COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENS XXVI SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS GOIÂNIA – GO, 11 A 15 DE ABRIL DE 2005 RESERVADO AO CBDB
MEDIÇÃO DE TENSÕES PELO MÉTODO SFJ NO MACIÇO DA UHE SERRA DA MESA
Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A. Nilvane Teixeira PORFÍRIO Técnico Especializado - FURNAS Centrais Elétricas S.A.
RESUMO Neste trabalho apresentam-se os procedimentos, o roteiro, os critérios de cálculo e os valores obtidos das componentes dos tensores de tensão em pontos diversos de uma seção da galeria de instrumentos do maciço da UHE de Serra da Mesa, medidos pelo método das almofadas de pequena área (SFJ - small flat jack). As operações realizadas são descritas com algum detalhe, indicando-se as que podem influir de modo apreciável na incerteza das medidas realizadas e no cálculo final do tensor. ABSTRACT This paper shows procedures, guideline, criterions for calculations and results obtained for the measured stress tensor components by the small flat jack method applied to several points of a gallery in the massive of Serra da Mesa Hydroelectric Power Plant. The procedures are detailed at some extent, outstanding some one that may have appreciated influence on the performed measures and on the stress tensor calculation.
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1.
INTRODUÇÃO
A partir de alguma galeria aberta num maciço rochoso é possível, em geral, escolher alguns locais onde a rocha, livre dos efeitos indesejáveis de uma escavação a fogo, permita a avaliação do tensor local de tensões. Se o maciço puder ser considerado isotrópico, não menos que dois tensores locais quaisquer seriam necessários para a determinação do tensor in situ nesse maciço, sendo mais prudente a obtenção de pelo menos três [1]. No início da escavação de um túnel longo, por exemplo, tão logo estejamos distantes do emboque, as avaliações dos tensores locais já são recomendadas, numa "seção pioneira"; mas outras avaliações em locais mais distantes do primeiro seriam também desejáveis para aumentar o tamanho da amostra, reforçando desta forma as previsões delas decorrentes. Se o objetivo é a determinação das constantes elásticas do maciço, supostamente anisotrópico – objetivo fundamental do Projeto Hooke, ora em desenvolvimento nos laboratórios de Furnas Centrais Elétricas SA, em Goiânia (GO) - torna-se necessária a adoção de pelo menos seis locais para medição do tensor de tensões e, no caso, também o tensor de deformações (sendo recomendável pelo menos sete deles). Neste trabalho vamos descrever com algum detalhe as várias operações executadas apenas para a medição local de um tensor de tensões e os cuidados adicionais realizados em relação ao modo ordinário de se efetuarem as medidas necessárias. O leitor perceberá facilmente que foi permitida uma grande flexibilidade de inclinação e posicionamento dos painéis nas paredes da galeria, pois estas foram escolhidas de forma que ficassem mais apropriadas e mais fáceis as execuções dos mesmos. 2.
RESUMO DESCRITIVO
Existe matéria descrevendo a UHE de Serra da Mesa e o maciço em que está instalada [2]. Neste maciço à época da escavação foi também escavada uma galeria, então denominada "de instrumentação", com o objetivo de se fazerem estudos e verificações. Os principais dados técnicos sobre a usina, bem como uma perspectiva do seu circuito hidráulico e a posição da galeria de instrumentação, são apresentados na Figura 1. Esta galeria tem cerca da 20 m de comprimento, seção circular de 3,5 m de diâmetro, eixo horizontal, e foi escavada a fogo cuidadoso no granito. A Figura 2 mostra a galeria escavada. Nesta galeria foram preparados, por métodos especiais, dois trechos de seção também circular, de 3,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento cada um, denominados módulos. Para evitar perturbações nas paredes desses módulos, a escavação do miolo foi feita com cordel detonante; no perímetro, antes do fogo, foram executados furos de alívio bastante próximos.
