Campos Tensoriais by Elysio Ruggeri

INTRODUÇÃO

AOS

CAMPOS TENSORIAIS PARA A ENGENHARIA

por

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto Furnas Centrais Elétricas SA

Goiânia (GO) 2012

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo. Introdução à Teoria do Campo / Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed. do Autor, 2012. XX, 170 p. ISBN ..................................... 1. Análise tensorial. 2. Campo de grandezas físicas. 3. Matemática aplicada. I. Título.

CDU ............

Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada página da reprodução.

Contato com o autor: elysio.ruggeri@gmail.com

III

PREFÁCIO O tema deste livro é uma pequena parte, talvez a mais simples, da Física-Matemática. Seu propósito é servir de suporte ao ensino das disciplinas introdutórias: Mecânica de Sólidos e Mecânica de Fluidos, lecionadas nos primeiros anos dos cursos de graduação em engenharia. Ao escrevê-lo preocupamo-nos, por isso, muito mais com a didática do que com o relevante rigorismo matemático, dispensável nesta abordagem introdutória. Livros existentes sobre o assunto tratam, ordinariamente, da teoria dos campos escalares e vetoriais, visando aplicações imediatas na Física (no Eletromagnetismo, na Mecânica Racional e na Mecânica dos Fluidos, principalmente). Procurando dar maior amplitude à teoria, mas sem nos perdermos em generalizações de questões matemáticas, mostramos, com tratamento e linguagem muito simples (sem, evidentemente, muito rigor), que os campos escalares e vetoriais são campos de tensores. Estendemos um pouco mais os estudos abordando os campos dos tensores cartesianos simétricos de ordem dois (ou campos de diádicos simétricos), de larga aplicação. A matéria apenas introduz o leitor na seara dos “campos”, termo esse que deve se entendido no sentido físico (e não matemático, onde campo tem outro significado). Os "Campos tensoriais" são utilizados com muito sucesso na formulação da Mecânica do Contínuo, disciplina que unifica de forma magistral o tratamento da física dos sólidos e dos fluidos (com suas propriedades mecânicas, elétricas, magnéticas, óticas etc.). Isto justifica a necessidade do conhecimento e da divulgação desses conceitos como um preparativo para o tratamento de assuntos mais complexos, não só dentro da Engenharia, mas da Física (das baixas velocidades) que considera o espaço físico com três dimensões e onde pode ser verificada a geometria euclidiana.

Goiânia, fevereiro de 2010.

Campos Tensoriais - Ruggeri

INTRODUÇÃO Este livro é, praticamente, um livro de matemática aplicada à Física e à Engenharia. Por isso mesmo tentaremos mostrar ao candidato a engenheiro particularmente, algumas das causas da presença da Matemática e sua importância em muitas questões de Engenharia. Um pouco do que será apresentado nesta Introdução é um compacto (com alguma adaptação) de textos esparsos extraídos de uma obra prima de Caraça [8]. Outro tanto provirá da nossa convivência com dezenas de fenômenos para os quais só encontramos melhor entendimento pela matemática aplicada. O livro todo, entretanto, tem a intenção de convencer o leitor de dois fatos essenciais. Em primeiro lugar, que a engenharia relativa a concepção, desenvolvimento e construção de engenhos é constituída por boa parte do universo dos fenômenos conhecidos (pelo menos os físicos, químicos e biológicos). Em segundo lugar, que conseguimos substituir cada fenômeno detectado num engenho por um conceito concebido pela nossa mente matemática, a que denominamos “campo”, para o entendimento do qual descobrimos que é possível utilizar uma única teoria: a “teoria do campo”. Essa concepção é magistral! Conceitos gerais. O objetivo da ciência á a construção de quadros ordenados e explicativos dos fatos reais deste mundo, qualquer que seja a natureza deles: física, social, política etc. Esses quadros são legítimos enquanto durar a sua concordância com os resultados de observações e experimentações. Os fatos reais apresentam duas características essenciais: a) – interdependência: pois eles estão correlacionados uns com os outros; b) – fluência: pois eles estão em permanente evolução, transformando-se em cada instante. Então, se tudo depende de tudo em cada instante, com que cérebro - questiona Caraça ([8], 2ª Parte, Capítulo I, p. 111) - vamos organizar o pretendido quadro dos fatos? Se tudo flui, como encontrar os fatos, objetos de um estudo a ser realizado? Para contornar a dificuldade da interdependência criamos o isolado: um conjunto de seres, objetos e fatos que, embora correlacionados de alguma maneira com outros conjuntos, pode ser destacado para estudo, sem sofrer diretamente a influência de outros. Um isolado apresenta uma fronteira concreta (como um recipiente), ou abstrata (como uma região em um estudo meteorológico). Por exemplo: uma planta pode germinar e crescer numa pequena mata (o isolado, com uma fronteira abstrata) sem sofrer a influência de um conflito social que esteja acontecendo do outro lado do planeta. Entretanto, a determinação de um isolado, se mal conduzida, poderia levar à invalidez prematura do quadro determinado porque o bom senso do observador falhou naquela determinação. A mata deve realmente ser considerada no crescimento da planta porque ela certamente influi no seu desenvolvimento. Mas, e os rios que fluem à volta da mata (tendo influência no clima), terão alguma influência sensível na germinação? Mais uma vez o bom senso do observador deverá entrar em ação no tocante à dificuldade causada pela fluência. O tempo altera tudo, não só certo isolado, mas também o que lhe é exterior. O que importa é saber, levando-se em conta o tempo, se o que foi considerado isolado numa época continua sendo um isolado noutra época. Por exemplo: uma pedra lançada para o alto, hoje, cai (isolado); e cairá sempre em qualquer época. Essa garantia, entretanto, não existe para o caso da planta que germina dentro de uma mata porque as condições de clima (externas à mata) podem alterar-se entre épocas muito distantes. Entre os elementos de um isolado (no exemplo: planta, terreno, mata etc.) existem relações de interdependência. Qualidade de um elemento de um isolado é o conjunto das relações desse elemento com todos os demais, num dado instante. Assim, uma solução composta por oxigênio, nitrogênio e hidrogênio dentro do seu recipiente (um isolado) é um gás (qualidade de cada uma das substâncias) dentro de certas condições de temperatura e pressão. As qualidades podem apresentar certa intensidade, embora existam qualidades cujas intensidades não são comparáveis (uma circunferência não é mais nem menos circular que outra; ou, um gás não é mais ou menos gás que outro etc.). Mas há outras qualidades de elementos de um isolado que variam (seja com o tempo ou outra condição qualquer, como a temperatura). Assim, um corpo em queda livre (isolado, do qual o corpo é um elemento) tem uma velocidade (qualidade) em cada ponto da queda (intensidade variável). Aparece, então, a necessidade da consideração da quantidade como um atributo da qualidade, podendo ser medida ou não; em física serão medidas sempre. É preciso, assim, do ponto de vista científico, empregar com precisão a noção de

medida, embora a quantidade de uma qualidade possa variar de uma época para outra em função do nosso grau de conhecimento. Assim, além da definição correta de um isolado, de seus elementos e de suas qualidades num dado instante, medir intensidades é operação vital para o estabelecimento dos quadros ordenados e explicativos. O que seria necessário para medir uma quantidade e suas eventuais variações? Bem responde Caraça, na sua bela obra já citada: que cada estado da qualidade possa ser obtido por adição, a partir de outros estados, e que essa adição seja comutativa e associativa. Se adotarmos, então, convenientemente, certo estado para unidade, o resultado da medição será obtido comparando cada estado com aquele que se tomou como unidade. Finalmente, devemos considerar que uma quantidade variável de uma qualidade de um elemento de um isolado pode alterar essa qualidade do isolado. Assim, o movimento (qualidade) de uma pedra abandonada do alto da Torre de Piza (isolado) é, no princípio, uniformemente acelerado (variável), tornando-se, após um certo tempo de atuação da resistência do ar, um movimento uniforme (alteração). Da mesma forma, se provocarmos um abaixamento da temperatura (qualidade) da solução gasosa (isolado) oxigênio + nitrogênio + hidrogênio, ao atingirmos a temperatura crítica de -119°C o oxigênio torna-se líquido (mudança de qualidade nesse elemento), ocorrendo o mesmo com o nitrogênio a -147°C e a -240°C com o hidrogênio1. Os fenômenos e seus domínios, em Física Os conceitos gerais acima definidos são aplicáveis aos mais diferentes fatos reais, como a germinação de uma semente, a geração de energia elétrica, o exercício da cidadania etc.. Em Física e em Engenharia, particularmente, as evoluções dos isolados são os "fenômenos naturais ou artificiais" dos quais poderíamos citar dezenas ou centenas de exemplos (e até fenômenos dentro de outro fenômeno, formando cadeias de fenômenos), cada um com as suas qualidades (que evoluem, variam no tempo). Acender um palito de fósforo é provocar um fenômeno artificial, tanto quanto por um elétron em movimento num acelerador de partículas; estudar o movimento de um astro é estudar um fenômeno natural. Os elementos dos fenômenos são, em geral, corpos naturais ou artificiais (visíveis ou invisíveis), como um astro, a atmosfera de um planeta, uma montanha, uma chapa de aço, um motor de automóvel, um próton etc. As qualidades mais expressivas dos fenômenos a serem consideradas neste livro, são: 1) - a natureza física dos seus elementos (os vários estados da matéria: sólido, líquido e gasoso); 2) - as propriedades físicas desses elementos (propriedades mecânicas, termodinâmicas, eletromagnéticas, eletrônicas, químicas e biológicas); 3) - as qualidades - ditas ações exteriores (exteriores a esses elementos, mas interiores ao isolado) - sob a ação das quais se encontrem os elementos, como: temperatura, pressão, radiação, força etc.; e as ações - ditas interiores – que se manifestem espontaneamente dentro desses elementos. Por necessidades físicas, a fronteira de um fenômeno será matematicamente definida sendo, ainda, concreta ou abstrata; a região do espaço físico não exterior à fronteira será denominada: domínio do fenômeno, e poderá ser uni, bi ou tridimensional. Lei natural Importa, pois, estudar a evolução de um fenômeno dentro do seu domínio, isto é, explicar o por quê da alteração das suas diferentes qualidades. Mas, como atingir esse por quê? A observação mostra a existência de fenômenos repetitivos que, sob as mesmas condições, apresentam comportamento idêntico; são fenômenos regulares, podendo ser naturais ou artificiais. Fenômeno natural regular seria, por exemplo, a translação da Terra em torno do Sol e sua rotação concomitante em torno do seu eixo; um fenômeno regular artificial seria, por exemplo, a passagem de um mesmo veículo sobre a mesma ponte, com a manutenção de algumas condições. A existência e a possibilidade das regularidades nos fenômenos permitem a sua repetição e previsão; e dessa repetição e previsão somos totalmente dependentes. Todas as técnicas conhecidas se baseiam nessa possibilidade, "da enxada ao ciclotrão", usando as sábias palavras de Caraça (o. c.,

1 Mas essa solução gasosa sempre foi entendida como gasosa até o ano de 1863 quando Andrews mostrou a existência, para cada gás, de uma temperatura crítica, acima da qual não se podia liquefazer esse gás. Campos Tensoriais - Ruggeri

p. 119). Destaca ainda Caraça, que a procura das regularidades dos fenômenos naturais é uma das mais importantes tarefas na investigação da Natureza; e ele assim define, na sua forma mais geral: Lei natural é toda regularidade de evolução de um isolado, podendo esta ser de natureza física, social, psicológica, política, econômica etc.. Na Física, particularmente, o quadro explicativo dos fenômenos físicos naturais se resume, então, no estabelecimento das leis (físicas) naturais. As leis naturais podem ser: qualitativas, quando dizem respeito às variações das qualidades dos elementos de um isolado; quantitativas, quando dizem respeito à variação das quantidades das qualidades dos elementos. A chamada primeira lei de Kepler: os planetas (elementos do isolado chamado sistema solar) descrevem órbitas elípticas (qualidade do elemento chamado movimento) das quais o Sol ocupa um dos focos, é um exemplo de lei qualitativa. A chamada lei de queda dos corpos pesados: para todo corpo (elemento) em queda livre no vácuo (isolado), as alturas de queda (qualidades do elemento corpo pesado) são proporcionais aos quadrados dos tempos de queda, é um exemplo de lei quantitativa. À medida que vamos conhecendo melhor o mundo, pela Física em particular, as leis físicas naturais quantitativas tendem a dominar as qualitativas. Esclarecemos isso lembrando que a primeira lei de Kepler (qualitativa) é conseqüência da lei da gravitação de Newton, que é lei quantitativa. A primeira descreve uma faceta do movimento; a segunda descreve tudo (ou quase tudo, se formos levar em consideração o chamado "movimento anômalo" de Mercúrio)2. Assim, ao explicar (e não só descrever) os fenômenos, somos naturalmente obrigados a aprofundar no estudo das variações das quantidades das qualidades postas em jogo nos fenômenos, pois as descrições simplesmente qualitativas deles podem levar-nos ao grande perigo do “deslize". Lamentavelmente, assim aconteceu com Aristóteles, não obstante a sua enorme reputação e estatura intelectual, ao escrever que "a experiência mostra que os corpos cuja força é maior seja em peso, seja em ligeireza, todas as outras condições iguais quanto às figuras, atravessam mais depressa um espaço igual e na proporção que as grandezas (peso ou ligeireza) têm entre si". Vem dai a necessidade da intervenção da Matemática. "Deu-se uma gestação lenta em que necessidade e instrumento inter-atuaram, ajudando-se e esclarecendo-se mutuamente" (Caraça, o. c., p. 125). Por instrumento, Caraça entende a matéria (matemática) necessária para a intervenção a ser realizada, e que completaria as necessidades da ciência; e apresenta a seguinte situação. Suponhamos que fossemos estudar a queda dos corpos no vácuo em condições físicas adequadas (o isolado, o fenômeno). O tempo é uma de suas qualidades. Outra seria a quantidade de espaço percorrido pelo corpo. Onde está a regularidade do fenômeno, ou sua lei quantitativa? Façamos medições das alturas do corpo em relação a certa referência e do tempo correspondente a cada altura. Com esses pares de medida organizamos a Tabela I que estabelece uma correspondência entre os espaços percorridos e o tempo que o corpo gasta para percorrer esses espaços. TABELA I – Espaços percorridos e tempos gastos por um corpo em queda livre no vácuo Tempos (segundos) Espaços (em metros)

4,9

19,6

44,1

78,4

122,5

Nesta tabela temos uma amostragem da procurada regularidade do fenômeno (se existir) e dela obtemos uma pista: a de que a medida do espaço é proporcional ao quadrado da medida do tempo. E a lei propriamente dita, onde está? Está na forma como essa correspondência entre espaços e tempos se realiza. Assim, para estudar leis quantitativas é necessário criar o instrumento matemático necessário que em essência está em estabelecer correspondência entre conjuntos.

2 Para não nos alongarmos muito nesta exposição deixaremos de mostrar um exemplo flagrante de como certas leis podem dar lugar a outras leis mais gerais (as da gravitação, de Einstein) à medida que os conhecimentos avançam.

VII

O instrumento matemático: a função A matemática cria o conceito de variável, dá-lhe notação conveniente, digamos t para tempos e s para espaços, e as associa às quantidades das qualidades do fenômeno. A lei consiste na existência da correspondência entre s e t (correspondência essa que é unívoca no sentido t→s: a um t só corresponde um s); dizemos, dai, que s é função de t, a s damos o nome de variável dependente e a t o de variável independente. Escrevemos, convencionalmente: s=s(t). O conceito de função é, então, o instrumento próprio para o estudo das leis. Devemos estar atentos para o tamanho da extrapolação que pretendemos realizar. A Tabela I é uma amostragem pela qual teremos a ousadia de estabelecer uma lei natural: na queda dos corpos pesados no vácuo, os espaços percorridos são proporcionais ao quadrado dos tempos gastos. Novas medições poderão dar mais suporte à afirmativa e a aplicação dessa "lei" repetidas vezes, em diferentes situações (com corpos e alturas de queda diferentes, mas sempre no vácuo) darão credibilidade à mesma. A Tabela I está contida na expressão s=4,9 t2, que na verdade, contem muito mais informação; ela prevê, por exemplo, que para t = 5,5 segundos o espaço percorrido é de 148,225 m, e este é realmente verificado experimentalmente. Dizemos que s=4,9 t2 é a tradução analítica ou a lei matemática do fenômeno. Adverte-nos Caraça de que não devemos confundir função com expressão analítica, especialmente porque uma função (comprovadamente existente) pode não ter uma representação analítica. Por muitas vezes dizemos: "seja a função s=4,9 t2" em vez de: “seja a função cuja representação analítica é s=4,9 t2”. Se existe uma expressão analítica envolvendo duas letras, existe necessariamente a função; mas a existência da função não acarreta necessariamente a existência de uma expressão analítica que a represente. Aliás, isto pode até ser impossível. Por exemplo: experimente o leitor determinar a expressão analítica da temperatura θ num ponto de um ambiente (de um suposto isolado) em função do tempo t, efetuando uma amostragem - medições de pares: (θ, t) - de qualquer tamanho, digamos durante um mês. É evidente que a dado tempo corresponde uma e apenas uma temperatura no ponto, isto é, a temperatura no ponto é função do tempo. Depois, usando o melhor dos recursos matemáticos disponíveis, suponha ter sido encontrada uma função θ=θ(t), tal que para t igual a qualquer um dos valores da amostra, a função forneça exatamente o θ correspondente. Aparentemente θ=θ(t) poderia ser a expressão matemática de uma lei física quantitativa para aquele isolado. Entretanto, como essa função pode não conseguir prever com acerto a temperatura que ali ocorrerá no dia seguinte, ela não poderá representar a lei natural esperada porque ela não detecta integralmente a regularidade que o fenômeno apresenta. O defeito poderá não estar na função, mas na especificação do isolado; mas isso é outro problema. Uma teoria para o entendimento de uma classe de fenômenos Os conceitos expostos são aplicados para o entendimento de um fenômeno em particular; no caso, a queda (vertical) dos corpos. As leis do movimento retilíneo uniforme (movimento em linha reta, com velocidade constante) poderiam certamente ser estabelecidas de modo análogo (experimentalmente), mas pela aplicação de algum raciocínio seria muito mais simples. O movimento retilíneo acelerado (movimento em linha reta, com aceleração constante) poderia ser criado mentalmente, suas leis poderiam ser determinadas pelo raciocínio e, em seguida, confirmadas experimentalmente. Que tal esses mesmos movimentos, agora curvilíneos? Por que não começar com o movimento circular? Se mudássemos o ângulo de lançamento de uma pedra ao espaço estaríamos frente a outro fenômeno, cuja explicação seria mais trabalhosa que o dos anteriores. Vê-se facilmente, do ponto de vista experimental, que estaríamos frente a uma tarefa penosa e, de certa forma, pouco promissora. Ao espírito mais aguçado certamente ocorreria a idéia de reduzir o entendimento desses fenômenos de mesma classe a conceitos elementares, a partir dos quais se pudessem deduzir leis e propriedades, para que, ao contrário da situação anterior, as mesmas fossem verificadas experimentalmente. É este o conceito de teoria sobre alguma coisa: postular coisas evidentes, criar conceitos básicos e operá-los com a ferramenta apropriada – no caso, a matemática – estabelecendo, inclusive, o que se deva medir (em laboratório ou em campo) para considerá-la satisfatória, logo aceitável. O estabelecimento da teoria explicativa de certa classe de fenômenos é

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VIII

de extremo valor prático, pois pode ser aplicada em qualquer instante para prever resultados quando da repetição daqueles fenômenos, dispensando as caras, às vezes tediosas e, em geral, demoradas operações em laboratório. Com algum esforço, o leitor aceitará a concepção de Einstein de que é impossível montar uma teoria a partir da experimentação. O exemplo citado atrás, da queda dos corpos e medições de espaços e tempos, ilustrou a necessidade da introdução do conceito de função. O que se fez, entretanto, não pode ser confundido com o estabelecimento de uma teoria. Uma teoria é uma exposição ampla, baseada em postulados e conceitos simples (nem sempre óbvios) a partir dos quais, por dedução lógica, se vão estabelecer previsões de comportamentos ao longo do tempo. Pode parecer estranho, mas este é o caminho mais barato, mais rápido e mais simples para orientar todos os trabalhos dos profissionais de engenharia. Outros procedimentos matemáticos É precisamente neste ponto que a Matemática se entrelaça com a Física; e o casamento parece perfeito. Newton, Leibnitz, Fermat, Euler, Lagrange, os Bernoulli e poucos outros foram os agentes dessa perfeição, entre 1650 e 1700, com o estabelecimento das bases do Cálculo Infinitesimal. As necessidades da Física desde então passaram a abrir rumos para a Matemática. Esta, além de traçar seu próprio rumo – e o faz com incrível abundância – atende à Física em evolução com extrema generosidade, levantando, inclusive, questões ocultas nos fenômenos físicos. Neste livro o leitor encontrará alguns ensinamentos matemáticos de total utilidade em física teórica, mas que não são de matemática básica (como o conceito de função atrás exposto). Para entendê-los, exigiremos que o leitor esteja familiarizado com algumas das disciplinas básicas lecionadas nos dois primeiros anos dos cursos de física e engenharia, como: uma boa parte do Cálculo Infinitesimal, da Geometria Analítica, o Cálculo Matricial e o Cálculo Vetorial (CV) clássico. Deste último, particularmente, vamos explorar um pouco mais os seus últimos capítulos, trabalhando mais intensamente com os chamados operadores diferenciais. Pequena digressão histórica O CV – formalmente estruturado por J. W. Gibbs3 entre os anos 1870 e 1900 aproximadamente [9] – nasceu por necessidade da Física com a finalidade de tratar as grandezas físicas denominadas vetoriais. O aparecimento das funções vetoriais foi imediato, pois tal como com o conceito ordinário de função se podiam associar duas grandezas escalares, percebeu-se que também seria possível associar duas grandezas vetoriais (e a lei de Newton f=Ma era o exemplo mais simples). No início do século XX iniciou-se, então, a “vetorialização” da Mecânica de Newton e do Eletromagnetismo de Maxwell (com a participação especial de Heaviside). Mas a Física não tratava apenas das grandezas escalares e vetoriais. Na Mecânica (chamada Racional) de Newton, alem dos vetores força, velocidade, aceleração e poucos outros, aparecia também uma grandeza mais complexa: o momento de inércia. Noutras áreas da Física apareciam outras grandezas que, com o momento de inércia, constituíam uma nova classe de grandezas. Gibbs, em suas aulas na Universidade de Yale (por volta de 1880), sugeriu representar essas grandezas por diádicos e mostrou como fazê-lo. Estava, com isso, ampliando o CV (e não chamou esse novo cálculo de Cálculo Diádico, CD). Mas, grandezas ainda mais complexas existiam na Física, as quais, possivelmente, poderiam ser representadas por triádicos, tetrádicos etc. desde que com essas entidades (formadas a partir do conceito de vetor) fosse estruturada uma álgebra adequada. O próprio Gibbs sugeriu isso, mas parece não ter formulado um “Cálculo Poliádico” (CP) como, melhor que ninguém, poderia ter feito. Aproximadamente na mesma época (início do século XX), o brilhante matemático italiano Ricci sintetizou idéias esparsas de outros brilhantes matemáticos e físicos anteriores a ele (Riemann e Christoffel, por exemplo) e criou o Cálculo Diferencial Absoluto, logo denominado Cálculo Tensorial (CT). Este Cálculo nascia baseado em conceitos generalíssimos e com notação própria. Nele incluía-se o CV (já em largo uso na Física), e também o bem arranjado CD de Gibbs (com operações e notações adequadas e simples), embora este apresentasse feições não previstas no CT de Ricci. Principalmente depois de 1921, quando a comunidade científica aceitou 3 Costuma-se creditar esse fato também a Hamilton por ter lançado as idéias básicas através da sua Teoria dos Quatérnios. Mas Gibbs, embora adotando alguma nomenclatura e operações de Hamilton, nunca aceitou os quatérnios como uma ferramenta matemática adequada para a Física da sua época (ver Crowe, M. J., A history of Vector Analysis, Dover, New York, 1967, capítulo V especialmente).

parcialmente a Teoria Geral da Relatividade gerada por Einstein em 1915, o CT adquiriu fama entre os físicos e invadiu a Física, pois nascia (imperceptivelmente) uma física moderna. Mas o CV, com a sua simplicidade, elegância e especial adequação, persistiu como uma excelente ferramenta para expressar a física clássica. Nessa física, sobre a qual está estruturada grande parte das engenharias (como: mecânica, civil, elétrica, naval, aeronáutica, química e outras), o CP, tão simples, tão útil e tão elegante quanto o CV, foi (inadvertidamente) substituído pelo que se chama hoje Cálculo dos Tensores Cartesianos. Essa troca, de fato, não é compensatória, como se poderá notar oportunamente [13]. Esta pequena digressão para justificar a introdução de algumas matemáticas para a resolução e interpretação de problemas de física e engenharia (apenas algumas matemáticas porque esse campo é muito vasto) poderia ser o ponto de partida para um livro volumoso. Com esta Introdução esperamos ter sensibilizado o leitor – um candidato ao estudo das engenharias, da física e da matemática aplicada – a encarar esses estudos com uma boa convicção de que o problema não está na matemática, nem nas pessoas, mas nos fenômenos físicos em si. Cinco atividades frente à ciência da engenharia Todas as matemáticas atrás referidas foram desenvolvidas para atender as necessidades da Física basicamente, ou seja, para o estudo (qualitativo e quantitativo) dos fenômenos físicos. Deles se valerão também a Química em muitas situações, por exemplo, no tocante à termodinâmica dos fenômenos químicos, no estudo químico-físico das reações químicas etc. A Engenharia é a arte e a ciência da construção; construção de edifícios, pontes, barragens, canais, navios, aeronaves e aeroportos, mecanismos (motores, bombas, turbinas etc.) equipamentos e instalações elétricas (motores, transformadores, subestações etc.) e outros engenhos. Cinco atividades são fundamentais em engenharia, para o exercício das quais o engenheiro necessita de apresentar atitudes bem dosadas de obsessão, capacitação combinada com dom, e habilidade. São elas: 1 – a concepção dos engenhos (pela imaginação, exibidas depois com “lápis e papel” na forma de um “projeto de engenharia”); 2 – a concretização (a construção propriamente dita) dos engenhos arquitetados; 3 – a operação dos engenhos; 4 – a manutenção dos engenhos em operação; 5 – a auscultação constante e adequada dos engenhos, realizada mediante observações diversas; e a interpretação correta destas observações, seguida de atividades de manutenção. O elemento fundamental que se apresenta diante de todas essas atividades é o “fenômeno”. Durante a atividade “concepção” os fenômenos são detectados e as variáveis neles postas em jogo devem ter seus valores previstos com acerto adequado. Ao longo de todas as demais atividades, a construção é auscultada. Através de instrumentos é possível medir pelo menos algumas das variáveis postas em jogo nos fenômenos previstos (na fase da concepção). Com as medidas feitas é possível comparar valores medidos e previstos das variáveis com a finalidade de definir-se um “desempenho físico” da construção. Deve ser observado que o desempenho da construção pode ter também, e em geral tem, significado econômico e social dentro de um complexo chamado “empreendimento”. Nesse caso, o desempenho físico da construção passa a ser apenas um item desse significado último. Mesmo por esse enfoque mais amplo o empreendimento deve ser simulado, procurando-se antever e analisar situações (econômicas, políticas e sociais) que possam influir no resultado final do mesmo. Os fenômenos aqui mencionados são, basicamente, os físicos e os químicos, mas especialmente os primeiros. Dentre esses, nas construções chamadas civis, mecânicas, aeronáuticas, navais e outras predominam fenômenos mecânicos nos quais forças agem sobre corpos que se deformam, estejam eles fixos (como em uma ponte) ou em movimento (como em uma máquina). Nas construções elétricas predominam fenômenos eletromagnéticos (muitas vezes associados com fenômenos óticos) onde, ainda, forças e corpos deformáveis estão também presentes. Nas construções hidráulicas, navais e aeronáuticas, corpos sólidos deformáveis e fluidos interagem sujeitos à ação de forças, ampliando a natureza dos fenômenos.

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É com esse enfoque que se deve preparar o aspirante a engenheiro. É preciso entender-se que nada escapa a essa forma de abordagem do “problema de engenharia” (seja ele de projeto, de construção, de operação, de manutenção ou de auscultação dos engenhos). O leitor deverá observar que, por trás de todo o discurso que tenta tornar inteligível o problema da engenharia, existe uma palavra que pode sintetizar quase tudo: a simulação, que combina muito bem com previsão de valores. Somente pela simulação é que vamos evitar surpresas desagradáveis de natureza econômica, ou que indiquem falta de segurança à vida das pessoas envolvidas no projeto (no presente ou no futuro). A prática da simulação requer a utilização de um modelo que esteja sacramentado pelo uso, isto é, de uma teoria que tenha sido posta à prova ao longo do tempo, que tenha conseguido prever com razoável acerto, que adquiriu reputação e inspirou confiança. Neste livro o leitor encontrará as bases para o entendimento de alguns modelos de uso corrente na prática da engenharia; e o principal conceito que dá suporte a essa base é o de campo. Como a engenharia fica reduzida praticamente à construção de algum engenho, devemos detalhar suficientemente o que se entende por construção. A construção e seu desempenho físico Uma construção é uma associação de corpos materiais (de formas, de dimensões e de materiais diferentes) destinada a apresentar funcionalidade, estética, sustentabilidade ambiental, segurança e economia máxima na missão que lhe cabe desempenhar ao longo do tempo. Esse conceito é, de fato, aplicável a uma edificação comum (uma residência, um prédio industrial), a um navio, a um avião, mas também a uma moto-bomba, ao vertedouro de uma barragem etc. A funcionalidade de uma construção diz respeito à sua utilidade: uma moto-bomba tem que bombear, um vertedouro tem que permitir ou obstruir a passagem da água de um reservatório conforme as necessidades, uma casa deve servir adequadamente uma família de certo porte com exigências prefixadas etc. A estética de uma construção está relacionada com a sua aparência, tornando-se relevante em alguns casos e irrelevante em outros. Assim, uma residência não deve ter a aparência de uma igreja; mas a estética de uma bomba ou de um vertedouro não é muito significativa, embora (sempre que possível) deva ser considerada. Qual a importância de uma bomba de aparência mais ou menos agradável que outra? A construção deve existir de forma a não desequilibrar o meio ambiente (e sempre o fará para o lado indesejável). Ela deve existir de forma a sustentar um ambiente sadio ao longo do tempo. Por isso, a poluição gerada por uma residência, ou por uma fábrica, deve ser contemplada na sua concepção e os problemas correspondentes resolvidos. Da mesma forma devem ser previstos e sanados os impactos ambientais causados por uma mineração, uma barragem, uma estrada etc. A segurança apresentada por uma construção está representada pelo seu desempenho físico. Assim, por exemplo: uma ponte não pode ruir, tampouco um edifício, ou uma barragem. Mesmo que uma construção não chegue à ruína ela pode comprometer seriamente a estética, por exemplo, e até a funcionalidade. Evitar-se-iam citações, como: “o prédio não ruiu, mas tombou em 5° com a vertical”; ou: “a turbina de uma hidrelétrica está funcionando, mas com o eixo muito fora da posição ideal”, pois por imperceptível que seja a olho nu esse desaprumo ou variação, pode prejudicar seriamente o rendimento desta máquina (acarretando prejuízos). A economia máxima para a concretização e o sucesso futuro da construção sempre foi, e parece que sempre será, o condicionante que mais desafia a nossa inteligência. Tudo influi no resultado final: a funcionalidade (um espaço inadequado para circulação em um supermercado), a estética (um restaurante com a aparência de um ginásio coberto), a sustentabilidade ambiental (a fábrica que expele gases no ambiente), a segurança (a ponte que balança em excesso). Cada um destes itens está associado com uma (ou mais) especialidade profissional.

A segurança física da construção Vamos destacar a questão da segurança física por estar mais diretamente ligada ao tema deste livro. Apesar de ser muito difícil separar as partes mais significativas que compõem a segurança física de uma construção – seja por estarem estas partes unidas até certo ponto, ou por não considerar alguma outra do mesmo nível de relevância – arriscamo-nos a mencionar apenas três: o projeto estrutural, a tecnologia de construção, a auscultação. Por estrutura devemos entender as partes resistentes de uma construção, podendo ser um simples pilar, ou uma grande barragem. Uma grande estrutura pode ser uma associação de pequenas outras estruturas, como uma treliça (uma estrutura) é uma associação de barras (outras estruturas) sejam elas metálicas ou de madeira. O desempenho de cada estrutura ao longo do tempo é fator primordial da segurança física do conjunto de todas as estruturas. No projeto estrutural executa-se: 1) – o “lançamento das estruturas” componentes da construção, ou a concepção do arranjo das estruturas; 2) – o “dimensionamento” ou a “verificação de resistência” das estruturas consideradas, com previsão de desempenho das mesmas durante toda a sua vida útil. O lançamento ou arranjo das estruturas pode ser realizado em várias etapas, tudo dependendo da simplicidade ou da complexidade da construção. Em nível mais global, o arranjo poderia consistir das diversas partes principais componentes da construção. Por exemplo: em um aeroporto (se a sua posição já estiver parcialmente definida) as partes componentes poderiam ser: as pistas (principais e secundárias) de pouso de aeronaves, áreas de estacionamento de aeronaves, edifícios diversos (de controle de vôo, terminal de passageiros, de cargas, hangares etc.), estradas de acesso e outras. Em segundo nível, para cada parte desse arranjo geral idealizado, novos arranjos poderão ser necessários até que se atinja um nível de detalhamento adequado. A disposição relativa das partes componentes tem algum haver com a funcionalidade da construção, mas muito haver com a segurança física e conseqüente resultado econômico. Subdividindo as partes em novas partes, chegaremos a problemas estruturais específicos (do tipo: analisar uma sapata de fundação). Para um galpão, por exemplo, serão definidos: a estrutura da cobertura, lajes, vigas e pilares necessários, fundação adequada etc. Daí em diante passa-se ao cálculo dessas estruturas. Efetua-se o dimensionamento delas dando-lhes as dimensões adequadas quando já tiverem sido prefixadas as cargas, os materiais a utilizar e suas formas geométricas. Ou se verifica a sua resistência quando, dada a estrutura com sua geometria e o material de que é feita, constata-se que ela conseguirá resistir aos esforços a que estará sujeita numa nova etapa de vida. Em qualquer caso deve ficar bem estabelecido o modo como essa estrutura irá se comportar durante o tempo em que ela desempenhar a sua função. Uma estrutura com alta responsabilidade deverá ser auscultada sempre; é o caso de uma grande barragem. No que seguirá vamos usar um vocabulário adequado que possa ser aplicado de modo geral. De um fenômeno deveremos conhecer as condições reais em que ele ocorre, os materiais envolvidos (se for o caso) e todas as variáveis nele postas em jogo, sejam estas variáveis propriedades de materiais ou não. Os fenômenos ocorrerão em alguma região do espaço e esta região deve ser necessariamente bem definida (como o prisma que define uma viga, ou o cilindro que define um pilar de seção circular, ou uma região acima da superfície do globo interessada para efeito de meteorologia). Aos fenômenos e às regiões em que ocorrem estão associados o conceito de campo. A teoria do campo Einstein e Infeld em seu livro popular intitulado “A Evolução da Física” consomem praticamente 40% do seu conteúdo no Capítulo II, intitulado: “Campo e Relatividade”; e no final desse capítulo, escrevem: “

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XII

Resumindo: um novo conceito aparece na Física, a mais importante invenção desde o tempo de Newton: o campo ...”. E mais à frente: “ A Teoria da Relatividade nasce do problema do campo.” Essas palavras podem bastar para ressaltar a importância do “campo” na Física, inclusive na chamada “física fundamental” (não relativista), uma física particular, mas suficientemente geral para resolver "problemas domésticos". Defendemos como lícita a idéia de que a “Teoria do Campo” deva ser o primeiro capítulo de um “abecedário da Física”; e sendo-o da Física, sê-lo-á da Engenharia. Os engenhos, ou obras de engenharia são concebidos com materiais e estes podem ser simples e tradicionais (como a água), ou complexos (como as rochas, os solos); outros podem ser fabricados para "gozar de certas propriedades", como o velho concreto, e alguns materiais mais jovens. Com esses materiais ocorrem "fenômenos", termo esse que deve aqui ser entendido da forma bem ampla, já apresentada. No estudo das propriedades dos materiais (naturais e artificiais) e do comportamento físico deles como participantes de fenômenos, a teoria do campo pode intervir objetivamente para facilitar o entendimento, economizar raciocínio, tempo e dinheiro. A teoria do campo é fenomenológica, isto é, utilizável para explicar fenômenos independentemente da constituição da matéria, quando existe matéria presente. Assim, essa teoria pode ser utilizada, por exemplo, no Eletromagnetismo para explicar fenômenos que ocorram no vácuo (na ausência eventual de matéria). Aliada à hipótese da continuidade do espaço e da matéria, ela vai permitir explicar e prever valores em fenômenos óticos, elétricos e mecânicos que, macroscopicamente, podem ocorrer nos corpos materiais. Tentamos formular e apresentar a teoria na forma mais elementar e didática possível, mesmo que para isso se devesse sacrificar algum rigor matemático, tendo sido inspirado, talvez, nas seguintes palavras de Einstein4: “Tive a sorte de encontrar livros que não se preocupam com o rigor lógico, mas que permitem a apresentação clara das idéias principais ...”. Para isso, julgamos conveniente dividir esta pequena obra em três partes. Na primeira parte procuramos caracterizar os sistemas de referência; estes são utilizados não apenas como meio de organização do trabalho, mas também por necessidade lógica da matemática empregada, da repetição dos fenômenos e de comunicação. Ainda nesta primeira parte procuramos caracterizar todas as grandezas físicas como grandezas tensoriais (Capítulo I), cada uma com uma característica intrínseca: a sua “ordem”. Definimos o campo (Capítulo II) e procuramos visualizá-lo geometricamente representando-o por formas geométricas (Capítulo III), abordando metodicamente os campos escalares (ou tensoriais de ordem zero), os campos vetoriais (ou tensoriais de ordem um) e os campos tensoriais duplos (ou de ordem dois). Com o objetivo de facilitar o entendimento do tensor de ordem dois, mostramos como utilizar uma nova representação para os mesmos: a representação diádica, concebida há mais de um século por J. W. Gibbs (final do Capítulo I). Isso acarretará uma ligeira adaptação na linguagem, a necessidade da introdução de algumas operações úteis e elementares, e uma boa compactação nas notações. Na segunda parte estudamos as propriedades dos campos escalares, dos campos vetoriais, e definimos os operadores (clássicos) de campo: os operadores simples, isto é, o gradiente (Capítulo IV), o rotacional (Capítulo V), o divergente (Capítulo VI), e os operadores duplos, especialmente o laplaciano (Capítulo VII). Estudamos, ainda, algumas das propriedades desses operadores, dando-lhes algum "significado físico" e apresentando alguns exemplos. Na terceira parte estudamos os campos de tensores duplos simétricos (ou campos de diádicos simétricos), os tridimensionais (Capítulo VIII) e os planos (Capítulo IX), de notável uso nas Teorias da Elasticidade, Plasticidade, Mecânica de Fluidos etc., dentre outras áreas importantes do conhecimento.

4 Einstein, A., “Notas Autobiográficas”, Editora Nova Fronteira, 3° Edição, Rio de Janeiro, 1982.

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Uma grande vantagem dessa divisão está na possibilidade de se estudarem os campos escalares e os campos vetoriais independentemente dos campos de tensores duplos. O livro pode, pois, ser muito útil aos alunos de graduação dos cursos de: Matemática Aplicada, Física Aplicada (Eletromagnetismo, Mecânica Clássica, Mecânica dos Fluidos), Resistência dos Materiais; e, mais tarde, aos alunos que cursarem Mecânica dos Sólidos (Elasticidade, Plasticidade, Visco-elasticidade etc.) como suporte para cursos avançados de Mecânica de Solos, Mecânica de Rochas, Geofísica, Cristalografia e outras disciplinas. Recomendamos, assim, a leitura dos parágrafos e capítulos seguidos de um asterisco, em segundo estágio, para as aplicações um pouco mais avançadas da Engenharia. E. R. F. Ruggeri

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CONVENÇÕES CITAÇÕES SINAL ...(7) ((03),§5.3) ((02), §3.2,V) Bibl. n° 5, ou [5] 0.c. p. 156 Ex. 3 Ex. 6, IV ...(§10)... ...( ...(§5, II)... ...(Figura I,3)... ...(Teor.1,§2,III)... ...(Propr.3,§2,I)... ((02)3 ((02)3, §3.2,V)

SIGNIFICADO Nota de rodapé n° 7 Fórmula (03) do §5.3 do presente capítulo Fórmula (02) do §3.2 do Capítulo V Livro n° 5 da Bibliografia Obra citada, página 156 Exemplo 3 do presente capítulo Exemplo 6 do Capítulo IV Assunto tratado no §10 do presente capítulo Assunto tratado no parágrafo 5 do Capítulo II Terceira figura do Capítulo I Conforme o Teorema 1 do §2 do Capítulo III Conforme a propriedade 3 do §2 do Capítulo I Terceira fórmula (contadas de cima para baixo ou da esquerda para a direita) do grupo de fórmulas (02) do presente parágrafo. Terceira fórmula do grupo (02) do §3.2 do Capítulo V

- As figuras são numeradas na forma Figura VI,3 para significar: terceira figura do Capítulo VI. As fórmulas são numeradas seqüencialmente em arábico, dentro de cada sub-parágrafo de um capítulo, como: (02). A referência do tipo: ((03),§05.02,II) significa: fórmula (03), do §05.02 do Capítulo II. ABREVIATURAS Bibl. – Bibliografia Propr. – Propriedade Teor. – Teorema Corol. – Corolário Cap. - Capítulo GA – Geometria Analítica, p. 7 NOTAÇÕES 1 – Os escalares são representados por letras latinas em tom natural (U, V, ...). Vetores são representados por letras latinas em negrito (a, b, ...). Diádicos são representados por letras gregas em negrito (α α, β , φ, ...). 2 – As bases vetoriais ortonormadas são representadas por { ˆiˆjkˆ } ou por { eˆ 1eˆ 2 eˆ 3 }. 3 - O vetor v, de coordenadas V1, V2, V3 em relação à base { eˆ 1eˆ 2 eˆ 3 }, é representado nas diferentes formas

 V1  seguintes: v=Vk eˆ k , V2  , {v}, [V1    V3 

V3 ]T , (V1, V2, V3).

4 – O módulo, ou valor absoluto, do vetor v é representado por |v|, ou por v. 5 – Os deltas de Kronecker são representados pelo símbolo clássico δij e valem 1 para i=j, e 0 para i≠j fazendo-se i=1,2,3 e j=1,2,3.

6 – O produto escalar dos vetores u e v que formam um ângulo ϕ é representado nas formas:

u.v = [u1 u 2

 v1 u1     u3] v2 = [v1 v2 v3] u 2 = {U}T{V} = {V}T{U} = v3 u3

= u i v j δ ij = u i v i = u 1 v1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = u v cos ϕ . 7 – A matriz quadrada A de ordem 3, de elemento genérico aij é representada por A=[aij], ou [A]. 8 – A matriz unidade de qualquer ordem é representada por I, ou [I]. 9 – A transposta da matriz A é representada por AT e a inversa por A-1; ou por [A], [A]T, [A]-1 quando necessário. 10 - u × v é o produto vetorial de u por v.

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BIBLIOGRAFIA [01] - ARANGOÁ, A. G. de - Elasticidade teórica y Experimental, Editorial Dossat, Madrid, 1945. [02] - BRICARD, R. - Cálculo Vetorial, Coleção Armand Colin, Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1958. [03] - BUTTY, E. - Tratado de Elasticidad Teórico-Técnica, em 3 tomos, Centro Estudiantes de Ingenieria de Buenos Aires, Buenos Aires, 1946. [04] - CALAES, A. M. - Curso de Cálculo Vetorial, 3ª edição, dois volumes, Fundação Gorceix, Ouro Preto, 1979. [05] - CALAES, A. M. - Curso de Cálculo Matricial, 3ª edição, Imprensa Universitária da UFOP, Ouro Preto, 1984. [06] - CALAES, A. M. - Curso de Geometria Analítica, 4ª edição, cinco volumes, Imprensa Universitária da UFOP, Ouro Preto, 1981. [07] - CARAÇA, B. de J. - Cálculo Vetorial, 2ª edição, Depositário Geral, Livraria Sá Costa, Lisboa, 1957. [08] – CARAÇA, B. de J. – Conceitos Fundamentais da Matemática, Fotogravura Nacional Ltda, Lisboa, 5ª edição, 1970. (Publicado parcialmente, em várias partes e várias edições, desde 1941). [09] - GIBBS, J. W. e WILSON, E. B. - Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, 1901. [10] - HAGUE, B. - An Introduction to Vector Analysis, Methuen´s Monographs on Physical Subjects, London, 1957. [11] - NYE, J. F. - Physical Properties of Crystals, Clarendon Press, Oxford, 1957. [12] - TIBIRIÇA Dias, A. - Curso de Cálculo Infinitesimal, 2ª edição, dois tomos, Fundação Gorceix, Ouro Preto, 1962. [13] - RUGGERI, E. R. F. - Tratado de Cálculo Poliádico: Tomo I, Vol. I, ISBN 978-85-907001-0-4; Tomo I, Vol. II, ISBN 978-85-907001-1-1; Tomo II, em preparação. [14] – REY PASTOR, J., SANTALO, L. A., BALANZAT, M. – Geometria Analítica, 3ª edição, Editorial Kapelusz, Buenos Aires, 1958. [15] – Chou, P. C., and Pagano, N. J. – Elasticity (Tensor, dyadic and Engineering approaches), D. Van Nostrand, Toronto, 1967.

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SUMÁRIO PREFÁCIO ....................................................................................................................................................................................................... III INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................................................IV CONVENÇÕES ............................................................................................................................................................................................XIV BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................................................................XVI

1ª Parte - Conceito e imagem dos campos

CAPÍTULO I

OBSERVADORES, SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DOMÍMIOS § 01 – OBSERVAÇÃO E OBSERVADORES...................................................................................................................................................1 § 02 – DOMÍNIOS E SISTEMAS DE REFERÊNCIA.......................................................................................................................................1 § 03 – DOMÍNIOS CHATOS DE FENÔMENOS..............................................................................................................................................2 § 03.01 – Unidimensionais................................................................................................................................................................2 § 03.02 – Bidimensionais..................................................................................................................................................................2 § 03.03 – Tridimensionais.................................................................................................................................................................2 Exemplos. Uso de sistema de coordenadas retilíneas.......................................................................................................2 Domínios chatos em engenharia. .....................................................................................................................................5 § 04 – DOMÍNIOS CURVOS DE FENÔMENOS .............................................................................................................................................6 § 04.01 – Unidimensionais................................................................................................................................................................6 Exemplos. Uso do sistema cilíndrico de coordenadas......................................................................................................8 Domínios cônicos e coordenadas cilíndricas ...................................................................................................................9 Uso do sistema esférico de coordenadas ..........................................................................................................................9 Outros sistemas de referência e outros domínios ...........................................................................................................12 § 04.02 – Bidimensionais................................................................................................................................................................12 Exemplos. Uso dos sistemas cilíndrico e esférico ..........................................................................................................13 § 04.03 – Tridimensionais...............................................................................................................................................................15 § 04.04 – Os domínios, na prática...................................................................................................................................................17 § 05 – TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS .......................................................................................................................................17 § 05.01 – Da necessidade da transformação....................................................................................................................................17 §05.02 - Mudança de coordenadas de um ponto, com mudança de base ........................................................................................18 §05.03 – Relações entre as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de um ponto ..............................................................21 §06 – SISTEMA LOCAL E SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS. ......................................................................................................22 §06.01 – Domínios unidimensionais...............................................................................................................................................22 Tangente, normal principal e plano osculador ...............................................................................................................23 Binormal, plano normal, plano retificante. Triedro de Frenet-Serret..............................................................................24 Fórmulas de Frenet.........................................................................................................................................................26 §06.02 – Domínios bidimensionais.................................................................................................................................................26 Superfície esférica..........................................................................................................................................................26 Elipsóides.......................................................................................................................................................................28 Parabolóides elíptico e hiperbólico ................................................................................................................................29 §06.03 – Domínios tridimensionais ................................................................................................................................................31

CAPÍTULO II

GRANDEZAS FÍSICAS. § 01 – GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS .......................................................................................................................................33 § 02 – DEFINIÇÕES RIGOROSAS DAS GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS................................................................................34 § 02.01 – Considerações preliminares.............................................................................................................................................34 § 02.02 – Nova definição de grandeza escalar ................................................................................................................................34 § 02.03 – Definição de grandeza vetorial ........................................................................................................................................35

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XVIII § 03* – DIÁDICOS E GRANDEZAS DIÁDICAS ...........................................................................................................................................36 § 03.01 – Relacionamento entre grandezas vetoriais.......................................................................................................................36 § 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representações. ............................................................................................37 Domínios homogêneos e não homogêneos.....................................................................................................................38 Domínios isotrópicos e anisotrópicos ............................................................................................................................39 Definição da grandeza diádica .......................................................................................................................................40 § 03.03 – Diádicos como representantes de propriedades físicas, ou de variáveis. .........................................................................41 § 04* – NOVOS DESENVOLVIMENTOS COM OS DIÁDICOS ..................................................................................................................41 § 04.01 – Diádicos simétricos e anti-simétricos ..............................................................................................................................41 § 04.02 – Álgebra de diádicos e de matrizes. ..................................................................................................................................42 Dupla multiplicação pontuada de diádicos ....................................................................................................................43 Dupla multiplicação pontuada de matrizes ....................................................................................................................43 § 04.03 – Exercícios........................................................................................................................................................................44

CAPÍTULO III

CONCEITO DE CAMPO § 01 – DEFINIÇÃO DE CAMPO.....................................................................................................................................................................47 § 02 – CLASSIFICAÇÃO DOS CAMPOS.......................................................................................................................................................48 § 03 – EXEMPLOS DE CAMPOS...................................................................................................................................................................50 Exemplo 1: um campo de distâncias ...............................................................................................................................................50 Exemplo 2: o campo gravitacional terrestre ....................................................................................................................................50 Exemplo 3: o campo das velocidades de um líquido em escoamento..............................................................................................50 Exemplo 4 – um campo tridimensional de temperaturas.................................................................................................................51 Exemplo 5 – Um campo unidimensional de temperaturas. .............................................................................................................51 Exemplo 6 – O escoamento no vertedouro de uma barragem..........................................................................................................52 Exemplo 7 – Campo magnético produzido por corrente elétrica.....................................................................................................52 Exemplo 8* – O campo dos deslocamentos na Teoria da Elasticidade. ...........................................................................................53 Exemplo 9* – O campo do tensor das tensões. ................................................................................................................................53 Campos Diádicos ...........................................................................................................................................................54 §04* – CAMPOS DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS.............................................................................................................................................54 §04.01 – Características geométricas. .............................................................................................................................................54 §04.02 – Significado físico. ............................................................................................................................................................56 §05 – CAMPOS 1D E 2D DE ESCALARES, VETORES E DIÁDICOS.........................................................................................................57 §06 – OS DIÁDICOS EM DIFERENTES SISTEMAS DE REFERÊNCIA. ....................................................................................................60 §06.01 – Relações entre coordenadas de vetores.............................................................................................................................60 §06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos...........................................................................................................................61

CAPÍTULO IV

GEOMETRIA DOS CAMPOS §01 – GENERALIDADES ...............................................................................................................................................................................65 §02 – SUPERFÍCIE DE NÍVEL NOS CAMPOS ESCALARES. .....................................................................................................................65 Propriedades das superfícies e curvas de nível...............................................................................................................66 §03 – LINHAS DIRETRIZES NOS CAMPOS VETORIAIS. ..........................................................................................................................66 Propriedades das linhas diretrizes ..................................................................................................................................66 Equações das linhas diretrizes........................................................................................................................................67 Tubo de campo ..............................................................................................................................................................68 §04* - AS QUÁDRICAS DE CAUCHY, DE LAMÈ E A REPRESENTAÇÃO DE MOHR NO CAMPO DIÁDICO....................................68 §04.01 – Campos tridimensionais ...................................................................................................................................................68 Representação de Mohr..................................................................................................................................................71 §04.02 – Campos bidimensionais ...................................................................................................................................................75 Representação de Mohr..................................................................................................................................................77 §04.03 – Campos unidimensionais .................................................................................................................................................77

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2ª Parte - Propriedades dos campos escalares e vetoriais

CAPÍTULO V CAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO ESCALAR O GRADIENTE §01 – O GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALAR.......................................................................................................................................79 §02 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DO GRADIENTE. DERIVADA DIRECIONAL. ........................................................................80 Derivada direcional........................................................................................................................................................81 §03 – CARACTERÍSTICA TENSORIAL DO GRADIENTE. .........................................................................................................................82 §04. – PROPRIEDADES FORMAIS DO GRADIENTE..................................................................................................................................83 Propriedade fundamental: ..............................................................................................................................................83 Propriedades formais .....................................................................................................................................................84 §05 – POTENCIAL ESCALAR DE UM CAMPO VETORIAL.......................................................................................................................86 §06 – PROPRIEDADE GEOMÉTRICA CARACTERÍSTICA DOS CAMPOS COM POTENCIAL..............................................................86

CAPÍTULO VI

CAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO VETORIAL A circulação ...................................................................................................................................................................87 §01 – A CIRCULAÇÃO DE UM CAMPO VETORIAL..................................................................................................................................87 §02 – PROPRIEDADES DA CIRCULAÇÃO..................................................................................................................................................87 §03 – CIRCULAÇÃO DE CAMPO QUE DERIVA DE POTENCIAL ESCALAR .........................................................................................88 §04 – CAMPOS LAMELARES OU CONSERVATIVOS ...............................................................................................................................89 §05 – SIGNIFICADO FÍSICO DA CIRCULAÇÃO E DO POTENCIAL.........................................................................................................89 §06 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE UM POTENCIAL ESCALAR. .....................................................90 O rotacional ...................................................................................................................................................................92 §07 – GENERALIDADES ...............................................................................................................................................................................92 §08 – DEFINIÇÃO DO ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL .........................................................................................................93 §09 – GENERALIZAÇÃO. FÓRMULA DE STOKES ....................................................................................................................................94 §10 – EXPRESSÃO CARTESIANA DO ROTACIONAL ...............................................................................................................................95 §11 – SIGNIFICADO FÍSICO DO ROTACIONAL .........................................................................................................................................96 §12 – PROPRIEDADES FORMAIS DO ROTACIONAL................................................................................................................................96 §13 – CAMPO IRROTACIONAL....................................................................................................................................................................98 §14 – CAMPO ROTACIONAL (OU TURBILHONAR)..................................................................................................................................99 §15 – POTENCIAL VETOR DE UM CAMPO VETORIAL ...........................................................................................................................99 §16 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE POTENCIAL VETOR ..................................................................99

CAPÍTULO VII

CAMPO ESCALAR OPERADO DE CAMPO VETORIAL O fluxo.........................................................................................................................................................................103 §01 – DEFINIÇÕES. ......................................................................................................................................................................................103 §02 – PROPRIEDADES DO FLUXO ............................................................................................................................................................103 §03 – FLUXO QUE DERIVA DE VETOR POTENCIAL .............................................................................................................................104 §04 – SIGNIFICADO FÍSICO DO FLUXO....................................................................................................................................................105 O divergente.................................................................................................................................................................106 §05 – DEFINIÇÃO .........................................................................................................................................................................................106 §06 – SIGNIFICADO FÍSICO DO DIVERGENTE........................................................................................................................................107 §07 – FÓRMULA DO DIVERGENTE ..........................................................................................................................................................108

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XX §08 – CAMPO SOLENOIDAL: DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES.................................................................................................................108 §09 – O CAMPO SOLENOIDAL PLANAR. .................................................................................................................................................110 §10 – O CAMPO HARMÔNICO. ..................................................................................................................................................................110 §11 – PROPRIEDADES FORMAIS DO DIVERGENTE. .............................................................................................................................111 §12 – FÓRMULAS DE GREEN. ...................................................................................................................................................................112 §13 – FÓRMULAS DO GRADIENTE E ROTACIONAL. ............................................................................................................................113

CAPÍTULO VIII

OPERADORES DUPLOS DE CAMPO

§01 – GENERALIDADES. ............................................................................................................................................................................115 §02 – O OPERADOR LAPLACIANO. ..........................................................................................................................................................115 §03 – OS OPERADORES grad div E rot rot..................................................................................................................................................117 §04 – OBSERVAÇÃO FINAL SOBRE OS CAMPOS HARMÔNICOS .......................................................................................................118 §05 – UMA LEI DE DUALIDADE................................................................................................................................................................118

3ª Parte - Propriedades dos campos de diádicos simétricos CAPÍTULO IX*

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UM DIÁDICO As coordenadas radiais principais................................................................................................................................121 §01 – DEFINIÇÕES. EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. PROPRIEDADES.................................................................................................121 §02 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO DO CAMPO ................................................................................................................................124 §03 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO...................................................................................................................125 As coordenadas transversais principais........................................................................................................................128 §04 – DEFINIÇÕES, TEOREMAS. ...............................................................................................................................................................128

CAPÍTULO X*

CAMPOS 2D DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS §01 – A COORDENADA RADIAL E A TRANSVERSAL. ..........................................................................................................................133 §02 – AS COORDENADAS RADIAIS PRINCIPAIS....................................................................................................................................134 §03 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO PLANAR. ....................................................................................................................................136 §04 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO...................................................................................................................137 §05 – AS COORDENADAS TRANSVERSAIS PRINCIPAIS. .....................................................................................................................138 §06 – AS COORDENADAS REFERIDAS ÀS DIREÇÕES PRINCIPAIS ....................................................................................................140 §07 - REPRESENTAÇÃO DE MOHR ..........................................................................................................................................................141 §07.01 - O círculo de Mohr...........................................................................................................................................................141 §07.02 - Determinação gráfica das coordenadas. ..........................................................................................................................142 §07.03 - As direções principais e secundárias...............................................................................................................................143 §08 - OUTRAS REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS DOS CAMPOS PLANARES. ..............................................................................144 §08.01 - Linhas isostáticas. ...........................................................................................................................................................146 §08.02 - Linhas das direções secundárias......................................................................................................................................147 §08.03 - Linhas isóclinas (ou isoclínicas). ....................................................................................................................................148 §08.04 – Linhas isocromáticas. .....................................................................................................................................................149 §08.05 - Linhas isoradiais. ............................................................................................................................................................149 §08.06 - Linhas isópacas. ..............................................................................................................................................................150 §09 - PONTOS SINGULARES E CIRCULARES..........................................................................................................................................150

1ª Parte - Conceito e imagem dos campos

CAPÍTULO I

OBSERVADORES, SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DOMÍMIOS. L´Universo é scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza i quali é impossibile ad intenderne umanamente parola”

Galileo Galilei

§ 01 – OBSERVAÇÃO E OBSERVADORES Os fenômenos existem independentemente de observadores, mas se não observados não podem despertar qualquer interesse. O que seria, então, uma observação? Em primeiro lugar devemos considerar que uma observação envolve uma atitude estritamente pessoal: dois observadores, em igualdade de condições físicas, podem não perceber as mesmas coisas num mesmo fenômeno. Os índices de “curiosidade” e “intuição” de um observador podem ser superiores aos de outro. Quantos indivíduos não observaram o movimento dos astros? Quantos outros se dedicaram a questionar e a aventar possibilidades sobre esses movimentos? Em segundo lugar devemos considerar que os dispositivos utilizados para uma observação podem ser também diferentes, mesmo o “olho nu” (um observador pode enxergar mais que outro). Galileo passou a enxergar um pouco mais longe que seus contemporâneos quando em 1610, apontou uma luneta para o céu5. Nessa época, presenteou ainda as ciências biológicas com a invenção do microscópio6. Atendendo a uma necessidade inerente ao ser humano, pensadores se puseram a questionar as nossas origens, a conjeturar sobre o nosso destino e a justificar e explicar os fenômenos observados. Iniciou-se, assim, o processo da “construção de quadros ordenados e explicativos dos fatos reais” (ver Introdução). No século XVII, com Galileo especialmente, teve início uma nova era nas ciências físicas: a da ciência experimental. A intuição dos indivíduos, combinada com lógica, estabelecia leis físicas que só seriam acreditadas mediante a sua verificação experimental (veja na Introdução a seção “Lei Natural”). O empirismo dava lugar ao científico.

