Prof. Elaine
Aula 01 TEORIA DOS CONJUNTOS
Um pouco de História Símbolos lógicos Pertinência Representação Igualdade e Desigualdade Inclusão Reunião e Intersecção Diferença Exercícios resolvidos Exercícios de Vestibulares
Um Pouco de História Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845–1918), e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva. Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Nascimento Falecimento Nacionalidade
3 de Março de 1845 São Petersburgo 6 de Janeiro de 1918 (72 anos) Russo
S铆mbolos L贸gicos
PertinĂŞncia
Igualdade e Desigualdade
Representação
Inclus達o
Diferenรงa e Complementar
União e Intersecção
Exemplo 1
Resolução 3000 pessoas DN
EN 200
450
400
Informações
100 400
250 650
FM
Nenhum dos Jornais
550
1000 liam o DN 1100 liam o EN 1400 liam a FM 300 liam o DN e o EN 500 liam a FM e o EN 350 liam a FM e o DN 100 liam os três jornais
Resolução
1000 pessoas 400 pessoas
Temos: 400 + 650 = 1050 pessoas 550 pessoas Temos: 450 + 400 + 350 = 1500 pessoas Temos: 100 + 400 + 200 + 250 = 950 pessoas
Exemplo 2
Resolvendo: Informações:
A
B
8
12
40 Temos Portanto: Número de elementos de B é: 12 + 40 = 52 elementos Alternativa e
Exercícios 01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é: a)120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a. 02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim: a) 150 operários trabalham em 2 períodos; b) há 500 operários na indústria; c) 300 operários não trabalham à tarde; d) há 30 operários que trabalham só de manhã; e) N.d.a. 03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado está resumido na tabela abaixo.
150
180
100
O número total de alunos da escola é: a) 790 b) 600 c) 675
30
40 d) 570
25 e) 335
20
245
Exercícios 04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X é: a)22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20 05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: a)48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80% 06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 compram o produto A. 210 compram o produto B. 250 compram o produto C. 20 compram os três produtos. 100 não compram nenhum dos três produtos. 60 compram os produtos A e B. 70 compram os produtos A e C. 50 compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas? 07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês?
Exercícios 08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes? 09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é: a)10
b) 12
c) 15
d) 17
e) 18
10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam somente Física? a) 3 e 2.
b) 2 e 5.
c) 2 e 3.
d) 5 e 2.
e) 3 e 4.
Gabarito
Resolução dos Exercícios 01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é: a)120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a.
Resolvendo: 360 Alunos
P
M 120
60
180
Temos que: 240 + 180 = 420 Se temos 360 alunos logo:
420 – 360 = 60 alunos
Informações: Total (Universo) = 360 Estudam Português P = 180 Estudam matemática M= 240 Estudam Português e Matemática P∩M = ?
Temos no diagrama: P ∩ M = 60 P = 180 M = 240
Resolução dos Exercícios 02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim: a) 150 operários trabalham em 2 períodos; b) há 500 operários na indústria; c) 300 operários não trabalham à tarde; d) há 30 operários que trabalham só de manhã; e) N.d.a.
M
40
30
50
20 20
30 10
N
Respondendo Temos: Há 30 operários que trabalham só de manhã
T
Informações: M = 120 T = 130 N = 80 MT = 60 MN = 50 TN = 40 MTN = 20
Resolução dos Exercícios 03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado está resumido na tabela abaixo.
150
180
100
30
O número total de alunos da escola é: a) 790 b) 600 c) 675
A 100 20 C
d) 570
25
5
55
Total de Alunos = 100+20+20+10+145+5+55+245 = 600 alunos
245
Informações:
145
Temos Portanto:
20
e) 335
B
10 20
40
245
A = 150 B = 180 C = 100 A ∩ B = 30 A ∩ C = 40 C ∩ B = 25 A ∩ B ∩ C = 20 Nenhum = 245
Resolução dos Exercícios 04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X é: a)22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20 Resolvendo: Importante observar que os múltiplos de 12 também são múltiplos de 4 e 6. Portanto temos: 12- 5 = 7 7-5 = 2 Então 5 é a intersecção entre M4 M6 e M12. Vejamos no Diagrama:
M4 5
M12
M6 = 7
M4 ∩ M6 ∩ M12 = 5
2
0
M4 = 12
M12 = 5
M6 7
Informações:
I 8
I= 8
Temos então: 7+5+2+8 = 22 elementos
Resolução dos Exercícios 05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: a)48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%
Informações:
Resolvendo: Temos 80 + 60 = 140 Façamos agora : 140-100 = 40% No diagrama temos: A
Jornal A = 80% Jornal B = 60% A∩B=?
B 40
40
20
Temos portanto o percentual de alunos Que lêem ambos é 40%
Resolução dos Exercícios 06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 compram o produto A. 210 compram o produto B. Informações: 250 compram o produto C. A = 210 20 compram os três produtos. B = 210 100 não compram nenhum dos três produtos. C = 250 60 compram os produtos A e B. AB = 60 70 compram os produtos A e C. 50 compram os produtos B e C. AC = 70 Resolvendo: Quantas pessoas foram entrevistadas? BC = 50
A
ABC = 20 Nenhum = 100
B 100
40
Temos no Total:
120
100+40+20+50+120+30+150+100 =
20 30
50 150
C
Nenhum 100
610 Pessoas
Resolução dos Exercícios 07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês?
Temos No Diagrama: Informações: I
F 23
13
9
Total: 45 I e F = 13 F = 22 I=?
Se temos um total de 45 alunos Fazemos 45-22 = 23 alunos Portanto temos: 23 +13 = 36 alunos que estudam Inglês
Resolução dos Exercícios 08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes?
No diagrama Temos: A
B 1000
600
Informações: AUB = 2200 A = 1600 A∩B = 600 B=?
600 Se temos 2200 pessoas fazemos: 2200-1600 =600 pessoas. Portanto são: 600 + 600= 1200 sócios do clube B
Resolução dos Exercícios 09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é: a)10
b) 12
c) 15
d) 17
e) 18
Temos No diagrama: Informações: F
L 35
21
20 Nenhum
18
Total = 94 F = 56 L = 41 F ∩ L = 21 Nenhum = 18
Temos portanto: 94 – 76 = 18 pessoas
Resolução dos Exercícios 10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam somente Física? a) 3 e 2.
b) 2 e 5.
c) 2 e 3.
d) 5 e 2.
e) 3 e 4.
Temos no diagrama:
Informações: M
F
4
6
3 2
0 5
Q
M = 10 F=9 Q=7 MF = 4 MQ = 0 QF = ? Somente F = Temos: Se somarmos 6 + 4 + 9 + 7 = 22 Portanto temos 2 professores que é exatamente a Intersecção entre Química e Física. Logo temos: 9–2=7 7–2=5 Professores de Física e Química são 2 e somente Física são 3