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FIGURA 1 - Perspectiva do Circuito Hidráulico e Dados Gerais da UHE de Serra da Mesa, com a Indicação Aproximada da Posição da Galeria de Instrumentação Uma planta da galeria, sem escala, indicando as posições dos módulos 1 e 2, o eixo horizontal z está indicada na Figura 3.
FIGURA 2 - A galeria de Instrumentação da UHE de Serra da Mesa 3.
FIGURA 3 - Detalhe da Posição da Galeria Frente às Demais Escavações
SISTEMAS DE REFERÊNCIA
Instalemos na seção circular de centro O da galeria um sistema de referência com as seguintes características: origem O, eixo Oz (horizontal, logo ortogonal à seção), de vetor unitário kˆ apontando para o fundo da galeria; eixo Oy vertical, de vetor unitário ˆj apontando para o piso e eixo Ox (horizontal), de unitário ˆi , escolhido de XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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forma que o triedro O-xyz seja positivo (Figura 4). Um ponto qualquer, P, do plano da seção do túnel, pode ser definido pelo ângulo θ que o raio vetor correspondente, OP, define com o eixo Ox; esse ângulo é medido positivamente no sentido antihorário para quem observa a seção do semi-espaço em que se encontra kˆ . A cada valor de θ corresponde, pois, uma geratriz do cilindro representativo do túnel, tendo sido adotadas as indicadas na Figura 4 em função de facilidades em campo. Todas essas geratriz, contidas em planos tangentes ao cilindro, são paralelas ao unitário kˆ .
FIGURA 4 - Sistemas cartesianos de referência e seus vetores de base: {ˆiˆjkˆ } e {rθ ˆ ˆ kˆ } , instalados na galeria. Um fragmento do plano tangente (de cerca de 0,90 m no plano XY por 3,0 m na direção Z) será preparado na parede rochosa próximo ao qual serão efetuadas medições de tensões normais (de compressão) para o cálculo do tensor das tensões "relativo ao ponto P". Consideremos, assim, um ponto P (ao qual corresponde um certo θ) situado cerca de 0,20 m da parede, no interior do maciço (P tem coordenadas polares 1,7m e θ). Consideremos, ainda, um fragmento rochoso de prisma cilíndrico reto de que P é o centro, definido pelas seguintes pares de faces paralelas: a) - fragmentos de superfície cilíndrica (aproximadamente, retângulos do plano tangente à parede da galeria), de 0,4 m de largura, medido no plano da seção, e 3,0 m de comprimento medido da direção OZ; b) - faces "trapezoidais curvilíneas" (praticamente, quadrados de 0,4 m de lado), paralelos ao plano da seção; c) – faces retangulares de 0,4 m por 3,0 m, que se intersectam no eixo da galeria. As variáveis de campo do maciço, em P (tensores de tensão e deformação, por exemplo), são, por hipótese (aproximativa), idênticas às de qualquer outro ponto pertencente ao referido fragmento rochoso. A cada valor de θ corresponde, então, um fragmento rochoso de prisma reto situado no interior de uma casca cilíndrica rochosa de raio interno a=1,5 m e raio externo 1,9 m. Cada fragmento rochoso será referido a um novo sistema de referência, o "referencial do prisma", composto pelos seguintes vetores unitários: kˆ (já definido); rˆ , ortogonal ao plano tangente – logo, pertencente ao plano da seção - de suporte coincidente com OP e sentido de O para P; e, finalmente, por θˆ tal, que o triedro {rˆ , θˆ , kˆ } seja positivo, isto é, θˆ aponta no sentido do crescimento de θ (Figura 4). XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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4.
O MÉTODO DOS MACACOS PLANOS (SMALL FLAT JACK - sfj)
O método dos macacos planos - também conhecido por método SFJ - foi idealizado para a aferição do tensor de tensões de um ponto de um maciço rochoso, geralmente a alguma profundidade, com o uso de equipamentos do tipo serra (para corte de rocha), motores, macacos hidráulicos e operadores; requer, por isso mesmo, acesso por meio de galerias, construídas geralmente com seção circular. Internamente ao fragmento prismático rochoso relativo à geratriz do ponto genérico da seção da galeria, vamos “construir” uma roseta de aparelhos, nas proximidades de P, com a finalidade de medir o “campo local de tensões (em P)”, isto é, o "tensor de tensões, σ, associado ao ponto P”. A roseta é construída tendo como referência a face plana do prisma rochoso, parede da galeria. Sobre esse plano tangente preparamos quatro painéis P1, P2, P3 e P4, dispostos simetricamente em relação ao ponto P, cada painel sendo representado por um retângulo de cerca de 30 cm por 90 cm tal, que o eixo maior faça um ângulo determinado com a geratriz (Figura 5); no caso da Figura 6, para facilidade de sua execução, essa ângulo foi escolhido igual a 0º.
FIGURA 5 - Conjunto de Quatro Painéis de Duas Geratrizes
FIGURA 6 - Um Painel Paralelo ao Plano Tangente, com Eixo Maior Fazendo um Ângulo de 0°com o Eixo da Galeria
No painel P1, por exemplo, fixam-se dois pontos, 1 e 2, materializados por duas pequenas esferas cravadas nas pontas de dois pinos chumbados na rocha, distantes 20 cm um do outro e simetricamente situados sobre a normal ao eixo maior do retângulo (ou, o que é o mesmo, sobre o eixo menor do painel), cuja direção é definida por um vetor unitário nˆ 1 bem determinado. Para se obterem melhores resultados usam-se dois pares de pinos formando um retângulo: 1 e 2 paralelos a 3 e 4 (Figura 5) com 7 cm de comprimento, dos quais 4 cm são chumbados na rocha. Abre-se entre esses pares de pinos, com uma serra apropriada de 60 cm de diâmetro (Figura 7), um rasgo de plano ortogonal ao plano tangente. Verifica-se, com o uso de alongâmetro (Figura 8), que, rapidamente, varia a distância entre as esferas nas cabeças dos pinos, diminuindo quando a rocha está comprimida (o processo em descrição é aplicável somente aos maciços comprimidos).
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FIGURA 7 - Operação de Abertura de um Rasgo na Rocha
FIGURA 8 - Medição da Distância entre Pinos com o Uso de um Alongâmetro Munido de Relógio Comparador Digital
Após a estabilização da variação das distâncias entre os pontos 1-2 e 3-4, vamos introduzir no rasgo uma “almofada” (Figura 9) - uma bolsa metálica fechada, em forma de semicírculo, de espessura ligeiramente menor que a do rasgo - e, para dentro dela, através de um macaco, vamos injetar óleo (Figura 10). Pressionando o óleo para o interior da almofada – caso em que ela funcionará como um macaco plano - conseguimos aplicar, gradualmente, uma tensão normal às paredes do rasgo (uma compressão que, por convenção, é positiva), cujo valor último seja o necessário para que a distância entre os pares de pinos 1-2 e 3-4 reassumam os seus valores iniciais (o que ocorrerá por ser a rocha elástica por hipótese).
FIGURA 9 - Introdução de uma Almofada no Rasgo
FIGURA 10 - Aplicação de Pressão ao Óleo no Interior da Almofada
Esse valor último da tensão aplicada (registrada por um manômetro) será próximo da tensão normal ao plano do rasgo. Essa tensão, após uma pequena correção, especificada pelo fabricante da almofada resultante do processo de calibração, terá um valor final: σn1. Existe alguma incerteza na determinação desse valor final. Escrevemos: σn1= nˆ 1 .σ. nˆ 1 , o tensor σ sendo a incógnita do problema. Repetimos as operações já descritas com um novo painel, P2, contido no mesmo plano tangente, mas ortogonal e próximo ao primeiro (um conjunto desses painéis para duas geratrizes é mostrado na Figura 5). O ângulo do eixo maior desse painel com o unitário kˆ da geratriz, suplementar do ângulo do eixo maior do painel anterior XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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com kˆ , está bem determinado. Da mesma forma estão bem determinados os ângulos do eixo menor do painel com o referido unitário; podemos, pois, determinar um vetor unitário nˆ 2 paralelo ao eixo menor. Abrimos novo rasgo, de plano perpendicular ao plano tangente e ortogonal a nˆ 2 , entre outros novos pontos 1-2 e 3-4 (pinos) neste painel. Ocorrerá outra variação de distância entre esses pontos. A pressurização da almofada introduzida no rasgo permitirá, como anteriormente, determinar o valor da tensão normal relativa, σn2. Escrevemos, então, novas expressões nas quais são desconhecidas apenas a mesma incógnita σ: σ n2 = nˆ 2 .σ.nˆ 2 . Percebe-se facilmente que, havendo espaço (distância) suficiente na direção Oz, poderemos fazer tantas determinações de tensão normal quantas forem possíveis. Tudo se passa, pois, como se tivéssemos realmente construído uma grande "roseta de quatro tensômetros” ou "roseta de quatro almofadas". Devemos observar que, o aumento da quantidade de painéis acarreta um maior afastamento das almofadas em relação ao ponto P. É aceitável, porém, que dois painéis de cada lado do ponto P possam ser considerados como se fossem ambos "relativos ao ponto P". As mesmas operações realizadas sobre o painel da geratriz do ponto P (ou geratriz P) podem ser executadas sobre painéis que possam ser preparados para as geratrizes de outros pontos. Escolhemos, por facilidade de medições em campo, as geratrizes P = 1, P = 2, ..., P = 8, já indicadas na Figura 4, definidas pelos ângulos θP indicados na segunda coluna do Tabela 1. Os painéis P1 e P2 são ortogonais entre si, bem como P3 e P4. O painel P4 de qualquer geratriz é o que se situa mais próximo do fundo da galeria; P1 é o que está mais próximo da entrada. A inclinação da normal ao plano do rasgo do painel Pj, ângulo do unitário nˆ j com o unitário kˆ (para a geratriz Pj) é representado por ϕpj; seus valores estão indicados nas colunas 3 a 6 da Tabela I. As tensões normais (de compressão), σnj, existentes na rocha e relativas às direções definidas pelos nˆ j , estão listadas nas colunas 7, 8, 10 e 11 da Tabela I. Como os elementos da diagonal principal de um tensor de tensões são tensões normais e a soma delas é um invariante, resulta que σn1+σn2 deveria ser igual a σn3+σn4. As incertezas envolvidas nas medições acarretam diferença (|∆0|) entre essas somas, indicadas nas colunas 9 e 12 do Tabela 1, para cada geratriz. Essas diferenças, entretanto, podem ser distribuídas entre as medidas realizadas, de forma proporcional à medida, para que os invariantes se igualem (última coluna). Esses novos valores das medidas (agora ajustadas) estão apresentados nas colunas 15 a 18 do Tabela 1. Existe, entretanto, o critério dos mínimos quadrados que também poderia ser aplicado. Podemos, agora, processar as medidas das tensões normais em cada painel de cada geratriz, para calcular o tensor correspondente. Por falta de espaço, não serão deduzidas, aqui, as condições a que devem satisfazer as posições relativas dos aparelhos para que o problema tenha solução sempre. De imediato podemos observar que dois rasgos quaisquer não devem ser paralelos porque, para estes, as tensões normais seriam iguais (no mínimo, com muita aproximação) e as equações correspondentes não seriam independentes. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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TABELA 1 - Correção do 1° Invariante Medições Ajustadas - Tensões em MPa×10 XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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5.
CONTROLE DA EXECUÇÃO DOS PAINÉIS
Uma única visita de uma equipe pequena de topografia ao local de realização das medidas permite resolver dois problemas fundamentais: 1) - a marcação de dois pontos de cada geratriz, diretamente na parede rochosa; 2) - a marcação de dois pontos: A e B, no teto da galeria, pertencentes a uma paralela ao eixo da mesma. Desprezamos quaisquer erros relativos a essas operações. Consideremos, então, dois pontos quaisquer de uma geratriz, R e S, situados nas vizinhanças externas ao módulo, mas tais, que A e R pertençam a uma mesma seção transversal S1, e B e S a uma mesma seção transversal S2. Por cada ponto executaremos um pequeno furo, de eixo contido no plano da seção a que pertence o ponto, para alojar um chumbador saliente (de madeira, por exemplo). Por estes chumbadores conduziremos uma linha esticada horizontal, certamente ainda não paralela à geratriz. Com dois fios de prumo (prumo de pedreiro), pendentes de A e B, de comprimento adequado, poderemos medir, com trena comum, suas distâncias à linha já esticada que simula a posição da geratriz. Havendo discordância entre essas as referidas medidas, procurar-se-á uma nova posição para a linha horizontal que, com a melhor aproximação possível, torne essa horizontal paralela ao eixo da galeria. Esta operação dará ao encarregado dos serviços uma noção do quanto se deverá escavar em rocha para a preparação de cada painel (todos devendo ser escavados aproximadamente paralelos ao plano tangente). Materializada, então, com boa aproximação, a geratriz na parede rochosa, passa-se ao estudo da melhor posição dos quatro painéis, e sua preparação por escavação com marteletes de pequeno porte. A vivência do encarregado, aliada a alguma sabedoria, permitirá a fixação da melhor inclinação que se deva dar aos pares de painéis ortogonais de forma a diminuir a quantidade de escavação. A experiência do marteleteiro também auxiliará no sentido de evitar-se escavação excessiva. Finda uma primeira etapa desse trabalho, executado à vista desarmada, passa-se ao seu controle com a finalidade de se detectarem eventuais empenamentos do plano preparado (caso em que o plano não é um plano) e sua inclinação em relação à horizontal (por ainda não ser paralelo ao plano tangente). O empenamento é facilmente detectado com réguas apoiadas sobre o painel. Para o controle da inclinação usamos a reta (horizontal) desse plano coincidente (ou paralela) com a geratriz da galeria (já materializada na parede). Determina-se, agora, com um goniômetro, com a precisão de um grau, o ângulo que a normal ao pretendido plano do painel faz com uma horizontal que seja ortogonal à geratriz; ou, o que é o mesmo, o ângulo dessa horizontal com uma reta de maior declive do plano (complemento do anterior). Para tal, com o auxílio de um nível de pedreiro, dispõese uma das arestas de um goniômetro num plano paralelo ao plano da seção - caso em que a aresta será uma reta de maior declive do plano – e, com o auxílio do mesmo nível, tornando horizontal a aresta do goniômetro antes ortogonal ao plano, efetua-se a medida, θ'. Esse ângulo θ' deverá ser igual ao ângulo θ (ou seu complemento) para a geratriz 1, suplementar de θ (ou o que excede de 90°) para as geratrizes 2, 3, 4, 5 e 6; etc. Estando medido esse ângulo, θ', ainda distante do valor pretendido, dá-se continuidade à operação de demolição da rocha, agora uma escavação mais cuidadosa. Arrancados os excessos de rocha aqui e acolá num painel, e estando θ' próximo do valor pretendido, passa-se ao revestimento desse painel com uma fina camada de argamassa que o livrará das pequenas imperfeições imputadas pela natureza do serviço, tornando-o ainda mais plano. Repetem-se as XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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operações de medição das inclinações atrás referidas segundo três linhas quaisquer de maior declive desse plano: A, B e C, aproximadamente eqüidistantes e tão espaçadas quanto possível. Esses resultados estão apresentados no Tabela 2. GERATRIZ P 1 2 3 4 5 6 7 8
Ângulo
PAINEL P1 θ' (A) θ' (B) θ' (C)
o
o
o
θ' (A)
P2 θ' (B)
θ' (C)
o
o
o
o
θ = 22 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67 30' α
50 88 o
θ = 135
o
45
α
o
45
o
45
45
93o
θ = 210o
o
120
120o
90o
o
θ = 236
o
147
120o
120o
o
o
146
o
150
α θ = 334o30' 116o α
120o o
146 30' 146 30' 146 30'
45
150o
120o
150o
o
o
o
67 30'
91o
121o
120o
165 23o
22o30' 22o30'
o
45
91o 119o30'
147
o
o
146 30' 146 30'
45
o
45
150o
125o
150o 116o
45o
40 91o
90o
89o30'
90o
70o 119o
120o
119o30' 119o30' 45o
o
146
o
o
146 30' 146 30'
o
146
5o 150o
150o
145o 116o
45o o
95o 150o
23o
32 o
135o o
θ' (C)
67 30' 67 30' 67 30' 67o30'
160o
116o30' 116o30' 116o30'
35o
o
130 90o
30o 116o
P4 θ' (B)
o
20o
150o 150o30' 116o
45
o
25o
110o
α θ = 301o
o
90o
θ' (A)
122 o
100o
115o
α
45 30'
θ' (C)
75
60 93o
10o
α
o
P3 θ' (B)
22o30' 22o30' 22o30'
o
150 o 92 30'
68
178
o o
θ = 180o
o
140
θ = 112o30' 22o30' 22o30' 22o30' 22o30' 22o30' α
67 30'
θ' (A)
150o
150o
55o 116o30'
116o
100o
116o
116o
10o
TABELA 2 - Medições das Inclinações: dos Painéis (θ') e dos Eixos Maiores (α) 6.
O CÁLCULO DO TENSOR DAS TENSÕES
Vejamos, então, como calcular o tensor de tensões relativo a uma geratriz qualquer a partir de uma lista de medidas de tensões normais segundo dois pares de direções ortogonais, com tensões normais já ajustadas pela distribuição das diferenças no primeiro invariante (dados da Tabela 1). Vamos nos referir ao unitário relativo ao painel Pq (para q = 1, 2, 3, 4) da geratriz P (para P = 1, 2, ..., 8) pela notação nˆ pq . Em relação ao referencial do prisma (item 3) tal unitário é escrito na forma
nˆ pq = sen ϕ pq θˆ + cos ϕ pq kˆ ,
(1).
O tensor de tensões relativo à geratriz P é um tensor planar porque é nulo o vetor tensão relativo à face da galeria (que é ortogonal ao unitário rˆ ). Vamos representar as suas componentes na forma da matriz coluna {σp}rθk=[σθ σk σθk]T. O vetor (1) pode ser escrito também na forma matricial [senϕpq cosϕpq]. Assim, o valor da tensão normal σpq sobre um elemento plano ortogonal ao vetor unitário nˆ pq pode ser escrito na forma
[
σ pq = sen ϕ pq
]
σ cos ϕ pq . θ σ θk
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σ θk sen ϕ pq . , σ k cos ϕ pq 10
ou, operando, na forma
σ pq = sen 2 ϕ pq σ θ + cos 2 ϕ pq σ k + sen 2ϕ pq σ θk . Para q = 1, 2, 3, 4 as quatro equações acima podem ser escrito de uma só vez na forma matricial seguinte: {σ pq } = [ N ( ϕ pq )].{σ p } ,
(2),
em que
σ p1 σ p2 {σ pq } = , σp3 σ p 4
sen 2 ϕ p1 2 sen ϕ [ N ( ϕ pq )] = 2 p 2 sen ϕ p 3 sen 2 ϕ p 4
cos 2 ϕ p1 cos 2 ϕ p 2 cos 2 ϕ p 3 cos 2 ϕ p 4
sen 2ϕ p1 sen 2ϕ p 2 sen 2ϕ p 3 sen 2ϕ p 4
σθ e {σ p } = σ k , σ θk
(3).
De (2) podemos deduzir facilmente:
{σ p } = [ A ( ϕ pq )].[ N ( ϕ pq )]T .{σ pq } ,
(4),
onde
[ A ( ϕ pq )] = ([ N ( ϕ pq )]T .[ N ( ϕ pq )]) −1 ,
(5).
A inversão de NT.N será sempre possível desde que as posições das almofadas satisfaçam as condições referidas no final do item 4. Com a aplicação sistemática de (4) a todas as geratrizes escolhidas, geramos a segunda coluna da Tabela 3 de resultados com tensões na seqüência σθ, σk, σθk. A mudança do sistema de coordenadas do prisma para o sistema local acarreta nova expressão para os tensores; estas estão apresentadas na terceira coluna da Tabela 3, com tensões na seqüência σx, σy, σz, σyz, σzx, σxy. Geratriz P
Referencial {rˆ θˆ kˆ } ligado ao prisma
Referencial {ˆiˆjkˆ } ligado à galeria
[ 38,34 26,42 −25,47 ] [ 5,61 32,73 26,42 −23,53 9,75 −13,56] 1 [334,11 60,95 28,27 ] [285,18 48,93 60,95 −10,82 −26,12 118,13] 2 [215,93 78,82 2,96] [107,97 107,97 78,82 − 2,10 − 2,10 107,97 ] 3 [ 3,58 51,66 − 1,73] [ 0 3,58 51,66 1,73 0 0] 4 [ - 0,33 46,04 4,58] [−0,08 −0,24 46,04 −3,96 2,29 0,14] 5 [ 97,36 67,80 −19,08] [66,92 30,44 67,80 10,67 −15,82 −45,14] 6 [476,24 152,61 −41,65] [349,91 126,33 152,61 −21,45 −35,71 210,25] 7 [188,84 70,27 −20,86] [35,00 153,84 70,27 −18,83 −8,98 73,38] 8 TABELA 3 - Matrizes Associadas aos Tensores de Tensão (Tensões em MPa×10)
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Pode ser demonstrado que (4) é o resultado da aplicação do método dos mínimos quadrados para um ajuste da coluna {σp} aos dados, ajuste este que deverá tornar a soma dos quadrados dos erros a menor possível. Esse ajuste pode ser interpretado geometricamente. A tensão normal teoricamente verdadeira, relativamente à direção genérica nˆ , é dada por σ n = nˆ .σ.nˆ , em que σ é o tensor de tensões teoricamente verdadeiro. Se não existissem erros nas medições relativas a cada direção nˆ no plano do tensor, o ponto Qn, extremidade do vetor nˆ / | σ n | de origem P, pertenceria à cônica centrada (no caso, uma elipse)
1=
nˆ nˆ .σ. , | σn | | σn |
(6),
equação esta que provem por evidência de σ n = nˆ .σ.nˆ . Havendo certamente desvios entre os valores teóricos e os medidos, os valores medidos, Tn, serão, então, os teóricos, acompanhados de um erro “en” que, a priori, não é possível avaliar. Escrevemos: σn = Tn − e n . Nesse caso, o ponto Q'n, extremidade do vetor nˆ / Tn (marcado sobre o suporte de nˆ ),
1=
apresenta-se bem próximo da elipse
nˆ | Tn |
.σ p .
nˆ | Τn |
,
(7),
que, por sua vez, é quase coincidente com a elipse (6). A elipse (7), ajustada a um conjunto de pontos Q'n, obtidos para diferentes vetores unitários nˆ e correspondentes Tn, pelo método dos mínimos quadrados, é tal que aproxima ao máximo os pontos Q'n da elipse ideal (6). 7.
