Trigonometria 5to 2014 by Elmer Tandazo

SÍNTESIS HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRÍA A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.

La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable, pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo. ORIGEN Desde el punto de vista etimológico la trigonometría trató de la “Resolución de Triángulos”, lo cual quiere decir que dados ciertos elementos convenientes de un triángulo se deben hallar sus elementos restantes.

En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía. Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo llegar tan lejos.

SISTEMAS DE MEDICION ANGULAR son ESCALAS TOMADAS EN FORMA ARBITRARIA PARA MEDIR ANGULOS

estos son SISTEMA SEXAGESIMAL

cuya UNIDAD DE MEDIDA LLAMADA GRADO(º)UE SE OBTIENE DIVIDIENDO AL ANGULO DE UNA VUELTA EN 360 PARTES IGUALES

SISTEMA CENTESIMAL

cuya UNIDAD DE MEDIDA LLAMADA GRADO(g)UE SE OBTIENE DIVIDIENDO AL ANGULO DE UNA VUELTA EN 400 PARTES IGUALES

SISTEMA RADIAL

cuya TIENE COMO UNIDAD DE MEDIDA AL RADIAN, QUE ES LA MEDIDA DE UN ANGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE UN ARCO DE IGUAL MEDIDA QUE EL RADIO

La trigonometría es aplicada a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo llegar tan lejos.

Nicolás Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas de la trigonometría esférica. Nicolás Copérnico fue un médico y astrónomo que cambió la idea del lugar que ocupaba la Tierra en el Universo. En su famosa obra De Revolutionibus Orbium Coelestium (“De las revoluciones de las esferas celestes”), proponía que la Tierra giraba diariamente sobre su propio eje y que, a la vez da una vuelta completa alrededor del Sol, en una órbita que tardaba un año en recorrer. Esto se oponía a la antigua idea de que el Universo giraba alrededor de la Tierra. También fijó métodos para calcular el tamaño del Sistema Solar y los movimientos de los planetas. De todas maneras, los científicos todavía tardaron un siglo en probar sus ideas y aceptarlas plenamente.

VÉRTICE

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

SENTIDO ANTIHORARIO SENTIDO HORARIO

¿Qué es un ángulo trigonométrico? EJEMPLO: En las siguientes figuras observarás un ángulo positivo -Fig.(1) y dos ángulos negativos- Fig.(2) y Fig.(3)

DEFINICIÓN: Es la figura formada por la rotación de un rayo alrededor de su origen, llamado vértice; desde una posición inicial llamado lado inicial hasta una posición final llamado lado final.. SENTIDO ANTIHORARIO

Fig. (1)

Fig. (2)

- 680º

120º

SENTIDO HORARIO

Fig. (3)

B -110º O

¡RECUERDA! La magnitud de un ángulo trigonométrico es ilimitada y puede expresarse por cualquier número real (R).

B  Estas figuras representan ángulos trigonométricos donde: El rayo OA = Lado inicial El rayo OB = Lado final O = Vértice.  Un rayo puede rotar en sentido antihorario (contrario al movimiento de las manecillas del reloj) o sentido horario (igual al movimiento de las manecillas del reloj).

ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS COTERMINALES NNEGNEGATNNEGATIVOSNEGATIV 1. UN ÁNGULO POSITIVO: OS Es el que se forma cuando el rayo gira en sentido antihorario. Asi la medida del ángulo trigonométrico será de valor positivo. 2. UN ÁNGULO NEGATIVO: Es el que se forma cuando el rayo gira en sentido horario. Asi la medida del ángulo trigonométrico será de valor negativo.

- medida del  trigonométrico +

ÁNGULOS COTERMINALES NNEGNEGATNNEGATIVOS NEGATIVOS Dos o más ángulos trigonométricos serán COTERMINALES si:  Tienen el mismo lado inicial.  Tienen el mismo lado final.  Tienen el mismo origen. “Sin tener en cuenta su SENTIDO ni su MEDIDA”. EJEMPLO:  



40º

40º -330º

30º

Los gráficos que se ilustran representan ángulos coterminales.

¡RECUERDA!



La diferencia de dos ángulos coterminales siempre es un número entero de vueltas. Si  y  son ángulos coterminales, siendo  se cumple:



  360º

B X 

A Rpta:....................

= nº de vueltas B

 C

Rpta:.................... 2. Determine la relación correcta que se cumple entre los ángulos mostrados en cada caso: 1. En cada caso, determine “X” en función de los otros ángulos mostrados:



B 

X 

O 

Rpta:.................... Rpta:....................



 X

 C



Rpta:.................... C) B

C C)

Rpta:....................

 

B  O

 



Rpta:....................

B 



(12X )°

A (18 – 7X)°

Rpta:.................... E)

C Rpta:....................



4. Del gráfico mostrado. Hallar la mCOB.



B ( + 40)°

Rpta:....................

( 20 -  )°

3. Halle el valor de “X” en cada caso: A) –30° D) –36°

O B) –60° E) –18°

C) –45°

5. Del gráfico mostrado, señale lo correcto:

(7 - X)° (X - 3)°

A)  +  = 90° B)  +  = 270°

D)  +  = 180°

(X + 3)°

B C D

E A

A) 1 vuelta -- B) 1 vuelta +- C) 1 vuelta -+ D) 1 vuelta -- 2 E)N.A.

A) +=1 vuelta 2 B) -=1 vuelta 2 C) -=1 vuelta 2 D) += 0º E) --=1 vuelta 2

C B D

(9 – 7,2X)° O

 

7. Del gráfico, se cumple:

Rpta:.................... D)

A 

6. Calcular “x” del gráfico:

-20°

(5X) (10 – ° 3x)°

Rpta:.................... C)



E) N.A.

C)  -  = 180° Rpta:....................

(9 – 2X)°

(1,8X + 9)° A Rpta:....................

 

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES ¿Cuáles son los sistemas de medición angular?

Grados

× 60

Minutos

× 60

Los sistemas de medidas angulares más usados son tres: Sexagesimal (S) , centesimal (C) y radial. (R).



60 3600

2. SISTEMA CENTESIMAL(Sistema Francés)

1. SISTEMA SEXAGESIMAL (Sistema Inglés) 

Segundos

Este sistema considera al ángulo de una vuelta dividida en 360 partes iguales, denominándose a cada parte: Grado sexagesimal (1º) Cada grado se divide en 60 partes iguales y a cada parte se denomina minuto sexagesimal (1´). A su vez a cada minuto se le divide en 60 partes iguales y cada parte se denomina segundo sexagesimal (1´´).



Este sistema considera al ángulo de una vuelta dividida en 400 partes iguales y cada parte se le denomina un grado centesimal (1g),



Cada grado se divide en 100 partes iguales y a cada parte se denomina minuto centesimal (1m ),



A su vez a cada minuto se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se denomina segundo centesimal (1S ).