§ 02 – DOMÍNIOS E SISTEMAS DE REFERÊNCIA A lógica e a experiência mostraram que, em geral, para a compreensão científica de um fenômeno físico era necessário (mas não suficiente) referi-lo a algum corpo considerado suficientemente “rígido” em relação ao fenômeno a estudar. O estudo (realmente científico) do movimento dos corpos – movimento esse presente em praticamente todos os fenômenos físicos – foi a origem desse processo evolutivo ao qual, século após século, são acrescentadas novas concepções. Alem do nome de Galileo, poucos outros nomes estão ligados a esses desenvolvimentos, ainda no século XVII; são: Descartes, Fermat, Newton e Leibnitz. A Descartes coube a glória da exploração do “eixo” – uma reta orientada aos pontos da qual se associam números; com isso ele desenvolveu a geometria de posição, dita, hoje, Geometria Analítica. A evolução desse conceito pode ser apreciada na bela obra de Caraça [8]. A Fermat, Newton e Leibnitz, independentemente um do outro, couberam a invenção do Cálculo Infinitesimal. Mas coube a Newton um desenvolvimento maior: a utilização do seu “Cálculo dos Fluxões” (nomenclatura já utilizada por Galileu) na teorização da sua mecânica, já há muitos anos conhecida como “Mecânica Newtoniana”. É precisamente recorrendo à Geometria Analítica e ao Cálculo Infinitesimal que, desde o século XVII, vêm sendo estudados os fenômenos físicos. Estes ocorrem, em geral, numa região tridimensional bem determinada do espaço físico, isto é, num domínio tridimensional. Em muitas situações, com alguma aproximação, essas regiões são bidimensionais e, também, unidimensionais. Em qualquer caso, essas regiões 5 Bassi, Achille: Galileu Galilei, análise do homem e de sua obra no IV centenário de seu nascimento, KRITERION, Revista da Faculdade de Filosofia da Universidade Federal de Minas Gerais, vol. XVIII, p. 65-196, 1965. 6 Bassi, Achille, o.c., p. 108. Campos Tensoriais - Ruggeri

§ 03 – Domínios chatos de fenômenos

serão ditas, doravante, o “domínio do fenômeno” e requerem uma definição precisa, feita pela Geometria Analítica. O estudo de um fenômeno físico é, então, sempre feito em relação a um ou mais sistemas cartesianos (rígidos) de coordenadas, fixos ou não; e em relação a um deles deve ser referido o domínio do fenômeno para a sua perfeita definição. Isto significa poder-se determinar com precisão a posição de um ponto qualquer do domínio. Como os fenômenos podem variar no tempo, admite-se que a qualquer sistema de coordenadas esteja associado um cronômetro para a marcação do tempo. O conjunto sistema de coordenadas e cronômetro costuma ser denominado um sistema de referência. Os cronômetros marcam tempos absolutos, isto é, em todos os sistemas, fixos ou não, os tempos dos observadores são numericamente idênticos. A um sistema de referência estão associados “observadores”, isto é, pessoas que estudam algum fenômeno fazendo medidas (de tempos, distâncias, grandezas físicas diversas) em relação a esse sistema; algumas vezes um sistema é dito: "sistema do observador".

§ 03 – DOMÍNIOS CHATOS DE FENÔMENOS § 03.01 – Unidimensionais O domínio de um fenômeno pode ter “natureza retilínea”, a ele estando associada uma reta; é o caso, por exemplo, do estiramento de uma barra de ferro de construção. Para esses domínios, um simples segmento de reta orientado, de comprimento conhecido, paralelo à reta associada ao fenômeno, e externo ao domínio (não ligado à barra, no exemplo), pode ser adotado como referência para se definirem seus pontos; por isso são ditos unidimensionais.

§ 03.02 – Bidimensionais A um domínio de “natureza plana” está associado um plano: é o caso do estiramento de uma chapa de aço, de espessura constante, em duas direções ortogonais, aplicando forças no “plano médio” da chapa7. Dois lados quaisquer de um triângulo (qualquer) conhecido, paralelo ao plano médio da chapa (não contido fisicamente nesse plano), constituem uma referência suficiente para se expressarem as posições dos pontos do plano em que ocorre o fenômeno. Para tal, entretanto, é necessário escolher-se um critério conveniente. Este consiste: primeiro, em adotar-se como origem de dois eixos orientados, o vértice do triângulo relativo aos lados escolhidos, cada eixo disposto segundo a reta suporte de um lado; segundo, comprovar-se que o ponto fica univocamente determinado pelas suas (duas) distâncias aos eixos quando estas são medidas nas direções paralelas a estes eixos. Estes sistemas são os clássicos "sistemas de coordenadas cartesianas retilíneas no plano" (na Geometria de Descartes); os domínios correspondentes são ditos bidimensionais.

§ 03.03 – Tridimensionais Por indução, se um domínio é de “natureza espacial”, não precisaremos mais que três arestas quaisquer de um tetraedro (qualquer), concorrentes num mesmo vértice, para constituir um "sistema de coordenadas retilíneas no espaço". Basta tomarmos aquele vértice como origem de três eixos orientados construídos sobre as arestas do tetraedro. Nesse caso, a posição de um ponto qualquer do espaço ficará univocamente determinada pelas (três) distâncias desse ponto aos planos coordenados, medidas segundo a direção das arestas do tetraedro. Não é demais ressaltar que o domínio, em si, dito tridimensional não deve exercer qualquer influência sobre o sistema de coordenadas porque este deve ser conservado "rígido" ao longo do acontecimento do fenômeno. Exemplos. Uso de sistema de coordenadas retilíneas Esses domínios são ditos chatos8 (no sentido de não apresentarem curvatura): unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais; abreviadamente escreveremos: domínios 1D, 2D e 3D, respectivamente. O adjetivo "chato" ou "sem curvatura", advém do fato de para se ir de um ponto a outro do domínio percorrendo 7 O leitor deve assimilar intuitivamente, em consignação, a parte física do fenômeno, bem como possíveis “aproximações”, como o referido plano médio. 8 O leitor mais culto não deverá associar o conceito de curvatura aqui interessado com o conceito de "curvatura de espaço" como apresentado na Geometria Diferencial.

I, §03.03

§ 03.03 – Tridimensionais

a menor distância, deve-se fazê-lo percorrendo o segmento de reta (pertencente ao domínio) que une os dois pontos. Nos domínios curvos isto não será possível. Em geral os eixos dos sistemas cartesianos retilíneos escolhidos são perpendiculares entre si (os triângulos de referência são triângulos retângulos e os tetraedros são pirâmides triretangulares com três faces ortogonais, e ficam virtualmente especificados); o caso tridimensional é apresentado na Figura I,1. Nos sistemas cartesianos retilíneos os pontos são definidos, então, por suas coordenadas retilíneas e estas são classicamente denotadas por x, y e z, ou X1, X2 e X3; quando o sistema é ortogonal, essas coordenadas representam as distâncias do ponto aos planos coordenados (XY, YZ e ZX). Os pontos de coordenadas X=constante pertencem todos a um plano paralelo ao plano coordenado (Y,Z); idem, mutatis mutandis, para Y=constante e Z=constante. * Exemplo 1: Suponhamos que o domínio de um dado fenômeno seja a reta paralela a uma direção conhecida e que passe pelo ponto B do espaço. Como especificar a posição do ponto corrente dessa reta? Solução: A primeira providência é escolher o sistema de referência mais conveniente para a especificação. Prática e tirocínio geralmente auxiliam muito nessa escolha. A primeira opção seria, evidentemente, escolher a própria reta associada ao fenômeno - que passa por B e é paralela à direção dada - como um dos eixos do sistema; e nesse caso bastaria esse eixo uma vez que não interessa considerar pontos não contidos nessa reta. Denotemos por X3 esse eixo e escolhamos uma origem qualquer sobre ele para especificar as abscissas que definirão os pontos da reta. O ponto B tem abscissa conhecida; seja ela B3. Então, o ponto corrente da reta, de abscissa X3 será dado por: X3=B3t, onde t é um parâmetro (variável) a cada valor do qual corresponderá um ponto sobre a reta. Para t=0, X3=0; para t=1, X3=B3 etc.. Deve ser observado que nessa equação não aparece (por desnecessário que é) nenhum representante da direção conhecida; isso já foi eliminado na escolha do eixo de referência. Se não for possível adotar a direção conhecida como um dos eixos do sistema de referência, a resolução do problema fica ligeiramente mais trabalhosa. Nesse caso, escolhemos um sistema retilíneo qualquer, OX1X2X3, determinamos as coordenadas B1, B2 e B3 de B e as coordenadas do vetor unitário de sentido arbitrário, aˆ , cuja direção, porém, coincida com a direção conhecida. Essas coordenadas, conforme sabemos, são os cosenos diretores da direção. Se medirmos os ângulos α1, α2 e α3 que o vetor unitário faz com os eixos OX1, OX2 e OX3 do sistema, poremos: A1=cosα1, A2=cosα2, A3=cosα3. Então raciocinamos da seguinte maneira. Se x é o vetor posicional do ponto X da reta e b o do ponto B, então, necessariamente, o vetor BX = x-b é paralelo ao vetor aˆ . Devemos escrever: x-b=λ aˆ , o parâmetro λ devendo ser ajustado (ou determinado) para o ponto X escolhido. Se X for um ponto corrente, λ será um parâmetro variável, o que torna x-b=λ aˆ uma equação; esta é a equação vetorial paramétrica da reta associada ao fenômeno. Se denotarmos por X1, X2 e X3 as coordenadas do ponto corrente X em relação ao sistema escolhido, a equação vetorial paramétrica da reta será equivalente ao sistema

X1 = A1λ + B1 X 2 = A 2 λ + B 2 X 3 = A 3 λ + B 3 . As equações desse sistema são as equações cartesianas paramétricas da reta9. Se for A1≠0, A2≠0 e A3≠0, poderemos eliminar o parâmetro entre as equações paramétricas e obter as equações da reta na forma dita "simétrica":

X1 − B1 X 2 − B 2 X 3 − B 3 = = =λ. A1 A2 A3

9 A notação mais comumente usada é X para X1, Y para X2, Z para X3 e análogas para os A’s e B’s. Campos Tensoriais - Ruggeri

§ 03 – Domínios chatos de fenômenos

O leitor poderá interpretar o caso em que um (ou dois) dos co-senos diretores é nulo. Qual é a configuração do domínio quando o parâmetro fica condicionado a variar num intervalo fechado dado? Exemplo 2: Suponhamos que o domínio de dado fenômeno seja um plano. Esse plano pode ser definido de várias maneiras, tudo dependendo da situação em que nos encontremos. Podemos considerar os casos mais comuns seguintes: 1) - o plano deve passar por um ponto dado, C, e ser paralelo a duas direções dadas (distintas, é evidente); 2) - o plano está definido por três pontos dados (pontos não colineares, evidentemente); 3) - o plano passa por um ponto dado e é ortogonal a uma direção dada. Solução: Para a resolução de qualquer um dos três problemas propostos devemos escolher de forma conveniente um sistema O-X1X2X3 para referência. No item 1) do problema, o ponto dado está definido pelo vetor c e tem coordenadas C1, C2 e C3. As direções dadas devem estar especificadas pelos seus co-senos diretores (tal como no exemplo 1), isto é, pelas coordenadas de dois vetores unitários: aˆ , de coordenadas A1, A2, A3 e bˆ de coordenadas B1, B2 e B3. Se esses unitários forem aplicados no ponto C, ambos estarão contidos no plano domínio do fenômeno; e por hipótese, não são paralelos. Se x é o vetor posicional do ponto X do plano, o vetor x-c, contido no plano do domínio, poderá ser decomposto segundo os unitários aˆ e bˆ (porque eles formam uma base nesse plano). Então, para X, existirão dois números, λ1 e λ2 tais que x-c=λ1 aˆ +λ2 bˆ . Se o ponto X for um ponto corrente do plano, λ1 e λ2 serão valores genéricos dos parâmetros, a cada posição de X correspondendo um par; e x-c=λ1 aˆ +λ2 bˆ se tornará uma equação: é a equação vetorial paramétrica do plano. Se X1, X2, X3 são as coordenadas de X, a equação vetorial paramétrica será equivalente ao sistema

X1 − C1 = A1λ1 + B1λ 2  X 2 − C 2 = A 2 λ1 + B 2 λ 2 X 3 − C 3 = A 3 λ1 + B 3 λ 2 . As equações desse sistema são as equações cartesianas paramétricas procuradas do plano em questão; e mostram que cada coordenada do ponto genérico do plano é função linear de dois parâmetros independentes. Relembrando que os vetores x-c, aˆ e bˆ são coplanares podemos, também, escrever que o produto misto deles é igual a zero, isto é, ((x-c) aˆ bˆ )=0. Essa é a equação vetorial geral do plano. Em coordenadas cartesianas ortogonais esse produto é equivalente ao determinante

X1 − C1 A1 B1

X2 − C2 A2 B2

X 3 − C3 A3 =0. B3

Desenvolvendo esse determinante pelos elementos da primeira linha, aplicando o teorema de Laplace, e denotando por K1, K2, K3 e K os coeficientes de X1, X2, X3 e o termo independente, vê-se que o determinante acima é equivalente a uma equação do tipo K1X1+ K2X2+ K3X3+K=0, os Ki não podendo ser simultaneamente nulos porque os unitários aˆ e bˆ não são paralelos. Esta equação é denominada "equação cartesiana geral do plano". Para a resolução do item 2) do problema vamos denotar por a, b e c os vetores posicionais (não unitários) dos pontos dados A, B e C, vetores esses co-iniciais com a origem O do sistema e não coplanares (por hipótese os pontos não são colineares). Se x é o posicional de um ponto X, os vetores x-a, b-a e c-a (todos de origem A) estão contidos no plano do domínio do fenômeno; logo, o produto misto deles é igual a zero: ((x-a)(b-a)(c-a))=0. Se X for um ponto variável do plano, esta expressão deverá ser satisfeita para todos os pontos desse plano e será dita a equação vetorial do plano (não recebendo nome especial). Estando os vetores expressos por suas coordenadas em relação ao sistema O-X1X2X3, essa equação vetorial é equivalente ao determinante

I, §03.03

§ 03.03 – Tridimensionais

X − A1 X − A 2 B1 − A1 B 2 − A 2 C1 − A1 C 2 − A 2

X − A3 B3 − A 3 = 0 . C3 − A 3

Desenvolvendo-se o determinante acima, poder-se-á obter a equação geral do plano. Aplicando propriedades dos determinantes pode ser demonstrado que

X3 1

A3 1

B3 1

C3 1

=0,

uma forma fácil de ser memorizada e de aplicação imediata para a resolução do problema. Para a resolução do item 3) do problema, sem maiores delongas, vamos considerar um ponto B, a direção ˆa e o ponto corrente X do plano. Como os vetores x-b e aˆ são ortogonais, a equação vetorial desse plano é (xb). aˆ =0. Em coordenadas cartesianas teremos a equação cartesiana geral do plano: A1X1+A2X2+A3X3+D=0, com D=b. aˆ . O termo independente D é a distância da origem O ao plano do domínio. Se sobre o plano do fenômeno, no caso do item 1), tomarmos o ponto C como origem e eixos segundo os unitários aˆ e bˆ , os pontos do plano do domínio do fenômeno, para λA≤λ1≤λB e λC≤λ2≤λD, seriam não exteriores a um paralelogramo cujos lados fossem os vetores (λB-λA) aˆ e (λD-λC) bˆ . Em cada um desses problemas poderíamos esboçar a configuração do domínio se os parâmetros ficassem condicionados a variar (continuamente) dentro de intervalos fechados dados. Poderíamos, também, ao fazer esses esboços, comparar as dificuldades com o caso em que o sistema de referencia pudesse ser estabelecido sobre o plano. * Se, finalmente, o domínio fosse 3D, ele seria todo o espaço. Havendo restrições quanto à variação das coordenadas o domínio poderá ser um: semi-espaço quando limitado por um plano, ou por um par de planos paralelos; prisma quando limitado por dois pares de planos paralelos; paralelepípedo quando limitado por três pares de planos paralelos. * Domínios chatos em engenharia. Em engenharia são muito comuns os domínios chatos (uni, bi e tridimensionais), em geral representando o espaço ocupado por um corpo compacto. É o caso das chapas, vigas, pilares, lajes etc.. Para o estudo desses elementos é adotado, necessariamente, um sistema de coordenadas: um apenas, às vezes dois. No caso de dois sistemas, um deles costuma ser um sistema global; o segundo, um sistema localizado em algum ponto especial que interesse destacar. Em algumas abordagens a especificação matemática do domínio é tão óbvia que o sistema de referência não merece destaque especial; mas em algum instante, no desenvolvimento dos estudos, esta especificação aparecerá. Considere um pilar em forma de prisma reto, de seção quadrada constante de lado 2a, de eixo vertical e altura h. Adotemos o eixo desse prisma para eixo z do sistema global, com origem O no centro do quadrado da base do pilar e com sentido positivo ascendente. Adotemos, ainda, as paralelas aos lados do quadrado para eixos x e y, com origem O e com sentidos arbitrários, mas escolhidos de forma que o sistema O-xyz seja positivo. Os pontos do domínio serão aqueles cujas coordenadas x, y e z satisfaçam às desigualdades seguintes: -a≤x≤a, a≤y≤a e z≤h. As fronteiras do domínio são os planos de equações: x=a, x=-a, y=a, y=-a, z=0 e z=h. Para o estudo de uma viga é comum se adotar para referência local, em uma seção da mesma, os chamados “eixos centrais principais de inércia da seção”, assunto este tratado nos cursos de “Resistência dos Campos Tensoriais - Ruggeri

§ 04 – Domínios curvos de fenômenos

Materiais”. É preciso que o candidato a engenheiro esteja preparado para entender essa atitude porque, em relação a esse sistema local, as fórmulas deduzidas para expressar o que interessa (tensões, deslocamentos etc.) são mais simples que em relação a outros. Assim, se a seção da viga é um retângulo, esses eixos têm origem no centro de gravidade (cg) da seção – o ponto de interseção das diagonais do retângulo – e os eixos são paralelos aos lados. Mas se a seção for um “T” a determinação do cg é um pouco mais trabalhosa, mas nada complicada. Uma seção em forma de C, ou U pode tornar a questão ainda mais delicada. Em outras situações, como nas “Estruturas Metálicas”, as seções das peças, por algum motivo relevante, devem ser “compostas”. Imagine o leitor a complicação do problema da determinação dos eixos centrais principais de inércia de uma seção composta de um perfil em C com outro em L, dispostos de alguma maneira um em relação ao outro (Figura I,2).

§ 04 – DOMÍNIOS CURVOS DE FENÔMENOS § 04.01 – Unidimensionais O domínio de um fenômeno pode ter “natureza curvilínea” e ser 1D; é o caso, por exemplo, do estiramento de um anel fino (diâmetro muito pequeno em relação ao seu perímetro) causado por forças internas de expansão. Nesse caso, existe uma curva associada ao fenômeno; e para deslocar-se (do ponto de vista físico) de um ponto a outro do domínio (sem sair do domínio) só se pode fazê-lo segundo a curva do domínio (daí ele ser considerado curvilíneo). Curva plana Se a curva associada ao fenômeno for plana, os seus pontos poderão ser definidos de algumas maneiras. Primeiro, adotando-se um sistema de coordenadas retilíneas no plano da curva. Nesse caso, conforme sabemos da Geometria Analítica (abreviadamente, GA), o ponto genérico do domínio pode ser definido por suas (duas) coordenadas cartesianas expressas em função de um parâmetro λ. Esse parâmetro pode ser o comprimento do arco de curva; nesse caso dizemos que as coordenadas estão “parametrizadas em relação ao comprimento de arco da curva”. Mas esse parâmetro pode ser também, outra variável, como o tempo. Segundo, adotando-se um sistema de “coordenadas polares” no plano da curva. Nesse caso, o ponto genérico é definido por suas coordenadas polares (ρ,θ), em que ρ é o raio vetor do ponto – distância do ponto a um ponto origem arbitrário e fixo, escolhido no plano da curva – e θ é o ângulo polar – o ângulo que o raio vetor forma com uma direção arbitrariamente escolhida e fixa no plano da curva. Tal como anteriormente, essas coordenadas devem ser funções conhecidas de um mesmo parâmetro λ. Notando-se que existem as relações

x = ρ cosθ   y = ρ senθ ficam imediatamente determinadas as equações cartesianas paramétricas da curva em função do mesmo parâmetro λ. Inversamente temos, das equações anteriores:

ρ 2 = x 2 + y 2   y tgθ = x  podendo-se, assim, determinar as equações polares paramétricas da curva. Muito embora a curva pertença a um plano, a quantidade de parâmetros que define o seu ponto genérico nesse plano é que estabelece a dimensão do domínio do fenômeno; no caso, 1: o parâmetro λ. O conhecimento do intervalo de variação do parâmetro definirá a fronteira da curva (ou do domínio do fenômeno).

I, § 04.01

§ 04.01 – Unidimensionais

Em qualquer um dos dois casos, pela eliminação do parâmetro (quando possível) entre as duas equações que expressam as coordenadas (cartesianas ou polares) poderemos obter a equação cartesiana e a equação polar da curva associada ao fenômeno. Como o intervalo de variação do parâmetro define o intervalo de variação das coordenadas do ponto, pela equação cartesiana ou pela polar estarão também definidas as fronteiras do domínio do fenômeno. * Exemplo 3: O domínio de um fenômeno é a curva (plana) de equações paramétricas

x = 1,5 cos θ   y = 1,5senθ em que o parâmetro θ varia no intervalo (0,2π). Essa curva é uma circunferência de centro na origem do sistema de coordenadas e raio igual a 1,5 e está esboçada no plano xy da Figura I,4. Sua equação cartesiana é obtida por eliminação de θ entre as equações paramétricas: x 2 + y 2 = 1,5 2 ; e sua equação polar é ρ=1,5. Exemplo 4: O domínio de equações paramétricas 2 x = 2 cos θ y2 , é a elipse de equação cartesiana: x 2 + 2 = 1 ,  2 1,5  y = 1,5senθ

e está esboçada no plano xy da Figura I,5. A equação polar dessa elipse não costuma ser usada com muita vantagem (exceto no estudo do movimento dos astros, em Mecânica, adotando-se como origem um dos focos). Vamos deduzi-la tendo como origem o centro da elipse. Tem-se x 2 + y 2 = a 2 cos 2 θ + b 2 sen 2 θ para a=2 e b=1,5. Lembrando que: a2+b2=c2, c/a=e é a excentricidade da elipse (no caso e=1,25), cos2θ=cos2θ-sen2θ e sen2θ=(1-cos2θ)/2 resulta a equação polar: 2ρ2=a2[(2-e2)cos2θ+e2]. Exemplo 5: Consideremos o domínio plano de equações paramétricas (θ=λ)

x = 2θ cos θ y , cuja equação cartesiana é x 2 + y 2 = (2 arctg ) 2 .  x y = 2 θ sen θ  A equação polar desse domínio é bastante simples: ρ = 2θ (pois ρ 2 = x 2 + y 2 = (2θ) 2 ). Este domínio é a “espiral de Arquimedes” e está esboçada no plano xy da Figura I,6. * Curva reversa Se a curva associada ao domínio em que ocorre o fenômeno for reversa, ou espacial, os seus pontos, segundo a GA, poderão ser definidos por suas 3 coordenadas cartesianas retilíneas expressas como funções dadas de um parâmetro (eventualmente, o comprimento do arco da curva medido a partir de um ponto origem arbitrado sobre a curva); é o caso, por exemplo, de uma mola em forma de hélice cônica (Figura I,6). Mais uma vez pode ser observado que, embora a curva seja espacial, a quantidade de parâmetros que define o seu ponto genérico (do domínio) ainda define também a sua dimensão: 1. Entretanto, não terá sentido aqui a eliminação do parâmetro entre as três equações, apenas entre pares delas. Com cada par obter-se-á a projeção da curva sobre cada um dos planos coordenados paralelamente à interseção dos outros dois. O conhecimento do intervalo de variação do parâmetro definirá a fronteira da curva (ou do domínio do fenômeno), muitas vezes contemplada pelas projeções da curva sobre os planos coordenados. Esses assuntos são tratados nos bons livros de GA, sendo desejável que o leitor tenha bom conhecimento dos mesmos porque não nos ocuparemos deles aqui em detalhes.

Campos Tensoriais - Ruggeri

§ 04 – Domínios curvos de fenômenos

Em muitas situações os domínios têm “feições especiais”, tornando-se mais prático expressar as coordenadas cartesianas retilíneas dos pontos do domínio de forma a detectar essas feições. Consideraremos apenas os domínios com feições cilíndricas, cônicas e esféricas. * Exemplos. Uso do sistema cilíndrico de coordenadas Se a mola atrás referida tivesse natureza helicoidal cilíndrica seria mais vantajosa a adoção das coordenadas cilíndricas para especificar-se o ponto genérico desse domínio, porque ele tem “natureza cilíndrica". O domínio destes tipos de fenômeno apresenta uma direção preferencial: a da geratriz da superfície cilíndrica inerente. Imaginemos, então, uma reta z no espaço, paralela à direção preferencial característica da natureza (cilíndrica) do fenômeno, mas não rigidamente ligada ao fenômeno; e sobre essa reta fixemos um ponto O. Sabemos que existe uma e apenas uma superfície cilíndrica circular de eixo z que contem dado ponto P do espaço. Conduzamos por O o plano perpendicular a z, sobre o qual vamos também fixar arbitrariamente dois eixos perpendiculares, Ox e Oy, que formem com Oz o triedro positivo O-xyz, (Figura I,3). Observemos o plano Oxy do semi-espaço para o qual aponta o eixo Oz, no sentido contrário a Oz. Se denotarmos por P' a projeção ortogonal de P sobre o plano O-xy, o ângulo θ de que é necessário girar o eixo Ox, no sentido anti-horário, para que ele coincida com a direção OP' é uma coordenada angular do ponto P. Se P" é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oz, todos os pontos do segmento PP" estão à mesma distância z do plano xy e suas projeções sobre o plano xy definem com O, direções que formam o mesmo ângulo θ com Ox. Entretanto, se considerarmos a distância r de P' a O como uma terceira coordenada de P, este ficará definido nesse sistema, de modo unívoco, pelo conjunto dos três números: r, θ e z; esses números, assim determinados, são as coordenadas cilíndricas do ponto P.

Porém, não se vai confundir coordenada cilíndrica de um ponto do domínio com um domínio cuja curva seja uma “curva cilíndrica”, isto é, uma curva contida numa superfície cilíndrica. Assim, o domínio poderia ser uma hélice circular, uma curva contida numa superfície cilíndrica circular, como a da Figura I,4; ou uma hélice elíptica, e estaria contida numa superfície cilíndrica elíptica, como a da Figura I,5; ou, finalmente, qualquer outra curva. A especificação de r, θ e z como funções de um mesmo parâmetro λ definirá essa curva. *

Exemplo 6: O domínio de equações paramétricas:

x = 1,5cosλ  cartesianas:  y = 1,5senλ , ou polares: z = 0,25λ 

I, §04.01

r = 1,5  , θ = λ z = 0,25λ 

§ 04.01 – Unidimensionais

para 0≤λ<2kπ (k inteiro positivo ou negativo), é a hélice circular, representada na Figura I,4. Todos os pontos da hélice pertencem à superfície cilíndrica cuja diretriz é a circunferência de centro na origem e raio 1,5 (ver exemplo 3) e geratrizes paralelas ao eixo Oz.

Exemplo 7: O domínio de equações paramétricas cartesianas:

x = 2 cos λ   y = 1,5senλ , z = 0,5λ  é, também uma hélice, mas elíptica; seus pontos pertencem todos à superfície cilíndrica cuja diretriz é a elipse apresenta no exemplo 4 e diretrizes paralelas ao eixo Oz (Figura I.5).

Domínios cônicos e coordenadas cilíndricas Exemplo 8: Vamos considerar, por outro lado, o domínio cujas equações paramétricas sejam:

x = 2λ cos λ  as cartesianas  y = 2λsenλ , z = 3λ  com 0≤λ<2kπ (k inteiro positivo ou negativo), das quais deduzimos as equações em coordenadas cilíndricas: r = 2λ  θ = λ . z = 3λ  Este domínio está representado na Figura I,6. Sua projeção no plano xy é a espiral de Arquimedes, já referida no exemplo 5. Observemos que z/r=3/2. Isto significa que a reta que liga um ponto qualquer da curva domínio à origem tem uma inclinação constante (de 56°18’36”) com o eixo Oz, ou seja: a curva esta “enrolada” (desenvolvida) sobre uma superfície cônica, razão pela qual ela é dita uma “hélice cônica”. Não se confunda, pois, hélice cilíndrica com coordenadas cilíndricas de uma hélice cônica. * Uso do sistema esférico de coordenadas A curva associada ao fenômeno poderia ter, ainda, natureza esférica (por estar toda contida numa superfície esférica), caso em que o sistema de coordenadas mais adequado para a especificação do ponto genérico do domínio seria o esférico (Figura I,7). Podemos escolher como coordenadas (aproximadamente como no sistema cilíndrico): em vez da distância de P ao plano xy, a distância R de P a O; o ângulo θ e, em vez de z, o ângulo φ que o raio vetor OP faz com a sua projeção OP’ sobre o plano xy. O ponto P está, assim, univocamente determinado. Com efeito, consideremos a semicircunferência de raio R e centro O, traçada no plano definido por OP e pelo eixo Oz, e situada no mesmo semiespaço em que se encontra Oz. Todos os pontos dessa circunferência têm as mesmas coordenadas R e θ. Para especificar qualquer ponto P dessa circunferência, basta que definamos, no plano dessa circunferência, o ângulo φ que OP faz com sua projeção OP’ sobre o plano xy; nesse caso P terá as coordenadas (R,θ,φ). Se fizermos θ variar de 0° a 360° e φ de 0° a 180°, os pontos P distantes R de O pertencerão a um Campos Tensoriais - Ruggeri

§ 04 – Domínios curvos de fenômenos

hemisfério de centro O e raio R. Se, ainda, fizermos R variar de 0 a Rmax, todos os pontos (Rmax,θ,φ) serão não exteriores a uma esfera de centro O e raio Rmax. Por isso mesmo a distância R e os ângulos θ e φ são denominados as coordenadas esféricas do ponto. Os ângulos θ e φ às vezes são ditos as "distâncias angulares" do ponto: θ é a longitude e φ a latitude. O hemisfério situado no mesmo semi-espaço que Oz é denominado hemisfério norte. Poderíamos obter os mesmos resultados com relação ao hemisfério situado no semi-espaço oposto ao de Oz, ou hemisfério sul. As latitudes são ditas, também, latitudes sul e latitudes norte. O domínio de um fenômeno poderia ser uma curva pertencente a uma superfície esférica; estas são ditas curvas esféricas. Uma curva esférica poderia ser especificada pelas suas equações paramétricas: 1) - esféricas, na forma: R=constante, θ=θ(λ) e φ=φ(λ); 2) - cartesianas: x=x(λ), y=y(λ) e z=z(λ). Estamos, pois, em face de um domínio de natureza curvilínea e unidimensional (pois o ponto genérico do domínio do fenômeno depende de apenas um parâmetro). O conhecimento do intervalo de variação do parâmetro definirá os pontos-fronteira do domínio sobre a superfície. Notando-se que existem as relações

x = R cos φcosθ   y = R cos φsenθ z = Rsenφ  ficam imediatamente determinadas as equações cartesianas paramétricas da curva se conhecidas as coordenadas esféricas do seu ponto genérico em função do mesmo parâmetro λ. Inversamente temos, das equações anteriores:

R 2 = x 2 + y 2 + z 2  y  tgθ = x  senφ = z / R  podendo, assim, determinar-se as equações esféricas paramétricas da curva. * Exemplo 9: O domínio de equações paramétricas cartesianas x = R cos φcosθ   y = R cos φsenθ , z = Rsenφ  com R=2 e θ+φ=Kπ rad é uma curva reversa situada sobre a superfície esférica de raio igual a 2 (Figura I,8 para K=3). Expressando θ em função de φ tem-se, para K=3:

x = 2 cos φcos(Kπ - φ) = (−1) K 2cos 2 φ  K  y = 2 cos φsen(Kπ - φ) = (−1) sen2φ  z = (−1) K +1 2senφ.  Essa curva é fechada bastando que 0≤φ≤2π rad. Tem-se: 0≤ x ≤2 (a curva está toda contida no hemisfério correspondente ao eixo negativo dos x), -1≤ y ≤1 (pela segunda equação, a curva é simétrica em relação ao plano zx) e -2≤ z ≤2 (pela terceira equação, a curva é simétrica em relação ao plano xy). A equação da (curva) projeção dessa curva esférica sobre o plano xy, paralelamente a z, pode ser obtida por eliminação de φ entre as duas primeiras equações do sistema; obtém-se, lembrando que 2cos2φ = 1+ cos2φ: [x-(-1)K]2+y2=1, equação da

I, § 04.01

§ 04.01 – Unidimensionais

circunferência de centro ((-1)K;0) e raio 1 (Figura I,9 para K=3). O ponto O’ (Figura I,8) – um crunodo (ponto com duas tangente distintas) - corresponde ao valor φ=0 e tem coordenadas (2(-1)K;0;0). A equação da (curva) projeção da curva esférica sobre o plano yz é obtida por eliminação de φ entre a primeira equação do sistema e a terceira. Substituindo-se na primeira o valor de 2cos2φ por 1+cos2φ e, em seguida, na expressão obtida, considerando-se a terceira equação, transpondo termos e simplificando, obtém-se:

z 2 = 2(−1) K [− x + 2(−1) K ] , ou seja, z 2 = 2(−1) K x' , com x'=-x+2(-1)K.

A curva projeção é, pois, uma parábola de eixo O'X', vértice O', foco em O, tendo por diretriz o eixo O' z sendo

O' ponto simétrico de O em relação a O' (não mostrado na Figura I,10). O parâmetro dessa parábola é p=(-1)K para K=3.

Figura 1.11.a10

A equação da (curva) projeção da curva esférica sobre o plano yz obtém-se por eliminação de φ entre a segunda equação do sistema e a terceira. Desenvolvendo sen2φ e considerando o valor de z obtemos: y=-zcosφ. Isolando cosφ nessa equação e senφ na terceira, elevando ambos os membros ao quadrado, somando membro a membro, simplificando, agrupando, somando e subtraindo 4 e observando-se a presença de um quadrado perfeito, encontramos: (z 2 − 2) 2 = 4(1 − y 2 ) . Esta curva plana, algo parecida com uma leminiscata, está apresenta na Figura I,11 para K=3.

10 Adaptada do site www.mat.ufpb -lenimar Campos Tensoriais - Ruggeri

§ 04 – Domínios curvos de fenômenos

Exercício: Comprove que a curva esférica em questão é a interseção da superfície esférica de centro na origem O e raio igual a 2 com o cilindro circular de eixo paralelo a Oz que tem como diretriz a circunferência de equação [x(-1)K]2+y2=1 indicada na Figura I,9 para K=3, indicada espacialmente na Figura I.11.a. * Outros sistemas de referência e outros domínios Existem outros sistemas de referência de uso pouco comum, cada um se prestando ao estudo de fenômenos que ocorram em domínios com características geométricas diferentes das que aqui apresentamos. Por exemplo: o sistema chamado tórico ou toroidal, do qual vamos nos ocupar mais à frente.

§ 04.02 – Bidimensionais Um domínio (de fenômeno) pode ter natureza curvilínea e ser 2D; é o caso, por exemplo, do equilíbrio de um teto em forma de superfície curva (uma cúpula, ou concha, com uma pequena espessura, que cobre uma área relativamente grande), sujeito à ação de forças, e apoiado convenientemente sobre alguns “pontos” ou sobre algumas “linhas”. Quando um fenômeno é de natureza curvilínea e 2D devemos entender que ele ocorre em um conjunto denso de pontos situados de um lado e outro (em torno) de uma superfície (que no jargão da engenharia é dita uma “superfície média”), como se essa superfície tivesse certa “espessura”. Imaginemos uma superfície aberta (esférica, digamos, Figura I,12) e seja p o perímetro da poligonal ou curva (no exemplo, um arco de circunferência) que define essa abertura. A espessura do domínio (um comprimento) deve ter um valor bem inferior ao do perímetro em referência (digamos, da ordem de 5%), algo parecido com a espessura da casca da laranja (esférica) em relação ao perímetro de um círculo máximo da laranja. Nesse caso podemos adotar as (duas) "coordenadas curvilíneas intrínsecas" dessa superfície para definir pontos da mesma, tal como adotamos um “paralelo” e um “meridiano” para definir um ponto sobre a superfície da Terra (§04.01).

O comportamento mecânico de um vaso cilíndrico de aço (Figura I,13), cheio com algum material (um líquido, por exemplo) é enquadrado como um fenômeno que ocorre em domínio de natureza curvilínea e 2D, caso em que o uso do sistema cilíndrico de coordenadas é mais apropriado para a representação do domínio. A coordenada r, nesse caso, é a mesma para todos os pontos (na Figura I,13 é r=1). A quantidade de coordenadas de um ponto qualquer do domínio do fenômeno é 3, mas uma delas é constante; as outras duas coordenadas estarão definidas em função de dois parâmetros variáveis (θ e z), e 2 será a dimensão do domínio. Na Figura I,13, a variável z varia de 0 até 4 e θ, de 0 a 2π.

I, §04.02

§ 04.02 – Bidimensionais

Observe-se que, no caso de domínio cilíndrico unidimensional – caso, por exemplo, da solicitação de uma mola helicoidal cilíndrica por uma força paralela ao eixo do cilindro – o número de coordenadas também é 3, mas o número de parâmetros é 1 (§02.02). O estudo de um tanque esférico para armazenamento de gás, sujeito a uma pressão interna, pertence à categoria dos fenômenos de natureza curvilínea e 2D em que o sistema de referência mais adequado a utilizar é o esférico. Aqui, o número de coordenadas do ponto é três e a dimensão do domínio do fenômeno é dois. Ainda nesses casos, o conhecimento dos dois intervalos de variação dos parâmetros permitirá fixar a região - um fragmento da superfície toda - onde ocorre o fenômeno. * Um domínio bidimensional de relativa importância na prática é o domínio de revolução. Este é definido por qualquer curva (C) – dita geratriz - que gira em torno de um eixo z – dito eixo de rotação - sem interceptar esse eixo. Às vezes a curva (C) é uma poligonal. Um ponto qualquer da geratriz descreve uma circunferência de plano ortogonal ao eixo e centro na interseção deste com o plano; estas circunferências são ditas “os paralelos da superfície”. Os planos que passam pelo eixo cortam a superfície segundo curvas ditas “os meridianos da superfície”. Na maioria dos casos práticos a curva (C) é plana e seu plano contém o eixo de rotação. Seja, então, yz o plano coordenado que contem a curva (C) de equação F(y,z)=0. Se P é um ponto qualquer da geratriz, quando esta girar em torno de z indo ocupar a posição P’ (Figura I,14) sua distância ao eixo ficará constante e igual d = x 2 + y 2 . Assim, a equação da superfície de revolução gerada pela curva F(y,z)=0 do plano x=0 ao girar em torno de z é: F( x 2 + y 2 , z) = 0 , isto é, esta equação é obtida da equação de (C) substituindo-se nela y por d. Os domínios de revolução podem ser adequadamente representados em relação a um sistema cilíndrico de coordenadas de que o eixo z seja o eixo de rotação e r = d = x 2 + y2 . *

Exemplo: Qual é a equação da superfície de revolução gerada pela circunferência do plano yz, de centro na origem e raio R? Por ser r2=x2+y2 e r2+z2=R2, a superfície tem por equação (x2+y2)+z2-R2=0 (superfície esférica de raio R de centro na origem). *

Exemplos. Uso dos sistemas cilíndrico e esférico Exemplo 1: (superfície tórica) Consideremos a Figura I,15 onde apresentamos a circunferência (y-a)2+z2=R2 – de centro A sobre o eixo x, distante a=3 da origem O, e raio R=1 – que, após girar do ângulo 90-θ (em relação a Oy) em torno de Oz terá seu centro em A’. O raio AP de inclinação φ sobre o plano xy irá a A’P’ com a mesma inclinação sobre xy. As coordenadas de P’ serão:

x = (a + Rcosφ)cosθ  y = (a + Rcosφ)senθ , z = Rsenφ 

donde

d = a + Rcosφ = x 2 + y 2 = r ,

o sistema acima constituindo, então, as equações paramétricas da superfície tórica gerada para R=constante, 0≤θ<2π e -π/2≤φ≤π/2. A Figura I,16 foi desenvolvida para a=3, R=1.

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§ 04 – Domínios curvos de fenômenos

Exemplo 2: Consideremos a Figura I, 17 pela qual vamos agora determinar a superfície gerada pelo perímetro do triângulo obtusângulo ABC, obtuso em A, com lado AB paralelo a z, quando ABC gira em torno desse eixo. Para um giro de θ=90° esse triângulo encontra-se no plano yz. Denotemos por d a distância de AB a z, zC a cota de C, zA (>zC) a cota de A e Hz e Hy as medidas das projeções do lado BC sobre os eixos z e y, respectivamente. Um ponto qualquer P sobre BC divide este lado do triângulo de forma que PB/CB=λ; e para 0≤λ≤1, P descreverá todo o segmento a partir de B. Quando o plano do triângulo gira em torno de z e atinge a posição definida pelo ângulo θ que faz com o plano xz, os pontos A, B, C e P ficam representados por A’, B’, C’ e P’. O ponto P’ é, assim, o ponto corrente da superfície de revolução gerada pelo lado BC do triângulo; e suas coordenadas podem ser deduzidas da Figura I,17:

I, §04.02

§ 04.03 – Tridimensionais

x = (d + H y λ) cos θ  2 2 2  y = (d + H y λ)senθ , donde x + y = (d + H yλ) .  z = z C + (1 + λ)H z . O ponto Q’, rodado de Q, tem a mesma coordenada y qye P. Este ponto Q’ é o ponto corrente da superfície de revolução gerada pelo lado AC do triângulo; e suas coordenadas são:

x = (d + H y λ) cos θ   y = (d + H y λ)senθ  z = λz C + (1 + λ)(z A − z C ). Não é difícil comprovar-se que as coordenadas do ponto corrente R da superfície (cilíndrica) gerada pela lado AB são: x = d cos θ   y = dsenθ z = (1 − λ)z + λ(H + z ). A z Z  Uma pequena porção dessas três superfícies é apresentada na Figura I, 18 onde se pode notar o “miolo” triangular vazio. Na Figura I,19, feita em escala diferente da anterior, apresentamos o conjunto completo das três superfícies.

§ 04.03 – Tridimensionais. É fácil, agora, entender que para o estudo de um domínio de forma curva e tridimensional se deva escolher um sistema conveniente, isto é, um sistema que melhor se adapte à geometria do domínio. É o caso, por exemplo, do estudo de um tarugo cilíndrico de aço sujeito a um momento de torção (equivalente a um binário de forças) de vetor paralelo ao eixo do cilindro, para o qual o sistema de referência mais adequado é o cilíndrico. Para o estudo dos fenômenos que ocorram numa esfera maciça o sistema mais indicado é o sistema esférico. Em todos esses casos o ponto genérico do domínio será definido por três funções, todas dependentes de três parâmetros, cada parâmetro variando dentro de intervalos bem definidos. Com isso será possível delimitar a região do espaço (um fragmento do espaço todo) onde ocorre o fenômeno. Na Figura I,20 apresentamos as superfícies laterais cilíndricas de um anel de parede espessa para r (raio) variando de 0,6 a 1. Na Figura I,21 apresentamos um tronco cilíndrico com θ variando de 0,1π a 0,9π. As superfícies que fecham esse domínio tridimensional são os planos (paralelos) z=0 e z=4 e dois outros planos que contêm o eixo z.

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§ 04 – Domínios curvos de fenômenos

Na Figura I,22 apresentamos um tronco esférico definido por quatro pontos quaisquer A, B, C e D da superfície de raio (externo) r=re=1. As retas que ligam esses pontos ao centro O interceptam a superfície interna de raio r=ri=0,9 em quatro outros pontos A’, B’, C’ e D’. Fica, pois, definido o tronco pelas seguintes superfícies fronteira: as duas porções de superfície ABCD (externa) e A’B’C’D’ (interna) e as quatro superfícies planas definidas pelos quadriláteros curvilíneos ABA’B’, CDC’D, ACA’C’ e CDC’D’.

Na prática, em situações específicas, quando a “espessura” desses domínios é muito pequena em relação ao raio do tubo cilíndrico, ou raio da esfera, o domínio pode ser visto com boa aproximação como se tivesse duas dimensões.

I, §04.03

§ 05.01 – Da necessidade

Outro tipo de domínio que apresenta muito interesse prático é o gerado por dada superfície que gira circularmente em torno de um eixo sem interceptar esse eixo: são os domínios 3D de revolução. O anel da Figura I, 20 é um caso particular: aquele em que a superfície é um retângulo, com um lado paralelo a z, que gira em torno do eixo z. Da mesma forma, na Figura I,18, se considerássemos não o perímetro do triângulo, mas toda a área do triângulo. A esfera é o corpo sólido gerado por um círculo que gire em torno de um diâmetro. Se um círculo gira em torno de um eixo que não o intercepte, ele gera um tóro, ou um anel de seção circular.

§ 04.04 – Os domínios, na prática Na prática da engenharia lidamos com todos esses domínios, muitas vezes sem nos percebermos da abordagem geral aqui apresentada. Estudamos, assim, pilares de forma prismática sem fazer referência direta às equações dos seus planos fronteiras, mas elas são sempre indiretamente consideradas. Outro tanto sucede no estudo das molas, de muitas peças utilizadas em mecanismos, dos tetos em forma de abóbadas (cilíndricos, esféricos, em forma de quádricas regradas) etc. Os escoamentos de fluidos têm lugar dentro de um domínio cuja fronteira é conhecida. Fronteiras são, nesses casos, tubulações, canais de seções as mais diversas (retangulares, trapezoidais, circulares ou circularmente compostos etc.). Os silos – destinados a armazenarem líquidos e materiais granulares – têm formas as mais diversas, sendo geralmente compostos de um corpo cilíndrico e um fundo cônico. Os gases são geralmente armazenados em tanques esféricos e, em algumas situações, em cilindros de eixo horizontal com tampas esféricas.

§ 05 – TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS § 05.01 – Da necessidade da transformação. Em muitas situações – em geral, visando facilidades, como temos mencionado no § 01 – é conveniente equacionar-se um fenômeno em relação a um sistema de referência específico (que pode ser cartesiano, cilíndrico ou esférico). Depois, por interessar a continuação dos estudos em relação a um segundo sistema, pode tornar-se necessário expressar as equações, leis, grandezas etc. nesse segundo sistema, do mesmo tipo do primeiro ou não. Genericamente, diremos que o primeiro sistema é o antigo e que o segundo, é o novo, independentemente da natureza deles. Veremos que, em geral, as grandezas em jogo num fenômeno (propriedades de materiais ou não) variam de um ponto para outro, dentro do domínio desse fenômeno. Se adotarmos um sistema cartesiano O-X1 X 2 X 3 para referir o estudo, as grandezas serão funções de X 1, X 2 e X 3; mas X 1, X 2 e X 3 poderiam ser funções de um, de dois ou de três parâmetros, além do tempo, como veremos oportunamente (§02,III). Expressar as variáveis do fenômeno em relação a outro (novo) sistema cartesiano de referência OX’1X’2X’3 significa efetuar uma transformação (linear) de coordenadas, ou efetuar uma substituição (linear) de variáveis nas expressões matemáticas das grandezas, segundo algum critério, trocando as variáveis antigas pelas novas. No presente estudo introdutório, vamos considerar apenas as transformações de coordenadas de um sistema cartesiano ortogonal genérico, o antigo: S≡Sant≡O-X1X2X3, para um novo: S’≡Snovo≡O-X’1X’2X’3, ambos

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§ 05 – Transformação de coordenadas

com origem comum (Figura I,23)11, O, e vetores unitários de base (triortogonais): { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 } e { eˆ 1′ , eˆ ′2 , eˆ ′3 }, respectivamente. Nesse caso, essas transformações são lineares12.

* Exemplo 1: Da Figura I,23, onde representamos duas bases ortonormadas, podemos determinar as coordenadas dos vetores unitários da base nova (são co-senos diretores) em relação aos vetores unitários da base antiga e dispô-las conforme indicado na Tabela 1. Notar que eˆ ′2 pertence ao plano xOz. Tabela 1 - Coordenadas (co-senos diretores) dos vetores da base nova em relação à base antiga

Vetores eˆ 1′ eˆ ′2 eˆ ′3 Nota

eˆ 1 cosα cosθ -senφ cosα cosθ senφ

eˆ 2 cosα senθ 0 -(cosα cosθ cosφ + senα senφ)

eˆ 3 senα cosφ cosα senθ senφ

Para que os vetores sejam ortogonais entre si é necessário que tgα=cosθ tgφ

O leitor poderá comprovar que essas bases são ortonormadas. *

§05.02 - Mudança de coordenadas de um ponto, com mudança de base Consideremos dois ternos de números: X1, X2, X3 e X'1, X'2 e X'3, que representem coordenadas de um mesmo ponto do espaço em relação aos sistemas cartesianos ortogonais de referência S e S', respectivamente, com origem comum13, como os do Exemplo 1. Esse ponto pode ser representado também por seu vetor posicional r, independentemente dos sistemas porque a origem é comum. Podemos esperar existir certa relação entre as coordenadas da extremidade de r num sistema e noutro porque com cada terno de coordenadas devemos expressar o módulo, a direção e o sentido do (mesmo) vetor r. Podemos escrever:

r = X1eˆ 1 + X 2 eˆ 2 + X 3eˆ 3 = X1′ eˆ 1′ + X ′2 eˆ ′2 + X ′3 eˆ ′3 ,

(01),

ou, simplesmente,

r = X i eˆ i = X ′jeˆ ′j ,

(i,j=1,2,3),

(02),

justificando-se a escrita indexada (02) desde que adotemos a seguinte convenção para essas escritas: Convenção somatória: Toda expressão monômia literal dada, contendo índices repetidos (como X i eˆ i ), é equivalente a uma soma de monômios semelhantes que se obtêm atribuindo-se aos índices repetidos, no monômio dado, todos os números de um conjunto previamente definido14.

11 Numa exposição mais avançada, pode comprovar-se, que as origens não precisam ser necessariamente coincidentes, nem mesmo ortogonais os eixos do sistema de referencia. 12 Em estudos mais avançados essas transformações são feitas de um conjunto de variáveis para um outro, completamente arbitrário na sua forma geral, através de funções que respeitam certas condições (como: continuidade delas e de suas derivadas, de apresentarem jacobiano não nulo etc.). 13 Numa exposição mais rigorosa, pode comprovar-se, que as origens não precisam ser necessariamente coincidentes, nem mesmo ortogonais os eixos do sistema de referencia. 14 É evidente que a escolha (arbitrária) do índice não altera a somatória, o que significa poder trocar os índices i ou j em (02) por k, p ou qualquer outra letra.

I, §05.02

§05.02 - Mudança de coordenadas de um ponto, com mudança de base

Assim, multiplicando escalarmente ambos os membros de (02) por eˆ k (para k=1, ou 2, ou 3), obtemos:

r.eˆ k = X k = X i (eˆ i .eˆ k ) = X ′j (eˆ ′j .eˆ k ) ,

(03).

Se denotarmos por Mjk o co-seno do ângulo dos vetores eˆ ′j e eˆ k , isto é, pondo,

M jk = eˆ ′j .eˆ k ,

(04),

a igualdade (03) pode ser escrita na forma:

X k = X ′j M jk = X1′ M 1k + X ′2 M 2k + X ′3 M 3k ,

(03.a),

a cada valor de k correspondendo uma igualdade. Assim,

 X1 = X1′ M11 + X ′2 M 21 + X ′3 M 31   X 2 = X1′ M12 + X ′2 M 22 + X ′3 M 32 ,  X = X′ M + X′ M + X′ M 1 13 2 23 3 33  3

(03.b).

Usando notação matricial15, o sistema (03.b) pode ser escrito na forma:

 X1   M11 M 21 M 31   X1′         X 2  =  M 12 M 22 M 32  .  X ′2  , X  M M M  X′  23 33   3   3   13

(03.c),

o que mostra de forma trivial que a transformação (substituição) das Xi nas X'i é linear. Por outro lado, multiplicando ambos os membros de (0.2) por eˆ ′k , obtemos:

r.eˆ ′k = X ′k = X i (eˆ i .eˆ ′k ) = X ′j (eˆ ′j .eˆ ′k ) ,

(05).

Lembrando que eˆ i .eˆ ′k = eˆ ′k .eˆ i , então, conforme (04), podemos escrever: eˆ i .eˆ ′k = eˆ ′k .eˆ i = M ki . De (05) deduzimos, assim,

X ′k = X i M ki = X1 M k1 + X 2 M k2 + X 3 M k3 ,

(05.a).

Atribuindo a k, em (05.a), os valores 1, 2 e 3, obteremos três igualdades simultâneas que podem ser escritas na forma matricial:

 X1′   M11 M12 M13   X1         X ′2  =  M 21 M 22 M 23  .  X 2  ,  X′   M M M   X  32 33   3   3   31

(05.b).

15 Suporemos conhecida do leitor a álgebra (elementar) das matrizes.

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§ 05 – Transformação de coordenadas

Para simplificar, usaremos as seguintes notações:

 X1  X  = {X antigo } ,  2  X 3 

 X1′  X ′  = {X novo } ,  2  X ′3 

 M11 M = M 21 M 31

M12 M 22 M 32

M13  M 23  , M 33 

(05.c).

Assim, se MT representa a transposta de M, (03.c) e (05.b) são escritas nas formas compactas respectivas:

{X antigo } = M T .{X novo } ,

(06),

{X novo } = M.{X antigo } ,

(07).