ESTATÍSTICA DOS TENSORES MEDIDOS
Três medidas de tensão normal bastariam para a determinação do tensor das tensões. Nesse caso, a elipse (7) estaria perfeitamente ajustada aos dados (pois seria determinada certamente), mas poderia estar relativamente afastada da elipse ideal (6). Havendo incerteza nas medidas, três medidas apenas não retratariam adequadamente o tensor mais próximo do ideal. Quanto maior a quantidade de medidas, maior a diluição das incertezas. Assim, para quatro medidas, ocorrerá um ajuste imperfeito, e o tensor das tensões poderá ser expresso por uma media (resultante do ajuste) acompanhada de um desvio padrão. A variância do erro cometido, em (MPa×10)2, isto é, a soma dos quadrados dos erros, é dada por:
(s p ) 2 = ({σ pq } − [ N(ϕ pq ) ].{σ p }) T .({σ pq } − [ N(ϕ pq ) ].{σ p }) . Verifica-se que essa variância, para o tensor da geratriz 1, é de 10-4 (MPa×10)2. O tensor de variância/covariância do tensor {σ1} é dada por (s1 ) 2 ([ N(ϕ1q ) ]T .[ N(ϕ1q ) ]) −1 , XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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os elementos de sua diagonal principal sendo as próprias variâncias de {σ1} . Encontra-se:
{s 2 σ1 } = 10 −4 [1, 289
0,665]T ,
1, 289
e para desvio padrão (em MPa×10) o tensor
{δ σ } = [0,0113 1
0,0113
0,000815]T .
Lembrando que {σ1} é dado no Tabela 3, sendo, este
{σ1 } = [ 38,34
26, 42
− 25, 47 ],
os coeficientes de variação são: {0,03% 0,04% 0,03%}. Os valores dos coeficientes de variação permitem concluir que os valores calculados são muito bem ajustados (as variações são muito pequenas). 8.
INCERTEZAS
Não obstante serem pequenos os desvios padrões determinados no item anterior, é necessário levar-se em consideração a incerteza associada às medidas. Os fatores mais importantes a considerar são: 1) - alguma variação prescrita pelo fabricante da almofada para o cálculo da tensão normal final, para cada almofada; 2) - erro (possivelmente de até 1°) no paralelismo da geratriz, concretizada na parede, com o eixo horizontal da galeria; 3) - erro (possivelmente de até 1°) na inclinação θ, do painel com a horizontal, medida pela média dos θ' indicados no Tabela 3; 4) - erro (possivelmente de até 1°) na inclinação α do eixo maior do painel com o eixo kˆ e, portanto, de igual erro nos ângulos ϕpq. Não existe, ainda, um critério, com base científica, para a estimação da incerteza associada à medida de uma tensão normal pelo método SFJ, embora alguma tentativa já esteja em andamento [3]. Como a tensão calculada é uma função linear das tensões normais medidas, não será difícil associar uma incerteza à primeira, decorrente das incertezas destas. Por (4) poder-se-á também estimar a incerteza do tensor devida à incerteza dos ϕpq. 9.
AGRADECIMENTOS
Toda gratidão a Furnas Centrais Elétricas SA pelo patrocínio dos trabalhos. Agradecimentos à equipe de Mecânica de Rochas dos laboratórios de Furnas, situados em Goiânia GO, pelas facilidades proporcionadas, presteza e dedicação a essas delicadas medições. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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10.
PALAVRAS-CHAVE
Medição de Tensões, Maciços Rochosos, Almofadas. 11.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]
RUGGERI, E. R. F., (2005) - “Tensões in Situ, em Estado Triplo”, Congresso Brasileiro de Barragens - CBdB, Goiânia, GO.
[2]
MELLO FRANCO, J. A de, e BATISTA DOS SANTOS, L. A. C., (1994) – “O Tensor de Tensões Virgens de Serra da Mesa: sua Determinação pelo Ensaio de Fraturamento Hidráulico, Solos e Rochas”, São Paulo, 17, (3):167-180.
[3]
RUGGERI, R. R. F., (2005) - “Uma Tentativa de Cálculo da Incerteza do Tensor de Tensões Medido pelo Método das Almofadas”, Congresso Brasileiro de Barragens - CBdB, Goiânia, GO.
XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens
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