ﻟﻠﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻱ ﺍﻟﻌﻠﻤﻰ ﺗﺄﻟﻴﻒ ﺃ /ﺣﺴﺎﻡ ﻛﺎﻣﻞ م٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤ / م٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ / اﻻﺳﻢ .................................... : ﻣﺪرﺳﺔ.................................... : اﻟﻌﺎم اﻟﺪراﺳﻰ .......... /.......... : ﺷﻌﺎرﻧﺎ :اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻣﻊ ﻣﺪرس ﻣﺤﺘﺮف
اﻟﻘﻮى)ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﺘﻼﻗﯿﺘﯿﻦ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ(. ﺗﺤﻠﯿﻞ اﻟﻘﻮى .
ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻋﺪة ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ. إﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ /ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ)ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻘﻮى & ﻗﺎﻋﺪة ﻻﻣﻰ(. إﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى. اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
-٠-
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
اﻟﻘﻮى Forces اﻟﻘـﻮة ﺗﻌﺮف اﻟﻘﻮة ﺑﺄﻧﮭﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﻜﺘﻠﺔ) ك( ﻓﻰ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ )ج( : وﺣﺪات ﻗﯿﺎس اﻟﻘﻮة اﻟﻮﺣﺪات اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ :ﻣﺜﻞ اﻟﻨﯿﻮﺗﻦ واﻟﺪاﯾﻦ ﺣﯿﺚ : اﻟﻨﻴﻮﺗﻦ :ھﻮ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة اﻟﺘﻰ إذا أﺛﺮت ﻋﻠﻰ ﻛﺘﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ١ﻛﯿﻠﻮ ﺟﺮام أﻛﺴﺒﺘﮭﺎ ﻋﺠﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ١ﻣﺘﺮ /ث
٢
اﻟﺪاﻳﻦ :ھﻮ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة اﻟﺘﻰ إذا أﺛﺮت ﻋﻠﻰ ﻛﺘﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ١ﺟﺮام أﻛﺴﺒﺘﮭﺎ ﻋﺠﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ١ﺳﻢ/ث
٢
اﻟﻮﺣﺪات اﻟﺘﺜﺎﻗﻠﯿﺔ :ﻣﺜﻞ اﻟﺜﻘﻞ ﻛﺠﻢ واﻟﺜﻘﻞ ﺟﺮام ﺣﯿﺚ : اﻟﺜﻘـﻞ ﻛﻴﻠﻮ ﺟﺮام :ھﻮ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة اﻟﺘﻰ إذا أﺛﺮت ﻋﻠﻰ ﻛﺘﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ١ﻛﯿﻠﻮ ﺟﺮام أﻛﺴﺒﺘﮭﺎ ﻋﺠﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٩,٨ﻣﺘﺮ/ث
٢
اﻟﺜﻘـﻞ ﺟﺮام :ھﻮ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة اﻟﺘﻰ إذا أﺛﺮت ﻋﻠﻰ ﻛﺘﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ١ﺟﺮام أﻛﺴﺒﺘﮭﺎ ﻋﺠﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٩٨٠ﺳﻢ/ث
٢
اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ وﺣﺪات ﻗﯿﺎس اﻟﻘﻮة ٥
) (١اﻟﻨﯿﻮﺗﻦ = ١٠داﯾﻦ )١ (٢ث.ﻛﺠﻢ = ٩.٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ) ١ (٣ث.ﺟﻢ = ٩٨٠داﯾﻦ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
-١-
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻳﺘﺤﺪد ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮة ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ ﺑﺎﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻻﺗﯿﺔ – ١ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة ) ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ اﻟﻌﺪدﯾﺔ (.
–٣ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮة .
–٢إﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮة .
ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﺘﻼﻗﯿﺘﯿﻦ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح :ﻣﺣﺻﻠﺔ ﻗوﺗﯾن أو أﻛﺛر ﻫﻰ ﻗوة واﺣدة ﺗﺣدث ﻧﻔس اﻟﺗﺄﺛﯾر اﻟذ ﺗﺣدﺛﻪ ﻫﺎﺗﯾن اﻟﻘوﺗﯾن أو ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻫذﻩ اﻟﻘو . ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺘﻮازى اﻷﺿﻼع ﻟﺠﻤﻊ ﻗﻮﺗﯿﻦ "إذا ﻣﺛﻠت ﻗوﺗﺎن ﻣﺗﻼﻗﯾﺗﺎن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﻘدا ًار
ﺟـ
ء
ح
ٕواﺗﺟﺎﻫًﺎ ﺿﻠﻌﻰ ﻣﺗواز أﺿﻼع ﯾﺑدأ ﻣن ﻫذﻩ
ق٢
اﻟﻧﻘطﺔ ﻓﺈن ﻣﺣﺻﻠﺗﻬﻣﺎ ﺗﻣﺛﻞ ﻣﻘدا ًار واﺗﺟﺎﻫًﺎ ﻘطر ب
ﻣﺗواز اﻷﺿﻼع اﻟذ ﯾﺑدأ ﻣن ﻫذﻩ اﻟﻧﻘطﺔ.
ا
ق١
إﻳﺠﺎد ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺤﻠﯿﻠﯿﺎً ﻟزو ﺔ ﺑﯾن إﺗﺟﺎﻫﻲ اﻟﻘوﺗﯾن ﻫو إذا ﺎﻧت ق ،١ق ٢ﻗوﺗﺎن ﻣﺗﻼﻗﯾﺗﺎن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ و ،وﻗ ﺎس ا ا
ﻟزو ﺔ ﺑﯾن اﺗﺟﺎﻫﻲ اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ح واﻟﻘوة اﻷوﻟﻰ ق ١ﻫﻰ وﻗ ﺎس ا ا ﻓﺈن ﻣﺣﺻﻠﺔ اﻟﻘوﺗﯾن : ٢
٢
٢
ح = ق + ١ق ٢ + ٢ق١ق ٢ﺟﺘﺎ ى
ق٢
ح
ٕ واﺗﺟﺎه اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ] ازو ﺔ ﻣﯾﻞ اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ح ﻋﻠﻰ ق [ ١ﻫو: ق ٢ﺟﺎ ظﺎ ﻫـ = ٢ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ق + ١ق ٢ﺟﺗﺎ
ﻫـ٢
ق١
ه١
ه٢
وﻻﯾﺠﺎد زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح ﻋﻠﻰق ٢ﻧﻌﻜﺲ أﻣﺎﻛﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ق ١ﺟﺎ ظﺎ ﻫـ = ١ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ق + ٢ق ١ﺟﺗﺎ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
-٢-
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ح
وﻳﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺠﯿﺐ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻛﺎﻻﺗﻰ :
ﻧﺮﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازى ﺧﻂ ﻋﻤﻞ
ق٢
إذا ﻛﺎﻧﺖ ه ١ھﻰ زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ ق ٢ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح
ق٢
ق٢
ه١
إذا ﻛﺎﻧﺖ ه ٢ھﻰ زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ ق ١ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح ﻓﺈن -: ح ق٢ ق١ ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ ﺟﺎ ى ﺟﺎ ه٢ ﺟﺎ ه١
ﺣﯾث
ه١ ه٢
ى ق١
= ه + ١ه٢
ﻣﺜﺎل ١
ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٤، ٨؟ ٢داﯾﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ إﺗﺠﺎھﯿﮭﻤﺎ ْ٤٥أوﺟﺪ ﺗﺤﻠﯿﻠﯿﺎ ً ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ . ح = ﰈق +١ق ٢ + ٢ق١ق ٢ﺟﺘﺎ ى ٢
٢
= ﰈ) ٤)+٢(٨؟ ٢+٢( ٢
٨
اﻟﺤﻞ
ق ٨ =١داﯾﻦ
٤؟ ٢ﺟﺗﺎ٤٥
ق ٤=٢؟ ٢داﯾﻦ
ح = ٤؟ ١٠داﯾن ٤؟ ٢ﺟﺎ ٤٥
ق٢ﺟﺎ
١ إﺗﺟﺎه اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ظﺎ ﻫـ =٢ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ = ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ = ٣ ق + ١ق ٢ﺟﺗﺎ
ى = ْ٤٥ ح =؟ ﻫـ = ٢؟
٤+ ٨؟ ٢ﺟﺗﺎ ٤٥
Gﻫـْ١٨ َ٢٦ ً٥ = ٢ ﺣﻞ أﺧﺮ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺠﯿﺐ -: ٤؟ ١٠ ٤؟٢ ٨ ح ق٢ ق١ Gــ ـ ــ ـــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ = ـ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ = ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ ﺟﺎ ٤٥ ﺟﺎ ى ﺟﺎ ه٢ ﺟﺎ ه١ ﺟﺎ ه٢ ﺟﺎ ه١ ,,,
ﺟﺎ ه= ٢
٤؟ ٢ﺟﺎ ٤٥ ٤؟ ١٠
=
؟ ١٠ ١٠
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
= ) (Shift tan
هْ١٨ َ٢٦ ً٥ = ٢
G
-٣-
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل ٢
ﻟزو ﺔ ﺑﯾن ﺗؤﺛرن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﺎد ﺔ وﻗ ﺎس ا ا ﻗوﺗﺎن ﻣﻘدارﻫﻣﺎ ٦،٦؟ ٢ﻧﯾوﺗن ا إﺗﺟﺎﻫﯾﻬﻣﺎ ْ١٣٥أوﺟد ﻣﻘدار ﻣﺣﺻﻠﺗﻬﻣﺎ وزاو ﺔ ﻣﯾﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻘوة اﻟﺛﺎﻧ ﺔ .
اﻟﺤﻞ
ق ٦ =١ﻧﯿﻮﺗﻦ ق ٦=٢؟ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ
ح = ﰈق +١ق ٢ + ٢ق١ق ٢ﺟﺘﺎ ى ٢
٢
ى = ْ١٣٥ ح =؟ ﻫـ = ١؟
= ﰈ) ٦)+٢(٦؟ ٦ ٦ ٢+٢( ٢؟ ٢ﺟﺗﺎ١٣٥ ∴ ح = ٦ﻧﯾوﺗن .
٦ﺟﺎ ْ١٣٥ ق ١ﺟﺎى زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح ﻋﻠﻰ ق: ٢ظﺎ ه = ١ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ =١ ق + ٢ق ١ﺟﺘﺎى ٦؟ ٦ + ٢ﺟﺘﺎ ْ١٣٥ ∴ هْ٤٥ = ١ = )Shift tan(١ ﺣﻞ أﺧﺮ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺠﯿﺐ -: ٦ ٦؟٢ ٦ ح ق٢ ق١ Gــ ـ ــ ـــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ = ـ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ = ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ ﺟﺎ ١٣٥ ﺟﺎ ى ﺟﺎ ه٢ ﺟﺎ ه١ ﺟﺎ ه٢ ﺟﺎ ه١ ٦ﺟﺎ ١٣٥ = ﺟﺎ ه= ١ ٦ ﻣﺜﺎل ٣ وزارة ٠
؟٢ ٢
هْ٤٥ = ١
G
ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق ،ق ؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺎذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار
ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٢ق ﻧﯿﻮﺗﻦ أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ھﺎﺗﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ.
اﻟﺤﻞ ق = ١ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ق = ٢ق ؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ح = ٢ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ى=؟
٢
٢
Aح = ق + ١ق
٢
٢
٢ +ق١ق ٢ﺟﺘﺎ ى
∴ )٢ق()=٢ق( )+٢؟ ٣ق( ٢+٢ق
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
-٤-
؟ ٣ق ﺟﺗﺎ
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
٢
٢
٢
٢
٤ق = ق ٣ +ق ٢ +؟ ٣ق ﺟﺗﺎ
٢
٤ Gق ٤ – ٢ق ٢ = ٢؟ ٣ق ٢ﺟﺗﺎ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢؟ ٣ق ﻣﺜﺎل ٤
وزارة ٠
٢
٢
٢ G؟ ٣ق ٢ﺟﺗﺎ =٠
∴ ﺟﺘﺎ ى = ٠
G
=ْ٩٠
ث.اﻟﺴﻠﯿﻤﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ١٥،١٢ﻧﯿﻮﺗﻦ
ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﺟﯿﺐ ﺗﻤﺎم اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻠﮭﺎﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة
٤
٥
أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار
اﻻوﻟﻰ] .ح = ٩ﻧﯾوﺗن ،ﻫـ[ ْ٩٠= ٢
اﻟﺤﻞ
ق ١٢ = ١ﻧﯿﻮﺗﻦ ق ١٥ = ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺟﺎى = ﺟﺘﺎ ى =
٥
٣ ٥
٢
٤ Gق = ٤ق ٢+؟ ٣ق ﺟﺗﺎ
Aﺟﺘﺎ ى ﺳﺎﻟﺒﺔ ∴ ى ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ
٤
٣
ى
٤-
٥
Aح = ﰈق +١ق ٢ + ٢ق١ق ٢ﺟﺘﺎ ى ٢
٢
= ﰈ)١٢ ٢+ ( ١٥)+ (١٢ ٢
٢
١٥
∴ ح = ٩ﻧﯿﻮﺗﻦ
٤
٥
= ٩ﻧﯿﻮﺗﻦ
ق ٢ﺟﺎى زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ :ظﺎ ه = ٢ــــــــــــــــــــــــــــ ق + ١ق ٢ﺟﺘﺎى ٣
١٥ ٩ ٥ ــــــــــــــــــــــــــــ = ظﺎ ه= ٢ ٤ ٠ ١٥ + ١٢ ∴ هْ٩٠ = ٢
" ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮوﻓﺔ "
٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
-٥-
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٥ وزارة ٠
ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ،١٢ق ث.ﻛﺠﻢ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ
٦٠ﺟﻨﻮب اﻟﻐﺮب ﺗﻌﻤﻞ اﻷوﻟﻰ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه اﻟﺸﺮق وﺗﻌﻤﻞ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ْ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ق وﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ إذا ﻋﻠﻢ أن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻲ إﺗﺠﺎه ْ٣٠ﺟﻨﻮب اﻟﺸﺮق .
اﻟﺤﻞ ﺷﻤﺎل
ق ١٢ = ١ث.ﻛﺠﻢ ق = ٢ق ث.ﻛﺠﻢ
ى
ى = ْ١٢٠ هْ٩٠ = ١
ﺷﺮق ١٢
هْ٣٠ = ٢ ح= ؟
G
ه٢
ْ ٣٠
ْ ٦٠
ْ ٦٠ ْ ٣٠
ه١
ح
ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺠﯿﺐ -: ح ق٢ ق١ ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ ﺟﺎ ى ﺟﺎ ه٢ ﺟﺎ ه١
G
ﻏﺮب
ﺟﻨﻮب
ق
ح ق ١٢ Gــ ـ ــ ـــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ = ـ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ = ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ ﺟﺎ ْ١٢٠ ﺟﺎ ْ٣٠ ﺟﺎ ْ٩٠
١٢ﺟﺎ ٣٠ = ٦ث.ﻛﺠﻢ . ق= ﺟﺎ ٩٠ ١٢ﺟﺎ ١٢٠ ح= ﺟﺎ ٩٠
= ٦؟ ٣ث.ﻛﺠﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
-٦-
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ ) (١إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮﺗﺎن ق ، ١ق ٢ﻣﺘﺴﺎوﻳﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪار ق = ١ق = ٢ق
ق
ﻓﺈن اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ح = ٢ق ﺟﺗﺎ ــ ـ ـ ـ ٢ وإﺗﺠﺎه اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ﻫـ = ــــــــــــ ٢ أ أﻧﻪ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﺳﺎو اﻟﻘوﺗﯾن ﻓﺎن -: * * ق ﻟزو ﺔ ﺑﯾن اﻟﻘوﺗﯾن . إﺗﺟﺎه اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ح ﯾﻧﺻﻒ ا ا ﻟزو ﺔ ﺑﯾﻧﻬﻣﺎ ْ ٦٠واﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ﻓﻜﺮ :ﻗوﺗﺎن ﻣﻘدارﻫﻣﺎ ق ٦ ،ث ﺟم وا ا ح
ﻟزو ﺔ ﺑﯾن اﻟﻘوﺗﯾن ﻓﺈ ن ق = ........ث ﺟم واﻟﻣﺣﺻﻠﺔ=........ ﺗﻧﺻﻒ ا ا ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪار وﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﯾﺴﺎ وى ١٠ﻧﯿﻮﺗﻦ
ﻣﺜﺎل٦
وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ ٦٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ.
اﻟﺤﻞ ق = ١ق = ٢ق = ١٠ﻧﯾوﺗن ح = ٢ق ﺟﺗﺎ
٢
=٢
إﺗﺟﺎه اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ﻫـ =
٦٠ ٢
١٠ﺟﺗﺎ = ْ ٣٠
، ٦٠ ٢
= ْ٦٠ = ٢٠ﺟﺗﺎ ١٠ =٣٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن
[ ٩٠ ) (٢اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﯿﻦ ]ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﯿﻨﮫﻤﺎ = ْ ﻓﺈ ن
ح =
٢ ﰈق ١
+
٢ ق ٢
ق٢
ٕواﺗﺟﺎه اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ظﺎﻫـ =
ح ق٢ ق١
ﻫـ
ق١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
-٧-
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٧
ﻗوﺗﺎن ﻣﻘدارﻫﻣﺎ ٢ﻧﯾوﺗن و١٢ﻧﯾوﺗن اوﺟد ﻣﻘدار واﺗﺟﺎه ﻣﺣﺻﻠﺗﻬﻣﺎ اذا ﺎﻧﺗﺎ ﻣﺗﻌﺎﻣدﺗﯾن
اﻟﺤﻞ ح = ﰈق+ ١٢ق=٢٢
ق ٢ = ١ﻧﯾوﺗن
ﰈ ٢ = ٢١٢ + ٢٢؟ ٣٧ﻧﯾوﺗن
١٢ إﺗﺟﺎه اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ طﺎﻫـ = ٢
ق ١٢ = ٢ﻧﯾوﺗن
=٦
ق ﻫـ = , , , ْ٨٠ َ٣٢ ً١٥ = ْ٩٠ ) (٣اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ إﺣﺪى اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ إﺣﺪى اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﻓﺈﻧﮭﺎ داﺋﻤﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﻊ اﻟﻘﻮة
)Shift tan (٦
ح
اﻟﺼﻐﺮى وﯾﻜﻮن ح =
٢ ﰈق ٢
ﺟﺘﺎ ي =
-
ق٢
٢ ق ١
اﻟﻘﻮة اﻟﺼﻐﺮى اﻟﻘﻮة اﻟﻜﺒﺮى
ﻣﺜﺎل٨ وزارة ٠
=
ق١
ق٢
ى ق١
ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق ،ق ؟ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ
وﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻻوﻟﻰ أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ]ى =[ ْ١٣٥ واﺛﺒﺖ أن ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﯾﺴﺎوى ق.
اﻟﺤﻞ ق = ١ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ق = ٢ق ؟ ٢ ى=؟
Aﺟﺘﺎ ي =
ق١
ق٢
∴ ق ى=
=
ق ؟ ٢ق
=
١ ؟ ٢
ْ١٣٥
ح = ﰈ ق - ٢٢ق = ١٢ﰈ )ق ؟ ) - ( ٢ق( = ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ٢
٢
ح= ؟ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
-٨-
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺣﻞ اﺧﺮ ق = ١ق ﻧﯿﻮﺗﻦ
ح
ق = ٢ق ؟ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ
هْ ٤٥= ١
ى=؟ هْ٤٥ = ١
هْ٩٠ = ٢
هْ ٩٠= ٢
ق
Aزاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ ق ٢ﺟﺎى ظﺎ ه = ٢ــــــــــــــــــــــــــــ ق + ١ق ٢ﺟﺘﺎى Aظﺎ ْ٩٠ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮوﻓﺔ ق
∴ ﺟﺘﺎ ى = ق
؟ ٢
ه٢
Gظﺎ = ْ٩٠
∴ اﻟﻤﻘﺎم = ﺻﻔﺮ =
١ ؟ ٢
ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺠﯿﺐ -: ح ق٢ ق١ ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ ﺟﺎ ى ﺟﺎ ه٢ ﺟﺎ ه١ G
ق ؟٢
ق ﺟﺎ ١٣٥ ح= ﺟﺎ ٤٥
ق ؟ ٢ﺟﺎ ى ق
ق
؟ ٢ﺟﺘﺎ ى
Gق +ق ؟ ٢ﺟﺘﺎ ى = ٠
Gى = G ْ١٣٥هْ٤٥ = ْ٩٠ - ْ١٣٥ = ١ ح ق ؟٢ ق Gــ ـ ــ ـــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ = ـ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ = ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ ﺟﺎ ْ١٣٥ ﺟﺎ ْ٩٠ ﺟﺎ ْ٤٥
= ق ﻧﯿﻮﺗﻦ .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
-٩-
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٩
وزارة ٠
ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ، ٤ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ
وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ١٢٠إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻻوﻟﻰ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ق واﻟﻤﺤﺼﻠﺔ .
ق ٤ = ١ﻧﯿﻮﺗﻦ ق = ٢ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ى = ْ١٢٠
Aﺟﺘﺎ ي =
اﻟﺤﻞ
ق١
Gﺟﺘﺎ = ١٢٠
ق٢
٤ Bق= ﺟﺘﺎ ١٢٠
ح=
٢ ﰈق ٢
-
٤ ق
= ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ
٢ ق ١
= ﰈ ) ٤ = (٤) - (٨؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ٢
٢
ح= ؟
ﺣﻞ اﺧﺮ ق ٤ = ١ﻧﯿﻮﺗﻦ
Aزاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ
ق = ٢ق ﻧﯿﻮﺗﻦ هْ٣٠ = ١
هْ٩٠ = ٢
ح
ق ٢ﺟﺎى ــــــــــــــــــــــــــــ ظﺎ ه= ٢ ق + ١ق ٢ﺟﺘﺎى ظﺎ = ْ٩٠
هْ ٣٠= ١
ى = ْ١٢٠
ه٢
ق
ق ﺟﺎ ١٢٠
٤ق ﺟﺘﺎ ١٢٠ ∴ اﻟﻤﻘﺎم = ﺻﻔﺮ Aظﺎ ْ٩٠ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮوﻓﺔ هْ ٩٠= ٢ ٤ ٤ = ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ . ∴ + ٤ق ﺟﺘﺎ G ٠ = ١٢٠ق = ﺟﺘﺎ ١٢٠ ﺣﻞ أﺧﺮ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺠﯿﺐ -: ح ق ٤ ح ق٢ ق١ Gــ ـ ــ ـــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ = ـ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ = ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ ﺟﺎ ْ١٢٠ ﺟﺎ ْ٩٠ ﺟﺎ ْ٣٠ ﺟﺎ ى ﺟﺎ ه٢ ﺟﺎ ه١ ٤ﺟﺎ ١٢٠ ٤ﺟﺎ ٩٠ = ٤؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ = ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ح = Gق= ﺟﺎ ٣٠ ﺟﺎ ٣٠ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٠ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
) (٤اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻟﮫﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺧﻂ اﻟﻌﻤﻞ ا
ب اﻟﻘوﺗﺎنق،١ق ٢ﻓﻰ ﻧﻔس اﻹﺗﺟﺎه-:
اﻟﻘوﺗﺎنق،١ق ٢ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻫﯾن ﻣﺗﺿﺎدﯾن-:
ق ى = ﺻﻔﺮْ ق١
ق ى = ْ١٨٠ ق٢
ق١
ح =ق+١ق ٢وﺗﺳﻣﻰ ح ﻓﻰ ﻫذﻩ
ح = |ق -١ق |٢وﺗﺳﻣﻰ ح ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ أﺻﻐﺮ ﻣﺤﺼﻠﺔ أو
اﻟﺣﺎﻟﺔ أﻛﺒﺮ ﻣﺤﺼﻠﺔ أو
اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺼﻐﺮى ﻟﻠﻤﺤﺼﻠﺔ
اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻟﻠﻤﺤﺼﻠﺔ وﯾﻜﻮن إﺗﺠﺎه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ھﻮ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ.
Bﻣﻤﺎﺳﺒﻖ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن -:
ق٢
وﯾﻜﻮن إﺗﺠﺎه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮة اﻷﻛﺒﺮ ﻣﻘﺪاراً. ق -١ق ٢ح
ق+١ق٢
أ أن ح ] ق -١ق ، ٢ق+١ق[٢
اﻷزھﺮ:٢٠١٤/٣٠١٣أﻛﻤﻞ (١) :ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٨ ، ١٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺎن اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ........ﻧﯿﻮﺗﻦ واﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺼﻐﺮى ........ﻧﯿﻮﺗﻦ ) (٢اﻷزھﺮ:٢٠١٦/٢٠١٥إذا ﺑﻠﻐﺖ ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﯾﺴﺎوى ..................................... ) (٣إذا ﺑﻠﻐﺖ ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ اﻟﺼﻐﺮى ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﯾﺴﺎوى ..................................... ) (٤ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٧ﻧﯿﻮﺗﻦ ٣ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ح ﻓﺈن ح [...... ، ......]
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١١ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١٠
وزارة ٠
ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻼﻗﯿﺘﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق ، ١ق ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ
وﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎح ﺣﯾث ق < ١ق ٤ ، ٢ح ١٦ أوﺟﺪ -: ) (١ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ق، ١
ق٢
) (٢ﻣﻘﺪارﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ٦٠
اﻟﺤﻞ ٤ Aح ١٦
Bق -١ق(١)G ٤ =٢ ق +١ق(٢)G ١٦ =٢
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﺎﻟﺟﻣﻊ ٢ق G ٢٠ =١ق ١٠ = ١ﻧﯾوﺗن ﺎﻟﺗﻌو ض ﻓﻰ )(٢
+ ١٠ق١٦ = ٢
Gق ٦ = ١٠ -١٦ = ٢ﻧﯾوﺗن
ﺛﺎﻧﯿﺎ : ق ١٠ = ١ﻧﯿﻮﺗﻦ
ح = ﰈق + ١ق ٢+٢ق١ق ٢ﺟﺘﺎ ى ٢
٢
ق ٦ = ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ
.
ى = ْ٦٠ ح= ؟
ح = ؟ ٦ ١٠ ٢+٢٦ + ٢١٠ﺟﺗﺎ ١٤ =٦٠ﻧﯾوﺗن
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٢ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(١ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١ﯾﺘﺤﺪد ﺗﺎﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮة ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ ﺑﺎﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻻﺗﯿﺔ .............. ، .................. ، ............ -٢اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٦ ، ٤ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺴﺎوى ................. -٣اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺼﻐﺮى ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٩ ، ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺴﺎوى ................. ٣ ،٢ -٤ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻗﻮﺗﺎن ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ ٦٠ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﺗﺴﺎوى ... -٥ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٢ق ٨ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺘﻼﻗﯿﺘﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة وﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﺗﻨﺼﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻓﺈن ق = .............ﻧﯿﻮﺗﻦ . -٦ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻼﻗﯿﺘﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق ، ١ق ٢وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ى ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ح = ...................... -٧ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق ،ق ؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ............... -٨ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق ٤،ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٢؟ ٣ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ = ................................................ -٩ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻼﻗﯿﺘﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق ، ١ق ٢ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻟﻤﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٩ﻧﯿﻮﺗﻦ واﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺼﻐﺮى ﻟﻤﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن ق ،....... = ١ق.......... = ٢ -١٠ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪار وﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﺗﺴﺎوى أى ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ وإﺣﺪاھﻤﺎ................
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٣ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
٢إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ -: -١ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﺎن ٥ ، ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٦٠ﺗﺴﺎوى.........ﻧﯿﻮﺗﻦ . ء ٨ ج ٧ ب ٦ ا ٢ -٢ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٤ ، ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ =..... ء ْ٩٠ ج ْ٦٠ ب ْ٤٥ ا ْ٣٠ -٣ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ٦ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ = .....ا ْ٣٠
ب
ج ْ١٢٠
ْ٦٠
ْ١٥٠
ء
-٤ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ، ٣ق ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ، ١٢٠ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ ﻓﺈن ﻗﯿﻤﺔ ق ﺗﺴﺎوى ............ﻧﯿﻮﺗﻦ ا ١.٥
ب
ج
٣
٣
.
؟٣
ء
٦
-٥إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮﺗﺎن ٨ ، ٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﺎن ﻓﺈن ﺟﯿﺐ زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة ٤ ٣ ٤ ٣ ب ء ج اﻷوﻟﻰ ﺗﺴﺎوى ......ا ٣ ٤ ٥ ٥ -٦ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٨ ، ٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺴﺎوى ..............ﻧﯿﻮﺗﻦ. ا
٦
ب ٨
ج
ء
١٤
١٠
-٧ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق ، ١ق ٢ث ﺟﻢ ﻓﺈن اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺗﻜﻮن ﻓﻰ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ اﻟﻌﻈﻤﻰ إذا ﻛﺎن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ........ا ْ٠
ء ْ١٨٠
ج ْ١٢٠
ب ْ٦٠
-٨ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ١٣ ، ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺼﻐﺮى ﻟﻤﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﻋﻠﻰ ج ٨ ، ٢١ء ٥ ، ٢١ ب ٥ ، ١٣ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ھﻤﺎ ...... ، ......ا ٨ ،١٣ -٩ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪاروﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﯾﺴﺎوى ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎْ٩٠
ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ = ......ﻧﯿﻮﺗﻦ ا ٢
؟٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ب
٤ - ١٤ -
ج
٤
؟٢
ء
٨
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
٣
وزارة ٠
أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﯿﻦ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ١٥، ٨ﺛﻘﻞ ﻛﺠﻢ ] ح = ١٧ث ﺟم ،ﻫـ = [ ْ٦١ َ٥٦
ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ .
================================================= ٤اﻹدارة ٢٠١٦/٢٠١٥ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ١٠ ، ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﺗﺤﺼﺮان ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ١٢٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺼﻨﻌﮭﺎ ] ح = ٥؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ﻫـ = [ ْ٩٠
اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻣﻊ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ.
================================================== ٥ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٢ ، ٤؟ ٣ث ﻛﺠﻢ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ]ح=٢ث ﺟم [ ْ٩٠،
ْ١٥٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺼﻨﻌﮭﺎ ﻣﻊ اﻟﻘﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ. ================================================== ٦اﻷ زﻫﺮ&٢٠١٣/٢٠١٢إدارة اﺑﻮﺗﺸﺖ٢٠١٥/٢٠١٤ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٤ ،١٠ ، ٥؟ ٧ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ إذا ﻛﺎن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻷوﻟﻰ وزارة ٠
ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ
واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﯾﺴﺎوى ْ ٦٠أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﻤﺘﯿﻦ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﺼﻐﺮى ﻟﻤﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث. ] اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻟﻠﻤﺤﺼﻠﺔ = ٩؟ ٧ﻧﯿﻮﺗﻦ ،اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺼﻐﺮى ﻟﻠﻤﺤﺼﻠﺔ = ؟ ٧ﻧﯾوﺗن [
=======================================
=====
ﺗؤﺛرن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﺎد ﺔ وﻗ ﺎس ﻗوﺗﺎن ،٨ق ﻧﯾوﺗن ا
٧ث.ﺑﻨﺎ ت ٢٠١٤/٢٠١٣ ﻟزو ﺔ ﺑﯾﻧﻬﻣﺎ ْ١٢٠ﻓﺎذا ﺎﻧت اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ﺗﺻﻧﻊ ﻣﻊ اﻟﻘوة اﻷوﻟﻰ ازو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٣٠أوﺟد ا ا وزارة ٠
ﻗ ﻣﺔ ق وﻣﻘدار اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ. =================================================
]ق=٤ﻧﯾوﺗن ،ح = ٤؟ ٣ﻧﯾوﺗن[
٨اﻷ زﻫﺮ& ٢٠١٤/٢٠١٣إدارة اﺑﻮﺗﺸﺖ ٢٠١٦/٢٠١٥ﻗﻮﺗﺎن ق ٤ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻗﯿﺎ س اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ١٢٠وﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٤؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ أوﺟﺪ -: ]ق = ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ھـ = [ ْ٣٠
-١ﻗﯿﻤﺔ ق وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻣﻊ ق. -٢ﻗﯿﻤﺔ أﺻﻐﺮ وأﻛﺒﺮ ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻟﻠﻘﻮﺗﯿﻦ.
] ≥٤ح ≥[ ١٢
- ١٥ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٩اﻹدارة &٢٠١٣/٢٠١٢اﻻزﻫﺮ:٢٠١٥/٢٠١٤
وزارة ٠
ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ١٦ ،٣٠ﻧﯿﻮﺗﻦ
ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪارﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٢٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ.
][ ْ١٢٠
================================================== ١٠
وزارة ٠
ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٣ ، ٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ][ ْ١٢٠
ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ .
================================================== ١١اﻹدارة ٢٠١٥/٢٠١٤ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق٢،ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ و أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس ]ى =[ ْ١٢٠
اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ .
================================================= ١٢ث.ﺑﻨﺎ ت ٢٠١٤ /٢٠١٣ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ،٢ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ و ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ١٢ ٠أوﺟد ﻗ ﻣﺔ ق إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ.
]ق= ١ﻧﯾوﺗن[
================================================== ١٣وزارة ﻗوﺗﺎن ﻣﻘدارﻫﻣﺎ ق ٢ ،ق ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ي أوﺟﺪ ي إذا ﻛﺎن ٠
ﻣﻘﺪار ﻣﺣﺻﻠﺗﻬﻣﺎق ﻧﯿﻮﺗﻦ. ================================================== ١٤اﻷ زﻫﺮ ٢٠١٤/٢٠١٣ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ،٢ق ﻧﯿﻮﺗﻦ و ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ١٢٠ ]
أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ق إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺗﻨﺼﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٦ -
= [ ْ ١٨٠
]ق=[٢
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺗﺤﻠﯿﻞ اﻟﻘﻮى Forces resolution
إذا ﻛﺎن ﻟﺪﯾﻨﺎ ﻗﻮة ح ﯾﺮاد ﺗﺤﻠﯿﻠﮭﺎ اﻟﻰ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﻦ
ق، ١ق٢
إﺗﺠﺎه اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻷوﻟﻲ ق ١ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ إﺗﺠﺎه ح ﺑﺰاوﯾﺔ
ﺣﯿﺚ:
ﻫـ٢
إﺗﺠﺎه اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ق ٢ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ إﺗﺠﺎه ح ﺑﺰاوﯾﺔ ﻫـ ١ﻓﺈن: وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺠﯿﺐ ﯾﻜﻮن -: ح ق٢ ق١ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ـــ ــ ـ ــ = ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ = ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ﺟﺎ ه ١ﺟﺎ ه ٢ﺟﺎ)ھـ+١ھـ(٢
ح
ق٢
ھـ١
ھـ١ ھـ٢
ق١
ح ق = ١ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ﺟﺎ)ھـ + ١ھـ(٢ ﺟﺎھـ١
ح ق = ٢ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ﺟﺎ)ھـ + ١ھـ(٢ ﺟﺎھـ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٧ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١
اﻻدارة ٢٠١٣/٢٠١٢ﺣﻠﻞ ﻗوة ﻣﻘدارﻫﺎ ١٠٠ﻧﯾوﺗن ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻫﯾن ﻣﯾﻞ أوﻟﻬﻣﺎﻋﻠﻰ اﻟﻘوة ﺑزاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٣٠واﻷﺧر ﺑزاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٤٥ﻓﻰ اﻟﻧﺎﺣ ﺔ اﻷﺧر ﻣﻘرﺎ ﻷ ﻗرب ﺟزء ﻣن ﻋﺷرة. اﻟﺤﻞ
ق
١٠٠
ﺟﺎﻫـ١
ح ق = ١ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ﺟﺎ) ﻫـ + ١ﻫـ(٢
ْ٣٠
ق١
ْ٤٥
١٠٠ﺟﺎ ٤٥ ١٠٠ﺣﺎ ٤٥ ق = ١ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ = ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ = ٧٣,٢ﻧﯾوﺗن ﺣﺎ٧٥ ﺣﺎ)(٤٥ + ٣٠ ق٢
٢
ح = ١٠٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ھـْ ٤٥ = ١ ھـْ٣٠ = ٢
١٠٠ﺟﺎ٣٠ ١٠٠ﺟﺎ٣٠ ح ﺟﺎﻫـ٢ = ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ = ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ = ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ = ٥١,٨ﻧﯾوﺗن ﺟﺎ ٧٥ ﺟﺎ)ھـ + ١ھـ (٢ﺟﺎ)(٤٥ + ٣٠
ﻣﻼﺣﻈﺔ
ﯾﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎد ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺠﯿﺐ ﻛﺎﻷﺗﻰ -:
ح ق٢ ق١ ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــــــــ ﺟﺎ ٧٥ ﺟﺎ ٤٥ﺟﺎ ٣٠
١٠٠ﺟﺎ٤٥ ق =١ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ = ٧٣,٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺟﺎ ٧٥
١٠٠ﺟﺎ٣٠ ق = ٢ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ = ٥١,٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺟﺎ٧٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٨ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺗﺤﻠﯿﻞ ﻗﻮة ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳـــــــــــﻦ
إذا ﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻗوة ح ﺗؤﺛر ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ و
و ارد ﺗﺣﻠﯾﻠﻬﺎ إﻟﻰ ﻣر ﺑﺗﯾن ق١
ق ٢واﺗﺟﺎه ق١
ق١
ق٢
ق٢
ﺣﯾث
ح
ﺑزو ﺔ ﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ اﺗﺟﺎه ح ا
ﻗ ﺎﺳﻬﺎﻫـ ﻓﺈن -:
ه
ق١
ق = ١ح ﺟﺗﺎ ﻫـ
ق٢
و
= ح ﺟﺎ ﻫـ
ﻣﻼﺣﻈﺔ :اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﻘﺮﯾﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺗﺄﺧﺬ "ﺟﺘﺎ " واﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺒﻌﯿﺪة ﺗﺄﺧﺬ "ﺟﺎ" ﻣﺜﺎل٢ وزارة ﺣﻠِّﻞ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ١٦٠ث ﺟﻢ ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ ٠
أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٣٠إﻟﻰ أﻋﻠﻰ. اﻟﺤﻞ ق١
ح = ١٦٠ث.ﺟﻢ ﻫـ = ْ٣٠
ْ٣٠
١٦٠ ق = ١ح ﺟﺘﺎﻫـ = ١٦٠ﺟﺘﺎ ٨٠ = ْ٣٠؟ ٣ث.ﺟﻢ ق٢
= ح ﺟﺎ ﻫـ
= ١٦٠ﺟﺎ ٨٠ = ْ٣٠ث.ﺟﻢ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺧﻄﯿﺮررة
ق٢
ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺋﻞ اﻹﺗﺠﺎھﺎت ﺗﺮﺳﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﺠﻮار اﻹﺗﺠﺎه اﻟﻤﻌﺮف وإذا ﻟﻢ ﯾﺬﻛﺮاﻟﺰاوﯾﺔ ﻧﻌﺘﺒﺮھﺎ ْ ٤٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٩ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل ٣
ﻗﻮة ﻣﻘﺪارھﺎ ١٠٠ﺛﻘﻞ ﺟﺮام ﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ﺷﻤﺎل اﻟﻐﺮب إﺣﺴﺐ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﮭﺎ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه اﻟﺸﻤﺎل واﻟﻐﺮب . اﻟﺤﻞ
) (١ﻓﻰ إﺗﺠﺎه اﻟﻐﺮب
ﺷﻤﺎل
ق= ١ح ﺟﺗﺎﻫـ = ١٠٠ﺟﺗﺎ ٥٠ = ٤٥؟ ٢ﺛﻘﻞ.ﺟم ) (٢ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﺸﻤﺎل
ﻣﺜﺎل ٤
ق٢
ْ٤٥
ﺷﺮق
ق = ٢ح ﺟﺎ ﻫـ = ١٠٠ﺟﺎ ٥٠ = ٤٥؟ ٢ وزارة ٠
١٠٠
ﺛﻘﻞ.ﺟم
ﻏﺮب ق١
ﺟﻨﻮب
ﻗﻮة ﻣﻘﺪارھﺎ ١٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗ َﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎ ِه اﻟﺠﻨﻮب .أوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﮭﺎ
ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﻰ ْ٦٠ﺷﺮق اﻟﺠﻨﻮب ،واﻷﺧﺮى ﻓﻲ اﺗﺠﺎه ْ٣٠ﻏﺮب اﻟﺠﻨﻮب. ﺷﻤﺎل
اﻟﺤﻞ ﺑﺈﻋﺘﺒﺎر اﻟﺰاوﯾﺔ ْ٦٠ھﻰ اﻟﻘﺮﯾﺒﺔ ﻣﻦ ق ١ﻓﺈن -: ق= ١ح ﺟﺗﺎﻫـ = ١٨ﺟﺗﺎ ٩ = ْ٦٠ﻧﯿﻮﺗﻦ
ﺷﺮق
ﻏﺮب
ْ٦٠
ق= ٢ح ﺟﺎﻫـ = ١٨ﺟﺎ ٩ = ْ٦٠؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ
ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ
ق١
ﺟﻨﻮب
ﻟزو ﺔ ْ٣٠ﻫﻰ اﻟﻘر ﺔ ﻣن إذا اﻋﺗﺑرﻧﺎ ا ا ق١
= ١٨ﺟﺎ ٩ =٣٠ﻧﯾوﺗن
ق٢
= ١٨ﺟﺗﺎ ٩ = ٣٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ْ٣٠
- ٢٠ -
ق٢
ﻓﺈن:
ق٢
١٨
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎﺋﻞ Inclined Plane اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎﺋﻞ
ھﻮ ﺳﻄﺢ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ،ﻛﻤﺎ ھﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ
وإذا رﻣﺰﻧﺎ ﻟﻄﻮل ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﺑﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ) ف( وارﺗﻔﺎع اﻟﺴﻄﺢ اﻟﻤﺎﺋﻞ ﺑﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ) ع (، زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ) ه(
ع
ف
ع
ﻣﻘﺎﺑﻞ = ﻓﺈن ﺟﺎه = وﺗﺮ ف
ه
ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ إذا ﺎﻧت ه زاو ﺔ ﻣﯾﻞ اﻟﻣﺳﺗو ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﻓﺈن -: -١ﻣر ﺔ اﻟوزن ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ ﺧ أﻛﺑر ﻣﯾﻞ ﻟﻠﻣﺳﺗو = و ﺟﺎ ه -٢ﻣر ﺔ اﻟوزن ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ اﻟﻌﻣود ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗو = و ﺟﺗﺎ ه
ﻣﺜﺎل ٥
ﺟﺳم ﻣﻘدار وزﻧﻪ ٢٠ﻧﯾوﺗن ﻣوﺿوع ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺗو
ﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ
ﺑزو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٣٠إﺣﺳب ﻣر ﺑﺗﻲ اﻟوزن ﻓﻰ إﺗﺟﺎه ﺧ أﻛﺑر ﻣﯾﻞ ا
ﻟﻠﻣﺳﺗو واﻹﺗﺟﺎه اﻟﻌﻣود ﻋﻠ ﻪ . و= ٢٠ﻧﯾوﺗن
ھـ = ْ٦٠
اﻟﺤﻞ
) (١ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻮزن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى
ق = ١و ﺟﺎﻫـ = ٢٠ﺟﺎ ١٠ = ٣٠ﻧﯾوﺗن
ق٢
ْ٣٠
ْ٣٠
) (٢ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻮزن ﻓﻰ اﻻ ﺗﺠﺎه اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﯿﻪ ق٢
= و ﺟﺗﺎ ﻫـ = ٢٠ﺟﺗﺎ ١٠ = ٣٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ق١
- ٢١ -
٢٠
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل ٦
وزارة ٠
ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋﻞ طﻮﻟﮫ ١٣٠ﺳﻢ وارﺗﻔﺎﻋﮫ ٥٠ﺳﻢ وﺿﻊ ﻋﻠﯿﮫ
ﺟﺴﻢ ﺟﺎﺳﻰء وزﻧﮫ ٣٩٠ث ﺟﻢ .أوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺒﺘﻰ اﻟﻮزن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى واﻻﺗﺠﺎه اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﯿﮫ. اﻟﺤﻞ ﻣﻦ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث -: طﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ = ؟١٢ ٠= ٥٠ - ١٣٠ﺳﻢ ٢
ه
ق١
٥٠ﺳﻢ
٥ ٥٠ ﻣﻘﺎﺑﻞ = = ﺟﺎه = ١٣ ١٣٠ وﺗﺮ
٢
ق٢
١٢ ١٢٠ ﻣﺠﺎور = = ﺟﺘﺎه = ١٣ ١٣٠ وﺗﺮ
١٣٠ﺳم ١٢٠ﺳم
ه
٣٩٠
ق = ١و ﺟﺎھـ = ٣٩٠ ق =٢و ﺟﺘﺎھـ = ٣٩٠
٥ = ١٥٠ث .ﺟﻢ ١٣ ١٢ = ٣٦٠ث .ﺟﻢ ١٣
ﻟﺘﺤﻤﯿﻞ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻤﺬﻛﺮات ﻓﻰ ﻛﻞ اﻟﻤﻮاد اﻟﺪراﺳﯿﺔ زوروا ﺟـــــــــــــــــــﺮوب "ﻣﻨﺘﺪى اﻟﺒﺤﺮاوى اﻟﺘﻌﻠﯿﻤﻰ" ع اﻟﻔﯿﺲ ﺑﻮك
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٢٢ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻋﺪة ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ The resultant of coplanar forces meeting at a point ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻋﺪة ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔھﻨﺪﺳﯿ ﺎ:
⃐ ⃐ ⃐ ⃐ إذا أﺛﺮت ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮىق ، ١ق ، ٢ق ، .... ، ٣ق ن ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وأ ُﻣﻜِﻦ ﺗ َﻤﺜﯿﻠﮭﺎ ﺑﺄطﻮال أﺿﻼعﻣﻀﻠ ﱠﻊ ﻣﺄﺧﻮذة ﻓﻲ ﺗﺮﺗﯿﺐ دورى واﺣﺪ ﻓﺈن ﻣﺤﺼﻠﺔھﺬه اﻟﻘﻮى ﺗﺴﺎوى طﻮل ⃐ ⃐ ق ٤ ق ٣ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺬى ﯾﻘﻔﻞ ھﺬا اﻟﻤﻀﻠﻊ ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺪورى اﻟﻤﻀﺎد. ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ﺣﯿﺚ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔح = ق +١ق + ٢ق + .... ، ٣ق
⃐ ح
ن
ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻋﺪة ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺤﻠﯿﻠﯿﺎ -:
إذا ﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﻘو اﻟﻣﺳﺗو ﺔ ق، ١ق ، ٢ق
⃐ ق
........،٣ق ن
⃐ ق٢
١
واﻟﻣﺗﻼﻗ ﺔ ﻓﻰ
ﻧﻘطﺔ و ،و ﺎﻧت ه ، ١ه ، ٢ه........٣ه ن ﻫﻰ ﻗ ﺎﺳﺎت اﻟزوا ﺎ اﻟﻘطﺑ ﺔ ﻟﻠﻘو ﻣﻊ اﻹﺗﺟﺎﻩ
اﻟﻣوﺟب ﻟﻣﺣور اﻟﺳﯾﻧﺎت وﺳﺲ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎد ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى ﻛﻤﺎ ﯾﻠﻰ : ١ﻣﺟﻣوع ﻣر ﺎت اﻟﻘو ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ وﺳﺲ : ٢ﻣﺟﻣوع ﻣر ﺎت اﻟﻘو ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ وﺻﺺ :
ﺳﺲ = ﻣﺟـ قر ﺟﺗﺎﻫـ
ﺻﺺ = ﻣﺟـ قر ﺟﺎﻫـ
و ون ﻣﻌ ﺎر اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ-: ح = ؟ ﺳﺲ+٢ﺻﺺ
٢
ٕواﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ ظﺎ ه
اﻟرﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ ﺳﺲ ، -ﺻﺺ +
ﺳﺲ ،+ﺻﺺ +
=
ﺳﺲ
ر
ْ٩٠ اﻟرﻊ اﻷول
ﺻﺺ
ر
- ْ١٨٠ه
ه ْ٣٦٠ ،٠ اﻟرﻊ اﻟ ار ﻊ
اﻟرﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﺳﺲ ،-ﺻﺺ -
ﺳﺲ ،+ﺻﺺ -
- ْ٣٦٠ه أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٢٣ -
ْ١٨٠
ْ٢٧٠
+ ْ١٨٠ه
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﻼﺣﻈﺎت ﺧﻄﯿﺮررررة ١ﻹﯾﺟﺎد ق ﻫـ ﻧﺣدد اﻟرﻊ اﻟذ ﺗﻘﻊ ﻓ ﻪ ﺣﺳب إﺷﺎرةﺳﺲ،ﺻﺺ ﺛم ﻧﺳﺗﻌﯾن ﺎﻟﺷ ﻞ اﻟﺳﺎﺑ . ٢ﻓﻰ ﻣﺳﺎﺋﻞ اﻹﺗﺟﺎﻫﺎت ﺗرﺳم اﻟزاو ﺔ ﺑﺟوار اﻹﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﻌرف ٕواذا ﻟم ﯾذ راﻟزاو ﺔ ﻧﻌﺗﺑرﻫﺎ ْ ٤٥ ٣ﻋﻧد ﺣﺳﺎب اﻟزاو ﺔ اﻟﻘطﺑ ﺔ ﻟﻛﻞ ﻗوة ﻧﺑدأ ﻣن اﻹ ﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣوﺟب ﻟﻣﺣور اﻟﺳﯾﻧﺎت و ﺳﺲ ﻣﻊ اﻟﻌﻠم أن ﻗ ﺎس اﻟزاو ﺔ اﻟﻘطﺑ ﺔ ﻟﻠﻘوة اﻟﻣﻧط ﻘﺔ ﻋﻠﻰ و ﺳﺲ ﺳﺎو "ﺻﻔر" داﺋﻣﺎ. أﻣﺜﻠﺔ ﺗﻮﺿﯿﺤﯿﺔ
ﻣﺜﺎل٧ وزارة
أرﺑﻊ ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ اﻷوﻟﻰ ﻣﻘﺪارھﺎ ٠ ٤ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺛﺆﺛﺮ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه اﻟﺸﺮق واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺛﺆﺛﺮ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ْ ٣٠ﺷﺮق اﻟﺸﻤﺎل واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﺆﺛﺮﻓﻰ إﺗﺠﺎه ْ٦٠ﺷﻤﺎل اﻟﻐﺮب واﻟﺮاﺑﻌﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٣؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﺆﺛﺮﻓﻰ
إﺗﺠﺎه ْ٦٠ﻏﺮب اﻟﺠﻨﻮب أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى. اﻟﺤﻞ
ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ
* اﻟزاو ﺔ ﺗرﺳم ﺑﺟوار اﻻﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﻌرف واﻟزاو ﺔ اﻟﻘطﺑ ﺔ ﻟﻠﻘوة ﺗؤﺧذ إﺑﺗداء ﻣن اﻹﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣوﺟب ﻟﻣﺣور اﻟﺳﯾﻧﺎت.
اﻟﻘوة
٤
٢
ﺷﻤﺎل
٥
٥
٢
٣؟٣
ْ٣٠ ْ٣٠
اﻟزاو ﺔ ْ٢١٠ ْ١٢٠ ْ٦٠ ْ٠
ْ٦٠
ﺷﺮق
٤
ﺳﺲ =٤ﺟﺗﺎ٢+٠ﺟﺗﺎ ٥+٦٠ﺟﺗﺎ ٣ +١٢٠؟ ٣ﺟﺗﺎ٢-=٢١٠
ْ٦٠ ْ٣٠ ْ٦٠
ﺟﻨﻮ ب
ﻏﺮب
٣؟٣
ﺻﺺ = ٤ﺟﺎ٢ +٠ﺟﺎ ٥+٦٠ﺟﺎ ٣ +١٢٠؟ ٣ﺟﺎ ٢=٢١٠؟٣ ح= ﰈﺳﺲ +ﺻﺺ ٢
٢
=
ﰈ) ٢)+ ( ٢-؟ ٤= ( ٣ﻧﯾوﺗن ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٢
- ٢٤ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ ﺳﺲ ، -ﺻﺺ ظﺎﻫـ =
ﺻﺺ ﺳﺲ
=
٢؟٣
+
= -؟٣
٢
Shift tan (√ )= ْ٦٠ ﻣﺜﺎل٨
وزارة ٠
Bﻫـ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟرﻊ اﻟﺛﺎﻧﻰ
Gﻫـ =ْ١٢٠= ْ٦٠- ْ١٨٠
ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ١٥، ١٠، ٥؟ ٢٠ ، ٣ﻧﯾوﺗن
ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﺎد ﺔ و ﺎن ﻗ ﺎس اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن اﺗﺟﺎﻫﻰ اﻟﻘوة اﻷوﻟﻰ واﻟﺛﺎﻧ ﺔْ٦٠ و ﯾن اﻟﺛﺎﻧ ﺔ واﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ْ٩٠و ﯾن اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ واﻟ ار ﻌﺔ ْ١٥٠أوﺟد اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ. اﻟﺤﻞ ﺻﺺ اﻟﻘوة
١٥ ١٠ ٥؟٢٠ ٣ ْ٣٠٠
اﻟزاو ﺔ ْ١٥٠ ْ٦٠ ْ٠
١٥؟٣
١٠ ْ٦٠
ْ٣٠ ْ٦٠
ﺳﺲ
٥
ْ٣٠ ْ٣٠
٢٠
٥
ﺳﺲ =٥ﺟﺗﺎ١٠+٠ﺟﺗﺎ ١٥+٦٠؟ ٣ﺟﺗﺎ ٢٠ +١٥٠ﺟﺗﺎ= ٣٠٠ ﺻﺺ =٥ﺟﺎ١٠+٠ﺟﺎ ١٥+٦٠؟ ٣ﺟﺎ ٢٠ +١٥٠ﺟﺎ=٣٠٠ ح =ﺳﺲ +ﺻﺺ ٢
٢
ظﺎﻫـ =
ﺻﺺ ﺳﺲ
=
٢
=)
٥
٢
٥؟٣ ٢
ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ ﺳﺲ ، -ﺻﺺ
( )+ ٢
٥؟٣ ٢
( = ٢٥
٢ ؟٣
٢
Shift tan(√ ) = ْ٦٠
Bﻫـ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟرﻊ اﻟﺛﺎﻧﻰ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٥
ﺻﺺَ
Gح= ؟ ٥ = ٢٥ﻧﯾوﺗن
٢
٥ = -؟٣ ÷ ٢ +
ﺳﺲَ
- ٢٥ -
ﻫـ = = ْ٦٠- ْ١٨٠
ْ١٢٠
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٩ وزارة ٠
ث .ﺑﻨﺎت : ٢٠١٤/٢٠١٣ا ب ﺟـ ء ﻣرﻊ طول ﺿﻠﻌﻪ ١٢ﺳم
،ﻫـ ب ﺟـ ﺣﯾث ب ﻫـ= ٥ﺳم ،أﺛرت ﻗو ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ٤ ،١٣ ، ٢ة٩ ، ٢ ث.ﺟم ﻓﻰ اﻹﺗﺟﺎﻫﺎت ا ب ،ا ﻫـ ،ﺟـا ،اء ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب أوﺟد ﻣﺣﺻﻠﺔ
ﻫذﻩ اﻟﻘو ٕواﺗﺟﺎﻫﻬﺎ.
اﻟﺤﻞ
ﻧﻔرض أن اﻟﻘوة ١٣ث ﺟم ﺗﺻﻧﻊ ازو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ
ﺻﺺ
ﻣﻊ اﻻ ﺗﺟﺎه اﻟﻣوﺟب ﻟﻣﺣور اﻟﺳﯾﻧﺎت
ﻓﻰ ∆ ا ب ﻫـ ﻣن ﻧظرﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس
ﺟـ
ء
٧ﺳم
ا ﻫـ = ﰈ١٣ = ٢٥ + ٢١٢ﺳم
ه
ـــــ ،ﺟﺗﺎ = ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ١٢ ﺟﺎ ى= ٥ ١٣ ١٣
٥ﺳﻢ
ﺳﺲ ﻟرﺳﯾن Aا ﺟـ ﻗطر ﻓﻰ اﻟﻣرﻊ ﻓﻬو ﻧﺻﻒ ازو ﺗﻰ ا أ
٩ ١٣
١٣ﺳﻢ
ى
١٢ﺳﻢ
ب
٤٥ ٠٤٥
ا
٢
اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﯾن ﻟﻪ ﻓ ون ق با ﺟـ = ق ء ا ﺟـ =ْ٤٥
٤٥ ٤٥ ٠ ٠
ﺳﺲَ
ﺻﺺَ
٤ة٢
ﻣر ﺎت اﻟﻘو ﻫﻰ : اﻟﻘوة
٢
ﻟز و ﺔ ا ا
ْ٠
٤ ١٣ة٩ ٢ ْ
ْ٩٠ ْ٢٢٥
١٢ـ ٤+ة ٢ﺟﺗﺎ ٩+ ٢٢٥ﺟﺗﺎ١٠=٩٠ ﺳﺲ= ٢ﺟﺗﺎ ١٣+٠ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ١٣ ﺻﺺ = ٢ﺟﺎ٥ ١٣+٠ ـــــ ٤+ة ٢ﺟﺎ ٩ + ٢٢٥ﺟﺎ١٠= ٩٠ ١٣ ٢ ٢ ٢ ٢ ح = ﰈس +ص = ﰈ ١٠ = ١٠ + ١٠؟ ٢ث ﺟم ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ ﺳﺲ ، +ﺻﺺ
+
Bه ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟرﻊ اﻷول
ﺻﺺ ١٠ـ ـ ـ = G ١ﻫـ = ْ٤٥وﺗﻌﻣﻞ ﻓﻰ اﺗﺟﺎه ا ﺟـ = ـــــــــ اﺗﺟﺎه اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ طﺎ ه= ﺳﺲ ١٠
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٢٦ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١٠
ﻟر س ا ﻣن ﺗؤﺛ ارﻟﻘو اﻟﺗﻰ ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ﻧﯾوﺗن ﻓﻰ ا أ
اﻟﺳداﺳﻰ اﻟﻣﻧﺗظما ب ﺟـءﻫـ و ﻓﻰ اﻹﺗﺟﺎﻫﺎت ا ب ،ا ﺟـ ،ا ء ،اﻫـ، ا و ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب أوﺟد اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ .
اﻟﺤﻞ ء
ﻣر ﺎت اﻟﻘو ﻫﻰ : ٥ ٤ ٣ ٢
اﻟﻘوة ﻟز و ﺔ ا ا
٦
٦٠
٦٠
ﺟـ
ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ ھـ =
)ن ١٨٠ (٢ ٦) ١٨٠ (٢
=
ن
٦
٥
٩٠
١٢٠
٣٠
٣
ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ اﻟﺴﺪاﺳﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ
=ْ١٢٠
٩٠ ٤
ْ١٢٠ ْ٩٠ ْ٦٠ ْ٣٠
ْ٠
ﺻﺺ ه
١٢٠
ﺳﺲ
ب
٣٠ ٣٠ ٣٠ ٣٠ ٢
و
٦
ا
ﺳﺲ = ٢ﺟﺗﺎ٣ + ٠ﺟﺗﺎ٤ +٣٠ﺟﺗﺎ ٥+ ٦٠ﺟﺗﺎ ٦ + ٩٠ﺟﺗﺎ ٣.٦ T ١٢٠ﻧﯾوﺗن ﺻﺺ = ٢ﺟﺎ ٣+ ٠ﺟﺎ ٤+ ٣٠ﺟﺎ ٥+ ٦٠ﺟﺎ ٦ + ٩٠ﺟﺎ ١٥.٢ T ١٢٠ﻧﯾوﺗن ح=
ﰈ) ١٥.٦ T ٢(١٥.٢) + ٢(٣.٦ﻧﯾوﺗن
ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ ﺳﺲ
+
،ﺻﺺ
+
Bھـ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول
طﺎ ھـ =
ﺻﺺ ﺳﺲ
١٥.٢ ٣.٦ = ـــــــــ =
Bق ھـ = َ٤٠ ً ٣١
) =, , ,
(Shift tan
ْ٧٦
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٢٧ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١١
وزارة ٠
ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٢ق٤ ،ق ٦،ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮ
ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﺎت ﻣﻮازﯾﺔ ﻷﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻷﺿﻼع وﻣﺄﺧﻮذة ﻓﻰ ﺗﺮﺗﯿﺐ دورى واﺣﺪ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ. ﺻﺺ
ﻣر ﺎت اﻟﻘو ﻫﻰ -: اﻟﻘوة ﻟز و ﺔ ا ا
٤ق
اﻟﺤﻞ ٢ق ٤ق ٦ق ْ٠
ْ٢٤٠ ْ١٢٠
ْ٣٠ ْ ٦٠
ﺳﺲ
ْ ٦٠
٢ق
ﺳﺲ = ٢ق ﺟﺗﺎ٤ + ٠ق ﺟﺗﺎ٦ +١٢٠ق ﺟﺗﺎ٣- = ٢٤٠ق
٦ق
ﺻﺺ = ٢ق ﺟﺎ٤+ ٠ق ﺟﺎ٦+ ١٢٠ق ﺟﺎ - =٢٤٠؟ ٣ق ج
ح = ﰈ) ٣-ق( -) + ٢؟ ٣ق (٢ = ٢ة ٣ق ﻧﯾوﺗن ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ ﺳﺲ ، -ﺻﺺ
-
٤ق ْ ٦٠
Bھـ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ
ب
؟٣ ؟ ٣قطﺎھـ = ﺻﺺ ــــــــــ = ـــــــــــــــــ = ـــــــــ ٣ ﺳﺲ ٣قﻫـ = = ْ٣٠+ ْ١٨٠
ْ ٦٠
ْ ٦٠ ٢ق
ا
ْ٦٠ ْ ٦٠ ٦ق
= ) Shift tan(√ /
ْ٢١٠
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٢٨ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١٢
وزارة ا ب ج ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻷﺿﻼع ،م ﻧﻘﻄﺔ ﺗ َﻼﻗﻰ ﻣﺘﻮﺳﻄﺎﺗﮫ أﺛﺮت ٠
اﻟﻘﻮى اﻟﺘﻰ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٢٥ ، ٢٠ ، ١٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎھﺎت ⃖ ⃖ ⃖ م ج ،م ب ،م ا .أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار واﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى. ﻣر ﺎت اﻟﻘو ﻫﻰ -:
اﻟﺤﻞ
اﻟﻘوة
٢٥
١٥
ﻟز و ﺔ ا ا
ْ٩٠
ْ٣٣٠ ْ٢١٠
٢٠
ﺳﺲ = ٢٥ﺟﺘﺎ١٥+ ْ٩٠ﺟﺗﺎ٢٠ + ْ٢١٠ﺟﺘﺎ= ْ٣٣٠ ٢٠ + ٢١٠ﺟﺎ= ْ٣٣٠ ﺳﺺ = ٢٥ﺟﺎ١٥+ ْ٩٠ﺟﺎ ْ ح =ﺳﺲ +ﺻﺺ ٢
٢
٢
=)
٥؟٣ ٢
؟٣
٥
ا
٢
١٥ ٢
٢٥
م ١٥
( ٧٥ = ( ) + ٢
Gح= ؟ ٥ = ٧٥؟ ٣ﻧﯾوﺗن
٢
٢
ب
ْ٣٠ ْ ٣٠ ْ٣٠ ١٥
ْ٣٠ ْ ٢٠ ْ٣٠٣٠
ج
ﻹﯾﺟﺎد إﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ -: ١٥ ﺻﺺ = ظﺎﻫـ = ٢ ﺳﺲ
ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ ﺳﺲ
+
÷
٥؟٣
،ﺻﺺ
٢
=
؟٣
٢٥
ْ ٣٠ ْ ْ٦٠ ٦٠
+
Bھـ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول
ْ ٣٠
٢٠
Bإﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ -: Bﻫـ
= ْ٦٠
١٥
= ) √(Shift tan
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٢٩ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١٣
⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ وزارة إذا ﺎﻧت ق ٥ = ١ﺳﺲ ٣ +ﺻﺺ ،ق = ٢اﺳﺲ ٦ +ﺻﺺ ٠ ⃐ ⃐ ⃐ ،ق ١٤- = ٣ﺳﺲ +ب ﺻﺺ ﺛﻼث ﻗو ﻣﺳﺗو ﺔ وﻣﺗﻼﻗ ﺔ ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ و ﺎﻧت اﻟﻣﺣﺻﻠﺔح = ) ١٠؟ ( ْ١٣٥ ، ٢ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ا ،ب . اﻟﺤﻞ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ Aح = ق + ١ق + ٢ق
٣
⃐ ⃐ ⃐ Bح = ) +٥ا (١٤ -ﺳﺲ +٦+٣ ) +ب( ﺻﺺ ⃐ ⃐ = )ا (٩ -ﺳﺲ +٩) +ب( ﺻﺺ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ Aح = ١٠؟ ٢ﺟﺗﺎ ْ١٣٥ﺳﺲ ١٠ +؟ ٢ﺟﺎ ْ١٣٥ﺻﺺ = ١٠-ﺳﺲ ١٠+ﺻﺺ Bا١٠ - = ٩ -
+٩ب = ١٠
Gا = ١- = ٩ + ١٠ -
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
Gب = ١ = ٩-١٠
- ٣٠ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(٢ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١ﻗﻮة ﻣﻘﺪارھﺎ ٤؟ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﺸﺮق ﺗﻢ ﺗﺤﻠﯿﻠﮭﺎ اﻟﻲ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﯿﻦ ﻓﺈن ﻣﺮﻛﺒﺘﮭﺎ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﺸﻤﺎل اﻟﺸﺮﻗﻰ ﺗﺴﺎوى ...............................
