A RESOLUÇÃO COMPLETA DO
PROBLEMA TERMOELÁSTICO LINEAR E A UNICIDADE DA SUA SOLUÇÃO
Elysio R. F. Ruggeri Ouro Preto - MG
Artigo publicado pela Revista Escola de Minas - REM - , 42(3):36-48, em 1989. (Revisão feita em 15/02/2008) Trabalho apresentado no XVI Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, realizado em Uberlândia-MG, em set/1992.
Fundação Gorceix Rua Conde Bobadela nº 142 CEP 35.400-000 Fone (031) 551-2820 FAX (5531) 551-1197.
Este trabalho foi produzido durante a primeira fase de desenvolvimento do PROJETO POLIÁDICO (1992-1995), na Fundação Gorceix, para a Escola de Minas de Ouro Preto. Tal projeto é patrocinado pelas empresas:
SAMITRI- Soc. Anônima de Minerações Trindade SAMARCO Mineração S.A. MBR- Minerações Brasileiras Reunidas S.A. Mineração MORRO VELHO S.A. CBMM- Comp. Brasileira de Mineração e Metalurgia.
ÍNDICE ANALÍTICO § 01 - COMPÊNDIO DAS EQUAÇÕES BÁSICAS DA T.L.E. ...........................................................3 § 01.01 - As equações em notação diádica. ..............................................................................3 § 01.02 - Condições de contorno..............................................................................................4 § 01.03 - Resolução e solução do problema. ............................................................................4 § 01.04 - Considerações relativas à variação de temperatura. ..................................................5 § 02 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA ELÁSTICO............................................................................5 § 02.01 - Resolução (clássica) em termos de deslocamento. ....................................................6 § 02.02 - A resolução em termos de deformações. ...................................................................8 Casos particulares.......................................................................................................8 § 02.03 - Resolução (clássica) em termos de tensões. ..............................................................9 Casos Particulares ......................................................................................................10 § 03 - O EQUILÍBRIO TERMO-ELÁSTICO........................................................................................11 § 04 -sobre A UNICIDADE DA SOLUÇÃO.........................................................................................11 QUADRO I ................................................................................................................14 Coeficientes da equação de Duhamell-Neumann .......................................................14
RESUMO Das três equações básicas da Teoria Linear da Elasticidade (§ 01.01) - a equação vetorial (I) de Navier e as equações diádicas de Cauchy (II) e de Hooke (III, a ou b) - que correlacionam no ponto corrente P(x,y,z) de um meio elástico as três variáveis básicas (o vetor deslocamento u, o diádico das deformações Ε e diádico adimensional das tensões Σ ), pode obter-se um única equação (vetorial ou diádica) em apenas uma das variáveis por eliminação das outras duas (§ 01.03). Assim, além das resoluções clássicas em termos de deslocamentos (§ 02.01) e de tensões (§ 02.03), aborda-se também a resolução em termos de deformações (§ 02.02), considerando sempre o problema na sua forma mais geral, supondo variáveis, no tempo e no espaço, o campo das forças mássicas e o das temperaturas. Para isso foi necessário definir condições de contorno relativas a deformações (§ 01.02). Na resolução em termos de deformações deriva-se a equação ((01),§ 02.02) correlata da equação ((01),§ 02.03) correspondente a resolução em termos de tensões. Nota-se, comparando estas equações, bem como outras equações congêneres (((02),§ 02.02) com ((02),§ 02.03 etc), que as relativas a tensões são bem mais complexas que as correspondentes a deformações. A demonstração da unicidade da solução é mais abrangente que a demonstração clássica porque considera o caso dinâmico quaisquer que sejam os campos de forças mássicas e temperatura. O Cálculo Poliádico - uma ampliação natural do Cálculo Vetorial e que pode substituir com vantagens o Cálculo Tensorial - é empregado aqui na forma desenvolvida pelo autor [1], independente e diferentemente de outros autores [8,9]. Esta dissertação destaca, como se poderá observar, não só a potência e o poder de síntese do Cálculo Poliádico, aliados a sua simplicidade e elegância no trato de problemas elásticos, como também o seu alto valor como um instrumento eficiente de pesquisa.
§ 01.01 - As equações em notação diádica.
