6 polinomios

C.F.P. “LUIS CÁCERES GRAZIANI”

POLINOMIOS EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con las 6 operaciones básicas, siendo sus exponentes de las variables números racionales.

2 3

3 5

4

3x y z – 5x y + 3y

TÉRMINO ALGEBRAICO: Es aquella expresión algebraica cuyas variables no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción.

2x5y3z5 ,

 El grado de un polinomio reducido es el grado

del término de mayor grado. Por ejemplo, el grado de P(x) = 2x3 - 3x2 - 1 es 3.  El término independiente de un polinomio

reducido es el monomio de grado 0. En el polinomio anterior, el término independiente es -1.

Nota: El grado es una característica de los polinomios y monomios y esta relacionado con los exponentes de las variables.

23x3y2z4

GRADOS DE UN POLINOMIO

TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes si tienen las mismas variables y los mismos exponentes.

2 x 2 , 4 x 2 , 7 x 2 Son semejantes

 Grado Relativo de un Monomio: Esta dado por el exponente de la variable indicada.  M(x, y, z) = 4x2y4z5 GR(x) = 2 GR(y) = 4 GR(z) = 5

8 x 2 y 3 , 4 y 3 x 2 , 10 x 2 y 3 son semejantes POLINOMIO En matemáticas, se denomina polinomio a una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes naturales. Por ejemplo:



El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.



Grado Absoluto de un Monomio (G.A.): Esta dado por la suma de los exponentes de las variables. 

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

Grado Relativo de un Polinomio(G.R.): Estado dado por el mayor exponente de la variable referida.

Ejm.: 

por ejemplo:  La expresión P(x) indica un polinomio de una

variable, x.

P(x) = 6x5 - 3x4 - x3 - 9x + 7 es un polinomio de variable x.



M(x, y, z) = 32x4y5z7 G.A. = 4 + 5 + 7 = 16

P(x, y) = 2x4y2 + 6x3y5 + 7x7 GR(x) = 7 ; GR(y) = 5

Grado Absoluto de un Polinomio: Esta dado por el término de mayor grado. 

x3 y2  2x2 y 5  6x 4 y 6          P(x, y) = 4 5

7

10

G. A. (P) = 10

 La expresión Q(x, y) es un polinomio de dos

variables x e y.

Q(x, y) = 2x2y - 3xy2 + 7xy - 2 es un polinomio de dos variables, x e y.  Decimos que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes. Así, el polinomio P(x) = 2x3 + 3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 lo podemos reducir sumando sus monomios semejantes: P(x) = 2x3 + 3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 = 5x3 + 2x2 - 1

Nota: Un polinomio Mónico es aquel donde su coeficiente principal es uno.

POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellos que presentan ciertas características particulares relacionadas a los

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exponentes de las variables o a los coeficientes de las mismas. Los más importantes son: 1.

Polinomio Ordenado

5. Polinomio Mónico:

Es aquel donde los exponentes de la variable van aumentando o disminuyendo.

Ejm.: P(x, y) = x16 – 2x10 + x2 + 1 Polinomio ordenado en forma descendente Q(x, y) = 2 + x4 + 5x7 + x10 Polinomio ordenado en forma ascendente 2.

Un polinomio es Mónico si el coeficiente del término principal es 1.

P(x) = 6x2 + 2x + x3 + 5 EJERCICIOS: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS EJERCICIOS:

Polinomio Completo Es aquel donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el mayor, hasta el término independiente.

Ejm.: P(x) = 6x2 + 2x + 3x3 + 5 4 términos

1.

El monomio 5x2a-b+3 y3b+1 , es de G.R.(x) = 6 y G.R. (y)=16; entonces “b” vale: a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

2.

Si los términos 9xy3b-1 ; 5xy11, son semejantes, calcular el valor de “b”. a) 5

Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4 5 términos

Sea: P(x) = 2x2 + 5x + 1 Tiene 3 términos 3=2+1 3.

