Cálculo 3d de tensões e deformações in situ em maciços rochosos (em 16 02 2011) by Elysio Ruggeri

D:\documentos\Ruggeri\Artigos\Meus\Em preparação\CBdB2011\Integração 16 02 2011.doc,Criado em 21/10/2010 07:58:00

DETERMINAÇÃO DAS RELAÇÕES ENTRE O TENSOR DE TENSÕES IN SITU E OS TENSORES DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO EM UM PONTO DE UM MACIÇO ROCHOSO ISOTRÓPICO DOTADO DE FURO CIRCULAR DE EIXO QUALQUER, POR INTEGRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DA ELASTICIDADE

Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI Engenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas SA Flávio Mamede Pereira GOMES Engenheiro Civil, M. Sc. – Furnas Centrais Elétricas SA

RESUMO Neste artigo detalha-se passo a passo todo o processo de integração das equações da elasticidade, dentro do tema, até chegar-se às fórmulas de Hiramatsu e Oka. Tais fórmulas expressam uma relação direta entre o tensor de tensões de um ponto qualquer do maciço próximo à parede do furo e referido a um referencial local e o tensor de tensões in situ referido a um sistema cartesiano ligado ao furo. Objetivando aplicações futuras, complementa-se a exposição com a dedução das equações que ligam esse mesmo tensor de tensões in situ com o tensor de deformações no mesmo ponto.

ABSTRACT

2 1. 1.1

INTRODUÇÃO.

SOBRE O MACIÇO.

Um maciço rochoso, no contexto deste artigo, é uma massa de rocha de grandes dimensões, sem forma exterior especial, dotada de tensão inicial, cujo comportamento mecânico tridimensional pode ser descrito pela teoria da elasticidade clássica para corpos homogêneos, isotrópicos, lineares (dos pontos de vista: físico e geométrico) e elásticos. No maciço em pauta será executado um furo cuja seção, de plano , é uma circunferência de raio a e cujo centro O, fixo, pertencerá a uma curva, o eixo do furo, suposta dada em relação a algum sistema de coordenadas. 1.2

SISTEMAS DE COORDENADAS. 1.2.1

Sistema fixo O-XYZ.

O plano horizontal h conduzido por O e o plano  formam o ângulo diedro ' e a interseção deles define a direção do eixo OX, com vetor unitário Iˆ e sentido arbitrário. O eixo OZ será a normal descendente do plano horizontal e seu vetor de base é o unitário Kˆ . O eixo (horizontal) OY, com unitário Jˆ , deve ser escolhido de forma que o sistema O-XYZ seja direto (Figura 1). 1.2.2

Sistemas ligados ao furo: cilíndrico O-r e cartesiano: O-xyz

Liga-se ao furo um sistema cilíndrico de referência com eixo fixo O tangente ao eixo da curva em O e vetor unitário ˆ . Esse vetor é, pois, normal ao plano da seção reta do furo, está contido no plano vertical OZY e sua inclinação sobre OY é igual ao complemento  de ' (Figura 1). Por ser O tangente ao eixo da curva em O, a variável  só pode assumir valores próximos de zero. No plano  (Figura 2) os ângulos polares , de vértice O, terão por lado inicial a reta suporte do unitário Iˆ e serão considerados positivos quando medidos no sentido anti-horário para quem observa  do semi-espaço que contém ˆ (vista no sentido contrário ao de ˆ ). O sistema cilíndrico terá, em , rˆ e ˆ por vetores unitários ortogonais (móveis) de base; o primeiro tem a direção de um raio inclinado de  sobre Iˆ e, para quem observa do interior do furo, aponta para o interior do maciço; o sentido do segundo deve ser tal que o triedro {rˆ , ˆ , ˆ } seja positivo. Em  define-se ainda um sistema cartesiano fixo de eixos OxOX com unitário ˆi (  Iˆ ), OzO com unitário kˆ (  ˆ ) e Oy, de unitário ˆj , tal que O-xyz seja direto (Figura 2). No plano vertical OYZOy os eixos OY, Oy, OZ e Oz estão posicionados conforme indicado na Figura 3.

Figura 1 - Sistema de eixos OXYZ

Figura 2 Sistema cilíndrico ligado ao furo

Figura 3 – Eixos no plano OYZ

3 1.2.3

Sistema principal de O

Esse é um sistema triortogonal, O-x’y’z’, com vetores unitários ˆl , mˆ e nˆ definidos pelas direções principais do tensor de tensões in situ (de O), ou seja, o tensor existente antes da execução do furo. Essas direções e as tensões principais correspondentes, pl, pm e pn são as incógnitas do problema que será posto na seção 2 e equacionado e resolvido nas seções 3 e 4.

1.3

NOTAÇÕES.