ﻧﯿﻮﺗﻦ.
-٢إذا وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ) و (ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ه ﻓﺈن ﻣﺮﻛﺒﺔ وزﻧﮫ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﺴﺎوى .................... -٣ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ٢٠ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺿﻊ ﻋﻠﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ٦٠ﻓﺈن ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻮزن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺴﺘﻮى =....................................... -٤ﻗﻮة ﻣﻘﺪارھﺎ ١٢؟ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ٣٠ﺷﻤﺎل اﻟﻐﺮب.
⃐
ق٢
* ﻣﻘﺪار ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻘﻮة ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻐﺮب =.........ﻧﯿﻮﺗﻦ. ٣٠
* ﻣﻘﺪار ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻘﻮة ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﺸﻤﺎل =........ﻧﯿﻮﺗﻦ. ⃐ ⃐ ⃐ -٥إذا ﻛﺎﻧﺖ ق ٢ = ١ﺳﺲ ،ق
٢
⃐ ⃐ ⃐ = ﺳﺲ ٢-ﺻﺺ ، ،ق
٣
١٢؟٢ ⃐ ق١
⃐ = ٦ﺻﺺ ﻓﺈن ﻣﻘﺪار
ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮى = ، ............وإﺗﺠﺎھﮭﺎ = ............... ⃐ ⃐ = ٤ﺳﺲ ٨-ﺻﺺ ،
⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ق ، ﺻﺺ ٢ – ﺳﺲ ٢ = ٢ - ٦إذا ﻛﺎﻧﺖ ق١ ⃐ ⃐ ⃐ ح = ٢ا ﺳﺲ – ٣ب ﺻﺺ ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ا = ، ..........ب = .......... ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ - ٧إذا ﻛﺎﻧﺖ ق ٣= ١ﺳﺲ – ٢ﺻﺺ ،ق = ٢ا ﺳﺲ -ﺻﺺ ،ق ٤ = ٣ﺳﺲ -ب ﺻﺺ ⃐ ⃐ ⃐ ،ح = ٦ﺳﺲ – ٤ﺻﺺ ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ا = ، ..........ب = ..........
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٣١ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
٢إﺧﺘﺮ اﻻﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻻﺟﺎﺑﺎت اﻟﻤﻌﻄﺎه -: ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ -١إذا ﻛﺎﻧﺖ ق ٢ = ١ﺳﺲ ٣ +ﺻﺺ ،ق = ٢ﺳﺲ +ﺻﺺ ،ﻓﺈن ح = ........ﻧﯿﻮﺗﻦ ا
؟١٣
ب
⃐ ⃐ ⃐ -٢إذا ﻛﺎﻧﺖ ق ٥ = ١ﺳﺲ ،ق ا
؟ + ٥؟٧٤
٢
ج ٥
؟٢
ء ٧
⃐ ⃐ ⃐ = ٧ﺳﺲ ٥ -ﺻﺺ ،ﻓﺈن||ح|| = ........وﺣﺪة ﻗﻮة
ب ٤٩
ج
١٣
ء
؟ - ١٢؟٥
⃐ -٣اﻟﻘﻮةح ﯾﻤﻜﻦ ﺗﺤﻠﯿﻠﮭﺎ إﻟﻰ ﻗﻮﺗﯿﻦ ق ،١ق ٢وﺗﺼﻨﻌﺎن ﻣﻊ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻗﯿﺎﺳﯿﮭﻤﺎ ه، ١
ه٢
ﻣﻦ ﺟﮭﺘﯿﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻓﺈن ق ............. = ١ ح ا ـ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ﺟﺎ) ھـ + ١ھـ( ٢ ﺟﺎھـ١
ح ﺟﺎ) ھـ + ١ھـ( ٢ ح ﺟﺎھـ٢ ح ﺟﺎھـ٢ ب ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ج ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ء ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ﺟﺎ) ھـ - ١ھـ( ٢ ﺟﺎ) ھـ + ١ھـ( ٢ ﺟﺎھـ٢
================================================== ٣اﻷزھﺮ " ٢٠١٥/٢٠١٤ﻣﺘﺨﻠﻔﯿﻦ "ﺣﻠﻞ ﻗوة أﻓﻘ ﺔ ﻣﻘدارﻫﺎ ٤٠ﻧﯾوﺗن ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻫﯾن
ﺑزو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٣٠ﻷﻋﻠﻰ. ﻣﺗﻌﺎﻣدﯾن أﺣدﻫﻣﺎ ﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ اﻷ ﻓﻘﻲ ا ================================================== ﺑزو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٤٥واﻷﺧر ٤ﺣﻠﻞ ﻗوة ﻣﻘدارﻫﺎ ٥٠٠ﻧﯾوﺗن ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻫﯾن ﻣﯾﻞ أوﻟﻬﻣﺎﻋﻠﻰ اﻟﻘوة ا ] ٢٠ﻧﯾوﺗن ٢٠ ،؟٣
ﻧﯾوﺗن[
ﺑزو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٦٠ﻓﻰ اﻟﻧﺎﺣ ﺔ اﻻﺧر . ا ================================================== ﺑزو ﺔْ٦٠ ٥ﺟﺳم وزﻧﻪ ٢٠٠ث ﺟم ﻣوﺿوع ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺗو ﻣﺎﺋﻞ ﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ اﻷ ﻓﻘﻰ ا
] ٣٦٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ٤٤٨ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ [
أوﺟد ﻣﻘدار ﻣر ﺑﺗﻰ وزﻧﻪ ﻓﻰ إﺗﺟﺎه ﺧ أﻛﺑر ﻣﯾﻞ ﻟﻠﻣﺳﺗو واﻹﺗﺟﺎه اﻟﻌﻣود ﻋﻠ ﻪ. ] ١٠٠؟ ١٠٠ ، ٣ث ﺟم [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٣٢ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
٦أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٨ ، ٤ ،١٦؟ ٤، ٣؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﮫ ﻣﺎدﯾﺔ ﻓﻰ إﺗﺠﺎھﺎت-: اﻟﺷرق ْ٦٠،ﺷﻣﺎل اﻟﺷرق ْ٦٠ ،ﻏﺮب اﻟﺠﻨﻮب ،اﻟﺠﻨﻮب ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ .أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ]ح = ١٢ﻧﯾوﺗن ﻣﻼ ﺣظﺔ :ﻫـ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟرﻊ اﻟ ار ﻊ ﻫـ =[ ْ٣٠٠ وإﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى. ================================================== ٧اﻷزھﺮ ٢٠١٤/٢٠١٣أوﺟد ﻣﺣﺻﻠﺔ ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻘو اﻟﻣﺳﺗو ﺔ اﻟﻣﺗﻼﻗ ﺔ ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﺎد ﺔ ٥ﻧﯾوﺗن ﺷﻣﺎﻻ ٥ ،؟ ٣ﻧﯾوﺗن ﺷرﻗﺎً ٤ ،ﻧﯾوﺗن ﺟﻧوب اﻟﻐرب ﺑزاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ . ْ٣٠ ]ح = ٦ﻧﯾوﺗن ،ه= [ ْ ٣٠
================================================== ٨وزارة ﺛﻼث ﻗو ﻣﺳﺗو ﺔ ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ ،٢ ،١؟ ٣ﻧﯾوﺗن ﺗؤﺛر ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ م ٕواﺗﺟﺎﻫﺎﺗﻬﺎﻫﻰ ٠
م ا ،م ب ،م ﺟـ ﻋﻠﻰ ق> ا م ب = ، ْ٦٠ق> ا م ﺟـ = ْ٩٠أوﺟد اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ.
]ح = ٤ﻧﯾوﺗن ،ﻫـ =[ ْ٦٠
================================================== ٩وزارة ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٦٠، ٨٨ ، ٦٠ث ﻛﺠﻢ ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ اﻷوﻟﻰ ٠
ﻧﺤﻮ اﻟﺸﻤﺎل واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻰ ْ٣٠اﺗﺠﺎه ﺟﻨﻮب اﻟﻐﺮب واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ْ٣٠ﺟﻨﻮب اﻟﺸﺮق أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ]ح = ٢٨ث .ﺟم ،ﻫـ = [ ْ٢١٠
واﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى.
================================================== ١٠ث.اﻟﺴﻠﯿﻤﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣أرﻊ ﻗو ﻣﺳﺗو ﺔ ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ ٤ ، ٣ ،١؟ ٥ ، ٣ﻧﯾوﺗن ﻟزو ﺔ ﺑﯾن إﺗﺟﺎﻫﻰ اﻟﻘوﺗﯾن اﻷوﻟﻲ واﻟﺛﺎﻧ ﺔ ْ٦٠و ﯾن ﺗؤﺛر ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﺎد ﺔ و ﺎن ﻗ ﺎس ا ا ﻟر ﻌﺔ ْ١٥٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ وإﺗﺠﺎھﮭﺎ إﺗﺟﺎﻫﻰ اﻟﺛﺎﻧ ﺔ واﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ْ٩٠و ﯾن اﺗﺟﺎﻫﻰ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ وا ا ]ح = ٢ﻧﯾوﺗن،ﻫـ=[ ْ١٢٠
================================================= ١١ث.ﺑﻨﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣ﺛﻼث ﻗو ﻣﺳﺗو ﺔ وﻣﺗﺳﺎو ﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﻘدار ﺗؤﺛر ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﺎد ﺔ و ﺎن ﺧ ﻋﻣﻞ اﻟﻘوة اﻟﺛﺎﻧ ﺔ ﺻﻧﻊ ﻣﻊ إﺗﺟﺎﻫﻰ اﻟﻘوﺗﯾن اﻷوﻟﻰ واﻟﺛﺎﻟﺛﺔ زاو ﺗﯾن
ﻗ ﺎس ﻞ ﻣﻧﻬﻣﺎ ْ٦٠أوﺟد ﻣﻘدار ٕواﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٣٣ -
]ح = ٢ق ﻧﯾوﺗن ،ه=[ ْ٦٠
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
١٢وزارة
ا ب ﺟـء ﻣﺳﺗطﯾﻞ ﻓ ﻪ ا ب = ٦ﺳم ،ب ﺟـ = ٨ﺳم ،ﻫـ ب ﺟـ ﺣﯾث
ب ﻫـ = ٦ﺳم ،أﺛرت ﻗو ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ ٥ ، ١٠ ، ١؟ ٣ ، ٢ث ﺟم ﻓﻰ اﻹﺗﺟﺎﻫﺎت اء ،ا ﺟـ ،ا ﻫـ ،ا ب ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب أوﺟد ﻣﻘدار ﻣﺣﺻﻠﺔ ﻫذﻩ اﻟﻘو ﺛم أﺛﺑت أن ﺧ
ﻋﻣﻠﻬﺎ ﻣرﺎﻟﻧﻘطﺔ ه. ================================================= ١٣وزارة ا ب ﺟـ ءﻫـ و ﺳﺪاﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٨ ، ٤؟ ٤ ، ٣؟ ٨ ، ٣
]ح = ١٤؟ ٢ث ﻛﺠﻢ وﺗﺼﻨﻊ زا وﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٤٥وﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ا ﻫـ [
ث .ﺟم ﻓﻰ ا ب ،ا ﺟـ ،ا ﻫـ ،ا وﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب ﻋﯾن ﻣﺣﺻﻠﺔ ﻫذﻩ اﻟﻘو ﺗﻌﯾﯾن ﺗﺎم.
]ح = ٢٤ث .ﺟم ،ﻫـ= ْ٦٠أى ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ اء [
================================================== ١٤إدارةاﺑﻮ ﺗﺸﺖ ٢٠١٥/٢٠١٤ا ب ﺟـ ءﻫـ و ﺳﺪاﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٢،٦؟ ٢ ،٦، ٣؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰا ب،ا ﺟـ ،ا ء ،ا ه ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ. ]ح = ٦؟ ٧ﻧﯾوﺗن ،ﻫـ=[ ْ٤٠ َ٥٣ ً٣٦
================================================== ١٥اﻹدارة ٢٠١٥/٢٠١٤ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ٢٠ﻧﯿﻮﺗﻦ٣٠،ﻧﯿﻮﺗﻦ ٤٠،ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ ﻓﻰ إﺗﺠﺎھﺎت ﻣﻮازﯾﺔ ﻷﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻷﺿﻼع وﻣﺄﺧﻮذة ﻓﻰ ]ح = ١٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن ،ه=[ ْ٢١٠
ﺗﺮﺗﯿﺐ دورى واﺣﺪ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ. ﻧﺸﺎط اﺛﺮاﺋﻰ
اﻟﺴﻮدوﻛﻮ ﻟﻌﺒﺔ ﻳﺎﺑﺎﻧﯿﺔ ﺗﻮﺿﻊ ﻓﯿﮫﺎ اﻷرﻗﺎم ﺑﺤﯿﺚ ﻻ
ﺗﺘﻜﺮر ﻓﻰ أى ﺻﻒ أو ﻋﻤﻮد أو أى ﻣﺮﺑﻊ ﺻﻐﯿﺮ .ﺣﺎول أن ﺗﻜﻤﻞ اﻷرﻗﺎم اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ :
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٣٤ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
إﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ /ﺛﻼث ﻗﻮى
) (١إﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺟﺎﺳﺊ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ Equilibrium of a rigid body under the action of two forces
ﺎﻧت-:
إذا إﺗزن ﺟﺳم ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﻗوﺗﯾن ﻓﻘ ١اﻟﻘوﺗﺎن ﻣﺗﺳﺎو ﺗﯾن ﻓﻰ اﻟﻣﻘدار . ٢ﻣﺗﺿﺎدﺗﯾن ﻓﻰ اﻹﺗﺟﺎﻩ .
ش
٣ﺧ ﻋﻣﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ إﺳﺗﻘﺎﻣﺔ واﺣدة .
و
ﻣﻦ أﻣﺜﻠﺔ ﺗﻮازن ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ-: ) (١إذا ﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ )و( ﺑﺤﺒﻞ ﺧﻔﯿﻒ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ ھﻤﺎ وزن اﻟﺠﺴﻢ واﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺤﺒﻞ.
ر
ش= و
) (٢إذا وﺿﻊ ﺟﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﻧﻀﺪ أﻓﻘﻰ أﻣﻠﺲ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﺘﺰن
و
ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ ھﻤﺎ اﻟﻮزن ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻨﻀﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ .ر= و إذا ﻣر ﺧ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺧﻄﯿﺮررة
ﻋﻠﻰ رة ﻣﻠﺳﺎء ﻓﺈن ﻣﻘدار اﻟﺷد ﻻ ﯾﺗﻐﯾر ﻣرورﻩ
ﻋﻠﻰ اﻟ رة اﻟﻣﻠﺳﺎء .
و ذﻟك إذا ﻣر داﺧﻞ اﻟﺣﻠﻘﺔ اﻟﻣﻠﺳﺎء ﻓﺈن ﻣﻘدار اﻟﺷد ﻻ ﯾﺗﻐﯾر . ﻣﺜﺎل١
ش
ش
إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮة اﻟﺘﻰ ﻣﻘﺪارھﺎ ق ﺗﺘﺰن ﻣﻊ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﺗﯿﻦ اﻟﺘﻰ ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ١٢ ،٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ق.
ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﺎن ١٢ ، ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻧﻮن :ح =
اﻟﺤﻞ ٢ ﰈق ١
+
٢ ق ٢
Bح = ﰈ ١٣ = ١٢ + ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ . ٢
٢
Aاﻟﻘﻮة ق وﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﺎن ١٢ ، ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﺗﺰان أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٣٥ -
Bق = ١٣ﻧﯿﻮﺗﻦ
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
) (٢إﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺟﺎﺳﺊ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ Equilibrium of arigid body under the action of three coplanar forces meeting at apoint
ﻣﻼﺣﻈﺔ
إذا اﺗزﻧت ﺛﻼث ﻗو ﻣﺳﺗو ﺔ وﻣﺗﻼﻗ ﺔ ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻓﺈن ﻣﺣﺻﻠﺔ أ ﻗوﺗﯾن ﺗﻛون ﻣﺳﺎو ﺔ ﻟﻠﻘوة اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ﻓﻰ
اﻟﻣﻘدار وﻣﺿﺎدة ﻟﻬﺎ ﻓﻰ اﻻﺗﺟﺎﻩ وﻟﻬﺎ ﻧﻔس ﺧ اﻟﻌﻣﻞ
ﻣﺜﺎل٢ وزارة ٠
ء
ج
ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ
ح٢,١
وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ
ق٢
ق ٨ =١ث ﺟﻢ،ق ١٠ =٢ث ﺟﻢ ب
،ق ١٢ =٣ث ﺟﻢ ،ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ
ا
ق١
اﻟﻘﻮى ﻣﺘﺰﻧﺔ ﻓﻤﺎ ھﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ
ق٣
اﻟﺤﻞ
اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻷﺧﯿﺮﺗﯿﻦ؟
Aاﻟﻘو ﻣﺗزﻧﺔ Bﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ق ، ٢ق ٣ﺗﺴﺎوى اﻟﻘﻮة ق ١ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪار وﻣﻀﺎدة ﻟﮭﺎ ﻓﻰ اﻹﺗﺠﺎه
٢
Aح = ٣,٢
٢ ٢ ق + ٢ق ٣
٢
٢ +ق٢ق ٣ﺟﺘﺎ ى ٢
٢
Bق =١٢ق +٢٢ق ٢+٣٢ق٢ق٣ﺟﺘﺎ ى ١٢ ١٠ ٢+ ١٢+ ١٠= ٨ ﺟﺗﺎ ٢٤٠ + ١٤٤ + ١٠٠ = ٦٤ Bﺟﺗﺎ ٢٤٠ + ٢٤٤ = ٦٤ﺟﺗﺎ ٢٤٠ﺟﺘﺎ ى = – ١٨٠ B
٢٤٠ = ٢٤٤ – ٦٤ ﺟﺗﺎ
ﺟﺘﺎ ى =
= ْ ١٣٨ َ٣٥ ً٢٥
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
١٨٠ ٢٤٠
.....
=)
- ٣٦ -
٣ =
٤
( Shift cos " اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻘﻮى Triangle of forces إذا أﺗﺰن ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ورﺳﻢ ﻣﺜﻠﺚ أﺿﻼﻋﮫ ﺗﻮازى ﺧﻄﻮط ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث وﻓﻰ إﺗﺠﺎه دورى واﺣﺪ ﻓﺈن أطﻮال أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﻣﻘﺎدﯾﺮاﻟﻘﻮى اﻟﻤﻨﺎظﺮة. ج ق٢
ء
ج ق٣
ق٢
ا
ب ق١
ب
أى أﻧﮫ ﺣﺴﺐ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﯾﻜﻮن
ق١ اب
ﻣﻼﺣﻈﺎت ﺧﻄﯿﺮرررررة
ق١
=
ق٢ ب ﺟـ
=
ا
ق٣
ق٣ ﺟـ ا
ا ؟٣
إذا ﺎن ﻣﺛﻠث اﻟﻘو ﻟﺛﻼث ﻗو ﻣﺗزﻧﺔ
ْ٣٠
٢ ْ٦٠
ب ﻣﺛﻠث ﺛﻼﺛﯾﻧﻰ ﺳﺗﯾﻧﻰ ﺎﻧت اﻟﻧﺳ ﺔ ﺑﯾن أطوال أﺿﻼﻋﻪ :٢:١؟٣ ١ ٕ واذا ﺎن ﻣﺛﻠث اﻟﻘو ﻗﺎﺋم اﻟزاو ﺔ وﻣﺗﺳﺎو اﻟﺳﺎﻗﯾن ﻓﺈن اﻟﻧﺳ ﺔ ﺑﯾن أطوال أﺿﻼﻋﻪ ا ﻧﺳ ﺔ :١:١؟ ٢ ١ ﺗﺬﻛﺮ
ْ٤٥
؟٢
ْ٤٥
ب ﻓﻰ∆ ا ب ﺟـ اﻟﻘﺎﺋم اﻟزاو ﺔ ﻓﻰ ب
وﺗر
ﺟﺗﺎا =
وﺗر
١
ظﺎا =
ج
ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻣﺟﺎور
ا ﻣﺠﺎور
ﺟﺎا =
ﻣﻘﺎﺑﻞ
ﻣﺟﺎور
*
وﺗﺮ ج
ب ﻣﻘﺎﺑﻞ
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ج
- ٣٧ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٣ وزارة ٠
ﻋﻠﻖ ﺟﺴﻢ ﻣﻘﺪاره ٧٢ث.ﺟﻢ ﻓﻰ أﺣﺪ طﺮﻓﻰ ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ
طﻮﻟﮫ ٢٥ﺳﻢ واﻟﻄﺮف اﻻﺧﺮ ﻟﻠﺨﯿﻂ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ وﺟﺬب اﻟﺠﺴﻢ ﺑﺘﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﺣﺘﻰ اﺗﺰن وھﻮ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ٧ﺳﻢ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة واﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ . اﻟﺤﻞ
ﻓﻰ ∆ ا ب ﺟـ ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث ا ب = ؟ ٢٤ = ٢٧ – ٢٢٥ﺳم
ا
٧٢ ش ق = = ٢٤ ٢٥ ٧ Bق=
Bش=
٧ ٧٢ ٢٤
= ٢١ث.ﺟﻢ
٢٥ ٧٢ ٢٤
٢٥ﺳﻢ
ق
ج
٧ﺳﻢ
٧٢
= ٧٥ث.ﺟﻢ
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٢٤ﺳﻢ
و ﺎﻋﺗ ﺎر أن ∆ ا ب ﺟـ ﻫو ﻣﺛﻠث اﻟﻘو
ش
- ٣٨ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ب
ﻗﺎﻋﺪة ﻻﻣﻰ lami's theorem إذا إﺗﺰن ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻗﻮة ﯾﺘﻨﺎﺳﺐ ﻣﻊ ﺟﯿﺐ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ق٢
ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻻﺧﺮﺗﯿﻦ ق ق٢ ق١ ـــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــــ ﺟﺎھـ ٣ ﺟﺎھـ٢ ﺟﺎھـ١ ٣
ھـ٣
ق١
ھـ١
ھـ٢
ق٣
ﻣﺜﺎل٤ وزارة ٠
ﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪاره ١٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ آﺣﺪ طﺮﻓﻰ ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ ﻣﺜﺒﺖ
طﺮﻓﮫ اﻵﺧﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ،أزﯾﺢ اﻟﺜﻘﻞ ﺑﻘﻮة ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﺣﺘﻰ أﺻﺒﺢ اﻟﺨﯿﻂ ﻓﻰ وﺿﻊ اﻟﺘﻮازن ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٣٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة واﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ. اﻟﺤﻞ
ﺣﺴﺐ ﻗﺎﻋﺪة ﻻﻣﻰ ﯾﻜﻮن -: ١٦ ش ق = = ﺟﺎ ٩٠ ﺟﺎ ١٥٠ﺟﺎ ١٢٠ ١٦ﺟﺎ ١٥٠ ق= ﺟﺎ ٩٠ ١٦ﺟﺎ ١٢٠ ش= ﺟﺎ ٩٠
ا ْ٣٠ ش
ق
= ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ .
ب ْ١٢٠
= ٨؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ .
ْ١٥٠
١٦
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٣٩ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺣﻞ أﺧﺮ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻘﻮى
ا ﻧﻤﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ﻟﯿﻼﻗﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﻓﻰ ج ﻓﯿﻜﻮن ∆ ا ب ج ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻘﻮى
ش
ق
∆ Aا ب ج ﺛﻼﺛﯿﻨﻰ ﺳﺘﯿﻨﻰ
؟٣
Bب ج :ج ا :اب = : ٢ : ١؟٣ ١٦ ق ش = = ٢ ١ ؟٣ ١٦ Bق= ٢
Bش=
١
١٦
٢
ب ١
ْ٦٠
ج
١٦
= ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ . ؟٣
٢
ْ٣٠
= ٨؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ .
============================= ﺗﺬﻛﺮ
) ْ٢٧٠ ، ْ٩٠ (١ﺗﻐﯾر ﻟﻔ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺛﻠﺛ ﺔ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ أوﺣذف ﺣرف "ت" ﺟﺎ ) -٩٠ه( = ﺟﺗﺎ ه ) ْ٣٦٠ ، ْ١٨٠ (٢ﻻ ﺗﻐﯾر ﻟﻔ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺛﻠﺛ ﺔ "اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺛﻠﺛ ﺔ ﺗ ﻘﻰ ﻣﺎ ﻫﻰ ﺟﺎ) -١٨٠ه( = ﺟﺎه
) (٣ﻣﻦ ﺧﻮاص اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ :إذا ﻛﺎن
ا ب
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
=
ج ء
ﻓﺈن
- ٤٠ -
ا ج
=
ب ء
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٥
ﻋﻠ وزن ﻣﻘﺪاره"و" ﻧﯾوﺗن ﺑواﺳطﺔ ﺧ طﯾن ﻣﯾﻞ أوﻟﻬﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟرأﺳﻲ ﺑزاو ﺔ ﻫـ و ﻣر ﻋﻠﻰ رﻩ ﺻﻐﯾرة ﻣﻠﺳﺎء و ﺣﻣﻞ ﻓﻰ
ﻧﻬﺎﯾﺗﻪ اﻷﺧر وزﻧﺎً ﻣﻘدارﻩ ١٢ﻧﯾوﺗن و ﻣﯾﻞ اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻋﻠﻰ اﻟرأﺳﻲ ﺑزاو ﺔ ْ٣٠و ﻣر ﻋﻠﻰ رة ﺻﻐﯾرة ﻣﻠﺳﺎء و ﺣﻣﻞ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﯾﺗﻪ
اﻷﺧر وزﻧﺎً ﻣﻘدارﻩ ٨ﻧﯾوﺗن اوﺟد ﻣﻘدار اﻟوزن و
وﻗ ﻣﺔ ﻫـ .
اﻟﺤﻞ
Aاﻟﺨﯿﻂ ﯾﻤﺮﻋﻠﻰ ﺑﻜﺮة ﻣﻠﺴﺎء ﻓﺈن اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ
ﯾﺴﺎوى اﻟﻮزن اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻓﯿﮫ .وﺑﻤﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ﻗﻮة اﻟﻮزن ﻷﻋﻠﻰ ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﻣن ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ ش١ ﺟﺎ٣٠ ١٢ ﺟﺎ٣٠
=
٨ ﺟﺎھـ
ﺟﺎﻫـ
=
ﺟﺎ ھـ ٣٠
=
ق > ﻫـ = ْ١٩ َ٢٨
Bو=
ْ٣٠
١٢ﺟﺎْ٤٩ َ٢٨ ﺟﺎ٣٠
=
١ ٣
ْ٣٠
ھـ ْ٣٠ -١٨٠ﻫـ
ﺟﺎ ھـ ٣٠
١٢
ْ١٩ َ٢٨
ھـ
و
و ﺟﺎ
=
٨ﺟﺎ٣٠
ﺟﺎھـ = B
=
ش٢
و
١٢
٨
١٥٠
٨
١٢ و
١٢ ﺟﺎ٣٠
١٨ Tﻧﯾوﺗن
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٤١ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
وزارة ٠
ﻣﺜﺎل٦
ﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪار وزﻧﮫ ٣٤ث ﺟﻢ ﻣﻦ أﺣﺪ طﺮﻓﻰ ﺧﯿﻂ طﻮﻟﮫ
١٧٠ﺳﻢ ﻣﺜﺒﺖ طﺮﻓﮫ اﻵﺧﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺳﻘﻒ ﺣﺠﺮة ،أﺛﺮت ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ ﻗﻮة ﻓﺎﺗﺰن اﻟﺠﺴﻢ وھﻮ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ٨٠ﺳﻢ رأﺳﯿﺎ أﺳﻔﻞ اﻟﺴﻘﻒ ،أوﺟﺪ ھﺬه اﻟﻘﻮة وﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ إذا ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﻘﻮة -: -٢ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺨﯿﻂ
-١أﻓﻘﯿﺔ اﻟﺤﻞ أوﻻ :إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮة أﻓﻘﯿﺔ
ب
ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس
∆ Aا ب ج ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻘﻮى
٨٠ﺳم
ا ب = ؟ ١٥٠ = ٢٨٠ – ٢١٧٠ﺳم
B
ق
١٥٠ Bق= ٨٠
ش ١٧٠ﺳم
ج
٣٤ ق ش = = ١٧٠ ٨٠ ١٥٠ ٣٤
١٥٠ﺳم
ا
٣٤
= ٦٣.٧٥ث.ﺟﻢ.
١٧٠ ،ش = ٨٠
٣٤
= ٧٢.٧٥ث.ﺟﻢ
ﺛﺎﻧﯿﺎ:إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮة ﻋﻤﻮدﻳﺔ :ﻧﻤﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ﻗﻮة اﻟﻮزن ﻣن ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ
٣٤ ش ق = = ﺟﺎ ٩٠ ﺟﺎ ه ﺟﺎ ) ٩٠ه(
ب
٣٤ ش ق = = ١ ﺟﺎ ه ﺟﺗﺎ ه
ش = ٣٤
١٥٠ ﺟﺎ ه =٣٤ ١٧٠ ٨٠ = ١٦ث.ﺟم ﺟﺗﺎ ه = ٣٤ ١٧٠
= ٣٠ث.ﺟﻢ
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٤٢ -
ا
٨٠ﺳم
ق
ق = ٣٤
١٥٠ﺳم
-٩٠ه
ه
ج
١٧٠ﺳم
ش
٣٤
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٧
ﻋﻠ ﺟﺳم وزﻧﻪ ٦.٥ﻧﯾوﺗن ﺑواﺳطﺔ ﺧ طﯾن طول أﺣدﻫﻣﺎ ٠.٥ﻣﺗر
وزارة ٠
وطول اﻵﺧر ١.٢ﻣﺗر ور اﻟﺧ طﺎن ﻓﻰ ﻧﻘطﺗﯾن ﻣن ﻣﺳﺗﻘ م أﻓﻘﻲ ﺣﯾث ﺎﻧﺎ ﻣﺗﻌﺎﻣدﯾن أوﺟد ﻣﻘدار اﻟﺷد ﻓﻰ ﻞ ﻣن اﻟﺧ طﯾن. اﻟﺤﻞ ﻓﻰ ∆ ا ب ﺟـ ﻣن ﻧظرﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورس ﰈ)١.٣ = ٢(١.٢) + ٢(٠.٥ﻣﺗر
اب= Aﺟﺎ ھـ = Bﺟﺎ
ھـ= ١
ﻣﻘﺎﺑﻞ
ب
وﺗﺮ ٥ ٠.٥
ھـ٢
=
Bﺟﺎ ھـ= ٢
=
و ﺗطﺑﯾ ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ : ش١ ﺟﺎھـ١
ش١ ٥ ١٣
ش٢
=
=
ﺟﺎﻫـ٢
ش٢ ١٢ ١٣
ش٦.٥ = ١
٥ ١٣
ش٦.٥ = ٢
١٢ ١٣
ھـ١
٠.٥م
١٣ ١.٣ ١.٢ ١.٣
١.٣م
ا
١٢ ١٣
=
=
ش٢
ھـ ١ھـ٢
ﺟـ
ش١
١.٢م
٦.٥ ﺟﺎ٩٠ ٦.٥
٦.٥
١
= ٢.٥ﻧﯿﻮﺗﻦ = ٦ﻧﯾوﺗن
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٤٣ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٨
وزارة ٠
ﺧﯿﻂ أﻣﻠﺲ طﻮﻟﮫ ٣٠ﺳﻢ ،رﺑﻂ ﻣﻦ طﺮﻓﯿﮫ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ا ،ب
ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ا ب أﻓﻘﯿ ًﺎ ،ا ب = ١٨ﺳﻢ ﻓﺈذا إﻧﺰﻟﻘﺖ ﺣﻠﻘﺔ ﻣﻠﺴﺎء وزﻧﮭﺎ ١٥٠ث ﺟﻢ ﻋﻠﻰ اﻟﺨﯿﻂ .أﺛﺒﺖ أﻧﮫ ﻓﻰ وﺿﻊ اﻻﺗﺰان ﯾﻜﻮن طﻮﻻ ﻓﺮﻋﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻣﺘﺴﺎوﯾ ًﺎ ﺛﻢ أوﺟﺪ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ. Aاﻟﺤﻠﻘﺔ ﻣﻠﺴﺎء
اﻟﺤﻞ
Bاﻟﺸﺪ ﻓﻰ طﺮﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻣﺘﺴﺎوى
ء
ب
ا
وﺑﺈﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻋﺪة ﻻﻣﻰ : ١٥٠ ش = ﺟﺎھـ١ ﺟﺎ)ه ١ه(٢
=
ش
ش
ج
ه٢
١٥٠
٢
٩ﺳم
٧.٥ﺳم
= ٩ﺳﻢ .
ء
٧.٥ﺳم
ش
⃖ وﺑﺮﺳﻢ ءو //ا ج وﯾﻘﻄﻊ ب ج ﻓﻰ و
٩ﺳم
١٢ﺳم
Aج ء ⊥ ا ب وﺑﺘﻄﺎﺑﻖ ∆ ∆ ا ء ج ،ب ء ج ب ٣٠ = ١٥ﺳﻢ . اج = ج ب = ١٨ اء=ءب = ٢
ه ١ه٢
ﺟﺎﻫـ٢
Bﺟﺎ ه = ١ﺟﺎ ه G ٢ه= ١
ش
و ٧.٥ﺳم
ا ش
١٥ﺳم
ج
١٥٠
Bو ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ج ،وج = ب و = ٧.٥ﺳﻢ ،ء و = ٧.٥ﺳﻢ)ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺧﺎرج ﻣﻦ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ( ﻣﻦ ھﻨﺪﺳﺔ اﻟﺸﻜﻞ ∆ ج ء و ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻘﻮى ش B ٧.٥
=
١٥٠ ١٢
١٥٠ ٧.٥ Gش= ١٢
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٤٤ -
= ٩٣.٧٥ث.ﺟﻢ
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
إﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋﻞ أﻣﻠﺲ * إذا وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ )و( ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋﻞ أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ )ه( ﻓﺈن اﻟﺠﺴﻢ ﯾﻜﻮن واﻗﻌﺎ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻠﮭﻤﺎ ﻟﯿﺲ واﺣﺪ وﻟﻜﻰ ﯾﺤﺪث اﻻﺗﺰان ﻻﺑﺪ ﻣﻦ وﺟﻮد ﻗﻮة ﺛﺎﻟﺜﺔ )ق( وﺗﺄﺧﺬ أﺣﺪ اﻷﺷﻜﺎل اﻷﺗﯿﺔ -: -٢اﻟﻘﻮة أﻓﻘﯿﺔ
-١اﻟﻘﻮة ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ﻷﻋﻠﻰ ق
-٣اﻟﻘﻮة ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ﯾﻤﯿﻞ ﺑﺰاوﯾﺔ
ر
ق
ر ق
ھ ـ
ر ى
ھ و
ى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻷﻋﻠﻰ
ھـ و
ھـ
و
ﻣﻼﺣﻈﺔ رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻷﻣﻠﺲ ر ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٤٥ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٩
وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻲ ﺑﺰاوﯾﺔ ٣٠اذا ﺣﻔﻆ اﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻮة ق ﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ْ ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻰ أﻋﻠﻰ ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ھﺬه اﻟﻘﻮة ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ. اﻟﺤﻞ
اﻟﺟﺳم ﻣﺗزن ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر اﻟﻘو اﻟﺗﻰ ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ
ر
ق ،ر ،و ﻧﯾوﺗن
ق
و ﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﺎﻟﺷ ﻞ ﻓﺈن :
ْ٩٠
) (١اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ق ،و =ْ١٢٠
ْ١٢٠
) (٢اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ق ،ر = ْ٩٠
ْ٦٠
) (٣اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ر ،و = ْ١٥٠ = ْ٦٠ + ْ٩٠
ْ٣٠
و ﺗطﺑﯾ ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ ون : ق
=
ﺟﺎ ْ١٥٠
Bق= ،ر=
٦ ﺟﺎْ٩٠
٦ﺟﺎ ْ١٥٠ ﺟﺎْ٩٠
٦ﺟﺎ ْ١٢٠ ﺟﺎْ٩٠
=
ر
ْ٩٠
٦
ﺟﺎ ْ١٢٠
= ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ . = ٣؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ .
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٤٦ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١٠
وزارة ٠
ﺟﺳم ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗوازن ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺗو ﻣﺎﺋﻞ أﻣﻠس ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﻗوة
ﺗﻌﻣﻞ ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﺳﺗو إﻟﻰ أﻋﻠﻲ وﻣﻘدارﻫﺎ ﺳﺎو ﻧﺻﻒ ﻣﻘدار وزن اﻟﺟﺳم .أوﺟد زاو ﺔ ﻣﯾﻞ اﻟﻣﺳﺗو ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻲ ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻣﺳﺗو . اﻟﺤﻞ
اﻟﺟﺳم ﻣﺗزن ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﺛﻼث ﻗو ﻫﻰ : ) (١وزن اﻟﺟﺳم و ؤﺛر رأﺳ ﺎً ﻷﺳﻔﻞ . ١ ق= ٢و ) (٢ﻗوة رد ﻓﻌﻞ اﻟﻣﺳﺗو ر . ) (٣اﻟﻘوة اﻟﺗﻰ ﺗﻌﻣﻞ ﻓﻰ اﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﺳﺗو ق. ﻔرض أن اﻟﻣﺳﺗو ﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻲ
ر ٩٠ ٩٠ +٩٠ھـ
-٩٠ھـ
ﺑزاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ﻫـ
ھـ
ﻗ ﺎس اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن اﻟﻘوة ق ،واﻟﻮزن و = - ْ٩٠) – ْ١٨٠ﻫـ( = + ْ٩٠ – ْ١٨٠ﻫـ= + ْ٩٠ﻫـ
و
ﻗ ﺎس اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن اﻟﻘوة ق ورد اﻟﻔﻌﻞر = ْ٩٠
ﻗ ﺎس اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن رد اﻟﻔﻌﻞر واﻟوزن و ﻣن ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ ر ﺟﺘﺎ ھـ
=
١ ٢
ر ٩٠ه( ﺟﺎ ) ْ
و
ﺟﺎ ھـ
=
و ١
ق
=
ﺟﺎ ْ١٨٠
Gوﺟﺎﻫـ =
ر= وﺟﺘﺎ ھـ = و ﺟﺘﺎ = ٣٠ ﺣﻞ آﺧﺮ :
= – ْ٩٠ + ْ٩٠ﻫـ = – ْ١٨٠ﻫـ
؟ ٣ ٢
١ ٢
ه
=
و ﺟﺎ ٩٠
و Gﺟﺎھـ =
١ ٢
Gھـ =ْ٣٠
و
ﻣ ن ﺗﺣﻠﯾﻞ ﻗوة وزن اﻟﺟﺳم ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻫﯾن ﻣﺗﻌﺎﻣدﯾن ﺎﻵﺗﻲ :
ق = وﺟﺎﻫـ Gو = و ﺟﺎﻫـ Gﺟﺎﻫـ= ١ ٢
١ ٢
١ ق= ٢
و
Gھـ =ْ٣٠ = ٣٠ ر = و ﺟﺗﺎ ْ
ر
وﺟﺎھـ
؟ ٣ ٢
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
وﺟﺘﺎھـ ھـ
و - ٤٧ -
ھـ و
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١١ وزارة ٠
ث.اﻟﺴﻠﯿﻤﺎت ٢٠١٧/٢٠١٦وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ٨٠٠ث ﺟﻢ
ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه ﺣﯿﺚ ﺟﺎ ه = ٠.٦ وﺣﻔﻆ اﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ھﺬه اﻟﻘﻮة ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ. اﻟﺟﺳم ﻣﺗزن ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر اﻟﻘو اﻟﺗﻰ ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ
اﻟﺤﻞ
ق ،ر ،و ﻧﯾوﺗن
ر
و ﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﺎﻟﺷ ﻞ ﻓﺈن :
) (١اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ق ،و =ْ٩٠
ه
ق
) (٢اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ق ،ر = + ْ٩٠ه
ْ٩٠
ْ٩٠
) (٣اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ر ،و = - ْ١٨٠ه
ْ٩٠
- ْ٩٠ه
ه
و ﺗطﺑﯾ ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ ون : ق ﺟﺎ) ْ١٨٠ه( ق ﺟﺎھـ
ق ٣ ٥
ق= ر=
=
٨٠٠ ﺟﺘﺎھـ
٨٠٠
=
٨٠٠ ٤ ٥
٨٠٠ ٤ ٥
٤ ٥
=
= = ٣ ٥
٨٠٠ ﺟﺎ) ْ٩٠ه(
=
ر
٨٠٠
ﺟﺎ٩٠
ر ﺟﺎ٩٠ ر ١
٣ ٦ ﺟﺎ ه= = =٠.٦ ٥ ١٠ ٤ ﺟﺘﺎ ه= ٥
= ٦٠٠ث.ﺟﻢ
٥
٣ ٤
ه
= ١٠٠٠ث.ﺟﻢ
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٤٨ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١٢ وزارة ٠
وﺿﻊ ﺟﺳم وزﻧﻪ ٦ﻧﯾوﺗن ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺗو أﻣﻠس ﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻲ
ﺑزاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ه ﺣﻔ ﺗوازﻧﻪ ﺑواﺳطﺔ ﻗوة ﻣﻘدارﻫﺎ ٢؟ ٣ﻧﯾوﺗن وﺗﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ ﺧ أﻛﺑر ﻣﯾﻞ ﻟﻠﻣﺳﺗو ﺑزاو ﺔ ﻟﻬﺎﻧﻔس اﻟﻘ ﺎس ه ﻷﻋﻠﻰ أوﺟد ﻗ ﻣﺔ ه ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻣﺳﺗو ﻋﻠﻰ اﻟﺟﺳم .
اﻟﺤﻞ
اﻟﺟﺳم ﻣﺗزن ﺑﺗﺄﺛﯾر اﻟﻘو اﻟﺗﻰ ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ ق ،ر ،و ﻧﯾوﺗن
٢؟٣
ر
و ﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﺎﻟﺷ ﻞ ﻓﺈن :
) (١اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ق ،و = ٢+ ْ٩٠ه
ھـ -٩٠ھـ
) (٢اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ق ،ر = - ْ٩٠ه
+٩٠ھـ
) (٣اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ر ،و =- ْ١٨٠ه
٩٠ -٩٠ھـ
و ﺗطﺑﯾ ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ ون : ٢؟٣ ﺟﺎ) ١٨٠ھـ( ٢؟٣ ﺟﺎ ھـ ﺟﺎ ه ﺟﺗﺎ ه ٢؟٣ ﺟﺎ ٣٠
= = =
=
٦ ﺟﺎ ٩٠ھـ
٦ ﺟﺘﺎ ھـ
=
٢؟٣ ٦ ر ﺟﺘﺎ ٦٠
ھـ
=
ر ﺟﺎ ٢ ٩٠ھـ
٦
ر وﻣﻦ ﺧﻮاص اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﯾﻜﻮن: ﺟﺘﺎ ٢ھـ ؟٣
Gظﺎ ه= Gر=
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
Gه=ْ٣٠
٣
٢؟٣
ﺟﺘﺎ٦٠
ﺟﺎ ٣٠
- ٤٩ -
= ٢؟ ٣ﻧﯾوﺗن
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(٣ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮة اﻟﺘﻰ ﻣﻘﺪارھﺎ ق ﻣﺘﺰﻧﺔ ﻣﻊ ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٤ ، ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ق = ..................ﻧﯿﻮﺗﻦ -٢إذا ﻣُﺜﻠﺖ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ وﻣﺘﺰﻧﺔ وﻣﺄﺧﻮذه ﻓﻰ اﺗﺠﺎه دورى واﺣﺪ ﺑﺄﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻓﺈن أطﻮال أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ........................ -٣اﻷزھﺮ :٢٠١٤/٢٠١٣إذا اﺗﺰن ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻗﻮة ﯾﺘﻨﺎﺳﺐ ﻣﻊ ..................... -٤ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪار وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ وﻣﺘﺰﻧﺔ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ أى ﻗﻮﺗﯿﻦ ﯾﺴﺎوي ......................... -٥إذا اﺗﺰﻧﺖ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈن ﻣﺤﺼﻠﺔ أى ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﻜﻮن....... -٦ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ :ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﻣﺘﺰﻧﺔ وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈن ش ............. =١ﻧﯿﻮﺗﻦ ،
ش٢
ش١
ش ............. =٢ﻧﯿﻮﺗﻦ
ْ١٢٠
) ٢ا( اﻷزھﺮ -:٢٠١٣/٢٠١٢أذ ر ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ.
٦ﻧﯿﻮﺗﻦ
)ب( اﻷزھﺮ ٢٠١٤/٢٠١٣ﻣﺎ ھﻰ ﺷﺮوط إﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻓﻘﻂ ؟ =============================================== ٣
وزارة ٠
ﺛﻼث ﻗو ﻣﺳﺗو ﺔ وﻣﺗﻼﻗ ﺔ ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ ق ، ٨ =١ق ٤=٢؟، ٣
ق ٤ =٣ث.ﺟم أوﺟد اﻟزوا ﺎ اﻟﺛﻼﺛﺔ ﺑﯾن ﺧطو ﻋﻣﻞ اﻟﻘو اﻟﺛﻼﺛﺔ ﻋﻠﻣﺎ ﺄن
اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣﺗزﻧﺔ.
أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
[ ْ١٥٠ ، ْ١٢٠ ، ٩٠ ] ْ
- ٥٠ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
٤اﻷزھﺮ"٢٠١٣/٢٠١٢ﻣﺘﺨﻠﻔﯿﻦ " ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ٨٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﻌﻠﻖ ﻓﻰ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﺧﯿﻂ طﻮﻟﮫ ٥٠ﺳﻢ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﺟﺬب اﻟﺠﺴﻢ ﺑﺘﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﺣﺘﻰ إﺗﺰن وھﻮ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ]ق=٦٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ش= ١٠٠ﻧﯿﻮﺗﻦ[
٣٠ﺳﻢ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ واﻟﻘﻮة اﻷﻓﻘﯿﺔ .
=============================================== ٥ث.اﻟﺴﻠﯿﻤﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ طﻮﻟﮫ ٢٥ﺳﻢ ﻋﻠﻖ ﺑﮫ وزن ﻣﻘﺪاره ٢٠٠ث.ﺟﻢ وطﺮﻓﮫ اﻷﺧﺮﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻣﻦ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﺣﻔﻆ ﻓﻰ ﺗﻮازن ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن ﺑﻌﺪ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢٤ﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ]ش=
واﻟﻘﻮة اﻷﻓﻘﯿﺔ.
٥٠٠٠ ٧
ث.ﺟم ،ق =
٤٨٠٠ ٧
ث.ﺟم [
=============================================== ﺻﻧﻊ
أزﺣت رة ﺑﻧدول وزﻧﻬﺎ ١ﻧﯾوﺗن ﺣﺗﻰ ﺻﺎر اﻟﺧ
٦اﻻدارة٢٠١٣/٢٠١٢ زاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ ٣٠ﻣﻊ اﻟرأﺳﻲ ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﻗوة ﻋﻠﻰ اﻟﻛرة ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺧ ؟ ٣
أوﺟد
٢؟ ٣
ﻣﻘدار اﻟﻘوة وﻣﻘدار اﻟﺷد ﻓﻰ اﻟﺧ . =============================================== ]ق =
٧
وزارة ٠
٣
ﻧﯾوﺗن ،ش =
٣
ﻧﯾوﺗن [
ﻋﻠ ﺟﺳم وزﻧﻪ٢٠٠ث.ﺟم ﺑواﺳطﺔ ﺧ طﯾن ﺧﻔ ﻔﯾن ﻣﯾﻞ أﺣدﻫﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟرأﺳﻰ
ﺑزاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ه و ﻣﯾﻞ اﻟﺧ اﻟﺷد ﻓﻰ اﻟﺧ
اﻷﺧر ﻋﻠﻰ اﻟرأﺳﻰ ﺑزاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٣٠ﻓﺈذا ﺎن ﻣﻘدار
اﻷول ﺳﺎو ١٠٠ث ﺟم أوﺟد ﻗ ﻣﺔ ه وﻣﻘدار اﻟﺷد ﻓﻰ اﻟﺧ
اﻟﺛﺎﻧﻰ.
] ه= ، ْ٦٠ش ١٠٠ = ٢؟[ ٣
=============================================== ٨
وزارة ٠
ﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪار وزﻧﮫ ٦٠ث ﺟﻢ ﻣﻦ أﺣﺪ طﺮﻓﻰ ﺧﯿﻂ طﻮﻟﮫ ٢٨ﺳﻢ ﻣﺜﺒﺖ طﺮﻓﮫ
اﻵﺧﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺳﻘﻒ ﺣﺠﺮة ،أﺛﺮت ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ ﻗﻮة ﻓﺎﺗﺰن اﻟﺠﺴﻢ وھﻮ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ١٤ﺳﻢ رأﺳﯿﺎ أﺳﻔﻞ اﻟﺴﻘﻒ أوﺟﺪھﺬه اﻟﻘﻮة وﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ إذا ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﻘﻮة -: -١أﻓﻘﯿﺔ -٢ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺨﯿﻂ أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] ش= ١٢٠ث.ﺟﻢ ،ق= ٦٠؟ ٣ث.ﺟﻢ [ ] ش= ٣٠ث.ﺟﻢ ،ق= ٣٠؟ ٣ث.ﺟﻢ [
- ٥١ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
٩
وزارة ﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪاره ٥٠ث ﻛﺠﻢ ﺑﺨﯿﻄﯿﻦ طﻮﻻھﻤﺎ ٦٠ﺳﻢ ٨٠ ،ﺳﻢ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ٠
ﺧﻂ أﻓﻘﻲ واﺣﺪ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ١٠٠ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺨﯿﻄﯿﻦ ======================================] ٣٠ ، ٤٠ث ﻛﺠﻢ [
١٠ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ رﺑﻂ ﻣﻦ طﺮﻓﯿﮫ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ب ،ﺟـ ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ب ج أﻓﻘﯿﺎ = ١٨ﺳﻢ ﻓﺈذا إﻧﺰﻟﻘﺖ ﻋﻠﻰ اﻟﺨﯿﻂ .ﺣﻠﻘﺔ ﺻﻐﯿﺮة ﻣﻠﺴﺎء وزﻧﮭﺎ٢٠ث ﺟﻢ ﻓﺄﺻﺒﺢ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻓﺮﻋﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪ وﺿﻊ اﻟﺘﻮازن ْ ٩٠أﺛﺒﺖ أن ﻓﺮﻋﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن ﻓﻲ اﻟﻄﻮل ﺛﻢ ]ش= ١٠؟ ٢ث .ﺟﻢ[
أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ.
=============================================== ١١وزارة وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ) و ( ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ٠ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ٣٠وﺣﻔﻆ اﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ﺑﺘﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮة ﻣﻘﺪارھﺎ ٣٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ﻷﻋﻠﻰ .اﺣﺴﺐ ﻣﻘﺪار وزن اﻟﺠﺴﻢ وﻣﻘﺪار رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى. ] و= ٧٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ر = ٣٦؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ [
=============================================== ١٢وزارة وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ٣٠ث ﻛﺠﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ٠ ٤٥وﺣﻔﻆ اﺗﺰان اﻟﺠﺴﻢ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ .أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى. ْ ]ق =٣٠ث .ﺟم ،ر= ٣٠؟ ٢ث .ﺟم[
=============================================== ١٣وزارة وﺿﻊ ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ٢٠ث ﻛﺠﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﻣﺎﺋﻞ أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ٠ ٤ ى ﺣﯿﺚ ﺣﺘﺎ ى = وﻣﻨﻊ ﻣﻦ اﻻﻧﺰﻻق ﺑﺘﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ق أوﺟﺪ ق وﻛﺬﻟﻚ ٥
]ق =١٥ث .ﺟم ،ر= ٢٥ث .ﺟم[
رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى. =============================================== ١٤وزارة وﺿﻊ ﺟﺳم وزﻧﻪ ١٨ﻧﯾوﺗن ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺗو أﻣﻠس ﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻲ ﺑزاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ٠ ْ ٣٠ﺣﻔ ﺗوازﻧﻪ ﺑواﺳطﺔ ﻗوة ﻣﻘدارﻫﺎق ﻧﯾوﺗن وﺗﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ ﺧ أﻛﺑر ﻣﯾﻞ ﻟﻠﻣﺳﺗو ﺑزاو ﺔ ﻟﻬﺎﻧﻔس اﻟﻘ ﺎس ْ٣٠ﻷﻋﻠﻰ أوﺟد ﻣﻘدار ﻫذﻩ اﻟﻘوة ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻣﺳﺗو ﻋﻠﻰ اﻟﺟﺳم
]ق =ر= ٦؟ ٣ﻧﯾوﺗن[ أ/ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٥٢ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
إﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ
ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث
إذا إﺗﺰن ﺟﺴﻢ ﺟﺎﺳﺊ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻮازﯾﺔ وﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻓﺈن ﺧﻄﻮط ﻋﻤﻞ ھﺬه اﻟﻘﻮى ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة. ﻣﻼﺣﻈﺎت
١وزن اﻟﻘﺿﯾب اﻟﻣﻧﺗظم أو اﻟﺳﻠم اﻟﻣﻧﺗظم ﯾؤﺛر ﻓﻰ ﻣﻧﺗﺻﻔﻪ . ٢وزن اﻟﻛرة ﯾؤﺛر ﻓﻰ ﻣر زﻫﺎ اﻟﻬﻧدﺳﻲ .
إذا ارﺗﻛز ﺟﺳم ﻋﻠﻰ ﺳطﺢ أﻣﻠس ﻓﺈن ﻗوة رد اﻟﻔﻌﻞر ﺗﻛون ﻋﻣود ﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺳطﺢ.
٣
إذا ارﺗﻛز ﺟﺳم ﻋﻠﻰ ﺳطﺢ ﺧﺷن ﻓﺈن ﻗوة رد اﻟﻔﻌﻞ ر ﻣﺟﻬوﻟﺔ اﻻﺗﺟﺎﻩ
٤
وﺗﻣر ﺑﻧﻘطﺔ ﺗﻘﺎطﻊ ﺧطﻰ ﻋﻣﻞ اﻟﻘوﺗﯾن اﻷﺧرﺗﯾن .
ﺗﺬﻛﺮ أن ======================================== ١طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠزاو ﺔ ْ٣٠ﻓﻰ اﻟﻣﺛﻠث اﻟﻘﺎﺋم اﻟزاو ﺔ ﺳﺎو ﻧﺻﻒ طول اﻟوﺗر
ا
ا ب = ا ﺟـ
ب
١ ٢
٢طول ﻣﺗوﺳ اﻟﻣﺛﻠث اﻟﻘﺎﺋم اﻟزاو ﺔ اﻟﺧﺎرج ﻣن رأس اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ﺳﺎو ﻧﺻﻒ طول اﻟوﺗر بء =
١ ٢
ا ﺟـ
٣٠ ٠
ﺟـ ا
ء ب
ﺟـ
ب ء = ا ء = ء ﺟـ
٣اﻟﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘ ﻣﺔ اﻟﻣرﺳوﻣﺔ ﺑﯾن ﻣﻧﺗﺻﻔﻰ ﺿﻠﻌﯾن ﻓﻰ ﻣﺛﻠث ﺗواز اﻟﺿﻠﻊ اﻟﺛﺎﻟث وطوﻟﻬﺎ ﺳﺎو ﻧﺻﻒ طوﻟﻪ . ا ا ( ء ﻫـ ب ﺟـ ب( ء ﻫـ =
١ ٢
= ء = ب
ب ﺟـ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٥٣ -
\
ھـ \ ﺣـ
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١
وزارة ٠
رة ﻣﻠﺳﺎء وزﻧﻬﺎ ١٥ﻧﯾوﺗن ﺗﺳﺗﻧد ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋ رأﺳﻲ أﻣﻠس ﻣﺛﺑت أﺣد طرﻓ ﻪ ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻋﻠﻰ ﺳطﺣﻬﺎ وطرﻓﻪ
وﻣﻌﻠﻘﺔ ﺑﺧ
اﻵﺧر ﻓﻰ اﻟﺣﺎﺋ ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ا أﻋﻠﻲ ﻧﻘطﺔ ﺗﻣﺎس اﻟﻛرة ﺗﻣﺎﻣﺎً . ﺳﺎو طول ﻧﺻﻒ ﻗطر اﻟﻛرة .أوﺟد
ﻓﺈذا ﺎن طول اﻟﺧ
.
اﻟﺿﻐ ﻋﻠﻰ اﻟﺣﺎﺋ واﻟﺷد ﻓﻰ اﻟﺧ
ا اﻟﻛرة ﻣﺗزﻧﺔ ﺑﺗﺄﺛﯾر ﺛﻼث ﻗو ﻫﻰ -:
ش
اﻟﺤﻞ
) (٢رد ﻓﻌﻞ اﻟﺣﺎﺋ ر.
) (٣اﻟﺷد ﻓﻰ اﻟﺧ ش.
ر
ْ٦٠ ْ١٢٠
Aﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ﻗوﺗﻲ اﻟوزن ورد اﻟﻔﻌﻞ ﺗﺗﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔم Bﻗوة اﻟﺷد ﻓﻰ اﻟﺧ Aطول اﻟﺧ
؟٣
) (١وزن اﻟﻛرة و= ١٥ﻧﯾوﺗن .
٢
ْ٣٠
م
ﯾﺟب أن ﻣر ﺧ ﻋﻣﻠﻬﺎ ﺎﻟﻧﻘطﺔ م .
١
ﺳﺎو طول ﻧﺻﻒ ﻗطر اﻟﻛرة .
Bم ب = ﻧﻖ ،ا م= ٢ﻧﻖ ﻣن ﻧظرﺔ ﻓﯾﺛﺎﻏورث-: اب=
٢
١٥ ٢
٢ﻖ( -ﻧﻖ = ﰈ) ﻧ
٢
٢
٢
ﰈ٣ﻧﻖ = ؟ ٣ﻧﻖ
ﰈ٤ﻧﻖ -ﻧﻖ =
Bاﻟﻧﺳ ﺔ ﺑﯾن أطوال أﺿﻼﻋﻪ ﻫﻰ ب م :ا م :ا ب = ﻧﻖ ٢ :ﻧﻖ :؟ ٣ﻧﻖ = : ٢ : ١ ∆ Bا ب م ﻫو ﻣﺛﻠث اﻟﻘو Bر= Bش=
١٥ ١ ؟٣
١٥ ٢ ؟ ٣
B
ر ١
=
ش ٢
؟٣
=
١٥ ؟٣
= ٥؟ ٣ﻧﯾوﺗن = ١٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٥٤ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ب
١ Aبم= ٢
ﻓﻰ ∆ ا ب م اﻟﻘﺎﺋم اﻟزاو ﺔ ﻓﻰ ب
ﺣﻞ اﺧﺮ
ام
Bق )ا ( = G ْ٣٠ق )م(= ْ٦٠وﻣن ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ ون: ر ﺟﺎ١٥٠
Gر= \
١٥ﺟﺎ١٥٠ ﺟﺎ١٢٠
ﻣﺜﺎل٢
=
ش ﺟﺎ٩٠
=
١٥ ﺟﺎ١٢٠
= ٥؟ ٣ﻧﯾوﺗن ،ش =
١٥ﺟﺎ٩٠ ﺟﺎ١٢٠
= ١٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن
رة ﻣﺻﻣﺗﺔ ﺗرﺗﻛز ﻋﻠﻰ ﻗﺿﯾﺑﯾن ﻣﺗوازﯾن ﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻣﺳﺗو
وزارة ٠
أﻓﻘﻲ واﺣد واﻟ ﻌد ﺑﯾﻧﻬﻣﺎ ﺳﺎو طول ﻧﺻﻒ ﻗطر اﻟﻛرة أوﺟد اﻟﺿﻐ
ﻋﻠﻰ ﻞ ﻣن اﻟﻘﺿﯾﺑﯾن إذا ﺎن وزن اﻟﻛرة ﺳﺎو ١٠ﻧﯾوﺗن . اﻟﺤﻞ اﻟﻛرة ﻣﺗزﻧﺔ ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﺛﻼث ﻗو ﻫﻰ : ) (١رد ﻓﻌﻞ ﻞ ﻣن اﻟﻘﺿﯾﺑﯾن ر، ١
ر٢
ر٢
ر١
) (٢وزن اﻟﻛرة و = ١٠ﻧﯾوﺗن
٦٠
Aاﻟ ﻌد ﺑﯾن اﻟﻘﺿﯾﺑﯾن ا ب = طول ﻧﺻﻒ
١٢٠
ﻗطر اﻟﻛرة ﻧﻖ
ﺟـ
٣٠ ٣٠
∆ Bا ب ﺟـ ﻣﺗﺳﺎو اﻷﺿﻼع
ا
٦٠
٦٠
ب
و ﺗطﺑﯾ ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻲ : ر١ ﺟﺎ١٥٠ ر= ١
=
١٠ﺟﺎ١٥٠ ﺟﺎ٦٠
ر٢
ﺟﺎ١٥٠
=
=
١٠ ﺟﺎ٦٠
١٠؟ ٣ ٣
١٠
ﻧﯾوﺗن
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٥٥ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٣
رة ﻣﻠﺳﺎء ﻣن اﻟﺣدﯾد وزﻧﻬﺎ ٣٠ﻧﯾوﺗن
اﻻدارة :٢٠١٣/٢٠١٢
ﻣﺳﺗﻘرة ﺑﯾن ﺣﺎﺋ رأﺳﻲ أﻣﻠس وﻣﺳﺗو
ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٦٠أوﺟد ﺿﻐ
ﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻲ ﺑزاو ﺔ
ﻞ ﻣن اﻟﺣﺎﺋ واﻟﻣﺳﺗو ﻋﻠﻰ اﻟﻛرة. اﻟﺤﻞ ر٢
Aاﻟﺣﺎﺋ واﻟﻣﺳﺗو ﻣﻠﺳﺎوان
Bر ، ١ر ٢ﻋﻣود ﺎن ﻋﻠﯾﻬﻣﺎ
ْ١٥٠
ر١
ْ٣٠
ْ٩٠ ْ٣٠ ْ٦٠
و ﻣران ﻣر ز اﻟﻛرة
اﻟﻛرة ﻣﺗزﻧﺔ ﺑﺗﺄﺛﯾر ﺛﻼث ﻗو ﻫﻰ : ) (١وزن اﻟﻛرة و = ٣٠ﻧﯾوﺗن . ) (٢رد ﻓﻌﻞ اﻟﺣﺎﺋ ر. ١
٦٠
٣٠
) (٣رد ﻓﻌﻞ اﻟﻣﺳﺗو ر.٢ ﻣن ﻗﺎﻋدة ﻻﻣﻰ: ر١ ﺟﺎ١٢٠
=
ر= ١ ر= ٢
ر٢ ﺟﺎ٩٠
٣٠
=
٣٠ﺟﺎ١٢٠ ﺟﺎ١٥٠ ٣٠ﺟﺎ٩٠ ﺟﺎ١٥٠
٣٠ ﺟﺎ١٥٠
= ٣٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن
= ٦٠ﻧﯾوﺗن
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٥٦ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
وزارة ٠
ﻣﺜﺎل٤
اﻹدارة ٢٠١٦/ ٢٠١٥اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ٤٠ﺳﻢ
وزﻧﮫ ٣٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺘﺼﻞ ﺑﻤﻔﺼﻞ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﻋﻨﺪ ا ﺣﻔﻆ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ ﯾﺘﺼﻞ ﺑﻄﺮف اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻨﺪ ب وﺑﻨﻘﻄﺔ ج ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺗﻌﻠﻮ ا رأﺳﯿ ًﺎ ﺑﻤﺴﺎﻓﺔ ٤٠ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺸﺪ وﻣﻘﺪاروإﺗﺠﺎه رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ﻋﻨﺪ ا اﻟﻘﺿﯾب ﻣﺗزن ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﺛﻼث ﻗو ﻫﻰ -: ) (١ﻗﻮة وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ٣٠ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﺆﺛﺮ رأﺳﯿﺎ ً ﻷﺳﻔﻞ ) (٢ﻗﻮة اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ش ) (٣رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ر وﯾﻤﯿﻞ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ. اﻟﺤﻞ
ج ش
Aﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ﻗوﺗﻲ اﻟوزن واﻟﺷد ﺗﺗﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔء
ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎ ﻏﻮرث -: ﻓﻰ ∆ا ب ج : بج =
٢
ﻓﻰ ∆ا مء : اء =
ه
٢
ﰈ) ٤٠ = (٤٠) + (٤٠؟ ٢ﺳﻢ ٢
ب
B
٢٠؟٢
٢٠ﺳﻢ
ا
٢
٣٠
∆ Bا ء ج ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻘﻮى ر
م
٢٠ﺳﻢ
ﰈ) ٢٠ = (٢٠) + (٢٠؟ ٢ﺳﻢ
=
٢٠ﺳﻢ
٢٠؟ ٢ﺳﻢ
٢٠؟ ٢ﺳﻢ
ﺣﺎﺋﻂ
١ Bءم = اج = ٢٠ﺳﻢ ٢
٤٠ﺳﻢ
Bﺧ ﻋﻣﻞ ﻗوة رد ﻓﻌﻞ اﻟﻣﻔﺻﻞ ﯾﺟب أن ﻣر ﺧ ﻋﻣﻠﻬﺎ ﺎﻟﻧﻘطﺔ ء . ر ⃐ ء Aم ﻣﻨﺘﺼﻒ اب ،ءم //ج ا Bء ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ج
٢٠؟ ٢ﺳﻢ
ش ٢٠؟٢
=
٣٠ ٤٠
٣٠ Gر=ش= ٤٠
٢٠؟ ١٥= ٢؟ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ
Aرد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ﯾﻤﯿﻞ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ٢٠ Bﻓﻰ ∆ا ء م ظﺎ ه = ٢٠
=١
Gه = ْ٤٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٥٧ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٥
اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ١٤٠ﺳﻢ وزﻧﮫ ٤٨٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺘﺼﻞ ﺑﻤﻔﺼﻞ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﻋﻨﺪ ا أﺛﺮت ﻓﻲ طﺮﻓﮫ اﻷﺧﺮ ب اﻟﻘﻮة ق ﻓﻲ اﻹﺗﺠﺎه اﻷﻓﻘﻰ ﻓﺈﺗﺰن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﻲ وﺿﻊ ﯾﻜﻮن ﻣﺎﺋﻼ ﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٣٠ أوﺟﺪ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة ق وﻣﻘﺪاروإﺗﺠﺎه رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ﻋﻨﺪ ا
اﻟﻘﺿﯾب ﻣﺗزن ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﺛﻼث ﻗو ﻫﻰ -: ) (١ﻗﻮة وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ٤٨٠ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﺆﺛﺮ رأﺳﯿﺎ ً ﻷﺳﻔﻞ ) (٢اﻟﻘﻮة اﻷﻓﻘﯿﺔ ق ) (٣رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞرﻋﻨﺪ ا وﯾﻤﯿﻞ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ
اﻟﺤﻞ
ر
ا
٧٠ﺳﻢ
Aﺧطﻰ ﻋﻣﻞ ﻗوﺗﻲ اﻟوزن واﻟﻘوة اﻷﻓﻘ ﺔ ﺗﺗﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔء Bﺧﻂ ﻋﻤﻞ ﻗﻮة رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ﯾﺠﺐ أن ﯾﻤﺮ ﺧﻂ م ﻋﻤﻠﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ء أﯾﻀﺎ . ⃖ ٧٠ﺳﻢ Aم ﻣﻨﺘﺼﻒ اب ،مء //ا ج
٣٥؟ ٧ﺳﻢ
ﺣﺎﺋﻂ
Bء ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ج ْ٣٠
ق
ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻰ ∆ا ب ج بج =
ب
٣٥؟ ٣ﺳﻢ
٣٥؟ ٣ﺳﻢ
ج
٤٨٠
ﰈ) ٧٠ = (٧٠) - (١٤٠؟ ٣ﺳﻢ ٢
ه
ء
٧٠ﺳﻢ
٢
ﻓﻰ ∆ا ء ج ا ء=
٢
٢
ﰈ) ٣٥) + (٧٠؟ ٣٥ = ( ٣؟ ٧ﺳﻢ
∆ Aا ء ج ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻘﻮى Gر=
٣٥ ٤٨٠؟٧ ٧٠
B
ر ٣٥؟٧
=
ق ٣٥؟٣
= ٢٤٠؟ ٧ث.ﺟﻢ ،ق=
ﻹﯾﺠﺎد إﺗﺠﺎه رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ - :ﻓﻰ ∆ا ء ج ظﺎ ه = أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
=
٤٨٠ ٧٠
٣٥ ٤٨٠؟٣ ٧٠ ٧٠
٣٥؟٣
=
- ٥٨ -
٢؟٣ ٣
= ٢٤٠؟ ٣ث.ﺟﻢ Gه = ْ َ٦ ً٢٣ ٤٩
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٦
إدارة اﺑﻮ ﺗﺸﺖ٢٠١٥/٢٠١٤ﺗﺮم أول ﻗﺿﯾب ﻣﻧﺗظم ا ب وزﻧﻪ ٤ﺛﻘﻞ ﺟم ﯾﺗﺻﻞ طرﻓﻪ ا ﻣﻔﺻﻞ أﻣﻠس ﻣﺛﺑت ﻓﻰ ﺣﺎﺋ رأﺳﻲ أﺛرت ﻓﻰ
اﻟطرف ب ﻗوة ﻋﻣود ﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺿﯾب ﻓﺄﺗزن اﻟﻘﺿﯾب ﻋﻧدﻣﺎ ﺎن ﻣﯾﻞ ﻋﻠﻰ
٤٥أوﺟد ﻣﻘدار اﻟﻘوة ورد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻣﻔﺻﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺿﯾب اﻟﺣﺎﺋ ﺑزاو ﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ
اﻟﻘﺿﯾب ﻣﺗزن ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﺛﻼث ﻗو ﻫﻰ-:
ر
اﻟﺤﻞ
) (١ﻗوة وزن اﻟﻘﺿﯾب ٤ث .ﺟم وﺗؤﺛر رأﺳ ﺎً ﻷﺳﻔﻞ ) (٢اﻟﻘوة اﻟﻌﻣود ﺔ ق
ل
٤٥
ق
ء
ل
Aﺧ ﻋﻣﻞ اﻟﻘوة ق ووزن اﻟﻘﺿﯾب
ﯾﺗﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ م
؟٥ل
ب
Bﺧ ﻋﻣﻞ ﻗوة رد اﻟﻔﻌﻞ ﻻﺑد وأن ﻣر ﺎﻟﻧﻘطﺔ م.