1 De la circunferencia 400

1 De la circunferencia 360

 La unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal (1º) y las subunidades son el minuto y el segundo sexagesimal.

 La unidad de medida en este sistema es el grado centesimal (1g) y las subunidades son el minuto y el segundo centesimal.

EQUIVALENCIAS

Medida del ángulo de una vuelta = 360º 1º = 60’ 1’ = 60’’ 1º = 3600’’

Medida del ángulo de 1 vuelta = 400g 1g = 100 m 1m = 100 s 1g = 10 000g CONVERSIONES:

CONVERSIONES: Para convertir de grados a minutos o segundos sexagesimales o viceversa utiliza el siguiente diagrama.

Para convertir de grados a minutos o segundos sexagesimales o viceversa utiliza el siguiente diagrama.

Ahora, si tenemos un ángulo “” cuya medida puede expresarse en los tres sistemas: Grados

Minutos

×100

100

Segundos



100

10000

3. SISTEMA RADIAL (Sistema circular). La unidad de medida de este sistema es el radián. Radián: Se define como la medida del ángulo central en una circunferencia, que determina un arco de igual longitud al radio de dicha circunferencia.

Donde  S: Nº de grados sexagesimales de “”.  C: Nº de grados centesimales de “”.  R: Nº de radianes de “”.

Se establece la siguiente relación:

S C R   360 400 2 ¡Apréndete estas fórmulas! FORMULAS DE CONVERSIÓN 

S C R   180 200 

A r 

1rad

Fórmula general de conversión

Fórmula de conversión válida sólo para grados sexagesimales y centesimales.

r B  

S C  9 10

Donde AB: es el arco generado por el ángulo central AOB En este sistema la medida del ángulo de una vuelta es de 2 radianes ó 2 rad.

También tenemos para minutos y segundos:

p m  27 50

RELACIÓN DE CONVERSIÓN EN LOS TRES SISTEMAS

p : Nº de minutos sexagesimales. m : Nº de minutos centesimales ¿Cómo se relacionan los tres sistemas?

q n  81 250

q : Nº de segundos sexagesimales. n : Nº de segundos centesimales.

La medida de un ángulo de una vuelta es: 360º = 400g = 2 rad.

c) d) e) f) g) h) i) 1. Convertir a grados centesimales

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

2. Convertir a grados sexagesimales

120g15m g m g) 50 30 g m h) 100 20 g m s I) 120 15 25 g m s j) 200 30 40

140 g g b) 220 g c) 80 g d) 170 g e) 320 a)

( ( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) ) )

270g ( 36g ( 80g ( 171g ( 108g ( 720g ( 4g12m ( 15g7m50s( 60m (

) ) ) ) ) ) ) ) )

e) 108°

i) 315°

f) 240 j) g) 225°

b) 40 c) 96°

320

280 g

a) 90°

(

)

b) 120´

(

)

k) 450°

c) 210°

(

)

640

d) 30°

(

)

e) 450°

(

)

(

)

g) 45°

(

)

h) 75°

(

)

300°

(

)

60°

(

)

4. Convertir a grados sexagesimales

2 rad 5 3 b) rad 4 5 c) rad 6 a)

d) 108° e)



g) 315°

rad

15 5 f) rad 12

150°

h) 0,8 rad i) 0,54 rad

5. Convertir a grados centesimales a) b) c)

5 d) rad 4 7 e) rad 2 3 f) rad 20

 rad 4 5 rad 8 3 rad 5

6. Parear la respuesta correcta sexagesimales a centesimales

a) 36° b) 85°

( (

) )

grados

648° 97° 12´ 3°´42´28” 32´24” 243° 13°34´3” 32° 24´ 153°34´ 72°

8. Parear la respuesta correcta, expresando los siguientes ángulos en radianes

3. Convertir a radianes: a) 72°

250g 333g 33m 33s 8g 14m 81s 64m 81s 40g 94g 44m 44s 850g

7. Parear la respuesta correcta centesimales a sexagesimales

f) 22°30’ g) 24°18’ h) 12°36’ i) 15°18’36” j) 54°24’36”

a) 153° b) 72° c) 108° d) 324° e) 163°

300° 81° 225° 765° 48°15´40” 7°20´ 35´

 40

rad

h) 0,6 rad i) 0,75rad de

5 3

 6  3 2 3 5 6 7 6 5 2  2 5 12

 4

9. Parear la respuesta correcta. Expresando los siguientes ángulos en radianes

grados

90g 53g 62m 42s

a) 45g

(

)

b) 120g

(

)

27 rad . 200

 rad. 20

c) 60g

(

)

d) 27g

(

)

e) 240g

(

)

135g

(

)

10g

(

)

(

)

(

)

h) 800g i)

64g

7 rad. ( ) 3 11 h) rad. ( ) 10 15 i) rad. ( ) 18

6 rad. 5 3 rad. 5 27 rad. 40

4 rad. 9

135° 108° 15°

12. Halle el equivalente en grado y minutos sexagesimales, de las siguientes medidas angulares:

rad.

40 8 rad. 25 3 rad. 10

a) 18,45° c) 72,8° e) 289,6°

b) 26,75° d) 108,9°

13. Halle el equivalente de las siguientes medidas angulares, en forma compleja: 10. Parear la respuesta correcta, expresando los siguientes ángulos en radianes a) 7,2025° b) 15,715° c) 48,9075° d) 87,9625° g a) /2 rad. ( ) 80 e) 125,805° g b) 2/5 rad. ( ) 25 c) d) e) f) g)

 rad. 2 9 4

rad.

 rad. 8 21 rad. 20 7 rad. 8

h) 1,25 rad. i) 2,4 rad. j) 0,31416 rad.

(

)

175g

(

)

79g 61m 78s

(

)

50g

(

)

450g

(

)

152g 86m 62s

( ( (

) ) )

210g 20g 100g

14. Convierta a grados sexagesimales las siguientes medidas angulares: a) 12°27’ c) 5°42’54’’ e) 98°18’36’’

15. Exprese las siguientes medidas angulares en grados y minutos centesimales: a) 5,23g c) 78,65g e) 125,49g

(

)

225°

(

)

420°

(

)

150°



rad.