No ponto genérico P(r,) de , o tensor de tensões  é representado na forma de uma matriz simétrica. Em coordenadas cilíndricas (r,,) e cartesianas O-xyz e Ox'y'z', essas matrizes são: r   r    r  r 

σx  [σ xyz ]   xy   xz 

 r      ,   

 r   

 xy σy  yz

 xz    yz  , σ z 

p l [σ x'y'z' ]   0 0 

0 pm 0

0 0, p n 

(1.1).

Não obedecendo às notações clássicas, o vetor deslocamento u de P, conseqüente à execução do furo, terá u, v e w por componentes no sistema cilíndrico, ou melhor, nas direções de rˆ , ˆ e ˆ , respectivamente. O tensor das deformações é denotado por  e suas componentes são denotadas tal como as correspondes ao tensor de tensões (r, , , ..., ou x, y, z, yz...). Para tratamento algébrico-computacional adotam-se também as notações em forma de matriz coluna {r}, {r}, {xyz} etc. cujas transpostas são:



{ r }T   r







{ xyz}T   x

1.4

  y

 r z



 r ,  yz

 zx

 xy

 etc.

UM MESMO TENSOR DE TENSÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS

Os três vetores de uma base ortonormada são ligados aos vetores de outra base ortonormada mediante uma matriz de rotação. Da Figura 2, tem-se: rˆ  cos î  sen ˆj , ˆ  sen î  cos ˆj e ˆ  kˆ , donde:  î   rˆ      ˆ ˆ    P. j  , com     kˆ     

 cos  sen  P   sen cos   ,    

Como o tensor  pode ser escrito na forma do produto direto matricial

(1.2).

r   rˆ ˆ ˆ . r   r





 r   

x  r  rˆ     ˆ   ˆi ˆj kˆ . xy     ˆ    xz



 xy y  yz



 xz   ˆi   yz   ˆj  ,    z  kˆ 

(1.3),

resulta, por substituição adequada de (1.2) em (1.3) e depois por comparação: [ r ]  P.[ xyz].P T ,

(1.4).

Desenvolvendo (1.4), lembrando a matriz P em (1.2), tem-se: 1   2 2  x cos    y sen   2 sen 2 ( x   y )   xz cos    yz sen    xy sen 2     xy cos 2    1 sen 2 (   )   cos 2    sen 2    y x x y [ r ]   2   xz sen   yz cos  ,   xy sen 2   xy cos 2       cos    sen    xz sen   yz cos  z xz yz    

(1.5);

e pelas substituições sen2=(1-cos2)/2 e cos2=(1+cos2)/2: 1   2 cos 2   3 sen 2 [ r ]     2 sen 2   3 cos 2   6 cos    5 sen

  2 sen 2   3 cos 2 1   2 cos 2   3sen 2   6 cos    5 sen

 6 cos    5 sen    6 sen   5 cos ,  4

(1.6),

com tensões 1 

1 ( x   y ) , 2

4  z ,

2 

1 ( x   y ) , 2

5   yz ,

 3   xy ,

(1.7),

 6   xz ,

que melhor se expressam na forma matricial seguinte: x   1  0,5           y   2  0,5       z   3  0    [1 / 2].  , com [1 / 2]          yz   4  0          0  zx   5        xy   6   0  

0,5

 0,5

0   0  1 .  0  0   0

(1.8).

5 2. 2.1

POSIÇÃO DO PROBLEMA

ESTABELECIMENTO DE UM PRINCÍPIO PRÁTICO

O elemento representativo de volume (ERV) de um maciço é o menor volume de maciço que pode representá-lo em termos de valores médios de propriedades (especialmente as mecânicas). Em torno de cada ponto de um maciço intato pode ser considerado um ERV, nas proximidades da superfície imaginária do qual atuam as tensões in situ. Assim, tais tensões, relativas a um ponto O, ocorrendo segundo as direções principais do tensor de O, são praticamente as mesmas que as relativas a qualquer outro ponto P do ERV de O. A dimensão característica do ERV de um maciço pode ser maior ou menor do que o diâmetro 2a da seção circular de um furo executado no maciço, cujo eixo contenha o centro O. Em qualquer um dos casos os tensores de tensão in situ dos ERV's atingidos, relativos a pontos O', O" etc. - inicialmente todos idênticos em cada ERV (mas diferentes de um ERV para outro) - assumem agora um valor em cada ponto dos mesmos desde que esses pontos O', O" ... estejam situados até uma "distância adequada" de O. Em estudos com chapas metálicas (em que os ERV's são muito pequenos) a experiência mostra que essa mudança nos valores dos tensores, pós-furo, é desprezível, em relação aos valores dos mesmos tensores relativos à chapa original intata, nos pontos situados a distâncias maiores que 8a de O. Esse valor 8a apenas sugere um valor de referência para a distância crítica mencionada para os maciços rochosos porque não é possível estabelecer para estes um valor mais rigoroso. A sugestão pode ser aceitável com alguma reserva, especialmente quando se vão executar furos muito próximos nos maciços rochosos. Desta forma pode ser aceita a idéia aproximada de que, nos maciços rochosos em estado natural (não sujeitos à ação de esforços exteriores), os tensores de tensão em pontos do plano da seção reta de um furo praticado no mesmo se modifiquem aproximadamente até as fronteiras dos ERV's dos pontos mais distantes de O (como O', O" ...) nos quais o equilíbrio original possa ter sido modificado (onde as tensões in situ eram diferentes daquelas de O). A partir das fronteiras dos ERV's de O', O" ..., no sentido radial de O, os tensores originais nos ERV's desses pontos atingidos estarão praticamente mantidos. Logo, podemos aceitar o seguinte princípio: em pontos suficientemente afastados de um ponto qualquer de um maciço os tensores de tensão in situ (originais) são invariantes com qualquer furo cujo eixo contenha o ponto. Em outras palavras, para pontos afastados de O, mas próximos da fronteira do ERV, o tensor de tensões é único (pois, longe de O, tudo se passa como se o maciço estivesse intato e a distribuição das tensões fosse uniforme). Isto significa que, para pontos distantes de O, as tensões 1, 2 etc. em (1.6) e (1.7) são constantes, ou seja, que a matriz [xyz] é constante. 2.2