ل
وﺑﻔﺮض أن طﻮل اﻟﻘﻀﯿﺐ ا ب = ٢ل
م
∆ Aا ب ﺟـ ﻗﺎﺋم اﻟزاو ﺔ وﻣﺗﺳﺎو اﻟﺳﺎﻗﯾن.
ا ب = ب ﺟـ = ٢ل
ل ﰈ) ٢ل(٢ )+٢ل( ٢= ٢؟ ٢ل
ﻣﻦ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ا ج =
Aء ﻣﻧﺗﺻﻒ ا ﺟـ ،ء م //ا ﺟـ
٢؟٢ل
) (٣رد ﻓﻌﻞ اﻟﺣﺎﺋ ر
ا
٤٥
٤
Bم ﻣﻧﺗﺻﻒ ب ﺟـ
Bﺟـ م = م ب = ل ∆ ،ا م ﺟـ ﻫو ﻣﺛﻠث اﻟﻘو ﻓﻰ ∆ ا بمـ -:ﻣﻦ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ا م = B
ق ل
Bر=
=
٤ ٢؟
٤؟ ٢؟
٢ل
٥ل ٢ل
=
ﰈل٢ )+٢ل( = ٢؟ ٥ل
ر ؟
٥ل
= ؟ ١٠ث .ﺟم ،ق =
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٤ل
٢؟
- ٥٩ -
٢ل
= ؟ ٢ث .ﺟم
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ج
ﻣﺜﺎل٧
ﻋﻠ ﻗﺿﯾب ﻣﻧﺗظم طوﻟﻪ ١٣٠ﺳم ووزﻧﻪ ٢٦ﻧﯾوﺗن ﻣن طرﻓ ﻪ
وزارة ٠
ﺗﻌﻠ ﻘﺎً ﻣطﻠﻘﺎً ﻓﻰ ﺧ طﯾن ﻣروطﯾن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ واﺣدة و ﺎن طول أﺣدﻫﻣﺎ ٥٠ﺳم واﻷﺧر ١٢٠ﺳم أوﺟد ﻣﻘدار اﻟﺷد ﻓﻰ ﻞ ﻣن اﻟﺧ طﯾن . اﻟﺤﻞ اﻟﻘﺿﯾب ﻣﺗزن ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﺛﻼث ﻗو ﻫﻰ -: ) (١وزن اﻟﻘﺿﯾب و ؤﺛر رأﺳ ﺎً ﻷﺳﻔﻞ ﻓﻰ ﻣﻧﺗﺻﻒ اﻟﻘﺿﯾب .
ﺟـ
ش٢
٥٠ﺳم
ش١
ھـ١
ھـ٢
ا
ھـ١
) (٢ﻗوﺗﻰ اﻟﺷد ش ، ١ش ٢ﻓﻰ اﻟﺧ طﯾن ﻗوﺗﻰ اﻟﺷد و ﺗﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﺟـ
١٢٠ﺳم
٦٥ﺳم
Bﺧ ﻋﻣﻞ ﻗوة اﻟوزن ﻻﺑد وأن ﻣر ﺑﻬذﻩ اﻟﻧﻘطﺔ .
ء ٦٥ﺳم
ﻓﻰ ∆ ا ب ﺟـ
)ا ب(١٦٩٠٠ = ٢(١٣٠) = ٢
ھـ٢
ب
٢٦
)ا ﺟـ() + ٢ب ﺟـ(١٦٩٠٠ = ٢(١٢٠) + ٢(٥٠) = ٢
Aء ﻣﻧﺗﺻﻒ ا ب
∆ Bا ب ﺟـ ﻗﺎﺋم اﻟزاو ﺔ ﻓﻰ ﺟـ
١
Bﺟـ ء ﻣﺗوﺳ ﻓﻰ ∆ ا ب ﺟـ Gﺟـ ء= ا ب)ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺧﺎرج ﻣﻦ رأس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ( ٢
Aا ء = ء ب = ﺟـ ء ﺟﺎھـ =١ﺟﺎ ا =
١٢٠ ١٣٠
=
وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻗﺎﻋﺪة ﻻﻣﻰ ش١ ١٢ ١٣
=
ش=١
ش٢ ٥ ١٣
=
٢٦
١٢
ﺟﺎ٩٠
١٣
١٢ ١٣ ش١ ﺟﺎھـ١
Bق ا = ق ﻫـ ، ١ق ب = ق ﺟﺎھـ =٢ﺟﺎ ب =
=
ش٢ ﺟﺎھـ٢
=
٥٠ ١٣٠ و
=
ﻫـ٢
٥ ١٣
ﺟﺎ )ﻫـ ١ﻫـ(٢
٢٦ ﺟﺎ٩٠
= ٢٤ﻧﯾوﺗن ،ش= ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٢٦
٥
ﺟﺎ٩٠
١٣
- ٦٠ -
=١٠ﻧﯾوﺗن " اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل٨
ا ب ﺳﻠﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ٨؟ ٣ث.ﻛﺠﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﺑﻄﺮﻓﮫ اﻟﻌﻠﻮى
وزارة ٠
ا ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ أﻣﻠﺲ وﺑﻄﺮﻓﮫ اﻟﺴﻔﻠﻰ ب ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﯿﺔ ﺧﺸﻨﺔ ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن اﻟﻄﺮف اﻟﻌﻠﻮى ﻟﻠﺴﻠﻢ ﯾﺒﻌﺪ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺑﻤﻘﺪار ؟ ٣ﻣﺘﺮ واﻟﻄﺮف اﻟﺴﻔﻠﻰ ﯾﺒﻌﺪ ﻋﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢ﻣﺘﺮ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ واﻷرض. اﻟﺤﻞ ر٢
اﻟﺴﻠﻢ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ھﻰ -: ﻗﻮة وزﻧﮫ وﺗﺆﺛﺮ رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ وﻗﻮﺗﻰ رد ﻓﻌﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ واﻷرض . Aﻗﻮﺗﻰ رد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ ر ١واﻟﻮزن )و(
ر١
ج
ا
ﯾﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ج Bﺧﻂ ﻋﻤﻞ ﻗﻮة رد ﻓﻌﻞ اﻷرض
ر٢
؟ ٣م
ﻣﻦ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻰ ∆ ب ء ج:
؟ ٣م
ﻻﺑﺪ وأن ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ . ء ج = اه = ؟ ٣ﻣﺘﺮ ٢
ب ج = ﰈ) ؟ ١+ ( ٣
٢
= ٢ﻣﺘﺮ
ب
١م
ء ١م
∆ Aب ء ج ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻘﻮى ر ١ر٢ = = ٢ ١
ر١ = ١ ر٢ = ٢
٨؟ ٣ ؟٣
٨؟٣
=٨
٨ = ٨ث.ﻛﺠﻢ ١٦ = ٨ث.ﻛﺠﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٦١ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ه
ﻣﺜﺎل٩
وزارة ٠
ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﺑﻄﺮﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ أﻣﻠﺴﯿﻦ ﯾﺼﻨﻌﺎن
٣٠أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ْ ، ٦٠ ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻗﯿﺎﺳﮭﻤﺎ ْ ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ ﻓﻰ وﺿﻊ اﻟﺘﻮازن وإذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﯾﺴﺎوى ٢٤ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﯿﻦ ﻣﻘﺪار رد ﻓﻌﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﯿﻦ . اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ھﻰ -:اﻟﺤﻞ
وﻗﻮﺗﻰ رد ﻓﻌﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﯿﻦ
ْ٦٠
ر ،١ر ٢
Aﺧﻄﻰ ﻋﻤﻞ ﻗﻮﺗﻰ رد اﻟﻔﻌﻞ ﯾﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻰ
ْ٣٠
ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ج أﯾﻀﺎ
ر=١ ر=٢
٢٤ﺟﺎ١٥٠ ﺟﺎ ٩٠
٢٤ﺟﺎ١٢٠ ﺟﺎ ٩٠
ْ٣٠
ا
ﻧﻘﻄﺔ ج ﻓﺈن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ﻗﻮة اﻟﻮزن
وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻗﺎﻋﺪة ﻻﻣﻰ
ج
ر٢
ﻗﻮة وزﻧﮫ ٢٤ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﺆﺛﺮرأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ
ر١
م ر١ ﺟﺎ ١٥٠
=
ر٢ ﺟﺎ ١٢٠
=
٢٤ ﺟﺎ ٩٠
ص
ْ٣٠ ْ٣٠ ْ٦٠ ْ٦٠
= ١٢ﻧﯿﻮﺗﻦ
ْ٣٠ ْ٣٠ ْ٣٠
ء
٢٤ = ١٢؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ
Aاﻟﺸﻜﻞ ا ء ب ج ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ مب = مج
Bق ) ء ب ج( = ْ٩٠ Bق ) م ب ج( = ق ) م ج ب( = ْ٣٠
Aق ) ءب ص( = ْ٣٠
ﺑﺎﻟﺘﺒﺎدل
Bق ) ا ب ص( = ْ٣٠
وھﻰ ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٦٢ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ب
إﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ واﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻀﻠﻊ اﻟﻘﻮى Polygon of forces ﻻﺗﺰان ﻣﺠﻤﻮﻋ ِﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ واﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ھﻮ أن ِ اﻟﺸﺮط اﻟﻼزم واﻟﻜﺎﻓﻰ ﺗ ُﻤﺜِّﻞ ھﺬه اﻟﻘﻮى ھﻨﺪﺳﯿﺎ ﺑﻤﻀﻠﻊ ﻣﻘﻔﻞ. اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ ﻻﺗﺰان ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ
ﻗﺎﻋﺪة
ﺷر إﺗزان ﺟﺳم ﺗﺣت ﺗﺄﺛﯾر ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﻘو اﻟﻣﺳﺗو ﺔ
اﻟﻣﺗﻼﻗ ﺔ ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻫو أن ﯾﺗﻼﺷﻰ اﻟﻣﺟﻣوع اﻟﺟﺑر
ﻟﻠﻣر ﺎت اﻟﺟﺑرﺔ ﻟﻬذﻩ اﻟﻘو ﻓﻰ أ اﺗﺟﺎﻫﯾن ﻣﺗﻌﺎﻣدﯾن. ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ذﻟﻚ أﻧﮫ ﻟﻜﻰ ﺗﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ واﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﯾﺠﺐ أن ﺗﻜﻮن: ⃖ -١اﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻤﺮﻛﺒﺎت اﻟﻘﻮى ﻓﻰ اﺗﺠﺎه وﺳﺲ = ﺻﻔﺮ ⃖ -٢اﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻤﺮﻛﺒﺎت اﻟﻘﻮى ﻓﻰ اﺗﺠﺎه وﺳﺺ = ﺻﻔﺮ أى أﻧﮫ ﻋﻨﺪ إﺗﺰان اﻟﺠﺴﻢ ﺗﺘﻼﺷﻰ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ أى أن
ح= ٠
وﯾﺴﺘﻠﺰم ھﺬا اﻟﺸﺮط أن ﺗﻜﻮن
ﺳﺲ=،٠ﺻﺺ = ٠أى ﯾﺘﻼﺷﻰ اﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻤﺮﻛﺒﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮى ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ.
إذا إﺗﺰﻧﺖ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺘﻼ ﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈن ﻣﺘﺠﮫ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﺎ ھﻮ اﻟﻤﺘﺠﮫ اﻟﺼﻔـــﺮى.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٦٣ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١٠
وزارة ٠
⃐ إذا ﺎﻧت اﻟﻘو اﻟﺛﻼﺛﺔ ق ٤ = ١ﺳﺲ – ٥ﺻﺺ
⃐ ⃐ ق ٣- = ٢ﺳﺲ ٧ +ﺻﺺ ،ق = ٣ا ﺳﺲ +ب ﺳﺺ ﻣﺗﻼﻗ ﺔ ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ وﻣﺗزﻧﺔ أوﺟد ﻗ ﻣﺔ ا ،ب . اﻟﺤﻞ
Aاﻟﻘو ﻣﺗزﻧﺔ
⃐ ق
B
١
⃐ ⃐ +ق + ٢ق٠ = ٣
) + ٣ – ٤ا( ﺳﺲ + ٧ + ٥- ) +ب ( ﺻﺺ = ٠ )ا ( ١ +ﺳﺲ ) +ب ( ٢ +ﺻﺺ = ٠ ا٠=١+
ا = ١-
ب٠=٢+
ب = ٢-
=============================================== ⃐ ⃐ ⃐ أﻛﻤﻞ :اذا أﺛﺮت اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث ق،١ق،٢ق ٣ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻛﺎﻧﺖ ﻣﺘﺰﻧﺔ ⃐ ث.ﻋﺰﺑﺔ اﻟﺒﻮﺻﺔ ⃐ ⃐ ⃐ ﺣﯾث ق٨=١ﺳﺲ ،ق ١٥= ٢ﺻﺺ ﻓﺈن ق.........= ٣وﺣﺪة ﻗﻮة.
٢٠١٣/ ٢٠١٢
اﻟﺤﻞ
Aاﻟﻘﻮى ﻣﺘﺰﻧﺔ ⃐ ⃐ ⃐ Bق +١ق + ٢ق٠ = ٣
⃐ ⃐ ⃐ ٨ﺳﺲ ١٥ +ﺻﺺ +ق٠ = ٣
⃐ ⃐ ⃐ ق٨ - = ٣ﺳﺲ ١٥ -ﺻﺺ ق = ٣ﰈ) ١٧ = ( ١٥-) + ( ٨-وﺣﺪة ﻗﻮة ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٦٤ -
٢
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١١ ﺧﻣس ﻗو ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ ٨؟ ١٢ ، ٤ ، ٦ ، ٣؟ ١٤ ، ٣ﻧﯾوﺗن ﺗؤﺛر ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﺎد ﺔ اﻷوﻟﻲ ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ ٣٠ﺷﻣﺎل اﻟﺷرق واﻟﺛﺎﻧ ﺔ
ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ ْ٣٠ﻏرب اﻟﺷﻣﺎل واﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ ْ٣٠ﻏرب اﻟﺟﻧوب
واﻟ ار ﻌﺔ ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ اﻟﺟﻧوب واﻟﺧﺎﻣﺳﺔ ﻓﻰ إﺗﺟﺎﻩ ْ٦٠ﺷﻣﺎل اﻟﻐرب . إﺛﺑت أن ﻫذﻩ اﻟﻘو ﻣﺗزﻧﺔ .
اﻟﺤﻞ اﻟﻘﻮة
٨؟٣
اﻟﺰاوﯾﺔ ْ٣٠
٦ ْ١٢٠
١٤ ْ١٢٠
٤ ْ٢٤٠
١٢؟ ٣
ْ٢٧٠
ﺳﺲ= ٨؟ ٣ﺟﺗﺎ٦+ ٣٠ﺟﺗﺎ١٤+ ١٢٠ﺟﺗﺎ ٤ +١٢٠ﺟﺗﺎ ١٢+٢٤٠؟ ٣ﺟﺗﺎ = ٢٧٠ﺻﻔر ﺻﺺ = ٨؟ ٣ﺟﺎ٦ + ٣٠ﺟﺎ ١٤+ ١٢٠ﺟﺎ ٤+ ١٢٠ﺟﺎ ١٢ + ٢٤٠؟ ٣ﺟﺎ =٢٧٠ﺻﻔر ﺷﻤﺎ ل
Aﺳﺲ= ﺻﻔﺮ ،ﺻﺺ = ﺻﻔﺮ ٨؟٣
Bح = ﺻﻔر Bاﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣﺗزﻧﺔ
٦
١٤ ﺷﺮق
٣٠
٦٠
٣٠ ٦٠ ٦٠ ٣٠
١٢؟ ٣
ﻏﺮب
٤ ﺟﻨﻮب
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٦٥ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﻣﺜﺎل١٢
وزارة ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ،٤ ، ٥ق ، ٣،ك ٧،ث .ﻛﺠﻢ ﺗﺆﺛﺮ ٠ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ واﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﻣﻨﮭﺎ ْ٦٠ﻋﯿﻦ ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻦ ق ،ك ﻟﻜﻰ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن .
اﻟﺤﻞ ٣
٤ق
٧
اﻟﻘﻮة
٥
اﻟﺰاوﯾﺔ
ْ٣٠٠ ْ٢٤٠ ْ١٨٠ ْ١٢٠ ْ٦٠ ٠
ك
ﻻﺣﻆ أﻧﻪ : ﻟﻜﻰ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ﯾﺠﺐ أن ﯾﻜﻮن ﺳﺲ= ،٠ﺻﺺ =٠
ﺳﺲ= ٥ﺟﺗﺎ ٤ + ٠ﺟﺗﺎ + ٦٠ق ﺟﺗﺎ٣+ ١٢٠ﺟﺗﺎ+١٨٠ك ﺟﺗﺎ٧+ ٢٤٠ﺟﺗﺎ٠=٣٠٠ B
١٥
١
١
٢
٢
٢
-ق -ك = ٠ﺎﻟﺿرب ٢
-١٥ Bق -ك =٠
٤
ﺻﺺ ٣٠ ٣٠ ٦٠ ٦٠ ٦٠ ٣٠ ٣٠
ﺳﺲ
Gق +ك = ١٥
٥
(١).......
ق ﺳﺲَ ٣
ﺻ َ ﺺ ك ٧ ﺻﺺ = ٥ﺟﺎ ٤ + ٠ﺟﺎ + ٦٠ق ﺟﺎ٣+ ١٢٠ﺟﺎ +١٨٠ك ﺟﺎ٧+ ٢٤٠ﺟﺎ٠=٣٠٠ ٣؟ ٣ ٢
+
؟ ٣ ٢
ق-
+ ٣- Bق –ك = G ٠ ق +ك = ١٥ ق– ك = ٣ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﺎﻟﺟﻣﻊ ٢ق =١٨
؟ ٣ ٢
ق –ك =٣
ﺎﻟﻘﺳﻣﺔ ÷
ك=٠
؟ ٣ ٢
(٢)............. ق= ٩ﻧﯿﻮﺗﻦ ك= ٦ﻧﯿﻮﺗﻦ
Gق= ٩ﻧﯾوﺗن
ﺎﻟﺗﻌو ض ﻓﻰ ) +٩ (١ك = G ١٥ك = ٦=٩–١٥ﻧﯿﻮﺗﻦ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٦٦ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(٤ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١اﻟﺸﺮط اﻟﻼزم واﻟﻜﺎﻓﻰ ﻻﺗﺰان ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ واﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ھﻮ أن ﺗﻤﺜﻞ ھﻨﺪﺳﯿﺎ ﺑـ................ -٢اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ ﻻﺗﺰان ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ھﻰ أن ﺗﻜﻮن ...........................،........................... -٣ث.ﺑﻨﺎت&٢٠١٤/٢٠١٣إدارةأﺑﻮﺗﺸﺖ ٢٠١٥/٢٠١٤ ﺷﺮط اﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ھﻮ........ ⃐ ⃐ -٤إذا ﺎﻧت ق ٤ = ١ﺳﺲ +ب ﺻﺺ ،ق ٧ - = ٢ﺳﺲ ٢ -ﺻﺺ ، ⃐ ق – = ٣ا ﺳﺲ ٣ -ﺳﺺ ﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ وﻣﺘﺰﻧﺔ ﻓﺈن ا = ، ....ب = ....... -٥إذا اﺗﺰن ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻮازﯾﺔ وﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻓﺈن ﺧﻄﻮط ﻋﻤﻞ ھﺬه اﻟﻘﻮى ............. ⃐ -٦إذا ﻛﺎﻧﺖق
١
⃐ ⃐ ،ق، ٢ق
٣
ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺘﺰﻧﺔ وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة وﻛﺎﻧﺖ
⃐ ⃐ ⃐ ق ٢ = ١ﺳﺲ ٣-ﺻﺺ ،ق ٣ = ٢ﺳﺲ ٥ +ﺻﺺ ،ﻓﺈن ق
٣
= ................
اﻷزھﺮ :٢٠١٤/٢٠١٣ﻣﺎھﻮﺷﺮط اﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى
٢ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ؟ ٣
وزارة ٠
⃐ ⃐ إذا أﺛﺮت اﻟﻘﻮى ق ٤ = ١ﺳﺲ ٥ +ﺻﺺ ،ق = ٢ا ﺳﺲ ٧ -ﺻﺺ ،
⃐ ق ٣ = ٣ﺳﺲ +ب ﺳﺺ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺘﻰ ا ،ب إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮى ﻣﺘﺰﻧﺔ ]ا = ، ٧-ب =[٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٦٧ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
٤
اﻷزھﺮ ٢٠١٦/٢٠١٥ﻛﺮة ﻣﻠﺴﺎء وزﻧﮭﺎ ١٠؟ ٣ﺛﻘﻞ ﺟﻢ ﺗﺴﺘﻨﺪ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ
وزارة ٠
رأﺳﻲ أﻣﻠﺲ وﻣﻌﻠﻘﺔ ﻣﻦ إﺣﺪى ﻧﻘﻂ ﺳﻄﺤﮭﺎ ﺑﺨﯿﻂ ﻣﺜﺒﺖ طﺮﻓﮫ اﻵﺧﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺗﻘﻊ رأﺳﯿﺎ ً ﻓﻮق ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎس وﻛﺎن اﻟﺨﯿﻂ ﯾﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻟﺮأﺳﻲ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ٣٠ أوﺟﺪ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ورد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ.
]ش= ٢٠ث .ﺟم ،ر = ١٠ث .ﺟم[
================================================ ٥
وزارة ٠
ﻛﺮة ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﻠﺴﺎء وزﻧﮭﺎ ١٠ث ﺟﻢ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٣٠ﺳﻢ ،ﻋﻠﻘﺖ ﻣﻦ
ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺤﮭﺎ ﺑﺄﺣﺪ طﺮﻓﻰ ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ طﻮﻟﮫ ٢٠ﺳﻢ وﻣﺜﺒﺖ طﺮﻓﮫ اﻵﺧﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ أﻣﻠﺲ .أوﺟﺪ ﻓﻰ وﺿﻊ اﻟﺘﻮازن ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ورد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ . ]ش= ١٢.٥ث.ﺟم ،ر= ٧.٥ث.ﺟم[
================================================ ٦
وزارة ٠
ﻛﺮة ﻣﻌﺪﻧﯿﺔ وزﻧﮭﺎ ٤٠٠ث ﺟﻢ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ أﻣﻠﺴﯿﻦ
٦٠أوﺟﺪ رد ﻓﻌﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﯿﻦ أﺣﺪھﻤﺎ رأﺳﻰ واﻵﺧﺮ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺮأﺳﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ]٢٣٠.٩٤ث.ﺟم٤٦١.٨٨ ،ث.ﺟم[
.
================================================ وزارة ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ١٠٠ﺳﻢ ووزﻧﮫ ١٥٠ث ﺟﻢ ﻋﻠﻖ ﻣﻦ طﺮﻓﯿﮫ ﺗﻌﻠﯿﻘ ًﺎ ٠ ٧ ﺣﺮً ا ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ ﺛﺒﺖ طﺮﻓﺎھﻤﺎ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة ﻓﺈذا ﻛﺎن طﻮﻻ اﻟﺨﻄﯿﻦ ٨٠ﺳﻢ، ] ١٢٠ ،٩٠ث ﺟم [
٦٠ﺳﻢ ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ.
================================================ وزارة ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ٨٠ﺳﻢ ووزﻧﮫ ١٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ﻋﻠﻖ ﻣﻦ ٠ ٨ طﺮﻓﯿﮫ ﺑﺤﺒﻠﯿﻦ ﺛﺒﺖ طﺮﻓﺎھﻤﺎ ﻓﻰ ﻣﺴﻤﺎر ﻓﻰ اﻟﺴﻘﻒ ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﺤﺒﻼن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ وطﻮل أﺣﺪھﻤﺎ ٤٨ﺳﻢ ﻓﻤﺎ ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺒﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﻌﻠﻘﺎ ً ﺗﻌﻠﯿﻘﺎ ً ﻣﻄﻠﻘﺎ ً وﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ؟ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] ٧.٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ٩,٦ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ[
- ٦٨ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
٩
وزارة ٠
اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ٢٠ث ﻛﺠﻢ ﯾﺘﺼﻞ طﺮﻓﮫ ا ﺑﻤﻔﺼﻞ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ
رأﺳﻰ أﺛﺮت ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ق ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻨﺪ ب ﻓﺎﺗﺰن اﻟﻘﻀﯿﺐ وھﻮ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺮأﺳﻰ ٣٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ق ،وﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ . ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ]ق=
١٠؟ ٣ ٣
ث .ﺟم ،ر=
١٠؟ ٣٩ ٣
ث .ﺟم ،ه =[ ْ٧٣ َ٥٣ ً٥٢
===================================================
١٠
إدارة أﺑﻮ ﺗﺸﺖ٢٠١٥/٢٠١٤ﺗﺮم ﺛﺎﻧﻰ ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ ا ب طﻮﻟﮫ ٢ل ﯾﺘﺼﻞ
طﺮﻓﮫ ا ﺑﻤﻔﺼﻞ أﻣﻠﺲ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ أﺛﺮت ﻓﻰ اﻟﻄﺮف ب ﻗﻮة ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ
٦٠ﻓﺈذا ﻛﺎن وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﺄﺗﺰن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺑزاو ﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ٤ﺛﻘﻞ ﻛﺠﻢ وﯾﺆﺛﺮ ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة ورد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ . ]ق= ؟ ٣ث .ﺟم ،ر= ؟ ٧ث .ﺟم [
================================================= ١١
وزارة ٠
ﺧﻣس ﻗو ﻣﺳﺗو ﺔ وﻣﺗﻼ ﻗ ﺔ ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ ٥ ، ٧ ،١٢؟ ، ٢
٧؟ ٥ ، ٢ث .ﺟم ﺗﻌﻣﻞ ﻓﻰ اﺗﺟﺎﻫﺎت اﻟﺷرق ،اﻟﺷﻣﺎل ،اﻟﺷﻣﺎل اﻟﻐرﻰ ، اﻟﺟﻧوب اﻟﻐرﻰ ،اﻟﺟﻧوب ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب أوﺟد ﻣﻘدار ٕواﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ "ﻓﺳر اﻟﺣﻞ".
]ح = ﺻﻔر أ أن اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣﺗزﻧﺔ[
================================================ ١٢
وزارة ٠
ﺧﻤﺲ ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ق ٤ ، ٦ ،؟ ٥ ، ٢؟ ، ٢ك ث ﻛﺠﻢ ﻣﺘﺰﻧﺔ وﺗﺆﺛﺮ
ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎد ﺔ ﻓﻰ اﺗﺟﺎﻫﺎت اﻟﺷرق واﻟﺷﻣﺎل واﻟﺷﻣﺎل اﻟﻐرﻰ واﻟﺟﻧوب اﻟﻐرﻰ واﻟﺟﻧوب ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب .أوﺟد ﻣﻘدار ﻞ ﻣن ق ،ك.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
]ق = ٩ث.ﻛﺠﻢ ،ك = ٥ث.ﻛﺠﻢ[
- ٦٩ -
" اﻹﺳـــــــــــــــﺘـﺎﺗـﯿﻜــﺎ"
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت واﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ. اﻟﮫﺮم واﻟﻤﺨﺮوط . اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ و اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮫﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ – ﺣﺠﻢ اﻟﮫﺮم. اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ و اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط – ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط . ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٦٩ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت واﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔــــــــــــــﺮاغ ﻣﻔﺎھﯿﻢ وﻣﺴﻠﻤﺎت أﺳﺎﺳﯿﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ -: ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ وﯾﺘﺤﺪد ﺗﺤﺪﯾﺪا ﺗﺎﻣﺎ ً إذا ﻋﻠﻢ اى ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﻋﻠﯿﮫ . اﻟﻤﺴﺘﻮى -: ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ ﺗﻤﺜﻞ ﺳﻄﺢ ﻻ ﺣﺪود ﻟﮫ ﺑﺤﯿﺚ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺳﺲ
ﺑﺄى ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﯾﻘﻊ ﺑﺄﻛﻤﻠﮫ داﺧﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى .
وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺄﺣﺪ اﻟﺤﺮوف اﻟﻜﺒﯿﺮة ﻣﺜﻞ ﺳﺲ أو ﺻﺺ أو ع اﻟﻔﺮاغ ) اﻟﻔﻀﺎء ( -: ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ واﻟﺬى ﯾﺤﺘﻮى ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت واﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎت واﻟﻤﺠﺴﻤﺎت ﻣﺤﻞ اﻟﺪراﺳﺔ . ﻣﻼﺣﻈﺎت ﺧﻄﯿﺮرررررررة )(١ –١أى ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت . –٢أى ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎت . –٣أى ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ . –٤أى ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﻤﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎت . – ٥أى ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ . – ٦أى ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎت .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٠ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻌﯿﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﯾﺘﺤﺪد اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﺤﺪﯾﺪا ﺗﺎﻣﺎ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﺑﺈﺣﺪى اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ -: – ١ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة . ا٠
–٢ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﻧﻘﻄﺔ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﯿﮫ .
ب٠
ا٠
ب٠
ج٠ ج٠
ﺳﺲ
ﺳﺺ
–٤ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻄﺒﻘﯿﻦ
–٣ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎطﻌﺎن . ء٠
ا٠ ه
ج٠
ا٠ ج٠
ب٠ ع
ب٠ ء٠
ل
اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ -٣اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔـﺎن -٢اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻤﺘﻮازﻳﺎن -١اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻤﺘﻘـﺎﻃﻌﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن واﺣﺪ وﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة واﺣﺪ وﻻ ﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ أى ﻧﻘﻄﺔ ﯾﺤﺘﻮﯾﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ. ل١
ل١
ل١ ل٢ ل٢
ل٢
ا ﺳﺺ
ﺳﺲ
ﻝ١
ﺉ ﻝ٢
=
cا d
ﻝ١
ﺉ ﻝ٢
ع
ﻝ ١ﺉ ﻝ∅ = ٢
=∅
ﻝ ، ١ﻝ ٢ﯾﺠﻤﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻝ ، ١ﻝ ٢ﯾﺠﻤﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻝ ، ١ﻝ ٢ﻻﯾﺠﻤﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧١ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ وﻣﺴﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ -١اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻮى ل
-٣اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺤﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى
-٢اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻗـﺎﻃﻊ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى
ﺳﺲ
ﺳﺲ
ﺳﺲ
ﻝ ﺉ ﺳﺲ=
ﻝ ﺉ ﺳﺲ= ∅
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻝ ﯾﻘﻊ ﺑﺄﻛﻤﻠﮫ ﻓﻰ ﺳﺲ
cا d
ﻝ ﺉ ﺳﺲ=
ﻝ
ﻻﺣﻆ أﻧﻪ-: إذا أﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﻣﺴﺘﻮى ﻓﻰ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻘﻊ ﺑﺘﻤﺎﻣﮫ داﺧﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى. اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ -١اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﺎن
-٣اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﻨﻄﺒﻘـﺎن
-٢اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻘـﺎﻃﻌﺎن ل
ﺳﺺ
ﺳﺲ ﺳﺲ
ﺳﺲ
ﺳﺺ ﺳﺺ
اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺳﺲ //اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺻﺺ
اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن ﺳﺲ ،ﺻﺺ
ﺳﺲ ﺉ ﺳﺺ = ل
أى أن ﺳﺲ ﺉ ﺳﺺ = ∅
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻨﻘﺎط ﺳﺲﺉ ﺳﺺ = ﺳﺲ =ﺻﺺ
- ٧٢ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﻼﺣﻈﺎت ﺧﻄﯿﺮرررررررة )(٢ –١إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈﻧﮭﻤﺎ ﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ. –٢اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﻮازﯾﺎن ﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﻣﺘﻮازﯾﺎن . – ٣اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت اﻟﺮأﺳﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺮاغ ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺘﻮازﯾﺔ . – ٤إذا ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﺤﺎﻣﻼن ﻟﻘﻄﺮى اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺈن أﺿﻼﻋﮫ ﺗﻘﻊ ﺟﻤﯿﻌﺎ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ. ا ء
ج ا
ء
م ب
ج
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ا ب ج ء أﺿﻼﻋﮫ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻷن ⃗⃖ ⃗ ⃖ اج ﺉ بء = cمd
ب اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ا ب ج ء أﺿﻼﻋﮫ ﻻ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻷن ⃗⃖ ⃗ ⃖ اج ﺉ بء = ∅ ⃗⃖ ⃗ ⃖ )اج ،بء ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن (
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٣ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(٥ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎطﻌﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ...........وﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ ............. -٢اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ...........وﻻ ﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ .......... -٣اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﺤﺘﻮﯾﮭﻤﺎ ........................ -٤اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻟﯿﺴﺎ ............أو ....................... -٥إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل //اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺳﺲ ﻓﺈن ل ﺉ ﺳﺲ = .................. -٦إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل eاﻟﻤﺴﺘﻮى ﺳﺲ ﻓﺈن ل ﺉ ﺳﺲ = .................. -٧إذا ﻛﺎن ﺳﺲ ،ﺻﺺ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﺣﯿﺚ ﺳﺲ ﺉ ﺻﺺ = Zﻓﺈن ﺳﺲ .........ﺻﺺ ================================================== ٢أذﻛﺮ ﻋﺪد اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﻜﻞ ﻣﻦ -: ا – ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ
ب – ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ
ج – ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
ء – ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ إﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة
================================================== ٣ﺗﺄﻣﻞ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ،ﺛﻢ أﺟﺐ ﻋﻦ اﻷﺳﺌﻠﺔ اﻷﺗﯿﺔ -: اَ -١أﻛﺘﺐ ﺛﻼث ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎت ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ا.
ءَ جَ
-٢اﻛﺘﺐ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ،ب ﻣﻌﺎ ً.
بَ
-٣أﻛﺘﺐ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺴﺘﻮﯾﺎت ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ا . ء
-٤أﻛﺘﺐ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺴﺘﻮﯾﺎت ﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ،ب ﻣﻌﺎ ً .ا
ج
ب
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٤ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻟﮫﺮم واﻟﻤﺨﺮوط
Pyramid and Cone اﻟﮫﺮم : Pyramid ھﻮ ﻣﺠﺴﻢ ﻟﮫ ﻗﺎﻋﺪة واﺣﺪة وﺟﻤﯿﻊ أوﺟﮭﮫ اﻷﺧﺮى ﻣﺜﻠﺜﺎت ﺗﺸﺘﺮك ﻓﻰ رأس واﺣﺪة وﯾﺴﻤﻰ ھﺮﻣًﺎ ﺛﻼﺛﯿ ًﺎ أو رﺑﺎﻋﯿ ًﺎ أو ﺧﻤﺎﺳﯿ ًﺎ ...ﺣﺴﺐ ﻋﺪد أﺿﻼع ﻣﻀﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ.
م
م
ج س
ا ن ھﺮم ﺛﻼﺛﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺜﻠﺚ
ء
ا س
ن
ب ب ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻀﻠﻊ رﺑﺎﻋﻰ
ج
إرﺗﻔﺎع اﻟﮫﺮم ) م ن ( : ھﻮ ﺑﻌﺪ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ.
اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ -:ﻫﻮﻣﻀﻠﻊ
اﻻرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ) م س (:
-١أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﻄﻮل
ھﻮ ﺑﻌﺪ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻦ أﺣﺪ أﺿﻼع ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ.
-٢زواﯾﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﻘﯿﺎس
ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﮫﺮم
-٣ﻣﺮﻛﺰه ھﻮ ﻣﺮﻛﺰاﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ داﺧﻠﮫ أو ﺧﺎرﺟﮫ
) (١اﻟﮫﺮم اﻟﻘﺎﺋﻢ Right pyramid ﯾﻜﻮن اﻟﮭﺮم ﻗﺎﺋﻤًﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻮﻗﻊ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﯾﻤﺮ ﺑﻤﺮﻛﺰھﺎ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٥ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
م
) (٢اﻟﮫﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ -: ھو اﻟﮭرم اﻟذى ﻗﺎﻋدﺗﮫ ﻣﺿﻠﻊ ﻣﻧﺗظم ﻣرﻛزه ﻣوﻗﻊ اﻟﻌﻣود اﻟﻣرﺳوم ﻣن رأس اﻟﮭرم ﻋﻠﯾﮭﺎ. أى أﻧﮫ ھﺮم ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ .
ء
ا س
ن ب
ﺧﻮاص اﻟﮫﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ -:
ج
-١أﺣﺮﻓﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﻄﻮل. -٢أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺳﻄﻮح ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ. -٣اﻻرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ . ﻣﻼﺣﻈﺔ ھﺎﻣﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻣﻦ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾ ًﺎ ﻋﻠﻰ أى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻓﯿﮭﺎ. ﻋﻼﻗﺔ أوﻳﻠﺮ ﻷى ﻣﺠﺴﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻀﻠﻌﺔ ﻳﻜﻮن : ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ +ﻋﺪد اﻟﺮؤوس = ﻋﺪد اﻷﺣﺮف ٢ + ﻣﺜﻼ ﻓﻲ اﻟﮭﺮم اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ﯾﻜﻮن : ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ = ٥أوﺟﮫ ،ﻋﺪد اﻟﺮوؤس = ٥روؤس ،ﻋﺪد اﻷﺣﺮف = ٨أﺣﺮف ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ +ﻋﺪد اﻟﺮوؤس = ١٠ = ٥ + ٥ ﻋﺪد اﻷﺣﺮف ١٠ = ٢ + ٨ = ٢ + Bﻋﺪد اﻷوﺟﮫ +ﻋﺪد اﻟﺮؤوس = ﻋﺪد اﻷﺣﺮف ٢ +
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٦ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻟﻤﺨﺮوط Cone ھﻮ ﻣﺠﺴﻢ ﻟﮫ ﻗﺎﻋﺪة واﺣﺪة ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻣﻐﻠﻖ ورأس واﺣﺪة ، وﯾﺘﻜﻮن ﺳﻄﺤﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ﻣﻦ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﻣﻦ رأﺳﮫ إﻟﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ واﻟﺘﻰ ﯾﻌﺮف ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﺑﺮاﺳﻢ
ا
اﻟﻤﺨﺮوط .
اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﻘﺎﺋﻢRight circular cone ھﻮ اﻟﺠﺴﻢ اﻟﺬى ﯾﻨﺸﺄ ﻣﻦ دوران ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﻮل أﺣﺪ ﺿﻠﻌﻰ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻛﻤﺤﻮر.
راﺳﻢ اﻟﻤﺨﺮوط
ل
ج ﺧﻮاص اﻟﻤﺨﺮوط
ع
ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻧﻖ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط
ب
-١ﻣﺤﻮره ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻟﻘﺎﻋﺪة . -٢إرﺗﻔﺎﻋﮫ ھﻮ طﻮل اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﯿﻦ رأس اﻟﻤﺨﺮوط وﻣﺮﻛﺰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ وھﻮ داﺋﻤﺎ أﻗﻞ ﻣﻦ راﺳﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ٢
ﰈ ل – ﻧﻖ
إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ع =
٢
ﺗﺬﻛﺮ ٢
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة = πﻧﻖ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = π٢ﻧﻖ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٧ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل١
وزارة ٠
أوﺟﺪ ﺑﺪﻻﻟﺔ πﻣﺤﯿﻂ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى
ﻗﺎﺋﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٤ﺳﻢ ،وطﻮل راﺳﻤﮫ ٢٦ﺳﻢ .
اﻟﺤﻞ ع = ٢٤ﺳﻢ ل = ٢٦ﺳﻢ ﻧﻖ = ؟
ل
ع
طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط : ٢
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ؟ل – ع = ؟ ١٠ = ٢٤ - ٢٦ﺳﻢ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط = π٢ﻧﻖ = π٢ ٢
ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط = πﻧﻖ = π ﺷﺒﻜﺔ اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت
ﻧﻖ
π ٢٠ = ١٠ﺳﻢ ٢
٢
) π ١٠٠ = (١٠ﺳﻢ
ﺗﺴﺘﺨﺪم ﺷﺒﻜﺔ اﻟﻤﺠﺴﻤﺎت ﻓﻰ ﺗﺼﻨﯿﻊ اﻟﻤﺠﺴﻢ وذﻟﻚ ﺑﺘﺨﻄﯿﻂ ﺷﻜﻞ
اﻟﻤﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﻣﺴﺘﻮى ﺛﻢ طﻰ ھﺬا اﻟﺴﻄﺢ ﻟﺘﻜﻮﯾﻦ اﻟﻤﺠﺴﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب . –١ﺷﺒﻜﺔ اﻟﻤﻜﻌﺐ-:
ل
ا– اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻟﮫ ٦أوﺟﮫ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ وﺟﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺮﺑﻊ. ب– ﻋﺪد أﺣﺮﻓﮫ ١٢أﺣﺮف . ج – ﯾﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ ٨رؤوس . ٢
ء– اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﻜﻌﺐ = ٦ل ﺣﯿﺚ ل طﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ . ه – اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﻤﻜﻌﺐ = ٤ل ٣ و– ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ = ل
٢
إﺣﺪى ﺷﺒﻜﺎت اﻟﻤﻜﻌﺐ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٨ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
–٢ﺷﺒﻜﺔ ﻣﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت-: ا– ﻣﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت ﻟﮫ ٦أوﺟﮫ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ أو ﻣﺮﺑﻊ ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﻛﻞ وﺟﮭﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ.
ع
ب – ﻋﺪد أﺣﺮﻓﮫ ١٢أﺣﺮف .
ص
ج – ﯾﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ ٨رؤوس .
ء– اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻤﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت = )٢س ص +ص ع +س ع (
س
ه – ﺣﺠﻤﮫ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﺑﻌﺎده اﻟﺜﻼﺛﺔ = س صع ﺣﯿﺚ س ،ص ،ع أﺑﻌﺎد ﻣﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت
إﺣﺪى ﺷﺒﻜﺎت ﻣﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت
–٣ﺷﺒﻜﺔ اﻟﮫﺮم اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ-: ا– ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ = ٥أوﺟﮫ ﻣﻨﮭﻢ ٤ﺟﺎﻧﺒﯿﺔ ووﺟﮫ واﺣﺪ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪة . ب – ﻋﺪد اﻷﺣﺮف = ٨ﻣﻨﮭﻢ ٤أﺣﺮف ﺟﺎﻧﺒﯿﺔ . ج – ﻋﺪد اﻟﺮؤوس = ٥وﻣﻨﮭﻢ رأس واﺣﺪة م رأس اﻟﮭﺮم . م
ء
ا
ج ب
إﺣﺪى ﺷﺒﻜﺎت اﻟﮭﺮم اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٧٩ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل٢
م ا ب ج ء ھرم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻧﺗظم إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٠ﺳم ،وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺟﺎﻧﺑﻰ ٢٥ﺳم . أوﺟد طول ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋدة اﻟﮭرم ،وارﺳم ﺷﻛﻼ ً ﯾوﺿﺢ إﺣدى ﺷﺑﻛﺎﺗﮫ. م ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث -: ٢
٢٥ﺳﻢ
٢
س ن = ؟١٥ = ٢٠ – ٢٥ﺳﻢ
ء
ﻓﻲ ∆ ا ب ج :
ا
Aس ﻣﻨﺘﺼﻒ اب ،ن ﻣﻨﺘﺼﻒ ا ج Bبج = ٢
٢٠ﺳﻢ
س
ن
ج
ب
٣٠ = ١٥ﺳﻢ إﺣﺪى ﺷﺒﻜﺎت اﻟﮭﺮم اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ اﻟﻘﺎﺋﻢ
–٤ﺷﺒﻜﺔ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ-: ا – ﻗﺎﻋﺪﺗﻰ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ داﺋﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﯿﻦ . ب – اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ﻟﻸﺳﻄﻮاﻧﺔ ﻗﺒﻞ طﯿﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ .
ﻧﻖ
٢
ع
ج – اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ = π ٢ﻧﻖ π ٢ +ﻧﻖ ع ٢
ء – ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ = πﻧﻖ ع ﻧﻖ
ﺷﺒﻜﺔ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٠ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
٦٠
ﺗـــــﺬﻛــــﺮ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى -:ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ داﺋﺮة ﻣﺤﺪود ﺑﻨﺼﻔﻰ ﻗﻄﺮﯾﻦ وﻗﻮس ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة . ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = ٢ﻧﻖ +ل ١ ٢
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = ل ﻧﻖ ﺣﯿﺚ ل طﻮل ﻗﻮس اﻟﻘﻄﺎع ١ء
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = θﻧﻖ
٢ ﻧﻖ
٢
ء
ﺣﯿﺚ θاﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮى ﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﻄﺎع . س ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = ٣٦٠
ا
س ٢ πﻧﻖ = ٣٦٠
ء
θ
ﻗﻄﺎع داﺋﺮى
ب
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة
ﺣﯿﺚ س اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻰ ﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﻄﺎع . ﻗﯿﺎس اﻟﻘﻮس طﻮل ﻗﻮس اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى ل = ﻗﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮة
س ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = ٣٦٠
π ٢ﻧﻖ
ﻋﻨﺪ طﻰ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ : -١ﻣﺤﯿﻂ داﺋﺮﺗﮫ ﯾﺴﺎوى طﻮل ﻗﻮس اﻟﻘﻄﺎع. -٢طﻮل راﺳﻤﮫ ﯾﺴﺎوى طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮة اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨١ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل٣
ﻗﻄﺎع داﺋﺮى ﻣﻦ اﻟﻮرق طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ١٢ﺳﻢ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ْ ° ١٢٠طﻮى وﺣﻮل إﻟﻰ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط .
اﻟﺤﻞ ١٢ﺳﻢ س طﻮل ﻗﻮس اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = ٣٦٠ ١٢٠ = ٣٦٠
٢
١٢ﺳﻢ
ْ١٢٠
π ٢ﻧﻖ π
١٢
ا
= π ٨ﺳﻢ وھﻮ ﯾﻤﺜﻞ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط ١٢ﺳﻢ
ﻣﺤﯿﻂ داﺋﺮة اﻟﻤﺨﺮوط = π ٨ﺳﻢ
ع
π ٢ﻧﻖم = π ٨ ﻧﻖم = ٤ﺳﻢ ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻰ ∆ ا ب م ٢
٢
إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ع = ؟ ٨ = ٤– ١٢؟ ٢ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ب
- ٨٢ -
٤ﺳﻢ
م
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(٦ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ......................... -٢اﻻرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ .................................... -٣اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻣﻦ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ ............. -٤ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻘﺎﺋﻢ .................................................طﻮل راﺳﻤﮫ. -٥اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﻘﺎﺋﻢ ﯾﻨﺸﺄ ﻣﻦ دوران .....................ﺣﻮل ........................ ============================================= ٢ﻓﻲ اﻟﮭﺮم اﻟﺨﻤﺎﺳﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ : -١ﻣﺎ ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ؟ -٣ﻣﺎﻋﺪد اﻷﺣﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ؟
-٢ﻣﺎ ﻋﺪد اﻷوﺟﮫ ؟ -٤ﻣﺎ ﻋﺪد أﺣﺮﻓﮫ ؟
][١٠ ، ٥ ، ٦ ، ٥
================================================ ٣م ا ب ج ء ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٠ﺳﻢ ،إرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ .
] ١٣ﺳﻢ[
=============================================== ٤م اب ج ء رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٤ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ٢٥ﺳﻢ أوﺟﺪ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم
]١٤ﺳﻢ[
================================================== ٥ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل راﺳﻤﮫ ١٧ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٥ﺳﻢ أوﺟﺪ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ.
] ٨ﺳﻢ[
================================================== ٦أوﺟﺪ ﺑﺪﻻﻟﺔ πﻣﺤﯿﻂ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ وطﻮل راﺳﻤﮫ ٢ ] π١٠ﺳﻢ π٢٥ ،ﺳﻢ [ ١٣ﺳﻢ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٣ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ واﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮫﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ -ﺣﺠﻢ اﻟﮫﺮم ١ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ٢
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة
اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم = اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ +ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة ١ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ٣
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة
اﻹرﺗﻔﺎع
ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ -: -١إذا ﻟﻢ ﯾﻜﻦ اﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻓﺈن ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ = ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ
-٢ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻰ اﻟﮭﺮم اﻟﺜﻼﺛﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ اﻟﺬى طﻮل ﺣﺮﻓﮫ ل وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ع ﯾﻜﻮن : ٢
)ا(٢ل = ٣ع
٢
ل
)ب( ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ = ل
)ج(ﺣﺠﻤﮫ =
؟ ٢ ١٢
ل
٢
؟٣
ع
٣
-٣إذا ﻋﻠﻤﺖ أطﻮال أﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻛﺎﻻﺗﻰ : م ∆ ا ب ج = ﰈ ح )ح -اب( )ح – ب ج ( )ح -اج(
ﺣﯿﺚ ح ﻧﺼﻒ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ
∆ ا ب ج أطﻮال أﺿﻼﻋﮫ ٣ﺳﻢ ٤ ،ﺳﻢ ٥ ،ﺳﻢ إﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ . ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ١٢ = ٥ + ٤ + ٣ﺳﻢ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺤﯿﻂ ح = ٦ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٤ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳـــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
م ∆ ا ب ج = ﰈ = (٥ – ٦ ) ( ٤ – ٦ ) ( ٣ – ٦ ) ٦ﰈ ٦
٣
= ؟ ٦ = ٣٦ﺳﻢ
٢
١
٢
-٤ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ اﻟﺬى ﻋﺪد أﺿﻼﻋﻪ ن وطﻮل ﺿﻠﻌﻪ س : ١ م = ن س ظﺘﺎ ن ٤ ٢
إﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﺴﺪاﺳﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ اﻟﺬى طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ٨ﺳﻢ . ﻋﺪد اﻷﺿﻼع ن = ٦
٨ﺳﻢ
طﻮل اﻟﻀﻠﻊ س = ٨ﺳﻢ ١ م= ٤
٢
ن س ظﺘﺎ
ن
١٨٠ ١ ٢ ٨ ٦ظﺘﺎ = ٤ ٦
٩٦ = ٩٦؟ ٣ﺳﻢ = ٩٦ظﺘﺎ = ٣٠ ظﺎ٣٠
٢
١ ٢
-٥ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻌﯿﻦ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب طﻮﻟﻰ ﻗﻄﺮﯾﮫ ٤
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﻌﯿﻦ = طﻮل اﻟﻀﻠﻊ
ﻣﻌﯿﻦ طﻮﻻ ﻗﻄﺮﯾﮫ ١٢ﺳﻢ ٨ ،ﺳﻢ إﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ . ١ اﻟﺤﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻌﯿﻦ = ٢
٢
٤٨ = ٨ﺳﻢ .
١٢
-٦ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺮﺑﻊ = طﻮل اﻟﻀﻠﻊ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺮﺑﻊ = طﻮل اﻟﻀﻠﻊ
ﻧﻔﺴﮫ
٤
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٥ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳـــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ١
اﻷزھﺮ٢٠١٧/٢٠١٦م ا ب ج ء ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ا ب ج ء ﻣﺮﺑﻊ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ٨؟ ٢ﺳﻢ وطﻮل ﺣﺮﻓﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ٤؟ ٦ﺳﻢ أوﺟﺪ : -١اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم . -٢اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم . -٣ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم .
اﻟﺤﻞ Bاﻟﮭﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ
Aاﻟﮭﺮم م ا ب ج ء ھﺮم ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺮﺑﻊ
٢
٢
Bاﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ م ه = ﰈ ) ٤؟ ٤) – ( ٦؟ ٨ = ( ٢ﺳﻢ ١ Aهن= ٢
ب ج = ٤؟ ٢ﺳﻢ )ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻰ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ( م
Bإرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم م ن =
٢
٢
ﰈ ) ٤) – (٨؟ ٤ = ( ٢؟ ٢ﺳﻢ
١ = ٢
٣٢؟ ٢
اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ٢
١٢٨ = ٨؟ ٢ﺳﻢ
ه ٤؟ ٢ﺳﻢ
١ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ = ٢
ا
٣٢ = ٤؟ ٢ﺳﻢ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة
ء
٤؟ ٢ﺳﻢ
= ٨؟٢
٨ﺳﻢ
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة = طﻮل اﻟﻀﻠﻊ
٤
٤؟ ٢ﺳﻢ
أوﻻ :إﻳﺠﺎد اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮫﺮم
٤؟ ٦ﺳﻢ
٤؟ ٢ﺳﻢ ن ب
٨؟ ٢ﺳﻢ
ج
ﺛﺎﻧﯿﺎ :إﻳﺠﺎد اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮫﺮم ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة = طﻮل اﻟﻀﻠﻊ
ﻧﻔﺴﮫ = ٨؟ ٢
٨؟ ١٢٨ = ٢ﺳﻢ
٢
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم = اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ +ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة = ١٢٨؟ ١٢٨ + ٢ﺳﻢ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٦ -
٢
" اﻟﮫﻨﺪﺳـــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺛﺎﻟﺜﺎ :إﻳﺠﺎد ﺣﺠﻢ اﻟﮫﺮم ١ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة ٣ ﻣﺜﺎل ٢
١ = ٣
اﻹرﺗﻔﺎع
٥١٢ ؟ ٢ﺳﻢ ٤ ١٢٨؟ = ٢ ٣
٣
ھﺮم ﺳﺪاﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٢ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ١٠؟ ٣ﺳﻢ أوﺟﺪ -: -١ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ . -٢ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ .
اﻟﺤﻞ
أوﻻ :إﻳﺠﺎد اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ : Aطﻮل ﺿﻠﻊ اﻟﻘﺎﻋﺪة س = ١٢ﺳﻢ Aﻋﺪد اﻷﺿﻼع ن = ٦أﺿﻼع ١ Bاﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ = ٢
Bﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة = ٦
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة
١ اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ = ٢
ﺛﺎﻧﯿﺎ :إﻳﺠﺎد اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ : ١ ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة :م = ٤
ن
١٠؟ ٣
٧٢
٢
؟ ٣ﺳﻢ
= ٣٦٠
٢
ن س ظﺘﺎ
٧٢ = ١٢ﺳﻢ
١٨٠ ١ ٢ ١٢ ٦ظﺘﺎ = ٤ ٦
٢١٦ = ٢١٦ظﺘﺎ = ٣٠ ظﺎ٣٠
= ٢١٦؟ ٣ﺳﻢ
٢
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم = اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ +ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة = ٣٦٠؟ ٢١٦ + ٣؟ ٥٧٦ = ٣؟ ٣ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٧ -
٢
" اﻟﮫﻨﺪﺳـــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٣
ھﺮم ﺛﻼﺛﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ اﻟﻮﺟﻮه طﻮل ﺣﺮﻓﮫ ١٢ﺳﻢ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﺛﻢ اوﺟﺪ ﺣﺠﻤﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ .
اﻟﺤﻞ
م
Aاﻟﮭﺮم ﺛﻼﺛﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ اﻟﻮﺟﻮه ٢
٢ Bل = ٣ع ٢
٢
٢
٣ = ١٢ع
٢٨٨ ٢ ع = ٣
= ٩٦
ع ٢
٢
٣ Gع = ٢٨٨
ج
ا
Gع = ؟ ٤ = ٩٦؟ ٦ﺳﻢ ب
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ = ل
ﻣﺜﺎل ٤
١٢ﺳﻢ
ﺣﺠﻤﮫ =
٢
؟ ٢ ١٢
؟ ١٢ = ٣ ٣
ل =
؟ ٢ ١٢
٢
؟ ١٤٤ = ٣؟ ٣ ٣
ﺳﻢ
١٤٤ = ١٢؟ ٢ﺳﻢ
٢
٣
اﻹدارة &: ٢٠١٧/٢٠١٦اﻷزھﺮ٢٠١٧/٢٠١٦ھﺮم رﺑﺎﻋﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ ٢
ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٧٠٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ٢٠ﺳﻢ أوﺟﺪ ﺣﺠﻤﮫ .
اﻟﺤﻞ Aاﻟﮭﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ
Bﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺮﺑﻌﺔ اﻟﺸﻜﻞ
Bطﻮل ﺿﻠﻊ اﻟﻘﺎﻋﺪة = ؟ ١٠ = ٧٠٠؟ ٧ﺳﻢ Aاﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰم ه = ٢٠ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٨ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳـــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
م
١ Aه ن = ب ج = ٥؟ ٧ﺳﻢ ٢ ٢٠ﺳﻢ
Bإرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم م ن=
ﰈ ) ٥) – ٢(٢٠؟ ١٥ = ٢( ٧ﺳﻢ ا
١ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ٣ ١ = ﻣﺜﺎل ٥ ٣
اﻹرﺗﻔﺎع
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة
٣٥٠٠ =١٥ ٧٠٠ﺳﻢ
ه
٣
١٥ﺳﻢ
)ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻰ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ(
ء
٥؟ ٧ﺳﻢ ن ب
١٠؟ ٧ﺳﻢ
ج
ھﺮم رﺑﺎﻋﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٨ﺳﻢ ﻓﺈذا ﻛﺎن ٣
ﺣﺠﻤﮫ ١٢٩٦ﺳﻢ ﻓﺄوﺟﺪ إرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ. ١ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ٣
اﻟﺤﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة
١ = ١٢٩٦ ٣
١٨
٢
اﻹرﺗﻔﺎع م
ع
١٠٨ = ١٢٩٦ع ١٢ﺳﻢ
١٥ﺳﻢ
١٢٩٦ Gع = ١٠٨ ١ Aه ن = ب ج = ٩ﺳﻢ ٢
= ١٢ﺳﻢ ا
ء
)ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻰ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ( Bاﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ م ه = ﰈ ١٥ = ٩ + ١٢ﺳﻢ ٢
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة = طﻮل اﻟﻀﻠﻊ
١٨ = ٤
١ Bاﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ = ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة ٢
٢
ه
٧٢ = ٤ﺳﻢ ١ اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ= ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٨٩ -
٩ﺳﻢ
ب
ن ١٨ﺳﻢ
٧٢
٥٤٠ = ١٥ﺳﻢ
ج ٢
" اﻟﮫﻨﺪﺳـــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٦
ھﺮم رﺑﺎﻋﻲ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻌﯿﻦ طﻮﻻ ﻗﻄﺮﯾﮫ ٤ﺳﻢ ٨ ،ﺳﻢ إﺛﺒﺖ أن ﺣﺠﻤﮫ ﯾﺴﺎوى ﺣﺠﻢ ﻣﻜﻌﺐ طﻮل ﺣﺮﻓﮫ ٤ﺳﻢ. . ١ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﮭﺮم = ٢
اﻟﺤﻞ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب طﻮﻟﻰ ﻗﻄﺮﯾﮫ
١ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ٣ ١ = ٣
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة ١٦ ٣
اﻹرﺗﻔﺎع
٦٤ = ١٢ﺳﻢ ٣
١٢ﺳﻢ
١ = ٢
٤
١٦ = ٨ﺳﻢ
٢
ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ = ل = ٦٤ = ٤ﺳﻢ
٣
٣
Bﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ ٤ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٩٠ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳـــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(٧ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﻌﯿﻦ طﻮﻻ ﻗﻄﺮﯾﮫ ١٢ﺳﻢ ٨ ،ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٠ﺳﻢ ﻓﺈن ٣
ﺣﺠﻤﮫ = ...........ﺳﻢ
-٢ھﺮم ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺣﺠﻤﮫ ١٢ﺳﻢ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٤ﺳﻢ ﻓﺈن إرﺗﻔﺎﻋﮫ = ........ﺳﻢ ٢
٣
-٣ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ٣٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ٥ﺳﻢ ﻓﺈن ﻣﺤﯿﻂ ٢
ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ = .................ﺳﻢ . ================================================== ٢ھﺮم ﺛﻼﺛﻰ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻷﺿﻼع طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ] ٣٢٤؟ ٣ﺳﻢ[ ٣
١٨ﺳﻢ أوﺟﺪ ﺣﺠﻤﮫ.
