Mussi_Castagnetti

Abbiamo un Compito Incontro sulla fisica per i Licei Umanistici

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Indice 2° BIENNIO Sulle spalle dei giganti 1. Introduzione 2. L'eredità del mondo classico 3. L'eredità del mondo medievale

0 Strumenti matematici 1. Notazione scientifica e ordine di grandezza 2. Proporzioni e percentuali 3. Proprietà delle equazioni 4. Relazioni tra i lati di un triangolo 5. Rappresentazione grafica delle funzioni

1 Le grandezze e la misura 1. La fisica e il metodo scientifico 2. Le grandezze fisiche e il Sistema Internazionale 3. Le grandezze derivate 4. Strumenti di misura ed errori sperimentali 5. Gli errori nelle misure dirette e indirette

2 Il moto rettilineo 1. La cinematica e la descrizione del moto 2. La velocità 3. Il moto rettilineo uniforme 4. L'accelerazione 5. Il moto uniformemente accelerato 6. La caduta dei gravi

3 I vettori e i moti nel piano 1. Grandezze scalari e vettoriali 2. Le operazioni con i vettori Approfondimento matematico: seno e coseno di un angolo 3. Spostamento, velocità e accelerazione vettoriali 4. Il moto parabolico dei gravi 5. Il moto circolare uniforme 6. La velocità angolare Approfondimento matematico: la misura degli angoli in radianti

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4 Le forze 1. Le forze 2. La forza peso 3. La forza elastica 4. Le forze di attrito 5. Le forze vincolari

5 I principi della dinamica e l'equilibrio del punto materiale 1. La dinamica e le cause del moto 2. Il primo principio della dinamica 3. Il secondo principio della dinamica 4. L'equilibrio del punto materiale 5. Il terzo principio della dinamica 6. Applicazioni: il piano inclinato e la forza centripeta 7. I sistemi di riferimento inerziali e le trasformazioni di Galileo 8. Le forze apparenti e la forza centrifuga

6 L'equilibrio del corpo rigido 1. Il corpo rigido 2. Il momento di una forza Approfondimento matematico: prodotto vettoriale 3. L'equilibrio del corpo rigido 4. Il baricentro 5. Le leve

7 Il lavoro, la potenza e l'energia 1. Il lavoro Approfondimento matematico: prodotto scalare 2. La potenza 3. L'energia cinetica 4. L'energia potenziale 5. La conservazione dell'energia

8 La quantità di moto e il momento angolare 1. La quantità di moto 2. L'impulso 3. La conservazione della quantità di moto 4. Gli urti 5. Momento angolare e momento d'inerzia

9 La gravitazione 1. Storia della cosmologia 2. Le leggi di Keplero 3. La legge di gravitazione universale 4. Il moto dei satelliti 5. L'energia potenziale gravitazionale 4

10 I fluidi 1. I fluidi e la pressione 2. La legge di Stevino 3. Il principio di Pascal 4. La pressione atmosferica 5. Il principio di Archimede 6. Fluidi in movimento

11 La temperatura e il calore 1. La temperatura e l'equilibrio termico 2. La dilatazione termica 3. Il calore 4. I passaggi di stato 5. La trasmissione del calore

12 Le leggi dei gas e la termodinamica 1. Le trasformazioni dei gas 2. Le leggi dei gas perfetti 3. L'equazione di stato dei gas perfetti 4. L'interpretazione microscopica della temperatura 5. Il primo principio della termodinamica 6. Le macchine termiche 7. Il secondo principio della termodinamica 8. L'entropia

13 Moto armonico, onde e suono 1. Il moto armonico Approfondimento matematico: grafico delle funzioni goniometriche 2. L'oscillatore armonico e il pendolo semplice 3. Proprietà delle onde 4. Propagazione delle onde 5. Le onde sonore 6. Caratteristiche del suono Approfondimento matematico: logaritmi 7. Riflessione e diffrazione delle onde sonore 8. Effetto Doppler sonoro

14 La luce 1. Il modello a raggi 2. La riflessione della luce e gli specchi piani 3. Specchi sferici 4. La natura della luce 5. Rifrazione e riflessione totale 6. Le lenti 7. Interferenza e diffrazione della luce

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Indice 5° ANNO 15 La carica elettrica

1. La carica elettrica e l'elettrizzazione per strofinio 2. Conduttori e isolanti 3. La legge di Coulomb

16 Il campo elettrico e il potenziale 1. Il campo elettrico 2. L'energia potenziale elettrica 3. Il potenziale elettrico 4. I condensatori 5. Moto di una carica in un campo elettrico

17 La corrente elettrica 1. L'intensità di corrente 2. La prima legge di Ohm 3. La seconda legge di Ohm 4. La forza elettromotrice 5. I circuiti a corrente continua 6. L'effetto Joule e la potenza elettrica 7. La sicurezza elettrica

18 Il campo magnetico 1. Dai magneti al campo magnetico 2. La forza magnetica su una corrente 3. La forza magnetica su una carica in moto 4. Campi magnetici generati da correnti 5. Le proprietà magnetiche della materia

19 L'induzione elettromagnetica 1. L'induzione elettromagnetica 2. La legge di Faraday-Neumann-Lenz 3. La corrente alternata 4. Il trasformatore 5. Produzione e trasporto dell'energia elettrica

20 Le onde elettromagnetiche 1. I teoremi di Gauss 2. Campi elettrici e magnetici indotti 3. Le equazioni di Maxwell 4. Le onde elettromagnetiche 5. Trasmissione e ricezione di onde elettromagnetiche 6. Lo spettro elettromagnetico

21 La relatività ristretta 1. La teoria della relatività ristretta 2. La dilatazione dei tempi 3. La contrazione delle lunghezze 4. Energia relativistica e massa 5. L'importanza della relatività

Percorsi di meccanica quantistica e fisica moderna La crisi della fisica classica I tre esperimenti: • corpo nero e l'interpretazione del suo spettro mediante la costante di Planck; • effetto fotoelettrico e la sua interpretazione mediante la costante di Planck; • spettri atomici a righe.

I modelli atomici Thomson (modello a panettone) Rutherford (modello planetario, con cenni all'esperimento) Modello atomico e postulati di Bohr Principio di esclusione di Pauli Le “onde di materia” De Broglie Modello di Bohr secondo de Broglie Schroedinger Crisi del determinismo Interpretazione probabilistica della funzione d’onda Principio di complementarietà Principio di indeterminazione Paradosso di Schroedinger La struttura interna dell’atomo Radiazioni nucleari Decadimenti radioattivi Reazioni nucleari La struttura dell’Universo Come è fatto l’Universo (galassie, stelle, buchi neri,...)

Gli strumenti per l’osservazione (telescopi sulla Terra e nello spazio, bande di frequenze, …)

Cosmologia Teoria del Big Bang Radiazione di fondo

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Cenni di relatività generale Principio di equivalenza Deflessione della luce e curvatura dello spazio-tempo Onde gravitazionali Le frontiere della fisica Le particelle elementari L’unificazione delle forze (stringhe) Computer quantistico Entanglement

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U N I TÀ

2 FLIPPED CLASSROOM

Il moto rettilineo

IN PREPARAZIONE

IN AUTONOMIA • Guarda il video Il moto rettilineo uniforme.

• Leggi il paragrafo 3, rispondi alle domande Checkpoint e svolgi gli esercizi di paragrafo dal 37 al 41.

A SCUOLA • Seguite la lezione aiutandovi con la presentazione di Unità.

• Nell’attività GeoGebra Moto rettilineo uniforme, sperimentate con il moto rettilineo uniforme.

• Svolgete l’esercizio commentato 124 e confrontate il vostro svolgimento con la risoluzione per passi.

IN GRUPPO • In piccoli gruppi, cercate informazioni sulla tecnologia del telemetro laser.

• In una presentazione di 3 slide spiegate in che modo questa tecnologia si basa sul moto rettilineo uniforme.

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TEORIA

UNITÀ 2

11 LA CINEMATICA E LA DESCRIZIONE DEL MOTO LINGUAGGIO Il termine cinematica deriva dal verbo greco κινε′ω, che significa “muovere”.

Si può riconoscere la radice del termine anche in altre parole italiane, come cinematografo, ora abbreviato più semplicemente in cinema.

Il moto dei corpi è stato uno dei fenomeni più studiati fin dagli albori della filosofia naturale. È infatti semplice osservare la differenza tra oggetti fermi e oggetti in movimento, interrogandosi sulle differenze tra questi due stati.

Nel corso dei secoli lo studio del moto ha seguito due strade, la cinematica e la dinamica, che fanno parte della meccanica. In questa Unità vedremo che: la cinematica si occupa di descrivere i diversi tipi di moto, trascurando le cause che li producono.

Nella cinematica, quindi, si studiano le grandezze fisiche necessarie alla descrizione del moto e le leggi matematiche che le legano.

Le cause del moto sono invece l’oggetto di studio della dinamica e verranno affrontate nell’Unità 5.

Il modello di punto materiale Per indagare i fenomeni la fisica utilizza modelli, cioè semplificazioni che permettono di concentrare l’attenzione su alcune caratteristiche degli oggetti reali, trascurandone altre non necessarie allo scopo. Per esempio:

quando studiamo il moto di un veicolo non ci serve conoscerne le dimensioni e il numero di ruote, mentre ci interessa misurare quanto spazio percorre e il tempo impiegato a percorrerlo;

se invece vogliamo analizzare lo stato di usura degli pneumatici a causa dell’attrito con l’asfalto, le dimensioni del veicolo e il numero di ruote diventano caratteristiche importanti.

A seconda dell’indagine dobbiamo quindi scegliere il modello più adeguato.

Nello studio dei moti utilizziamo il modello di punto materiale, perché ci consente di descrivere un corpo come se fosse un oggetto senza dimensioni che si muove lungo una linea.

Modello di punto materiale

In fisica un corpo può essere considerato un punto materiale se le sue dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui avviene il fenomeno osservato.

Se questa condizione è verificata, si possono trascurare gli effetti dovuti alle dimensioni del corpo, alla sua forma e ai moti delle parti che lo costituiscono, come nei casi in cui il corpo ruota su se stesso. Perciò il moto dell’intero corpo è riconducibile al moto di un punto.

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TEORIA

IL MOTO RETTILINEO

In opportune condizioni possiamo approssimare a punti materiali anche oggetti di notevoli dimensioni: dato che il diametro terrestre è molto minore della distanza Terra-Sole, la Terra può essere considerata un punto materiale se si osserva la sua rivoluzione intorno al Sole da una distanza sufficientemente grande. In questo caso la Terra appare davvero puntiforme [ F1].

Sfrutteremo il modello di punto materiale nello studio della cinematica e per una parte della dinamica, perciò anche quando utilizzeremo le parole “corpo” o “oggetto”, dovremo intenderli come puntiformi.

Quando le dimensioni dei corpi studiati non saranno più trascurabili, sarà necessario introdurre un modello diverso.

Terra

Figura 1 La Terra appare come un punto in questa fotografia scattata da uno dei veicoli spaziali della missione MarCO della NASA, diretti su Marte.

I sistemi di riferimento e la posizione Quando siamo seduti su un autobus, possiamo dire di essere fermi?

Un passeggero seduto vicino a noi dirà che siamo fermi sul sedile, mentre un pedone sul marciapiede dirà che ci stiamo muovendo insieme all’autobus.

Queste risposte dipendono da chi osserva e sono entrambe valide, perché: il moto di un corpo e la sua posizione sono sempre definiti in base al sistema di riferimento da cui si osserva il moto, che deve essere stabilito a priori.

Il sistema di riferimento più opportuno nello spazio è un riferimento cartesiano costituito da assi orientati perpendicolari tra loro, che si intersecano in un punto O detto origine.

Come mostrato sotto, in questo riferimento la posizione di un corpo che si trova in un punto P è determinata da un insieme di coordinate spaziali, cioè da numeri positivi o negativi seguiti da un’unità di misura. L’unità di misura della posizione nel Sistema Internazionale (SI) è il metro. y

yP = 8 m

P

P xP = 14 m

O

x

Se il corpo si muove in un piano, servono due assi cartesiani x e y, e la posizione si indica con due coordinate xP e yP.

O

sP = 1 m

s

Se il corpo si muove lungo una retta, è sufficiente un solo asse, che chiamiamo s, e la posizione si indica con la coordinata sP.

La traiettoria Quando un corpo è in movimento, la sua posizione nel sistema di riferimento cambia nel tempo. L’insieme delle posizioni occupate a istanti successivi ci permette di definire il concetto di traiettoria.

La traiettoria è l’insieme di tutte le posizioni che un corpo occupa durante il suo moto.

Traiettoria

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TEORIA

UNITÀ 2

La traiettoria del motoscafo (in rosso) è visibile grazie alla scia disegnata sull’acqua.

La traiettoria seguita da un treno coincide con la forma del tracciato dei binari.

Dagli esempi precedenti appare chiaro che le traiettorie sono linee nello spazio e che possono assumere forme diverse a seconda del tipo moto.

In questa Unità ci occupiamo esclusivamente di moti rettilinei.

Moto rettilineo

Si dice rettilineo un moto in cui la traiettoria è un segmento di retta.

Il diagramma orario Per descrivere il moto di un corpo, oltre alla sua posizione dobbiamo considerare anche il tempo trascorso, che indichiamo con la lettera t.

Per capire come mettere in relazione queste due grandezze, immaginiamo di cronometrare una atleta che si allena per correre i 100 metri piani [ F2].

Figura 2 Grazie alla tecnica della fotografia multipla possiamo osservare le posizioni successive s0, s1, s2... dell’atleta a diversi istanti di tempo t0, t1, t2...

La sua traiettoria (in rosso) è rettilinea.

t0 = 0 s

s0 = 0

t1 = 0,6 s

s1 = 4,0

t2 = 1,3 s

s2 = 9,8

s (m)

O

• Il moto dell’atleta è rettilineo, perciò per descriverlo scegliamo un asse orientato s.

• Facciamo partire il cronometro, cioè fissiamo l’istante iniziale t0 = 0 dell’osservazione, quando l’atleta si trova nell’origine O. • Per comodità, facciamo coincidere O con il punto di partenza della corsa, quindi alla partenza l’atleta si trova in posizione iniziale s0 = 0.

• Poi rileviamo le posizioni s1, s2, ... dell’atleta a istanti di tempo successivi t1, t2, ... Dalla figura si vede che all’istante t1 = 0,6 s l’atleta si trova in posizione s1 = 4,0 m, all’istante t2 = 1,3 s si trova in posizione s2 = 9,8 m ecc.

Per studiare i dati è utile raccoglierli in una tabella a doppia entrata, che associa a ogni istante t la corrispondente posizione s, e poi rappresentare le coppie (t; s) in un grafico, detto diagramma orario o grafico spazio-tempo del moto. Il diagramma orario è diverso dalla traiettoria ed è un nuovo modo di rappresentare il moto. Mostriamo ora il procedimento per disegnarlo.

IL MOTO RETTILINEO

t (s)

s (m)

0,0

0,0

0,6

4,0

1,3

9,8

2,5

20,0

4,3

39,8

6,1

59,7

8,0

Le coppie (t; s) sono punti di un piano cartesiano che ha il tempo t sull’asse orizzontale e la posizione s sull’asse verticale.

s (m) 100,0 80,0

(10,0; 100,0) (8,0; 79,7)

60,0

(6,1; 59,7)

40,0 20,0

79,7

10,0 100,0

La linea che unisce i punti rappresenta il moto dell’atleta istante per istante.

(4,3; 39,8) (0; 0) (0,6; 4)

0,0 0,0

(2,5; 20) (1,3; 9,8) 4,0

2,0

6,0

8,0

10,0 t (s)

Il diagramma orario è un grafico che rappresenta la posizione di un corpo in funzione del tempo.

• L’asse orizzontale, o asse delle ascisse, rappresenta il tempo trascorso t, che è la variabile indipendente perché non dipende da altre grandezze.

• L’asse verticale, o asse delle ordinate, rappresenta la posizione s, che è la variabile dipendente perché il suo valore cambia al variare del tempo. sistema di riferimento

CINEMATICA

TEORIA

posizione

traiettoria diagramma orario

tempo CHECKPOINT

1. Costruisci un discorso sulla cinematica utilizzando le parole chiave nella mappa.

2. Qual è la differenza tra la traiettoria di un corpo e il suo diagramma orario?

22 LA VELOCITÀ A partire dalla posizione e dall’istante di tempo si possono definire nuove grandezze che permettono di analizzare altri aspetti del moto di un corpo.

L’intervallo di tempo e lo spostamento Consideriamo un altro atleta che si allena sempre per i 100 metri piani. t1 = 0,6 s

O s1 = 4,0 m

t2 = 1,3 s

Δs = 5,8 m

Δt = 0,7 s

s s2 = 9,8 m

L’atleta occupa le posizioni s1 = 4,0 m nell’istante t1 = 0,6 s e s2 = 9,8 m nell’istante t2 = 1,3 s. Si può dire che si sposta di 5,8 metri in 0,7 secondi, infatti: t2 − t1 = (1,3 − 0,6) s = 0,7 s e s2 − s1 = (9,8 − 4,0) m = 5,8 m

Diagramma orario

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6

TEORIA

UNITÀ 2

Il valore 0,7 s è l’intervallo di tempo che separa i due istanti t1 e t2.

Intervallo di tempo

Se t1 è un istante di tempo e t2 è un istante successivo, l’intervallo di tempo Δt (si legge “delta ti”) è la differenza tra i due istanti: istante 2 (s) intervallo di tempo (s)

Δt = t2 − t1

istante 1 (s)

La lettera greca maiuscola Δ (“delta”) è usata in fisica per indicare la variazione di una grandezza; in questo caso la grandezza che varia è il tempo.

L’unità di misura SI dell’intervallo di tempo è il secondo.

Il valore 5,8 m indica invece lo spostamento dell’atleta tra le posizioni s1 e s2.