4.

Hallar el grado absoluto del polinomio:

5.

P(x;y;z) = 6x3y2z5 - 9x2y6z4 + 13xy7z5 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 Hallar: (a + b), si el polinomio es homogéneo:

6.

Ejm.: 7.

2 x y  3x y   y   Q(x, y) =   

4.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 5 En el polinomio homogéneo: P(x, y, z) = 5xm+n – 7xny2m-3 + 8xmy2nzn-10 + 11z3n-7 Calcular: (m - n)m a) 16

6º

e) 3

P(x, y) = 3x2a-5y4b + 5x2a-4by3 + x4y9

Es aquel donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.

2

d) 6

Hallar el valor de “n” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 14.

P(x;y) = 12x3n+2y6 a) 2 b) 5 c) 4 d) 1 e) 3

Polinomio Homogéneo

4

c) 4

3.

Propiedad: En todo polinomio completo se cumple: # Términos = Grado + 1

b) 7

3

3

6º

6

6º

Polinomio Idénticamente Nulo Es aquel donde para cualquier valor asignado a su variable, el resultado es siempre cero.  P(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + 0 P(x) = 0

b) -16

c) 9

d) -8

e)

e) -4

En el polinomio: R(x)= x4m-3+x4m-5+6, el grado absoluto es 25, entonces el valor de “m” es: a) 8

b) 9

c) 6

d) 7

e) 5

8.

Sea Q(x) = 3mxm + 6mxm-1 + 11mxm-2, un polinomio de sexto grado. Hallar el el valor del coeficiente de mayor valor. a) 18 b) 36 c) 42 d) 66 e) 81

9.

Sabiendo que: M = a3xa+8yb-4 y N = b2xb+5y-a+5, son términos semejantes, calcular: “a.b” a) 15 32

b) 18

c) 21

d) 24

e)

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10. Sea: P(x;y) = 3xa-8y6 + 4xa-11y5 +7xa-13y20, cuyo G.R. (x) = 5 , hallar el grado absoluto. a) 18 16 11.

b) 20

c) 22

d) 14

e)

b

a) 9

b) 7

b

a ab

y12 

c) 5

a) 16

a 3 13 b ba x y  y b a

y z x

x z y 3 3

d) -9

3 x 3 z

b) 13

e) 10

b) -2

c) 5

c) 4

d) 4

e) 2

d) -2 e) 5

14. Dado el polinomio homogéneo:

P ( x; y ) = m 2 x m

m n

 nx 2 y 6  mx 6 y m

2

monomio de 3er. grado, calcular el valor de “n”. a) 7 b) 3 c) 4 d) 8 e) 1 16. Si el polinomio completo es de “3n” términos:

P ( x ) = 2nx 2 n  ( 2n  1) x 2 n 1  ( 2n  2 ) x 2 n  2  ... calcular “n”. a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 1 17. Calcular “a” y “b”, para que el polinomio sea completo.

P ( x ) = ( 2  a ) x a b  3 x 2  5  2 x a , e indicar: a2 – b c) 4

d) 7

e) 22

nm

 ( m  n ) x m es n

b) 2

c) 0

d) -1

e) -3 2

20. Si la expresión:

F ( x) =

é( x n  2 ) 3 x 2 n  3 ù x 4 ëê ûú é( x n ) 2 x 4 ù êë úû

2

Se reduce a un monomio de2º grado, hallar “n” a) 2

b) 3

c) 4

d) -2

e) 4

21. Si los polinomios:

m n

é x 2 n 3 ( x n  2 ) 3 ù ê 15. Si: ûú , se reduce a un F ( x) = ë 2 n 3 x

b) 3

1

P ( x ) = ( a  2 ) x3  ( 2a  b  3) x  ( 2c  3b )

Hallar la suma de sus coeficientes. a) 9 b) 3 c) 4 d) 8 e) 5

a) 5

2

3 3 x 3 y

polinomio mónico, indicar el término independiente: b) 3

d) 17

x y z 3

13. Sea: P ( x ) = ( 2a  1) x 3  x 2  ax  a  3 un

a) 2

y a  ( a  1) x 2 a 1 y a

idénticamente nulo, calcular: m . n

Es homogénea, hallar el grado absoluto. a) 9

2

c) 11

19. Si: P ( x ) = ( m  n ) x

a) 1

3 3 3 y 3 z

2

2

12. Si la expresión: x  y  z 3

P ( x; y ) = ( a 2  1) x a

es homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes.