12 3 c) rad. 4 d) e) f)

 rad. 8 5 rad. 4 3 rad. 5

)

10°

b) 34,53g d) 89,78g

16. Exprese en forma compleja, las siguientes medidas angulares: a) 18,7248g c) 78,4384 g e) 124,3028 g

11. Parear la respuesta correcta, expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes

7 a) rad. 36

b) 72°45’ d) 19°57’45’’

b) 49,9775 g d) 99,986 g

17. Halle el equivalente de las siguientes medidas angulares en grados centesimales: a) 4g25m c) 54g18m72s e) 97g78m40s

b) 27g68m d) 68g08m49s

18. Si: 6,0525° = a°b’c’’. Halle el valor de : F = a + b - c 19. Determine el valor de: K = a – b + c, si: 7,122g = agcmbs

(

)

35°

(

)

198°

20. Si: 27,5884g = Ug + Pm + Cs. Determine el valor de:

U  PC 10

8) En la figura halla “” a) 40º b) 24º c) 34º d) 52º e) 63º 1) Sabiendo que: a+b+c= 63, además xºy’z” = aºb’c” + bºc’a” + cºa’b”

Calcula: J = z 1

a) 1

7 rad 18

 130º

9) Se tiene dos ángulos complementarios y el mayor ángulo excede al menor en 60g. Halla los ángulos en radianes.

x y

b) 2

83º

130g

c) 3

d) 4

a) 2 rad/5 ;  rad/10

e) 6

b) 3 rad/7 ;  rad/ 14

2) Si 42g50m <> AºB', calcular 2A - 5B

c)  rad/5 ; 3 rad/10 a) 1 3)

b) 2

c) 3

d)4

e)0

d)  rad/6 ;  rad/3

9 rad <> AgBm, calcular : A – 2B 16 a) 10

b) 11

c) 12

d) 9

4) Un ángulo se expresa como

e) 7 rad/6 ; 2 rad/5

e)8 º

abb y también

10) En la figura ABC es un triangulo equilátero. Si AD y AE son trisectrices del ángulo A, hallar x-y expresado en radianes. A

como a(b  2)0 , señala el equivalente en radianes de a0(2b)

5 2

6 5

Y c)

3 5

d) 3

e) NA

5) Señala el valor de:

2º 3' 5'30" 2 g 40m L   41' 11" 10m a) 37 6) Si

 24

b) 57

a)  rad/3 d)  rad/6 d) 47

b)  rad/4 e)  rad/12

c)  rad/5

e) 67

= aºb’

 2 (2C  S )(2C  S )

b  3a

b)4

400 R 2

a) 319 c) 6

d) 3

e) 5

c)303

d) 296

e) 285

2S  9 C  4  3 2

a) 30º (17-5x)º

b) 309

12) Determinar la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal, si se cumple:

7) Calcula “x” a partir del grafico

a) 36 b) 16 c) 20 d) 24 e) 12

11) Reducir la expresión

Determinar: E= a) 2

c) 77

b) 36º

c) 45º

d) 48º

13) Reducir la expresión:

2(x-1)g

 2R   

a)0

10 S 9 C 

b)1

c) π

d) 9

e)10

e)54º

14) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes tal que se cumpla:

6) Siendo: a = 3b

S = 2(n+1) ; C = 3n – 4 a) πrad/5 d) πrad/10

9a º 10a g 9bº 10b g

Determine : E =

b) πrad/6 e) πrad/16

c) πrad/8

a) 1b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

7) A partir del gráfico, halle β en radianes

15) Hallar la medida de un ángulo en el sistema radial, si se cumple la siguiente condición:

20g

S = 3x2 + x – 8 ; C = 2x2 + 5x + 5 a) 5π rad/2 d) 3π rad/4

b) 4π rad/3 e) π rad/5



c) 2πrad/5

 1000     3 

16) Si a 0b <> a(2a)0 Calcular (a+b)º en radianes a) π/10

b) πrad/60 e) 8πrad/3

a) -πrad/60 d) 109πrad/30

b) π/12 c)π/15

d) π/18 e) π/20

c) -113πrad/60

8) Del grafico mostrado:

(25  a )

2 º

 25a     3 

1) Expresar “α” en radianes: α = 1º + 2º + 3º + 4º + … + 360º a) 359π

b) 360π c)361π

d) 362π e) 720π

2) Calcular U + N + I Si: 22,22º <> UºN’I’’ a) 17

b) 37

c) 47

Determine: a) 10/3

d) 57

b) 2π rad/15 e) 2π rad/5

c) 3π rad/5

a) 100

c) 2

b) 8’

e) 20/3

b) 200 c) 300 d) 250 e) 263

n

d) 3

Si a) π/10 e) 4

5) Sabiendo que: aº + bº = 30º, determine: a) 5’

d) 9

10) Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo, halle

a b E = 11

b) 1

c) 90

1g1m 2 g 2m 3º 3' 1º1'40" M m  m   1 2 3' 1'40"

e) 67

4) Dada la condición π rad/6 + 25g = aºb’ Determine:

a) 0

b) 10

9) Simplifique:

3) Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son aº y 10ag. Determine la diferencia de ellos en radianes. a) 2π rad/3 d) π rad/3

10a 9

c) 10’ d) 15’

a ' b ' 3

CS R

C  (2C  10) (2C  10) 2C  10)... b) 10/π c)20/π

d) π/5 e) 5/π

11) Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo. Halle R, si S y C son raíces de ecuación 3x2 – 19x + 30 = 0

e)20’

a) π/3

b) π/6

c) π/20

d) π/30

e) π/60

12) Para un cierto ángulo se cumple que la media aritmética del número de grados sexagesimales y centesimales es igual a 19 veces el cuadrado de la medida geométrica del número de radianes y números sexagesimales. Halle la medida de dicho ángulo en el sistema radial. a) 1rad/9 d) 9rad

b) 1rad/18 e) N.A.

c) 3πrad/8

13) Sea S, C y R la medida de un mismo ángulo en los sistemas convencionales, tal que se cumple:

4R 300S   ( S  C ) ( 19.C ) 2

1. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a "” y “" :

Halle la medida del ángulo en radianes a) 27π/8 d) 9π/4

b) 27π/4 e) 9π/2

c)27π/2

14) Si S y C son los números de grados sexagesimales y centesimales respectivamente para un mismo ángulo, los cuales cumplen : 40  S + C  120 2. En el gráfico señale lo que es correcto respecto a los Calcule el mayor ángulo entero en grados ángulos mostrados: centesimales. a) 60g

b) 30g c) 100g d) 150g e) 400g

17) En un triangulo rectángulo uno de los ángulos mide 3/10 rad. Hallar el otro ángulo en el sistema sexagesimal a) 37° d) 30°

b) 53° e) NA

4. Exprese "x" en función de "" y ""; a partir del gráfico mostrado:

c) 45°

18) Calcular el valor de “x” que verifica la siguiente igualdad: xºx’ = 61º a) 59 d) 119

b) 61 e) NA

c) 121

19) Siendo S,C y R los números convencionales, calcular R que satisface la igualdad: 3S + 2C = 94 a) d)



rad



rad



5. A que es igual 320'' a) 3º40' c) 3º20'' e) 5'20''

rad

e) NA

6. A que es igual: 1º 20' a) 1500'' c) 4000'' e) 6000''

20) Un ángulo mide “a” minutos sexagesimales pero en segundos centesimales mide “b”. Calcular el valor de: 3