Spostamento

Se s1 è la posizione all’istante t1 e s2 è la posizione a un istante successivo t2, lo spostamento Δs è la differenza tra le due posizioni: posizione 2 (m)

spostamento (m)

Δs = s2 − s1

posizione 1 (m)

L’unità di misura SI dello spostamento è il metro.

Analizziamo meglio la definizione di spostamento con un esempio diverso.

O

Δs = 10 m s1 = 10 m

s

s2 = 20 m

O

Δs = –10 m s2 = 10 m

s

s1 = 20 m

L’auto in figura si muove nello stess­ o verso dell’asse s e compie uno spo­stamento uguale a:

Un’altra auto, che si muove in ver­ so opposto all’asse s, compie uno spostamento uguale a:

Δs = s2 − s1 = (20 − 10) m = 10 m

Δs = s2 − s1 = (10 − 20) m = −10 m

Quindi entrambe le auto dell’esempio percorrono la stessa distanza di 10 m ma compiono spostamenti di segno opposto.

Il segno dello spostamento di un corpo in moto rettilineo dipende dal verso di percorrenza dell’asse orientato ed è: • positivo se il corpo si muove nello stesso verso dell’asse orientato; • negativo se si muove in verso opposto all’asse.

Al contrario, l’intervallo di tempo è una grandezza sempre positiva.

La velocità media Il concetto di velocità è presente anche nel linguaggio comune: in una gara su pista diciamo che l’atleta più veloce è quello che, a parità di spazio percorso, raggiunge il traguardo nel minor tempo, infatti un atleta che corre i 100 metri in 9,58 secondi è più veloce di un atleta che ne impiega 11; viceversa, se in 10 secondi un atleta percorre 85 metri e un altro ne percorre 99, diciamo che è più veloce il secondo atleta perché percorre più spazio nello stesso tempo. Diamo allora una definizione formale di velocità.

IL MOTO RETTILINEO

La velocità media è il rapporto tra lo spostamento Δs = s2 − s1 compiuto da un corpo e l’intervallo di tempo Δt = t2 − t1 impiegato per compierlo: velocità media (m/s)

s –s ∆s vm = 2 1 = t 2 – t1 ∆t

TEORIA

Velocità media

spostamento (m)

(1) intervallo di tempo (s)

L’unità di misura della velocità nel SI è il metro al secondo (simbolo m/s).

Per definizione, la grandezza vm dà un’indicazione di quanto rapidamente varia la posizione del corpo nel tempo.

La velocità viene spesso misurata anche in kilometri orari (simbolo km/h).

Ricordando che 1 km = 1000 m e che 1 h = 3600 s, possiamo scrivere: 1

km 1 km 1000 m 1 m km m = = = e viceversa 1 = 3,6 h 1h 3600 s 3,6 s h s

• Per passare da km/h a m/s si deve dividere per 3,6.

• Per passare da m/s a km/h si deve moltiplicare per 3,6.

Ma perché questa grandezza è chiamata velocità media e non semplicemente velocità? Immaginiamo un atleta che percorre Δs = 100 m in Δt = 10 s. Dalla definizione si trova che la sua velocità media è di 1 m/s, ma verosimilmente l’atleta non si muoverà con la stessa velocità durante tutta la corsa: partirà da fermo e poi aumenterà la propria velocità progressivamente. Dunque: si parla di velocità media perché questa grandezza non tiene conto delle variazioni intermedie di velocità.

1

ALLA REALTÀ

DAL MODELLO

Un corpo che si muove di moto rettilineo compie uno spostamento di 3,6 km in 30 min. Qual è la sua velocità media in questo intervallo di tempo? Esprimila prima in m/s e poi in km/h.

Le telecamere del sistema tutor dell’autostrada A4 rilevano che un motociclista impiega 3,0 min per percorrere il tratto autostradale rettilineo da Bergamo a Seriate, lungo 6,1 km. Calcola la sua velocità media ed esprimila in m/s e in km/h.

Dati e incognite

Dati e incognite

velocità media vm = ?

Δt = 3,0 min 6,1 km intervallo di tempo ..... spostamento Δs = ...........; velocità media v = ? ............................

Svolgimento

Svolgimento

Innanzitutto converti i dati in unità di misura del SI:

del SI Innanzitutto converti i dati in unità di misura ...........: 6,1 km 6100 m Δs = ................. = .................

spostamento Δs = 3,6 km; intervallo di tempo Δt = 30 min

m

Δs = 3,6 km = 3600 m Δt = 30 min = 30 (60 s) = 1800 s Noti lo spostamento e l’intervallo di tempo, usa la definizione di velocità media per trovare il risultato: vm =

∆s 3600 m = = 2,0 m/s ∆t 1800 s

Infine, converti la velocità media da m/s a km/h: vm = 2,0 m/s = 2,0 (3,6 km/h) = 7,2 km/h

3,0 min = ...........

3 60 s = ...........

180 s Δt = ................. (...........) spostamento l’intervallo di tempo Noti lo ............................. e ......................................, usa la velocità media per trovare il risultato: definizione di ............................. ∆s 6100 m vm = ........... = ................... = 34 m/s ∆t 180 s m/s a .............: km/h Infine, converti la velocità media da ...........

34 m/s = ...........

34 (...........

3,6 km/h) = ...........

120 km/h vm = ...........

Osservando la (1) notiamo che, se conosciamo vm e Δt, possiamo invertirla per trovare Δs. Moltiplichiamo entrambi i membri per Δt e semplifichiamo: ∆s vm = ∆t

∆s vm ⋅ ∆t = ⋅ ∆t ∆t

Δs = vmΔt

TI RICORDI? Per invertire una formula devi usare le proprietà delle equazioni [>p. 6].

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8

TEORIA

UNITÀ 2

Se invece conosciamo vm e Δs, possiamo invertire l’equazione appena ricavata per trovare Δt. Dividendo entrambi i membri per vm e semplificando, si ha: ∆s vm = ∆t vm vm

Δs = vmΔt

∆t =

∆s vm

La velocità media nel diagramma orario La velocità media si ricava anche dal diagramma orario. Studiamo per esempio il moto di un robot che scorre lungo una guida rettilinea:

Guarda il video Il grafico spazio-tempo

O s

t (s) s (cm) s (cm) 10,0 0,0 0,0 9,0 2,0 7,0 8,0 4,0 9,0 7,0 7,0 9,0 10,0 7,0 6,0

con GEOGEBRA

Accedi all’attività GeoGebra Diagramma orario e velocità

5,0 4,0

P2

D P4

P1

A ∆sA = 7,0 cm

2,0

TI RICORDI? Data una retta, la sua pendenza o coefficiente angolare è il rapporto K = Δy/Δx tra le variazioni Δy e Δx [>p. 10]: K=

P3

C

B

3,0

y

• disponiamo un asse orientato s lungo la guida, con l’origine O nell’estremità di partenza; • raccogliamo in una tabella le posizioni occupate dal robot a istanti di tempo successivi; • rappresentiamo i dati raccolti nel diagramma orario.

∆y ∆x ∆y

P0 1,0 ∆t = 2,0 s A 0,0 0,0 1,0 2,0

x In questo caso vale che: K → vm, Δy → Δs, Δx → Δt

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0 10,0 t (s)

• Per trovare la velocità media nel tratto A, leggiamo innanzitutto i dati dal grafico: all’istante t0 = 0 il robot parte dall’origine s0 = 0 all’estremità della guida e raggiunge la posizione s1 = 7,0 cm all’istante t1 = 2,0 s. Quindi applichiamo la definizione: vmA =

∆x

3,0

∆sA ∆t A

=

(7,0 − 0) cm 7,0 cm = = 3,5 cm/s (2,0 − 0) s 2,0 s

Geometricamente, il rapporto ΔsA/ΔtA rappresenta la pendenza della retta che passa per i punti P0 e P1 agli estremi del tratto A. Questa retta “taglia” il grafico in due punti, quindi è detta secante al grafico. Allora: nel diagramma orario la velocità media è la pendenza della retta che passa per i due punti agli estremi dell’intervallo.

B P1 ∆tB = 2,0 s

∆sB = 2,0 cm

P2

• Nel tratto B la retta che passa per i punti P1 e P2 è “meno inclinata” di quella nel tratto A, cioè ha pendenza minore. Infatti è minore anche la velocità media del robot: vmB = ΔsB/ΔtB = (2,0 cm)/(2,0 s) = 1,0 cm/s.

La velocità media è tanto maggiore quanto maggiore è la pendenza della retta secante nell’intervallo di tempo considerato.

9

TEORIA

IL MOTO RETTILINEO

• Nel tratto C il robot rimane fermo nella stessa posizione (ΔsC = 0), infatti la retta che passa per i punti P2 e P3 è orizzontale e la pendenza (velocità media) è uguale a zero.

P2

P3

C ∆tC = 3,0 s

Rette orizzontali indicano tratti con velocità media nulla, per esempio quando il corpo rimane fermo oppure quando alla fine dell’intervallo torna nella posizione iniziale.

Rette con pendenza negativa rappresentano moti con velocità media negativa, cioè moti in verso opposto all’asse del riferimento.

P3 ∆sD = –2,0 cm

• Nel tratto D la retta che passa per i punti P3 e P4 è “inclinata verso il basso” perché il robot torna indietro lungo l’asse (ΔsD = −2,0 cm). Quindi la pendenza della retta (velocità media) è negativa, come si vede anche dalla definizione: vmD = ΔsD/ΔtD = (−2,0 cm)/(3,0 s) = −0,67 cm/s.

D P4 ∆tD = 3,0 s

Dai casi precedenti possiamo inoltre osservare che: la velocità media ha lo stesso segno dello spostamento, è positiva quando lo spostamento è positivo, è negativa quando lo spostamento è negativo.

La velocità istantanea Sappiamo che la velocità media è calcolata in un intervallo di tempo; ci chiediamo quindi se sia possibile determinare la velocità in un istante preciso.

Strumenti come il tachimetro in figura ci consentono di leggere il valore della velocità di un veicolo istante per istante. Tuttavia, ciò che realmente fa il tachimetro è calcolare la velocità media misurando lo spostamento del veicolo su intervalli di tempo molto brevi: più l’intervallo di tempo è piccolo, più il valore calcolato dallo strumento si avvicina alla velocità istantanea.

La velocità istantanea v è il valore a cui si avvicina la velocità media quando viene calcolata su intervalli di tempo sempre più brevi.

Velocità istantanea

Anche la velocità istantanea si può ricavare dal diagramma orario: s (m) 12,0

vm = 1,0 m/s

s (m) 12,0

vm = 1,1 m/s 8,0

8,0

∆t

4,0

0,0 0,0 1,0

v = 2,0 m/s

vm = 1,3 m/s

4,0

4,0

6,5

9,0 t (s)

se a partire dall’istante t = 1,0 s calcoliamo la velocità media vm su intervalli di tempo Δt sempre più piccoli, il valore di vm cambia perché cambia la pendenza della retta secante al grafico;

0,0

0,0 1,0

4,0

6,5

9,0 t (s)

più Δt diminuisce, più vm si avvicina al valore v della velocità all’istante t = 1,0 s e più la retta secante si avvicina alla curva fino a diventare tangente, ossia che “tocca” il grafico in quel punto.

10

TEORIA

UNITÀ 2

Dai ragionamenti precedenti concludiamo che: nel diagramma orario la velocità istantanea è la pendenza della retta tangente al grafico nell’istante di tempo scelto [ F3]. s

Figura 3 In questo diagramma orario, la pendenza delle rette tangenti ci dice che la velocità istantanea è positiva negli istanti t1 e t4, è negativa in t2 e nulla in t3.

t1

t2

t3

t4

t

QUICK BREAK FAMILIARIZZARE CON IL CONCETTO DI VELOCITÀ COSA SERVE •

una matita

•

una riga da disegno

•

un metronomo

COME SI FA 1 Dividetevi in coppie. Appoggiate la riga sul

banco e usatela come asse orientato: fissate l’origine O sulla tacca dello zero e posizionate la punta della matita nell’origine. Poi azionate il metronomo per scandire gli istanti di tempo.

2 Sapendo che i battiti del metronomo scandi-

scono i secondi, simulate il moto di tre corpi che si muovono alla velocità di 1 cm/s, 2 cm/s e 3 cm/s. Muovete la matita nel modo più fluido possibile.

3 Provate a simulare una velocità negativa: in

quale verso dovete muovervi?

COME FUNZIONA •

•

La velocità è una grandezza unitaria, cioè indica lo spazio percorso nell’unità di tempo: per simulare una velocità di 2 cm/s dovete spostare la matita di 2 centimetri per ogni secondo scandito dal metronomo.

Per velocità positive il moto sulla riga avviene nel verso dei numeri crescenti, per velocità negative il moto avviene in verso opposto.

VELOCITÀ MEDIA

spostamento intervallo di tempo

velocità istantanea

retta tangente

retta secante CHECKPOINT 1. Costruisci un discorso sulla velocità utilizzando le parole chiave nella mappa.

2. Quali informazioni puoi ricavare dalla pendenza della retta secante e della

retta tangente nel diagramma orario?

IL MOTO RETTILINEO

TEORIA

11

13 IL MOTO RETTILINEO UNIFORME Il caso più semplice di moto rettilineo è il moto rettilineo uniforme.

Un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme segue una traiettoria rettilinea e ha una velocità costante.

Moto rettilineo uniforme

Studiamo per esempio il moto rettilineo uniforme di un falco che passa davanti a un fotografo, il quale scatta diverse foto a intervalli di 1 secondo. t0 = 0

1,0 s

2,0 s

3,0 s

4,0 s

5,0 s

s0 = 2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

O

s (m)

Δs = 1,0

Δs = 1,0

• Fissiamo l’origine O nel punto in cui si trova il fotografo. La prima foto viene scattata all’istante t0 = 0, quando il falco si trova già a 2 metri di distanza dal fotografo, perciò la posizione iniziale del falco è s0 = 2,0 m.

• Tra uno scatto e l’altro, in intervalli di tempo uguali pari a Δt = 1,0 s, il falco compie spostamenti sempre uguali pari a Δs = 1,0 m. Ciò significa che la sua velocità è costante, e quindi: se un corpo si muove di moto rettilineo uniforme, la sua velocità media è sempre uguale e coincide in ogni istante con la velocità istantanea.

Guarda il video Il moto rettilineo uniforme

Allora, se il moto è uniforme, possiamo utilizzare la definizione di velocità media (1) per calcolare la velocità costante, che nel caso del falco vale: vm = v =

∆s 1,0 m = = 1,0 m/s ∆t 1,0 s

La legge oraria e il diagramma orario del moto rettilineo uniforme Rappresentiamo il moto del falco in un diagramma orario a partire dai dati raccolti in tabella, per sei istanti di tempo diversi. t (s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

s (m) 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

s (m) 7,0

Guarda il videolaboratorio Il moto rettilineo uniforme

6,0 5,0 4,0 3,0

con GEOGEBRA

∆s = 1,0 m ∆t = 1,0 s

s0 = 2,0 1,0 0,0 0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0 t (s)

Accedi all’attività GeoGebra Moto rettilineo uniforme

12

TEORIA

UNITÀ 2

• Il grafico è una retta, perciò ha pendenza costante.

• Dalla relazione tra pendenza e velocità, troviamo che la pendenza è uguale al valore costante della velocità: v = Δs/Δt = 1,0 m/s.

• La retta non parte dall’origine degli assi perché all’istante iniziale t0 = 0 il falco si trova in posizione s0 = 2,0 m, diversa da zero.

Ricaviamo ora, nel caso specifico del moto rettilineo uniforme, una relazione matematica molto utile legata al diagramma orario, la legge oraria.

Legge oraria

La legge oraria è la relazione che permette di esprimere la posizione s di un corpo in moto in funzione del tempo trascorso t.

Come abbiamo visto, per il moto rettilineo uniforme la velocità è data da v=

∆s s − s0 = (2) ∆t t − t 0

dove s0 è la posizione all’istante iniziale t0 mentre s è la posizione a un istante successivo t. Poiché abbiamo stabilito che t0 = 0, l’equazione diventa: v=

s − s0 t−0

s − s0

=

t

Invertendola, possiamo ricavare s in funzione delle altre grandezze.

Prima moltiplichiamo entrambi i membri per t e semplifichiamo: v⋅t =

s − s0 t

vt = s − s0

⋅t

In questa equazione, sommiamo s0 a entrambi i membri e semplifichiamo: s = s0 + vt

vt + s0 = s − s0 + s0

Legge oraria del moto rettilineo uniforme (caso s0 ≠ 0)

La legge oraria del moto rettilineo uniforme è: posizione iniziale (m) posizione finale (m)

velocità (m/s)

s = s0 + v t

istante di tempo (s)

(3)

Allora, la legge oraria del moto del falco è: s = (2 m) + (1 m/s) t.

La (3) esprime una dipendenza lineare tra t ed s, rappresentata da una retta: y=Kx+q s = v t + s0

s za

den

La posizione iniziale s0 coincide con l’intersezione con l’asse delle ordinate q.

v

en =p

La velocità costante v coincide con il coefficiente angolare K della retta.

s0 t

Come cambia la descrizione del moto se il fotografo scatta la prima foto quando il falco gli passa davanti nell’origine O? In questo caso la (3) si modifica perché la posizione iniziale diventa s0 = 0.

Legge oraria del moto rettilineo uniforme (caso s0 = 0)

La legge oraria del moto rettilineo uniforme con partenza dall’origine è:

s = v t Di conseguenza, la legge oraria del moto del falco diventa: s = (1 m/s) t.

(4)

IL MOTO RETTILINEO

TEORIA

13

La (4) esprime una proporzionalità diretta tra t ed s, rappresentata da una retta che passa per l’origine degli assi: y=Kx

La velocità costante v coincide ancora con il coefficiente angolare K della retta.

s

s = v t za

den

v

La posizione iniziale è nulla perché coincide con origine O.

2

en =p

0

t

DAL MODELLO

ALLA REALTÀ

Un corpo si muove alla velocità costante di 180 km/h. Scrivi la legge oraria del moto se fai partire il cronometro quando il corpo si trova nell’origine del sistema di riferimento e ricava la posizione raggiunta, in metri, dopo 1,5 h.

Un pedone cammina lungo un viale rettilineo di una città mantenendo una velocità di costante di 3,5 km/h. Quanto spazio ha percorso il pedone, in metri, quando è trascorso un tempo di 0,27 h dall’inizio della passeggiata?

Dati e incognite velocità v = 180 km/h; tempo t = 1,5 h

Dati e incognite 3,5 km/h ............... tempo t = 0,27 h velocità v = ...............;

posizione finale s = ?

spazio percorso s = ? ...............

Svolgimento

Svolgimento

Dato che il cronometro parte quando il corpo si trova nell’origine, la legge oraria cercata è del tipo s = v t.

Sostituisci il valore della velocità e ottieni la legge oraria:

cronometro all’inizio della passeggiata, Se fai partire il ...................... lo spazio percorso coincide con la posizione raggiunta in legge oraria del moto: 0,27 h. Nota la velocità, scrivi la .....................

3,5 km/h s = v t = (....................) t

s = (180 km/h) t Quindi, per trovare la posizione raggiunta, sostituisci il tempo trascorso da quando è stato azionato il cronometro: s = (180 km/h) (1,5 h) = 270 km = 270 (1000 m) =

Sostituisci il tempo trascorso dall’inizio della passeggiata per trovare la posizione .............. raggiunta, ossia lo spazio percorso: 0,27 h = .........

0,95 km = .........

0,95 (1000 m) = s = (3,5 km/h) (.............)

= 270 000 m

= 950 m

Il grafico velocità-tempo del moto rettilineo uniforme Se una motocicletta si muove lungo un’autostrada alla velocità costante di 100 km/h, il suo tachimetro segna sempre lo stesso valore. Rappresentiamo questo valore al passare del tempo in un grafico che ha il tempo t sull’asse orizzontale e la velocità v sull’asse verticale:

Dato che la velocità è costante, il grafico è una retta orizzontale.

L’area del rettangolo sotto la curva ha altezza v e base uguale all’intervallo di tempo Δt, quindi coincide con lo spostamento Δs = v Δt.

v (km/h) v = 100 Area = vΔt 0 0,00

0,25

0,50

0,75

t (h)

Δt = 0,50 h

Il grafico velocità-tempo rappresenta la velocità in funzione del tempo.

Nel caso considerato, questo grafico è una retta orizzontale che ha equazione y = costante, dove la costante è la velocità v del moto, perciò: il grafico velocità-tempo di un moto rettilineo uniforme è una retta orizzontale parallela all’asse dei tempi.

Grafico velocità-tempo

14

TEORIA

UNITÀ 2

Dal grafico velocità-tempo è anche possibile ricavare lo spostamento del corpo. Infatti l’equazione (2) risolta rispetto a Δs diventa Δs = v Δt, che confrontata con il grafico precedente ci permette di dire che: lo spostamento Δs in un moto rettilineo uniforme è uguale all’area del rettangolo sotteso dal grafico velocità-tempo, che ha base Δt e altezza v.

Lo spostamento nell’intervallo Δt = 0,50 h è l’area colorata nel grafico e vale: Δs = v Δt = (100 km/h) (0,50 h) = 50 km Vedremo più avanti che il calcolo dello spostamento come area del grafico v-t può essere esteso anche agli altri tipi di moto rettilineo.

MOTO RETTILINEO UNIFORME

traiettoria rettilinea velocità costante

grafico s-t = retta grafico v-t = retta orizzontale

per l’origine (s0 = 0) qualsiasi (s0 ≠ 0) area = spostamento

CHECKPOINT 1. Costruisci un discorso sul moto rettilineo uniforme con le parole chiave nella mappa.

2. Quali informazioni ricavi dal grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniforme?

24 L’ACCELERAZIONE In natura è comune osservare corpi che aumentano la propria velocità, oppure che rallentano fino ad arrestarsi. In questi casi, si parla di moto vario.

Moto vario

Un corpo è in moto vario se la sua velocità non rimane costante nel tempo.

Per descrivere queste situazioni è necessario definire una nuova grandezza, l’accelerazione.

L’accelerazione media Per capire il concetto di accelerazione, immaginiamo un’automobile e una moto che, durante un test su pista, devono raggiungere la velocità di 70 km/h partendo da ferme.

Se l’auto impiega 10 secondi e la moto ne impiega 5, entrambi i veicoli subiscono la stessa variazione di velocità ma differiscono per la rapidità con cui la variazione avviene.

Accelerazione media

L’accelerazione media è il rapporto tra la variazione di velocità Δv = v2 − v1 di un corpo e l’intervallo di tempo Δt = t2 − t1 in cui la variazione avviene: variazione di velocità (m/s) accelerazione media (m/s2)

am =

v2 – v1 ∆v = ∆t t 2 – t1

(5) intervallo di tempo (s)

L’unità di misura dell’accelerazione nel SI è il metro al secondo quadrato (simbolo m/s2). Per definizione, la grandezza am dà indicazione di quanto rapidamente varia la velocità di un corpo nel tempo.

IL MOTO RETTILINEO

TEORIA

15

Calcoliamo con la definizione le accelerazioni medie dell’automobile e della moto dell’esempio precedente. Trasformiamo prima la loro velocità finale in unità del SI: v2 = 70 km/h = (70/3,6) m/s = 19 m/s. Quindi troviamo che: amA =

∆vA ∆t

(19 − 0 ) m/s = 1,9 (10 − 0 ) s

=

∆vM (19 − 0 ) m/s m m = = 3,8 2 amM = 2 ∆t s s (5 − 0 ) s

Ciò significa che la velocità dell’auto aumenta di 1,9 m/s ogni secondo, mentre la velocità della moto aumenta più rapidamente, di 3,8 m/s ogni secondo.

3

DAL MODELLO

ALLA REALTÀ

Un corpo diminuisce la propria velocità da 40 m/s a 14 m/s in un intervallo di tempo di 20 s. Qual è l’accelerazione media del corpo in questo intervallo di tempo?

Durante una frenata della durata di 2,5 s, la velocità di una pattinatrice passa da 15 m/s a 2 m/s. Calcola la sua accelerazione media in questo intervallo.

Dati e incognite

Dati e incognite

velocità iniziale v1 = 40 m/s; velocità finale v2 = 14 m/s; intervallo di tempo Δt = 20 s

v2 = 2 m/s; 15 m/s velocità finale ........ velocità iniziale v1 = .............; intervallo di tempo Δt = 2,5 s ................................

accelerazione media am = ?

accelerazione media a = ? ..................................... m

Svolgimento

Svolgimento variazione di velocità della pattinatrice vale La .....................................

La variazione di velocità del corpo vale Δv = v2 − v1 = (14 − 40) m/s = −26 m/s e ha segno negativo perché la velocità iniziale è maggiore di quella finale.

Dalla definizione di accelerazione media si ha: am =

2 − .......)

15 m/s = ......... −13 m/s Δv = v2 − v1 = (....... negativo e ha segno ........................ perché in una frenata la velomaggiore cità iniziale è ........................ di quella finale. accelerazione media L’.......................................... è:

∆v −26 m/s = = −1,3 m/s2 ∆t 20 s

∆v −13 m/s am = ........... = ................. = −5,2 m/s2 ∆t 2,5 s

Gli esempi precedenti mostrano che anche l’accelerazione media, come la velocità e lo spostamento, può assumere sia valori positivi sia negativi.

L’accelerazione media e lo spostamento nel grafico velocità-tempo L’accelerazione media si ricava anche dal grafico velocità-tempo, in modo simile a quanto abbiamo già visto per la velocità media nel diagramma orario. Osserviamo per esempio il grafico v-t del moto vario di un monopattino.

v (m/s) 6,0

C B

5,0 A

4,0

∆vA = 3,0 m/s

D

3,0 2,0

∆tA = 10 s

1,0 0,0

0

10

20

30

40

50

60 t (s)

16

TEORIA

UNITÀ 2

Nel tratto A la velocità del monopattino varia di ∆vA = 3,0 m/s in un intervallo di tempo ∆tA = 10 s, perciò per definizione l’accelerazione media è: amA =

∆vA ∆t A

=

3,0 m/s = 0,30 m/s2 10 s

Ma il rapporto ∆vA/∆tA coincide con la pendenza della retta secante che congiunge i punti estremi del tratto A, quindi: nel grafico velocità-tempo l’accelerazione media è la pendenza della retta che passa per i due punti agli estremi dell’intervallo.

Con ragionamenti analoghi si trova l’accelerazione media nei tratti B, C e D:

B

∆vB = 1,0 m/s

Tratto

Δt (s)

Δv (m/s)

am (m/s2)

A

10

3,0

0,30

B

10

1,0

0,10

C

20

0

0

D

20

−6,0

−0,30

Confrontiamo il grafico con i valori in tabella.

• La retta secante nel tratto B ha pendenza minore di quella nel tratto A, infatti l’accelerazione media nel tratto B è minore (amB < amA). Perciò: un corpo ha accelerazione media tanto maggiore quanto maggiore è la pendenza della retta secante nell’intervallo di tempo considerato.

∆tB = 10 s

• Nel tratto C il grafico è un segmento orizzontale e l’accelerazione è nulla (amC = 0), perché in questo intervallo il corpo si muove a velocità costante:

C ∆tC = 20 s

segmenti orizzontali rappresentano intervalli in cui il corpo si muove con velocità costante, e quindi con accelerazione media nulla.

∆vD = –6,0 m/s

• Nel tratto D la retta secante è inclinata verso il basso, cioè ha pendenza negativa, infatti l’accelerazione amD = −0,30 m/s2 è minore di zero: rette con pendenza negativa rappresentano moti con accelerazione media negativa.

D

Ma come si interpreta il segno dell’accelerazione media? Se per ogni tratto mettiamo a confronto i valori di ∆v e am raccolti in tabella si vede che: l’accelerazione media ha lo stesso segno della variazione di velocità.

∆tD = 20 s

O

am > 0

s

Se il monopattino si muove nel verso dell’asse e la sua velocità aumenta, l’accelerazione media è positiva (Δv > 0 e quindi am > 0). In questi casi diciamo che il monopattino accelera.

O

am < 0

s

Se il monopattino si muove nel verso dell’asse e la sua velocità diminuisce, l’accelerazione media è negativa (Δv < 0 e quindi am < 0). In questi casi in cui il monopattino frena, diciamo anche che decelera.

Inoltre, anche per il moto rettilineo vario si può dimostrare che: lo spostamento compiuto da un corpo in un intervallo di tempo è uguale all’area sottesa dal grafico velocità-tempo in quell’intervallo.

IL MOTO RETTILINEO

variazione di velocità

ACCELERAZIONE MEDIA

TEORIA

17

moto vario

intervallo di tempo retta secante nel grafico v-t

area = spostamento

CHECKPOINT 1. Costruisci un discorso sull’accelerazione e il moto vario utilizzando le parole

chiave nella mappa.

2. Quali informazioni puoi ricavare dal grafico velocità-tempo di un moto?

35 IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Un caso semplice di moto vario è il moto rettilineo uniformemente accelerato.

Un corpo che si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato segue una traiettoria rettilinea e ha un’accelerazione costante.

Immaginiamo, per esempio, di registrare a intervalli di 1 secondo la velocità di un motorino in moto uniformemente accelerato lungo una strada dritta. t0 = 0

t1 = 1,0 s

v0 = 1,0 m/s v1 = 3,0 m/s

t2 = 2,0 s

t3 = 3,0 s

v2 = 5,0 m/s

v3 = 7,0 m/s

s(m)

O

In intervalli di tempo uguali, pari a Δt = 1,0 s, la velocità del motorino aumenta sempre della stessa quantità, pari a Δv = 2,0 m/s. Questo significa che la sua accelerazione è costante, e quindi: per un corpo in moto rettilineo uniformemente accelerato, l’accelerazione media è sempre uguale.

Allora, se il moto è uniformemente accelerato, possiamo utilizzare la definizione di accelerazione media (5) per calcolare l’accelerazione costante, che nel caso del motorino vale: am = a =

∆v 2,0 m/s = = 2,0 m/s2 ∆t 1,0 s

La relazione precedente esprime una proporzionalità diretta tra la variazione di velocità Δv e l’intervallo di tempo Δt impiegato per compierla. Il rapporto costante tra queste due quantità è uguale al valore costante a dell’accelerazione.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Guarda il video Il moto uniformemente accelerato

18

TEORIA

UNITÀ 2

Il grafico velocità-tempo del moto rettilineo uniformemente accelerato con GEOGEBRA

Accedi all’attività GeoGebra Moto uniformemente accelerato

Tracciamo il grafico velocità-tempo del moto del motorino. v (m/s) 7,0

t (s)

v (m/s)

0,0

1,0

6,0

1,0

3,0

5,0

2,0

5,0

4,0

3,0

7,0

3,0

∆v = 2,0 m/s ∆t = 1,0 s

2,0 v0 = 1,0

0,0 0,0

2,0

1,0

3,0 t (s)

• Il grafico è una retta, perciò ha pendenza costante.

• Dalla relazione tra pendenza e accelerazione, troviamo che la pendenza è uguale al valore costante dell’accelerazione: a = Δv/Δt = 2,0 m/s2.

• La retta non parte dall’origine degli assi perché all’istante iniziale t0 = 0 il motorino ha una velocità v0 = 1,0 m/s, diversa da zero.

Ricaviamo ora la relazione matematica che lega la velocità e il tempo. Abbiamo visto che nel moto rettilineo uniformemente accelerato l’accelerazione vale ∆v v − v0 (6) a= = ∆t t − t0 dove v0 è la velocità all’istante iniziale t0 mentre v è la velocità a un altro istante successivo t. Poiché abbiamo stabilito che t0 = 0, l’equazione diventa: a=

v − v0

v − v0

t−0

=

t

Invertendo questa formula, possiamo ricavare la velocità finale in funzione delle altre grandezze: v = v0 + a t

a t = v − v0 Legge velocità-tempo (caso v0 ≠ 0)

La legge velocità-tempo del moto rettilineo uniformemente accelerato con partenza in velocità è data da: velocità iniziale (m/s) velocità finale (m/s)

accelerazione (m/s2) istante di tempo (s)

v = v0 + a t

(7)

Allora, la legge velocità-tempo del motorino è: v = (1 m/s) + (2 m/s2) t.

La (7) esprime una dipendenza lineare tra t e v: y = Kx + q v = a t + v0 La velocità iniziale v0 coincide con l’intersezione con l’asse delle ordinate q.

L’accelerazione costante a coincide con il coefficiente angolare K della retta.

v

nza

de

a=

n pe

v0 t

IL MOTO RETTILINEO

TEORIA

19

Come cambia la descrizione del moto se all’istante iniziale t0 = 0 il motorino è fermo, ossia se ha una velocità iniziale nulla?

In questo caso la (7) si modifica perché v0 = 0.

La legge velocità-tempo del moto rettilineo uniformemente accelerato con partenza da fermo è data da:

v = a t (8)

Legge velocità-tempo (caso v0 = 0)

Di conseguenza, la legge velocità-tempo del motorino diventa: v = (2 m/s2) t.

La (8) esprime una proporzionalità diretta tra t e v: y=Kx

L’accelerazione costante a coincide ancora con il coefficiente angolare K della retta.

v

v = a t za

den

La velocità iniziale è nulla perché il corpo parte da fermo.

a

en =p

0

t

La legge oraria e il diagramma orario del moto rettilineo uniformemente accelerato Come per un generico moto vario, lo spostamento Δs compiuto da un corpo in moto uniformemente accelerato coincide con l’area sottesa dal grafico velocità-tempo nell’intervallo di tempo Δt corrispondente.

Per semplicità facciamo partire il cronometro quando il corpo è nell’origine: • l’istante iniziale del moto è t0 = 0, perciò l’intervallo di tempo coincide con l’istante finale dell’osservazione Δt = t − t0 = t − 0 = t; • la posizione iniziale del corpo è s0 = 0, perciò lo spostamento del corpo coincide con la posizione finale Δs = s − s0 = s − 0 = s.

Se il corpo ha una velocità iniziale diversa da zero (v0 ≠ 0), l’area da calcolare sul grafico velocità-tempo è quella di un trapezio rettangolo: La base maggiore è la velocità del corpo all’istante t, data da v = v0 + at.

velocità v = v0 + at La base minore è la velocità iniziale v0.

v0

s

L’altezza è il tempo trascorso t.

0

t

tempo

Calcolando lo spostamento come area del trapezio si ottiene: s=

( v + v0 )t 2

=

[( v0 + at ) + v0 ]t 2

=

2v0 t + at 2 2

= v0 t +

1 2 at 2

La legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato con partenza nell’origine e in velocità è: velocità iniziale (m/s) posizione finale (m)

accelerazione (m/s2)

s = v0 t +

1 2 at 2

(9) istante di tempo (s)

Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato (caso s0 = 0 e v0 ≠ 0)

20

TEORIA

UNITÀ 2

Se all’istante iniziale il corpo non si trova nell’origine ma è in una posizione diversa s0 ≠ 0, la (9) si modifica e diventa: s = s0 + v0 t +

1 2 at 2

Se invece il corpo parte da fermo (v0 = 0), l’area sottesa è quella di un triangolo rettangolo: L’altezza è la velocità del corpo all’istante t, uguale a v = at.

velocità v = at La base è il tempo trascorso t.

s 0

t

tempo

Calcolando lo spostamento come area del triangolo si ottiene: s=

Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato (caso s0 = 0 e v0 = 0)

4

t v t( at ) 1 2 = = at 2 2 2

La legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato con partenza nell’origine e da fermo è:

s=

1 2 at (10) 2 ALLA REALTÀ

DAL MODELLO

Un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con una velocità iniziale di 3,0 m/s e un’accelerazione di 2,0 m/s2. Determina, trascorso un tempo di 10 s: a. quanto vale la velocità del corpo; b. qual è stato il suo spostamento.

Un’automobile che viaggia a 108 km/h lungo un rettilineo è improvvisamente costretta a frenare, decelerando di −5,0 m/s2 per un tempo di 6,0 s. Determina, in questo intervallo di tempo: a. se l’automobile si arresta; b. quanto spazio percorre.

Dati e incognite

Dati e incognite iniziale velocità ........................ v0 = 108 km/h = 30,0 m/s; −5,0 m/s2 accelerazione a = ....................;

velocità iniziale v0 = 3,0 m/s; accelerazione a = 2,0 m/s ; 2

intervallo di tempo t = 10 s velocità finale v = ?; spostamento s = ?

Svolgimento a. La velocità del corpo all’istante iniziale t0 = 0 è diversa da zero, quindi puoi usare la (7) per calcolare la velocità dopo un tempo t = 10 s: v = v0 + at = (3,0 m/s) + (2,0 m/s2) (10 s) = = 3,0 m/s + 20 m/s = 23 m/s b. Per descrivere in modo semplice il moto del corpo, imponi che all’istante iniziale si trovi nell’origine, s0 = 0; ora puoi applicare la legge oraria (9) per trovare lo spostamento compiuto nel tempo t = 10 s, che coincide con la posizione finale: s = v 0t +

1 2 at = 2

= (3,0 m/s)(10 s) +

1 (2,0 m/s2 )(10 s)2 = 2

= 30 m + 100 m = 130 m

t = 6,0 s intervallo di tempo ....... finale spazio velocità .................... v = ?; .................... percorso s = ?

Svolgimento a. Per verificare se l’automobile si arresta, puoi usare la velocità dopo un tempo (7) per calcolare la sua .................... t = 6,0 s. Fai attenzione al segno dell’accelerazione perché l’automobile sta rallentando: v0 + at (30,0 m/s) + (−5,0 m/s2) (6,0 s) = v = .................... = ...................................................

30 m/s − 30 m/s = .......

0 = ............................. si arresta Dato che la velocità si annulla, l’automobile ................. b. Se imponi che s0 = 0, puoi applicare la (9) per trovare la spazio percorso nel tempo t = 6,0 s: lo ............................

1 v 0t + at 2 = s = ....................

2 1 (30,0 m/s)(6,0 s) + (−5,0 m/s 2 )(6,0 s)2 = ......................................................................... = 2 180 m − 90 m = ............................... = 90 m

IL MOTO RETTILINEO

TEORIA

21

La (10) esprime una dipendenza quadratica tra t ed s, che nel diagramma orario s-t è rappresentata da un ramo di parabola con il vertice nell’origine.

Per capire, consideriamo di nuovo l’esempio del motorino che si muove con un’accelerazione costante di 2,0 m/s2, e immaginiamo che parta da fermo nell’origine. Se rappresentiamo il suo diagramma orario, troviamo che: t (s) 0,0 1,0 2,0 3,0

s (m) 0,0 1,0 4,0 9,0

s (m) 9,0

y = K x2

8,0

s=

7,0

1 a t2 2

6,0

Si considera solo il semiasse positivo del tempi perché l’intervallo di tempo è una grandezza positiva.

5,0

Il grafico è un ramo di parabola con vertice nell’origine.

Il rapporto s/t2 è costante e vale:

4,0 3,0 2,0

s 1 = a = 1,0 m/s2 t2 2

1,0

0,0

0,0

2,0

1,0

3,0 t (s)

Altre equazioni utili Le equazioni (7) e (9) descrivono in modo completo il moto uniformemente accelerato. Tuttavia in alcuni problemi può essere più utile utilizzare altre relazioni che legano le grandezze cinematiche viste finora in modo diverso.

Per esempio, per ricavare la legge oraria (9) abbiamo scritto lo spostamento come area del trapezio: s=

v0 + v 2

t

(11)

Questa formula non dipende dall’accelerazione a e permette di determinare la posizione s in un certo istante t conoscendo la velocità iniziale v0 e la velocità v in quell’istante.

Se poi si sostituisce in questa equazione il tempo ricavato dalla definizione di accelerazione t=

v − v0 a

si trova che: s=

v0 + v 2

t=

v0 + v  v − v0  v2 − v02 = 2  a  2a

L’equazione così ottenuta s=

v2 − v02 2a

(12)

è indipendente dal tempo t e permette di determinare la posizione s del corpo in un certo istante conoscendo la velocità iniziale v0, la velocità v in quell’istante e l’accelerazione costante a.

Guarda il videolaboratorio Il moto rettilineo uniformemente accelerato

22

TEORIA

UNITÀ 2

Riassumiamo ora le differenze tra i moti rettilinei che abbiamo studiato. Per farlo, confrontiamo due casi particolari: • un moto rettilineo uniforme con posizione iniziale nell’origine (s0 = 0); • un moto rettilineo uniformemente accelerato con partenza da fermo nell’origine (v0 = 0 ed s0 = 0). moto rettilineo uniformemente accelerato (con s0 = 0 e v0 = 0)

moto rettilineo uniforme (con s0 = 0)

Un’auto che parte da ferma al semaforo, scelto come origine, e aumenta la propria velocità con accelerazione costante.

Un’auto che oltrepassa un semaforo, scelto come origine del riferimento, viaggiando a velocità costante. esempio

s

O

velocità accelerazione

s

O

è costante è nulla

varia è costante 1 s = at 2 2 ramo di parabola con vertice nell’origine

s = vt

legge oraria

retta che passa per l’origine s

s

diagramma orario o grafico spazio-tempo

za

en

v=

d en

p

0

legge velocità-tempo

0

t

t

v = costante

v = at

retta orizzontale

retta che passa per l’origine v

v

grafico velocità-tempo a=

0

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

a

nz

t

traiettoria rettilinea

accelerazione costante

e nd

pe

s = area

0

grafico v-t = retta

t

area = spostamento

grafico s-t = parabola

CHECKPOINT 1. Costruisci un discorso sul moto rettilineo uniformemente accelerato utilizzan-

do le parole chiave nella mappa.

2. Quali sono le relazioni di proporzionalità tra velocità, tempo e spostamento?

IL MOTO RETTILINEO

46 LA CADUTA DEI GRAVI L’osservazione della realtà portò Aristotele a ipotizzare che oggetti diversi cadessero a terra con velocità diverse, in particolare che le velocità di caduta dei corpi fossero direttamente proporzionali alle loro masse. Fu Galileo a confutare questa teoria attraverso considerazioni raccolte nel suo trattato Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, del 1638: se prendiamo due pietre, l’una di massa 10 volte maggiore della seconda, e le lasciamo cadere nel medesimo istante da un’altezza di 100 metri, osserviamo che arrivano al suolo quasi nello stesso istante.

Allora perché una piuma cade molto più lentamente di un sasso?

Per rispondere a questa domanda facciamo un altro esperimento: prendiamo due fogli di carta identici, uno accartocciato e l’altro steso, e facciamoli cadere contemporaneamente dalla stessa altezza.

Si osserva che il foglio steso cade molto più lentamente rispetto a quello accartocciato, anche se le loro masse sono uguali.

È quindi ragionevole concludere che: è la forma dei corpi, e non la loro massa, che influenza la velocità di caduta.

Il foglio steso cade più lentamente per via della resistenza dell’aria.

La caduta libera Per verificare l’affermazione precedente, osserviamo cosa succede se lasciamo cadere un sasso e una piuma in un dispositivo chiamato tubo di Newton: un tubo di vetro chiuso, collegato a una pompa per fare il vuoto.

OFF

Se la pompa è spenta, nel tubo c’è aria e il sasso raggiunge il fondo prima della piuma.

ON

Se la pompa è accesa, nel tubo c’è il vuoto e i due oggetti raggiungono il fondo nello stesso istante.

TEORIA

23

24

TEORIA

UNITÀ 2

Si può inoltre dimostrare che nel vuoto la velocità dei corpi in caduta aumenta linearmente con il tempo, come nel moto uniformemente accelerato.

In particolare: Moto di caduta libera

in prossimità della superficie terrestre, in condizioni di vuoto, il moto di caduta libera dei corpi, detti anche gravi, è un moto uniformemente accelerato con accelerazione di gravità g = 9,81 m/s2.

L’aggettivo libera si riferisce al fatto che questo tipo di moto si verifica soltanto nel vuoto, cioè quando siamo liberi da qualunque resistenza al moto.

In realtà questo risultato è valido con buona approssimazione anche nell’aria, purché il corpo abbia una massa sufficientemente grande e una forma tale da non offrire grandi superfici a contatto con l’aria.

La caduta da fermo Una mela che cade staccandosi da un ramo è un esempio di caduta libera da fermo. Per scrivere la legge oraria di questo moto è necessario stabilire un opportuno sistema di riferimento: dato che il moto avviene verso il basso, scegliamo un asse verticale diretto verso il basso con origine nel punto iniziale della caduta.

O

t0 = 0 t=1s t=2s

t=3s s

• All’istante iniziale t0 = 0 la mela è ferma sul ramo, nell’origine dell’asse, quindi la sua velocità e la sua posizione iniziale sono nulle (v0 = 0 e s0 = 0).

• Nei successivi istanti della caduta la sua posizione s e la sua velocità v aumentano nel verso positivo dell’asse, perciò sono positivi i suoi spostamenti, le sue velocità e anche l’accelerazione, che è quella di gravità.

Sostituendo l’accelerazione a = g nella (10) si ottiene la legge oraria del moto.

Legge oraria della caduta libera da fermo

La legge oraria di un moto di caduta libera con partenza da fermo è: accelerazione di gravità (m/s2) posizione finale (m)

TI RICORDI? Per ricavare da una formula una grandezza che è elevata al quadrato, devi ricordare che l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato è la radice quadrata [>p. 6].

s=

1 2 gt 2

istante di tempo (s)

Con questa equazione possiamo conoscere in ogni istante la posizione s di un corpo in caduta libera, misurata a partire dal punto in cui è lasciato cadere.

Inoltre ci permette di calcolare il tempo di caduta tc di un corpo che cade a terra da un’altezza h. Basta sostituire s = h nell’equazione precedente e invertirla per trovare il tempo: h=

1 2 gt 2 c

t c2 =

2h g

tc =

2h g

IL MOTO RETTILINEO

TEORIA

25

Se poi sostituiamo a = g nella (8), troviamo la legge velocità-tempo.

La legge velocità-tempo per un moto di caduta libera da fermo è:

Legge velocità-tempo della caduta libera da fermo

accelerazione di gravità (m/s ) 2

velocità finale (m/s)

istante di tempo (s)

v=gt

Con questa equazione possiamo determinare la velocità del corpo in qualunque istante, per esempio nell’istante tc in cui il corpo tocca terra.

Rappresentiamo il diagramma orario e il grafico velocità-tempo del moto. s (m)

Il diagramma orario è un ramo di parabola con vertice nell’origine.

Poiché l’origine dell’asse orientato è stata fatta coincidere con il punto iniziale della caduta, la posizione iniziale del corpo è nulla.

50 40

20 10

0 Il grafico velocitàtempo è una retta che passa per l’origine.

Poiché il corpo parte da fermo, la velocità parte da un valore nullo.

0

1

2

3 t (s)

v (m/s) 30 20 10

0

5

Dato che l’asse è stato orientato nello stesso verso del moto, la posizione del corpo aumenta con il quadrato del tempo.

30

0

1

2

3 t (s)

Negli istanti successivi la velocità ha segno positivo e il suo valore aumenta di 9,81 m/s ogni secondo che passa.

ALLA REALTÀ

DAL MODELLO

Un corpo viene lasciato cadere da fermo da un’altezza di 2,0 m. Determina il tempo di caduta e la velocità del corpo appena prima di toccare il suolo.

Marco sta giocando sul balcone di casa sua con un palloncino pieno d’acqua. A un certo punto il palloncino gli sfugge di mano e cade giù in cortile, che si trova 4,0 m più sotto. Se in cortile è sdraiato il suo cane, quanto tempo ha il cane per spostarsi? Con quale velocità arriva a terra il palloncino?

Dati e incognite

Dati e incognite

velocità iniziale v0 = 0; altezza h = 2,0 m tempo di caduta tc = ?; velocità al suolo v = ?

0 ........................ altezza velocità iniziale v0 = .......; h = 4,0 m tempo v =? ..................... per spostarsi t = ?; velocità a terra .......

Svolgimento

Svolgimento

La legge oraria della caduta libera da fermo è:

fermo del palloncino è: La legge oraria della caduta da .............

1 2 gt s = ............

2 tempo Il tempo che il cane ha per spostarsi coincide con il ............. di caduta ....................... del palloncino, che si trova sostituendo s = h nella legge oraria e invertendo la formula: 2h 2 (4,0 m) tc = ............ = 0,90 s g = .......................

9,81 m/s 2

s=

1 2 gt 2

Se il corpo cade da un’altezza h, per calcolare il tempo di caduta devi sostituire s = h e invertire la formula: tc =

2h = g

2 (2,0 m) = 0,64 s 9,81 m/s 2

Ora che conosci il tempo di caduta, puoi sostituirlo nella relazione v = gt tra la velocità e il tempo. Ottieni così la velocità del corpo appena prima di toccare il suolo: v = g tc = (9,81 m/s2) (0,64 s) = 6,3 m/s

c

Se sostituisci il tempo di caduta nella relazione v = gt, velocità ottieni la ....................... del palloncino quando arriva a terra .....................: (9,81 m/s2) (0,90 s) g tc = ....................................... v = .......... = 8,9 m/s

26

TEORIA

UNITÀ 2

Per risolvere i problemi di caduta libera da fermo si possono utilizzare anche le equazioni (11) e (12). Occorre sostituire v0 = 0 e a = g, da cui si ottiene: s=

vt 2

e

s=

v2 2g

Il lancio verso l’alto Anche un corpo lanciato verso l’alto si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione g. In questo caso, però, scegliamo un asse orientato verticalmente verso l’alto, con origine nel punto di lancio. s t=3s

t=3s

t=2s

t=4s

t=1s

t=5s

t0 = 0

O

t=6s

• All’istante iniziale t0 = 0 l’arancia si trova nella mano della ragazza in s0 = 0, e la ragazza le imprime una velocità iniziale v0 verso l’alto.

• Nei successivi istanti della salita la posizione s dell’arancia aumenta nel verso positivo dell’asse, perciò gli spostamenti e le velocità sono positivi.

Invece, dato che rallenta mentre sale, la sua accelerazione è negativa.

• L’arancia rallenta fino a raggiungere un’altezza massima, punto in cui la sua velocità è nulla, poi inverte il proprio moto ricadendo a terra e torna tra le mani della ragazza nello stesso tempo impiegato a salire.

Legge oraria del lancio verso l’alto

Si verifica che la legge oraria del lancio verso l’alto è quella di un moto uniformemente accelerato con partenza in velocità e accelerazione a = −g: velocità iniziale (m/s)

s = v0 t −

1 2 gt 2

Infine, sostituiamo a = −g nella legge velocità-tempo v = v0 + at.

Legge velocità-tempo del lancio verso l’alto

La legge velocità-tempo per un lancio verso l’alto è:

v = v0 − g t Conoscendo la velocità iniziale v0, basta porre v = 0 nell’equazione precedente per trovare l’istante in cui il corpo raggiunge l’altezza massima.

Anche per i lanci verso l’alto si possono usare la (11) e la (12): occorre sostituire a = −g. In questo caso la (11) non cambia, mentre dalla (12) si ottiene: s=

v2 − v02 v02 − v2 = −2g 2g

IL MOTO RETTILINEO

TEORIA

27

Rappresentiamo il diagramma orario e il grafico velocità-tempo del moto.

40 30 20 10

0 Il grafico velocitàtempo è una retta con pendenza negativa.

La velocità parte da un valore massimo e durante la salita diminuisce di 9,81 m/s ogni secondo che passa.

Una volta superata la massima altezza, durante la discesa la posizione del corpo diminuisce e diventa di nuovo nulla quando il corpo torna all’altezza di lancio.

s (m)

Il diagramma orario è una parabola con la concavità rivolta verso il basso.

La posizione iniziale del corpo è nulla e aumenta durante la salita.

0

1

2

3

4

5

6 t (s) Alla massima altezza la velocità è nulla, mentre in discesa diventa negativa e cresce in valore assoluto di 9,81 m/s ogni secondo.

v (m/s) 30 20 10

0 –10

1

2

3

4

5

6 t (s)

–20 –30

6

Quando il corpo torna all’altezza di lancio la sua velocità è uguale a quella iniziale, ma ha segno opposto.

DAL MODELLO

ALLA REALTÀ

Un corpo viene lanciato verso l’alto con una velocità iniziale di 2 m/s. Determina l’altezza massima raggiunta.

Una fontana emette uno spruzzo d’acqua verso l’alto alla velocità di 5,00 m/s. Quale altezza massima raggiunge?

Dati e incognite

Dati e incognite

velocità iniziale v0 = 2 m/s; altezza massima h = ?

5,00 m/s velocità iniziale v0 = .......................; massima h = ? altezza .....................

Svolgimento

Svolgimento

Per risolvere il problema, al posto che applicare in successione la legge oraria e la legge velocità-tempo, è più semplice usare direttamente l’equazione (12) del moto uniformemente accelerato, sostituendo a = −g:

Puoi approssimare il moto dello spruzzo d’acqua a quello di un corpo lanciato verso l’alto e applicare l’equazione −g (12) sostituendo a = ............: v 2 − v 02 s = ................. −2g massima altezza Quando il getto raggiunge la ................................. s=h nulla 0 Sostituendo la sua velocità è ................., quindi v = ......... i dati numerici nell’equazione precedente ottieni: 0 − v 02 v 02 (5,00 m/s)2 h = ............ = ......... = ........................... = 1,27 m 2(9,81 m/s 2 ) 2g −2g

s=

v 2 − v 02 −2g

Il corpo raggiunge l’altezza massima s = h con velocità nulla v = 0. Dall’equazione precedente ottieni: h=

0 − v 02 v 02 (2 m/s)2 = = = 0,2 m −2g 2g 2(9,81 m/s 2 )

CADUTA LIBERA

moto uniformemente accelerato caduta da fermo lancio verticale verso l’alto

CHECKPOINT 1. Costruisci un discorso sulla caduta libera utilizzando le parole chiave nella mappa.

2. Spiega che cosa si intende con il termine caduta libera.

accelerazione di gravità

28

IN ENGLISH, PLEASE!

Ascolta l’audio della lettura

IN PREPARAZIONE

AVOID TAILGATING The 2-second rule

Is this rule valid for any speed?

The 2-second rule is a rule of thumb used when driving, to keep a safe distance from the vehicle ahead.

In fact, if the vehicle ahead comes to a stop, you will need enough time and distance to apply the brakes, in order not to crash into it. The rule says that if the distance between your vehicle and the other vehicle is two seconds, then you will be able to avoid a crash.

However, the 2-second rule is not valid for all speeds.

The National Road Safety Foundation actually recommends: • a 3-second rule for speeds between 35 and 55 mph in normal conditions (1 mph is around 1.6 km/h); • a 4-second rule for speeds between 55 and 75 mph or in wet road conditions; • even more time for worse conditions (ice or snow) or when travelling behind trucks.

How can a distance be measured in seconds?

For a vehicle moving at uniform motion, the distance travelled in a time interval is directly proportional to the time interval. At a speed of 50 km/h, the distance travelled in 2 seconds will be around 28 m and, according to the rule, this distance should be enough to avoid a crash.

Therefore, keep calm and avoid tailgating!

1 Based on the text, decide whether the following statements are true (T) or false (F).

The 2-second rule: a. is a rule used when driving. b. is valid for any speed. c. is valid only in the UK. d. is not safe in wet conditions.

How was this rule found?

In order to find the minimum safe distance, we need to take into account the so-called reaction time of the driver: it takes around 0.75 seconds for the brain to react and give the impulse for braking. At a 50 km/h speed, this means that we travel almost 11 m without taking any action. As soon as we apply the brakes, the car experiences a deceleration of around –6 m/s2, in good weather and road conditions. The equation s=

v2 − v02 2a

gives us the distance travelled while decelerating.

Taking v = 0, the distance travelled after we apply the brakes is: 02 − v02 − v02 − (13.9 m/s ) s= = = = 16 m 2a 2a 2 −6 m/s2 2

(

)

The total distance travelled before coming to a stop will then be around 27 m, a value below the distance obtained with the 2-second rule.

T T T T

F F F F

2 Some roads in the UK are signalled with chevrons:

make a research to find the purpose of a chevron.

Is a similar method used in Italy too?

3

DIG DEEPER Check the activity on the website geogebra.org/m/pfybtdut. Compare the results of the 2-second rule with the 3-second and 4-second rule.

GLOSSARY rule of thumb: a general guide or principle, based more on practice than theory ahead: in front truck: a large vehicle for carrying heavy loads by road to avoid: to prevent something bad from happening to tailgate: to drive too closely behind another vehicle chevron: a line or pattern in the shape of a V

29

LA SCIENZA NELLA STORIA

ORESME E LO STUDIO DEL MOTO

Il francese Nicola d’Oresme (XIV secolo) [ F1] è stato uno degli esponenti più significativi degli studi scientifici in epoca medievale.

Nel suo trattato De uniformitate et difformitate intensionum, distaccandosi profondamente dalle teorie sul moto di Aristotele, Oresme contribuì a enunciare il teorema noto come teorema della velocità media. Nonostante questo teorema sia comunemente attribuito a Galileo, la sua dimostrazione, fatta utilizzando la geometria euclidea, si deve a Oresme.

Il teorema della velocità media si sintetizza così: un corpo in moto uniformemente accelerato percorre la stessa distanza di un corpo in moto uniforme, la cui velocità sia pari alla metà della velocità finale del corpo accelerato.

In sostanza, un corpo che parte da fermo accelerando uniformemente percorre in un tempo t un certo spazio s, e raggiunge una velocità finale vf. Un altro corpo che si muove con velocità costante v = vf/2 percorre lo stesso spazio s nello stesso tempo t. In formula: s = vt =

vf 2

vf velocità

Come abbiamo già visto, la fisica come la intendiamo oggi nasce con Galileo Galilei ma affonda le proprie radici negli studi sui fenomeni naturali sviluppati nel mondo antico e nelle università medievali, dove la rielaborazione del pensiero aristotelico e le traduzioni dei testi scientifici in lingua greca e araba furono fucine di nuove idee.

v=

vf

v=

2

vi = 0

0

vf 2

t tempo

Il corpo in moto accelerato parte da fermo all’istante 0, quindi in quell’istante la sua velocità è 0 e il segmento verticale corrispondente è un punto; all’istante t la sua velocità è diventata vf, perciò il segmento verticale ha una certa lunghezza vf. Se si uniscono le due velocità così disegnate, si ottiene un triangolo rettangolo.

Invece, il corpo in moto uniforme all’istante iniziale si muove con una velocità v = vf /2, perciò il segmento verticale corrispondente è lungo la metà di quello di vf; all’istante t la sua velocità è rimasta la stessa, perciò il segmento verticale è sempre lungo v = vf /2. Se si uniscono le due velocità, si ottiene un rettangolo.

Per dimostrare che vt e (vf t)/2 sono uguali, basta dimostrare che sono uguali le aree delle due figure. Infatti l’area del rettangolo è base per altezza:  v f  tv f Arettangolo = tv = t   = 2  2 Mentre l’area del triangolo è base per altezza diviso 2

t

Per la sua dimostrazione, Oresme partì da una rappresentazione grafica dove il tempo è la variabile indipendente rappresentata in orizzontale, mentre le variazioni della velocità sono segmenti verticali (in verde e arancione, nella figura in alto) che partono in corrispondenza di determinati istanti di tempo.

Atriangolo =

tv f 2

che dà lo stesso risultato.

L’idea di misurare variazioni di grandezze, come la velocità, attraverso figure geometriche e rappresentazioni grafiche, gettò le basi per lo sviluppo sia della geometria analitica con Cartesio, sia della rappresentazione di grandezze fisiche nello studio della natura.

Galileo, infatti, tre secoli dopo, utilizzò la stessa dimostrazione, che gli permise, assieme agli esperimenti sul piano inclinato, di ricavare la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.

LA SCIENZA IERI E OGGI

1 Talvolta gli scienziati del passato giungevano alle meFigura 1 Miniatura di Nicola d’Oresme impegnato nello studio.

desime conclusioni ma in luoghi ed epoche diverse.

Come poteva Galileo accedere agli studi compiuti in epoche precedenti o in altri luoghi?

2 Ora pensa a come le nuove tecnologie hanno facili-

tato la diffusione delle scoperte scientifiche e, più in generale, delle informazioni. Dove e come si cercavano le informazioni quando non esistevano internet, il computer e i telefoni?

30

RIPASSO GUIDATO

UNITÀ 2

RIPASSA CON LE DOMANDE GIUSTE Qual è il campo di studi della CINEMATICA? La cinematica si occupa della DESCRIZIONE DEL MOTO, trascurando le cause che lo producono.

Come si può descrivere il moto di un corpo?

Il moto di un corpo, schematizzato come punto materiale, è definito in relazione a un SISTEMA DI RIFERIMENTO stabilito a priori. Il corpo è in movimento nel sistema di riferimento scelto se la sua posizione misurata in quel riferimento cambia nel tempo.

Come si misura la rapidità con cui varia la posizione in un intervallo di tempo?

Attraverso la VELOCITÀ MEDIA (unità del SI: m/s), che è definita come il rapporto tra lo spostamento compiuto dal corpo tra due posizioni e l’intervallo di tempo impiegato: vm =

s2 – s1 t2 – t1

=

∆s ∆t

Si può misurare la rapidità con cui varia la velocità?

Sì, attraverso l’ACCELERAZIONE MEDIA (unità del SI: m/s2), che misura la variazione della velocità del corpo in un intervallo di tempo: am =

v2 – v1 t2 – t1

=

∆v ∆t

Ripassa con la mappa e la sintesi audio

IN PREPARAZIONE

Che caratteristiche ha il sistema di riferimento nei moti rettilinei?

Nel MOTO RETTILINEO, cioè in un moto la cui traiettoria è un segmento di retta, per individuare la posizione sP di un corpo basta un asse orientato s e un punto O che rappresenta l’origine.

O

sP

s

Esistono equazioni che esprimono il moto in funzione del tempo?

Sì, la LEGGE ORARIA è un’equazione che esprime la posizione s di un corpo in funzione del tempo trascorso t.

Invece la LEGGE VELOCITÀ-TEMPO esprime la velocità v del corpo in funzione del tempo trascorso t.

Come è chiamato un moto con velocità costante e traiettoria rettilinea?

Si chiama MOTO RETTILINEO UNIFORME. In questo caso la velocità media è sempre uguale e coincide in ogni istante con la velocità istantanea, che è la velocità calcolata in un istante preciso.

Come è chiamato un moto con accelerazione costante e traiettoria rettilinea?

Si chiama MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO. In questo caso l’accelerazione media è sempre uguale.

Quali sono la legge oraria e il diagramma orario del moto rettilineo uniforme?

La LEGGE ORARIA è: s = s0 + v t Con partenza dall’origine (s0 = 0) diventa:

31

RIPASSO GUIDATO

IL MOTO RETTILINEO

Come si presenta il grafico velocità-tempo del moto rettilineo uniforme?

Dato che la velocità v è costante, il GRAFICO VELOCITÀ-TEMPO è una retta orizzontale:

s=vt v v

Il DIAGRAMMA ORARIO o GRAFICO SPAZIO-TEMPO di queste leggi è una retta: se s0 ≠ 0 s

v=

s

nza

e nd

pe

Area = vΔt

se s0 = 0

v=

s0 t

p

a

enz

end

0

t

Δt

t

L’area sottesa rappresenta lo spostamento compiuto nell’intervallo di tempo Δt.

Quali sono la legge oraria e il diagramma orario del moto rettilineo uniformemente accelerato?

Quali sono la legge e il grafico velocità-tempo del moto rettilineo uniformemente accelerato?

La LEGGE ORARIA di un moto con partenza dall’origine (s0 = 0) è:

La LEGGE VELOCITÀ-TEMPO è:

1 s = v0t + at 2 2

v = v0 + a t Se il corpo parte da fermo (v0 = 0):

Con partenza da fermo (v0 = 0) diventa s =

1 2 at 2

v=at Il GRAFICO VELOCITÀ-TEMPO di queste leggi è una retta:

e il suo DIAGRAMMA ORARIO è un ramo di parabola con vertice nell’origine: v

s

v0 t

v

za

a=

0

se v0 = 0

se v0 ≠ 0 n de

n

pe

a

nz

a=

s = area t

e nd

pe

s = area

0

Quali sono due esempi di moto rettilineo uniformemente accelerato?

La CADUTA LIBERA e il LANCIO VERSO L’ALTO, che vicino alla superficie terrestre e se la resistenza dell’aria è trascurabile avvengono con accelerazione di gravità g = 9,81 m/s2.

t

32

ESERCIZI

UNITÀ 2

Leggi la risoluzione per passi degli esercizi COMMENTATI e allenati su HUB Test

ESERCIZI DI PARAGRAFO ESERCIZI IN PIÙ TRA I MATERIALI PER IL DOCENTE

7 Una atleta corre i 100 metri piani in 10,49 s. Rappresen-

1 LA CINEMATICA E LA DESCRIZIONE DEL MOTO

ta la situazione in un opportuno sistema di riferimento e descrivila dal punto di vista fisico.

1 Vero o falso? a. Il moto è sempre relativo a un osservatore, per il quale occorre stabilire un sistema di riferimento. b. Per determinare la posizione di un oggetto che si muove lungo una linea, basta fissare una retta e scegliere su di essa un punto O che rappresenti l’origine. c. La traiettoria di un punto materiale è l’insieme delle posizioni assunte dal punto nel tempo. d. Il diagramma orario di un moto è sempre una retta su un piano cartesiano.

8 V

F

V

F

V

F

V

F

GRAFICI I dati in tabella si riferiscono al moto di un punto materiale in un dato sistema di riferimento. Rappresentali nel diagramma orario sotto. t (s) s (cm)

A un oggetto puntiforme.

5 4 3 2 1 0

9

B un oggetto piccolo e leggero.

C un modello per rappresentare la realtà.

D un concetto teorico, non applicabile alla realtà.

IMMAGINI Definisci il concetto di traiettoria di un punto materiale e descrivi il tipo di traiettoria rappresentata in ciascuna figura.

5

s (km) 5 4 3 2 1

10

Se sei seduto su una panchina, un tram che ti passa davanti è in moto rispetto a te e tu sei fermo rispetto al tram.

GRAFICI Il grafico accanto può essere il diagramma orario del moto di un corpo? Giustifica la tua risposta.

s

COMPLETA Completa la descrizione fisica della situazione rappresentata (il disegno non è in scala).

t0 = 0 s

–4

–3

–2

–1

0

11 1

2

3

4 s (m)

0 s la rana si All’istante iniziale dell’osservazione t0 = ...... −3 m trova in posizione s0 = .......... rispetto all’origine O, che 10 s la sasso A un istante successivo t = ....... coincide con il ...........

1 4m rana ha superato il sasso e si trova in posizione s1 = .......

4 5

5 3

6 1

7 0

1

2

3

4

5

6

t (s) 7 .........

10

20 30

10 ..... −1 .....

0 0

20 ..... −1 .....

40

50

60

30 .....

4 .....

40 .....

5 .....

50 .....

3 .....

70 t (min)

60 .....

3 .....

70 .....

0 .....

B A

C 1

2

3

4

5

t (s)

E

D

Se l’asse del riferimento è orientato verso l’alto, con l’origine nella posizione iniziale della formica, indica in quali tratti la formica si muove verso l’alto, in quali verso il basso, in quali resta ferma.

[A ed E; C e D; B]

t1 = 10 s

O

3 5

GRAFICI Il seguente grafico mostra il moto di una formica che si muove su e giù lungo il tronco di un albero.

s (cm) 3 2 1 0 –1 –2

t

6

2 4

GRAFICI Il seguente diagramma orario rappresenta il moto di un rider che effettua consegne, descritto rispetto al negozio. Completa la tabella con i dati del grafico.

t (min) s (km) TROVA L’ERRORE Questa frase è sbagliata. Perché?

1 3

0

0 –1

4

0 0

s......... (cm)

2 Un punto materiale è:

3

IN PREPARAZIONE

GRAFICI The table represents the first 30 seconds of a person’s drive to work on a straight road.

Sketch the position-time graph and describe the motion. t (s) s (m)

0 0

5 10

10 30

15 30

20 20

25 50

30 80

IL MOTO RETTILINEO

19

2 LA VELOCITÀ

12 Vero o falso? a. Il simbolo Δ esprime la variazione di una V grandezza. b. La velocità media è una grandezza fondamentale, come la posizione e il tempo. V c. La velocità media in un intervallo di tempo è la media delle velocità assunte negli istanti V intermedi. d. Se due maratoneti partono e arrivano al traguardo nello stesso istante, la loro velocità media durante la gara è stata la V stessa.

IMMAGINI Enrica si trova nel corridoio di una galleria d’arte. Parte dall’ingresso, nel punto O, poi si sposta per vedere l’opera A e quindi l’opera B, come in figura.

O

F

33

ESERCIZI

B

A

F

0

F

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Calcola lo spostamento di Enrica da O a B e lo spazio totale percorso tra le stesse posizioni. Sono uguali?

SUGGERIMENTO Lo spostamento dipende solo dalle

F

posizioni iniziale e finale, non dal percorso seguito.

13 Lo spostamento:

[7 m; 13 m; no]

A è sempre un numero positivo.

20 Trasforma i km/h in m/s e viceversa.

B ha come unità di misura il metro.

0,28 m/s • 1,0 km/h = .........

36,1 m/s • 130 km/h = .........

13,9 m/s • 50 km/h = .........

C è lo spazio totale percorso da un punto materiale.

D non può essere uguale a zero.

14 In quale dei seguenti casi la velocità istantanea può as-

21 Scrivi le formule inverse dell’equazione: velocità media

[2160 s; 1800 s; 2640 s]

18

vm (m/s)

Δs (m)

Δt (s)

...........

7,5 5,8 47

240 ...........

8,1 69

32 1,4 ...........

1,5

23 Un punto materiale compie uno spostamento di 30 m in 20 s. Calcola la sua velocità media.

17 Osserva la tabella oraria del treno Bari-Termoli.

SUGGERIMENTO Ricorda che 1 min = 60 s.

intervallo di tempo

22 Completa la tabella con i valori mancanti.

realizzato a una velocità media di circa 160 km/h, ma la velocità massima raggiunta durante la gara è stata di 280 km/h. Sai spiegare questa apparente discrepanza?

Calcola gli intervalli di tempo tra due stazioni successive.

∆s ∆t

∆s vm Dt Ds = ...........

Dt = .......... vm

16 Il giro più veloce su un circuito di Formula 1 è stato

Orario di partenza (hh:mm) 11:30 12:06 12:36 13:20

spostamento vm =

TROVA L’ERRORE Questa frase è sbagliata. Perché?

Se un uomo esce dall’ufficio la sera e ci rientra 15 ore dopo, non si può dire qual è stata la sua velocità media in questo intervallo perché non si conoscono i dettagli del moto.

Stazione Bari Centrale Barletta Foggia Termoli

3,6 km/h • 1,0 m/s = .........

64,8 km/h • 18,0 m/s = .........

0,72 km/h • 0,20 m/s = .........

LAVORA SULLA FORMULA

sumere valore nullo?

A Una macchina, entrando in autostrada, aumenta la propria velocità da 40 km/h a 130 km/h.

B Una persona fa jogging muovendosi avanti e indietro lungo una pista di atletica.

C Una macchina rallenta per portare la sua velocità sotto i limiti stabiliti dal codice della strada.

D Nessuna delle precedenti.

15

10 s (m)

[1,5 m/s]

24 In 20 min un ragazzo percorre in bicicletta un tratto di ciclabile lungo 3,0 km. Calcola la sua velocità media.

SUGGERIMENTO Trasforma i dati in unità del SI.

[2,5 m/s]

25 Un punto materiale che si muove alla velocità media di 6 m/s viaggia per 5,0 s. Determina il suo spostamento.

[30 m]

26 Durante la migrazione, un germano reale vola a una velocità media di 25 m/s per 4 h e 26 min. Quanti kilometri percorre in questo intervallo?

IMMAGINI Quanto vale lo spostamento nei due casi?

5m Δs = ..........

O s1 = 1

s (m)

s2 = 6

−5 km Δs = ..........

O

s2 = 3

s1 = 8

s (km)

SUGGERIMENTO Ricorda che 1 h = 60 min = 3600 s.

[400 km]

34

ESERCIZI

UNITÀ 2

27 Quanto tempo impiega un oggetto per compiere uno spostamento di 15 km alla velocità media di 3,0 km/h?

32 La distanza tra Venezia e Bari è di 603 km in linea d’aria, di 636 km via mare e di 815 km via autostrada. Un aereo che effettua la tratta viaggia alla velocità media di 236 m/s, un traghetto a 15,0 m/s e un autobus a 25,5 m/s. Calcola i tempi di percorrenza. Quale mezzo impiega più tempo? Quale impiega meno tempo?

[18 000 s]

28 Un treno ad alta velocità percorre i 225 km tra Roma e

Napoli viaggiando a una velocità media di 191 km/h.

Quanto tempo impiega, espresso in ore e minuti?

SUGGERIMENTO Prima calcola il tempo in ore e poi tra-

sforma in minuti la parte decimale del risultato.

[43 min; 11 h 47 min; 8 h 53 min; il traghetto; l’aereo]

33

[1 h 11 min]

s (m)

29 In tabella sono raccolte le posizioni di un furgone, regi-

strate a partire dal suo ingresso al kilometro 60 dell’autostrada. Determina la velocità media sui singoli tratti autostradali e quella sull’intero percorso. s (km) t (min)

60,0 0

72,5 7

93,0 18

108 27

5 4 3 2

133 39

1

SUGGERIMENTO Con i dati in tabella puoi calcolare gli

0

spostamenti e gli intervalli di tempo in ciascun tratto.

[29,7 m/s; 31,1 m/s; 27,8 m/s; 34,7 m/s; 31,2 m/s]

30 Un’auto percorre 100 km alla velocità media di 120 km/h, 34

Δs = Δs1 + Δs2 = 100 km + 45 km = 145 km e anche l’intervallo di tempo totale:

∆s 145 km = = 109 km/h ∆t 1,33 h

4 t (s)

3

0

1

2

3

4 t (s)

a. Senza fare calcoli, individua l’istante in cui il corpo inverte il moto e l’intervallo di tempo in cui si muove in verso opposto all’asse del riferimento. b. Determina la velocità media negli intervalli tra 1 e 2 s, tra 3 e 4 s e tra 1 e 3 s.

Δt = Δt1 + Δt2 Dato che non conosci il tempo Δt1, lo devi ricavare dalla definizione di velocità media, invertendo la formula e utilizzando i dati che conosci per il primo tratto:

vm =

2

GRAFICI Osserva il seguente grafico spazio-tempo.

s (m) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Soluzione Per trovare la velocità media totale puoi applicare la definizione. Per farlo ti occorre sapere lo spostamento totale

Da qui ottieni: Δt = Δt1 + Δt2 = 0,83 h + 0,50 h = 1,33 h.

Puoi ora trovare la velocità media sull’intero percorso:

1

[tra 0 e 2 s; tra 2 e 3 s; 2 m/s; 1 m/s; 1,25 m/s]

Dati e incognite spostamento nel primo tratto Δs1 = 100 km; velocità media nel primo tratto vm1 = 120 km/h; spostamento nel secondo tratto Δs2 = 45 km; tempo di percorrenza del secondo tratto Δt2 = 0,50 h velocità media sull’intero percorso vm = ?

∆s1 ∆s1 100 km v m1 = → ∆t 1 = = = 0,83 h ∆t 1 v m1 120 km/h

0

a. Senza fare calcoli, individua l’intervallo in cui la velocità media è maggiore e quello in cui è nulla. b. Determina la velocità media nel primo e nel terzo tratto, e sull’intero intervallo di tempo.

ESERCIZIO SVOLTO quindi rallenta e in mezz’ora percorre altri 45 km. Calcola la velocità media sull’intero percorso.

GRAFICI Osserva il seguente diagramma orario relativo al moto di un punto materiale.

[2 s; tra 2 e 4 s; 2 m/s; −2 m/s; 0,5 m/s]

35

GRAFICI Il seguente diagramma orario mostra il moto di un muletto nel corridoio di un magazzino.

s (m) 3

Questa velocità non è uguale alla media aritmetica delle velocità nei due tratti. Infatti la velocità media nel secondo tratto è vm2 = 90 km/h, e quindi la media vale: v m1 + v m2 120 km/h + 90 km/h = = 99,5 km/h 2 2

31 Un uomo percorre 5,0 km nel parco alla velocità media

di 6,0 km/h, poi si riposa per 1,0 h e quindi percorre altri 2,0 km alla velocità media di 4,0 km/h. Calcola la sua velocità media sull’intero percorso, espressa in m/s.

[0,83 m/s]

2 1 0

0

1 2

3

4 5 6

7 8

9 t (s)

a. Senza fare calcoli, individua i tre istanti in cui la velocità del muletto è nulla. b. Tra 2 a 3 s la velocità aumenta o diminuisce? c. In quale intervallo la velocità media è uguale alla velocità all’istante t = 2 s? Quanto vale?

[0 s; 3 s; 6 s; diminuisce; tra 8 e 9 s; 1 m/s]

36

LAVORA SULLA FORMULA

GRAFICI The picture shows the position-versus-time graphs of two lions in a wildlife preserve.

42 Scrivi le formule inverse dell’equazione: posizione finale

s (km) 3,0

B

posizione iniziale

velocità

v=

2,5 2,0

0,5

0

10

20

30

40

50

60 t (min)

a. Which lion has a greater total average speed? b. Which lion has a greater speed at t = 22 min? c. Is the speed of lion A always positive? Is the speed of lion B ever negative? [lion B; lion A; no; no]

s0 (m)

1500 0 38 ............

10

750 350 3,0 2,0 ............

Dati e incognite istante iniziale t0 = 0 s; posizione iniziale s0 = 1 m; istante finale t = 5 s; posizione finale s = 8 m velocità costante v = ?

F

V

V

F

V

F

V

F

Soluzione Poiché il moto è rettilineo uniforme, puoi usare la definizione di velocità media per calcolare la velocità costante. Scrivila in funzione delle posizioni e degli istanti di tempo, e considera come istante iniziale t0 = 0 s: v=

s − s0 s − s0 s − s0 = = t − t0 t −0 t

Sostituisci i dati numerici nella formula e ottieni:

38 Tra le seguenti situazioni reali, quella che meglio approssima un moto rettilineo uniforme è: A una pallina lanciata in aria.

B una macchina in curva.

C un maratoneta in un tratto senza curve.

D un motorino che si muove all’interno di una città.

v=

8 m − 1m 7 m = = 1, 4 m/s 5s 5s

45 Un atleta si allena per una gara di mezzofondo puro,

lunga 3000 m. Si riscalda camminando velocemente per i primi 800 m, poi inizia a correre a velocità costante per i successivi 423 s, fino al traguardo. Calcola la velocità della corsa, dopo la fase di riscaldamento.

GRAFICI Quale tra i seguenti grafici può rappresentare il diagramma orario di un moto rettilineo uniforme?

B

s (m)

540 175 ............

7,0 1,0

costante. Se all’istante iniziale si trova a 1 m dall’origine e dopo 5 s si trova a 8 m dall’origine, quanto vale la sua velocità?

a. Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme quando la sua traiettoria è rettilinea. b. Se la velocità è costante, la velocità media in un certo intervallo di tempo coincide con la velocità istantanea in ciascun istante dell’intervallo. c. Il grafico velocità-tempo rappresenta la velocità di un corpo in funzione del tempo. d. In un moto rettilineo uniforme, lo spostamento del corpo è uguale alla pendenza del grafico velocità-tempo.

s

t (s)

44 Un punto materiale si muove in linea retta a velocità

37 Vero o falso?

s

v (m/s)

1,39 ............ −2,00 5,0 8,0

ESERCIZIO SVOLTO

3 IL MOTO RETTILINEO UNIFORME

A s

istante finale

43 Completa la tabella con i valori mancanti.

1,0

39

s − s0 t

s − s0 s0 + v t s−vt t = ............. s = ................ s0 = ............. v

A

1,5

0

35

ESERCIZI

IL MOTO RETTILINEO

[5,20 m/s]

s

46 Stai osservando i fuochi d’artificio dal balcone di casa

t

40

41

t

t

tua, che dista 3 km dal luogo dello spettacolo. Osservi che tra la luce e il rumore dello scoppio c’è un intervallo di 8,8 s. Calcola la velocità del suono nell’aria trascurando il tempo che la luce impiega a raggiungerti.

t

SUGGERIMENTO Se fissi l’origine del riferimento nel

luogo dello spettacolo, all’istante dello scoppio t0 = 0 la posizione iniziale è s0 = 0.

TROVA L’ERRORE Questa frase è sbagliata. Perché?

Se dimezzi l’intervallo di tempo in cui osservi un moto rettilineo uniforme, anche la velocità del corpo dimezza.

COMPLETA Un oggetto si muove lungo una retta secondo la legge oraria s = (−2 m) + (5 m/s)t. Il suo moto rettilineo uniforme con velocità v = ............

5 m/s è quindi .................................

All’istante iniziale dell’osservazione, l’oggetto si trova −2 m dall’origine del riferimento. a una distanza s0 = ............

[341 m/s]

47 Un punto materiale si muove in linea retta alla velocità costante di 13 m/s. Il punto passa dapprima per la posizione 7 m e poi per la posizione 20 m. In quanto tempo realizza questo spostamento?

[1,0 s]

36

ESERCIZI

UNITÀ 2

48 La distanza Terra-Sole è uguale a 1,496 · 10¹¹ m. Se nel-

lo spazio vuoto la luce viaggia a 2,998 · 108 m/s, quanto tempo impiega la luce del Sole a raggiungere la Terra?

ESERCIZIO SVOLTO

56 Due automobili procedono lungo un rettilineo in direzioni opposte e inizialmente si trovano a 12,6 km di distanza l’una dall’altra, come in figura.

[499 s]

49 Un punto materiale parte dalla posizione 3,4 m e si

A

muove per 5,5 s di moto rettilineo alla velocità costante di 2,5 m/s. Qual è la sua posizione finale?

B

[17 m]

50 Durante la corsa, un ghepardo può mantenere una ve-

12,6 km

locità di 28 m/s per 15 s. Quale distanza percorre in questo tempo?

L’auto A procede alla velocità costante di 72 km/h, l’auto B alla velocità di 54 km/h. Scrivi le leggi orarie del moto delle due auto e utilizzale per determinare quanto tempo passa prima che si incontrino.

[420 m]

51 Un punto materiale si muove alla velocità costante di

20 m/s. Se dopo 1 min si trova a una distanza di 2000 m dall’origine del sistema di riferimento, da quale posizione è partito rispetto all’origine?

Dati e incognite distanza iniziale d = 12,6 km = 12 600 m; velocità dell’auto A vA = 72 km/h = 20 m/s; velocità dell’auto B vB = 54 km/h = 15 m/s; tempo trascorso prima dell’incontro t = ?

[1200 m]

52 Un camper entra in autostrada e prosegue alla velocità costante di 100 km/h per 2 h 20 min fino a un’area di servizio situata al kilometro 325. A quale kilometro è entrato in autostrada?

Soluzione Dato che il moto è rettilineo, fissa un asse s di riferimento con origine nella posizione iniziale di A e orientato da A verso B. In questo riferimento le posizioni iniziali sono s0A = 0 e s0B = d = 12 600 m; inoltre la velocità di B è negativa perché B si sposta in verso opposto all’asse.

Puoi ora scrivere le leggi orarie: Auto A

sA = vA t = (20 m/s) t

Auto B

sB = s0B + vB t = 12 600 m + (−15 m/s) t

Quando le due auto si incontrano, in un certo istante t, le loro posizioni sono uguali (sA = sB). Uguaglia quindi le leggi orarie e risolvi rispetto a t: (20 m/s) t = 12 600 m + (−15 m/s) t

[al kilometro 92]

53

(20 m/s) t + (15 m/s) t = 12 600 m

GRAFICI Un oggetto si muove con legge oraria:

(35 m/s) t = 12 600 m

s = (3 m) + (8 m/s) t a. Completa la tabella con le posizioni mancanti. t (s) s (m)

0 3 ......

1 11 ......

2 19 ......

3 27 ......

4 35 ......

5 43 ......

t= 6 51 ......

b. Disegna il grafico spazio-tempo del moto.

54

GRAFICI In tabella sono riportati i dati di un moto rettilineo uniforme. Scrivi la legge oraria e rappresentala in un diagramma orario. t (s) s (m)

0 0

5 15

10 30

15 45

20 60

25 75

30 100

SUGGERIMENTO Dato che la velocità è costante, puoi calcolarla utilizzando due coppie di valori (t; s) a tua scelta. [s = (3 m/s) t]

55 Uno scooter si trova 10,0 m

57

12 600 s = 360 s = 6 min 35 m/s

OLIMPIADI Due automobili, A e B, si trovano a una distanza d = 400 m e si avvicinano viaggiando in verso opposto lungo una strada rettilinea. I veicoli si muovono rispettivamente con una velocità di 30 m/s e di 20 m/s. Dopo quanto tempo i veicoli si incroceranno?

A 8,0 s D 30,0 s B 13,0 s E 40,0 s C 20,0 s Tratto da Olimpiadi della Fisica 2014, gara di 1° livello [A]

58 Finita la scuola, Amir e Beatrice si incamminano sul mar-

ciapiede in versi opposti. Amir cammina a 0,800 m/s, Beatrice va di fretta e corre a 2,00 m/s. a. Quanto distano i due ragazzi dopo 15,0 s? b. Dopo quanto tempo la loro distanza è di 400 m?

prima di un autovelox e gli si avvicina alla velocità costante di 50,0 km/h. a. Scrivi la legge oraria dello scooter in unità del SI. b. Quanto tempo impiega a raggiungere l’autovelox?

59 Ada e Barbara corrono lungo il viale rettilineo di un par-

[s = −10 + 13,8 t; 0,725 s]

[200 s]

[42,0 m; 143 s]

co. Ada precede Barbara di 100 m e corre alla velocità costante di 7,2 km/h, mentre Barbara corre a 9 km/h.

Quanto tempo impiega Barbara a raggiungere Ada?

IL MOTO RETTILINEO

60 COMMENTATO In una corsa di 3000 metri piani un at-

64

leta, a causa di una penalità, parte con un ritardo di 25,0 s rispetto agli altri concorrenti. Se gli altri atleti che partecipano alla gara mantengono una velocità costante di 6,00 m/s, qual è la velocità minima con cui deve correre l’atleta penalizzato per vincere la gara?

GRAFICI Il seguente grafico velocità-tempo mostra il moto di un aereo alla velocità di crociera tra l’istante dell’arrivo in quota e l’inizio della discesa, 8 ore dopo.

v (km/h) 850

[6,32 m/s]

61

37

ESERCIZI

GRAFICI Osserva i seguenti diagrammi orari relativi al moto rettilineo uniforme di due punti materiali A e B.

s (m) 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0 B

A

0

1

2

3

4

5

6

7

8 t (h)

a. Che cosa rappresenta l’area sottesa dal grafico? b. Quanto spazio percorre l’aereo nelle prime 2 h? c. Per quanti km mantiene la velocità di crociera? [lo spostamento; 1700 km; 6800 km]

65 0

1

2

3

4

5

6

7 t (s)

a. Individua la posizione iniziale di A e quella di B. b. Senza fare calcoli, indica se le velocità di A e di B sono uguali o diverse. Quindi calcolane il valore. c. Scrivi le leggi orarie di A e B in unità del SI.

GRAFICI Draw a position-versus-time graph representing the uniform motion of two cars, A and B, starting together from the same position. A is moving at a constant speed of 130 km/h, B is moving at 110 km/h. What is the distance between the two cars after 2 h?

[0 m; 4 m; uguali; 2,5 m/s: sA = 2,5 t; sB = 4 + 2,5 t]

62

GRAFICI Osserva i seguenti diagrammi orari relativi al moto di due treni A e B rispetto all’origine del sistema di riferimento, posta nel capolinea.

s (km) 7 6 5 4 3 2 1 0

A

[60 km]

B

4 L’ACCELERAZIONE 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 t (min)

66 Vero o falso? a. L’accelerazione media in un intervallo di tempo dipende solo dalle velocità iniziale e finale, non dalle velocità intermedie. b. L’unità di misura dell’accelerazione media nel SI è il m/s2. c. L’accelerazione media non può essere negativa. d. Se un corpo parte da fermo, accelera e poi si ferma di nuovo, la sua accelerazione media complessiva è positiva.

a. Individua la posizione iniziale di A e quella di B. b. A e B viaggiano nello stesso verso o in versi opposti? Calcola le loro velocità facendo attenzione al segno. c. Scrivi le leggi orarie dei due treni in unità del SI. [7 km; 2 km; opposti; −5 m/s; 8,3 m/s; s = 7000 − 5 t; s = 2000 + 8,3 t]

63

GRAFICI Il seguente grafico rappresenta il moto di due persone che si incrociano in un corridoio.

s (m) 10

V

F

V

F

V

F

V

F

67 Quale grandezza che descrive il moto di un corpo non

5

può essere ricavata dal grafico velocità-tempo?

A posizione C velocità B spostamento D accelerazione

B

A

68 Che cos’è un moto vario? Fai qualche esempio prendendo spunto dalla vita quotidiana.

0

69 0

5

10 t (s)

a. Qual è la legge oraria del moto di A e di B? b. Calcola l’istante e la posizione in cui si incontrano. [s = 2 t; s = 9 − 0,7 t; 3,3 s; 6,7 m]

TROVA L’ERRORE Questa frase è sbagliata. Perché?

Se per passare da 0 a 100 km/h un ghepardo impiega 3 s mentre un’auto impiega 7 s, puoi dire che l’auto ha un’accelerazione media maggiore.

70 Qual è l’accelerazione media di un’automobile che viaggia in linea retta a velocità costante?

38

71

ESERCIZI

UNITÀ 2

OLIMPIADI Il grafico mostra l’andamento nel tempo della velocità di 5 automobili A, B, C, D ed E, che percorrono una strada dritta in pianura. Per quale di queste l’accelerazione media nell’intervallo di 6 s è maggiore?

80

IMMAGINI Quanto vale l’accelerazione media?

t1 = 7,5 s

t2 = 20,5 s

v1 = 90 km/h

v2 = 20 km/h

v (m/s) 15

[−1,5 m/s2]

81

A

10

GRAFICI Osserva il seguente grafico velocità-tempo.

v (m/s)

B 5

0

5

C

0

D 1

E 2

3

4

5

6 t (s) 0

Tratto da Olimpiadi della Fisica 2015, gara di 1° livello [E]

a. b. c. d.

LAVORA SULLA FORMULA

72 Scrivi le formule inverse dell’equazione: variazione di velocità accelerazione media

∆v am = ∆t

10 t (s)

5

0

Nei primi 2 s il corpo si muove o è fermo?

In quale istante il corpo comincia a decelerare?

Individua la velocità agli istanti 0 s, 5 s e 10 s.

Calcola l’accelerazione media tra 0 e 5 s e tra 5 e 10 s. [si muove; 7 s; 2 m/s; 4 m/s; 3 m/s; 0,4 m/s2; −0,2 m/s2]

intervallo di tempo

82

∆v am Dt Dv = .............

Dt = ........... am

GRAFICI COMMENTATO Nella tabella è riportata la velocità di un ciclista rilevata a intervalli di tempo di 50 s. t (s) v (m/s)

73 Completa la tabella con i valori mancanti. am (m/s)

Δv (m)

Δt (s)

.........

4,8 −30 6,9

9,1 ......... −750 15

1,9 25 .........

2,2

0 0

50,0 3,00

100 7,00

150 −2,00

200 −5,00

a. Disegna il grafico velocità-tempo del ciclista. b. Calcola la sua accelerazione media in ciascun intervallo. c. Determina la sua accelerazione media complessiva.

[6,00 ∙ 10−2 m/s2; 8,00 ∙ 10−2 m/s2; −0,180 m/s2; −6,00 ∙ 10−2 m/s2; −2,50 ∙ 10−2 m/s2]

74 Un punto materiale aumenta la propria velocità di 12 m/s in un intervallo di tempo di 6,0 s. Determina la sua accelerazione media.

[2,0 m/s2]

75 La Lamborghini Murcielago raggiunge i 100 km/h con

83

GRAFICI During her warm-up routine, Carla starts from rest and reaches a speed of 15.3 km/h in 1 min. Then she travels at constant speed for 15 min. a. Draw the velocity-time graph of her motion. b. What is Carla’s average acceleration?

[0.004 m/s2]

partenza da ferma in 3,40 s. Qual è la sua accelerazione media?

SUGGERIMENTO Trasforma i dati in unità del SI. [8,17 m/s2]

76 Qual è la variazione di velocità di un punto materiale che accelera con accelerazione di 10 m/s2 per 7,0 s?

[70 m/s]

77 Di quanto varia la velocità di una skater che, durante una frenata della durata di 2,5 s, ha un’accelerazione media di −5,1 m/s2?

[−13 m/s]

78 Un punto materiale si muove con un’accelerazione media di 2,40 m/s2. Determina quanto tempo impiega ad aumentare di 3,00 m/s la propria velocità.

[1,25 s]

79 Quanto tempo impiega un treno ad alta velocità a diminuire la propria velocità di 180 km/h, se frena con un’accelerazione media di −0,83 m/s2?

[1 min]

5 IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

84 Vero o falso?

In un moto rettilineo uniformemente accelerato: V a. la velocità non cambia nel tempo. b. la velocità media e istantanea sono uguali. V c. la variazione di velocità e l’intervallo di V tempo sono direttamente proporzionali. d. lo spostamento si può ricavare graficamente. V e. se il corpo parte da fermo, è costante il rapporto tra lo spostamento e il quadrato V del tempo.

F F F F

F

85 Il grafico velocità-tempo di un moto rettilineo uniformemente accelerato è rappresentato da: A un ramo di parabola.

C una retta.

B un ramo di iperbole.

D una curva qualsiasi.

IL MOTO RETTILINEO

86

COMPLETA Un oggetto che si muove lungo una retta varia la propria velocità secondo la legge velocità-tempo v = (1 m/s) + (−0,3 m/s2) t. Il suo moto è quindi rettilineo uniformemente accelerato con velocità ini............................................................ −0,3 m/s2 1 m/s e accelerazione a = ...................... ziale v = ...........

0

87

COMPLETA Un oggetto si muove lungo una retta secondo la legge oraria s = (4 m/s) t + (6 m/s2) t2. Il suo rettilineo uniformemente accelerato moto è quindi ............................................................ origine con partenza dall’..............................

O del riferimen4 m/s e accelerazione to, velocità iniziale v0 = .....................

12 m/s2 a = 2 · (6 m/s2) = ..................

39

ESERCIZI

95 Completa la tabella con i valori mancanti. s (m) 276 .........

11,5 550

a (m/s2) 3,53 2,41 .........

1,58

t (s) 12,5 3,09 26,4 .........

96 Un ciclista parte da fermo e procede lungo un rettilineo con un’accelerazione costante di 2,00 m/s2. Quanta strada percorre in 15,0 s?

[225 m]

97 Per fermare un treno che viaggia alla velocità di LAVORA SULLA FORMULA

88 Sapendo che l’istante iniziale è t0 = 0, scrivi le formule inverse dell’equazione:

velocità iniziale v − v0 a= t

istante finale

v − v0 v0 + a t v−at t = ............. v = ................ v0 = ............. a

89 Completa la tabella con i valori mancanti. a (m/s2)

2,5 .........

t (s)

v (m/s)

v0 (m/s)

10

75 1,0 16 .........

0

50 4,0 0 10 .........

1,5 .........

−2,0 4,0 −5,0

4,0 2,0

90 In un certo istante, Silvia sta viaggiando in auto con velocità pari a 90 km/h. Se dopo 3 min il tachimetro segna come velocità 120 km/h, qual è stata la sua accelerazione, immaginando che sia stata costante?

[0,047 m/s2]

91 Se stai procedendo in scooter alla velocità di 37 km/h e vuoi raggiungere i 44 km/h, per quanto tempo devi accelerare con accelerazione pari a 2,5 m/s2?

[0,80 s]

92 Un ciclista pedala alla velocità di 36 km/h. Durante gli

ultimi 4,00 s dello sprint finale aumenta la propria velocità con un’accelerazione costante di 0,625 m/s2. Calcola la velocità con cui taglia il traguardo.

[12,5 m/s]

93 Calcola la velocità iniziale di un hovercraft che si muove per 12 s con accelerazione costante uguale a −3,6 m/s2, fino a raggiungere la velocità di 5,8 m/s.

[49 m/s]

LAVORA SULLA FORMULA fermo (v0 = 0), scrivi le formule inverse dell’equazione: accelerazione s=

98 Un punto materiale si muove di moto uniformemente accelerato con partenza da fermo e accelerazione di 10 m/s2. Quanto tempo impiega per spostarsi di 80 m?

Dati e incognite accelerazione costante a = 10 m/s2; spostamento s = 80 m tempo impiegato t = ?

Soluzione Fissa un asse s orientato nel verso del moto e con origine nella posizione iniziale del punto, in modo che s0 = 0. Quindi inverti la legge oraria del moto uniformemente accelerato con partenza da fermo per trovare il tempo t: s=

1 2 at 2

2s = at2

t2 =

2s a

Se estrai la radice quadrata, ottieni: t=

2s = a

2(80 m) = 16 s2 = 4,0 s 10 m/s 2

99 Il razzo Soyuz che porta gli astronauti sulla Stazione Spaziale Internazionale (ISS) segue una traiettoria pressoché verticale nei suoi primi km di volo, con un’accelerazione quasi costante, di circa 9,00 m/s2. Quanto tempo impiega il razzo a percorrere i primi 11,0 km?

[49,5 s]

100 Un punto materiale si muove in linea retta con una ve-

locità iniziale di 4,5 m/s e un’accelerazione costante di 1,5 m/s2. Qual è il suo spostamento in 26 s?

SUGGERIMENTO Dato che in questo caso v0 è diversa

94 Sapendo che il corpo parte nell’origine (s0 = 0) e da

posizione finale

[−1,67 m/s2]

ESERCIZIO SVOLTO

velocità finale accelerazione

150 km/h occorrono 25 s. Supponendo che la decelerazione sia costante, calcolane il valore in m/s2.

1 2 at 2

istante di tempo

2s 2s a = ............. t = ................ t2 a

da zero, devi usare la legge oraria con partenza in velocità (9).

[624 m]

101 Determina lo spazio percorso da una motocicletta che

in 1 min passa da una velocità iniziale di 40 km/h alla velocità di 120 km/h.

SUGGERIMENTO Dato che non conosci l’accelerazione,

puoi usare l’equazione (11) che non dipende da essa.

[1,3 km]

40

ESERCIZI

UNITÀ 2

102 Un proiettile viene sparato con una velocità di 250 m/s

contro una barriera. Nella barriera, il proiettile rallenta con un’accelerazione costante di −1,04 ∙ 106 m/s2 fino a fermarsi. Calcola lo spazio di frenata.

108

SUGGERIMENTO Applica l’equazione (12).

[3,00 cm]

103 Un’automobile viaggia in città alla velocità di 45 km/h

quando il conducente frena per lavori in corso sulla carreggiata. Se lo spazio di frenata è di 13 m, qual è la [−6,0 m/s2] decelerazione costante dell’auto?

104

GRAFICI

GRAFICI Considera il moto uniformemente accelerato di un motorino che ha velocità iniziale uguale a 15 m/s e frena con un’accelerazione di −2 m/s2. a. Scrivi la legge velocità-tempo e la legge oraria. b. Traccia il grafico velocità-tempo. c. Trova il tempo e lo spazio di frenata. [v = 15 − 2 t; s = 15 t − 1 t2; 7,5 s; 56 m]

109

GRAFICI A rocket accelerates uniformly on a long ramp. Its positions are shown in the table below. t (s) s (m)

COMMENTATO Osserva il grafico veloci-

tà-tempo di un corpo che parte dall’origine.

0 0

0.2 14

0.4 31

0.6 50

0.8 71

1.0 95

a. Plot the position-time graph of the motion. b. Find the acceleration and the equation of motion.

v (m/s)

[190 m/s2; s = 95 t2]

2 1

5 LA CADUTA DEI GRAVI

0

1

–1

2

3

4

5

6

t (s)

Negli esercizi seguenti trascura la resistenza dell’aria.

110 Vero o falso? a. Quanto vale la sua accelerazione? b. Scrivi la legge velocità-tempo e la legge oraria in unità del SI.

a. Se trascuri la resistenza dell’aria, in prossimità della superficie terrestre tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione g = 9,81 m/s2. b. In presenza di aria, il tempo di caduta di un corpo è maggiore rispetto a quello nel vuoto. c. Nella caduta libera, se raddoppia l’altezza di partenza, raddoppia anche il tempo di caduta. d. I lanci verso l’alto sono moti a velocità costante.

[−0,50 m/s2; v = 2,0 − 0,50 t; s = 2,0 t − 0,25 t2]

105

GRAFICI Osserva il grafico velocità-tempo di un corpo che parte dall’origine.

v (m/s) 12

4

0

111 0

6

t (s)

V

F

V

F

V

F

V

F

IMMAGINI Quale dei seguenti moti è con buona approssimazione una caduta libera nei primi istanti?

A

B

a. Calcola l’accelerazione del corpo. b. Ricava graficamente lo spostamento come area. c. Scrivi la legge velocità-tempo e la legge oraria.

[1,3 m/s2; 48 m; v = 4 + 1,3 t; s = 4 t + 0,65 t2]

106

GRAFICI Osserva il grafico velocità-tempo di due autobus A e B e rispondi alle domande.

v (km/h)

112 Quando lanci un oggetto verso l’alto, la sua velocità aumenta o diminuisce? E quando l’oggetto ricade?

20

A

10

0

113 Durante un forte temporale, vedi un vaso cadere dal

davanzale di una finestra. Conti che il tempo di caduta è di circa 4,00 s. A quale altezza si trova il davanzale?

B 0

2

4

6

8

10

SUGGERIMENTO Considera un asse verticale verso il

t (s)

basso e con origine nel punto in cui inizia la caduta.

a. Quale dei due autobus ha accelerazione maggiore? b. A partire da quale istante B è più veloce di A? c. Calcola le accelerazioni dei due autobus.

107

[78,5 m]

114 Un pezzetto di intonaco si stacca da un grattacielo, all’altezza di 100 m. In quanto tempo raggiunge il suolo?

[B; 6 s; 0,23 m/s2; 0,93 m/s2]

[4,50 s]

GRAFICI Considera il moto uniformemente accelerato

115 Un’atleta di ginnastica ritmica lancia in alto una palla con una velocità iniziale di 7,7 m/s. Qual è la massima altezza raggiunta dalla palla se la salita dura 0,78 s?

di un ciclista che parte da fermo e si muove con accelerazione uguale a 0,5 m/s2. a. Scrivi la legge velocità-tempo e la legge oraria. b. Traccia il grafico velocità-tempo. [v = 0,5 t; s = 0,25 t ] 2

SUGGERIMENTO Fissa un asse verticale verso l’alto, con

origine nel punto di lancio: l’accelerazione è −g.

[3,0 m]

IL MOTO RETTILINEO

121

ESERCIZIO SVOLTO

116 Un corpo viene lanciato verso l’alto con una velocità iniDati e incognite velocità iniziale v0 = 10,0 m/s massima altezza raggiunta h = ?

122

0 − v 0 −v 0 v 0 10,0 m/s = = = = 1,02 s −g −g g 9,81 m/s 2

1 2 gt = 2 s

1,0

1,2

1,4

0 0 0

1,0 4,9 ........

9,8 ........

2,0 19 ........

20 ........

3,0 44 ........

29 ........

4,0 78 ........

39 ........

b. Scrivi la legge oraria e la legge velocità-tempo. c. Disegna i grafici spazio-tempo e velocità-tempo. [s = 4,91 t2; v = −9,81 t]

123

Conoscendo il tempo di salita ts puoi trovare la massima altezza h raggiunta utilizzando la legge oraria: h = v 0t s −

0,20 0,40 0,60 0,80

0,20 1,8 .......

3,1 .......

4,9 .......

7,1 .......

9,6 ....... 0,78 ....... .......

GRAFICI Un sasso cade da una rupe. a. Completa la tabella con i valori della distanza percorsa e della velocità a diversi istanti di tempo. t (s) s (m) v (m/s)

v − v0 t= −g

Al termine della salita, nel punto di altezza massima, la velocità è nulla (v = 0), quindi il tempo di salita ts è: ts =

0 0

Rappresenta il moto in un disegno in scala e traccia il diagramma orario.

Soluzione Trova prima il tempo di salita. Inverti la legge velocità-tempo del lancio verso l’alto, esplicitando t: v = v 0 − gt

GRAFICI Completa la tabella con le posizioni di un corpo che cade da fermo da 10 m di altezza. t (s) s (m)

ziale di 10,0 m/s. Calcola la massima altezza raggiunta.

41

ESERCIZI

Luis throws his keys vertically upwards with an initial speed of 4.4 m/s. If his hand is 1.0 m above the ground, what is the maximum height reached by the keys, measured from the ground?

HINT Find the maximum height measured from the

= (10,0 m/s)(1,02 s) −

hand. Then add the initial height from the ground.

1 (9,81 m/s2 )(1,02 s)2 = 2

[2.0 m]

= 10,2 m − 5,10 m = 5,1 m

117 Un giocoliere lancia una pallina verso l’alto con una velocità iniziale di 8,5 m/s. Calcola: a. Il tempo di salita della pallina; b. la massima altezza raggiunta dalla pallina.

PROBLEMI DI RIEPILOGO 124

[0,87 s; 3,7 m]

118 Un arciere scocca una freccia verticalmente verso l’alto

GRAFICI COMMENTATO Due amici fanno una gara.

Qui sotto è rappresentato il grafico dei loro moti rettilinei.

s (m)

con una velocità iniziale di 45,0 m/s. Quale altezza massima raggiunge la freccia?

A

80

SUGGERIMENTO In alternativa alla strategia dell’eserci-

zio svolto 116, puoi utilizzare l’equazione (12) dove devi sostituire a = −g.

60

[103 m]

40

119 Per entrare nel Guinness dei primati, un atleta si tuf-

20

fa da una piattaforma alta 58,8 m. Approssima il tuffo come una caduta da fermo e determina: a. quanto tempo impiega a raggiungere l’acqua; b. con quale velocità entra in acqua.

0

[3,46 s; 34,0 m/s]

120

0

10

20

t (s)

a. Quali sono le velocità di A e di B? b. Quanti metri di vantaggio ha B su A al momento della partenza? c. Dopo quanti secondi A sorpassa B? d. Scrivi la legge oraria di A e di B. e. Quanto tempo impiegano A e B per arrivare al traguardo?

GRAFICI COMMENTATO Trascurando l’effetto dell’at-

trito dell’aria, il moto di una pallina da tennis lanciata verticalmente verso l’alto, con velocità di modulo 30 m/s, è caratterizzato dal grafico velocità-tempo riportato in figura. Calcola la massima quota raggiunta dalla pallina. v (m/s)

[4 m/s; 2 m/s; 20 m; 10 s; sA = 4 t; sB = 2 t + 20; 15 s; 20 s]

30

125

20 10

0

B

TRAGUARDO

0

1

2

3

4

t (s) [45 m]

Alan and Bob walk in the same direction towards Charlie, who is 780 m away. They start at the same time from the same position, and walk at a constant speed of 0.900 m/s and 1.90 m/s, respectively. a. How much sooner does Bob reach Charlie? b. If Bob keeps walking, what will be the distance between him and Alan when Alan reaches Charlie?

[456 s; 867 m]

42

ESERCIZI

UNITÀ 2

126 COMMENTATO Due tir affiancati percorrono due corsie

parallele dell’autostrada, il primo alla velocità di 30 m/s, il secondo alla velocità di 100 km/h. Se il conducente di uno dei due automezzi vede l’altro passargli completamente davanti in 8,0 s, quanto è lungo il tir più veloce?

132 Due ciclisti, Dario e Carlo, si stanno allenando sulla

stessa strada. Procedono entrambi a velocità costante, rispettivamente uguale a 14,4 km/h e 25,2 km/h. Nell’istante in cui Carlo supera Dario, Dario comincia ad accelerare uniformemente di 1,50 m/s2 per recuperarlo. a. Dopo quanto tempo Dario raggiunge Carlo? b. Quanta strada hanno percorso in questo tempo?

[18 m]

127

GRAFICI Due autoscontro A e B hanno leggi orarie:

sA = (4 m) + (0,5 m/s) t sB = (1 m) + (1 m/s2) t2 a. Disegna nello stesso grafico i diagrammi orari. b. In quale istante e in quale posizione si urtano?

[2 s; 5 m]

128

GRAFICI COMMENTATO Una valigia si trova su un nastro trasportatore che scorre con velocità regolabile tra i valori v1 = 0,50 m/s e v2 = 1,5 m/s. Per 20 s la valigia viaggia a velocità costante v1, poi l’operatore commuta la velocità del nastro, che passa a v2 in modo praticamente istantaneo, e il moto della valigia prosegue per altri 40 s. Disegna il grafico velocità-tempo del moto della valigia e calcola lo spostamento totale della valigia.

[70 m]

129

133

GRAFICI Un automobilista è fermo al semaforo. Appena scatta il verde, accelera uniformemente e raggiunge la velocità di 40 km/h in 6,0 s. Mantiene questa velocità per 15 s, poi decelera uniformemente per 8,0 s, arrestandosi al semaforo successivo. a. Rappresenta la situazione nel grafico velocità-tempo. b. Determina la distanza tra i due semafori.

SUGGERIMENTO La distanza si può determinare anche

graficamente.

[1078 m]

134 In un film d’azione viene sparato un colpo di pistola verticalmente, da terra verso l’alto. La pallottola esce dalla canna con una velocità iniziale di 50,0 m/s. a. Calcola l’altezza massima raggiunta dalla pallottola. b. Trova il tempo necessario affinché torni a terra. c. Determina la velocità di arrivo al suolo.

SUGGERIMENTO La discesa è un moto di caduta libera.

[127 m; 10,2 s; 50,0 m/s]

GRAFICI COMMENTATO In basso è riportato il diagramma orario relativo al moto di un corpo.

VERSO L’UNIVERSITÀ

s (m) 8 6

1 Alle ore 15:30 il contachilometri di un’autovettura se-

gna 22 715. Se alle ore 17:00 il contachilometri segna 22 865, qual è stata la sua velocità media?

A 50 km/h C 100 km/h E 200 km/h B 150 km/h D 10 km/h

4 2

0

Test di ammissione ad Architettura 2016/2017

0

2

4

6

8 t (s)

Ricava la velocità di ciascuno dei tratti del grafico e disegna il diagramma velocità-tempo.

[3 m/s; 0 m/s; 1 m/s; −4 m/s]

130 COMMENTATO Giorgia si affaccia dal parapetto di un

ponte per fare una foto con il suo smartphone, che purtroppo le cade di mano proprio nell’istante in cui, da sotto il ponte, sbuca la prua di un traghetto. L’imbarcazione, lunga 60 m, avanza a 72 km/h. Se lo smartphone finisce in acqua sfiorando la poppa dell’imbarcazione, [44 m] da quale altezza è caduto?

GRAFICI Enrico cammina lungo una ciclabile alla velocità costante di 5,00 km/h. A un certo istante, supera senza accorgersene la sua amica Lia, che è seduta su una panchina. In quell’istante Lia si alza e accelera in modo uniforme, fino a quando lo raggiunge, in 3,00 s: a. calcola l’accelerazione di Lia e la sua velocità quando raggiunge Enrico; b. traccia il grafico velocità-tempo dei due ragazzi.

2 Quale delle seguenti automobili ha l’accelerazione media più alta?

A Un’auto che accelera da 20 m/s a 60 m/s in 4 s.

B Un’auto che accelera da 0 a 2,0 m/s in 0,5 s.

C Un’auto che accelera da 0 a 60 m/s in 10 s.

D Un’auto che accelera da 10 m/s a 30 m/s in 8 s.

E Un’auto che accelera da 0 a 10 m/s in 10 s.

Test di ammissione a Medicina Veterinaria 2015/2016

3 Luca vuole tuffarsi da una scogliera a picco sul mare,

ma non riesce a valutarne l’altezza. Decide di lasciar cadere in acqua un sasso e con un cronometro misura il tempo che intercorre tra il momento in cui l’ha lasciato cadere e il momento in cui lo vede toccare l’acqua. Se il tempo misurato è 2 secondi, trascurando l’attrito con l’aria, è possibile calcolare approssimativamente l’altezza della scogliera?

A Sì, circa 15 metri. D Sì, circa 20 metri.

B Sì, circa 40 metri. E No, i dati non sono sufficienti.

C Sì, circa 10 metri.

SUGGERIMENTO Poni l’origine del sistema di riferimen-

Test di ammissione a Medicina e Chirurgia e a Odontoiatria e Protesi Dentaria 2017/2018

[0,927 m/s2; 10,0 km/h]

[Soluzioni dei test: 1. C; 2. A; 3. D]

131

[4,00 s; 28,0 m]

to nella posizione in cui Enrico passa davanti a Lia.

43 Controlla lo svolgimento e compila la griglia in fondo alla pagina

AUTOVALUTAZIONE 1 In cinematica si utilizza il modello di punto materiale quando: A il corpo di cui si studia il moto è piccolo rispetto all’ambiente.

B il corpo di cui si studia il moto non ha massa.

C si studia solo la traslazione del corpo.

D si vuole determinare con precisione la traiettoria del corpo.

9 Una pallina viene lanciata verticalmente verso l’alto.

Qual è la sua velocità nel punto più alto della traiettoria?

10 Spiega la seguente affermazione. Fai degli esempi per giustificare la tua risposta.

Il moto di caduta di un grave non dipende dalla sua massa, ma piuttosto dalla sua forma.

2 Che cos’è il diagramma orario del moto di un punto

materiale? Come lo puoi utilizzare per determinare la velocità media del punto in un intervallo di tempo? E per determinare la velocità in un istante?

ESERCIZI NUMERICI

11 Un corpo parte da fermo e si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. In 30 s compie uno spostamento di 0,50 km. Determina la sua accelerazione.

12 Il grafico sotto rappresenta il moto di un corpo in un

3 Completa il testo.

intervallo di tempo di 6 min.

Nel moto rettilineo uniforme, il diagramma orario è una retta .................. : il punto di intersezione con l’asse verticale 0 e indica la posizione corrisponde all’istante t0 = ........ iniziale .................. s0 del punto materiale. La pendenza della velocità . retta indica la ..................

s (km) 20 15

4 Descrivi la legge oraria del moto rettilineo uniforme con

partenza dall’origine utilizzando le seguenti espressioni: “a parità di”, “direttamente proporzionale”, “inversamente proporzionale”.

10

5 Che cosa rappresenta l’area sottesa dal grafico veloci-

5

6 L’accelerazione media è:

0

tà-tempo di un moto in un certo intervallo di tempo?

A il rapporto tra la variazione della velocità e il tem-

po impiegato per compiere questa variazione.

B il rapporto tra il tempo necessario alla variazione della velocità rispetto a questa variazione.

C il prodotto della variazione di velocità per il tempo impiegato.

D una grandezza fisica fondamentale.

2

3

4

5

6 t (min)

13 Due ciclisti A e B percorrono la stessa strada a velocità

C se la velocità è costante.

costante. Il ciclista A si muove a 27 km/h, mentre B si muove a 31 km/h. A un certo istante transitano insieme davanti a un cartello stradale. Qual è il loro distacco dopo mezz’ora dal passaggio?

D se l’accelerazione è costante.

8 A partire dal gra-

1

Descrivi una situazione reale che potrebbe essere rappresentata dal grafico.

A se la velocità varia nel tempo.

B se l’accelerazione varia nel tempo.

0

Determina: a. la posizione iniziale e la posizione finale; b. la velocità; c. la legge oraria del moto in unità del SI; d. l’istante in cui il corpo raggiunge la posizione di 15 km.

7 Un moto rettilineo si dice uniformemente accelerato:

fico accanto, ricava la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato con partenza in velocità.

IN PREPARAZIONE

velocità

14 Francesco lancia una pallina verso l’alto con una velocità iniziale di 5,0 m/s. Determina: a. l’istante in cui la pallina raggiunge la massima altezza; b. la massima altezza raggiunta, misurata a partire dalla mano di Francesco; c. il tempo impiegato dalla pallina a ricadere in mano a Francesco dall’altezza massima.

v = v0 + at v0

s

0

t tempo

[Soluzioni numeriche: 11. 1,1 m/s2; 12. a. 18 km; 6 km; b. 33 m/s; c. s = 18 000 − 33 t; d. 1,5 s; 13. 29 km; 14. a. 0,51 s; b. 1,3 m; c. 0,51 s]

GRIGLIA DI AUTOVALUTAZIONE Segna con una X solo gli esercizi che hai risolto correttamente.

QUESITI ED ESERCIZI Svolti correttamente

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ESERCIZI

UNITÀ 2

COMPETENZE E REALTÀ CON GLI OCCHI DELLA FISICA

MISURARE CON IL SUONO

Il suono si propaga con una velocità finita e costante nel tempo. Questo fatto permette di costruire diversi strumenti per la misurazione indiretta delle distanze, tutti con un funzionamento più o meno simile: si invia un impulso sonoro sull’oggetto di cui deve essere misurata la distanza, l’impulso viene riflesso dal bersaglio e raggiunge un ricevitore posto sullo strumento. Lo strumento è poi dotato di un sistema cronometrico che misura l’intervallo di tempo tra l’emissione dell’impulso e la ricezione.

Completa il ragionamento guidato per scoprire come ricavare la profondità di un fondale marino attraverso i dati raccolti dal sonar e le leggi del moto.

1. Il suono si muove in un mezzo materiale con un moto: A rettilineo uniforme; B rettilineo uniformemente accelerato; C vario.

2. Scrivi sul quaderno la legge che collega tra loro la velocità costante di un corpo, il suo spostamento e l’intervallo di tempo impiegato a compierlo. sonar 3. L’impulso sonoro emesso dal …………………. viaggia bersaglio fino al bersaglio, rimbalza sul …………………. e poi opposto compie lo stesso tragitto in verso …………………. , ritornando al sonar.

SPIEGALO TU

4. Se il fondale si trova a una distanza d dal sonar e il suono si muove in acqua con velocità v, la formula che permette di trovare l’intervallo di tempo Δt che intercorre tra l’emissione e la ricezione dell’impulso è: d d A Δt = B Δt = 2 C Δt = dv v v 5. Prova a stimare la profondità massima della fossa delle Marianne, sapendo che la velocità del suono in acqua è di circa 1500 m/s e che il tempo misurato dal sonar tra l’emissione e la ricezione del segnale è di 14,659 s.

[10 994 m]

CADUTA “LIBERA”?

A gruppi di tre persone, preparate una breve lezione sulla caduta dei gravi seguendo la traccia fornita. Quando siete pronti, esponetela ai vostri compagni. → OBIETTIVO: far capire che è la resistenza dell’aria a far cadere i corpi con velocità diverse. → DESTINATARI: un video di divulgazione online. → DURATA: 20 minuti. → STRUMENTI SUGGERITI: alcuni fogli di carta, alluminio per alimenti e un sacchetto di plastica, tutti ritagliati in formato A4; un libro di testo di formato circa A4; alcune palline di diverse misure e materiali.

PROGETTO 1. Progettate la video-lezione: decidete i punti principali dell’esperienza che state organizzando.

• Quali esperimenti di caduta libera potete svolgere con i materiali a vostra disposizione?

• Per renderli più coinvolgenti, può essere utile rivolgere delle domande-stimolo al pubblico dell’evento?

2. Organizzate l’attività pratica.

• Che cosa succede se fate cadere dalla stessa altezza due oggetti con la stessa forma e dimensione, ma fatti di materiali diversi? E con oggetti uguali ma di forma e dimensioni diverse?

• Quali sono in ciascun caso le caratteristiche dei corpi che impiegano più tempo a cadere?

3. Esponete il progetto alla classe: realizzate il video della vostra lezione e proiettatelo in classe.

AUTOVALUTAZIONE • Le conoscenze che avete acquisito in questa Unità vi hanno consentito di realizzare il compito o è stato necessario procurarsi nuove informazioni?

• Come è stata accolta la vostra lezione dai compagni?

Avete raggiunto l’obiettivo comunicativo?

• L’attività pratica ha aiutato la comprensione?

• Avete rispettato i tempi?

• Siete soddisfatti del progetto che avete realizzato o c’è qualche aspetto che secondo voi va migliorato?

45

CITTADINI RESPONSABILI

Guarda il video Obiettivo n. 12

FIBRE TESSILI: PROPRIETÀ E IMPATTO AMBIENTALE Le fibre tessili, che si utilizzano per formare fili e tessuti, possono essere: • naturali come il cotone, la lana o la seta; • artificiali, cioè ottenute artificialmente da materie prime rinnovabili come la viscosa; • sintetiche, cioè ottenute da materie prime artificiali come l’elastane o il poliestere.

Dal punto di vista strutturale le fibre tessili sono valutate in base a proprietà: Allungamento a rottura

• fisiche, la permeabilità al vapore e all’acqua, il funzionamento come isolante termico, oppure la densità;

Fibra

• meccaniche, la resistenza alla trazione, alla torsione o alla rottura, l’elasticità;

Cotone

7%

• tecnologiche, la possibilità di produrne fili sottili e realizzare vestiti.

Acrilico

35%

Uno dei parametri meccanici per valutare le fibre tessili è l’allungamento a rottura, cioè l’allungamento percentuale che possono subire i fili, sottoposti a una fissata forza di trazione, prima di rompersi. Come si nota dalla tabella, il miglior materiale, considerando solo questo parametro, è l’elastane che viene infatti utilizzato, mescolato con altre fibre, per ottenere i tessuti elasticizzati. Il cotone, al contrario, ha un minore allungamento a rottura ma ha altre proprietà che lo rendono adatto alla produzione di capi di vestiario, per esempio è traspirante, ossia disperde bene il calore corporeo, ed è ipoallergenico, cioè ha un rischio ridotto di scatenare reazioni allergiche da contatto sulla pelle. Tuttavia, ogni maglietta in cotone prodotta oggi richiede l’uso di circa 2700 litri d’acqua, ai quali bisogna sommare la CO2 emessa con la produzione e il trasporto, l’uso di coloranti e così via.

Elastane

600%

Lana

35%

Poliestere

25%

Seta

20%

Viscosa

20%

La riflessione sul futuro delle fibre tessili non è mai stata così importante, l’ONU stesso ha dichiarato che bisogna consolidare nuovi sistemi di produzione, che abbiano un minor impatto ambientale. Considerando che entro il 2030 la produzione di abiti dovrebbe aumentare di circa il 63% è assolutamente necessario ripensare l’intero settore, potenziando da un lato il riciclo e il riutilizzo, dall’altro l’uso di fibre e tessuti ottenuti con una filiera sostenibile.

Fonte dati: ONU, Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile

ADESSO TOCCA A TE

1

CITTADINI DIGITALI Raramente facciamo caso a come un capo di vestiario è stato

2

INFORMATI Le fibre sintetiche sono materiali plastici prodotti da polimeri ottenuti

prodotto o verrà smaltito. Realizza un breve video in cui presenti la storia di un capo di vestiario che usi abitualmente, cercando informazioni sulla sua produzione (Quante e quali risorse vengono usate? Quanta acqua viene consumata?), lavorazione, trasporto e smaltimento (Che cosa succede alle fibre di un capo dismesso?). Prova a presentare i dati utilizzando grafici o infografiche che mostrino quante e quali risorse vengono utilizzate nelle varie fasi.

tramite sintesi chimiche. Nonostante la loro produzione presenti notevoli vantaggi rispetto alle fibre naturali, sono però difficili da smaltire perché non sono biodegradabili e si disperdono nell’ambiente sotto forma di micro particelle, dette microplastiche. Cerca informazioni sulle microplastiche scegliendo fonti attendibili: qual è il contributo stimato dovuto al lavaggio di capi sintetici?

Il cotone è la fibra naturale, più diffusa al mondo. Può essere o meno sostenibile a seconda dell’attenzione posta nel suo ciclo produttivo.