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§ 01 - COMPÊNDIO DAS EQUAÇÕES BÁSICAS DA T.L.E. § 01.01 - As equações em notação diádica. Na T.L.E. são estabelecidas três equações - uma vetorial e duas diádicas - que correlacionam no ponto genérico do meio elasticamente homogêneo, isótropo e de comportamento linear (meio dotado de linearidade geométrica e física), as três variáveis (de ponto) seguintes: o vetor deslocamento u, o diádico (simétrico e adimensional) das tensões Σ e o diádico (simétrico) das deformações Ε . São elas: 1º) A equação diferencial vetorial do movimento elástico - denominada equação de Navier [2,3] ou de Cauchy [5]:
&& , ρ f + div Σ = ρ u
(I),
onde f é a resultante das forças mássicas por unidade de massa, ρ é o quociente da massa específica ρ && é a aceleração e Σ = Σ E é o diádico adimensional da pelo módulo de elasticidade de comparação, E, u tensões. 2º) A equação diádica das pequenas deformações, de Cauchy [5]: T
2 Ε = ∇u + ∇ u ,
(II),
da qual resulta a equação diádica de compatibilidade das deformações de Saint-Venant [2,3]:
cujo escalar,
rot rot T Ε = Ο
(II.a),
Ε E = div u,
(II.b),
é a chamada dilatação cúbica do meio no ponto (variação de volume por unidade de volume)1 De (II.a) deduzimos, por evidência, a dependência funcional, nem sempre lembrada, das componentes do diádico Ε , expressa na forma vetorial T
div rot rot Ε = o,
(II.c).
A equação (II.c) representa expressões particulares das "identidades de Bianchi" no espaço euclidiano tridimensional. 3º) A lei de Hooke generalizada, ou lei de Duhamell-Neuman [2], que pode ser escrita na forma
Σ=
1
1
σ
Ε E − αT) Ι ,
(III.a),
Ε = (1 + σ)Σ − (σΣ E − αT)Ι ,
(III.b),
1+ σ
Ε+
(
1 − 2σ 1 + σ
ou na forma equivalente
1Na notação clássica os traços dos tensores Σ e Ε são representados, respectivamente, por Θ e θ. Traço de tensor (de ordem dois) e escalar de diádico são conceitos equivalentes quando as bases utilizadas são ortonormadas; aqui serão representados por ΣE e ΕE. A letra Ο representará o diádico nulo.
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§ 01 - Compêndio das equações básicas da T.L.E.
onde Ι é o diádico unidade, T é a variação de temperatura no ponto, α é o coeficiente (constante) de expansão térmica linear, Σ E é o escalar do diádico Σ e σ é o coeficiente de Poisson que, para qualquer meio contínuo (homogêneo ou não), pode ser considerado praticamente constante2. Deduzimos logo, de (III.a) e (III.b):
Σ E=
1 (Ε E − 3αT) , 1 − 2σ
(III.a'),
e
Ε = (1 − 2σ) Σ E
E
+ 3αT,
(III.b').
Não obstante a existência das três equações diferenciais (I), (II) e (III.a) ou (III.b), o problema elástico só estará determinado quando as condições de contorno (as condições iniciais e à superfície) estiverem prescritas.
§ 01.02 - Condições de contorno. As condições iniciais referem-se, geralmente, ao estado do meio elástico na configuração indeformada, correspondente ao instante t=0 para o qual as variáveis do problema têm valores conhecidos: u , Σ e Ε , em todos os pontos do meio. 0
0
0
As condições à superfície referem-se aos valores das variáveis em todos os pontos P da superfície (S) que delimita o meio (fronteira) em qualquer tempo; são devidas aos esforços exteriores (cargas) que atuam sobre o meio. Se φ designa indistintamente Σ ou Ε , então as condições à superfície são conhecidas se se conhece o vetor v = φ . n$ relativo à semi-normal (positiva) exterior a (S) , n$ ,em todo P de (S). n Seja $t o unitário da interseção do plano tangente a (S) em P com o plano definido por n$ e vn . As projeções de v sobre n$ e t$ são, respectivamente: n
$ φ . n$ R n = n.
e Tn = $t. φ . n$ .
Ora, vn é um vetor tensão para φ = Σ , ou um vetor tensão vn adimensional para φ = Σ ; e um vetor deformação para φ = Ε . Assim, Rn é uma tensão normal para φ = Σ e uma elongação específica (variação de comprimento por unidade de comprimento na direção n$ ) para φ = Ε ; Tn é uma tensão de cisalhamento no plano tangente para φ = Σ e uma distorção (variação do ângulo reto de n$ com $t ) para φ = Ε . No caso dos deslocamentos, similarmente, devem ser conhecidos os deslocamentos δ = u. n$ e δ = u. t$ de todo P de (S) onde a semi-normal exterior é n$ e onde $t é a interseção do plano n
t
tangente com o plano definido por n$ e u (plano este, distinto do plano definido por n$ e vn).
§ 01.03 - Resolução e solução do problema. As equações e os sistemas de equações poliádicas são definidos como na álgebra ordinária; as soluções desses sistemas, quando existem, são bem mais complexas, uma vez que as variáveis (poliádicos) podem estar submetidas a operações diferenciais. Mostraremos no § 02 que, no caso particular do sistema definido pela equações da elasticidade equações (I), (II) e (III.a) ou (III.b) - é possível, e até relativamente fácil, eliminar duas quaisquer das variáveis, dentre as três, para obter-se uma única equação na terceira variável; esta, vetorial ou diádica, resolvida (se possível), dará o valor de uma das incógnitas. 2O coeficiente de Poisson varia muito pouco para diferentes materiais: 0,17 para os concretos e 0,30 para os aços. Para um mesmo material pode ser considerado constante.
§ 02 - Resolução do problema elástico.
5
Na Teoria da Elasticidade, quando das suas equações básicas se deduz uma única equação (vetorial ou diádica) em uma única variável ( u , Σ ou Ε ) diz-se que se resolve o problema elástico em termos daquela variável; quando se resolve esta equação diz-se que se obtém a solução do problema em termos da referida variável. A facilidade da determinação das condições de contorno poderá influir na escolha da variável em termos da qual o problema será resolvido. Clássica e historicamente os problemas elásticos têm sido resolvidos em termos do vetor deslocamento ou do diádico das tensões, parecendo não existir qualquer referência sobre a resolução em termos do diádico das deformações3.
§ 01.04 - Considerações relativas à variação de temperatura. Imaginemos um corpo livre (sem ligações com o exterior) sofrendo um expansão ou contração por variação de temperatura. A lei (III.a) admite que essas deformações térmicas assim geradas são iguais em todas as direções em torno do ponto genérico (as deformações são proporcionais às variações da temperatura); conclui-se, então que, por variação de temperatura não ocorre distorção para qualquer par de direções pelo ponto. Além disso, e na condição de corpo livre, (III.b) mostra a possibilidade da ocorrência de deformações sem a geração correspondente de tensões ( Σ = Ο ), mas as condições de SaintVenant devem ser satisfeitas. Então, sendo Ε = αTΙ , deve verificar-se a expressão
rot rot T (TΙ ) = Ο . Do Cálculo Poliádico [1] sabemos que
rot rot T (TΙ ) = −Ι ×× ∇∇T , expressão que se anula se, e somente se, ∇∇T = Ο , isto é, ∇T = função (vetorial) qualquer do tempo, ou um vetor constante. Assim, ocorrerão deformações sem a geração correspondente de tensões apenas quando a variação de temperatura no meio elástico livre, T, for uma função linear do ponto e/ou função qualquer do tempo, ou uma constante, isto é:
∇∇T = Ο ⇔ T = r. g( T) + T0 , ou T = a. g(T) + T0 , ou T = T0 , onde: g(t) é uma função qualquer do tempo, T0 é uma constante, a é vetor constante e r vetor posicional. Se o corpo não trabalha como corpo livre, instala-se nele por variação de temperatura um estado triplo de tensões, qualquer que seja a lei T=T(r).
§ 02 - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA ELÁSTICO. No que seguirá usaremos a notação
X
para representar o operador de onda de D'Alembert:
X ≡ lap −
1
∂
2
VX 2 ∂ t
2
,
operador esse que se aplica a escalar, vetor, diádico etc.. Vx é a velocidade de onda X. As expressões
VT =
µ ρ
e
VL =
λ + 2µ ρ
(VT<VL)
3Na maioria dos problemas de Elasticidade a prescrição de tensões e deslocamentos é imediata e mais simples em relação às deformações. Isso deve justificar a inexistência de referência à resolução em termos de deformações.
6
§ 02 - Resolução do problema elástico.
dão as velocidades de onda transversal (X=T) e longitudinal (X=L); λ e µ são as constantes de Lamé. Entre λ , µ , σ e E existem as relações
λ=
σ E (1 + σ)(1 − 2σ)
µ=G=
e
1 E. 2(1 + σ)
§ 02.01 - Resolução (clássica) em termos de deslocamento. Tomando o divergente de (III.a) e levando a expressão de div Σ a (I), tem-se:
ρf +
1 1 − 2σ
∇(
σ 1+σ
Ε E − αT) +
1 1+ σ
&& , div Ε = ρ u
(01).
Tomando o divergente de (II) temos: T
2 div Ε = div ∇ u + div ∇ u = lap u + ∇div u = 2lap u + rot rot u ,
(A),
justificando-se este último membro pela consideração da fórmula clássica
lap u = ∇div u − rot rot u ,
(A').