PRESSUPOSTOS PARA A SOLUÇÃO

As equações da elasticidade linear para corpos isotrópicos, supostas aplicáveis ao problema aqui abordado, constituem um sistema compatível de 15 equações

6 diferenciais parciais de primeira ordem e de segunda, com 15 funções incógnitas (6 tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos), que devem satisfazer condições no contorno e condições de compatibilidade das deformações. Esse sistema, para o presente problema, foi resolvido por HIRAMATSU e OKA [1] com base em alguns pressupostos; algumas das notações expostas em [1] foram aqui conservadas, mas pormenores relativos a interpretações e modo de abordagem são dos autores. Quando se dá um acréscimo à variável  em P (Figura 2), mantendo-se r e  fixos, obtém-se uma seção do furo paralela à anterior, que contém o ponto P’ correspondente de P (o segmento PP’ é paralelo ao eixo). Nestas condições, tensões, deformações e deslocamentos sofrem acréscimos de P para P’ conforme os pressupostos seguintes (que não são condições de contorno, pois são verificados no ponto genérico interior ao maciço). Primeiro pressuposto: - em P, são nulas as razões dos acréscimos das componentes u e v do deslocamento para o acréscimo de , isto é: u v  0  

(2.1.a),

o que significa que u e v só podem depender de r e . Segundo pressuposto: - em P, é nula a razão do acréscimo do tensor  de tensões para o acréscimo de , ou seja,  , 

(2.1.b),

o que também significa que  só depende de r e . Terceiro pressuposto: - em P, é constante a razão do acréscimo de deslocamento w para o acréscimo de , ou seja,  

w K, 

(2.1.c),

o que significa que w, além de variar com r e , varia linearmente com . Então, pontos da seção (=0) não sofrem deslocamentos na direção , embora a deformação  exista com valor finito em pontos desta seção. Desses pressupostos se deduz que para pontos da seção (=0): u  u(r, ) ,

v  v(r, ) ,

w  w(r, )  K

  (r, ) ,

(2.2).

EQUACIONAMENTO

Em P (ponto genérico da seção do furo), a equação de equilíbrio estático é div   o , desde que se desprezem os efeitos de forças mássicas. A conexão entre os

7 tensores  e  é dada pela lei de Hooke: =2+(Tr)I, em que  e  são as constantes de Lamé da rocha, Tr é o traço de  (a dilatação cúbica) e I o tensor unidade. O tensor  se expressa em função do vetor deslocamento u de P na forma   (u  Tu) / 2 . Em resumo, as equações simultâneas determinantes do estado de tensão/deformação do maciço são:  div   o    2  (Tr) ,    1 (u   T u)  2

(3.1).

Há que se juntar às equações (3.1) as equações de compatibilidade das deformações, sintetizadas na forma:

rot rot T    ,

(3.1-a),

e as condições de contorno, sintetizadas nas formas seguintes: - para r=a, são: (r)r=a=(r)r=a=(r)r=a=0,

(3.1-b),

e - para as direções (principais) ˆl , mˆ e nˆ do ponto O: x’y’=y’z’=z’x’=0, 3.1

(3.1-c).

AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E A DO DESLOCAMENTO W .

