(Artigo preparado em 18/12/2008)
Projeto Hooke (ciclo 2001-2002, concluído em 2005)
Método para Determinação da Equação Constitutiva de um Maciço Rochoso, com Aplicação em Escavação. Elysio R. F. Ruggeri Departamento de Apoio e Controle Técnico DCT.C - Furnas Centrais Elétricas SA.
Um maciço rochoso dado ao acaso é como um número inteiro: inabordável; deste não saberíamos mais que sua paridade, daquele praticamente nada.
Resumo - A simulação do comportamento de um maciço rochoso para obras de engenharia (fundação de uma barragem, escavação a céu aberto ou subterrânea para estradas e túneis etc.) deve ser feita admitindo-se que a rocha se comporte segundo algum modelo físico matemático. Via de regra adota-se a lei de Hooke da teoria da elasticidade, admitindo isotropia da rocha e proporcionalidade entre os tensores de tensão e deformação, aplicando-se, em seguida, o método dos elementos finitos para as previsões numéricas das variáveis. O estabelecimento dessa lei depende da determinação das constantes elásticas em laboratório, até 21 delas se for qualquer a anisotropia do maciço. Bem suportado pelo Cálculo Poliádico, o Projeto Hooke inova ao substituir os ensaios laboratoriais por medições in situ de pares de tensores tensão/deformação em pelo menos seis pontos arbitrários do maciço, sem particularizações quanto à anisotropia da rocha; mas encontra problemas estatísticos insolúveis até o momento.
Palavras-chave:
maciço rochoso, constitutiva, lei de Hooke, elasticidade.
anisotropia,
equação
É fato notório a anisotropia dos maciços rochosos devida particularmente à presença de planos de simetria elástica, estatisticamente distribuídos pela massa rochosa, mas nem sempre bem caracterizados geometricamente. Há quem se atreva a contornar essa real situação pela postulação da isotropia desse corpo, aceitando suas duas constantes elásticas determinadas por ensaios de corpos de prova sacados de sondagens rotativas, ou mesmo de algum pequeno bloco de amostra da rocha. Essa postura é inaceitável mesmo frente às dificuldades e principalmente às incertezas com que as constantes elásticas seriam determinadas por ensaios em laboratório. Outra postulação teórica inaceitável é a de “estado plano de tensões”. Combinando isotropia com estado triplo de tensões foram discutidos valores de tensores de tensão no maciço da UHE Serra da Mesa [1]. Em alguns empreendimentos de grande valor econômico, abrem-se ostensivamente galerias diversas nos maciços, seja para prospecção ou para drenagem. Aproveita-se essa condição para tornar também essas galerias aptas para sondagem e medições diversas de interesse estrutural. Essa condição é essencial para a aplicação dos resultados do Projeto Hooke.
I. INTRODUÇÃO Os maciços rochosos podem servir de fundação para as barragens, às vezes devem ser perfurados para a construção de túneis (para estradas ou minerações) e ás vezes escavados para permitir a passagem de uma estrada ou encontrar-se a jazida mineral profunda a céu aberto. Em qualquer caso interessa prever o comportamento das rochas constituintes desses maciços quando sujeitos à ação de esforços provenientes, por exemplo, do peso das barragens e reservatórios, ou mesmo, quando o seu equilíbrio natural original é perturbado por alguma escavação que lhe é imposta.
II. O MÉTODO A. A GERAÇÃO DE UMA FÓRMULA A teoria da elasticidade é a base de todo o nosso raciocínio. Se o tensor das tensões do ponto genérico do maciço é denotado por σ, o das deformações por ε e o tensor das constantes elásticas (de quarta ordem) por 4H, a lei de Hooke pode ser escrita na forma compacta: σ = 4H : ε (conforme notação clássica), válida em qualquer sistema de coordenadas. É oportuno lembrar que: 1) – todos os tensores
2
são simétricos; 2) - enquanto os pares (σ σ,εε) variam de um ponto para outro no maciço, 4H vai permanecer constante; 3) – os números que definem esses tensores em um sistema de coordenadas são diferentes dos correspondentes números que os definam em outro sistema.
A expressão matricial (1) pode ser numericamente comprovada sem dificuldades mediante uma simulação adequada [3].
Denotaremos por {σ σ}, {εε} as matrizes colunas contendo em certa ordem os seis números que definem os respectivos tensores em relação a certo sistema de coordenadas cujos eixos e planos nem sempre são eixos e planos de simetria elástica. Denotaremos, ainda, por [4H] a matriz (simétrica) 6x6 que contem os números (valores das constantes elásticas) em relação ao mesmo sistema de coordenadas anteriormente estabelecido. Então é possível escrever a lei de Hooke na forma matricial: {σ σ}=[4H] . {εε}.
Devemos considerar agora o caso real em que as medidas dos tensores são incertas. Embora possa determinar-se a incerteza das medidas dos tensores apenas de forma aproximada [4], não existe inconveniente em considerá-las com essas aproximações nos cálculos subseqüentes.
Denotemos por Pi, para i=1,2,3,...,N, N pontos de um maciço onde os tensores medidos de tensão e deformação são σi e εi. Então podemos escrever N igualdades do tipo σi = 4H . εi das quais não se conhece apenas o tensor 4H.
C. Medidas incertas
Em resumo, põe-se agora o seguinte problema: dadas os N pares de matrizes ({σ σi}, {εεi}) e os correspondentes pares de matrizes de incerteza ({δσ i }, {δ ε i }) , determinar a matriz simétrica [4H] e sua incerteza. Algumas simulações numéricas foram testadas em [5], [6] e [7]. As dificuldades detectadas foram apresentadas em palestra [8] para o Grupo de Física Matemática da UNB – Universidade Nacional de Brasília. Consultoria especializada foi contratada no Rio de Janeiro e um relatório foi gerado [9].
B. Medidas com incerteza nula Ora, se indiscutivelmente o material obedece à lei de Hooke, e se as medições foram feitas com incerteza nula, podemos esperar a determinação fácil de 4H a partir dessas N igualdades. De fato, esses tensores são poliádicos aos quais podemos aplicar as regras e operações estudadas nesse cálculo [2]. Tem-se, em multiplicação direta com soma em i: σiεi= 4H : (εεiεi), ou denotando-se por 4S (=σ σiεi) o tetrádico 4 do primeiro membro e por E (=εεiεi) o do segundo: 4S=4H : 4 E. Embora exista vantagem na escolha arbitrária dos pontos Pi é necessária a garantia de que entre os N tensores de deformação existam seis deles linearmente independentes. Isto pode ser verificado calculando-se cada determinante do grau seis cujas colunas sejam as medidas de seis dos tensores de deformação medidos, até que se encontre um diferente de zero. Nesse caso existe o tetrádico 4E-1 inverso de 4E, podendo escrever-se, então, multiplicando duplamente por 4E-1 ambos os membros da última igualdade obtida entre tetrádicos: 4H= 4S: 4E-1. Essas igualdades entre poliádicos podem ser expressas matricialmente. Para tal devemos expressar cada tensor medido em relação à base diádica simétrica gerada da base vetorial adotada em campo. Pondo:
{ε i}T = [Ei1
Ei2
Ei3
Ei4
Ei5
Ei6] ,
Si2
Si3
Si4
Si5
Si6 ] ,
e denotando por [B] a matriz 6xN cuja i-ésima coluna seja {σi}, será: [4S] = [B].[A]. Então: [4H]=[B].[A].([A] T.[A])-1,
Está em curso um tratamento mais rigoroso para o problema aqui proposto, por recorrência à estatística multivariada. III. AS MEDIÇÕES Os tensores de tensão foram determinados pelo método das almofadas ou dos macacos planos (ou, ainda, método SFJ, de Small Flat Jack) em pontos diversos de uma seção na galeria de instrumentação do maciço da UHE Serra da Mesa. A descrição detalhada de todas as operações realizadas e todos os cálculos correspondentes à forma de determinação do tensor em si estão descritos em [11]. Introduzindo-se mais pinos no ensaio relativo ao método dos macacos, além dos estritamente necessários para a realização do mesmo, é possível obter elongações (ou alongamentos unitários) com os quais pode calcular-se o tensor das deformações e avaliar-se a sua incerteza. IV. MODO DE APLICAÇÃO DA LEI Suposta determinada a lei de Hooke, procede-se a sua aplicação por dois caminhos distintos.
denotemos por [A] a matriz Nx6 cuja i=ésima linha seja {εi}T. Então será [4E] = [A]T.[A], matriz essa simétrica e invertível. Da mesma forma, pondo:
{σ i}T = [Si1
Como é fácil perceber, existe problema similar, numericamente menos trabalhoso, quando as grandezas medidas são vetoriais; e uma proposta de solução está exposta em [10].
(1).
De um lado, será possível prever resultados, em gabinete, através de cálculos de tensões, deformações e deslocamentos (são os esperados). Essas previsões poderão ser verificadas por instrumentação adequada durante a construção e durante toda a vida útil do maciço. Por outro lado, poder-se-á determinar o estado de tensão num ponto de um maciço, ponto esse atingível apenas por furo de sondagem. Nesse caso vamos utilizar da técnica da célula STT (Stress Tensor Tube), hoje já bastante evoluída no DCT [12]; dai será gerado um tensor de deformações.
