COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENS XXVI SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS GOIÂNIA – GO, 11 A 15 DE ABRIL DE 2005 RESERVADO AO CBDB
TENSÕES IN SITU, EM ESTADO TRIPLO (UMA APLICAÇÃO AO MACIÇO ROCHOSO DA UHE DE SERRA DA MESA) (UM DEPOIMENTO BASEADO EM MEDIÇÕES) Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI Engenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas S.A.
RESUMO
Neste trabalho apresenta-se um cálculo do tensor de tensões in situ em um elemento de volume representativo do maciço da UHE de Serra da Mesa. Para tal foram utilizados os tensores de tensão atuais relativos a alguns pontos de uma galeria do maciço, considerando estado triplo de tensão e maciço isotrópico. Destaca-se a diferença entre as fórmulas de Hiramatsu e Oka e as clássicas de Kirsch para estado plano de tensões. Os resultados obtidos são comentados em termos de concentração de tensões, incertezas, levantando-se, ainda, a questão da origem das variabilidades excessivas.
ABSTRACT
In this work it is shown an in situ stress tensor calculation with respect to a representative volume element for Serra da Mesa Hydroelectric rock mass. For tat purpose there have been utilized actual measured stress tensors in a gallery of that massive in the hypothesis of triple stress state and isotropy. One outstands differences between Hiramatsu and Oka's formulas and those of Kirsch for plane stress state. The obtained results are commented in terms of stress concentrations and uncertainties; the question related to stress variability is also stated.
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1.
INTRODUÇÃO
O estudo da distribuição das tensões em torno de furo de forma circular foi resolvido satisfatoriamente por KIRSH [1]; e em torno de furos com outras formas, mais apropriadas aos trabalhos de engenharia, por GREENSPAN [2] e outros. Em ambos os casos os problemas eram planos e os materiais supostos contínuos, homogêneos, isotrópicos, lineares e elásticos. Até hoje esses estudos têm servido de base para muitos projetos de túneis e galerias de minas, não sem alguma dose de incerteza porque as condições para aplicação das equações não são adequadamente as mesmas (às vezes até muito diferentes). HIRAMATSU e OKA, [3],integrando as equações da elasticidade, resolveram o mesmo problema a três dimensões e sem maiores hipóteses simplificadoras (como: admitir que a vertical seja uma direção principal e que a tensão correspondente seja do tipo γh; que as tensões horizontais para um certo h - tensões atuantes em planos verticais - sejam todas iguais etc.). O trabalho de Hiramatsu e Oka representou um passo a mais em direção à aparentemente complicada realidade dos maciços rochosos. Esse confronto é inevitável para se evadir do vulgar (empirismo); certamente, em algum instante, novas experiências e resultados práticos poderão tornar mais seguros e econômicos os projetos envolvendo maciços. As equações de Hiramatsu e Oka são análogas às de Kirsh e têm estas como caso particular quando o estado de tensão é plano e esse plano é principal. Estas equações são relações entre as componentes do tensor de tensões num ponto da parede de um furo praticado num corpo em estado triplo de tensão, e as componentes do tensor de tensões que, antes da escavação, atuavam uniformemente num elemento de volume representativo do maciço envolvendo o ponto. Nestas equações aparecem como coeficientes algumas relações entre as coordenadas polares do ponto e o raio do furo. Os pontos do corpo, adotados para o estudo aqui desenvolvido, são pontos das paredes da escavação realizada no maciço da UHE de Serra da Mesa (onde terá havido concentração de tensões). Os tensores (medidos) nesses pontos são tensores planos; o modo como foram medidos e demais informações aqui utilizadas podem ser apreciadas no artigo de RUGGERI e PROFÍRIO, [4]. Nossos cálculos, no presente trabalho, têm esses princípios como base e só poderiam ser mais amplos pela consideração de um maciço anisotrópico, problema ainda não claramente resolvido do ponto de vista teórico, nem tão pouco na parte laboratorial. A hipótese de isotropia para o maciço de Serra da Mesa foi admitida desde o início dos estudos do projeto daquela hidrelétrica, conforme FRANCO e SANTOS [5], especialmente pelo fato dele não apresentar descontinuidades sensíveis (o maciço é composto por rocha praticamente sã). Uma pesquisa (Projeto Hooke) ora em desenvolvimento nos laboratórios de Furnas Centrais Elétricas SA, em Goiânia (GO), procura determinar as constantes elásticas do maciço de Serra da Mesa, na hipótese de que o mesmo possa ser anisotrópico, através de medições dos tensores de tensão e deformação em alguns pontos do mesmo. Por esse caminho – genérico o suficiente para aplicar-se aos maciços em geral, mas não muito descontínuos - a isotropia inicialmente admitida deverá ser constatada.
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2.
RESUMO DESCRITIVO
A galeria de instrumentação da UHE de Serra da Mesa tem cerca da 20 m de comprimento, seção circular de 3,5 m de diâmetro, eixo horizontal (z), e foi escavada a fogo cuidadoso no granito. Nesta galeria, de uma forma toda especial, foram preparados dois trechos de seção também circular, de 3,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento cada um, denominados módulos (Figura 1).
FIGURA 1: Desenho indicativo da posição da galeria e dos módulos dentro da galeria. Para evitar perturbações nas paredes desses módulos, a escavação do miolo foi feita com cordel detonante; no perímetro, antes do fogo, foram executados furos de alívio bastante próximos (Figura 2).
FIGURA 2: Visão da galeria escavada no maciço da UHE de Serra da Mesa, com o módulo 1 em primeiro plano. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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3.
SISTEMAS DE REFERÊNCIA
Instalemos na seção circular de centro O da galeria de instrumentação um sistema de referência com as seguintes características: origem O, eixo Oz (horizontal, logo ortogonal à seção), de vetor unitário kˆ apontando para o fundo da galeria; eixo Oy vertical, de vetor unitário ˆj apontando para o piso e eixo Ox (horizontal), de unitário ˆi escolhido de forma que o triedro O-xyz seja positivo (Figura 3). Um ponto qualquer da seção, P, pode ser definido pelo ângulo θ que o raio vetor correspondente, OP, define com o eixo Ox; esse ângulo é medido positivamente no sentido anti-horário para quem observa a seção do semi-espaço em que se encontra kˆ . A cada valor de θ corresponde, pois, uma geratriz do cilindro representativo do túnel, tendo sido adotadas as indicadas na Figura 3 pelos números 1, 2, ..., 8, em função de facilidades em campo. Todas essas geratrizes, contidas em planos tangentes ao cilindro, são paralelas ao unitário kˆ .
FIGURA 3: Indicação dos Sistemas de Referência adotados e seus vetores de base: um ligado à galeria Oxyz; outro, Prθz, ligado ao fragmento de prisma rochoso. Na parede rochosa serão preparados quatro painéis – retângulos de 30 cm x 90 cm – todos paralelos ao plano tangente (ao cilindro) conduzido por P. Medindo-se as tensões normais atuantes nas paredes de um rasgo executado ortogonalmente ao plano de cada painel, será possível calcular o tensor das tensões correspondente ao ponto P [4]. Consideremos agora um ponto P (ao qual corresponde um certo θ) situado cerca de 20 cm da parede, no interior do maciço; P tem coordenadas polares 1,7m e θ (Figura 3). Consideremos, ainda, um fragmento rochoso de prisma cilíndrico reto de que P é o centro, definido pelos seguintes pares de faces paralelas: fragmentos de superfície cilíndrica (praticamente retângulos paralelos ao plano tangente à parede da galeria), de 0,4 m de largura, medido no plano da seção e 3,0 m de comprimento medido da direção Oz; b) – faces "trapezoidais curvilíneas" (praticamente, quadrados de lado 0,4 m de lado), paralelos ao plano da seção; c) – retângulos de 0,40m de largura, medidos no plano da seção, por 3,0 m de comprimento, medidos na direção Oz, e que se intersectam no eixo da galeria.
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As variáveis de campo do maciço em P (tensores de tensão e deformação, por exemplo), são, por hipótese (aproximativa), idênticas às de qualquer outro ponto pertencente ao referido fragmento rochoso. A cada valor de θ corresponde, então, um fragmento rochoso de prisma reto situado no interior de uma casca cilíndrica rochosa de raio interno a=1,5 m e raio externo 1,9 m. Cada fragmento rochoso será referido a um novo sistema de referência, o "sistema do prisma", composto pelos seguintes vetores unitários: kˆ (já definido); rˆ , ortogonal ao plano tangente – logo, pertencente ao plano da seção - de suporte coincidente com OP e sentido de O para P; e, finalmente, por θˆ tal, que o triedro {rˆ , θˆ , kˆ } seja positivo, isto é, θˆ aponta no sentido do crescimento de θ (Figura 3). 4.