Para equacionar o problema (de natureza cilíndrica) e expressar suas particularidades definidas pelas expressões (2.1-a), (2.1-b), (2.1-c), (3.1-b) e (3.1-c), é conveniente representar as leis em coordenadas cilíndricas. Assim, já considerando os pressupostos, a equação div   o equivale ao sistema:   r 1  r  r     0,  r  r   r     r 1     2 r  0,   r r   r        r 1  r    0,  r  r  r

(a) (b)

(3.2);

(c)

a equação =2+(Tr)I equivale a um sistema único de equações, mas que, por conveniência, se apresenta desdobrado nas formas: u   r  e  2 r ,  1 v u   ),    e  2( r  r     e  2K,  

(a) (b) , (c)

(3.3)

1 w      r  ,  w  ,   r   r  v v 1 u   r  ( r  r  r  ), 

(a) (b) ,

(3.4);

(c)

em que K é dada por (2.1-c) e Tr   e 

u u 1 v   K, r r r 

(3.5).

Deduzimos de (3.5), para uso futuro, v u  r (e  K )  ( u  r )  r

(3.5-a)

1 v u u  (e  K )  (  ) , r  r r

(3.5-b).

Por (3.3) e (3.4) podemos calcular as derivadas necessárias para posterior substituição de resultados em (3.2). Assim procedendo, operando e simplificando, encontram-se as equações:  e  2 u 1 u u 1  2 u 2 v (    )   (     )  0,  r r 2 r r r 2 r 2  2 r 2   1 e  2 v 1 v v 1  2 v 2 u   ( 2   2 2 2 2 )  0, (  ) r  r r r r r  r     2 w 1 w 1  2 w   0,  2  r r r 2  2  r

(a) (b) ,

(3.6).

(c)

Note-se que a equação (c) em (3.6) pode ser integrada imediatamente. Considerando (3.5), vê-se que a equação (a) em (3.6) apresenta derivada de v em relação a , bem como a equação (b) apresenta derivada de u em relação . A eliminação dessas derivadas poderá gerar equações em que apenas as letras u e v estejam submetidas às derivações parciais; a integração dessas equações será realizada no item 3.4. 3.2

AS TENSÕES  E R E O DESLOCAMENTO w.

A equação (c) em (3.6), equivalente a lap w=0 (ou 2w=0), pode ser resolvida imediatamente, a sua integral podendo ser posta na forma: w  (Ar 

B D ) cos   (Cr  )sen , r r

(3.7),

em que A, B, C e D são constantes não nulas de integração. Logo, as equações (a) e (b) em (3.4) podem ser escritas nas formas: B D )sen  (C  2 ) cos ] 2 r r

(3.8),

B D ) cos   (C  2 )sen] , r2 r

(3.9).

  [(A 

e r  [( A 

Impondo que (3.9) satisfaça as condições de contorno (3.1-b) obtém-se: 0  A(1 

B/ A D/C ) cos   C(1  2 )sen , a2 a

para qualquer , ou seja:

B D   a 2 . Impondo que (3.8) satisfaça as condições de A C  (Asen  C cos ) . Lembrando que  pode ser extraída do

contorno (3.1-c), vem:  sistema (1.7), deve ser:   (Asen  C cos )  5 cos   6 sen . Então: 5  C e

9  6  A . Em resumo:

A

6 , 

B

6 2 a , 

C

5 , 

D

5 2 a , 

(3.10).

Substituindo-se em (3.8) e (3.9) os valores (3.10) encontrados para as constantes, resultam, finalmente:    (1 

 r  (1 

a2 r2

)( 5 cos   6 sen) ,

)( 5 sen   6 cos ) ,

(3.11),

(3.12),

e w 1 a2  (1  2 )(  6 cos    5 sen) , r  r

3.4

(3.13).

OS DESLOCAMENTOS u E v, E A DILATÂNCIA e.

Com as equações (3.6-(a)), (3.6-(b)) e (3.5) é possível eliminar todas as derivadas parciais de u e v em relação a r e a  para obter-se uma equação em e apenas. Derivando (3.5) em relação a r, tem-se: e u  2 u 1 v 1  2 v 1 u ,  2  2  2   r r r r  r r r r

(3.14),

entrevendo-se parcelas comuns nos segundos membros de (3.14) e (3.6-a). Por substituição dessas parcelas de (3.14) em (3.6-a) resulta: e 1  2 v 1 v 1  2 u  (   )0, r r r r 2  r 2  2

(  2)

(3.15).

Analogamente, derivando-se (3.5) em relação a  e depois dividindo-se ambos os membros por r, tem-se: 1 e 1 u 1  2 u 1 2v  2   2 , r  r  r r r  2

(3.16),

entrevendo-se agora parcelas comuns nos segundos membros de (3.16) e de (3.6(b)). Por substituição, obtém-se: (  2)

1 e  2 v 1 v v 1 u 1  2 u  ( 2   2  2  )  0, r  r r r r r  r r

(3.17).

Derivando-se parcialmente (3.15) em relação a r e cancelando termos, obtém-se: (  2)

 2e r



 3v 2 v 2  2 u 1  3 u ( 2  2   )0, r r  r  r 2  2 r r 2

(3.18).

10 Derivando-se parcialmente a equação (3.17) em relação a  e depois dividindo ambos os membros por r, obtém-se: (  2)

1  2e r 2  2



 3v 1  2 v 1 v 1  2 u 1  3 u (     ) 0, r r 2 r r r 2  r 2  2 r  2 r

(3.19).

Somando-se membro a membro as equações (3.18) e (3.19), cancelando termos e simplificando, vem: (  2)(

 2e 1  2e  1 2v 1 v 1  2 u  )  (   )0, r 2 r 2 2 r r r r 2  r 2 2

(3.20),

donde, por consideração de (3.15) e observando-se que +20:  2e 1 e 1  2e   0 r 2 r r r 2 2

(3.21),

equação que equivale a lap e=0 (ou 2e=0). Embora a equação (3.21) seja do mesmo tipo que a equação (3.6-(c)), cuja solução geral é dada pela equação (3.12), sua integral geral pode ser escrita na forma mais conveniente: e U

1 r2

(F cos 2  Gsen 2) ,

(3.22),

em que U, F e G são constantes de integração e da qual deduzimos, para uso futuro, 2 2 2 (e  K)  (U  K)  3 (F cos 2  G sen 2) , r r r

(3.22.a),

e 1 (e  K)r  ( U  K)r  (F cos 2  G sen 2) r

(3.22.b).

Agora pode ser calculada a derivada parcial de e em relação a r, e 2   3 (F cos 2  Gsen 2) , r r

para substituição do resultado na equação (a) em (3.6). Obtém-se:  (  )

2 r

(F cos 2  Gsen 2)  [

 2u r



1 u u 1 u 2 2 1 v  2  2  ( )]  0 , r r r r  2 r r 

(3.23),

donde, lembrando a equação (3.5-b) e simplificando:  2  2 u 3 u u 1  2u 2 (F cos 2  Gsen 2)  2   2  2 2  (e  K) , 3  r r r r r r  r

(3.24).

A equação (3.24), gerada de (3.23) por eliminação da derivada de e em relação a r e da derivada de v em relação a , só contém as derivadas de u em relação a r e a .

11 Agora, considerando a equação (3.22-a), tem-se, por substituição em (3.24) e após simplificações: 2

  2 1 2( U  K)  2 u 3 u u 1  2u , (F cos 2  Gsen 2)   2   2  2 3  r r r r r r r  2

(3.25).

A solução geral da equação (3.25) pode ser escrita na forma: u

1 H L   2 F N   2 G ( U  K)r   (Jr  3  ) cos 2  (Mr  3  )sen 2 , 2 r 2 r 2 r r r

(3.26),

em que H, J, L, M, N e G são novas constantes de integração. Por procedimento análogo, calculando-se a derivada parcial de e em relação a  e substituição na equação (b) em (3.6) etc., é possível encontrar-se uma equação com derivadas parciais de v e integrá-la. Entretanto, como de (3.26) se deduza facilmente: r

u 1 H 3L   2 F 3N   2 G  ( U  K)r   (Jr  3  ) cos 2  (Mr  3  )sen 2 , r 2 r 2  r 2 r r r

tem-se, logo: ur

u L N  (U  K)r  2(Jr  3 ) cos 2  2(Mr  3 )sen 2 , r r r

(3.27).

Substituindo-se (3.27) na equação (3.5-a), bem como a parcela r(e-K) pelo seu valor exposto em (3.22-b); obtém-se: v F L G N  [  2(Jr  3 )] cos 2  [  2(Mr  3 )]sen 2 ,  r r r r

(3.28),

cuja solução geral é v  (Jr 

L r3



F N G )sen 2  (Mr  3  ) cos 2 , 2r 2r r

(3.29).

Deve ser observado que a função arbitrária de r, (r), que deveria ser somada ao segundo membro de (3.29), é desnecessária uma vez que, devendo ela subsistir para qualquer valor de , deveria ser, para =0 e =/2: v  (Mr 

N 3



G )  (r) e 2r

r G v  (Mr  3  )  (r) . Então, para aqueles valores de , deve ser necessariamente 2r r N G v=(r); o que é absurdo, pois  Mr  3  não é nulo em geral. 2r r N

As equações (3.22), (3.26) e (3.29) dão os valores de e, u e v como funções de r,  e constantes que podem ser determinadas em função das condições de contorno (3.1.b) e (3.1.c). 3.4

AS EQUAÇÕES FINAIS DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS.