3
Pormenores sobre a técnica de cálculo manual desse tensor estão relatados em comunicação interna [13], estando inclusive em desenvolvimento um programa de cálculo automático [14]. Posteriormente o desempenho dessa célula foi avaliada em laboratório [15] e in situ [16] O tensor de deformações em um ponto do maciço (obtido pelo STT) e a lei de Hooke (determinada segundo o Projeto Hooke) permitirão o cálculo do tensor de tensões correspondente. Como as atividades com o uso da célula STT podem ser realizadas em qualquer instante e praticamente em qualquer lugar (mesmo em presença de água), o estado de tensões instantâneo de um maciço (de fundação, por exemplo) poderá ser rapidamente determinado.
V. RESULTADOS ESPERADOS E ALCANÇADOS Os resultados esperados pelo Projeto Hooke foram evidentes: 1) – a possibilidade de uma análise mais realista do comportamento mecânico dos maciços rochosos; 2) – o reconhecimento do valor do método. Apesar do desapontamento generalizado em face do fracasso - persistente, mas momentâneo - do encontro da solução rigorosa do problema estatístico, os resultados gerais alcançados pelo Projeto foram surpreendentes. Em primeiro lugar porque entendemos que o tratamento estatístico dos dados do Projeto – problema ainda em estudo – poderá ser uma complementação futura ao “Guia” do INMETRO [17]. O assunto poderia compor o “Projeto Incerteza”. Em segundo lugar porque, no período, emergiu um novo método, simples, rápido, mais barato que os métodos então utilizados, e que à primeira vista apresentam bem menos incertezas. O método exigiu, porém, o desenvolvimento de um pressiômetro com 30 cm de altura, ainda não patenteado. Ambos, aparelho e método, parecem caracterizar uma significativa inovação tecnológica, mas estão por realizar desde 2004. Um “Projeto Pressiômetro” poderia ser implementado. Outro pressiômetro, com apenas 10 cm de altura, desenvolvido também no DCT, cujos dados dependem de tratamento idêntico ao utilizado no método de cálculo original, poderá ser extremamente útil na medição de tensões nos revestimentos em concreto projetado em túneis e taludes rochosos. Poderia ser implementado o “Projeto tensões em concreto projetado”. Surgiu também a idéia de simulação, em laboratório, de comportamento de materiais anisotrópicos, com eixos e planos de simetria elástica conhecidos, para verificar a performance da célula STT e do método de cálculo sugerido pelo Projeto Hooke. Foram utilizados cubos de 50 cm de aresta feitos com camadas de argamassa, perfurados para instalação da célula e submetidos a esforços [15]. Os resultados obtidos em laboratório seriam comparados com simulações numéricas utilizando software apropriado e com
solução matemática exata. A simulação numérica seria executada pela Faculdade de Tecnologia da UNB (trabalho iniciado, mas não concluído) e as soluções matemáticas, pelo Grupo de Física Matemática do Instituto de Física da UNB. Nesse Grupo, apesar dos trabalhos não terem sido iniciados, foi gerada uma dissertação de mestrado [18], inspirada em [19], pela qual foram determinadas, por integração das equações da elasticidade, soluções particulares inéditas. Essa atividade era uma introdução ao problema mais complexo (com materiais anisotrópicos), agora sim, precisamente na linha de trabalho proposto pelo Projeto Hooke; mas não houve continuidade. Muito embora não tenha havido conclusão nas várias atividades de pesquisa vislumbradas (todas geradas durante a execução do Projeto Hooke), pudemos registrar interesse e até entusiasmo entre os acadêmicos envolvidos. Os temas ainda poderão ser considerados em um novo projeto com parcerias: o “Projeto Integração”.
VI. BENEFÍCIO GERADOS Apesar de o Projeto Hooke não ter sido conclusivo, ele esbanja esperança e interesses de diferentes naturezas. Observamos entre os nossos pares, no meio técnico nacional, o reconhecimento da capacidade da equipe de Furnas e seus laboratórios no desenvolvimento da engenharia dos maciços rochosos. As universidades são ávidas por trabalho conjunto com o DCT. O novo método proposto pelo Projeto Hooke pode mudar substancialmente o modo de análise do comportamento dos maciços, seja analiticamente, seja numericamente por elementos finitos. Persiste a expectativa de que o Projeto apresente possibilidade futura de aplicação comercial em projetos e construção de hidrelétricas e minerações. Afinal, seus métodos são bem realistas e suportados por dados obtidos em campo. Anisotropia de maciço - tema básico do Projeto Hooke – não poderia deixar de atingir os maciços de concreto (as barragens, em particular) construídos por camadas sensivelmente paralelas, logo com planos de simetria elástica conhecidos. Entrevêem-se nesse assunto alguns estudos que podem mudar o modo de abordagem não só de dimensionamento das barragens, mas também da verificação da resistência desses concretos, especialmente do CCR. Desenvolver-se-ia um “Projeto concreto anisotrópico”. A campanha de ensaios prevista no Projeto Hooke propiciou grande interesse por parte dos membros da equipe. Esta manifestação gerou o desenvolvimento de um primeiro curso de “Tensões e deformações em maciços” no DCT [20], em três módulos (de 30 horas cada um), dois deles já concluídos, o terceiro por realizar em 2009. O Projeto Hooke em si, inicialmente de cunho acadêmico, tem pretensões técnicas de impacto no médio prazo. Os novos produtos dele provenientes foram considerados inéditos. Entendemos que projetos como esses podem elevar ainda mais o nome de Furnas.
4
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Livros [2] Ruggeri, E. R. F., “Tratado de Cálculo Poliádico”. Tomo I, volume II, ISBN 978-85-907001-1-1, Goiânia GO, edição do autor, 2008.
Artigos Apresentados em Conferência (Não publicados) [3] – Ruggeri, E. R. F., “Transformações Lineares na Engenharia Prática”, palestra proferida no DCT.C, abril de 2002, coleção de estudos com 143 p. [8] – Ruggeri, E. R. F.,”Dificuldades matemáticas em engenharia”, palestra apresenta ao Grupo de Física Matemática do Instituto de Física da UNB, Brasilia, 2004. [20] – Ruggeri, E. R. F., “Tensões e deformações em maciços”, em preparação, circulação restrita ao DCT, 2008, 340 p..
Artigos em Anais de Conferências (publicados) [1] – Ruggeri, E. R. F., “Tensões in situ, em estado triplo”, CBdB, Goiânia, 2005. [4] – Ruggeri, E. R. F., “Uma tentativa de cálculo da incerteza do tensor de tensões medido pelo método das almofadas”, XXVI CBdB, Goiânia, 2005. [5] – Ruggeri, E. R. F., “About a method for the experimental determination of the law of Hooke for anisotropic rock masses”, 1° Congresso Brasileiro de Túneis e Estruturas Subterrâneas, São Paulo, 2003. [7] - Ruggeri, E. R. F., “Um Método de determinação estatístico-experimental de uma equação constitutiva linear para um maciço rochoso anisotrópico”, COBRAMSEG Congresso Brasileiro de Mecânica dos Solos e Engenharia Geotécnica, São Paulo, 2006. [11] Ruggeri, E. R. F. e Porfírio, N. T., “Medição de tensões pelo método SFJ no maciço da UHE Serra da Mesa”, XXVI CBdB, Goiânia, 2005. [12] – Armelin, J. L., Fleury, S. V., Assis, A. P., “Desenvolvimento de célula triaxial para determinação de tensões in situ”, 1° Congresso Brasileiro de Túneis e Estruturas Subterrâneas, São Paulo, 2003. [15] – Armelin, J. L., Fleury, S. V., Ruggeri, E. R. F. Piovezani, J. D. e Assis, A. P., “Avaliação em Laboratório de Célula Triaxial para Determinação de Tensões In Situ”, COBRAMSEG, Curitiba, 2006. [16] - Armelin, J. L., Fleury, S. V., Ruggeri, E. R. F. e Porfírio, N. T., “Avaliação de Desempenho de Célula Triaxial Através de Testes In Situ”, COBRAMSEG, Curitiba, 2006.
Relatórios Técnicos (não publicados) [6] – Ruggeri, E. R. F. e Guedes, Q. M., “Simulação numérica do modelo do Projeto Hooke”, comunicação interna ao DCT, fevereiro de 2005, 20 p. [9] – Pizzinga, A., Ruggeri, E. R. F. e Guedes, Q. M., “Relatório técnico-estatístico – Projeto Hooke”, comunicação interna ao DCT, abril de 2005, 29 p.. [13] – Ruggeri, E. R. F., “O método da célula triaxial e dos macacos planos”, comunicação interna ao DCT, 2005. [14] – Ruggeri, E. R. F., “Roteiro para geração de um software de cálculo de tensões “in situ” em maciços. (Específico para utilização da célula STT tipo Furnas), comunicação interna ao DCT, 2003.
Periódicos [10] – Ruggeri, E. R. F., “Determinação experimental de lei física linear que correlacione duas grandezas físicas vetoriais”, REM – Rev. Esc. de Minas, Ouro Preto, 60(3), jul. set. 2007. [19] – Ruggeri, E. R. F., “A resolução completa do problema termo-elástico linear e a unicidade de sua solução”, REM, Rev. Esc. de Minas, Ouro Preto, 42(3):3648, jul. set. 1989.
Normas [17] – International Organization for Standardization, “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”, 1ª Versão Brasileira – 1996, ISBN 92-67-10188-9 (INMETRO, ABNT, SBM – Sociedade Brasileira de Metrologia)
Dissertações [18] – Portilho de Oliveira, N. M., “Determinação de soluções invariantes para o problema termo-elástico. Universidade de Brasília, 2005.