E= a) 1 d) 4

b) 3'40'' d) 5º 40'

5a b

b) 3620'' d) 4800''

7. A que es igual: E

b) 3 e) NA

c) 2

a) 2º d) 41

23' 3'

b) 12 e) 52

c) 40

8. Ubique dentro del paréntesis la letra que corresponda, luego de convertir a radianes las 2. Convierta al sistema centesimal  siguientes medidas angulares: rad 125

5 rad 2 7 ) rad 6 5 ) rad 12

a) 210°

(

b) 10g

(

c) 450°

(

d) 60g

(

)

e) 75°

(

)

a) 1g30m c) 1g60m

)



e) 1g70m 3 Si:  rad  a bc' 48

Calcular:

rad



b) 1g50m d) 1g40m

E = (b + c)a-1

rad

a) 1 d) 1/3

b) 2 e) 1/2

c) 3

9. Ubique dentro del paréntesis la letra que 4. La suma de dos ángulos es 40° y su diferencia es corresponda, luego de convertir cada medida 30g. ¿Cuánto mide el mayor? angular al sistema sexagesimal:

5 a) rad 4

(

) 32°24’

b) 36g

(

) 420°

(

) 225°

(

) 153°54’

(

) 135°

(

) 108°

7 c) rad 3 d) 171g

3 e) rad 4

a) 27° c) 27°50' e) 18°30'

5. La suma y diferencia de dos ángulos son 1° y 1g. ¿Cuánto mide el menor? a) 1' d) 4'



160x g 9

rad

) 175g

b) 108°

(

) 380g

(

) 25g

( ( (

) 120g ) 840g ) 328g

7 rad 8

d) 342° e) 756°

 rad 7

a) 25º 42' 51'' c) 5º 37' 20'' e) N.A

x

rad

b) 2 e) 5

c) 3

7. Señale la medida de un ángulo en radianes sabiendo que la diferencia de sus números de grados centesimales y sexagesimales es 5. a) /2rad d) /5

b) /3 e) /6

c) /4

8. Sabiendo que el doble del número de grados sexagesimales que contiene un ángulo disminuido en su número de grados centesimales es igual a 8. ¿Cuánto mide el ángulo en radianes? a) /4rad d) /20

1. Convierta al sistema sexagesimal:

c) 3'

y 3 ¿Cuál es el valor de "x"? a) 1 d) 4

(

b) 2' e) 5'

6. En un triángulo sus ángulos internos miden 14x°;

10. Convierta al sistema centesimal las siguientes medidas angulares, y luego ubique dentro del paréntesis la letra que corresponda: a)

b) 28° d) 28°30'

b) /5 e) /40

c) /10

9. Sabiendo que (S + C)x = 4nR donde S, C y R son lo conocido para un mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"? a) 85 d) 98

b) 6º 37' 30'' d) 5º 32' 30''

b) 78 e) 100

c) 95

NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA Cuando una rueda gira o va rodando sobre una superficie plana desde una posicion A, Hasta una posicion B(como se muestra en la figura).podemos afirmar lo siguiente:

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICO ¿Cómo puedo hallar la longitud del aro?

n

La longitud de una circunferencia esta determinado por la relación entre su ángulo de giro de una vuelta (2 rad) y su radio(r).

n: Numero de vueltas que da larueda al ir de A hasta B. e: Longitud que recorre la rueda.

Lc  2 r EJEMPLO: Si queremos hallar la longitud de la siguiente circunferencia: Recordemos que la longitud de una circunfererencia esta determinada por:

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

Sector circular es la porción de círculo limitado por dos radios y un arco.

2cm O

 Sea el área de sector circular: S  : ángulo en radianes.

Lc  2 r 

e 2R

0  ≤ 2

Por lo tanto la longitud será: Lc = (2)(2) cm. Lc = 4 cm. LONGITUD DE ARCO ¿Qué es una longitud de arco?

ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR La región limitada por los arcos concéntricos y , se denomina trapecio circular y su superficie se calcula de la siguiente manera:

Longitud de arco es la medida de un arco en unidades lineales.

L = .r A

r 

L Donde: S: área del trapecio circular a: Longitud del arco mayor b: Longitud del arco menor

r B Donde: L = longitud del arco AB. r = radio de la circunferencia.  = Numero de radianes del angulo.

10. En el gráfico, obtener el área del trapecio circular ABCD.

1. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 40° en una circunferencia de radio 9m. a) m d) 4

b) 2 e) 5

a) 5 d) 20

b) 10 e) 25

c) 15

c) 3

11. En un sector circular de perímetro 16, el radio y arco son enteros consecutivos. ¿Cuál es la medida del ángulo central? 2. En un sector circular de radio 10m y ángulo central de 20g. ¿Cuánto mide el arco? a) 1,1rad b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4 e) 1,5 a)  m b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Del gráfico, calcular "x" 3. En un sector circular el arco mide 3m y el radio mide 9m. ¿Cuánto mide el ángulo central? a) 10° d) 40°

b) 20° e) 60°

c) 30°

4. En un sector circular el arco mide 4m y el ángulo central mide 45°. ¿Cuánto mide el radio? a) 10m d) 20

b) 12 e) 24

a) 5 d) 20

b) 5 e) 18

d) 64m2

e) N.A.

c) 15

13. Del gráfico, obtener "x"

c) 16

5. En un sector circular el ángulo central mide 10° y el radio mide 18m. ¿Cuál es el área del sector? a) m2 d) 12

b) 10 e) 25

a) 3 d) 12

c) 9

b) 6 e) 1,5

c) 9

14. Se tiene un sector circular de arco igual a 100m. Si el radio se duplica y el ángulo central se reduce a su mitad, ¿cuál es la longitud del arco del nuevo sector? 6. En un sector circular el radio y arco miden 4m y 8m respectivamente. Calcular el área del sector circular. a) 50m b) 70 c) 100 d) 25 e) 200 a) 32m2 b) 16m2 c) 8m2 15. En el gráfico, determine la longitud del arco

7. En un sector circular el arco mide 2m y el ángulo central mide 45°. Calcular el área del sector. a) 8m2 d) m2

b) 4m2

c) 2m2

e) 16m2 a)  d) 6

8. En un sector circular de área 2m2; el ángulo central mide 30°. ¿Cuánto mide el radio?

b) 2 e) 2

c) 3

16. Del gráfico, determine "S2 / S1" a) 6m d) 4

b) 2 e) N.A.

c) 3

9. En un sector circular de área 4m2 y radio 8m. ¿Cuánto mide el arco? a) m d) /2m

b) 2m e) /4m

a) 1 d) 6

c) 4m

b) 2 e) 1,5

c) 3

En un sector circular la longitud de su arco es 1m. Si su ángulo central se aumenta en 10% y su radio se disminuye en 10%, se determina un nuevo sector circular cuya longitud de arco, en cm, es:

Un péndulo oscila describiendo un ángulo cuya medida es 28º y un arco de longitud de 66cm. Encontrar la longitud del péndulo, en m. (considerar =22/7)

18. En un sector circular de área 100m2, el arco aumenta en 7. 20% y el radio disminuye en 20%. Calcular el área del nuevo sector.