================================================== ٣إﺣﺴﺐ ﻷﻗﺮب رﻗﻢ ﻋﺸﺮى واﺣﺪ ﺣﺠﻢ ھﺮم ﺧﻤﺎﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٦ﺳﻢ ] ١٧٦١.٨ﺳﻢ[ ٣ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ . ================================================== ٣
٤ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺣﺠﻤﮫ ٤٠٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ إﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ . ============================================
] ٢٦٠ﺳﻢ[٢
٣ ٥ھﺮم ﺳﺪاﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺣﺠﻤﮫ ٨؟ ٣ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٤ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ.
] ١٢ﺳﻢ[
================================================== ٦م ا ب ج ھﺮم ﺛﻼﺛﻰ رأﺳﮫ م إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٤؟ ٥ﺳﻢ وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ∆ ا ب ج ﺣﯿﺚ ا ب = ٧ﺳﻢ ب ج = ٨ﺳﻢ ،ا ج = ٩ﺳﻢ أوﺟﺪ ﺣﺠﻤﮫ . أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] ٨٠ﺳﻢ[ ٣
- ٩١ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳـــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
٧ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٢٠ﺳﻢ ،وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٠؟ ٣أوﺟﺪ : ] ٨٠٠ﺳﻢ[٢
-١اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ . ٤٠٠٠
-٢ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم .
]
٣
؟ ٣ﺳﻢ[٣
================================================== ٨م ا ب ج ء ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ا ب ج ء ﺣﯿﺚ ا ب = ١٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ أوﺟــــــــــــــــﺪ : -١اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ﻟﻠﮭﺮم .
] ١٣ﺳﻢ[ ٣
-٢ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم .
] ٤٠٠ﺳﻢ [
٢ ] ٣٦٠ﺳﻢ [
-٣اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم.
================================================== ٩م ا ب ج ء ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٢٠ﺳﻢ وطﻮل ﺣﺮﻓﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ٢٦ﺳﻢ أوﺟــــــــــــــــﺪ : -١اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﮭﺮم.
] ٢٤ﺳﻢ[ ] ٢؟ ١١٩ﺳﻢ[
-٢إرﺗﻔﺎع اﻟﮭﺮم.
٢ ]١٣٦٠ﺳﻢ [
-٣اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم.
٨٠٠ ] ٣
-٤ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٩٢ -
٣
؟١١٩ﺳﻢ [
" اﻟﮫﻨﺪﺳـــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔواﻟﻜﻠﯿﺔ واﻟﺤﺠﻢ ﻟﻠﻤﺨﺮوط اﻟﻘﺎﺋﻢ إذا ﻛﺎن ﻧﻖ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط ،ل طﻮل راﺳﻤﮫ ،ع إرﺗﻔﺎﻋﮫ ﻓﺈن : اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط = πل ﻧﻖ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط = πﻧﻖ )ل +ﻧﻖ( ١ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻘﺎﺋﻢ = ٣
٢
πﻧﻖ ع
ل
ﻣﻼﺣﻈﺎت
ع
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = π ٢ﻧﻖ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة = πﻧﻖ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ =
٢
ﻧﻖ
اﻟﻜﺘﻠﺔ اﻟﺤﺠﻢ
ﻣﺜﺎل ١ ٢
ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ π ٢٥ﺳﻢ وطﻮل راﺳﻤﮫ ١٣ﺳﻢ أوﺟﺪ -١ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ -٢ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ -٣ﺣﺠﻤﮫ
اﻟﺤﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة = πﻧﻖ
٢
١٣ﺳﻢ ١٢ﺳﻢ
٢
πﻧﻖ = π ٢٥ Bﻧﻖ = ؟ ٥ = ٢٥ﺳﻢ
٥ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٩٣ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
٢
٢
٢
٢
إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ع = ﰈ ل – ﻧﻖ = ﰈ ١٢ = ٥ - ١٣ﺳﻢ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط = πل ﻧﻖ = π
١٣
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط = πﻧﻖ )ل +ﻧﻖ( = π ١ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = ٣ ﻣﺜﺎل ٢
١ ٣
٢
πﻧﻖ ع = π
٢٥
π ٦٥ = ٥ﺳﻢ ٥
٢
) π ٩٠ = (٥ + ١٣ﺳﻢ
π ١٠٠ = ١٢ﺳﻢ
٢
٣
ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل راﺳﻤﮫ ٢٥ﺳﻢ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ٥٥٠ﺳﻢ
٢
٢٢ ][ = π ٧
أوﺟﺪ ﺣﺠﻤﮫ .
اﻟﺤﻞ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط = πل ﻧﻖ = ٥٥٠
٥٥٠ ٧
٢٥
ﻧﻖ = ٥٥٠
٢٥ﺳﻢ
٢٤ﺳﻢ
٢٢ ٧
ﻧﻖ = ٥٥٠
ﻧﻖ = ٥٥٠
٧ ٥٥٠
٧ﺳﻢ
= ٧ﺳﻢ . ٢
٢
٢
٢
إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ع = ﰈ ل – ﻧﻖ = ﰈ ٢٤ = ٧ – ٢٥ﺳﻢ ١ ١ ٢ Bﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = πﻧﻖ ع = ٣ ٣
٢٢ ٧
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٤٩
- ٩٤ -
١٢٣٢ = ٢٤ﺳﻢ
٣
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٣
إدارة ﻓﺮﺷﻮط ٢٠١٦/٢٠١٥ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﺸﯿﻜﻮﻻﺗﺔ ﻋﻠﻰ ھﯿﺌﺔ ٣
ﻣﺨﺮوط ﻗﺎﺋﻢ ﺣﺠﻤﮫ π ٢٧ﺳﻢ وﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ π ٦ﺳﻢ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎﻋﮫ
اﻟﺤﻞ
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة = π ٢ﻧﻖ π ٢ﻧﻖ = π ٦
Gﻧﻖ = ٣ﺳﻢ
١ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = ٣
٣
٩ﺳﻢ
١ ٣
٩
٢
πﻧﻖ ع = π ٢٧
ع = ٢٧
٣ﺳﻢ
ع = G ٢٧ع = ٩ﺳﻢ ﻣﺜﺎل ٤
أوﺟﺪ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ ٢
π ٦١٦ﺳﻢ وطﻮل راﺳﻤﮫ ٣٠ﺳﻢ .
اﻟﺤﻞ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط = πﻧﻖ )ل +ﻧﻖ( ٣٠ﺳﻢ
π = π ٦١٦ﻧﻖ ) + ٣٠ﻧﻖ( ٣٠ = ٦١٦ﻧﻖ +ﻧﻖ
٢
٢
ﻧﻖ ٣٠+ﻧﻖ – ٠ = ٦١٦ ) ﻧﻖ – ) ( ١٤ﻧﻖ ٠ = (٤٤ + ﻧﻖ – ٠ = ١٤
Gﻧﻖ = ١٤ﺳﻢ
ﻧﻖ G ٠ = ٤٤ +ﻧﻖ = – ٤٤ﻣﺮﻓﻮض . Bطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط = ١٤ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٩٥ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٥
ﺳﺒﯿﻜﺔ ﻣﻦ اﻟﺬھﺐ اﻟﺨﺎﻟﺺ ﻋﻠﻰ ھﯿﺌﺔ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ٢
ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ٣ﺳﻢ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ π ١٥ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻟﺬھﺐ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺘﻠﺔ اﻟﺴﺒﯿﻜﺔ ٧٢٧ﺟﻢ .
اﻟﺤﻞ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط = πل ﻧﻖ = π ١٥ ل = ٥ﺳﻢ . ٢
٤ﺳﻢ
ل
G ١٥ = ٣
٥ﺳﻢ
٢
٢
٢
إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ع = ﰈ ل – ﻧﻖ = ﰈ ٤ = ٣ – ٥ﺳﻢ ١ ١ ٢ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = πﻧﻖ ع = ٣ ٣
٣.١٤
٣
٢
٣٧.٦٨ =٤ﺳﻢ
٣ﺳﻢ ٣
اﻟﻜﺘﻠﺔ ٧٢٧ ١٩.٣ Tﺟﻢ /ﺳﻢ = اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ = اﻟﺤﺠﻢ ٣٧.٦٨ ﻣﺜﺎل٦ إﻧﺎء اﺳﻄﻮاﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﮫ ﻣﺎء ﻏﻤﺮ ﻓﯿﮫ ﺟﺴﻢ ﻣﻌﺪﻧﻰ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺨﺮوط ﻗﺎﺋﻢ ٣
إرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٢ﺳﻢ ﻏﻤﺮ ﻛﺎﻣﻼ ﻓﺄرﺗﻔﻊ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺎء ﻓﻰ اﻹﻧﺎء ﺑﻤﻘﺪار ١ﺳﻢ أوﺟﺪ طﻮل ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة اﻹﻧﺎء . ١ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = ٣ ١ = π ٣
٢
اﻟﺤﻞ
πﻧﻖ ع ٢
٢
π ١٦ = ١٢
Bﺣﺠﻢ اﻟﻤﺎء اﻟﻤﺰاح = ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = π ١٦ ٢
ﺣﺠﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ = πﻧﻖَ عَ π = π ١٦ﻧﻖَ
٢
١
Gﻧﻖَ = ؟٤ = ١٦ﺳﻢ
Bطﻮل ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة اﻹﻧﺎء = ٢
٨ = ٤ﺳﻢ .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٩٦ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٧
ھﺮم ﺧﻤﺎﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﻦ اﻟﻨﺤﺎس طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٤٢ﺳﻢ ،ﺻﮭﺮ وﺣﻮل إﻟﻰ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٥ﺳﻢ ﻓﺈذا ﻋﻠﻢ أن %١٠ﻣﻦ اﻟﻨﺤﺎس ﻓﻘﺪ أﺛﻨﺎء ﻋﻤﻠﯿﺘﻰ اﻟﺼﮭﺮ واﻟﺘﺤﻮﯾﻞ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ﻷﻗﺮب رﻗﻢ ﻋﺸﺮى واﺣﺪ .
اﻟﺤﻞ
ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة : ١ م= ٤
٢
ن س ظﺘﺎ
ن
١٨٠ ١ ٢ ١٠ ٥ظﺘﺎ = ٤ ٥
١٢٥ ١٧٢ Tﺳﻢ = ١٢٥ظﺘﺎ = ٣٦ ظﺎ٣٦ ١ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ٣
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة
١ = ٣
٢
اﻹرﺗﻔﺎع
٢٤٠٨ =٤٢ ١٧٢ﺳﻢ
٣
أﺛﻨﺎء ﻋﻤﻠﯿﺔ ﺻﮭﺮ اﻟﮭﺮم ﻓﻘﺪ %١٠ﻣﻦ اﻟﻨﺤﺎس Bﻧﺴﺒﺔ ﺣﺠﻢ اﻟﻨﺤﺎس اﻟﻤﺘﺒﻘﻰ = %٩٠وھﻮ اﻟﺬى ﺻﻨﻊ ﻣﻨﮫ اﻟﻤﺨﺮوط . Bﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = %٩٠ﻣﻦ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم . ٩٠ = ١٠٠ ١ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = ٣ ١ = ٢١٦٧.٢ ٣ ١٦٥٠ = ٢١٦٧.٢ ٧
٢١٦٧.٢ = ٢٤٠٨ﺳﻢ
٣
٢
πﻧﻖ ع ٢٢ ٧
ع
١٥
٢
ع
٧ ٢١٦٧.٢ Gع= ١٦٥٠
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٩.٢ Tﺳﻢ
- ٩٧ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٨
ﻗﻄﺎع داﺋﺮى م ا ب طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ١٨ﺳﻢ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ْ٦٠طﻮى وﻟﺼﻘﺎ ﻧﺼﻔﺎ ﻗﻄﺮه ﻟﯿﻜﻮن اﻛﺒﺮ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺟﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻤﺨﺮوط ﻗﺎﺋﻢ أوﺟﺪ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط .
اﻟﺤﻞ
Gﻧﻖَ = ١٨ﺳﻢ
طﻮل راﺳﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = ١٨ﺳﻢ
) اﻟﺮاﺳﻢ ھﻮ ﻧﻔﺴﮫ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮة اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى( ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط = طﻮل ا بü م
ﻗﯿﺎس اﻟﻘﻮس طﻮل ا ب= ü ﻗﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮة ٦٠ = ٣٦٠
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة . π٢
١٨ﺳﻢ
π ٦ = ١٨ﺳﻢ
ا
ْ٦٠
١٨ﺳﻢ
ب
ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط = π ٦ﺳﻢ Gﻧﻖ = ٣ﺳﻢ
π ٢ﻧﻖ = π ٦
١٨ﺳﻢ ٢
إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط ع = ﰈ ل – ﻧﻖ ٢
٢
٢
= ﰈ ٣ = ٣ – ١٨؟ ٣٥ﺳﻢ ١ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = ٣ ١ = ٣
π
٣ﺳﻢ
٢
πﻧﻖ ع ٣
٢
٣؟ ١٦٧.٣ T ٣٥ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٣
- ٩٨ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(٨ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ -: -١ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﻘﺎﺋﻢ = ....................... -٢اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﻘﺎﺋﻢ = ....................... -٣اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﻘﺎﺋﻢ = ....................... -٤ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٦ﺳﻢ وطﻮل راﺳﻤﮫ ١٠ﺳﻢ ﻓﺈن ﺣﺠﻤﮫ ٣
ﯾﺴﺎوى ..........ﺳﻢ ،وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﺗﺴﺎوى ..........ﺳﻢ
٢
-٥ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٥ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٠ﺳﻢ ﻓﺈن ﺣﺠﻤﮫ ﯾﺴﺎوى ٣
..........ﺳﻢ ،وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺴﺎوى ..........ﺳﻢ
٢
================================================== ٢إدارة اﺑﻮﺗﺸﺖ ٢٠١٦/٢٠١٥ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل راﺳﻤﮫ ١٧ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٥ﺳﻢ ٢ ] π ١٣٦ﺳﻢ [
أوﺟــــــﺪ (١) -:ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ . ) (٢ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ .
٢ ] π ٢٠٠ﺳﻢ [
) (٣ﺣﺠﻤﮫ .
٣ ] π ٣٢٠ﺳﻢ [
================================================== ٣أوﺟﺪ ﻷﻗﺮب رﻗﻢ ﻋﺸﺮى واﺣﺪ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻤﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٢ ] ٢٨٢.٧ﺳﻢ [
١٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ .
================================================== ٤أوﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٤٤ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٥ﺳﻢ . ٢٢ ) إﻋﺘﺒﺮ = π ٧
٣ ] ١٢٨٣.٣ﺳﻢ [
(
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ٩٩ -
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
أوﺟﺪ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل راﺳﻤﮫ ١٠ﺳﻢ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ
٥ ٢ π ٩٦ﺳﻢ .
]٦ﺳﻢ[
================================================== ٣ ٦ﺻﮭﺮﯾﺞ ﻣﯿﺎه ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ ﺣﺠﻤﮫ π ٣٢م وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٦م أوﺟﺪ طﻮل ٢ ] ٤م ١٤٠,٩ ،م [
ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ .
================================================== ٢
٧ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ٨ﺳﻢ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ π ٩٦ﺳﻢ أوﺟﺪ ٣ ] ٥٩٩.٧ﺳﻢ [
ﻷﻗﺮب رﻗﻢ ﻋﺸﺮى واﺣﺪ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط .
================================================= ٨أﯾﮭﻤﺎ أﻛﺒﺮ ﺣﺠﻤﺎ :ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٥ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٠ﺳﻢ أم ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٤٠ﺳﻢ وﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٤٨ﺳﻢ . ٣ ٣ ]ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = ٤٧١٢.٤ﺳﻢ ،ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ١٩٢٠ﺳﻢ ،اﻟﻤﺨﺮوط أﻛﺒﺮ ﺣﺠﻤﺎ[
================================================== ٩ﻣﻜﻌﺐ ﻣﻦ اﻟﺸﻤﻊ طﻮل ﺣﺮﻓﮫ ٢٠ﺳﻢ ﺻﮭﺮ وﺣﻮل إﻟﻰ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢١ﺳﻢ أوﺟﺪ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ إذا ﻋﻠﻢ أن %١٢ﻣﻦ اﻟﺸﻤﻊ ﻓﻘﺪ أﺛﻨﺎء ﻋﻤﻠﯿﺔ اﻟﺼﮭﺮ ٢٢ واﻟﺘﺤﻮﯾﻞ ) إﻋﺘﺒﺮ ( = π ٧
] ٨؟ ٥ﺳﻢ[
================================================== ١٠طﻮﯾﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻮرق اﻟﻤﻘﻮى ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻗﻄﺎع داﺋﺮى طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ٣٦ﺳﻢ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ ْ٢١٠ﻟﺘﺼﻨﻊ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٠٠ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] ٢٩.٢٤ﺳﻢ[
" اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة The equation of a circle
اﻟﺪاﺋﺮة
ھﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻧﻘﻂ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺘﻰ ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ
اﻟﻤﺴﺘﻮى وﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة . اوﻻ :ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﺑﺪﻻﻟﺔ إﺣﺪاﺛﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ً إذا ﻛﺎﻧﺖ ا= )س ،ص( ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م =) ء ،ه( وطﻮل ا)س ،ص(
ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ﻓﺎن ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ ھﻰ: )س –ء( ) +ص – ه( = ﻧﻖ ٢
٢
٢
ﻧﻖ م ) ء ،ه(
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(١ إذا ﻛﺎن ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻓﺈن ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ ھﻰ : ٢
٢
س +ص = ﻧﻖ
٢
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٢
إذا ﻛﺎﻧﺖ ا) س ،١ص،(١ب) س ،٢ص (٢ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻓﺈن ٢
-١اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦا ،ب ھﻮ :ا ب = ﰈ) س –٢س ) + (١ص –٢ص(١
٢
-٢إﺣﺪاﺛﯿﺎ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻰ طﺮﻓﺎھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ،ب ھﻮ : )ـــــــــــــــــــ ،ص +١ص م = س +١س٢ ــــــــــــــــــ( ٢ ٢ ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠١ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ١
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م ) (١- ، ٧وطﻮل ﻗﻄﺮھﺎ ﯾﺴﺎوى ٨وﺣﺪات طﻮل .
اﻟﺤﻞ Aم )(١- ، ٧
٢
٢
Bء= ، ٧ه=١-
٢
٢
٢
٢
) Aس – ء( ) +ص – ه( = ﻧﻖ
٢
٢
) Bس – ) + (٧ص ٤ = (١ +
٨ ﻧﻖ = = ٤ﺳﻢ ٢
) Bس – ) + (٧ص ١٦= (١ +
ﻣﺜﺎل ٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻗﻄﺮھﺎ اب ﺣﯿﺚ ا = ) ، (١- ، ٤ب = )(١ ، ٢-
اﻟﺤﻞ Aﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ اب ٢ ٤ Bم=) ٢
،
١ ١ ٢
ا)(١-،٤
( = ) (٠ ، ١
م )(٠ ،١ ٢
ﻧﻖ = م ا = ﰈ) س –٢س ) + (١ص –٢ص(١ ﻧﻖ =
٢
٢
٢
ﰈ) = (٠– ١–) + (١ – ٤؟ ١٠وﺣﺪة طﻮل
Aﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻰ )س – ء( ) +ص – ه( = ﻧﻖ ٢
٢
٢
) Bس – ) + (١ص – ) = (٠؟(١٠
ب)(١ ،٢-
٢
Aم )(٠ ، ١ Bء= ، ١ه= ٠
٢
ﻧﻖ = ؟١٠
٢ ٢
٢
أى أن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﺗﺼﺒﺢ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ) :س – + (١ص =١٠ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٢ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٣ وﺿﻊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا) س ،١ص (١ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة د) :س – ء( ) +ص – ه( = ﻧﻖ ٢
إذا ﻛﺎن)س – ١ء( ) +ص – ١ه( = ﻧﻖ ٢
٢
إذا ﻛﺎن)س – ١ء( ) +ص – ١ه( <ﻧﻖ ٢
٢
٢
ﻓﺈن ا ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة
٢
ﻓﺈن ا ﺗﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة
إذا ﻛﺎن)س – ١ء( ) +ص – ١ه( > ﻧﻖ ٢
ﻣﺜﺎل ٣
٢
٢
٢
٢
ﻓﺈن ا ﺗﻘﻊ داﺧﻞ اﻟﺪاﺋﺮة
ﺑﯿﻦ ﻣﻮاﻗﻊ اﻟﻨﻘﺎط ﺣﯿﺚ ا = ) ، (٣ ،٩ب = ) ، (٥، ٧ج = ) (٣– ، ٢ ٢
٢
ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة د ) :س – ) + (٦ص ٢٥ = (١+
اﻟﺤﻞ
٢
Aﻧﻖ = ٢٥ أوﻻً
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ا = )(٣ ،٩ ٢
٢
) = ٢٥ = (١+ ٣ ) + (٦ – ٩ﻧﻖ ﺛﺎﻧﯿﺎً
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ب = ) (٥، ٧ ٢
٢
) <٣٧ = (١+ ٥ ) + (٦ – ٧ﻧﻖ ﺛﺎﻟﺜﺎً
٢
Bاﻟﻨﻘﻄﺔ ا ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪﺋﺮة
٢
Bاﻟﻨﻘﻄﺔ ب ﺗﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﺪﺋﺮة
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ج = ) (٣– ، ٢ ٢
٢
) >٢٠ = (١+٣–) + (٦ – ٢ﻧﻖ
٢
Bاﻟﻨﻘﻄﺔ ج ﺗﻘﻊ داﺧﻞ اﻟﺪﺋﺮة
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٣ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺛﺎﻧﯿﺎً :اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = )– ل – ،ك( ھﻰ : ٢
٢
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ج = ٠ﺣﯿﺚ ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺮاج ﻗﯿﻢ ل،ك ،ج ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﻛﺎﻻﺗﻰ -: ١ ١ ل = ﻣﻌﺎﻣﻞ س ،ك = ٢ ٢ ٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ Gﻧﻖ =
ﻣﻌﺎﻣﻞ ص ٢
٢
٢
٢
ﰈل +ك – ج ،ل +ك – ج <٠
ﻣﻼﺣﻈﺔ ) :(٤ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة -١اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﺗﺘﺼﻒ ﺑﺎﻻﺗﻰ -: ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻰ س ،ص . ﻻ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪ س ص أى أن ﻣﻌﺎﻣﻞ س ص = ٠ ٢
٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص =١ -٢ﻟﻜﻰ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻰ س ،ص ﯾﻠﺰم ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮوط اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ٢
٢
ﺑﺎﻻﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ل +ك – ج < ٠ -٣ﻋﻨﺪ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰ أو طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮة ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﯾﺠﺐ أن ﯾﻜﻮن : ٢
٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص = ١ﻟﺬﻟﻚ ﯾﺠﺐ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ إذا ﻛﺎن ﻏﯿﺮ ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٤ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٤
أوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺰ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ ٢
٢
٧س ٧ +ص ٤٢+س – ١٤ص ٠ = ٢٨ +
اﻟﺤﻞ ٢
٢
٧س ٧ +ص ٤٢+س – ١٤ص ٠ = ٢٨ +ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٧ﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن ٢
٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص = ١ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ : ٢
٢
Bس +ص ٦+س – ٢ص ٠ = ٤ + ١ Gل = ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ٣ ٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ س = ٦
G
ك=–١
١ Gك = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص= –١ ٢
ﻣﻌﺎﻣﻞ ص = – ٢
G
وﯾﻜﻮن اﺣﺪاﺛﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = )– ل – ،ك( = ) – (١ ، ٣ ٢
٢
ﻧﻖ = ﰈ ل +ك – ج = ﻣﺜﺎل ٥
٢
ل=٣
ج=٤
،
٢
ﰈ) = ٤ – (١–) + (٣؟ ٦وﺣﺪة طﻮل
أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م= )–(٣ ،٢ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٥وﺣﺪة طﻮل .
اﻟﺤﻞ م = )– ل – ،ك( = )– G (٣ ،٢ل = ، ٢ك = – ، ٣ﻧﻖ = ٥ ٢
ل=٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )١٢– = (٥) – (٣ –) + (٢ ٢
٢
ك=–٣
Aس +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ج = ٠
ج = –١٢
Bاﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻰ : ٢
٢
س +ص ٢ ٢+س ٣ – ٢ +ص ٠ = (١٢ – )+ ٢ ٢ Bس +ص ٤+س – ٦ص – ٠ = ١٢ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٥ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٦
أى ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻻﺗﯿﺔ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة ؟ وإذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ داﺋﺮة أوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺰھﺎ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ : ١ ٢ ١ ) (١س +ص +س – ٠ = ٨ ٤ ٤ ٢
٢
٢
) (٢س +ص – ٢س ٤ +ص ٠= ٧ + ٢
٢
)٣ (٣س ٢ +ص ٦+س – ٥ص = ٠ ٢
٢
) (٤س +ص ٢ +س ص – ٠ = ١٢ أوﻻً ١ ٤
اﻟﺤﻞ ١ ٢ ٤
٢
س +ص +س –٠=٨
ﺑﺎﻟﻀﺮب
Bس +ص ٤ +س – ٠ =٣٢
G
٢
ل=٢
٤
ك=٠
٢
٢
ج = – ٣٢
٢
Aﻣﻌﺎﻣﻞ س = ﻣﻌﺎﻣﻞ ص = ، ١واﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺧﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪ س ص ٢
٢
٢
٢
،ل +ك – ج = ٠ < ٣٦ = (٣٢ –) – ٠ + ٢ Bاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = )– ل – ،ك( = )– (٠ ، ٢ ٢
٢
ﻧﻖ = ﰈ ل +ك – ج = ؟ ٦ = ٣٦وﺣﺪة طﻮل
وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ
ﺛﺎﻧﯿﺎً ٢ ٢ س +ص – ٢س ٤ +ص ٠= ٧ + ٢ ٢ ٢ ٢ Aل +ك – ج =) – ٠ > ٢ – = ٧ – ٢ + (١ Bاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة ٢
ﺛﺎﻟﺜﺎً
G
ل = –١ ك=٢ ج=٧
٢
٣س ٢ +ص ٦+س – ٥ص = ٠ ٢
Aﻣﻌﺎﻣﻞ س } ﻣﻌﺎﻣﻞ ص
٢
Bاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٦ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
راﺑﻌﺎً
٢
٢
س +ص ٢ +س ص – ٠ = ١٢
Aاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ س ص ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٥ ﻣﺜﺎل ٧
Bاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة
ﺗﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن إذا ﺗﺴﺎوى طﻮﻻ ﻧﺼﻔﻰ ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ.
ﺑﯿﻦ أى داﺋﺮﺗﯿﻦ ﻣﻤﺎ ﯾﺄﺗﻰ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن ؟ وﻟﻤﺎذا؟ ٢
٢
٢
٢
٢
٢
) (١س +ص –٤س ٨+ص = ، ٠س +ص ١٢+ص٠ = ١٦+ ٢
٢
) (٢س +ص –٢س ٤+ص– ، ٠ =٣س +ص ٦+س –٠ = ١١
اﻟﺤﻞ أوﻻً
٢
٢
٢
٢
س +ص –٤س ٨+ص = ٠
س +ص ١٢+ص٠ = ١٦+
ل=– ، ٢ك= ،٤ج=٠
ل = ، ٠ك = ، ٦ج = ١٦
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ١ﰈ ل +ك – ج ٢
٢
ﻧﻖ = ٢ﰈ ل +ك – ج ٢
٢
٢
= ﰈ)–٠ – (٤) + (٢
= ﰈ)١٦ – (٦) + (٠
= ٢؟ ٥وﺣﺪة طﻮل
= ٢؟ ٥وﺣﺪة طﻮل
Aﻧﻖ= ١
ﻧﻖ٢
Bاﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٧ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺛﺎﻧﯿﺎً
٢
٢
٢
٢
س +ص –٢س ٤+ص–٠ =٣
س +ص ٦+س –٠ = ١١
ل = – ، ١ك = ، ٢ج = –٣
ل = ، ٣ك = ، ٠ج = –١١
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ١ﰈ ل +ك – ج
٢
ﻧﻖ = ١ﰈ ل +ك – ج
٢
٢
= ﰈ)–(٣–) – (٢) + (١
= ﰈ)(١١–) – (٠) + (٣
= ٢؟ ٢وﺣﺪة طﻮل
= ٢؟ ٥وﺣﺪة طﻮل
٢
٢
Aﻧﻖ} ١
ﻣﺜﺎل ٨
Bاﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن
ﻧﻖ٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ھﻰ ﺻﻮرة اﻟﺪاﺋﺮة ٢
٢
س +ص – ١٢س ٦ +ص ٠ = ٢٠ + ﺑﺎﻻﻧﺘﻘﺎل )س ، ٢+ص – (٢
اﻟﺤﻞ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻌﻄﺎة : ٢
ل = –٦
٢
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ل +ك – ج = )– ٢٥ = ٢٠ – (٣) + (٦
ك=٣
٢
Aاﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن
ج = ٢٠
Bﻧﻖَ = ٢٥
Aﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻌﻄﺎة ھﻮ م = )(٣– ، ٦
Bﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﺑﺎﻻﻧﺘﻘﺎل)س ، ٢+ص – (٢ھﻮمَ = )(٥– ،٨)=(٢ –٣– ،٢+ ٦ ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ )س – ) + (٨ص ٢٥ = (٥ +
لَ = – ٨
أو ﻧﻮﺟﺪھﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﺣﯿﺚ جَ =)– ٦٤ = ٢٥ – (٥) + (٨
كَ = ٥
٢
٢
٢
٢
Gس +ص – ١٦س ١٠ +ص ٠ = ٦٤ + أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
جَ = ٦٤
" - ١٠٨ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة -١ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻫﻰ -: ٢
٢
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص = ٠
أى أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺧﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪ اﻟﻤﻄﻠﻖ ) ج = (٠
أﻛﺘﺐ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (١٢–، ٥وﺗﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = ) (١٢–، ٥ –ل = ٥
Gل= –٥
– ك = –١٢
Gك = ١٢
٢
٢
س +ص ٥ – ٢+س ٢ +
ل = –٥ ك = ١٢ ج=٠
١٢ص= ٠ ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ١٠س ٢٤ +ص= ٠ -٢ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت -: ٢
٢
س +ص ٢+ل س +ج =٠
أى أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺧﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪ اﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ص )ك=(٠
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٠ ،٣وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٥وﺣﺪة طﻮل ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = )(٠ ،٣ –ل = ٣
Gل= –٣
–ك = ٠ ٢
٢
ل = –٣ ك=٠
Gك= ٠ ٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )– ١٦– = (٥) – (٠) + (٣ ٢
٢
س +ص ٣ – ٢+س ٢ +
٠ ٢
ج = –١٦
ص –٠ = ١٦ ٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ٦س –٠ = ١٦
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٠٩ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
-٣ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات -: س +٢ص٢+٢ك ص +ج = ٠أى أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺧﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪ اﻟﻤﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ س )ل = (٠ أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٤ – ،٠وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٣وﺣﺪة طﻮل ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = )(٤ – ،٠ –ل = ٠
Gل= ٠
–ك = – ٤
Gك= ٤ ٢
٢
٢
٢
ل=٠ ك=٤
٢
ج =٧
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )٧= (٣) – (٤) + (٠ ٢
٢
س +ص ٢+
٠
س ٤ ٢+ص ٠ = ٧+ ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص ٨ +ص ٠ = ٧+ -٤ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت : ٢
٢
٢
وﯾﻜﻮن ﻧﻖ= |ك| ،ج = ل
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ل = ٠
٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٤–، ٣وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت Aﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = ) (٤–، ٣ ل=–٣
Gل= – ، ٣ك=٤ Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ٢
٢
٢
Gﻖ= |ك| = |٤ = | ٤ ﻧ ٢
٢
ك=٤ ج =٩
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )– ٩ = (٤) – (٤) + (٣ ٢
٢
Bس +ص ٣ – ٢+س ٢ + ٢
٤ص ٠ =٩ + ٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ٦س ٨ +ص ٠ = ٩+
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٠ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ٩
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٦وﺣﺪات وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ).(٠، ٤
اﻟﺤﻞ Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) .(٠، ٤ Bاﻟﻤﺮﻛﺰ م = ) – ، ٤ك ( Aﻧﻖ= |ك| = ٦
ك =إ ٦
Bﺗﻮﺟﺪ داﺋﺮﺗﺎن ﻣﺮﻛﺰ إﺣﺪاھﻤﺎ ) ، (٦ ، ٤وﻣﺮﻛﺰ اﻷﺧﺮى ) (٦ – ، ٤ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻷوﻟﻰ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ) (٦ ، ٤ ل = –٤ ك = –٦
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )–١٦ = (٦) – (٦–) + (٤ ٢
٢
Bس +ص ٤– ٢+س ٢ +
ج =١٦
٢
– ٦ص ٠ =١٦ + ٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ٨س – ١٢ص ٠ = ١٦+ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ) : (٦ – ، ٤ ل = –٤ ك=٦ ج =١٦
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )–١٦ = (٦) – (٦) + (٤ ٢
٢
Bس +ص ٤– ٢+س ٢ + ٢
٦ص ٠ =١٦ + ٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص – ٨س ١٢+ص ٠ =١٦+ م ) (٦ ، ٤
م) (٦ – ، ٤
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١١ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
-٥ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات : ٢
٢
٢
وﯾﻜﻮن ﻧﻖ= |ل| ،ج = ك
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ك = ٠
٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ )– (٣–، ٢وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮراﻟﺼﺎدات Aﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– ل – ،ك( = )–(٣–، ٢ B
– ل = –٢
Gل=٢
ل=٢
B
– ك = –٣
Gك=٣
ك=٣
Gﻖ= |ل| = |٢ = | ٢ ﻧ Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ٢
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج =٩
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )٩ = (٢) – (٣) + (٢ Bس +ص ٢ ٢+س ٢ +
٣ص ٠ =٩ + ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص ٤ +س ٦ +ص ٠ = ٩+ ﻣﺜﺎل ١٠
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٥وﺣﺪات وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) .(٣، ٠
اﻟﺤﻞ Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) .(٣، ٠ Bاﻟﻤﺮﻛﺰ م = )– ل (٣، ) (٣ ، ٥م
م )–(٣ ، ٥
ﻧﻖ= |ل| = G ٥ل = إ ٥ Bﺗﻮﺟﺪ داﺋﺮﺗﺎن ﻣﺮﻛﺰ إﺣﺪاھﻤﺎ ) (٣ ، ٥ ،وﻣﺮﻛﺰ اﻷﺧﺮى )– (٣ ، ٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٢ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻷوﻟﻰ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ) (٣ ، ٥ ل = –٥
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )–٩ = (٥) – (٣–) + (٥
ك = –٣
٢
٢
Bس +ص ٥– ٢+س ٢ +
ج =٩
– ٣ص ٠ =٩ + ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص –١٠س – ٦ص ٠ = ٩+ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ )– : (٣ ، ٥ ل=٥
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ج = ل +ك – ﻧﻖ = )٩ = (٥) – (٣–) + (٥
ك = –٣ ج =٩
٢
٢
Bس +ص ٥ ٢+س ٢ +
– ٣ص ٠ =٩ + ٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص ١٠+س – ٦ص ٠ = ٩+
- ٦ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺲ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ : ٢
٢
س +ص ٢+ل س٢ +ك ص +ج = ٠
وﯾﻜﻮن ﻧﻖ= |ل| = |ك| ٢
٢
ﺣﯿﺚ ج = ل = ك = ﻧﻖ
٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ )– (٤ ، ٤وﺗﻤﺲ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ اﻟﺴﯿﻨﻰ واﻟﺼﺎدى Aاﻟﺪاﺋﺮة ﺗﻤﺲ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ و ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م = )– ل – ،ك( = )–(٤ ، ٤ – ل = –٤
Gل= ٤
–ك = ٤
Gك = –٤
ﻧﻖ= |–٤ = | ٤| = |٤ ٢
٤
م )–(٤ ،٤
٢
Gج = ﻧﻖ = ١٦
٢
Bس +ص ٤ ٢+س ٢ +
– ٤ص ٠ = ١٦ + ٢
–٤
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ س +ص ٨ +س – ٨ص ٠ = ١٦+
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٣ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٦
وﺿﻊ داﺋﺮة ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ داﺋﺮة أﺧﺮى :إذا ﻛﺎن م ،داﺋﺮة طﻮل ﻧﺼﻒ
ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ،١ن داﺋﺮة طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ٢ﺣﯿﺚ ﻧﻖ < ١ﻧﻖ: ٢ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن م ،ن ﻓــــــــــــــــــــــــــﺈن ) (١ﻣﺘﺒﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
م ن<
ﻧﻖ + ١ﻧﻖ٢
) (٢ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج
م
) (٣ﻣﺘﻘﺎطﻌﺘﯿﻦ
ﻧﻖ – ١ﻧﻖ > ٢م ن
ن= ﻧﻖ + ١ﻧﻖ٢
) (٤ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ
م
ن= ﻧﻖ – ١ﻧﻖ٢
) (٥ﻣﺘﺪاﺧﻠﺘﯿﻦ
م
ن> ﻧﻖ –١ﻧﻖ٢
) (٦ﻣﺘﺤﺪﺗﻰ اﻟﻤﺮﻛﺰ
م ن= ﺻﻔﺮ
ﻣﺜﺎل ١١
٢
> ﻧﻖ + ١ﻧﻖ٢
٢
ھﻞ اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن د : ١س +ص – ١٠س – ٨ص ٠ = ١٦+ ٢
٢
،د : ٢س +ص ١٤+س١٠ +ص – ٠ = ٢٦ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج ؟ ﻓـــﺴـﺮ إﺟﺎﺑﺘﻚ . ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻷوﻟﻰ د١ﺣﯿﺚ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م=)(٤ ، ٥
اﻟﺤﻞ
ل = – ، ٥ك = – ، ٤ج =١٦ ٢
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ١ﰈ ل +ك – ج = ﰈ)– ٥ = (١٦) – (٤–)+ (٥وﺣﺪة طﻮل ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ د٢ﺣﯿﺚ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ن=)–(٥– ، ٧ ل = ، ٧ك = ، ٥ج =–٢٦ ٢
٢
٢
٢
ﻧﻖ = ٢ﰈ ل +ك – ج = ﰈ) ١٠ = (٢٦–) – (٥)+ (٧وﺣﺪة طﻮل أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٤ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻧﻖ + ١ﻧﻖ ١٥ = ١٠+ ٥ = ٢وﺣﺪة طﻮل ٢
اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰى اﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ م ن= ﰈ) س –٢س ) + (١ص –٢ص(١ ٢
م= )(٤ ، ٥ ن = )–(٥– ، ٧
٢
م ن = ﰈ)– ١٥ = (٤ –٥–) + (٥ –٧وﺣﺪة طﻮل Aم ن = ﻧﻖ+ ١
ﻧﻖ٢
٢
Bاﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٧ –١اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎس . –٢اﻟﻤﻤﺎﺳﺎن اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺎن ﻣﻦ ﻧﮭﺎﯾﺘﻰ ﻗﻄﺮ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة ﻣﺘﻮازﯾﺎن . – ٣طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )س ،١ص (١ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ : ــــــــــــــــــــــــــــــــــ | اس +ب ص +ج = ٠ھﻮ ل = | اس +١ب ص +١ج ٢ ٢ ﰈا +ب ﻣﺜﺎل ١٢ أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = ) (٣، ٢واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٣س٤+ص ٠ = ٢+ ﻣﻤﺎس ﻟﮭﺎ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ه
اﻟﺤﻞ
طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﯾﺴﺎوى طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﮭﺎ | اس +١ب ص +١ج | ا= ، ٣ب = ، ٤ج = ٢ م ه = ﻧﻖ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ٢ س ، ٢ =١ص٣ = ١ ﰈا +ب | | ٢ +٣ ٤+٢ ٣ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٤وﺣﺪة طﻮل ٢ ٢ ﰈ٤+ ٣ ٢
م )(٣ ،٢
٢
Bﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ھﻰ )س–)+ (٢ص–٤ = (٣ ٢
٢
) Gس–)+ (٢ص–١٦ = (٣
٢
ه ٣س٤+ص ٠ = ٢+
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٥ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٨ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔا gل اﻟﺬى ﯾﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻟﺪاﺋﺮة م اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ﻓﺈذا ﻛﺎن م ا < ﻧﻖ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﯾﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة م ﻓﺈذا ﻛﺎن م ا = ﻧﻖ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﻣﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة م ﻓﺈذا ﻛﺎن م ا > ﻧﻖ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﻗﺎطﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة م ﻣﺜﺎل ١٣
٢
٢
ﺣﺪد وﺿﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ) :س) + (٣+ص – ٩ = (٤ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ھﻰ : ) ٣ (١س–٤ص ٠ = ٥+ )٦ (٢س– ٨ص ٠ = ٢٣+ ) ٣ (٣س–٤ص ٠ = ١٠+
اﻟﺤﻞ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻧﻖ= ؟ ٣ = ٩وﺣﺪة طﻮل.
ا= ، ٣ب = – ، ٤ج = ٥ س ، ٣– =١ص٤ = ١
ﻧﺤﺴﺐ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة م = )– (٤ ، ٣ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ أوﻻً طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ٣ : ١س–٤ص ٠ = ٥+ | | ٥ + ٤ ٤– ٣– ٣ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = < ٤ﻧﻖ ٢ ٢ ﰈ)( ٤ –)+ (٣ Bاﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ١ﯾﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة ﺛﺎﻧﯿﺎً طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل٦ : ٢س– ٨ص ٠ =٢٣+ | ٢٣ + ٤ ٨– ٣– ٦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ | = > ٢.٧ﻧﻖ ا= ،٦ب = – ، ٨ج =٢٣ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ٢ ٢ س ، ٣– =١ص٤ = ١ ﰈ)( ٨ –)+ (٦ Bاﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ٢ﻗﺎطﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٦ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺛﺎﻟﺜﺎً طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل٣: ٣س–٤ص ٠ = ١٠+ | | ١٠ + ٤ ٤– ٣– ٣ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = = ٣ﻧﻖ ا= ، ٣ب = – ، ٤ج = ١٠ ٢ ٢ ﰈ)( ٤ –)+ (٣ س ، ٣– =١ص٤ = ١ Bاﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ٣ﻣﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻣﻼﺣﻈﺔ )(٩
إذا ﻛﺎن ﻋﺪد أﺿﻼع ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ = ن ﺿﻠﻌﺎ ،وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ
ن اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮءوﺳﮫ = ﻧﻖ ﻓﺈن :ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ = ٢
٢
ﻧﻖ ﺟﺎ
ْ ٣٦٠ ن
ﻣﺜﺎل ١٤
ﺻﻤﻢ ﻣﮭﻨﺪس ﻣﻌﻤﺎرى ﻣﺒﻨﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺛﻤﺎﻧﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺗﻤﺮ ﺑﺮؤوﺳﮫ ٢
٢
اﻟﺪاﺋﺮة س +ص –٤س ١٢ +ص – ٠ = ٦٠إﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺒﻨﻰ ﻷﻗﺮب وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ .
اﻟﺤﻞ ٢
٢
ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص –٤س ١٢ +ص – ٠ = ٦٠ ل = –٢ ك=٦ ج =– ٦٠
٢
٢
٢
٢
٢
Bﻧﻖ = ل +ك – ج = )–١٠٠ = (٦٠–) – (٦) + (٢ Aﻋﺪد أﺿﻼع ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺒﻨﻰ ن = ٨أﺿﻼع ن Bﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺒﻨﻰ = ﻧﻖ ﺟﺎ ٢ ٢
٨ = ٢
ْ ٣٦٠ ١٠٠ﺟﺎ ٨
ْ ٣٦٠ ن
= ٤٠٠ﺟﺎ ٢٠٠ = ٤٥؟ ٢وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١١٧ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﻣﺜﺎل ١٥
أوﺟﺪ ﻷﻗﺮب ﺳﻨﺘﯿﻤﺘﺮ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﺷﻜﻞ ﺧﻤﺎﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺗﻤﺮ ٢
٢
ﺑﺮؤوﺳﮫ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص ٦+س – ١٢ص ٠ = ٥ +ﻋﻠﻤﺎ ً ﺑﺄن ﻛﻞ وﺣﺪة ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻹﺣﺪاﺛﻰ ﺗﻤﺜﻞ ٥ﺳﻢ .
اﻟﺤﻞ ٢
٢
ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص ٦+س – ١٢ص ٠ = ٥ + ٢
ل=٣ ك=–٦ ج=٥
٢
٢
٢
٢
Bﻧﻖ = ل +ك – ج = )٤٠ = ٥ – (٦–) + (٣ ن Bﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺨﻤﺎﺳﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ﻧﻖ ﺟﺎ ٢ ٢
٥ = ٢
ْ ٣٦٠ ن
ْ ٣٦٠ = ١٠٠ﺟﺎ ٩٥,١ = ٧٢وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ ٤٠ﺟﺎ ٥
Aﻛﻞ وﺣﺪة ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻹﺣﺪاﺛﻰ ﺗﻤﺜﻞ ٥ﺳﻢ . ٢
Bاﻟﻮﺣﺪة اﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺪرھﺎ ) ٢٥ = (٥ﺳﻢ
٢
Bﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺨﻤﺎﺳﻰ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ٢٣٧٧,٥ =٢٥ ٩٥,١ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٢
" - ١١٨ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(٩ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: ٢
٢
) -١س + (٢+ص = ٩ﻣﻌﺎدﻟﺔ داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (.... ، ....وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ...... ٢
٢
-٢ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص – ٦س ٨ +ص= ٠ھﻮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )(...... ،...... ٢
٢
-٣اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٤، ٢ﺗﻘﻊ ............اﻟﺪاﺋﺮة ) س ) + (٢+ص –٢٥ = (٧ -٤ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ = ؟ ٢وﺣﺪة طﻮل ھﻰ ... ٢
٢
-٥طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص – ٠ = ١٨ﯾﺴﺎوى ..............وﺣﺪة طﻮل ٢
٢
-٦إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ٢س +ا ص +ب س ص – ٠ = ٥ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة ﻓﺈن ا= ،...ب = .... ٢
٢
-٧اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ٣س ٢ +ص – ٦س ٨ +ص= ٠ﻻ ﺗﻌﺒﺮﻋﻦ داﺋﺮة ﻷن ............ ٢إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ -: ٢
٢
-١اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة ) س – + (٢ص = ١٣ھﻰ ..................... ا )(٣، ٢
ب )(٢– ، ٣
ج
ء ) (٣ ، ٤
) (٥ ، ٢
-٢ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٥– ، ٣وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﯾﺴﺎوى ٧وﺣﺪات ھﻰ ..... ٢ ٢ ا )س –) + (٣ص –٤٩ = (٥
ج
٢
٢
)س –) + (٣ص ٤٩ = (٥+ ٢
٢
٢
ب )س ) + (٣+ص –٤٩ = (٥ ٢
٢
ء )س ) + (٣+ص ٤٩ = (٥+
٢
-٣ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة :س +ص – ٦س ٨ +ص= ٠ھﻮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ..................... ا )(٤– ، ٣
ب ٢
)(٣– ، ٤
ج
)– (٤ ، ٣ء
)–(٣ ، ٤
٢
-٤طﻮل ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة س +ص – ٢س – ٦ص ٠ =١+ﯾﺴﺎوى .........وﺣﺪة طﻮل ا
٣
ب ٤
ج
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٥
ء
٦
" - ١١٩ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
٣أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م= ) (٢– ،٣وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﯾﺴﺎوى ٢
٧وﺣﺪة طﻮل .
٢
]) س – ) + ( ٣ص [٤٩ = (٢ +
================================================== ٤أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة إذا ﻛﺎن اب ﻗﻄﺮ ﻓﯿﮭﺎ ﺣﯿﺚ ا = ) ، ( ٤–، ٦ب =)(٢، ٠ ٢
٢
]) س – ) + ( ٣ص [١٨ = (١ +
================================================== ٥ﺑﯿﻦ ﻣﻮاﻗﻊ اﻟﻨﻘﺎط ا = )– ، (٣ ،١ب = ) ، (٥ – ، ٠ج = ) (٤ ، ٢ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ٢
٢
د ) :س ) + (٢ +ص –٢٥ = (٧
]ا داﺧﻞ اﻟﺪاﺋﺮة ،ب ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة ،ج ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة[
================================================== ٦أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻰ اﻟﻤﺮﻛﺰ وطﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﺪواﺋﺮ اﻷﺗﯿﺔ : ٢
٢
]م = ) ، (٠ ، ٠ﻧﻖ= ٣؟ ٣وﺣﺪة طﻮل[
)ا( س +ص = ٢٧ ٢
٢
)ب( ) س – + ( ٢ص = ١٦ ٢
]م = ) ، ( ٠ ، ٢ﻧﻖ= ٤وﺣﺪة طﻮل[
٢
)ج( )س ) + (٣+ص – ٤٩ = (٥
]م = )– ، (٥ ، ٣ﻧﻖ= ٧وﺣﺪة طﻮل[
)ء( س +ص – ٤س ٦ +ص–٠= ١٢
]م = ) ، (٣– ،٢ﻧﻖ= ٥وﺣﺪة طﻮل[
)ه( س +ص ٢ +س = ٨
]م = )– ، (٠، ١ﻧﻖ= ٣وﺣﺪة طﻮل[
٢
٢
٢
٢
٢
٢
)و( س +ص – ٦س ١٠ +ص =٠
]م = ) ، (٥– ، ٣ﻧﻖ= ؟ ٣٤وﺣﺪة طﻮل[
================================================== ٧أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م= )– (٥ ،٢وﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ٢
٢
ا)]. (٢ ، ٣إرﺷﺎد :إﺣﺴﺐ ﻧﻖ= م ا وﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻰ س +ص ٤ +س – ١٠ص–[٠= ٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٢٠ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
٨ﺑﯿﻦ أى ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻻﺗﯿﺔ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة واﻳﮫﺎ ﻻ ﻳﻤﺜﻞ داﺋﺮةﻣﻊ ذﻛﺮ اﻟﺴﺒﺐ . ٢
٢
) (١س ٣ +ص – ٢س ٤ +ص٠ = ٥+
]ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة [
)٢ (٢س – س ص ٢+ص ٥+س – ص– ٠ = ٢
]ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة [
)٢ (٣س ٢ +ص – ٦س ٤ +ص٠ = ٩+
]ﻻ ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة [
٢
٢ ٢
٢
٢
٢
) (٤س +ص – ٢س ٤ +ص –٠ = ٤
]ﺗﻤﺜﻞ داﺋﺮة [
================================================== ٩أي ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن ؟ ٢
٢
٢
٢
٢
٢
)ا( س +ص ١٤ +ص = ، ١س +ص ١٠ +س – ٠= ٢٥ )ب( س +ص – ٢س ٦ +ص ٠ = ٣ +
،
٢
]ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن[
٢
س +ص – ٠=٤٩
]ﻏﯿﺮﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن[
================================================== ١٠
أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٤ ، ٣وﺗﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ . ٢
٢
]س +ص – ٦س – ٨ص =[٠
================================================== ١١
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٥، ٤وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ٢
٢
]س +ص – ٨س – ١٠ص [٠= ١٦ +
================================================== ١٢أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٣وﺣﺪات وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ ٢
٢
٢
٢
اﻟﻨﻘﻄﺔ )] .(٠، ٥س +ص – ١٠س – ٦ص٠= ٢٥+أو س +ص – ١٠س ٦ +ص[٠= ٢٥+
================================================== ١٣
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٤–، ٢وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮراﻟﺼﺎدات ٢
٢
]س +ص – ٤س ٨ +ص [٠= ١٦ + أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" - ١٢١ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
١٤
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٤وﺣﺪات وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻋﻨﺪ
اﻟﻨﻘﻄﺔ ) .(٣، ٠
٢
٢
٢
٢
]س +ص – ٨س – ٦ص٠= ٩+أو س +ص ٨+س – ٦ص[٠= ٩+
================================================== ١٥أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٥– ، ٥وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮرى اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت. ٢ ٢ ]س +ص – ١٠س ١٠+ص [٠ =٢٥+
================================================== ١٦
٢
٢
ﺣﺪد ﻣﻮﺿﻊ اﻟﺪاﺋﺮة د) : ١س –) + (٥ص ٤ = (٢+ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ٢
٢
د): ٢س ) + (٧+ص –١ = (٣
]ﻣﺘﺒﺎﻋﺪﺗﺎن[
================================================== ٢
٢
٢
٢
١٧اﺛﺒﺖ أن اﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ )س – ١ = (٢+ص ،س +ص – ٢س – ٨ص–٠ = ١٩ ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ . ================================================== ١٨
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ م = ) (٣، ٢واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٥س١٢+ص –٠ =٧
ﻣﻤﺎس ﻟﮭﺎ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ه .
٢
٢
])س – ) + (٢ص – [٩ = (٣
================================================== ١٩ﺣﺪد وﺿﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ٥ :س– ١٢ص ٠ =١٣+ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ ٢
٢
س +ص – ٦س ٤ +ص–٠ = ١٢
]ﻗﺎطﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة[
================================================== ٢٠أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻋﺪد أﺿﻼﻋﮫ ١٢ﺿﻠﻌﺎ وﺗﻤﺮ ﺑﺮؤوﺳﮫ ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة ٢
٢
س +ص – . ٠ =١٦
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] ٤٨وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ[
" - ١٢٢ -اﻟﮫﻨﺪﺳــــــــــــﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ"
اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ. اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ذات اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ. اﻟﺴﻘﻮط اﻟﺤﺮ. ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٢٢ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ Rectilinear motion
ﻣﺘﺠﻪ اﻻزاﺣﺔ ف⃐ Displacement vector
⃐ ھﻮ اﻟﻤﺘﺠﮫ اﻟﺬى ﺗﻤﺜﻠﮫ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ ا ب
ب
وھﻮ ﯾﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﻤﻮﺿﻌﯿﻦ اﻹﺑﺘﺪاﺋﻰ واﻟﻨﮭﺎﺋﻰ وﻻ ﯾﺘﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ اﻟﻤﺴﺎر اﻟﻔﻌﻠﻰ ﻟﻠﺠﺴﻢ.
ف⃐
ﻛﻤﺎ أن ﻣﻌﯿﺎر ﻣﺘﺠﮫ اﻹزاﺣﺔ ﻻ ﯾﺴﺎوى ﺑﺎﻟﻀﺮورة اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﻄﻌﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ ﻣﻦ ا إﻟﻰ ب . ھﻮ اﻟﻤﺘﺠﮫ اﻟﺬى ﺗﻨﻄﺒﻖ ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺪاﯾﺘﮫ ﻣﻊ ﻣﻮﺿﻊ اﻟﻤﺸﺎھﺪ) و ( وﻧﻘﻄﺔ ⃐ ⃐ ﻣﺘﺠﻪ اﻟ ﻤﻮﺿﻊ ر ﻧﮭﺎﯾﺘﮫ ﻣﻊ ﻣﻮﺿﻊ اﻟﺠﺴﯿﻢ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰر ﺻﺺ Position vector ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ﺣﯿﺚ ر= س ﺳﺲ +صﺻﺺ ﻣﻮﺿﻊ ا ر اﻟﺠﺴﻢ ⃐ ⃐ ﺣﯿﺚ ﺳﺲ،ﺻﺺ ﻣﺘﺠﮭﺎ وﺣﺪة ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ ﺳﺲ و
ﻣﻮﺿﻊ اﻟﻤﺸﺎھﺪ
اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺘﺠﻪ اﻟﻤﻮﺿﻊ وﻣﺘﺠﻪ اﻹزاﺣﺔ Relation between position vector and displacement
⃐ ⃐ ⃐ إذا ﻛﺎن ف ھﻮ ﻣﺘﺠﮫ إزاﺣﺔ ﺟﺴﻢ ،ر٠ھﻮ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻤﻮﺿﻊ اﻹﺑﺘﺪاﺋﻰ ﻟﻠﺠﺴﻢ ،ر ھﻮ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻤﻮﺿﻊ اﻟﻨﮭﺎﺋﻰ ﻟﻠﺠﺴﻢ ﻋﻨﺪ أى ﻟﺤﻈﺔ زﻣﻨﯿﺔ ن ﻓﺈن -: ⃐ ⃐ ف =ر −
⃐
ر٠
٢ ⃐ || ف || = ﰈ س +ص
٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٢٣ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل١ وزارة إذا ﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ ﻣﻮﺿﻊ ﺟﺴﯿﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ وﯾﻌﻄﻰ ٠ ⃐ ⃐ ⃐ ﻛﺪاﻟﺔ ﻓﻰ اﻟﺰﻣﻦ ن ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ر = )٦ن (٣ -ﺳﺲ ٨)+ن (١ +ﺳﺺ ⃐ ⃐ ﺣﯿﺚ ﺳﺲ ،ﺳﺺ ﻣﺘﺠﮭﻰ اﻟﻮﺣﺪة اﻻﺳﺎﺳﯿﯿﻦ .أوﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﺣﺘﻰ اﻟﻠﺤﻈﺔ ن = ٣ اﻟﺤﻞ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ Aر = ر = )٦ن (٣ -ﺳﺲ ٨)+ن (١ +ﺳﺺ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ Bر = ٠ر = ) (٣ -٠ ٦ﺳﺲ (١ +٠ ٨)+ﺳﺺ = ٣-ﺳﺲ +ﺳﺺ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ،ر = ٣ر = ) (٣ -٣ ٦ﺳﺲ (١ +٣ ٨)+ﺳﺺ = ١٥ﺳﺲ ٢٥+ﺳﺺ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ف = ر -٣ر (٣ +١٥) = ٠ﺳﺲ (١ -٢٥) +ﺳﺺ = ١٨ﺳﺲ ٢٤ +ﺳﺺ ٢ ٢ ٢ ٢ ⃐ || ف || = ﰈس +ص = ﰈ ٣٠ = ٢٤ + ١٨وﺣﺪة ﻣﺴﺎﻓﺔ ھﻮ اﻟﻤﺘﺠﮫ اﻟﺬى ﻣﻌﯿﺎره ﯾﺴﺎوى ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺴﺮﻋﺔ وﯾﻨﻄﺒﻖ إﺗﺠﺎھﮫ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﺠﻪ اﻟﺴﺮﻋﺔ Velocity vector
إﺗﺠﺎه اﻟﺤﺮﻛﺔ . ﻛﻢ /س ،م /ث
وﺣﺪات ﻗﯿﺎس اﻟﺴﺮﻋﺔ
١ﻛﻢ/س = ١م/ث =
ﻣﺜﻼ
١٨ ٥
٥
،ﺳﻢ /ث
م/ث
١ﻛﻢ/س =
ﻛﻢ/س
١ﺳﻢ/ث =
١٨
٧٢ﻛﻢ /س = ٧٢ ١٨ﻛﻢ /س = ١٨
٥ ١٨ ٢٥٠ ٩
٢٥٠ ٩ ٩ ٢٥٠
،م /د
ﺳﻢ/ث ﻛﻢ/س
= ٢٠م /ث = ٥٠٠ﺳﻢ /ث
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٢٤ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ Uniform motion
ھﻰ اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﻓﯿﮭﺎ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﻌﯿﺎر وإﺗﺠﺎه ﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ ﺛﺎﺑﺘﺎ ً أى أن -:
) (١اﻟﺠﺴﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺛﺎﺑﺖ. ) (٢اﻟﺠﺴﻢ ﯾﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺎت ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﺧﻼل ﻓﺘﺮات زﻣﻨﯿﺔ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ . اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺘﺠﮫﻰ اﻹزاﺣﺔ واﻟﺴﺮﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ ⃐ Aإﺗﺟﺎﻩ اﻻزاﺣﺔ ف⃐ ﻫو ﻧﻔﺳﻪ اﺗﺟﺎﻩ ﻣﺗﺟﻪ اﻟﺳرﻋﺔ ﻉ وﺗﻜﻮن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﻦ اﻟﺠﺒﺮﯾﯿﻦ ﻟﻤﺘﺠﮭﻰ اﻻزاﺣﺔ واﻟﺴﺮﻋﺔ ھﻰ اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟزﻣن = ﻣﻌ ﺎر ﻣﺗﺟﻪ اﻟﺳرﻋﺔ × اﻟزﻣن ف⃐ ف =ﻉ ن ﻉ=
⃐ ﻉ
ف ن
ن
ﻣﺜﺎل٢ وزارة ٠
دﺧﻞ ﻗﻄﺎر طﻮﻟﮫ ١٥٠ﻣﺘﺮً ا ﻧﻔﻘ ًﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤًﺎ طﻮﻟﮫ ف ﻣﺘﺮ
ﻓﺎﺳﺘﻐﺮق ﻋﺒﻮره ﺑﺎﻟﻜﺎﻣﻞ ﻣﻦ اﻟﻨﻔﻖ ﻓﻰ زﻣﻦ ﻗﺪره ١٥ﺛﺎﻧﯿﺔ أوﺟﺪ طﻮل اﻟﻨﻔﻖ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻘﻄﺎر ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ وﺗﺴﺎوى ٩٠ﻛﻢ /س. اﻟﺤﻞ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻘﻄﺎر ع = ٩٠
٥ ١٨
= ٢٥م /ث
اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﻄﻌﮭﺎ اﻟﻘﻄﺎر = طﻮل اﻟﻘﻄﺎر +طﻮل اﻟﻨﻔﻖ = + ١٥٠ف اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ = اﻟﺴﺮﻋﺔ
اﻟﺰﻣﻦ
+ ١٥٠ ف = ٣٧٥
+ ١٥٠ ف = ٢٥
٣٧٥ = ١٥
ف = ٢٢٥ = ١٥٠ – ٣٧٥ﻣﺘﺮ
Bطﻮل اﻟﻨﻔﻖ = ٢٢٥ﻣﺘﺮ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٢٥ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﻘﺪار اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ
ﻉم
Magnitude of the average velocity
ﻣﺘﺠﻪ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ
ﻣﻘﺪاراﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔﻉم =
اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ اﻟزﻣن اﻟﻛﻠﻰ
=
ف ن
⃐
عم
Vector of the average velocity
⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ر − اﻹزاﺣﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ ر ١ ٢ ف = ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ عم = اﻟزﻣن اﻟﻛﻠﻰ ن – ٢ن١ ن – ٢ن١ ٢ ⃐ ﻣﻌﯿﺎر اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ|| ع || = ﰈس +ص
إﺗﺠﺎه اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ظﺎ ه =
٢
ﺻﺺ ﺳﺲ اﻟرﻊ اﻷول ﺳﺲ ،+ﺻﺺ +
ه اﻟرﻊ اﻟ ار ﻊ ﺳﺲ ،+ﺻﺺ -
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
اﻟرﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ ﺳﺲ ، -ﺻﺺ +
-١٨٠ه اﻟرﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﺳﺲ ،-ﺻﺺ -
-٣٦٠ه
+١٨٠ه
- ١٢٦ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل ٣
وزارة ٠
ﺗﻮاﺟﺪ ﺟﺴﯿﻢ ﻋﻨﺪ ﻟﺤﻈﺘﯿﻦ زﻣﻨﯿﺘﯿﻦ ٨ ، ٣ﺛﻮان ﻋﻨﺪ اﻟﻤﻮﺿﻌﯿﻦ
ا) ، (٢ ،٧ب ) (٦ ، ٤ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺠﺴﯿﻢ ﺧﻼل ھﺬه اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ ،ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر واﺗﺠﺎه ھﺬه اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ⃐ ⃐ ف⃐ = ر − ٢ر(٤ ،٣-) = (٢ ،٧) - (٦ ، ٤ ) = ١ ⃐ ف ٤ ٣ ٤ ٣ (٤,٣ ) (٤,٣ ) ⃐ ⃐ ⃐ ﺳﺲ +ﺳﺺ =( ، =) = عم = ـــــــــــــــــــ = ٥ ٥ ٥ ٥ ٥ ٣ ٨ ن – ٢ن١ ⃐ || عم|| =
٢
٢
ﰈس +ص
= ﰈ)
إﺗﺠﺎه اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ظﺎ ه = ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ ﺳﺲ ، -ﺻﺺ
+
ﺻﺺ ﺳﺲ
=
٢ ٣ ٥
( )+
٤ ٥
٢
( = ١وﺣﺪة ﺳﺮﻋﺔ
٤ ٣ ٤ = ÷ ٣ ٥ ٥
Bﻫـ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟرﻊ اﻟﺛﺎﻧﻰ َ٧ ً٤٨
Bق > ھـ =َ٧ ً٤٨ - ْ١٨٠
Shift tan ( ) = ْ٥٣
ْ١٢٦ َ٥٢ ً١٢ = ْ٥٣
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٢٧ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٤
وزارة ٠
ﺳﺎر رﺟﻞ ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻓﻘﻄﻊ ٨٠٠ﻣﺘﺮ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٩ﻛﻢ /س
،وﻗﻄﻊ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎه ﺑﺴﺮﻋﺔ ٥ﻛﻢ /س .أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺮﺟﻞ ﺧﻼل اﻟﺮﺣﻠﺔ ﻛﻠﮭﺎ. ⃐
ف ٨٠٠ =٢ ⃐ ٢٥ ع= ٢ ١٨
ﻧﻔﺮض أن ع٩ = ١
⃐
ف ٨٠٠ =١ ع
ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺮﺟﻞ
٥ ١٨
٥ ١٨
+
١
= ٢.٥
⃐
⃐
= ٢.٥م /ث
٨٠٠ زﻣﻦ ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻷوﻟﻲ = ٢.٥
ع٥ = ٢
اﻟﺤﻞ
⃐
=
٢٥ ١٨
= ٣٢٠ﺛﺎﻧﯿﺔ
م/ث
زﻣﻦ ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ =
٨٠٠ ٢٥ ١٨
⃐ ﻣﺗﺟﻪ اﻹزاﺣﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ ف = ٨٠٠
= ٥٧٦ﺛﺎﻧﯿﺔ ⃐
٨٠٠+
⃐
= ١٦٠٠
⃐
زﻣﻦ اﻟﺮﺣﻠﺔ ﻛﻠﮭﺎ = ٨٩٦ =٥٧٦+٣٢٠ﺛﺎﻧﯿﺔ ⃐ ⃐ ٢٥ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻉ = اﻹزاﺣﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ = ١٦٠٠ى = ى⃐ م ١٤ ٨٩٦ اﻟزﻣن اﻟﻛﻠﻰ ٢٥ Bﻣﻘﺪار اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ = ١٤
م/ث
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٢٨ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٥ وزارة ٠
ﺗﺣر ت ﺳ ﺎرة ﻣﺳﺎﻓﺔ ٣٠٠م ﻋﻠﻰ طر ﻣﺳﺗﻘ م ﺳرﻋﺔ
١٠٠م /س ﺛم ﻋﺎدت ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟطر ﻓﻘطﻌت ﻣﺳﺎﻓﺔ ١٩٥م
ﺳرﻋﺔ ٦٥م /س ﻓﻰ اﻹﺗﺟﺎﻩ اﻟﻣﺿﺎد اوﺟد ﻣﺗﺟﻪ اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ
ﻟﻠﺳ ﺎرة ﺧﻼل اﻟرﺣﻠﺔ ﻠﻬﺎ.