Assim, substituindo-se em (01) o valor de div Ε correspondente ao segundo membro de (A), deduzimos, após agrupamentos e simplificações: Tu +
1 1 − 2σ
∇div u −
2(1 + σ) 1 − 2σ
∇ (αT) + 2 ρ(1 + σ) f = o,
(02).
Analogamente, considerando o terceiro membro de (A), deduzimos, de (01): Lu −
1+ σ 1− σ
∇ (αT) +
(1+ σ)(1 − 2σ) 1− σ
ρf +
1 2(1 − σ)
rot rot u = o,
(03).
Estas equações de onda - denominadas equações de Duhamell-Neuman [4] - podem ser escritas na forma geral X u + K X1 ∇div
u+K
X2
rot rot u + K
X3
∇ (αT) + K
X4
f = o,
(04),
onde X=T ou L, os coeficientes Kxi podendo ser expressos em função das constantes λ, µ, σ, ρ, E, VL e VT, conforme indicado no quadro I. Conforme o teorema de Helmholts, pondo
u = ∇U + rot v , com div v = 0 e a equação (04) pode ser escrita na forma seguinte: ∇(
X U + K X1 lap
U + K αT + K X3
X4
f = ∇F + rot w , com div w = 0,
F) + rot(
Xv
+K
X2
rot rot v + K
X4
w ) = o.
§ 02.01 - Resolução (clássica) em termos de deslocamento.
7
Ora, esta equação é satisfeita se, simultaneamente, se anularem as expressões entre parênteses, isto é, X U + K X1 lap
U + K αT + K X3
X4
F = 0,
(051)
e Xv
+K
X2
rot rot v + K
X4
w = o,
(052).
De (051) deduzimos:
lap U −
2
∂ U
1 (1 + K
X1
)V
∂t
2
X
2
K +
X3
1+ K
αT +
X1
K
X4
1+ K
F = 0.
X1
Independentemente de X representar T ou L, é fácil comprovar que
K X3 V2 = −(3 − 4 T2 ), 1+ K X1 VL
(1+ K X1)VX2 = VL2 ,
K X4 = 1 . 1+ K X1 VL2
De (052) deduzimos, para X=T: Tv
+
1 w = o, VT 2
porque Kx2 = 0 e Kx4 = 1/VT2 (quadro I). A mesma equação encontraríamos para X = L, bastando desdobrar X v, substituir KL2 e KL4 pelos seus valores extraídos do quadro I, agrupar convenientemente, considerar mais uma vez a expressão clássica (A') e lembrar que div v = 0 . Então, independentemente da representação de X, as equações (051) e (052) são equivalentes a L U + ( −1 +
VG 2 )3αT + 1 2 F = 0, VL2 VL
LU
ou
−
1+ σ 1 αT + 2 F = 0 , 1− σ VL
e Tv
+ 1 2 w = o, VT
(05),
sendo,
VG =
4 VT 3
e
VG = VL
2(1 − 2σ) , 3(1 − σ)
(053).
Estas equações de onda definem os movimentos das ondas L e T no meio elástico. A descrição do comportamento da dilatação cúbica Ε = div u em cada ponto, com a passagem da E
onda P, é obtida tomando o divergente de (04); obtém-se a fórmula geral: X ΕE
+ K X1lapΕ E + K X3lap(αT) + K X4 div f = 0,
(061),
cuja expressão mais simples se obtém para X=L, L ΕE
+ ( −1 +
VG 2 VL
2
) lap(3αT) +
1 VL 2
div f = 0,
(06),
8
§ 02 - Resolução do problema elástico.
ou, L ΕE
−(
1+ σ 1 ) lap(3αT) + div f = 0, 1− σ VL 2
(061).
Expressando Ε E em função de Σ E , a equação (06) pode ser transformada para descrever o comportamento de Σ E com a passagem da onda L; obtém-se: L ΣE
2 4 V + ( − G2 ) [ 3 VL
G (3αT) +
1 div f ] = 0, VG 2
(07)4,
div f ] = 0 ,
(071).
ou, equivalentemente:
L
ΣE +
2 [ 1− σ
G(αT) +
1 3VG 2
§ 02.02 - A resolução em termos de deformações. Tomando ∇ e ∇ T de ((02),§ 02.01), somando, então, membro a membro as expressões obtidas, considerando (II) e lembrando que ∇ = ∇ , encontramos, após simplificações: T Ε + ∇∇[
1 2(1 + σ) ΕE − αT] + (1 + σ)ρ(∇ + ∇ T )f = Ο , 1 - 2σ 1 − 2σ
(01),
ou, T Ε + ∇∇[(
VL 2 VT
Interessando a eliminação de Ε
− 1)Ε E − (3
2
VL 2 VT
2
− 4)αT] +
poderemos tomar o
E
L
1 2VT 2
(∇ + ∇ T )f = Ο ,
(011).