En un sector circular, el quíntuplo de la longitud de su radio es igual al cuádruplo de su longitud del arco respectivo; luego la medida de su ángulo central es:

17. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada

a) - 3 d) 8 - 

b) - 2 e) 6 - 

a) 100m2 d) 120

b) 96 e) 48

c) 4 - 

c) 240

Se tiene un sector circular de 6cm de radio y 12cm de longitud de arco. Si el radio aumenta 2cm sin que el ángulo varíe ¿Cuál será la nueva longitud de arco?

En un sector circular se conoce que su radio mide (x + 1)cm, su longitud de arco 9(x – 1)cm, y la medida de su ángulo central correspondiente (x2 – 1)rad. Hallar el valor de “x”

1. Del gráfico, calcular "S2" si: S1 

3 4

10. Determinar la longitud de una circunferencia, sabiendo que en ella un ángulo central que mide 20g determina una longitud de arco igual a u.

11. Las medidas de dos ángulos en el centro de una circunferencia son complementarias y las longitudes de los Del gráfico; calcular el perímetro de la región sombreada arcos que subtienden suman 4m, luego la longitud de radio si: BC  OB  12 de la circunferencia es: 12. Calcular el perímetro de la región sombreada.

3. Del gráfico, calcular "S"

13. En la figura, el perímetro del sector circular A0B es igual al del trapecio circular ABCD. Encontrar “ 4. Calcular el área máxima de un sector circular de perímetro igual a 8cm.

14. Hallar a partir del gráfico W=

2. De la figura, calcular «x»

 x  0,5

5 2a

a B

a) 9 d) 9,5 15. Calcular el área del círculo sombreado

b) 9,5 e) 7

c) 8

3. De la figura S=Área. Calcular a/b A

a) 1 d) 3

b) 4 e) NA

c) 2

16. El área de un sector circular de radio “R” es 4u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la 4. Del gráfico: S =S . Calcular  . 1 2 mitad del anterior? C

17. Hallar de la figura:

M

S1  S2  S3 S 2  S3

a) 2/5 d) 7/5

18. Del gráfico, demuestre que: 

ba c



b) /5 e) 4/5

c) 3/5

5. Dos ángulo centrales suplementarios, además subtienden suma 7m. circunferencia. a) 3m b) 5m d) 10m e) 14m

en una circunferencia son las longitudes de los arcos que Calcular la longitud de la c) 7m

6. Se tiene un sector circular, si duplicamos su ángulo central y prolongamos su radio 5m, el nuevo arco resulta ser el triple del original. Calcular el radio del nuevo sector. a) 10m b) 13m c) 15m d) 17m e) 20m 7. De la figura: A R

1. Del gráfico, calcular x+y



Si se cumple:

4L   L 6 R    S  380   

2 y

a) 13 d) 7

b) 11 e) 5

donde: S=Área, Calcular el área de dicha región: 2 2 a) 20u b) 25u c) 30u2 d) 35u2 e) 40u2

c) 9

14. De la figura si: S=40m2 8. De la figura calcular «x» ; x>1

11 x

calcular x:

a) 2 d) 7

b) 4 e) 8

c) 5

a) 3 19

b) 3 20

9. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 64º, si d) 3 e) 3 dicha medida se reduce a 25% y además el radio aumenta, determinar en qué relación se encuentran el 15. Siendo A y B (Área) radio inicial y el radio final.

c) 3

R  6m

a) 1/2 d) 3/4

b) 1/3 e) 2/3

Calcular: A-B

c) 1/4

B A

10. Hallar el área de un sector circular de 18cm de radio, si ésta es igual al área de un cuadrado cuyo lado es igual a la longitud del arco del sector circular. a) 324u2 d) 64u2

b) 144u2 e) 49u2

30 º R

a) m

c) 81u2

b) 2m

3 2 m 2

2 c) 3m

5 2 m 2

11. A partir del gráfico calcular la longitud de la cuerda que 16. Del gráfico, A; B y C son áreas. Calcular: envuelve el sistema: A AC B

a) R(3+)

b) 2R(3+) c) 3R(3+)

d) R(3+2)

e) 2R(3+2)

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

17. Calcular el área de la región sombreada. B

12. Calcular el área de la región sombreada: A

6 2 4 1 B

11 2 u 2 17

d) 2

13 2 u 2 19

e) 2

15 2 u 2

13. En un sector circular la longitud de arco aumenta 20% y el radio disminuye 20%. Indicar la variación porcentual del área. a) No varía b) Disminuye 2% c) Aumenta 2% c) Aumenta 4% e) Disminuye 4%

45 º 2

2 a) u

2 b) 2u

2 d) 4u

2 e) 2 2 u

2 c) 3u

18. Del gráfico calcular «» (>0) a  rad

a) 1/2 rad

b) 3/2 rad

c) 3 rad

d) 2 rad

e) 1 rad

El ángulo central de un sector circular mide 20g y su radio es “R”, si se disminuye en 15g el ángulo central. ¿Cuánto hay que aumentar el radio para que el área no varíe? A) R D) 4R

8. 1.

En un sector circular la longitud de su arco es 1m. Si su ángulo Jcentral se aumenta en 20% y su radio se disminuye en 30%, se determina un nuevo sector circular cuya longitud de arco, en cm, es: A) 0,2 B) 83 C) 0,16 D) 1,82 E) 84

Un péndulo oscila describiendo un ángulo cuya medida es 36º yJ un arco de longitud de 88cm. Encontrar la longitud del péndulo, en m. (considerar =22/7) A) 0,14 B) 0,4 C) 1,4 D) 1,41 E) 14

A) 3/4 D) 4/3 Hallar

S1  S2  S3 S3  S 2

B) 1/3 E) 4

C) 1/4

S3  S 2 S1

Se tiene uJn sector circular de 7 cm de radio y 21 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta 3 cm sin que el ángulo varíe, ¿Cuál será la nueva longitud de arco? A) 30cm B) 40cm C) 50cm D) 20cm E) 10cm

C) 3R

Hallar de la figura:

M

En un secJtor circular, el héptuplo de la longitud de su radio es igual al doble de su longitud de arco respectivo; luego la medida de su ángulo central es: 9. A) 3rad B) 3,5rad C) 1,5rad D) 0,3rad E) 2,5rad

B) R/5 E) R/2

A) 1 D) 9

Calcular el área del círculo sombreado

B) 6 E) 10

C) 8

10. Si A0B y C0D son Sectores Circulares. Hallar: L1 + L2 + L3

A) 1m2 D) 4m2 6.

