C.F.P. “LUIS CÁCERES GRAZIANI”
POLINOMIOS EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con las 6 operaciones básicas, siendo sus exponentes de las variables números racionales. 2 3
3 5
4
3x y z – 5x y + 3y
TÉRMINO ALGEBRAICO: Es aquella expresión algebraica cuyas variables no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción. 2x5y3z5 ,
El grado de un polinomio reducido es el grado
del término de mayor grado. Por ejemplo, el grado de P(x) = 2x3 - 3x2 - 1 es 3. El término independiente de un polinomio
reducido es el monomio de grado 0. En el polinomio anterior, el término independiente es -1. Nota: El grado es una característica de los polinomios y monomios y esta relacionado con los exponentes de las variables.
23x3y2z4
GRADOS DE UN POLINOMIO
TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes si tienen las mismas variables y los mismos exponentes. 2 x 2 , 4 x 2 , 7 x 2 Son semejantes
Grado Relativo de un Monomio: Esta dado por el exponente de la variable indicada. M(x, y, z) = 4x2y4z5 GR(x) = 2 GR(y) = 4 GR(z) = 5
8 x 2 y 3 , 4 y 3 x 2 , 10 x 2 y 3 son semejantes POLINOMIO En matemáticas, se denomina polinomio a una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes naturales. Por ejemplo:
El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.
Grado Absoluto de un Monomio (G.A.): Esta dado por la suma de los exponentes de las variables.
La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:
Grado Relativo de un Polinomio(G.R.): Estado dado por el mayor exponente de la variable referida. Ejm.:
por ejemplo: La expresión P(x) indica un polinomio de una
variable, x. P(x) = 6x5 - 3x4 - x3 - 9x + 7 es un polinomio de variable x.
M(x, y, z) = 32x4y5z7 G.A. = 4 + 5 + 7 = 16
P(x, y) = 2x4y2 + 6x3y5 + 7x7 GR(x) = 7 ; GR(y) = 5
Grado Absoluto de un Polinomio: Esta dado por el término de mayor grado.
x3 y2 2x2 y 5 6x 4 y 6 P(x, y) = 4 5
7
10
G. A. (P) = 10
La expresión Q(x, y) es un polinomio de dos
variables x e y. Q(x, y) = 2x2y - 3xy2 + 7xy - 2 es un polinomio de dos variables, x e y. Decimos que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes. Así, el polinomio P(x) = 2x3 + 3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 lo podemos reducir sumando sus monomios semejantes: P(x) = 2x3 + 3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 = 5x3 + 2x2 - 1
Nota: Un polinomio Mónico es aquel donde su coeficiente principal es uno. POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellos que presentan ciertas características particulares relacionadas a los
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exponentes de las variables o a los coeficientes de las mismas. Los más importantes son: 1.
Polinomio Ordenado
5. Polinomio Mónico:
Es aquel donde los exponentes de la variable van aumentando o disminuyendo. Ejm.: P(x, y) = x16 – 2x10 + x2 + 1 Polinomio ordenado en forma descendente Q(x, y) = 2 + x4 + 5x7 + x10 Polinomio ordenado en forma ascendente 2.
Un polinomio es Mónico si el coeficiente del término principal es 1. P(x) = 6x2 + 2x + x3 + 5 EJERCICIOS: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS EJERCICIOS:
Polinomio Completo Es aquel donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el mayor, hasta el término independiente. Ejm.: P(x) = 6x2 + 2x + 3x3 + 5 4 términos
1.
El monomio 5x2a-b+3 y3b+1 , es de G.R.(x) = 6 y G.R. (y)=16; entonces “b” vale: a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
2.
Si los términos 9xy3b-1 ; 5xy11, son semejantes, calcular el valor de “b”. a) 5
Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4 5 términos
Sea: P(x) = 2x2 + 5x + 1 Tiene 3 términos 3=2+1 3.
4.
Hallar el grado absoluto del polinomio:
5.
P(x;y;z) = 6x3y2z5 - 9x2y6z4 + 13xy7z5 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 Hallar: (a + b), si el polinomio es homogéneo:
6.
Ejm.: 7.
2 x y 3x y y Q(x, y) =
4.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 5 En el polinomio homogéneo: P(x, y, z) = 5xm+n – 7xny2m-3 + 8xmy2nzn-10 + 11z3n-7 Calcular: (m - n)m a) 16
6º
e) 3
P(x, y) = 3x2a-5y4b + 5x2a-4by3 + x4y9
Es aquel donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.
2
d) 6
Hallar el valor de “n” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 14. P(x;y) = 12x3n+2y6 a) 2 b) 5 c) 4 d) 1 e) 3
Polinomio Homogéneo
4
c) 4
3.
Propiedad: En todo polinomio completo se cumple: # Términos = Grado + 1
b) 7
3
3
6º
6
6º
Polinomio Idénticamente Nulo Es aquel donde para cualquier valor asignado a su variable, el resultado es siempre cero. P(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + 0 P(x) = 0
b) -16
c) 9
d) -8
e)
e) -4
En el polinomio: R(x)= x4m-3+x4m-5+6, el grado absoluto es 25, entonces el valor de “m” es: a) 8
b) 9
c) 6
d) 7
e) 5
8.
Sea Q(x) = 3mxm + 6mxm-1 + 11mxm-2, un polinomio de sexto grado. Hallar el el valor del coeficiente de mayor valor. a) 18 b) 36 c) 42 d) 66 e) 81
9.