Como, por hipótese, os sistemas de referência são dados, a matriz M e sua transposta são conhecidas. * Exercício 1: Comprovar que a matriz M para os sistemas de referência apresentados no Exemplo 1,§05.01, considerando θ = α = π/3 rad (e utilizando 5 casas decimais), é

 0,25000 0,43301 0,86603 M = - 0,96077 0 0,27735 .  0,24019 - 0,90138 0,41602 Exercício 2: Confirme que, se em relação ao sistema S um ponto tem coordenadas (2;3;5), então, em relação ao sistema S', suas coordenadas são: (6,12918;-0,53479;-0,14366). (Solução: aplique (06)). * A expressão (07) dá, então, as coordenadas de r no sistema de referência novo, Snovo, desde que sejam conhecidas as coordenadas de r no sistema antigo, Santigo, além da matriz M (ou MT); as expressões (06) e (07) são inversas uma da outra. Conforme (04), M jk = eˆ ′j .eˆ k , os números Mjk para j=1,2,3, são as coordenadas do vetor eˆ k (da base de S≡Santigo) em relação à base de S'≡Snovo; ou, para k=1,2,3, as coordenadas do vetor eˆ ′j da base de Snovo em relação à base de Santigo. Assim, a j-ésima linha de M (ou a j-ésima coluna de MT) é formada com as coordenadas de eˆ ′j no sistema Santigo. Ou, o que é o mesmo: a k-ésima coluna de M (ou a k-ésima linha de MT) é formada com as coordenadas do vetor de base eˆ k no sistema Snovo. Logo o elemento da j-ésima linha e k-ésima coluna da matriz produto M.MT é o número eˆ ′j.eˆ ′k , isto é, δjk (um dos deltas de Kronecker, valendo +1 se j=k e 0 se j≠k). Então, M.MT=I. Com um raciocínio análogo mostraríamos que MT.M=I. Então, por ser M.MT=MT.M=I, sendo I matriz unidade de ordem 3, resulta MT=M-1; isto é, a matriz M é uma matriz de rotação. * Exercício 3: Comprove que a matriz M do exercício 1, relativa às bases apresentadas no Exemplo 1,§05.01, é matriz de rotação. Verifique se o determinante de M é igual a +1. * A matriz M cujas colunas são formadas com as coordenadas dos vetores de base de Santigo em relação ao Snovo é denominada: matriz de mudança de Santigo para Snovo. Inversamente, a matriz MT cujas colunas são formadas com as coordenadas dos vetores de base do sistema Snovo em relação ao sistema Santigo é denominada matriz de mudança de Snovo para o Santigo.

I, §05.03

§05.03 – Relações entre as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de um ponto

§05.03 – Relações entre as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de um ponto No §05.02 vimos como, conhecidas as coordenadas de um ponto num dado sistema cartesiano de referência, determinar as coordenadas desse mesmo ponto num outro sistema cartesiano também dado. Interessa também resolver esse mesmo problema quando os sistemas de referência possam ser cilíndricos e esféricos (§04.01, I) por razões já expostas. Relembremos (§04.01,I) que no sistema cilíndrico as coordenadas do ponto genérico são: (r,θ,Z); e no esférico: (R,θ,φ). Vamos associar ao ponto genérico, em cada sistema, vetores unitários, conforme mostrado nas ˆ }. Figuras I,24.a, I,24.b e I,24.c, que formam as bases positivas: { ˆi , ˆj, kˆ }, { rˆ , θˆ , kˆ } e { φˆ , θˆ , R

No sistema cartesiano (Figuras I,24.a) o vetor unitário de base, ˆi , é paralelo ao eixo x e aponta no sentido positivo desse eixo; o mesmo para ˆj que é paralelo a y e para kˆ que é paralelo a z, sendo todos aplicados na origem. Nos sistemas: cilíndrico e esférico, os vetores de base são, tradicionalmente, aplicados no ponto genérico do espaço. No cilíndrico (Figuras I,24.b), o vetor rˆ é paralelo ao raio vetor cuja extremidade é a projeção do ponto sobre o plano xy e aponta no sentido dos r crescentes; o unitário θˆ é tangente à circunferência cujo raio é o raio vetor citado anteriormente e aponta no sentido do crescimento do ângulo θ; e kˆ é paralelo a z e ponta no sentido positivo desse eixo (este é idêntico ao do sistema cartesiano). ˆ é paralelo ao vetor posicional do ponto e aponta no sentido do No esférico (Figuras I,24.c), o vetor R crescimento da distância do ponto à origem; o vetor θˆ é idêntico ao do sistema cilíndrico e φˆ é tangente à circunferência de centro na origem, raio R, contida no plano definido pelo ponto e pelo eixo z, e aponta no sentido do crescimento do ângulo φ Isto posto, é fácil ver que entre os vetores dessas bases existem as seguintes relações inversas, facilmente dedutíveis:  ˆi   rˆ   cosθ senθ 0 ˆ ˆ   T -1 (07),  θ  = R CiCa . j  , com R CiCa = − senθ cosθ 0 e RCiCa = RCiCa ,   ˆ ˆ k   0 k 0 1   a matriz RCiCa – matriz de mudança da base cilíndrica (antiga) para a cartesiana (nova) – sendo uma matriz de rotação (rotação de eixo z e ângulo θ);

 φˆ   rˆ  cosφ 0 − senφ ˆ ˆ  0 1 0  θ = R . θ , com R =   EsCi   EsCi   R ˆ kˆ  senφ 0 cos φ   

REsCi T = REsCi -1,

(08),

em que REci é a matriz de rotação (rotação de eixo θˆ e ângulo φ) do sistema esférico (antigo) para o cilíndrico (novo); e, evidentemente, Campos Tensoriais - Ruggeri

§06 – Sistema local e sistema global de coordenadas

 φˆ   ˆi  ˆ ˆ  θ  = R EsCi .R CiCa . j  , R kˆ  ˆ    

R EsCi .R CiCa

com

cosφcosθ cosφsenθ - senφ =  − senθ cosθ 0  , senφcosθ senφsenθ cosφ 

(09),

o produto REsCi.RCiCa – um produto de matrizes de rotação – sendo a matriz de rotação REsCa do sistema esférico (antigo) para o cartesiano (novo), isto é: R EsCa = R EsCi R CiCa , (09.a). As inversas de (07), (08) e (09) são, evidentemente:

 ˆi   rˆ  ˆ T ˆ  j  = R CiCa . θ  , kˆ  kˆ   

 φˆ   rˆ  ˆ T ˆ  θ  = R EsCi . θ  R ˆ kˆ   

 ˆi   φˆ  ˆ T T ˆ  j  = R CiCa .R EsCi . θ  , kˆ  R ˆ    

(10).

Assim, dado um ponto por seu vetor posicional decomposto cartesianamente em relação a cada um dos sistemas, as relações entre os três tercetos de coordenadas poderão ser facilmente determinadas.

§06 – SISTEMA LOCAL E SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS. Os sistemas de coordenadas a que temos nos referido até o momento são ditos “sistemas globais de coordenadas” para diferençá-los dos sistemas, que vamos estudar agora, localizados no ponto genérico de um domínio, mas que não são arbitrários. Tais sistemas – ditos sistemas locais de coordenadas - têm algum haver com a natureza do domínio, sendo isto, precisamente, o que os tornam úteis. Esse importante assunto – que simplifica substancialmente a solução de muitos problemas práticos – esta relacionado com a representação vetorial de curvas e superfícies, sendo estudado com detalhes nos cursos de Cálculo Vetorial. Chegaremos ao que interessa considerar por meio de um roteiro que o leitor deverá aceitar em consignação.

§06.01 – Domínios unidimensionais Comecemos pela consideração de domínios unidimensionais e tomemos como exemplo a hélice circular apresentada no exemplo 6 do §04.01 (Figura I.4). O raio vetor do ponto genérico desse domínio é o vetor que, em relação à base vetorial fixa { ˆi , ˆj, kˆ }, ligada ao sistema global de eixos x, y e z, tem por expressão cartesiana:

r = xˆi + yˆj + zkˆ , as coordenadas x, y e z sendo dadas pelo sistema de equações paramétricas: x = 1,5 cos λ   y = 1,5senλ , z = 0,25λ 

(01).

Sinteticamente, escrevemos: r=r(λ) porque x, y e z são funções da variável λ que, por hipótese varia continuamente dentro de um intervalo dado (aberto, fechado ou aberto de um lado só). Isto, como foi visto, fixa as fronteiras (pontos) do domínio (e várias situações podem acontecer). Vamos inicialmente “parametrizar” as equações da curva em função do comprimento de arco. Para tal devemos calcular o comprimento do arco de hélice compreendido entre dois dados valores de λ: digamos, λ1 e λ2. Tem-se, sem delongas, muito facilmente, diferenciando as equações paramétricas:

s=∫

λ2

λ1

I, § 06.01

(dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 dλ = ∫

λ2

λ1

1,5 2 (cos 2 λ + sen 2 λ) + 0,25 2 dλ ≅ 1,52069(λ 2 − λ1 ) ,

§06.01 – Domínios unidimensionais

mas nem sempre o cálculo das integrais é assim tão fácil. Admitindo-se λ1=0 e λ2=λ podemos substituir nas equações paramétrica o valor de λ por s, resultando:

s  x = 1,5 cos(1,52069) = 1,5 cos(0,6576 s)  s  y = 1,5sen(1,52069) = 1,5sen(0,6576 s) ,  z = 0,1644 s 

(02),

o que significa, agora, que r=r(s). Tangente, normal principal e plano osculador A derivada de r em relação a s,

dr = dx ˆi + dy ˆj + dz kˆ , ds ds ds ds

(03),

calculada para um valor qualquer de s, digamos s=s0, é obtida derivando-se x, y e z em relação a s e depois substituindo-se (nas expressões obtidas) s por s0. Esse vetor é tangente à hélice no ponto s=s0 sendo, por isso mesmo denominado vetor tangente; e sua direção é a direção de um dos eixos do sistema local de coordenadas que pretendemos estabelecer. O unitário desse vetor constituirá o vetor de base associado a esse eixo. Tem-se:

dx = −0,98639sen(0,6576 s) , ds

dy = 0,98639 cos(0,6576 s) , ds

dz = 0,1614 , ds

sendo estas derivadas os co-senos diretores da tangente, ou as coordenadas do unitário tˆ do vetor tangente à curva, ou seja:

tˆ = dr , ds

(04).

Isso pode ser comprovado numericamente, bastando elevar ao quadrado cada uma das derivadas e somar os resultados (obtendo-se o número 1). Intuitivamente percebe-se que ao dar-se um pequeno acréscimo ∆s ao valor do arco, a partir de s0, as coordenadas do novo unitário, tˆ 2 , mudam de valor, isto é, em s0+∆s temos um novo unitário tangente à curva. Em linguagem mecânica, mas não rigorosa, dizemos que o unitário tˆ (relativo a s0) e o do “ponto seguinte” (relativo a s0+∆s), tˆ 2 , definem um plano nas vizinhanças de s0; este é denominado plano osculador da curva no ponto. Esses dois vetores (definidores do plano osculador), cuja diferença é ∆tˆ = tˆ 2 − tˆ , formam certo ângulo (medido em radianos) que depende do comprimento (medido em metros) de arco ∆s considerado; e ∆ tˆ aponta sempre para o interior da curva. Como os vetores consecutivos são unitários, ∆ tˆ é, em módulo, aproximadamente igual ao ângulo (medido em radianos) de que girou a tangente a partir de s0; assim, |∆ tˆ | mede o quanto a curva se flexionou no plano osculador. Como existe continuidade na curva, existe também o vetor limite, n, paralelo a ∆ tˆ , quociente da variação de ∆ tˆ para o comprimento do arco ∆s (que dá a “quantidade de flexão” da curva no ponto, por unidade de comprimento de arco, no plano osculador). Então: 2 ∆tˆ dtˆ = ; e lembrando a expressão de tˆ : n = d ( dr ) = d r , ∆s →0 ∆s ds ds ds ds

n = lim

(05).

Campos Tensoriais - Ruggeri

§06 – Sistema local e sistema global de coordenadas

Intuitivamente vemos que, quando ∆s tende para zero, o vetor ∆ tˆ tende a ser perpendicular a tˆ (o que pode ser comprovado por diferenciação da expressão tˆ.tˆ = 1 ); isto significa que n é perpendicular a tˆ . Assim, o unitário nˆ aponta para o interior da curva e está contido no plano osculador; a reta suporte de nˆ é denominada a normal principal da curva no ponto. * Para o exemplo dado (hélice circular), temos:

n = −0,64865 [cos(0,6576 s)ˆi + sen(0,6576 s)ˆj] , isto é, no caso da hélice circular, o vetor n do ponto genérico é sempre paralelo ao plano xy. Como, para qualquer curva, n. tˆ =0 (n é ortogonal a tˆ ), resulta que, no caso da hélice, a normal principal (reta suporte de n) é a interseção do plano osculador do ponto com o plano paralelo a xy conduzido por esse ponto. Como a dz tangente tˆ tem uma inclinação constante, 90°-ϕ, com as geratrizes do cilindro, tal que = 0,1614 = senϕ (logo ds ϕ≅9°17'), a superfície gerada pelas tangentes sucessivas será tangente a todos os planos osculadores da hélice. Essa superfície – um cone de eixo z e geratrizes inclinadas de 90°-ϕ com z - é a envoltória dos planos osculadores. * No caso geral, sendo ∆s um arco variável cujo limite é zero (um infinitésimo), é fácil entender que o dito quociente (ângulo sobre arco) tem a dimensão do inverso de um comprimento, aproximadamente como acontece com a razão do ângulo central de uma circunferência para o arco correspondente. De fato, as normais às tangentes a uma circunferência por dois pontos consecutivos definem um ângulo central, e a razão desse ângulo central para o arco é o inverso do raio da circunferência. É precisamente assim que se passa no ponto genérico de uma curva qualquer16. Como n e ∆ tˆ são paralelos, |n| é a expressão da curvatura de flexão da curva no ponto s0, sendo | n |=| d 2 r ds 2 | ; por isso mesmo, n é dito o vetor curvatura, ou vetor normal, do ponto da curva. O inverso de |n|, R, é, então, o raio de curvatura da curva no mesmo ponto. Para o exemplo dado, tem-se: |n|=0,64865 e R=1/|n|=1,54166. * Exercícios: 1) - As equações paramétricas gerais da hélice circular são: x=rcosλ, y=rsenλ e z=kλ (onde λ é um parâmetro). Provar que o raio de curvatura (dita também, raio de curvatura de flexão) é igual a (r2+k2)/r. Confirme o valor encontrado pelo exemplo numérico. 2) – A extremidade do vetor n aplicado no ponto s0 é chamada centro de curvatura da curva no ponto. O lugar geométrico dos centros de curvatura de uma curva é dito a evoluta da curva. Demonstre que a evoluta de uma hélice circular é outra hélice circular. * Binormal, plano normal, plano retificante. Triedro de Frenet-Serret. Os vetores ortogonais tˆ e nˆ do ponto s0 estão contidos no plano osculador de s0, e a normal a este plano é a direção do vetor unitário bˆ = tˆ × nˆ . O terno de vetores { tˆ, nˆ , bˆ } – dito terno de Frenet-Serret do ponto forma, pois, no ponto genérico da curva, uma base triortogonal local e poderá ser acoplado a um sistema cartesiano de coordenadas local para efeito de observações locais no domínio (unidimensional) de um fenômeno. Para passar-se desse sistema para o global bastará determinar as expressões desses vetores na base global { ˆi , ˆj, kˆ }. A direção de bˆ é denominada a binormal do ponto. O plano definido pelo par ( nˆ , bˆ ) é denominado

plano normal à curva no ponto; o definido pelo par ( tˆ, bˆ ), plano retificante. 16 A curvatura de uma curva circular em uma estrada é igual ao inverso do seu raio; a raios pequenos estão associadas “curvas fortes”, a grandes raios, “curvas suaves”.

I, §06.01

§06.01 – Domínios unidimensionais

Os unitários: tangente e normal do ponto s0+∆s definem o plano osculador “consecutivo“ ao anterior e, para o arco ∆s, o vetor dbˆ - incremento da binormal - determina a variação de inclinação ocorrida com o plano osculador (entre as duas posições). Por serem: tˆ.tˆ = nˆ .nˆ = bˆ .bˆ = 1 e tˆ.nˆ = nˆ .bˆ = bˆ .tˆ = 0 , existem as seguintes igualdades:

tˆ.dtˆ = nˆ .dnˆ = bˆ .dbˆ = 0

tˆ.dnˆ + dtˆ.nˆ = nˆ .dbˆ + dnˆ .bˆ = dbˆ .tˆ + bˆ .dtˆ = 0 ,

(06),

das quais podemos deduzir os seguintes resultados. Como dtˆ é paralelo a nˆ , é também, conseqüentemente, perpendicular a bˆ , isto é, bˆ .dtˆ = 0 . Então, tˆ.dbˆ = 0 , isto é, o incremento de bˆ é perpendicular a tˆ e jaz no plano normal. Mas como dbˆ é também perpendicular a bˆ , ele é paralelo a nˆ . Logo, o módulo do vetor T = dbˆ / ds mede o quanto a curva se “empena” ou se torce no plano normal por unidade de distância nas vizinhanças do ponto; ou seja, |T| mede a curvatura de torção da curva no ponto e T, paralelo a dbˆ é, ainda, paralelo a nˆ . Tal como anteriormente, o inverso de |T|, 1/Rt, é o raio de curvatura de torção da curva no mesmo ponto. Temos, em função dos resultados já obtidos: 2 2 2 3 2 T = d (tˆ × nˆ ) = d ( dr × 1 d 2r ) = d 2r × 1 d 2r + dr × 1 d 3r + dr × d 2r d ( 1 ) . ds ds ds | n | ds | n | ds ds | n | ds ds ds ds | n | ds

A primeira parcela é nula. Como T é paralelo a nˆ a projeção de T sobre nˆ , T.nˆ , poderá ser positiva ou negativa. É desejável que a torção seja positiva quando nˆ tenha tendência a girar no sentido anti-horário, no plano (nˆ , bˆ ) - dito plano tangente à curva – desde que observado do lado desse plano para o qual aponta tˆ . Assim convencionando, dbˆ estará se movimentando no sentido contrário ao de nˆ quando a torção é positiva. Portanto, para a medida positiva da torção, T, devemos escrever: T = −T.nˆ . Assim, da expressão que vínhamos analisando, deduzimos: 3 2 T = −nˆ .T = −nˆ . dr × 1 d 3r − nˆ . dr × d 2r d ( 1 ) . ds | n | ds ds ds ds | n | 2 Como n = d r , a última parcela é nula. Aplicando propriedade do produto misto de vetores, concluímos: ds 2 3 ( dr d 2r d 3r ) ds ds ds T= = 1 , ou, alternativamente, T = 2 Rt ( d 2r ) 2 ds

2 3 ( dr d 2r d 3r ) ds ds ds = 1 , 2 Rt ( dr × d 2r ) 2 ds ds

(07).

* Vamos calcular a curvatura de torção, T, da hélice circular do exemplo 6 do §04.01. Temos, considerando suas equações (02), parametrizadas em relação ao comprimento de arco: x=Rcos(As), y=Rsen(As) e z=Cs, para A=0,6576, R=1,5 e C=0,1644:

dr = −(AR)sen(As)ˆi + (AR)cos(As)ˆj + Ckˆ ; ds

d2r = −(A2R)cos(As)ˆi − (A2R)sen(As)ˆj ; ds2

| d 2r |= A 2 R ; ds

d3r = (A3R)csen(As)ˆi − (A3R)cos(As)ˆj . ds3 Logo: Campos Tensoriais - Ruggeri

§06 – Sistema local e sistema global de coordenadas

− (AR )sen (As) (AR ) cos(As) C 1 T = 4 2 − (A 2 R ) cos(As) − (A 2 R )sen (As) 0 = CA . A R (A 3 R )sen (As) − (A 3 R ) cos(As) 0 Para o exemplo numérico, tem-se T=0,1081. Fórmulas de Frenet As chamadas fórmulas de Frenet são as expressões cartesianas das derivadas, em relação ao arco, dos vetores unitários do triedro de Frenet-Serret na base desses mesmos unitários. São elas:

dtˆ = 1 nˆ , ds R

dnˆ = − 1 tˆ − 1 bˆ ds R Rt

dbˆ = 1 nˆ , ds R t

(08),

sendo paralelos a nˆ os vetores dtˆ ds e dbˆ ds . As derivadas dtˆ ds e dbˆ ds estão explicitas no texto; dnˆ ds pode ser obtida por derivação direta (em relação ao arco) do produto − n = tˆ × b .

§06.02 – Domínios bidimensionais Existe também em cada ponto de um domínio bidimensional um sistema local do coordenadas retilíneas, nem sempre ortogonal, que pode ser usado para referência apenas nas vizinhanças do ponto, como veremos. Superfície esférica Antes de generalizar a idéia vamos considerar o exemplo simples da superfície esférica de centro O e raio R, dada por suas equações paramétricas (já consideradas no §04.01):

x = R cos φ cos θ   y = R cos φsenθ , z = Rsenφ, 

(01),

onde -π/2≤φ≤π/2 e 0≤θ<2π se o domínio considerado for toda a superfície; se o domínio for apenas uma porção da superfície, os intervalos de variação de φ e/ou θ serão restritos. Quando se fixa um valor para φ, digamos φ=π/3 rad, alguns pontos da superfície ficam especificados; são todos aqueles de coordenadas  1 x = 2 R cos θ   1 (02),  y = Rsenθ , 2   3 z = 2 R , para θ variando no mesmo intervalo anteriormente considerado. As equações do sistema (02) constituem, pois, a princípio, as equações paramétricas de uma curva reversa situada sobre a superfície esférica. Como z=constante, essa curva é plana, sendo fácil ver que ela é uma circunferência de raio R/2 e centro situado sobre o eixo z a uma distância R 3 / 2 da origem (Figura I,25). Essa circunferência é um dos “paralelos” da superfície, a cada valor de φ correspondendo um paralelo. Na Figura I,26 indicamos o paralelo 0° e os demais de 9 em 9°; no topo da superfície encontraríamos o paralelo 90° (um ponto).

I, §06.02

§06.02 – Domínios bidimensionais

Se, ao contrário, tivéssemos fixado um valor para θ (em vez de φ), digamos θ=π/4 rad, teríamos obtido de (01) o sistema

 2 x = 2 R cos φ   2 R cos φ , y = 2  z = Rsenφ,  

(03),

representativo das equações paramétricas de uma circunferência (máxima) situada sobre a superfície esférica, com centro na origem, raio igual a R, cujo plano contem o eixo z e forma o ângulo diedro de π/4 rad com o plano coordenado xz (Figura I,25). A cada valor de θ corresponderá uma circunferência dita “o meridiano de ângulo θ”. Na Figura I,26 indicamos a posição do meridiano 0° e os demais de 9 em 9°. Um meridiano qualquer intercepta certamente qualquer paralelo em dois de seus pontos diametralmente opostos, mas para os ângulos especificados, φ=π/6 e θ=π/4, apenas uma das interseções deverá ser considerada (a outra correspondendo a θ=π+π/4). O que importa considerar é que a dado par de valores dos parâmetros corresponde um meridiano, um paralelo e apenas um dos pontos de interseção dos mesmos. Assim, com as orientações estabelecidas para a variação e o crescimento de cada parâmetro, é possível traçar sobre a superfície uma rede de curvas – meridianos e paralelos, ditas as “coordenadas curvilíneas” dos pontos da superfície – cada par de curvas estando associada com um ponto. * Um observador, situado na origem, pode falar das coordenadas cartesianas retilíneas x, y e z do ponto genérico do domínio, ou das coordenadas curvilíneas (no caso, paralelos e meridianos) do mesmo ponto. Mas um observador localizado no ponto genérico P poderá utilizar um sistema de coordenadas retilíneas, com os vetores de base tˆ, nˆ e bˆ , para referir eventos apenas nas “vizinhanças” de P porque, a grandes distâncias de P, não existem pontos do domínio contidos no plano tangente à superfície. Isto é precisamente o que acontece sobre a superfície da Terra. Fazemos levantamentos topográficos ordinários de áreas relativamente pequenas (digamos dentro de um quadrado de lado até 178 km) utilizando o sistema local de referência e empregando os recursos da disciplina chamada Topografia. Esse mesmo levantamento poderia ser feito com o uso do sistema global O-xyz, utilizando-se dos recursos da Geodésia, para obter-se levantamento praticamente idêntico. Com o aumento da área interessada (pelo aumento do lado do quadrado, digamos), a curvatura da Terra passa a influir nas

Campos Tensoriais - Ruggeri

§06 – Sistema local e sistema global de coordenadas

coordenadas dos pontos. Ao efetuar-se a mudança das coordenadas de um ponto (localizado em um marco instalado no terreno) para o sistema global, coordenadas essas levantadas pela Topografia ordinária, encontramse certos valores. Ao se efetuarem as medidas das coordenadas do mesmo ponto no sistema global, utilizando-se os recursos da Geodésia, são obtidas as verdadeiras coordenadas do ponto, e estas não serão coincidentes com as transformadas das anteriores (serão apenas próximas, dependendo do tamanho da área considerada). * Com o que foi estabelecido no §06.01, será possível, também, determinar para cada ponto da superfície, ou para cada curva (coordenada curvilínea) do par de curvas que define o ponto, um triedro de Frenet de vetores unitários: tˆp, nˆ p, bˆ p para um paralelo e

tˆm, nˆ m , bˆ m para um meridiano. O par de tangentes define o plano tangente no ponto, sendo tˆm = bˆ p e tˆp = bˆ m . O vetor normal nˆ p aponta para o eixo z no plano do meridiano, e nˆ m aponta para o centro da Terra; logo ( − nˆ m ) é a normal exterior à superfície. Elipsóides É fácil entender agora que o elipsóide, de equações paramétricas

x = a cos φ cos θ   y = b cos φsenθ , z = csenφ, 

(04),

têm também um sistema de coordenadas curvilíneas (Figura I,27); a elas cabem as mesmas nomenclaturas (paralelos e meridianos) utilizadas para as coordenadas curvilíneas dos pontos da superfície esférica. Os paralelos, um para cada valor de φ, são as elipses

y2 x2 + = 1, (a cos φ) 2 (b cos φ) 2

(05),

centradas no eixo z e distantes c(senφ) da origem, tendo por semi-eixos acosφ e bcosφ. Os meridianos, um para cada valor de θ, são as elipses 2 x2 + z2 = 1, 2 (a cos θ) c

(06),

centradas na origem, com semi-eixos a(cosθ) e c. As elipses: paralelo e meridiano de um ponto têm, cada uma, o seu triedro de Frenet; e cada um deles poderia ser usado para referir eventos apenas nas vizinhanças do ponto. Em muitas situações, entretanto, pode ser mais prático utilizar o “sistema de Cartan” do ponto, formado pelas tangentes às coordenadas curvilíneas do ponto (a tangente θˆ ao paralelo e a tangente φˆ ao meridiano) e a normal à superfície expressa como o produto vetorial (ou cruzado) dos dois vetores anteriores. Entretanto, deve ser observado que, em geral, os vetores unitários tangentes às coordenadas curvilíneas de um ponto, ou sejam, os vetores de base de Cartan do ponto, não são ortogonais. *

I, §06.02

§06.02 – Domínios bidimensionais

Exercícios: Comprovar que, nos elipsóides: 1) - os unitários θˆ e φˆ serão ortogonais para: a) pontos tais que tg(θ + φ) = b / a ; b) – todo ponto, se a=b (elipsóide de revolução); 2) – o unitário θˆ da tangente ao paralelo de um ponto de um elipsóide é vetor oposto à binormal do meridiano desse ponto. * Parabolóides elíptico e hiperbólico Os parabolóides são as quádricas de equação

z = r x 2 + t y2 , 2 2

(07),

onde r e t são constantes. Para rt>0 os parabolóides são ditos elípticos e para rt<0, hiperbólicos. Na Figura I,28 apresentamos um exemplo para r=2 e t=-0,4, um parabolóide hiperbólico, notando-se de imediato o seu formato “em cela”. Na Figura I,29 apresentamos um parabolóide elíptico para r=-2 e t=-0,4 notando-se seu formato ovalado.

Vamos considerar, para r>0 e t>0, o parabolóide hiperbólico:

z = r x2 − t y2 , 2 2

(08).

Pondo

r= 1 a1

e t = 1 (logo, a1>0 e a2>0), a2

podemos escrever a equação na forma de produto:

y y 2z = ( x − )( x + ), a1 a2 a1 a2

(09).

Interpretando analiticamente esta equação, vemos que sobre o parabolóide hiperbólico existem os dois sistemas (I) e (II) seguintes, de geratrizes retilíneas (cada um é a interseção de planos),

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§06 – Sistema local e sistema global de coordenadas

 z x − y α = a1 a2  1 ( I)  2α = x + y  1 a1 a2 

 z x + y α = a1 a2  2 (II)  , 2α = x − y  2 a1 a2 

(10),

onde α1 e α2 são parâmetros variáveis. Essas geratrizes gozam das seguintes propriedades: 1) – Em cada ponto da superfície passa uma só geratriz de cada sistema; 2) – Duas geratrizes de um mesmo sistema nunca se encontram; 3) – Duas geratrizes de sistemas diferentes se interceptam sempre num ponto da superfície  x = (α 1 + α 2 ) a 1   (11),  y = (α 1 − α 2 ) a 2 ,  z = 2α 1 α 2 que é o próprio parabolóide hiperbólico representado parametricamente; 4) – As geratrizes α1 e α2 estão todas contidas no parabolóide; 5) – As geratrizes (um par) que passam por um ponto do parabolóide determinam o plano tangente nesse ponto. A esse par de retas que passa pelo ponto pode associar-se um sistema local de coordenadas cartesianas para referir eventos nas proximidades desse ponto, mas apenas nas proximidades; 6) = As geratrizes de cada sistema são paralelas aos planos fixos

x − y =0 a1 a2

x + y =0, a1 a2

(12),

os quais são ditos “planos diretores” do parabolóide. Na prática da construção de edifícios esta última propriedade se torna muito útil porque as geratrizes retilíneas (de cada uma das famílias) podem ser substituídas por barras de ferro redondo (ferro comum de construção), ou por “réguas de madeira” de pequena largura, o conjunto imitando aproximadamente um parabolóide hiperbólico. Um desses parabolóides, assim entendido, de equação

z = − 5 xy , com f=-5, a=10 e b=15, 150 para 0≤x≤10 e 0≤y≤15 está apresentado na Figura I,30. Esses parabolóides podem ser associados para formar um conjunto, com alguma finalidade; um exemplo, compondo uma cobertura, está apresentado na Figura I,31.

I, §06.02

§06.03 – Domínios tridimensionais

Os parabolóides elípticos podem também ser utilizados com finalidades semelhantes. Apresentamos na Figura I,32 um exemplo daqueles para os quais r=2f/a2 e t=2f/b2, com f=5, 7≤a≤7, -10≤b≤10. A medida f é a “flecha” ou distância do ponto mais alto do parabolóide ao plano xy, medida ao longo do eixo z; 2a e 2b são os lados do retângulo que circunscreve o losango projeção da superfície sobre o plano xy (as diagonais do losango se encontram na origem). Os exemplos apresentados neste parágrafo constituem domínios bidimensionais que, na prática, terão certa “espessura”, correspondente, por exemplo, à de uma laje de cobertura, feita em concreto. Essa superfície seria a “superfície média” da cobertura que se pretendesse construir. Eventualmente, algumas características dessas superfícies poderão interessar nos casos práticos; a sua curvatura no ponto genérico, por exemplo. Mas desses detalhes não nos ocuparemos aqui.

§06.03 – Domínios tridimensionais O entendimento dos domínios curvos tridimensionais é feito de forma intuitiva; e podemos fazê-lo com vistas à sua utilização prática. Assim, uma esfera pode ser entendida como uma sucessão contínua de superfícies esféricas com uma espessura muito pequena (folhas ou lâminas esféricas) cujos “raios médios” cresçam gradativamente. Do ponto de vista analítico as coordenadas cartesianas x, y e z de um ponto qualquer da esfera são expressas (parametricamente) em função de três parâmetros: dois correspondentes à superfície esférica e um terceiro correspondente ao raio, como em (09). Os mesmo conceitos são aplicáveis aos “sólidos quádricos” em geral. Para os elipsóides maciços, particularmente, bastaria que se expressassem os seus (três) semi-eixos a, b e c em função de um único parâmetro λ para que as coordenadas x, y e z, do ponto genérico, como em (12), se expressassem um função dos (três) parâmetros λ, θ e φ. De um modo geral, as coordenadas do ponto genérico de um domínio tridimensional são expressas em função de três parâmetros λ, µ, ν, na forma

x = x (λ, µ, υ)   y = y(λ, µ, υ) , z = z(λ, µ, υ) 

(01),

cada parâmetro variando continuamente em intervalo bem determinado. Em geral supõe-se que as três funções x, y e z em (01) sejam contínuas em todo ponto do domínio, caso em que, a cada ponto P≡(x,y,z), corresponde um terno (λ, µ, ν). Quando se fixa um valor para qualquer dos parâmetros e se faz os outros dois variarem dentro dos respectivos intervalos, o sistema (01) passa a representar uma superfície que contem necessariamente o ponto P. Assim, para dado terno de valores (λ, µ, ν), corresponde um terno de superfícies que têm o ponto P em comum. Essas três superfícies se interceptam duas a duas segundo três curvas reversas que poderiam ser geradas do sistema (01) fixando-se dois quaisquer dos parâmetros relativos a P. Tais curvas reversas são ditas as “coordenadas curvilíneas do ponto P, a cada uma correspondendo um triedro de Frenet. Pode ser demonstrado que os unitários das tangentes a cada coordenada curvilínea do ponto genérico P do domínio (apenas os unitários das tangentes de cada triedro de Frenet do ponto) formam uma base local de vetores não coplanares que podem ser utilizados como “vetores de base” de um sistema (natural) de coordenadas cartesianas retilíneas naquele ponto; e servem para referir eventos apenas nas vizinhanças desse ponto. Essa base vetorial é dita a “base natural de Cartan” do ponto P (em homenagem ao eminente geômetra francês Elie Cartan).

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§06 – Sistema local e sistema global de coordenadas

Sendo necessário, pode analisar-se, conforme visto no §06.01, as curvaturas de cada coordenada curvilínea ou, por recorrência a estudos mais aprofundados de Geometria Diferencial, analisar as curvaturas de cada superfície coordenada do ponto etc.



I, §06.03

CAPÍTULO II

GRANDEZAS FÍSICAS. § 01 – GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS Para entender os fenômenos associam-se grandezas físicas às suas qualidades (ver “Introdução e apresentação”), criando-se, por exemplo, coeficiente de dilatação térmica, massa específica, temperatura etc.; dizemos que estas grandezas são postas em jogo nos fenômenos. O relacionamento qualitativo e quantitativo entre as diversas grandezas postas em jogo num fenômeno é traduzido fielmente pela lei física que o rege17, para um mesmo fenômeno podendo existir duas ou mais leis envolvendo as grandezas postas em jogo. Todas as grandezas físicas já foram tratadas (pelo menos até antes de 1850) como o que se denomina de grandezas escalares. Estas são caracterizadas: 1) – por uma unidade de medida, de mesma natureza que a grandeza considerada; 2) – por um número real, número esse que determina quantas vezes a unidade de medida está contida numa dada quantidade da grandeza. Falava-se, pois, em temperatura de 30ºC, massa de 100 g, massa específica de 1000 kg/m3, velocidade de 2 m3/s, força de 100 kgf etc.. As grandezas físicas eram definidas, assim, de um modo geral e simplesmente, mediante relações entre quantidades mensuráveis (como: comprimento, área, volume, tempo etc.). Algumas dessas grandezas físicas são “propriedades” de materiais, como a massa específica, o calor específico, o coeficiente de dilatação térmica e outras. Outras são apenas grandezas que aparecem nos fenômenos, não tendo haver direto com propriedades de materiais; por exemplo, a temperatura. Provavelmente entre 1850 e 1900 surgiu a necessidade de melhor caracterizar as grandezas físicas que estavam naturalmente relacionadas com uma direção, apresentando uma natureza geométrica. Assim, grandezas como: as forças, as velocidades, as acelerações etc., que se somavam segundo uma mesma lei (a lei do paralelogramo), não se somavam, entretanto, por intermédio da álgebra ordinária. Essas grandezas, mais complexas que as escalares, são, ainda, definidas como as escalares, mas com a condição adicional seguinte: a especificação do seu caráter geométrico, ou, ainda, da direção que lhes é inerente. Tais grandezas foram representadas por um ente matemático que se denominou vetor. Para atender à Física, a Matemática desenvolveu uma álgebra especial com o vetor; esta foi denominada Álgebra Vetorial (e desenvolvida principalmente por Hamilton e Gibbs). Devemos observar, de antemão, que as operações definidas nessa álgebra, bem como suas propriedades, ou advêm de experiências em laboratório18, ou podem ser comprovadas em laboratório (caso, por exemplo, da resultante de duas forças, do momento de uma força em relação a um ponto etc.)19. A esse respeito devemos lembrar os escritos de Bricard [3]: “ ... Um grande progresso da Física Matemática consistiu em vetorialisar certas grandezas antes consideradas como escalares.” Assim, tal como se expressavam as leis físicas com o uso da Álgebra e Análise ordinárias, tornou-se interessante expressar as leis envolvendo vetores com uma álgebra e uma análise apropriadas. Nessa linha de trabalho apareceram os nomes de Hamilton e Grassmann por volta de 1850 (como patronos) e Gibbs e Heaviside por volta de 1870 (como re-estruturadores). O primeiro tratado formal publicado sobre o assunto foi totalmente baseado nas aulas de J. W. Gibbs, na Universidade de Yale, publicada por um de seus alunos, E. B. Wilson (Bibl. [09]). Nesta obra encontramos ainda a primeira pista para a generalização da idéia de vetor: a criação do conceito

17 Por exemplo: "para uma dada massa gasosa, o produto da pressão pelo volume por ela ocupado é proporcional à sua temperatura absoluta" (lei dos gases perfeitos). 18 Algumas dessas operações já eram usadas intuitivamente pelos antigos (em navegação, por exemplo), mas não existia corpo de doutrina que as explicasse. 19 Suporemos, doravante, que o leitor seja conhecedor dessa álgebra (ver bibl. [4], [5], [6],[7]). Campos Tensoriais - Ruggeri

§ 02 – Definições rigorosas das grandezas escalares e vetoriais

de diádico - nova entidade matemática para representar grandezas físicas já conhecidas e com as quais se trabalhava teórica e experimentalmente com muito mais dificuldade do que com as grandezas vetoriais; são as grandezas diádicas sobre as quais discorreremos no momento oportuno.

§ 02 – DEFINIÇÕES RIGOROSAS DAS GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS § 02.01 – Considerações preliminares Como visto, as grandezas físicas não são apenas aquelas apresentadas no §01. Existem ainda as diádicas, de natureza um pouco mais complexa que as vetoriais que pretendemos considerar neste livro e que têm algum haver com as vetoriais. A postura científica, entretanto, exige critério preciso, e de preferência único, para o enquadramento de uma grandeza nesta ou naquela categoria. Esse critério, certamente, deve ser universal no sentido de que, duas pessoas (dois observadores), cada uma em um lugar e em qualquer tempo, possam entender um mesmo fenômeno da mesma forma. Com o que já estudamos basicamente no §05 do Capítulo I podemos nos considerar preparados para o entendimento desse critério.

§ 02.02 – Nova definição de grandeza escalar Seja G uma função das coordenadas X1, X2 e X3 do ponto genérico do espaço, caso em que escreveremos: G=G(X1, X2, X3), G tendo, pois, um valor em cada ponto do espaço. Se procedermos nessa função uma substituição linear arbitrária das Xi pelas X'j (diferente da lei ((06),§05.02,I) o novo valor de G será, evidentemente, G'≠G. Porém, certa grandeza física (como a temperatura), em certo fenômeno, pode variar com o ponto no domínio do fenômeno, mas intuitivamente, do ponto de vista físico, pode não caber discussão quanto à invariância quando se referir o ponto a dois (ou mais) sistemas de coordenadas (em cada sistema correspondendo certo terceto de coordenadas). Então, se a lei G=G(X1, X2, X3) expressar o valor da grandeza em relação a um sistema S, apenas por força de postulado, para atender nossa intuição, o mesmo valor de G será encontrado quando se substituírem as coordenadas X do ponto pelas coordenadas X’ do mesmo ponto, referido ao sistema S’, e correlacionadas por ((06),§05.02,I). Assim, por Definição: Chamaremos grandeza tensorial de ordem zero, ou, simplesmente, grandeza escalar, a qualquer função G de três variáveis X1, X2, X3 (ou X’1, X’2, X’3) , tal que mediante a substituição linear das Xi nas X'j, pela lei ((06),§05.02,I) (ou sua inversa ((07),§05.02,I)), seu valor se mantenha invariante. Vale salientar que para que a função G (de três variáveis X) represente uma grandeza escalar é necessário que G seja um invariante mediante uma mudança de variáveis do tipo ((06),§05.02,I), porque isso é intuitivamente necessário, não tendo nenhum sentido que fosse diferente (pela nossa intuição física). Por exemplo: faria sentido afirmar que a temperatura num ponto de um ambiente é de 20°C em relação a um sistema S e 30°C em relação ao sistema S’? E se os referenciais estivessem em movimento relativo?20 O que ocorre, na prática, é que poderemos nos defrontar com situações inversas da que acabamos de apresentar, isto é, poderemos estar frente a uma função que, sem motivo especial, represente garantidamente uma grandeza escalar. Para identificar-se a função como representante de uma grandeza escalar é preciso verificar se o “regime tensorial” correspondente é respeitado, isto é, se ao efetuar-se a mudança de variáveis ((06),§05.02,I), ou sua inversa ((07),§05.02,I), o valor da grandeza permanece o mesmo. * Exercício 4: Em relação ao sistema S, a temperatura no ponto (X1,X2,X3) do domínio de um dado fenômeno é dada pela expressão: T = 0,3X1+0,5X2+X3. Mostre, então, que em relação ao sistema S’ do Ex. 1,§05.01,I, a (mesma) temperatura será dada pela expressão: T=1,15754X’1-0,01088X’2+0,03739X’3. 20 Se as velocidades relativas dos referenciais forem muito pequenas em relação à velocidade da luz poderemos afirmar que as temperaturas são iguais; e se não forem?

II, § 02.02

§ 02.03 – Definição da grandeza vetorial

Exercício 5: Sabe-se que, em relação ao sistema S do Exemplo 1,§05.01,I, a temperatura num ponto do domínio de certo fenômeno é dada por uma função linear das coordenadas do ponto. Em relação ao sistema S’ citado no mesmo Exemplo 1,§05.01,I, nos pontos de coordenadas (1;-1;2), (-1;2;0) e (0;-2;-1) as temperaturas medidas (em grau Celsius) são 7°, 12° e -3°, respectivamente. Comprove que a lei de distribuição das temperaturas no domínio, em relação ao sistema S, é T= 1,79889X1 -19,46500X2 -14,24620X3. *

§ 02.03 – Definição de grandeza vetorial Sabemos (da Análise Vetorial) que os vetores podem ser definidos tanto em termos de módulo, direção e sentido no espaço, como por três funções de valor numérico21, em relação a um sistema de referência, cada uma delas sendo uma função das coordenadas do ponto. Relativamente a dois sistemas cartesianos de referência, o valor (numérico) da função que define a grandeza escalar, como visto, é imutável (ver Exercício 4). Os valores numéricos daquelas três funções num ponto, as quais, pretensiosamente, definem a grandeza vetorial, são diferentes num e noutro sistema; mas o ente vetor, representativo da grandeza (definido por um módulo, um sentido e uma direção bem determinados), deve, intuitivamente, permanecer invariante. Assim, por exemplo: independe de qualquer sistema de referência a temperatura num ponto do espaço (como no exercício 4), ou o vetor velocidade com que um móvel passa por dado ponto e certo instante apesar de, neste último caso, serem distintos os valores das coordenadas do vetor em relação a um e a outro sistema de referência. Consideremos dois ternos de funções que representem coordenadas de uma mesma grandeza vetorial, representada por um vetor v, em relação a dois sistemas cartesianos ortogonais de referência: o antigo, S≡Santigo≡O-X1X2X3, e o novo, S’≡Snovo≡O-X'1X'2X'3, ambos com origem comum22, O, e vetores unitários de base: { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 } e { eˆ 1′ , eˆ ′2 , eˆ ′3 }, respectivamente. Podemos fazer, com relação a v, o mesmo raciocínio já feito com relação ao vetor posicional r dos parágrafos anteriores. Assim, denotando por V1, V 2, V 3 e V'1, V'2 e V '3 as funções que definem as coordenadas de v em S e S', podemos escrever:

v = V1eˆ 1 + V2 eˆ 2 + V3eˆ 3 = V'1 eˆ 1′ + V ' 2 eˆ ′2 + V '3 eˆ ′3 ,

(01),

ou, simplesmente,

v = Vi eˆ i = V ' j eˆ ′j ,

(i,j=1,2,3),

(02),

justificando-se a escrita indexada (02) pela convenção somatória já estabelecida (§05.02,I). Assim, multiplicando escalarmente ambos os membros de (02) por eˆ k (para k=1, ou 2, ou 3), obtemos:

v.eˆ k = Vk = Vi (eˆ i .eˆ k ) = V ' j (eˆ ′j .eˆ k ) ,

(03).

Considerando ((04),§05.02,I) isto é, sendo, M jk = eˆ ′j .eˆ k , a igualdade (03) pode ser escrita na forma ((03.a) §05.02,I), onde se troque X por V, Vk = V ' j M jk , a cada valor de k correspondendo uma igualdade. Usando notação matricial esse sistema pode ser escrito na forma equivalente a ((06) §05.02,I), ou {V} = [M]T .{V'}.

21 A denominação "componente" para essas funções deve ser evitada porque "componente de um vetor" é um vetor e não um número. Se imaginarmos os vetores (livres) aplicados na origem dos sistemas de referência, o que chamamos de coordenadas são as próprias coordenadas da extremidade do vetor em relação ao referido sistema. 22 Conforme já observado, pode comprovar-se, que as origens não precisam ser necessariamente coincidentes, nem mesmo ortogonais os eixos do sistema de referencia.

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§ 03* – Diádicos e grandezas diádicas

Por outro lado, multiplicando ambos os membros de (02) por eˆ ′k , obtemos:

v.eˆ ′k = V' k = Vi (eˆ i .eˆ ′k ) = V' j (eˆ ′j .eˆ ′k ) ,

(04).

Relembrando que eˆ i .eˆ ′k = eˆ ′k .eˆ i , podemos escrever, então, conforme ((04),§05.02,I): eˆ i .eˆ ′k = eˆ ′k .eˆ i = M ki . De (04) deduzimos ((05.a), §05.02,I) onde se troque X por V, V ' j = Vk M jk . Se em na expressão obtida atribuirmos a k os valores 1, 2 e 3, obteremos três igualdades simultâneas que podem ser escritas na forma matricial ((05.b), §05.02,I) onde se troque X por V. As expressões correspondentes a ((06) e (07), §05.02,I) são, então: {V} = M.{V' } ,

(05),

{V' } = M T .{V} ,

(06),

Como, por hipótese, os sistemas de referência são dados, a matriz M e sua transposta são conhecidas. A expressão (05) dá, então, as coordenadas de v no sistema de referência novo, desde que sejam conhecidas as coordenadas de v no sistema antigo, além da matriz M; as expressões (05) e (06) são inversas uma da outra. Vê-se, assim, que a situação é a mesma já considerada quando da caracterização das grandezas escalares. Tal como naquele caso, a situação inversa da que acabamos de apresentar pode não se verificar integralmente. Consideremos três funções variáveis: V1, V2, V3 que, sabidamente, variam com o ponto em que são avaliadas (variam com X1, X2, X3). Quer-se dizer que pela substituição linear arbitrária das Xi por novas variáveis X'i os novos valores V'i das funções variáveis poderão não satisfazer às leis inversas (05) e (06). Se isto acontecer, as ditas variáveis não poderão constituir as coordenadas de uma grandeza vetorial. Assim, por Definição: Chamaremos grandeza tensorial de ordem um, ou, simplesmente, grandeza vetorial, a qualquer terno de funções V1, V2 e V3 de três variáveis X1, X2, X3 (ou X'1, X'2, X'3 ), tais, que mediante a substituição linear ((06),§05.02,I)) das Xi nas X'j (ou a substituição ((07), §05.02,I) das X'i nas Xi), seus novos valores: V'1, V'2 e V'3 (ou V1, V2 e V3), satisfaçam às leis inversas (05) e (06). Exercício: Comprove que se (1;2;3) são, respectivamente, os valores das funções V1, V2 e V3 no ponto (X1,X2,X3), então os valores dessas funções no mesmo ponto (X’1, ...) que satisfaça ((07), §05.02,I), em que MT é a matriz do exercício 1,§03.02,I, são: (3,71411;-0,12872;-0,31451).

§ 03* – DIÁDICOS E GRANDEZAS DIÁDICAS § 03.01 – Relacionamento entre grandezas vetoriais. O outro grande passo no tratamento dos problemas de Física foi dado ao procurar-se caracterizar perfeitamente as grandezas de natureza mais complexa que as escalares e as vetoriais; estas foram denominadas grandezas tensoriais (em geral), que chamaremos aqui grandezas poliádicas, e caracterizadas por poliádicos que são tensores. Esses estudos conduziram à criação de ordens para os tensores ou valências para os poliádicos, a começar pela ordem ou valência zero. Percebeu-se, então, que todas as grandezas físicas são poliádicas, mas de diferentes valências. Os poliádicos de valência zero são os escalares, os de valência um são os vetores. Os demais poliádicos são definidos pelas expressões a que devem satisfazer as suas coordenadas quando se realiza uma

II, §03.01

§ 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representações

transformação ortogonal de coordenadas23, expressões das quais as inversas (05) e (06) são expressões mais simples porque elas se referem aos poliádicos de valência um. Procuraremos nos próximos parágrafos caracterizar uma grandeza diádica, definir os diádicos e mostrar como eles podem ser representantes de tensores de ordem dois. É comum, em Física, a existência de leis fenomenológicas expressando uma relação de dependência entre duas grandezas vetoriais. Essas leis são válidas para o ponto genérico do domínio em que ocorre o fenômeno, entrando, pois, em jogo, duas grandezas representadas por vetores variáveis e uma terceira que faz a conexão. O exemplo mais simples e mais conhecido é o da lei de Newton da Mecânica, f=Ma, f sendo a resultante das forças que atuam sobre um corpo livre de massa M (a grandeza de conexão) e a a aceleração adquirida por esse corpo. Um segundo exemplo, muito parecido, é a lei f=qe, em que f é a força que age sobre a carga elétrica q (grandeza constante, de conexão) abandonada num ponto qualquer de um domínio onde o vetor campo elétrico é e. Se Fi e Ei são as coordenadas de f e de e em relação a certo sistema de referência, devem ser simultaneamente verificadas as seguintes igualdades: F1=qE1, F2=qE2 e F3=qE3. Podemos, então, representar o conjunto das três igualdades simultâneas em forma matricial:

 F1     F2  = F   3

q 0 0   E1   0 q 0 . E  ,    2  0 0 q   E 3 

(01).

No caso geral os escalares Ei são funções de ponto (dependem do ponto do domínio), isto é, o campo elétrico pode variar em intensidade e direção com o ponto considerado. Nesse caso, o mesmo acontece com os escalares Fi. Existem outras grandezas físicas vetoriais que se relacionam, num mesmo ponto do domínio do fenômeno que as põe em jogo, de uma forma morfologicamente idêntica a (01), mas com um uma matriz 3x3 de conexão não tão simples quanto a (matriz escalar) apresentada em (01). Assim, de uma forma mais geral, escreveríamos:

 F1   K 11 K12 K 13   E1        F2  =  K 21 K 22 K 23 . E 2  , F  K K K  E   3   31 32 33   3 

(02),

{F} = K.{E} ,

(03),

ou, ainda ,mais compactamente, na forma:

em que as matrizes têm significado evidente. Os elementos da matriz K podem ser constantes (ou funções apenas do tempo), ou funções escalares do ponto, ou funções do ponto e do tempo. Os elementos da matriz K são ditos as "coordenadas" da grandeza física K em relação ao mesmo sistema a que se referem f e e; a matriz é dita, ainda, a representação cartesiana de K em relação à base adotada. Quando K é constante ou depende de alguma variável que não as coordenadas de f ou e, do tempo, por exemplo, a dependência entre as grandezas vetoriais f e e é dita linear; no caso contrário, essa dependência é não linear.

§ 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representações. Usando a notação indicial, as equações (02) podem ser escritas na forma : Fi = K ij E j , ou, ainda, usando os deltas de Kronecker:

Fi = K ijδ jk E k ,

para i,j,k=1,2,3,

23 Numa exposição mais rigorosa se efetuaria uma transformação não ortogonal de coordenadas.

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§ 03 – Diádicos e grandezas diádicas

devendo ser observado que no segundo membro estão estabelecidas duas somas: uma para j e outra para k. Sendo, porém, δ jk = eˆ j .eˆ k , vem:

Fi = K ij (eˆ j.eˆ k )E k , expressão em que o uso dos parênteses é irrelevante. A cada valor de i corresponde uma coordenada do vetor f. Assim, juntando-se a ambos os membros dessas expressões o vetor de base correspondente a cada um dos três valores de i e somando membro a membro obtemos:

Fi eˆ i = K ijeˆ i (eˆ j.eˆ k )E k , existindo, agora, somatórias em i, j e k. Observando-se que f = Fi eˆ i e e = E k eˆ k , essa expressão pode ser escrita, finalmente, na forma compacta seguinte em que aparecem os vetores f e e: f = K.e , desde que: a) - criemos a entidade matemática do tipo

K = K ijeˆ i eˆ j , denominada diádico, definida como uma soma (em i e j) de produtos de dois vetores justapostos multiplicados por números (ou funções de valor numérico); b) – e que definamos um produto pontuado pela direita entre essa entidade e um vetor (no caso, e) como o vetor

f = K.e = K ijeˆ i (eˆ j .e) . Como visto, na expressão K = K ijeˆ i eˆ j do diádico - expressão essa denominada representação cartesiana do diádico K - estão estabelecidas duas somatórias (independentes): uma em i, outra em j. A somatória em i, K 1jeˆ 1 + K 2jeˆ 2 + K 3jeˆ 3 , representa um vetor; e por existir um índice livre (j) nessa expressão, o vetor que ela representa pode ser denotado por kj, notação essa que destaca o índice livre j. Então a grandeza física correspondente, K, poderia ser representada por um diádico escrito na forma K = k jeˆ j (para j=1,2,3), forma essa que, no jargão do Cálculo Poliádico24, denomina-se forma trinomial de representação do diádico em relação à base { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }. Os vetores k1, k2 e k3 são os antecedentes da forma (ou do diádico); os vetores de base são os conseqüentes. Aparece, assim, de forma natural, uma representação para a grandeza tensorial K (no caso, grandeza diádica) na qual só aparecem vetores, facilitando, pois, o seu entendimento. Notar que as coordenadas do antecedente kj de K (na base { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }) formam a coluna de ordem j da matriz K. Domínios homogêneos e não homogêneos Quando os Kij, ou os vetores kj de uma representação trinomial de K, não variam com o ponto considerado do domínio do fenômeno em estudo, esse domínio em que estão definidos é dito "homogêneo para a grandeza K"25; em caso contrário, o domínio é dito não homogêneo para a grandeza. Matematicamente, à luz do conceito de transformação de coordenadas, diríamos:

o domínio em que ocorre um fenômeno é homogêneo para certa grandeza que esse fenômeno põe em jogo, quando essa grandeza é um invariante em qualquer translação (de um sistema de coordenadas) pelo domínio.

24 Ver bibl. [9] ou [13]. 25 Geralmente o domínio é a região ocupada por um corpo material e a grandeza representa uma propriedade desse corpo; por isso dizse que o corpo é homogêneo para a propriedade.

II, §03.02

§ 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representações

Oportunamente apresentaremos alguns exemplos de fenômenos que ocorrem em domínios: homogêneos para certas grandezas e não homogêneos para outras. Releva lembrar que essas grandezas postas em jogo podem ser propriedades de materiais, propriedades do espaço físico onde ocorre o fenômeno em estudo e grandezas físicas outras (denominadas variáveis de campo, às quais nos referiremos oportunamente). Domínios isotrópicos e anisotrópicos Devemos admitir que, no domínio de um fenômeno, grandezas como K, em (03), possam variar com a direção em que são observadas (e eventualmente, medidas), seja o domínio homogêneo ou não em relação à grandeza. É o caso, verificado experimentalmente, da condutividade elétrica de certos cristais, que liga os vetores densidade de corrente, j, e campo elétrico, e, no interior do cristal, na “forma diádica”: j = Σ .e ,

(03.a),

 J1   σ11 σ12 σ13   E1        J 2  = σ 21 σ 22 σ 23 . E 2  ,  J  σ σ σ   E   3   31 32 33   3 

(03.b),

ou forma cartesiana

onde os σij – denominados condutividades elétricas – são todos constantes (no caso, não dependem do ponto, nem do tempo) e medidos em relação a um certo sistema de referência com vetores de base { eˆ1 , eˆ 2 , eˆ 3 }. Uma representação trinomial de Σ é idêntica à já mencionada anteriormente, sendo Σ = σ jeˆ j , as coordenadas do vetor σj formando a j-ésima coluna da representação cartesiana de Σ. Quando, no domínio de um dado fenômeno, acontecer de a grandeza Σ variar com a direção em que é medida, diremos que o domínio é anisotrópico (gr. ánisos, desigual e trópus, direção) para aquela grandeza. Quando, num domínio, a grandeza não varia com a direção em que é medida, ele é dito isotrópico para essa grandeza (ou que existe isotropia nesse domínio para aquela grandeza)26. Matematicamente, diríamos:

o domínio de um fenômeno que põe em jogo uma dada grandeza diádica é dito isotrópico em relação a essa grandeza se ela é um invariante em qualquer rotação (de um sistema de coordenadas) pelo domínio. Para tornar mais claro o significado físico dos elementos da matriz de condutividade elétrica, ou dos vetores antecedentes σj, vamos considerar a seguinte situação real (Nye,[11]). Suponhamos que o campo elétrico só tenha componente segundo o eixo Ox1, isto é, e≡(E1, 0, 0). Então será j≡(σ11E1, 0; 0). Podemos interpretar σj1E1, ou σ j .e , para j=1,2,3, como a coordenada de j segundo o eixo Oxj, devida à coordenada E1 de E segundo Ox1. Genericamente diríamos, para o campo e≡(E1, E2, E3), que Jj=σjiEi , ou J j = j.eˆ j = σ j.e , é a coordenada de j na direção OXj que se obtém superpondo (somando) as contribuições (na direção OXj) de todas as componentes do campo e, contribuições estas que são proporcionais às condutividades σj1, σj2 e σj3 que o cristal apresenta relativamente a cada par de direções (OXj,OX1), (OXj,OX2) e (OXj,OX3). Para certos cristais, outras grandezas anisotrópicas (que variam com a direção em que são consideradas e que são representadas por uma matriz 3x3) podem, ainda, ser citadas. O fluxo de calor que atravessa a unidade de 26 São considerados isotrópicos em relação a certas grandezas: os concretos, os aços comuns de construção e alguns solos, dentre outros materiais.

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§ 03 – Diádicos e grandezas diádicas

área na unidade de tempo, em três direções ortogonais é ligado ao gradiente de temperatura, mantido em diferentes partes do cristal, por uma grandeza física diádica denominada condutividade térmica do cristal. Esta grandeza, tal como a condutividade elétrica anteriormente mencionada, é definida por um conjunto de nove números (na verdade, seis, em vista da existência de certas simetrias) e estes são dispostos organizadamente em uma matriz 3x3. Outro exemplo é a suscetibilidade dielétrica (matriz 3x3), grandeza que liga o vetor polarização produzido num dielétrico com o vetor campo elétrico que produz essa polarização. Vale observar que o conceito de anisotropia tem significado expressivo quando a grandeza considerada representa uma propriedade de um material, como nos exemplos citados. É irrelevante mencionar que uma variável de campo - um tensor de tensões ou de deformações, por exemplo - é anisotrópica. Definição da grandeza diádica Aceitar, por força de postulado, a idéia de que os fenômenos e as formas de suas equações, sejam invariantes quando observados de diferentes sistemas de referência, significa aceitar que apenas os conjuntos dos números (valores) representativos de uma grandeza mudam com o sistema de referência. Essa idéia pode não ser absurda no tocante aos fenômenos em si, mas não tem sustentação científica quanto à invariância das formas das equações27. Foi precisamente isto que vínhamos postulando no caso dos vetores. Mas, todos esses números, em cada conjunto, representam a mesma grandeza e devem satisfazer a uma mesma equação; isto justifica a suspeita da existência de alguma relação entre eles. Para determinar essa relação, vamos considerar uma dessas grandezas que, genericamente, correlacione duas grandezas vetoriais quaisquer na forma (03) e procurar a expressão K'ij do elemento genérico Kij quando passamos do sistema Santigo de referência ao sistema Snovo. Se M é a matriz de mudança de base nova para a antiga, e se F', K' e E' são as expressões de F, K e E, respectivamente na base nova, escrevemos: {F'}=K'.{E'} (pois é invariante a forma da lei). Considerando ((07),§05.02,I) podemos, ainda, escrever: {F'}=MT.{F} e {E'}=MT.{E}. Então MT{F}=K'.MT.{E}, ou melhor, pré-multiplicando ambos os membros por M: {F}=M.K'.MT.{E}. Agora, relembrando (03) e lembrando que as grandezas são quaisquer, obtemos, finalmente: K = M.K'.M T , (04). Da expressão K = K ijeˆ i eˆ j deduzimos: K ij = eˆ i .K.eˆ j . Mas podemos também escrever: K = K' pr eˆ ' p eˆ ' r . Por substituição na expressão anterior, resulta sua equivalente:

K ij = eˆ i .(K' pr eˆ ' p eˆ ' r ).eˆ j = (eˆ ' p .eˆ i )K' pr (eˆ 'r .eˆ j ) , donde, lembrando a definição ((04),§05.02,I):

K ij = M pi K' pr M rj ,

(04.a).

De modo análogo comprovaríamos ser: K' = M T .K.M ,

(05),

com

K'ij = M ip K pr M jr ,

(05.a).

As expressões (04) e (05), ou suas equivalentes (04.a) e (05.a), foram obtidas impondo-se a condição de que a grandeza K fosse invariante com a mudança dos sistemas de referência. Por outro lado, se, de alguma forma, forem dadas nove funções Kij(X1, X2, X3), e se efetuarmos uma substituição linear arbitrária das Xi por novas variáveis X'i os novos valores K'ij das Kij poderão não satisfazer às igualdades inversas (04) e (05). Nesse

27 Em um estudo mais avançado poderia ser discutida essa questão da conservação da invariância das leis físicas numa mudança de sistemas de referência.

II, §03.02

§ 04.01 – Diádicos simétricos e anti-simétricos.

caso as Kij não constituirão coordenadas de uma grandeza tensorial; só o constituirão para substituições particulares. Assim, por Definição: Chamaremos grandeza tensorial de ordem dois, ou simplesmente, uma grandeza diádica, a qualquer conjunto ordenado de nove funções Kpr (p,r=1,2,3) de três variáveis X1, X2, X3, tais, que mediante a substituição linear das Xi nas X'j por ((06),§05.02,I) seus novos valores K'ij (i,j=1,2,3) satisfaçam às leis inversas (04.a) e (05.a)28.

§ 03.03 – Diádicos como representantes de propriedades físicas, ou de variáveis. As coordenadas dos tensores de ordem dois (e dos tensores de um modo geral), como as dos vetores, são coordenadas de grandezas físicas que, conforme concebemos, conservam suas identidades (não as suas coordenadas) independentemente do sistema de referência a que estejam referidas. Sobre as grandezas físicas a que nos referimos podemos, finalmente e em resumo, distinguir o seguinte: 1) – um escalar, ou tensor de ordem zero, é especificado por um único número e independe de sistema de referência; 2) – um vetor, ou tensor de ordem um, é especificado por 31=3 números ou coordenadas, cada número estando associado com um eixo de um sistema de referência; 3) – um diádico, ou tensor de ordem dois, é especificado por 32=9 números ou coordenadas, cada número estando associado com um par de eixos (distintos ou repetidos) de um sistema de referência. A nossa notação sugere essas distinções: um escalar é sempre representado literalmente sem índices; as coordenadas de um vetor com um índice e as coordenadas de um diádico, com dois índices. Podemos assim, aceitar a idéia de que o número de índices da letra representativa do tensor é igual à sua ordem29. Apresentamos os diádicos como entidades matemáticas representantes de certas propriedades físicas de materiais (os cristais, nos exemplos citados). O conceito, entretanto, é bem mais amplo porque existem grandezas físicas que não são propriedades de materiais, mas que podem ser representadas por diádicos. Essas grandezas são definidas dentro do domínio de um fenômeno, sendo variáveis no domínio; participam, pois, do fenômeno, e têm a mesma “estrutura matemática” que certas propriedades do material com o qual, ou no qual, ocorre o fenômeno. Assim, por exemplo, tal como as propriedades físicas denominadas condutividade térmica e a suscetibilidade dielétrica de um cristal piezelétrico podem ser representadas por diádicos, também as deformações que nele surgem quando submetidos a “esforços exteriores” podem ser representadas por diádicos. Não se deve, pois, dispensar a diferença entre o que dois diádicos possam representar: uma propriedade física de um material, ou uma variável no domínio do fenômeno.

§ 04* – NOVOS DESENVOLVIMENTOS COM OS DIÁDICOS § 04.01 – Diádicos simétricos e anti-simétricos Pelos exemplos até aqui apresentados pode transparecer, por exemplo, que um tensor de ordem dois só possa ligar dois vetores (como o tensor condutividade elétrica liga, na forma (4.3.a) o vetor campo elétrico e com o vetor densidade de corrente j). Há, também, diádicos que ligam escalares com diádicos. Como exemplo, temos o caso do diádico expansão térmica de certos cristais, α, que liga o escalar ∆T=variação de temperatura, com o diádico de deformação, ε, através da lei: ε=∆T α. 28 Esses tensores particulares são às vezes denominados tensores cartesianos. 29 Deve ser observado que o inverso não é verdadeiro: nem toda letra indexada representa um tensor. O melhor exemplo disso é a letra M com dois índices para representar o elemento genérico da matriz de mudança de base.

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§ 04* – novos desenvolvimentos com os diádicos

Similarmente, existem também triádicos (tensores de ordem três) ligando vetores com diádicos, como na lei cristalográfica: p= 3D:σ σ (ou Pi=dijkσjk, em notação indexada), onde σ é o diádico das tensões, 3D o triádico módulo piezelétrico (de valência três) e p o vetor "carga de polarização por unidade de área"30. Neste livro faremos considerações apenas aos escalares, vetores e diádicos e, para estes últimos, apenas àqueles que se apresentem nas formas particulares denominadas simétrica e anti-simétrica, que a seguir definiremos. Um diádico K, de coordenadas cartesianas Kij em relação a certo sistema de referencia, é dito simétrico se Kij=Kji qualquer que seja o sistema; é dito anti-simétrico se Kij=-Kji. Isto significa simplesmente que a matriz associada ao diádico simétrico (na referida base) é simétrica; logo, os tensores simétricos apresentam seis coordenadas distintas (no máximo). A matriz associada aos diádicos anti-simétricos é uma matriz anti-simétrica. Um tensor anti-simétrico tem, pois, três coordenadas distintas não nulas (no máximo). Vimos (§03.02) que, sendo K = K ijeˆ i eˆ j a expressão cartesiana do diádico K em relação à base { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }, então K = k jeˆ j (para j=1,2,3) é a sua representação trinomial em relação à mesma base, sendo

k j = K 1jeˆ 1 + K 2jeˆ 2 + K 3jeˆ 3 . Por definição, dado um diádico K escrito em forma trinomial qualquer, o seu transposto – representado por KT – é o diádico que se obtém substituindo-se ordenadamente nessa expressão cada antecedente pelo seu correspondente conseqüente. Assim, K T = eˆ jk j . Logo,

K T = eˆ j (K1jeˆ 1 + K 2jeˆ 2 + K 3jeˆ 3 ) = K ij eˆ jeˆ i = K ji eˆ i eˆ j . Se K era a matriz associada a K então, pelo resultado obtido, a matriz associada a KT deve ser KT. Mas se K=KT, deve ser K = K ijeˆ i eˆ j = K ji eˆ i eˆ j , isto é, Kij=Kji. Resulta, então, que as matrizes associadas a diádicos transpostos são matrizes transpostas e que se um diádico é simétrico sua matriz associada é simétrica, qualquer que seja a base adotada para representá-lo cartesianamente. Precisamente o mesmo raciocínio pode ser aplicado para o caso dos diádicos anti-simétricos e, precisamente, conclusões análogas podem ser conseguidas: as matrizes associadas a diádicos transpostos são matrizes transpostas e que se um diádico é anti-simétrico sua matriz associada é anti-simétrica, qualquer que seja a base adotada para representá-lo cartesianamente. Os diádicos simétricos, especialmente, são da maior importância em Física porque a maioria das grandezas diádicas é representada por diádicos simétricos. Todas as grandezas diádicas já citadas são representadas por diádicos simétricos. Outros diádicos representarão “variáveis de campo”, conceito que será definido e discutido nos capítulos seguintes.

§ 04.02 – Álgebra de diádicos e de matrizes. Dentro das modestas limitações deste livro diremos que a álgebra dos diádicos confunde-se com a álgebra das matrizes (assunto bastante conhecido). Assim, estando os diádicos representados cartesianamente por suas matrizes em relação a um mesmo sistema de coordenadas, somam-se e subtraem-se diádicos como se somam e se subtraem as matrizes. Existe, porém, uma operação particular entre diádicos que tem sua correspondente matricial nem sempre divulgada. 30 Ver bibl. [11], Capítulo VII.

II, § 04.02

§ 04.02 – Álgebra de diádicos e de matrizes.

Dupla multiplicação pontuada de diádicos Sejam dados dois diádicos α e β por suas expressões trinomiais, α = ai eˆ i e β = b jeˆ j , (com i,j=1,2,3), tendo ambas por conseqüentes os vetores de uma base vetorial { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }. Essas representações são sempre possíveis quaisquer que sejam esses diádicos. Chama-se duplo produto pontuado de α por β , e representa-se por α :β β , ao número

α : β = (ai .b j )(eˆ i .eˆ j ) ,

(01),

devendo observar-se que no segundo membro estão estabelecidas duas somas. Sendo o segundo fator no segundo membro o delta de Kronecker δij, tem-se, então (efetuando-se as somas indicadas):

α : β = a i .b i = a1.b1 + ... ,

(011).

Provemos que o número α:β β é, na verdade, um escalar (um tensor de ordem zero). Além das reduções trinomiais já feitas para os diádicos, façamos uma segunda, escrevendo α = rˆi a'i e β = rˆk b' k sendo independentes, evidentemente, os vetores rˆ1 , .... Calculemos com esta nova escrita o novo número α:β β . Temos: α:β = a'i .b'i . Ora,

a i = α.eˆ i = rˆ j (a' j .eˆ i ) e b i = β .eˆ i = rˆk (b' k .eˆ i ) . Então:

a i .b i = (a' j .eˆ i )(eˆ i .b' k )(rˆ j.rˆk ) = (a' j .eˆ i )(eˆ i .b' k )δ jk . Efetuando as somas indicadas, tem-se:

a i .b i = (a' j .eˆ i )(eˆ i .b' j ) , ou melhor, a i .b i = [(a' j .eˆ i )eˆ i ].b' j = a' j .b ' j , o que comprova a assertiva de que α :β β é um invariante. Dupla multiplicação pontuada de matrizes Como calcular o escalar α:β β quando os diádicos são dados em suas formas cartesianas relativas a um mesmo sistema de referência? Sejam [α] e [β] as suas matrizes associadas nesses sistemas. A i-ésima coluna de [α], como temos visto, é formada com as coordenadas de ai em relação ao mesmo sistema de coordenadas; da mesma forma, a i-ésima coluna de [β] é formada com as coordenadas de bi. Então, como o produto escalar ai .bi é igual a A i1 B i1 + A i2 B i2 + A i3 B i3 , concluímos que para i=1,2,3, o escalar α:β β , dado por (01) pode ser calculado efetuando-se a soma de todos os produtos dos elementos correspondentes das matrizes [α] e [β]. Isto sugere a criação da operação de dupla multiplicação pontuada de duas matrizes [α] e [β] com as seguintes definições: Definição 1: Chama-se duplo produto pontuado de duas matrizes [α] e [β] de mesma ordem, e se indica por [α]:[β], ao número que se obtém efetuando-se a soma dos produtos dos elementos correspondentes dessas matrizes. Campos Tensoriais - Ruggeri

§ 04* – Novos desenvolvimentos com os diádicos

Assim, se

A11 A12 A13  B11   [α] = A21 A22 A23 e [β] = B 21 A31 A32 A33 B31

B12 B 22 B 32

B13  B 23  , B33 

então

[α]:[β] = A ij B ij = A11 B11 + A12 B12 + A 13 B13 + A 21 B 21 +...

(i,j=1,2,3),

(02),

uma vez que, no segundo membro estão estabelecidas somatórias em i e em j. Definição 2: A operação de multiplicação pontuada dupla entre duas matrizes de mesma ordem é a operação que tem por fim a determinação do (escalar) duplo produto pontuado dessas matrizes. As propriedades dessas operações são conseqüência imediata das operações entre vetores. Por exemplo: essa operação é distributiva em relação à adição de matrizes (e também de diádicos), isto é, [α] : ([β] + [χ]) = [α] : [β] + [α] : [χ] . A definição 1 aplica-se, também, para as matrizes retangulares. Particularmente, se as matrizes [A1 A 2

A3 ] e [B1 B2 B3 ] , transpostas de matrizes colunas, estão associadas aos vetores a e b em relação à mesma base vetorial, o escalar  A1   B1  A  : B  = A B + A B + A B 1 1 2 2 3 3  2  2  A 3   B3  representa, precisamente, o produto escalar dos vetores.

§ 04.03 – Exercícios. 1 – Um diádico qualquer α = ai eˆ i (i=1,2,3), com conseqüentes independentes, é nulo se todos os seus antecedentes são nulos. Prove que o diádico nulo é único (este diádico é representado por Ο). 2 – O diádico da forma I = eˆ i eˆ i (i=1,2,3) cujos antecedentes e conseqüentes são os vetores de uma mesma base vetorial ortonormada é dito diádico unidade (e é único). Mostre que v.I = v = I.v qualquer que seja o vetor v. 3 - Por definição, dado um diádico qualquer α = ai eˆ i (i=1,2,3) com conseqüentes independentes, chamase escalar de α, e se representa por αE, o escalar α E = eˆ i .a i . Comprove, então que α :Ι = α E , em que I é o diádico unidade. 4 – Por definição, dado um diádico qualquer α = ai eˆ i (i=1,2,3) com conseqüentes independentes, chamase vetor desse diádico α, e se representa por αV, o vetor α V = a i × eˆ i em que × simboliza o produto vetorial de vetores. Comprove, então que a condição necessária e suficiente para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo. II, §04.03

§ 04.03 – Exercícios.

5 – Chama-se terceiro (ou determinante) de um diádico α, escrito em forma trinomial, e se indica por α3, o produto do produto misto dos seus antecedentes pelo produto misto dos seus conseqüentes. Prove que esse número é um escalar (um invariante), isto é, um tensor de ordem zero. 6 - Um diádico é dito incompleto ou completo conforme o seu terceiro seja, respectivamente, nulo e não nulo. Provar que é condição necessária e suficiente para que um diádico seja completo, que se terceiro seja não nulo. 7 – Chama-se produto cruzado do diádico qualquer α = a i eˆ i pelo vetor v, pela direita, e se indica por α × v , o vetor α × v = a i (eˆ i × v) . Qualquer que seja α, α × v é sempre incompleto. 8 – Comprove para qualquer φ e quaisquer vetores a e b, que: φ × (a × b) = φ.(ba − ab) ;

φ × (a × b) = −[(a × b) × φ T ]T ; φ.(a × b) = a.b × φ T ;

b × (a × φ) = −(a.b)φ + a(b.φ) ; (φ × a) V = −(−φ T + φ E I).a e

(φ × a) E = a.φ V ;

9 – O duplo produto cruzado de dois diádicos: α = eˆ i a i e β = eˆ jb j (i,j=1,2,3), é definido de modo análogo ao duplo produto pontuado, bastando trocar : por ×× . Assim: α ×× β = (eˆ i × eˆ j )(a i × b j ) para i,j=1,2,3. a) Demonstre que α ×× β é único (invariante), isto é, um tensor; b) - Se α está dado, determine um β , tal que o duplo produto cruzado deles seja o diádico nulo, isto é, α ×× β = Ο . 10 – Demonstre que φ ×× Ι = −φ T + φ E Ι , qualquer que seja φ. 11 – Chama-se produto pontuado dos diádicos α = a i eˆ i e β = eˆ jb j com (i,j=1,2,3), nessa ordem, e se indica por α .β β o diádico α .β = a i (eˆ i .eˆ j )b j . Provar que esse produto é um tensor e mostrar que

α:β = (α.β T ) E = (α T .β) E = (β.α T ) E = (β T .α ) E . 12 – Sobre o escalar e o vetor do duplo produto cruzado dos diádicos quaisquer φ e ψ, mostrar que

(φ ×× ψ ) V = φ.ψ V + ψ .φ V ; (φ ×× ψ ) E = φ E ψ E − (φ.ψ ) E 13 – Duplos produtos com mais de três diádicos: mostrar que

φ : ψ ×× χ = φ ×× ψ : χ ; φ : φ ×× φ = 6φ 3 . 14 – Chama-se norma de um diádico α, e se representa por ||α α|| o duplo produto pontuado desse diádico por si próprio. Então: || α ||= α :α . Provar que a norma de um diádico é um número positivo, e só será nula se esse diádico for o diádico nulo. Determine as normas dos diádicos unidade e nulo.

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§ 04* – Novos desenvolvimentos com os diádicos

15 – Chama-se módulo de um diádico não nulo α, e se indica por |α α|, a raiz quadrada positiva de sua norma. Dados dois diádicos α e β , demonstre que eles definem um ângulo cujo co-seno vale o duplo produto pontuado deles dividido pelo produto das raízes quadradas dos seus módulos, isto é,

−1 ≤

α :β ≤1. | α || β |

16 – Estude as normas de duplos produtos de diádicos simétricos e anti-simétricos. 17 – Se ei, para i=1,2,3, são três vetores não coplanares (ou independentes) quaisquer, demonstre que existe sempre o terno ei – dito recíproco com o primeiro - , tal que ei.ej=δij sendo δij=1 para i=j e δij=0 para i≠j (isto é: δ11=δ22=δ33=1 e δ12=δ23=δ31=...=0). 18 – No §04.02 (letra b) foi definido o vetor f, produto do diádico K pelo vetor e, pela direita. Consideremos uma expressão geral do mesmo tipo que a anterior,

f = φ.nˆ em que f é vetor, nˆ vetor unitário variável e φ um diádico que não dependa nem de f nem de nˆ . Se, porém, para dados nˆ i independentes, com i=1,2,3, se conhecerem os seus correspondentes fi, então φ = f i n i , expressão em que os ni são os recíprocos dos nˆ i . 19 – Comprove que as derivadas dos vetores do triedro de Frenet (ver §06.01,I) podem ser escritas em função desses mesmos vetores na forma:

  1 0 0   ˆ  ˆ t  R   t   d nˆ = − 1 0 − 1  nˆ  . ds    R R t   bˆ  ˆ  b     0 1 0   Rt   20 – Seja [φ φ] a matriz associada ao diádico φ em relação a certa base vetorial e [φ φ]~ a matriz cujos elementos sejam os co-fatores dos elementos correspondentes de [φ φ] extraídos de det[φ φ]. A [φ φ]~ corresponde um ~ diádico que denotamos por φ . Demonstre que, tal como ocorre com as matrizes, a seguinte igualdade diádica é satisfeita: φ.φ φ~=φ φ~.φ φ=|φ φ| I. O diádico φ~ é dito o adjunto de φ (devendo observar-se que o adjunto de φ~ não é φ). 21 - Ao diádico completo, φ, está associada uma matriz (não degenerada) que admite inversa. A essa matriz inversa está associado um diádico que, denotado por φ-1, satisfaz a seguinte igualdade: φ.φ φ-1=φ φ-1.φ φ=I. Os -1 diádicos φ e φ são ditos inversos (um é o inverso do outro).



II, §04.03

CAPÍTULO III

CONCEITO DE CAMPO § 01 – DEFINIÇÃO DE CAMPO. Diz-se que uma dada região do espaço (ou domínio) é campo de uma propriedade G (ou grandeza G) quando a cada ponto P dessa região e a cada instante t está associado um valor de G segundo a lei dada:

G = G(P, t) ,

(01),

suposta continua e unívoca de P e t, bem como suas derivadas até a ordem que se necessitar. Por um pequeno defeito de linguagem, às vezes se confunde a propriedade com o campo dizendo-se: seja o campo G; mas isso não trará confusão ao leitor. Quando a propriedade associada ao ponto é independente do tempo, mas não do ponto, a lei (01) que a representa é dita uma função de ponto e o campo é dito estacionário. No caso contrário, diz-se que a lei é função do ponto e do tempo e o campo é transiente ou não estacionário. A região do espaço referida na definição de campo – o campo, propriamente - é o domínio do fenômeno (§03 e 04, I) e estes devem ser dados, matematicamente definidos, sempre que possível. A propriedade G a que se refere a definição são as "qualidades" do fenômeno (ver Introdução), ou seja, grandezas físicas que nele são postas em jogo. É costume fazer-se referência ao campo pela propriedade, sem mencionar-se o domínio que, em geral, já está (por evidência) estabelecido. Diz-se, por exemplo: o campo de temperaturas é T=T(x,y,x,t); ou, consideremos o campo elétrico E(P,t) etc.. A função (01) também está dada, isto é, de alguma maneira já esta determinada uma das leis que rege o fenômeno em estudo. Em outras palavras, já empregando os termos de costume: pelos campos existentes num domínio (em que existem tais campos) tem-se a intenção de compreender de uma forma mais didática e mais técnica os fenômenos que nele ocorrem. Nestas condições, o campo poderá ser: escalar, vetorial, diádico ou, genericamente, um campo poliádico. Assim, a lei (01) poderá ser uma função de valor escalar (ou um poliádico de valência zero). Poderá ser, também, uma função de valor vetor (ou poliádico de valência um), ou as três funções de valor escalar em que se desdobra o vetor; ou uma função de valor diádico que pode desdobrar-se em três funções de valor vetor (bastando ter-se o diádico em forma trinomial), ou em nove funções de valor escalar (quando o diádico está expresso em forma cartesiana). No âmbito da Matemática esses conceitos tornam-se mais gerais: a propriedade associada ao ponto poderá ser de qualquer natureza (geométrica, como: distância, potência, ângulo etc.) e o domínio poderá ter qualquer dimensão finita, mas a variável “tempo” não recebe destaque especial, como em Física. Nesta abordagem introdutória da Teoria dos Campos interessa-nos, particularmente o estudo dos campos das grandezas físicas. O campo (ou o domínio) poderá ser o espaço ocupado por um corpo (uma massa material, como o corpo de um cristal), ou o espaço que envolve o corpo (como o que envolve o planeta Terra). As grandezas físicas poderão representar "propriedades de um material", ou ser "variáveis postas em jogo" nos fenômenos que ocorrem com esse material. O conceito de campo de uma grandeza apresenta, em Física, notável utilidade uma vez que a matéria é suposta continua. Nesse caso é possível aceitar-se a idéia de que funções que representem grandezas (como: temperatura, pressão, massa específica, velocidade etc.) não possam estar associadas a um ponto e num instante de forma: a) – descontinua. Pois não caberia, por exemplo, afirmar que entre dois pontos muito próximos, digamos, numa massa líquida, onde as temperaturas são 20°C e 20,05°C, existe um terceiro ponto onde a temperatura é indeterminada;

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§ 02 – Classificação dos campos

b) – plurívoca. Pois isso permitiria afirmações do tipo: "Num certo instante, a temperatura num ponto de uma massa líquida é de 20°C e, também, de 30°C”. Alem disso, sendo contínua a função (01), o valor de G fica sempre limitado31 em todo ponto do domínio; o que é necessário fisicamente para não se permitir afirmação do tipo: "a pressão nas vizinhanças de um ponto cresce acima de qualquer limite". Importa ressaltar: 1°) – que a lei (01) é unívoca no sentido P → G, mas não o é geralmente em sentido contrário. Em outras palavras, dado um ponto P do domínio, a ele está associado o valor G dado por (01); mas dado um valor de G, não é possível, geralmente, determinar-se o ponto (único) ao qual esteja associado o valor G. Pode, com efeito, existir até uma infinidade de pontos com o mesmo valor G (como veremos no §02 do Capítulo IV); 2°) – que a um mesmo ponto podem estar associadas várias grandezas (escalares, vetoriais e diádicas), desde que sejam de diferentes naturezas (massa específica, distância, pressão velocidade, condutividade elétrica etc.), pois, do contrário, o requisito da univocidade da função (01) não estaria preenchido. Finalmente, observemos que, conforme a natureza das grandezas envolvidas em determinado fenômeno, as funções (01) que definem essas grandezas devem ser de classe32 N em relação às variáveis espaciais (x, y e z) e geralmente, de classe dois em relação ao tempo. Oportunamente apelaremos para esta hipótese (final §10, por exemplo).

§ 02 – CLASSIFICAÇÃO DOS CAMPOS. Relativamente ao tempo, um campo é classificado como estacionário e não estacionário (ou transiente), conforme a propriedade que o caracteriza seja independente ou dependente do tempo. A segunda característica que distingue um campo é a natureza (ou a ordem) da propriedade que o caracteriza, podendo ser: escalar, vetorial e diádica33. Uma terceira característica de um campo é a quantidade de parâmetros de que ele depende, e que define a sua dimensionalidade. Nem sempre, porém, o número de coordenadas do ponto genérico do campo é igual à da dimensão do domínio em que ocorre o fenômeno (§ 03 e 04, I). Assim, um campo pode ser bidimensional (logo, bi-paramétrico) e seus pontos serem definidos por três coordenadas (ver exemplo 5 à frente). A rigor, recordando o que já foi mencionando (Cap. I), todos os campos ocorrem no espaço físico tridimensional e são tridimensionais (ou triparamétricos); mas em variadas situações na abordagem de problemas concretos de física e engenharia, certas idealizações (aproximações da realidade) permitem conceber certos fenômenos realizando-se no espaço físico unidimensional (como o escoamento de um fluido por uma tubulação longa de pequeno diâmetro), ou no espaço físico bidimensional, os resultados (ou previsões de eventos) advindos dessas aproximações sendo praticamente concordantes com as observações34. Outras vezes, mais raras, num mesmo fenômeno, o campo de uma grandeza pode ser bidimensional e o campo de outra, tridimensional. Supondo que o domínio de certo campo fosse unidimensional e definido por certa linha L (§04.01,I) de equações paramétricas X=X(λ), Y=Y(λ) e Z=Z(λ), qualquer propriedade associada ao ponto genérico P≡(X,Y,Z) do campo, na forma (01), dependerá, evidentemente, de um parâmetro de posição (λ, no caso) além do tempo, seja ela uma propriedade escalar, vetorial ou diádica.

31 Toda função contínua num ponto é limitada nesse ponto (veja Tibiriçá, bibl. 10, p.108, §2, item 34.3). 32 Diz-se que uma função é de classe N em relação a um grupo de variáveis quando ela e suas N primeiras derivadas são funções contínuas e unívocas dessas variáveis. 33 A ordem do tensor é uma característica intrínseca da propriedade. 34 As diferenças de resultados que se obtêm considerando o domínio do campo como tridimensional e com menor dimensão (uma ou duas) são, em muitas situações, praticamente insignificantes, podendo e devendo ser avaliadas experimentalmente.

III, §02

§ 02 – Classificação dos campos.

Raciocínio análogo será feito para mostrar que se o domínio de um campo é bidimensional (§04.02,I) – logo, de ponto genérico definido por X=X(U,V), Y=Y(U,V) e Z=Z(U,V) - então a propriedade associada depende de dois parâmetros (além do tempo). Podemos, assim, fazer uma classificação dos campos conforme o quadro sinóptico abaixo:

  Estacionário TempoTransiente  Escalar  Classificação dos campos Natureza da propriedadeVetorial Diádica   1D ou uniparamétrico Domínio do fenômeno 2D ou biparamétrico  3D ou triparamétrico  Para tornar mais prática a classificação, poder-se-ia detalhar um pouco mais a parte geométrica sempre que o domínio (o campo, enfim) tivesse uma forma conhecida, o que é o caso mais comum. Assim, um domínio unidimensional poderia ser retilíneo ou curvilíneo, e neste último caso sua curva poderia ser plana ou reversa (espacial). Nesse caso falaríamos de um campo estacionário ou transiente, escalar, vetorial ou diádico, retilíneo ou com uma curva especificada (uma circunferência, uma hélice etc.). O mesmo procedimento poderia ser adotado para a especificação dos campos 2D e 3D. Mais prático e útil, ainda, seria utilizar nomenclaturas de uso consagrado seja na Física ou na Engenharia (sem nunca perder de vista as nomenclaturas próprias da Matemática). Os domínios 1D em engenharia (§04.01,I) costumam ser denominados: barras (se rígidos) ou cabos (se flexíveis). As barras podem ser retilíneas ou curvilíneas (como as “molas”); os cabos em geral assumem a forma de um arco de catenária e têm seção circular (como nas pontes penseis). Os domínios 2D chatos (no sentido físico), ou planos (no sentido matemático), em algumas situações, são denominados “placas” (como uma laje, nas estruturas de engenharia). Os domínios 2D curvos (no sentido físico), ou em forma de superfície (no sentido matemático), são “membranas” ou “cascas” na engenharia (§04.02,I). Neste último caso poderiam ter forma cônica, cilíndrica (de seção reta circular ou elíptica, como os tanques nas refinarias) e de outras quádricas (esférica, como um reservatório de gás; elipsoidal; paraboloidal, como alguns “tetos”; hiperboloidal, como algumas “chaminés” etc.). Um tubo em forma de anel seria um toro, uma superfície axi-simétrica. Alguns domínios podem ser representados no sistema cilíndrico em função das coordenadas r e z apenas, e são ditos axi-simétricos. Os domínios 3D chatos são os “blocos” e assumem formas poliédricas (piramidais, prismáticas etc.). Os domínios 3D curvos (§04.03,I)) são os corpos maciços cuja superfície exterior é curva, como o gancho ligado ao cabo de um guindaste, uma turbina com seu eixo e suas pás (de uma hidrelétrica, de um navio, de um avião), o virabrequim de um motor, algumas ferramentas, elementos diversos de um mecanismo etc.. Poderíamos, então, classificar os campos de uma forma mais ampla e prática seguindo a tabela apresentada em apêndice no final do capítulo. Faremos referência, pois, a campo escalar estacionário e unidimensional (na reta, na curva plana, ou na curva espacial), campo vetorial não estacionário e bidimensional bi-paramétrico (num plano, ou sobre uma superfície) etc.. Em qualquer um dos casos o ponto genérico do domínio poderá ser definido por uma, duas ou três coordenadas, estas sendo funções de tantos parâmetros quantos forem a sua dimensão. Quanto à possibilidade da existência de campos de diádicos uni, bi ou tridimensional nada se pode dizer por enquanto; tal questão será abordada no §5.

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§ 03 – Exemplos de campos.

§ 03 – EXEMPLOS DE CAMPOS. Alguns exemplos reais de campos ajudarão a compreender melhor e mais rapidamente os conceitos até aqui introduzidos, talvez ainda um pouco subjetivos.

Exemplo 1: um campo de distâncias Imaginemos um ponto O, fixo no espaço, que tomamos para origem de um sistema triortogonal de coordenadas O-XYZ. A cada ponto P do espaço, de coordenadas (X,Y,Z), é possível associar sua distância r ao ponto O, dada através da lei

r = + X 2 + Y2 + Z2 . Essa função é contínua e unívoca para qualquer terno (X,Y,Z) de números reais. Logo, o espaço que envolve o ponto O (no qual se inclua o próprio ponto O) constitui um campo da propriedade: "distância ao ponto O". Tal campo é estacionário, escalar e tridimensional (r é função de três parâmetros: as próprias coordenadas do ponto). Mas a fronteira do domínio desse campo de distâncias ainda não está especificada. Se X, Y e Z forem funções de um parâmetro λ que variem entre os limites conhecidos A e B, o campo distância será estacionário, escalar e unidimensional. O domínio desse campo será, um arco de curva espacial, curva plana, eventualmente um segmento de reta, cuja fronteira estará definida pelos valores A e B. Se X, Y e Z forem funções de dois parâmetros, o campo distância será estacionário, escalar e bidimensional; e o domínio será um fragmento de superfície, eventualmente um fragmento de plano cujas fronteiras serão definidas pelos limites de variação dos parâmetros. Qual seria o domínio do campo (estacionário, escalar e bidimensional) de distância em que X=Rcosθcosφ, Y=Rcosθsenφ e Z=R? Fixe alguma fronteira para o mesmo. Qual seria o domínio do campo de distâncias, definido como o anterior, porém com Z≤R?

Exemplo 2: o campo gravitacional terrestre Em Física, o chamado campo gravitacional terrestre é a região do espaço que envolve a Terra, a cada ponto P do qual está associada a seguinte propriedade: qualquer corpo de massa M, ali abandonado, é atraído para o centro O da Terra com uma força que é proporcional a M e inversamente proporcional ao quadrado da distância r que separa o ponto do centro da Terra. Em outras palavras, ao ponto em questão está associado um vetor força, f, mediante a lei:

f = −k

M uˆ , r2

(r≠0),

onde k é um escalar constante e uˆ é o vetor unitário de direção OP e sentido de O para P. Pelo exemplo 1, r depende de três parâmetros. Como vetor unitário uˆ , variável, por ter a direção OP, pode ser expresso em função das coordenadas do ponto (que definem r), resulta que esse campo de força é estacionário, vetorial e tridimensional (porque o campo r assim o é, conforme exemplo 1).

Exemplo 3: o campo das velocidades de um líquido em escoamento Consideremos um reservatório cilíndrico cheio com um líquido (água, por exemplo), munido de um registro fechado, instalado em sua parte inferior, e dentro do campo gravitacional terrestre. Em todos os pontos da massa líquida, grandezas escalares (como temperatura e pressão) e grandezas vetoriais (como a força de atração gravitacional sobre cada partícula de água, velocidades de partículas etc.) podem ser associadas a cada ponto do espaço ocupado pelo líquido (o domínio do fenômeno que nos interessa).

III, §03

§ 03 – Exemplos de campos.

Assim, ficam definidos campos escalares e vetoriais suas expressões matemáticas sendo conhecidas na Mecânica dos Fluidos. Se admitirmos que a temperatura seja constante em toda a massa líquida, diremos que o campo das temperaturas é uniforme (a temperatura não varia com o ponto)35. Também é uniforme o campo das forças gravitacionais existentes nessa região, pois diferem muito pouco as distâncias que separam cada partícula do centro da Terra, bem como as direções dessas forças (que poderiam ser consideradas praticamente paralelas). A abertura do registro fará com que cada partícula líquida, por ação da força da gravidade relativa ao ponto em que ela se encontra, entre em movimento, caracterizando o escoamento do líquido (o fenômeno). A cada ponto P do espaço interior à massa líquida em movimento (do domínio do fenômeno) estarão associados, em cada instante, o vetor velocidade e a pressão que cada partícula líquida adquire ao passar por ali; o campo das pressões e o campo das velocidades serão, pois, transientes. Intuitivamente percebe-se, relativamente às dimensões, que tais campos são tridimensionais. Se o escoamento foi realizado com nível constante (por admissão de líquido ao reservatório à mesma taxa do escoamento), ocorrerá, nos primeiros instantes após a abertura do registro, um regime transiente para as velocidades (pois estas eram nulas inicialmente); ocorrerá logo uma estabilização, ficando associado a cada ponto, a partir de então, o mesmo vetor velocidade (mas vetores diferentes para pontos diferentes). Estabelece-se desse modo, no "espaço líquido" (no domínio), um campo estacionário de velocidades, ainda tridimensional. Por este exemplo real percebe-se com facilidade que os campos transientes alteram-se a todo instante, contrariamente aos estacionários ou permanentes que, como os próprios nomes sugerem, uma vez instalados, conservam-se no tempo.

Exemplo 4 – um campo tridimensional de temperaturas Imaginemos no espaço um corpo esférico, de raio R e centro O, dotado de grande quantidade de calor, mantido à temperatura constante, θ0, corpo esse que aquece o espaço (o fenômeno). O espaço que envolve esse corpo (o domínio do fenômeno, digamos uma esfera de raio A) é um campo de temperaturas. Não vamos nos preocupar com importantes considerações que poderiam ser feitas sobre o fenômeno de aquecimento do espaço (como o de o espaço ser homogêneo e isótropo, a presença de atmosfera etc.). Pretendemos, porém, determinar a lei de distribuição das temperaturas no domínio supondo que a queda de temperatura da superfície do corpo (uma superfície esférica) para o ponto genérico P do espaço distante r do centro do corpo, θ0-θ, seja proporcional à distância PO=r-R. Deduzimos, imediatamente: Queda de temperatura=θ0-θ=K(r-R), onde K é uma constante de proporcionalidade dada em °C/m. Vê-se, assim, que se for θ0=constante, tal campo escalar (o campo θ, como se diz habitualmente) variará apenas com r, seu domínio sendo tridimensional (porque o de r o é). Como r é independente do tempo, o campo é estacionário.

Exemplo 5 – Um campo unidimensional de temperaturas. O espaço (o domínio) que envolve um fio retilíneo de pequena espessura, de comprimento "infinito" (modo matemático de expressar que o fio tem comprimento muito maior que sua espessura), uniformemente aquecido, com alta temperatura θ0, é sede de um campo de temperaturas. Pretendemos caracterizar esse campo supondo que a temperatura em cada ponto P do domínio dependa apenas de sua distância r ao eixo do fio. Da hipótese concluímos imediatamente que a todos os pontos de uma mesma reta s paralela ao eixo do fio esta associada a mesma temperatura (o eixo é uma direção preferencial do domínio). 35 A palavra uniforme é, aqui, usada com o significado de não variável com o ponto. Não se deve confundir campo uniforme com função unívoca (às vezes denominada uniforme), característica de (1.1). Campos Tensoriais - Ruggeri

§ 03 – Exemplos de campos.

Então, aos pontos de uma mesma superfície cilíndrica de seção circular de raio r está associada a mesma temperatura (Figura III,1). Em vista dessa simetria de distribuição de temperaturas em relação ao eixo do fio, podemos concluir serem idênticas estas mesmas distribuições sobre planos perpendiculares ao eixo e do fio; planos esses todos paralelos. Estamos, assim, em presença de um campo escalar, 1D e estacionário. Esse domínio tem natureza cilíndrica e para caracterizá-lo parametricamente é apropriada a adoção de um sistema cilíndrico de coordenadas (§04.01,I) tendo o eixo do fio como, digamos, eixo dos z, mas como visto, θ não depende de z. No plano ortogonal a z, adotando-se uma direção OX arbitrária para se medirem os ângulos θ, os pontos da superfície cilíndrica que contem P terão as coordenadas (cilíndricas) r, θ, Z, os Z sendo medidos a partir de uma origem arbitrária fixada, r sendo comum a todos os pontos. Como nesse plano genérico a temperatura nos seus vários pontos não depende de θ, mas só de r, podemos escrever: θ-θ0=Kr , com K=constante (em °C/m). Vemos, assim, pela expressão matemática da lei, que θ depende de apenas um parâmetro: r. Assim, o campo é estacionário, escalar e 1D.

Exemplo 6 – O escoamento no vertedouro de uma barragem. Nas aplicações da Física à Engenharia, os campos planos (2D sem curvatura) e axiais (1D sem curvatura), escalares ou vetoriais, são muito comuns, mas surgem sempre como conseqüência de hipóteses aceitáveis, válidas de modo aproximado (aceitáveis do ponto de vista prático) e que visam simplificar o tratamento matemático de certas questões (conforme frisamos no § 02). Esse modo prático de proceder é amplamente visualizado no escoamento da água nos vertedouros de barragens, conforme ilustrado pela Figura III.2. Devemos aceitar que o escoamento seja idêntico em qualquer plano paralelo ao plano XY (qualquer fluxo na direção ortogonal ao plano XY é desprezível), o que caracteriza o domínio como 2D chato. Nesses planos, especificamente, aceitamos ainda a idéia de que à distância X>A, à montante da barragem, o campo das velocidades das partículas seja uniforme (todos os vetores velocidade são iguais). Entretanto, sobre a ogiva do vertedouro (X<0), o campo das velocidades é 1D retilíneo (ai todos os vetores são também, iguais). Para 0<X<A, a influência da barragem no escoamento consiste em provocar uma pequena perturbação na distribuição das velocidades (constantes) existentes para X>A, tornando esse campo, ai, não uniforme, mas ainda, 2D chato. Para X>A a lei de correspondência da velocidade com o ponto é v=constante e, no caso, v = − vˆi , se ˆi for um vetor unitário ligado ao eixo X e de sentido contrário ao fluxo; para X<A não se conhece a lei, mas é possível fazer determinações experimentais com relativa facilidade. Na outra extremidade da ogiva do vertedouro ocorre uma perturbação no fluxo 1D retilíneo e uniforme já caracterizado, mas não o discutiremos aqui.

Exemplo 7 – Campo magnético produzido por corrente elétrica. Quando uma corrente elétrica de intensidade constante, i, percorre um fio retilíneo36, o espaço que envolve o fio passa a ser sede de um campo magnético (um campo vetorial), a cada ponto do qual podendo associar-se um vetor h (Figura III,3), denominado tradicionalmente campo magnético, cujo módulo é a intensidade do campo magnético. Esse vetor, h, é dado pela lei:

Ai ˆ k ×r R2

(R≠0),

36 Estamos examinando uma situação particular (fio retilíneo), mas, recorrendo a outras considerações, o problema tem solução numa situação qualquer.

III, §03

§ 03 – Exemplos de campos.

onde, conforme ilustrado na Figura III.3, R é a distância do ponto P ao fio, r é o vetor posição de P, kˆ é o unitário da direção definida pelo fio e A é uma constante. Tomando o eixo do fio como eixo OZ (de unitário kˆ ) de um sistema de referência, os eixos OX de unitário ˆi e OY de unitário ˆj estarão, evidentemente, num plano ortogonal a OZ conduzido por O (formando um triedro direto); e poderemos escrever:, sucessivamente:

P − O = r = Xˆi + Yˆj + Zkˆ , R2=X2+Y2, e para R≠0,

ˆi Ai h= 0 X2 + Y2 X

ˆj kˆ 0 1 = Y Z

Ai ( − Yˆi + Xˆj) . X2 + Y2

Vemos, assim, que o campo h é bidimensional. Se a corrente for variável com o tempo, o campo h continuará sendo bidimensional, porém, não estacionário. Observação: Na definição de campo (§01) ficou bem caracterizada a necessidade da continuidade da lei (01), da qual apresentamos sete exemplos. No estudo de algum fenômeno poderão ocorrer campos com pontos, linhas e superfícies de descontinuidade. Por exemplo: ocorre descontinuidade nos campos vetoriais seguintes: do exemplo 2, para r=0 e do exemplo 7, para R=0. Tais pontos, linhas e superfícies devem ser isolados, razão pela qual introduzimos as restrições r≠0 no exemplo 2 e R≠0 no exemplo 7. Nesses casos esses campos devem ser estudados "nas vizinhanças desses pontos" onde ocorre descontinuidade.

Exemplo 8* – O campo dos deslocamentos na Teoria da Elasticidade. O sólido real - antagônico do corpo rígido da Mecânica Racional - deforma-se (constituindo um fenômeno) quando sujeito à ação de esforços. O espaço D ocupado pelo sólido antes do início das deformações (o domínio) transforma-se num domínio D' depois de cessadas as deformações. Para dado sólido e para dado conjunto de esforços, será possível, assim, fazer corresponder a cada ponto P de D um vetor deslocamento, PP' , que liga P ao ponto P’ de D’. Se o sólido tem estrutura contínua e o deslocamento de D para D' se faz de modo contínuo, fica definido em D, pelo vetor PP' , um campo de deslocamentos. Referindo o espaço a um sistema fixo de referência O-XYZ, de vetores de base direta {î , ˆj, kˆ } , escrevemos: r = Xî + Yˆj + Zkˆ e r ′ = X ′î + Y ′ˆj + Z′kˆ . Supostas conhecidas as "funções deslocamento" U, V e W - coordenadas do vetor deslocamento ∆=r'-r - vem: U=X'-X=U(X,Y,Z,t),

V=Y'-Y= V(X,Y,Z,t)

W=Z'-Z= W(X,Y,Z,t).

O campo ∆ é de suma importância no estudo das deformações em Teoria da Elasticidade; é não estacionário e tridimensional (podendo, em muitos casos, ser considerado plano).

Exemplo 9* – O campo do tensor das tensões. Quando um sólido real está sujeito à ação de forças, os deslocamentos dos seus pontos (conforme visto no exemplo 8) são acompanhados de esforços que se desenvolvem entre partículas do próprio sólido (esforços internos) – como uma reação - e que tentam restabelecer a sua forma original (esse é o fenômeno).

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§04* – Campos de diádicos simétricos

Se em torno de um ponto P' do sólido deformado (Figura II.4) se considera um fragmento de plano de área dS cuja normal seja definida por um vetor unitário (dado) nˆ , a resultante das forças inter-partículas (do sólido) cujos suportes atravessem o elemento dS, por unidade de área, definirá o vetor tensão no ponto P, escrevendo-se:

df r . σn = dS r O vetor σ n está, pois, associado à direção nˆ no ponto P, e a cada nˆ corresponderá r r um σ n . Então, σ n depende de P e de nˆ (ou seja, de 5 parâmetros). Decompondo-se r o vetor σ n em relação a uma base ortonormada { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }, escrevemos:

r σ n = σ n eˆ 1 + σ n eˆ 2 + σ n eˆ 3 = σ n eˆ i , onde σ n = σ n ( X, Y, Z, t ) são funções conhecidas. 1

r r r Demonstra-se na Teoria da Elasticidade que se são conhecidos três vetores tensão, digamos σ1 , σ 2 e σ 3 , em torno de um ponto P do sólido, cada um relativo a uma direção definida por um vetor unitário nˆ i (i=1,2,3) direções essas que podem ser consideradas ortogonais entre si, mas quaisquer - então é possível determinar, em r ˆ . Como a cada vetor nˆ i corresponde P, o vetor tensão σ relativo a qualquer outro elemento plano de normal m r r um vetor σ i podemos definir com eles um diádico Σ = σ inˆ i - denominado diádico de tensões do ponto P - já escrito em forma trinomial (§03.02,II) porque os nˆ i são não coplanares. Vê-se, assim, que o corpo em si é campo em geral estacionário e tridimensional de um diádico simétrico Σ. Conforme a Teoria da Elasticidade (e ˆ . Assim, o corpo é, ainda, campo lembrando operação de multiplicação pontuada entre diádico e vetor): σ = Σ. m dos vetores σ, em geral estacionário, mas 5D porque depende das 3 coordenadas do ponto e de dois parâmetros ˆ . para caracterizar m Se decompusermos cada um dos vetores tensão (os conhecidos, σk, e o desconhecido, σ) em relação à r r base { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }, isto é, se σ k = σ kjeˆ j , σ = σ i eˆ i e se m ˆ = M p eˆ p , então:

 σ1   σ11 σ12 σ13   M 1       σ 2  = σ 21 σ 22 σ 23 . M 2  ,  σ  σ σ σ   M   3   31 32 33   3  expressão em que (prova-se, também, na Teoria da Elasticidade) σij=σji, isto é, a matriz 3x3 é simétrica. Demonstra-se, ainda, que numa transformação ortogonal de coordenadas, as tensões σij se transformam segundo o "regime tensorial" ((04).a, ou (05).a,§03.02,II), o que permite caracterizá-las como as "coordenadas de um tensor simétrico de ordem dois" (§03.02,II). Campos Diádicos

§04* – CAMPOS DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS §04.01 – Características geométricas. Suponhamos que, em relação a um sistema cartesiano ortogonal fixo, direto, de origem O, eixos OXi (i=1,2,3) e vetores unitários respectivos eˆ i , se possa fazer corresponder a cada ponto P do domínio de um fenômeno (como no exemplo 8), segundo uma lei qualquer dada, um diádico simétrico, S, representado por sua matriz associada  S11 S12 S13    S = S 21 S 22 S 23  (Sij=Sji). S S S   31 32 33 

II, §04.01

§04.01 – Características geométricas.

Seja nˆ k o unitário de dada direção que tem por co-senos diretores os números Nki; escrevemos:

 N k1    nˆ k = N ki eˆ i em forma vetorial e {nˆ k } =  N k2  em forma matricial, N   k3 

(01),

 N k1    . N k2  = N k1 2 + N k2 2 + N k3 2 = 1 , N   k3 

(02).

com

{nˆ k

}T .{nˆ

[

= N k1 N k2 N k3

]

Definições: 1 - Denominaremos projetante do diádico S em relação à direção nˆ k , o vetor p k = Pki eˆ i

definido pela expressão:

 Pk1    {p k } =  Pk2  = S.{nˆ k } = {nˆ k }T .S , P   k3 

(03);

2 – Denominaremos coordenada radial do diádico S em relação à direção nˆ k , e a denotaremos por ρk, a projeção de sua projetante relativa nˆ k sobre nˆ k , isto é:

ρ1 = p1.nˆ 1 = {nˆ 1 }T .S.{nˆ 1 },

ρ 2 = p 2 .nˆ 2 = {nˆ 2 }T .S.{nˆ 2 }, etc.,

(04);

3 – Denominaremos ainda, componente transversal do diádico S em relação à direção nˆ k , e r a denotaremos por τ k , o vetor que somado ao vetor ρk nˆ k restitui o vetor pk, isto é:

r τ1 = p1 − ρ1nˆ 1 ,

r τ 2 = p 2 − ρ 2 nˆ 2

etc.

(05).

É evidente que para qualquer k=1,2,3:

pk 2 = ρk 2 + τk 2 ,

(06).

Consideremos agora, pelo ponto P, três direções definidas pelos unitários nˆ 1 , nˆ 2 e nˆ 3 ortogonais entre r si. A componente transversal do diádico relativa a nˆ k (para k=1,2,3), τ k , por ser ortogonal a nˆ k , será paralela r ao plano definido por nˆ i e nˆ j se i≠j≠k≠i; sendo possível, então, decompor-se τ k nas direções nˆ i e nˆ j . Tem-se, denotando por τki e τkj aquelas componentes:

p1 = ρ1nˆ 1 + τ12 nˆ 2 + τ13nˆ 3 ,

p 2 = τ12 nˆ 1 + ρ 2 nˆ 2 + τ 23nˆ 3

etc.

(07),

sendo, evidentemente:

τ kr = nˆ r .p k = {nˆ r }T .S.{nˆ k } ,

(k,r=1,2,3)

(08).

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§04* – Campos de diádicos simétricos.

Tem-se ainda, lembrando que S=ST:

τ kr = {nˆ r }T .S.{nˆ k } = {nˆ k }T .S.{nˆ r } = τ rk ,

(k,r=1,2,3)

(09).

Definição: r Denominaremos as coordenadas τki e τkj da componente transversal τ k do diádico S relativo à

direção nˆ k de coordenadas transversais parciais de S em relação a nˆ i e nˆ j . Concluímos: O diádico simétrico S apresenta, no ponto genérico do seu campo, em relação a três direções ortogonais conduzidas por esse ponto: três coordenadas radiais (uma correspondente a cada direção) e três pares distintos de coordenadas transversais parciais, cada par correspondendo-se com um par de direções ortogonais distintas. As seis expressões (04) e (08) podem ser escritas simultaneamente na forma matricial compacta:

[S] n = [ M ].[S].[ M ]T ,

(10),

em que

 ρ1 τ12 τ13    [S] n =  τ 21 ρ 2 τ 23  , τ τ ρ   31 32 3 

S11 S12 [S] = .S21 S22 S31 S32

S13  S23  S33 

 N11 N12 N13    [ M ] =  N 21 N 22 N 23  , N N N   31 32 33 

(11).

As matrizes têm significado claro: [S]n e [S] são, respectivamente, as expressões do diádico S em relação aos vetores de base (direta) nova { nˆ 1 , nˆ 2 , nˆ 3 } e { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }, a base antiga; e [M], a matriz de mudança da base antiga para a base nova, a sua j-ésima linha sendo formada com as coordenadas do vetor de base nˆ j em relação à base antiga (§03.02,II). A expressão (10) é, então, a própria lei do "regime tensorial" segundo o qual devem se transformar as coordenadas de S. É evidente, então, que quando os vetores nˆ 1 , nˆ 2 e nˆ 3 forem paralelos a eˆ 1 , eˆ 2 e eˆ 3 , respectivamente, a matriz [S]n se identifica com a [S]. Concluímos:

"Os elementos da diagonal principal da matriz [S] associada ao diádico S do ponto P do campo (da grandeza S), em relação à base { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }, respondem pelas coordenadas radiais de S nas direções definidas pelos vetores de base { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }; os demais elementos respondem pelas coordenadas tangenciais parciais entre as mesmas direções."

§04.02 – Significado físico. A projetante de um tensor S, suas coordenadas radiais e suas coordenadas transversais parciais podem ter diferentes significados físicos conforme o significado de S num e noutro fenômeno. Em Elasticidade, S poderá representar o tensor das tensões ou o das deformações relativamente ao ponto genérico P de um corpo em estado de tensão e deformação (ver exemplo 9, §03). No caso das tensões, a III, §04.02

§05 – Campos 1d e 2d de escalares, vetores e diádicos

projetante de S em relação a dada direção definida pelo unitário nˆ é o vetor tensão total sobre um elemento plano ortogonal a nˆ que contenha P; as componentes radial e transversal de S (dois vetores) em relação a nˆ são os vetores tensão normal e tensão tangencial sobre o elemento plano. As coordenadas da tensão tangencial em relação a duas direções ortogonais quaisquer no elemento plano, isto é, as tensões de cisalhamento, são as coordenadas tangenciais parciais.