B) 2m2 E) 5m2

C) 3m2

El área de un sector circular de radio “R” es 4u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la mitad del anterior? A)

 3

D) 10u2

B) 20u2

C) 5u2

E) 12u2

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

¿Qué es una razón trigonométrica?

Es el cociente entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo respecto de uno de sus ángulos agudos.

¿Qué es un triángulo rectángulo?

re Un triángulo se llamará rectángulo si uno de sus ángulos es recto. 

Sea  cualquier ángulo agudo de un

triángulo rectángulo donde a,b,y c son los números de las longitudes de sus lados.



a: Hipotenusa

b: Cateto

a: Hipotenusa

b: Cateto c: Cateto

adyacente

 

c: Cateto

 

opuesto PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Las 6 razones trigonométricas de “” se define:

En todo triángulo rectángulo se cumple: 

El teorema de Pitágoras.

a2 = b2 + c2



La longitud de la hipotenusa siempre será mayor que la longitud de los catetos.

a  b 0 

a  c 0

Sus angulos agudos son complementarios, suman 90º.

EJEMPLO: Calcular las 6 R.T. con respecto al ángulo “”



 +  = 90º

a 5

12 21

 

RESOLUCIÓN:

9cm. Calcular el valor de tangente del mayor ángulo agudo. a) 1,03 b) 1,04 c) 1,05 d) 1,5 e) 1,2

Para hallar las 6 R.T. primero tenemos que determinar la longitud de la hipotenusa

06. En un triángulo rectángulo ABC; recto en “A”, se sabe que: CosB.CosC= 73 . Hallar el valor de: TanB+TanC



Hallando el valor de “a” con el teorema de Pitágoras: a2 = 52 + 122 a2 = 25 + 144 a2 = 169 a = 13

a) 3/5

2 2

Determinando las R.T.con respecto al al ángulo

c) 4/3

d) 2 3

d) 1/2

e) 3/7

07. En un triángulo rectángulo BCA; recto en “C”. 8 Calcular el lado “b” si: SecA.SecB-TanA  ab a)

:

Sen = 5/13 Cos = 12/13 Tg  = 12/5

b) 7/3

08. Del gráfico mostrado hallar el seno del mayor ángulo agudo.

ctg  = 5/12 sec  = 13/5 csc  = 13/12

4x+1

4x-1 2x a) 4/5 d)15/17

01. Si: Csc = 1,666.... , (“” es agudo). Calcular el 2

valor de: a) 7/5 d) 3/7

 Cos  D  Sen Sen Cos

b) 7/3 e) 5/4

c) 5/7

a) 6 d) 15

2 Sen 3Cos 4 Sen 9Cos

a) 0 d) 5

b) 2 e) 3

a) 3/4

4( SenATanA) 3CosB

a) – 8/15 d) 15/8

c) 1/3

d) 4/3

Q  cot 2 B  sec2 A

a) 18

B Tan B F  Cot 4 SenC .CscC

a) 65/32 d) 32/15

b) 1/2

acuerdo a esto se pide calcular:

04. En un triángulo ABC; recto en “A”, se sabe que: 3CosC=1. Hallar el valor de: 2

c) 9

11. En un triángulo rectángulo ABC recto en C se tiene que: 23  SenACotB .  SenB  SecA de

c) – 15/8

b) 8/15 e) 3

b) 8 e) 12

10. En un triángulo rectángulo se tiene que uno de sus catetos es el doble de la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo.

c) 4

03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, se sabe que: 7SenB=5. Hallar el valor de:

R

c) 12/13

09. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se cumple que: CosA=0,6 ; si el perímetro del triángulo es de 36cm. ¿Cuál es el cateto menor?

02. Si: 13Cos=5, Hallar el valor de:

R

b) 24/5 e) 3/5

b) 32/65 e) 19/17

b) 17

c) 16

d) 12

e) 42

12. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338cm. Si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?

c) 23/19

05. En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos es 8cm. y con el otro es

a) 13cm d) 50cm

b) 56,33cm e) 55cm

c) 13cm

8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, reduce:

13. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), reducir: F=TanA.SenC-CosC a) 1 d) 0

b) 0,5 e) 2

14. Del gráfico; calcular:

CosA   SenA W    TanA  TanC   Co sec C SecC 

c) 3

P

Cot  Cot Cot  Cot

9. En un triángulo rectángulo ABC, se cumple que:

Cos 

SenA  SenC , “” es agudo. CosA  CosC

Calcule el valor de:

P  TanA  TanC  SenA  SenC  Sen



A a) 2



b) 4



c) 6

d) 8

10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B” ; reduce: L = TanATanC

e) 0

15. En la figura, hallar el valor de:

F  Tan  Tan2  Tan3

11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”; reduce:



55 u

a) 25/3

25 u

b) 29/3

T



12. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”; simplifique:

E 8u B c)3/22

d) 3/25

SenA  TanC CosC  CotA

e) 22/3

R

1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se cumple que: b  3a . Calcule el valor de:

Q  2TanA  SenA

Sec 2 A  Cot 2C Co sec2 A  Tan2C

13. En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el triple de un cateto, calcular la cotangente del menor ángulo agudo. 14. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es de 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?.

2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B” simplifique: F = TanASenC - CosC 15. Hallar “Tan ”; si 3. En un triángulo rectángulo un cateto y su hipotenusa se encuentran en la relación de 15 es a 17. Determine el seno del menor ángulo agudo. 4. En un triángulo rectángulo ABC, se cumple que: 2TanA = CosecC. Calcule la “CosecA”

AM  MB

A M B



5. En un triángulo rectángulo ABC, calcule el valor de “ TanA + TanC ”; si se cumple que: b  3 ac

16. Si M y N son puntos medios de “OA” y “OB” respectivamente, además: “o” es centro, obtener 6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se Cot . A cumple que: TanA = 4TanC. Calcule el valor de “ cscC ”  M 7. En un triángulo ABC (mB = 90°), se cumple que: SenA = 2SenC. Halle el mayor de los catetos si la B o hipotenusa mide 5 m N

d) 25º R.T. RECÍPROCAS

e) 30º

3. Hallar "x" si: cos3x = sen(x + 10º) Propiedad: El producto entre dos razones trigonométricas recíprocas será igual a la unidad siempre y cuando los ángulos agudos son iguales.

a) 10º d) 25º

b) 15º e) 30º

4. Hallar "x" si: tg(x + 10º) = cot(x - 10º) a) 10º d) 45º

  

Sen . Csc = 1   =  Cos . Sec = 1   =  Tg . Ctg = 1   = 

b) 25º e) 50º

a) 0

Sen40º.Csc40º = 1 Tg37º.Ctg37º = 1 Sec23º.Cos23º =1

c) 30º

5. Calcule: E = Sen47° - Cos43° - Sec17° + Csc 73°

EJEMPLO:   

c) 20º

c) –1

b) 1

1 2

e) N.A.