ف =٢ــ ١٩٥ ⃐ ع = ٢ـــ ٦٥
ﻧﻔرض أن
⃐
⃐
اﻟﺤﻞ ﻣﺗﺟﻪ وﺣدة ﻓﻰ
إﺗﺟﺎﻩ اﻟﺣر ﺔ اﻷوﻟﻰ
ف ٣٠٠=١ ع
اﻟﺰﻣﻦ =
١
=١٠٠
+
⃐
⃐
⃐
اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺴﺮﻋﺔ
زﻣﻦ ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻷوﻟﻲ)اﻟﺬھﺎب( = زﻣﻦ ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ )اﻟﻌﻮدة( =
٣٠٠ ١٠٠
١٩٥ ٦٥
= ٣ﺳﺎﻋﺎت
= ٣ﺳﺎﻋﺎت
زﻣﻦ اﻟﺮﺣﻠﺔ ﻛﻠﮭﺎ = ٦ =٣+٣ﺳﺎﻋﺎت ⃐ ⃐ ⃐ ﻣﺗﺟﻪ اﻹزاﺣﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ ف = ١٠٥ = ١٩٥ – ٣٠٠
⃐
⃐ ⃐ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻉ = ١٠٥ى = ١٧.٥ى⃐ م ٦
اﻹزاﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ = ١٠٥ﻛﻢ ﺧﺪ ﺑﺎﻟﻚ
ﺑﯿﻨﻤﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ = ٤٩٥ = ١٩٥ + ٣٠٠ﻛﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٢٩ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٦
ﻗطﻊ ﻗطﺎر اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟﻘﺎﻫرة واﻹﺳ ﻧدرﺔ ﻋﻠﻰ ﻣرﺣﻠﺗﯾن
وزارة ٠
اﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ ﻣن اﻟﻘﺎﻫرة إﻟﻰ طﻧطﺎ وﻣﺳﺎﻓﺗﻬﺎ ١٠٠م ﺳرﻋﺔ
١٠٠م /س واﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻟﺛﺎﻧ ﺔ ﻣن طﻧطﺎ إﻟﻰ اﻹﺳ ﻧدرﺔ وﻣﺳﺎﻓﺗﻬﺎ
١١٠م ﺳرﻋﺔ ٨٠م/س ﻓﺈذا ﺎن اﻟﻘطﺎر ﺗوﻗﻒ ﻓﻰ طﻧطﺎ ﻟﻣدة ١٠دﻗﺎﺋ أوﺟد ﻗ ﻣﺔ ﺳرﻋﺗﻪ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﺧﻼل اﻟرﺣﻠﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ.
) أﻋﺗﺑر أن اﻟﻘطﺎر ﯾﺗﺣرك طوال اﻟوﻗت ﻋﻠﻰ ﺧ ﻣﺳﺗﻘ م ( اﻟﺤﻞ
ﻔرض ﻣﺗﺟﻪ وﺣدة
⃐
إﺗﺟﺎﻩ ﺣر ﺔ اﻟﻘطﺎر
+
ﻟﻪ ﻧﻔس
اﻻﺳ ﻧدرﺔ
طﻧطﺎ
ﻉ
اﻟزﻣن =
اﻟﺳرﻋﺔ
=
ف ٣٠٠=١ﻛﻢ ﻉ ١٠٠= ١ﻛﻢ /س
=٨٠ﻛﻢ /س
⃐ ⃐ ﻣﺗﺟﻪ اﻹزاﺣﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ = ٢١٠ = ١١٠ + ١٠٠ اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ
اﻟﻘﺎﻫرة
ﺗوﻗﻒ ١٠دﻗﺎﺋ
ف ١١٠=٢ﻛﻢ ٢
⃐
⃐
ف ع
زﻣﻦ اﻟﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻲ = زﻣﻦ اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ =
١٠٠ ١٠٠ ١١٠ ٨٠
= ١ﺳﺎﻋﺔ =
١١
زﻣﻦ اﻻﺳﺘﺮاﺣﺔ = ١٠دﻗﺎﺋﻖ = ١١
٨ ١٠ ٦٠
ﺳﺎﻋﺔ =
١ ٦
١
ﺳﺎﻋﺔ ٦١
ﺳﺎﻋﺔ = + Bاﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻰ = + ١ ٢٤ ٦ ٨ اﻻزاﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ٢٤ ٢١٠ ⃐ ٢١٠ = = Bﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ = ٦١ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻰ
٦١
⃐
٨٢.٦ T
٢٤
Bﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﮫ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه ى⃐ وﻣﻌﯿﺎره = ٨٢.٦ﻛﻢ /س أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٣٠ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
⃐
اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻣﻔﮫﻮم اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ
اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﺠﺴﯿﻢ ا ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺠﺴﯿﻢ آﺧﺮ ب ھﻰ
اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺒﺪو ﻟﻠﺠﺴﯿﻢ ا أن ﯾﺘﺤﺮك ﺑﮭﺎ ﻟﻮ اﻋﺘﺒﺮﻧﺎ اﻟﺠﺴﯿﻢ ب ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺘﺠﻪ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ
ﺳﻜﻮن.
⃐ ⃐ إذا ﻛﺎن ا ﺟﺴﻢ ﺳﺮﻋﺘﮫ عا ،ب ﺟﺴﻢ ﺳﺮﻋﺘﮫ عب ﻓﺈن-:
ﻣﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﺔا ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ب= ﻣﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﺔ ا– ﻣﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﺔ ب ﻣﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﺔ ب ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰا = ﻣﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﺔ ب – ﻣﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﺔا ﻓﻜﺮ وﺗﺪرب :أﻛﻤﻞ
⃐ ﻉا ب
⃐ ⃐ =ﻉا –ﻉ
ب
⃐ ⃐ ⃐ ﻉ ب ا =ﻉب– ﻉا
⃐ ⃐ ⃐ (١ث .ﺑﻨﺎت :٢٠١٤/٢٠١٣إذا ﻛﺎن ع⃐ا = ٥ى⃐ ،ﻉ ب =٣ى ﻓﺈنﻉا ب =.......
اﻟﺤﻞ =============================================== ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ (٢ث .ﺑﻨﺎت :٢٠١٤/٢٠١٣إذا ﻛﺎن ﻉا = ١٥ى ،ع ب =٢٥-ى ﻓﺈن ﻉ ب ا =.....
اﻟﺤﻞ =============================================== ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ (٣اﻻدارة :٢٠١٤/٢٠١٣إذا ﻛﺎن ﻉا = ١٢ى ،ﻉ ب =١٠ى ﻓﺈن ع ب ا =.......
اﻟﺤﻞ =============================================== ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ (٤ث.اﻟﺴﻠﯿﻤﺎت :٢٠١٤/٢٠١٣إذا ﻛﺎن ﻉا= ١٥ص ،ﻉب ا=٢٥ص ﻓﺈنﻉب =....
اﻟﺤﻞ =============================================== * إذا ﻛﺎن اﻟﺠﺴﻤﺎن ا ،ب ﯾﺘﺤﺮﻛﺎن: ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺧﻄﯿﺮررة ⃐ ⃐ ⃐ (١ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻹﺗﺠـــــــــــــــﺎه ﻓﺈن ﻉا ب = ﻉا – ﻉب ⃐ ⃐ ⃐ (٢ﻓﻰ إﺗـــﺠﺎھــﯿﻦ ﻣـﺘﻀــﺎدﯾﻦ ﻓﺈن ﻉا ب = ﻉا +ﻉب أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٣١ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٧ وزارة ٠
ﺗﺘﺤﺮك ﺑﺎﺧﺮة ﻓﻰ ﻣﺴﺎر ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻧﺤﻮ ﻣﯿﻨﺎء وﻟﻤﺎ ﺻﺎرت ﻋﻠﻰ
ﻣﺴﺎﻓﺔ ٥٠ﻛﻢ ﻣﻦ اﻟﻤﯿﻨﺎء ﻣﺮت ﻓﻮﻗﮭﺎ طﺎﺋﺮة ﺣﺮاﺳﺔ ﺗﻄﯿﺮ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻀﺎد ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٥٠ﻛﻢ/س ورﺻﺪت ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺒﺎﺧﺮة ﻓﺒﺪت ﻟﮭﺎ ﻣﺘﺤﺮﻛﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٧٥ﻛﻢ/س ﻛﻢ ﻣﻦ اﻟﻮﻗﺖ ﯾﻨﻘﻀﻲ ﻣﻨﺬ ﻟﺤﻈﺔ اﻟﺮﺻﺪ وﺣﺘﻰ وﺻﻮل اﻟﺒﺎﺧﺮة إﻟﻰ اﻟﻤﯿﻨﺎء ؟ اﻟﺤﻞ
⃐ ﻉ
ب=؟
⃐ ﻉا = ٢٥٠ﻛﻢ/س ٥٠ﻛﻢ
ﻣﯿﻨﺎء ⃐ ⃐ ﻧﻔرض أن ﺳرﻋﺔ اﻟطﺎﺋرة ﻉا ،ﺳرﻋﺔ اﻟ ﺎﺧرة ﻉ ب ⃐ ﻉا = ٢٥٠م/س ⃐ ﻉ ب ا = ٢٧٥م/س ⃐ ⃐ ⃐ ] ﻷﻧﮭﻤﺎ ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ [ Aﻉ ب ا = ﻉ ب +ﻉا ⃐ ⃐ = ٢٧٥ Bﻉ ب ٢٥٠ +ﻉ ب = ٢٥= ٢٥٠ – ٢٧٥م/س ⃐ Bﺳرﻋﺔ اﻟ ﺎﺧرة = ﻉ ب = ٢٥م/س زﻣﻦ وﺻﻮل اﻟﺒﺎﺧﺮة إﻟﻰ اﻟﻤﯿﻨﺎء = ٥٠ = ٢ﺳﺎﻋﺔ ن= ٢٥
اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺴﺮﻋﺔ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٣٢ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٨ وزارة ٠
ﻗﺎﻣﺖ ﺳﯿﺎرة )ا( ﻣﺘﺤﺮﻛﺔ ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻘﯿﺎس اﻟﺴﺮﻋﺔ
اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﺴﯿﺎرة )ب( ﻗﺎدﻣﺔ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻀﺎد ﻓﻮﺟﺪﺗﮭﺎ ١٢٠ﻛﻢ/س وﻟﻤﺎ ﺧﻔﻀﺖ اﻟﺴﯿﺎرة)ا ( ﺳﺮﻋﺘﮭﺎ ﺣﺘﻰ أﺻﺒﺤﺖ
٣ ٤
ﺳﺮﻋﺘﮭﺎ اﻷوﻟﻰ
وأﻋﺎدت اﻟﻘﯿﺎس وﺟﺪت أن اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﻠﺴﯿﺎرة )ب( أﺻﺒﺤﺖ ١٠٠ﻛﻢ/س ﻓﻤﺎ ھﻰ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻔﻌﻠﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﺴﯿﺎرﺗﯿﻦ؟ ى⃐
اﻟﺤﻞ +
اﻟﺴﯿﺎرة ا
اﻟﺴﯿﺎرة ب
⃐ ⃐ ﻧﻔﺮض أن ﻉا ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺴﯿﺎرة ا ،ﻉ ب ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺴﯿﺎرة ب ⃐ ⃐ ⃐ ﻉ ب +ﻉا = ١٢٠ أوﻻً :ﻉ ب ا = G ١٢٠
G
)(١
⃐ ٣ ⃐ ⃐ )(٢ ﻉا = G ١٠٠ ﻉب+ ﺛﺎﻧ ﺎً :ﻉ ب ا = G ١٠٠ ٤ ـــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ـــ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ⃐ ⃐ ١ ﻉا = G ٢٠ﻉا = ٨٠ = ٢٠ ٤ ﺑﻄﺮح ) (٢ﻣﻦ )(١ ٤ ⃐ ﻉ ب ١٢٠ = ٨٠ +ﻛﻢ /س ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )(١ ⃐ Gﻉ ب = ٤٠= ٨٠- ١٢٠ﻛﻢ /س ﻉا = ٨٠ﻛﻢ /س ،ﻉب =٤٠ﻛﻢ /س ﻓﻰ اﻹﺗﺠﺎه اﻟﻤﻀﺎد
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٣٣ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٩ وزارة ٠
ﻗﺎﻣﺖ ﺳﯿﺎرة ﺷﺮطﺔ ﻣﺘﺤﺮﻛﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ
أﻓﻘﻰ ﺑﻘﯿﺎس اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﺸﺎﺣﻨﺔ ﺗﺘﺤﺮك أﻣﺎﻣﮭﺎ وﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎه ﻓﻮﺟﺪﺗﮭﺎ ٦٠ﻛﻢ /س وﻟﻤﺎ زﯾﺪت ﺳﺮﻋﺔ ﺳﯿﺎرة اﻟﺸﺮطﺔ إﻟﻰ اﻟﻀﻌﻒ وأﻋﺎدت اﻟﻘﯿﺎس ﻓﺒﺪت اﻟﺸﺎﺣﻨﺔ وﻛﺄﻧﮭﺎ ﺳﺎﻛﻨﺔ .أوﺟﺪ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻔﻌﻠﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺳﯿﺎرة اﻟﺸﺮطﺔ
واﻟﺸﺎﺣﻨﺔ.
اﻟﺤﻞ +
ى⃐
ﺳﯿﺎرة اﻟﺸﺮطﺔ اﻟﺸﺎﺣﻨﺔ ⃐ ⃐ ﻧﻔﺮض أن ﻉا ﺳﺮﻋﺔ ﺳﯿﺎرة اﻟﺸﺮطﺔ ،ﻉ ب اﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺔ ﺳﯿﺎرة اﻟﺸﺮطﺔ واﻟﺸﺎﺣﻨﺔ. ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ )(١ ﻉ ب -ﻉا = ٦٠ى أوﻻً :ﻉ ب ا = ٦٠ى G ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ )(٢ ﻉ ب ٢ -ﻉا = ٠ى ﺛﺎﻧ ﺎً :ﻉ ب ا = ٠ى G ـــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ـــ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ⃐ ﻉ = ٦٠ى⃐ ﺑﻄﺮح ) (٢ﻣﻦ )(١ ا ⃐ ﻉ ٦٠ -ى⃐ = ٦٠ى⃐ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )(١ ب ⃐ Gﻉ = ٦٠ى⃐ ٦٠+ى⃐ = ١٢٠ى⃐ ب
ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺸﺎﺣﻨﺔ وأن ى⃐ ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ﻓﻰ
G
ﻉا = ٦٠ﻛﻢ /س ،ﻉب =١٢٠ﻛﻢ /س
Bﺳﺮﻋﺔ ﺳﯿﺎرة اﻟﺸﺮطﺔ = ٦٠ﻛﻢ /س Bﺳﺮﻋﺔ اﻟﺸﺎﺣﻨﺔ = ١٢٠ﻛﻢ /س
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٣٤ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(١٠ ١
أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ
٤٥ -١ﻛﻢ /د = ..............م/ث ١٤٤ - ٢ﻛﻢ/س = ............م/ث ٢٠ -٣م /ث = ............ﻛﻢ /س ٩٠ -٤ﻛﻢ /س = ...........م /ث ⃐ -٥ﻉ =
١ ن
......................
-٦اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ = اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ
......................
-٧ﺗﺘﺤﺮك ﺳﯿﺎرة ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﻘﺎدرھﺎ ٧٢ﻛﻢ /س ﻟﻤﺪة رﺑﻊ ﺳﺎﻋﺔ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ = ................ﻛﻢ. ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ -٨إذا ﻛﺎن عا = ١٢ى⃐ ،ﻉ ب = ١٠ى ﻓﺎنﻉا ب =....... ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ -٩إذا ﻛﺎن ﻉا = ١٥ﺳﺲ ،ع ب = ٢٢ﺳﺲ ﻓﺈن ﻉ ب ا =.............. ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ -١٠إذا ﻛﺎن ﻉا ب = ٦٥ى ،ﻉا = ٥٠ى ،ﻓﺈن ﻉب = ..........
-١١ﺗﺘﺤﺮك ﺳﯿﺎرﺗﺎن ا ،ب ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ وﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺘﯿﻦ ١٢٥ﻛﻢ/س ٧٥ ،ﻛﻢ/س ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻓﺈن ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺴﯿﺎرة ب ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﺴﯿﺎرةا= ....... -١٢ﯾﺘﺤﺮك راﻛﺐ دراﺟﺔ ا ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٥ﻛﻢ /س وﯾﺘﺤﺮك ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎه راﻛﺐ آﺧﺮ ب ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٢ﻛﻢ /س ﻓﺈن ﺳﺮﻋﺔ ب ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ا ﺗﺴﺎوى.....ﻛﻢ /س.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٣٥ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
٢إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻷﻗﻮاس -: ⃐ ⃐ ) (١إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺣﯾث ر ﻣﺗﺟﻪ ﻣوﺿﻊ ﻟﺟﺳم ،ر .ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻤﻮﺿﻊ اﻹﺑﺘﺪاﺋﻰ ﻟﮫ ﻓﺈن ف⃐ =..... ا
⃐ ءر ءن
⃐ ⃐ ب ر – ر.
ج
⃐ ⃐ ر – .ر
⃐ ر -
ء
⃐ ءر ءن
⃐ ) (٢إذا ﺗﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻓﻲ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻓﺘﺮة زﻣﻨﯿﺔ ن ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ ع وﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ ⃐ ⃐ . ... . . . = ع ﻓﺈن إزاﺣﺘﮫ ف ا ن ١
⃐ ف ج ن
١
⃐ ⃐ ﺟـ ء ف
١
⃐ ع ب ن
ن
) (٣إذا ﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ ﻣﻮﺿﻊ ﺟﺴﯿﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ و ﯾﻌﻄﻰ ﻛﺪاﻟﺔ ﻓﻰ اﻟﺰﻣﻦ ٢ ⃐ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ر = )٢ن (٣ +ى⃐ ﻓﺈن ﻣﻌﯿﺎر ﻣﺘﺠﮫ اﻹزاﺣﺔ ﺑﻌﺪ ٢ﺛﺎﻧﯿﺔ ﯾﺴﺎوى:
ب ٦
ا ٤
ء ١١
ج ٨
) (٤إذا ﺗﺤﺮﻛﺖ ﺳﯿﺎرة ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٧٥ﻛﻢ /س ﻟﻤﺪة ٢٠دﻗﯿﻘﺔ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﺗﺴﺎوى ........ﻛﻢ.
ا ١٥
ب ٢٠
ج ٢٥
ء
٣٠
) (٥اﻟﺰﻣﻦ ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺔ اﻟﺬي ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﮫ ﺳﯿﺎرة ﺗﺘﺤﺮك ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٠ﻣﺘﺮ /ث ﻓﻰ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٨٠ﻛﻢ ﯾﺴﺎوى ........
ا ٢.٥
ب ٢-
ء
ج ١.٥
٣
⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ) (٦إذا ﻛﺎن ﻉا = ١٢٠ى ،ﻉ ب = ٨٠-ى ﻓﺈن ﻉ ب ا =..................... ا ٤٠-ى⃐
ب ٢٠٠-ى⃐
ء ٢٠٠ى⃐
ج ٤٠ى⃐
⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ) (٧إذا ﻛﺎن ﻉا ب = ١٥ﺳﺲ ،ﻉا = ٣٥ﺳﺲ ،ﻓﺈن ﻉب = ..........
⃐ ا ٥٠-ﺳﺲ
⃐ ب ٢٠-ﺳﺲ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
⃐ ج ٥٠ﺳﺲ
- ١٣٦ -
⃐ ء ٢٠ﺳﺲ
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
وزارة ٠
٣
إذا ﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ ﻣﻮﺿﻊ ﺟﺴﯿﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ )و( ﯾﻌﻄﻰ ﻛﺪاﻟﺔ
٢ ⃐ ⃐ ⃐ ﻓﻰ اﻟﺰﻣﻦ ن ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ر = )ن ٣ +ن ( ٢-ﺳﺲ ﺣﯿﺚ ﺳﺲ ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ﺛﺎﺑﺖ . ⃐ ] ٢٨ﺳﺲ[
أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ اﻹزاﺣﺔ ﺑﻌﺪ ٤ﺛﻮان.
================================================ وزارة ٠
٤
⃐ ﺑﺘﺤﺮك ﺟﺴﯿﻢ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ )و( ﺑﺤﯿﺚ أن ﻣﺘﺠﮫ ﻣﻮﺿﻌﮫ ر ﯾﺘﺤﺪد ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ
٢ ⃐ ر = )ن ٣ +ن (٥ +ى⃐ ﺣﯿﺚ ى⃐ ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ﻣﻮازى ﻟﻠﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ
اﻻزاﺣﺔ وﻛﺬﻟﻚ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻣﻨﺬ ﺑﺪء اﻟﺤﺮﻛﺔ ﺣﺘﻰ ن = ٣ث ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ] ف = ، ١٨ع = [ ٦
================================================ ٥
وزارة ٠
ﺗﻮاﺟﺪ ﺟﺴﯿﻢ ﻋﻨﺪ ﻟﺤﻈﺘﯿﻦ زﻣﻨﯿﺘﯿﻦ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٨ ، ٣ﺛﻮان ﻋﻨﺪ اﻟﻤﻮﺿﻌﯿﻦ
ا) ، (٣ ،٤ب ) (٩ ،١٢ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ .أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺠﺴﯿﻢ ﺧﻼل ھﺬه اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ ،ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر واﺗﺠﺎه ھﺬه اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ. ⃐ ٦ ⃐ ٨ ⃐ ]عم = ﺳﺲ +ﺳﺺ ،ﻉ م =٢وﺣﺪة ﺳﺮﻋﺔ ،ه = [ ْ٣٦ َ٥٢ ً١١ ٥ ٥
================================================= ٦اﻷزھﺮ ٢٠١٣/٢٠١٢ﺳﯿﺎرة ﺗﺘﺤﺮك ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٧٢ﻛﻢ /س ﻟﻤﺪة ٢٠دﻗﯿﻘﺔ ] ٢٤م [
إﺣﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ.
=============================================== ٧
وزارة ٠
ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٠٠م ﺑﺴﺮﻋﺔ ٥م/ث ﺛﻢ ﺗﺤﺮك ﺑﺴﺮﻋﺔ
٨م/ث ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎه ﻟﻤﺪة ١٠ﺛﻮان أوﺟﺪ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺧﻼل اﻟﺮﺣﻠﺔ ﻛﻠﮭﺎ. ]ﻉ م = ٦م/ث[ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٣٧ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
وزارة ٠
٨
ﻗﻄﻊ راﻛﺐ دراﺟﺔ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢٥ﻛﻢ ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٥ﻛﻢ /س ﺛﻢ
ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٧ﻛﻢ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎه ﺑﺴﺮﻋﺔ ٧ﻛﻢ /س .أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺧﻼل اﻟﺮﺣﻠﺔ
⃐ ]ﻉ م =١٢
ﻛﻠﮭﺎ.
⃐
[
================================================== ٩
وزارة ٠
ﻗﻄﻊ راﻛﺐ دراﺟﺔ ٣٠ﻛﻢ ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٥ﻛﻢ /س ﺛﻢ ﻋﺎد ﻓﻘﻄﻊ
١٠ﻛﻢ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻌﺎﻛﺲ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٠ﻛﻢ /س أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﺘﮫ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺧﻼل ⃐ ⃐ ٢٠ [ ]ﻉ = م ٣
اﻟﺮﺣﻠﺔ ﻛﻠﮭﺎ.
================================================ ١٠ث .ﻋﺰﺑﺔ اﻟﺒﻮﺻﺔ& اﻷزھﺮ٢٠١٣/٢٠١٢
ﯾﺗﺣرك ﺟﺳم ا ﻋﻠﻰ طر
وزارة ٠
ﻣﺳﺗﻘ م ﺳرﻋﺔ ١٠م /س و ﺗﺣرك ﻓﻰ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎﻩ ﺟﺳم اﺧر ب ﺳرﻋﺔ
٨م /س أوﺟد ﺳرﻋﺔ ب ﺎﻟﻧﺳ ﺔ اﻟﻰ ا. ================================================= وزارة ﺗﺘﺤﺮك ﺳﯿﺎرة ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٧٢ﻛﻢ /س .ﻓﺈذا ﺗﺤﺮﻛﺖ ﻋﻠﻰ ١١ ]٢-
⃐
أو ٢ﻛﻢ /س ﻋﻜﺲ إﺗﺠﺎه اﻟﺤﺮﻛﺔ[
٠
اﻟﻄﺮﯾﻖ ﻧﻔﺴﮫ دراﺟﺔ ﺑﺨﺎرﯾﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٨ﻛﻢ /س .ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﻠﺪراﺟﺔ اﻟﺒﺨﺎرﯾﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺴﯿﺎرة ﻋﻨﺪﻣﺎ: ] ٦٤-
) (١اﻟﺪراﺟﺔ ﺗﺘﺤﺮك ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺴﯿﺎرة )(٢اﻟﺪراﺟﺔ ﺗﺘﺤﺮك ﻓﻰ ﻋﻜﺲ اﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺴﯿﺎرة.
]٨٠
⃐
أو ٦٤م /س[ ⃐
أو ٨٠ﻛﻢ /س[
=============================================== ١٢
وزارة ٠
ﺗﺘﺤﺮك ﺑﺎﺧﺮة ﻓﻰ ﻣﺴﺎر ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻧﺤﻮ ﻣﯿﻨﺎء وﻟﻤﺎ ﺻﺎرت ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٠٠ﻛﻢ
ﻣﻨﮫ ﻣﺮت ﻓﻮﻗﮭﺎ طﺎﺋﺮة ﺣﺮاﺳﺔ ﺗﻄﯿﺮ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻀﺎد ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٥٠ﻛﻢ /س ورﺻﺪت ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺒﺎﺧﺮة ﻓﺒﺪت ﻟﮭﺎ ﻣﺘﺤﺮﻛﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٣٠٠ﻛﻢ /س ﻛﻢ ﻣﻦ اﻟﻮﻗﺖ ﯾﻨﻘﻀﻲ ﻣﻨﺬ ﻟﺤﻈﺔ اﻟﺮﺻﺪ وﺣﺘﻰ وﺻﻮل اﻟﺒﺎﺧﺮة إﻟﻰ اﻟﻤﯿﻨﺎء ؟ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] ٢ﺳﺎﻋﺔ [
- ١٣٨ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
١٣
وزارة ٠
ﺗﺘﺤﺮك ﺳﯿﺎرﺗﺎن ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ أﻓﻘﻰ ﻓﻰ إﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺘﯿﻦ
اﻟﺜﺎﺑﺘﺘﯿﻦ ٥٠ﻛﻢ /س ٧٠ ،ﻛﻢ /س ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻓﻰ ﻟﺤﻈﺔ ﻣﺎ ١٢ﻛﻢ إﺣﺴﺐ ] ٦دﻗﺎﺋ [
ﺑﺎﻟﺪﻗﺎﺋﻖ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻼزم ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻟﺘﻼﻗﻰ اﻟﺴﯿﺎرﺗﯿﻦ .
================================================ وزارة ٠
١٤
ﻣﺪﯾﻨﺘﺎن ا ،ب ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺮﯾﻖ اﻟﺴﺎﺣﻠﻰ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ١٢٠ﻛﻢ ،ﺗﺤﺮﻛﺖ ﺳﯿﺎرة
ﻣﻦ اﻟﻤﺪﯾﻨﺔ ا ﻣﺘﺠﮭﺔ إﻟﻰ اﻟﻤﺪﯾﻨﺔ ب ﺑﺴﺮﻋﺔ ٨٨ﻛﻢ /س .وﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﺤﻈﺔ ﻗﺎﻣﺖ ﺳﯿﺎرة أﺧﺮى ﻣﻦ اﻟﻤﺪﯾﻨﺔ ب ﻣﺘﺠﮭﺔ إﻟﻰ اﻟﻤﺪﯾﻨﺔ ا ﺑﺴﺮﻋﺔ ٧٢ﻛﻢ /س أوﺟﺪ ﻣﺘﻰ وأﯾﻦ ﺗﺘﻘﺎﺑﻞ اﻟﺴﯿﺎرﺗﺎن.
]ﯾﻠﺘﻘﯿﺎن ﺑﻌﺪ
٣ ٤
ﺳﺎﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ٦٦ﻛﻢ ﻣﻦ ا أو ٥٤ﻛﻢ ﻣﻦ ب[
=============================================== ١٥
وزارة ٠
اﻷزھﺮ ٢٠١٦/٢٠١٥ﺗﺘﺤﺮك ﺳﯿﺎرة رادار ﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺮﯾﻖ
اﻟﺼﺤﺮاوى ﺑﺴﺮﻋﺔ ٤٠ﻛﻢ /س .راﻗﺒﺖ ھﺬه اﻟﺴﯿﺎرة ﺣﺮﻛﺔ ﺳﯿﺎرة ﻧﻘﻞ ﻗﺎدﻣﺔ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻀﺎد ﻓﺒﺪت وﻛﺄﻧﮭﺎ ﺗﺘﺤﺮك ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٢٠ﻛﻢ /س ﻓﻤﺎھﻰ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻔﻌﻠﯿﺔ ﻟﺴﯿﺎرة اﻟﻨﻘﻞ؟ ]٨٠-
⃐
أو٨٠ﻛﻢ/س ﻋﻜﺲ ﺣﺮﻛﺔ ﺳﯿﺎرة اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ [
================================================ وزارة ﻗﺎﻣﺖ ﺳﯿﺎرة )ا( ﻣﺘﺤﺮﻛﺔ ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻘﯿﺎس اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﺴﯿﺎرة ٠ ١٦ )ب( ﻗﺎدﻣﺔ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻀﺎد ﻓﻮﺟﺪﺗﮭﺎ ١٣٠ﻛﻢ/س وﻟﻤﺎ ﺧﻔﻀﺖ اﻟﺴﯿﺎرة)ا ( ﺳﺮﻋﺘﮭﺎ إﻟﻰ اﻟﻨﺼﻒ وأﻋﺎدت اﻟﻘﯿﺎس وﺟﺪت أن اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ﻟﻠﺴﯿﺎرة )ب( أﺻﺒﺤﺖ ١١٠ﻛﻢ/س ﻓﻤﺎ ھﻰ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻔﻌﻠﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﺴﯿﺎرﺗﯿﻦ؟
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٣٩ -
⃐ ⃐ ]ﻉا =٤٠ﻛﻢ/س،ﻉ ب= ٩٠ﻛﻢ/س[
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔذات اﻟﻌﺠﻠﺔاﻟﻤﻨﺘﻈﺔ Uniformly accelerated rectilinear motion
اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮة
ھﻰ اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺤﺪث ﻓﯿﮭﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻓﻰ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺴﺮﻋﺔ
ﺑﻤﺮور اﻟﺰﻣﻦ ﯾﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﺘﺴﺎرع) اﻟﻌﺠﻠﺔ ( ووﺣﺪة ﻗﯿﺎﺳﮫ ھﻰ م /ث.٢ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﮭﺎﺋﯿﺔ اﻟﺘﺴﺎرع ) اﻟﻌﺠﻠﺔ( ج = اﻟﺰﻣﻦ
وﺣﺪات ﻗﯿﺎس اﻟﻌﺠﻠﺔ
ﺳم /ث
٢
٢
،م /ث ،
٢
م /س
ﯾﻘﺎل إن اﻟﺠﺴﯿﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ أو
اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ Uniformly accelerated motion
ﺑﺘﺴﺎرع) ﻋﺠﻠﺔ (ﻣﻨﺘﻈﻢ إذا ﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻌﺠﻠﺔ ﻣﻘﺪارً ا واﺗﺠﺎھًﺎ ﻟﺠﻤﯿﻊ اﻷزﻣﻨﺔ
ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ
Equations of the change uniforme motion
)(١ﻉ = ﻉ + .ﺟـ ن ) (٢ﻑ =ﻉ.ن+
٢
١ ٢
ﺟـ ن
٢
٢
) (٣ﻉ = ﻉ ٢ +.ﺟـ ﻑ ﺣﯿﺚ
ﻉ .اﻟﺳرﻋﺔ اﻻﺑﺗداﺋ ﺔ ﻉ اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻧﻬﺎﺋ ﺔ
ن
ﺟـ اﻟﻌﺟﻠﺔ ﻑ اﻹزاﺣﺔ
اﻟزﻣن
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٤٠ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
) (١ﻋﻨﺪ ﺑﺪء اﻟﺤﺮﻛﺔ ﯾﻜﻮن ن = ﺻﻔﺮ
ﻣﻼﺣﻈﺎت ﺧﻄﯿﺮرررة
) (٢إذا ﺑﺪأ ﺟﺴﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ اﻟﺴﻜﻮن ﻓﺈن ﻉ = .ﺻﻔﺮ ) (٣إذا وﺻﻞ اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ أﻗﺼﻲ ﺑﻌﺪ أو ﺳﻜﻦ ﻓﺈن ع = ﺻﻔﺮ ) (٤إذا ﺗﺤﺮك اﻟﺠﺴﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ أو ﺑﺄﻗﺼﻰ ﺳﺮﻋﺔ ﻓﺈن ﺟـ = ﺻﻔﺮ ﻑ = ﻉ.ن ) (٥إذا ﻋﺎد اﻟﺠﺴﻢ اﻟﻰ ﻣﻮﺿﻊ ﺑﺪء اﻟﺤﺮﻛﺔ )ﻋﺎد اﻟﻰ ﻣﻮﺿﻌﮫ ( ﻓﺎن ف = ﺻﻔﺮ ﻣﺜﺎل ١
ث .ﺑﻨﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣
وزارة ٠
أطﻠﻘﺖ رﺻﺎﺻﺔ أﻓﻘﯿﺎ ً ﻋﻠﻰ
ﻛﺘﻠﺔ ﺧﺸﺒﯿﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٠٠م/ث ﻓﻐﺎﺻﺖ ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٤ﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺮﻛﺖ ﺑﮭﺎ اﻟﺮﺻﺎﺻﺔ إذا ﻋﻠﻢ أﻧﮭﺎ ﺗﺘﺤﺮك ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ وإذا ﻓﺮض أن ﺳﻤﻚ اﻟﻜﺘﻠﺔ اﻟﺨﺸﺒﯿﺔ ٣ﺳﻢ ﻓﻤﺎ ھﻲ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺨﺮج ﺑﮭﺎ اﻟﺮﺻﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻜﺘﻠﺔ اﻟﺨﺸﺒﯿﺔ . اﻟﺤﻞ
ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ اﻟﺨﺸﺒﯿﺔ اﻷوﻟﻰ ﻉ٢٠٠ = .م/ث ٢
ﻑ = ٤ﺳم =
٤
١٠٠
= ٠.٠٤م
٢
Aﻉ = ﻉ ٢ + .ﺟـ ﻑ ٢ + ٢(٢٠٠) = ٢(٠) Gﺟـ
ﺟـ =؟
ﻉ =٠
٠.٠٤
٠.٠٨ + ٤٠٠٠٠ = ٠ﺟـ ٠.٠٨Gﺟـ = ٤٠٠٠٠ - ٤٠٠٠٠
ﺟـ =
٠.٠٨
ﺟـ = ٥٠٠٠٠٠ -م /ث
ﻉ٢٠٠ = .م/ث ،ﺟـ= ٥٠٠٠٠٠-م/ث
ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ اﻟﺨﺸﺒﯿﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻑ =٣ﺳم = ٢
٢
٣
١٠٠
= ٠.٠٣م
Aﻉ = ﻉ ٢ + .ﺟـ ﻑ
٢ ٢
،ﻉ=؟ ٢
Bﻉ =)١٠٠٠٠= ٠.٠٣ ٥٠٠٠٠٠- ٢+ ٢(٢٠٠
Bﻉ = ؟ ١٠٠ = " " " " " " " " " ١٠٠٠٠م /ث
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٤١ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل ٢ وزارة ٠
ﺑﺪأ ﺟﺴﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن ﻓ ﻰ ﺧ ﻂ ﻣﺴ ﺘﻘﯿﻢ أﻓﻘ ﻲ ﺑﻌﺠﻠ ﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤ ﺔ ٢
ﻣﻘﺪارھﺎ ٤ﺳﻢ/ث ﻟﻤﺪة ٣٠ﺛﺎﻧﯿﺔ ﺛﻢ ﺗﺤﺮك ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ اﻛﺘﺴﺒﮭﺎ ﻟﻤﺪة ٤٠ﺛﺎﻧﯿﺔ أﺧﺮى أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﺳﺮﻋﺘﮫ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺧﻼل اﻟﻔﺘﺮﺗﯿﻦ . اﻟﺤﻞ ﻉ٠ =.
ﻉ= ١٢٠ﺳﻢ/ث
ﻉ = ١٢٠ﺳﻢ/ث
اﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻟﺛﺎﻧ ﺔ " اﻟﺣر ﺔ ﻣﻧﺗظﻣﺔ" ﺟـ =٠
اﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻻوﻟﻰ ﻑ ١٨٠٠ = ١١ﺳم
اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ )ﺟـ =(٠
اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻣﺘﺴﺎرﻋﺔ ٢
ﻉ،٠= .ﺟ ـ =٤ﺳ ــم/ث ،ن٣٠ =١ث ﻉ = ﻉ + .ﺟـ ن ﻉ = ١٢٠=٣٠ ٤ +٠ﺳم/ث ﻑ = ﻉ .ن+
١ ٢
ﻑ+٣٠ ٠ = ١
ﺟـ ن ١ ٢
٢
(٣٠) ٤
Aاﻟﺠﺴﻢ ﺗﺤﺮك ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ اﻛﺘﺴﺒﮭﺎ
Bﻉ١٢٠ = .ﺳﻢ /ث ﺟـ = )٠اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ( ن٤٠ =٢ث ﻑ = ﻉ .ن
٢
ﻑ١٨٠٠ = ١ﺳﻢ
ﻑ٤٨٠٠ = ٤٠ ١٢٠=٢ﺳﻢ ﻑ٤٨٠٠= ٢ﺳﻢ
ﻑ +١ﻑ٦٦٠٠ =٤٨٠٠+١٨٠٠= ٢ﺳﻢ ،ن +١ن٧٠=٤٠+٣٠ =٢ث اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ
⃐ اﻻزاﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ٦٦٠٠ ٩٤.٣ Tﺳﻢ /ث = ﻉم = ٧٠ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻰ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٤٢ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
وزارة ٠
ﻣﺜﺎل ٣
رﺑﻄﺖ ﺳﯿﺎرة ﻓﺮاﻣﻠﮭﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺮﻋﺘﮭﺎ ٤٥ﻛﻢ/س
ﻓﻨﻘﺼﺖ ﺳﺮﻋﺘﮭﺎ إﻟﻰ ١٨ﻛﻢ /س ﺑﻌﺪ أن ﻗﻄﻌﺖ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٥٢٥ﻣﺘﺮ ﻓﻤﺎ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى اﺳﺘﻐﺮﻗﺘﮫ ﻓﻰ ﻗﻄﻊ ھﺬه اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ وﻣﺎ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﻤﻀﻲ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﺣﺘﻰ ﺗﺘﻮﻗﻒ اﻟﺴﯿﺎرة. اﻟﺤﻞ ﻉ١٢.٥ =.م/ث ﺟـ =
١ ٨
ﻉ = ٥م/ث
م/ث
اﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻻوﻟﻰ
ﺟـ =
ﻉ ٥ = .م/ث
١ ٨
م/ث
ﻉ=٠
٢
اﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻟﺛﺎﻧ ﺔ
ﻑ = ٥٢٥م
٥
ﻉ ٤٥ = .م/س = ٤٥
١٨ ٥
ﻉ = ١٨م/س = ١٨
١٨
ﻑ = ٥٢٥م
= ١٢.٥ﻣﺗر /ث
ﺟـ=؟
= ٥ﻣﺗر /ث
اوﻻ ً :ﻧﻮﺟﺪ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ ٢
٢
× ٢ + ٢(١٢.٥) = ٢(٥) Gﺟـ × ٥٢٥
Aﻉ = ﻉ ٢ + .ﺟـ ﻑ ١٠٥٠ + ١٥٦.٢٥ = ٢٥ﺟـ
ﺟـ = ــ
١٠٥٠ Gﺟـ = ١٣١.٢٥ - =١٥٦.٢٥-٢٥
١٣١.٢٥ ١٠٥٠
=
١ ٨
م/ث
٢
ﻻﻳﺠﺎد زﻣﻦ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٥٢٥ﻣﺘﺮ ١
Aﻉ = ﻉ + .ﺟـ ن - ١٢.٥ = ٥ Gن ٨
١ ٨
ن =٧.٥-
١ ن = ١٢.٥ -٥ G ٨
Gن= ٦٠ = ٨- ٧.٥-ث
ﻻﻳﺠﺎد اﻟﺰﻣﻦ ﻳﻤﻀﻰ ﺣﺘﻰ ﺗﺘﻮﻗﻒ اﻟﺴﯿﺎرة ﻉ ٥ = .م/ث ،ﻉ = ٠
ن=؟ ١
ﻉ = ﻉ + .ﺟـ ن - ٥ = ٠ GنG ٨
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ﺟـ = ١ ٨
١ ٨
م /ث
٢
ن = G ٥ن= ٨
- ١٤٣ -
٤٠ =٥ث
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل ٤ وزارة ٠
٢
ﺗﺣرك ﺟﺳم ﻣن ﺳ ون ﻌﺟﻠﺔ ٣ﺳم/ث ﺣﺗﻰ ﺻﺎرت ﺳرﻋﺗﻪ
٦٠ﺳم /ث ﻋﻧدﺋذ اﻧﻌدﻣت اﻟﻌﺟﻠﺔ وﺗﺣرك اﻟﺟﺳم ﺎﻟﺳرﻋﺔ اﻟﺗﻰ اﻛﺗﺳﺑﻬﺎ ﻣدة ﻣن اﻟزﻣن ،ﺛم ﺗﺣرك ﺑﺗﻘﺻﯾر ﻣﻧﺗظم ﻣﻘدارﻩ ٢
١٢ﺳم/ث ﺣﺗﻰ ﺳ ن ﻓﺎذا ﺎﻧت اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ اﻟﺗﻰ ﻗطﻌﻬﺎ اﻟﺟﺳم ١٠٥٠ﺳم ،ﻓﺄﺣﺳب زﻣن اﻟﺣر ﺔ ﻌﺟﻠﺔ ﻣوﺟ ﺔ وزﻣن اﻟﺣر ﺔ
ﻌﺟﻠﺔ ﺗﻘﺻﯾرﺔ ﺛم أوﺟد ﺳرﻋﺗﻪ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﺧﻼل اﻟﺣر ﺔ ﻠﻬﺎ. اﻟﺤﻞ
اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻣﺘﺴﺎرﻋﺔ ﻉ٠ =.
٢
اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﺣـــــــــــﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘـﻈـــــــﻤﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ ﺗﻘﺼﯿﺮﯾﺔ
ن=؟
ﻉ٦٠ =.ﺳم /ث ﺟـ = ٠
ﺟـ = ٣ﺳم/ث
ﻉ = ٦٠ﺳم /ث
Aﻑ = ﻉ .ن
ﻉ = ﻉ + .ﺟـ ن
ﻑ ٦٠ = ٢ن٢
ن٦٠ =١ ــــــــ = ٢٠ث ٣ ١ ٢ ﻑ = ﻉ .ن +ﺟـ ن ﻑ = +٢٠ ٠
٢
٢٠ ٣
ﺟـ = ١٢ -ﺳم/ث
٢
ﻉ = ﻉ + .ﺟـ ن
ﻑ = ﻉ .ن+ ٢
ﻑ=+٥ ٦٠
١ ٢
١ ٢
ﺟـ ن
٢
٢
٥ ١٢-
ﻑ١٥٠ = ٣ﺳﻢ
ﻑ٦٠٠ = ١ﺳﻢ ﻑ٦٠٠ = ١ﺳﻢ
ن = ٢؟
ﻉ= ٠
١٢-٦٠ = ٠ن ١٢ن = G ٦٠ن ٥=٢ث
٣+٠=٦٠ن١
٢ ١
ﻉ٦٠ =.ﺳم /ث
ﻑ= ٢
٦٠ن٢
ﻑ١٥٠ = ٣ﺳﻢ
٥ = ٣٠٠ث ﻑ٣٠٠= (١٥٠+٦٠٠) -١٠٥٠= ٢ﺳﻢ ٦٠Gن G٣٠٠=٢ن =٢ـــــــ ٦٠ ⃐ اﻻزاﺣﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ ١٠٥٠ = ــــــــــــــــــــ = ٣٥ﺳم /ث اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﻉم = اﻟزﻣن اﻟﻛﻠﻰ ٥+٥+٢٠ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٤٤ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل ٥
ﻣﺼﻌﺪ ﺳﺎﻛﻦ ﺑﻘﺎع ﻣﻨﺠﻢ أﺧﺬ اﻟﻤﺼﻌﺪ ﻓﻰ اﻹرﺗﻔﺎع ﺑﻌﺠﻠﺔ
وزارة ٠
٢
ﻣﻘﺪارھﺎ ١٢٠ﺳﻢ /ث ﻣﺴﺎﻓﺔ ٥٤٠ﺳﻢ ،ﺛﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٣٦٠ﺳﻢ ،ﺛﻢ ﺑﺘﻘﺼﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٧٢٠ﺳﻢ ﺣﺘﻰ ﺳﻜﻦ ﻋﻨﺪ ﻓﻮھﺔ اﻟﻤﻨﺠﻢ .إﺣﺴﺐ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى إﺳﺘﻐﺮﻗﮫ اﻟﻤﺼﻌﺪ ﻓﻰ اﻟﺼﻌﻮد ﻣﻦ ﻗﺎع اﻟﻤﻨﺠﻢ إﻟﻰ ﻓﻮھﺘﮫ . اﻟﺤﻞ اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ)اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﺘﺴﺎرﻋﺔ( -: ع٠ = ٠
ف = ٥٤٠ﺳﻢ ١
Aف = ع ٠ن +ﺟـ ن
ﺟـ = ١٢٠ﺳﻢ /ث
٢
∴ ٠ = ٥٤٠
٢
٢
٢
ن+
١ ٢
١٢٠ن
٢
٢
∴ ٦٠ = ٥٤٠ن Gن = G ٩ن ٣ = ١ث
اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ )اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ(-: ٣٦٠ ف = ع ٣٦٠ = ٠ﺳﻢ /ث ،ف = ٣٦٠ﺳﻢ Gن = ٢ع٣٦٠ ٠
اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ )اﻟﺤﺮﻛﺔ ﺗﻘﺼﯿﺮﻳﺔ(-: ع ٣٦٠ = ٠ﺳﻢ /ث ٢
،ع= ٠
٢
،
ف = ٧٢٠ﺳﻢ
Aﻉ = ﻉ ٢ +.ﺟـ ﻑ ٢ + ٣٦٠ = ٠ G ٢
ج
=١ث اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ
ن ١ = ٢ث
اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﺗﻘﺼﯿﺮﻳﺔ
اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﮭﺎﺋﯿﺔ ع = ع + ٠ﺟـ ن = ١٢٠ + ٠
٣٦٠ = ٣ﺳﻢ /ث
٧٢٠
ع=٠ ف = ٧٢٠ﺳﻢ ﺟـ = ٩٠-ﺳﻢ/ث
٢
ع٣٦٠ =٠ﺳﻢ/ث ع = ٣٦٠ﺳﻢ/ث ف = ٣٦٠ﺳﻢ ﺟـ = ﺻﻔﺮ ع٣٦٠=٠ﺳﻢ/ث
∴ ﺟـ = ٩٠-ﺳﻢ /ث
٢ اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﺘﺴﺎرﻋﺔ
Aﻉ = ﻉ + .ﺟـ ن ٩٠ – ٣٦٠ = ٠ Gن Gن ٤ = ٣ث ∴ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻰ = ٨ = ٤ + ١ + ٣ﺛﻮاﻧﻰ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ع= ٣٦٠ﺳﻢ/ث ف = ٥٤٠ﺳﻢ ﺟـ =١٢٠ﺳﻢ/ث ع٠ = ٠
- ١٤٥ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
٢
اﻳﺠﺎد اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ واﻟﺴﺮﻋﺔ ﺧﻼل ﻓﺘﺮة زﻣﻨﯿﺔ ﻣﺤﺪدة ﻣﻼﺣﻈﺔ١
اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺧﻼل ﻓﺘﺮة زﻣﻨﯿﺔ = اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻒ ھﺬه اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ. ١
أى أن اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ن :ﻉم =ﻉ)+.ن ( -ﺟـ ٢
ﻣﺜﻼ
ن=٤ ن=٥ ن=٠٤.٥
-١ﺳرﻋﺔ اﻟﺟﺳم ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﺧﺎﻣﺳﺔ ]ﺗﺒﺪأ ﻣﻦ٤وﺗﻨﺘﮭﻲ ﺑـــ[٥ أ
= ﺳرﻋﺗﻪ ﻋﻧدﻣﺎ ن=٤.٥ث
ﻌد ﻣرور ٤.٥ث ﻣن ﺑدء ﺣر ﺗﻪ
١٠
٨
٩
-٢ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺠﺴﻢ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺘﯿﻦ اﻟﺘﺎﺳﻌﺔ واﻟﻌﺎﺷﺮة ]ﺗﺒﺪأ ﻣﻦ٨وﺗﻨﺘﮭﻲ ﺑـــ[١٠
= ﺳرﻋﺗﻪ ﻋﻧدﻣﺎ ن=٩ث ] .أى ﺑﻌﺪ ﻣﺮور ٩ث ﻣﻦ ﺑﺪء ﺣﺮﻛﺘﮫ[
ﻣﺜﺎل٦ وزارة ٠
اﻻدارة ٢٠١٥/٢٠١٤ﯾﺗﺣرك ﺟﺳم ﻌﺟﻠﺔ ﻣﻧﺗظﻣﺔ ﻓﻘطﻊ ﻓﻰ
اﻟﺛواﻧﻰ اﻷرﻌﺔ اﻷوﻟﻲ ﻣﺳﺎﻓﺔ ٢٠٠ﻣﺗر ﺛم ﻗطﻊ ﻣﺳﺎﻓﺔ ٥٠ﻣﺗر ﻓﻰ
اﻟﺛﺎﻧﯾﺗﯾن اﻟﺳﺎ ﻌﺔ واﻟﺛﺎﻣﻧﺔ أوﺟد ﺳرﻋﺗﻪ اﻻﺑﺗداﺋ ﺔ واﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﺗﻰ ﻗطﻌﻬﺎ ﻣﻧذ
ﺑدء اﻟﺣر ﺔ ﺣﺗﻰ ﯾﺗوﻗﻒ.
اﻟﺤﻞ
٥٠م ٩
٨
٧
٢٠٠م ٦
٥
٤
٣
ن=٧
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٢
١
ن=٢
- ١٤٦ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
٠
اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﺜﻮاﻧﻲ اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻲ = اﻟﺰﻣﻦ
ﻉم= ١ ﻉم١
٢٠٠ ٤
= ٥٠م/ث وھﻰ ﺗﺴﺎوي ﺳﺮﻋﺘﮫ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ أى ﻋﻨﺪ ن=٢
=ﻉ + .ﺟـ ن
= ٥٠ﻉ ٢ + .ﺟـ
G
اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧﯾﺗﯾن اﻟﺛﺎﻣﻧﺔ واﻟﺳﺎ ﻌﺔ =
)(١
اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺰﻣﻦ
٥٠
= ٢٥م/ث وﻫﻰ ﺳرﻋﺗﻪ ﻓﻰ ﻣﻧﺗﺻﻒ اﻟﻔﺗرة اﻟزﻣﻧ ﺔ أ ﻋﻧد ن=٧ ﻉم= ٢ ٢ ﻉم= ٢ﻉ + .ﺟـ ن G )(٢ = ٢٥ﻉ ٧ + .ﺟـ ﺣﻞ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن ٢ ، ١طرﻘﺔ اﻟﺣذ ف = ٥٠ﻉ ٢ + .ﺟـ = ٢٥ﻉ ٧ + .ﺟـ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ G ٥- = ٢٥ﺟـ ﺎﻟطرح ٢ ﺟـ = ٥ -م/ث ﺎﻟﺗﻌو ض ﻓﻰ ) = ٥٠ (١ﻉ٥ - ٢+ . = ٥٠ Gﻉ G ١٠ -.ﻉ٦٠=١٠+٥٠= .م/ث G ﺣﻞ اﺧﺮ
ﻉم ٥٠ = ١م/ث
ن ٢=١ث
ﻉم ٢٥ = ٢م/ث
ن ٧=٢ث
⃐ ⃐ ﻉ – ٢ﻉ١ ٥٠ ٢٥ ⃐ ٢ = ٥ -م/ث Bﺟـ = ـــــــــــــــــ = ٢ ٧ ن -٢ن١ ﻉم١
=ﻉ + .ﺟـ ن
ﻉ٦٠=.م/ث
= ٥٠ Gﻉ٥- ٢ + .
= ٥٠ Gﻉ G ١٠ -.ﻉ٦٠=١٠+٥٠= .م/ث
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٤٧ -
٢
ﺟـ = ٥ -م/ث
ﻉ٦٠=.م/ث
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻹﯾﺟﺎد اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﺗﻰ ﻗطﻌﻬﺎ اﻟﺟﺳم ﻣﻧذ ﺑدء اﻟﺣر ﺔ ﺣﺗﻰ ﯾﺗوﻗﻒ ﻉ٦٠=.م/ث ٢
ﺟـ= ٥-م /ث
ﻉ =٠
٢
ﻉ = ﻉ ٢ +.ﺟـ ﻑ ٢ + ٢٦٠ G
٢
ف=٠
٥-
١٠-٣٦٠٠ف =١٠ G ٠ف = G ٣٦٠٠
ﻣﻼﺣﻈﺔ٢
ف= ٣٦٠م
===========================================
-١اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ ن = ﻑ
ن
–ﻑ
ن١-
أو اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ ن = اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ
اﻟزﻣن )ﻋﺪد اﻟﺜﻮاﻧﻰ(
= ﻉم ن -٢ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺠﺴﻢ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ن ﺗﺴﺎوى ﺳﺮﻋﺘﮫ ﻋﻨﺪ اﻟﻠﺤﻈﺔ اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ ن - ﻣﺜﻼ
)ا( اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﻌﺎﺷرة = ﻑ– ١٠
١ ٢
ﻑ٩
أو اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﻌﺎﺷرة =ﻉم )١اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﻌﺎﺷﺮة واﺣﺪة ﻓﻘﻂ(
)ب( اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧﯾﺗﯾن اﻟﺛﺎﻣﻧﺔ واﻟﺗﺎﺳﻌﺔ = ﻑ – ٩ﻑ أو اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧﯾﺗﯾن اﻟﺛﺎﻣﻧﺔ واﻟﺗﺎﺳﻌﺔ ٩
٨
=ﻉ م
٧
) ٢ﺛﺎﻧﯿﺘﯿﻦ ﻓﻘﻂ(
٧
اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣطﻠو ﺔ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٤٨ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﺑدأ ﺟﺳم ﺣر ﺗﻪ ﻓﻰ اﺗﺟﺎﻩ ﺛﺎﺑت ﺳرﻋﺔ ٢٠ﺳم/ث وﻋﺟﻠﺔ
وزارة ٠
ﻣﺜﺎل٧
٢
ﻣﻧﺗظﻣﺔ ٨ﺳم/ث ﻓﻰ اﺗﺟﺎﻩ ﺳرﻋﺗﻪ اوﺟد -:
) (١اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﺗﻲ ﻗطﻌﻬﺎ اﻟﺟﺳم ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﺧﺎﻣﺳﺔ ﻓﻘ .
) (٢اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﺗﻲ ﻗطﻌﻬﺎ اﻟﺟﺳم ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧﯾﺗﯾن اﻟﺳﺎ ﻌﺔ واﻟﺛﺎﻣﻧﺔ ﻣﻌﺎً . ٢
ﻉ٢٠=.ﺳم/ث Aﻑ = ﻉ .ن+
١ ٢
ﺟـ = ٨ﺳم/ث ﺟـ ن
اﻟﺤﻞ
٢
أوﻻ :إﻳﺠﺎد اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺨﺎﻣﺴﺔ ﻓﻘﻂ ً
ف ) ٥ﺧﻼل ٥ﺛﻮاﻧﻲ اﻷوﻟﻲ( = ٢٠ ف ) ٤ﺧﻼل ٤ﺛﻮاﻧﻲ اﻷوﻟﻲ( = ٢٠
+٥
١ ٢ ١
+٤
Bاﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﺧﺎﻣﺳﺔ ﻓﻘ ﺣﻞ أﺧﺮ
٢
٨ ٨
٢
)٢٠٠= (٥ﺳﻢ ٢
)١٤٤= (٤ﺳﻢ
= ف -٥ف
٤
=٥٦=١٤٤-٢٠٠ﺳم
ﻧﺣﺳب اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﺧﺎﻣﺳﺔ ﻓﻘ وﻫﻰ ﺗﺳﺎو ﺳرﻋﺔ
اﻟﺟﺳم ﻓﻰ ﻣﻧﺗﺻﻒ اﻟﻔﺗرة اﻟزﻣﻧ ﺔ أ ﻋﻧدﻣﺎن =٤.٥ث ﻉم =ﻉ + .ﺟـ ن
Bﻉم = ٨+٢٠
اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ = اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ
٥٦ = ٤.٥ﺳم/ث
٥
اﻟزﻣن= ٥٦ = ١ ٥٦ﺳم
٤ ٤.٥ث
ﺛﺎﻧﯿﺎ ً :إﻳﺠﺎد اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺘﯿﻦ اﻟﺴﺎﺑﻌﺔ واﻟﺜﺎﻣﻨﺔ ﻣﻌﺎ ً
ف+٨ ٢٠ = ٨ ف+٦ ٢٠ = ٦
١
٢ ١ ٢
٨ ٨
)٤١٦ = (٨ﺳم ٢
٢
)٢٦٤ = (٦ﺳﻢ
٧
٨
٦
Bاﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧﯾﺗﯾن اﻟﺳﺎ ﻌﺔ واﻟﺛﺎﻣﻧﺔ ﻣﻌﺎ ً = ف -٨ف١٥٢=٢٦٤-٤١٦=٦ﺳم
ﺣﻞ أﺧﺮ
ﻧﺣﺳب اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧﯾﺗﯾن اﻟﺳﺎ ﻌﺔ واﻟﺛﺎﻣﻧﺔ ﻣﻌﺎً :
وﻫﻰ ﺗﺳﺎو اﻟﺳرﻋﺔ ﻌد ٧ﺛواﻧﻲ ﻣن ﺑدء اﻟﺣر ﺔ ﻉم =ﻉ + .ﺟـ ن = ٧٦ = ٧ ٨+٢٠ﺳم/ث اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ =
ﻉم
ن = ٧٦
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
١٥٢ = ٢ﺳﻢ
- ١٤٩ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(١١ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: ⃐ -١إذا ﺗﺤﺮك ﺟﺴﯿﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻤﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﮫ اﺑﺘﺪاﺋﯿﺔع ٠وﻣﺘﺠﮫ ﻋﺠﻠﺔ ﺛﺎﺑﺖ ج وأﺻﺒﺢ ⃐ ﻣﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﺘﮫ ع ﺑﻌﺪ ﻓﺘﺮة زﻣﻨﯿﺔ ن ﻓﺈن ج = .................. -٢ﺑﺪأ ﺟﺴﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٠م/ث ﻓﺄﺻﺒﺤﺖ ١٨م/ث ﺑﻌﺪ ٤ﺛﻮاﻧﻰ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎه ﻓﺈن ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ =.................... ٢
-٣ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﯿﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٤م /ث ﻓﺈن ﺳﺮﻋﺘﮫ ﺑﻌﺪ ٦ﺛﻮان ﻣﻦ ﺑﺪء اﻟﺤﺮﻛﺔ = ..........................م /ث ٢
-٤إذا ﺗﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ اﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ١٠ﺳﻢ/ث وﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٤ﺳﻢ/ث ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺳﺮﻋﺘﮫ ﻓﺘﺼﺒﺢ ﺳﺮﻋﺘﮫ ٢٥ﺳﻢ/ث ﺑﻌﺪ زﻣﻦ ﻗﺪره ...... .ث -٥اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﺠﺴﯿﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﺑﺴﺮﻋﺔ اﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ع ٠وﻋﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ج ﺧﻼل اﻟﺜﻮاﻧﻰ اﻟﺴﺎﺑﻌﺔ واﻟﺜﺎﻣﻨﺔ واﻟﺘﺎﺳﻌﺔ = ................. -٦ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﯿﻢ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﻘﻄﻊ ٢٤ﻣﺘﺮً ا ﻓﻰ اﻟﺜﻮاﻧﻰ اﻷرﺑﻊ اﻷوﻟﻰ ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ﻋﺠﻠﺘﮫ = .................... -٧ﺑﺪأت ﺳﯿﺎرة اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﻦ ﺳﻜﻮن ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٢٠م/ث ﻟﻤﺪة١٠ﺛﻮان ﻓﺈن - : ا -اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻨﮭﺎﺋﯿﺔ ﻟﻠﺴﯿﺎرة = ...............م/ث. ب -اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﺧﻼل ﺗﻠﻚ اﻟﻔﺘﺮة = ................ﻣﺘﺮ. ٢
-٨ﺑﺪأ ﺟﺴﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٧٢ﻛﻢ/س ﺑﻌﺠﻠﺔ ﺗﻘﺼﯿﺮﯾﺔ ٢م/ث
ا -اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬي ﯾﺴﺘﻐﺮﻗﮫ اﻟﺠﺴﻢ ﺣﺘﻰ ﯾﻘﻒ = ..................ﺛﺎﻧﯿﺔ. ب -اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﺧﻼل ﺗﻠﻚ اﻟﻔﺘﺮة = ............ﻣﺘﺮ.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٥٠ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
٢
وزارة ٠
٢
اﻧﻄﻠﻘﺖ ﺳﯿﺎرة ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن ﺑﺘﺴﺎرع ﻣﻘﺪاره ٤م /ث ﻣﺎ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻄﻌﮭﺎ
اﻟﺴﯿﺎرة ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺼﺒﺢ ﺳﺮﻋﺘﮭﺎ ٢٤م /ث؟
]ف = ٧٢ﻣﺘﺮ[
=============================================== ٣
وزارة ٠
٢
ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﯿﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٥ﺳﻢ/ث ﻓﺈذا ﺑﺪأ اﻟﺠﺴﯿﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ
ﺑﺴﺮﻋﺔ ٤٠ﺳﻢ/ث وﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه اﻟﻌﺠﻠﺔ ﻓﻤﺎ ھﻰ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﻗﺪ ﻗﻄﻌﮭﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺒﻠﻎ ﺳﺮﻋﺘﮫ ٦٠
م/د.
