ESTIMATIVA DA ORIENTAÇÃO DO PLANO INCLINADO DA FRATURA NO ENSAIO DE FRATURAMENTO HIDRÁULICO Elysio R. F. Ruggeri† João Luiz Armelin† RESUMO. O ensaio denominado “fraturamento hidráulico” é bastante conhecido em Mecânica de Rochas, tendo sua utilidade na determinação de tensões in situ nos maciços rochosos. Muitas são as incertezas envolvidas no mesmo, algumas das quais minoradas por uma equipe bem treinada. Outras devem ser minoradas por um tratamento estatístico adequado dos dados já filtrados pela preciosa intervenção de um analista experiente. O presente artigo expõe didática e minuciosamente toda a formulação estatística para o cálculo da inclinação da fratura produzida. Embora o assunto já tenha sido apresentado no passado por distintos autores, algumas dificuldades surgiram quando da aplicação objetiva do receituário disponível. Este trabalho surgiu depois de alguns fracassos ocorridos por aplicação pura e simples das receitas, e parece ter algo de original, pois os resultados aqui deduzidos diferem ligeiramente dos mencionados. Palavras chave: fraturamento hidráulico, regressão não linear. Abstract:
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Laboratório de Mecânica de Rochas, FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS SA, Goiânia (GO), Brasil. Email: ruggeri@furnas.com.br, armelin@furnas.com.br
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SISTEMAS DE REFERÊNCIA Para o entendimento do texto, supõe-se conhecido o método do fraturamento hidráulico cuja descrição e detalhes podem ser apreciados em trabalhos de diferentes autores ([1], [2]). Em campo é escolhido um sistema de eixos cartesianos ortogonais tendo Z 0 por vertical ascendente, coincidente com o eixo do furo, logo com eixos arbitrários X 0 e Y0 no plano horizontal. Idealmente a interseção do plano da fratura com a parede do furo (circular) é uma elipse (E) cujo centro O1 pertence ao eixo Z0 e cujo eixo maior AA’, disposto de alguma maneira num plano vertical, tem, por convenção, o vértice A’ em maior profundidade. No plano de (E) instalam-se os eixos cartesianos ortogonais O1-x’y’, o eixo O1y’ tendo o sentido de O1A, o sentido de O1x’ podendo ser fixado arbitrariamente. Seja o plano horizontal, conduzido por A’ e que contém a circunferência (C), seção reta do furo, de centro O2 e diâmetro D=2r (igual ao do furo). Se O é a projeção de A sobre , A’O é diâmetro de (C). Seja o plano da superfície lateral desenvolvida do testemunho cilíndrico, obtido praticando-se um corte segundo a geratriz relativa a A’. Em instala-se um terceiro sistema de coordenadas com os seguintes eixos: OX, horizontal, sobre o qual podem ser marcados os pontos de abscissa +r e -r, simétricos evidentemente em relação a O; e OZ, vertical (logo coincidente com uma geratriz do cilindro), de sentido positivo ascendente (Figura 1).
Figura 1 – O furo e os sistemas de eixos cartesianos ortogonais adotados no estudo. EQUAÇÃO DA CURVA EQUIVALENTE DA ELIPSE-TRAÇO DA FRATURA. A elipse (E), na superfície lateral desenvolvida do cilindro, é uma curva de comprimento finito (Figura 1), cuja equação quer-se determinar em relação aos eixos O-XZ.
Figura 2 - A elipse (E) da superfície lateral do cilindro testemunho é a curva representada (para D=76,2mm e AA’=161,32mm) quando se planifica a referida superfície. Denote-se por 2H a projeção de A’A sobre OZ e por o ângulo diedro do plano da fratura com o plano horizontal (Figura 1). Considere-se, agora, a Figura 3. Seja P o ponto genérico de (E) que se
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projeta em P’ sobre . O plano () definido por P e pelo eixo do furo faz um ângulo com o plano (), e contém PP’. Por PP’ conduz-se o plano (’), paralelo a (), que intercepta O2x’ em R’. Seja, finalmente, R o ponto da vertical de R’ tal, que R’R=O 2O1. O segmento RP é paralelo ao diâmetro A’A de (E) e constitui a ordenada y’ de P em relação ao referencial x’O 1y’; o segmento O1R é a abscissa x’ de P.