6. Calcule “x” e “y” conociendo que: Tg (3x - 35°) = Ctg (90° - y) 2y – x = 15° a) 11°; 10° d) 30°; 25°

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

b) 17°; 16° e) 24°; 13°

c) 15°; 13°

Si  y  son ángulos agudos de 7. Halle el suplemento de (58x) si: un triángulo rectángulo entonces Tg (45x – y + z) = Ctg (15x + y – z) son complementarios y se cumplirá que las razones de  3 serán iguales a las co-razones de a) 82° b) 83° c) ( )° d) 27° e) 93° 4  o viceversa. 8. Halle el valor de la variable en: Si: 5 x  10 3x  20 Sec ( - 5°) = Csc ( + 40°)  Sen = Cos  + = 90° 6 5  Tg = Ctg   + = 90°  Sec = Csc  +  = 90° a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° EJEMPLO:  Sen30º = Cos60º  Tg37º = Cos53º  Sec32º = Csc58º  Cos 45º = Sen45º  Ctgx = tg(90º - x)

9. Dados:

Csc (x + y) = Sec

 6

Tg(x - y) = Ctg 45° Calcule: Tg (2x – 75°)

2 2

3 3

10. Halle “x” si: Tgx. Tg70° = 1

1. Hallar "2x-y" si: senx csc2y = 1 tgy . ctg20º = 1 a) 10º d) 60º

b) 20º e) 80º

a) 10° c) 40º

b) 15º

c) 30°

d) 70°

e) 90°

11. Halle “x” en la siguiente expresión Sen (6x + 19) -

2. Hallar "x" si: tg2x = cot40º a) 10º

b) 20°

a) 5 c) 20º

b) 4

1 =0 Sec(7 x  6)

c) 3

d) 2

e) 1

12. Halle “x” si:

a) 1 d) 4

Tg (7x – 30°). Tg (70° - 2x) = 1 a) 8°

b) 9°

c) 10°

d) 15°

e) 20°

a) 1

1 sen (90° - x) = Sec3 y b) 50°; 10° e) 55°; 5°

b) 25°

a) 1 d)4

c) 30°

d) 40°

e) 95°

 3

 5

17. Hallar "x" si: sen(x - y) = cos(2x + y) b) 20º e) 45º

 6

 2

b) 2 e) 3

b) 2 e) 5

c) 3

25. Si: sen(x + 10º)cosy = cos(80º - x) sen2y calcular: E = cot2y + tg22y a) 3 d) 12

b) 6 e) 15

c) 9

26. Si: sen(2x - 10º) sec(x + 10º) = 1 tg (x - y) coty = 1 Calcular: E = sec2(x + y) + cscx b) 2 e) 5

c) 3

27. Si: sen(3x + 2y) = cos(x+y) Calcular: E = tg(2x+y) . tg(2x+2y)

c) 50º a) 1 d) 4

b) 2 e) N.A.

c) 3

28. Si: sen4x sec2y = 1; calcular: P = tg(2x+y) + 1 a) 1 d) 4

c) 1,5

20. Calcular: E = (sen40º + 2cos50º) csc40º a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

a) 1 d) 4

19. Siendo: sen(x + y) = cos20º tg2x cot40º = 1 Calcular: y/x a) 1 d) 2,5

c) 3

c) 30º

18. Hallar "x" si: sen(x - 10º) sec(x + 10º) = 1 b) 30º e) 55º

b) 2 e) F.D.

a) 1 d) 4

Sen2° + Sen4° + Sen6° + … + Sen88° Cos88° + Cos86° + Cos84° + … + Cos2°

a) 10º d) 45º

NA.

24. Hallar: E = sec(3x - 1º) + cot(2x + 1º) si: sen(2x - y) = cos(3x + y)

16. Simplifique:

a) 10º d) 15º

c) 30°; 30°

15. En el triángulo ABC se cumple que: Cos(A + B) = CosC Entonces el valor de A + B es:

 4

23. Calcular: E = (tg40º + 3cot50º) cot40º

14. Si: Sen (x + 5°). Sec (2x + 10°) – 1 = 0 Entonces el valor de x es:

b) 2

d) 2 3

x + y = 60°

a) –12,5°

c) 3

22. Calcular: E = tg10º.tg20º.tg30º......tg80º

13. Determine los valores de “x” e “y” si se verifican las siguientes relaciones.

a) 40°; 20° d) 45°; 15°

b) 2 e) F.D.

b) 2 e) 5

c) 3

29. Calcular: E = tg1º tg2º tg3º .......... tg89º a) 1

c) 3

21. Calcular: E = tg10º tg80º

b) 2

c) 3

3/3

15. Halle el valor de “” en radianes, si se cumple la

siguiente condición: Tan(8 - 45°)Cot( - 3°) = 1 16. Determine el valor de “” y “” sabiendo que : 1.

Si: sen(3 - 30°)csc(2 - 10°) = 1, determine el valor de “”.

Determine el valor de “” en:

Sen(2 + 14° - 5)Cosec(62° - 3 - ) = 1 Cos(7 - 18° - 8)Sec(12° + 3 - 9) = 1 17. Determine el valor de “” en radianes, si se cumple

la siguiente condición: Cos(5 + 20°).Sec(60° + ) = 1 Cos(2 - 10°) = Sen(5 - 40°) 3.

Si: Tan(45° + 2)Cot(5 - 15°) = 1, determine el valor de “”

Determine el valor de:

18. Calcule el valor de “ - ” en radianes, si se cumple

que. Sec(5 - 9 - 48°) = Cosec(3 + 48° - 2) Sen(12 + 13° - 7) = Cos(9 - 8 - 13°)

F= (3Sen23°csc23°+2)(2Tan14°Cot14°-1) 5.

Calcule el valor de:

Z 6.

19. Reduce:

T

tan23 3sec48  cot 67 cs c 42

Halle el valor de:

G 7.

8cos16Sec26  2tan30Cot 30 3sen10cs c10  1

20. Determine el valor de:

5cs c 45sen45  2 6cos16sec16  2  3  tan37cot 37 cos74sec74  1

Q

Determine el valor de “” en: Sen(3 - 10°) = Cos(5 + 20°)

sen30cs c30  3 tan37  16 cot 53

21. Calcule el valor de:

Si: Tan(8 - 18°) = Cot(3 - 2°), determine el valor de “”.

