicial de S/.100 en el momento 0, una TNA del 36% con capitalización mensual. 4 períodos diferidos mensuales y 6 rentas vencidas uniformes mensuales.

Rp. P= S/. 100; S = S/.134.39; R = S/. 20.78 Problema 46: Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 24 períodos trimestrales vencidos, de los cuales los4 primeros son diferidos.

El imparte de cada renta uniforme con vencimiento trimestral es de S/. 2500, y la TEA aplicada es 36%.

Rp. P = S/ 18 060.08 Problema 47: El Hotel Kalú estará terminado dentro de un año, fecha a partir de la cual se proyecta por 10 años tener ingresos netos mensuales de $ 2 000. Calcule el valor presente de esos flujos considerando una TEA del 20%.

Rp.P = $ 91 282.76 Problema 48: Calcule el importe que debe depositarse hoy en un banco, el cual permitirá retirar dentro de tres meses y durante un período consecutivo de nueve meses una renta de S/. 500.

La TEM es del 4%.

Rp. P = 3 437.19 Problema 49: Calcule el plazo diferido a otorgar en un financiamiento de S/ 11 166.33 cobrando una TEM del 5% para reembolsarse con 8 cuotas mensuales vencidas de S/ 2 000 c/u.

Rp. k = 3 meses.

Problema 50: Si el día de hoy efectuamos un depósito de SI. 10 000, calcule el plazo diferido a partir del cual se podrá percibir una renta vencida de S/. 1 000 mensual durante 36 meses a una TEM del 4%.

Rp. k = 16.2417988 meses.

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INDICADORES DE RENTABILIDAD Para evaluar una inversión, es necesario estimar los ingresos y egresos que dicha actividad genera y se le denomina flujo de caja económico cuando no se considera la estructura de financiamiento y flujo de caja financiero cuando se le incluye.

El flujo de caja económico nos permite efectuar la evaluación económica, concibiendo al proyecto como una fuente generadora de beneficios y costos durante la vida útil del proyecto. Considera además que todas las ventas son al contado y el total de las inversiones constituyen el capital propio.

V A N

 FC



 (1  ni)n   Io

VAN : Valor actual neto n : Periodos de evaluación FCn : Flujos de Caja n i I0

: Período de tiempo específico : Tasa de actualización de ingresos y egresos : Inversión

EVALUACIÓN ECONÓMICA Los criterios básicos o indicadores para la evaluación económica de un proyecto de inversión son los siguientes:

Para aplicación de la formula se consideran los flujos netos, consistentes en los beneficios netos, es decir los ingresos deducidos los costos. Los flujos pueden estimarse en cantidades y periodos uniformes o en cantidades y periodos variables, según las características del proyecto.

Valor Actual Neto (VAN) Es un indicador que mide el valor económico del proyecto, actualizando los ingresos estimados futuros a una determinada tasa que constituye el costo de oportunidad del capital, deducido el valor actual de los egresos en los que se incluye los desembolsos por concepto de inversiones.

Ejemplo 1: En un proyecto cuya inversión total inicial es de S/435,440, se estiman los flujos netos proyectados de S/100,000 en el primer año, S/.200 000 en el segundo año y S/.300 000 en el tercer ano, si se requiere un rendimiento mínimo del 18%, ¿se debe realizar la inversión? Evaluar mediante el VAN.

VAN =VAI – VAC

Tasa Interna de Retorno (TIR) Se denomina tasa interna de retorno, a la tasa de actualización que iguala el valor actual de los beneficios netos con el valor inicial de las inversiones y por consiguiente, produce un valor actual neto de cero. Para aceptarse el proyecto como rentable, la TIR debe ser mayor que la tasa mínima requerida tomada como costo de oportunidad del capital.

De acuerdo a este indicador se establece: Si la TIR>TCOK: Se acepta la ejecución del proyecto Si la TIR<TCOK: Se rechaza el proyecto.

El VAN es la diferencia del VAI, valor actual de ingresos y del VAC, valor actual del costo, entre los que se consideran los costos de inversión, los costos de operación y otros costos del proyecto. El criterio de aceptación o rechazo es: Si VAN >0 entonces Aceptar la Inversión Costo de Oportunidad El dinero tiene más de una oportunidad para invertirse, y cada vez que se acepta una de estas, se pierde la ocasión de invertir en otra.

Costo de oportunidad es la alternativa de inversión que se rechaza para aceptar otra, y en consecuencia, se pierde el beneficio que hubiera podido obtenerse en la alternativa rechazada, para obtener el beneficio de la aceptada.

Para simplificar, supongamos que tenemos solo dos alternativas para invertir nuestro dinero: una de ellas consiste en colocarlo en un banco a plazo fijo al 18% anual y la otra invertirlo en un negocio.

Cuando la decisión es invertir en el negocio, se dejara de percibir el 18%, en consecuencia este es el costo de oportunidad de nuestro dinero.

T I R

 FC



 (1  ni)n   Io  0

TIR : Tasa interna de retorno TCOK : Tasa de costo de oportunidad de capital n : Periodos de evaluación FCn : Flujos de Caja n i I0

Pág. 20

: Período de tiempo específico : Tasa de actualización : Inversión

Ejemplo 2: Con los datos del ejercicio anterior evaluar si conviene invertir o no, mediante la tasa interna de retorno TIR. Relación Beneficio Costo (B/C) Es el cociente entre el valor actualizado de los beneficios netos a la tasa tomada como costo de oportunidad y el monto de la inversiones iniciales; y para aceptarse como rentable el proyecto dicho cociente debe ser mayor a la unidad (B/C > 1) Ejemplo 3: Continuando con los datos del ejercicio 1 evaluar si conviene invertir utilizando el criterio de la relación beneficio costo B/C. Periodo de Recuperación de Capital Los inversores desean que el desembolso realizado en cualquier proyecto sea recuperado en el menor tiempo posible. El periodo de recuperación se determina contando el número de años que han de transcurrir, para que la acumulación de los flujos de efectivo previstos, iguale a la inversión inicial.

Ejemplo 4: Se tienen dos alternativas de inversión, A y B, bajo el criterio del periodo de recuperación, evaluar la mejor alternativa.

Proyecto A B

I 2000 2000

BN1 2000 1000

BN2 0 1000

Ejemplo 5: Una empresa desea determinar la mejor alternativa de inversión, entre los proyectos “A” y “B”, hágalo Ud. mediante los indicadores: el VAN, la TIR, y la relación beneficio – costo (B/C), considerando que se requiere una tasa mínima de rendimiento del 22% anual.

Proyecto A 1 000 000 500 000 500 000 520 000 480 000 450 000 400 000

Ejemplo 6: Con la información del ejemplo 9.5, referente al proyecto A y considerando que la estructura financiera de las inversiones es del 30% capital propio y el 70% financiamiento externo, con una tasa de interés anual del 25%, determinar la factibilidad del proyecto, mediante los indicadores: el VANF, la TIRF. y la relación beneficio – costo financiero (B/CF), considerando que se requiere una tasa mínima de rendimiento o costo de oportunidad del capital del 22% anual.

Problema 01: La Gerencia General de la empresa Minera “Cerro Verde” S.A. desea comprar un sistema de calefacción para el departamento de producción, por lo que tiene dos propuestas de proveedores diferentes: Conceptos Costo Inicial Costo Mantenimiento Valor Residual Vida Útil (años) TEA (%)

BN3 0 5000

A fin de entender con mayor claridad, desarrollamos un ejemplo utilizando los criterio de evaluación estudiados, como son el VAN. La TIR y la relación B/C.

Años 0 1 2 3 4 5 6

la rentabilidad del capital propio y la capacidad financiera del proyecto para el pago de la deuda.

Los criterios o indicadores para la evaluación financiera son los mismos de la evaluación económica, y se determinan utilizando los flujos netos de efectivo obtenidos en flujo de caja financiero.

Proyecto B 1 800 000 800 000 700 000 950 000 900 000 850 000 820 000

EVALUACIÓN FINANCIERA Para la evaluación financiera es necesario previamente la formulación del flujo de caja financiero, el cual incorpora los intereses como costo del capital prestado, las cuotas de amortización al préstamo, separa el capital propio del capital externo. La evaluación financiera evalúa

Pág.

ALFA 35,000 8,000 3,500 3 6

PENTA 45,000 5,500 8,500 3 5.5

Determinar cuál de los dos sistemas debe comprará la Empresa “Cerro Verde” S.A. Justifica tu respuesta.

Problema 02: Una empresa dedicada a la fabricación de productos lácteos ha invertido US$.

250,000 en maquinaria. Su proyecto consiste en vender yogurt a bajo costo a los colegios públicos primarios. En el primer año se piensan vender 120,000 unidades y en adelante las ventas se incrementaran el 10% anualmente. Del total vendido el 70% es al contado y el saldo se cobrará al siguiente año. Cada unidad tiene un precio de venta de US$. 3.5 y los costos de producción son de US$. 1.5 por unidad, considere que las materias primas se compran al contado. Calcule el VAN, TIR, B/C, CAUE y PR para un periodo de 5 años, si el proyecto considera un valor de salvamento de S/.

US$. 30,000. (COK 15% TEA).

Problema 03: Una máquina tiene un costo inicial de US$. 3,100 y una vida útil de 4 años, al cabo de los cuales su valor de salvamento es de US$. 500.

Los costos de operación y mantenimiento son de US$. 300 al año y se espera que los ingresos por el aprovechamiento de la máquina asciendan a

21

US$.1,800 al año ¿Cuál es la TIR de este proyecto de inversión?

Problema 04: Considere los dos siguientes planes de inversión: Plan A: Tiene un costo inicial de US$. 25,000 y requiere inversiones adicionales de US$. 5,000 al final del tercer mes y de US$. 8,000 al final del séptimo mes. Este plan tiene 12 meses de vida y produce $ 10,000 mensuales de beneficios a partir del primer mes.

Plan B: Tiene un costo inicial de US$. 20,000 y requiere una inversión adicional de US$. 10,000 al final del octavo mes. Durante sus 12 meses de vida, este plan produce US$. 8,000 mensuales de ingresos, y US$ 12,000 al término del proyecto.

Suponiendo un TREMA del 3% mensual, determine ¿Cuál de los dos planes es más conveniente?

Justifica tu respuesta. Utilizar VAN y TIR. Problema 05: Un empresario de Villa el Salvador desea formar un negocio para la fabricación muebles de madera. Luego de realizar el proyecto respectivo, se determina que se debe realizar una inversión inicial de S/. 225,000.00 Nuevos Soles. A cambio recibirá ingresos anuales de S/. 80,000.00; 101,000.00; S/.90,000.00 y S/. 121,000.00, en los cuatro primeros años. Suponiendo que la tasa anual de descuento es 21%. Determinar si es rentable la puesta en marcha del proyecto. Calcular el valor actual neto de la inversión y el PR. Problema 06: Teniendo en cuenta la próxima puesta en marcha del proyecto Olmos, un empresario Chiclayano desea establecer una empresa en dicha localidad para la exportación de limón a Europa. Para dicho proyecto se necesita una inversión inicial S/. 350,000.00 Nuevos Soles y se estima una vida útil de 6 años. Se tiene previsto que generará flujos netos anuales de S/.

135,000.00 Nuevos Soles. Además, se espera obtener al final de la duración del proyecto un valor residual de S/. 50,000.00 Nuevos Soles. Si los inversionistas desean obtener una rentabilidad del 30% anual. Determinar si el proyecto es rentable.

Utilizar el VAN y TIR

inversión inicial de S/. 75,000.00 Nuevos Soles y se paga al inicio del proyecto. Además, se espera recibir los siguientes ingresos durante los seis primeros años: S/. 21,000.00; S/. 28,000.00, S/.

17,500.00, S/. 19,000.00; S/. 28,000.00 y S/.

9,000.00. La tasa de interés anual es 17%. ¿El proyecto de inversión es rentable? Utilizar VAN, PR. Problema 08: El Gobierno Regional de Lambayeque tiene tres propuestas mutuamente excluyentes para un proyecto de construcción de un hospital popular. Los datos de la inversión inicial y los ingresos netos que obtendrán se muestran en la siguiente tabla: Año 0 1 2 3 4 5 6 7

B C (millones US$) -3,500.00 -4,100.00 -3,800.00 1,500.00 1,300.00 1,600.00 1,500.00 1,400.00 1,600.00 1,500.00 1,500.00 1,600.00 1,500.00 1,600.00 -1,300.00 1,500.00 1,700.00 1,700.00 1,500.00 1,700.00 1,700.00 1,500.00 1,700.00 1,700.00

Si la tasa esperada que se aplica es del 20.15% anual, seleccione la mejor alternativa por el método del VAN. Problema 09: El Banco de Comercio otorga un crédito a José Pérez, para la ampliación de su local comercial. El costo estimado para la inversión inicial es de S/.50.000, esperándose los siguientes ingresos netos para los primeros cuatro años: S/.25.000, S/.23.000, S/. 25,000 y S/.24.500.

Calcular la tasa interna de retorno de su inversión luego de los cuatro años.

Problema 07: Se compra una maquinaria por S/.

290.000.00 Nuevos Soles, la cual tiene una vida útil de 4 años. La máquina tendrá ingresos anuales de S/. 185,000.00 Nuevos Soles durante los tres primeros años y de S/. 165.000.00 Nuevos Soles durante el último año. El gasto anual de operación será de S/. 45,000.00 Nuevos Soles. El valor residual se estima en S/. 39,000.00 Nuevos Soles Si el costo de oportunidad del inversionista es una TEA del 34.456% efectivo anual.

Determinar si la compra de la máquina es rentable.

Utilizar VAN, B/C, PR. Problema 08: El proyecto de un negocio de confecciones de ropa de niño, determina una

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