Figura 3 - A figura apresenta, em perspectiva aproximada: os sistemas de referência adotados, o ponto genérico P de (E) e suas coordenadas em relação a x’O y’. Notando-se que, na Figura 1, X – abscissa de P em relação a XOZ - é o comprimento do arco OP’ da circunferência do plano apresentada na Figura 3, e denotando-se por a o semi-eixo maior de (E), deduzem-se facilmente as seguintes igualdades (para em radianos):
X r P Z P' P Q' Q (a y )sen . A projeção de PR sobre () dá: P' R' y cos ; e do triângulo O2P’R’ obtém-se: P' R' r cos . Logo: P' R' y cos r cos . Assim, as equações paramétricas da curva são:
X r P , cos Z (a r cos )sen
(01).
Sendo tg H/r resulta, finalmente,
X r P , 2 Z H(1 cos ) 2H cos 2
(02).
A equação cartesiana correspondente é:
Z 2Hcos 2 ( X ) , 2r
(03).
O problema estaria teoricamente resolvido por (03) se fosse possível cortar o papel pela geratriz do ponto A’.
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NOVO CORTE DO CILINDRO E MUDANÇA DE EIXOS Para atender necessidades da prática, o corte da superfície lateral do cilindro deverá ser feito pela geratriz – dita geratriz de montagem - relativa ao ponto D da circunferência seção do furo (plano ()), ponto este definido pelo ângulo (dip direction) que o eixo O2X0 (adotado em campo) faz com o eixo O2OO2X (Figura 3). Esta condição não muda as equações (02) e (03) se forem mantidos os eixos; mudase apenas o intervalo de variação de . Ocorrerá, então, que o arco da co-senóide quadrada cujos pontos tenham abscissa X positiva, terá um comprimento menor, sua extremidade W tendo abscissa X=r (Figura 4). Os demais pontos terão abscissa negativa e a extremidade esquerda V da curva, abscissa X=– r(2-). A Figura 4 ilustra esta situação hipotética para =-120=-2/3 rad, caso em que a abscissa de W é 79,8 mm.
Figura 4 - Quando o corte da superfície lateral do testemunho cilíndrico é feito pelo ponto D em que o eixo OX0 (adotado em campo) corta a circunferência seção do plano , a co-senóide quadrada assume a forma indicada, sendo r a abscissa de W e –r(2-) a do ponto V.
Os pontos V e W (coincidentes no espaço) pertencem certamente às bordas do papel de impressão planificado, mas podem não estar nítidos nesse papel. Os pontos A e A’ podem também não estar nítidos; além disso, não pertencem necessariamente às outras bordas do papel. Devemos, então, adotar como eixo z uma das bordas verticais do papel e estimar a posição do eixo horizontal Ox (Figura 4) que tangencie a curva. Isto significa que as novas ordenadas dos pontos da curva são z=Z+T Z porque o eixo X sofreu a translação desconhecida TZ (eventualmente muito pequena) e x=X+r(2-) porque Z sofreu a translação também desconhecida TX=r(2-). A Figura 4 exemplifica a translação dos eixos para T X=159,59mm (pois fora fixado o valor -2/3 rad para o desconhecido ). Logo, a nova equação da curva é:
z TZ 2Hcos 2 (-π δ x ) . 2 2r Simplificando no último membro e depois aplicando fórmula trigonométrica clássica tem-se:
z TZ 2Hcos 2 ( δ x ) , ou z TZ H[1 cos( x )] 2 2r r
(04).
A segunda das formas (04) de equação é algo parecida com as apresentadas na literatura técnica da Mecânica de Rochas [2], mas não é exatamente a mesma coisa. Usa-se aqui apenas a primeira das equações (04). Na prática, o traço da fratura aparece no papel de impressão como porções de uma mesma linha sinuosa, mas certamente situadas nas “proximidades” da teórica co-senóide quadrada (ainda invisível).
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Torna-se, pois, necessário procurar meios que permitam ajustar, da melhor forma possível, pela adoção de critérios convincentes, uma co-senóide quadrada às diversas porções de traço registradas. A solução do problema pode ser agravada pela eventual falta de informações adequadas: poucos pontos em cada porção do traço, e o desconhecimento dos pontos A, A’, V e W no papel. Poucos dados acarretam insegurança e maior incerteza quanto à posição do plano no espaço. Mas havendo generosa quantidade de pontos existirá menor incerteza e a solução analítica do problema por qualquer método aproximado é plenamente satisfatória do ponto de vista prático. REGRESSÃO NÃO LINEAR PARA A DETERMINAÇÃO DA CURVA O caminho aqui adotado para uma estimativa de H e é o da regressão não linear sobre a equação (04) pelo método dos mínimos quadrados de erros. Para certo T Z arbitrado são dados, então, em relação ao sistema xOz, N pontos Pi(xi,zi) que, por hipótese, devem satisfazer a referida equação. Os x i, embora medidos, são considerados “certos”, mas os zi são obtidos (por medição) do traço (incerto) da fratura deixado no papel registrador. As estimativas H* e * (de H e ) devem tornar mínima a função soma de quadrados de erros, N
2 [z i z(H*, *)] , ou seja a função de H* e *:
i 1
N N xi 2 2 2 [z i z(H , )] [z i TZ 2H cos ( )] . 2 2r i 1 i 1
Deve-se, pois, derivar esta função em relação a H* e a * e igualar cada derivada a zero. Obtém-se um sistema de duas equações transcendentes que se vai resolver graficamente. Os valores solução podem ser aproximados, tendo suficiente exatidão frente à natureza do problema. Encontram-se as igualdades:
H
(z i TZ )(1 cos( [1 cos(
xi 2 )] r
xi ) r
(z i TZ )sen( sen(
xi ) r
xi x )(1 cos( i ) r r
(05),
que devem ser verificadas simultaneamente. É possível encontrar os valores de H* e * por métodos gráficos, com o uso de algum software adequado, não sem alguma dificuldade. APRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS EIXOS E DA CURVA. Estimados H* e * para o TZ arbitrado, traça-se, então, a co-senóide quadrada, utilizando-se a primeira das equações (04), fazendo com que 0x2r para que o ponto P descreva toda a elipse (Figura 3). Na curva traçada, os pontos A, A’, V e W estarão agora bem determinados. V e W pertencerão às margens do papel necessariamente e terão a mesma ordenada 2Hcos2/2. A co-senóide poderá cortar ou não o eixo x do sistema fixado (tudo dependendo do valor adotado para T Z). Em qualquer caso poder-se-á fazer graficamente uma nova translação adequada, de valor T’Z , para que o eixo x agora tangencie a cosenóide traçada. Em relação a esse novo eixo x (para o qual T Z=0) as medidas zi iniciais deverão ser alteradas e com as novas medidas dos pares (xi,zi) far-se-á nova regressão (com TZ=0) para se obterem os valores finais para H e . Se A (ou A’) estiver bem determinado no papel, uma única regressão resolverá o problema proposto porque se poderá considerar T z=0. CÁLCULO DA INCLINAÇÃO DO PLANO DA FRATURA EM RELAÇÃO AO SISTEMA DE REFERÊNCIA ADOTADO EM CAMPO Para a estimativa de H e obtida pode-se calcular imediatamente a inclinação do plano da fratura sobre o plano horizontal – dita mergulho (dip) do plano da fratura – pois tg H/r . O vetor uˆ , ortogonal ao plano da fratura - aplicado, digamos, no centro O1 da elipse (Figuras 1 e 3) projetado sobre o plano horizontal, tem a mesma direção que o eixo OX. Este eixo faz o ângulo com o eixo X0. O ângulo é, pois, uma estimativa do azimute (dip direction) da normal em relação a X 0. No caso da Figura 3 o azimute seria o replemento de , isto é, 2-.
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ERRO PADRÃO E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO É válido o cálculo do desvio padrão da estimativa feita de z para x, pela mesma fórmula utilizada na regressão linear [3], ou seja, s
(z i z) N
2
, mas o z deve ser calculado por (04) para T Z=0.
Se z for a média dos zi, então o coeficiente de correlação, r, é
r
(z z)
2
(0r1),
2 (z i z)
(07).
Nota: Se sz for o desvio padrão das medidas zi, isto é,
sz
(z i z) N
2
2 , então poder-se-á também calcular r pela fórmula r 1 s 2 sz
AGRADECIMENTOS Gratidão a FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS SA por possibilitar os estudos e a divulgação dos resultados. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1]-ARMELIN, J. L., (2007) - Relatório DCT.C.MR.004.2007-R0 - FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A. - AHE Simplício - Determinação do estado de tensões in situ pelo método do fraturamento hidráulico (não publicado). [2] – LEE, M. Y., Haimson, B. C., (1989) – Statistical evaluation of hydraulic fracturing stress measurement parameters, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. Vol. 26, No. 6, pp.447-456, Great Britain. [3] – SPIEGEL, M. R. (1971) - Estatítica, Coleção Schaum, McGraw Hill do Brasil, página 404.