]ف = ٨٤٠ﺳﻢ[
================================================= ٤
وزارة ٠
ﺗﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٧م/ث وﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٤م/ث .أوﺟﺪ
ﺳﺮﻋﺘﮫ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﻘﻄﻌﮭﺎ ﺧﻼل ٦ﺛﻮان.
]ع =٣١م/ث ،ف = ١١٤ﻣﺘﺮ[
=============================================== ٥
وزارة ٠
ﺗﺴﯿﺮ ﺳﯿﺎرة ﺳﺒﺎق ﻓﻰ اﻟﺤﻠﺒﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٤٤م /ث ﺛﻢ ﺗﻨﺎﻗﺼﺖ ﺳﺮﻋﺘﮭﺎ ﺑﻤﻌﺪل
ﺛﺎﺑﺖ ﺣﺘﻰ أﺻﺒﺤﺖ ٢٢م /ث ﺧﻼل ١١ﺛﺎﻧﯿﺔ .أوﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﻄﻌﺘﮭﺎ اﻟﺴﯿﺎرة ﺧﻼل ٢
]ﺟـ=٢ -م/ث ،ف = ٣٦٣ﻣﺘﺮ[
ھﺬا اﻟﺰﻣﻦ.
=============================================== ٦وزارة ﺗﺘﺴﺎرع ﺳﯿﺎرة ﺑﻤﻌﺪل ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻦ ١٥م /ث إﻟﻰ ٢٥م /ث .ﻣﺎ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ٠
ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﮫ ﻟﺘﺼﻞ إﻟﻰ ھﺬه اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻋﻠﻤًﺎ ﺑﺄﻧﮭﺎ ﻗﻄﻌﺖ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٢٥ﻣﺘﺮً ا ؟ ٢
]ﺟـ= ١.٦م/ث ،ن=٦.٢٥ث[
=============================================== ٢ ٧وزارة ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﯿﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٤ﺳﻢ/ث ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺘﮫ وﺑﻌﺪ ٠
أن ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٦.٢٥ﻣﺘﺮ أﺻﺒﺤﺖ ﺳﺮﻋﺘﮫ ١٠٠ﺳﻢ/ث ﻓﻤﺎ ھﻰ ﺳﺮﻋﺘﮫ اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ] ٥٠؟ ٢ﺳﻢ/ث[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٥١ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
٨ث .ﺑﻨﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣ﻗﻄﺎر ﯾﺘﺤﺮك ﺣﺮﻛﺔ ﺗﻘﺼﯿﺮﯾﺔ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻧﻘﺼﺖ ﺳﺮﻋﺘﮫ ﻣﻦ ٦٦م/ث اﻟﻰ ٤٤م/ث ﺧﻼل ﻗﻄﻌﮫ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٤٨٤ﻣﺘﺮ أوﺟﺪ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ واﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﺴﺘﻐﺮﻗﮫ اﻟﻘﻄﺎرﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﺣﺘﻰ
٢
ﯾﻘﻒ].ﺟـ=٢.٥ -م/ث ،ن=١٧.٦ث[
================================================ وزارة ٠
٩
٢
ﺗﺘﺤﺮك ﺳﯿﺎرة ﻓﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺘﻘﺼﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﻘﺪاره ١٤ﺳﻢ/ث ،ﻓﺘﻮﻗﻔﺖ
ﻋﻦ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﺑﻌﺪ ﻣﺮور ٢٠ﺛﺎﻧﯿﺔ ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ اﻟﺒﺪاﯾﺔ .أوﺟﺪ: -١ﻣﻘﺪار ﺳﺮﻋﺘﮭﺎ اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ.
]ع٢٨٠= .ﺳم/ث[
-٢اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﻄﻌﺘﮭﺎ ﺧﻼل ﻧﺼﻒ دﻗﯿﻘﺔ.
]ف = ٢١٠٠ﺳﻢ[
-٣اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﻄﻌﺘﮭﺎ ﺣﺘﻰ ﺳﻜﻨﺖ.
]ف = ٢٨٠٠ﺳﻢ[
================================================ ١٠
وزارة ٠
أطﻠﻘﺖ رﺻﺎﺻﺔ أﻓﻘﯿﺎ ً ﻋﻠﻰ ﻛﺘﻠﺔ ﺧﺸﺒﯿﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٠٠م/ث ﻓﻐﺎﺻﺖ ﻓﯿﮭﺎ
ﻣﺴﺎﻓﺔ ٥٠ﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺮﻛﺖ ﺑﮭﺎ اﻟﺮﺻﺎﺻﺔ إذا ﻋﻠﻢ أﻧﮭﺎ ﻋﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ وإذا ﺗﻢ أطﻼﻗﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﻛﺘﻠﺔ ﺧﺸﺒﯿﺔ أﺧﺮي ﺳﻤﻜﮭﺎ ١٨ﺳﻢ ﻓﻤﺎ ھﻰ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺨﺮج ﺑﮭﺎ ٢
]ﺟـ = ١٠٠٠٠-م/ث ،ﻉ = ٨٠م/ث[
اﻟﺮﺻﺎﺻﺔ ﻣﻨﮭﺎ .
================================================ ١١اﻷزھﺮ ٢٠١٣/٢٠١٢ﺑﺪأ ﺟﺴﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻣﻦ اﻟﺴ ﻜﻮن ﻓ ﻰ ﺧ ﻂ ﻣﺴ ﺘﻘﯿﻢ أﻓﻘ ﻲ ﺑﻌﺠﻠ ﺔ ٢
ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٤ﺳﻢ/ث ﻟﻤﺪة ٣٠ﺛﺎﻧﯿﺔ ﺛﻢ ﺗﺤﺮك ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ اﻛﺘﺴﺒﮭﺎ ﻟﻤ ﺪة ٣٠ﺛﺎﻧﯿ ﺔ أﺧﺮى أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﺳﺮﻋﺘﮫ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺧﻼل اﻟﻔﺘﺮﺗﯿﻦ .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٥٢ -
]ع ﻡ =٩٠ﺳم/ث[
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
١
١٢
وزارة ٠
٢
ﺑﺪأ ﺟﺴﻢ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ اﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ م/ث ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه ٢
اﻟﺤﺮﻛﺔ وﺑﻌﺪ أن ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٧ﻣﺘﺮ أﺻﺒﺤﺖ ﺳﺮﻋﺘﮫ ١٤.٤ﻛﻢ /س اوﺟﺪ : ]ع٣= .م/ث[
أوﻻ ً :اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ﻟﻠﺠﺴﻢ .
]ن =٢ث[
ﺛﺎﻧﯿﺎ ً :اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى اﺳﺘﻐﺮﻗﮫ ﻓﻰ ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﺬﻛﻮرة.
=============================================== ١٣
وزارة ٠
ﯾﺘﺤﺮك ﻣﺘﺮو اﻷﻧﻔﺎق ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﯿﻦ ﻣﺤﻄﺘﯿﻦ ا ،ب اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٢
٧٠٠ﻣﺘﺮ ،ﺣﯿﺚ ﯾﺒﺪأ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻄﺔ ا ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٢م/ث ﻟﻤﺪة ١٠ﺛﻮان ﺛﻢ ﯾﺴﯿﺮ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﺘﺮة ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ ،ﺛﻢ ﯾﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٦٠ﻣﺘﺮً ا اﻷﺧﯿﺮة ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﺑﺘﻘﺼﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺣﺘﻰ ﯾﻘﻒ ﻓﻰ اﻟﻤﺤﻄﺔ ب .أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﺴﺘﻐﺮﻗﮫ ﻓﻰ ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ
اﻟﻤﺤﻄﺘﯿﻦ.
]ن١٠=١ث ،ن٢٧=٢ث ،ن٦=٣ث ،اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻰن=٤٣ث[
=============================================== ١٤ث .اﻟﺴﻠﯿﻤﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣ﺗﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻦ ﺳﻜﻮن ﻓﻘﻄﻊ ٢
ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٢٥ﻣﺘﺮ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ١٠م/ث ﺛﻢ اﻧﻘﻄﻌﺖ اﻟﻌﺠﻠﺔ ﻓﺴﺎر ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ٢
أﻛﺘﺴﺒﮭﺎﻣﺴﺎﻓﺔ ٤٠٠ﻣﺘﺮ ﺛﻢ ﺗﺤﺮك ﺑﻌﺠﻠﺔ ﺗﻘﺼﯿﺮﯾﺔ ٥م/ث ﺣﺘﻰ ﺳﻜﻦ أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ] ن٥=١ث ،ن٨=٢ث ،ن١٠= ٣ث ،اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻰن=٢٣ث[
ﻗﻄﻊ ﻓﯿﮫ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ.
============================================= ١٥
وزارة ٠
ﺗﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻣﻦ ﺳﻜﻮن ﻓﻘﻄﻊ ١٥٠ﻣﺘﺮ وﻋﻨﺪﻣﺎ أﺻﺒﺤﺖ ﺳﺮﻋﺘﮫ ٥٤ﻛﻢ/س
اﻧﻘﻄﻌﺖ اﻟﻌﺠﻠﺔ وﺳﺎر ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻲ اﻛﺘﺴﺒﮭﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٣٠٠ﻣﺘﺮ ،ﺛﻢ ﺗﺤﺮك ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ٣ ﺑﺘﻘﺼﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻗﺪره ٢
٢
م/ث ﺣﺘﻰ ﺳﻜﻦ إﺣﺴﺐ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺧﻼل اﻟﺮﺣﻠﺔ ﻛﻠﮭﺎ.
]ن٢٠=١ث ،ن٢٠=٢ث ،ن١٠=٣ث ،اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻰن=٥٠ث،اﻻزاﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ = ٥٢٥م ،ع ﻡ =١٠.٥ﺳﻢ/ث[ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٥٣ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
١٦
وزارة ٠
ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﻘﻄﻊ ٥٢ﻣﺘﺮً ا ﻓﻰ اﻟﺜﻮان اﻷرﺑﻊ
اﻷوﻟﻰ ﺛﻢ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٩٢ﻣﺘﺮً ا ﻓﻰ اﻟﺜﻮان اﻷرﺑﻊ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﻟﮭﺎ .إﺣﺴﺐ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ واﻟﺴﺮﻋﺔ اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﺧﻼل ١٠ﺛﻮان اﻷوﻟﻰ ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ. ٢ ]ﺟـ =٢.٥م/ث ،ﻉ ٨ =.م/ث ،ف = ٢٠٥م[
================================================ ١٧وزارة ٠
اﻻدارة ٢٠١٥/٢٠١٤ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﻘﻄﻊ
ﻓﻰ اﻟﺜﻮاﻧﻲ اﻟﺜﻼث اﻷوﻟﻲ ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢٨.٥ﺳﻢ وﻗﻄﻊ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺘﯿﻦ اﻟﺘﺎﺳﻌﺔ واﻟﻌﺎﺷﺮة ٦٤ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ واﻟﺴﺮﻋﺔ اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ
٢
ﻟﻠﺠﺴﻢ ]ﺟـ =٣ﺳﻢ/ث ،ﻉ٥ =.ﺳﻢ/ث[
=============================================== ١٨وزارة ﺑﺪأ ﺟﺴﯿﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٣٠ﺳﻢ /ث وﻋﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٠
٢
٦ﺳﻢ /ث ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه ﺳﺮﻋﺘﮫ .اﺣﺴﺐ : أوﻻ ً :اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﺑﻌﺪ ٥ﺛﻮان ﻣﻦ ﺑﺪء اﻟﺤﺮﻛﺔ.
]ف = ٢٢٥ﺳﻢ[
ﺛﺎﻧﯿﺎ ً :اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺨﺎﻣﺴﺔ ﻓﻘﻂ.
]ف = ٥٧ﺳﻢ[
=============================================== ١٩وزارة اﻻزھﺮ ٢٠١٤/٢٠١٣ﺑﺪأ ﺟﺴﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٠
٢
١٥ﺳﻢ/ث وﻋﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٤ﺳﻢ/ث ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه ﺳﺮﻋﺘﮫ أوﺟﺪ : أوﻻ ً :اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﻄﻌﮭﺎ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺴﺎدﺳﺔ ﻓﻘﻂ.
]٣٧ﺳﻢ[
ﺛﺎﻧﯿﺎ ً :اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﻄﻌﮭﺎ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺘﯿﻦ اﻟﺴﺎﺑﻌﺔ واﻟﺜﺎﻣﻨﺔ ﻓﻘﻂ.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٥٤ -
] ٨٦ﺳﻢ[
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
اﻟﺴﻘﻮط اﻟﺤﺮ Free Fall
ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻠﺨﯿﺺ ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﺮأﺳﯿﺔ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻰ -:
إذا ﻛﺎن اﻟﺠﺴﻢ ھﺎﺑﻂ )ﻷﺳﻔﻞ(
إذا ﻛﺎن اﻟﺠﺴﻢ ﺻﺎﻋﺪ)ﻷﻋﻠﻰ(
ﻉ = ﻉ + .ء ن ١
ﻉ = ﻉ - .ء ن ١
ﻑ = ﻉ.ن -ء ن
ﻑ = ﻉ.ن +ء ن
٢
٢
٢
٢
٢
٢
٢
ﻉ =ﻉ ٢ +.ء ﻑ
٢
ﻉ =ﻉ ٢ - .ء ﻑ
زﻣﻦ وﻣﺴﺎﻓﺔ أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ﻣﻘدار ﺳرﻋﺔ اﻟﻘذف
) (١زﻣن أﻗﺻﻰ ارﺗﻔﺎع = ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ
ﻣﻘدار ﻋﺟﻠﺔ اﻟﺟﺎذﺑ ﺔ اﻷرﺿ ﺔ ﻣرﻊ ﺳرﻋﺔ اﻟﻘذف
G
ن=
ﻉ. ء
) (٢ﻣﺳﺎﻓﺔ أﻗﺻﻰ ارﺗﻔﺎع = ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ G ﺿﻌﻒ ﻣﻘدار ﻋﺟﻠﺔ اﻟﺟﺎذﺑ ﺔ اﻷرﺿ ﺔ ﻑ= ٢ء ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ * إذا ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﻓﺈن -: ﻉ .٢
(١زﻣﻦ اﻟﺼﻌﻮد = زﻣﻦ اﻟﮭﺒﻮط (٢ﻣﻘﺪار اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﻌﻮد اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف = ﻣﻘﺪار ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻘﺬف )ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ إﺧﺘﻼﻓﮭﻤﺎ ﻓﻰ اﻻﺷﺎرة( (٣ﻣﻘﺪار ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻨﺪ أى ﻧﻘﻄﺔ وھﻮ ﺻﺎﻋﺪ = ﯾﺴﺎوى ﻣﻘﺪار اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻋﻨﺪ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ وھﻮ ھﺎﺑﻂ . (٤إزاﺣﺔ اﻟﺠﺴﻢ ﺧﻼل ﻓﺘﺮة زﻣﻨﯿﺔ ﻣﺎ ﻟﯿﺴﺖ ﺑﺎﻟﻀﺮورة أن ﺗﻜﻮن ﻣﺴﺎوﯾﺔ ﻟﻠﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﻄﻌﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ ﺧﻼل ھﺬه اﻟﻔﺘﺮة. أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٥٥ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل١
وزارة ٠
ﺳــﻘ ﺣﺟــر ﻣــن اﻟﺳ ـ ون ﻣــن ارﺗﻔــﺎع ١٠م ﻓــوق وﻣــﺔ ﻣــن اﻟرﻣــﻞ
ﻓﻐﺎص ﻓﯾﻬﺎ ﻣﺳﺎﻓﺔ ١٩٦ﺳم أوﺟد اﻟﻌﺟﻠﺔ اﻟﺗﻰ ﺗﺣرك ﺑﻬﺎ داﺧﻞ اﻟرﻣﻞ. اﻟﺤﻞ ﻉ٠=.
ﻗﺒﻞ اﻟﻐﻮص ﻓﻰ اﻟﺮﻣﻞ ﻉ٠ = . ٢
ﻑ = ١٠م
٢
ﻉ =ﻉ ٢ +.ء ﻑ ٢
ﻉ =٢+٠ ﻉ=
١٠م
٩.٨
ﻉ = ١٤م/ث
١٩٦ = ١٠
؟ ١٤ = ١٩٦م/ث ﻉ =٠
ﺑﻌﺪ اﻟﻐﻮص ﻓﻰ اﻟﺮﻣﻞ ﻉ ١٤ = .م/ث ﻑ = ١٩٦ﺳﻢ ١٩٦
= ﺟـ = ؟
١٠٠
ﻉ=٠
= ١.٩٦م
٢
٢
٢ﺟـ ﻑ ﻉ =ﻉ +.ﺟـ ٢
٢ + (١٤) = ٠ G
ﺟـ
١.٩٦
٣.٩٢ Gﺟـ ٠ = ١٩٦ + Gﺟـ =
١٩٦ ٣.٩٢
٢
= ٥٠ -م /ث
٢
Bاﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺮك ﺑﮭﺎ اﻟﺤﺠﺮ داﺧﻞ اﻟﺮﻣﻞ = ٥٠ -م /ث
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٥٦ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٢ وزارة ٠
ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ إﻟﻰ أﺳﻔﻞ ﻣﻦ إرﺗﻔﺎع ﻣﺎ ﻧﺤﻮ أرض رﺧﻮة ﻓﻐﺎص
ﻓﯿﮭﺎ
ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٤ﺳﻢ ﻗﺒﻞ أن ﯾﺴﻜﻦ ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﺠﺴﻢ ﯾﺘﺤﺮك داﺧﻞ اﻷرض ٢
ﺑﺘﻘﺼﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﻘﺪاره ٦٣م/ث ﻓﻤﺎ ھﻮ اﻻرﺗﻔﺎع اﻟﺬي ﺳﻘﻂ ﻣﻨﮫ اﻟﺠﺴﯿﻢ اﻟﺤﻞ ﻉ٠=.
ﺑﻌﺪ اﻟﻐﻮص ﻓﻰ اﻷرض اﻟﺮﺧﻮة ﻧﻮﺟﺪ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ دﺧﻞ ﺑﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ اﻷرض اﻟﺮﺧﻮة ٢
ﻉ=.؟ ١٤ ف= ١٠٠
ف=؟
٢
٢ﺟـ ﻑ Aﻉ =ﻉ +.ﺟـ = ٠.١٤م
ج = ٦٣-م/ث
٢
ﻉ =٠
٢
= ٠ Bﻉ ٦٣- ٢+.
ﻉ = ﻉ ٤.٢=.م/ث
٠.١٤
٢
= ٠ Bﻉ ١٧.٦٤- .
٢
Bﻉ G١٧.٦٤ = .ﻉ= .
ﻉ= ٠
؟ ٤.٢= ١٧.٦٤م/ث وھﻰ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﺳﻘﻂ ﺑﮭﺎ اﻟﺤﺠﺮ
ﺑﻔﺮض أن اﻟﺤﺠﺮ ﺳﻘﻂ ﻣﻦ إرﺗﻔﺎع )ف( ﻉ٠=. ف=؟ ٢ ء = ٩.٨م/ث ﻉ =٤.٢م/ث
٢
٢
Aﻉ =ﻉ ٢ +.ء ف ٢
٩.٨ ٢ + ٠ = (٤.٢) Bف ٢
١٩.٦ = ١٧.٦٤ف ١٧.٦٤ = ٠.٩ﻣﺘﺮ Gف= ١٩.٦
ف = ٩٠ =١٠٠ ٠.٩ﺳﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
Bاﻟﺠﺴﻢ ﺳﻘﻂ ﻣﻦ إرﺗﻔﺎع ٩٠ﺳﻢ
- ١٥٧ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٣
وزارة ٠
ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮج ارﺗﻔﺎﻋﮫ ١١٢م ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ً ﻷﺳﻔﻞ ﺑﺴﺮﻋﺔ
٨.٤م/ث أﺣﺴﺐ- : ) (١اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﻘﻄﻌﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ. ) (٢زﻣﻦ وﺻﻮل اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ اﻷرض . ) (٣اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﺼﻞ ﺑﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻲ اﻷرض . ﻉ ٨.٤ = .م/ث ،ﻑ = ١١٢م
اﻟﺤﻞ ٣
اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ )ﺗﺑدأ ﻣن ٢وﺗﻧﺗﻬﻰ ﺑ ـ (٣
٢.٥
٢
إﻳﺠﺎد اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻘﻄﻌﮫﺎ اﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﻪ اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ = ﺳرﻋﺔ اﻟﺟﺳم ﻌد ٢.٥ث ﻣن ﺑدء اﻟﺣر ﺔ ﻉم = ﻉ + .ء ن = ٩.٨ + ٨.٤
٣٢.٩ = ٢.٥م/ث
اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ = اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ
ﻉ ٨.٤ = .م/ث
اﻟزﻣن
اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ﻑ = ﻉم ن = ٣٢.٩
ﺣﻞ اﺧﺮ Bﻑ+٣ ٨.٤ = ٣ ﻑ+٢ ٨.٤ = ٢
١ ٢
١ ٢
٣٢.٩=١ﻣﺗر ١
Aﻑ = ﻉ.ن +ء ن ٩.٨ ٩.٨
٢
١١٢م
٢
٢
٦٩.٣ = ٣ﻣﺗر ٣٦.٤ = ٢ﻣﺗر ٢
Bاﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ = ﻑ - ٣ﻑ٣٢.٩ =٣٦.٤ -٦٩.٣ = ٢ﻣﺗر
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٥٨ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
إﻳﺠﺎد زﻣﻦ وﺻﻮل اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ اﻷرض ١
٢
ﻑ = ﻉ.ن +ء ن ٨.٤ = ١١٢ Gن + ٢
١
٩.٨
٢
ن
٢
٨.٤ = ١١٢ن ٤.٩ +ن ٤.٩ Gن ٨.٤ +٢ن – ٠=١١٢ﺎﻟﺿرب ٢
ﺎﻟﻘﺳﻣﺔ ÷ ٧
٤٩ن ٨٤ +ن –٠=١١٢٠ ٢
٧ن ١٢ +ن – ) G ٠ = ١٦٠ن – ٧) (٤ن ٠ = (٤٠ + ٢
ن – G ٠ = ٤ن = ٤ﺛواﻧﻲ وﻫﻰ زﻣن وﺻول اﻟﺟﺳم إﻟﻲ اﻷرض ٧ن G ٠ =٤٠ +ن =
٤٠ ٧
ﻣرﻓوض
إﻳﺠﺎد اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺼﻞ ﺑﮫﺎ اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻲ اﻷرض ٢
٢
Aﻉ =ﻉ ٢ +.ء ﻑ B
٢
ﻉ =)٢ + ٢(٨.٤
٩.٨
٢٢٦٥.٧٦ = ١١٢
Bﻉ = ؟ ٤٧.٦ = ٢٢٦٥.٧٦م /ث ﺣﻞ أﺧﺮ Aﻉ = ﻉ + .ء ن Bﻉ =٩,٨ + ٨.٤
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٤٧.٦= ٤م /ث
- ١٥٩ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
١٠
ﻣﺜﺎل٤
وزارة ٠
ﻗذف ﺟﺳم رأﺳ ﺎً إﻟﻰ أﻋﻠﻲ ﺳرﻋﺔ ١٩.٦م /ث ﻣن ﻧﻘطﺔ
ﻋﻧد ﺳطﺢ اﻷرض ﻣﺗﻰ ون اﻟﺟﺳم ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ١٤.٧م ﻓوق ﺳطﺢ اﻷرض وﻣﺎ ﻫﻲ ﺳرﻋﺗﻪ ﻋﻧدﺋذ ﻓﺳر ﻣﻌﻧﻰ اﻟﺟواﺑﯾن. ء = ٩.٨م/ث
ﻑ = ١٤.٧م
٢
اﻟﺤﻞ
ﻉ ١٩.٦= .م /ث ١
Aﻑ = ﻉ.ن -ء نB ٢ ٢
١٩.٦ = ١٤.٧ Gن – ٤.٩ن ٤٩ن
٢
– ١٩٦ن ٠ = ١٤٧ +
١٩.٦ = ١٤.٧ن - ٢
ﺎﻟﺿرب
١ ٢
٩.٨
ن
٢
١٠ﻣﻊ اﻟﺗرﺗﯾب
ﺎﻟﻘﺳﻣﺔ ÷ ٤٩
٢
ن – ٤ن ) G ٠ = ٣ +ن – ) (١ن – ٠ = (٣ Bن = ١أو ن = ٣ ﻋﻧدﻣﺎ ن = ١
ﻋﻨﺪﻣﺎ ن = ٣
ﻉ = ﻉ - .ء ن
ﻉ = ﻉ - .ء ن
ﻉ =٩.٨=١ ٩.٨-١٩.٦م /ث
ﻉ = ٩.٨-=٣ ٩.٨-١٩.٦م /ث
أ أن اﻟﺟﺳم ون ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ١٤.٧م ﻌد ١ﺛﺎﻧ ﺔ ﻣن اﻟﻘذف ﺳرﻋﺔ٩.٨م /ث
وﻫو ﺻﺎﻋد.
]ﻣﻊ إﺗﺠﺎه اﻟﺤﺮﻛﺔ[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
أ أن اﻟﺟﺳم ون ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع١٤.٧م
ﻌد ٣ﺛواﻧﻲ ﻣن اﻟﻘذف ﺳرﻋﺔ ٩.٨م /ث
وﻫو ﻫﺎ .
- ١٦٠ -
]ﻋﻜﺲ إﺗﺠﺎه اﻟﺤﺮﻛﺔ[
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٥
ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ً إﻟﻰ أﻋﻠﻲ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﻓﺈذا ﻛﺎن
وزارة ٠
أﻗﺼﻲ ارﺗﻔﺎع ﯾﺼﻞ إﻟﯿﮫ اﻟﺠﺴﻢ ھﻮ ٤٤.١ﻣﺘﺮ أوﺟﺪ : ) (١اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﺬف ﺑﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ . ) (٢اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬي ﯾﻤﻀﻰ ﻣﻨﺬ ﻟﺤﻈﺔ ﻗﺬﻓﮫ ﺣﺘﻰ ﯾﻌﻮد إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض . اﻟﺤﻞ Aﻣﺳﺎﻓﺔ أﻗﺻﻰ ارﺗﻔﺎع ﻑ = = ٤٤.١
ع .٢ ٢
ﻉ .٢ ٢ء ٢
Gﻉ ٤٤.١ = .
٩.٨
Bاﻟﺳرﻋﺔ اﻟﺗﻰ ﻗذف ﺑﻬﺎ اﻟﺟﺳم ﻉ= . زﻣن أﻗﺻﻲ ارﺗﻔﺎع ن =
ﻉ. ء
=
٢
٨٦٤.٣٦= ٩.٨
؟ ٢٩.٤= ٨٦٤.٣٦م /ث
٢٩.٤ ٩.٨
=
٣ث
Bاﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﺴﺘﻐﺮﻗﮫ ﺣﺘﻰ ﯾﻌﻮد إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض = ٦=٣+٣ﺛﻮاﻧﻲ . ﻣﺜﺎل٦
وزارة ٠
ﻗذف ﺟﺳم ﻣن أﻋﻠﻲ ﺗﻞ ارﺗﻔﺎﻋﻪ ٩.٨م رأﺳ ﺎً
ﻷﻋﻠﻲ ﺳرﻋﺔ ٤.٩م/ث أوﺟد :
) (١ﺳرﻋﺔ اﻟﺟﺳم ﻋﻧد ﻟﺣظﺔ وﺻوﻟﻪ إﻟﻰ أﺳﻔﻞ اﻟﺗﻞ . ) (٢اﻟزﻣن اﻟذ اﺳﺗﻐرﻗﻪ ﻟﻠوﺻول إﻟﻰ أﺳﻔﻞ اﻟﺗﻞ .
Aاﻟﺟﺳم ﻣﻘذوف ﻷﻋﻠﻲ
اﻟﺤﻞ
Bﻑ = ٩.٨ -م
ﻉ=؟
ﻉ ٤.٩ = .م/ث ٩.٨م
ﻉ ٤.٩ = .م /ث
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٦١ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
أوﻻ-:اﻳﺠﺎد ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺠﺴﻢ ﻟﺤﻈﺔ وﺻﻮﻟﻪ اﻟﻰ أﺳﻔﻞ اﻟﺘﻞ ٢
٢
٢
٢
ﻉ = )٢١٦.٠٩ = ٩.٨-×٩.٨×٢ – (٤.٩
ﻉ =ﻉ ٢ - .ء ﻑ G
Gﻉ = ؟١٤.٧ = ٢١٦.٠٩م /ث وﻫﻰ ﺳرﻋﺗﻪ ﻋﻧد وﺻوﻟﻪ اﻟﻰ أﺳﻔﻞ اﻟﺗﻞ . ﺛﺎﻧﯿﺎ ً -:اﻳﺠﺎد اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﻳﺴﺘﻐﺮﻗﻪ ﻟﻠﻮﺻﻮل اﻟﻰ أﺳﻔﻞ اﻟﺘﻞ ١
٤.٩ = ٩.٨ -ن -
٢
ﻑ = ﻉ.ن -ء ن G ٢
٤.٩ = ٩.٨ن – ٤.٩ن٢
١ ٢
٩.٨
ن
٢
ﺎﻟﻘﺳﻣﺔ ﻋﻠﻰ ٤.٩
٢ ٢
= ٢ن – ن Gن – ن – ٠ = ٢)ن ) (١ +ن – ٠ = (٢ ن G٠ = ١ +ن = ١-ﻣرﻓوض
ن – G٠ = ٢ن = ٢ث وﻫو اﻟزﻣن اﻟذ اﺳﺗﻐرﻗﻪ ﻟﻠوﺻول اﻟﻰ أﺳﻔﻞ اﻟﺗﻞ
** ﻣﺜﺎل٧
وزارة ٠
ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ً ﻷﻋﻠﻲ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٤م/ث ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ
ارﺗﻔﺎع ٣٥٠م ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض .أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﺄﺧﺬه اﻟﺠﺴﻢ
ﺣﺘﻰ ﯾﺼﻞ ﺳﻄﺢ اﻷرض وﻛﺬﻟﻚ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﻄﻌﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ . Aاﻟﺟﺳم ﻣﻘذوف ﻷﻋﻠﻲ
اﻟﺤﻞ
ﻑ = ٣٥٠-م ،ﻉ١٤ =.م/ث ١
ﻑ = ﻉ.ن -ء ن ٢
١٠م
٢
١٤ = ٣٥٠- Gن -
١ ٢
٩.٨
١٤ = ٣٥٠ -ن – ٤.٩ن
ن
١٠م
٢
٢
٤.٩ن – ١٤ن – ٠ = ٣٥٠ﺎﻟﺿرب ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
١٠ - ١٦٢ -
٣٥٠م " اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
٢
ﺎﻟﻘﺳﻣﺔ ÷ ٧
٤٩ن – ١٤٠ن – ٠ = ٣٥٠٠ ٢
٧ن – ٢٠ن – ٧) G٠ = ٥٠٠ن ) (٥٠ +ن – ٠ = (١٠ ٧ن ٠ = ٥٠ + ٥٠ ن= ٧
ن – ٠ = ١٠ ن = ١٠ﺛﻮاﻧﻲ وھﻮ زﻣﻦ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﺳطﺢ اﻷرض.
ﻣﺮﻓﻮض
أﻗﺻﻰ ارﺗﻔﺎع ﺻﻞ إﻟ ﻪ اﻟﺟﺳم ﻑ =
ﻉ .٢ ٢ء
=
)٢(١٤ ٩.٨ ٢
=١٠ﻣﺗر
اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻛﻠ ﺔ اﻟﺗﻰ ﻘطﻌﻬﺎ اﻟﺟﺳم = ﻑ +١ﻑ + ٢إرﺗﻔﺎع اﻟﺑرج =٣٧٠ = ٣٥٠ + ١٠ + ١٠ﻣﺗر
ﻣﺜﺎل٨ وزارة ٠
ﻗﺬﻓﺖ ﻛﺮة ﺻﻐﯿﺮة رأﺳﯿﺎ ً إﻟﻰ أﻋﻠﻲ ﻣﻦ ﻧﺎﻓﺬة أﺣﺪ اﻟﻤﻨﺎزل
وﺷﻮھﺪت وھﻰ ھﺎﺑﻄﺔ أﻣﺎم اﻟﻨﺎﻓﺬة ﺑﻌﺪ ٤ﺛﻮاﻧﻲ ﻣﻦ ﻗﺬﻓﮭﺎ ﺛﻢ وﺻﻠﺖ إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺑﻌﺪ ٥ﺛﻮاﻧﻲ ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ اﻟﻘﺬف أوﺟﺪ -: -١ﺳﺮﻋﺔ ﻗﺬف اﻟﻜﺮة . -٢أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع وﺻﻠﺖ اﻟﯿﮫ اﻟﻜﺮة ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف . -٣إرﺗﻔﺎع اﻟﻨﺎﻓﺬة ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺑﺎﻷﻣﺘﺎر. -١إﻳﺠﺎد اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﺬﻓﺖ ﺑﮫﺎ اﻟﻜﺮة
اﻟﺤﻞ
٤
زﻣﻦ اﻟﺼﻌﻮد = زﻣﻦ اﻟﮭﺒﻮط = = ٢ﺛﺎﻧﯿﺔ ٢
زﻣن أﻗﺻﻰ ارﺗﻔﺎع ن = ﻉ٢ = .
ﻉ. ء
=٢ G
ﻉ. ٢ث
٩.٨
٢ث
١٩.٦ = ٩.٨م /ث ١ث
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٦٣ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
-٢إﻳﺠﺎد أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع ﺗﺼﻞ اﻟﯿﻪ اﻟﻜﺮة ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف-: ﻑ=
ﻉ .٢ ٢ء
=
)٢(١٩.٦ ٩.٨ ٢
=١٩.٦ﻣﺘﺮ
-٣إﻳﺠﺎد إرﺗﻔﺎع اﻟﻨﺎﻓﺬة ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض -: ١
ف = ﻉ.ن -ء ن ٢
-٥
= ١٩.٦
١
٢
٩.٨
٢
)٢٤.٥-= (٥ ٢
]اﻹﺷﺎرة ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻷن اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻷﻋﻠﻲ[
Bإرﺗﻔﺎع اﻟﻧﺎﻓذة = ٢٤.٥ﻣﺗر ﯾﻤﻜﻦ أﺧﺬ ﺣﺮﻛﺔ اﻟﻜﺮة وھﻰ ھﺎﺑﻄﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺼﻞ اﻟﻰ اﻟﻨﺎﻓﺬة
ﺣﻞ اﺧﺮ
وھﻰ ﺗﺄﺧﺬ زﻣﻦ ﻗﺪره ١ﺛﺎﻧﯿﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ إﻟﻰ اﻷرض ١
Bارﺗﻔﺎع اﻟﻧﺎﻓذة ف = ﻉ.ن +ء ن
٢
٢
= +١ ١٩.٦ ﻣﺜﺎل٩
١ ٢ وزارة ٠
٢
٢٤.٥ = (١) ٩.٨ﻣﺘﺮ] اﻹﺷﺎرة ﻣﻮﺟﺒﺔﻷن اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻷﺳﻔﻞ[ ﺳﻘﻄﺖ ﻛﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﻄﺎط ﻣﻦ ارﺗﻔﺎع ١٠ﻣﺘﺮ ﻓﺎﺻﻄﺪﻣﺖ
وارﺗﺪت رأﺳﯿﺎ ً إﻟﻰ أﻋﻠﻲ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢.٥ﻣﺘﺮ أﺣﺴﺐ ﺳﺮﻋﺔ ﺑﺎﻷرض اﻟﻜﺮة ﻗﺒﻞ وﺑﻌﺪ إﺻﻄﺪاﻣﮭﺎ ﺑﺎﻷرض ﻣﺒﺎﺷﺮة . اﻟﺤﻞ
ﻧﻮﺟﺪ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻜﺮة ﻗﺒﻞ اﻻﺻﻄﺪام ﺑﺎﻷرض ٢
٢
ﻉ =ﻉ ٢ +.ء ﻑ
ﻉ٠ = .
= ٢+٠
ﻑ = ١٠م ٢
ء = ٩.٨م/ث
٩.٨
١٩٦ =١٠
Bﻉ = ؟ ١٤ = ١٩٦م/ث
ﻉ=؟ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٦٤ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﺑﻌﺪ اﻻﺻﻄﺪام ﺑﺎﻷرض ﻉ = .؟
٢
ﻑ = ٢.٥م
٢
ﻉ =ﻉ ٢ - .ء ﻑ ٢
ء = ٩.٨م/ث ﻉ =٠
ﻉ٠=.
٢
= ٠ﻉ٢ – .
٩.٨
ﻉ=٠
٢.٥
٢
ﻉ ٤٩ = . Gﻉ =.؟ ٧ = ٤٩م /ث
ﻉ=؟
ﻉ = .؟
∴ اﻟﺳرﻋﺔ ﻌد اﻻﺻطدام ﺎﻷرض ﻣ ﺎﺷرة = ٧م /ث ﺣﻞ أﺧﺮ Aاﻟﻜﺮة ﺗﺮﺗﺪ ﻷﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع وھﻮ ٢.٥ﻣﺘﺮ ﻉ .٢
Aﻣﺳﺎﻓﺔ أﻗﺻﻰ ارﺗﻔﺎع ﻑ =
= ٢.٥ B
ﻉ .٢ ٢
٩.٨
٢ء
٢
Gﻉ ٢.٥ = .
Bاﻟﺳرﻋﺔ اﻟﺗﻰ ﻗذف ﺑﻬﺎ اﻟﺟﺳم ﻉ= .
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٢
٤٩= ٩.٨
؟ ٧= ٤٩م /ث
- ١٦٥ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل١٠
وزارة ٠
ﻗﺬﻓﺖ ﻛﺮة ﻣﻦ أﻋﻠﻰ ﺗﻞ ارﺗﻔﺎﻋﮫ ١٤٠م رأﺳﯿﺎ إﻟﻰ أﻋﻠﻰ
،ﻓﻮﺟﺪ أﻧﮭﺎ ﻗﻄﻌﺖ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٠.٥أﻣﺘﺎرأوﺟﺪ -: -١اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﺬﻓﺖ ﺑﮭﺎ اﻟﻜﺮة. -٢أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع وﺻﻠﺖ إﻟﯿﮫ اﻟﻜﺮةﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض . -٣اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى اﺳﺘﻐﺮﻗﺘﮫ اﻟﻜﺮة ﻓﻰ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض. ﺣﻞ أﺧﺮ
-١إﻳﺠﺎد اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﺬﻓﺖ ﺑﮫﺎ اﻟﻜﺮة
Aاﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ = اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ف=
ﻉم
= ١٠.٥
اﻟﺰﻣﻦ
ن ) ﺣﯿﺚ اﻟﺰﻣﻦ ھﻮ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ " ﺛﺎﻧﯿﺔ واﺣﺪة ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﺎ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ"( ﻉم
١
Gﻉم = ١٠.٥م /ث
اﻟﺳرﻋﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧ ﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ = ﺳرﻋﺔ اﻟﺟﺳم ﻌد ٢.٥ث ﻣن ﺑدء اﻟﺣر ﺔ ﻉم = ﻉ - .ء ن = ١٠.٥ Gﻉ٩.٨ - .
٢.٥
= ١٠.٥ﻉ G ٢٤.٥ - .ﻉ ٣٥ = ٢٤.٥ +١٠.٥ = .م /ث Bاﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﺬﻓﺖ ﺑﮭﺎ اﻟﻜﺮة = ٣٥م /ث ١٤٠م
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٦٦ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
-٢إﻳﺠﺎد أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع ﻟﻠﻜﺮة ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع ﺗﺼﻞ اﻟﯿﮫ اﻟﻜﺮة ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف-: ﻑ=
ﻉ .٢ ٢ء
=
)٢(٣٥ ٩.٨ ٢
=٦٢.٥ﻣﺘﺮ
أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع ﺗﺼﻞ اﻟﯿﮫ اﻟﻜﺮة ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض = ٢٠٢.٥ =٦٢.٥ +١٤٠ﻣﺘﺮ -٣إﻳﺠﺎد اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى إﺳﺘﻐﺮﻗﺘﻪ اﻟﻜﺮة ﻟﻠﻮﺻﻮل اﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض Aاﻟﺟﺳم ﻣﻘذوف ﻷﻋﻠﻲ ﻑ = ١٤٠-م ،ﻉ٣٥ =.م/ث ١
ﻑ = ﻉ.ن -ء ن ٢
٢
٣٥ = ١٤٠- Gن -
١ ٢
٩.٨
٣٥ = ١٤٠ -ن – ٤.٩ن
ن
٢
٦٢.٥م
٢
٤.٩ن – ٣٥ن – ٠ = ١٤٠ﺎﻟﺿرب ٢
١٠
٤٩ن – ٣٥٠ن – ٠ = ١٤٠٠ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٧
ﻉ٣٥=.م/ث
٢
٧ن – ٥٠ن – ٠ = ٢٠٠ ٢
١٤٠م
)٧ن ) (٢٠ +ن – ٠ = (١٠
٢٠ ٧ن G٠ = ٢٠ +ن = - ٧
ﻣرﻓوض
أو ن – G٠ = ١٠ن = ١٠ث وھﻮ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى اﺳﺘﻐﺮﻗﺘﮫ اﻟﻜﺮة ﻟﻠﻮﺻﻮل اﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٦٧ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل١١
وزارة ٠
ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮج ارﺗﻔﺎﻋﮫ ٨٠.٥ﻣﺘﺮً ا ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ
٨.٤م/ث أوﺟﺪ: -١أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ﯾﺼﻞ إﻟﯿﮫ اﻟﺠﺴﻢ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف. -٢زﻣﻦ وﺻﻮل اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف. -٣اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﺴﺘﻐﺮﻗﮫ اﻟﺠﺴﻢ وھﻮ ھﺎﺑﻂ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﺒﺢ ﺳﺮﻋﺘﮫ ١١.٢م/ث. اﻟﺤﻞ -١إﻳﺠﺎد أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع ﻟﻠﺠﺴﻢ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف
ﻣﺴﺎﻓﺔ أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع ف =
ﻉ .٢ ٢ء
=
)٢(٨.٤ ٩.٨ ٢
=٣.٦ﻣﺘﺮ
-٢إﻳﺠﺎد زﻣﻦ وﺻﻮل اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف ﻉ٨.٤=.م/ث
ﻉ. ٦ ٨.٤ = ث = زﻣﻦ أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ن = ٧ ٩.٨ ء
زﻣﻦ وﺻﻮل اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف = ٢
٨٠.٥م
١٢ ٦ = ٧ ٧
ﺛﺎﻧﯿﺔ
-٣اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﻳﺴﺘﻐﺮﻗﻪ اﻟﺠﺴﻢ وھﻮ ھﺎﺑﻂ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﺒﺢ ﺳﺮﻋﺘﻪ ١١.٢م/ث.
ﻉ٨.٤ =.م/ث ﻉ=١١.٢ -م/ث ن=؟
A
ﻉ = ﻉ - .ء ن
٩.٨ – ٨.٤ = ١١.٢ -ن ٩.٨ – = ٨.٤ -١١.٢ - Gن
٩.٨ – = ١٩.٦ -ن Gن = ٢ث
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٦٨ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل١٢
وزارة ٠
ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻦ ارﺗﻔﺎع ف ﻋﻨﺪ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﻓﻘﻄﻊ
ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻷﺧﯿﺮة ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ ٣٤.٣ﻣﺘﺮً ا أوﺟﺪ: -١ﺳﺮﻋﺔ وﺻﻮل اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض . -٢اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺬي ﺳﻘﻂ ﻣﻨﮫ اﻟﺠﺴﻢ. اﻟﺤﻞ ﻧﻔﺮض أن اﻟﺠﺴﻢ ﯾﺼﻞ اﻷرض ﺑﻌﺪ ن ﺛﺎﻧﯿﺔ ٣٤.٣ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺠﺴﻢ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻷﺧﯿﺮة ﻉم = ١
= ٣٤.٣م/ث
اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺠﺴﻢ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻷﺧﯿﺮة = اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻷﺧﯿﺮة ١ ٢
١ ٢
ﻉم = ﻉ) + ٠ن – ( ء ) + ٠ = ٣٤.٣ Gن – ( ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٩.٨
١ ٣٤.٣ =ن– G ٢ ٩.٨
٧ ١ ن– = ٢ ٢
١ ٢
٧ ٢
٩.٨
ﻉ٠ =.
Gن = ٤ = +ث
Bاﻟﺠﺴﻢ ﯾﺼﻞ اﻷرض ﺑﻌﺪ ٤ﺛﻮاﻧﻰ -١إﻳﺠﺎد ﺳﺮﻋﺔ وﺻﻮل اﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ اﻷرض ﻉ = ﻉ + .ء ن Gﻉ = ٩.٨ + ٠
٣٩.٢ = ٤م/ث
-٢إﻳﺠﺎد اﻹرﺗﻔﺎع اﻟﺬى ﺳﻘﻂ ﻣﻨﻪ اﻟﺠﺴﻢ ١
٢
ﻑ = ﻉ.ن +ء ن = ٠ ٢
+ ٤
١ ٢
٩.٨
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٢
٧٨.٤ = ٤م
- ١٦٩ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(١٢ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: -١ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮج رأﺳﻲ ﻓﻮﺻﻞ إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺑﻌﺪ ٥ﺛﻮان ﻓﺈن: ا -ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻨﺪ وﺻﻮﻟﮫ إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض = .........م/ث. ب -ارﺗﻔﺎع اﻟﺒﺮج = .........ﻣﺘﺮ. -٢ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﻓﻌﺎد إﻟﯿﮭﺎ ﺑﻌﺪ ٤ﺛﻮان ﻓﺈن: ا -ﺳﺮﻋﺔ ﻗﺬف اﻟﺠﺴﻢ = .........م/ث. ب -أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع وﺻﻞ إﻟﯿﮫ اﻟﺠﺴﻢ = .........ﻣﺘﺮ. -٣ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮج ارﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٠ﻣﺘﺮ ﻗﺬف ﺟﺴﻢ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٧م/ث ﻓﺈن : ا -ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض = .........م/ث. ب -زﻣﻦ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض = .........ﺛﺎﻧﯿﺔ. ٢أﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻤﺎ ﻳﻠﻰ -: -١إذا ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮج ﻓﻮﺻﻞ ﻟﺴﻄﺢ اﻷرض ﺑﻌﺪ ٤ﺛﻮن ﻓﺈن ارﺗﻔﺎع ﻗﻤﺔ اﻟﺒﺮج ﯾﺴﺎوى ........ﻣﺘﺮ .ا ٨٩
ج ٤٣.٢
ب ٣٩.٢
ء ٧٨.٤
-٢ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿ ًﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٩٨م/ث ﻓﺈن زﻣﻦ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع= .....ث ا
١٥
ج
ب ١٠
ء ٢٠
٣
-٣ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻦ ارﺗﻔﺎع١٩.٦ﻣﺘﺮ ﻋﻠﻰ أرض رﻣﻠﯿﺔ ﻓﻐﺎص ﻓﯿﮭﺎ ١٤ﺳﻢ ﺣﺘﻰ ﺳﻜﻦ ﻓﺈن ﻋﺠﻠﺔ ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺠﺴﻢ داﺧﻞ اﻟﺮﻣﻞ = ............م/ث ا ١٣٧٢-
٢
ب ٩.٨-
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
ج
- ١٧٠ -
١٩.٦
ء
١٣٧٢
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
٣اﻷزھﺮ ٢٠١٣/٢٠١٢
وزارة ٠
ﺳﻘ ﺟﺳم رأﺳ ﺎً ﻷﺳﻔﻞ اوﺟد ﺳرﻋﺗﻪ ﻌد
٤ﺛواﻧﻲ واﻟزﻣن اﻟذ ﺳﺗﻐرﻗﻪ ﻓﻰ ﻗطﻊ ﻣﺳﺎﻓﺔ ٦٨.٦م . =============================================== ٤وزارة اﻷزھﺮ ٢٠١٥/٢٠١٤ﻗﺬف ﺣﺠﺮ ﺻﻐﯿﺮ ﻓﻰ ﺑﺌﺮ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٤م /ث ]ﻉ = ٣٩.٢م/ث ،ن = ؟ ١٤ث[
٠
ﻓﻮﺻﻞ إﻟﻲ ﻗﺎﻋﮫ ﺑﻌﺪ ٢ﺛﺎﻧﯿﺔ أوﺟﺪ ﻋﻤﻖ اﻟﺒﺌﺮ وﺳﺮﻋﺔ اﻟﺤﺠﺮ ﻋﻨﺪ اﺻﻄﺪاﻣﮫ ﺑﻘﺎع اﻟﺒﺌﺮ. ] ف = ٢٧.٦م ،ﻉ = ٢٣.٦م/ث [
============================================== وزارة إدارة اﺑﻮﺗﺸﺖ ٢٠١٥ /٢٠١٤ﺗﺮم ﺛﺎﻧﻰ ﺳﻘﻂ ﺣﺠﺮ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن ٥ ٠ ﻓﻮق ﻛﻮﻣﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﻣﻞ ﻣﻦ ارﺗﻔﺎع ٩٠ﻣﺘﺮ ﻓﻐﺎص ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٤ﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ٢ ]ﺟـ = ٦٣٠٠ -م/ث [
ﺗﺤﺮك ﺑﮭﺎ داﺧﻞ اﻟﺮﻣﻞ.
=============================================== ٦
وزارة ٠
ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻦ ارﺗﻔﺎع ٢٢.٥م ﻋﻠﻰ أرض رﻣﻠﯿﺔ ﻓﻐﺎص ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢٥ﺳﻢ -:
-١إﺣﺴﺐ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻨﺪ ﺳﻄﺢ اﻷرض
] ٢١م/ث[
-٢اﺣﺴﺐ اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺘﺤﺮك ﺑﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ داﺧﻞ اﻷرض
٢ ] ﺟـ = ٨٨٢ -م/ث [
=============================================== وزارة ٠
ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ﻣﻦ ارﺗﻔﺎع ٤٩٠م ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض أوﺟﺪ:
٧ -١زﻣﻦ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض.
]١٠ث [
-٢ﺳﺮﻋﺘﮫ ﺑﻌﺪ ٥ﺛﻮان ﻣﻦ ﺑﺪء اﻟﺤﺮﻛﺔ.
] ٤٩م/ث[
============================================== ٠ ٨وزارة ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮج ﻓﻘﻄﻊ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻷﺧﯿﺮة ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ ١٩.٦ﻣﺘﺮً ا إﺣﺴﺐ إرﺗﻔﺎع اﻟﺒﺮج
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] ٣٠.٦٢٥ﻣﺘﺮ[
- ١٧١ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
٩
وزارة ٠
إدارة اﺑﻮﺗﺸﺖ ٢٠١٦ /٢٠١٥ﺗﺮم ﺛﺎن ﺳﻘﻄﺖ ﻛﺮة ﻣﻦ إرﺗﻔﺎع
٩٠ﻣﺘﺮ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض وﻋﻨﺪ وﺻﻮﻟﮭﺎ ﻟﻸرض ارﺗﺪت ﺛﺎﻧﯿﺔ إﻟﻰ أﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﺗﺴﺎوى ﻧﺼﻒ ﺳﺮﻋﺔ وﺻﻮﻟﮭﺎ إﻟﻰ اﻷرض .أوﺟﺪ أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ﺗﺼﻞ إﻟﯿﮫ اﻟﻜﺮة.
] ٢٢.٥ﻣﺘﺮ [
================================================== ١٠إدارة اﺑﻮﺗﺸﺖ ٢٠١٥ /٢٠١٤ﺗﺮم أول ﺳﻘﻄﺖ ﻛﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﻄﺎط ﻣﻦ ارﺗﻔﺎع ٢٠ﻣﺘﺮ ﻓﺎﺻﻄﺪﻣﺖ ﺑﺎﻷرض وارﺗﺪت رأﺳﯿﺎ ً إﻟﻰ أﻋﻠﻲ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٥ﻣﺘﺮ أﺣﺴﺐ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻜﺮة ﻗﺒﻞ وﺑﻌﺪ إﺻﻄﺪاﻣﮭﺎ ﺑﺎﻷرض ﻣﺒﺎﺷﺮة . ] ﻗﺒﻞ اﻻﺻﻄﺪام ع = ١٤؟ ٢م /ث ،ﺑﻌﺪ اﻹﺻﻄﺪام ع ٧ =٠
؟ ٢م /ث [
=============================================== ١١وزارة ﻗذف ﺟﺳم رأﺳ ﺎً ﻷﻋﻠﻲ ﺳرﻋﺔ ١٩.٦م /ث أوﺟد زﻣن وﺻوﻟﻪ إﻟﻲ أﻗﺻﻰ ٠
ارﺗﻔﺎع واﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﺗﻰ وﺻﻞ إﻟﯾﻬﺎ . =============================================== ١٢ث.ﺑﻨﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣وزارة ﻗذف ﺟﺳم رأﺳ ﺎً ﻷﻋﻠﻲ ﺳرﻋﺔ ٢٤.٥م /ث
]ن = ٢ﺛﺎﻧ ﺔ ،ﻑ = ١٩.٦م [
٠
ﻓ ﻌد م ﺛﺎﻧ ﺔ ﻌود إﻟﻲ ﻧﻘطﺔ اﻟﻘذف . =============================================== ١٣ث.ﺑﻨــﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣ﻗــذف ﺟﺳـم أرﺳـ ﺎً ﻷﻋﻠــﻲ ﺳــرﻋﺔ ٢٨م /ث أوﺟــد زﻣــن ] ٥ﺛواﻧﻲ [
٢٠
وﺻوﻟﻪ اﻟﻰ أﻗﺻﻰ ارﺗﻔﺎع واﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﺗﻰ وﺻﻞ اﻟﯾﻬﺎ. ============================================== ١٤وزارة ﻗﺬف ﺟﺴﯿﻢ رأﺳﯿ ًﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٦٠م/ث ،أوﺟﺪ أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع ﯾﺼﻞ إﻟﯿﮫ ٠ ]ن =
اﻟﺠﺴﻢ واﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﻤﻀﻰ ﺣﺘﻰ ﯾﻌﻮد إﻟﻰ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف.
]ﻑ =
٩٠٠٠ ٤٩
٧
ﺛﺎﻧ ﺔ ،ﻑ = ٤٠م [
م،ن=
٦٠٠ ٤٩
ﺛﺎﻧ ﺔ [
============================================== ١٥اﻻدارة ٢٠١٣/٢٠١٢ﻗـذف ﺟﺳـم أرﺳـ ﺎً ﻷﻋﻠـﻲ ﻣ ﻦ ﻧﻘﻄ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ارﺗﻔ ﺎع ٩.٨ﻣﺘ ﺮ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺑﺴﺮﻋﺔ ٤.٩ﻣﺘﺮ /ث أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟ ﺬى ﯾﺴ ﺘﻐﺮﻗﮫ ﻟﻠﻮﺻ ﻮل اﻟ ﻰ ﺳ ﻄﺢ ]ن = ٢ﺛﺎﻧ ﺔ[
اﻷرض . أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٧٢ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
وزارة ٠
ﻗﺬﻓﺖ ﻛﺮة ﺻﻐﯿﺮة رأﺳﯿﺎ ً ﻷﻋﻠﻲ ﻣﻦ ﻧﺎﻓﺬة أﺣﺪ اﻟﻤﻨﺎزل وﺷﻮھﺪت اﻟﻜﺮة
١٦ وھﻰ ھﺎﺑﻄﺔ أﻣﺎم اﻟﻨﺎﻓﺬة ﺑﻌﺪ ٣ﺛﻮان ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ ﻗﺬﻓﮭﺎ ﺛﻢ وﺻﻠﺖ إﻟﻲ اﻷرض ﺑﻌﺪ ٤ﺛﻮان ] ١٩.٦م [
ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ اﻟﻘﺬف أوﺟﺪ ارﺗﻔﺎع اﻟﻨﺎﻓﺬة ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض .
=============================================== ١٧ث .اﻟﺴﻠﯿﻤﺎت ٢٠١٤/٢٠١٣وزارة ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ٠ ﺳﻄﺢ اﻷرض اذا ﻛﺎن أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع ﯾﺼﻞ اﻟﯿﮫ اﻟﺠﺴﻢ ھﻮ١٩.٦ﻣﺘﺮ أوﺟﺪ -: ]ﻉ ١٩.٦ =.م/ث[
أوﻻ :اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﺬف ﺑﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ . ً
ﺛﺎﻧﯿﺎً :اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﻤﻀﻰ ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ اﻟﻘﺬف ﺣﺘﻰ ﯾﻌﻮد إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض .
]ن = ٤ﺛﺎﻧ ﺔ[
=============================================== وزارة ٠
ﻗﺬف ﺣﺠﺮ ﺻﻐﯿﺮ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٩.٦ﻣﺘﺮ /ث رأﺳﯿﺎ اﻟﻰ أﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮج
١٨ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٥٦.٨ﻣﺘﺮ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض .ﻣﺘﻰ ﯾﺼﻞ اﻟﺤﺠﺮ اﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض ؟ وﻣﺎ ھﻰ ﺳﺮﻋﺘﮫ ﻋﻨﺪﺋﺬ ؟
]ن = ٨ﺛﻮاﻧﻰ ،ع = ٥٨.٨م/ث[
=============================================== ١٩
وزارة ٠
ﻗﺬف ﺟﺴﯿﻢ ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮج رأﺳﯿﺎ إﻟﻰ أﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٢٤.٥م/ث ﻓﻮﺻﻞ
إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺑﻌﺪ ٨ﺛﻮاﻧﻲ أوﺟﺪ: ] ١١٧.٦ﻣﺗر[
-١ارﺗﻔﺎع اﻟﺒﺮج. -٢أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ﯾﺼﻞ إﻟﯿﮫ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض.
] ١٧٨.٨٥ﻣﺗر[
-٣اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﻘﻄﻌﮭﺎ اﻟﺠﺴﻢ ﺧﻼل ھﺬه اﻟﻤﺪة.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] ١٤٨.٢٢٥ﻣﺗر[
- ١٧٣ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم Universal gravitation law
Universal ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﻟﻨﯿﻮﺗﻦ
ﻛﻞ اﻷﺟﺴﺎم ﻓﻰ اﻟﻜﻮن ﺗﺘﺠﺎذب ﻣﻊ اﻷﺟﺴﺎم اﻷﺧﺮى ﺑﺘﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮة ﻣﺒﺎﺷﺮة ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ طﺮدﯾﺎ ﻣﻊ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ وﻋﻜﺴﯿﺎ ﻣﻊ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰﯾﮭﻤﺎ ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻟﺪﯾﻨﺎ ﻛﺘﻠﺘﯿﻦ ك ، ١ك ٢وﺗﻔﺼﻞ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ف ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ﻗﻮة اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ك ١ك٢ ق = ث ــــــــــــــــ ﺣﯿﺚ - : ٢ ف ك ، ١ك ٢ﻣﻘﺎﺳﺘﺎن ﺑﺎﻟﻜﯿﻠﻮ ﺟﺮام ،ف ﻣﻘﺎﺳﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺮ ،ث ھﻮ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم . ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم gravitational constant
ھﻮ ﻗﻮة اﻟﺠﺬب اﻟﻤﺘﺒﺎدﻟﺔ ﺑﯿﻦ ﻛﺘﻠﺘﯿﻦ ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ١ﻛﯿﻠﻮ ﺟﺮام واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰﯾﮭﻤﺎ ١ﻣﺘﺮ وﯾﺴﺎوى ﺗﻘﺮﯾﺒ ًﺎ ٦.٦٧
١٠
١١-
٢
٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ .ﻣﺘﺮ /ﻛﺠﻢ
*اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻟﺘﻰ ﺗﺘﻮﻗﻒ ﻋﻠﯿﮫﺎ ﻗﻮة اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻦ ﺟﺴﻤﯿﻦ-: -١ﻛﺘﻠﺘﻰ اﻟﺠﺴﻤﯿﻦ -٢ﻣﺮﺑﻊ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ * اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻨﺴﺒﻰ - :ﯾﻜﻮن اﻟﻌﺪد ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ إذا اﻟﻌﺪد ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ا
١٠
،اﻟﻌﺪد ٢.٥ = ٠.٠٠٠٢٥
ن
ﻣﺜﻼ اﻟﻌﺪد ٢.٣ = ٢٣٠٠٠٠
١٠
١٠
٥
٤-
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٧٤ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل١
وزارة ٠
إﺣﺴﺐ ﻗﻮة اﻟﺘﺠﺎذب اﻟﻤﺘﺒﺎدﻟﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺸﻤﺲ واﻷرض إذا ﻋﻠﻤﺖ
أن اﻷرض ﺗﺴﯿﺮ ﻓﻰ ﻣﺪار ﺷﺒﮫ داﺋﺮى ﺣﻮل اﻟﺸﻤﺲ وأن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ﺗﺴﺎوى ١٠ ٦
٢٤
ﻛﺠﻢ وﻛﺘﻠﺔ اﻟﺸﻤﺲ ﺗﺴﺎوى ٩
ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﺗﺴﺎوى ١.٥
١٠
١١
١٠
٢٩
ﻛﺠﻢ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ
ﻣﺘﺮ. اﻟﺤﻞ
٢٤
ك١٠ ٦ = ١ ك٩ = ٢
١٠
٢٩
ﻛﺠﻢ
ﻛﺠﻢ
١١
م
ف = ١.٥
١٠
ث= ٦.٦٧
٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ ١٠
ق=؟
ك ١ك٢
Aق=ث
Bق = ٦.٦٧
ــــــــــــــــ ٢ ف ١٠
Bق = ١.٦٠٠٨
٢٤
١٠ ٩ ١٠ ٦ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ١١ )( ١٠ ١.٥
١١-
١٠
٢٩
٢٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٧٥ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٢
وزارة ٠
أوﺟﺪ ﻗﻮة اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﺑﯿﻦ ﻛﻮﻛﺒﯿﻦ ﻛﺘﻠﺔ اﻷول ٢
وﻛﺘﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﻲ ٤
١٠
٢٥
١٠
٢١
طﻦ
٦
١٠ﻛﻢ.