EXPRESSÃO ANALÍTICA DAS TENSÕES IN SITU
Consideremos um ponto genérico, P, de coordenadas polares (r,θ), com r > 1,5 m. Nesse ponto o tensor de tensões in situ (existente antes da execução do furo), é representado pela matriz coluna {σx, σy, σz, σyz, σzx, σxy} quando referido ao sistema O-xyz. Com a execução do furo de raio a esse tensor tem uma nova expressão em relação a O-xyz, ocorrendo, como costumamos dizer, concentração de tensões nas vizinhanças de P. Se esse tensor perturbado, referido a O-rθk é representado pela matriz linha {σr, σθ, σk, σθk, σkr, σrθ}, a relação entre os mesmos é (adaptado de [3]): σx σr σ σ y θ σz σk [ ] = M ( r , θ ) . σ yz σ θk σ σ zx kr σ σ xy rθ
(1),
com A ( r , θ ) + B ( r , θ ) A ( r , θ) − B ( r , θ) A ' ( r , θ ) − B' ( r , θ ) A ' ( r , θ ) + B ' ( r , θ ) − D ( r , θ) D ( r , θ) [M ( r , θ)] = 0 0 0 0 M ( r , θ) − M ( r , θ)
0 0 1 0 0 0
B( r , θ ) 0 0 − C( r , θ) 0 0 − E ( r , θ) , F ( r , θ) − G ( r , θ) 0 H ( r , θ ) L ( r , θ) 0 0 0 N ( r , θ) 0
0
(1)1,
sendo: A ( r , θ) =
1 1 1 (1 − a 2 / r 2 ) , B( r , θ) = (1 − 4a 2 / r 2 + 3a 4 / r 4 ) cos 2θ , A ' ( r , θ) = (1 + a 2 / r 2 ) , 2 2 2
B ' ( r , θ) =
1 (1 + 3a 4 / r 4 ) cos 2θ , C( r , θ) = (1 + 3a 4 / r 4 ) sen 2θ , D ( r , θ) = 2ν ( a 2 / r 2 ) cos 2θ , 2
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E ( r , θ) = 4ν (a 2 / r 2 ) sen 2θ ,
F( r , θ) = (1 + a 2 / r 2 ) cos θ ,
H ( r , θ) = (1 − a 2 / r 2 ) sen θ ,
L ( r , θ) = (1 − a 2 / r 2 ) cos θ ,
M ( r , θ) =
1 (1 + 2a 2 / r 2 − 3a 4 / r 4 ) sen 2θ , 2
G ( r , θ) = (1 + a 2 / r 2 ) sen θ ,
N ( r , θ) = (1 + 2a 2 / r 2 − 3a 4 / r 4 ) cos 2 θ ,
e ν o coeficiente de Poisson da rocha no ponto. Se tivermos em mente as equações de Kirsch, observaremos que as equações de Hiramatsu e Oka, atendendo à tridimensionalidade do problema, apresentam uma parcela a mais tanto na expressão de σr (B(r,θ)σxy) como nas de σθ (C(r,θ)σxy) e σθr (N(r,θ)σxy). Isto, evidentemente, não poderá causar surpresa quanto à forma da distribuição das tensões, deformações e deslocamentos em torno do furo. Releva observar-se que, para um ponto suficientemente distante de O, a relação a/r é um número muito pequeno cujas potencias de expoentes 2 e 4 são, ainda, muito menores. Nesse caso, conforme a Teoria da Elasticidade, os σr, σθ, ... serão expressos em função dos σx, σy, ... como se não existisse furo, ou seja, poderemos aceitar a idéia de que os σx, σy, ... são as componentes do tensor de tensões sobre as faces de um grande cubo de aresta suficientemente grande em relação ao raio do furo (aresta de 12 vezes o raio, ou 18 m). Esse cubo é o volume de controle, ou elemento de volume representativo do maciço (evr), isto é, um volume de rocha cujas propriedades médias representam as propriedades médias do maciço. No caso do maciço de Serra da Mesa – um maciço geologicamente generoso - esse evr poderia ser considerado um cubo cuja aresta tem comprimento bem menor que 18 m. Com outras palavras, diríamos que o tensor in situ que pretendemos calcular é relativo a um cubo que envolve folgadamente o evr do maciço. O ponto P, onde serão medidas as tensões normais para o cálculo do tensor de tensões, tem coordenadas polares: 1,7m e θ porque esse ponto situa-se a cerca de 20 cm da parede para o interior do maciço. Se aplicarmos (1) para esse ponto, fazendo a=1,5m e r=1,7m, o tensor perturbado (mensurável) será representado, com boa aproximação, pela matriz coluna [0, σθ, σk, σθk, 0, 0] (o que é