Com as equações (3.26) e (3.29) pode ser obtida uma expressão para a tensão r conforme (3.4.(c)). Tem-se: v 3N G 3L F  (M  4  2 ) cos 2  (J  4  2 )sen 2 , r r 2r r 2r 

v N G L F  (M  4  2 ) cos 2  (J  4  2 )sen 2 , r r 2r r 2r

(3.29.a),

e 1 u 2 N   2 G 2L   2 F  (2M  4  ) cos 2  (2J  4  )sen 2 , r   r2  r2 r r

donde 1 6N    G 6L    F  r  (2M  4  ) cos 2  (2J  4  )sen 2 , 2    r2 r r r

(3.30).

Lembrando que o elemento da primeira linha e segunda coluna de (1.6) deve ser equivalente a (3.30) para r, tem-se: 1  r  2(M cos 2  J sen 2)   3 cos 2   2 sen 2 , 

donde as constantes seguintes, a serem usadas oportunamente, M

3 2

J

2 , 2

(3.31).

Tem-se de (3.30), para r=a, considerando a condição de contorno (3.1-b): ( 2M 

6N a



 G 6L    F ) cos 2  (2J  4  )sen 2  0 ,  a2  a2 a

donde, por ser  arbitrário e levando-se em conta as constantes dadas por (3.31): 3 6N    G  4  0   a2 a



 2 6L    F   0,  a4  a2

(3.32).

Com as equações (3.22) e (3.26) calcula-se r dada por (3.3.(a)). De (3.22), vem: e  U 

F r

cos 2 

G r2

sen 2 ;

e de (3.26): 2

u H 3L   2 F 3N   2 G  ( U  K)  2 2  2(J  4  ) cos 2  2(M  4  )sen 2 . 2 r 2 r 2 r 2 r r r

Por substituição desses resultados em (3.3.a) resulta, após simplificações:

 r  (  )U  K  2

H r

 [2(J 

3L r

)  2(  )

F r

] cos 2  [2(M 

3N r

)  2(  )

G r2

]sen 2 ,

(3.33).

Lembrando que o elemento da primeira linha e primeira coluna de (1.6) deve ser equivalente a (3.33) para r, vem:  r  (  )U  K  2(J cos 2  Msen 2)  1   2 cos 2  3 sen 2 ,

(3.34),

donde 1  (  )U  K ,

(3.35).

Como para r é e=U e, conforme a terceira linha e terceira coluna de (1.6), é =4, a equação (3.3.(c)) é escrita na forma  4  U  2K . Então, extraindo desta igualdade o valor de U, substituindo-o na equação (3.35) e multiplicando por  ambos os membros da expressão formada, tem-se: 1  (  )( 4  2K)  K . Explicitando-se o valor de K, vem: K

(   )  4  1 , (3  2) (3  2)

(3.36).

Lembrando as fórmulas clássicas: (  )E  (3  2) , E  2(3  2) e (1  2)  2 , K e U podem ser explícitas em função do módulo de elasticidade E e do coeficiente de Poisson  (além de 4 e 1): K

1 ( 4  21 ) , E

U

1  2 ( 4  21 ) E

(3.37),

das quais se deduz, para uso futuro, 1 1 ( U  K)  [(1  )1   4 ] , 2 E

(3.37.a).

Tem-se de (3.33), para r=a, considerando (3.1-b) e (3.31): H

0  1  2

  2 [(1 

3L Ja

)

2(  ) F 3N 2(  ) G ] cos 2   3 [(1  ) ] sen 2 . 2 4 2 J a 2 M a 2 Ma

Por ser  arbitrário, devem ser: 1  2

H a

 0,

1

3L Ja



2(  ) F 0 2 J a 2

1

3N Ma



2(  ) G  0. 2 M a 2

Da primeira igualdade resulta: H

a2 1 , 2

Das duas outras igualdades e das igualdades (3.32) resultam os sistemas

(3.38).

3L 2(  ) F  0 1  4   a2  Ja 2   2 J  6 L     F  0   a2 a4

3N 2(  ) G   0 1  3 M a4 a2    2 M  6 N     G  0   a2 a4

que resolvidos acarretam L

a4 2 , 2

N

a4 3 , 2

F

2a 2 2 

G

2a 2 3 , 

(3.39).

Substituindo as constantes M e J, dadas por (3.31), U dada por (3.37), H dada por (3.38) e L, N, F e G dadas por (3.39) nas equações (3.30) e (3.33) que definem as tensões r e r, respectivamente, resultam:  r  (1 

a2 r

)1  (1  4

a2 r

3

a4 r4

)( 2 cos 2   3 sen 2) ,

(3.40),

e  r  (1  2

a2 r2

3

a4 r4

)(3 cos 2   2 sen 2) ,

(3.41).

Considerando as igualdades (3.37) e (3.37.a), as expressões (3.22), (3.26) de e e u passam a ser: e

1  2 a2 [ 4  21  4(1  ) 2 ( 2 cos 2   3 sen 2)] E r

u 1 a2 1 1  a4 a2  [(1  )  (1  ) 2 ] 1    4  [1  4  4(1  ) 2 ] ( 2 cos 2   4 sen 2) , r E E E r r r

(3.42),

(3.43).