طﻦ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٢ اﻟﺤﻞ
ك١٠ ٢ = ١ ك٤ = ٢ ف=٢ ث= ٦.٦٧
١٠
٢٤
٢٨
ﻛﺠﻢ
ﻧﺤﻮل ﻛﺘﻠﺔ اﻟﻜﻮﻛﺒﯿﻦ اﻟﻰ وﺣﺪة اﻟﻜﺠﻢ
ﻛﺠﻢ
٣
ك١٠ ٢ = ١
٩
١٠م
=٢
٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ ١٠
١٠
ك٤= ٢
١٠
ف=٢
١٠
٣
٦
٢٤
١٠ ﻛﺠﻢ
٢٥
=٤
ق=؟
٢١
٢ = ١٠
١٠
١٠
٢٨
Bق = ٦.٦٧
Bق = ١.٣٣٦
ــــــــــــــــ ٢ ف ١٠
٢٤
١٠
٢٨
١٠ ٤ ١٠ ٢ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ٩ )( ١٠ ٢
١١-
٢٤
ﻧﯿﻮﺗﻦ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٧٦ -
ﻛﺠﻢ ٩
١٠م
ك ١ك٢
Aق=ث
٣
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٣ وﺿﻌﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪﯾﺪ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ٥٠ﺳﻢ ﻣﻦ أﺧﺮى ﻣﻦ
وزارة ٠
اﻟﻨﯿﻜﻞ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ ٢٥ﻛﺠﻢ ﻓﻜﺎﻧﺖ ﻗﻮى اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٦
١٠
٨-
ﻓﻜﻢ
ﺗﻜﻮن ﻛﺘﻠﺔ اﻟﻜﺮة اﻟﺤﺪﯾﺪ؟ اﻟﺤﻞ ك = ١؟ ك ٢٥ = ٢ﻛﺠﻢ ٥٠ ف= ١٠٠
= ٠.٥ﻣﺘﺮ ٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ ١٠
ث= ٦.٦٧ ق=٦
١٠
٨-
ﻧﯿﻮﺗﻦ
Aق=ث
ك ١ك٢
ــــــــــــــــ ٢
ف ٦B
٦B
١٠
٨-
١٠
= ٦.٦٧
٨-
= ٦.٦٧
١٠
١١-
١٠
ك٢٥ ١ ـــــــــــــــــ ٢ )(٠.٥
٩-
ك١
٨-
١٠ ٦ Bك = ١ــــــــــــــــــــــــــ ≅ ٩ﻛﺠﻢ ٩١٠ ٦.٦٧
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٧٧ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٤
وزارة ٠
إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﻗﻮة اﻟﺠﺬب اﻟﻤﺘﺒﺎدﻟﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺸﻤﺲ واﻷرض
ھﻰ ١٠ ٣٥.٦٧ ھﻤﺎ ١٠ ٥.٩٧
٢١
٢٤
ﻧﯿﻮﺗﻦ وأن ﻛﺘﻠﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻷرض واﻟﺸﻤﺲ
ﻛﺠﻢ ١٠ ١٩ ،
٢٩
ﻛﺠﻢ وأوﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ
اﻷرض واﻟﺸﻤﺲ إذا ﻋﻠﻢ أن ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوي ١٠
٦.٦٧
١١-
٢
٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ .ﻣﺘﺮ /ﻛﺠﻢ
اﻟﺤﻞ ك١٠ ٥.٩٧ = ١ ك١٠ ١٩ = ٢
٢٩
٢٤
ﻛﺠﻢ
ﻛﺠﻢ
ف=؟ ث= ٦.٦٧
٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ ١٠
ق = ١٠ ٣٥.٦٧ ١٠ ٣٥.٦٧ B
٢١
٢١
Aق=ث
ﻧﯿﻮﺗﻦ
= ٦.٦٧
١٠
١١-
٢٤
ك ١ك٢ ــــــــــــــــ ٢ ف ٢٩
١٠ ١٩ ١٠ ٥.٩٧ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢
ف ٤٤
١٠ ٧.٥٦٥٧٨١ ٢١ = ـ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٠ ٣٥.٦٧ B ٢
ف ٤٤
١٠ ٧.٥٦٥٧٨١ ٢ ف = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٢.١٢١ ٢١ ١٠ ٣٥.٦٧ Bف = ١.٤٥٦
١٠
١١
ﻣﺘﺮ
=
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
١٠
٢٢
√ - ١٧٨ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﺷﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ
ھﻰ ﻗﻮة ﺟﺬب اﻷرض ﻟﺠﺴﻢ ﻛﺘﻠﺘﮫ ١ﻛﺠﻢ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎ . ﻣﻼﺣﻈﺔ) (١ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ أى ﻛﻮﻛﺐ-: ك
ء=ث ﻣﺜﺎل٥
ﻧﻖ٢
ﺣﯿﺚك ﻛﺘﻠﺔ اﻟﻜﻮﻛﺐ ﺑﺎﻟﻜﺠﻢ،ﻧﻖ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮه ﺑﺎﻟﻤﺘﺮ
إدارة ﻧﺠﻊ ﺣﻤﺎدى ٢٠١٦/٢٠١٥إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﻛﺘﻠﺔ
وزارة ٠
اﻷرض ١٠ ٦.٠٦
٢٤
٦
ﻛﺠﻢ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ١٠ ٦.٣٦ﻣﺘﺮ
ﻓﺄوﺟﺪ ﺷﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوي ٦.٦٧
ك= ١٠ ٦.٠٦ ﻧﻖ = ٦.٣٦ ث= ٦.٦٧
٢٤
١٠
١١-
٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ .ﻣﺘﺮ /ﻛﺠﻢ
اﻟﺤﻞ ﻛﺠﻢ
٦
١٠م ٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ ١٠
ء= ث
ء=؟
Bء = ٦.٦٧
٢
١٠
١١-
ك ﻧﻖ٢
٢٤
١٠ ٦.٠٦ ـــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ٦ )( ١٠ ٦.٣٦ ٢
Bء = ١٠ ≅ ٩.٩٩٢٧٣١٦٩٦م /ث
Bﺷﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ ≅ ١٠م/ث أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٢
- ١٧٩ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
وزارة ٠
ﻣﺜﺎل٦
إﺣﺴﺐ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻷرض ﺑﻔﺮض أن ﺟﺴﻤًﺎ ﻛﺘﻠﺘﮫ ١ﻛﺠﻢ
وﺿﻊ ﻓﻮق ﺳﻄﺤﮭﺎ ﻋﻠﻤًﺎ ﺑﺄن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ﺗﺴﺎوى ١٠ ٦ ١٠
و ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوى ٦.٦٧
١١-
٢٤
٢
ﻛﺠﻢ ٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ .ﻣﺘﺮ /ﻛﺠﻢ
اﻟﺤﻞ ك١= ١ﻛﺠﻢ ك١٠ ٦ = ٢
٢٤
ﻛﺠﻢ
ف = ﻧﻖ ث= ٦.٦٧
٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ ١٠
ء = ٩.٨م/ث B
Aء=ث
٢
٦.٦٧ = ٩.٨
١٠
ك ﻧﻖ٢
٢٤
١٠ ٦ ــــــــــــــــــــــــ ٢ ﻧﻖ
١١-
١٤
١٠ ٤.٠٠٢ = ٩.٨ Bـ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ﻧﻖ ١٤ ١٠ ٤.٠٠٢ ٢ ﻧﻖ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٤.٠٨ ٩.٨
١٠
١٣
=
√
Bﻧﻖ = ٦٣٨٧٤٨٧.٧٦٩ﻣﺘﺮ ≅ ٣٦٨٧ﻛﻢ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٨٠ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٧
٢
وزارة ٠
إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ ھﻰ ١٠م /ث وﻧﺼﻒ
ﻗﻄﺮ اﻷرض ﯾﺴﺎوى ٦.٣٦
٦
١٠م اﺣﺴﺐ ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض. اﻟﺤﻞ
ك= ؟ ٦
ﻧﻖ = ٦.٣٦
١٠م ٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ ١٠
ث= ٦.٦٧ ء = ١٠م/ث
Aء= ث ٦.٦٧ =١٠ B
٢
١.٦٥ = ١٠ B
١٠
٢٤-
Bﻛﺘﻠﺔ اﻷرض = ٦.٠٦
ﻧﻖ٢ ١١ك ـــــــــــــــــــــــــــــ ١٠ ٢ ٦ )( ١٠ ٦.٣٦
ك٢
١٠ ٦.٠٦ = ٢٤ ــــــــــــــــــــــــــــ ك= ١٠ ١.٦٥ ١٠
ك
٢٤
١٠
٢٤
ﻛﺠﻢ
ﻛﺠﻢ
اﻟﺤﯿﺎة ﻣﻠﯿﺌﺔ ﺑﺎﻷﺣﺠﺎر ﻓﻼ ﺗﺘﻌﺜﺮ ﻋﻠﯿﮫﺎ ﺑﻞ إﺟﻤﻌﮫﺎ وإﺑﻦ ﺑﮫﺎ ﺳﻠﻤﺎ ً ﺗﺼﻌﺪ ﺑﻪ ﻧﺤﻮ اﻟﻨﺠﺎح
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٨١ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﻼﺣﻈﺔ)(٢ ﻋﻠﻰ
ﺷﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ ﻟﺠﺴﻢ ﻣﻮﺿﻮع إرﺗﻔﺎع ﻗﺪره ع ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض :
ﺑﻔﺮض ﺟﺴﻢ ﻛﺘﻠﺘﮫ ١ﻛﺠﻢ ﻣﻮﺿﻮع ﻋﻠﻰ إرﺗﻔﺎع = ع ﻣﺘﺮ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﻓﺈن : ﺷﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ ء = ث
ك ) ﻧﻖ ع(٢
ﺣﯿﺚ - :
ث ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ،ك ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ﺑﺎﻟﻜﺠﻢ ،ﻧﻖ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻷرض ﺑﺎﻟﻤﺘﺮ. ﻣﺜﺎل٨
١٠
إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ﺗﺴﺎوى ٥.٩٧
٢٤
ﻛﺠﻢ وطﻮل
٦
١٠ﻣﺘﺮ اﺣﺴﺐ ﺷﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ
ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٦.٣٦
اﻷرﺿﯿﺔ ﻋﻠﻰ إرﺗﻔﺎع ٥٠ﻛﻢ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض. اﻟﺤﻞ ٢٤
ك = ٥.٩٧
١٠
ﻧﻖ = ٦.٣٦
١٠ﻣﺘﺮ
ث= ٦.٦٧
ﻛﺠﻢ إرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض
٦
٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ ١٠
ع = ٥٠ﻛﻢ = ٥٠٠٠٠ﻣﺘﺮ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض ء=ث
ع = ٥٠٠٠٠ﻣﺘﺮ
ك ) ﻧﻖ ع(٢
ء=؟
٢٤
Bﺷﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ ء= ٦.٦٧
١٠
١١-
١٠ ٥.٩٧ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ٦ ) (٥٠٠٠٠ + ١٠ ٦.٣٦
٢
≅ ٩.٦٩م /ث
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٨٢ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل٩ ﻗﻤﺮ ﺻﻨﺎﻋﻰ ﻛﺘﻠﺘﮫ ١٥٠٠ﻛﺠﻢ ﯾﺪور ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ٥٤٠ﻛﻢ
وزارة ٠
ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض اﻟﺘﻰ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ ٦
١٠
٢٤
ﻛﺠﻢ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ
٦٣٦٠ﻛﻢ .أوﺟﺪ ﻗﻮة ﺟﺬب اﻷرض ﻟﻠﻘﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻤًﺎ ﺑﺄن ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوى ٦.٦٧
١٠
ك٦ = ٢
١٠
ﻛﺠﻢ
ﻧﺤﻮل اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻰ أﻣﺘﺎر
ف = ٦٩٠٠٠٠٠ﻣﺘﺮ ث= ٦.٦٧
٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ ١٠
Bق = ٦.٦٧
ف = ﻧﻖ +ع = )(٦٣٦٠+٥٤٠
١٠
= ٦٩٠٠٠٠٠ﻣﺘﺮ
ق=؟
Aق=ث
ﻧﯿﻮﺗﻦ .ﻣﺘﺮ /ﻛﺠﻢ اﻟﺤﻞ
ك١٥٠٠ = ١ﻛﺠﻢ ٢٤
١١-
٢
٢
ك ) ﻧﻖ ع(٢
١٠
١١-
٢٤
١٠ ٦ ١٥٠٠ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ )(٦٩٠٠٠٠٠
Bق = ١٢٦٠٨.٦٩٥٦٥ﻧﯿﻮﺗﻦ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٨٣ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
٣
اﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ ﻋﺠﻠﺘﻰ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻛﻮﻛﺒﯿﻦ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻋﺠﻠﺘﻰ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ء ، ١ء ٢ﻋﻠﻰ ﻛﻮﻛﺒﯿﻦ ﻛﺘﻠﺘﺎھﻤﺎ ك ، ١ك ٢وطﻮﻻ ﻧﺼﻔﻰ ٢ ﻧﻖ ٢ ك١ ء١ ـــــــ = ـــــــ ـــــــ ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ ﻧﻖ ، ١ﻧﻖ ٢ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ھﻰ -: ٢ ﻧﻖ ١ ك٢ ء٢ ﻣﺜﺎل١٠ وزارة ٠
إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ﺗﺴﺎوى ١٠ ٥.٩٧ ٦
١٠ ٦.٣٤ﻣﺘﺮ وﻛﺘﻠﺔ اﻟﻘﻤﺮ ﺗﺴﺎوى١٠ ٧.٣٦
٢٢
٢٤
وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ
ﻛﺠﻢ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮه
٦
١٠ ١.٧٤ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻟﻘﻤﺮ إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض. اﻟﺤﻞ ك١٠ ٥.٩٧= ١
٢٤
ك١٠ ٧.٣٦ = ٢
٢٢
ك١ ء١ ـــــــ = ـــــــ ك٢ ء٢
ﻛﺠﻢ ،ﻧﻖ٦.٣٤ = ١ ﻛﺠﻢ ،ﻧﻖ١.٧٤ = ٢
٦
١٠م ٦
١٠م
٢
ﻧﻖ ـــــــ ٢ ﻧﻖ ١
٢
٢٤
١٠ ٥.٩٧ ء١ ـــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ ٢٢ ١٠ ٧.٣٦ ء٢
٢ ٦
)( ١٠ ١.٧٤ ــــــــــــــــــــــــ ٢ ٦ )( ١٠ ٦.٣٤
≅ ٦
Bاﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض إاﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻟﻘﻤﺮ = ١ : ٦ Gاﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻟﻘﻤﺮ إاﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض = ٦ : ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٨٤ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺜﺎل١١
وزارة ٠
إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ﺗﺴﺎوى ١٠ ٥.٩٧
ﻛﺠﻢ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ١٠ ٦.٣٤ ١٠ ٧.٣٦
٢٢
٦
٢٤
ﻣﺘﺮ وﻛﺘﻠﺔ اﻟﻘﻤﺮﺗﺴﺎوى
ﻛﺠﻢ ﻓﺄوﺟﺪ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻘﻤﺮ إذا ﻛﺎﻧﺖ
اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺳﺘﺔ أﻣﺜﺎﻟﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻟﻘﻤﺮ
ك١٠ ٥.٩٧= ١
٢٤
اﻟﺤﻞ ﻛﺠﻢ
٦
ﻧﻖ٦.٣٤ = ١
١٠م
ك١٠ ٧.٣٦ = ٢
٢٢
ء١
A
ﻛﺠﻢ
٢
ﻧﻖ ـــــــ ٢ ﻧﻖ ١
ك١
٢
ـــــــ = ـــــــ ك٢ ء٢
ﻧﻖ = ٢؟ ٢٤
ء : ١ء١ : ٦ = ٢
٢=٦ B
١٠
٢
ﻧﻖ ــــــــــــــــــــــ ٢ ٦ )( ١٠ ٦.٣٤
١٠ ٥.٩٧ ٦ = Bــــــــــــــــــــــ ١ ٢٢ ١٠ ٧.٣٦ ١٢-
ﻧﻖ
٢ ٢
٦ ٢ Gﻧﻖ = ٢ـــــــــــــــــــــــ = ٣ ١٢١٠ ٢
١٢
١٠
ﻧﻖ ١٧٣٢٠٥٠.٨٠٨ = ٢ﻣﺘﺮ = ١.٧٣٢٠٥٠٨٠٨
٢
١٠
√
= ٦
Bطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻘﻤﺮ ≅ ١.٧٣
≅ ١.٧٣ ١٠
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
٦
١٠
٦
ﻣﺘﺮ
ﻣﺘﺮ
- ١٨٥ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(١٣ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ-: -١ﻣﻘﺪار ﻗﻮة اﻟﺠﺬب ﺑﯿﻦ ﺟﺴﻤﯿﻦ ﻛﺘﻠﺘﺎھﻤﺎ ك ، ١ك ٢واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ف ﯾﺴﺎوى............ -٢ﻛﻞ اﻷﺟﺴﺎم ﺗﺘﺠﺎذب ﻣﻊ اﻷﺟﺴﺎم اﻷﺧﺮى ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻮة ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ طﺮدﯾ ًﺎ ﻣﻊ ........ وﻋﻜﺴﯿ ًﺎ ﻣﻊ........... -٣ﺗﺘﻮﻗﻒ ﻗﻮة اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻦ ﺟﺴﻤﯿﻦ ﻋﻠﻰ.................... ، ......................... -٤اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻋﺠﻠﺘﻰ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ء ، ١ء ٢ﻋﻠﻰ ﻛﻮﻛﺒﯿﻦ ﻛﺘﻠﺘﺎھﻤﺎ ك ، ١ك ٢وطﻮﻻ ﻧﺼﻔﻰ ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ ﻧﻖ ، ١ﻧﻖ ٢ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
ھﻰ .................
.
================================================ وزارة ٠
٢
إذا ﻛﺎن اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰى ﻛﺮﺗﯿﻦ٢م وﻛﺎﻧﺖ ﻛﺘﻠﺔ إﺣﺪاھﻤﺎ ٠.٨ﻛﺠﻢ وﻛﺘﻠﺔ
اﻷﺧﺮى ٠.٦ﻛﺠﻢ ﻓﻤﺎ ﻗﻮة اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ؟
]ق =٨.٠٠٤
١٠
١٢-
ﻧﯿﻮﺗﻦ[
================================================ وزارة ٠
٣
ﻛﺮﺗﺎن ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﺎن ﻛﺘﻠﺔ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ٦، ٨ﻛﺠﻢ واﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰﯾﮭﻤﺎ ٢١.٨ﺳﻢ ﻣﺎ
ﻗﻮة اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ؟
]ق = ٦ .٧٣٦٨
١٠
٨-
ﻧﯿﻮﺗﻦ[
================================================ ٤
وزارة ٠
اﻻدارة ٢٠١٦/٢٠١٥اﺣﺴﺐ ﻗﻮة اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻦ ﺟﺴﻤﯿﻦ ﻛﺘﻠﺘﯿﮭﻤﺎ ١٠ﻛﺠﻢ
١٥ ،ﻛﺠﻢ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ٢ﻣﺘﺮ
]ق =٢ .٥٠١٢٥
١٠
٩-
ﻧﯿﻮﺗﻦ[
================================================ ٥
وزارة ٠
إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض٦
واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٣
١٠
٢٤
ﻛﺠﻢ وﻛﺘﻠﺔ اﻟﻘﻤﺮ٧
٦
١٠ﻣﺘﺮ أوﺟﺪ ﻗﻮة ﺟﺬب اﻷرض ﻟﻠﻘﻤﺮ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
- ١٨٦ -
١٠
]ق =٣ .١١
٢٢
ﻛﺠﻢ
١٠
٢٤
ﻧﯿﻮﺗﻦ[
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻗﻤﺮ ﺻﻨﺎﻋﻰ ﻛﺘﻠﺘﮫ ٢٠٠٠ﻛﺠﻢ ﯾﺪور ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ٤٤٠ﻛﻢ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض
وزارة ٠
٦
١٠
اﻟﺘﻰ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ ٦
٢٤
ﻛﺠﻢ .أوﺟﺪ ﻗﻮة ﺟﺬب اﻷرض ﻟﻠﻘﻤﺮ ﻋﻠﻤًﺎ ﺑﺄن ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ
اﻷرض ٦٣٦٠ﻛﻢ.
]ق = ١٧٣٠٩ .٦٨٨٥٨ﻧﯿﻮﺗﻦ[
=============================================== ٧
وﺿﻌﺖ ﻛﺮة ﻣﻦ اﻟﺤﺪﯾﺪ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ٤٠ﺳﻢ أﺧﺮى ﻣﻦ اﻟﻨﯿﻜﻞ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ ٥٠ﻛﺠﻢ
وزارة ٠
ﻓﻜﺎﻧﺖ ﻗﻮة اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ١٢ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوي ٦.٦٧
١٠
٨-
١٠
ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻜﻢ ﺗﻜﻮن ﻛﺘﻠﺔ ﻛﺮة اﻟﺤﺪﯾﺪ إذا ﻋﻠﻤﺖ أن
١١-
٢
٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ .ﻣﺘﺮ /ﻛﺠﻢ
]٥.٧٥٧ﻛﺠﻢ [
================================================ ٨
وزارة ٠
إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ١٠ ٥.٩٧
٢٤
ﻛﺠﻢ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﯾﺴﺎوى
٦
١٠ ٦.٣٦م ﻓﺄوﺟﺪ ﺷﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوي٦.٦٧
١٠
١١-
٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ .ﻣﺘﺮ /ﻛﺠﻢ
٢ ]ء= ٩ .٨م/ث [
٢
================================================ وزارة ٠
٩
ﻛﻮﻛﺐ ﻛﺘﻠﺘﮫ ﻣﺴﺎوﯾﺔ ﺛﻼث ﻣﺮات ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض وﻗﻄﺮه ﯾﺴﺎوى ﺛﻼث ﻣﺮات ﻗﺪر
ﻗﻄﺮ اﻷرض اﺣﺴﺐ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ھﺬا اﻟﻜﻮﻛﺐ وﺳﻄﺢ اﻷرض. ][٣:١
================================================ ١٠
وزارة ٠
إذا ﻛﺎن طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺮ واﻷرض ١٦٠٠ﻛﻢ ٦٤٠٠ ،ﻛﻢ
ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ وﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻋﺠﻠﺘﻰ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ٦ :١ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻛﺘﻠﺘﯿﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
][٩٦:١
- ١٨٧ -
" اﻟــــﺪﻳﻨـﺎﻣـــﯿﻜـﺎ"
ﻣﺼﻄﻠﺤﺎت وﻣﻔﺎھﯿﻢ أﺳﺎﺳﯿﺔ )اﻷﺣﺪاث & اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﺣﺪاث( ﻣﺴﻠﻤﺎت وﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻹﺣﺘﻤﺎل & ﺣﺴﺎب اﻹﺣﺘﻤﺎل
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٨٧ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
اﻷﺣﺪاث & اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ Random experiment
ھﻰ ﻛﻞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻨﻮاﺗﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﮭﺎ ﻗﺒﻞ إﺟﺮاﺋﮭﺎ وﻟﻜﻦ ﻻ ﻧﺴﺘﻄﯿﻊ أن ﻧﺤﺪد اﯾﺎ ً ﻣﻦ ھﺬه اﻟﻨﻮاﺗﺞ ﺳﻮف ﯾﺘﺤﻘﻖ ﻓﻌﻼ ﻋﻨﺪ إﺟﺮاﺋﮭﺎ .
ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ )ﻓﻀﺎء اﻟﻨﻮاﺗﺞ( )Sample space (outcomes
ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻛﻞ اﻟﻨﻮاﺗﺞ ﻣﻤﻜﻨﺔ اﻟﺤﺪوث ﻟﻠﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ )ف( وﯾﺮﻣﺰ ﻟﻌﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ن )ف( ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ
) (١إذا ﻛﺎن ن ھﻮ ﻋﺪد اﻟﻨﻮاﺗﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،ر ﻋﺪد ﻣﺮات اﺟﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ر
ﻓﺈن ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ = )ن(
. ٢
ﻓﻤﺜﻼ ًﻋﻨﺪ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﻓﺈن ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ = )٣٦ = (٦ ) (٢ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ھﻮ ﻧﻔﺴﮫ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮى ﻧﺮد ﻣﻌﺎ ﻣﺮة واﺣﺪة. ) (٣ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ھﻮ ﻧﻔﺴﮫ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺘﻰ ﻧﻘﻮد ﻣﻌﺎ ﻣﺮة واﺣﺪة. ) (٤ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﯿﻞ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﺑﺈﺣﺪى اﻟﻄﺮق اﻷﺗﯿﺔ : )ا( ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﻟﺠﺪول )ب( ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﻟﺸﺒﻜﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ )ج( ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﻟﺸﺠﺮة اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٨٨ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل١
أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ وﻣﻼﺣﻈﺔ ﺗﺘﺎﺑﻊ اﻟﺼﻮر واﻟﻜﺘﺎﺑﺎت ﻣﺒﯿﻨﺎ ً ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮه . اﻟﺤﻞ
اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻷوﻟﻰ
ص ك
ص
ك
)ص ،ص( )ص ،ك( )ك ،ص( )ك ،ك(
ف = )cص ،ص( ) ،ص ،ك( ) ،ك ،ص( ) ،ك ،ك(d ٢
ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ن )ف(= )٤ = (٢ ﻣﺜﺎل٢
أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻢ ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻓﯿﮫ وﺟﮭﺎن ﯾﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ ١ووﺟﮭﺎن ﯾﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ ، ٢ووﺟﮭﺎن ﯾﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ ٣ وﻣﻼﺣﻈﺔ ﻣﺎ ﯾﻈﮭﺮ ﻋﻠﻰ وﺟﮭﯿﮭﻤﺎ اﻟﻌﻠﻮﯾﯿﻦ . اﻟﺤﻞ
ﯾﻤﻜﻦ اﯾﺠﺎد ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺠﺪول
ص
أو اﻟﺸﺒﻜﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ أو اﻟﺸﺠﺮة اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ ﻛﺎﻻﺗﻰ
ص ك
٣
)ص ) (١،ص ) (٢،ص (٣، )ك ) (١،ك ) (٢،ك (٣،
اﻟﺸﺠﺮة اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ
ﺣﺠﺮ اﻟﻨﺮد ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻨﻘﻮد
١
٢
١
ك
ف = )cص) ، (١ ،ص) ، (٢ ،ص) ، (٣ ،ك) ، (١ ،ك) ، (٢ ،كd(٣ ،
٢ ٣ ١ ٢ ٣
ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ن )ف(= ٦ = ٣ ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٨٩ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
اﻷﺣﺪاث اﻟﺤﺪث
The event
ھﻮ أى ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف
اﻟﺤﺪث اﻟﺒﺴﯿﻂ )اﻷوﻟﻰ( The simple event
The events
ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻨﺼﺮ واﺣﺪ ﻓﻘﻂ
اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺆﻛﺪThe certain event
ھﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﺬى ﻋﻨﺎﺻﺮه ھﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ
ف وھﻮ ﺣﺪث ﻣﺆﻛﺪ اﻟﻮﻗﻮع ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﺮة ﺗﺠﺮى ﻓﯿﮭﺎ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ . اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﯿﻞ The impossibl event
ھﻮ ﺣﺪث ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﻘﻊ ﻋﻨﺪ إﺟﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ وھﻮﺣﺪث ﺧﺎﻟﻰ ﻣﻦ اى ﻋﻨﺎﺻﺮ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰZ اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﺣﺪاث
Operation of the events
اﻟﺘﻘﺎطﻊ ∩ ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا ،ب ھﻮ اﻟﺤﺪث ا ∩ ب اﻟﺬى ﯾﺤﻮى ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ا∩ ب
اﻟﺘﻰ ﺗﻨﺘﻤﻰ اﻟﻰ ا و ب وﯾﻌﻨﻰ وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻣﻌﺎ ً
اﻹﺗﺤﺎد ∪ إﺗﺤﺎد اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا ،ب ھﻮ اﻟﺤﺪث ا ∪ ب اﻟﺬى ﯾﺤﻮى ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ا∪ ب اﻟﺘﻰ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﻰا أو ب وﯾﻌﻨﻰ وﻗﻮع ا أو ب أو ﻛﻠﯿﮭﻤﺎ وﯾﻌﻨﻰ وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ اﻹﻛﻤﺎل اﻟﺤﺪث اَ ﯾﺴﻤﻰ اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻜﻤﻞ ﻟﻠﺤﺪث ا ﻟﺬﻟﻚ ﯾﺤﻮى ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف
اﻟﺘﻰ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﻰ اﻟﺤﺪث ا وﯾﻌﻨﻰ ﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ا ا
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٠ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
اَ
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
اﻟﻔﺮق اﻟﺤﺪث ا – ب ﯾﺤﻮى ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺘﻰ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﻰ ا وﻻ ﺗﻨﺘﻤﻰ إﻟﻰ ب وﯾﻌﻨﻰ وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب ) ﯾﻌﻨﻰ ﺣﺪث وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ( وھﻰ ﻧﻔﺲ ﻋﻨﺎﺻﺮ ا ∩ بَ
ا
ب
ا–ب ﻗﺎﻧﻮﻧﺎ دى ﻣﻮرﺟﺎن
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ف ﻓﺈن :
ف
ﺣﺪث ﻋﺪم وﻗﻮع أى ﻣﻦ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ أو ﺣﺪث ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب ھﻮ : ا ب ب( اَ ∩ بَ = )ا ∪ َ اَ ∩ بَ ف
ﺣﺪث ﻋﺪم وﻗﻮع ا أوﻋﺪم وﻗﻮع ب )ﺣﺪث ﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻣﻌﺎ( ب( )ﺣﺪث وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ( اَ ∪ بَ = )ا ∩ َ اﻷﺣﺪاث اﻟﻤﺘﻨﺎﻓﯿﺔ
ا
ﯾﻘﺎل ﻟﺤﺪﺛﯿﻦ أﻧﮭﻤﺎ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن إذا اﺳﺘﺤﺎل
ب
اَ ∪ بَ
وﻗﻮﻋﮭﻤﺎ ﻣﻌﺎ) ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻮﻗﺖ( أى أن وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﻤﻨﻊ وﻗﻮع اﻷﺧﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﯾﻘﺎل إن اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا ،ب ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ف ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن إذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن ا ∩ ب = ∅ ﯾﻘﺎل ﻟﻌﺪة أﺣﺪاث اﻧﮭﺎ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ . ﻣﻼﺣﻈﺎت
اﻻﺣﺪاث اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ ) اﻷوﻟﯿﺔ( اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﻰ أى ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺔ
اﻟﺤﺪث ا وﻣﻜﻤﻠﮫ اَ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن وﯾﻜﻮن : ا ∪ اَ = ف ا ∩ اَ = ∅
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩١ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
اﻹﺣﺘﻤﺎل probability
ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل إذا ﻛﺎن ف ﻓﻀﺎءﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أى ﺣﺪث ا ﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ل)ا( ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺤﺪث ا ﺣﯿﺚ إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث = ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ
Gل ) ا( =
ن )ا( ن)ف(
ﻣﺴﻠﻤﺎت اﻹﺣﺘﻤﺎل Axioms of probability
) (١إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﯿﻞ = ﺻﻔﺮ
Gل)∅( = ﺻﻔﺮ
) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺆﻛﺪ = ١
Gل)ف( = ١
) (٣ﺻﻔﺮ Yإﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أى ﺣﺪث Y ٠ G ١ Yل)ا( ١ Y أى أن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أى ﺣﺪث ھﻮ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻰ ﯾﻨﺘﻤﻰ ﻟﻠﻔﺘﺮة ][١ ،٠ )(٤إذا ﻛﺎنا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ ﻓﺈن ل)ا ∩ ب(= ﺻﻔﺮ Gل)ا ∪ ب(=ل)ا( +ل)ب( وﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻤﯿﻤﮭﺎ ﻷى ﻋﺪد ﻣﻦ اﻷﺣﺪاث اﻟﻤﺘﻨﺎﻓﯿﺔ ل)ا∪ ١ا ∪٢ا∪ .............∪ ٣ان ( = ل)ا + (١ل)ا +(٢ل)ا +............. + (٣ل)ان( ) (٥ﻣﺠﻤﻮع إﺣﺘﻤﺎﻻت ﻧﻮاﺗﺞ أى ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ = ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٢ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻧﺘﺎﺋﺞ ھﺎﻣﺔ اﻟﺘﻌﺒﯿﯩﺮ اﻟﻠﻔﻈﻰ ﻋﻦ اﻟﺤﺪث
اﻟـﻘـﺎﻧـــــــــﻮن اﻟﺮﻳـــــــــــﺎﺿﻰ
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪث = – ١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮﻋﮫ
ل)اَ ( = – ١ل)ا(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ
ل)ا – ب( = ل)بَ – اَ (
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ
= ل )ا ∩ بَ ( =ل)ا( – ل)ا ∩ ب( ل)ب– ا( = ل)اَ – بَ (
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب وﻋﺪم وﻗﻮع ا
= ل )ب ∩ اَ (= ل)ب( – ل)ا ∩ ب(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا أو ب أوﻛﻠﯿﮭﻤﺎ
ل)ا ∪ ب( = ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∩ ب(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
ل)ا ∪ ب( = ل)ا( +ل)ب– ا(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أى ﻣﻦ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا و ب ﻣﻌﺎ
ل)ا ∩ ب( = ل) ا – بَ ( =ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∪ ب(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ دون اﻷﺧﺮ
ل)ا – ب(∪ ل)ب– ا(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ أو ب ﻓﻘﻂ
= ل)ا ∪ ب( – ل)ا ∩ ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب
ل)اَ ∩ بَ ( = ل)اَ – ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع أى ﻣﻦ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا أو ﻋﺪم وﻗﻮع ب
= ل)ا ∪ ب(َ = –١ل)ا ∪ ب( ل)اَ ∪ بَ (= ل)ا ∩ ب(َ = –١ل)ا ∩ ب(
إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا أو وﻗﻮع ب
ل)اَ ∪ب( = ل)اَ (+ل)ا ∩ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ
أول)اَ ∪ب( = ل)ا– ب(َ = –١ل) ا – ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب أو وﻗﻮع ا
ل)بَ ∪ا( = ل)بَ (+ل)ا ∩ب(
إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ
أو ل)بَ ∪ا( = ل)ب– ا(َ = –١ل)ب– ا(
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٣ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٣ إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻧﻮاﺗﺞ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ف ﺣﯿﺚ ل)ا( = ، ٠.٤ل)بَ ( =٣ل)ب( ،ل)ا ∩ ب ( = ٠.٢ إﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل : ) (١وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ ) (٢وﻗﻮع ا أو ب ) (٣ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب اﻟﺤﻞ Aل)بَ ( =٣ل)ب(
∴ – ١ل)ب( =٣ل)ب(
٣ = ١ Gل)ب( +ل)ب( ١ ∴ ٤ل)ب( = G ١ل)ب( = = ٠,٢٥ ٤
) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ ل)ا – ب( = ل)ا( – ل)ا ∩ ب( = ٠,٢ = ٠,٢ – ٠.٤ ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا أو ب ل)ا ∪ ب( =ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∩ ب( = ٠,٤٥ = ٠,٢ – ٠,٢٥ + ٠.٤ ) (٣إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب ﺗﻌﻨﻰ ل)اَ ∩ بَ ( ل)اَ ∩ بَ (= ل)ا ∪ ب(َ = –١ل)ا ∪ ب( = ٠,٥٥ = ٠,٤٥ –١ ﻻ ﺗﻨﺤﻨﻰ ﻣﮭﻤﺎ ﻛﺎن اﻷﻣﺮ ﺿﺮورﯾﺎ ً ﻓﺮﺑﻤﺎ ﻻ ﺗﺄﺗﯿﻚ اﻟﻔﺮﺻﺔ ﻟﻜﻰ ﺗﺮﻓﻊ رأﺳﻚ ﻣﺮة أﺧﺮى " ﻋﻤﺮ اﻟﻤﺨﺘﺎر"
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٤ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٤
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈذا ﻛﺎن ل)ا( =، ٠.٨ل)ب( = ، ٠.٦ل)ا ∪ب(َ = ٠.١ ﻓﺄﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل ﻛﻞ ﻣﻦ اﻷﺣﺪاث اﻷﺗﯿﺔ - : ) (١ﺣﺪث وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ) (٢ﺣﺪث وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ ) (٣ﺣﺪث وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻓﻘﻂ ) (٤ﺣﺪث وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ .
) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ل)ا ∪ ب( Aل)ا ∪ ب(َ = ٠.١
G
اﻟﺤﻞ
ل)ا ∪ ب(َ = –١ل)ا ∪ ب(
∴ ل)ا ∪ ب( = –١ل)ا ∪ ب(َ = ٠,٩ = ٠,١ – ١ Aل)ا ∩ ب( = ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∪ ب( = ٠,٥ = ٠,٩ – ٠,٦ + ٠,٨ ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ ) إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب ( ل)ا – ب( = ل)ا( – ل)ا ∩ ب( = ٠,٣ = ٠,٥ – ٠.٨ ) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻓﻘﻂ )إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ أو وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ ( ل)ا – ب( ∪ ل)ب– ا(= ل)ا ∪ ب( – ل)ا ∩ ب( = ٠,٤ = ٠,٥ – ٠,٩ ) (٤إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ) ﻋﺪم وﻗﻮع ا أو ﻋﺪم وﻗﻮع ب ( ل)اَ ∪ بَ (= ل)ا ∩ ب(َ = –١ل)ا ∩ ب( = ٠,٥ = ٠,٥ – ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٥ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٥
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻧﻮاﺗﺞ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺎ وﻛﺎن ٥ ٢ ١ ل)ا ∩ ب ( = ،ل)اَ ( = ،ل)اَ ∩ بَ ( = ١٢ ٣ ١٢
إﺣﺴﺐ
) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ. ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ. ) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ . اﻟﺤﻞ ٢ Aل)اَ ( = ٣ ٥ ل)اَ ∩ بَ ( = ١٢
G G
٥ ∴ –١ل)ا ∪ ب( = ١٢
١ ٢ ل)ا( = = –١ ٣ ٣ ٥ ل)ا ∪ ب(َ = ١٢
G
٧ ٥ = ل)ا ∪ ب( =–١ ١٢ ١٢
٧ ) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺗﻌﻨﻰ :ل)ا ∪ ب( = ١٢
ﻧﻮﺟﺪ ل)ب( Aل)ا ∪ ب( = ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∩ ب( ١ ١ ٧ ١ ٧ ١ ١ ٧ +ل) ب( Gل) ب( = – = = G = +ل) ب( – ٣ ٤ ١٢ ٤ ١٢ ١٢ ٣ ١٢ ١ ١ ١ ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ :ل)ب – ا( = ل)ب( – ل)ا ∩ ب( = – = ٤ ١٢ ٣
) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ :ل)اَ ∪ بَ ( = ل)ا ∩ ب(َ ١١ ١ = –١ل)ا ∩ ب( == –١ ١٢ ١٢ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٦ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺧﻄﯿﺮررة )(١
إذا ﻛﺎن ا eب ﻓﺈن
ب ا
ل)ا ∩ ب( = ل)ا( ل)ا ∪ ب( = ل)ب( ل)ا – ب( = ﺻﻔﺮ ل)ب – ا( = ل)ب( – ل)ا( ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺧﻄﯿﺮررة )(٢
١ إذا ﻛﺎن ل)ا( = ل)اَ ( ﻓﺈن ل)ا( = ٢
ﻣﺜﺎل٦ إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎءاﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،وﻛﺎن ا eب ،ل)ا( =
١ ٢
،وإﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ ﯾﺴﺎوى ٠.٢
إﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب اﻟﺤﻞ إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ ل)ب – ا( Aاeب
ب ا
∴ ل)ب – ا( = ل)ب( – ل)ا( = ٠,٢ل)ب( – ل)ب( = + ٠,٢
١ ٢
١ ٢
= ٠,٧ = ٠,٥+ ٠,٢
∴ إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب ل)بَ ( = ٠,٣ =٠,٧ – ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٧ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٧
إذا ﻛﺎن ف ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺣﯿﺚ ف = cا ،ب ،ج d ل )جَ (
ل )اَ ( ٧ = ٢ ،ل)ب( = ٣ل)بَ ( ﻓﺄوﺟﺪ وﻛﺎن ل )ا( ٣ ل )ج(
اﻟﺤﻞ ل )اَ ( ٧ = A ل )ا( ٣
G
١ل ا ٧ = ٧ Gل)ا( = ٣ – ٣ل)ا( ٣ ل )ا(
٣ل)ا( ٧+ل)ا( = ١٠ G ٣ل)ا( = G ٣ ٢ل)ب( = ٣ل)بَ (
٣ ل)ا( = ١٠
٢ Gل)ب( = –١) ٣ل)ب( (
٢ل)ب( =٣ –٣ل)ب( ٢ Gل)ب( ٣ +ل)ب( = ٣ ٣ ٥ل)ب( = G ٣ل)ب( = ٥
Aﻣﺠﻤﻮع إﺣﺘﻤﺎﻻت ﻧﻮاﺗﺞ أى ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ = ١ ∴ ل)ا( +ل)ب( +ل)ج( = ١ ٩ ١٠
+ل ) ج( = ١
٩ ١ ل)جَ ( = = – ١ ١٠ ١٠
٣ ٣ + +ل ) ج( = ١ G ٥ ١٠ ١ ٩ Gل ) ج( = = – ١ ١٠ ١٠
G
١ ل )جَ ( ٩ =٩ = ÷ ١٠ ل )ج( ١٠
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٨ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﻣﺜﺎل٨
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،وﻛﺎن ل ) ب( =
١
١
٥
٣
،ل)ا ∪ ب( = أوﺟﺪ ل)ا( إذا ﻛﺎن :
) (١ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ ) A (١ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ
اﻟﺤﻞ
∴ ل)ا ∩ ب( = ﺻﻔﺮ
ل)ا ∪ ب( = ل)ا( +ل)ب( – ل)ا ∩ ب( G ١
ل)ا( = – ٣
١ ٥
=
١ ٣
= ل) ا ( +
١ ٥
– ﺻﻔﺮ
٢ ١٥
) A (٢ب eا Gل)ا ∪ ب( = ل)ا( = ﻣﺜﺎل٩
) (٢ب eا
١ ٣
إذا ﻛﺎن ف = } ا ،ب ،ج { ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ وﻛﺎن : ٢٠ل)ا( = ١٥ل)ب( = ١٢ل)ج( ﻓﺄوﺟﺪ ل)ا( ،ل)ب( ،ل)ج(
ﺑﻮﺿﻊ ٢٠ل)ا( = ١٥ل)ب( = ١٢ل)ج( = س ٢٠ل)ا( = س
G
١٥ل)ب( = س G
١٢ل)ج( = س
G
اﻟﺤﻞ
س ل) ا( = ٢٠ س ل) ب( = ١٥ س ل) ج( = ١٢
Aﻣﺠﻤﻮع إﺣﺘﻤﺎﻻت ﻧﻮاﺗﺞ أى ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ =١ ١ ١ ١ س س س G ١= + +س) + + ١٢ ١٥ ٢٠ ١٢ ١٥ ٢٠ ١ ٥ ∴ ل) ا( = = ٤ ٢٠ ١ ٥ ل) ب( = = ٣ ١٥ ٥ ل) ج( = ١٢
∴ ل)ا( +ل)ب( +ل)ج( = ١ (= G ١س
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ١٩٩ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
١ ٥
= G١س=٥
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
ﺗﻤﺎرﻳﻦ)(١٤ ١أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻰ -: ) (١اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ھﻰ ......................................................... ) (٢ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ھﻮ ......................................... ) (٣ﻋﻨﺪ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮة واﺣﺪة وﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻌﺪد اﻟﻈﺎھﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﺈن ﻓﻀﺎء اﻟﻨﻮاﺗﺞ ف = .................... ) (٤ﻋﻨﺪ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﻓﺈن ﺣﺪث ظﮭﻮر ﺻﻮرة ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ = ........... ) (٥ﻋﻨﺪ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺛﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد وﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻟﻜﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻓﺈن ﺣﺪث ظﮭﻮر ﻋﺪد أوﻟﻰ = ........................ ) (٦ﻋﻨﺪ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ وﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﺮة ﻓﺈن ﺣﺪث ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻌﺪدﯾﻦ اﻟﻈﺎھﺮﯾﻦ ﯾﺴﺎوى ٥ھﻮ ........................ ) (٧ﻋﻨﺪ اﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺎت وﻣﻼﺣﻈﺔ ﺗﺘﺎﺑﻊ اﻟﺼﻮر واﻟﻜﺘﺎﺑﺎت ﻓﺈن ﺣﺪث ظﮭﻮر ﺻﻮرﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ = .......................... ) (٨إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﯿﻞ = ، ...............وإﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺆﻛﺪ = ....... ) (٩إذا ﻛﺎن ا ﺣﺪث ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈن ل)ا( ∋ ............... ) (١٠إذا ﻛﺎن إﺣﺘﻤﺎل ﻧﺠﺎح طﺎﻟﺐ = %٨٠ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل رﺳﻮﺑﮫ = .................. ) (١١إذا ﻛﺎن ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ ﻓﺈن )ا ∩ ب ( = )،.......ا – ب(= ) ، ......ب – ا(= ...... ) (١٢إذا ﻛﺎن إذا ﻛﺎن ب eا ﻓﺈن)ا ∩ ب ( = )، .......ا ∪ ب(= ) ، ......ب – ا(= ...... ) (١٣إذا ﻛﺎن ا ∩ ب = ∅ ،ل)اَ ( = ، ٠.٧ل)بَ ( = ٠.٤ﻓﺈن : ل)ا ∩ ب ( = ، .......ل )ا ∪ ب(= ، .........ل)ا – ب(= ................
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠٠ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
٢إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ -: ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﻓﺈن : ) (١اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد ٥ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟﻌﺪد ٦ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ھﻮ ..... ١ ا ٢٤
١ ج ٣٦
١ ب ٣٠
١ ٦
ء
) (٢اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد ٥ﻓﻰ إﺣﺪى اﻟﺮﻣﯿﺘﯿﻦ واﻟﻌﺪد ٦ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻷﺧﺮى ھﻮ ..... ١ ا ١٢
٥ ج ٣٦
١ ب ٦
ء
١ ١٨
) (٣إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺘﯿﻦ ھﻮ ................ ١ ب ٣٦
١ ا ٥
١ ء ١٨
١ ج ٦
إذا اﻟﻘﯿﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﺮة واﺣﺪة ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم ظﮭﻮر اﻟﺼﻮرة ﯾﺴﺎوى ........ ا ﺻﻔﺮ
ب
١ ج ٢
١ ٣
ء ١
إذا أﺧﺘﯿﺮ ﺣﺮف ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻣﻦ ﺣﺮوف اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ف = cا،ب ،ج،د،ه ،و ،ر ،ك ،م ،
عd
ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﻜﻮن ھﺬا اﻟﺤﺮف أﺣﺪ ﺣﺮوف ﻛﻠﻤﺔ ﻣﺒﺮوك ھﻮ ................. ا
١ ٤
١ ج ٢
١ ب ٣
ء
٢ ٣
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،ا eب ﻓﺈن )ا ∪ ب(= ......... ا ل) ا(
ب ل) ب(
ج
ل)ا( +ل)ب(
ء ل) ا ∩ ب (
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،ا eب ﻓﺈن ا ل )ا ∪ ب(= ل)ب(
ب ل )ا ∪ ب(= -١ل)اَ (
ج ل )ا ∩ ب(= ل)ب(
ء ل )ا ∩ ب(= ﺻﻔﺮ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠١ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
أﻟﻘﻰ ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮة واﺣﺪة ﻋﻠﻰ ﻣﻨﻀﺪة وﻟﻮﺣﻆ اﻟﻌﺪد اﻟﻈﺎھﺮ ﻋﻠﻰ وﺟﮭﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل اﻻ ﯾﺰﯾﺪ ھﺬا اﻟﻌﺪد ﻋﻦ ٥وﻻ ﯾﻘﻞ ﻋﻦ ٣ھﻮ ................. ا
١ ٦
١ ٣
ب
ج
١ ٢
ء
٢ ٣
إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻓﻘﻂ ھﻮ ا ل )ا ∪ ب(
ب ل )ا ∪ ب(َ
ج ل )ا ∪ ب( – ل)ا ∩ ب ( ء ل)ا ∩ ب (
١ إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل )ب( = ، ٢
ل)ا( = – ١ل)ب( ﻓﺈن ............. ا ن)ا( = ن)ب( ب ن)ا( < ن)ب( ج ن)ا( >ن)ب(
ء ن)ا( +ن)ب(=١
ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ وﻟﻮﺣﻆ اﻟﻌﺪد اﻟﻈﺎھﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﺮة ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ﺣﺪث اﻟﻔﺮق اﻟﻤﻄﻠﻖ ﻟﻠﻌﺪدﯾﻦ ﯾﺴﺎوى ٤ھﻮ ...... ا
٥ ١٨
ب
١ ٦
ج
٥ ء ٣٦
١ ٩
أى ﻣﻦ اﻷﺗﻰ ﯾﺼﻠﺢ ﻷن ﯾﻜﻮن إﺣﺘﻤﺎل أﺣﺪ اﻷﺣﺪاث ؟ ا
٥ ١٨
ب
١ – ٦
ج
٥ ٣
ء ١,٢
================================================== ٣إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ٠,٦ ،ل)ب( = ، ٠,٥ل)اَ ∪ بَ ( = ٠,٧ﻓﺄوﺟﺪ إﺣﺘﻤﺎل ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﯾﺄﺗﻰ : ) (١وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ا ،ب ﻣﻌﺎ
][٠,٣
) (٢وﻗﻮع ا ﻓﻘﻂ
][٠,٣
) (٣وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
][٠,٨
) (٤وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻓﻘﻂ
][٠,٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠٢ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
٤إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ا = ٠,٥وإﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ب = ٠,٦وإﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻣﻌﺎ = ٠,٨ﻓﺄوﺟﺪ ) (١إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ا واﻟﺤﺪث ب ﻣﻌﺎ
][٠,٢
) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
][٠,٩
) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ب وﻋﺪم وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ا
][٠,٤
================================================== ٥إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ا eب ، ٥ ٣ ل) ا ∪ ب ( = ،ل) ا ∩ ب ( = ٨ ٤ ١ ) (١إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب ] [ ٤ ١ ) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ ] [ ٨
أوﺟﺪ : ٥ ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ٨ ١ ) (٤إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻓﻘﻂ ] [ ٨
] [
================================================== ٦إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)اَ ( = ، ٠,٦ ل)ب( = ، ٠,٢٥ل)ا ∩ ب ( = ٠,٢إﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل : ) (١وﻗﻮع ا
] [٠,٤
) (٢وﻗﻮع ا أو ب
][٠,٤٥
) (٣ﻋﺪم وﻗﻮع ا وﻋﺪم وﻗﻮع ب
][٠,٥٥
================================================== ٧إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا(َ = ٣ل)ا( ٣ ] [ ﻓﺄوﺟﺪ ل)ا(َ ٤
================================================== ٨إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ف ،ل)ا( = ، ٠,٦ل)ب( = ، ٠,٨ ل)اَ ∪ بَ (= ٠,٥ﻓﺄﺣﺴﺐ ل)اَ ∩ ب ( أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠٣ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
][٠,٣ " اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
٩إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا ∪ ب( = ٠,٨٥ ل)ا( = ، ٠,٧٥ل)ب(َ = ٠,٦أوﺟﺪ : ل) ا ∩ ب (
،ل)ا ∩ بَ ( ،ل)اَ ∪ بَ (
] [٠,٧ ، ٠,٤٥ ، ٠,٣
================================================== ١ ١٠إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ٢ ١ ب( = ل) ب( = س ،ل) ا ∪ َ ٣
أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ س إذا ﻛﺎن ) (١ا ،ب ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن ١ إذا ﻛﺎﻧﺖ س = ٤
) (٢ا eب
أوﺟﺪ ل)ا ∩ ب (
،
٢ ١ ] [ ، ٣ ٦ ١ ] [ ١٢
================================================== ١١إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ٣ ٥
ل)ا(َ = ل)ا ∪ ب( = ٠,٤٥ﻓﺄوﺟﺪ ل)ب( ﻓﻰ اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ : ) (١ا ،ب ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن
] [٠,٢
) (٢ا eب
] [٠,٧٥
================================================== ١ ١٢إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ٤ ١ ٢ ل)ب( = ،ل)ا ∩ ب ( = ﻓﺄﺣﺴﺐ :ل)ا ∪ ب ( ،ل)ا ∪ بَ ( ٦ ٣
، ١ ٣ ٢ ٤
] [ ،
================================================== ١٣إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ، ٠,٣ ل)ب( = ، ٠,٨ل)ا ∩ ب ( = ٠,٢إﺣﺴﺐ ﻛﻼ ﻣﻦ : ل)اَ ( ،ل)ا ∪ ب ( ،ل)ا – ب( ،ل)اَ ∪ بَ (
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ- ٢٠٤ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤
] [٠,٨ ، ٠,١ ، ٠,٩ ، ٠,٧
" اﻻﺣﺼـــــــﺎء واﻹﺣﺘﻤﺎل"
إﻣـــﺗﺣـﺎﻧـــﺎت
ﺗــطـــﺑـــﯾـــــــﻘـــﺎت اﻟـر ـﺎﺿــــﯾـــــــــــــــــﺎت ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ ﺇﻣﺘﺤﺎﻧﺎﺕ ﺇﺩﺍﺭﺍﺕ ﺃﺑﻮﺗﺸﺖ ﻭﳒﻊ ﲪﻤﺎﺩﻯ ﻭﻓﺮﺷﻮﻁ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ ﻣﻼﺣﻈﺔ
ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﳌﺴﺒﻮﻗﺔ ﺑﻌﻼﻣﺔ ﰎ ﺗﻌﺪﻳﻠﻬﺎ ﻃﺒﻘﺎ ﻟﻠﻤﻨﻬﺞ ﺍﳉﺪﻳﺪ
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٠٤ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﺗﻮﺟﯿﮫ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــــﺎﻋـــﺘــــﺎن
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٧/٢٠١٦م
=================================================١ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻷﻗﻮاس: ) (١ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻼﻗﯿﺘﺎن ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ وﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٣ ، ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ٦٠ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ] ؟، ٧ ، ٧
ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﯾﺴﺎوى ........ﻧﯿﻮﺗﻦ ⃐ ) (٢إذا ﻛﺎن ﻉا ب
؟[ ١٩ ، ١٩
⃐ ⃐ ⃐ ⃐ = ١٥ﺳﺲ ،عا = ٣٥ﺳﺲ ،ﻓﺎنﻉب = ....... ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ]٢٠ﺳﺲ ٢٠ – ،ﺳﺲ ٥٠ ،ﺳﺲ ٥٠ – ،ﺳﺲ [
) (٣ﻣﺨﺮوط ﻗﺎﺋﻢ طﻮل راﺳﻤﮫ ل ﺳﻢ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻧﻖ ﺳﻢ ﺗﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ٢
اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﺴﺎوى ........ﺳﻢ
١ ] πل ﻧﻖ ، ٢
٢
πل ﻧﻖ π ٢ ،ل ﻧﻖ π ،ل ﻧﻖ [
) (٤ﻋﻨﺪ ﺳﺤﺐ ﺑﻄﺎﻗﺔ ﻣﻦ ١٠ﺑﻄﺎﻗﺎت ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ وﻣﺮﻗﻤﺔ ﻣﻦ ١إﻟﻰ ١٠ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل ظﮭﻮر ﻋﺪد ٣ ٢ ١ ١ ، ، ] ، ١٠ ٣ ١٠ ٣
ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٣ﻋﻠﻰ اﻟﺒﻄﺎﻗﺔ ھﻮ ........
[
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ: ) (١ﻗﻮة ﻣﻘﺪارھﺎ ١٢٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻌﻤﻞ ﻓﻲ إﺗﺠﺎه اﻟﺸﻤﺎل اﻟﺸﺮﻗﻰ أوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﮭﺎ ﻓﻲ إﺗﺠﺎه اﻟﺸﺮق ] ٦٠؟ ٦٠ ، ٢؟ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ[
وإﺗﺠﺎه اﻟﺸﻤﺎل .
) (٢ﻗﻤﺮ ﺻﻨﺎﻋﻰ ﻛﺘﻠﺘﮫ ١٥٠٠ﻛﺠﻢ ﯾﺪور ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ٥٤٠ﻛﻢ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض اﻟﺘﻰ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ ٦
١٠
٢٤
ﻛﺠﻢ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٦٣٦٠ﻛﻢ .أوﺟﺪ ﻗﻮة ﺟﺬب اﻷرض ﻟﻠﻘﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻤًﺎ
ﺑﺄن ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوى ٦.٦٧
١٠
١١-
٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ
٢
] ١٢٦٠٨.٦٩٥٦٥ﻧﯿﻮﺗﻦ[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٠٥ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
٣ )(٣إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ، ٨ ١ ٣ ل)ب( = ،ل)ا ∩ ب ( = ﻓﺄﺣﺴﺐ :ل)اَ ∩ بَ ( . ٤ ٤
١ ٨
] [
) (٤اﻟﻘﻰ ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ وﻟﻮﺣﻆ اﻟﻌﺪد اﻟﻈﺎھﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﻰ ﻛﻞ ١ ] [ ٦
ﻣﺮة إﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﻜﻮن أﺣﺪ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ﺿﻌﻒ اﻷﺧﺮ.
اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ========================================== ) (١ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٩، ٦، ٣؟ ١٢ ، ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻛﺎن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﺗﺠﺎھﻰ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ْ٦٠وﺑﯿﻦ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ْ٩٠وﺑﯿﻦ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ واﻟﺮاﺑﻌﺔ ْ١٥٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى.
]ح = ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ﻫـ = [ ْ١٢٠
) (٢وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ٨٠٠ث ﺟﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه
ﺣﯿﺚ ﺟﺎ ه = ٠.٦وﺣﻔﻆ اﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ھﺬه اﻟﻘﻮة ورد ] ٦٠٠ث.ﺟﻢ ١٠٠٠ ،ث.ﺟﻢ [ ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ. اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ========================================= : ) (١ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﯿﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ اﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ﻣﺎ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺛﺎﺑﺖ وﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﺈذا ﻗﻄﻊ ﻓﻲ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢٠ﻣﺘﺮ ﺛﻢ ﻗﻄﻊ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺘﯿﻦ اﻟﺨﺎﻣﺴﺔ واﻟﺴﺎدﺳﺔ ﻣﻌﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٦٠ﻣﺘﺮ اﺣﺴﺐ اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺮك ﺑﮭﺎ اﻟﺠﺴﯿﻢ وﺳﺮﻋﺘﮫ اﻹﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ.
]ج =٤م/ث ،٢ع ١٠ =٠م /ث[
) (٢ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٤م/ث ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ إرﺗﻔﺎع ٣٥٠ﻣﺘﺮ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﺄﺧﺬه اﻟﺠﺴﻢ ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ اﻟﻘﺬف ﺣﺘﻰ ﯾﺼﻞ اﻟﻰ ﺳﻄﺢ
اﻷرض١٠] .ث[
اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ======================================== : ٢
)(١ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٧٠٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ٢٠ﺳﻢ أوﺟﺪ ﺣﺠﻤﮫ. ] ٣٥٠٠ﺳﻢ[٣
) (٢أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻓﯿﮭﺎ ا ب ﻗﻄﺮ ﺣﯿﺚ ا ) ، (٢ ، ٤ب )–(٣– ، ١ ٢
٢
]س +ص –٣س +ص –[٠ =١٠ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٠٦ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻟـــﺜـــﺎﻧﻰ ٢٠١٧/٢٠١٦م
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﺗﻮﺟﯿﮫ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــــﺎﻋـــﺘــــﺎن
=================================================٢ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻷﻗﻮاس: ) (١ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٤ ، ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن ][ ْ٩٠ ، ْ٦٠ ، ْ٤٥ ، ْ٣٠
ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﯾﺴﺎوى .......
) (٢إذا ﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ ﻣﻮﺿﻊ ﺟﺴﯿﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﯾﻌﻄﻰ ﻛﺪاﻟﺔ ﻓﻰ اﻟﺰﻣﻦ ن "ﺑﺎﻟﺜﺎﻧﯿﺔ" ٢ ⃐ ⃐ ⃐ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ر =) ٢ن (٣+ى ﻓﺈن ﻣﻌﯿﺎر ﻣﺘﺠﮫ اﻹزاﺣﺔ ف⃐ ﺑﻌﺪ ٢ﺛﺎﻧﯿﺔ ﺣﯿﺚ ﻣﻌﯿﺎر ر ﺑﺎﻟﻤﺘﺮ
] ٤ﻣﺘﺮ ١٢ ،ﻣﺘﺮ ٨ ،ﻣﺘﺮ ١١ ،ﻣﺘﺮ[
ﯾﺴﺎوى ..................
) (٣ﻣﺨﺮوط ﻗﺎﺋﻢ طﻮل راﺳﻤﮫ ل ﺳﻢ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ﻧﻖ ﺳﻢ ﻓﯿﻜﻮن ﺣﺠﻤﮫ ١ ٢ ١ ١ ٣ ٢ ٢ ھﻮ .....ﺳﻢ ] πﻧﻖ ل π ،ﻧﻖ ؟ل – ﻧﻖ ، ٣ ٣ ٣
٢
٢
١٢ ٣
٢
πﻧﻖ ؟ل +ﻧﻖ π ،ﻧﻖ ل[
) (٤إذا اﻟﻘﯿﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﻌﺪﻧﯿﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﺮة واﺣﺪة ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ أﻓﻘﻰ وﻟﻮﺣﻆ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ١ ١ ] ،ﺻﻔﺮ [١ ، ، ٣ ٢
ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم ظﮭﻮر اﻟﺼﻮرة ﯾﺴﺎوى ..........
اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ ========================================= : ) (١ﺣﻠﻞ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ١٦٠ث.ﺟﻢ ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٣٠ﻷﻋﻠﻰ .
] ٨٠؟ ٨٠ ، ٣ث.ﺟﻢ[
) (٢أوﺟﺪ ﻗﻮة اﻟﺠﺐ اﻟﻌﺎم ﺑﯿﻦ ﻛﻮﻛﺒﯿﻦ ﻛﺘﻠﺔ اﻷول ٢ طﻦ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰﯾﮭﻤﺎ ٢ ٦.٦٧
١٠
١١-
٢
١٠
٢١
طﻦ وﻛﺘﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﻰ ٤
١٠
٢٥
٦
١٠ﻛﻢ ﻋﻠﻤًﺎ ﺑﺄن ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوى
ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ
٢
]ق=١ .٣٣٤
٢٤ ١٠
ﻧﯿﻮﺗﻦ[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٠٧ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
) (٣إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺎ وﻛﺎن ل)ا( = ، ٠,٨٥ ل)ب( = ، ٠,٩ل)ا ∩ ب( = ٠,٨اﺣﺴﺐ ل ) ا ∪ ب( .
]ٍ[٠,٩٥
) (٤ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ اﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ١ ٤
] [
زوﺟﻰ ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻷوﻟﻰ وﻋﺪد أوﻟﻰ ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ .
اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ========================================= : ) (١ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٣٠ ، ٢٠ ، ١٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ اﻷوﻟﻰ ﻧﺤﻮ اﻟﺸﺮق واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﺗﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ْ٣٠ﻏﺮب اﻟﺸﻤﺎل واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺗﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ْ٦٠ﺟﻨﻮب اﻟﻐﺮب أوﺟﺪ ]ح = ١٠؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ﻫـ = [ ْ٢١٠
ﻣﻘﺪار واﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى.
) (٢ﻛﺮة ﻣﻌﺪﻧﯿﺔ ﻣﻠﺴﺎء وزﻧﮭﺎ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺴﺘﻘﺮة ﺑﯿﻦ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ أﻣﻠﺲ وﻣﺴﺘﻮى ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ اﻟﺮأﺳﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ْ٣٠أوﺟﺪ رد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ اﻟﺮأﺳﻰ واﻟﻤﺴﺘﻮى .
] ٣؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ٦،ﻧﯿﻮﺗﻦ[
اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ========================================= : ٢
) (١ﺑﺪأ ﺟﺴﯿﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٣٠ﺳﻢ /ث وﻋﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٦ﺳﻢ/ث ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه ﺳﺮﻋﺘﮫ اﺣﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺨﺎﻣﺴﺔ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ ﺑﺪاﯾﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ .
]٥٧ﺳﻢ[
) (٢ﻗﺬف ﺟﺴﯿﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٦م /ث أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻰ ﯾﺄﺧﺬه اﻟﺠﺴﯿﻢ ﺣﺘﻰ ﯾﺼﻞ إﻟﻰ ٣٣٠ﻣﺘﺮ أﺳﻔﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف .
] ١٠ﺛﻮاﻧﻰ[
اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ======================================== : ٣
) (١ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ارﺗﻔﺎﻋﮫ ٩ﺳﻢ وﺣﺠﻤﮫ ٣٠٠ﺳﻢ أوﺟﺪ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ .
]١٠ﺳﻢ[
) (٢أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م ) (٣– ، ٥وﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ب)(١ ، ٢
٢
٢
]س +ص –١٠س ٦ +ص [٠ =٩+
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٠٨ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﻓﺼﻮل اﻟﺨﺪﻣﺎت
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻟـــﺜـــﺎﻧﻰ ٢٠١٧/٢٠١٦م
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــــﺎﻋـــﺘــــﺎن
=================================================٣ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ: ) (١ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻤﻮﺿﻊ ﻟﺠﺴﻢ ھﻮ ، ...............أﻣﺎ ﻣﺘﺠﮫ اﻹزاﺣﺔ ﻓﮭﻮ ....................... ) (٢اﻟﮭﺮم ھﻮ ...............وﯾﻜﻮن ﻗﺎﺋﻤﺎ إذا ﻛﺎن ............اﻣﺎ اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻓﮭﻮ ........... ) (٣ﯾﻜﻮن اﻟﺠﺴﻢ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮﺗﺎن ............. ، ......... ، ...... ) (٤ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ، ..................أﻣﺎ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = ......................... اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ ========================================= : ) (١ﻗﻄﻊ راﻛﺐ دراﺟﺔ ٦٠ﻛﻢ ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٣٠ﻛﻢ /س ﺛﻢ ﻋﺎد ﻓﻘﻄﻊ ٢٥ﻛﻢ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻀﺎد ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٥ﻛﻢ /س أوﺟﺪ ﺳﺮﻋﺘﮫ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺧﻼل اﻟﺮﺣﻠﺔ ﻛﻠﮭﺎ .
]
٢
٣٥ ٣
ﻛﻢ/س[
) (٢ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ π ٢٥ﺳﻢ وطﻮل راﺳﻤﮫ ١٣ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ٢ ٢ ] π ٦٥ﺳﻢ π ٩٠ ،ﺳﻢ [ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ واﻟﻜﻠﯿﺔ . اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ========================================= : ) (١ﻗﺬف ﺟﺴﯿﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٤م/ث ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ أﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻰ ﯾﺄﺧﺬه ﺣﺘﻰ ﯾﺼﻞ إﻟﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺒﻌﺪ ٣٢,٤ﻣﺘﺮ أﺳﻔﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف .
] ٦ﺛﻮاﻧﻰ[
) (٢أوﺟﺪ ﺑﺪﻻﻟﺔ πﻣﺤﯿﻂ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ ارﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٤ﺳﻢ وطﻮل راﺳﻤﮫ ٢٦ﺳﻢ .
٢
] π ٢٠ﺳﻢ π ١٠٠ ،ﺳﻢ [
) (٣إذا ﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ ﻣﻮﺿﻊ ﺟﺴﻢ ﯾﻌﻄﻰ ﻛﺪاﻟﺔ ﻓﻰ اﻟﺰﻣﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ ر⃐ = )٢ن (٢+ ٢ى⃐ ﻓﻌﯿﻦ ﻣﺘﺠﮫ اﻻزاﺣﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻠﺤﻈﺔ اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ ن وﻣﻦ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺠﺴﻢ . ى ،ع⃐ = ٤ن ⃐ اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ]========================== :ف⃐ = ٢ن⃐ ٢ ى[ ٣
)(١ھﺮم ﺛﻼﺛﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ارﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ وطﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٨ﺳﻢ أوﺟﺪ ﺣﺠﻤﮫ ٤٨٦] .؟ ٢ﺳﻢ [
) (٢ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٨؟ ٨ ، ، ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﺗﺤﺼﺮان زاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ١٥٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺼﻨﻌﮭﺎ ﻣﻊ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ . ]ح = ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ﻫـ = [ ْ٣٠ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٠٩ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﺗﻮﺟﯿﮫ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٦/٢٠١٥م
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــــﺎﻋـــﺘــــﺎن
=================================================٤ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ: )ا( إذا وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ )و( ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه ﻓﺈن ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻮزن ﻓﻰ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه اﻟﻤﺴﺘﻮى ﯾﺴﺎوى .......... )ب( ﻗﺬف ﺣﺠﺮ ﻓﻰ ﺑﺌﺮ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٤م/ث رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ﻓﻮﺻﻞ إﻟﻰ ﻗﺎع اﻟﺒﺌﺮ ﺑﻌﺪ ٢ﺛﺎﻧﯿﺔ ﻓﯿﻜﻮن ﻋﻤﻖ اﻟﺒﺌﺮ ﯾﺴﺎوى ........................... )ج( اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻣﻦ رأس اﻟﮭﺮم ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ ............. )ء( إذا أﻟﻘﻰ ﺣﺠﺮﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮة واﺣﺪة ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻓﺮدى أﻗﻞ ﻣﻦ ٥ھﻮ ............ ================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ١٠ ، ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﺗﺤﺼﺮان ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ١٢٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻣﻊ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ. ] ح = ٥؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ﻫـ = [ ْ٩٠
)ب( اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ٤٠ﺳﻢ وزﻧﮫ ٣٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺘﺼﻞ ﺑﻤﻔﺼﻞ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﻋﻨﺪ ا ﺣﻔﻆ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ ﯾﺘﺼﻞ ﺑﻄﺮف اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻨﺪ ب وﺑﻨﻘﻄﺔ ج ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺗﻌﻠﻮ ا رأﺳﯿ ًﺎ ﺑﻤﺴﺎﻓﺔ ٤٠ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺸﺪ وﻣﻘﺪاروإﺗﺠﺎه رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ﻋــﻨـﺪ ا
]ر = ش = ١٥؟ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ،رد اﻟﻔﻌﻞ ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎﻫـ = ْ٤٥ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١٠ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : ⃐ ⃐ ⃐ )ا( إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼﺛﺔ ق ، (٣- ، ٥) = ١ق ، (٢ ، ٧- )= ٢ق(١ ، ٢) = ٣ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ] ح = ﺻﻔﺮ [ إﺛﺒﺖ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ق ، ١ق ، ٢ق ٣ﻣﺘﻮازﻧﺔ. ⃐ ⃐ ]ﻉا ب= [ ٢ ٥
⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ )ب( عا = ٥ى ،ﻉ ب = ٣ى ﺣﯿﺚ ى ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ﺛﺎﺑﺖ أوﺟﺪ ﻉا ب
)ج( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ،وﻛﺎن ل)ا( = ل)ا -ب( =
٣ ٨
٨
،
١ ] [ ٤
أوﺟﺪ ل)ا ∩ ب(.
)ء( ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ إﺣﺴﺐ إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ١ ] [ ٤
زوﺟﻰ ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻷوﻟﻰ وﻋﺪد أوﻟﻰ ﻓﻰ اﻟﺮﻣﯿﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ .
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( ﻧﻘﺼﺖ ﺳﺮﻋﺔ ﺳﯿﺎرة ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم ﻣﻦ ٤٥ﻛﻢ/س إﻟﻰ ١٨ﻛﻢ /س ﺑﻌﺪ أن ﻗﻄﻌﺖ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٦٢٥ﻣﺘﺮ أوﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻄﻌﮭﺎ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﺣﺘﻰ ﺗﺴﻜﻦ.
] ١١٩ﻣﺘﺮ[
)ب( اﺣﺴﺐ ﻗﻮة اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻦ ﺟﺴﻤﯿﻦ ﻛﺘﻠﺘﯿﮭﻤﺎ ١٠ﻛﺠﻢ ١٥ ،ﻛﺠﻢ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ٢ﻣﺘﺮﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄن ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوي٦.٦٧
٢ ٢ ١١ﻧﯿﻮﺗﻦ.ﻣﺘﺮ /ﻛﺠﻢ ]ق=٢ .٥٠١٢٥ ١٠
١٠
٩-
ﻧﯿﻮﺗﻦ[
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : ٢١ﺳﻢ ٠
)ا( ﯾﻮﺿﺢ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺷﺒﻜﺔ ﻣﺨﺮوط ﻗﺎﺋﻢ ﻣﺴﺘﻌﯿﻨﺎ ﺑﺎﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﻌﻄﺎه أوﺟﺪ ﺣﺠﻤﮫ.
٣
]١٠١٦.٣٥ﺳﻢ [
)ب( أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻗﻄﺮھﺎ اب ﺣﯿﺚ ا = ) ، (٧- ، ٢ب = ) (٥ ، ٦
٢١ﺳﻢ ٠
٤٤ﺳﻢ ن
٢ ٢ ])س – ) + (٤ص[٤٠= (١+ أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١١ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻟـــﺜـــﺎﻧﻰ ٢٠١٦/٢٠١٥م
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﺗﻮﺟﯿﮫ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــــﺎﻋـــﺘــــﺎن
=================================================٥ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ: ⃐ ⃐ ) (١ﻣﺘﺠﮫ ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ق ، ١ق ٢ﯾﺴﺎوى .................. ⃐ ) (٢اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﺠﺴﯿﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﺑﺴﺮﻋﺔ إﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ع ٠وﻋﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ج ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺴﺎدﺳﺔ ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﺗﺴﺎوى ....................... ٢
٢
) (٣داﺋﺮة ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ س +ص = ٨ﻓﺈن ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ ﺑﺪﻻﻟﺔ πھﻮ ................... ) (٤ﺳﺤﺒﺖ ﻛﺮة ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ ﻣﻦ ﺻﻨﺪوق ﺑﮫ ﻛﺮات ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ وﻣﻠﻮﻧﺔ ﻣﻨﮭﺎ ٤ﺣﻤﺮاء ٦ ،زرﻗﺎء ، ٥ﺻﻔﺮاء ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﻟﯿﺴﺖ زرﻗﺎء ﯾﺴﺎوى ............... ================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : ١ ٥ )ا(إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ف وﻛﺎنل)ا( = ،ل)ب( = ٢ ٨ ٣ ل)ا – ب( = ﻓﺄوﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻦ : ٨
) (١ل)ا ∩ ب(. )ب(
) (٢ل ) ا ∪ ب(
) (٣ل)ب∩اَ (.
) (٤ل)اَ ∪ ب( ٥ ١ ٧ ١ ] [ ، ، ، ٨ ٤ ٨ ٤
) (١ﻗﻮﺗﺎن ق ٤ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻗﯿﺎ س اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ١٢٠وﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٤؟ ٣أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ق وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻣﻊ ق.
]ق = ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ھـ = [ ْ٣٠
) (٢ﺳﻘﻄﺖ ﻛﺮة ﻣﻦ إرﺗﻔﺎع٩٠ﻣﺘﺮ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض وﻋﻨﺪ وﺻﻮﻟﮭﺎ ﻟﻸرض ارﺗﺪت ﺛﺎﻧﯿﺔ إﻟﻰ أﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﺗﺴﺎوى ﻧﺼﻒ ﺳﺮﻋﺔ وﺻﻮﻟﮭﺎ إﻟﻰ اﻷرض .أوﺟﺪ أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ﺗﺼﻞ إﻟﯿﮫ اﻟﻜﺮة.
] ٢٢.٥ﻣﺘﺮ[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١٢ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆل اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( ﻛﺮة ﻣﻠﺴﺎء ﻣﻦ اﻟﺤﺪﯾﺪ وزﻧﮭﺎ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺴﺘﻘﺮة ﺑﯿﻦ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ أﻣﻠﺲ وﻣﺴﺘﻮي أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ اﻟﺮأﺳﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٣٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪاررد ﻓﻌﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ واﻟﻤﺴﺘﻮي . ]٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ٣ ،؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ [
)ب( ﺣﻠﻞ ﻗﻮة ﻣﻘﺪارھﺎ ١٢ﻧﯿﻮﺗﻦ إﻟﻰ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﻦ ﺗﻤﯿﻼن ﻋﻠﻰ إﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮة ﺑﺰاوﯾﺘﯿﻦ ﻓﻰ إﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﻘﺮﺑﺎ اﻟﻨﺎﺗﺞ ﻷﻗﺮب رﻗﻤﯿﻦ ﻋﺸﺮﯾﯿﻦ
ْ٤٥، ْ٦٠
] ٨,٧٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ١٠,٧٦ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ [
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ: )ا( ﻗﻤﺮ ﺻﻨﺎﻋﻰ ﻛﺘﻠﺘﮫ ١٥٠٠ﻛﺠﻢ ﯾﺪور ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ٥٤٠ﻛﻢ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض اﻟﺘﻰ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ ٦
١٠
٢٤
ﻛﺠﻢ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٦٣٦٠ﻛﻢ .أوﺟﺪ ﻗﻮة ﺟﺬب اﻷرض ﻟﻠﻘﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﯿﻮﺗﻦ
ﻋﻠﻤًﺎ ﺑﺄن ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﯾﺴﺎوى ٦.٦٧
١٠
١١-
٢
٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ .ﻣﺘﺮ /ﻛﺠﻢ
]١٢٦٠٨.٦٩٥٦٥ﻧﯿﻮﺗﻦ[
)ب( أطﻠﻘﺖ رﺻﺎﺻﺔ أﻓﻘﯿﺎ ً ﻋﻠﻰ ﻛﺘﻠﺔ ﺧﺸﺒﯿﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٠٠م/ث ﻓﻐﺎﺻﺖ ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٥٠ﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺮﻛﺖ ﺑﮭﺎ اﻟﺮﺻﺎﺻﺔ داﺧﻞ اﻟﻜﺘﻠﺔ إذا ﻋﻠﻢ أﻧﮭﺎ ﺗﺘﺤﺮك ﻋﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ. ٢ ]١٠٠٠٠-م/ث [
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : )ا(أوﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل راﺳﻤﮫ ١٧ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٥ﺳﻢ.
٣ ] π ٣٢٠ﺳﻢ [
)ب( أوﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﮭﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٢٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٤ﺳﻢ . ٢
]١٤٤٠ﺳﻢ [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١٣ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﻓﺼﻮل اﻟﺨﺪﻣﺎت
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٦/٢٠١٥م
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــــﺎﻋـــﺘــــﺎن
=================================================٦ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ: ) (١إذا ﻛﺎن اﻟﺠﺴﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﺈن ،..............وإذا ﺑﺪأ اﻟﺠﺴﻢ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن ﻓﺈن ...............وإذا ﺳﻜﻦ ﻓﺈن ...................... ⃐ ⃐ ⃐ ) (٢ﻣﺘﺠﮫ اﻟﺴﺮﻋﺔ ع = ، ........ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻌﺠﻠﺔ ج = ، .........ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻤﻮﺿﻊ ر = .......... ) (٣اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ اﻟﻘﺎﺋﻢ ھﻮ ............................... ) (٤اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﻘﺎﺋﻢ ھﻮ .......................... ) (٥إرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺬى راﺳﻤﮫ ل وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻧﻖ ﯾﺴﺎوى .......... ) (٦اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ........................... ) (٧اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ........................... ) (٨ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ھﻮ ..................................... ================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : ) (١ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻦ إرﺗﻔﺎع ٤٤,١م ﻧﺤﻮ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﻓﻤﺎ ھﻰ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺠﺴﯿﻢ ﺑﻌﺪ ﺛﺎﻧﯿﺔ واﺣﺪة ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ ﺳﻘﻮطﮫ وﻣﺘﻰ ﯾﺼﻞ إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض وﻣﺎ ھﻰ ﺳﺮﻋﺘﮫ ﻋﻨﺪﺋﺬ ؟ ] ٩,٨م/ث ٣ ،ث ٢٩,٤ ،م/ث[
) (٢ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى طﻮل راﺳﻤﮫ ١٠ﺳﻢ وطﻮل ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٢ﺳﻢ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎﻋﮫ .
] ٨ﺳﻢ[
) (٣ﻛﺮﺗﺎن ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﺎن ﻛﺘﻠﺔ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ٦، ٨ﻛﺠﻢ واﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰﯾﮭﻤﺎ ٢١.٨ﺳﻢ ﻣﺎ ﻗﻮة اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ؟
]ق = ٦ .٧٣
١٠
٨-
ﻧﯿﻮﺗﻦ[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١٤ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : ) (١ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ١٥،١٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وظﻞ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ
٣
٤
أوﺟﺪ
]ح = ٩ﻧﯾوﺗن ،ﻫـ =[ ْ٩٠
ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻠﮭﺎﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻻوﻟﻰ.
) (٢إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺄﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ : )ب ( = ، .............ل)ا ∩ ب( = ....................... ل)ا( = ، ..........ل َ ================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : ) (١ﻗﻮة ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ١٠٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔأوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﮭﺎ ﻓﻰ إﺗﺠﺎھﯿﻦ ﯾﺼﻨﻌﺎن ﻣﻌﮭﻤﺎ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎْ٤٠ ، ْ٣٠
] ٦٨,٤ﻧﯿﻮﺗﻦ ٥٣,٢ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ[
) (٢أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﺗﻤﺲ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ وﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ )–.(٤ ، ٤ ٢
٢
]س +ص ٨ +س – ٨ص [٠ = ١٦+
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : ) (١ﻋﻨﺪ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ زھﺮ اﻟﻄﺎوﻟﺔ ﻣﺮة واﺣﺪة أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺛﻢ أوﺟﺪ اﻹﺣﺘﻤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ : ا إﺣﺘﻤﺎل ظﮭﻮر ﻋﺪد أوﻟﻰ ب إﺣﺘﻤﺎل ظﮭﻮر ﻋﺪد ﻓﺮدى أوﻟﻰ ج إﺣﺘﻤﺎل ظﮭﻮر ﻋﺪد زوﺟﻰ أوﻟﻰ
١ ٢ ١ ] [ ٣ ١ ] [ ٦
] [
ء إﺣﺘﻤﺎل ظﮭﻮر ﻋﺪد ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺴﮫ ٢ ) (٢ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ٢ﺳﻢ/ث ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺘﮫ وﺑﻌﺪ أن ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢٢٥ﺳﻢ أﺻﺒﺤﺖ ﺳﺮﻋﺘﮫ ٥٠ﺳﻢ/ث أوﺟﺪ ﺳﺮﻋﺘﮫ اﻹﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ .
][١
] ٤٠ﺳﻢ/ث[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١٥ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة ﻧﺠﻊ ﺣﻤﺎدى ﺗﻮﺟﯿﮫ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٦/٢٠١٥م
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــــﺎﻋـــﺘــــﺎن
=================================================٧ اﻟﺴﺆال اﻷول :إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻹﺟﺎﺑﺎت اﻟﻤﻌﻄﺎه: ) (١ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺪار وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ وﻣﺘﺰﻧﺔ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ أى ﻗﻮﺗﯿﻦ ﯾﺴﺎوى ...............
] [ ْ١٥٠ ، ْ١٢٠ ، ْ٩٠ ، ْ٦٠
) (٢إذا ﺳﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻦ إرﺗﻔﺎع ١٠أﻣﺘﺎر ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﯿﺔ ﻓﺈن ﺳﺮﻋﺘﮫ ﻟﺤﻈﺔ إﺻﻄﺪاﻣﮫ ] ﺻﻔﺮ [ ١٩٦ ، ١٤ ، ٢٠ ،
ﺑﺎﻷرض ﺑﻮﺣﺪة م /ث ھﻰ ..................
) (٣اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻤﺨﺮوط ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٦ﺳﻢ وارﺗﻔﺎﻋﮫ ٨ﺳﻢ ﺗﺴﺎوى .................ﺳﻢ
٢
] [ π ٤٨ ، π ١٠ ، π ٢٨ ، π ٦٠
) (٤أﻟﻘﻰ ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮة واﺣﺪة ﻋﻠﻰ ﻣﻨﻀﺪة وﻟﻮﺣﻆ اﻟﻌﺪد اﻟﻈﺎھﺮ ﻋﻠﻰ وﺟﮭﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل اﻻﯾﺰﯾﺪ ھﺬا اﻟﻌﺪد ﻋﻦ ٥وﻻ ﯾﻘﻞ ﻋﻦ ٣ھﻮ..........
٢ ١ ١ ١ ] [ ، ، ، ٣ ٢ ٣ ٦
================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( ﻛﺮة ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﻠﺴﺎء وزﻧﮭﺎ ١٠ث.ﺟﻢ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٣٠ﺳﻢ ﻋﻠﻘﺖ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺤﮭﺎ ﺑﺄﺣﺪ طﺮﻓﻰ ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ طﻮﻟﮫ ٢٠ﺳﻢ وﺛﺒﺖ طﺮﻓﮫ اﻷﺧﺮ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ أﻣﻠﺲ أوﺟﺪ ﻓﻲ وﺿﻊ اﻟﺘﻮازن ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺸﺪ ﻓﻲ اﻟﺨﯿﻂ ورد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﻜﺮة . ]ش = ١٢,٥ث.ﺟﻢ ،ر = ٧,٥ث.ﺟﻢ[
)ب( ﻗﻮﺗﺎن ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ١٠ ، ٦ث .ﻛﺠﻢ وﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ١٤ث.ﻛﺠﻢ أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ .
][ ْ٦٠
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١٦ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( ﺣﻠﻠﺖ ﻗﻮة ق إﻟﻰ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﯿﻦ اﻷوﻟﻰ ٤ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ﯾﺼﻨﻊ ْ٦٠ﻣﻊ ق أوﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻦ ق واﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ .
]ق = ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ،اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ = ٤؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ [
)ب( ﺗﺘﺤﺮك ﺳﯿﺎرﺗﺎن ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻷوﻟﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٩٠ﻛﻢ /س واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٦٠ﻛﻢ /س إﺣﺴﺐ ﺳﺮﻋﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺜﺎﻧﯿﺔ إذا ﻛﺎﻧﺘﺎ ﺗﺘﺤﺮﻛﺎن ﻓﻰ : ) (١إﺗﺠﺎه واﺣﺪ
] ٣٠ﻛﻢ /س[
) (٢ﻓﻰ إﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ .
] ١٥٠ﻛﻢ /س[
================================================ اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( ﻗﺬف ﺣﺠﺮ ﺻﻐﯿﺮ رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ﺑﺌﺮ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٥م /ث ﻓﻮﺻﻞ إﻟﻰ ﻗﺎﻋﮫ ﺑﻌﺪ ٤ﺛﻮان أوﺟﺪ ﺳﺮﻋﺔاﻟﺤﺠﺮ ﻋﻨﺪ إﺻﻄﺪاﻣﮫ ﺑﻘﺎع اﻟﺒﺌﺮ وﻛﺬﻟﻚ ﻋﻤﻖ اﻟﺒﺌﺮ .
] ٤٤,٢م/ث ٩٨,٤ ،م[
٢
)ب( إﺣﺴﺐ ﻋﺠﻠﺔاﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ ﺑﻮﺣﺪة م/ث ﻟﺠﺴﻢ ﻛﺘﻠﺘﮫ ١ﻛﺠﻢ وﺿﻊ ﻓﻮق ﺳﻄﺤﮭﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ﺗﺴﺎوى ١٠ ٦
٢٤
٢
ﻛﺠﻢ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻷرض ﯾﺴﺎوى ٦٣٦٠ﻛﻢ ] ١٠م/ث [
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : )ا( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻧﻮاﺗﺞ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺎ ،ل )ا( = ، ٠,٣ ل)ب( = ، ٠,٨ل)ا ∩ ب( = ٠,٢إﺣﺴﺐ ﻛﻼ ﻣﻦ :ل)اَ ( ،ل ) ا ∪ ب( ][٠,٩ ، ٠,٧
)ب( أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻗﻄﺮھﺎ اب ﺣﯿﺚ ا ) ، ( ٧– ، ٢ب ) (٥ ، ٦ ٢
])س – ) + (٤ص(١+
٢
=[٤٠
)ج( إﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٨ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ١٥ﺳﻢ ٣
]١٢٩٦ﺳﻢ [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١٧ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة ﻓـــﺮﺷــــﻮط ﺗﻮﺟﯿﮫ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٦/٢٠١٥م
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــــﺎﻋـــﺘــــﺎن
=================================================٨ اﻟﺴﺆال اﻷول :إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻹﺟﺎﺑﺎت اﻟﻤﻌﻄﺎه: ) (١اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺼﻐﺮى ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ١٣ ، ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ )ا(٨ ، ١٣
ھﻤﺎ...... ، ......
)ج( ٨ ، ٢١
)ب( ٥ ، ١٣
)ء( ٥ ، ٢١
) (٢ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٧ﺳﻢ ،وطﻮل راﺳﻤﮫ ١٤ﺳﻢ ﻓﺈن )ج( ٤٩؟٣
ﺣﺠﻤﮫ = ........ﺳﻢ )ا( ٤٩؟) π ٣ب( π٣٤٣ ٣
)ء(
٣٤٣؟٣ ٣
π
) (٣إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ا eب ،ﻓﺈن ل)ا ∪ ب ( = ).......ا( ل )ا( ) ٣٦ (٤ﻛﻢ /س = .........م /ث
)ب( ل )ب( )ج( ل )ا( +ل )ب( )ء( ل)ا ∩ ب( ) ا( ٤
)ب( ٥
)ج( ١٠
)ء( ٢٠
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ١٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻲ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ٣٠ ﺣﻔﻆ ﺗﻮازﻧﮫ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ق ﻧﯿﻮﺗﻦ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ھﺬه اﻟﻘﻮة ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ .
] ق = ٦؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ر = ١٢؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ[
)ب( ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٣٠ ، ٢٠ ، ١٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺛﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ اﻷوﻟﻰ ﻧﺤﻮ اﻟﺸﺮق واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﺗﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ْ ٣٠ﻏﺮب اﻟﺸﻤﺎل واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺗﺼﻨﻊ ْ ٦٠ﺟﻨﻮب اﻟﻐﺮب أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى .
] ح = ١٠؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ﻫـ =[ ْ٢١٠
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١٨ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٣ ، ٣؟ ٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ واﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ إﺗﺠﺎھﯿﮭﻤﺎ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٤٥أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻣﻊ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ. ]ح = ٣؟ ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ﻫـ = [ ْ٢٦ َ٣٣ ً٥٤
)ب( ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٤٩م/ث أوﺟﺪ زﻣﻦ وﺻﻮﻟﮫ ﻷﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ وﺻﻞ إﻟﯿﮭﺎ .
] ٥ﺛﻮاﻧﻰ ١٢٢,٥ ،ﻣﺘﺮ[
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ )– (٣ ، ٢وطﻮل ﻗﻄﺮھﺎ ٨وﺣﺪات طﻮﻟﯿﺔ . ٢
])س ) + (٢ +ص–(٣
٢
=[١٦
)ب( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻧﻮاﺗﺞ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺎ ،ل )ا( = ، ٠,٣ ل)ب( = ، ٠,٨ل)ا ∩ ب( = ٠,٢إﺣﺴﺐ ﻛﻼ ﻣﻦ : )ا( ل)اَ (
)ب( ل ) ا ∪ ب(
)ج( ل)ا -ب(
)ء( ل)اَ ∩ بَ (. ][٠,١ ، ٠,١ ، ٠,٩ ، ٠,٧
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : )ا( ﺗﺘﺤﺮك ﺳﯿﺎرﺗﺎن ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ اﻷوﻟﻰ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٩٠ﻛﻢ /س واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٦٠ﻛﻢ /س إﺣﺴﺐ ﺳﺮﻋﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺜﺎﻧﯿﺔ إذا ﻛﺎﻧﺘﺎ ﺗﺘﺤﺮﻛﺎن ﻓﻰ : ) (١إﺗﺠﺎه واﺣﺪ ) (٢ﻓﻰ إﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ .
] ٣٠ﻛﻢ /س[ ] ١٥٠ﻛﻢ /س[
)ب( ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ١٣ﺳﻢ أوﺟﺪ : ) (١اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم . ) (٢ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم.
٢
]٢٦٠ﺳﻢ [ ٣
]٤٠٠ﺳﻢ [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢١٩ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة ﻓــــــﺮﺷﻮط ﻣﺪرﺳﺔ اﻟﻌﺴﯿﺮات
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳــــــــــﺎﻋـــﺘـــــﺎن
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻟــﺜــــــﺎﻧﻰ ٢٠١٥/٢٠١٤م
=================================================٩ اﻟﺴﺆال اﻷول :إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻹﺟﺎﺑﺎت اﻟﻤﻌﻄﺎه: ) (١ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٨ ، ٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺴﺎوى ...............ﻧﯿﻮﺗﻦ. ) ا( ٦
)ج( ١٠
)ب( ٨
)ء( ١٤
) (٢اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﮭﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٦ﺳﻢ وطﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٢٤ﺳﻢ ﺗﺴﺎوى ........ﺳﻢ
٢
)ا( ٤٠
)ج( ٩٦٠
)ب( ٨٠
)ء(١٥٣٦
) (٣إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻧﻮاﺗﺞ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈن ل)ا ∩ ب( =...... )ا(Z
)ب( ﺻﻔﺮ
)ء( ٠,٥
) ج( ١
) (٤ﺗﺘﺤﺮك ﺳﯿﺎرﺗﺎن ا ،ب ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺘﯿﻦ ٦٠ﻛﻢ/س ٨٠ ،ﻛﻢ/س ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻓﻲ إﺗﺠﺎه واﺣﺪ ﻓﺈن عاب = .....ﻛﻢ /س) .ا( ١٤٠-
)ب( ٢٠-
)ج( ٢٠
)ء(١٤٠
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( ﻛﺮة ﻣﻌﺪﻧﯿﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﻠﺴﺎء وزﻧﮭﺎ ١٥ث.ﻛﺠﻢ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٢٥ﺳﻢ رﺑﻄﺖ ﻣﻦ إﺣﺪى ﻧﻘﻂ ﺳﻄﺤﮭﺎ ﺑﺨﯿﻂ طﻮﻟﮫ ٢٥ﺳﻢ وﻣﺮﺑﻮط طﺮﻓﮫ اﻷﺧﺮ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ أﻣﻠﺲ ﻓﺈﺗﺰﻧﺖ اﻟﻜﺮة وھﻰ ﻣﺴﺘﻨﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻲ اﻟﺨﯿﻂ وﻣﻘﺪار رد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ . ]ش = ١٠؟ ٣ث.ﻛﺠﻢ ،ر = ٥؟ ٣ث.ﻛﺠﻢ[ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ )ب( إذا ﻛﺎﻧﺖ ق ٥ = ١ﺳﺲ ٣ +ﺻﺺ ،ق = ٢اﺳﺲ ٦ +ﺻﺺ ،ق ١٤- = ٣ﺳﺲ +ب ﺻﺺ
ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ وﻣﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ وﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح = ) ١٠؟( ْ١٣٥ ، ٢ ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ا ،ب .
]–[١ ، ١
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢٠ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( ﻗﻮﺗﺎن ق ٤ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻗﯿﺎ س اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ١٢٠وﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٤؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ق وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻣﻊ ق. ]ق = ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ھـ = [ ْ٣٠
)ب( ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ً ﻷﻋﻠﻲ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٤م/ث ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ٣٥٠م ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﺄﺧﺬه اﻟﺠﺴﻢ ﺣﺘﻰ ﯾﺼﻞ ﺳﻄﺢ اﻷرض.
] ١٠ﺛﻮاﻧﻲ[
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ ن= ) (٣– ،٥وﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ٢
ب )(١ ، ٢
٢
] س +ص – ١٠س ٦+ص [٠= ٩+
)ب( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻧﻮاﺗﺞ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺎ ،وﻛﺎن ل)ا( = ١
٣
٢
٨
٥ ٨
،
ل)ب( = ،ل)ا – ب( = إﺣﺴﺐ ﻛﻼ ﻣﻦ : ) (٢ل)ا ∪ ب (
) (١ل)ا ∩ ب (
)(٣ل)اَ ∩ بَ (
)(٤ل)اَ ( ١
٧
٤
٨
] ، ،
١
٣
٨
٨
[ ،
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ: )ا( إﺣﺴﺐ ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ﺑﻮﺣﺪة ﻛﺠﻢ ﺑﻔﺮض أن ﺟﺴﻤًﺎ ﻛﺘﻠﺘﮫ ١ﻛﺠﻢ وﺿﻊ ﻓﻮق ﺳﻄﺤﮭﺎ ﻋﻠﻤًﺎ ﺑﺄن طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻷرض ٦٣٦٠ﻛﻢ ،و ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ث = ٦,٦٧
١٠
١١-
٢
ﻧﯿﻮﺗﻦ .م /ﻛﺠﻢ
٢
]٥,٩٤
١٠
٢٤
ﻛﺠﻢ [
٣
)ب( ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﺸﯿﻜﻮﻻﺗﺔ ﻋﻠﻰ ھﯿﺌﺔ ﻣﺨﺮوط ﻗﺎﺋﻢ ﺣﺠﻤﮫ π ٢٧ﺳﻢ وﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ π ٦ﺳﻢ أوﺟﺪ إرﺗﻔﺎﻋﮫ .
]ع = ٩ﺳﻢ[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢١ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﺗﻮﺟﯿﮫ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٥/٢٠١٤م ﻣـﻌـﺪل
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳــــــــــﺎﻋـــﺘـــــﺎن
================================================١٠ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ -: )ا( اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺎن ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻰ ﻧﻔﺲ .................وﻻ ﯾﺸﺘﺮﻛﺎن ﻓﻰ ............. )ب( ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن وﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﺎن وﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٨ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻗﻮة = ......ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺟـ)ﺟـ( إذا ﻛﺎن إذا ﻛﺎن ب eا ﻓﺈن)ا ∩ ب ( = )، .......ا ∪ ب(= ...... ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ )ء( إذا ﻛﺎن عا = ١٢ى⃐ ،ﻉ ب = ١٠ى ﻓﺎنﻉا ب =....... ================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق٢،ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ و أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ اذاﻛﺎﻧﺖ ]ى =[ ْ١٢٠
ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ .
)ب( ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ٢٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ٣٠ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ ٤٠ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﺎت ﻣﻮازﯾﺔ ﻷﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻷﺿﻼع وﻣﺄﺧﻮذة ﻓﻰ ﺗﺮﺗﯿﺐ دورى واﺣﺪ أوﺟﺪ ]ح = ١٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن ،ه=[ ْ٢١٠
ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ.
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ ا ب وزﻧﮫ٤ﺛﻘﻞ ﻛﺠﻢ ﯾﺘﺼﻞ طﺮﻓﮫ ا ﺑﻤﻔﺼﻞ أﻣﻠﺲ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ
أﺛﺮت ﻓﻰ اﻟﻄﺮف ب ﻗﻮة ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻓﺄﺗﺰن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ٤٥أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة ورد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ْ
ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ.
] ق= ؟ ٢ث .ﻛﺠﻢ ،ر= ؟١٠ث .ﻛﺠﻢ[
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢٢ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
)ب( ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﻘﻄﻊ ﻓﻰ اﻟﺜﻮاﻧﻰ اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢٠٠ﻣﺘﺮ ﺛﻢ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٥٠ﻣﺘﺮﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺘﯿﻦ اﻟﺴﺎﺑﻌﺔ واﻟﺜﺎﻣﻨﺔ أوﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﻘﻄﻌﮭﺎ ﻣﻨﺬ ﺑﺪء اﻟﺤﺮﻛﺔ ﺣﺘﻰ ﯾﺘﻮﻗﻒ .
]ف = ٣٦٠ﻣﺘﺮ[
================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( ﺳﻘﻄﺖ ﻛﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﻄﺎط ﻣﻦ ارﺗﻔﺎع ٢٠ﻣﺘﺮ ﻓﺎﺻﻄﺪﻣﺖ ﺑﺎﻷرض وارﺗﺪت رأﺳﯿﺎ ً إﻟﻰ أﻋﻠﻲ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٥ﻣﺘﺮ أﺣﺴﺐ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻜﺮة ﻗﺒﻞ وﺑﻌﺪ إﺻﻄﺪاﻣﮭﺎ ﺑﺎﻷرض ﻣﺒﺎﺷﺮة . ]ع = ١٤؟ ٢م /ث ،ع ٧ =٠؟ ٢م /ث [
)ب( ﺣﺪد وﺿﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ٥ :س– ١٢ص ٠ =١٣+ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ٢
٢
س +ص – ٦س ٤ +ص–٠ = ١٢
]ﻧﻖ = ، ٥ل = ٤واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻗﺎطﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة[
================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : ٢٤ )ا( إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض ﺗﺴﺎوى ١٠ ٥.٩٧ﻛﺠﻢ وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٦.٣٦
٦
١٠اﺣﺴﺐ ﺷﺪة ﻣﺠﺎل اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ ﻋﻠﻰ إرﺗﻔﺎع ٥٠ﻛﻢ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض. ٢
] ٩.٦٩م /ث [
)ب( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ، ٠,٣ ل)ب( = ، ٠,٨ل)ا ∩ ب ( = ٠,٢إﺣﺴﺐ ﻛﻼ ﻣﻦ : ل)اَ ( ،ل)ا ∪ ب ( ،ل)ا – ب( ،ل)اَ ∪ بَ (
] [٠,٨ ، ٠,١ ، ٠,٩ ، ٠,٧
)ج( أوﺟﺪ ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ ﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٤٤ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٥ﺳﻢ
٢٢ )=π ٧
(
٣ ] ١٢٨٣.٣ﺳﻢ [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢٣ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﺗﻮﺟﯿﮫ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــﺎﻋـــــﺘــــﺎن
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻟﺜﺎﻧﻰ
٢٠١٥/٢٠١٤م ﻣـﻌـﺪل
================================================١١ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ -: )ا( ھﺮم ﺛﻼﺛﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺣﺮﻓﮫ ٦ﺳﻢ ﻓﺈن إرﺗﻔﺎﻋﮫ = ...............ﺳﻢ )ب( ﺷﺮط اﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ھﻮ....... ٢
)ﺟـ( ٩٠٠ﻣﺘﺮ /س /ث = ....................ﻣﺘﺮ /ث
)ء( اﻟﺤﺪث اﻷوﻟﻰ )اﻟﺒﺴﯿﻂ( ھﻮ ..................................... ================================================ اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( اب ﺟـءﻫـ و ﺳﺪاﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٢،٦؟ ٢ ،٦، ٣؟ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻲ ا ب،ا ﺟـ ،اء ،اهﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪاراﻟﻤﺤﺼﻠﺔ.
]ح= ٦؟ ٧ﻧﯾوﺗن ،ﻫـ=[ ْ٤٠ َ٥٣ ً٣٦
)ب( ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ٤ ،١٠ ، ٥؟ ٧ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ إذا ﻛﺎن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻷوﻟﻰ واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﯾﺴﺎوى ْ ٦٠أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﻤﺘﯿﻦ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﺼﻐﺮى ﻟﻤﻘﺪار ] ٩؟ ٧ﻧﯾوﺗن ،
؟ ٧ﻧﯿﻮﺗﻦ [
ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث. ================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ ا ب طﻮﻟﮫ ٢ل ﯾﺘﺼﻞ طﺮﻓﮫ ا ﺑﻤﻔﺼﻞ أﻣﻠﺲ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ أﺛﺮت ﻓﻰ اﻟﻄﺮف ب ﻗﻮة ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﺄﺗﺰن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺑزاو ﺔ
٦٠ﻓﺈذا ﻛﺎن وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ٤ﺛﻘﻞ ﻛﺠﻢ وﯾﺆﺛﺮ ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة ورد ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ .
]ق= ؟ ٣ث .ﺟم ،ر= ؟ ٧ث .ﺟم [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢٤ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
)ب( ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﻘﻄﻊ ﻓﻰ اﻟﺜﻮاﻧﻲ اﻟﺜﻼث اﻷوﻟﻲ ﻣﻦ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢٨.٥ﺳﻢ وﻗﻄﻊ ﻓﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺘﯿﻦ اﻟﺘﺎﺳﻌﺔ واﻟﻌﺎﺷﺮة ٦٤ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ ٢ ] ﺟـ =٣ﺳم/ث ،ﻉ ٥ =.ﺳم/ث[
واﻟﺴﺮﻋﺔ اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ﻟﻠﺠﺴﻢ.
================================================ اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( ﺳﻘﻂ ﺣﺠﺮ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن ﻓﻮق ﻛﻮﻣﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﻣﻞ ﻣﻦ ارﺗﻔﺎع ٩٠ﻣﺘﺮ ﻓﻐﺎص ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٤ﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺮك ﺑﮭﺎ داﺧﻞ اﻟﺮﻣﻞ.
] ﺟـ = ٦٣٠٠ -م/ث
٢
)ب( ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ٨ﺳﻢ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ π ٩٦ﺳﻢ
[
٢
٣ ] ٥٩٩.٧ﺳﻢ [
أوﺟﺪ ﻷﻗﺮب رﻗﻢ ﻋﺸﺮى واﺣﺪ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط .
================================================ اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : )ا( أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) (٥– ، ٥وﺗﻤﺲ ﻣﺤﻮرى اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت. ٢ ٢ ]س +ص – ١٠س ١٠+ص [٠ =٢٥+
)ب( إذا ﻛﺎن طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺮ واﻷرض ١٦٠٠ﻛﻢ ٦٤٠٠ ،ﻛﻢ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ وﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻋﺠﻠﺘﻰ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ٦ :١ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻛﺘﻠﺘﯿﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ][٩٦:١
)ج( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ا eب ، ٥ ٣ ل) ا ∪ ب ( = ،ل) ا ∩ ب ( = ٨ ٤ ١ ) (١إﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع ب ] [ ٤ ١ ) (٣إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ ] [ ٨
أوﺟﺪ : ) (٢إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ا ) (٤إﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﻓﻘﻂ
٥ ] [ ٨ ١ ] [ ٨
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢٥ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﻣﺪرﺳﺔ ث .ﺑﻨﺎت
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٤/٢٠١٣م ﻣـﻌـﺪل
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــﺎﻋــﺘـــــــﺎن
================================================١٢ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ -: ) (١اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔﺎن ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻏﯿﺮ ........وﻏﯿﺮ ........وﻻ ﯾﺠﻤﻌﮭﻤﺎ ....... ⃐ ⃐ ⃐ ) (٢إذا أﺛرت اﻟﻘو اﻟﺛﻼث ق،١ق،٢ق ٣ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﺎد ﺔ و ﺎﻧت ﻣﺗزﻧﺔ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ﺣﯾث ق٥=١ﺳﺲ ،ق= ٢ﺳﺲ ٢ -ﺻﺺ ﻓﺎن ق.........= ٣وﺣﺪة ﻗﻮة. ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ )(٣إذا ﻛﺎن ﻉا = ١٥ى ،ﻉ ب = ٢٥ -ى ﻓﺎن ﻉ ب ا =..... ) (٤ﻋﻨﺪ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺛﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد وﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻮﺟﮫ اﻟﻌﻠﻮى ﻟﻜﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻓﺈن ﺣﺪث ظﮭﻮر ﻋﺪد أوﻟﻰ = ........................ ================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( ﻗﻮﺗﺎن ،٨ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ ١٢٠ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺗﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٣٠أوﺟد ﻗ ﻣﺔ ق وﻣﻘدار اﻟﻣﺣﺻﻠﺔ. ]ق=٤ﻧﯾوﺗن ،ح = ٤؟ ٣ﻧﯾوﺗن[
)ب(ا ب ﺟـ ء ﻣﺮﺑﻊ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ١٢ﺳﻢ ،ﻫـ ب ﺟـ ﺣﯾث ب ھـ= ٥ﺳﻢ ،أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ٤ ،١٣ ، ٢ة ٩ ، ٢ث ﺟم ﻓﻰ اﻹﺗﺟﺎﻫﺎت ا ب ،ا ﻫـ ،ﺟـا ،اء ﻋﻠﻰ ]ح = ١٠؟ ٢ث.ﺟم ،ﻫـ =[ ْ٤٥
اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ أوﺟﺪ ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى. ================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ٩٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎْ٣٠ إذاﺣﻔﻆ اﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻮة أﺛﺮت ﻋﻠﯿﮫ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه أﻓﻘﻰ أوﺟﺪ ھﺬه اﻟﻘﻮة ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ.
]ق = ٣٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن ،ر = ٦٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢٦ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
)ب( ﻗﻄﺎر ﯾﺘﺤﺮك ﺣﺮﻛﺔ ﺗﻘﺼﯿﺮﯾﺔ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻧﻘﺼﺖ ﺳﺮﻋﺘﮫ ﻣﻦ ٦٦م/ث اﻟﻰ ٤٤م/ث ﺧﻼل ﻗﻄﻌﮫ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٤٨٤ﻣﺘﺮ أوﺟﺪ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ واﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﺴﺘﻐﺮﻗﮫ اﻟﻘﻄﺎر ]ج =٢.٥ -م/ث،٢ن=١٧.٦ث[
ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﺣﺘﻰ ﯾﻘﻒ.
================================================ اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ً ﻷﻋﻠﻲ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٨ﻣﺘﺮ /ث أوﺟﺪ زﻣﻦ وﺻﻮﻟﮫ اﻟﻰ أﻗﺼﻰ إرﺗﻔﺎع واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ وﺻﻞ اﻟﯿﮭﺎ.
]ن =
٢٠ ٧
ﺛﺎﻧﯿﺔ ،ﻑ = ٤٠ﻣﺘﺮ[
)ب( وﺿﻌﺖ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪﯾﺪ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ٥٠ﺳﻢ ﻣﻦ أﺧﺮى ﻣﻦ اﻟﻨﯿﻜﻞ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ ٢٥ﻛﺠﻢ ﻓﻜﺎﻧﺖ ﻗﻮى اﻟﺘﺠﺎذب ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٦
١٠
٨-
ﻓﻜﻢ ﺗﻜﻮن ﻛﺘﻠﺔ اﻟﻜﺮة اﻟﺤﺪﯾﺪ.
] ٩ﻛﺠﻢ[
=============================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : ٣
)ا( ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺣﺠﻤﮫ ٤٠٠ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ١٢ﺳﻢ إﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ . ٢
] ٢٦٠ﺳﻢ [
)ب( أوﺟﺪ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م= )– (٥ ،٢وﺗﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ا). (٢ ، ٣
٢
٢
]س +ص ٤ +س – ١٠ص–[٠= ٥
)ج( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ف ،ل)ا( = ، ٠,٦ل)ب( = ، ٠,٨ ل)اَ ∪ بَ (= ٠,٥ﻓﺄﺣﺴﺐ ل)اَ ∩ ب (
][٠,٣
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢٧ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﻣﺪرﺳﺔ.اﻟﺴﻠﯿﻤـﺎت
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٤/٢٠١٣م ﻣـﻌـﺪل
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــﺎﻋــﺘـــــــﺎن
===============================================١٣ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ -: ) (١ﺑﺪأ ﺟﺴﻢ ﺣﺮﻛﺘﮫ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٢٦ﻛﻢ /س ﻓﺘﻮﻗﻒ ﻋﻦ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﺑﻌﺪ أن ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٢,٥ﻣﺘﺮ ﻓﺎن ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻟﻠﺠﺴﻢ =...........م/ث
٢
) (٢ﻓﺼﻞ ﺑﮫ ٤٢طﺎﻟﺐ ﻧﺠﺢ ﻣﻨﮭﻢ ﻓﻲ اﺧﺮ اﻟﻌﺎم ٣٥طﺎﻟﺒﺎ ﻓﺈذا أﺧﺘﯿﺮ طﺎﻟﺐ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﻜﻮن راﺳﺒﺎ ھﻮ ............................ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ) (٣إذا ﻛﺎن ﻉا= ١٥ص ،ﻉب ا=٢٥ص ﻓﺎنﻉب =.... ) (٤إذا ﺑﻠﻐﺖ ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﯾﺴﺎوى ..................................... ================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻋﺪد أﺿﻼﻋﮫ ١٢ﺿﻠﻌﺎ وﺗﻤﺮ ﺑﺮؤوﺳﮫ ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة ٢
٢
س +ص – . ٠ =١٦
] ٤٨وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ[
)ب( ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ طﻮﻟﮫ٢٥ﺳﻢ ﻋﻠﻖ ﺑﮫ وزن ﻣﻘﺪاره ٢٠٠ث.ﺟﻢ وطﺮﻓﮫ اﻻﺧﺮﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻣﻦ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﺣﻔﻆ ﻓﻰ ﺗﻮازن ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن ﺑﻌﺪ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٢٤ﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ واﻟﻘﻮة اﻷﻓﻘﯿﺔ
]ش=
٥٠٠٠ ٧
ث.ﺟم ،ق =
٤٨٠٠ ٧
ث.ﺟم [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢٨ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( أرﻊ ﻗو ﻣﺳﺗو ﺔ ﻣﻘﺎدﯾرﻫﺎ ٤ ، ٣ ،١؟ ٥ ، ٣ﻧﯾوﺗن ﺗؤﺛر ﻓﻰ ﻧﻘطﺔ ﻣﺎد ﺔ و ﺎن ﻗ ﺎس اﻟزاو ﺔ ﺑﯾن إﺗﺟﺎﻫﻰ اﻟﻘوﺗﯾن اﻷوﻟﻲ واﻟﺛﺎﻧ ﺔ ْ٦٠و ﯾن إﺗﺟﺎﻫﻰ اﻟﺛﺎﻧ ﺔ واﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ْ٩٠و ﯾن إﺗﺟﺎﻫﻰ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ واﻟ ار ﻌﺔ ْ١٥٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ وإﺗﺠﺎھﮭﺎ
]ح = ٢ﻧﯾوﺗن،ﻫـ=[ ْ١٢٠
)ب( ﻗﺬف ﺟﺴﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض اذا ﻛﺎن أﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ﯾﺼﻞ إﻟﯿﮫ اﻟﺠﺴﻢ ھﻮ١٩.٦ﻣﺘﺮ أوﺟﺪ -: ]ﻉ ١٩.٦ =.م/ث[
أوﻻ :اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﺬف ﺑﮭﺎ ﻟﺠﺴﻢ . ً
ﺛﺎﻧﯿﺎ :اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﻤﻀﻰ ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ اﻟﻘﺬف ﺣﺘﻰ ﯾﻌﻮد اﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض . ً
]ن = ٤ﺛﺎﻧ ﺔ[
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( ﺗﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻦ ﺳﻜﻮن ﻓـﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﺴﺎﻓﺔ ١٢٥ﻣﺘﺮ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ١٠م/ث ٢ﺛﻢ اﻧﻘﻄﻌﺖ اﻟﻌﺠﻠﺔ ﻓﺴﺎر ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺘﻰ أﻛﺘﺴﺒﮭﺎﻣﺴﺎﻓﺔ ٤٠٠ﻣﺘﺮ ﺛﻢ ﺗﺤﺮك ﺑﻌﺠﻠﺔ ٢
ﺗﻘﺼﯿﺮﯾﺔ ٥م/ث ﺣﺘﻰ ﺳﻜﻦ أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﻗﻄﻊ ﻓﯿﮫ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ. ] ن٥ =١ث ،ن٨ =٢ث ،ن١٠= ٣ث ،اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻰن=٢٣ث[ ٣
أوﺟﺪ
)ب( ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ١٥ ،١٢ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وظﻞ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻣﻘﺪارﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻠﮭﺎﻋﻠﻰ اﻷوﻟﻰ. ================================================== ٤ ]ح = ٩ﻧﯾوﺗن ،ﻫـ =[ ْ٩٠
اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : )ا( ﻗﻤﺮ ﺻﻨﺎﻋﻰ ﻛﺘﻠﺘﮫ ٢٠٠٠ﻛﺠﻢ ﯾﺪور ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ٤٤٠ﻛﻢ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض اﻟﺘﻰ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ ٦ ٦٣٦٠ﻛﻢ.
١٠
٢٤
ﻛﺠﻢ .أوﺟﺪ ﻗﻮة ﺟﺬب اﻷرض ﻟﻠﻘﻤﺮ ﻋﻠﻤًﺎ ﺑﺄن ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻷرض ]ق = ١٧٣٠٩ .٦٨٨٥٨ﻧﯿﻮﺗﻦ[
)ب( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا(َ = ٣ل)ا( ﻓﺄوﺟﺪ ل)ا(َ
٣ ٤
] [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٢٩ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﻣﺪرﺳﺔ ث .ﺑﻨﺎت
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــﺎﻋــﺘـــــﺎن
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻟﺜﺎﻧﻰ
٢٠١٤/٢٠١٣م ﻣـﻌـﺪل
================================================١٤ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ -: )ا( اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ھﻮ ............................. )ب( ﺷﺮط اﺗﺰان ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ھﻮ... ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ )ﺟـ( إذا ﻛﺎن عا = ٥ى⃐ ،ﻉ ب =٣ى ﻓﺎنﻉا ب =....... )ء( ﻣﺠﻤﻮع إﺣﺘﻤﺎﻻت ﻧﻮاﺗﺞ أى ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ = ........................ ================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ،٢ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻗﯿﺎس اﻟﺰا وﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ْ١٢٠ ]ق= ١ﻧﯾوﺗن[
أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ق إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ.
)ب( ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ وﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪار ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻛﺎن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﯾﺼﻨﻊ ﻣﻊ إﺗﺠﺎھﻰ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻷوﻟﻰ واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻗﯿﺎس ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ْ٦٠أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار وإﺗﺠﺎه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ.
]ح = ٢ق ﻧﯾوﺗن ،ه=[ ْ٦٠
================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ٦٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ أﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻲ ﺑﺰاوﯾﺔ ْ ٣٠وﺷﺪ إﻟﻲ أﻋﻠﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺨﯿﻂ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮي أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ.
] ش= ٣٠ﻧﯾوﺗن ،ر= ٣٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن[
)ب( أطﻠﻘﺖ رﺻﺎﺻﺔ أﻓﻘﯿﺎ ً ﻋﻠﻰ ﻛﺘﻠﺔ ﺧﺸﺒﯿﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٠٠م/ث ﻓﻐﺎﺻﺖ ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ٤ﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺮﻛﺖ ﺑﮭﺎ اﻟﺮﺻﺎﺻﺔ إذا ﻋﻠﻢ أﻧﮭﺎ ﺗﺘﺤﺮك ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ. ] ﺟـ = – ٥٠٠٠٠٠م/ث [ ٢
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٣٠ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( ﻗﺬف ﺟﺴﯿﻢ رأﺳﯿﺎ ً ﻷﻋﻠﻲ ﺑﺴﺮﻋﺔ ٢٤.٥م/ث ﻓﺒﻌﺪ ﻛﻢ ﺛﺎﻧﯿﺔ ﯾﻌﻮد اﻟﺠﺴﯿﻢ إﻟﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻘﺬف .
] ٥ﺛﻮاﻧﻲ[
)ب( أوﺟﺪ ﻗﻮة اﻟﺠﺬب اﻟﻌﺎم ﺑﯿﻦ ﻛﻮﻛﺒﯿﻦ ﻛﺘﻠﺔ اﻷول ٢ ٤
١٠
٢٥
طﻦ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٢
٦
١٠ﻛﻢ.
١٠
٢١
طﻦ وﻛﺘﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﻲ
]ق = ١.٣٣٦
١٠
٢٤
ﻧﯿﻮﺗﻦ[
================================================ اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : )ا( أﯾﮭﻤﺎ أﻛﺒﺮ ﺣﺠﻤﺎ :ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٥ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٠ﺳﻢ أم ھﺮم رﺑﺎﻋﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ إرﺗﻔﺎﻋﮫ ٤٠ﺳﻢ وﻣﺤﯿﻂ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ٤٨ﺳﻢ . ]ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط = ٤٧١٢.٤ﺳﻢ ، ٣ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم = ١٩٢٠ﺳﻢ ،٣اﻟﻤﺨﺮوط أﻛﺒﺮ ﺣﺠﻤﺎ[
)ب( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ٣ ٥
ل)ا(َ = ل)ا ∪ ب( = ٠,٤٥ﻓﺄوﺟﺪ ل)ب( ﻓﻰ اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ : ) (١ا ،ب ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن ) (٢ا eب
][٠,٢ ][٠,٧٥
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٣١ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ ﺗﻮﺟﯿﮫ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٣/٢٠١٢م ﻣـﻌـﺪل
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــﺎﻋــﺘـــــــﺎن
================================================١٥ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ: ) (١اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ............................... ⃐ ) (٢إذا ﻛﺎﻧﺖ ق ﺗﺘﺰن ﻣﻊ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ٣ﻧﯿﻮﺗﻦ ٣ ،ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٦٠ﻓﺈن ق = .................ﻧﯿﻮﺗﻦ . ْ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ) (٣إذا ﻛﺎن ﻉا = ١٢ى ،ﻉ ب =١٠ى ﻓﺎن ﻉ ب ا =....... ) (٤إذا ﻛﺎن إﺣﺘﻤﺎل ﻧﺠﺎح طﺎﻟﺐ ھﻮ %٦٠ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل رﺳﻮﺑﮫ ﯾﺴﺎوى ............. ================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ١٦ ،٣٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ٢٦ ][ ْ١٢٠
ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ.
)ب( ﻗذف ﺟﺳم رأﺳ ﺎً ﻷﻋﻠﻲ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ إرﺗﻔﺎع ٩.٨ﻣﺘﺮ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺑﺴﺮﻋﺔ ٤.٩ﻣﺘﺮ/ث أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﺬى ﯾﺴﺘﻐﺮﻗﮫ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض .
]ن =٢ﺛﺎﻧﯿﺔ[
================================================ اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( ﯾﺗﺣرك ﺟﺳﯾم ﺑﻌﺟﻠﺔ ﻣﻧﺗظﻣﺔ ﻓﻰ إﺗﺟﺎه ﺛﺎﺑت ﻓﺎذا ﻗطﻊ ٢٦ﻣﺗرﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ﻣن ﺑدء ﺣرﻛﺗﮫ ٥٦ ،ﻣﺗرﺧﻼل اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺗﺎﺳﻌﺔ إﺣﺳب ﺳرﻋﺗﮫ ﻋﻧد ﺑدء اﻟﺣرﻛﺔ . ٢
]ﺟـ=٦م/ث ،ﻉ٥= .م/ث[
)ب( أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ م= ) (٢– ،٣وطﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﯾﺴﺎوى ٧وﺣﺪة طﻮل .
٢
٢
]) س – ) + ( ٣ص [٤٩ = (٢ +
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٣٢ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( أزﯾﺤﺖ ﻛﺮة ﺑﻨﺪول وزﻧﮭﺎ ١ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺣﺘﻰ ﺻﺎر اﻟﺨﯿﻂ ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﻗ ﺎﺳﻬﺎ ْ٣٠ﻣﻊ اﻟﺮأﺳﻲ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮة ﻋﻠﻰ اﻟﻜﺮة ﻓﻰ إﺗﺠﺎه أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺨﯿﻂ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة وﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ]ق =
ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ .
؟ ٣ ٣
ﻧﯾوﺗن ،ش =
٢؟ ٣
ﻧﯾوﺗن [
٣
٣
)ب( ﺻﮭﺮﯾﺞ ﻣﯿﺎه ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮى ﻗﺎﺋﻢ ﺣﺠﻤﮫ π ٣٢م وإرﺗﻔﺎﻋﮫ ٦م أوﺟﺪ طﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ .
٢ ] ٤م ١٤٠,٩ ،م [
================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ : ٢ )ا( إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﺠﻠﺔ اﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ اﻷرﺿﯿﺔ ھﻰ ١٠م /ث وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻷرض ﯾﺴﺎوى ٦.٣٦
٦
١٠م اﺣﺴﺐ ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض.
]٦.٠٦
١٠
٢٤
ﻛﺠﻢ[
)ب( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ل)ا( = ، ٠,٣ ل)ب( = ، ٠,٨ل)ا ∩ ب ( = ٠,٢إﺣﺴﺐ ﻛﻼ ﻣﻦ : ل)اَ ( ،ل)ا ∪ ب ( ،ل)ا – ب( ،ل)اَ ∪ بَ (
] [٠,٨ ، ٠,١ ، ٠,٩ ، ٠,٧
ﺧﺪاع ﺑﺼﺮى :أﻧﻈﺮ إﻟﻰ ﺻﻮرة اﻟﻔﺘﺎة ﺛﻢ إﻗﻠﺒﮭﺎ . ﻣﺎذا ﺗﻼﺣﻆ ؟؟ ﺻﻮرة اﻟﻔﺘﺎة أﺻﺒﺤﺖ ..............................
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٣٣ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
ﻣـﺤﺎﻓــﻈﺔ ﻗـــــــﻨﺎ إدارة اﺑﻮﺗـــــــﺸﺖ م.ﻋﺰﺑﺔ اﻟﺒﻮﺻﺔ
اﻟﻤﺎدة :ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ :اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى ﻋﻠﻤﻰ اﻟﺰﻣﻦ :ﺳـــــــــﺎﻋــﺘـــــــﺎن
إﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول ٢٠١٣/٢٠١٢م ﻣـﻌـﺪل
================================================١٦ اﻟﺴﺆال اﻷول :أﻛﻤﻞ ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻰ -: ) (١ﯾﺘﻌﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ ﺑﺈﺣﺪى اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ .......... ، ...... ، ...... ، ..... ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ⃐ ) (٢إذا أﺛﺮت اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث ق،١ق،٢ق ٣ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ وﻛﺎﻧﺖ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﺣﯾث ق٨=١ﺳﺲ ⃐ ⃐ ⃐ ،ق١٥= ٢ﺻﺺ ﻓﺎن ق.........= ٣وﺣﺪة ﻗﻮة. ) (٣ﺳﻘﻂ ﺣﺠﺮ ﻣﻦ ﻗﻤﺔ ﺑﺮج رأﺳﻰ ﻣﻘﺎم ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﻓﻮﺻﻞ إﻟﻰ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺑﻌﺪ ٥ﺛﻮاﻧﻰ ﻓﺎن إرﺗﻔﺎع اﻟﺒﺮج = ...........ﻣﺘﺮ ) (٤إذا اﻟﻘﻰ ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮة واﺣﺪة ﻓﺈن إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻓﺮدى أﻗﻞ ﻣﻦ ٥ھﻮ ..................... ================================================== اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ : )ا( ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ،٢ق ﻧﯿﻮﺗﻦ واﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ١٢٠أوﺟد ﻗ ﻣﺔ ق ]ق= ١ﻧﯾوﺗن[
إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ.
)ب( أوﺟﺪ ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎدﯾﺔ ٥ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺷﻤﺎﻻ ، ٦ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺷﺮﻗﺎ ٤،ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺟﻨﻮب اﻟﻐﺮب ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٣٠
]ح =٣.٩ﻧﯾوﺗن،ه= [ ْ٥٠ َ ١١ ً٤٠
================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ : )ا( ﻛﺮة ﻣﻠﺴﺎء ﻣﻦ اﻟﺤﺪﯾﺪ وزﻧﮭﺎ ٣٠ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺴﺘﻘﺮة ﺑﯿﻦ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ أﻣﻠﺲ وﻣﺴﺘﻮي ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻲ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ٦٠أوﺟﺪ ﺿﻐﻂ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ واﻟﻤﺴﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻟﻜﺮة. ] ٣٠؟ ٣ﻧﯾوﺗن ٦٠ ،ﻧﯾوﺗن [
)ب( ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﻢ ا ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻖ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ١٠ﻛﻢ /س وﯾﺘﺤﺮك ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻹﺗﺠﺎه ﺟﺴﻢ أﺧﺮ ب ﺑﺴﺮﻋﺔ ٨ﻛﻢ /س أوﺟﺪ ﺳﺮﻋﺔ ب ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ا. ]٢-
⃐
أو ٢ﻛﻢ /س ﻋﻜﺲ اﺗﺠﺎه اﻟﺤﺮﻛﺔ [
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٣٤ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "
اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ : )ا( ﯾﺘﺤﺮك ﺟﺴﻢ ﺑﻌﺠﻠﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﻰ إﺗﺠﺎه ﺛﺎﺑﺖ ﻓﺈذا ﻗﻄﻊ ٢٠ﻣﺘﺮ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﻦ ﺑﺪء اﻟﺤﺮﻛﺔ ١٥٠ ،ﻣﺘﺮ ﻓﻰ اﻟﺜﻮاﻧﻲ اﻟﺜﺎﻣﻨﺔ واﻟﺘﺎﺳﻌﺔ واﻟﻌﺎﺷﺮة إﺣﺴﺐ اﻟﻌﺠﻠﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺮك ﺑﮭﺎ ]ﺟـ = ٥م/ث، ٢ﻉ ٧.٥ = .م/ث [
اﻟﺠﺴﻢ واﻟﺴﺮﻋﺔ ﻋﻨﺪ ﺑﺪء ﺣﺮﻛﺘﮫ .
)ب( ھﺮم ﺳﺪاﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٢ﺳﻢ وإرﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ١٠؟ ٣ﺳﻢ أوﺟﺪ -: ٢
] ٣٦٠؟ ٣ﺳﻢ [
-١ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ .
٢
] ٥٧٦؟ ٣ﺳﻢ [
-٢ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ .
================================================= اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ )ا( إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ﻛﺘﻠﺔ اﻷرض٦ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٣
٦
١٠
٢٤
ﻛﺠﻢ وﻛﺘﻠﺔ اﻟﻘﻤﺮ٧
١٠ﻣﺘﺮ أوﺟﺪ ﻗﻮة ﺟﺬب اﻷرض ﻟﻠﻘﻤﺮ
١٠
٢٢
ﻛﺠﻢ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ
]ق =١٠ ٣ .١١
٢٤
ﻧﯿﻮﺗﻦ[
)ب( إذا ﻛﺎن ا ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻛﺎن ٣ ل)ا(َ = ل)ا ∪ ب( = ٠,٤٥ﻓﺄوﺟﺪ ل)ب( ﻓﻰ اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ : ٥
) (١ا ،ب ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن ) (٢ا eب
][٠,٢ ][٠,٧٥
************************************* ﺣﻜﻢ )(١اﻟﺤﯿﺎة ﻣﻠﯿﺌﺔ ﺑﺎﻷﺣﺠﺎر ﻓﻼ ﺗﺘﻌﺜﺮ ﻋﻠﯿﮭﺎ ﺑﻞ إﺟﻤﻌﮭﺎ وإﺑﻦ ﺑﮭﺎ ﺳﻠﻤﺎ ﺗﺼﻌﺪ ﺑﮫ ﻧﺤﻮ اﻟﻨﺠﺎح. (٢).ﻻﺗﻨﺤﻨﻰ ﻣﮭﻤﺎ ﻛﺎن اﻷﻣﺮ ﺿﺮورﯾﺎ ﻓﺮﺑﻤﺎ ﻻ ﺗﺄﺗﯿﻚ اﻟﻔﺮﺻﺔ ﻟﺘﺮﻓﻊ رأﺳﻚ ﻣﺮة أﺧﺮى. ) (٣ﻻ ﺗﻘﻠﻖ ﻣﻦ ﺗﺪاﺑﯿﺮ اﻟﺒﺸﺮ ﻓﺄﻗﺼﻰ ﻣﺎ ﯾﺴﺘﻄﯿﻌﻮن ﻓﻌﻠﮫ ﻣﻌﻚ ﺗﻨﻔﯿﺬ إرادة ﷲ.
أ /ﺣﺴﺎم ﻛﺎﻣﻞ - ٢٣٥ - ٠١٢٢٤٣٥٦٩٢٠ &٠١١٢٨٢٨٥٤٤٤إﻣﺘﺤﺎﻧﺎت "ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﯿﺎت "