COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENS XXVI SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS GOIÂNIA – GO, 11 A 15 DE ABRIL DE 2005 RESERVADO AO CBDB
UMA TENTATIVA DE CÁLCULO DA INCERTEZA DO TENSOR DE TENSÕES MEDIDO PELO MÉTODO DAS ALMOFADAS
Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A.
RESUMO O artigo expõe, com um certo rigor matemático e detalhadamente, um processo de cálculo da incerteza associada ao tensor das tensões quando este é determinado pelo método dos macacos planos ou das almofadas. Consideram-se como fatores de incerteza o uso de diferentes almofadas, a experiência da equipe, dificuldades em se disporem os painéis de uma certa geratriz na inclinação adequada em relação à horizontal, possíveis erros na medição de inclinação do eixo de um painel em relação ao eixo da galeria etc. Para efeito do cálculo, fórmulas aproximadas são deduzidas a partir de conceitos teóricos e suposições que se aceitam tradicionalmente como integrantes do método das almofadas. Finalmente faz-se uma aplicação numérica a um caso concreto de medição no maciço da UHE de Serra da Mesa.
ABSTRACT This paper shows, with some mathematical rigor and details, a way for stress tensor uncertainty calculations when this tensor is to be determined by the small flat jack method. Uncertainty factors like: the use of different small jacks, staff experience, difficulties in placing the panels of a certain generator in their appropriate deep with respect to the horizontal plane, possible errors in measuring a panel axis inclination with respect to the gallery axis etc.. Concerning calculations, approximated formulas are derived from theoretical concepts and hypothesis that are traditionally accepted as constituents of the small flat jack method. To finish, a numerical application is presented to a real case of measurement realized in the massive of Serra da Mesa Hydroelectric power plant.
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1
1.
INTRODUÇÃO
O método dos macacos planos de pequena área (small flat jacks - SFJ), também conhecido como método das almofadas planas, permite o cálculo do tensor de tensões em qualquer ponto próximo da parede de uma galeria –aqui considerada de seção circular - que se possa escavar num maciço rochoso [1]. Esse tensor de tensões é planar, seu plano sendo o plano tangente ao cilindro da galeria (condição que não é absolutamente necessária). Como referência são utilizados dois sistemas de eixos cartesianos (Figura 1). Um deles tem origem no centro O da seção circular da galeria, eixo horizontal Oz, de vetor unitário kˆ apontando para o fundo da mesma (entrando na folha do papel), eixo Oy vertical, de vetor unitário ˆj apontando para o piso e eixo Ox horizontal, de vetor unitário ˆi tal, que com os dois primeiros unitários formem uma base { ˆi , ˆj , kˆ } direta. Por esse sistema, um ponto P no interior do maciço, porém próximo do ponto PS da seção de raio r e ambos alinhados com O, terá coordenadas polares (r+0,20m;θ), o ângulo θ sendo medido positivamente a partir de Ox e no sentido antihorário para quem observa o plano Oxy do semi-espaço em que se encontra kˆ . Ligado ao ponto P estabeleceremos um segundo sistema de coordenadas, com origem P, eixo Pz paralelo a Oz com unitário kˆ , eixo Pr coincidente com OP e unitário rˆ apontando para o interior do maciço (sentido OP) e eixo Oθ de unitário θˆ apontando no sentidos do crescimento do ângulo θ.
FIGURA 1 - Sistemas Cartesianos Ortogonais de Referência Ligados ao Centro O da Seção e ao Ponto P da Seção. Em relação ao sistema P-rθk o tensor certo das tensões do ponto P – ainda uma incógnita – pode ser escrito na forma σ = σ θ θˆ θˆ + σ k kˆ kˆ + σ θk (θˆ kˆ + kˆ θˆ ) ,
(1),
caso em que a sua matriz associada é 0 0 [σ σ rθk ] = 0 σ θ 0 σ θk
0 σ θk σ k
(2).
Na matriz [σrθk] os escalares σθ e σk são tensões normais; σθk é tensão tangencial. O traço de [σrθk] é o primeiro invariante escalar do tensor das tensões. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
2
Consideremos agora um painel retangular (de cerca de 30 cm x 90 cm) pertencente a um plano paralelo ao plano tangente à galeria (o plano ( kˆ , θˆ )) pelo ponto PS (Figura 2), visto do interior da galeria. Esse painel precisa ser preparado convenientemente (na parede rochosa) para receber pinos (fixos na rocha), os quais definem uma direção paralela ao eixo menor do painel. A distância entre esses pinos é igual a 200 mm.
FIGURA 2 - Posição de um Painel no Plano Tangente à Galeria pelo Ponto P onde se vai Medir uma Tensão Normal. Seja nˆ o vetor unitário paralelo àquela direção, o qual faz o ângulo ϕ (medido) com kˆ . Então, nˆ = sinϕθˆ + cosϕkˆ ,
(3).
Quando, usando uma serra circular, se abre um rasgo ao longo do eixo maior do painel de forma que a projeção segundo rˆ do centro do disco da serra coincida com o ponto PS, vê-se variar a distância entre os pinos. Tão logo essa distância deixe de mudar, pode introduzir-se uma almofada no interior desse rasgo e aplicar-se pressão às paredes. Nesse caso, as paredes tenderão a adquirir suas posições iniciais antes da abertura do rasgo, o mesmo acontecendo com os pinos. De acordo com o método SFJ, chegados os pinos às suas posições iniciais, pode determinar-se a tensão normal σn no ponto P, relativa à direção nˆ , que ali existia antes da abertura. Assim, podemos escrever: σ n = nˆ .σ.nˆ . Desenvolvendo essa expressão obtemos:
σ n = sin 2 ϕ σ θ + cos 2 ϕ σ k + sin2ϕ σ θk ,
(4).
São necessárias mais duas equações independentes para constituir-se um sistema de equações algébricas lineares nas incógnitas σθ, σk e σθk. Isto pode ser conseguido, efetuando-se medidas análogas à anterior, com dois outros painéis próximos de P e com planos paralelos ao plano tangente, o eixo menor de um deles inclinado de ϕ' (≠ ϕ) em relação a kˆ . Para otimizar as medidas é costume, no método SFJ, usar dois pares de painéis ortogonais (Figura 3) uma vez que, com eles, é possível comparar os primeiros invariantes de cada par. Quer-se dizer que se σn1 e σn2 são tensões normais relativas a um par e σn3 e σn4 relativas a um segundo par, então: σ n + σ n 2 = σ n 3 + σ n 4 , igualdade que não é verificada em geral devido a erros nas 1
medidas; dizemos que as medidas estão incompatibilizadas. Existindo pequenas
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3
diferenças entre as medidas pode efetuar-se uma achega nas mesmas de forma a tornar iguais esses invariantes, assunto que será abordado no item 3.2 à frente.
FIGURA 3 - Arranjo de Dois Pares de Painéis Ortogonais no Plano Tangente
2.
SOLUÇÃO COM MEDIDAS COMPATIBILIZADAS
Escrevendo (4) para cada painel, obtemos, para o cálculo de {σrθk}, o seguinte sistema de quatro equações independentes com três incógnitas, escrito em forma matricial:
N.{σ rθk } = {σ medidas } , compat
onde σ n1 sin 2 ϕ cos 2 ϕ sin2ϕ σθ σ 2 2 cos ϕ sin ϕ - sin2ϕ n N = N(ϕ, ϕ' ) = , {σ rθk } = σ k e {σ σ medidas } = 2 , 2 2 σ n 3 sin ϕ' cos ϕ' sin2ϕ' compat σ θk 2 2 cos ϕ' sin ϕ' - sin2ϕ' σ n 4
(5).
Resolvendo esse sistema, obtemos: {σ rθk } = N.{σ medidas } ,
(6),
compat
onde N = ( N T .N ) − 1 .N T ,
(7).
A equação (6) é obtida na hipótese de que a matriz quadrada NT.N, de ordem 3, seja invertível. É fácil mostrar que NT.N é invertível se ϕ ≠ ϕ’, mesmo quando ϕ = 0 ou ϕ’ = 0. É fácil, também, mostrar que (6) resulta do método dos mínimos quadrados para determinar-se a {σrθk} que melhor se ajuste ao conjunto das medidas. 3.
REPARANDO AS MEDIDAS
Provisoriamente vamos considerar que não existe incerteza no processo de determinação dos valores das tensões normais medidas, especificado pelo fabricante das almofadas.
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4
3.1
CALIBRAÇÃO DE MEDIDAS. VARIAÇÃO
De acordo com o método SFJ, pode ocorrer diferente variação nas medidas σn1 medida, σn2 medida, ..., de σn1, σn2, ... uma vez que podem ser usadas almofadas diferentes. Para traduzir matematicamente esta assertiva, isto é, para comparar medidas, podemos escrever que
{σ var comp } = M calibração.{σ medidas } ,
σ n medida 1 σ n medida 2 {σ σ medidas } = , σ n medida 3 σ n 4 medida
onde
(8),
e Mcalibração uma matriz diagonal 4x4, tendo um elemento igual a zero (aquele associado à almofada tomada para comparação). Os demais elementos dessa matriz são definidos comparando a performance das diferentes almofadas utilizadas com aquela tomada como referência. Isto pode ser conseguido realizando um ensaio completo com cada almofada numa mesma ranhura. Os elementos de Mcalibração são números muito pequenos pois a experiência mostra que apenas excepcionalmente existe diferença significativa entre as performances de almofadas feitas com um mesmo material. Assim, podemos escrever, para traduzir os acertos (com I+Mcalibração) nas tensões medidas:
{σ calibrada } = {σ medidas } + {σ var comp } = (I + M calibração ).{σ medidas } ,
(9).
Se não há calibração a fazer, Mcalibração=[0] e {σcalibrada}={σmedidas}. Por conseguinte podemos considerar que, para pequenas variações:
d{σ calibrada } = ( I + M calibração ).d{σ medidas } , 3.2
(91).
AJUSTANDO O PRIMEIRO INVARIANTE DO TENSOR DAS TENSÕES
Poderíamos esperar uma igualdade entre as somas: σn
1, 2
= σn
1
calibrada
+ σn
2
calibrada
σn
e
3, 4
= σn
3
calibrada
+ σn
4
calibrada
porque representam o primeiro invariante do mesmo tensor de tensões (os pares de medidas são relativos a planos ortogonais nas proximidades do ponto). O uso do método das almofadas tem mostrado, entretanto, que, após um ensaio, esses números nunca são iguais, isto é, em geral σn
1, 2
= σn
1
calibrated
+ σn
2
calibrated
≠ σn
3
calibrated
+ σn
4
calibrated
= σn
, 3, 4
o que nos obriga a considerar que principalmente o estado da rocha nos locais dos rasgos é o responsável por essa divergência. Esse acerto pode ser realizado pelo método que torne a soma dos quadrados dos erros existentes o menor possível, com um vínculo entre as variáveis para a satisfação da igualdade do primeiro XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
5
invariante. O resultado final, em resumo, consiste em distribuir o módulo da entre as medidas, somando a sua quarta parte a cada uma diferença σ n − σ n 1, 2
3, 4
das leituras de soma menor e subtraindo-a de cada uma das leituras de soma maior. Denotando-se por σ n calc as tensões normais ajustadas, já preparadas para novos i
cálculos, deveremos calcular os novos quatro valores pela fórmula seguinte: σ n calc 1 σ n calc {σ calc } = 2 = M ajuste .{σ calibrada } , σ n 3 calc σ n 4 calc
(10),
sendo
M ajuste
3 −1 1 1 1 −1 3 1 1 = , 1 3 − 1 4 1 1 −1 3 1
(11).
Após o ajuste do primeiro invariante podemos escrever, guiados por (6):
{σ rθk calc } = N.{σ calc } ,
(12).
4.
A INCERTEZA DE {σrθK calc}
Por (12) podemos determinar a variação de {σrθk calc}. Antes dos cálculos devemos observar que todas as variações possíveis de acontecer são iguais, independentemente de serem certas ou incertas as medidas, isto é,
d{σ medidas } = d{σ rθk calc } . certas
4.1
AS PERTURBAÇÕES PRINCIPAIS
Como estabelecido pela expressão de N em (5), por (7) e por (12), {σrθk calc} é uma função de seis variáveis: ϕ, ϕ’ e as quatro tensões normais preparadas para o cálculo e sintetizadas em {σcalc}. Poderíamos, desenvolvendo (12) em série de Taylor, calcular a variação de {σrθk calc} para certos valores das variáveis e variações dϕ, dϕ’, etc.. Sob a hipótese de que as variações sejam relativamente pequenas, podemos limitar os cálculos às parcelas do primeiro grau do desenvolvimento e escrever:
d{σ rθk calc } = ∂{σ rθk geom } + ∂{σ rθk tensões } ,
(13),
onde XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
6
∂{σ rθk geom } = ( d N ).{σ calc }
e
∂{σ rθk tensões ) = N.d{σ calc }
(14).
Os principais fatores que podem perturbar o tensor, no método das almofadas, estão relacionados com: o pessoal técnico, instrumentos empregados e o estado da rocha no local. Desconhecemos até o momento como estimar esses distúrbios por um método científico (se é que ele pode existir). Podemos, no máximo, inferir números para avaliar as variações de leituras baseadas apenas no nosso convívio com o método, com o pessoal, instrumentos e, especialmente, com a experiência adquirida com os diferentes maciços encontrados ao longo do nosso exercício profissional.
4.2
PERTURBAÇÕES NAS TENSÕES (cálculo de ∂{σ rθk tensões } )
As perturbações nas tensões preparadas para cálculos, expressas por d{σ calc } , podem ter duas origens: uma relativa ao pessoal técnico, ∂{σ pessoal } ; outra, relativa aos instrumentos empregados, ∂{σ instr } , sendo: d{σ calc } = ∂{σ pessoal } + ∂{σinstr } ,
(15).
4.2.1 Pessoal Técnico O pessoal técnico pode causar a perturbação definida pela matriz coluna ∂{σ pessoal } , em diferentes graus, para cada medida separadamente. Não há regras para se avaliarem esses graus mas eles devem e podem ser definidos por meio de um julgamento consciente. Temos quatro medidas a fazer. Um analista daria um certo peso di à i-esima medida (para i=1,2,3,4), a qual seria igual a 0 se a medida fosse (a seu critério) executada com perfeição, sem quaisquer dúvidas; ou seria igual a 1, 2, ... se a medida (por algum motivo) apresenta alguma pequena imperfeição proporcional ao peso. Neste caso queremos dizer que a medida obtida, digamos σ, poderia assumir qualquer valor na faixa -diσ/100, +diσ/100. Assim, para o conjunto das quatro medidas podemos escrever:
∂{σ pessoal } = D pessoal .{σ calc } ,
(16),
sendo
D pessoal
0 d1 d2 = sym.
0 0 d3
0 0 1 . , 0 100 d4
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(17).
7
A
coluna
∂{σ pessoal }
será,
então,
compreendida
entre
− D pessoal .{σ calc }
e
D pessoal .{σ calc } .
Quando não for necessário considerar diferentes di, isto é, se todos os di são iguais a d, temos:
D pessoal
0 0 0 1 1 0 0 d = , 1 0 100 1 sym.
(171).
Finalmente, se não é necessário qualquer alusão à avaliação do pessoal, Dpessoal=[0] em (16), onde [0] é a matriz zero de ordem 4.
4.2.2 Instrumentos Tal como procedemos no parágrafo anterior, podemos proceder com relação aos instrumentos, escrevendo: ∂{σinstr } = Dinstr .{σ calc } ,
(18),
Dinstr tendo a mesma estrutura que Dpessoal onde se troquem pesos d por pesos t. Quando podemos admitir, para cada medida, que os instrumentos tenham o mesmo desempenho aos quais associamos o mesmo peso t, podemos simplesmente montar matriz análoga à (171). Se não é necessária a avaliação do desempenho dos instrumentos (t=0), Dinstr=[0] em (18), sendo [0] a matriz zero de ordem 4. Em resumo: na segunda das equações (14), considerando (15), (16) e (18) devemos fazer ∂{σ rθk tensões } = N.( D pessoal + D instr ).{σ calc } ,
4.3
(19).
PERTURBAÇÕES DE CARÁTER GEOMÉTRICO (CÁLCULO DE ∂{σ rθk geom } )
Pequenos desvios nas medidas dos ângulos ϕ e ϕ’ – devidos simultaneamente ao pessoal e aos instrumentos empregados – contidos na expressão de d N , certamente acarretarão perturbações no valor de {σ rθk calc } . Segundo a primeira das fórmulas (14) devemos diferenciar (61); temos: d N = − ( N T .N ) −1 .{[ dN T.N + (dN T.N) T ].N − dN T } .
De (5) deduzimos: dN T = S T dϕ + S′ T dϕ′ , sendo
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sin2 ϕ − sin2ϕ 2cos2ϕ - sin2ϕ sin2ϕ - 2cos2ϕ S= 0 0 0 0 0 0
e
0 0 0 0 0 0 , S′ = sin2ϕ′ − sin2ϕ′ 2cos2ϕ′ - sin2ϕ′ sin2ϕ′ - 2cos2ϕ′
(20).
Então, d N = − (Adϕ + Α ′dϕ′)
onde A = − ( N T .N ) −1 .{[ ST .N. + (ST .N ) T ].N − ST } , A ′ = − (N T .N) −1 .{[ S′ T .N. + (S′ T .N) T ].N − S′ T } ,
(21), (211).
Logo, de (14): ∂{σ rθk geom } = − ( Adϕ + Α ′dϕ′).{σ calc } ,
(22)
Estritamente, como temos acentuado, as expressões (14) são válidas para pequenos (infinitesimais) valores de dϕ (=dϕ’) e d{σcalc}. Com alguma aproximação, podemos determinar variações para {σrθk calc} nas vizinhanças de quaisquer valores de ϕ, ϕ’ e das tensões normais calibradas (σn1, σn2 etc.), dando a dϕ, dϕ’, ... valores que ocorram em campo (que são suficientemente pequenos para o uso da fórmula). As maiores variações para dϕ e dϕ’ podem ser consideradas iguais a até ±30' (30 minutos de arco), ou ±π/360 (0,00873 radianos), mas isso depende fortemente da equipe em operação. Por conseguinte, neste caso, ∂{σ rθk geom } variará na faixa definida por ∂{σ rθk geom } = m0,00873.( A + Α ′) .{σ calc } ,
(23),
e ∂{σ rθk geom } = ±0,00873( − A + Α′).{σ calc } ,
(231).
Deve ser observado que apenas uma das duas expressões (23) e (231) é válida. De fato, porque se ocorre um erro em ϕ e em ϕ' num mesmo sentido, então (23) é válida com sinal + se dϕ e dϕ' são positivas; ou (23) é válida com sinal – se dϕ e dϕ' são negativas. Similarmente, se dϕ < 0 e dϕ' > 0 então o sinal + deve ser considerado em (231), e vice-versa. 4.4
SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS (cálculo de ∂{σ rθk calc } )
Agora estamos preparados para usar (14), mas devemos observar que ∂{σ rθk tensões } é fixo, enquanto ∂{σ rθk geom } pode assumir dois valores conforme o erro cometido com dϕ e dϕ'. Como não conhecemos os sinais de dϕ e dϕ', devemos estabelecer XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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dois intervalos para a existência de ∂{σ rθk calc } : um relativo a (23), outro com (231). Esses dois intervalos são passíveis de acontecer, mas apenas um deles é verdadeiro para um certo experimento. Assim, devemos escolher o intervalo que permite a maior variação.
5. INCLUSÃO DA INCERTEZA DEVIDA ÀS INCLINAÇÕES DOS PAINEIS Observemos inicialmente que os elementos da matriz coluna {σ rθk calc } , coordenadas do tensor das tensões relativo a uma geratriz qualquer, estão referidos à base vetorial { rˆθ θˆ kˆ } ligada ao prisma correspondente. Em geral, na melhor das hipóteses para efeito de análise, o tensor das tensões deve estar referido à base local { ˆiˆjkˆ } acoplada ao sistema Oxyz ligado à galeria. Assim, tornando-se necessário referir esse tensor à base { ˆiˆjkˆ }, torna-se também necessário o cálculo de nova incerteza do tensor, agora devida a erros na execução dos painéis no tocante às suas inclinações (todas teoricamente iguais a θ para a geratriz correspondente). Com a ajuda da Figura 1 escrevemos: rˆ = cosθˆi + senθˆj ,
θˆ = −senθˆi + cosθˆj
e
kˆ = kˆ .
A matriz de mudança da base { rˆθ θˆ kˆ } para a base { ˆiˆjkˆ } é, pois, a matriz de rotação (no plano do tensor)
cosθ senθ 0 [R(θ)] = − senθ cosθ 0 . 0 0 1 Logo, a matriz correspondente a (2), na base { ˆiˆjkˆ }, é [ σijk calc ] = [ R ]T .[σ rθk calc ].[ R ] . Diferenciando essa expressão obtemos:
dada
por:
d[ σijk calc ] = ( d[ R ]T ).[σ rθk calc ].[R ] + [ R ]T .( d[ σ rθk calc ]).[R ] + [ R ]T .[ σ rθk calc ].d[ R ]
ou melhor,
d[σijk calc ] = ([ R( θ + π/2) ]T .[σ rθk calc ].[R( θ) ] + [ R( θ) ]T .[σ rθk calc ].[R( θ + π/2) ] ) dθ + + [ R(θ)]T .(d[σ rθk calc ] ).[ R(θ)]
,
(24),
devendo observar-se que as duas primeiras parcelas no segundo membro de (24) estão multiplicadas por dθ. Ora, estando já determinada a matriz [σrθk calc] (item 3) e sua diferencial (item 4) só nos resta especificar o valor de dθ para o cálculo final da incerteza associada ao tensor quando este é referido à base { ˆiˆjkˆ }.
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Tomando-se precauções convenientes, embora exaustivas [1], podemos admitir um valor de cerca de um grau (ou π/180 rd) para dθ. 6.
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Os dados para os cálculos que serão indicados a seguir foram extraídos das Tabelas 1 e 3 do artigo [1], resultados de medições executadas no maciço da UHE de Serra da Mesa. Os ângulos aqui indicados serão expressos em graus e as tensões em MPa×10, exceto onde for observado de outra forma. Exemplo 1: Neste exemplo não estamos considerando a incerteza de {σcalc} correspondente ao processo de determinação das tensões medidas, o qual deveria ser fornecido pelo fabricante das almofadas. Escolhamos a geratriz 1 com: θ=22,5, ϕ=40, ϕ'=15 ([1],Tabela 1), o que nos permite escrever a matriz N exposta em (5) e calcular N por (61). A matriz correspondente às tensões normais medidas, apresentada na equação (8), é {σ medida }T = [6,15 57, 4 14,76 51,25] ([1], Tabela 1). Essas medidas devem ser calibradas se, por acaso, nos ensaios, foram usadas almofadas diferentes; o que não é o caso presente. Logo: {σvar comp}={0} porque [M]=[0], e {σcalibrada}={σmedidas}. Devemos agora fazer o ajuste dos primeiros invariantes (que, trivialmente, são diferentes, pois: 6,15 + 57,4 ≠ 14,76 + 51,25). Aplicando (10) e (11), obtemos: 1 6,15 6,765 3 −1 1 − 1 3 1 1 57, 40 58,015 1 {σ calc } = . = . 1 3 − 1 14,76 14,145 4 1 1 − 1 3 51, 25 50,635 1
(Notar que esses valores diferem ligeiramente daqueles apresentados em [1], Tabela 1, porque neste foi adotado o critério do ajuste proporcional às medidas.) Podemos, agora, escrever (12),
39,120 {σ rθk calc } = N.{σ calc } = 25,660 , − 24,834 ou seja,
0 0 0 [ σ rθk calc ] = 0 39,120 − 24,834 , 0 − 24,834 25,660
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(25),
(251),
11
matriz essa cuja incerteza devemos determinar como primeiro passo para a solução do problema. Essa incerteza, conforme (13), é a soma de duas outras: uma, devida à incerteza das tensões normais medidas, ∂{σ rθk tensões } , e outra de caráter geométrico, ∂{σ rθk geom } , ambas apresentadas em (14). A incerteza ∂{σ rθk tensões } apresenta duas parcelas: uma devida ao pessoal e outra aos instrumentos, conforme (15). Vamos considerar uma equipe com alguma experiência, mas não excepcional, atribuindo-lhe um peso de 10% de forma que Dpessoal=0,1[I], sendo [I] a matriz unidade de ordem 4. Da mesma forma, quanto aos instrumentos, vamos considerar que sejam usados mas que todos sejam calibrados e bem conservados de modo que o correspondente coeficiente avaliador de desempenho seja de 5%. Então, por (15) obtemos:
d{σ calc }T = [1,015 8,702 2,122 7,595] ; e, por (19),
∂{σ rθk tensões }T = [5,868 3,849 − 3,725] . A incerteza ∂{σ rθk geom } não pode ser desprezada porque, seguramente, são cometidos os erros abordados no item 4.2. Podemos calcular S e S' por (20) e A e A' por (21) e (211). Admitindo que os erros cometidos ao se medirem os ângulos ϕ e ϕ' sejam da ordem de 0,5°, ou seja de 0,00873 rd, a incerteza ∂{σ rθk geom } deverá ser considerada, conforme (23) e (231), igual à maior das determinações seguintes:
− 0,433 ∂{σ rθk geom }1 = 0,433 − 0,117
e
− 0,381 ∂{σ rθk geom }2 = 0,381 . − 0,026
Então, conforme (13), superpondo os efeitos devemos considerar, por questão de segurança: d{σrθk calc} = ∂{σ rθk geom }1 + ∂{σ rθk tensões } , isto é:
d{σ rθk calc }T = [5, 435 4,282 − 3,843] ,
(26),
ou
0 0 0 [ dσ rθk calc ] = 0 5, 435 − 3,843 , 0 − 3,843 4,282
(261).
Os desvios de (26) em relação a (25), evidentemente, já são, assim, de 14%, 17% e 15%. Passemos ao cálculo final da incerteza do tensor (agora, referido à base { ˆiˆjkˆ }) pela inclusão da incerteza correspondente à inclinação dos painéis). A matriz de rotação, [R(θ)] pode ser calculada para θ=22,5°. Assim, uma vez que já dispomos de todas as XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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matrizes parcelas e fatores, aplicamos diretamente (24). Para dθ=0,5° ou seja, 0,00873 rd, e relembrando que θ=22,5, encontramos:
1,754 1,037 − 2,163 d[σ ijk calc ] = − 2,163 4,398 − 3,668 , 1,754 − 3,668 4,730
(271).
Para efeito da análise final devemos calcular a matriz associada ao tensor de tensões em relação à base { ˆiˆjkˆ }. Esta é dada pela expressão [σijk calc]=[R]T.[σrθk calc].[R], isto é,
13,831 9,504 5,729 [ σijk calc ] = 13,831 33,391 − 22,944 , 9,504 − 22,944 25,660
(281).
A matriz de incerteza do tensor de tensões, dada por (27), é a própria matriz associada ao tensor desvio padrão desse tensor. A matriz [cv%] dos coeficientes de variação é
18 16 18 [ cv%] = 13 16 , sim. 18
(291).
Vale observar-se que os elementos da primeira linha e primeira coluna expressam variações que não têm significado físico porque o tensor é plano (essas variações são decorrentes apenas de mudança de sistema de referência). Existe a chance de 95% de que o tensor de tensões em referência esteja compreendido entre [σijk calc]-2[d[σrθk calc] e [σijk calc]+2d[σrθk calc], ou seja, entre
[ σ ijk
( −2 )
− 9,505
] = [σ ijkcalc ] − 2[ dσ ijkcalc ] =
3,654
] = [ σijkcalc ] + 2[dσijkcalc ] =
7,804 − 18,157
sim.
5,996 24,596 − 15,608 , 16,200
(301),
e
[ σijk
( +2 )
sim.
13,011 42,186 − 30,279 , 35,120
(311),
Vamos determinar os azimutes dos autovetores em relação a Ox, medidos positivamente no sentido horário para quem observa a seção da galeria do semiXXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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espaço em que se encontra ˆj . Os mergulhos são sub-horizontais (em relação ao plano xy). Os autovalores dos tensores σijk(-2), σijk e σijk(+2), bem como os mergulhos e azimutes dos seus autovetores, estão expostos na Tabela 1 seguinte. Essa tabela mostra claramente as faixas de variação dos autovalores, mergulhos e azimutes de qualquer valor provável do tensor do ponto, que ocorrem com um chance de 95%. Autovalores (MPa × 10) σijk(-2) σijk σijk(+2) -0,017 4,458 40,008
0 6,660 58,120
-0,009 8,774 76,345
σijk
Azimute (°) Mergulho (°) (+2) (-2) σijk σijk σijk σijk σijk(+2)
(-2)
0 105 243
0 106 243
0 108 244
21 32 50
22,5 34 47
23 35 46
TABELA 1 - Autovalores, mergulhos e azimutes dos tensores σijk(-2), σijk e σijk(+2) As variabilidades dos autovalores de σijk(-2) e σijk(+2) em relação aos de σijk são de –49% e +32% para os autovalores intermediários e –45% e +31% para os maiores autovalores; são diferenças expressivas. As variações dos azimutes e mergulhos dos autovetores são relativamente pequenas (diferenças de, no máximo, 3°). Exemplo 2: Neste exemplo vamos manter as condições gerais do exemplo 1 e introduzir a hipótese adicional de que as tensões normais finais medidas estão afetadas de uma deficiência de –15% (estamos trabalhando a favor da segurança); o que equivale a trabalhar com as tensões medidas multiplicadas por 1,15. Nesse caso os valores ajustados serão 1 7,072 7,780 3 −1 1 − 1 3 1 1 66,010 66,717 1 {σ calc } = . = . 1 3 − 1 16,974 16,267 4 1 1 − 1 3 58,937 58,230 1
A Tabela 2 seguinte apresenta o resultado final dos cálculos que podem ser processados como no exemplo 1. Autovalores (MPa × 10) σijk(-2) σijk σijk(+2) -0,233 5,849 60,950
0 7,659 66,838
-0,309 9,093 73,643
Azimutes (°) Mergulho (°) (+2) (-2) σijk σijk σijk σijk σijk σijk(+2) (-2)
1 65 262
0 106 243
0 90 234
22 41 62
22,5 34 47
24 19 34
TABELA 2- Autovalores, mergulhos e azimutes dos tensores σijk(-2), σijk e σijk(+2) Observa-se que: 1) - Os autovalores de σijk são iguais aos do exemplo 1 multiplicados por 1,15 uma vez que as tensões normais medidas foram afetadas em 15%; mas apenas para estes. As variações dos autovalores de σijk(-2) são bem expressivas: o intermediário aumentou em 31% e o maior em 52%.
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2) - Os autovetores dos autovalores nulos se mantiveram praticamente invariantes (o que não é surpresa). Os azimutes e os mergulhos dos autovetores relativos aos maiores autovalores sofreram variação entre si de cerca ± 15°, e também em relação aos do exemplo 1. 3) - A variabilidade dos azimutes dos autovetores relativos aos autovalores intermediários, embora não abusiva, é expressiva: de -16° até -41°; a dos mergulhos ficou entre +7° e -15°. 7.
AGRADECIMENTOS
Toda gratidão a FURNAS Centrais Elétricas S.A., uma empresa que prima por superar expectativas sempre.
8.
PALAVRAS-CHAVE
Incerteza, tensor in situ, tensor desvio padrão.
9. [1]
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
RUGGERI, E. R. F. e PORFÍRIO, N. T.(2005), “Medição de Tensões no Maciço de Serra da Mesa”, Congresso Brasileiro de Barragens - CBdB, Goiânia, GO.
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