Calcule el valor de “” en: Sec(2 + 40°) = Cosec(150° - 7)

sen41   W   cos16cs c 74   4 cos 49   2

22. Determine el valor de “” en grados centesimales, si

se cumple la siguiente igualdad: 10. Determine el valor de:

sec(90° - ) – csc(3 - 18°) = 0

F = 2Sen25°Sec65° - 1 11. Calcule el valor de:

23. Halle el valor de:

Q = (3Cos18° + 2Sen72°)Sec18°

2 tan10  3sec20cos 20 cot80

si se cumple la

sen(6)sec(4) = 1 24. Determine el valor de “” en:

13. Determine el valor de:

Q

  3 , 2  6

siguiente relación:

12. Calcule el valor de:

R

K

5Tan20Tan70 3Sen30  Cos10Sec10 Cos60

cos(18° + )csc(20° + ) = 1

14. Determine el valor de “” en radianes, si se cumple

25. Halle el valor de “” en la siguiente expresión:

que:

tan(3 + 43°)tan(8 - 30°) = 1

Sen(2 - 10°)Cosec(35° - ) = 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

10. Triángulo Rectángulo de 28º y 62º 62º

8a 1. Triángulo Rectángulo de 45º

28º

15a

45º

45º 2a

a 2

11. Triángulo Rectángulo de 31º y 59º

45º

59º

a 2

2. Triángulo Rectángulo de 30º y 60º

31º

60º

12. Triángulo Rectángulo de 18º y 72º

2a a

 5 1 a

30º a 3

72º

3. Triángulo Rectángulo de 37º y 53º 53º

18º

a 10  2 5

13. Triángulo Rectángulo de 54º y 36º

37º

 5  1 a

4. Triángulo Rectángulo de 53º/ 2 = 26,5º = 26º30’

72º

4a 54º

a 5

a 10  2 5

26º30’

14. Triángulo Rectángulo de 29º/ 2 = 14,5º = 14º30’

5. Triángulo Rectángulo de 37º/ 2 = 18,5º= 18º30’

a 10

14,5º

18º30’

3a 6. Triángulo Rectángulo de 16º y 74º 74º

15. Triángulo Rectángulo de 21º/ 2=10,5º

25a

10,5º

16º

11a

24a 7. Triángulo Rectángulo de 14º y 76º 76º

16. Triángulo Rectángulo de 67º/ 2= 33,5º

a 17

14º

33,5º

4a 8. Triángulo Rectángulo de 8º y 82º

3a 17. Triángulo Rectángulo de 23º y 67º 23º

82º

67º

8º

12a

7a 9. Triángulo Rectángulo de 3º y 87º

13a

18. Triángulo Rectángulo de 23º/ 2 = 11,5º

87º

a 3º

11,5º

19a

19. Triángulo Rectángulo de 75º y 15º Si:

3. Halle el valor numérico de:

a 75º

H 15º

Csc300  Sen30o Sen2 30o  Cos 2 60o

a (2 3 ) Si:

4. Simplificar:

( 2  3 )a

M

75º

Sec60o  2Csc30o 2 3Tan30o

15º

5. Si:  = 12°, halle el valor numérico de:

Si:

 6  2 a

75º

E

2Sen(3  6o )  Tan(4  3o ) 5Cos(2  13o )

15º

a( 6 2) 6. Halle el valor de: 20. Triángulo Rectángulo de 45º/ 2 = 22,5º Si:

L

Sen2 45o  Cos60o Sec37o

a 22,5º

7. Halle el valor de:

Cot 2 4  Sen2 3 F Cos 2

a ( 1 2 ) Si:



Para:  = 15°



2 1 a 22,5º

8. Calcule el valor de:

Cos 2 2 . Co sec3  Sen3 . Cot 2 2 M Sen3 .Tan4

Si:

( 2  2 )a

Para  = 15° 22,5º

a ( 2 2 )

9. Calcule el valor de:

 9x   .Tan3x  2 

F=Sen(5X+10°)Cos(4x+5°)+Sen3x.Sec  Para: x = 10° 1. Halle el valor numérico de:

10. Reduce:

Sen2 60o  Cos 2 45o P 2Tan2 30o  Sec 2 45o 2. Simplificar:

Q

E

Sen45o Cos

 4

Tan o

 3

Tan45 Cscs60 Sec



11. Calcule el valor de:

2 3Tan300 2Csc30o  Sec600

Sen74o 3Tan16o E  9Cos37o 7Cos53o 28

12. Si:  = 10°, halle el valor de:

Cos(70° - ) = 0,5

 9  Sen3 Cos6 Csc    2  M  9  Tan3 Sec6 Cot    2 

23. Calcule el valor de “”, si:

Csc(80o   )  Sec60o

13. Calcule el valor de: “P”, si:  = 35° y  = 10°

P

Cos(2   )  Tan(8   )   Cos      Tan(2   ) 2 

14. Halle el valor de “x” en: (x + 2) Cos60° = 6

15. Resolver:

Sec2 45o ( x  2)  Tan5 45o

16. Reducir:

   3Cos  ( x  1)  3,5 6 

24. Si: Tan 

“  ” es un ángulo agudo. Calcular:

F  3Sen2  4Cos 2 25. Calcule el valor de:

3Sec 2 45  4Sec37  3Tan 2 45 Q 2Cos 2 45  3Tan53 26. Determine el valor de.

Q  2 Sec  

17. Si: 4Sec37° = x  2  Sen

 6

18. Si: Sen75° . Cosec (15° + x) = Cot

 6

(Sec53  Tan53)Tan2 60

 4

X2 – 2XCos60°Tan2 60° + 2Tan45°= 0

28. Siendo:

1 Sen  Cos60 2 “” es agudo. Calcule el valor de: Cot2

19. Halle el valor de “x” en:

 2Csc

45

27. Halle la suma de valores de “x” que cumplen la siguiente igualdad:

Halle el valor de “x”





Halle el valor de “x”

4Sen

3 , 3

 7 x  3Tan 2

 3

29. Siendo: Cos  Tan 30 2

“” es agudo. Determine el valor de: 20. Siendo “” y “” ángulos agudos, además:

H  2Tan  Sec

Tan2 = Cot20° y Cot3 = Tan60° Halle el valor de: Sec( + )

30. Siendo:

Tan  Sec2 45

“” es agudo. Calcule el valor de: 21. Si: Tan(3 + 45°) = Cot(2 + 20°) Calcule el valor de:

M  5Sen2  Sec2

M = Sen6 . Cos9 . Tan12 22. Calcule el valor de “” en radianes, si: