El número de oro φ
El nĂşmero de oro Este rectĂĄngulo es muy especial
Si dividimos su lado mĂĄs largo entre el otro, obtenemos el nĂşmero 1,618 que es tambiĂŠn un nĂşmero muy especial:
El nĂşmero de oro
φ = 1,618033...
(Ya conoces otro nĂşmero especial
π=3,14159‌ que tambiÊn tiene infinitas cifras decimales)
Estos otros rectĂĄngulos tambiĂŠn son de oro, cumplen la misma relaciĂłn
đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘œ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘œ
= 1,618
Si los colocamos unos sobre otros sus diagonales quedan alineadas:
Son rectĂĄngulos semejantes. Tienen la misma forma pero distinto tamaĂąo
¿Sabes distinguir los rectángulos de oro entre los siguientes?
(Actividad 1)
Los comparamos con un rectángulo de oro (el amarillo):
Solamente el rojo tiene su diagonal alineada con la del amarillo. Ambos, el rojo y el amarillo son rectángulos áureos.
Si rompemos un rectángulo de oro y colocamos sus lados en línea, tendremos dos segmentos cuya división (el mayor entre el menor) es el número de oro.
Y también la longitud total
a+b dividida entre el lado mayor a da como resultado el número de oro.
¿Porque son tan especiales el rectángulo de Porque aparecen desde la antigüedad hasta nuestros días
En la arquitectura
En la naturaleza
Y en muchos objetos de la vida cotidiana:
Construimos un compás para buscar la proporción áurea: Con cartón y cuatro encuadernadores
oro y la proporción áurea
?
Con este compás que siempre mantiene entre sus tres patas la proporción áurea busca cuales de las siguientes imágenes tienen la proporción de oro: (actividad 2)
Subraya en la siguiente relación los que tienen proporción áurea: estrella vitrocerámica
ventana
televisión Bob-esponja
caja-cereales Calamardo
teléfono
libélula bandera
horno minion
TambiĂŠn en los edificios de Santander encontramos el rectĂĄngulo de oro, como comprobarĂĄs en la actividad “Puertas del Paseo Peredaâ€?. Y en algunos otros lugares. Comprueba con el compĂĄs cuales de los siguientes rectĂĄngulos son ĂĄureos:
(actividad 3)
Centro Madrazo/ Ventana Palacio Magdalena/ Fachada Magdalena 1/ Fachada Magdalena 2/ Reja Correos/ Casa Arcos BotĂn / Mercado del Este
Busca con el compĂĄs ĂĄureo otras relaciones ĂĄureas a tu alrededor, por ejemplo en la cara y manos y donde se te ocurra. Toma nota de estas relaciones haciendo un dibujo esquemĂĄtico y aĂąadiendo los segmentos que cumplen esta proporciĂłn.
ÂżCĂłmo se construye un rectĂĄngulo ĂĄureo?
1. Dibuja un cuadrado 2. Marca con una lĂnea de puntos su mitad 3. Traza un arco con centro en la mitad del lado del cuadrado y abertura hasta un vĂŠrtice del lado opuesto. 4. El punto de corte de este arco con la prolongaciĂłn del lado (en el que estĂĄ el centro del arco) nos da el lado total de nuestro rectĂĄngulo ĂĄureo.
El nĂşmero de oro
φ
tambiĂŠn estĂĄ en el pentĂĄgono
Si divididos una diagonal (segmento rojo) entre un lado (segmento azul) obtenemos φ
đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘”đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ = 1,618 = đ?›— đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ
Busca en la siguiente figura, que hemos obtenido dibujando todas las diagonales del pentĂĄgono, la proporciĂłn ĂĄurea entre los segmentos de distintos colores y anota los resultados đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘œ đ?‘Ž = =đ?œ‘ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?
đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘œ đ?‘Ž = đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘™đ?‘™đ?‘œ đ?‘?
đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘œ đ?‘Ž = đ?‘Žđ?‘§đ?‘˘đ?‘™ đ?‘‘
đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘’ đ?‘? = =đ?œ‘ đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘™đ?‘™đ?‘œ đ?‘?
đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘’ đ?‘? = đ?‘Žđ?‘§đ?‘˘đ?‘™ đ?‘‘
đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘™đ?‘™đ?‘œ đ?‘? = =đ?œ‘ đ?‘Žđ?‘§đ?‘˘đ?‘™ đ?‘‘
Observa que el lado del pentĂĄgono coincide con el segmento verde C
Como ves el nĂşmero de oro estĂĄ en todos los pentĂĄgonos regulares:
Y en la decoraciĂłn de los edificios de Santander, como en el techo de la catedral y en el monumento a los hermanos Tonetti.
Dibuja con la regla y un rotulador los pentĂĄgonos en que se inscriben estas estrellas.
Los números de Fibonacci Fibonacci fue un matemático que vivió hace más de 700 años. Esta es la serie de números de Fibonacci:
1
1
2
3 5
8
13
21
34
………………………………………
¿Sabrías continuar? Escribe tres números más. Vamos a ver qué ocurre cuando dividimos un número entre el anterior. Realiza las siguientes divisiones con un decimal:
5 = 3
8 = 5
13 = 8
21 = 13
Como ves obtenemos el número de oro. Esta propiedad nos permite construir rectángulos áureos de una forma muy fácil. Simplemente los lados del rectángulo deben medir dos números consecutivos de la serie.
Rectángulo lados 5 y 3
Rectángulo lados 8 y 5
Rectángulo lados 13 y 8
Comprueba con el compás que en efecto son rectángulos áureos. Si a un rectángulo áureo le quitamos el máximo cuadrado posible obtenemos un nuevo rectángulo que también es de oro.
En una hoja de papel cuadriculado vas a dibujar el mayor rectángulo de oro posible (55x34) Dibuja el mayor cuadrado posible de forma que tres de sus lados coincidan con los del rectángulo inicial. En el rectángulo que queda vuelve a dibujar el máximo cuadrado. Y sigue haciendo lo mismo en los rectángulos que vas obteniendo.
Dibuja la diagonal de cada cuadrado de forma que queden consecutivas (seguidas) unas de otras.
¿Qué figura has obtenido? ¿Qué similitudes y diferencias tiene con esta otra figura? a
Actividad1
Proporción áurea
Actividad 2
Con este compás que siempre mantiene entre sus tres patas la proporción áurea busca cuales de las siguientes imágenes tienen la proporción de oro:
Actividad 3
Portales Paseo de Pereda Portal 3 ¿Qué forma tiene la puerta?
¿Es un rectángulo áureo?
¿Qué formas geométricas observas?
¿Hay simetría? Dibuja el eje de simetría ¿De qué materiales es?
Portal 27 ¿Qué forma tiene la puerta?
¿Es un rectángulo áureo?
¿Qué formas geométricas observas?
¿Es simétrica? Dibuja el eje de simetría ¿De qué materiales es?
Portal 33-34 ¿Qué forma tiene la puerta?
¿Es un rectángulo áureo?
¿Qué formas geométricas observas?
¿Es simétrica? Dibuja el eje de simetría
¿De qué materiales es?
Portal 26 ¿Qué forma tiene la puerta?
¿Es un rectángulo áureo?
¿Qué formas geométricas observas?
¿Es simétrica? Dibuja el eje de simetría ¿De qué materiales es?
Portal 31 ¿Qué forma tiene la puerta?
¿Es un rectángulo áureo?
¿Qué formas geométricas observas?
¿Es simétrica? Dibuja el eje de simetría ¿De qué materiales es?
Portal 28 ¿Qué forma tiene la puerta?
¿Es un rectángulo áureo?
¿Qué formas geométricas observas?
¿Es simétrica? Dibuja el eje de simetría ¿De qué materiales es?
Portal 36 ¿Qué forma tiene la puerta?
¿Los rectángulos centrales son áureos?
¿Qué formas geométricas observas?
¿Es simétrica? Dibuja el eje de simetría ¿De qué materiales es?
Puerta Banco Santander ¿Qué forma tiene la puerta?
¿Es un rectángulo áureo?
¿Qué formas geométricas observas?
¿Es simétrica? Dibuja el eje de simetría ¿De qué materiales es?
GEOMETRÍA EN LA CIUDAD
Entra en la siguiente dirección de Internet http://mapas.cantabria.es/
Cierra la ventana “capas” que aparece a la izquierda y verás el mapa de Cantabria completo.
Acerca la imagen para ver sólo Santander.
Medir la ciudad
1. Vemos que la forma de esta ciudad es estrecha y larga. Mide la longitud más larga y el ancho con la
herramienta Dibujar y Medir
y usando la opción “Dibujar línea”
LARGO = ________________Km
ANCHO =____________________-Km
2. Utiliza la opción “Borrar dibujos” de la ventana Dibujar y Medir. Ahora vas a usar el botón “Dibujar polígono” para dibujar un rectángulo aproximadamente de la superficie de la ciudad. Esto te dará la superficie de la ciudad. Multiplica el largo por el ancho que has obtenido en el apartado anterior y el resultado debe ser parecido al que te da la superficie. Anótalo: SUPERFICIE = ____________________ Km2 LARGO X ANCHO = __________________ Km2 3. Borra el dibujo, elige la unidad de superficie la hectárea y vuelve a dibujar y medir el rectángulo de la ciudad. Anótalo aquí: SUPERFICIE = _____________________ha
Medir playas
Siguiendo el mismo procedimiento anterior y moviendo o acercando si es necesario realiza las siguientes medidas:
4. Longitud playas Sardinero + Camello = _______________________Km 5. Longitud playa de la Magdalena + Bikini = _____________________Km 6. Playa del Puntal = _______________________Km 7. Playa de Liencres = _______________________Km
Medir longitudes y superficies varias 8. Superficie de la Península de la Magdalena = ________________________ ha 9. Superficie del Parque de Las Llamas = ________________________ ha 10. Superficie del Parque de Mataleñas = _______________________ ha 11. Superficie del Parque de Morales = _____________________ ha 12. Longitud de la pista del Aeropuerto de Parayas = ____________________ ha 13. Superficie del campo del Racing = ______________________ ha 14. Dársena de Puerto Chico = _____________________ ha
Localizar lugares y medir 15. Cerca de la playa del Camello está el hotel Reina Victoria. Tiene forma de Estrella 8/2 (Polígono de 8 vértices, se unen cada 2). Encuéntralo y mide su superficie. Intenta dibujarlo al lado de la foto sobre el octógono que se da.
Superficie = ___________________________ m2
16. En el barrio de Cueto localiza la iglesia de Nuestra Señora del Faro. Su cubierta es una superficie que se llama paraboloide hiperbólico. Mide su superficie
Superficie = __________________________m2
17. Localiza la Plaza de Toros de Santander y mide su superficie Superficie = __________________________ m2 18. Localiza el edificio del Parlamento de Cantabria y mide su superficie Superficie = __________________________ m2 19. Localiza la Catedral de Santander y mide su superficie Superficie = __________________________ m2 20. Localiza el Ayuntamiento de Santander y mide su superficie Superficie = __________________________ m2
Otros lugares y formas interesantes: Mercado del Este, Biblioteca Central, Conservatorio Jesús de Monasterio.