Lições tomo i vol i 28 mar 2013 com remissivo revisto by Elysio Ruggeri

LIÇÕES DE

CÁLCULO POLIÁDICO TOMO I - ÁLGEBRA VOLUME I

por

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto Furnas Centrais Elétricas SA Centro Tecnológico de Engenharia Civil – DCT.C

Goiânia (GO) – Brasil 2008

Poliádicos - Ruggeri

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo. Lições de cálculo poliádico : tomo I, volume I, álgebra / Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed. do Autor, 2008. XX, 444 p. ISBN 978-85-907001-0-4 1. Análise tensorial. 2. Leis físicas lineares. 3. Matemática aplicada. I. Título.

CDU 514.742

Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada página da reprodução.

Contato com o autor: elysio.ruggeri@gmail.com

III

À minha amada esposa, principal vítima da minha paixão descomedida, Leila Maria; e aos nossos resignados filhos (e meus netos), Heloísa (Eiki, Kaito, Naoki), Renê, Elysio (Lucas e Paula), Marisa (João Antônio e João Luis), Fabiano, Carolina (Eduarda), Galileo, Carla e Viviane, com algum remorso pelos sacrifícios impostos.

À ESCOLA DE MINAS DE OURO PRETO ...

onde, em 1876, floresceu a engenharia mineral nas Minas Gerais e no Brasil; outrora a mais brilhante estrela na flâmula nacional da minha imaginação; cujo "Anexo", saudoso, foi o credor do meu despertar consciente pela ciência; cuja severa e eficaz filosofia de ensino, herdada da escola francesa de Gorceix e sustentada pela vontade de D. Pedro II, desvanecendo-se paulatinamente, sucumbiu ingenuamente aos 93 anos.

Ao entusiasta, dinâmico e companheiro incomparável, Prof. Dr. Walter José von Krüger (in memorian) com admiração, respeito e gratidão pelo apoio incondicional na empreitada desse meu trabalho idealista.

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GRATIDÃO

Ao meu ex-professor e amigo Dr. Antônio Moreira Calaes (in memorian), Professor Emérito da UFOP, pelo incentivo e pela ajuda financeira no desenvolvimento desta primeira fase do Projeto Poliádico, iniciado em abril de 1992. Ao Prof. Dr. Jerzy Tadeuz Sielawa (ITA, INPE, EFEI), pelas oportunidades que tivemos para troca de opiniões e informações relativas às aplicações do Cálculo Diádico. Aos professores do Departamento de Geologia da UFOP: Dr. Antônio Gomes de Araújo, Dr. Fernando Flecha de Alkimim e Dr. Issamu Endo pelo apoio concedido quando do início dos trabalhos de edição desse texto (durante o ano de 1992) através do Laboratório de Computação Científica desse Departamento. Aos meus colaboradores diretos nos primórdios dessa edição, universitário Elysio G. Ruggeri e Eng. Renê G. Ruggeri, pelas inúmeras ajudas concedidas. Aos empresários, presidentes e/ou diretores que, sem exigirem retorno ou contrapartida para as suas empresas, simplesmente doaram o essencial em prol do ensino da engenharia e da geração de conhecimento científico ... para o bem comum. Por tanta generosidade e para que sejam sempre lembradas, deixo aqui registrados os nomes das seguintes empresas: SAMITRI - Sociedade Anônima de Minerações Trindade, SAMARCO Mineração S. A., MBR - Minerações Brasileiras Reunidas S. A., Mineração MORRO VELHO S. A., CBMM - Companhia Brasileira de Mineração e Metalurgia, CST - Cia. Siderúrgica de Tubarão, MAGNESITA S. A., ACESITA - Aços Especiais Itabira S. A., Grupo PARANAPANEMA e USIMINAS – Usinas Siderúrgicas de Minas Gerais S. A.. À FUNDAÇÃO GORCEIX - interveniente neste trabalho entre os anos 1992 e 2000 - na pessoa do seu Conselheiro-Diretor e ex-professor catedrático da antiga ESCOLA DE MINAS de OURO PRETO, Dr. Walter José von Krüger. Ao CENTRO TECNOLÓGICO DE ENGENHARIA CIVIL de FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A. pela acolhida generosa à minha causa (desde março de 2001), por ter propiciado a continuidade da redação desta obra (que se desenvolve desde abril de 1992), por ter aberto espaço para pesquisas experimentais em seus conceituados laboratórios e por procurar viabilizar aplicações de matérias deste Tomo I ao campo prático da engenharia.

Goiânia, novembro de 2008.

E. Ruggeri

APRESENTAÇÃO O Autor desta obra magnífica e pioneira em termos dos avanços da Matemática Aplicada, - o Engenheiro e Ex-Professor Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri - foi distinto ex-aluno e proficiente auxiliar meu nas múltiplas atividades da Cátedra de que fui titular Geometria Analítica e disciplinas afins (Cálculo Vetorial - Cálculo Matricial - Geometria Descritiva - Geometria Projetiva e Nomografia); e ainda, quando Estudante, nos idos de 1970, colaborou destacadamente na organização e instalação do C.P.D. da Escola de Minas de Ouro Preto, iniciativa de minha autoria. Mas prestou, também, eficiente e valiosa colaboração naquela mesma Escola (onde havia se formado recentemente), nas atividades pertinentes de outras Cátedras, v. g. Física, Resistência dos Materiais, Teoria de Estruturas etc. Entretanto, seus pesados encargos familiares e injustos embaraços burocráticos (estes mais onerosos com a criação da UFOP) tornaram impraticável, lamentavelmente, sua permanência no quadro de docentes da Escola de Minas de Ouro Preto. Eis que, então, o autor torna-se um engenheiro da construção pesada e desempenha esta função por vários anos. Alem de construtor de estradas de rodagem e metrôs, foi, em especial, um construtor de barragens; intitulava-se, parece-me que com certo orgulho, um "barrageiro". A atual publicação desta obra, de tão importante valia técno-científica, é fiel testemunho do quanto poderia o seu ilustre Autor ter proporcionado à renomada E.M.O.P., em termos do enriquecimento didático-científico de suas atividades. Ademais há que se ressaltar a clareza, metodicidade e objetividade com que o Autor soube ater-se na relação dos tópicos pertinentes dessa obra. Obra tão meritória, oxalá produza frutos ubérrimos na Literatura Científica Brasileira. E ao seu autor uma consagração, ainda que tardia! ...

Belo Horizonte (MG), agosto de 2005.

Antônio Moreira Calaes Professor Emérito Universidade Federal de Ouro Preto

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PREFÁCIO Algum filósofo já disse que toda matemática que explica não é integralmente verdadeira, pois tem um fundo de inverdade. Portanto, essa nossa matemática pode ser profana, embora pareça que, tendo-a como ponto de partida, comecemos a perceber intuitivamente, mas ainda bem de longe e um pouco difusamente, alguns aspectos do sublime maravilhoso, do inexplicável. Tão profana deve ser essa nossa matemática que, com ela, somos suficientemente francos para nos declarar, de forma algo arrogante e pouco habilidosa, um cientista empírico-analista. Essa postura é, talvez, uma condição necessária para a conquista da ciência, podendo ter, eventualmente, algum valor num prelúdio a alguma sapiência. Estas "Lições" tenta atender as necessidades da ciência dos fatos; deve, pois, agradar a maioria dos leitores que, como nós, estão comprometidos com o entendimento de fatos concretos. Do ponto de vista didático, tudo aqui foi escrito com a finalidade de satisfazer aos interessados e aplicados alunos dos cursos de graduação em Engenharia, Física e Matemática (Aplicada). Preferimos correr o risco de, eventualmente, levar à exaustão o leitor mais exigente e mais preparado. Despreocupamo-nos, com efeito, com a extravagância da síntese, com a compacidade do texto, com a violência do rigor lógico, tão apreciados pelos matemáticos, mas que desalentam os noviços por não permitirem em geral o entendimento fácil e rápido. Porfiamos o entendimento de conceitos eventualmente banais; conclamamos o leitor, repetidas vezes, em benefício da inteligibilidade fácil do texto, à revisão de conceitos emitidos a poucas e a muitas páginas atrás. Esmiuçamos. Isto talvez justifique certa prolixidade do texto, mas esperamos não levar o leitor ao enfado. A matéria é desenvolvida com o objetivo de atender à Física básica (a relativista e a quântica excluídas), da qual consideramos fazer parte a Geometria (de Euclides). Pois se o leitor observar que, nesta Física, todas as grandezas conhecidas, sem exceção, são grandezas inerentes a P direções, com P (finito) = 0, 1, 2, ..., - isso é, a nenhuma direção (P = 0), caso das grandezas escalares; a uma direção (P = 1), caso das grandezas vetoriais; a pares de direções (P = 2), caso das grandezas tensoriais de ordem 2 etc. - verá inicialmente que a entidade matemática aqui criada e denominada "poliádico", inerente a várias direções (caso em que ela se dirá de "valência P"), tem a missão específica de expressar matematicamente uma feição da natureza. Se com essas entidades, das mais diferentes valências, definirmos adequadamente certas operações (montando assim uma álgebra, tema desse tomo), o leitor concluirá que realmente atingimos o objetivo pretendido. Restará, apenas, discutir as vantagens dessas concepções (em grande maioria, devidas a Gibbs) em relação às portentosas matemáticas ora existentes (Cálculo Tensorial e Álgebra Linear) utilizadas eficazmente com a mesma finalidade à custa de generalidade e aridez exacerbadas.

VII

O leitor certamente está familiarizado com o Cálculo Vetorial estudado nos cursos de graduação em Engenharia, pois esse cálculo é básico para o estudo da Mecânica Racional e do Eletromagnetismo. Possivelmente experimentou certo desconforto - uma quebra de harmonia no desenvolvimento matemático da teoria - com a introdução do tensor de inércia (de ordem 2) no estudo da dinâmica do corpo rígido uma vez que os seus conhecimentos não iam alem dos vetores (tensores de ordem 1). Pelo mesmo motivo, o mesmo desconforto pode ter sido experimentado com a introdução dos tensores de tensão (de ordem 2), de deformação (de ordem 2) e o das constantes elásticas (de ordem 4) nas relações tensão/deformação estudadas na Teoria da Elasticidade; ou, até, quando da introdução do tensor viscoso das tensões na Mecânica dos Fluidos. O leitor eventualmente replicará as questões colocadas, mas sucumbirão irremediavelmente os seus argumentos, pois tudo depende da complexidade do problema que se propõe estudar num curso de Engenharia. Afinal, os problemas de engenharia vão desde o levantamento de uma simples parede de tijolos até a complexa análise do desempenho (funcional, seguro, econômico, estético e ambiental) dos mais variados materiais (sólidos ou fluidos, naturais ou artificiais) componentes dos mais diferentes elementos dos engenhos, das artes e da própria natureza. O Cálculo Poliádico estabelece certamente um suporte adequado, na medida necessária, para atender às necessidades dos estudiosos dos problemas gradualmente complexos em engenharia. Com outros termos, afirmamos seguramente que o Cálculo Poliádico, bem dosado, faz-se necessário nos cursos de graduação em Engenharia, apenas porque a heurística é uma propriedade da alma do engenheiro. Montamos essa obra procurando auto-suficiência de conteúdo e manutenção de uniformidade de procedimentos, nomenclatura e notação. Procuramos sempre dar continuidade na exposição, do particular para o geral, criando, assim, uma estrutura organizada em todos os níveis de necessidade, de forma que cada novo assunto lançado tivesse como pré-requisito a familiaridade com assuntos expostos anteriormente. Isso exigiu incluir nessa obra tudo o que fosse essencial do Cálculo Vetorial clássico. No Cap. I- VETORES - estendemos o conceito clássico de sistema de vetores recíprocos (do espaço tridimensional) ao conjunto dos vetores de direção comum (de um espaço unidimensional) e de plano comum (de um espaço bidimensional). Abordando o assunto seqüencialmente (sempre do particular para o geral), tivemos a surpresa de ter conseguido uma exposição estruturalmente original, de ter encontrado uma nova dedução da fórmula do duplo produto vetorial (§ 03.03) e a dedução de identidades (§ 05.02 e § 05.03) que generalizam as clássicas de Fibonacci e Lagrange (da Álgebra Superior). Notável, ainda, é a relação entre os sistemas de vetores recíprocos e os grupos ortocêntricos de pontos (§ 03.02 e § 03.03). Dificilmente tudo isso teria sido revelado sem a força dos vetores recíprocos. Estruturamos grande parte do Cap. II - DIÁDICOS - (até ao § 09) suportados pelos sistemas de vetores recíprocos; dai em diante criamos os espaços diádicos (de até 9 dimensões), as bases diádicas e os sistemas de diádicos recíprocos, perseguindo insistentemente certa "linha melódica" promissora em generalizações (no Cap. IV do volume II). Algumas fórmulas e alguns diádicos, não referidos por Gibbs e seus seguidores,

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VIII

são aqui apresentados pela primeira vez; desempenharão um importante papel no capítulo seguinte. A dupla multiplicação pontuada de diádicos sugeriu a introdução de uma nova operação com matrizes (§09.11), ampliada mais à frente (no §06.02 do Cap. IV do volume II) para atender aos novos avanços. Por igual motivo foi necessário criar também novas operações com os diádicos de um espaço diádico (§’s 11 a 13), algo isomórficas de algumas operações com os vetores, bem como ampliar adequadamente o conceito de permutador (§14). Exceto pelo fato de termos que atender necessidades matemáticas de ordens estrutural e lógica, não nos consideramos satisfeitos com a utilidade prática dos assuntos tratados no final desse capítulo II (§ 10 em diante). Pensemos fisicamente por um instante. É certamente trivial para o leitor que qualquer força dada ao acaso possa ser uma combinação linear de (não mais que) três outras forças independentes, escolhidas arbitrariamente (já que estas formariam uma base de referência de forças). Então, a matemática desenvolvida no final deste capítulo sugere, intuitivamente, que deva ser válida a seguinte proposição: qualquer tensão, dada ao acaso (dentre todas as tensões suportadas por um corpo físico), deve ser uma combinação linear de nove outras tensões independentes (na verdade, seis, por questão de simetria) escolhidas arbitrariamente (desde que estas formassem uma base de referência de tensões). Mas isto possivelmente não é trivial para o leitor; além disso, contrariamente ao caso das forças, ele pode nem sequer conhecer a utilidade prática da proposição. Mas não julga o leitor, por outro lado, que essa questão, no seu aspecto físico mais geral, merece ser judiciosamente respondida? Não acha também, de imediato, que esses conceitos podem ser estendidos - até com certa facilidade - para as demais grandezas (de outras ordens) existentes na Física? Não será isso ... prático, útil? A criação (algébrica) do espaço diádico e a introdução dos conceitos de norma, módulo e ângulo de diádicos sugeriram associar a esse espaço “idéias geométricas primárias” sobre as quais se pudesse erigir uma autêntica geometria euclidiana de até nove dimensões, como uma extensão da geometria de três dimensões. Isto foi esboçado nos §’s 10.03 a 10.05 e §11.02. No §15 estudamos as projeções no espaço diádico e no § 16 esboçamos uma ligeira introdução à Geometria Analítica desse espaço. A partir disso fica estabelecida uma Geometria Euclidiana N-dimensional para ser usada na física dos problemas envolvendo grandezas diádicas (ou tensoriais de ordem dois); na Teoria da Elasticidade, por exemplo. No Cap. III - GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR - apresentamos uma definição de tensor de ordem 2 (§02), preparando uma generalização a ser feita no capítulo seguinte (Cap. IV do volume II). Buscamos, com mudança de bases, sistemas convenientes (de bases vetoriais recíprocas) de representação de um diádico e de estudo de uma transformação linear (TL); estudamos, então, os elementos característicos dos diádicos (§03). Isto nos leva às reduções canônicas dos diádicos (§04) e a uma descrição das TL's por essas reduções (§05). Percorrendo essa trilha natural, o diádico de rotação (que rege a clássica transformação geométrica das figuras por rotação) aparece vinculado e como um caso particular de uma rotação mais geral denominada elíptica, esta regida por um diádico cíclico. Assim, alguns teoremas clássicos relativos a produto de rotações circulares tornamse corolários de teoremas mais gerais relativos a produtos de rotações elípticas (§06.03). Por esse capítulo, sempre apoiados numa interpretação geométrica, entendemos, ainda, ter "quebrado o tabu das bases ortonormadas". De fato, mostramos, em definitivo, de uma forma simples e elegante, que a análise dos problemas físicos em bases quaisquer apresenta

o mesmo grau de facilidade (ou de dificuldade) que em relação a qualquer outra base particular. Visto também, por outro lado (§04 e §05,I), que as bases ortonormadas nem sempre simplificam cálculos, nem sempre são convenientes e nem sempre são necessárias, concluímos que a adoção rotineira de bases quaisquer é a forma mais elegante, a mais lógica, e, principalmente, a mais segura de tratar os problemas (físicos ou geométricos). Isto, entretanto, não implica que as bases ortonormadas devam sempre ser rejeitadas; apenas que sejam utilizadas quando naturalmente necessárias. Com efeito, é o que comprovamos no estudo das rotações circulares (§06), no estudo da redução normal e da decomposição polar de um diádico completo (§07), de extrema utilidade em mecânica de materiais. O leitor arguto certamente já terá pensado em estender esses conceitos aos poliádicos em geral (assunto do Cap. IV do volume II) mas, certamente, tal como nós, estará interessado na sua utilidade prática. Parece-nos que, ainda por um bom tempo, deveremos insistir em estudos para responder a essas colocações. A utilidade desta matéria é inquestionável. As aplicações serão expostas futuramente em volume a parte, acompanhadas de um resumo dos conceitos, operações e principais fórmulas. Algumas aplicações aqui expostas, dispensáveis numa primeira leitura, foram dispostas entre o sinal ⇒ onde começam e o sinal ⇐ onde terminam. Os que estiverem acostumados ao cálculo tensorial perceberão as diferenças de estilo e certamente não hesitarão em migrar para o estilo simples e elegante do poliádico, especialmente porque neste não se apela necessariamente para qualquer sistema de referência. Os métodos poliádicos são estritamente geométricos. Para o cientista empírico-analista esta nova abordagem pode gerar certo fascínio por questões ainda não abordadas classicamente, como pequenos mistérios. Na pior das hipóteses buscaremos um maior e melhor entendimento de “problemas já colocados” dentro da Física Linear (e da Geometria) de que, em geral, nos valemos em Física Aplicada e Engenharia. Mas poderemos dar, também, um passo interessante em direção à formulação da Física Não Linear do futuro cujas leis poderão ser certamente expressas de uma forma elegante e compacta pelos métodos poliádicos do presente, generalíssimos, abundantes e de generosa simplicidade matemática frente a tanta complexidade física. Complexidade física é a regra em muitas das ciências das quais se valem os engenheiros, dentre outras: a Geologia Estrutural, a Geofísica, a Mecânica dos Meios Porosos, o Cálculo das Estruturas, a Mecânica das Rochas e dos Solos, a Física dos Cristais, a Ciência dos Materiais, o Eletromagnetismo etc., cujas bases vêm sendo magistralmente unificadas, desde a segunda metade do século XX, na Física dos Meios Contínuos. Disciplina desconhecida, o Cálculo Poliádico desponta como uma das mais úteis e simples ferramentas de trabalho na Física Aplicada e na Engenharia. Idealizado por Gibbs por volta de 1890, é um cálculo mais geral, tão geometrizado quanto o Cálculo Vetorial clássico que, parece, foi adaptado à Física, entre 1870 e 1900, por Gibbs e Heaviside, das obras de Hamilton e Grassman1. É, ainda, esse Cálculo Poliádico menos abstrato e bem menos algebrizado que o seu parente um pouco mais jovem, o Cálculo Tensorial (de Ricci e 1 Segundo Crowe, M. J., A History of Vector Analysis, Dover, 1967: 1) - Grassmann, H. G., Die Ausdehnungslehere, Berlin, 1844; 2) – Hamilton, W. R., Lectures on Quaternions, 1848 (os quaterniuos foram descobertos em 1843).

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Civita) que vem adquirindo as suas feições em partes específicas. O Cálculo Poliádico é o Cálculo Tensorial exposto em bases geométricas, com estrutura própria e na medida certa para a abordagem de problemas de engenharia. ... E isso basta para justificar a canonização de, pelo menos, os Elementos de Cálculo Poliádico nos cursos de Engenharia ..., mas de engenharia de concepção e desenvolvimento de engenhos, ... aquela engenharia pura, judiciosamente temperada com economia, funcionalidade, segurança, ecologia e arte. Goiânia (GO), outubro de 2008 E. R. F. Ruggeri

CONVENÇÕES NUMERAÇÕES DIVERSAS Os capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafos e estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico (como §01, ou §03.01). As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo. As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cada capítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foi feita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos). A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceira figura do § 02 do capítulo III. As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafo ou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses. Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com o mesmo número desta, acompanhado de um subíndice; assim (021) é o número de uma fórmula que deriva de (02), como pode ser encontrado no §02.04 do Cap. I. Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número (ver, por exemplo, as fórmulas (09) do §02.02 do Cap. I). Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente da esquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmula de ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice, à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, a citação (09)1 no texto é, apenas, uma referência à primeira fórmula do conjunto (09) e não representará número de nenhuma fórmula especificamente; isso é, (09)1 e (091) têm significados totalmente distintos. CITAÇÕES E REFERÊNCIAS Durante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização de conceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito com a indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referido conceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, ((02)3, § 03.02, II) representa: a terceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03 do Cap. II. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítulo em que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo. ABREVIATURAS CNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), pagina 15. - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, paginas 47, 59. EN Teor. - Teorema, pagina 22. Corol. - Corolário, pagina 23. Propr. - Propriedade, pagina 19. nsn - Não simultaneamente nulo, pagina 30. Min - Mínimo, menor, pagina 419. Med - Médio, pagina 419. Max - Máximo, maior, pagina 419. sen, cos, tg - linhas trigonométricas circulares, paginas 11, 14.

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XII

SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS SÍMBOLOS

Xi, Yj, A, B, A

u, v, ei ,ei,

ab, aiei

A B

vˆ , ˆiˆj, ... I

I, J , K , Z

Pau( , ) {e*}

REPRESENTAÇÃO

TOM

PÁGINA

Natural

3,11,20

Números, variáveis numéricas, funções de valor numérico, coordenadas de pontos e de vetores. Vetor nulo

Negrito

Vetores (sem seta)

Negrito

3,11,14,17

Díade, diádicos em forma N-nomial

Negrito

72,78

Vetor e díade unitários

Negrito

3,86

Operador de Argand (ver rodapé da página 129)

Natural

129

Diádico de Moreira

Negrito

Operadores diádicos especiais

Negrito

129

Par de diádicos de Pauly

Natural

142

Base vetorial definida pelos vetores e1, e2, e3

Negrito

73,109

L A T I N O

φ,ψ ψ,α α,β β,..

Diádicos em geral

α), β), ...

Planos: α, β

Natural

Diádico unidade, poliádico unidade

Negrito

Diádico nulo

Negrito

Ω(i,ϕ)

Negrito

356

Diádico de rotação (de eixo ˆi e ângulo ϕ) Diádico de mudança de base

Negrito

298

Diádico ciclotônico

Negrito

357

δ ij, δ ij εij, εijk, εijk

Deltas de Kronecker

Natural

Alternadores, ou Permutadores

Natural

Diádico cisalhante

Negrito

362,365

Ι × kˆ

Diádico de Argand

Negrito

129

{εε*}

Base diádica definida por diádicos ε1, ε2, ...

Negrito

224

E G O

XIII

SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS (Símbolos especiais envolvendo ou não letras latinas e gregas) Todos os índices e todos os sinais constantes desta tabela são representados ao natural SÍMBOLO

REPRESENTAÇÃO

PÁGINA

Multiplicação escalar ou pontuada

Multiplicação vetorial ou cruzada

Dupla multiplicação escalar ou pontuada

134

Dupla multiplicação vetorial ou cruzada

134

Dupla multiplicação mista

134

× .

Dupla multiplicação mista

134

Adjunto (sobre-índice)

× × . ×

° e * ≅ ≡ [ ] Det[A]

Símbolos que substituem . e

165

×.

Aproximadamente igual

134 322

Idêntico

Matriz

183

Determinante da matriz A

229

| |

Módulo, determinante

2,17

|| ||

Norma

{ }

Base, matriz coluna

φE, φV (x , y) (xyz), (α αβγ)

∀ , ∃, ∈,...

A ⇐ Texto ⇒ B || , ⊥

Escalar e vetor do diádico φ

158 47,186 80

Ângulo ou plano dos vetores x e y

12,15

Produto misto dos vetores x, y e z ou diádicos α,β β e γ.

18,261

Símbolos usuais da Teoria dos Conjuntos O texto é hipótese nos dois sentidos Paralelismo e perpendicularidade

7,23 24,30,40 15,12

 φT

Diádico cíclico

354

Transposto ou conjugado do diádico φ

φ∼ φ

Adjunto do diádico φ

165

φ-1

Inverso ou recíproco do diádico φ

166

φP

Principal do diádico φ

168

φ2

Segundo do diádico φ

167

φ3

Terceiro do diádico φ

Homológico do diádico φ

Hom(φ φ) l(x) < α β ... λ > (α α β ... λ) Cnp

Função linear vetorial do vetor x

Produto cruzado dos diádicos α, β , ..., λ

248

Produto misto dos diádicos α, β , ..., λ Combinações de n objetos tomados p a p

261 223, 243

Espaço de vetores, de dimensão N (N=1, ou 2, ou 3)

Espaço de diádicos, de dimensão G (G ≤ N2)

224

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XIV

SUMÁRIO GRATIDÃO ..................................................................................................................................................... IV APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................................ V PREFÁCIO ....................................................................................................................................................... VI CONVENÇÕES................................................................................................................................................ XI SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS ........................................................................................................XII

CAPÍTULO I VETORES § 01 - VETOR..................................................................................................................................................... 1 § 01.01 - Definição, notação.............................................................................................................. 1 § 01.02 - Igualdade vetorial. .............................................................................................................. 3 § 01.03 - Alguns tipos de vetores....................................................................................................... 3 § 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.................................................................... 3 § 01.05 - O uso dos vetores em Física. .............................................................................................. 4 § 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES............................................................................... 5 § 02.01 - Adição de vetores. .............................................................................................................. 6 Soma de vetores. .............................................................................................................. 6 Propriedades da adição..................................................................................................... 7 § 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. ............................................................................. 8 Produto de vetor por número real. .................................................................................... 8 Propriedades da multiplicação de vetor por número real. ................................................. 8 § 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória....................................................... 10 § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. .............................................................................. 11 Produto escalar............................................................................................................... 11 Propriedades da multiplicação escalar............................................................................ 11 Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. ............................................ 13 § 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. ............................................................................. 14 Produto Vetorial............................................................................................................. 14 Propriedades da multiplicação vetorial........................................................................... 14 Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. ........................................... 16 Identidade de Lagrange. ................................................................................................. 17 § 02.06 - Multiplicação mista de três vetores................................................................................... 18 Produto misto. ................................................................................................................ 18 Propriedades da multiplicação mista. ............................................................................. 18 Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais. ................................................. 20 § 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. ................................................................................. 21 § 03.01 - Os VR de vetores paralelos............................................................................................... 22 Inversão na reta. ............................................................................................................. 22 Construção gráfica de vetores recíprocos na reta............................................................ 22 O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta. ..................................... 23 Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta............................................................ 24 § 03.02 - Os VR de vetores coplanares. ........................................................................................... 25 Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano. ................................................................ 25 Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano....................................................... 26 Grupo Ortocêntrico no plano.......................................................................................... 26 Propriedade fundamental de pares recíprocos. ............................................................... 27 Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares........................................................ 27 O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos.................................. 29 Vetores término colineares. ............................................................................................ 31 Varias formas de equação da reta (no plano).................................................................. 32 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano)....................................... 33 § 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. .................................................................................... 34 Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço. ......................................................... 34

Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço..................................................... 35 Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos........................................................... 36 Dupla multiplicação vetorial (no espaço). ...................................................................... 37 Generalização da identidade vetorial de Lagrange. ........................................................ 37 O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos.............................. 39 O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores. .................................................................. 41 Vetores término coplanares. ........................................................................................... 43 Várias formas de equação de um plano. ......................................................................... 44 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço)..................................... 45 § 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS. ........................................................................... 46 § 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas............................................................................... 46 Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos............................................... 48 § 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores. ............................................................................... 49 Similarmente comprovaríamos que ................................................................................ 51 Produtos de Deltas de Kronecker. .................................................................................. 51 Produto de permutadores................................................................................................ 51 § 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos........................................................... 52 § 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos. ........................ 55 § 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos. ....................................................................... 59 § 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES. ............................................................................................. 59 § 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.............................................................................. 59 § 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante................................................. 62 § 05.03 - Generalização de identidades clássicas............................................................................. 64 § 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. .......................................................... 67 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................................. 68

CAPÍTULO II DIÁDICOS § 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR........................ 69 § 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ...................................... 72 § 02.01- Definições e notações. ....................................................................................................... 72 § 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos.......................................... 73 § 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. ................................................................... 73 Propriedades................................................................................................................... 74 § 02.04- O diádico como operador de uma T.L.. ............................................................................. 75 § 02.05 - Transposição diádica. ....................................................................................................... 76 § 02.06- Igualdade de diádicos. ....................................................................................................... 77 § 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos. ......................................................................... 78 O motivo de um diádico. ................................................................................................ 79 Casos de igualdade......................................................................................................... 79 § 02.08- Invariantes primários de um diádico.................................................................................. 80 O escalar e o vetor.......................................................................................................... 80 O terceiro. ...................................................................................................................... 82 § 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto................................................................. 85 Diádico unidade. ............................................................................................................ 86 Diádicos opostos ............................................................................................................ 88 § 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS. .................................................................................... 89 § 03.01 - Definições e propriedades gerais. ..................................................................................... 89 § 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares...................................................................... 94 Propriedades................................................................................................................... 96 § 03.03 - Diádicos de Moreira. ........................................................................................................ 96 Quadrângulo associado. ................................................................................................. 96 Quadrângulos transpostos............................................................................................... 98 § 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS....................................................................................................................... 99 § 04.01 - Definição e propriedades. ................................................................................................. 99 Propriedades................................................................................................................... 99 § 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva......................................... 101

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XVI

§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS. ............................................................................. 107 § 05.01- Definição e propriedades. ................................................................................................ 107 Propriedades................................................................................................................. 107 § 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro........................................................................ 110 Propriedades:................................................................................................................ 111 § 05.03 - Terceiro e transposto de um produto............................................................................... 112 § 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos................................................. 113 Exceções. ..................................................................................................................... 114 Produto nulo de diádicos não nulos. ............................................................................. 117 § 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR. ........................................................ 121 § 06.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 121 Propriedades................................................................................................................. 121 § 06.02- Fórmulas notáveis............................................................................................................ 124 § 06.03 - Escalar e vetor de φ×r..................................................................................................... 125 § 06.04 - Simetrias e anti-simetrias................................................................................................ 126 § 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. ........................................................... 127 Interpretação geométrica do diádico de Argand. .......................................................... 128 Potências do diádico de Argand. .................................................................................. 129 Generalizações. ............................................................................................................ 131 § 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS............................................................................................................ 134 § 07.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 134 Propriedades................................................................................................................. 137 § 07.02 - Nulidade de duplos produtos. ......................................................................................... 140 Duplo produto nulo de diádicos não nulos. .................................................................. 141 Diádicos de Pauly......................................................................................................... 142 Diádicos ortogonais...................................................................................................... 144 Diádicos paralelos. ....................................................................................................... 145 § 07.03 - Invariância...................................................................................................................... 146 § 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos......................................................................... 147 § 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. ..................................... 153 § 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. ............................................................ 154 Dupla multiplicação mista de três diádicos. ................................................................. 155 Propriedades................................................................................................................. 156 § 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos. .................................................... 158 § 08 - SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL. ........................................................................ 165 § 08.01 - Definições e principais propriedades. ............................................................................. 165 Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).................................. 169 § 08.02 - Invariância e invariantes. ................................................................................................ 171 § 08.03 - Propriedades formais. ..................................................................................................... 171 § 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo)....................................................... 176 Casos particulares......................................................................................................... 177 § 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia................. 177 § 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira.................................................................... 179 § 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA. ................................................................................... 180 § 09.01 - Definições....................................................................................................................... 180 § 09.02 - Matriz associada a um diádico........................................................................................ 182 Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos .............................................................. 187 § 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas ................................................... 187 Tábua de multiplicação de matrizes associadas a diádico............................................. 188 § 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana.................................................................. 189 § 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana......................................................................... 191 § 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana............................................................. 191 Expressões matriciais de φ.ψ ψ ........................................................................................ 192 Expressões matriciais de I×a e φ×a .............................................................................. 192 § 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). ........................................................... 193 Quádrica centrada......................................................................................................... 196 § 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana........................................................................... 198 § 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.............................. 200 Propriedades Gerais...................................................................................................... 201 Caracterização dos diádicos lineares. ........................................................................... 202

XVII

Caracterização dos ortolineares:................................................................................... 203 Caracterização dos planares. ........................................................................................ 204 Caracterização dos uniplanares e dos unilineares ......................................................... 205 Caracterização dos ortoplanares. .................................................................................. 206 Os diádicos antitriangulares e sua caracterização. ........................................................ 207 § 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares............................ 210 § 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. ........................................................................ 215 § 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS. ........................................................................................ 217 § 10.01 - Espaço diádico................................................................................................................ 217 Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos...................................................... 218 § 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas............................... 223 Decomposição cartesiana de diádico em base diádica. ................................................. 226 Diádico posicional........................................................................................................ 227 Bases diádicas recíprocas. ............................................................................................ 229 Constituição de bases. .................................................................................................. 231 Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice).................................... 232 Bases no espaço diádico simétrico. .............................................................................. 233 Bases no espaço diádico anti-simétrico. ....................................................................... 235 Bases diádicas ortonormadas........................................................................................ 237 § 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico............................................................. 238 Biflechas ...................................................................................................................... 238 Independência de pontos e bases. ................................................................................. 239 União e interseção de espaços. ..................................................................................... 239 Graus de liberdade de um espaço diádico..................................................................... 241 § 10.04 – Ordem no espaço diádico............................................................................................... 242 § 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. ...................................................................................... 243 Direção e orientação..................................................................................................... 243 Pontos impróprios (ou no infinito). .............................................................................. 243 Extensão de conceitos. ................................................................................................. 244 O paralelotopo.............................................................................................................. 245 Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional.......................... 246 § 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA. PERPENDICULARIDADES..................................... 246 § 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla...................................................................................... 246 Identidades notáveis ..................................................................................................... 251 § 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico............................................................................ 255 Ângulo de dois espaços. ............................................................................................... 256 Ortotopos...................................................................................................................... 256 § 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G DIÁDICOS......................................... 256 § 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS. ............................................................ 261 Propriedades................................................................................................................. 263 Produto misto de nove diádicos, dados em forma cartesiana........................................ 269 Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma cartesiana........................................................................................................ 270 § 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES. .............................................................................................. 270 § 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO. .............................................................................................. 275 Projeção qualquer......................................................................................................... 275 Projeção paralela. ......................................................................................................... 276 § 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO DIÁDICO. ....................................... 277 § 16.01 – Espaços opostos nos simplex. ........................................................................................ 278 § 16.02 - Baricentros. .................................................................................................................... 279 Definições. ................................................................................................................... 279 Bimedianas e medianas. ............................................................................................... 280 § 16.03 - Equações de espaços....................................................................................................... 282 Várias formas de equação de uma reta. ........................................................................ 282 Várias formas de equação de um plano. ....................................................................... 283 Várias formas de equação de um 3-espaço................................................................... 284 Várias formas de equação de um espaço qualquer........................................................ 286 § 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica................................................................................. 287 § 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies................................ 288 BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 289

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XVIII

CAPÍTULO III GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR § 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA............................................................................ 291 § 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL. ............................................................. 291 § 01.02 - Propriedades fundamentais. ............................................................................................ 292 § 01.03 - Aplicação numérica. ....................................................................................................... 295 § 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE............................................ 299 § 02.01 - Diádicos de mudança de base. ........................................................................................ 299 § 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares..................................................... 300 Propriedades dos diádicos e das transformações similares. .......................................... 301 § 02.03 - Matriz de mudança de base............................................................................................. 305 § 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de base. Matrizes similares. Tensores clássicos.............................................................................................. 307 Transformação de coordenadas de vetores. .................................................................. 307 Transformação das coordenadas de diádicos................................................................ 308 § 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos................................................................. 311 Diádicos com simetria externa em relação a um plano................................................. 312 Pesquisa de sistemas convenientes de representação.................................................... 314 § 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS. ....................................................................... 314 § 03.01 - Polinômio mínimo. ......................................................................................................... 314 § 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico................................................ 318 § 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. .................................. 321 Diádicos com autovalores nulos. .................................................................................. 327 § 03.04 - Outros exemplos numéricos............................................................................................ 330 § 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS. ............................................................... 332 § 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C............................................... 332 § 04.01,A - Autovalores imaginários. ............................................................................................ 332 Caso de diádicos uniplanares........................................................................................ 336 Caso de diádico anti-simétrico ..................................................................................... 336 Outras reduções............................................................................................................ 337 § 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral. ........................................................ 338 Elementos característicos de diádicos simétricos. ........................................................ 340 Tônicos associados a uma homologia........................................................................... 343 § 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠ B = C................................................ 344 Diádicos simétricos ...................................................................................................... 346 § 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C.................................................... 347 § 05 - DESCRIÇÃO DAS TL'S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS............................................................ 349 § 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis....................................................................... 350 § 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis. ............................................................... 351 § 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*)...................................................... 352 Diádico cíclico. Rotação elíptica. ................................................................................. 352 Diádico ciclotônico. ..................................................................................................... 358 Auto-similaridade dos ciclotônicos. ............................................................................. 359 § 05.02,B - TL regida por: φ=Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* ................................................................. 362 Cisalhamento simples. Diádico cisalhante.................................................................... 362 § 05.02,C - TL regida pelo : φ=ab*+bc*,........................................................................................ 365 § 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos.................................................... 366 § 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES). ................................................................................... 368 § 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. ............................................................ 368 Caracterização dos cíclicos e rotores. ........................................................................... 374 Generalização de conceitos clássicos. .......................................................................... 376 § 06.02 - Rotações próprias e impróprias....................................................................................... 378 § 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares).............................................................. 379 § 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.............................................. 379 Cíclicos e rotores biquadrantais.................................................................................... 379 Produto de biquadrantais. ............................................................................................. 382

XIX

Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1. ................................................. 384 Expressão cartesiana para Π......................................................................................... 385 Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3. ...................................................... 387 Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo do outro. ......................................................................................................... 388 Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais................................ 391 Fatoração de cíclicos e rotores...................................................................................... 393 Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.................................................. 399 § 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. ....................................... 400 Raízes K-ésimas do diádico unidade. ........................................................................... 401 Potências de expoente inteiro de um cíclico. ................................................................ 402 Representação do cíclico em série de Mac Laurin........................................................ 404 Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico.................................................... 406 Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados..................................... 407 Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação. ......................... 408 Diádico de rotação e diádico de Argand associados. .................................................... 408 § 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. ........................................................ 411 § 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO. DECOMPOSIÇÃO POLAR............................ 413 § 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições. .............................................................................. 413 § 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. ........................................................................... 415 § 07.03 - Diádico reto. Deformação pura....................................................................................... 427 Diádico reto e deformação de um corpo....................................................................... 428 § 07.04 - Decomposição polar. ...................................................................................................... 429 § 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos............................................. 432 APÊNDICE..................................................................................................................................................... 435 BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 440

VOLUME II (deste Tomo I) Capítulo IV - Poliádicos Capítulo V - Poliádicos complexos

TOMO II Capítulo VI - Análise Poliádica Capítulo VII - Campos de poliádicos

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CAPÍTULO I

VETORES § 01 - VETOR. § 01.01 - Definição, notação. A reta da Geometria pode ser percorrida em dois sentidos pelo seu ponto corrente. Um desses sentidos, arbitrariamente escolhido, é denominado sentido positivo; o outro, sentido negativo. Diz-se, então, quando se fixa esse sentido, que se orientou a reta; esta passa, assim, a denominar-se eixo ou reta orientada. Dados dois pontos A e B de um eixo, o conjunto dos pontos A e B, e dos infinitos pontos compreendidos entre A e B denomina-se segmento orientado AB e representa-se por AB ; A e B denominam-se, respectivamente, a origem e a extremidade do segmento orientado; e o sentido de A para B, o seu sentido. Os pontos, de um modo geral, são determinados sobre os eixos pelos segmentos orientados que cada um define com um ponto fixo O, arbitrariamente escolhido sobre o mesmo e fixado, por convenção, como origem desses segmentos. Com a introdução da origem, o eixo fica dividido em dois semi-eixos: um positivo e um negativo, cujos sentidos são concordantes, respectivamente, com os sentidos positivo e negativo do eixo (Fig. 01.01)2.

Postula-se, como fez Descartes, a existência de uma correspondência biunívoca entre as distâncias da origem a pontos do semi-eixo positivo e do negativo, respectivamente, com os conjuntos dos números reais, positivos e negativos. A distância, positiva ou negativa, de um ponto qualquer A à origem O é denominada abscissa do ponto; e o segmento OA segmento-posição; diz-se, assim, que o ponto é dado, analiticamente, por sua abscissa; ou, geometricamente, por seu segmento-posição. Escreve-se: OA = A e lê-se: a abscissa do ponto A é A (A um número real, positivo ou negativo, não acompanhado de nenhuma unidade de medida). Na prática, visualizamos questões conceituais através de gráficos e figuras. Para construí-los a primeira providência é a fixação de uma escala. Escolhemos, arbitrariamente, 2Veja o critério de numeração das figuras dentro da seção "Convenções". Poliádicos - Ruggeri

§ 01 - Vetor

um segmento orientado OU com origem coincidente com a origem O dos semi-eixos de um eixo (Fig. 01.02), com a extremidade U sobre o semi-eixo positivo e com a abscissa U fixada, por convenção, como 1. Qualquer outro ponto, A, a ser concretizado sobre o eixo, com uma abscissa dada A, deve ser marcado de forma a que OA =A× OU , assinalando-se A sobre o semi-eixo positivo se A>0; ou sobre o semi-eixo negativo se A<0. O segmento OU é denominado unidade de medida de segmentos; a abscissa A é dita, também, a medida algébrica de OA em relação a OU .

Consideremos, agora, dois pontos, A e B, de um eixo e o segmento orientado AB por eles definido. A medida algébrica do segmento orientado AB é o número real puro (não acompanhado de nenhuma unidade de medida) obtido como a diferença entre as abscissas de sua extremidade e sua origem, nessa ordem, multiplicado por OU ; escreve-se, então:

AB = (B − A )OU ,

(01)3,

independentemente da origem O, para qualquer unidade de medida. Resulta logo que se AB tem sentido coincidente com o do eixo, sua medida algébrica é um número real positivo, pois B>A; se não, esta medida é número negativo. O número real positivo puro, representado por |B-A| OU , denomina-se o módulo do segmento orientado AB . Logo (01) pode ser escrita na forma AB = ± | B − A | OU , (02), onde o sinal é positivo ou negativo conforme o sentido do segmento orientado seja concordante ou não com o do eixo. Ora, em Geometria Euclidiana, um feixe de retas paralelas tem em comum a mesma direção; e qualquer reta do feixe pode ser uma representante do mesmo numa concretização. Então, orientar uma reta é operação equivalente a orientar uma direção; e toda proposição válida para segmentos orientados de uma reta orientada de um feixe, é válida, igualmente, para as demais retas do feixe. Diz-se que dois segmentos orientados são eqüipolentes se têm a mesma direção (pertencem a um mesmo feixe) e a mesma medida algébrica (isso é, o mesmo sentido e o mesmo módulo). Os segmentos orientados eqüipolentes (de um mesmo feixe de retas paralelas) denominam-se vetores livres (do feixe); a diferentes feixes estão associados, então, diferentes vetores livres. 3 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".

I,§ 01.01

§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.

Aos vetores livres estendem-se todas as definições relativas aos segmentos orientados que lhes correspondem: origem, extremidade, sentido, direção, módulo etc. O vetor é representado pelo par de letras relativas à sua origem e à sua extremidade, nessa ordem, encimadas por uma pequena flecha: AB , por exemplo. É também representado, com muita freqüência, por letra minúscula do alfabeto latino encimada por flecha. Em Mecânica é comum o uso da notação de Grassmann: AB = B − A , justificando-se esta notação com a introdução da operação de adição de um vetor AB com um ponto A, cujo resultado (a soma) é o ponto B. Desse ponto de vista, o ponto A seria transportado pelo vetor AB até o ponto B, o que justifica a nomenclatura: a palavra vetor provém da palavra latina vehere que significa transportar. Doravante os números reais e os pontos serão denotados, na maioria das vezes, pelas letras latinas maiúsculas, eventualmente indexadas: A1, A1, B2, etc. Os vetores serão denotados pelas letras latinas minúsculas em negrito, sem a clássica seta; e seus módulos, por estas mesmas letras dispostas entre duas barras verticais: |u|, |v| etc.

§ 01.02 - Igualdade vetorial. Diz-se que dois vetores u e v são iguais ou eqüipolentes e escreve-se: u=v (ler: u igual a v), quando são eqüipolentes a um mesmo segmento orientado de um mesmo feixe; isso é, quando têm um mesmo módulo, uma mesma direção e um mesmo sentido.

§ 01.03 - Alguns tipos de vetores. Dois vetores são ditos paralelos ou colineares quando têm a mesma direção. Assim dois vetores iguais são sempre paralelos. Dois vetores u e v são ditos opostos quando, paralelos, têm o mesmo módulo e sentidos opostos; escreve-se u = − v ou v = − u. Vetores coplanares são aqueles paralelos a um mesmo plano; dois vetores são, pois, sempre coplanares. Vetor nulo é o vetor de módulo zero; escreve-se u=o e lê-se: o vetor u é igual a zero. Graficamente o vetor nulo tem a sua origem coincidente com a sua extremidade. Por convenção, o vetor nulo faz um ângulo qualquer com qualquer vetor, com qualquer plano e seu sentido é qualquer. Vetor unitário é o vetor de módulo igual a um; é utilizado geralmente para especificar uma direção e representado por uma letra encimada por um acento circunflexo: v$ .

§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. Para sintetizar um pouco o desenvolvimento da teoria dos vetores, e por reconhecer a sua origem geométrica, estenderemos aos mesmos os conceitos de perpendicularidade, projeção etc., como em Geometria Elementar. Deve ser observado, entretanto, que não é necessário lançar mão de toda a Geometria para se fazer a teoria dos vetores. Pelo contrário, basta o estabelecimento dos conceitos mais elementares de Geometria, como os de: ângulos, retas perpendiculares e paralelas, figuras planas de segunda categoria (linhas quebradas, polígonos, teoremas fundamentais da geometria do triângulo, do quadrilátero, da circunferência) para estarmos prontos para utilizar os vetores no desenvolvimento dessa mesma Geometria. A rigor, entretanto, pretendendo-se aplicar conceitos vetoriais à Geometria, é necessário estabelecer um encadeamento lógico dedutivo de conceitos e

Poliádicos - Ruggeri

§ 01 - Vetor

propriedades. Com efeito, pois, do contrário, correr-se-ia um sério risco de deduzir propriedades a partir de outras ainda não demonstradas ou, até, de deduzir uma propriedade a partir de outras cujas validades dependem necessariamente da primeira. Deve ser considerado, também, que a Matemática sempre requer concisão, precisão e economia de pensamento; isso é, não é de índole matemática a utilização de um "aparato pesado" para a dedução de resultados que poderiam ser obtidos com "aparatos leves". Por exemplo, como demonstrar que as mediatrizes de um triângulo têm ponto comum, de um modo mais simples que o da Geometria Elementar? Por outro lado, montando-se um aparato com o objetivo de estudar questões mais avançadas, nada impede que, de passagem, se possam deduzir propriedades elementares. Assim, por exemplo, poderíamos resolver o problema proposto das mediatrizes do triângulo pela Geometria Analítica; solução esta que não é tão simples quanto a da Geometria Elementar, mas que também é independente dos métodos elementares. Finalmente, deve ser considerado que o Cálculo Vetorial é formulado hoje praticamente nos mesmos moldes como GIBBS o formulou há pouco mais de 100 anos [1]4 com vistas à sua utilização na carente Física-Matemática da sua época e com vistas à sua utilização em Geometria. As necessidades da Física-Matemática, por outro lado, parecem ter forçado um estudo mais vetorial da Geometria Diferencial onde, indubitavelmente, os métodos vetoriais são expressivos. Em resumo: parece-nos que o uso metódico da Álgebra Vetorial em Geometria Elementar requer desta Álgebra uma estruturação diferente da clássica, mais adequada à finalidade visada. Seguiremos, aproximadamente, a apresentação clássica porque não nos interessa aqui um desenvolvimento específico para a Geometria Elementar.

§ 01.05 - O uso dos vetores em Física. A Física é desenvolvida sobre o conceito de grandeza, ou seja, de entidades que participam dos fenômenos físicos e que são mensuráveis. Medições são necessárias para atender necessidades práticas relacionadas com os conceitos de maior, menor, muito, pouco, alto, baixo, forte, fraco etc., conceitos que exigem, logicamente, uma referência. Criam-se, então, as unidades de medidas como o metro, o quilograma força, o segundo etc.. O desenvolvimento da Física através do tempo mostrou a necessidade de se expressarem matematicamente as suas grandezas. Em vista das diferentes naturezas destas, criaram-se diferentes entidades matemáticas para representá-las. Assim, as grandezas denominadas escalares são representadas simplesmente por um número real acompanhado de uma unidade de medida (escala); são exemplos: uma distância, uma temperatura etc. Outras grandezas, inerentes a uma direção e um sentido sobre esta, puderam ser representadas por vetores e foram denominadas grandezas vetoriais; são exemplos: força, velocidade, aceleração etc. Existem outras grandezas, inerentes a mais de uma direção, que serão apresentadas mais à frente. Vejamos como foi possível a representação das grandezas vetoriais pelos vetores. Ora, sendo a grandeza vetorial inerente a uma direção podemos imaginar um vetor cuja direção seja paralela à direção da grandeza e com um sentido arbitrado. Façamos, agora, corresponder a intensidade dessa grandeza, acompanhada da sua unidade de medida, com o módulo do vetor a definir. Se, finalmente, associamos a esse conjunto o sinal + ou conforme o sentido da grandeza coincida ou não com o sentido arbitrado para o vetor, 4 Veja também os clássicos "Scientific Papers" de Gibbs.

I,§ 01.05

§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

poderemos dizer que essa entidade abstrata, o vetor, assim definido, representa aquela grandeza. Interessando a construção de um gráfico basta escolher uma escala. Assim, quando se diz, em Física: "seja f a força que atua sobre o corpo...", todas as considerações geométricas e físicas feitas neste § 01 ficam subentendidas, para felicidade do leitor. Nos parágrafos seguintes definiremos operações com os vetores destacando, quando conveniente, o seu significado em Física. O conceito de igualdade de vetores (§ 01.02)5 é exclusivamente algébricogeométrico e não físico, isso é, se um vetor representa uma força e um outro vetor uma velocidade, não faz sentido analisar a igualdade desses vetores porque essas grandezas são de naturezas diferentes. De outra forma, diríamos: dois vetores podem ser paralelos, ter os mesmos módulos e os mesmos sentidos e não fazer sentido a sua igualdade porque representam grandezas diferentes. Os tipos de vetores já criados (§ 01.03) têm também correspondência na Física na forma dos conceitos físicos: velocidades opostas, forças paralelas, força nula, velocidade unitária etc. Analogamente, os conceitos geométricos estendidos aos vetores (§ 01.04) são também assimiláveis em Física; falamos, pois, em forças que fazem certo ângulo, vetor velocidade tangente à trajetória etc. Esse é o modo mais simples de contemplar-se o uso dos vetores em Física. O entendimento de certos fenômenos físicos, algo complexos, por outro lado, exigiu a criação de entidades matemáticas bem mais complexas que, numa situação limite - isso é, numa particular condição - representassem também os vetores elementares. No espaço físico em que ocorrem tais fenômenos, figuras geométricas como segmentos de reta, porções de plano, poliedros, por exemplo, só existem nas "vizinhanças de um ponto". Isto significa, em outros termos, que os vetores só existem no espaço vizinho (nas proximidades) de um ponto. Mas o que será essa "vizinhança", nesse espaço eventualmente estranho? Por acaso, nesse espaço, as retas e os planos se empenam quando um pouco distantes desse ponto? Por acaso, nesse espaço, o critério de medida de distâncias muda de um ponto para um outro "um pouco afastado"? Neste capítulo o leitor encontrará não mais que uma teoria elementar dos vetores, montada de um ponto de vista superior, respigada de pistas para uma generalização futura de operações e conceitos de utilidade prática em Física.

§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES. São sobejamente conhecidas as utilidades geométricas e físicas ordinárias dessas operações (veja a bibliografia). Interessa registrá-las aqui, como referência, para facilitar o desenvolvimento dos capítulos seguintes e tornar a obra auto-suficiente. Suporemos em relação a tudo o que será desenvolvido a seguir, que os módulos de dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento unidade (de medida de distâncias) comum aos respectivos eixos (| xˆ |=1 e | yˆ |=1). Não obstante, estaremos interessados em conseguir resultados com segmentos quaisquer de comparação (ex e ey); passo a passo conseguiremos esse intento.

5O leitor será ajudado na leitura deste livro com a indicação, entre parênteses, do parágrafo onde se encontra o conceito ou o assunto em referência.

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

§ 02.01 - Adição de vetores. Soma de vetores. Dados dois vetores u e v, chama-se soma de u com v, e representa-se por u+v (ler: u mais v), o vetor s tal que, dispostos u e v consecutivamente nessa ordem no espaço, a sua origem seja a origem de u e a sua extremidade a extremidade de v. Escreve-se: s=u+v, lendo-se: s é igual a u mais v. A adição de dois vetores é a operação que tenha por fim determinar a sua soma. Provemos que ela é unívoca. Disponhamos dois vetores quaisquer, u e v, consecutivamente em ordens inversas, a partir de um ponto qualquer do espaço; sejam s e s' os vetores somas em cada caso. Os triângulos formados por esses vetores, num caso e noutro, são iguais, o que acarreta s = s' já que s e s' têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Graficamente, o vetor s, co-inicial com dois vetores a somar, u e v, e cuja extremidade seja a diagonal do paralelogramo construído sobre u e v, é o vetor soma de u com v. Esse processo de obtenção do vetor soma costuma ser designado como "regra do paralelogramo" (Fig. 02.01), sendo já conhecido dos gregos antigos para compor velocidades e forças.

A adição se estende a vários vetores, bastando ordená-los e convencionar que a soma de vários vetores é obtida somando o terceiro com a soma dos dois primeiros, e assim sucessivamente. Escreve-se, então: s = [( u + v ) + w ]+... . A operação é sempre possível porque é sempre possível dispor consecutivamente vetores diversos no espaço. A soma de vetores obtém-se como a "linha de fechamento" da poligonal reversa cujos lados sejam os vetores parcela na soma a ser determinada, conforme esquematizado na Fig. 02.02.

I,§ 02.01

§ 02.01 - Adição de vetores..

Do ponto de vista físico a adição só tem sentido para vetores representantes de uma mesma grandeza física (medidas com a mesma unidade de medida). Com efeito, faria sentido somar força com velocidade? Outra observação se faz necessária. Sempre que recorremos a uma representação gráfica, supomos mentalmente que esta seja feita com certa escala (o segmento unidade é o mesmo para os eixos orientados de todos os vetores envolvidos). Geralmente, entretanto, essas figuras são feitas apenas para orientar e ordenar o raciocínio uma vez que a sua correta construção poderia ser extremamente trabalhosa. Assim, por exemplo, o cálculo do vetor soma de dois outros, dados os seus módulos, sentidos e ângulos de suas direções, pode ser feito com muito mais simplicidade, rapidez e precisão com o uso da Trigonometria e calculadoras de bolso, do que graficamente; supõe-se, obviamente, se esses vetores representam grandezas, que as unidades de medida (de grandezas) que acompanham os seus módulos sejam as mesmas.

Propriedades da adição. 1ª) - É operação associativa:

∀a , b , c :

( a + b ) + c = a + (b + c ) ,

(01)6,

o que é evidente;

2ª) - É operação comutativa:

∀a , b :

a + b = b + a,

(02),

o que também é evidente, pela definição de soma;

3ª) - Adição com o vetor zero: ∀a :

a + o = a,

(03).

Com efeito, pondo MN = a tem-se, obviamente, pela definição: MN + NN = MN; logo, tem-se (03), pois, NN = o . Observando-se, ainda, que MN + MM = MN e que, por (02), MN + NM = MM , tem-se MM = o . Resulta, então, que NN , MM , etc. são iguais ao vetor nulo, isso é, o vetor nulo é único.

4ª) - Adição com vetores opostos: ∀a :

a + ( − a ) = o,

(04).

Pondo-se MN = a , resulta que o vetor NM é oposto a a, porque ambos têm o mesmo módulo, a mesma direção e sentidos opostos. Logo: MN + NM = o , isso é, a + ( − a ) = o.

5ª) - Subtração de vetores: Chama-se diferença de dois vetores u e v, nessa ordem, e se denota por u-v (ler: u menos v), o vetor d tal, que

d = u − v = u + ( − v ). 6 Usaremos, oportunamente, a simbologia da teoria dos conjuntos (veja a lista de "Notações Gerais").

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

A subtração é a operação que tem por fim determinar a diferença de vetores. Esta operação, sempre possível e unívoca, é extensível a vários vetores. É operação inversa da adição. Ademais: a) ∀u :

u − u = o;

b) graficamente, d = u − v obtém-se como a diagonal do paralelogramo construído sobre os vetores co-iniciais u e v, a origem de d sendo a extremidade do subtraendo (Fig. 02.03).

§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. Produto de vetor por número real. Chama-se produto de um vetor v por um número real M e se indica por Mv (que se lê: M vezes v), o vetor u de mesma direção que v (logo, paralelo a v), mesmo sentido que v se M>0 e sentido contrário se M<0, e cujo módulo valha |M||v|; escreve-se, então:

u = Mv . A multiplicação de vetor por número real é a operação que tenha por fim determinar o produto do vetor pelo número real7.

Propriedades da multiplicação de vetor por número real. 1ª) - É sempre possível e unívoca; 2ª) - O produto de qualquer vetor pelo número 1 é o próprio vetor:

1v = v ,

(05),

o que é evidente;

3ª) - A multiplicação é associativa em relação a fatores numéricos,

A ( Bv ) = ( AB) v ,

7 Gibbs deu a essa operação o nome de multiplicação escalar.

I,§ 02.02

(06).

§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real.

Pondo Bv = w, tem-se: A(Bv) = Aw = r. Ora, r tem a mesma direção de v porque r e v têm a mesma direção de w. O sentido de r é o mesmo de w se A>0, ou o sentido contrário se A<0. Mas w tem o mesmo sentido de v se B>0, ou o sentido contrário, se B<0. Logo, r terá o mesmo sentido de v se A e B forem de mesmo sinal e sentido contrário se A e B forem de sinais contrários. O módulo de r vale |A||B||v|. O vetor do segundo membro de (06) tem precisamente as mesmas características de r, isso é, tem a mesma direção que v, o módulo |AB||v| = |A||B||v|, o mesmo sentido de r se A e B tem o mesmo sinal e sentido contrário ao de r se A e B têm sinais contrários;

4ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de números:

( A + B+...) v = Av + Bv +...,

(07).

Demonstraremos a propriedade por indução. Que a propriedade é válida para dois números A e B é fácil provar, bastando considerar: 1°) - que os vetores (A+B)v, Av e Bv são paralelos quaisquer que sejam os sinais de A e B; 2°) - que |Av+Bv| = |A+B||v|, donde a igualdade dos módulos; 3°) - que (A+B)|v| = A|v|+B|v|, donde a igualdade dos sinais dos vetores (A+B)v e Av+Bv. Suponhamos que a propriedade seja válida para N números, isso é, ( A + B+...+ N ) v = Av + Bv +...+ Nv. Pondo A+B+...+N = X e somando Yv a ambos os membros da igualdade anterior, temos: Xv + Yv = Av + Bv +...+ Nv + Yv. Como, por hipótese, a propriedade é válida para dois números reais, temos Xv + Yv = ( X + Y) v , isso é, ( A + B+...+ N + Y) v = Av + Bv +...+ Nv + Yv , e a propriedade é válida para um número qualquer de parcelas dentro dos parênteses;

5ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de vetores,

A ( u + v +...) = Au + Av +...,

(08),

Dispondo-se consecutivamente os vetores u, v, ..., a partir de um ponto arbitrário, O, (Fig. 02.04), obtém-se com o vetor s=u+v+... uma poligonal fechada, que será homotética, de intensidade A, da poligonal (também fechada) formada pelos vetores Au, Av, ... e seu vetor soma As, isso é, As = Au + Av +... . Logo, tem-se (08).

A multiplicação de vetor por número real segue as leis da multiplicação numérica, valendo as seguintes fórmulas:

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

∀A,B,a ,b ,v ,...:

A . o = o, 0. a = o, Aa = o ⇒ A = 0 ou a = o , A (−a ) = − Aa , ( − A ) a = − Aa , A ( a − b ) = Aa − Ab , ( A − B) a = Aa − Ba , vˆ = v / | v |

(09).

Demonstraremos apenas a fórmula (09)18. De (08) temos, para u = v = o, A(o+o) = Ao+Ao. Considerando (03) com a = o, subtraindo Ao de ambos os membros dessa igualdade e agrupando convenientemente no segundo membro, temos:

Ao − Ao = Ao + ( Ao − Ao ). Considerando (04) e a definição de diferença de vetores, deduzimos: o = Ao + o , donde, novamente considerando (03), Ao=o. Suponhamos que o vetor v representasse a grandeza física aceleração, expressa em m/s2. Em vista de (09)8 escreveríamos: v = | v | (m/s 2 ) vˆ . Essa expressão de v destaca, através de v$ , a direção e o sentido (sobre esta) inerentes à grandeza; e através de | v |( m / s 2 ) o seu módulo (sua intensidade) e unidade de medida. Na prática, geralmente, omitimos a unidade de medida, deixando-a subentendida. Se, ainda, M estivesse representando massa expressa em kg, então escreveríamos, aplicando (09)8 e (06):

| f |( unidade de f )f$ = M| a|( kgm / s2 )a$ , expressão que destaca, por f$ ou a$ , a direção e o sentido de f, e por M|a| (kgm/s2) a intensidade e a unidade de medida de f (que é uma força). Repetimos: na prática, muitos desses aspectos ficam subentendidos não devendo trazer confusão ao leitor.

§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória. Sejam dados N vetores ei e N números reais Ai, i = 1, 2, ..., N. Com as operações fundamentais estudadas nos parágrafos precedentes, está perfeitamente definido o vetor

a = A 1e 1 + A 2 e 2 + ... + A N e N ; diremos que a (eventualmente o vetor zero) é uma combinação linear dos vetores ei com coeficientes Ai. Para facilitar e sintetizar as deduções futuras com as combinações lineares vetoriais podemos escrevê-las numa forma mais compacta com o estabelecimento da seguinte convenção, denominada 8 Veja o critério de referência a uma fórmula de um conjunto de fórmulas na seção "Convenções".

I,§ 02.03

§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores.

Convenção Somatória: Toda expressão monômia, contendo índice(s) literal(is) repetido(s) em níveis diferentes é equivalente à soma dos monômios que se obtêm da expressão fazendo o(s) referido(s) índice(s) variar(em) dentro do(s) seu(s) campo(s), previamente fixado(s). Objetivando simplicidade e elegância para as expressões matemáticas, os índices são representados geralmente por letras latinas minúsculas i, j, k, l etc. em tipos bem menores do que as latinas normais do texto, precisamente do mesmo tamanho dos números que indexam as letras na expressão indicada do vetor a. Assim, esta expressão pode ser posta na forma sintética e simples: i

a = A ei ,

(i = 1,2,..., N).

Do ponto de vista físico, uma combinação linear de vetores apresenta uma particularidade que deve ser observada: todas as suas parcelas devem representar, necessariamente, grandezas vetoriais da mesma espécie (com a mesma dimensão) que a representada pelo vetor a. Assim, se este representar uma força, os vetores A1e1, A2e2 etc. deverão também representar forças. Isto implica que os Ai sejam massas e os ei acelerações, ou, eventualmente, que A1 seja massa, e1 aceleração, A2 carga elétrica, e2 campo elétrico etc, para que A1e1, A2e2 etc. representem forças.

§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. Produto escalar. Chama-se produto escalar de dois vetores x e y, e representa-se por x.y (ler: x escalar y), o número real

x. y =| x|| y|cos( x , y),

(01)9.

A multiplicação escalar de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o produto escalar desses vetores. Obviamente, se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x.y será o produto das dimensões de x e de y. Assim, por exemplo, se x representa uma força e y um deslocamento, x.y representa trabalho. Propriedades da multiplicação escalar.

1ª) - É uma operação sempre possível e unívoca; 2ª) - (Interpretação Geométrica): O produto escalar de dois vetores é numericamente igual ao produto do módulo de um deles pela projeção ortogonal do outro sobre o suporte do primeiro.

9 Gibbs deu a esse produto o nome de "direct product" e, embora usasse a mesma notação, lia "x dot y ".

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

Pois, com efeito, temos, de (01):

| x.y | = | x | [| y | cos(x, y )] = | x | projx y ,

(021)10,

onde projxy tem representação evidente, sendo um número real positivo, negativo ou nulo conforme (x,y), o ângulo dos vetores x e y, seja agudo, obtuso ou reto, respectivamente. Similarmente, poderíamos escrever:

x. y =| y|[| x|cos( x, y )] =| y| proj y x,

(022).

Resulta, logo:

x. y = 0

⇔

x ⊥y ,

(03)11.

Se x.y=0, de (021) e (022) concluímos: 1º)- que ao menos um dos vetores é o vetor nulo, caso em que eles são ortogonais (o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor, inclusive a si próprio); 2º)- que é nula a projeção do outro vetor sobre o primeiro, isso é, esses vetores são ortogonais. A recíproca se demonstra analogamente.

Se, porém, para todo y, x.y=0, então x=o, e reciprocamente:

∀y:

x. y = 0

⇔ x = o,

(04).

Com efeito, em (01) |y| e o ângulo (x,y) são quaisquer, o que acarreta |x|=0, isso é, x=o.

3ª) - Para quaisquer vetores x e y, a operação é comutativa:

∀x,y:

x.y = y.x,

(05),

o que é evidente por (01).

4ª) - A operação é associativa em relação a fatores numéricos:

∀M , x , y:

( Mx) . y = M ( x. y) = x. ( My ),

(06).

Observando-se que, se o ângulo de x com y é A, o ângulo de Mx com y é A se M>0 e π-A se M<0, tem-se, de (01):

( Mx ) . y =| Mx|| y|cos( Mx , y) = M| x|| y|cos( x, y ) = M ( x. y). A validade do terceiro membro de (06) pode ser comprovada analogamente.

5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:

∀x , y, z:

( x + y ) . z = x. z + y. z,

De (022) podemos escrever:

w. z =| z| proj z w . 10 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções". 11 O símbolo ⊥ representa ortogonalidade, conforme nossas "Notações Gerais".

I,§ 02.04

(07).

§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores.

Se, nessa igualdade, o vetor w é substituído por uma soma de vetores, o número projzw se distribui em relação a essa soma, porque, conforme a Geometria, a projeção do vetor soma é igual à soma algébrica das projeções dos vetores parcela, isso é,

( x + y ) . z =| z| proj z ( x + y) =| z|( proj z x + proj z y), tendo-se, logo, (07).

6ª) - Fazendo x=y em (01), temos o quadrado escalar ou norma do vetor x; a raiz quadrada positiva da norma é, pois, o módulo do vetor x e escrevemos:

x. x > 0,

| x| = x. x ;

( x.x = 0

⇔

x = o)

(08).

Exercício:

a i .xi = 0

⇐ ∀a i com i = 1,2,... G ⇒

| xi | = 0 .

A dado conjunto {a1, a2, ..., aG} tal que, para certos xi, ai.xi=0, podemos fazer corresponder o conjunto {b1, b2, ..., bG} tal que para todo i, ai +bi =xi . Então

(a i + b i ). xi = (x1) 2 + (x2 ) 2 + ... + (xG )2 = 0 , porque, por hipótese, ai.xi=0 e bi.xi=0. Logo, | x1| = 0 =| x2 | = ... . A recíproca é de demonstração evidente. Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. A multiplicação escalar segue as leis da multiplicação numérica, valendo as seguintes fórmulas:

( a + b ) . ( x + y) = a. x + a. y + b. x + b. y 2

( x + y) . ( x + y) = ( x + y) = x + y + 2 x. y 2

( x + y) . ( x − y) = x − y

etc.,

(09).

As demonstrações dessas fórmulas são simples, decorrendo imediatamente das propriedades fundamentais. De uma forma mais abrangente poderíamos escrever, lembrando a convenção somatória (§ 02.03): i

(A e i ). ( B r j ) = A B e i . r j

( i = 1,2,..., N; j = 1,2,... , M ),

(10),

expressão cujo segundo membro apresenta NxM parcelas porque é um monômio com dois índices repetidos.

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. Produto Vetorial. Chama-se produto vetorial dos vetores x e y, e se indica por x×y (ler: x vec y), o vetor ortogonal ao plano definido por x e y, tal que |x×y| = |x||y|sen(x,y) e tal que o triedro definido pelos vetores x×y, x e y, nessa ordem, seja positivo (Fig. 02.05)12 .

A multiplicação vetorial de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o produto vetorial desses vetores13. Se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x×y será o produto das dimensões de x e de y. Assim, se x é vetor posicional e y representar força, x×y representará um momento (que tem a mesma dimensão de trabalho). Propriedades da multiplicação vetorial.

1ª) - É operação sempre possível e unívoca. 2ª) - (Interpretação geométrica): O módulo do produto vetorial de dois vetores é numericamente equivalente à área do paralelogramo construído sobre esses vetores. Com efeito, pois se x e y são os vetores e se A é o ângulo formado por eles, então |y|senA é (numericamente) a altura H do paralelogramo que tem |x| por base (Fig. 02.06).

12 Para se fixar o sentido de x× y usamos a regra do observador. Imagina-se um observador com os pés na origem comum dos vetores e com o corpo disposto no sentido de x× y; se, estando esse observador voltado para o interior do triedro x× y, x, y, ele enxergar x à sua direita e y à sua esquerda, o triedro será direto. 13 Gibbs deu ao produto vetorial o nome de skew (ou cross) product, escrevia x × y e lia x cross y.

I,§ 02.05

§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores.

Sendo:

| x × y |=| x || y | sen(A) , resulta: | x × y |=| x | H , isso é, o módulo do produto vetorial é numericamente igual à área do paralelogramo que tem x e y por lados. Em razão desta interpretação geométrica o produto vetorial é usado em muitas situações, na Física notadamente, como um "vetor-área", ou como um "elemento paralelogrâmico" de área. Deduzimos, logo:

Uma CNS para que dois vetores sejam paralelos é que o seu produto vetorial seja o vetor zero:

x×y = o

⇔

x || y ,

(01)14.

Se x×y=o, a área do paralelogramo construído sobre x e y é nula. Então, os vetores x e y são paralelos, um deles, ou ambos, podendo ser o vetor zero (o vetor zero é paralelo a qualquer vetor). A recíproca é evidente. Se x || y (um deles ou ambos podendo ser o vetor zero), o ângulo (x,y) é o ângulo nulo; então sen(x,y)=0 e o módulo de x × y é zero, ou seja, x×y = o . É óbvio que:

∀x :

x×x = o,

(011).

3ª) - A operação é anticomutativa, isso é,

x × y = −y × x ,

(02).

Com efeito, os vetores x × y e y × x têm o mesmo módulo, são ambos perpendiculares ao plano definido por x e y (têm, pois, a mesma direção), mas têm sentidos opostos. Logo x × y e −y × x são iguais.

4ª) - A operação é associativa em relação a fatores escalares:

∀M, x, y :

(Mx) × y = M(x × y ) = x × (My ) ,

(03).

De fato, independentemente de ser M>0 ou M<0 as direções dos vetores de ambos os membros de (03) são a da normal ao plano de x e y e seus módulos são obviamente iguais (porque são iguais o seno de um ângulo e o seno do suplemento desse ângulo). Quanto ao sentido dos vetores, deve-se observar que se M>0 os sentidos dos vetores (Mx) × y , M( x × y ) e x × (My) são os mesmos, obviamente; se M<0, o sentido de Mx se inverte e o sentido de (Mx) × y é contrário ao de x × y que, por sua vez, terá seu sentido invertido quando for multiplicado por M<0. Analogamente raciocinaríamos em relação aos vetores x × (My) e x × y . 14 O símbolo || representa paralelismo, conforme nossas "Notações Gerais".

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:

∀x, y, z :

z × (x ± y ) = z × x ± z × y

(04).

Consideremos a Fig. 02.07 onde se destacam os vetores x, y, x+y, z, z × x e z × y .

Projetemos ortogonalmente sobre o plano ortogonal a z os vetores x, y e x+y. Os vetores OB1 e OC1 são, necessariamente, coplanares com z × x = OC′ e z × y = OB′ , e B'ÔC' = B1ÔC1 porque seus lados são perpendiculares; logo, o paralelogramo OC'D'B' é rotohomotético de OB1D1C1 sendo π/2 o ângulo de rotação e a razão de homotetia |z|. Então: OD ′ = z × OD1 = z × OD , ou seja,

z × x + z × y = z × (x + y ) . Sendo B′C ′ = z × B1C1 = z × BC , tem-se, também:

z × x − z × y = z × (x − y ) . Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. A multiplicação vetorial segue as leis da multiplicação numérica, respeitada a anticomutatividade. Tem-se, por exemplo:

(a + b) × (x + y ) = a × x + a × y + b × x + b × y, (x − y ) × (x + y ) = 2x × y etc.. Obviamente, tal como mostramos para o caso da multiplicação escalar de duas combinações lineares vetoriais,

(A i e i ) × (B jr j ) = A i B je i × r j ,

(i=1,2,...,N; j=1,2,...,M)

(05).

É claro que, não obstante as diferentes representações físicas das letras Ai, B j e dos vetores ei, rj, o segundo membro de (05) deve representar uma soma de vetores de mesma dimensão, necessariamente. À igualdade (05) pode dar-se expressão mais simpática quando as combinações lineares vetoriais com as quais se efetua o produto vetorial assumem as formas particulares seguintes: a = A i e i e b = B je j , i, j = 1 ou i, j = 1,2, ou i, j = 1,2,3. I,§ 02.05

§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores.

Nesses casos temos, respectivamente:

a×b = o ,

a×b =

A1 B1

e2 × e3 A

A2 e ×e , B2 1 2 e 3 × e1

e1 × e 2

(06),

desde que convencionemos desenvolver o pseudo-determinante (ou determinante simbólico) (06)3 entendendo os vetores da primeira linha como se fossem números. Com efeito, para i,j=1 os vetores a e b são paralelos a e1 e a × b = o . Para i,j=1,2 deduzimos, lembrando a anticomutatividade da multiplicação vetorial e a nulidade do produto vetorial com vetores iguais:

a × b = (A 1e1 + A 2 e 2 ) × (B1e1 + B 2 e 2 ) = = A1B 2 e1 × e 2 + A 2 B1e 2 × e1 = (A1 B 2 − A 2 B1 ) e1 × e 2 , expressão equivalente a (06)2. Para i,j=1,2,3 podemos efetuar cálculos análogos e comprovar, facilmente, (06)3. Identidade de Lagrange. Uma conexão entre os produtos escalar e vetorial de dois vetores é realizada pela identidade seguinte, que denominamos identidade de Lagrange: ∀x, y :

(x.y) 2 + (x × y ) 2 = x 2 y 2 ,

(07),

ou sua equivalente, ∀x, y :

(x × y ) 2 = (x × y ).(x × y ) =

x.x x.y y.x y.y

(071).

Sabemos que:

x. y =| x|| y|cos( x , y), e | x × y |=| x || y | sen(x, y ) . Então, elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade e somando membro a membro encontramos (07). Lembrando a teoria dos determinantes e a propriedade comutativa da multiplicação escalar de vetores encontra-se logo (071).

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

Consideremos, agora, os vetores a e b, combinações lineares arbitrárias dos vetores (quaisquer) e1 e e2:

a = A1e1 + A 2 e 2 e b = B1e1 + B 2 e 2 . Os vetores a, b, e1 e e2 são, obviamente, coplanares. Escrevendo as expressões de a.e1, a.e2, b.e1 e b.e2 podemos, em seguida, calcular a diferença entre (a.e1)(b.e2) e (a.e2)(b.e1). Encontramos, facilmente, após simplificações e evidências:

a. e 1

a. e 2

b. e 1

b. e 2

[( e 1 ) ( e 2 ) − ( e 1 . e 2 ) ].

Lembrando (07) notamos que o número entre colchetes, no segundo membro, é o quadrado de e1×e2. Assim, multiplicando escalarmente ambos os membros de (06)2 por e1×e2 e comparando o seu segundo membro com o segundo membro da expressão obtida acima, deduzimos:

∀a, b, e1 , e 2 , coplanares :

(a × b).(e1 × e 2 ) =

a.e1

a.e 2

b.e1 b.e 2

(08).

Obviamente, (08) é uma forma mais geral da Identidade de Lagrange (071).

§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores. Produto misto. Chama-se produto misto de três vetores x, y e z, nessa ordem, e indica-se por (xyz), o produto escalar do produto vetorial dos dois primeiros vetores (que é um vetor) pelo terceiro:

(xyz) = x × y.z ,

(01).15

A multiplicação mista de três vetores é a operação que tem por fim determinar o produto misto desses três vetores. Propriedades da multiplicação mista.

1ª) – É uma operação sempre possível e unívoca. 2ª) – (Interpretação geométrica) O produto misto de três vetores representa, em grandeza e sinal, a medida numérica do volume do paralelepípedo construído sobre esses vetores dispostos co-inicialmente numa representação gráfica. 15 Gibbs denominou esse produto de scalar triple product e usava a notação [xyz].

I,§ 02.06

§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores

Consideremos a Fig. 02.08 onde se representam os vetores x, y e x × y . Da definição de produto escalar escrevemos:

(xyz) = x × y.z =| x × y || z | cosA .

Ora, |z|cosA - distância (numérica) da extremidade de z ao plano (x,y) - é positiva se z forma com x × y um ângulo agudo, isso é, se z e x × y estão no mesmo semi-espaço em relação ao plano (x,y); é negativa em caso contrário. O módulo de x × y é numericamente igual à área do paralelogramo construído sobre x e y (§ 02.04, propr. 2ª), paralelogramo este que, por sua vez, é uma base do paralelepípedo construído sobre x, y e z. Logo |x×y||z|cosA é numericamente igual ao volume desse paralelepípedo (positivo ou negativo). Em vista desta interpretação geométrica poderíamos denominar o produto misto de "produto caixa" ou "produto paralelepípedo". * Exercício: Demonstre que |( xyz)| ≤ | x|| y|| z| , isso é, o volume de um paralelepípedo oblíquo é menor que ou no máximo igual ao volume do paralelepípedo reto que tenha as mesmas arestas. * 3ª) - (Nulidade do produto misto) Resulta logo:

Uma CNS para que seja nulo o produto misto de três vetores é que eles sejam coplanares (podendo ser todos não paralelos, dois deles paralelos, ou os três paralelos). De fato, em qualquer um dos casos uma das dimensões do paralelepípedo seria nula e seu volume se anularia. Com outras palavras, diríamos, também:

Uma CNS para que três vetores sejam coplanares é que seu produto misto seja nulo, ou, ainda:

É nulo um produto misto com dois vetores paralelos:

( xxz) = ( xzz) = ... = 0,

(02).

4ª) - É associativa em relação a fatores escalares:

∀M, x, y , z :

M (xyz ) = M(x × y.z ) = (Mx) × y.z = ... ,

(03).

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores.

Essa propriedade decorre imediatamente da associatividade das multiplicações escalar e vetorial.

5ª) - Um produto misto não se altera quando se permutam ciclicamente os vetores que o compõem:

∀x , y, z:

( xyz) = ( yzx ) = ( zxy),

(04),

mas muda de sinal quando se permutam os vetores na ordem anti-cíclica:

(xyz) = −( yxz) = −(xzy) = −( zyx),

(041).

De fato, no primeiro caso (permutação cíclica) o volume do paralelepípedo manterse-ia em grandeza e com o mesmo sinal; no segundo, mudar-se-ia apenas o sinal.

6ª) - Os símbolos operatórios são comutativos: ∀x, y , z :

x × y.z = x.y × z ,

(05),

pois, pela propriedade anterior e pela comutatividade da multiplicação escalar, tem-se:

x × y.z = y × z.x = x.y × z . Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais. Tal como nos casos anteriores, se os vetores x, y, e z, no produto misto (xyz), forem combinações lineares vetoriais, isso é, por exemplo, se i

x = X ei ,

y = Y rj com

z = Z sk ,

(i = 1,2,..., N ;

j = 1,2,..., M;

k = 1,2,..., P) ,

então:

( xyz) = X i Y j Z k ( e i r js k ),

(06),

igualdade cujo segundo membro tem NxMxP parcelas. Com efeito, pois, conforme vimos (§ 02.05): x × y = X i Y je i × r j , igualdade cujo segundo membro contém NxM parcelas. Logo (§ 02.04),

x × y.z = (xyz) = X i Y j Z k e i × r j .s k = X i Y j Z k (e i r js k ) , o último membro contendo (NxM)xP parcelas. I,§ 02.06

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Não obstante as diferentes representações físicas que as letras Xi, Yj, Zk e os vetores ei, rj, sk possam ter (cada uma com sua dimensão), deve ser observado que no segundo membro de (06) deveremos ter sempre uma soma de parcelas de dimensões todas iguais à dimensão do primeiro membro. À fórmula (06) pode dar-se uma feição especial quando os vetores x, y e z, são combinações lineares de um mesmo terceto de vetores. Assim,

∀ e1 ,e2 , e3 , Xi , Yi , Zi , x = Xi ei , y = Yi ei , z = Zi ei , (i = 1,2,3): X

( xyz) = ( e 1 e 2 e 3 ) Y

Y ,

3 3

(061).

Aplicando-se a fórmula ((06)3,§ 02.05)16 para o cálculo de x × y e em seguida multiplicando-se escalarmente ambos os membros da expressão obtida por z deduz-se logo (061). Basta, para isso, anularem-se as parcelas em que um dos fatores é um produto misto com vetores iguais (ocorrem seis delas), evidenciar-se o fator comum a todas as outras (aplicando-se a propr. 5ª da multiplicação mista) e reconhecer-se na soma das três parcelas positivas e três negativas remanescentes o determinante do segundo membro de (061).

§ 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. Recordemos inicialmente que, dados N vetores ei e N números reais Ai, existe, determinado e único, o vetor a,

a = A i e i , (i = 1,2,...,N), combinação linear vetorial dos ei. Dados, entretanto, um vetor x e o conjunto dos ei, será sempre possível determinar N números reais Xi tais, que

x = X i e i , (i = 1,2,...,N) ? No primeiro caso, a função linear vetorial dos ei é uma identidade vetorial. No segundo caso, essa função é uma equação vetorial de variáveis escalares, devendo-se procurar números Xi - que se chamam incógnitas da equação - que a tornem uma identidade; determinar esses números é procurar as soluções da equação, ou resolver a equação. Importa considerar para as operações que serão definidas a seguir, que os módulos de dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento unidade de medida de distâncias comum aos respectivos eixos (| x$ | e | y$ | = 1). Nesse caso 16 Conforme nossas "Convenções", ((06)3, § 02.05) significa: a terceira fórmula do grupo (de fórmulas) (06), do § 02.05, do presente capítulo.

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

poderemos escrever: x =| x | xˆ e y =| y | yˆ . Uma vez estabelecida essa convenção poderemos adotar quaisquer vetores não nulos paralelos a x e a y, digamos ex e ey, para servirem de “nova” unidade de medida. Escreveremos, nesse caso: x = ± | x |e x e x e

y = ± | y | e y e y , onde com | x|e estamos representando a quantidade necessária de ex para x

formar x e com | y | e y a quantidade de ey para formar y. Então:

| x |= | x | e x | e x |

| y |= | y | e y | e y | ,

| x |ex = | x | | e x |

| y |ey = | y | | e y | .

de onde deduzimos:

Assim, quando se adota ex para comparação, o módulo do vetor x (isso é, | x|e ) difere do x

seu módulo (|x|) quando se adota xˆ para comparação apenas por um fator igual ao inverso do módulo de ex. A mesma análise se faz com relação ao vetor y. O uso de vetores quaisquer para referência em uma, duas ou três direções distintas, nas condições expostas, é perfeitamente admissível desde que os vetores recíprocos sejam utilizados na forma apresentada nos parágrafos seguintes.

§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos. Inversão na reta. Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dada reta (r).

Teor. 1: (existência) Se e1≠o é paralelo à reta (r), existe um e um único e1≠o paralelo a (r) tal, que

e 1 .e 1 =1,

(01).

Com efeito, e1 e e1 devem ter, necessariamente, o mesmo sentido para que (01) subsista, o que é sempre possível; logo, bastará que se determine o e1 paralelo a (r) que tenha por módulo o inverso do módulo de e1, número esse que se determina univocamente.

Definições: Os vetores e1 e e1 paralelos a dada reta (r), cujo produto escalar seja igual a um, são denominados vetores recíprocos ou duais na reta. A operação, sempre possível e unívoca numa reta, que tem por fim determinar o recíproco de dado vetor paralelo a essa reta, denomina-se inversão nessa reta. ⇒ Construção gráfica de vetores recíprocos na reta. I,§ 03.01

§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos.

Seja T o ponto de contato da tangente à circunferência de centro na origem de e1 e de raio unitário (circunferência de inversão)17, situada num plano qualquer que contenha o vetor e1. Seja X a projeção de T sobre o suporte de e1. Da semelhança dos triângulos retângulos OTX e OET deduz-se: OX : 1 = 1 : OE. Como e1 e o vetor de origem O e extremidade X, x, têm a mesma direção podemos escrever x . e1 = 1, isso é, x=e1 (Fig. 03.01). Se fosse |e1|<1 far-se-ia a construção no sentido inverso.

⇐

Teor. 2: ∀ a1, b, e1 paralelos,

a1 a1.e1 b

b.e1

=o,

(02) 18.

Com efeito, se ao menos um dos vetores é o vetor zero a identidade é evidente porque o determinante (02) teria uma fila (linha ou coluna) com elementos nulos. Se os vetores são todos não nulos, podemos escrever: a 1 =| a 1 | u$ , b =| b| u$ , onde u$ é o unitário da direção comum a esses vetores. Temos, então, evidentemente, para qualquer e1 (paralelo a u$ ): (b.e 1 )a1 =| a 1 || b || e1 | uˆ e (a 1 .e1 )b =| b || a1 || e1 | uˆ . A igualdade dos primeiros membros dessas expressões (já que os segundos são iguais) é, obviamente, equivalente a (02). O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta.

Corol. 1: Todo vetor a, colinear com os recíprocos e1 e e1, pode ser expresso como combinações lineares vetoriais únicas desses vetores, isso é:

a = (a.e1)e1 ∀a, {e1}, {e1} paralelos :  , 1 a = (a.e1)e

(021).

Com efeito, se fizermos na identidade geral (02), b = e1, a1=a e desenvolvermos o determinante considerando (01), obteremos (021)2; em seguida, se fizermos b = e1, a1=a e e1 = e1 obtemos (021)1. Nota: 17 Esse problema é típico do estudo das transformações das figuras por inversão. 18 Já convencionamos desenvolver um pseudodeterminante como se os vetores fossem números; veja ((06) , 3 §02.05).

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Deve ser observado que se a representasse uma grandeza física, digamos uma força, esta poderia ser representada por qualquer das expressões (021) com uma mesma unidade de medida (digamos, N) embutida nas expressões de a.e1 e a.e1. Mas as quantidades a.e1 e a.e1 são diferentes porque representam, respectivamente, quantidades de a referidas a e1 e e1, as quais são diferentes (nesse caso, inversas). Veremos, passo a passo, que a existência dos vetores recíprocos elimina a imposição desnecessária (§ 02.01) de que os vetores de referência tenham os mesmos módulos em todas as direções.

Corol. 2: A CNS para que dois vetores quaisquer, a e e1 ≠ o , sejam paralelos, é que a=A1e1, sendo A1 um número real qualquer:

a || e1 ⇐ e1 ≠ o ⇒ a = A1e1 ,

(022)19.

A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de produto de vetor por número real.

Corol. 3: A CNS para que dois vetores e1 e e2 sejam paralelos é que exista uma combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não simultaneamente nulos20:

e1 || e 2 ⇔ A1e1 + A 2e 2 = o ou, A i e i = o, A i nsn, (i = 1,2) ,

(023).

Se e1 e e2 são nulos eles são paralelos e satisfazem a condição com quaisquer valores de A1 e A2. Se ao menos um deles não é nulo, e1 por exemplo, então, pelo Corol. 2: e2 = A'1e1. Mas sendo sempre possível determinar dois números A1 e A2 ≠ 0 tais que A'1 = A1/A2, resulta: A1e1+A2e2 = o. A recíproca se demonstra analogamente.

Corol. 4: Se e1≠o, a solução da equação em X, e1X = a, é X = a.e1:

e1 ≠ o e e1 X = a

⇒

X = a.e1 ,

(024).

Com efeito, por (022), a e e1 são paralelos; e por (021), tem-se: X = a.e1.

⇒ Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta. Consideremos sobre uma reta, em relação a uma origem arbitrária, O, o "ponto unidade", U, isso é, o ponto distante 1 de O, e dois outros, X1 e X2. Os vetores posicionais correspondentes (relativos a O) são uˆ para U (um vetor unitário), x1 para X1 e x2 para X2. 19 As indicações entre os símbolos ⇐ e ⇒ representam as mesmas hipóteses nos dois sentidos, conforme as nossas "Notações Gerais". 20 Usaremos doravante, oportunamente, a abreviatura nsn para representar "não simultaneamente nulos", conforme as nossas "Notações Gerais".

I,§ 03.01

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

Seja, então, X o ponto corrente da reta, de posicional x. Os módulos desses vetores representam as distâncias dos pontos correspondentes à origem. A cada módulo juntaremos o sinal + se o sentido do vetor correspondente for coincidente com o de uˆ ; e o sinal – em caso contrário. O módulo do vetor posicional acompanhado do sinal é a abscissa da sua extremidade. Chama-se razão anarmônica dos quatro pontos X, U, X1 e X2, nessa ordem, o número definido pela expressão:

XX 1 UX 2 XX 2 UX 1

(03),

em que os segmentos são orientados. Como o domínio de trabalho é a reta, esses segmentos podem ser substituídos pelas diferenças das abscissas (x, x1 etc.) de suas origens e extremidades, caso em que

( x 1 − x )( x 2 −1) ( x 2 − x )( x 1 −1)

(031).

A razão anarmônica dos quatro pontos é, então, uma função homográfica em que a variável independente é a abscissa do ponto corrente X da reta. Para o que nos interessa no presente livro essa questão da determinação da razão anarmônica de quatro pontos não pode ainda ser mais desenvolvida. Voltaremos a ela repetidas vezes. ⇐

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dado plano. Estes, têm os conjuntos dos vetores paralelos a uma reta como um subconjunto, desde que a reta seja paralela ao plano. Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano.

Teor. 1: (existência) Dado um par {e1,e2} de vetores não paralelos, existe um e um único par {e1,e2} de vetores também não paralelos, do plano (e1,e2) tal, que:

e 1 .e 1 = e 2 .e 2 =1 e e 1 .e 2 = e 2 .e 1 = 0,

(01).

Com efeito, apliquemos e1 e e2 num ponto qualquer, O. Sobre as normais a e1 e e2 conduzidas por O, no plano (e1,e2), é sempre possível determinar univocamente os vetores e1 e e2, respectivamente, tais, que: e 1 . e 1 = e 2 . e 2 = 1 . De fato, devendo ser

| e 1 || e 1 |cos( e 1 , e 1 ) = | e 2 || e 2 |cos( e 2 , e 2 ) = 1, bastará que e1 e e2 tenham por módulos os recíprocos das projeções dos módulos de e1 e e2, respectivamente, sobre os seus suportes; tem-se então, para i = 1,2: | ei | = 1/| ei |sen(e1, e2 ) = 1/| OE i |, o ponto Ei sendo a projeção ortogonal da extremidade de ei sobre o suporte de ei. Sendo, ainda, por construção, e1 perpendicular a e2 e e2 perpendicular a e1, deduzimos: e1.e2 = e2.e1 = 0, o que comprova o Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

teorema. Considerando-se que os ângulos (e1,e2) e (e1,e2) são suplementares, tem-se também: | ei | = 1/| ei |sen(e1 , e2 ) = 1/| OE i |, o ponto Ei sendo a projeção ortogonal de ei sobre o suporte de ei. Então: | e1|| e1|sen(e1 , e2 ) =| e1|| e1|sen(e1, e2 ) =| e2 || e2 |sen(e1 , e2 ) =.... .

Definições: Os pares (ou sistemas) de vetores coplanares {e1,e2} e {e1,e2} que satisfazem a (01) são denominados pares (ou sistemas) recíprocos (ou duais) no seu plano. Para dois pares recíprocos, os vetores de mesmos índices são ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos. A operação, sempre possível e unívoca num plano, que tem por fim determinar os recíprocos de um par de vetores desse plano denomina-se inversão nesse plano. ⇒ Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano. Sejam U e V as extremidades de dois vetores quaisquer co-iniciais u e v de recíprocos a determinar (Fig. 03.02). A projeção U* (V*), sobre o suporte da normal a v (u), do ponto de contato da tangente à circunferência (de inversão) de raio 1 conduzida pela projeção U' (V') de U (V) sobre essa normal, é o ponto inverso de U' (V'), ou seja, é a extremidade de u* (v*).

Com efeito, pela projeção efetuada podemos escrever: OU' =| u| cos(u, u∗ ) . Conforme já comprovamos (§ 03.01), se O é o centro da circunferência, o segmento OU* é o inverso do segmento OU'. Logo, OU∗ | u| cos(u, u∗ ) = 1. Como devemos ter também u . u∗ = 1 =| u|| u∗ | cos(u, u∗ ) , U* é a extremidade de u*. Grupo Ortocêntrico no plano Sejam 1 e 2 os pontos de interseção dos suportes dos pares de recíprocos homólogos no plano (e1, e1) e (e2 , e2 ) , quando os sistemas recíprocos (e1, e2 ) e (e1, e2 ) são aplicados respectivamente, nos pontos arbitrários O e O* desse plano (Figura 03.03). Em vista da construção realizada o triângulo OO*2 tem o ponto 1 por ortocentro. Logo as retas OO* e 12 são sempre perpendiculares entre si quaisquer que sejam os pontos O e O*. É fácil ver que o grupo de quatro pontos O, O*, 1 e 2 forma um grupo ortocêntrico de pontos, isso é, eles são tais que o triângulo formado por três deles tem I,§ 03.02

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

o quarto ponto como ortocentro (como os vértices de um triângulo e seu ortocentro). Os quatro triângulos formados são denominados um grupo ortocêntrico de triângulos. Desafio: Provar que o incentro de um triângulo e seus três ex-incentros formam um grupo ortocêntrico. Exercício: Demonstrar que são inversas (ou recíprocas) as elipses cujos semi-diâmetros conjugados sejam pares de vetores recíprocos. ⇐ Propriedade fundamental de pares recíprocos.

Teor. 2: Se {e1,e2} e {e1,e2} são pares recíprocos, os produtos vetoriais e1 × e2 e e1 × e2 são recíprocos na reta ortogonal ao plano dos pares:

(e1 × e 2 ).(e1 × e 2 ) = 1 ,

(02).

Com efeito, é o que decorre imediatamente de ((08),§ 02.05) e (01). Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares. Se a, b e c são vetores quaisquer de um plano, os vetores a × b, b × c e c × a são todos paralelos, por serem ortogonais a esse plano. Existem, obviamente, os vetores a × (b × c), b × (c × a), c × (a × b), são geralmente distintos, porém todos pertencem ao plano dos vetores a, b e c. Vetores assim definidos são denominados duplos produtos vetoriais21 por razões óbvias; a dupla multiplicação vetorial no plano, numa certa associação de três vetores, é a operação que tem por fim determinar o duplo produto vetorial desses vetores nessa associação.

Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares)

∀a, b, c, com (abc) = 0 : c × (b × a) = (c.a)b − (c.b)a = (a × b) × c,

(03).

Se um ao menos dos vetores é o vetor zero, (03) é verdadeira por evidência. Se r é um vetor qualquer do plano dos vetores não nulos a, b e c, podemos escrever, aplicando ((08),§ 02.05):

(r × c).(b × a) =

r.b r.a c.b c.a

= (r.b)(c.a) − (r.a)(c.b) = r.[(c.a)b − (c.b)a].

Lembrando propriedades da multiplicação mista, podemos também escrever: 21 Gibbs denominou esse produto de vector triple product.

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

(r × c).(b × a) = r.[c × (b × a)]; então, r.{c × (b × a) − [(c.a)b − (c.b)a]} = 0. Por ser r qualquer, o vetor entre chaves é o vetor nulo conforme ((04), § 02.04); o que justifica, então, os dois primeiros membros de (03). A igualdade do primeiro com o terceiro membro de (03) é de dedução imediata em vista da anticomutatividade da multiplicação vetorial.

Corol. 1: Se {e1,e2} e {e1,e2} são recíprocos,

e1 =

e 2 × (e1 × e 2 ) (e1 × e 2 )

, e2 =

e1 × (e 2 × e1 ) (e1 × e 2 ) 2

(031).

Pois, aplicando (03), escrevemos:

e 2 × (e1 × e 2 ) = (e 2 ) 2 e1 − (e 2 .e1 )e 2 ,

e1 × (e 2 × e1 ) = (e1 ) 2 e 2 − (e1 .e 2 )e1 ;

donde:

e1 .[e 2 × (e1 × e 2 )] = (e 2 ) 2 (e1 ) 2 − (e 2 .e1 ) 2 , e 2 .[e1 × (e 2 × e1 )] = (e1 ) 2 (e 2 ) 2 − (e1 .e 2 ) 2 . Considerando a identidade de Lagrange ((07),§ 02.05) temos, ainda:

e1 .

e 2 × (e1 × e 2 ) ( e1 × e 2 ) 2

= e2 .

e 1 × ( e 2 × e1 ) (e1 × e 2 ) 2

=1;

logo, lembrando as (01), deduzimos as (031). Notas: 1)- As fórmulas (031) podem ser demonstradas geometricamente sem recorrência às fórmulas (03) e (01); 2)- Nos numeradores das (031) os parênteses são dispensáveis, pois, por exemplo:

e 2 × (e1 × e 2 ) = (e 2 × e1 ) × e 2 = (e 2 ) 2 e1 − (e 2 .e1 )e 2 . Evidentemente, podemos também escrever:

e1 =

e 2 × (e1 × e 2 ) (e1 × e 2 ) 2

, e2 =

e1 × (e 2 × e1 ) (e1 × e 2 ) 2

(032).

Teor. 4: ∀ a1, a2, e1, e2 e b coplanares:

a1 .e1

a 1 .e 2

a 2 .e1

a 2 .e 2 = o ,

b.e 1

b.e 2

Com efeito, usando (03) podemos escrever a identidade: I,§ 03.02

(04).

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

[b × (e1 × e 2 )] × (a1 × a 2 ) + [(a1 × a 2 ).(e1 × e 2 )]b = o uma vez que a1 × a2.b = 0 (a1,a2 e b são coplanares). Operando na primeira parcela escrevemos, ainda, mais uma vez aplicando (03):

[b × (e1 × e 2 ).a 2 ]a1 − [b × (e1 × e 2 ).a1 ]a 2 + (a1 × a 2 ).(e1 × e 2 )]b = o Lembrando, agora, propriedade da multiplicação mista, escrevemos:

(a 2 × b).(e1 × e 2 )a1 − (a1 × b).(e1 × e 2 )a 2 + (a1 × a 2 ).(e1 × e 2 )b = o . Aplicando ((08),§ 02.05), esta expressão pode ser escrita na forma:

a 2 . e1

a 2 . e2

b. e 1

b. e 2

a1 −

a 1. e1

a1 . e2

b. e 1

b. e 2

a2 +

a 1 . e1

a1 . e2

a 2 . e1

a 2 . e2

b = o,

ou, ainda, na forma do determinante simbólico (04), como facilmente se comprova. O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos.

Corol. 1: Todo vetor a, coplanar com os pares recíprocos {e1,e2} e {e1,e2}, pode ser expresso como funções lineares únicas dos vetores de cada par: 1

∀a , {e 1 , e 2 } e {e , e } coplanares: (041).

 a = ( a. e 1 ) e + ( a. e 2 ) e = ( a. e i ) e 1 2 i ∃ 1 2 i ( i = 1,2),  a = ( a. e 1 ) e + ( a. e 2 ) e = ( a. e i ) e Com efeito, se aplicarmos (04) para b = a, a1 = e1 e a2 = e2, teremos imediatamente (041)2. Se fizermos ainda, em (04), b = a, a1 = e1 , a2 = e2, e1 = e1 e e2 = e2, obteremos (041)1. Os coeficientes das funções lineares (041) são únicos porque se existissem outros números, A1, A2, A1, A2 tais, que

a = A1e1 + A 2e 2 , ou a = A1e1 + A 2e 2 , deduziríamos:

a.e 1 = A 1 , a.e 2 = A 2 etc, isso é, os números a.e1, a.e2, ... são únicos. Nota: É válida aqui a mesma observação feita relativamente à expressão (021), § 03.01. A existência e a utilização dos pares recíprocos possibilitam total liberdade de expressão e de representação gráfica de um vetor qualquer de um plano já que fica eliminada a imposição de que os vetores e1 e e2, de direções diferentes, tenham o mesmo módulo; isso é, que nas representações gráficas, a todas as direções correspondam vetores de comparação de mesmo módulo (basta que os unitários das direções tenham o mesmo comprimento).

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Corol. 2: A CNS para que um vetor qualquer a seja coplanar com dois vetores não paralelos e1 e e2 é que a seja uma combinação linear de e1 e e2:

(ae1e 2 ) = 0 ⇐ e1 × e 2 ≠ o, ∀a ⇒ a = A1e1 + A 2e 2 = A i ei , (i = 1,2)

(042).

A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de soma dos vetores A1e1 e A2e2.

Corol. 3: A CNS para que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares é que exista uma combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não simultaneamente nulos:

(e 1e 2 e 3 ) = 0 A 1e

⇔ 1 +A

+ A 3 e 3 = o = A i e i , A i nsn (i=1,2,3),

(043).

Sejam e1, e2 e e3 coplanares. Se e1 e e2, por exemplo, forem paralelos, de ((023),§03.01) podemos escrever (se A1 e A2 são nsn): A1e1 + A 2 e2 = o, ou,

A1e1 + A 2 e2 + 0e3 = o, existindo, pois, combinação linear dos vetores com coeficientes não simultaneamente nulos. Se e1 e e2 não forem paralelos, o corolário anterior permitirá escrever: e3 = A ′1e1 + A ′ 2e2 , ou,

A1e1 + A 2 e2 + A 3e3 = o,

porque é sempre possível determinar um terceto de números A1, A2 e A3 ≠ 0 tal, que A 'i = − A i / A 3 (i = 1,2). Também neste caso existirá uma combinação linear nula entre os vetores com coeficientes não simultaneamente nulos. Reciprocamente, existindo a combinação linear Aiei=o com pelo menos A3 ≠ 0, podemos escrever: e3 = A ′1e1 + A ′ 2e2 , com A ′1 = A1 A 3 , e o corolário 2 mais uma vez permite concluir que e1, e2 e e3 são coplanares.

Corol. 4: Se e1 e e2 são não paralelos, as soluções da equação em X1 e X2, e1X1+e2X2=a são X1=a.e1 e X2=a.e2, isso é,

e1 × e 2 ≠ o e e1 X1 + e 2 X 2 = a ⇒ X1 = a.e1 e X 2 = a.e 2 ,

(044).

Com efeito, por (042), a, e1 e e2 são vetores coplanares; e por (041) deduzimos os valores das incógnitas. Exercício 1: Comprove que, quando os vetores das duplas recíprocas { uˆ 2, uˆ 3 } e {u2, u3} são dispostos co-inicialmente num ponto O, a extremidade de u2 é a interseção da normal a uˆ 3 por O com a normal a uˆ 2 pela sua extremidade. Analogamente, mutatis mutandis, em relação a u3. I,§ 03.02

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

Exercício 2: Os unitários u$ 2 e u$ 3 formam um ângulo γ1. O unitário u$ ( γ ) , coplanar com os primeiros, forma um ângulo γ com u$ . Comprove então, que: 2

uˆ ( γ )

1 = [sen ( γ1 − γ ) uˆ 2 + sen γ uˆ 3 ] . sen γ1

Vetores término colineares. O Corol. 3 exige apenas que os coeficientes da dependência linear de três vetores coplanares sejam nsn (não simultaneamente nulos).

Teor. 5: (direto) Se três pontos A, B e C são colineares, seus posicionais a, b e c, respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência linear nula com coeficientes de soma nula. Como os vetores c-a e c-b têm o mesmo suporte, o Corol. 3 do Teor. 2 garante a existência de números nsn L e M tais, que L(c-a)+M(c-b)=o. Então,

La + Mb − (L + M)c = o ,

(05),

isso é, a dependência linear nula de a, b e c tem coeficientes de soma nula.

Teor. 6: (recíproco) Se três vetores co-iniciais a, b e c, de extremidades A, B e C, respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma nula, suas extremidades são colineares. Os vetores a, b e c, por terem dependência linear nula, são coplanares (Corol. 3, Teor. 4); seja La + Mb + Nc = o a expressão dessa dependência com L+M+N=0. Então,

La + Mb − (L + M)c = o , ou seja, L(c − a) + N(c − b ) = o . Pelo Corol. 3, Teor. 2, § 03.01, os vetores c-a e c-b devem ser paralelos. Como ambos têm origem em C, as suas extremidades A e B são colineares com C.

Definição: (vetores término colineares) Vetores co-iniciais com extremidades colineares são ditos término colineares. * Muitos problemas em Geometria Plana podem ser facilmente resolvidos por métodos vetoriais. Qualquer vetor do plano pode ser referido a dois vetores fixos quaisquer desse plano, co-iniciais num ponto arbitrário, tomados como referência. Quando o ponto de início e os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico da solução pode ser apreciavelmente simplificado22. Para o que nos interessa no contexto desta obra faremos menção apenas às várias formas de equação da reta. 22 O leitor poderá consultar obras [1, 2, 4, 8] que detalham as aplicações.

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Varias formas de equação da reta (no plano).

⇒ Um ponto de uma reta tem um "grau de liberdade": o de percorrer a reta; depende, pois, analiticamente falando, de um só parâmetro. Com efeito, pondo, na equação (05), λ=M/L tem-se (1+ λ)c = a + λb . Se, agora, entendermos os pontos A e B como pontos fixos e o parâmetro λ como uma variável real continua (assumindo todos os valores de -∞ a +∞), a cada valor de λ corresponderá um ponto C sobre a reta definida por A e B. Na notação usual o ponto corrente da reta é representado por X e seu posicional por x. Assim e equação vetorial da reta definida pelos pontos A e B é

(1+ λ)x = a + λb ,

(061).

Para x=a deve ser λ=0 (para que resulte uma identidade), posto que os posicionais a e b devem ser distintos. Pondo a equação na forma (λ −1 +1)x = λ −1a + b vê-se que deve ser λ=∞ para x=b, ou seja, ao ponto B corresponde o valor ±∞ do parâmetro. Podemos também procurar a equação da reta que passa por um ponto fixo A e é paralela ao vetor unitário uˆ . Como o vetor x-a, de módulo λ, variável, deve, então, ser paralelo a uˆ , escrevemos x − a = λuˆ , ou seja,

x = a + λuˆ ,

(062),

ou, se estivermos resolvendo um problema no espaço tridimensional,

(x − a) × uˆ = o ,

(062').

As equações (061) e (062) são as equações paramétrica da reta no plano; a forma (062') é a forma normal de equação dessa mesma reta. Consideremos agora a equação x . a = C em que a e C são vetor e escalar constantes. Tem-se: x . a = C =| x || a | cos(x, a) =| a | d em que d é a projeção (constante) de x sobre a. Conseqüentemente os pontos χ pertencem a uma reta ortogonal a a cuja distância à origem é C/|a|=d. A equação dada,

x .a = C ,

(07),

é denominada forma geral de equação de uma reta e pode, evidentemente, ser escrita na forma mais simples aˆ . x = d . Pesquisemos a equação da reta que passa por um ponto fixo A e seja ortogonal à direção uˆ . Ora, x-a deve ser então, ortogonal a uˆ ; logo,

(x − a) . uˆ = 0 ,

(08),

equação essa denominada forma hessiana de representação da reta. Desenvolvendo o primeiro membro podemos escrever, ainda,

x . uˆ = a . uˆ = C , por onde vemos que a constante C é a distância da origem à reta. * I,§ 03.02

(091),

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

Se levarmos em conta que os posicionais a e b admitem os recíprocos a* e b* a equação paramétrica (061) pode assumir uma forma hessiana. Multiplicando-se escalarmente ambos os seus membros por, digamos a*, resulta (1+ λ)x.a ∗ =1 , ou seja,

x.aˆ ∗ =

1 , |a ∗ | (1+ λ )

(092).

A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano). Sejam e1 e e2 dois vetores de extremidades 1 e 2, respectivamente, co-iniciais num ponto 0 do plano que definem; e U o ponto de posicional u=e1+e2, denominado "ponto unidade" do plano em relação a esses vetores. Justifica-se a nomenclatura pelo fato de U ter coordenadas 1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se associarem coordenadas univocamente a um ponto qualquer, P, em termos de certas razões anarmônicas (ver § 03.01). A reta do plano, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta a reta 12 (oposta ao ponto 0) no ponto L0 e as retas suporte de e1 e e2 nos pontos L2 e L1, respectivamente. A reta L1L2 (definida por P, posto que U só dependa dos pontos dados 0, 1 e 2) tem por equação vetorial, (1 + λ )x = u + λ p , (10), em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de λ corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor λj do parâmetro para j=0,1,2, sendo λ j (l

− p) = u − l j ,

(101).

A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1 ou 2) é o número:

X k = (L k L o , UP) =

Lk U L0P . Lk P L0U

em que L 0 U , L 0 P , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos têm a mesma direção, podemos escrever, também:

(u − l k ) . (p − l 0 ) = X k (u − l 0 ) . (p − l k ) , ou, ainda, substituindo os valores de l k − p e u − l 0 obtidos de (101) e simplificando:

Xk = λk / λ0 ,

(11).

Vê-se, assim, que, em relação a um terceto arbitrário de pontos de um plano: 0, 1 e 2, do qual derivamos um ponto unidade, U, univocamente determinado, as coordenadas do ponto genérico desse plano podem ser definidas pelas razões anarmônicas X1, X2, ou pelo terceto de números λ0, λ1 e λ2. Por métodos vetoriais pudemos, assim, estabelecer essa forma de proceder, fundamental em Geometria Projetiva Algébrica (cujo desenvolvimento está fora do escopo deste livro). Nos capítulos seguintes esses conceitos serão transmitidos facilmente para espaços de dimensões maiores. ⇐ Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. Consideremos o conjunto formado por três vetores quaisquer, não coplanares, cujos suportes definem um triedro. É sempre possível aplicar esses vetores co-inicialmente num ponto qualquer do espaço, O, e denotá-los por letras seqüenciais de um alfabeto (a, b e c, por exemplo). Podemos, também, denotá-los por uma mesma letra indexada (e1, e2 e e3, por exemplo), de forma a que o triedro definido por eles seja positivo23 em relação a uma seqüência básica (por exemplo: abc ou 123). Nestas condições diremos também que o terceto e1, e2, e3 é positivo ou direto. Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço.

Teor. 1: (existência) Dado um terceto direto de vetores não coplanares {e1,e2,e3}, existe um e um único terceto direto de vetores não coplanares, {e1,e2,e3} tal, que:

e 1 .e 1 = e 2 .e 2 = e 3 .e 3 = 1 e 1 .e 2 = e 2 .e 3 = e 3 .e 1 = e 1 .e 3 = e 2 .e 1 = e 3 .e 2 = 0,

(01).

Denotemos por e3 um vetor com módulo finito, a determinar, paralelo a e1^e2 e de mesmo sentido que este; seja, então:

e 3 = 1 e1 × e 2 , com E = número finito positivo, E

(A).

Nestas condições e3 encontra-se, em relação ao plano (e1,e2), no mesmo semi-espaço que e3. O ângulo (e3,e3) é agudo, sendo possível determinar, de modo unívoco, um módulo para e3, tal, que: e 3 .e 3 =1, (B). A fórmula (A) dá, então, imediatamente:

E=(e 1 e 2 e 3 ) ,

e 1 .e 3 = e 2 .e 3 = 0,

(C),

uma vez que o segundo membro de (A) é um produto misto com dois vetores iguais. Com um raciocínio análogo poderíamos mostrar a existência de dois outros vetores, e2 e e1, de determinações únicas, satisfazendo relações dos tipos (B) e (C) que, em conjunto, ficam resumidas a (01). Das igualdades (01) consideremos, por exemplo, e 3 .e 1 = e 3 .e 2 = 0 . Então, e3 é ortogonal ao plano (e1,e2); logo, podemos escrever, pela definição de produto vetorial de

23 Relembremos que, segundo a regra do observador, um triedro definido pelos vetores co-iniciais e , e , e é 1 2 3 positivo quando este, voltado para o interior do triedro, com os pés na origem comum dos vetores e com o corpo dirigido segundo o vetor ei , vê o vetor ej à sua direita e o vetor ek à sua esquerda, desde que ijk forme uma permutação par do grupo (123).

I,§ 03.03

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

dois vetores: e 3 = 1∗ e1 × e 2 , onde E* é um número finito positivo a determinar (não nulo E porque e3 tem módulo finito). Considerando (B), deduzimos:

E ∗ = (e 1e 2 e 3 ) ≠ 0. Concluímos, assim, que os ei são não coplanares. Em resumo, então:

e1 = (e 2 × e 3 ) /(e1e 2 e 3 ),

e 2 = (e 3 × e1 ) /(e1e 2 e 3 ),

e 3 = (e1 × e 2 ) /(e1e 2 e 3 ),

(02),

e1 = (e 2 × e 3 ) /(e1e 2 e 3 ),

e 2 = (e 3 × e1 ) /(e1e 2 e 3 ),

e 3 = (e1 × e 2 ) /(e1e 2 e 3 ), (021),

igualdades que mostram que se {e1, e2, e3} é direto, então, {e1, e2, e3} é direto; e reciprocamente.

Definições: Os tercetos (ou sistemas) de vetores {e1,e2,e3}≡{e } e {e1,e2,e3}≡{e*}, que * satisfazem a (01), são denominados tercetos (ou sistemas) recíprocos (ou duais) no espaço. Para dois tercetos recíprocos, os vetores de mesmos índices são ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos. A operação, sempre possível e unívoca no espaço, que tem por fim determinar os recíprocos de dado terceto de vetores não coplanares, denomina-se inversão no espaço. Nota: Deve ser observado que os vetores e1, e2 e e3, recíprocos de e1, e2 e e3 no E3, não têm haver com os recíprocos dos pares (e1, e2), (e2, e3) e (e3, e1), pois cada par admite um par recíproco no seu próprio plano (§ 03.02).

Exercícios: 1) - Mostrar que se {u 2 ,u 3} e {u 2 ,u 3} são sistemas recíprocos num plano, então, se

nˆ é um unitário normal a esse plano, os sistemas {nˆ , u 2 , u 3 } e {nˆ , u 2 , u 3 } são recíprocos no espaço. 2) - Existe um e apenas um elipsóide que admite três vetores não coplanares quaisquer por semi-diâmetros. Então, o elipsóide que admite os vetores de um terceto por semi-diâmetros, é inverso do elipsóide que admite por semi-diâmetros os vetores do terceto recíproco do primeiro24. ⇒ Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço. A superfície esférica de raio unitário centrada na origem comum dos vetores, O, intercepta o conhecido plano definido pelos recíprocos homólogos e1 e e1 (ortogonal ao definido por e2 e e3) segundo a circunferência de raio um e centro O. Se | e1|>1 e E1 é a 24 Exploraremos um pouco mais esse assunto no Cap. V, Tomo II.

Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

projeção ortogonal da extremidade de e1 sobre o suporte de e1, então o vetor e1 e o vetor de extremidade E1 têm também o mesmo sentido. A projeção ortogonal, E1, do ponto de contato, T, da tangente à circunferência, conduzida por E1, sobre o suporte de e1, define a extremidade de e1 (Fig. 03.04).

Com efeito, por evidência, OE1 =| e1| cos(e1, e1) . Sendo, ainda, OE x OE 1 = 1 - pois, da semelhança dos triângulos retângulos OTE1 e OE1T deduzimos OE 1 : OT = OT : OE

tem-se: OE | e1 | cos(e1 , e1 ) = 1 , os vetores de extremidades E1 e E1 tendo o mesmo sentido. Mas devendo ser e1 . e1 = 1 , e tendo então o vetor de extremidade E1 a mesma direção, o mesmo módulo e o mesmo sentido que e1, resulta que a extremidade de e1 é E1. Se |e1|<1 aplica-se a operação inversa da descrita para a determinação do recíproco. Não é difícil interpretar o caso em que um dos vetores tem módulo igual a um. ⇐ Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos.

Teor. 2: São números recíprocos os produtos mistos dos vetores de tercetos recíprocos ordenados homologamente:

(e1e 2 e 3 )(e1e 2 e 3 ) = 1 = (e 3 e1e 2 )(e 3 e1e 2 ) = ... ,

(03).

Da fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares ((03),§ 03.02), temos:

e 2 × (e 2 × e 3 ) = (e 2 .e 3 )e 2 − (e 2 .e 2 )e 3 . Multiplicando escalarmente ambos os membros por e3/(e1e2e3) e considerando (02)1 e (01), deduzimos: e 2 × e1 .e 3 = −(e 2 .e 2 ) /(e1e 2 e 3 ) . Como um produto misto não se altera pelo intercâmbio dos sinais operatórios, e 2 .e1 × e 3 = −(e 2 .e 2 ) /(e1e 2 e 3 ) . Dividindo, agora, ambos os membros dessa igualdade por (e1e2e3), considerando (021)2 e simplificando, resultará (03)25. 25 Como se vê, a fórmula (03) pode ser demonstrada sem recorrência à fórmula adiante, de número (04), dita fórmula do duplo produto vetorial no espaço (expressão do Teor. 3).

I,§ 03.03

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

Dupla multiplicação vetorial (no espaço).

Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial)26

∀e1 , e 2 , e 3 : e1 × (e 2 × e 3 ) = (e1 .e 3 )e 2 − (e1 .e 2 )e 3 ,

(04).

A fórmula é válida se os vetores são coplanares, conforme ((03),§ 03.02). Se os vetores não são coplanares eles admitem um terceto recíproco. Temos, considerando (021)3 e propriedade da multiplicação mista:

(e1e 2 e 3 )(e1 .e 3 ) = e1 .e1 × e 2 = e1 × e1 .e 2 . Subtraindo ao primeiro membro desta igualdade o termo nulo (e2.e1)(e3.e2)(e1e2e3) e lembrando que e2.e2=1, podemos escrever:

(e1e2e3)[(e3 . e1)(e2 .e 2) − (e2 . e1)(e3 . e2)] = e1 × e1 . e2 , donde, transpondo termos e fatorando:

{e1 × e1 − (e1e 2 e 3 )[(e 3 .e1 )e 2 − (e 2 .e1 )e 3 ]}.e 2 = 0 . Conforme propriedade da multiplicação escalar, o vetor entre chaves, se não é o vetor nulo, é ortogonal a e2; é também ortogonal a e1 porque seu produto escalar por e1 é nulo. Logo, por (021)3, esse vetor deve ser paralelo a e3. Mas o seu produto escalar por e1 também é nulo. Então esse vetor deve ser paralelo a e3 e ortogonal a e1; logo, só pode ser o vetor nulo, uma vez que e1 e e3 não são necessariamente ortogonais. Assim, se substituirmos na expressão desse vetor, e1 pela sua expressão (02)1, resultará:

e1 × (e 2 × e 3 ) = (e1e 2 e 3 )(e1e 2 e 3 )[(e1.e 3 )e 2 − (e1.e 2 )e 3 ] . Considerando, agora, (03), resulta (04). Generalização da identidade vetorial de Lagrange.

Teor. 4: Tem-se:

∀x, y, a, b : (x × y ).(a × b) =

x.a x.b , y.a y.b

(05).

Com efeito, lembrando propriedade da multiplicação mista e aplicando (04) podemos escrever, sucessivamente: (x × y ).(a × b) = [(x × y ) × a].b = [(x.a)y − (y.a)x].b,

tendo-se, logo, (05). Obviamente, (05) é uma forma mais geral que ((08),§ 02.05). 26 Diferentes deduções originais desta fórmula, sem recorrer a expressões cartesianas dos vetores, foram também apresentadas por: Moreira, L.C.A., Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1957; Bricard R., Le Calcul Vectoriel, Coleção Armand Colin, 1929, e em anexo a demonstração de El Annabi; Chattelun, L., Calcul Vectoriel, tomo I, Gauthier-Villars, 1952; Calaes A. M. , Coleção de Estudos Matemáticos, Editora UFOP, 1993.

Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Teor. 5: ∀ a, e1,e2,e3:

(e1e 2 e 3 )a = (a.e 2 × e 3 )e1 + (a.e 3 × e1 )e 2 + (a.e1 × e 2 )e 3 ,

(06).

Podemos escrever, por evidência:

(e1e 2 e 3 )a = (a.e 2 × e 3 )e1 + (e 2 × e 3 .e1 )a − (e 2 × e 3 .a)e1 = = (a.e 2 × e 3 )e1 + (e 2 × e 3 ) × (a × e1 ), ou, recalculando o duplo produto vetorial na segunda parcela deste último membro:

(e1e 2 e 3 )a = (a.e 2 × e 3 )e1 + (a × e1 .e 2 )e 3 − (a × e1 .e 3 )e 2 . Aplicando propriedades da multiplicação mista e da vetorial às duas últimas parcelas encontramos, logo, (06).

Corol. 1:

∀x, y, e1 , e 2 , e 3 :

e1 (e1e 2 e 3 )x × y = x.e1 y.e1

e2 x.e 2 y.e 2

e3 x.e 3 , y.e 3

(061).

Com efeito, fazendo-se a = x × y , a última parcela do segundo membro de (06) pode ser escrita na forma

(a.e1 × e 2 )e 3 = [(x × y ).(e1 × e 2 )]e 3 =

x.e1 y.e1

x.e 2 e , y.e 2 3

conforme nos possibilita (05). A referida parcela é, então, o produto de e3 pelo seu complemento algébrico no pseudodeterminante em (061). Operando analogamente com todas as parcelas de (06) encontraríamos as demais parcelas do referido pseudodeterminante desenvolvido segundo Laplace pelos elementos da primeira linha, o que comprova (061).

Corol. 2:

∀x,y,z,e 1 ,e 2 ,e 3 :

x.e 1 x.e 2 x.e 3 (xyz)(e 1e 2 e 3 ) = y.e1 y.e 2 y.e 3 , z.e 1 z.e 2 z.e 3

(062)27.

Com efeito, para demonstrar: 1º) basta multiplicar-se escalarmente ambos os membros de (061) por z; 2º) considerar-se que, no segundo membro, essa operação é equivalente a multiplicar escalarmente no pseudo-determinante, a primeira linha de vetores por z; 3º) deslocar-se a primeira linha do determinante assim formado para a posição de terceira linha, o que não altera o seu valor. 27 Deve ser observado que esta fórmula é válida mesmo quando sejam coplanares os vetores do terceto {e1,e2,e3}, ou os do terceto {x,y,z}.

I,§ 03.03

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

Teor. 6:

a1 a2 ∀a i , e i , b (i = 1,2,3) : a3 b

a1 .e1 a1 .e 2 a 2 .e1 a 2 .e 2 a 3 .e1 a 3 .e 2 b.e1 b.e 2

a1 .e 3 a 2 .e 3 =o, a 3 .e 3 b.e 3

(07)28.

Desenvolvendo a identidade óbvia (a1 × a 2 ) × (a 3 × b + b × a 3 ) = o colocada na forma (a1 × a 2 ) × (a 3 × b) − (b × a 3 ) × (a1 × a 2 ) = o e operando de forma conveniente, encontramos: (a1a 2b)a 3 − (a1a 2a 3 )b − (ba 3a 2 )a1 + (ba 3a1 )a 2 = o . Mais uma vez aplicando propriedades da multiplicação mista, escrevemos, ainda:

( a 2 a 3b ) a 1 − ( a 1 a 3b ) a 2 + ( a 1 a 2 b ) a 3 − ( a 1a 2 a 3 )b = o. Multiplicando ambos os membros dessa identidade pelo produto misto (e1e2e3) dos vetores quaisquer e1, e2, e3 e lembrando a fórmula geral (062), temos:

a 2 .e1 a 2 .e 2 a 3 .e1 a 3 .e 2 b.e1 b.e 2 a1 .e1 a1 .e 2 + a 2 .e1 a 2 .e 2 b.e1 b.e 2

a 2 .e 3 a1 .e1 a1 .e 2 a 3 .e 3 a1 − a 3 .e1 a 3 .e 2 b.e 3 b.e1 b.e 2 a1 .e 3 a1 .e1 a1 .e 2 a 2 .e 3 a 3 − a 2 .e1 a 2 .e 2 b.e 3 a 3 .e1 a 3 .e 2

a1 .e 3 a 3 .e 3 a 2 + b.e 3 a1 .e 3 a 2 .e 3 b = o. a 3 .e 3

Não é difícil, agora, comprovar-se que essa identidade é equivalente ao determinante simbólico (07) desenvolvido segundo Lapalace pelos elementos da primeira coluna. O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos.

Corol. 1: É sempre possível exprimir qualquer vetor a do espaço por combinações lineares únicas dos vetores de cada terceto de dois tercetos recíprocos:

a = (a . e1 )e1 + ... = (a . ei )e i ∀a, {e1 , e 2 , e3 }, {e1 , e 2 , e3 } :  (i = 1,2,3), a = (a . e1 )e1 + ... = (a . e i )ei

(071).

Esta fórmula é análoga a ((041),§ 03.02) e sua demonstração pode ser feita por analogia. Assim, por exemplo, se fizermos na fórmula geral (07), b = a, ai = ei (i = 1,2,3) e desenvolvermos o determinante, encontraremos facilmente (071)1. Se fizermos, para i = 1,2,3, ei = ei, ai = ei, e b = a, de (07) deduziremos também (071)2. 28 Esta fórmula tem ((02), § 03.01) e ((04), § 03.02) como correspondentes na reta e no plano.

Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

É fácil interpretar geometricamente o significado dos coeficientes a.ei e a.ei (como veremos no § 04.01), sendo desnecessário, mais uma vez, destacar-se que a existência e a utilização dos tercetos recíprocos eliminam a imposição de que os vetores e1, e2 e e3 devam ter os mesmos módulos (ver § 04.01 à frente) 29.

Corol. 2: A CNS para que três vetores e1, e2, e3 sejam não coplanares é que qualquer a do espaço possa exprimir-se como uma combinação linear única desses vetores:

(e 1e 2 e 3 ) ≠ 0

⇐ ∀a ⇒

∃ a = A e i (i = 1,2,3),

(072).

A condição é necessária pelo Corol. 1. Vamos provar que ela é suficiente por redução ao absurdo, isso é: se qualquer vetor a pode exprimir-se como duas combinações lineares (pelo menos) dos vetores e1, e2 e e3, então esses vetores são coplanares. Pois, escrevendo: a = A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = A ′ 1 e 1 + A ′ 2 e 2 + A ′ 3 e 3 , onde ao menos um dos A difere do correspondente A', deduzimos:

(A 1 − A ′ 1 )e 1 + (A 2 − A ′ 2 )e 2 + (A 3 − A ′ 3 )e 3 = o isso é, os vetores e1, e2 e e3 são coplanares conforme ((043),§ 03.02); o que é um absurdo.

Corol. 3: Uma condição necessária para que quatro vetores e1, e2, e3 e e4 sejam não coplanares é que exista a combinação linear, Aiei = o, (i = 1,2,3,4), com os Ai nsn:

e i não copla nares, (i = 1,2,3,4)

⇒

∃ A e i = o, A nsn,

(073).

A condição é necessária porque se os quatro vetores são não coplanares, existe necessariamente dentre eles um terceto de não coplanares, podendo acontecer, entretanto, que dentre os quatro: 1º) um (apenas) seja o vetor nulo; 2º) dois (apenas) sejam colineares; 3º) três (apenas) sejam coplanares. Então, por (072), o quarto vetor, e4, por exemplo, - o vetor nulo, um vetor paralelo a apenas um dos três, o vetor coplanar com dois quaisquer dos outros três - poderá ser escrito como uma combinação linear única dos três não coplanares e1, e2, e3, na forma: e 4 = Z 1 e 1 + Z 2 e 2 + Z 3 e 3 . Como, para qualquer A4 ≠ 0, é sempre possível determinar um Ai tal que Z i = − A i / A 4 , (i=1,2,3), a substituição desses valores na expressão de e4 nos leva à tese (já que pelo menos A4 ≠ 0).

Corol. 4: Se e1, e2, e3 são não coplanares, as soluções da equação eiXi = a são Xi = a.ei: (e 1 e 2 e 3 ) ≠ 0 e e i X i = a (i=1,2,3) ⇒ X i = a.e i , (074). ⇒ 29 Deve ser observado que para a dedução dessas fórmulas não é necessário recorrer-se à "decomposição cartesiana de um vetor" (conceito que será abordado no § 04).

I,§ 03.03

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores. Sejam {a ,b,c} e {a ∗ ,b ∗ ,c ∗ } sistemas recíprocos30, isso é,

a ∗ = b × c , ... (abc)

∗ ∗ a = b∗ ×∗c ∗ , ... . (a b c )

Definições: As retas suportes de vetores recíprocos homólogos (como a e a* etc.) serão ditas retas homólogas; as demais, não homólogas. Os pares de planos (a,b) e (a*,b*) etc., serão ditos planos homólogos. É clara a correspondência existente entre os planos homólogos e as retas homólogas que lhes são ortogonais. A aplicação de (04) permite concluir imediatamente que

a × a ∗ + b × b ∗ + c × c∗ = o ,

(08).

Com efeito, para o par homólogo (a,a*) escrevemos:

a × a ∗ = a × b × c = 1 [(a.c)b − (a.b)c] , (abc) (abc)

(091),

ou ∗ ∗ a × a ∗ = b∗ ×∗c ∗ × a ∗ = ∗ 1∗ ∗ [(a ∗ .c ∗ )b ∗ − (a ∗ .b ∗ )c ∗ ] , (a b c ) (a b c )

(092).

Para os demais pares escreveríamos expressões similares. Somando as expressões correspondentes a (091), ou as correspondentes a (092), comprovamos facilmente (08). Então os produtos vetoriais dos recíprocos homólogos, formando um contorno fechado (soma nula), são, por isso, coplanares. Por (091) e (092) vemos, ainda, que a × a ∗ é um vetor do plano (b,c), mas também

de (b*,c*). Então a × a ∗ é paralelo à interseção desses planos homólogos, isso é, o suporte

de a × a ∗ é a reta comum a esses planos homólogos. Analogamente, os suportes de b × b ∗ e

c × c ∗ são, respectivamente, as retas comuns dos planos homólogos (c,a),(c*,a*) e (a,b),(a*,b*). Logo: Teor. 7: São coplanares as interseções de planos homólogos de sistemas recíprocos. Consideremos os vetores dos sistemas recíprocos aplicados co-inicialmente num mesmo ponto do espaço; seja π) o plano que contém os produtos a × a ∗ , b × b ∗ e c × c ∗ e e) a reta ortogonal a π) tirada por esse ponto. Como a × a ∗ é ortogonal ao plano (a,a*), resulta que esse plano contém e). Analogamente, podemos comprovar que os planos (b,b*) e (c,c*) contêm o eixo e). Logo: 30 A nova notação, que certamente não dificultará o entendimento, é mais adequada em Geometria.

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

Teor. 8: Os planos das retas homólogas de sistemas recíprocos têm uma reta comum. Definição: A reta e) e o plano π) serão denominados eixo e plano do sistema de vetores recíprocos. Apliquemos, agora, co-inicialmente, os tercetos recíprocos {a , b, c} e {a ∗ , b ∗ , c ∗ } nos pontos arbitrários D e D*, respectivamente, de uma reta qualquer paralela ao eixo e) do sistema. Por força do Teor. 8, os pares de retas homólogas a e a*, b e b*, e c e c* se interceptam necessariamente; sejam, respectivamente, A, B e C essas interseções (Figura 03.05).

Seja, ainda, H a interseção de e) com o plano γ)≡(ABC), plano esse que é, evidentemente, paralelo ao plano π) do sistema. Como a e a* são respectivamente perpendiculares aos planos homólogos (b,c) e (b*c*) que lhes correspondem, o plano (DD*A), além de ser perpendicular ao plano do sistema (por conter uma reta perpendicular a esse plano) é também perpendicular à reta comum desses planos, BC, num ponto A'. Logo: 1°) - tal plano é seção reta do diedro ˆ ′D∗ = γ o ângulo diedro formado pelos planos homólogos (b,c) e (b*,c*), sendo DA 1 correspondente; 2°) - a aresta DA do tetraedro ABCD é ortogonal à sua oposta BC; 3º) – deduções análogas podemos fazer com relação aos dois outros planos homólogos, o que mostra que D* é o ponto de encontro das quatro alturas do tetraedro ABCD.; tal tetraedro particular recebe o nome de ortocêntrico. Logo:

Os tetraedros ABCD e ABCD* associados aos sistemas recíprocos {a , b , c} e {a ∗ , b ∗ , c ∗ } são tetraedros ortocêntricos, D* sendo o ortocentro de ABCD e D o de ABCD*.

I,§ 03.03

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

Não é difícil ver que o grupo dos cinco pontos D, D*, A, B e C forma um grupo ortocêntrico de pontos no espaço, isso é, eles são tais que o tetraedro formado por quatro quaisquer deles tem o quinto ponto como ortocentro. Os quatro tetraedros formados são chamados o grupo ortocêntrico de tetraedros e gozam de várias propriedades. Desafio: É sabido que um tetraedro tem uma superfície esférica inscrita e quatro ex-inscritas (estas, tangentes a cada face e ao prolongamento das outras três); o centro da inscrita é o incentro do tetraedro e os centros das ex-inscritas, os ex-incentros. Provar que, num tetraedro, o incentro e os quatro ex-incentros formam um grupo ortocêntrico. Exercícios: 1) - Os ângulos das retas homólogas de sistemas recíprocos são iguais aos ângulos dos planos homólogos que lhes correspondem. 2) - Em sistemas recíprocos, os ângulos diedros de planos homólogos são iguais às diferenças dos ângulos do eixo do sistema com os vetores recíprocos (homólogos) que lhes são correspondentes. 3) - Verificar as singularidades que ocorrem quando em um dos tercetos de um sistema de vetores recíprocos um vetor é perpendicular ao plano dos outros dois. 4) - Comprovar que para sistemas de vetores recíprocos, a soma de dois vetores quaisquer de um sistema é ortogonal à diferença dos homólogos correspondentes do outro. ⇐ Vetores término coplanares. O Corol. 3 do Teor. 6 exige apenas que os coeficientes da dependência linear nula de quatro vetores não coplanares e co-iniciais sejam nsn.

Teor.9: (direto) Se quatro pontos A, B, C e D são coplanares, seus posicionais a, b, c e d, respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência linear nula com coeficientes de soma nula. Como os vetores d-a, d-b e d-c pertencem ao mesmo plano, o Corol. 3 do Teor. 4, § 03.02, garante a existência de números nsn, L, M e N tais, que L(d − a) + M(d − b) + N(d − c) = o . Então,

La + Mb + Nc − (L + M + N)d = o ,

(10),

isso é, a dependência linear nula de a, b, c e d tem coeficientes de soma nula.

Teor. 10: (recíproco) Se quatro vetores co-iniciais a, b, c e d, de extremidades A, B, C e D, respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma nula, suas extremidades são pontos de um mesmo plano. Os vetores a, b, c e d, por terem dependência linear nula, são não coplanares (Corol. 3, Teor. 6); seja La + Mb + Nc + Pd = o essa dependência, com L+M+N+P=0. Então,

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§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

La + Mb + Nc − (L + M + N)d = o , ou seja, L(d − a) + M(d − b ) + N(d − c) = o . Pelo Corol. 3, Teor. 4, § 03.02, os vetores d-a, d-b e d-c dever ser coplanares. Logo, os pontos A, B, C e D pertencem necessariamente a um mesmo plano.

Definição: (vetores término coplanares) Vetores co-iniciais com extremidades num mesmo plano são ditos término coplanares. É útil lembrar novamente que muitos problemas em Geometria Espacial podem ser facilmente resolvidos por métodos vetoriais. Tal como no caso da Geometria Plana, qualquer vetor do espaço pode ser referido a três vetores desse espaço, co-iniciais num ponto arbitrário, fixos, quaisquer, tomados como referência. Quando o ponto de co-início e os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico é substancialmente simplificado. Para algumas aplicações consulte as obras [1],[2] e [8] listadas na referencia. Interessa-nos apenas mencionar os dois itens seguintes. ⇒ Várias formas de equação de um plano. No E3, duas retas concorrentes quaisquer definem um plano. Um ponto de um plano tem dois "graus de liberdade" porque para atingir uma posição qualquer desse plano esse ponto pode percorrer duas e apenas duas trajetórias paralelas às retas dadas. Isto significa que a determinação analítica de um ponto qualquer do plano dependerá de dois e apenas dois parâmetros (independentes). Como três pontos não colineares, fixos, 1, 2 e 3 (ou duas quaisquer das retas por eles definidas), bastam para determinar unicamente um plano, sua equação, como facilmente se deduz a partir de (09), é

(1+ λ 1 + λ 2 )x = x1 + λ 1 x 2 + λ 2 x 3 ,

(101),

onde x1, x2 e x3 são os posicionais dos pontos 1, 2 e 3, respectivamente, em relação a um ponto arbitrário 0, e λ1 e λ2 são parâmetros variáveis. A forma (101) de representação do plano é denominada paramétrica. Todos os pontos das retas definidas por (x1, x2), (x2 e x3) e (x1, x3) pertencem ao plano (101). Para x=x1 vê-se que deve ser e λ1=λ2=0 porque os pontos não são colineares. Se λ1,λ2≠0 podemos dividir ambos os membros da equação por λ1λ2 e escrevê-la na forma

( 1 + 1 + 1 )x = 1 x1 + 1 x 2 + 1 x 3 , λ 1λ 2 λ 2 λ 1 λ 1λ 2 λ2 λ1

(102).

Para x=x2 tem-se, simplificando termos semelhantes em x2 e em seguida evidenciando o fator comum 1/λ1 em ambos os membros,

1 ( 1 +1)x 2 = 1 ( 1 x1 + x 3 ) . λ1 λ 2 λ1 λ 2 I,§ 03.03

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

Como os pontos não são colineares, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são: λ2=qualquer e λ1=∞. O mesmo raciocínio e a mesma análise permitem concluir que os valores dos parâmetros associados ao ponto 3 são: λ1=qualquer e λ2=∞. A forma, denominada geral, é a que representa o plano que passa por um ponto 1 e é paralelo a duas direções uˆ 1 e uˆ 2 . O vetor x-x1 deve, pois, ser coplanar com uˆ 1 e uˆ 2 ; logo,

(uˆ 1uˆ 2 (x − x1 )) = 0 ,

(11).

A forma normal de representação do plano está ligada à condição desse plano passar por dois pontos, 1 e 2, e ser ortogonal à direção uˆ . Nesse caso, os vetores x-x1 e x-x2, contidos no plano, devem ser simultaneamente ortogonais a uˆ ; logo, o produto vetorial deles deve ser paralelo a uˆ , isso é,

[(x − x1 ) × (x − x 2 )] × uˆ = o ,

(12).

A equação do plano que passa pelo ponto 1 e é perpendicular à direção uˆ é, evidentemente, (x − x1 ) . uˆ = 0 , (13), posto que para o ponto corrente x, o vetor x-x1 deve ser necessariamente ortogonal a uˆ ; esta é a forma hessiana de representação do plano no espaço. O número x 1 : uˆ = d é a distância da origem ao plano. A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço). Sejam e1, e2 e e3 três vetores não coplanares, de extremidades 1, 2 e 3, respectivamente, co-iniciais num ponto 0 do espaço; e U o ponto de posicional u=e1+e2+e3, denominado "ponto unidade" do espaço em relação a esses vetores (ou aos 4 pontos 0, 1, 2 e 3). Justifica-se a nomenclatura, como no caso do plano (§ 03.02) pelo fato de U ter coordenadas 1,1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se associarem coordenadas a um ponto qualquer, P, de forma unívoca, em termos de certas razões anarmônicas (ver § 03.01 e § 03.02). A reta do espaço, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta o plano 123 (oposto ao ponto 0) no ponto L0 e os planos 230 (oposto a 1), 301 (oposto a 2) e 012 (oposto a 3) nos pontos L1, L2 e L3, respectivamente. A reta PU (definida por P, posto que U só dependa dos pontos dados 0, 1, 2 e 3) tem por equação vetorial,

(1+ λ )x = uˆ + λp ,

(14),

em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de λ corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor λj do parâmetro para j=0,1,2,3, sendo λ j (l j − p ) = u − l j ,

(141).

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§ 04 – Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1, ou 2, ou 3) é o número

X k = (L k L o , UP) =

Lk U L0P . Lk P L0U

em que L 0 U , L 0 P , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos têm a mesma direção, podemos escrever, também:

(u − l k ) . (p − l 0 ) = X k (u − l 0 ) . (p − l k ) , ou, ainda, substituindo os valores de l k − p e u − l 0 obtidos de (101) e simplificando:

Xk = λk / λ0 ,

(15).

Vê-se, assim, como no caso do mesmo problema a duas dimensões, que, em relação a um terceto arbitrário de pontos do espaço, 1, 2 e 3, do qual derivamos um ponto unidade, U, univocamente determinado, as coordenadas do ponto genérico desse plano podem ser definidas pelas razões anarmônicas X1, X2 e X3, ou pela quadra de números λ0, λ1, λ2 e λ3. Novamente, por métodos vetoriais, podemos estabelecer essa forma fundamental de proceder em Geometria Projetiva Algébrica. Voltamos a insistir no fato de que, nos capítulos seguintes, esses conceitos serão transmitidos, dentro dessa mesma linha de atuação, para espaços de dimensões maiores. ⇐

§ 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS. § 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. Qualquer conjunto de vetores, para os quais estejam definidas as operações de multiplicação por número real (como no § 02.02) e de adição (como no § 02.01), a primeira operação gozando das propriedades:

1 v = v, A(Bv ) = ( AB) v , ( A + B+...) v = Av + Bv +... , A( u + v +...) = Au + Av +..., e a segunda, das propriedades

( a + b ) + c = a + (b + c), a + b = b + a, a + o = a, a + ( − a ) = o,

denomina-se um espaço vetorial sobre a Geometria Euclidiana. I,§ 04.01

§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas.

Assim, o conjunto E1 dos vetores paralelos a dada reta, o conjunto E2 dos vetores paralelos a dado plano, formam espaços vetoriais particulares; o conjunto E3 de todos os vetores do espaço da Geometria Euclidiana forma também um espaço vetorial, espaço esse que contém os demais como espaços particulares ou subespaços31. Demonstramos alguns teoremas (de existência) para esses espaços. Assim, vimos que:

A CNS para que um vetor e1 seja nulo, dois vetores e1 e e2 sejam paralelos, e que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares, é que existam combinações lineares entre esses vetores com coeficientes não simultaneamente nulos:

e1 = o ⇔ ∃ A i e i = o (i = 1), A i nsn, e1 × e 2 = o ⇔ ∃ A i e i = o (i = 1,2), A i nsn,

(01).

(e1e 2 e 3 ) = 0 ⇔ ∃ A i e i = o (i = 1,2,3) A i nsn, Dizemos, em vista disso, que o vetor nulo em E1, E2 e E3, dois vetores paralelos em E2 e E3 e três vetores coplanares em E3 são sempre linearmente dependentes. Demonstramos, ainda, outros teoremas (de existência) segundo os quais: se um vetor é não nulo em E1, E2 e E3, se dois são não paralelos em E2 e E3 e se três são não coplanares em E3, então qualquer vetor paralelo ao vetor não nulo em E1, E2 e E3, qualquer vetor coplanar com dois outros não paralelos em E2 e E3 e um vetor qualquer em relação aos três não coplanares em E3, pode exprimir-se como uma combinação linear única desses vetores (de referência) nas formas respectivas ((021),§ 03.01), ((041),§ 03.02) e ((071),§ 03.03). Com outras palavras, diríamos que para um vetor não nulo e1 em E1, E2 e E3, para dois vetores não paralelos e1, e2 em E2 e E3 e para três vetores não coplanares e1, e2, e3, em E3, as combinações lineares respectivas (01) são possíveis se, e somente se, os coeficientes dessas combinações são simultaneamente nulos. Assim, contrariamente ao caso anterior, um vetor não nulo em E1, dois vetores não paralelos em E2 e três vetores não coplanares em E3 são ditos linearmente independentes. O número máximo de vetores linearmente independentes de um espaço é dito a dimensão desse espaço e qualquer conjunto desses vetores é dito uma base do mesmo. Assim, qualquer vetor não nulo é uma base de um espaço de vetores paralelos e sua dimensão é um; qualquer par de vetores não paralelos é uma base de um espaço de vetores coplanares e dois é a sua dimensão; qualquer terceto de vetores não coplanares é uma base no espaço de toda a Geometria Euclidiana e três é a sua dimensão. As bases serão denotadas pelos seus vetores entre chaves: {e1} e {e1}, {e1,e2} e {e1,e2} e {e1,e2,e3}, {e1,e2,e3} ou, sinteticamente, nos espaços respectivos: {e } e {e*}. * Bases como {e } e {e*} são ditas recíprocas e desempenham papel expressivo na Física. * Conduzamos pela extremidade do vetor do E3

a = A iei = A iei ,

(i=1,2,3)

(02),

31 Esses conceitos são aqui destacados porque podem ser estendidos para conjuntos de objetos quaisquer, como: polinômios, números reais etc.; tornam-se, nesse caso, mais gerais, porem muito abstratos. A teoria matemática que cuida dessas generalizações é a Álgebra Linear. A álgebra que aqui desenvolvemos - não obstante ter servido de inspiração ao desenvolvimento da Álgebra Linear - é um caso particular desta. Justifica-se, porém, essa nossa abordagem específica e particular, pelo valor da sua aplicação prática imediata e objetiva em Física, em Geometria e, conseqüentemente, em Engenharia.

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§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

co-inicial com a origem, o plano paralelo ao plano (ej,ek), que é furado pelos vetor ei no ponto Ai para todo i≠j≠k. Analogamente, o plano conduzido pela extremidade de a paralelamente ao plano (ej,ek) é furado pelo vetor ei no ponto Ai. Tal como Ai é a projeção da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,ek), também Ai é a projeção da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,ek). Como todos os eixos têm uma unidade de distância comum, podemos associar-lhes um sistema de coordenadas cartesianas e escrever:

a = OA1 eˆ1 + ... = OA1 eˆ1 + ... , ou

OA1 OA e + ... = 1 1 e1 + ... . | e1 | 1 |e |

Então, em vista de (02):

OA1 = A1 | e1 |, ...

Comprovamos, assim, que os três coeficientes Ai e os três Ai representam, precisa e respectivamente, as coordenadas da extremidade do vetor a nas bases {e } e {e*} porque * os módulos dos vetores de base (determinados em relação a uma unidade comum de medida de distâncias) representam as escalas (virtuais) com que são graduados os vários eixos. Por isso mesmo, os coeficientes das decomposições (02) - decomposições essas denominadas cartesianas - são denominadas coordenadas cartesianas do vetor a nas bases respectivas i

{e } e {e*}. Os segmentos OA i e OA costumam ser denominados as “componentes * físicas” de a. Como as coordenadas de um mesmo vetor variam de uma base para a sua recíproca, convencionaremos que aquelas coordenadas relativas à base representada por vetores cujas letras estejam indexadas em nível inferior sejam denominadas contravariantes; contrariamente, as outras coordenadas serão denominadas co-variantes. Assim, em (02), as coordenadas Ai são as coordenadas contravariantes de a (na base {e }); * as Ai são as coordenadas co-variantes de a (na base {e*}). Coordenadas co-variantes e contravariantes de vetores referem-se então, necessariamente, a bases vetoriais recíprocas.

Apenas os sistemas de vetores recíprocos permitem essa representação cartesiana geral, elegante e versátil dos vetores. Vale salientar mais uma vez que os conceitos de coordenadas contravariantes e covariantes de um mesmo vetor são válidos quaisquer que sejam as unidades de medida fixadas para cada eixo de um terceto de vetores, desde que exista uma unidade de medida de distâncias comum a todos eles, pouco importando qual seja ela. Esta é a única limitação - embora muito forte - para a dedução de tudo aquilo que almejamos daqui a diante. Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos. A introdução das coordenadas de um vetor (em relação a uma base) impõe-nos um modo de trabalho aparentemente paradoxal, como veremos, paulatinamente. Por ora, devemos entender - salvo por prova em contrário - que todas as propriedades, fórmulas etc. que venhamos a desenvolver ou a demonstrar a seguir, são válidas em relação à base a que se referem as coordenadas dos vetores. Fica o leitor desde já alertado para essa importante questão, porque até o momento não temos critério para decidir se algo que "é certo" em relação a uma base (ou em relação a um observador) deve ser "igualmente certo" em I,§ 04.02

§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas.

relação a outra base (ou outro observador). Isso é, a adoção de coordenadas e vetores de base induz, intuitivamente, a separação do que seja "invariante", "universal", válido para todos os observadores, do que seja específico para dado observador. Na essência dessa "separação" é que residem os "métodos tensoriais", o "tensorialismo" ou o chamado Cálculo Tensorial e o seu significado para a Física. Evitando os sistemas de coordenadas de um lado, mas apegando-nos inevitavelmente a bases vetoriais (vetores independentes) por outro lado, fomos levados naturalmente ao desenvolvimento da teoria dos vetores recíprocos. Mostraremos oportunamente, em cada capítulo, a importância dos recíprocos para os "métodos poliádicos", métodos esses que serão confrontados com o "modo cartesiano" ou tensorial. Em resumo: no Cálculo Tensorial, as coordenadas desempenham um papel fundamental, sendo usadas, entretanto, para provar que o que tem "caráter tensorial" independe de coordenadas32. No Cálculo Poliádico é dispensável a coordenada para a formulação dos problemas, mas é inevitável a recorrência indireta a uma base na forma de vetores independentes. O Cálculo Tensorial, de índole algébrica, foi essencial para a estruturação lógica e matemática da Física. O Cálculo Poliádico, de índole geométrica, se nos apresenta mais "natural" e mais "piedoso" para a mesma tarefa. Ao se efetuarem medidas das grandezas (com o uso de suas componentes, necessariamente) os métodos poliádicos devem ser degradados em métodos numéricos, tal como os métodos tensoriais. Mas a caça aos invariantes pelos métodos poliádicos supera de longe, por sua simplicidade e elegância, os métodos tensoriais, como pretendemos expor nesse texto.

§ 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores. Chamam-se Deltas de Kronecker símbolos (adimensionais) contendo dois índices em níveis diferentes e assim definidos, quando todos os seus índices assumem os valores do conjunto {1,2,3}: valem a unidade positiva sempre que dois dos índices numéricos são iguais e zero quando esses índices são diferentes. Representando-os por δij, ou por δij, escrevemos, sinteticamente:

1 para i = j δ i j = δ ji =  , isso é: δ11 = δ22 = δ33 =δ11=...= 1 e δ12 = δ13 = δ23 =δ12 = ... = 0. 0 para i ≠ j 

(01).

Em função dos Deltas de Kronecker os produtos escalares de vetores recíprocos no espaço euclidiano N dimensional EN (com N=1, ou 2, ou 3), podem ser escritos resumidamente na forma:

ei .e j = e j .e i = δi j = δ ji ,

(i,j=1,2, ..., N),

(02).

Chamam-se Permutadores (ou alternadores) símbolos (adimensionais) com N (=2, ou 3) índices no mesmo nível, tais que quando todos os índices assumem todos os valores do conjunto {1,2,...,N}: 32 Bertrand Russel manifestou-se a esse respeito, em sua "Análise da Matéria", Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1978, Cap. VII, pag. 83: "...O método dos tensores primeiro determina coordenadas, e depois mostra como obter resultados que, embora expressos em termos de coordenadas, realmente não depende delas."

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§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

a) valham +1 sempre que os índices formem uma permutação par, considerando como fundamental a permutação 1,2,...,N, isso é, sempre que os N índices ocorrem na seqüência cíclica positiva 12 se N = 2, 12312 se N = 3; b) valham -1 sempre que os índices formem uma permutação ímpar em relação à permutação fundamental 12 ou 123, isso é, sempre que os N índices ocorrem na seqüência cíclica negativa 21 se N = 2, ou 32132 se N = 3; c) valham zero sempre que dois dos índices numéricos ocorrem repetidos. Denotando estes símbolos por εij ou εij, se N = 2, e εijk ou εijk se N = 3, podemos escrever: ε 12 = 1= ε 12

ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1= ε 123 = ε 231 = ε 312 ε 21 = −1= ε 21 ε 321 = ε 213 = ε 132 = −1= ε 321 = ... ε 11 = ε 22 = 0 = ε 11 = ε 22 ε 112 = ε 122 = ... =0= ε 221 = ... Em resumo, para i≠j≠k: no E2: ε ij = −ε ji = 1 ;

e no E3: ε ijk = ε jki = ε kij = −ε kji = −εikj = −ε jik = 1 ,

todos os demais casos correspondendo à nulidade dos símbolos. Não é difícil comprovar que as igualdades ((031) e (032),§ 03.02), ((02) e (021),§ 03.03) podem ser escritas, em função dos permutadores, nas formas respectivas:

e i = ε ij

e j × (e1 × e 2 )

(e1 × e 2 ) 2 e j × ( e1 × e 2 )

( e1 × e 2 ) 2

, ou ε ij e i = , ou ε ij e i =

e j × (e1 × e 2 )

(e1 × e 2 ) 2

e j × (e1 × e 2 )

(e1 × e 2 ) 2

, (i, j = 1,2),

(03),

(i,j=1,2),

(031),

e i × e j = (e1e 2 e 3 )ε ijk e k , ou ε kij e i × e j = 2(e1e 2 e 3 )e k ,

(i,j,k=1,2,3),

(04),

e i × e j = (e1e 2 e 3 )ε ijk e k , ou ε kij e i × e j = 2(e1e 2 e 3 )e k ,

(i,j,k=1,2,3),

(041).

Em vista de propriedades da multiplicação mista relativas às permutações cíclicas e anticíclicas das letras representativas dos vetores, podemos também escrever:

( e i e j e k ) = ε ijk ( e 1 e 2 e 3 ), (i, j, k = 1,2,3), i

j k

(e e e ) = ε I,§ 04.02

ijk

1 2 3

( e e e ), (i, j, k = 1,2,3) ,

(05), (051).

§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas.

Similarmente comprovaríamos que

ei × e j = ε ije1 × e 2

ei × e j = ε ije1 × e 2 ,

(052).

Produtos de Deltas de Kronecker. Têm-se as seguintes fórmulas:

δ i jδ j k = δ i k , δ i jδ j i = δ i i = N , δ i jδ n k δ k m = δ i j δ n m ,

(06).

δ i jδ j k δ k m = δ i m , δ i jδ j k δ k i = δ i i = N ,

(i, j, ...= 1,2, ..., N),

Demonstremos a primeira fórmula. Podemos escrever, em relação às bases recíprocas {e } e {e*}: ei = (ei .e j )e j = δ i je j com i,j=1,2,...,N. Multiplicando escalarmente * ambos os membros por ek, temos, finalmente: e i .e k = δ ik = δ i j (e j.e k ) = δ i jδ jk . Aplicando (06)1, temos, sucessivamente: δ i jδ jk δ km = δik δ km = δ im . Por procedimento análogo podemos demonstrar as demais fórmulas (06) que traduzem uma “regra de substituição” no sentido de que na multiplicação de dois deltas que apresentem índice repetido – dito índice mudo - o produto correspondente pode ser substituído por um único delta cujos índices sejam aqueles não repetidos. Produto de permutadores.

Teor. 1: Determinante de Gram (de um produto de permutadores) Tem-se: δi m δi n mn ε ij ε = m , (i, j, m, n = 1,2); δj δ jn (07).

ε ijk ε

mnp

δi

= δj

δk m

δi

δj

δ jp ,

δk n

( i, j, k, m, n, p = 1,2,3),

δk p

Com efeito, para N = 3, podemos escrever, lembrando ((03),§ 03.03), (05) e (051):

ε ijk ε

mnp

1 2 3

= ( e 1e 2 e 3 )ε ijk ( e e e )ε

mnp

m n p

= ( e i e j e k ) ( e e e ).

Agora, aplicando ((062),§ 03.03) e lembrando que e i . e j = δ i j , encontramos, logo, (07)2. A demonstração de (07)1 é análoga à de (072), bastando considerar ((052), (053) e (02),§03.02).

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§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

Os determinantes (07) são denominados determinantes de Gram nos seus respectivos espaços.

Corol. 1:

εijk εmnk =

δim δ jm

δin = (ei × e j) . (em × en); δ jn

εijk εmjk = 2 δim = 2(ei × e j) . (em × e j); εijk εijk = 6 = (ei × e j) . (ei × e j) ,

(071).

Temos, com efeito, relativamente à primeira das fórmulas:

ε ijk ε mnk = (e i e je k ) (e m e n e k ) = = (e i × e j .e k ) (e k .e m × e n ) = [(e i × e j .e k )e k ].(e m × e n ), donde, aplicando ((071),§ 03.03) ao primeiro fator e, em seguida, ((05),§ 03.03):

ε ijk ε mnk = (e i × e j ).(e m × e n ) = =

e i .e m

e i .e n

e j .e m

e j .e n

δi m

δi n

δj

= δi m δ jn − δ jm δi n .

Fazendo n = j na primeira fórmula, considerando que δ j j = 3 = e j . e j e que

δ j m δ i j = δ i m (conforme (061)), encontramos, logo, a segunda; fazendo nesta, i = m, deduzimos a terceira. A partir de (04)1 e (041)1, aplicando (071)2, podemos demonstrar imediatamente a validade de (04)2 e (041)2. Com efeito, multiplicando ambos os membros de (04)1, por exemplo, por εpij , e somando (em i e j), temos:

ε pij e i × e j = (e1e 2 e 3 )ε pij ε kij e k = (e1e 2 e 3 )2δ k p e k = 2(e1e 2 e 3 )e p .

§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos. Ponhamos, em relação a bases recíprocas {e } e {e*} de EN: * x = X i e i = X i e i , y = Y j e j = Y j e j e z = Z k e k = Z k e k , (i, j, k = 1,2,..., N).

Teor. 1: O produto escalar de dois vetores, expressos cartesianamente em bases recíprocas, é igual à soma dos produtos das coordenadas contravariantes de um pelas coordenadas co-variantes correspondentes do outro:

x . y = XiYi = XiYi I, §04.03

(i = 1,2,...,N),

(01).

§ 04.03 - Expressões cartesianas de produtos.

Com efeito, aplicando propriedades da multiplicação escalar de vetores e as i j i definições dos Deltas de Kronecker, escrevemos: x. y = X Y j e i . e = X Y j δ i j , ou j i

j i

x. y = X i Y e . e j = X i Y δ j , (i, j = 1,2,... , N). Efetuando as somas indicadas em i e em j, observando que para i ≠ j a parcela correspondente é nula, temos, logo, (01). A regra da substituição (§04.02) pode ser estendida ao caso em que um dos fatores não é um delta de Kronecker. Assim: Yjδ i j = Yi , o que é equivalente a efetuar a soma indicada em j.

Corol. 1: O quadrado escalar (ou a norma) de um vetor expresso cartesianamente em bases recíprocas, é igual à soma dos produtos das suas coordenadas co-variantes e contravariantes correspondentes: 2

x = X Xi

(i=1,2,...,N),

(011).

Exercício: Comprovar que

∀v:

cos ( v , e1 ) cos ( v , e1 ) cos ( v , e2 ) cos ( v , e2 ) cos ( v , e3 ) cos ( v , e3 ) + + = 1. cos (e1 , e1 ) cos (e2 , e2 ) cos (e3 , e3 ) Teor. 2: Tem-se, para o produto vetorial: - para N=1:

x×y = o ,

- para N=2:

x×y =

e1 × e 2 ,

e x×y =

e1 × e 2 ,

(02);

- para N=3:

x × y = (e1e 2 e 3 ) X

1 1

e x × y = (e e e ) X1

1 2 3

(03)33.

Os casos N = 1 e N = 2 podem ser comprovados facilmente. O caso N = 3 também é de comprovação imediata. Com efeito, se na fórmula geral ((061),§ 03.03) os vetores e1, e2 e e3 são considerados independentes, eles admitem um terceto recíproco; logo, considerando a propriedade fundamental ((03), §03.03) e considerando que x.ei=Xi, comprovamos (03)2. Analogamente comprovaríamos (03)1. 33 O desconhecimento ou o esquecimento dessas fórmulas podem nos levar a conclusões desastrosas. Veja artigo do autor: "Um engano matemático repetido por 100 anos", Revista Escola de Minas, REM – Rev. Escola de Minas, Ouro Preto, 56(3):211-218, jul. set. 2003.

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§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

Corol. 1: - para N = 2:

(x × y ).(e1 × e 2 ) =

e (x × y ).(e1 × e 2 ) =

(021);

- para N = 3:

(x × y )(e e e ) = X

1 2 3

e (x × y )(e1e 2 e 3 ) = X 1

X3 ,

(031).

Para comprovar estas fórmulas basta lembrar que as bases {e } e {e*} são * recíprocas. Assim, por exemplo, multiplicando ambos os membros de (03)2 por (e1e2e3), e lembrando ((03), § 03.03), encontraríamos, logo, (031).

Corol. 2: Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente na mesma base, sejam paralelos, é que as suas coordenadas homônimas correspondentes nessa base sejam proporcionais. Com efeito, pois se x e y são paralelos, x × y = o e (031)1 fornece, relativamente à 2

base {e*}, por exemplo, para N=3: X Y − X Y = X Y − X Y = X Y − X Y = 0, isso é, 1 2 3 X X X = 2 = 3 = K. 1 Y Y Y A recíproca se demonstra analogamente, isso é, se as coordenadas Xi e Yi dos vetores x e y na base {e } são proporcionais, então o determinante em (031)1 é nulo e * x × y = o ; logo .

Corol. 3: Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente numa mesma base, sejam iguais é que as suas coordenadas homônimas correspondentes nessa base sejam iguais. Teor. 3: Tem-se, para o produto misto:

( xyz) = ( e 1 e 2 e 3 ) Y

Y , ou ( xyz) = ( e e e ) Y1

Y3 , (04);

( xyz)( e e e ) = Y

Y , ou ( xyz)( e 1 e 2 e 3 ) = Y1

Y3 ,

1 2 3

I, §04.03

1 2 3

(05).

§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos.

Estas fórmulas são evidentes a partir da fórmula geral ((062),§ 03.03), devendo observar-se, apenas, que, aqui, o terceto {e1,e2,e3} constitui uma base, sendo, então, (e1e2e3)(e1e2e3) = 1 e Xi = x.ei, Xi = x.ei . Nota: A multiplicação escalar de ambos os membros das (031) por z e a aplicação de propriedades elementares dos determinantes conduzem também a uma demonstração imediata dessas fórmulas.

Corol. 1: Se det e det* representam os determinantes cujas linhas sejam formadas * com as coordenadas co-variantes e as contravariantes, respectivamente, de três vetores quaisquer nas bases recíprocas {e*} e {e }, então: * ∗

det ∗ = det ( e 1 e 2 e 3 )

∗

1 2 3 2

e det = det ∗ ( e e e ) ,

(051).

A demonstração é imediata porque, das (04), escrevemos: (e 1 e 2 e 3 )det ∗ =

= (e 1 e 2 e 3 )det ∗ ; logo, considerando ((03),§ 03.03), comprovamos as (051). Exercício: Determinar as equações cartesianas de retas e planos correspondentes às equações vetoriais apresentadas no § 03.02 e no § 03.03. ⇒

§ 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos. Consideremos os N vetores independentes, ai, de EN, de representações cartesianas na base {e }, *

a m = A m je j (m, j =1,2,..., N),

(01).

No caso N = 1, a expressão cartesiana do recíproco a1 é de determinação imediata: 1 a1 = e 1 . A1

No caso N = 2, deve ser, conforme ((02)2,§ 04.03):

a1 × a 2 =| A | (e1 × e 2 ), com | A |=

A11

A1 2

A 21

A22

;

logo,

a j × (a1 × a 2 ) = A j k | A | e k × (e1 × e 2 ) .

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§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por εmj e somando em j obtemos, no primeiro membro, aplicando ((03)1,§ 04.02), (a1 × a 2 ) 2 a m ; aplicando ((03)2,§ 04.02) ao segundo membro podemos escrever, então:

(a1 × a 2 ) 2 a m = ε mj A jk | A | (e1 × e 2 ) 2 ε ik e i , ou melhor, lembrando a expressão de a1×a2 e simplificando:

= ε εi k mj

A jk |A|

ei .

Examinemos as somatórias do segundo membro desta igualdade. Se m = i as parcelas não nulas ocorrerão para j = k ≠ i e ε mj ε ik = ( −1) i + m = +1; se m ≠ i, as parcelas não nulas ocorrerão para j = i e k = m, sendo, ainda, ε mj ε ik = ( −1) i + m = −1. Então, ε mj ε ik A j k é o co-fator (ou complemento algébrico) do elemento Ami em |A|. Pondo, então, cof(Ami) = Ami, escrevemos:

m i

|A|

(i, m = 1,2).

e ,

No caso N = 3, escrevemos analogamente, lembrando ((04)1,§ 04.02):

a j × a k = A jr A ks e r × e s = A jr A ks (e1e 2 e 3 )ε irs e i . Multipliquemos o primeiro e o último membros por εmjk/[2(a1a2a3)] e somemos. No primeiro membro teremos a expressão de am, conforme ((04)2,§ 04.02); considerando que:

( a 1a 2 a 3 ) =| A|( e 1 e 2 e 3 )

com

A 11

A 12

A 13

|A| = A 2 1

A22

A 2 3 ≠ 0,

A 31

A 32

A 33

e simplificando no segundo membro, resulta:

mjk

ε irs A j r A k s 2|A|

e .

Para m = 1 e i = 2, por exemplo, temos:

ε1 jk ε 2rs A j r A k s = ε1jk (ε 231 A j 3 A k 1 + ε 213 A j1 A k 3 ) =

I, §04.04

§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos.

= ε123 (A 2 3 A 31 − A 21A 3 3 ) + ε132 (A 3 3 A 21 − A 31A 2 3 ) = = 2(A 2 3 A 31 − A 21A 3 3 ) = −2

A 21 A 2 3 = 2cof(A1 2 ). A 31 A 3 3

Tal como no caso anterior, comprovamos que

mjk

ε irs A j r A k s = 2 cof(A m i ) = 2A

Logo:

am =

A mi i e |A|

(i,m =1,2,3).

Em vista desses resultados podemos escrever, então, as expressões dos recíprocos dos vetores dados por (01): A mi i am = e (i,m =1,2,...,N), (02). |A| Multiplicando ambos os membros de (02) por an e depois por ek, temos:

|A|δ n m = A m i e i .a n

e |A|a m .e k = A m k

(i,k,m,n = 1,2,...,N),

(A).

Mas, de (01), escrevemos: a r . e i = A r i . Logo, por substituição desta igualdade na primeira das igualdades (A), onde façamos r = n, temos:

| A| δ n m = A

iA n

(i, m, n = 1,2,...,N),

(03).

Multiplicando ambos os membros da segunda das igualdades (A) por Ami temos, ainda:

kAm

=|A|( e k . a ) A m i =| A|( e k . a )( a m . e ) =|A| e k . e ,

isso é,

kAm

=| A| δ k i ,

(031).

As igualdades (03) e (031) traduzem interessantes propriedades dos determinantes:

1º)- É igual a zero a soma de todos os produtos dos elementos de uma fila de um determinante pelos complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela (i ≠ k); 2º)- Todo determinante vale a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos seus respectivos complementos algébricos (i = k)34. Multiplicando, agora, ambos os membros de (01) por Amk e aplicando (031) temos, sucessivamente: A mk a m = A mk A m j e j =|A|δ k j e j =|A|e k ; logo: 34 Para determinantes estas proposições são válidas para qualquer N finito.

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§ 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

ek =

A mk a , |A| m

(m,k =1,2,...,N),

(04).

As equações (04) são as inversas das (01). Para N = 2, a1 × a 2 =| A | e1 × e 2 , e

a1 × a 2 =| X | e1 × e 2 . Multiplicando membro a membro teremos: |A||X| = 1, ou |X| = |A|-1. Então, de (02), fazendo m = 1 e 2, e multiplicando vetorialmente membro a membro, temos:

a1 × a 2 =

1 A1 A 2 (e i × e j ) . | A |2 i j

O determinante 1

~ A 1 | A| = 2 A 1

denomina-se adjunto de |A|; e tem-se:

a1 × a 2 =

~ |A| 1 2 e ×e , | A |2

~ isso é, considerando-se que |X| = |A|-1: |A| =|A|. Para N = 3 em (01), teríamos: ( a 1a 2 a 3 ) =|A|( e 1 e 2 e 3 ),

(B),

~ 1 2 3 3 1 2 3 |A| ( a a a ) =| A|( e e e ),

(C),

e, por (02), para m = 1,2 e 3: sendo 1 1 1 ~ A1 A 2 A 3 |A|= A 2 1 A 2 2 A 2 3 . A 31 A 3 2 A 3 3

~ 2 Deduzimos, então, multiplicando membro a membro (B) e (C): |A| =|A| . Genericamente, então: ~ |A|=|A| N −1 , (N = 2 ou 3),

(05).

Representando por |R| o determinante das coordenadas dos vetores ei na base {a }, * escrevemos, de (04): ~ A m k |A| |R|=| |= . |A| |A|N

I, §04.04

§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.

~ |A| Então, considerando (05): |A||R|=|A| N =1. O determinante |R| denomina-se o recíproco |A| (ou inverso) de |A|, sendo mais prático representá-lo por |A|-1. Temos, então: ~ |A| |A|−1 = N , (06). |A| Assim: O determinante cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos vetores de uma base numa outra base é recíproco do determinante cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos vetores correspondentes dessa base naquela.

§ 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos. Vimos que as propriedades da figuras na Geometria ordinária podem ser buscadas de uma maneira mais simples usando os métodos vetoriais. Isto também pode ser verificado em Geometria Analítica (GA); as equações de retas e de planos, já deduzidas nos parágrafos anteriores, respondem por essa afirmação quando as comparamos com as suas expressões clássicas em GA. Como exercício, o leitor poderá utilizar os conceitos relativos a expressões cartesianas de vetores e produtos (§04.01 ao §04.03) para encontrar as várias formas de equação de retas e de planos da GA em duas e três dimensões. Desafio: No (§ 03.03) os vetores x1, x2 e x3 são não coplanares (eles definem uma base) e admitem recíprocos (x1, x2 e x3, respectivamente). Então, a equação cartesiana do plano definido por x1, x2 e x3 é X1 + X 2 + X 3 = 1 , desde que X1, X2 e X3 sejam as coordenadas co-variantes do ponto corrente desse plano em relação à base {x1, x2, x3}. ⇐

§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES. § 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. Consideremos a equação vetorial de variáveis escalares Xi, i

a i X = b (i = 1,2,..., N),

(01),

com b ≠ o e os ai independentes. Pelas considerações anteriores, o vetor a1 é paralelo a b, no caso N = 1; os vetores ai e b são coplanares, no caso N = 2; os vetores ai e b são não coplanares, no caso N = 3. Em qualquer caso, os vetores ai, independentes, definem uma base nos espaços que lhes correspondem. Sejam, em relação a uma base qualquer {e } = {e1,e2,...,eN} de EN: * j

a m = A m je j e b = B e j

(m, j = 1,2,..., N),

(02).

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§ 05 - Mudança de base. Invariantes.

Substituindo-se as (02) em (01), agrupando-se convenientemente, aplicando-se as propriedades fundamentais e igualando-se as coordenadas homônimas dos vetores (iguais) de ambos os membros, resultam as equações:

A m jX

(m, j = 1,2, ..., N),

(03),

ou, ainda, em forma expandida:

 A 1 X 1 + A 1 X 2 +...+A 1 X N = B1 1 2 N   A 1 2 X 1 + A 2 2 X 2 +...+A N 2 X N = B 2  M  A N X 1 + A N X 2 +...+A N X N = B N , 1 2 N

(031).

O sistema (031) tem N equações (N = 1, ou 2, ou 3) e N incógnitas. Na sua constituição observa-se que os coeficientes Amj das incógnitas Xm são as coordenadas (contravariantes, no caso) dos vetores am na base arbitrária {e } do espaço vetorial EN; os termos * independentes são, analogamente, as coordenadas (contravariantes) do vetor b nessa mesma base. Claramente, vê-se que, fixada uma base {e } de EN, a equação (01) e o sistema (031) * são equivalentes; resolvendo esse sistema, encontra-se a solução da equação vetorial, ou vice-versa; solução essa que existe sempre porque o determinante do sistema (031) é não nulo. Por outro lado, observa-se que, escolhendo-se uma outra base, {r }, de EN, * encontrar-se-ia certamente um sistema diferente de (031), equivalente à mesma equação vetorial (01), uma vez que as coordenadas (co-variantes ou contravariantes, pouco importa) dos vetores ai nessa nova base seriam certamente diferentes das primeiras (teríamos novas expressões (02) para os vetores ai e b). Mas, pelos corolários 4 dos teoremas: 2 do § 03.01, 4 do § 03.02 e 6 do § 03.03, os números Xi (soluções da equação) são únicos; logo, os infinitos sistemas (031) que podem ser formados a partir de (01) com uma Mudança de Base, admitem a mesma solução. Diríamos, em outras palavras, que:

A solução da equação vetorial (01) é um invariante numa mudança de base no espaço EN a que está referida; e a equação (01) será dita universal ou tensorial em EN. Ora, se a equação (01) independe de bases de EN, deverá certamente ser possível determiná-la sem alusão a essas bases. Mas isso já é do nosso conhecimento, pois, com efeito, os mesmos corolários atrás já referidos, dão:

= b. a ,

(m=1,2,...N),

(04),

uma vez que, sendo os am independentes em EN, os seus recíprocos, am, estão univocamente determinados. Assim, concluímos que, dado um sistema do tipo (031), ao acaso, podemos sempre montar uma equação vetorial do tipo (01) que lhe seja equivalente, impondo que os coeficientes de cada incógnita sejam as coordenadas de N vetores a1, a2,...,aN em certa base (virtual) de um espaço (virtual) de vetores e que os termos independentes sejam as I, §05.01

§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.

coordenadas de um vetor b nessa mesma base desse espaço. Resolvida essa equação vetorial por aplicação de (04), teremos, então, as soluções de (031). Por já termos deduzido, no parágrafo anterior, as expressões cartesianas de sistemas de vetores recíprocos, a aplicação das fórmulas (04) dá imediatamente as incógnitas Xm. De fato, considerando ((02),§ 04.04), escrevemos: X m = (A m i / | A ∗ |) B jei .e j , ou, operando e somando:

Xm =

1 m i A B , |A ∗ | i

(i,m=1,2,...,N),

(041),

expressão na qual, relembremos, Ami = cof(Ami) em |A*| = |Ami|. Se expressarmos os vetores am e b na base {e*}, isso é, pondo:

a m = A mj e

e b = B je

(m, j = 1,2,..., N),

então (04) dá expressão análoga a (041) para Xm:

mi 1 A Bi , |A ∗ |

(m, i = 1,2,..., N),

(042),

onde Ami = cof(Ami) em |A | = |Ami|. * Por outro lado, se pretendêssemos a expressão das incógnitas em função dos vetores (conhecidos) figurantes na equação vetorial (01), escreveríamos: - para N = 1,

X1 =

a (b.a 1 ) , pois a 1 = 12 , |a 1 |2 |a 1 |

(05);

- para N = 2, aplicando ((03)1,§ 04.02) e propriedades da multiplicação mista de vetores:

X m = b.a m = ε mk

(b × a k ).(a1 × a 2 ) (a1 × a 2 ) 2

ou,

X1 =

(b × a 2 ).(a1 × a 2 ) (a1 × a 2 )

X2 = −

(b × a1 ).(a1 × a 2 ) (a1 × a 2 ) 2

(06);

- para N = 3, aplicando ((04)2,§ 04.02):

X m = b.a m = ε mij

(ba i a j ) 2( a 1 a 2 a 3 )

(m,i, j =1,2,3);

ou, fazendo m = 1,2,3, somando i e em j e aplicando propriedades da multiplicação mista:

X1 =

(ba 2 a 3 ) (a ba ) ( a a b) , X2 = 1 3 , X3 = 1 2 , (a 1a 2 a 3 ) (a 1 a 2 a 3 ) (a 1a 2 a 3 )

(07).

O leitor pode, facilmente, comprovar a equivalência das expressões (05), (06) e (07) com as expressões (041) e (042). Importa frisar, entretanto, que as expressões (05), (06) e

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§ 05 - Mudança de base. Invariantes.

(07) são universais, isso é, elas são válidas em qualquer base; nas bases recíprocas {e } e * {e*}, particularmente, elas assumem as formas (041) e (042). Se pusermos:

|A 1 | =

A 21

A N1

A22

AN2

A2N

ANN

, |A 2 | =

A 11

A 12

AN2

A1N

ANN

A N1 etc,

|A 1 | =

A 21

A N1

A 22

A N2

A 2N

A NN

etc,

escreveremos: i

X =

|A | ∗

|A |

|A i | |A ∗ |

(i = 1,2,..., N),

(043).

§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. Deve ser salientado que, não obstante a invariância dos Xi, os determinantes |Ai|, |Ai|, |A*|, |A*| em ((043),§05.01), bem como os seus elementos, variam em geral com as bases escolhidas. Tais determinantes só serão invariantes em relação a bases unimodulares, ou seja, bases tais que: (e1)2 = 1, se N = 1; (e1×e2)2 = 1, se N = 2 e (e1e2e3)2 = 1, se N = 3. São unimodulares, por exemplo, as bases ortonormadas: aquelas formadas por um unitário se N = 1 e unitários ortogonais se N = 2 ou N = 3. Dissemos que algo tem caráter universal ou tensorial quando independe de bases ou, o que é o mesmo, independe de sistema de referência. Assim é uma equação vetorial de variáveis escalares, posto que os vetores que a compõem, e a sua solução, são universais, conforme já mostramos (§05.01). Por comodidade, para facilidade de cálculos ou de medições experimentais, uma equação vetorial poderá ser resolvida em relação a uma base virtual particular. Mostraremos agora, entretanto, que nem tudo que é geral e invariante numa base particular é igualmente geral e invariante em qualquer outra base. Se o estudo de um particular evento, envolvendo grandezas vetoriais (como num sistema físico ou numa figura geométrica), é feito vetorialmente (sem alusão a qualquer base), esse estudo é universal e as propriedades daí deduzidas são universais. Entretanto, os "resultados" oriundos desses eventos, deduzidos relativamente a uma base particular, podem não ter ampla generalidade. Com efeito, pondo, para i, j, ... = 1,2,...,N: i

x = X e i = X je

e a = A e i = A je ,

temos:

a.x = A i X i = A i X i , e I, §05.02

x 2 = X i X i > 0,

a2 = AiAi > 0 ,

§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante.

2(x × a) 2 = (X r A m − X m A r )(X r A m − X m A r ) , (r,m=1,2, ..., N). Substituindo esses resultados na identidade vetorial de Lagrange ((07),§ 02.05), escrevemos, então:

A i A i X jX j = A i X i A jX j + + 1 (X r A m − X mA r )(X r A m − X mA r ), (i, j, r, m = 1,2,..., N), 2

(01),

identidade que denominamos: identidade das 4N letras. Para destacar, poremos: 1

A 1 = A' , A 2 = B' , A 3 = C' ;

X 1 = X' , X 2 = Y' , X 3 = Z' .

A = A, A = B, A = C, X = X, X = Y, X = Z,

Assim, deduzimos de (01) os seguintes casos particulares: - para N = 2:

(AA' +BB')(XX' +YY') = = (AX' +BY')(A' X + B' Y) + (XB − YA)(X' B'−Y' A' ),

(011);

- para N = 3:

(AA ′ + BB' +CC')(XX' +YY' +ZZ' ) = = (AX' +BY' +CZ' )(A' X + B' Y + C' Z) + + (XB − YA)(X' B'− Y' A' ) + (ZA − CX)(Z' A'− C' X' ) +

(012).

+ (YC − ZB)(Y' C'− Z' B' ), Quando os vetores estão referidos a bases ortonormadas, as coordenadas covariantes e contravariantes dos vetores são idênticas. Nestas condições, das identidades (011) e (012), resultam como casos mais particulares, respectivamente, as clássicas identidades de Fibonacci:

(A 2 + B2 )(X2 + Y2 ) = (AX + BY) 2 + (XB − YA)2 ,

(013),

e de Lagrange,

(A 2 + B2 + C2 )(X2 + Y2 + Z2 ) = =

(AX + BY + CZ) 2

+ (XB − YA) 2

+ (ZA − CX)2

+ (YC − ZB)2 ,

(014)35.

35 Essas identidades especiais são referidas por E. Lucas, para números inteiros, em sua obra Theorie de Nombres, Gauthier-Villar, 1891, Livre I, Chapitre VIII, seção 69. Na seção 70 Lucas afirma que Lagrange generalizou essas identidades para um número qualquer de quadrados. Podemos encontrar essas mesmas fórmulas com a “identidade diádica de Lagrange” (ver § 11.01, Cap. II).

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§ 05 - Mudança de base. Invariantes.

Devemos destacar dois aspectos fundamentais em torno da idéia de que as bases têm igual “status" no estudo dos fenômenos físicos e das figuras geométricas. As leis naturais e as propriedades das figuras geométricas são verdades independentes de observadores, de bases ou de referenciais. Toda medida ou conjunto de medidas, entretanto, é dependente de uma referência; assim, um mesmo vetor tem diferentes conjuntos de coordenadas (suas medidas) em relação a diferentes bases. Com esses conjuntos de medidas é possível formular juízos sobre o sistema em estudo. Um juízo somente será elevado à categoria de lei natural ou de propriedade de uma figura se, com uma mudança de base, ficar assegurada a invariância do mesmo (já que ele deve independer de base). Esse modo de proceder, além de natural, parece ser realmente correto. Devemos, entretanto, estar alertas para os dois aspectos seguintes, para não incorrermos em impropriedades: 1º) Nem sempre o que é invariante em relação a mudanças de bases particulares é igualmente invariante em relação a mudanças de bases quaisquer. Assim, por exemplo: os determinantes det e det* das coordenadas co-variantes e contravariantes de três vetores * independentes são iguais e invariantes em relação a mudanças de bases ortonormadas, mas diferentes e variantes em relação a mudanças de bases quaisquer. Com efeito, conforme ((05),§ 04.03), o invariante (xyz) - volume do paralelepípedo construído sobre x, y e z pode ser escrito nas formas: ∗

1 2 3

( xyz) = ( e 1e 2 e 3 ) det = ( e e e ) det ∗ . Logo, serão variáveis, necessariamente, det e det*, uma vez que, obviamente, os produtos * mistos dos vetores de base dependem dessas bases. 2º) É sabido que bases particulares, geralmente as ortonormadas, favorecem e simplificam cálculos. Esse favorecimento, entretanto, pode ocultar juízos (propriedades) mais gerais, facilmente determináveis em bases quaisquer. Com efeito, como mostramos, (013) e (014), válidas em bases ortonormadas, são casos particulares de (011) e (012), relativas a bases quaisquer. Façamos, pois, uma advertência:

Resultados gerais e invariantes em relação a bases especiais podem ser particularidades e variâncias em relação a bases quaisquer.

§ 05.03 - Generalização de identidades clássicas. A identidade das 12 letras, ((012), § 05.02), refere-se a dois vetores expressos cartesianamente em bases recíprocas. Podemos deduzir esta mesma identidade a partir de quatro vetores expressos cartesianamente numa mesma base ortonormada { $i , $j , k$ } . Sejam:

s = A$i + B$j + Ck$ , x = X $i + Y$j + Zk$ , r = A' $i + B' $j + C' k$ , y = X' $i + Y' $j + Z' k$ . I, §05.03

§ 05.03 - Generalizações de identidades clássicas.

Aplicando ((03),§ 04.03) para o caso particular de bases ortonormadas, escrevemos: ˆi (s × x).(r × y ) = A

ˆj kˆ ˆi ˆj kˆ B C . A′ B′ C′ = ( B′Z′ − C′Y ′)(B′Z′ − C′Y ′) + X Y Z X′ Y ′ Z′ + (CX − AZ)(C′X′ − A′Z′) + (AY − BX)(A ′Y′ − B′X ′).

Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos também:

( s × x ) .( r × y ) =

s.r s.y AA′ + BB′ + CC′ AX′ + BY′ + CZ′ = . x.r x.y XA′ + YB′ + ZC′ XX′ + YY′ + ZZ′

Igualando os últimos membros das expressões obtidas de (s×x).(r×y) encontramos facilmente (012), § 05.02. Finalmente, para gáudio dos algebristas, podemos "super generalizar" a identidade (01), § 05.02, deduzindo a "identidade das 8N letras". Sejam, para i = 1,2,...,N: i

s = S e i = S i e ; x = X e i = X i e ; r = R e i = R i e ; y = Y e i = Yi e , as representações cartesianas dos vetores s, x, r e y nas bases recíprocas {e } e {e*}. * Para o caso N = 3, por ((03),§ 04.03) escrevemos: e1 (s × x).(r × y ) = S

e2 S

e 3 e1

S . R1

R2 Y2

X 3 Y1

e 3 e1

R 3 = S1

e2 S2

S3 . R

X 3 Y1

e3 R3 , Y3

isso é, utilizando a convenção somatória:

(s × x).(r × y ) =

1 i j 1 (S X − S jX i )(R i Yj − R jYi ) = (Si X j − S jX i )(R i Y j − R jY i ) , 2 2

(01).

Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos:

(s × x).(r × y ) =

s.r

s.y

x.r x.y

Si R i

Si Yi

X jR j

X j Yj

Si R i

Si Y i

X jR j

X jY j

(011),

ou,

(s × x).(r × y ) = S i R i X j Y j − S i Yi X j R j = S i R i X j Y j − Si Y i X j R j ,

(012).

Se igualarmos o penúltimo membro de (01) com o penúltimo membro de (012), ou o último membro de (01) com o último membro (012), obteremos novas identidades com 12 letras, idênticas entre si, mas distintas de (01), § 05.02):

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§ 05 - Mudança de base. Invariantes.

1 i j (S X − S jX i )(R i Yj − R jYi ) = Si R i X jYj − Si Yi X jR j , 2

(013),

1 (Si X j − S jX i )(R i Y j − R jY i ) = Si R i X jY j − Si Yi X jR j , 2

(014),

Particularmente, se os vetores forem referidos a uma base ortonormada, pondo, então: x≡(X,Y,Z), y≡(X’,Y’,Z’), r≡ ≡(A,B,C) e s≡(A’,B’,C’), obteremos a identidade: (A’Y-B’X)(AY’-BX’)+(B’Z-C’Y)(BZ’-CY’)+(A’Z-C’X)(AZ’-CX’)= =(AA’+BB’+CC’)(XX’+YY’+ZZ’)-(AX+BY+CZ)(A’X’+B’Y’+C’Z’),

(015).

Entretanto, da soma do penúltimo membro de (01) com o último membro de (012) igualada com o último membro de (01) somado com o penúltimo membro (012), obteremos a seguinte identidade:

1 i j (S X − S jX i )(R i Yj − R jYi ) + Si R i X jY j − Si Yi X jR j = 2 1 = (Si X j − S jX i )(R i Y j − R jY i ) + Si R i X jYj − Si Y i X jR j , 2

(02).

O desenvolvimento das somatórias indicadas para vetores do E3 implica escrever a identidade acima na forma:

(S2 X1 − S1X 2 )(R 2 Y1 − R 1Y2 ) + (S1X 3 − S3 X1 )(R1Y3 − R 3 Y1 ) + + (S3 X 2 − S 2 X 3 )(R 3 Y2 − R 2 Y3 ) + (S1R 1 + S 2 R 2 + S3 R 3 )(X1Y1 + X 2 Y 2 + X 3 Y 3 ) − − (S1Y1 + S 2 Y2 + S3 Y3 )(X1R 1 + X 2 R 2 + X 3 R 3 ) = = (S 2 X 1 − S 1 X 2 )(R 2 Y 1 − R 1 Y 2 ) + (S 1 X 3 − S 3 X 1 )(R 1 Y 3 − R 3 Y 1 ) + + (S 3 X 2 − S 2 X 3 )(R 3 Y 2 − R 2 Y 3 ) + (S 1 R 1 + S 2 R 2 + S 3 R 3 )(X 1 Y 1 + X 2 Y 2 + X 3 Y 3 ) − − (S 1 Y 1 + S 2 Y 2 + S 3 Y 3 )(X 1 R 1 + X 2 R 2 + X 3 R 3 ). Não é difícil comprovar que (02) é válida para i, j = 1 (identidade óbvia) e i, j = 1,2 (identidade das 16 letras); isso é, para i,j = 1,2,...N, (02) é a "identidade das 8N letras"36.

36 Essas identidades são válidas quaisquer que sejam os sinais de Si S e X i X porque uma das bases escolhidas i i poderia ser positiva e a outra negativa.

I, §05.03

§ 06 - O caráter tensorial das expressões vetoriais.

Em estudos avançados, criam-se espaços vetoriais abstratos de um número qualquer (finito ou infinito) de dimensões. Não é difícil, apenas trabalhoso, mostrar que (02) é válida para um número qualquer, N, finito. Para N tendendo para o infinito, muitas considerações devem ser preliminarmente estabelecidas no estudo da questão; isto, entretanto, está muito além das pretensões desta exposição.

§ 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. A criação dos conceitos de base e coordenadas de vetores em relação a uma base levou-nos, no § 04.01, a um primeiro contato com o Tensorialismo. Do § 04.02 ao § 04.04 aplicamos a técnica das coordenadas para expressar produtos (escalares, vetoriais e mistos), e condições geométricas diversas entre vetores (paralelismo, perpendicularidade e coplanaridade). Nessa ordem de idéias mostramos no § 05 que a solução de uma equação vetorial é um invariante numa mudança de base. Apresentamos essa solução na forma cartesiana ((043), § 05) e na forma vetorial ((04), § 05). Neste mesmo § 05 mostramos que com a adoção da técnica das coordenadas expomo-nos ao risco do empecilho de enxergar mais longe; com efeito, ((02),§05.03) não é uma identidade mais geral que ((012),§05.02) ? Com essas exemplificações modestas, mas didáticas - que de forma alguma pretendem fechar definitivamente essas discussões - concluímos que as representações cartesianas de produtos, de condições geométricas entre vetores, de soluções de uma equação vetorial etc., variam com as bases escolhidas; os produtos, em si, e as expressões vetoriais tradutoras de condições geométricas e as soluções de equações vetoriais, ficam invariantes em EN. Assim, diríamos: 1°) - aiXi = b é uma equação vetorial cujas soluções são Xi = b.ai ; 2°) - (x.y)2+(x×y)2 = x2y2 é a identidade universal de Lagrange ; 3°) - (s×x).(r×y)=(s.r)(x.y)-(x.r)(s.y) é a “super” identidade (universal) de Lagrange (que tem a anterior como caso particular)... e coisas tais. O que importa, nesse instante, é destacar o tensorialismo ou o universalismo das expressões vetoriais em EN. Particularmente, é mister considerar-se o vetor, na forma como o concebemos no § 01.01, como um tensor, já que os conceitos que o caracterizam: módulo, direção e sentido têm o mesmo significado para todos os observadores. Em vista das considerações anteriores, é necessária certa cautela nas conclusões quando a consideração de um tensor é feita em relação a bases particulares.

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Bibliografia

BIBLIOGRAFIA. É bastante extensa a bibliografia existente sobre Vetores. Limitamo-nos aqui à listagem apenas das obras que tiveram uma maior influência na exposição.

1 - 1901: GIBBS, J. W. and WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, Connecticut, USA, 436 pp. (Yale Bicentennial Publications, Dover). Republished in 1913, 1916, 1922, 1925, 1929, 1931, 1943, 1947 and 1948. 2 - 1921: WEATHERBURN, C. E., Elementary Vector Analysis (with applications to Geometry and Physics), G.Bell and Sons, Ltda, London, 184 p.. Reeditado em 1926, 1928 e 1931. 3 - 1927: SANTOS, C. C., Cálculo Vetorial - (Lições professadas na Escola de Minas de Ouro Preto), Oficinas Gráficas da Escola de Minas de Ouro Preto, Ouro Preto 159. p. 4 - 1929: BRICARD, R., Le Calcul Vectoriel, Librairie Armand Colin, Paris. Reeditado em português, em 1958, pela Editora Ao Livro Técnico Ltda., Rio de Janeiro, 184 p. 5 - 1937: CARAÇA, B. J., Cálculo Vetorial, Depositário Geral, Livraria Sá Costa, Lisboa, 254 p. Reeditado em 1957. 6 - 1953: DIAS, A. T., Álgebra Vetorial e Exercícios, Oficinas Gráficas da Escola de Minas de Ouro Preto, 109 p. 7 - 1960: MOREIRA, L. C. A., Vetores recíprocos, Boletim n° 8, Departamento de Matemática, Escola de Minas de Ouro Preto. 8 - 1974: CALAES, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, Imprensa da Universidade Federal de Ouro Preto, 328 p. Reeditado em 1979 pela Fundação Gorceix, Ouro Preto, tomos I e II, com 415 p..

I,Bibliografia

CAPÍTULO II

DIÁDICOS § 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR. É intuitivo o conceito de variável numérica: uma letra X que pode representar qualquer número de dado conjunto de números. Por analogia, uma variável vetorial é uma letra que pode representar um vetor qualquer de dado conjunto de vetores. Assim, por exemplo: 1º) r poderia representar o conjunto de todos os vetores paralelos a dado vetor unitário rˆ - esses vetores seriam, então, vetores de dado E1 -, caso em que

r = ± | r | rˆ Se |r|, variável numérica, varia dentro de um intervalo conhecido, os vetores r ficam determinados; a variável vetorial r representa, assim, qualquer um dos vetores desse conjunto, ou seja, do espaço E1 (§ 04,I)37; 2º) Se a é um vetor cuja direção, módulo e sentido não se alteram, a é dito um vetor constante. Imaginemos, entretanto, o vetor a com a sua origem deslizando sobre dada reta (r). Em relação a certo ponto fixo, O, do espaço, os conjuntos dos vetores x de origem O e extremidade em pontos X de (r), e os x' = x + a ficam, então, determinados; e as variáveis vetoriais x e x' podem representar cada vetor dos respectivos conjuntos (Fig.01.01). Assim, a X0 corresponderia o vetor x0 de um conjunto e o vetor x0′ do outro conjunto; a X1 corresponderiam x1 e x1′ etc..

Se X é uma variável numérica e Y outra variável numérica que dependa de alguma forma da variável X, escrevemos: Y=F(X); F expressa essa dependência e dizemos que Y é função de X. A variável Y é dita o valor da função e X o seu argumento. 37 Conforme nossas "Convenções", com (§ 04,I) estamos nos referindo ao § 04 do cap.I.

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§ 01 Função de variável vetor, de valor escalar e de valor vetor

Podemos estender estes conceitos aos vetores. Consideremos o segundo exemplo atrás citado. Como a cada ponto X de (r) podemos fazer corresponder o vetor m = a × x e o escalar M = a.x, dizemos que m e M são funções de valor vetor e valor escalar, respectivamente, do vetor x; o vetor x é dito também o argumento da função. Se a cada x corresponde um e um único vetor m ou escalar M, como no caso do exemplo citado, dizemos também que as funções vetoriais a × x e a.x são unívocas. Genericamente representaremos por f(x), f em negrito, uma função de valor vetor de um vetor x; e por F(x), F ao natural, uma função de valor escalar do vetor x. Assim, em resumo, diremos que f(x) e F(x) são funções de valor vetor e valor escalar, respectivamente, do argumento vetor x. Esta notação é adequada porque ela permite facilmente distinguir uma função de valor escalar e argumento vetor de uma função escalar ordinária (de variável numérica). Do ponto de vista geométrico podemos entender uma função de valor vetor e argumento vetor como alguma operação sobre o argumento que transforma esse vetor no valor da função (que é outro vetor). Assim diremos também que f(x) é o transformado de x mediante a função f( ). Uma função de valor vetor, v, que tenha por argumento uma combinação linear de vetores: x = Xixi, é dita linear, e se escreve v = l(x), se

v = l( x ) = l( Xi x i ) = Xil(x i ), donde

o = l( o) ,

(01),

(011).

Assim, por exemplo, conforme sabemos (§ 02.04 e § 02.05,I), sendo

m = a × x = a × ( X i x i ) = X i (a × x i ) , e i

M = a. x = a. ( X x i ) = X ( a. x i ), para a vetor constante e x variável, concluímos que as operações de multiplicação vetorial e escalar de vetores são, respectivamente, funções lineares de valor vetor e valor escalar, entendendo-se:

l () ≡ a × , ou

l () ≡ a. .

Doravante todas as funções a serem consideradas serão funções lineares de argumento vetor e valor vetor, razão pela qual a ela nos referiremos apenas como função vetorial linear ficando o restante subentendido, salvo onde for observado o contrário. Além disso, todos os índices deverão assumir os valores do conjunto {1,2,...,N}, sendo N = 1, ou N = 2, ou N = 3, casos em que estaremos nos referindo a espaços uni, bi e tridimensionais de vetores, respectivamente (§ 04,I).

II,§ 01

§ 01 Função de variável vetor, de valor escalar e de valor vetor

Teor. 1: Uma função vetorial linear na reta, no plano e no espaço, fica univocamente determinada se são conhecidos os seus valores para um vetor não nulo, dois vetores não paralelos e três vetores não coplanares, respectivamente. Com efeito, se bi são os transformados de N vetores independentes ai mediante a função l( ), isso é, se b i = l (a i ) então o transformado de qualquer vetor x = Xiai (i = 1,2,...,N) é l (x) = l (X i a i ) = X i l (a i ) = X i b i . Como por hipótese são conhecidos os Xi e os bi, resulta l(x) determinada. A função vetorial linear, entendida como uma operação é também dita operadora de uma transformação linear. Esta nomenclatura tem mais sentido geométrico (matemático) do que físico, mas pode ser entendida de uma forma bem ampla. Em relação ao espaço N dimensional o conceito de transformação linear pode ser entendido de três pontos de vista: 1º) - ponto de vista algébrico. A transformação linear x’ = l(x) é uma operação que transforma um conjunto ordenado de N números reais (coordenadas do vetor x em certa base) em outro conjunto ordenado de N números reais (coordenadas de x' na mesma base a que se refere x) através de relações lineares; 2º) - ponto de vista geométrico. Seja P(Xi) o ponto genérico de um domínio D, N dimensional, definido em relação a um sistema cartesiano por equações Xi = Xi(A1, A2, ...,AN), i = 1, 2, ..., N, onde os parâmetros Aj variam dentro de intervalos definidos. Seja P'(Xi) o ponto de um domínio D' tal, que

x' = l (x), ou X'i = A i j X j

(i,j=1,2,...,N),

(02),

onde os Ai j não dependem dos Xj. Uma função vetorial linear pode, pois, ser entendida como uma transformação de pontos P de D em pontos P' de D'; 3º) - ponto de vista físico. Nesse caso a transformação linear não pode ser entendida de um modo tão elementar quanto o algébrico e o geométrico. Diríamos que a transformação linear, em Física, é a própria expressão da lei física representativa de dado fenômeno que correlacione duas grandezas vetoriais na forma (01). Por exemplo, na lei de Newton: f = Ma, da Mecânica, a massa M proporcionaria uma transformação linear da aceleração em força atuante, ou, o inverso da massa proporcionaria uma transformação da força atuante em aceleração; similarmente, diríamos que a carga elétrica proporciona uma transformação do campo elétrico em força atuante, conforme a expressão clássica: f=Qe. É curioso observar que, do ponto de vista geométrico, a transformação linear tem um "significado físico" - um transporte de pontos de D para D' - enquanto que em Física pode parecer não caber, em geral, qualquer "significado geométrico" para as leis físicas. Por outro lado, poder-se-ia questionar: quais seriam as equações (02) se interessasse conhecer o tempo para D transformar-se em D'? Quais seriam as trajetórias, as velocidades, as acelerações dos pontos? Paralela e relativamente às leis físicas, faria sentido questionar, por exemplo: em quanto tempo ou com que velocidade, o inverso da massa de um corpo transforma a força atuante em aceleração? Está fora do escopo destas "Lições" a análise de algumas destas questões.

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§ 02 - Díades e diádicos. Conceitos e operações fundamentais.

§ 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. § 02.01- Definições e notações. Vimos (§ 03, I) que qualquer vetor x pode ser expresso nas formas

x = (x.ei )ei ou x = (x.ei )ei ,

(i = 1,2,..., N),

(01),

onde, relembremos, N (= 1, ou 2, ou 3) é a dimensão do espaço a que pertence x. Nestas expressões é até dispensável o uso dos parênteses, uma vez que relações do tipo

x = x. (eiei ) ou x = x. (eiei ), (i = 1,2,..., no finito),

(02),

não têm, até o momento, nenhum significado. Poderíamos, por outro lado, postular que as (02) acarretassem as (01), correspondentemente, caso em que estaríamos admitindo: 1º)- uma expressão do tipo (eiei), ou (eiei), obtida por somas simbólicas de "produtos justapostos" de vetores de um conjunto de N vetores independentes pelos seus correspondentes recíprocos; 2º)- uma operação entre esta expressão e o vetor x que gerasse o próprio x. Isto constitui, de fato, nosso interesse, mas de uma forma mais ampla. Objetivando generalizar a expressão e a operação atrás referidas, consideremos dois dados conjuntos ordenados de P vetores quaisquer, duas P-plas de vetores: P

{a}P = {a1 , a 2 , a 3 ,..., a P } e {b} = {b , b , b ,..., b } (P finito), (03), onde cada vetor aj do conjunto {a}P tem um correspondente bj no conjunto {b}P, qualquer um dos vetores podendo pertencer a um E1, a um E2 ou ao E3. Chamam-se díades desses conjuntos, quaisquer "produtos justapostos" de um vetor de um dos conjuntos com o seu correspondente do outro conjunto, sem nenhuma interposição de sinal de operação entre eles; por isso mesmo esses símbolos foram chamados por Gibbs de produtos indeterminados. São díades, então, os símbolos abstratos: 1

a 1b , a 2b ,..., a P b . Da esquerda para a direita, o primeiro e o segundo vetores em cada díade são ditos, respectivamente, o antecedente e o conseqüente da díade.

II,§ 02.01

§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor.

Chama-se diádico dos conjuntos {a}P e {b}P, nessa ordem, a soma simbólica e abstrata de todas as suas díades, em qualquer ordem. Assim,

a1b1 + a 2b 2 + ... + a P b P = ai b i = a 2b 2 + a P b P + ... + a1b1 , (i=1,2 ... ,P)

(04),

justificando-se a notação compacta do produto justaposto de vetores do último membro desde que convencionemos aplicar-lhe a convenção somatória (§ 02.02, I). Os vetores dos conjuntos {a}P e {b}P são ditos, respectivamente, os antecedentes e os conseqüentes do diádico. Dizemos que o diádico é gerado de EN se todos os seus antecedentes e conseqüentes são vetores desse EN. Quando, em (03), P = 1, diz-se que o diádico está escrito em forma monomial; quando P = 2, em forma binomial; quando P = 3 em forma trinomial e, geralmente, em forma polinomial ou P-nomial (quando se pretende especificar o número de díades).

Notação: Manteremos a notação introduzida (§ 01.01, I) para vetores e números. Os diádicos serão representados, na maioria das vezes: 1º)- pelas letras minúsculas do alfabeto grego, em negrito: φ, ψ, µ etc., salvo onde for observado o contrário; 2º)- também pelas latinas maiúsculas em negrito e ocasionalmente em itálico e negrito.

§ 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos. Chama-se produto de um diádico φ (e, portanto, de uma díade) por um número M, e representa-se por φM ou Mφ φ, o diádico que se obtém de φ multiplicando os seus antecedentes ou os seus conseqüentes por esse número, ou, ainda, distribuindo o número A de alguma forma (por fatoração arbitrária) entre todos os antecedentes e todos os conseqüentes de φ. Assim, se M = A.B, então: j

Mφ = M( a jb ) = (Ma j )b = a j ( Mb ) = ( Aa j )( Bb ),

(01).

A multiplicação do diádico φ por um número real M é a operação que tem por fim determinar o produto Mφ φ = φM. Por analogia com os vetores, os diádicos φ e Mφ serão ditos paralelos.

§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. Chama-se produto pontuado anterior (posterior) do diádico φ = ajbj (j = 1,2,...,P) pelo vetor r, e representa-se por φ.r (r.φ φ), lendo-se φ ponto r (r ponto φ), o vetor que se obtém como uma multiplicidade vetorial linear dos seus antecedentes (conseqüentes) cujos

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§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

coeficientes são os produtos escalares dos correspondentes conseqüentes (antecedentes) pelo vetor r38. Assim: j

φ . r = ( a jb ) . r = a j (b . r ) = a 1 (b . r ) + a 2 (b . r ) +...,

(01),

ou, j

r. φ = r. ( a j b ) = ( r. a j )b = ( r. a 1 )b + ( r. a 2 )b +... ,

(011).

A multiplicação pontuada de diádico por vetor é a operação que tem por fim determinar o produto escalar anterior ou o posterior do diádico pelo vetor. É uma operação sempre possível e unívoca, porque o são as operações vetoriais em (01) e (011). Propriedades.

1º) - O produto pontuado (anterior ou posterior) de qualquer diádico pelo vetor nulo é sempre o vetor nulo.

∀φ:

o. φ = φ . o = o,

(02). i

Com efeito, pois em (01) teríamos: φ . o = a i (b . o) = o ; similarmente, em (011), o. φ = ( o. a i ) b i = o .

2º) - A operação é associativa em relação a fatores escalares e distributiva em relação a adição de vetores, isso é:

M(φ . r ) = φ . (Mr ) = (Mφ ) . r e φ . ( a + b +...) = φ . a + φ . b +...,

(03).

Tem-se: j

M(φ . r ) = Ma j (b . r ) = a j [ M(b . r )] = a j [b . ( Mr )] = φ . ( Mr ), e i

φ . ( a + b +...) = a i [b . ( a + b +...)] = a i (b . a ) + a i (b .b ) +... = φ . a + φ . b +.... Assim, genericamente, se, em relação à base {e*}:

r = R i e i , (para i=1, 2, ..., N), então, φ .r = φ .(R i e i ) = R i ( φ .e i ) = R i φ .e i ,

(031).

3°) - A operação é associativa em relação a fatores vetores se o diádico está entre vetores:

∀a , b , φ :

( a. φ ) .b = a. (φ .b ) ≡ a. φ . b ,

38 Gibbs denominou este produto de "direct product of φ into r".

II,§ 02.03

(04).

§ 02.04 O diádico como operador de uma T.L.

§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L.. Teor. 1: Qualquer diádico, quando usado como pré-fator ou pós-fator em multiplicação pontuada por vetor, é operador (ou regente) de uma transformação linear (T.L.); reciprocamente, toda T.L. sobre vetores (na reta, no plano ou no espaço) pode ser univocamente representada por um diádico para ser usado como pré ou pós-fator em multiplicação pontuada por vetor. Com efeito, o teorema direto decorre imediatamente da definição de multiplicação pontuada de diádico por vetor, nas formas das expressões ((01) e (011), §02.03) e da definição de transformação linear dada por ((01), §01), bastando entender-se l ≡ φ. (l idêntico a φ ponto). Reciprocamente, se l é uma função vetorial linear (representativa de uma T.L.) determinada pelo conhecimento dos vetores bi, transformados dos vetores independentes ai (Teor.1, §01), tem-se (lembrando a teoria dos recíprocos, § 03, I):

l(a i ) = b i = b jδ i j = b j (a j .a i ) = (b ja j ).a i ,

(i, j=1,2,...,N).

Assim, denotando por ψ o diádico bjaj - único, porque são conhecidos os bj e os aj se determinam univocamente - podemos escrever:

l ( a i ) = ψ. a i . Como também se possa escrever: j

l ( a i ) = b i = δ i j b j = ( a i . a )b j = a i . ( a b j ), (i, j = 1,2, ..., N), resulta, pondo φ = ajbj (diádico também único ): l(a i ) = a i . φ , como queríamos demonstrar.

Corol. 1: Um diádico gerado de um EN fica univocamente determinado quando são conhecidos os seus produtos pontuados por N vetores independentes quaisquer de EN, isso é,

 b = φ . a ⇒ φ = b a i i i i a i independentes  (i = 1,2,..., N),  c i = a i . ψ ⇒ ψ = a i c i

(01).

Corol. 2: Dadas duas N-plas de vetores independentes de EN, existe sempre um e um único diádico que, usado como pré ou pós-fator, transforma uma Npla na outra.

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§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

Aplicação: Mostrar que em qualquer T.L. no E3, pontos dependentes de uma reta ou de um plano transformam-se, respectivamente, em pontos dependentes de uma reta ou de um plano. Denotemos por φ o diádico que rege a transformação de pontos R em pontos R', isso é, seja r' = φ.r. Os vetores posição r1, r2 e r3 de três pontos colineares R1, R2 e R3 satisfazem a função vetorial linear Airi = o, (i = 1,2,3), com A1+A2+A3 = 0 (Teor. 5, §03.01, I). Logo, φ.ri) = φ.(Airi) = φ.o = o, o que mostra serem os lembrando ((031), §02.03): Airi' = Ai(φ pontos R1', R2' e R3' também colineares. Similarmente podemos demonstrar o caso em que os pontos são dependentes de um plano recorrendo ao Teor. 9, §03.03, I.

§ 02.05 - Transposição diádica. Teor. 1: A operação de multiplicação pontuada entre diádico e vetor não é comutativa, isso é, φ . r ≠ r. φ , o que é evidente pelas ((01) e (011),§ 02.03). Observemos, porém, que das ((01),§ 02.03) podemos, ainda, escrever:

φ .r = a j (b j .r ) = (r.b j )a j = r.(b ja j ). ,

(j = 1, 2, ... , P) .

Os diádicos cujos antecedentes e conseqüentes são mutuamente alternados são denominados transpostos ou conjugados39 um do outro. Assim, sendo φ = ajbj com (j = 1,2,...,P), seu transposto, que se representa por φT (ou φC na notação de Gibbs), é escrito na forma: φT = bjaj. Logo: j

φ = a jb ⇔ φ = b a j ,

(j = 1, 2, ... , P)

(01).

Resulta que: T

φ . r = r. φ ,

(02),

De ((01),§ 02.04) escrevemos, então: T

b i = l( a i ) = φ . a i = a i . φ ,

(i = 1, 2, ..., N)

(021).

39 A denominação conjugado é de Gibbs; transposto é uma denominação mais moderna, como acentuaremos mais à frente (§09.02).

II,§ 02.05

§ 02.06 Igualdade de diádicos.

A operação que consiste em alternar correspondentemente os antecedentes e os conseqüentes de dado diádico - operação esta sempre possível e unívoca - é denominada transposição diádica. Resulta, logo, de (01), que uma dupla transposição diádica - operação também sempre possível e unívoca - é operação idêntica, isso é, T T

(φ ) ≡ φ

= φ,

(03).

§ 02.06- Igualdade de diádicos. Diz-se que dois diádicos φ e ψ são iguais, e escreve-se φ = ψ (ler φ igual a ψ) se, nas mesmas condições de multiplicação pontuada (anterior ou posterior), transformam um mesmo e qualquer vetor em vetores iguais:

φ=ψ

⇐

∀r

⇒

 φ . r = ψ. r   r. φ = r. ψ,

(01).

Teor. 1:

φ = ψ ⇐ ∀v , r ⇒ v. (φ . r ) = ( v. ψ) . r = v. φ . r = v. ψ. r ,

(02)

Como efeito, se φ = ψ temos de (01), lembrando ((04),§ 02.03): v. (φ . r ) = v. (ψ. r ) , sendo irrelevante o uso dos parênteses nesta expressão. Reciprocamente, de (02) deduzimos: v.(φ.r − ψ .r ) = o .Ora, não sendo o vetor entre parênteses necessariamente ortogonal a v (pois v é qualquer), deve ser φ.r - ψ.r = o, isso é, φ.r = ψ.r; logo φ = ψ, pois r é qualquer.

Teor. 2: A multiplicação direta de vetores é distributiva em relação à adição de vetores: i

φ = ( A a i )( B jb ) = A B ja i b ,

(i, j = 1,2,..., P),

(03).

Com efeito, para qualquer r, tem-se: i

φ . r = (A a i )[B j (b . r )]. Ora, Aiai é uma soma de vetores e Bj(bj.r) é uma soma de escalares. Como a operação de multiplicação de vetor por número é distributiva em relação à adição de vetores e à adição de escalares, e associativa em relação a fatores numéricos, tem-se, considerando também ((01),§ 02.03): i

φ . r = A B j a i (b . r ) = (A B j a i b ) . r ,

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§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

sendo imutáveis no último membro a ordem dos vetores nas parcelas entre parênteses. Os diádicos φ e AiBjaibj são, pois, iguais, pela definição de igualdade; donde, então, (03).

§ 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos. Teor.1: Qualquer diádico pode ser expresso de quatro, e apenas de quatro maneiras distintas, como uma soma de N díades de que antecedentes ou conseqüentes sejam N vetores independentes arbitrários de EN. Sejam: φ = cjdj (j = 1,2,...,P) um diádico dado em forma polinomial, gerado de um EN, e {e∗} e {e∗} sistemas quaisquer de vetores recíprocos desse espaço. Como seja sempre possível expressar antecedentes ou conseqüentes de φ por combinações lineares (únicas) dos ei e ei (§ 03,I), escrevendo dj = (dj.ei)ei = (dj.ei)ei, resulta φ = [cj(dj.ei)]ei = [cj(dj.ei)]ei. Assim, pondo

c j (d j .ei ) = a i e c j (d j .ei ) = v i ,

(i = 1, 2, ..., N), (j = 1, 2, ..., P)

(01),

resulta

φ = v iei = a iei , (i = 1,2,..., N),

(011),

onde, então, os conseqüentes são independentes, nada se podendo afirmar, nesse particular, a respeito dos antecedentes ai e vi. Com um raciocínio análogo, podemos expressar os antecedentes da forma polinomial de φ, em relação a {e } e {e*}, para obter expressões análogas a (011), nas * quais, agora, os antecedentes de φ são esses vetores independentes. Escrevemos:

c j = (c j .ei )ei = (c j .ei )ei , (c j .ei )d j = b i ,

(c j .ei )d j = w i ,

(02),

φ = eib i = ei w i ,

(i = 1, 2, ..., N)

(021);

donde

ei . φ = w i ,

ei . φ = bi ,

(022).

Também nesse caso, não se pode decidir sobre a dependência ou independência dos wi e bi. Podemos, então, escrever:

φ = a i ei = v i ei

φ T = b i ei = w i ei ,

(i = 1,2,..., N),

(03),

sendo, geralmente, φ≠φ φT40.

Definições: (forma e redução N-nomial) As formas (011) e (021) são denominadas formas N-nomiais (§ 02.01) de representação de um diádico. Quando se expressa um diádico em forma Nnomial diz-se que se pratica uma redução N-nomial do diádico; diz-se

também que se reduz o diádico à forma N-nomial.

40A possibilidade de ser φ=φT será analisada no § 04.02.

II,§ 02.07

§ 02.07- Redução N-nomial e motivo de diádicos.

Particularmente, em E1 a redução se dirá monomial; em E2, binomial e em E3, trinomial. Evidentemente, um mesmo diádico pode ser reduzido de infinitos modos a uma forma N-nomial, uma vez que existem infinitas N-plas de vetores independentes em EN. Por analogia com as representações cartesianas e nomenclaturas vetoriais, diremos que φ = aiei e φ = viei são , respectivamente, representações N-nomiais contravariantes e co-variantes de φ nas bases (recíprocas) {e } e {e*}; analogamente, os vetores ai e vi serão * ditos as coordenadas vetoriais contravariantes e co-variantes de φ naquelas bases (recíprocas). As representações (011) e (021) têm o mesmo status; são válidas, para ambas, as mesmas nomenclaturas. Ordinariamente vamos nos referir a uma representação N-nomial com conseqüentes independentes, exceto onde for observado o contrário. O motivo de um diádico. Conforme já observamos, os diádicos podem representar certas grandezas físicas, tal como os vetores podem representar grandezas físicas vetoriais. No caso dos vetores, tanto as coordenadas escalares quanto os tercetos de vetores independentes podem representar grandezas físicas. Da mesma forma, os antecedentes e/ou os conseqüentes de um diádico vetores - podem representar "partes" da grandeza complexa que ele representa, mas pelo menos um dos tercetos deve ser constituído de vetores independentes (representando ou não alguma grandeza física). Assim, numa redução N-nomial de um diádico, distinguem-se sempre duas N-plas de vetores: uma que denominaremos "espacial" ou "referencial", de vetores independentes e outra "substancial" de vetores (independentes ou não), em correspondência (biunivoca) com a primeira. Quando a N-pla espacial é de natureza geométrica, a substancial é relativa a um motivo específico do diádico (uma tensão, por exemplo). Quando os dois tercetos são de natureza física, o motivo é misto. É esta a concepção matemática que, sutil e imperceptivelmente, está implícita nas leis físicas. E da arbitrariedade e independência de pelo menos um dos tercetos de vetores brota a necessidade dos vetores recíprocos porque num fenômeno físico um terceto tomado ao acaso não é ortonormado necessariamente. Casos de igualdade.

Teor. 2: Dois diádicos iguais, reduzidos a uma forma N-nomial com os mesmos antecedentes (conseqüentes) independentes, têm iguais conseqüentes (antecedentes); e reciprocamente.

φ = ψ ⇐ e i indep. (i = 1,2,..., N), i

φ = a ei , ψ = b ei ⇒ a = b ,

(04).

Consideremos os diádicos iguais φ e ψ, reduzidos a uma forma N-nomial com iguais conseqüentes independentes ei, isso é, sejam i

φ = a ei

ψ = b ei

(i = 1,2,... , N).

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§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

Para qualquer r escrevemos, pela definição de igualdade de diádicos ((01),§ 02.06): r. φ = r. ψ isso é, i

( r. a ) e i = ( r.b ) e i . Resulta então (Corol.3, Teor.2, § 04.03, I): i

r. a = r.b , isto é , r. ( a − b ) = 0,

(i = 1,2, ..., N).

Mas sendo r qualquer, ai - bi = o conforme ((04),§ 02.04,I); ou ai = bi, isso é, os conseqüentes de φ e ψ são também iguais. Reciprocamente, se dois diádicos têm antecedentes e conseqüentes respectivamente iguais, eles são iguais porque, obviamente, transformam um mesmo e qualquer vetor em vetores iguais.

Corol. 1: Uma CNS para que dois diádicos sejam iguais, é que, escritos Nnomialmente com os mesmos conseqüentes (antecedentes), os seus antecedentes (conseqüentes) sejam respectivamente iguais. Corol. 2: CNS para que dois diádicos φ e ψ sejam iguais é que, nas mesmas condições de multiplicação pontuada, transformem os mesmos N vetores independentes, vi, em vetores iguais:

φ = ψ ⇐ v i indep.

(i = 1,2,... N) ⇒ φ . v i = ψ. v i ,

(041).

O teorema direto é evidente por definição de igualdade de diádicos. Reciprocamente, pondo: wi = φ.vi = ψ.vi, resulta de ((01),§ 02.04):

φ = wiv

e ψ = wiv ,

isso é, pelo corolário anterior, φ = ψ.

§ 02.08- Invariantes primários de um diádico. O escalar e o vetor. De cada diádico é possível deduzir alguns números e alguns vetores. Os principais são os denominados: escalar e vetor do diádico φ, que se representam por φE e φV, respectivamente, e que se obtêm inserindo entre as suas díades os sinais operatórios de multiplicação pontuada e cruzada. Assim, II,§ 02.08

§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico.

se φ = c jd

φ = c .d j j  E (j=1,2,...,P), então:  j φ V = c j × d

(01).

Doravante consideraremos que o sinal o (ponto vazio) represente tanto a multiplicação escalar de vetores quanto a vetorial. Então as igualdades (01) são representadas unicamente por

φ o = c j o d j (j=1, 2, ..., P), a pequena bola vazia usada como índice representando também os índices E (escalar) e V (vetor). É óbvio que o escalar e o vetor de um diádico são determinados univocamente, porque as operações de que dependem as suas determinações são unívocas. De ((01),§ 02.02) deduzimos:

(Mφ) o = Mφ o ,

(02),

entendendo-se, por exemplo, que o vetor de Mφ, isso é, (Mφ)V: 1º)- é paralelo ao vetor de φ;; 2º)- tem módulo M vezes o do vetor de φ; 3º)- tem o mesmo sentido do vetor de φ se M > 0, e o sentido contrário se M < 0. Decorre também, imediatamente, de ((01), § 02.05) e de propriedades das multiplicações escalar e vetorial entre vetores, que:

(φ T ) E = φ E , ou φ TE = φ E ,

(03),

(φ T ) V = − φ V ,

φ TV = − φ V ,

(031).

Teor. 1: São invariantes (logo, únicos) o escalar e o vetor de um diádico. Com efeito, sejam φ ′o e φ ′o′ os escalares ou os vetores de φ obtidos de uma forma Pnomial φ = cjdj (j = 1,2,...,P) e de uma forma N-nomial (N=1,2 ou 3) φ = aiei, (i=1,2,...,N), respectivamente. Escrevemos:

φ ′o = c j o d j (j=1,2,...,P)

φ ′o′ = a i o e i (i=1,2,...,N).

Provemos que φ ′o = φ ′o′ . Ora, das relações ((01),§ 02.07) escrevemos: φ ′o′ = [c j (d j .e i )] o e i . Mas, sendo distributivas as multiplicações escalar e vetorial de vetores em relação à soma de vetores, e associativas em relação a fatores escalares,

φ ′o′ = c j o [(d j .e i )e i ] . Observando que o vetor entre colchetes é dj, concluímos a demonstração da tese.

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§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

O terceiro. Seja φ = aiei, (i = 1,2,...,N), ei independentes, uma redução N-nomial qualquer de dado diádico φ.

Definição: (terceiro de um diádico) Expresso um diádico φ em forma N-nomial, chama-se terceiro desse diádico,

e representa-se por φ3, o produto pontuado do antecedente pelo conseqüente, se N = 1; o produto pontuado do produto cruzado dos antecedentes pelo produto cruzado dos conseqüentes, se N = 2; o produto dos produtos mistos dos antecedentes e correspondentes conseqüentes, se N = 3:

φ = a1 .e , se N = 1; 1  3  i 1 φ = a e i , (i = 1,2,..., N) φ 3 = (a × a 2 ).(e1 × e 2 ), se N = 2;  φ 3 = (a1a 2 a 3 )(e1e 2 e 3 ), se N = 3,

(04).

Devemos notar que o cálculo do terceiro no E2 apela para vetores do E3. O leitor não deve entender que isto seja um defeito da estrutura da teoria. Pelo contrário, isso é um alerta em relação às operações que serão definidas futuramente com poliádicos cujos espaços têm dimensões muito superiores a três.

Teor. 1: (Invariância) É um invariante o terceiro de um diádico. Com efeito, consideremos duas reduções N-nomiais quaisquer de um diádico φ, com, digamos, antecedentes independentes,

φ = a ib i e φ = c jd j (i, j = 1,2,..., N). Devemos provar que, para um mesmo valor de N (mesmo espaço), (φ φ3 )1= (φ φ3)2, sendo, conforme a definição (04),

a .b1 c .d1  1  1   1 2 (φ 3 )1 = (a1 × a 2 ).(b × b ) e (φ 3 ) 2 = (c1 × c 2 ).(d1 × d 2 )   (a1a 2 a 3 )(b1b 2 b 3 ) (c1c 2 c 3 )(d1d 2 d 3 ). Expressando os ai em função dos cj, escrevemos, lembrando ((021),§ (03.01,I), ((041),§ (03.02,I), e ((071),§ (03.03,I), correspondentemente a N = 1, N = 2 e N = 3: ai = (ai.cj)cj. Assim, para N = 3, por exemplo, podemos escrever, lembrando ((04)1,§ (04.03,I):

(a1a 2a 3 ) =| a i .c j|(c1c2c3 ); logo: (φ 3 )1 =|a i .c j| (c1c2c3 )(b1b2b3 ). Nestas condições,

φ = a ib i = (a i .c j )c jb i = c j[(a i .c j )bi ]; II,§ 02.08

§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico.

então, como todo diádico é igual a si próprio, resulta (Teor.2, § 02.07):

d j = (a i .c j )b i , donde (d1d2d3 ) =| a i .c j|(b1b 2b 3 ). Assim,

(φ 3 ) 2 = ( c 1 c 2 c 3 )( d1 d 2 d 3 ) = ( c 1 c 2 c 3 )| a i . c j |(b 1b 2 b 3 ), isso é, (φ 3 ) 1 = (φ 3 ) 2 . j

Para N = 2 teríamos, analogamente, pondo a i = ( a i . c ) c j e aplicando ((02)1, § 04.03,I):

a1.c1

(φ 3 )1 = (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ) =

a1.c 2

a 2 .c1 a 2 .c 2

(c1 × c 2 ).(b1 × b 2 ) .

Pondo ainda, por outro lado:

φ = a ib i = (a i .c j )c jb i = c j[(a i .c j )bi ] = c jd j , (i, j = 1,2), resulta: dj = (ai.cj)bi; donde:

d ×d = 1

a1.c1

a1.c 2

a 2 .c

(b1 × b 2 ) .

Logo:

(φ 3 ) 2 = (c1 × c 2 ).(d × d ) = 1

a1 .c1

a1 .c 2

a 2 .c

(c1 × c 2 ).(b1 × b 2 ) ,

isso é (φ 3 )1 = (φ 3 ) 2 . Para N = 1 a demonstração é evidente.

Teor. 2: (não nulidade do terceiro) Uma CNS para que o terceiro de um diádico seja diferente de zero é que ele seja redutível a uma forma N-nomial com antecedentes e conseqüentes simultaneamente independentes (não nulos se N = 1, não paralelos se N = 2 e não coplanares se N = 3). A condição é necessária porque se φ = aiei com ei independentes e φ3≠0, as (04) implicam a independência dos ai, isso é, a independência dos antecedentes. A recíproca é de demonstração evidente.

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§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

Teor. 3: (interpretação geométrica do terceiro) Na T.L. regida pelo diádico φ, o seu terceiro rege a transformação numérica (algébrica) das distâncias se o espaço é unidimensional, a das áreas se o espaço é bidimensional e dos volumes se o espaço é tridimensional:

φ3 =

(dist., area, vol.) transformado (dist., area, vol.) transformando

(05).

Sejam bi (i = 1,2,...,N) os transformados de N vetores independentes ai, respectivamente, mediante um diádico φ, isso é, sejam bi = φ.ai. Se N = 1, a1 representa (numericamente) uma distância entre pontos; se N = 2, a1 × a2 representa o vetor-área do paralelogramo construído sobre a1 e a2; se N = 3, (a1a2a3) representa o volume do i paralelepípedo construído sobre a1, a2 e a3. Ora, b i = φ . a i ⇒ φ = b i a , conforme Corol.1, Teor.1, § 02.04, qualquer que seja a dimensão N do espaço. Logo:

b1.a1 = ± | b1 | / | a1 |,   φ 3 = (b1 × b 2 ).(a1 × a 2 ) = ± | b1 × b 2 || a1 × a 2 |= ± | b1 × b 2 | / | a1 × a 2 |,  (b1b 2 b 3 )(a1a 2a 3 ) = ± | (b1b 2 b 3 ) | / | (a1a 2 a 3 ) |, onde os sinais são positivos se e somente se: 1º)- para N = 1, b1 e a1 têm o mesmo sentido; 2º)- para N = 2 e qualquer vetor c ortogonal ao plano desse espaço (bidimensional), os triedros c, b1, b2 e c, a1, a2 são igualmente orientados; 3º)- para N = 3 os triedros b1, b2, b3 e a1, a2, a3 são igualmente orientados. Em qualquer caso, o terceiro do diádico representará sempre, em grandeza e sinal, os elementos geométricos correspondentes a cada dimensão do espaço (distância se N = 1, área se N = 2 e volume se N = 3), o que demonstra o teorema.

Teor. 4: Se X≠0 é um número real qualquer, então, para um diádico gerado de EN,

(Xφ) 3 = X i φ 3 (i=1, ou 2, ou 3)

(06).

Sendo φ = aibi e pondo Xφ φ = (Xai)bi deduzimos, aplicando a definição e lembrando propriedade das multiplicações escalar, vetorial e mista de vetores:

(Xa ).b i = X(a .b i ) = Xφ , se N = 1; i i 3   1 2 (Xφ) 3 = (Xa1 × Xa 2 ).(b × b ) = X 2 (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ) = X 2 φ 3 , se N = 2;  3 [X (a1a 2 a 3 )](b1b 2 b 3 ) = X 3 φ 3 , se N = 3, expressões sintetizadas por (06).

Teor. 5:

II,§ 02.08

∀ φ:

φ 3 = φ T3 ,

(07).

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto.

É o que decorre imediatamente da definição (04) uma vez que:

φ 3 = a1.b1 = b1.a1 = φ T 3 , se N = 1 φ 3 = (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ) = (b1 × b 2 ). (a1 × a 2 ) = φ T3 , se N = 2; φ 3 = (a1a 2 a 3 )(b1b 2 b 3 ) = (b1b 2 b 3 )(a1a 2 a 3 ) = φ T3 , se N = 3, Teor. 6: (Desigualdade de Hadamard) Se o módulo de uma base é menor que o da sua recíproca, o quadrado do terceiro de um diádico é menor ou no máximo igual ao produto dos quadrados dos seus vetores motivo nessa base: ∗

∀{e ∗ }, {e }, φ = a e i = b je do E 3 : ( e 1 e 2 e 3 ) ≥ ( e 1 e 2 e 3 ) ⇔ (φ 3 ) 2 ≤ | a 1 | 2 | a 2 |2 | a 3 |2 ,

(08).

( e 1 e 2 e 3 ) ≤ ( e 1 e 2 e 3 ) ⇔ (φ 3 ) 2 ≤ | b 1 | 2 | b 2 |2 | b 3 |2 , Tem-se:

φ 3 = ( a 1 a 2 a 3 )( e 1 e 2 e 3 ) = (b 1b 2 b 3 )( e 1 e 2 e 3 ) e (φ 3 ) 2 = ( a 1 a 2 a 3 )(b 1b 2 b 3 ) . Ora,

( e 1 e 2 e 3 ) ≠ ( e 1e 2 e 3 ) porque ( e 1 e 2 e 3 )( e 1e 2 e 3 ) = 1 ; logo, (a1a 2a 3 ) ≠ (b1b 2b 3 ) . Assim,

(e1e2e3 ) ≥ (e1e2e3 ) ⇔ (b1b 2b 3 ) ≤ (a1a 2a 3 ), (e1e2e3 ) ≤ (e1e2e3 ) ⇔ (b1b 2b 3 ) ≥ (a1a 2a 3 ). Então, correspondentemente,

(b1b2b3 )2 ≤ (φ 3 )2 ≤ (a1a 2a 3 )2 , (a1a 2a 3 )2 ≤ (φ 3 )2 ≤ (b1b2b3 )2 . Agora, considerando o exercício do § 02. 06, I, i.e., sendo ∀x, y, z: ( xyz) 2 ≤ x 2 y 2 z 2 , concluímos logo a demonstração da a tese.

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. Consideremos os diádicos dos conjuntos definidos por uma N-pla de vetores independentes quaisquer e seu sistema recíproco; sejam eiei e riri dois quaisquer desses diádicos para (i = 1,2,...,N). Escrevemos, para qualquer vetor v:

v = ( v.e i )e i = v.(e i e i ) ,

v = ( v.r i )ri = v.(r i ri ) , (i =1,2,..., N).

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§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

Diádico unidade. As igualdades anteriores mostram que existem diádicos que transformam qualquer vetor em si mesmo executando, então, a "transformação identidade"; são denominados diádicos unidade (ou idem fatores), sendo representáveis de infinitas maneiras (pois existem infinitas N-plas de vetores independentes)41. Como podemos escrever, também:

∀ v:

v = v. ( e i e ) = v. ( e e i ) = v. ( ri r ) =...,

resulta da definição de igualdade de diádicos que todos os diádicos unidade são iguais; são representados, por isso, por um único símbolo: a letra maiúscula Ι (em negrito) do alfabeto grego. Assim, i

Ι = ri r = e i e = e e i =..., (i = 1,2,..., N),

(01),

se os ri , os ei etc. são independentes. Resulta também, imediatamente:

∀ φ:

φ = (φ .e i ) e i = (φ .e i ) e i ,

(i = 1,2,..., N),

(011),

pois, pondo φ = a i e i = b j e j (i,j=1,2,3), tem-se, por exemplo: (φ.e i )e i = b i e i = φ . No caso particular em que os vetores independentes são os unitários ortogonais $i , $j , k$ , de E , escrevemos: 3

$$ . Ι = $$ ii + $$ jj + kk Lembrando propriedades dos recíprocos deduzimos, logo, para reduções no EN:

Ι E = N , Ι V = o e Ι 3 = 1, Diádico nulo. Seja, agora, Ο um diádico reduzido à forma N-nomial

Ο = e i n i , e i independentes, (i = 1,2,..., N). Para qualquer r,

Ο .r = e i (n i .r ). 41 Compare esta situação com a apresentada no início do § 02.01

II,§ 02.09

(02).

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto.

O vetor ei(ni.r) é nulo se, e somente se, ni.r = 0, para todo i. Mas sendo r qualquer, r não é ortogonal a nenhum dos ni necessariamente (tão pouco a todos simultaneamente), isso é,

∀ r : Ο = e i n i , e i independentes e Ο .r = o ⇔ n i = o,

(03).

Sendo, ainda, para qualquer r: r.Ο = (r.ei )ni , o vetor (r . ei) ni é nulo se, e somente se, os ni são todos nulos porque, do contrário, existiriam tantas combinações dos ni quantas se quisessem sem que os mesmos fossem nulos; o que é impossível. Como poderíamos aplicar o mesmo raciocínio ao caso em que o diádico fosse reduzido à forma N-nomial com conseqüentes independentes, concluímos que:

A CNS para que um diádico transforme qualquer vetor no vetor nulo é que os seus antecedentes ou os seus conseqüentes sejam todos nulos. Dada a arbitrariedade do vetor r concluímos que todos os diádicos que transformam qualquer vetor no vetor nulo são iguais; esse diádico, único, é denominado diádico nulo e representado, assim, por um único símbolo: a letra maiúscula Ο (em negrito) do alfabeto grego. Obviamente

Ο E = 0 , Ο V = o , Ο 3 = 0, Teor. 1:

M = 0 ⇔ MΙ = ΙM = Ο ,

(04).

Pois, escrevendo Ι nas várias formas N-nomiais (01), teríamos, nos diferentes membros das expressões de 0ΙΙ, ou Ι0, diádicos todos iguais ao diádico nulo (com todos os antecedentes ou todos os conseqüentes nulos). Reciprocamente, se MΙΙ = ΙM = Ο, todos os antecedentes ou todos os conseqüentes de MΙΙ = ΙM são nulos. Como os antecedentes e os conseqüentes de Ι não são nulos, deve ser M = 0.

Teor. 2: ∀ φ, a i , e i , (a1a 2 a 3 ) ≠ 0, (e1e 2 e 3 ) ≠ 0:

a1 e1 .a

a2 1

e 2 .a

e 3 .a1

e1 .a

e 2 .a

e 2 .a 3

e 3 .a 2

e 3 .a 3

φ e1 .φ = Ο, e 2 .φ e 3 .φ

(05)

desde que os vetores da última coluna sejam os antecedentes nas díades a serem formadas. Pois, considerando (011) e a identidade evidente:

(a1a 2a3 )(e1e2e3 )φ = (a1a 2a3 )(e1e2e3 )(φ.ai )ai ,

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§ 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

pode deduzir-se, sucessivamente, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03,I):

(a1a 2 a 3 )(e1e 2 e 3 )φ = = (e1e 2 e 3 )[φ.(a 2 × a 3 )a1 + φ.(a 3 × a1 )a 2 + φ.(a1 × a 2 )a 3 ] = = [(e1e 2 e 3 )(φ.e i )e i ].[(a 2 × a 3 )a1 + (a 3 × a1 )a 2 + (a1 × a 2 )a 3 ]. Mas,

(e1e 2 e 3 )(φ.e i )e i = (φ.e1 )(e 2 × e 3 ) + (φ.e 2 )(e 3 × e1 ) + (φ.e 3 )(e1 × e 2 ) ; logo, aplicando ((05), § 03.03,I):

(a1a 2a 3 )(e1e 2 e 3 )φ =

(φ.e1 )(

e 2 .a 2 e 2 .a 3 1 e 2 .a 3 e 2 .a1 2 e 2 .a1 e 2 .a 2 3 a + a + a )+ e 3 .a 2 e 3 .a 3 e 3 .a 3 e 3 .a1 e 3 .a1 e 3 .a 2

+(φ .e2 )(

e3 .a 2

e1.a 3

e1 .a 2

e1.a 3

a1+...) + (φ .e3 )(

e1.a 2

e1.a 3

e2 .a 2

e2 .a 3

a1+...) .

Os conseqüentes das três díades no segundo membro podem ser representados pelos determinantes a1

e 2 .a1 e 2 .a 2 e 2 .a 3 , − e1 .a1 e1 .a 2 e1 .a 3 e e1 .a1 e1 .a 2 e1 .a 3 . e 3 .a1 e 3 .a 2 e 3 .a 3

e 3 .a1 e 3 .a 2 e 3 .a 3

e 2 .a1 e 2 .a 2 e 2 .a 3

Conforme ((062),§ 03.03,I), (a1a2a3)(e1e2e3) é o co-fator de φ em (05); e os determinantes simbólicos, antes referidos, são os complementos algébricos dos demais elementos da quarta coluna de (05). Assim, a expressão a que chegamos é o desenvolvimento do determinante (05), segundo Laplace, pelos elementos da quarta coluna.

Diádicos opostos Consideremos, agora, dois diádicos φ e ψ que transformam um vetor qualquer, v, em vetores opostos, isso é, φ.v = w ,

II,§ 02.09

ψ. v = − w .

§ 03.01 - Definições e propriedades gerais.

Se os ei são independentes (i = 1,2,...,N) e eiai e eibi são as reduções N-nomiais de φ e ψ, i

escrevemos: e i ( a . v ) = e i ( − b . v ). Então, necessariamente, a . v = − b . v para todo i, i

isso é: a = − b . Logo:

Se dois diádicos, reduzidos a uma forma N-nomial com antecedentes (conseqüentes) independentes, transformam por multiplicação pontuada posterior (anterior) um mesmo vetor em vetores opostos, seus conseqüentes (antecedentes) são vetores opostos. É evidente que a recíproca desta propriedade é verdadeira e que os mesmos resultados poderiam ser obtidos caso os diádicos fossem reduzidos a forma N-nomial com conseqüentes independentes. Diádicos que transformam um mesmo vetor em vetores opostos são denominados diádicos opostos. É evidente, em vista da definição de multiplicação de diádico por número real (§ 02.03), que se dois diádicos são opostos um deles é igual ao outro multiplicado por (-1). Assim, se ψ é oposto de φ, ψ = (-1)φ φ, isso é, a todo diádico φ corresponde um único oposto, e o representamos por - φ. Então:

− φ = ( −1)φ ,

(06);

logo:

(−φ ) E = −(φ E ) ,

(−φ ) V = −(φ V ) e (−φ ) 3 = (−1) N φ 3 ,

(07).

§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS. § 03.01 - Definições e propriedades gerais. Numa redução N-nomial de um diádico com antecedentes (conseqüentes) independentes, os conseqüentes (antecedentes) poderão ser ou não independentes. Um diádico é dito completo (ou não degenerado) quando, reduzido a uma forma N-nomial, tem antecedentes e conseqüentes simultaneamente independentes; ele é dito incompleto em caso contrário. Consideremos a forma N-nomial φ = eibi (i = 1,2,...,N) em que, por hipótese, os antecedentes são independentes. Se os bi não forem independentes eles serão, necessariamente: coplanares no E3, paralelos no E2, e nulo no E1. No E3 dois casos podem acontecer relativamente aos conseqüentes (Fig.03.01): 1°)- pelo menos um deles é nulo. Geometricamente, ilustraríamos esse caso com a Figura (a), em que o plano de b1 e b2 é o plano dos três vetores; ou em que tal plano é Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos

qualquer plano que contenha a reta suporte de b1 (Figura (b)); ou, que tal plano é indeterminado (o diádico correspondente é o diádico nulo).

2º)- Todos eles são não nulos (Figura (c)), com dois subcasos: dois dos conseqüentes são paralelos, (Figura (d)), ou os três paralelos, (Figura (e)). Neste último caso os vetores pertencem a qualquer um dos infinitos planos que contenham a direção comum a esses vetores. No caso 1º), Figura 03.01(a), b3 = o e o diádico fica reduzido a forma binomial φ = e1b1+e2b2 uma vez que e3b3 = Ο (díade nula). Se dois dos conseqüentes são nulos, b2 = b3 = o, por exemplo, então φ fica reduzido à forma monomial: φ = e1b1. No caso 2º), em que os três conseqüentes são não nulos, podemos expressar um 3 3 1 3 2 deles em função dos outros dois, escrevendo, por exemplo, b = B b + B′ b ; logo:

φ = e 1b + e 2 b + e 3 (B b + B′ b ) = ( e 1 + B e 3 )b + ( e 2 + B ′ e 3 )b . 1

3 1

3 2

Pondo

e 1 + B e 3 = e 1′ e e 2 + B′ e 3 = e ′2 , 3

temos, finalmente:

φ = e 1′ b + e ′2 b , 1

isso é, φ fica reduzido a uma forma binomial. 2 3 Caso dois dos bi sejam paralelos, por exemplo b || b , podemos escrever: b3 = 3 2 B b e, então, 1

3 2

φ = e 1b + e 2 b + e 3 (B b ) = e 1b + ( e 2 + B e 3 )b , isso é, φ fica reduzido à forma binomial. II,§ 03.01

§ 03.01 - Definições e propriedades gerais.

Finalmente, é óbvio que se todos os conseqüentes são paralelos, o diádico pode ser reduzido à forma monomial. Analogamente, no E2 dois casos podem acontecer, relativamente aos conseqüentes de uma redução binomial do diádico: 1º) ao menos um dos vetores é nulo: φ = e1b1+e2b2 com b2 = o. Então, obviamente, o diádico fica reduzido à forma monomial φ = e1b1; 2º) os conseqüentes são não nulos, mas paralelos. Nesse caso podemos escrever: b1 = e b2 = B2b; e φ = (B1e1+B2e2)b = eb, sendo e = B1e1+B2e2. Assim, também nesse caso, o diádico fica reduzido a uma forma monomial. B 1b

Definições: No E3, diádicos redutíveis à forma binomial denominam-se planares; no E3 ou no E2, os diádicos redutíveis à forma monomial denominam-se lineares. Quando um diádico está reduzido a uma forma não passível de maior redução no espaço a que pertence, dizemos que ele está representado em redução mínima ou em forma mínima. Assim, no E3, a forma mínima de um diádico planar é a binomial e a de um diádico linear a monomial. No E2 a forma mínima de um diádico linear é a monomial.

Teor. 1: A todo diádico planar no E3 está associado um e um único par de planos; a todo diádico linear no E3 ou no E2 está associado um e um único par de direções. Seja, no E3, φ = eibi uma redução trinomial do diádico φ com antecedentes independentes, e β o plano dos seus conseqüentes. Este diádico transforma, por multiplicação pontuada posterior, qualquer vetor r de E3 no vetor r′ do plano β (Figura i 03.02), pois, r ′ = r. φ = ( r. e i )b .

Logo, como o transformado de qualquer outro vetor v , v', é ainda um vetor do plano β, concluímos que, nestas condições (multiplicação pontuada posterior e redução com antecedentes independentes), o diádico φ transforma qualquer plano do espaço no plano β.

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§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos

Suponhamos, agora, que a redução de φ seja φ = rici, com os ri independentes. Então o plano definido pelos mesmos vetores r e v, anteriormente considerados, deve ser transformado no plano β ' dos seus novos conseqüentes c1, c2 e c3. Mas como a transformação regida por φ é unívoca, o transformado do plano de r e v é um só, isso é, β e β ' são confundidos ou paralelos. Se fizéssemos a redução trinomial do mesmo diádico φ, agora com conseqüentes independentes e quaisquer - operação sempre possível (Teor.1, § 02.07) - , os antecedentes de φ deveriam ser coplanares porque, por hipótese, φ é planar. Procedendo como anteriormente poderíamos comprovar que esse plano tem orientação única. Então, não obstante serem, correspondentemente, os antecedentes (dois pares) de duas reduções binomiais arbitrárias de um mesmo diádico, vetores diferentes, esses vetores são coplanares; o mesmo ocorre com os conseqüentes. Logo, a todo diádico planar estão associados dois planos, em geral distintos. A demonstração da segunda parte do teorema, no E3 ou no E2, é análoga a primeira.

Definições: No E3, os planos associados a um diádico planar e a interseção desses planos são ditos, respectivamente, os planos e a direção desse diádico; se esses planos são paralelos o diádico é dito uniplanar, se ortogonais, ortoplanares.

No E3, ou no E2, a direção e o plano associados a um diádico linear são ditos a direção e o plano desse diádico, respectivamente; se o antecedente e o conseqüente de um diádico linear são paralelos o diádico é dito unilinear, se ortogonais, ortolineares. No E2, todos os diádicos são uniplanares; no E1 todos os diádicos são unilineares.

Corol. 1: Todo diádico planar (gerado do E3) transforma qualquer figura (uni, bi ou tridimensional) numa figura de um dos seus planos. Corol. 2: Todo diádico linear (gerado do E3 ou de um E2) transforma qualquer figura (uni, bi ou tridimensional) em pontos ou segmentos de reta de uma de suas direções. Não é demais observar que, tanto aos diádicos planares (do E3), quanto aos lineares (do E3 e do E2), estão associados, respectivamente, uma direção única (interseção de dois planos) e um plano único (união de duas direções); geralmente, entretanto, essas direções não têm haver com as direções dos vetores desses diádicos. Por outro lado, quando, no E3, um diádico é uniplanar, o seu vetor é ortogonal ao seu plano; quando, no E3, um diádico é linear, o seu vetor é ortogonal ao seu plano, e quando ele é unilinear o seu vetor é o vetor nulo.

φ V .φ .

Exercício: Demonstre que a direção do diádico planar φ (gerado do E3) é paralela ao vetor

II,§ 03.01

§ 03.01 - Definições e propriedades gerais.

Teor. 2: Todo diádico completo transforma vetores independentes em vetores independentes; reciprocamente, se um diádico transforma vetores independentes em vetores independentes, ele é completo. Com efeito, se φ é completo e os ai são independentes, então, sendo bi = φ.ai, temse: φ = biai, conforme ((01),§ 02.04). Mas se φ é completo, os seus antecedentes são independentes (os ai já o são, por hipótese). Reciprocamente, se um diádico φ transforma os vetores independentes ai nos vetores independentes bi, isso é, bi = φ.ai, então φ = biai e φ é completo.

Corol. 1: Uma CNS para que um diádico seja completo é que transforme vetores independentes em vetores independentes. Corol. 2: Uma CNS para que um diádico seja completo é que seu terceiro seja diferente de zero.

φ completo ⇔ φ 3 ≠ 0,

(01).

Teor. 3: Se φ é completo e φ.r = o, então, r = o:

φ3 ≠ 0

φ.r = o

⇒

r = o,

(02).

Escrevamos o diádico completo, φ, numa qualquer forma N-nomial: φ = eibi com os ei independentes. Então, também por hipótese, φ.r = ei(bi.r) = o. Como os ei são independentes, bi.r = 0 para todo i, isso é, r = o porque r não poderia ser ortogonal a N vetores independentes simultaneamente.

Teor. 4:

φ≠Ο Ο, r≠o e φ.r = o

⇒

φ é incompleto,

(03).

Reduzamos o diádico φ à forma N-nomial com conseqüentes ei independentes. Deduzimos, então: φ.r = ai(ei.r) = o. Ora, os coeficientes ei.r na combinação linear dos vetores ai não podem ser simultaneamente nulos porque os vetores ei são independentes e r é qualquer. Logo (Corol.3, Teor.4, § 03.02, I) os ai são dependentes e φ é incompleto.

Teor. 5: ai independentes e φ.ai = o (i = 1,2,...,N)

⇒

φ = Ο,

(04).

Pois teríamos de ((01),§ 02.04): φ = oa1 se N = 1, ou φ = oa1+oa2 se N = 2, ou φ = se N = 3, isso é, φ = Ο.

oa1+oa2+oa3

Teor. 6: Se φ é completo, então para qualquer r≠o, tem-se φ.r≠o e r.φ≠o; ou,

φ 3 ≠ 0, ∀r ≠ o :

φ.r ≠ o e r.φ ≠ o,

(05).

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§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos.

Escrevendo φ = eibi, com (e1e 2 e 3 ) ≠ 0 , tem-se φ.r = ei(bi.r). Ora, ao menos um dos números entre parênteses é não nulo porque o vetor não nulo, r, não poderia ser ortogonal aos três vetores independentes bi simultaneamente; logo φ .r ≠ o . Analogamente comprova-se que r .φ ≠ o .

§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. Consideremos, no E3 , dois diádicos completos, φ e ψ, escritos, por exemplo, nas formas trinomiais seguintes (com antecedentes independentes)

φ = ei a i e ψ = e ip i

(i = 1, 2, 3) ,

(01),

com a condição de que os pi, não nulos, sejam paralelos aos correspondentes ai, isso é,

p 1 = X 1 a 1 , p 2 = X 2 a 2 , p 3 = X 3 a 3 , (X 1 , X 2 , X 3 ≠ 0) ,

(011).

Então podemos dar a ψ a nova representação:

ψ = ei Xia i

(i = 1, 2, 3) 42,

(012).

Aplicados os ai e os pi co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O, suas extremidades A1, A2, A3 e P1, P2, P3 definirão os triângulos espacialmente homológicos, A1A2A3 e P1 P2 P3. O centro dessa homologia é O e seu eixo é a interseção dos planos dos triângulos, interseção esta que contém, ademais, os pontos de interseção B1, B2 e B3 dos lados homólogos (A2A3, P2 P3), (A3A1, P3 P1) e (A1A2, P1 P2), respectivamente (Fig. 03.03).

Explicitando os vetores ai em (011) e substituindo em (01), vemos que as representações de φ e de ψ são análogas, porem com coeficientes recíprocos:

φ = ei

1 Xi

pi ,

(013).

42 Notar que quando dois índices aparecem repetidos num mesmo nível mas seguidos do mesmo índice em nível diferente, fica estabelecida a somatória convencionada; e apenas nestes caso. Por isso, as expressões (011) poderiam ser escritas na forma p i = X i a i (i = 1, 2, 3) .

II,§ 03.02

§ 03.02

- Diádicos homológicos e término colineares.

Definição: (diádicos homológicos) Diádicos como φ e ψ, cujos conseqüentes satisfazem (011), serão ditos reciprocamente homológicos (ou, simplesmente, homológicos). Escritos os diádicos nas formas (01)1 e (012), diremos que ψ é homológico com φ e tem coeficientes de homologia Xi; e escreveremos ψ = Homφ. Nota: Quando não houver perigo de confusão escreveremos, simplesmente ψ = Homφ e φ = Hom −1ψ para representar a reciprocidade homológica dos diádicos. Devemos notar, entretanto, neste caso, que a substituição da segunda igualdade na primeira dá: −1 HomHom ψ ≠ ψ .

Segue-se das considerações geométricas estabelecidas que, a dado par de diádicos homológicos, é possível associar, de modo unívoco, o diádico χ que, escrito em forma trinomial com antecedentes ei, é χ = e i b i (i=1, 2, 3), os vetores bi sendo co-iniciais em O e tendo extremidades Bi sobre o eixo da homologia (portanto, colineares).

Definição: (diádico término colinear) Um diádico que, escrito em forma trinomial, tem por vetores motivos, vetores término colineares quando co-iniciais, é dito término colinear. É geometricamente evidente que resultados análogos poderiam ser obtidos fazendose a projeção do sistema espacial de triângulos homológicos da Figura 03.03 sobre um plano arbitrário, paralelamente a uma direção também arbitrária do espaço. Nesse caso, os diádicos homológicos φ e ψ, antes completos, agora devem ser considerados dados por expressões idênticas às (01), com a condição se serem ambos planares, seus conseqüentes satisfazendo (011). Mantêm-se as mesmas denominações e notações já estabelecidas no caso da homologia espacial. Particularmente, o diádico término colinear associado com essa homologia tem seu plano coincidente com o plano da mesma. Exercícios: 1) – Teorema da invariância da homologia: A homologia de dois diádicos homológicos independe de suas representações N-nomiais. 2) - Se ψ=eiXiai é homológico de φ = eiai com (e1e2e3)≠0 e (a1a2a3)≠0, então o eixo da homologia é paralelo ao vetor

a = X1 ( X 2 − X 3 )a1 + X 2 ( X 3 − X1 )a 2 + X 3 ( X1 − X 2 )a 3 ; e este é perpendicular ao vetor a1 + a 2 + a 3 . * No caso particular em que os coeficientes da homologia (plana ou espacial) de dois diádicos são todos iguais, os diádicos correspondentes são paralelos; os triângulos que lhes correspondem são semelhantes e têm planos paralelos.

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§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos.

Propriedades.

1°) - O transposto do homológico de um diádico é igual ao homológico do transposto desse diádico:

( Homφ ) T = Hom(φ T ) ,

(02).

Pois

(Homφ ) T = ( e i X i a i ) T = X i a i e i e Hom(φ T ) = a i X i e i

(i = 1, 2, 3) .

2°) - O terceiro do homológico de um diádico é igual ao produto do terceiro desse diádico pelos coeficientes de suas homologias:

( Homφ ) 3 = X 1 X 2 X 3φ 3 ,

(03).

Pois,

(Homφ ) 3 = (e i X i a i ) 3 = (e1e 2 e 3 )( X1a1 × X 2 a 2 .X 3a 3 ) = X1X 2 X 3 (e1e 2 e 3 )(a1a 2a 3 ) . 3°) - Se dois diádicos são paralelos (§ 02.03), seus homológicos são igualmente paralelos:

ψ = Kφ

⇔ Homψ = K Homφ ,

(04).

Pois

Hom(Ke i a i ) = Ke i X i a i = K( e i X i a i ) = KHom( e i a i ). ⇒

§ 03.03 - Diádicos de Moreira. Quadrângulo associado. Consideremos um feixe qualquer de três planos α1), α2) e α3), de charneira e), Figura 03.04. Podemos escolher de uma (múltipla) infinidade de maneiras dois tercetos de vetores não coplanares, {e1 , e 2 , e 3 } e {a 1 , a 2 , a 3 } , tais, que para i=1,2,3, ei e ai pertençam ao plano αi). Com esses tercetos podemos constituir o diádico, digamos completo43,

M = eia i

(i = 1,2,3),

43 Nada impede que esse diádico possa ser planar.

II,§ 03.03

M 3 ≠ 0,

(01).

§ 03.03 - Diádicos de Moreira.

Decorre dessa construção que os vetores das díades de M são coplanares, isso é,

(e1 × a1 ) × (e 2 × a 2 ).(e 3 × a 3 ) = 0 ,

(02).

Com efeito, pois esses vetores são ortogonais a planos que têm uma reta comum. O plano π), ao qual são paralelos os vetores das díades de M, é, evidentemente, ortogonal a e). É evidente, ainda, que MV (em geral não nulo) também é paralelo a π).

Em resumo: se os planos das díades de um diádico completo formam um feixe, o vetor (em geral não nulo) desse diádico e os vetores de suas díades são paralelos a um mesmo plano que é ortogonal à charneira do feixe.

Os suportes dos vetores constituintes de cada díade de M haverão de se interceptar quando os tercetos de antecedentes e conseqüentes forem aplicados co-inicialmente em pontos arbitrários, D* e D, respectivamente, da charneira e) do feixe a ele associado. Se A, B e C são as interseções de e1 com a1, de e2 com a2 e de e3 com a3, respectivamente, resulta que o plano (ABC) é necessariamente paralelo ao plano π).

Representemos no plano (ABC) os pontos: HA, de interseção do plano (e1,a1) com BC, HB de interseção de (e2,a2) com CA, HC de interseção de (e3,a3) com AB, e H, interseção de DD* com (ABC).

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§ 03 - Diádicos Completos e Incompletos

Definições: (Quadrângulo) Quadrângulo44, é a figura formada por 4 pontos quaisquer, de que são os vértices, e os 6 segmentos que definem, de que são os lados. Constatamos, então, na representação geométrica do diádico M = e i a i , Fig. 03.05, a existência de um quadrângulo (no caso, um tetraedro), DABC, e três quadrângulos planos, DD*AHA, DD*BHB e DD*CHC com um par de vértices em comum. No quadrângulo ABCD, os lados que não possuem vértices comuns, ditos lados opostos, são três pares: DA e BC, AB e CD, CA e BD. Assim, ao suporte de a1 corresponde o suporte (oposto) de e1 × a1 etc. Ora, e1 × a1 (que é paralelo a BC) é perpendicular a e1 (que é paralelo a D*A) e a a1 (que é paralelo a DA); o mesmo ocorre com e 2 × a 2 em relação a e2 e a a2 etc. O quadrângulo é, por isso, um quadrângulo especial, cujos lados opostos (de comprimentos diferentes em geral e variáveis com DD*) são ortogonais; denomina-se um ortoquadrângulo na nomenclatura de Moreira. Os pontos HA, HB e HC são, assim, os pés das alturas do triângulo ABC, ou seja, H é o ortocentro desse triângulo. A escolha de novos pontos D e D* sobre a reta e) implica a formação de novos quadrângulos, todos de lados paralelos aos lados do primeiro. Como os antecedentes e os conseqüentes do diádico são quaisquer, o ortoquadrângulo que lhe é associado, é um ortoquadrângulo qualquer. É óbvio que poderíamos constituir diádicos M tais que um dos tercetos que definem o feixe fosse constituído de vetores coplanares, ou ambos os tercetos fossem coplanares e seus planos distintos, ou, mesmo, confundidos. Ficará a cargo do leitor a discussão geométrica dessas situações particulares, casos em que M seria planar ou uniplanar.

Definição: (diádico de Moreira) Denominaremos diádico de Moreira todo diádico cujos planos de suas díades constituam um feixe. Assim, aos diádicos de Moreira estão sempre associados um eixo e) e um plano π), ortogonais, que serão denominados eixo e plano desse diádico. Deve ser observado, porém, que diferentes diádicos de Moreira podem ter um mesmo eixo e um mesmo plano. Quadrângulos transpostos. Exploraremos um pouco mais o assunto no § 08 06. Por ora podemos deduzir que

se certo diádico é um diádico de Moreira, o seu transposto também é. Se aplicarmos os antecedentes e os conseqüentes de MT nos mesmos pontos D e D* de aplicação dos antecedentes e conseqüentes de M, o novo quadrângulo formado tem seus vértices simétricos dos vértices do primeiro em relação ao ponto médio de DD*. Os diádicos M e MT têm, pois, eixos coincidentes e planos paralelos; poderíamos denominar o quadrângulo associado a MT o quadrângulo transposto ou conjugado do primeiro. Devemos observar que qualquer plano e a reta a ele ortogonal constituem, respectivamente, o plano e o eixo de uma representação do diádico unidade. 44 Conforme Moreira, L. C. de A., Fundamentos da Geometria dos Quadrângulos, Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1960, p. 95 a 126.

II,§ 03.03

§ 04.01- Definição e propriedades.

Nota: Esses conceitos generalizam aqueles apresentados no § 03.03,I para sistemas de vetores recíprocos, sendo fácil detectar a correspondência existente entre os vários conceitos envolvidos. Assim, por exemplo, qualquer diádico de Moreira está para o seu ortoquadrângulo assim como o diádico unidade está para o quadrângulo ortocêntrico. Deve ser notado também que qualquer plano e qualquer reta podem constituir o plano e o eixo do diádico unidade.

⇐

§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS. § 04.01 - Definição e propriedades. Chama-se soma de dois diádicos φ e ψ, e representa-se por φ+ψ ψ (ler: φ mais ψ), o diádico cujas díades são as de φ e as de ψ. Assim, se φ = ai bi e ψ = cj d j, para i e j quaisquer, tem-se: 1 2 1 2 φ + ψ = a 1b + a 2 b +...+ c 1 d + c 2 d +.... A soma de dois diádicos é, pois, a soma simbólica de todas as díades desses diádicos. A adição de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar a soma desses diádicos; ela é, obviamente, extensível a mais de dois diádicos. Como, para qualquer vetor r, i

(φ + ψ +...) . r = ( a i b + c i d +...) . r = a i (b . r ) + c i ( d . r ) +..., vemos que a adição de diádicos goza das mesmas propriedades que a adição de vetores45. Por outro lado, como é sempre possível, com diádicos gerados do EN, reduzir qualquer diádico a uma forma N-nomial (com antecedentes ou conseqüentes independentes), vemos que a realização de uma redução N-nomial similar dos diádicos parcela (com os mesmos antecedentes, por exemplo) pode conduzir-nos rapidamente à determinação do diádico soma. Assim, por exemplo, i

se φ = e i b e ψ = e i c , então, φ + ψ = e i (b + c ),

( i = 1,2, ..., N ),

(01).

Nestas condições, demonstram-se facilmente as seguintes Propriedades.

1º)- É sempre possível e unívoca. Com efeito, dados dois diádicos é sempre possível reduzi-los a forma N-nomial com antecedentes (ou conseqüentes) independentes; além disso, a soma dos conseqüentes (ou antecedentes) é também possível e unívoca. 45 Essa operação de adição juntamente com a de multiplicação de diádico por número real (§ 02.02) e algumas de suas propriedades permitem enquadrar o conjunto dos diádicos como um "espaço vetorial no corpo dos números reais" em linguagem da Álgebra Linear.

Poliádicos - Ruggeri

100

§ 04- Adição de diádicos.

2º)- É comutativa e associativa: φ + ψ = ψ + φ,

φ + ψ + λ +... = (φ + ψ) + λ +...,

(02),

o que é evidente.

3º)- Chama-se diferença de dois diádicos φ e ψ, e representa-se por φ - ψ, o diádico que se obtém somando ao primeiro o oposto do segundo. Esta operação é, também, sempre possível e unívoca, podendo ser estendida a vários diádicos. Tem-se também, (03), φ − φ = Ο, isso é, a diferença de dois diádicos iguais é o diádico nulo. 4º)- A operação é distributiva em relação à multiplicação por número:

M(φ + ψ +...) = Mφ + Mψ +...,

(04),

porque: i

M(φ + ψ +...) = M[ a i (b + c +...)] = (Ma i )(b + c +...) = i

= a i ( Mb + Mc +...) = M ( a i b ) + M ( a i c ) +... = Mφ + Mψ+... . 5º)- A multiplicação pontuada de diádico por vetor é distributiva em relação à adição de diádicos:

(φ + ψ +...) . r = φ . r + ψ. r +...,

(05).

É evidente a demonstração.

6º)- O diádico transposto de uma soma algébrica de diádicos é igual à soma algébrica dos transpostos dos diádicos parcela: T

(φ + ψ +...) = φ + ψ +..., T

(06). i

(φ + ψ +...) = [ a i (b + c +...)] = (b + c +...) a i = b a i + c a i +... = φ + ψ +... 7º)- O escalar e o vetor de uma soma algébrica de diádicos são respectivamente iguais à soma algébrica dos escalares e dos vetores dos diádicos parcela:

(φ + ψ + ...) o = φ o + ψ o + ... ,

II,§ 04.01

(07).

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva.

101

Com efeito, reduzindo os diádicos a uma forma N-nomial com os mesmos denotando E ou V): antecedentes independentes, tem-se (com

(φ + ψ + ...) o = [a i (b i + c i + ...)]o = = a i o (b i + c i + ...) = a i o b i + a i o c i + ... = φ o + ψ o + ...

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. Sejam s1, s2, ..., N vetores não simultaneamente nulos que, em relação a uma base qualquer {e } de EN, são escritos na forma: *

si = (si .e j )e j com si .e j = s j .ei ,

(i, j = 1,2,..., N).

Existe sempre (Corol.1,Teor.1,§ 02.04) um diádico S que transforma os vetores da base recíproca de {e } nos vetores si, isso é, se si = S.ei, então, em forma N-nomial, S = siei. * Para qualquer r, i

S . r = s (e i . r ) = s . e (e i . r )e j , T

S . r = e j ( s . r ) = s . e ( r. e i ) e j . Por serem si.ej = sj.ei para todo i e j, resulta da definição de igualdade de diádicos que S=ST. Existem, pois, diádicos que são iguais aos seus respectivos transpostos; denominam-se diádicos simétricos e são representados genericamente por S. O diádico nulo e o diádico unidade são exemplos particulares de diádicos simétricos. Similarmente, seja a N-pla de vetores não simultaneamente nulos

a i = (a i .e j )e j com − a i .e j = a j .e i (i,j=1,2, ..., N). Existe sempre um diádico, digamos A, que transforma os vetores da base {e*} nos vetores ai; logo A = aiei. Então: i

A. r = a ( e i . r ) = a . e ( e i . r ) e j e T

A . r = e j (a . r ) = a . e (e i . r)e j . Logo, por ser

- ai.ej = aj.ei e lembrando a definição de igualdade de diádicos e diádicos

opostos: A =

- AT. Existem, pois, diádicos que são iguais aos opostos dos seus respectivos

Poliádicos - Ruggeri

102

§ 04- Adição de diádicos.

transpostos; são denominados diádicos anti-simétricos e representados geralmente por A46. O diádico nulo é um exemplo particular de diádico anti-simétrico para qualquer N.

Teor. 1: A soma e a diferença de qualquer diádico com o seu transposto são, respectivamente, diádicos simétrico e anti-simétrico. Com efeito, pois pela propriedade 6ª (§ 04.01) e considerando ((03),§ 02.05), temos, com correspondência de sinais: T T

(φ ± φ ) = φ ± φ

= φ ± φ = ± (φ ± φ );

isso é, T

T T

φ ± φ = ± (φ ± φ ) ,

(01),

donde a tese.

Teor. 2: Qualquer diádico pode ser decomposto de modo único na soma de um diádico simétrico com um anti-simétrico. Da identidade

φ=

1 2

(φ + φ ) +

1 2

(φ − φ ),

(02),

e do teorema anterior, resulta, logo, comprovada a possibilidade da decomposição. Demonstremos que ela é única. Pondo

φ′ =

1 2

(φ + φ ) e φ ′′ = T

1 2

(φ − φ ),

temos: φ = φ'+φ φ''. Se existissem dois outros diádicos ψ' e ψ'' tais, que

φ = ψ ′ + ψ′′ com ψ′ = ψ′

ψ′′ = − ψ′′ , T

então poderíamos escrever:

ψ ′ = φ′ + χ e ψ ′′ = φ′′ − χ, com χ ≠ Ο, para que ψ ′ + ψ ′′ = φ′ + φ′′ = φ . Sendo ψ ′ e ψ ′′ , respectivamente, simétrico e antisimétrico, deduzimos:

(φ ′ + χ ) = φ ′ + χ e (φ ′′ − χ ) = − (φ ′′ − χ ). T

46 A simetria e a anti-simetria dos diádicos aqui apresentadas são "internas". Oportunamente (§02.05,III) serão apresentadas as "externas".

II,§ 04.02

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva.

103

Mas sendo φ ′ simétrico e φ ′′ anti-simétrico, deduzimos também, aplicando propriedade da adição:

χT = χ

e − χ T = χ, isto é, χ = Ο.

Logo: ψ ′ = φ ′ e ψ ′′ = φ ′′ , e a decomposição é única.

Definições: A identidade (02) representa a decomposição aditiva do diádico φ. Nesta decomposição de φ, o diádico parcela (φ+φT)/2, simétrico, é dito a parte simétrica de φ; o diádico (φ - φT)/2, anti-simétrico, é dito a parte antisimétrica de φ. Esses diádicos serão representados, respectivamente, por φ sim e φ ant . Então:

φ = φ sim + φ ant , com φ sim =

1 1 (φ + φ T ) e φ ant = (φ − φ T ), 2 2

(03).

Corol. 1: Se um diádico é simétrico, a sua parte anti-simétrica é nula, e reciprocamente. Corol. 2: Se um diádico é anti-simétrico a sua parte simétrica é nula, e reciprocamente. Teor. 3: Os diádicos anti-simétricos, Α, são nulos no E1, unilineares no E2. No E3 eles são uniplanares e, particularmente,

∀r :

r × A V = 2A.r = 2r.A T = −2r.A ,

(04),

isso é, o vetor de um diádico anti-simétrico é perpendicular ao seu plano.47

- ea implicam a.e = 0; como a é paralelo a e: ou a = o, ou e = o e A - ea com a≠o e e≠o. Mas, para qualquer r de E2: A.r = a(e.r) = - e(a.r), isso é, a e e são paralelos; No E1, A = ae =

é o diádico nulo. No E2, A deveria ser ao menos linear, logo, da forma A = ae =

logo A é unilinear. Por ser A = - AT, A3 = (-1)N A3, isso é, Α3 = 0 para N=1, ou 3. Então, no E3, A deve ser ao menos planar porque A3=0. Com efeito, por ser A=-AT tem-se, lembrando ((06), § 02.09) e ((07), § 02.08): Α 3 = (− Α T ) 3 = (−1) 3 Α 3 = − Α 3 ; logo, no E3, A3=0. Então

47 Dispensam-se considerações aos vetores de diádicos anti-simétricos em E e E porque são sempre nulos. 1 2

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104

§ 04- Adição de diádicos.

esse diádico pode ser escrito na forma A=ab+cd. Mas devendo ser, também, A=-ba-dc, resulta que os planos (a,c) e (b,d) são coincidentes e Α é uniplanar. Então:

∀ r : A.r = a(b.r ) + c(d.r ) = −b(a.r ) − d(c.r ), Mas

r × A V = r × (a × b) + r × (c × d) = −(r.a)b + (r.b)a + (r.d)c − (r.c)d , donde, considerando a igualdade anterior

r × A V = 2[(r.b)a + (r.d)c] = 2r.A T = −2r.A = 2A.r , o que comprova (041). Analogamente, podemos escrever:

r × A V = −2[(r.a)b + (r.c)d] = −2r.A . Como r é qualquer, ΑV é perpendicular a qualquer combinação linear de a e c e de b e d; isso é, perpendicular ao plano do diádico.

Corol. 1:

Α = −Α T

e ΑV = o

⇔

Α=Ο.

Pois, por (04) seria r.Α = o para todo e qualquer r, ou seja, conforme (03), § 02.09, Α = Ο . A recíproca é evidente pois o diádico nulo é anti-simétrico e tem vetor nulo.

Corol. 2: Todo diádico anti-simétrico gerado do E3 tem escalar e terceiro nulos, e vetor não nulo:  AE = 0, A = − A T ⇒  A3 = 0, (041).  AV ≠ o Que o vetor de A é não nulo é evidente porque, se não fosse, o Corol. 1 garantiria ser esse diádico o diádico nulo; o que é contra a hipótese. Por ser A = - AT, deduzimos, igualando os escalares e os terceiros de ambos os membros: AE = Mas, segundo ((03) e (07),§ 02.08),

- ATE e A3 = - (AT )3.

ATE = AE e A3 = (AT)3; logo AE = 0 = A3.

Corol. 3:

∀r:

Α = -Α T

⇒

r. Α . r = 0 ,

Pois, sendo r. Α . r = − r. Α T . r , temos, evidentemente:

r. Α . r = − r. ( r. Α ) = − ( r. Α ) . r = − r. Α . r .

II,§ 04.02

(042).

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva.

105

Teor. 4: Todo diádico simétrico tem vetor nulo; reciprocamente, se um diádico tem vetor nulo ele é simétrico. Pois se S=ST, então, SV=(ST)V, isso é, lembrando ((031),§ 02.08), SV=-SV, ou SV=o. Reciprocamente, por hipótese SV=o. Mas, para qualquer diádico φ, (φ φT)V=- φV; logo: (ST)V=-SV=o=SV, ou seja, lembrando ((07), 04.01): (ST-S)V=o. Mas o diádico ST-S é antiΟ, ou seja, simétrico (Teor. 1); e tendo vetor nulo, o Corol. 1 do Teor. 3 garante ser ST-S=Ο ST=S.

Corol. 1: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo:

φ = φT

⇔

φV = o

(05).

Logo (§ 03.03):

todo diádico simétrico é um diádico de Moreira. Exercício: Caracterizar o diádico de Moreira associado a um diádico simétrico.

Corol. 2: No E3 todo diádico planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear). No E2 todo diádico linear simétrico é unilinear. Com efeito, se φ é simétrico, φV=o pelo corolário anterior; sendo planar podemos escrevê-lo, em redução mínima, φ=miai (i=1,2). Logo, mi × ai = o , igualdade que implica serem coplanares os antecedentes m1, m2 e os conseqüentes a1, a2 de φ. Então φ é uniplanar. A demonstração para o caso linear tanto no E3 quanto no E2 é evidente. Nota: A recíproca deste teorema para o caso planar não é verdadeira porque, obviamente, existem diádicos uniplanares cujos vetores não são nulos, logo não simétricos.

Corol. 3: Os diádicos ortoplanares e os ortolineares são não simétricos. Com efeito, se fossem simétricos seriam uniplanares os ortoplanares e unilineares os ortolineares, o que é absurdo.

Teor. 5: A todo v≠o de E3 é possível associar, de infinitas maneiras, um diádico antisimétrico (uniplanar), de plano perpendicular a v, cujo vetor seja 2v.

Poliádicos - Ruggeri

106

§ 04- Adição de diádicos.

Com efeito, sejam e1 e e2 dois dos infinitos vetores não paralelos arbitrários do plano ortogonal a dado vetor v tais, que v=e1×e2. O diádico e1e2-e2e1 é anti-simétrico porque T

e 1e 2 − e 2 e 1 = − ( e 1 e 2 − e 2 e 1 ) ; e seu vetor é 2e1×e2=2v, o que comprova o teorema. Teor. 6: O escalar e o vetor de um diádico são iguais, respectivamente, ao escalar de sua parte simétrica e ao vetor de sua parte anti-simétrica. Com efeito, sendo φ = φ sim + φ ant e considerando os teoremas 3 e 4 deduzimos:

φ E = φ sim E + φ ant E = φ sim E ,

φ V = φ sim V + φ ant V = φ ant V .

Teor. 7: Se dois diádicos têm vetores iguais, então suas partes anti-simétricas são iguais; e reciprocamente. φ-ψ)V = o e φ-ψ é diádico Com efeito, se φ e ψ são quaisquer e φV=ψ ψV, então: (φ T T T simétrico (Teor.4). Logo: φ-ψ=(φ φ-ψ) , ou, φ-φ =ψ ψ-ψ e as partes anti-simétricas desses diádicos são iguais.

φT)

A demonstração da recíproca é imediata, pois, devendo ser φ-φT=ψ ψ-ψT, então: (φ φT ψ-ψ )V, isso é, pelo Teor.6, φV=ψ ψ V. V=(ψ

Corol. 1: Se o vetor φV de um diádico φ é igual ao vetor AV de um diádico antisimétrico A, então A é a parte anti-simétrica de φ:

∀ φ , A:

φ V = AV

⇒

A = φ ant

(06).

Pois, pelo Teor.7 as partes anti-simétricas de φ e A são iguais e a parte antisimétrica de A é o próprio A.

Corol. 2: Se dois diádicos anti-simétricos têm vetores iguais, eles são iguais.

Exercício: Provar que

∀φ, ψ :

II,§ 04.02

2ψ V × φ V = −ψ V .φ ant = φ V .ψ ant ,

(07).

§ 05.01- Definição e propriedades.

107

Teor. 8: Se a soma (diferença) de dois diádicos é um diádico simétrico (antisimétrico), as suas partes anti-simétricas (simétricas) são diádicos opostos (iguais), e reciprocamente:

φ ± ψ = ± (φ ± ψ ) T

⇐

∀φ, ψ

⇒

1 1 (φ m φ T ) = m ((ψ m ψ T ) , 2 2

(08),

expressões em que os sinais se correspondem. Pois se φ ± ψ = ± (φ ± ψ) T = ±φ T + ψ T , então por transposição de termos resulta:

φ m φ T = m ψ + ψ T = m (ψ m ψT ) . A recíproca é de demonstração evidente. Exercício: Qualquer combinação linear de diádicos simétricos (anti-simétricos) é diádico simétrico (anti-simétrico).

§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS. § 05.01- Definição e propriedades. Chama-se produto pontuado do diádico φ = aibi (i = 1,2,...,P) pelo diádico ψ = cjdj (j = 1,2,...,Q), nessa ordem, e representa-se por φ.ψ ψ (lendo-se φ ponto ψ), o diádico χ representado pela soma simbólica das díades que se obtém multiplicando escalarmente o conseqüente de cada díade de φ pelos antecedentes de cada díade de ψ. Escreve-se: χ = φ . ψ , sendo:

χ = a i ( b i . c j ) d j = a 1 ( b 1 . c 1 ) d 1 + a 1 ( b 1 . c 2 ) d 2 +... +a 2 ( b 2 . c 1 ) d1 +... ,

(01).

Na ordem inversa o produto pontuado dos diádicos é:

ψ . φ = c j ( d j . a i ) b i = c 1 ( d 1 . a 1 ) b 1 + c 1 ( d 1 . a 2 ) b 2 + ...,

(011).

A multiplicação pontuada de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar o produto pontuado desses diádicos. Propriedades.

1ª)- É operação sempre possível e unívoca, o que é evidente.

2ª)- É operação não comutativa:

φ . ψ ≠ ψ . φ,

(02),

o que é evidente por (01) e (011).

Poliádicos - Ruggeri

108

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

3ª)- A operação é associativa em relação a fatores escalares:

N ( φ . ψ ) = ( Nφ ) . ψ = φ . ( Nψ ) = ( φ . ψ ) N ,

(03).

Tem-se, por exemplo, aplicando (01) e lembrando ((01),§ 02.02):

N ( φ . ψ ) = N[ a i ( b i . c j ) d j ] = Na i [( b i . c j ) d j ] = [( Na i ) b i ] . ( c j d j ) = ( Nφ ) . ψ . O terceiro e quarto membros de (03) podem ser deduzidos analogamente.

4ª)- É associativa em relação a fator vetor, se o vetor não aparecer entre os diádicos, isso é:

( φ . ψ ) . r = φ . ( ψ . r ),

(04),

(φ.r). ψ ≠ φ. (r. ψ ) ,

(041).

mas, geralmente,

De fato,

( φ . ψ ) . r = [ a i ( b i . c j ) d j ]. r = a i ( b i . c j )( d j . r ) = a i {b i . [ c j ( d j . r )]} = = a i [ b i . ( ψ . r )] = ( a i b i ) . ( ψ . r ) = φ . ( ψ . r ). A expressão (041) é verdadeira porque, sendo:

( φ . r ) . ψ = a i ( b i . r ) . ψ = ( b i . r )( a i . c i ) d j = combinação linear dos dj, e

φ . ( r . ψ ) = φ . ( r . c j ) d j = ( r . c j ) a i ( b i . d j ) = combinação linear dos ai, a combinação linear dos dj sendo, geralmente, diferente da combinação linear dos ai. Concluímos, logo:

∀ φ: φ . Ι = φ ,

(042).

Com efeito, para comprovar basta fazer em (04) ψ = Ι, considerar que Ι.r = r, considerar que r é qualquer e lembrar a definição de igualdade de diádicos.

5ª)- Para quaisquer a e b:

(a. φ ). (ψ.b) = (a. φ . ψ). b = a. (φ . ψ). b = a. (φ . ψ.b),

(05).

Pondo ψ.b=v e lembrando ((02),§ 02.06), o primeiro membro de (05) pode ser assim escrito: ( a . φ ) . v = a . ( φ . v ) = a . [ φ . ( ψ .b )]. Mas lembrando (04) e em seguida reaplicando ((02),§ 02.06), o último membro da expressão obtida é escrito na forma:

a . [( φ . ψ ) .b ] = a . ( φ . ψ ) .b ,

II,§ 05.01

§ 05.01- Definição e propriedades.

109

o que comprova a igualdade do primeiro e terceiro membros de (05). As demais fórmulas podem ser demonstradas analogamente.

6ª)- A operação é distributiva em relação à adição de diádicos,

φ . ( α + β +...) = φ . α + φ . β +...,

(06).

Com efeito, pondo φ = aibi e lembrando que a multiplicação pontuada de vetor por soma de diádicos é distributiva (propr. 5ª, § 04.01), temos:

φ . ( α + β +...) = a i [ b i . ( α + β +...)] = a i ( b i . α + b i . β +... . Entre os parênteses do último membro temos uma soma de vetores; e sendo distributiva a multiplicação justaposta de vetores em relação à adição de vetores (Teor.2, § 02.06), deduzimos:

φ . ( α + β + ...) = a i ( b i . α ) + a i ( b i . β ) + ... = φ . α + φ . β + ... 7ª)- A operação é associativa em relação a fatores diádicos, isso é:

( φ . α ) . χ . ... = φ . ( α . χ ) . ...,

(07).

Pondo φ = aibi, ψ = cjdj e χ = fkgk, quaisquer que sejam os campos de variação dos índices, temos:

( φ . ψ ) . χ = [ a i ( b i . c j ) d j ] . ( f k g k ) = a i [( b i . c j )( d j . f k ) g k ]. Dentro dos colchetes, no último membro, existe uma soma de vetores cujos coeficientes são somas de escalares; tais coeficientes podem ser escritos na forma:

b i . [( c j d j ) . f k ] = b i . ( ψ . f k ), donde,

( b i . c j )( d j . f k ) g k = b i . [( ψ . f k ) g k ] = b i . [ ψ . ( f k g k )]; logo,

( φ . ψ ) . χ = a i [ b i . ( ψ . χ )] = ( a i b i ) . ( ψ . χ ) = φ . ( ψ . χ ). 8ª)- Critério de igualdade de diádicos:

 φ . ψ = φ . ψ′  ∀φ: ψ = ψ′ ⇒  ou  . = ψ φ ψ ′. φ , 

(08);

Poliádicos - Ruggeri

110

§ 05- Multiplicação escalar de diádicos.

para diádico completo, a recíproca de (08) é verdadeira:

ψ = ψ′

 φ . ψ = φ . ψ′  ⇐ ∀φ , φ 3 ≠ 0 ⇒  ou   ψ. φ = ψ ′. φ ,

(081).

Se ψ = ψ' e r é um vetor qualquer, temos, lembrando (04):

∀ φ:

( φ . ψ) . r = φ . ( ψ . r ) = φ . ( ψ ' . r ) = ( φ . ψ ' ) . r ;

logo, os diádicos φ.ψ ψ e φ.ψ ψ' são iguais em vista da definição de igualdade de diádicos (§ 02.06), o que comprova (08). Se φ.ψ ψ=φ φ.ψ ψ', ∀ φ completo, temos:

r. (φ. ψ ) = r.(φ. ψ ' ) = (r. φ). ψ = (r. φ). ψ '. Pondo r.φ φ=v, v é qualquer porque r é qualquer e φ é qualquer e completo; logo:

v. ψ = v. ψ ′, isso é, como conseqüência da definição de diádicos iguais, ψ=ψ ψ'.

9ª)- (Produto pontuado nulo) Se ψ é qualquer e o produto pontuado de um diádico φ por ψ é o diádico nulo, Ο, então φ=Ο; e reciprocamente: φ.ψ = Ο

⇐∀ ψ ⇒

φ = Ο,

(09).

Com efeito, pois, para qualquer r:

(φ.ψ ).r = Ο.r = o, ou,

φ . ( ψ . r ) = o = φ . r ′.

Mas r' é qualquer porque ψ e r o são. Logo, por definição de diádico nulo (§ 02.09), φ=Ο Ο. A recíproca é de demonstração evidente.

§ 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. Chama-se potência de expoente inteiro e positivo, P, de um diádico φ, e indica-se por φP, o produto pontuado de P fatores diádicos φ, isso é,

φ P = φ . φ . ... . φ 14243 , P fatores

II,§ 05.02

(01).

§ 05.02- Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro.

111

Para P = 0 põe-se, por definição,

φ0 = Ι,

(011).

A potenciação diádica é a operação que tem por fim determinar a potência de um diádico, e goza das seguintes Propriedades:

1ª)- É sempre possível e unívoca, o que é evidente. 2ª)- O produto pontuado de potências de diferentes expoentes de um mesmo diádico é igual à potência da soma dos expoentes desse diádico, isso é:

φ P . φ M = φ P+M ,

(02),

cuja demonstração é evidente.

3ª)- Qualquer potência do diádico unidade é igual ao diádico unidade:

ΙP = Ι,

(03).

Por extensão de conceitos algébricos ordinários, define-se o polinômio diádico inteiro como toda expressão diádica do tipo: P

ΡP (φ ) = A 0φ + A 1φ

P −1

+ A 2φ

P− 2

+...+ A P Ι ,

(04),

onde os Ai são números reais e P é inteiro positivo. Genericamente, dois polinômios diádicos de um mesmo diádico φ, podem ser escritos nas formas:

Ρ P (φ ) = A i φ e tem-se:

P− i

e ΡM (φ ) = B jφ

M− j

(i = 1,2,...P; j = 1,2,...M),

ΡP (φ ) . ΡM (φ ) = Ρ M (φ ) . Ρ P (φ ),

(05).

Com efeito, pois, sendo: P−i

.φ

M− j

= A i B jφ

M− j

.φ

P−i

= A i B jφ

ΡP (φ ) . ΡM (φ ) = A i B jφ e

Ρ M (φ ) . Ρ P ( φ ) = B j A i φ

(P+M) − (i+ j)

deduzimos logo, (05). Assim,

''É comutativo o produto pontuado de dois polinômios diádicos de um mesmo diádico''.

Poliádicos - Ruggeri

112

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

§ 05.03 - Terceiro e transposto de um produto. Teor. 1: O transposto de um produto de diádicos é igual ao produto dos transpostos dos diádicos multiplicados em ordem inversa, isso é:

(φ . ψ. χ . ... ) T = (... . χ T . ψ T . φ T ),

(01).

Temos: ( φ . ψ ) T = [ a i ( b i . c j ) d j ] T = d j ( b i . c j ) a i = d j ( c j . b i ) a i = ( d j c j ) . ( b i a i ) = ψ T .φ T .

A generalização é imediata.

Corol. 1: O transposto da enésima potência de um diádico é igual à enésima potência do seu transposto:

(φ P )T = (φ T )P ,

(02).

Corol. 2: O produto de qualquer diádico pelo seu transposto é diádico simétrico. Porque deduzimos, de (01), lembrando ((03).§ 02.05):

( φ . φ T ) T = φ TT . φ T = φ . φ T ,

(03),

isso é, o diádico φ.φ φT é igual ao seu transposto, sendo, pois, simétrico.

Definições: (produtos simétricos de um diádico) O produto pontuado de um diádico φ pelo seu transposto será denominado produto simétrico: esquerdo se o diádico é fator multiplicando (φ.φT), direito se é fator multiplicado (φT.φ). Teor. 2: O terceiro de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto pontuado dos terceiros dos diádicos fatores:

(φ . ψ) 3 = φ 3 ψ 3 ,

(04).

Reduzamos os diádicos φ e ψ a formas N-nomiais em que os antecedentes de um são o sistema recíproco dos conseqüentes do outro; sejam:

φ = a iei e ψ = e jb j , (i, j = 1,2,..., N).

II,§ 05.03

§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.

113

Então, aplicando ((04),§ 02.08) escrevemos, sucessivamente, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03, I):

(a .e1 )(e .b1 ) = [(a .e1 )e ].b1 = a .b1 , se N = 1; 1 1 1 1  1 [(a × a ).(e1 × e 2 )][(e × e ).(b1 × b 2 )] = 2 1 2  1  1 φ 3ψ 3 =  = {[(a1 × a 2 ).(e × e 2 )](e1 × e 2 )}.(b1 × b 2 ) =  = (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ), se N = 2;   (a a a )(e1e 2 e 3 )(e e e )(b1b 2 b 3 ) = (a a a )(b1b 2 b 3 ), se N = 3. 1 2 3 1 2 3  1 2 3 Mas

φ . ψ = a i ( e i . e j )b j = a ib i e, reaplicando ((04),§ 02.08), deduzimos:

a .b1 , se N = 1;  1  (φ.ψ ) 3 = (a1 × a 2 ).(b1 × b 2 ), se N = 2;  (a1a 2 a 3 )(b1b 2 b 3 ), se N = 3. Comparando os resultados obtidos para os valores correspondentes de N, temos demonstrado o teorema qualquer que seja a dimensão do espaço dos vetores a que se refiram os diádicos.

§ 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. Dados dois diádicos quaisquer, φ e ψ, a interpretação do produto φ.ψ ψ pode ser levada a bom termo escrevendo-se o multiplicando, φ, e o multiplicador, ψ, nas formas N-nomiais

φ = a i e i e ψ = e jb j (i, j = 1, 2, ..., N ),

(01),

onde os conseqüentes de φ e os antecedentes de ψ constituem sistemas recíprocos; isso é sempre possível conforme nos garante o teorema da redução N-nomial (Teor.1,§ 02.07). Assim,

φ . ψ = a i b i , (i = 1, 2, ..., N ),

(02).

Resultam então, facilmente, as seguintes propriedades, para diádicos gerados no E348. 48Propriedades correlatas no E podem ser deduzidas facilmente. 2

Poliádicos - Ruggeri

114

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

Teor. 1: O produto pontuado de dois diádicos em que um é completo é um diádico completo, planar ou linear conforme o outro seja um diádico completo, planar ou linear, respectivamente. Se φ é completo, os ai são não coplanares; e se ψ é completo os bi são não coplanares. Logo, por (02), vemos que φ.ψ ψ é completo. Mas se φ é completo e ψ é planar (os bi são coplanares), φ.ψ ψ é planar. Se ψ é linear (os bi são paralelos), φ.ψ ψ é linear.

Teor. 2: Em geral o produto pontuado de dois diádicos em que: 1º) um é planar, é um diádico planar ou linear conforme o outro seja, respectivamente, planar e linear; 2º) ambos são lineares, é um diádico linear. A demonstração é análoga à do Teor.1.

Corol. 1: Se φ e ψ são planares, φ.ψ≠Ο Ο, φ2≠Ο Ο. Exceções. O enunciado do Teor.2 exigiu a expressão "em geral" porque nem sempre ele é verdadeiro, isso é, existem exceções a todos esses casos de multiplicação.

Teor. 3: (planar.planar = linear) O produto pontuado de dois diádicos planares em que o plano dos conseqüentes do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do multiplicador é um diádico linear.

Reciprocamente, todo diádico linear pode ser decomposto, de uma infinidade de maneiras, no produto de dois planares, em que o plano dos conseqüentes do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do multiplicador.

Sejam φ' = aimi e ψ' = njdj dois dados diádicos planares com (a1a2a3) ≠ 0, (d1d2d3) ≠ 0, (m1m2m3) = 0 = (n1n2n3), o plano dos mi sendo ortogonal ao dos ni (Figura 05.01). Se b é um vetor não nulo, arbitrário, porém ortogonal ao plano dos mi, e c um segundo vetor, também arbitrário, mas ortogonal ao plano dos ni, então b.c = 0 (b ⊥ c). Os diádicos φ =ai(mi×b) e ψ = (c×nj)dj são planares; e o plano dos conseqüentes de φ é ortogonal ao plano dos antecedentes de ψ. Temos, então: φ.ψ = a i [(m i × b).(c × n j )]d j . Mas, aplicando propriedade da multiplicação mista e a fórmula do duplo produto vetorial, sucessivamente,

II,§ 05.04

§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.

115

podemos escrever: (m i × b).(c × n j ) = (m i × b) × c.n j = (c.m i )(b.n j ) porque b.c = 0. Logo:

φ.ψ = a i (m i .c)(b.n j )d j = (φ′.c)(b.ψ ′) = ad o que comprova o teorema direto. Reciprocamente, seja χ = ad um diádico linear. Se {a1,a2,a3} e {d1,d2,d3} são dois tercetos de vetores não coplanares quaisquer, escolhendo arbitrariamente dois vetores ortogonais b e c, podemos determinar, de infinitos modos, os vetores mi perpendiculares a b (logo coplanares) e os vetores nj perpendiculares a c (também coplanares) tais, que: a = a i (m i .c) e d = (b.n j )d j .

Então, de uma dupla infinidade de maneiras, i

χ = a i ( m . c)(b. n j ) d = (φ . c)(b. ψ), sendo φ = aimi e ψ = njdj diádicos planares, o plano dos conseqüentes de φ sendo ortogonal ao plano dos antecedentes de ψ. Também de uma dupla infinidade de maneiras, os diádicos φ' =ai(ni ×b) e ψ' = (c×nj) dj são ainda planares, o plano dos conseqüentes de φ' sendo ortogonal ao plano dos antecedentes de ψ'; e tem-se:

φ ′.ψ ′ = a i (m i × b).(c × n j )d j . Mas, tal como na demonstração do teorema direto:

(m i × b).(c × n j )d j = (m i .c)(b.n j ) , isso é,

χ = ad = ( φ . c )( b. ψ ) = φ ′ . ψ ′ , igualdade que comprova a recíproca.

Corol.1: Se o quadrado de um diádico planar é linear, esse diádico é ortoplanar. Teor. 4: Se u$ 2 é um vetor unitário paralelo à interseção dos planos de um diádico planar dado, ψ, e u$ e u$ vetores unitários cujo ângulo seja o ângulo diedro 1

dos planos de ψ, então ψ pode ser escrito na forma:

ψ = Bu$ 1 u$ 2 + Cu$ 1 u$ 3 + Eu$ 2 u$ 2 + Fu$ 2 u$ 3 ,

(03),

Poliádicos - Ruggeri

116

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

ou na forma

ψ = ( Bu$ 1 + Eu$ 2 ) u$ 2 + (Cu$ 1 + Fu$ 2 ) u$ 3 ,

(031),

sendo

B = uˆ 1.ψ .uˆ 2 ,

C = uˆ 1 .ψ .uˆ 3 ,

E = uˆ 2 .ψ .uˆ 2 ,

F = uˆ 2 .ψ .uˆ 3 ,

(032).

Seja ψ = siri (i = 1, 2) uma redução mínima arbitrária do diádico planar ψ e u$ 2 o unitário que define a direção da interseção dos seus planos. Sejam, ainda, u$ 1 e u$ 3 os unitários da seção reta desses planos, tais que o triedro {u$ , u$ , u$ } seja direto (Fig. 1

05.02).

Nestas condições, os planos dos antecedentes e dos conseqüentes de ψ são ( u$ 1 , u$ 2 ) e ( u$ 2 , u$ 3 ) , respectivamente. Como os unitários definem sistemas ortonormados nos seus respectivos planos, podemos escrever:

ri = ( u$ j . ri ) u$ j (j = 2,3) e s i = ( s i . u$ k ) u$ k (k = 1,2) . Efetuando os produtos justapostos e lembrando a propriedade 3ª da multiplicação pontuada de diádico por vetor (§ 02.03) temos:

ψ = (uˆ k .ψ .uˆ j )uˆ k uˆ j ,

(k = 1,2; j = 2,3).

Agora, desenvolvendo as somas indicadas comprovamos facilmente a tese.

Corol. 1: Todo diádico ortoplanar, ψ, pode ser escrito na forma:

ψ = (F$j + C$i ) k$ + (B$i + E$j) $j,

(04),

em que B, C, E e F são números, { i$ j$ k$ } um triedro direto de unitários, j$ sendo paralelo à interseção dos planos (ortogonais) do diádico49, ˆi pertencendo ao plano dos antecedentes e kˆ ao plano dos conseqüentes. 49 Oportunamente (§ 09.09) poderemos demonstrar que, na representação (04), FB=CE.

II,§ 05.04

§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.

117

Corol. 2: (quadrado e cubo de um ortoplanar) Se um diádico ψ é ortoplanar de escalar não nulo: 1º)- ψ2, linear, tem seu antecedente e seu conseqüente pertencentes, respectivamente, ao plano dos antecedentes e dos conseqüentes de ψ; 2º)- ψ3 é igual ao quadrado de ψ multiplicado pelo escalar de ψ: ψ3 = ψE ψ2. Com efeito, quadrando (04), encontramos:

ψ 2 = (B$i + E$j)(Fk$ + E$j),

(041),

o que mostra que ψ2 é linear e que seu antecedente é do plano s s , e seu conseqüente do plano r ,r . Multiplicando pontuadamente (04) por (04 ) temos: ψ 3 = E(B$i + E$j)(Fk$ + E$j), 1 2

donde, observando que, segundo (04),

deduzimos:

ψ E = E = $j. ψ. $j,

(05),

ψ3 = ψE ψ2 ,

(06).

Exercício: Comprovar que, se ψ é ortoplanar, ψ P = ψ E P -2 ψ 2 . Produto nulo de diádicos não nulos.

Teor. 5: No E3, é nulo o produto pontuado: 1º)- de um diádico planar por um linear quando o plano dos conseqüentes do primeiro é ortogonal ao antecedente do segundo, e reciprocamente; 2º)- de um diádico linear por um planar quando o conseqüente do primeiro é ortogonal ao plano dos antecedentes do segundo, e reciprocamente; 3º)- de dois diádicos lineares quando o conseqüente do primeiro é ortogonal ao antecedente do segundo, e reciprocamente. As demonstrações são simples e imediatas a partir das representações desses diádicos em redução mínima.

Corol. 1: Se φ e ψ são incompletos, não nulos e φ.ψ=Ο, ao menos um dos diádicos é linear. Pois, pelo Corol.1 do Teor.2 ambos não podem ser planares.

Teor. 6: Se um diádico é ortolinear, seu quadrado é o diádico nulo; e reciprocamente:

φ ortolinear

⇔

φ 2 = Ο,

(07).

Poliádicos - Ruggeri

118

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

Pois, com efeito, representando o ortolinear em redução mínima por φ = ab, temos: φ = a(b.a)b = Ο , pois a ⊥ b. Reciprocamente, se φ2 = Ο, pelo corolário anterior, φ deve ser linear. Então, escrevendo φ = ab, temos: φ2 = a(b.a)b=Ο Ο, o que implica b.a = 0, isso é, b ⊥ a; e φ é ortolinear. 2

Teor. 7: Se um diádico ψ é ortoplanar e tem escalar nulo, seu quadrado é ortolinear e seu cubo é o diádico nulo; e reciprocamente.

ψ ortoplanar, ψ E = 0

⇔

ψ 2 ortolinear  3 ψ = Ο

(08).

Segundo (05), $j. ψ . $j = 0 . Então, por (041), deduzimos: (ψ ψ2)E = E2 = 0, isso é, ψ2 é ortolinear (Teor. 6). Logo, segundo (06), ψ 3 = Ο . Reciprocamente, suponhamos ψ3 = Ο e ψ2 ortolinear. Ponhamos: ψ 3 = ψ 2 . ψ = ψ .ψ

= Ο .

Ora, ψ não pode ser linear porque, se fosse, ψ2 deveria ser linear; e para que fosse nulo o produto deles, em qualquer ordem, o conseqüente do multiplicando deveria ser ortogonal ao antecedente do multiplicador. Então, se ψ = xy, é ψ2 = x (y.x) y, e ψ 3 = x( x. y ) 2 y , isso é, x ⊥ y para que ψ3 = Ο. Assim, ψ seria ortolinear e, portanto, ψ2 = Ο, o que é contra a hipótese (ψ ψ2 é ortolinear). Então, ψ deve ser planar; e sendo ψ2 ortolinear, o conseqüente de 2 ψ = Ο) e o ψ deve ser perpendicular ao plano dos antecedentes de ψ (porque ψ2.ψ antecedente de ψ2 perpendicular ao plano dos conseqüentes de ψ. Logo, os planos dos antecedentes e conseqüentes de ψ são ortogonais e ψ é ortoplanar. Escrevendo-se ψ na 2 forma (04), ψ2 é dado por (041). Como ψ2 é ortolinear, ( ψ )E = E2 = 0, isso é, E = 0. Então ψ = F$jk$ + C$ik$ + B$$ ij e ψ = 0. E

Corol. 1: Se um diádico ψ é ortoplanar e tem escalar nulo, existe uma base ortonormada { i$ , j$ , k$ } , da qual ˆi é vetor do plano dos seus antecedentes, kˆ é vetor do plano dos seus conseqüentes e ˆj é paralelo à

interseção desses planos, em relação à qual ψ fica reduzido à forma

ψ = ( $j. ψ. k$ ) $jk$ + ( $i. ψ. k$ ) $ik$ + ( $i. ψ. $j) $$ ij, 12 4 4 3 123 123 F

e reciprocamente.

II,§ 05.04

(09);

§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.

119

Nota: Se um diádico ortoplanar tem escalar nulo, nem B nem F podem ser nulos, pois, do contrário, o diádico seria linear (o que é absurdo).

Corol. 2: Se um diádico ψ é ortoplanar de escalar nulo, existem dois pares de vetores: e1,e2 e e2,e3, respectivamente pertencentes aos planos dos seus conseqüentes e antecedentes, que gozam das propriedades: e2 . e3 = e1 . e2 = e1 . e3 = 0 , e que reduzem ψ à forma:

ψ = e 1e 2 + e 2 e 3 ,

(10);

e reciprocamente. De (09), escrevemos, lembrando que B ≠ 0 e F ≠ 0:

[( $i. ψ. k$ ) k$ + ( $i. ψ. j) $j] ψ = ( $j. ψ. k$ )( $i. ψ. $j) $i + [( $j. ψ. k$ ) $j]k$ . $ $ $ $ ( j. ψ. k )( i. ψ. j) 12 4 4 3 123 F B Pondo:

e1 = (ˆj.ψ .kˆ )(ˆi.ψ .ˆj)ˆi , e 2 = (ˆj.ψ .kˆ )ˆj, e2 =

(11),

[(î.ψ .kˆ )kˆ + (î.ψ .ˆj)ˆj] , (ˆj.ψ .kˆ )(î.ψ .ˆj)

e 3 = kˆ , resulta a forma (10) de representação de ψ na qual, obviamente, destaca-se a ortogonalidade do plano (e2,e1) dos antecedentes com o plano (e3,e2) dos conseqüentes. Constata-se, ainda, que ψE=0, pois, e1.e2=0=e2.e3. A recíproca é evidente, pois, se existem dois pares de vetores: e2,e1 e e3,e2 tais, que 3 e2.e =e1.e2=e1.e3=0 e que reduzem certo diádico ψ à forma (10), então ψ é ortoplanar (porque o plano dos seus antecedentes contém o vetor e1 que é ortogonal ao plano dos seus conseqüentes ) e ψE=0. Notas: 1) - Deve ser observado que e2.e2=1 e e2.e1=0, mas estas condições não são necessárias para a demonstração da recíproca. 1 1 2 3 2) - Se ψ é tal, que F2B=1, então se tomando e = F $i resultam: e1.e1= ( e e e ) = 1 e 1 2 3 ˆ ˆ e3 = (−Cj + Bk) / B . Nesse caso os sistemas de vetores {e1e2e3} e {e e e } são recíprocos,

{e2e3} e {e2e3} sendo recíprocos planares. 3) – No §09.09 justificaremos a nomenclatura "diádicos dispensaremos aos diádicos ortoplanares de escalar nulo.

antitriangulares"

que

Poliádicos - Ruggeri

120

§ 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

Exercícios: S, S1, S2, ... são diádicos simétricos, A, A1, A2, ... são diádicos anti-simétricos e v, a, b, ... são vetores. 1°) - Mostre que são anti-simétricos os diádicos: A) - S 1 .S 2 − S 2 .S 1 ,

(S 1 ) 2 .S 2 − S 2 . (S 1 ) 2 , S 1 . ( S 2 ) 2 − (S 2 ) 2 .S 1 , S 1 .S 2 . (S 1 ) 2 − (S 1 ) 2 .S 2 .S 1 , S 2 .S 1 . (S 2 ) 2 − (S 2 ) 2 .S 1 . S 2 . B) - v (S. v ) − (S. v ) v , v (S 2 . v ) − (S 2 . v ) v , (S. v )(S 2 . v ) − (S 2 . v )(S. v ), S. A + A.S , S. A 2 − A 2 .S , v ( A. v ) − ( A. v ) v v ( A. v ) − ( A. v ) v A 1 .A 2 − A 2 . A 1 C) - S 1 .S 2 .S 3 + S 2 .S 3 .S 1 + S 3 . S 1 . S 2 − −S 2 .S 1 .S 3 − S 1 .S 3 .S 2 − S 3 . S 2 .S 1 , (S 1 . v )(S 2 . v ) − ( S 2 . v )(S 1 . v ) +

+ v ( S 1 .S 2 − S 2 .S 1 ) . v − [(S 1 .S 2 − S 2 .S 1 ) . v ]v , S. ( ab − ba ) + ( ab − ba ) .S , A. ( ab − ba ) − ( ab − ba ) . A . 2°) - Mostre que são simétricos os diádicos: A) - S2, B) - S 1 .S 2 + S 2 . S 1 ,

(S 1 ) 2 .S 2 + S 2 . (S 1 ) 2 , S 1 . ( S 2 ) 2 + (S 2 ) 2 . S 1 , C) - vS. v + S. vv ,

vS 2 . v + S 2 . vv , D) - S. A − A.S A.S. A , S 2 . A − A. S 2 , A.S. A 2 − A 2 .S. A ,

II,§ 05.04

§ 06.01- Definições e propriedades.

121

E) - A. v A. v vA.v + A.vv,

A.vA 2 .v + A 2 .vA.v, A1 .A 2 + A 2 .A1 , A1 ( A 2 ) 2 − ( A 2 ) 2 .A1 , ( A1 ) 2 .A 2 − A 2 .( A1 ) 2 .

§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR. § 06.01 - Definições e propriedades. Chama-se produto cruzado anterior (posterior) do diádico φ pelo vetor r, e indica-se por φ×r (r×φ φ), lendo-se: φ cruz r (r cruz φ), o diádico cujos antecedentes (conseqüentes) são os de φ e cujos conseqüentes (antecedentes) são os produtos vetoriais dos conseqüentes (antecedentes) do diádico pelo vetor. Assim, se φ=aibi,

φ × r = a i (b i × r ) e r × φ = (r × a i )b i ,

(i=1,2,...,N)

(01).

A multiplicação cruzada anterior ou posterior de diádico por vetor é a operação que tem por fim determinar o produto cruzado entre o diádico e o vetor50. Esta operação goza das seguintes Propriedades.

1ª)- É operação sempre possível e unívoca. 2ª)- Os diádicos produto φ×r e r×φ φ são sempre incompletos. No E3, esses diádicos são planares se φ é completo ou planar, e não passível de maior redução; lineares se φ é linear; nulos se, sendo φ linear, os conseqüentes ou os antecedentes de φ são, respectivamente, paralelos a r. Se φ é completo, φ×r e r×φ φ são planares porque, correspondentemente, os seus conseqüentes em (01)1, e os seus antecedentes em (01)2, são tercetos de vetores contidos num mesmo plano perpendicular ao vetor r. Se φ é planar, com b1, b2 e b3 distintos mas coplanares: 1º)- os vetores bi×r em (01)1, são sempre distintos mas coplanares, e φ×r é planar; 2º)- os vetores r×ai, em (01)2, são coplanares mas distintos, e φ é planar. Se φ é planar e dois quaisquer dos seus conseqüentes são paralelos, φ×r e r×φ φ são, ainda, planares. 50 Gibbs denominou este produto de "skew product of φ into r". Poliádicos - Ruggeri

122

§ 06- Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

Se φ é linear, os seus conseqüentes são paralelos a um mesmo vetor b, donde φ são escrevermos φ = aibi = ai(Bib). Pondo Biai = a, temos: φ = ab. Logo: φ×r e r×φ lineares. Se, sendo φ linear, r é paralelo a b, resulta φ×r = Ο e se r é paralelo a a, resulta r×φ φ = Ο, o que demonstra a última parte da propriedade. Se φ é um diádico de um E2 (logo, uniplanar em E3), os diádicos φ×r e r×φ φ são, necessariamente, diádicos lineares de E3, pois têm, respectivamente, conseqüentes e φ são sempre antecedentes ortogonais ao plano de E2. Então, ∀ φ os terceiros de φ×r e r×φ nulos:

∀φ, r :

(φ × r ) 3 = 0 = (r × φ ) 3 ,

(011).

3ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um diádico completo:

φ 3 ≠ 0 e φ × r = Ο ( ou r × φ = Ο) ⇒ r = o, logo:

Ι × r = r × Ι = Ο ⇒ r = o,

(02); (021).

4ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um vetor qualquer:

∀r :

φ × r = Ο ( ou r × φ = Ο) ⇒ φ = Ο,

(03).

Com efeito, reduzindo φ à forma N-nomial aibi com conseqüentes independentes, temos: φ×r = ai(bi×r) = Ο. Ora, os conseqüentes de φ×r, coplanares em E3 e colineares em E2, não são nulos necessariamente, porque os bi e r são quaisquer; logo, ai = o e φ = Ο.

5ª)- Operação com vetores e diádico quaisquer:

∀φ, a, b :

φ.(a × b) = φ × a.b ,

(04).

Pois, lembrando propriedades do produto misto, escrevemos:

φ.(a × b) = a i (b i .a × b ) = a i (b i × a.b) = [a i (b i × a)].b = φ × a.b . A fórmula (04) é válida em qualquer espaço, acontecendo, apenas, que

∀φ, a, b de E 2 ou E1 :

φ.(a × b ) = φ × a.b = o ,

(041).

6ª)- Operação envolvendo diádicos iguais e um vetor qualquer:

φ = φ′

II,§ 06.01

⇐

∀r

⇒

φ × r = φ ′ × r ,  r × φ = r × φ ′

(05).

§ 06.01- Definições e propriedades.

123

Temos, com efeito, para quaisquer r e v, aplicando ((01),§ 02.06):

φ.(r × v) = φ′.(r × v) ; mas, aplicando (04) aos dois membros, temos, também: φ × r.v = φ′ × r.v, isso é, os diádicos φ×r e φ'×r transformam um vetor qualquer, v, no mesmo vetor. Logo esses diádicos são iguais: φ×r = φ'×r. Reciprocamente, se para qualquer r, φ×r = φ'×r, então, para qualquer v:

(φ × r ).v = (φ ′ × r ).v , donde, reconsiderando (04): φ.(r × v) = φ ′.(r × v), isto é, φ = φ ′, porque r e v são quaisquer. A fórmula (05)2 pode ser comprovada analogamente.

7ª)- Operação em que o vetor é um produto vetorial:

∀φ, a, b :

φ × (a × b) = (φ.b)a − (φ.a)b = φ.(ba − ab) ,  (a × b ) × φ = (ba − ab).φ

(06).

Lembrando a fórmula do duplo produto vetorial e pondo φ = eiai , temos:

φ × (a × b) = e i [a i × (a × b)] = e i [(a i .b)a − (a i .a)b] , donde, agrupando convenientemente:

φ × (a × b) = [e i (a i .b)]a − [e i (a i .a)]b = (φ.b)a − (φ.a)b . A obtenção do último membro de (06)1 é imediata, bastando evidenciar-se φ no segundo membro já comprovado. Tem-se também, similarmente, sem delongas:

(a × b) × φ = [(a × b) × e i ]a i = [(e i .a)b − (e i .b)a]a i = = b(a.e i )a i − a(b.e i )a i = (ba − ab).φ Decorre imediatamente das (06), para φ = I:

∀a, b :

Ι × (a × b) = (a × b) × Ι = ba − ab ,

(07),

ou, ainda, por serem a e b vetores quaisquer:

∀r :

Ι×r = r×Ι ,

(08).

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124

§ 06- Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

8ª)- Tem-se:

∀ φ, r : φ × r = −(r × φ T ) T , donde, r × φ = −( φ T × r ) T ,

(09).

Transpondo no primeiro e o último membros de (06)1 aplicando (01), § 05.03 a este último membro, substituindo φ por φT em (06)2 e comparando os resultados obtidos, encontramos: φ × (a × b) = −[(a × b) × φ T ]T . Por serem a e b quaisquer, a×b = r é qualquer, o que comprova (09)1. Trocando-se, em (09)1, φ por φT e transpondo-se, resulta, logo, (09)2. Casos particulares. Para os diádicos simétricos:

∀S = S T :

S × r = −(r × S ) T ,

(10).

Logo, para S = Ι:

Ι × r = −(r × Ι ) T ,

(11).

Lembrando (08), concluímos também:

Ι × r = r × Ι = − (Ι × r ) T = − (r × Ι ) T ,

(12);

assim, o diádico Ι×r é diádico anti-simétrico. Como I é uma constante universal vemos de imediato que a todo vetor r está associado o diádico anti-simétrico Ι × r = r × Ι cujo vetor é -2r. Voltaremos a tratar desse assunto no § 06.05. Para os diádicos anti-simétricos A,

A × r = (r × A ) T ,

(13).

§ 06.02- Fórmulas notáveis. Em diferentes multiplicações com diádicos e vetores, estão demonstradas as seguintes fórmulas, contendo:

- um diádico no centro e vetores nas laterais (a × φ) × b = a × (φ × b )  (a × φ).b = a × (φ.b) ,  (a.φ) × b = a.(φ × b) (a.φ).b = a.(φ.b)  ou, II,§ 06.02

(01),

§ 06.03

- Escalar e vetor de φ×r.

125

a o φ ∗ b = (a o φ ) ∗ b = a o ( φ ∗ b ) ,

(011),

independentemente de o e * estarem representando os sinais da multiplicação pontuada ou da cruzada;

- dois diádicos com um vetor na lateral:  (φ.ψ ).r = φ.(ψ .r )    ou (φ.ψ ) o r = φ.(ψ o r ),  (φ.ψ ) × r = φ.(ψ × r )   r.(φ.ψ ) = (r.φ).ψ   ou r o (φ.ψ ) = (r o φ).ψ ,  r × (φ.ψ ) = (r × φ).ψ 

(02)

(021 );

- um diádico na lateral com dois vetores: φ.(a × b) = φ × a.b = −φ × b.a = −b.a × φ T = a.b × φ T  (φ.a) × b = −b × φ.a  φ × (a × b) = (φ.b)a − (φ.a)b = φ.(ba − ab) ,  ( a × b ) × φ = ( ba − ab ) . φ   (φ × a) × b = (φ.b)a − (b.a)φ  b × (a × φ) = a(b.φ) − (a.b)φ 

(03);

- dois diádicos com um vetor no centro: (φ.e).ψ ≠ φ.(e.ψ ) φ.(e × ψ ) = (φ × e).ψ ≠ (φ.e) × ψ

(04).

§ 06.03 - Escalar e vetor de φ×r O escalar e o vetor do diádico φ×r podem ser calculados com muita simplicidade. Temos: (φ × r ) V = a i × (b i × r ) = (r.a i )b i − (a i .b i )r , isso é, (φ × r ) V = r.(a i b i ) − φ E r , ou melhor,

(φ × r ) V = −(−φ T + φ E Ι ) .r ,

(01).

Para expressão do escalar de φ×r, temos:

(φ × r ) E = a i .b i × r = a i × b i .r , isso é,

(φ × r ) E = r.φ V ,

(02).

Poliádicos - Ruggeri

126

§ 06- Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

Resultam como casos particulares de (01) e (02), para φ = Ι:

(Ι × r ) V = −2r ,

(011),

(Ι × r ) E = 0 ,

(021),

pois Ι E = 3 e Ι V = o ((02),§ 02.09).

§ 06.04 - Simetrias e anti-simetrias. Teor. 1: O duplo do oposto da parte anti-simétrica de qualquer diádico é igual ao produto cruzado anterior ou posterior de seu vetor pelo diádico unidade, isso é

φ ant = 1 (φ − φ T ) = − 1 φ V × Ι = − 1 Ι × φ V , 2 2 2

∀φ:

(01).

Com efeito, seja φ = aibi uma das reduções trinomiais de φ com antecedentes independentes. Temos, aplicando ((07),§ 06.01:

Ι × φ V = Ι × (a i × b i ) = b i a i − a i b i = φ T − φ . Analogamente, aplicando a mesma fórmula, deduzimos:

φ V × Ι = (a i × b i ) × Ι = (b i a i − a i b i ).Ι = φ T − φ . Nota:

Por este teorema pode se confirmar a anti simetria do diádico r×ΙΙ uma vez que sendo φ qualquer, seu vetor φV = r é qualquer.

Corol. 1: O produto pontuado anterior da parte anti-simétrica de um diádico qualquer por um vetor qualquer é igual à metade do produto cruzado desse vetor pelo vetor do diádico:

∀ r, φ :

φ ant .r = 1 r × φ V = − 1 φ V × r = 1 (φ − φ T ).r , 2 2 2

Pois temos, de (01), aplicando ((01)2,§ 06.02):

2φ ant .r = (φ − φ T ).r = −(φ V × Ι ).r = −φ V × (Ι .r ) = −φ V × r = r × φ V .

II,§ 06.04

(011).

§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand.

127

Corol. 251: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo.

φT = φ

⇔ φ V = o,

(012).

A condição é suficiente, pois, se o vetor φV do diádico φ é nulo, então (01) dá: φT = φ; assim, φ é simétrico. A condição é necessária porque se φ = φT, (01) dá: Ι×φ φV = Ο , igualdade que implica φV = o, conforme ((021),§ 06.01).

Corol. 3: CNS para que um diádico seja anti-simétrico é que ele seja igual ao oposto da metade do produto vetorial do seu vetor pelo diádico unidade. A condição é necessária pelo teorema 1, porque se

- A = AT, então (01) dá

A = − A T = − 1 AV × Ι = − 1 Ι × AV , 2 2

(013).

A condição é suficiente porque se um diádico satisfaz à igualdade anterior, (01) dá 2 A T = A T − A, donde, A T = − A, e A é anti-simétrico.

Corol. 4: Tem-se, para qualquer φ:

φ = φ sim − 1 Ι × φ V , 2

(014).

Com efeito, é o que resulta da substituição de (01) em ((03),§ 04.02).

§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. Teor. 1: Para qualquer vetor q, a operação q× em E3 equivale a uma transformação linear representada pelo diádico anti-simétrico I×q = q×I para ser usado como pré-fator. Considerando que, obviamente, q×r = Ι.(q×r), e que, por ((04),§ 06.01), q × r = Ι × q.r ,

(01),

51 A proposição seguinte já foi demonstrada por outras vias (Teor.4, § 04.02).

Poliádicos - Ruggeri

128

§ 06 - Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

a transformação que q× opera sobre r é equivalente à do diádico anti-simétrico Ι×q, se usado como pré-fator. Temos também, da igualdade anterior e de ((12),§ 06.01):

− r × q = r.(Ι × q) T = −r.Ι × q ou r × q = r.Ι × q ,

(011).

De (01) e (011) resulta então que, se no produto cruzado, r precede ou segue q, então o diádico I×q deve ser usado como pós ou pré-fator, respectivamente.

Corol. 1: O diádico correspondente ao operador (a × b) × é dado por ba - ab. É o que se deduz imediatamente de (01), (011) e ((07),§ 06.01).

Corol. 2: A qualquer vetor q corresponde o diádico anti-simétrico Ι × q = q × Ι . Nota: Todo produto vetorial de vetores pode ser substituído pelo produto pontuado do diádico anti-simétrico associado a um dos vetores pelo outro vetor.

Interpretação geométrica do diádico de Argand. A operação kˆ × que o unitário k$ realiza sobre o vetor v que lhe é ortogonal é uma rotação de v, de um ângulo reto, em torno do eixo k$ , no sentido anti-horário, no plano ortogonal a k$ , quando se observa o plano do semi-espaço para o qual aponta k$ . Logo o diádico anti-simétrico Ι × kˆ = kˆ × Ι roda de um ângulo reto no sentido anti-horário, qualquer vetor v ortogonal a k$ . O diádico Ι × kˆ se confunde então com o operador de Argand do Cálculo Vetorial52. Se o vetor r não é ortogonal a k$ , podemos decompô-lo na direção de k$ e na direção ortogonal a k$ no plano ( k$ ,r); seja r = v+K k$ . Sendo: kˆ × r = Ι × kˆ .r = kˆ × v = Ι × kˆ .v , vemos que o diádico Ι × kˆ transformará qualquer r num vetor ortogonal a k$ girando de um ângulo reto no sentido anti-horário a componente v de r ortogonal a k$ (Fig.06.01).

52Essa nomenclatura não é de uso geral; veja Calaes, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, 2ª edição, Fundação Gorceix, 1979, tomo I, cap.III. Outros autores usam a notação Ι ( π / 2 ) e, no caso geral, Ι (ϕ).

II,§ 06.05

§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand

129

Assim, a operação que o operador de Argand do Cálculo Vetorial executa sobre vetores de um plano, fica estendida para qualquer vetor do espaço pelo diádico Ι × kˆ ; e a este diádico denominaremos diádico de Argand (do unitário k$ ).

Potências do diádico de Argand. Se o diádico de Argand é aplicado várias vezes sobre o mesmo vetor ele provoca a rotação da componente ortogonal desse vetor em relação a k$ de tantos ângulos retos quantas aplicações sejam feitas. Essas aplicações são equivalentes a potências inteiras desse diádico e podem ser calculadas com facilidade tal como se calculam as potências inteiras do operador de Argand no Cálculo Vetorial53. Pondo J = Ι × kˆ , ( J é uniplanar), (02), escrevemos, lembrando ((02)2.§ 06.02):

(Ι × kˆ ) 2 = J 2 = (Ι × kˆ ).(Ι × kˆ ) = [(Ι × kˆ ).Ι ] × kˆ = (Ι × kˆ ) × kˆ , donde, lembrando ((03)5,§ 06.02):

J 2 = (I.kˆ )kˆ − (kˆ .kˆ )I = −(I − kˆ kˆ ) ,

(021).

* Exercício: $ $ , então, sendo | r | J = Ι × r resulta de (021): Como ∀r: rr = r 2 rr

∀r :

(Ι × r ) 2 = −(−rr + r 2 Ι ) ,

(022).

O diádico (022) é o diádico de inércia da Mecânica Racional. * Pondo, ainda:

Ι − k$ k$ = Ι ,

( I é uniplanar)54,

(03),

teremos:

I 2 = I , I. J = J ,

(04),

53 Essa operação será generalizada no capítulo III.

54Observar a diferença de notação entre I e Ι (diádico unidade). Notar, ainda, que I , uniplanar, é o diádico unidade do plano ortogonal a k$ .

Poliádicos - Ruggeri

130

§ 06 - Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

J 2 = − I,

J 3 = J 2 . J = − I. J = − J ,

J 4 = I2 = I

etc.,

(05).

Da quinta potência em diante podemos escrever: Para N=1,2,3,...

J 4N = I,

J 4N+1 = J ,

J 4N+2 = − I,

J 4N +3 = − J ,

(051).

Notemos mais uma vez que o diádico de Argand J = Ι × kˆ = kˆ × Ι só produz rotações de 90o sobre os vetores perpendiculares a k$ , anulando aqueles vetores paralelos a k$ . Esse efeito anulador de J = Ι × kˆ sobre os vetores paralelos a k$ pode ser eliminado transformando vetores quaisquer do espaço pelo diádico

Z = kˆ × Ι + kˆ kˆ = Ι × kˆ + kˆ kˆ = J + kˆ kˆ ,

(06).

Nesse caso, teríamos:

(kˆ × Ι + kˆ kˆ ).r = kˆ × r + (r.kˆ )kˆ = r ′ , resultado de interpretação geométrica evidente, conforme ilustrado na Figura 06.02.

As potências inteiras sucessivas de Z são calculadas com simplicidade; temos: Z 2 = −Ι + 2kˆ kˆ = −Ι + kˆ kˆ ,

Z 3 = −Ι × kˆ kˆ + kˆ kˆ = −J + kˆ kˆ , Z 4 = Ι + kˆ kˆ = Ι ,

(07),

Z 5 = Z 4 .Z = Z, Z 6 = Z 4 .Z 2 = Z 2 etc. Não é difícil provar que Z é completo. Com efeito, se $i e $j são dois unitários ortogonais do plano perpendicular a k$ podemos escrever:

Z = Ι × kˆ + kˆ kˆ , sendo Ι = ˆiˆi + ˆjˆj + kˆ kˆ , donde,

Z = −&i&ˆj + ˆjˆi + kˆ kˆ

II,§ 06.05

Z 3 = −(ˆiˆjkˆ )(ˆjˆikˆ ) = 1

(08).

§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand

131

Obviamente, é também igual à unidade positiva o terceiro de qualquer potência de Z, donde concluirmos, ainda, que todos os diádicos Z P são completos para P finito. Exercício: Se P>4 e P=4Q+R, então ZP=ZR. Generalizações. Esses resultados podem ser generalizados. Sejam a, b e c três vetores independentes e a*, b* e c* seus correspondentes recíprocos. Temos:

Ι × a = a(a ∗ × a) + b(b ∗ × a) + c(c ∗ × a) , e

Ι × a + aa = a(a ∗ × a + a) + b (b ∗ × a) + c(c ∗ × a) . Logo:

(Ι × a + aa) 3 = (abc)[(a ∗ × a + a) × (b ∗ × a).(c ∗ × a)] . Sendo

(a ∗ × a + a) × (b ∗ × a) = −(ab ∗a ∗ )a + a 2 b ∗ , o número entre colchetes vale

[−(ab ∗ a ∗ )a + a 2 b ∗ ].(c ∗ × a) = a 2 (ab ∗ c ∗ ) . Então, aplicando propriedades dos recíprocos, escrevemos o valor do terceiro em pauta na forma

( abc) a 2 ( ab ∗ c ∗ ) = ( abc) a 2 ( a ∗ b ∗ c ∗ )( a . a ); donde, novamente lembrando as propriedades dos recíprocos:

Z 3 = (Ι × a + aa) 3 = a 4 . Este resultado, obviamente, generaliza a fórmula (08). Calculemos agora as potências N-ésimas do diádico Z=ΙΙ×a+aa. Notemos, preliminarmente, que, se φ e ψ são dois diádicos não nulos que gozem da propriedade: φ.ψ = ψ .φ = Ο , então, φ e ψ não são completos (§ 05.04) e

φ.ψ = ψ .φ = Ο ⇒ (φ + ψ ) N = φ N + ψ N ,

(09).

Poliádicos - Ruggeri

132

§ 06 - Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

Com efeito, para N = 2, por exemplo, temos: 2

(φ + ψ) = φ + φ . ψ + ψ. φ + ψ = φ + ψ . Logo, se (09) for válida para o expoente N - 1, escrevemos:

(φ + ψ)

N −1

=φ

N −1

+ψ

N −1

donde

(φ + ψ)

= (φ + ψ) . (φ

N −1

+ψ

N −1

) = φ + ψ + φ. ψ

N −1

+ ψ. φ

N −1

Porém

φ.ψ N −1 = (φ.ψ ).ψ N −2 = Ο .ψ N − 2 = Ο , e

ψ N −1 .φ = ψ N − 2 .(ψ .φ) = ψ N − 2 .Ο = Ο; donde, então, a fórmula (09), válida para qualquer N inteiro positivo. Ora,

(Ι × a).(a a) = [(Ι × a).a]a = (a × Ι .a)a = (a × a)a = Ο = (a a).(Ι × a),

(A);

logo, de (09), escrevemos:

Z N = (Ι × a + aa) N = (Ι × a) N + (aa) N ,

(10).

A segunda parcela de (10) pode ser calculada imediatamente; temos:

(a a )

=| a |

2 ( N −1)

( a a ),

(11).

Com efeito, é simples comprovar que a fórmula é válida para N = 2,3,...; supondo que ela valha para o expoente N - 1, escrevemos:

(a a )

N −1

=| a |

2 ( N − 2)

( a a ),

donde, multiplicando escalarmente ambos os membros por (aa):

( a a ) N =| a|2 ( N − 2) ( a a ) 2 =| a|2 ( N − 2) | a|2 ( a a ) =| a|2 ( N −1) ( a a ) ; isso é, a fórmula é válida para qualquer expoente. O cálculo da primeira parcela de (10) é mais trabalhoso. Temos:

(Ι × a) 2H +1 = (−1) H | a | 2H Ι × a , ou

II,§ 06.05

(H=1,2,...,N)

(12),

§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand

(Ι × a) 2H = (−1) H +1 | a | 2(H-1) (Ι × a) 2 ,

(H=1, 2,..., N),

133

(121),

conforme o expoente seja ímpar ou par, respectivamente. É fácil comprovar que essas fórmulas são válidas para H = 1,2,..., isso é,

(Ι × a) 3 = − | a |2 Ι × a, (Ι × a) 4 = − | a |2 (Ι × a) 2 etc.

(B).

Supondo que valham para H=N-1, escrevemos:

(Ι × a) 2N−1 = (−1) N −1 | a |2(N −1) Ι × a e

(Ι × a) 2(N −1) = (−1) N | a |2( N −2) (Ι × a) 2 . Então, multiplicando ambos os membros da primeira por (I×a)2, deduzimos:

(Ι × a) 2N +1 = (−1) N −1 | a |2( N −1) (Ι × a) 3 = (−1) N | a |2N Ι × a isso é, (12) é válida para H=N. Similarmente, multiplicando ambos os membros da segunda por (ΙΙ×a)2, escrevemos:

(Ι × a) 2N = (−1) N | a |2( N−2) (Ι × a) 4 Lembrando (B)2,, resulta:

(Ι × a) 2 N = (−1) N +1 | a |2( N−1) (Ι × a) 2 isso é, (121) é válida para qualquer H. Podemos, assim, finalmente, apresentar as expressões das potências enésimas de Z = Ι×a+aa em função de Ι × a e (aa) nas formas:

Z 2N = (−1) N +1 | a |2(N −1) (Ι × a) 2 + | a |2(2N −1) (a a)

(13),

Z 2N +1 = (−1) N | a |2N Ι × a+ | a |4N (a a)

(131),

conforme o expoente seja par ou ímpar, respectivamente55.

55Notar que as potências pares de Z podem ser expressas em função de Ι e aa, bastando considerar que (Ι × a ) 2 = aa − | a | 2 Ι.

Poliádicos - Ruggeri

134

§ 07 – Multiplicações duplas.

§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS. § 07.01 - Definições e propriedades. Dados dois diádicos em forma polinomial:

φ = a ib

(i = 1,2,..., P)

e ψ = c jd

(j = 1,2,..., Q),

chama-se duplo produto de φ por ψ, e representa-se por φ ∗o ψ (ler: φ operando operando ψ), a expressão:

o ∗

ψ = (a i b i ) ∗o (c jd j ) = (a i ∗ c j )(b i o d j )

(011)56,

a cujo terceiro membro deve ser aplicada a convenção somatória (ele apresenta PxQ parcelas). Este produto é um número se as operações indicadas são a de multiplicação pontuada, um diádico se as referidas operações são as de multiplicação cruzada, ou um vetor se as operações representadas por o e * são distintas. Assim:

  φ ×× ψ = (a i × c j )(b i × d j ), diádico , i = 1,2,..., P e j = 1,2,..., Q. φ ×. ψ = (a i . c j )(b i × d j ), vetor   φ ×. ψ = (a i × c j )(b i . d j ), vetor  φ:ψ = (a i . c j )(b i . d j ), escalar

(01).

A primeira expressão representa o duplo produto pontuado, a segunda o duplo produto cruzado, as duas últimas os duplos produtos mistos dos diádicos φ e ψ. A multiplicação dupla (pontuada, cruzada ou mista) de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar o duplo produto (pontuado, cruzado ou misto) desses dois diádicos. Considerando-se ((01),§ 02.08), a expressão (01)1 pode ser escrita nas formas:

φ : ψ = [ a i c j (b i . d j )] E = [( a i . c j )b i d j ] E = = [ c j a i ( d j .b i )] E = [( c j . a i ) d jb i ] E ; ou, ainda, inserindo-se os números dentro dos parênteses entre os antecedentes e os conseqüentes das díades (operação possível conforme (§ 02.02)): i

φ : ψ = [ a i (b . d ) c j ] E = [b ( a i . c j ) d ] E = [ c j ( d .b ) a i ] E = [ d ( c j . a i )b ] E . 56 Entender-se-á, doravante, que o símbolo * disposto entre vetores terá o mesmo significado que poderá representar uma multiplicação escalar ou uma multiplicação vetorial.

II,§ 07.01

o , isso é,

§ 07.01 - Definições e propriedades

135

Nos diferentes membros da expressão acima, vemos dentro dos colchetes a própria expressão de definição do produto pontuado de diádicos; logo, correspondentemente, T

φ : ψ = (φ . ψ ) E = (φ . ψ) E = ( ψ. φ ) E = ( ψ . φ ) E ,

(02).

Então, a operação dupla multiplicação pontuada de diádicos acrescenta um novo número à nossa Álgebra, número esse que, em princípio, é independente dos escalares de φ e ψ. Fazendo-se ψ = φT, (02) dá:

φ : φ T = (φ 2 ) E ,

(021).

Exercício: Provar que

∀φ, ψ , P inteiro:

(φ.ψ ) PE = (ψ .φ) PE ,

(022),

e generalizar: São iguais os escalares de uma mesma potência de produtos de diádicos em que os fatores formem uma permutação cíclica:

(α.β.χ. ... .λ .µ ) PE = (β.χ . ... .λ .µ .α) PE = ... = (µ .λ . ... .χ.β.α ) PE ,

(023).

Fórmulas análogas a (02) não podemos deduzir para a dupla multiplicação cruzada uma vez que o produto cruzado de dois diádicos (que dá um triádico, como veremos oportunamente) não está definido; tão pouco está definido o que seja "vetor de um triádico". Porém, para a Álgebra dos Diádicos, essa operação acrescenta mais um diádico associado aos diádicos φ e ψ. Por outro lado, pondo: φ=eiai, ψ=ej bj, com ei independentes, e ai = (ai. er)er, bj = (bj. es)es, escrevemos:

× ×

ψ = (a i .e r )(b j .e s )(e i × e j )(e r × e s ), (i, j, r, s = 1,2,3) ,

(A).

Aplicando ((04),(041),(07),§ 04.02,I) e ((03),§ 03.03,I) escrevemos, ainda, sucessivamente:

× ×

ψ = ( a i . e r )(b j . e s )ε rsk ε ijm e m e k =

δi r

δ jr

δmr

= ( a i . e r )(b j . e s ) δ i s

δ js

δms e me k .

δi k

δ jk

δmk

Desenvolvendo o determinante e efetuando as somas indicadas em cada uma das seis parcelas do último membro, encontramos:

Poliádicos - Ruggeri

136

§ 07 – Multiplicações duplas.

( a i . e r )(b j . e s )δ i r δ j sδ m k e m e k = ( a i . e i )(b j . e j ) e k e k = φ E ψ E Ι , ( a i . e r )(b j . e s )δ j r δ m s δ i k e m e k = ( a i . e j )(b j . e m ) e m e i = b j ( e j . a i ) e i = ψ T . φ T , ( a i . e r )(b j . e s )δ m r δ j k δ i s e m e k = ( a i . e m )(b j . e i ) e m e j = a i ( e i .b j ) e j = φ T . ψ T , ( a i . e r )(b j . e s )δ i k δ j sδ m r e m e k = ( a i . e m )(b j . e j ) e m e i = ψ E a i e i = ψ E φ T , ( a i . e r )(b j . e s )δ j k δ m s δ i r e m e k = ( a i . e i )(b j . e m ) e m e j = φ E b j e j = φ E ψ T , ( a i . e r )(b j . e s )δ m k δ j r δ i s e m e k = ( a i . e j )(b j . e i ) e m e m = = [b j ( e j . a i ) e i ] E Ι = ( ψ T . φ T ) E Ι . Logo:

× ×

ψ = φ E ψ E Ι + ψ T .φ T + φ T .ψ T − ψ E φ T − φ E ψ T − (ψ T .φ T ) E Ι

(03),

ou, transpondo, agrupando convenientemente, fatorando e aplicando (022) para P=1:

( φ ×× ψ ) T = ( − φ + φ E Ι ).( −ψ + ψ E Ι ) − [ −ψ .φ + ( ψ .φ ) E Ι ]

(031).

A fórmula (03) é válida em E3, quaisquer que sejam os diádicos φ e ψ (completos, planares ou lineares). No E2, entretanto, temos, de (A), para i,j = 1, 2:

× ×

ψ = [(a1 .e1 )(b 2 .e 2 ) + (a 2 .e1 )(b 1 .e 2 ) − (a1 .e 2 )(b 2 .e1 ) − − (a 2 .e 2 )(b 1 .e1 )](e1 × e 2 )(e1 × e 2 ).

Somando e subtraindo, dentro dos colchetes, as parcelas

(a 1 .e1 )(b 1 .e1 ) e (a 2 .e 2 )(b 2 .e 2 ) , agrupando convenientemente, fatorando e lembrando (01)1, vem:

× ×

ψ = [(e1 .a1 + e 2 .a 2 )(e1 .b1 + e 2 .b 2 ) − − (a1e1 + a 2 e 2 ) : (e1b1 + e 2 b 2 )](e1 × e 2 )(e1 × e 2 ),

isso é, em E2:

× ×

ψ = (φ E ψ E − φ T : ψ ) Ι ⊥ ,

(032),

expressão em que Ι ⊥ é o diádico unidade do espaço unidimensional ortogonal de E2. Entretanto, em E3, as duplas multiplicações cruzadas de diádicos planares que têm um plano homônimo coincidente, dão como resultado diádicos unilineares do mesmo espaço cujas direções são perpendiculares aos respectivos planos (coincidentes) dos diádicos fatores; para estes aplica-se a fórmula (03).

II,§ 07.01

§ 07.01 - Definições e propriedades

137

Raciocinando e operando como anteriormente, podemos escrever (01)3 e (01)4 nas formas respectivas:

φ ×. ψ = [b i (a i .c j )d j ] V = ( φ T .ψ ) V , φ ×. ψ = [a i (b i .d j )c j ] V = ( φ .ψ T ) V ,

(04),

para concluirmos: as duplas multiplicações mistas acrescentam novos vetores à nossa Álgebra, vetores esses que, em princípio, são independentes dos vetores de φ e de ψ. Por analogia com o duplo produto de φ por ψ, definido por (011), poderíamos definir outros duplos produtos, denominá-los duplos produtos horizontais e representá-los por φ o *ψ, escrevendo:

φ o ∗ψ ψ = (b i ∗ c j )(a i o d j )

(05).

Teríamos, assim, o duplo produto pontuado horizontal φ..ψ ψ, o duplo produto cruzado horizontal φ××ψ ψ e os duplos produtos mistos horizontais φ×.ψ ψ e φ.×ψ ψ, acrescentando com isto novos elementos à nossa Álgebra (um número, um diádico e dois vetores). Deduzimos, facilmente:

φ o ∗ψ ψ = (c jd j ) ∗o (b i a i ) , isso é

φ o ∗ψ = ψ ∗o φ T ,

(06).

Em vista de (06), a dupla multiplicação horizontal fica reduzida à dupla multiplicação definida por (011), sendo, pois, desnecessária. Deve ser observado, entretanto, que o escalar, os vetores e o diádico dados por (05), geralmente são diferentes daqueles dados por (01); uma exceção, por exemplo, verifica-se quando φ=φ φT (φ simétrico), situação muito comum nas aplicações. Manteremos as definições de Gibbs. As duplas multiplicações gozam das seguintes Propriedades.

1ª)- São sempre possíveis, unívocas e os seus resultados são invariantes, o que é evidente. 2ª)- São comutativas as duplas multiplicações pontuadas e cruzadas:

 φ : ψ = ψ : φ, φ ∗∗ ψ = ψ ∗∗ φ, or  × × φ × ψ = ψ × φ ,

(07).

Com efeito, para comprovar basta comutarem-se as letras dentro dos parênteses em (01)1,2 e em seguida aplicar-se a definição (01) à expressão obtida.

Poliádicos - Ruggeri

138

§ 07 – Multiplicações duplas.

3ª)- O escalar de um produto pontuado de diádicos é igual ao escalar do produto pontuado desses mesmos diádicos em ordem inversa:

(φ . ψ) E = ( ψ. φ ) E ,

(08).

Com efeito, é o que podemos deduzir considerando o segundo e o último membros de (02), ou o terceiro e o quarto.

4ª)- A dupla multiplicação mista de diádicos é anti-comutativa:

 φ × ψ = − ψ ×. φ, φ ∗o ψ = − ψ ∗o φ, or  .. . φ × ψ = −ψ × φ,

(09).

De (01)3 podemos escrever:

φ ×. ψ = − (c j .a i )(d j × b i ) = − (c jd j ) ×. (a i b i ) , o que comprova (09)1. Similarmente podemos comprovar (09)2. Decorre imediatamente da anti-comutatividade da dupla multiplicação mista, representada por (09), que,

∀φ : φ ×. φ = o

(09)1.

Esta propriedade, aliás, pode ser confirmada pelas igualdades (04), pois, para ψ = φ, φT.ψ ψé diádico simétrico (Corol. 2, Teor. 1, § 05.03), logo, de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, § 04.02).

5ª)- As duplas multiplicações mistas não se alteram se, simultaneamente, comutamos os símbolos operatórios e substituímos os diádicos fatores pelos seus respectivos transpostos:

o ∗

ψ = φT

∗ o

ψT ,

φ ×. ψ = φ T ×. ψ T ,   φ . ψ = φ T × ψ T , .  ×

Com efeito, pois podemos escrever (01)3 na forma:

φ ×. ψ = (b i × d j )(a i .c j ) = (b i a i ) ×. (d jc j ) , o que comprova (10)1. Similarmente podemos comprovar (10)2.

II,§ 07.01

(10).

§ 07.01 - Definições e propriedades

139

6ª)- As duplas multiplicações são associativas em relação a fatores escalares:

A ( φ ∗o ψ ) = ( Aφ ) ∗o ψ = φ ∗o ( Aψ ) ≡ Aφ ∗o ψ ,

(11).

A demonstração é imediata, bastando lembrar-se a definição de produto de diádico por número (§ 02.02) e considerar-se que os produtos escalar e vetorial de vetores são associativos em relação a fatores escalares.

7ª)- As duplas multiplicações são distributivas em relação à adição de diádicos:

φ ∗o (ψ ± χ ± ...) = φ ∗o ψ ± φ ∗o χ ± ...

(12).

Reduzamos, por exemplo, os diádicos entre parênteses a formas trinomiais com os mesmos antecedentes independentes. Ponhamos: i

ψ = eia ,

χ = e ib

etc e φ = x i y .

Então deduzimos, sucessivamente, por duplas multiplicações:

( x i y i ) ∗o [e j (a j ± b j ± ...)] = ( x i ∗ e j )[ y i o (a j ± b j ± ...)] = = ( x i ∗ e j )( y i o a j ± y i o b j ± ...). Considerando agora a distributividade da multiplicação de números por soma de números, ou a de números por soma de vetores ou a de multiplicação direta de vetor por soma de vetores, temos:

φ ∗o (ψ ± χ ± ...) = ( x i ∗ e j )(y i o a j ) ± ( x i ∗ e j )( y i o b j ) ± ... . Considerando a definição (01), reconhecemos nas parcelas do segundo membro as parcelas do segundo membro de (12). Nota: As propriedades 6ª) e 7ª) mostram que as duplas multiplicações são operações lineares: φ ∗o ( A ψ ± B χ ± ...) = A φ ∗o ψ ± B φ ∗o χ ± ...

(13).

8ª)- A dupla multiplicação cruzada não é associativa:

( φ ×× ψ ) ×× χ ≠ φ ×× ( ψ ×× χ )

(14).

Para comprovar basta desenvolver ambos os membros de (14) para verificarmos que os antecedentes de um (bem como os conseqüentes) são diferentes dos correspondentes do outro.

Poliádicos - Ruggeri

140

§ 07 – Multiplicações duplas.

9ª)- O transposto de um duplo produto cruzado de diádicos é igual ao duplo produto cruzado dos transpostos dos diádicos:

( φ ×× ψ ) T = φ T

× ×

ψT

(15).

Com efeito, pois de (01)2 podemos escrever:

(φ

× ×

ψ ) T = (b i × d j )(a i × c j ) = φ T

× ×

ψT .

10ª)- O duplo produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto pontuado dos seus transpostos: T

φ : ψ=φ : ψ ,

(16).

Com efeito, pois de (01)1 podemos escrever:

φ : ψ = (b i .d j )(a i .c j ) = (b i a i ) : (d j c j ) = φ T : ψ T

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. Teor.1: (CNS para que um duplo produto seja nulo)

o ∗

0  ψ = o Ο 

⇐ ∀ψ ⇒ φ = Ο ,

(01).

Analisemos em primeiro lugar a dupla multiplicação cruzada, pondo, para tal, φ = eiai e ψ = ejbj, com ei independentes. Temos, com diádicos gerados do E3:

φ ×× ψ = (e i × e j )(a i × b j ) = (e1e 2 e 3 )ε ijk e k (a i × b j ) = Ο . Logo, efetuando as somas indicadas e considerando que os conseqüentes de φ ×× ψ devem ser todos nulos (§ 02.09): a 2 × b 3 = a 3 × b 2 ,  3 1  a × b = a1 × b 3 ,  a1 × b 2 = a 2 × b1.  Para todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3) as igualdades acima só são possíveis se a 1 = a 2 = a 3 = o , o que implica φ = Ο. Analisemos, agora, a dupla multiplicação pontuada, pondo φ = eiai e ψ = ejbj, com (e1e2e3)≠0. Temos: φ : ψ = ( e i . e j )( a i .b j ) = a i . b i = 0. Tal como no caso anterior, para todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3), esta igualdade só é possível se a 1 = a 2 = a 3 = o , isso é, se φ = Ο. Poderíamos analisar analogamente a operação φ ×. ψ com as reduções φ = aiei e ψ = j bje . A recíproca do teorema é de demonstração evidente.

II,§ 07.02

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos.

141

Duplo produto nulo de diádicos não nulos. O Teor. 1 só é verdadeiro para qualquer ψ, isso é, para dado ψ, φ ×× ψ = Ο não acarreta φ=Ο Ο. Com efeito, sejam, φ = e i a i e ψ = e jb j com (e1e 2 e 3 ) ≠ 0 , a i ≠ o , b j ≠ o . Sendo φ ×× ψ = Ο , resultam a2×b3 = a3×b2, .... Essas igualdades serão possíveis se os vetores a1, a2, a3 e b1, b2, b3, além de coplanares, satisfizerem também as condições (de igualdade de áreas orientadas):

| a 2 || b 3 |sen( a 2 , b 3 ) =| a 3 || b 2 |sen( a 3 , b 2 )   3 1 | a || b |sen( a 3 , b 1 ) =| a 1 || b 3 |sen( a 1 , b 3 )  | a 1 || b 2 |sen( a 1 , b 2 ) =| a 2 || b 1 |sen( a 2 , b 1 ),

(02),

onde os ângulos (a2,b3), (a3,b2) etc. são orientados no plano dos vetores. Destas três condições deduzimos, se nenhum dos vetores é o vetor zero: 1

sen ( a , b ) sen( a , b )

sen( a , b ) sen( a , b )

sen( a , b ) sen ( a , b )

= 1,

(021);

ou, ainda, lembrando a definição de razão simples de três raios: 1 2

3 1

3 1 2

(a b b )(a b b )(a b b ) = 1,

(022).

Denominaremos um feixe de seis raios que satisfaça a (022) um "feixe de Ceva". Traçando-se arbitrariamente retas paralelas a b1, b2 e b3 e denotando-se por B1 a interseção de b2 com b3, B2 a de b3 com b1 e B3 a de b1 com b2, estas definem um triângulo B1B2B3 cujos ângulos internos só dependem de ψ. Então as paralelas aos ai conduzidas pelos Bi, que interceptam as bi nos pontos Ai, são dependentes de um ponto V, (Fig.07.02).

Se é nulo o duplo produto cruzado de dois diádicos não nulos as retas suporte dos seus (seis) conseqüentes (ou antecedentes) em uma redução trinomial arbitrária formam um feixe de Ceva. Fig.07.02

Com efeito, ponhamos (021) na forma equivalente

B1B 2 sen (b 2 , a1 ) B 2 B 3 sen (b 3 , a 2 ) B 3 B1 sen (b1 , a 3 ) × × =1, B1B 3 sen (b 2 , a 3 ) B 2 B1 sen (b 3 , a1 ) B 3 B 2 sen (b1 , a 2 )

Poliádicos - Ruggeri

142

§ 07 – Multiplicações duplas.

e reescrevamos essa expressão, agora lembrando a expressão da razão simples de três pontos expressa em função da razão simples de três raios que os projetam dos centros B1, B2 e B3 (Fig. 07.02); teremos: A1B2 A 2B3 A3B1 × × = −1 , A1B3 A 2B1 A 3B2 expressão que confirma a nossa assertiva, conforme o clássico teorema de Ceva. Diádicos de Pauly.

Definição: (diádicos de Pauly) Dois diádicos que, reduzidos a formas trinomiais com os mesmos antecedentes independentes, admitam por conseqüentes vetores cujos suportes definam um feixe de Ceva, são denominados diádicos de Pauly, ou par de Pauly; serão indicados por Pau( , ). Logo:

Se o duplo produto cruzado de dois diádicos é o diádico nulo, esses diádicos formam um par de Pauly. A recíproca deste teorema não é verdadeira:

O duplo produto cruzado dos diádicos de um par de Pauly não é nulo necessariamente. Com efeito, de (022) ou (021) não se deduzem as (02). Com mais forte razão, podemos escrever:

φ 3 ≠ 0, ψ 3 ≠ 0 ⇒ φ ×× ψ ≠ Ο ,

(03).

Da mesma forma, sendo φ completo, qualquer um de seus homológicos é completo; logo

φ 3 ≠ 0, ⇒ φ ×× Homφ ≠ Ο ,

(04).

Consideremos, agora, o par de diádicos de Pauly, φ e ψ, de conseqüentes a 1 , a 2 , a 3 e b 1 , b 2 , b 3 . O duplo produto cruzado de φ por ψ tem por conseqüentes os vetores não nulos a 2 × b 3 − a 3 × b 2 ≠ o,  3 1 1 3  a × b − a × b ≠ o,  a1 × b 2 − a 2 × b1 ≠ o,  sendo, pois, em geral, não nulo; isso é, embora os conseqüentes de φ e ψ formem um feixe de Ceva, os vetores paralelos a 2 × b 3 e a 3 × b 2 etc. podem ter módulos diferentes. Isto significa que, em geral, o sistema (02) não se verifica. Entretanto, podemos determinar os vetores c i = X i a i (i = 1, 2, 3)57, paralelos aos ai, tais que o sistema (02) se verifique. Para isto bastará comprovarmos que o sistema 57 Deve ser notado, conforme já convencionamos, que no segundo membro não está estabelecido somatória.

II,§ 07.02

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos.

143

 0 X 1 + | a 2 || b 3 | sen( a 2 , b 3 ) X 2 −| a 3 || b 2 | sen( a 3 , b 2 ) X 3 = 0   −| a 1 || b 3 | sen( a 1 , b 3 ) X 1 + 0X 2 + | a 3 || b 1 | sen( a 3 , b 1 ) X 3 = 0   | a 1 || b 2 | sen( a 1 , b 2 ) X 1 − | a 2 || b 1 | sen( a 2 , b 1 ) X 2 + 0X 3 = 0 admite solução diferente da trivial. Com efeito, o determinante do sistema, 1

| a || a || a || b || b || b | 3

[ sen( a , b ) sen( a , b ) sen( a , b ) − sen( a , b ) sen( a , b ) sen( a , b )], é nulo porque, em vista da validade de (021), o fator entre colchetes é nulo, isso é, as retas suporte dos vetores formam um feixe de Ceva. Assim, se (X1,X2,X3) for uma solução do sistema, as demais serão do tipo K(X1,X2,X3), em que K é uma constante arbitrária. Então, existem diádicos planares (formando uma família), de conseqüentes paralelos aos ai, portanto homológicos do diádico fator φ, que anulam o duplo produto cruzado de qualquer um deles pelo diádico ψ. Ora, como os vetores ci, em vez de paralelos aos ai, poderiam ser tomados paralelos aos bi, concluímos:

Teor. 2: Dado um par de Pauly, de diádicos φ e ψ, existe uma família de diádicos semelhantes e homológicos com φ (ou ψ), tal, que o duplo produto cruzado de qualquer dos membros dessa família, Hom φX (ou Hom ψ1/X), por ψ (ou φ) seja o diádico nulo:

 Homφ X ×× ψ = Ο Pau(φ, ψ ) ⇒  × Homψ 1/X × φ = Ο. Observação: Os Xi são determinados em função dos diádicos φ e ψ do par de Pauly; estão, pois, associados a esse par. Por isso mesmo, usamos a notação HomφX para especificar os membros da família interessada já que HomφX é um subconjunto de Homφ.

É fácil justificar porque

o para os ψ ≠ Ο , gerados do E 3 , φ o. ψ =  não ⇒ φ = Ο , 0

(05).

Ponhamos φ=eiai e ψ=ejbj com (e1e2e3)≠0. Então:

φ o. ψ = ( e i .e

)( a i o b

 o (vetor zero) ) = δ i j (a i o b j ) = a i o b i =  0 (escalar nulo).

Poliádicos - Ruggeri

144

§ 07 – Multiplicações duplas.

Sendo ψ≠Ο Ο, os seus conseqüentes, bi, não são simultaneamente nulos; para que ai o bi seja nula basta, por exemplo, que os bi sejam correspondentemente ortogonais aos ai, se o ≡., ou que os bi sejam correspondentemente paralelos aos ai, se o ≡×. Assim, existem infinitos diádicos não nulos que anulam o duplo produto φ o. ψ , qualquer que seja ψ≠Ο Ο. Diádicos ortogonais. Consideremos um diádico linear cujo antecedente seja perpendicular ao plano dos antecedentes de um diádico planar dado. É evidentemente nulo o duplo produto pontuado desses diádicos não nulos, isso é,

Teor. 3: Se o antecedente (conseqüente) de um diádico linear é perpendicular ao plano dos antecedentes (conseqüentes) de um diádico planar, o duplo produto pontuado deles é nulo. É evidente também a demonstração do seguinte

Teor. 4: É nulo o duplo produto pontuado de dois diádicos lineares cujos antecedentes ou conseqüentes sejam perpendiculares. Existem, pois, diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo.

Definição: (diádicos ortogonais) Diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo são ditos ortogonais ( ou perpendiculares) Teor. 5: Todo diádico completo pode ser decomposto na soma de dois diádicos ortogonais, um planar e um linear. Com efeito, seja φ = ax ′ + by ′ + cz′ um diádico completo de antecedentes e conseqüentes co-iniciais num ponto arbitrário, O, do espaço. Sejam, ainda, A' e B' as interseções dos vetores a e b com o plano conduzido pela extremidade C de c. Seja C’ a projeção ortogonal da extremidade C de c sobre o plano (a,b) quando c é co-inicial com a e b em O. Decompondo o vetor o vetor de origem O e extremidade C’ em relação a a e b, podemos escrever: OC' = Ma + Nb . Então: c = OC' + n , sendo n ortogonal a a e b. Assim,

φ = ax ′ + by ′ + ( n + Ma + Nb ) z′ = ax + by + nz , sendo x = x ′ + Mz′, y = y ′ + Nz′ e z = z′ . Então o completo φ é a soma do planar ax + by com o linear nz cujo antecedente é perpendicular ao plano dos antecedentes de ax+by. Logo, o duplo produto pontuado desses diádicos vale zero, e eles são perpendiculares.

II,§ 07.02

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos.

145

Teor. 6: Se A é anti-simétrico, então todo diádico simétrico, S, é ortogonal a A. Reciprocamente, se todo diádico simétrico, S, é ortogonal a certo diádico A, então A é anti-simétrico:

Α = −Α T

⇐

∀ S = ST

⇒

Α : S = 0,

(06).

Se Α = − Α T e S = S T é qualquer, então Α : S = − Α T : S T . Aplicando ao segundo membro a propr. 5ª da multiplicação pontuada dupla, vem A : S = − A : S , donde Α : S = 0 , isso é, A é ortogonal a S. Reciprocamente, se certo diádico A A, isso é, Α : S = 0 , então, aplicando a diádicos ao primeiro membro dessa considerando que S = S T , Α T : S = 0 .

é ortogonal a todo e qualquer diádico simétrico propr. 5 da multiplicação pontuada dupla de igualdade, vem: Α T : S T = 0 ; ou, ainda, Logo, (Α Α + Α T ): S = 0 , isso é, Α + Α T é

ortogonal a todo S = S T ; e o Teor. 1 exige seja Α + Α T = Ο porque S, embora simétrico, é qualquer. Portanto A deve ser anti-simétrico.

O ortogonalismo dos diádicos será detalhadamente discutido no §10 e no §11, não sendo possível precisar, no momento, em que condições e a quantos diádicos dado diádico possa ser ortogonal; mas um mesmo diádico pode ser ortogonal a pelo menos dois outros. Exercício 1: Se um diádico é ortogonal a dois outros, ele é ortogonal a qualquer combinação linear desses últimos. Diádicos paralelos. Particularmente, no caso dos diádicos paralelos (§ 02.02), φ e ψ = M φ, temos, conforme (04), § 07.01:

φ paralelo a ψ ⇒ φ ×. ψ = o ,

(07).

Com efeito, pois φ ×. ψ = M (φ . φ T ) V = o já que φ . φ T é simétrico (Corol. 2, Teor.1, § 05.03), logo de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, § 04.02).

Teor. 7: A CNS para que seja nulo o produto misto de dois diádicos é que o produto pontuado de um deles pelo transposto do outro seja um diádico simétrico:

φ ×. ψ = o

⇔

φ . ψ T = ( φ . ψ T ) T = ψ .φ T

(08).

Poliádicos - Ruggeri

146

§ 07 – Multiplicações duplas.

A condição é necessária porque sendo φ ×. ψ = o , (042), § 07.01 implica a anulação do vetor de φ . ψ T , ou seja, que esse diádico seja simétrico. A condição é suficiente pois, dados dois diádicos φ e ψ tais que φ . ψ T seja simétrico, então o vetor desse produto é o vetor zero e, logo, ainda conforme (042), § 07.01, φ ×. ψ = o .

Corol. 1: Todo diádico é paralelo a si próprio:58

φ ×. φ = o ,

(09).

Com efeito, φ . φ T é diádico simétrico.

Corol. 2: Se um diádico é simétrico, ele é paralelo ao seu transposto:

φ = φT

φ ×. φ T = o ,

⇒

(091).

Nota: A recíproca desse teorema não é verdadeira. Existem diádicos não simétricos paralelos aos seus respectivos transpostos, mas os seus quadrados são simétricos necessariamente; pois, φ ×. φ T = o ⇒ φ .φ = ( φ .φ ) T .

Corol. 3: A CNS para que um diádico seja simétrico é que seja nulo o seu produto misto pelo diádico unidade:

φ = φ T ⇔ φ ×. Ι = o ,

(10).

Com efeito, em (08) poderia ser ψ = Ι . Notas: 1) - Não se conclua daí que seja sempre nulo o produto misto de dois diádicos simétricos. Com efeito, mesmo que φ e ψ sejam simétricos, (042), § 07.01 não nos permite concluir que . ψ = o porque φ.ψ não é em geral diádico simétrico. φ × 2) - Entretanto, dois diádicos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.

§ 07.03 - Invariância. Teor. 1: (substituição de diádicos iguais em dupla multiplicação)

φ = φ′ ⇐ ∀ψ ⇒ φ

o ∗

ψ = φ′

o ∗

ψ,

58 Provaremos no § 07.07 que todo diádico não nulo jamais é ortogonal a si próprio.

II,§ 07.03

(01).

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos.

147

No E3, ponhamos em forma trinomial, com (e1e2e3)≠0,

φ = e i a i , φ′ = e i a′i e ψ = e jb j , ψ sendo um diádico qualquer. Se φ = φ', então, ai = a'i e

o ∗

ψ = (e i ∗ e j )(a i o b j ) = (e i ∗ e j )(a′i o b j )

uma vez que vetores iguais se substituem tanto em multiplicação escalar quanto em multiplicação vetorial de vetores. Considerando a definição de duplo produto de diádicos, do último membro da expressão de φ ∗o ψ concluímos a veracidade do teorema direto. Reciprocamente,

∀ψ : φ

o ∗

ψ = φ′

o ∗

0  ψ ⇒ ( φ − φ ′) ψ =  o Ο.  o ∗

Como ψ é qualquer, destas relações deduzimos: φ = φ', conforme (01),§ 07.02. E óbvio que

φ = φ′ and ψ = ψ ′ ⇒ φ

o ∗

ψ = φ′

o ∗

ψ′

(02).

Então: 1º) por não alterar-se um duplo produto de diádicos quando estes são substituídos por outros que lhes sejam iguais; 2º) porque diádicos iguais podem ser reduzidos a formas trinomiais de infinitas maneiras, concluímos:

Teor. 2: os duplos produtos são invariantes, isso é, independem da forma sob que se apresentem os diádicos fatores.

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. Os duplos produtos apresentam valores notáveis quando um dos diádicos é o diádico unidade.

Teor. 1: Tem-se:

φ : Ι = φ E ,  ∀φ :  φ × Ι = − φ T + φ Ι , E  ×

(01).

Estas fórmulas são, respectivamente, conseqüências imediatas de ((02) e (03) ou (031), § 07.01) para ψ = Ι. * Poliádicos - Ruggeri

148

§ 07 – Multiplicações duplas.

Exercício: Provar que (φ ×× Ι ) T = φ T

× ×

Ι *

Particularmente, para φ = rr , temos: rr ×× Ι = −rr + r 2 Ι . Considerando (022), § 06.05, deduzimos:

− rr ×× Ι = (Ι × r ) 2 ,

∀r :

(011).

Recorrendo a (121), § 06.05, temos:

∀r :

(rr

× ×

Ι ) N = (−1) N +1 | r | 2(N −1) (rr

× ×

Ι) ,

(012).

Corol. 1: Uma CNS para que um diádico seja o diádico nulo é que seu duplo produto cruzado com o diádico unidade seja o diádico nulo.

φ ×× Ι = Ο

⇔

φ=Ο,

(013).

A condição é necessária porque de (01)2 deduzimos: φT = φEΙ; donde, tomando o escalar de ambos os membros: φE = 3φ φE, ou φE = 0. Então: φ = 0 Ι = Ο. A condição suficiente é evidente. Nota: Este corolário é também um caso particular do Teor.1 do § 07.02, bastando considerar ψ = Ι (pois Ι é um diádico completo).

Corol. 2: Uma CNS para que um diádico (não nulo) tenha escalar nulo é que ele seja ortogonal ao diádico unidade:

φ : Ι=0

⇔

φ E = 0,

(014).

A demonstração decorre imediatamente de (01)1.

Corol. 3: Uma CNS para que um diádico tenha escalar nulo é que o oposto do seu transposto seja igual ao seu duplo produto cruzado com o diádico unidade:

φ ×× Ι = −φ T Pois, se φE = 0, (01)2 dá: φ

× ×

⇔

φE = 0 ,

Ι = − φ T . Reciprocamente, se φ

(015). × ×

Ι = − φ T , então (01)2

também fornece: φEΙ = Ο, isso é, conforme ((04).§ 02.09), φE = 0. Decorrem imediatamente das (01) as seguintes expressões:

Ι ×× Ι = 2 Ι ,

II,§ 07.04

Ι:Ι = 3 ,

(016).

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos.

149

Particularmente (01)5 dá:

− A T = A = A ×× Ι ,

(017).

Nota: Em vista de (01)2 a fórmula ((031),§ 07.01) pode ser escrita também na forma

× ×

ψ = (φ

× ×

Ι ).(ψ ×× Ι ) − (φ.ψ) ×× Ι ,

(018)

Considerando (016)1, (01)2 pode ser escrita na forma:

(φ −

1 φ E Ι ) ×× Ι = −φ T , 2

(019).

Exercício: Provar que

∀φ : Teor. 2: ∀a eb :

(φ T

(a × Ι )

× ×

Ι ) 2 = φ 2 − 2φ E φ + (φ E ) 2 Ι .

(b × Ι ) = ab + ba,

(a × Ι ) ×. (b × Ι ) = a × b = [(ab)

× ×

(a × Ι ) : (b × I) = 2a.b = [(ab)

Ι]E

× ×

Ι]V ,

(02).

Com o intuito de abreviar as demonstrações não explicitaremos as diversas propriedades utilizadas da multiplicação mista e da dupla multiplicação vetorial de vetores. Pondo Ι = eiei = ejej, temos, para i, j,... = 1,2,3:

(a × Ι ) ×× (b × Ι ) = [(a × e i ) × (b × e j )](e i × e j ) = = (a × e i .e j )b (e i × e j ) − (a × e i .b )e j (e i × e j ) = = (ba ) .(e i × e j ) (e i × e j ) + e j (e j × e i )(e i .b × a ). Observando que a primeira parcela pode ser escrita na forma

(ba).(e i × e j )(e i × e j ) = (ba).(Ι ×× Ι ) = (ba).2Ι = 2ba e a segunda na forma

e j (e j × e i )(e i .b × a) = Ι × (b × a) , deduzimos, aplicando ((07),§ 06.01):

(a × Ι ) ×× (b × Ι ) = 2ba + ab − ba = ab + ba , o que comprova (02)1.

Poliádicos - Ruggeri

150

§ 07 – Multiplicações duplas.

Sendo a × Ι = (a × e i )e i e b × Ι = (b × e j )e j deduzimos também:

(a × Ι ) o. (b × Ι ) = (a × e i ) o (b × e j )(e i .e j ) = = (a × e i ) o (b × e i ) = [(ab ) ×× (e i e i )]o = [(ab ) ×× Ι ]o . Lembrando (01)2 concluímos: (a × Ι ) .o (b × Ι ) = −b o a + (a.b )Ι o . É fácil, agora, encontrar (02)2 e (02)3.

Corol. 1: Se A = - AT e B = - BT em E3, então:

4 A ×× B = B V A V + A V B V = 4( A ×× B ) T , 4 A ×. B = − A V × B V = [( A V B V ) ×× Ι ]V , 4 A : B = 2 A V .B V = ( A V B V

× ×

(021).

Ι )S ,

Com efeito, pois lembrando ((013),§ 06.04), escrevemos:

4 A oo B = ( A V × Ι ) oo ( B V × Ι ) Aplicando, agora, as fórmulas (02) podemos facilmente encontrar as (021). Notas:

1 - O primeiro e o último membros de (021)1 mostram que, não obstante serem A e B anti simétricos, o seu duplo produto cruzado é simétrico. 2 - As fórmulas (021)2 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem não nulos, o seu duplo produto misto será nulo quando os planos desses diádicos forem paralelos (caso em que seus vetores são paralelos). 3 - As fórmulas (021)3 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem nulos, o seu duplo produto pontuado é geralmente não nulo, exceto quando os vetores (ou os planos) desses diádicos são ortogonais.

Corol. 2: Não há mais que três diádicos anti-simétricos ortogonais entre si. Com efeito, pois não há mais que três vetores (ou três planos) ortogonais entre si.

Corol. 3: Se A = - AT , em E3,

1 A ×× A = A V A V , 2 A ×. A = o, 1 A : A = AV 2 , 2

(022)59.

59 Por (01 ) e (02 ) vemos que o duplo produto pontuado de I por si próprio e o do anti-simétrico A por si 6 2 2 3 próprio são números positivos. No § 07.07 essa propriedade será demonstrada verdadeira para qualquer diádico.

II,§ 07.04

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos.

151

Teor. 3: (produto cruzado de um vetor por um duplo produto de diádicos)

∀φ, ψ, x :

x × (φ ×o ψ) = φ o (x.ψ) - (x.φ o ψT)T

(03).

(φ ×o ψ) × x = (φ.x) o ψ − (φT o ψ.x)T Pondo φ = aiei e ψ = bjej, temos:

x × (φ ×o ψ) = x × (ai × b j)(ei o e j) = [(x.b j)ai − (x.ai)b j](ei o e j) . Independentemente da operação que o possa representar, podemos agrupar convenientemente os fatores das duas parcelas no último membro, mantendo a ordem dos vetores ai, bj e de ei o ej (um escalar ou um vetor). Então:

x × (φ ×o ψ) = (x.b j)ai(ei o e j) − (x.ai)b j(ei o e j) . Não é difícil, agora, comprovar-se que a primeira parcela é igual a φ o (x.ψ) e que a segunda é igual a (x.φ o ψT)T ; o que comprova (03)1. Analogamente podemos demonstrar (03)2.

Corol. 1:

(φ × ψ ) × x = ( φ .x) × ψ + (ψ .x ) × φ, ∀φ, ψ , x :  × ×  (φ . ψ ) × x = (ψ .x).φ − (φ .x ).ψ ,

(031).

Quando em (03)2 a operação o é a multiplicação pontuada, φ ×. ψ é um vetor. Sendo ψ.x um vetor, φT.ψ ψ.x = (ψ ψ.x).φ φ, fazendo-se necessários os parênteses em vista de ((04)1,§ 06.02); mas a transposição é irrelevante. Comprova-se, assim, (031)2. Aplicando-se as ((09),§ 06.01) à segunda parcela do segundo membro de (03)2 encontra-se logo (031)1.

Corol. 2:

∀ φ, x :

1 (φ 2

× ×

φ ) × x = (φ .x) × φ ,

(032).

Teor. 4: (produto pontuado de um produto vetorial de vetores por um duplo produto de diádicos)

∀φ, ψ , x, y : ( x × y ).( φ

o ×

ψ ) = ( x.φ ) o ( y.ψ ) − ( y.φ ) o ( x.ψ )

(04).

Pré-multipliquemos escalarmente ambos os membros de (03)1 por y. Aplicando propriedade do produto misto de vetores, no caso em que a multiplicação é a pontuada, e ((03)1, § 06.02) no caso em que a multiplicação é a cruzada, escrevemos:

Poliádicos - Ruggeri

152

§ 07 – Multiplicações duplas.

y.[ x × (φ

o ×

ψ ] = y × x.( φ

o ×

ψ ) = − ( x × y ) .( φ

o ×

ψ) .

Ainda, usando ((01)1,§ 06.02), escrevemos:

y.(φ o ψ T .x) = (y.φ) o (x.ψ ) , e, por evidência

y.(x.φ o ψ T ) T = (x.φ o ψ T ).y = (x.φ) o (y.ψ ) . Logo, temos (04).

Corol. 1: (caso de multiplicação pontuada)

( x × y ).(φ ×× ψ ) = ( x.φ ) × ( y.ψ ) − ( y.φ ) × ( x.ψ ), ∀φ, ψ , x, y :  .  ( x × y ).(φ × ψ ) = ( x.φ ).( y.ψ ) − ( y.φ ).( x.ψ ),

(041).

Corol. 2: (caso de multiplicação cruzada com diádicos iguais)

1  ×  ( x × y ). 2 (φ × φ ) = ( x.φ ) × ( y.φ ) ∀φ, x, y :  1  (φ ×× φ ).( x × y ) = (φ .x ) × (φ .y ), 2

(042).

Teor. 5: (Produto pontuado dos vetores de dois diádicos)

∀ φ, ψ :

φ V .ψ V = φ : ( ψ − ψ T ) = − φ : ( Ι × ψ V ) ,

(05)

Pondo φ = a i b i , ψ = c jd j , temos φ V = a i × b i , ψ V = c j × d j ; logo, aplicando ((05), § 03.03,I):

φ V .ψ V = ( a i × b i ) .( c j × d j ) =

a i .c j a i .d j = (a i .c j )(b i .d j ) − (b i .c j )(a i .d j ) . b i .c j b i .d j

Aplicando a definição de duplo produto pontuado ao último membro da expressão obtida temos:

φ V .ψ V = (a i b i ) : (c jd j ) − (a i b i ) : (d jc j ) , donde a tese.

II,§ 07.04

§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos.

153

§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. Teor. 1: ∀ φ,ψ gerados do E3:

(φ

× ×

ψ ) V = φ.ψ V + ψ .φ V = ψ V .φ + φ V .ψ ,

(01),

(φ

× ×

ψ ) E = φ E ψ E − (φ.ψ ) E ,

(02).

Temos, de ((01)2,§ 07.01), em relação ao E3, aplicando a fórmula do duplo produto vetorial: (φ ×× ψ ) V = (b i d j a i )c j − (b i d j c j )a i , para i,j=1,2,3. Considerando que

(b i d jc j )a i = (a i b i ).(d j × c j ) = −φ.ψ V e (b i d ja i )c j = c j (d ja i b i ) = (c jd j ).(a i × b i ) = ψ .φ V , temos demonstrado (01)1. Por outro lado poderíamos ainda escrever: (φ

× ×

ψ ) V = (a i c j d j )b i − (a i c j b i )d j , ou

aplicando propriedades:

(φ

× ×

ψ ) V = (c j d j a i )b i − (a i b i c j )d j . Então: (φ

× ×

ψ ) V = ψ V .φ + φ V .ψ ,

o que comprova (01)2. Ainda de ((01)2,§ 07.01), aplicando ((05),§ 03.03,I):

(φ

× ×

ψ ) E = (a i .b i )(c j .d j ) − (c j .b i )(d j .a i ), (i, j = 1,2,3) .

Mas,

(a i .b i )(c j .d j ) = φ E ψ E , e ( c j . b i )( a i . d j ) = [ a i (b i . c j ) d j ] E = [( a i b i ) . ( c j d j )] E = (φ . ψ) E ; logo, comprovamos (02). * Exercício: Comprovar que “o produto pontuado da parte anti-simétrica de um diádico pelo vetor de um outro é o vetor oposto ao produto pontuado da parte anti-simétrica deste pelo vetor do primeiro”, isso é: (φ − φ T ).ψ V + (ψ − ψ T ).φ V = o . * Corol. 1: Tem-se, ∀φ :

1 (φ 2

× ×

(φ

φ) E = ( φ E ) 2 − ( φ 2 ) E

× ×

φ) V = φ.φ V = φ V .φ ,

(021),

fórmulas que se comprovam fazendo φ = ψ em (01) e em (02). Decorre de (021) que φ V .φ = φ V .φ T , mas isso não significa que φ seja simétrico (especialmente porque φV≠o). Mas se φ é simétrico (φ ×× φ) V = o .

Poliádicos - Ruggeri

154

§ 07 – Multiplicações duplas.

Corol. 2: Tem-se:

(φ

× ×

Ι)V = φV ,

(φ

× ×

Ι ) E = 2φ E ,

(022),

fórmulas que se comprovam fazendo-se ψ = Ι em (01) e em (02), e considerando-se que Ι E = 3. Se A = - AT, deduzimos, de ((022)1 e (022)3,§ 07.04):

2( A ×× A )S = A v = 2 A : A , 2

(023).

De (022)2, ou de (021)2 para φ = Ι, tem-se:

( Ι ×× Ι ) E = 6 ,

(024).

§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. Posto que a dupla multiplicação cruzada de dois diádicos é um diádico, caberá uma segunda dupla multiplicação deste com um terceiro diádico, e assim sucessivamente.

Teor. 1:

∀ φ, ψ e χ no E3:

( φ ×× ψ ) T  ( φ ×× ψ ) T

× ×

χ ]T = (φ : χ T ) ψ + (ψ : χ T )φ − φ .χ .ψ − ψ .χ .φ = ( φ ×× ψ ) ×× χ T

× ×

χ = ψ T .[(φ .χ ) ×× Ι ] + φ T .[(ψ .χ ) ×× Ι ],

(01).

Pondo φ = aibi, ψ = cjdj e χ = ekfk, com (i,j,k = 1,2,3), temos:

( φ ×× ψ ) T = (b i × d j )(a i × c j ) e [ ( φ ×× ψ ) T

× ×

χ ]T = [(a i × c j ) × f k ][(b i × d j ) × e k ] .

Desenvolvendo os duplos produtos vetoriais, efetuando os produtos diretos e agrupando convenientemente, escrevemos:

[(φ ×× ψ ) T

× ×

χ ]T = [(f k .a i )c j − (f k .c j )a i ][(e k .b i )d j − (e k .d j )b i ] = = (b i .e k )(a i .f k )(c jd j ) − a i (b i .e k )(f k .c j )d j + + (c j .f k )(d j .e k )(a i b i ) − c j (d j .e k )(f k .a i )b i .

II,§ 07.06

§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos.

155

Ora,

(b i .e k )(a i .f k )(c jd j ) = [(a i b i ).(e k f k )]E ψ = (φ.χ) E ψ = (φ : χ T )ψ i

a i (b . e k )( f . c j ) d = (φ . e k )( f . ψ) = φ . χ . ψ. Desenvolvendo analogamente as duas outras parcelas, comprovamos (01)1, expressão esta que pode, ainda, ser escrita na forma:

( φ ×× ψ ) T

× ×

χ = ψ T .[ −( φ .χ ) T + (φ .χ ) E Ι ] + φ T .[ −( ψ .χ ) T + (ψ .χ ) E Ι ] .

Lembrando agora ((01)2,§ 07.04), encontramos (01)2. Como casos particulares das (01), temos:

1 × T (φ φ) 2 × (φ ×× ψ ) T

× ×

1 × T (φ × φ ) 2

× ×

ψ = φ T .[(φ .ψ ) ×× Ι ] = − φ T .ψ T .φ T + (φ .ψ ) E φ T

Ι = ψ T .(φ ×× Ι ) + φ T .(ψ ×× Ι ) × ×

φ = φ T .(φ 2 ×× Ι ) = −(φ T )3 + (φ 2 ) E φ T

(Ι ×× Ι ) ×× Ι = 4Ι ( φ ×× Ι ) T

× ×

ψ = (φ .ψ ) ×× Ι + φ T .( ψ ×× Ι )

(02).

Dupla multiplicação mista de três diádicos.

Definição: (duplo produto misto) Chama-se duplo produto misto de três diádicos φ, ψ e χ, numa certa ordem, e representa-se por (φψχ), o duplo produto pontuado do primeiro pelo duplo produto cruzado dos dois seguintes:

( φ ψ χ ) = φ : ψ ×× χ ,

(03).

A dupla multiplicação mista de três diádicos é a operação que tem por fim determinar um duplo produto misto qualquer desses diádicos. Se, em representação trinomial,

φ = a iei ,

ψ = b je j

χ = ckek

(i,j,k = 1, 2, 3),

tem-se:

Poliádicos - Ruggeri

156

§ 07 – Multiplicações duplas.

ai . ei

ai .e j

ai .ek

(φ ψ χ ) = ( a i b j c k )( e i e j e k ) = b j . e i

b j.e j

b j .ek ,

c . ei

(031).

c .e j

c .ek

Com base em (031) demonstram-se as seguintes Propriedades.

1ª) – Os símbolos operatórios são comutativos:

∀φ, ψ , χ :

φ : ψ ×× χ = φ

× ×

ψ :χ ,

(04).

Pois, operando no segundo membro de (031), escrevemos:

φ : ψ ×× χ = (a i .b j × c k )(e i .e j × e k ) = [(a i × b j )(e i × e j )] : (c k e k ) , donde, lembrando as definições dos duplos produtos:

φ : ψ ×× χ = [(a i e i ) ×× (b je j )] : (c k e k ) , resultando, logo, a tese.

2ª) – Um duplo produto misto não se altera quando se permutam os diádicos que o compõem:

φ : ψ ×× χ = ψ : χ ×× φ = χ : φ ×× ψ = ( χ ψ φ ) = ... ,

(05).

Pois os duplos produtos são comutativos, isso é,

φ : ψ ×× χ = φ : χ ×× ψ = χ ×× ψ : φ = ... 3ª) – Se os três diádicos de um duplo produto misto são iguais, esse duplo produto é igual a 6 vezes o seu terceiro:

φ :φ

× ×

φ = 6 φ3 ,

(06).

Pois teríamos de (031): (φ φ φ ) = ( a i b jc k )( e i e je k ) , donde, aplicando (05) e (051), § 04.02, I: (φ φ φ ) = ε ijk ε ijk ( a 1a 2 a 3 )( e1e 2 e 3 ) . Conforme ((071)3,§ 04.02,I), o produto dos permutadores vale 6 e o produto dos produtos mistos vale φ3; isto conclui a comprovação de (06). *

II,§ 07.06

§ 07.06 - Multiplicação dupla com mais de dois diádicos.

157

Exercícios: 1°) - É nulo o duplo produto misto dos diádicos de uma dupla de Pauly (§07.02) por qualquer um dos diádicos da família a eles associada:

Pau( φ, ψ )

⇒

φ ×× ψ : Homφ X = φ ×× ψ : Homψ1/X = ... = 0 .

Pois temos, por exemplo, aplicando a propr. 2ª),

φ ×× ψ : Homφ X = Homφ X

× ×

φ : ψ = ψ ×× Homφ X : φ .

Agora, lembrando o Teor. 2, §07.02, concluímos a tese. 2°) - A CNS para que um duplo produto misto de três diádicos seja nulo é que um deles seja ortogonal ao duplo produto cruzado dos outros dois. É evidente a demonstração em face da definição de diádicos ortogonais (§ 07.02). 3°) - Comprovar que:

∀φ , ψ, χ:

(φ ψ χ ) = φ E ψ E χ E + (χ . φ . ψ) E + (χ . ψ. φ ) E − − φ E (ψ. χ ) E − ψ E (φ . χ ) E − χ E (φ . ψ) E .

Com base nessa fórmula: a) - pondo

φ2 =

1 × φ φ, 2 ×

K1 = φ E ,

K2 =

1 2 φ 2 E

K3 =

1 3 φ 3 E

comprovar também que

K2 =

1 2 (φ E − 2φ 2E ) 2

K3 =

1 (φ 3 − 3φ E φ 2E + 3φ 3 ) . 3 E

b) - comprovar ainda, que: 1°) – ( φ ψ χ ) = [(ψ ×× Ι ) . ( φ ×× Ι ) . χ ]E − (φ . ψ ) ×× Ι : χ . 2°) – ∀φ, ψ , α , β : φ ×× ψ : α ×× β = ( φ : α )(ψ : β ) + (φ : β)(ψ : α ) − − (φ . α T ) : (β . ψ T ) − (φ . β T ) : (α . ψ T ).

3°) - ∀φ, ψ , α , β :

φ ×× ψ : ( α ×× β ) T = {[(φ .α ) ×× (ψ .β)] + [(φ .β) ×× ( ψ .α )]}E .

4°) - Se ψ 3 ≠ 0, φ ×× ψ : φ = 0 ⇔ φ 3 = 0 ou φ : φ P = 0 , pois φ ×× ψ : φ = 2φ 3φ : ψ P . 5°) - Se ψ 3 ≠ 0, φ ×× ψ : φ = 0 ⇔ φ 3 = 0 ou φ : ψ P = 0 , pois φ ×× ψ : φ = 2 φ 3φ : ψ P . *

Poliádicos - Ruggeri

158

§ 07 - Duplas multiplicações.

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos60. Definição: (norma) Denominaremos norma de um diádico φ, e a representaremos por ||φ ||, o duplo produto pontuado desse diádico por si próprio:

|| φ || = φ : φ ,

(01).

Sendo um invariante um duplo produto pontuado (§07.03), concluímos que a norma de um diádico é mais um de seus invariantes. Resulta logo de (02),§ 07.01 que podemos também escrever:

φ = (φ.φ T ) E = (φ T .φ) E ,

(011).

Considerando (021), § 07.01 e (05), § 07.04 deduzimos logo, também:

∀ φ:

|| φ || = (φ V ) 2 + (φ 2 ) E ,

(012).

* Exercício: Uma CNS para que um diádico seja simétrico é que a sua norma seja igual ao escalar do seu quadrado. *

Teor. 1: A norma de todo diádico não nulo é um número positivo: ∀φ ≠ Ο :

φ :φ > 0 ,

(02)61.

Se φ é um diádico linear (logo não nulo) a proposição é evidente, pois

φ = mn ⇒ φ : φ = ( mn ) : ( mn ) = m 2 n 2 > 0 . Se φ é um diádico planar (não nulo) podemos escrevê-lo na forma binomial genérica φ = ax + by em que a não é paralelo a b nem x paralelo a y. Então,

φ : φ = a 2x2 + b2 y2 + 2(a.b)(x. y) .

60Esses conceitos são aqui apresentados pela primeira vez na teoria dos diádicos. 61 Na linguagem da Álgebra Linear dizemos que "o espaço vetorial dos diádicos munido da operação de dupla multiplicação escalar como a multiplicação escalar de dois de seus vetores é um espaço euclidiano".

II,§ 07.07

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos.

159

Os módulos dos antecedentes e dos conseqüentes do diádico são arbitrários, podendo-se considerar | a|| x| ≠| b|| y| . Nesse caso, sendo

(| a|| x|−| b|| y|) 2 > 0, ou , a 2 x 2 + b 2 y 2 > 2| a|| x|| b|| y| , com mais forte razão é

a 2 x 2 + b 2 y 2 > −2| a || b|| x|| y| cos( a , b )cos( x, y) = −2 ( a.b )( x. y) porque o primeiro membro é maior que o maior valor possível do segundo membro. Logo, φ : φ > 0. Se, entretanto, for | a|| x| =| b|| y| , escreveremos:

$$) $ $ + by φ = K 2 ( ax

(K 2 =| a|| x|)

φ : φ = 2 K 4 [1 + cos ( a , b )cos( x, y)] .

Ora, o produto dos co-senos é maior que -1 porque por hipótese o diádico é planar. Logo φ : φ > 0. Suponhamos agora que o diádico seja completo e escrito na forma φ = ax ′ + by ′ + cz′ com (abc) ≠ 0 e (x'y'z') ≠ 0. Pelo Teor. 5, § 07.02 podemos sempre escrever esse diádico como uma soma de um planar ax+by e um linear nz perpendiculares. Então,

φ : φ = ( ax + by) : ( ax + by) + n 2 z 2 já que (ax+by):nz = 0. Como a primeira parcela do segundo membro é um número positivo – porque (ax+by) é um diádico planar – resulta φ : φ > 0 .

Corol. 1: Apenas o diádico nulo é ortogonal a si próprio: φ=Ο

⇔

φ :φ = 0 ,

(021).

Corol. 2: As normas dos diádicos unidade e nulo são, respectivamente, 3 e 0:

|| Ι ||= 3,

|| Ο ||= 0 ,

(022).

Teor. 2: (desigualdade de Schwarz) O quadrado do duplo produto pontuado de dois diádicos é sempre menor que o produto de suas normas:

∀φ , ψ :

(φ : ψ) 2 <|| φ || || ψ|| ,

(03).

Seja o diádico γ = φ + Xψ onde φ e ψ são diádicos quaisquer. Tem-se:

γ : γ = φ : φ + 2(φ : ψ) X + ( ψ : ψ) X 2 .

Poliádicos - Ruggeri

160

§ 07 - Duplas multiplicações.

Lembrando (01) e o Teor. 1, deve ser

|| ψ || X 2 + 2(φ : ψ) X + || φ || > 0 ; e para tal o discriminante dessa inequação deve ser negativo porque o coeficiente de X2 é positivo. Então, (φ : ψ) 2 −|| φ || || ψ|| < 0 , donde a tese.

De (03), considerando que as normas são números positivos, deduzimos:

−1 ≤

φ :ψ + || φ || || ψ||

≤ 1,

(031),

isso é,

existe um ângulo definido por dois diádicos φ e ψ cujo co-seno vale o duplo produto pontuado deles dividido pelo produto das raízes quadradas positivas das suas normas. Assim, podemos escrever:

φ : ψ = || φ ||

|| ψ|| cos (φ , ψ) ,

(032).

Definições: (módulo e ângulo) À raiz quadrada positiva da norma de um diádico φ denominaremos módulo desse diádico, e o representaremos por |φ| ou mod φ:

∀φ :

| φ | = mod φ = + || φ || ,

(03).

O ângulo (φ,ψ), definido por φ e por ψ, que satisfaz (032), será denominado ângulo dos diádicos φ e ψ. Escrevemos então, finalmente:

φ : ψ =| φ || ψ | cos (φ , ψ) ,

(04),

expressão que apresenta espetacular analogia com a expressão do produto escalar (pontuado) de dois vetores; voltaremos a esse assunto no § 16. A introdução de uma representação gráfica será feita no §10.03. Tem-se logo, então, de (022): Ι = mod Ι =

* II,§ 07.07

Ο = mod Ο = 0 ,

(041).

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos.

161

Exercício: Consideremos os diádicos Π ( tt∗ ) = 2 tt ∗ − Ι e Π ( ss∗ ) = 2ss ∗ − Ι com t. t ∗ = 1 = s. s ∗ e |t|=|s|. Seja α ≅ 19 o 28' . Então: 1) - Se s.t = 0 (ou s ∗ .t ∗ = 0 ), o ângulo dos diádicos não pode assumir valores superiores a 90o − α nem inferiores a 90o + α ; 2) - Se s.t ∗ = 0 (ou

s ∗ .t = 0 ) o ângulo dos diádicos não pode assumir valores inferiores a 90o − α nem superiores a 90o + α . * Teor. 3: (norma do produto de um número real por um diádico)

∀ K, φ:

|| Kφ || = K 2 || φ || , logo | Kφ | = + K| φ | ,

(05).

Com efeito, pois Kφ : Kφ = K 2 φ : φ .

Teor. 4: A norma e o módulo de um diádico são respectivamente iguais à norma e ao módulo do seu transposto ou do oposto do seu transposto:

∀ φ:

|| φ || = || ± φ T || = || φ T ||,

logo, | φ | = | ± φ T | = | φ T |,

(06).

Pois, conforme ((16), § 07.01), φ : φ = φ T : φ T .

Teor. 5: Norma e módulo de um diádico anti-simétrico:

∀ Α = −Α T :

Α =

1 (Α V ) 2 2

Α =

2 | Α V |, 2

(07).

Com efeito, é o que se deduz imediatamente de (022), § 07.04.

Teor. 6: (norma de uma soma) A norma de uma soma de diádicos é igual à soma de suas normas com os duplos dos seus duplos produtos pontuados dois a dois:

∀ α , β , ... :

|| α + β + γ ...|| = || α || + || β || + || γ || + ... + 2(α : β ) + 2(α : γ ) + ... + 2 ( β : γ ) + ... ,

(08).

Para uma soma de dois diádicos, por exemplo, temos:

∀ α, β : isso é,

|| α + β || = (α + β ) : (α + β ) = (α : α ) + 2 (α : β ) + ( β : β ) , ∀ α, β :

|| α + β || = || α|| + 2(α : β ) + || β|| ,

(081).

Por indução completa podemos facilmente comprovar (08). * Exercício: Comprove que |α α+β β |<|α α|+|β β |, mas ||α α+β β ||<||α α||+||β β || se o ângulo de α com β é agudo e ||α α+β β ||>||α α||+||β β || se o ângulo de α com β é obtuso. *

Poliádicos - Ruggeri

162

§ 07 - Duplas multiplicações.

Corol. 1: (norma de uma combinação linear)

∀ α , β , ..., A, B, ... :

|| Aα + Bβ + Cγ ... || = A 2 || α || + B 2 || β || + C 2 || γ || + ... +

+2 AB(α : β ) + 2 AC(α : γ ) + ... + 2BC( β : γ ) + ... ,

(082).

Notas: 1 – O desenvolvimento da norma de uma soma pode ser entendido como um "quadrado simbólico da soma", isso é, pela expressão clássica do desenvolvimento do quadrado de uma soma de números onde se troquem números por diádicos e produtos (de números) por duplos produtos pontuados (de diádicos). Assim, || α + β ||= ((α + β )) 2 . 2 – Mostraremos no §09.06,IV (esboço da geometria do espaço diádico) que a fórmula (081) tem por corresponde a fórmula de Carnot da Trigonometria Plana clássica (no espaço dos vetores).

Teor. 7: (norma de um produto pontuado de diádicos) A norma de um produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto pontuado do produto simétrico direito do multiplicando pelo produto simétrico esquerdo do multiplicador:

∀ φ , ψ:

|| φ . ψ || = (φ T . φ ) : ( ψ . ψ T ) ,

(09).

Aplicando a definição e (02), § 07.01 temos:

|| φ . ψ || = (φ . ψ) : (φ . ψ) = [φ . ψ . (φ . ψ) T ] E = (φ . ψ . ψ T . φ T ) E . Agora, aplicando (08), § 07.01 ao último membro considerando-se φT como um dos fatores, e depois reaplicando (02), § 07.01 temos, finalmente:

|| φ . ψ || = (φ T . φ . ψ. ψ T ) E = (φ T . φ ) : ( ψ. ψ T ) . Corol. 1: (norma de duplo produto pontuado de diádicos simétricos ou anti-simétricos)

∀ φ = ± φ T , ψ = ± ψT :

|| φ : ψ || = φ 2 : ψ 2 ,

(091).

Teor. 8: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos)

∀ φ , ψ : || φ

× ×

ψ || = || φ || || ψ || + ( φ : ψ ) 2 − || φ T . ψ || − || ψ . φ T || ,

Aplicando propriedade do duplo produto misto de três diádicos, escrevemos:

|| φ ×× ψ || = (φ ×× ψ ) : (φ ×× ψ ) = (φ ×× ψ ) ×× φ : ψ . Fazendo χ T = φ em (01), § 07.06 obtemos:

(φ ×× ψ ) ×× φ = || φ || ψ + (ψ : φ )φ − φ .φ T .ψ − ψ .φ T .φ . II,§ 07.07

(10).

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos.

163

Então,

|| φ

× ×

ψ || = || φ || || ψ || + (ψ : φ ) 2 − (φ .φ T .ψ ) : ψ − (ψ .φ T .φ ) : ψ .

Mas aplicando ((02),§07.01) duas vezes seguidamente, podemos escrever a terceira parcela na forma

(φ . φ T . ψ) : ψ = (φ . φ T . ψ. ψ T ) E = (φ . φ T ) : ( ψ. ψ T ) , donde, lembrando (09), (φ . φ T . ψ) : ψ = || φ T . ψ ||. Operando analogamente com a última parcela comprovamos (10).

Corol. 1: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos simétricos)

∀ φ = φT , ψ = ψ T :

|| φ

× ×

ψ || = || φ || || ψ || + ( φ : ψ ) 2 − 2 || φ . ψ || ,

(101).

Exercícios: Comprovar que ∀ φ, ∀ Α = − Α T , ∀ Β = −Β T :

2 || φ 2 || = || φ

1 || φ ×× φ || =|| φ || 2 − || φ 2 || 2 × ×

Ι || = 7 || φ || + (φ S ) 2 ,

1 || Α ×× Β ||= [( Α V ) 2 (Β V ) 2 + ( Α V .Β V ) 2 ] , 8

(11); (111); (112).

Teor. 9: O ângulo de dois diádicos é igual ao ângulo de diádicos que lhes sejam paralelos:

∀ φ , ψ, K, M:

(φ , ψ) = ( Kφ , Mψ) ,

(12).

Com efeito, pois considerando (04) e (05), escrevemos:

cos (φ , ψ) =

φ :ψ KMφ : ψ (Kφ ) : ( Mψ) = = = cos (Kφ , Mψ) . |φ | | ψ | KM| φ | | ψ | | Kφ | | Mψ |

Teor. 10: (Co-seno do ângulo de um diádico com o seu transposto)

∀φ:

cos ( φ ,φ T ) =

(φ 2 ) E φ : φ T = , | φ| φ:φ

(13).

Poliádicos - Ruggeri

164

§ 07 - Duplas multiplicações.

Pois, de (01) e (021), § 07.01 deduzimos:

cos (φ , φ T ) =

(φ 2 ) E (φ 2 ) E φ : φT = = . || φ || |φ | |φ T | | φ |2

Se φ 2E = 0 então φ é perpendicular a φT. Reciprocamente, se φ é perpendicular a φT,

φ:φ T = 0 , ou seja, relembrando (021), § 07.01, φ 2E = 0 . Logo: Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que seja nulo o escalar do seu quadrado. Considerando (012) comprovamos também que

Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que o módulo desse diádico seja igual ao módulo do seu vetor. Teor. 11: (Co-seno do ângulo de um diádico com o diádico unidade) ∀φ:

cos ( φ , Ι ) =

3 φE , 3 |φ |

Pois temos, sem delongas, lembrando ((01)1,§07.04): cos (φ , Ι ) =

(14).

φE φ :Ι ; = | φ| | Ι| 3 |φ|

racionalizando, encontramos (14).

Corol. 1: Todos os diádicos de escalar nulo são ortogonais ao diádico unidade. Teor. 12: O ângulo de dois diádicos anti-simétricos é igual ao ângulo dos seus vetores:

∀Α = − Α T , Β = − Β T :

( Α , Β) = ( Α V , Β V ) ,

(15).

Lembrando (07) e (021)3, § 07.04, podemos escrever:

1 Α .Β Α :Β 2 V V cos ( Α, Β) = = = cos ( Α V , Β V ) , ΑΒ 1 | Α || Β | 2 V V donde, então, a igualdade dos ângulos.

Corol. 1: A CNS para que dois diádicos anti-simétricos sejam ortogonais é que os seus vetores o sejam.

II,§ 07.07

§ 08.01 - Definições e principais propriedades.

165

§ 08 – SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL. § 08.01 – Definições e principais propriedades. Denotemos por φ ~ o diádico

φ~ =

1 (φ 2 1 (φ 2

× ×

φ ) T , isso é, ponhamos:

φ) T =

1 T φ 2

× ×

φT

(01),

e procuremos, no E3, uma redução trinomial para φ ~ , a partir de uma redução trinomial de φ, φ = aibi, com (a1a2a3)≠0. Desenvolvendo os produtos vetoriais dos conseqüentes (independentes) de φ ~ , escrevemos, lembrando ((04)1,§ 04.02,I):

φ ~ = 1 (a1a 2 a 3 ) ε ijk (b i × b j )a k 2

(i, j, k = 1,2,3).

Pondo

1 (a a a )ε (b i × b j ) = b′k , 2 1 2 3 ijk

(02),

resulta a redução trinomial de φ ~ :

φ = b ′k a , ~

(03).

Se os conseqüentes de φ forem independentes, e nesse caso φ será completo, φ3 = (a1a2a3)(b1b2b3)≠0 e φ ~ também será completo. Com efeito, temos, efetuando os produtos vetoriais na expressão de b'k, considerando mais uma vez ((04)1,§ 04.02,I) e ((071)2,§ 04.02,I):

b ′k = 1 (a1a 2 a 3 )ε ijk ε ijr (b 1b 2 b 3 )b r = ( 1 )2δ k r φ 3b r , 2 2 isso é:

b ′k = φ 3b k ,

(04).

Então, os antecedentes de φ ~ , sendo paralelos aos recíprocos dos conseqüentes de φ, são necessariamente independentes; logo, φ ~3 ≠ 0 e φ ~ é completo. Ora, então, uma vez que

φ ~ = φ 3 (b k a k ),

(05),

deduzimos, lembrando propriedade do terceiro de um diádico ((06),§ 02.08):

φ ~3 = (φ 3 ) 3 (b k a k ) 3 = (φ 3 ) 3 (b 1b 2 b 3 )( a 1a 2 a 3 ), isso é:

φ ~3 = (φ 3 ) 2 ,

(06).

Poliádicos - Ruggeri

166

§ 08 - Segundo e Adjunto. Inverso e Principal.

A propriedade (06) e a lembrança da teoria dos determinantes justificam a seguinte

Definição: (adjunto) Chama-se adjunto de φ ao diádico φ ~ dado por (03). De (06) concluímos logo:

"Um diádico é completo ou incompleto conforme o seu adjunto seja, respectivamente, completo ou incompleto; e reciprocamente". Segundo (05), o adjunto do diádico φ = aibi difere do diádico completo bkak apenas pelo fator φ3; ademais,

1 φ3

φ . φ ~ = φ . (b k a k ) = ( a i b i ) . ( b k a k ) = a i δ k i a = a i a = Ι ,

(b k a k ) 3 = (b 1b 2 b 3 )(a1a 2 a 3 ) =

1 = 1 = φ 3 −1 , [(a1a 2 a 3 )(b 1b 2 b 3 )] φ 3

(07).

Definição: (inverso) Estas igualdades sugerem representar o diádico bkak, completo e único, por φ-1 e denominar-lhe diádico inverso ou recíproco de φ=ακ.bk. Das (07) deduzimos, ainda:

φ 3 ≠ 0, φ = a i b i

⇔

φ −1 = b i a i , φ.φ

−1

(φ −1 ) 3 = φ 3 −1 ≠ 0,

−1

= φ . φ = Ι,

(08), (09),

φ ~ = φ 3φ −1 ,

(10),

φ ~ . φ = φ . φ ~ = φ 3Ι,

(11).

De (08) deduzimos a seguinte regra:

"Dado um diádico (completo) φ em forma trinomial, o seu inverso (em forma trinomial) obtém-se do seu transposto onde se substituam os seus antecedentes e conseqüentes pelos seus correspondentes vetores recíprocos". Quando φ é completo, a regra enunciada e a fórmula (10) permitem estabelecer a redução trinomial de φ ~ . Dado um diádico φ, o seu inverso, dado por (08) e satisfazendo a (09), só é determinável se φ é completo; a inversão diádica é a operação que tem por fim determinar o inverso de um diádico, sendo unívoca quando possível. O adjunto de um diádico, entretanto, existirá sempre, único, completo, planar, linear, determinável por (02) e (03), satisfazendo, ainda, (10) ou (11) quando o diádico é completo.

II,§ 08.01

§ 08.01 - Definições e principais propriedades.

167

Faremos oportunamente (§ 09) uma associação da teoria dos diádicos com a teoria das matrizes no E3. A definição (01) é interessante porque a fórmula (11) tem uma isomórfica matricial. No entender de Gibbs, entretanto, esse diádico cede lugar a um outro, que introduziu com a seguinte

Definição: (segundo de um diádico) Chama-se segundo de um diádico qualquer, φ, e representa-se por φ2, a metade do seu duplo produto cruzado por si próprio:

φ2 =

1 φ 2

× ×

φ,

(12).

É evidente, então, que

φ2 = φ~ T,

(13),

φ 2 . φ T = φ T . φ 2 = φ 3Ι ,

(14),

φ : φ 2 = 3φ 3 = φ T : φ ~ ,

(15).

e Então, podemos enunciar:

O triplo do terceiro de um diádico é igual ao duplo produto pontuado desse diádico pelo seu segundo, ou do seu transposto pelo seu adjunto, donde concluirmos, também, que:

A CNS para que um diádico seja incompleto é que ele seja ortogonal ao seu segundo. * Exercício 1: (segundo e terceiro de uma soma de vários diádicos) Tem-se: ∀ A, B, C, φ, ψ, η :

(Aφ + Bψ + Cη) 2 = A 2 φ 2 + B 2 ψ 2 + Cη 2 + ABφ ×× ψ + BCψ ×× η + CAη×× φ (Aφ + Bψ + Cη) 3 = A 3φ 3 + B 3 ψ 3 + C 3 η3 + + AB 2 φ : ψ 2 + AC 2 φ : η 2 + BA 2 ψ : φ 2 + BC 2 ψ : η 2 + CA 2 η : φ 2 + CB 2 η : ψ 2 + + ABC(φψη) Estas fórmulas podem ser deduzidas facilmente por recorrência a fórmulas com duas parcelas dentro dos parênteses; a generalização delas é imediata. *

Poliádicos - Ruggeri

168

§ 08 - Segundo e Adjunto. Inverso e Principal.

Conforme mostrou Moreira (1966) – e entendeu isso como o principal, especialmente por sua utilidade prática – entre os diádicos completos deve-se distinguir um outro, que introduziu com a seguinte

Definição: (principal de um completo) Dado um completo, φ, em redução N-nomial, chama-se principal desse diádico, e representa-se por φP, o diádico que dele se obtém substituindo-se os seus antecedentes e conseqüentes pelos correspondentes recíprocos. Assim, i

φ = eia , φ 3 ≠ 0

⇒

φP = e a j,

(i, j = 1,2, ..., N) ,

(16),

φ . (φ P ) T = e i ( a i . a j ) e j = e i δ i j e j = e i e i = Ι (φ P ) T . φ = a i ( e i . e j ) a j = a i δ i j a j = a i a i = Ι . Sendo, ainda,

φ PP = φ

(φ P ) T = a j e j = (φ T ) P ,

concluímos, em resumo:

(φ P ) T = (φ T ) P ≡ φ PT = φ TP = φ −1, donde φ T = φ −1P

(17).

Então, transpondo ambos os membros de (10) e considerando (17), temos:

φ 2 = φ 3φ P ,

(18).

Multiplicando dupla e pontualmente ambos os membros de (18) por φ, considerando (15), temos: φ : φ P = 3, (19). Concluímos:

1°) – O segundo de um diádico é igual ao produto do seu terceiro pelo seu principal; 2°) – É igual a três o duplo produto pontuado de um diádico pelo seu principal. * Exercício 2: Demonstrar que

∀φ, ψ , com φ 3 ≠ 0 and ψ 3 ≠ 0 : 1) -

( φ ×× ψ ) 3 = φ 3ψ 3 [(φ : ψ P )(φ P : ψ ) − 1]

2) -

(φ 2 ) 3 = ( φ3 ) 2 = (φ 2 ) 3

3) - φ V .φ .φ V = φ 3 (3 − φ P : φ T ) = −2φ ~ : φ ant = 4φ sim : φ ant2 4) - (φ ×× ψ) 2 = (φ : ψ 2)φ + (ψ : φ 2)ψ − II,§ 08.01

1 1 φ . (φ ×× ψ)T . ψ − ψ . (φ ×× ψ)T . φ 2 2

§ 08.01 - Definições e principais propriedades.

169

* Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).

Teor. 1: Uma CNS para que um diádico seja incompleto é que o seu produto pontuado pelo seu adjunto, em qualquer ordem, seja o diádico nulo:

φ 3 = 0 ⇔ φ.φ ~ = φ ~ .φ = Ο ,

(20).

O teorema direto é evidente em face de (11). Reciprocamente, se φ.φ ~ = φ ~ .φ = Ο então, por (11), φ3Ι =Ο Ο, ou, ainda, conforme (04), § 02.09, II, φ3 = 0 e φ é incompleto.

Teor. 2: Se um diádico é linear, o seu terceiro e o seu adjunto são nulos. Com efeito, porque os antecedentes (conseqüentes) desse diádico, sendo todos paralelos, implicarão que seu terceiro seja nulo e que seu adjunto, tendo por conseqüentes (antecedentes) vetores nulos, seja o diádico nulo.

Corol. 1: As CsNsSs para que um diádico seja planar são que seu terceiro seja nulo e seu adjunto linear:

φ 3 = 0  φ planar ⇔  ~ 1 φ = 2 (φ 

× ×

φ) T linear.

A condição é necessária porque se φ = aibi (com (a1a2a3)≠0) é planar, os seus conseqüentes, bi , são dependentes de um de seus planos e seu terceiro é nulo. Além disso, pelo menos dois dos seus conseqüentes não são colineares (φ φ é planar, Fig.08.01), isso é, todos os antecedentes do seu adjunto (dados por (02)) são paralelos (ao menos um é não nulo); então φ ~ é linear.

Imagens possíveis dos conseqüentes do diádico planar φ = aibi com (a1a2a3)≠0, e dos antecedentes do seu adjunto: quando os três bi são não colineares (Fig.(a)), e quando dois dos bi são colineares (Fig (b)). Fig.08.01

Poliádicos - Ruggeri

170

§ 08 - Segundo e Adjunto. Inverso e Principal.

A condição é suficiente porque se o diádico φ tem terceiro nulo, seus conseqüentes, bi, são necessariamente coplanares, isso é, φ é planar ou linear. Mas, pelo Teor.2, φ não pode ser linear porque teria adjunto nulo e contrariaria a hipótese (o adjunto deve ser linear).

Corol. 2: As CsNsSs para que um diádico seja linear são que seu terceiro e o seu adjunto sejam nulos. As condições são necessárias pelo Teor.2. As condições são suficientes porque se φ tem terceiro nulo ele é planar ou linear; mas tendo adjunto nulo, ele não pode ser planar (corolário anterior); logo, deve ser linear.

Corol. 3: O adjunto de um diádico anti-simétrico é unilinear e seu escalar, sempre positivo, vale o quadrado da metade do módulo do seu vetor. Pois, considerando ((022)1,§ 07.04) e (01), temos: ~

A =

1 4

AVAV ,

(21),

donde,

1 ~ 2 A E = ( A V ) > 0, 2 Exercício: Comprovar que:

(211).

∀a : (ΙΙ × a) ~ = aa .

Corol. 4: As CsNsSs para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) são que ele seja planar e seu adjunto seja ortolinear (unilinear). Para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) ele deve ser necessariamente planar; logo, deve ter adjunto linear (Corol. 1). Mas, como os planos dos seus conseqüentes e antecedentes são ortogonais (paralelos), o antecedente e o conseqüente do seu adjunto são ortogonais (paralelos), isso é, esse adjunto é ortolinear (unilinear). Reciprocamente, se um diádico é planar e tem adjunto ortolinear (unilinear), os antecedentes e os conseqüentes desse diádico devem ser necessariamente de planos ortogonais (paralelos), isso é, esse diádico é ortoplanar (uniplanar).

Teor. 3:

∀φ:

(φ

× ×

Ι ) ~ = φ 2 + φ E φ T , ou

(φ

× ×

Com efeito, colocando ((01)2,§ 07.04) na forma φ T ((15), ,§ 07.02), vem:

(φ

II,§ 08.01

× ×

Ι )2 = φ~ + φEφ × ×

(22).

Ι = −φ + φ E Ι e lembrando

1 Ι )~= ( − φ + φ E Ι )~= ( −φ + φ E Ι ) ×× ( −φ + φ E Ι ) . 2

§ 08.03 - Propriedades formais.

171

Operando, reaplicando (132) e as fórmulas citadas, e simplificando, encontramos, facilmente, (22)1. A fórmula (222) pode ser obtida de (221) por transposição. * Exercício 3: 1) - ∀φ : (φ ×× Ι )3 = φ Eφ 2E − φ3 . Então: [(Ι × a) ×× Ι ] = Ο . Comprove esse resultado a partir de (22), considerando o exercício 1, bem como a parte 1) do exercício 2. 2) – Demonstre que se φ 3 ≠ 0 , a CNS para que φ ×× Ι seja incompleto é que φ 2E = 1. *

§ 08.02 - Invariância e invariantes. Visto que as duplas multiplicações são operações invariantes (§ 07.03), concluímos de ((01) e (10),§ 08.01) que o adjunto e o inverso de um diádico e por conseqüência, o segundo e o principal, são outros invariantes desse mesmo diádico. Os invariantes elementares do adjunto, do inverso, do segundo e do principal de um diádico podem ser expressos diretamente em função dos invariantes elementares desse diádico. Além das expressões ((06) e (08)2,§ 08.01), temos, também: ×

φ ~E = 1 [(φ E ) 2 − (φ 2 ) E ] = φ 2E , 2

φ~V = φT.φV = (φ~× Ι)V = −φ2V = φV.φ ,

(01),

φ −V1 =

1 φ3

φ −E1 =

φ ~V = −φ P V ,

1 φ3

φ ~E = φ P E ,

(02).

De ((021),§ 07.05) e de ((13),§ 08.01) obtêm-se imediatamente as fórmulas (01); as (02) são óbvias em vista de ((10),§ 08.01).

§ 08.03 - Propriedades formais. Teor. 1: O adjunto (segundo) de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto pontuado dos adjuntos (segundo) desses diádicos multiplicados em ordem inversa (na mesma ordem): ~

(φ . ψ. χ . ...) = ... χ . ψ . φ ,

(01),

(φ.ψ.χ....) 2 = φ 2 .ψ 2 .χ 2 .... ,

(01)1.

Se os diádicos são todos completos, a mesma propriedade é válida para a inversão:

(φ . ψ. χ . ...)

−1

=.... χ . ψ . φ ,

(02).

Com efeito, pondo φ = aiei e ψ = ejbj temos φ.ψ ψ = aibi; logo, aplicando a definição ((01),§ 08.01), deduzimos:

1 (φ.ψ)~= [(a i b i ) 2

× ×

(a j b j )] T =

1 (b i × b j )(a i × a j ) . 2

Poliádicos - Ruggeri

172

§ 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

Mais uma vez aplicando a definição, escrevemos:

ψ ~ = 1 (b j × b k )(e j × e k ) e φ ~ = 1 (e i × e m )(a i × a m ). 2 2 Então,

ψ ~ .φ ~ =

1 (b j × b k )(e j × e k ).(ei × e m )(ai × a m ). 4

Lembrando ((05),§ 03.03,I) e efetuando as somas, escrevemos: ~

ψ .φ =

1 j k j k (b j × b k )(δ i δ m − δ m δ i )(a i × a m ) = 4 1 = [(b i × b m )(ai × a m ) − (b m × b i )(ai × a m )] 4

ou, ainda, finalmente

1 (b i × b m )(a i × a m ) = (φ.ψ ) ~ 2

ψ ~ .φ ~ =

Se os diádicos são completos podemos escrever para dois quaisquer deles, usando ((10),§ 08.01): 1 (φ . ψ) −1 = (φ . ψ ) ~ . (φ . ψ) 3 De (01) e de ((04),§ 05.03) deduzimos então, facilmente, agrupando convenientemente:

(φ . ψ) −1 =

ψ~ φ ~ . , ψ3 φ 3

donde, relembrando ((10),§ 08.01):

(φ . ψ)

−1

= ψ .φ .

A generalização desses resultados para mais de dois diádicos é imediata. A demonstração para o caso do segundo é imediata uma vez que o transposto de um produto é igual ao produto dos transpostos em ordem inversa (§05.03, Teor. 1).

Corol. 1: O escalar do adjunto de um produto de diádicos é igual ao escalar do adjunto do produto desses diádicos em ordem inversa: ~

(φ . ψ) E = ( ψ. φ ) E ,

(011).

Pois de (01), lembrando ((08),§ 07.01), deduzimos: ~

(φ . ψ) E = ( ψ . φ ) E = (φ . ψ ) E = ( ψ. φ ) E = ( ψ. φ ) E .

II,§ 08.03

§ 08.03 - Propriedades formais.

173

Corol. 2: O adjunto da P-ésima potência de um diádico é igual à P-ésima potência do adjunto desse diádico: P ~

~ P

(φ ) = (φ ) ,

(012).

Se o diádico é completo, P −1

−1 P

(φ )

= (φ ) ,

(021).

Para simplicidade da notação e sem perigo de erros, poremos: −1 P

(φ ) = φ

−P

=φ

Decorre imediatamente de (012) que

φ e de (021):

−P

.φ

φ .φ

−Q

P Q

(φ ) (φ

− (P+Q)

P−Q

=φ

−P Q

)

=φ

−1 P − Q

(φ )

~ P+Q

= (φ )

=φ

) ,

(013),

, Q P

= (φ ) = φ

− PQ

P+Q ~

Q− P

= (φ

(022).

Teor. 2: ∀ X,

(Xφ ) ~ = X2φ ~

(Xφ )2 = X2 φ 2

(03);

(Xφ ) P = X−1 φ P

(04).

e se φ é completo e X≠0:

(Xφ )−1 = X−1 φ −1

Com efeito, pois considerando ((11),§ 07.01) temos:

(Xφ ) ~ =

1 2 × 1 (X φ × φ ) = X 2 (φ ×× φ ) = X 2 φ ~ 2 2 −1

Se φ é completo podemos escrever: (Xφ ) . (Xφ ) = Ι , de onde, pós multiplicando ambos os membros por X-1φ-1, agrupando e simplificando, deduzimos (04). Por simples transposição podemos demonstrar as demais fórmulas.

Corol. 1:

(Xφ −1) P = X−1 φ T

(041).

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174

§ 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

Teor. 3:(Adjunto do adjunto e inverso do inverso de φ com φ3≠0).

φ ~~ = φ 3 φ = (φ 2 ) 2

(05),

( φ −1 ) −1 = φ ,

(06).

Substituindo em ((11),§ 08.01) φ por φ ~ , temos: φ ~ . φ ~~ = φ ~3 Ι , donde, prémultiplicando ambos os membros por φ, reconsiderando ((11),§ 08.01) e lembrando ((06),§ 08.01):

φ 3 Ι . φ ~~ = (φ 3 ) 2 φ . Logo, dividindo ambos os membros por φ3≠0, encontramos os dois primeiros membros de (05). Analogamente comprovamos o terceiro membro. Similarmente, trocando em ((09),§ 08.01) φ por φ-1 e em seguida pré ou pósmultiplicando ambos os membros por φ ou φ-1, encontramos, logo, (06).

Corol. 1: (inverso e principal do adjunto)

φ (φ ~ )−1 = = (φ −1) ~ , φ3

(φ ~ ) P = (φ P ) ~ ,

(07).

Com efeito, se tomarmos o inverso e depois o adjunto de ambos os membros de ((10),§ 08.01) e considerarmos (04) e (05), comprovaremos (07)1. Por transposição de (07)1 obtemos (07)2.

Teor. 4: O adjunto e o inverso do diádico unidade são o próprio diádico unidade: ~

Ι =Ι

−1

= Ι,

(08).

Com efeito, de ((11),§ 08.01) temos: ~

Ι . Ι = Ι . Ι = Ι =| Ι | Ι = 1Ι = Ι ; e de ((10),§ 08.01):

Ι −1 =

1 Ι3

Ι~ = Ι~.

Teor. 5: O adjunto e o inverso do transposto são iguais, respectivamente, aos transpostos do adjunto e do inverso:

∀ φ:

II,§ 08.03

(φ T ) ~ = (φ ~ ) T ≡ φ ~ = φ 2 ,

(09);

§ 08.03 - Propriedades formais.

e se φ3≠0:

T −1

(φ )

−1 T

= (φ ) ≡ φ

−T

175

(10).

A demonstração de (09) é evidente a partir da própria definição de adjunto. −1 −1 T T −1 T Sendo Ι = φ . φ = (φ . φ ) = φ . (φ ) , temos, pré-multiplicando o primeiro e

último membro por (φ φT)-1:

T −1

(φ )

T −1

−1 T

= (φ ) . φ . (φ ) = (φ ) ,

o que demonstra (10).

Corol. 1: O adjunto de um diádico simétrico é um diádico simétrico (que é igual ao seu segundo):

φ =φ

φ ~ = (φ ~ ) T = φ 2 ,

⇒

(091).

Se o diádico simétrico é completo, o seu inverso é simétrico; e reciprocamente:

φ = φT e φ3 ≠ 0

⇔

φ −1 = φ − T

(101).

Esses resultados são facilmente comprovados a partir de (09) e (10). Nota: A fórmula (091) não é válida em sentido contrário, isso é: φ ~ = φ 2 não ⇒ φ = ± φ T . É φ ~ = φ ~ T = φ T ~ , mas dois diádicos que têm o mesmo adjunto não são iguais necessariamente; com efeito, se φ

= ψ , temos, tomando o adjunto de ambos os

membros e aplicando (05): φ φ = ψ ψ . Mas φ 3 3

~ 3

e, portanto, ψ = ± φ . Podemos, assim, enunciar:

= (φ )

=ψ

~ 3

= ( ψ ) , isso é ψ = ± φ 3 3 3

Se um diádico tem adjunto e segundo iguais ele é simétrico ou anti-simétrico.

Teor. 6: Se é nulo o produto pontuado de dois diádicos não nulos, então ambos são incompletos:

φ ≠ Ο, ψ ≠ Ο, φ.ψ = Ο

⇒

φ 3 = ψ 3 = 0,

(11).

Com efeito, porque se ao menos um dos diádicos fosse completo, digamos φ, existiria φ-1 (§ 08.01) e de φ.ψ ψ = Ο deduziríamos:

φ −1 .φ.ψ = ψ = φ −1 .Ο = Ο, o que é contra a hipótese (ψ ψ≠Ο Ο).

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176

§ 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

Corol. 1: Se é nulo o produto pontuado de vários diádicos não nulos, então ao menos dois desses diádicos são incompletos: φ, ψ ,..., χ ≠ Ο e φ.ψ.....χ = Ο ⇒ ao menos dois diadicos incompletos,

(12).

* Exercício 4:

∀φ :

|| φ T ||=|| φ ||, 2 || φ~ ||=|| φ || 2 − || φ 2 ||= 2 || φ 2 || , donde || φ ||>| φ 2 | ; ∀φ , φ 3 ≠ 0:

2 || φ 2 || = 2 (φ 3 ) 2 || φ P || = 2 (φ 3 )2 || φ −1||. *

§ 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo). Temos insistido em mostrar a utilidade dos diádicos como regentes de uma transformação linear (Teor.1,§ 02.04). Assim, os vetores posição, x, de pontos de dado domínio Dx, transformam-se em vetores posição, y, de pontos de um novo domínio, DY, por multiplicação pontuada com um diádico regente, φ; algebricamente, escrevemos: y = φ . x . Se esse diádico é completo (φ φ3 ≠ 0) ele admite um inverso: φ-1; então, pré-multiplicando

ambos os membros da expressão acima por φ-1, deduzimos: x = φ −1 .y. Interpretamos geometricamente o resultado obtido, por analogia com a interpretação anterior, dizendo que o diádico inverso opera uma transformação inversa da anterior: os vetores posição, y, de pontos de DY, transformam-se univocamente em vetores posição de pontos de Dx.

Se x' é o vetor posição de um outro ponto qualquer de Dx, então x - x' é o vetor genérico de Dx, pois liga dois pontos quaisquer de Dx. Sendo, obviamente: y − y ′ = φ . ( x − x ′), dizemos que a transformação linear regida por φ, bem como sua inversa, aplica-se a qualquer vetor do domínio. Se, agora, x e y são dois vetores quaisquer antes da transformação executada por φ (logo, são pontos de DX), o produto vetorial deles, x×y, é o seu vetor-área. Após a transformação, tais vetores são φ.x e φ.y e seu produto vetorial, (φ φ.x)×(φ φ.y), é o "vetor-área transformado". Que relação existe entre esses vetores? Lembrando ((042)2,§ 07.04) e ((01),§ 08.01) temos:

(φ.x) × (φ.y ) = (x × y ).φ ~ = φ 2 .(x × y ) ,

(01).

Interpretando (01), podemos enunciar:

"Na T.L. regida pelo diádico φ, usado como pré-fator (pós-fator), o seu segundo (adjunto), usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação pontuada, rege a transformação das áreas".

II,§ 08.04

§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia.

177

Nota: Um modo de calcular a relação entre os valores numéricos das áreas (a transformar e transformada) será apresentado no § 01.02 do cap. III.

Casos particulares. Numa situação particular em que o diádico φ (gerado do E3) seja planar - caso em que φ transforma, por multiplicação pontuada posterior (anterior) qualquer vetor num vetor do plano dos seus antecedentes (conseqüentes) (Corol.1,Teor.1,§ 03 e 01) - o seu adjunto, linear (Corol.1,Teor.2,§ 08.01), terá por conseqüentes (antecedentes) vetores paralelos à direção da normal ao plano dos antecedentes (conseqüentes) de φ e transforma, em multiplicação pontuada anterior (posterior), qualquer vetor num vetor paralelo à essa direção, Fig.08.02.

Então, conforme (01), por serem x e y arbitrários, podemos concluir:

Teor. 1: Se um diádico é planar, e é usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor do plano dos seus antecedentes (conseqüentes); o seu adjunto, linear, usado como pósfator (pré-fator) em multiplicação pontuada, transforma qualquer vetor num vetor ortogonal ao plano dos seus antecedentes (conseqüentes). Similarmente, em vista do Corol.2 do Teor.2, § 08.01, podemos também enunciar:

Teor. 2: Se um diádico é linear e é usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor paralelo à direção do seu antecedente (conseqüente); o seu adjunto, que é o diádico nulo, transforma qualquer vetor no vetor zero.

§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. Seja o diádico φ = e i a i e um seu homológico arbitrário (§ 03.02), Homφ = e i X i a i .

Poliádicos - Ruggeri

178

§ 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

Teor. 1: Tem-se:

∀ φ : Homφ 2 = (ΣX )φ 2 − φ ×× Homφ Homφ ~ = (ΣX ) φ ~ − ( φ ×× Homφ ) T

(01).

Com efeito, podemos escrever: 1 Homφ 2 = Hom[ (e i × e j )(a i × a j )] = Hom[(e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + ... ] = 2 = X1 (e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + ... = [(ΣX) − (X 2 + X 3 )](e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + ... = = (ΣX)φ 2 − [ (X 2 + X 3 ) (e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + ... ].

Por outro lado, temos:

φ ×× Homφ = (e i a i ) ×× (e j X ja j ) = X j (e i × e j )(a i × a j ) = = X 3 (e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + X 2 (e 3 × e 2 )(a 3 × a 2 ) + ... , não sendo difícil, agora, completar a demonstração. Transpondo em ambos os membros da fórmula encontrada, lembrando ((02),§ 03.02) e ((13),§08.01), encontramos imediatamente ((01)2. O Teorema 1 é válido para qualquer diádico. Quando este é completo a soma dos coeficientes da homologia, ΣX, pode ser calculada como o duplo produto pontuado do seu homológico com o seu principal, isso é:

Teor. 2:

∀ φ com φ 3 ≠ 0 :

ΣX = Homφ : φ P ,

(02).

Com efeito, temos: e1 .(Homφ).a1 = X 1 , etc. ; então, somando membro a membro estas igualdades, vem: ΣX = e i . ( Homφ ) . a i = ( Homφ ) : ( e i a i ) , o que comprova (02).

Teor. 3: A CNS para que φ ×× Homφ = Ο é que φ seja linear. Pois, sendo φ linear, é φ 2 = Ο (Teor. 2, § 08.01); e conforme (01), φ Reciprocamente, se φ

× ×

Homφ = Ο ,

(X 2 + X 3 )(e 2 × e3 )(a 2 × a3 ) + ... = Ο , isso é,

II,§ 08.05

× ×

Homφ = Ο .

§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira.

179

o = (X 2 + X 3 )(a 2 × a3 ) = (X 3 + X1 )(a3 × a1 ) = (X1 + X 2 )(a1 × a 2 ) . Então a1 // a2 // a3, e φ é linear.

Teor. 4:

∀ φ com φ 3 ≠ 0 : Homφ 2 = (Homφ : φ P )φ 2 − φ Homφ P = (Homφ : φ P )φ P −

× ×

1 φ φ3

Homφ × ×

Homφ,

Homφ~= ( Homφ : φ P ) φ~ − ( φ ×× Homφ ) T

(03).

1 Homφ -1 = ( Homφ : φ P ) φ -1 − ( φ ×× Homφ ) T φ3 Estas fórmulas são conseqüências imediatas das (01) e (02) e das relações já estabelecidas (no § 08.01) entre o adjunto, o segundo, o principal e o recíproco de um diádico. ⇒

§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira. Seja M = e i a i (i = 1, 2, 3) qualquer diádico de Moreira e ABCD um ortoquadrângulo a ele associado, Fig. 03.05, § 03.03. O segundo de M tem por expressão

M 2 = (e1 × e 2 )(a1 × a 2 ) + (e 2 × e 3 )(a 2 × a 3 ) + (e 3 × e1 )(a 3 × a1 ) . Então, M 2V , tal como M V , é um vetor paralelo ao plano π) desse diádico, pois, conforme indica a referida figura, o vetor da primeira díade é paralelo a BC, o da segunda é paralelo a CA e o da terceira a AB. Logo:

O plano de um diádico de Moreira é paralelo ao plano definido pelo seu vetor e o vetor do seu segundo. Segundo ((17) e (18), § 08.01), M −1 = M PT e M 2 = M 3 M P . Então, concluímos:

Se um diádico (completo) é um diádico de Moreira, o transposto, o principal, o segundo, o adjunto e o recíproco desse diádico são também diádicos de Moreira, todos com eixos paralelos e planos paralelos.

Consideremos ainda a figura citada. O vetor e1 × a1 é um vetor paralelo a BC e

e 2 × e3 é perpendicular a BC porque e 2 × e3 é perpendicular a qualquer reta do plano (D*BC). Logo e 1 é paralelo ao plano (e1 , a 1 ) . Analogamente podemos comprovar que e 2 é paralelo ao plano (e 2 , a 2 ) e e 3 paralelo ao plano (e 3 , a 3 ) . Imaginando o sistema

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana.

180

{ e1 , e 2 , e 3 } aplicado em D, vemos que o eixo associado aos sistemas recíprocos

{e 1 , e 2 , e 3 } e { e1 , e 2 , e 3 } é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC). Os mesmos resultados são válidos para o sistema recíproco de { a1 , a 2 , a 3 }, isso é, sendo e1 × a1 paralelo a BC e a 2 × a 3 perpendicular a BC, a 1 pertence ao plano (e1 , a 1 ) etc.. Se {a 1 , a 2 , a 3 } é aplicado em D*, o eixo associado aos sistemas recíprocos

{a 1 , a 2 , a 3 } e { a1 , a 2 , a 3 } é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC). Assim, ampliamos a propriedade anterior, enunciando:

Se um diádico completo é um diádico de Moreira, todos os seus derivados (transposto, principal, segundo etc.) são também diádicos de Moreira. Os eixos e os planos desses diádicos são todos paralelos ao eixo e ao plano do diádico unidade quando este é representado pelos antecedentes do diádico (e seus recíprocos), ou pelos conseqüentes do diádico (e seus recíprocos). * Exercício: Estudar a norma de um diádico de Moreira. * Consideremos agora o quadrângulo plano, DD*AHA (Fig. 03.05, § 03.03). Os vetores e 1 e a 1 são paralelos ao plano desse quadrângulo, suas direções sendo, respectivamente, as normais aos lados D*HA e DHA. Portanto, os suportes desses vetores, quando estes estão aplicados em D e D*, respectivamente, interceptam esses lados em pontos da circunferência de diâmetro DD*. Resultados análogos podem ser obtidos com permutação circular das letras nos (planos dos) demais quadrângulos. Concluímos, então:

As interseções dos tercetos de lados DHA, DHB, DHC e D*HA, D*HB, D*HC dos quadrângulos planos DD*AHA, DD*BHB e DD*CHC com a esfera de diâmetro DD* definem, respectivamente, com D* e D, as direções dos antecedentes e conseqüentes de M P . ⇐

§ 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA. Daqui em diante a teoria dos diádicos passa a ter algum parecer com o modo tensorial, tal como ocorreu com a teoria dos vetores do §04,Cap.I em diante.

§ 09.01 - Definições. Dado um diádico, φ, numa forma polinomial qualquer, podemos sempre reduzi-lo a uma forma N-nomial com, por exemplo, conseqüentes gj independentes (Teor.1,§ 02.07); seja, então: j φ = a g j (j = 1,2, ..., N), (01), uma forma qualquer contravariante de representação de φ (§ 02.07).

II,§ 09.01

§ 09.02

- Matriz associada a um diádico.

181

Cada um dos antecedentes de φ pode ser expresso, por sua vez (§ 03,I), em função de suas coordenadas contravariantes (em relação à base {g }) ou em função de suas * coordenadas co-variantes (em relação à base {g*}) nas formas j

a = ( a . g ) g k , ou,

a = (a . g k )g

(k = 1,2,..., N),

(02).

Então, por substituição das (02) em (01): j

φ = ( a . g ) g k g j , ou

φ = ( a . g k )g g j

(j, k = 1,2,... , N)

(03).

Nota: Se for conveniente poder-se-á também expressar cada um dos antecedentes do diádico em relação a outro sistema {r*},{r*} de vetores recíprocos.

Poderíamos, por outro lado, reduzir o mesmo diádico φ a uma forma N-nomial que tivesse por conseqüentes os recíprocos dos mesmos gj independentes, caso em que (Teor.1,§ 02.07) estaríamos escrevendo φ em forma co-variante

φ = b jg

(j = 1,2,..., N),

(011).

Como também podemos escrever: k

b j = (b j . g k ) g , ou

b j = (b j . g ) g k

(k = 1,2, ..., N),

(021),

deduzimos, ainda, que k

φ = (b j . g k ) g g , ou φ = (b j . g ) g k g

(j, k = 1,2, ..., N),

(031).

Pondo-se:

g k .a j = a j .g k = φ kj

a j .g k = φ k j ,, ,

b j .g k = φ kj

b j .g = φ k

(04)62,

k j

φ pode ser escrito em qualquer uma das formas seguintes: kj

φ =φ gkg j, k

φ = φ k jg g j , k

φ = φ kj g g ,

φ = φ kj g k g j ,

(05).

62Notar que cada índice ocupa um posto, como sobre-índice ou como sub-índice. Nunca representaremos letras duplamente indexadas com índices encavalados ou sobrepostos (em níveis diferentes) no mesmo posto.

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana.

182

Vemos, assim, que qualquer diádico pode ser expresso na forma de uma combinação linear de N2 díades, obtidas como produtos diretos de N vetores independentes entre si ou pelos seus recíprocos. Quando se expressa um diádico em qualquer uma das formas (05) diz-se que se pratica uma redução N2-nomial, ou, cartesiana do diádico. As formas (05) são ditas, em geral, N2-nomiais: monomiais para N = 1, tetranomiais para N = 2 e eneanomiais para N = 3; suas díades são denominadas díades basais (ou fundamentais) e os coeficientes destas, coordenadas do diádico nas bases recíprocas {g } e {g*}. * Por ser um diádico uma entidade estritamente relacionada a pares de vetores (justapostos em produto direto) podemos considerar qualquer uma das (05) como uma expressão (ou decomposição) cartesiana do diádico φ nas bases recíprocas {g } e {g*}. A * analogia com as expressões correspondentes dos vetores é evidente. Numa redução N2-nomial, as coordenadas de um diádico estarão sempre relacionadas com a sua "parte substancial" (ou "motivo") (§ 02.07), isso é, as suas coordenadas são os "quinhões" da grandeza que ele representa distribuídos por cada par de vetores de duas bases (idênticas ou recíprocas). Cada parcela do diádico (produto de cada coordenada pela díade que lhe corresponde) é dita uma componente do mesmo. As parcelas correspondentes a índices iguais são denominadas componentes normais ou radiais do diádico (ou da forma); as demais componentes são denominadas transversais ou tangenciais. As coordenadas φkj, por representarem coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais co-variantes (bj) do diádico (§ 02.07), denominam-se: coordenadas duplamente co-variantes do diádico, ou, simplesmente, coordenadas co-variantes ; as coordenadas φkj por representarem coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais contravariantes (aj) do diádico, denominam-se: coordenadas uma vez contravariante uma vez co-variante, ou, mistas. Analogamente, as φjk são as coordenadas duplamente contravariantes, ou simplesmente coordenadas contravariantes; e as φkj, coordenadas uma vez contravariante e uma vez co-variante, ou mistas63. Deve ser observado que, em geral,

φ kj ≠ φ jk ,... e φ kj ≠ φ

≠ φk j ≠ φ

(06).

As formas e as componentes correspondentes a essas coordenadas recebem os mesmos nomes dessas coordenadas.

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. A cada uma das formas N2-nomiais ((05),§ 09.01) podemos associar uma matriz quadrada de ordem N64 cujo elemento genérico é dado pela coordenada genérica do diádico 63Estas nomenclaturas tornar-se-ão mais expressivas quando tratarmos dos poliádicos de ordem p+q, que poderão ser p vezes contravariantes e q vezes co-variantes etc.. 64Chama-se matriz de ordem MxN a um conjunto de MxN números - representados genericamente por uma letra com dois índices, letra indexada essa denominada elemento genérico da matriz - dispostos ordenadamente em M linhas N colunas. Quando M≠N a matriz se diz retangular; quando M=N, quadrada. Quando N=1, a matriz denomina-se matriz coluna ou vetor; quando M=1, matriz linha ou vetor linha.

II,§ 09.02

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico.

183

nas referidas formas, desde que convencionemos que os índices dos antecedentes e os dos conseqüentes das díades representem, respectivamente, a linha e a coluna da coordenada na matriz65. Representando as matrizes com duplas chaves escrevemos, para o caso em que N = 3, por exemplo:

 φ 11  ∗∗ 21 [φ ] =  φ  31 φ φ 1  1 ∗ 2 [φ ∗ ] =  φ 1  3 φ 1

13 φ   23 φ , 33  φ 

φ 11  [φ ∗∗ ] = φ 21  φ 31

  2 φ 3 , 3  φ 3

2 2 2

φ 1 1  ∗ [φ ∗ ] =  φ 2 1  1 φ 3

φ 13   φ 23 ,  φ 33 

φ 12 φ 22 φ 32 φ 12 φ22 φ3

φ 13   φ 2 3 ,  φ 33 

(01).

Qualquer uma das matrizes (01) é denominada matriz associada ao diádico; diremos também que [φ φ**] é a matriz contravariante, [φ φ ] é a co-variante, [φ φ* ] a ** * matriz mista contra/co-variante e [φ φ *], a matriz mista co/contravariante. * Genericamente a matriz associada ao diádico φ será representada por [φ φ]. Devemos notar que, nas matrizes (01), as colunas representam as coordenadas cartesianas dos antecedentes do diádico, representado em formas trinomiais nas quais os vetores de base (gi ou gj) aparecem como conseqüentes. Resultados análogos seriam obtidos com as representações trinomiais φ=gjcj=gjdj (≠φ φ =gjaj=bjgj). T

Pondo:

g j . g k = G jk = G kj

g j . g k = G jk = G kj ,

(011),

escrevemos, relembrando a teoria dos recíprocos: k

g j = ( g j . g k ) g = G jk g = G kj g , j

g = (g . g )g k = G g k = G g k ,

(j,k = 1,2,...,N).

Logo, por ser Ι= gj gj = Gjk gk gj = gj gj = Gjk gk gj, escrevemos, para N = 3 por exemplo66: 65Uma matriz só pode ser associada a um diádico ou a um vetor. Aparentemente não é possível essa associação a triádicos, tetrádicos etc. porque estes estão associados a três, quatro ou mais índices. Esse assunto será abordado no § 03.04 do Cap. IV. 66Duas matrizes de mesma ordem são iguais se são iguais seus elementos correspondentes (os de mesma linha e mesma coluna). Duas matrizes, cujas linhas de uma são as colunas de mesmo nome da outra, são ditas transpostas; é o caso, por exemplo, das matrizes [φij] e [φji]. Quando duas transpostas são iguais elas são ditas simétricas; é o caso das [Gij] e [Gji], e o das [Gij] e [Gji],por conseqüência das (011). Quando duas transpostas são opostas elas são ditas anti-simétricas; nesse caso os elementos de sua diagonal principal são todos nulos.

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

184

 G 11  ∗∗ ∗∗ 21 [Ι ] = [G ] =  G  31 G G  11 [ Ι ∗∗ ] = [ G ∗∗ ] =  G 21    G 31

G 12 G 22 G 32

13 11 G  G   23 12 G  = G 33   13 G  G

G 13   G 11   G 23  =  G 12     G 33   G 13

31 

 , 33  G  32

G 31   G 32 ,   G 33 

G 21 G 22 G 23

e, relembrando que g j . g = δ j k ( δ j k , deltas de Kronecker, §04.02,I):

1  ∗ [G ∗ ] = [G ∗∗ ] = [Ι ] =  0  0

0 1 0

0  0 ,  1

(012)67.

As matrizes [G**], [G**] e [ΙΙ] são denominadas matrizes métricas contravariante, co-variante e mista, respectivamente, da base {g1,g2,g3}. Nota 1: Deve ser notado que não tem significado falar de uma matriz associada a um diádico φ sem mencionar: 1°) - a sua natureza, isso é se ela é a co-variante [φ**], a contravariante [φ**], a mista contra/co-variante [φ**], ou a mista co/contravariante [φ**]; 2°) - a matriz métrica da base a que ela se refere; 3°) - Obviamente, quando a matriz é a mista (qualquer uma delas) a matriz métrica correspondente, qualquer que seja a base, é a matriz unidade. A menção de apenas uma matriz mista, entretanto, não especifica o diádico (exceto se for definida a base).

É fácil, também, mostrar que para N = 3,

0 0 0  [Ο] = [Ο ] = [Ο ∗∗ ] = [Ο ∗ ] = [Ο ∗ ] = 0 0 0, 0 0 0 ∗∗

∗

(013)68.

Teor. 1: Obtém-se o transposto de um diádico expresso em forma N2-nomial, simplesmente trocando, em cada uma de suas componentes, o antecedente pelo conseqüente: se φ = φ

g jg ,

então,

φ =φ

g gj ,

67As matrizes métricas mistas de qualquer base, todas iguais, são denominadas matriz unidade. 68As matrizes associadas ao diádico nulo, todas iguais, são denominadas matriz zero ou matriz nula.

II,§ 09.02

(02).

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico.

185

Com efeito, pois, sendo, na forma das coordenadas mistas, por exemplo, φ = φjkgjgk, é, também, φ = akgk com ak = φjkgj. Então φT = gkak = gkφjkgj. Mas sendo distributivo o produto direto de vetores em relação a soma de vetores (Teor.2,§ 02.06), resulta, φT = φjkgkgj , c.q.d..

Corol. 1: As transpostas das matrizes co-variantes e contravariantes associadas a um diádico φ são iguais às matrizes homônimas correspondentes associadas ao transposto de φ:

[φ** ]T = [(φ T )** ] ,

(031)69.

A transposta da matriz mista de certo nome associada a um diádico φ é igual à matriz mista do mesmo nome associada ao transposto de φ.

[φ ∗∗ ] T = [(φ T ) ∗∗ ] , ou

[φ ∗∗ ] T = [(φ T ) ∗∗ ] ,

(03).

Pois, sendo, por exemplo: j

φ = φ k g j g = φ 1 g 1 g + φ 2 g 1 g + φ 3 g 1 g + φ 1 g 2 g +... e j

φ 12

φ 13   φ 23  ;  φ 33 

φ T = φ k g g j = φ 1g g 1 + φ 1 g g 2 + φ 1g g 3 + φ 2 g g 1 +... , temos:

φ 1  1 ∗ [φ ∗ ] = φ 21  3 φ 1

φ 22 φ 32

[(φ ) ∗ T

∗

 φ1  1 ] =  φ12 φ 1

φ 21

φ 22

φ 23

φ 31   φ 32  =[φ ∗ ∗ ] T . φ 33 

Analogamente provaríamos para os demais casos de representação de φ.

Teor. 2: Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais díades, têm suas coordenadas respectivamente iguais; e reciprocamente. Com efeito, expressos os diádicos φ e ψ em forma N2-nomial em termos das mesmas díades basais escrevemos, por exemplo: k

φ = φ jg k g e ψ = ψ jg k g

69Por este corolário, justifica-se a (nossa) nomenclatura: "transposto de um diádico", em relação a: "conjugado de um diádico" (de Gibbs) mencionada no §02.05.

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

186

Pondo φkj gj = uk e ψkj gj = vk, e sendo φ = ψ, escrevemos: gkuk = gkvk. Ora, estando os diádicos expressos em forma N-nomial com os mesmos antecedentes independentes, k

resulta uk = vk (Teor.2,§ 02.07). Então: φ j g = ψ j g , isto é , φ

k j

= ψ j.

Sejam agora dois diádicos φ e ψ expressos em termos das mesmas díades basais e com coordenadas iguais: k

φ = φ j g k g e ψ = ψ j g k g com φ

k j

= ψ j.

Escrevemos, logo: φ = gkuk e ψ = gkvk, com uk = vk = φkj gj = ψkj gj. Então, φ = ψ.

Corol. 1: Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais díades basais, têm matrizes associadas iguais70. Teor. 3: A multiplicação de um diádico por um número é operação equivalente à multiplicação de sua matriz associada por esse número71. Com efeito, as coordenadas co-variantes ou contravariantes dos seus antecedentes ou conseqüentes, expressas por ((04),§ 09.01), estarão multiplicadas por esse número; logo, os elementos da matriz associada ao diádico em (01) estarão multiplicados por esse número.

Teor. 4: A pré-multiplicação pontuada de diádico por vetor é operação equivalente à pré-multiplicação da sua matriz mista associada co/contravariante (contra/co-variante) pela matriz coluna co-variante (contravariante) associada ao vetor72. O vetor produto vem expresso por sua matriz coluna co-variante (contravariante):

r′ = φ. r ⇔

{r∗′ } = [φ ∗ ∗ ]. {r∗ },

(04).

Pondo, por exemplo:

r = R k g k , r′ = R′i gi e φ = φ i g g j , j i

(i, j, k = 1,2,..., N),

deduzimos:

r ′ = φ . r = (φ i g g j ) . ( R k g ) = φ i R k g ( g j . g ) = φ i R k g , j i

70Deve ser observado que se um mesmo diádico esta expresso em formas cartesianas homônimas em termos de diferentes díades de base, suas matrizes associadas (de mesmo nome) não são iguais, mas similares; este conceito será explorado no § 02.04, III. 71Chama-se produto de um número por dada matriz a uma matriz cujos elementos são os elementos correspondentes da matriz dada multiplicados por esse número. 72Chama-se produto de uma matriz A, de ordem MxN, por uma matriz coluna {v}, de ordem Nx1, à matriz coluna de ordem Mx1, {v'}, cujo elemento da i-ésima linha é a soma dos produtos de cada elemento da i-ésima linha de A pelo seu correspondente da matriz coluna.

II,§ 09.02

§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas.

187

de onde resulta, considerando a expressão cartesiana co-variante de r′: R′i = φ i k R k . Esta expressão é equivalente a (04), quando se faz (k, i = 1,2,...,N). Nota 2:

Em pós multiplicação, escreveríamos: v ′ = v. ψ

{v′}

⇔

e, no caso específico de (04): r ′ = φ . r = r. φ

= {v} . [ ψ],

, donde {r ′ } ∗

(05),

T ∗ T = {r } . [φ ] . ∗ ∗

Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos Se A é diádico simétrico (§ 04.02), pondo A=Aijeiej, deve ser Aij=Aji. Então, para i=1,2,3, A12=A21, A23=A32, A31=A13. Resultados análogos seriam obtidos escrevendo-se A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a duplamente contravariante associadas a um diádico simétrico são, assim, matrizes simétricas, e apenas estas. Da mesma forma, se A é diádico anti-simétrico (§ 04.02), pondo A=Aijeiej, deve ser Aij=-Aji. Então, para i=1, A11=A22=A33=0 e A12=-A21= A23=-A32=A31=-A13, resultados análogos podendo ser obtidos escrevendo-se A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a duplamente contravariante associadas a um diádico anti-simétrico são, assim, matrizes antisimétricas, e apenas estas.

§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas Posto que a multiplicação pontuada entre diádico e vetor é associativa em relação a números, deduzimos, por exemplo, que: j k

sendo φ = φ jk g g , então g r . φ . g s = φ jk (g r . g )( g . g s ), isso é,

g r . φ . g s = φ rs ,

(r, s = 1,2,..., N).

Similarmente, considerando as outras formas fundamentais de φ, poderíamos deduzir expressões análogas para as demais coordenadas do diádico. Como regra geral, diríamos que uma coordenada de um diádico, expresso em forma cartesiana, pode ser obtida por pré e pós-multiplicação do diádico pelos recíprocos dos antecedentes e dos conseqüentes de suas díades fundamentais. Assim:

= g .φ .g ,

φ rs = g r . φ . g s , φ

= g .φ .gs , r

r s

(01).

s φr = gr .φ .g ,

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

188

Ora, não sendo independentes as coordenadas co-variantes e contravariantes de vetores (§ 04, I), podemos esperar não serem também independentes as coordenadas de um diádico. De fato, substituindo, por exemplo, em (01)1 as expressões de φ dadas por ((05),§ 09.01), deduzimos:

= G φk ,

= G φ kj G ,

= φ jG ,

(02),

sendo, conforme já definimos ((01)1,§ 09.02), Grk = gr.gk = Gkr. Similarmente, podemos deduzir das (01): s

φ r = G rk φ

φ rs = G rk φ G js kj

(03),

= φ G js rj

onde Grk = gr.gk. As fórmulas (02) e (03) são correspondentemente inversas porque, por exemplo, se a (02)2 exprime as coordenadas contravariantes em função das co-variantes, a (03)2 exprime as coordenadas co-variantes em função das contravariantes etc. Tal como com as (02) exprimimos as coordenadas contravariantes em função das demais coordenadas, poderíamos também exprimir as coordenadas co-variantes em função de todas as outras coordenadas. Exprimindo todas as coordenadas de φ em função apenas das coordenadas mistas, φ rs por exemplo, teríamos:

= φ kG , k

φ rs = G rk φ s , s

φ r = G rk φ j G

(04). js

As expressões (02), (03) e (04) podem ser expressas em forma matricial, e essas novas expressões podem ser obtidas na tábua de multiplicação seguinte. Tábua de multiplicação de matrizes associadas a um mesmo diádico [φ φ ]= [φ φ**]= [φ φ**]= [φ φ**]= **

II,§ 09.03

[φ φ**]

[G**].[φ**].[G**] [φ**].[G**] [G**].[φ**]

[G ].[φ**].[G ] ** [G ].[φ**] [φ**].[G**] **

[φ φ **] **

[φ φ **]

[φ *].[G ] * [G**].[φ *] * [G**].[φ *].[G**] *

[G ].[φ* ] * [φ* ].[G**] * [G**].[φ* ].[G**] **

§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana.

189

§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. Da consideração das ((05),§ 09.01) obtemos, logo: jk

φ E = φ G jk = φ jk G

=φ

= φ j , (j, k = 1,2, ..., N),

(01),

tornando-se óbvio que a forma mais simples de se obter o escalar de um diádico é pelas suas formas cartesianas mistas pois, com efeito, este é o traço73 de qualquer uma das matrizes associadas (mistas). Não se deve confundir, entretanto, o traço de uma matriz com o escalar de um diádico, pois, em geral, ∗

∗∗

Tr[φ φ ∗∗ ] ≠ φ E = Tr [φ ∗ ] = Tr[φ ∗ ∗ ] ≠ Tr[φ ], excetuado quando a base a que se refere o diádico é ortonormal ou ortonormada. Temos também de ((05)1 e (05)3,§ 09.01), as formas mais simples de expressão de φ V:

φ V = φ jk g j × g k = φ jk g j × g k ,

(02),

ou, ainda, em forma expandida: φV = o,

(021);

φ V = (φ12 − φ 21 )g1 × g 2 = (φ12 − φ 21 )g1 × g 2 ,

(022);

para N = 1, para N = 2,

para N = 3, aplicando ((04) e (04)1,§ 04.02),I) e efetuando as somas: φV = (g1g 2 g 3 )[(φ 23 − φ32 )g1 + (φ31 − φ13 )g 2 + (φ12 − φ 21 )g 3 ] ou φV = (g g g )[(φ 23 − φ32 )g1 + (φ − φ )g 2 + (φ − φ )g 3 ] 1 2 3

(023)74.

Das representações N-nomiais (01) e (011), § 09.01 deduzimos:

φ 3 = a1 .g1 = a1 .g1 , se N = 1; φ 3 = (a1 × a 2 ).(g1 × g 2 ) = (a1 × a 2 ).(g1 × g 2 ), se N = 2; φ 3 = (a1a 2 a 3 )(g1g 2 g 3 ) = (a1a 2a 3 )(g1g 2 g 3 ), se N = 3. 73O traço de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos da sua diagonal principal (os da i-ésima linha e i-ésima coluna); é representado, às vezes, por TrA. 74Pelas expressões (02 ),(02 ) e (02 ) pode-se definir o vetor de uma matriz (co-variante ou contravariante), 1

conceito pouco difundido e pouco utilizado nos tratados de Álgebra Linear e de Cálculo Matricial.

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

190

Considerando as expressões ((02) e (021),§ 09.01) deduzimos também, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03,I):

para N = 3 :

(a1a 2 a 3 ) =| φ ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) =| φ ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) , (b1b 2b 3 ) =| φ ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) =| φ ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) ;

para N=2:

a1 × a 2 =| φ∗∗ | g1 × g 2 =| φ∗∗ | (g1 × g 2 ) , b1 × b 2 =| φ ∗∗ | (g1 × g 2 ) =| φ ∗∗ | (g1 × g 2 ) ;

para N=1:

a1 =| φ∗∗ | g1 =| φ∗∗ | g1 b1 =| φ∗∗ | g1 =| φ∗∗ | g1 ,

isso é

| φ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) 2 =| φ∗∗ | (g1g 2 g 3 ) 2 =| φ∗∗ |=| φ∗∗ |, para N = 3;  φ 3 = | φ∗∗ | (g1 × g 2 ) 2 =| φ∗∗ | (g1 × g 2 ) 2 =| φ∗∗ |=| φ∗∗ |, para N = 2;  | φ∗∗ | (g1 ) 2 =| φ∗∗ | (g1 ) 2 =| φ∗∗ |=| φ∗∗ |, para N = 1,  É óbvio, por (03), que:

(03).

A CNS para que um diádico, expresso cartesianamente, seja completo, é que o determinante associado a qualquer uma de suas matrizes seja diferente de zero. Para os diádicos anti-simétricos A=-AT tem-se:

A E = 0,  A 3 = 0, ,  1 2 3 23 31 12 A V = 2(e e e )(| A | e1 + | A | e 2 + | A | e 3 ) =  = 2(e1e 2 e 3 )(| A 23 | e1 + | A 31 | e 2 + | A12 | e 3 ). 

(04),

resultados compatíveis com ((041), (§ 04.02)). Para os diádicos simétricos nada de extraordinário se vai acrescentar além do fato de que eles têm vetor nulo; e este pode ser calculado pelas suas coordenadas duplas contravariantes ou co-variantes. Algumas observações devem ser feitas no tocante à determinação dos invariantes elementares de um diádico quando este é dado em forma cartesiana. Em primeiro lugar, lembremo-nos de que a representação de um diádico por uma de suas matrizes associadas (a co-variante, a contravariante ou as mistas) deve sempre ser acompanhada da especificação da base a que ela se refere. A especificação dessa base pode ser feita pela configuração de seus vetores (em módulo, direção e sentido) e ângulos mútuos, ou por uma das matrizes métricas dessa base (§ 09.02). Em qualquer caso as matrizes associadas ao diádico deverão satisfazer as relações ((04),§09.03).

II,§ 09.04

§ 09.06- Multiplicações de diádicos em forma cartesiana.

191

Em segundo lugar, observemos que, se dispomos da matriz mista para o cálculo do vetor de um diádico, este não pode ser realizado pelas expressões (023) porque estas são válidas para coordenadas co-variantes ou contravariantes do diádico. Mas, de posse da matriz associada mista, [φ φ* ], por exemplo, e da matriz métrica [G ] (ou sua inversa) * ** poderemos, por ((04)2,§ 09.03), determinar [φ φ ], e somente então, calcular φV por (023). ** Finalmente, observemos que, sendo φ3 e φE invariantes de φ, os determinantes |φ φ**| e |φ φ | e os traços Trφ φ** e Trφ φ associados às matrizes contravariantes e co-variantes de φ ** ** não são invariantes, mas apenas aqueles das matrizes mistas. Com outras palavras: o traço e o determinante de uma matriz associada ao diádico nem sempre são iguais ao seu escalar e ao seu terceiro (apenas os traços e os determinantes das matrizes mistas). Obviamente, tais determinantes (excluídos os traços) serão invariantes se, e somente se, os vetores de base a que se referem definem paralelepípedos de volumes unitários. Nesse caso as bases são denominadas unimodulares e, dessas, as bases ortonormadas são um caso particular. Novamente devemos observar que, quando a base adotada é ortonormada, as quatro matrizes associadas ao diádico são iguais; e apenas nesse caso, determinantes e traços são respectivamente iguais ao terceiro e ao escalar do diádico. Entretanto, nem sempre é vantajoso, possível e prudente, o uso de bases ortonormadas (§05,Cap.I; §04 e §05,Cap.III).

§ 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana. Teor. 1: A adição de diádicos, expressos em forma cartesiana em termos das mesmas díades basais, é operação equivalente à adição de suas matrizes associadas75. Com efeito, sendo, por exemplo, ij

φ = φ gig j e

ψ = ψ g i g j , (i, j = 1,2,... , N),

deduzimos, agrupando convenientemente e aplicando ((01),§ 04.01): ij

φ + ψ = gi (φ ijg j + ψijg j ) = (φ ij + ψij )gi g j , donde, [φ + ψ] = [φ + ψ ] = [φ ] + [ ψ], o que, evidentemente, comprova o teorema. As propriedades já demonstradas da adição de diádicos (§ 01) podem ser também demonstradas para as matrizes.

§ 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana. Em relação às bases não ortonormadas a matriz associada ao produto de dois diádicos nem sempre é igual ao produto das matrizes associadas aos diádicos, exceto se as matrizes forem mistas de mesmos nomes. 75Chama-se soma de duas matrizes de mesma ordem, [A] e [B], a matriz de mesma ordem que as matrizes parcela, [C], cujos elementos são as soma dos elementos correspondentes de [A] e de [B]; escreve-se: [C]=[A]+[B].

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

192

Expressões matriciais de φ.ψ ψ Se χ = φ . ψ, são válidas as seguintes fórmulas, que podem ser comprovadas facilmente: [χ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [G∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [ψ∗ ∗ ] = [φ ∗ ∗ ]. [ψ∗∗ ]

[χ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [G∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗ ∗ ]. [ψ∗∗ ] [χ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [G∗ ∗ ]. [ψ∗ ∗ ] = [φ ∗ ∗ ]. [ψ∗ ∗ ] [χ∗ ∗ ] = [φ∗∗ ]. [ψ∗∗ ] = [φ∗∗ ]. [G∗∗ ]. [ψ∗ ∗ ] = [φ ∗ ∗ ]. [ψ∗ ∗ ],

(01).

São válidas para as matrizes as propriedades já demonstradas para os diádicos no § 05.03 e no § 05.04. O enunciado dessas propriedades pode ser obtido daqueles trocando-se neles a palavra diádico por matriz (quadrada), devendo ser observado que no caso da transposição a matriz pode ser retangular.

Temos assinalado certo isomorfismo entre a álgebra dos diádicos e a conhecida álgebra das matrizes. Esse isomorfismo fica, entretanto, incompleto, uma vez que não se estuda na teoria das matrizes a operação que poderia ser denominada multiplicação cruzada entre matriz e vetor, cujo resultado fosse uma matriz (veja § 06). Este § 09 - Representação de diádicos por matrizes - tem significado prático quando as funções vetoriais lineares devem estar referidas a uma base. Nesse caso, no estudo de um problema físico ou geométrico, poderá ser cômoda essa representação numérica (cartesiana). Expressões matriciais de I× × a e φ× a Ponhamos I=gigi e a=Ajgj. Tem-se: I×a=Ajgigi×gj=(g1g2g3)Ajεijkgigk, os números (g g g )Ajεijk sendo as coordenadas duplamente contravariantes do diádico. Efetuando-se as somas indicadas podemos escrever a matriz [(I×a)**]. Tem-se: 1 2 3

[(Ι × a) ∗∗ ] =

 0  A  3 − A 2

− A3 0 A1

A2  − A1  (g1g 2 g 3 ) 0 

(02).

Analogamente provaríamos que

 0  [(I × a) ∗∗ ] =  A 3 - A 2 

− A3 0 A1

A2   - A 1  (g 1 g 2 g 3 ) 0  

Se o vetor a é um dos vetores da base {g }, por exemplo, a = g3, isso é, * II,§ 09.06

(021).

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas).

193

0 − 1 0  se a = A 3g 3 , então, [I × A 3g 3 ] = A 3 (g1g 2 g 3 ) 1 0 0 0 0 0

(022),

0 − 1 0  se a = A 3g , então, [I × A 3g ] = A 3 (g g g ) 1 0 0 , 0 0 0

(023).

e 3

1 2 3

Lembrando ((02)2, §06.02, II), podemos escrever: φ × v = (φ.Ι ) × v = φ.(Ι × v ) . Para quaisquer α e β postos, por exemplo, na forma α=αijgigj e β =β kmgkgm,

tem-se:

α.β β =αikβ km gigm ,

isto é, em termos matriciais: [α α.β β ]**=[α α]**.[β β ] **. Então, para o produto cruzado φ×v escreveríamos:

[φ × v]∗∗ = [φ]∗∗ . [Ι × v]∗∗ = [φ]∗∗ . [Ι × v ]∗∗ ,

(024).

⇒

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). Os polinômios homogêneos (nas variáveis independentes X, Y, Z, ... ), também denominados formas, são os polinômios cujos termos têm todos o mesmo grau. Assim, se A, B, C, ... são coeficientes (de polinômios),

AX,

AX + BY,

AX + BY + CZ ,

(01),

são formas lineares (ou polinômios homogêneos do grau um);

AX 2 ,

AX 2 + BY 2 + 2CXY,

AX 2 + BY 2 + CZ 2 + 2 DXY + 2 EYZ + 2 FZX ,

(02),

são formas quadráticas etc. Formas quadráticas isentas de termos quadrados são denominadas retangulares. Se uma forma tem apenas uma variável independente, como as formas (01)1 e (02)1, ela é dita unária; se tem duas, como a (01)2 e (02)2, ela é dita binária; se tem três, ternária etc. Então, por exemplo, (02)2 e (02)3 são, respectivamente, formas quadráticas binária e ternária. Consideremos, no E3, por exemplo76, dado diádico, φ, e os vetores variáveis coiniciais x e y; e representemo-los cartesianamente nos vários modos possíveis, a saber: 76 Tudo o que fizermos nesse espaço poderá ser desenvolvido igualmente para os espaços de dimensões 1 e 2.

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

194

φ = φ ije i e j = φije i e j = φ i je i e j = φi e i e j , ,

x = X ei = Xie i

y = Y e i = Yi e , i

(03).

com i, j = 1,2,3.

Os polinômios

e k . φ .x = φ kj X j = φ k j X j ,

∀ k = 1,2,3 ,

representados (para cada valor de k) das duas maneiras distintas correspondentes ao segundo e terceiro membros, são formas lineares nas coordenadas co-variantes ou nas contravariantes de x. São também formas lineares nestas mesmas letras os polinômios j

e k . φ .x = φkj X j = φ k X j ,

∀ k = 1,2,3 .

O polinômio

x. φ .x = X i φ ij X j = X i φij X j é uma forma quadrática. Mas esse polinômio é um invariante (independe das mais diversas representações que se possam dar ao diádico e ao vetor). Se o representarmos, porém, nas formas (possíveis, evidentemente) j

x. φ .x = X i φ i j X j = X i φi X j ,

(04),

caímos aparentemente num outro problema pois nem o segundo e nem o terceiro membros de (04) se encaixam na definição de forma quadrática. De fato, nestas representações as variáveis não são independentes, pois x 2 = X i X i estabelece uma ligação entre elas. Como φ.x=XiφijGkjXk; e lembrando ((041), §09.03): x.φ φ.x=XiφikXk. Assim, Xj=XkGkj, tem-se: x.φ (04) é, apenas, uma forma diferente de expressar-se uma forma quadrática. * Representando φ na forma da soma de sua parte simétrica, φ sim , com a sua parte anti-simétrica, φ ant , podemos escrever:

x. φ . x = x. φ sim . x , posto que, conforme (042), §04.02,

∀ φ , x:

x. φ ant .x = 0 ,

(041).

Então, qualquer que seja o diádico φ, a forma quadrática x .φ φ. x pode sempre ser substituída por uma forma quadrática equivalente como o diádico (simétrico) igual à parte simétrica de φ. Tais formas são denominadas formas quadráticas simétricas. Assim, poderemos escrever (04) na forma II,§ 09.07

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas).

∀φ, x :

x.φ.x = x.φ sim .x =

1 i 1 X (φ ij + φ ji )X j = X i (φ ij + φ ji )X j , 2 2

195

(042).

Em resumo:

toda forma quadrática x.φ.x pode sempre ser cartesianamente representada em função das coordenadas contravariantes(co-variantes) do vetor x e pela parte simétrica da matriz co-variante (contravariante) associadas ao diádico φ. * Consideremos o polinômio x. φ . y (nas variáveis representativas das coordenadas dos vetores co-iniciais x e y) o qual, considerando as representações (03), pode ser representado nos quatro modos distintos seguintes:

x.φ.y = X i φij Y j = X i φij Yj = X i φi jYj = X i φi jY j ,

(05).

Esse polinômio x. φ . y é uma função linear em y porque, se y = Uu + Vv , então

x. φ . y = U ( x. φ . u ) + V( x. φ . v ) , isso é,

se y = Uu + Vv , o polinômio x. φ . y é uma combinação linear, de coeficientes U e V, de polinômios que se obtêm de x. φ . y substituindo-se y por u e v. Então esse mesmo polinômio, linear em y, é, também, linear em x.

Definição: (forma bilinear) Todo polinômio da forma (05), em que φ é um diádico dado e x e y são vetores quaisquer, será dito uma forma bilinear do diádico φ nos vetores x e y. Deve ser observado que

∀ Σ ≠ ΣT , x, y

⇒

x. Σ. y ≠ y. Σ. x ,

(06),

porque

x.Σ.y = y.Σ T .x ,

(061),

e, evidentemente,

y. Σ T .x ≠ y. Σ .x .

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

196

Mas

Σ = ΣT

⇔

x. Σ . y = y. Σ .x ,

(062).

Definição: Formas bilineares com diádicos simétricos são ditas formas bilineares simétricas. Resulta dessas definições que as formas quadráticas são casos particulares das formas bilineares. Com efeito, as quadráticas são as bilineares que derivam de (05) onde se faça y = x. Ponhamos, lembrando ((03), §04.02),

∀x , y, φ:

x. φ . y = x. (φ sim + φ ant ) . y ,

(07).

Ora, conforme (061),

x. φ ant . y = y. φ ant T .x = − y. φ ant .x e, conforme (062),

x. φ sim . y = y. φ sim .x . Como a substituição de y por x em (07) acarreta, lembrando (041), forma quadrática simétrica apenas pela parcela x. φ sim . y , diz-se que a forma bilinear simétrica x. φ sim . y é uma forma polarizada77 da forma quadrática x. φ sim .x . Quádrica centrada. Consideremos uma forma quadrática representada genericamente por (042). Quando se dá a x o valor x0, ou seja, quando se especifica certo ponto do espaço (extremidade do vetor x), a forma assume certo valor, digamos F0. O terceiro e o quarto membros de (041), por outro lado, mostram (não trivialmente) que é possível encontrar outros vetores coiniciais com x, ou outros pontos do espaço, que dêem a essa forma o mesmo valor F0. Ao conjunto dos pontos x corresponde o conjunto dos pontos simétricos em relação à origem comum porque os vetores -x também dão à forma o valor F0.

Definição: (quádrica centrada) O conjunto dos pontos definidos pelas extremidades dos vetores co-iniciais, x, da forma quadrática simétrica x.φ.x que assume o valor F0, denomina-se quádrica centrada relativo a F0. Como o diádico da forma e o valor F0 são genéricos, podemos sempre, sem perda de generalidade, dizer que

77 A nomenclatura, embora introduzida por via matricial no estudo das cônicas e quádricas, parece ser conhecida como equação de Joachimsthal.

II,§ 09.07

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas).

197

Quádrica centrada num ponto O é o lugar geométrico dos pontos do espaço, extremidades dos vetores co-iniciais em O, x, vetores esses que, para dado diádico φ, atribuam à forma x. φ . x o valor +1. Como toda forma quadrática pode ser escrita na forma simétrica, resulta que

a dado diádico, φ, está associada de modo unívoco a quádrica centrada

x. φ sim .x = 1 ,

(08).

Mas o contrário não é verdadeiro, isso é, a dada quádrica centrada não está associado um único diádico. Com efeito, conforme Teor. 8, § 04.02, para que dois diádicos distintos tenham a mesma parte simétrica, basta que a diferença deles seja um diádico anti-simétrico. Não cabe aqui desenvolver a teoria das quádricas centradas. Demonstraremos alguns teoremas a título de aplicação. Uma alteração da dimensão do espaço permite também deduzir propriedades análogas para as cônicas centradas. A introdução de "coordenadas homogêneas" permite generalizar a teoria para as quádricas em geral.

Teor. 1: Uma quádrica centrada é interceptada por uma reta do espaço em dois pontos, reais ou imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou impróprios. Se X é um parâmetro e r e s são vetores co-iniciais num ponto O, definindo dois pontos R e S do espaço, o vetor posicional x do ponto corrente X da reta (relativo a X) que passa por esses pontos é (1+X)x = r + Xs. A CNS para que esse ponto X pertença à quádrica é que ele satisfaça (08), isso é,

(r + Xs). φ sim . (r + Xs) = (1 + X) 2 ,

(09).

Desenvolvendo esta equação e considerando (062), vem:

(1 − s. φ sim .s) X2 + 2(1 − r. φ sim .s) X + 1 − r. φ sim .r = 0 ,

(10),

equação do segundo grau em X78 que, resolvida, dará dois valores para X; são eles:

1 − (r. φ sim .s) ± (1 − r. φ sim .s) 2 − (1 − s. φ sim .s)(1 − r. φ sim .r) , 1 − s. φ sim .s

(101),

Com esses valores, que representaremos por X1 e X2, podemos construir dois vetores coiniciais em O cujas extremidades certamente pertencem à quádrica. Discutindo as soluções dessa equação, o leitor poderá determinar em que condições esses pontos são reais ou imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou impróprios, bem como o caso em que a equação (10) seja uma identidade. 78 Diríamos que essa é uma forma diádica de representação da clássica "equação de Jochimsthal" da Geometria Projetiva Algébrica.

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§ 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

198

Definição: ( pontos conjugados) Os pontos R e S serão ditos conjugados em relação à quádrica centrada do diádico φ se eles forem conjugados harmônicos em relação aos pontos A1 e A2 segundo os quais a reta (1+X)x=r+Xs intercepta a quádrica. Ora, os pontos A1 e A2 estarão harmonicamente separados por R e E se, e somente se, X1 + X2 = 0, conforme sabemos. Então, de (101), concluímos:

Teor. 2: A CNS para que os pontos R e S, de vetores posicionais r e s, sejam conjugados em relação à quádrica x. φ sim .x = 1 é que valha um a forma polarizada de r. φ sim . r , isso é: r. φ sim . s =1. Como (fixo o r) a equação r. φ sim . s = 1 é linear em s, concluímos, imediatamente:

Corol. 1: É um plano o lugar geométrico dos pontos conjugados de um ponto fixo em relação a uma quádrica centrada. O plano a que se refere o Corol. 1 denomina-se plano polar do ponto fixo em relação à quádrica.

Corol. 2: Se o plano polar de um ponto (em relação a uma quádrica centrada) passa por um determinado ponto, então o plano polar deste ponto (em relação à mesma quádrica) passa pelo primeiro. ⇐

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana. Denotemos por Φjk o complemento algébrico do elemento φkj (observe a inversão dos índices) no determinante

|φ ∗ ∗ | = φ

φ φ

3 3

(01),

determinante este associado à forma cartesiana mista contravariante/co-variante de φ (§ 02.01), j

φ = φ k g jg ,

II,§ 09.08

(02).

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana.

199

Temos, então: ~

φ = Φ k g jg ,

(03),

φ −1 =

1 φ3

Φ k g jg k ,

(04).

Com efeito, pondo j

v k = φ k g j , temos, de (02), φ = v k g k ,

(05);

logo, lembrando a definição de adjunto (§ 08.01), escrevemos:

φ~ =

1 r s (g × g )( v r × vs ) 2

(06).

Conforme ((04)1,§ 04.02,I), é

v r × v s = φ j r φ ks (g1g 2 g 3 )ε jkm g m

(07);

conforme ((041)1,§ 04.02,I) é

g r × g s = (g1g 2 g 3 )ε rst g t . Então: ~

φ =

1 2

rst

φ r φ s ε ε jkm g t g .

Para t = 1 e m = 2, por exemplo, temos:

1 j k rs1 1 φ r φ s ε ε jk2 g1g 2 = (φ j 2 φ k3 − φ j 3 φ k2 )ε jk2 g1g 2 = 2 2 =

1 3 1 ( φ φ − φ 33φ1 2 − φ1 2 φ 33 + φ1 3 φ 32 )g1g 2 = 2 2 3

= −(φ1 2 φ 33 − φ1 3φ 32 ) g1g 2 = Φ1 2 g1g 2 . Fazendo cálculos análogos podemos comprovar (03). A fórmula (04) é conseqüência imediata de (03) e ((10),§ 08.01). Poderíamos obter resultados análogos pela consideração das outras três formas de representação cartesiana de φ.

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

200

A matriz associada a φ é:

Φ1  1 2 ~ [ φ ] = Φ 1  3 Φ 1

1 2

2 2

1 Φ 3  2 Φ 3 , 3  Φ 3

(08),

e denomina-se a adjunta de [φ φ]. Assim:

"para constituir-se a matriz mista de certo nome do adjunto de um diádico, basta substituir, na matriz mista transposta de mesmo nome desse diádico, cada elemento pelo seu respectivo complemento algébrico". Similarmente, a matriz associada a φ-1 é, em vista de (04):

[φ −1 ] = 1 [φ ~ ] . φ3 Definição: (matriz inversa) [φ-1] denomina-se a matriz inversa de [φ], sendo representada também por [φ φ]-1. Dada [φ φ], a determinação de [φ φ]-1 é imediata em vista das fórmulas anteriores Como a representação cartesiana de um diádico é conseqüência de uma redução trinomial do mesmo, vemos que as propriedades das matrizes adjunta e inversa da matriz de um diádico são as mesmas do adjunto e do inverso desse diádico79. Se fizermos φ = Ι em ((041)3, § 09.03), considerando as ((012), § 09.02), deduzimos:

[Ι ] = [G∗∗ ]. [G∗∗ ],

(09).

o que nos permite concluir serem inversas as matrizes métricas de bases recíprocas.

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. O problema consiste em, sendo dadas a matriz métrica de uma base (por inversão dessa matriz deduzimos a matriz métrica da base recíproca ((09),§09.08)) e a especificação de uma das matrizes associadas ao diádico (logo, as outras estão determinadas (§09.03)), determinar as características geométricas desse diádico, isso é, dizer se ele é completo, planar, linear, uniplanar, ortoplanar, determinar seus planos, direções etc..

79Esses resultados, todos concordantes com o Cálculo Matricial, também justificam a introdução do adjunto na teoria dos diádicos, juntamente com o "segundo" de Gibbs.

II, § 09.09

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.

201

Para a resolução do problema proposto é relevante termos em mente as seguintes Propriedades Gerais.

1°) - Um diádico é incompleto ou completo quando o determinante de qualquer uma de suas matrizes associadas é nulo ou não nulo, respectivamente. 2°) - A CNS para que um diádico seja simétrico (anti-simétrico), é que: ou a sua matriz contravariante ou a co-variante associada seja simétrica (antisimétrica), ou que a sua matriz mista de certo nome seja igual à transposta da matriz mista de nome contrário. Pois, se a matriz co-variante (contravariante) associada ao diádico é simétrica, a matriz contravariante (co-variante) correspondente é também simétrica; nesse caso, o vetor do diádico, dado por ((023)1 ou (023)2, §09.04) é nulo e o diádico é simétrico. No caso das matrizes mistas, se [φ ij ] = [φ ij ]T = [φ ji ], então φ = φ ij gig j = φ ji gig j , donde φT = φ ji g jgi = φ, conforme (05),§09.01. As recíprocas são de demonstração evidente. A demonstração para o caso de diádico anti-simétrico é análoga. Notar que

Um diádico não é necessariamente simétrico (anti-simétrico), se qualquer uma de suas matrizes mistas é simétrica (anti-simétrica)80. 3°) - O escalar do diádico tem a expressão geral φ E = φ : Ι , e pode ser calculado pelas fórmulas

φ E = φ i i = φ i i = φ jk G jk = φ jk G jk , o que é garantido por ((01), §09.04).

4°) - Se um diádico é completo (incompleto), seu adjunto é completo (incompleto); e reciprocamente, porque φ ~3 = (φ 3 ) 2 . Os teoremas demonstrados no §08.01 permitirão caracterizar o diádico quanto ao seu ~ grau de nulidade. Assim, esse problema se reduz à caracterização do diádico φ representado por uma de suas matrizes associadas. Na forma mista esta matriz é dada por ((08), §09.08), cujo elemento genérico é (notar a inversão da posição dos índices j e k):

j k

= complemento algébrico de φ kj em [φ

∗

∗ ].

80 Essa questão será abordada mais a diante neste parágrafo. No § 04.01,A, III, fórmulas (10) e (11), esse aspecto poderá ser observado no caso de diádico anti-simétrico; ou no § 04.01, B,III, Teor.4, no caso de diádico simétrico.

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

202

Na forma co-variante, a matriz associada a φ tem elemento genérico: ∗∗

Φ jk = (g1g2g3 )2 × complemento algébrico de φkj em [ φ ]; e na forma contravariante:

Φ jk = (g1g2g3 )2 × complemento algébrico de φ kj em [φ ∗∗ ], sendo: ~

j k

φ = Φ jk g g = Φ g j g k . Exemplos:

1) Se em determinada base (qualquer) a matriz contravariante associada ao diádico (incompleto) φ é

18  − 5 2 − 4  36   2 [φ ] =  2 − 8 − 2, então [Φ∗∗ ] = (g1g 2g3 )  18 9 − 4 − 2 − 5 − 36 − 18 ∗∗

− 36  − 18. 36 

2) Analogamente, se

6  4 − 6 − 6 − 3 6 [φ ∗∗ ] = − 1 3 2 , então [φ ~∗∗ ] = (g1g 2 g 3 ) 2  1 − 2 − 2.  3 − 6 − 5  3 6 6  Para a caracterização dos diádicos planares, lineares e seus variantes aplicaremos os critérios gerais listados a seguir. Caracterização dos diádicos lineares. Serão lineares todos os diádicos em cujas matrizes (qualquer uma delas) se constate: 1°) a ocorrência de apenas duas filas (linhas ou colunas) paralelas nulas; 2°) a ocorrência de uma fila nula, paralela a duas outras proporcionais; 3°) a ocorrência de três filas paralelas proporcionais. Deve ser observado que em todas as matrizes associadas a um mesmo diádico (linear) verifica-se um dos casos acima citados. Assim, por exemplo, se em uma das matrizes duas colunas são nulas, numa outra as colunas poderão ser proporcionais.

II, § 09.09

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.

203

Exemplos:

1°)

 −3   1   −3

6 −2 6

6  1  −2 ,  1  6   −1

1  1 ,  −1

1 1 −1

matrizes com três filas paralelas proporcionais;

2°)

 1   −1   0

0 0 0

2  0  −2 ,  0  0  0

−2 1 −1

2  −1,  1

matrizes com uma coluna nula, paralela a duas outras proporcionais;

3°)

0  0  0

0 0 0

2  0  −1,  0  3  0

2  0 ,  0

0 0 0

matrizes com apenas duas colunas paralelas nulas. Caracterização dos ortolineares. Estes diádicos são lineares (caso anterior) e têm escalar nulo. Exemplos: 1°) - o de matriz mista

[φ ∗∗ ] =

4 2 2 0 0 0  , numa base qualquer.  − 1 − 1 − 2

2°) - o de matriz co-variante

 12  [φ ∗∗ ] =  0   −6

18 0 −9

12   0 ,  −6 

na base de métrica co-variante

2  [G∗∗ ] = 2  1

2 5 1

1  1.  2

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

204

Com efeito, pois, sendo: [φ∗ ∗ ] = [G∗∗ ]. [φ∗∗ ] , e

 9  [G∗∗ ] = [G∗∗ ]−1 = 1  −3 9   −3

−3 3 0

−3   0 ,  6

encontramos:

φ E = φ ij G

1 9

(12 × 9 + 18 × 3 + 12 × 3 + 6 × 3 + 9 × 0 + 6 × 6) = 0.

Notar que [ φ ∗∗ ] tem uma linha nula, as duas outras paralelas proporcionais, e traço não nulo (veja final do § 09.04). 3°) - Analogamente, é ortolinear o diádico de matriz co-variante

− 1 − 3 [φ φ ∗∗ ] =  0 0  0 0

0 0 0

na base de métrica co-variante idêntica à do exemplo anterior. Observa-se novamente, pela análise de [ φ ∗∗ ] , que o diádico é linear, mas seu escalar (um invariante) não é traço de

[ φ ∗∗ ] (que vale

- 1); pois: φ E

= φ jk G

= 0 , conforme ((01), § 09.04).

Caracterização dos planares. Relativamente à sua matriz associada (qualquer uma delas) caracterizam-se estes: 1°) - pela ocorrência de uma fila de coordenadas nulas e as outras duas filas paralelas não proporcionais; caso em que um dos vetores do motivo do diádico (§ 02.07) é o vetor nulo e os outros dois não são paralelos; Exemplo: 3  A  B

0  0,  0

0 3 C

2°) - pela ocorrência de apenas duas filas paralelas proporcionais, caso em que apenas dois dos vetores do motivo são paralelos. Exemplos:

 −2   0   2

II, § 09.09

0 −3 2

1  0 ,  −1

 1   −1   1

0 1 0

1  3,  1

2  2  2

1 1 2

−1  −1.  −1

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.

205

3°) - pela ocorrência de uma fila que é uma combinação linear das outras duas; caso em que os três vetores do motivo são coplanares, mas não paralelos. Exemplos:

 4   −1   3

−6

 0  10   5

−2

3 −6

−6 −4

−6   2 , (a terceira linha é igual à metade da primeira subtraída da segunda);  −5  3  5 , (a terceira linha é igual à semi-soma das duas primeiras).  4 Caracterização dos uniplanares e dos unilineares

Observemos inicialmente que, conforme Corol. 2, Teor. 4, § 04.02: todo diádico planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear); mas existem diádicos uniplanares que não são simétricos. Além disso, se a matriz mista associada a um diádico é simétrica (antisimétrica) o diádico não é simétrico (anti-simétrico) necessariamente. Assim se {a,b,c} e {a*,b*,c*} são bases recíprocas e φ = N(cb ∗ − bc ∗ ) , com

0  [φ ∗ ] =  0  0 ∗

0 0 N

0  − N ,  0

φ ≠ −φ , não obstante ser [φ ∗ ∗ ] = −[φ ∗ ∗ ] . Analogamente, se com φ = N(cb ∗ + bc ∗ ) T

0  [φ ∗ ∗ ] =  0  0

0 0 N

0  N ,  0

φ ≠ φ , não obstante ser [φ ∗ ∗ ] = [φ ∗ ∗ ] . Isto se justifica porque as matrizes associadas são as mista. T

Entretanto se um diádico estiver representado pela sua matriz contravariante, ou por sua matriz co-variante, a constatação de sua uniplanaridade poderá ser feita pela simples verificação da unilinearidade do seu adjunto. Com efeito, a unilinearidade de um diádico dado por sua matriz contravariante, ou por sua matriz co-variante, é constatada pela condição de que qualquer uma dessas matrizes tenha todos os elementos nulos, exceto um, e apenas um, pertencente à diagonal principal. Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

206

Exemplo: Digamos que a matriz contravariante de φ (na base {g1,g2,g3}) seja

3

0 3 0

 [φ∗∗ ] = 1   0

0  0. 0

Que φ é planar é obvio, porque uma das filas (linha ou coluna) é nula e as outras duas não ~ são proporcionais. O adjunto de φ , φ , porém, tem matriz co-variante

0  [Φ∗∗ ] =  0  0 ~

0 0 0

0  0 ,  9

3 3

isso é, φ = 9 g g , diádico obviamente unilinear. Logo, φ é uniplanar (Corol.4, Teor.2, § 08.01). Deve ser observado ainda, neste exemplo, que, não obstante ser φ uniplanar, φ não é simétrico: T

φ = 3g 1g 1 + g 2 g 1 + 3g 2 g 2 ≠ φ = 3g 1 g 1 + g 1g 2 + 3g 2 g 2 . Exercício: Comprovar que é uniplanar o diádico que na base ortonormada {ijk} tem matriz associada

[φ]ijk

 0  = 0  senα

senα   − cosα ., 0 

0 0 cosα

e especificar seus planos. Caracterização dos ortoplanares.

O ortoplanar é caracterizado por ter adjunto ortolinear (Corol.4,Teor.1,§ 08.01). Exemplos:

1°)

II, § 09.09

 1 −2 3   φ ∗ ] = 10 −5 5,  5 −4 5

[φ ∗

[φ ∗ φ

∗

 − 5 − 2 5   =  −25 −10 25.  −15 − 6 15

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. ∗

207

A matriz mista [ φ ∗ ] tem três filas proporcionais e tem traço nulo; logo, o diádico φ é ortolinear e, portanto, φ é ortoplanar.

0  [φ ∗ ∗ ] =  A  B

2°)

A matriz [ φ

∗

]

0 0 C

0  0  , (A ≠ 0);  −3 

 0  [φ ∗ ∗ ] ~ =  3A   AC

0  0.  0

0 0 0

tem apenas duas colunas nulas (por hipótese A≠0); logo φ

ortolinear porque é linear e tem escalar nulo (nesse caso o traço de [ φ

∗

é diádico

] é o escalar de

φ ). 4  3°) - O diádico de matriz co-variante [φ ∗∗ ] =  4  5 2  co-variante [G∗∗ ] =  2  1

2 5 1

Φ jk g

jg k

2 4

4  4 , na base de matriz métrica  5

1  1, é diádico ortoplanar. Porque, sendo  2  −6  ~ [φ ∗∗ ] =  0   6

φ~

6 0 −6

0  ∗∗ 0  = [Φ ] ,  0

, tem-se: ~

φ E = Φ G jk = −6 × 2 + 6 × 2 + 6 × 1 − 6 × 1 = 0, isso é, o adjunto de φ é ortolinear (é linear e tem escalar nulo); logo, φ é ortoplanar. (Notar ~ ~ que o traço de [ φ ∗∗ ] é -6 e não representa o escalar de φ ). Os diádicos antitriangulares e sua caracterização.

Vimos (Corol.1, Teor.7, § 05.04) que se um diádico ψ é ortoplanar e tem escalar nulo, existe uma base ortonormada { $i , $j , k$ } em relação a qual ψ fica reduzido a uma forma tal, que:

ψ T = (ˆj.ψ T .î )ˆjî + (kˆ .ψ T .î )kˆ î + (kˆ .ψ T .ˆj)kˆˆj e reciprocamente. Então, nessa base - em que $i é do plano dos conseqüentes de ψT, k$ é do plano dos antecedentes e $j é o vetor unitário da interseção desses planos, a matriz (única) associada a ψT é:

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

208

 0  [ψT ] =  $j. ψT . $i $ T $ k. ψ . i

0  0,  0

0 0

$ ψT . $j k.

(01),

donde

0  [ψ] =  0  0

$i. ψ. $j

0 0

$i. ψ. k$   $j. ψ. k$ ,  0 

(02).

Definição: (diádico antitriangular) Em vista de (01) e (02), o diádico ortoplanar de escalar nulo será denominado diádico antitriangular81 ; a esse nome poder-se-á acrescer o vocábulo "superior" ou "inferior" quando se pretender especificar a posição do triângulo de elementos não nulos, em relação à diagonal principal. Exemplos:

0  ∗ 1°) - Se em certa base (qualquer), [φ ∗ ] =  2  2

0  −2 2 , o diádico correspondente,  −3 2  φ, é antitriangular. Que φ E = 0 é evidente; provemos que φ é ortoplanar. Temos:  2  ∗ [Φ ∗ ] =  0   −2

−2 0 2

2  0 ,  −2 

isso é, φ , o adjunto de φ, é ortolinear (linear de escalar nulo); logo, φ é ortoplanar.

 −1  2°) - O diádico de matriz co-variante [φ ∗∗ ] =  3   −6 variante 2  [G∗∗ ] =  1  2

1 2 −1

−2 −1 −2

−2   −1 na base de métrica co −2 

2  −1 é antitriangular.  5

81Justifica-se o nome porque as clássicas matrizes triangulares são aquelas que apresentam elementos todos nulos situados apenas de um dos lados da diagonal principal.

II, § 09.09

§ 09.09

- Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.

 9  Com efeito, [G∗∗ ] = −7   −5

−7 6 4

−5  4 ,  3

 0  e [φ∗∗ ] = [G∗∗ ][φ∗∗ ] =  1   −1

209

−1 0 0

−1  0 .  0

Sendo

 0  [φ ∗ ] =  −1   −1 ∗

−1  0  0

1 0 0

0  [φ ∗ ] =  0  0 ∗

0 −1 1

0  −1,  1

vê-se que φ é ortolinear (linear de escalar nulo), isso é, φ é ortoplanar. Mas φ E = 0 ;logo φ é antitriangular. Se pusermos

r1 = −g1 + 3g 2 − 6g 3 r 2 = −(2g1 + g 2 − 2g 3 ) 

s1 = g1 s = g 2 + g 3  2

escreveremos: φ = r i s i (i=1,2), o plano dos antecedentes sendo ortogonal ao plano dos conseqüentes (r1 × r 2 é ortogonal a s1 × s 2 ) . Denotando por $i e k$ os unitários das normais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de φ, respectivamente, podemos comprovar, não sem algum trabalho, que:

1 ˆ (−12g1 + 10g 2 + 7g 3 ), i = 17  ˆ ˆ ˆ 2 g1 , j = k × i = − 17  kˆ = 2g − 2g − g . 1 2 3   Então, em relação a {$i , $j, k$ } , a matriz de φ é:

[φ]ijk

 0 0  0  4 =  ˆj.φ.ˆi 0 0 =  17  kˆ .φ.ˆi kˆ .φ.ˆj 0 

0 0  84 ˆ ˆ 24 ˆ ˆ 4 0 0 , pois: ˆj.φ.ˆi = , k.φ.i = , k.φ.j = . 17 17 17 17  6 1 0 *

0 21

Exercício: Se M=ajej=Aijeiej é um diádico de Moreira: A12A23A31=A21A13A32; e reciprocamente. Mostrar, então, aplicando a condição ((02), §03.03), que o diádico de matriz contravariante associada

3 6 1  − 3 − 5 − 6 ,    3 3 4  em relação à base {e*}, é um diádico de Moreira.

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

210

⇒

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. Uma equação vetorial de três variáveis escalares (§ 03,I), do tipo

aX + bY + cZ = o ,

(01),

onde a, b e c são vetores dados não paralelos (logo, não nulos) e independentes das letras X, Y e Z, é dita uma equação homogênea. As letras X, Y e Z, cujos valores estão a determinar, são ditas as incógnitas da equação; um conjunto delas que torne (01) uma identidade é dito o conjunto solução de (01). Obviamente, toda equação homogênea admite a solução X = Y = Z = 0; esta é denominada a solução nula ou trivial de (01). Uma CNS para que (01) apresente solução diferente da trivial é que os vetores a, b e c sejam coplanares, conforme ((043),§ 03.02,I). Se os vetores a, b e c são coplanares e não paralelos existem infinitos conjuntos solução para a equação (01), nenhuma incógnita sendo nula. Quando dois quaisquer dos vetores são paralelos a equação (01) padece de certa singularidade, não muito relevante. Uma equação homogênea em que os três vetores são paralelos implica, necessariamente, a solução indeterminada. Com efeito, a equação seria da forma (AX+BY+CZ) a = o, com A, B e C constantes; logo, AX+BY+CZ = 0, isso é, X, Y e Z indeterminados. Procuremos inicialmente uma solução essencialmente geométrica para a equação. O plano dos vetores a, b e c é um subespaço do espaço tridimensional, bastando dois dos vetores, digamos a e b, para caracterizá-lo. Designando por a* e b* os seus recíprocos - ambos facilmente determináveis (§ 03.02,I) - podemos multiplicar escalarmente ambos os membros de (01) por esses vetores e transpor termos para obtermos, sucessivamente:

- X = (c.a∗ )Z , - Y = (c.b ∗ )Z 

(02).

Observemos por (01) que se um terceto (X,Y,Z) é solução dessa equação, então (MX,MY,MZ), M = número real arbitrário ≠0, é também solução da mesma. Isto significa que, em (02), podemos atribuir um valor arbitrário a Z para obter qualquer um dos infinitos tercetos solução da equação. Se, entretanto, impusermos que os números X, Y e Z satisfaçam a determinada relação arbitrária,

F(X, Y, Z) = 0,

(03),

a equação (01) admitirá um número finito de soluções. Se (03) for uma relação linear a solução de (01) será única. Podemos abordar a solução geométrica de (01) de outro ponto de vista. Indexando as letras, podemos escrever a equação na forma: 1

a 1 X + a 2 X + a 3 X = a i X = o, II, § 09.10

(04),

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares.

211

sendo

( a 1a 2 a 3 ) = 0. Se x é um vetor que em relação a uma base {g1,g2,g3} tem coordenadas Xi, escrevemos: i

x = X g i , donde, X = x. g

(05).

Logo, (04) pode ser escrita na forma: i

a i ( g . x) = (a i g ). x = 0 . Pondo-se

φ = a i g i , com φ 3 = 0,

(06),

resulta a expressão diádica equivalente a (04): φ . x = o.

(07).

Assim:

Toda equação vetorial homogênea de três variáveis escalares, do tipo (04), pode ser representada, em relação a uma base virtual, por uma equação do tipo (07), onde: 1º) o diádico φ, planar, tem por antecedentes os vetores da equação (04); 2º) o vetor x, a incógnita, tem por coordenadas, naquela base, os coeficientes Xi em (04). Posto que, então, φ seja diádico planar - no caso com antecedentes dependentes - a incógnita x de (04) é transformada num vetor do plano dos antecedentes. O adjunto de φ, linear, usado como pós-fator, transforma qualquer vetor r de E3 num vetor ortogonal ao plano dos antecedentes de φ (Teor.1,§ 08.04); porém, usado como pré-fator, transforma qualquer vetor num dos infinitos vetores solução de (07). Com efeito, temos, lembrando ((11),§ 08.01) e que φ3 = 0:

φ . ( φ ~ . r ) = (φ . φ ~ ) . r = φ 3 r = o . ~

Então qualquer vetor paralelo a φ . r é solução de (07) e, portanto, de (04). Temos, ainda: ~

φ =

1 i 1 (g × g j )(ai × a j ) = (g1g 2 g 3 )ε ijk g k (ai × a j ), 2 2

(08),

e ~

φ .gm =

1 2

1 2 3

( g g g )ε

ijk

(a i a j g m )g k .

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

212

Um vetor paralelo a φ . g m é, então, por exemplo:

φ .gm ~

x′ =

1 2 3 (g g g )

1 2

ijk

(a i a j g m )g k .

Ora, se n$ é unitário da normal ao plano dos antecedentes de φ, podemos escrever o número (aiajgm) na forma |ai||aj|sen(ai,aj) n$ .gm; logo:

$ g m ) (i ≠ j ≠ k = 1,2,3). 82 x ′ = g k | a i || a j |sen( a i , a j )( n. Então, um vetor solução de (07) é

sen(a i ,a j ) g k i ≠ j≠ k =1,2,3, |a k |

(09),

$ g m ) x. sendo x ′ =| a 1 || a 2 || a 3 |( n. Procuremos, agora, uma solução algébrica para a equação. Se pusermos, em relação à base {g1,g2,g3}: j

a i = φ i g j , com ( a 1a 2 a 3 ) = 0,

(10),

o diádico será escrito na forma ((02),§ 09,08), e a equação (04) na forma: j

φ i X = 0 (i, j = 1,2,3),

(11);

φ 1 X 1 + φ 1 X 2 + φ 1 X 3 = 0 2 3  1  2 1 2 2 2 φ 1 X + φ 2 X + φ 3 X 3 = 0  φ 31 X 1 + φ 32 X 2 + φ 33 X 3 = 0,

(12).

ou, na forma expandida:

Em (12) temos um sistema de equações lineares, homogêneas, cujo determinante é nulo porque a matriz do sistema, cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vetores ai na base {g1,g2,g3}, é:

82Observar que não se aplica, aqui, a convenção somatória porque os índices repetidos estão todos no mesmo nível.

II, § 09.10

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares.

φ 1  1 2 [ φ ] = φ 1  3 φ 1

213

  2 φ 3 , e | φ | = 0. 3  φ 3

2 2 2

Temos também:

φ 1  1 T 1 [φ ] =  φ 2  1 φ 3

2 2 φ 3

 Φ1   1 ~ 2 3 φ 2 , donde, [φ ] = Φ 1  3 3  φ 3 Φ 1

1 2

2 2

1 Φ 3  2 Φ 3 . 3  Φ 3

Pondo ((03).§ 09.08) na forma ~

φ = g k (Φ

k n

g ),

(14), ~

e comparando esta expressão com (08), vemos que as linhas de [ φ ], representadas também pelos vetores Φkngn em (14), são proporcionais entre si porque os vetores a i × a j em (08) são todos ortogonais ao plano dos antecedentes de φ (e, portanto, paralelos)83. Isto, aliás, ~

também já sabíamos (§ 09.09) porque φ é linear. ~

Como φ .gm é paralelo ao vetor solução do sistema, de (14) deduzimos: ~

φ .gm = Φ

k m

gk ,

isso é: qualquer coluna de [ φ ] é paralela ao vetor solução. Resulta, então, facilmente, a seguinte regra para a determinação da solução de (12):

já tendo escrito a matriz [φ] T, as coordenadas do vetor x, solução do sistema, são os complementos algébricos dos elementos de uma qualquer de suas colunas. Exemplo numérico. Seja resolver o sistema homogêneo, de determinante nulo:

 −1X 1 +1X 2 + 0X 3 = 0    +9X 1 + 3X 2 + 6X 3 = 0   +8X 1 + 0X 2 + 4X 3 = 0,

(15).

83Isto comprova um clássico teorema: "Em todo determinante nulo os complementos algébricos dos elementos de uma fila são proporcionais aos complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela".

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§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

214

Tem-se logo:

 −1  T [φ ] =  1   0

8  0 ,  4

9 3 6

donde, considerando a terceira coluna, por exemplo:

1 T {x} =   0

3 6

−

−1

9 −1

9  = [ 6 6 − 12] = 6 [1 1 − 2], 3 

vetor solução do sistema. ~

Verifiquemos a proporcionalidade das colunas de [ φ ]: 2ª coluna:

 1 T {x ′} =  −  0

0 −1

−

−1 1

8  = [ −4 0 

− 4 8] = −4 [1 1 − 2];

1ª coluna:

3 T {x ′′} =   6

0 4

−

8 9

4 3

8  = [12 12 − 24] = 12 [1 1 − 2] 0 

sendo, obviamente, x | | x ′ | | x ′′ , todos soluções de (14). Similarmente podem ser resolvidos os sistemas:

1X 1 +1X 2 + 0X 3 = 0   1  9X +1X 2 + 6X 3 = 0  8X 1 + 0X 2 + 6X 3 = 0,

 −3X 1 + 1X 2 + 0X 3 = 0    9X 1 + 5X 2 + 6X 3 = 0   8X 1 + 0X 2 + 2X 3 = 0,

(16).

É fácil, agora, analisar certas particularidades já aludidas no início deste parágrafo. No caso em que b | | c (ou a 2 | | a 3 ) por exemplo, deduzimos resultados análogos com algumas particularidades não muito relevantes. Assim, as duas últimas linhas de [φ φ]T são ~ proporcionais, o que acarreta a primeira linha de [ φ ] com elementos nulos. Então, o vetor solução tem como primeira coordenada o número zero, sendo, pois, solução da equação, qualquer vetor do plano (g2,g3). II, § 09.10

§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial.

215

No caso em que os três vetores são paralelos, todas as linhas de [φ φ]T são ~ ~ proporcionais (φ φ é linear) e todos os elementos de [ φ ] são nulos ( φ = Ο), resultado que, aliás, já conhecíamos (Corol.2,Teor.2,§ 08.01). Nesse caso, então, um vetor solução é o vetor zero (que corresponde à solução trivial). Por outro lado, se escrevermos: ai = uAi, então, i

φ . x = o = u (A i g ) . x, isso é, pondo

a = A i g i = (u.a i )g i = u.φ , deduzimos:

( u. φ ) . x = 0. Logo:

Se (g1g2g3)≠0, se φ = aigi é linear, e se u$ é o unitário que define a direção dos antecedentes de φ, então qualquer x do plano ortogonal ao vetor û.φ é solução da equação φ.x = o. * Exercício: Resolver o sistema

 2X 1 + 4X 2 + 6X 3 = 0   1  X + 2X 2 + 3X 3 = 0   3X 1 + 6X 2 + 9X 3 = 0. ⇐ *

§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. Para ampliar a harmonia do Cálculo Poliádico com o Cálculo Matricial é necessário definir novas operações para este último visando a tradução das duplas multiplicações de diádicos por meio das matrizes que lhes são associadas84.

Definição: (duplo produto pontuado de duas matrizes) Chamaremos duplo produto pontuado de duas matrizes A e B, de mesmas ordens, e o representaremos por A : B, o número que se obtenha somando-se todos os produtos dos seus elementos correspondentes.

84 Uma ampliação dessa operação será feita no § 06.02, IV.

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

216

Assim, se A e B são de ordem M x N e têm elementos genéricos correspondentes Aij e Bij, então:

[A] : [B] = A i jBi j = A11B11 + A12 B12 + ... + A MN BMN ,

(01).

A dupla multiplicação pontuada matricial é a operação que tem por fim determinar o duplo produto pontuado de duas matrizes. É uma operação sempre possível e unívoca, e goza das mesmas propriedades da dupla multiplicação pontuada de diádicos. Particularmente, lembrando ((01),§ 09.04), tem-se:

[φ ∗∗ ]:[G ∗∗ ] = [φ ∗∗ ]:[G ∗∗ ] = [φ ∗∗ ]:[G ∗∗ ] = [φ ∗∗ ]:[G ∗∗ ] = Tr[φ ∗∗ ] = Tr[φ ∗∗ ] ,

(011).

Escrevendo

φ = φ i j eie j = φi j ei e j = φ i j eie j = φi j eie j temos, por definição de norma de um diádico (§ 07.02):

|| φ || = φ : φ = φ i j φi j = φ i j φi j ,

(01),

isso é:

A norma de um diádico vale a soma dos produtos de suas coordenadas correspondentes de nomes contrários. Em termos matriciais escrevemos:

|| φ || = [φ ∗∗ ] : [φ ∗∗ ] = [φ ∗ ∗ ] : [φ ∗ ∗ ] ,

(011);

então:

A norma de um diádico - um número sempre positivo - é igual ao duplo produto pontuado de suas matrizes associadas de nomes contrários85.

Surge espontaneamente a necessidade da definição de uma operação entre matrizes quadradas 3 x 3, de resultado matriz quadrada 3 x 3, que pudesse representar a matriz associada ao duplo produto cruzado de dois diádicos a partir das matrizes 3 x 3 associadas aos diádicos fatores. Consideremos a expressão geral ((03), § 07.01) que dá o duplo produto cruzado de dois diádicos φ e ψ em função deles próprios (de seus transpostos e de seus escalares) e de I: φ ×× ψ = φ E ψ E Ι + ψ T .φ T + φ T .ψ T − ψ E φ T − φ E ψ T − (ψ T .φ T ) E Ι (02). 85Quando o espaço das matrizes é referido a bases ortonormadas, a operação de dupla multiplicação de uma matriz por si própria - que define a norma dessa matriz - caracteriza esse espaço como euclidiano.

II, § 09.11

§ 10.01 - Espaço diádico.

217

Ora, o elemento genérico da matriz associada a φ ×× ψ é a soma dos elementos correspondentes das matrizes associadas aos vários diádicos parcela, φ E ψ E Ι , ψ T .φ T etc. Pondo φ = φ i j e i e j e ψ = ψ i j e i e j , deduzimos de (02),

( φ ×× ψ ) i j = e i .(φ ×× ψ ) .e j = φ E ψ E δ i j + ψ s i φ j s + + φ si ψ j s − ψ E φ ji − φ E ψ j i − ψmn φ nmδ i j ,

(021).

A segunda parcela em (021), ψs i φ js , representa o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto [ ψ∗∗ ]T .[φ ∗∗ ]T . Analogamente, a terceira parcela, φ si ψ j s , representa o

elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto [φ ∗ ∗ ] T . [ ψ∗∗ ] T . A última parcela é representada por ( [φ ∗ ∗ ]T : [ ψ∗ ∗ ] )[ Ι ∗ ∗ ] . Então, lembrando ((031), § 09.02):

[φ

× ×

ψ ]∗∗ = φ E ψ E [Ι ] + [ψ ∗∗ ]T .[φ ∗∗ ]T + [φ ∗∗ ]T .[ψ ∗∗ ]T − −ψ E [φ ∗∗ ]T − φ E [ψ ∗∗ ]T − ( [φ ∗∗ ] : [ψ ∗∗ ] )[Ι ] ,

(03).

Portanto:

A matriz mista de certo nome associada ao duplo produto cruzado de dois diádicos se expressa em função de operações com as matrizes mistas de nome contrário associadas aos seus transpostos.

§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS. § 10.01 - Espaço diádico. O conjunto de todos os diádicos, φ, ψ etc., criados dentro da Geometria Euclidiana, para os quais estão definidas as operações de multiplicação por número real e de adição, como no § 02.02 e no § 04, respectivamente, a primeira operação gozando das propriedades: 1 φ = φ,

A(Bφ) = (AB)φ, (A + B + ...)φ = Aφ + Bφ + ..., A(φ + ψ + ...) = Aφ + Aψ + ..., e a segunda, das propriedades

(φ + ψ ) + χ = φ + (ψ + χ), φ + ψ = ψ + φ, φ + Ο = φ, φ + ( − φ) = Ο ,

Poliádicos - Ruggeri

218

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

constitui um espaço linear montado sobre a Geometria Euclidiana. Por serem diádicos os seus elementos, chamá-lo-emos também de espaço diádico86. Esse espaço, entretanto, não pode conter as figuras em geral da Geometria Euclidiana, nem o espaço dos vetores. O conjunto dos diádicos lineares e unilineares, planares e uniplanares (§ 03.01), formam espaços diádicos particulares (subespaços) dentro da Geometria Euclidiana. Para os conceitos que serão emitidos a seguir faltará provisoriamente o importante suporte da interpretação geométrica com o qual vínhamos respaldando a teoria; quando for possível esta interpretação, ela poderá ser extremamente complexa (ver § 10.03 e seguintes). A teoria será, então, exposta em forma essencialmente algébrica, mantendo espetacular analogia com as teorias vetoriais, até que se introduzam novos conceitos geométricos. Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos.

Dados G diádicos αi, podemos ordená-los e dispô-los mentalmente em ordem cíclica positiva (horária) nos vértices de um G-ágono regular. Interessa-nos pesquisar a existência de G números Mi, não simultaneamente nulos (nsn), com os quais possamos constituir a combinação linear desses diádicos: M i α i = Ο . Escrevamos cada um dos diádicos αi, por hipótese gerados do E3, em relação às bases vetoriais recíprocas {e*} e {e*}, nas formas trinomial e cartesiana mista87 (covariante /contravariante) seguintes :

α i = a ik e k ,

(i = 1, 2, ..., G e k = 1, 2, 3),

(01),

α i = A i j k e je k ,

(i = 1, 2, ..., G e j, k = 1, 2, 3),

(02),

a cada diádico αi estando associada a matriz 3 x 3

A i 1  1 i [α ] =  A i21  i1  A 3

A i12 A i22 A i32

A i13   A i23  ,  A i33 

(021).

Temos, também, evidentemente, partindo da expressão M i α i = Ο :

∀ j = 1,2,..., G:

(α j : α i ) M i = 0 ,

(03).

A combinação linear em referência é, então, relativamente às (01), equivalente ao sistema homogêneo de 3 equações vetoriais, 86 Na linguagem da Álgebra Linear, o espaço diádico é um "espaço vetorial" cujos "vetores" são diádicos. 87 É evidente que poderíamos escrevê-los também nas formas cartesianas duplamente co-variantes e duplamente contravariantes.

II, § 10.01

§ 10.01 - Espaço diádico.

219

 M a 11 + M a 21 + M a 31 +...+ M a G1 = o 2 3 G  1  M 1a 12 + M 2 a 22 + M 3 a 32 +...+ M G a G2 = o   M 1a 13 + M 2 a 23 + M 3 a 33 +...+ M G a G3 = o,

(011),

ou, relativamente às (02), ao sistema linear homogêneo de 9 equações algébricas,

 A 1 1 M + A 2 1 M + A 3 1 M +... + A G 1 M = 0 1 2 1 3 1 G  11 2 1 2 2 3 2 G 2  A 1 M 1 + A 1 M 2 + A 1 M 3 +... + A 1 M G = 0 .  .  .  A 1 3 M + A 2 3 M + A 3 3 M +... + A G 3 M = 0, 3 1 3 2 3 3 3 G

(022),

ou, ainda, relativamente às (03), ao sistema de G equações algébricas lineares,

(α1 : α1)M + (α1 : α 2 )M + (α1 : α 3 )M +... + (α1 : α G )M = 0 1 2 3 G  2 1 2 2 2 3 2 G ( α : α )M + ( α : α )M + ( α : α )M + ... + ( α : α )M 1 2 3 G =0  .  .  . (α G : α1)M1 + (α G : α 2 )M 2 + (α G : α 3 )M 3 +... + (α G : α G )M G = 0,

(031).

A esses sistemas podemos associar, respectivamente: 1) - a matriz 3 x 9, de elementos vetores, cuja i-ésima coluna é formada com os antecedentes dos diádicos αi:

 a 11  12 a  13 a

a 21

a 31

...

a 22

a 32

...

a 23

a 33

...

a G1   a G2  ,  a G3 

(013);

2) - a matriz numérica 9 x G,

A1 1  1 1 2 A 1  1 3 A 1  ...  A 1 2 3  1 3  A 3

A 21 1

A 31 1

A 41 1

...

A 21 2

A 31 2

A 41 2

...

A 21 3

A 31 3

...

A 23 2

A 33 2

A 43 2

...

A 23 3

A 33 3

A 43 3

...

A G1 1   A G1 2   A G1 3  , ...   A G3 2   A G3 3 

(023),

Poliádicos - Ruggeri

220

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

cuja i-ésima coluna, imaginada dividida essa matriz em três blocos horizontais de três linhas cada um, tem para elementos do primeiro bloco os elementos correspondentes da primeira linha da matriz (021) associada a αi, para elementos do segundo bloco os elementos correspondentes da segunda linha dessa matriz, e para os do terceiro bloco os da terceira linha; 3) - a matriz G x G

 (α1 : α1 )  2 1  (α : α )  ...  (α G −1 : α1 )   (α G : α1)

(α1 : α 2 )

(α1 : α 3 )

(α 2 : α 2 )

...

... (α

G −1

...

:α ) 2

(α G : α 2 )

...

(α

G −1

...

:α ) 3

...

(α G : α 3 )

...

(α1 : α G )   (α 2 : α G )   ... , G −1 G  (α :α )  (α G : α G ) 

(032).

Definições: (matriz associada e matriz métrica de G diádicos) A matriz de elementos vetoriais aik, dada por (013) e a de elementos numéricos dada por (023), ou suas transpostas, serão denominadas matrizes associadas aos G diádicos. A matriz simétrica (032), de elementos αi:αj será denominada matriz métrica do conjunto dos G diádicos. Examinemos o sistema vetorial (011) que representa combinações lineares entre os correspondentes antecedentes dos αi. Imaginados os G vetores de cada uma das combinações dispostos co-inicialmente num ponto O do espaço, algumas hipóteses relativas às eventuais singularidades (coplanaridade e paralelismo) de grupos desses vetores podem ser aventadas: 1)- Se G = 2, os correspondentes antecedentes de α1 e α2 são paralelos. Nesse caso os diádicos são ditos paralelos (e já foram definidos no § 02.02). Devemos notar que esses diádicos podem ser completos (Fig. 10.01,a)), planares (Fig. 10.01,b)) ou lineares.

2)- Se G = 3, os correspondentes antecedentes de α1, α2 e α3 são coplanares.

II, § 10.01

§ 10.01 - Espaço diádico.

221

Nesse caso, como no anterior, os diádicos poderão ser completos, planares ou lineares. Quando completos, definem uma estrela de (no máximo) 12 planos: três correspondentes a cada diádico completo (no total, 9) e um correspondente a cada combinação (no total, 3), Fig.10.02.

Diremos, por isso, que esses três diádicos são dodecaplanares ou, simplesmente, 12-planares. Quando um, dois ou os três diádicos são incompletos a estrela definida tem, respectivamente, 10, 8 e 6 planos no máximo; e os três diádicos são ditos decaplanares (ou 10-planares), octoplanares (ou 8-planares) e hexaplanares (ou 6-planares). Além disso, poderá acontecer também que dois dos diádicos, ou todos os três, sejam paralelos. Nesse último caso os tercetos de antecedentes correspondentes estarão dispostos segundo as arestas de um triedro desde que os três diádicos sejam completos (Fig. 10.03,a)); os três diádicos serão ditos triplanares (ou 3-planares).

Esses antecedentes poderão, ainda, estar dispostos segundo duas retas concorrentes, ou segundo três retas concorrentes coplanares (Fig. 10.03,b)) se todos os diádicos forem planares, caso em que serão ditos uniplanares. Finalmente, esses vetores poderão estar dispostos segundo uma única reta se todos os diádicos forem lineares, e os três diádicos serão ditos unilineares.

Poliádicos - Ruggeri

222

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

3)- Se G = 4, três casos gerais podem ocorrer (em cada uma das três combinações lineares) com relação aos quatro antecedentes dos diádicos αi: a)- eles são não coplanares (Fig. 10.04,a)); b)- apenas três são não coplanares, o quarto vetor podendo ser paralelo a um dos planos definidos pelos anteriores (Fig. 10.04,b)), ou, mesmo, ser paralelo a um dos vetores anteriores (Fig. 10.04,c));

c)- os quatro vetores são coplanares, podendo ocorrer dois paralelos, dois pares paralelos, três paralelos ou quatro paralelos. Para a análise que será feita a seguir é oportuno observar de início que a cada diádico completo estão associados 3 planos e a cada incompleto 1 plano. Portanto, se dentre os 4 diádicos temos c completos e i incompletos, o número de planos da estrela de planos por eles definido é 3 c + i. Se em todas as três combinações ocorrer o caso a), cada combinação definirá C 24 = 6 planos distintos em geral; logo essas combinações definirão, no máximo, 18 planos para a estrela de planos correspondente. Se, além disso, dentre os 4 diádicos existirem i incompletos teremos (4 - i) x 3 + i + 18 planos, isso é, (30 - 2 i) planos; os 4 diádicos correspondentes serão ditos, por isso, (30 - 2i)-planares. Teremos, pois, nesses casos, 4 diádicos 30, 28, 26, 22 e 20-planares. Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso b), cada combinação definirá 3 planos para a estrela, logo num total de 9. Se i dentre os quatro diádicos são incompletos, a estrela terá, então, no máximo, (21 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos, (21 - 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 21,19, 17, 15 e 13-planares. Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso c), cada combinação definirá 1 plano para a estrela, logo num total de 3. Se i dentre os quatro diádicos forem incompletos, a estrela terá, então, no máximo, (15 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos, (15 - 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 15,13,11, 9 e 7-planares. Os casos em que G > 4 podem ser analisados analogamente, ficando bem evidente as dificuldades de interpretação geométrica a serem encontradas.

II, § 10.01

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

223

Se dentre G diádicos de um conjunto existem i incompletos, o número de planos por eles definido é no máximo 3 G - 2 i. Se, ainda, em cada uma das três combinações lineares dos antecedentes dos diádicos do conjunto, os G vetores que a formam são não coplanares, estarão definidos 3 × C 2G novos planos para compor a estrela de planos associada ao conjunto. Teremos pois, nesse caso, um total de, no máximo,

3G - 2i + 3C 2G =

3 G(G + 1) - 2i 2

planos distintos na estrela do conjunto. Para um conjunto de 8 diádicos completos, por exemplo, a estrela correspondente tem 84 planos. Se, em geral, apenas G - P dos antecedentes correspondentes de cada uma das combinações ( G - P > 2), e em todas as combinações, são não coplanares, estarão definidos C 2G-P planos para cada combinação linear dos vetores. Logo o número total de planos da 3 estrela será 3G - 2i + 3C 2G-P = G(G +1) - 2i - P(3G - P -1) , isso é, se G - P dos antecedentes 2 em cada combinação são não coplanares, o número total de planos da estrela diminui, em relação ao caso anterior, de P(3G - P - 1). Esses conjuntos de diádicos ainda constituem espaços diádicos dentro da Geometria Euclidiana. Por apresentarem singularidades - multiplanaridade de grupos dos antecedentes correspondentes (ou dos conseqüentes) de suas representações cartesianas – recebem a denominação especial de multiplanos.

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. Os sistemas ((022), ou (031), § 10.01), representativos de um multiplano, têm nove equações (porque nove são os elementos das matrizes (021) associadas aos diádicos) e G equações, respectivamente; ambos têm G incógnitas, Mi. Seja P o grau do determinante principal da matriz88 associada aos G diádicos αi (matriz do sistema). Se for P = G a matriz métrica ((032), § 10.01) dos G diádicos será regular e o sistema (031) admitirá apenas as soluções nulas. Então:

Se a matriz ((023),§10.01) associada a G diádicos αi, tem o principal do grau G, ou se a matriz métrica de G diádicos αi, (032), é regular, a combinação linear M i α i = Ο (i = 1, 2, ..., G) só é possível para os Mi simultaneamente nulos. Nesse caso diremos que os G diádicos são linearmente independentes no G-espaço a que pertencem. Assim, no espaço diádico montado sobre o E3 existem, no máximo, 9 diádicos linearmente independentes, cuja matriz métrica 9 x 9 é regular. Nos subespaços diádicos 88 Recordemos que o principal de uma matriz é o determinante não nulo da maior ordem que se pode extrair dessa matriz; o grau desse determinante é a característica ou o posto (rank, em inglês) da matriz.

Poliádicos - Ruggeri

224

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

(ou multiplanos) os diádicos linearmente independentes são em número G < 9, e as matrizes métricas G x G de cada conjunto são regulares. Se for G > P, isso é, se a matriz métrica dos G diádicos for não regular, haverá G - P incógnitas não principais e o sistema admitirá outras soluções além das soluções nulas89. Então:

Se a matriz (023) associada a G diádicos αi tem o principal do grau menor que G, ou se a matriz métrica de G diádicos αi, (032), é não regular, a combinação linear M i α i = Ο (i = 1, 2, ..., G) é possível para os Mi não simultaneamente nulos (e de infinitas maneiras). Nesse caso os G diádicos serão ditos linearmente dependentes no espaço diádico a que pertencem. Assim, no espaço diádico, 10 diádicos são sempre linearmente dependentes; num multiplano onde G diádicos são independentes, G+1 serão sempre dependentes.

Definição: (base e dimensão) Qualquer conjunto de G diádicos linearmente independentes de um espaço diádico montado sobre o EN é dito uma base diádica desse espaço; e G - o número máximo de diádicos linearmente independentes desse espaço - a sua dimensão. Notação: O espaço diádico de dimensão G, montado sobre o EN (espaço dos vetores, de dimensão N, com N=1, ou 2, ou 3), será denotado por 2EG sendo G≤N2; uma base de 2EG, formada com os diádicos ε1, ε2, ... , εG, será denotada por {εε*}. Resultam demonstrados, então, os seguintes teoremas:

Teor. 1: Uma CNS para que G diádicos de um espaço (G ≤ 9) formem uma base é que o principal da matriz (de ordem 9 x G) associada a esses diádicos seja do grau G. Teor. 2: O determinante da matriz métrica de uma base diádica pode ser considerado um número sempre positivo. Pois, se o principal da matriz métrica dos G diádicos inicialmente ordenados de uma base for um número negativo - caso em que a base será dita negativa - poderemos reordená-los de modo a que esse principal seja positivo. Para tal, bastará que troquemos de posição dois quaisquer dos diádicos contíguos (pois o principal simplesmente trocará de sinal); e a nova base será dita positiva.

Definição: Norma de uma base {ε*} é o determinante de sua matriz métrica, e se representa por ||ε*||. A raiz quadrada positiva da norma de uma base será dita o seu módulo, e será representada por |ε*|. 89Qualquer sistema fundamental de soluções do sistema consta de G - P soluções.

II, § 10.02

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

225

Temos, então:

| ε ∗ | = || ε ∗ || , sendo

ε 1 : ε 1 ε 1 : ε 2 ... ε 1 : ε G

|| ε ∗ || =

ε 2 : ε 1 ε 2 : ε 2 ... ε 2 : ε G

...

(01).

...

ε G : ε 1 ε G : ε 2 ... ε G : ε G * Exercício 1:

Sejam α e β os ângulos dos vetores e1 e e2 respectivamente com o unitário î de dada base ortonormada { î , ˆj } de um E2. 1) – Identifique as condições para que as díades e1e1, e1e2, e2e1, e2e2 constituam uma base para o espaço dos diádicos gerados desse E2 e determine o sistema recíproco delas; 2) – Comprove, então, que o quarteto auto-recíproco îî , îˆj, ˆjî , ˆjˆj constitui uma base de diádicos unitários e ortogonais entre si para o espaço dos diádicos gerados do E2. * Se {e*} e {e*} são bases vetoriais recíprocas do E3, as 9 díades

e 1e 1 , e 1 e 2 , e 1 e 3 , e 2 e 1 , ..., e 3 e 3 - diádicos particulares (lineares) cada um com apenas uma díade - constituem uma base do espaço diádico 9-dimensional. Com efeito, é impossível encontrar nesse espaço nove números Aij não simultaneamente nulos, tais, que A i je i e j = Ο (i,j=1, 2, 3). Observando que podemos escrever Aijeiej=ajej com aj=Aijei, vê-se que para que Aijeiej=Ο Ο, deve ser aj=o para ij qualquer j, o que é impossível, pois os A não são simultaneamente nulos. Então, simbolicamente escrevemos:

e 1e 1 : e 1 e 1 e 1 e 1 : e 1 e 2 ... e 1 e 1 : e 3 e 3

{e ∗ }, {e ∗ }

⇔

|| e ∗ e ∗ || =

e 1 e 2 : e 1e 1 e 1 e 2 : e 1 e 2 ... e 1 e 2 : e 3 e 3

...

> 0,

(02).

> 0,

(021),

e 3 e 3 : e 1 e 1 e 3 e 3 : e 1 e 2 ... e 3 e 3 : e 3 e 3 Ainda,

{e∗},{e∗}

⇔

|| e∗e∗ || =

e1e1 : e1e1

e1e1 : e1e2

...

e1e1 : e3e3

e1e2 : e1e1

e1e2 : e1e2

...

e1e2 : e3e3

...

e3e3 : e1e1

e3e3 : e1e2

...

e3e3 : e3e3

Poliádicos - Ruggeri

226

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

podendo-se também escrever, por analogia, expressões para ||e*e*|| e ||e*e*||. Resulta dessas expressões, | e ∗ e ∗ || e ∗ e ∗ | = 1 =| e ∗ e ∗ || e ∗ e ∗ |, (03). Com efeito, no primeiro caso, por exemplo, o produto da j-ésima linha do i-ésimo bloco horizontal do determinante (02) pela s-ésima coluna do r-ésimo bloco vertical do determinante (021) para G=9 é

( e i e j : e m e n )( e m e n : e r e s ) = e i e j : 4 Ι : e r e s = δ ir δ js . Então, todos os elementos do determinante produto serão nulos, exceto os pertencentes à sua diagonal principal; e esse determinante é igual a +1. * *

Pelo simples fato de {e*} e {e } constituírem bases recíprocas, qualquer conjunto de G díades distintas dentre as 9 díades, sinteticamente denotados por {e* e*}, {e* e*}, {e* e*} e {e* e*}, constituirão bases diádicas recíprocas do 2E9 (espaço diádico de 9 dimensões). De fato, as matrizes associadas às díades do conjunto {e*,e*}, por exemplo, em relação às bases vetoriais recíprocas são:

1 0 0 0 1 0 0 0 1  0 0 0  [(e1e1 ) ∗∗ ] = 0 0 0 , [(e1e 2 )∗∗ ] = 0 0 0 , [(e1e 3 )∗∗ ] = 0 0 0 , [(e 2 e1 ) ∗∗ ] = 1 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 etc.. A matriz associada ao conjunto é a matriz unidade 9x9 cujo determinante é igual a um. Exercício 2: Comprovar que as mesmas matrizes acima indicadas são associadas às díades dos demais conjuntos {e* e*}, {e* e*}, {e* e*}. Comprovar, ainda, que qualquer conjunto de G<9 díades de qualquer um dos conjuntos constitui base de um 2EG. Decomposição cartesiana de diádico em base diádica.

Fica também comprovado o seguinte

Teor. 3: Se, num 2EG gerado do E3 (G≤9),φ é um diádico qualquer e {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } é uma base diádica qualquer, existe um e um único conjunto de G números Mi tal, que φ = M i ε i (i=1,2,...,G):

∀φ , {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } ∈ E 3 , ∃ M i ( i = 1,2, ..., G ) ∈ R, G ≤ 9 | φ = M i ε i

(04).

Pois φ , ε 1 , ε 2 , ..., ε G são G + 1 diádicos de um mesmo subespaço, logo, linearmente dependentes. Então, existem números nsn, A, N1, N2, ..., NG tais, que Aφ + N i ε i = Ο . A ≠ 0 porque, do contrário, seria Niεi = Ο e todos os Ni deveriam ser nulos também (posto que os ε's constituem uma base). Mas isso é impossível porque A e todos os Ni não podem ser simultaneamente nulos (eles são linearmente dependentes por hipótese). Logo,

II, § 10.02

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

φ=−

227

ε i = M iε i . A Os números Mi são únicos porque se existissem outros, M'i, teríamos: i (M − M ′i )ε i = Ο Mas como os εi são linearmente independentes (formam uma base) a combinação implica que os coeficientes sejam todos nulos, isso é, Mi = M'i. Com outras palavras diríamos:

Todo diádico de um 2EG pode ser representado como uma combinação linear única dos diádicos de uma base desse espaço. Definição: (coordenadas cartesianas) Os G números Mi, únicos, que, na base diádica {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } de um 2EG, determinam univocamente dado diádico do mesmo, são ditos as coordenadas cartesianas desse diádico naquela base diádica (do 2EG). A expressão φ = M i ε i é dita, então, a decomposição cartesiana do diádico φ na base

{ε 1 , ε 2 , ..., ε G } (do 2EG). Esses conceitos generalizam a noção de coordenadas cartesianas de um diádico, já definida no § 09, onde os "diádicos de base" eram as 9 díades e 1e 1 , e 1 e 2 , ... . Diádico posicional.

Sem muito esforço podemos conceber "geometricamente", por abstração, "pontos no espaço diádico", cada ponto sendo definido por um "diádico posicional" em relação a uma origem fixa, diádico esse que, em relação a uma "base diádica" do espaço, é definido por G números (G ≤ 9), suas "coordenadas"90. O espaço diádico (de até nove dimensões) pode, assim, ser concebido geometricamente tal como o espaço dos vetores (de até três dimensões).

Teor. 4: Se {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } é uma base diádica de um 2EG, e Ai são G números dados, existe um e um só diádico χ desse espaço tal, que

χ : ε i = ε i : χ = Ai,

(i = 1, 2, ..., G),

(05).

Se χ é um diádico qualquer do 2EG em referência podemos escrever, pelo Teor. 2: χ = M k ε k , (k = 1, 2, ..., G), expressão na qual os Mk são as G coordenadas cartesianas de χ, a determinar, na base {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } ; estas coordenadas, se existirem, são únicas. Devemos ter:

ε i : χ = M kε i : ε k,

i, k = 1, 2, ..., G,

90 Esses conceitos serão mais formalmente expostos no §10.03 para os diádicos e generalizados no Cap. IV.

Poliádicos - Ruggeri

228

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

isso é,

 (ε 1 : ε 1 ) M + (ε 1 : ε 2 ) M + ... + (ε 1 : ε G ) M = ε 1 : χ 1 2 G   (ε 2 : ε 1 ) M 1 + (ε 2 : ε 2 ) M 2 + ... + (ε 2 : ε G ) M G = ε 2 : χ  ...   G 1 G 2 G G G  (ε : ε ) M 1 + (ε : ε ) M 2 + ... + (ε : ε ) M G = ε : χ , ou, em forma matricial, considerando que χ : ε i = A i :

 ε 1: ε 1  2 1 ε : ε   ... ε G : ε 1

ε1: ε 2

...

ε2: ε2

...

εG: ε2

...

ε 1: ε G   M1   ε 1: χ   A 1        ε2: εG   M2  ε 2: χ  A2  . = , = ...   ...   ...   ...  ε G : ε G   M G  ε G : χ   A G 

(051).

A matriz coluna das incógnitas está, pois, pré-multiplicada pela matriz métrica da base e esta é regular. Logo, os G números Mk existem e são univocamente determinados; serão simultaneamente nulos ou não conforme os Ai forem, respectivamente, todos nulos ou não.

Corol. 1: Se {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } é uma base diádica de um espaço, e Aij são G2 números dados, existe um e um só conjunto de diádicos desse espaço, {χ 1 , χ 2 , ..., χ G } tal, que

χ j : ε i = A ij

(i,j = 1, 2, ..., G),

(06).

Pois, agora, escreveríamos a equação matricial (051) na forma

[ E∗∗ ]. [ M∗∗ ] = [A∗∗ ] ,

(061),

onde [M**] é a matriz quadrada das incógnitas (coordenadas dos diádicos χj) e [A**] é a matriz quadrada formada pelos números dados. Como [E**] admite inversa, [M**] está univocamente determinada, isso é, os diádicos χj estão determinados.

Corol. 2: A CNS para que G diádicos χj de um 2EG constituam uma base desse espaço é que, sendo {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } uma base qualquer do mesmo, det[χ j : ε i ] = det[A i j ] ≠ 0 para i,j = 1, 2, ..., G. A proposição é evidente por (061) porque [E**] admite inversa; e para que [M**] também admita (CNS para que os diádicos χj constituam uma base), basta que também [A**] admita inversa; e nesse caso |A**| será o módulo da base. II, § 10.02

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

229

Bases diádicas recíprocas.

Teor. 5: Se {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } é uma base diádica de um 2EG, existe uma e apenas uma base {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } nesse mesmo espaço, tal, que

ε i : ε j = δ ij

(i, j = 1,2, ..., G),

(07),

os δ ij sendo os deltas de Kronecker. Pois, se em (061), A ij = δ ij , então [ A ∗∗ ] = [ I] e [M ∗∗ ] = [ E ∗∗ ] −1 .

Definições: (bases diádicas recíprocas) As bases diádicas {ε1 , ε 2 , ..., ε G } e {ε1 , ε 2 , ..., ε G } de um espaço, que

representaremos respectivamente por {ε ∗ } e {ε ∗ } , e cujos diádicos satisfazem (07), serão denominadas bases diádicas recíprocas do espaço em referência. Os diádicos de bases recíprocas, de mesmos índices (em níveis diferentes), serão ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos. Nota: Por (07) vemos que cada diádico de uma base é ortogonal (§ 07.02) a todos os diádicos não homólogos da base recíproca. A questão da ortogonalidade de diádicos, entretanto, será tratada de um modo mais geral no parágrafo seguinte.

Teor. 6: São inversas as matrizes métricas de bases diádicas recíprocas; logo, essas bases são ambas positivas, ou ambas negativas. Pois, pelo Teor. 5, a matriz métrica da base recíproca de {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } seria [M**] que é inversa de [E**]. A matriz métrica da base {ε 1 , ε 2 , ..., ε G } será representada doravante por [E**], sendo, pois,

[ E ∗∗ ] G . [ E ∗∗ ] G = [ I] G , G G G

(071).

Por (071) concluímos que as bases recíprocas têm o mesmo sinal uma vez que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes fatores, isso é, det[E**].det[E**]=1.

Como visto (Exercício 2), qualquer um dos conjuntos {e* e*}, {e* e*}, {e* e*} e {e* e*} – de G díades distintas - definidos por vetores de duas bases vetoriais recíprocas no E3, podem ser consideradas bases de um subespaço diádico G-dimensional. Mas a recíproca de uma dessas bases não se obtém substituindo-se simplesmente em cada díade, antecedentes e conseqüentes pelos correspondentes vetores recíprocos das bases vetoriais recíprocas a que

Poliádicos - Ruggeri

230

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

pertencem. Assim, a base recíproca de {e1e1, e1e2, e1e3} não seria {e1e1, e1e2, e1e3} como poderia parecer. Embora sejam verdadeiras as relações

e 1e 1 : e 1 e 1 = e 1 e 2 : e 1 e 2 = e 1 e 3 : e 1 e 3 = 1

e 1 e 1 : e 1e 2 = 0 = e 1 e 1 : e 1 e 3 = ...

as díades e1e1, e2e1 e e3e1 não pertencem ao subespaço de e1e1, e1e2 e e1e3. Com efeito, a díade e1e1, por exemplo, por pertencer a um 2E3, é perpendicular a apenas duas das díades de base do 2E9 cuja base é {e*e*}, e não às outras seis. Demonstraremos isso de uma forma geral por um corolário do seguinte

Teor. 7: (decomposição cartesiana em bases diádicas recíprocas)

∀φ ,{ε ∗ } e {ε ∗ }:

φ = ( φ : ε i )ε i = ( φ : ε i ) ε i

(i = 1,2, ..., G) ,

(08).

Podemos escrever, conforme Teor. 1: φ = M i ε i . Então, por dupla multiplicação de ambos os membros pelos diádicos do sistema recíproco dos {εε*}, vem:

φ : ε j = M i (ε i : ε j ) = M i δ ij , donde, somando:

φ : ε j = M j,

(09).

Substituindo este valor de Mj na expressão do diádico, encontramos uma primeira expressão da tese. Podemos determinar a segunda expressão analogamente.

Corol. 1: Num espaço não existe diádico não nulo que seja simultaneamente ortogonal a todos os diádicos de uma base desse espaço. Pois se existisse tal diádico todas as suas coordenadas, dadas por (09), seriam nulas e esse diádico seria o diádico nulo, o que é absurdo. Notas: 1ª) - O Corol. 1 do Teor. 7 diz, com outras palavras, que se alguns diádicos de uma base de um espaço constituem base de um espaço de dimensão menor (o que é sempre possível), os diádicos da base recíproca do primeiro espaço não têm haver com os diádicos da base recíproca do segundo. Esta mesma observação já foi feita em relação aos vetores recíprocos no plano e no espaço (§ 03.03, I). 2ª) - Nos espaços diádicos tridimensionais não são válidas, em geral, fórmulas análogas às deduzidas no § 03.03 do Cap. I para o cálculo dos sistemas recíprocos, isso é, para I,j,k=1,2,3,… ε i ×× ε j ≠ (ε1 ε 2 ε 3 ) ε ijk ε k εi

× ×

ε j ≠ (ε1ε 2 ε 3 ) ε ijk ε k ,

ou, conforme (04), § 07.06, (ε1ε 2 ε 3 ) ≠ ε1 (ε i ε jε k ) ≠ ε ijk (ε1ε 2 ε 3 ) ,

× ×

(10),

ε2 : ε3 , e (ε i ε jε k ) ≠ ε ijk (ε1ε 2 ε 3 ) ,

(101).

Estas fórmulas são verdadeiras, entretanto, se os diádicos são lineares (por exemplo, do tipo e1e2, e2e3, e3e1, ou e1e1, e2e2, e3e3 etc.), caso em que seus adjuntos são nulos. Isso, entretanto, não implica que o adjunto de todo e qualquer diádico desse espaço seja o diádico nulo. 3ª) – Ainda nos espaços tridimensionais, para φ = A i ε i , ψ = B j ε j e χ = C k ε k

II, § 10.02

i, j, k = 1,2,3 :

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

× ×

ε1 ε 2 ε 3 ψ ≠ (ε1ε 2 ε 3 ) A1 A 2 A 3 , B1 B 2 B3

A1 A 2 A 3 (φ ψ χ) ≠ (ε1ε 2 ε 3 ) B1 B B3 C1 C 2 C 3

231

(102),

fórmulas essas que serão válidas apenas quando os diádicos de base forem lineares. Vamos generalizar esses conceitos mais à frente (§ 11 e 13).

Exercício 3: Comprovar que

∀φ:

cos (φ , ε1 ) cos (φ , ε1) cos (φ , ε 2 ) cos (φ , ε 2 ) cos (φ , ε G ) cos (φ , ε G ) + + ... + = 1. 1 2 cos (ε , ε1 ) cos (ε , ε 2 ) cos (ε G , ε G ) Constituição de bases.

Os teoremas a seguir fornecem um meio pelo qual poderemos efetuar a decomposição cartesiana de um diádico ndada base diádica de um espaço.

Teor. 8: Constitui base de um espaço G-dimensional o conjunto de diádicos obtido substituindo-se qualquer diádico de uma base pelo seu correspondente recíproco. Sejam as bases recíprocas {ε*} e {ε*} e, por exemplo, o conjunto {ε1, ε2, ..., εG}. A matriz métrica desse conjunto,

ε : ε  21 1  ε : ε1  ... ε G : ε 1

ε 1: ε 2

ε :ε ... εG : ε2 2

... ... ... ...

ε1: ε G   ε2: εG  , ...  ε G : ε G 

é regular. De fato, todos os elementos da primeira linha são nulos, exceto o da primeira coluna. Então, desenvolvendo o determinante dessa matriz pelos elementos dessa linha, concluímos que ele é igual ao produto da norma de ε1 pelo determinante da matriz métrica do conjunto de G - 1 diádicos da base {εε*} em que não figure o diádico ε1. Mas esse conjunto constitui uma base de um subespaço G - 1 dimensional; logo, o determinante de sua matriz métrica é não nulo, e a matriz considerada é regular. Então, o conjunto {εε1, ε2, ..., εG} constitui uma base.

Corol. 1: Num espaço diádico é sempre possível constituir uma base diádica a partir de uma base dada, substituindo-se um, dois etc. diádicos dessa base por diádicos paralelos aos seus correspondentes recíprocos. Teor. 9: Todo diádico de um espaço G-dimensional pode ser decomposto numa soma de J + 1 diádicos, um deles perpendicular a J < G outros não paralelos. Sejam as bases recíprocas {εε*} e {εε*} de um espaço diádico G dimensional. Pelo Corol. 1 do Teor. 8, constitui uma base desse mesmo espaço o conjunto formado por J < G

Poliádicos - Ruggeri

232

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

diádicos quaisquer de {εε*} (logo, não paralelos), digamos ε1,εε2, ..., εJ, com os G - J outros não homólogos da base {εε*} (aos quais ε1,εε2, ..., εJ são perpendiculares). Mas ∀φ φ do espaço, existem números M1, M2, ..., MJ, MJ + 1, ..., MG, tais que

φ = M 1ε 1 + M 2 ε 2 + ... + M J ε J + M J +1ε J +1 + ... + M G ε G ou seja,

φ = M 1ε 1 + M 2 ε 2 + ... + M J ε J + ε , expressão na qual ε, sendo uma combinação linear de diádicos perpendiculares a ε1,εε2, ..., εJ, é também perpendicular a ε1,εε2, ..., εJ (§ 07.02, Exercício 1); e o teorema fica, assim, demonstrado.

Teor. 10: Os 9 diádicos de uma base de um espaço diádico qualquer não podem ser todos simétricos, nem todos anti-simétricos. Pois, se ∀ φ ≠ ± φ T , φ = M i ε i , então φ T m φ = M i (ε i T m ε i ) . Se os diádicos de base fossem todos simétricos, ou todos anti-simétricos, seria, correspondentemente, φ T = ± φ , o que é absurdo. Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice).

Se {e1,e2} e {e1,e2} são bases recíprocas num E2, a todo vetor desse espaço podemos associar uma matriz coluna de duas linhas em relação a cada uma dessas bases. Dessas bases vetoriais podemos gerar (Exercício 1) as bases diádicas recíprocas {e*e*} e {e*e*}, bem como {e*e*} e {e*e*} para referir os diádicos do 2E4 gerados do E2. Aos diádicos do 2E4 poderemos associar matrizes 2x2 cujos elementos sejam as coordenadas cartesianas do diádico em relação às bases vetoriais escolhidas; ou associar matrizes colunas de quatro linhas em relação às bases diádicas, bastando convencionar um modo de dispor essas coordenadas nas matrizes. Assim, para

φ = φ ij e i e j ,

φ = φ ije i e j ,

φ = φ i je i e j

φ = φ i je i e j ,

i,j=1,2,

(11),

escreveremos, conforme já convencionado:

 φ11 φ12  [φ ∗∗ ]e =  21 22  , φ φ 

φ φ  [φ ∗∗ ]e =  11 12  etc.. φ12 φ 22 

Agora, por convenção, vamos escrever:

{φ ∗∗ }ε ou

II, § 10.02

 φ11  φ 22  =  12  , φ  21  φ  

{φ∗∗ }ε

 φ11  φ  =  22  , φ  12  φ  21 

{φ∗∗ }ε

 φ11  φ 2  =  12  φ 2   φ 21 

{φ ∗∗ }ε T = [φ11 φ 22 φ12 φ 21 ] etc.,

etc.,

(111),

(112).

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

233

As mesmas considerações podem ser feitas em relação às bases vetoriais {e*} e {e*} do E3 e aos diádicos de 2E9 gerados de E3. Assim, se nas (111) considerarmos i,j=1,2,3 escreveremos, por convenção:

{φ ∗∗ }ε T = [φ11 φ 22 φ 33 φ 23 φ13 φ12 φ 32 φ 21 φ13 ] , seguindo Voigt,

(113);

ou, usando a notação mais moderna:

{φ ∗∗ }ε T = [φ11 φ 22 φ 33 φ12 φ 23 φ13 φ 21 φ 32 φ13 ] ,

(114).

É evidente que existem as demais fórmulas análogas. Pode ser mais cômodo, por outro lado, escrever-se

φ = φu ε u = φu ε u

com u=1,2, ...,9,

(12),

desde que se substituam os pares de índices ij por um único, u, segundo algumas convenções; por exemplo: 11/1, 22/2, 33/3, 23/4, 13/5, 12/6, 32/7, 13/8, 21/9, (segundo Voigt)

(121),

ou a mais moderna, 11/1, 22/2, 33/3, 12/4, 23/5, 13/6, 21/7, 32/8, 13/9,

(122).

Nesses casos é mais prático o uso da notação

{φ ∗ }εT = [φ1 φ 2 φ 3 φ 4 φ 5 φ 6 φ 7 φ8 φ 9 ] ,

(123),

mas é preciso especificar a convenção adotada (se (121) ou (122)). Para as coordenadas covariantes escrevemos, analogamente:

{φ ∗ }εT = [φ1 φ 2 φ 3 ... ... ... φ 7 φ8 φ 9 ]

(124);

e para as mistas:

{φ ∗∗ }eT = [φ1 φ 2 φ 3 ... φ8 φ 9 ] ,

{φ ∗∗ }εT = [φ1 φ 2 φ 3 ... φ 8 φ 9 ] ,

(125).

É necessário, entretanto tomar-se certo cuidado para não confundir nestas representações aos coordenadas duplas com as mistas porque nem sempre as bases vetoriais ou diádicas utilizadas são ortonormadas (ver Exercício 1). Bases no espaço diádico simétrico.

O espaço diádico simétrico é o espaço cujos diádicos são simétricos, um subespaço do espaço diádico. Em relação a uma base definida pelas díades constituídas com os vetores de uma base vetorial arbitrária, nove diádicos simétricos quaisquer, αi, podem ser representados na forma contravariante α i = A i jk e je k (j,k=1,2,3), sendo A i jk = A ikj para

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234

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

qualquer i=1,2, ...,9. Por estarmos tratando de diádicos simétricos, poderíamos representálos, também, pelas coordenadas co-variantes. Em ambos os casos (e apenas nestes casos) as matrizes associadas devem ser simétricas (§ 09.09). Dispondo as coordenadas desses diádicos em linhas, a matriz 9x9 a eles associada,

[α i ]e

A111 A 11  2 = A 311  ... A 11  9

A112 A113 A121 A122 A123 A131 A132 A133  A 212 A 213 A 221 ... ... ... A 233   12 A3 ... ... ... A 333  ,  A 912 ... ... ... A 932 A 933 

(13),

tem a segunda coluna igual à quarta (pois Ai12=Ai21, ...), a terceira igual à sétima (pois Ai13=Ai31, ...) e a sexta igual à oitava. Logo a característica dessa matriz é, no máximo igual a seis, o que significa que "o espaço dos diádicos simétricos tem, no máximo, seis dimensões"; ou, ainda,

"uma base no espaço diádico simétrico é qualquer conjunto de seis diádicos (simétricos) linearmente independentes". Com essa diminuição de dimensão torna-se prático adotar a representação de Voigt para as coordenadas dos diádicos simétricos. Esta representação consiste em se substituírem os pares de índices por um único, conforme o esquema de Voigt em que os índices 7, 8 e 9 em (121) podem ser substituídos por 4, 5 e 6, respectivamente, em vista da igualdade das coordenadas correspondentes; assim, 11→1, 12 → 6, 13→ 5, 22 → 2, 23→ 4, 33→ 3 . Nesse caso, a matriz (13) assume uma forma mais simples:

[α i ]e

A11  1 A 2 = A 31   ... A 1  9

A16 A15 A16 A12 A14 A15 A14 A13   A 26 A 25 A 26 ... ... ... A 23  A 36 ... ... ... A 33  ,   6 4 3 A9 ... ... ... A 9 A 9 

(131),

mantendo ainda, evidentemente, o seu grau (9) e as igualdades dos três pares de colunas já referidos. A base vetorial {e*} é arbitrária. Os diádicos (simétricos) de representações

ε1 = e1e1, ε2 = e2e2 , ..., ε4 = (e2e3 + e3e2 ) / 2 , ...

(14),

provenientes de (12), constituem uma base arbitrária do espaço diádico simétrico; a sua recíproca é constituída pelos diádicos

ε1 = e1e1, ε2 = e2e2 , ..., ε4 = (e2e3 + e3e2 ) / 2 , ... De fato, pois a matriz 6x9 associada a eles, II, § 10.02

(141).

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 A

0 0 0 0 A 0

0 0 0 0 0 A

0 1 0 0 0 0

0 0 0 A 0 0

0 0 0 0 A 0

0 0 0 A 0 0

235

0 0 1 , com A = 1/ 2 , 0 0 0

tem característica 6 (seis). O principal (ou característico) correspondente, de valor A/2, é formado pelas colunas 1, 5, 9, 6, 7 e 4 (foram eliminadas a segunda, a terceira e a oitava ). Na base diádica {εε*}, definida por (14), a matriz coluna (com coordenadas αi}T=[Ai1 Ai2 ... Ai6] usando, contravariantes) associada ao diádico simétrico αi é, então, {α digamos, a notação de Voigt. Então a matriz 6x6 associada aos 6 (seis) primeiros diádicos (dentre os nove) αi anteriormente considerados pode ser escrita, então (com a notação de Voigt), na forma mais simples e compacta:

[α]{ε}

 A11  1 A 2 A 1 = 3 A 41 A 1  5 A 61

A12 A13 A 22 A 23 A 32 ... ...

2 A14 2 A 24

A 62 A 23

2 A 24

2A15 2A 25 ... ... ...

2 A16   2 A 26  2 A 36  , 2 A 46  2 A 56   2 A 66 

(15).

O característico dessa matriz é, então, do grau 6 no máximo; no §13 daremos a ele um novo significado em função dos próprios diádicos αi. A base recíproca de (14) é obtida simplesmente elevando-se os índices em (14), ou seja, simplesmente constituindo base análoga à (14) com a base recíproca de {e1e2e3}. Notar que não é possível constituir bases simétricas com díades mistas. O espaço diádico simétrico pode ter também seus subespaços, por exemplo, o conjunto de todos os diádicos simétricos com uma característica especial qualquer; digamos, aqueles com terceiro nulo, aqueles com escalar nulo etc.. Espaços diádicos simétricos especiais podem ter dimensão menor que 6 (seis). Bases no espaço diádico anti-simétrico.

Um espaço diádico anti-simétrico é aquele cujos diádicos sejam diádicos antisimétricos. Estes, quando representados na base das díades constituídas com os vetores de uma base vetorial arbitrária {e*} do E3, só têm três coordenadas não nulas, pois, na forma contravariante (por exemplo) α i = A i jk e je k (j,k=1,2,3), deve ser A i jk = − A ikj para qualquer i=1,2, ...,9. A matriz coluna associada ao anti-simétrico αi será, então, {α αi}T=[0 0 0 A4 A5 A6] e a matriz 9x9 associada aos nove diádicos dispostos por linhas,

Poliádicos - Ruggeri

236

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

0  0  0 0 [α i ]e =    ...   0 

A112

A113

- A112

A 212 A 312 A 412

A 213 A 313

- A 212 - A 312

A 912

A 913

...

- A 912

A123

- A113

- A123

A 223

- A 213

- A 223

...

0 0 0 ...

...

- A 923

0  0  0 0  ,   ...   0 

(16),

tem a primeira, a quinta e a nona colunas nulas, o que, numa primeira instância, baixa a ordem do seu característico para seis. Como a soma da segunda coluna com a quarta, a soma da terceira com a sétima e a da sexta com a oitava não alteram o valor do característico, concluímos que a ordem deste é três no máximo, uma vês que três novas colunas nulas podem ser introduzidas no determinante associado à matriz. O característico de (16) é, assim,

A123

A131

A112

A 223

A 231

A 212 ,

A 323

A 331

A 312

(17).

Observando-se que o vetor do anti-simétrico αi é (§09.04) 2 12 3 α iV = 2(e1e 2 e 3 )(A i23e1 + A 31 i e + Ai e ) ,

vê-se que o característico é igual a um oitavo do produto da norma da base {e*} pelo produto misto dos vetores dos diádicos (§04.03, I); e só se anularia se estes fossem coplanares. Então, "o espaço dos diádicos anti-simétricos tem, no máximo, três dimensões", ou, ainda,

"uma base no espaço diádico anti-simétrico é qualquer conjunto de três diádicos (anti-simétricos) linearmente independentes". Com a notação de Voigt, escrevemos:

[α i ]e

II, § 10.02

0  0 0  0 =    ...    0

A16

A15

- A16

A 26 A 36 A 46

A 25 A 35

- A 26 - A 36

...

A14

- A 15

- A14

A 24

- A 25

- A 24

...

0 0 ... A 96

A 95

- A 96

...

- A 94

0  0 0  0 ,    ...   0 

(171),

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

237

Os diádicos representados na base {e*} do E3 por

ε1 = (e 2 e 3 − e 3 e 2 ) / 2 , ε 2 = (e 3 e1 − e1e 3 ) / 2 e ε 3 = (e1e 2 − e 2 e1 ) / 2 ,

(18),

todos anti-simétricos, constituem uma base arbitrária do espaço diádico anti-simétrico; sua recíproca é

ε1 = (e 2 e 3 − e 3 e 2 ) / 2 , ε 2 = (e 3 e1 − e1e 3 ) / 2 e ε 3 = (e1e 2 − e 2 e1 ) / 2 ,

(181).

De fato, a matriz 3x9 associada aos diádicos (181),

0 0 0 0 0 A 0 − A 0  0 0 A 0 0 0 − A 0 0  , 0 A 0 − A 0 0 0 0 0 com A = 1/ 2 , tem característica 3 (três). O característico correspondente, de valor A/2, é formado pelas colunas 6, 3 e 2. Na base diádica {εε*}, definida por (05), a matriz associada aos 3 (três) diádicos αi anteriormente considerados (i=1,2,3) pode ser escrita, então, com a notação de Voigt, na forma mais simples e compacta

[α]{ε}

A14 A15 A16  = A 24 A 25 A 26  2 ,  4  5 6 A 3 A 3 A 3 

(19).

Deve ser observado que não é possível constituir base anti-simétrica com díades mistas ((§09.01). O espaço diádico anti-simétrico pode ter também seus subespaços, logo, com dimensão menor que 3; por exemplo, o conjunto de todos os diádicos anti-simétricos cujos vetores fossem coplanares (caso em que o característico (171) seria do segundo grau). Resultados análogos, mutatis mutandis, podem ser deduzidos para os diádicos antisimétricos gerados com vetores do E2, em relação a uma base (e1,e2}, caso em que esse espaço tem dimensão 1 e bases recíprocas (e1e 2 − e 2e1 ) / 2 e (e1e 2 − e 2e1 ) / 2 . Bases diádicas ortonormadas.

As bases diádicas de módulo 1 são ditas unimodulares. Quando os diádicos de uma base unimodular são mutuamente ortogonais e têm módulo 1, caso em que a sua matriz associada é a matriz unidade G x G, essa base e dita ortonormada. Resta considerar a representação de diádico simétrico em base diádica simétrica construída à partir de um terceto de unitários triortogonais { ˆi , ˆj, kˆ }. Nesse caso, o conjunto correspondente a (14) é da forma:

îî , ˆjˆj, kˆ kˆ , 1 (ˆjkˆ + kˆˆj), 1 (kˆ î + îkˆ ), 1 (îˆj + ˆjî ), 2 2 2

(20),

base esta, ortonormada. Em relação a estas bases desaparece a diferença entre coordenadas contravariantes, co-variantes e mistas (§09.01).

Poliádicos - Ruggeri

238

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

Analogamente, devemos considerar a representação de diádico anti-simétrico em base diádica anti-simétrica construída à partir de um terceto de unitários triortogonais { ˆi , ˆj, kˆ }. Nesse caso, o conjunto correspondente a (18) é da forma:

1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ( jk − kj) = − Ι × ˆi , 2 2

1 2

(kˆ ˆi − ˆikˆ ) = −

1 2

Ι × ˆj,

1 ˆˆ ˆ ˆ 1 ( i j − ji ) = − Ι × kˆ 2 2

(21),

base esta, também ortonormada. * Exercício: Comprovar que a base

îî , 1 (−ˆjˆj + kˆ kˆ ), 1 (ˆjˆj + kˆ kˆ ), 1 (ˆjkˆ + kˆˆj), 1 (kˆ î + îkˆ ), 1 (îˆj + ˆjî ), 2 2 2 2 2 alem de simétrica é ortonormada. *

(201),

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. Biflechas.

Um espaço diádico (montado sobre a Geometria Euclidiana) é, pois, qualquer reunião de diádicos; existem infinitos deles. Denotaremos os espaços diádicos pelos símbolos 2EG, 2E'G, 2SG etc.. Para que em um espaço diádico se concebam novas figuras euclidianas – as quais comporão a Geometria Diádica – é necessário ampliar, por força exclusiva da imaginação, as idéias primárias de ponto, reta, plano e espaço91. Assim,

postularemos e existência de pontos, retas, planos, 3-espaços, ... G-espaços (G≤9) ou hiperplanos que são regiões definidas por um, dois, três, quatro, ..., G+1 pontos dados (isso é, qualquer outro ponto da região está de algum modo ligado aos primeiros), tendo dimensões zero um, dois, ... G. 2

Para destacar a dimensão, G, de um espaço diádico usaremos ainda a notação 2EG, E'G etc., como no (§ 07.07).

Qualquer que seja o diádico φ, φ/|φ| tem norma +1, logo módulo + 1 (§ 07.07); tais diádicos são chamados unitários e são representados (como os vetores) por φ / | φ |= φˆ . Num espaço diádico de dimensão G (§ 10), com G≤9, as G coordenadas de um diádico unitário são necessariamente, em módulo, números menores que a unidade. Por isso mesmo, as coordenadas de um diádico unitário são denominadas co-senos diretores da “hiper” direção desse diádico (no seu G-espaço). Assim, com um grau de abstração um pouco mais elevado, um diádico de um G-espaço pode ser imaginado representado graficamente por uma "biflecha livre" – uma seta com origem e duas ponteiras na extremidade – apresentando uma "hiper” direção; e um "comprimento" que, na mesma escala adotada para representar os vetores, represente o seu módulo (a distância entre a 91 Seguiremos parcialmente a orientação de Sommerville, D. M. Y., An Introduction to the Geometry of N Dimensions, Dover, New York, 1958.

II, § 10.03

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico.

239

origem e a extremidade). Assim, as biflechas livres, ou simplesmente flechas, num 2EG poderão ser "aplicadas" (com origem) num ponto qualquer do (seu) espaço. Para G=1 as flechas só estão definidas sobre o suporte (único) do espaço; para G=2, as flechas estão definidas num (único) plano, mas são livres nesse plano; e assim por diante. Independência de pontos e bases.

Os G+1 pontos que definem um 2EG serão sempre arbitrariamente numerados a partir de zero. Se R<G, um 2ER – que é determinado por R+1 dentre os G+1 pontos dados – está inteiramente contido no 2EG. Da mesma forma, para R≤G, R desses pontos não podem estar contidos num mesmo 2ER-2. Com efeito, porque R-1 dos pontos dados – que determinam o 2ER-2 considerado – juntamente com os G+1-R pontos restantes deveriam ser suficientes para determinar o espaço todo; o que é absurdo, pois o total de pontos para tal seria (G+1-R)+(R-1)=G, e não G+1.

Definição: Um sistema de R+1 pontos (de um 2ER), R quaisquer deles não contidos num mesmo 2ER-2, é denominado um sistema de pontos linearmente independentes. Consideremos um sistema de G+1 pontos independentes e os G diádicos definidos com origem no ponto zero e extremidades nos demais pontos. Dois quaisquer desses diádicos (definidos por R=3 pontos independentes, origem inclusa) não são paralelos porque, do contrario, as suas origens comuns e suas extremidades deveriam ser três pontos colineares (e os pontos dados não seriam independentes). Três quaisquer desses diádicos (definidos por R=4 pontos independentes) não podem ser coplanares porque, se fossem, os R pontos pertenceriam a um plano (e os pontos dados não seriam independentes). E assim sucessivamente. Consideremos as biflechas ordenadas 1, 2, ..., G de uma base de um 2EG aplicadas co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O. As extremidades (pontos) 1, 2, ..., G dessas flechas juntamente com o ponto origem O≡0, constituem um sistema linearmente independente de G+1 pontos. Dois quaisquer desses pontos e o ponto 0 não podem ser colineares, pois, do contrário, os diádicos correspondentes seriam paralelos e não poderiam compor a referida base. Três quaisquer desses pontos e o ponto 0 não são coplanares porque, do contrário, os três diádicos correspondentes estariam contidos num plano e não poderiam compor uma base. E assim sucessivamente. Logo:

Num 2EG (G≤9) é sempre possível constituir-se uma base com um sistema de G+1 pontos linearmente independentes; vice versa, com uma base de um 2EG é sempre possível constituir-se um sistema de G+1 pontos linearmente independentes desse espaço. União e interseção de espaços.

Consideremos agora dois espaços diádicos, 2ER e 2ES, o primeiro determinado por R+1 pontos, o segundo por S+1. Se estes espaços forem "físicos", que sejam, então, de grandezas de mesma dimensão, isso é, ambos de tensões, ambos de deformações etc..

Poliádicos - Ruggeri

240

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

Se 2ER e 2ES não têm ponto comum, a união dos dois apresenta R+S+2 pontos independentes que determinam um 2ER+S+1. Se R+S+1>G, 2ER e 2ES terão necessariamente uma região de dimensão X em comum, definida por X+1 pontos independentes. Como essa região comum rouba X da dimensão de 2ER e X da de 2ES, a determinação de 2ER e 2ES requer R+1-(X+1)+(S+1)-(X+1)=R-X+S-X pontos adicionais independentes. O total de pontos independentes para a determinação de 2EG é, pois, X+1+R-X+S-X=R+S-X+1, com os quais se determina um 2ER+S-X. Podemos então enunciar:

Se um 2ER e um 2ES têm X+1 pontos em comum (ou um 2EX em comum) eles estão contidos num 2ER+S-X; se não têm ponto em comum, ambos estão contidos num 2ER+S+1. Assim, por exemplo, à união de dois 2E que têm um ponto em comum (X=0) corresponde o "espaço diádico soma dos espaços dados", de dimensão R+S. Vejamos como interpretar a questão do ponto de vista algébrico. Representemos por 0 o ponto comum aos dois espaços e em cada um deles imaginemos traçadas as flechas de base co-iniciais em 0. Um diádico de qualquer um desses espaços é uma combinação linear dos respectivos diádicos de base. Como é impossível expressar um diádico de uma base pelos diádicos da outra base (eles pertencem a espaços de dimensões diferentes), a união deles é um diádico expresso em função de R+S diádicos independentes de um novo espaço (de dimensão R+S): o espaço soma, que poderá estar contido ou não no 2EG. Se o espaço estiver contido em 2EG diremos que 2ER e 2ES são complementares em 2EG. Para o caso em que G=9 (o espaço considerado é todo o espaço diádico), enunciamos:

Se um 2ER e um 2ES estão contidos em 2E9 e R+S+1>9, eles têm em comum um 2 E R +S-9 (ou R+S-8 pontos em comum); se R+S<9 eles não têm ponto em comum. Se um 2ER e um 2ES tiverem X+1 pontos em comum, diremos que eles se interceptam segundo um 2EX; se não tiverem pontos em comum (X+1=0), diremos que eles se interceptam segundo um 2E-1 (espaço de dimensão –1, definido por zero pontos, um espaço vazio). Se R+S=9 e 2ER e 2ES estão contidos em 2E9 eles são complementares em 2 E 9. * Exemplos: 1) – No caso particular de dois espaços diádicos simétricos, com a mesma dimensão (§10.02), isso é, R=S=6 (cada um definido por 7 pontos), tem-se R+S>9 (12>9); então os dois espaços têm 6+6-8=4 pontos em comum, ou, o que é mesmo, eles se interceptam segundo um 2E3. Esse subespaço 2E3, devendo ter por base (um terceto de) diádicos simétricos, é simétrico necessariamente. 2) – Tal como no caso anterior, para dois espaços diádicos anti-simétricos, também com a mesma dimensão (§10.02), isso é, R=S=3 (definidos por 4 pontos cada), tem-se R+S<9 (6<9); e os dois espaços não têm ponto comum ou não se interceptam. 3) – Um espaço diádico simétrico (R=6) e um anti-simétrico (S=3) são complementares no 2E9 (e têm necessariamente um ponto em comum).

II, § 10.03

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico.

241

4) – Sejam: R=5 e S=7. O 2E5 é definido por 6 pontos; o 2E7 por 8 pontos. Logo o espaço soma tem 12 pontos. Como estão contidos no 2E9 (definido por 10 pontos) existem 4 pontos em excesso, isso é, os espaços têm um 2E3 comum. Exercício: Demonstrar que três espaços diádicos anti-simétricos têm uma reta comum.

* Graus de liberdade de um espaço diádico.

Seja dado um 2EP contido num 2EG. O 2EP é dado por P+1 pontos, cada ponto tendo P graus de liberdade, isso é, estão dadas (P+1)P condições que definem o 2EP. Mas, em relação ao 2EG, os P+1 pontos de 2EP devem ser definidos por P+1 diádicos, cada um com G coordenadas, requerendo, pois, um total de (P+1)G condições. Como G>P, restam (P+1)(GP) condições; dizemos:

o número de condições para determinar-se um 2EP contido num 2EG é (P+1)(G-P). Exemplo: Em Elasticidade, o número de condições para determinar-se um "estado plano de deformações ou de tensões" (caso P=3, porque o espaço dos diádicos planares simétricos tem dimensões92), é, então: (3+1)(6-3)=12.

Isto porque o espaço das tensões planas (por ser tridimensional) deve ser definido por 4 pontos e cada um desses é definido por um diádico do 2E6 (espaço dos diádicos simétricos), requerendo, pois, 4x6=24 coordenadas (ou condições). Por outro lado, como os 4 pontos do 2E3 dos diádicos planares simétricos tem 4x3 graus de liberdade e, estando dado, já foram dadas 12 das 24 condições necessárias. Restam, pois, 24-12=12. Podemos esclarecer a questão de dois pontos de vista: 1) – O estado plano de deformações, por ter três dimensões, é determinado por quatro pontos independentes. Como cada ponto nesse espaço requer três coordenadas para a sua fixação, necessitaremos um total de 12; 2) – Dentre os 36 elementos que compõem a matriz associada a 6 diádicos (simétricos) candidatos a uma base (do estado de deformações ou tensões), apenas 12 deles são independentes, todos os demais sendo combinações destes. O grau do principal da referida matriz é 3 e seus 9 elementos são definidos por relações entre 12 números. * Se o 2EP em referência, contido num 2EG, tem apenas R+1 pontos conhecidos - logo, contém um 2ER e são necessários ainda P-R outros pontos para determiná-lo - o número de graus de liberdade desse espaço é (P-R)(G-P); então podemos enunciar:

O número de graus de liberdade de um 2EP, contido num 2EG, que passa (ou contém) um 2ER, é (P-R)(G-P). 92 A linguagem da Teoria da Elasticidade é ligeiramente diferente da do Cálculo Poliádico. Lá falamos de estado plano de tensões; aqui falamos de espaço uniplanar de tensões (porque o diádico de tensões é planar simétrico).

Poliádicos - Ruggeri

242

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

Exemplo 6: O número de graus de liberdade de um estado plano de tensões (de três dimensões, P=3), contido no estado pleno das tensões (G=6), estado plano esse que, ainda, contém certo estado duplo de tensões (R=2) é 6. Um "estado duplo" de tensões é um estado plano de tensões com a particularidade de ter uma das coordenadas sempre nula.

* O teorema anterior (para G>P>R) pode ser enunciado também da seguinte maneira:

O número de condições para que um 2EP, contido num 2EG, passe (ou contenha) um 2ER, é (R+1)(G-P). Se um 2ER pode deslocar-se num 2EQ, ele tem (R+1)(Q-R) graus de liberdade. Então,

O número de condições para que um 2EP e um 2EQ, ambos contidos num 2EG, se interceptem num 2ER, é (R+1)[(G-P)-(Q-R)], o que implica G-P≥Q-R. Se for G-P<Q-R eles se interceptam numa região de dimensão P+Q-9 que é maior que R.

§ 10.04 – Ordem no espaço diádico. Embora a idéia de movimento não seja de índole geométrica, usamos comumente em Geometria o termo "ponto corrente" com o intuito de representar um ponto que possa mover-se pelo espaço (eventualmente sobre uma reta, sobre um plano etc.). A transformação de uma figura muitas vezes é também (inadvertidamente) relacionada com uma "movimentação rígida" de uma mesma figura pelo espaço. Essas "idéias mecânicas" são substituídas pelos conceitos de ordem (ou seqüência) e congruência, a cada um correspondendo um grupo de axiomas os quais não serão aqui apresentados. Vamos estender ao espaço diádico os conceitos de ordem da Geometria ordinária. Um ponto divide uma reta em duas semi-retas, mas não divide um plano; uma reta divide um plano em dois semi-planos, mas não divide o 3-espaço; um plano divide o 3espaço em dois semi-espaços mas não divide um 4-espaço; e assim sucessivamente. Se A1 e A2 são dois pontos de uma reta, eles determinam um segmento que consiste do conjunto de todos os pontos P dessa reta encontrados na seqüência A1PA2 (ou A2PA1). Os pontos dividem a reta em três partes, numa primeira parte correspondendo a ordem PA1A2 (ou A2A1P), numa segunda A1PA2 (ou A2PA1) e, na terceira, A1A2P (ou PA2A1). Os três pontos não colineares A1, A2 e A3 de um plano determinam três retas que formam um triângulo cujos lados são os segmentos A1A2 (ou A2A1) etc.. Se A12 representa algum ponto do segmento A1A2, o interior do triângulo consiste de todos os pontos P encontráveis na seqüência A3PA12 etc. sobre o segmento A3A12. Assim, os três pontos dividem o plano em 7 regiões (tantas quantas são a soma das combinações de três elementos tomados um a um, dois a dois e três as três): uma região interior, uma sobre cada um dos lados e uma sobre cada um dos vértices.

II, § 10.04

§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico.

243

Analogamente podem ser separadas as C14 + C 24 + C 34 + C 44 = 2 4 −1 regiões definidas por quatro pontos não coplanares, mantendo-se as nomenclaturas clássicas: vértices, lados, faces. É evidente, em face do exposto, a caracterização de regiões nos espaços de dimensão G maior que três, no total de 2G+1-1. No espaço diádico, chamaremos (como em Geometria N-dimensional) simplex, ou ainda, um (G+1)-ponto, a figura formada por: CG+11=G+1 pontos independentes, de que são os vértices; os CG+12 segmentos definidos, de que são os lados; os CG+13 planos definidos, de que são as faces, os CG+14 3-espaços definidos, de que são os 3-espaços etc.. É evidente, face ao exposto, que as extremidades 1, 2, ..., G dos G diádicos ordenados ε1, ε2, ..., εG de uma base de um G-espaço, aplicados co-inicialmente num ponto arbitrário O, definem, juntamente com O, um simplex (nesse espaço). Eixos de origem O, construídos com a mesma escala, e orientados segundo as ponteiras dos diádicos constituirão um sistema cartesiano natural de referência nesse espaço, sistema esse que poderá, arbitrariamente, ser denominado positivo (ou negativo).

§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. Direção e orientação.

Um sistema de retas num plano, com um ponto comum, é denominado um feixe de retas; o ponto comum fica determinado por duas quaisquer das retas do feixe. Um sistema de pontos, com uma reta comum, é denominado uma pontilhada; a reta comum é definida por dois quaisquer dos pontos da pontilhada. Feixe de retas e pontilhadas são figuras duais. Um sistema de retas no espaço, com um ponto comum, é denominado uma estrela de retas, seu dual é um sistema de pontos com um plano comum (um sistema bidimensional). Retas todas paralelas a uma mesma reta têm, também, um elemento comum: uma direção, que é determinada de forma única por duas quaisquer das retas. Uma direção e um ponto determinam uma única reta. Uma direção e dois pontos determinam um único plano, pois a direção e um dos pontos determinam uma reta e esta reta e o segundo ponto determinam o plano. Analogamente, duas direções juntamente com um ponto determinam unicamente um plano. Por conseguinte uma direção assume o papel de um ponto na determinação de retas e planos Duas direções, por si sós, não determinam um plano, apenas a orientação de um plano. Assim, uma orientação e um ponto determinam unicamente um plano. Se forem dadas as orientações de dois planos, a interseção deles terá uma direção determinada; isso é, duas orientações determinam unicamente uma direção. Por conseguinte uma orientação assume o papel de uma reta na determinação de planos e pontos. Duas retas somente determinam um ponto quando têm plano comum; duas orientações (em três dimensões) sempre determinam uma direção. Assim, orientações se correspondem com retas com plano comum. Pontos impróprios (ou no infinito).

Se associarmos a palavra direção com ponto impróprio ou ponto no infinito, diremos que um sistema de retas todas paralelas a uma mesma reta têm um elemento comum: um ponto impróprio, assim denominado para distingui-lo dos demais pontos da reta, que são

Poliádicos - Ruggeri

244

§ 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

próprios. Da mesma forma, se associarmos a palavra orientação com reta imprópria ou no infinito, diremos que planos paralelos a um mesmo plano têm um elemento comum: uma reta imprópria para distingui-la das demais retas do plano, que são próprias. Nestas condições um ponto impróprio num plano é a direção de alguma reta contida nesse plano. A orientação determinada por duas direções contém essas direções; então, a reta imprópria é determinada por dois pontos impróprios. Como duas retas de um plano determinam a orientação desse plano, dois pontos impróprios quaisquer de um plano determinam a mesma reta imprópria. Muitos outros resultados podem ser deduzidos das proposições enunciadas. Assim, um plano contém apenas uma reta imprópria; duas retas de um plano são paralelas se elas têm um ponto comum com a reta imprópria desse plano. Duas retas impróprias quaisquer sempre determinam um ponto impróprio; então todas as retas impróprias têm um plano comum, o plano impróprio ou no infinito. Esse plano contém ainda todas as orientações do espaço de três dimensões. O ponto impróprio de uma reta e a reta imprópria de um plano são as interseções dessa reta e desse plano com o plano impróprio, em um ponto (impróprio). Extensão de conceitos.

Num EG existe um único 2EG-1 impróprio (ou no infinito). Diremos que dois espaços, 2EG-1 e 2E'G-1 são paralelos se o 2EG-2 comum a ambos é um 2EG-2 impróprio, ou seja, 2EG-2 é um elemento do 2EG-1 impróprio. 2

Dois 2E2 , sem pontos comuns, ambos contidos num 2E3, podem não ter nenhum espaço impróprio e serão ditos oblíquos. Dois 2E3, sem pontos próprios comuns: 1) – estando contidos no mesmo 2E4 , têm um 2E2 (plano) impróprio em comum; 2) – estando contidos no mesmo 2E5, terão 2E1 (reta) imprópria comum; 3) – estando contidos num 2E6, terão um 2E0 (ponto) impróprio comum; 4) – se eles não estão contidos num mesmo 2E6, serão oblíquos. No caso 1) os espaços são ditos completamente paralelos; no caso 2), dois terços paralelos e no caso 3), um terço paralelos. No caso geral, dois espaços, 2EP e 2EQ, com P≥Q, por hipótese ambos contidos num EP+Q-R, interceptar-se-ão em geral num 2ER. Pois 2EP+Q-R é definido por P+Q-R+1 pontos, existindo então, P+1+Q+1-(P+Q-R+1) pontos comuns, isso é, R+1.Mas não tendo pontos (próprios) comuns, 2EP e 2EQ serão ditos (R+1)/Q paralelos se tiverem em comum um 2ER impróprio. Como R+1 e Q são inteiros, espaços (R+1)/Q paralelos são ditos, em geral, racionalmente paralelos. * 2

Exemplo: Considerados dois espaços diádicos tridimensionais (P=Q=3) que não têm ponto comum: 1) – se eles estão contidos num mesmo 2E4 (R=2) e têm um 2E2 impróprio comum, são “um paralelos”; 2) – se estão contidos num mesmo 2E5 (R=1), e têm uma reta imprópria em comum são “2/3 paralelos”; 3) – se estão contidos num mesmo 2E6 (R=0), e têm um ponto impróprio comum eles são “1/3 paralelos”; 4) – se eles não estão contidos no mesmo 2 E6 (R=0) eles são oblíquos.93 * 93 Analisaremos essa mesma questão no §09,IV em relação ao espaço dos tetrádicos.

II, § 10.05

§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico.

245

Ora, se 2EP e 2EQ, com P≥Q, estão contidos num 2EP+Q-R, eles têm pelo menos um ER-1 impróprio em comum porque, se eles se interceptam o 2ER comum a eles contém um único 2ER-1 impróprio. Por conseguinte, para que dois espaços diádicos sejam paralelos, não é suficiente que eles tenham certa dimensionalidade de pontos impróprios em comum; eles precisam ter também nenhum ponto próprio em comum. Paralelismo completo pode ocorrer entre espaços diádicos de um número qualquer de dimensões menor que 9. Paralelismos parciais requerem um mínimo de dimensões. Assim, meio paralelismo somente aparece pela primeira vez quando dois 2E2 (P=Q=2) estão contidos num 2E4 e têm um 2E0 (R=0, ponto) impróprio comum. Um terço de paralelismo não aparece entre espaços de dimensões menores que 6 (porque deveria ser Q=3(R+1) com R>0). Em geral, o paralelismo de ordem (R+1)/Q, em que R+1 é primo com Q, requer espaços de pelo menos 2Q-R dimensões, o que acarreta a existência de um 2EP e um 2EQ contidos num mesmo 2EP+Q-R para P≥Q. 2

O paralelotopo.

Podemos, agora, procurar no espaço diádico as figuras correspondentes aos paralelogramos e paralelepípedos do espaço dos vetores. Um 2E4 é definido por 4 diádicos independentes (formando uma base), α1, α2, α3, α4, os quais, aplicados co-inicialmente em um ponto arbitrário, 0, definem o 5-ponto (01234). Vamos construir um paralelotopo sobre os quatro diádicos co-iniciais dados, tal como construímos um paralelepípedo sobre três vetores. Contendo o ponto 0, um 2E5 tem: 4 (i.é., C43) 3-espaços, definidos por tercetos de diádicos, 6 (C42) 2-espaços (planos), definidos por pares de diádicos e 4 (C41) 1-espaços (retas), definidos por cada diádico. A cada um dos 4 vértices 1,2,3,4 corresponde um 3espaço oposto. Ao vértice 1 corresponde o 3-espaço oposto definido pelos pontos 0, 2, 3 e 4, que representaremos por (1-0234); os demais são: (2-1034), (3-1204) e (4-1230). Por cada um dos 4 vértices 1, 2, 3, 4 podemos conduzir um 3-espaço paralelo ao respectivo espaço oposto. Então o número de fronteiras do paralelotopo, de dimensão 3, é 2xC41=8. O 3-espaço conduzido por 1, paralelamente ao seu oposto (0234), intercepta os 3espaços (0231), (0214) e (0134) segundo os 2-espaços (023), (024) e (034), respectivamente. Esse 3-espaço intercepta também: 1) – o 3-espaço conduzido por 2, paralelamente a (0341), segundo um 2-espaço paralelo a (034); 2) -–o conduzido por 3, paralelamente a (0412) segundo um 2-espaço paralelo a (024); 3) – finalmente, o conduzido por 4 paralelamente a (0123) por um 2-espaço paralelo a (023). Essas interseções constituem 3 pares de 2-espaços paralelos. A mesma análise de interseções pode ser feita em relação aos 3-espaços conduzidos por 2, 3 e 4 paralelamente aos respectivos espaços opostos. No caso do 3-espaço conduzido por 2, paralelamente a (1034), dentre os três pares de 2-espaços paralelos, interseções de (1034) com (2034), (1024) e (1032), encontraremos apenas o par (04) repetido, significando isto que dois novos planos paralelos a (034) foram encontrados, o que eleva o número de pares de 2-espaços paralelos para 4. Prosseguindo essa análise, teremos encontrado tantos grupos de 4 (22) 2-espaços paralelos quantos são os 2-espaços definidos pelos diádicos, ou sejam, C42. Então: as fronteiras de duas dimensões do paralelotopo montado sobre os quatro diádicos independentes formam C42 grupos de 22 2-espaços paralelos, ou sejam, 22x C42=24. Por caminho semelhante, embora bem mais cansativo, poderíamos concluir que as fronteiras de uma dimensão do paralelotopo em pauta formam C41=4 grupos de 23=8 1espaços paralelos (aos diádicos dados), ou sejam 23x C43=32.

Poliádicos - Ruggeri

246

§ 11 – Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

Finalmente, devemos considerar que 4 grupos de 23 retas paralelas cada um se interceptam segundo 24 pontos, posto que por cada vértice devam passar 4 retas (uma paralela a cada um dos diádicos) e que sobre uma reta não pode existir mais de dois vértices (porque, do contrário, haveria diádicos de base paralelos); tais pontos são os vértices do paralelotopo. Esses resultados foram determinados, assim, para um 2E4. É possível demonstrar que a quantidade de R-espaços fronteira de um paralelotopo de um G-espaço diádico é dado por 2G-RxCGR. O número CGR é a quantidade de R-espaços fronteira que passam por um vértice, sendo, ainda, a quantidade de grupos existentes de R-espaços completamente paralelos. O número 2G-R é a quantidade de R-espaços completamente paralelos contidos em cada um dos CGR grupos. Para o espaço diádico podemos, então, montar o quadro apresentado abaixo. Número de fronteiras R-dim de um paralelotopo de um G-espaço diádico: 2G-R CGR 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 Segmentos – diádico unilinear 4 4 Paralelogramos – Diádico linear 8 12 6 Paralelepípedos - Diádico anti-simétrico, uniplanar 16 32 24 8 Diádico de Argand 32 80 80 40 10 64 192 240 160 60 12 Diádico simétrico 128 448 672 560 280 84 14 Diádico antitriangular 256 1024 1792 1792 1120 448 114 16 Diádico planar 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18

G \ R 1 2 3 4 5 6 7 8 9

* Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional. Mais uma vez encontraremos operações com diádicos que guardam forte analogia com umas similares já estudadas para os vetores e que poderão ser estendidas para os "espaços vetoriais" abstratos da Álgebra Linear.

§ 11 MULTIPLICAÇÃO PERPENDICULARIDADES.

CRUZADA

MÚLTIPLA.

§ 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla. Já vimos alguns casos de existência de diádicos ortogonais (§ 07.02, § 10.02) mas não pudemos, ainda, determinar em que condições e a quantos diádicos (no máximo) um diádico pode ser perpendicular. Consideremos uma base diádica {εε*} de um 2EG e uma base {α α*} de um subespaço 2 2 EV de EG (logo, V < G). Procurando (se é que existe) um diádico não nulo de 2EG, escrito na forma φ = M i ε i , com i=1, 2, ..., G, que seja perpendicular a α1, α2, ..., αV, escrevemos, para traduzir a hipotética ortogonalidade:

∀ j = 1,2,..., V :

φ : α j = 0 = (α j : ε i ) M i ,

ou, equivalentemente, escrevendo as coordenadas dos diádicos em linha,

II, § 11.01

(01),

§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada.

 α 1: ε 1  α 2 : ε1  ...  V 1 α : ε

α 1: ε 2 α2: ε2 ... αV: ε2

... ... ... ...

247

α 1: ε G   M 1   0  α2 : αG   M2   0  . ...  = ... , ...     V G α : ε   M G   0 

(011).

A determinação do diádico φ requer, então, uma discussão em torno das possíveis soluções do sistema homogêneo indeterminado (011), de V equações com G incógnitas, logo de ordem de indeterminação G-V. O grau do principal (ou posto) da matriz desse sistema, isso é, o grau de um determinante não nulo de mais alta ordem que se possa extrair dessa matriz é V (porque, por hipótese, os V diádicos formam uma base de um subespaço de 2EG). Para V=G-1, o sistema terá G-1 equações (caso em que a ordem de indeterminação é –1), suas soluções não nulas – as coordenadas de φ em relação à base {εε*} de 2EG – são proporcionais aos menores do grau G-1 que se extraem da matriz dos coeficientes por eliminação de uma coluna (a de elementos α1:εi, α2:εi, etc.) multiplicados pela potência de (-1) cujo expoente é igual à ordem da coluna menos um. Então:

Μ1 D1

Μ2

Μ3 D3

= ... =

ΜG DG

= L =constante,

(02),

sendo

D1 =

α1 : ε 2 α2 : ε2 ... α G −1 α

D2 = −

α1 : ε 3 ... α1 : ε G α 2 : ε 3 ... α 2 : ε G , ... ... ...

: ε 2 α G −1 : ε 3 ... α G −1 : ε G

α 1: ε 1

α1: ε 3

... α 1 : ε G

α 2 : ε1

α2: ε3

... α 2 : ε G

...

etc.,

...

(021).

α G −1 : ε 1 α G −1 : ε 3 ... α G −1 : ε G Esse diádico φ assim determinado, ortogonal a diádicos α1, α2, ..., αG - 1 de um 2EG-1, pertence, evidentemente, ao 2EG.

Definição: (produto cruzado múltiplo de diádicos) Denominaremos produto cruzado múltiplo de 2≤G-1≤8 diádicos α1, α2, ..., αG - 1 de um 2EG-1 contido num 2EG, nesta ordem, e o representaremos por < α1α2...αG - 1 >, o diádico φ do 2EG cuja representação cartesiana numa base {ε*}, tenha coordenadas Mk dadas por (02), onde se faça L igual ao módulo da base {ε ∗ } , |ε*|, se ela for positiva (caso presente) e -|ε*| se ela for

negativa:

< α1α 2 α 3 ... α G −1 >= | ε ∗ | D k ε k ,

(k = 1, 2, ..., G)

(03).

Poliádicos - Ruggeri

248

§ 11 - Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

Então, podemos escrever o produto cruzado, referido a uma base positiva, na forma do pseudodeterminante:

< α1α 2 α 3 ... α G −1 >=| ε ∗ |

ε1 α 1 : ε1 ...

ε2 ... εG α1 : ε 2 ... α1 : ε G ... ... ...

(031),

α G −1 : ε1 α G −1 : ε 2 ... α G −1 : ε G convencionando-se desenvolvê-lo segundo Laplace pelos elementos (diádicos) da primeira linha. Por analogia com o espaço dos vetores, diremos também, por definição, que o produto cruzado múltiplo de G-1 diádicos de um 2EG-1 é o "diádico–área" do paralelotopo (§10.05) construído sobre esses diádicos, seu módulo sendo a "área do paralelotopo". Tal diádico-área é perpendicular a todos os diádicos que definem o paralelotopo, tendo, pois, uma direção bem definida no espaço diádico. * Particularmente, se fizermos em (031) αi = εi (i = 1, 2, ..., G - 1), isso é, para G - 1 dos diádicos recíprocos da base positiva {εε*}, a matriz (G-1)xG do sistema (011) é

1 0  0  ... 0   0

0 ... 0

1 ... 0

... ... ... ... 0

0 ... 0

0 ... 1

0 0  0 , ... 0  0 

(04),

o que implica

D1 = 0 = D2 = ... = DG −1 e DG =| ε∗ |, isso é,

< ε1ε 2 ... ε G −1 >= | ε ∗ | ε G ,

(05);

a fórmula (05) generaliza (10), § 10.02. Então:

Um diádico qualquer de uma base positiva do 2EG, ampliado do módulo da base recíproca, é igual ao produto cruzado (diádico-área) dos G - 1 diádicos não correspondentes da base recíproca, multiplicados na ordem cíclica. A operação que tem por fim determinar um produto cruzado múltiplo de G - 1 diádicos de um espaço G-dimensional chama-se multiplicação cruzada múltipla desses diádicos. É evidente que esta operação está definida quando a base em consideração é composta por G quaisquer das díades do conjunto formado por bases vetoriais recíprocas. Então, um diádico de uma base é ortogonal a todos os diádicos não homólogos da base recíproca.

II, § 11.01

§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada.

249

Essa operação, sempre possível e unívoca, goza ainda das seguintes Propriedades

1ª) - O produto cruzado (ou, o diádico-área) de diádicos é nulo: a) - se um dos diádicos é o diádico nulo, pois a matriz de (011) tem uma linha nula e, conseqüentemente, todos os Di têm uma linha nula (e o produto é nulo); b) - se dois diádicos são paralelos, pois a matriz de (011) teria duas linhas proporcionais, o mesmo ocorrendo em todos os Di;

c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais dos diádicos fatores, pois a matriz de (011) tem uma linha que é uma combinação linear de duas ou mais outras linhas paralelas, o mesmo acontecendo nos Di.

2ª) - Alternância. Permutando-se dois diádicos contíguos quaisquer na permutação fundamental α1, α2, ..., αG - 1, o produto cruzado correspondente troca de sinal. Por exemplo, para G = 9: < α 1α 2 α 3α 5α 4 α 6 α 7 α 8 >= − < α 1α 2 α 3α 4 α 5α 6 α 7 α 8 > . Pois quando se permutam dois diádicos contíguos, permutam-se duas linhas contíguas dos determinantes Di. Então, todos os Di trocam de sinal e, conseqüentemente, o produto cruzado. Essa propriedade pode ser generalizada. Se w é o número de inversões contadas entre os diádicos de um produto cruzado em relação a uma permutação fundamental, o produto cruzado correspondente troca de sinal w vezes. Então a multiplicação cruzada será comutativa para w par e anticomutativa para w ímpar. Isso significa que

No K-espaço, uma permutação circular dos fatores de um produto cruzado (de K diádicos desse espaço) muda K -2 vezes o seu sinal. 3ª) - A multiplicação cruzada é distributiva em relação à adição de diádicos, sendo, por exemplo, para G = 9:

< α 1α 2 α 3α 4 ( λ + µ )α 6 α 7 α 8 >=< α 1α 2 α 3α 4 λα 6 α 7 α 8 > + < α 1α 2 α 3α 4 µα 6 α 7 α 8 > . Com efeito, no exemplo os elementos da 5ª linha da matriz (011) são binômios. Logo, os elementos dessa mesma linha dos determinantes Di serão binômios e estes determinantes se desdobram na soma de dois outros determinantes do grau 8, cada um se obtendo do determinante Di trocando-se nele a referida linha por uma linha de termos do binômio. Mais geralmente comprovaríamos que:

A multiplicação cruzada é uma operação linear.

Poliádicos - Ruggeri

250

§ 11 - Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

4ª) - G - 1 diádicos de um 2EG e seu produto cruzado são linearmente independentes no 2EG; Particularmente, se, por exemplo, 8 diádicos αm estão expressos cartesianamente em relação às bases vetoriais positivas {e*} e {e*} na forma:

α m = F i jm e i e j

(m = 1, 2, ..., 8; i, j = 1, 2, 3),

(06),

temos, lembrando (01), § 10.02 e (031), § 11:

< α 1α 2 ... α 8 >=| e ∗ e ∗ |

e 1e 1

e 1e 2

e 1e 3

e 2 e 1 ... e 3 e 3

F 111

F 211

F 311

F 121

...

F 331

F 112

F 212

F 312

F 122

...

F 332

F 113

F 213

F 313

F 123

...

F 333

....

...

F 118

F 218

F 318

F 128

...

F 338

(061),

devendo ser notada a inversão da posição dos índices nas díades do fator |e*e*| no segundo membro e nas díades da primeira linha do determinante. * Exercício: Dar à expressão (061) uma representação utilizando a notação de Voigt (estabelecida no §10.02). * Consideremos agora o caso do sistema (011) em que V = G – P, P sendo a ordem de indeterminação, com P = 2. Temos então, de partida, diádicos componentes de uma base de um 2EG-2. O sistema (011) é, então:

 α 1 : ε1 α1 : ε 2  2 1 α2 : ε2  α :ε  ... ...  G -2 1 G −2 :ε α : ε2 α

α 1 : ε G   M1   0      ... α 2 : α G   M 2   0  . = ,   ...  ... ... ...     ... α G-2 : ε G   M G   0 

...

(012).

Como o principal é do grau G-2, o sistema é indeterminado, admitindo (duas) infinidades de soluções porque existem duas incógnitas não principais (MG-1 e MG). Para entender essa assertiva basta imaginar calculadas as G-2 incógnitas principais (M1, M2, ..., MG-2) em função das não principais e atribuir valores arbitrários às não principais para termos uma solução para o sistema. Qualquer outra solução poderá ser obtida atribuindo-se novos valores às incógnitas não principais. Se esses novos valores não forem proporcionais aos primeiros obteremos um diádico solução não paralelo ao anterior. Geometricamente isto significa que, no 2E2 que complementa o 2EG-2 (em relação ao 2EG), II, § 11.01

§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada.

251

existe uma infinidade de diádicos (quaisquer) ortogonais a todos os diádicos do 2EG-2 considerado; devendo-se observar, de passagem, que os diádicos do 2E2 são independentes. Como o 2E2 tem duas dimensões, concluímos que os diádicos de qualquer base de 2E2 são ortogonais aos diádicos da base considerada do 2EG-2. As mesmas considerações poderiam ser feitas para P=3, P=4 etc., ou sejam, G=V3, G=V-4 etc.. Poderíamos agora, invertendo posições, considerar P diádicos quaisquer do 2EP (com P=2,3, ...) e definir com eles um novo produto, por exemplo, um diádico que fosse certa combinação linear de G-P dos diádicos da base {εε*}, ou quem sabe, um novo conceito. Não nos interessa explorar essas questões no momento94. Identidades notáveis

Para o caso 2EG com G = 3 (produto cruzado de dois diádicos de um 2E3, gerados do E3), considerando que:

α1 = (α1 : ε i )ε i = (α1 : ε i )ε i e α 2 = (α 2 : ε j ) ε j = (α 2 : ε j )ε j para i,j=1,2,3, temos, para uma base positiva:

ε1 < α 1 α 2 >=| ε ∗ | α 1:ε 1 α 2 :ε 1

ε2 α 1:ε 2 α :ε 2

ε3 ε1 ∗ 1 3 1 α :ε =| ε | α :ε 1 α 2 :ε 3 α 2 :ε 1

ε2 α 1:ε 2

ε3 α 1:ε 3 ,

α :ε 2

α :ε 3

(032).

Em geral, para os diádicos do 2E3, gerados do E3,

< α1α 2 >≠ α1

× ×

α2 ,

(033).

Entretanto, vale aqui (para diádicos gerados do E3) a fórmula de Lagrange, || α1:α 2 || + ||< α1α 2 >||=|| α1 || || α 2 || ,

(034),

1 1 1 2 ||< α1α 2 >||= α2:α 1 α2:α 2 , α :α α :α

(035).

que escreveremos na forma

Multiplicando dupla e pontuadamente o segundo e o terceiro membros de (032), vem, ordenando as colunas pela permutação circular dos índices dos diádicos de base (23, 31 e 12) e considerando que |εε*||εε*|=1:

94 Hostetter, I. M., em Polyadic Products, Journal of Mathematics and Physics, vol. 22, 1943, mostra, definindo um "star product", como generalizar a definição de cross product de vetores introduzida por Gibbs (o. c.).

Poliádicos - Ruggeri

252

§ 11 - Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

||< α1α 2 >||=

α1 : ε 3 α1 : ε 2 α2 : ε3 α 2 : ε 2

α1 : ε 2 α2 : ε2

α1 : ε 3 + α2 : ε3

1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 + α2 : ε 3 α2 : ε1 α2 : ε3 α2 : ε1 + α2 : ε1 α2 : ε 2 α2 : ε1 α2 : ε2 α : ε α : ε α : ε3 α : ε1 α : ε α : ε α : ε1 α : ε2

Desenvolvendo o produto dos determinantes correspondente à primeira parcela temos:

α 1:ε 2 α 2 :ε 2

α 1:ε 3 α 1:ε 2 α 2 :ε 3 α 2 :ε 2

α 1:ε 3 α 1:ε 2 = α 2 :ε 3 α 2 :ε 2 =

α 1:ε 3 α 1:ε 2 α 2 :ε 3 α 1:ε 3

α 2 :ε 2 = α 2 :ε 3

α 1:α 1 − (α 1:ε 1 )(ε 1:α 1 ) α 1:α 2 − (α 1:ε 1 )(ε 1:α 2 ) α 2 :α 1 − (α 2 :ε 1 )(ε 1:α 1 ) α 2 :α 2 − (α 2 :ε 1 )(ε 1:α 2 )

Assim, o produto é equivalente à soma dos quatro determinantes seguintes:

α 1:α 1 α 2 :α 1

α 1:α 2 α 1:α 1 − , α 2 :α 1 α 2 :α 2

(α 1:ε 1 )(ε 1:α 2 ) (α 2 :ε 1 )(ε 1:α 2 )

, −

(α 1:ε 1 )(ε 1:α 1 )

(α 1:α 2 )

(α 2 :ε 1 )(ε 1:α 1 ) (α 2 :α 2 ) +

(α 1:ε 1 )(ε 1:α 1 )

(α 1:ε 1 )(ε 1:α 2 )

(α 2 :ε 1 )(ε 1:α 1 ) (α 2 :ε 1 )(ε 1:α 2 )

o último deles sendo evidentemente nulo. Desenvolvendo da mesma forma os produtos relativos às duas outras parcelas obteremos expressões análogas com uma parcela comum (o primeiro dos determinantes acima). Os determinantes:

−

α1 : α1 (α1 : ε1 )(ε1 : α 2 ) α1 : α1 (α1 : ε 2 )(ε 2 : α 2 ) α1 : α1 (α1 : ε 3 )(ε 3 : α 2 ) , − e − α 2 : α1 (α 2 : ε1 )(ε1 : α 2 ) α 2 : α 1 (α 2 : ε 2 )( ε 2 : α 2 ) α 2 : α1 (α 2 : ε 3 )(ε 3 : α 2 )

têm as primeiras colunas iguais e a soma deles é equivalente a um único determinante que se obtém conservando-se a primeira coluna e somando as segundas. O elemento da primeira linha e segunda coluna será então

(α1:ε1 )(ε1:α 2 ) + (α1:ε 2 )(ε 2:α 2 ) + (α1:ε 3 )(ε 3:α 2 ) = α1:α 2 . Com a soma das outras três parcelas podemos obter resultado análogo, isso é, a segunda linha da segunda coluna vale:

(α 2:ε1 )(ε1:α 2 ) + (α 2:ε 2 )(ε 2:α 2 ) + (α 2:ε 3 )(ε 3:α 2 ) = α 2:α 2 . Esses resultados comprovam a fórmula (035). De (034), então, resulta, trocando-se α1 por α e α2 por β :

||< αβ >||=|| α || || β || sen 2 (α , β) ,

(036),

fórmula em tudo idêntica à norma do produto vetorial de vetores ((07), §02.05,I). Exercício: Comprovar que de (034) podemos deduzir identidades análogas às do (§05.02,I) que são válidas para os vetores. II, § 11.01

§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada.

253

* Calculemos agora a norma do produto cruzado múltiplo <α αβγ> no 2E4. Tem-se:

ε2 ε3 ε4 ε1 ε2 ε3 ε4 ε1 1 2 3 4 α : ε1 α : ε 2 α : ε 3 α : ε 4 α :ε α :ε α :ε α :ε < αβγ >=| ε ∗ | =| ε ∗ | 1 2 3 4 β : ε1 β : ε 2 β : ε 3 β : ε 4 β:ε β:ε β:ε β:ε γ : ε1 γ : ε 2 γ : ε 3 γ : ε 4 γ : ε1 γ : ε 2 γ : ε 3 γ : ε 4 donde:

α : ε2 α : ε3 ||< αβγ >||= β : ε 2 β : ε 3 γ : ε2 γ : ε3

α : ε4 α : ε2 β :ε4 β :ε2 γ :ε4 γ : ε2

α : ε3 α : ε 4 α : ε3 β : ε3 β : ε 4 + β : ε3 γ : ε3 γ : ε4 γ : ε3

α : ε 4 α : ε1 β : ε 4 β : ε1 γ : ε 4 γ : ε1

α : ε3 α : ε 4 β : ε3 β : ε 4 γ : ε3 γ : ε 4

α : ε1 β : ε1 + ... γ : ε1

tal como no caso anterior, agora com determinantes de ordem 3 e, em cada parcela, ordenando as colunas pela permutação circular dos índices dos diádicos de base (234, 341, 412 e 123). Por caminho idêntico ao seguido no caso anterior (num espaço de 3 dimensões) encontraríamos resultado análogo, agora apresentado na forma:

α:α α:β α:γ ||< αβγ >||= β :α β :β β :γ = γ:α γ:β γ:γ , (04),

+ || α || || β || || γ || +2(α:β)(β :γ )(γ:α)− || α || (β :γ ) 2 − || β || ( γ:α) 2 − || γ || (α:β) 2 fórmula essa, válida num 2E4, correlata de (035) que é válida num 2E3. Ponhamos em evidência em (04) o produto das normas dos diádicos (§07.07), ou seja, o produto dos quadrados dos seus módulos. Nesse caso os duplos produtos pontuados poderão ser substituídos pelos co-senos dos ângulos formados pelos diádicos, sendo, então:

||< αβγ >||=| α | 2 | β |2 | γ | 2 (1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C + 2cosA cos B cos C) . Vê-se, pela expressão obtida e por analogia com o caso dos vetores, que o módulo do produto cruzado múltiplo dos três diádicos é equivalente ao volume do paralelotopo construído sobre as biflechas (§10.03) desses diádicos. Ponhamos:

α = A i ε i = A i ε i , β = B j ε j = B jε j e γ = C k ε k = C k ε k . Então:

|| α ||= A i A i >0, || β ||= B j B j >0, || γ ||= C k C k >0, α:β = A i B i = A j B j , β :γ = B jC j = B k C k , γ:α = C k A k = C i A i ,

(041).

Vimos que a norma do produto cruzado de três diádicos se expressa como uma soma de quatro parcelas representadas, cada uma, por produtos de dois determinantes do grau três. Lembrando que as colunas desses determinantes estão ordenadas por permutação cíclica dos índices dos diádicos de base, o referido produto pode ser escrito na forma:

Poliádicos - Ruggeri

254

§ 11 - Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

||< αβγ >||= (A i B j C k + A k B i C j + A j B k C i )(B j C k − B k C j )A i . Efetuando-se esses produtos e somas no segundo membro tem-se:

(A i B jC k + A k B i C j + A j B k C i )(B jC k − B k C j )A i = = (A i B jC k )(A i B j C k ) + (A k B i C j )(A i B jC k ) + (A j B k C i )(A i B jC k )

− (A i B jC k )(B k C j A i ) − (A k B i C j )(B k C j A i ) − (A j B k C i )(B k C j A i ) Da primeira parcela do segundo membro deduzimos:

(A i B j C k )(A i B jC k ) = (A i A i )(B j B j )(C k C k ) =|| α || || β || || γ || ; A segunda e a terceira são iguais, pois,

(A k B i C j )(A i B jC k ) + (A j B k C i )(A i B jC k ) = (A i B i )(B jC j )(C k A k ) + (A j B j )(B k C k )(C i A i ) e

(A i B i ) = (A j B j ) = (α:β ), (B jC j ) = (B k C k ) = (β :γ ) e (C k A k ) = (C i A i ) = γ:α ; logo

(A k B i C j )(A i B jC k ) + (A j B k C i )(A i B jC k ) = 2(α:β)(β :γ )( γ:α ) Agrupando na quarta parcela, deduzimos:

− (A i B jC k )(B k C j A i ) = −(A i A i )(B jC j )(B k C k ) = −(α:α)(β :γ ) 2 ; e operando da mesma forma nas demais parcelas obtemos resultados idênticos. Em resumo, verificando-se as (041), verifica-se também a seguinte identidade com 24 letras:

(A i B jC k + A k B i C j + A j B k C i )(B jC k − B k C j )A i = = (A i A i )(B j B j )(C k C k ) + 2(A i B i )(B jC j )(C k A k ) −

(042).

− (A i A i )(B jC j )(C k B k ) − (B k B k )(C i A i )(C j A j ) − (C jC j )(A k B k )(A i B i ) Se os diádicos estão referidos a bases diádicas ortonormadas desaparece a distinção entre suas coordenadas (co-variantes, contravariantes e mistas). Isto significa que as três primeiras igualdades (041) ficam reduzidas a somas de quadrados. As demais ficam reduzidas a apenas uma expressão e poderemos dispor todos os índices num mesmo nível, sem perigo de confusão. Assim, digamos, α:β = A i B i , β :γ = B jC j e γ:α = C k A k . Ponhamos, nesse caso, para destacar: A1=A, A2=B, A3=C, A4=D, B1=P, B2=Q, B3=R, B4=S e C1=X, C2=Y, C3=Z e C4=W. A identidade (042) poderá, então, ser escrita na forma de uma identidade de 12 letras: 2

BC D C D A D A B A B C QR S +R S P + S P Q + P QR = Z WX Y Z W WXY XY Z

II, § 11.01

§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico.

255

= (A 2 + B 2 + C 2 + D 2 )(P 2 + Q 2 + R 2 + S 2 )(X 2 + Y 2 + Z 2 + W 2 ) + +2(AP + BQ + CR + DS))(PX + QY + CZ + DW )(XA + YB + ZC + DW ) −

−(A 2 + B 2 + C 2 + D 2 )(PX + QY + CZ + DW) 2 −

(043).

−(P 2 + Q 2 + R 2 + S 2 )(XA + YB + ZC + WD) 2 − −(X 2 + Y 2 + Z 2 + W 2 )(AP + BQ + CR + DS) 2 . É fácil, mas bastante trabalhoso, generalizar esses resultados para espaços de dimensões maiores.

§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico. Vimos (§10.03) que o número de graus de liberdade de um 2EP contido num 2EG, que passa (ou contém) um 2ER, é (P-R)(G-P). Logo, o número de graus de liberdade de uma reta (P=1) que passa por dado ponto O no G-espaço diádico (R=0) é G-1, o que significa que essa reta pode girar em torno de O, com G-1 graus de liberdade. Vimos também que o número de condições para que um 2EP e um 2EQ, ambos contidos num 2EG, se interceptem num 2ER, é (R+1)(G-P-Q+R), mas P+Q≤G+R; isso é, são necessárias G-2 condições para que duas retas de um G-espaço (G≥2) passem por um ponto dado, pouco importando o ângulo formado pelas mesmas. Como o espaço complementar de qualquer 1-espaço (reta) contido num G-espaço tem dimensão G-1, segue-se que uma reta perpendicular a uma reta dada, no ponto O desta, pertence ao (G-1)-espaço que contém O e tem G-2 graus de liberdade. Com outras palavras diríamos que a reta do (G-1)-espaço, que passa por O, gira em torno de O, com G-2 graus de liberdade. Se o ângulo das duas retas for de um reto, diremos que a reta é ortogonal ao (G-1)-espaço. Isso justifica geometricamente: 1) - a existência do produto cruzado (diádicoárea) de G-1 diádicos de um 2EG-1, diádico esse perpendicular a cada um dos diádicos fatores (§11.01); 2) – por que cada diádico de uma base é perpendicular a todos os diádicos não homólogos da base recíproca (§10.02). Consideremos agora duas retas a e b de um G-espaço, perpendiculares num ponto O. Cada uma dessas retas é ortogonal a um (G-1)-espaço, a reta a pertencendo ao (G-1)-espaço complementar de b e a reta b ao complementar de a. Para que uma terceira reta r do Gespaço seja perpendicular a a e b em O é suficiente que r esteja contida no (G-2)-espaço interseção dos (G-1)-espaços ortogonais às retas a e b. E assim sucessivamente. Isto justifica geometricamente a previsão algébrica (já referida no §11.01) da existência de G retas mutuamente perpendiculares no G-espaço diádico, ou seja, a existência de bases diádica ortogonais. P retas mutuamente ortogonais dentre G delas (mutuamente ortogonais) de um Gespaço diádico determinam um 2EP; as G-P restantes determinam um 2EG-P. Esses dois espaços diádicos, complementares, têm o ponto O em comum e, evidentemente, são tais,

Poliádicos - Ruggeri

256

§ 12 - multiplicação cruzada Dupla de G diádicos.

que qualquer reta de um deles, que passe por O, é perpendicular a todas as retas do outro, que passem também por O. Dois espaços que gozem dessa propriedade são ditos completamente perpendiculares. Certamente a nomenclatura "completamente ortogonais" insinua a possibilidade de ortogonalidades parciais ou graus de ortogonalidade, os quais realmente existem. A discussão dessa questão envolve referência a polares, coordenadas homogêneas, cônicas e quádrica virtuais etc., assuntos que estão fora do escopo deste livro. Ângulo de dois espaços.

No espaço diádico, o ângulo de dois 1-espaços (retas) com um ponto comum é o ângulo de dois diádicos quaisquer de base, um de cada espaço (§07.07). Consideremos um 2EP e um 2EQ com um ponto comum, O, ambos, pois, contidos num EP+Q (espaço soma), com P+Q≤9 e P>Q>1. Existe sempre um e um só diádico (logo, uma e uma só reta) perpendicular ao 2EP por O: o suporte do diádico produto cruzado de P quaisquer diádicos de uma base de 2EP, diádico esse que está contido num 2EP+1, isso é, contido em 2EP+Q qualquer que seja Q. Existe sempre, também, um e um só diádico perpendicular a um 2EQ: o produto cruzado de Q quaisquer diádicos de base, contido num 2 EQ+1, que por sua vez está contido no 2EP+Q. Esses dois produtos diádicos, ambos pertencentes ao espaço soma, formam, pois, um ângulo, com vértice em O; esse ângulo é denominado "ângulo dos espaços" 2EP e 2EQ. Quando o ângulo de dois espaços (com ponto comum) é de um reto, os espaços são ditos "ortogonais". 2

Ortotopos.

A existência de bases diádicas ortogonais justifica a existência de paralelotopos cujos R-espaços fronteira são ortogonais (são retas ortogonais, planos ortogonais, 3-espaços ortogonais, retas ortogonais a planos etc.). Esses paralelotopos recebem a denominação particular de ortotopos.

§ 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G DIÁDICOS. Se um diádico fator, αi , de um produto cruzado múltiplo, π, de diádicos de um subespaço 2EG-1 de um espaço 2EG dado, é um segundo produto cruzado múltiplo de outros G - 1 diádicos, β 1, β 2, ..., β G - 1 de outro subespaço 2EG-1, então π e os β i são linearmente dependentes porque αi deve ser perpendicular a π e aos G - 1 diádicos β 1, β 2, ..., β G - 1.

Definição: Chamaremos duplo produto cruzado múltiplo, π, de G - 1 diádicos α1, α2, ..., αG - 1 de um 2EG-1 de dado espaço 2EG, um produto cruzado múltiplo diádicos em que um deles seja um segundo produto cruzado múltiplo, < β1 β2 ... βG - 1 >, de diádicos de outro 2EG-1 de 2EG.

II, § 12

§ 12 - Multiplicação cruzada dupla de G diádicos.

257

Assim, por exemplo, se αG - 1 é o segundo produto cruzado,

π =< α 1α 2 ... α G − 2 < β 1 β 2 ... β G −1 >> . A multiplicação dupla cruzada dupla de diádicos de um 2EG é a operação que tem por fim determinar um duplo produto cruzado de diádicos nesse espaço. Essa operação é, evidentemente, sempre possível e unívoca. O produto cruzado fator de um duplo produto cruzado deve ter por fatores, evidentemente, diádicos linearmente independentes de um 2EG-1, pois, do contrário, esse produto seria o diádico nulo e, conseqüentemente, seria também nulo o duplo produto.

Teor. 1:(determinante simbólico do duplo produto cruzado múltiplo) Tem-se:

∀α 1 , α 2 , ... , α G − 2 e α G −1 =< β 1 β 2 ... β G −1 >: π =< α 1α 2 ... α G − 2 < β1β 2 ... β G −1 >>= β1 α1 : β1

β2 α1 : β 2

β3 α1 : β 3

α 2 : β1 = ...

α 2 : β2 ...

α 2 : β3 ...

α G −3 : β1 α G −3 : β 2 α G −2 : β1 α G −2 : β 2

... ... ... ...

β G −2 α1 : β G − 2

β G −1 α1 : β G −1

α 2 : β G −2 ...

α 2 : β G −1 , ...

α G −3 : β 3 ... α G −3 : β G −2 α G −2 : β 3 ... α G −2 : β G −2

(01)95.

α G −3 : β G −1 α G −2 : β G −1

A fórmula (01) estende para o espaço diádico a clássica fórmula do duplo produto vetorial de vetores. Como o diádico π e os β i são linearmente dependentes, podemos escrever,

π = Mi βi ,

(i = 1, 2, ..., G - 1),

(A),

onde os Mi são números a determinar. Mostremos inicialmente que M1 não depende de β1. Seja β '1 um novo diádico e π' o duplo produto cruzado:

π ′ =< α 1α 2 ... α G − 2 < β′1β 2 ... β G −1 >> . A expressão correlata de (A) é

π ′ = M ′1 β′1 + M ′2 β 2 + ... + M ′G −1 β G −1 ,

(B).

95 Essa fórmula é a análoga de (03), § 03.02, I e de (04),§ 03.03, I.

Poliádicos - Ruggeri

258

§ 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos.

Exprimamos β '1 em função dos G diádicos linearmente independentes β 1, β 2, ..., β G - 1 e µ do espaço diádico. Seja, então,

β ′1 = N i β i + M µ ,

(C),

onde ao menos um dos coeficientes é diferente de zero. Isto posto, de (C), da definição de multiplicação cruzada de G - 1 diádicos e de suas propriedades, escrevemos:

< β ′1β 2 ... β G −1 >= N 1 < β 1 β 2 ... β G −1 > + N 2 < β 2 β 2 ... β G −1 > + ... + N G −1 < β G −1β 2 ... β G −1 > + M < µβ 2 ... β G −1 > , ou seja, calculando o duplo produto π ′ =< α 1α 2 ... α G − 2 < β′1β 2 ... β G −1 >> , lembrando a propriedade 1,b da multiplicação cruzada:

π ′ = N 1π + M < α 1α 2 ... α G − 2 < µβ 2 ... β G −1 >> . Por conseguinte, substituindo (B) e (A) nesta expressão, vem:

M ′1 β ′1 + M ′2 β 2 + ... + M ′G −1 β G −1 = N 1 (M 1 β1 + M 2 β 2 + ... + M G −1 β G −1 ) + + M < α 1α 2 ... α G − 2 < µβ 2 ... β G −1 >> , ou, substituindo (C):

M ′1 (N 1β1 + N 2 β 2 + ... + N G −1 β G −1 + Mµ ) + M ′2 β 2 + ... + M ′G −1 β G −1 ) = = N 1 (M 1β1 + M 2 β 2 + ... + M G −1 β G −1 ) + M < α 1α 2 ... α G − 2 < µβ 2 ... β G −1 >>

(D).

O duplo produto cruzado relativo à última parcela do segundo membro se exprime linearmente em função de µ, β 2, ..., β G - 1 porque esse duplo produto é do subespaço desses diádicos (notar que não aparece nesta expressão parcela em β 1 ). Então os dois membros de (D) são expressões lineares dos G - 1 diádicos µ, β 2, ..., β G - 1 . Como os únicos termos em β 1 são M'1N1β 1 no primeiro membro e M1N1β 1 no segundo, deve ser, necessariamente, M'1N1 = M1N1. Podemos considerar N1 ≠ 0 porque, do contrário, teríamos:

β′1 = N 2 β 2 + N 3 β 3 + ... + N G −1 β G −1 + M µ . Se escolhêssemos, então, em vez de µ , o diádico µ 1 = µ + β 1 , teríamos:

β′1 = − N 1 β1 + N 2 β 2 + N 3 β 3 + ... + N G −1 β G −1 + M µ 1 , II, § 12

§ 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos.

259

e o coeficiente de β 1 seria diferente de zero (o que é absurdo). Então, sendo N1 ≠ 0, temos M'1 = M1 , isso é, M1 não depende de β 1. Similarmente provaríamos que M2 não depende de β 2 etc.. Ora, sendo π ⊥ α1, α2, ...,α αG - 2, escrevemos:

α j : π = π : α j = 0, ou seja, considerando (A): (α j : β i ) M i = 0 ,

(j = 1, 2, ..., G - 2),

(j = 1, 2, ..., G - 2; i = 1, 2, ..., G - 1),

(E).

O sistema (E) tem G - 2 equações, G - 1 incógnitas (M1, ..., MG - 1) e sua matriz é

 α1 : β1 α1 : β 2  α 2 : β1 α2 : β2  ...  G −... 3 1 G−3 α : β : β2 α  G − 2 1 G − 2 α :β α : β2

... ... ... ... ...

G −1

α 1 : β G −2 α 1 : β G −1  2 G−2 α :β α 2 : β G −1   . ... ... G−3 G −2 G−3 G −1  α :β :β α  α G − 2 : β G − 2 α G − 2 : β G −1  G − 2

Se L é uma constante à determinar, as soluções do sistema são:

α1 : β 2 α2 : β2 ... M1 = L α G−3 : β 2 α G−2 : β 2

M 2 = −L

α1 : β1 α 2 : β1

α1 : β 3 α 2 : β3

...

G −3

... α 1 : β G − 2 ... α 2 : β G − 2 ... ... ... α G − 3 : β G − 2 ... α G − 2 : β G − 2

α1 : β 3 α2 : β3 ... α G −3 : β 3 α G −2 : β 3

G −3

... ...

α1 : β G − 2 α 2 : β G −2

...

... G −3

α1 : β G −1 α 2 : β G −1 = −LD 2 etc..

... G −2

α :β α : β ... α :β G −2 1 G −2 3 G −2 :β α : β ... α : β G −2 α 1

α 1 : β G −1 α 2 : β G −1 ... = LD 1 , α G − 3 : β G −1 α G − 2 : β G −1

G −3

G −1

α :β G −2 : β G −1 α

Nestas expressões, os Di, determinantes do grau G - 2, têm representações evidentes, e ao menos um deles é diferente de zero. Levando as soluções a (A) podemos escrever π na forma do pseudodeterminante de grau G - 1:

β1 β2 β3 α1 : β1 α1 : β 2 α1 : β 3 2 1 2 2 α :β α :β α2 : β3 π=L ... ... ... α G −3 : β1 α G −3 : β 2 α G −3 : β 3 α G −2 : β1 α G − 2 : β 2 α G −2 : β 3

... ... ... ... ... ...

β G −2 β G −1 α1 : β G−2 α 1 : β G −1 2 G −2 α :β α 2 : β G −1 , ... ... α G − 3 : β G − 2 α G − 3 : β G −1 α G − 2 : β G − 2 α G − 2 : β G −1

(F),

Poliádicos - Ruggeri

260

§ 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos.

desde que convencionemos desenvolvê-lo pelos elementos (diádicos) da primeira linha. O número L é independente dos β i, podendo ser determinado por (F) numa situação particular. Os G-1 diádicos β 1, β 2, ..., β G-1 constituem uma base no 2EG-1, base esta extraída da base {β β 1, β 2, ..., β G-1, β G} de 2EG, cuja recíproca é {β β 1, β 2, ..., β G-1, β G}. (Vale observar, de passagem, que os diádicos β 1, β 2, ..., β G-1 não constituem base recíproca de {β β 1, β 2, ..., G-1 2 β } em EG-1). Se π′ =< β1β 2 ... β G -1 > , então π′ =| β ∗ | β G conforme sabemos (05, § 11.01).Em relação à base {β β *} podemos escrever, agora aplicando ((03), § 11):

π =< α 1α 2 ... α G − 2 < β1β 2 ... β G −1 >>=

β1 α1 : β1

β2 α1 : β 2

β3 α1 : β 3

α :β ...

G −3

:β

G −3

:β

G −3

... ...

:β

... ... 3

β G −1 α1 : β G −1

βG α1 : β G

α 2 : β G −1 ...

α 2 : βG . ...

... α G −3 : β G −1 α G −3 : β G ... 0 | β∗ |

Desenvolvendo o determinante acima, simplificando, lembrando que |β β *||β β *|=1 (§ 10.02) e comparando o resultado obtido com (F) concluímos que deve ser L=1. Esses resultados são válidos na hipótese de ao menos um dos Di (i = 1, 2, ..., G - 1) ser não nulo. Procuremos os resultados a que chegaríamos se todos os Di fossem nulos. Suponhamos que α 1 : β 1 ≠ 0 . Então, para que os Di sejam nulos, deve haver ao menos uma linha da matriz do sistema (E) proporcional à primeira; se esta é a i-ésima,

α i : β1 α i : β 2 α i : β G −1 = = ... = =H, α1 : β G −1 α1 : β1 α1 : β 2 donde, então

β1 : (α i − Hα1 ) = 0 = β 2 : (α i − Hα 1 ) = ... = β 5 : (α i − Hα1 ) . Dois casos podem acontecer: 1°) - α i − Hα1 = Ο , e nesse caso: ou αi é paralelo a α1, ou α i = Ο se H = 0. Em qualquer um dos casos π =Ο Ο; 2°) - α i − Hα1 ≠ Ο , caso em que esse diádico é perpendicular aos G - 1 diádicos β 1, β 2, ..., β G - 1 . Então, α i − Hα α1 é paralelo ao produto cruzado < β 1 β 2 ... β G - 1 > desses G - 1 diádicos. Se H é um número não nulo, arbitrário, temos:

II, § 12

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

α i − Hα 1 = H ′ < β 1 β 2 ... β G −1 > ,

ou,

261

α i − Hα 1 − H ′ < β1β 2 ... β G −1 >= Ο ,

e os diádicos αi , α1 e < β 1 β 2 ... β G - 1 > são linearmente dependentes. Logo π =Ο Ο. Se, finalmente, todos os coeficientes dos Mi em (06) são nulos, todos os αi são paralelos por serem todos perpendiculares aos diádicos do conjunto β 1, β 2, ..., β G - 1. Mais uma vez π =Ο Ο. Logo a fórmula (01) é válida em todos os casos, desde que β 1, β 2, ..., β G - 1 sejam linearmente independentes no subespaço a que pertencem. Se os β i não fossem linearmente independentes, < β 1 β 2 ... β G - 1 > = Ο e, obviamente, π =Ο Ο. Por outro lado, nesse caso, poderíamos expressar, digamos, β G - 1 em função dos demais β G −1 = Q 1β 1 + Q 2 β 2 + ... + Q G − 2 β G − 2 e teríamos, para K=1, 2, ..., G 2:

β1 π=

β2

β3

...

β G−2

...

α 1 : β G −2

α1 : β1

α1 : β 2

α1 : β 3

α : β ... α G−3 : β 1

α :β ... α G−3 : β 2

α :β ... α G−3 : β 3

... ... ...

α : β ... α G −3 : β G −2

α G−2 : β 1

α G−2 : β 2

α G −2 : β 3

...

α G −2 : β G −2

G −2

Qkβk

α1 : Q k β k

α2 : Qkβk , ... α G −3 : Q k β k

α G −2 : Q k β k

determinante no qual a última coluna é uma combinação linear das demais, a primeira estando multiplicada por Q1, a segunda por Q2, ..., a penúltima por QG - 2. Logo π =Ο Ο. Então, (01) é válida em todos os casos.

§ 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS. Chama-se produto misto de 3≤G≤9 diádicos de um espaço diádico G-dimensional, α1, α2, ..., αG, nessa ordem, e indica-se por (α α1α2...α αG), o número real definido pelo duplo produto pontuado do produto cruzado dos G - 1 primeiros (que é um diádico) pelo último:

(α 1α 2 ... α G −1α G ) =< α 1α 2 ... α G −1 > : α G ,

(01).

A operação que tem por fim determinar o produto misto de G diádicos de um espaço de dimensão G é a multiplicação mista de G diádicos. Para G = 3, lembrando (033), § 11:

(α1α 2 α 3 ) =< α1α 2 > : α 3 ,

(011);

portanto, (01) generaliza operações e conceitos conhecidos quando aplicados a um 3espaço. Deve ser observado que usamos a mesma notação utilizada para a representação do duplo produto misto de três diádicos definida no §07.06, embora seja, como já assinalamos,

< α1α 2 > : α 3 ≠ α1 ×× α 2 : α 3 .

Poliádicos - Ruggeri

262

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

Lembrando que ε G : ε G = 1 , resulta logo, de ((05), § 11), num espaço diádico de dimensão G:

(ε1ε 2 ... ε G ) = ± | ε ∗ | ,

(021),

isso é:

O produto misto dos diádicos de uma base de um 2EG é igual ao módulo dessa base multiplicado por +1 ou –1 conforme ela seja positiva ou negativa. O módulo de um base é igual, então, ao produto do modulo do diádico-área construído sobre os diádicos α1α2...α αG-1 pelo módulo de αG e pelo co-seno do ângulo entre esses dois diádicos, ou seja, produto da área do paralelotopo construído sobre α1α2...α αG-1 pela distância entre a extremidade de αG e esse paralelotopo. Isto sugere comparar o produto misto dos G diádicos ao "volume do paralelotopo" construído sobre os diádicos. Como o módulo de uma base (o volume de um paralelotopo) é um número diferente de zero, concluímos, logo:

Teor. 1: A CNS para que G diádicos de um espaço de dimensão G constituam uma base é que o produto misto deles, em qualquer ordem (ou, o volume do paralelotopo construído sobre eles), seja diferente de zero. No caso particular dos diádicos de base serem da forma

e 1e 1 , e 1 e 2 , e 1 e 3 , e 2 e 1 , ..., e 3 e 3 , temos, lembrando ((02), § 10.02):

|| e ∗ e ∗ || = ( e 1 e 1 e 1e 2 ... e 3 e 3 ) ( e 1 e 1 e 1 e 2 ... e 3 e 3 ) = ( e 1 e 1 e 1 e 2 ... e 3 e 3 ) 2 ,

(022).

Analogamente,

|| e ∗e ∗ ||= (e1e1e1e 2 ... e 3e 3 ) 2 , || e ∗e ∗ ||= (e1e1e1e 2 ... e 3e 3 ) 2 , etc.

(023).

Esses resultados, válidos também para os espaços de dimensão G, comprovam mais uma vez que a norma de uma base é um número positivo. Considerando ((03), § 11) e (021) deduzimos, imediatamente:

(α 1α 2 α 3 ... α G ) = (ε 1ε 2 ε 3 ... ε G ) D k (ε k : α G ) ,

(k = 1, 2, ..., G).

Ora, ε k : α G são os elementos da última linha do determinante:

α 1:ε 1 α 1: ε 2 α 2 :ε1 α 2 :ε 2 ∆= ... ... α G :ε1 α G :ε 2

II, § 13

... α 1 : ε G ... α 2 : ε G , ... ... ... α G : ε G

(03),

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

263

e os Dk, dados por ((021), §11) são os seus respectivos complementos algébricos. Logo,

α 1 : ε 1 α 1 : ε 2 ... α 1 : ε G (α 1α 2 α 3 ... α G ) = (ε 1ε 2 ε 3 ... ε G )

α 2 : ε 1 α 2 : ε 2 ... α 2 : ε G ...

...

(04).

(041).

...

α G : ε 1 α G : ε 2 ... α G : ε G Como a base é arbitrária, (04) pode ser escrita na forma

α 1 : ε 1 α 1 : ε 2 ... α 1 : ε G (α 1α 2 ... α G ) = (ε 1ε 2 ... ε G )

α 2 : ε 1 α 2 : ε 2 ... α 2 : ε G ...

...

α G : ε 1 α G : ε 2 ... α G : ε G Em resumo:

Num espaço diádico de dimensão G, o produto misto de G diádicos, numa certa ordem, é igual ao produto do produto misto dos G diádicos de uma base (na sua ordem natural) pelo determinante de grau G cuja i-ésima linha e j-ésima coluna tem por elemento o duplo produto pontuado do diádico de ordem i do produto misto e o diádico de ordem j da base recíproca. É simples comprovar-se que (04) e (041) são válidas quando as bases são conjuntos de díades do conjunto das 9 díades de bases recíprocas. Deve ser ressalvado, entretanto, mais uma vez, que com diádicos de uma base de um espaço é sempre possível a constituição de bases de espaços de dimensão menor, mas os diádicos da base recíproca do primeiro nada têm haver com os diádicos da base recíproca dos segundos. Além de ser uma operação sempre possível e unívoca, a multiplicação mista goza ainda das seguintes Propriedades

todas facilmente demonstráveis com base no determinante (03).

1ª) - Um produto misto de G diádicos é nulo: a) - se um dos diádicos é nulo; b) - se ao menos dois diádicos são paralelos; c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais dos diádicos fatores. Assim, por exemplo, é nulo o produto misto de G-1 diádicos quaisquer de um Gespaço e o diádico soma deles. Portanto tais G diádicos (os G-1 do G-espaço e o soma) são linearmente dependentes e pertencem a um espaço de dimensão menor ou igual a G-1.

2ª) - Linearidade:

(α 1α 2 ... α G −1 ( Bβ + Cγ )) = B(α 1α 2 ... α G −1 β ) + C (α 1α 2 ... α G −1 γ ) ,

(05).

Poliádicos - Ruggeri

264

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

3ª) - Alternância. Um produto misto trocará de sinal ao se alternarem dois quaisquer de seus diádicos fatores contíguos. Com efeito, quando se permutam duas filas paralelas contíguas (linhas ou colunas) de um determinante ele muda de sinal; logo o produto misto troca de sinal. Conforme (04), o sinal do produto será alternado tantas vezes quantas se alternar o sinal do determinante do segundo membro. Assim, como levar-se o primeiro fator para o último posto equivale a fazer-se da primeira linha do determinante sua última linha - caso em que o determinante troca de sinal G - 1 vezes - resulta:

Num espaço de dimensão G, uma permutação cíclica dos fatores muda G - 1 vezes o sinal do produto misto. Valem, pois, as seguintes fórmulas:

(α 1α 2 α 3 ... α G −1α G ) = ( −1) G −1 (α 2 α 3 ... α G −1α G α 1 ) = = ( −1) 2(G −1) (α 3 ... α G −1α G α 1α 2 ) = (α 3 ... α G −1α G α 1α 2 ) = = (−1)3(G −1) (α 4 ... α G −1α Gα1α 2α 3 ) = ,

(06).

= (−1) G −1(α 4 ... α G −1α Gα1α 2α 3 ) ... Particularmente, podemos enunciar:

Nos espaços de dimensão ímpar o produto misto de G diádicos é invariante numa permutação circular; nos de dimensão par esse produto troca de sinal. Teor. 2: São números recíprocos os produtos mistos dos diádicos homólogos de bases recíprocas:

{ε ∗ } e {ε ∗ }

⇔

(ε 1ε 2 ... ε G )(ε 1ε 2 ... ε G ) = 1,

(07).

Pois sendo inversas as matrizes associadas a bases recíprocas (Teor. 6, § 10.02), inversos ou recíprocos são também os seus determinantes, isso é, as normas e os módulos dessas bases. Agora, de (021), deduzimos (07) facilmente.

Teor. 3:

∀ G > i = 1 ,2 , . . . , G , {ε ∗ } , {ε ∗ } :

ε i = ( −1) i(G −1)

II, § 13

< ε i +1ε i + 2 ... ε G ε 1 ... ε i − 2 ε i −1 > , (ε 1ε 2 ... ε i −1ε i ε i +1 ... ε G )

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

ε j = ( −1) j(G −1)

265

< ε j+1ε j+ 2 ... ε G ε 1 ... ε j− 2 ε j−1 > (ε 1ε 2 ... ε j−1ε jε j+1 ... ε G )

(08).

Consideremos por exemplo a expressão

(ε 4 ε 5 ... ε G ε 1ε 2 ε 3 ) =< ε 4 ε 5 ... ε G ε 1ε 2 > : ε 3 . O primeiro membro é diferente de zero porque, por hipótese os diádicos constituem uma base. Então < ε 4 ε 5 ... ε G ε 1ε 2 > 1= 4 5 : ε3. (ε ε ... ε G ε 1ε 2 ε 3 ) Pelas propr. 3ª) podemos escrever:

1 = ( −1) 3(G −1)

< ε 4 ε 5 ... ε G ε 1ε 2 > : ε 3, (ε 1ε 2 ... ε G )

e pelo Teor. 5, § 10.02,

ε 3 = ( −1) 3(G −1)

< ε 4 ε 5 ... ε G ε 1ε 2 > , (ε 1ε 2 ... ε G )

ou seja, a fórmula (08) é válida para i = 3. Analogamente podemos comprovar que ela é válida para todos os valores de i, desde 1 até G. Deve ser observado, porem, na aplicação da fórmula, que: 1°) - quando o índice de um diádico superar o valor G, deve-se subtrair-lhe G unidades; 2°) - não existe índice zero, nem índice negativo. Da expressão (08) deduzimos logo, após transposições convenientes:

δ ij =< ε 1ε 2 ... ε i −1ε

i +1

... ε G > : < ε 1ε 2 ... ε j−1ε

j+1

... ε G > ,

(081).

Com efeito, consideremos o produto pontuado duplo de (08)1 por (08)2, cujo resultado é δij. O produto dos denominadores é efetivamente igual a 1, uma vez que dentro dos parênteses aparecem todos os G diádicos correspondentes das bases recíprocas. O produto cruzado de G - 1 dos G diádicos de bases,

< ε i +1ε i + 2 ... ε G ε 1 ... ε i − 2 ε i −1 > (em que falta o diádico εi) troca de sinal G - 1 vezes quando passamos o último diádico para o primeiro posto. Como temos i - 1 diádicos após εG , podemos escrever:

< ε i +1ε i + 2 ... ε G ε 1 ... ε i − 2 ε i −1 >= ( −1) (i −1)(G −1) < ε 1ε 2 ... ε i −1ε i +1 ... ε G > Escrevendo expressão análoga para o fator

Poliádicos - Ruggeri

266

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

< ε j+1ε j+ 2 ... ε G ε 1 ... ε j− 2 ε j−1 > , e multiplicando dupla e pontualmente as expressões obtidas encontramos facilmente (081) pois o expoente de (-1) nesse produto, i(G − 1) + (i − 1)(G − 1) + j(G − 1) + (j − 1)(G − 1) = 2(i + j − 1)(G − 1),

é um número par quaisquer que sejam i,j e G.

Teor. 4: Se G diádicos α1, α2, ..., αG são expressos na base {ε*}, na forma cartesiana

α r = M r iε i ,

(i, r = 1, 2, ..., G),

então,

(α 1α 2 ... α G ) = M (ε 1ε 2 ... ε G ) ,

(09),

onde

M 11 M 12 M 21 M 22 M = ... ... M G1 M G2

... M 1G ... M 2G , ... ... ... M GG

(091).

Com efeito, pois é M ri = α r : ε i , e a expressão (09) não difere de (04), nem (03) de (091).

Corol. 1 ∀φ 1 , φ 2 , ..., φ G e ψ 1 , ψ 2 , ..., ψ G de um mesmo G-espaço,

φ 1 : ψ1 φ 1 : ψ 2 ... φ 1 : ψ G

(φ 1φ 2 ... φ G )( ψ1 ψ 2 ... ψ G ) =

φ 2 : ψ 1 φ 2 : ψ 2 ... φ 2 : ψ G , ... ... ... ... φ G : ψ1 φ G : ψ 2 ... φ G : ψ G

(092).

Para demonstrar, lembremo-nos inicialmente de que um determinante não se altera se trocarmos suas linha pelas correspondentes colunas. Então, multipliquemos membro a membro (04) por (041) trocando previamente em (04) αi por φi , e em (041) αi por ψi e as colunas pelas linha correspondentes. Conforme o Teor. 2, o produto dos produtos mistos dos diádicos de bases recíproca vale 1. O elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto dos determinantes é dado por

(φ i : ε 1 )(ε 1 : ψ j ) + (φ i : ε 2 )(ε 2 : ψ j ) + ... + (φ i : ε G )(ε G : ψ j ) .

II, § 13

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

267

Aplicando propriedades da dupla multiplicação pontuada de diádicos e considerando (08), § 10.02, a expressão acima pode ser escrita na forma

[(φ i : ε k )ε k ] : ψ j = φ i : ψ j , o que conclui a demonstração.

Teor. 5: Se, em relação a uma base {ε* } de um 2EG, G - 1 diádicos φ1 , φ 2 , ..., são expressos na forma cartesiana

φ r = M r iε i ,

(r = 1, 2, ..., G - 1; i = 1, 2, ..., G),

então tem-se, para expressão do produto cruzado dos G - 1 diádicos:

< φ φ ... φ 1 2

G −1

>= (ε 1ε 2 ... ε G )

ε1

ε2

...

εG

M 11

M 12

...

M 1G

...

(10).

M (G −1) 1 M (G −1) 2 ... M (G −1) G Com efeito, tal como na demonstração do teorema anterior, a expressão (10) não difere de ((031), § 11) porque M r i = φ r : ε i e (ε1ε 2 ...ε G ) = ± | ε ∗ | .

Corol. 1: ∀φ 1 , φ 2 , ..., φ G −1 ,{ε ∗ } e {ε ∗ }:

< φ 1φ 2 ... φ G −1 >= (ε 1ε 2 ... ε G )

ε1

ε2

φ1 : ε1

φ1 : ε2

...

εG

... φ 1 : ε G ...

...

(11),

φ G −1 : ε 1 φ G −1 : ε 2 ... φ G −1 : ε G expressão esta, homóloga de ((031), § 11).

Teor. 6: (invariância do produto misto) É um invariante o produto misto de (ou o volume do paralelotopo construído sobre) G diádicos de um 2EG. Com efeito, denotemos os produtos mistos de G diádicos φ1, φ2, ..., φG, calculados em relação às bases recíprocas {εε*}, {εε*} e {µ µ*},{µ µ*}, por (φ φ1φ2 ... φG)ε e (φ φ1φ2 ... φG)µ. Temos, conforme (03) e (04):

Poliádicos - Ruggeri

268

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

φ1 : ε1 φ1 : ε 2 φ 2 : ε1 φ 2 : ε 2 (φ1φ 2 ... φG )ε = (ε1ε 2 ... ε G ) ... ... φG : ε1 φG : ε 2 φ1 :µ1 1 2 (φ1φ 2 ... φG )µ = (µ1µ 2 ... µ G ) φ :µ ... φ1 :µ G

φ 2 :µ1 φ 2 :µ 2 ... φ 2 :µ G

... φ1 : ε G ... φ 2 : ε G , ... ... ... φG : ε G ... φG :µ1 ... φG :µ 2 . ... ... ... φG :µ G

Multiplicando ambos os membros da primeira igualdade por (µ µ1µ2 ... µG) e aplicando (092), vem:

µ1 : ε1 µ1 : ε 2 2 1 2 2 (φ1φ 2 ... φG )ε (µ1µ 2 ... µ G ) = µ : ε µ : ε ... ... µ G : ε1 µ G : ε 2

... ... ... ...

µ1 : ε G µ 2 : εG . ... µG : εG

ε 1 : φ1 ε : φ1 . 2 ... ε G : φ1

ε1 : φ 2 ε2 :φ2 ... εG :φ2

... ε 1 : φ G ... ε 2 : φ G . ... ... ... ε G : φ G

µ1 : φ1 µ1 : φ 2 2 1 2 2 (φ1φ 2 ... φG )µ (µ1µ 2 ... µ G ) = µ : φ µ : φ ... ... µ G : φ1 µ G : φ 2

... µ1 : φG ... µ 2 : φG . ... ... ... µ G : φG

Tem-se, ainda, aplicando (092):

Ora, o produto dos determinantes do segundo membro da primeira igualdade é igual ao determinante do segundo membro da segunda igualdade, pois o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna desse produto é

( µ i : ε 1 )(ε 1 : φ j ) + (φ i : ε 2 )(ε 2 : φ j ) + ... + ( µ i : ε G )(ε G : φ j ) , ou melhor, evidenciando e mais uma vez considerando ((08), § 10.02):

[(µ i : ε r )ε r ] : φ j = µ i : φ j . Isto posto, igualando os primeiros membros e cancelando o fator comum, concluímos:

(φ1φ 2 ...φ G ) ε = (φ1φ 2 ...φ G ) µ , ou seja, o produto misto de G diádicos independe das bases em relação às quais é calculado, sendo pois, um invariante. II, § 13

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

269

Produto misto de nove diádicos dados em forma cartesiana.

Se nove diádicos α mi estão expressos na formas cartesianas

α mi = A jk m i e j e k

(m, i, j, k = 1, 2, 3),

às quais correspondem as matrizes

A11 mi  1 i A 2 m A 1 i  3 m

A1 3 m i   A 23 mi  , A 33 mi  

A1 2m i A 22 mi A 3 2 mi

(12),

então,

A 1111 A 1211 A 1311 A 2111 ... A 3311 A 1112 A 1212 A 1312 A 2112 ... A 3312 (α 11

α 12

α 13

α 21

...

α 33 ) =

∗

(e e∗ )

A 1113 A 1213 A 1313

...

... A 3313

A 1121

...

... A 3321

...

(121).

...

A 1133 A 1233 A 1333 A 2133 ... A 3333 Para comprovarmos esta fórmula basta aplicar (03) e (04) para o caso particular em que G = 9 e fazer ε 1 = e 1 e 1 , ε 2 = e 1 e 2 , ... , α 11 = α 1 , α 12 = α 2 , .... Se fosse

α mi = A

jk i m

e je k

(m, i, j, k = 1, 2, 3),

seria

A 11 11 A 12 11 A 13 11 ... A 3311 A 11 12 A 12 12 A 13 12 ... A 3312 (α 11 α 12 α 13 α 21 ... α 33 ) = ( e ∗ e ∗ ) A 11 13 ...

...

... ,

...

(122).

A 11 33 A 12 33 A 13 33 ... A 3333 Outras fórmulas análogas poderiam ser deduzidas. Tanto em (121) como em (122) e nas análogas, a regra para escrever-se o produto misto quando os diádicos são dados em forma cartesiana é bem clara. O determinante pode ser imaginado subdividido em três blocos horizontais de três linhas cada um e três blocos

Poliádicos - Ruggeri

270

§ 14 - Permutador a vários índices.

verticais de três colunas cada um. Os blocos verticais correspondem a j = 1, j = 2 e j = 3; os blocos horizontais a m = 1, m = 2 e m = 3. No j-ésimo bloco vertical, à primeira coluna corresponde o índice k = 1, à segunda, o índice k = 2 e à terceira, o índice k = 3. Analogamente, no m-ésimo bloco horizontal, à primeira linha corresponde o índice i = 1, à segunda, o índice i = 2 e à terceira, i = 3. Isto significa, em resumo, que a primeira linha do determinante é composta com as coordenadas do diádico α11; a segunda linha com as coordenadas de α12 etc.. Os três primeiros elementos de cada linha formam precisamente a primeira linha da matriz (12) associada ao diádico; os três seguintes formam a segunda linha e os três últimos a terceira linha. Podemos escrever sinteticamente, sem perigo de erro:

(α 11 α 12 α 13 α 21 ... α 33 ) = ( e ∗ e ∗ )| A ∗∗ ∗∗ |,

(13),

(α 11 α 12 α 13 α 21 ... α 33 ) = ( e ∗ e ∗ )| A ∗∗ ∗∗ | ,

(131),

(α 11α 12 α 13 α 21 ... α 33 ) = ( e ∗ e ∗ )| A ∗∗ ∗∗ | ,

(14),

(α11 α12 α13 α 21 ... α 33 )= (e ∗e ∗ ) | A ∗∗ ∗∗ | ,

(141)

análogas,

e outras. Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma cartesiana.

No espaço diádico simétrico as representações (14), (141), assumem formas particulares porque, em primeiro lugar, o número de diádicos fatores é, no máximo 6 (o produto de sete quaisquer é sempre nulo); em segundo lugar, os duplos índices podem ser substituídos por um único (notação de Voigt). Assim, o produto misto de 6 diádicos simétricos pode ser representado pelo determinante da matriz ((15), §10.02). No caso espaço diádico anti-simétrico (que tem até três dimensões) é fácil comprovar que o produto misto de três diádicos quaisquer é igual a um oitavo do produto misto dos vetores desses diádicos, ou, o que é o mesmo, igual a um oitavo do determinante ((17), §10.02).

§ 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES. Seja α 1 , α 2 , ..., α G a seqüência fundamental de um conjunto de G ≤ 9 diádicos. O produto misto desses diádicos em qualquer ordem pode ser expresso em função do produto misto (α 1α 2 ... α G ) da seqüência fundamental com a introdução de um símbolo, mediante a seguinte

Definição: (permutador) Chama-se permutador a G índices (G ≤ 9), e representa-se por ε ij ... m ou ε ij ... m , um símbolo com G índices num mesmo nível tal, que ao se

atribuírem a todos os índices os valores 1, 2, ..., G, esse símbolo valha zero se dois dos índices são iguais, + 1 se for par o número de inversões contadas II, § 14

§ 14 - Permutador a G índices.

271

entre os índices considerando como fundamental a seqüência 1, 2, 3, ..., G; e - 1 se esse número for ímpar:

ε ij ... m

 = 0, dois índices iguais  =  = +1, nú mero par de inversões  = −1 , nú mero ímpar de inversões,

(01).

O permutador com apenas um índice vale sempre + 1. O permutador a G índices amplia o conceito de permutador já estabelecido para G ≤ 3 no § 04.02, I. Então, evidentemente:

(α i α j ... α m ) = ε ij ... m (α 1α 2 ... α G ) ,

(02).

Ora, por definição,

(α i α j ... α k α m ) =< α i α j ... α k > : α m 14 4244 3 . G fatores

Então, considerando (02) deduzimos,

< α i α j ... α k > : α m = ε ij ... m (α 1α 2 ... α G ) ,

(021).

Se (α 1α 2 ... α G ) ≠ 0 o conjunto admite recíprocos. Então, pós justapondo αm a ambos os membros de (021), somando em m (de 1 até G) e lembrando o Teor. 7, § 10.02, concluímos:

(α 1α 2 ... α G ) ≠ 0 , i, j, ... , k, m = 1,2, ..., G

⇒ G6 índices 78

⇒

< α i α j ... α k > = ε ij ... km (α 1α 2 ... α G )α m 14243

(03).

G −1 fatores

Analogamente, podemos escrever:

(α 1α 2 ... α G ) ≠ 0 , i, j, ... , k, m = 1,2, ..., G

⇒

m < α r α s ... α u > = ε rs ... um (α1α 2 ... α G )α , 14243 123 G −1 fatores

(04).

G índices

As fórmulas (03) e (04) estendem aos espaços diádicos de G dimensões as fórmulas (03) e (04), § 04.02, I, válidas para os espaços dos vetores de até 3 dimensões. Particularmente, para G = 3, vimos (§10.02, Notas) que se tem (em geral):

Poliádicos - Ruggeri

272

§ 14 - Permutador a G índices.

< α i α j >≠ α i

× ×

αj;

da mesma forma,

< α i α jα k >≠ (α i

× ×

α j ) ×× α k .

Teor. 1: (generalização do determinante de Gram) Tem-se, para dois conjuntos de G índices, i, j, ..., p e r, s, ..., q, cada índice variando de 1 a G:

ij ... kp

ε rs ... uq =

δir

δis

...

δiq

δ jr

δ js

...

δ jq

...

δpr

δps

...

δpq

= (α iα j ... α kα p )(α rα s ... α uα q ) ,

(05).

Pois, pós-multiplicando dupla e pontualmente ambos os membros de (03) por αp, os de (04) por αq, multiplicando membro a membro as expressões obtidas e lembrando ((07), § 13), deduzimos:

(α iα j ... α kα p )(α rα s ... α uα q ) = εij ... kp ε rs ... uq . Aplicando ((092),§13) para o cálculo do produto indicado no primeiro membro encontramos o determinante de (05). O determinante (05), equivalente a um produto de permutadores a vários índices, generaliza os correspondentes a ((07), § 04.02, I).

Definição: (determinante de Gram) Os determinantes da forma (05) são denominados determinantes de Gram nos seus respectivos espaços.

Corol. 1:(produtos de permutadores) Tem-se, para i, j, ... p, r, s, ... , q = 1,2, ... , G:

δir

δis

...

δiu

δj εij ... kp ε rs ... up =< α iα j ... α k > : < α rα s ... α u >= r ... 123 14243 14243 G índices G −1 fatores G −1 fatores δkr

δ js

...

δ ju

...

δks

...

δku

G} índices

expressão que estende aos diádicos a fórmula ((071), § 04.02, I).

II, § 14

(06);

§ 14 - Permutador a G índices.

273

Os dois primeiros membros de (06) são conseqüência imediata do duplo produto pontuado de (03) por (04). Desenvolvendo (05) pelos elementos da última coluna, onde se faça q = p, vem:

ij ... kp

ε rs ... up =

δ ir

δ is

...

δ ip

δ jr

δ js

...

δ jp

...

δ pr

δ ps

...

δ pp

+ ( −1) 2G −1 δ kp

= ( −1)

δ ir

δ is

...

δ iu

δ jr

δ js

...

δ ju

...

δ pr

δ ps

...

δ pu

δ pp

δ ir

δ is

...

δ iu

δ jr

δ js

...

δ ju

...

δ kr

δ ks

...

δ ku

δ ir

δ is

...

δ iu

...

δ kr δ pr

δ ks δ ps

...

δ ku

...

δ pu

+ ... + ( −1) G + 2 δ jp

+ ( −1) G +1 δ ip

δ jr

δ js

...

δ ju

...

δ kr δ pr

δ ks δ ps

...

δ ku

...

δ pu

Seja ∆ o complemento algébrico (co-fator) de δpp:

∆=

δir

δis

...

δiu

δ jr

δ js

...

δ ju

...

δkr

δks

...

δku

A última parcela da soma indicada representa uma soma (em p) de determinantes cujos coeficientes são todos nulos exceto quando p = i. Então, substituindo-se p por i nesse determinante e deslocando-se a última linha para a posição de primeira linha, o valor do determinante se conserva em módulo e muda de sinal G - 2 vezes; ou seja, esse determinante vale (- 1) G+1+G-2 ∆ = - ∆. Por iguais motivos a penúltima parcela vale (- 1) G+2+G-3 ∆ = - ∆, já que devemos fazer da última linha uma segunda linha (e o determinante muda de sinal G - 3 vezes); e assim sucessivamente para todas as parcelas, iguais a - ∆. A primeira das G primeiras parcelas vale G . ∆, pois δpp = G. Logo:

ε ij ... kp ε rs ... up = [ G − ( G − 1)]∆ = ∆ , o que conclui a demonstração do teorema.

Poliádicos - Ruggeri

274

§ 14 - Permutador a G índices.

Para o caso G = 2 (diádicos de um 2E2), temos:

ε ijε rj = ε i ε r

(i, r, j = 1,2) .

Mas aplicando ((07), § 04.02, I) para o caso G = 2, temos:

ε ε rj = ij

δ ir

δ ij

δ jr

δ jj

= 2δ ir − δ ij δ jr = δ ir

(i, r, j = 1,2) ,

(07),

pois δjj = 2. Resulta, então:

ε i ε r = δ ir =< α i α j > : < α r α j >= α i : α r (i, r, j = 1,2) ,

(071).

Para o caso G = 3 (diádicos de um 2E3) temos, aplicando sucessivamente as ((07), (071), § 04.02, I): 1°) -

ε ijk ε rsk = ε ij ε rs =< α i α jα k > : < α r α s α k > = =< α i α j > : < α r α s

(i, r, j, s = 1,2,3)

(08);

2°) -

ε ijk ε rjk =< α i α j α k > : < α r α jα k > = 2δ ir = 2α i : α r

(i, r = 1,2,3) ,

(09);

(i, j, k = 1,2,3) ,

(10).

3°) -

ε ijk ε ijk =< α i α jα k > : < α i α jα k > = 6 Para o caso G = 4, temos: 1°) - Para i, j, k, r, s, t = 1,2,3,4 :

δ ir δ is δ it ε ijkm ε rstm = ε ijk ε rst =< α i α jα k > : < α r α sα t >= δ jr δ js δ jt , δ kr

δ ks

(11);

δ kt

2°) - Fazendo k = t em (11)

ε ijkm ε rskm = ε ijk ε rsk = ε ijε rs =

δ ir δ is δ jr δ js

(i, j, r, s = 1,2,3,4) ,

(12);

(i, j, k, m, r = 1,2,3,4) ,

(13);

3°) - Fazendo j = s em (12), temos:

ε ijkm ε rjkm = ε ijε rj = 3δ ir ,

II, § 14

§ 15 – Notas sobre a Geometria Analítica do Espaço Diádico.

275

4°) - Finalmente,

ε ijkm ε ijkm = 3δ ii = 3 × 4 = 12,

(i, j, k, m = 1,2,3,4) ,

(14);

Genericamente, o produto de dois permutadores a G índices, com todos os índices correspondentes repetidos, vale G (G - 1):

ε ijk ... m ε ijk ... m = (G − 1)G

(i, j, k, ..., m = 1,2, ..., G ) ,

(15).

Se apenas G - 1 dos índices correspondentes são repetidos o produto vale G - 1 vezes os deltas de Kronecker com os índices não repetidos:

ε ijk ... m ε rjk ... m = (G − 1)δ ir

(i, j, k, ..., m, r = 1,2, ..., G ) ,

(16).

Daí em diante pode aplicar-se a fórmula (07), isso é, se G - 2 dos índices correspondentes são repetidos, o produto vale o produto dos permutadores com os dois índices não repetidos: δ ir δ is ijk ... m ij ε ε rsk ... m = ε ε rs = j j (i, j, k, ... , m, r, s = 1,2, ..., G ) , (17); δr δs e assim sucessivamente.

§ 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO. Projeção qualquer. Vamos, agora, estender as operações de projeção do espaço dos vetores ao espaço dos diádicos. Quando se faz projeção, projeta-se um elemento geométrico desde um segundo elemento sobre um terceiro elemento. O elemento a projetar pode ser um ponto, uma reta, um plano, um P-espaço qualquer, que se vai projetar desde um espaço qualquer (um ponto, uma reta, etc.) sobre um outro espaço qualquer. A união do elemento em projeção com o elemento desde o qual se projeta chama-se espaço projetante. Assim, num 2EG, a projeção de um ponto P, desde um segundo ponto C (o centro de projeção), sobre um 2EG-1 (o espaço de projeção), π, que não contenha C, é o ponto de interseção da reta (projetante) PC com π. A projeção de uma reta r que não contém C, sobre o 2EG-1 é a reta interseção do plano α, definido por C e r (plano projetante), com o 2EG-1. De um modo geral,

a projeção de um 2EP que não contém um ponto C, desde esse ponto, sobre um 2EG-1 (P<G-1), é o 2EP segundo o qual o projetante 2EP+1 (definido por C e 2EP), corta o 2EG-1. 2

Com efeito, pois o 2EP+1 e o 2EG-1, ambos contidos no 2EG, devem ter em comum um EP+1+G-1-G, ou seja, um 2EP. Quando o 2EP contém o ponto C, a projeção é um 2EP-1.

Poliádicos - Ruggeri

276

§ 15 – Projeções no espaço diádico.

Nesta concepção de projeção cada elemento tem uma única projeção, mas a dada projeção 2EP em um espaço de projeção pode corresponder qualquer 2EP que pertença ao 2 EP+1 que aquele define com C. Seja um 2EG-2 o espaço de projeção. Se o centro de projeção é uma reta s (o eixo da projeção) que não deve interceptar 2EG-2, um ponto P tem por projeção o ponto P' segundo o qual o projetante (plano) Ps intercepta o 2EG-2 (a dimensão do espaço é 2+G-2-G). Em geral,

a projeção de um 2EP, desde uma s que não intercepte certo 2EG-2, sobre esse 2 EG-2, é o 2EP segundo o qual o projetante 2EP+2 corta o 2EG-2. Seja o espaço de projeção um 2ES e adotemos como eixo de projeção um 2EG-(S+1) que não corte 2ES. Então, a projeção de um ponto P é o ponto segundo o qual o projetante 2 EG-S (definido por P e 2EG-(S+1)) corta 2ES. Em geral,

a projeção de um 2EP sobre um 2ES (P<S), segundo um 2EG-(S+1) que não corta um 2ES, é o 2EP segundo o qual o 2EG-S+P definido por 2EP e 2EG-(S+1), corta o 2ES. Se o 2EP corta o 2ES segundo um 2ER-1 a projeção é um 2EP-R (um ponto, se P=R; uma reta, se P=R+1 etc.).

Projeção paralela. A projeção de um subespaço 2EP sobre um outro subespaço 2ES é dita paralela se o eixo de projeção é um 2EG-(S+1) impróprio (§10.05), e a região imprópria de 2ES não intercepta a do 2EG-(S+1) impróprio. Os 2EG-S que projetam pontos são todos completamente paralelos um ao outro. Como o 2EG-(S+1) impróprio esta contido no espaço impróprio, a projeção de qualquer elemento impróprio é um elemento impróprio. Se um 2EP e um 2EQ (com P≥Q) não têm ponto em comum e são paralelos do grau (R+1)/Q - logo eles se interceptam segundo um 2ER impróprio - suas projeções sobre um 2 ES (com S> P≥Q) são também paralelas do grau (R+1)/Q. Por isso, a projeção de um paralelotopo é um paralelotopo. Consideremos a expressão cartesiana do vetor v, v = V i e i . É óbvio que a projeção (paralela) da extremidade V do vetor v (um 2E0, P=0) sobre o plano 12 (um 2E2, S=2), segundo o 2E0 impróprio (ponto) que não corta o eixo 3 (uma paralela ao eixo 3), é a extremidade do vetor v − V 3 e 3 (um 2E0) segundo o qual a reta (2E3-2+0) definida por V (2E0) e pelo ponto (2E3-(2+1)) impróprio (ou seja, a paralela), corta o plano 12 (2ES). Por isso o vetor v − V 3 e 3 pode ser dito a projeção de v paralelamente a e3. Analogamente, consideremos um diádico φ dado em forma trinomial, φ = a i e i , na base vetorial {e*}, ou em forma cartesiana, φ = A ij e i e j com a i = A ij e j . A projeção da extremidade F do diádico φ (um 2E0, P=0) sobre o 8-espaço (S=8) definido pelos diádicos de base local {e1e2, e1e3, e2e1, ..., e3e3), segundo o 2E0 impróprio (ponto) que não corta o eixo e1e1 (uma paralela a esse eixo), é o ponto extremidade do diádico φ − A 11e 1e1 segundo o qual a reta (2E9-8+0) definida por F (um 2E0) e pelo ponto (2E9-(8+1)) impróprio, corta o 8-

II, § 15

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do Espaço Diádico.

277

espaço (023...9). Esse diádico é a projeção do diádico φ nas condições especificadas. A matriz associada a esse diádico projeção, em relação ao referencial global, é mesma de φ com exceção do elemento de índices 11 que é nulo. Da mesma forma, a projeção da extremidade F de φ sobre o 7-espaço (S=7) de base local {e1e3, e2e1, ..., e3e3}, segundo o 2E1 impróprio (reta) que não corta o plano (2E2) {e1e1, e1e2} (logo, uma paralela a esse plano), é o ponto extremidade do diádico φ − (A11e1e1 + A12 e1e 2 ) segunda o qual o plano (2E9-7+0) definido por F (um 2E0) e pelo reta (2E9-(7+1)) imprópria, corta o 7-espaço (034...89). Esse diádico é a própria projeção de φ nas condições especificadas. A matriz associada a esse diádico projeção, em relação ao referencial global, é a mesma de φ com exceção do elemento de índices 11 e 12 que são nulos. E assim sucessivamente. Merece destaque a projeção (da extremidade) de φ sobre o subespaço de base local {e2e2, e2e3, e3e2, e3e3}, paralelamente ao subespaço de base local {e1e1, e1e2, e1e3, e2e1, e3e1}, base essa de cujas díades o vetor e1 é antecedente ou conseqüente. Essa projeção é o diádico planar φ − a1e1 = a 2 e 2 + a 3 e 3 (já escrito em forma binomial) que tem por matriz associada, na base global, a mesma de φ com zeros na primeira linha e na primeira coluna. Invertendo-se os espaços de projeção e eixo de projeção, comprovaríamos que a matriz associada à projeção de φ sobre o subespaço de base local {e1e1, e1e2, e1e3, e2e1, e3e1} paralelamente ao subespaço de base local {e2e2, e2e3, e3e2, e3e3} é a mesma de φ, exceto pelos elementos não pertencentes à primeira linha e primeira coluna que são todos nulos. As matrizes 2x2 associadas aos diádicos projeção planares, relativas ao referencial local, poderão ser degeneradas ou não, caso em que os diádicos correspondentes serão completos ou não, respectivamente. Esses conceitos serão utilizados no Cap. IV quando do estudo dos auto sistemas de um poliádico (§ 13, IV). Nota: A projeção ortogonal é uma projeção paralela cujo eixo de projeção (impróprio) só pode ser definido (a rigor) com a utilização de operações entre diádicos e tetrádicos que serão estudadas no § 09.03 do Capítulo IV.

⇒

§ 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO DIÁDICO. Na Geometria Analítica do Espaço Diádico (doravante, sintetizado por GAED), como na sua correlata do espaço dos vetores (GAEV) - pesquisam-se as propriedades projetivas (ou gráficas) e métricas das suas figuras. Propriedade é uma proposição que enuncia, para uma determinada figura, algo que se mantenha invariante para qualquer mudança de sistema de referência, i.e., universal. Os vetores e os diádicos, em geral, são entidades cuja existência independe de sistemas de referência; o que significa que equações envolvendo vetores e diádicos são universais. Um desenvolvimento amplo da GAED requer uma quantidade de espaço bem maior que a correspondente dos vetores, razão pela qual faremos aqui alusão a apenas alguns aspectos.

Poliádicos - Ruggeri

278

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

§ 16.01 – Espaços opostos nos simplex. Na GAEV qualquer ponto do espaço estará referido a um simplex (final do § 10.04) de 4 pontos; na GAED, qualquer ponto estará referido a um simplex de 10 pontos. Na GAEV a todo ponto corresponde um espaço (triângulo) oposto e a cada lado, um lado oposto. Na GAED essa correspondência multiplica-se assustadoramente. Num 2EG (definido por um simplex de G+1 pontos, G≤9) o 2EJ-1 (definido por J quaisquer dentre os G+1 pontos dados) é oposto ao 2EG-J definido pelos (G+1-J) pontos restantes. Assim, se G é 1 ímpar, G=2F-1 para F=1, 2, ..., existem F conjuntos de C GJ +1 , ou C GJ +1 , pares de 2EJ-1 2 opostos a 2EG-J, conforme seja J≠F, ou J=F, respectivamente. Se G é par, G=2F, existem F conjuntos de C GJ +1 pares de 2EJ-1 opostos a 2EG-J. O quadro apresentado a seguir mostra a quantidade de pares de espaços opostos. G 1 2 3 4 5 6 7 8 9

F\ 1 1 2 2 3 3 4 4 5

Quantidade de pares de espaços opostos de dimensões J-1 e G-J 1 (ponto) 2 (reta) 3 (plano) 4 (3-espaço) 5 (4-espaço) 1 (reta) 3 (plano) 4 (3-espaço) 5 (4-espaço) 6 (5-espaço) 7 (6-espaço) 8 (7-espaço) 9 (8-espaço) 10

(reta) 3 (plano) 10 (3-espaço) 15 (4-espaço) 21 (5-espaço) 28 (6-espaço) 36 (7-espaço) 45

Unilinear Linear Anti-simétrico, Uniplanar Argand (plano) 10 (3-espaço) 35 Simétrico (4-espaço) 56 (3-espaço) 35 Antitriangular (5-espaço) 84 (4-espaço)126 Planar (6-espaço)120 (5-espaço)210 (3-espaço)126

Total 1 3 7 15 31 63 127 255 411

Na GAEV um dos pontos de um 5-ponto deve ser necessariamente um ponto variável, o ponto móvel do espaço, os quatro outros, fixos, formando um sistema de referência (para o ponto móvel). O 5-ponto pode ser também denominado um quinquângulo; todas as propriedades do tetraedro são propriedades do quinquângulo degenerado (quando o ponto móvel coincide com um dos vértices fixos, pertence a um dos lados, ou pertence a uma das faces). No plano (o 2-espaço), um dos pontos de um 4-ponto deve ser necessariamente um ponto móvel; a ele, por analogia, deveríamos denominar um quadrângulo plano ou quadrângulo degenerado; todas as propriedades de quadriláteros e triângulos são propriedades dos quadrângulos planos desde que não se distingam as diagonais dos lados. Na reta (ou 1-espaço), um dos pontos de um 3-ponto deve ser um ponto móvel; teríamos aí o biângulo retilíneo ou triângulo degenerado, nomenclatura essa que só faz certo sentido por extensão de idéias (já estamos acostumados com outras nomenclaturas); todas as propriedades dos segmentos de reta são propriedades dos biângulos retilíneos. Na GAED um dos pontos de um 11-ponto deve ser necessariamente um ponto variável posto que os 10 outros definam um 10-ponto fixo de referência. Constituímos, assim, um unodecângulo; todas as propriedades do decângulo são propriedades do unodecângulo degenerado (quando o ponto móvel coincide com um dos vértices fixos, pertence a um dos lados, pertence a uma das faces ou, em geral pertence a um dos subespaços). Um G-espaço diádico qualquer (com G≤9), deve ser referido a um (G+1)ângulo de referência, fixo, definido por G+1 pontos; logo um (G+2)-ângulo deve ter um vértice móvel. Também nesse caso, evidentemente, todas as propriedades do (G+1)-ângulo serão propriedades do (G+2)-ângulo degenerado. Obviamente um (G+2)-ângulo pode ser um triângulo, um quadrângulo, um quinquângulo etc., figuras do 2EG.

II, § 16.01

§ 16.02 - Baricentros.

279

§ 16.02 - Baricentros. Definições. Suponhamos que a cada ponto Rj de dado (G+1)-ponto num 2EG possamos associar certo "atributo", um número Pj. Em relação a dois quaisquer desses pontos, Ri e Rj, determinemos um terceiro, Rij, sobre a reta suporte do segmento por eles definido, segundo a lei

R ij R i R ij R j

=−

Pj Pi

(01);

isso é, de forma tal que a razão da distância desse ponto (o módulo de um diádico) aos pontos escolhidos (extremidades das flechas de dois diádicos) seja igual à do inverso dos correspondentes atributos com o sinal trocado. Se ρi, ρj e ρij são, respectivamente, os diádicos posicionais de Ri, Rj e Rij, em relação a uma origem arbitrária do espaço, deduzimos de (01):

ρ ij =

Pi ρ i + P j ρ j Pi + P j

(011).

O ponto Rij, determinado segundo a lei (01) e de diádico posicional dado por (011), é denominado centróide de Ri e Rj; e a ele associamos o atributo igual à soma dos atributos dos pontos que lhe deram origem. Quando os atributos dos pontos são iguais o centróide denomina-se "centro de meias distâncias"; sem perigo de confusão com conceitos físicos denominá-lo-emos doravante "baricentro" dos pontos; seu atributo é 2 e é definido pelo posicional

ρ ij = 1 (ρ i + ρ j ) , 2

(02).

estando situado a meia distância dos pontos que lhe dão origem. Aplicando (011), escrevemos a expressão do posicional do baricentro Rijk do par Rij, Rk , para k ≠ i,j:

ρ ijk = 1 (2ρ ij + ρ k ) , 3

(03),

ρ ijk = 1 (ρ i + ρ j + ρ k ) , 3

(031).

ou, ainda, considerando (02):

Concluímos, então, por (03) e (031) que o baricentro do par de pontos Rk e Rij coincide com o baricentro do terceto de pontos Ri, Rj e Rk. Ora, Rijk é um ponto da reta suporte do segmento R k R ij . Tomando esse segmento como referência, a expressão (03) mostra que o baricentro do triângulo (um 2-espaço) de vértices Ri, Rj e Rk esta situado aos 2/3 desse segmento a partir do ponto Rk. Essas propriedades simples, aplicadas reiteradas vezes a dois subespaços definidos por pontos dentre os pontos do (G+1)-ponto dado, permitem generalizar com facilidade a

Poliádicos - Ruggeri

280

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

fórmula (03). Assim, se Rij...p e Rrs...q são, respectivamente, os baricentro dos subespaços de P e Q dos G+1 pontos dados (logo, com P+Q=G+1), o baricentro Rij...prs...q de Rij...p e Rrs...q coincide com o baricentro do (G+1)-ponto, sendo

ρ ij...prs...q = 1 (Pρ ij...p + Qρ rs...q ) = 1 (ρ i + ρ j + ... + ρ p + ρ r + ρ s + ... + ρ q ) , P +Q G +1

(04).

Os dois primeiros membros de (04) mostram que ao se tomar o segmento de origem Rij...p e extremidade Rrs...q como referência, o baricentro do (G+1)-ponto, ou (P + Q)-ponto, estará Q situado aos ( P )-avos desse segmento a partir de Rrs...q, ou aos ( )-avos a partir de P+Q P+Q Rij...p.

Bimedianas e medianas. Antes de deduzir outras propriedades é conveniente a introdução de alguma nomenclatura. Os subespaços opostos de um (G+1)-ponto podem ser definidos por iguais ou diferentes números de pontos. Os segmentos determinados pelos baricentros de subespaços opostos definidos com iguais e diferentes números de pontos serão ditos, respectivamente, as bimedianas e as medianas do (G+1)-ponto. Assim, no segmento (G+1=2), um vértice é oposto do outro e sua bi mediana coincide com o próprio segmento. No quadrângulo (G+1=4), os pares de lados (12, 34) são opostos, bem como (13, 24) e (14, 23); suas bimedianas são os segmentos que ligam os pontos médios desses lados. Nos 2H-ângulos (G+1=2H), as bimedianas dos pares de espaços opostos (1,2,...,H) e (H+1, H+2, ...,2H), por exemplo, são os segmentos que ligam os seus baricentros. São também H-espaços opostos (2,3,...,H,H+1) e (H+2, H+3, ..., 2H, 1) etc. e as bimedianas correspondentes são os segmentos que ligam seus respectivos baricentros. As medianas dos 2H-ângulos são, por exemplo, as que ligam um vértice, digamos (1), ao baricentro do respectivo subespaço oposto, (2,3,...,2H-1, 2H); analogamente para o vértice (2) e seu subespaço oposto (3,4,...,2H,1) etc.. Existem também as medianas que ligam os baricentros dos lados (12), (13), ..., (1(2H)) aos baricentros dos respectivos espaços opostos (3,4,...,2H), (4,5, ..., 2H, 2), as que ligam os baricentros dos lados (23), (24), ..., (2(2H)) aos baricentros dos respectivos espaços opostos (4, 5, ..., 2H,1,), (5,6,...,2H,1,3) etc.. É evidente que os triângulos (G+1=3), quinquângulos (G+1=5), e, em geral, (G+1)ângulos (com G+1=2H+1), por não apresentarem subespaços opostos definidos pela mesma quantidade de pontos (G+1 é ímpar), não têm bimedianas. Nos triângulos (G=2), as três medianas ligam cada vértice ao ponto médio do respectivo lado oposto (o que está de conformidade com a nomenclatura clássica). Nos quinquângulos (G=4), as medianas são: os 5 segmentos definidos por um vértice e o baricentro do seu tetraedro (3-espaço) oposto, e os 10 outros segmentos definidos pelos pontos médios de um lado (1-espaço) e o baricentro do seu triângulo (2-espaço) oposto. Num (2H+1)-ângulo (G=2H), as medianas são: os 2H+1 segmentos que ligam cada vértice ao baricentro do respectivo G-espaço oposto; os C G2 +1 segmentos que ligam os pontos médios dos lados do (G+1)-ponto ao baricentro do respectivo (G-1)-espaço oposto, os C 3G +1 segmentos que ligam o baricentro de cada triângulo ao baricentro do respectivo (G-2)-espaço oposto etc.. A tabela anteriormente apresentada fornece as quantidades de bimedianas e medianas para cada valor de G+1.

II, § 16.02

§ 16.02 – Baricentros.

281

* As (6) bimedianas de um quadrângulo contêm o seu baricentro. Ainda, conforme (04), vemos que a distância do baricentro do quadrângulo ao baricentro (ponto médio) do lado ij está para o comprimento desta bimediana assim como 2 está para 4. Concluímos, então:

Num quadrângulo as suas 6 bimedianas se bissectam mutuamente no baricentro dos seus vértices. É evidente que essa propriedade é um caso particular de uma propriedade mais geral válida para os 2H-ângulos em geral (caso G+1=2H). Todas as C H 2H bimedianas de um 2Hângulo contêm, evidentemente, o seu baricentro e conforme (04), a distância desse baricentro ao baricentro do subespaço ij...p está para o comprimento desta bimediana assim como H está para P+Q (ou 2H), isso é 1 para 2. Como esse resultado independe dos valores atribuídos aos índices i, j, ...p, resulta:

Num 2H-ângulo as suas C H 2H bimedianas se bissectam mutuamente no baricentro dos seus vértices. * Pelo mesmo raciocínio anteriormente feito, deduzimos de (03) e (031) que

As medianas de um triângulo concorrem no baricentro dos seus vértices a 2/3 de cada uma delas a partir dos vértices. Pela (04) podemos também generalizar essa propriedade das medianas dos triângulos para os (2H+1)-ângulos em geral considerando os diferentes valores que P e Q podem assumir, ou sejam: 1 e 2H, 2 e 2H-1, 3 e 2H-2 etc. Ao primeiro caso correspondem C12H +1 medianas; ao segundo, C 22H +1 ; ao terceiro, C 32H +1 , etc. todas elas se interceptando no baricentro do (2H+1)-ponto. Alem disso, o baricentro está situado aos P/2H de cada mediana a partir do baricentro de vértices r, s, ..., q, ou aos Q/2H dessa mediana a partir do baricentro dos vértices i, j, ..., p. Esse resultado é válido também, evidentemente, para os 2H-ângulos. Assim,

Todas as medianas de um (G+1)-ângulo concorrem no seu baricentro que está distante do baricentro de qualquer um dos seus (P+1)-ângulos (P<G) na proporção (G-P)/G+1 Como casos particulares têm-se as propriedades clássicas para triângulos e quadrângulos seguintes: 1) - As medianas de um triângulo (G=2) concorrem no seu baricentro aos 2/3 dos seus vértices (P=0); 2) – as medianas de um quadrângulo (G=3) concorrem no seu baricentro aos 3/4 dos seus vértices (P=0). * Para o caso G+1=2H (segmentos, quadrângulos, hexângulos etc.) a propriedade acima também é válida, pois, para P=H-1 (respectivamente, pontos, retas, planos etc.), a proporção é de 1/2 (meias distâncias), resultado interessante que não fica destacado no enunciado. Assim, a propriedade mais geral poderia ser enunciada na forma seguinte:

Poliádicos - Ruggeri

282

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

Teorema: Todas as medianas e bimedianas de um (G+1)-ângulo concorrem no seu baricentro que está distante do baricentro de qualquer um dos seus (P+1)ângulos (P<G) na proporção (G-P)/G+1. No espaço dos diádicos simétricos, por exemplo, em que o simplex de referência é um 7-ponto (heptângulo) haverá 35 bimedianas e 28 medianas concorrentes no seu baricentro; este bissecta as bimedianas, divide 7 dentre as medianas na proporção 5/7 a partir dos vértices e as 21 outras na proporção 4/7 a partir dos pontos médios dos lados. No espaço dos diádicos anti-simétricos em que o simplex de referência é um 4-ponto (quadrângulo), haverá 10 bimedianas e 5 medianas concorrentes no seu baricentro, o qual bissecta as bimedianas e que divide as medianas na proporção 3/4.

§ 16.03 - Equações de espaços. Várias formas de equação de uma reta. Num 2EG qualquer (G≥2), pontos de uma reta têm um grau de liberdade; dependem pois, analiticamente falando, de um só parâmetro. Uma reta é, ainda, determinada univocamente por dois pontos fixos distintos, dados: 1 e 2, se for G=2 (logo, o 2EG está definido por 0, 1 e 2); dois quaisquer 1 e 2, se for G≥3 etc.. Para G≥2 os posicionais serão χ1 e χ2, respectivamente, em relação ao ponto 0 de 2EG; logo, pode ser representada pela equação:

(1+ λ)χ = χ1 + λχ 2 ,

(011),

em que χ é o diádico posicional do seu ponto corrente96 e λ é um parâmetro variável. Para χ=χ1 deve ser λ=0 (para que resulte uma identidade), posto que os posicionais χ1 e χ2 devem ser distintos. Pondo a equação na forma (λ −1 +1)χ = λ −1χ1 + χ 2 vê-se que deve ser λ=∞ para χ=χ2, ou seja, ao ponto 2 corresponde o valor ∞ do parâmetro. Podemos também procurar a equação da reta que passa por um ponto fixo 1 e é paralela ao diádico unitário µˆ . Como o diádico χ-χ χ1, de módulo λ variável deve, então, ser paralelo a µˆ ; escrevemos χ − χ1 = λµˆ , se G=2, ou seja,

χ = χ1 + λµˆ , ou, se

(012),

G≥397,

< (χ − χ1 )µˆ >= Ο ,

(012').

96 Os diádicos aqui utilizados são, em geral, co-iniciais na origem. Referir-se a um diádico χ1 é equivalente a referir-se à sua extremidade. 97 O produto cruzado de dois diádicos (do 2-espaço por eles definido) é, por definição, um diádico de um 3espaço.

II, § 16.03

§ 16.03 - Equações de espaços.

283

As equações (011) e (012) são equações paramétrica da reta no 2EG; e a forma (012') é a forma normal no 2EG para G≥3. Consideremos agora, no 2E2, a equação χ : χ1 = C em que χ1 e C são diádico e escalar constantes. Tem-se: χ : χ1 = C =| χ || χ1 | cos(χ, χ1 ) =| χ1 | d em que d é a projeção (constante) de χ sobre χ1. Conseqüentemente os pontos χ pertencem a uma reta ortogonal a χ1 cuja distância à origem é C/|χ χ1|=d. A equação dada,

χ : χ1 = C ,

(02),

é denominada forma geral de equação de uma reta e pode, evidentemente, ser escrita na forma mais simples χˆ 1 : χ = d . Vamos procurar, ainda no 2E2, a equação da reta que passa por um ponto fixo χ1 e seja ortogonal a uma direção µˆ . Ora, χ-χ χ1 deve ser, então, ortogonal a µˆ ; logo,

(χ − χ1 ) : µˆ = 0 ,

(03),

equação essa dita forma hessiana de representação da reta. Desenvolvendo o primeiro membro podemos escrever, ainda,

χ : µˆ = χ1 : µˆ = C ,

(031),

por onde vemos que a constante C é a distância da origem à reta.

Várias formas de equação de um plano. Observemos inicialmente que a equação (02), considerada no 2EG para G>2, pode também ser a equação do plano ortogonal a χ1 cuja distância à origem é C/|χ χ1|=d. Nada se pode dizer sobre uma equação, dada ao acaso, sem que seja dado o significado das letras e o espaço em que ela deve ser válida. Como num 2EG, para G≥3, os pontos de um plano (2E2) têm dois graus de liberdade, a determinação analítica de um ponto qualquer desse plano dependerá de dois parâmetros. Como três pontos não colineares, fixos, 1, 2 e 3, bastam para determinar unicamente um plano, então sua equação é

(1+ λ1 + λ 2 )χ = χ1 + λ1χ 2 + λ 2 χ 3 ,

(041),

onde χ1, χ2 e χ3 são os posicionais dos pontos 1, 2 e 3, respectivamente, em relação a 0, e λ1 e λ2 são parâmetros variáveis. A forma (041) de representação da reta é denominada paramétrica. Todos os pontos das retas definidas por (χ χ1, χ2), (χ χ2, χ3) e (χ χ1, χ3) pertencem ao plano (041). Para χ=χ1 vê-se que deve ser λ1=λ2=0 porque os pontos não são colineares. Se λ1,λ2≠0 podemos dividir ambos os membros da equação por λ1λ2 e escrevê-la na forma

( 1 + 1 + 1 )χ = 1 χ 1 + 1 χ 2 + 1 χ 3 . λ 1λ 2 λ 2 λ 1 λ 1λ 2 λ2 λ1

Poliádicos - Ruggeri

284

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

Para χ=χ2 tem-se, simplificando termos semelhantes em χ2 e em seguida evidenciando o fator comum λ −1 em ambos os membros,

1 ( 1 +1)χ 2 = 1 ( 1 χ1 + χ 3 ) . λ1 λ 2 λ1 λ 2 Como os pontos não são colineares, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são: λ2=qualquer e λ1=∞. O mesmo raciocínio e a mesma análise permitem concluir que os valores dos parâmetros associados ao ponto 3 são: ,λ1=qualquer e λ2=∞. Ora, se os diádicos χ1, χ2, χ3 e χ devem pertencer ao mesmo 3-espaço o produto misto deles é nulo necessariamente (§13), isso é,

(χ1χ 2 χ 3 χ) = 0 ,

(05),

representação essa denominada forma geral, apenas possível no 2EG com G≥4. Uma outra forma, ainda denominada, também, geral, é a que representa o plano que passa por um ponto e é paralelo a duas direções µˆ 1 e µˆ 2 . O diádico χ-χ1 deve, pois, ser paralelo ao produto cruzado de µˆ 1 e µˆ 2 ; logo,

(µˆ 1µˆ 2 (χ −χ χ1 )) = 0 ,

(06).

A forma paramétrica relativa a (06) é, evidentemente,

(1+ λ1 + λ 2 )χ = χ1 + λ1µˆ 1 + λ 2 µˆ 2 ,

(061).

A forma normal de representação do plano está liga à condição desse plano passar χ1 e χ-χ χ 2, por dois pontos, 1 e 2, e ser ortogonal à direção µˆ . Nesse caso, os diádicos χ-χ contidos no plano, devem ser simultaneamente ortogonais a µˆ ; logo, o produto cruzado deles deve ser paralelo a µˆ , isso é,

<< (χ − χ1 )(χ − χ 2 ) > µˆ >= Ο ,

(07). No EG, com G≥3, equação do plano que passa por χ e é perpendicular à direção µˆ é, evidentemente, 2

(χ − χ1 ) : µˆ = 0 ,

(08),

posto que para o ponto corrente χ, o diádico χ-χ χ1 deve ser necessariamente ortogonal a µˆ ; esta é a forma hessiana de representação do plano nesse espaço.

Várias formas de equação de um 3-espaço. O raciocínio feito para a determinação das equações de retas e planos pode ser estendido para o 3-espaço. Como num 2EG, para G≥4, os pontos de um 3-espaço (2E3) têm três graus de liberdade, a determinação analítica de um ponto qualquer dependerá de três parâmetros. Como quatro pontos não coplanares, fixos, 1, 2, 3 e 4, bastam para determinar unicamente um 3-espaço, a sua equação é

(1+ λ1 + λ 2 + λ 3 )χ = χ1 + λ1χ 2 + λ 2 χ 3 + λ 3 χ 4 ,

II, § 16.03

(091),

§ 16.03 - Equações de espaços.

285

onde χ1, χ2, χ3 e χ4 são os posicionais dos pontos 1, 2, 3 e 4, respectivamente, em relação a 0, e λ1, λ2 e λ3 são parâmetros variáveis. A forma (091) de representação do 3-espaço é a paramétrica. Todos os pontos das retas definidas por (χ χ1, χ2), (χ χ2 e χ3) e (χ χ1, χ3) e dos planos 1 2 3 1 2 4 χ ), (χ χ , χ , χ ) etc. pertencem ao 3-espaço (041). definidos por (χ χ , χ ,χ Para χ=χ1 vê-se que deve ser λ1=λ2=λ3=0 porque os pontos não são co-espaciais. Se λ1,λ2,λ3≠0 podemos dividir ambos os membros da equação por λ1λ2λ3 e escrevêla na forma

(

1 + 1 + 1 + 1 )χ = 1 χ1 + 1 χ 2 + 1 χ 3 + 1 χ 4 . λ 1λ 2 λ 3 λ 2 λ 3 λ 1λ 3 λ 1λ 2 λ 1λ 2 λ 3 λ 2λ 3 λ 1λ 3 λ 1λ 2

Para χ=χ2 tem-se, simplificando termos semelhantes em χ2 e em seguida evidenciando o fator comum λ −1 em ambos os membros,

1 ( 1 + 1 + 1 )χ 2 = 1 ( 1 χ 1 + 1 χ 3 + 1 χ 4 ) . λ1 λ 2 λ 3 λ 3 λ 2 λ1 λ 2 λ 3 λ3 λ2 Como os pontos não são co-espaciais, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são: λ2, λ3=quaisquer e λ1=∞. E assim por diante. Como os diádicos χ1, χ2, χ3, χ4 e χ devem pertencer ao mesmo 4-espaço, o produto misto deles é nulo necessariamente (§13), isso é,

(χ1χ 2 χ 3 χ 4 χ) = 0 ,

(10),

representação essa denominada forma geral, apenas possível no 2EG com G≥4. Pode estabelecer-se a forma, também denominada geral, que representa o 3-espaço que passa por um ponto 1 e é paralelo a três direções (não coplanares) µˆ 1 , µˆ 2 e µˆ 3 que definem um3-espaço. O diádico χ-χ1 deve, pois, ser paralelo ao produto cruzado de µˆ 1 , µˆ 2 e µˆ 3 ; logo,

(µˆ 1µˆ 2 µˆ 3 (χ −χ χ1 )) = 0 ,

(11).

A forma paramétrica relativa a (11) é, evidentemente,

(1+ λ1 + λ 2 + λ 3 )χ = χ1 + λ1µˆ 1 + λ 2 µˆ 2 + λ 3µˆ 3 ,

(111).

Cabem, ainda, dois problemas adicionais (não cabíveis nos espaços anteriores) que consiste em determinar-se a equação do 3-espaço que: 1) - passa por dois pontos, 1 e 2, e é paralelo a duas direções µˆ 1 e µˆ 2 (que definem uma orientação); e 2) – passa por três pontos e é paralelo a uma direção µˆ 1 (uma reta). No primeiro problema deve-se escrever que a normal aos diádicos χ-χ1 e χ-χ2, isso é, o produto cruzado deles, é ortogonal à normal às duas direções simultaneamente, isso é, normal ao produto cruzado de µˆ 1 e µˆ 2 . Então:

< (χ − χ1 )(χ − χ 2 ) > : < µˆ 1µˆ 2 >= 0 ,

(12).

Poliádicos - Ruggeri

286

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

Para o segundo problema, desenvolvendo o mesmo raciocínio, escrevemos:

<< (χ − χ1 )(χ − χ 2 )(χ − χ 2 ) > µˆ 1 >= Ο ,

(13).

As equações (12) e (13) poderiam ser denominadas formas normais de representação do E 3.

No 2EG, com G≥4, a equação do 3-espaço que passa por χ1 e é perpendicular a três direções µˆ 1 , µˆ 2 e µˆ 3 é, evidentemente,

< (χ − χ1 ) < µˆ 1µˆ 2 µˆ 3 >>= Ο ,

(14),

posto que para o ponto corrente χ, o diádico χ-χ χ1, por pertencer ao 3-espaço, deve ser necessariamente paralelo à normal a µˆ 1 , µˆ 2 e µˆ 3 ; esta é a forma hessiana de representação do 3-espaço. Cabe, ainda, finalmente, determinar a equação do 3-espaço que passa por dois pontos (reta) e é ortogonal a duas direção µˆ 1 e µˆ 2 (que definem uma orientação). Nesse caso, a normal aos diádicos χ-χ1 e χ-χ2 (ambos pertencentes ao 3-espaço) deve ser paralela à normal à orientação definida por µˆ 1 e µˆ 2 . Então,

<< (χ − χ1 )(χ − χ 2 ) > < µˆ 1µˆ 2 >>= Ο ,

(15).

Várias formas de equação de um espaço qualquer. Em geral, num 2EG (G≥P+1), a equação de um 2EP-1 definido por P dentre os G+1 pontos independentes (excluído o ponto 0), de posicionais χ1, χ2, ..., χP em relação ao ponto 0 de 2EG é

χ = χ1 + λ1χ 2 + ...+ λ P -1χ P ,

(16),

onde λ1, λ2, ..., λP-1 são (P-1) parâmetros variáveis compatíveis com os P-1 graus de liberdade de um ponto qualquer desse espaço; tal é a equação paramétrica do 2EP-1. A cada posição de χ em 2EP-1 corresponde um conjunto de valores dos parâmetros λ1, λ2, ..., λP-1. Para χ=χ1, isso é, ao ponto 1, correspondem valores todos nulos dos parâmetros; ao ponto 2, corresponde o valor λ1=∞ e valores quaisquer para os demais parâmetros; e assim sucessivamente. Um outro modo de expressar essa equação consiste em escrever-se que os posicionais (relativos a 0) dos P pontos fixos e o do ponto corrente do respectivo 2EP-1 apresentam necessariamente um produto misto nulo (§13),

(χ1χ 2 ....χ P χ ) = 0 ,

II, § 16.03

(161),

§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica.

287

simplesmente porque esses P+1 diádicos pertencem ao mesmo 2EP-1; tal é a equação geral de 2EP-1. Os demais tipos de equação são determinados como anteriormente, cada um deles exigindo no máximo P condições para ficar perfeitamente determinado. Assim, por exemplo, num 2EG, a equação do 2EP-1 (que não contém 0), que passa por (ou contém) um 2 ER-1 e é paralelo a um 2ES (R≥S), este definido por S direções µˆ 1 , µˆ 2 , ..., µˆ S (não pertencentes a um mesmo 2ES-1), é, para R+S=G+1,

< (χ − χ1 )(χ − χ 2 ) ...(χ − χ R ) > : < µˆ 1µˆ 2 ... µˆ S >= Ο ,

(17).

Tal é a equação normal do 2EP-1. A equação de um 2EP-1 (que não contém 0), que passa por R (R≥2) pontos e é ortogonal a S direções (S≥2) é, para R+S=G+1 (logo, G≥3):

<< (χ − χ1 )(χ − χ 2 ) ...(χ − χ R ) > < µˆ 1µˆ 2 ... µˆ S >>= Ο ,

(18).

* Exercício: Se, num 2EG, em relação a um simplex de referência de centro de gravidade γ, um ponto variável, χ, descreve a reta que passa pelos pontos α e β , o centro de gravidade do (G+2)-ponto (variável) formado pelo simplex e pela extremidade de χ descreve uma reta que passa pelos pontos (γγ+α α)/G+1 e (γγ+β β )/G+1. Generalizar o problema. *

§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica. Consideremos um simplex de G+1 pontos (num 2EG) e a base diádica correspondente, {εε1, ε2, ..., εG}, com diádicos co-iniciais no ponto 0. O ponto de posicional ε1+ ε2+ ..., εG, é denominado o ponto unidade do espaço; na base indicada, esse ponto unidade tem as G coordenadas iguais a um e seu posicional (não unitário) será denotado por ν . A reta que liga um ponto dado do espaço, P, de posicional π, ao ponto unidade U, intercepta o 2EG-1 oposto ao ponto J do simplex (ponto 0 incluído) num ponto Lj de posicional λj (logo j=0, 1, 2, ...,G). A equação paramétrica dessa reta (§ 16.02) é (1+ λ)χ = ν + λπ , em que χ é o posicional do seu ponto corrente e λ um parâmetro variável. Para χ=λ λ0, tem-se λ 0 (λ 0 − π) = ν − λ 0 ; analogamente, para χ=λ λj, tem-se λ j (λ j − π) = ν − λ j . A razão anarmônica dos pontos P, U, L0 e Lj - o número Xj que, para U e dado P (logo, com L0 fixo) varia apenas com Lj - é definida pela expressão:

(L o L j , UP) =

Lo U L jP Lo P L jU

=Xj .

Os segmentos, todos paralelos, podem ser expressos por diferenças de diádicos posicionais e seus produtos por duplos produtos pontuados entre os respectivos diádicos. Logo:

Poliádicos - Ruggeri

288

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

(ν - λ 0 ):(π − λ j ) = X j (π − λ 0 ):(ν - λ j ) , ou seja, considerando as expressões deduzidas da equação da reta:

− λ 0 (λ 0 - π): 1 (ν − λ j ) = X j (π − λ 0 ):(ν - λ j ) . λj Simplificando a expressão obtida, resulta: λ 0 /λ j = X j . Vê-se assim que, para dado P e, logo, um L0 (ou λ0) fixo, a cada Lj (j=1, 2 ...,G) corresponde uma razão anarmônica Xj univocamente determinada. Portanto, com essa associação, podemos afirmar que a cada ponto de uma reta num 2EG estão associados os G+1 números univocamente determinados, λ0, X1, X2, ..., XG; esta forma de proceder é fundamental em Geometria Projetiva Algébrica (cujo desenvolvimento está fora do escopo deste livro). * ⇐

§ 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies. É necessário observar que estamos longe de completar essa geometria do espaço diádico. Um politopo, num 2EG (no caso presente, G≤9) é a generalização dos conceitos de polígonos e poliedros em duas e três dimensões na geometria dos vetores. É uma figura formada por espaços fronteira 2EG-1, em número de G+1, que se interceptam dois a dois segundo espaços fronteira 2EG-2, em número de C G2 +1 , três a três em fronteiras 2EG-3 em numero de C 3G +1 etc.. É preciso caracterizar bem essas fronteiras e determinar suas relações pelo menos nos casos mais simples. O conteúdo de um 2EG é a generalização dos conceitos de medida de um segmento de reta, da área de um triângulo, do volume de um tetraedro válidos na geometria dos vetores. No caso geral, esse conteúdo é o conteúdo (volume) do paralelotopo representado pelo produto misto de G diádicos independentes desse espaço (§ 13). Mas é necessário também o cálculo de conteúdos de pirâmides, prismas etc. e seus troncos. O que dizer sobre a generalização do Teorema de Euler-Descartes relativo aos poliedros do espaço dos vetores? E sobre os politopos regulares? O estudo de curvas e superfícies no espaço diádico requer consideração a diádicos que variem com um ou mais parâmetros, tal como para as curvas e superfícies do espaço dos vetores. Esses importantes conceitos, que nos levam às derivações e integrações, serão discutidos apenas no Tomo II. Essas breves informações são suficientes para mostrar a frente ampla de trabalho que se descortina para constituir, de uma forma metódica, axiomática, a Geometria Euclidiana Multidimensional e utilizá-la para interpretar problemas físicos envolvendo diádicos (e poliádicos, em geral).

II, §16.05

Bibliografia

289

BIBLIOGRAFIA. Há autores que expõem a teoria dos diádicos na forma de anexo às suas obras. Deu maior sustentação a esse capítulo as obras 1 e 3 listadas. Entretanto, é nas obras de Moreira e Sielawa que aprendemos a utilizar os vetores recíprocos como rotina.

- 1901: GIBBS, J. W. e WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, Connecticut, USA, 436p., reeditado em 1913, 1916, 1922, 1925 ,1929, 1931, 1943, 1947 e 1948.

- 1966: MOREIRA, L.C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata,

1924: WEATHERBURN, C. E., Advanced Vector Analysis (with applications to Geometry and Physics), G.Bell and Sons, Ltd., London, 222 p., reeditado em 1926 e 1928.

vol. XXV, n° 2 e 3, 39 p., Ouro Preto. 4 - 1970: SIELAWA, J. T., Métodos matemáticos da Mecânica do Contínuo, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, 430 p..

Poliádicos - Ruggeri

290

II, Bibliografia

Bibliografia

CAPÍTULO III

GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR. § 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA. § 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL. Partindo do conceito elementar de função de valor numérico e argumento numérico, alcançamos, no § 01 do Cap. II, o conceito de função de valor vetor e argumento vetor. Dentre essas funções, definimos as funções lineares vetoriais, de grande utilidade em Física e em Geometria. Interpretamos a função linear vetorial como uma operação sobre o argumento vetor (o paciente) que o transforma em um novo vetor (o valor da função); a função linear vetorial passou, então, a ser um conceito equivalente a uma Transformação Linear (TL) e pudemos entendê-la de três pontos de vista: o algébrico, o geométrico e o físico. Neste capítulo, exploraremos a TL, de forma ampla, do ponto de vista geométrico. Segundo esse ponto de vista, se O é um ponto fixo de EN (da reta, do plano, ou do espaço), e se x é o vetor posição (em relação a O) do ponto X de EN - ponto este que denominaremos ponto objeto - então x ′ = l ( x ) é a transformação linear de x mediante o operador l( ); em relação a O, x ′ é o vetor posição do ponto X ′ - denominado ponto

imagem - transformado do ponto X. Definidos os diádicos (§ 02,II) e algumas operações entre diádico e vetor, mostramos (§ 02.04,II) que todo diádico é operador de uma TL sobre vetores e que toda TL (sobre vetores) pode ser convenientemente representada por um diádico (para ser usado em multiplicação pontuada anterior ou posterior com vetores). Então: T x ′ = l ( x ) ⇔ x ′ = φ . x = x. φ , (01), ou l ( ) ⇔ φ . , ou . φT, (011), isso é, a dada TL corresponde um único operador φ (que pode ter infinitas representações); e reciprocamente. A correspondência (011) da direita para a esquerda é de assimilação imediata, o que não se verifica, similarmente, da esquerda para a direita. Se nos lembrarmos, porém (Corol 1, Teor 1, § 02.04,II), que o diádico regente de uma TL fica perfeitamente determinado, em EN, quando são conhecidos os seus produtos escalares (que são vetores) por N vetores independentes, quaisquer, especificados, de EN, essas dificuldades desaparecem. Um outro modo de eliminar essas mesmas dificuldades consiste em utilizar o Corol 2, Teor 1, § 02.04,I: se for sabido (de alguma forma) que N vetores especificados (de EN), são os transformados de N outros vetores independentes especificados (também de EN ), então o diádico gerado de EN, que transforma um conjunto no outro, esta univocamente determinado. Agora, se existirem dificuldades, estas estarão nas formas de especificar tais vetores. Especificaremos os vetores: 1º) - pelos seus módulos, direções, sentidos, ângulos

Poliádicos - Ruggeri

292

§ 01

de uns com os outros etc.

- TL, propriedades, aplicação numérica uma especificação geométrica espacial, ou, simplesmente

euclidiana; 2º) - pelas suas coordenadas em relação a certa base - uma especificação tipicamente analítica, ou, simplesmente cartesiana. Ora, é evidente que a primeira é universal, isso é, é única e independente de bases; a segunda só é determinada (inteligível) para cada base particularmente especificada, podendo, pois, ser concretizada de infinitas maneiras. Dada qualquer uma dessas especificações, entretanto, podemos deduzir a outra; logo, ambas são formas equivalentes de especificar-se uma TL. Como se correlacionam duas especificações cartesianas e a especificação euclidiana correspondente de uma mesma TL? À especificação euclidiana corresponde um diádico único (para qualquer observador). Quando um primeiro observador adota uma base (e, logo, a sua recíproca) para referência, em geral ele pode associar quatro matrizes ao diádico regente da TL (§ 09.02, II) e apenas uma se a base é ortonormada. Tais matrizes, entretanto, não são independentes; correlacionam-se conforme a tabela de multiplicação apresentada no (§ 09.03, II) via as matrizes métricas (inversas) das bases recíprocas adotadas. Se um segundo observador adota uma outra base para o estudo da mesma TL que o primeiro observador estuda, ele associará quatro novas matrizes ao mesmo diádico regente da transformação (na especificação euclidiana), para as quais são válidas, ainda, as fórmulas indicadas na tabela acima referida. Mostraremos oportunamente (§ 02.03), que existem quatro relações entre as matrizes dos observadores, uma para cada par de matrizes homônimas. Imponhamos, agora, a dois observadores, cada um com a sua base, a condição de estudarem uma mesma TL, com uma mesma matriz. Será isto possível? Em geral, não! Apenas ocorrerá que, entre os diferentes diádicos dos observadores, ficará estabelecida uma conexão (ver § 02.02) via um terceiro diádico, completo, cujos antecedentes e conseqüentes são os vetores de base de cada observador; mas cada diádico regerá uma determinada TL. Entretanto, há situações em que isso é possível, conforme veremos no § 02.04.

§ 01.02 - Propriedades fundamentais. Algumas das principais propriedades das TL's já foram demonstradas a título de interpretação geométrica ou ilustração de propriedades dos diádicos, ou de operações entre diádicos e vetores. Com efeito, já comprovamos (§ 02.04, II) a seguintes:

Propr. 1: No E3,, os pontos dependentes de uma reta (pontos colineares), e os dependentes de um plano (pontos coplanares), são transformados, respectivamente, em pontos dependentes de uma reta e de um plano. Como corolário dessa propriedade constata-se facilmente a seguinte

Propr. 2: Em E3, as retas e os planos se transformam, respectivamente, em retas e planos. Propr. 3: Em E3, retas paralelas e planos paralelos transformam-se, respectivamente, em retas paralelas e em planos paralelos.

III, §01.02

§ 01.02

- Propriedades fundamentais

293

Se x e y são os pontos correntes das retas paralelas ao unitário u$ e que passam respectivamente, pelos pontos A e B, escrevemos:

x = a + Mu$ y = b + Nu$ , onde a e b são os vetores posição de A e B, e M e N são parâmetros. Multiplicando escalarmente ambos os membros das relações acima por φ, obtemos nos primeiros membros os transformados dos pontos correntes das retas paralelas; e nos segundos membros os transformados dos pontos A e B e do unitário u$ , isso é

x ′ = φ . x = φ . a + Mφ . u$ = a ′ + Mu y ′ = φ . y = φ .b + Nφ . u$ = b ′ + Nu. As retas transformadas passam pelos pontos A ′ e B ′ (extremidades de a’ e b’) e são ambas paralelas ao vetor u, isso é, são paralelas. A demonstração para o caso dos planos pode ser feita por analogia.

Propr. 4: A transformada da superfície esférica é sempre um elipsóide. Seja X o ponto corrente da superfície esférica de centro C e raio R. Os transformados dos pontos X e C são X ′ e C ′ tais, que

x′ = φ . x

c′ = φ . c .

A equação da superfície esférica é 2

( x − c) = R , de onde, substituindo x e c em função de x ′ e c ′ , operando e agrupando convenientemente, deduzimos:

( x ′ − c ′ ) . ( φ . φ T ) −1 . ( x ′ − c ′ ) = R 2 ,

(01).

O primeiro membro da equação acima (equação da transformada da superfície esférica) é uma forma quadrática ternária (§09.07,II) nas coordenadas de x ′ − c ′ e apresenta, por isso, apenas os termos quadrados e retangulares; a equação é, portanto, a de uma quádrica centrada em C ′ , simétrica em relação a C ′ e fechada porque x ′ − c ′ é vetor de módulo finito. Esta quádrica é, pois, um elipsóide. O desenvolvimento da equação cartesiana do elipsóide requer a adoção de um referencial para que o vetor x ′ − c ′ e o diádico φ sejam dados por suas coordenadas. Assim procedendo, a determinação das características desse elipsóide (valor dos semi-eixos, direção dos semi-eixos, seu volume, etc.) poderá ser feita pelos métodos da Geometria Analítica.

Poliádicos - Ruggeri

294

§ 01

- TL, propriedades, aplicação numérica

Notas:

1 Não é difícil comprovar que o transformado de um elipsóide é também um elipsóide e que o de uma circunferência (ou elipse) é sempre uma elipse.

2 Mostraremos mais tarde que uma transformação linear é, numa situação particular (em Mecânica), fisicamente equivalente a uma deformação homogênea, razão pela qual, muitas vezes, os elipsóides são denominados "elipsóides de deformação".

Propr. 5: Na TL regida por φ, o quadrado da razão da distância (|x’|) entre dois pontos imagem para a distância (|x|) entre os respectivos pontos objeto, estes, definidores de uma direção n$ , é dado por:

(

| x′ | 2 ) = (φ.nˆ ) 2 = nˆ .(φ T .φ).nˆ , |x|

(02).

Por serem x ′ = φ . x e x = | x | n$ , tem-se:

| x ′|2 = (φ . x) 2 =| x|2 (φ . n$ ) 2 , de onde, dividindo ambos os membros por |x|2, deduzimos (02).

Propr. 6: Na TL regida por φ, o quadrado da razão da área imagem, A ′ , para a correspondente área objeto, A - esta, ortogonal à direção n$ - é dada por:

(

A′ 2 $ (φ T . φ ) ~ . n$ , ) = ( φ ~T . n$ ) 2 = n. A

(03).

Se x e y são dois vetores do domínio objeto, x × y é o vetor área definido pelos mesmos; seus transformados mediante φ são os vetores φ. x e φ. y, e o vetor área que lhes corresponde é (φ.x) × (φ.y ) . Sabemos ((01), § 08.04, II) que:

(φ.x) × (φ.y ) = φ 2 .(x × y ) = (x × y ).φ~ . O primeiro e o último membros da relação acima mostram como φ conecta os vetores-área antes e após a transformação. Sejam:

A =| x × y |, A ′ =| (φ.x) × (φ.y ) | , e n$ o unitário da normal ao plano de x e y. Temos, então:

(A ′) 2 = (x × y ).φ~.φ~ T (x × y ) = A 2 nˆ .φ~.φ~ T .nˆ , de onde, considerando ((01),§ 08.03,II), deduzimos imediatamente (03).

III, §01.02

§ 01.03 - Aplicação numérica.

295

Propr. 7: O terceiro do diádico de uma transformação rege a transformação dos volumes. Esta propriedade já foi demonstrada como interpretação geométrica do terceiro de um diádico (Teor. 3, § 02.08, II).

§ 01.03 - Aplicação numérica. A arbitrariedade do ponto fixo de referência implica, por si só, a independência da transformação relativamente a referenciais, isso é, uma TL depende apenas do diádico que a rege. Isto, aliás, é até intuitivo porque, do contrário, uma mesma figura objeto seria transformada em tantas figuras imagem quantos fossem os observadores da transformação, cada qual com o seu sistema de referência. Por outro lado, paradoxalmente, parece razoável admitir que enquanto alguma coisa deve variar com a mudança de referencial, alguma outra coisa deve não variar para que a figura imagem seja a mesma para os diferentes observadores. Isso tudo é verdadeiro intuitivamente do ponto de vista físico; oportunamente veremos como traduzir matematicamente essa questão. Vale lembrar, entretanto, a nossa intuição nem sempre traduz ou representa uma realidade. Na prática das previsões e medições, não obstante a consideração conceitual atrás exposta, torna-se imperioso - senão absolutamente necessário - a adoção de um sistema de referência adequado em relação ao qual se possam determinar posições, distâncias, ângulos etc., bem como, munindo o referido sistema de um cronômetro, determinar-se o tempo. Abandonando provisoriamente o parâmetro tempo

de extrema importância em

aplicações - refiramos certo domínio D, de ponto objeto corrente X, a um conveniente e bem determinado sistema cartesiano de referência (não necessariamente ortogonal), Ox1x2x3, e de vetores de base e1, e2 e e3 (não necessariamente unitários). Se Xi (i=1,2,3) são as coordenadas de X em relação ao sistema, escrevemos:

x = X i e i , com X i = X i (ξ1 , ξ2 , ξ3 ),

(01),

os argumentos ξi sendo variáveis numéricas que variem continuamente dentro de intervalos bem determinados (o significado das funções será detalhado no Tomo II desta obra). O diádico φ, dado, regente da transformação, pode ser escrito na forma cartesiana (§ 09,II) k j φ = φ j e k e , ( j, k = 1, 2, 3), (02), as φkj sendo as suas coordenadas mistas e [φkj] a sua matriz associada (§ 09.02,II) . (É claro que φ poderia ser definido por um tipo qualquer de componentes uma vez que sendo conhecidas as de um tipo, as demais ficam perfeitamente determinadas, conforme sabemos (§ 09.03,II)). Deduzimos:

x ′ = φ . x = ( φ j e k e ) . ( X e i ) = φ j X e k ( e . e i ), k

isso é, por ser e j.e i = δ i i resulta: x′ = φ ki X i e k .

Poliádicos - Ruggeri

296

§ 01

- TL, propriedades, aplicação numérica

Sendo, ainda, X'k as coordenadas de x', escrevemos:

X′ ek = φ iX ek , k

donde, igualando as coordenadas homônimas:

X ′ k = φ ki X i ; igualdade que pode ser escrita na forma matricial:

{X′∗} = [φ∗ ∗ ]. {X∗},

(03),

 X1    {X ∗ } =  X 2 ,  3 X 

(04).

onde, evidentemente,

 X ′1    {X ′∗ } =  X ′ 2 ,  3  X′ 

 φ 11 φ 1 2 φ 1 3    [ φ ∗ ∗ ] =  φ 2 1 φ 2 2 φ 2 3 ,  φ 31 φ 3 2 φ 3 3 

A transformação inversa pode ser escrita na forma matricial:

{X ∗ } = [φ ∗ ∗ ] −1 . {X ′∗ },

(05).

Nota:

A fórmula (03) é geral, aplicando se inclusive no caso em que os vetores de base sejam unitários triortogonais. Nesse caso, ocorrerá apenas que as componentes contravariantes dos vetores x e x' serão confundidas com as co-variantes, e as componentes mistas do diádico confundidas com as contravariantes e co-variantes.

Exemplo Numérico 1: Estudemos, em relação à base ortonormada { $i , $j , k$ ,} , a TL regida pelo diádico:

$ $, φ = $$ ii − $$ ij + 2 $$ ji + 1,5$$ jj + kk cuja matriz associada é

 1 −1 0  [φ ] =  2 1,5 0 .    0 0 1 Procuremos, por exemplo, caracterizar a figura transformada do quadrado do plano ( $i , $j ) , centrado na origem, cujos lados são paralelos aos unitários $i e $j , e têm comprimento igual a duas unidades. Solução: Nesse problema elementar, o domínio D é o quadrado que se encontra perfeitamente determinado; o domínio D' será a figura em que se transformará esse quadrado por ação do

III,§ 01.03

§ 01.03 - Aplicação numérica.

297

diádico especificado em forma cartesiana. (Note-se que, por ser a base ortonormada, as componentes contravariantes, co-variantes e mistas de φ são idênticas). Pelas propriedades das TL's, a figura imagem é um paralelogramo porque os lados do quadrado (que são paralelos) se transformam em segmentos paralelos; basta, pois, para caracterizar o paralelogramo, determinar as imagens dos vértices do quadrado (Fig. 01.01).

Aplicando (03) aos vértices A, B, C e D do quadrado, cujos vetores posição são facilmente determinados, encontra-se, para expressão dos vetores posição dos transformados:

1  {A ′} =  2  0

−1 1,5 0

 −1  −2  0  1   0          0.  1  =  3,5; {B′} = [φ ].  1  =  −0,5;         1  0   0  0  0 

 −1  0  {C ′} = [φ ].  −1 =  −3,5      0  0 

 1  2  {D ′} = [φ ].  −1 =  0,5,      0  0 

Devemos observar que tanto o domínio objeto quanto o domínio imagem têm um centro de simetria, propriedade que, aliás, é geral das TL's, isso é, se o domínio objeto apresentar pontos, eixos ou planos de simetria assim também deverá se apresentar o domínio imagem. Neste exemplo numérico particular ocorre que o centro de simetria é coincidente com a origem do referencial, condição que não é necessária para verificar-se a propriedade. Para ampliar um pouco mais o problema proposto, poderíamos verificar que a circunferência de raio unitário, inscrita no quadrado, se transforma numa elipse inscrita no paralelogramo. Obteremos a equação da elipse por consideração de ((01), § 01.02) onde deveremos fazer c'=o (centro coincidente com a origem), R=1 e X3=0 (esfera e elipsóide secionados pelo plano X3=0). Sendo

x ′. (φ . φ T ) −1 . x ′ = 1, e

Poliádicos - Ruggeri

298

§ 01

- TL, propriedades, aplicação numérica

[(φ.φ T ) −1 ] = φφ

 6,25 − 0,50 0  1  0  , − 0,50 2 3,5 2   0 0 3,50 2 

resulta logo, para equação da elipse imagem:

6,25(X ′ ) − X ′ X ′ + 2(X ′ ) = 3,5 . 2

Notemos que os pontos de contato da circunferência com os lados AB, BC, CD e DA do quadrado (pontos médios desses lados), de coordenadas respectivas:

(0;1;0), ( −1;0;0), (0;−1;0) e (1;0;0) , têm por imagem os pontos de coordenadas

( −1;1,5;0), ( −1;−2;0), (1;−1,5;0) e (1;2;0) , respectivamente, e estes são os pontos médios dos lados do paralelogramo imagem. Notemos também, por outro lado, que esses mesmos pontos médios (M', N', etc.) são os pontos de tangência dos lados do paralelogramo com a elipse, mas não são de modo algum os vértices da elipse, como poderia parecer. O ponto Q, interseção da semidiagonal OA com o arco de circunferência NM, tem como imagem o ponto Q' tal, que

1   0   0  2  2     {φ′} = [φ].1 = 7 / 2  = 2,475 ; 2 2 0  0   0  e este, por sua vez, também não é vértice da elipse. Pelos métodos da Geometria Analítica e a partir da equação da elipse podemos calcular as coordenadas do seu vértice V'. Qual seria o ponto objeto V? Quais os comprimentos dos semi-eixos da elipse? Quais os ângulos desses semi-eixos com o unitário $i ? Qual o par de raios da circunferência (raios objeto) que se corresponde com o par de semi-eixos da elipse? Esses assuntos serão analisados de forma ampla mais à frente. Por ora o leitor poderia se preocupar em responder às perguntas formuladas representando graficamente a elipse ou efetuando os cálculos pelos métodos da Geometria Analítica. Para completar este exemplo numérico elementar, o leitor poderá comprovar gráfica e analiticamente as propriedades 5, 6, e 7 das TL's. Fazendo a figura numa escala adequada, o leitor poderá se surpreender com a precisão dos resultados gráficos quando comparados com valores exatos que podem ser calculados sem dificuldades.

III,§ 01.03

§ 02.01 - Diádicos de mudança de base.

§ 02 - MUDANÇA SIMILARIDADE.

BASE.

299

TRANSFORMAÇÕES

POR

§ 02.01 - Diádicos de mudança de base. Sejam {e } e {r } duas bases quaisquer e distintas de EN, e {e*} e {r*} suas * * correspondentes recíprocas. Existe sempre (Corol. 2, Teor. 1, § 02.04, II) um e um único diádico completo, µ, que, usado como pré-fator por exemplo, transforma os vetores de uma base nos vetores da outra. Assim, i

ri = µ . e i ⇐ ∀ {r∗ },{e ∗ } ⇒ µ = ri e ,

(i = 1, 2,..., N )

(01).

Dada a generalidade das bases e se µ é usado como pré-fator, a constituição de µ esta determinada: os seus antecedentes são os vetores da base transformada e os seus conseqüentes são os recíprocos dos vetores da base a transformar.

Definição: (diádico de mudança de base) O diádico µ, dado por (01), que transforma por multiplicação pontuada anterior os vetores da base {e } nos vetores da base {r } denomina-se * * diádico de mudança de base {e } para a base {r }, * * tornando-se evidente que todo diádico completo é um diádico de mudança de base, e reciprocamente. Então: 1°) - o diádico de mudança da base {r*} para a base {e*} é µ T = e i ri ; 2°) o diádico de mudança de base {r } para a {e } deve ser o recíproco de µ, µ −1 = e i r i , * * porque opera a transformação inversa de µ; 3°) - o diádico de mudança de base {e*} para a base {r*}, isso é, entre as bases recíprocas das bases dadas, é r i e i , isso é, o principal de µ (§ 08,II). Assim, entre as bases {e }, (r } e suas recíprocas existem as transformações * * −1 T representadas pelos diádicos µ , µ , µ e µ , conforme esquematizado na Fig.02.01. P

Em resumo:

µ T = e i r i  se µ = ri e i , então,  µ −1 = e i r i  −T i µ P = µ = r e i ,

(02).

Poliádicos - Ruggeri

300

§ 02

- Mudança de base. Transformações por similaridade.

As relações entre estes diádicos já foram estabelecidas no §08.01,II, sendo, por exemplo,

µ~= µ3 µ PT = µ3 µ−1 ou, µ 2 = µ 3 .µ P

(03),

µ.µ −1 = µ −1.µ = Ι e µ.µ~= µ~.µ = µ 3 Ι

(031).

Por (01) vemos que o diádico de mudança da base {e } para a base {r } executa * * uma transformação linear sobre os vetores da base {e }. Para qualquer vetor v de EN * escrevemos, então: v ′ = µ . v ; e, em relação a qualquer base fixa, interpretamos esse resultado dizendo que v transformou-se em v ′ por ação de µ . Como temos acentuado, podemos entender também que, em relação a qualquer base fixa, por ação de µ, o ponto V foi transformado em V ′ . Esse é um dos pontos de vista para a interpretação da transformação regida pelo diádico µ sobre os pontos do espaço. Nesse primeiro ponto de vista, então, elegemos uma base fixa, {e }, em relação à * qual o operador µ transformou o ponto V no ponto V ′ . Isso é, um observador, O, fixo em {e }, veria o ponto V deslocar-se para V ′ por ação de µ. * Num segundo ponto de vista podemos inverter a situação: imaginando marcado o ponto V do espaço, o observador O deverá fazer uma mudança de base. Nestas condições, de uma outra base qualquer, fixa no espaço, um segundo observador O verá o observador O mudar continuamente de posição (alterando de alguma forma os ângulos e os módulos dos vetores da base inicial) até que ele venha a assumir a nova base. Nesse movimento, o observador O sentirá que o ponto V sofreu um deslocamento, enquanto que para o observador O (da base fixa), o primeiro observador, O, foi quem se movimentou, o ponto V tendo ficado fixo. Se o observador O mudou-se para a base {r }, quais serão, então, para * ele, as coordenadas de V ′ ?. Em que condições será possível ao observador O descobrir que, na realidade, V≡ V ′ ? Não cabe aqui fazer uma discussão detalhada sobre o modo como o observador O vê as coisas em função do seu movimento, Isto, de fato, constitui objeto da Física.

Em resumo: A transformação de v em µ . v pode ser vista como resultante de uma transformação linear sobre os pontos do espaço (em relação a uma base fixa), ou como resultante de uma mudança de base para os pontos fixos do espaço.

§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. Sejam: o diádico ψ=ejbj com antecedentes independentes, e a base {r }. Denotando * por µ o diádico de mudança da base {e } para a {r }, escrevemos: µ=riei. * * Consideremos agora o diádico φ de antecedentes ri e cujos conseqüentes ai sejam os vetores transformados dos bi mediante µ P , isso é, i

seja φ = ri a com a = µ P .b ,

III,§ 02.02

(01).

§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares.

Então:

φ = µ.ψ.µ

−1

, ou, ψ = µ

−1

301

.φ.µ,

(02).

Com efeito, tem-se: i

φ = ri a = ( µ . e i )( µ P . b ) = µ . ( e i b ) . µ P , donde, lembrando ((02)3, § 02.01), comprovamos (02)1. Analogamente, de ((02)2, § 02.01) e (01)2 escrevemos: −1

−1

ψ = e b = ( µ . r )( µ . a ), j

−T

−1

ψ = ( µ . r )( a . µ j

−T P

−1

) = µ . (r a ) . µ j

−T P

Ora, sendo µ P = µ e r j a = φ resulta, logo, (02)2. Reciprocamente, se φ = riai e ψ = ejbj são as reduções trinomiais de dois diádicos φ e ψ com antecedentes independentes, se µ = riei é o diádico de mudança da base {e } para a * {r }, e se subsistem as (02), então os conseqüentes de φ e ψ são transformados mediante * µ P . Pois,

φ = µ . ψ. µ

−1

= µ. (e b ). µ i

−1

= ( µ . e )( µ i

−T

.b ) = r ( µ .b ) ; i

e sendo φ = riai. Logo: ai = µP.bi e os conseqüentes de φ e ψ se transformam mediante µ P . Nota: Encontraríamos ainda (02) partindo de outras reduções trinomiais de ψ como, por exemplo,

ψ = b′j e j , base {r*} e diádico φ = a′i ri com a′i = µ . b′i . Definição: (Transformação similar, diádicos similares) Se µ é um diádico completo e φ e ψ são diádicos entre os quais existe a −1 relação φ = µ . ψ . µ , então dizemos que φ é obtido de ψ mediante uma transformação similar na qual µ é o diádico de transformação. O diádico φ é dito, ainda, similar a ψ, mediante µ. Em vista da existência de (02)2, podemos dizer que se φ é similar a ψ mediante µ, ψ −1 é similar a φ mediante µ . Sem perigo de confusão poderemos dizer simplesmente que φ e ψ são similares; e não são completos necessariamente (ver Teor. 6 à frente).

Propriedades dos diádicos e das transformações similares. Podemos, então, enunciar:

Teor. 1: A CNS para que dois diádicos, φ e ψ, reduzidos a formas trinomiais com antecedentes independentes, distintos e índices no mesmo nível, sejam similares, é que os conseqüentes de φ sejam transformados dos conseqüentes de ψ mediante o principal do diádico de mudança da base dos antecedentes de ψ para a base dos antecedentes de φ.

Poliádicos - Ruggeri

302

§ 02

- Mudança de base. Transformações por similaridade.

As propriedades e as entidades derivadas dos diádicos, invariantes mediante relações de similaridade entre eles, são propriedades e entidades que se conservam numa mudança arbitrária de base (já que µ é um diádico arbitrário). Tais propriedades e entidades são, pois (§05, I), tensoriais no espaço euclidiano ao qual são relativas (mas as propriedades tensoriais não são apenas aquelas comuns a diádicos similares).

Teor. 2: Se dois diádicos são similares mediante o diádico de mudança das bases definidas por seus tercetos espaciais em reduções trinomiais arbitrárias, são iguais as suas coordenadas mistas homônimas relativas às respectivas bases; e reciprocamente. Com efeito, consideremos as reduções trinomiais arbitrárias seguintes, com antecedentes independentes, dos diádicos similares φ e ψ: φ=riai e ψ=eibi. Seja, ainda, µ o diádico de mudança da base {e } para a base {r }. Podemos escrever: * * i j i j φ = ( a . r j ) ri r e ψ = ( b . e j ) e i e , expressões estas que representam as formas cartesianas mistas de φ e ψ nas bases {r } e {e } definidas por suas partes espaciais. * * Devemos comprovar que ai.rj=bi.ej para todo i e j. Por hipótese, subsiste (02)1; logo:

(a i .r j )ri r j = φ = = (ri e i ).[(b m .e n )e m e n ].(e jr j ) = = (b m .e n )δ i m δ n jri r j = (b i .e j )ri r j . Igualando as coordenadas do primeiro membro e do último da igualdade acima, concluímos a tese. Reciprocamente, se são iguais as coordenadas mistas homônimas das reduções eneanomiais de dois diádicos em bases diferentes, esses diádicos são similares mediante o i j i j diádico de mudança dessas bases. Com efeito, ponhamos: ψ = A j e i e e φ = B j ri r com

= B j . Sendo µ = ri e

r j = µP . e j . T µ P

Logo:

o diádico de mudança, tem-se: µP = riei , ri = µ . ei e i

φ = A j ( µ . e i )( µ P . e ) = µ . ( A j e i e ) . µ

T P

Lembrando

que

−1

= µ , resulta: φ = µ . ψ . µ−1 , e φ e ψ são similares mediante µ. Corol. 1: A CNS para que dois diádicos sejam similares mediante o diádico de mudança de seus tercetos espaciais em reduções eneanomiais arbitrárias é que as suas matrizes mistas homônimas correspondentes sejam iguais:

φ = µ . ψ . µ−1 ⇐ φ = φi j ri r j , ψ = ψi j ei e j e ri = µ . ei , com ai = µP . bi ⇒ [φij]r=[ψij]e

(03)1,

φT = µ . ψT. µ−1 ⇐ φ = φi j ri rj , ψ = ψi j ei e j e ri = µ P . ei , com a′i = µ . b′i ⇒ [φij]r=[ψij]e,

III,§ 02.02

(03)2.

§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares.

303

Não é difícil comprovar, no tocante às coordenadas duplamente co-variantes ou contravariantes, que:

φ = µ . ψ . µT ⇐ φ = φij ri rj , ψ = ψij ei e j e ri = µ . ei , com ai = µP . bi ⇒ [φij]r=[ψij]e

(03)3;

φ = µP . ψ. µ −1 ⇐ φ = φij ri r j , ψ = ψij ei e j

e ri = µ P . ei , com a′i = µP . b′i ⇒ [φij]r=[ψij]e,

(03)4.

Já observamos (§ 09.02,II, Nota 1) que ao estudar-se uma TL pela matriz associada ao diádico que a rege, devem ser mencionadas a natureza (variância) dessa matriz e a base a que ela se refere. Assim: 1) - Seja [Aij] a matriz relativa à base {e*} com φ = Aijeiej e a matriz [Bij] relativa à base {r*} com φ = Bijrirj . Como φ rege uma única TL, deve haver alguma relação entre suas matrizes associadas, assunto que será discutido mais à frente (§02.04). 2) – O estudo das TLs fica extremamente simplificado se as bases a serem consideradas forem todas ortonormadas, desaparecendo a distinção entre as diferentes matrizes associadas. Isso é muito vantajoso por um lado, mas nem sempre possível e adequado por outro.

Teor. 3: Se dois diádicos são similares (mediante certo completo), similares são também as suas potências de expoente inteiro, K, (mediante o mesmo completo):

∀φ , ψ:

φ = µ . ψ . µ −1

⇒

φ K = µ . ψ K . µ −1 ,

∀K > 0,

(05),

∀φ , ψ, ψ 3 ≠ 0:

φ = µ . ψ. µ −1

⇒

φ K = µ . ψ K . µ −1 ,

∀K,

(051).

Pois temos: 2

φ = (µ . ψ .µ

−1

).(µ . ψ .µ

−1

) = µ . ψ . (µ

−1

. µ ). ψ . µ

−1

= µ.ψ .µ

−1

φ 3 = (µ.φ.µ −1 ).(µ.ψ 2 .µ −1 ) = µ.ψ 3 .µ −1 etc., propriedade que, então, é válida para potências 2,3 etc.não sendo difícil comprovar-se que ela é válida para qualquer expoente positivo. Se o diádico ψ for completo, a propriedade será válida, também, para expoentes negativos.

Teor. 4: Diádicos similares (completos ou incompletos) têm a mesma equação característica, logo os mesmos autovalores. −1

Sejam φ e ψ diádicos similares com φ = µ . ψ. µ . Tem-se, lembrando ((04), §05.03,II e (08), §08.01,II): φ 3 = µ 3 . ψ 3 . µ −31 = ψ 3 , isso é, φ e ψ têm o mesmo terceiro.

Poliádicos - Ruggeri

304

§ 02

- Mudança de base. Transformações por similaridade.

Considerando, agora, as ((02), §07.01,II) escrevemos: −1

−1

φ = ( µ . ψ. µ ) = [( µ . ψ) . µ ] = [ µ . ( µ . ψ)] = ( Ι . ψ) = ψ , E

isso é, φ e ψ têm os mesmos escalares. Tomando o adjunto de ambos os membros da relação de similaridade, escrevemos, lembrando ((01), §08.03,II): φ ~ = µ −1~ . ψ ~ . µ ~ . Considerando ainda ((10), §08.01,II) e, depois, ((07), §08.03,II), tem-se, ainda: ~ ~ φ~= (φ -1 ) 3 µ.ψ~.µ 3µ −1 = µ.ψ~.µ −1 , (logo, φ e ψ são similares),

de onde deduzimos, tal como anteriormente: φ ~E = ψ ~E . Assim, os diádicos similares têm a mesma equação característica e, por conseqüência, os mesmos autovalores. Para provar que φ-1 = µ.ψ-1.µ-1 podemos adotar o mesmo caminho que o adotado acima relativamente ao adjunto.

Corol. 1: Diádicos similares têm o mesmo grau de nulidade: são ambos completos, ambos planares ou ambos lineares. O teorema é óbvio porque os diádicos similares têm o mesmo terceiro. Poder-se-ia demonstrar também a proposição porque produto do tipo µ.ψ.µ-1 (em que µ é completo) têm o mesmo grau de nulidade do fator ψ (Teor. 1, §05.04,II). É fácil também demonstrar o seguinte

Teor. 5: T ~ T ~ Se φ é similar a ψ mediante µ, então ψ ( ψ ) é similar a φ ( φ ) mediante T

µ ( µ ). As transformações por similaridade gozam, ainda, das seguintes propriedades:

1ª) - Os similares de uma soma e de um produto de diádicos são iguais, respectivamente, à soma e ao produto dos similares dos diádicos:

µ . ( α + β + ...) . µ −1 = µ . α . µ −1 + µ . β . µ −1 + ...,

(06),

µ .(α .β....).µ −1 = (µ .α .µ −1 ).(µ.β.µ −1 )....,

(061);

2ª) - O similar da P-ésima potência (P inteiro positivo) de um diádico, é a Pésima potência de um similar desse diádico: P

µ. φ . µ

III,§ 02.02

−1

−1 P

= ( µ . φ . µ ) , ( ∀P inteiro positivo),

(07);

§ 02.03 - Matriz de mudança de base.

305

e se φ é completo, P é um inteiro qualquer:

φ 3 ≠ 0, µ . φ P . µ −1 = ( µ . φ . µ −1 ) P , ( ∀P inteiro),

(071).

Pois, (071) é um caso particular de (061) para α = β = ... = φ.

3ª) - O similar de um polinômio diádico P(χ) é o mesmo polinômio de um similar de χ:

µ . P( χ ). µ

−1

= P ( µ . χ . µ ),

(08).

Com efeito, essa propriedade é conseqüência imediata das duas primeiras:

µ . P( χ ) . µ

−1

= µ . ( C Ι + C χ + C χ +...) . µ 2

−1

= C ( µ . Ι . µ ) + C ( µ . χ . µ ) +... = P( µ . χ . µ ). 0

4ª) – Se X é um autovalor do diagonalizável χ, então P(χ) tem P(X) por autovalor. Pois, se µ é o diádico que diagonaliza χ então P(µ µ.χ.µ-1) é certo polinômio diádico de χ diagonalizado. Sendo X autovalor de χ, e também de µ.χ.µ-1, P(X) é autovalor de P(µ µ.χ.µ-1), o qual, pela propriedade anterior e pelo Teor. 4, é também autovalor de P(χ χ).

§ 02.03 - Matriz de mudança de base. i

Sendo µ = ri e , podemos escrever, decompondo os antecedentes r i na base {e }: * j

µ = ( ri . e ) e j e ,

(01).

Decompondo, por outro lado, os conseqüentes na base {r*}, escrevemos: i

µ = ri ( e . r j ) r = ( r j . e ) ri r , ou, ainda, trocando os índices indicativos das somatórias: j

µ = ( ri . e ) r j r ,

(02).

Vemos por (01) e (02) que se o diádico µ de mudança da base {e*} para a base {r } esta * expresso em forma cartesiana mista, tendo como díades fundamentais as obtidas nos produtos justapostos dos vetores de qualquer das bases pelos seus recíprocos, as suas matrizes associadas são iguais.

Poliádicos - Ruggeri

306

§ 02

- Mudança de base. Transformações por similaridade.

Definição: (matriz de mudança de base) A matriz:

 r . e1  1 2 [ µ ] =  r1 . e  3  r1 . e

r2 . e

1 r3 . e   2 r3 . e , 3 r3 . e 

(03),

cujos elementos da i-ésima coluna são as coordenadas do vetor r i na base {e }, denomina-se matriz de mudança da base {e } para a base {r }. * * * Deduzimos imediatamente que o determinante da matriz de mudança da base {e } * para a base {r } é igual ao terceiro do diádico de mudança da base {r*} para a base {e*}, * µ3=µ µT3. Com efeito, conforme ((062), §03.03,I) o determinante da matriz (03) é igual a (r1r2r3)(e1e2e3), ou seja, µ3. T −1 Entre as matrizes dos diádicos µ , µ e µ existem, obviamente, relações análogas às dos diádicos correspondentes: T

Com efeito, a matriz de µ

[µ ] = [µ ] ,

(04),

[µ] . [µ−1] = [µ −1] . [µ] = [I] ,

(05).

é a de mudança da base {r*} para a {e*}; seu elemento

genérico, o da i-ésima coluna e j-ésima linha é, pois, ei.rj. Ora, este elemento é o genérico da matriz de µ, pertencendo à sua i-ésima linha e j-ésima coluna; logo, tem-se (04). Sendo rj.ei = ei.rj o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de [µ µ] e ek.rj = rj.ek

o elemento da j-ésima linha e k-ésima coluna de [µ µ-1](ver §09.08,II), ou seja

r1. e1 [µ ] = r 2. e1  3 r . e1

r1. e3  r 2. e3 ,  r3. e3 

r1. e2 r 2. e2 r3. e2

−1

(03)1,

então o elemento genérico da i-ésima linha e k-ésima coluna de [µ µ].[µ µ-1]é: i

( e . r )( r . e ) = [( e . r ) r ]. e = e . e = δ . j

Logo, [µ µ].[µ µ-1]= [ΙΙ]. Similarmente, demonstra-se a igualdade do segundo e do terceiro membros de (05). As matrizes [µ µ] e [µ µ-1], satisfazendo (05), são, pois, inversas (uma da outra).

III,§ 02.03

§ 02.04 - Transf. das coord. por uma mudança de bases. Matrizes similares.

307

Procuremos, agora, a relação existente entre [µ µ]T e [µ µ]-1. Determinemos, por 1 T exemplo, o complemento algébrico do elemento e .r2 de [µ µ] . Considerando ((05),§04.03,I) esse número é escrito na forma

e 2 . r3 e 3 . r3

e 2 . r1 = (e 2 × e 3 ).(r3 × r1 ) . e 3 . r1

Lembrando propriedades dos recíprocos escrevemos, ainda,

(e 2 × e 3 ).(r3 × r1 ) = (e1.r 2 )(e1e 2 e 3 )(r1r2 r3 ) = (e1.r 2 ) det[µ ] . Fazendo cálculos análogos concluímos que a matriz associada a [µ µ]-1, multiplicada pelo T µ] substituindo cada um de seus elementos pelo terceiro de µ, é a matriz que se obtém de [µ seu co-fator. A matriz que se obtém de uma matriz dada, [µ µ], substituindo-se na sua transposta cada elemento pelo seu complemento algébrico, é a matriz adjunta de [µ µ], e representa-se por [µ µ]~ (ver §09.08,II). Então, det[µ].[µ ]−1 = [µ]~ , (06), e, por recorrência às (05), deduzimos também: [µ ].[µ ]~= [µ ]~.[µ] = det[µ ].[Ι ] ,

(07).

Estabelecido o conceito de matriz de mudança de base, podemos, agora, comprovar que todas as propriedades dos diádicos e transformações lineares similares mediante um diádico µ podem ser estendidas às matrizes homônimas desses diádicos; essas matrizes são ditas similares mediante a matriz de mudança de base. * Exercício: Comprovar que as matrizes homônimas de diádicos similares mediante um diádico µ de mudança de base são similares mediante a matriz de mudança de base [µ]. *

§ 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de base. Matrizes similares. Tensores clássicos. Se µ é o diádico de mudança da base {e } para a base {r }, então * * i ri = µ . e i e µ = ri e . A matriz de mudança da base {e } para a base {r } é ((03), §02.03), * *

e de mudança de{r } para {e }, [µ µ-1], é dada por ((03)1,§02.03). * *

Transformação de coordenadas de vetores. Escrevendo o mesmo vetor genérico v nas formas i

v = E e i = E j e = R ri = R j r ,

(02),

deduzimos, imediatamente:

Poliádicos - Ruggeri

308

§ 02

- Mudança de base. Transformações por similaridade. i

E = R ( ri . e ),

E j = Ri (r . e j )

(03),

e j

R = E ( e i . r ),

R j = E i ( e . r j ),

(04).

Fazendo-se i,j = 1,2,3, as relações (03) e (04) podem ser escritas matricialmente nas formas correspondentes

E  R   1  1  E 2  = [ µ P ].  R 2  ,  E 3   R 3 

 E1   R1   2   E = [ µ ]. R 2 ,  3  3 E  R 

(031),

e (sua inversa):

R  E  1  1  T   R 2  = [ µ ] .  E 2 ,  R 3   E 3 

 R1   E1   2 −1  2  R = [µ ] . E ,  3  3 R  E 

(041).

As fórmulas (031) e (041) mostram que, conhecendo-se as coordenadas de certo nome de um vetor numa certa base e a matriz de mudança desta base para uma outra, as coordenadas de mesmo nome deste vetor nesta última base podem ser determinadas. O modo clássico de se conceberem os tensores cartesianos de ordem um é baseado nas fórmulas (031) e (041); esses tensores são entidades que, numa mudança de bases, têm as suas coordenadas em diferentes bases relacionadas por essas fórmulas. Deve ser observado que não faz sentido imaginar os vetores de base como tensores porque eles são usados para definir esses tensores (de ordem um). Assim: nem todos os vetores são tensores de ordem um.

Transformação das coordenadas de diádicos Seja φ um diádico regente de uma TL e φ=ekbk=riai suas reduções trinomiais em relação a duas bases quaisquer {r } e {e }; então: * *

φ = (b k .e s )e k e s = E ks e k e s

e φ = (a i .r j )ri r j = R i jri r j

(05),

são as suas representações cartesianas mistas (contravariantes/co-variantes) nas bases {e } * e {r }. Sendo, ademais, * k

ri = ( ri . e ) e k e r = ( r . e s ) e , escrevemos, ainda, k

φ = ( b . e s ) e k e = ( ri . e )( a . r j )( r . e s ) e k e . Logo, k

b . e s = ( ri . e )( a . r j )( r . e s ),

III,§ 02.04

(06).

§ 02.04 - Transf. das coord. por uma mudança de bases. Matrizes similares.

309

Escrevendo (05) na forma k

φ = E s e k e = R j ri r ,

(051),

temos, de (06):

= ( e . ri ) R j ( r . e i ),

(061).

Ora, (ek.ri)Rij é a soma dos produtos dos elementos da k-ésima linha da matriz [µ µ] pelos correspondentes elementos da i-ésima coluna da matriz

 R1 R1 R1  2 3  1  [ R] =  R 21 R 22 R 23 . R3 R3 R3   1 2 3 Então, Eks é o elemento da k-ésima linha e s-ésima coluna do produto [µ µ].[R].[µ µ]-1, ou seja,

 e1 . r e1 . r e1 . r   R 1 R 1 R 1   r 1 . e r 1 . e r 1 . e  2 3  2 1 2 2 2 3   21  2 1 2 2 2 3 2 2 e . r e . r e . r . R R R . r . e 1 r . e 2 r . e 3 .  1 2 3  1 2 3  e3 . r e3 . r e3 . r   R 3 R 3 R 3  r 3 . e r 3 . e r 3 . e   1 2 3  1 2 3 1 2 3  Assim, para o (mesmo) diádico regente da TL:

[ E ∗∗ ] = [ µ ]. [ R ∗∗ ]. [ µ ] −1

[R ∗∗ ] = [ µ ] −1 . [ E ∗∗ ]. [ µ ],

φ = ( a i . r j ) ri r j = R i j ri r j ,

(07).

Se escrevêssemos

φ = (b k . e s ) e k e s = E k s e k e s

deduziríamos para as matrizes [E**] e [R**] as expressões

[ E ∗∗ ] = [ µ ]. [ R ∗∗ ]. [ µ ] −1

[R ∗∗ ] = [ µ ] −1 . [ E ∗∗ ]. [ µ ],

(08).

Analogamente,

[ E ∗∗ ] = [ µ ]. [ R ∗∗ ]. [ µ ] −1

[R ∗∗ ] = [ µ ] −1 . [ E ∗∗ ]. [ µ ],

(071),

[ E ∗∗ ] = [ µ ]. [ R ∗∗ ]. [ µ ] −1

[R ∗∗ ] = [ µ ] −1 . [ E ∗∗ ]. [ µ ],

(081).

Definição: (matrizes auto-similares). Duas matrizes, relativas a um mesmo diádico, que satisfazem as igualdades (07), (071), ou (081) são ditas auto-similares mediante a mudança de base operada pela matriz não singular [µ]. Diz-se, também, que estas matrizes são obtidas uma da outra por uma transformação de auto-similaridade. As fórmulas (07), (071), (08) e (081) mostram como, conhecendo-se as coordenadas da certo nome de um diádico numa certa base e a matriz de mudança de uma base para a

Poliádicos - Ruggeri

310

§ 02

- Mudança de base. Transformações por similaridade.

outra, determinar as coordenadas correspondentes de mesmo nome nesta última base, porque

Se duas bases se transformam mediante a matriz [µ], então são autosimilares mediante [µ] as matrizes homônimas de um mesmo diádico (regente de uma TL) nessas bases. Esta proposição é equivalente à seguinte:

"Se duas bases se transformam mediante a matriz [µ], então são autosimilares mediante [µ] as matrizes homônimas representativas de uma mesma transformação linear nessas bases"; ou, ainda,

"Se [R] é a matriz que representa a TL regida pelo diádico φ na base {r }, e * se [µ] é a matriz de mudança da base {e } para a base {r }, então * * [µ] .[R] .[µ] -1 é a matriz [E] que representa a TL na base {e }". * Não é difícil demonstrar os teoremas seguintes, similares aos Teor. 1 e 3 e 4 do §02.02: Teor. 1: Se duas matrizes são auto-similares, auto-similares são também as suas potências:

[ E] = [ µ]. [ R]. [ µ]

−1

⇒ [ E] = [ µ]. [ R] . [ µ] , ∀P > 0,

−1

⇒ [ E ] = [ µ ] . [ R ] . [ µ ] , ∀P

| R| ≠ 0 ,[ E] = [ µ ] . [ R ] . [ µ ]

−1

(09), (091).

Teor. 2: Matrizes auto-similares têm o mesmo determinante, o mesmo traço e adjuntas e inversas similares. Corol. 1: Se duas matrizes são similares, são iguais os traços e os determinantes das suas adjuntas e os das suas inversas. Teor. 3: Se [E] é similar a [R] mediante [µ], então [R] T e [R] ~ são similares a [E] T e [E] ~ mediante [µ] T e [µ] ~, respectivamente. Tal como no caso dos vetores, é precisamente pelas fórmulas (07), (071), (08) e (081) que são (classicamente) definidos os tensores cartesianos de ordem 2; assim,

Tensores de ordem dois são diádicos que, numa mudança de base definida por uma matriz [µ], têm as suas matrizes associadas relacionadas pelas leis (07), (071), (08) e (081); ou, o que é o mesmo:

Tensores de ordem 2 são diádicos auto-similares.

III,§ 02.04

§ 02.05

– As simetrias internas e externas dos diádicos.

311

Pelas (07), (071), (08) e (081) e pelas (031) e (041) fica fácil comprovar que

os vetores motivo de um diádico são tensores de ordem um. Pois, por exemplo, as coordenadas co-variantes E i j = a i . e j de ai na base {e*} são expressas em função das coordenadas R i j = a i . r j do vetor ai na base {r*} na forma (031)2, que expressa o "regime tensorial". Com efeito, sendo A ij = a i . e j = [( a i . rk ) r k ]. e j = ( r k . e j ) R ik , resulta, fazendo-se j = 1, 2, 3 e somando-se em k:

A i   r1 . e  i1  1 1 A 2  = r . e 2 A i  r1 . e  3  3

r 2 . e1 2

r . e2 r2 . e3

r 3 . e1   r3 . e2  r 3 . e 3 

Ri   1 .  R i 2  = [µ P ] Ri   3

Ri   1 . R i 2 . Ri   3

Deve ser observado que diádicos similares regem transformações lineares distintas, ambos podendo ser tensores. De fato, se φ = µ.ψ.µ −1 e se φ = η.φ.η −1 (φ φ é um diádico auto-similar), então: φ = (η.µ).ψ.(µ −1.η −1 ) e ψ = µ −1.φ.µ = (µ −1.η.µ).ψ.(µ −1.η −1.µ ) , ou seja, ψ = (µ −1.η.µ ).ψ.(µ −1.η.µ ) −1 . Ora, µ e η são quaisquer e µ-1.η.µ é um diádico de mudança de base. Logo ψ é auto-similar. Em resumo:

Se dois diádicos são similares e um deles é um tensor, o outro também é um tensor. Entretanto, dois diádicos podem ser similares e nenhum deles um tensor; ou, ainda:

todo tensor de ordem 2 é um diádico auto-similar, mas nem todo diádico é um tensor. O melhor exemplo de diádico que não é tensor é o de mudança de base . Nem faz sentido essa consideração porque esses diádicos são usados para definir o tensor.

§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. A igualdade de um diádico com o seu transposto – o que caracteriza a sua simetria (§04.02,II) - será dita, ainda, a condição da sua “simetria interna”. Por enquanto essa nomenclatura tem um caráter apenas formal. Quando, por exemplo, uma propriedade física de um material é representada por um diádico (simétrico ou não), pode acontecer que (por alguma imposição decorrente da natureza do material) ele deva ser invariante em certa transformação geométrica. As transformações geométricas mais comuns são: as simetrias em relação a planos e as rotações de certos ângulos em torno de certos eixos. Em outras palavras, à luz do que vimos no § 02.04, o diádico representativo da propriedade deve ser auto-similar mediante o diádico que caracteriza aquela transformação. Essas imposições incorporam ao diádico certas características de simetria que o qualificam como invariante nesta ou naquela transformação; dizemos, nesses casos, que esse diádico apresenta “simetrias externas”. As simetrias externas nas rotações serão estudadas mais à frente (§06.04).

Poliádicos - Ruggeri

312

§ 02

- Mudança de base. Transformações por similaridade..

Diádicos com simetria externa em relação a um plano. Seja R' o ponto simétrico de R em relação a um plano, paralelamente a dado vetor e398. Dois vetores arbitrários e não paralelos desse plano, e 1 e e 2 , definem com e3 uma base no espaço dos vetores. Então podemos escrever em relação a uma origem arbitrária:

∀r :

r = R iei

r ′ = R 1e1 + R 2 e 2 − R 3e 3 .

O diádico que rege a simetria de R em relação ao plano paralelamente a e3 é

µ = e 1e 1 + e 2 e 2 − e 3 e 3 ,

(01),

pois, sendo R = r.e , i

r ′ = (r.e1 )e1 + (r.e 2 )e 2 − (r.e 3 )e 3 = r.µ T = µ.r . A matriz associada a µ na base {e*} é

[µ ** ]e

1 0 0  = 0 1 0  , 0 0 - 1

(011).

O diádico µ pode ser entendido como o diádico de mudança da base {e 1 , e 2 ,− e 3 }

para a base {e1 , e 2 , e 3 } , ou, ainda, da base {e1 , e 2 , e 3 } para a base {e 1 , e 2 ,− e 3 } . Isto

significa que µ = µ −1 , com µ 3 = −1, o que é fácil comprovar por (01).

Seja R" o simétrico de R' em relação à origem arbitrada. Temos:

r ′′ = − r ′ = ( − µ ) . r ,

(02),

Sendo

− µ = ( − e1e1 + e 2 e 2 + e 3e 3 ) . ( e1e1 − e 2 e 2 + e 3e 3 ) = ( e1e1 − e 2 e 2 + e 3e 3 ) . ( − e1e1 + e 2 e 2 + e 3e 3 ) resulta que R é transformado em R" por dois estágios comutativos de simetria: em relação ao plano ( e 2 , e 3 ) paralelamente a e1 e em relação ao plano ( e 3 , e1 ) paralelamente a e2. Por outro lado, escrevendo (02) na forma:

r′′ = −r ′ = µ.(−r ) , vemos que a dupla simetria atrás referida é equivalente a uma inversão do ponto R em relação à origem, seguida de uma simetria em relação ao plano ( e1 , e 2 ) , paralelamente à direção e3; o que é geometricamente evidente. No §06.03,A mostraremos que essa operação é idêntica à dos diádicos biquadrantais, caso particular dos diádicos denominados cíclicos. Finalmente, observemos que

Uma simetria em relação a três planos, paralelamente às suas interseções, é equivalente a uma inversão em relação ao ponto comum a esses planos, 98 Numa situação particular essa simetria poderia ser a “ortogonal”.

III,§ 02.05

§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos.

313

pois,

(e1e1 + e 2e 2 − e 3e 3 ).(e1e1 − e 2e 2 + e3e 3 ).(−e1e1 + e 2e 2 + e 3e3 ).r = −r . * Se φ = e jb é a representação trinomial do diádico φ em relação à base {e*}, então: j

[φ** ]e

 b1.e1 b1.e 2 b1.e 3    = b 2 .e1 b 2 .e 2 b 2 .e 3  . b 3 .e1 b 3 .e 2 b 3 .e 3   

Se esse diádico deve ser auto-similar em relação ao diádico µ que rege simetrias em relação ao plano (e1, e2) paralelamente a e3, tem-se: φ = (e1e1 + e 2e 2 − e 3e 3 ).φ.(e1e1 + e 2e 2 − e 3e 3 ) . Operando no segundo membro, virá:

φ = (e1b1 + e 2 b 2 − e 3b 3 ).µ , ou, ainda, φ = e1b 1 .µ + e 2 b 2 .µ − e 3 b 3 .µ . Então, (por ser φ = e jb j )

b 1 = b 1 .µ,

b 2 = b 2 .µ

b 3 = − b 3 .µ ,

isso é, b1 ⊥ e 3 , pois b1.e 3 = b1.µ.e 3 = b1.(−e 3 ) = −b1.e 3 . Analogamente comprovaríamos que b2.e3=0, logo b 2 ⊥ e 3 ; e b3.e1= b3.e2=0, logo b 3 || e 3 . Assim, em relação às bases recíprocas {e*} e {e*} a matriz mista associada a φ é

[φ** ]{e}

 b1.e1 b1.e 2 0    = b 2 .e1 b 2 .e 2 0  ,  0 0 b 3 .e 3  

(03),

sendo evidente que [φ φ**]e=[µ**].[φ φ**].[µ**]. A matriz duplamente co-variante associada a φ é dada por [φ φ**]=[G**].[φ φ **] (conforme Tabela, §09.03,II), isso é,

0   e1.e1 e1.e 2 e1.e 3   b1.e1 b1.e 2 b1.e 3   e1.φ.e1 e1.φ.e 2  2     2 2 [φ** ] = e 2 .e1 e 2 .e 2 e 2 .e 3 .b .e1 b .e 2 b .e 3  = e 2 .φ.e1 e 2 .φ.e 2 0  . e 3 .e1 e 3 .e 2 e 3 .e 3  b 3 .e1 b 3 .e 2 b 3 .e 3   0 0 e 3.φ.e 3    Se φ for simétrico internamente, vê-se que a matriz [φ φ**] será simétrica necessariamente, pois e1.φ.e2=e2.φ.e1.

Poliádicos - Ruggeri

314

§ 03 –Elementos característicos de diádicos.

Pesquisa de sistemas convenientes de representação Pelas expressões ((03)1, § 02.04), ou suas inversas ((04)1, § 02.04), podemos calcular as coordenadas de um ponto quando efetuamos uma mudança de base. Similarmente, pelas expressões ((07), § 02.04), podemos calcular as novas coordenadas de um diádico numa mudança de base. Ora, se, em relação a uma determinada base, tivermos que estudar a TL regida por um diádico φ, e se tivermos que calcular as coordenadas dos transformados de diversos pontos (mediante φ) - sempre aplicando a fórmula (03), § 01.03) como exemplificado pelo exemplo numérico 1, § 01.03 - será bastante oportuno procurar uma representação cartesiana para φ que facilite esse trabalho. Com outras palavras, será oportuno encontrar uma base adequada, em relação à qual essas operações (dentre outras) e o estudo de propriedades sejam facilitados; caso em que, com uma mudança de base, a matriz associada a um diádico será certamente mais simples (contendo muitos elementos nulos, por exemplo, ou sendo simétrica, triangular etc.). Conhecidas, então, as fórmulas de transformação ((08), § 02.04), resta-nos encontrar a mudança de base adequada que simplifique a matriz associada ao diádico.

§ 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS. § 03.01 - Polinômio mínimo. Definimos (§ 05.02,II) o polinômio diádico inteiro pela expressão:

PQ (φ ) = C 0 Ι + C 1φ + C 2 φ 2 +...+ C Q φ Q ,

∀φ ,

(01),

onde os Ci são números reais99 e Q é inteiro positivo. Quando o diádico φ é completo (φ φ3≠0) os expoentes podem ser também números inteiros negativos. Se, em relação a um EN,

PQ (φ ) = e i g i

φ = e i x i , e i independentes, (i = 1,2,...,N),

(02),

são reduções N-nomiais (contravariantes)100 de φ e de PQ (φ φ) (§ 02.07,II), então podemos escrever a redução N-nomial correspondente de PQ (φ φ) na forma:

PQ (φ ) = = e i g i = e i [C 0 e i + C 1 x i + C 2 ( x i . e j ) x j + C 3 ( x i . e j )( x j . e k ) x k +... ...+ C Q ( x i . e j )( x j . e k )( x k . e r )...( x v . e w ) x w ],

99 No Cap. V examinaremos os casos em que os C são números complexos. i 100Com uma redução N-nomial co-variante a teoria em desenvolvimento poderia ser conduzida analogamente para obterem-se os mesmos resultados.

III,§ 03.01

§ 03.01 - Polinômio mínimo.

315

onde i,j,k,...,v,w = 1,2,...,N. Logo: i

g = C 0 e + C 1 x + C 2 ( x . e j ) x + ... + C P ( x . e j )( x . e k )...( x . e w ) x ,

(03).

Se decompusermos os vetores gi e xi na base {e1,e2,e3}, escrevendo i

g = (g . em )e

e x = (x . em )e

(04),

... X vw X wm ,

(05).

obteremos de (03) as coordenadas cartesianas mistas de PQ (φ φ):

G i m = C 0 δ i m + C 1 X i m + C 2 X i j X j m +...+C Q X i j X

j k

φ) Com as decomposições (04), as matrizes mistas associadas aos diádicos φ e PQ (φ são:

 X1  1 [φ ] = [ X i m ] =  X 2 1   X 31

X 12 X 22 X 32

G 1 X 13    1 X 23  e [PQ (φ )] =  G 21   X 33   G 31

G 12 G 22 G 32

G 13   G 2 3 ,  G 33 

(06);

logo, de (05) escrevemos101, para i,m = 1,2,...,N:

[ PQ (φ )] = C 0 [ Ι ] + C 1 [φ ] + C 2 [φ 2 ]+...+ C Q [φ Q ],

(07).

Assim, ao polinômio diádico (01), relativamente à base {e1,e2,e3}, está associada a expressão (07) definida como um polinômio matricial inteiro da matriz [φ φ]. Examinemos as condições de existência de números reais Ci para que um polinômio diádico de dado diádico possa anular-se. Ora, sendo dados os Xim, as equações (05), em número de N2, constituirão um sistema homogêneo de N2 equações com Q+1 incógnitas: C0,C1,C2,...,CQ. Da Álgebra sabemos que a CNS para que o sistema homogêneo (05) admita soluções não nulas (e se admitir uma admitirá infinitas) é que o grau do determinante principal do sistema102 seja menor que Q+1 (número de incógnitas). Como este vale, no máximo, N2, resulta que a existência de números Ci, não simultaneamente nulos, que anulem PQ (φ φ), fica condicionada à verificação da desigualdade em números inteiros

N 2 < Q + 1, ou, simplesmente, N 2 ≤ Q,

(08),

101Notar que ao fazermos todos os índices assumirem (ordenadamente) os valores 1,2,...,N, Gi representará o m elemento da i-ésima linha e m-ésima coluna na matriz [PP(φ)], Xim o correspondente na matriz [φ], XijXjm (notar a somatória em j) o correspondente na matriz [φ2] etc. 102O determinante principal do sistema é qualquer determinante não nulo, da maior ordem possível que se pode formar com os coeficientes das incógnitas; a ordem do principal é às vezes denominada a classe ou o posto do determinante (rank em inglês).

Poliádicos - Ruggeri

316

§ 03

– Elementos característicos de diádicos.

isso é,

Q ≥ 1 no E 1 , Q ≥ 4 no E 2 e Q ≥ 9 no E 3 . Logo, temos demonstrado o seguinte

Teor. 1: (existência de coeficientes) Existem infinitos conjuntos de N2+1 números reais não simultaneamente nulos: C0, C1, C2, ..., C 2 , tais, que para qualquer φ gerado de EN,, N

C 0 Ι + C1φ + C 2 φ 2 + ... + C N 2 φ N = Ο ,

(09);

ou, em forma matricial equivalente, 2

C 0 [Ι ] + C1[φ] + C 2 [φ 2 ] + ... + C N 2 [φ N ] = [Ο ] ,

(091).

Se trocarmos no polinômio diádico (01), o diádico φQ por XQ, obteremos o polinômio:

PQ (X) = C0 + C1X + C2 X2 +...+C N 2 X N , 2

(092),

o qual será denominado polinômio associado ao polinômio diádico (01) ou ao polinômio matricial (07). Por outro lado, dado ao acaso um polinômio de coeficientes reais como (092), φ], se forem verificadas (09) e (091), diremos que ele anula certo diádico φ, ou certa matriz [φ respectivamente. Observando que o teorema acima demonstrado não exclui a possibilidade de alguns dos Ci serem nulos (eventualmente o CN2, por exemplo), concluímos:

Corol. 1: Dado um diádico qualquer, φ, gerado de EN, o grau do polinômio real que anula φ não é maior que N2. Teor. 2: O polinômio que anula um(a) diádico(matriz), anula também os(as) seus(suas) similares. Se φ é similar a ψ (§ 02.02) mediante µ, φ = µ.ψ.µ-1. Então, se 2

PQ (ψ ) = C 0 Ι + C1ψ + C 2 ψ 2 + ... + C N 2 ψ N = Ο , tem-se

III,§ 03.01

§ 03.01 - Polinômio mínimo.

317

µ .PQ (ψ ).µ −1 = C 0 µ .Ι .µ −1 + C1µ .ψ .µ −1 + ... + C N 2 µ .ψ N .µ −1 = Ο , 2

ou, ainda, lembrando ((09), § 02.04): 2

C 0 Ι + C1φ + C 2 φ 2 + ... + C N 2 φ N = Ο . É fácil demonstrar o teorema para as matrizes.

Teor. 3: (unicidade) O polinômio de menor grau que anula um diádico φ é único. Demonstremos o teorema por redução ao absurdo. Suponhamos existirem dois polinômios, do mesmo grau, M, que anulem φ:

PM (φ) = K 0 Ι + K 1φ + K 2 φ 2 + ... + K M φ M = Ο e

Q M (φ) = L 0 Ι + L1φ + L 2 φ 2 + ... + L m φ M = Ο . Multiplicando ambos os membros de PM(φ φ) por LM, o de QM(φ φ) por KM e subtraindo membro a membro, temos:

(L M K 0 − L 0 K M )Ι + (L M K 1 − L1K M )φ + ... + (L M K m −1 − K M L m −1 )φ M −1 = Ο . Esse polinômio não é identicamente nulo porque se fosse,

K0 L0

K1 L1

=... =

Km Lm

e os dois polinômios, PM(φ φ) e QM(φ φ), seriam iguais (o que contraria a hipótese e demonstra o teorema). Mas se o polinômio não é identicamente nulo, ele é um polinômio de grau menor que M, que anula φ; então PM(φ φ) e QM(φ φ) não são polinômios de menor grau que anulam φ, o que também é contra a hipótese. Logo, o polinômio de menor grau que anula φ é único.

Definição: (polinômio mínimo) O polinômio escalar de menor grau que anula um diádico φ denomina-se "polinômio mínimo" de φ; representa-se por: Pmin(φ), e seu polinômio diádico associado: Pmin(φ) = Ο 103.

103Notar que, por ser Pmin(φ) um escalar, a letra P aparece ao natural, enquanto que para o polinômio diádico Pmin(φ)=Ο, a letra P aparece em negrito.

Poliádicos - Ruggeri

318

§ 03

– Elementos característicos de diádicos.

Teor. 4: Diádicos e matrizes similares têm o mesmo polinômio mínimo. É evidente o teorema em vista do Teor. 2.

Teor. 5: O polinômio mínimo de um diádico φ é fator de qualquer polinômio que anula esse diádico. Com efeito, seja PQ(φ φ), Q ≤ N2, um polinômio que anule o diádico φ. Podemos escrever, pelas regras da Álgebra:

PQ (φ ) = Q(φ ) . Pmin (φ ) + R R (φ ),

(10),

φ). Então, o polinômio sendo RR(φ φ) = 0 um polinômio de grau R menor que o grau de Pmin(φ diádico correspondente a (10) é:

PP (φ ) = Q (φ ) . Pmin (φ ) + R R (φ ) ,

(11).

Como, por hipótese, PQ(φ φ) anula φ, PQ(φ φ) = Ο. Mas Pmin (φ φ) também anula φ; logo, RR(φ φ)=Ο Ο. Então RR(φ φ) é um polinômio de grau menor que o de Pmin(φ φ) que anula φ. Como ele não é o polinômio mínimo, RR(φ φ) = 0 necessariamente. Então:

PP (φ ) = Q(φ ) . Pmin (φ ), isso é, Pmin (φ ) é fator de PQ (φ ) .

Corol. 1: Qualquer polinômio diádico é equivalente a um polinômio diádico de grau não maior que o grau do seu polinômio mínimo. Pois, dado o polinômio diádico (01) com grau P qualquer, podemos escrever, de (11): PR(φ φ) = RR(φ φ), porque Pmin(φ φ) =Ο Ο. Nota: A determinação de RR(φ) fica, entretanto, na dependência da determinação de Pmin(φ). Com efeito, dado PP(φ) escrevemos PP(φ); então, de (10), determinaremos RR(φ)

- desde que predeterminemos P

- e, logo, R (φ) R

φ).

min(

§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico. Teor. 1: (o adjunto como um polinômio diádico do segundo grau) Tem-se:

∀ φ:

III,§ 03.01

1 ~ 2 2 2 φ = φ − φ E φ + [( φ E ) − ( φ ) E ] Ι , 2

(01).

§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico.

Com efeito, trocando φ por φ ((01)1,§ 08.02,II), escrevemos:

319

em ((01)2,§ 07.04,II), transpondo e considerando

1 (φ ×× Ι ) T = −φ~+ [(φ E ) 2 − (φ 2 ) E ]Ι . 2 Fazendo ψ = Ι no terceiro membro de ((02)1,§ 07.06,II), transpondo e lembrando ((01),§ 08.01,II), escrevemos também:

(φ ×× Ι ) T = −φ 2 + φ E φ . Igualando os segundos membros dessas expressões encontramos (01)104.

Corol. 1: Qualquer que seja o diádico φ, o polinômio real, único,

C 3 (φ ) = X 3 − φ E X 2 + φ ~E X − φ 3 ,

(02),

anula o diádico φ, isso é,

C 3 (φ) = φ 3 − φ E φ 2 + φ ~E φ − φ 3 Ι = Ο ,

(03).

Com efeito, escrevendo (01) na forma mais compacta:

φ ~ = φ 2 − φ E φ + φ ~E Ι ,

(011),

multiplicando ambos os seus membros por φ, considerando ((11),§ 08.01,II) e transpondo termos, encontramos (03). Logo, o polinômio (02) anula φ.

Definição: (polinômio característico) O polinômio real do terceiro grau, (02), que anula φ, denomina-se polinômio característico de φ, e seu polinômio diádico associado, polinômio de Cayley-Hamilton (CH) de φ. Corol. 2: O polinômio mínimo de um diádico é fator de seu polinômio característico, ou se identifica com ele. Porque pelo Teor. 5, § 03.01, o polinômio mínimo de um diádico é fator de qualquer polinômio que o anula; logo, é fator do polinômio característico (ou é o próprio).

104 Podemos obter o mesmo resultado considerando-se φ = ψ em ((03), § 07.01, II).

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320

§ 03

– Elementos característicos de diádicos.

Nota: Os teoremas até aqui demonstrados não fornecem maiores informações quanto às condições em que os polinômios mínimo e característico se confundem; essa questão será resolvida mais à frente.

Corol. 3: Qualquer polinômio diádico é equivalente a um polinômio diádico de grau não maior que dois. Pois, dado o polinômio PQ(φ φ) podemos associar-lhe PQ(φ φ); e dado φ podemos escrever C3(φ φ). Pelas regras da Álgebra, escrevemos:

PQ (φ ) = Q(φ )C 3 (φ ) + R R (φ ),

R < 2.

Substituindo nesta expressão as potências de X por potências iguais de φ, considerando (03), teremos: PQ (φ ) = R R (φ ) . Regra: A demonstração deste corolário já constitui uma regra para o cálculo de um polinômio diádico, de grau qualquer, de dado diádico φ.

Exemplo numérico 1: Escrever o polinômio característico do diádico cuja matriz associada é a do exemplo numérico 1 do § 01.03 e verificar (03). Solução: Tem-se, no caso:

φ E = 3,5; φ E~ =

1,5

= 1,5 + 1 + 3,5 = 6, e φ 3 = 3,5.

Logo:

C 3 (φ ) = X 3 − 3,5X 2 + 6X − 3,5, devendo, então, verificar-se (03), isso é,

C 3 (φ) = φ 3 − 3,5φ 2 + 6φ − 3,5Ι = Ο . De fato, sendo:

 1 −1 0    [φ ] =  2 1,5 0  .  0 0 1  2

tem-se:

III,§ 03.02

 1 −1 0   −1 −2,5 0       2 1,5 0  =  5 0,25 0 ,  0 0 1   0 0 1 

 −6 −2 ,75 0   [φ ] = 5,5 −4 ,625 0,  0 0 1 3

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico.

321

8,75 0   6 −6 0  −3,5 0 0   0 0 0  −6 −2,75 0  3,5      5,5 −4,625 0 + −17 ,5 −0,875 0 + 12 9 0 + 0 −3,5 0  =  0 0 0.           0 1  0 0 0 −3,5  0 0 6  0 0 −3,5  0 0 0 *

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. Definições: (equação e valores característicos) Os zeros do polinômio característico105 ((02) § 03.02) são denominados: zeros, raízes, ou valores característicos do diádico φ. Esses zeros são, então, as raízes da equação:

X 3 − φ E X 2 + φ ~E X − φ 3 = 0,

(01);

A equação (01) é denominada a equação característica de φ. Os valores característicos são denominados, ainda, valores próprios e autovalores de φ. *

Exemplo numérico 1: Determinar os zeros do polinômio característico do diádico cuja matriz associada é a do exemplo numérico 1 do § 01.03. Solução: Resolvendo a equação característica de φ,

X 3 − 3,5X 2 + 6X − 3,5 = 0, encontramos: X 1 = 1,

X 2 = 1,25 + 7,75 i ≅ 1,25 + 1,391941 i,

X 3 = 1,25 − 7 ,75 i ≅ 1,25 − 1,391941 i.

Exemplo numérico 2: Determinar os autovalores do diádico cuja matriz mista associada é

 −2  ∗ [φ ∗ ] =  0  1

0 −1 −1

−2   1 .  0

Solução: Tem-se:

φ E = −3; φ ~E =

−1 1 −1 0

−2 −2 1

−2

−1

= 1 + 2 + 2 = 5 e φ 3 = −4

105Zero de um polinômio P (X) é todo valor X de X que anula esse polinômio, isso é, X é tal que P (X )=0. P 0 0 P 0

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322

§ 03

– Elementos característicos de diádicos.

Logo, a equação característica de φ é:

X 3 + 3X 2 + 5X + 4 = 0 , cujas raízes (autovalores de φ) são:

X 1 ≅ −1,4535,

X 2 ≅ −0,77325 + 1,46775i

X 3 ≅ −0,77325 − 1,46775i

É óbvio que diferentes diádicos podem ter os mesmos valores próprios, bastando que sejam iguais os seus escalares, os escalares dos seus adjuntos e os seus terceiros (os coeficientes da equação (04)). Assim, em vista das relações ((03),§02.08),II), ((07),§02.08),II), ((09),§08.03,II) fica comprovada a seguinte propriedade:

Teor. 1: São iguais os autovalores de diádicos transpostos. Logo:

Corol. 1: Diádicos transpostos têm a mesma equação característica. Em vista do Teor. 4, § 02.02 e do seu Corol. 1, concluímos:

Teor. 2: São iguais os polinômios característicos (e, portanto os autovalores) de diádicos (matrizes) similares. Pois, com efeito, são iguais os coeficientes da equação característica desses diádicos. *

Exercícios: 1) - Provar que, quaisquer que sejam os diádicos φ e ψ, φ . ψ e ψ . φ têm a mesma equação característica (Sylvester)106. 2) - Generalização do exercício anterior: Os produtos (cíclicos)

χ 1 . χ 2 . χ 3 . ... . χ i −1 . χ i . χ i +1 . ... . χ k

χ i . χ i +1 . ... . χ k . χ 1 . χ 2 . χ 3 . ... . χ i −1

têm a mesma equação característica. Denotando-se por A, B e C os zeros característicos do diádico φ, e lembrando que todo polinômio vale o produto do coeficiente do seu termo de mais alto grau por todos os binômios que se obtêm subtraindo da letra representativa de sua variável cada um dos seus zeros, escrevemos:

C 3 (φ ) = (X − A)(X − B)(X − C),

(02).

106 Conforme Mirsky, L., An Introduction to Linear Algebra, Clarendon Press, 1955, Teor. 7.2.3, § 7.2, Cap. VII.

III,§ 03.03

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico.

323

Desenvolvendo (02), ordenando segundo as potências decrescentes de X, e comparando com ((02), § 03.02) deduzimos:

φ E = A + B + C, φ ~E = AB + BC + CA,

(03).

φ 3 = ABC, Teor. 3: A CNS para que um diádico seja completo é que todos os seus valores característicos sejam não nulos. A demonstração é evidente por (03)3 mesmo que dois autovalores do diádico sejam complexos (conjugados). * Exemplo numérico 3: Verificar, pelas fórmulas (03), a veracidade dos valores encontrados para os autovalores dos diádicos dos exemplos numéricos 1 e 2. Solução: Tem-se, para exemplo numérico 1:

φ E = X 1 + X 2 + X 3 = 1 + 2 × 1,25 = 3,5; φ ~E = X 1 X 2 + X 2 X 3 + X 3 X 1 = 1,25 2 + (1,391941...) 2 + 1 × 2 × 1,25 ≅ 6; φ 3 = X 1 X 2 X 3 = 1 × (1,252 + 1,391941... 2 ) ≅ 3,5. Analogamente, para o exemplo numérico 2, tem-se:

φ E ≅ −1,4535 − 2 × 0,77325 ≅ −3,0 φ ~E ≅ X 1 X 2 + X 2 X 3 + X 3 X 1 = 0,77325 2 + 1,46775 2 + 2 × 1,13392 ≅ 5 φ 3 = X 1 X 2 X 3 ≅ −1,4535 × 2,7522 ≅ −4

De (02) podemos escrever o polinômio diádico ((03),§ 03.02) na forma de produtos de binômios:

A, B, C, reais : C 3 (φ) = (φ − AΙ ).(φ − BΙ ).(φ − CΙ ) = Ο ,

(04),

ou,

A = real, B e C complexos : C3 (φ) = (φ − AΙ ).[φ 2 − (B + C)φ + BCΙ ] = Ο , (041), em cujos segundos membros a ordem dos diádicos pode ser qualquer. Se, então, X representar qualquer uma das raízes reais de φ, qualquer um dos diádicos do segundo membro de (04) - denominados diádicos característicos de φ - pode ser representado por φ-XΙΙ. Devemos ter sempre, de (04):

X = A, B, ou C ⇒ (φ − XΙ ) 3 = 0,

(05),

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324

§ 03

– Elementos característicos de diádicos.

porque se um dos característicos fosse completo, o polinômio CH seria do segundo grau, o que é absurdo. Como (05) é do terceiro grau em X, ela se identifica com (01). O terceiro (φ − XΙ ) 3 é denominado terceiro característico de φ. Como, por (05), todos os diádicos característicos de φ são incompletos, escrevemos, de ((11), § 08.01,II): A real : (φ − AΙ ).(φ − AΙ ) ~ = (φ − AΙ ) ~ .(φ − AΙ ) = Ο , (06). Lembrando ((01),§ 08.01,II) e aplicando ((15), § 07.01,II), ((01)2 e (016)1,§ 07.04,II), deduzimos, facilmente :

( φ − AΙ ) = φ + Aφ + A (A − φ E ) Ι ,

(07).

Teor. 4: Se A é raiz real simples de φ, φ − AΙΙ não pode ser ortoplanar nem linear. Porque se φ − AΙΙ fosse ortoplanar, (φ φ-AΙΙ)~ seria ortolinear (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II); se φ − AΙΙ fosse linear, (φ φ-AΙΙ)~ seria o diádico nulo (Corol. 2, Teor. 2, § 08.01,II); ~ em qualquer caso, ( φ - AI ) E = 0 . Mas, de (07) temos:

( φ − AΙ ) ~E = φ ~E + Aφ E + A( − B − C) Ι E , donde, lembrando (03)1, (03)2 e ((02)1, § 02.09,II): ~

(φ − AΙ ) E = AB + BC + CA + A(A + B + C) − 3A(B + C) = 0, ou, simplificando: ( φ − AΙ ) ~E = (A − B)(A − C) = 0. Esta igualdade é absurda porque A≠B e A≠C. Logo, φ − AΙΙ não pode ser ortoplanar, nem linear.

Teor. 5: Se A, B e C forem reais:

 (φ − AΙ ) ~ = (φ − CΙ ) . (φ − BΙ ) = (φ − BΙ ) . (φ − CΙ ),    (φ − BΙ ) ~ = (φ − CΙ ) . (φ − AΙ ) = (φ − AΙ ) . (φ − CΙ ),   (φ − CΙ ) ~ = (φ − BΙ ) . (φ − AΙ ) = (φ − AΙ ) . (φ − BΙ ),

(08).

Com efeito, lembrando a expressão ((011),§03.02), ou seja a de φ~ como um polinômio do segundo grau em φ, escrevemos, de (07), agrupando e evidenciando: ~

(φ − AΙ ) = φ − (φ E − A)φ + (φ E − Aφ E + A ) Ι . ~

Considerando as (03) resulta, então: (φ − AΙ ) = φ − ( B + C)φ + BCΙ , de onde, por fatoração (comutativa) no segundo membro, encontramos (08)1. Analogamente comprovaríamos as demais expressões.

III,§ 03.03

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico.

325

Se um característico φ-XΙΙ é planar e se α) e β) são os planos dos seus antecedentes e conseqüentes, respectivamente, então a direção do antecedente do seu adjunto, (φ φ-XΙΙ)~, é ortogonal a β); e a do seu conseqüente, ortogonal a α). Representando por x e y, respectivamente, dois quaisquer dos infinitos vetores paralelos à direção do antecedente e do conseqüente de (φ φ-XΙΙ)~, escrevemos:

(φ − XΙ ). x = o, ou φ . x = Xx,

(09),

y. ( φ − XΙ ) = o ,

y. φ = Xy = φ . y ,

(10),

isso é, φ e φT transformam vetores paralelos às direções do antecedente e do conseqüente de (φ φ-XΙΙ)~, respectivamente, em vetores paralelos a essas mesmas direções (Fig. 03.01).

Se um característico φ-XΙΙ é linear ele pode ser escrito na forma φ − XΙ = mn; nesse caso, qualquer vetor x do plano ortogonal a n e qualquer vetor y do plano ortogonal a m (Fig. 03.02) satisfazem a relações dos tipos (09) e (10), respectivamente.

Se, finalmente, um característico φ − XΙΙ é nulo, é óbvio que qualquer vetor do espaço satisfaz a uma equação do tipo (09) ou do tipo (10).

Definição: (autovetor) Se X for um autovalor (real) de φ, qualquer vetor, x, tal que: φ.x = Xx, será dito um autovetor ou um vetor próprio de φ associado a X. A direção de x será dita, também, uma direção própria de φ.

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326

§ 03

– Elementos característicos de diádicos.

Como todo diádico tem ao menos um autovalor real, resulta:

Teor. 6: Todo diádico tem ao menos uma direção própria real. * Exemplo numérico 4: Determinar um autovetor do diádico φ do exemplo numérico do § 01.03. Solução: Para a solução da questão é necessário o cálculo preliminar dos autovalores do diádico, o que já foi realizado no exemplo numérico 1 deste parágrafo. Em seguida, estaremos aptos para resolver o sistema homogêneo de equações lineares traduzido pela expressão diádica (09), ou seja,

 (1 − 1) L1 − 1 × L2 + 0 × L3 = 0   2 L1 + (1,5 − 1) L2 + 0 × L3 = 0  0 × L1 + 0 × L2 + (1 − 1) × L3 = 0,  donde,

L1 = L2 = 0 e L3 = número arbitrário. Então, a direção de k$ é a única direção própria de φ (correspondente ao autovalor +1). *

Teor. 7: São paralelos os vetores próprios de φK e de φ (K inteiro positivo), mas os autovalores de φK são as potências K-ésimas dos de φ: ∀ φ e ∀ K inteiro positivo, φ K . x = X K x,

(11);

e se φ é completo, (11) vale para K inteiro negativo: ∀ φ com φ3 ≠ 0 e ∀ K inteiro,

φ K . x = X K x,

(12).

Com efeito, pré-multiplicando ambos os membros de (09) por φ e aplicando a mesma relação (09) ao segundo membro formado, temos: φ2.x = Xφ φ.x = X2x, isso é, (11) é válida para P = 2. Por procedimentos análogos, aplicando o postulado da indução completa, podemos comprovar que (11) é válida para qualquer K positivo. Se φ é completo, podemos pré-multiplicar ambos os membros de (09) por φ-1 e agrupar convenientemente; temos, então: φ-1.x = X-1 x, isso é (12) é válida para P = -1. Tal como anteriormente, poderíamos provar que (12) é válida para qualquer K negativo.

III,§ 03.03

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico.

327

Teor. 8: Se φ e ψ são similares mediante µ, e a é vetor próprio de ψ relativo ao autovalor A, então b = µ.a e A são, respectivamente, vetor próprio e valor próprio correspondentes de φ:

φ = µ . ψ. µ −1   ⇒ φ . (µ. a ) = A (µ. a ) = Ab, ψ. a = Aa 

(13).

Temos (§ 02.02):

ψ. a = (µ −1 . φ . µ). a = µ −1 . φ . (µ. a ), ou, ainda, considerando que ψ.a = Aa, vem: µ −1 . φ . (µ. a ) = Aa. Agora, pré-multiplicando ambos os membros por µ:

φ . (µ. a ) = A(µ. a ), ou, φ .b = Ab, isso é, b = µ.a é vetor próprio de ψ correspondente ao seu autovalor A.

Corol. 1: Diádicos similares mediante µ têm os mesmos autovalores e autovetores transformados mediante µ.. Diádicos com autovalores nulos.

Teor. 9: A CNS para que um diádico seja ortoplanar é que ele seja planar e tenha apenas dois autovalores nulos. Se φ é ortoplanar, φ~ é ortolinear (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II); então: φ3 = 0 e φ ~E = 0 . Sua equação característica é X3-φEX2 = 0, o que implica apenas dois autovalores nulos para φ. Reciprocamente, se φ é um diádico planar que tem apenas dois autovalores nulos, φ3 = 0 e φ ~E = 0 em vista das (03). Então φ~ é ortolinear e φ é ortoplanar (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II).

Corol. 1: Se dois diádicos são similares e um deles é ortoplanar, então o outro também é ortoplanar. Pois ambos são planares (Teor. 2, § 02.02) e têm os mesmos autovalores (Corol. 1, Teor. 8). *

Exemplo numérico 5: Comprovar que é ortoplanar o diádico de matriz co-variante

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328

§ 03

– Elementos característicos de diádicos. 4  [φ∗∗ ] =  4  5

2 2 4

4  4 5

na base de métrica

2  [ G ∗∗ ] =  2  1

2 5 1

9 1  1 ∗∗ 1 , ou [G ] =  −3 9  2  −3

−3 3 0

−3  0 .  6

Solução: Temos, conforme ((031)3, §09.03,II):

1 0 1   [φ ∗ ] = [ G ][φ ∗∗ ] =  0 0 0  .  2 2 2  ∗

∗∗

Logo: φ E = 3, φ ~E = 0 e φ 3 = 0. Então, a equação característica de φ é: X 3 − 3X 2 = 0 ,

donde, X1 = X2 = 0 e X3 = 3 . Sendo planar o diádico, e tendo dois autovalores nulos, é ortoplanar107. * Teor. 10: A CNS para que um diádico seja antitriangular é que ele seja planar e tenha três autovalores nulos.

Com efeito, se φ é antitriangular (ortoplanar de escalar nulo), é: φ3 = 0, φ E = 0 e

φ ~E

= 0 ; e sua equação característica é X3 = 0, isso é, seus três autovalores são nulos. Reciprocamente, se φ é um diádico planar com três autovalores nulos, é: φ3 = φ ~E =

φE = 0. Sendo φ ~E = 0, φ~ é ortolinear (porque φ é planar); o que acarreta φ ortoplanar (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01, II). Sendo, ademais, φE = 0, φ é antitriangular.

Corol. 1: Se dois diádicos são similares e um deles é antitriangular, então o outro também é antitriangular. Pois seriam ambos ortoplanares (Corol. 1 Teor. 9) e teriam o mesmo escalar (Teor. 4, § 02.02, II), que é zero. * Exemplo numérico 6: Comprovar que o diádico de matriz mista

107Esse problema já foi resolvido por outras vias ((§ 09.09,II) - Caracterização dos ortoplanares).

III,§ 03.03

§ 03.04 - Outros exemplos numéricos

0  ∗ [φ ∗ ] =  2  2

1 −2 −3

329

0  2  2

na base {g } (mencionado no exemplo numérico 5) é antitriangular. (Ver a última nota de * rodapé). Solução: A equação característica desse diádico é X3 = 0, pois

φ E = 0,

φ ~E =

−2 2 −3 2

0 0 2 2

2 −2

= +2 + 0 − 2 = 0

e φ 3 = 0.

Logo, esse diádico é planar e os seus três autovalores são nulos. Então, pelo Teor. 9, ele é antitriangular. * Teor. 11: A CNS para que um diádico seja ortolinear é que ele seja linear e tenha três autovalores nulos. Se φ é ortolinear, φ~ é o diádico nulo e φ3 = φE = φ ~E = 0; logo, a equação característica de φ é X3 = 0, e φ tem três autovalores nulos. Reciprocamente, se φ é um diádico linear que tem os três autovalores nulos, deve ser, conforme as (03), φE = 0 (além de φ3 = φ ~E = 0). Logo φ é ortolinear.

Corol. 1: Se dois diádicos são similares e um deles é ortolinear, então o outro também é ortolinear. Pois ambos seriam lineares (Teor. 2, § 02.02) e teriam o mesmo escalar (Teor. 4, § 02.02), que é zero. *

Exemplo numérico 7: Comprovar que o diádico de matriz mista

2  [φ ∗ ] =  0   −1 ∗

2 0 −1

4  0  −2 

(numa base qualquer) é ortolinear. (Ver § 09.09, II - Caracterização dos ortolineares).

Poliádicos - Ruggeri

330

§ 03 - Elementos característicos. de diádicos.

Solução: A equação característica de φ é X3 = 0, pois:

φ E = 0 ; φ E~ =

0 −1

0 −2

2 +

−1

4 −2

= 0 e φ 3 = 0;

logo todos os seus autovalores são nulos. Ademais, φ é linear porque a sua matriz [φ ∗ ∗ ] tem uma linha nula e as outras duas proporcionais; ou seja, pelo Teor. 10, ele é ortolinear. *

§ 03.04 - Outros exemplos numéricos. Nos exemplos seguintes os diádicos são todos dados por suas matrizes mistas contravariante/co-variante numa base arbitrária {g }, e os seus autovetores são definidos * por suas coordenadas contravariantes. Comprovar, então, a veracidade dos autovalores A, B, C e dos autovetores correspondentes a, b, e c dos diádicos apresentados nos seguintes casos:

1° caso:

A≠B≠C

1° exemplo108:

2  9   −8

−1 4 0

0  6 , elementos característicos  −3

 A = 1 → a = 1g + 3g − 4 g 1 2 3   B = 1 → b = 1g 1 + 1g 2 − 2 g 3  C = 3 → c = 3g − 3g − 4 g  1 2 3

2° exemplo109:

 1 1 0  0 2 1 , elementos característicos    0 0 3

 A = 1 → a = 1g + 0g + 0g 1 2 3   B = 2 → b = 1g 1 + 1g 2 + 0g 3  C = 3 → c = 1g + 2 g + 2 g  1 2 3

3° exemplo:

3   −1  0

−1 2 −1

0  −1, elementos característicos  3

 A = 1 → a = 1g + 2 g + 1g 1 2 3   B = 3 → b = 1g 1 + 0g 2 − 1g 3  C = 4 → c = 1g − 1g + 1g  1 2 3

108 Calaes, A. M. Curso de Cálculo Matricial, Imprensa da UFOP, 1984, pag.99. 109 Noble B. e Daniel, J.W., Álgebra Linear Aplicada, Prentice Hall do Brasil, 2° edição, 1986.

III,§ 03.03

§ 03.04 - Outros exemplos numéricos

331

4° exemplo:

2   −1  0

0  −1, elementos característicos  2

−1 2 −1

2° caso:

  A = 2 − 2 → a = 1g 1 + 2 g 2 + 1g 3  B = 2 → b = 1g 1 + 0g 2 − 1g 3   C = 2 + 2 → c = 1g 1 − 2g 2 + 1g 3

A≠B=C

1° exemplo:

5   −1  1

3   A = −2 → a = 1g 1 − 1g 2 − 1g 3 −3, elementos característicos   B = C = 4 → c = 1g 1 − 1g 2 + 1g 3  1

4 0 −2

Comprovar que

a ∗ = 0g 1 −

1 2 1 3 1 1 g − g e c ∗ = 1g 1 + g 2 + g 3 2 2 2 2

são autovetores de φT. 2°)exemplo:

 5 −6 −6    −1 4 2 , elementos característicos.  3 −6 −4 

 A = 1 → a = −3g 1 + 1g 2 − 1g 3   B = C = 2 → qualquer par de vetores do  plano dos antecedentes de φ − 1Ι 

3° exemplo:

K 1 1   1 K 1 , elementos característicos    1 1 K 3° caso:

A = K + 2 → a = g1 + g 2 + g 3   B = C = K − 1 → qualquer par de vetores  ortogonais do plano de φ − ( K + 2 )ΙΙ 

A=B=C

1° exemplo:

 3 −4 −4     −1 3 2 , elementos característicos  2 −4 −3

A = 1   B = 1 → a = 4g1 + g 2 + g 3  C = 1

Poliádicos - Ruggeri

332

§ 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

Comprovar que φ−1ΙΙ = bc* com b = 2g1−g2+2g3 e c* = g1−2g2−2g3, sendo b.c* = a.c* = 0. Comprovar que o vetor desse diádico é um de seus autovetores (relativo ao autovalor triplo +1), ou seja, φ V = a . 2° exemplo:

0  2  2

1 −2 −3

0  2 , elementos característicos  −2 

A = 0   B = 0 → a = 1g 1 + 0g 2 − 1g 3  C = 0

Comprovar que φ é antitriangular e pode ser escrito na forma φ = ab* + bc*, sendo

a = 1g 1 + 0g 2 − 1g 3

b = 0g 1 + 1g 2 + 1g 3 b ∗ = 0g 1 + 1g 2 + 0g 3

c∗ = 2g1 − 2g 2 + 2g 3 ,

a. b ∗ = b. c ∗ = a. c ∗ = 0 e b.b ∗ = 1. Notar que a.b=(g1-g3).(g2+g3) não é nulo necessariamente, o que justifica (numericamente) a nota 1 apresentada no final do Corol. 2 do Teor. 7, §05.04, II. *

§ 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS. § 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C. Nesse caso todos os diádicos característicos são distintos e o polinômio mínimo do diádico se confunde com o seu polinômio característico. A existência de autovetores no campo real ficará dependente da existência de autovalores reais. Também, nenhum dos característicos (distintos), pode ser ortoplanar, nem linear (Teor. 4, § 03.03).

§ 04.01,A - Autovalores imaginários. Consideremos, agora, aqueles diádicos, representados genericamente por Γ, que admitem um autovalor real A e dois autovalores complexos (conjugados), B = M+Ni e C = M-Ni, (N≠0). Pondo, conforme é de praxe na teoria dos números complexos,

M = ρ cosα e N = ρ senα ,

( α ≠ 0),

(01),

onde ρ > 0 é o módulo do complexo e α o seu argumento, tem-se também a norma do complexo, ρ2, e a tangente trigonométrica da metade do seu argumento: 2

ρ = M +N

α 2

ρ− M ρ+ M

(02).

Do diádico Γ, conhecemos, pois:

ΓE = A + 2M,

Γ3 = A(M 2 + N 2 )

e ΓE~ = M 2 + N 2 + 2MA,

Assim, se A≠0, Γ é completo, bem como Γ~, porque Γ~3 = (Γ Γ3)2 (Teor.06,§ 08.01,II).

III,§ 04.01,A

(03).

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C

333

Trocando na fórmula geral ((01)1,§08.02,II) φ por Γ-AΙΙ, e operando, temos: ~

2( Γ − AΙ ) E = ( ΓE − 3A) − ( Γ − 2AΓ + A Ι ) E . Lembrando, agora, as (03), escrevemos, após agrupamentos e simplificações: ~

2( Γ − AΙ ) E = 4( M − A) − ( Γ ) E + 2A(A + 2M) − 3A . Mas, reaplicando ((01)1,§08.02,II) e as (03), obtemos: 2

( Γ ) E = ( ΓE ) − 2 ΓE = ( A + 2M) − 2(M + N + 2AM) = A + 2(M − N ). Então,

2( Γ − AΙ ) E = 4(M + A − 2AM) − A − 2(M − N ) + 2A(A + 2M) − 3A = ~

= 2 M + A − 4AM + N , 2

ou seja, finalmente: ~

( Γ − AΙ ) E = (A − M) + N ,

(031).

A equação característica de Γ pode ser escrita na forma 2

(X − A)(X − 2 ρcosα X + ρ ) = 0,

(04),

e, conforme ((041),§ 03.03), o seu polinômio diádico característico, na forma

(Γ − AΙ ).(Γ 2 − 2ρcosα Γ + ρ 2 Ι ) = Ο ,

(05).

Teor. 1: Se A, M+Ni e M-Ni (N≠0) são os autovalores de um diádico Γ, existem bases recíprocas {a,b,c} e {a*,b*,c*} em relação às quais Γ fica reduzido à forma cartesiana mista ∗

∗

Γ = Aaa + M( bb + cc ) + N ( cb − bc ),

(06),

cuja matriz mista associada é

[ Γ] abc

A 0 0    =  0 M − N ,   0 N M 

(061),

a e a* sendo autovetores de Γ e ΓT respectivamente, correspondentes ao mesmo autovalor A.

Poliádicos - Ruggeri

334

§ 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

Sendo A uma raiz simples de Γ (nula ou não nula), Γ-AΙΙ é um diádico planar, mas não ortoplanar (Teor. 3, § 03.03). Sejam b e c dois vetores arbitrários, não paralelos, do plano β) dos antecedentes de Γ-AΙΙ; seja, ainda, a um vetor arbitrário ortogonal ao plano γ) dos conseqüentes de Γ-AΙΙ, mas tal, que o triedro {a,b,c} seja direto (Fig.04.01).

Então (Γ Γ − AΙ ). a = o , isso é, a é um autovetor de Γ correspondente ao autovalor A. Se {a*,b*,c*} é o sistema recíproco de {a,b,c}, os vetores b* e c* são paralelos ao plano γ) e a* é ortogonal a β). Podemos, pois, escrever: ∗

∗

Γ − AΙ = b ( Pb + P ′c ) + c ( Qc + Q ′b ), os conseqüentes de Γ - AΙΙ formando combinações lineares de b* e c*, com coeficientes a determinar a partir da condição de que A, M+Ni e M-Ni sejam os autovalores de Γ. Ora, na expressão de cada um dos conseqüentes, um dos coeficientes pode ser fixado arbitrariamente, desde que diferente de zero. Ponhamos: -P' = Q' = N. Então: ∗

∗

Γ − AΙ = b ( Pb − Nc ) + c ( Qc + Nb ), donde ~

∗

( Γ − AΙ ) = ( PQ + N ) aa . Logo:

(Γ Γ − AΙ ) E = P + Q = 2(M − A) ,

e lembrando (031): ~

( Γ − AΙ ) E = PQ + N = (M − A ) + N ; portanto,

 2(M − A) = P + Q  2  (M − A) = PQ. Então: P = Q = M-A, e ∗

∗

Γ − AΙ = (M − A)(bb + cc ) + N( cb − bc ), III,§ 04.01,A

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C

335

ou seja, indiferentemente de ser A um autovalor nulo ou não nulo, Γ fica reduzido à forma (06).

Teor. 2: Todo diádico redutível à forma cartesiana mista (06) tem A, M+Ni e M-Ni (N≠0) por autovalores e a por autovetor associado a A. Se for A = 0, obviamente Γ é planar, e Γ~ = (M2+N2)aa*. Logo:

ΓE = 2 M e Γ E~ = M 2 + N 2 . A equação característica de Γ é

X 3 − 2 MX 2 + ( M 2 + N 2 )X = 0 , e suas raízes são: 0, M+Ni, M-Ni, c.q.d.. Suponhamos A≠0. O adjunto de Γ é completo e pode ser calculado facilmente, não sem algum trabalho. Considerando (01), lembrando que a dupla multiplicação cruzada de diádicos é comutativa e observando que

aa ∗ aa ∗

× ×

(Ι - aa ∗ ) = (Ι - aa ∗ ) ;

(Ι - aa ∗ ) ×× (Ι - aa ∗ ) = aa ∗ ,

(bc ∗ − cb ∗ ) = −(bc ∗ − cb ∗ ) ,

(Ι − aa ∗ ) ×× (bc ∗ − cb ∗ ) = 0 ,

(bc ∗ − cb ∗ ) ×× (bc ∗ − cb ∗ ) = aa ∗ , deduzimos: ~

∗

Γ = ( M + N ) aa + MA( Ι − aa ) − NA(bc − cb ),

(07),

mas poderíamos encontrar o mesmo resultado partindo da matriz mista (061). De (03), (06) e (07) calculamos os coeficientes da equação característica de Γ; esta se escreve na forma: 3

X − (A + 2M)X + (M + N + 2MA)X − A(M + N ) = 0, sendo evidentemente satisfeita para X = A; logo: 2

[ X − 2 MX + ( M + N )] . ( X − A ) = 0, ou, ainda,

[ X − ( M + Ni)][ X − ( M − Ni)]( X − A ) = 0, isso é, A, M+Ni, M-Ni são os autovalores de γ.

Poliádicos - Ruggeri

336

§ 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

Corol. 1: A CNS para que um diádico γ tenha apenas uma raiz real é que ele seja redutível à forma cartesiana mista (06), em que {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos e N≠0. A proposição direta é conseqüência imediata do Teor. 1; a proposição recíproca é conseqüência do Teor. 2. Nota: Do sistema {a,b,c} requer-se apenas que a seja perpendicular ao plano dos conseqüentes de Γ - AΙ. Poderíamos, pois, sem perda de generalidade, escolher π | a | = | b| = | c| = 1 e (b$ , c$ ) = = ( c$ , a$ ) . 2 Nesse caso, ∗

∗

$ $ $), $ + M(bb $ $ ) + N( cb $ − bc Γ = Aaa + cc

(061),

sendo ∗

∗

| c | = | c| = 1, | b | = | a | =

1 , θ = ( a$ , b$ ). sen θ

Caso de diádicos uniplanares. Seja, por hipótese, ∗

∗

Γ = M ( bb + cc ) + N ( cb − bc ) ,

(08),

um diádico uniplanar com o autovalor real nulo (A=0) e dois autovalores complexos conjugados (Teor. 2). Nesse caso, as duplas {b, c} e {b∗ , c∗} são recíprocas no plano de Γ. Dada a arbitrariedade de b e c podemos fazer |b|=|c|=1, caso em que |b*|=|c*|=1/senθ, sendo θ o ângulo de b$ com c$ . Então:

$$∗ ), $ $ ∗ + cc $ $ ∗ − bc $ $ ∗ ) + N ( cb senθ Γ = M ( bb

(081).

Se $i é o unitário da normal ao plano de Γ, orientado de forma a que {$i , b$ , c$} seja direto,

1 senθ Γ V = −2 N $i , isto é, N = − | Γ V | sen θ. 2 Caso de diádico anti-simétrico Se, ainda, arbitrarmos θ = π/2 (já que b e c são arbitrários) os sistemas recíprocos { b$ , c$ } e { b$ *, c$ *} se confundem. Pondo, então: b$ = $j , c$ = k$ , escrevemos:

$ $ ) + N ( kj $$ − $jk$ ), Γ = M( $$ jj + kk e T $ $ ) + N ( $jk$ − kj $$ ); Γ = M( $$ jj + kk

donde, por soma:

III,§ 04.01,A

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C

337

T $ $ ). Γ + Γ = 2 M ( $$ jj + kk

Então, se θ = π/2 e M = 0, Γ é anti-simétrico; reciprocamente, se, θ = π/2 e Γ é antisimétrico, M = 0. Então,

Γ = N(kˆˆj − ˆjkˆ ) = NΙ × ˆi ,

( ˆj ⊥ kˆ )

(09),

isso é, Γ é um diádico de Argand (§06.05,II). Logo:

Teor. 3: A CNS para que um diádico Γ seja um diádico de Argand é que ele tenha um autovalor nulo e os outros dois imaginários puros, Ni e -Ni, mas devendo ser

N= -1/2|ΓV|. Outras reduções. Entretanto, poderá ser A = M = 0 sem que Γ seja uniplanar (tampouco antisimétrico), caso em que Γ (agora um ciclotônico planar) fica reduzido à forma ∗

∗

Γ = N (cb − bc ),

(10)110.

Se, por outro lado, for A = M = 0 e Γ uniplanar, poderemos fazer |b| = |c| = 1, caso em que |b*| = |c*| = 1/senθ; assim, Γ fica reduzido à forma Γ=

$ $ *), ou $ $ * − bc ( cb

Γ=−

senθ

1 2

$ $ *), $ $ * − bc | Γ V |( cb

(11),

forma que provem de (081) para M = 0, com

N=−

1 2

| Γ V | sen θ,

(12).

Deve ser observado que, nestas condições (A = M = 0 e Γ uniplanar), Γ não é, necessariamente, diádico anti-simétrico, porque N≠-1/2|Γ ΓV|. Os principais resultados relativos a reduções de diádicos com autovalores complexos estão resumidos no Quadro I, em Apêndice, no final deste capítulo.

110 Notar que, embora a matriz mista associada a Γ seja anti-simétrica, o diádico não é anti-simétrico; sê-lo-ia, entretanto, se essa matriz (anti-simétrica) fosse a co-variante ou a contravariante (§ 09.09, II).

Poliádicos - Ruggeri

338

§ 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

§ 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral. Em vista das considerações anteriores, fica evidente que, se A≠B≠C (algum deles eventualmente nulo), todos os diádicos característicos de φ são distintos, bem como são distintas as suas direções próprias111. Se os vetores (não coplanares) a, b e c são autovetores de φ, correspondentes aos autovalores A,B e C, escrevemos:

φ . a = Aa , φ .b = Bb e φ . c = Cc ; e se a*, b*, c* são os recíprocos de a, b e c: ∗

∗

φ = Aaa + Bbb + Ccc ,

(13),

conforme Corol. 1,Teor. 1,§ 02.04,II. Observando-se que, por ser {a,b,c} uma base, (13) é uma representação cartesiana de φ, a sua matriz associada é

[φ ] abc

A  =0  0

0 B 0

0  0 ,  C

(131).

Concluímos, então:

Teor. 4: Todo diádico que tem autovalores reais e distintos, tem também autovetores reais e distintos; suas matrizes associadas (mistas), na base desses autovetores, são idênticas e só contêm coordenadas diagonais (que são os seus próprios autovalores)112. Fica evidente, de (13), a demonstração do teorema seguinte.

Teor. 5: Se A≠B≠C são os autovalores de φ, correspondentes aos autovetores (não coplanares) a, b e c, então os recíprocos destes são autovetores de φT, correspondentes aos mesmos autovalores A≠B≠C. Corol. 1: Se um diádico tem autovalores distintos, os seus autovetores e os do seu transposto constituem sistemas recíprocos. 111 Isso é válido mesmo que um dos autovalores seja nulo. 112 Com outras palavras: a todo diádico com autovalores reais e distintos corresponde uma única matriz simétrica (mista) na base dos seus autovetores, mas o diádico não é necessariamente simétrico, exceto se essa matriz é a co-variante ou a contravariante (§ 09.09, II).

III,§ 04.01,B

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C

339

Definição: (forma tônica ou diagonal e diádico tônico ou diagonal) Se {e } e {e*} são bases recíprocas e D1, D2 e D3 são números reais * quaisquer, todo diádico ψ representado na forma seguinte - dita forma diagonal ou tônica -,

ψ = Dieie

(i = 1, 2, 3),

(14),

será denominado um diádico tônico ou diagonal. Resulta então:

Teor. 6: Todo diádico que tem autovalores reais e distintos é um diádico tônico; ou, o que é o mesmo, é representável, de uma única maneira, numa forma diagonal. Corol. 1: Se um diádico é tônico, os seus autovetores e os do seu transposto constituem sistemas recíprocos. A forma diagonal de um diádico (sabidamente tônico) nem sempre está dada; as considerações feitas no § 03.03, entretanto, permitem deduzi-la.

Definição: (redução diagonal) Denomina-se redução diagonal ou diagonalização de um diádico o conjunto

de operações pelas quais dá-se a um diádico (tônico) a sua forma ou representação diagonal. Diz-se também, quando se dá a um diádico (tônico) a sua forma ou representação diagonal, que se pratica a sua redução diagonal. Teor. 7: A CNS para que um diádico seja tônico é que ele tenha três autovetores independentes. Com efeito, se φ é tônico, ele pode ser escrito na forma (14) em que {e } e {e*} são * sistemas recíprocos; e dela deduzimos:

φ . e 1 = D 1e 1 , φ . e 2 = D 2 e 2 e φ . e 3 = D 3 e 3 , igualdades que mostram que os vetores ei são autovetores de φ (logo, independentes). Reciprocamente, se φ é um diádico que tem três autovetores independentes, ei, podemos escrever:

φ . e 1 = A 1e 1 , φ . e 2 = A 2 e 2 e φ . e 3 = A 3 e 3 , Então, se {e1,e2,e3} é o sistema recíproco de {e1,e2,e3} podemos escrever: e φ é tônico.

φ = A ieiei ,

Poliádicos - Ruggeri

340

§ 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

* Exercício: Demonstrar que todo diádico tônico (completo) é um diádico de Moreira. * Resulta imediatamente do Corol. 1,Teor. 8, § 03.03 o seguinte

Teor. 8: Se dois diádicos são similares mediante µ e um deles é tônico, então o outro também é tônico; os vetores característicos de um e os recíprocos dos vetores característicos do outro são os antecedentes e os conseqüentes de µ. Elementos característicos de diádicos simétricos.

Teor. 9: Os valores característicos de um diádico simétrico são todos reais. Pois, se não fossem, esse diádico seria redutível à forma ((06),§ 04.01,A); e sendo simétrico por hipótese, deduzimos, da referida expressão: ∗

∗

Aaa + M( Ι − aa ) − N ( bc − cb ) = Aa a + M ( Ι − a a ) − N ( c b − b c ) . Transpondo termos, simplificando e agrupando, escrevemos:

(M − A)(a ∗a − aa∗ ) − N[(bc∗ − c∗b) + (b ∗c − cb ∗ )] = Ο , ou, ainda, aplicando ((03)4,§ 06.02,II) e evidenciando:

[(M − A)a × a ∗ − Nc ∗ × b − Nc × b ∗ ] × Ι = Ο . Lembrando ((02)1,§ 06.01,II) resulta (de ser Γ=Γ ΓT e redutível à forma (06),§ 04.01):

(M − A )a × a ∗ − Nc × b ∗ = − Nb × c ∗ . Multiplicando escalarmente ambos os membros dessa expressão por a*, deduzimos:

c × b ∗ .a ∗ = b × c ∗ .a ∗ , ou, c.b ∗ × a ∗ = −b.a ∗ × c ∗ . Agora, dividindo ambos os membros por (a*b*c*) e lembrando que {a,b,c} e {a*,b*,c*} 2 2 ΓT, Γ tem todos os são recíprocos, concluímos: c = −b , o que é um absurdo. Logo, se Γ=Γ seus valores característicos reais.

Teor. 10: Se um diádico é simétrico, dois vetores característicos quaisquer, associados com duas raízes características distintas, são ortogonais entre si.

III,§ 04.01,B

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C

341

Sejam A e B (A≠B), dois autovalores de φ aos quais correspondem os autovetores a e b, respectivamente; escrevemos:

φ . a = Aa e φ .b = Bb , onde, por ser φ = φT:

a . φ = Aa e b. φ = Bb . Então:

a . φ . b = Aa . b e a . φ .b = Ba .b , donde, subtraindo membro a membro:

(A − B) a.b = 0, isso é, a.b = 0, ou a⊥b, porque A≠B.

Corol. 1: Se um diádico simétrico tem autovalores distintos, seus autovetores são triortogonais; logo, esse diádico é diagonalizável.

Sejam $i , $j e k$ autovetores (unitários) de um diádico simétrico e completo correspondentes aos autovalores A, B e C. Escrevemos, então:

$$ , φ = A$$ ii + B$$ jj + Ckk

(15).

Podemos admitir o terceto { $i , $j , k$ } direto porque se não for bastará inverter o sentido de apenas um dos vetores para que o novo terceto o seja (não deixando, ainda, de serem tais novos unitários, autovetores unitários de φ). Comprovamos, então, o seguinte

Teor. 11: Todo diádico simétrico pode ser reduzido à forma (15) em que A,B e C são os seus autovalores (com os seus respectivos sinais) e { $i , $j , k$ } o terceto direto dos seus autovetores unitários. Se for φ3>0, ou os três autovalores de φ são positivos ou apenas um é positivo. No primeiro caso poderemos escrever

$ $ ), φ = + (| A| $$ ii + | B| $$ jj + | C| kk

(151);

e no segundo (se apenas C é positivo):

$ $ ], φ = + [| A|( − $i ) $i + | B|( − $j ) $j + | C| kk

(152).

Poliádicos - Ruggeri

342

§ 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

Tanto em (151) quanto em (152) antecedentes e conseqüentes formam tercetos diretos, porem distintos113. Se for φ3 < 0, ou os três autovalores são negativos ou apenas um é negativo. No primeiro caso escrevemos:

$ $ ), φ = − (| A| $$ ii + | B| $$ jj + | C| kk

(153);

e no segundo (se apenas C é negativo)

$ $ ], φ = − [| A|( − $i ) $i + | B|( − $j ) $j + | C| kk

(154),

o sistema { − $i , − $j , k$ } sendo, ainda, direto (obviamente distinto de { $i , $j , k$ } ). Temos, então, demonstrado o seguinte

Teor. 12: Todo diádico simétrico completo, φ, pode ser reduzido à forma

φ = ± (| A| $i ′$i +| B| $j ′$j+| C| k$ ′k$ ),

(155),

em que { $i , $j , k$ } e {$i ′, $j ′, k$ ′} são dois tercetos ortogonais diretos de autovetores unitários e paralelos, correspondentes aos autovalores A,B e C. Nota: As representações (15), (151) e (153) são representações cartesianas do diádico porque {$i , $j, k$ } é auto-recíproco idêntico. As representações (152), (154) e (155) serão analisadas no § 07.01 (representação normal).

Teor. 13: Se A é raiz simples do diádico simétrico φ, o seu característico φ-AΙ é uniplanar. Com efeito, pelo Teor. 2 do § 03.03, φ-AΙΙ é planar (mas não ortoplanar). Mas, sendo φ = φT, tem-se: φ-AΙΙ = φT-AΙΙ = (φ φ-AΙΙ)T, isso é, φ-AΙΙ é planar simétrico; logo é uniplanar (Corol. 2, Teor. 4, § 04.02,II).

Corol. 1: Se um diádico simétrico tem autovalores distintos, os seus diádicos característicos, uniplanares e distintos, se interceptam segundo as direções (triortogonais) dos seus autovetores. Os principais resultados relativos à reduções de diádicos com autovalores reais e distintos estão resumidos no Quadro II, em Apêndice, no final deste capítulo. 113 - Se de um termo direto invertem-se dois qualquer dos vetores, o novo triedro continua direto.

III,§ 04.01,B

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠B = C

343

⇒ Tônicos associados a uma homologia Seja µ = e i a i uma redução trinomial de um diádico qualquer, µ, com antecedentes independentes. O homológico de µ, de coeficientes X1, X2 e X3, é (ver § 03.02,II): Homµ = e i X i a i . Podemos escrever:

Homµ = e j X j ( e j . e i ) a i = ( e j X j e j ) . e i a i = ( e j X j e j ) . µ , ou, ainda, pondo resulta

ε = e j X je j ,

(16),

Homµ µ = ε. µ ,

(17).

Se a redução trinomial de φ fosse feita com conseqüentes independentes, gj, escreveríamos, µ = b j g j ; e teríamos:

Homµ = b j X j g j = b j ( g j . g i )X i g i = (b j g j ) . ( g i X i g i ) , ou, pondo resulta

ξ = gi Xigi ,

(18),

Homµ µ = µ. ξ,

(19).

Homµ µ = µ. ξ = ε. µ ,

(20).

Então,

De (16), (17), (18) e (19), concluímos:

Teor. 14: Um homológico qualquer de um diádico, em redução trinomial arbitrária, vale o produto pontuado anterior (posterior) desse diádico pelo tônico cujos autovalores são os coeficientes da homologia e cujos autovetores são os antecedentes (conseqüentes) da redução trinomial. Definição: (tônicos associados a uma homologia) Os tônicos ε e ξ, cujos autovalores são os coeficientes de uma homologia Homµ, e cujos autovetores são os antecedentes ou os conseqüentes de uma redução trinomial arbitrária de µ, são denominados os tônicos associados à homologia. Teor. 15: Se µ é completo, os tônicos associados a uma homologia Homµ são similares mediante µ. Pois (20) dá: ε = µ . ξ. µ −1 e ξ = µ −1 . ε . µ , o que comprova a tese.

⇐

Poliádicos - Ruggeri

344

§ 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠B = C. Se um diádico tem um autovalor duplo, B = C,

A ≠ B = C são reais e φ − AΙ ≠ φ − BΙ = φ − CΙ ,

(01),

sendo:

( φ − BΙ ) E = A − B ≠ 0, e

( φ − AΙ ) E = 2( B − A ) ≠ 0,

( φ − BΙ ) V = φ V ,

( φ − AΙ ) V = φ V ,

(02), (021).

Das expressões (02) podemos concluir que nenhum dos característicos é o diádico antitriangular ou o diádico ortolinear; das expressões (021) podemos concluir que os característicos serão simétricos se, e somente se, o diádico φ for simétrico.

Teor. 1: Se A≠B = C, φ -B Ι só pode ser ortoplanar ou linear. Com efeito, pelo Teor. 4 §03.03, φ-AΙΙ é planar (mas não ortoplanar). Se φ-BΙΙ fosse planar também, seu quadrado seria planar (Teor. 2, §05.04,II). Mas, segundo ((08)1, §03.03), (φ φ-AΙΙ)~ = (φ φ-BΙΙ)2; o que é um absurdo porque (φ φ-AΙΙ)~ é linear. Logo, φ-BΙΙ ou é ortoplanar, ou é linear.

Teor. 2: Sendo φ-AΙ planar e φ-BΙ = φ -CΙ linear (logo φ≠φ φT): 1º) o polinômio mínimo de φ é

Pmin (φ ) = (X − A)(X − B),

(03),

2º) φ pode ser reduzido de infinitas maneiras à forma diagonal

A 0 0  ∗ ∗ ∗ φ = Aaa + Bbb + Bcc , com [φ] abc =  0 B 0  ,  0 0 B

(04),

onde {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos, sendo a* e a respectivamente ortogonais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de φ -AΙ (=(B-A)bb*+(C-A)cc*); 3º) os vetores dos sistemas {a,b,c} e {a*,b*,c*} são autovetores de φ e φT, respectivamente, correspondentes aos mesmos autovalores A, B e C = B:

φ . a = Aa , φ . b = Bb , φ . c = Bc ,

(05)

e T

∗

φ . a = Aa ,

∗

φ .b = Bb ,

∗

φ . c = Bc ,

A expressão (03) decorre imediatamente de ((08)3,§ 03.03) pois (φ φ-CΙΙ)~ = Ο.

III,§ 04.01,B

(051).

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠B = C.

345

Denotemos por a* e a, respectivamente, os vetores ortogonais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de φ-AΙΙ, ajustando-os de forma a que a.a* = 1 (o que é sempre possível). Considerando que, conforme ((08), § 03.03), (φ φ-AΙΙ).(φ φ-BΙΙ) = Ο, então φ-BΙΙ (linear por hipótese) tem antecedente paralelo a a e conseqüente paralelo a a*; assim, podemos escrever: φ-BΙΙ = Kaa*. Então, sendo (φ φ-BΙΙ)E = K, e lembrando (02)1, resulta: ∗

φ − BΙ = (A − B) aa . Se b e c são dois vetores arbitrários, não paralelos, do plano dos antecedentes de φAΙΙ, resulta que o terceto de vetores a, b e c é de vetores não coplanares (φ φ-Ι não é ortoplanar). Podemos, agora, determinar os vetores b* e c* (do plano dos conseqüentes de φ-AΙΙ) tais que {a,b,c} e {a*,b*,c*} sejam recíprocos. Então, sendo Ι = aa*+bb*+cc*, da expressão deduzida para φ-BΙΙ podemos escrever φ na forma diagonal (04) de infinitas maneiras (b e c são arbitrários). De (04) deduzimos, finalmente as (05) e (051); o que comprova a terceira parte do teorema.

Teor. 3: Sendo φ-AΙ planar e φ-BΙ = φ-CΙ ortoplanar (logo φ≠φ φT):

1º) o polinômio mínimo de φ é o próprio polinômio CH: 2

Pmin (φ ) = C 3 (φ ) = (X − A) . (X − B) ,

(06);

2º) φ pode ser reduzido, de infinitas maneiras, à forma

∗

φ = Aaa + B( bb + cc ) + Bcb , com [φ ]abc

A  =0  0

0 B B

0  0 B

(07),

ou à forma equivalente ∗

∗

φ = BΙ + (A − B) aa + Bcb ,

(08),

onde {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos, com a* e a respectivamente ortogonais aos planos dos antecedentes b e c e conseqüentes b* e c* de φ−AΙ (=(B-A)(bb*+cc*)+Bcb*); 3º) φ só admite dois autovetores reais: a e c, correspondentes aos autovalores A e B:

φ . a = Aa e φ . c = Bc ,

(09).

A expressão (06) decorre imediatamente de ((08)1,§ 03.03), fazendo-se

φ − BΙ = φ − CΙ , multiplicando-se ambos os seus membros por (φ φ-AΙΙ) e aplicando-se ((06),§ 03.03).

Poliádicos - Ruggeri

346

§ 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

Sendo A uma raiz simples de φ (nula ou não nula), φ-AΙΙ é um diádico planar, mas não ortoplanar (Teor. 3, § 03.03). Seja a um autovetor de φ relativo a A, logo perpendicular ao plano dos conseqüentes de φ-AΙΙ; e a* o vetor perpendicular ao plano dos antecedentes de φ-AΙΙ, mas tal, que a.a* = 1. ∗ O diádico φ-BΙΙ é ortoplanar por hipótese. Denotando por c e b autovetores de φ e φT relativos ao autovalor duplo B = C, temos: (φ φ-BΙΙ).c = o = b*.(φ φ-BΙΙ). Então, os vetores (ortogonais) c e b* são, respectivamente, ortogonais aos planos dos conseqüentes e dos antecedentes de φ-BΙΙ; e, portanto, respectivamente paralelos aos planos dos antecedentes e conseqüentes de φ-BΙΙ. O diádico (φ φ-BΙΙ)2 é linear e tem antecedente e conseqüente pertencentes, respectivamente, aos planos dos antecedentes e conseqüentes de φ-BΙΙ (Corol.2,Teor. 4,§05.04,II). Mas, sendo

(φ − AΙ ).(φ − BΙ ) 2 = (φ − BΙ ) 2 .(φ − AΙ ) = Ο , resulta que o antecedente de (φ φ-BΙΙ)2 é paralelo a a e o conseqüente paralelo a a*. Logo, a e

c são paralelos ao plano dos antecedentes de φ-BΙΙ; e a* e b*, paralelos ao plano dos ∗

∗

(com b ⊥a , b ⊥c), e conseqüentes. Podemos, assim, escrever: φ − BΙ = Laa + Mcb determinar L e M com a condição de que (φ φ-BΙΙ)E =A-B. Encontramos: L=A-B. Logo: ∗

∗

φ − BΙ = (A − B) aa + Mcb (com b ⊥a , b ⊥c ), M podendo ser uma constante arbitrária não nula (igual a 1, -1, ou B, por exemplo). Poderemos, agora, determinar um vetor c* no plano dos conseqüentes de φ-AΙΙ, e um b no plano dos antecedentes de φ-AΙΙ tais, que os sistemas {a,b,c} e {a*,b*,c*} sejam recíprocos. Diádicos simétricos

Teor. 4: Se A≠B = C e φ = φT, φ-AΙ é uniplanar, φ-BΙ é unilinear e

[φ ]ijk

A  =0  0

0 B 0

0  0. B

Que φ-AΙΙ é uniplanar decorre imediatamente do Teor. 13, § 04.01. Pelo Teor. 1, φBΙΙ deve ser linear; mas, sendo φ = φT, φ-BΙΙ é unilinear (Corol. 2, Teor. 4, § 04.02,II). Sendo, então, φ = φT e A≠B = C, φ - AΙΙ é uniplanar e φ - BΙΙ unilinear (Teor. 4). Logo: (φ φ - BΙΙ)~ = (φ φ - CΙΙ)~ =Ο Ο, e de ((18)3, § 03.03), deduzimos: (φ φ - AΙΙ).(φ φ - BΙΙ) =Ο Ο, Logo, o polinômio mínimo de φ é (X-A)(X-B).

III,§ 04.02

(10).

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠B = C.

Seja $i o unitário ortogonal ao plano de φ - AΙΙ. Sendo φ escrever, em vista de (10): φ - BΙΙ = L $i $i ,

347

- BΙΙ unilinear, podemos

onde L é uma constante a determinar. Mas (φ φ - BΙΙ)E = A-B, isso é, L = A-B. Logo:

φ = A$i $i + B( $j $j + k$ k$ ),

(11),

$j e k$ sendo dois unitários ortogonais arbitrários do plano de φ - AΙΙ. Logo: Se A≠B=C, φ=φT e uniplanar. A normal ao seu plano é a direção do seu autovetor relativo a A e os outros dois autovetores são quaisquer vetores ortogonais pertencentes a esse plano. Os principais resultados relativos às reduções de diádicos com autovalores reais duplos estão resumidos no Quadro III, em Apêndice, no final deste capítulo.

§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C. Se um diádico (não nulo) tem autovalor triplo, esses autovalores são reais necessariamente; e os seus diádicos característicos são todos iguais. Verificam-se então, simultaneamente:

( φ − AΙ ) E = φ E − 3A = 0

(01),

(φ − AΙ ) 3 = Ο ,

(02),

podendo ser, ainda, (φ φ-AΙΙ)2 = Ο e φ-AΙΙ = Ο (casos em que (02) fica satisfeita).

Teor. 1: O característico (único) φ -AΙ: 1°) ou é antitriangular, caso em que A = B = C = 0 e φ ≠ φT; 2°) ou é ortolinear, caso em que A = B = C ≠ 0 e φ ≠ φT; 3°) ou é nulo, caso em que A = B = C ≠ 0 e φ =φT=AI (φ é diádico escalar). Com efeito, apenas o diádico nulo, o ortolinear e o anti-triangular satisfazem (01) e (02) simultaneamente. Além do mais, φ = φT só se φ-AΙΙ =Ο Ο, porque os diádicos ortoplanares (e, portanto os antitriangulares) e ortolineares são não simétricos (Corol. 3, Teor. 4, § 04.02,II). Então, o Teor. 7, § 05.04,II, e seu Corol. 2, permitem demonstrar o seguinte

Teor. 2: Se A = B = C = 0 e φ - AΙ = φ é antitriangular (ortoplanar de escalar nulo):

1°) - O polinômio mínimo de φ é 3

Pmin (φ ) = X ,

(03);

Poliádicos - Ruggeri

348

§ 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

2°) - Existem dois pares de vetores, um em cada plano de φ (Fig.04.02): a,b (a⊥b) e b*,c*, sendo b paralelo à interseção desses planos, que reduzem φ à forma ∗

∗

φ = ab + bc ,

(04),

gozando tais vetores das seguintes propriedades:

b. c ∗ = a . c ∗ = a . b ∗ = 0 = a . b ,

∗

b.b = 1,

(05);

3°) - A normal ao plano dos conseqüentes (antecedentes) de φ é a única direção própria real de φ (φT):

φ . a = Aa ,

0 1 0  T ∗ ∗ φ . c = Ac , e [φ]abc = 0 0 1 0 0 0

(06).

Determinando os vetores a* e a (a*//a) de forma que os sistemas {a,b,c} e ∗ ∗ ∗ {a*,b*,c*} sejam recíprocos, escreveremos Ι = aa + bb + cc , os sistemas {b,c} e {b*,c*} sendo, também, pares recíprocos no plano dos conseqüentes de φ.( § 03.02, I ).

Teor. 3: Se A = B = C≠0 e φ -AΙ é ortolinear:

1º) o polinômio mínimo de φ -AΙ é

Pmin (φ − AΙ ) = (X − A) 2 ,

(07);

2º) existem vetores b e c* (Fig.04.03), paralelos a duas direções ortogonais (logo, ortogonais), que reduzem φ (de infinitas maneiras) à forma

III,§ 04.03

§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C.

∗

φ = AΙ + bc , e [φ ]abc

A  =0  0

0 A 0

349

0  1 A 

(08);

3º) qualquer direção ortogonal a c* (b) é direção própria de φ(φΤ); particularmente, φ .φV = AφV = φT .φV. As demonstrações são evidentes.

Teor. 4: Se A = B = C≠0 e φ - AΙ é o diádico nulo:

1°) - O polinômio mínimo de φ é

Pmin (φ φ ) = X − A,

(09);

φ = AΙ ,

(10);

2°) - O diádico φ é escalar,

3°) - Qualquer vetor do espaço é autovetor de φ e [φ ] = A[ΙΙ ] ; o que é evidente. Os principais resultados relativos à reduções de diádicos com autovalores triplos estão resumidos no Quadro IV, em Apêndice, no final deste capítulo.

§ 05 - DESCRIÇÃO DAS TL'S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS. No § 01 induzimos a procura de certas bases em relação às quais a descrição de uma TL pudesse ser facilitada. No § 03 descobrimos um modo prático de reduzir os diádicos a formas mais compactas (as formas canônicas), o que certamente facilita a referida descrição. Nestas condições, efetuada a redução canônica do diádico regente da transformação, é oportuno e didático, para a descrição das TL's, dividir os diádicos em duas classes: os tônicos (ou diagonalizáveis) e os não diagonalizáveis. Conforme vimos (§ 03),

Poliádicos - Ruggeri

350

§ 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

todos os diádicos tônicos têm autovalores reais, enquanto que os não diagonalizáveis podem ter autovalores tanto reais quanto complexos.

§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis. Os diádicos tônicos (cinco no total), são distinguidos pela multiplicidade dos seus autovalores (A,B,C) e pela natureza dos seus diádicos característicos (φ φ - AΙΙ, φ - BΙΙ e φ CΙΙ). São os seguintes: 1°) - dois que apresentam autovalores simples, A ≠ B ≠ C, os simétricos e os não simétricos, apresentados no Quadro II do Apêndice; 2°) - dois que apresentam autovalores duplos, A ≠ B = C, apresentados no quadro III, no final deste capítulo; a) - os diádicos não simétricos, com φ - AΙΙ planar e φ - BΙΙ linear; b) - os diádicos simétricos, com φ - AΙΙ uniplanar e φ - BΙΙ unilinear. 3°) - os que apresentam autovalor triplo, A = B = C ≠ 0, simétricos, apresentados no Quadro IV do Apêndice. Todos esses diádicos podem ser reduzidos à forma canônica geral

φ = Aaa ∗ + Bbb∗ + Ccc ∗ , onde os sistemas recíprocos {a,b,c} e {a*,b*,c*}, formam os tercetos de autovetores de φ e φT, respectivamente. Esses diádicos serão incompletos se qualquer um dos seus autovalores for nulo. Os efeitos gerais de um diádico tônico, φ, são descritos pelas seguintes propriedades: 1°) - as direções a,b,c ficam imutáveis no espaço porque elas são os seus autovetores; 2°) - ∀ v = VAa+VBb+VCc, tem-se: ∗

∗

v ′ = φ . v = ( Aaa + Bbb + Ccc ) . ( VA a + VBb + VC c) = AVA a + BVB b + CVC c, isso é, as coordenadas de v segundo a,b,c são distendidas ou contraídas, respectivamente, nas proporções A:1, B:1 e C:1. Como A, B ou C podem ser positivos e negativos, as coordenadas homônimas de v e v' podem ter sinais contrários, o que, evidentemente, acarreta mudança nos sentidos dos vetores componentes correspondentes. 3°)

- se o

diádico é completo, a transformada da superfície esférica sempre é um

elipsóide: a) - de semi-eixos distintos, se A≠B≠C; b) - com dois semi-eixos iguais se A ≠ B = C (elipsóide de revolução); c) - com três semi-eixos iguais, se A = B = C (superfície esférica de raio A vezes o raio da primeira). É comutativa a multiplicação pontuada de dois tônicos que tenham os mesmos autovetores (quaisquer que sejam os seus autovalores, no caso, distintos); o produto deles é

III,§ 05.01

§ 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis.

351

ainda um tônico com os mesmos autovetores e suas coordenadas (seus autovalores) são os produtos das coordenadas homônimas (autovalores) dos tônicos fatores. Por isso mesmo, qualquer tônico pode ser fatorado num produto de três outros tônicos na forma

φ = ( Aaa ∗ + bb∗ + cc ∗ ) . ( aa ∗ + Bbb∗ + cc ∗ ) . ( aa ∗ + bb∗ + Ccc ∗ ), onde a ordem dos fatores é irrelevante. Cada tônico fator, distende ou contrai as componentes de um vetor paralelas a um dos seus autovetores; e deixa imutável as componentes desse vetor, paralelas aos outros dois autovetores. Seja { $i , $j , k$ } uma base ortonormada e µ-1 o diádico de mudança dessa base (§ 02.01) $ ∗ . Logo, o diádico para a base {a,b,c}. Então: µ −1 = ai$ + bj$ + ck$ e µ = $ia ∗ + $jb ∗ + kc

$$ =φ µ . φ . µ −1 = A$$ ii + B$$ jj + Ckk 1 é um diádico similar a φ mediante µ (§ 02.02). Referindo o espaço a { $i , $j , k$ } , verificar-seão para φ1 as mesmas propriedades já estabelecidas para φ com algumas particularidades que serão abordadas no § 07.

§ 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis. Os diádicos não diagonalizáveis, quatro no total, são os seguintes: 1°) - os que apresentam um par de autovalores complexos conjugados, constantes do Quadro I do Apêndice, e que são redutíveis à forma canônica geral

Γ = Aaa ∗ + M( bb∗ + cc ∗ ) + N ( cb ∗ − bc∗ ),

(01),

onde {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos e A, B = M+Ni e C = M-Ni (N≠0) os seus autovalores; 2°) - os que apresentam autovalores duplos (logo, todos reais), A ≠ B = C, com φ-AΙΙ planar e φ-BΙΙ ortoplanar, constante do Quadro III do Apêndice. Nesse caso o diádico é redutível à forma:

φ = Aaa ∗ + B ( bb∗ + cc ∗ ) + Bcb ∗ ,

(02),

em que {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos; 3°) - os que, não simétricos, apresentam autovalores triplos, A = B = C, o seu diádico característico, único, φ-AΙΙ, podendo ser: a) - antitriangular, caso em que φ, com autovalores todos nulos, pode ser reduzido à forma: φ = ab∗ + bc∗ , (a ⊥ b, b || b∗ , b.b∗ = 1), (03), o vetor b pertencendo também ao plano dos conseqüentes (Fig. 04.02); b) - ortolinear, caso em que φ, com autovalores não nulos, A, pode ser reduzido à forma: φ = AΙ + bc ∗ com b⊥c ∗ , (04), (Fig. 04.03), constantes do Quadro IV do Apêndice.

Poliádicos - Ruggeri

352

§ 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) Relembrando que:

M = ρ cos ϕ, 2

ρ= M + N

N = ρ sen ϕ ≠ 0

( − π < ϕ < π ),

1 ρ− B tg ϕ = 2 ρ+ B

( ρ > 0),

B = M + Ni,

podemos escrever Γ na forma de produto comutativo: ∗

∗

Γ = [ Aaa + ρ(bb + cc )]. [ aa + cosϕ(bb + cc ) + senϕ( cb − bc )] = ∗

∗

= [ aa + cosϕ(bb + cc ) + senϕ( cb − bc )]. [ Aaa + ρ(bb + cc )],

(05).

O diádico Aaa*+ρ(bb*+cc*) é tônico. Seu efeito (§ 05.01) é: 1°) - distender (porque ρ > 0) os vetores paralelos a b e c na proporção ρ:1; 2°) - distender (se A > 1) ou contrair (se A < 1) os vetores paralelos a a, na proporção A:1, e até inverter a direção desses vetores se A < 0.

Diádico cíclico. Rotação elíptica. Estudemos, então, a transformação regida pelo diádico seguinte, fator de Γ,

(aa*, ϕ) = aa ∗ + cosϕ ( bb∗ + cc ∗ ) + senϕ ( cb ∗ − bc∗ ),

(06),

definido em função dos vetores das bases recíprocas {a,b,c} e {a*,b*,c*}e do ângulo ϕ. A matriz mista associada a esse diádico nessas bases é

1 0 0    [(aa*, ϕ)]abc =  0 cos ϕ −sen ϕ  0 sen ϕ cos ϕ  tendo ele por terceiro a unidade positiva, qualquer que seja ϕ, autovalores: 1, eiϕ=cosϕ+i senϕ, e-iϕ=cosϕ-i senϕ, e apenas o autovetor real a correspondente ao autovalor +1114. Esse diádico pode ser ainda escrito na forma equivalente a (06),

π 2

(aa*, ϕ) = aa ∗ + (cosϕb + senϕc)b ∗ + [cos( + ϕ)b + sen( + ϕ)c]c∗

(061).

Consideremos o vetor

r( α ) = cosαb + senαc ,

(07),

114 Os autovetores do cíclico são: a, (b + ic ) / 2 e (b − ic ) / 2 onde i2=-1, e não compõem um sistema ortogonal. Voltaremos a esse assunto no Capítulo V do volume II deste Tomo.

III,§ 05.02,A

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*)

353

onde α é um parâmetro, vetor esse do plano α) definido por b e c. Vamos aplicar esses vetores co-inicialmente num ponto arbitrário, O, de α). A cada valor α do argumento corresponde um e um único vetor r( α ) . Fazendo α variar entre 0 e 2π rd, a extremidade de

r( α ) descreverá a elipse Er de semi-diâmetros conjugados b e c (Fig.05.01).

Com efeito, sendo

r( α ) = Xbˆ + Ycˆ com X=|b|cosα e Y=|c|senα, então, no sistema de eixos coordenados oblíquos OXY,

X2 + Y2 = 1, |b|2 | c|2 o que comprova a assertiva. É evidente que:

r(0)=b,

r(π/2)=c,

r( α+ π/2) = −senαb + cosαc ,

r(π)=-r(0)=-b etc.

Ao acréscimo de π/2 ao argumento α, corresponde o vetor semi-diâmetro conjugado de r(α). Consideremos no plano α) uma elipse qualquer Ev, homotética de Er, de razão de homotetia K (constante). A dado r(α) de Er corresponderá um v(α) de Ev tal, que

v ( α ) = Kr( α ) ,

(071).

Assim, a b corresponde um bv, a c um cv etc. tais, que bv=Kb, cv=Kc etc.. Fazendo α variar a extremidade de v(α) descreverá toda a elipse Ev.

Teor. 1: O vetor transformado de v(α) mediante  usado como pré-fator é v(α+ϕ). Considerando (07) podemos escrever (061) na forma

(aa*, ϕ) = aa ∗ + r(ϕ) b ∗ + r(ϕ+π/2) c ∗ .

Poliádicos - Ruggeri

354

§ 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

Tem-se, então:

 (aa∗ ,ϕ) .v (α ) = K(aa∗ + r(ϕ) b ∗ + r(ϕ+π/2) c ∗ ).(cosαb + senαc) = K(cosαr(ϕ) + senαr(ϕ+ π/2) ) , ou seja,

 (aa∗ ,ϕ) .v (α ) = v (α +ϕ)

(08),

pois

cosαr( ϕ) + senαr( ϕ+ π/2) = cosα(cosϕb + senϕc) + senα(−senϕb + cosϕc) = = (cosαcosϕ − senαsenϕ)b + (senϕcosα + senαcosϕ)c = r(α +ϕ) Então:

O diádico (aa*,ϕ), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por um vetor de argumento α da elipse Ev, transforma esse vetor no vetor de argumento α+ϕ dessa mesma elipse.

* Todos os resultados anteriores podem ser verificados em relação ao plano (b*,c*) por T consideração do diádico  (aa*,ϕ) transposto de (aa*,ϕ), sendo, como é fácil constatar,

T(aa*,ϕ)=(a*a,-ϕ). Assim, enquanto (aa*,ϕ) roda elipticamente um vetor de Ev no plano (b,c) em torno de a* T para a posição correspondente ao acréscimo de ϕ ao seu argumento,  (aa*,ϕ) roda * * elipticamente vetores do plano (b ,c ) em torno de a para a posição correspondente ao decréscimo de ϕ ao seu argumento. * Estudemos agora a transformação que (a a*, ϕ) opera sobre dado vetor v, qualquer, do espaço. Os vetores a e v definem um plano que intercepta o plano (b,c) segundo uma reta bem determinada. Sendo,

v = ( v.a ∗ )a + ( v.b ∗ )b + ( v.c∗ )c , podemos escrever: v = ( v.a ∗ )a + v ( α ) , v(α) tendo significado evidente. Então, lembrando (062) e (07), deduzimos: v.b*=Kcosα

e v.c*=Ksenα

donde,

tgα =

v.c∗ v.b ∗

K = ( v.b ∗ ) 2 + ( v.c ∗ ) 2 ,

Tem-se, então:

 (aa∗ ,ϕ) .v = ( v.a ∗ )a +  (aa∗ ,ϕ) .v (α ) , ou, pelo Teor. 1:

III,§ 05.02,A

(09).

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*)

355

 (aa∗ ,ϕ) .v = ( v.a ∗ )a + v (α +ϕ) =v’, Assim, (aa*,ϕ), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por um vetor v, transforma esse vetor num outro, v’, que tem a mesma componente de v segundo a e uma componente no plano (b,c) que é rodada elipticamente por (aa*,ϕ) da componente v(α) de v contida nesse plano. * Exercícios: 1 - Sejam: v=2a+2b+c e o diádico (aa*,ϕ) com ϕ=30°. Comprove que : α=26°34’, K=2,236 e v’=2a+1,232b+1,866c. Esboce geometricamente o problema. 2 - Comprove que o argumento β de um dos pontos de interseção do plano (a,a*) com a elipse E* de (b,c) é dado por tgβ=(a*.c*)/(a*.b*). *

Definições: (diádico cíclico e rotação elíptica) A transformação regida pelo diádico

(aa*,ϕ) = aa*+cosϕ(bb*+cc*)+senϕ(cb*- bc*),

(10),

onde {a , b , c} e {a ∗ , b ∗ , c ∗ } são sistemas recíprocos, é denominada rotação elíptica. O diádico (aa*,ϕ) recebe o nome de diádico cíclico; ϕ é o argumento desse diádico, a* é o seu eixo e (b,c) o seu plano. * Sabemos da Geometria que toda elipse é projeção paralela de uma circunferência. Então, existe (e é possível determinar) uma circunferência de raio unitário rˆ = cosαˆj + senαkˆ que, em projeção paralela, projeta-se segundo a elipse v ( α ) = cosαb + senαc , os semi-diâmetros unitários ortogonais ˆj e kˆ projetando-se segundo os semi-diâmetros conjugados b e c, rˆ segundo v(α) e seu centro H segundo O. Seja ˆi o unitário com sentido tal, que {ˆi , ˆj, kˆ } seja ortonormado direto; e denotemos por µ o diádico de mudança da base {a,b,c} para a base {$i , $j, k$ } (ver §02.01), isso é, seja

µ = $i a ∗ + $j b ∗ + k$ c ∗ tal que a ∗ = ˆi .µ, b ∗ = ˆj.µ , etc.. Então,

µ −1 = ai$ + bj$ + ck$

a = µ −1 .ˆi , b = µ −1 .ˆj ,

(aa*,ϕ) = µ −1 . [ $i $i + cos ϕ ( $j $j + k$ k$ } + sen ϕ(− $j k$ + k$ $j)]. µ .

Poliádicos - Ruggeri

356

§ 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

Pondo

Ω ( $i ,ϕ) = $i $i + cos ϕ ( $j $j + k$ k$ } + sen ϕ(− $j k$ + k$ $j) ,

(11),

temos:

Ω ( $i ,ϕ) = µ . (aa*,ϕ) . µ −1,

(12),

isso é, o diádico Ω ( $i ,ϕ) é similar a (aa*,ϕ) mediante µ. Em relação, então, ao sistema auto-recíproco idêntico {$i , $j, k$ } , temos, para um vetor v qualquer cuja projeção ortogonal no plano ( ˆj, kˆ ) é v(α):

Ω ( $i ,ϕ) . v = Ω ( $i ,ϕ) . [( v. $i ) $i ] + Ω ( $i ,ϕ) .v(α). Relembrando que Ω ( $i ,ϕ) é cíclico de eixo ˆi e autovetor ˆi , temos:

Ω ( $i ,ϕ) . $i = $i

Ω ( iˆ,ϕ) .v ( α ) = KΩ (ˆi ,ϕ) .vˆ ( α ) = Kvˆ ( α +ϕ)

ou seja,

Ω ( iˆ,ϕ) .v = ( v.î )î + v (ϕ+α ) . Portanto, em relação ao sistema {$i , $j, k$ } , a componente v (α ) de v, do plano ( ˆj, kˆ ),com sua origem fixa em H, tem sua extremidade rodada (circularmente) de um ângulo ϕ; a componente de v segundo î , com origem na extremidade de v (α ) , é conservada na transformação regida por Ω ( $i ,ϕ) , sendo transladada paralelamente a si própria (ou a î ) segundo a referida circunferência (Fig. 05.02).

III,§ 05.02,A

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*)

357

Definições: (rotação e rotor) Denomina-se rotação circular, ou simplesmente rotação, a transformação em que os pontos do espaço descrevem trajetórias circulares em torno de uma reta fixa denominada o eixo da rotação. Todo diádico Ω ( $i ,ϕ) , da forma (11), recebe o nome de diádico de rotação, ou rotor (versor na nomenclatura de Gibbs); ϕ é o seu ângulo de rotação e $i o unitário do seu eixo. * Exercício: Comprovar que o rotor (11) pode ser escrito na forma compacta

Ω (î ,ϕ) = îî + cosϕ(Ι − îî ) + senϕΙ × î ,

(13).

* Vê-se, que o cíclico

(aa*,ϕ) e o rotor Ω ( $i ,ϕ) , embora similares, regem rotações

diferentes. Quando, na circunferência de raio v (α ) o ângulo central, α, varia de um valor (algébrico) ϕ, o raio vetor correspondente descreve um setor circular cuja área é R 2 ϕ 2 (ϕ em radianos). Na elipse do plano (b,c) do cíclico o raio vetor de argumento α, de que o anterior é projeção, ao ser transformado no raio vetor de argumento ϕ+α, descreve um setor elíptico. Lembrando que em projeção paralela as áreas correspondentes são projetadas numa razão constante, escrevemos:

area setor eliptico ϕ area setor circular área setor elíptico área elipse = , ou, = = . 2π area circulo area elipse área setor circular área círculo Como se vê, a relação entre as áreas do setor elíptico e da elipse no plano (b,c) independe do vetor paciente na transformação, isso é, a relação só depende do ângulo ϕ que ocorre na expressão do diádico (aa*,ϕ). Assim:

O diádico cíclico (11), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por vetor r da elipse de que b e c são semi-diâmetros conjugados, adianta esse vetor de um setor (elíptico) cuja área está para a área de toda a elipse, assim como ϕ está para 2π. Os mesmos resultados, com as devidas mudanças, são válidos para todos os diádicos derivados do cíclico, isso é, seu transposto, seu principal e seu inverso. A determinação dessas “mudanças” ficará a cargo do leitor. Como se vê, comparando (11) com (10), o rotor é um diádico cíclico particular; o seu eixo é também direção do seu autovetor. Pela importância que esses diádicos apresentam em aplicações, as rotações (elípticas e circulares) serão estudadas em seção especial (§ 06).

Poliádicos - Ruggeri

358

§ 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

Resulta imediatamente dessas interpretações que o diádico

-Ι

é um rotor que

transforma um vetor no seu oposto; diz-se por isso que ele rege uma simetria em relação a origem, ou inversão. A inversão em relação à origem é também denominada inversão central. Numa situação limite, poderá ser nulo o diedro dos planos (b,c) e (b*,c*), caso em que o cíclico correspondente será um diádico uniplanar. Esse cíclico terá seu autovalor real igual a zero, ao qual corresponderá o autovetor (paralelo ao seu eixo) ortogonal ao seu plano; e poderá ser reduzido à forma (08), § 04.01,A. Portanto, esse diádico rege rotações elípticas no seu plano (em torno do seu eixo). Por uma mudança de base podemos determinar um rotor planar que lhe seja similar, rotor esse cujo eixo é ortogonal ao seu plano.

Diádico ciclotônico. Em vista de (05) e das considerações geométricas anteriores podemos, enunciar:

Teor. 1: Se um diádico tem autovalores complexos (conjugados), ele pode ser decomposto num produto comutativo de um diádico tônico por um diádico cíclico de argumento igual ao argumento dos autovalores complexos. Definição: (diádico ciclotônico) Os diádicos da forma (01), por combinarem propriedades dos diádicos cíclico e tônico, são denominados ciclotônicos. As propriedades dos tônicos já foram estabelecidas. As propriedades dos cíclicos e rotores serão estudadas no §06. De certa forma as propriedades dos ciclotônicos estão associadas com as propriedades dos tônicos e dos cíclicos.

Teor. 2: Se dois diádicos Γ1 e Γ2 são similares mediante µ, e um deles é ciclotônico, ambos têm os mesmos autovalores e os autovetores de um são os transformados dos vetores característicos do outro mediante µ. Tem-se: Γ1 = µ . Γ2 . µ −1 . Sendo,

Γ2 = A 2 aa ∗ + M 2 (bb ∗ + cc ∗ ) + N 2 ( cb ∗ − bc ∗ ), tem-se também:

Γ1 = A 2 (µ .a)(a ∗ .µ −1 ) + M 2 (µ.bb ∗ .µ −1 + µ .cc∗ .µ −1 ) + N 2 (µ.cb ∗ .µ −1 − µ .bc ∗ .µ −1 ). Pondo

vem:

III,§ 05.02,A

µ . a = a 1 , µ .b = b 1 , e µ . c = c 1 ,

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*)

µ = a 1 a ∗ + b 1b ∗ + c 1 c ∗ ,

359

µ −1 = aa 1∗ + bb 1∗ + cc 1∗ ,

sendo {a ∗1 , b 1∗ , c 1∗ } e {a 1 , b 1 , c 1 } sistemas recíprocos. Então, a ∗ . µ −1 = a 1∗ etc. e

Γ2 = A 2 a 1 a 1∗ + M 2 (b 1b 1∗ + c 1 c 1∗ ) + N 2 ( c 1b 1∗ − b 1 c 1∗ ), o que comprova a propriedade.

Auto-similaridade dos ciclotônicos. Se pusermos

τ = Aaa ∗ + ρ(bb ∗ + cc ∗ ) , escreveremos (05) no forma Γ=.τ=ττ.,

(14).

onde, por brevidade, estamos representando, evidentemente, por  o diádico cíclico (06). Então: Γ.-1 = τ,

.Γ.-1 = .τ,

-1.Γ. = τ.,

ou melhor, Γ = .Γ.-1 = -1.Γ.,

(15).

Concluímos:

Teor. 3: Todo diádico ciclotônico é similar a si próprio mediante o seu fator cíclico. Imponhamos, agora, a condição de que um diádico arbitrário, Γ, seja similar a si próprio mediante dado diádico cíclico, digamos dado por (06). Então esse diádico deve verificar (15), ou, ainda, a condição Γ. = .Γ

(16).

Em relação aos sistemas recíprocos {a,b,c} e {a*,b*,c*} é

1 0 0    [] =  0 cos ϕ −sen ϕ .  0 sen ϕ cos ϕ 

Poliádicos - Ruggeri

360

§ 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

Seja, então,

Γ X  X [ Γ ] =  Γ YX  X  Γ Z

Γ XY Γ YY Γ ZY

Γ XZ   Γ YZ  .  Γ ZZ 

Calculando os produtos matriciais correspondentes a (16) obtemos as seguintes igualdades simultâneas:

ΓXX = ΓXX ; ΓXY cos ϕ + ΓXZ sen ϕ = ΓXY ; ΓYX cos ϕ − ΓZX sen ϕ = ΓYX ;

ΓXY sen ϕ + ΓXZ cos ϕ = ΓXZ ;

ΓYY cos ϕ − ΓYZ sen ϕ = ΓYY cos ϕ − ΓZY sen ϕ; ΓYY sen ϕ − ΓYZ cos ϕ = ΓYZ cos ϕ − ΓZZ sen ϕ;

ΓYX sen ϕ + ΓZX cos ϕ = ΓZX

ΓZY cos ϕ − ΓZZ sen ϕ = ΓYY sen ϕ + ΓZY cos ϕ; − ΓZY sen ϕ + ΓZZ cos ϕ = ΓYZ sen ϕ + ΓZZ cos ϕ;

Encontramos, após simplificações:

ΓXX ,

ΓXY = ΓXZ = 0,

ΓYX = ΓZX = 0,

ΓYY = ΓZZ

ΓYZ = − ΓZY ,

sendo, então

Γ X  X [ Γ] =  0   0

0 Γ YY Γ YZ

0   −Γ YZ  ,  Γ YY 

e, portanto:

Γ = Γ XX aa ∗ + Γ YY (bb ∗ + cc ∗ ) + Γ yZ ( −bc ∗ + cb ∗ ),

(17),

expressão idêntica a (01), § 05.02. Logo:

Teor. 4: Se um diádico é similar a si próprio mediante um cíclico, esse diádico é ciclotônico e admite o cíclico como fator. Em vista desse teorema e do Teor. 3, concluímos, ainda:

Teor. 5: A CNS para que um diádico seja ciclotônico é que ele seja similar a si próprio mediante um cíclico. III,§ 05.02,A

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*)

361

De (16) deduzimos:

.Γ = 2.Γ.-1 ,

ou,

.Γ.-1 = 2.Γ.(2)-1 ,

isso é, Γ = 2.Γ.(2)-1 . Analogamente poderíamos comprovar que Γ = (2)-1.Γ.2, expressão que pode ser generalizada para qualquer potência inteira, P. Assim,

Teor. 6: Todo diádico ciclotônico é similar a si próprio mediante qualquer potência de expoente inteiro do seu cíclico fator: Γ = P.Γ.(P)-1 = (P)-1 .Γ.P,

(18).

Ainda a partir de (16) podemos escrever: Γ.Γ = Γ2 = .Γ.-1..Γ.-1 = .Γ2.-1 , Ou Γ2 = -1.Γ.. -1.Γ. = -1.Γ2., e assim sucessivamente para potências maiores de Γ. Então:

Teor. 7: Qualquer potência de expoente inteiro de um diádico ciclotônico é similar a si própria mediante o seu cíclico fator: ΓP = .ΓP.-1 = -1.ΓP.,

(19).

Como um diádico potência de um cíclico é, ainda, um cíclico, resulta:

Teor. 8: Qualquer potência de expoente inteiro de um ciclotônico é similar a si própria mediante qualquer outra potência de expoente inteiro do seu cíclico fator:

∀ P, Q inteiros:

ΓQ = P.ΓQ.(P)-1 = (P)-1 .ΓQ.P,

(20).

Poliádicos - Ruggeri

362

§ 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

§ 05.02,B - TL regida por: φ=Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* Esse diádico, cuja matriz associada na base {a,b,c} é A 0 0  [φ]abc =  0 B 0  ,  0 B B pode ser representado na forma do produto comutativo do diádico tônico

Aaa ∗ + B( bb ∗ + cc ∗ ) ,

(21),

χ = Ι + cb∗ , com c ⊥ b∗

(22),

pelo diádico isso é,

φ = [ Aaa ∗ + B(bb ∗ + cc ∗ )]. ( Ι + cb ∗ ) = ( Ι + cb ∗ ) . [ Aaa ∗ + B(bb ∗ + cc ∗ )]. Cisalhamento simples. Diádico cisalhante. Estudemos, pois, a TL regida pelo diádico Ι+cb*, de matriz associada 1 0 0  ∗ [Ι + cb ]abc = 0 1 0 , 0 1 1 já que a regida pelo tônico (21) está determinada (§ 05.01). Tem-se, para qualquer v paralelo a b*:

( Ι + cb ∗ ) . v = v + ( v . b ∗ ) c = v ' ; e, para qualquer vetor w de um plano arbitrário de referência, (a,c), ortogonal a b*:

( Ι + cb ∗ ) . w = w . Assim: 1°) - Ι+cb* deixa inalterados todos os vetores paralelos ao plano de referência (a,c); 2°) - desloca a extremidade V, de qualquer v, paralelamente à direção de c (Fig. 05.03), da quantidade (algébrica) VV' = (v. b$ *)|b*||c| , pois (v.b*) c = (v. b$ *)|b*||c| c$ = ±|v||b*||c| c$ = VV' c$ .

III,§ 05.02,B

§ 05.02,B -

TL regida por: φ=Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb*

363

Pondo c$ = k$ , b$ * = $j e Q = |c||b*| (logo Q > 0 e arbitrário), podemos escrever:

χ = Ι + cb ∗ = Ι + Qkˆˆj ,

(Q > 0)

(23),

e, por ser VV' = Q V" V ,

v′ = v + VV′ k$ = v + QV′′V k$ ,

(231).

Nestas condições, podemos concluir que os pontos dos planos paralelos ao plano de referência (a, k$ ), são deslocados (sobre esses mesmos planos) na direção de k$ , de uma mesma quantidade, Q V" V . Essa quantidade é, então, proporcional à distância (algébrica) V" V do plano de referência ao plano considerado. Denotando por ξ o ângulo agudo $ ′′V ′ do triângulo retângulo VV'V'' (reto em V), e considerando (23 ), podemos VV 1 escrever: tg ξ = VV′ = Q > 0 (Q arbitrário, porém constante). VV′′ Então, VV′ e V" V têm sempre o mesmo sinal. Isto significa que o sentido do deslocamento dos pontos é o de k$ , ou o sentido oposto, conforme tais pontos estejam situados, em relação ao plano (a, k$ ), no semi-espaço para o qual aponta o unitário $j ou no semi-espaço oposto, respectivamente (Fig.05.03). Assim, nesta transformação, todos os planos inicialmente ortogonais ao plano de referência e a k$ , tornam-se inclinados, em relação a esse plano de referência, de π/2 - ξ. A transformação regida pelo diádico (23), então, é caracterizada por três elementos geométricos essenciais: a direção definida por $j (a partir da qual arbitramos um plano de referência que lhe seja ortogonal), a direção definida por k$ e o ângulo agudo ξ cuja tangente é Q. Como essa transformação pode representar exatamente a solicitação mecânica denominada cisalhamento, justificam-se por analogia, as seguintes

Definições: (cisalhamento simples) A transformação regida pelo diádico

χ = Ι + Qkˆˆj denomina-se cisalhamento simples; o diádico χ, diádico cisalhante. A direção definida por k$ denomina-se direção do cisalhamento; o plano ortogonal a $j , plano do cisalhamento; o número positivo Q, módulo do cisalhamento e o ângulo ξ cuja tangente é Q, ângulo de cisalhamento. Resulta, então, o seguinte

Teor. 1: A transformação regida pelo diádico (02), § 05.02 é equivalente ao produto comutativo das transformações regidas pelo diádico tônico (21) e pelo diádico cisalhante (22). Definição: (cisotônico) Os diádicos da forma

φ = Aaa ∗ + B( bb ∗ + cc ∗ ) + Bcb ∗ ,

Poliádicos - Ruggeri

364

§ 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

por combinarem propriedades dos diádicos cisalhante e tônico, serão denominados cisotônicos. Teor. 2: No cisalhamento são conservados: 1°) - os volumes; 2°) - as distâncias em qualquer direção nos planos paralelos ao plano de cisalhamento; 3°) - as áreas nos planos ortogonais à direção do vetor do diádico. Com efeito, escrevendo χ na forma

χ = aa∗ + (b + c)b ∗ + cc∗ , temos, lembrando ((04)3,§ 02.08,II) e a propriedade 7 das TL (§ 01.02):

χ 3 = (a(b + c)c)(a*b *c* ) = [(abc) + (acc)](a *b *c* ) = 1 uma vez que (acc) = 0. Então, lembrando a propr. 7 das TL's (§ 01.02), comprovamos que os volumes são conservados. Ora, sendo:

χ T .χ = I + cb * + b *c + c 2 b *b * resulta, para qualquer n$ ⊥ b ∗ :

nˆ .(χ T .χ).nˆ = 1 Então, conforme a propriedade 5 das TL's, são conservadas as distâncias em qualquer direção n$ ortogonal a b*, ou seja, nos planos paralelos ao plano de cisalhamento. Analogamente, sendo: χ~= Ι-cb ∗ e χ T ~= Ι-b ∗c , resultam, para todo $i ⊥ c e, por ser χV=b ×c (logo perpendicular a b* e c), para todo ˆi paralelo a χV: *

(χ T .χ)~= χ~.χ T ~= I - (b *c + cb * ) + b 2 cc

ˆi.(χ T .χ)~.ˆi = 1 .

Assim, lembrando a propriedade 6 das TL's, concluímos que são conservadas as áreas em qualquer plano ortogonal à direção do vetor de χ.

Teor. 3: O recíproco de um cisalhante é um cisalhante. Cisalhantes recíprocos têm a mesma direção de cisalhamento, o mesmo plano de cisalhamento e o mesmo módulo cisalhante, mas os sentidos dos cisalhamentos são opostos. Com efeito, pois o recíproco de Ι+cb* é Ι- cb*, como facilmente se comprova; e estes regem transformações inversas. Nota: O Teor. 3 é válido também para o adjunto do cisalhante porque o adjunto e o recíproco do cisalhante são iguais.

III,§ 05.02,B

§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos

365

§ 05.02,C - TL regida pelo : φ=ab*+bc*, com a⊥b, a⊥b*, a⊥c*, b⊥c* e b.b* = 1.

O diádico φ, de matriz associada

0 1 0  [φ]abc = 0 0 1 , 0 0 0 é antitriangular (§09.09,II) e φ+ΙΙ pode ser representado na forma do produto não comutativo de dois diádicos cisalhantes de direções ortogonais, φ + Ι = ( Ι + bc∗ ) . ( Ι + ab∗ ) ,

(24).

Logo:

A soma de um diádico antitriangular com o diádico unidade é sempre decomponível num produto não comutativo de dois diádicos cisalhantes de direções de cisalhamento ortogonais, o plano de cisalhamento do primeiro sendo paralelo ao plano dos antecedentes do antitriangular (Fig. 05.04).

Se {a,b,c} e {a*,b*,c*} forem sistemas recíprocos com a⊥b, a⊥b*, a⊥c*, b⊥c* e b.b* = 1 poderemos escrever sempre:

( Ι + ab∗ ) . ( Ι + bc∗ ) = ( Ι + bc∗ ) . ( Ι + ab∗ ) . ( Ι + ac∗ ) ,

(241),

Com efeito, lembrando que b.b* = 1 e φ.ac* = (ab*+bc*) .ac* =Ο Ο,

( Ι + ab ∗ ) . ( Ι + bc ∗ ) = φ + Ι + ac ∗ = (φ + Ι ) . ( Ι + ac ∗ ) , donde, considerando (24), tem-se a tese. Ora, |a| |b*|, |b| |c*| e |a| |c*| são, respectivamente, os módulos dos cisalhantes do segundo membro de (241); |a| |c*| vale o produto dos módulos de Ι+ab* e Ι+bc* dividido por |b*| |b|, isso é, multiplicado pelo co-seno do complemento do ângulo dos planos de Ι+ab* e Ι+bc*. Logo:

Teor. 1: O produto, numa certa ordem, de dois cisalhantes de direções ortogonais, é igual ao produto deles na ordem inversa pós-multiplicado pelo cisalhante que tem a direção do primeiro, o plano do segundo e módulo igual ao produto dos módulos dos fatores pelo seno do ângulo diedro dos seus planos.

Poliádicos - Ruggeri

366

§ 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

Resumidamente, escrevemos, para o par ordenado (χ χ1, χ2):

χ 2 .χ1 = χ1 .χ 2 .χ 3

(25),

donde a seguinte

Definição: (cisalhante complexo, comutante) O diádico φ + Ι = ( Ι + bc∗ ) . ( Ι + ab∗ ) , com a⊥b, a⊥b*, a⊥c*, b⊥c* e b.b* = 1 denomina-se cisalhante complexo.

Ao cisalhante que pós-multiplicado pelo produto dos cisalhantes de direções ortogonais de um par ordenado, implica o produto dos cisalhantes do par inverso, denominaremos o comutante do par. Teor. 2: Se um cisalhante é comutante de um par (de cisalhantes de direções ortogonais), o seu recíproco é comutante do par inverso. χ2,χ χ1), escrevemos: Com efeito pois designando por χ'3 o comutante do par (χ

χ1.χ 2 = χ 2 .χ1.χ ′3 Mas sendo χ3 o comutante do par (χ χ1,χ χ2) deduzimos desta igualdade, por pós-multiplicação de ambos os seus membros por χ3:

χ1.χ 2 .χ 3 = χ 2 .χ1.χ ′3 .χ 3 Agora, considerando (25) e lembrando que χ2.χ1 é completo, resulta:

χ ′3 .χ 3 = I , donde a tese.

§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos. Os autovalores reais ou imaginários e as suas possíveis multiplicidades permitiram efetuar reduções nas expressões dos diádicos. São elas: 1°) - A, B, C reais: φ = Aaa ∗ + Bbb ∗ + Ccc ∗ , diádico tônico; 2°) - A, M + Ni, M - Ni:

Γ = [Aaa ∗ + ρ(bb ∗ + cc ∗ )].[aa ∗ + cosϕ(bb ∗ + cc ∗ ) + senϕ(cb ∗ − bc ∗ )] , produto comutativo de um tônico (de autovalor duplo) por um cíclico;

III,§ 05.03

§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores.

367

3°) - A, B = C: a) - φ = Aaa ∗ + B(bb ∗ + cc ∗ ), se φ − AΙΙ é planar e φ − BΙΙ linear ou unilinear, diádico tônico (com um autovalor duplo); b) - φ = [ Aaa ∗ + B(bb ∗ + cc ∗ )]. ( Ι + cb ∗ ) se φ − AΙΙ é planar e φ − BΙΙ ortoplanar, produto comutativo de um tônico (com um autovalor duplo) por um cisalhante (simples); 4°) - A = B = C: a) - A = B = C = 0, φ = ab ∗ + bc ∗ (φ φ é antitriangular), caso em que φ + Ι é um produto (não comutativo) de dois cisalhantes simples de direções ortogonais; denomina-se cisalhante complexo; b) - A = B = C ≠ 0, podendo ser:

φ = AΙΙ + bc ∗ , caso em que φ − AΙΙ é ortolinear; φ é um diádico de cisalhamento simples; φ = AΙΙ , caso em que φ é tônico. Tais reduções são denominadas canônicas porque a representação de um diádico qualquer, dado ao acaso, pode sempre ser reduzida a uma delas. Conseqüentemente, qualquer diádico pode ser classificado como um dos tipos seguintes, ou como um produto deles, sete no total: - os diagonalizáveis: - três tônicos (com autovalores simples, um duplo e um triplo), pelos quais as distâncias nas direções dos seus autovetores aumentam ou diminuem em diferentes proporções, ou em proporções iguais em duas ou em três dessas direções; - e os não diagonalizáveis: - um cíclico, que rege rotações elípticas (diádicos de rotação incluídos); - um cisalhante simples, que rege cisalhamento; - um cisalhante complexo, soma de um antitriangular com o diádico unidade, e que é fatorável no produto de dois cisalhantes simples.

Um resumo dos principais resultados deste § 05 está apresentado no Quadro V, no final deste capítulo.

Poliádicos - Ruggeri

368

§ 06

- Rotações.

§ 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES). § 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. Sejam {a , b , c} e {a ∗ , b ∗ , c ∗ } sistemas recíprocos,

(cc*,ϕ)= cc∗ + cosϕ(aa ∗ + bb ∗ ) + senϕ(ba ∗ − ab ∗ )

(01),

um cíclico a eles associados115 e o diádico de rotação associado (similar) a esse cíclico,

$ $ + cos ϕ ( $$ Ω( k$ ,ϕ) = kk ii + $$ jj) + sen ϕ ( − $$ ij + $$ ji ) ,

(02),

k$ sendo o seu eixo, ϕ o seu ângulo de giro (o argumento do cíclico) e ( $i , $j ) o par de semidiâmetros da circunferência de Ω que se projeta no par (a,b) de semi-diâmetros conjugados da elipse de  (Figura 05.02, § 05.02,A). Como esses diádicos são similares, eles têm os mesmos autovalores, a saber: 1, eiϕ e i ϕ e ; têm , também, necessariamente, o mesmo escalar 1+2cosϕ, sendo, então:

-1≤ (cc*,ϕ)E= Ω (kˆ , ϕ) E ≤3,

(011).

Se v(α) é a projeção do vetor genérico v paralelamente a c sobre o plano (a,b), escrevemos: v ( α ) = ( v ( α ) .a ∗ )a + ( v ( α ) .b ∗ )b , sendo v = ( v.c* )c + v ( α ) . Conforme vimos (§ 05.02,A), se r(α) é o vetor de argumento α da elipse de semi-diâmetros conjugados a e b, paralelo a v(α), e se K=|v(α)|/|r(α)|, então v(α)=Kr(α) e v=(v.c*)c+ Kr(α), sendo v ( α ) = K (cosαa + senαb) . Tem-se, ainda:

v´=(cc*,ϕ). v = ( v.c∗ )c + Kv ( α+ϕ) ,

pois,

(cc*,ϕ).v(α)=v(α+ϕ).

Como |v(α)|≠|v(α+ϕ)|, resulta que |v´|≠|v|. Seja, agora, u um vetor arbitrário em módulo e sentido, mas paralelo à interseção dos planos ortogonais (a,b) e (c,c*). Nesse caso particular, o ângulo de u com c é o complemento do ângulo de c com c*. Ora, (cc*,ϕ).c=c. Como (cc*,ϕ).u=u' é elipticamente rodado de u, o ângulo de u' com c, nesse caso particular, será evidentemente diferente do ângulo de u com c; no caso geral, então, essa diferença fica também comprovada. Logo, podemos enunciar:

Teor. 1: Nas rotações elípticas as distâncias e os ângulos não são conservados, em geral. 115 Para o que interessa daqui a diante será mais interessante essa forma de representação do cíclico que é, evidentemente, tão legítima quanto a utilizada no § 05.02,A.

III,§ 06.01

§ 06.01

- Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores.

369

Escrevamos o cíclico (01) na forma

(cc*,ϕ) = a ( − r ) + bs + cc ∗ com − r = cos ϕ a ∗ − sen ϕ b ∗ , s = sen ϕ a ∗ + cos ϕ b ∗ . Tem-se, como é fácil calcular:

− ( rsc ∗ ) = ( a ∗ b ∗ c ∗ ) , existindo, pois, o sistema recíproco de {−r, s, c∗} ; encontramos, facilmente: - homólogo de (-r):

cos ϕ a − sen ϕ b ;

- homólogo de s:

sen ϕ a + cos ϕ b ;

- homólogo de c*:

Então podemos escrever o principal (§08,II) do cíclico na forma

(cc*, ϕ)P = a ∗ (cos ϕ a − sen ϕ b) + b ∗ (sen ϕ a + cos ϕ b ) + c ∗ c

(03),

ou, ainda, na forma

(cc*, ϕ)P = c ∗ c + cos ϕ ( a ∗ a + b ∗b ) + sen ϕ ( − a ∗ b + b ∗ a )

(04).

Então, o principal do cíclico é ainda um cíclico de eixo c e ângulo ϕ, isso é:

(cc*,ϕ)P = (c*c,ϕ),

(05).

Transpondo em (04), temos, lembrando que o transposto do principal é igual ao recíproco:

(cc*,ϕ)-1 = cc ∗ + cos ( −ϕ ) ( aa ∗ + bb ∗ ) + sen ( −ϕ ) ( − ab ∗ + ba ∗ )

(06),

ou seja,

(cc*,ϕ)-1 = (cc*,-ϕ),

(061).

Transpondo em (01), vem:

(cc*,ϕ)T = c ∗ c + cos ( −ϕ) ( a ∗ a + b ∗ b) + sen ( −ϕ) ( − a ∗ b + b ∗ a ) =(c*c,-ϕ)

(07),

expressão formalmente idêntica à (04) onde se troque ϕ por - ϕ; então:

(cc*,ϕ)T = (cc*,-ϕ)P,

(071).

Poliádicos - Ruggeri

370

§ 06

- Rotações.

Em resumo:

(cc*,ϕ)≠(cc*,ϕ)T=(c*c,-ϕ)=(c*c,ϕ)-1 =(c*c,ϕ)P-1 (cc*,ϕ)≠(cc*,ϕ)-1=(cc*,-ϕ)

(08).

(cc*,ϕ)≠(cc*,ϕ)P=(c*c,ϕ)=(c*c,-ϕ)-1=(cc*,ϕ)-T Deve ser observado que (cc*,ϕ) e seu inverso têm o mesmo eixo c*, o mesmo autovetor c e argumentos opostos; similarmente, (cc*,ϕ)T e seu inverso (o principal de (cc*,ϕ)) têm o mesmo eixo c, o mesmo autovetor c* e argumentos opostos. No caso de rotação circular existe, entretanto, a igualdade

Ω

( k$ ,ϕ) P

=Ω

( k$ ,ϕ)

, ou Ω

T ( k$ ,ϕ)

=Ω

−1 ( k$ ,ϕ)

(081),

porque o sistema {$i , $j, k$ } é auto-recíproco idêntico. Logo:

Teor. 2: Se um diádico é de rotação (circular) ele é igual ao seu principal; ou, o seu transposto é igual ao seu recíproco. Como preliminar à demonstração da recíproca desse teorema provaremos o seguinte

Teor. 3: Se um diádico é igual ao seu principal, os seus autovalores são

±1,

e iϕ

e − iϕ .

Se φ = φ P , então φ T = φ −1 e φ . φ T = φ T . φ = Ι ; logo φ 3 = ±1 e, considerando ((10), § 08.01,II): φ T = φ −1 = ±φ~ . A equação característica desse diádico é, então:

X 3 − φ E X 2 ± φ E X m 1 = 0, expressão em que os sinais se correspondem. A unidade positiva ou negativa é, evidentemente, um autovalor do diádico, e, se B e C são os outros dois,

φ E ± 1 = B + C = 2cosϕ

BC=1.

Então, B e C são as raízes da equação

X 2 − (φ E m 1) X + 1 = 0 pois

X 3 − φ E X 2 ± φ E X m 1 = ( X m 1) [X 2 − (φ E m 1) X + 1] = 0 . III,§ 06.01

§ 06.01

- Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores.

371

Para que B e C sejam reais é CNS que (φ E m 1) 2 ≥ 4 , ou seja, , ou B + C ≥ 2. Mas B C = 1; logo deve ser (B + 1) 2 ≤ 0 , ou (B − 1) 2 ≥ 0 . A primeira hipótese só é admissível se for B = - 1, caso em que será também C = - 1, ou seja A = ± 1 e B = C = - 1. Então o diádico ou tem um autovalor duplo ou um autovalor triplo. No caso de autovalor duplo, φ + Ι é linear e φ é tônico com um autovalor duplo (Teor. 2, § 04.02); no caso de autovalor triplo, φ − Ι é ortolinear e pode ser reduzido à forma φ = Ι + $jk$ , com $j. k$ = 0 (Teor. 3, § 04.03). A segunda hipótese ( (B − 1) 2 ≥ 0 ) é sempre possível, mesmo para B = ± 1, caso em que A = ± 1 e B = C = ± 1, ou seja, o diádico tem autovalores duplos ou triplos. Esse caso, então, é idêntico ao anterior (se B = ± 1). Se for B ≠ ± 1, será A = ± 1 e B ≠ C ≠ ± 1 e φ será tônico com autovalores distintos. O caso φ − Ι ortolinear (implicado na primeira hipótese) é inadmissível porque $ $ = Ι − kj $$ , isso sendo, então, φ = Ι + $jk$ , ou seja φ = $$ ii + $$ jj + ( $j + k$ ) k$ , é φ P = $$ ii + ( $j − k$ ) $j + kk é, φ ≠ φ P , o que é absurdo.

O caso (implicado na primeira hipótese e na segunda) em que φ possa ser tônico com A=±1 e B≠C≠±1 (alem, é óbvio, de B≠0 e C≠0), também é inadmissível. Com efeito, conforme Teor.6, §04.01,B, esse diádico pode ser escrito na forma geral φ = A i e i e i onde A1=A, A2=B ... e os ei são os autovetores de φ. É fácil comprovar que φ P = (1 / A j ) e j e j , não sendo possível comparar esses diádicos nessas formas (pois não têm os mesmos antecedentes e os mesmos conseqüentes). Podemos, entretanto, escrever:

φ = A i E i j e i e j com E i j = e i . e j e

φ P = (1 / A j )E ji com E ji = e j.e i = E ij . Como φ=φ φ P,

∀i, j :

A i E ij = (1 / A j )E ji = (1 / A j )E ij ,

de onde podemos deduzir (impondo a condição de que esses diádicos devam ter o mesmo vetor, igualando as coordenadas desses vetores e resolvendo o sistema formado) que A=B=C=±1, o que é um absurdo. Os autovalores B e C devem ser, pois, complexos conjugados. Ponhamos: B=M+Ni e C=M-Ni. Como BC=1, M2+N2=1, isso é, os módulos de B e C são unitários; então B=eiϕ e C=e-iϕ, com M=cosϕ e N=senϕ.

Teor. 4: (recíproco do Teor. 2) Se um diádico é igual ao seu principal (ou seu transposto é igual ao seu inverso), esse diádico é de rotação:

φ = φP

⇒

$ $ + cos ϕ ( $$ φ = kk ii + $$ jj) + sen ϕ ( − $$ ij + $$ ji ) ,

(09),

Poliádicos - Ruggeri

372

§ 06

- Rotações.

Pelo Teor. 3 o diádico tem os autovalores complexos ±1, eiϕ e e-iϕ; pelo Teor.1,§04.01,A, existem bases recíprocas em relação às quais podemos escrever esse diádico na forma:

φ = ± cc∗ + cos ϕ ( aa ∗ + bb∗ ) + sen ϕ ( − ab∗ + ba ∗ ) , caso em que

[ φ ] abc

 cos ϕ -sen ϕ 0    ∗ =  sen ϕ cos ϕ 0  = [ φ ] ∗ ,   0 ±1  0

(a).

No caso geral, se φ = φ i j a i a j , então φ −1 = (1 / φ 3 )Φ rk a r a k , sendo Φ rk o complemento algébrico (ou co-fator) de φ kr no determinante |φ φ ∗ ∗ | , conforme §09.08,II. Então,

[ φ −1 ] ∗ ∗

 Acos ϕ -Asen ϕ 0  cos ϕ -sen ϕ 0      = ± Asen ϕ Acos ϕ 0 =  sen ϕ cos ϕ 0  ,     0 1  0 0 ±1  0

pois φ3=A=±1. Mas, sendo φ=φ φ P, ∗

∗

[φ ∗∗ ] = [φ P ∗∗ ] = [φ −1 ∗ ]T = [φ −1∗ ] ,

(b),

e, conforme ((041)3, § 09.03, II),

[φ −1 ]∗ ∗ = [G ]∗∗ . [φ −1]∗ ∗ . [G ]∗∗ ,

[φ −1 ]∗ ∗ . [G ]∗∗ = [G ]∗∗ . [φ −1 ]∗ ∗ ,

porque [G ]∗∗ e [G ]∗∗ são inversas. Sendo, ademais, (§ 09.02, II)

 a. a  [G ]∗∗ = b. a  c. a

a.b b.b c. b

a. c   b. c  , c. c 

e considerando (a) e (b), escrevemos (c) na forma:

 cos ϕ -sen ϕ 0   a.a a.b a.c   a.a a.b a.c   cos ϕ -sen ϕ 0          sen ϕ cos ϕ 0  . b.a b.b b.c  = b.a b.b b.c  . sen ϕ cos ϕ 0  .        0 ±1  c.a c.b c.c   c.a c.b c.c   0 0 ±1  0 Operando temos, no primeiro membro:

 a 2 cos ϕ − (b. a )sen ϕ ( a.b ) cos ϕ − b 2 sen ϕ ( a. c) cos ϕ − (b. c ) sen ϕ   2 2  a sen ϕ + (b. a ) cos ϕ ( a.b ) sen ϕ + b cos ϕ ( a. c) sen ϕ + (b. c ) cos ϕ ,   ± ( c. a ) ± ( c.b ) ± ( c. c)   III,§ 06.01

(c),

§ 06.01

- Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores.

373

e no segundo,

 a 2 cos ϕ + ( a. b ) sen ϕ -a 2 sen ϕ + ( a.b ) cos ϕ ± ( a. c)    2 2  (b. a ) cos ϕ + b sen ϕ − (b. a ) sen ϕ + b cos ϕ ± (b. c)  .    ( c. a ) cos ϕ + c. bsen ϕ -(c. a ) sen ϕ + ( c.b ) cos ϕ ± ( c. c)  Igualando as coordenadas homônimas dessas matrizes deduzimos, sem delongas: - da 1ª) linha e 1ª) coluna: a . b = 0; - logo, da 1ª) linha e 2ª) coluna: |a| = |b|; - da 1ª) linha e 3ª) coluna: - (b . c) sen ϕ = (a . c)(± 1 – cos ϕ); - da 3ª) linha e 1ª) coluna: (b . c) sen ϕ = (c . a)(± 1 – cos ϕ). Então, desta condição e da última obtida resultam: b . c = 0 e, por isso, c . a = 0; - da 3ª) linha e 3ª) coluna vemos que |c| é arbitrário. Concluímos, em resumo, que se φ = φ P , a base {a,b,c} é triortogonal, devendo ser |b|=|a| e |c| arbitrário. Então podemos fazer a = $i , b = $j e c = k$ e escrever φ na forma (09).

Corol. 1: A CNS para que um diádico seja de rotação é que ele seja igual ao seu principal, ou que o seu transposto seja igual ao seu inverso:

φ P = φ , ou φ T = φ −1

⇔

⇔ $ $ + cos ϕ ( $$ φ = kk ii + $$ jj) + sen ϕ ( − $$ ij + $$ ji ) ,

(10),

expressão na qual {$i , $j, k$ } é um sistema direto de unitários triortogonais. Deve ser observado que o ângulo de rotação é menor que π radianos. Com efeito, para π<ϕ<2π pode-se sempre substituir ϕ por (2π-ϕ), uma vez que

e e

iϕ

= cos(2 π − ϕ) − isen(2 π − ϕ) = e

− iϕ

− i(2 π − ϕ)

= cos(2 π − ϕ) + isen(2π − ϕ) = e

i(2 π −ϕ)

, .

Isto equivale a uma rotação num sentido, de ângulo maior que π radianos, ou uma rotação em sentido contrário, de ângulo menor que π radianos. * Exercícios: 1) - Todo diádico de rotação tem norma igual a 3. (Sugestão: considerar ((19),§08.01) e (10)).

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374

§ 06

- Rotações.

2) - O vetor de um rotor é um de seus autovetores, ao qual correspondente a unidade positiva como um de seus autovalores: Ω . Ω V = Ω V . Ou, o que é o mesmo: Todo rotor rege uma rotação em torno do suporte do seu vetor. *

Caracterização dos cíclicos e rotores. Para simplificar a notação em estudos posteriores, escreveremos doravante um ciclotônico na forma

Γ = Acc ∗ + M( aa ∗ + bb ∗ ) + N ( − ab ∗ + ba ∗ ),

(11),

e seu fator cíclico na forma correspondente

 ( cc∗ ,ϕ) = cc∗ + cos ϕ( aa ∗ + bb∗ ) + senϕ ( − ab∗ + ba ∗ ) ,

(111).

Conforme garante o Teor. 1, § 04.01, c deve ser o autovetor deles e c* o eixo do cíclico (§ 05.02,A). Os demais vetores que comparecem numa qualquer de suas representações constituem sistemas recíprocos, mas são totalmente arbitrários; o que significa que os cíclicos e os ciclotônicos podem ser escritos de infinitas maneiras com a mesma díade cc*. Então um cíclico não fica caracterizado apenas pelos vetores c e c* respectivamente seu autovetor e seu eixo – tais que c.c*=1, e pelo argumento de giro, ϕ, argumento dos seus autovalores complexos (conjugados). De fato, as projeções dos pontos do espaço (extremidades dos vetores pacientes), sobre o plano ortogonal ao eixo, descreverão elipses homotéticas de diferentes razões de homotetia. Para que um cíclico fique caracterizado é necessário especificar a família de elipses homotéticas no plano ortogonal ao eixo. Essa especificação é feita ao escolher-se o par de vetores (a,b), isso é, dois dos semi-diâmetros conjugados de uma elipse da família. Em resumo: um cíclico fica univocamente caracterizado por um terceto de vetores independentes e um ângulo. * Exercício: Provar que existe e estudar o cíclico cujo argumento de giro elíptico seja igual ao ângulo formado pelo seu autovetor e o seu eixo. * Os rotores, por outro lado, podem ser caracterizados de uma forma mais simples, posto que (§ 06.01), para eles, c=c*= k$ , isso é, o seu eixo é o seu próprio autovetor. Assim, qualquer vetor paralelo a k$ e cujo módulo seja uma função definida de ϕ caracterizará perfeitamente a rotação. Tem-se, como facilmente se constata por (02):

Ω V = −2senϕ kˆ

Ω E = 1 + 2cosϕ ,

(12),

donde

III,§ 06.01

−Ω V ϕ = tg kˆ , 1+ ΩE 2

(13)

§ 06.01

- Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores.

375

Definição: (vetor semitangente de rotação) O vetor q, dado por (13), será denominado vetor semitangente de rotação, e caracterizará evidentemente a rotação de ângulo ϕ e eixo k$ regida por Ω. Nota: É necessário observar-se que, não obstante o vetor q caracterize uma rotação, não tem sentido “somar” duas rotações definidas por q1 e q2 simplesmente somando esses vetores. Como veremos (§06.03,A,Teor. 16), as rotações são compostas por “produtos” e o vetor semitangente correspondente será calculado como função de q1 e q2 algo diferente de simples soma.116

Como o rotor é um cíclico particular, dois rotores que tenham, sabidamente, o mesmo eixo (logo, o mesmo autovetor), digamos, k$ , podem ser escritos na forma (02), § 06.01, correlata de (111):

Ω

( k$ ,ϕ)

$ $ + cos ϕ ( $$ = kk ii + $$ jj) + sen ϕ ( − $$ ij + $$ ji ) ,

(14),

$ $ + cos ϕ′ ( $$ Ω ( k$ ,ϕ′ ) = kk ii + $$ jj) + sen ϕ′ ( − $$ ij + $$ ji ) ,

(141),

Consideremos o rotor Ω que transforma pontos Ai, de vetores posicionais ai, em pontos Bi de vetores posicionais bi em relação a um ponto arbitrário O do eixo do rotor (que denominaremos origem ou centro da rotação). Escrevemos: b i = Ω . a i . Para dois pontos arbitrários A1 e A2 tem-se, também:

b 2 − b 1 = Ω . ( a 2 − a 1 ),

donde

(b 2 − b 1 ) 2 = ( a 2 − a 1 ) . ( Ω T . Ω ) . ( a 2 − a 1 ) ,

ou seja, considerando (10): (b 2 − b 1 ) 2 = ( a 2 − a 1 ) 2 . Em vista da arbitrariedade dos pontos A1 e A2 podemos concluir:

Teor. 5: Nas rotações as distâncias são sempre conservadas, contrariamente ao caso das rotações (elípticas) com cíclicos.

Corol. 1: Na rotação, o ângulo de duas direções quaisquer é sempre conservado. Com efeito, o produto escalar dos vetores b1 e b2, respectivamente transformados dos vetores a1 e a2 mediante Ω, pode ser escrito na forma:

b 1 .b 2 = ( Ω . a 1 ) . ( Ω . a 2 ) = a 1 . ( Ω T . Ω ) . a 2 = a 1 . a 2 . Como a rotação conserva os módulos dos vetores: |b1| = |a1| e |b2| = |a2|; logo,

cos( b 1 , b 2 ) = cos( a 1 , a 2 ) , ou, ( b 1 , b 2 ) = 2 kπ ± ( a 1 , a 2 ) , isso é, (b1,b2) = (a1,a2) uma vez que o ângulo de duas direções é sempre positivo e menor que π rad. 116 Em outras palavras: o vetor semitangente de rotação não é um tensor (pois há vetores que não são tensores).

Poliádicos - Ruggeri

376

§ 06

- Rotações.

Corol. 2: Um diádico de rotação transforma um terceto de vetores que formem entre si certos ângulos, num outro terceto que, correspondentemente, têm os mesmos módulos e formam entre si os mesmos ângulos, ou, o que é o mesmo:

Todo diádico de rotação transforma um tetraedro num outro tetraedro congruente com o primeiro. Por conseqüência deste corolário, a transformação regida por Ω é denominada, também, uma transformação normogonal (ou congruente) pelo fato de manter as normas dos vetores e seus ângulos.

Generalização de conceitos clássicos.

Definição: (tercetos normogonais, ou congruentes) Dois tercetos positivos quaisquer de vetores, {g1, g2 , g3} e {e1 , e2 , e3} tais, que para todo i,j=1,2,3, | gi | =| ei | e ângulos (gi , g j ) = (ei , e j ) , serão ditos tercetos de vetores normogonais (ou congruentes), ou, simplesmente, tercetos normogonais. Resulta da definição que pares de sistemas ortonormados são sistemas normogonados (muito particulares): aqueles cujos ângulos entre os vetores (unitários) de um sistema e outro são todos iguais a um reto. Por conseqüência do Corol. 2, Teor.1, §02.04, II, existirá sempre um e um único diádico que transforma um terceto num outro que lhe seja normogonal. Se, então, g i = µ.e i , tem-se µ = g i e i e µ P = (g i .g k )g k (e i .e j )e j = (g i .g k )(e i .e j )g k e j . Da normogonalidade dos tercetos deduzimos,

e i .e j = g i .g j e (g k .g i )(e i .e j ) = (g k .g i )(g i .g j ) = g k .g j = δ kj . Podemos, assim, escrever µ P = δ kjg k e j = g je j = µ . Então, concluímos:

Teor.6: (direto) Se duas bases são normogonadas, o diádico de mudança de uma base para a outra é igual ao seu principal, ou seja é um diádico de rotação. Aplicando o Teor. 6 para duas bases normogonadas (ou congruentes), em dois sentidos opostos, vemos que se µ=µ µP num sentido, deve ser µ-1=µ µ-1P=µ µT no sentido oposto, isso é: se um diádico é igual ao seu principal, o seu transposto é igual ao seu inverso (conforme já sabíamos, Teor. 2). O recíproco do Teor. 6 é verdadeiro, isso é,

Teor. 7: (recíproco) Se um diádico de mudança de base é igual ao seu principal (ou um diádico de rotação), as bases são congruentes. III,§ 06.01

§ 06.02

- Rotações próprias e impróprias.

377

Seja µ o diádico de mudança da base {e*} para a base {g*}, isso é, gi=µ µ.ei para µP, será também, necessariamente, µT=µ µ-1. Tem-se, i=1,2,3. Então: µ=giei; e devendo ser µ=µ então, para quaisquer i,j=1,2,3: gi.gj=ei.(µ µT.µ).ej, ou seja, gi.gj=ei.ej. Logo, os tercetos são normogonados.

Corol. 1: A CNS para que duas bases sejam congruentes é que o diádico de mudança de uma base para a outra seja um diádico de rotação. Corol. 2: A CNS para que um diádico µ seja um diádico de rotação é que ele seja redutível a uma forma trinomial µ = g i e i de que os conseqüentes {e1, e2, e3} sejam os recíprocos de um terceto {e1, e2, e3} congruente com os antecedentes {g1, g2, g3}:

µ = µ P = g iei ou,

⇔

g i .g j = e i .e j (∀i, j = 1,2,3) ,

(15),

A CNS para que uma diádico µ seja um diádico de rotação é que ele seja redutível a uma forma trinomial µ = g i e i de que os antecedentes {g1, g2, g3} sejam os recíprocos de um terceto {g1, g2, g3} congruente com os conseqüentes {e1, e2, e3}. Este Corol. 2 generaliza um teorema clássico de Gibbs:

A CNS para que um diádico Ω seja de rotação é que ele seja redutível à forma

$$ ', Ω = $$ ii ' + $$ jj ' + kk

(16),

onde { $i , $j , k$ } e { $i ' , $j ' , k$ '} são dois tercetos de unitários triortogonais. Resulta então dessas considerações que, dadas duas bases congruentes, existe um e um único diádico de rotação que as superpõe com uma única rotação117. Seja, então, µ um diádico de rotação que “roda” (ou pode superpor) duas bases congruentes. Se k$ é o unitário do seu eixo de rotação e ϕ é o seu ângulo, isso é, pondo

µ = Ω (kˆ ,ϕ) = kˆ kˆ + cosϕ(îî + ˆjˆj) + senϕ( ˆjî − îˆj) , então

µ V = Ω V = −2senϕkˆ = g i × e i

Ω E = µ E = 1 + 2cosϕ = g i .e i .

Assim, calculados o vetor e o escalar do diádico µ por meio dos vetores dos sistemas normogonados, poderemos determinar o eixo k$ e o ângulo de rotação ϕ de Ω. Com efeito, lembrando que, conforme (011), § 06.01, para ϕ≠0 e π, é −1 < ΩE < 3: 117 Veremos no Tomo II, que esse teorema permitirá uma exposição da Mecânica Racional onde, com ganho de generalidade e sem prejuízo da simplicidade, os triedros triortogonais darão lugar aos "triedros quaisquer".

Poliádicos - Ruggeri

378

§ 06

kˆ = −

µV (3 - µ E )(1 + µ E )

- Rotações. e

cosϕ =

µE −1 . 2

Se dois diádicos φ e ψ são similares mediante (o completo) Ω, escrevemos:

φ = Ω . ψ . Ω T , ou ψ = Ω T . φ . Ω

(17),

caso em que φ e ψ são ditos, também, normogonalmente similares mediante Ω. No caso particular de bases ortonormadas, φ e ψ são ditos ortogonalmente similares.

Definições: Diremos, doravante, que os pontos ou os vetores são rodados pelo diádico de rotação em torno do seu eixo de um ângulo igual ao seu ângulo de rotação. Por analogia com os conceitos do § 02.02,

os diádicos φ e ψ que satisfazem as igualdades (17), serão ditos, também, rodados por Ω; e nesse caso particular, as leis (17) serão ditas leis de rotação dos diádicos φ e ψ. A direção do vetor de um rotor denomina-se, também, o seu eixo de rotação.

§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. Vimos (§05.02,A) que o terceiro de qualquer diádico cíclico é ±1. Portanto é ±1 o terceiro de qualquer rotor, o que também pode ser confirmado calculando-se o terceiro de µ por (15); pois deve ser: µ3=(g1g2g3)(e1e2e3), com (g1g2g3)=(e1e2e3)=(e1e2e3)-1. Nesse caso, o sinal será positivo se os triedros forem ambos de mesma paridade (são ambos diretos ou ambos indiretos); e negativo se um é direto e o outro indireto.

Definições: Diz-se que os rotores com terceiro positivo regem uma rotação própria. Os

demais rotores regem uma rotação imprópria. Os primeiros denominam-se rotores próprios e os segundos, impróprios. Teor. 1: Nas rotações próprias os volumes se transformam identicamente; nas impróprias, são números simétricos. Com efeito, pela propr.3 das TL's (§ 01.01), o terceiro de um diádico é igual à razão dos volumes transformados; logo, nas rotações próprias eles são iguais e nas rotações impróprias são números simétricos.

Teor. 2: O inverso de um rotor próprio e o de um impróprio são, respectivamente, rotores próprio e impróprio.

III,§ 06.03

§ 06.02

- Rotações próprias e impróprias.

379

Se Ω = ΩP, então Ω−1 = ΩP −1 . Mas, conforme ((171), § 08.01,II), ΩP −1 = (Ω−1) P . Logo, Ω−1 = Ω−1P , isso é, Ω−1 , por ser igual ao seu principal, é um diádico de rotação. Como (Ω . Ω−1 )3 = Ι 3 = 1 = Ω3 Ω−13 os terceiro de rotores recíprocos devem ser do mesmo sinal, isso é, ou são ambos próprios ou ambos impróprios.

Teor. 3: O produto de dois rotores é rotor próprio se ambos são próprios ou impróprios; o produto é impróprio se um próprio e o outro impróprio. Sejam φ e ψ dois rotores próprios, isso é, tais, que:

φ T = φ −1 e ψ T = ψ −1 com φ 3 = ψ 3 = +1. Escrevendo χ = ψ.φ, temos, multiplicando membro a membro as expressões acima e considerando ((01), § 05.03,II) e ((02), § 08.03,II):

χ T = χ −1 com χ 3 = φ 3 ψ 3 = +1. Também, escrevendo χ' = φ.ψ, temos:

ψ T . φ T = ψ −1 . φ −1 = (φ . ψ) T = (φ . ψ) −1 , ou, ( χ ' ) T = ( χ ' ) −1 , com χ ' 3 = +1, isso é, χ e χ' são diádicos de rotação próprios. Se φ e ψ fossem impróprios teríamos também: χ3 = χ'3 = +1. Fica evidente a segunda parte da demonstração do teorema.

Corol. 1: A rotação regida pelo rotor impróprio Ω é equivalente à rotação regida pelo rotor próprio -Ω seguida de uma simetria em relação à origem. Com efeito, pois tem-se: Ω = (- Ι).(- Ω). Nota:

Por este corolário, vê se que é suficiente estudar as rotações próprias; é o que faremos doravante salvo onde for observado o contrário.

Exercício: Uma combinação linear de diádicos de rotação nunca é um diádico de rotação.

§ 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares). § 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. Cíclicos e rotores biquadrantais.

Definição:(quadrantais e biquadrantais) Diádicos quadrantais e biquadrantais são, respectivamente, cíclicos de ângulo de giro igual a π/2 e π radianos.

Poliádicos - Ruggeri

380

§ 06

- Rotações.

Se c e c* são o autovetor e o eixo de um cíclico (logo, também do quadrantal e biquadrantal do qual derivam) podemos escrever, no caso do biquadrantal:

(cc*,π)=2cc*-I, com c.c*=1,

(01),

devendo observar-se, de imediato, que o ângulo de c com c* é agudo e que |c||c*|≥1. O plano do cíclico (plano ortogonal ao eixo c*) é, também o plano do biquadrantal.

Notação para os biquadrantais Considerando que o ângulo de giro tem um valor específico, inequívoco, podemos simplificar a notação pondo

 ( cc∗ ,π) = 2cc ∗ − Ι = Π ( cc∗ ) ,

(011),

sendo, então

∀ Π ( cc∗ ) :

Π ( cc∗ ) E = −1 ,

(012).

* Os autovalores de um biquadrantal são: 1, eiπ = e− iπ =-1, isso é, os biquadrantais são diádicos tônicos com um autovalor duplo (§ 04.02). Ao autovalor duplo corresponde o diádico característico linear Π ( cc∗ ) + Ι = 2cc∗ . Conforme o Teor. 2, (§ 04.02), existem sistemas de vetores recíprocos em relação aos quais podemos dar ao biquadrantal a forma diagonal. Utilizando c e c* para se constituírem esses sistemas, escrevemos:

Π ( cc∗ ) = cc ∗ − [( − a )( − a ∗ ) + ( − b )( − b ∗ )] ,

(013),

expressão na qual {− a ,− b , c} e {− a ∗ ,− b ∗ , c ∗ } constituem sistemas recíprocos. A equivalência entre (01) e (013) é clara pois podemos escrever: Ι = aa ∗ + bb ∗ + cc∗ . A interpretação geométrica da transformação regida por um biquadrantal é, evidentemente, a mesma relativa aos cíclicos, mas com um ângulo de giro igual a π radianos. Portanto − Π ( cc∗ ) reflete obliquamente qualquer vetor em relação ao seu plano, paralelamente ao seu autovetor (ver §02.05), operação essa realizada no plano ortogonal a esse plano e que contém o vetor. Essa transformação generaliza a operação elementar denominada reflexão; poderíamos denominá-la reflexão obliqua. Por ser, evidentemente,

(cc*,π)2=I, resulta

Teor. 1: Todo biquadrantal é igual ao seu recíproco, tem terceiro igual + 1 e escalar igual a - 1. Como, para todo cíclico, o adjunto e o recíproco são iguais, tem-se, em resumo:

Π ( cc∗ ) = Π

III,§ 06.03,A

( cc∗ )

~=Π

( cc∗ )

−1

≠Π

( cc∗ )

(014),

§ 06.03, A

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

381

mas

Π ( cc∗ ) E = Π ( cc∗ )

~ E

= Π ( cc∗ ) −1 = Π E

T ( cc∗ ) E

= −1 ,

(015).

Teor. 2: (recíproco) Se φ é um diádico igual ao seu recíproco (φ = φ −1 ), se tem terceiro igual a + 1 e escalar igual a - 1 (φ 3 = 1 = −φ E ), então φ é um biquadrantal. Se o terceiro de um diádico é igual a + 1, o seu adjunto é igual ao seu recíproco. ~ ~ Como, por hipótese, φ = φ −1 , resulta, φ = φ −1 = φ e, logo, φ E = φ E = −1. Então a equação característica do diádico é X 3 + X 2 − X − 1 = 0 = ( X − 1)( X + 1) 2 ; e seus autovalores: 1, - 1, -1. Mas ~

(φ + Ι ) =

~ ~ ~ 1 (φ + Ι ) ×× φ + Ι ) = φ + φ ×× Ι + Ι = φ + (−φ T + φ E Ι ) + Ι = φ − φ T = φ − φ T , 2

de onde concluímos que (φ + Ι )

~ E

= 0 . Então (Teor. 1, § 04.02), φ + Ι só pode ser ortoplanar ou linear. Entretanto, por ser (φ + Ι ) 2 = φ 2 + 2φ + Ι = 2(φ + Ι ) , esse diádico não pode ser ortoplanar (Corol. 2, Teor. 4, § 05.04, II). Então, sendo φ + Ι linear, podemos escrevê-lo na forma φ + Ι = 2 tt∗ . Mas, sendo (φ + Ι ) E = φ E + Ι E = −1 + 3 = 2 , resulta que se deva fazer t. t ∗ = 1. Então, o diádico é um biquadrantal.

Corol. 1: A CNS para que um diádico seja um biquadrantal é que ele seja igual ao seu recíproco, tenha terceiro igual a + 1 e escalar igual a - 1. Teor. 3: O módulo de qualquer biquadrantal é finito e no mínimo igual a 3 . Com efeito, tem-se, conforme a definição de norma (§ 07.07, II):

|| Π ( tt∗ ) || = ( 2 tt ∗ − Ι ) : ( 2 tt ∗ − Ι ) = −1 + 4 t 2 t ∗2 > 0 . Mas, sendo t . t* = 1, isso é, t 2 t ∗ 2 = sec 2 ( t , t ∗ ) , tem-se:

|| Π ( tt∗ ) || = −1 + 4 sec 2 ( t , t∗ ) . Como 0 ≤ cos 2 ( t , t ∗ ) ≤ 1, resulta:

3 ≤ || Π ( tt∗ ) || , ou

3 ≤ | Π ( tt∗ ) |,

(016),

Poliádicos - Ruggeri

382

§ 06

- Rotações.

O diádico característico relativo ao autovalor + 1,

Π ( cc∗ ) − Ι = 2 ( cc∗ − Ι ) ,

(02),

é, evidentemente, planar uma vez que c e c* podem ser usados para uma representação de I; seu escalar vale - 4:

( Π ( cc∗ ) − Ι ) E = −4 ,

(021).

O adjunto desse diádico, uniplanar (de plano coincidente com o plano do biquadrantal), é

( Π ( cc∗ ) − Ι ) = 2( cc∗ + c∗ c) , ~

(03),

e seu escalar

( Π ( cc∗ ) − Ι )

~ E

= 4,

(031).

Assim, a equação característica de Π ( cc∗ ) − Ι é X(X2 + 4 X + 4) = 0 e seus autovalores 0, -2 e -2. Seus autovetores são, então, c e c∗ × c . Os autovalores do diádico linear Π ( cc∗ ) + Ι = 2cc∗ são 0, 0 e 2; seus autovetores são os mesmos de Π ( cc∗ ) − Ι : c∗ × c e c.

Produto de biquadrantais. Consideremos os biquadrantais

Π ( tt∗ ) = 2 tt ∗ − Ι e Π ( ss∗ ) = 2 ss ∗ − Ι ,

com

t. t ∗ = s. s ∗ = 1

(04),

independentes por hipótese, nessa ordem; e representemos por Π o produto deles, isso é, seja Π = Π ( tt∗ ) . Π ( ss∗ ) , (05). O diádico Π é completo por ser um produto de diádicos completos (biquadrantais); seu terceiro vale + 1. Logo, lembrando ((11), § 08.01, II), Π~ = Π −1 . Expressando Π em função dos autovetores e dos eixos dos seus fatores, vem:

Π = Ι − 2 ( tt ∗ + ss ∗ ) + 4 ( t ∗ . s) ts ∗ ,

(06),

sendo

Π E = −1 + 4( t ∗ . s)( t. s ∗ ) ,

(061).

Invertendo (05) e considerando as (014), deduzimos:

Π −1 = Π ( ss∗ ) . Π ( tt∗ ) = Ι − 2( tt ∗ + ss ∗ ) + 4( t. s ∗ ) st ∗ = Π~ ≠ Π ,

(062),

Π E = Π~E = Π −E1 = Π TE ,

(063).

III,§ 06.03,A

§ 06.03, A

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

383

Reconhecemos imediatamente, pela expressão (062), quando comparada com as propriedades (014) dos biquadrantais, que

o produto de dois biquadrantais em geral não é um biquadrantal, (tão pouco um cíclico), porque Π ≠ Π −1 . É fácil comprovar que

(Π − Ι ) ~ = 4(t × s)(t ∗ × s∗ ) = Π ~ + Π T + (1 − Π E )Ι ,

(07),

de onde deduzimos, facilmente,

( Π − Ι ) ~E = 3 − Π E ,

(071).

A expressão do adjunto do produto em função dos autovetores e eixos dos fatores pode também ser deduzida sem dificuldades:

Π ~ = [−3 + 4(t ∗ .s)(t.s ∗ )]Ι + 2(s ∗s + t ∗ t ) + 4(t ∗.s)s ∗t + 4(t × s)(t ∗ × s ∗ ) ,

(072).

De (072), de (061) e (062) podemos confirmar (063) facilmente. A equação característica de Π é

X3 − Π E X2 + Π E X − 1 = 0 ,

(08),

a qual é satisfeita para X = 1. Então

X 3 − Π E X 2 + Π E X − 1 = (X − 1)[X 2 − ( Π E − 1) X − 1] = 0 ,

(081),

e os autovalores de Π são: A = 1, B = R + R 2 − 1 e C = R − R 2 − 1 ,

(082),

sendo

ΠE − 1 = −1 + 2( t∗ . s)( t. s∗ ) , 2

(083).

Teor. 4: Um autovetor de um produto de biquadrantais relativo ao autovalor +1 é o produto vetorial dos unitários dos seus eixos. Com efeito, pois, pós multiplicando escalarmente ambos os membros de (06) por t ∗ × s ∗ tem-se:

Π .t ∗ × s ∗ = t ∗ × s ∗ ,

(084). Poliádicos - Ruggeri

384

§ 06

- Rotações.

Resultam imediatamente de (082) e (083):

Teor. 5: A CNS para que o produto de dois biquadrantais seja cíclico é que o seu escalar seja maior que - 1 e menor que 3. Teor. 6: A CNS para que o produto de dois biquadrantais seja tônico é que o seu escalar seja maior ou igual que 3 e menor ou igual que -1. Esses resultados são ilustrados pela Fig. 06.01.

Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1. Se for R = −1 = Π E , então ( t∗ . s)( t . s∗ ) = 0, isso é, o autovetor de um dos fatores biquadrantais é ortogonal ao eixo do outro fator. Reciprocamente, se o autovetor de um fator biquadrantal de um produto é ortogonal ao eixo do outro fator, o escalar desse produto é - 1. Em resumo:

Teor. 7: A CNS para que o escalar de um produto de biquadrantais seja - 1 é que o autovetor de um fator e o eixo do outro sejam ortogonais:

( Π ( tt∗ ) . Π ( ss∗ ) ) E = −1

⇔

t∗ .s = 0 , ou t . s∗ = 0 ,

(09).

Então, se Π E = −1 o diádico Π + Ι é ortoplanar. Com efeito, aplicando a segunda fórmula do Exerc. 1, § 08.01,II, e observando que Π 2 : Ι = Π~E = Π E , temos:

(Π + Ι ) 3 = Π 3 + Ι 3 + Π 2 : Ι + Π : Ι 2 = 1 + 1 + Π E − Π E = 0 .

III,§ 06.03,A

§ 06.03, A

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

385

Por outro lado deduzimos, aplicando diretamente a definição de adjunto:

( Π + Ι ) ~ = Π~ + ( − Π porque, lembrando (063),

+ Π E Ι ) + Ι = Π~ − Π T ; logo, ( Π + Ι ) ~E = 0 ,

Π~E = Π

= Π E = −1.

Então ( Π + Ι ) ~ é ortolinear e, portanto, Π + Ι é ortoplanar (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II). Reciprocamente, se Π é um produto de biquadrantais e Π + Ι é ortoplanar, então Π E = −1. Pois, sendo

( Π + Ι ) ~E = [ Π~ − Π

+ (1 + Π E ) Ι ]E = Π~E − Π

+ 3(1 + Π E ) ,

e devendo ser ( Π + Ι ) ~E = 0 , a reconsideração de (063) acarreta Π E = −1. Então:

Corol. 1: A CNS para que o escalar de um produto de biquadrantais valha - 1 é que a soma desse produto com o diádico unidade seja um diádico ortoplanar, ou, o que é o mesmo:

Corol. 2: A CNS para que o autovetor de um fator de um produto de biquadrantais seja ortogonal ao eixo do outro fator é que a soma desse produto com o diádico unidade seja ortoplanar. Devemos considerar ainda que

Teor. 8: Se Π ( tt∗ ) e Π ( ss∗ ) são biquadrantais e o autovetor de Π ( tt∗ ) é perpendicular

ao eixo de Π ( ss∗ ) , o plano dos autovetores, (s,t), e o plano dos eixos, (s*,t*), não podem ser ortogonais. Com efeito, se os referidos planos fossem ortogonais, seria nulo o produto escalar (s × t ).(s∗ × t ∗ ) , pois seus fatores são ortogonais a esses planos. Mas isso é um absurdo porque esse produto vale 1:

(s × t ).(s∗ × t∗ ) =

s.s∗ s.t ∗ t.s∗

t.t∗

1 0

t.s∗ 1

=1,

(A).

Expressão cartesiana para Π. Procuremos dar a Π uma expressão referida a sistemas recíprocos. A normal comum a s* e a t* é a interseção dos planos β *) e α*) ortogonais a esses vetores. Ora, 2ss* - I, usado com pré-fator, roda elipticamente um vetor qualquer, c, paralelo à interseção de β *) com α*), de π rad no plano β *). Pois 2ss* - I, acrescentando π rad ao argumento de c em qualquer elipse de β *) que o tenha por raio vetor, o transforma em - c. O vetor - c, agora considerado raio vetor de qualquer elipse do plano α*), terá também seu argumento acrescido de π rad, o que o transformará em c. Logo, o diádico Π mantém a direção de c invariante no espaço, sendo, pois, tal direção a direção de um dos seus autovetores. Poliádicos - Ruggeri

386

§ 06

- Rotações.

Raciocinando analogamente podemos concluir que um vetor qualquer, c*, paralelo à interseção dos planos β) e α), respectivamente ortogonais a s e t, é mantido no espaço por ação de ΠT. Pondo c = s ∗ × t ∗ e c ∗ = s ∗ × t ∗ , tem-se c.c* =1, conforme a expressão (A). Escolhamos arbitrariamente no plano (s,t) dos autovetores um vetor a ortogonal à interseção desse plano com o plano (s*,c*), ou seja, ortogonal ao plano (s*,s) do biquadrantal Π ( ss∗ ) . Então ( sac) ≠ 0 porque c, que é ortogonal ao plano (s*,t*) dos eixos, não pode ser paralelo ao plano (a,s), ou melhor, ao plano (s,t) dos autovetores. De fato, conforme já foi demonstrado (Teor. 11), os planos (s,t) e (s*,t*) não são ortogonais. Vamos dar um sentido a a de forma que o ângulo de a com t* seja agudo e ajustar o seu módulo convenientemente quando for oportuno. Então o homólogo de c no sistema recíproco de {s,a,c} é c* porque esse vetor é ortogonal ao plano (a,s) e c.c* = 1, Fig.06.02.

O homólogo de a é (s ∗ a ∗ c ∗ )c × s , um vetor do plano (s*,t*) dos eixos, ortogonal a s e a c. Esse vetor é, pois, paralelo a t* porque s.t* = 0 e c . t* = 0. Pondo (s ∗a ∗c ∗ )c × s = Mt ∗ , tem-se M = ( cst )( s ∗ a ∗ c ∗ ) porque t.t* = 1. Mas, sendo a.t* > 0 e

( csa )( s∗ a ∗ c∗ ) = M( a. t∗ ) = 1 resulta M > 0, isso é, o vetor c × s tem o mesmo sentido de t*. O homólogo de a é, pois, ( cst )( s∗ a ∗ c∗ ) t∗ . Ajustando, agora, o módulo de a de forma que ( cst ) = ( sac) , o homólogo de a é t*, sendo, então, a . t* = 1. O homólogo se s é (s ∗a ∗ c ∗ )a × c , um vetor do plano (s*,t*) dos eixos mas paralelo a s* porque a, por construção, é ortogonal ao plano (s*,c*). Pondo (s ∗ a ∗ c ∗ )a × c = Ps ∗ vem

( sac)( s∗ a ∗ c∗ ) = P = 1. Em resumo: os sistemas {c, s, a} e {c ∗ , s ∗ , t ∗ } são recíprocos. A Fig. 06.02, na qual D e D* são pontos do eixo associado ao sistema (§ 03.03, I), ilustra esses resultados. Então, 1 ( Π + Ι ) = Ι − ( ss ∗ + tt ∗ ) = at ∗ + ss ∗ + cc ∗ − ss ∗ − tt ∗ , 2 isso é,

1 ( Π + Ι ) = cc∗ + ( a − t ) t∗ . 2 Lembrando que a . t* = 1 tem-se (a - t) . t* = 0. Então, o vetor a - t é ortogonal a t*. Mas sendo esse vetor paralelo ao plano (s,t) dos autovetores, ele é paralelo a s. Por isso, os

III,§ 06.03,A

§ 06.03, A

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

387

planos do diádico planar Π + Ι são os dos vetores (c, s) e (c*,t*), evidentemente ortogonais porque s é ortogonal a t* e a c*. Pondo a - t = N s vem, multiplicando ambos os membros dessa igualdade por s*: N = − s ∗ . t . Então, Π = − Ι + 2cc∗ − 2( s∗ . t ) st∗ , ou, ainda,

Π = cc ∗ − ( ss ∗ + at ∗ ) − 2 ( s ∗ . t ) st ∗ . Os autovetores de Π são c e s, aos quais correspondem os autovalores + 1 e - 1, respectivamente. Como Π E = −1, o terceiro autovalor é, também, - 1. Então, conforme o Teor. 4, § 04.02, o coeficiente de st* deve ser - 1, isso é, s ∗ . t = 1 2 ; escrevemos, finalmente:

Π = − Ι + 2cc ∗ − st ∗ , sendo [Π]csa

1  = 0 0

0 −1 0

0  −1 −1

(10),

Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3. Se Π E = 3 , então, conforme (061):

( t∗ . s)( t . s∗ ) = 1,

( t . t∗ )(s∗ . s) − ( t∗ . s)( t . s∗ ) = 0 .

Aplicando a fórmula ((05),§03.03,I), resulta:

( Π ( tt ∗ ) .Π ( ss ∗ ) ) = 3 = Π E

⇔ ( t × s ) .( t ∗ × s ∗ ) = 0 ,

(11).

Três casos podem acontecer em que (11) é verificada: 1°) - t × s é ortogonal a t ∗ × s ∗ ; 2°) - os autovetores t e s são paralelos; 3°) - os eixos t* e s* são paralelos. No primeiro caso, conforme (07), (Π − Ι ) ~E = 0 . Então, sendo (Π − Ι ) ~ ortolinear, Π − Ι é ortoplanar; e por ser, por hipótese, Π E = 3 , Π − Ι é antitriangular (§09.09,II). Reciprocamente, se Π − Ι é antitriangular (( Π − Ι )E=0), o produto Π de dois biquadrantais cujos autovetores ou cujos eixos sejam não paralelos, tem escalar 3. Logo:

A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos autovetores ou eixos sejam não paralelos é que esse produto subtraído do diádico unidade seja antitriangular. No segundo caso, t || s , podemos por t = As ; daí resultam: ts∗ = Ass∗ e

t∗ . t = 1 = At∗ . s . Logo, ( t∗ . s) ts∗ = ss∗ e, de (06): Π − Ι = −2 tt∗ + 2ss∗ = 2s(−At∗ + s∗ ) .

Poliádicos - Ruggeri

388

§ 06

- Rotações.

Então, Π − Ι é ortolinear. Reciprocamente, se o produto Π de dois biquadrantais subtraído do diádico unidade é ortolinear, mas os eixos desses biquadrantais são não paralelos, então, sendo

Π − Ι = −2 t[ t∗ − 2( t∗ . s)s∗ ] − 2ss∗ , tem-se: Π E = 3 e t || s porque t∗ − ( t∗ . s)s∗ ≠ − Ks∗ (ou seja t* não é paralelo a s*). No terceiro caso,

t∗ || s∗ , tal como no caso anterior, deduzimos que

Π − Ι = 2(At − s)s∗ , isso é, Π − Ι é ortolinear. Reciprocamente, se o produto Π de dois biquadrantais subtraído do diádico unidade é ortolinear, mas os autovetores desses biquadrantais são não paralelos, então, conforme (06), sendo Π − Ι = − t(2 t∗ ) + [s + 2( t∗ . s) t](2s∗ ) , tem-se Π E = 3 e t∗ || s∗ porque, por hipótese, − t ≠ s + 2( t∗ . s) t , ou seja, s e t são não paralelos. Assim,

A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos autovetores ou cujos eixos sejam paralelos é que esse produto subtraído do diádico unidade seja ortolinear. Essas duas propriedades podem ser assim resumidas:

Teor. 9: A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos autovetores ou cujos eixos sejam paralelos (não paralelos) é que esse produto subtraído do diádico unidade seja ortolinear (antitriangular). Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo do outro. Suponhamos que o autovetor de cada fator de um produto tônico de dois biquadrantais seja paralelo ao eixo do outro (s paralelo a t* e s* paralelo a t), Fig. 06.03. Se pusermos s = Pt∗ e s∗ = Qt resultará P Q = 1 e ss∗ = t∗ t . Então:

| s| ∗

|t |

| t| | s∗ |

isso é:

Teor. 10: Se Π ( tt∗ ) e Π ( ss∗ ) são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo

ao eixo do outro, e se os vetores representativos dos autovetores e dos eixos deles estão aplicados co-inicialmente, então são paralelas as retas que unem as extremidades do autovetor e do eixo de cada um deles.

III,§ 06.03,A

§ 06.03, A

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

389

Sendo, também,

Π ( tt∗ ) = Π ( ss∗ ) T , Π é simétrico. Considerando as (014) escrevemos, em resumo:

Π ( tt∗ ) = Π ( ss∗ ) P = Π ( ss∗ ) T e

Π = Π ( ss∗ ) P . Π ( ss∗ ) = Π ( tt∗ ) . Π ( tt∗ ) P .

Então:

Teor. 11: Se Π ( tt∗ ) e Π ( ss∗ ) são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo

ao eixo do outro, um fator qualquer do produto deles pode ser substituído pelo principal do outro. Por outro lado,

Π ( tt∗ ) T . Π ( ss∗ ) = Π ( ss∗ ) T . Π ( tt∗ ) = ( Π ( tt∗ ) T . Π ( ss∗ ) ) T = ( Π ( ss∗ ) T . Π ( tt∗ ) ) T , donde podermos enunciar:

Teor. 12: Se Π ( tt∗ ) e Π ( ss∗ ) são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo

ao eixo do outro, o produto do transposto de qualquer um deles pelo outro é um diádico simétrico. Em relação aos vetores t e t*, Π pode ser escrito na forma:

Π = Ι − 2( tt∗ + t∗ t ) + 4 t∗2 tt ,

(12).

pois ss∗ = t∗ t . Então, se α o ângulo de t com t*,

ΠE −1 = 1 + 2 tg 2 α 2

(

ΠE −1 2 ) − 1 = 4 tg 2 α sec 2α , 2

os autovalores de Π são, em resumo:

t ×t∗

T+ = (tgα + secα)2

T− = (tgα − secα) 2 .

Conforme a fórmula geral (084), ao autovalor 1 corresponde, agora, o autovetor , pois t é paralelo a s*; então,

Π .( t × t ∗ ) = t × t ∗ ,

Π . k$ = k$ ,

se k$ é o unitário da normal ao plano (t,t*) orientado de forma que o triedro k$ , t , t ∗ seja positivo.

Poliádicos - Ruggeri

390

§ 06

- Rotações.

Representando o sistema recíproco de {t , t ∗ , k$ } por {t , t∗ , k$ } pois k$ é seu próprio homólogo, caso em que, no plano (t,t*), os sistemas {t , t∗ } e {t , t∗ } são recíprocos, temos:

t. ( t − t∗ ) = t∗ . ( t∗ − t ) = 0 , ou seja:

imaginados os sistemas recíprocos aplicados co-inicialmente, então t ( t∗ ) tem extremidade na interseção das normais a t e a t∗ conduzidas, respectivamente, pela extremidade (origem) de t* e pela origem (extremidade) de t, conforme ilustra a Fig. 06.03.

Sendo, ainda,

t∗ = ( t∗ . t ) t + ( t∗ . t∗ ) t∗ = t + t∗2 t∗ ,

t = ( t. t ) t + ( t. t∗ ) t∗ = t∗ + t 2 t

vem:

tt ∗ = tt + t ∗2 tt ∗ ,

t∗ t = t∗ t∗ + t 2 t∗ t

tt = t 2 tt + tt ∗ .

Em relação aos sistemas recíprocos {t , t ∗ , k$ } e {t , t∗ , k$ } a matriz mista associada a Π é, então:

[ Π] ( t ,t ,k$ )

 −1 + 4 t 2 t ∗2  =  −2 t 2  0 

2 t ∗2 −1 0

0  0 ,  1

(121).

A determinação dos dois outros autovetores ortogonais, do plano (t,t*), autovetores de Π, não será conseguida facilmente; um deles pode escrito na forma

j= t−

III,§ 06.03,A

T− + 1 ∗ t . 2 t ∗2

§ 06.03, A

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

391

Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais. Suponhamos seja cíclico o diádico produto dos biquadrantais Π ( tt∗ ) e Π ( ss∗ ) ,

Π = Ι − 2 ( tt ∗ + ss ∗ ) + 4 ( t ∗ . s) ts ∗ ,

(13)

caso em que, sendo ϕ o seu argumento de giro,

Π E = −1 + 4( t∗ . s)( t .s∗ ) = 1 + 2cos ϕ , −1 + 2( t ∗ . s)( t . s ∗ ) = cos ϕ , ( t ∗ . s)( t . s ∗ ) = cos 2

ϕ > 0, 2

com

(t∗ , s) ≠ 90o e (t∗ , s∗ ) ≠ 90o ,

(131), (132). (133).

Procuremos dar a esse produto uma representação cartesiana, isso é, procuremos sistemas de vetores recíprocos - cuja existência está assegurada pelo Teor. 1, § 04.01,A em relação aos quais possamos dar a esse produto uma representação adequada, tão simples quanto possível, como a (06), § 04 01,A118. Como Π é cíclico, o plano (t,s) dos autovetores não pode ser ortogonal ao plano (t*,s*) dos eixos. Pois, se fosse, seria (s × t ) .(s ∗ × t ∗ ) = 0 , ou seja, lembrando (133), ϕ sen2 = 0, isso é, ϕ = 0, o que não é necessariamente verdadeiro. 2 Sejam c e c* vetores com módulos a determinar, respectivamente ortogonais ao plano dos eixos, (t*,s*), e ao plano dos autovetores, (t,s), orientados de forma que os triedros c,s,t e c*,s*,t* sejam ambos diretos. Nesse caso o ângulo de c e c* é agudo e igual ao ângulo diedro, D, dos planos (t*,s*) e (t,s). Ora, c e c* são respectivamente paralelos a s ∗ × t ∗ e a s × t , Fig. 06.04.

118 A representação (13) desse produto em relação aos vetores s, t, ... é simples de certa forma; mas esses vetores não compõem sistemas recíprocos porque, embora s . s* = 1, s . t*≠ 0.

Poliádicos - Ruggeri

392

§ 06

- Rotações.

ϕ c = s ∗ × t ∗ , expressão na qual ϕ é o argumento de rotação 2 do cíclico produto, e calculemos M de forma que Mc ∗ = s × t e c . c* = 1. Temos, então:

Ponhamos, por definição, sen

Msen

1 s.t ∗ ϕ = (s × t )(s ∗ × t ∗ ) = = 1 − (t.s ∗ )(s.t ∗ ) t.s ∗ 1 2

Logo, considerando (133), resulta M = sen ϕ/2. Em resumo:

sen

ϕ c = s∗ × t ∗ , 2

sen

ϕ ∗ c = s×t , 2

c . c∗ = 1,

(134).

Os vetores c e c* são, respectivamente, os autovetores de Π de ΠT relativos ao autovalor + 1, pois Π . c = c e Π T . c∗ = c∗ . Logo, c* é eixo de Π, e os sistemas recíprocos procurados devem ter c e c* por recíprocos homólogos. Seja a um vetor do plano (t,s) dos autovetores, de direção ortogonal ao plano (c*,s*), com módulo e sentido tais que ϕ tg a × t = s × t , (14). 2 Como o módulo de s × t é numericamente igual à área do paralelogramo construído sobre s e t, a paralela a t conduzida pela extremidade de s intercepta o suporte de a ϕ precisamente na extremidade de tg a . Com efeito, o paralelogramo construído sobre esse 2 vetor e t tem a mesma área que o anterior (Fig. 06.04). Os vetores c, s e a são não coplanares porque c não é paralelo ao plano (t,s); ou seja (cas) ≠ 0. Determinemos, assim, os recíprocos do terceto {c,a,s}. O homólogo de a é a ∗ = (cas) −1 s × c , vetor do plano (t*,s*) dos eixos, ortogonal a c e a s. O homólogo de s,

(cas ) −1 c × a , é s* porque s* é ortogonal a a por construção, é ortogonal a c, e s . s ∗ = 1 . O homólogo de c, (cas ) −1 a × s , é c* porque c . c ∗ = 1 , c é ortogonal a s e a a. Assim, {c, a , s} e {c∗ , a∗ , s∗} constituem sistemas recíprocos. Sejam

t = ( t . a ∗ )a + ( t . s∗ )s ,

t∗ = ( t∗ . a ) a ∗ + ( t∗ . s) s∗ ,

(15),

as expressões cartesianas de t e t* nesses sistemas. Substituindo esses valores de t e t* na expressão de Π, bem como o da díade t t*, reduzindo termos semelhantes e agrupando convenientemente encontramos:

Π = cc ∗ + [−1 + 2( t ∗ . s)( t . s ∗ )]ss ∗ + [1 − 2( t ∗ . a )( t . a ∗ )]aa ∗ + + 2( t ∗ . s)( t . a ∗ )]as ∗ − 2( t ∗ . a )( t . s ∗ )]sa ∗

(16).

Calculando Π E por (16) vem, já simplificando, transpondo termos e considerando (131), (132) e (133): 1 − 2 ( t ∗ . a )( t . a ∗ ) = cos ϕ , (17), ou ϕ sen2 = ( t∗ . a )( t . a∗ ) , (171). 2

III,§ 06.03,A

§ 06.03, A

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

393

Sendo:

c∗ × a ∗ t.a ∗ ϕ ϕ s∗ × c∗ ϕ t.s ∗ a × t = tg c∗ , e s × t = ×t = − c∗ , × t = tg ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 2 (c a s ) 2 (c a s ) (c a s ) (c a ∗ s ∗ )

concluímos, levando esses resultados a (14) e simplificando:

ϕ t .s∗ = − t .a ∗ , 2

(18).

Multiplicando ambos os membros de (18) por (t.s*), reconsiderando (133) e simplificando, vem: ϕ ϕ −cos2 tg = ( t∗ . a )( t . s∗ ) , 2 2 ou seja, −2( t ∗ . a )( t . s ∗ ) = sen ϕ , (19). Mas, de (171) e (133), deduzimos:

4( t . a ∗ )( t ∗ . s)( t . s ∗ )( t ∗ . a ) = 4sen 2

ϕ ϕ cos 2 = sen 2 ϕ . 2 2

Então, desta expressão, considerando (19), resulta, após simplificações:

−2( t ∗ . s)( t . a ∗ ) = sen ϕ ,

(191).

Assim, a expressão final de Π é

Π = cc∗ + cos ϕ (aa∗ + ss∗ ) + sen ϕ (−as∗ + sa∗ ) ,

(20).

Fatoração de cíclicos e rotores. Sendo t. t ∗ = s. s ∗ = 1, temos, também:

| t|| t ∗ | =

1 cos( t , t ∗ )

| s|| s ∗ | =

1 , cos( s, s ∗ )

(21),

onde

cos( t , t ∗ ) > 0

cos( s, s ∗ ) > 0 ,

(211).

Analogamente, de (133), vem:

ϕ 2 | t|| t ∗ || s|| s ∗ | = , cos( t ∗ , s)cos( t , s ∗ ) cos 2

(212),

sendo, então

cos( t ∗ , s)cos( t , s ∗ ) > 0

(213).

Das duas primeiras igualdades (134), deduzimos, tomando módulos:

sen

ϕ | c| =| s∗ || t∗ | sen (s∗ , t∗ ) ≠ 0 , 2

sen

ϕ ∗ | c | =| s|| t| sen (s, t) ≠ 0 , 2

Poliádicos - Ruggeri

394

§ 06

- Rotações.

justificando-se as desigualdades porque, sendo Π um cíclico por hipótese, os autovetores dos fatores, bem como os seus eixos, são não paralelos. Com efeito, do contrário, Π teria escalar igual a 3 (Teor. 9) e seria tônico (Teor. 3). Lembrando que D é o ângulo diedro dos planos dos eixos e autovetores dos fatores biquadrantais, multiplicando membro a membro essas últimas expressões, e considerando a terceira igualdade (134), vem:

sen 2

ϕ = cos D sen( s, t ) sen( s ∗ , t ∗ ) | t|| t ∗ || s|| s ∗ | . 2

Desta igualdade e do resultado da multiplicação membro a membro de (21) e (21)2, vem:

sen 2

sen( s, t ) sen( s ∗ , t ∗ ) ϕ = cos D , 2 cos( t , t ∗ ) cos( s, s ∗ )

(22).

As retas suportes dos vetores s, t, s* e t* definem C 42 ângulos, isso é, 6. As normais aos planos (s,t) dos autovetores e (s*,t*) dos eixos, definem mais um ângulo: o ângulo diedro (agudo) desses planos. Mas, como é fácil comprovar, dentre os seis primeiros ângulos, apenas quatro são necessários para fixar aquelas direções, digamos: os ângulos de t com t*, o de s com s*, o de t com s e o de t* com s*. Assim a expressão (22) é suficiente para correlacionar os ângulos entre eixos, autovetores, o argumento de giro do cíclico produto e o ângulo diedro D. Esses resultados nos permitem enunciar o seguinte

Teor. 13: Se o produto de dois biquadrantais é um cíclico:

1°) - o seu autovetor e o seu eixo são respectivamente ortogonais ao plano dos eixos e ao plano dos autovetores dos fatores; 2°) - o seu argumento de giro está correlacionado por (22) com: o ângulo diedro formado pelo plano dos autovetores e pelo plano dos eixos dos fatores; com o ângulo dos autovetores dos fatores; com o ângulo dos eixos dos fatores; e com os ângulos do autovetor e do eixo de cada fator. Respeitadas as condições (211), (213) etc., alguns casos particulares poderiam ser analisados. O mais importante deles é o caso em que os biquadrantais, cíclicos, são de rotação circular, isso é t = t ∗ = $t e s = s ∗ = s$ , (23). Nesse caso: 1°) - D = 0 porque os planos dos autovetores e dos eixos são coincidentes; 2°) são iguais os ângulos dos autovetores, dos eixos, e os do autovetor de cada biquadrantal com o eixo do outro: (s , t) = (s∗ , t∗ ) = ( t∗ , s) = ( t, s∗ ) ≠ 0 . De (23) resulta, após a extração da raiz quadrada (positiva):

sen

III,§ 06.03,A

ϕ = sen ( s, t ) , ou seja, ϕ = 2 (s , t) , 2

(231).

§ 06.03, A

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

395

Interpretando (231), resulta demonstrado o seguinte

Corol. 1: (rotor produto de rotores biquadrantais) O produto de dois rotores biquadrantais de eixos distintos é um rotor de eixo ortogonal aos eixos dos fatores e ângulo igual ao dobro do ângulo desses eixos. Teor. 14: (fatoração de um cíclico) Todo cíclico é fatorável, de infinitas maneiras, em produtos de dois fatores biquadrantais cujos eixos e autovetores sejam respectivamente ortogonais ao autovetor e ao eixo do cíclico e cujo ângulo de giro se correlaciona, na forma (22), com: o ângulo diedro formado pelo plano dos autovetores e pelo plano dos eixos dos fatores; o ângulo dos autovetores dos fatores; o ângulo dos eixos dos fatores; e os ângulos do autovetor e do eixo de cada fator. Seja o cíclico de eixo c*, autovetor c e argumento de giro ϕ ≠ 0,

 ( cc∗ ,ϕ) = cc ∗ + cosϕ(aa ∗ + bb ∗ ) + senϕ( −ab ∗ + ba ∗ ) ,

(24).

Os vetores a e b, relembremos, são arbitrários e ortogonais ao eixo c*; os sistemas {a , b , c} e {a ∗ , b ∗ , c∗ } são recíprocos. O produto de  ( cc∗ ,ϕ) pelo biquadrantal Π ( bb∗ ) = 2bb ∗ − Ι é



( cc∗ ,ϕ)

.Π

( bb∗ )

= −cc ∗ + cosϕ( −aa ∗ + bb ∗ ) − senϕ(ab ∗ + ba ∗ ) ,

que pode também ser escrito na forma

 ( cc∗ ,ϕ) . Π ( bb∗ ) = − Ι + (1 − cos ϕ) aa ∗ + (1 + cos ϕ)bb∗ − sen ϕ ( ab∗ + ba ∗ ) ,

(25).

Quadrando (25), verificamos que o resultado é o diádico unidade, isso é,



( cc∗ ,ϕ)

.Π

( bb∗ )

é igual ao seu recíproco; seu escalar vale - 1 e seu terceiro + 1. Então, pelo Teor. 2, esse diádico é um biquadrantal. Ponhamos, então:

 ( cc∗ ,ϕ) . Π ( bb∗ ) = Π ( tt∗ ) = 2 tt∗ − Ι ,

com t . t ∗ = 1,

(26),

sendo t um vetor do plano (a,b) e t* um vetor do plano (a*,b*), ambos a determinar. Deve ser t×b ≠ o e t ∗ × b∗ ≠ o , (261), porque, do contrário, seria  ( cc∗ ,ϕ) . Π ( bb∗ ) = Π ( bb∗ ) , ou seja, o cíclico seria o diádico unidade e exigiria que ϕ fosse nulo, o que é absurdo. Então, como conseqüência de (261), temos: t.a ∗ ≠ 0, t∗ .b ≠ 0, t.b∗ ≠ 0, t∗ .a ≠ 0, (262), Poliádicos - Ruggeri

396

§ 06

- Rotações.

a primeira porque t. c ∗ = 0 , a segunda porque t∗ .c = 0 , a terceira porque t.c × a = c.a × t e c não é paralelo ao plano (a,t), a quarta porque t ∗ .b ∗ × c ∗ = t ∗ × b ∗ .c ∗ e c* não é paralelo ao plano (b*,t*). Podemos escrever, em relação aos sistemas recíprocos {a , b , c} e {a ∗ , b ∗ , c∗ } :

t = ( t . a∗ )a + ( t .b∗ )b ,

t∗ = ( t∗ . a )a∗ + ( t∗ . b)b∗ ,

(27).

Dessas relações podemos calcular o valor da díade tt*, substituir em (26) e comparar o resultado com (25); os vetores t e t* devem, então, satisfazer as seguintes relações simultâneas:  ∗ ∗ 2 ϕ  2( t .b )( t .b ) = 1 + cos ϕ = 2cos 2  ∗ ϕ  2( t .a )( t .a ∗ ) = 1 − cos ϕ = 2sen 2 , (28). 2  ∗ ∗ ∗ ∗  2( t .b )( t .a ) = − sen ϕ = 2( t .a )( t .b )  Da primeira das relações (27), pós multiplicando vetorialmente ambos os membros por ( t .b ) t , considerando a primeira e a terceira das relações (28) e simplificando, deduzimos: ϕ (tg a − b ) × t = o , (29), 2 ∗

igualdade que fixa a direção de t, Fig. 06.05.

Operando analogamente a partir da segunda das relações (27), considerando as mesmas relações (28), vem:

(tg

ϕ ∗ a − b∗ ) × t∗ = o , 2

(291),

igualdade que fixa a direção de t*. Podemos, agora, fixar os módulos e sentidos de t e t* de ϕ forma que, por exemplo, Ac ∗ = b × t e sen c = b ∗ × t ∗ , e calcular A para que c . c* = 1. 2 Assim, multiplicando escalarmente essas expressões, membro a membro, vem: ϕ A sen = 1 − ( t .b∗ )( t∗ .b) . 2

III,§ 06.03,A

§ 06.03, A

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

397

ϕ Considerando a primeira das relações (28), concluímos ser A = sen . O biquadrantal 2 Π ( tt∗ ) está, pois, bem determinado. Operando como na demonstração do teorema anterior, podemos deduzir fórmula idêntica a (22) onde se troque s por b e s* por b*. Nota: Da mesma forma como é arbitrária a representação do cíclico, é também arbitrária a fatoração do cíclico em produto de biquadrantais, respeitados apenas o seu autovetor, o seu eixo e o seu ângulo de giro.

Corol. 1: (fatoração do rotor) Qualquer rotor pode ser decomposto no produto de dois biquadrantais cujos eixos definam um plano ortogonal ao eixo do rotor e um ângulo igual à metade do ângulo de rotação do rotor. Pois nesse caso, devendo ser t = t∗ = $t e b = b∗ = b$ , é, evidentemente, D = 0 (os planos dos autovetores e eixos dos biquadrantais são coincidentes) e senϕ/ 2 = sen(b, t ) , ou melhor ϕ / 2 = ang(b , t ) , o que conclui a demonstração do corolário. Outros casos de fatoração em que o autovetor, t, devesse ocupar posições especiais poderiam ser analisados. Além dos corolários dos teoremas gerais sobre cíclicos enunciados nos parágrafos anteriores, outras proposições relativas a rotores podem ser demonstradas.

Teor. 15: (rotor produto de rotores de eixos distintos) Sejam a$ 1 e a$ 2 dois unitários respectivamente ortogonais aos unitários q$ e q$ dos eixos dos rotores Ω e Ω , e que formem com o unitário b$ da 1

normal ao plano desses eixos, ângulos iguais à metade dos ângulos de rotação de Ω 1 e Ω 2 . Então o produto desses rotores, em qualquer ordem, é um rotor cujo eixo é perpendicular ao plano de a$ 1 e a$ 2 e cujo ângulo de rotação é o dobro do ângulo formado por a$ 1 e a$ 2 (Fig. 06.06).

Poliádicos - Ruggeri

398

§ 06

- Rotações.

Com efeito, pelo Corol. 1 do Teor.14, podemos escrever:

$ $ − Ι ). (2a$ a$ − Ι ), Ω1 = (2bb 1 1

$ $ − Ι ), Ω2 = (2a$ 2a$ 2 − Ι ). (2bb

donde, multiplicando o segundo pelo primeiro:

$ $ − Ι ) 2 . (2a$ a$ − Ι ) . Ω2 . Ω1 = (2a$ 2a$ 2 − Ι ). (2bb 1 1 $ $ − Ι ) 2 = Ι , tem-se: Ω . Ω = (2a$ a$ − Ι ). (2a$ a$ − Ι ) . Agora, reutilizando o Mas, sendo (2bb 2 1 2 2 1 1 Corol. 1 do Teor. 14 comprova-se a tese. Facilmente comprova-se que o produto dos rotores é comutativo. Teor. 16: (vetor semitangente de um produto) Se Ω1 e Ω2 são dois rotores cujos vetores semitangente são q1 e q2, então o vetor semitangente de Ω1.Ω2 é

q3 =

q1 + q 2 + q 2 × q1 , 1 − q1.q 2

(30).

Ponhamos, como no teorema anterior:

$ $ − Ι ). (2a$ a$ − Ι ) = 4(a$ .b$ )ba $ $ − 2a$ a$ − 2bb $ $ + Ι, Ω1 = (2bb 1 1 1 1 1 1 $ $ − Ι ) = 4(a$ .b$ )a$ b$ − 2a$ a$ − 2bb $ $ + Ι; Ω = (2a$ a$ − Ι ). (2bb 2

2 2

então:

Ω2 . Ω1 = Ω1 . Ω2 = (2a$ 2a$ 2 − Ι ). (2a$ 1a$ 1 − Ι ) = 4(a$ 1. a$ 2 )a$ 2a$ 1 − 2a$ 2a$ 2 − 2a$ 1a$ 1 + Ι. Mas,

q1 = −

Ω1 V , 1 + Ω1E

q2 = −

Ω2 V , 1 + Ω 2E

q3 = −

Ω 3V , 1 + Ω 3E

Ω1V = 4(aˆ 1.bˆ )bˆ × aˆ 1 , Ω1E = 4(aˆ 1.bˆ ) 2 − 1 ,

Ω 2 V = 4(aˆ 2 .bˆ )aˆ 2 × bˆ ,

(Ω 2 .Ω1 ) V = 4(aˆ 2 .aˆ 1 )aˆ 2 × aˆ 1

Ω 2 E = 4(aˆ 2 .bˆ ) 2 − 1 ,

(Ω 2 .Ω1 ) E = 4(aˆ 2 .aˆ 1 ) 2 − 1

Logo:

q1 =

aˆ 1 × bˆ bˆ × aˆ 2 aˆ × aˆ (aˆ 1bˆ aˆ 2 ) ˆ , q2 = , q 3 = 1 2 , donde q 2 × q1 = − b. aˆ 1 .aˆ 2 aˆ 1 .bˆ bˆ .aˆ 2 (aˆ 1 .bˆ )(bˆ .aˆ 2 )

Lembrando a teoria dos vetores recíprocos escrevemos, para qualquer r:

r (aˆ 1bˆ aˆ 2 ) = r.aˆ 1 (bˆ × aˆ 2 ) + r.bˆ (aˆ 2 × aˆ 1 ) + r.aˆ 2 (a1 × bˆ ) donde, para r = b$ :

bˆ (aˆ 1bˆ aˆ 2 ) = bˆ .aˆ 1 (bˆ × aˆ 2 ) + bˆ .bˆ (aˆ 2 × aˆ 1 ) + bˆ .aˆ 2 (a1 × bˆ ) . Então,

III,§ 06.03,A

§ 06.03, A

q 2 × q1 = −

- Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

399

bˆ × aˆ 2 aˆ 1 × bˆ aˆ 1 × aˆ 2 aˆ 1.aˆ 2 − + = −q 1 − q 2 + q3 ˆb.aˆ ˆ ˆ ˆ (aˆ 1.b)(b.aˆ 2 ) (aˆ 1.bˆ )(bˆ .aˆ 2 ) aˆ 1.b 2

ou,

q3 =

(aˆ 1.bˆ )(b.aˆ 2 ) (q1 + q 2 + qˆ 2 × qˆ 1 ) . (aˆ 1.aˆ 2 )

Finalmente, considerando que:

q1.q 2 =

(aˆ 1 × bˆ ).(b × aˆ 2 ) (aˆ 1.bˆ )(b.aˆ 2 ) − (aˆ 1.aˆ 2 )((bˆ .bˆ ) (aˆ 1.aˆ 2 ) = = 1− , (aˆ 1.bˆ )(b.aˆ 2 ) (aˆ 1.bˆ )(b.aˆ 2 ) (aˆ 1.bˆ )(b.aˆ 2 )

e levando este resultado à expressão de q3 encontraremos (30).

Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos. Chama-se pequena rotação ou rotação de pequeno ângulo qualquer rotação cujo ângulo de rotação é um pequeno ângulo no sentido trigonométrico, isso é, menor que 3 graus. Para esses ângulos os arcos praticamente se confundem com as cordas e estas com as tangentes e senos. Pelas fórmulas de Mac Laurin, comprova-se que:

senϕ = ϕ −

ϕ3 ϕ5 ϕ7 + − +... , 3! 5! 7 !

cosϕ = 1 −

ϕ2 ϕ4 ϕ6 + − +.... 2! 4 ! 6!

tg ϕ = ϕ + 2

ϕ3 ϕ5 + 16 + ..., 3! 5!

(31).

Então, para pequenos arcos, desprezando as potências de ϕ superiores a 2,

α ≅ 3o

⇔

2 sen α = tg α ≅ 1, e cos ϕ ≅ 1 − ϕ , α α 2

(311).

Escrevemos, então,

( cc∗ ,ϕ) = cc∗ + (1 −

ϕ2 ) (aa∗ + bb∗ ) + ϕ (−ab∗ + ba∗ ) , 2

(312)

ϕ2 Ω (kˆ ,ϕ) = kˆ kˆ + (1 − )(Ι − kˆ kˆ ) + ϕ( Ι × kˆ ) , 2

(313).

Nas pequenas rotações circulares, o vetor semitangente de rotação tem módulo muito próximo de zero a ponto de poder-se desprezar o produto escalar de dois deles frente à unidade e o produto vetorial deles frente a eles próprios; os diádicos correspondentes denominam-se pequenos rotores. Às pequenas rotações elípticas, analogamente, correspondem os pequenos cíclicos.

Poliádicos - Ruggeri

400

§ 06

- Rotações.

Teor. 17: Se Ω1 e Ω2 são dois pequenos rotores, de vetores semitangente q1 e q2, então o vetor semitangente de Ω1.Ω2, é:

q 3 = q1 + q 2 ,

(32).

Com efeito, é o que se obtém de (30) considerando que, para pequenas rotações,

1 + q1 .q 2 ≅ 1

q1 + q 2 + q 2 × q1 ≅ q1 + q 2 .

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. Teor. 1: A multiplicação pontuada de dois cíclicos de mesmo autovetor e mesmo eixo é comutativa; o produto deles é um cíclico de mesmo autovetor e mesmo eixo que os fatores e ângulo de rotação é igual à soma dos ângulos de rotação desses fatores:



( cc∗ ,ϕ)

.

( cc∗ ,ϕ′ )

= 

( cc∗ ,ϕ+ϕ′ )

= 

( cc∗ ,ϕ′ )

.

( cc∗ ,ϕ)

(01).

Recorramos à interpretação geométrica das transformações regidas pelos cíclicos fatores (§ 05.02,A). Seja v'(α) a projeção de um vetor qualquer, r, sobre o plano (a,b) paralelamente a c. Sendo, então,

r = (r.c*)c+v'(α) = r(α), tem-se: r'(α) = (cc*, ϕ).r(α) = v'(ϕ+α)+(r.c*)c. Ainda,

(cc*, ϕ').((ϕ).r(α)) = (cc*, ϕ').r'(α) = v'(ϕ'+ϕ+α)+(r.c*)c,

(A).

Por outro lado,

(cc*, ϕ').r(α) = r(ϕ'+α)

(cc*, ϕ).((cc*, ϕ').r(α)) = (cc*, ϕ).r(ϕ'+α) =

= (cc*, ϕ).[v'(ϕ+α)+(r.c*)c] = v'(ϕ'+ϕ+a)+(r.c*)c, Dada a arbitrariedade de r, resulta, associando em (A) e (B):

(cc*, ϕ).(cc*, ϕ') = (cc*, ϕ').(cc*, ϕ). Como, ainda, podemos escrever:

v'(ϕ+ϕ'+α)+(r.c*)c = (cc*, ϕ+ϕ').[v(α)+(r.c*)c] = (cc*, ϕ+ϕ').r(α),

III,§ 06.03.B

(B).

§ 06.03, B

- Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor.

resulta que (cc*, ϕ+ϕ') é igual ao produto comutativo associar no primeiro membro de (A) e r é arbitrário.

(cc*, ϕ).(cc*,

ϕ')

401

já que podemos

Notas: 1 - Recorrendo a fórmulas trigonométricas bem conhecidas, esse teorema poderia ser demonstrado efetuando-se diretamente o produto de dois cíclicos escritos na forma ((02), § 06.03) a cada um correspondendo um ângulo de giro. 2)

Até o momento tem se usado um rotor como pré-fator. Note se, porém que, se

T b = Ω (kˆ ,ϕ) .a , então, b = a.Ω (kˆ ,ϕ) T ; mas sendo, Ω ( kˆ ,ϕ) = Ω (kˆ , − ϕ) , tem se:

b = Ω (kˆ , ϕ) .a = a.Ω (kˆ , − ϕ) , isso é, as rotações correspondentes às multiplicações escalares com um rotor usado como pré e pós-fator são de sentidos contrários. Essa propriedade, entretanto não é válida para os cíclicos.

A generalização dessa propriedade é imediata, estendendo-se a um número qualquer, finito, de diádicos cíclicos (de mesmo autovetor e mesmo eixo). Tem-se, então o seguinte

Corol. 1: (produto de N cíclicos)

(cc*, ϕ ).(cc*, ϕ ).....(cc*, ϕ ) = (cc*, ϕ +ϕ +...+ϕ ), 1

(02).

Corol. 2: (Potência P-ésima de um cíclico) Tem-se, para todo P inteiro, positivo ou negativo:

 (Pcc∗ ,ϕ) =  ( cc∗ ,Pϕ) = cc∗ + cos Pϕ( aa ∗ + bb∗ ) + senPϕ ( − ab∗ + ba ∗ ) ,

(03).

A propriedade é evidente em vista de (02).

Raízes K-ésimas do diádico unidade. Importa ressaltar o caso em que ϕ = 2π/K, com K inteiro positivo. Nesse caso, temse:



( cc∗ , 2 π / K )

= cc∗ + cos 2 π ( aa ∗ + bb∗ ) + sen 2 π ( − ab ∗ + ba ∗ ), K K

donde, lembrando (03);

 (Kcc∗ ,2 π / K) = Ι ,

(04),

Por (04) definiremos a raiz K-ésima do diádico unidade: K

Ι=

 ( cc∗ ,2 π / K) ,

(05).

Poliádicos - Ruggeri

402

§ 06

- Rotações.

No caso em que K é um número racional (da forma Q/P, com P e Q inteiros), teremos, ainda:

ΙP Q =

Q P

Ι =

 ( cc∗ ,2 Pπ / Q) ,

(051).

No caso em que K é irracional, poderemos sempre determinar um expoente R tal, que  (cc*, ϕ) difira tão pouco quanto se queira do diádico unidade: R(cc*, ϕ) ≅ Ι. Então, em resumo: R

Qualquer diádico cíclico pode ser entendido como uma raiz do diádico unidade. Potências de expoente inteiro de um cíclico. Supondo que {a , b , c} e {a ∗ , b ∗ , c∗ } sejam sistemas recíprocos, consideremos: - o diádico linear

Κ = cc ∗ ,

(061);

J = − ab ∗ + ba ∗ ,

(062);

- o diádico planar - o diádico planar (de mesmos planos que J )

Ι = aa ∗ + bb ∗ = Ι − K ,

(063).

É fácil comprovar que esses três diádicos são tensores (§ 02.04). Seja µ o diádico que transforme os vetores da base {a , b , c} na base {u , v , w} , isso é, seja u = µ . a etc. . Então µ = ua ∗ + ... . Para J , por exemplo, escrevemos, então:

µ . J. µ −1 = ( ua ∗ + ...) . ( − ab∗ + ba ∗ ) . ( au ∗ + ...) = ( − ub∗ + va ∗ ) . ( au∗ + ...) = − uv ∗ + vu∗ , isso é, J se transforma segundo o regime tensorial. Os planos dos antecedentes e dos conseqüentes de Ι e J são os mesmos, mas esses diádicos não são paralelos, isso é, A Ι + BJ = Ο

⇔

A=B=0,

(07).

Como K é linear e seu antecedente (conseqüente) é perpendicular ao plano dos conseqüentes (antecedentes) de Ι e J , temos:

I .K = J .K = K .I = K .J = Ο , Deduzimos, ainda:

I . J = J = J . I,

(08). (081).

Comprovam-se também, finalmente, as seguintes expressões de potências inteiras positivas (posto que Ι , J e K não são completos):

III,§ 06.03.B

§ 06.03, B

- Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor.

403

∀ P inteiro positivo:

I P = Ι,

(09),

J 2H −1 = ( −1) H −1 J ,

J 2H = ( −1) H Ι ,

(10),

K = K, P

(11).

Sendo

0  Z = J + K = − ab + ba + cc , com [Z ] = 1 0 ∗

∗

−1 0 0

0  0 1

(12),

temos:

Z 2 = − I + K = − Ι + 2K , Z 3 = −J + K = Z − 2J , Z4 = Ι ,

Z5 = Z,

Z 6 = Z 2 etc.,

(13).

O diádico Z é completo porque, de (12) escrevemos:

Z 3 = − ( abc)(b ∗ a ∗ c ∗ ) = 1. Como ( Z P ) 3 = ( Z 3 ) P = 1, concluímos que todas as potências de Z são diádicos completos. Consideremos o cíclico

 ( cc∗ ,ϕ) = cc∗ + cos ϕ ( aa ∗ + bb∗ ) + sen ϕ ( − ab∗ + ba ∗ ) ,

(14),

que podemos escrever na forma



( cc∗ ,ϕ)

= K + cos ϕ Ι + sen ϕ J ,

(141).

Pelo Corol. 2 do Teor. 1 e por (141), podemos escrever a potência enésima do diádico na forma  ( cc∗ ,ϕ) N = K + cos Nϕ Ι + sen Nϕ J , (15). Mas em face das (07) a (11) podemos também escrever:

 ( cc∗ ,ϕ) N = K + (cos ϕ Ι + sen ϕ J ) N , porque são nulos os produtos da forma K P . ( cos ϕ Ι + sen ϕ J ) Q . Então

 ( cc∗ ,ϕ) N = K + cosNϕ Ι N + NcosN −1ϕ sen ϕ Ι N −1. J + ... ,

Poliádicos - Ruggeri

404

§ 06

- Rotações.

ou melhor,

 ( cc∗ ,ϕ) N = K + cosNϕ Ι + NcosN −1ϕ sen ϕ J −

N(N − 1) cosN − 2ϕ sen2ϕ Ι + ... , 2!

(16).

Subtraindo membro a membro (15) e (16) e agrupando, vem:

Ο = {cosNϕ − [cos N ϕ −

N(N − 1) cos N − 2 ϕsen 2 ϕ + ...]}Ι + 2!

+ {senNϕ − [Νcos N −1ϕsenϕ −

N(N − 1)(N - 2) cos N −3 ϕsen 3 ϕ + ...]}J. 3!

Considerando (07) vemos que os fatores de Ι e J devem ser simultaneamente nulos. Resultam então as fórmulas (clássicas)

cos Nϕ = cos N ϕ −

N(N − 1) cos N − 2 ϕ sen 2 ϕ + ... , 2!

sen Nϕ = Ncos N −1ϕ sen ϕ −

(17).

N(N − 1)(N − 2) cos N − 3ϕ sen 3ϕ + ... , 3!

(18).

Representação do cíclico em série de Mac Laurin. A matrizes mistas (contravariante/co-variante) associadas aos diádicos Ι , J , K e ao cíclico (14) são, respectivamente119

[ Κ] ( abc )

 0 0 0   =  0 0 0 ,    0 0 1

[ J] ( abc )

 0 −1 0    =  1 0 0 ,    0 0 0

[ Ι ] ( abc )

 1 0 0   =  0 1 0 ,    0 0 0

(19),

[ ( cc∗ ,ϕ) ] ( abc )

 cos ϕ − sen ϕ 0   =  sen ϕ cos ϕ 0 ,   0 1  0

(20).

Considerando as fórmulas (31), § 06.03, A, se pusermos,

A = ϕJ ,

[ Α ] = ϕ [ J ],

(21),

escreveremos:

[ ( cc∗ ,ϕ) ] = [ Ι ] + [ A ] + 21! [ A ] 2 + 31! [ A ] 3 + ... ,

(211),

 ( cc∗ ,ϕ) = Ι + A + 21! A 2 + 31! A 3 + ... ,

(212).

119 Deve ser notado que embora a matriz associada a J seja anti-simétrica o diádico não é anti-simétrico.

III,§ 06.03.B

§ 06.03, B

- Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor.

405

Da analogia entre as expressões (211) e (212) com o clássico desenvolvimento em série de Mac Laurin de e x pomos, por

Definição: Se {a , b , c} e {a ∗ , b ∗ , c∗ } são sistemas recíprocos de vetores,

 (cc∗ ,ϕ) = e A = Ι + A + 1 A 2 + 1 A 3 + ... , A = ϕJ , 2! 3!

J = −ab ∗ + ba ∗ ,

(22).

O diádico (211), A=ϕ J , é tal que

AE = 0 = A3

A = ϕ2 K ,

(23).

Logo, sua equação característica é X 3 + ϕ 2 X = 0 e seus autovalores são 0, iϕ e - iϕ. Seu vetor é paralelo a J V , pois A V = ϕ J V . Escrevamos o cíclico na forma

 (cc∗ ,ϕ) = cosϕΙ + senϕJ + (1 − cosϕ)K ,

(24).

Conforme ((01)2,§08.02,II): ∀φ : φ2V = φT.φV = φV.φ ; e sendo J ~ T = J 2 = K T , resulta que J 2V = −K V = −JT . J V . Calculando o vetor do cíclico pela expressão (24), vem:

(cc∗, ϕ)V = senϕ J V − (1 − cosϕ)JT. J V = [senϕ Ι − (1 − cosϕ) JT] . J V , ou melhor,

(cc∗, ϕ)V = senϕ(Ι − tg

ϕ T J ) . JV , 2

(25).

Concluímos, assim, que o vetor do cíclico é o transformado do vetor de J pelo diádico ϕ senϕ(Ι − tg JT) . Esse diádico é completo, não sendo difícil comprovar que o seu terceiro 2 é sen3ϕsec2(ϕ/2) , e que o seu principal, ψ, é

ψ =

1 tg(ϕ/2)[ Ι + tg(ϕ/2)JT + sec2(ϕ/2)K] . 2

De (25) deduzimos, então:

J V =  ( cc∗ , ϕ ) V .ψ ,

(26).

Exercícios: 1°) - Comprovar que

∀ ( cc ∗ ,ϕ ) :

( ( cc ∗ ,ϕ ) +3 ( cc ∗ ,ϕ ) Ι ) = ( Ι ××  ( cc ∗ ,ϕ ) ) ×× Ι = Ι ×× ( ( cc ∗ ,ϕ ) E

× ×

Ι) .

Poliádicos - Ruggeri

406

§ 06

- Rotações.

2°) - Se, por definição,

∀α :

eα = Ι + α +

1 2 1 3 1 α + α + ... + α P + ... , 2! 3! P!

e se α .β = β .α , então

e α . e β = e α +β . 3°) - Se τ é tônico, isso é, τ = A i gi gi , então eτ = eA i gi gi . 4°) - Se φ = α + XΙ , então e φ = e X e α . *

Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico. De (141), considerando (06), temos:

 (cc∗ ,ϕ) = (cosϕ − 1)Ι + senϕJ + Ι ,

(27).

Observando que − ϕ 2 Ι = ϕ 2 J 2 = (ϕJ ) 2 = A 2 , vem:

ϕ sen senϕ 1 2 A]2 ,  ( cc∗ ,ϕ) = Ι + A+ [ ϕ 2 ϕ 2

(271),

donde, então, a expressão do cíclico em função de A:

ϕ sen senϕ 2 ( A )]2 , A + 2[  (cc∗ ,ϕ) = Ι + ϕ ϕ 2 2

(272),

De (141), considerando mais uma vez as fórmulas (07) a (11), deduzimos:

( (cc∗ ,ϕ) ) 2 = [(cosϕ − 1) 2 − sen 2 ϕ] Ι + K + 2senϕ(cosϕ − 1) J = = 2(cosϕ - 1)(cosϕΙ + senϕJ ) , e

2cosϕ( (cc∗ ,ϕ) −Ι ) = 2cosϕ[( cos ϕ − 1)Ι + senϕJ ] . Então, somando membro a membro, vem:

− ( (cc∗ ,ϕ) −Ι ) 2 + 2cosϕ( (cc∗ ,ϕ) −Ι ) = 2senϕJ = 2 ou melhor,

III,§ 06.03.B

senϕ A, ϕ

§ 06.03, B

- Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor.

ϕ ( ∗ −Ι ) .( ( cc∗ ,ϕ) Ι − (cc∗ ,ϕ) ) , E 2senϕ (cc ,ϕ)

407

(28),

que é a expressão de A em função do cíclico.

Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados. No caso particular dos rotores

Ω

(kˆ ,ϕ)

= kˆ kˆ + (Ι − kˆ kˆ )cosϕ + (Ι × kˆ )senϕ ,

(29),

o diádico J é anti-simétrico porque

J T = − ˆjî + îˆj = −( − îˆj + ˆjî ) = − J = − Ι × kˆ ,

(291).

Logo, também é anti-simétrico o diádico Α, a ele estando associada a matriz anti-simétrica

0 1 0  [ Α ] = ϕ 1 0 0 = ϕ[J ], 0 0 0   

(30).

São válidas para os rotores todas as propriedades já assinaladas para os cíclicos. Em vista de (22), a qual, nesse caso particular, pode ser escrita na forma:

Ω ( kˆ ,ϕ ) = Ι + Α +

1 2 1 3 Α + Α + ... = e A , com A = ϕ J = ϕ Ι × kˆ , 2! 3!

(31),

vemos que a todo rotor está associado um diádico anti-simétrico do tipo (291) cujo vetor é paralelo ao eixo de Ω, pois temos: A V = −2ϕkˆ . Lembrando ((12),§06.01), isso é, Ω = 2 senϕ kˆ , deduzimos, então: V

AV = −

ϕ A .kˆ = −2 ϕ , Ω V , donde  V senϕ Ω V.kˆ = 2 sen ϕ

(32).

A expressão (28), particularmente, passa a ser escrita na forma

Α=

ϕ (Ω − Ι ).[Ω E Ι − Ω ], 2senϕ

(33),

ou, ainda, na forma

A V .kˆ (Ω − Ι ).(Ω E Ι − Ω ) , 2 Ω .kˆ

(34).

Poliádicos - Ruggeri

408

§ 06

- Rotações.

Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação. Consideremos agora, as fórmulas:

Ω = kˆ kˆ + (Ι − kˆ kˆ )cosϕ + kˆ × Ιsenϕ − Ω = 2senϕkˆ V

− Ω V = (1 + Ω E )q. Por ser q paralelo a -Ω ΩV, e este paralelo a kˆ , podemos escrever:

Ω=

qq qq Ι×q + cosϕ(Ι − ) + senϕ( ), q.q q.q q.q

(35);

ou, recorrendo às fórmulas trigonométricas que expressam as linhas de um arco em função da tangente do arco metade:

Ω=

qq 1 − q 2 qq 2 + (Ι − )+ Ι × q, 2 q.q 1 + q q.q 1 + q 2

(351).

As fórmulas (35) e (351) expressam, pois, o rotor em função do vetor semitangente de rotação.

Diádico de rotação e diádico de Argand associados. Denotando por χ o diádico de Argand (do vetor q), Ι×q, temos, lembrando ((13),§06.01), depois ((01) § 06.04,II) e por último (291):

χ = Ι×q = − donde

Ι × ΩV ΩT − Ω ϕ = = tg J 1 + ΩE 1 + ΩE 2 χ V = −2 q ,

(361), (362).

Por ser Α = ϕJ , conforme (31), deduzimos, também:

tg (ϕ / 2) χ=1 Α, 2 ϕ/ 2

Α=2

ϕ/ 2 χ tg (ϕ / 2)

(363).

Então, de (363), considerando (33), vem:

ϕ/2 ϕ/ 2 χ= (Ω − Ι ) . [Ω E Ι − Ω], 2sen (ϕ / 2) cos (ϕ / 2) tg ( ϕ / 2)

donde, após simplificações: χ=

III,§ 06.03.B

1 (Ω − Ι). (Ω EΙ − Ω), 1+ Ω E

(364).

§ 06.03, B

- Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor.

409

Ainda, considerando (361):

Ω − Ω T = (Ω − Ι ) . (Ω E Ι − Ω ) , donde, lembrando que ΩT = Ω-1 e multiplicando escalarmente ambos os membros por Ω:

Ω3 − Ω EΩ2 + Ω EΩ − Ι = Ο ,

(365).

O polinômio (365) é o polinômio associado ao polinômio CH de Ω (§ 03.02)120.

Lema: Tem-se:

∀v :

v + q × v = Ω.( v − q × v ) ,

(37).

Com efeito, os vetores v+q×v e v-q×v têm o mesmo módulo porque v é ortogonal a q × v . Logo, (37) esta compatível porque sendo Ω um rotor ele conserva os módulos dos vetores. Para concluirmos a demonstração basta provar que o ângulo de rotação de Ω é igual ao ângulo das componentes de v+q×v e v-q×v no plano ortogonal a k$ (Fig.06.07).

Denotando-se por c a componente de v ortogonal a k$ , temos: q×v = q×c, pois |v| sen(q,v) = |c|, e ambos os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. Logo, as componentes de v+q×v e v-q×v ortogonais a k$ , além de terem os mesmos módulos (porque v+q×v e v-q×v têm os mesmos módulos), valem c+q×c e c-q×c. Então, lembrando que q = k$ tgϕ/2, temos:

(c + q × c).(c − q × c) = c 2 − (q × c) 2 = c 2 [1 − tg 2 (ϕ / 2)] , (c ± q × c) 2 = (c + q × c) 2 = c 2 + (q × c) 2 = c 2 [1 + tg 2 (ϕ / 2)] ; e, designando por φ o ângulo dos vetores c+q×c e c-q×c,

(c + q × c).(c − q × c) (c + q × c) 2

= cosφ =

1 − tg 2 ϕ / 2 1 + tg 2 ϕ / 2

= cosϕ .

Logo, φ = ϕ uma vez que ϕ<π rd. 120É evidente que, seguindo caminho contrário, isso é, partindo de (36 ) e considerando (31 ), podemos também 5 1 deduzir (364 ).

Poliádicos - Ruggeri

410

§ 06

- Rotações.

Teor. 2: Tem-se: −1

Ω = (Ι + χ ). (Ι − χ ) ,

(38).

Com efeito, pois sendo:

v ± q × v = (Ι ± Ι × q ).v = (Ι × χ).v , e considerando (37), escrevemos:

( Ι + χ ) . v = Ω . ( Ι − χ ) . v. Como v é arbitrário,

Ι + χ = Ω . (Ι − χ ) ,

(A).

Mas Ι-χ é completo porque, sendo

ϕ ϕ Ι − χ = Ι − Ι × kˆ tg = Ι − tg (−ˆiˆj + ˆjˆi ) = 2 2 ϕ ϕ $ $ $ $ $ $ $ $ = i ( i + j tg ) + j ( − i tg + j ) + k ( k ) , 2 2 segue-se que:

ϕ ϕ ϕ ϕ ( Ι − χ ) 3 = ( $$ ijk$ ) (( $i + $j tg )( − $i tg + $j ) ( k$ ) ) = 1 + tg 2 = sec 2 ≠ 0. 2 2 2 2 Logo, pós multiplicando ambos os membros da igualdade (A) por (ΙΙ-χ)-1, encontramos (38).

Corol. 1: Tem-se, também:

χ = (Ω + Ι ) −1 . (Ω − Ι ),

(39).

Pois, sendo: Ι + χ = Ω . ( Ι − χ ) = Ω − Ω . χ , podemos escrever, após agrupamentos convenientes, ; donde, imediatamente, (39), porque Ι+Ω Ω é completo. Com efeito,

( Ι + Ω) 3 =

1 + cosϕ

− senϕ

senϕ

1 + cosϕ

0 0 = 4(1 + cosϕ) ≠ 0. 2

Nota: Lembrando que é comutativo o produto pontuado de dois polinômios de um mesmo diádico (§ 05.02,II), escrevemos, também: Ω = ( Ι − χ ) −1 . ( Ι + χ ), e χ = (Ω − Ι ) . (Ω + Ι ) −1 ,

III,§ 06.03.B

(40).

§ 06.03, B

- Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor.

411

Teor. 3: Se χ1, χ2 e χ são os diádicos anti-simétricos associados aos diádicos de rotação Ω1, Ω2 e Ω = Ω1.Ω2, respectivamente, então: −1

−1

χ = (Ι − χ 2 ). (Ι + χ 1 . χ 2 ) . (χ 1 + χ 2 ). ( Ι − χ 2 ) ,

(41).

Temos, segundo (38):

Ω1 = ( Ι + χ 1 ). (Ι − χ 1 )

−1

Ω 2 = (Ι + χ 2 ). ( Ι − χ 2 ) ,

donde, segundo (40): −1 −1 Ω = Ω1 . Ω 2 = ( Ι − χ 1 ) . ( Ι + χ 1 ) . ( Ι + χ 2 ) . ( Ι − χ 2 ) . Então, desta igualdade deduzimos: −1

Ω − Ι = ( Ι − χ 1 ) [ − ( Ι − χ 1 ) . ( Ι − χ 2 ) + ( Ι + χ 1 ) . ( Ι + χ 2 )]. ( Ι − χ 2 ) = 2( Ι − χ 1 )

−1

. (χ 1

−1

+ χ 2 ). (Ι − χ 2 ) ,

e, analogamente, −1

Ω + Ι = 2( Ι − χ 1 ) . ( Ι + χ 1 . χ 2 ) . ( Ι − χ 2 )

−1

Desta última, temos:

(Ω + Ι )

−1

1 2

−1

( Ι − χ 2 ) . ( Ι + χ 1 χ 2 ) . ( Ι − χ 1 ).

Agora, aplicando (32), operando e simplificando, encontramos (41).

§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. Constatamos no §02.05 a necessidade da consideração dos diádicos com simetria externa. Diádicos com simetria externa em relação a um eixo é sinônimo de diádicos autosimilares (§02.02) numa rotação em torno desse eixo com ângulo qualquer. Adotemos o vetor unitário kˆ , paralelo a esse eixo, como um dos vetores de uma base vetorial ortonormada fixada escolhendo-se arbitrariamente dois outros unitários ˆi e ˆj . Para a dedução das características da matriz associada ao diádico φ nessa base,

 φ11 φ12 φ13  [φ φ] = φ 21 φ 22 φ 23  , φ φ φ   31 32 33  devemos escrever, na forma matricial equivalente a ((17), §06.01), que

cosϕ - senϕ [φ] = senϕ cosϕ  0 0 

0  cosϕ senϕ 0 0.[φ].- senϕ cosϕ 0 ,  0 1 0 1 

pois esse diádico deve ser similar a si próprio (§02.02) mediante o diádico de rotação de eixo kˆ e ângulo arbitrário ϕ. Então,

Poliádicos - Ruggeri

412

§ 07

- Redução normal do diádico completo. decomposição polar.

φ11 = cosϕ(φ11cosϕ − φ 21senϕ) − senϕ(φ12 cosϕ − φ 22senϕ) φ 22 = senϕ(φ11senϕ + φ 21cosϕ) + cosϕ(φ12senϕ + φ 22 cosϕ) φ12 = senϕ(φ11cosϕ − φ 21senϕ) + cosϕ(φ12 cosϕ − φ 22senϕ) φ 21 = cosϕ(φ11senϕ + φ 21cosϕ) − senϕ(φ12senϕ − φ 22 cosϕ) φ13 = φ13cosϕ − φ 23senϕ φ 23 = φ13senϕ + φ 23cosϕ φ31 = φ31cosϕ − φ32senϕ φ32 = φ31senϕ + φ32 cosϕ φ33 = φ33 . Da primeira e da segunda equações, e em seguida, da terceira e quarta, deduzimos, considerando que ϕ≠0:

(φ11 − φ 22 )senϕ = −(φ12 + φ 21 )cosϕ ;

(φ11 − φ 22 )cosϕ = (φ12 + φ 21 )senϕ .

Como essas equações devem subsistir qualquer que seja ϕ, deve ser, necessariamente,

φ11 − φ 22 = 0

φ12 + φ 21 = 0 .

Colocando a quinta e a sexta equações nas formas

φ13 (1 − cosϕ) = −φ 23senϕ

e φ 23 (1 − cosϕ) = φ13senϕ

deduzimos, ainda, que deve ser φ13 = φ 23 = 0 . Analogamente, com a sétima e oitava equações comprovaríamos serem φ31 e φ32 nulos. Assim, a matriz associada a φ é

 φ11 [φ φ] = − φ12  0

φ12 φ11 0

0  0  , φ 33 

(01).

Se, ainda, φ apresenta simetria interna, deve ser φ12 = − φ12 = 0 . Alem de simetria em relação ao eixo kˆ poderia haver simetria externa em relação a um eixo de unitário ˆi ortogonal ao primeiro. Assim, alem da matriz dada por (01), deveria corresponder ao diádico a matriz

φ 22 [φ φ] =  0  0

0 φ 22 − φ 23

0  φ 23  , φ 33 

(02),

que deve ser igual à primeira; então [φ φ] é matriz diagonal com elementos φ11=φ22 e φ33. Deduz-se desses resultados que se φ tem simetria externa em relação a três eixos ortogonais deve ser φ11=φ22=φ33, tendo ainda, simetria em relação a qualquer outro eixo. Em resumo: Se qualquer eixo do espaço é eixo de simetria de um diádico, esse diádico é diádico escalar, isto é, da forma AI.

III,§ 07.01

§ 06.04

– Diádicos com simetria externa em relação a eixos.

§ 07 - REDUÇÃO NORMAL DECOMPOSIÇÃO POLAR.

DIÁDICO

413

COMPLETO.

§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições. Consideremos a transformação linear regida pelo diádico completo, qualquer, ψ, usado como pré-fator. Seja P o ponto corrente da superfície esférica de raio unitário, definido pelo unitário posicional r$ de origem no centro O da superfície, por hipótese coincidente com um ponto fixo. Se P' é o transformado de P mediante ψ, e r' é o seu vetorposição de origem O, escrevemos:

r ′ = ψ. r$ ,

r$ = ψ −1 . r ′,

donde,

r ′. ( ψ. ψ T ) −1 . r ′ = 1 ,

(01).

Tal é a equação do elipsóide transformado da superfície esférica (§01.02, propr. 4). Se π) é o plano tangente à superfície esférica em P, então o seu transformado, π'), é tangente ao elipsóide em P'. Com efeito, se não fosse, esse plano teria mais um ponto comum (ao menos), Q, com o elipsóide. Como as transformações direta e inversa são unívocas, o transformado inverso de Q', Q, deveria pertencer a π) e à esfera, o que é impossível (a esfera e π) só tem P por ponto comum). Então, a todo cubo circunscrito à superfície esférica corresponde um e um único paralelepípedo (oblíquo) circunscrito ao elipsóide; e às três direções ortogonais que ligam os pontos de concurso das diagonais das faces opostas (quadrados) do cubo, correspondem três direções (geralmente não ortogonais) que ligam os pontos de concurso das diagonais das faces opostas (paralelogramos) do paralelepípedo; e vice-versa. Logo:

ao paralelepípedo reto, único, que circunscreve o elipsóide, corresponde um e um único cubo circunscrito à superfície esférica. Sejam ˆi , ˆj e kˆ os unitários posicionais dos centros de três faces quaisquer do cubo circunscrito, co-iniciais em O e tais, que o triedro { $i , $j , k$ } seja direto. Se, então, l', m' e n', são os vetores posição (co-iniciais em O e triortogonais) dos centros das três faces correspondentes (retângulos) do paralelepípedo circunscrito ao elipsóide, podemos escrever: l' = ψ. $i , ... . Então:

ψ = l ′$i + m ′$j + n ′k$ ,

(02),

é uma forma trinomial de ψ. Usando o diádico como pós-fator é possível tirar conclusões análogas. Temos, assim, demonstrado o seguinte

Poliádicos - Ruggeri

414

§ 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar..

Teor. 1: É sempre possível reduzir um diádico completo a uma forma trinomial de que os conseqüentes (antecedentes) formem um terceto ortonormado direto e os antecedentes (conseqüentes) um terceto triortogonal. Sendo:

ψ 3 = ( l ′m ′n ′)( $i $j k$ ) = ( l ′m ′n ′), vemos que {l', m', n'} é triedro positivo ou negativo conforme ψ3 seja positivo ou negativo. Associemos às direções dos semi-eixos do elipsóide os unitários $i ′ , $j ′ e k$ ′ correspondentes aos unitários $i , $j , k$ , tais, que { $i ′ , $j ′ , k$ ′ } seja direto; então:

∀ψ, com ψ 3 ≠ 0 :

ψ = L$i ′$i + M$j ′$j + Nk$ ′k$ ,

(03),

onde L, M e N são números finitos, não nulos e cujos módulos são os valores dos semieixos do elipsóide. Resulta, então, demonstrado o seguinte

Corol. 1: É sempre possível reduzir um diádico completo a uma soma de três díades cujos antecedentes e conseqüentes sejam dois tercetos ortonormados diretos e cujos coeficientes sejam números finitos e não nulos. Definição: (forma e redução normal) A forma (03) de redução do diádico completo ψ, em que { $i , $j , k$ } e { $i ′ , $j ′ , k$ ′ } são tercetos diretos ortonormados e L, M e N números finitos não

nulos, denomina-se forma normal do completo φ. Redução normal é o conjunto das operações através das quais se reduz um diádico completo à sua forma normal. Sendo, ainda

ψ 3 = LMN( $i ' $j' k$ ' )( $$ ijk$ ) = LMN, vemos que: 1°) - Se for ψ3 > 0, dois casos podem acontecer: apenas um dos coeficientes é positivo, ou todos são positivos. No primeiro caso, se, digamos, L > 0, escrevemos:

ψ = +| L| $i ' $i +| M|( − $j' ) $j+| N|( − k$ ' ) k$ , caso em que o triedro { $i ' ,− $j' ,− k '} ainda é direto121; no segundo caso, escrevemos:

ψ = + (| L| $i ' $i + | M| $j ' $j + | N| k$ ' k$ ). 121 Se de um triedro direto se invertem dois quaisquer dos eixos o novo triedro continua direto.

III,§ 07.01

§ 07.02

- Marcha de cálculo da redução normal.

415

2°) - se for ψ3<0, dois outros casos podem se dar: apenas um dos coeficientes é negativo, ou todos são negativos. No primeiro caso, se, digamos, L<0, escrevemos:

ψ = − [ | L| $i ' $i +| M|( − $j' ) $j +| N|( − k$ ' ) k$ ] , sendo ainda direto o triedro dos antecedentes; e no segundo caso,

ψ = − (| L| $i ' $i + | M| $j' $j + | N| k$ ' k$ ). Temos assim demonstrado o seguinte

Teor. 2: Todo diádico completo pode ser reduzido a uma soma de três díades de que antecedentes e conseqüentes formem sistemas diretos ortonormados, e cujos coeficientes sejam números todos positivos ou todos negativos:

∀ψ, ψ 3 ≠ 0: ψ = ± (| L| $i ′$i +| M| $j′$j +| N| k$ ′k$ ),

(04).

Deve ser observado que na forma normal de ψ, (03), os módulos dos coeficientes da forma - valores dos semi-eixos do elipsóide transformado da superfície esférica de raio unitário pelo diádico ψ.ψT - são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas) dos autovalores L2, M2 e N2 do diádico ψ.ψT (ou ψT.ψ), correspondentes ao sistema direto dos unitários dos autovetores $i ' , $j ' e k$ ' ( ou $i , $j , k$ ) , não tendo nenhum relacionamento com os autovalores do diádico ψ. Com efeito, pois

$ $') = ψ. ψ T = (| L| $i ' $i +| M| $j' $j+ | N| k$ ' k$ ) . (| L| $$ ii '+| M| $$ jj'+| N| kk =| L|2 $i ' $i '+| M|2 $j' $j'+ | N|2 k$ ' k$ ' ,

(05),

e, analogamente:

ψ T . ψ =| L|2 $i $i +| M|2 $j $j +| N|2 k$ k$ ,

(06).

Então:

( ψ. ψ T ) −1 =

1 $$ 1 $$ 1 $ $ i ' i '+ j ' j '+ k' k' , | L|2 | M|2 | N|2

(07).

Nota: Esse teorema é geral, aplicando-se, inclusive, aos diádicos simétricos, conforme já comprovamos (Teor. 11 e 12, § 04.01,B).

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. Em vista das considerações do § 07.01, o problema do cálculo da redução normal de um diádico ψ pode ser conduzido seguindo a marcha de cálculo cujos passos apresentamos a seguir:

1° passo: determina-se uma das matrizes mistas associadas ao diádico ψ.ψT.

Poliádicos - Ruggeri

416

§ 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

Qualquer que seja a redução cartesiana, dada, do diádico ψ, será sempre possível a execução desse primeiro passo usando-se as fórmulas deduzidas no § 09.02 e no § 09.03 do cap. II. Com efeito, se ψ é dado por [ψ ψ* ], escrevemos: * T ∗

[( ψ. ψ )

∗ T ∗ ∗ ∗ T ∗ ] = [ ψ ∗ ]. [( ψ ) ∗ ] = [ ψ ∗ ].[ ψ ∗ ] ,

com122

[ ψ∗ ∗ ] = [ G ∗∗ ]. [ ψ∗ ∗ ][ G ∗∗ ]. Logo:

T ∗

[( ψ. ψ )

∗ ∗∗ ∗ T ∗ ] = [ ψ ∗ ][ G ][ ψ ∗ ] . [ G ∗∗ ].

(01).

Se ψ é especificado por [ψ ψ**], escrevemos, de (01) e das fórmulas referidas: T ∗

[( ψ. ψ ) ou melhor:

∗∗ ∗ T ∗∗ T ∗ ] = [ ψ ]. [ ψ ∗ ] . [ G ∗∗ ] = [ ψ ]. [ ψ ∗∗ ] , T ∗

[( ψ. ψ )

∗∗ ∗∗ T ∗ ] = [ ψ ]. [ G ∗∗ ]. [ ψ ] . [ G ∗∗ ],

(011).

Se ψ é especificado por [ψ ψ ], escrevemos, de (011) e das referidas fórmulas: ** T ∗

[( ψ. ψ ) ou melhor:

∗ ] = [G

∗∗

]. [ ψ∗∗ ]. [ G ]. [ G ∗∗ ]. [ G ]. [ ψ ∗∗ ] . [ G ]. [ G ∗∗ ],

T ∗

[( ψ. ψ )

∗ ] = [G

∗∗

]. [ ψ∗∗ ]. [ G ]. [ ψ∗∗ ] ,

(012).

2° passo: de posse de [(ψ.ψT)* ], determinam-se os autovalores L2, M2 e N2 (todos * positivos) e os correspondentes auto-unitários $i ' , $j' , k$ ' de ψ . ψ T . Para tal escrever-se-á a equação característica X 3 − ( ψ. ψ T ) E X 2 + ( ψ. ψ T ) ~E X − ( ψ. ψ T ) 3 = 0,

(02),

ou,

X 3 − || ψ || X 2 + || ψ~ || X − (ψ 3 ) 2 = 0 ,

(021),

cujos coeficientes se determinam diretamente de [(ψ ψ.ψT)* ]. Para cada autovalor, calcular* se-á um autovetor correspondente por suas coordenadas contravariantes. Assim, ao autovalor L2 (que podemos designar como o menor deles) corresponderá o autovetor l' = L'i gi , a M2 o autovetor m' = M'i gi e a N2 (o maior deles), o autovetor n' = N'i gi. 122 Relembremos a Nota apresentada no § 09.02: a matriz associada a um diádico só tem significado quando é especificada a base (ou a métrica da base) a que ela se refere.

III,§ 07.02

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal.

417

Como gi = Gij gj, poder-se-á calcular, também,

l ' = L' j g j = L' i G ij g j , isso é,

 L'   L' 1   1    L'  = [ G ].  L' 2 , ∗∗  2    L'   L' 3   3

(03).

Então:

 L'1   2 2 i 1 2 3 $ i g = L' $ gi , ( l ' ) = L' L' i = [ L' L' L' ][G ∗∗ ]  L' , e $l ' = L' i i 3  L' 

(04),

onde i L' $ i = L' e L' $ = i L' i | l' | | l' |

(041).

$ ' e n$ ' . Analogamente calculam-se m Uma verificação de cálculos poderá ser feita, nesse instante, pois

$1 L' $ 1 $ ' n$ ' ) = M' ( $l ' m $1 N'

$2 L' $ 2 M' $ 2 N'

$3 L' $ 3 (g g g ) = M' 1 2 3 $ 3 N'

$ L' 1 $ M'

$ L' 2 $ M'

$ N' 1

$ N' 2

$ L' 3 1 2 3 $ M' 3 ( g g g ) = ±1, $ N'

(05),

( g 1g 2 g 3 ) = | G ∗∗ |,

( g 1 g 2 g 3 ) = | G ∗∗ |

(051).

$ = $j' e n$ = k$ ' . Se for ( $l ' m $ ' n$ ' ) = 1 , far-se-á: $l ' = $i ' , m $ ' n$ ' ) = −1 , Se for ( $l ' m poder-se-á inverter o sentido de qualquer um dos unitários, digamos, $l ' , para que o novo $ = $j' e n$ = k$ ' . triedro seja direto. Far-se-á, então: − $l ' = $i ' , m 3° passo: repetem-se os dois primeiros passos em relação ao diádico ψT.ψ. No primeiro passo, particularmente, as expressões correlatas de (01), (011) e (012), são:

[( ψ T . ψ) ∗ ∗ ] = [ G ∗∗ ]. [ ψ ∗ ∗ ] T . [ G ∗∗ ]. [ ψ∗ ∗ ],

(06);

[( ψ T . ψ) ∗ ∗ ] = [ ψ ∗∗ ] T . [ G ∗∗ ]. [ ψ∗∗ ]. [ G ∗∗ ],

(061);

[( ψ T . ψ) ∗ ∗ ] = [ G ∗∗ ]. [ ψ ∗∗ ] T . [ G ∗∗ ]. [ ψ ∗∗ ],

(062).

Poliádicos - Ruggeri

418

§ 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

Conforme já comprovamos, os diádicos ψ.ψT e ψT.ψ têm a mesma equação característica (o que pode ser verificado calculando os coeficientes da equação pela matriz (06)) e os mesmos autovalores (L2, M2 e N2). Tal como anteriormente, podem ser calculados os autovetores: l = Li gi = Li gi correspondente a L2, m = Mi gi = Mi gi correspondente a M2, e n = Ni gi = Ni gi correspondente a N2, sendo:

L   L1   1    L 2  = [G ∗∗ ]  L2 , etc.,    3 L   L3 

(07).

Também,

 L1    l 2 = Li L i = [ L1 L2 L3 ][ G ∗∗ ]  L2  e $l = L$ i g i = L$ i g i ,  3 L 

(08),

onde

Li L$ i = | l|

e L$ i =

Li , | l|

(09).

As expressões correspondentes para m e n são análogas. Finalmente, dever-se-á calcular

L$ 1

L$ 2

L$ 3

L$ 1

L$ 2

L$ 3

$1 $ $) = M ( $lmn

$ 2 M

$ 3 (g g g ) = M $ M 1 2 3 1

$ M 2

$ ( g 1 g 2 g 3 ) = ±1, M 3

$1 N

$2 N

$3 N

$ N 2

$ N 3

$ N 1

(10).

$ = $j e n$ = k$ . Se for ( $l m $ n$ ) = +1, far-se-á: $l = $i , m $ n$ ) = −1 , poder-se-á Se for ( $l m $ inverter o sentido de qualquer um dos unitários, digamos, l , para que o novo triedro seja $ = $j e n$ = k$ . direto. Far-se-á, então: − $l = $i , m 4° passo: escreve-se, simplesmente, a expressão de ψ em sua forma normal

ψ = L $i ' $i + M $j' $j + N k$ ' k$ ,

(11).

Notar que é

$ 'm $ + N n$ ' n$ ψ = L $l ' $l + M m $ ' , n$ '} e {$l , m $ , n$ } sendo diretos ou não. com L, M e N positivos, {$l ' , m III,§ 07.02

(111),

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal.

419

A cada inversão de um unitário (num triedro ou no outro) para tornar o triedro positivo, corresponderá uma troca de sinal na díade correspondente da expressão (111). Daí, então, será gerada a forma (11), escrevendo-se: ± $l ' = $i ' ,... ; justifica-se, assim, dizer que os números L, M, e N são positivos e negativos.

Exemplo numérico. Reduzir à forma normal o diádico (completo),

ψ = 2 g 1 g 1 − 2 g 1g 2 + 3g 1 g 3 + 1g 2 g 1 +... , cuja matriz mista contravariante/ co-variante associada é:

2  ∗ [ψ ∗ ] =  1  13

2 1 3

3  1 ,  1 

(12).

As bases recíprocas diretas {g 1 , g 2 , g 3 } e {g 1 , g 2 , g 3 } têm as seguintes matrizes métricas (recíprocas):

2  [ G ∗∗ ] =  1  2

1 2 1

9 2   ∗∗ 1  e [G ] =  7   5  5

7 6 4

5  4 ,  3 

(13).

Solução: Observemos, de imediato, que as bases {g } e {g*} são quaisquer mas * (acidentalmente) unimodulares, pois

( g 1g 2 g 3 ) =| G ∗∗ |( g 1 g 2 g 3 ) = ( g 1g 2 g 3 ), isso é 2

1 2 3 2

1 2 3

( g 1 g 2 g 3 ) = ( g g g ) = 1, ou ( g 1g 2 g 3 ) = +1 = ( g g g ), porque, por hipótese, {g } e {g*} são diretas. *

1° passo: Levando, então, (12) e (13) à (01), escrevemos:

 2 2 3   9 7 5   2 1 13  2 1 2  [( ψ. ψ ) ∗ ] =  1 1 1 .  7 6 4 . 2 1 3 .  1 2 1  =      13 3 1   5 4 3   3 1 1   2 1 5  T ∗

 440 −165 1.016  =  −74 30 −174  ,    2.620 −1.014 6.098 

(14),

Poliádicos - Ruggeri

420

§ 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

isso é:

ψ. ψ T = 440g1g1 − 165g1g 2 + 1.016g1g 3 − 74 g 2 g1 +... . 2° passo: Equação característica: X 3 − ( ψ. ψ T ) E X 2 + ( ψ. ψ T ) ~E X − ( ψ. ψ T ) 3 = 0 . Tem-se: || ψ|| = ( ψ. ψ T ) E = Tr[ ( ψ. ψ T ) ∗ ∗ ] = 440 + 30 + 6.098 = 6.568; || ψ ~ || = ( ψ. ψ T ) ~E =

440 −74

( ψ. ψ T ) 3 = ψ 3 . ψ T

−165 440 + 30 2.620

1.016 30 + 6.098 −1.014

−174 = 990 + 21.200 + 6.504 = 28.694; 6.098

= ( ψ 3 ) 2 = ( −66) 2 = 4.356.

Logo: 3

X − 6.568X + 28.694 X − 4.356 = 0

(15).

Com valores corretos até a sexta casa decimal, as raízes dessa equação são123:

X min = 0,1574857 = L2 X med = 4 ,2140805 = M 2 X max = 6.563,628433 = N 2 , Cálculo de um autovetor l', correspondente ao autovalor L2:

 ( 440 − X ) L ′1 − 165L ′2 + 1.016 L ′3 = 0 min  1  −74 L ′ + ( 30 − X min ) L ′2 − 174 L ′3 = 0  1 2 3  2.620 L ′ − 1.014 L ′ + ( 6.098 − X min ) L ′ = 0 Arbitrando L' 3 =

1 = 0,00098425, escrevemos: 1.016  439 ,8425143 L'1 −165 L' 2 = −1  174 1 2  −74 L' +29 ,842514 L' = 1.016 ,

donde 2

L' 1 = −0,0017299 e L' = 0,00144919 . (Podemos, agora, verificar a terceira equação do sistema). Então: 123 Não nos preocupamos, aqui, em precisar erros cometidos com aproximações.

III,§ 07.02

(16).

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal.

10 4 l ' = −17 ,299 g 1 + 14 ,4919 g 2 + 9 ,8425g 3 ,

421

(171).

Cálculo de um autovetor correspondente a Xmed:

 435,7859194 M'1 −165 M' 2 +1.016 M' 3 = 0   −74 M' 1 +25,785919 M' 2 −174 M' 3 = 0  1 2 3  2.620 M' −1.014 M' +6.093,785919 M' = 0. Arbitrando M' 3 =

1 , resolvemos o sistema 1.016

11.237 ,14041 M' 1 −25,785919 × 1016 M' 2 = −25,785919  174 1 2  −12.210 M' +1.016 × 25,785919 M' = 165 × 1.016 . Então

M'1 = −0,002540917 , M' 2 = −0,00065027788, M' 3 = 0,000984252 , e

10 4 m ' = −25,40917 g 1 − 6,5027788g 2 + 9,84252g 3 ,

(172).

Cálculo de um autovetor correspondente a Xmax:

 −6.123,628433 N'1 −165 N' 2 +1.016 N' 3 = 0   −74 N' 1 −6.533,628433 N' 2 −174 N' 3 = 0  1 2 3  2.620 N' −1.014 N' −465,628433 N' = 0. Arbitramos: N' 3 =

1 e resolvemos o sistema 1.016  6.123,628433 N'1 +165 N' 2 = 1  174  −74 N'1 −6.533,6628433 N' 2 = .  1.016

Encontramos

N'1 = 0,000164058, N' 2 = −0,00002807018 e N' 3 = 0,000984252 , donde

10 4 n ' = 1,64058g 1 − 0,2807018g 2 + 9 ,842520g 3 ,

(173).

Temos, então, em (171), (172) e (173) as expressões de l', m' e n' (multiplicados por 104) na base {g }. Por (03) podemos obter as expressões desses mesmos vetores na base * {g*}. Assim, por exemplo:

 L'   2  1  4 10 L' 2  =  1     L'   2  3 

1 2 1

2   −17 ,2990   −0,42106      1 .  14 ,4919  =  1,84228  .     5   9 ,8425   0,12270 

Analogamente,

Poliádicos - Ruggeri

422

§ 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

 M'1  2 1 2   − 25,40917  − 37,636079 10 4 M' 2  = 1 2 1  .− 6,5027788 = − 48,257248 ,  M' 3  2 1 5   9,84252   4,897039  e

 N'   2  1  4 10 N' 2  =  1     N'   2  3 

1 2 1

2   1,64058   22 ,685538      1 .  −0,2807018  =  −8,763324 .         5   9 ,84252   52 ,774502 

Então:

10 4 l ' = −0,42106g 1 + 1,84228g 2 + 0,12270g 3 10 4 m ' = −37,636079 g 1 − 48,257248g 2 + 4 ,897039g 3

(174).

10 4 n ' = 22,685538g 1 − 8,763324g 2 + 52,774502g 3 , Nesse instante podemos fazer algumas verificações com o objetivo de detectar eventuais erros grosseiros de cálculo, já que aqueles oriundos de aproximações são inevitáveis. Estando os vetores l', m' e n' expressos por suas coordenadas co-variantes e contravariantes podemos, facilmente, por multiplicação escalar, verificar a ortogonalidade simultânea desses vetores. Com efeito, basta verificar a nulidade das expressões l'.m' = m'.n' = n'.l'. Assim, de (171) e (174), temos:

10 8 l ' . m ' = ( −17 ,299 g 1 + 14 ,4919 g 2 + 9 ,8425g 3 ) . . (-37,636079 g 1 − 48,257248g 2 + 4 ,897039 g 3 ) =

= ( −17 ,299 ) × ( −37 ,636079 ) + 14 ,4919 × ( −48,257248) + + (9,8425) × (4,897039) = −0.073575, ou seja

l ' . m ' = −0,0735...×10 −8 ≅ 0 . Analogamente podemos fazer os demais cálculos. Para o cálculo dos unitários basta que determinemos os módulos de l',m' e n' recorrendo às expressões de l', m' e n' em bases recíprocas; temos: 10 8 l ' 2 = ( −17 ,299 g 1 + 14 ,4919 g 2 + 9 ,8425g 3 ) . ( −0,42106g 1 + 1,84228g 2 + 0,12270g 3 ) = = 35,189729 ,

donde:

10 4 | l ' | = 5,932093, Analogamente encontramos:

III,§ 07.02

(175).

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal.

423

10 4 | m ' | = 36,308497 e 10 4 | n ' | = 23,645546,

(176).

Logo, na base {g }, por aplicação das (04)1, escrevemos, partindo das fórmulas (171), * (172), (173), (175), e (176),:

$l ' = −2,916171g + 2,442966g + 1,659195g 1 2 3 $ ' = −0,699813g − 0,179098g + 0,271080g m 1 2 3

(19).

n$ ' = 0,069383g 1 − 0,011871g 2 + 0,416253g 3 Mutatis mutandis, na base {g*}, encontramos:

$l ' = −0,070980g 1 + 0,310562 g 2 + 0,020684g 3 $ ' = −1,036564 g 1 − 1,329090g 2 + 0,134873g 3 m

(191).

n$ ' = 0,959400g 1 − 0,370612g 2 + 2 ,231900g 3 Novas verificações de cálculo podem ser feitas. Assim, por exemplo, de (19)1 e (191)1 temos

$l ' 2 = ( −2 ,9161712) × ( −0,07098) +... = 1,000001... ≅ 1; e de (19)1 e (191)2 vem:

$l ' . m $ ' = ( −2,9161712) × ( −1,036564) +... = −0,000341... ≅ 0; e assim sucessivamente.

$ ' , n$ '} é direto; temos, de (19), aplicando Podemos agora verificar se o triedro {$l ' , m (05):

−2,916171... $ $ ' n$ ' ) = −0,699813... (l' m

2 ,442966...

1,659195...

−0,179098...

0,271080... ( g 1 g 2 g 3 ) = 1,00000038... ≅ 1,

0,069383...

−0,011871...

0,416253

$ ' , n$ '} é direto. Faremos, então: porque (g1g2g3)=1. Logo: {$l ' , m $l ' = $i ' , m $ ' = $j ' e n$ ' = k$ ' ,

(20).

3° passo: Aplicando (06) temos:

9  [( ψ T . ψ) ∗ ∗ ] =  7  9

7 6 4

5  2  4  2  3  3

1 1 1

13  2  3 .  1  1  2

1 2 1

2  2  1 .  1  5  13

2 1 3

3  1=  1

Poliádicos - Ruggeri

424

§ 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

 7.422  =  −5.697   −4.105

1.070 −821 −593

67   −52 ,  −33 

(21),

isso é

ψ T . ψ = 7.422 g 1 g 1 + 1.070g 1 g 2 + 67 g 1 g 3 − 5.697 g 2 g 1 +... ,

(211).

Calculamos, facilmente:

( ψ T . ψ) E = 7.422 − 821 − 33 = 6.568 ( ψ T . ψ) ~E =

−821 −593

−52 −33

7.422 +

−4.105

67 −33

7.422

1.070

−5.697

−821

= −3.743 + 30.109 + 2.328 = 28.694 ( ψ T . ψ) 3 = ( ψ T ) 3 . ψ 3 = ( −66) 2 = 4.356. Comprovamos, assim, que a equação característica de ψT.ψ identifica-se com a de ψ.ψT; o que corresponde a dizer que os autovalores de ψT.ψ e ψ.ψT são os mesmos. Tal como no segundo passo de cálculo, podemos encontrar autovetores para ψT. Assim, na base {g }, temos: *

- correspondentemente a L2 = 0,1574857: 10 4 l = −72,10373g1 + 490,78738g 2 + 149,25373g 3 ,

(231);

- correspondentemente a M2 = 4,21408055: 10 4 m = −8,5454003g1 + 49,89528g 2 + 149,25373g 3 ,

(232);

- correspondentemente a N2 = 6.563,628433: 10 4 n = 269,75813g 1 + 207,05861g 2 + 149,25373g 3 ,

(233).

Aplicando as (06) calculamos as coordenadas co-variantes desses vetores; resultam:

10 4 l = 645,08738g 1 + 760,21730g 2 + 111,27381g 3 10 4 m = 331,31194 g 1 − 58,00857 g 2 + 679 ,28257 g 3 10 n = −33,95019 g − 4 ,89464 g − 0,30622 g , 4

III,§ 07.02

(24).

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal.

425

Verificações:

10 8 l. m = 49.026,7, donde l. m = 0,00049... ≅ 0; 10 8 m. n = 0,19405, donde m. n = 0,19...×10 −8 ≅ 0; 10 8 n. l = 348.035,13, donde n. l = 0,00348... ≅ 0. Os módulos de l, m e n são determinados facilmente; temos: 8 2

10 l = ( −72,10... g 1 + 490,78... g 2 + 149,25... g 3 ) . 1

. ( 645,08... g + 760,21... g + 111,27... g ) = 343155 . ,1772 , donde:

10 4 | l| = 585,794 Analogamente, encontramos:

10 4 | m | = 309 ,2890 e 10 4 | n | = 89 ,9950. Logo:

$l = −0,123087 g + 0,837816g + 0,254789 g 1 2 3 $ = −0,027629 g 1 + 0,161323g 2 + 0,482570g 3 m

(25),

n$ = −2 ,997479 g 1 + 2 ,300779 g 2 + 1,658467 g 3 , ou

$l = 1,101219 g 1 + 1,297755g 2 + 0,189954 g 3 $ = 1,071205g 1 − 0,187555g 2 + 2 ,196271g 3 m

(26),

n$ = −0,377245g − 0,054388g + 0,003403g , 1

$ $ ) = −1 . sendo ( $lmn 4° passo:

$ n$ ) = −0,962765... ( g 1 g 2 g 3 ) = −0,973631...( g 1 g 2 g 3 ) ≅ −1, o triedro Como ( $l m $ , n$ } é negativo. Trocando-se os sinais no segundo membro de $l , o triedro {− $l , m $ , n$ } {$l , m $ $ T passará a ser positivo (e i = − l continuará sendo auto-unitário de ψ .ψ). $ = $j e n$ = k$ . Nestas condições a forma normal de ψ Ponhamos, então: − $l = $i , m pode ser assim escrita:

ψ = −( 0,1574857 ˆi ' ˆi + 4,21408055 ˆj' ˆj + 6.563,628433 kˆ ' kˆ ),

(27),

onde {$i , $j, k$ } e {$i ' , $j' , k$ '} são triedros diretos; ou, ainda, assim:

ψ = − ( 0,396847 $i ' $i + 2,0528226 $j' $j + 81,016222 k$ ' k$ ),

(271).

Poliádicos - Ruggeri

426

§ 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

Verificação: Ora, ψ = ψijgigj. Para expressarmos ψ em função de $i , $j, k$ e $i ' , $j' , k$ ' basta expressarmos gi e gj em função de i, j, k e i', j', k'. Para expressarmos os gi em função de $i ' , $j' e k$ ' , bastará invertermos o sistema (19) $ ' = $j' e n$ ' = k$ ' . Encontraremos: onde $l ' = $i ' , m

g 1 = −0,071332 $i '−1,036587 $j'+0,9593988 k$ ' g 2 = 0,3101075 $i '−1,328984 $j'−0,3706125 k$ '

(28).

g 3 = 0,0207338 $i '+0,134882 $j'+2 ,23189996 k$ ' , Analogamente, invertendo o sistema (26) onde já tenhamos trocado − $l por $i , escrevemos: 1 g = 0,122031 $i + 0,015146 $j − 2,964006 k$ 2 g = −0,854716 $i − 0,077449 $j + 2,275088 k$

(29).

3 g = −0,132509 $i + 0,441315 $j + 1,639945 k$ ,

Assim, se $i ' , $j' e k$ ' são os antecedentes e {$i , $j, k$ } os conseqüentes, a matriz associada a ψ será: 0,015146... − 2,964006... − 0,071332... 0,310108... 0,020734...  2 2 3   0,122031...  − 1,036588... − 1,328985... 0,134882...   1 1 1  − 0,854716... − 0,077449... 2,275088...  =      0,959398... − 0,370611... 2,231900... 13 3 1   − 0,132509... 0,441315... 1,639945...   

0 − 0,000002.... 0 0  − 0,396819... 0,396847     , = − 0,577040.... − 2,132359... − 0,001278...  ≅ −  0 2,0528226 0   − 0,073040... 0,243306... − 80,111765...  0 0 81,016222 o que comprova (271), com certo erro devido a arredondamentos e propagações. Deve ser observado que na forma normal de ψ, os módulos dos coeficientes da forma - valores dos semi-eixos do elipsóide transformado da superfície esférica de raio unitário - , são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas) dos autovalores L2, M2 e N2 do diádico ψ.ψT (ou ψT.ψ), correspondentes ao sistema direto dos auto-unitários $i ' , $j' e k$ ' (ou $i , $j, k$ ), não tendo nenhum relacionamento com os autovalores do diádico ψ. Podemos aclarar mais a questão por meio do exemplo numérico apresentado. A equação característica de ψ é

X 3 − 2X 2 − 41X + 66 = 0, e suas raízes são

X min ≅ −6,2498...

III,§ 07.02

X med ≅ 1,585...

X max ≅ 6,6648... .

§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura.

427

Os módulos dessas raízes (autovalores), entretanto, não são os valores extremados assumidos pelos módulos dos vetores transformados mediante ψ. Com efeito, para $i , por exemplo, tem-se:

ψ. $i = (ψ i j g i g j ).(+0,1232055g1 − 0,8378156g 2 − 0,2547887g 3 ) =  2 1 13  g1  = [+0,1232055 − 0,8378156 − 0,2547887] .  2 1 3  . g 2  =  3 1 1   g 3 

= 1,1576761g1 − 0,9693988g 2 − 0,6569866g 3 = l ' = −Lˆi ' = = −0,396845(−2,9161712g1 + 2,4429656g 2 + 1,6591984g 3 ) , isso é,

| ψ .ˆi |= 0,39683 . Fica, pois, comprovado numericamente que os autovalores de ψ não são os valores dos semi-eixos do elipsóide em que ele transforma a superfície esférica de raio unitário. Ou, ainda: o maior e o menor dos valores dos módulos de ψ.r são os correspondentes a r = $i e r = k$ (que são os semi-eixos extremados do elipsóide).

§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. Vimos no §07.01 (Teor. 2) que todo diádico completo pode ser reduzido à forma dita normal,

ψ = L $i ' $i + M $j' $j + N k$ ' k$ ,

(01),

onde {i',j',k'} e {$i , $j, k$ } são dois tercetos ortonormados diretos e L,M e N números reais. Vimos também que:

ψ. ψ T = L2 $i ' $i ' + M 2 $j ' $j '+ N 2 k$ ' k$ ' ,

(02),

ψ T . ψ = L2 $i $i + M 2 $j $j + N 2 k$ k$ ,

(021).

Os diádicos ψ.ψT e ψT.ψ, distintos, são simétricos, de autovalores todos positivos (iguais aos quadrados dos coeficientes da redução normal de ψ) e seus autovetores unitários são, respectivamente, os antecedentes e os conseqüentes da redução normal de ψ. Estenderemos essas características dos diádicos ψ.ψT e ψT.ψ para diádicos em geral com a seguinte

Poliádicos - Ruggeri

428

§ 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

Definição: (diádico reto) Denominam-se diádicos retos os diádicos da forma

∆ = A $i $i + B $j $j + C k$ k$ com A, B, C > 0,

(03),

e {$i , $j, k$ } triedro ortonormado direto. Os diádicos retos são, pois, tônicos com autovalores positivos. Resultam logo os seguintes teoremas:

Teor. 1: O produto pontuado de qualquer diádico completo pelo seu transposto é diádico reto. Teor. 2: A CNS para que um diádico seja reto é que ele seja simétrico e tenha os autovalores todos positivos. Com efeito, se um diádico é reto (da forma (03)) ele é simétrico e seus autovalores (A,B e C) são todos positivos. Reciprocamente, se um diádico é simétrico e tem todos os seus autovalores positivos (logo ele é completo), ele pode ser reduzido à forma (03) em que $i , $j e k$ são os seus auto-unitários (Teor. 11, §04.01,B). Os diádicos retos são casos particulares dos tônicos (§04.01,B). A descrição das TL’s por eles regidas é idêntica à dos tônicos (§05.01) com a particularidade de que, por serem A,B,C > 0, as coordenadas homônimas (na base dos auto-unitários) dos vetores transformando e transformado não podem ter sinais contrários (as componentes homônimas não mudam de direção). Isto significa que essas coordenadas são distendidas (aumentadas) se os autovalores correspondentes são maiores que um, ou contraídas (diminuídas) se os autovalores correspondentes são menores que um, nas proporções A:1, B:1 e C:1. Assim, se v = V1 $i + V2 $j + V3 k$ ,

v ' = V '1 $i + V ' 2 $j + V ' 3 k$ ,

v ' = ∆ . v = ( A $i $i + B $j $j + C k$ k$ ) . v , então

V'1 A = , V1 1

V' 2 B = V2 1

V' 3 C = . V3 1

Diádico reto e deformação de um corpo. Precisamente o fato de serem os autovalores do diádico reto, números todos positivos, é que lhe atribui a possibilidade de representar concretamente o fenômeno físico de deformação de um corpo. Com efeito, se um dos autovalores fosse negativo, um paralelepípedo de volume positivo antes da transformação seria negativo após a transformação; então, no problema físico que estivéssemos estudando, esse volume teria se anulado necessariamente, para depois se tornar negativo. Conseqüentemente, estaríamos aceitando a possibilidade de destruição da matéria (volume zero), o que é impossível. III,§ 07.03

§ 07.04

- Decomposição polar.

429

Essas considerações físicas sugerem a seguinte

Definição: (deformação pura) A transformação regida pelo diádico reto é denominada deformação pura; A,B e C são os valores principais da deformação e as direções de i$, j$ e k$ , as direções principais da deformação.

§ 07.04 - Decomposição polar. Se ψ é um diádico completo qualquer e

$ 'm $ + N n$ ' n$ , ψ = L $l ' $l + M m é a sua redução normal (§07.01), então podemos escrever (Teor. 2, §07.01):

ψ = ± (| L| $i ' $i +| M | $j' $j+ | N | k$ ' k$ ),

(01),

onde {$i ' , $j' , k$ '} e {$i , $j, k$ } são dois tercetos ortonormados diretos. De (01) podemos escrever, qualquer que seja o completo ψ:

ψ = ± (| L| $i ' $i '+| M | $j' $j' +| N | k$ ' k$ ' ) . ( $i ' $i + $j' $j + k$ ' k$ ),

(02),

ψ = ± ( $i ' $i + $j' $j + k$ ' k$ ) . (| L| $i $i +| M | $j $j+ | N | k$ k$ ),

(021).

Ora, o diádico Ω = $i ' $i + $j' $j + k$ ' k$

- o mesmo fator nos segundos membros de (02) e

(021) - é um diádico de rotação (Corol. 2, Teor. 7, §06.01) e representa, pois, uma rotação; ele transforma um dos tercetos ortonormados no outro. Dizemos, ainda, que o terceto {$i ' , $j' , k$ '} é rodado de {$i , $j, k$ } por Ω e que {$i , $j, k$ } é rodado de {$i ' , $j' , k$ '} por Ω T = Ω −1 . O vetor semi-tangente de Ω - que determina a rotação ((13),§06.01) – é

q=−

ΩV 1+ ΩE

=−

î ′ × î + ˆj′ × ˆj + kˆ ′ × kˆ , 1 + (î ′.î + ˆj′.ˆj + kˆ ′.kˆ )

(03).

Os demais diádicos fatores nos segundos membros de (02) e (021) são diádicos retos e representam uma deformação pura (§07.03). Em (02), as direções principais da deformação são as de $i ' , $j' e k$ ' , enquanto que em (021) essas direções são as de $i , $j e k$ ; em ambas as deformações, os valores principais são os mesmos. Se na redução (01) ocorrer o sinal negativo, o mesmo ocorrerá em (02) e (021); nesse caso, então, as rotações e as deformações têm com elas associada uma inversão completa de direções no espaço. Esses resultados podem ser enunciados em formas alternativas diversas.

Poliádicos - Ruggeri

430

§ 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

Teor. 1: Todo diádico completo é redutível ao produto de um diádico de rotação por um diádico de deformação pura, em qualquer ordem, com um sinal positivo ou negativo. Denotando por ∆ ' e ∆ os diádicos retos em (02) e em (021), respectivamente, escrevemos, então: ψ = Ω . ∆ = ∆′ . Ω ,

(04).

Corol. 1: O diádico ∆ é ortogonalmente similar a ∆' mediante ΩT. Com efeito, pré multiplicado escalarmente o segundo e o terceiro membro de (04) por ΩT, deduzimos: ∆ = Ω T . ∆ ' . Ω, (041), o que, conforme ((17), §06.01), demonstra a proposição.

Teor. 2: Todo diádico completo, ψ, pode ser decomposto nos produtos (04), onde Ω é um diádico de rotação e ∆ ' e ∆ diádicos retos de autovalores iguais e positivos e auto-unitários rodados por Ω. Definição: (decomposição polar ou multiplicativa) A decomposição de ψ em que Ω aparece como pré-fator é denominada decomposição direita de ψ; a outra, é denominada decomposição esquerda; ambas as decomposições são denominadas decomposições polares (ou multiplicativas) do diádico. A decomposição polar de um diádico ser assim interpretada geometricamente:

- de significativa utilidade em Física - pode

A transformação regida pelo diádico completo, ψ, reduzido à forma normal ψ = ± (| L| $i ' $i +| M| $j' $j+| N | k$ ' k$ ), é equivalente à deformação pura regida pelo diádico reto

∆ = (| L| $i $i + | M | $j $j +| N | k$ k$ ), precedida da rotação (rígida) regida pelo rotor

Ω = $i ' $i + $j' $j + k$ ' k$ ; ou à rotação regida pelo rotor Ω seguida da deformação pura regida pelo diádico reto

∆ ' = | L| $i ' $i '+| M | $j' $j' +| N | k$ ' k$ ' , ambas seguidas ou não de inversão de direções.

III,§ 07.04

§ 07.04 - Decomposição polar: aplicação

431

Portanto, a transformação mais geral (dos pontos do espaço) regida por um diádico consiste do produto de uma rotação de eixo e ângulo de rotação definidos (pelo vetor semitangente (03)), acompanhada de uma deformação pura com inversão ou não de direções. A rotação e a deformação podem ser operadas em qualquer ordem, nas quais, entretanto, a rotação e os valores principais das deformações, se definirão conforme a deformação pura seja precedida ou seguida da rotação. No primeiro caso, o sistema de direções principais de deformação poderá ser obtido de outro através do diádico de rotação, usado como pós-fator.

Exemplo numérico. Efetuar a decomposição polar do diádico ψ do exemplo numérico do §07.02. Solução: O diádico ψ foi dado por sua matriz mista ((12), §07.02) nas bases recíprocas {g } e * {g*} cujas matrizes métricas são ((13), §07.02). A redução normal encontrada para ψ foi dada por ((271), §07.02),

ψ = − ( 0,396847 $i ' $i + 2,0528226 $j' $j + 81,016222 k$ ' k$ ),

(05).

Podemos escrever, então, de (05):

$ $) − ψ = ( $i ′$i + $j′$j + k$ ′k$ ). (0,396847 $$ ii + 2,0528226 $$ jj + 81,016222 kk ou

− ψ = (0,396847 $i ′ $i ′ + 2,0528226 $j′ $j′ + 81,016222 k$ ′ k$ ′). ( $i ′$i + $j′$j + k$ ′k ) . Conforme ((19), (191) e (20), §07.02):

$i′ = $l ' = −2,916171g + 2,442966g + 1,659195g 1 2 3 $j′ = m $ ' = −0,699813g1 − 0,179098g2 + 0,271080g3 k$ ′ = n$ ' = 0,069383g1 − 0,011871g2 + 0,416253g3 ,

$i′ = $l ' = −0,070980g1 + 0,310562g2 + 0,020684g3 $j′ = m $ ' = −1,036564g1 − 1,329090g2 + 0,134873g3 k$ ′ = n$ ' = 0,959400g1 − 0,370612g2 + 2,231900g3 , e, conforme ((25) e (26), §07.02):

− $i = $l = −0,123087g1 + 0,837816g2 + 0,254789g3 $j = m $ = −0,027629g1 + 0,161323g2 + 0,482570g3 k$ = n$ = −2,997479g1 + 2,300779g2 + 1,658467g3 ,

Poliádicos - Ruggeri

432

§ 07 - Redução normal do completo. Decomposição polar

− $i = $l = 1101219 , g1 + 1,297755g2 + 0,189954g3 $j = m $ = 1,071205g1 − 0,187555g2 + 2,196271g3 k$ = n$ = −0,377245g1 − 0,054388g2 + 0,003403g3. Agora, é fácil encontrar as expressões dos diádicos rotor e reto da decomposição polar nas bases recíprocas {g } e {g*}. Devemos observar que a decomposição polar foi efetuada * para -ψ ψ; portanto, após a rotação e a deformação executadas pelos fatores da decomposição polar, dever-se-á efetuar uma inversão em relação à origem para completar a transformação regida por ψ. A rotação, por exemplo, regida por Ω = $i ′$i + $j′$j + k$ ′k$ , poderá ser caracterizada em relação às bases recíprocas dadas, determinando o seu eixo ( ΩV ) e o seu ângulo de giro (ϕ); para tal, deveremos utilizar as fórmulas (03), ou as (03), § 06.03. *

Exercício : Partindo de (04), comprove que

∀ψ:

cos ( ∆ , ΩT ) = cos ( ∆ ′, ΩT ) =

3 ψE 3 | ψ|

e que, para o exemplo numérico apresentado, ( ∆ , ΩT ) = ( ∆ ′, ΩT ) ≅ 89o 18' 36" . *

§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos Teor. 1: Se ∆ é um diádico reto, então:

∀r ≠ o:

r.∆.r > 0 ,

(01).

De fato, considerando ((03),§07.04), escrevemos:

r.∆ ∆.r = A(r.ˆi ) 2 + B(r.ˆj) 2 + C(r.kˆ ) 2 > 0 , uma vez que, no segundo membro, todas as parcelas são positivas. Em geral, diádicos φ para os quais, para qualquer r≠o, r.φ.r>0, são ditos diádicos definidos positivos; é o caso dos diádicos retos. Os diádicos φ para os quais, para qualquer r, r.φ.r≥0, são ditos diádicos semidefinidos positivos. Vale observar que, para r=o, é r.φ.r=0, mas pode também ser r.φ.r=0 para algum r≠o; é o caso, por exemplo, dos diádicos retos gerados de um E2. Se o oposto de um diádico é um diádico definido positivo (semidefinido positivo), ele é dito definido negativo (semidefinido negativo).

III,§ 07.05

§ 07.05

– Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos

433

Seja φ um diádico simétrico semidefinido positivo – logo, com autovalores (reais) Xi (i=1,2,3) e autovetores eˆ i unitários e ortogonais entre si (Teor. 11, §04.01,B) – que podemos escrever, então, na forma tônica φ = X i eˆ i eˆ i . Sendo: ∀r, r.φ.r = X i (r.eˆ i ) 2 ≥ 0 , segue-se que X1≥0, X2≥0 e X3≥0 sem que os Xs sejam simultaneamente nulos Existe, pois, o diádico, denotado por φ1/2 tal, que

φ1 / 2 = X i eˆ i eˆ i ,

(02),

evidentemente simétrico semidefinido positivo. O quadrado de φ1/2, isso é, φ1/2. φ1/2, é igual a φ. O diádico φ1/2 é único pois se existisse um segundo, digamos ψ (≠φ φ1/2) tal, que ψ2 = φ, então, sendo uˆ um autovetor de ψ relativo ao autovalor A≥0,

ψ.uˆ = Auˆ ,

ψ 2 .uˆ = A 2uˆ = φ.uˆ .

Assim, o autovetor uˆ de ψ relativo ao autovalor A é autovetor de φ relativo ao autovalor A2. Portanto, cada autovalor de ψ é a raiz quadrada positiva de um autovalor de φ; e ψ =φ φ1/2, isso é, φ1/2 é único. Dado o diádico φ = X i eˆ i eˆ i , simétrico semidefinido positivo, o diádico φ1/2, dado por (02), também simétrico semidefinido positivo, será dito a sua raiz quadrada positiva. Se um diádico φ = X i eˆ i eˆ i , simétrico semidefinido positivo é completo (nenhum dos seus autovalores Xi é nulo), ele admite também uma raiz quadrada completa, dada por (02), que admitirá inversa; em resumo:

φ = φ T , φ 3 ≠ 0 ⇒ φ = X i eˆ i eˆ i , φ1 / 2 = X i eˆ i eˆ i e φ −1 / 2 =

1 Xi

eˆ i eˆ i ,

(03).

Os diádicos ψ.ψT e ψT.ψ são simétricos semidefinidos positivos; e se ψ3≠0, são simétricos definidos positivos. *

Exercício: (adaptado de Chadwick124) ψT≠Ο Ο Seja dado um diádico φ=φ φT (simétrico). Então, para qualquer diádico ψ=ψ T (simétrico), provar que existem, únicos, o escalar A e o diádico S=S (simétrico) tais, que ψ=Aφ φ+S, com φ:S=0 (φ φ é ortogonal a S),

(04).

Provar, ainda, que se φ1=φ φ1T≠Ο Ο, φ2=φ φ2T≠Ο Ο e se µ é ortogonal a φ1 (µ µ : φ1=0) para todo µ ortogonal a φ2 (µ µ : φ2=0), então φ1 é paralelo a φ2. Solução: Podemos reduzir φ à sua forma tônica: φ = X i eˆ i eˆ i (em que os Xi não são simultaneamente nulos). Logo: φ 2 = (X i ) 2 eˆ i eˆ i e, portanto, (φ φ2)E=(X1)2+(X2)2+(X3)2>0. 2 Sendo φ≠Ο Ο, (φ φ )E=φ φ:φ=||φ φ||≠0; e reciprocamente. 124 Chadwick, P., Continuum Mechanics (concise Theory and Problems), Dover, New York, 1999, p. 27)

Poliádicos - Ruggeri

434

§ 07 - Redução normal do completo. Decomposição polar

Então, para qualquer ψ=ψT, o número A=(φ φ:ψ)/(φ φ2)E está univocamente ψ-Aφ φ. Da primeira igualdade, porém, determinado, bem como o diádico simétrico S=ψ deduzimos: φ:ψ=A(φ φ:φ),

ou seja,

φ:(ψ ψ-Aφ φ)=0,

ou seja, considerando a segunda igualdade: φ:S=0 (φ φ é ortogonal a S). Esses resultados comprovam (04). Se em (04) fizermos ψ=φ φ1=φ φ1T e φ=φ φ2=φ φ2T, escreveremos: φ1=Aφ φ2+S, com φ2:S=0. Como por hipótese φ1:µ=0 para todo µ ortogonal a φ2, isto é, φ2:µ=0, então (para µ=S) é φ1:S=0. Isto significa (considerando que φ1=Aφ φ2+S) que S:S=0=||S||, ou seja S=Ο Ο e, pois, φ2 (φ φ1 é paralelo a φ2). que φ1=Aφ

III,§ 07.05

Apêndice

435

APÊNDICE QUADRO I

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS Forma cartesiana φ= φ i e e j

(φ φ

j i

φ11  2 [φ φ] = φ 1  3 φ 1

φ3

φ 3 

φ 2 3

φ 2

 

φ2

φ 3  3

- XΙΙ)3 = X3-φEX2+ φ ~E X - φ3 = 0 φ1 1 − X φ21 φ31

φ12

φ13

φ11 φ12 φ13

φ3 = φ 2 1 φ 22 φ 23 = ABC φ 3 1 φ 32 φ 33

(cíclicos)

A=0, φ3=0, M≠0

A≠0, φ3≠0

φ AΙΙ planar (não ortoplanar)

Diádico Característico

Canônica

= A+B+C = φ11+φ22+φ33

= AB+BC+CA = Φ11+Φ22+Φ33

φ 22 − X φ23 =0 φ 32 φ 33 − X

A=0, φ3=0, M=0

Redução

φ ~E

A real, B = M+Ni, C = M Ni

Autovalores

Polinômio Mínimo

φE

Equação e det. característicos

φ BΙΙ e φ CΙΙ não existem no campo real. X(X2+N2)

φ=N(cb*-bc*) $$ − $jk$ )=NΙΙ× $i A=N( kj

0 0 0  [φ]abc= 0 0 N   0 N 0 

X[X2 2MX+(M2+N2)]

φ=+M(bb*+cc*)+

+(cb* bc*)

0 0 0  [φ]abc= 0 M N   0 N M 

(X A)[X2 MX+(M2+N2)]

φ=aa*+M(bb*+cc*)+

+N(cb* bc*)

A 0 0  [φ]abc= 0 M N   0 N M 

Autovetores de φ

Qualquer vetor ortogonal ao plano dos conseqüentes de φ AΙ, a por exemplo

Autovetores de φT

Qualquer vetor ortogonal ao plano dos conseqüentes de φT AΙ, a* por exemplo

Configuração Esquemática

Poliádicos - Ruggeri

436

Apêndice

QUADRO II

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS Forma cartesiana φ= φ i e e j

(φ

j i

φ11  2 [φ] = φ 1  3 φ 1

φ2

φ3

2 φ 3 3 φ 3

φ 2 3

φ 2

φ E = A+B+C = φ11+φ22+φ33

Equação e det. característicos

   

- XΙ)3 = X3-φEX2+ φ ~E X - φ3 = 0 φ1 1 − X φ21 φ31

φ12

φ ~E = AB+BC+CA = Φ11+Φ22+Φ33

φ13

φ11 φ12 φ13

φ3 = φ 2 1 φ 22 φ 23 = ABC

φ 22 − X φ23 =0 3 3 φ 2 φ 3−X

φ 3 1 φ 32 φ 33

A≠B≠C

Autovalores

(tônicos)

φ e φT

φ = φT

φ≠φ φT

Diádico Característico

Uniplanares, distintos, triortogonais.

Planares (não ortoplanares, nem uni planares), distintos.

Polinômio Mínimo

Redução Canônica

(X A)(X B)(X C) $$ φ = A$$ ii + B$$ jj + Ckk $ $ $ ({ i , j , k } terceto ortonormado)

φ = Aaa ∗ + Bbb ∗ + Ccc ∗ {a,b,c} e {a*,b*,c*} recíprocos

A 0 0  [φ φ]ijk =  0 B 0   0 0 C 

A 0 0  [φ φ]abc =  0 B 0   0 0 C 

Autovetores de φ

{a,b,c}

{ $i , $j , k$ } Autovetores de φT

Configuração Esquemática

III,Apêndice

{a*,b*,c*}

Apêndice

437

QUADRO III

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS Forma cartesiana φ= φ i e e j

(φ

j i

φ11  2 [φ] = φ 1  3 φ 1

φ2

φ3

2 φ 3 3 φ 3

φ 2 3

φ 2

- XΙ)3 = X3-φEX2+ φ ~E X - φ3 = 0

   

φ1 1 − X φ21 φ31

φ12

φ13

Redução Canônica

φ11 φ12 φ13

φ3 = φ 2 1 φ 22 φ 23 = ABC φ 3 1 φ 32 φ 33

A≠B = C

φ e φT

Polinômio Mínimo

φ ~E = AB+BC+CA = Φ11+Φ22+Φ33

φ 22 − X φ23 =0 3 3 φ 2 φ 3−X

Autovalores

Diádico Característico

φ E = A+B+C = φ11+φ22+φ33

Equação e det. característicos

φ = φT

φ≠φ φT

φ AΙ planar

φ BΙ ortoplanar

(X A)(X B)2 φ=Aaa*+B(bb*+cc*)+ +Bcb* (cisotônicos)

A 0 0  [φ]abc= 0 B 0   0 B B 

φ-BΙ unilinear

φ AΙ uniplanar

φ AΙ planar φ BΙ linear

(X A)(X B) φ=Aaa*+B(bb*+cc*)

$$ ) φ = A$$ ii + B( $$ jj + kk

A 0 0  [φ]abc= 0 B 0   0 0 B

A 0 0  [φ]ijk= 0 B 0   0 0 B 

φ AΙ=(B A)(bb*+cc*)

Autovetores de φ

a ⊥ plano dos conseqüentes de φ-AΙ, e c ⊥ plano dos con seqüentes de φ-BΙ.

a ⊥ plano dos conseqüentes. de φ-AΙ e b e c arbitrários.

Autovetores de φT

a* ⊥ plano dos antecedentes de φ-AΙ, e b* ⊥ plano antecedentes de φ-BΙ.

a* ⊥ plano dos antecedentes de φ-AΙ e b* e c * arbitrários.

φ - BΙ = ( A - B) $$ ii

$i ⊥ plano de φ AΙ, $j e k$ arbitrários, mas $j ⊥ k$ .

Configuração Esquemática

Poliádicos - Ruggeri

438

Apêndice

QUADRO IV

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS Forma cartesiana φ= φ i e e j

(φ

j i

φ11  2 [φ] = φ 1  3 φ 1

φ2

φ3

2 φ 3 3 φ 3

φ 2 3

φ 2

φ E = A+B+C = φ11+φ22+φ33

Equação e det. característicos

   

- XΙ)3 = X3-φEX2+ φ ~E X - φ3 = 0 φ1 1 − X φ21 φ31

φ12

φ ~E = AB+BC+CA = Φ11+Φ22+Φ33

φ13

φ11 φ12 φ13

φ3 = φ 2 1 φ 22 φ 23 = ABC

φ 22 − X φ23 =0 3 3 φ 2 φ 3−X

Autovalores

φ 3 1 φ 32 φ 33

A=B=C

φ e φT

φ = φT

φ≠φ φT

Diádico Característico

Antitriangular A=B=C=0

Ortolinear A = B = C≠ 0

Diádico Nulo ( Ο) A = B = C≠ 0

Polinômio Mínimo

(X-A)2

X-A

φ = ab*+bc*

φ = AΙ+bc* (b⊥c*)

φ = AΙ

(φ+I é cisalh. complexo)

(cisalhante para A=1)

(diádico esférico)

 0 1 0 [φ]abc =  0 0 1   0 0 0 

A 0 0  [φ]abc =  0 A 1   0 0 A 

A 0 0  [φ]abc =  0 A 0   0 0 A

Redução Canônica

Autovetores de φ

Autovetores de φT

Configuração Esquemática

III,Apêndice

Qualquer vetor ortogonal ao plano dos conseqüentes de φ (ou || a a )

Qualquer vetor ortogonal ao plano dos antecedentes de φ (ou || a a*)

Qualquer vetor ortogonal a c* (b por exemplo., ou o vetor de φ).

φ . φ V = Aφ V = φ . φ V T

Qualquer vetor ortogonal a b (c* por exemplo, ou o vetor de φ).

Qualquer direção do espaço

φ . φ V = Aφ V = φ . φ V T

Qualquer triedro triortogonal do espaço

Apêndice

439

QUADRO V

DESCRIÇÃO DAS TLs PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS D I A G O N A L I Z A V E I S

N Ã O

D I A G O N A L I Z A V E I S

φ = Aaa∗ + Bbb∗ + Ccc ∗ (§ 04.01,B) Seus autovalores A,B e C são todos reais e {a,b,c} é recíproco de {a*,b*,c*}. Sua matriz, na base {a, b, c}, é diagonal, e os elementos da diagonal principal são os seus autovalores. Efeitos da ação de um tônico (§ 05.01): As direções paralelas aos seus autovetores ficam inalteradas; As coordenadas dos vetores segundo os autovetores são distendidas ou contraídas ma proporções A:1, B:1, C:1. Se o tônico é completo: a superfície esférica se transforma num elipsóide, a circunferência se transforma em elipse; se incompleto: a superfície esférica se transforma numa área elíptica, a circunferência numa elipse. Todo tônico, com autovalores todos positivos, é similar a um diádico reto; este rege uma deformação pura (§ 07.02 e (§ 07.03).

Diádicos Tônicos:

Diádico Ciclotônico: Γ = Aaa∗ + M ( bb∗ + cc∗ ) + N ( cb ∗ − bc∗ ) (§ 05.02,A). - Seus autovalores são: A real, M+Ni, M-Ni com M = ρ cos ϕ, N = ρ sen ϕ. - Fatoração comutativa (§ 05.02,A): ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Γ = [ Aaa + ρ(bb + cc )][ aa cos ϕ(bb + cc ) + sen ϕ(cb − bc ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ - Cíclico:  = [ aa cos ϕ(bb + cc ) + sen ϕ( cb − bc ) - Rege rotação elíptica no seu plano (b,c). - Efeitos: 1°) - roda elipticamente a componente de qualquer vetor no seu plano (o da elipse cujos semi-diâmetros conjugados são |b| e |c|), levando sua extremidade do ponto de argumento α (da elipse) para o ponto de argumento ϕ+α (da mesma elipse), logo, alterando-lhe o módulo; 2°) – apenas translada a componente do vetor na direção a, paralelamente a a. - Todo cíclico é similar a um diádico de rotação; este rege uma rotação (circular) de ângulo ϕ em torno de um eixo (§ 06). Diádico Cisotônico: φ = Aaa∗ + B( bb∗ + cc∗ ) + Bcb ∗ (§ 05.02,B). - Seus autovalores, reais, são: A≠B = C. - Fatoração comutativa: φ = [ Aaa∗ + B( bb∗ + cc ∗ )]. ( Ι + cb ∗ ) (§ 05.02,B). - Diádico cisalhante: χ = Ι + cb ∗ = Ι + Q kˆˆj, Q = tg ξ > 0. - Rege uma transformação do tipo cisalhamento mecânico, Fig.05.03, § 05.02,B. - Efeitos: 1°) - os vetores paralelos ao plano de cisalhamento ficam inalterados; 2°) - desloca qualquer ponto paralelamente à direção de cisalhamento; 3°) - todos os pontos de um mesmo plano paralelo ao plano do cisalhamento se deslocam da mesma quantidade; 4°) - em relação a um plano de referência paralelo ao plano do cisalhamento, os deslocamentos são proporcionais às distâncias dos pontos a esse plano. 5°) - planos inicialmente ortogonais à direção de cisalhamento tornam-se inclinados, em relação ao plano de cisalhamento, do complemento do ângulo de cisalhamento, isso é, de π/2-ξ. - Propriedades principais: 1ª) - Conserva os volumes; 2ª) - Conserva as áreas nos planos ortogonais à direção de do vetor do diádico; 3ª) - Conserva as distâncias em qualquer direção paralela ao plano de cisalhamento. Diádico Cisalhante Complexo: φ + Ι, sendo ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ φ = ab + bc , com a⊥b, a⊥b , a⊥c , b⊥c e b.b = 1. (§ 04.03). - Fatoração não comutativa de φ+ΙΙ: φ + Ι = ( Ι + bc∗ ) . ( Ι + ab∗ ) (§ 05.02). (Produto de dois cisalhantes de direções de cisalhamento ortogonais).

Poliádicos - Ruggeri

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BIBLIOGRAFIA. O trabalho pioneiro sobre o assunto, dentro do estilo, é o de Gibbs [1], que foi seguido por vários autores, inclusive Moreira [2] a quem coube o mérito do uso freqüente dos vetores recíprocos e a introdução do conceito de “diádico principal” de um diádico completo dado.

1- 1901: GIBBS, J. W. e WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, Connecticut, USA, 436 p.. 2- 1966: MOREIRA, L. C. de A., Diádicos, REM vol. XXV n° 2 e 3, 39 p., Ouro Preto

IV - Bibliografia

- Revista da Escola de Minas, separata,

ÍNDICE REMISSIVO A Adjunto de um diádico adjunto do adjunto........................................ 177 definição ...................................................... 169 em forma cartesiana ..................................... 204 invariantes.................................................... 174 inverso e principal do adjunto ...................... 177 significado geométrico ................................. 179 Ângulo de cisalhamento............................................ 371 de diádico(s)................................................. 160 anti-simétricos......................................... 167 com o diádico unidade............................. 167 com o seu transposto ............................... 166 de dois espaços diádicos............................... 261 de rotação..................................................... 365 Argumento de um cíclico.................................. 363 Auto-similaridade de diádicos (tensores cartesianos) ................ 317 de matrizes ................................................... 316 dos ciclotônicos............................................ 367 Autovalores de um diádico definição ...................................................... 328 imaginários................................................... 339 reais.......................................................345, 347 Autovetores de um diádico definição ...................................................... 333 triortogonais ................................................. 348

B Base(s) diádica(s) constituição de bases ............................... 235 definição.................................................. 228 norma, módulo ........................................ 229 ortonormadas........................................... 242 recíprocas ................................................ 230 recíprocas ................................................ 233 unimodulares........................................... 242 matrizes métricas de uma base ..................... 188 no espaço diádico anti-simétrico .................. 240 no espaço diádico simétrico ......................... 238 vetoria(is) normogonadas (ou congruentes............... 385 vetorial(is) ortonormadas............................................. 63 recíprocas .................................................. 48 Biflechas ........................................................... 243 Biquadrantais .................................................... 388

C Cíclicos quadrantais e biquadrantais ................. 388 Cisalhamento complexo...................................................... 374 simples ......................................................... 370

direção, plano, módulo e ângulo do cisalhamento .......................................371 CNS para que.......................................................XI dois diádicos anti-sim. sejam ortogonais .......................168 sejam iguais ...............................................81 sejam similares.................................308, 309 dois vetores sejam paralelos.....................................15, 54 duas bases sejam congruentes .......................385 G diádicos (G ≤ 9) formem uma base ...........229 G diádicos de um 2EG constituam uma base .267 o autovetor de um fator de um produto de biquadr. seja ortogonal ao eixo do outro fator .................................................................394 o escalar de um produto de biquadr. valha - 1 .................................................................393 o produto de dois biquadr. seja cíclico ou tônico .................................................................392 o terceiro de um diádico seja ≠ de zero ...........85 seja nulo o produto misto de 3 vetores ................................................19 de dois diádicos........................................148 três vetores sejam coplanares ....................19, 30 um diádico seja anti-simétrico ...................................129, 205 antitriangular............................................335 ciclotônico ...............................................368 completo .................................... 94, 194, 330 de rotação.........................................381, 386 incompleto .......................................170, 172 o diádico nulo ..........................................150 ortolinear..................................................336 ortoplanar.................................................334 perpendicular ao seu transposto ...............167 reto...........................................................437 simétrico .................................. 107, 161, 205 tônico .......................................................347 um biquadrantal .......................................390 um diádico de Argand..............................344 um diádico tenha apenas uma raiz real.................................343 escalar nulo ..............................................151 um diádico transforme qualquer vetor no vetor nulo............................................................88 um duplo produto de diádicos seja nulo ........142 um duplo produto misto de diádicos seja nulo .................................................................160 valha 3 o escalar do produto de dois biquadr. cujos autovet ou cujos eixos sejam (não) paralelos..............................................397 Conteúdo ...........................................................294 Convenção somatória...........................................11

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D Deltas de Kronecker definição ........................................................ 50 produtos ......................................................... 51 Díade................................................................... 73 Diádico(s) ......................................................... 295 adição........................................................... 101 em forma cartesiana ................................ 195 adjunto ......................................................... 169 antecedentes, conseqüentes ............................ 74 anti-simétrico ............................................... 103 antitriangulares caracterização.......................................... 211 definição.................................................. 212 auto-similares............................................... 317 bases diádicas............................................... 227 biquadrantais................................................ 388 cálculo dos inv. em forma cartesiana............ 192 caract. geométrica em forma cartesiana........ 204 característico(s) antitriangular ........................................... 447 antitriangular ou ortolinear...................... 355 definição.................................................. 331 nulo(s) ..............................................357, 447 ortolinear(es) ....................................356, 447 ortoplanar ou linear ................................. 351 planar(es) .........................................444, 445 um planar e um linear.......................352, 446 um planar e um ortoplanar................352, 446 um uniplanar e um unilinear.............354, 446 uniplanar(es) ........................................... 445 característico(s) uniplanares)........................ 350 cíclico(s) ...................................................... 360 caracterização.......................................... 382 definição.................................................. 363 propriedades geométricas........................ 376 quadrantais e biquadrantais ..................... 388 ciclotônico(s) definição.................................................. 366 cisalhante ..................................................... 371 cisalhante complexo ..................................... 374 cisotônico(s)................................................. 371 classificação geral ........................................ 374 com autovalores nulos.................................. 334 como operador de uma T.L ............................ 76 completos e incompletos definição.................................................... 91 redução mínima......................................... 92 comutante (de um par de cisahantes ............. 374 coordenadas cartesianas covariantes e contravartiantes.................. 185 em base diádica ....................................... 231 mistas ...................................................... 186 relações entre elas ................................... 191 critério de igualdade..................................... 111 de Argand..................................................... 130 de Moreira...............................................98, 182 ortoquadrângulos..................................... 100 de mudança de base...................................... 305 de Pauly ....................................................... 144

de rotação caracterização ..........................................383 propriedades geométricas.................376, 384 decomposição aditiva....................................104 decomposição cartesiana de diádico em base diádica.......................231 definições e notações ......................................73 diagonalização ..............................................346 diagonalizáveis .............................................357 na classif. geral ........................................375 dupla multiplicação cruzada..........................142 dupla multiplicação mista de três diádicos....158 duplo produto cruzado invariantes elementares do .......................155 elementos característicos...............................321 autovalores e autovetores .........................328 diádicos característicos ............................330 equação característica ..............................328 polinômio característico...........................325 polinômio CH (Cayley-Hamilton)....325, 326 polinômio mínimo............................321, 324 espaço ...........................................................222 fórmulas notáveis com duplos produtos ................................150 com produtos simples ..............................126 homológicos....................................................95 igualdade.........................................................78 invariantes primários escalar e vetor ............................................82 terceiro definição ...............................................83 interpretação geométrica .......................85 inverso ou recíproco de um completo ...........169 lineares caraterização ............................................206 definição ....................................................92 linearmente dependentes e independentes.....227 matriz associada............................................186 tábua de multiplicação .............................192 módulo e ângulo ...........................................163 motivo.............................................................80 multiplicação dupla mais de dois diádicos ..........................157 em forma cartesiana .................................195 simples cruzada diádico por vetor ....................123 pontuada de diádicos .....................................109 diádico por vetor ..............................75 por número real .....................................74 multiplicação dupla pontuada, cruzada e mista ........................137 multiplicação múltipla com diádicos ............................................251 cruzada.....................................................251 identidades notáveis ............................256 perpendicularidade..............................260 dupla multiplicação cruzada.....................261 mista de G diádicos..................................267

produto misto em forma cartesiana ......... 274 não diagonalizáveis ...................................... 359 na classif. geral........................................ 375 norma ........................................................... 160 normogonalmente (ou congruentemente) similares .................................................. 386 nulidade de duplos produtos......................... 142 ortogonais..................................................... 147 ortolineares caracterização.......................................... 207 definição.................................................... 94 ortoplanares caracterização.......................................... 210 definição.................................................... 93 paralelos ....................................................... 148 planares caracterização.......................................... 208 definição.................................................... 92 posicional..................................................... 232 potenciação ordinária ................................... 112 principal de um diádico completo ................ 171 produto nulo de diádicos não nulos ...................... 119 pontuado de completos e incompletos..... 115 quadrado e cubo de um ortoplanar ............... 119 quadrantais e biquadrantais interpretação geométrica ......................... 389 produto.................................................... 391 redução N2-nomial ou cartesiana.......................... 185 N-nomial e motivo .................................... 79 redução(ões) tônica ou espectral................................... 345 redução(ões)diagonal(is) .............................. 346 reduções canônicas....................................... 339 representações e coordenadas......................... 80 rodados......................................................... 386 segundo de um diádico................................. 170 simetria externa............................................ 318 simetria interna............................................. 318 simetrias externas em relação a planos ................................. 318 simétrico ...................................................... 103 similares....................................................... 307 subespaços multiplanares ............................. 222 terceiro e transposto de um produto ............. 113 término colinear ............................................. 97 tônico ou diagonal........................................ 346 transposição ................................................... 77 unidade, nulo e oposto.................................... 87 unilineares e uniplanares caracterização.......................................... 209 definição.................................................... 93 unitário......................................................... 243

E Eixo de rotação ..................................363, 365, 387 Equação(ões) da reta ............................................................ 32 no plano..................................................... 32 de espaços .................................................... 287

de retas e de planos .........................................59 de um plano ....................................................44 vetoriais homogêneas, resolução...................214 Espaço diádico ..........................................................221 ângulo de dois espaços.............................261 anti-simétrico ...........................................240 baricentros ...............................................284 bimedianas e medianas.............................285 conteúdo (definição) ................................294 dimensão..................................................228 fronteiras de um paralelotopo...................251 geometria analítica do ..............................283 graus de liberdade ....................................245 idéias geométricas....................................243 oblíquos ...................................................249 opostos no simplex...................................283 ordem (ou seqüência)...............................247 ortotopos ..................................................261 paralelismo...............................................248 paralelotopo .............................................250 perpendicularidade...................................260 politopo (definição)..................................294 politopos regulares ...................................294 ponto unidade...........................................293 pontos impróprios ....................................248 pontos linearmente independentes............244 projeções..................................................280 espaço de projeção ..............................281 espaço projetante.................................281 projeção ortogonal ..............................283 projeção paralela .................................281 racionalmente paralelos............................249 razão anarmônica de 4 pontos ..................293 simétrico ..................................................238 simplex, ou (G+1)-ponto..........................247 soma.........................................................245 teorema de Euler para politopos...............294 união e interseção de espaços...................244 vetorial dimensão,base,coordenadas .......................46 Expressões cartesianas de diádicos em bases diádicas .......................231 de produtos de vetores ....................................53 de sistemas de vetores recíprocos....................56

F Forma monomial, binomial, polinomial .....................74 tônica ou diagonal.........................................346 Forma bilinear....................................................199 Função de valor escalar ou valor vetor ........................71 de variável vetorial..........................................70 linear...............................................................71

G Geometria Projetiva Algébrica...........................293 Gibbs ............................................... 4, 69, 295, 449 Grupo ortocêntrico no espaço ........................................................43

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H Homologia relações entre adjuntos, segundos, etc. ......... 181

I Identidade(s) clássicas(generalização) ................................. 65 das 4N letras................................................... 63 das 8N letras................................................... 66 de Fibonacci................................................... 64 de Lagrange.................................................... 64 Incompleto caracterização pelo ajunto ............................ 172 definição ........................................................ 91 Invariante ............................................................ 49 Inverso de um diádico completo definição ...................................................... 169 invariantes.................................................... 174 inverso do inverso ........................................ 177

M Matriz adjunta.......................................................... 204 associada a G diádicos ................................. 224 associada a um diádico................................. 186 auto-similares............................................... 316 coluna associada a diádico ........................... 237 de mudança de base vetorial .................................................... 311 dupla multiplicação pontuada matricial........ 219 inversa.......................................................... 204 métrica de bases diádicas recíprocas .................... 234 de G diádicos........................................... 224 polinômio matricial inteiro........................... 322 Moreira ................................................69, 295, 449 Mudança de base diádica.......................................................... 305 vetorial ........................................................... 60 transf. de coordenadas de diádicos ......................................... 315 de vetor .............................................. 314

N Norma de um diádico............................................... 160 de um diádico anti-simétrico ........................ 164 de um duplo produto cruzado de diádicos simétricos................ 166 pontuado de simétricos e anti-simétricos. 165 de um produto pontuado de diádicos............................... 165 de uma soma de diádicos.............................. 164 do diádico unidade ....................................... 162 do transposto ................................................ 164 Notação convenção somatória...................................... 10 de índices de Voigt....................................238, 239, 242 moderna .................................................. 238

P Paralelotopo ...................................................... 250

fronteiras R-dim............................................251 volume do .....................................................267 Permutador a vários índices .............................................276 determinante de Gram..............................277 produtos ...................................................278 até 3 índices ....................................................50 determinante de Gram................................52 produtos .....................................................52 Polinômios homogêneos (ou formas).................197 Politopos............................................................294 Ponto unidade ....................................................293 Principal de um diádico completo definição .......................................................171 invariantes.....................................................174 Produto(s) justapostos ......................................................73

Q Quadrângulo(s) ortoquadrângulo............................................100 transpostos ....................................................100 Quadrantais........................................................388 Quádrica centrada ..............................................200

R Razão anarmônica..........................................24, 45 Redução(ões) canônica(s) dos diádicos......339, 357 com autovalor duplo .....................................351 com autovalor triplo......................................354 com autovalores simples ...............................339 Reduções canônicas dos diádicos.......................375 Reflexão obliqua................................................389 Rotação circular..........................................................364 composição ...................................................388 com cíclicos de eixos e autovetores distintos ............................................................388 elíptica ..........................................................360 definição ..................................................363 própria e imprópria .......................................387 Rotor (ver diádico de rotação) ...........................364

S Segundo de um diádico definição .......................................................170 invariantes.....................................................174 Semidiâmetros conjugados (de uma elípse)27, 361, 363, 365, 376, 448 Sielawa ..............................................................295 Simetria externa dos diádicos ............................318 Simetria interna dos diádicos .............................318 Similaridade transformação(ões) por .................................306 Sistemas convenientes de representação ............320

T Tensores cartesianos de ordem 1 ...............................................314 de ordem 2 ...............................................317 Tensorialismo ......................................................67 Terceiro ...............................................................83

Terno(s) de vetores normogonais ou congruentes........................ 384 ortonormados ............................................... 384 Transformação(ões) congruente(s) ou normogonal(is) ................. 384 linear(es) .................................................72, 297 da circunferência ..................................... 304 das distâncias, das áreas e dos volumes... 300 do quadrado............................................. 303 propriedades............................................ 298 por similaridade ........................................... 306 similar(es) definição.................................................. 307 propriedades............................................ 308

V Versor (diádico de rotação, conforme Gibbs).... 364 Vetor(es) adição............................................................... 6 combinação linear .......................................... 10 conceitos geométricos estendidos..................... 3 coordenadas cartesianas ................................. 48 contravariantes .......................................... 48 covariantes ................................................ 48 coplanares ........................................................ 3 de base ........................................................... 48 definição, notação ............................................ 1 especificações euclidiana e cartesiana.......... 297

identidade de Lagrange .............................17, 37 igualdade...........................................................3 linearmente dependentes e independentes.......47 multiplicação ....................................................8 dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares ............................27 no espaço ..............................................37 escalar de dois vetores ...............................11 mista de três vetores...................................18 por número real............................................8 vetorial de dois vetores ..............................14 nulo (ou zero)....................................................3 opostos..............................................................3 paralelos............................................................3 recíprocos .......................................................21 coplanares ..................................................25 na reta ........................................................22 não coplanares ...........................................34 rodados .........................................................386 semitangente de rotação................................383 término colineares...........................................31 término coplanares..........................................43 unitário..............................................................3

W Weatherburn ................................................69, 295 Wilson ................................................. 69, 295, 449

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