Considerando as expressões de J e M dadas por (3.31) e as de L, N, F e G dadas por (3.39), obtém-se por substituição em (3.29.a) e em (3.28), após simplificações: v 1  a4 a2  [1  4  2(1  2) 2 ] ( 3 cos 2   2 sen 2) , r E r r

(3.44),

e 1 v 2(1  ) a4 a2  [1  4  2(1  2) 2 ] ( 3sen 2   2 cos 2) , r  E r r

(3.44.a),

Finalmente comprova-se, não sem muito trabalho, por substituição de (3.42), (3.43) e (3.44.a) em (3.3.b) que    (1 

)1  (1  3 2

)( 2 cos 2   3 sen 2) ,

(3.45);

15 e por substituição de (3.42) e (3.36) em (3.3.(c)):     4  4

a2 r2

( 2 cos 2   3 sen 2) ,

(3.46).

OS TENSORES DE TENSÃO: em (r,) e in situ.

As componentes do tensor de tensões, dadas por (3.11), (3.12), (3.40), (3.41), (3.45) e (3.46) podem ser reunidas pela expressão matricial: 1   2  2 1    0 { r }    0  0   0

  1      2    3  , .  2 2 0 0 0 (1   ) cos  (1   )sen   4  0 0 0 (1   2 )sen  (1   2 ) cos   5      6   (1  2 2  3 4 )sen 2 (1  2 2  3 4 ) cos 2 0 0 0 (1  4 2  3 4 ) cos 2

(1  4 2  3 4 )sen 2

 (1  3 ) cos 2  42 cos 2

 (1  3 4 )sen 2  4 2 sen 2

0 1

0 0

(4.1),

em que =a/r. A coluna das constantes pode ser substituída por sua equivalente matricial (1.8) para que a expressão (4.1) possa ser escrita na forma final: { r }  M(, , ).{ xyz} ,

(4.2),

em que M(,,) é a matriz 6x6,  0,5[(1   2 )  0,5[(1   2 )     (1  4 2  3 4 ) cos 2]  (1  4 2  3 4 ) cos 2]  0,5[(1   2 )  0,5[(1   2 )     0,5(1  3 4 ) cos 2] (1  3 4 ) cos 2]  2  2 cos 2 2 2 cos 2   0 0   0 0   2 4 2  0,5(1  2  3 )sen 2 0,5(1  2  3 4 )sen 2

0 0 1 0 0 0

 (1  4 2  3 4 )sen 2    0 0  (1  3 4 )sen 2   , 2 0 0  4 sen 2   2 2 (1   ) cos  (1   )sen 0   2 2 (1   )sen  (1   ) cos  0   2 4 0 0 (1  2  3 ) cos 2 0

(4.3).

A equação (4.2) estabelece a relação (direta) entre o tensor de tensões pós furo, [r], do ponto de coordenadas (r,) de , referido à base { rˆ , ˆ , ˆ }, com o tensor in situ do ponto (,) de , [xyz], referido aos vetores de base { ˆi, ˆj, kˆ }. A matriz M(,,) é fundamental para o cálculo do tensor in situ. Observando-se que 1  42  34  (1  2 )(1  32 )

1  22  34  (1  2 )(1  32 ) ,

(4.4),

M pode ser escrita como o produto das matrizes 6x6: M(,,)=L(,) . Q() . [1/2], sendo

(4.5),

16 1   2  2 1    0 L(, )    0  0   0

(1   2 )(1  3 2 )

 (1  3 )

 4

0 (1   )(1  3 2 )

0  (1   )(1  3 2 )

0 0

1  2 0

0   0  0  , 1  2  0  0 

(4.6),

e 1 0  0 Q()   0 0  0

0 0,5(cos 2  sen 2) 0,5(cos 2  sen 2) 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 sen cos 

0  0  0  , 0   cos   sen 

(4.7).

Pode comprovar-se, não sem algum trabalho, que det L(, )  4(1  2 )(1  2 ) 4 (1  32 ) ,

det Q()  

1 2

e det[1 / 2] 

1 2

(4.8),

o que acarreta det M(, , )  (1  2 )(1  2 ) 4 (1  32 ) ,

(4.9).

Fica assim comprovado que a matriz M é sempre invertivel para qualquer , qualquer 1 e qualquer . Então, se, por algum meio, for possível determinar o tensor do ponto (r,), para o qual 1, poder-se-á calcular o tensor in situ, pois será: { xyz}  M 1 (, , ).{ r } ,

(4.10).