§05 – CAMPOS 1D E 2D DE ESCALARES, VETORES E DIÁDICOS Do ponto de vista físico, quando o domínio em que ocorre um fenômeno tem duas dimensões geométricas da mesma ordem de grandeza e uma terceira muito maior que as primeiras (caso de uma barra de ferro redondo, uma barra em cantoneira de uma treliça, uma mola cônica ou helicoidal etc.), ele é um campo unidimensional (§04.01,I) e as grandezas nele postas em jogo podem ser escalares, vetoriais e tensoriais (Cap. II). Relembremos que podem ser necessárias até 3 coordenadas para definir-se o ponto genérico do campo, essas coordenadas podendo ser cartesianas retilíneas, ou curvilíneas (cilíndricas e esféricas); vamos usar as cartesianas X1, X2 e X3, mas poderia ser qualquer uma delas. Conforme visto (§04.01,I), um campo uniparamétrico pode ser fisicamente materializado por uma linha L no espaço – o eixo do campo (Figura III,5.a) – de equações paramétricas:

X 1 = X 1 ( λ )   X 2 = X 2 (λ ) ,  X = X (λ ) 3  3

(01),

o parâmetro λ variando dentro de um intervalo definido de conformidade com a geometria do domínio, isto é, intervalo que definirá as fronteiras do domínio. O domínio poderá ser, então, um fragmento (um arco) da linha L. Analogamente, um campo bidimensional é definido por uma superfície S no espaço – a superfície média do campo – de equações paramétricas:

 X 1 = X 1 (λ , µ )   X 2 = X 2 (λ , µ ) , X = X ( λ , µ) 3  3

(02),

em que os parâmetros λ e µ, variando dentro de intervalos definidos, definirão as fronteiras do domínio do campo. O domínio é a área hachurada (sobre S) indicada na Figura III,5.b. Essas fronteiras (quatro curvas reversas no máximo) poderão, assim, caracterizar o domínio como um fragmento (uma região) da superfície S. Ao ponto genérico, P, desses domínios estará associada a propriedade G: escalar, vetorial ou diádica, definida pela lei (01), isto é, por G=G(P,t). No domínio L tal propriedade dependerá do parâmetro λ; no domínio S, similarmente, dependerá de dois dos parâmetros λ e µ. Não cabendo perquirições sobre a propriedade G fora do domínio do campo, concluímos: 1°) – Em L será G=G(P,t)=G(X1,X2,X3,t), ou considerando (01): G=G(λ,t). Se fixarmos sobre L um ponto A como origem de medida dos arcos s de curva L, ao qual corresponde o valor λA do parâmetro λ, o comprimento s de um arco da curva de origem A e extremidade P será:

∫

λA

(

dX 1 2 dX 2 2 dX 3 2 ) +( ) +( ) d λ = ψ (λ ) , dλ dλ dλ

Campos Tensoriais - Ruggeri

§05 – Campos 1d e 2d de escalares, vetores e diádicos.

pois,

ds 2 = (dX 1 ) 2 + (dX 2 ) 2 + (dX 3 ) 2 = (

dX 1 dX dX dλ) 2 + ( 2 dλ) 2 + ( 3 dλ ) 2 . dλ dλ dλ

Logo: G=G”(s,t),

(03).

Assim, referido o domínio ao eixo curvilíneo L, cada ponto estando definido por sua abscissa curvilínea s medida sobre o eixo a partir de A, tem-se: a) – se G for grandeza escalar, a cada s sobre L estará associado um valor de G calculado por (03); b) – se G for uma propriedade vetorial, (03) assumirá a forma:

G = G"1 (s, t)tˆ + G"2 (s, t)nˆ + G"3 (s, t)bˆ , onde tˆ , nˆ e bˆ são os unitários do triedro de Frenet-Serret de L em P (§06.01,I); logo, tais vetores são funções de P e t. Ora,

Todo vetor associado a um ponto qualquer de um domínio unidimensional é, necessariamente, tangente ao eixo do domínio. Logo, deverá ser, necessariamente, G = G"1 (s, t )tˆ . c) – se G for uma propriedade diádica, e se S é o diádico associado a P, então, como todo vetor considerado nesse domínio deve ser necessariamente paralelo a tˆ , a projetante de S (§04) na direção definida pelo unitário tˆ será: p = S.tˆ . Mas como o vetor p deve também pertencer ao domínio, sendo, então, paralelo a

tˆ , o diádico S fica reduzido à forma monomial S = S tˆtˆ , com S=S(P,t) e tˆ = tˆ(P, t ) . Assim, Todo diádico associado a um ponto qualquer de um domínio tridimensional uniparamétrico é unilinear, sua (única) direção sendo a da tangente ao eixo do domínio. A matriz associada ao diádico S em relação à base { tˆ } é, pois, a matriz 1x1 cujo elemento é S(P,t). Se, porém, referirmos o diádico S à base vetorial de Frenet-Serret, a matriz associada a S será

[S] tnb

S(P, t) 0 0 =  0 0 0 ,  0 0 0

(04),

valendo observar que a matriz associada a S em relação ao sistema O-X1X2X3 não apresenta nenhum elemento nulo necessariamente. Em qualquer um dos três casos atrás considerados o domínio poderá, ainda, ser uma linha plana, ou uma reta, casos em que o campo unidimensional é dito “de linha plana” e de “linha reta”. O diádico do ponto P do campo unidimensional de linha plana poderá ainda ser escrito na forma S = S tˆtˆ , com S=S(P,t) e tˆ = tˆ(P, t ) , mas agora tˆ é o unitário da tangente à curva (plana) do domínio. Como o unitário da binormal é ortogonal ao plano da curva, a matriz associada ao diádico em relação ao triedro de Frenet-Serret será ainda do tipo (04). Com o mesmo raciocínio poderíamos deduzir resultados análogos para o caso de campo unidimensional de linha reta.

III, §05

§05 – Campos 1d e 2d de escalares, vetores e diádicos

2°) – Em S será G=G(P,t)=G(X1,X2,X3,t)=G(λ,µ,t). Sobre a superfície S poderemos implantar um sistema de referência do seguinte modo. Quando fixamos um valor para um dos parâmetros, digamos µ=µ0, a expressão de G torna-se uma função de λ (além do tempo). Então, para dado t, a cada valor de λ corresponderá um valor de G obtido sobre a curva M0 (geralmente reversa), de equação G=G(λ,µ0,t), que pertence necessariamente à superfície S. Poderemos, assim, cotar sobre M0 os valores de λ e os valores correspondentes de G. Com um novo valor atribuído a µ, digamos µ=µ1, obteremos uma segunda curva M1 sobre S, de equação G=G(λ,µ1,t), também pertencente a S, e cotá-la de modo análogo ao adotado para a curva M0. É evidente que poderemos traçar quantas curvas nos interessar sobre a superfície S. Quando fixamos um valor para o parâmetro λ, digamos λ=λ0, a expressão de G torna-se função de µ (e do tempo). Tal como anteriormente, para o mesmo t considerado, obteremos sobre S uma curva L0 que também pode ser cotada em valores de G e correspondentes µ. Imaginemos que tenhamos realizado procedimento análogo para µ=µ1, obtendo uma curva cotada L1 e tantas outras quantas desejarmos. Sobre S teremos traçado, desse modo, uma rede definida por duas famílias de curvas, por cada ponto passando duas e apenas duas curvas (Figura II,5.c), ditas as coordenadas curvilíneas do ponto. Um desses pontos poderá ser tomado como origem, digamos o correspondente ao par (λ0, µ0), ponto A; ao ponto genérico P de S corresponderá o par. Adotemos a curva µ0, correspondente a λ=λ0, para origem de medida de arcos sobre a curva genérica λ. Um arco de comprimento λ terá, pois, origem na interseção da curva µ0 com a λ e extremidade na interseção da curva µ (escolhida, ≠µ0) com a λ (Figura III,5.c). Então:

sλ =

∫

λ0

(

∂X 1 2 ∂X 2 2 ∂X 3 2 ) +( ) +( ) dλ = f(λ) , ∂λ ∂λ ∂λ

as derivadas parciais sendo calculadas com o valor escolhido de µ. Analogamente, se adotarmos a curva λ0, correspondente a µ=µ0, para origem de medida de arcos sobre a curva genérica µ, um arco de comprimento µ terá origem na interseção das curvas λ0 e µ, e extremidade na interseção das curvas λ (escolhida, ≠λ0) e µ; e teremos:

sµ =

∫

µ0

(

∂X 1 2 ∂X 2 2 ∂X 3 2 ) +( ) +( ) dµ = g(µ) . ∂µ ∂µ ∂µ

Então: G=G”(sλ,sµ,t),

(05).

Assim, referido o domínio ao sistema de coordenadas curvilíneas cujos arcos separam o ponto genérico de S - interseção de (λ,µ) - e o ponto A de interseção de (λ0,µ0) - origem do sistema (Figura III,5.c) - tem-se: a) – Se G representar uma grandeza escalar, a cada sλ sobre L e sµ sobre M estará associado um valor de G calculado por (05); b) – Se G representar uma grandeza vetorial, (05) assumirá a forma

G = G λ (s λ , s µ , t )eˆ λ + G µ (s λ , s µ , t )eˆ µ ,

Campos Tensoriais - Ruggeri

§06 – Os diádicos em diferentes sistemas de referência.

onde eˆ λ e eˆ µ são os unitários das tangentes às curvas L (ou λ) e M (ou µ), respectivamente, no ponto genérico de S, sendo estas, em geral, não ortogonais. De fato, pois não caberia a consideração de qualquer G fora do domínio, isto é, nenhum desses vetores poderia ter componente paralela ao unitário nˆ (λ, µ) normal à S no ponto genérico; c) – Se G representar uma propriedade diádica, e se S for o diádico do ponto genérico, sua projetante (§04.01) na direção do unitário genérico tˆ contido no plano tangente a S pelo ponto (não cabe consideração a unitários fora desse plano tangente), será: p = S.tˆ . Como p e tˆ devem pertencer ao plano tangente, resulta que o diádico S é uniplanar necessariamente, seu plano sendo o plano tangente. Então S pode ser escrito na forma binomial S = s λ eˆ λ + s µ eˆ µ , pois não pode existir nenhuma díade envolvendo o unitário nˆ (λ, µ) ; ou, na forma cartesiana S = S λ eˆ λ eˆ λ + S µ eˆ µ eˆ µ + S λµ eˆ λ eˆ µ + S µλ eˆ µ eˆ λ , sua matriz associada (à base não ortogonal { eˆ λ , eˆ µ }) sendo, então:

 S λ S λµ  [S]eλeµ =  , S µλ S µ 

(06).

É evidente que a matriz associada a S em relação à base { eˆ λ , eˆ µ , nˆ } é

[S] e λ eµn

 Sλ = S µλ  0

0 0 , 0

S λµ Sµ 0

(06.a).

Em muitos problemas, nas aplicações, a rede de coordenadas curvilíneas sobre S é ortogonal, como os meridianos e os paralelos sobre a superfície esférica. Nesses casos, a base { eˆ λ , eˆ µ , nˆ } é ortonormada e a formulação e resolução dos problemas podem se tornar mais fáceis. Em outras situações pode ser compensadora a adoção de sistemas de coordenadas convenientes para a resolução dos problemas, seja pela natureza do domínio, seja por facilidade de estudos, e até para expressar resultados.

§06 – OS DIÁDICOS EM DIFERENTES SISTEMAS DE REFERÊNCIA. No §02.03,II, como conseqüência da definição de grandeza vetorial, vimos como, conhecidas as coordenadas de um vetor num dado sistema cartesiano de referência, determinar as coordenadas desse mesmo vetor num outro sistema cartesiano também dado e de mesma natureza que o anterior. Vamos agora resolver problema análogo – estabelecimento de relação entre coordenadas - considerando que um vetor possa estar referido a um sistema e a outro. Em seguida, vamos procurar determinar as expressões correspondentes entre as coordenadas de um diádico quando este está referido a dois sistemas distintos de coordenadas.

§06.01 – Relações entre coordenadas de vetores. Um mesmo vetor v pode ser referido a todos os sistemas, em cada um tendo um terno de coordenadas. Ponhamos:

VX   Vr   Vφ      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v = i j k .VY  = rˆ θ k . Vθ  = φ θ R . Vθ  , VZ   VZ  VR 

[

II,§06

]

[

]

[

]

(01).

§06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos.

De (01), por consideração das relações ((07) a (10),§05.03,I), executando operações elementares, podemos deduzir:

 Vr  VX   cosθ senθ 0 VX          Vθ  = R CiCa .VY  = − senθ cosθ 0.VY  ,        VZ   VZ   0 0 1  VZ   Vφ   Vr  cosφ 0 − senφ  Vr          Vθ  = R EsCi . Vθ  =  0 1 0 . Vθ  ,        VR  VZ  senφ 0 cosφ  VZ   Vφ  VX  cosφ cos θ cosφsenθ − senφ VX          Vθ  = R EsCi .R CiC .VY  =  − senθ cosθ 0 .VY  ,        VR   VZ   senφcosθ senφsenθ cosφ   VZ 

(02),

(03),

(04),

igualdades que expressam relações entre as coordenadas de um mesmo vetor nos diferentes sistemas de coordenadas. As inversas de (02) a (04) podem ser deduzidas sem dificuldades.

§06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos. Seja Σ o diádico do ponto genérico do campo (da propriedade representada genericamente por Σ); e escrevamos Σ em forma trinomial (§03.02,II) em relação a cada um dos sistemas de referência. Teremos:

ˆt Σ = ˆit X + ˆjt Y + kˆ t Z = rˆt r + θˆ t θ + kˆ t k = φˆ t φ + θˆ t θ + R R onde os vetores t’s são as “coordenadas vetoriais” do diádico nas respectivas bases. A expressão acima pode ainda ser escrita em forma matricial por “multiplicação direta”

t X   tr   tφ              ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Σ = [i j k] tY  = rˆ θ k tθ  = φ θ R  tθ  ,        tZ  tk  tR 

[

]

[

]

(05),

o produto das matrizes devendo ser entendido como um produto direto dos vetores. As igualdades (05) apresentam total analogia com as relativas ao vetor v (em que as matrizes linhas são compostas por números). Considerando novamente as relações ((07) a (10), §05.03,I) podemos deduzir das (01) igualdades análogas às (02) a (04) onde se troquem os V por t. Tem-se, de fato:

tr  t X   cosθ senθ 0 t X          t θ  = R CiCa .t Y  = − senθ cosθ 0.t Y  ,        t Z   t Z   0 0 1  t Z 

(06),

Campos Tensoriais - Ruggeri

§06 – Os diádicos em diferentes sistemas de referência.

t φ   t r  cosφ 0 − senφ  t r          t θ  = R EsCi . t θ  =  0 0 . t θ  , 1        t R  t Z  senφ 0 cosφ  t Z 

(07).

tφ  t X  cosφ cos θ cosφsenθ − senφ t X          t θ  = R EsCi .R CiCa .t Y  =  − senθ cosθ 0 .t Y  ,        t R   t Z   senφcosθ senφsenθ cosφ   t Z 

(08),

As igualdades (06), (07) e (08) dão, pois, as relações entre as coordenadas vetoriais do diádico Σ nas diferentes bases (dos diferentes sistemas). Vejamos agora como se correlacionam as coordenadas cartesianas do diádico Σ em cada uma das bases. Para isso deveremos efetuar a decomposição cartesiana de cada um dos vetores t’s nas diferentes bases. Sejam: 1°) - t X = TX ˆi + TXY ˆj + TXZ kˆ ,

t Y = TYX ˆi + TY ˆj + TYZ kˆ ,

t Z = TZX ˆi + TZY ˆj + TZ kˆ

isto é,

 ˆi  t X  t  = [T]  ˆj  , ijk    Y kˆ   t Z    2°) -

t r = Tr rˆ + Trθ θˆ + Trk kˆ ,

 TX com [T] ijk = TYX  TZX

t θ = Tθr rˆ + Tθ θˆ + Tθk kˆ ,

TXY TY TZY

TXZ  TYZ  , TZ 

(09);

t k = Tkr rˆ + Tkθ θˆ + Tk kˆ

donde

 rˆ  t r  t  = [T]  θˆ  , rθk    θ kˆ  t k  3°) -

ˆ , t φ = Tφ φˆ + Tφθ θˆ + TφR R

com [T] rθk

 Tr = Tθr Tkr

ˆ , t θ = Tθφ φˆ + Tθ θˆ + TθR R

Trθ Tθ Tkθ

Trk  Tθk  , Tk 

(10);

ˆ t R = TRφ φˆ + TRθ θˆ + TR R

donde

 φˆ  t φ   t  = [T]  θˆ  , φθR    θ R ˆ t R   

com [T] φθR

 Tφ  =  Tθφ  TR φ 

Tφθ Tθ TR θ

TφR   TθR  , TR 

(11).

Substituamos agora em (10), digamos, a coluna do primeiro membro por sua equivalente (06) e, em seguida, na expressão obtida desse primeiro membro, a nova matriz coluna que aparece por sua equivalente (09). Substituamos também a coluna do segundo membro de (10) por sua equivalente ((07),§05.03,I). Teremos assim obtido a expressão de um mesmo vetor na base { ˆi , ˆj, kˆ } e poderemos igual as expressões matriciais obtidas. Lembrando que as matrizes R são de rotação, resulta dessa operação:

[T]rθk R CiCa = R CiCa[T]ijk , isto é, III, §06.02

[T]rθk = R CiCa[T]ijk R CiCa T ,

(12).

§06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos

Por procedimento análogo podemos obter as seguintes expressões:

[T]φθR R EsCi = R EsCi[T]rθk ,

isto é,

[T]φθR = R EsCi[T]rθk R EsCiT ,

(13),

[T] φθR R EC = R EC [T] ijk ,

isto é,

[T] φθR = R EC [T ]ijk R EC T ,

(14).

As igualdades (12) a (14) expressam as relações entre as diferentes coordenadas cartesianas de um mesmo diádico nos diferentes sistemas de referência. * Exercício: Mostrar que, sendo Σ um diádico simétrico:

1 1  2 2 Tr = TX cos θ + TY sen θ + TXY sen 2θ = 2 (TX + TY ) + 2 (TX − TY ) cos 2θ + TXY sen 2θ  T = 1 (T − T )sen 2θ + T cos θ Y XY  rθ 2 X  Trk = TXZ cos 2θ + TXY sen 2θ  1 1 Tθ = TX sen 2 θ + TY cos 2 θ − TXY sen 2θ = (TX + TY ) − (TX − TY ) cos 2θ − TXY sen 2θ 2 2  Tθk = −TXZ senθ + TYZ cos θ  Tk = TZ Tφ = Tr cos 2 φ + Tk sen 2 φ − Trk sen 2φ  Tφθ = Trθ cos φ − Tθk senφ  TφR = 1 (Tr − Tk )sen 2φ + Tkr cos 2φ  2 T = T θ θ  TθR = Trθ senθ + Tθk cos θ  TZ = Tk



Campos Tensoriais - Ruggeri

§06 – Os diádicos em diferentes sistemas de referência.

Uma classificação para os campos TEMPO PROPRIEDADE

Estacionário Transiente Escalar Vetorial Diádica 1D (uni-paramétrica)

Retilíneo Curvilíneo No plano (placas)

2D (bi-paramétrico)

No espaço curvo, (superfícies ditas membranas, cascas)

GEOMETRIA

3D (tri-paramétrica)

III, §06.02

Maciços curvos: elementos org. de máquinas, ganchos, cunhas etc.)

No plano (curvas planas) No espaço (curvas reversas) (com fronteiras diversas) Superfícies cônicas Circular Sup. cilíndrica Elíptico Quádricas (outras) Parab. hip. etc. Sup. axi-sim. Tóros, tronco etc.. Piramidais Poliédricos Prismáticos Outros Cônicos Cilíndricos Quádricos Esféricos Parab. hip. etc. Toroidais Outros Outros

cone

CAPÍTULO IV GEOMETRIA DOS CAMPOS

Não se consegue alcançar o âmago de uma questão matemática sem o apoio de uma base geométrica. Sylvester

§01 – GENERALIDADES Parece que os campos tornam-se mais complexos à medida que se elevam as suas dimensões e as ordens dos tensores a eles associados, o que pode ser percebido imediatamente pelos exemplos citados no §3 do Cap. III. A lei ((01),§01,III), sozinha, pode representar o campo em toda a sua plenitude, mas representa-o de forma um tanto abstrata, tal como o que se passa entre uma função e sua representação analítica. Seria preferível tentar “ver de forma concreta aquilo que julgamos abstrato”; o que é possível conseguir-se, em geral, por um processo de geometrização dos campos. Por “geometrização dos campos” entenderemos, aqui, o processo de representação dos campos por formas geométricas (pontos, linhas, superfícies) que permitam uma visão global (panorâmica) e, se possível, pictórica de suas características (valores, direções, etc.). Tais representações – que chamaremos genericamente de diagramas ou gráficos – permitem resolver geometricamente problemas que, analiticamente, seriam bem mais trabalhosos; mostraremos isso oportunamente. O entendimento dos fenômenos por uma representação geométrica, ou por gráficos, pode ser mais prático, e às vezes até natural.

§02 – SUPERFÍCIE DE NÍVEL NOS CAMPOS ESCALARES. Chama-se superfície de nível de um campo escalar, o lugar geométrico (lg) dos pontos do campo em que a propriedade assume um valor numérico dado. Se o campo é estacionário, a equação das superfícies de nível é: G = G(P) = constante; se o campo é transiente (§01,III), tal equação é: G = G(P,t) = constante, as superfícies de nível variando de um instante para outro; contrariamente, as superfícies de nível do campo estacionário, uma vez estabelecidas, permanecem no tempo. Se o campo escalar é 3d chato (§03.03,I), os lg a ele associados são planos e retas; se de natureza esférica (§06.03,I), os lugares geométricos a ele associados serão superfícies esféricas, planos, circunferências, isto é, figuras associadas com a esfera. Se esse campo é de natureza cilíndrica as figuras associadas são superfícies cilíndricas, planos, circunferências, elipses etc. Teremos assim, superfícies esféricas de nível, cilindros de nível etc., que se modificarão a cada instante se o campo for transiente. Quando o campo escalar é bidimensional, chato (§03.02,I) ou curvo (§04.02,I), tais lgs, no plano ou na superfície do campo, são denominados curvas de nível. As superfícies e as curvas de nível recebem dominações particulares conforme a natureza do campo. São superfícies (ou curvas): isotérmicas, para as temperaturas; isobáricas, para as pressões; isentrópicas, para a entropia, etc. Com curvas e superfícies traçaremos os diagramas representativos dos campos. Dos exemplos citados no §03,III podemos dizer: a) - As superfícies de nível do campo de distâncias, exemplo 1, são as superfícies: r = constante = C, ou melhor, x2 + y2 + z2 = C2. Tais superfícies são, pois, superfícies esféricas concêntricas na origem. A representação é permanente, pois o campo o é.

Campos Tensoriais - Ruggeri

§03 – Linhas diretrizes nos campos vetoriais.

b) - As superfícies de nível do exemplo 4 são obtidas facilmente para θ = constante. Tem-se:

θ0 − θ + R = const. = C , k

tais superfícies sendo as superfícies esféricas concêntricas em O e de raios C (que variam com θ). A representação é, também, permanente. c) - As curvas de nível no campo 1D do exemplo 5 são obtidas para θ = constante, com r = (θ0-θ)/k=C; são, pois, circunferências concêntricas no eixo do fio. No espaço, as suas superfícies de nível seriam cilindros coaxiais com o eixo do fio. A representação é permanente. Propriedades das superfícies e curvas de nível

1ª) - Por um ponto de um campo passa uma e apenas uma superfície (ou curva) de nível. Com efeito, pois se passassem duas ou mais existiriam pontos do campo aos quais estariam associados mais de um valor numérico; o que é inadmissível.

2ª) - As superfícies (ou curvas) de nível não se interceptam. Pois, se duas se interceptassem, a propriedade anterior não seria válida já que existiriam pontos do campo pelos quais passariam duas (ou mais) superfícies.

§03 – LINHAS DIRETRIZES NOS CAMPOS VETORIAIS. Imaginemos traçada uma curva qualquer num campo vetorial. A cada ponto dessa curva corresponde um único vetor do campo (§01, III). A posição de um vetor em relação à curva não apresentará particularidades de um modo geral. Pressente-se, entretanto, a possibilidade da existência de linhas nesse campo, tais, que os vetores associados a cada um de seus pontos lhes sejam tangentes. Para gerar uma dessas linhas poder-se-ia, por exemplo, partir de um ponto A do campo onde o vetor associado é v (Figura IV,1), determinar-se o vetor v’ relativo a um ponto A’ infinitamente próximo de A sobre o suporte v; em seguida, determinar-se o vetor v” relativo a um ponto A” infinitamente próximo de A’ sobre o suporte de v’, e assim por diante. A envoltória das retas suportes dos vetores do campo, assim determinados, seria uma linha diretriz do campo. Quando o campo vetorial considerado é um campo de forças, suas linhas diretrizes recebem o nome particular de linhas de força; quando o campo é de velocidade, linhas de ou linhas de fluxo; quando o campo é magnético, linhas de indução magnética, etc.. Propriedades das linhas diretrizes São duas as propriedades das linhas diretrizes:

1ª) - a cada ponto do campo correspondente uma e uma única linha diretriz. De fato, pois o campo é definido de maneira unívoca;

2ª) duas linhas diretrizes nunca se interceptam. Pois, do contrário, não seria verdadeira a primeira propriedade (existiriam pontos aos quais se poderiam associar dois ou mais vetores).

IV, §03

§03 – Linhas diretrizes nos campos vetoriais

Equações das linhas diretrizes As linhas diretrizes poderão ser: curvas reversas, para os campos 1D, 2D ou 3D; e curvas planas para os campos 1D ou 2D (chatos ou curvos). As linhas diretrizes dos campos 1D são todas paralelas à linha domínio do campo (§04.01,I); são conhecidas a priori, podendo ser, pois, planas ou reversas. Um cabo formado por fios todos paralelos, ou uma mola de fios paralelos fornece uma boa imagem dessas linhas diretrizes. Se v = L(x, y, z)î + M(x, y, z)ˆj + N(x, y, z)kˆ é o vetor do campo relativo ao ponto P ≡ (x, y, z) , referido a uma base {îˆjkˆ } , v deve ser paralelo ao elemento infinitesimal de arco dP = dxî + dyˆj + dzkˆ da linha diretriz que passa por P; donde poder-se escrever:

L M N , = = dx dy dz

v × dP = o , ou em coordenadas:

(01).

Em (01) temos, assim, as equações diferenciais das linhas diretrizes de campos 1D. Se o campo 1D está definido num plano, em (01) só aparece uma igualdade. Se o campo vetorial fosse transiente, as coordenadas L, M e N de v seriam funções do tempo, o que não mudaria a forma das equações diferenciais (01). Ocorreria, apenas, que, em cada instante, o campo vetorial seria visualizado por certo conjunto de linhas. Nessas condições é possível, inclusive, montar-se um "desenho animado" das linhas diretrizes do campo. Exemplo 1: o campo central Um campo vetorial denomina-se central se as retas suportes de todos os seus vetores passam constantemente por um ponto fixo; este é denominado o “centro” do campo. Decorre imediatamente da definição que as linhas diretrizes desse campo formam uma estrela de retas de vértice no centro. Se P é um ponto do campo, distante de r do centro O, e se o vetor associado a P é v(r), então: v = f(r)uˆ , onde uˆ é o unitário (variável) da direção definida por P-O e f(r) a intensidade de v. Um caso particular de campo central (de forças) é o campo gravitacional de qualquer massa (e, também, de qualquer carga elétrica), como o campo gravitacional terrestre, citado no exemplo 2 do Cap. III; suas linhas são linhas de forças. Exemplo 2: o campo magnético do exemplo 7 do cap. II. O campo magnético h é dado por:

h = Ai(-yˆi + xˆj) /( x 2 + y 2 ) , com x2+y2≠0. Conforme (01), suas linhas de indução têm por equação diferencial:

−y x +y dx 2

x 2

x + y2 , dy 2

ou,

xdx + ydy = 0 .

Observando que a equação é equivalente a d(x 2 + y 2 ) = 0 , resulta: x 2 + y 2 = const. ≠ 0 . As linhas de indução magnética são, pois, circunferências com centro no eixo do condutor, e situadas em planos ortogonais a esse eixo.

Campos Tensoriais - Ruggeri

§04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádico.

Tubo de campo Consideremos no domínio do campo vetorial v uma curva (C) fechada e fixa. A cada ponto de (C) e em cada instante (se o campo for transiente (§01,III)) corresponderá uma única linha diretriz (propr.1ª). Chama-se tubo de campo, ou tubo diretor, a superfície delimitada pelas linhas diretrizes que, num dado instante, se apóiam num dado contorno fechado, fixo no campo, (C). Os tubos de campo, tal como as linhas diretrizes, recebem denominações particulares, conforme a natureza do campo v, podendo ser: tubo de força, tubo de fluxo (para o campo de velocidades) etc.. Essa importante concepção geométrica para os campos vetoriais apresenta notável utilidade na teoria dos campos solenoidais (§08, VII) e, particularmente, no estudo do escoamento dos fluidos, onde é denominada “veia fluida”, ou “filete fluido”.

§04* - AS QUÁDRICAS DE CAUCHY, DE LAMÈ E A REPRESENTAÇÃO DE MOHR NO CAMPO DIÁDICO §04.01 – Campos tridimensionais Se, em relação à base vetorial { ˆi , ˆj, kˆ }, S é a matriz 3x3 associada ao diádico S do ponto genérico O do campo (§03,II), então, na direção dada, {N}, sua projetante é o vetor pN , de coluna {PN}, dado por:

{PN } = S.{N} = {Sij n j }

(01),

conforme ((03),§04.01,III); e sua coordenada radial é o escalar:

ρ N = {N}T S.{N} = n i Sij n j

(02),

conforme ((04),§04.01,III). Se S admitir inversa (ou o diádico S admitir inverso, ver §04.03,II,Exercício 21), de (01) podemos escrever:

S -1.{p N } = {N} e {p N }T .(S -1 ) T = {N}T , donde, considerando que {N}T.{N} = 1:

{p N }T .(S -1 ) T .S-1.{p N } = 1 . Lembrando que (S-1 ) T = (ST ) −1 = S-1 virá, finalmente:

L ≡ {p N }T .S-2 .{p N } = 1 ,

(03).

ρN = ±1 , ρN

(04),

De (02), similarmente, escrevemos:

Q ≡ {Y}T .S.{Y} =

expressão em que {Y} é o vetor paralelo a {N} e cujo módulo é o inverso da raiz quadrada do módulo da componente radial do tensor, isto é,

IV, § 04.01

§04.01 – Campos tridimensionais

{Y} =

1 |ρ|

.{N} ,

(05).

Quando {N} (ou nˆ ) varia, assumindo todas as posições possíveis em torno de O, isto é, quando sua extremidade descreve a superfície esférica de centro O e raio unitário, as extremidades P e Y dos vetores OP e

OY descrevem, respectivamente, as superfícies (03) e (04). Tais superfícies são quádricas centradas em O. A primeira, (03), representativa das variações dos módulos da projetante do tensor, é um elipsóide denominado elipsóide de Lamè. A segunda, (04), representativa das variações da componente radial do tensor com a direção e denominada quádrica de Cauchy ou quádrica indicatriz, poderá ser um elipsóide ou um hiperbolóide (de uma ou duas folhas) conforme os valores das componentes do tensor em O; por esta razão o tensor S é chamado elíptico ou hiperbólico, correspondentemente. As interseções dessas quádricas com o plano definido pelos vetores p e nˆ estão esquematizadas na Figura IV,2. Imaginando-se traçadas as quádricas (03) e (04) relativas ao ponto O do campo, os módulos da projetante do tensor e de sua componente radial, |pn| e |ρn|, ambos relativos a dada direção {N}, poderão ser obtidos facilmente. Com efeito, para a componente radial bastará determinar o ponto Y onde a direção {N} fura a quádrica indicatriz, escrevendo-se então, a partir da expressão (05):

ρN =

1 OY

Para a projetante do tensor bastará determinar sua direção já que o módulo do vetor OP é igual ao segmento OP. Essa direção é a da normal ao plano diametral da quádrica Q relativo à direção {N}. Com efeito, denotando simbolicamente por Q(y1,y2,y3) = 0 a equação de Q e por Q'y i a derivada de Q em relação a yi, a equação do plano diametral de Q relativo a {N}, de ponto corrente y1,y2,y3, será37:

y1 .Q ′y1 (n 1 , n 2 , n 3 ) + y 2 .Q ′y 2 (n 1 , n 2 , n 3 ) + y 3 .Q ′y3 (n1 , n 2 , n 3 ) = 0 , ou melhor:

 Q ′y (n )   1  {Y} .Q ′y 2 (n ) = {Y}T .{Q ′y (n )} = 0 . Q ′ (n )   y3  T

Mas:

S11n1 + S12n 2 + S13n3 {Q′} = 2 S21n1 + S22n 2 + S23n3 = 2 S.{N} , e, de (01): {Q′} = 2{p N } . S31n1 + S32n 2 + S33n3 Obtemos então, finalmente, a equação do plano: {Y}T .{p N } = 0 . A normal a este plano terá seus co-senos diretores proporcionais aos coeficientes da equação do plano, isto é, às componentes de p n ; ou melhor, p n será ortogonal ao plano diametral de Q relativo à direção {N}. O sinal de ρn e o sentido de p n dependerão da natureza da quádrica Q. Representando por Q+ e Q- a quádrica indicatriz (04), correspondentes aos sinais (+) e (-), respectivamente, pode concluir-se que:

37 Veja, por exemplo, A. M. Calaes, bibl. 06, 5° volume, p. 101 e seguintes. Campos Tensoriais - Ruggeri

§04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádico

1ª) - Se Q+ for uma elipsóide real, Q- não terá representação por tratar-se de um elipsóide imaginário. Nesse caso será: ρN = +1 , ρN isto é, ρn > 0 independentemente da direção {N}. O ângulo θ (Figura III,2) de p n com {N} será sempre agudo; 2ª) - Se Q- for elipsóide real, Q+ será elipsóide imaginário e será ρn < 0. O ângulo θ de p n com {N} será obtuso; 3ª) - Se Q+ for um hiperbolóide de uma folha (Figura IV,3.a), Q- será o hiperbolóide conjugado de Q+ (Figura IV,3.b), com duas folhas. Ambos estarão separados no espaço (Figura IV,3.c) pelo cone assíntota comum, C, de equação: C ≡ {Y}T .S.{Y} = 0 .

O ponto Y, interseção de {N} com Q, poderá estar sobre Q+, sobre Q-, ou, mesmo, poderá não existir (quando {N} for paralelo a qualquer geratriz do cone). No primeiro caso, o ângulo θ de p n com {N} será agudo; no segundo, obtuso; e no terceiro, reto, pois se, para essas direções, ρn = 0, então p n = τ n (isto é, p n é ortogonal a {N}). O cone assíntota estabelece, assim, a transição dos ângulos de p n com {N}. A cada ponto O do campo do diádico S estão, pois, associadas duas quádricas: o elipsóide de Lamè e a quádrica de Cauchy. Tais quádricas podem ser representadas de forma mais simples – pela sua equação reduzida – se o espaço em torno de O for referido ao triedro, denominado principal, formado pelo terno de eixos ortogonais coincidentes com os eixos da quádrica de Cauchy38. Nesse caso as equações (03) e (04) serão escritas nas formas respectivas:

L p ≡ {p N }T .S-2 p .{p N }

(03.a)

Q p ≡ {Y}T .S p .{y} ± 1 = 0 ,

(04.a),

onde Sp, a nova matriz associada ao diádico S – denominada a principal do ponto O – tem forma diagonal:

S1 0 S p =  0 S 2  0 0

0 0  S3 

(06).

38 Esses conceitos são conhecidos do estudo das Quádricas em Geometria Analítica. Veja, por exemplo, Calaes, bibl.06, 5° volume. Na 3° Parte trataremos analítica e pormenorizadamente de tais questões.

IV, §04.01

§04.01 – Campos tridimensionais

Verifica-se para as coordenadas S1, S2 e S3 – denominadas coordenadas radiais principais do diádico no ponto – que, em geral (mas não necessariamente):

S3 ≠ S 2 ≠ S1 ,

(07).

Relembrando (05) e (02) e representando genericamente por {N} o unitário de qualquer das três direções dos eixos, tem-se:

ρ N = {N}T .S p .{N} = S1 n 12 + S 2 n 22 + S 3 n 32 ,

(08).

p 2N = {N}T .S 2p .{N} = S12 n 12 + S 22 n 22 + S 32 n 32 = ρ 2N + τ 2N ,

(09),

De modo análogo, tem-se:

onde τn é componente transversal do tensor relativa a {N}. Representação de Mohr Diante do exposto verificamos existir, para todo ponto do domínio D do campo de diádicos simétricos, a correspondência: {N} ⇒ (ρ, | τ |) . Com efeito, a cada {N} corresponde uma única projetante ρ do tensor S r (§04.01,III), no caso, dada por (08), e esta se decompõe, de modo unívoco, nos vetores: ρ N , paralelo a {N} e r r r r τ N , normal a {N}, com p N 2 = ρ N 2 + τ N 2 (§04.01,III). A correspondência no sentido inverso, entretanto, não é unívoca. r r Ora, sendo ortogonais e únicos os vetores ρ N e τ N , no ponto considerado de D, pode concluir-se que no r r plano de coordenadas ρ×|ττ| (onde ρ é a medida algébrica de ρ ) o ponto ( ρ N ,| τ N |) descreverá certa área quando r {N} variar continuamente assumindo todas as posições possíveis em torno do ponto (pois p N é função de dois parâmetros). A determinação analítica dessa área pode ser conseguida por consideração do sistema de equações:

{N}T .{N} = 1 = n 2 + n 2 + n 2 1 2 3   2 2 2 T , {N} S.{N} = ρ = S1 n 1 + S 2 n 2 + S 3 n 3  2 2 2 2 2 2 {N}T .S 2 .{N} = ρ 2 + τ 2 = S1 n 1 + S 2 n 2 + S 3 n 3

(10),

linear em n 1 2 , n 22 e n 32 . Lembrando (07), e supondo, ainda, ser: S1 ≠ S 2 ≠ S 3 ≠ 0, a resolução do sistema (4.11) fornece:

 2 n1 =   2 n 2 =   2 n1 = 

(ρ − S2) (ρ − S3) + τ2 (S3 − S1) (S2 − S1) (ρ − S3) (ρ − S1) + τ2 (S2 − S3) (S2 − S1)

(11).

(ρ − S1) (ρ − S2) + τ2 (S3 − S1) (S3 − S2)

Por deverem ser positivos os números n 1 2 , n 22 e n 32 , devem ser necessariamente:

Campos Tensoriais - Ruggeri

§04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádico

(ρ − S2) (ρ − S3) + τ2 ≥ 0  2 (ρ − S3) (ρ − S1) + τ ≤ 0 ,  2 (ρ − S1) (ρ − S2) + τ ≥ 0

(12),

já que, por denominação conveniente dos eixos pode sempre admitir-se: S3 > S2 > S1,

(13).

A primeira das equações (12) pode ser escrita, também, evidentemente, na forma:

(ρ − S2) (ρ − S3) + τ2 + (

S3 − S2 2 S3 − S2 2 ), ) ≥( 2 2

ou melhor, após sucessivas transformações no primeiro membro da inequação:

τ2 + (ρ −

S3 + S2 2 S3 − S2 2 ) ≥( ) 2 2

(14).

A inequação (14) representa, pois, no plano ρ× | τ | (Figura IV,4) pontos não interiores à semicircunferência de centro C 23 ≡ ((S 2 + S 3 ) / 2 ; 0) e raio R 23 = (S3 − S2) / 2 . Interpretação análoga, “mutatis mutandis”, pode dar-se às demais inequações do sistema (12), a segunda representando pontos não exteriores à semicircunferência de centro C13= ((S1+S3)/2,0) e raio R13 = (S3 − S1) / 2 e a terceira, pontos não interiores à semicircunferência R 21 = (S1 − S2) / 2 .

centro

C12=

((S2+S1)/2

;0)

raio

Como os pares (ρ,|τ|) devem satisfazer às inequações simultâneas (12), suas imagens no plano ρ x τ serão pontos da área hachurada representada na Figura IV,4, onde, a cada N corresponderá um ponto, compatível com a correspondência {N} ⇒ (ρ, | τ |) . A representação plana do campo diádico S no ponto O, atrás indicada, denomina-se representação de Mohr; as circunferências fronteiras representadas pelas inequações (12), circunferências de Mohr; e o plano ρ x τ, plano de Mohr. Assim, se, em relação a determinado sistema global de referência, se faz associar, a dado ponto O de um domínio definido D, um diádico S (segundo certa lei)39, os métodos vistos nos parágrafos anteriores permitem determinar os valores radiais e tangenciais extremos de S no ponto O40. No plano de Mohr será possível, então, traçar os três círculos que delimitam uma área tal, que a cada direção nˆ considerada por P, corresponda um ponto N dessa área (Figura IV,5) e, portanto, um par (ρ,τ). Mostraremos agora como determinar, no plano de Mohr, o ponto N correspondente a dada direção {N} por O sem os cálculos de ρ N e τ N . Para isso, refiramos o espaço em torno de O ao triedro principal desse ponto. Uma direção {N} qualquer fica definida pelos ângulos φ1 e φ3 que fazem essa direção com as direções em que se verificam o menor (S1) e o maior (S3) dos valores das coordenadas radiais de S, respectivamente (Figura IV,6), pois o terceiro ângulo (de {N} com a direção em que se desenvolve a coordenada radial principal intermediária de S), fica condicionado a obedecer à relação: cos 2φ1 + cos 2φ2 + cos 2φ3 = 1 (15). 39 O diádico representante de certa grandeza física, como tensão, deformação, condutividade elétrica, etc. 40 A questão dos valores extremados das coordenadas do diádico será estudada na 3ª parte.

IV, §04.01

§04.01 – Campos tridimensionais

Em vista da simetria dos valores dos módulos das projetantes de S no ponto O em relação aos planos principais – representadas geometricamente pelo elipsóide de Lamè, na forma da equação (08) – os ângulos φ poderão se medidos em qualquer sentido a partir dos eixos principais correspondentes, bastando considerar os valores não maiores que π/2 rad. Além disso, interessando apenas o conhecimento do módulo do valor da coordenada tangencial τ, será suficiente a consideração dos semicírculos superiores na representação de Mohr, que correspondem aos τ positivos. Procuremos, inicialmente, o lugar geométrico dos pontos do plano de Mohr relativos a direções igualmente inclinadas sobre o eixo principal de índice 3. Com outras palavras, pergunta-se: quando o ponto N (Figura IV,6) que caracteriza a direção ON, descrever o paralelo A1NA2 da superfície esférica de centro O e raio unitário, que curva descreverá o mesmo ponto N no diagrama de Mohr ? Obtém-se a equação dessa curva, com muita simplicidade, por eliminação de n1 e n2 do sistema (10), resultando:

τ2 + (ρ −

S1 + S2 2 S2 − S1 2 ) + cos2φ3(S1 − S3) (S2 − S3) ) =( 2 2

(16),

que é a equação de uma circunferência de centro no ponto médio C12 do segmento S1S2 e cujo raio é a raiz quadrada do segundo membro de (16).

No plano de Mohr, conforme a Figura IV,7, conduzamos por (S3;0) a semi-reta r3 de inclinação φ3 em relação ao eixo Oτ, semi-reta esta que corta as circunferências (C13, R13) e (C23, R23) em A2 e A1, respectivamente. Sendo S2A1 e S1A2 perpendiculares à mesma reta r3 (por serem projetantes das extremidades dos diâmetros das circunferências C13 e C23 sobre r3), serão paralelas entre si e paralelas à mediatriz de A1A2 que, por sua vez, contém necessariamente, C12. Tem-se, então, sucessivamente, da Figura IV,7:

C A 12

A A ( C A 12

2 1

2 12

12 3

)2 = (

=C A 12

=C S

1 2 2 )

2 A A 1

.cos 2 φ = (S −

sen 2 φ =)(

S −S 2

S −S

)2 = (

S +S

1 2 )

) 2 cos 2 φ ,

(17.a),

(1 − cos 2 φ ),

(17.b),

+ (S − S ) (S − S )cos 2 φ , 1

(17.c).

Assim o raio da circunferência (16) é C12A1 , conforme se conclui por comparação do segundo membro de (16) com (17.c).

Campos Tensoriais - Ruggeri

§06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos

Vejamos entre quais limites variará o raio C12 A1 : para φ3=0,

C12A1 =

(

S2 − S1 2 S + S2 ) + (S1 − S3) (S2 − S3) = S3 − 1 = C12S3 ; 2 2

para φ2=0,

C12A1 =

S2 − S1 S + S2 = S2 − 1 = C12S2 . 2 2

Vislumbra-se, assim, a possibilidade de graduar-se a circunferência (C23, R23) em

φ3 , para tornar

imediata a localização (aproximada) do lugar geométrico (16). Procederemos de modo análogo com relação a inclinação

φ1 de N, sobre o eixo principal 1, a qual deve

satisfazer a desigualdade: φ1 ≥ π/2 − φ 3 para que (15) seja possível. O lugar dos pontos do plano de Mohr, representativo das coordenadas radiais do diádico S relativos a direções igualmente inclinadas sobre o eixo principal 1, será a circunferência:

τ 2 + (ρ −

S +S 2

3 2 )

S −S 3

) 2 + cos 2 φ (S − S ) (S − S ) = C B 1

2 2

(18).

A intersecção das circunferências (16) e (18) dará, evidentemente, a imagem do ponto N da superfície esférica de raio unitário (Figura IV,7), no plano de Mohr. Cotando-se φ1 sobre a semicircunferência (C12, R12) nos mesmos moldes da operação já estudada sobre a semicircunferência (C23, R23), será possível a localização imediata (aproximada, por se tratar de um gráfico) do ponto N cujas coordenadas são a coordenada radial e a coordenada tangencial de S, relativas a N. Diádicos de revolução As coordenadas radiais principais do diádico de um ponto qualquer de um campo de diádico simétrico - todas reais conforme sabemos41 - podem diferir pelo sinal e pelo valor absoluto. Se essas coordenadas são todas de mesmo sinal, o diádico é dito elíptico, porque a quádrica indicatriz que lhe corresponde é um elipsóide e as três circunferências de Mohr que lhes correspondem estão todos de um mesmo lado do eixo Oτ (caso das Figuras IV,5 e 7) . Se uma das coordenadas tem sinal diferente do das outras duas, o diádico é dito hiperbólico ( a quádrica indicatriz é um hiperbolóide) e duas das circunferências de Mohr cortam o eixo Oτ. No caso de diádico elíptico vê-se que, relativamente a qualquer direção considerada pelo ponto, a coordenada radial correspondente tem o sinal comum das coordenadas principais. No caso de diádico hiperbólico vê-se facilmente que os valores radiais podem ser positivos, negativos e nulos; estes últimos correspondem aos pontos do eixo Oτ compreendidos entre dois círculos de Mohr e se referem às direções paralelas as geratrizes do cone assíntota (§04). Quando nenhuma das coordenadas principais é nula, o diádico é completo (§04.05, Exercício 5) e duas formas particulares são interessantes na prática: 1ª) - O diádico esférico, que corresponde ao caso em que todas as coordenadas principais são iguais. O elipsóide de Lamè a ele correspondente é a superfície esférica de raio s= S1= S2= S3, cuja equação se obtém de ((03.a),§04). Observando que S=s I, virá: 1 {p N }T . 2 I{p N } = 1 ou p1 2 + p 22 + p 32 = s 2 . s 41 Demonstraremos também esta assertiva na 3ª parte. Campos Tensoriais - Ruggeri

§04.02 – Campos bidimensionais

A equação da quádrica indicatriz que lhe corresponde obtém-se de ((05.a), §04), resultando:

y1 2 + y 22 + y 32 = (

1 s

)2 ,

isto é, uma superfície esférica de centro em O e raio 1 / s . A representação do campo do diádico em torno do ponto considerado, isto é, o diagrama de Mohr correspondente, fica reduzido a um ponto situado sobre o eixo ρ, de abscissa s = S1 = S2 = S3. Para qualquer {N}, tem-se: | p |= ρ = s e τ=0. N

2ª) - O diádico de revolução, que corresponde ao caso em que duas das coordenadas principais são iguais, por exemplo: S1 = S2 = s. A equação do elipsóide de Lamè42 obtém-se de ((05.a), §04):

p1 2 s2

p 22 s2

p 32 s 32

= 1.

A quádrica indicatriz também é de revolução pois tem por equação:

sy1 2 + sy 22 + s 3 y 32 = ±1. Se s = S1 = S2 tem o mesmo sinal de S3, o diádico é elíptico; em caso contrário é hiperbólico. Na representação do campo do diádico no entorno do ponto considerado, isto é, no diagrama de Mohr, o conjunto das três circunferências fica reduzido a apenas uma (pois R12 = 0 e C12≡S1≡S2), conforme ilustrado na Figura IV,8. A área hachurada da Figura IV,7 (ou da Figura IV,8) fica reduzida aos pontos da circunferência de maior raio.

§04.02 – Campos bidimensionais Nos pontos do domínio de definição de um campo biparamétrico (uma superfície, §05,II, no final), o diádico do campo é necessariamente uniplanar, pois é nulo o determinante de qualquer matriz associada ao diádico (qualquer que seja o sistema de referência adotado). Um dos eixos de um sistema de referência a adotar no ponto genérico – digamos o de número 3 - é, naturalmente, a normal à superfície-domínio pelo ponto; os outros dois eixos estarão contidos no plano tangente. Em relação a esse sistema, a matriz associada ao diádico do ponto terá a forma

S11 S12 S = S 21 S 22 0 0

0 0. 0

Na representação geométrica desses campos superficiais, a quádrica de Cauchy e a de Lamè se transformam em superfícies cilíndricas cujas geratrizes são paralelas à normal à superfície. Assim, o cilindro de Cauchy terá por equação:

Q ≡ {Y}T .S.{Y} = ±1,

com,

{Y} =

1 ρN

.{N};

42 É a superfície que se obtém fazendo a elipse x 2 / s 2 + x 2 / S 2 =1 dar um giro completo em torno de OX3. 2 3 3

Campos Tensoriais - Ruggeri

§04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádico

e o cilindro de Lamè:

L ≡ {p }T .S -2 .{p } = 1 , N

em ambos os casos sendo:

 n1  {N} = n 2  , com {N}T .{N} = 1.  n 3  Referindo os cilindros acima ao triedro principal do ponto (de que um dos eixos é o eixo 3), suas equações se simplificam; e são escritas nas formas:

Q ≡ {Y}T .S p .{Y} = ±1 e L ≡ {p N }T .S p -2 .{p N } = 1 onde, agora,

S1 0 S p =  0 S 2  0 0

0 0 , 0

(01).

Em vista dessa característica dos diádicos, expressa por (01), alguns autores costumam dizer que, em geral, um diádico é planar num ponto do seu domínio de definição (eventualmente triparamétrico) quando uma de suas coordenadas radiais principais é nula nesse ponto. Em relação ao triedro principal do ponto do domínio superficial do campo, o cilindro Q terá por equação: S1 y1 2 + S 2 y 22 = ±1, e será elíptico (de seção elíptica) se S1 e S2 forem de mesmo sinal; será hiperbólico se S1 e S2 tiverem sinais contrários. Considerando ((01),§04.01) e estando S escrito na forma (01), tem-se:

p1 = S1n1 ,

p 2 = S2 n 2 ,

donde,

p s

1 2

2 2 s 2 2

2 1

2 2

= 1− n

2 3

= sen 2 φ , 3

ou melhor,

(S senφ ) 2 1

2 2

(S senφ ) 2 2

(02).

Esta equação representa uma família de elipses concêntricas e coaxiais, , Figura IV,9, de parâmetro n3=senφ3, com semi-eixos iguais a:

S senφ 1

e S senφ . 2

Para cada valor de senφ3, isto é, para todas as direções N igualmente inclinadas sobre OX3, no ponto, corresponde uma elipse no plano 1-2, dada por (02). Aos unitários {N}, com n3 = 0 (unitários situados no plano 1-2), corresponderá a “elipse limite” do feixe, a “elipse de Lamè”, de semi-eixos S1 e S2.

IV, §04.03

§04.03 – Campos unidimensionais

Representação de Mohr A representação de Mohr num ponto de um campo de diádico uniplanar pode ser obtida imediatamente, sem dificuldades, tal como nos casos anteriores. Ocorrerá aqui, apenas, uma pequena singularidade: uma das coordenadas radiais principais do diádico é nula. Três casos poderão, então, acontecer. Relembrando a convenção ((13),§04) devemos considerar: 1° caso: S1<0, S2<0, S3=0;

2° caso: S1<0, S2=0, S3>0;

3° caso: S1=0, S2>0, S3>0,

cujas correspondentes representações de Mohr estão indicadas nas Figuras: IV,10.a, IV,10.b e IV,10.c. O fato mais significativo a ser assinalado nesse caso de campo planar está relacionado com os diferentes valores máximos que a coordenada transversal do diádico pode assumir, pois estes dependem dos sinais das coordenadas radiais não nulas. Tem-se: 1° caso: τ max =

| S1 | , 2

2° caso: τ max =

1 (S 3 + | S1 |) , 2

3° caso: τ max =

1 S3 . 2

Se não forem consideradas direções com componente perpendicular ao plano do campo no ponto, as coordenadas (ρ,τ) dos pontos da circunferência de Mohr de maior diâmetro representarão todos os valores radiais e transversais passíveis de ocorrer no ponto. Assim, nesse caso (e apenas nesse caso), torna-se irrelevante a área compreendida entre as três circunferências de Mohr (cujos pontos têm coordenadas também passíveis de ocorrer para direções que apresentem componentes na direção ortogonal ao plano do campo no ponto). Relativamente à técnica do uso da representação de Mohr no caso de campos planos, alguns problemas serão estudados no §07 do Cap. IX, que aqui não cabe serem abordados por falta do suporte analítico que será adquirido apenas no referido capítulo.

§04.03 – Campos unidimensionais Um último tipo de campo que interessa aqui abordar, por sua simplicidade e utilidade, é o campo 1D, ou uniparamétrico (§05,II), ou campo linear (não necessariamente retilíneo). Referindo esse campo, no seu ponto genérico, ao triedro de Frenet-Serret desse ponto (o triedro principal do ponto, §06.01,I), então, se S1 for a coordenada radial do diádico na direção da tangente à curva-domínio, o diádico correspondente terá matriz associada (principal) do tipo:

S1 S P =  0  0

0 0 0 0 . 0 0

Esse diádico admite, evidentemente, duas coordenadas radiais principais nulas 43.

43 Pode também definir-se um campo linear como aquele que admite, em todo ponto de seu domínio, duas coordenadas radiais principais nulas. Campos Tensoriais - Ruggeri

§04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádico

No ponto genérico da representação geométrica dos campos uniparamétricos a quádrica de Cauchy sofre uma dupla degeneração e se transforma num par de planos paralelos, perpendiculares a curva-domínio do campo (Figura IV,11), simétricos em relação à origem, distando entre si de 2 / S1 . Com efeito, tem-se:

Q ≡ {Y}T .S.{Y} m 1 = y1 2S1 m 1 = 0 , donde, y1 = ±

| S1 |

O elipsóide de Lamè degenera-se num par de segmentos situados sobre o eixo OX1, pois resulta da expressão geral p = S.{N} :

p 1 = ±S1 obtida para n1=±1. Os pontos do plano de Mohr que correspondem ao campo uniparamétrico são aqueles pertencentes à circunferência que passa pela origem, tendo diâmetro S1. Isso pode ser deduzido do sistema ((11),§04), impondo as condições n2 = n3 = 0 e S2 = S3 = 0. Com efeito, de qualquer das duas últimas equações daquele sistema, deduzimos:

ρ(ρ-S1 ) + τ 2 = 0 , ou, melhor,

τ 2 + (ρ -

S1 2 S ) = ( 1 )2 , 2 2

que é a equação da circunferência representada na Figura IV,13,b.



IV, §04.03

2ª Parte - Propriedades dos campos escalares e vetoriais

CAPÍTULO V CAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO ESCALAR O GRADIENTE §01 – O GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALAR Seja P ≡ (x, y, z) o ponto genérico de um campo escalar U=U(x,y,z,t), pelo qual passa, no instante t, a superfície de nível U=U0 (Figura IV,1). A variação de U nas vizinhanças do ponto P é definida pelas derivadas parciais de U em relação a x, y, e z, calculadas em P, isto é, definida por:

(

∂U ) , ∂x P

(

∂U ) ∂y P

(

∂U ) ∂z P

Passando-se do ponto P ao ponto P’=P+dP, arbitrário, da superfície do nível U0+dU, com:

dP = dxˆi + dyˆj + dzkˆ ,

(01),

∂U ∂U ∂U ) dx + ( ) dy + ( ) dz , P P ∂x ∂y ∂z P

(02),

a variação de U será:

dU = (

a menos de infinitésimos de ordem superior à primeira, que são desprezados. Designa-se por gradiente do campo escalar U, no ponto P, e representa-se por gradU, o vetor:

gradU = (

∂U ˆ ∂U ˆ ∂U ˆ ) i + ( ) j+( ) k , ∂x P ∂y P ∂z P

(03).

Tal vetor é, pois, operado de U em P, razão pela qual gradU é intitulado, também, um operador de campo. Como a cada ponto do campo escalar U fica associado o vetor gradU, dado por (03), tem-se gerado, a partir de U, o campo vetorial gradU. Resulta, imediatamente, de (01), (02) e (03): gradU.dP=dU,

(04),

propriedade característica do operador gradiente, o que permite denominá-lo, também, um operador diferencial. Reciprocamente, se existe um vetor v tal, que para qualquer deslocamento infinitesimal dP do ponto P no campo U, se tenha: v.dP = dU , (05), então, necessariamente, v=gradU. Com efeito, para o campo U já subsiste (04); e devendo prevalecer, também, (05), tem-se, então:

grad U . dP = v. dP , ou, melhor, (gradU − v).dP = 0 .

Campos Tensoriais - Ruggeri

§02 – Propriedades geométricas do gradiente. Derivada direcional.

Não sendo, necessariamente, ortogonais os vetores dP e gradU-v, resulta: gradU − v = 0 , donde v = gradU ,

(06).

Exemplo 1: Calcular o gradiente do campo de distância do exemplo 1, §03,Cap. III. Solução: Tem-se: (P − O) 2 = r 2 ; donde, por diferenciação:

2(P - O).dP = 2rdr , ou melhor,

(P - O) .dP = dr r

Lembrando (05) e (06), virá, imediatamente:

grad r =

P -O , r

isto é: “o gradiente da distância de dois pontos é o unitário da direção definida pelos mesmos, apontando da origem para o ponto.” Exemplo 2: Calcular o gradiente do campo escalar U= ln(x2+y2+z2) no ponto (1;3;5). Solução: Tem-se sucessivamente:

(

2x 2 x1 2 ∂U ) = = = ∂x P x 2 + y 2 + z 2 12 + 3 2 + 5 2 35

2y 6 ∂U ) = = ∂y P x 2 + y 2 + z 2 35

(

2z 10 ∂U ) = = . ∂z P x 2 + y 2 + z 2 35

Logo, de (03):

grad U =

2 ˆ ˆ ˆ (i + 3 j + 5k ). 35

Nota: Fica excluído do campo o ponto (0;0;0) para o qual a função U apresenta descontinuidade. Pode, porém, calcular-se gradU nas vizinhanças de (0;0;0).

§02 – PROPRIEDADES DIRECIONAL.

GEOMÉTRICAS

GRADIENTE.

DERIVADA

Se passarmos do ponto P ao ponto P’’=P+dP infinitamente próximo de P (Figura IV.1), mas situado sobre U0, ou melhor, situado sobre o plano tangente a U0, em P, então, de (04,§01) – igualdade que ainda neste caso prevalece, pois dP é arbitrário - teremos: gradU.dP=0,

(01),

já que, para essa variação de P, U ficou constante. Logo:

Propriedade 1: “O vetor gradiente é sempre ortogonal à superfície de nível no ponto onde é definido”, uma vez que gradU e dP, geralmente, são vetores não nulos, e a subsistência de (01) requer seja grad U ortogonal a dP. V, §02

§02 – Propriedades geométricas do gradiente. Derivada direcional.

Determinaremos agora o sentido do vetor gradU. Suponhamos que quando se passa do ponto P de U0, ao ponto P’=P+dP de U0+dU, o acréscimo dU do campo U seja positivo (dU>0). A igualdade ((04),§01) dá, então: gradU.dP>0, resultando que os vetores gradU e dP devem formar um ângulo agudo. Logo:

Propriedade 2: “O vetor gradU aponta no sentido dos U crescentes”.

Aplicação 3*: Vimos no estudo da geometria dos campos de diádicos simétricos (§3,IV), que a quádrica, Q≡YT.S.Y±1=0 representa, geometricamente falando, as variações da coordenada radial do diádico S, no ponto genérico O do campo, com a direção {N}. Demonstramos, também (§4, IV), que a direção da projetante do diádico na direção {N} estaria determinada pela direção da normal à quádrica Q no ponto Y, onde {N} fura Q (Figura IV,2). Podemos agora demonstrar esta mesma propriedade recorrendo ao conceito de gradiente. Temos: Q≡yiSijyj±1, (i,j = 1,2,3), donde, aplicando a fórmula ((03),§01): grad Q =

∂Q e α com soma em α, para α = 1,2,3, os eα fazendo o papel ∂y α

dos vetores de base ˆi , ˆj e kˆ . Então:

grad Q = (

∂y j ∂y i Sij y j + y i Sij )e α = (δ iα Sij y j + y i Sij δ jα )e α = (Sαj y j + y i Siα )e α = ∂y α ∂y α = 2S αk y k e α .

Em forma matricial assim escrevemos o resultado encontrado: gradQ=2S.{Y}. Lembrando ((06),§04,IV), vem, então:

grad Q = 2S.

{N} | ρN |

; e considerando ((01),§04,IV): grad Q =

2 | ρN |

pN .

Das propriedades geométricas 1 e 2 do gradiente, concluímos que a direção de pN é a da normal à quádrica Q em Y, o que demonstra a proposição feita. Derivada direcional Voltemos à Figura IV.1 onde consideramos dois pontos P e P' do campo, infinitamente próximos, sobre as superfícies de nível U0 e U0+dU. Denotando por eˆ o vetor unitário da direção r definida pelos pontos P e P', com sentido de P para P’, e por ds o módulo de dP, a igualdade ((04),§01) é escrita na forma:

dU = gradU. eˆ ds ou melhor:

dU = grad U . eˆ , ds

(02).

Diz-se que dU/ds é a derivada direcional de U na direção r; esta se iguala à projeção de grad U na direção de r, conforme (02).

Campos Tensoriais - Ruggeri

§03 – Característica tensorial do gradiente.

* Exemplo 3: Encontrar a derivada direcional do campo escalar 3D, U=xyz, no ponto P≡(1;-1;1) e na direção do vetor de origem P e extremidade P’≡(2;3;1)44. Solução: O módulo do vetor de origem P e extremidade P’ é

1 / 17 ,

17 ; e seus co-senos diretores são:

4 / 17

As derivadas de U calculadas no ponto P são: -1, 1 e –1. Logo, aplicando (02), vem:

dU/ds = (-1ˆi + 1ˆj − 1kˆ ).(1ˆi + 4ˆj) / 17 = 3 / 17 . Como dU/ds>0, no ponto P os valores do campo escalar crescem na direção considerada. * De (02) vemos, ainda, que o campo U é crescente, no ponto, em todas as direções que façam com grad U um ângulo agudo. Esse crescimento será tanto maior com a direção quanto menor for o ângulo da direção com grad U. Logo,

Propriedade 3: “a direção do gradiente de um campo escalar num ponto é aquela segundo a qual é máxima a variação do campo (ou grandeza do campo) por unidade de distância”.

§03 – CARACTERÍSTICA TENSORIAL DO GRADIENTE. Tal característica é traduzida pela independência do operador gradiente relativamente ao sistema de referencia, o que, aparentemente, é contraditório com ((03),§01). Sua propriedade característica, entretanto, permite concluir esta assertiva com muita simplicidade. Referido o campo ao sistema de base { ˆi , ˆj, kˆ }, é: gradU.dP=du e, onde gradU e dP são dados por ((03) e (01),§01), respectivamente. Referindo o campo U a outro sistema de base { ˆi 1 , ˆj1 , kˆ 1 }, denotemos por grad1 U o gradiente de U no ponto genérico P. Posto que o escalar dU e o vetor dP independem do sistema de referência (§3,I), pois ambos são tensores, escreveríamos, de ((04),§01): grad1U.dP=dU, donde:

(grad1U–gradU).dP=0.

Em vista da arbitrariedade de dP, os vetores grad1U–gradU e dP não são necessariamente ortogonais, devendo ser, portanto: grad1U=gradU, o que comprova a tese de que o vetor gradiente é um tensor pois independe do sistema de referência. * 44 Krasnov e outros, A Análise Vetorial, MIR, 1981.

V, §03

§04. – Propriedades formais do gradiente.

Exemplo 4: Encontrar a direção segundo a qual, no ponto P≡(1;1;1) a taxa de variação do campo U=xy+yz+zx é a maior. Solução: O domínio é 3D e o campo é triparamétrico. A direção procurada é a do gradiente no ponto P. Sendo, no ponto (x;y;z), gradU = (y + z)ˆi + (z + x)ˆj + ( x + y)kˆ , em P será gradU = 2(ˆi + ˆj + kˆ ) , vetor esse cujo módulo é 4 3 e define a taxa de crescimento. O unitário é, agora, determinado com facilidade. *

§04. – PROPRIEDADES FORMAIS DO GRADIENTE. Além das propriedades características e das geométricas, demonstraremos outras propriedades do gradiente, denominadas formais, a partir da seguinte Propriedade fundamental: Se U1, U2, ..., Un são n campos escalares e se f(U1, U2,...,Un) é um campo escalar dependente dos primeiros, todos definidos num mesmo domínio, tem-se, em qualquer ponto do domínio45:

grad f(U1 , U 2 ,..., U n ) =

∂f grad U i ∂U i

(soma em i)

(01).

Com efeito, da propriedade característica podemos escrever, par um ponto genérico P do domínio: gradf.dP=df, donde, calculando a diferencial df:

gradf f . dP =

∂f dU i . ∂U i

Reaplicando a propriedade característica para cada campo Ui, virá:

grad f . dP =

∂f grad U i . dP ∂U i

donde,

(grad f −

∂f grad U i ) . dP = 0 . ∂U i

Dada a arbitrariedade de dP, o vetor entre parênteses deve anular-se; donde, então, (01). Este teorema fundamental, decorrência imediata da propriedade característica, mostra claramente que o operador gradiente goza das mesmas propriedades do operador diferencial em Análise Infinitesimal. Daí poder afirmar-se, mediante emprego de neologismo, conforme sugere Calaes46: “Gradienta-se um campo escalar tal como em Análise se diferencia uma função qualquer”.

45 Não é necessário frisar que as funções Ui e a função f devem ser contínuas, uniformes e admitir derivadas parciais contínuas, etc., conforme está estabelecido no §1 do cap. III. 46 Calaes, A.M., bibl. 04, pág. 325 (vol.II). Campos Tensoriais - Ruggeri

§04. – Propriedades formais do gradiente.

Propriedades formais

Propriedade 1 – Se um campo escalar f é constante, então: grad f = 0. Pois em (01) as derivadas parciais de f são todas nulas.

Propriedade 2 – Se f (U1 , U2 , …, Un ) = λ1U1 + λ2U2+ … + λnUn, λi = constate, então: grad (λ1U1+ λ2U2+ … + λnUn) = λ1gradU1+ ... + λngradUn,

(02).

Com efeito, pois, sendo ∂f/∂U i = λ i , (4.1) implica (02). * Exemplo 5: Sejam, num plano, r1 e r2 as distâncias de um ponto móvel P a dois pontos fixos F1 e F2. Da propriedade 2 escrevemos: grad(r1 ± r2 ) = grad r1 ± grad r2. Denotando por uˆ 1 e uˆ 2 os unitários das direções PF1 e PF2 (Figura V,2), podemos escrever, considerando o demonstrado no exemplo 1: grad(r1 ± r2 ) = uˆ 1 ± uˆ 2 . Tendo uˆ 1 e uˆ 2 o mesmo módulo, o vetor soma deles é dirigido segundo a bissetriz interior do ângulo desses vetores e o vetor diferença dirigido segundo a bissetriz exterior. A bissetriz interior é, pois, ortogonal à linha de nível (§2,IV) r1 + r2 = constante, isto é, é ortogonal à elipse de focos F1 e F2. A bissetriz exterior é também ortogonal à linha de nível r1 – r2 = constante, isto é, ortogonal a hipérbole de focos F1 e F2 . Sendo ortogonais essas bissetrizes, concluí-se também que as duas famílias de elipses e hipérboles são co-focais, as curvas de qualquer uma das famílias sendo trajetórias ortogonais das curvas da outra. Fica evidente, assim, um processo de traçado gráfico das tangentes e normais à elipse e à hipérbole. *

Propriedade 3: Se f(U1, U2) = U1 U2, então: grad (U1U2 ) = U1 grad U2 + U2grad U1 ,

(04).

Essa propriedade é uma conseqüência imediata de (01), bastando observar-se que :

∂f ∂f = U2 e = U1 . ∂U i ∂U 2 A generalização é imediata, verificando-se:

grad (U 1 U 2 ...U n ) = (U 2 U 3 ...U n )grad U 1 + ( U 1 U 3 ...U n )grad U 2 + ... ,

(05).

Caso particular: Se U1=U2=...=Un=U, então deduzimos, de (05):

grad U n = n.U n -1gradU ,

(06).

* Exemplo 6: Sejam, num plano, r1 e r2 as distâncias de um ponto móvel P a dois pontos fixos F1 e F2. De (04) escrevemos:

grad(r1r2 ) = r1gradr2 + r2gradr1 .

V, §04

§04. – Propriedades formais do gradiente.

Denotando por uˆ 1 e uˆ 2 os unitários das direções PF1 e PF2, e mais uma vez considerando o exemplo 1, podemos concluir:

grad(r1 xr2 ) = r1uˆ 2 + r2 uˆ 1 . Então, o vetor r1uˆ 2 + r2 uˆ 1 é ortogonal à linha de nível r1.r2 = constante (ovais de Cassine) e sua determinação é imediata conforme se ilustra na Figura V,3. *

Propriedade 4: Se f = U V então:

grad U V =

VgradU − UgradV , V2

∂f 1 = ∂U V

(07).

Pois, em (01), será:

∂f U =− 2 . ∂V V

Como caso particular, fica evidente que:

grad(1 V) = −

1 gradV , V2

(08).

∫

Propriedade 5: Se f(U) = φ(U)dU , então

∫

grad φ(U)dU = φ(U)gradU ,

(09).

Pois será, em (01):

∂f df d = = φ( U)dU = φ(U) . ∂U dU dU

∫

Exemplo 7: Campo central. No exemplo 1, IV, §03, definimos o campo central de O e vimos que a todo ponto P do campo está associado o vetor

v = f(r)uˆ

(10),

onde uˆ é o unitário da direção OP, com |OP|=r. Do exemplo 1 podemos, então, escrever: v = f(r) grad r , e da propriedade 5, fórmula (09), concluímos:

∫

v = grad U , onde U = f(r) . dr. Se, por exemplo, o campo v é newtoniano, isto é, se:

v = −

k r

∫

uˆ (k = constante, r ≠ 0), então: v = grad (−

k k )dr = grad( ) . r r2

Campos Tensoriais - Ruggeri

§06 – Propriedade geométrica característica dos campos com potencial.

§05 – POTENCIAL ESCALAR DE UM CAMPO VETORIAL. Mostramos no §1 que do campo escalar U, dado, gera-se, pelo operador gradiente, o campo vetorial grad U. A situação inversa, entretanto, nem sempre é verdadeira, isto é, dado um campo vetorial v, nem sempre existe um campo escalar U tal que v=gradU. O exemplo 5, entretanto, mostrou a existência de um campo vetorial particular

∫

– o campo central – para o qual existe um campo escalar U = f(r) . dr tal que v = gradU. Suponhamos dado, genericamente, um campo vetorial v definido num certo domínio D. Se existir em D um campo escalar U , tal que em todo ponto de D, seja:

v = grad U ,

(01),

diremos que v deriva do potencial U, ou que v tem potencial U. O campo U recebe a denominação de potencial escalar do campo v. No próximo capítulo veremos uma condição suficiente para que um campo vetorial derive de um potencial.

§06 – PROPRIEDADE GEOMÉTRICA CARACTERÍSTICA DOS CAMPOS COM POTENCIAL. Essa importante propriedade assim se enuncia: “As linhas diretrizes (§03, IV) de um campo vetorial v, com potencial escalar U, são as trajetórias ortogonais das superfícies de nível de U”. Com efeito, devendo verificar-se (01) em todo ponto P do campo U, gradU será tangente à linha diretriz que passa por esse ponto (§3,IV), concluindo-se que tal linha será ortogonal à superfície de nível desse mesmo ponto uma vez que gradU lhe é ortogonal (§02, propr. 1). As linhas diretrizes, interceptando as superfícies de nível U em ângulo reto, serão, por definição, as trajetórias ortogonais de U, o que demonstra a propriedade. Uma importante conseqüência dessa propriedade pode ser obtida para os campos centrais, considerados no exemplo 7. Qualquer que seja a lei f(r) que define o campo v, conforme (10), as superfícies de nível do potencial escalar serão esferas centradas no “centro” do campo, pois suas linhas diretrizes (ver ex. 1,IV) formam uma estrela de retas de vértice nesse centro.



V, §06

CAPITULO VI CAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO VETORIAL A circulação

§01 – A CIRCULAÇÃO DE UM CAMPO VETORIAL Consideremos um campo vetorial qualquer, não estacionário eventualmente, definido num domínio D, dado pela lei (ou função vetorial) v: v = L(x, y, z, t)i + M(x, y, z, t) j + N(x, y, z, t)k

(01).

Seja (C) um contorno não fechado, dado em D, fixo ou não, contínuo, ligando dois pontos dados A e B do campo, imaginariamente percorrido por um ponto P num sentido préfixado, o da flecha f, por exemplo, conforme indicado na Figura VI,1. Num dado instante, a cada ponto de (C), corresponde um vetor v dado por (01). Chama-se circulação elementar do vetor v em P, no instante t, ao longo do elemento de arco dP e no sentido f – que denotaremos por dτ - o escalar:

dτ = v . dP =| v | . | dP | . cos θ ,

(02),

θ sendo o ângulo de v com dP. A soma das circulações elementares dos vetores v do campo, relativas a todos os pontos de (C), no instante t, entre os pontos A e B – que denotaremos por τAB, denomina-se circulação do campo v ao longo de (C), escrevendo-se:

τ AB =

∫(C)v.dP = ∫Av.dP ,

(03).

Se o contorno é fechado, escreve-se:

∫

τ = v.dP ,

(03a).

(C)

É claro que, por ser v função do tempo, τAB e τ também o serão. Se o contorno (C) for fixo, a circulação τAB dependerá apenas de t; se ele for móvel, dependerá dos pontos terminais A e B e do tempo. Outras situações de maior interesse serão analisadas mais a frente.

§02 – PROPRIEDADES DA CIRCULAÇÃO Tais propriedades são deduzidas diretamente da definição ((03),§01) e das propriedades das integrais curvilíneas47.

47 Veja Tibiriçá , bibl. n. 11, vol. I, pág. 356 e seguintes. Campos Tensoriais - Ruggeri

§03 – Circulação de campo que deriva de potencial escalar.

Propriedade 1 A circulação conserva-se em valor absoluto, mas muda de sinal sempre que se inverte o sentido de integração (o que equivale a mudar o sentido de percurso sobre o arco AB). Pois, com efeito: B

∫ v. dP = −∫ v. dP . Propriedade 2 Se A, B e são três pontos do contorno (C), tem-se: B

∫ v. dP = ∫ v. dP + ∫ v. dP , quaisquer que sejam as posições relativas dos pontos em (C). Seja, agora, (C) um contorno fechado qualquer, plano ou reverso, e Ci, para i = 1,2,...,n, n curvas, também quaisquer, ligando, cada uma, dois pontos de (C), mas situadas, todas, sobre uma mesma calota de superfície, S, de duas faces, apoiada em (C) (Figura VI,2). Esse conjunto de curvas Ci definirá, com (C), polígonos curvilíneos (quadriláteros, triângulos, etc.) – contornos fechados, portanto – ao longo dos quais, e sempre num mesmo sentido, poder-se-á calcular a circulação do campo. A fixação do sentido de percurso poderá ser feita, convencionando-se que se deva caminhar sobre os lados de qualquer um dos polígonos sobre uma das faces, deixando-se sempre à esquerda a área da calota delimitada pelo polígono. Tem-se, assim, sobre a calota, uma “rede orientada de polígonos”. Destaquemos qualquer um desses polígonos com todos aqueles que o cercam (Figura VI,3). Assim:

Propriedade 3 “A soma das circulações do campo, ao longo de todos os polígonos de uma rede orientada, definida sobre qualquer calota de superfície, apoiada sobre um contorno fechado (C), é igual à circulação do campo ao longo de (C)”. Com efeito, para todos os polígonos da rede que não tenham lado comum com (C), a circulação do campo apresentará parcelas que diferirão apenas pelo sentido de integração e que, portanto, pela propriedade 1, têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários. Na soma geral, tais parcelas se anularão, restando apenas, aquelas relativas à circulação do campo ao longo do contorno (C).

§03 – CIRCULAÇÃO DE CAMPO QUE DERIVA DE POTENCIAL ESCALAR Suponhamos que o campo v derive do potencial escalar φ (§05,V). Nesse caso, a circulação do campo ao longo de um contorno (C) entre os pontos A e B é escrita na forma: B

∫A grad φ . dP .

τ AB =

Lembrando a propriedade característica do operador gradiente ((04),§01,V), tem-se:

τ AB =

∫

dφ = φ B − φ A ,

onde φB e φA são os valores do campo φ nos pontos B e A, respectivamente. VI, §03

§05 – Significado físico da circulação e do potencial.

Assim, sempre que um campo vetorial deriva de potencial escalar: 1) - a circulação do campo ao longo de um contorno ligando dois pontos do campo independe desse contorno48 (ou caminho), mas apenas dos pontos terminais e vale a diferença dos potenciais nesses pontos; 2) - se esse caminho for uma curva fechada, a circulação do campo será sempre nula (em qualquer região do campo), pois φ B = φ A .

§04 – CAMPOS LAMELARES OU CONSERVATIVOS Vimos que um campo escalar é representado geometricamente por suas superfícies de nível (§02,IV), e estas formam um conjunto de cascas ou lamelas. Esse fato sugere denominar os campos vetoriais que derivam de potencial escalar de campos lamelares ou laminares. O fato de a circulação, nesses campos, conservar um valor constante entre dois quaisquer de seus pontos, independendo da trajetória que os ligue (§03), sugere também denominá-los conservativos49. Aspectos mais significativos, entretanto, imporão, naturalmente, outra denominação que poderá ser adotada (a de irrotacional), conforme veremos no §13.

§05 – SIGNIFICADO FÍSICO DA CIRCULAÇÃO E DO POTENCIAL Quando o campo vetorial é de natureza qualquer, a circulação carece de significado físico. Entretanto, quando esse campo vetorial é um campo de forças, sua circulação é equivalente ao trabalho realizado pelas forças de campo ao longo do contorno. Se supusermos, ainda neste caso, que o campo de forças deriva de um potencial escalar φ, às superfícies de nível desse campo φ - denominadas superfícies equipotenciais – estariam associados valores de energia, pois teríamos: dτ = v . dP = gradφ . dP = dφ , isto é, o trabalho realizado pelas forças de campo entre duas superfícies equipotenciais φ1 e φ2, no sentido φ1 para φ2, será a diferença φ2-φ1, qualquer que seja o caminho considerado. Se, por exemplo, o campo vetorial for o das velocidades de um fluido em escoamento, e se o contorno (C) for uma curva plana fechada encerrando uma área ∆S, a circulação por unidade de área é (Figura VI,4):

∆τ =

1 v . dQ , ∆S ∫(C)

que pode escrever-se também na forma:

∆τ =

1 ( v t + v n + v b ) .d Q , ∆S ∫(C)

onde vt, vn e vb são, respectivamente, as componentes de v segundo os unitários tˆ , ˆ nˆ e b do triedro de Frenet (§06.01,I) do contorno (C) no seu ponto genérico Q. Ora, vn e vb não contribuem para a circulação de v por serem ortogonais a dQ em todo ponto do contorno; então:

∆τ =

1 1 v t .dQ = | v t | . | dQ | , ∫ ( C) ∆S ∆S ∫( C)

(01).

Se ∆τ≠0, pode concluir-se que a partícula fluida em Q circula em torno de ponto P, no instante considerado, com velocidade vt.

48 A rigor, o domínio D deve ser simplesmente conexo, isto é, dados dois pontos quaisquer A e B de D e dois caminhos quaisquer indo de A a B , esses dois caminhos devem poder reduzir-se, um ao outro, por uma deformação contínua deles e sem sair da região. 49 Essa denominação é mais comum na Mecânica Racional, e não nos parece a mais apropriada, uma vez que nos campos solenoidais (§8, VI) o fluxo através de qualquer calota de superfície apoiada num contorno fechado também se conserva, o que nos levaria, por analogia e coerência, a denominá-los, conservativos (o que seria impróprio). Deve, pois dizer-se: conservativos para a circulação ou conservativos para o fluxo. Campos Tensoriais - Ruggeri

§06 – Condição para que um campo vetorial derive de um potencial escalar.

Da Mecânica Racional sabemos que, no movimento circular, o vetor velocidade angular w liga-se ao vetor posição r e ao vetor v pela lei: v = w × r . Em módulo escrevemos: v=wr, donde para r suficientemente pequeno

v 1 v(2πr) 1 circulação de v ao longo da circunf. = . = . . r 2 πr 2 2 área do círculo

Por analogia desse conceito clássico elementar com a expressão (01), dizemos que ∆τ é proporcional à “velocidade angular média” das partículas fluidas em torno do ponto P. Assim, se ∆τ≠0, o fluido encontra-se macroscopicamente em rotação em torno de P. Se o plano de (C) ocupar diferentes posições em torno de P, ∆τ assumirá valores diferentes. Consideremos um vetor w, com as seguintes características: 1) – de direção normal ao plano de (C); 2) – de sentido tal que uma pessoa com os pés em P (Figura VI,4) e com o corpo no sentido de w veja a circulação realizar-se no sentido anti-horário; 3) – de módulo igual à metade do maior valor da circulação em torno de P, quando ∆S→0, isto é, tal que:

| w |=

1 max[ lim ∆S → 0 2

∫(C)

v . dQ ∆S

(02),

em que supõe-se, obviamente, que o limite exista e seja finito, determinado e único, independentemente da lei segundo a qual ∆S tende para zero. Tal vetor denomina-se velocidade angular do campo v em torno de P. De imediato pode concluir-se que, se o campo das velocidades derivar de um potencial, não existirá jamais velocidade angular (ou rotação) em qualquer ponto, pois a circulação do campo será sempre nula (§03), qualquer que seja o contorno fechado considerado50.

§06 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE UM POTENCIAL ESCALAR. No §05,V mostramos que nem sempre um campo vetorial deriva de potencial escalar; e no §03 mostramos que, quando isso acontece, a circulação do campo ao longo de qualquer contorno, entre dois pontos, só depende desses pontos. Ora, se v, dado na forma ((01),§01), deve também ser escrito na forma de gradiente de um campo φ, então deve ser, lembrado ((03),§01,V):

∂φ , ∂x

∂φ , ∂y

∂φ ∂z

(01).

Mas se subsistem as relações (01), subsistirão também as seguintes:

∂L ∂ 2 φ ∂M = = , ∂y ∂y∂x ∂x

∂L ∂ 2φ ∂N = = , ∂z ∂z∂x ∂x

∂M ∂ 2φ ∂N = = , ∂z ∂z∂y ∂y

50 – Este é um forte motivo para denominar os campos que derivem de potencial escalar de campos irrotacionais, o que será feito no §13.

VI, § 06

§06 – Condição para que um campo vetorial derive de um potencial escalar.

pois supõe-se φ contínua de x, y e z no domínio D; e o teorema de Young (que garante a igualdade das derivadas cruzadas), permite escrever: ∂ 2φ ∂ 2φ , etc. . = ∂y∂x ∂x∂y Então, as coordenadas de v devem satisfazer as seguintes relações:

∂N ∂M − =0 ∂y ∂z

∂L ∂N − = 0, ∂z ∂x

∂M ∂L − = 0, ∂x ∂y

(02).

r Mnemonicamente podemos traduzir as relações (02) como a condição de nulidade do produto vetorial ∇ × v , do ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ vetor simbólico nabla: ∇ = ˆi + j +k pelo vetor v, produto esse que, na clássica fórmula de um ∂x ∂y ∂z pseudodeterminante, é escrito na forma: ˆi ∂ ∂x L

ˆj ∂ ∂y M

kˆ ∂ =0, ∂z N

(03),

desde que seja convencionado substituírem-se os produtos do tipo

∂ ∂ W ou W por justaposições do tipo ∂u ∂u

∂W (para W=L,M,N). Assim, (03) é uma condição suficiente para que o campo v derive de um potencial ∂u escalar φ (existe (03) porque v=gradφ). No §13 mostraremos que (03) é, também, condição necessária. Poder-se-á calcular o potencial φ pela fórmula: φ=

∫

L(x, y, z, t)dx +

∫

M(x 0 , y, z, t)dy +

∫

N(x 0 , y0 , z, t)dz

(04),

onde x0, y0 e z0 são as coordenadas de um ponto arbitrário do campo, fórmula essa que se obtém por integração das equações (01)51. É evidente que se o campo v é superficial (dependente de dois parâmetros e de tempo) as igualdades (01) ficam reduzidas a duas, as (02) a apenas uma e a (04) tem seu segundo membro reduzido a duas parcelas. * Exemplo 1: Verificar que o campo v = xy2zˆi + x 2yzˆj + (x 2 y2) / 2 kˆ deriva do potencial φ = (x 2y2z)/2 . Solução: Tem-se: L = xy 2 z , M = x 2 yz e N = x 2 y 2 / 2 . Se v deriva de φ devem verificar-se as relações (02); encontra-se, realmente:

∂L ∂M = 2xyz = , ∂y ∂x

∂L ∂N = xy 2 = , ∂z ∂x

∂M ∂N = x2y = . ∂z ∂y

De (04) teremos, então, por exemplo, para x0, y0 e z0 todos nulos:

φ=

∫

xy 2 zdx +

∫

0dy + 0dz = 0

1 2 2 x y z. 2

51 – Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, vol. I, pág. 356. Campos Tensoriais - Ruggeri

§07 – Generalidades (rotacional).

A verificação é imediata. Tem-se, no ponto genérico P≡(x,y,z) do campo φ:

v = grad φ =

1 ∂φ ˆ ∂φ ˆ ∂φ ˆ i+ j+ k = xy 2 zˆi + x 2 yzˆj + x 2 y 2 kˆ . ∂x ∂y ∂z 2

Exemplo 2 : Verificar que o campo magnético de intensidade H do exemplo 7, §03, III, planar e estacionário (também considerado no exemplo 2, §03, IV), deriva do potencial: φ = Ai[kπ − arctg(x/y)] . Solução: Tem-se:

L = Ai

−y + y2

M = Ai

x ∂L y2 − x 2 ∂M , donde: = 2 Ai = . 2 +y ∂y ( x + y 2 ) 2 ∂x

Logo, para x0=0 e y0 qualquer, obtém-se:

1 = Ai

∫

−y dx + 2 x + y2

∫

0 x dy = − arctg 2 y 0+ y

= −arctg 0

x + kπ , com k = 0, ±1, ±2, ... y

Verificação:

H = gradφ = Ai[

y ∂ x ∂ x x ˆi + ˆj) . (−arctg + kπ)ˆi + (−arctg + kπ)ˆj] = A(− 2 2 2 ∂x y ∂y y x +y x + y2 *

Reproduzamos a Figura III,3 do exemplo 7, §03, III de uma forma mais significativa, como na Figura VI,5, onde indicamos θ=arctg(x/y). Logo:

φ = A i (−θ + kπ) ,

(05),

e as superfícies de nível desse campo escalar, que se obtêm para φ = constante, são, pois, os planos de um feixe que admitem o eixo do condutor (eixo dos z) como charneira. Estamos, assim, em face de uma singularidade, pois as superfícies de nível nunca se interceptam, conforme propriedade 2, demonstrada no §02,IV. O eixo dos z é essa singularidade, e o campo φ não é definido por uma função unívoca, conforme exigimos no §01,III (pois k em (05) pode assumir infinitos valores inteiros, positivos ou negativos). Diz-se, nesse caso, que o campo magnético gerado pela corrente elétrica que circula pelo condutor é cíclico e certas restrições devem ser adotadas para contornar parte do problema gerado por essa singularidade, o que aqui não cabe abordar52. * O rotacional

§07 – GENERALIDADES Vimos, no §03, que, quando um campo vetorial deriva de um potencial escalar, a circulação do campo ao longo de qualquer contorno ligando dois pontos do campo não depende do contorno, mas apenas dos pontos terminais. Tais campos costumam ser denominados lamelares. Mostramos também (§06) que, se um campo vetorial, definido na forma ((01),§01) é lamelar, suas coordenadas satisfazem as relações ((02),§06); ou, o que é o mesmo, que o vetor definido pelo pseudodeterminante ((03),§06) deve ser nulo. 52 Mais alguma informação pode ser obtida com Hague, bibl. n. 9, e mais pormenorizadamente com GIBBS, bibl. 8, pág. 200 a 204.

VI, §07

§08 – Definição do rotacional de um campo vetorial.

Deixamos claro que nem todo campo vetorial satisfaz a ((03),§06), verificando-se, geralmente, que:

∂L ∂N − = w y ( x, y, z, t ) , ∂z ∂x

∂N ∂M − = w x ( x, y, z, t ) , ∂y ∂z

∂M ∂L − = w z ( x, y, z, t ) , ∂x ∂y

(01),

ou melhor,

ˆi ∂ ∂x L

ˆj ∂ ∂y M

kˆ ∂ = w x ˆi + w y ˆj + w z kˆ = w ≠ o , ∂z N

(02).

Campos vetoriais que não satisfazem a ((03),§06) são também de grande importância na Física e a eles dedicaremos, agora, alguma atenção.

§08 – DEFINIÇÃO DO ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL Consideremos um campo vetorial qualquer, referido a um triedro triortogonal O − ˆiˆjkˆ , e pelo seu ponto genérico P – onde o campo v é dado por ((01),§01), no instante t – conduzamos um plano π contendo um retângulo elementar ABCD cujo centro é P (Figura VI,6.a).

Se fixarmos um sentido de percurso sobre ABCD, tal como fizemos no §02, propr. 3, a direção de π poderá ser definida por um vetor unitário nˆ ortogonal a π que aponte no sentido de satisfazer, com o sentido da circulação, a regra do observador (definida no §05). O tubo de campo (§03,IV) relativo a esse retângulo admite, nas vizinhanças de P, geratrizes praticamente paralelas; e os vetores de campo a ele relativos diferirão apenas em módulo e de uma quantidade infinitesimal. A circulação do campo ao longo de ABCD dependerá, evidentemente, da posição do retângulo, ou melhor, de sua normal nˆ . Com efeito, se nˆ é paralelo a v, a circulação é nula, pois v é ortogonal a todos os elementos de arco do circuito (Figura VI,6.b); girando-se ABCD de ângulo qualquer em torno de um eixo paralelo a AB, nˆ deixa de ser ortogonal a v e a circulação pode assumir um valor finito (não nulo), tudo dependendo da natureza das funções L, M e N que definem o campo v em P. Mais algum giro em torno de AB e a circulação, novamente, pode anular-se. Verifica-se assim a possibilidade da existência de uma posição para o retângulo elementar ABCD, dada por um unitário nˆ ∗ , segundo o qual a circulação do campo, por unidade de área nas vizinhanças do ponto P, seja máxima. Ao vetor, representado por rot v (ler: rotacional de v), de mesma direção e sentido que nˆ ∗ e cuja projeção numa direção qualquer, nˆ , valha a circulação por unidade de área relativa à direção nˆ , isto é, tal que:

rot v. nˆ = lim

∆S → 0

∫

v. dQ

ABCD

∆S

(01),

denomina-se rotacional do campo v em P. É claro que, na direção nˆ ∗ , Campos Tensoriais - Ruggeri

§09 – Generalização. Fórmula de Stokes.

rot v. nˆ ∗ = máx lim

∫

v. dQ

ABCD

∆S

∆S → 0

donde escrever-se:

rot v = (máx lim

∫

v. dQ

ABCD

∆S → 0

∆S

) nˆ ∗ ,

(02).

Segundo (02), gerar-se-á do campo vetorial v um segundo campo, também vetorial, rot v, pois a cada ponto P do campo v deverá associar-se o vetor rot v. Usaremos, por isso mesmo, em algumas oportunidades, a denominação: operador rotacional, que fica, desde já, justificada. De (02) decorre imediatamente que o

operador rotacional é independente de qualquer sistema de referência.

§09 – GENERALIZAÇÃO. FÓRMULA DE STOKES Consideremos agora, ao invés de um contorno fechado, plano, retangular, interior a um campo vetorial v, (como o fizemos no §5 e no §8) um contorno fechado reverso qualquer, C, sobre o qual se apóia uma calota de superfície S, dada, de duas faces, mas arbitrária (Figura VI,2). Imaginemos retalhada a calota S por seu sistema de coordenadas curvilíneas intrínsecas, o qual define uma rede de quadriláteros curvilíneos (sobre S). Qualquer desses quadriláteros, ABCD (Figura VI,7), que envolve o ponto genérico R do campo é suposto percorrido no sentido anti-horário para quem o observa do semi-espaço em que se encontra a normal exterior nˆ a S. Em R, o campo v admitirá o rotacional rotvR. Fazendo o número de quadriláteros crescer indefinidamente (suas áreas tendendo para zero) escrevemos, considerando ((01),§08):

rot v R . nˆ dS =

∫

v . dQ ,

(01).

ABCD

Como v, suas derivadas e rot v são, por hipótese, funções contínuas e unívocas em todos R (§01,III), as integrais curvilíneas do segundo membro de (01) ao longo dos lados comuns a cada elemento de área vão cancelar-se quando for efetuada a somatória das circulações do campo relativas a todos os polígonos da rede sobre a calota (§02, propr. 3). As únicas contribuições para essa circulação serão obtidas dos quadriláteros que apresentarem um lado coincidente com um arco da curva (C). Assim, somando-se membro a membro as expressões (01) relativas a todos os quadriláteros, teremos:

∫Srot v. nˆ dS = ∫(C) v.dQ ,

(02) 53.

53 - O conceito é válido nos domínios simplesmente conexos (vide observação de rodapé do § 03) onde toda curva fechada pode, por deformação continua, ser reduzida a um ponto, sem sair do domínio. Se o domínio é definido por pontos não exteriores a um toro, não existe contorno fechado, enlaçando todo o toro pelo seu interior, sobre o qual se apóie qualquer calota cujos pontos sejam também do domínio. Se o domínio é definido por pontos exteriores ao toro, não existe contorno fechado que enlace o toro pelo exterior, sobre o qual se apóie uma calota de superfície cujos pontos sejam também do domínio. Em qualquer um dos casos, o toro não é simplesmente conexo. Mas são simplesmente conexos: todo o E3, todo o plano, todo o interior de uma curva plana, o interior ou o exterior de uma superfície esférica, o interior ou o exterior das faces de um cubo etc.

VI, §09

§10 – Expressão cartesiana do rotacional.

A fórmula (02) generaliza, portanto, a expressão ((01),§08), pois é definida para contornos fechados quaisquer; é denominada fórmula de Stokes e a ela nos referiremos por várias vezes.

§10 – EXPRESSÃO CARTESIANA DO ROTACIONAL Os fenômenos físicos independem de sistemas de referência, mas são sempre estudados em relação a algum deles, convenientemente escolhido, tornando-se importante, pois, a determinação cartesiana do rotacional, em relação ao sistema adotado. Para tal, refiramos um campo vetorial v, dado na forma ((01),§01), a um sistema cartesiano triortogonal, O-xyz, de base vetorial { ˆiˆjkˆ }. O vetor rot v pode ser escrito na forma54

rot v = (rot v.î )î + (rot v.ˆj)ˆj + (rot v.kˆ )kˆ , concluindo-se imediatamente, em vista de ((01),§08) que suas coordenadas (rotv. î ,...) são as circulações de v, por unidade de área, em contornos retilíneos elementares com normais î , ˆj e kˆ , nas vizinhanças do ponto genérico P do campo. A coordenada na direção kˆ , por exemplo, pode ser calculada, facilmente, por consideração da Figura VI,8 onde mostramos um contorno fechado retangular elementar de lados dx e dy, de normal kˆ e circulação determinada pela regra do observador. A circulação de v será a soma das circulações de suas componentes e, no caso, apenas as componentes segundo x e y contribuirão na computação uma vez que a componente segundo z, por ser ortogonal a ABCD, terá circulação nula. Ao longo de AB e CD, apenas a componente L de v, segundo î , contribuirá para a circulação; similarmente, ao longo de BC e DA apenas a componente M de v, segundo ˆj , contribuirá para a circulação. Os valores dessas componentes ao longo dos segmentos AB, CD, BC e DA, a menos de infinitésimos de ordem superior à primeira, podem ser igualados aos valores dessas componentes nos pontos médios dos segmentos e valem, respectivamente55:

L−(

∂L dy ) , ∂y P 2

L+(

∂L dy ) , ∂y P 2

M+(

∂M dx ) ∂x P 2

M−(

∂M dx ) . ∂x P 2

Logo, a circulação de v ao longo de ABCD será (dispensando-se os parênteses das derivadas parciais):

(L −

∂L dy ˆ ˆ ∂M dx ˆ ˆ ∂L dy ˆ ∂M dx ˆ . )i.dx i + (M + . ) j.dy j + (L + . )i.dx(−ˆi ) + (M − . ) j. dy (−ˆj) , ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2

ou melhor, simplificando:

(

∂M ∂L − )dxdy . ∂x ∂y

54 -Veja Calaes, bibl. n. 4, pág. 150 a 152.

55 A componente de v no ponto médio AB, por exemplo, LAB, pode obter-se desenvolvendo a função L em série de Taylor no ponto onde v tem componentes (L,M,N) com a condição de que apenas y tenha acréscimo (negativo, no caso) e escreve-se: L AB = L +

∂L ∂y

2 ∂L dy ∂L 1 ∂ L ∂L dy ( )+ dz + dx + ... = L − . 2 ∂y 2 ∂z 2! ∂x ∂y 2 2

dx +

Campos Tensoriais - Ruggeri

§12 – Propriedades formais do rotacional

Tal circulação, por unidade de área ortogonal ao eixo Oz, isto é, a componente de rotv segundo kˆ será, lembrando a terceira das relações ((01),§07):

wz =

∂M ∂L − . ∂x ∂y

Similarmente podemos obter as demais coordenadas, resultando para rot v a expressão cartesiana seguinte:

rot v = (

∂N ∂M ˆ ∂L ∂N ˆ ∂M ∂L ˆ − )i + ( − )j + ( − )k , ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

(01),

ou, relembrando ((01),§07): rot v = w x ˆi + w y ˆj + w z kˆ . Na forma de um determinante simbólico, desenvolvido pela regra de Sarrus segundo os elementos da primeira linha, (01) pode ser assim escrita:

ˆi ∂ rot v = ∂x L

ˆj ∂ ∂y M

kˆ ∂ , ∂z N

(02).

De um campo vetorial v gera-se, assim, por operações diferenciais, um novo campo vetorial: o rotv, pois, com efeito, ao mesmo ponto onde se define v associar-se-á o vetor (01) cujas coordenadas são, ainda, por hipótese, funções contínuas e unívocas do ponto e do tempo (veja §01,III, no final).

§11 – SIGNIFICADO FÍSICO DO ROTACIONAL Consideremos o campo das velocidades do um fluido em escoamento apresentado no §05 quando procurávamos um significado físico para a circulação. Lá, definimos a velocidade angular da massa fluida em torno de P pela relação ((02).§05); então, desta relação e de ((02),§08), resulta:

rot v = 2w

(01),

isto é,

“de um campo de velocidades v, o campo w, gerado pelo operador rotacional sobre v, é o das velocidades angulares do campo v em cada um de seus pontos”. Se v for um campo qualquer, a propriedade acima pode generalizar-se com o seguinte enunciado:

“de um campo vetorial v, o campo w, gerado pelo operador rotacional, é o da máxima circulação do campo v por unidade de área nas vizinhanças de cada um de seus pontos”.

§12 – PROPRIEDADES FORMAIS DO ROTACIONAL Propriedade 1 – Se a é vetor constante (eventualmente variável só com o tempo): rot a = o. Pois de ((01),§08) escreveríamos:

rot a.nˆ = lim

∆S → 0

porque, sendo fechado o contorno,

∫

a.dQ

ABCD

∆S

= 0 ,

a.dQ = a. dQ = 0 . Sendo n arbitrário, deverá ser rot a = o.

ABCD

VI, §12

∫

ABCD

§12 – Propriedades formais do rotacional.

Propriedade 2 – O rotacional é distributivo em relação a adição:

rot(u + v + ... + w ) = rot u + rot v + ... + rot w ,

(01).

Esta propriedade decorre, também, imediatamente da definição, pois:

rot (u + v + ... + w).nˆ = lim

∆S→0

= lim

∆S → 0

∫ u.dQ + ∆S

lim

∆S → 0

∫ (u + v + ... + w).dQ =

∫ v.dQ + ... + ∆S

∆S

lim

∫ w.dQ ∆S

∆S → 0

= rot u . nˆ + rotv . nˆ + ... + rotw . nˆ , donde, então, (01), porque nˆ é arbitrário e porque ao multiplicação escalar de vetores é distributiva em relação à adição de vetores.

Propriedade 3 – Se U é campo escalar e v é o campo vetorial:

rot(Uv) = U rot v + grad U × v ,

(02).

Demonstraremos aplicando ((01), §10). Temos:

∂ (UN) ∂ (UM) ∂N ∂M ∂U ∂U − = U( − )+N −M ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂ (UL) ∂ (UN) ∂L ∂N ∂U ∂U − = U( − )+L −N ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂ (UM) ∂ ( UL) ∂M ∂L ∂U ∂U − = U( − )+M −L ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y Somando membro a membro as três relações, a primeira na direção ˆi , a segunda na direção ˆj , a terceira na direção kˆ , então reconsiderando ((01),§10), aplicando propriedades do produto vetorial e a definição do operador gradiente, encontramos facilmente (02).

Propriedade 4 – Relativamente à base { ˆiˆjkˆ },

∂v ˆ ∂v ˆ ∂v rot v = ˆi × + j× +k× , ∂x ∂y ∂z

(03).

Com efeito, tem-se:

∂v ∂L ˆ ∂M ˆ ∂N ˆ = i+ j+ k, ∂x ∂x ∂x ∂x

∂v ∂L ˆ ∂M ˆ ∂N ˆ = i+ j+ k, ∂y ∂y ∂y ∂y

∂v ∂L ∂M ∂N = i+ j+ k . ∂z ∂z ∂z ∂z

Multiplicando vetorialmente as três relações acima por ˆi , ˆj e kˆ respectivamente, somando membro a membro e lembrando que

î × î = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = o e î × ˆj = kˆ , ˆj × kˆ = î e kˆ × î = ˆj ,

Campos Tensoriais - Ruggeri

§13 – Campo irrotacional.

virá:

ˆi × ∂v + ˆj × ∂v + kˆ × ∂v = ( ∂N − ∂M )ˆi + ( ∂L − ∂N )ˆj + ( ∂M − ∂L )kˆ . ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Agora, novamente lembrando ((01),§10), chega-se facilmente a (03).

Propriedade 5 – Se o campo vetorial v deriva do potencial U (§05,V), isto é, se v = grad U, então:

rot v = rot grad U = o ,

(04).

Reciprocamente, se um campo vetorial v é tal que rot v = o então existe uma função U tal que v = grad U. Demonstremos o teorema direto. Se v deriva de potencial, é nula a circulação de v ao longo de qualquer contorno fechado no campo (§03); então, pela fórmula de Stokes ((02),§09):

∫Srot v. nˆ dS = 0 . Sendo nula a integral acima qualquer que seja a calota de superfície S, é necessariamente:

rot v = rot grad U = 0 . Reciprocamente, se rotv = o, a mesma fórmula de Stokes determina que

∫(C) v. dQ = 0 para qualquer contorno fechado (C), interior ao campo, nas vizinhanças de um ponto genérico. Então v.dQ é uma diferencial total56, existindo, pois, uma função escalar U tal que, em todo ponto Q do contorno, se tenha: v .dQ = dU . Considerando a propriedade característica do operador gradiente, podemos escrever, para a função U, em Q: v .dQ = dU = grad U . dQ , donde v = grad U.

§13 – CAMPO IRROTACIONAL Denomina-se campo irrotacional (ou conservativo para a circulação) a todo campo vetorial tal que, em qualquer um de seus pontos, o rotacional seja nulo. Da propriedade 5 do rotacional (§12), de ((02),§10) e de ((02),§07) concluímos imediatamente:

Uma condição necessária e suficiente para que um campo vetorial derive de um potencial escalar é que ele seja irrotacional. Esse importante teorema faz predominar a denominação de “campo irrotacional” sobre a denominação de “campo lamelar”, ou “conservativo”, para os campos que derivam de potencial, conforme frisamos no §04. Além dos campos tratados nos exemplos 1 e 2 (§06) que, por derivarem de potencial escalar, são irrotacionais, assinalamos ainda o importante campo central, ao qual já nos referimos no ex. 6,§04,V.

56 - Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, tomo – I , pág. 371, teor. 318.1.

VI, §13

§16 – Condição para que um campo vetorial derive de potencial vetor.

§14 – CAMPO ROTACIONAL (OU TURBILHONAR) O campo rotacional é o campo rot v operado de um campo vetorial v (§07 e §08). Em Mecânica dos Fluidos esse campo receberá o nome particular de turbilhonar se o campo v for o das velocidades de um fluido em escoamento. Vetor turbilhão de um ponto do campo v, é o vetor w = rot v/2 calculado nesse ponto57.

Turbilhão é o fenômeno da circulação (rotação) das partículas de um fluido num plano ortogonal a reta suporte do vetor turbilhão num ponto, num dado instante. Linha de turbilhão de um campo turbilhonar é uma linha tal que, num instante dado, em cada um de seus pontos, o vetor turbilhão correspondente lhe é tangente. Outros conceitos como tubo turbilhonar, filete turbilhonar, etc. podem ser criados e interessantes resultados podem ser obtidos; o que aqui não cabe abordar58.

§15 – POTENCIAL VETOR DE UM CAMPO VETORIAL Mostramos que, do campo vetorial v, dado, gera-se, pelo operador rotacional, o campo vetorial rot v. A situação inversa, entretanto, nem sempre ocorre, isto é, dado um campo vetorial v, nem sempre existe um campo vetorial u, tal que v = rot u . Suponhamos dado um campo vetorial v qualquer, definido num domínio D. Se existir em D um campo vetorial u tal que, em todo ponto de D, seja: v = rot u , diremos que v deriva do potencial u, ou que v tem potencial U. O campo u recebe a denominação de vetor potencial do campo v. Resulta imediatamente que:

As linhas diretrizes de um campo vetorial v, com vetor potencial u, são coincidentes com as linhas turbilhonares de u”.

§16 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE POTENCIAL VETOR Seja:

v = L(x, y, z, t)ˆi + M(x, y, z, t)ˆj + N(x, y, z, t)kˆ

(01),

o campo vetorial dado, que, por hipótese, deriva do vetor potencial:

u = P(x, y, z, t)ˆi + Q(x, y, z, t)ˆj + R(x, y, z, t)kˆ isto é, tal que:

v = rot u

(02),

(03).

Então, considerando ((02),§07), deduzimos:

ˆi ∂ v= ∂x P

ˆj ∂ ∂y Q

kˆ ∂ , ∂z R

57 - Em vista desses importantes conceitos, os campos irrotacionais são por vezes denominados campos sem turbilhão. 58 - Para obter-se mais informação, consulte: Sommerfeld, A., Mechanics of Deformable Bodies, Academic Press Inc. Publishers, New York, 1950, cap. IV. Campos Tensoriais - Ruggeri

100

e as coordenadas de v, (L,M,N), devem satisfazer simultaneamente as relações seguintes:

∂P ∂R =M, − ∂z ∂x

∂R ∂Q − = L, ∂y ∂z

∂Q ∂P − = N, ∂x ∂y

(04).

Mas, se subsistem as relações acima, subsistirão também as seguintes:

∂L ∂ 2 R ∂ 2 Q = − , ∂x ∂x∂y ∂x∂z

∂M ∂ 2 P ∂ 2 R = − , ∂y ∂y∂z ∂y∂x

∂N ∂ 2 Q ∂ 2 P = − , ∂z ∂z∂x ∂z∂y

das quais deduzimos que

∂L ∂M ∂N + + =0 ∂x ∂y ∂z

(05),

pois supõe-se P, Q e R contínuas de x, y e z em D e o teorema de Young permite escrever:

∂ 2R ∂ 2R etc. = ∂x∂y ∂y∂x A expressão (05) é, pois, condição suficiente para que v derive do vetor potencial u. Para se determinar u pode-se considerá-lo da forma Qˆj + Rkˆ (com P=0); então, o sistema (04) assim se transforma:

∂R ∂Q − = L, ∂y ∂z

−

∂R =M, ∂x

∂Q =N. ∂x

Integrando a segunda equação e a terceira, vem:

∫

R = − M dx + C1 ( y, z)

∫

Q = N dx + C 2 ( y, z) ,

onde C1 e C2 são funções arbitrárias de y e z, deriváveis, podendo, mesmo, serem nulas. Arbitrando C2 =0 e escolhendo-se C1 de modo que satisfaça à primeira equação do sistema, tem-se:

−

∂C1 ∂ ∂ M dx + − N dx = L , ∂y ∂y ∂z

∫

donde

∂C1 ∂ ∂ =L+ M dx + N dx , ∂y ∂y ∂z

∫

igualdade cujo segundo membro independe de x (porque C1 é função arbitrária de y e z). Integrando obtém-se:

∂

∫ ∂y ∫ M dx + ∂z ∫ N dx + L]dy + C (z) .

C1 = [

Arbitrando C3(z) = 0 e levando C1(y,z) na expressão de L, obtém-se, finalmente:

 P = 0   u = Pˆi + Qˆj + Rkˆ , com Q = Ndx  R = - Mdx + [ ∂ Mdx + ∂  ∂y ∂z

∫ ∫

VII, §02

∫

∫ Ndx + L]dy

§16 – Condição para que um campo vetorial derive de potencial vetor

101

É claro que o vetor potencial u não é único uma vez que se juntarmos a u o vetor grad U (gradiente de um campo escalar arbitrário U), tem-se também:

v = rot (u + grad U) = rot u + rot grad U = rot u , conforme propriedade 5 do operador rotacional (§12). Em resumo: dado v = L(x, y, z, t)ˆi + M(x, y, z, t)ˆj + N(x, y, z, t)kˆ , então, se v = rot u , tem-se:

 P = 0   u = Pˆi + Qˆj + Rkˆ , com Q = Ndx  R = - Mdx + [ ∂ Mdx + ∂  ∂y ∂z

∫ ∫

∫

∫ Ndx + L]dy



Campos Tensoriais - Ruggeri

102

VII, ยง02

CAPÍTULO VII CAMPO ESCALAR OPERADO DE CAMPO VETORIAL O fluxo

§01 – DEFINIÇÕES. Consideremos no domínio em que é dado um campo vetorial v, uma superfície S que admita duas faces59. Se a superfície for fechada, designaremos por seminormal positiva aquela definida por um vetor unitário nˆ ortogonal e exterior a S, num ponto genérico de S. Se a superfície for aberta, definiremos uma das faces como positiva, a outra sendo considerada, automaticamente, negativa. A seminormal positiva a S estará definida por um vetor unitário nˆ , ortogonal a S e que aponte da face negativa para a positiva. Seja P o ponto genérico de S em torno do qual consideramos um elemento de área dS, de seminormal positiva nˆ (Figura VII.1); ponhamos, por definição: ds = dS nˆ . Chama-se fluxo elementar do vetor v, no instante t, através de dS, da face negativa para a face positiva, a que denotaremos por dφ, o escalar:

dφ = v.ds = v. nˆ dS = v dS cosθ ,

(01),

θ sendo o ângulo formado por nˆ e v em P. Uma superfície aberta é sempre delimitada por um contorno fechado (C), ou seja, é uma calota de superfície. A superfície de uma calota pode sempre ser decomposta em infinitos elementos de área a cada um dos quais correspondendo um fluxo elementar do campo. A soma dos fluxos elementares dos vetores v do campo relativos a todos os elementos dS de S, no instante t – que denotaremos por φ - denomina-se fluxo do campo v através de S, escrevendo-se:

∫S

(02).

∫S

(03).

φ = v.ds = v.nˆ dS , Quando a superfície é fechada, escrevemos:

∫S

φ = v . ds = v.nˆ dS ,

É claro que, por ser v função do tempo, φ também o é. Se a calota S for fixa, φ dependerá apenas de t; se ela for móvel, φ dependerá do contorno (C) e do tempo. Exercício: A fórmula ((01),§09), de Stokes, pode ser assim interpretada:

a circulação do campo v ao longo de um contorno fechado sobre o qual se apóie uma calota de superfície S é igual ao fluxo do rotacional de v através de S.

§02 – PROPRIEDADES DO FLUXO As propriedades do fluxo podem ser deduzidas de sua definição nas formas ((02) e (03),§01) e das propriedades das integrais de superfície60.

Propriedade 1 – O fluxo conserva-se em valor absoluto, mas muda de sinal sempre que se muda o sentido da seminormal. 59 Essa superfície nem sempre existe, como é o caso da superfície de Moebius que pode ser obtida de uma tira retangular de papel de vértices A,B,C e D marcados no sentido anti-horário, em que se colem as bordas AB e CD, dobrando previamente a tira, de modo tal que a letra D venha a cair sobre A e C sobre B. É possível percorrer as duas faces iniciais da tira ABCD sem passar pelas bordas; dizemos que a superfície tem apenas uma face. 60 Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, vol. I, pág. 367 e seguintes. Campos Tensoriais - Ruggeri

104

§03 – Fluxo de vetor que deriva de vetor potencial

Pois, com efeito:

φ=

∫Sv . ds = −∫Sv.(−ds) = − ∫Sv.(−nˆ )dS ,

(01).

Propriedade 2 – Se S1 e S2 são duas calotas de superfície, de seminormais nˆ 1 e nˆ 2 respectivamente, apoiadas num mesmo contorno fechado (C), então:

φ=

∫ v.nˆ 1dS + ∫ v.nˆ 2 dS = ∫ v.nˆ dS = ∫ v.ds S1

S1 + S2

(02),

S1 + S2

onde nˆ é a seminormal genérica exterior à superfície fechada S1 + S2. Com efeito, se S1 e S2 estiverem de lados opostos em relação a (C), conforme indicado na Figura VII,2.b, (02) é conseqüência imediata das propriedades das integrais de superfície. Se S1 e S2 estiverem de um mesmo lado (Figura VII,2.a), será necessário observar-se que em relação à superfície S1 + S2 a seminormal −nˆ 2 lhe é exterior, e se o fluxo através de S1 for positivo, o fluxo através de S2 será negativo. Resultará, portanto:

∫ v.nˆ 1dS − ∫ v.(−nˆ 2 )dS = ∫ v.nˆ dS = ∫ v.dS S1

S1 + S2

Propriedade 3 – Seja, agora, S uma superfície qualquer delimitando um volume V dentro de um domínio D, onde se define um campo v; e subdividamos V numa rede de paralelepípedos curvos através de três sistemas de superfícies. Cada paralelepípedo interior a V terá todas as suas faces coincidentes com os paralelepípedos contíguos, excetuados os paralelepípedos de V que tiverem uma face coincidente com S. A soma dos fluxos do campo, através das superfícies de todos os paralelepípedos de uma rede que decompõe certo volume V, é igual ao fluxo do campo através da superfície fechada S que delimita V. Com efeito, para todos os paralelepípedos da rede que não tenham face comum com S, o fluxo do campo apresenta parcelas que diferem apenas pelo sentido na seminormal exterior e que, portanto, pela propriedade 1, têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários. Na soma geral tais parcelas se anularão, restando apenas aquelas relativas ao fluxo do campo através de S.

§03 – FLUXO DE VETOR QUE DERIVA DE VETOR POTENCIAL Se o campo deriva do vetor potencial u, seu fluxo através de uma calota de superfície S, apoiada num contorno (C), pode ser escrito na forma:

φ=

∫ v.dS = ∫ rot u.dS , S

donde, lembrando a fórmula de Stokes ((02),§09,VI):

φ=

∫ u . dQ

(01),

(C)

onde Q é ponto genérico de (C). Resulta, portanto, sempre que um campo vetorial derive de potencial vetor: 1) - O fluxo do campo, através de qualquer calota de superfície S apoiada num contorno fechado (C), não depende de S, mas apenas de (C). Com efeito, é o que mostra (01), podendo enunciar-se:

VII, §03

§04 – Significado físico do fluxo.

105

Se um campo vetorial deriva de potencial vetor seu fluxo através de qualquer calota de superfície, apoiada num contorno (C), é igual à circulação do potencial vetor do campo ao longo de (C)”. 2) – Consideremos no campo uma superfície fechada, convexa (Figura VII,2.b) ou não (Figura VII,2.a). A propriedade 2, na forma ((02),§02), permite-nos escrever:

φ=

∫ v.nˆ dS = ∫ v.nˆ 1dS + ∫ v.nˆ 2 dS , S

isto é, em vista de v derivar do vetor potencial u,

φ=

∫S rot u.nˆ 1dS + ∫ rot u.nˆ 2 dS. 1

Lembrando novamente da fórmula de Stokes, cada uma das parcelas do segundo membro da expressão acima pode ser expressa como a circulação de u ao longo de (C), mas num e noutro caso a circulação se realiza sem sentidos opostos; donde:

φ=

∫ u.dQ − ∫ u.dQ = 0 . (C)

(C)

Logo:

Se um campo vetorial deriva de um vetor potencial, é nulo seu fluxo através de qualquer superfície fechada.

§04 – SIGNIFICADO FÍSICO DO FLUXO. Consideremos o campo das velocidades v e o das massas específicas ρ de um fluido em escoamento não estacionário, num domínio D. O fluxo elementar do campo v através de um elemento de área dS de uma calota de superfície S (de dupla face), no entorno de um ponto P, onde a seminormal (exterior) é nˆ (Figura VII,3), vale: ds (01), dφ = v.nˆ dS = .nˆ dS , dt s sendo o vetor deslocamento instantâneo de fluido por P. Por ser ds. nˆ a projeção de ds (que é paralelo a v) na direção de nˆ , ds. nˆ dS representa o volume de um tubo (prisma) de fluido cuja base é dS e cuja altura é ds. nˆ . Como esse volume se define em relação ao intervalo de tempo dt, podemos concluir, relembrando (01):

O fluxo elementar do campo das velocidades de um fluido em escoamento representa o volume de fluido61 que, num determinado ponto e durante a unidade de tempo, atravessa a unidade de área disposta ortogonalmente à velocidade. O fluxo elementar dφ’ do campo ρv, similarmente, é escrito na forma:

dφ′ = ρv.nˆ dS =

ρ dφ dm = , dt dt

(011),

e representará, portanto, no ponto, a massa de fluido que na unidade de tempo atravessa a unidade de área disposta perpendicularmente ao vetor velocidade. Por isso mesmo o campo ρv é denominado: densidade de fluxo de massa.

61 - Esse volume por ali passa com certa pressão que não interessa considerar no momento. Campos Tensoriais - Ruggeri

106

§05 – Definição (divergente).

Sendo ρ e v funções do tempo, o fluxo elementar dφ’ será evidentemente uma função (diferencial) do tempo. Num instante t, os fluxos de massa pela calota S e por uma superfície fechada qualquer serão, respectivamente: ρv.nˆ dS e ρv.nˆ dS , (02).

∫S

Se os campos ρ e v forem estacionários, então o fluxo de massa pela calota será constante, isto é:

∫Sρv.nˆ dS = constante , pois dm/dt=0; e, para a superfície fechada,

∫Sρv.nˆ dS = 0 ,

(03),

pois, do contrário, massa fluida estaria sendo criada (a partir do nada) ou destruída, o que é fisicamente impossível. Nos escoamentos não estacionários o segundo membro de (03) é, geralmente, diferente de zero. Se, entretanto, num escoamento estacionário, acontecer de ser não nulo o segundo membro de (03), devemos concluir estar havendo admissão ou extração de fluido no interior de S (o que é fisicamente possível). De um modo geral, quando há admissão de fluido no interior de uma superfície fechada S, dizemos que em S existe uma fonte (ou fonte positiva), e quando há extração, dizemos que em S existe um sorvedouro (ou fonte negativa). No §08 determinaremos uma condição suficiente para que não ocorram fontes num escoamento fluido. O divergente

§05 – DEFINIÇÃO Seja dado um campo vetorial v = v(P,t), não estacionário, definido num certo domínio D que imaginaremos subdividido em paralelepípedos elementares por um triplo sistema de (infinitos) planos ortogonais62 paralelos aos planos de um sistema triortogonal de referência, O - ˆiˆjkˆ ao qual referimos D. Seja P o ponto genérico de D, centro de um paralelepípedo reto infinitesimal, onde, no instante t, o vetor do campo é:

v = L(P, t)ˆi + M(P, t)ˆj + N(P, t)kˆ ,

(01).

Propomo-nos calcular o fluxo do campo v, através do paralelepípedo, no instante t. Como a multiplicação escalar de vetores é operação distributiva em relação à adição de vetores, o fluxo do campo v definido por (01), através do paralelepípedo, valerá a soma dos fluxos dos seus vetores-parcela através do mesmo. Mas, estando suas faces paralelas aos panos coordenados, suas seminormais exteriores serão paralelas aos unitários do sistema de referência; donde concluir-se que, para cada par de faces paralelas, apenas as coordenadas dos vetores do campo (em cada face elementar), ortogonais a essa faces, contribuirão para o fluxo63. Denotemos por dx, dy e dz as arestas do paralelepípedo, e calculemos inicialmente o fluxo do campo através das faces paralelas: ABCD (de centro R) e A’B’C’D’ (de centro R’), de normais exteriores ˆj e − ˆj , respectivamente (Figura VII,4). Nos pontos R e R’, as coordenadas dos vetores que produzirão fluxo serão, respectivamente64: 62 - Seriam superfícies se fossem adotassem coordenadas curvilíneas. 63 - É claro que por ser infinitesimal o paralelepípedo, os vetores do campo, em todos os pontos da superfície do mesmo, serão paralelos a v; e seus valores absolutos, constantes em cada face, diferirão de uma para outra de uma quantidade infinitesimal. 64 - A componente M de v em P, sofreu de P para R o acréscimo indicado porque x e z ficaram constantes; de P para R’ o acréscimo foi negativo. No desenvolvimento de M, em série de Taylor, no ponto P, desprezam-se as parcelas de grau superior a um.

VII, §05

§06 – Significado físico do divergente.

M+

∂M dy . ∂y 2

M−

107

∂M dy . . ∂y 2

Denotando por dφy o fluxo do campo através dessas faces (ortogonais ao eixo Oy), teremos, aplicando ((01),§01):

dφ y = ( M +

1 ∂M 1 ∂M dy)ˆj.(dxdz)ˆj + (M − .dy)ˆj.(dxdz)(−ˆj) , 2 ∂y 2 ∂y

ou, simplificando:

dφ y =

∂M .dxdydz. ∂y

Similarmente, se calculássemos os fluxos elementares pelos demais pares de faces, encontraríamos:

dφ x =

∂L . dx dy dz , ∂x

dφ z =

∂N . dx dy dz . ∂z

Somando os fluxos elementares, o fluxo total dφ valerá:

dφ = (

∂L ∂M ∂N + + )dV , ∂x ∂y ∂z

(02),

onde dV = dx dy dz é o volume do paralelepípedo elementar. A variação de fluxo por unidade de volume nas vizinhanças do ponto P - denominada divergente (ou divergência) do campo v(P,t) no ponto P e no instante t - será, pois:

dφ ∂L ∂M ∂N = + + ; dV ∂x ∂y ∂z e representando-o por div v, escrevemos:

div v =

dφ ∂L ∂M ∂N = + + , dV ∂x ∂y ∂z

(03).

Do campo vetorial v geramos, assim, por uma operação diferencial, o campo escalar div v representativo de variação de fluxo por unidade de volume (e a cada instante) nas vizinhanças de cada ponto do campo. Com efeito, a cada ponto P estará associado o escalar div v, dado por uma soma de funções contínuas e unívocas (§01,III no final). Definido por (03), o divergente é geralmente designado por operador diferencial, tal como o gradiente e o rotacional.

§06 – SIGNIFICADO FÍSICO DO DIVERGENTE. Abordemos novamente o escoamento não estacionário de um fluido, num domínio D, já considerado no §04. De ((03),§05) e ((01),§04), escrevemos:

div(ρv ) =

dφ ′ dm = . dV dt dV

Campos Tensoriais - Ruggeri

108

§08 – Campo solenoidal: definição, propriedades.

Assim, se div(ρv) existe não nulo num ponto de escoamento, o seu valor expressará, em cada instante, a quantidade de massa fluida que atravessa a unidade de volume em torno do ponto, por unidade de tempo. Se div(ρv) > 0, da unidade de volume está saindo mais fluido do que chegando; e vice-versa. No entorno de um ponto P de um escoamento estacionário toda a massa fluida que entra numa superfície fechada, por unidade de volume e por unidade de tempo, deve também sair, exceto se existirem de fontes ou sumidouros (§04); donde concluir-se: no escoamento estacionário, div(ρv) = 0 .

§07 – FÓRMULA DO DIVERGENTE O raciocínio feito no parágrafo anterior para o cálculo do fluxo do campo v através do paralelepípedo do ponto P pode ser estendido a todos os paralelepípedos interiores a uma superfície fechada S qualquer, que envolva P, no interior de D. O valor de tal fluxo pode ser obtido por integração direta de ((03),§05), obtendo-se:

φ=

∫ div v dV , V

onde V é o volume delimitado por S. Pela propriedade 3 do fluxo (§2) escrevemos, também: φ =

∫ v.nˆ dS , donde: S

∫Vdiv v dV = ∫Sv.nˆ dS

(01).

Tal é a expressão matemática da chamada fórmula do divergente, ou de Gauss – Ostrogradsky, que assim se enuncia:

Em D, o fluxo do campo v através de uma superfície fechada S é igual ao divergente de v por todo o volume encerrado por S.

§08 – CAMPO SOLENOIDAL: DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES. Um campo vetorial v é dito solenoidal se em todo ponto do mesmo é div v = 0. Essa nomenclatura é mais apropriada no Eletromagnetismo.

Propriedade 1 A condição necessária e suficiente para que seja nulo o fluxo de um campo vetorial através de qualquer superfície fechada imaginada no interior desse campo é que ele seja solenoidal. A condição é necessária, pois se div v = 0 a fórmula do divergente dá:

∫ v.nˆ dS = 0 ,

(01),

e o fluxo é nulo. Reciprocamente, se subsiste (01), deve ser:

∫ div v dV = 0 ,

(02);

e dada a arbitrariedade de V, deve ser div v = 0, ou seja, v é solenoidal. Observação: Essa propriedade sugere denominar também os campos solenoidais de campos sem fonte, mas essa nomenclatura não é usual. Convém observar, entretanto, que fluxo nulo é uma condição apenas suficiente para que não haja fontes no interior de S, isto é, não havendo fontes o fluxo é nulo. Esta condição não é necessária, obviamente, pois poderiam existir no interior de S duas fontes cujas atividades se equilibrassem; e (01) continuaria válida. VII, §08

§08 – Campo solenoidal: definição, propriedades.

109

Propriedade 2: A condição necessária e suficiente para que um campo derive de potencial vetor é que ele seja solenoidal. A condição é necessária, pois se v deriva do vetor potencial u, isto é, se v = rotu, então (§15, VI) verificase ((05),§16,VI), isto é, div rotu = 0. A condição é suficiente, pois se divv = 0 existe um vetor u, conforme demonstrado no §16,VI, cujo rotacional é v, isto é, v = rot u .

Propriedade 3 A condição necessária e suficiente para que seja constante o fluxo do campo v através de qualquer calota de superfície apoiada num contorno fechado dado é que ele seja solenoidal. Com efeito, sejam S1 e S2 duas calotas de superfície apoiada num mesmo contorno fechado (C) no interior do campo v. A superfície S1 + S265 será fechada necessariamente e escreveremos, do §02, propriedade 2:

∫Sv.+ nSˆ dS = ∫S v.nˆ 1dS + ∫S 1

v.nˆ 2 dS ,

(031).

Se v é solenoidal verifica-se (01); então, de (031):

∫S v.nˆ 1dS = −∫S 1

v.nˆ 2 dS ,

(03),

onde o sinal (-) é relativo ao sentido da seminormal com relação ao fluxo; assim, o fluxo que entra por S1 é igual ao que sai por S2. Reciprocamente, se subsiste (03), verifica-se também (031) e, portanto, (01). Então, a propriedade 1 permite concluir que div v = 0. O campo solenoidal é dito, também, campo de fluxo conservativo. O campo irrotacional, por analogia, é dito, ainda, de circulação conservativa. Propriedade 4 Num campo solenoidal é constante o fluxo através de qualquer seção de um tubo de campo. Com efeito, suponhamos que o tubo fosse fechado por duas calotas S1 e S2 (Figura VII,5) cujas normais nos pontos correntes fossem nˆ 1 e nˆ 2 . Para esse tubo assim fechado, a propriedade 1 dá, simbolicamente:

∫S + Sv.+nˆS dS = 0 = ∫S 1

∫S

. 2

Como o fluxo através de S é nulo por serem nˆ e v ortogonais, resulta:

∫S v.nˆ 1dS = −∫S 1

v.nˆ 2 dS . 2

65 - S + S é, obviamente, um modo figurado de representar a superfície definida pela união de S1 com S2. 1 2

Campos Tensoriais - Ruggeri

110

§10 – O campo harmônico.

Se o tubo de campo for suficientemente estreito e se duas seções quaisquer S1 e S2 forem ortogonais às linhas de campo (seção transversal), os fluxos respectivos, φ1 e φ2, valerão S1v1 e S2v2 , onde v1 e v2 são os módulos dos vetores do campo nos centros das seções. Com efeito, como os vetores do campo numa mesma seção são vetores paralelos à normal à seção, e de mesmo módulo podemos escrever:

φ1 =

∫ v .nˆ dS = = v ∫ dS = = v S . 1

1 1

De modo análogo calculamos φ2. Se o campo for solenoidal, a propriedade 4 garante serem iguais estes dois fluxos (a menos de sinal), isto é: v1S1 = v 2 S 2 ; donde concluir-se que o módulo dos vetores do campo, em S1 e em S2, variarão na razão inversa da área da seção normal do tubo. Vemos, pois, que a representação geométrica de um campo solenoidal por suas linhas de campo dá, imediatamente, a direção do vetor em cada ponto (pela tangente a linha, §03, IV), podendo oferecer, também, o módulo do vetor, conforme o afastamento das linhas de campo66.

§09 – O CAMPO SOLENOIDAL PLANAR. Para tal campo devemos escrever, para um ponto qualquer de seu plano (xy):

div v =

∂L ∂M + =0 . ∂x ∂y

Assim, por teorema clássico do Cálculo Infinitesimal67 -Mdx+Ldy é uma diferencial total exata no domínio D onde se definem as funções unívocas e contínuas L e M. Existe, então, uma função φ = φ (x,y) , tal que:

dφ = (−M)dx + Ldy =

∂φ ∂φ ∂φ dx + dy ; donde: L = , ∂y ∂x ∂y

−M =

∂φ . ∂x

A função φ - denominada função diretriz do campo - é obtida por68:

∫

φ = − M(x, y)dx + a

∫

L(a, y)dy ,

onde (a,b) são as coordenadas de um ponto arbitrário do plano. A equação diferencial das linhas de campo é, então:

dx dy dx dy = = = , L M ∂φ ∂φ ∂y ∂x

donde:

∂φ ∂φ dx + dy = 0 = dφ . ∂x ∂y

Assim, a equação das linhas de campo será: φ(x, y) = constante.

§10 – O CAMPO HARMÔNICO. Os campos harmônicos são os campos vetoriais simultaneamente solenoidais e irrotacionais, isto é, são os campos v tais, que: div v = 0 e rot v = 0 . 66 Trata-se de uma representação gráfica do campo que não interessa detalhar aqui. 67 Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, vol. I, pág. 354, item 294.1. 68 Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, vol. I, pág. 354, item 294.1.

VII, §10

§11 – Propriedades formais do divergente.

111

De ser v irrotacional resulta v = gradU; donde, por ser v solenoidal:

div grad U = 0

(01).

A dupla operação div grad sobre o campo escalar U (definido no mesmo domínio em que se define v) é denominada o laplaciano de U e indica-se por Lap U. Tem-se, pois: Lap U = 0 ,

(02).

Da expressão ((03),§05) do divergente e da ((03,§01,V) do gradiente, resulta:

Lap U =

∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(03).

Diz-se, também, que o potencial escalar U é harmônico e a (03) denomina-se equação de Laplace. Nota: Sendo div v =0, v deriva de um potencial vetor w, isto é, v=rot w. Logo, por ser este mesmo campo irrotacional: rotv = rot rotw =o. Mostraremos que, com isso, Lapw = graddiv w (§03, VIII).

§11 – PROPRIEDADES FORMAIS DO DIVERGENTE. Essas propriedades formais podem ser deduzidas facilmente a partir de (5.3).

Propriedade 1 – Se a é constante div a = 0 . Pois as derivadas parciais em ((03),§05) são todas nulas. Propriedade 2 – Se λi são constantes,

div (λ1 v1 + λ 2 v 2 + ...) = λ1div v1 + λ 2 div v 2 + ... ,

(11.1).

Tem-se, denotando por w o vetor λ1 v1 + λ 2 v 2 + ... e por dφ1 , dφ 2 ... os fluxos de λ1 v1 , λ 2 v 2 ... através de superfície elementar fechada em torno de um ponto genérico do campo:

div w =

dφ1 + dφ 2 + ... dφ1 dφ 2 = + + ... = div (λ1 v1 ) + div (λ 2 v 2 ) + ... = dV dV dV =

λ 1 v 1 .ds λ 2 v 2 .ds + + ... = λ 1 div v 1 + λ 2 div v 2 + ... . dV dV

Outra demonstração (utilizando o teorema do divergente):

∫ w.ds = ∫ div w dV = ∫ (λ v + λ v 1 1

2 2

+ ...) . ds =

∫

1 1

2 2

∫

λ1 div v1 dV + λ 2 div v 2 dV + ... = V

∫ λ v . ds + ∫ λ v . ds +... =

∫ (λ div v + λ 1

div v 2 + ...)dV ,

donde, considerando o segundo e o último membros:

∫ (div w − λ div v − λ 1

div v 2 − ...)dV = 0 ,

o que acarreta a tese.

Campos Tensoriais - Ruggeri

112

§12 – Fórmulas de Green.

Outras propriedades: Se ρ é campo escalar e u e v campos vetoriais definidos num mesmo domínio, demonstra-se69 que:

div(ρv) = ρ div v + grad ρ.v

(02),

div(u × v) = −u . rot v + v . rot u ,

(03).

Se O é fixo e P é variável:

div (P − 0) = 3 ,

(04).

Também:

∂v ˆ ∂v ˆ ∂v div v = ˆi . + j. +k. , ∂x ∂y ∂z

(05).

§12 – FÓRMULAS DE GREEN. Seja v um campo irrotacional (§13,VI), cujo potencial é U. Nesse caso, a fórmula do divergente, ((01),§07), é escrita na forma:

∫V div grad U dV = ∫Sgrad U.ds , donde, lembrando que div grad U = Lap U e o conceito de derivada direcional ((02),§02,IV):

∫V Lap U dV = ∫S dn dS ,

(01).

A expressão (01) denomina-se: a primeira fórmula de Green. No caso em que o campo v é harmônico (ou U é harmônico) tem-se, considerado ((02),§10):

Lap U = 0

⇔

∫S dn dS = 0 .

Consideremos agora, num mesmo domínio, os campos escalares U e W e o campo vetorial v, com v = W grad U. Tem-se, considerado ((02),§11):

div v = W div grad U + grad W . grad U = W Lap U + grad W. grad U , e, lembrado novamente ((02),§02,V):

v.nˆ = W grad U . nˆ = W

dU . dn

A fórmula do divergente, ((01),§07), é escrita, então, na forma:

∫V (W Lap U + grad W . grad U)dV = ∫SW dn dS expressão denominada: a segunda fórmula de Green.

69 -Veja Calaes, bibl. n. 04, pág. 322 a 330.

VII, §12

(02),

§13 – Fórmulas do gradiente e rotacional.

113

Se nesta segunda fórmula trocarmos U por W e W por U; e se, em seguida, subtrairmos membro a membro as expressões obtidas, encontraremos a terceira fórmula de Green:

∫V (W Lap U − U Lap W)dV = ∫S(W dn

−U

dW )dS , dn

(03).

§13 – FÓRMULAS: DO GRADIENTE E DO ROTACIONAL. Se na fórmula ((01),§07) do divergente o campo vetorial for do tipo v = ρ a, onde ρ = ρ (P,t), e a um vetor constante, então: div v = ρ div a + grad ρ.a e v.n = a.ρn . Lembrando a propriedade 1 do divergente (§11), tem-se, em ((01),§07):

∫V a. gradρ dV = ∫Sa. ρds , e por ser a vetor constante, mas qualquer:

∫V gradρ dV = a.∫Sρds

ou,

∫ gradρ dV = ∫ ρds , V

(01),

expressão esta denominada: fórmula do gradiente. Se v é um campo vetorial qualquer, é sempre possível determinar dois vetores: u e a, sendo a campo constante, tal que v = u × a . Tem-se, então, considerando a fórmula ((03),§11), a propriedade 1 do divergente (§11) e propriedades da multiplicação mista de vetores:

div (u × a) = a . rot u e v.n = u × a.n = a.n × u . Da fórmula do divergente virá, imediatamente, sem delongas:

∫V div(u × a) dV = a.∫Vrot u dV = (u × a).ds = a.ds = a.ds × u . Assim, por ser a qualquer, resulta,

∫ rot u dV = ∫ ds × u , V

(02),

expressão conhecida como: fórmula do rotacional.



Campos Tensoriais - Ruggeri

114

VIII,ยง02

CAPÍTULO VIII OPERADORES DUPLOS DE CAMPO §01 – GENERALIDADES. Matematicamente o gradiente, o rotacional e o divergente podem ser vistos como operadores, isto é, como entidades matemáticas de transformação. Com efeito, o gradiente gera de um campo escalar um campo vetorial; de um campo vetorial o rotacional gera outro campo vetorial; e o divergente, de um campo vetorial gera um campo escalar. No estudo de algumas particularidades relativas a alguns campos, tivemos a necessidade de fazer considerações a algumas operações duplas sobre campos, conforme mostramos no §12, propriedade 5, VI e §8, propriedade 2, VII, isto é:

rot grad U = 0

div rot v = 0 ,

além de,

div grad U = Lap U ,

(01),

definido no estudo do campo vetorial harmônico (§10, VII). Além dessas três operações duplas entre os três operadores, existem ainda:

grad div

rot rot ,

(02),

excluindo-se, evidentemente, as operações grad grad, grad rot, div div e rot div, que não tem significado70.

§02 – O OPERADOR LAPLACIANO. Estudemos agora, em toda a sua plenitude, o importante operador laplaciano, que se define como o campo escalar operado do campo escalar U, pela dupla operação div grad, definida por ((01),§01). No caso particular em que Lap U=0, o campo é dito harmônico; a mesma denominação é aplicada ao campo vetorial que admitir U por potencial (§10, VII). O operador laplaciano goza das seguintes propriedades:

Propriedade 1: U = constante ⇒ Lap U = 0 ,

(01).

A demonstração é evidente. A recíproca não é verdadeira.

Propriedade 2: Se U1 , U2 , ..., Un são n campos escalares, definidos num mesmo domínio D, e f uma função qualquer desses campos, então71:

Lap f(U1 , U 2 ,...U n ) =

∂f ∂ 2f LapU K + grad U i . grad U k , ∂U k ∂U i ∂U k

(02).

Com efeito, lembrando a definição (01) e a propriedade fundamental do gradiente (§04,V), virá: 70 Não se definem aqui os conceitos de: gradiente de campo vetorial, divergente de campo escalar e nem rotacional de campo escalar. Veja-se, entretanto, a criação de conceitos mais gerais e mais abrangentes, de férteis aplicações na Física, no livro de autoria do autor, intitulado “Tratado de Cálculo Poliádico”, Tomo I, volume I, ISBN 978-85-907001-0-4, edição do autor, 2008, bibl. [13]. 71 Reutilizamos aqui a convenção somatória estabelecida no §05.02,I. Campos Tensoriais - Ruggeri

116

§02 – O operador laplaciano.

Lap f = div (grad f) = div(

∂f grad U k ). ∂U k

Lembrando, agora, a propriedade ((02),§11,VII) do divergente, escrevemos:

Lap f =

∂f ∂f Lap U k + grad . grad U k . ∂U k ∂U k

Mas, reaplicando a propriedade fundamental do gradiente, vem:

grad

∂f ∂ 2f grad U i , = ∂U k ∂U k ∂U i

donde:

Lap f =

∂f ∂ 2f Lap U k + grad U i . grad U k . ∂U k ∂U k ∂U i

São úteis os seguintes casos particulares.

Propriedade 3: f = U1+U2+...+Un ⇒

Lap (U1+ U2+ ...+ Un) = Lap U1 + Lap U2 +...,

(04)

Pois, com efeito, em (03) será:

∂f =1 ∂U k

∂ 2f =0 ∂U i ∂U k

Propriedade 4

f = ρU com ρ = constante

⇒

Lap (ρU) = ρ Lap U ,

(05).

Com efeito, em (03) faremos: U1 = ρ = constante e U2 = U; virá:

∂f ∂f = = U; ∂U1 ∂ρ

∂f ∂f = = ρ; ∂U 2 ∂U

∂ 2f ∂ 2f = =0. ∂U1 2 ∂ρ2

Por ser ρ = constante, será Lap ρ = 0 e grad ρ = 0, verificando-se, logo, (05).

Propriedade 5: f = UW

⇒

Lap (U.W) = U Lap W + W Lap U + 2 grad U . grad W ,

Pois em (03) será:

∂f ∂f ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f = W, = U, = = 0 e =1. ∂U ∂W ∂U∂W ∂U 2 ∂W 2 VIII, §02

(06).

§03 – Os operadores grad div e rot rot.

117

Propriedade 6

Lap f(U) =

∂f ∂ 2f Lap U + grad U . grad U , ∂U ∂U 2

(07).

É evidente a demonstração.

Propriedade 7 Se O é origem de eixos, P ponto genérico de vetor posição r, então a função 1/r é harmônica em todo o domínio que não contenha O. Realmente, excluindo o ponto O onde o campo 1/r apresenta descontinuidade, tem-se, conforme (07):

Lap (1/r) =

∂ 1 ∂2 1 ( ) Lap r + 2 ( ) grad r . grad r ∂r r ∂r r

Mas, considerando que grad r = r/r (ex. 1.§01,V), e ((02),§11,VII):

Lap r = div grad r = div

r 1 = div r + grad (1/r).r . r r

Considerando ((04),§11,VII), ((08),§04,V) e relembrando o ex. 1, §01,V, virá:

Lap r =

3 1 r 2 − . .r = . r r2 r r

Assim,

1 1 1 2 2 Lap ( ) = − 2 + 3 , ou seja: Lap ( ) = 0 . r r r r r

§03 – OS OPERADORES grad div E rot rot. Por analogia com o conceito de laplaciano de campo escalar, definiremos o laplaciano de um campo vetorial v, e o denotaremos por Lap v, o campo vetorial:

∂2v ∂2v ∂2v + + , ∂x 2 ∂y 2 ∂∂z 2

(01).

rot rot v = grad div v − Lap v ,

(02).

Lap v = Tem-se:

Com efeito, tem-se, para v = Li + Mj + Nk :

ˆi ∂ rot v = ∂x L

ˆj ∂ ∂y M

kˆ ∂ ∂N ∂M ˆ ∂L ∂N ˆ ∂M ∂L ˆ =( − )i + ( − )j + ( − )k , ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y N

donde:

Campos Tensoriais - Ruggeri

118

§05 – Uma lei de dualidade.

ˆi ˆj kˆ ∂ ∂ ∂ rot rot v = = ∂x ∂y ∂z ∂N ∂M ∂L ∂N ∂M ∂L ( − ) ( − ) ( − ) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y =(

∂ 2M ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2 N ˆ ∂ 2 N ∂ 2M ∂ 2M ∂ 2L ˆ − − + − − + )i + ( )j + ∂y∂x ∂y 2 ∂z 2 ∂z∂x ∂z∂y ∂z 2 ∂x 2 ∂x∂y (

∂2L ∂2N ∂2N ∂2M ˆ − − + )k . ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂y∂z

Somemos e subtraiamos dentro dos primeiros parênteses do segundo membro

∂ 2L , dentro do segundo, ∂x 2

∂ 2M ∂2N ; e dentro do terceiro, . Observado agora que: ∂y 2 ∂z 2 grad div v = (

∂ 2 L ∂M ∂ 2 N ˆ ∂ 2 L ∂ 2 M ∂ 2 N ˆ ∂ 2L ∂ 2M ∂ 2 N ˆ + + + + )k , )i + ( )j + ( − + 2 2 ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂x ∂y ∂y∂z ∂z∂x ∂z∂y ∂z 2 ∂x

e que :

Lap v = (

∂ 2L ∂ 2M ∂ 2 N ˆ ∂ 2L + + )i + ( 2 + ... ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂y

podemos comprovar imediatamente (02).

§04 – OBSERVAÇÃO FINAL SOBRE OS CAMPOS HARMÔNICOS Seja v um campo vetorial harmônico (§10,VII). Por ser div v = 0, existirá um campo potencial w tal que v = rot w; e por ser v campo irrotacional será:

rot v = rot rot w = 0 . Assim, para o vetor potencial w do campo harmônico v, tem-se, conforme ((02),§03):

Lap w = grad div w .

§05 – UMA LEI DE DUALIDADE. Durante a exposição desta 2ª parte o leitor pode, eventualmente, ter percebido a existência de certa analogia entre os conceitos de circulação e fluxo estudados nos capítulos VI e VII. Se não, poderá comparar as propriedades da circulação (§02,VI) com as propriedades do fluxo (§02,VII), o conceito de circulação de campo que deriva de potencial escalar (§03,VI) com o conceito de fluxo de campo que deriva de vetor potencial (§03,VII), de fórmula de Stokes ((02),§09,VI) com a fórmula de Gauss ((01),§07,VII), etc.

VIII, §05

119

§05 – Uma lei de dualidade

Pode perceber-se a existência de “palavras correspondentes” nos dois capítulos, como: circulação e fluxo, caminhamento e atravessamento, polígono e paralelepípedo, linha e superfície, etc.. Se tais palavras forem consideradas duais, através delas teoremas e propriedades duais podem ter enunciados de “mesma estrutura” pelo emprego de uma lei chamada lei de dualidade. Pormenores sobre o assunto poderão ser vistos em artigo específico do autor72.



72 Ruggeri, E. R. F., “Uma dualidade na teoria do campo vetorial”, Revista Escola de Minas REM, volume XXXVII, n 2, 1984. Campos Tensoriais - Ruggeri

120

3ª Parte - Propriedades dos campos de diádicos simétricos

CAPÍTULO IX ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UM DIÁDICO EM 3D As coordenadas radiais principais

§01 – DEFINIÇÕES. EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. PROPRIEDADES Da representação de Mohr (§04,IV) dos campos diádicos pode concluir-se que existem duas direções, dadas por vetores unitários nˆ 1 e nˆ 3 , segundo as quais as coordenadas radiais do diádico S são extremadas. Tais direções, juntamente com nˆ 2 73, recebem o nome de direções principais do ponto P; e os planos que elas determinam, planos principais. Elas formam um triedro triortogonal, que batizamos com o nome de triedro principal do ponto com o qual estabelecemos um sistema de coordenadas local. As coordenadas radiais do tensor S no ponto P (§04.01,III), correspondentes às direções principais desse mesmo ponto, denominam-se coordenadas radiais principais do diádico (ou tensor) no ponto P, conforme já acentuamos (§04,IV). Procederemos, nos parágrafos seguintes, às determinações analíticas e ao estudo de algumas das propriedades desses elementos. O problema consiste em se determinarem, no ponto genérico P do campo de S (logo, com S=constante), os extremos da função: ρ = nˆ .S.nˆ = {N}T .S.{N} = n i S ij n j , cujas variáveis n1, n2, n3 - coordenadas do unitário nˆ em relação a um bem determinado, mas qualquer, sistema de referência - estão ligadas, em P, pela condição:

f ≡ {N}T .{N}−1 = 0 = n i n j δ ij −1 . Se, em P, {N} for uma direção segundo a qual ρ (a coordenada radial de S correspondente a {N}) é extremada, nesta direção será dρ = 074, isto é,

dρ =

∂ρ dn i = grad ρ.dnˆ = grad ρ.{dN} = 0 . ∂n i

Como {dN} é arbitrário e ortogonal a nˆ , grad ρ é paralelo a nˆ . Mas, também: df = 0 = grad f .{dN} ; logo, grad ρ e grad f são perpendiculares ao plano tangente à superfície esférica nˆ .nˆ = 1 centrada em P, sendo, pois, paralelos. Podemos, então, escrever:

grad ρ = λ grad f

(λ = constante) ,

uma vez que nenhum dos vetores é nulo necessariamente. Entretanto, é:

grad ρ =

∂n j ∂n ∂ρ e = (Sijn j i + n iSij )e = (Sijn jδik + ∂n k k ∂n k ∂n k k + n i Sij δ jk )e k = (S kj n j + n i Sik )e k = 2S kα n α e k = 2S. {N}

grad f =

∂f e k = 2n k e k = 2{N} . ∂n k

73 - À direção nˆ corresponde uma coordenada radial de S, intermediária entre os valores máximos S1 e S3. 2 74 - Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, tomo II, pág. 566, item 37.2. Campos Tensoriais - Ruggeri

122

§01 – Definições. Equação característica. Propriedades.

Então,

S . {N} = λ {N} ,

(01),

(S − λI) . {N} = 0 ,

(02).

ou melhor:

Estamos, assim, em face do problema de diagonalização do diádico S, pois (01) traduz, precisamente, a condição de ser {N} sua direção própria75. O sistema (02) é homogêneo, tendo três equações e três incógnitas: as coordenadas n1 , n2 e n3 do vetor nˆ ; para admitir solução diferente da trivial, requer seja: det (S − λI) = 0 , ou, ainda:

S11 − λ S12 S13 S 21 S 22 − λ S 23 = 0 , S31 S32 S33 − λ

(03).

Tal determinante, desenvolvido, é equivalente à equação do terceiro grau em λ:

λ3 − J1λ2 + J 2 λ − J 3 = 0

(04),

onde se têm:

J1 = S11 + S 22 + S33 J2 =

(05),

S11 S12 S11 S13 S 22 + + S 21 S 22 S31 S33 S32

S 23 S33

(06),

S11

S12

S13

J 3 = S 21 S 22

S 23

S31

S 33

S 32

(07),

isto é, J1, J2 e J3 são, respectivamente, as somas de todos os menores diagonais de ordens 1, 2 e 3 do determinante associado à matriz do diádico S. A equação (04) é denominada: equação característica do diádico S; resolvida, fornecerá três valores para λ - os valores próprios (ou autovalores) de S – que, levados, cada um de per si, ao sistema (02), possibilitarão determinar três direções: {N1}, {N2}, {N3} – as direções próprias de S – segundo as quais as coordenadas radiais de S se extremam. As direções próprias de S são, pois, as direções principais do ponto P.

Teorema 1: As coordenadas radiais principais do diádico S são os valores próprios da equação característica de S. Com efeito, se λ1 é uma raiz de (04), à qual corresponde a direção própria {N1}, tem-se, de (01): S.{N1}=λ1{N1}. Pré–multiplicando ambos os membros dessa expressão por {N1}T, considerando ((02),§04,IV) e lembrando que {N1}T. {N1}=1, vem: 75 Este é um problema clássico do Cálculo Matricial. Veja Calaes, bibl. [ 5], Cap. III, item 5, p. 101.

IX, §01

§01 – Definições. Equação característica. Propriedades.

123

ρ N1 = {N1}T . S. {N1} = λ1{N1}T .{N1} = λ1 ,

(08),

o que comprova a tese, pois, analogamente, mostraríamos ser ρN = λ2 e ρN = λ3. 2

Teorema 2: As direções principais são ortogonais entre si. Com efeito, tem-se: S . {N 1 } = λ 1 {N 1 } , S . {N 2 } = λ 2 {N 2 } e S . {N 3 } = λ 3 {N 3 } . Transpondo a primeira e pós–multiplicando ambos os seus membros por {N2}, virá:

{N1}T . S . {N 2 } = λ1{N1}T . {N 2 }

(09).

Pré–multiplicando a segunda por {N1}T, considerando (09), virá, evidentemente:

λ 2 {N 1 }T . {N 2 } = λ 1 {N 1 }T . {N 2 } ; ou melhor, (λ 2 − λ 1 ) {N 1 }T . {N 2 } = 0 . Se λ1≠λ2, tem-se {N1}T. {N2}=0, ou seja, {N1} é ortogonal a {N2}. De modo análogo provar-se-ia ser {N1}T. {N3}=0 para λ1≠λ3 e, portanto, {N2}T. {N3}=0, o que comprova o teorema76.

Teorema 3: As coordenadas transversais parciais relativas às direções principais são todas nulas. É evidente, pois, de ((08),§04,II) tem-se, para as direções N1 e N2 por exemplo, e considerando (09):

τ12 = {N 1 }T . S . {N 2 } = λ 1{N 1 }T . {N 2 } = 0 . Teorema 4: As coordenadas radiais principais são todas reais. Pelo teorema 1, as coordenadas radiais principais são os valores próprios λ1, λ2 e λ3 do diádico S; e estes são as raízes da equação característica (04). Então, um pelo menos dos λ é real; seja ele λ1. Supondo que outra raiz fosse complexa, a terceira seria sua conjugada. Levando cada um destes números complexos ao sistema (02), obteremos duas direções, cujos vetores unitários, de coordenadas complexas conjugadas, serão:

{N 2 }T = [Z1 Z 2 Z 3 ]

e {N 3 }T = [ Z1 Z 2 Z 3 ] .

Assim, se z j = a j + − 1 b j , então:

{N 2 }T . {N 3 } = Z1 Z1 + Z 2 Z 2 + Z 3 Z 3 = a 1 2 + a 22 + a 32 + b1 2 + b 22 + b 32 . Mas, pelo teorema 2, {N 2 }T . {N 3 } = 0 , o que requer, necessariamente: a1 = a2 = a3 = b1 = b2 = b3 =0; e, nesse caso, z não seria unitário, o que é contra a hipótese. Logo λ2 e λ3 são também reais.

Teorema 5: 76 Comprova-se em forma matricial, o que já conhecíamos (§ 4, III), apoiados na Geometria Analítica.

Campos Tensoriais - Ruggeri

124

§02 – Os invariantes do Diádico do campo.

As direções principais de um ponto do campo de um diádico simétrico são invariantes numa mudança de referencial. A coordenada radial do diádico do ponto relativo à direção principal {N1} é um invariante numa mudança de referencial. Então podemos escrever, denotando por {N’1} o unitário da direção no novo sistema:

ρ N = {N 1 }T . S . {N 1 } = {N 1′ }T . S . {N 1′ } , 1

onde

S é a matriz associada a S no novo sistema. Lembrando ((10),§04.01,III), virá: ρ N1 = {N1}T . S . {N1} = {N1′ }T . M . S . M T . {N1′ } ,

e, agrupando convenientemente:

({N 1 }T − {N 1′ }T . M) . S . ({N 1 } − M T . {N 1′ }) = 0 . Considerando propriedades da transposição matricial, vem:

({N 1 } − M T . {N 1′ }) T . S . ({N 1 } − M T . {N 1′ }) = 0 . Sendo S≠0, tem-se, então, necessariamente:

{N1} − M T . {N1′ } = 0 , ou, considerando que a matriz de mudança de base, M, é de rotação ( (M T = M -1 ) , (§05.02,I):

{N1′ } = M . {N1} , expressão que se obtém da anterior pré–multiplicando ambos os seus membros por M. Então, {N1′ } e {N1} são a expressão do mesmo vetor, o unitário de uma direção principal.

Teorema 6: Os coeficientes da equação característica do tensor de um ponto genérico do campo independem do sistema de referência. Pois sendo, pelo teorema 1, ρ N = λ i , os λi serão invariantes, já que as coordenadas radiais o são; e como i

eles são as raízes da equação característica, os coeficientes desta não podem ser variáveis.

§02 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO DO CAMPO Os invariantes em questão são os coeficientes da equação característica do diádico do campo que, pelo teorema 6 do §01, independem do sistema de referência. Em relação a um sistema qualquer, podem ser calculados pelas fórmulas ((05), (06) e (07),§01); e denominam-se, respectivamente, primeiro, segundo e terceiro invariantes do diádico. Referido o espaço em torno do ponto genérico do campo ao triedro principal desse ponto, a matriz associada ao diádico S se resumirá numa matriz diagonal porque, pelo teorema 3, nesse sistema as coordenadas transversais são todas nulas. A matriz em referência é a denominada matriz principal do ponto (§04,IV), escrevendo-se:

IX, §02

§03 – Coordenadas octaédricas. Diádico desvio.

S1 0  S = Sp =  0 S2  0 0

125

0  0 . S 3 

Nesse caso, escrevendo a equação característica de Sp e considerando o teorema 6, pode concluir-se que:

J1 = S1 + S 2 + S3 ,

(01),

J 2 = S1S 2 + S1S3 + S 2S3 ,

(02),

J 3 = S1S 2S3 ,

(03).

O primeiro invariante de S, J1, é o traço (também denominado o escalar) de S e representa-se por trS. Entre J1 e J2 existe a seguinte relação:

1 J 2 = [(trS) 2 − tr(S) 2 ] , 2

(04).

Com efeito, tem-se

1 2 1 2 J1 = ( trS) 2 = S11S 22 + S11S33 + S 22S33 + S112 + S 222 + S33 , 2 2 e, por ser 2 J 2 = S11S 22 − S122 + S11S33 − S132 + S 22S33 − S 23 ,

tem-se também

1 1 (trS) 2 = J 2 + S122 + S132 + S 232 + (S112 + S 222 + S332 ) , 2 2

a).

Mas

Tr (S) 2 = S112 + S122 + S132 + S 212 + S 222 + S 232 + S312 + S322 + S332 = 2(S122 + S132 + S 232 ) + S112 + S 222 + S332 ,

b),

donde, substituindo b) em a), encontra-se (04).

§03 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO Chamam-se direções octaédricas de um ponto do campo de um diádico S as direções igualmente inclinadas em relação às direções principais do ponto77. Existem quatro direções octaédricas por um ponto (cada uma correspondente a um quadrante do triedro definido pelas direções principais). Assim, se {Noct} é uma direção octaédrica de um ponto O,

{N oct }T =

1 3

[ε 1 ε 2 ε 3 ] ,

(01),

onde ε1, ε2 e ε3 recebem os valores +1 ou –1, a combinação dos sinais, de todos os modos possíveis, fazendo com que (01) possa representar todas as direções.

77 - Recebem essa denominação porque tais direções são as das quatro pares de faces paralelas de um octaedro retangular centrado nesse ponto. Campos Tensoriais - Ruggeri

126

§03 – Coordenadas octaédricas. Tensor desvio.

A coordenada radial do diádico S numa direção octaédrica {Noct} qualquer, será:

ρ oct

1 = {N oct } . S p . {N oct } = [ε1 ε 2 3 T

 ε1  ε 3 ]. S p . ε 2  , ε 3 

ou melhor, lembrando que ε1 2 = ε 22 = ε 32 = 1 :

ρoct =

1 (S + S + S ) , 3 1 2 3

(02),

isto é: a coordenada radial octaédrica é a média das coordenadas radiais principais do diádico do ponto. Considerada ((01),§02) temos, também:

ρ oct =

1 J , 3 1

(03).

A projetante do diádico (§04.01,III) na direção octaédrica será:

poct

 S1ε1  1   = Sp . {Noct} = S2ε2 , 3 S3ε3 

donde: 2

poct =

1 (S1 2 + S22 + S32) = poct 2 , 3

(04).

A coordenada transversal valerá:

τ oct

1 1 2 = p oct2 − ρ oct = (S1 2 + S 22 + S32 ) − )(S1 + S 2 + S3 ) 2 , 3 9

ou melhor, após transformações elementares:

τoct =

1 (S1 − S 2 ) 2 + (S1 − S3 ) 2 + (S 2 − S3 ) 2 , 3

(05).

A coordenada radial e a transversal do diádico S, relativas a uma direção octaédrica qualquer denominadas coordenadas octaédricas do diádico S - são, pois, invariantes no ponto. A matriz Sp (associada ao diádico S) pode, evidentemente, ser decomposta na forma,

S p = ∆ p +S ,

(06),

onde:

S1 − ρ oct  ∆p = 0   0 e,

IX, §03

0 S 2 − ρ oct 0

  0  ,  S 3 − ρ oct 

(07),

§03 – Coordenadas octaédricas. Diádico desvio.

ρ oct  S=  0   0

0 ρ oct 0

127

0   0  = ρ oct .I ,  ρ oct 

(08).

O diádico ∆p cuja matriz associada em relação às direções principais é ∆P denomina-se diádico desvio de S; a mesma nomenclatura é utilizada para a matriz ∆P. As coordenadas radiais de ∆p são os desvios das coordenadas radiais principais em relação à média aritmética ρoct dessas coordenadas. O diádico ∆ , cuja matriz associada em relação às direções principais é ∆ , é denominado diádico esférico de S. ∆

Representando por J i P o i-ésimo invariante de ∆P, tem-se: ∆

J1 P = 0 ,

(09);

∆

J 2 p = (S1 − ρ oct )(S 2 − ρ oct ) + (S 2 − ρ oct )(S 3 − ρ oct ) + (S1 − ρ oct )(S 3 − ρ oct ) , ou lembrando (02) e simplificando: 1 ∆ J 2 p = − [(S1 − S 2 ) 2 + (S 2 −S 3 ) 2 + (S3 − S1 ) 2 ] , 6

(10).

3 J 2∆ P = − τ oct 2 , 2

(11).

Tem-se, ainda, lembrando (05):

Após algum desenvolvimento, pode-se concluir também que:

1 ∆ J 3 p = [(S1 − ρ oct ) 3 + (S 2 − ρ oct ) 3 + (S 3 − ρ oct ) 3 ] , 3

(12),

1 ∆ − J 2 p = [(S1 − ρ oct ) 2 + (S 2 − ρ oct ) 2 + (S3 − ρ oct ) 2 ] , 2

(13).

e que

Assim, os invariantes do diádico desvio de um dado diádico simétrico gozam das seguintes propriedades: 1) - o primeiro invariante é nulo; 2) - o segundo invariante, sempre negativo, vale a metade da soma dos quadrados dos desvios das coordenadas radiais principais em relação à sua média; 3) - o terceiro invariante vale um terço da soma dos cubos dos desvios das coordenadas radiais principais em relação à sua média. De um modo genérico, qualquer que seja o diádico S, é sempre possível escrever:

S = ∆ +S onde o diádico ∆ (diádico desvio de S) e S (diádico esférico de S) admitem as seguintes matrizes associadas (numa base qualquer):

S11 − ρ oct ∆ =  S 21  S31

S12 S 22 − ρ oct S32

S13  S 23  S33 − ρ oct 

S = ρ oct .I . O primeiro invariante do tensor desvio tem por expressão:

J1∆ = S11 + S 22 + S33 − 3ρ oct . Campos Tensoriais - Ruggeri

128

§04 – Definições, teoremas (coord. transv. principais).

Por consideração de ((05),§01),((01),§02) e (02), concluímos:

J1∆ = 0 . O segundo invariante de ∆, J ∆2 , tem por expressão:

J ∆2 =

S11 − ρ oct S 21

S12 S − ρ oct + 11 S 22 − ρ oct S31

S13 S − ρ oct + 22 S33 − ρ oct S32

S 23 = S33 − ρ oct

= S11S 22 + S11S33 + S 22S33 − (S122 + S132 + S 223 ) − 2(S11 + S 22 + S33 )ρ oct + 3ρ oct , ou, operado sucessivamente, reconsiderando ((05),§01),((01),§02) e (02):

1 J 2∆ = S11S22 + S11S33 + S22S33 − (S11 + S22 + S33 ) 2 − (S122 + S132 + S223 ) = 3 1 = − [2(S11S 22 + S11S 33 ) 2 + S 22 S 33 + 6(S122 + S132 + S 223 ) − 6(S11S 22 + S11S 33 + S 22 S 33 )] , 6 ou, finalmente:

1 J 2∆ = − [(S11 − S 22 ) 2 + (S 22 − S33 ) 2 + (S 33 − S11 ) 2 + 6(S122 + S132 + S 232 )] , 6

(14).

O terceiro invariante de ∆, J 3∆ , é o determinante simétrico-secular:

J 3∆ =

S11 − ρ oct S 21 S31

S12 S 22 − ρ oct S32

S13 S 23 , S33 − ρ oct

(15).

As coordenadas transversais principais

§04 – DEFINIÇÕES, TEOREMAS. O problema da determinação das coordenadas transversais principais e das direções em que elas se verificam consiste em extremar a função τ2 dada por ((06),§04,III), isto é,

τ2 = p 2 − ρ2

(01),

cujas variáveis li relativas a algum sistema, estão ligadas, no ponto P, pela condição:

{L}T . {L} = l 12 + l 22 + l 32 = 1,

IX, §04

(02).

§04 – Definições, teoremas.

129

Trata-se, pois, tal como no caso das coordenadas radiais principais, de um extremado ligado, no ponto. Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange78, devemos extremar a função:

F ≡ τ 2 − λ{L}T . {L} ,

(03),

onde λ é um escalar constante, como se F fosse um extremado livre. Como a ligação entre as variáveis é a constante F=τ2-λ, obtêm-se, então, três equações:

∂F =0 , ∂l i

(04),

as quais, juntamente com (02), formam um sistema de 4 equações com 4 incógnitas (l1, l2, l3 e λ) que se resolve. Considerando (01) a (03), as equações (04) são:

∂p 2 ∂ρ 2 ∂F ∂τ 2 = − 2λ l i = − − 2λ l i = 0 . ∂l i ∂l i ∂l i ∂l i Adotando como referencial o triedro principal do ponto P, vem:

p 2 = S1 2 l 12 + S 22 l 22 + S32 l 32 ,

ρ 2 = (S1l 12 + S 2 l 22 + S 3 l 32 ) 2 ,

(041),

donde:

∂p 2 = 2S1 2 l 1 , ∂l 1

∂p 2 = 2S22 l 2 , ∂l 2

∂p 2 = 2S32 l 3 , ∂l 3

∂ρ 2 ∂ρ = 2.ρ. = 2ρ . 2 S1l 1 , ∂l 1 ∂l 1

∂ρ 2 = 2ρ . 2 S 2 l 2 , ∂l 2

∂ρ 2 = 2ρ . 2 S3 l 3 . ∂l 3

Devemos, assim, resolver o sistema constituído por (02) e

 ∂F  ∂l = 2 S1l 1 (S1 − 2ρ) − 2λl 1 = 0  1  ∂F = 2 S 2 l 2 (S 2 − 2ρ) − 2λl 2 = 0 ,   ∂l 2  ∂F = 2 S 3 l 3 (S 3 − 2ρ) − 2λl 3 = 0   ∂l 3

(05).

Teorema 7: Num ponto de um campo de diádico simétrico, os co-senos diretores, li, da direção em que os valores tangenciais são principais não podem ser simultaneamente não nulos.

78 Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, tomo 2, pág. 571, § 5, item 43.1. Campos Tensoriais - Ruggeri

130

§04 – Definições, teoremas (coord. transv. principais).

Com efeito, se os li forem todos não nulos, o sistema (05) simplifica-se, pois será possível dividir ambos os membros de cada equação do sistema pelo l (co-seno) nela figurado, resultando:

S1 (S1 − 2ρ) = S2 (S2 − 2ρ) = S3 (S3 − 2ρ) . Após transformações obtém-se:

2ρ = S1 + S 2 = S1 + S3 = S 2 + S3 , donde: S1 = S2 = S3 , o que não se verifica necessariamente. Logo os co-senos não podem ser simultaneamente não nulos.

Corolário: Num ponto de um campo de diádico simétrico, a direção segundo a qual os valores tangenciais são principais é ortogonal a pelo menos uma das direções principais desse ponto.

Teorema 8: Num ponto de um campo de diádico simétrico, as direções segundo as quais os valores tangenciais são principais são as bissetrizes dos ângulos formados por duas das direções principais desse ponto. De fato, pelo teorema anterior um pelo menos dos co-senos deve ser nulo; seja ele l3, por exemplo. O sistema (05) reduz-se, então, às duas primeiras equações, já que a terceira é uma identidade. Resulta, pois, lembrando (041):

2ρ = S1 + S 2 = 2(S1l 12 + S 2 l 22 ) . Como l 12 + l 22 = 1 (l 3 = 0) , virá, sucessivamente:

S1 + S 2 = 2[S1l 1 2 + S 2 (1 − l 12 )] , l1 = ±

2 = ± cos π/4 , 2

e, então:

S1 − S 2 = 2(S1 − S 2 )l 12 , l2 = ±

2 = ± cos π/4 , 2

o que comprova o teorema.

Definições: As direções por um ponto de um campo de diádico simétrico, segundo as quais as coordenadas transversais desse diádico são principais, serão denominadas bissetoras (ou secundárias). As coordenadas radiais do diádico S relativas às direções bissetoras serão denominadas coordenadas radiais bissetoras (ou secundárias). Corolário: Num ponto de um campo de diádico simétrico, as direções secundárias são ortogonais entre si e pertencem a um dos planos principais desse ponto.

Teorema 9: As coordenadas radiais bissetoras são iguais à semi-soma das coordenadas radiais principais relativas às direções principais do plano a que pertencem. IX, §04

§04 – Definições, teoremas.

131

Considerando as direções bissetoras do plano 1-2, por exemplo, que se definem pelas direções dos vetores unitários:

 ± 2 / 2    ± 2 / 2  0   

(06),

onde os sinais se correspondem em cada uma das matrizes, as coordenadas radiais bissetoras correspondentes são:

1  1 1 1 1 0 . Sp . 1 = (S1 + S 2 ) 2 2 0

[

]

1  1 [1 1 0]. Sp . 1 = 1 (S1 + S2 ) , 2 2 0

iguais, portanto, conforme queríamos demonstrar. Denotando por ρ T o valor comum das coordenadas radiais bissetoras no plano principal ortogonal à i

direção principal li, escreveremos, genericamente:

ρTi =

1 (S + S ) , para i ≠ j ≠ k , 2 j k

(07).

Teorema 10: As coordenadas transversais principais são iguais entre si e valem o módulo da semi-diferença das coordenadas radiais principais relativas às direções principais do plano principal que lhes corresponde. Relativamente às direções bissetoras dos eixos 1 e 2, por exemplo, a coordenada transversal τ3 é calculada por ((09),§04.01,III) para S = Sp; e considerando os valores (06), resulta:

1  1 1 1 1 0 . S p . 1 = (S1 − S 2 ) . 2 2 0

[

]

Genericamente, e lembrando que, geralmente, de τ só interessa o módulo, vem:

τi =

1 | S − S | , para i ≠ j ≠ k , 2 j k

(08).



Campos Tensoriais - Ruggeri

132

IX, §04

§04 – Definições, teoremas (coord. transv. principais).

CAPÍTULO X CAMPOS 2D DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS §01 – A COORDENADA RADIAL E A TRANSVERSAL. Vimos no §05,III, pela conceituação de campo superficial ou bi-paramétrico, que, quando a propriedade associada ao ponto genérico do domínio é diádica, a matriz que lhe é associada em relação ao sistema curvilíneo local de coordenadas (λ,µ) assume a forma ((06),§05,III), isto é,

 Sλ [S] e λeµ =  S µλ

S λµ  . S µ 

Mas em coordenadas retilíneas globais O-x’y’z’, com vetores de base { ˆiˆjkˆ }, a matriz 3x3 associada ao diádico S é “cheia”, do tipo

 Sx′ Sx′y′ Sx′z′   S′ =  Sy′ Sy′z′ , sendo detS’=0. sim. Sz′  Se o domínio é planar, então, em relação a algum sistema O-xy no plano do domínio, será:

 Sx S= Syx

Sxy  , Sy 

Sxy = Syx ≠ 0

Sx ≠ Sy

(01).

Esse é o único caso que aqui vamos considerar. Denotando por θ o ângulo de Ox com o unitário nˆ de uma direção qualquer, no plano do domínio, medido positivamente no sentido anti-horário para quem observa o plano do semi-espaço ao qual pertence ˆi × ˆj , tem-se:

cosθ com {N} =   senθ 

(02).

S xy  cos θ S x cos θ + S xy sen θ . = , S y  sen θ S yx cos θ + S y sen θ

(03).

nˆ = cos θ i + sen θ j , A projetante de S na direção {N} tem por expressão:

 Sx p N = S . {N} =  S yx

A coordenada radial de S pode ser obtida de (03):

ρ N = {N}T . S . {N} = S x cos 2 θ + S y sen 2 θ + S xy sen 2θ ,

(04),

e sua coordenada transversal será a projeção de p N na direção { N }, ortogonal à {N} e formando com Ox o ângulo 90°+θ medido no sentido anti-horário; assim,

{N}T = [− senθ cosθ] . Campos Tensoriais - Ruggeri

134

§02 – As coordenadas radiais principais.

Tem-se, então:

cos θ τ N = {N}T . S . {N} = [− sen θ cos θ]. S .  , sen θ ou melhor, após desenvolvimento e simplificações trigonométricas:

τN =

1 (−S x + S y )sen 2θ + S xy cos 2θ , 2

(05).

Em algumas ocasiões será oportuno trabalhar com a expressão de ρ N na forma:

ρN =

1 1 (S + S y ) +  (S x − S y ) + S xy 2 x 2

 tg 2θ cos 2θ 

(06),

a qual é deduzida facilmente de (04) por transformações trigonométricas elementares. Vimos (§02,IX) que o escalar do diádico S é um invariante do campo, no ponto, propriedade que prevalece ainda, evidentemente, para os diádicos planares. A título de exercício, mostraremos, por outro caminho, que tal propriedade ainda é válida. Tem-se, de (06), para θ = θ + π/2 (isto é, para a direção ortogonal a θ):

ρN =

1 1 (S + S y ) +  (S x − S y ) + S xy 2 x 2

 tg 2(θ + π/2) cos 2(θ + π/2) , 

donde:

ρN =

1 1 (S + S y ) −  (S x − S y ) + S xy 2 x 2

 tg 2θ cos 2θ , 

(07).

Assim, somado membro a membro (06) e (07), obtém-se:

ρ N + ρ N = Sx + Sy

(08).

Ora, por serem Sx e Sy as coordenadas radiais do diádico S nas direções dos eixos do referencial a que se refere S (§04,III, no final), podemos concluir:

É constante a soma das coordenadas radiais de um diádico planar S, relativamente a pares de direções ortogonais considerados por um ponto qualquer do seu campo; ou, o que é o mesmo:

Em qualquer ponto de um campo diádico planar, é invariante o escalar do diádico associado a esse ponto.

§02 – AS COORDENADAS RADIAIS PRINCIPAIS É evidente de ((05) e (06),§01) que ρ N e τ N variam com θ, sendo possível, pois, procurar as direções (os valores de θ) segundo as quais são extremadas as coordenadas radial e transversal do diádico – ditas direções principais – bem como os valores correspondentes dessas coordenadas, isto é, as coordenadas principais. X, §02

§02 – As coordenadas radiais principais.

135

O caminho a ser seguido para esta determinação é inteiramente análogo ao seguido em todo o capítulo IX. Relativamente às coordenadas radiais, escreveremos a equação característica do diádico na forma:

Sx − λ

S xy

S yx

Sy − λ

=0 ,

que, desenvolvida, dá:

λ2 − J1λ + J 2 = 0 ,

(01),

J1 = S x + S y ,

(02),

com, e

J2 =

Sxy

Syx

(03).

Resolvendo a equação, encontramos:

λ=

1 ( J1 ± J 1 2 − 4 J 2 ) , 2

(04).

J1 2 − 4J 2 = (S x + S y ) 2 − 4(S x S y − S xy2 ) = (S x − S y ) 2 + (2S xy ) 2 ,

(05),

vendo-se, claramente, que as raízes de (01) existem sempre no campo real (tal como já fora demonstrado pelo Teor. 4 do §1, IX). Como os λ são as próprias coordenadas radiais principais (Teor. 1, §1, IX), teremos, denotando-as genericamente por ρext:

ρ ext =

1 1 (S + S y ) ± (S x − S y ) 2 + 4S xy2 2 x 2

(06),

ao sinal (+) correspondendo, algebricamente, a maior coordenada e ao sinal (-), a menor. A direção principal, dada pelo ângulo θ’, poder-se-ia obter do sistema: (S − λI) . {N} = 0 , ou melhor, do sistema: (Sx − λ) cos θ + Sxysen θ = 0  Sxy cos θ + (Sy − λ) sen θ = 0 Fá-lo-emos, entretanto, por outro caminho, considerando que, se θ’ define uma direção principal, θ’ pode ser obtido extremando ((06),§01), isto é, igualando a zero a derivada de ρ N em relação a θ. Tem-se:

−

1 (S − S y ) sen 2θ + S xy cos 2θ = 0 , 2 x

(071),

donde (por ser S x ≠ S y ),

tg 2θ =

2S xy Sx − S y

(07)79.

79 - Poder-se-ia obter (06) levando (07) a ((06),§01)), considerando que cos 2 2θ = (1+ tg 2 2θ) −1 , o que demonstraria o teor. 1, §01, IX.

Campos Tensoriais - Ruggeri

136

§03 – Os invariantes do diádico planar.

É claro que se 2θ0 é o menor ângulo positivo que satisfaz a (07), então:

θ′ = θ 0

θ′ = θ 0 ± π/2

(08),

são, ambos, soluções de (07), existindo, pois, duas direções ortogonais distintas (e não mais que duas) segundo as quais as coordenadas radiais do diádico S se extremam (resultado que já conhecíamos do teor. 2, §01, IX). Até o momento não podemos afirmar qual, dentre os valores de θ que satisfazem a (07) e dados por (08), corresponde à maior (ou à menor) coordenada radial principal. Para completar a solução do problema, denotemos ainda por θ’ um dos dois valores de θ expressos por (08), ao qual corresponde ρ’ext. De ((06),§01), considerando (07), tem-se:

ρ ′ext =

1 2S xy2  1 (S x + S y ) +  (S x − S y ) +  cos 2θ ′ 2 Sx − Sy   2 

ρ ′ext =

1 1  cos 2θ ′ . (S x + S y ) +  (S x − S y ) + 2S xy2  2 2  Sx − Sy

ou, ainda:

Mais uma vez considerando (07) e supondo Sxy≠0, obtém-se, finalmente:

ρ ′ext =

[

]

1 sen 2θ′ , (S + S y ) + (S x − S y ) 2 + 4S xy2 . 2 x 4S xy

(09).

Consideremos θ′ = θ 0 em (09). Se em (07) resultar tg 2θ 0 > 0 , então, 0 < 2θ0 < 90o ; se resultar

tg 2θ 0 < 0 , então, 90o < 2θ 0 < 180o . Em qualquer situação será sen 2θ 0 > 0 ; e sendo sempre positivo a expressão entre colchetes em (09), vê-se que a segunda parcela do segundo membro terá sempre o mesmo sinal de Sxy. Assim, lembrando (06), se S xy < 0 a θ0 corresponde o menor dos valores extremados de ρ, que denotaremos por ρ-; se S xy > 0 , a θ0 corresponderá o maior extremado, que denotaremos por ρ+. Levando (071) a ((05,§01) obtém-se imediatamente: τ N (θ′) = 0 , o que comprova o teorema 3, §01, IX. Em resumo:

para dado ponto do domínio planar do campo de um diádico simétrico, as coordenadas radiais principais ocorrem segundo duas direções ortogonais, caracterizadas por serem nulas, para ambas, as coordenadas transversais correspondentes.

§03 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO PLANAR. Por um processo inteiramente análogo ao representado no §01,IX, poder-se-ia demonstrar (e não o faremos aqui por razões óbvias) que:

as direções principais {N} e { N } (ou θ’=θ0 e θ’=θ0+π/2) por um ponto de um campo diádico planar simétrico, são invariantes numa mudança de referencial; e conseqüentemente, que:

os coeficientes da equação característica do diádico planar simétrico, num ponto genérico do campo, independem do sistema de referência, o que permite caracterizá-los como invariantes do diádico.

X, §03

§04 – Coordenadas octaédricas. Diádico desvio.

137

Um diádico planar tem, pois, dois invariantes: o primeiro, seu traço, dado por ((02),§02); o segundo, o seu determinante associado, dado por ((03),§02). Se o espaço em torno do ponto considerado do campo for referido aos eixos principais desse ponto (aqueles inclinados de θ0 e θ0+π/2 em relação ao referencial global O-xy), a matriz associada ao diádico do campo, no ponto, será escrita na forma diagonal:

0 ρ ρ− 0  Sp =  +  , se for Sxy > 0, e Sp =  , se for Sxy < 0 ,  0 ρ−  0 ρ+

(01).

Em qualquer uma das formas, a matriz do diádico denomina-se a principal do ponto. Portanto, os invariantes serão escritos nas formas:

J1 = S x + S y = ρ − + ρ + , J 2 = S x S y − S xy2 = ρ − . ρ + ,

(02), (03).

§04 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO. Para os campos planos, as direções octaédricas de um ponto (§03,IX) são dadas por:

{N}T =

2 [ε1 ε 2 ] , 2

onde ε1 e ε2 recebem os valores +1 ou –1. A coordenada radial octaédrica vale:

ρ oct = {N}T . S p . {N} =

1 (ρ − + ρ + ) , 2

(01),

isso é, lembrando ((02),§03):

ρ oct =

1 J1 2

(02).

Tendo-se, também:

poct =

2 2

ε1 ρ−  1 2 2 2   , ou, poct = 2 (ρ− + ρ+ ) , ε ρ  2 +

a coordenada octaédrica transversal, que representaremos por τoct, valerá:

τoct =

p oct − ρoct

1 1 (ρ 2 + ρ+2 ) − (ρ− + ρ+ ) 2 , 2 − 4

ou, simplificando:

τoct =

1 (ρ + − ρ − ) , 2

(03).

É possível decompor a matriz Sp na forma:

Sp = ∆ p + S , onde:

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138

§05 – As coordenadas transversais principais.

ρ − ρ oct ∆p =  − 0 

0  , ρ + − ρ oct 

(04),

ρ S =  oct  0

0  = ρ oct . I , ρ oct 

(05).

O diádico planar ∆p é o diádico desvio de S. Resulta, para o diádico desvio, que: 1) é nulo seu primeiro invariante; 2) seu segundo invariante, J 2∆ , sempre negativo, vale:

J 2∆ = −(ρ + − ρ oct ) 2 ,

(06).

§05 – AS COORDENADAS TRANSVERSAIS PRINCIPAIS. O problema é equacionado do mesmo modo como o fizemos no §04,IX, pelo método dos multiplicadores de Lagrange, considerando que se tenha em relação às direções principais do ponto:

p 2 = ρ −2 cos 2 θ + ρ +2 sen 2 θ  2 2 2 2 ρ = (ρ − cos θ + ρ + sen θ) ,  2 2 2 τ = p − ρ cos 2 θ + sen 2 θ = 1 

(01).

Extrema-se F = τ 2 − λ{N}T .{N} como se F fosse um extremado livre. Chega-se ao sistema seguinte, correspondente ao sistema ((05),§04,IX):

2ρ − cos θ(ρ − − 2ρ) − 2λ cosθ = 0 ,  2ρ + sen θ(ρ + − 2ρ) − 2λ sen θ = 0

(02).

As direções segundo as quais se extremam as coordenadas transversais do diádico num ponto do campo – denominadas direções secundárias do ponto – são obtidas por resolução do sistema (02). É evidente que em (02), θ≠0 e θ≠π/2, pois, do contrário, as direções secundárias coincidiriam sempre com as direções principais e não teríamos qualquer problema a resolver.

Teorema 1: Num ponto qualquer de um campo de diádico simétrico, as coordenadas radiais do diádico, relativas às direções secundárias desse ponto, são iguais e equivalem à sua coordenada radial octaédrica. Com efeito, quaisquer que sejam os ângulos θ que definam as direções secundárias tem-se, de (02), dividindo ambos os membros das equações por cosθ e senθ e denotando por ρ T as coordenadas radiais principais: ρ − (ρ − − 2ρ T ) = ρ + (ρ + − 2ρ T ) , donde, simplificando e lembrando ((01),§04):

ρT = X, §05

1 (ρ + ρ+ ) = ρoct . 2 −

§05 – As coordenadas transversais principais.

139

Teorema 2: Num ponto qualquer de um campo de diádico simétrico as direções secundárias são as bissetrizes das direções principais desse ponto. Pois se tem, do teorema anterior e da segunda das igualdades (01) (que se referem às direções principais do ponto):

[

]

ρ− + ρ+ = 2ρT = 2(ρ−cos 2θ + ρ+sen 2θ) = 2 (ρ− − ρ+ )cos 2θ + ρ+ ; donde, simplificando: cos θ = ± 2 / 2 . Essa equação trigonométrica apresenta duas (e apenas duas) soluções não coincidentes (todas as demais se superpondo a estas), ficando caracterizadas, portanto, no plano, duas direções, defasadas de π/2 rad uma da outra (isto é, perpendiculares entre si) e bissetoras dos ângulos formados pelas direções principais. Nota: Para lembrar essa propriedade, às direções secundárias denominaremos também, eventualmente, direções bissetoras do ponto.

Teorema 3: Num ponto qualquer de um campo de diádico simétrico, as coordenadas transversais principais são iguais e equivalem à sua coordenada transversal octaédrica. Pois para θ = 45o (ou para θ = 135o ), tem-se, da primeira e da segunda das igualdades (01):

p2 =

1 2 (ρ + ρ+2) 2 −

ρ2 =

1 (ρ − + ρ + ) 2 ; 4

donde, da terceira das mesmas igualdades:

τ2 = p 2 − ρ2 =

ρ − ρ− 2 1 2 (ρ − + ρ +2 − 2ρ − ρ + ) = ( + ) . 4 2

Assim, lembrando ((03),§04):

τ=

1 (ρ + − ρ − ) = τ oct , 2

(04).

Lembrando ((06),§02) tem-se, também:

ρ− =

1 1 (S x + S y ) − (S x − S y ) 2 + 4S xy2 , 2 2

(05),

ρ+ =

1 1 (S x + S y ) + (S x − S y ) 2 + 4S xy2 , 2 2

(06),

donde:

τ=

1 1 (ρ + − ρ − ) = (S x − S y ) 2 + 4S xy2 , 2 2

(07).

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140

§06 – As coordenadas referidas às direções principais.

§06 – AS COORDENADAS REFERIDAS ÀS DIREÇÕES PRINCIPAIS Seja S o diádico associado ao ponto genérico do campo, referido a um par de eixos ortogonais quaisquer Ox e Oy, tendo Sxy<0. Determinemos as direções principais do ponto em questão pelo ângulo θ0 que faz a direção correspondente à menor coordenada radial (ρ-) com o eixo Ox (conforme resultado já estabelecido ao final do §02). Se φ- e φ+, medido positivamente no sentido anti-horário, são os ângulos de uma direção qualquer, nˆ , com as direções 1 e 2 da menor e da maior coordenada radial principal (Figura X,1) , respectivamente,, tem-se, conforme a expressão de Sp dada por ((01),§03):

ρ φ− = [cosφ −

ρ senφ − ].  − 0

0  cosφ −  2 .  = ρ − cos φ − + ρ + senφ − = ρ +  senφ − 

= ρ − + (ρ + − ρ − )sen 2 φ − ; ou melhor:

ρφ− =

1 1 (ρ + ρ− ) − (ρ+ − ρ− ) cos2φ− , 2 + 2

(01).

Por (01) vê-se que, para φ− = 0 é ρφ− = ρ− , o que comprova que a direção 1 é a correspondente à menor coordenada radial principal. Tem-se também, por definição de coordenada transversal (§04,IV):

τ φ _ = [− sen φ −

ρ cos φ − ].  − 0

0  cos φ , . ρ +  sen φ

donde:

τ φ− =

1 (ρ + − ρ − ) sen2φ − , 2

(02).

Similarmente, se o diádico S admitisse Sxy>0 e se φ+, medido no sentido trigonométrico, fosse o ângulo de uma direção qualquer com a direção de maior coordenada radial principal, ρ+, escreveríamos, relembrando ((01),§03):

ρ 0  cos φ +  2 2 2 ρφ + = [cos φ + sen φ + ]  +    = ρ + cos φ + + ρ − sen φ − = ρ + + (ρ − − ρ + )sen φ − , 0 ρ sen φ −  +  ou melhor:

ρ φ+ =

1 1 (ρ + + ρ − ) + (ρ + − ρ − ) cos 2φ + , 2 2

(03),

por onde se vê que para φ+ = 0 é ρ φ = ρ + , o que comprova que a direção 1 corresponde à maior coordenada +

radial principal. Também,

τ φ+ = [− senφ −

ρ cos φ + ].  + 0

0  cosφ +  .  = (−ρ + + ρ − ) sen φ + . cos φ + , ρ −  senφ + 

ou melhor:

τ φ+ =

1 (ρ + − ρ − ) sen 2φ + . 2

π , donde: cos 2φ + = − cos 2φ − , isto é, comparado (01) com (03): ρ φ− = ρ φ+ . 2 E sendo, ainda, sen 2φ + = −sen 2φ − , conclui-se, de (02) e (04): τ φ+ = τ φ− . Da Figura X.1 vê-se que φ− − φ+ =

X, §06

§07.01 - O círculo de Mohr.

141

O cálculo das coordenadas do diádico associado ao ponto poderá, portanto, ser feito por qualquer das expressões (01) ou (03) e (02) ou (04). Comprovaremos este resultado, graficamente, no próximo parágrafo.

§07 - REPRESENTAÇÃO DE MOHR Ao tratarmos da representação geométrica dos campos, no Cap. III, fizemos rápida menção à representação de Mohr que descrevia aproximadamente o que se passava no ponto genérico de um campo diádico planar ((§07),IV). Mostramos que, naquele ponto, as variações da projetante do diádico com a direção em torno do ponto, ou, ainda, as variações de suas coordenadas (radial e transversal), são dadas pelas coordenadas dos pontos do círculo de equação dada por ((01),§07,IV). Nada mais se pôde concluir naquela oportunidade pela falta do ferramental analítico necessário, recém adquirido (§01 a 06). Em vista da interessante aplicação técnica que, em determinadas situações80, a representação de Mohr apresenta, mostraremos agora como deduzir também graficamente todos os resultados já obtidos anteriormente.

§07.01 - O círculo de Mohr Suponhamos conhecido o diádico S num ponto P do seu campo, referido a um par de eixos Ox e Oy de unitários ˆi e ˆj respectivamente, isto é, seja dada a matriz:

 Sx S= S yx

S xy  , S y 

(01),

associada ao diádico nessa base, com, digamos, Sxy<0 e Sx<Sy. Representemos, numa escala conveniente e no plano de Mohr ρxτ (Figura X,2), os pontos: A ≡ (S x ;0) , B ≡ (S y ;0) , O ≡ ((S x + S y )/2;0) e N ≡ (S x ; S xy ) , o que define também a direção ON ≡ Ox nesse plano. Tracemos em seguida o círculo de raio ON que corta o eixo Oρ em dois pontos: A’, próximo de A, e B’, próximo de B. Tem-se: 2

Raio 2 = ON = OA + AN = (OΩ + ΩA ) 2 + AN = 2

1   = (ΩA − ΩO) 2 + Sxy2 = Sx − (Sx + Sy ) + Sxy2 , 2  

donde:

Raio = Logo: ou seja,

1 (S y − S x ) 2 + 4S xy2 , 2

(02).

′ ′ ΩA = ΩO + OA = ΩO − Raio , ′ 1 1 ΩA = (S x + S y ) − (S y − S x ) 2 + 4S xy2 . 2 2

80 A representação de Mohr é um nomograma e como tal apresenta utilidade restrita por causa das facilidades de cálculo proporcionadas pelos computadores; mas facilita esclarecimentos, apresentando vantagens didáticas.

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142

§07 - Representação de Mohr .

Lembrando ((05),§05), conclui-se: ΩA' = ρ − . Similarmente, lembrado ((06),§05), tem-se: ρ+ = ΩB′ ,pois:

ΩB′ = ΩO + OB′ =

1 1 1 (S + Sy) + Raio = (Sx + Sy) + (Sy − Sx )2 + 4Sxy2 . 2 x 2 2

Se P ≡ (ρ , τ) é um ponto genérico da circunferência, tem-se:

(ρ − ΩO) 2 + τ 2 = Raio 2 = (

ρ+ − ρ− 2 ) , 2

ou melhor,

(ρ −

ρ+ + ρ− 2 ρ − ρ− 2 ) + τ2 = ( + ) , 2 2

equação esta idêntica a ((01),§07,IV) para S1=ρ-_ e S2=ρ+, sendo, portanto, a equação do círculo em questão, precisamente um dos círculos de Mohr do ponto. Nota. Os três círculos de Mohr referidos no §04.01,IV existem mesmo no caso dos campos planos porque tais campos uma das componentes normais principais do ponto é sempre igual a zero. Assim, se as componentes normais têm sinais contrários (não é o caso da Figura X.2), digamos Sx<0 e Sy>0, o valor máximo da componente transversal, τ, será igual ao módulo da diferença | Sy-Sx | e este valor é o diâmetro de um dos círculos. Mas | Sy-Sx | não será o máximo de τ quando as componentes normais tiverem o mesmo sinal. De fato, um dos círculos de Mohr, o de maior raio (o de diâmetro ΩB', não traçado na Figura X,2) , envolve o de raio | SySx | e a ele corresponde τmax=|Sy|>| Sy-Sx |.

§07.02 - Determinação gráfica das coordenadas. Consideremos, por exemplo, o círculo de Mohr do §07.01, em que Sx<Sy e Sxy<0, com Sx>0 e Sy>0 (Figura X,2). Seja ψ_ o ângulo, menor que 180 o , de que se deva girar a semi-reta Oρ-, no plano de Mohr e no sentido trigonométrico, para fazê-la coincidir com a semi-reta ON, o ponto N tendo as coordenadas dadas ρ φ− =Sx e τ φ− =Sxy. Tem-se, então, algebricamente, da Figura X,2:

ρ φ− = ΩA = ΩO + OA =

1 (ρ + + ρ − ) − Raio x cosψ − , 2

onde o sinal de OA se justifica pelo fato de ter sempre sinal não coincidente com o de cosψ_. Assim,

ρ φ− =

1 1 (ρ + + ρ − ) − (ρ + − ρ − ) cos ψ − , 2 2

donde concluir-se, comparando esta expressão com ((01),§06): cos2φ − = cos ψ − , isto é, a menos de um número inteiro de circunferências: ψ − = 2φ − . Consideremos agora o caso em que Sx<Sy e Sxy>0, com Sx>0 e Sy>0. O círculo de Mohr relativo a esse diádico, no ponto considerado do domínio, seria, evidentemente, o mesmo da Figura X.2. Seja N’ o ponto (diametralmente oposto a N) de coordenadas dadas ρφ+ = Sy e τφ+ = Sxy . Denotando por ψ+ o ângulo, menor que

X, §07.02

§07.03 - As direções principais e secundárias.

143

180 o , de que se deva girar a semi-reta Oρ+, no plano de Mohr e no sentido trigonométrico, para fazê-la coincidir com a semi-reta ON’, tem-se: ρ φ = ΩA = ΩO + OA = +

1 1 1 (ρ + ρ − ) + Raio x cosψ + = (ρ + + ρ − ) + (ρ + − ρ − ) cos ψ + , 2 + 2 2

expressão que, comparada com ((03),§06), permite concluir que, a menos de um número inteiro de circunferências, ψ + = 2φ + . Resulta, assim, a seguinte regra:

Graficamente, no circulo de Mohr, a coordenada radial e a transversal de um diádico que admita Sxy<0 (Sxy>0) - coordenadas essas relativas a uma direção que forma (no campo) um ângulo φ-_ (φ+), medido no sentido horário, com a direção principal de menor (maior) coordenada radial principal são obtidas como as coordenadas das extremidades do arco de círculo de origem A’ (B’) que, descrito no sentido anti-horário, subtende um ângulo central igual a 2φ_ (2φ+).”

§07.03 - As direções principais e secundárias. Seja dado o diádico S, com Sxy<0, por exemplo, relativo a um ponto qualquer do seu domínio de definição. Construamos o círculo de Mohr relativo a este ponto conforme exposto no §07.01, supondo, por exemplo, Sx<Sy; seja N ≡ (S x , S xy ) , Figura X,2. No plano de Mohr, denotemos, por ψ −0 o ângulo (menor que 180 o ) de que se deva girar o eixo Oρ_ para fazê-lo coincidir com a direção ON. Com essa convenção escrevemos, algebricamente:

tgψ −0 =

S xy 2 S xy AN = = , OA S − 1 (S + S ) S x − S y x x y 2

expressão que, comparada com ((07),§02), dá: θ 0 =

1 0 ψ− . 2

Consideremos agora o caso em que o diádico do ponto admita Sxy>0. Denotando-se por ψ 0+ o ângulo (menor que

180 o ) de que se deva girar o eixo Oρ+ no sentido anti-horário, para fazê-lo coincidir com a direção ON’, escrevese, algebricamente: tgψ 0+ =

′

S xy ΩA − ΩO

S xy S x − 1 / 2(S x + S y )

expressão que, comparada com a expressão geral ((07),§02), dá: φ 0 =

2S xy Sx − Sy

1 0 ψ+ . 2

Resulta, então, a seguinte regra:

Dado o diádico S de um ponto do seu domínio de definição, traça-se o círculo de Mohr que lhe 1 corresponde, com centro O ≡ ( (S x + S y );0) e raio ON (ON’) onde N(N ′) ≡ (S x ; S xy ) se Sxy<0 2 (Sxy>0). A inclinação da direção principal do ponto, correspondente à menor (maior) coordenada radial, é a metade do ângulo de que se deve girar o eixo dos ρ, em torno de O e no sentido trigonométrico para fazê-lo coincidir com a direção ON (ON’).

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144

§08 - Outras representações geométricas dos campos planares.

Adotemos como referência as direções principais do ponto, e consideremos o caso em que Sxy<0. Como no círculo de Mohr, o ângulo que faz a direção em que ocorre a menor coordenada radial com a direção em que ocorre a menor (algebricamente) coordenada transversal, é de 90 o . Conclui-se, então, que tal direção, no campo, forma um ângulo de 45 o (medido no sentido anti-horário) com a direção correspondente à menor coordenada principal. Fica evidenciado, também, pelo círculo de Mohr, que tais direções, no campo, são ortogonais entre si, pois o ângulo entre elas no plano de Mohr é de 180 o .

§08 - OUTRAS REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS DOS CAMPOS PLANARES. A pretendida visão panorâmica dos campos, com a qual já nos preocupamos em todo o Capítulo III, será agora, no caso particular dos campos planares, enriquecida com a representação gráfica de outras de suas características, muitas das quais de grande importância nas aplicações da Engenharia. Comecemos analisando o problema da determinação gráfica do diádico associado ao ponto genérico do seu plano de definição. Se o diádico S é dado na forma ((01),§07.01) e se xy é seu pano de definição, então:

S x = S x ( x, y), S y = S y ( x, y) e S xy = S xy ( x, y) . Representando-se, nesse plano, as famílias de curvas Sx=const.=C1, Sy=const.=C2 e Sxy=const.=C3, a cada terno (C1; C2; C3) corresponderá um ponto do plano, interseção de três curvas, uma de cada família, e a este ponto corresponderá evidentemente o diádico de matriz associada:

C S= 1 C 3

C3  . C 2 

* Exemplo 1: (Bibl. [15], problema 5.2, p.111) O tensor simétrico de um campo plano de tensões tem as seguintes coordenadas:

S = yx3 − 3xy + 8y  x 2 2 Sy = xy(y − 2x )  2 2 2 4 Sxy = −1,5x y + 1,5y + 0,5x + 4 em que -1≤x≤1 e 0≤y≤5. O domínio é, pois, um retângulo de largura (ou base) 2, coincidente com o eixo dos x; e comprimento (ou altura) 5, coincidente com o eixo dos y. A origem das coordenadas é o ponto médio da base. As Figuras X,3 a 5 apresentam as distribuições de Sx, Sy e Sxy, respectivamente, dentro do domínio. A base e o lado esquerdo do retângulo estão cotados em x e y. Os valores das tensões aumentam quando se caminha das áreas mais escuras em direção às mais claras. A distribuição de Sxy é trivialmente simétrica em relação ao eixo y (pois a troca de x por –x não altera o valor de Sxy). A distribuição da tensão Sy também é simétrica em relação ao eixo y devendo observar-se que para x>0 as tensões assumem valores positivos e para x<0 valores negativos. Por exemplo, para x=±1 obtém-se o valor máximo para Sx, em módulo: 115 (nos cantos superiores).

X, §08

§08 - Outras representações geométricas dos campos planares.

145

É importante observar que, nesse campo de tensões, não existirá ponto em que as tensões radiais Sx e Sy sejam máximas, ou seja, ponto em que Sxy=0. De fato, pois, para |x|≠1, deveria ser

y2 = −

x4 + 8 ; 3(1 − x 2)

o que é impossível uma vez que, sendo |x|<1, deveria seria y2<0.

O resultado encontrado elimina a possibilidade da diagonalização do tensor do campo. Exemplo 2: (Bibl. [15], problema 2-8, p.50) O diádico de deformações em um domínio em forma de L (Figura X,6) tem as seguintes coordenadas:

ε = x 4 + y4 + x 2 + y2 + 5  x 4 4 2 2 εy = x + y + 3x + 3y + 6  2 2 εxy = 4xy(x + y + 2) + 10 Como nas figuras anteriores, os valores das deformações aumentam quando se caminha das áreas mais escuras em direção às mais claras (Figuras X, 7 a 9). A coordenada εxy do diádico não vai anular-se nunca (seu menor valor é 10). Os maiores valores de εy ocorrem: um para x=5 e outro para y=5; dá-se o mesmo em relação a εx (mas com valores diferentes dos de εy).

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146

§08 - Outras representações geométricas dos campos planares.

§08.01 - Linhas isostáticas. Também denominadas linhas de direções principais, as linhas isostáticas formam um sistema ortogonal de curvas cujas tangentes, em todo ponto, são as direções principais daquele ponto. As linhas isostáticas são, assim, as trajetórias das direções principais do campo. Se y=f(x) é a equação de uma curva genérica de uma das famílias, então:

dy = tgθ 0 , dx onde θ0 é a inclinação de uma das direções principais do ponto com o eixo Ox. Mas, de ((07),§02), escreveremos também: 2S xy 2tgθ 0 , tg2θ 0 = = S x − S y 1 − tg 2 θ 0 donde,

( ou melhor, X, §08

dy 2 S x − S y dy ) + x −1 = 0 ; dx S xy dx

§08.02 - Linhas das direções secundárias.

147

2 2 dy S y − S x ± 4S xy + (S y − S x ) = dx 2S xy

(8.2).

Tais são as equações diferenciais das famílias, a cada uma correspondendo um sinal para o radical. A denominação apropriada das direções dependerá do sinal de Sxy, conforme mostramos ao final do §02. Exemplo:

 x 2 xy  O domínio do campo do diádico simétrico de matriz  é a placa -5≤x≤5 e -60≤y≤60. Sua 2  xy y  imagem geométrica pode ser apreciada pela Figura X,10 as linhas de Sx e Sy sendo retas paralelas aos eixos e as de Sxy hipérboles eqüiláteras. Tem-se:

dy y2 − x 2 ± (x 2 + y2) = , dx 2xy e as duas famílias de isostáticas terão por equações diferenciais:

dy y = dx x

dy x =− , dx y

evidenciando-se a ortogonalidade delas (o produto das derivadas é igual a -1). Da primeira equação tem-se:

dy dx = y x

y = c1x ,

que representa retas passando pela origem. Da segunda temos:

x dx + y dy = 0 , ou d(x 2 + y2) = 0 , donde x 2 + y2 = (c2)2 , que representa circunferências de raio c2 centradas na origem. A ortogonalidade dessas curvas é evidente. É óbvio, então, que no ponto de coordenadas (x;c1x) o diádico do campo tem matriz representativa 2 x c1x 2  1 c1  = x 2  2 , a reta que passa pelo ponto e pela origem sendo uma de suas direções principais. 2 2  (c1) x   (c1) 

§08.02 - Linhas das direções secundárias. Essas linhas constituem um sistema ortogonal de curvas cujas tangentes, em todo ponto, representam as direções secundárias daquele ponto; isso é, elas são as trajetórias das direções secundárias. Se θ’ é o ângulo de uma dessas direções com o eixo Ox, tem-se, conforme Teorema 2 do §05:

θ ′ = θ 0 + 45 ou tg2θ ′ = tg(2θ 0 + 90 o ) = −

Se y=φ(x) é a equação de uma linha de um dos sistemas, tem-se:

tg 2θ ′ =

1 . tg2θ 0

dy = tg θ′ . Mas, dx

Sy − Sx 2 tg θ ′ 1 =− = ; 2 tg 2θ 0 2 S xy 1 − tg θ ′

Campos Tensoriais - Ruggeri

148

§08 - Outras representações geométricas dos campos planares.

donde, então:

(

4 S xy dy dy 2 ) − . −1 = 0 ; dx S x − S y dx

ou melhor: 2 2 dy 2S xy ± 4S xy + (S x − S y ) = . dx Sx − Sy

As duas equações acima são as equações diferenciais procuradas, a cada sinal do radical correspondendo uma família. * Exemplo: Para o diádico do exemplo do §08.01, tem-se:

dy 2xy ± (x 2 + y2) , com |x|≠|y|. = dx x 2 − y2 Aos sinais (+) e (-) correspondem, respectivamente, as famílias de equações diferenciais

dy x + y = dx x − y

dy x−y =− , dx x+y

sendo possível, mas bem trabalhosa a integração dessas equações. Vale observar que, quando são conhecidas as isostáticas, as direções secundárias podem ser determinadas imediatamente pela aplicação de propriedade conhecida (Teor. 8, §04,IX). *

§08.03 - Linhas isóclinas (ou isoclínicas). Uma linha isóclina ou isoclínica é o lugar geométrico dos pontos do plano do diádico que admitem direções principais paralelas. Dito de forma mais ampla, uma isóclina é o lugar dos pontos nos quais uma direção principal faz um ângulo constante com uma direção dada (logo, também a outra). Se, no ponto genérico do campo, θ é o ângulo de uma dessas direções com Ox, tem-se, para equação do lugar: θ=const.; ou melhor,

tg 2θ =

2S xy Sx − Sy

= constante = ψ (x, y) . *

Exemplo: Para o diádico do exemplo do §08.01, tem-se:

tg2θ =

2xy 1 = , donde: y = Cx , com C = −k ± 1 + k 2 . x 2 − y2 k

Uma família de isóclinas é constituída por retas passando pela origem, com coeficientes angulares

C = −k + 1 + k 2 ; a outra é constituída por retas ortogonais às retas da primeira família, passando pela origem. Exercício: Demonstre que no campo do diádico relativo ao exemplo do §08.01, isóclinas e isostáticas são coincidentes. *

X,§08.03

§08.05 - Linhas isoradiais.

149

§08.04 – Linhas isocromáticas. Uma linha isocromática, também denominada isotangencial (de larga aplicação na Fotoelasticidade), é o lugar dos pontos em que a coordenada tangencial principal do diádico de cada um de seus pontos (τmax) têm o mesmo valor. Suas equações são: τ= raio do círculo de Mohr = constante. Então, considerando ((02),§07.01):

(S x − S y ) 2 + 4S xy2 = constante . * Exemplo: Para o diádico do exemplo do §08.01, encontra-se:

(x 2 − y2)2 + 4x 2y2 = τ4 ou

x2 + y2 = τ2 ,

que são circunferências de raios τ (valor da coordenada tangencial principal) centradas na origem. Exercício: No campo do diádico relativo ao exemplo do §08.01, determine o valor da coordenada tangencial principal relativa a uma circunferência isostática qualquer. *

§08.05 - Linhas isoradiais. Linhas isoradiais são os lugares geométricos dos pontos do plano do diádico que apresentam o mesmo valor para a coordenada radial principal. Constituem duas redes de linhas que se obtêm de ((06),§02). Tem-se para uma das redes:

1 1 (S + S y ) − (S x − S y ) 2 + 4S xy2 = const. ; 2 x 2 e para a outra:

1 1 (S x + S y ) + (S x − S y ) 2 + 4S xy2 = const. . 2 2 * Exemplo: Tem-se, para o diádico do exemplo do §08.01:

ρ− =

1 2 1 (x + y2) − (x 2 − y2)2 + 4x 2 y2 = constante = k = 0 , 2 2

ρ+ =

1 2 1 (x + y2) + (x 2 − y2)2 + 4x 2 y2 = x 2 + y2 = R 2 , 2 2

circunferências de raio igual à distância do ponto do campo à origem, centradas na origem. * Exercício: No campo do diádico relativo ao exemplo do §08.01, determine o valor da coordenada radial principal relativa a uma circunferência isostática qualquer. * Campos Tensoriais - Ruggeri

150

§09 - Pontos singulares e circulares.

§08.06 - Linhas isópacas. Linhas isópacas são os lugares geométricos dos pontos do plano do diádico de coordenadas octaédricas iguais. A equação delas obtém-se de ((02),§04) por consideração de (02),§03):

ρ oct =

1 J 1 = S x + S y = const. 2

Pode, ainda, definir-se esta linha como o lugar dos pontos do plano do diádico em que o primeiro invariante dos diádicos correspondentes tem um valor constante.

Nota: Em vista de ((04) ou (07),§05), o lugar dos pontos de coordenadas transversais octaédricas iguais se confunde com uma linha isocromática. * Exemplo: As isópacas do campo do diádico do exemplo do §08.01 são, evidentemente, a família de circunferências x 2 + y2 = R 2 , centradas na origem, e que tem raio igual à distância do ponto do campo à origem; elas se confundem com as isoradiais. *

§09 - PONTOS SINGULARES E CIRCULARES. Supusemos desde o início, nas expressões ((01),§01), que fossem: S x ≠ S y e S xy ≠ 0 . Os pontos em que Sx=Sy e Sxy=0 denominam-se pontos circulares; quando Sx=Sy=Sxy=0 esses pontos são ditos singulares, sendo, pois, nulo o diádico a eles associado. Nos pontos circulares, as direções principais estão indeterminadas, pois, de ((07),§02):

tg2θ =

2S xy Sx − Sy

0 , 0

ou seja, nesses pontos qualquer direção é principal, e as coordenadas radiais principais são iguais (conforme se comprova de ((05) e (06),§05). As linhas isostáticas assumem disposições particulares nas vizinhanças desses pontos, problema que aqui não analisaremos. Nos casos práticos, em que for importante o traçado das isostáticas, será necessário um estudo detalhado da disposição das mesmas nas vizinhanças desses pontos81



81 Veja E. Butty, n. 03, pág. 483.

151

ÍNDICE REMISSIVO A anisotropia ............................................................................... 40 anisotrópico ............................................................................. 39 antecedentes................................................................. 39, 43, 44 autovalores............................................................................. 122

C campo 1D de linha plana................................................................ 58 1D e 2D............................................................................... 57 2D de diádicos simétricos ................................................. 133 2D de diádicos, isóclinas .................................................. 148 2D de diádicos, isocromáticas .......................................... 148 2D de diádicos, isópacas................................................... 149 2D de diádicos, isoradiais ................................................. 149 2D de diádicos, isostáticas................................................ 146 2D diádicos, pontos singulares ......................................... 150 3D de diádico...................................................................... 77 bidimensional ..................................................................... 49 central ........................................................................... 67, 85 circulação............................................................................ 93 classificação........................................................................ 48 com potencial...................................................................... 86 curvas de nível .................................................................... 65 das grandezas físicas........................................................... 47 de circulação conservativa ................................................ 109 de diádicos simétricos................................... 54, 71, 121, 130 de diádicos, invariantes..................................................... 124 de fluxo conservativo........................................................ 109 de forças.............................................................................. 89 de natureza cilíndrica.......................................................... 65 de tensões.......................................................................... 144 de uma propriedade............................................................. 47 de velocidades....................................................... 90, 96, 105 definição ............................................................................. 47 descontinuidade ................................................................ 117 diádico ................................................................................ 47 diádico planar ................................................................... 134 escalar ............................................................. 47, 83, 92, 103 escalar, gradiente ................................................................ 79 escalar, potencial................................................................. 86 estacionário......................................................................... 47 exemplos ............................................................................. 50 fluxo.......................................................................... 103, 106 função diretriz................................................................... 110 geometria do ....................................................................... 65 harmônico ................................................................. 110, 115 irrotacional.......................................................... 98, 111, 118 irrotacional, fórmulas de Green......................................... 112 lamelar ................................................................................ 98 lamelar ou conservativo ...................................................... 89 linha diretriz........................................................................ 66 linhas de............................................................................ 110 magnético ..................................................................... 67, 92 nova classificação ............................................................... 49 operadores duplos de ........................................................ 115 potencial vetor .................................................................... 99 quadro sinóptico ................................................................. 49 quantidade de parâmetros ................................................... 48 rotacional ............................................................................ 99 sem fonte........................................................................... 108

solenoidal.................................................................. 108, 110 superfície de nível............................................................... 65 superfície média.................................................................. 57 transiente............................................................................. 47 tubo de ........................................................................ 68, 110 turbilhonar .......................................................................... 99 unidimensional ................................................................... 48 variáveis de ......................................................................... 42 vetorial................................................ 47, 86, 87, 89, 96, 103 vetorial com potencial......................................................... 99 vetorial harmônico .................................................... 115, 118 vetorial que deriva de potencial .......................................... 90 vetorial, circulação.............................................................. 87 vetorial, fórmula de Stockes................................................ 94 vetorial, rotacional .............................................................. 93 completo .................................................................................. 74 componente transversal................................................ 55, 56, 71 conseqüentes................................................................ 38, 44, 45 coordenadas cartesianas de diádico ......................................................... 42 cilíndricas ................................................................... 8, 9, 52 curvilíneas............................................. 12, 27, 28, 31, 59, 94 de diádicos, relações entre .................................................. 61 de grandeza física ............................................................... 37 de grandeza tensorial .......................................................... 41 de tensor simétrico .............................................................. 54 de uma grandeza vetorial .................................................... 36 de vetor ..................................... 4, 20, 23, 38, 39, 43, 56, 106 de vetor, relações entre........................................................ 60 de vetor, transformação....................................................... 60 de vetores de base ............................................................... 20 esféricas .............................................................................. 10 local .................................................................................... 23 mudança de......................................................................... 18 no plano de Mohr.............................................................. 141 octaédricas ........................................................ 126, 137, 150 radiais ............................................................. 56, 72, 77, 121 radiais bissetoras............................................................... 130 radiais principais............. 71, 74, 76, 121, 127, 134, 135, 138 referidas às direções principais ......................................... 140 relações entre ...................................................................... 21 retilíneas ......................................................................... 2, 27 retilíneas globais ............................................................... 133 sistema cilíndrico de ............................................................. 8 sistema esférico de ................................................................ 9 sistemas cartesianos de ......................................................... 2 sistemas local e global ........................................................ 22 tangenciais parciais............................................................. 56 transformação ortogonal ............................................... 37, 54 transversais parciais ............................................................ 56 transversais principais....................................... 123, 128, 138 vetoriais de diádicos ........................................................... 62

D derivada direcional .......................................................... 81, 112 diádicos adjunto de um ..................................................................... 46 algebra dos.......................................................................... 42 anti-simétricos .................................................................... 42 como generalização da idéia de vetor ................................. 34 como representante de grandeza física................................ 41 Campos Tensoriais - Ruggeri

152 como variáveis num domínio.............................................. 41 completos e incompletos..................................................... 45 conectando escalares e vetores............................................ 41 de deformação..................................................................... 41 de revolução........................................................................ 75 de tensões............................................................................ 42 definição, algumas operações ............................................. 37 desvio................................................................................ 127 direções próprias............................................................... 122 dupla multiplicação pontuada ............................................. 43 equação característica ............... 122, 123, 124, 125, 135, 136 escalar de ............................................................................ 44 forma trinomial ................................................................... 38 formas simétrica e anti-simétrica ........................................ 42 grandeza diádica ................................................................. 37 inverso de um...................................................................... 46 matriz associada.................................................................. 42 módulo de um ..................................................................... 46 norma de um ....................................................................... 45 nulos ................................................................................... 44 produto cruzado .................................................................. 45 produto pontuado................................................................ 45 projetante ............................................................................ 55 representação cartesiana ..................................................... 38 simétricos...................................................................... 41, 42 terceiro de um ..................................................................... 45 transpostos .......................................................................... 42 unidade ............................................................................... 44 uniplanar....................................................................... 60, 75 valores próprios................................................................. 122 vetor de ............................................................................... 44 direções octaédricas ....................................................... 125, 137 direções principais 121, 123, 125, 130, 138, 139, 140, 144, 146, 148, 150 divergente definição ........................................................................... 106 fórmula do................................................................. 112, 113 fórmula do (ou de Gauss).................................................. 108 propriedades formais......................................................... 111 significado físico............................................................... 108 domínio 1D, 2D e 3D.......................................................................... 2 bidimensional ..................................................................... 13 chato ..................................................................................... 2 cilíndrico 1D....................................................................... 13 com feições cilíndricas.......................................................... 8 configuração ......................................................................... 5 coordenadas curvilíneas do ponto ....................................... 31 curva reversa do .................................................................... 7 curvilíneo ............................................................................ 12 curvo ..................................................................................... 3 curvo tridimensional ........................................................... 31 de fenômeno.......................................................................... 2 de natureza espacial .............................................................. 2 de natureza plana .................................................................. 2 de natureza retilínea .............................................................. 2 de revolução........................................................................ 13 dimensional......................................................................... 26 equação polar do ................................................................... 7 equações paramétrica do................................................. 7, 10 equações paramétricas de...................................................... 9 esférico.................................................................................. 9 espessura do........................................................................ 12 espessura em 2D ................................................................. 31 homogêneo.................................................................... 38, 51

isotrópico ............................................................................ 39 natureza do.......................................................................... 10 unidimensionais.................................................................. 22

E elipsóide de Lamè .................................... 28, 29, 69, 70, 73, 74, 75, 78 equação característica de diádico.................................... 122, 123, 124 característica de diádico planar......................................... 135 cartesiana geral do plano....................................................... 4 da quádrica indicatriz ................................................... 69, 75 das linhas de direções secundárias.................................... 147 das linhas isóclinas ........................................................... 148 das linhas isópacas............................................................ 150 das linhas isostáticas......................................................... 146 das superfícies de nível ....................................................... 65 de Laplace......................................................................... 111 de superfície de revolução................................................... 13 diferencial das linhas de campo ........................................ 110 diferencial das linhas de indução ........................................ 67 do elipsóide de Lamè .......................................................... 75 dos parabolóides elípticos e hiperbólicos............................ 29 reduzida de quádrica........................................................... 70 vetorial do plano ................................................................... 4 vetorial paramétrica .............................................................. 3 estacionário........ 47, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 64, 65, 92, 106, 108

F filete fluido .............................................................................. 68 fórmula de Frenet-Serret................................................................... 26 de Green............................................................................ 112 de Stockes ........................................................... 95, 104, 118 do divergente ou de Gauss ................................ 108, 112, 113 do gradiente ...................................................................... 113 do rotacional ..................................................................... 113 função de ponto ....................................................................... 47

G gradiente de campo escalar................................................................. 79 de distância ......................................................................... 80 de temperatura .................................................................... 40 fórmula do......................................................................... 113 operador .................................................................. 79, 86, 97 propriedade geométrica....................................................... 80 propriedades formais........................................................... 83 grandezas físicas ................................................................ 36, 47 caracterização ..................................................................... 41 como variáveis de campo.................................................... 39 diádicas............................................................................... 34 diversas ..................................................................... 2, 33, 41 escalares.............................................................................. 33 poliádicas............................................................................ 36 vetoriais ........................................................................ 33, 37

I incompleto diádico ................................................................................ 45 invariante................................................. 34, 38, 40, 43, 45, 124 de diádicos ........................................................................ 124 do diádico desvio .............................................................. 127 do diádico planar .............................................................. 136 primeiro ............................................................................ 125 primeiro do diádico desvio ............................................... 127 primeiro, segundo e terceiro.............................................. 124 segundo do diádico desvio................................................ 128

153 terceiro do diádico desvio ................................................. 128 irrotacional campo ................................................................................. 98 cond. nec. e suf. (CNS) ....................................................... 98 nomenclaturas............................................................. 98, 109 ver campo laplaciano ........................................................ 111 ver fórmulas de Green....................................................... 112 isotropia ................................................................................... 39

L laplaciano de campo escalar....................................................... 111, 115 de campo vetorial.............................................................. 117 propriedades...................................................................... 115 linhas de apoio de superfície ......................................................... 12 de campo, afastamento...................................................... 110 de corrente .......................................................................... 66 de descontinuidade num campo.......................................... 53 de direções secundárias..................................................... 147 de fluxo ............................................................................... 66 de força ............................................................................... 66 de forças.............................................................................. 67 de indução..................................................................... 66, 67 diretrizes ............................................................................. 66 diretrizes, como trajetórias ortogonais ................................ 86 diretrizes, equações............................................................. 67 diretrizes, equações diferenciais ......................................... 67 diretrizes, propriedades ....................................................... 66 isóclinas ............................................................................ 148 isocromáticas .................................................................... 149 isoradial ............................................................................ 149 isostáticas.......................................................................... 146

M matricial álgebra ................................................................................ 19 matriz álgebra das .......................................................................... 42 anti-simétrica ...................................................................... 42 associada a diádico ................................................. 42, 46, 58 como representação cartesiana............................................ 37 de condutividade................................................................. 39 de mudança de base ........................................ 20, 40, 56, 124 de rotação...................................................................... 20, 62 desvio................................................................................ 127 diagonal ............................................................................ 124 dupla multiplicação pontuada ............................................. 43 dupla multiplicação pontuada dupla ................................... 44 inversa................................................................................. 46 principal.............................................................................. 70 produto de........................................................................... 61 simétrica e anti-simétrica .................................................... 42 transposta...................................................................... 20, 42 unidade ............................................................................... 20 módulo da componente radial de diádico ........................................ 68 da projetante de diádico ...................................................... 69 de coordenadas transversais principais ............................. 131 de diádico ........................................................................... 46 de vetor ..................................................... 18, 23, 25, 90, 110 piezoelétrico........................................................................ 42 Mohr circunferência ou círculo de.................... 72, 74, 77, 142, 143 plano de .................................................................. 72, 74, 78 representação de.............................................. 72, 73, 77, 141

N nível cilindros de ......................................................................... 65 curvas de............................................................................. 66 linhas de.............................................................................. 84 superfície de........................................................................ 65 superfícies de .......................................................... 79, 86, 89 superfícies esféricas de ....................................................... 65 notação ................................................................................... VII indexada.............................................................................. 42 indicial.......................................................................... 37, 41 matricial........................................................................ 19, 35

P poliádico .................................................................... VIII, 36, 47 Tratado de.........................................................................XVI ponto "seguinte"............................................................................ 23 abscissa curvilínea de ......................................................... 58 binormal de curva num ....................................................... 24 circular.............................................................................. 150 circunferência ou círculo do Mohr do............................... 142 consecutivo ......................................................................... 24 coordenadas curvilíneas do ................................................. 31 coordenadas principais do diádico no............................... 121 coordenadas radiais principais do diádico do ..................... 71 curvatura de torção da curva no .......................................... 25 da superfície esférica .......................................................... 28 de apoio de superfície ......................................................... 12 de campo solenoidal.......................................................... 108 de descontinuidade ............................................................. 53 de domínio ................................................................ 8, 22, 54 de eixo de rotação ............................................................... 13 de superfície........................................................................ 27 de superfície de revolução................................................... 14 deslocamento de.................................................................. 53 diádico associado ao ......................................................... 141 diádico do ..................................................................... 60, 61 direção principal do .......................................................... 143 direções bissetoras do ....................................................... 139 direções octaédricas do ..................................... 125, 137, 138 direções principais do ............................... 121, 122, 130, 140 direções secundárias do .................................................... 138 divergente do campo vetorial no ....................................... 107 do campo de diádico planar .............................................. 136 fixo...................................................................................... 67 fronteira de domínio ..................................................... 10, 22 funções de........................................................................... 37 gradiente de campo escalar no ............................................ 79 invariantes no.................................................................... 126 mais alto de um parabolóide ............................................... 31 matriz principal do diádico do ............................ 70, 124, 137 mudança de coordenadas de um ......................................... 18 número de coordenadas de.................................................. 13 plano normal à curva no...................................................... 24 plano tangente à superfície no............................................. 28 propriedade associada a ...................................................... 47 raio de curvatura de torção de curva no .............................. 25 relações entre coord. cart., cilíndr. e esf. no........................ 21 sobre a superfície da Terra .................................................. 12 triedro de Frenet-Serret do ............................................ 24, 77 triedro principal do ............................................. 76, 121, 129 vetor tensão no.................................................................... 54 vetor turbilhão de um.......................................................... 99 potência ................................................................................... 47 Campos Tensoriais - Ruggeri

154 potencial 86, 88, 89, 90, 91, 92, 98, 99, 100, 101, 104, 105, 109, 111, 112, 115, 118 projetante ......... 55, 56, 57, 58, 60, 68, 69, 71, 81, 126, 133, 141

Q quádricas.................................................................................. 64 de Cauchy e de Lamè.................................................... 68, 70 indicatriz................................................................. 69, 74, 75 parabolóides elíptico e hiperbólico ..................................... 29 quantidade de parâmetros .................................................... 7, 48

R representação cartesiana .............................................. 37, 38, 39 rotacional como operador .................................................................. 115 definição ............................................................................. 93 expressão cartesiana............................................................ 95 fórmula do......................................................................... 113 propriedades formais........................................................... 96 significado físico................................................................. 96

T terceiro..................................................................................... 45 de um diádico, definição..................................................... 45 do diádico desvio .............................................................. 128 invariante (de diádico) ...................................... 124, 127, 128 transiente campo ........................................................................... 47, 49 campo (classificação).......................................................... 64 campo (sup. de nível).......................................................... 65 campo de velocidades ......................................................... 51

tubo de campo..................................................................... 68, 109 de fluido............................................................................ 105 de fluxo ............................................................................... 68 de força ............................................................................... 68 fechado ............................................................................. 109 seção do ............................................................................ 110 turbilhonar .......................................................................... 99 ver veia fluida ou filete fluido............................................. 68 turbilhão .................................................................................. 99 uniplanar diádico ................................................................................ 60

V vetor campo elétrico............................................................... 40, 41 campo elétrico..................................................................... 37 de diádico ........................................................................... 44 força.................................................................................... 50 função de valor ................................................................... 47 módulo do ................................................................... 69, 110 polarização.......................................................................... 40 posicional............................ 3, 4, 18, 21, 35, 53, 90, 103, 117 relações entre coordenadas.................................................. 60 tensão.................................................................................. 54 tensão total.......................................................................... 57 turbilhão.............................................................................. 99 unitário.... 3, 21, 26, 28, 46, 50, 52, 54, 81, 93, 121, 123, 131