rigorosamente verdadeiro apenas na parede, isto é, para r=1,5 m). Apenas com essa medida, entretanto, não é possível o cálculo do tensor in situ (isto é, o tensor não perturbado, na fronteira do evr) pois temos em (1) um sistema de três equações lineares com seis incógnitas que, do ponto de vista físico, não deve apresentar as infinitas soluções que matematicamente apresenta (o sistema é indeterminado). Entretanto, a aplicação de (1) para duas medições distintas - dois pontos distintos da seção, com diferentes θ's - e, eventualmente com ν's diferentes se quisermos ser mais realistas – gerará um sistema de seis equações que certamente permitirá resolver o problema (uma vez que os pontos são distintos). É aconselhável escolher pelo menos três pontos para essas determinações para ter-se a menor amostra possível. Seja N ≥ 2 o número de pontos onde foram feitas as medições. Para cada ponto deve ser válida (1), e essas 6N equações devem verificar-se simultaneamente. Podemos traduzir isso, em forma matricial, pela expressão:
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{Σ}rθk = [ M}.{σ xyz }
(2),
expressão idêntica a (1), em que as matrizes têm as expressões seguintes: 1°) - {Σ}rθk é a matriz coluna (empilhada), formada por matrizes colunas,
{Σ}rθk
{σ rθk }1 {σ } = rθk 2 , sendo {σ rθk }i ... {σ rθk }N
0 σ θi σ = ki , σ θki 0 0
tendo, logo, 6N linhas; 2°) – [M] é uma matriz retangular, formada por matrizes quadradas 6×6, tendo, pois, 6N linhas e 6 colunas,
[M ] = [ [M ( r , θ1 ) ] [M ( r , θ2 ) ]
...
[M (r, θ N )] ],
em que as matrizes [M(r,θi)] são definidas como em (1)1 onde se substitua θ por θi. Como facilmente se deduz de (2), a matriz coluna pretendida, {σxyz}, é, então, determinada pela expressão {σ xyz } = ([ M ]T .[ M ]) −1 .[ M ]T .{σ rθk } ,
(3),
desde que a matriz simétrica [M]T.[M] seja invertível. Não é difícil, apenas trabalhoso, comprovar-se algebricamente que essa matriz é invertível para um número N ≥ 2 de pontos arbitrários. Pode comprovar-se que (3), deduzida diretamente de (2), é a expressão fiel da aplicação do método dos mínimos quadrados ao pretender-se determinar a matriz coluna {σxyz} que melhor se adapte às 6N equações simultâneas que envolvem as tensões medidas.
5.
MEDIÇÕES E INCERTEZAS
Para atender outros objetivos, além do aqui referido, foram determinados em Serra da Mesa, pelo método das almofadas de pequena área [4], os tensores {σrθk} para oito pontos distintos da seção circular da galeria, o que constitui uma amostragem generosa para a solução do problema (posto que bastariam apenas duas medições); os resultados estão apresentados na Tabela 1.
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Geratriz (θ, em graus) 1 22,5 2 112,5 3 135 4 180 5 210 6 236 7 301 8 334,5
[ [ [ [ [ [ [ [
3,834 33,411 2,159 0,358 -0,033 9,736 47,624 18,884
Tensor medido (MPa) [σθ σk σθk] 2,642 2,547] 6,095 2,827] 7,882 0,296] 5,166 -0,173] 4,604 0,458] 6,780 -1,908] 15,261 -4,165] 7,024 –2,086]
TABELA 1 – Tensores planos de tensão determinados no maciço da UHE de Serra da Mesa, pelo método das almofadas em relação ao sistema de cada prisma P-rθk. (Compressão +, tração -)
Essas medições, como qualquer outra, são acompanhadas de incertezas e com a determinação destas poderá ser determinada a incerteza do tensor in situ. O problema da determinação da incerteza associada a um tensor de tensões ou de deformações ainda é um problema a ser resolvido. Algumas tentativas nesse sentido têm sido feitas [6].