de (01), considerar ((06),§ 02.01) e
simplificar; obteremos: L TΕ +
1+ σ ∇∇[ 1− σ
L TΕ +
(3 − 4
T (αT)
+ ρ div f ] + ρ(1 + σ)(∇ + ∇ T )
Ο, Lf=Ο
(02),
ou,
VT 2 VL
2
)∇∇[
T (αT)
+ ρ div f ] +
1 2VT
2
(∇ + ∇ T )
Ο, Lf=Ο
(021).
Casos particulares 1º caso: T é função linear do ponto e do tempo: Tem-se, então, de (011)e (021): TΕ +(
VL 2 VT
2
− 1)∇∇Ε E +
1 2VT 2
(∇ + ∇ T )f = Ο ,
(03),
e 4A introdução da velocidade V simplifica razoavelmente as equações clássicas. A relação G (concretos, σ=0,17) e 2,489 (aços, σ=0,33).
( VG VL ) 2 varia entre 1,831
§ 02.03 - Resolução (clássica) em termos de tensões.
L TΕ +
(3 − 4
VT 2 VL
2
) ρ ∇∇div f +
1 2VT
2
(∇ + ∇ T )
9
Lf=Ο,
(04).
&& =0: De ((06) e (07),§ 02.01), considerando que lapT=0 e T L ΕE
LΣ E
+
+(
1 VL 2 1
VT
2
−
div f = 0 , 1 VL 2
(05),
)div f = 0 ,
(06).
2º caso: considerar f = constante no primeiro caso. Tem-se logo, de (03), (04), (05) e (06), respectivamente: TΕ +(
VL 2
− 1)∇∇Ε E = Ο ,
VT 2
L TΕ
(031),
=Ο,
(041),
L ΕE
= 0,
(051),
LΣ E
= 0,
(061).
§ 02.03 - Resolução (clássica) em termos de tensões. Tomando o
T
de (III.b), tem-se: TΕ
= (1+ σ)
T
Σ − [σ
T
ΣE −
T (αT)]Ι .
Em ((01),§02.02) podemos expressar TΕ em função de Σ E bastando usar (III.b'). Assim, pela expressão acima podemos obter uma equação em tensões apenas5. Encontramos: TΣ
+
1 [(∇∇ + Ι 1+ σ
T )(αT)
+ (∇∇ − σΙ
T )Σ E ] + ρ(∇
+ ∇ T )f = Ο ,..............(01)6,
ou, ainda, expressando os coeficientes em função de ρ e VT:
1 ρ
TΣ
+ 2VT 2 [(∇∇ + Ι
T )(αT)
+ (∇∇ − σΙ
T) Σ E ] +
(∇ + ∇ T )f = Ο ,
(011).
As equações (01) e (011) são as formas mais gerais de resolução do problema elástico em termos de tensões. Nestas formas, entretanto, aparece a variável Σ E , mas é possível eliminá-la. Tomando o L de (011) e considerando ((071),§ 02.01), deduzimos: 5É oportuno relembrar que ∇∇ = ∇∇ , ( Ι L T)= Ι L T, ∇ = ∇ etc.. 6Notar que na segunda parcela de (01), bem como na terceira, a expressão dentro dos primeiros parênteses representa um operador que se aplica distributivamente ao escalar dentro dos segundos parênteses. Idem para o operador dentro dos parênteses da quarta parcela.
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§ 02 - Resolução do problema elástico.
T LΣ
+
2(1 − σ) [(∇∇ + Ι (1 + σ)(1 - 2σ)
T) L(αT) −
+
1 3VG2
2 (∇∇ − σΙ 1− σ
L) G(αT)+
div f )] + ρ(∇ + ∇ T )
Ο, Lf=Ο
(02).
Por motivos que veremos em seguida, daremos à equação (01) uma nova forma, algo complicada, eventualmente desnecessária. Desdobrando T Σ E em (01) e substituindo-se, então, lap Σ E por sua expressão extraída de ((071),§ 02.01), operando e simplificando, resulta: 2 T Σ + 2ρVT ∇∇ Σ E + (1 − 2
VT 2
∂2 ΣE
VL
∂ t2
)ρ 2
Ι + 2(1 −
VT 2 VL 2
)(∇∇ + Ι
T )αT
= −ρ(∇ + ∇ T )f − ρ(1 − 2
=
VT 2 VL 2
)Ι div f ,
(022).
Casos Particulares Excetuado pela particularidade da univocidade e da continuidade das funções T, f e suas primeiras derivadas, as equações (01) e (02) são absolutamente gerais. Podem ser utilizadas para análise de problemas (elásticos) em materiais cujo comportamento possa ser afetado por campo elétrico e magnético (caso em que f tem representatividade). Não obstante essa generalidade apresentaremos as equações correspondentes a dois casos particulares apenas. 1º caso: T é função linear do ponto e do tempo
&& = 0. Então, Nesse caso: ∇T = função vetorial do tempo e ∇∇T = Ο ; T = 0 pois lap T = 0 e T (011) é escrita na forma: 1 ρ
TΣ
+ 2VT 2 (∇∇ − σΙ
T )Σ E
+ (∇ + ∇ T )f = Ο ,
(012).
A equação equivalente a (022) é T Σ + 2 ρ VT
2
∇∇ Σ E + (1 − 2
VT 2
∂2 ΣE
VL
∂ t2
)ρΙ 2
=
= −ρ (∇ + ∇ T ) f − ρ (1 − 2
VT 2 VL 2
) Ι div f ,
(013).
O conjunto das 6 equações cartesianas em que se desdobra (013) foi deduzido em 1959 por J. Ignaczack [10 e 11 in 5] e, também, independentemente, em 1960, por P.P. Teodorescu [12 e 13 in 5]; poderíamos denominá-las: equações de Ignaczack-Teodorescu (embora já tivessem sido deduzidas por Beltrami para f=o e, depois, por Michell considerando f≠o). Como caso particular de (02) temos:
T L
Σ−
1 (∇∇ − σΙ (1 + σ)(1 − 2σ)
L)div
f − ρ(∇ + ∇ T )
Ο, Lf=Ο
(023).
§ 04 -Sobre a unicidade da solução.
11
O comportamento de Ε E e o de Σ E são deduzidos, facilmente, de ((06) e (071),§ 02.01). Tem-se: LΕ E
1
=−
V
2
div f ,
(03),
L
e L ΣE
=(
1 VT
−
2
1 VL
2
) div f = −
(1 + σ) div f , (1 − σ)
(04).
2º caso: combinação do primeiro caso com f constante. Tem-se, facilmente, de (012), (023), (03) e (04), respectivamente:
1 ρ
T Σ + 2VT
(∇∇ − σΙ
2
L TΣ
=Ο,
T
)Σ E = Ο ,
(05),
(06),
L ΕE
=0,
(07),
LΣ E
= 0,
(08).
§ 03 - O EQUILÍBRIO TERMO-ELÁSTICO Equilíbrio térmico significa regime permanente de temperatura ( T& = 0), isto é, T é função apenas do ponto. Equilíbrio elástico significa regime permanente de tensões, deformações e deslocamentos: Σ& = Ε& = Ο e u& = o ; isto implica, obviamente, a substituição, nas equações gerais deduzidas nos parágrafos 02 e 03, de por lap e por lap lap. As equações de equilíbrio podem, então, ser deduzidas sem dificuldades.
§ 04 -SOBRE A UNICIDADE DA SOLUÇÃO. Sob a ação concomitante ou isolada de três tipos de esforços, geram-se deslocamentos, tensões e deformações num meio elástico em repouso ou em movimento: as forças mássicas, a variação de temperatura e os esforços exteriores (cargas). A relação linear existente entre o diádico das tensões e o das deformações estabelece uma espécie de independência dos efeitos dos esforços tal, que a cada esforço corresponde um "estado de tensão", um "estado de deformação" e um "estado de deslocamento" bem determinados; estados esses que se somam algébrica e correspondentemente aos estados relativos a um outro esforço. Essa linearidade traduz um princípio denominado de "superposição dos efeitos". É natural admitir-se também que, não estando um corpo elástico sujeito a ação de nenhum tipo de esforço (força mássica, temperatura e cargas), então nenhum estado de deslocamento, nem de tensão, nem de deformação encontra-se nele instalado; daí dizer-se que, nestas condições, o meio encontra-se em seu "estado natural", sendo nulos em qualquer um dos seus pontos, o diádico das tensões, o diádico das deformações e o vetor deslocamento.
12
§ 04- Sobre a unicidade da solução.