Conhecida a coluna {xyz}, escrever-se-á a matriz simétrica 3x3 representante do tensor in situ (o tensor original relativo a qualquer ponto do ERV de O, ver seção 2). Os autovalores dessa matriz são as tensões principais in situ, e seus autovetores as direções em que ocorrem. É conveniente observar-se que, embora as matrizes do segundo membro de (4.5) sejam variáveis com  (1),  (0) e , o produto delas é uma constante. Obviamente essa conclusão deve ser verdadeira dentro das condições admitidas para a solução do problema e expostas na seção 2. 5.

AS EQUAÇÕES DE DEFORMAÇÕES.

Escrevendo-se a lei de Hooke na forma conhecida   0 0 0   2    2  0 0 0      2 0 0 0 { r }  [H].{ r } , em que [H]   , 2 0 0   sim. 2 0    2 

(5.1),

tem-se, por substituição em (4.10): { xyz}  M 1 (, , ).[H].{ r } ,

(5.2).

Tal como anteriormente, a medição do tensor de deformações no ponto (r,) permitirá o cálculo do tensor de tensões in situ {xyz}. Por outro lado, sendo

{ r }  [H]1.{ r } , em que [H] 1

0 0 0  1      1  0 0 0   1 0 0 0  1   , 1  0 0  E  sim. 1  0    1    

(5.3),

tem-se, considerando as expressões das tensões dadas por (3.11), (3.12), (3.40), (3.41), (3.45) e (3.46): E  r  1  (1   4 )  (1  ) [

E    [1    (1  )

a2 r2

1  (1 

a4 r4

)(  2 cos 2   4 sen 2)] ,

] 1    4  (1  ) (1  3 2

 4

a2 r2

)(  2 cos 2  3 sen 2) ,

(5.4),

(5.5),

e, conforme já conhecido por (3.37),  

1 ( 4  21 )  K , E

(5.6),

Ainda considerando (5.3) e lembrando (3.41), (3.11) e (3.12), obtêm-se, respectivamente: E  r  (1  )(1  2

E    (1  )(1 

a2 r2

3

a4 r4

)( 3 cos 2   2 sen 2) ,

(5.7),

)( 5 cos    6 sen) ,

(5.8),

)( 5 sen   6 cos ) ,

(5.9).

e E  r  (1  )(1 

a2 r2

Então, as equações (5.4) a (5.9) podem ser resumidas pela expressão matricial: E{ r }  N (,,) .[1 / 2].{ xyz} ,

sendo

(5.10),

[ N](, ,)

  1   2  (1  )   1    (1  ) 2    2   0    0     0  

(1  )    (1  ) (1   4 ) 0 (1   4 ) cos 2 sen 2  (1  )  (1  ) (1  3 4  4 2 ) (1  3 4  4 2 )  cos 2 sen 2 0 0 1 0

 (1  ) (1  2 2  3 4 ) sen 2

(1  ) (1  2 2  3 4 ) cos 2

     0 0   0 0  (1  ) (1  )  , (1   2 ) (1   2 )   cos  sen   (1  )  (1  ) 2 2 (1   ) (1   )  sen  cos 2   0 0    0

(5.11).

Substituindo-se (5.2) em (5.10), vem: E{ r }  [ N].[1 / 2].M 1.[H].{ r } . Finalmente, considerando (4.5), (5.3) e simplificando: [ N]  E [H]1. L . Q ,

(5.12).

CONCLUSÕES.

As equações (4.10) e (5.2), respectivamente { xyz}  M 1 (, , ).{ r }

{ xyz}  M 1 (, , ).[H].{ r } ,

bastam para a resolução do problema proposto neste artigo. A utilização prática desses resultados está na determinação do tensor in situ, {xyz}, e, mais precisamente, na determinação de seus autovalores e autovetores. Se de alguma forma, como se tem acentuado, se consegue determinar o tensor de tensões do ponto (r,), ou o tensor de deformações, será possível o cálculo imediato do tensor de tensões in situ por simples aplicação de uma das fórmulas citadas desde que os respectivos sistemas de coordenadas adotados para essas determinações sejam os convencionados neste trabalho. Uma discussão detalhada do processo de determinação experimental dos tensores de tensão e deformação e do cálculo final do tensor in situ pode ser apreciada no artigo [2] dos autores.

PALAVRAS-CHAVE.

Tensões in situ, maciços rochosos, medição de tensões.

AGRADECIMENTO

Gratidão a Furnas Centrais Elétricas SA pelo apoio.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS

[1] HIRAMATSU, Y. and OKA, Y. (1962) – "Stress around a shaft ou level in ground with a three-dimensional stress state", Mem. Fac. Engr. Kyoto, V., XXIV, Part 1, Jan. 1962, pp. 56-76. [2] RUGGERI, E. R. F. E GOMES, F. M., P. (2011) – "Aplicação das equações de Hiramatsu-Oka para a determinação do tensor de tensões in situ em maciços rochosos isotrópicos". Comitê Brasileiro de Barragens. XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens, Rio de Janeiro – RJ, 20 a 24 de outubro de 2011.