6.
AS TENSÕES IN SITU REFERIDAS A Oxyz
Efetuando-se os cálculos (aqui realizados com encontramos as componentes (medidas em MPa): σx=14,55
σy=5,19
σz=7,11 σyz= -7,11
σzx= -1,17
o
software
Mathematica)
σxy=4,10
(4),
referidas ao sistema O-xyz. Seus valores principais são: σX=16,3,
σY=3,6
e
σZ=6,9,
tensões essas que atuam em planos XY, YZ e ZX (ditos planos principais). As normais a esses planos são as próprias direções principais: X, Y e Z. Para caracterizá-las usamos suas coordenadas geotécnicas. Os azimutes (α) são medidos em relação ao eixo Ox e marcados positivamente no sentido horário para quem observa o plano zx do semi-espaço em que se encontra ˆj .; os mergulhos (β) são os ângulos sub-horizontais dessas direções. Encontramos os seguintes valores: 16,3
→
αX=171°
βX=22°
(direção X);
3,6
→
αY=168°
βY=69°
(direção Y);
6,9
→
αZ=261°
βZ=1°
(direção Z).
7.
COMENTÁRIOS SOBRE OS RESULTADOS ENCONTRADOS
Podemos, agora, imaginar o evr submetido às ações do tensor in situ antes da execução do furo. Estas tensões atuam uniformemente no evr, isto é, em qualquer ponto do mesmo o tensor de tensões é idêntico ao in situ, {σxyz}. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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Os tensores de tensão atuais, medidos em relação a P-rθk, agora referidos ao sistema Oxyz, estão apresentados na Tabela 2. Comparando as componentes desses tensores com as suas correspondentes do "in situ", (4), vê-se que: a) - para muitas geratrizes, os valores de σx foram diminuídos (alguns até anulados); b) - alguns dos σy foram anulados, outros duplicados e até triplicados; c) - apenas para a geratriz 7 o valor de σz foi duplicado. Em resumo: houve tanto alívio expressivo de tensões como concentrações.
Geratriz (θ, em graus) 1 22,5 2 112,5 3 135 4 180 5 210 6 236 7 301 8 334,5
[ σx [ 0,6 [ 8,5 [ 0,8 [ 0 [ 0 [ 6,7 [ 5,0 [ 3,5
Tensor medido (MPa) σy σz σyz σzx 3,3 2,6 -2,4 1,0 4,9 6,1 -1,1 -2,6 10,8 7,9 -0,2 -0,2 0,4 5,2 0,2 0 0 4,6 -0,4 0,2 3,0 6,8 1,1 -1,6 12,6 15,3 -2,1 -3,6 15,4 7,0 -1,9 -0,9
σxy] -1,4] 11,8] 10,8] 0 ] 0 ] -4,5] 21,0] 7,3]
TABELA 2 – Tensores (planos) de tensão, determinados no maciço da UHE de Serra da Mesa, pelo método das almofadas, referidos ao sistema O-xyz. (Compressão +, Tração -). Verifica-se que a maior tensão principal atual (de compressão) ocorre para a geratriz 7; tem o valor de 31 MPa e atua em plano cuja normal tem azimute 339° e mergulho 47°. Essa medida não ultrapassa 16% da resistência à compressão uniaxial de 200 MPa do granito, sendo, ademais, o dobro da maior tensão principal in situ (que é de 16,3 MPa). Todos esses valores (tensores diversos e o tensor in situ), por outro lado, apresentam, ainda, incertezas que, lamentavelmente, ainda são desconhecidas de forma precisa [6] e que, em face de condições eventualmente adversas para a perfeita medição, podem ser expressivas. Avaliadas essas incertezas, entretanto, poder-se-ia conduzir um projeto de forma segura e certamente mais econômica.
8.
TENSÕES ATUAIS VARIÁVEIS COM O PONTO CONSIDERADO
Admite-se que dentro do maciço, onde as feições geológicas forem mantidas idênticas com certa aproximação – em geral, regiões distantes dos emboques - o tensor in situ principal possa não variar significativamente, nem em magnitude, nem em direção, embora nada possamos dizer quanto à sua incerteza. Existirão, então, nesse caso, no miolo do maciço, planos preferenciais invariáveis (apesar de incertos) sobre os quais atuam tensões extremas invariáveis: são os, já ditos, planos principais XY, YZ e ZX (cujas interseções são as direções principais X, Y e Z) e as tensões normais principais σX (atuante sobre YZ), σY (atuante sobre ZX) e σZ (atuante sobre XY), todas já determinadas.
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FIGURA 4: A figura procura mostrar que quando o tensor de tensões in situ é constante, os esforços em seções distantes num túnel longo podem ter valores muito diferentes. A tangente ao eixo de um túnel (ortogonal à sua seção) que deva atravessar esse maciço, porém, fará com as direções principais in situ (Figura 4) ângulos variáveis (de 0° a 180°) e bem diferentes daqueles formados pelo eixo Oz ortogonal ao plano da seção pioneira, na qual formam medidas as tensões atuais (e que gerariam uma tabela, como a Tabela 2). Assim, em muitas seções do túnel a ser escavado - seção 2 por exemplo (Figura 4) - atuarão tensores de tensão {σrθk}, pós-escavação, diferentes daqueles que poderiam ser calculados por (1) posto que o tensor in situ, referido ao novo sistema local, não seria o principal nem teria as componentes dadas por (4). De fato, pois as componentes do tensor in situ, a que se refere (4), são relacionadas com o sistema xyz; e em relação a um sistema análogo, ligado à seção do túnel num outro local interessado (no caso, seção 2), esse mesmo tensor terá certamente outras componentes. Como os revestimentos (cambotas, concreto projetado etc.), caso sejam necessários, devem resistir uma boa fração das tensões realmente atuantes {σrθk}, torna-se necessário, quando prático, para conseguir-se um projeto bem econômico, determinar, por trechos, as diferentes expressões do tensor in situ com as quais se calcularão (por (1), para r = a) as novas expressões dos tensores atuantes no revestimento, em cada região. Nas proximidades da seção 1 (Figura 4), por exemplo, as tensões a que estará submetido o revestimento serão, evidentemente, muito maiores que as da seção 2. Esse problema, de natureza estritamente geométrica – dado o tensor in situ referido ao sistema cartesiano de referência Oxyz, referi-lo a um segundo sistema cartesiano também dado - pode ser resolvido com muita facilidade, não sem algum trabalho. Apliquemos, então, (1) e (1)1 para uma dada seção, agora com o tensor de tensões in situ já determinado, mas referido ao sistema local da seção interessada. Suponhamos, ainda, para evitar novos cálculos, que a seção interessada fosse aquela indicada na Figura 3, para a qual o tensor in situ é dado por (4), e que a direção considerada fosse a correspondente a θ = 180° (geratriz 4, Figura 3, Tabela II). Pondo a/r = 1/λ, vem:
σ σr σ σ = 1 − 2,5 λ− 2 + 1,5 λ− 4 , θ = 1 + 0,5 λ− 2 + 1,5 λ− 4 , k = z + 2 ν λ− 2 = 13 + 0,38 λ− 2 etc.. σy σy σy σy Fazendo λ = 1, 2, 3, ... em cada uma dessas expressões, podemos traçar os gráficos correspondentes. Temos (gráficos gerados pelo software Mathcad): XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
10
0.85
1 2.896
3
0.5 1
2.5 λ
2
1.5 λ
4
1
0.5 .λ
2
1.5 .λ
4
2
1.037
1
0
0.042 0.5
1 1
2
3
4
λ
4
Gráfico σr/σy × λ 13.38
13
0.38 λ
1
2
1
3 λ
Gráfico σθ/σy × λ
4 4
13.4
2 13.2
13.042
13
1 1
2
3
λ
3
Gráfico σk/σy × λ
O gráfico σr/σy×λ indica uma pequena tração (σr/σy =-0,042) na direção radial, para 1 < λ < 1,133, bem próxima do ponto onde foram medidas as tensões. A σr/σy é anulada para dois valores de λ (1 e 1,13) quando deveria anular-se apenas para λ = 1. Essa pequena e aparente não conformidade física tem sua razão de ser em vista da aproximação admitida na formulação; é um pequeno defeito aceitável e justificado pela aderência das componentes do tensor in situ às medições realizadas. Na parede ocorreu, assim, um alívio de tensões; na fronteira do evr (r → ∞), σr/σy tende para 1, o que é compatível (σr é a tensão in situ). O gráfico σθ/σy×λ não apresenta singularidades; mostra que na parede houve uma concentração de tensões (σθ=3σy). O gráfico σk/σy×λ também não apresenta singularidades: quando λ → ∞, ou à distância infinita, σk/σy →13 (ou seja, 5,2/0,4); quando λ → 1, σk/σy →13,38. ]
As tensões σr e σθ se distribuem aproximadamente segundo Kirsch, o que não se dá com a distribuição de σk pois, além de σk não se anular, σk é variável (com r e θ). 9.
ESTATÍSTICA DO TENSOR IN SITU
A variância do erro cometido, em (MPa)2, é dada por: s2 =
1 ({Σ}rθk − [ M ].{σ xyz }) T .({Σ}rθk − [ M ].{σ xyz }) = 117,837 . 42
A matriz de variância/covariância do tensor in situ {σ}xyz é dada por s 2 ([ M ]T .[ M ]) −1 e os elementos de sua diagonal principal são as próprias variâncias do tensor {σ}xyz. Tem-se:
{s 2{σ xyz } }T = [1, 298 0,714 1,480 0,803 1,099 0,307 ] , o desvio padrão sendo, então, o tensor {δ{σ
xyz }
}T = [1,139 0,845 1, 217 0,896 1,048 0,548].
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Lembrando que o tensor in situ é dado por (14), os coeficientes de variação são: {8% 16% 17% 13% 90% 13%}. Existe a probabilidade de 95% de que o tensor in situ tenha componentes menores que as correspondentes do tensor {σ xyz} (+2) seguinte, definido pelo tensor médio adicionado do duplo do tensor desvio padrão, ou seja: {σ xyz } (+2)={16,828 6,88 9,544 5,318 4,392 5,196}, e maiores que as do tensor {σ}xyz(-2) definido pelo tensor médio subtraído do duplo do tensor desvio padrão: {σ xyz } (-2)={12,272 3,500 4,676 -4,226 -3,265 3,004}. Calculando os valores principais e as direções correspondentes desses tensores, concluímos que a maior das tensões estará compreendida entre 15,16 MPa e 22,1 MPa e que ambas apresentarão mergulho da ordem de 22° com rumos entre aproximadamente -17° e +39° em torno da média (que tem azimute em relação a Ox de 351°), Figura 5. A menor delas tem valor entre 0 e 3,6 MPa (valores muito pequenos), mergulho da ordem de 65° e rumos entre +88° e -74° em torno do azimute da média que é de 168° (Figura 6); essa variabilidade de azimutes é, certamente, exagerada.
FIGURA 5: Esquema mostrando a faixa de variação do azimute da direção principal (mergulhos entre parênteses), dentro da qual, com 95% de certeza, ocorrerá a maior tensão principal.
FIGURA 6: Esquema mostrando a faixa de variação do azimute da direção principal (mergulhos entre parênteses), dentro da qual, com 95% de certeza, ocorrerá a menor tensão principal. A variabilidade da componente σzx do tensor in situ é exorbitante (desvio padrão de 90%), possivelmente porque as tensões cisalhantes σkr e σrθ são nulas para todas as geratrizes. Entretanto, conforme a lei geral (1), no cálculo da distribuição das tensões na seção circular genérica de um túnel, essa tensão não participará das expressões locais de σr, σθ, σk e σrθ, garantindo, pois, a essas componentes, uma variabilidade razoavelmente satisfatória para efeito de dimensionamento de revestimentos. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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Um modo bastante prático e simples para apreciar-se a variabilidade dos resultados consiste em comparar os 48 valores das componentes (tensões) medidas (coluna {Σ}rθk) com os valores correspondentes dessa mesma coluna calculada com o tensor in situ (calculado). Esses resultados estão apresentados nas Figuras 7 e 8 seguintes onde separamos as variabilidades das tensões normais e das tangenciais, dispondo os resultados em ordem crescente em relação ao calculado. Tensões Normais 50 45 40
Tensão (MPa)
35 30 25 20 15 10 5 0 Medido
Calculada
FIGURA 7: Variabilidade das tensões normais em relação correspondentes, dispostas em ordem crescente das calculadas.
