Fenomenología de lo infinito y una propuesta de calculo descolonial

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Fenomenología de lo infinito y una propuesta de cálculo descolonial Alexander Martínez Rivillas Profesor de la Universidad del Tolima Aproximaciones a lo infinito Lo infinito es la imagen emocional de algo que no tiene fin, intuición de lo que “no se agota” o perdura, o de aquello que crece o achica de forma infatigable. Los sucesos que se ordenan en una serie cuyo límite siempre se desplaza hacia “adelante” (como el infinito potencial aristotélico). El hecho global de lo definido, de lo limitado, de lo compacto, cuya infinitud se exhibe en su incesante divisibilidad, en su disipación de elementos, ordenados o no ordenados, contables o no contables, pero ciertamente interminables (como el infinito actual platónico). Pero también se hace presente en las repeticiones inagotables de imágenes, como en los espejos enfrentados. O en las resonancias o ecos de la memoria, como el “motivo” de una pieza musical que no cesa en nuestra “imaginación sonora”. O en la autopoeisis de un dibujo de Escher. O en el bucle de una dialéctica filosófica o prosaica (“metáforas que se entonan de distintas maneras”, se lee en Borges). O en las líneas de fuga de cualquier perspectiva.

Suele encontrarse en la eternidad de una sonrisa, en esa suspensión de la duración de algo que no se puede imaginar y que se ha hecho carne. Quizás en la serenidad de dos miradas que son una. O en la circularidad de una historia religiosa dispuesta a contra luz en un vitral, o en uno de esos murales escolares que persisten en sus disciplinamientos. Se nos aparece en esos “bucles extraños” del “Canon por Tonos” de Bach, los cuales no cesan de regresar al principio a pesar del ascenso de las tonalidades (Hofstadter, 1982, p. 11). En Aquiles, el de los “pies alados”, recorriendo un campo infinito sin obtener un cambio de posición..., pues la infinitud es también eterna quietud.

De repente se le ha visto en la “serpiente ancestral” de los Uitotos, la anaconda finitamente dividida que dio origen a cada pueblo de la tierra, pero cuyos trozos son duraciones y recorridos circulares de la experiencia humana.

“Infinito tropical” que no aspira a substancias o verbalizaciones, sino a la pura experiencia de lo innombrable y realmente poderoso: lo que existe es

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repetición, y no es, en sí mismo, ni bueno o malo, ni bello o feo, ni grande o pequeño, ni ordenado o caótico, solo “es” en virtud de esa repetición, a propósito de Nietzsche. Lo que quizás se constate en esas chirimías del pueblo Nasa (o en otros aires), cuyas flautas de caña restituyen un bucle de temas sencillos y breves para la eternidad del ritual. Mentar esa mutabilidad suprema y común a todas las cosas, que es el “Ser”, podría ser una mera apariencia derivada de la imaginería de una cultura específica, o una aberración para aquella sensitiva cosmovisión.

La geometrización de lo infinito Fijar la fluidez del mundo en una “ordenación matemática previa” del mismo, a decir de Heidegger, fue una de las más importantes aventuras de Descartes.

Dicha ordenación suministró una imagen geometrizada del paisaje de las cosas. Pero solo una imagen entre las muchas que podamos inventar. En dicha imagen se mezclan dos versiones del mundo en un solo plano de interpretaciones: el trabajo artístico del trazado en una hoja y una serie ordenada de números. Su solapamiento produce esa “ilusión” de tener a la mano el continuo matemático y de la realidad en una misma imagen. De lo que se percató Hilbert con sus definiciones desconcertantes que apelaban a la mera representación de lo real concreto y singular.

El infinito es también trazo, hecho continuo, pura duración, multiplicidad en proceso; pero también es la huella del movimiento, el vestigio de una transformación, lo que aparentemente no cambia, inmovilidad, acto suspendido en el tiempo y el espacio, signo que yace a la vista, la unicidad de lo múltiple. Lo infinito abreva en la acción estética, y la matemática es su puesta en escena, su drama y argumento. Lo irracional o inconmensurable es la sombra que el artista deja en la serie ordenada de lo conmensurable como un acto arbitrario de sensibilidad pura, un sueño metafísico que se revela en su negatividad, en lo no visto, en lo no agotable por el signo numérico, en la tras escena de lo racional, visto como número e imagen.

Ante lo inasible qué mejor alternativa que un buen continuo de la pluma ejecutado por el artista. De allí que la estocástica le venga bien al que huye de la acción estética o de la intuición. Las probabilidades aborrecen el arte inmerso en la geometría y la matemática, porque su simbología deja al descubierto la sensibilidad irreductible de cualquier representación de lo real, o de cualquier representación de un objeto imaginario. Este racionalismo

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obseso de lo ordenable y conmensurable desarrolló en la modernidad una separación radical entre el arte y la matemática.

Su profesionalización disciplinaria en el siglo XX desterró aquel maridaje fructífero que permitía resolver a niveles orgánicos los problemas reales o abstractos, y por ello mismo insensibilizó al escolar y universitario frente a la devoradora máquina del Capital y sus conflictos interclase. Recortó las posibilidades de contemplar con ojos críticos y estéticos el continuo sensible que vinculaba la tecnología con el trabajador, la empresa y la economía de la ciudad, para dar solo un ejemplo. Hoy, la matemática (y la física, por supuesto) apenas es llamada a “limpiar” (o empeorar) el desastre que deja a su paso el Capital.

Se daba golpe de muerte a esa bella época de las filosofías de la naturaleza.

Siempre regodeadas en esa metafísica de la materia de una plasticidad inagotable (a propósito de Newton), o investida de fisicalidades diferenciadoras (léase Humboldt). La naturalización de la historia en el joven Marx, Nietzsche, Thoreau y otros vitalistas, es quizás uno de los últimos destellos de su principado en el pensamiento de Occidental.

En el arte, el “fluido geométrico” de lo real o irreal aparece comprensible por instantes, como una serie ordenada de actos por algunos momentos, como un trazo que evoca las tensiones indefinidas e incontables entre cielo y tierra, armonía y delirio, alma y cuerpo, utopía y utilidad, día y noche, eroticidad y agonística, belleza y contingencia, eternidad y movimiento, luz y sombra, risa y melancolía. Quizás la geometría y la matemática hayan perdido todo amor por el mundo, y ese es el precio que siguen pagando al proscribir el arte de sus propias entrañas.

La domesticación de lo infinito Ordenar esas series de cantidades racionales e irracionales fue un sueño irrefrenable desde los comienzos de la modernidad. Cavalieri, Wallis, Mengoli, Roberval y Pascal se despacharon en creativos experimentos matemáticos sobre las cantidades “indivisibles”, que luego fueron controladas fríamente mediante las nociones de “mónadas” o entidades “evanescentes”, a propósito de Leibniz y Newton, respectivamente. Domeñar semejante arquitectura abigarrada de expresiones racionales e irracionales incesantes o movedizas, nunca ha sido fácil. Aún hoy, a pesar del inefable deductivismo

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que nos legaron Cauchy, Riemann y Weierstrass, sigue siendo visto por algunos como el acto arbitrario de un puro “infinitismo”.

Sumar cantidades al estilo de Riemann se convirtió en el clímax del control de las cantidades infinitas, o infinitamente pequeñas. Contraevidentes para algunos, o necesarias para otros, apenas se aproximan al borde externo de una especie de vórtice inapresable, esto es, la náusea que produce asomarse a lo infinito, a la transparencia total del vacío, a la indefinición absoluta del signo o la forma, a la carencia total de sentido, a la región oscura que se nombra mediante un puro simbolismo, pero también “de lo que no se puede hablar”, a decir de Wittgenstein. Quizás esta náusea haya motivado el “finitismo” de Hilbert. Pero también, esta misma náusea, pudo haber larvado el trauma de la virulenta reacción de sus contradictores (con base en Lavine, 2005).

Por supuesto, alguien podría alegar lo siguiente. Lo infinito no es de ninguna manera un acontecimiento material, es una pura artificialización de la naturaleza, o sea, algo meramente cultural, con una autonomía relativamente propia, e independiente, en su sustancia, de lo real concreto y singular. Y luego agregaría, como estocada final: no existe ningún “isomorfismo” o “biyectivismo” entre lo real y lo infinito. Esta entidad es una mera invención simbólica o trascendental, como belleza, libertad, dios, “elefante con alas” (recordando a Wittgenstein, 1918), y nada más. Su lógica “natural” es una lógica interna, autorreferida, una mera verdad por “coherencia”, y no por “correspondencia”, como antaño se decía.

Pero tampoco se puede olvidar que los signos del continuo en el paisaje cotidiano y la experiencia de lo “indefinidamente grande o pequeño” (Lavine, 2005), suelen hacer parte de lo real. A veces se constatan en esa zona gris entre lo real concreto y la materialidad cultural, esto es, una flecha en el papel, un símbolo de lo infinito en la pizarra, un algoritmo de computador que operaría todas las sumas posibles, la imagen poética de lo insondable inscrita en un libro, el número de gránulos de arena en un montículo, un horizonte selvático que se extiende frente al colono, una cumbre de montaña que se impone inalcanzable ante el caminante, etcétera. Y a pesar de que no gozan de toda la dignidad de los hechos externos y limitados, reverberan como materia que a la vez es idea en ese afuera del “yo”.

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La inducción y el infinito Lo infinito como la obra misma de la inducción ya aparece en la noción estético-matemática de los “indivisibles” de Cavalieri (1635), pero su desencantamiento se sancionó con la invención del cálculo de Newton y Leibniz. Con Pierce (1970, 1988), es claro que este método de razonamiento se puso en su verdadera dimensión: se trata de un mero dispositivo inferencial de un sistema de creencias. La objetividad de los productos de la inducción solo son aproximaciones a un modelo deseable de comportamiento de los hechos, constatado por su practicidad en el mundo sensible, y nada más.

No obstante, como cualquier neopositivismo, siempre será posible decir: ¿cómo una mera gramática de la percepción y medición de los hechos, puede producir tantos enunciados predictivos de los mismos? ¿Qué es lo que en realidad dicen de las cosas tales gruñidos humanos? ¿Qué clase de materialidad se proyecta en el entendimiento después de percibir el mundo? ¿Será, después de todo, que en la mente se imprimen ciertas propiedades “físico-espaciales” de los objetos, tal como nos sugería el primer Wittgenstein (1918) Y más allá de esto, ¿derivar el infinito de una colección de objetos o números, siempre limitada, en virtud de un patrón evolutivo, es una licencia de la mente que autorizaría su validez práctica? Al menos, con un conjunto finito suficientemente grande, los resultados prácticos serían los mismos, a decir de los finitistas.

Y la pregunta obligada: ¿tal validez práctica de una noción de infinito, nos sugiere algún atributo de lo infinito en el mundo real y concreto? Hasta hoy, de esas cosas no podemos decir nada concluyente. Solamente, musitar que el infinito, en el microcosmos o macrocosmos (o en cualquier sintaxis matemática), supone la hipótesis del “matemático eterno”, para obtener su validación meramente teórica. Por lo anterior, hacer aparecer la inducción como el verdadero látigo que podría fustigar el caos y domeñar lo objetivo, o como la prueba total de que se conoce objetivamente, solo puede representar otra forma retórica del infinitismo.

Los transfinitos de Cantor o el trascendentalismo del Capital La valoración que hizo Wittgenstein sobre el estatus de las cantidades contables y no contables en la obra de Cantor, retumbará en la teoría matemática para siempre, especialmente entre los “intuicionistas” y los

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contradictores de los viejos artilugios de la reducción al absurdo, quienes tomaron en serio este tipo de reflexiones:

“Las matemáticas están infectadas, a todo lo largo y ancho, por la perniciosa forma de expresión de la teoría de conjuntos. Un ejemplo de esto es hablar de una línea como compuesta de puntos. La línea recta es una ley y no se compone de nada en absoluto. La línea recta, en tanto que raya coloreada en el espacio visual, puede componerse de rayas coloreadas más cortas (pero, obviamente, no de puntos). Y luego nos sorprendemos al encontrar, e.g., que ¡‘entre los puntos racionales, en todas partes densos’ aún hay lugar para los irracionales! ¿Qué muestra una construcción para el punto 2? ¿Muestra acaso que hay todavía lugar para este punto entre todos los puntos racionales? Simplemente muestra que el punto producido por la construcción no es racional.

Y ¿qué corresponde a esta construcción y a este punto en la aritmética? ¿Acaso una especie de número que después de todo se ensarta entre los números racionales?

Una ley que no es de la esencia de un número racional.

La explicación del corte de Dedekind procede como si fuera claro lo que uno quiere decir cuando se dice: hay solo tres casos: o R tiene un último miembro y L un primero o, etc. En verdad, ninguno de estos casos puede pensarse (o imaginarse).

La teoría de conjuntos está mal, pues aparentemente presupone un simbolismo que no existe en lugar de uno que sí existe (y que sólo él es posible). Construye sobre un simbolismo ficticio y, por lo tanto, sobre el sinsentido.

No hay hipótesis lógicas. Cuando se dice el ‘conjunto de todos los números trascendentales es más grande que el de los números algebraicos’, eso es un sinsentido. El conjunto es de una naturaleza diferente. No es que ‘ya no sea’ denumerable, ¡sino que simplemente no es denumerable!” (2007, p. 201).

La ordenación de las cantidades contables no asegura la proposición según la cual la imposibilidad de ordenar cualquier otro conjunto de números, conduce a un cardinal mayor que el obtenido en aquella ordenación. Indiferentemente del subíndice (mayor que cero) de los aleph en la teoría cantoriana, sus cantidades no ordenables (trascendentales) no legitiman ninguna prueba teórica o material de un cardinal infinito mayor respecto a un cardinal infinito menor.

La ordenación de infinitos menores a infinitos mayores se funda en la extrapolación de la intuición (creencia automatizada) de cantidades limitadas

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que transitan de cantidades más discretas a menos discretas. Una forma de inducción que también supone un “matemático eterno”, u otra metafísica de los entes matemáticos o geométricos, cuya hibridación simbólico-material (punto, línea, número, etcétera) siempre nos impulsa a ratificar la infalibilidad eterna de un patrón, por su proximidad a los hábitos de toda creencia. En breve, decir que hay más números irracionales que racionales, solamente puede encontrar fundamento en una reducción de lo infinito a lo finito, muy propia de los “esquemas trascendentales” occidentales de comprensión del mundo.

No obstante lo anterior, creer en lo infinito como dispositivo de extrapolación universalizante e intemporal, no deja de ser un hábito que ha alimentado la matriz cultural logocentrista euronorteamericana, y con ella, las revoluciones técnico-científicas que han dado soporte a los incrementos inusitados de la producción, y de la diversidad de bienes de la canasta de consumo desde 1650 aproximadamente (dado el cambio sin precedentes en el crecimiento demográfico mundial). Producir y consumir sin fin representa una cosmovisión bastante particular respecto a la mayoría de las civilizaciones del mundo, antes del mencionado quiebre demográfico. Esta forma casi patológica de atribuirle las propiedades de la eternidad y la extensión ilimitada al paisaje de las cosas y al libro abierto de la contabilidad de las riquezas, no solo es la base cultural de la matemática y la física modernas, sino que es la fuente nutricia del aparato de gratificación y diversificación de satisfactores de la psicología social moderna.

Excita y satisface por momentos pensar y sentir el vago simbolismo de la infinitud, entendido como aquello que no deja de acrecentarse (infinito potencial), o como lo que siempre es aprovechable por efectos de su división (infinito actual). El vacío existenciario que nos impide acceder a tal sensación fragmentaria de la infinitud, solo conduce a la enorme ansiedad de no poder realizar ningún paradigma del hombre moderno: burgués, viajero, banquero, empresario terrateniente, romántico, naturalista, artista universal, entre otros, reverberan en la subjetividad como el signo del progreso y la libertad ilimitadas. Y estos, a su vez, experimentarán la ansiedad de no poder acceder al límite de lo apropiable (tierra, información, capital, trabajo, etcétera), o a la frontera de lo que se puede dividir incesantemente (espacio laboral, tiempo de la producción, espacio del hábitat urbano, tiempo para los placeres, por citar algunos ejemplos).

