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SOLUÇÃO DO PROBLEMA ELÁSTICO LINEAR ANISOTRÓPICO. (em preparação)
Elysio R. F. Ruggeri Centro Tecnológico de Engenharia Civil Furnas Centrais Elétricas SA
1 - AS EQUAÇÕES DA ELASTICIDADE. Em notação poliádica, u' representando o vetor deslocamento, e os diádicos de tensões e deformações, f' o campo de forças de massa por unidade de volume e 4G o tetrádico de proporcionalidade (de Green) entre tensões e deformações, as equações da elasticidade para temperatura constante são escritas na forma do sistema:
2u f div t2 1 T (u u ) 2 4G : Consideremos o vetor
f
1 2f f t 2 g t h , com f', g e h vetores constantes e f. 2 t2
Então, pondo u=u'- f, tem-se:
u u
e
O sistema de equações da elasticidade torna-se:
2u t2
2 u t2
2f t2
2 u t2
f .
1 2u , div 2 c t2 1 T (u u) , 2 4G :
2 - A EQUAÇÃO DESLOCAMENTOS.
SOLUÇÃO
DO
com c2=1/,
(I).
PROBLEMA
EM
TERMOS
DE
Se ˆ u (u=1,2,...,6) são os autodiádicos de 4G (unitários e ortogonais entre si) e Gu são os autovalores correspondentes, então
4
G pode ser escrito na forma espectral (ou tônica) conseguinte, a terceira das equações (I) é escrita na forma G u ˆ u (ˆ u : ) . Então,
div G u ˆ u .(ˆ u : ) G u ˆ u .() : ˆ u ,
ou seja,
4
G G u ˆ u ˆ u . Por
div 4 G 3. .
Sendo,
ainda,
4
4 12 3 G .
G 4 G 12
(4G
é
diadicamente
simétrico
por
montante),
vem
G u u G u . Então, tomando e na segunda das equações (I) e levando em conta os resultados anteriores temos: 4
3 .
T
4
3 .
T
div 4 G 3. 4 G 3. u . Assim, o sistema (I) fica reduzido à equação (de valor vetor): 4
G 3. u
1 2u c2 t2
,
(01),
denominada equação de solução do problema elástico em termos de deslocamentos.
3 - O BIVETOR SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO (01). O bivetor (vetor complexo)
u ae i(n.rwt ) u () (r, t ) ,
(02),
onde a é um vetor real constante, n é um vetor constante de unitário nˆ , w e (a diferença de fase) são escalares constantes, t é o tempo e r vetor posicional, descreve a propagação de um trem infinito de ondas na direção nˆ , com velocidade de fase v = w/|n|, período 2/|n| e |a| a amplitude. Temos:
2
e i(n.rwt ) n i ei(n.rwt ) n ei(n.rwt / 2) ,
(021).
Logo,
u u ( / 2) n
u ann e i(n.rwt ) u () nn T u ,
e
(022).
Temos, ainda
u a w e i(n.r wt / 2) wu ( / 2) t
e
2u t
2
a w 2 e i(n.rwt ) w 2 u () ,
(023).
Procuremos as condições para que o bivetor (02) seja solução da equação (01). Substituindo (022) e (023) em (01), simplificando o fator escalar não nulo e i(n.rwt ) e agrupando convenientemente resulta:
( 4 G : nn) . a
w2 c2
a,
(031),
ou, ainda, lembrando que v = w/|n|,
( 4 G : nˆ nˆ ) . a
v2 c2
a,
(03).
A equação (03) representa, pois, a condição para que (02) seja solução de (01); é denominada "condição de propagação" da onda descrita por (02). O diádico 4 G : nˆ nˆ , simétrico, é denominado "diádico acústico" relativo a nˆ . Ora, para um dado nˆ , o diádico acústico está determinado; podemos escrevê-lo na forma espectral 4
G : nˆ nˆ S jaˆ jaˆ j ,
(j=1,2,3),
(04),
em que os Sj são os seus autovalores e os aˆ j os seus correspondentes autovetores (unitários e ortogonais entre si). Então, a condição de propagação (03) exige que, em (02), a seja um autovetor de 4 G : nˆ nˆ e v2/c2 o autovalor correspondente. Para um dado n temos, então, três soluções do tipo (02), ou sejam, ondas planas elipticamente polarizadas, com direções (triortogonais) a= aˆ j de polarização e velocidades definidas por
v j c Sj
(j=1,2,3),
(05).
