ЕГЭ-2014. Математика. Тренировочные экзаменационные задания (ФИПИ) by Eksmo Eksmo

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я721 Я 97

Я 97

Ященко И. В. ЕГЭ 2014. Математика : Тематические задания и тренировочные варианты. Методический анализ / И.В. Ященко, А.В. Семенов, И.Р. Высоцкий, А.С. Трепалин. — М. : Эксмо, 2013. — 176 с. ISBN 978-5-699-66059-9 Книга содержит оригинальные варианты ЕГЭ 2013 года по математике, решение заданий, статистику и методический анализ выполнения этих заданий, тематические задания части 1 и 10 тренировочных вариантов, соответствующих демонстрационному варианту ЕГЭ 2014. Варианты, решения, тренировочные задания, методический анализ помогут учителям организовать планомерную подготовку учащихся к ЕГЭ. Статистика выполнения каждого задания и анализ ошибок, допущенных участниками экзамена, адресованы учителям и методистам. Книга адресована выпускникам средней школы, их родителям, учителям и методистам. Издание соответствует Федеральному государственному общеобразовательному стандарту. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я721

ISBN 978-5-699-66059-9

ВВЕДЕНИЕ Структура контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике в 2014 году ничем не отличается от структуры 2013 года. Вариант экзамена традиционно состоит из двух частей. В первой части 14 заданий с кратким ответом. Эти задания проверяют уровень освоения ФГОС на базовом уровне. Основной акцент в заданиях этой части сделан на проверку освоения математических компетенций (в первую очередь на умение решать практические задачи, применять математические знания). Все задания первой части берутся из открытого банка заданий (www.mathege.ru), который размещён в Интернете (отличаются от них только редакцией и числовыми параметрами). Во второй части 6 заданий повышенного и высокого уровня сложности, предназначенных для дифференциации по уровню подготовки будущих абитуриентов. Все решения должны быть записаны в бланке ответов № 2 (дополнительном бланке ответов № 2). Обоснованность и полноту решения этих заданий устанавливают эксперты и выставляют баллы в соответствии с Критериями оценивания заданий с развёрнутым ответом (можно посмотреть на сайте ФИПИ). На этапе подготовки к экзамену важно правильно распределить свои силы. Четыре оригинальных варианта единого государственного экзамена 2013 года дают возможность соотнести силы и знания с тем, что уже было. Решения заданий части 1, статистика выполнения и методический анализ дают возможность скорректировать подготовку к решению задач с кратким ответом. Тематические задания позволят планомерно готовиться к успешному выполнению заданий первой части. Сложные задачи второй части экзамена 2013 года показывают необходимость качественного изучения математики в школе. Методический анализ выполнения заданий части 2 позволит избежать многих ошибок и заблуждений. Опыт проведения экзамена с использованием открытого банка заданий по математике в 2010–2013 годах показывает, что наименее эффективны, к сожалению, наиболее популярные стратегии подготовки — выполнять, начиная с сентября подряд все задания открытого банка (в котором более 40 000 математических заданий) или решать имеющиеся в большом количестве варианты, аналогичные демонстрационному варианту ЕГЭ (либо из опубликованных пособий, либо составленные самостоятельно с использованием открытого банка). Залог успеха на экзамене — регулярные занятия математикой в течение всего времени обучения в школе, своевременное выявление и ликвидация возникающих (неизбежно!) проблем. Учителя и учащиеся при организации подготовки к экзамену с помощью этой книги имеют возможность повторить задания основных тем курсов алгебры, алгебры и начал математического анализа, геометрии, теории вероятностей и статистики. Данное пособие позволит учителю вести планомерную подготовку одиннадцатиклассников (десятиклассников) к экзамену, включая 3

задания в классную и домашнюю работу, методическую работу по предупреждению ошибок с учётом материала методических анализов выполнения заданий выпускниками 2013 года. Учащиеся имеют возможность самостоятельно выстраивать тактику подготовки к экзамену с использованием материалов данного издания, открытого банка математических заданий с опорой на школьные учебники. Авторы выражают уверенность в том, что задания сборника позволят не только успешно подготовиться к экзамену, но и закрепить математические знания, которые пригодятся в обычной жизни и при продолжении образования.

ВАРИАНТЫ 2013 года ВАРИАНТ 1 Часть 1 Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

B1.

B2.

Одна таблетка лекарства весит 70 мг и содержит 4% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,05 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте пяти месяцев и весом 8 кг в течение суток? На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Канада?

В1

В2

B3.

США

Россия

Польша

Перу

Китай

Канада

Казахстан

Индонезия

Замбия

Австралия

1400 1200 1000 800 600 400 200 0

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

В3

y 8

1 2 3

6 x

B4.

В4

Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле R  4 2F  2Q  D   0,01P.

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических чайников. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических чайников.

В5 В6

B5. B6.

Модель чайника

Средняя цена

Функциональность

Качество

Дизайн

4000

4500

4400

4200

Найдите корень уравнения 6 6  x  36. В треугольнике ABC AC  BC, AB  20, высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC. H

В7 В8

B7. B8.

Найдите значение выражения log2 240  log2 3,75. На рисунке изображён график функции y  f (x), определённой на интервале (–9; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f (x) равна 0. y y = f (x)

1 –9

В9

B9.

5 x

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10 2. Найдите образующую конуса.

B10. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России. B11. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, A1, B1, C1, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.

В11 D1

E C

B12. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле v  c

В10

В12

f  f0 , f  f0

где c  1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц. B13. Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч. B14. Найдите наименьшее значение функции y 

x2  441 на отрезке [2; 32]. x

В13

В14

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

Часть 2 Для записи решений и ответов на задания С1—С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

C1.