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Paisaje, música y metáfora Se dice con justificadas razones que en 1606, el flamenco Roelandt Savery produce la “primera” obra de arte sobre una naturaleza solitaria. Es un paisaje que destaca a la naturaleza misma y su relativa autonomía, a propósito del estudio de Descola (2012). Unas décadas antes del ya mentado hito demográfico (1650), se preparaba entonces Europa para ver la perspectiva moderna de una naturaleza autonomizada y desplegada hacia un horizonte infinito.

Ahora el paisaje pictórico será otra cosa. Los puntos de fuga en horizontes oceánicos o terrestres alargaban las cosas y los haces de colores hasta un lugar difuso, pero sereno e impávido, que al mismo tiempo que alindera los hechos del mundo desata la mirada de lo se despliega sin fin. Será el momento también de la aparición de las cartografías del globo, con distintas proyecciones geométricas, pero siempre difuminando el color en degradados que sugieren lo inacabado, lo inexpugnable, lo excepcional, lo ideográfico, lo infinitamente pequeño o inmensamente grande. Será también el momento de las primeras visiones cartográficas del cielo estrellado (planisferium), sometido a la estructura fija de trémulos arcos y distancias tímidamente murmuradas (1624). Y allí, entre las estrellas o planetas, el vacío de lo eterno; y entre tales esferas y nosotros, el recorrido silente de lo inconmensurable.

La música quizás no necesitó de ninguna idea utilitaria de lo infatigable. Por sí misma es un cuadro de texturas sonoras que anudan el delicado tejido de una suerte de infinito natural. En el registro antropológico de cualquier pueblo se hace patente desde siempre. Y vale decir, la modernidad musical es apenas un fenómeno provinciano, si se quiere. Las chirimías de los antiguos pueblos andinos que hoy se conocen iteran el motivo musical con una ritualidad innombrable. Se repiten sus ondulaciones en una especie de éter sagrado inherente a la casa comunal. Y cada repetición es otra forma de lo infinito cuando evoca las tonadas del principio fundacional del cosmos, pues su principio temporal es también incalculable.

Del mismo modo, Bach orquesta la escala de las consonancias y disonancias de ese cosmos protestante, haciendo uso de las ondulaciones aéreas de una catedral. Y sus ciclos se ejecutan en el orden de una aparente iteración que no cesa en nuestro mundo interior, y que en cada motivo tampoco cesa de sondear el infinito de las almas metafísicas, quizás las más verdaderas. En cualquier lugar, y esta es nuestra mejor empatía con lo infinito, tarareamos la

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bella tonada que se hundió en nuestra memoria más inconsciente, más emocional, más humana. Aquel “eterno retorno de lo mismo”, o las ritualidades que se consagran a la repetición de ese infinito actual que es el ciclo de las consonancias y disonancias, quedó expresado en clave dialéctica por el primo de matrimonio de Bach, J. G. Walther (1708): “Las disonancias son la noche, las consonancias son el día; la luz no sería tan grata si fuese siempre de día y nunca de noche. Las disonancias son el invierno, las consonancias el verano. Uno es amargo, el otro dulce. Uno es negro, el otro blanco” (tomado de Butt, 2000, p. 103).

El flujo cíclico de las cosas, su repetición, su movimiento incesante, hace que las cosas sean cosas, que la realidad aparezca sí y solo sí es deudora de una especie de infinito circular. Quizás la repetición sea la única evidencia de lo infinito, su primera y última aparición sensorial. Sin embargo, esta ritualidad no puede ser el infinito mismo, pues su sensación no corresponde a su entendimiento o delimitación racional. Lo infinito solo deviene como síntoma de la negatividad de lo finito, como líneas magnéticas formadas por polvillos de hierro, o líneas de tinción que hacen visible un microorganismo.

Del mismo modo, las metáforas abren un infinito entre las antípodas del lenguaje, y gracias a este vacío de realidad, a ese variopinto espectro de tintes indefinibles entre los opuestos, se produce la metáfora, y con ella, el lenguaje que realmente comunica y verdaderamente dice algo de lo real. Las siguientes expresiones concitan lo infinito en nuestro interior y solo su arquitecto conoce el arte de saberlas juntar: “morir viviendo”, “las estrellas caen como las hojas”, “silencios ruidosos”, entre otras. ¿Qué es morir mientras se vive, o percibir un silencio aturdidor? Son tensiones de la íntima experiencia humana o ambiental, cuyos haces de sensaciones solo son “acotables” con estas voces antagónicas. De la misma manera que acotamos en la recta numérica la sospecha de lo infinito entre dos valores determinados.

Si en los extremos de una recta situamos el silencio y el ruido “absolutos”, y hacemos que converjan hacia un punto intermedio, encontraremos un lugar difuso de silencios con sonidos o de sonidos silenciosos, una “zona osmótica” de múltiples valores de verdad, a decir de Zalamea (2010), cuyas variaciones solo pueden ser designadas como indefinidas o infinitas.

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La formalización del mundo contra la artesanización de la matemática Newton y Leibniz institucionalizaron, junto a una pléyade de factores culturales, económicos y políticos, el cálculo moderno. Su capacidad de medición e instrumentación de las cosas no conoce límites. Las virtudes de esta herramienta performativa del mundo se despliega a sus anchas en las representaciones y simbolizaciones de las entidades humanas y no humanas.

Lo que es explicable, en parte, por su probada eficiencia al momento de controlar dichas entidades mediante formas matemáticas “universales”. Esta excesiva vacuidad resulta útil para toda racionalidad técnica y conducta eficientista del homo œconomicus, elementos coetáneos del Capital y su proceso de expansión territorial desde el siglo XVII, casi siempre heterogéneo incluso para los lugares más cercanos a sus matrices urbanas euronorteamericanas.

A la sombra, en resistencia, empoderado por suscitaciones artísticas y artesanales, se levanta la obra de Cavalieri (1635). Sus formas “sensualistas” de aproximarse a las mensurabilidades y cuadraturas se revelan como una matemática campirana, instalada en el ager, sometida a los ritmos naturales de las huertas y pasturas, o de los sueños regidos por las fuerzas circadianas, o de los ciclos nictémeros que ordenan los tiempos de labranza. También se pueden apreciar los grafos de Cavalieri en cualquier taller rústico destinado al trato libre de la madera o el barro, pero obediente a sus cortes originales, texturas, sentido de las fibras, temperaturas ambientales, colores y vetas, granulometría natural, plasticidad, resistencia al cizallamiento, entre otros aspectos. Quizás para él se trataba de reescribir sobre la escritura de dios, que son las cosas, las líneas constitutivas de lo real.

Cavalieri, hijo intelectual de Galileo, no solo destajó el barbecho de esas formas primitivas, orgánicas, angulosas, casi siempre impensables o inconmensurables, y entregó a ese mundo “premoderno” la posibilidad cierta de una reescritura abierta a formas geométricas o matemáticas protouniversales que habrían de ser explotadas hasta la saciedad por Wallis, Mengoli, Roberval, Pascal, Newton y Leibniz (Andersen, 1984). Cavalieri, inspirado por las cosas simples de la vida “virgiliana” o artesanal, como surcos, tejidos, toneles, cubetas, cantos de maderos y otras configuraciones manuales inherentes a los tiempos del grano, la yugada y la carreta de tiro, inventó los indivisibles. Metafísica u ontología materialista que reconoce (como debería ser en todos los casos) su fundamento idealista, pero con

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aplicaciones perfectamente prácticas. Elementos ideales que, en efecto, no se atreve a reconocer el cálculo moderno.

Newton, por supuesto, se apartó de tal metafísica, quizás por considerarla abigarrada, difícil de generalizar en el orden de lo práctico, o aún tocada por la mano de lo místico y bucólico. No obstante, impuso su propia metafísica fisicalista, la cual encubrió con destreza el carácter ideal de los infinitesimales. Por su parte, Cavalieri, mostró, bajo el gobierno de los tiempos de la noria de agua, que su cálculo era también útil pero “discreto”, y capaz de verdaderas aventuras del calculismo.

En 1 Principia, Libro I, Sección I, Lema XI, se escribe: “Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium hypothesis, & propterea methodus illa minus geometrica censetur; malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium summas & rationes, primasque nascentium, id est, ad limites summarum & rationum deducere; & propterea limitum illorum demonstrationes qua potui brevitate præmittere. His enim idem præstatur quod per methodum indivisibilium; & principiis demonstratis jam tutius utemur” (Newton, 1687(1871)).2

El reconocimiento de Newton a la obra de Cavalieri es indirecta, y el comentario en su obra fundacional de la física moderna es realmente contradictorio. Afirma que el método de los indivisibles goza de demostraciones abreviadas (contractiores se ha traducido por concisas), lo que es una virtud en la disciplina que se perfecciona desde Euclides. Luego expresa que los indivisibles constituyen una hipótesis dura (aunque durior también refiere firme o penoso), lo que llanamente indica que es inaceptable o contraria a su intuición. Y remata diciendo que tal método no llena las

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Gracias a los trabajos y orientaciones del profesor Leonardo Solanilla de la Universidad del Tolima, Colombia, sobre los indivisibles de Cavalieri y la querella con distintos matemáticos contemporáneos y posteriores, me fue posible acceder a distintas ideas matemáticas sustanciales que dieron lugar a un cálculo descolonial.

2 De la traducción inglesa de Thorp, 1777, se tiene esta versión: “Es verdad que las demostraciones se hacen más concisas por el método de los indivisibles. Sin embargo, debido a que la hipótesis de los indivisibles es algo dura, y que por tanto dicho método se estima menos geométrico, he juzgado reducir las demostraciones de las proposiciones siguientes a las sumas primeras y últimas de razones de cantidades nacientes y evanescentes; es decir, al límite de tales sumas y razones; y así reivindicar las demostraciones a tales límites, tan brevemente como he podido. Por este método se obtiene el mismo resultado que por el método de los indivisibles; y habiendo demostrado dichos principios, podemos usarlos con mayor seguridad” (Newton, 1687, traducido por Solanilla, 2015).

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expectativas de ser plenamente geométrico en opinión de terceros que no especifica, pero aclarando que se debe a esa malhadada hipótesis de lo indivisible. Sin entrar en consideraciones sobre las conexiones entre hipótesis y método, Newton es indiferente a las objeciones según las cuales sus hipótesis también pueden considerarse “duras”.

Así pues, adopta la idea de las sumas y razones de las cantidades evanescentes (evanescentium, cuya traducción es inequívoca), que remite a elementos fisicalistas como aquellos que produce el evaporatorio, esto es, partículas gasificadas, volatilizadas, o disipadas. Pero a fin de cuentas tan materiales como los hilos de algodón, los rayos de sol, las fajas de sombra, las barras de metal, las rayas en la arena, las líneas en la pizarra, o las vetas de madera, inherentes a la idea de los indivisibles de Cavalieri.

Ciertamente, la polémica sobre los indivisibles y los infinitesimales no ha terminado, a pesar de la hegemonía en la matemática moderna de los segundos, y su incontestable presencia en el pensamiento científico contemporáneo. Tanto los unos como los otros se revelan mediante una suerte de “instinto de conocimiento”, a decir de Wittgenstein. No obstante, por una “inducción tosca”, a propósito de Pierce (1970, 1988), se afirma la existencia de cantidades infinitesimales en el mundo de las cosas y las representaciones, las cuales capturan los residuos de pequeñas cantidades racionales e irracionales. Pretensión siempre persistente cuando se trata de capturar el continuo mediante grafos, o mejor, determinar equivalentes algebraicos del continuo. Sean signos, rectas o curvas, las representaciones matemáticas del continuo son siempre una reducción práctica o arbitraria.

“De hecho, en cierto modo ω puede ser considerado como el límite al que tiende el número entero finito variable υ, aun cuando solo sea en el sentido de que ω es el número ordinal transfinito más pequeño, i.e., el número más pequeño fijo que es mayor que todos los números finitos υ; de la misma manera, 2 es el límite de ciertos números racionales, crecientes y variables, aun cuando aquí, además, la diferencia entre 2 y estas fracciones que se aproximan se vuelve arbitrariamente pequeña, mientras que ω − υ siempre es igual a ω. Esta diferencia no altera el hecho de que ω tiene que ser reconocida justo como algo tan definido y completo como 2, y tampoco altera el hecho de que ω contiene algunos vestigios de los números υ que tienden hacia él, justo como 2 contiene rastros de las fracciones racionales que se le aproxima” (Cantor, 1887, tomado de Lavine, 2005, p. 108).

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Afirmaciones como “ordinal transfinito”, “algo tan definido y completo como 2 ” y “ 2 contiene rastros de las fracciones racionales”, presuponen intuiciones que castigan con verdaderos actos de fe a la inducción misma.

Pues, ordenar transfinitos (Cantor las denomina “nuevas irracionalidades”) solo es aplicable a los racionales, que 2 sea el límite de ciertas cantidades racionales solo es una simbolización que no puede hacerse pasar como una cantidad definida o determinada, y que 2 contiene rastros racionales y viceversa, implicaría acceder a la compresión de la inconmensurabilidad, o aceptar el presupuesto del “matemático inmortal”. A no ser que esto se predique de cantidades racionales e irracionales “finitas”, lo que, en últimas, equivaldría a tener meras expresiones racionales.

En breve, los anteriores principios cantorianos siguen siendo contrarios al espíritu de la inducción, y más bien se instalan en los casos típicos del noúmeno kantiano. Y estos residuos serán, acaso, aceptables para pequeñas cantidades racionales que convergen a otro racional, y se ajustan mejor al canon inductivo, cuando se trata de interpretarlos como susceptibles de representación u objetivización en el mundo sensible.

El continuo es una ilusión, otro fantasma no representable y solo simbolizable.

Sus grafos simbólicos sobre lo irracional llenan arbitraria o metafísicamente un vacío ontológico. Su practicidad en dichas representaciones es mucho menor que aquellos grafos que representan racionales. Y es mucho menor en tanto que solo tienen pleno sentido operativo o utilitario cuando se reducen arbitrariamente a racionales finitos e infinitos. O lo que es lo mismo, el paso de lo discreto a lo continuo no es posible consistentemente.

Dicho claramente, el tránsito de lo discreto a lo continuo no tiene sentido material en la formulación de la proposición misma. Los irracionales complementan “formalmente” los racionales mediante otro acto arbitrario, pero su validez es meramente convencional, y no goza de ninguna demostrabilidad sustentable en el mundo de las representaciones. La validez de dichos irracionales es meramente simbólica y no tiene ninguna practicidad en sí misma, por lo cual su demostrabilidad es perfectamente impráctica, y solo hace sentido en una metafísica de las ideas, y no de la materia.

Ciertamente, esta especie de transposición de la metafísica de las ideas a la metafísica de la materia es otra imposibilidad ontológica, en tanto que las interioridades y las exterioridades no gozan de una plena continuidad para todos los procesos de conocimiento. Si existe cierta conexión capaz de

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hibridar el “alma” y el “objeto” solo es constatable mediante criterios utilitarios o prescriptivos. Esta gran división de los “existentes” es transversal a todas las culturas, y las diferenciaciones establecidas mediante sus sistemas ontológicos se fundan en dicha división, indiferentemente de las cosmovisiones naturalistas o animistas, para poner dos ejemplos extremos. De hecho, la etnología y la psicología evolutiva ya gozan de consensos significativos respecto a estas condiciones y limitaciones epistemológicas (Descola, 2012, p. 187 y ss.). Por tanto, dicha transposición es un ejercicio simbólico o estético, perfectamente aceptable en sus lógicas de validación internas, pero completamente equívoca en las lógicas de validación material.

Y el cálculo en los números reales ha combinado, desde sus primeras axiomatizaciones, dos planos de la existencia irreconciliables: el ontológico materialista y el ontológico idealista, y sus aparatos deductivos operan con aceptable coherencia y consistencia porque se desarrollan en el plano de esta última ontología, que no es otra cosa que una narrativa fantasmática bien ordenada.

Reencantamiento del cálculo o su descolonización Aquí se hará el esfuerzo de proponer un cálculo inscrito en una ontología materialista, que no niega la posibilidad de caer en ciertas debilidades idealistas en lo que toca a sus principios, los cuales, al menos, gozan de coherencia con el espíritu de la inducción. Se trata de un cálculo fundando en cantidades racionales, y que admite cantidades irracionales como “compañeros” (imposibles de ordenar y expandir satisfactoriamente claro está) meramente simbólicos o espectrales. Asimismo, solo reconoce la existencia, en el mundo de las cosas y las representaciones, de cantidades racionales, y admite por ideal el presupuesto, en dicho mundo, de un campo de isovalor, el cual reduce toda cantidad racional convergente a otra cantidad racional fija al valor mismo de esta última. Dicho campo se funda en la inducción y goza de plena legitimidad lógica y epistemológica.

Este cálculo opera a la manera de una herramienta práctica de cuño transmoderno, que al mismo tiempo que hunde sus axiomas en la experiencia cotidiana de la ruralidad bucólica, casi siempre en consonancia con los ritmos de la renovación natural de lo vivo y de la restauración de lo abiótico, no deja de ofrecer soluciones útiles para el hedonista y convulso mundo urbano.

Restauraciones que no retornan a ningún punto originario (y que solo son

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esperables para las escalas de nuestro antropoceno), sino que siguen las indefectibles variaciones naturales, las cuales representan otro infinito actual.

No obstante, un cálculo descolonial no aspira a domeñar lo infinitamente grande o infinitamente pequeño. Solo aspira a controlar sus cantidades expresadas a escala humana, esto es, sus manifestaciones racionales. Lo que también recuerda la finitud de aquellas variaciones naturales de nuestra ecúmene, y recusa las posibilidades infinitas de sus variaciones planteadas por el hechizo del continuo, la tecnología y el desarrollo sostenible. Quizás se pueda decir: lo rural es racional y lo urbano irracional. Dicho en palabras de Onfray: “Virgilio lo dice de manera definitiva: todo hombre puede recibir lecciones sobre la marcha filosófica del mundo examinando el funcionamiento de una colmena. Asistir al espectáculo de los ciclos de la naturaleza, percibir en un campo el eterno retorno de las cosas (arar, sembrar, cosechar, arar, sembrar, etcétera); esta es la manera que tiene la agricultura de ofrecer lecciones de cosas modestas pero determinantes para la cultura. El campesino da la matriz a todo filósofo digno de ese nombre. El pensador de las ciudades no le llega a la suela de los zapatos al pensador del campo.

Sobre una multitud de temas, Sartre, que odiaba la naturaleza, dijo cosas menos verdaderas y menos justas que Séneca en su finca romana dos mil años antes que él” (2016, p. 57).

Lo que parece ser un ditirambo infundado a la naturaleza, es un profundo y auténtico llamado moralizante: la crisis ambiental del planeta y las sempiternas vejaciones al campesinado, a decir de Víctor Alba (1973), son dos de los obstáculos más importantes a superar por la vida política contemporánea, a fin de realizar el programa de la vida en todas sus formas, en cuyo seno el hombre es una variación mas y su destino el oikos rural. De allí que Onfray insista en ese tono casi místico: “me llevó mucho tiempo distinguir entre la cultura mala, la que nos aleja de la naturaleza, y la buena, aquella que nos acerca a ella” (2016, p. 28).

Este cálculo no se presentará al modo de los textos formalistas, ni se fundamentará según la ortodoxia axiomática. Solo presentará sus elementos conceptuales y avances teoremáticos más sólidos o interesantes para la comunidad académica. Ciertamente, se trata de un esbozo de teoría no convencional que, como en otros casos conocidos y mucho mejor desarrollados, se opone a la teoría clásica del cálculo y a la teoría conjuntista.

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Finalmente, es importante mencionar que las aproximaciones a los axiomas y teoremas presentadas aquí, se derivan de los estudios de Cavalieri (Andersen, 1984), y otras son producto de las propias reflexiones del autor, especialmente las relacionadas con las áreas bajo la curva. Asimismo, subsiste la posibilidad de que estos estudios sean ampliados a otros problemas del cálculo convencional, lo que podría ser interesante para la didáctica de la matemática, entre otros campos.

Hacia una axiomática de un cálculo descolonial I.

Lo infinito pequeño o lo infinito grande son vacíos de cualquier realidad (ideas, grafos o cosas), que solo pueden ser imaginados o definidos mediante su negación.

II.

El infinito denumerable goza de un alto valor práctico y predictivo, mientras que otros tipos de infinitos carecen de estos atributos. Pues, no tienen sentido o violan la regla de la inducción, y solo son susceptibles de grafos simbólicos. Estos grafos no tienen un valor práctico aceptable, mientras que los correspondientes al infinito numerable sí.

III.

Dado que lo infinito no puede ser imaginado o definido positivamente, entonces se puede predicar cualquier cosa de él siempre que se invierta antagónicamente la noción de lo finito. El infinito denumerable y el infinito no denumerable son, en sí mismos, ideas.

IV.

Los puntos, las líneas y las superficies se norman como se quiera.

Hacia las definiciones de un cálculo descolonial 1. Los puntos son adimensionales, y sus grafos son posibles como representación o simbolización. Una representación tiene un alto valor práctico y predictivo, mientras que una simbolización carece de este valor.

Los puntos en sí mismos solo son ideas.

2. La cantidad de puntos (en la línea o en la superficie) solo puede ser determinable como un infinito denumerable.

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3. Una línea es unidimensional, y sus grafos son posibles como representación o simbolización. La línea es en sí misma un objeto inteligible. Definir y medir sus grafos es una operación que proyecta materialmente una escala arbitraria de divisiones regulares sobre ellos.

4. Solo se pueden determinar infinitas líneas denumerables.

5. Un plano es bidimensional, y en sí mismo es una idea. Sus grafos son posibles como representación o simbolización. Su representación es posible como una colección de líneas o retículas infinitas denumerables.

Definir y medir sus grafos es proyectar en el plano una escala arbitraria de divisiones regulares mediante líneas o retículas.

6. Las cantidades trascendentes tienen grafos que solo pueden operar como símbolos. De hecho, estos símbolos, expresados en números, puntos, líneas, o superficies, solo gozan de representación o aplicación práctica cuando se llevan a cantidades racionales.

7. La colección de líneas o retículas es susceptible de conteo o de un cardinal.

Este cardinal puede ser finito o infinito, según sea el tipo de medición requerida. La idea de colección de líneas proviene de Cavalieri (1635), y la noción de cardinal es deudora de Cantor (1887) (Andersen, 1984; Lavine, 2005). Este eclecticismo entre lo bucólico, “premoderno” y moderno también revela una visión transmoderna del cálculo y, por tanto, una perspectiva descolonial del mismo.

8. El conteo de líneas solo depende del orden en el cual se dispongan, y dicho orden depende de la escala de las divisiones del plano a través de líneas. El conteo de las retículas se debe realizar de modo tal que cada línea que sea interrumpida por otra línea deberá ser contada, y no es legítimo contar dos veces las líneas. Igualmente, el orden del conteo será definido por la escala de las divisiones regulares del plano mediante las retículas.

9. La retícula objeto de conteo estará definida por el mínimo de líneas que configure inequívocamente una superficie en el plano. Para las áreas de rectángulos, cuadrados y triángulos, el conteo se hará sobre las líneas o retículas regulares, indiferentemente de la escala de las divisiones del plano. Y para las áreas que definen las parábolas, el conteo se hará sobre todas las líneas o retículas definidas por las escalas de las divisiones

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regulares en el plano. No sobra decir que cualquier división regular del plano corresponde a cantidades racionales.

10. Si se emplean planos coordenados, deberá aceptarse que sus ejes pueden simbolizar no contables, pero solo pueden representar cantidades racionales, y que toda función construida con sus imágenes racionales pueden sugerir grafos de cantidades no contables, pero únicamente a la manera de simbolizaciones. Una función de una recta o una curva en el plano cartesiano es un “fantasma” de la recta o la curva ideal.

11. Este cálculo descolonial considera inane o inconsistente para su lógica introducir en un solo continuo las cantidades racionales e irracionales, sean infinitamente pequeñas o infinitamente grandes. O mejor, no es aceptable para la inducción postular cantidades “evanescentes” o “infinitesimales” que contengan residuos de cantidades irracionales que se “acumulan” alrededor de algo, sean puntos, líneas, o áreas. Es suficiente entonces con aceptar cantidades racionales infinitamente pequeñas que caen en un campo de valor único de naturaleza arbitraria. Este campo es denominado aquí “campo de isovalor”, el cual opera como un homogeneizador de las cantidades racionales infinitamente pequeñas que se aproximan a una cantidad racional fija. Dicha homogeneización es, de lejos, mucho más familiar a la inducción que otra, a pesar de que pueda ser impugnada como otro procedimiento de carácter simbólico. ¿El campo de isovalor resguarda en su seno cantidades irracionales, fantasmas postulados para dar cierta materialidad a la idea de continuo? No se puede responder a esta pregunta, o no tiene sentido su formulación. Un punto, una recta, o una curva, delimitan líneas o superficies en el plano. Tal delimitación es un grafo que representa o simboliza, pero su simbolización es inconmensurable, y su representación de origen arbitrario o convencional. En estricto, solo podemos determinar longitudes o áreas recurriendo a delimitaciones arbitrarias compuestas por campos de isovalores. Por ejemplo, un área de un cuadrado es en sí misma una idea, y su determinación cuantitativa es apenas una representación sometida a la arbitrariedad de la escala de divisiones regulares materiales. Lo mismo aplica para el área bajo la curva, la cual es en sí misma una idea, y cuya conmensurabilidad solo opera en su representación mediante divisiones materiales regulares arbitrarias.

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12. Por cantidades o campos arbitrarios se entiende aquí un acto normativo que reduce la incertidumbre en la conmensurabilidad de los grafos, o lo que es lo mismo, incrementa la capacidad práctica o predictiva de los grafos, tanto en el proceso de representar las ideas como en el propósito de representar las cosas. Representar ideas es de por sí representar cosas, o viceversa, dado que las representaciones se constituyen con grafos (u otros lenguajes) compuestos de formas “atómicas” u “originarias”, las cuales se derivan de una “proyección físico-espacial” que establece, a la manera de un patrón epistemológico general, una relación biyectiva entre las ideas y las cosas, a propósito de Wittgenstein (1918).

Estas formas híbridas, inherentes a los patrones generales de la sicología evolutiva, conocidas como “naturalistas”, se encuentran particularmente explotadas en la cultura occidental. Pues, la etnología ha probado sus distintos grados de influencia en los sistemas ontológicos de variados pueblos o culturas, bajo la categoría de “semejanza de las fisicalidades y diferencia de las interioridades” (Descola, 2012, p. 190 y ss.). El valor práctico de la “verdad interna” en todos los cálculos depende, principalmente, de aquellos actos normativos. Por tanto, el grado de objetividad de los grafos depende de la practicidad en sus procesos de control de la realidad, y no se encuentra en función de una especie de verdad por correspondencia con las cosas, a decir de Popper (2002). De hecho, los patrones probados por la sicología evolutiva y la etnología tampoco pueden escapar a este criterio de confección de la objetividad.

13. No obstante aquellos fantasmas de cantidades irracionales imprácticas en sí mismas, su simbolización se convirtió en un absoluto metafísico necesario que permite complementar el vacío insuperable que deja la noción de cantidades infinitas irracionales. De la misma manera que dios, libertad y belleza complementan con sus ilusiones la precariedad ontológica del lenguaje utilitario del mundo, a propósito de Žižek (2003, p. 338 y ss.).

Ciertamente, esta manía por tan peculiares absolutos es inherente a la modernidad occidental, cuya divisa es hacer equivaler las “fisicalidades” hasta el paroxismo.

20 Â

Nomenclatura de un cålculo descolonial 1. � es un dominio y el número contable de líneas que se desprenden perpendicularmente de este. El dominio se construye con puntos que representan cantidades racionales únicamente. � es un codominio y el número contable de líneas que se desprenden ortogonalmente de este. El codominio se confecciona con puntos que representan cantidades racionales únicamente. � es otro codominio construido con puntos que representan cantidades racionales o simbolizan cantidades irracionales, las cuales pueden ser empleadas para definir una longitud �  o  ℎ en el plano coordenado. � es otro dominio confeccionado con puntos que representan cantidades racionales o simbolizan cantidades irracionales, las cuales pueden ser utilizadas para definir una �  o  ℎ en el plano coordenado. � = � ! define un continuo arbitrario o simbólico mediante la unión de puntos que representan cantidades racionales en el plano coordenado. Este continuo puede ser producto de los sistemas �, � , �, �  y �/�, �/� . El último sistema permite las equivalencias meramente numÊricas � = � y � ! = � ! , si y solo si � adquiere valores naturales o racionales. Esto es posible en virtud del solapamiento simultåneo de los sistemas �, �  y  �, � cuando sus dominios, codominios y planos coordenados toman valores naturales o racionales exclusivamente.

2. âˆĽ đ??ż! âˆĽ es el cardinal de las lĂ­neas paralelas distribuidas regularmente que se desprenden de đ?‘Ľ. âˆĽ đ??ż!" âˆĽ es el cardinal de las lĂ­neas que conforman cada una de las retĂ­culas regulares, las cuales se construyen con las lĂ­neas que se desprenden de đ?‘Ľ e đ?‘Ś.

En los dos casos, el cardinal puede ser finito, o un infinito denumerable, y el conteo de las lĂ­neas debe excluir aquellas que se solapan con los ejes đ?‘Ľ e đ?‘Ś.

21 Â

3. đ??´! es el ĂĄrea de un cuadrado o rectĂĄngulo expresada como una colecciĂłn de lĂ­neas o retĂ­culas regulares. La colecciĂłn de lĂ­neas es un ĂĄrea de Cavalieri (Andersen, 1984), y ĂŠsta es susceptible de presentarse como una cantidad racional, o combinada con una cantidad simbĂłlica. Y la colecciĂłn de retĂ­culas es un ĂĄrea en damero expresable en cantidades racionales Ăşnicamente. Â 4. đ??´! Â es el ĂĄrea de un triĂĄngulo expresada como una colecciĂłn de lĂ­neas o retĂ­culas regulares, las cuales siguen el principio prĂĄctico de origen inductivo que se denominarĂĄ aquĂ­ biyecciĂłn de Cavalieri (Andersen, 1984). AsĂ­ pues, existen ĂĄreas de Cavalieri y en damero para los triĂĄngulos, las cuales deben seguir las condiciones mencionadas atrĂĄs.

5. âˆĽ đ?‘ƒ!" âˆĽ es el cardinal de las lĂ­neas que conforman retĂ­culas regulares localizadas bajo la curva de una parĂĄbola de la forma đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! , đ?‘? ≼ 2.

Dichas lĂ­neas se desprenden de đ?‘Ľ e đ?‘Ś, y tambiĂŠn constituyen las cantidades racionales de la funciĂłn, siendo sus valores irracionales solo simbolizables. Este cardinal debe ser infinito denumerable, y el conteo de las lĂ­neas excluye aquellas que se confeccionen con los ejes đ?‘Ľ e đ?‘Ś .

AdviĂŠrtase que esta curva es un grafo simbĂłlico de una entidad ideal.

6. đ??´! es el ĂĄrea bajo una parĂĄbola de la forma đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! , đ?‘š ≼ 2,  expresada como una colecciĂłn de lĂ­neas regulares, o conformada por retĂ­culas regulares. En el primer caso, se operarĂĄ segĂşn una nueva relaciĂłn de proporcionalidad de ĂĄreas de Cavalieri infinitamente pequeĂąas, la cual permite, por deducciĂłn, obtener constantes prĂĄcticas o satisfactorias, y en consecuencia, calcular ĂĄreas bajo la curva expresadas como ĂĄreas de Cavalieri. Y en el segundo caso, se determinarĂĄ una nueva relaciĂłn de proporcionalidad entre el cardinal de las lĂ­neas de las retĂ­culas bajo la curva y el cardinal de las lĂ­neas que conforman el cuadrado o rectĂĄngulo que delimita dicha curva. Los cardinales de esta relaciĂłn deben ser determinados para infinitas lĂ­neas denumerables. Con esta operaciĂłn es posible encontrar, por inducciĂłn, constantes Ăştiles o consistentes que servirĂĄn de soporte para determinar un ĂĄrea bajo la curva expresada como un ĂĄrea en damero.

7.

0,1/2! ,  siendo  � ≼ 0, corresponde a la escala de divisiones regulares que conforman las líneas paralelas que se desprenden del eje �, o a la escala de divisiones que confeccionan las retículas regulares a partir de las

22 Â

lĂ­neas que se desprenden de los ejes đ?‘Ľ e đ?‘Ś. Si la escala es 0,1 indica que la particiĂłn corresponde a la unidad para el o los ejes mencionados, siendo đ?‘› = 0. Si la escala es 0,1/2 indica que la particiĂłn para el o los ejes serĂĄ en segmentos de 1/2, siendo đ?‘› = 1. Si la escala es 0,1/4 significa que los segmentos regulares serĂĄn de 1/4, siendo đ?‘› = 2. De este modo, las divisiones de los ejes coordenados dan lugar a finitas lĂ­neas regulares, o a infinitas lĂ­neas regulares denumerables, segĂşn la escala que se elija.

8. ≗ es un campo de isovalor, el cual se define como un lugar ideal que se forma en derredor de un racional fijo, el cual reduce arbitrariamente la convergencia de racionales a esta cantidad fija al valor mismo de dicha cantidad. Así pues, cuando se dice que la cantidad racional  �!  cae en el campo de isovalor de la cantidad racional �! , se escribirå �! ≗  �! .

9. Si la relaciĂłn âˆĽ đ?‘ƒ!" âˆĽ/âˆĽ đ??ż!" âˆĽ  converge a đ?‘˜! en virtud de las infinitas particiones racionales regulares de los ejes đ?‘Ľ e đ?‘Ś, independientemente de la escala 0,1/2! que se elija, entonces se dice que âˆĽ đ?‘ƒ!" âˆĽ/âˆĽ đ??ż!" âˆĽ cae en el campo de isovalor đ?‘˜! , y se denotarĂĄ como âˆĽ đ?‘ƒ!" âˆĽ/âˆĽ đ??ż!" âˆĽ ≗ đ?‘˜! .

Hacia los teoremas de un cĂĄlculo descolonial 1. Ă rea de Cavalieri para un cuadrado o rectĂĄngulo đ??´! =âˆĽ đ??ż! âˆĽâˆ™ đ?‘™/2! ,  con  đ?‘› ≼ 0, cuyos valores estĂĄn vinculados a las escalas 0,1/2! . Pues, đ??ż! = đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ‌ , đ?‘„ , y  cada  lĂ­nea  đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?. . , đ?‘„, tiene  altura  đ?‘™, la cual es un nĂşmero racional o irracional. Los segmentos đ?‘œđ?‘Ľ y đ?‘œđ?‘Ś no hacen parte del conteo (Figura 1). AdviĂŠrtase que el ĂĄrea no corresponde a unidades cuadradas tradicionales, sino a una simple colecciĂłn de lĂ­neas, y que la mĂŠtrica de cualquier cantidad es arbitraria, o sea, estĂĄ en funciĂłn de la escala.

23 Â

Ejemplo: EncuĂŠntrese el ĂĄrea de Cavalieri para el rectĂĄngulo con đ?‘ĽĚ‡ = 8  đ?‘Ś  đ?‘™ = 4, siendo la escala [0,1].  Primero, se determina el valor de đ?‘› a partir de la escala, el cual corresponde a 0. Luego, se procede al conteo para determinar el cardinal, cuyo ejercicio es 8. đ??´! =âˆĽ đ??ż! âˆĽâˆ™ đ?‘™/2! = 8 ∙ 4/2! = 32.

2. Ă rea en damero de un cuadrado o rectĂĄngulo đ??´! =âˆĽ đ??ż!" âˆĽ/2!!!! , con  đ?‘š ≼ 1, cuyos valores estĂĄn en relaciĂłn biyectiva con  đ?‘› ≼ 0, con el fin de vincularlos a las escalas 0,1/2! . Pues, đ??ż!" = đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘’, đ?‘“ ‌ , đ?‘„ , y đ?‘„ depende de las particiones definidas por la escala en los ejes đ?‘Ľ e đ?‘Ś (Figura 2). AdviĂŠrtase que los segmentos en los ejes no hacen parte del conteo, y que la mĂŠtrica de cualquier cantidad puede ser definida por las mismas particiones.

Ejemplo: EncuĂŠntrese el ĂĄrea en damero para el rectĂĄngulo con đ?‘ĽĚ‡ = 3  đ?‘’  đ?‘ŚĚ‡ = 2 , siendo la escala [0,1/4]. Â

Â

Primero, determĂ­nese đ?‘š en virtud de la escala. Dado que đ?‘› corresponde a 2, por biyecciĂłn se tiene que đ?‘š = 3. Segundo, determĂ­nese el conteo de Â âˆĽ đ??ż!" âˆĽ, el cual implica dividir la unidad en 4 partes para los dos ejes, y cuyo ejercicio es 192. Por tanto, Â

đ??´! =âˆĽ đ??ż!" âˆĽ/2!!!! = 192/2!.!!! = 192/32 = 6

24 Â

3. Ă rea de Cavalieri para cualquier triĂĄngulo đ??´! =âˆĽ đ??ż! âˆĽâˆ™ â„Ž/2!!! , siendo h la altura, pues, por la biyecciĂłn de Cavalieri es posible determinar el ĂĄrea del triĂĄngulo dividiendo âˆĽ đ??ż! âˆĽâˆ™ â„Ž/2! entre 2, para cualquier escala 0,1/2! (Figura 3). AdviĂŠrtase que los valores đ?‘› de la fĂłrmula del ĂĄrea estĂĄn vinculados a la escala, y que la mensurabilidad de cualquier cantidad depende de esta.

Ejemplo: Determínese el årea de Cavalieri para el triångulo con �̇ = 6  �  ℎ = 5, siendo la escala [0,1].

Primero, se debe calcular el valor de đ?‘› en virtud de la escala, de lo cual se colige que es 0. Luego, se procede a determinar el cardinal, cuyo ejercicio es 6.  đ??´! =âˆĽ đ??ż! âˆĽâˆ™ â„Ž/2!!! = 6 ∙ 5/2!!! = 15. Â

4. Ă rea en damero para cualquier triĂĄngulo đ??´! =âˆĽ đ??ż!" âˆĽ/2!! , con  đ?‘š ≼ 1 , cuyos valores estĂĄn en relaciĂłn biyectiva con  đ?‘› ≼ 0, con el fin de vincularlos a las escalas 0,1/2! . Esta ĂĄrea resulta de dividir âˆĽ đ??ż!" âˆĽ/2!!!! entre 2, por la biyecciĂłn de Cavalieri (Figura 4). La mensurabilidad de cualquier cantidad solo depende de las particiones.

Ejemplo: EncuĂŠntrese el ĂĄrea en damero para el triĂĄngulo con đ?‘ĽĚ‡ = 3  đ?‘’  đ?‘ŚĚ‡ = 2, siendo la escala [0,1].  Primero, determĂ­nese đ?‘š en virtud de la escala. Dado que đ?‘› corresponde a 0, por biyecciĂłn se tiene que đ?‘š = 1. Segundo, determĂ­nese el conteo de Â âˆĽ đ??ż!" âˆĽ, el cual implica dividir en unidades enteras los dos ejes, y cuyo ejercicio es 12. Por tanto, Â

đ??´! =âˆĽ đ??ż!" âˆĽ/2!! = 12/2!.!!! = 12/2 = 6

25 Â

5. Ă rea bajo la parĂĄbola đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! , đ?‘š ≼ 2, empleando ĂĄreas de Cavalieri đ??´! = đ?‘˜! ∙ âˆĽ đ??ż! âˆĽâˆ™ đ?‘™! /2! , siendo đ?‘˜! una constante racional obtenida por inducciĂłn o convergencia de valores racionales para cada caso đ?‘š ≼ 2. Y âˆĽ đ??ż! âˆĽâˆ™ đ?‘™! /2đ?‘› corresponde al ĂĄrea de Cavalieri de un cuadrado o rectĂĄngulo. En efecto, la mĂŠtrica de las cantidades solo estarĂĄ en funciĂłn de la escala. đ?‘˜! =

 !! !  !! ∙!!! !!!!

+

 !! !  !! ∙!!!

 !! ∙!!!

/

!!!!

−

!!

!! ∙!!!

, sometida al campo de

!!

isovalor definido por  �! ≗  �! (Figura 5). Se debe anotar que las anteriores åreas de Cavalieri son colecciones de líneas que representan una convergencia de cantidades racionales que han ingresado al campo de isovalor que se forma en derredor de �! .

En virtud de lo anterior, y haciendo đ?‘š = đ?‘? − 1  y  đ?‘? ≼ 3 para facilitar la demostraciĂłn, se tiene que: =

!!!

 !! !  !! ∙!! !!!!

!!!

 !! !  !! ∙đ?‘Ľ!

= Â =

!!!! ∙

 !! !  !! ∙

!!!

 !! !  !! ∙!! !!!!

+

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+

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 + Â

!!!! ∙

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 !! ∙!!

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 !! !  !! ∙đ?‘Ľ!

!!! !! ∙  !! !  !! ∙đ?‘Ľ! !!! !!! !!! !!!  !! !  !! ∙!! !  !! ∙  !!! !â‹Ż!  !!

=

 /

!!

 /

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 !! !  !! ∙

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!! ∙!!

−

!!

Â

!!! !! ∙  !! !  !! ∙đ?‘Ľ! !!! !!! !!! !!!  !! !  !! ∙!! !  !! ∙  !!! !â‹Ż!  !!

đ?‘Ľ0đ?‘?−1 + đ?‘Ľ1đ?‘?−1 đ?‘?−1

2 ∙  đ?‘Ľ1

đ?‘?−2

+ Â đ?‘Ľ1

đ?‘?−3

∙ đ?‘Ľ0 +  đ?‘Ľ1

Â

đ?‘?−1

2

∙  đ?‘Ľ0 + â‹Ż +  đ?‘Ľ0

Y considerando  �! ≗  �! , ! !!!

Â

 Â

! !!!

!

≗   ! !!! !  ! !!! !  ! !!! !â‹Ż!  ! !!!  =  !∙  ! !!!  =  ! Â

Â

 Â

26 Â

Por tanto, si la funciĂłn es đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! , se tendrĂĄ que đ?‘š = đ?‘? − 1 = 2, por lo cual đ?‘? = 3. AsĂ­ pues, đ?‘˜! =1/3, y para todos los casos, đ?‘˜! = 1/đ?‘?, o lo que es lo ! mismo, đ?‘˜! = .3 !!!

Ejemplo: DetermĂ­nese el ĂĄrea de Cavalieri bajo la parĂĄbola  đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! limitada por đ?‘ĽĚ‡ = 2 , siendo la escala para el rectĂĄngulo [0,1].  Se debe calcular el valor de đ?‘› en virtud de la escala, el cual es 0. Se procede a determinar el cardinal, cuyo ejercicio es 2, y el valor de đ?‘™! , cuyo resultado es 8. Luego, se determina  k ! , cuyo ejercicio es Âź. Â

đ??´! = đ?‘˜! ∙ [âˆĽ đ??ż! âˆĽâˆ™ đ?‘™! /2! ] =  Ÿ ∙ [2 ∙ 8/2! ]  = 4 Â

6. Ă rea bajo la parĂĄbola đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! , đ?‘? ≼ 2, empleando ĂĄreas en damero đ??´! = đ?‘˜! ∙ âˆĽ đ??ż!" âˆĽ/2!!!! , considerando đ??ż!" = 1, 2, 3,4,5,6,7,8 ‌ , đ?‘„ y definiendo đ?‘ƒ!" = đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ ‌ , đ?‘„ . đ?‘„ depende de las particiones definidas por la escala (Figura 6). Por lo cual se debe cumplir que âˆĽ đ?‘ƒ!" âˆĽ/âˆĽ đ??ż!" âˆĽ ≗ đ?‘˜! , siendo đ?‘˜!  una constante racional obtenida por inducciĂłn para cada caso  đ?‘? ≼ 2, en virtud de la convergencia de valores racionales producidos por la relaciĂłn âˆĽ đ?‘ƒ!" âˆĽ/âˆĽ đ??ż!" âˆĽ , la cual supone la particiĂłn de infinitos segmentos denumerables en los ejes đ?‘Ľ e đ?‘Ś, indiferentemente de la escala 0,1/2! . Y âˆĽ đ??ż!" âˆĽ/2!!!!  es el ĂĄrea en damero de un cuadrado o rectĂĄngulo. ObsĂŠrvese que las ĂĄreas anteriores son susceptibles de mĂŠtrica en funciĂłn de las particiones.

Para la determinaciĂłn de đ?‘˜! se recurriĂł al conteo automatizado de colecciones grandes de lĂ­neas que componen las retĂ­culas regulares localizadas bajo la

                                                        3

Se tienen demostraciones para funciones convexas, siguiendo esta misma lĂłgica demostrativa, que no es del caso presentar aquĂ­, las cuales se pueden dejar como ejercicio.

27 Â

curva, y de aquellas que constituyen el cuadrado o rectĂĄngulo que limitan la misma4.

En atenciĂłn a lo anterior, para la funciĂłn đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! se definiĂł el intervalo 0,1 en los ejes đ?‘Ľ e đ?‘Ś, el cual se sometiĂł a 2!" particiones regulares, y la relaciĂłn de los conteos âˆĽ đ?‘ƒ!" âˆĽ/âˆĽ đ??ż!" âˆĽ arrojĂł 0,3333333. Para esta misma funciĂłn en el intervalo 0,2 , sometido a 2!" particiones regulares, se obtuvo 0,3333337.

Para la misma funciĂłn y el intervalo 0,10 sometido a 2!" particiones regulares, el resultado del ejercicio fue 0,3333336. En el caso del intervalo 0,100 y con 2!" particiones regulares, se obtuvo 0,3333353. Para el intervalo 0,1/2 y con 2!" particiones regulares, se encontrĂł 0.3333340.

Cuando se trata del intervalo 0,1/3 para 2!" particiones regulares, el resultado fue 0.3333343. Y para el intervalo 0,5/2 y 2!" particiones regulares, el ejercicio arrojĂł 0.3333337.

En lo relativo al ejercicio con la funciĂłn đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! , en el intervalo 0,2 y con 2!" particiones regulares, el resultado fue 0.2500003. Si la funciĂłn es đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! , en el intervalo 0,1 y bajo 2!" particiones regulares, se encontrĂł 0.2000005.

Y si la funciĂłn es đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! en el intervalo 0,1 y con 2!" particiones regulares, el resultado del ejercicio fue 0.1250005.

AsĂ­ pues, se obtuvo para un conjunto representativo de casos đ?‘Ś = đ?‘Ľ ! , đ?‘? ≼ 2, ! una đ?‘˜! = !!!, lo que es consistente, como en el teorema anterior, con la innecesaria postulaciĂłn o incorporaciĂłn de cantidades irracionales, o de valores “evanescentesâ€? con residuos no contables.

                                                        4

Debo al profesor de la Universidad Distrital Francisco JosĂŠ de Caldas, Colombia, Daniel Orlando MartĂ­nez, la creaciĂłn e implementaciĂłn del algoritmo adecuado en el “Programa de MatemĂĄticas y EstadĂ­stica Râ€?, a fin de realizar las constataciones respectivas de las convergencias mencionadas. El algoritmo y sus resultados se encuentran a disposiciĂłn del lector.

28  Ejemplo: EncuÊntrese el årea en damero bajo la paråbola � = � ! limitada por �̇ = 1, siendo la escala para el cuadrado [0,1/2].  Primero, determínese � en virtud de la escala. Dado que � corresponde a 1, por biyección se tiene que � = 2.

Segundo, determĂ­nese el conteo de Â âˆĽ đ??ż!" âˆĽ , el cual implica dividir la unidad en dos mitades para los ejes, y cuyo ejercicio es 8. Finalmente, se tiene, en virtud del ! conteo previsto en los algoritmos, que đ?‘˜! = ! . Por tanto,  đ??´! = đ?‘˜! ∙ !âˆĽ đ??ż!" âˆĽ/2!!!! ! =

1 1 1 ∙ [8/2!∙!!! ] = ∙ [1] = 3 3 3

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