Quando os esforços exteriores permitem prescrever tensões sobre a superfície do meio elástico, pode-se resolver o problema elástico em termos de tensões, utilizando-se a equação diádica ((01),§ 02.03), que eqüivale a seis equações escalares, e as condições de contorno (§ 01.02). Esse problema é historicamente denominado "o primeiro problema básico da Teoria da Elasticidade" Noutras situações, os esforços exteriores permitem prescrever facilmente deslocamentos à superfície, podendo-se, então, resolver o problema em termos de deslocamentos, utilizando-se por exemplo a equação ((02),§ 02.01) e as condições de contorno correspondentes. Esse problema é historicamente denominado "o segundo problema básico da Teoria da Elasticidade". É possível que haja situações em que os esforços exteriores permitam prescrever deformações à superfície, podendo-se, então, resolver o problema em termos de deformações pela equação diádica ((01),§ 02.02), e considerando a condição de contorno correspondente. Esse problema poderia denominarse "o terceiro problema básico da Teoria da Elasticidade". Finalmente, poder-se-á resolver o problema elástico por um processo misto quando as condições à superfície puderem ser prescritas, parte em termos de tensões numa certa região da superfície, parte em termos de deslocamentos ou em termos de deformações noutra região da superfície. Tal problema é historicamente denominado "o problema misto da Teoria da Elasticidade", excetuado pelas condições relativas a deformações. Noutras situações é comum usar-se o método inverso, segundo o qual após prescrever-se um adequado diádico de tensões, ou um diádico de deformações, ou um vetor deslocamento, procura-se verificar se tal variável prescrita satisfaz às equações (I), (II) e (III) bem como as demais condições (de contorno e de Saint-Venant). Em qualquer situação, entretanto, poderia pairar a dúvida sobre a unicidade da solução; mostraremos, agora, com ampla generalidade, que essa solução é única, por interveniência fundamental do princípio da superposição dos efeitos e do princípio do estado natural. Neguemos a nossa tese da unicidade, admitindo que sob a ação de um dado conjunto de esforços exteriores, um certo campo de temperaturas e certas forças mássicas, ocorram dois "estados elásticos" simultâneos de variáveis u ′, Σ ′, Ε ′ e u ′′, Σ ′′, Ε ′′ , verificando-se à superfície:
p n = Σ ′.nˆ ε n = Ε ′.nˆ
δ n = u ′.nˆ δ t = u ′.tˆ
e
p n = Σ ′′.nˆ ε n = Ε ′′.nˆ
δ n = u ′′.nˆ . δ t = u ′′.tˆ
Observe-se que, para encontrar a solução do problema, uma ou mais dessas condições deverá ser utilizada; mas, estando o problema resolvido, todas devem verificar-se à superfície. Ora, sendo os dois estados igualmente válidos, tem-se, pelas leis (I), (II) e (III):
ρ f + div Σ ′ = ρ
∂ 2u′
ρ f + div Σ ′′ = ρ
∂ t2 2Ε ′ = ∇ u ′ + ∇ u ′
∂ t2 2Ε ′′ = ∇u ′′ + ∇ u ′′
T
T
Σ ′ = 2µΕ ′ + [λΣ ′ E − (3λ + 2µ)αT]Ι
Σ ′′ = 2µΕ ′′ + [λΣ ′′ E − (3λ + 2µ)αT]Ι
Resultam, então, evidentemente, por diferença:
div (Σ ′ − Σ ′′) = ρ
∂ 2 (u ′ − u ′′)
∂ t2 2(Ε ′ − Ε ′′) = ∇(u ′ − u ′′) + ∇ T (u ′ − u ′′)
Σ ′ − Σ ′′ = 2µ(Ε ′ − Ε ′′) + λ(Σ ′E − Σ ′E′ )Ι, e, sobre a superfície:
∂ 2 u ′′ .
Bibliografia
(Σ ′ − Σ ′′).nˆ = 0,
(Ε ′ − Ε ′′).nˆ = 0,
(u ′ − u ′′).nˆ = 0,
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(u ′ − u ′′).tˆ = 0 .
As equações que regem o "estado diferença" - estado (ideal) esse, válido, pelo princípio da superposição - são, ainda: a equação (I) de Navier, a (II) de Cauchy, cujo diádico de deformações, Ε ′ − Ε ′′ , satisfaz ainda à condição de Saint-Venant ( rot rot T (Ε ′ − Ε ′′) = Ο ), e a equação (III) de Hooke. Esse estado diferença, entretanto, apresenta-se com alguns aspectos especiais: 1º) nele não ocorrem forças mássica ( ρ f = o ); 2º) ele é isotérmico: − (3λ + 2µ)αT = 0 ; 3º) as condições à superfície mostram não existirem esforços exteriores. Conclui-se, então, imediatamente, que esse "estado diferença" é o estado natural, isto é, seu diádico de tensões e o de deformações, bem como o seu vetor deslocamento são nulos em todos os seus pontos:
Σ ′ − Σ ′′ = Ο
Ε ′ − Ε ′′ = Ο
u ′ − u ′′ = o .