а) Решите уравнение 15cos x  3cos x  5sin x.



13 

. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5; 2  

C2.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.

C3.

Решите систему неравенств

C4.

Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если  ABO1  30 .

x4  log  2, 3 x 2  x  3   2  x 3  6 x 2  21x  3x  12  3.  x4

C5.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ax  7  8 x  x  2a  3 2

имеет единственный корень. C6.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8. б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

ВАРИАНТ 2 Часть 1 Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

B1.

B2.

В квартире, где проживает Анастасия, установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 122 куб. м воды, а 1 октября — 142 куб. м. Какую сумму должна заплатить Анастасия за холодную воду за сентябрь, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 9 руб. 90 коп.? Ответ дайте в рублях. На диаграмме показано распределение выплавки цинка в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди представленных стран первое место по выплавке цинка занимали США, одиннадцатое место — Иран. Какое место занимал Казахстан?

В1

В2

B3.

Швеция

США

Россия

Мексика

Канада

Казахстан

Ирландия

Иран

Индия

Бразилия

Боливия

800 700 600 500 400 300 200 100 0

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

В3

y 6

2 0

B4.

1 2

7 x

Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей безопасности S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель оценивается по 5-балльной шкале. Рейтинг R вычисляется по формуле R

В4

3S  2C  2F  2Q  D . 50

В таблице даны оценки каждого показателя для трёх моделей автомобилей. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице автомобилей.

В5 В6

B5. B6.

Модель автомобиля

Безопасность

Комфорт

Функциональность

Качество

Дизайн

9 x

Найдите корень уравнения 5

 125. C

В треугольнике ABC AC  BC, AB  15, AH — высота, BH  6. Найдите косинус угла BAC.

В7 В8

B7. B8.

Найдите значение выражения log5 312,5  log5 2,5.

На рисунке изображён график y  f   x  производной функции f  x , определённой на интервале (– 2; 9). В какой точке отрезка [2; 8] функция f  x  принимает наименьшее значение? y y = f ' (x)

1 –2

В9

В10

В11 В11

B9.

9 x

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 50 2. Найдите радиус сферы.

B10. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии. В11. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, E, F, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

A B 10

E1 D1

E C

B12. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 247 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле v  c

В12

f  f0 , f  f0

где c  1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 18 м/с. B13. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 42 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды? B14. Найдите точку максимума функции y  

x2  36 . x

В13

В14

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.





cos x

4

C1.

sin x а) Решите уравнение 16

3 sin x

C2.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 18, а боковые рёбра равны 15. Точка R принадлежит ребру MB, причем MR : RB  2 : 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки С и R параллельно прямой BD.

C3.

Решите систему неравенств

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3; 9  .  2 





log7  x 14  5x  x2  1,   11x  12 5  . x  5  2 x2  x  2x C4.

Окружности радиусов 4 и 13 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если LMO2  22,5 .

C5.

Найдите все значения a, при которых уравнение 6a  5  4x  x2  ax  3 имеет единственный корень.

C6.

а) Чему равно число способов записать число 1193 в виде 1193  a3  103  a2  102  a1  10  a0,

где числа ai — целые, 0  ai  99, i  0;1; 2; 3?

б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N  a3  103  a2  102  a1  10  a0,

где числа ai — целые, 0  ai  99, i  0;1; 2; 3, ровно 120 способами? в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде N  a3  103  a2  102  a1  10  a0,

где числа ai — целые, 0  ai  99, i  0;1; 2; 3, ровно 120 способами?

ВАРИАНТ 3 Часть 1 Ответом на задания В1—В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

B1.

B2.

1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 20 копеек. Счётчик электроэнергии 1 ноября показывал 669 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 846 киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь? Ответ дайте в рублях. На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди представленных стран первое место по объёму выплавки занимал Бахрейн, десятое место — Новая Зеландия. Какое место среди представленных стран занимала Венесуэла?

В1

В2

B3.

ЮАР

Таджикистан

Новая Зеландия

Нидерланды

Мозамбик

Исландия

Германия

Венесуэла

Бахрейн

Аргентина

900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

В3

y 5

2 0

2 3 4 5

B4.

В4

Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 30% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 15% на услуги мобильного интернета. Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 310 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 415 рублей на звонки в другие регионы и 560 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем объёме?

В5

B5.

Найдите корень уравнения log2   3x  8   7.

В6

B6.

В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 104 , угол CAD равен 6 . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

В7 В8

B7. B8.

Найдите значение выражения 30tg3  tg87  43. На рисунке изображёны график функции y  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. y 2

y = f(x) x0

1 –1 0

–3

В9

В10

В11

B9.

Высота конуса равна 21, а длина образующей равна 29. Найдите диаметр основания конуса.

B10. В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос про Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос про Александра Второго. B11. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

C1 B1 C

A 14

B12. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f0  170 Гц и определяется следующим выражением: f  f0 

В12

cu (Гц), c v

где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u  12 м/с и v  6 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 180 Гц? B13. Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов одиннадцать таких же рубашек дороже куртки?

В13

3  . B14. Найдите наименьшее значение функции y  69cos x  71x  48 на отрезке  0;  2 

В14

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

а) Решите уравнение sin2x  cos

 32  x .

C1.

 3 5  б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; . 2   2

C2.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 22, а боковое ребро AA1  7. Точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 6 : 5, считая от вершины B1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K.

C3.

Решите систему неравенств

C4.

Окружности радиусов 13 и 20 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём AO1O2  60 . Найдите AB.

  x  8 10  10,  log 8  x x 1  2 2  x  9 x  15  x  7 x  4  2x  7.  x 2 x 7

C5.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x  2  a   x  2  a  x  a  2 2

имеет единственный корень.