Sabiendo que: M = a3xa+8yb-4 y N = b2xb+5y-a+5, son términos semejantes, calcular: “a.b” a) 15 32
b) 18
c) 21
d) 24
e)
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10. Sea: P(x;y) = 3xa-8y6 + 4xa-11y5 +7xa-13y20, cuyo G.R. (x) = 5 , hallar el grado absoluto. a) 18 16 11.
b) 20
c) 22
d) 14
e)
b
a) 9
b) 7
b
a ab
y12
c) 5
a) 16
a 3 13 b ba x y y b a
y z x
x z y 3 3
d) -9
3 x 3 z
b) 13
e) 10
b) -2
c) 5
c) 4
d) 4
e) 2
d) -2 e) 5
14. Dado el polinomio homogéneo:
P ( x; y ) = m 2 x m
m n
nx 2 y 6 mx 6 y m
2
monomio de 3er. grado, calcular el valor de “n”. a) 7 b) 3 c) 4 d) 8 e) 1 16. Si el polinomio completo es de “3n” términos:
P ( x ) = 2nx 2 n ( 2n 1) x 2 n 1 ( 2n 2 ) x 2 n 2 ... calcular “n”. a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 1 17. Calcular “a” y “b”, para que el polinomio sea completo. P ( x ) = ( 2 a ) x a b 3 x 2 5 2 x a , e indicar: a2 – b c) 4
d) 7
e) 22
nm
( m n ) x m es n
b) 2
c) 0
d) -1
e) -3 2
20. Si la expresión:
F ( x) =
é( x n 2 ) 3 x 2 n 3 ù x 4 ëê ûú é( x n ) 2 x 4 ù êë úû
2
Se reduce a un monomio de2º grado, hallar “n” a) 2
b) 3
c) 4
d) -2
e) 4
21. Si los polinomios:
m n
é x 2 n 3 ( x n 2 ) 3 ù ê 15. Si: ûú , se reduce a un F ( x) = ë 2 n 3 x
b) 3
1
P ( x ) = ( a 2 ) x3 ( 2a b 3) x ( 2c 3b )
Hallar la suma de sus coeficientes. a) 9 b) 3 c) 4 d) 8 e) 5
a) 5
2
3 3 x 3 y
polinomio mónico, indicar el término independiente: b) 3
d) 17
x y z 3
13. Sea: P ( x ) = ( 2a 1) x 3 x 2 ax a 3 un
a) 2
y a ( a 1) x 2 a 1 y a
idénticamente nulo, calcular: m . n
Es homogénea, hallar el grado absoluto. a) 9
2
c) 11
19. Si: P ( x ) = ( m n ) x
a) 1
3 3 3 y 3 z
2
2
12. Si la expresión: x y z 3
P ( x; y ) = ( a 2 1) x a
es homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes.
Hallar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo.
P ( x; y ) = ax a bx
18. Si el polinomio:
e) -1
Q ( x ) 4 x 3 5 x 6 , son idénticos, Hallar: a) 9
a+b+c b) 2
c) 5
d) -4
e) 4
22. Si el polinomio cuadrático:
P ( x) =
n m3 5 x ( p 13) x 2 p 5 , 4
Tiene como coeficiente principal a 17, mientras que el término independiente es triple del coeficiente del término lineal. Calcular: m + n + p a) 123 b) 133 c) 125 d) 172 e) 111 23. Del polinomio:
P ( x; y ) = 35 x n 3 y m 2 z 6 n x n 2 y m 3 G.A.(P) = 11; G.R.(x) - G.R.(y) = 5,hallar 2m+n
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a) 12
(
b) 13
c) 15
e) 11
6.
)
7 x 16 8 , calcular F(-
Es completo y ordenado descendentemente.
6) a) 9 25. Si:
1.
b) 5
c) 11
d) 19
e) 10
F ( x 5 ) = 3 x 2 1 , calcular: F(2) + F(1)
a) 10 7.
e) 12
Del polinomio:
G.R.(x) – G.R.(Y) = 5 Luego: “2m + n” es:
Si: F ( 2 x 7 ) = 10 x 2. Calcular : F ( 5 ) , b) 62
c) 64
d) 65
a) 5 8.
Si el polinomio: x 7 yb
a
b) 6 c) 4
d) 5
a) 16 b) 8 9. e) 8
Si los polinomios: P(x, y) = xayb+1 + xcyd-3 Q(x, y) = xa+1yb + x4-ay3-b Son idénticas, calcular: (a + b + c + d) a) 8
b) 9
c) 10 d) 11
e) 12
En el polinomio homogéneo: P(x, y, z) = 5xm+n – 7xny2m-3 + 8xmy2nzn-10 + 11z3n-7 Calcular: (m - n)m a) 16 b) -16 c) 9 d) -8 e) -4 Determinar (m + n + p), sabiendo que el polinomio: P(x, y) = 15xm+2yn – 6xn+1y2 – 3x2pyq + xq-1y5 Es homogéneo de grado 7. a) 23
b) 15
c) 8
d) 18
En el polinomio completo y ordenado en forma descendente: P(x) = xa+b-6 + (a - b)x + 3xa-b Calcular: “ab”
( y2z2 )8
a2 b2 6 ab
a) 7
b) 10 c) 15 d) 25 e) 12
e) 69
Es homogéneo. Calcular:
5.
d) 58
TAREA DOMICILIARIA
b
4.
c) 39
P(x, y, z) = 35xn+3ym-2z6-n + xn+2ym-3 Se cumple: G.A. (P) = 11
P( x, y,z) = x a
3.
b) 30
a) 257 b) 255 c) 121 d) 129 e) 104
a) 63 2.
Hallar (m + n + p) si se sabe que el polinomio: P(x) = xm-10 + 3xm-n+15 + 2xp-n+6
24. Si: F 5 x 1 = 3
d) 17
e) 7
c) 12 d) 10 e) 4
Si: a(x + 5)2 – b(x - 5)2 3(x + 5)2 + 4(2a + b)x Calcular: “a + b” a) 3
b) 6
c) 9
d) 12 e) 15