Se 4 G : nˆ nˆ for definido positivo - caso em que todos os Sj serão positivos - os vj serão todos reais. Mas poderá acontecer que, para certas direções nˆ , os diádicos correspondentes 4 G : nˆ nˆ , simétricos, possam ter autovalores negativos, o que acarretará algum v j imaginário. Nesse caso os bivetores correspondentes, u, não descreverão ondas que se propagam. 3
Examinemos a condição recíproca da anteriormente considerada. Suponhamos, então que para dada direção nˆ , o diádico simétrico 4 G : nˆ nˆ tenha um autovalor positivo, S1, ao qual corresponde o autovetor a1. Então, ( 4 G : nˆ nˆ ).a1 S1a1 . Calculando v1 c S1 , onde c2 é igual à massa específica do material do meio e, para um |n| arbitrário, w1=|n|v1, vem ( 4 G : nn) . a1 (w 2 / c 2 )a1 . Multiplicando ambos os membros pelo fator não nulo e i(n.rwt ) , em que é uma constante a determinar, e compondo um vetor complexo u na forma (02), podemos escrever (031), ou seja, 4
G
3 .
unn
w2 c2
u,
(06).
Podemos eliminar n entre (06) e (02) calculando expressões análogas a (02 1), (022) e (023); obtemos assim, a equação (01). Logo: A condição necessária e suficiente para que, para uma dada direção n, o bivetor (02) seja solução da equação (01) é que o vetor real a seja um autovetor de 4 G : nn ao qual corresponda o autovalor positivo, S tal, que w c S , com v = w/|n|. * Substituindo a primeira das equações (02 2) na expressão do diádico das deformações indicada no sistema (I) obtemos:
1 [u ( /2)n nu ( /2) ] , 2
(07),
expressão em que u é dado por (02). Da terceira das equações do sistema (I), e de (07), resulta mediatamente a expressão do diádico das tensões:
4 G : u ( / 2) n ,
(08).
4- A SOLUÇÃO DO PROBLEMA EM TERMOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES. É fácil eliminar u e dentre as equações do sistema (I). Obtemos, assim, a equação de solução do problema elástico em termos de deformações:
4
G 3. () 1 [ 4 G 3. () 1 ]T
2 2 c2 t2
,
(09).
Analogamente deduziríamos a equação de solução do problema elástico em termos de tensões: 4
G : div
1 2 c2 t2
,
(10).
4
É evidente, em face da dedução dos resultados anteriores, que (07) é solução de (09) e (08) é solução de (10). * Consideremos, por outro lado, o bidiádico
() (r, t) 0 e i(n.rwt ) ,
(11),
com 0 0 T ( 0 simétrico). Temos: div 0 .e i(n.r wt ) 0 .n e i(n.r wt ) ; logo,
div 0 .ne i(n.r wt ) 0 .nn e i(n.r wt ) .nn ,
(12).
Ainda,
2 t2
w 2 ( ) .
Substituindo esses resultados parciais em (10) encontramos: 4
G:(nˆ nˆ . 0 )
v2 c2
0 ( 4 G.nˆ nˆ ): 0 ,
(13).
Concluímos: para que o bidiádico (11) seja solução da equação (10), para um dado nˆ , é condição necessária que o diádico simétrico 0 seja o auto diádico do tetrádico 4G. nˆ nˆ relativo ao autovalor -v2/c2. Isto requer seja simétrico o tetrádico 4G. nˆ nˆ e negativos todos os seus (seis) autovalores. A cada um dos autovalores corresponderá uma onda plana elipticamente polarizada, de velocidade v, tendo por direção de polarização a direção do autodiádico correspondente. Na direção do autodiádico relativo a algum autovalor positivo não haverá propagação posto que o valor correspondente de v é imaginário, ou seja, a solução (10) correspondente não descreverá uma onda que possa propagar-se. A reciproca é verdadeira, o que pode ser demonstrado tal como no caso dos deslocamentos; donde podermos concluir: A condição necessária e suficiente para que, para uma dada direção nˆ , o bidiádico (11) seja solução da equação (10) é que o diádico real simétrico 0 seja um autodiádico do tetrádico 4G. nˆ nˆ ao qual corresponda o autovalor negativo, S tal, que w | n | v c S . * Podemos escrever (12) na forma
div
1 c
2
(
2u t
2
)
w2 c
2
u ()
w2 c2
u ( / 2 ) n .
Então,
2 t2
w 2 4 G : u ( / 2 ) n ,
5
equação que, integrada, reduz-se a (08). Para a fase n.r-wt+=0 deduzimos
0 4 G : an ,
(14).
Não é difícil comprovar que
0 e i(n.r wt / 2) ,
com
0
1 (an na) , 2
(15),
é a solução de (09).
6