Então os estados u ′, Σ ′, Ε ′ e u ′′, Σ ′′, Ε ′′ são idênticos.
BIBLIOGRAFIA LIVROS 1 - RUGGERI, E.R.F., Fundamentos do Cálculo Poliádico, em preparação. 2 - SOKOLNIKOFF, I.S., Mathematical Theory of Elasticity, Mc Graw Hill Book Company, New York, 1956, 476 p.. 3 - FILONENKO-BORODICH, M., Theory of Elasticity, Foreign Languages Publishing House, Moscow, sem data, 378 p.. 4 - AMENZADE, Yu. A., Theory of Elasticity, Mir Publisher Moscow, traduzido da edição russa de 1976 por M.Konyaera em 1979, 284 p.. 5 - TEODORESCU, P.P., Dynamics of Linear Elastic Bodies, Editura Academiei Bucaresti (Romania), Abacus Press. Tumbridge Wells, Kent, England, traduzido da edição romena de 1972 por Emil Geles, sendo editor Dr. John Hamell (Chelsea College, London),1975,411p.. 6 - REKACH, V.G., Manual of Theory of Elasticity, Mir Publisher Moscoww,1977,317 p.. 7 - BELTRAMI, E., Opére mathematiche. Vol. IV, 1920, 554 p.. 8 - SIELAWA, J. T., Métodos Matemáticos da Mecânica do Continuum, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, São Paulo, 1977, 328 p.. 9 - DREW, T.B., Handbook of Vector and Polyadic Analysis, Reinhold Publishing Corporation, 1961, 103 p.. ARTIGOS 10 - IGNACZACK, J., Direct determination of stress from the stress equations of motion in elasticity. Arch. Mech. Stos., 11, S, 671 (1959). 11 - ___________ A completeness problem for the stress equation of motion in the linear theory of elasticity. Arch. Mech. Stos., 15, 225 (1963). 12 - TEODORESCU, P.P., Sur une representation pur potentiel dans le problème tridimensionel de l'elastodynamique. C. Rend. hebd. des séances de l'Acad. des Sci., 250, 10, 1972 (1960). 13 - ____________ Asupra problemes spatiale a elastodinamicci (Romanian)(On the spacial problem of elastodynamics). St. cerc. mec. apl., 11, 1, 173 (1960). 14 - MICHEL, J.H., On the direct determination of stress in a elastic solid, with applications to the theory of plates. Proc. London Math. Soc., 31, 100 (1900).
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Bibliografia
QUADRO I Coeficientes da equação de Duhamell-Neumann X u + K X1 ∇div
Constantes λ,µ,ρ
σ, ρ =
ρ E
V ,V L
T
λ, µ, ρ σ, ρ =
ρ
L
T
X2
rot rot u + K
X3
∇ (αT) + K
X4
f = o,
KX1
KX2
-KX3
KX4
λ +µ µ
0
3λ + 2µ µ
ρ µ
2(1 + σ) 1 − 2σ
2ρ(1 + σ )
1 1 − 2σ VL 2 VT
2
0
−1
3
0
VL 2 VT
2
−4
0
λ+µ λ + 2µ
3λ + 2µ λ + 2µ
0
1 2(1 − σ )
1+ σ 1− σ
0
1−
E
V ,V
u+K
VT 2 VL
2
3− 4
T
1 VT 2
ρ λ + 2µ (1 + σ )(1 − 2σ) ρ L 1− σ
VT 2 VL
X
2
1 VL 2
Nome do arquivo: ResolProbTermElastico 15 02 2008 Pasta: C:\Documents and Settings\fr21175.CORP\Meus documentos\Ruggeri\Artigos\Meus\Publicados Modelo: C:\Documents and Settings\fr21175.CORP\Dados de aplicativos\Microsoft\Modelos\Normal.dot Título: A Assunto: Autor: LCC-DEGEO Palavras-chave: Comentários: Data de criação: 15/2/2008 10:31:00 Número de alterações: 2 Última gravação: 15/2/2008 10:31:00 Salvo por: DCT.C Tempo total de edição: 1 Minuto Última impressão: 15/2/2008 10:31:00 Como a última impressão Número de páginas: 14 Número de palavras: 4.571 (aprox.) Número de caracteres:24.685 (aprox.)