às
medidas
Tensões Tangenciais 5,0 4,5 4,0
Tensão (MPa)
3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0
Medido
Calculada
FIGURA 8: Variabilidade das tensões tangenciais em relação às medidas correspondentes, dispostas em ordem crescente das calculadas. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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CONCLUSÃO
As variabilidades observadas poderiam ter diferentes origens: 1) a incapacidade do modelo admitido – leis da Elasticidade, traduzidas por (1) – para representar adequadamente o desempenho mecânico do maciço; 2) inadequação do método SFJ para a determinação das tensões; 3) a desqualificação dos instrumentos utilizados (almofadas, alongâmetros, manômetros, goniômetros etc.); 4) a inexperiência e os descuidos desavisados da equipe técnica. Não é necessário analisar os dois últimos itens, por motivos óbvios. Mesmo porque, os dados utilizados nessa análise provieram de medições requintadas, feitas com equipe experiente e uma instrumentação poderosa e confiável [4]. Poderíamos, então, imputar um certo descrédito ao método dos macacos planos de pequena área. Não sendo este o caso, por outro lado, deveríamos suspeitar da aplicabilidade do modelo de corpo contínuo, homogêneo, isotrópico, linear e elástico ao maciço em referência. Mas isso seria um exagero, seja pela reconhecida continuidade do maciço (não existem descontinuidades sensíveis), seja pela sua isotropia, pela sua linearidade física (a maior das tensões normais medidas no maciço não ultrapassou 20% da resistência à compressão uniaxial da rocha) e, mesmo, pela sua linearidade geométrica (os produtos de duas deformações são desprezados frente aos valores dessas mesmas deformações). Por ser necessária, ainda, muita pesquisa, não conseguimos ser conclusivo no assunto em pauta. Além disso, paralelamente, duas outras questões complexas e importantes, devem ser estudadas: 1º) – É incômodo ter que se aceitar, sem argumentos convincentes, a idéia de que o tensor de tensões in situ num maciço seja uma constante (item 8), quando poderia ser uma função de ponto. O que reforça a existência de uma lei de distribuição dessas tensões no maciço é que próximo dos afloramentos do mesmo essas tensões já são nulas. 2º) – Nenhum estudo, ou projeto, baseado em dados obtidos em laboratório ou em campo, deve desprezar as incertezas inerentes a esses dados. Essas duas assertivas, ajuizadamente respondidas, devem, possivelmente, acarretar projetos (de fundações e escavações subterrâneas ou a céu aberto) em que segurança e economia estão criteriosamente mais bem equilibrados, satisfazendo, assim, um pouco melhor, um dos mais desafiadores compromissos do engenheiro.
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PALAVRAS-CHAVE
Tensões in situ, Maciços Rochosos, Almofadas.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] KIRSH, G. (1898) – Z. Ver Dent. Inq., vol 42. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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[2] GREENSPAN, Martin, (1944) – “Effect of a Small Hole on the Stresses in a Uniformly Loaded Plate”, Quarterly Appl. Math, 2, pp. 60-71. [3] HIRAMATSU, Y. and OKA, Y. (1962) – “Stress Around a Shaft or Level in Ground with a Three-Dimensional Stress State”, Mem. Fac. Engr. Kyoto, V., XXIV, Part 1, Jan. 1962, pp. 56-76. [4] RUGGERI, E. R. F. e PORFÍRIO, N. T., (2005) – “Medição de Tensões no Maciço de Serra da Mesa”, Congresso Brasileiro de Barragens – CBdB, Goiânia – GO. [5] MELLO FRANCO, J. A de, e BATISTA DOS SANTOS, L. A. C., (1994) – “O Tensor de Tensões Virgens de Serra da Mesa: Sua Determinação pelo Ensaio de Fraturamento Hidráulico, Solos e Rochas”, São Paulo, 17, (3):167180. [6] RUGGERI, E. R. F. (2005) – “Uma Tentativa de Cálculo da Incerteza do Tensor de Tensões medido pelo Método dos Macacos Planos - CBdB, Goiânia - GO
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