Hallar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo.

P ( x; y ) = ax a  bx

18. Si el polinomio:

e) -1

Q ( x )  4 x 3  5 x  6 , son idénticos, Hallar: a) 9

a+b+c b) 2

c) 5

d) -4

e) 4

22. Si el polinomio cuadrático:

P ( x) =

n m3 5 x  ( p  13) x  2 p  5 , 4

Tiene como coeficiente principal a 17, mientras que el término independiente es triple del coeficiente del término lineal.

Calcular: m + n + p a) 123 b) 133 c) 125 d) 172 e) 111 23. Del polinomio:

P ( x; y ) = 35 x n  3 y m  2 z 6 n  x n  2 y m  3 G.A.(P) = 11; G.R.(x) - G.R.(y) = 5,hallar 2m+n

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a) 12

(

b) 13

c) 15

e) 11

6.

)

7 x  16  8 , calcular F(-

Es completo y ordenado descendentemente.

6) a) 9 25. Si:

1.

b) 5

c) 11

d) 19

e) 10

F ( x  5 ) = 3 x 2  1 , calcular: F(2) + F(1)

a) 10 7.

e) 12

Del polinomio:

G.R.(x) – G.R.(Y) = 5 Luego: “2m + n” es:

Si: F ( 2 x  7 ) = 10 x  2. Calcular : F ( 5 ) , b) 62

c) 64

d) 65

a) 5 8.

Si el polinomio:  x 7 yb

a

b) 6 c) 4

d) 5

a) 16 b) 8 9. e) 8

Si los polinomios: P(x, y) = xayb+1 + xcyd-3 Q(x, y) = xa+1yb + x4-ay3-b Son idénticas, calcular: (a + b + c + d) a) 8

b) 9

c) 10 d) 11

e) 12

En el polinomio homogéneo: P(x, y, z) = 5xm+n – 7xny2m-3 + 8xmy2nzn-10 + 11z3n-7 Calcular: (m - n)m a) 16 b) -16 c) 9 d) -8 e) -4 Determinar (m + n + p), sabiendo que el polinomio: P(x, y) = 15xm+2yn – 6xn+1y2 – 3x2pyq + xq-1y5 Es homogéneo de grado 7. a) 23

b) 15

c) 8

d) 18

En el polinomio completo y ordenado en forma descendente: P(x) = xa+b-6 + (a - b)x + 3xa-b Calcular: “ab”

 ( y2z2 )8

a2  b2  6 ab

a) 7

b) 10 c) 15 d) 25 e) 12

e) 69

Es homogéneo. Calcular:

5.

d) 58

TAREA DOMICILIARIA

b

4.

c) 39

P(x, y, z) = 35xn+3ym-2z6-n + xn+2ym-3 Se cumple: G.A. (P) = 11

P( x, y,z) = x a

3.

b) 30

a) 257 b) 255 c) 121 d) 129 e) 104

a) 63 2.

Hallar (m + n + p) si se sabe que el polinomio: P(x) = xm-10 + 3xm-n+15 + 2xp-n+6

24. Si: F 5 x  1 = 3

d) 17

e) 7

c) 12 d) 10 e) 4

Si: a(x + 5)2 – b(x - 5)2  3(x + 5)2 + 4(2a + b)x Calcular: “a + b” a) 3

b) 6

c) 9

d) 12 e) 15